La teoría cinética molecular de líquidos y sólidos En los gases, las distancias intermoleculares son tan grandes (en comparación con sus diámetros) que a temperaturas y presiones ordinarias (es decir 25º C y 1 atm), no hay interacción apreciable entre las molculas! "os l#quidos y los sólidos son bastante di$erentes a los gases! la di$erencia principal entre el estado condensado (l#quidos y sólidos) y el estado gaseoso estriba en las distancias intermoleculares! En un l#quido las molculas están muy %untas, de tal $orma que hay poco espacio &ac#o! 'or lo cual los l#quidos son mucho más di$#ciles de comprimir que los gases y mucho más densos en condiciones normales! "as molculas en los l#quidos están unidos por uno o más tipos de $ueras de atracción, que se analiarán en la siguiente sección! n l#quido tiene tambin un &olumen de*nido, dado que las molculas en un l#quido no se escaparán debido a sus $ueras de atracción! "as molculas, sin embargo, pueden mo&erse libremente entre s# y es as# como los l#quidos +uyen, se pueden &aciar de un recipiente a otro y adquirir la $orma del recipiente! En un sólido, las molculas se unen con tal rigide que prácticamente no tienen libertad de mo&imiento! uchos sólidos se caracterian por tener las molculas acomodadas en disposiciones regulares tridimensionales! "a cantidad de espacio &ac#o en un sólido es aun menor que en un l#quido! Entonces, los sólidos son casi incomprensibles y posean $orma y &olumen de*nido! Con muy pocas e-cepciones (siendo el agua la más importante), la densidad del sólido es mayor que la del l#quido para una sustancia dada!
Fuerzas Fuerzas intermoleculares Estas $ueras de atracción entre las molculas, son las responsables del comportamiento no ideal de los gases! . estas se debe la e-istencia de los estados condensados de la materia l#quidos y sólidos! . medida que disminuye la temperatura de un gas, la energ#a cintica de las molculas disminuye! E&entualmente, a una temperatura bastante ba%a, las molculas no tienen su*ciente energ#a para &encer las $ueras de atracción entre s#, no puden mantenerse separadas! En ese momento, las molculas se agregan $orrnando peque/as gotas de l#quido! 0al $enómeno, el cual es el paso de gaseoso a liquido, se llama condensación!
0ambin 0ambin e-isten e-isten las $ueras $ueras intramolecular intramoleculares, es, o $ueras que que mantienen mantienen los átomos %untos en una molcula! "as $ueras intramoleculares son las responsables de la estabilidad de molculas indi&iduales, mientras que las $ueras intermoleculares son responsables sobre todo de las propiedades macroscópicas de la materia (por e%emplo, punto de $usión y punto de ebullición)! 'or lo general, las $ueras intermoleculares son mucho más dbiles que las $ueras intramoleculares! 'or ello, se necesita en general menos energ#a para e&aporar un l#quido que para romper los enlaces de sus molculas! "as di$erentes $ueras molculares son las siguientes Fuerzas Fuerzas dipolo-dipolo di polo-dipolo "as $ueras dipolodipolo son las que estan presentes entre molculas polares, esto es, entre molculas que tienen momento dipolo! 3u origen es electrostático y se pueden entender en trminos de la ley de Coulomb! . mayor momento dipolo, mayor $uera! En los l#quidos las moleculas no están enlaadas tan r#gidamente como en un sólido, pero tienden a alinearse de tal manera que en promedio las interacciones atracti&as sean má-imas! Fuerzas Fuerzas ion-dipolo "a ley de Coulomb tambin e-plica las $ueras ion dipolo, que ocurren entre un ion (ya sea un catión o un anión) y un dipolo! "a $uera de esta interacción depende de la carga y tama/o del ion y de la magnitud del dipolo! "as cargas en los cationes están generalmente más concentradas, dado que los cationes suelen ser menores que los aniones! En consecuencia, a cargas iguales, un catión interact4a más $uertemente con los dipolos que un anión! Filerzas de dispersión asta ahora sólo se han analiado especies iónicas y molculas polares! Cabe preguntarse qu ocurre con las molculas no polares! 'ara resol&er esta pregunta, con&iene considerar la disposición que se muestra en la *gura 11!6! 3i se coloca un ion o una molcula polar cerca de un átomo neutro (o de una molcula no polar), la distribución electrónica del átomo (o de la molcula) se distorsiona por la $uera e%ercida por el ion o la molcula polar!
3e dice que el dipolo resultante en el átomo o molcula es un dipolo inducido porque la separación entre las cargas positi&a y negati&a en el átomo neutro (o en la molcula no polar) se debe a la pro-imidad de un ion o molcula polar! "a atracción entre el ion y el dipolo inducido se llama interacción dipolodipolo inducido, y la interacción atracti&a entre la molcula polar y el dipolo inducido se llama interacción dipolodipolo inducido! "a $acilidad con la cual se puede inducir un momento dipolo depende no sólo de la carga del ion o de la $uera del dipolo sino tambin de la polariabilidad del átomo neutro o molcula no polar! "a polariabi1idad, es la $acilidad con la cual se puede distorsionar la distribución electrónica de un átomo neutro (o molcula)! 'or lo general, mientras mayor sea el n4mero de electrones y más di$usa sea la nube electrónica en el átomo o molcula, mayor será su polariabilidad! "a polariabilidad proporciona la cla&e de por qu los gases $ormados por átomos neutros o molculas no polares por e%emplo, e y 7 2 son capaces de condensarse!
"as $ueras atracti&as que se originan como resultado de los dipolos temporales inducidos en los átomos o molculas, llamadas $ueras de dispersión, pueden ser muy dbiles! Esto es en realidad cierto para el helio, que tiene un punto de ebullición de 289 :C! "as $ueras de dispersión com4nmente aumentan con la masa molar por la siguiente raón! las molculas con una masa molar grande tienden a tener más electrones, y las $ueras de dispersión aumentan en magnitud con el n4mero de electrones! .demás, las masas molares grandes a menudo indican átomos grandes cuya distribución electrónica es más $ácil de perturbar debido a que los electrones e-ternos están menos $uertemente atados al n4cleo! Fuerzas de van der Waals y radios de van der Waals "as $ueras dipolodipolo, dipolodipolo inducido y de dispersión constituyen las $ueras de &an der ;aals! Estas $ueras son todas de atracción en la naturalea y %uegan un papel importante en la determinación de las propiedades $#sicas de las sustancias, tales como puntos de $usión, puntos de ebullición y solubilidades! El radio de &an der ;aals es la mitad de la distancia entre dos átomos no enlaados equi&alentes en su distribución más estable, esto es, cuando las $ueras netas de atracción están al má-imo!
El puente de hidrógeno El puente de hidrógeno es un tipo especial de interacción dipolodipolo entre el átomo de hidrógeno de un enlace polar, como el < o el 7 y un átomo electronegati&o como <, 7 o =! "a interacción se escribe como . > o ..
. y > representan <, 7 o =? . es una molcula o parte de una molcula y > es parte de otra molcula? y la l#nea punteada representa el enlace de hidrógeno!
CA!"#$ %E FA$E "os cambio en la temperatura pro&ocan el $enómeno que conocemos como cambio de $ase o trans$ormacion de una $ase a otra! "as moleculas en el estado sólido tienen el mayor orden? en el estado gaseoso tienen el mayor desorden! 3e sabe por e-periencia que la energ#a (com4nmente en la $orma de calor) se necesita para pasar del estado sólido al l#quido y del liquido al gaseoso, lo cual &an acompa/ado de un incremento en el desorden! ientras se estudian las tras$ormaciones de $ase, tengase presente la relación que e-iste entre cambio de energ#a y el aumento o disminución del orden molecular! Estos parámetros ayudarán a entender la naturalea de estos cambios $#sicos!
Equili&rio líquido-vapor 'resión de vapor( Cuando un l#quido se e&apora, sus molculas en la $ase gaseosa e%ercen una presión de &apor! .ntes de comenar el proceso de e&aporación, los ni&eles de mercurio en el manómetro son iguales! 0an pronto como unas cuantas molculas de%an el l#quido, se establece una $ase de &apor! la presión de &apor es medible sólo cuando está presente una cantidad adecuada de &apor! El proceso de e&aporación sin embargo no contin4a en $orma inde*nida! E&entualmente, los ni&eles de mercurio se estabilian y ya no se aprecia cambio alguno!
.l principio sólo hay un sentido en el trá*co las molculas se mue&en del l#quido hacia el espacio &ac#o! 'ronto las molculas en el espacio sobre el l#quido establecen una $ase de &apor! . medida que la concentración de las molculas en la $ase de &apor aumenta, algunas molculas regresan a la $ase l#quida, en un proceso llamado condensación! la condensación ocurre porque una molcula que choca con la super*cie del l#quido queda atrapada por las $ueras intermoleculares en el l#quido! "a rapide de e&aporación es constante a una temperatura dada y la &elocidad de condensación aumenta al incrementarse la concentración de las molculas en la $ase de &apor! 3e llega a un estado de equilibrio dinámico (cuando la rapide del proceso en un sentido esta e-actamente balanceada por la rapide en el sentido in&erso) cuando la &elocidad de condensación y e&aporación son iguales! "a presión de &apor medida en equilibrio dindmico de condensación y e&aporación se llama equilibrio de presión de &apor! . menudo se usa sólo el trmino de @presión de &apor@ cuando se habla del equilibrio de la presión de &apor de un l#quido! la cual es aceptable en tanto se conoca el signi*cado del trmino abre&iado! Es importante recordar que la presión de &apor en el equilibrio es la má-ima presión de &apor que un l#quido e%erce a una temperatura dada y que es una constante a temperatura constante! "a presión de &apor, sin embargo, cambia con la temperatura!
Calor de vaporización y punto de e&ullición El calor molar de &aporiación, es la energ#a que se requiere para e&aporar 1 mol de un liquido, este as# como el punto de $usión (para los sólidos) sir&en de medida de la $uera que une a las molculas en un l#quido? esto debido a que este calor esta relacioneado directamente con la magnitud de las $ueras intermoleculares del l#quido! )emperatura y presión críticas( 3abiendo la condensación o licue$acción es lo opuesto de la e&aporación (o sea condensar es lle&ar de gas a l#quido)? teniendo un gas este puede ser lle&ado al estdo l#quido de dos $ormas 1! .l en$riar una muestra gaseosa, se disminuye la energ#a cintica de sus molculas y e&entualmente las molculas se unen para $ormar peque/as gotas de l#quido!
2! .plicar presión al gas! Aescartando la primera, y analiando la segunda, ba%o la compresión, se reduce la distancia promedio entre las molculas en tal $orma que se mantienen %untas por atraceión mutua! las procesos industriales de licue$acción utilian una combinación de estos dos mtodos! 0oda sustancia tiene una temperatura, llamada temperatura critica (0c), sobre la cual la $orma gaseosa no se puede licuar, independientemente de que tan grande sea la presión aplicada! Esta es tambin la má-ima temperatura a la cual una sustancia puede e-istir como liquido! "a presión m#nima que debe ser aplicada para licuar una sustancia a la temperatura cr#tica se llama presión critica ('c)! "a e-istencia de la temperatura cr#tica se e-plica cualitati&amente como sigue! la atraceión intermolecular es una cantidad *nita para una sustancia dada! . temperaturas in$eriores a la 0c, esta $uera es lo su*cientemente grande para mantener las molculas %untas (con una presión apropiada) en un l#quido! 3obre la 0c, el mo&imiento molecular llega a ser tan enrgico que las molculas siempre se mantendrán aparte, rompiendo esta atracción! Equili&rio líquido-sólido El paso del estado l#quido a sólido se denomina congelación o solidi*cación (proceso in&erso a la $usión)! El punto de $usión de un sólido (o el punto de congelación de un l#quido) es la temperatura a la cual las $ases sólida y l#quida coe-isten en equilibrio! El punto de $usión normal (o el punto de congelación normal) de una sustancia es el punto de $usión (o el punto de congelación) medido a 1 atm de presión! 'ara pro&ocar el cambio de estado de sólido a l#quido es necesario aplicar energ#a, se conoce como calor molar de $usión a la energ#a que se requiere para $undir 1 molde un sólido! Equili&rio sólido-vapor El cambio de estado de sólido a &apor se conoce como sublimación (proceso in&erso deposición)! .l ser posible el cambio de estado de sólido a &apor, los sólidos tambin tienen presión de &apor!
TEORIA CINÉTICO – MOLECULAR DE LOS GASES
Texto con conceptos de la teoria cinetico molecular de los gases, gas real, Concepto de Gas Ideal y diferencia entre Gas Ideal y Real, Propiedades de los gases, COMPRESIBII!"!, E#P"$!IBII!"!, %O&ME$ !E G"S %S' %O&ME$ !E S(I!O, PRESI($ %S )&ER*", TEMPER"T&R", ey de Boyle y ey de C+arles
INTRODUCCIÓN a teora cin-tica empe./ con la deducci/n en 0123 por !aniel Bernoulli de la ley de Boyle usando las leyes de $e4ton del mo5imiento aplicadas a las mol-culas' El tra6a7o de Bernoulli fue ignorado durante m8s de cien a9os' En 03:;
ue desarrolla6a correctamente muc+os de los conceptos de la teora cin-tica' El artculo de =aterston fue rec+a.ado por ?a6surdo?' os experimentos de ue el calor es una forma de energa +icieron >ue las ideas de la teora cin-tica parecieran plausi6les, y en el perodo de 03:3 a 03@3, ues a la teora cin-tica de los gases lle5aron a Bolt.mann a escri6ir en su li6ro en 03@3A ?Soy consciente de ser s/lo un indi5iduo luc+ando d-6ilmente contra el paso del tiempo' Pero an >ueda en mi poder contri6uir de tal manera, >ue cuando la teora de los gases rena.ca otra 5e., poco m8s tendr8 >ue ser redescu6ierto?'
"lgunos +an atri6uido el suicidio de Bolt.mann en 0@D a la depresi/n resultante de los ata>ues a la teora cin-tica' En 0@; Einstein aplic/ la teora cin-tica al mo5imiento 6ro4niano de una partcula pe>ue9a suspendida en un fluido' as ecuaciones te/ricas de Einstein fueron confirmadas por los experimentos de Perrn en 0@3, con5enciendo de esta forma a los energ-ticos de la realidad de los 8tomos' a teora cin-tica de los gases utili.a una descripci/n molecular para deri5ar las propiedades macrosc/picas de la materia, por lo >ue constituye una rama de la mec8nica estadstica'
TEORIA CINÉTICO – MOLECULAR DE LOS GASES Gas Real os gases reales son los >ue en condiciones ordinarias de temperatura y presi/n se comportan como gases ideales pero si la temperatura es muy 6a7a o la presi/n muy alta, las propiedades de los gases reales se des5an en forma considera6le de las de los gases ideales' Concepto de Gas Ideal y difeencia ente Gas Ideal y Real! os Gases >ue se a7usten a estas suposiciones se llaman gases ideales y a>uellas >ue no se les llama gases reales, o sea, +idr/geno, oxgeno, nitr/geno y otros' Fu1. - Un gas esta formado por partículas llamadas moléculas. FHu !ependiendo del gas, cada mol-cula esta formada por un 8tomo o un grupo de 8tomos' Si el gas es un elemento o un compuesto en su estado esta6le, consideramos >ue todas sus mol-culas son id-nticas' 2. - Las moléculas se encuentran animadas de movimiento aleatorio y obedecen las leyes de Neton del movimiento. as mol-culas se mue5en en todas direcciones y a 5elocidades diferentes' "l calcular las propiedades del mo5imiento suponemos >ue la mec8nica ne4toniana se puede aplicar en el ni5el microsc/pico' Como para todas nuestras suposiciones, esta mantendr8 o desec+ara, dependiendo de s los +ec+os experimentales indican o no >ue nuestras predicciones son correctas' ". - #l numero total de moléculas es grande. a direcci/n y la rapide. del mo5imiento de cual>uiera de las mol-culas puede cam6iar 6ruscamente en los c+o>ues con
las paredes o con otras mol-culas' Cual>uiera de las mol-culas en particular, seguir8 una trayectoria de .ig.ag, de6ido a dic+os c+o>ues' Sin em6argo, como +ay muc+as mol-culas, suponemos >ue el gran numero de c+o>ues resultante mantiene una distri6uci/n total de las 5elocidades moleculares con un mo5imiento promedio aleatorio, Fu$. - #l volumen de las moléculas es una fracci%n despresiablemente pe&ue'a del volumen ocupado por el gas. FHu "un>ue +ay muc+as mol-culas, son extremadamente pe>ue9as' Sa6emos >ue el 5olumen ocupado por una gas se puede cam6iar en un margen muy amplio, con poca dificultad y >ue, cuando un gas se condensa, el 5olumen ocupado por el li>uida pueden ser miles de 5eces menor >ue la del gas se condensa' !e a>u >ue nuestra suposici/n sea posi6le' (. - No actuan fuer)as apresiables sobre las moléculas* e+cepto durante los c,o&ues. En el grado de >ue esto sea cierto, una mol-cula se mo5er8 con 5elocidad uniformemente los c+o>ues' Como +emos supuesto >ue las mol-culas sean tan pe>ue9as, la distancia media entre ellas es grande en comparaci/n con el tama9o de una de las mol-culas' !e a>u >ue supongamos >ue el alcance de las fuer.as moleculares es compara6le al tama9o molecular'
Fu. - Los c,o&ues son elasticos y de duraci%n despresiable. FHu En los c+o>ues entre las mol-culas con las paredes del recipiente se conser5a el mpetu y suponemosJla energa cin-tica' !e6ido a >ue el tiempo de c+o>ue es desprecia6le comparado con el tiempo >ue transcurre entre el c+o>ue de mol-culas, la energa cin-tica >ue se con5ierte en energa potencial durante el c+o>ue, >ueda disponi6le de nue5o como energa cin-tica, despu-s de un tiempo tan corto, >ue podemos ignorar este cam6io por completo'
Movimiento browniano
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mo5imiento 6ro4niano en tres dimensiones El &o'i&iento %o(niano es el mo5imiento aleatorio >ue se o6ser5a en algunas partculas microsc/picas >ue se +allan en un medio fluido por e7emplo polen en una gota de aguaJ' Reci6e su nom6re en +onor a Ro6ert Bro4n >uien lo descri6e en 03K1' En 013;, el mismo fen/meno +a6a sido descrito por ue su superficie es 6om6ardeada incesantemente por las mol-culas del fluido sometidas a una agitaci/n t-rmica' Este 6om6ardeo a escala at/mica no es siempre completamente uniforme y sufre 5ariaciones
estadsticas importantes' "s la presi/n e7ercida so6re los lados puede 5ariar ligeramente con el tiempo pro5ocando el mo5imiento o6ser5ado' Tanto la difusi/n como la /smosis son fen/menos 6asados en el mo5imiento 6ro4niano' a descripci/n matem8tica del fen/meno fue ela6orada por "l6ert Einstein y constituye el primero de sus artculos del ? nnus /irabilis? a9o mara5illoso en latnJ de 0@;' a teora de Einstein demostra6a la teora at/mica, toda5a en disputa a principios del siglo ##, e inicia6a el campo de la fsica estadstica'
Contenido Locultar • 0 Nistoria • K Met8fora intuiti5a del mo5imiento 6ro4niano • 2 Modelaci/n del mo5imiento 6ro4niano • : a caracteri.aci/n de -5y del mo5imiento 6ro4niano • ; Mo5imiento Bro4niano en una multiplicidad de Riemann • D %-ase tam6i-n • 1 Referencias •
3 Enlaces externos
Historia [ editar ] El poema cientfico 0obre la Naturale)a de las cosas del romano ucrecio D a'C'J incluye la nota6le descripci/n de un mo5imiento 6ro4niano de partculas de pol5o' El autor present/ este +ec+o como prue6a de la existencia de los 8tomosA O6ser5a lo >ue acontece cuando rayos de sol son admitidos dentro de un edificio y c/mo arro7a la lu. so6re los lugares oscuros' Puedes 5er la multitud de pe>ue9as partculas mo5i-ndose en un sin nmero de caminos''' su 6aile es una indicaci/n de mo5imientos su6yacentes de materia >ue son escondidos por nuestra 5ista''' eso origina el mo5imiento de los 8tomos en s mismos p'e' espont8neamenteJ' Entonces los pe>ue9os organismos >ue son eliminados del impulso de los 8tomos son puestos en marc+a por golpes in5isi6les y a su 5e. en contra de unos diminutos ca9ones' "s el mo5imiento de los 8tomos emerge gradualmente de un ni5el del sentido, >ue estos cuerpos est8n en mo5imiento como 5emos en el rayo de sol, mo5idos por soplos >ue parecen in5isi6les' 0obre la naturale)a de las cosas , ucrecio
ue Bro4n estu5o estudiando al microscopio partculas de polen flotando en el agua' !entro de las 5acuolas de los granos de polen o6ser5/ diminutas partculas con mo5imientos ner5iosos' "l repetir el experimento con partculas de pol5o concluy/ >ue el mo5imiento no se de6a a >ue las partculas de polen esta6an 5i5as, aun>ue no explic/ el origen del mo5imiento'
El primero en descri6ir matem8ticamente el mo5imiento 6ro4niano fue T+or5ald $' T+iele en 033, en un documento so6re el m-todo de los mnimos cuadrados' )ue seguido independientemente por ouis Bac+elier en 0@ en su tesis doctoral La teoría de la especulaci%n , en la >ue se presenta un an8lisis estoc8stico de acci/n y opci/n de mercados' Sin em6argo, fue el estudio independiente de "l6ert Einstein en su artculo de 0@; ber die con der moleularisc,en 3,eorie der 45rme geforderte 6eegung von in ru,enden 7l8ssigeiten suspendierten 3eilc,en H 0obre el movimiento re&uerido por la teoría cinética molecular del calor de pe&ue'as partículas suspendidas en un lí&uido estacionario J el >ue mostr/ la soluci/n a los fsicos, como una forma indirecta de confirmar la existencia de 8tomos y mol-culas' En esa -poca la naturale.a at/mica de la materia an era una idea contro5ertida' Einstein y Marian Smoluc+o4si dedu7eron >ue si la teora cin-tica de los fluidos era correcta entonces las mol-culas de agua tendran mo5imientos aleatorios' Por lo tanto las partculas pe>ue9as podran reci6ir un nmero aleatorio de impactos, de fuer.a aleatoria y de direcciones aleatorias, en cortos perodos de tiempo' Este 6om6ardeo aleatorio por las mol-culas del fluido podra ser suficiente para >ue las partculas pe>ue9as se mo5iesen de la manera exacta >ue Bro4n +a6a descrito' T+eodor S5ed6erg +i.o importantes demostraciones del mo5imiento 6ro4niano en coloides, as como )elix E+ren+aft lo +i.o con partculas de plata en la "tm/sfera terrestre'
Metáfora intuitiva del movimiento browniano [ editar ] Considere un gran 6al/n de 0 metros de di8metro' Imagine este 6al/n en un estadio de ft6ol o cual>uier otra 8rea llena de gente' El 6al/n es tan grande >ue permanece por encima de la muc+edum6re' as personas aciertan a golpear el 6al/n en diferentes momentos y direcciones de manera completamente aleatoria' Por ello, el 6al/n no sigue una trayectoria' "+ora, considere una fuer.a e7ercida durante un cierto tiempo podemos imaginar K personas empu7ando para la derec+a y K0 para la i.>uierda y >ue cada persona est8 e7erciendo cantidades de fuer.a e>ui5alentes' En este caso las fuer.as e7ercidas por el lado i.>uierdo y por el lado derec+o no est8n e>uili6radas, fa5oreciendo al lado i.>uierdo, por lo >ue el 6al/n se mo5er8 ligeramente +acia la i.>uierda' Esta desproporci/n siempre existe, y es lo >ue causa el mo5imiento aleatorio' Si o6ser58ramos la situaci/n desde arri6a, de modo >ue no pudi-ramos 5er a las personas, 5eramos el gran 6al/n como un o67eto animado por mo5imientos err8ticos' "+ora 5ol5amos a la partcula de polen de Bro4n nadando aleatoriamente en el agua' &na mol-cula de agua mide aproximadamente 0 nm, mientras una partcula de polen tiene aproximadamente 0 Qm de di8metro, 0 5eces mayor >ue una de agua' "s pues, la partcula de polen puede ser considerada como un gran 6al/n empu7ado constantemente por las mol-culas de agua' El mo5imiento Bro4niano de las partculas en un l>uido se de6e a las desproporcionalidades instant8neas en las fuer.as e7ercidas por la pe>ue9as mol-culas l>uidas so6re la partcula'
Modelación del movimiento browniano [ editar ] a definici/n matem8tica de esta definici/n corresponde a la ecuaci/n >ue go6ierna la e5oluci/n temporal de la funci/n pro6a6ilstica de densidad asociada con la ecuaci/n de difusi/n de una particula 6ro4niana, en definiti5a es una ecuaci/n diferencial parcial' a e5oluci/n temporal de la posici/n de una particula 6ro4niana en si misma puede ser descrita aproximadamente por una ecuaci/n de ange5in, una ecuaci/n >ue en5uel5e un campo de fuer.as aleatorias representando el efecto de fluctuaciones termales de una soluci/n de particulas 6ro4nianas' En largas escalas de tiempo, el mo5imiento 6ro4niano matematico es descrito perfectamente con la ecuaci/n de ange5in' " tiempos cortos, los efectos de la inercia pre5alecen en esta ecuaci/n' Sin em6argo se considera a esta ecuaci/n, de otra manera la ecuaci/n se 5uel5e singular, as >ue se de6e remo5er al termino de la inercia de esta ecuaci/n para tener una descripci/n exacta, pero el comportamiento singular de estas particulas no se descri6e del todo' Otras maneras de conseguir su modelo matem8tico considerando a un movimiento un proceso de Gauss central con una funci/n co5ariante para toda ' El resultado de un proceso estoc8stico es atri6uido a $or6ert =iener , >ue se demostro en la teora de pro6a6ilidad existente desde 0@K2, y se la conoce por el nom6re de proceso de =iener ' Muc+os detalles importantes se las encuentra en sus pu6licaciones' broniano
Nay muc+as posi6ilidades de construir un mo5imiento 6ro4nianoA • •
•
a construcci/n a6stracta por medio de es>uemas de olmog/ro5, donde el pro6lema 5iene con el aumento o camino crecienteJ' a costrucci/n de 5yCiesielsiA se induce este mo5imiento con ayuda de un sistema de Naar de 9 L,0J a una 6ase de Sc+auder y se lo construye como un proceso estoc8stico con cur5a creciente' Sea : , : 0, U independiente, distri6uida id-nticamente y con distri6uci/n normal '
uego es
un mo5imiento 6ro4niano'
Este mo5imiento 7uega un rol importante tam6i-n en la simulaci/n de la coti.aci/n de las acciones'
La caracterización de Lévy del movimiento browniano [ editar ] El matem8tico franc-s Paul -5y propuso el siguiente teorema, donde la condici/n necesaria y suficiente para un R n continuo, e5aluado en un proceso estocastico ; para ser
realmente n, dimensiona un mo5imiento 6ro4niano' Por lo tanto la condici/n de -5y puede ser realmente usada como una definici/n alternati5a de mo5imiento 6ro4niano' Entonces, ; V ; 0, ''', ; nJ sea un proceso estocastico continuo en un espacio pro6a6ilstico W, X, )J tomando 5alores en R n' Tenemos la siguiente e>ui5alenciaA 0' ; es un mo5imiento 6ro4niano con respecto a ), p'e' ; con respecto a ) es la misma >ue la n dimensional del mo5imiento 6ro4niano, p'e' la medida de empu7e ; )J es una medida clasica de =iener de 9 L, YZJ R nJ' K' 6ot+ 0' ; es una martingala con respecto a ) y K' para todo 0 [ i, [ n, ; it J ; t J \=it es una martingala con respecto a ), donde =i denota una delta de ronecer ' ∗
Movimiento Browniano en una multiplicidad de iemann [ editar ] El generador infinitesimal y por lo tanto el generador caractersticoJ de un mo5imiento 6ro4niano en R n es f8cilmente calculado en ]^, donde ^ denota un operador laplaciano' Esta o6ser5aci/n es til al definir un mo5imiento 6ro4niano en una multiplicidad Riemanniana mdimensional / , g JA un mo5imiento 6ro4niano / es definido por ser una difusi/n en / cuyo operador caracterstico en coordenadas locales +i, 0 [ i [ m, esta dado por ]^B, donde ^B es el operador de aplaceBeltrami dado en las coordenadas por
donde L g i V L g i\0 en el sentido de una matri. cuadrada in5ersa'
Movimiento Browniano (c) Alexander Hristov !ublicado el "#$%"$&%%# . Palabras clave:física agitación térmica calor
El mo5imiento Bro4niano es el mo5imiento aparentemente ca/tico >ue cual>uier partcula de tama9o pe>ue9o experimenta en el agua o en un gas' En la imagen siguiente se muestra una de las posi6les rutasA
Este mo5imiento fue descu6ierto por el 6ot8nico ingl-s Ro6ert Bro4n 011203;3J en 03K1 durante sus in5estigaciones so6re el polen de las plantas' En a>uella -poca el concepto de 8tomos no esta6a toda5a arraigado y se desconoca la estructura interna de la materia' Por ello, el +ec+o de >ue un grano de polen flotando so6re el agua se mo5iese aleatoriamente 6a7o la influencia de una fuer.a ?desconocida? caus/ cierta sorpresa' Muc+os lo aseme7aron al mo5imiento >ue sufren las partculas de pol5o cunando se o6ser5an en un rayo de sol' $o fue +asta cuarenta a9os m8s tarde cuando se con7etur/, correctamente, >ue el mo5imiento poda de6erse a colisiones casuales de unas partculas in5isi6les muc+o m8s pe>ue9as'
Tarjeta de estudio No. 1. Tema: Teoría Cinético Molecular. Tema: Teoría Cinético Molecular (TCM). Líquidos y gases. Temática: Fundamentos de la TCM. Compresibilidad de los gases. Elasticidad de los sólidos. Movimiento Browniano. Calor y temperatura. Estructura de los líquidos. i!usión. "iscosidad. #ey de $to%es. &resión interna en los líquidos. Tensión super!icial y energía libre de la super!icie de un líquido. Fórmula de #aplace. Fenómenos capilares: Fórmula de 'urín. escripción mec(nica) estadística y termodin(mica de un sistema de partículas. Coordenadas termodin(micas. &ostulados de la teoría cin*tico + molecular. Modelo del gas ideal. Ecuación !undamental de la teoría cin*tico molecular del gas ideal. Correcciones a la TCM. Energía cin*tica media de traslación de una mol*cula. Constante de Bolt,mann. Teorema de Bolt,mann sobre la equipartición de la energía. Energía interna. Calor especí!ico molar de un gas. !jeti"os. -. nterpretar !ísicamente las leyes que abordan el tema y aplicarlas en el an(lisis de di!erentes !enómenos) así como en la solución de problemas num*ricos. /. nterpretar di!erentes !enómenos vinculados a la especialidad a partir de los postulados de la TCM. 0. 1plicar la ecuación !undamental de la teoría cin*tica del gas ideal y la ecuación de estado en la solución de problemas. 2. escribir los puntos de vistas macroscópicos y microscópicos para el an(lisis de los !enómenos en sistemas con muc3as partículas. 4. nterpretar la temperatura del gas ideal en !unción de la energía cin*tica promedio de las mol*culas respecto al centro de masa
#n$ormaci%n te%rica !ásica. •
En este tema considerar( un en!oque de promedios llamado teoría cin*tica molecular 5TCM6 en el que seguimos el movimiento de las partículas representativas de un gas y luego promediamos este comportamiento para todas las partículas.
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#os postulados de la TCM plantean que todas las sustancias est(n compuestas por mol*culas las cuales se encuentran animadas de un movimiento continuo y desordenado llamado movimiento t*rmico o Browniano) entre las mol*culas e7isten espacios intermoleculares y !uer,as de atracción y repulsión que son de naturale,a el*ctrica y su in!luencia es de varios di(metros moleculares.
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&odemos a!irmar que la temperatura es una medida cuantitativa del estado t*rmico de los cuerpos) por estar íntimamente vinculada a la energía interna y por tanto con la intensidad de su movimiento molecular.
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#a cantidad de calor trasmitida de un cuerpo a otro depende de la naturale,a de la sustancia) de la masa del cuerpo y de la variación de su temperatura) por lo que 8 9 m c ∆ t) donde C es el calor especí!ico 5cantidad de calor necesaria para variar la temperatura de un %ilogramo masa de sustancia en un grado
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Celsius6. E7isten di!erentes escalas termom*tricas pero trabaaremos !undamentalmente con la Fa3ren3eit) la ;elvin y la Celsius) siendo las e7presiones que las relacionan:
y C 9 % < /=0 •
#a di!usión es el proceso de penetración de las mol*culas de una sustancia en los espacios intermoleculares de otra y se e7plica por la ley de Fic%) la que plantea que: ∆ m 9 < ∆ ρ >∆ 7 ∆ $∆ t) donde ∆ m es la masa del !luido di!undido o transportada en el intervalo de tiempo ∆ t) ∆ s es el (rea de contacto entre las super!icies de !luido) la cual es perpendicular a la dirección en que se transporta el !luido) ∆ ρ >∆ 7 es el gradiente de densidad 5densidad de masa por unidad de longitud6 donde ρ 9
siendo evidente que a densidad es menor en
la ,ona m(s avan,ada de la di!usión) pues la concentración de mol*culas es menor en la medida en que estas avan,an) es el coe!iciente de di!usión es
decir la masa de !luido transportado a trav*s de una super!icie de -m/ en un segundo) siendo •
El signo negativo indica que el transporte de
masa se produce en el sentido en que disminuye la densidad. #a viscosidad es el ro,amiento interno entre capas de !luido y es debido a la co3esión entre mol*culas) la ley de ?ewton plantea que ! = <η ∆ ">∆ t ∆ $) siendo η el coe!iciente de viscosidad del !luido) ∆ ">∆ 7 el gradiente de velocidad y ∆ $ el (rea de contacto entre capas de !luido) signi!icando el signo
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menos que la !uer,a viscosa es de sentido contrario al movimiento. El volumen de líquido que !luye por un tubo es proporcional a la cuarta potencia del radio del tubo) al tiempo y al gradiente de presión e inversamente proporcional al coe!iciente de viscosidad) por lo que "9 <π r2>@η ∆ &>∆ 7 ∆ t) signi!icando el signo menos que el incremento de volumen es menor en la medida en que aumenta el gradiente de presión.
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#a ley de &oiseuille plantea que la velocidad media del !luo laminar 5"6 de un líquido por un tubo es proporcional al gradiente de presión del líquido y al cuadrado del radio del tubo e inversamente proporcional al coe!iciente de viscosidad del líquido) por lo que "9<∆ &>∆ 7 r/>@η ) signi!icando el signo negativo que la velocidad de la corriente es de sentido contrario al gradiente de
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presión. ebido a la viscosidad un cuerpo que se mueve en el seno de un !luido arrastra consigo las capas de !luido con las que est( en contacto) por lo que e7perimenta cierta resistencia en su movimiento) por parte del !luido. #a !uer,a de resistencia depender( de la de la velocidad con que se mueva el cuerpo) de sus dimensiones y !orma.
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#a ley de $to%es para cuerpos de !orma es!*rica) que se mueven con velocidades no muy grandes plantea que la !uer,a de resistencia del !luido ser( directamente proporcional a la velocidad del cuerpo es!*rico) a su radio y al coe!iciente de viscosidad del !luido) por lo que su e7presión es ! 9 Aπ η rv.
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Tensión super!icial se denomina al estado de tensión a que est( sometida la capa super!icial de un líquido) la que tiene su origen por la co3esión de las mol*culas de la capa) siendo la !uer,a de tensión super!icial proporcional a la longitud de la capa super!icial 5al nmero de mol*culas6 por lo que F 9 α l) siendo α el coe!iciente de tensión super!icial α [ ?>m] .
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El coe!iciente de tensión super!icial 5α 6 se puede disminuir con el aumento de la temperatura) ya que al aumentar esta) aumenta la distancia media entre
las mol*culas y con la adición de las sustancias detergentes) pues estas provocan que se redu,ca el valor de la !uer,a de tensión super!icial. •
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#a energía libre de la super!icie de un líquido es proporcional al (rea de la super!icie) por lo que E 9 α $. #a e7presión de #aplace nos plantea que ∆ & 9 /α 5->D -->D /6 es decir que la presión adicional depender( del valor del coe!iciente de tensión super!icial y del grado de curvatura de la capa super!icial. Tomar( valor positivo 56 si la super!icie es conve7a y negativa 5<6 si es cóncava. $i la super!icie tiene una curvatura es!*rica D -9 D /) por lo que ∆ & 9 /α >D y si es plana ∆ & 9 ) ya que D -9 D / 9 α y ->α 9 .
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$i la !uer,as de co3esión entre las mol*culas del líquido es mayor que la que e7iste entre las mol*culas del líquido con las del sólido en que est( contenido) el líquido tiende a disminuir el (rea de contacto con el sólido) separ(ndose de el lo m(s posible) siendo el (ngulo inter!acial θ G
) plante(ndose que el líquido no
moa al sólido) por lo que se denomina líquido no 3umectante) en caso contrario si θ H
el líquido moa al sólido y se denomina líquido 3umectante.
$i θ 9 el líquido se e7tiende por toda la super!icie y se plantea que 3ay un moado total y si θ 9π se plantea un no moado total. •
El concepto de moar o no es relativo pues 3ay líquidos que moan a un sólido y no moan a otros) por eemplo el agua moa al vidrio y no moa a la para!ina y el mercurio no moa al vidrio y sí moa al cobre.
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&ara tubos capilares 5de muy pequeIo di(metro6 la curvatura super!icial o menisco es es!*rico) plante(ndose por Borelli y 'urín que 3 9
) es
decir que la altura a que se eleva la columna líquida por el tubo capilar es proporcional en ra,ón inversa con el radio del tubo 5r6) siendo el t*rmino denominado constante capilar y θ el (ngulo inter!acial. $i denominamos por D al radio de curvatura del menisco) tendremos que cos θ 9 ) por lo que 3 9/α >ρ gD.
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#a ley de 1vogadro nos plantea que el volumen ocupado por un gas a determinadas presiones y temperaturas es independiente del tipo de gas o del tamaIo o masa de sus mol*culas) este depende nicamente del nmero de mol*culas 5" α ?6. #a ley de Boyle nos dice que la presión es inversamente proporcional al volumen 5& α
6 y la ley de C3arles o de Jay<#ussac nos dice
que el volumen es directamente proporcional a la temperatura 5" α T6. Todas estas leyes son v(lidas para gases cuyo comportamiento es ideal y nos llevan al planteamiento de la e7presión % 9
) siendo % 9 -)0@AA. -;
5Constante de Bolt,mann6. $i queremos e7presarla en !unción del nmero de moles 5n6 3allamos la relación entre el nmero de mol*culas 5?6 y la constante de 1vogadro 5? 1 9 A)/0. -/0 mol*culas>mol6) lo que nos queda como: 9% ? 1 9 D) siendo D la constante universal de los gases ideales. 5D 9 @)0'>mol;6. Esta ltima e7presión se puede !ormular como &" 9 nDT y se denomina ecuación de estado para los gases cuyo comportamiento es ideal. •
#os postulados de la TCM del gas cuyo comportamiento es ideal plantean que todas las sustancias est(n compuestas por mol*culas las cuales se encuentran animadas de un movimiento continuo y desordenado llamado movimiento t*rmico o Browniano) que entre las mol*culas e7isten espacios intermoleculares) que el volumen de las mol*culas es una !racción despreciablemente pequeIa comparada con el volumen ocupado por el gas y que entre las mol*culas no e7isten !uer,as de interacción e7cepto durante los Kc3oquesK) los que se plantean como per!ectamente el(sticos.
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#a raí, cuadrada de " / se llama velocidad media cuadr(tica 5rms) root< mean
" / 9
siendo & la presión y L la densidad. ic3a magnitud tambi*n se relaciona con la temperatura a trav*s de la e7presión: " rms9 0%T>m •
&odemos a!irmar que la temperatura es una medida cuantitativa del estado t*rmico de los cuerpos) por estar íntimamente vinculada a la energía interna y
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por tanto con la intensidad de su movimiento molecular) siendo ; 9 %T. #a cantidad de calor trasmitida de un cuerpo a otro depende de la naturale,a de la sustancia) de la masa del cuerpo e7presada en moles y de la variación de su temperatura) por lo que 8 9 n C ∆ T) donde C es el calor especí!ico molar
5cantidad de calor necesaria para variar la temperatura de un mol de sustancia en un ;elvin6.
