Kunci Jawaban BAB 3 Math Sukino SMA XI IPA Semester 2

  pilih min  2, , maka 0 x 1   11  berarti 2 x2 9 x 4  3 

BAB 3 LIMIT Latihan Kompetensi Semester 1

 x 1 2 x 7  11  11

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. A.



7. B.



x  1



2. C.

8. B.

3. D.

lim x 1

4. E. 0 x 2  x 2 3 x 10  pilih 1 



lim 3 x3 2x 2 3 x 4 3 2 3 4 x  1 2

lim x 2 4x 22 4.2 4

x 5 x 2  x 5  x 2  7 x 2 7

9.

 1   1  f  2 5  10.000   10.000  4.999 4 5.000

1 2 7 8   pilih min 1, , maka 0 x 2  8  berarti x2 3x 10 x 5 x 2 8  8

3x 12 2 2 1 3 23 2 x 1

10. A. 2 f a b c  a b c a 2 b 2 c 2 2  ab ac bc 

5. C. 0 x 1  4 x 3 3x 2 24x 22 5 

x 1 4x

2



7 x 17 

pilih 1  2 4 x 2 7 x 17 4 x 1  x 120

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1.

4. 4 2 20 6    6

pilih min  1, , maka 0 x 1  berarti 4x 3 32 x 24 x 22 5 x 1 4 x 2 7 x 17

   6 6

   6

a. 0

1 2 c. 0 b.

6. D.

0 x 1  2 x 2 9 x 4  3

x 1  2 x 7  pilih 2  2 x 7 2  x 1 7 x 1 7 2 .3 5 11 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

1 2 1 e. 4 f. 1 d.

2. a. untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga f  t M  berlaku untuk semua t yang memenuhi

0 t a 

Bab 3 | Page 102

b. untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga g  u LI  berlaku untuk semua u yang memenuhi

0 u b  c. untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga h  z P  berlaku untuk semua z yang memenuhi

0 z 4  d. untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga h  z Q  berlaku untuk semua z yang memenuhi

0 z 4  3. a. 0 x 3  5 x 11 4 

5 x 11 4 5x 15  5 x 3 

 x 3  5

 Pilih  5

 5

Pilih 1 

x 1  x 34 x 3 4 2 4 6

Bukti formal : andaikan 0

   6 0 x 3 berarti

pilih min 1, sehingga

 x 2 2 x 3 x 3 x 1  .6  6  Tertunjuk d. 0 x 2  x2 4 x 3 3  2 x 2 4 x 2 x x 2

Bukti formal : Andaikan 0   Pilih min 1, sehingga 8 0 x 2 , berarti

 2 x 2 4 x 3 3 2 x x 21 8 .  6  Tertunjuk

untuk 0 terdapat 

0 x 3 

 5 x 11 4 5x 15 5 x 3 5  Tertunjuk

b. 0 x 2   2 x 48 

2 x 4 8  2 x 2   x 2  2  Pilih  2  untuk 0 terdapat  sehingga 2 0 x 2  2 x 4 8 2 x 2 2  Tertunjuk





c. 0 x 3  x 2 x 3  2

x 2 x 3  x 3 x 1 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

x 2 25 10 , x 5 x 5

4. a. 0 x 5 

x 5 x 510  x 5

x 5 

Pilih  Untuk 0 terdapat sehingga 0 x 5 

x2 25 10 x 5  x 5

 Tertunjuk b. 0 x 1 7 

x 2 5 x 6 7 , x 1 x 1

x 6  x 17  x 1

x 1 

Pilih  Untuk 0 terdapat sehingga 0 x 1 7 

x2 5 x 6 7 x 1

x 1   Tertunjuk Bab 3 | Page 103

2 x 2 x 3 c. 0 x 1  5  x 1

2 x 3 x 1

5 

x 1

2 x 1   x 1  2

 2

Pilih 

1 

Pilih M  sehingga

0 x 0 

 Tertunjuk b. Misalkan M 0 dan terdapat 0 x 0 x 1  M x 1

x x 

 2 2 2 x x 3 0 x 1  5 x 1

Untuk 0 terdapat  sehingga

2 x 1 2  Tertunjuk d. 0 x 

3x 2 4 x 4  x 3 x2  x

2 x 

 x 3

 3

Pilih 

 3

Untuk 0 terdapat  sehingga

0 x 

3x 4 x 4 x 2

1 5. a. lim  x 0 x Misalkan M bilangan positif yang sangat besar dan 0

1 M x 1 0 x  M x 1 x   M

0 x 0 


x M x 1

x 1 x 1 1 x 1 x 1   1 M x 1 x 1 x 1

x 1 1 M  M 1 x 1  1  M 1 1 Pilih   0 x 1  M 1 x M x 1  Tertunjuk x c. x M  1 x 1 1 1 1    x 1 x 2 M 2 Berarti,

x 1 1   x 1 M 2

3 x 3  Tertunjuk

1 M x

 Tertunjuk

1 M 2  

x2 d. Jika x p 1 maka M x 1 x2 x2 x2 1    x x 1 x 1 2 x 2 1 1 x2 1 x  p  p 2 2 x 1 2

Bab 3 | Page 104

Berarti,

bukti formal :

c  c2   2 2 

2

x 1 M  p M x 1 2 P 2M  Tertunjuk

andai 0 , pilih min ,

0 x c 

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. c 0

0 x c 

x c

x c x c x c x c  c     x c c c 

Bukti formal : Misalkan 0

b. 0 x c  x c  2

2

andaikan 0



  maka,  1 2 c 

pilih min 1,

untuk 0 x c  berarti 2

Untuk 0 x c  berarti

x  c x  c  x c

x c x c x c     c c 

 Terbukti

2. a. Misalkan terdapat sembarang 0

1 1 0 x c    x c 1 1 c x 1 1    . . x c x c x.c x c

c c x x c x x x c x c c 2

 Terbukti

x c x c x c

Pilih  c , maka

x c 

1 1  c2 c . .  c 2 2

x  c 

x  c x  c 

x c 

1 1 c.x   x c xc 1 1  . x c x c

c 2

2

x c 2c x c

 x c 2 c  x c

 1 2 c   



1 2 c

 Terbukti 3. Andaikan L M dan andaikan L M 2terdapat bilangan – bilangan positif  1 dan  2 sehingga

(i) 0 x c  x L  1  f 

(ii) 0 x c 2  f  x M  Andai min 1 , 2 , maka 0 x c  2 L M L f  x f  x M  f  x L f  x M 2 Jadi, 22, yang merupakan kontradisksi

pilih  , maka x 

c 2 2 1 1 1 1  c2 sehingga . . x c  c . .  x c c 2 2 kita juga mensyaratkan 


Bab 3 | Page 105

Latihan Kompetensi Siswa 2

7. C.

x 3 27 x  3 2x 2 6 x x 3x 2 3x 9 9 lim x 3 2 x x 3 2 lim

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E.

3  x 7 3  x 7 . 2 x  2 x x 6 3  x 7  x 2 1 lim . x 2  x 3 x 2 3  x 7 1 1 1  .  5 6 30 lim

2. C. x  2

lim

y 2

1  y 4 y 6  y 2  y 1 2 y 3 y  

1  3 y 2   y  2 y 2  y y 1 2 y 3  3 1   2 .3 .1 2 lim

9. D.

x x a  x a x 2 ax a 2 a 1  2 3a 3a



lim

3. B. 3 x 3  5 x 1 3 x 3  5 x 1 . x 2 4 x 8 3 x 3  5 x 1   2 x 2 1 lim . 4  x  2  x 2 3 x 3  5 x 1 1 1 1    2 6 12 lim

4. A.

4 x 2 2  2 x lim . x  2 2  2x 2  2x 2 x  2 x 2  2 x lim x 2 2 2 x  4 .4  8 2



xa

x 1

1  lim  3 xa  g  x  1  lim 3 3 lim g  x xa xa



11. E.

 1  lim  4 x  n  h x  1 lim 4   lim h x x n x n

5 x 4 3 5 x 4 3 3 x 1 2 . . 3x 1 2 5 x 4 3 3 x 1 2

5 x 1 3 x 1 2 .  x  1 3 x 1 5 x 4 3 5 4 10    3 6 9 lim

6. C.

lim

x 7

lim



10. B.

5. D. lim



8. B.

x 2 0  0 2 x 2 x 8

lim



x 7

12. B.

lim g  x . lim h x 0.0 x p

x p

13. D.

 t 2  t 2 2t 412 x 2  t 3 t 2 5

lim 14. A.

7 x x 7

x  7 x  7 2 x 7

7


3  x 2 lim x 2  x 2 x 2 1 2  x 2 lim 0

x 2

x 1 2

Bab 3 | Page 106

15. C.

20. B.

2x a  3 x 2x a  3x . . x 3a 2 x 2x a  3x

lim

xa

2 x a  3 x 2 x a  3 x

 x a  x 3a 2 3 x a 2x a 

lim

xa

 

x 3x

2 x 3 x 1

x 1 x  1 2x x 3 x 1  2 x 3 x 1 lim x 1  2 x 3 x 1 x 1 1 1   5 .2 10 lim

17. B.

x 2a  x  2 a

x  2a

x 4a 2

lim

x  2a

lim

x  2a



 2 x 1 x 13 0,6 x 1  3 x 2  x 1 5



x 2a  x  2a x 2a x 2a 1  x 2a x  2a

23. C.

lim

x 1

x  2a

3 2 2  x a 2ax 2a x lim

x a 2 lim  x a 2ax 2a 2



4 x b  x 3  x 4 x 4 4 4 a b 2 0 4a b 2 b 2 4a .....(1)

lim

18. B.

x a

21. B.

22. E.

2

x 2a x  2a 1 0 1    2 a 2 a .2 2 a 2 a

x a

 4 

a 2 1 x 3 lim  x 4 1 4 1 3 a  4 4 a 1 b 2 4 2 a b 1

 

lim

21

Menggunakan Lopital :

.

2



lim

1 4 a 2  .  3 3 2 3 a 9 16. E.

x 3 3x 2 3 x 4 x 4 x 2 4 x  x 4 x 2 x 1 lim  x 4 x 4  x lim



x 2 x 1 1  0,5 x 3 x 1 2

24. C.

lim

x 2

.

x 2 1  5

x 2 1  5 x 2 1  5 x 2 x 2 1  5 lim x 2 x 2 x 2

x 2





2 5 1   5 4 2 25. C.

19. A. 2

1

x 3 2 x 3 1 lim x 1 x 12 2 1   x 3 1 0 lim  1 2 1 3 3 x 1 x 3  1 x x 1   

    


a x 3 b 1 x 1 x 1 2 a b 0 b 2a lim


Bab 3 | Page 107

lim

a 2 x 3

x 1

1

1 a 1 2 4 a 4 b 2a 8 b a 8 4 4 B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. 1 2 3 4 10

x 3x 2  1 1   x  3 x 3 x 4 7 7

b. lim

t 2 5 1  3 t  2 2t 6 22  3 x 5  x 4  7 d. lim  1 x 4  4 x 9 x 4 7 t 2 7t 7 1 e. lim 2   t  1 t 4t 5 0 c. lim

9 1  10 2.3 3 1 9 b.  3 1 2 c.  1 3 36 d. 0 e. lim f  t lim  t 1 g t

2. a.

t a

t a

3  a a 13

f.  3 30 3

3. a. 10 x b. 6x

1 x2 6 d.  3 x c. 

0 4. a. 0 2

y 1 y 1 y 34 y 1 y 1 y 1 w 2 w 3 w 25 c. lim w 2 w 2 w 2 2 x 3 2 x x 122 11 d. lim x 3  x 3 4 x 2 x 1 34 17

e.

1 3 2 6 4  1 3 2 1 4

5. a. 1

    x 4 1 lim . 3

1 3

x  64

3

1

x 3 4

1

x 3 8 2 1 1 lim x 3 4 x 3 16. 1 x  64 x 2 8 48  3 16

x a  x 1 a 1 2 x a  x a x ax a 2 3a 2

b. lim

x2 2 x 6  x 2 2 x 6 . x 3  x 1  x 3

c. lim

x 2 2 x 6  x2 2 x 6 x 2 2 x 6  x2 2 x 6 4 x 3 lim   x 3  x 3  x 1 x2 2 x 6  x 2 2 x 6     4 1   2. 6 3

x 1 2 2    2 x lim 2  x 1 x  1 2  2 x e. lim 1 0 1 x  2 2 3 4 3 x d. lim  2 x  1  x 1

x 3 x 1 4 2 x 1  x 1 x x 1 3

6. a. lim b. lim

x 2

b. lim


1

x 2 8 x 2 8 lim 1 . 1 x  64 x 3 4 x 2 8 x 64 lim 1 1 x  64 x 3 4 x 3 8

lim

x 2  3x 2 5 x 1  4 x 1 5 x 1  4 x 1

.

x 2  3 x 2 x 2  3 x 2

5 x 1  4 x 1 2 x 4  5 x 1  4 x 1

x2

  x 2 x 2  3x 2 

2 6  3 4

Bab 3 | Page 108

x 2

c. lim

x  2

2  8 x 2

. 2  8 x 2 2  8 x 2

x 2 2  8 x2  x 2 x 2  x 2

lim

4  1 4 d. Menggunakan Lopital :

lim

x 1

3 3 x 7  2

1 2 x

lim

1

x 1

2 3

3 x 7 

2 x

2

3.83 3.4   6 2 2  1 t t 2 3   1 t 1 t t 2  t 1    t 2  t 1 lim t  1  t 1 1 t t 2 3  1 3

7. a. lim 







2



1

n 3 2n 3 1 1 2 1 b. lim  2  2 0 n 1  n 1 a n x n c. lim nan 1 a  x a x t 2 n t d. lim 1 2n t  1 1 t C. Evaluasi Kemampuan Analisis

x 2 ax b 1. a. lim 3 x 1 x 1 x 1 x b  lim 3 x 1 x 1 1 b 3 b 2 2 x ax b 0 1 a 2 0 a 1 2 ax bx b. lim 1 x  2 x 2 ax x 2  lim 1 x  2 x 2 2a 1 1 a 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

ax bx 0 1 4. b.2 0 2 b 1 x 1 x b  c. lim 2 x 1 x 2  x 1 1 b 2 1 2 1 b 2 b 3 2 x ax b 0 1 a b 0 1 a 3 0 a 4 x 2 x b2 5 d. lim x 5 x2 b 2  5 2 b 6 2 x ax b 0 4 2a 6 0 a 1 2

1  1 x 20 20 20 x    1 x x  1 1 x  

2. lim

 x 20 20 x 19  lim   2 x  1  1 2 x x  19  20 x 20  lim   x  1  2 2 x   380 x18  lim   x 1 2  380  190 2 3. x 1  a b c d 0 .....(1)

x 2  8a 4b 2c d 0 …..(2)


ax 3 bx 2 cx d x 2 x 2 x 1 3ax 2 2b c lim 1 x 1 2 x 1 3a 2b c 1 3 3a 2b c 3 …..(3) lim

Bab 3 | Page 109

ax 3 bx 2 cx d x 2 x 2 x 2 3ax 2 2b c lim 4 x  2 2 x 1 12a 2b c 4 2x 1 12a 4b c 12 …..(4)

e a–b+c–d –a+b–c+d

lim

f –a+ b–c+ d –a+ b–c+ d

+

a b c d e f 0 …..(1)

ax 4  b a  x 3  a b c  x2   a b c d  x a b c d e 0 x 1  5a 4b 3c 2d e 6 …..(2)

Dari (1) dan (2)

9a 3b 3c 0 …..(5)

a 2

Dari (3) dan (4)

9a 6b 15 27a 18b 45 …..(6)

a



27 a 9b 36 …..(7)

Dari (1)

a b c d 0 1 1 4 d 0 d 4 Jadi, a  1, b 1, c 4, d 4

a 2

ax bx cx d 4 x 1 x 1 x 1  a b c d 0 .....(1) a

+

ax 2  a b  x a b c 4 x 1  a a b a b c 4 3a 2b c 4 …..(2) 3 2 ax bx cx d lim 7 x 2 x2 x 2  8a 4b 2c d 0 …..(3) a 2 a

b 2a 2a+b

c 4a+2b 4a+2b+c

d 8a+4b+ 4c 8a+4b+2c+d

+

ax 2  2a b x  4a 2b c 7 x 2  12a 4b c 7 …..(4) Dari (1), (2), (3), dan (4)

a 3, b 8, c 3, d ??

 f  x 3x 8x 3x 2 b. f  x ax 5 bx 4 cx 3 dx 2 ex f 3

a –1



a

b –a b–a

2

c a–b a–b+c

+

c 4a+2b 4a+2b+c

d 8a+4b+2c 8a+4b+3c+d

f 32a+16b+8c+4d+2e 32a+16b+8c+4d+2e+f

+

32a 16b 8c 4d 2e f 0 …..(5)

lim

d a+b+c a+b+c+d

b 2a 2a+b

e 16a+8b+4c+2d 16a+8b+4c+2d+e

2

c a+b a+b+c

a



4. a. f  x ax 3 bx 2 cx d

b a a+b

f a+b+c+d+e a+b+c+d+e+f

ax 4  a b x 3  a b c  x2   a b c d  x a b c d e 0 x 1  5a 4b 3c 2d e 6 …..(4)

9b 9 b 1 c 4

a

d a+b+c a+b+c+d

a b c d e f 0 …..(3)

Dari (6) dan (7)

1

c a+b a+b+c

e a+b+c+d a+b+c+d+e

Dari (4) dan (5)

3

b 2a a+b

ax 4  2a b x3  4a 2b c  x2   8a 4b 2c d  x 16a 8b 4c 2 d 0 x 2  80a 32b 12c 4d 3 3 …..(6)

Dari (1), (2), (3), (4), (5), dan (6)

x n 2 n x  2 x 2 lim nx n 1 80 x2 n.2n 1 5.2 51 80 n 5

5. lim

 1 42 6

6. 1 2 p

4

p

d –a+b–c –a+b–c+d


Bab 3 | Page 110

x 3 x 3 x 2  1  x 3 x 3 c 1 2 x3  x 2 x 2  x 2 x 2 8 b. lim x 2 x 2 x 2 x 57 x 2 

7. a. lim

Latihan Kompetensi Siswa 3 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E.

2 x x 3 3  3 x0 3x 1 1

x0

   

a 2a 2 6 6  6 x  0 a a 2 1 1

lim

8. D.

 1 x  1 lim x  0 1 x  1 1

x x 2  2  x x 3 3

3

1 3 12  2 3

9. A.

x 2 x 53  9 x x  0 3  9 x 3  9 x x 2 x 5 lim 3  9 x x0 x 5  6 30 1 lim

1 1 x 1  1 x x  0 x 2 x 1  1 x

lim

x 1 x  0 x x 1 1  1 x 1 1 1   1 2 2 lim

10. A.

4x 1 2 x  1 2x x  0 1 2 x  1 2x 1 2 x  1 2x 4x 1 2x  1 2 x lim 2 x 0 4x lim



 x 1 x 1 x x 4   lim   x  0 x x 1  5 10  42 5

4. D.



2

lim

3. C.

5. D.

2 a 3 6 a x  0 a 3 2

lim

1 2 1x 1 x0 2 3 1 x 3

lim

lim

 a 3 3a 2 3a 1 a 3 3a 2 3a 1  lim   x0 a 3 a 

1

2

2. B.

7. D.





x x 2 2 x 6 6 lim  3 x0 x x 2  2

11. C.

2 x p  2x 2 p  2 p0 p p

lim 12. D.

lim

3 x ∆x  x 3

∆x  0

x

3x ∆x 3 x ∆x  ∆x  lim ∆x  0 x 2 2 lim 3x 3x ∆x  ∆x 3x 2 2

2

6. C.

x x x x x  0 x x x x x x 2 lim x  0 x 2 x x x 2 x 1 x  1 lim  1 x  0 x 1 2 x x 1 lim





∆x  0

13. C.

x 84 2 3

lim

x0

lim

x0


3

x 2 3

x 8 2 1 1 A 1 3

1

32

3

Bab 3 | Page 111

19. C.

1  3 A 3 1 3 3

3x 9 x  9 x 9 x  9 x 9 x  9 x 3x lim 9 x  9 x x  0 2x 3  6 9 2 lim

x0

14. D.

4

lim



 1 t  1 t  1 4

2

1 2

t2

t 0

 1 t  4t 3 4 4

  1

12 1 t 2 2 2t lim t0 2t 3 4 1 2 1 1 lim  1 t 4  t 2   1 t 2  t 0 2 2 1 1 1  1   A 2 2 2 A 1 2 1 4

3



20. B.

4 3 ∆x 4.32 lim ∆x  0 ∆x 2 2 2 4.3 24 ∆x 4 ∆x 4.3 lim ∆x  0 ∆x 24 0 24 2

15. D.

12 h0 h h 1 lim  4 2h  4 h  0 h 1 2h

lim

21. E.

lim

lim

x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  1 x x lim 1 x  1 x x  0 2x 1  2 1 2



22.



1 2 x  1 2x

lim

h0

23. B.

2

x 0

1 2x  1 2 x

2

1 2 x  1 2 x

1 2x  1 2 x

2

1 2 x  1 2 x 2

1 2 x  1 2 x

2

2 x 2 x

2



2 1 2  x 3  3 3 3 x

  



2

2

1 2 x  1 2 x 2

2  1 1 2

 

 4 t 4 t  4 t  4 t lim  2  2  t 0  t t  4 t  4 t

1  4 t  4 t  




24. B.

lim

x0

 

1 1  1 x 1  1 x   x  1 x 1  1 x

1 x 1 x  0 x 1 x 1  1 x 1 1   1 .2 2 lim

18. D.

 2t lim  t  0 t 2 1   4 2

h

2 3

x 2 x 1 12 1 x 2 x 1 12 1 lim   1 2 x0 2 2 x  x   x  x  1  1   2 x x 1 1 lim 2  1 x  0 x x x 2 x  1 2 1 2

1 2 x  1 2x 2

2 x 2 x

x hx 2 3

17. B.

lim

4 4 p p 2 4 4 2 2 p

p0

lim x 0

x0

p

p0

16. D.

lim

2 p2 1  2 2 1



 



25. D.

x 1  a 1 3 b 0 2 a b 0 b 2a

Bab 3 | Page 112

 1 x 2

a x 3 b 1 x 1 x 1

c. lim 

lim

lim

a 2 x3

x 1

1

x0

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

x 0

x 2x 3 3 x

x2  x 2  2  x  0 x 2 x 2 x 5 5

b. lim





3. a. lim

2

25   3x 6 x 0 4 3 2 2 x 6 x 5x 6x 0 d. lim  0 x 0 3x 1 1 c. lim

x0

5

2

5

2 x 2 5 x 6  6  e. lim    1 x 0  x 6  6  3x  x 2  2 f. lim  1 x0 3x 2  3 x  2 5

1 x  1 x 1 x  1 x x0 x 1 x  1 x 2x 1 2 lim  1 x0 x 1 x  1 x 2

2. a. lim

b. lim

x0

1 x  1 x 1 x  1 x 2 x  2 x 1 x  1 x 2 x  2 x 2 x  2 x

lim

x0

2x 2x



3 a 2h  a 3

h0

 3 x 1 2x 5 5

1 x 2   x2  

2   x  1 x 2  1 x 2   1 lim  1x 2  1 x 2  x0 x   2 2  1x  1 x  1 2 x2 lim x  0 x 1 x 2  1 x 2 2x lim 0 2 x  0 1 x  1 x 2 1 1 x 1  d. lim  x  0 x x  1   1 x lim 1 x 0 x x  1



1

a 1  a 4 4 b 2.4 8 a 4 1 Nilai   b 8 2

1. a. lim



2 x  2 x  1 x  1 x 

2 2   2 2

h a 6a 2 h 12 ah2 8h3 a3 lim h0 h 2 h 6 a 12ah 8h 2 lim 6a 2 h0 h 3 a h  a 3 b. lim h0 h 3 a 3a 2 h 3ah 2 h 3 a3 lim h0 h 2 h 3a 3ah h 2 lim 3a2 h0 h 3









x 5 x  5 x0 5 x  5 5 x  5 x lim 5 x  5 x 0 x 1 5  5 2 5

4. a. lim





1 x 2 1 1 x 2 1 x0 x2 1 x 2 1 x2 1 1 lim 2  2 x 0 x 1 x 1 2

b. lim

 1 2 x 3x 2 1     2 x0 x x    1 lim 1 2 x 3x 2 1 x0 x

c. lim










Bab 3 | Page 113

1 2 x 3x 2 1 1 2 x 3x 2 1 1 x 2 x 3x  lim x  0 x 1 2x 3 x 2 1 2  1 2 x 2 4 x 4 4 d. lim x0 x x x 4  lim 4 x0 x x h  x x h  x h0 h x h  x h 1 1 lim  h0h x h  x 2 x

5. a. lim

x h x 1 3

b. lim

h0

1 3

h

2 1 2 1   3 x 3 x 3  x h x h 3      1 2 1 x h 23   3 x 3 x 3  x h       x h x 1 lim 1 2 2 1 h  h0 3  3 x 3 x 3  x h  x h     1  2 3x 3

1

6. a.

2

3 x 1

b. 3 x 2 2

1

c.

1 2 x 2 x

d.

1 23 1 12 x  x 3 2

2

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. a. lim

2 x h  2  x 2 2

h0

h 2 x 2hx h 2 x 2 lim h0 h h 2 x h  lim 2x h0 h


2 x



1  8 1 x2 x 2 2 x 2 x 2  lim 8 x 2 x2 2 5 2 x 2x 1  5x 2 x 1 c. lim x0 x 2 15x x lim x0 x x 15x 1 lim 1 x0 x b. lim

d.

lim

x 0

2

x h x 1 h





 log 1 x 2 x 4   2. lim   x  0 log1 x 2  1 x 2   

       

 1 x 2 x 4     1 x 2  1 x 2    lim log 2 2 1 x  1 x  x0     1 x 2  1 x 2     





1 x 2 x 4  1 x 2  x x 2    lim log x0 1  x 2 1 x 2   

       

 1.2  log  0 

3. untuk a, b, c, dan d, nilai limt tidak dapat ditentukan, tergantung dari fungsinya. 2   x 2  x  4. a. lim  1lim  1 x 0 x    x0 x  lim x 1 x0 0 1 0 x x 1 x 2 1 b. lim lim x0 x0 x x

x x 2

lim

x0

x

  x  lim x   x  0  x 

Bab 3 | Page 114

 x x 0  lim x   x 0  x x   lim x  1 x0  x   x x 0  lim x   x0  x  x  lim x  1 x0  x  Karena limit jika x mendekati 0 dari kiri dan dari kanan berbeda, maka nilai limit tersebut tidak ada

 x x2   x 1 x  

c. x 0  lim  x 0

 x 1 x2  lim  0 x0 x 1 x  x x2  x 0  lim   x0 x 1 x    x 1 x2  lim  0 x0 x 1 x 

 x x2  Jadi, lim  0 x 0 x x  1    5. f  x ax 3 bx 2 cx d

ax 3 bx 2 cx d 1 x0 x ax 3 bx 2 cx d 0 x 0  d 0 x ax 2 bx c lim 1 x0 x ax 2 bx c 1 x 0  c 1 3 ax bx 2 cx d lim 1 , d 0 x 1 x 1 x 1ax 2 cx 1 lim x 1 x 1 ax 2 cx 1 x 1  a c 0 a 1 1 a 2 3 2 ax bx cx d ax 3  c a  x 2 cx c a b 1 2 b lim










b 1  f  x 2 x 3 x 2 x

Latihan Kompetensi Semester 4 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C.

x 2 2x 1 lim ….. x 2 x 3 Misal, f  x x 2 2 x 1 , derajat f  x 2 g  x 2 x 3 , derajat g  x 3 f  x dan g  x masing – masing di bagi 3 dengan x x2 2x 1 3  3  3 0 0 0 x x x lim  0 2 x3 x  x3 0 1 x3 2. A.

lim

x

3x 3 2 x 10 ….. 4x 2x 2 5 x 3

Pangkat tertinggi 3, maka masing – masing 3 dibagi dengan x :

2xx3 10x3 3 0 0 3   2 x2 5 x3 x3 x3 0 0 5 5

3 x3 3 x 4 x x  3 x

lim 3. E.

4 5x  2 x  x  2 x   1 x  lim

8 2 x 5x 2 x   2 x x 2

lim

Pangkat tertinggi 2, maka masing – masing 2 dibagi x : 8 x2 x   22 x

lim 4. E.

2x x2 5xx2 0 0 5  5 2 xx2 xx2 0 0 1 2





x 2 x 2 2 x 1 lim x   x 2 4x 5 x 4 2 x 3 x 2 lim x   x 2 4 x 5

Pangkat tertinggi 4, maka masing – masing 4 dibagi x :

Bab 3 | Page 115

x4 x4 2 x   x4 x

lim

2xx4 xx4 1 0 0   4x x4 x54 0 0 0 3

2

2 1   3 2 3 3

x x  x 3x 1 , dikali

10. C.

5. E

2

lim x

2

x5 2x 4 x 3 3x 2 2 x 7 lim ….. x 7 2 x 3x 2 x 3 2 x 4

dengan sekawannya :

Pangkat tertinggi 5, maka masing – masing 5 dibagi dengan x :

lim

5

lim

x

x x5

2xx5 xx5 3xx5 2x5x x75 2 3 4 7 2x5x 3xx5 xx5 2xx5 x5 4

3

6. D.

2 x 16x 5  ….. lim x 2 x 2 3x 2 x 1 3

3

2

5

Pangkat tertinggi 8, maka masing – masing 8 dibagi x di dapat : 12 x8 x8 8 x   6 x8 x

12  2 6

lim

2

lim

x

lim

x

4 0 4  1 0  1 0 0 1 1 4  2 2



11. D.

lim 4 x 5

4 x

x

3x x 1

x

5x

xx2 x12

3x 2 x2





12 x 1 4 x 2 4 x 2

4 x 2 12 x 1  4x 2 4x 2

Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing dibagi x di dapat :

16 16  4 4 4 0 0  4 0 0

4 0 4  3 3 0 0 3



2

4 x 2 12 x 1  4 x 2 4 x 2 16 x 1

lim

2

4x x



lim 4 x 2 12 x 1  4 x 2 4 x 2 , x

dikali dengan sekawannya :

Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing dibagi x :

lim

x 2 x  x 2 3x 1

Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing dibagi x di dapat :

x

7. E.

2

x 2 x  x 2 3x 1 4 x 1

x

2

1 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0

2

x x  x 3x 1

12. C.

2 x 3 x 4 3x 7   5 x 11 2 x x 53x 85x 18

8. D.

lim

x 

lim

5x x 1 x 2

Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing dibagi x :

lim

x 

5x x x2 2 x

x12 xx2



5 5 1 0 0

9. B.

x 1  x 2 2

lim

x

2

3x 1  3x 1 2

2

Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing dibagi x , di dapat :

1 0  1 0 1 1  3 0  3 0 2 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Setelah dijabarkan, di dapat pangkat tertinggi 4, maka masing – masing dibagi x 4 di dapat : 30 x4 x4 4 x   15 x4 x

lim 13. C.

lim

x

30  2 15

x4x 5 4 x 3 2

Setelah dikalikan factor lawan di dapat :

lim

x 

lim

x





x 4 x 5 4x 2 3

x 4 x 5 4 x 3 5 x 3 2

4 x 5 x  4 x 3 2

2

Bab 3 | Page 116

5x x

lim

x

2

4x x2

3x

5x2x 

17. D. 2

4x x2

lim

x32

Dikalikan sekawan :

5 0

5   4 4 4 14. C.

x 

Dikalikan factor lawan di dapat :

x 5 4 x 7  x 3 4 x 7  x 5 4 x 7  x 34 x 7

lim

x 

lim



x

lim

x 

2



4 x 27 x 35  4 x 19 x 21 8 x 14 2

4 x 27 x 35  4 x 19 x 21 2

8 0

4 4

2











16. E.

  x 2 1   x 2 1 lim 8 8 lim x   4 x 1  x   4x  1   Masing – masing dibagi x : x

 





x   x 2  a b x ab  x 2 a b x ab

2 a b   2 a b  11

x12 1x



18. C.

lim  2 x 1 4 x 2 3 x 6 x

8 1  2 2



Dikalikan sekawan :

lim

4x

lim

15. D. Diketahui : x  x 2  xx 12 lim x k  Ditanya : k …. ? Dikalikan sekawan : x2 kx 2 x 2k  x2 x lim 2 x x 2 kx 2 x 2 k  x 2 x x k 1 2k lim 2 x 2 x x k 2  2 k  x 2 x Masing – masing dibagi x  k 1 0 2 1 1 k 1 2 2 k 1 4 k 3

8 lim

2 x a b

lim

x 

8  2 4

x2 x3 4x x

2

2

Pangkat tertinggi 1, masing – masing dibagi x didapat : 



x ax bx ab  x ax bx ab 2

Masing – masing dibagi x :

4 x 27x 35 4 x 19 x 21 2



x 2 ax bx ab x 2 ax bx ab

lim

x

x 54x 7 x 34 x 7

lim

x ax b  x a x b 

x 

2



4x 1  4x 2 3x 6

2x 1



4 x 3x 6 7x 7 2

2x 1

4 x 2 3x 6 Masing – masing dibagi x : 7x 7x 7 7 x    2xx 1x  4x2 3 x2 62 2 2 4 x

x

x

x

19. D.

 3 7 x   5 2 x  x  4 x  5 x  lim

15 29 x 14 x 2 lim x  20 x x 2 Dibagi x 2 : 2 15 29x 2x 14xx2 14 x2 lim 20 x x 2  14 x 1 2  2  2 x x x 20. D.

lim  x 6 x  x 2 x  x      Dikalikan sekawan :

lim

x

x 6 x x 2 x x 6 x  x 2 x 8 x

lim

x

dibagi

x 6 x  x 2 x x :

8 4 1 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 3 | Page 117

3 x 2 9 x 3 x 5 

21. E.

lim

x

2

lim

x

Dikalikan sekawan :

2  3 x 2  4 x 2 2 x 5 lim x  3 x 2  9 x 2 2 x 5





x

2

x

25. D.

lim

x

x

2

Dikali sekawan :

x 5 x  x 4 x 2 2

lim

2

x 5x  x 2  x 2

x 





1 n 1 n n  lim 2 x   n 1 n 1 1 n  lim 2 x   n 1 n Karena pangkat tertinggi f  x pangkat tertinggi g  x maka : 1 lim 0 x   n 1 n 1 1 Maka : n  lim 0 2 x   n 1 n

x 5 x x 2

lim

x

1 n   n 1  n   2

Dikali sekawan :

10 10 5    3 3 6 3 22. D.

   5x   5 x2  x 2  5 x2 2 x x x x

4 4   1 5 5 1 5 4

9 x 12 x 4 9 x 2 x 5   3 x 2  9 x 2 2 x 5 10x 9 lim x  3x 2 9x 2 2 x 9 Dibagi x : 10xx 9x lim x   3x x 2x  9x2 2x2  52 2

4xx

2

lim

B. Evaluasi Pemahana dan Penguasaan Materi.

x 2 5x  x 2 

x

dibagi x :

xx 2x

1 1   x 5x x 2 1 1 2 x 2  x x  x2

lim x 23. A.

4 x 2 4 x 3 2x 5

lim x

Karena pangkat tertinggi f  x pangkat

f  x tertinggi g  x , maka lim  x   g  x 24. C. x

5x 1  x 3

Dikali sekawan : lim

masing dibagi x :

x 3 5x 1

5 x 1  x 3 x 3  5x 1   4 x 4 5 x 1  x 3 x 3  5x 1



2

2x 2 3x 1 c. lim   2 x  4 x 5 

4

x

xlim 

2 0 2   2 0 0 1 1

bila dijabarkan, maka pangkat tertingginya adalah 4, sehingga masing –

x 3  5x 1

lim

8x 2 3   3  2 x    x  x   x2 x    8 0 Dibagi x 2 :  8 1 1 2  2 x 7  b. lim  , dibagi x 2 : x   5 3x x 2   

1. a. lim  8  2 lim  





Setelah dijabarkan, maka akan didapat pangkat tertinggi 1, maka masing – masing dibagi x : Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

x4 x4 4 16 x 4 x 2

1  16

x 7 x 3 1  d. lim 4 x   x 2 x 5    3

bila dijabarkan maka pangkat tertinggi f  x adalah 2, dan pangkat tertinggi Bab 3 | Page 118

g  x adalah

2 3

karena pangkat tertinggi f  x pangkat tertinggi g  x maka : 2

x 7 x 3 1  lim 4 0 x   x 2 x 5    x

3

3

x x 12   x 2 4 x 5    

4

4

t :

tertinggi g  x 4 , maka masing –

3

masing dibagi x

3

e. lim

1 1 1

:

4x 3 4 x 6 , masing – masing x x 2 5 3x 3 3 4 2 dibagi x 2 :  3 3 3 10

 x 5 2 x 3  2 lim x  6 x 2 2 x 5    10

1

Masing – masing dibagi x 5 : 1

5 49 1  1 2  210.2 5 2 5 2 

3t t4 2 m2 3

, masing – masing dibagi

m4 1 2 0 m2 : 2 1 0 7 x 1  3 x 2 f. lim 2 x x  x 3

21x 2 11x 2 x  x 2 3

21 0 0 1  21 1  1 0 2  4 18 103  g. lim  10  n  n 3   



10

n3 2  3 n

Pangkat tertinggi f  x  pangkat tertinggi g  x 1

2  3

Masing – masing dibagi x : 1 5

x

4

x 

g. lim 2  x

2. a. lim

t4

lim

1 5

 x 2x  6 x 2 2 x 5    3

2t

m 

f. lim

5

2

bila dijabarkan, pangkat tertingginya adalah 4, maka masing – masing dibagi

pangkat tertinggi f  x pangkat

4

, masing – masing

6 y y 5 0 1 dibagi y 2 : 1 0 1 4 2t 5 d. lim 8 1 t 3t 2 2 x 

 

2

2

e. lim

3 5 y 3 y 2 y

c. lim

3 2

3t 2 1   1  2   t  t  3t 2 1  t 1  lim      t2   xt   

 b. lim  1   x

3t 3 3t 2 t 1 x t3

lim

Masing – masing di bagi t 3 :

3 0 0 0 3 1



 10 4  n 318 103  lim   n  n 3    10 4 n 3.104 18.103  lim   n n 3  

Dibagi n :

10 4 0 0 104 1 0



3. a. lim n  n a n  Dikali sekawan :



n n a n   n  n a a lim 0 n   n  n a Pangkat tertinggi f  x pangkat tertinggi g x lim





 2 2 b. lim   2 y 3 y 10  2 y 3 6 2 y 5  y  



dikali sekawan : Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 3 | Page 119

   3 6 2  y 5

2 y 2 3 y 10 2 y 2 3 6 2 y 5

lim

y

2 y 3 y 10  2 y 2

2

6 2 y 5

lim

y 





2 y 3 y 10  2 y 2 3 6 2 y 5 2

Masing – masing dibagi y : 6 2

6 2  3 2 2

2 2



c. lim  2x 1 4 x 2 5 x 7 x dikalikan sekawan :



4 x 2 4x 1 4 x 2 5x 7

lim

2x 1

x

4 x 5 x 7 x 6

lim

2

 2 x 1 

4x 2 5 x 7 Masing – masing dibagi x : 1 0 1 1   2 0 4 0 0 2 2 4 x

x

4. a. lim

x

2



 1 2 x  x 10 2    x

 x 2 x x 2 10  2 x 1  lim    x 2 2  x   x x  x 10    x 10 2 x 1  xlim       x   x 2 x  x 2 10 

x

lim

x

2x 2 12 x 10 2



x  x 2 10 x

Pangkat tertinggi f  x x pangkat 2

tertinggi g  x x , maka : 4

x

lim

x

2



 1 2 x  x 10 2  0  x

x 5  x x 2

b. lim

x

x



x 4  x 2 

lim x 2 4x  x 2 2 x x



Dikalikan sekawan :

lim

x

d. lim

3

2

x 3x 2 8x 4

x

lim

x

3

x  x 6 8x 4 1

Masing – masing dibagi x 3 :

1 0 0 1 1   8 0 8 2 2  x 2 x x3  e. lim  2  x x 1  x 1 x 2 2 x x2 1 x 3   x 1 lim  2 x x 1x 1  



   

x 4 x 2 2 x3 2 x x 4 x 3 x  x 3 x2 x 1 x3 x 2 2 x lim 3 x   x x 2 x 1 Masing – masing dibagi x 3 : 1 0 0 1 1 0 0 0 lim

2x 1x 2x 2 1  2 x 1 x 2  2 x 2 x x 1 lim 2 x 1  x 2  x 2 1

5. a. lim

x

2

x

lim

x 

x2 x 2 2 x 2 2 x 2 1 2 x2 x 2 x 2 1





x 1 2 2 3 2 x x 2 x 2 1 2

3

x2 5 x x x 2 5 x x 2 4  x   x 2 5 x x  2   Karena pangkat tertinggi f  x 2  pangkat tertinggi g  x x x

x 4 x  x2 2x Masing – masing dibagi x : 6 6  3 2 1 1

x

lim

c. lim

x

lim

lim   x2 5 x x  2 x    Dikalikan sekawan :

6x

lim

x 2 4 x x 2 2 x x 2 4 x  x 2 2x


Masing – masing dibagi x : 1 0 1  2 0 0  2 0 2 2 1 1   2 2 2 4

2x 2 3 x 2 x   2 x 3 x 2x 22 3x 32 4.2x 9.3x lim  lim x  x  2 x 3x 2x 3x x x 2 x 4 23 x 9 33 x 4 9 3 lim lim x   2 x 3 x x    2 x 1 3x 3x 3

b. lim

Bab 3 | Page 120

4.0 9 9   9 0 1 1 x 1 2 3 x1 4x 1 c. lim x   2x 1 3 x1 4x 1 x1 x 1 2 x1 34 x 44 x 4x lim x   2 x1 3 x1 4 x1 4x 4x 4x 2 2x

lim x

0 4 1 0

 1 02 

4 4  2 2 1 1

7. a. lim

x 

lim

3 x 13  4 4

x

3 x 21x 3 14 4

lim

0 1 .0 4 4 1 3  16 1 1 . 0  3 . 0  2 4 4

lim

1 2

x 5 x x 2 x

x

x 5 x  x 2 x 3 x

lim

x

x 5 x  x 2 x

6 x

0

x 

xlim 

pangkat tertinggi g  x 2

lim

1 2

 x 1 6 x 1 5   b. lim  x  

 x 1 2 x 1 10   x 16 x 1 5  x 12 x 1 10 lim x x 16 x 1 5 

1 2

8 1 0 0 0 0 0   1 0 2 0 0 0



8   4 1 1 2

2

x

x 2  x 4 6 x 2

x 2   x 4 6 x 2 2 4 x 2

x 62

2

x 2 6 x 8 x 2 4

x

x 2 6 x 8  x 2 4 6 x 12

lim

x 

x 6 x 8  x 4 Pangkat tertinggi 1 masing – masing dibagi x : 6 0 6  3 1 0 0  1 0 2 2

2

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

x 2 4  x 2 6 x 5

1. a. lim

x 

9 x 2 4x 3  9x 2 x

x

c. lim  x 66 x 2  x 46 x 2   x    

lim



x 6 x 8  x 4 

lim

8

x

2

6 x 2 3x  6 x 2 15x 18 x

1

x 62 x 62



6x 3x 6 x 15x 2

dibagi x 2 :

lim

3x  6x 2 15 x

x 1 10

Pangkat tertinggi  , masing – masing

 1 0 6

2

6 x 2 3x  6 x 2 15x Pangkat tertinggi 1 masing – masing dibagi x : 18 18  6 0  6 0 2 6 18 3  6 6 12 2 b. lim x 2 x 4  x 2

Karena pangkat tertinggi f  x  

x 12



x

 

lim



x 6 x 3  6x 15

x

6. a. lim  x 5 x  x 2 x  x 

0 0 0   1 06 0 0



0  6  2 1 4  1

x 2 4  x 2 6 x 5 9 x 2 4 x 3  9 x 2 x 6

23

2 9

6

3  6 12

x 2   x 4 6 x 2 1 2

Pangkat tertinggi  , masing – masing 1

dibagi x 2 : Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 3 | Page 121

2x 1

4 x 2 x 3 x 1  x 3  x 1



b. lim

x



2 x 12 4x 2 x 3

lim

x 

x 1  x 3  x 1 

2x 1 4 x x 3  2

xlim 

5 x 2 x 1  x 3  x 1



7 3 5 5   1 9 3 1 5 3. D. 3

sin3 2 x  sin 2 x    lim  lim 3  x  0 tan 1 x x  0 tan 1 x  2  2  3

2  3  1  4 2  2 2.3 26



2x 1 4 x x 3  2

Pangkat tertinggi pembilang 1 , lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut yaitu

3 , jadi nilai limitnya adalah 0 2 5. a. lim

x

x0

2

Latihan Kompetensi Siswa 5 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. B. x 0

lim

x 4x 5 ax b 1

 x 2 4x 5   1 lim  x 2 2 2   a x 2 abx b   2 a 1 a 1 b p 1 2 a 4 2ab 1 2 a2 4 2.1.b 1 2 12 4 2b 1  2b 2 2 b 1 Jadi, a 1 b 1

lim

4. C.

2 x 2 x x 2x 1 lim x0 sin x sin x x lim . lim 2 x 1 x  0 sin x x  0 1 2.0 11.1 1

5. D.

tan 2 x.tan 3 x x 0 3x 2 tan 2x tan 3x lim x 0 3x x 23 2   2 31 1 lim

6. A.

x 1sin 6 x 2

lim

x3 3x 2 2x x 1 x 1sin 6 x lim x0 x x 2 x 1 x 1 sin 6 x lim x  0 x 2 x 1 0 1 6    6 3 2 0 2 1 x0

7. D.

x a sin x a2x 2a x a lim x  0 sin  x a  2 x a  lim

sin 2 x 2 1   sin 6 x 6 3

2. E.

sin 7 x tan 3x sin 5 x x  0 tan 9 x tan 3 x sin x sin 7 x tan 3 x sin 5 x lim tanx 9 x tanx 3 x sinx x x 0  x x x lim


x 0

x a x a

lim

x  0 sinx a 2 x a  x a

x a

1 1   1 1 2 1

Bab 3 | Page 122

8. D.

t 5 6 sin t 2 t t 2 2

lim

t2

2

 t 3 t 2sin  t 2 2 t 2t 12 sin t 2t 3 2 t 2  t 1

lim

t 2

lim

t2

1.

2

2 3 1 1 1.   2 2 1 9 9

9. E.

sin 4 x sin 2 x x0 3x cos x sin 4x sin 2 x lim lim x  0 3x cos x x  0 3 x cos x sin 4x 1 sin 2 x 1 lim lim x0 x  0 3x cos x cos x 3x cos x 4 1 2 1   3 cos 0 3 cos x 41 21   2 31 31 lim

10. C.

sin x  sin  x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 sin  x 1  lim   x 1 1 x 1  0 lim

x a x  a tan  x a3 x 3a x a lim x  a tan  x a  3 x a 

11. lim

lim 1 x a  0 tan  x a  lim lim x a x a  0

x a  0

  sin 4 4 1 1  2 2 2 2 2

cos

13. E.

cos mcos n lim    0  2  mn 02 sin    sin m2n   2 lim 2  0  m n m n sin   sin   2 2 2 lim lim  0   0  2 m n  m n  m n2 2    2  2   2 



n 2 m 2  2 14. E.

1 cos x ? x 2 cos x  cos x  cos x cos x Jadi, cos x cos x  1 cos x 1 cos x  lim lim 2 2 x   x   x  x  lim

x 



1 1   1 3 4

sin 12  x    2 lim  x  x    2

2

1 1 1  2 2.  0,5 4 2 2 

m lim

x 0

lim

x 0

12. E.

cos 2x cos x sin x x 4 cos 2 x sin 2 x lim x cos x sin x 4  cos x sin x  cos x sin x  lim x cos x sin x lim



1 1 2 sin 2 12  x  lim 2 x  x 

15. D.

3



cos x 1 cos 2 x 1 cos x 1 2 2 cos x 1 1

cos x 1 2 cos 2 x 1 cos x 1 lim x  0 2 cos x 1 cos x 1 lim x 0





4


Bab 3 | Page 123

1 x  0 2 cos x 1 1 1   2 cos 0 1 2 1 1 1 1   2 .2 2 1 m 4 4  1 n lim   2 x 2  x 2 x 4   x 2 4  lim  2 x  2  x 4   x 2 lim x2  x 2  x 2 1 1   2 2 4 1 n  4 1 1 1 m n    4 4 2 lim

18. D.

2 2 cos x 2  2 x 2  0 x 4 x 4 2 1 cos x 2  lim 2 x 2  x 2  0 lim

4 sin 2 12  x 2  x 2  0 x 22 sin 12  x 2   4lim  x 2  0 x 2   2

1 1  4 4. 1 4 2  19. C.

tan 2 3x tan 2 3 x lim x  0 2 sin 2 x x  0 1 cos 2 x 2 1 tan 3 x  1 3  9  lim     2 x  0 sin x  2 1  2 A2 9 Jadi,  2 2 2 A 9 A  9 3 lim

lim





1 sin  x 1  1 2 1  lim   .1  4 x 1 x 1  4 4 2

17. D.

cos x cos 2 x 2 x 12  12  2 sin  2 x sin 2 x lim 2 x 0 x 2sin 32 x sin 12 x lim x0 x 2 sin 32 x sin12 x lim 2 lim x 0 x x0 x 3 1 3 2. .   2 2 2 lim

x0

20.

tan 3x tan 3 x cos 2 x x 0 4 x3 tan 3 x 1 cos 2 x  lim x 0 4x 3 tan 3 x.2 sin 2 x lim x0 4 x3 3 3 2. .12  4 2 2 A 3 Jadi,  A 2 A 2 3 A 3 lim

21. B.

lim

x0

x3 x lim x 2 tan x sin x x  0 tan x sin x

lim x 2 .lim x0




lim

16. B.

1 cos2  x 1 2 x 1 4 x 8x 4 sin 2  x 1 sin 2  x 1 lim  lim 2 x 1 4 x 1 4 x 2 2 x 1 x 1



2 1 1 2 sin 2 12  x 2  2 x 2  0 x 2 

lim

x x tan x x

sinx x

Bab 3 | Page 124

1 1 0. 0 1 1 2 Jadi, 0 A 2 A 2 Maka A 2 2 2 4 0 . 2

22. E.

1 cos 8x 2 sin 2 4 x  lim x0 x0 4 x2 4x 2 1 sin 4 x  1 2  lim  .4 x  0 2 x  2 1  .16 8 2 lim

23. A.

sin x tan 2x lim x  0 3 x sin 4 x x 0 1 2 3   3 3 4 1 lim

sin x x 3x x

tanx2 x sinx4 x

2

24. C.

1 cos2  x 1 2 x 1 4 x 8x 4 sin 2  x 1 sin 2  x 1 lim  lim 2 x 1 4 x 1 4 x 2 2 x 1 x 1 lim





1 sin  x 1  1 2 1  lim   .1  4 x 1 x 1  4 4 2

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

sin 2 x x x  0 2 x 3sin 4 x sin 2 x x 2 1 x x lim  2 x 3 sin 4 x x0  x 2 3. 41 x

1. a. lim

3 3   2 12 14 x2 b. lim x  0 sin x. tan 2 x

lim

x 0

x2 x sin x tan 2 x x2

lim

tan 2 x tan x x  0 sin 2 x sin x tan x 2 tan x 1 lim sinx2 x sinx x 12 11 x 0 x 1 x 1 2 1 1   1 2 1 1 1  d. lim x sin  x 0 2  1 1  sin 1x lim sin  lim 1   x0 1 x  x  0 1x x 1 1 e. lim x sin lim x.lim sin x  x x   x  x . sin 0 .0 0 sin 2 2 x f. lim x  0 x 2 . tan 2 x sin 2 x sin 2x lim . x 0 x 2 tan 2 x c. lim

1 .

x  0 sin x tan 2 x x x

1 1   1 .2 2


2  2 2  . 2 .1 4 1 2  sin 6 x sin 2 x x 0 2 x cos4 x sin 6 x sin 2 x lim  x  0 2 x cos 4 x 2 x cos4 x sin 6 x 1 sin 2 x 1 lim . lim . x 0 2 x x  0 cos 4 x 2 x cos x 6 1 1  . 1 . 2 cos 0 cos 0 1 1 3 . 1 . 1 1 3 1 4

2. a. lim

x 1tan 6 x 2

b. lim

2 x 3x 2 x 3 x 1 x 1tan 6 x lim x 0 x x 2 x 1 x 1 tan 6 x lim lim x  0 x 2 x  0 x 0 1 6 1  .  .6 3 0 2 1 2 tan 2 x x c. lim x  0 3x sin x tan 2 x x 2 1 1 lim 3 xx sin xx   x 0 3 1 2 x  x x 0

Bab 3 | Page 125

sin 8 1 cos  0 tan 4  1 3 sec sin 8  1 cos lim .lim  0 tan 4 0  1 3 sec 8 1 cos 0 1 1  . 2. 4 1 3sec 0 1 3.1 2 2. 1 4 tan 4 x  3 2 cos x  e. lim x  0 sin 2x  1 sec x  tan 4x 3 2 cos x lim lim x  0 sin 2 x x  0 1 sec x 4 3 2 cos 0 3 2.1   . 2  2 1 sec 0 1 1  1  2 1 2  tan x tan y f. lim x x  y 1  1 x tan x tan y y y

 6.

d. lim

  

lim

xy

tan x tan y x 1 y  1 tan x. tan y 

 

1 lim . tan x y  x  y 1 x y

lim

xy

1 y x x

. tan x y 

x . tan x y  y x  tan x y  1 lim x y. y xy  x y  1 sin 2sin 5a  g. lim   0  sin 8sin 3  sin 2 in 5 2  5 lim sin8 sin3  18 13  0  1  1 2 5 3   8 3 5 lim

xy

h. lim

sin 2t sin 10t sin 18t sin 6t

t0

lim

sin t sin t 3

sin 10t sin 2t  sin 18t sin 6t 

t 0

sin t sin 3 t 2 sin 6t cos 4t  2 cos 12t sin 6t lim t 0 2 cos 2t sin t 2 sin 6t  cos 4t cos 12t  lim t0 2 sin t cos 2t 6  cos 4x cos 12t   lim 1 t0 cos 2t Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

3. a. lim

p0

 1 1  6. 0 0 1

sin 2 x p  sin 2 x p

2x p 2x  2x p 2x  2 cos sin  2 2     lim p 0 p 2 cos

lim

4 x p p sin 2 2

p 0

p p

sin 2 4 x p lim 2 cos . lim p0 2 p 1

4x 0 2 1 . 2cos 2x. cos x 2 1 2 tan  2x htan 2x b. lim h h 0 tan  2 x h 2 x   1 tan  2x h tan  2x   lim h h 0 tanh  lim . lim  1 tan  2x h tan  2 x h 0 h 1 1 tan 2x. tan 2x  2cos

1 tan 2 2x sec2 2 x

c.

lim cos

 2 x 3 h  cos 2 x 3

h 0

2 sin

lim



h

sin

2 x 3 h  2 x3  2



2 x 3 h  2 x 3  2

h

h 0

h  h sin lim 2 sin 2 x 3   2 2h h0  sin 1 h  0 2 2 sin  2 x 3   lim 2 h0 h 

1 2 sin  2 x 3 . sin  2 x 3 2

x.tan x x  0 1 cos 3x x tan x lim x  0 2sin 2 3 x 2

4. a. lim

1  lim 2 x 0

 x tan x   . sin 3 x sin 3 x    2 2 

1 1 1 1 2 2 2  .3.  . .  2 2 3 2 3 3 9 b. lim

x 0

1  cos x x2

1  cos x 1  cos x . x0 x2 1  cos x 1 cos x lim 2 x 0 x 1 cos x lim

Bab 3 | Page 126

lim x 0

2 sin 2 12 x x 2 1  cos x





2

 sin 12 x  1 2 lim lim x 0 x  0 x  1  cos x  2

1 1 1 1  2  2. . 4 1 1 2 1  cos 0 1 1 1 2. .  4 2 4 1 sin x  1 sin x x 1 sin x  1 sin x lim x 0 x 1 sin x  1 sin x 1 sin x  1 sin x  1 sin x  1 sin x lim x  0 x 1 sin x  1 sin x 2 sin x lim x  0 x 1 sin x  1 sin x sin x 1 2 lim lim x  0 x x  0 1 sin x  1 sin x 1 2.1 1 0  1 0 1 1 2. 2. 1 1 1 2

c. lim

x 0









1 x 2 ? x  1 sin  x sin  x sin x   1 x   1 x  lim x 1 sin  x   1 x   1 x  lim x  1 sin  1 x 

d. lim

lim  1 x  lim x 1

1 1. e. lim

x 1

x 1

1 2   

 1 x  tan

 1 x  sin  1 x 

x 2

lim  1 x  lim tan x 1

 1 1 tan

tan x sin x x 0 x3 tan x tan x cos x lim x0 x3 tan x 1 cos x  lim x 0 x3 tan x 2 sin2 12 lim x 0 x.x 2 tan x 2 sin 2 12 x lim x 0 x x2

5. a. lim

x 2

 0.0 2






2

1 1  1 1  .2  1.2.  1 2  4 2 x. tan x x. tan x b. lim lim x  0 1 cos x x  0 2 sin 2 1 x 2 1 x tan x  lim . lim 2 x  0 sin 12 x x  0 sin 12 x 1 1 1 1  . 1 . 1  .2.2 2 2 2 2 2 c. lim

x 0

x. sin x. cot x 

lim x.sin x x 0

cos x 0. cos 0 sin x

0.1 0 cos x cos a d. lim x a x a 0 x a 2sin  sinx 2 a  2 lim x a x a 0 xa x a sin  2  lim 2 sin  x a 0  2  x a x a x a sin 12  lim 2 sin  x a 0  2  x a a a 12 2 sin   2 1 1 2 sin a  sin a 2 tan x tan  x 2 e. lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 tan  x 2 lim x  2 x 2    1 sin x cos x f. lim x4 1 tan x cos x sin x lim ; dalil L “Hospital” x sec 2 x 4 Bab 3 | Page 127

cos  sin  1 2 12 2  4  2 4 2 2  sec 4   2



2 1   2 2 2 tan x tan a g. lim xa x a tan  x a   1 tan x tan a  lim x a x a tan  x a  lim .lim  1 tan x. tan a  xa x a x  a 1 1 tan a. tan a  1 tan a sec a 2 x  2 x   2 h. lim lim   x cos x x  2 sin  x  2 2 2

2

2 x 2  x  2 sin x 2  2 x 2  lim  x sin  x 2  2  2 x 2  2.1 2  lim 1 x  2 sin x 2  lim

1 sin 3 x 1 sin 3 x  lim 2 x x cos2 x 2 1 sin x 2  1 sin x sin2 x sin x 1 lim x2  1 sin x   1 sin x 

6. a. lim 









 sin sin 2 1   2 x  1 sin  2 2 1 1 1 3   1 1 2 3 1 cos x b. lim x  0 x sin x cos x  1 cos x cos 2 x cos x 1 lim x0 x sin x cos x 2 1 2 sin 2 x cos2 x cos x 1 lim x 0 x sin x.cos x sin 12 x sin 12 x 2 lim . lim . x 0 x x  0 sin x cos 2 x cos x lim x0 cos x 1 1 2 cos 0 cos 0 1 2. 2 . 2 1 1 cos 0

1 1 1 1 1  2. .   2 2 1  1 3  3  2 2 c. lim   sectan   2 sin  1 lim     2  cos cos 1 sin  sin  sin  2 lim  lim   cos  2 cos 2

lim 

2 cos

 sin     2

2

  2

2

sin 2 1  2 cos 2  sin 12 2  2  lim   sin  2 2  1   sin 1   2 cos    lim  2 2  2 2 2 2   2 1 1 2 cos . 2 2.0. 0 2 1 2  1cos 2 x  sin 5 x d. lim x0 x 2 .sin 3 x 2sin 2 x.sin 5x lim x0 x 2 .sin 3x 2 sin x  sin 5 x  2lim lim  x  0 x x  0 sin 3 x 10 1 25 2.1  3 3 3 3 

2


















sin 2t  2  t . tan t  t 2 tan t sin 2t lim 2 t 0 t tan t 2 tan t 2 sin t. cos t lim 2 t 0 t tan t 2 tan t 2 tan t .cos t .cos t lim 2 t 0 t tan t 2 tan t 1 cos 2 t lim t 0 tan t.t 2

7. a. lim 2  2 t 0





2

2sin 2 t sin t   2lim  2 t0 t  0 t t   2.12 2 lim

1 cos 2 p  2 sin 2 p 1 cos 2 p 2 lim p  0 sin 2 p 1 cos 2 p  2

b. lim

p0





Bab 3 | Page 128

cos 2 p 1 p  0 sin p 1 cos 2 p  2  1 cos 2 p  lim p  0 sin 2 p 1 cos 2 p  2 lim

lim

p0

2









2 sin 2 p





sin p 1 cos 2 p  2 2 2   1 cos 0  2 1 1  2 2 2 1    2 2 2 2 2 2   sin 3 sin  3 x  c. lim x0 x      x   x  2 cos 3 23 sin 3 32 lim x 0 x 1 2 2 cos 2 3 x  sin 12 x lim x 0 x 1 2  sin 12 x 2 cos  0 lim 2 3 x x  0 1 1 1 1 2 cos . 2 2. .  3 1 2 2 2    x 3  cos x d. lim 3 x0 sin x   3 3 cos x x cos x lim x 0 sin x   1 cos x x cos x lim 3 x 0 sin x 2 1  3 2 sin 2 x x cos x lim x0 sin x 1 2 sin 2 x 1   lim .sin x  x  0 sin x 2  3   x . cos x lim  x  0 sin x  1 2  . 2 .sin 0 1. cos 0 3 1 2 1  . .0 1.1 0 1 1 3 2 2

  





sin 2x 2 sin x 8. a. lim x 0 x3 2 sin x cos x 2 sin x lim x 0 x3 2 sin x  cos x 1 lim x0 x3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

2sin x  1 cos x   3 x 0 x 2sin x 2 sin 2 . 12 x lim x0 x3 lim



 2

2sin x sin 1 x  lim . 2 2  x 0 x  x  2

1  1 2.1. 22  4. 1 4 1  1 cosx 1 cos x  b. lim lim 2 x 1 x 1 x  1 x 12 1 cos 1 x  lim 3 x 1 x 2  2 sin 2  1 x  lim 2 x 1  1 x  sin   1 x    2 2lim 2  1 x x  1  2    2.  4 2 sin 2 x c. lim x0 x 1 1 2

2

sin 2 x x 1 1 x0 x 1 x 1 1 sin 2 x x 1 1 lim x 0 x 1 1 sin 2 x lim . x 1 1 x0 x 2  0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2.2 4 lim



    



d. lim

x 

lim

x 

lim

x 

lim

x 

lim

x 



x 7  x x sinx 7 x . x sin x 7  x x sin x 7  x x sin x 7 x x sinx 7   x x  sin x 7 1 x  sin x 7  1 x cos x 7  sin x 7  1 x sin

2

2

2

tidak ada limitnya !

Bab 3 | Page 129

sin  1 cos x  x0 x2 sin  1 cos x  1 cos x lim x0 1 cos x x2 sin  1 cos x 2 sin 2 12 x lim x0 1 cos x x2

9. a. lim





sin 1 cos x  sin 12 x  2 lim   x0 1 cos x  x  2

2

1 1  1 1 2. .2 2.  1 1  4 2 tan  cos 4 x 1 4  3 x sin 3 x

b. lim

x0

lim

x0

lim

x0

tan  cos 4 x 1cos 4 x 1 cos 4 x 1 3 x sin 43 x

tan  cos 4 x 12 sin2 2 x cos 4 x 1 3 x sin 43 x

2 tan  cos 4 x 1sin 2 x sin 2 x  lim x  0 3 cos 4 x 1 x sin 43 x 2 1 2 2 2 6  . . . 4  .2 . 2 3 2 1 3 3 4





tan x 2 5x x 0 sin 2 x tan x 2 5x x 2 5 x lim x0 x 2 5x sin 2 x tan x 2 5x x  x 5 lim 2 x0 x 5 x sin 2 x tan x 2 5x x lim . . x 5  2 x0 x 5x sin 2 x 1 1 1 5  . . 0 5 . 5  1 2 2 2

c. lim











d. lim

lim



sin  2 2 cos x 2  

x 2

a cos x 2 x  0 bx sin x 1 1 8   2 2 sin 12 x sin 12 x lim 8 x 0 x sin x 2 1 2 sin 2 x 1 cos x lim 4 lim 1 x 0 x  0 x sin x x sin x 4 1 Jadi, a 1 , b  4 ax b 1 b. lim  x  2 cos x 2 1  .1 2  x  x 1 1 2 2  lim  lim    x  2 x  2 sin  cos x 2 x  2 2

10. a. lim

12  x  lim 12 x 4 2 x x cos x cos x 2 2 1  Jadi, a  , b  2 4 lim

C. Evaluasi Kemampuan Analisis  a h 2 sina ha 2 sin a   h   h 0  

1. a. lim 

a 2ah h  2

lim

x 2 sin  2 1 cos  x 2   1 cos x 2  lim x  2 1 cos  x 2 x 22 sin  2 1 cos x 2  2 sin 2 12 x 2  lim x  2 1 cos x 2 x 22 2 sin 12   x 2  sin  2 1 cos x 2     2 lim  x 2 1 cos x 2   x 2 

h a cos a cos h a cos sin h  2

2

2ah sin a cos2ah cos a sin h  h2 sin a cos h h 2 cos a sinh a2 h0 h

lim

a sin a. 1 a cos a sin h  2

2

x 2

sin a cos h cos a sin h a2 sin a

h 0

x 4 x 4 sin  2 1 cos x 2    2

2

2

2ah sin a. 1 2 ah cos a sinh  h sin a. 1 h cos a sinh a h h 0 sin h 2 lim a cos a 2 a sin a  h h 0 2a cos a sin h sin a h cos a sin h lim

2

2

2

a 2 cos a 2a sin a 0 0 0 a a cos a 2 sin a 

2

1 2  1 2. .2  4. 1  1 1 4 


Bab 3 | Page 130

sin  x a  sin  a x  2 sin a x sin x sin x cos a cos x sin a 

b. lim

x0

lim

 sin a cos x cos a sin x  2

x0

x sin x 2 cos x sin a 2 sin a lim x0 x sin x 2 cos x sin a 2 sin a lim x 0 x sin x 2 sin a cos x 1 lim x 0 x sin x 2 sin a 2 sin 2 12 x lim x 0 x sin x sin 12 x sin 12 x 4 sin a lim . x0 x sin x 1 1 4 sin a. . sin a 2 2



6x 3h 2sin 12 3h x0 h cos  3x 3h 1   cos  3x 1  3 h 2 sin 3x 1  . lim 2 cos  3x 1 cos  3x 1x  0 h 2sin  3x 13 3 sin  3x 1  .  . 2 cos  3x 1 2cos  3x 12 c. f  x tan 2  2x 1 2 tan  2 x h  1tan 2  2x 1 lim

x 0

x0

lim



x 0

3 sin  2 x 2h 1 sin 2 x 1  x0 h   sin 2 x 2 h 1 sin  2 x 1 h sin  2 x 2 h 1 sin 2 x 1 lim  x 0 h 2   sin  2 x 2 h 1 sin 2 x 1       2 x 2 h 1 sin 2 x 1  3 sin  1   sin  2h 1 lim  2 cos  4 x 2 h 2  2  x0 2 h   2  sin  2 x 2 .0 1 sin  2 x 1  3 sin 2 x 20 1 sin 2 x 1 2 cos 2 x 1 .1.3 sin 2  2 x 1 6 cos 2 x 1  sin 2  2 x 1

lim

h

cos3x 3h 1cos3x 1 1 2

h tan  2 x 2h 1 2x 1  1 tan  2x 2h 1 tan  2x 1 

lim

x 0

tan 2h  1 tan  2x 1 2.0 tan  2x 1  h



 1 tan 2x 1

tan 2 2 x 1 1 tan 2 2x 1  2

2





2tan 2 2x 1 1tan 2  2x 1sec2  2x 1 2. 2 tan  2x 1 .sec 2  2 x 1 4 tan  2x 1 sec2  2 x 1

Latihan Kompetensi Siswa 6 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. B.  1

x x  1 1    lim  1  lim  1    e1  x x  x  x     

1

3. C.

h 1 3x 3h 1 cos 3x 1  cos 

     cos  3x 1  

x0 h  cos 3x 3h 1

 

h

tan  2 x 2h 1 tan  2x 1  tan  2 x 2h 1 tan  2 x 1 

x 7   1   7  lim  1  lim  1   e7  x  x    x  x    7  

cos  3 x h 1 cos  3x 1

x 0

1 2

x

1 2

1 2



2. B.

b. f  x  cos 3x 1

lim

1 2

tan  2 x 2h 1 2x 1  1 tan  2x 2h 1 tan 2 x 1 lim x 0 h tan  4x 2 2. 0  1 tan  2 x 1 2. 0 tan  2x 1  .

lim

x 0

1 2

1 2

sin 3  2 x h  1 sin3  2 x 1 h 3  sin 2 x 2 h 1 sin 2 x 1  

lim



1 2

1 2

5. a. f  x sin 3  2 x 1 lim

2sin

lim

1 2


 3

   1 3   3 3   lim  1  lim  1 x     e x   x  x     3  x

x

Bab 3 | Page 131

4. C.

9. E. x5

1

1 x 2 x 0 2  lim   lim   x  0 x 1  0 1  x 0 x 1 2    lim 2  x  0 x 1 

 1 lim 1  x  x   x 5   1  1  xlim  1  1       x  x      x

5

 1  1 lim  1  lim  1  x    x x    x 

10. E.

1 x

5

1 2

x 0

x0

 1 x 1  lim  1  lim   x    x x    x  e.1 e x

1 x lim 1 x 

lim

lim

x0

1 x

1 x  x 0

1 1x 2

1

e 2 

1 e

5. A.

n 3  lim n   n 1    n

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaaan Materi.

4  n 1 4   lim  1   lim   n  n  1  n    n 1  n

n

x 1

 1 1. a. lim  1  x   x

4

  n11 4   n11  lim  1   lim  1   n n   4   4    4 4 e .1 e n 1

6. C.





1

1 1   1 x 1  lim 1    lim    x    x   x   x  

n 6 3n lim  1 3n  lim  1 3n  e 2 n  1

n

1

1 2

1

x

 1  1 lim  1  .lim  1  x   x   x   x

1

1 e 1.11 e 1  e 3

7. B.

3x 2x 2   1   1  b. lim  1   lim  1    x  2x  x     2x    

n 3

2n 5  lim   n   2n  1 

3

e 2

n 3

2n 1 6  lim   n    2n 1 

1

4x 2   3   1  c. lim  1   lim  1    x  2x  x    4x     2x

n 3

6   lim  1  n    2n 1  6   2 n11  lim  1   n  6   

 2 n1

1

e 2  e  3

2   2 n11  1   lim  n   6    5

5 2

6   e3 lim 1   n  2n 1  e3 .1 e 3

1 e 2  1 0 e 2 3

5x

x0

lim

x 0

1 sin x  1 sin x lim

1

3

lim  1 sin x 

lim

x

 3  3  lim  1   1  x   2x   2x  2 x 2 1  3 3  3   lim 1  1       x  2x      2 x 

8. C.

x 0

x 1

 3  d. lim  1  x  2x 

3

sin1 x sin x. 5 x sin1 x 5

x0

x sin x e




Bab 3 | Page 132

 4x

x3 2

2

x3

x

2

x3 1   e.12 e e lim  x    x3   

x 1   1 e. lim  1   xlim  x x    x  3x

4 x 3

3  f. lim   1  x   2 x 3 

3x

3

 

x   1  lim  1    x   x     1 3 e  3 e

4 x 32 3

 3 1 lim  1 x   2 x 3  2

   

 3 1 lim  1 x   2 x 3  2

   

 

 

4 x 32

 

23

   

 

3

3 1    1  2 x 3   2

x

 6

   x 32

    

3

3 1  1  2 x 3  2

   

3 e 6  1 0  e6

2 x 2  f. lim   x    3x 

 x

 2  lim 1   x    3x 

x

x 3  2. a. lim    2  x

x

1  x 2 1   lim  1  lim   x   x 2  x   x 2  2 x 2     1 1     lim  1 1 lim    x 2  x   x   x 2     

e x   lim

x . 32x

2

lim

ex   3 x e

6n 3. a. lim  1 3n  lim 1

n 0

n 1 0

1 3n

 3n 4  n0

2x

1 2

1 6 n10

b. lim

x 3  b. lim   x  x 4 

1 3n

e 2  e

2

x 2 1  2 e lim   e .1 e x   x 2 

 x . 32x

  1 2    lim  1 3 x    x    2    3x

x  x

8

   1 2    lim  1 x    x    2  8 e

 1  1  xlim 1   .lim  1      x3  x    x3 

  3 1   lim  1  x   2 x 3   2 

 4x

x 2   2 d. lim  1   xlim  x   x    x 

 1 e. lim  1 3  x   x 

lim

n0

1

 3 n 4 

1 6n 10

6n 10 1 1 6n 10    4   4

1

2x

1 3 n 4 6 n10 6n 10 lim  4    n  0  4 

x 4 1  lim   x   x 4 

2

x 4 8  1   1    lim  1 1   . lim   x   x   x 4   x 4    

e 2

4

x 2   2 1   lim  x  x   x   x

6x

c. lim 

12

  1 2   lim  1    x  x     2  x

e12


4

1 6n 10

4 . 6 n 10 6n 10 e lim lim  4  n 0 n0 1 1  10 e . 4   1 410 3n

6x

4 . 6 n110

3n    3n 3 n    lim  1  n 0  4    

c. lim

x0

1

1

 1 2 x x

lim

x0

1 2 x 

2x 21x 1 . x

3

2 x e lim x 0 e  2

Bab 3 | Page 133



d. lim 1  x 2 x0

3





 1 tan x  lim 1 tan x x 0

1 3 2 x



1 3 x 2 lim x 0   1 1 e  e

x 0

1

1 tan x

  

3 1 2 x



x 4

x4

e

x 1 5  lim   x x  x  1  x 4

 5  lim  1  x    x 1 

5

1

x2  1 5 x 2   b. lim  x0  1 3 x 2    1

2

2

13 x2   

2 2 e 10 e 2 2 1 3 x

2x

x

tan x 1  lim lim  1 2  1 x  x  2 x 2 x  Bukti Karena nilai tan periodik k setiap , maka tan k akan sama untuk setiap nilai k bilangan bulat jadi, tan  x tan x 2 x

tan x

2 x tan  x 2   1 2    lim lim  1   x  x   x 2 x 2  x2     lim 1  e x   x e  1 1 terbukti

.x

 0

Bukti 3 x 5

   

 10

6   1   . lim  1 x 3    x    5  

10

8  1 tan 2

6

2 1   lim  cos lim  1 2 sin 2   0  0  2  6 2

2 sin 2 12 . 62

1  2 sin2 1   2 1  lim  1 2 sin  2    0  2     

12 sin 2 12 

lim



1 tan 2   lim  1 tan 2  lim

0

2. akan ditunjukkan 6 1 2 lim  cos   3

5   c. lim  1  x    x 3 

 0

4. 

1

1 3 x  2 2 x1   2 x  xlim  1   0  1 3x 2    

5. a. lim

tan x 2x

lim

x  0 sin tan1 x 4

 1  lim  1  x  2 x 2 x   x 2 

1

e

x

1. akan dibuktikan

lim

x2  2 x2  xlim  1   0  1 3 x 2   

  1  lim  1  x 3 x    5 

sin

tan  x 2

x2  1 3 x 2 2 x 2    xlim   0  1 3x 2  

x0

4 tan2 x

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

3   1 5   1     lim  1 x 1  1    lim x  x    x1   5    5    e5 .1 e 5 x 1

 

lim  1 tan x  x 0 sin x 1  e 4 lim   x0  cos x sin2 x   1  4 limx  0 sin22 x 4 e lim  e x 0  cos x sin x 

x 6  4. a. lim   x   x 1 

e lim

4 2 sin x

b. lim

1 tan 2 

tan 2 8

 0

lim

1 tan 2 

8 0

tan 2  

e  0 e

 0

2  e  e16 1  8


e

e

2

2  sin1  2   12  lim     0

12. 14





e



2 sin 12       0  

12 lim

1 12  2

2

  1  

1 e3  3 terbukti e Bab 3 | Page 134

2). lim f  x lim x3 a3 , a R

x5

x 2 4 x 1   3. a. lim  x   x x 3   

x a

x a

Berdasarkan 1), 2), dan 3), maka f  x kontinu di setiap titik x R

x 5

x 2 x 3 3x 2   lim  2  x  x x 3 

c. f  x x 3x 2 2

x5

3x 2   lim  1  x    x 2 x 3 

1). f  4  4 3 4 2 2

16 12 2 6 2). lim f  x lim x 2 3 x 2 6 x4 x 4 3). f  x lim f  x 6 x4 Berdasarkan 1), 2), dan 3), maka f  x kontinu di x 4



2 x 3   x 3   . x5  x 2 

x x 3  3 x 2    1   lim  1 x 2 x 3     x   3 x2    2

lim

e

3 x2 13 x10

x   x2 x3 3 1310 x x2   11x 32 x

3 x 2 13 10 x2 x 2 x2   x2 x 3 x2 x2 x 2

x

x

e 3

e 1 e

f  x 

3

9 , untuk x 3 Akan ditunjukkan f  x diskontinu di x 3  f  3 9 (jelas)

x 2 6

x 2 6

x 3 4 x 2 2 x 7  xlim  3   x 4 x 2 

x 3 27 27 x 3 x 3 f  3 lim f  x , maka f  x x 3 diskontinu di x 3 lim f  x lim x 3

2x 17    xlim 1 3    x 4 x 2  

x 2 6

1



2 x 17 

 3 x3 4 x2   x 4 x 2   2 x 17     1   xlim 1 x 3 4 x 2        2 x 17     

2 x3 17 x2 12 xx 102  x3 4 x2

e e 00 0 1 . 21 1  2 00 e e e 2 x 

. x 6 2

 2 x3 17 x 2 12 x 102 x3 x3 x3 x3 x3 4 x 2    x3 x 3 x 3

lim x

Latihan Kompetensi Siswa 7 1. a. f  x x 1). f  a a 2). lim f  x lim x a x a

x 3 27 , untuk x 3 x 3

2. a.

x 3 6 x 5  b. lim 3 x   x 4 x 2   

1 . lim



lim

lim

e

xa

3). f  x lim f  x a3 , a R

xa

3). f  x lim f  x a xa

Berdasarkan 1), 2), dan 3), maka f  x kontinu di setiap titik

b. f  x x 3 , x R

1). f  a a 3 , a R


1 2 x b. f  x  x 1 , akan ditunjukkan f  1 2 x diskontinu di x 0 1

1 1 2 0 0  f  0  1 , 2 tidak terdefinisi, 0 1 2 maka f  0 tidak terdefinisi Karena f  0 tidak terdefinisi, maka f  x diskontinu di x 0

c. f  x 

1

diskontinu di x 0 3 1 karena f  0 tidak terdefinisi 1 d. f  x  1 diskontinu di x 0 3 x 1 karena f  0 tidak terdefinisi 1 x

3. a. f  x  , x 1

1 x

1 f 1 1 1 lim

x  1

f  x lim

1 1 x  1 x Bab 3 | Page 135

f  x lim 1, maka f  x kontinu x 1 di x  1 3 x 8 b. f  x  , x 2 x 2 23 8 0 f  2   (tidak terdefinisi) 2 2 0 maka f  x diskontinu di x 2 x 2 x 2 c. f  x  , x 1 x 1 1 1 2 0 f 1   (tidak terdefinisi) 1 1 0 maka f  x diskontinu di x 1 d. f  x x 3 , x 2 f  2 23 8 lim f  x lim x 3 8 x2 x 2 f  2 lim f  x 8 , maka f  x x 2 kontinu di x 2 1 e. f  x  3 , x 2 x 8 1 1 f  2 3  (tidak terdefinisi) 2 8 0 maka f  x diskontinu di x 2 2 f. f  x  4 , x 5 x 625 2 2 f  x 4  (tidak terdefinisi) 5 625 0 maka f  x diskontinu di x 5 x 1 x x 6 2 x x 6 0 x 3 x 20 x 3 x 2 f  x akan diskontuni pada x 3 dan x 2 , karena untuk x 3 dan x 2 f  x tidak terdefinisi

4. a. f  x 

2

x 2 x 6 x 3

b. f  x 

f  x tidak terdefinisi pada x 3 , maka f  x diskontinu di x 3 x 16 x 2 4

c. f  x 

4

f  x akan diskontinu pada x 2


x 4 x 2 x 32

d. f  x 

f  x akan diskontinu pada x 3 x 2 x 2 e. f  x  2 x 2 x 1 f  x tidak terdefinisi jika 2 x 2 x 1 0 , yaitu x 1 4 x 2 f. f  x  3  x 2 5 f  x tidak terdefinisi jika 3  x 2 5 0 3  x 2 5 2 9 x 5 2 x 4 , x 2 f  x tidak terdefinisi di x 2 maka f  x akan diskontinu di x 2 2 g. f  x  3 x 8 f  x akan diskontinu pada x 2 x 2 4 x 21 h. f  x  x 7 f  x akan diskontinu pada x 7 9x 2 4 2 5. a. f  x  , untuk a  3 x 2 3 2 2 2  94 0 f  a f   3  2 0 3  3 3 2 2 Karena untuk a  f  x tidak 3 terdefinisi, maka f  x diskontinu pada 2 a 3 b.

g  x  g  3 5

x 2 4 z 3 , jika x 3 x 3 5 , untuk x 3

x 2 4x 3 2 x 3 x 3 g  3 lim g  x , maka g  x diskontinu x 3 di x 3 lim g  x lim x 3

Bab 3 | Page 136

c.

h x 

x , jika x 0 1, untuk x 0

4. B.

3  5 x 1  5 x

lim

x4

Untuk a 0

h a h 0 1 lim h x lim h x 1 x a x0 Karena h a lim h  x , maka h x x a diskontinu di a 0 d. 1, jika x 0 h x  0 , untuk x 0 Untuk a 0 p a p  0 0 (jelas) lim p x lim p x tidak ada maka x0 x a maka p  x diskontinu di a 0

12  5 x 2 .1 1

lim

1 9 1 1

1

R  x sin2 x

    4

R p  R 4

lim

p0

p

 

lim

sin p  sin 4

lim

sin sin 4 sinp 4 sin 4 

2

p 0

A. Pilihan Ganda

lim

1. B.

2 sin

p

 

2 sin 12 2 cos 12

   

p  cos 2  p 2 sin

p0

2. A.

1  1 lim   x  0 1 x 1 x 2    1 x 1 0 lim  x  0 1 x 2 1 0 2 0  0 1 3. B.

x 3 3 x 2 2x x  1 x 3 4x 2 3x x x 2  x 11 1 2 lim x  1 x x 3 x 1 1 1 3 1 1 1 1    1 2  2 2 lim


p 1 2 1 2

 p p

p

 

 

1 1 0  cos .0. 2 cos 12 0  2 2 2 2 sin 12 p lim p 0 p

3

x x 2 2  2 2 3 3 1 2 .2 2  1 2.2 2 2 22 1 2.2 4

2  4

p  4

Uji Kompetensi Akhir BAB 3

lim x2

1 1 1 3  1 3

5. D.

p 0

3

1 1 12  5 x 2 . 1

x4

1 5 4 1 5 4

1

2 sin  . cos 0.2 cos  .2 4 4 1

2.

1 1 1 1 2. 1.2. 2.  .2 1 2 2 2 2

6. E.

R t 

2t 2 3t 1 , t 1 t 1

a, t 1 Nilai a agar R  t kontinu di t 1 2t 2 3t 1 a lim R t lim t 1 t 1 t 1 1 2t 2  2t 1 lim 2 t 1 t 1 t 1 2t 1 lim t 1 t 1 2.1 1 2 1 1 Maka a 1

Bab 3 | Page 137

7. E.

lim x 1

sec 4x sec 5 x lim x  0 sec 3 x sec 2 x 1 1 lim cos14 x cos15 x x 0 cos 3 x cos 2 cos 5 x cos 4 x cos 4 x cos 5 x x  0 cos 2 x cos 3 x cos 3 x cos 2 x

lim

lim

2 sin 92 x sin 12 x cos 4 x cos 5 x

5 x  0 2 sin 2 x sin 12 x

4n n

8n n 3 tan 2 n n



9x x2









tan 4x  1 cos 4 x

lim

x  0 tan 4 x. x sin 2 x 1 sin 4 x  1 tan 4 x 2

2sin 2x





sin 2x 1 lim x x  0 1 sin 4x  1 tan x 2 1 4 2 .  1 1 0  1 0 1 1 4  2 21 2 2 lim

x 0

3 3 x x3

12x2x x12 

9x x2

8xx3 xx3 3

x3 x3

2

3

9 0 0  9 0 0 1 0 0 3 1 0 0

3

9  9 3 3  1 3 1 1 1

12. C.

2

24x2x 10x 2 xx3 2xx3 2

6  3 2

x 12 3



x 3 8 x 2 x 3 x 3 x 2 2 x

2

lim x 1



tan 4x sin 4x lim x  0 x sin 2 x tan 4 x x 0 tan 4x tan 4x cos 4x lim x  0 x sin 2 x tan 4 x 1 sin 4 x  1 tan 4 x

x  0 x sin 2 x 1 sin 4 x  1 tan 4 x

Pangkat tertinggi pembilang adalah 1 Pangkat tertinggi penyebut adalah 1

10. D.

 1 sin 4x   1 tan 4 x

x  0 x sin 2 x tan 4 x 1 sin 4 x  1 tan 4 x

lim

9 x 2 12 x 1  9 x 2 24 x 10

x 

1 sin 4 x  1 tan 4x x sin 2 x tan 4 x

lim

lim

9. E.

lim

5

Kali akar sekawan :

8. E.

8n lim lim n 0 n  0 4 n 3 tan 2n 8 8   2 4 3 1 4 6 8  4 2

2 12  23  x 3 2 18 2  9 2 9

11. B. x 0

cos 2 x cos 3 x

sin 92 x cos 2 x. cos 3x sin 52 x cos 4 x.cos 5 x 9 9 1.1 9 2 cos 0. cos 0 lim   5 x 0 5 1.1 5 2 cos 0. cos 0

3

13 x

2 3

2  4  5 29 .1 3 49 .1 3

lim x 0

lim x 

2

43

13. E.

x 2 2 3 x 1

Subtitusi x 1 bentuknya menjadi

tan 82 sin 4cos 4  0 sin 4tan 8 tan 8sin 8 lim  0 sin 4tan 8 tan 8tan 8cos 8 lim  0 sin 4 x tan  0 tan 8 1 cos8 lim  0 tan 8.sin 4 2 sin 2 4 lim  0 sin 4 sin 4 4 lim 2 8  0  1 lim

lim

0 0

Dalil L Hospital 2 x 1 0 lim masih 1 2   x  1 2 x 3 2. 1 x 3 0 3 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

 3 3 x 12 x 2 4 x 1 3 x3 6 x2 2 x 10   

x   

x 12 x 4x 1 x 6 x 2 x 10 x x 12x 4x 1 x 12 x 4x 1 x 6 x 2 x 10  x 6 x 2 x 10 p q  p q  p pq q  3

lim

2

3

3

2

3

3

3

2 3

2

3

3

3

3

2

2

2

2

2 3

2

Bab 3 | Page 138

Pangkat tertinggi pembilang x 2 Pangkat tertinggi penyebut x 2

x 2

 2  2 2 5  2 5.2 2  2 2 3. 2 6     2 2   4 4 14 16  16 14

12 6 6   1 3 1 3 1 1 1 1 1 6  2 3



R  x 2x 2 x 1

17. D.

R 1 ∆x  R 1 lim ∆x  0 ∆x 2 2 1 ∆x   1 ∆x 1 2. 12 1 1 lim ∆x  0 ∆x 2 1 2 ∆x ∆2 x 1 ∆x 1 lim ∆x  0 ∆x 2 4 x 2 ∆2 x ∆x 2 lim ∆x  0 ∆x 2 2 ∆ x 3 ∆x lim ∆x  0 ∆x lim 2∆x 3 2. 0 3 3

 







∆x  0

15. C.

ax 2 bx 3 3  x  3 x 2 2 x 3 4 2 ax bx 3 3 lim  x 3  x 3 x 1 4 lim

juga mengandung faktor  x 3 , jadi 3 juga akar dari pembilang .

x 3  ax bx 3 0 2 a.3 b.3 3 0 9a 3b 3 3a b 1 2

x 2 5 x 2  x2 3x 6 x 3x 10x 3



h 0





    h h 6h 12  2h  h 6h 12h 10 2

3

2

0 0 12 12 3    2 0 0 0 10  20 5 18. D.



19. A.

;

x 5x 2 x 3 x 6  lim x  2x  x 3 x 10 x 5 x 2  x 3 x 6      2

2



x 3 ax 2 a 2 x a3 x a x 2 a 2 x 2 a 2  x a  lim a a 2a 2 xa x a 2

Kali akar sekawan : 2



lim

16. A.

2

2x 3 1 2 x3 4 5 f  x  3  3 x 2 x 2 3 2 x 2 5 5  2  3 3 x 2 x 2 f 2 h  f  2 lim h0 h 2 2 h53 2 2 2 352 lim h 0 h 5 8 12h 6 h 2 h 3 2 105 lim h0 h 5 h 3 6 h 2 12 h 10 12 lim h 0 h 10 h 3 6 h2 12h 10 lim h0 2 h h3 6h 2 12h 10

lim

Agar penyebut tidak nol maka faktor x 3dihilangkan . berarti ax 2 bx 3

x2



2 1   14.8 56

14. B.

lim

2

lim

2

2 x 4  2 2  x x 5  x 2  x 5 x 2  x 3 x 6     2 x 2 lim x 2 x x 5  x 2 x 2 5 x 2  x2 3x 6      lim

x 2




   

sin 2 x 2 lim lim x  0 sin 2 2x x  0 2

sin

2 x  2

x2 sin 2 2 x x2 2

sin 2 x  2   2lim 2  x  1  x  0 3 2.4 8 2

Bab 3 | Page 139

21. A.

24. D.

x 1tanx 1sin x 1 x x 2 2

lim

x 1

2

x 1 x 1tan x 1sin x 1 3 x 23 x 1 sin  x 1 x 1 lim x  1 x 1 x 23 x 1

lim

x 1

lim

x 1

lim tan

x 1 1  1 11 2 . 3.  1  1 2 1 27 x 1

22. D.

lim x 

25. B.

x 2a x 2b x 

lim

x 

lim x 

cos 2a cos 2b a b 2 sin 12  2 a 2b  sin 12  2 a 2b  lim ab a b 2 sin  a b sin  a b  lim a b a b sin  a b  2sin  b b lim ab a b 1 2 sin 2b. 2 sin 2b 1 lim a b

x 2a  x 2bx 2 x 2a  x 2bx 2a 2b x 4ab x 2  2a 2b  x 4ab x

lim x 

 2 a 2 b  x x

4 ab x

 2a 2b xx2 4xab2 xx

x2 x2

2a 2b0



2 a b   1 1 1 0 0 1

26. A.

2   a b a b 2 23.

2  4 lim  2   1 cos   0  sin  1 cos  2  4   lim   1 cos 2  0  1 cos  1 cos   1 cos 4 2  lim    0  1 cos 2x 0  2 2 cos  lim 1 cos   0 1 cos2  1 1 cos  1 cos  lim 1  0  1 cos  1 cos 

lim x 

9 x 3  9 x 15 x

lim 9 x 2 3 x  9 x 2 15x x  R x cos 2 2x

lim

R

t 0

 6 t R 6

t

t0

lim

t0

lim

t 0

lim

 

lim

x 

cos 2  t cos 2  6 6 2

lim

lim x 



2

t

2 cos  2t 3

lim x



2 cos  3

t cos  2t cos  cos  2t cos 

 3  



 

3

 3



3



t cos 1  2t 

 2  sin 12 2t 

2 cos 1 2  2t 2 3 2 sin 1 2 2t 2 3

9 x

2



3 x 9 x 2 15x



9 x 3 x  9 x 15x 12x 9 x 2 3 x  9x 2 15x 2

2

12 x x 9 x2 x2

3x x2 

9x 2 x2

15x 2x

12 12  9 0  9 0 3 3 12  2 6 

t 0

t 1 2  1 2  4cos  0  cos 0sin  0 2 3 2 3   sin t lim t 0 t 1 1 4. . 1. 3. 1  3 2 2


27. D.

1 sin x  1 sin x 2x  1 sin x  1 sin x  lim x  0 2 x 1 sin x  1 sin x

a lim

x0





Bab 3 | Page 140

lim

x0

2 sin x





2 x 1 sin x x0  1 sin x sin x 1 lim x 0 x 1 sin x  1 sin x 1 1 1 1. 1.  1 1 2 1 0  1 0





b lim x lim x lim

x

xlim 

4x



x  4 x 2 x 4x 2 x 4 x 2 x 2











4x 2 x  4 x 2 x 2x 4x 2 x  4 x 2 x 2x x 2

4x x2

xx2 

2

4x x2

xx2

2 4 0  4 0 2 2 1    2 2 4 2 1 1 a b   1 2 2 

lim

29. C.

x0



x 1

x 1

x 1

x 3 x 2 1 x 2 6  xlim  3 2    x x 1 

x 2 6







x 3 2 x 2 5  2. lim  3  2 x  x x 1 



 22 1  lim  log   log  2 2          log 2 0 log 1 1 1 log 2 0 log 2 2  log 2 2

30. D.

1 x  3 f x ∆x f  x lim ∆x  0 ∆x 3 x ∆x  1  3 x 1 lim ∆x  0 ∆x  3 x 3∆x 1 3x 1 lim ∆x  0 x 3 x 3 ∆x  1  3x 1



lim log 22 1 log 

 

1. f  x  3x 1 ,

3 ∆x 1 ∆x 3 x 3 ∆x 1  3x 1 1 3 3x 3.0 1  3x 1 3  2 3 x 1

x 2 x 2 x 2  x 22 x 2  x 1lim

x 2 0 1 1 2 0 x 0

B. BENTUK URAIAN

lim ∆x  0

x 3 3x 2 4 x 22

lim x 0

1 a  2 Ambil a yang positif maka a 1 a 1



28. A.

lim x 0

1 2a 2 2a 1 0 2 2a 2 0 atau 2a 1 0



lim 2 x 2 ax 2a 2 1 x 3 2 2 2.1 a.1 2.a 1 2 2 a 2a 1 2 2 a a 1 0 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

. x 1

x3 x2 1  x 3 x 2 1 2 x 2 6   x  6  lim 1 3    2 x   x  x  1     

x 6 x 1 2

e e

lim

x   x 3 x 2 1

10 0 0 1 0 0

lim

e

x 3 x 2 6 x 6

x 

x 3 x 2 1

e1

 3x 2 4x 7  0 3. a. lim ax b x     

3x

lim x

xlim 

2



2 4 x 7  ax b  0

3 x 2 4 x 7  ax b 

3 x 2 4 x 7 a 2 x 2 2abx b 2 3x 2 4 x 7  ax b 

0

Bab 3 | Page 141

3 0 0 a 2 0 0  0 3 a 3 a 0 2

a 3 Nilai b sembarang b R

ax 2 bx 5 b. lim 1 x 5 x 5

pangkat tertinggi pembilang 2 pangkat tertinggi penyebut 1 nilai limitnya ada , berarti x 5 merupakan salah satu akar pembilang

x 5  ax 2 bx 5 0 a.52 b.5 5 0 25a 5b 5 5a b 1

Misal akar yang lain dari pembilang p Maka lim x p 1 x5

5 p 1 p 4

Jadi, fungsinya adalah  x 5 x 4

x 2 9 x 20 :4 14 x 2 94 x 5 1 9 Sehingga a  , b  4 4 4. f  x  x 2 mx n  x 2 nx m

5 lim f  x  maka 2 5 x 2 mx n  x 2 nx m  2 m n 5  2 2 1 m n 5  2 2 m n 5 …..(1) f  0 1 lim

0 2 m.0 n  02 n.0 m 1 n  m 1…..(2)  1 m n 5    2 n  m 1

m  n m  n 5 m  n 

m  n 5 …..(3)


Eliminasi (2) dan (3)

 m  n 1 m  n 5  2 m 6

m 3 m 9 (1)  m n 5 9 n 5 n 4 Jadi, m 9 , n 4 ax sin x b 1 cos x 1 1 1 1    2   .2.2 0 2 2 2 

5. a. lim

x 0

 1  1 x sin x xlim    0 0 1 1 2  2 sin 2 x sin 2 x   1  x sin x lim   0   2 x0 x  01 x 2 2 sin 2  1 x sin x 0  lim   x 0 2 cos x 1   1 2 x sin x 0 lim x 0 cos x 1 ax sin x b Jadi, lim x0 cos x 1 12 x sin x 0 lim x0 cos x 1 1 Sehingga a  , b 0 2 a 2 x  cos x b b. lim 1 x2 sin x 1 a 2 x  cos x b lim x2 sin x 1  2a x 2  sin  b 2 x  lim   x 2 cos x 1 2

 2a x 2  sin   x  b 2  cos  x  1 2 2   2a x 2  sin  x  b 2 lim   x 2 cos x  1 2  2a x 2  sin  b 2 x  lim  2 1  x 2 2 sin 2  x 2  a x  sin  x 2  b  1 2  2 1 1 1  sin 2  x 2 sin 2  x 2  sin 2

lim x

Bab 3 | Page 142

1 1 b 0  a. . 0 1 2 2 1 a 1 4 a 4 Jadi, a 4 b 0


Bab 3 | Page 143

Kunci Jawaban BAB 3 Math Sukino SMA XI IPA Semester 2

Recommend Documents