. são "vetores unitários". A série de Fourier de f(x) com relação ao sistema ortogonal {
=
00
I c.
c.
=
(f,
(7-51)
·
Se o sistema é ortonormal, a série fica oo·
I c.
c.
=
(f, .),
(7-52)
que é análoga às expressões
v v
=
=
v) + v) + vzk, v1e1 + ... + v0e. ,
Vx =V'
vj
=
i, ...
,
v·ej
para um vetor em termos de vetores de base no espaço tridimensional e no espaço n-dimensional. No entanto, como (7-51) é uma série infinita, surgem complicações devido a questões de convergência. Teorema 8. Seja {.(x)} um sistema ortogonal de funções contínuas no
intervalo a ;;;; x ;;;; b. Se a série
f:
n=1
c.
em a ;;;; x ;;;; b então (7-53)
de modo que a série é a série de Fourier de f(x) com relação a {
(f, ,J
=
=
.. ',
'
· · ·
=
=
de modo que (7-53) vale. As operações com a série são justificadas pela con vergência uniforme. Se o sistema é ortonormal, então l l
00
I c.
=
I c�
a ;;;; x ;;;; b,
e ambas as séries convergem uniformemente no intervalo, então c. =e� para n 1,2, .. =
.
469
C:1lculo Avançado Teorema 9. Seja
{"(x)}
um sistema ortogonal para o intervalo a�
e seja f (x) contínua por partes em a �
c1 ,
• . .
x�
x�
b
b. Para cada n, os coeficientes
, c" da série de Fourier de f com relação a
{"(x)} são as constantes llJ-gll2 o valor mínimo, quando g percorre lineares p 11 (x) + + P.
que dão ao erro quadrático todas as combinações
· · ·
erro é E"=
llJ-(c,1 + ... + c"")112= llJll2-ci111ll2-···-c;llnll2· (7-54)
Corolário. Sob as hipóteses do Teorema 9, temos
(7-55) de modo que a série
Lc; 11k 112 converge. Além O lim k-r ckllkll = .
As provas ficam como exercício (Probs.
disso,
(7-56)
5, 6, 7 abaixo); (7-55) é a desigualdade
de Bessel. Uma questão crucial é saber se podemos afirmar que E. converge a O quando
n--> oo.
f(x)
Isso equivale a perguntar se
pode ser aproximada, no
sentido do erro quadrático mínimo, tão bem quanto se queira, por uma com
"(x).
binação linear de um número finito de funções
{,,(x)}
Se isso ocorre, o sistema
é chamado completo.
Definição. Um sistema ortogonal
{.(x)}
para o intervalo a�
x�
b
chama-se completo se, para toda função contínua por partes f(x) no intervalo
a�
x�
b, o erro mínimo quadrático E.=
llJ-(c11
+
·
· ·
+
c.")112
con
verge a zero quando n tende a infinito. Se o sistema é completo, então o Teorema 9 mostra que
(7-57) Essa é a equação de Parseval. Reciprocamente, se a,equação de Parseval vale
para toda função f contínua por partes, então E. deve tender a O e o sistema
{ "(x)}
é completo. Portanto a validade da equação de Parseval é equivalente
à completividade. Se o sistema
{
l IJ112= ci
é ortonormal, a equação de Parseval fica
+ . . · + c; +
· .
.
Isso é análogo às relações para vetores
lvl2
=
v; + v; + v;,
Se o sistema ortogonal
{
lvl2
=
vi
+ · · · + v;.
é completo, então o erro quadrático E.
converge a O. Isso não implica na convergência da série de Fourier
Lc.
a f (x) embora as somas parciais sucessivas se aproximem de f(x) no sentido
do erro quadrático. Descrevemos a situação dizendo que a série converge em
média a
f(x),
e escrevemos L.e.m. •-oo
470
[c11(x) + · · · + c.
=
f(x),
Séries de Fourier e Funções Ortogonais
onde "L.e.m." significa "limite em média". Em geral, se temos funções f(x) e f,.(x) (11 = 1, 2, ...), todas contínuas por partes em a� x� b, escrevemos L.e.m. f,.(x)
=
f(x)
(7-58)
.�"'
se a seqüência llf.(x)-f(x)ll converge a O, isto é, se
!�n;,
r
[j(x)- f,.(x)]2 dx
=
o.
a
Observação. Pode-se provar as seguintes afirmações: (a) se f.(x) converge uniformemente a f(x) em a� x� b, então f,.(x) também converge em média a f(x), desde que tôdas as funções sejam contínuas por partes; (b) se j�(x) con verge em média af(x),f,.(x) pode não convergir uniformemente af(x); na ver dade, a seqüênciaf.(x) pode não convergir em a� x� b; (c) sej�(x) converge a /(x) a� x� b, mas não uniformemente.f.(x) pode não convergir em média a /(x). Para as demonstrações, ver Proh. 9 abaixo. Definição. Um sistema ortogonal { cfJ.(x)} para o intervalo a � x� b tem a propriedade da unicidade se toda função contínua por partes f(x) para a� x� b é univocamente determinada por seus coeficientes de Fourier com relação a {
=
Teorema 10. Seja {
7-12. CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA COMPLETIVIDADE Teorema 12. Seja {cf>.(x)} um sistema ortogonal de funções contínuas para o intervalo a� x� b. Suponhamos que valem estas duas propriedades: (a) {cf>.(x)} tem a propriedade ela unicidade; (b) para algum inteiro k, a .�érie de Fourier de g(x) com relação a {cf>.(x)} é unio f rmemente converw111e para
471
Cálculo Avançado
toda g(x) com derivadas contínuas até ordem k em a � x � b e tal que g'(a) g
g(a)
=
=
· · ·
=
=
=
=
· · ·
=
=
Demonstração. Seja f(x) continua por partes em a� x� b. Devemos e >O pode-se achar uma combinação linear c11(x) + + c.4>.(x) Y,(x) tal que li! - 1/111 < e. Por simplicidade, supomos que o inteiro k da hipótese (b) é 2, pois esse
mostrar que dado · · ·
=
caso é típico. A construção da função l/J(x) é feita em várias etapas. Primeiro determinamos
F(x) tal que lIF -f 11 < te e F(x) = O se a � x � a +ô x� b com uma conveniente escolha de ô. Isso encontra-se sugerido graficamente na Fig. 7-14. Denotamos por f1(x) a função contínua por partes
uma função contínua ou b -ô�
y
7
O
a+S
a
b-S
b
Figura 7-14. Aproximação da função f(x) contínua por partes por uma função continua
F(x)
e uma
função lisa G(x)
que coincide com
f (x), exceto para
a
� x � a + 28 e para b- 2ô� x� b,
onde f1(x) é identicamente zero. Agora, traçamos segmentos formando pontes
def1(x). Em cada salto, o segmento une [x0-ô,f1(x0-ô)] com [x0 +ô,f1(x0 +ô)]. A função F(x) portanto coincide com f1(x) exceto entre x0 -ô e x0 + ô, onde seu gráfico é um segmento. Então F(x) é contínua e
sobre os saltos
llF-!112
é soma de um número finito K de integrais da forma
f.xo+d .xo-d
[f(x)- f(x)]2 dx
[f(x)]2 de a a a + ô e de b -ô a b, onde F = O. Como f(x) é continua por partes, IJ(x)I� M para alguma constante M. Por cons trução, IF(x)I� M também. Logo IF(x)- f(x)I� 2M para todo x e
mais duas integrais de
fxo+6
[F(x)- f(x)]2 dx � 4M2 2ô. •
xo-�
Somando
Quando .
as
expressões
os
K
saltos
e
para
as
pontas
achamos
ô-+ O, a expressão à direita se avizinha de zero. Portanto, para ô li F !li < fe.
suficientemente pequeno,
472
para
-
Séries de Fourier e Funções Ortogonais Em seguida, escolhemos uma função
G(x) com primeira derivada contínua
a� x � b, tal que llG-Fll
G(x1)
=
h l
G(x) =O
damental
O< h< tb.
h será fixada abaixo. A função G(x) é então definida para todo x x �a + !ô e x � b -!ô como se queria. Pelo teorema fun do cálculo [Secs. 4-3 e 4- 1 2],
A constante e
fxi +h F(x}dx, x1-h
para
G'(x1)
1
=
h [F(x 1
+
h)- F(x1 -h)]. x. + i fx h [F(x)-F(x1)]dx 2h x1-h
Portanto G(x) tem uma derivada contínua para todo
fx1+h F(x)dx-F(x1) 2h x1-h 1
G(x1)-F(x1) =
e portanto
Ora,
1
=
Aplicamos a desigualdade de Schwarz (7-48) à integral à direita, com f (x) substituída por
F(x)-F(x1)
e g(x) por 1. Então
[G(x1)-F(x1)]2
2h � 4h 2
e
Se pusermos
x1
=
u, x
a Sec. 4-8)
=
u - v na
fx1+h [F(x)-F(x1}]2 dx , xi-h
integral dupla à direita, ela ficará (conforme
b h f - f [F(u-v)-F(u)J2 dudv, 2h -h 1
a
pois a região de integração no plano
H(v) a integral H(O) O. Agora
Se denotarmos por de
v
(Sec. 4-6) e
1
logo
é o retângulo a�
H(v)
u � b, -h � v � h.
será uma função contínua
=
llG-Fjj2 � 2h onde
uv
de dentro,
fh H(v)dv -h .
=
2h H(v*)·. 2h
=
H(v*), .
-h< v* < h, pelo teorema da média. Quando h--+ O, H(v*) 11 G-F11 < ±e se h for suficientemente pequeno.
tende a zero;
473
Cálculo Avançado
Em seguida, construímos uma função
g(x)
tem derivadas primeira e segunda contínuas e e
b-ib� x � b.
llg-G ii < ie, onde g a� x� a + ib
tal que
g(x)
=
O para
Basta repetir o processo de tomar médias acima:
g(x1)
=
f
Zlp
-
X1 + p
G(x) dx,
O
<
p
<
ib.
-p
X1
Os outros passos podem ser repetidos e a desigualdade desejada é obtida com
p.
uma escolha conveniente de
g'(x1) e
G
(x p p Zp [G(x 1 + )- G 1 - )] g(x) tem derivadas primeira
=
tem derivada contínua,
para todo
Como
1
x.
Finalmente, construímos uma combinação linear t/l(x)
tal que
llg-t/llJ
<
ie.
Como
g(x)
e segunda contínuas
=
c11(x) +
+
· · ·
c.
satisfaz a todas as condições da hipótese (b)
do teorema, a série de Fourier de
g(x)
e pelo Teorema 11, a série converge
é uniformemente convergente. Por (a)
a
g(x).
Pela observação que precede o
Teorema 10, as somas parciais dessa série também convergem em média a
g(x). Portanto, uma soma parcial S.h:) i/J(x) pode ser escolhida que llg-t/lll < ie. A função t/l(x) é precisamente a combinação linear procurada, =
de modo pois, por
(7-47),
llJ-1/Jll
llJ-F + F-G + G-g + g-t/111 llJ-F ll + llF Gii + llG-g ll + llg-1/Jll e. < ;te + ze + ±e + ie
=
�
=
Observação.
A demonstração acima mostra que a hipótese (a) pode ser
omitida, se, em (b), substituirmos "uniformemente convergente" por "conver gente em média a
g(x)".
O sistema trigonométrico: é completo no intervalo -n � x � n.
Teorema 13 .
Demonstração. As
1, cos x, sen x,
.
. . , cos nx, sen nx, ...
hipóteses (a) e (b) do Teorema 12 são satisfeitas em
vista dos Teoremas 3 e 5 acima. Logo o sistema é completo. *7-13. INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO DE SÉRIES DE FOURIER. Teorema 14. Um sistema ortogonal {.(x)}, para o intervalo a� x � b é completo se, e só se, para duas funções quaisquer f(x) e g(x) contínuas por partes para a� x� b, temos
(f,g)
=
fb
f(x)g(x) dx
a
c.c� .�1 ll
=
(7-59)
onde e., c � são os coeficientes de Fourier de f(x) e g(x), respectivamente, com relação a {
474
Séries de Fourier e Funções Ortogonais
Observação. A equação (7-59) chama-se a seg unda forma da equação de Parseval. Quando o sistema é ortonormal, ela se reduz à equação (f, g) = e A + + e.e: + , e. (f,
· · ·
=
=
que é análoga à equação
para vetores.
Demonstração do Teorema 14. Se vale (7-59), então, tomando g = f, (7-57); logo o sistema é completo. Reciproca mente, seja {
1
(f, g) = 4
fb a
fb
1
(f + g)2 dx4
Agora a equação de Parseval para
Somando as duas séries, obtemos
f
+ g e
=
-
(f -g)2 dx .
a
f- g
dá
(7-59).
15. Seja {
Teorema
fx2 xi
Observação.
.�1 co
f(x)g(x) dx
=
e.
fx2
g(x)
xi
(7-60)
O teorema afirma que a integral no primeiro membro pode
ser calculada por integração termo a termo da série
'Lc.g(x)
Isso é notável,
pois não há hipótese de convergência - muito menos de convergência uni forme - da série antes da integração.
Demonstração do Teorema 15. Estendemos a definição de g(x) a todo a � x :;:::; b pondo g(x) = O para a :;:::; x :;:::; x1 e para x 2 :;:::; x :::=:; b. Então a equação de Parseval (7-59) dá intervalo
tª f(x)g(x) dx
J
=
li
(7-60)
fx2, x f b
f(x)g(x) dx
=
g(x)
Q
vale. Escolhendo
obtemos o' resultado seguinte:
n�t c.c�ll
=
=
fx2
g(x)
Xt
g(x)
=
1,
para
x1 � x :::=:;
x2,
475
Cálculo Avançado
Corolário. Sob as hipóteses do Teorema 15,
f"2
f(x) dx =
� cn f"2
n-l
Xt
(7-61)
Xt
ou seia. é permissível a integração termo a termo de toda série de Fourier com relação a um sistema ortogonal completo {
+ cos nx +
·
·
·
·
· ·
·
· · ·
+ +
diverge. A diferenciação multiplica o n-ésimo termo por n, o
que interfere com a convergência; a integração divide o n-ésimo termo por n, o que ajuda a convergência. A regra mais segura para seguir é a do Teorema 33 da Sec. 6-14: vale a derivação termo a termo se a série derivada converge uniformemente no intervalo considerado.
PROBLEMAS 1. Seja
=
sen nx (n =1, 2, ...).
(a) Mostre que as funções
n.
(b) Mostre que as funções
<
x� n. Mostre que todos os coeficientes
de Fourier de F(x) são O.] (c) Mostre que a série de Fourier de senos de f(x) é uniformemente con vergente para toda f(x) tendo derivadas primeira e segunda contínuas para O� x�
n
e tal que f(O)
=
f(n)
=
O.
(d) Mostre que {
n.
cos nx 2. Repita os passos (a), (b), (c), (d) do Prob. 1 para as funções
·
em (c). 3. Prove a validade de
(7-44) para funções f(x), g(x) que são contínuas por
partes para a� x � b.
4. Verifique que a desigualdade de Schwarz (7-48) e a desigualdade de Minkowski (7-49) valem paraf(x) x e g(x) =e" no intervalo O� x � 1., 5. Prove o Corolário do Teorema 8 [ver a demonstração do Corolário do Teorema 1, Sec. 7-2]. 6. Prove o Teorema 9 [conforme Prob. 7 em seguida à Sec. 7-4]. 7. Prove o Corolário do Teorema 9 [conforme a prova do Corolário do Teo rema 2, Sec. 7-4]. 8. Prove o Teorema 10. [Sugestão: mostre pela equação de Parseval (7-57) que, se (h,
=
476
=
Séries de Fourier e Funções Ortogonais
9.
(a) Suponhamos as funções f.(x) contínuas para a �
b e suponhamos
x�
que a seqüência f.(x) converge uniformemente a f(x) em a � x � b. Prove que L.e.m. f,,(x) f (x) •�oo (b) Prove que a seqüência cos•x converge a O em média, para O� x � =
.
mas não converge para x n,
O� x � -'z (c) Seja f.(x)
=
n.
n,
Prove que a seqüência converge para
mas não uniformemente.
x � 2/n, O para � 1 . Mostre que a seqüência converge para O em O� x ;;::; 1, mas não uniformemente e que a seqüência não converge, em média, a O. 2/n�
=
x
O para O� x � 1/n, = n para 1/n�
=
10. Prove o Teorema 11 [conforme a demonstração do Teorema 4 da Sec. 7-7]. *7-14. SÉRIE DE FOURIER-LEGENDRE. Até agora só consideramos três exemplos de sistemas ortogonais: o sistema trigonométrico, o sistema de Fourier de cossenos, o sistema de Fourier de senos. Nesta seção damos um quarto exemplo, o dos polinômios de Legendre; na seção seguinte outros exem plos serão considerados.
P.(x)
Os polinômios de Legendre pela fórmula de Rodrigues
P.(x) =
P0(x) = 1 ,
Assim,
P1(x)
1
=
2
d" 1 - • 1 2 n. dX
11
d 2 (x -1) dx
=
(n
=
O, 1, 2, . . . ) podem ser definidos
(x2- l)"
(n
=
1, ,2 ... ).
(7-62)
x,
2
1 d 3 2 1 4 2 P2(x)=g2(x -2x + l) = z x -2' dx
P3(x)
=
5
2x
3
-
3 x, 2
P4(x)
=
35 4 15 2 3 x x + 8' · 3 4
··
Teorema 16. P.(x) é um polinômio de grau n. P .(x) será uma função ímpar ou uma função par conforme n seja par ou ímpar. Para n !, 2, ... , valem =
as identidades. (a)
+
P�(x) = xP�_1(x)
(b) P.(x) = x P.'-1(x) +
nP._1(x),
x2-1
n
--
(7-63)
P�_1 . (x) .
Demonstração. As afirmações quanto ao grau e quanto a ser par ou impar podem ser verificadas pela definição. Para provar a identidade (a), fazemos
u = x2
-
1. Então
P�(x)
=
=
1 d" - . 2 n.'d x
1 d"+ l • ' n+1 2 n. d x
li'= -·
1 •2 -l(n- l)!
(
X
d"
dx"
n-1
u
(
2nxu•
+ n
-t
)
dn-1
dx
n- 1 n-1 u
pela regra de Leibnitz para (u·v)<•l (Eq. (0�94), Sec.
)
= xPn 1 + nPn-1' '
-
0-8]. Para provar a identidade 477
Cálculo Avançado
(b), escreyemos P.(x) de dois modos diferentes p
n
1 __
� (u·u"-1)
[
=
2"n! dx"
=
--
P.
1 d" u-u• -1 ! � W 1
dn-1
=
-
--
=
2•-l(n -1)!
2"n! dx"- 1
+ 2xn
d"-2 dn-I _ u•-l + n(n-l) n-2 u •- l ; d� 1 dX
J
-
(2nxu.-1)
1
[
x
d" - 1 -1 u"- 1 + (n dx"
-
1)
d"-2 - u•-1 . dx" 2
J
Se subtrairmos a segunda equação de duas vezes a primeira, obteremos (b). Veremos que as identidades (a) e (b) mais o fato que
P0(x)
=
1 bastam
para provar todas as outras propriedades que precisamos, sem usar mais a defi nição (7-62). Teorema 17. Os polinômios de Legendre satisfazem às se17uintes identidades e relações:
(c) P;,+ 1(x)-P �_1 (x) (d)
e/ [(1 dx
- x2)P �(x)]
(2n +
=
1) P. (x)
+ n(n + l)P.(x)
1
=
n
n
=
-
(h )
l -x2 -2- P�2 + P; � 1
(i)
jP.(x)j � 1
(1)
(n
n
( j xj
(x)Pm(x) dx
f [P.(x)]2dx 1
(k)
_1
"
x
(n
� 1)
=
,
.
� 1)
O
n + 1
=
(f) P.(l) 1, P.(- 1) ( - l)" 1-x2 z z 1- x2 ,z (g) 2 P n + P. -2-- Pn - I
f�
=
(2n + l)xP.(x)-nP._1(x)
(e) P.+ (x)
(j)
(n
=
=
+ p
z
n -1
(n � 1) (7-64)
� l,j xj � 1)
� 1) O
(n -# m)
2-
2n + 1
-
pode ser expressa como combinação linear de
P0(x),
.
.
.
, P,,(x).)
As demonstrações ficam como exercícios (Probs. 2 a 9 abaixo).A identidade
(d) é a equação diferencial satisfeita por cada P ,,(x); sua importância será vista no Cap. 10. A identidade (e) é conhecida como fórmula de recorrência para poli nômios de Legendre. Exprime cada polinômio em termos dos dois elementos precedentes da seqüência; portanto, sabendo que Pó 1 e P1 x, podemos =
determinar sucessivamente P2, P3,
mos afirmar:
478
.
=
.. só usando (e). Em vista de (j) e (k) pode
Séries de Fourier e Funções Ortogonais
Teorema 18. Os polinômios de Legendre P.(x) (n =O, 1, 2... )f ormam um sistema ortogonal para o intervalo -1 � x � 1 e
(7-65) Portanto podemos formar a série de Fourier de uma funçiio arhitrúria
f( x) contínua por partes em -1 � x � 1, com relação ao sistema{P.(x)}: ,
"'
I n=O
(7-66)
c.P.(x),
Veremos que essa série "de Fourier-Legendre" comporta-se essencialmente do mesmo modo que as séries de Fourier trigonométricas. Teorema 19. O sistema de polinômios de Legendre no intervalo -1 � x � 1 tem a propriedade de unicidade.
7-7) pode ser repetida com ligeiras modi (1) àcima, todo polinômio em x pode ser expresso como com
A prova do Teorema 3 (Sec.
ficações. Por
binação linear finita de polinômios de Legendre; logo basta construir uma função-pulsação P(x) polinomial. Vê-se imediatamente que o polinômio
tem as mesmas propriedades que a função P(x) usada na Sec.
7-7, de modo
que a prova pode ser completada do mesmo modo.
Teorema 20. Sef(x) é muito lisa para -1 � x � 1, então a série de Fo11rier -Legendre de f(x) converge uniformemente para -1 � x � 1.
Demonstração. Usando (c) e integração por partes, obtemos
e = .
=
Devido a
e•
=
.
=
1.2
2n
1
.
f(x)P.(x)dx= _1
!
J[f(x){P,.+ 1(x)-P11_ 1(x )}]
fl
_ 1
f(x) ( P�+ 1 -P�_1)dx
[ -t f/ 1
(1), o primeiro termo é O. Integrando
f
4n
; fl
1
f" (x) -1
�
6
[
·
'(x) (P., + 1-P._1)dx.
pur partes novamente, obtemos
J
Pn+2-P._ P.-P.-2 dx 2n + 3 2n - 1
(f",Pn+l)-4 n
�
6
(f",Pn)-4
n
� 2(f",P.)
+
1 4n - 2 (f ", P" 2 ). _
479
Cálculo Avançado
Portanto, . como 4n - 2 é o menor denominador,
�2 [j(f", Pn
lcnl � 4n
+ 2) 1 + 2 l (f",
(lif"ll ii P.+2 li ;;i 4n 2
�
·
+
P.)!
+
IU", P.-z)IJ
2iif"ll ·li P. li
+
ilf"ll il P.-2 !!),
+
/2\ '1 2n='3}
·
pela desigualdade de Schwarz (7-46). Por (7-65),
1 c 1 ·< •
=
:S;
fl(J
4n- 2
llf"ll --
- 4n-2
2 2n + 5
J
+ 2
2 2n + 1
4 ./2 4./2iif"ll � :::;; (2n-3)3/2'=Mn . -
Por (i), pode-se aplicar o critério M de Weierstrass à série de Fourier-Legendre de
f(x):
.
·
lc.P( . x)i � M.
=
const. vezes (2n-3)-312.
A série r, M. converge pelo critério da integral. Logo a série de Fourier-Legendre
converge uniformemente para
-1 $ x �
t.
Corolário. Se f(x) é muito lisa em -1
·Legendre de f(x) converge uniformemente
� x � 1, então a série de Fourier f(x) em 1 � x � 1.
a
-
Isso é conseqüência dos Teoremas 11, 19 e· 20.
Observação. Nenhuma condiç.íu de periodicidade ou outra em x
=
±1
é imposta a f(x), como no teorema análogo (Teorema 5) para séries trigono métricas. Isso por causa da simetria dos polinômios de Legendre, semelhante às das funções cos nx (Prob. 2 seguinte à Sec. 7-13). Teorema 21. Os polinômios de Legendre formam um sistema ortogonal
completo para o intervalo -1 � x� 1. Isso resulta imediatamente dos t.eoremas precedentes, em vista do Teorema geral da Sec. 7-12.
Observação. Dada uma seqüênciaf,,(x) de funções contínuas em a� x � b tal que toda famHia finita de funções nunca dependa linearmente, podemos cons truir combinações lineares:
1 =.fl' 2 = aJ1
+ a2f2, . . . , tal que as funções
{
·
com o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, descrito na Sec. 3-9. Se escolhemos a seqüênciaf.(x) como sendo l, x, x2, -
1
• . .
e o intervalo como sendo
� x � 1, as funções
Legendre. O caso de uma função f(x) que é muito lisa por partes é tratado como .
para séries de Fourier estudando uma particular função de salto s(x). Não tratamos aqui dos detalhes, apenas damos o resultado: tal como a série de
Fourier, a série de Fourier-Legendre converge uniformemente para a função
480
Séries de Fourier e Funções Ortogonais em todo intervalo fechado que não contem descontinuidades e converge em cada descontinuidade de salto ao valor médio
t[ lim
f
(x)
x_.x1-
+
lim f
(x)].
x-+x1+
Deve-se salientar que não há comportamento especial nos pontos
x
=
± 1;
aqui, a série converge para a função (desde que a função permaneça contínua). Para um tratamento mais completo, o leitor pode consultar o livro de Jackson, referido no final do capítulo.
*7-15. SÉRIES DE FOURIER-BESSEL. Consideramos primeiro um
caso particular dentre as funções de Bessel.
A função de Bessel ef.e primeira espécie de ordem O é definida pela equação
Jo(x)
=
x2
1- 22 +
x4 x2n 24(2!)2 + . .. + (-1)" 22" ! 2 + ...
(7-67)
(n )
O critério da razão mostra que essa série converge para todo valor de série lembra a de cos x e, como o gráfico da Fig. 7-15 mostra,
x.
Essa
J0(x) de fato se
y
Figura 7-15. A função de Bessel J 0(x) parece com uma função trigonométrica. Em particular,
J0(x) tem infinitas raízes.
As raízes serão denotadas, em ordem crescente, por À.1 , À.2, .. . , Àk,
. .
. Pode-se
mostrar que, quando k cresce, essas raízes têm um espaçamento cada vez mais próximo de
n,
A função
que é o caso das raízes sen x e cos x. J0(x) desvia-se do modelo das funções tr.igonométricas porql!_e lim X ...
00
J0(x)
=
O. ---------·--·
Cálculo Avançado A oscilação representada por
J0(x)
é "amortecida". A taxa de amortecimento
aparece na seguinte "fórmula assintótica" :
Jo(x) onde
r(x)
(2 = V � sen
(x n ) + -4·
+
r(x) x
3/2.
X>
O,
(7-68)
é limitada:
jr(x)j
<
K.
(7-69)
Em outras palavras, a função
difere da função sen (x +
zero quando
x
±n)
por uma quantidade
r(x)/x
que se avizinha de
tende a infinito.
Por causa da ortogonalidade das funções trigonométricas, não é sur preendente que exista uma correspondente relação de ortogonalidade para as funções
fi J0(}. x): ••
(7-70) Em vista da condição (7-70), diz-se freqüentemente que as funções
?rtogonais com relação ao fator peso p(x)
r As funções
J0(À.x)J0(Àmx)p(x) dx fi J0(). x) .•
=
=
O,
.10()."x) são
x: n # m,
p(x)
=
x.
podem agora ser tomadas como base de séries de
Bessel-Fourier. Por simplicidade, escrevemos a função a ser expandida como
fi .f(x),
de modo que a série para .f (x) é 00
L c.J0(À.x).
n=l
Como se pode mostrar que
B.
=
f
x[J0(À.x)]2 dx
=
t[J�(Ã.}]2,
a série para .f (x) é dada por 00
L c.J0(À.x),
(7-71)
n=l
Essa série é usualmente chamada a série de Fourier-Bessel de ordem O de .f(x).
482
Séries de Fourier e Funções Ortogonais
Jx
Devido à íntima relação entre as funções J0(..1..x) e as funções trigo nométricas, é natural esperar teoremas de convergência análogos aos das séries
{ Fx J 0(..1..x)}
de Fourier. Pode-se de fato mostrar que o sistema
é completo
para o intervalo O� x � 1. Logo, pelo Teorema 11 da Sec. 7-11, a série de Fourier-Bessel de f(x) converge a f(x) sempre que a série é uniformemente convergente. Pode-se mostrar que a série é uniformemente convergente se f(x) tem, por exemplo, uma derivada segunda contínua ef(l) exigência em x
1 é devida ao fato de que, quando x
=
=
=
O Essa estranha .
1, toda função J0(..1..x)
é O. Se f(x) é muito lisa por partes, uma análise de funções de salto mostra outra vez que a série é uniformemente convergente a f (x), exceto perto dos pontos de descontinuidade, onde a série converge à média entre os limites à esquerda e à direita.
Para detalhes da teoria de tais expansões, o leitor poderá consultar o Cap. XVIII do tratado de Watson mencionado na lista no final do capítulo. A função de Bessel de primeira espécie e ordem m geral é denotada por Jm(x) e definida por m n (- l)"x +2 Jm(x) (7-72) m +2 nn! r(m + n + 1) n o 2 A função r(x) foi definida para todo x exceto O, -1, -2, -3, ... na Sec. 6-24. A definição (7-72), portanto, falha sem é um inteiro negativo. No entanto, poderá ser usada para esses valores se interpretarmos 1/r(k) como sendo O para k O, -1, -2, .. . Agora, seja m fixado, m � O, e denotemos por À..,;1 , À.m2 , ..., À.mn , ... as raízes positivas de Jm(x). É possível mostrar que essas raízes podem ser enumeradas, numa seqüência crescente, como para J0(x), e que as funções oo
=
�
=
=
Fx JmP·rnnx) formam um sistema ortogonal completo para o intervalo
O :::=; x :::=; 1. A correspondente "série de Fourier-Bessel de ordem m" é unifor memente convergente para toda função segunda contínua no intervalo e f(l)
=
Fx f(x)
tal que f(x) tem derivada
O. Para demonstração, citamos nova
mente o tratado de Watson. Tabelas e gráficos dos polinômios de Legendre como das funções de Bessel existem. O Tables of Functions de E. Jahnke e F. Emde (New York: Stechert,
1938) fornece tais dados e também um conveniente sumário das propriedades das funções. Mencionamos a seguir vários outros importantes sistemas de funções ortogonais sem os discutir.
Os polinômios de Jacobi.Para cada IX > -1, fJ > -1, o sistema de polinômios {P'.,"·P l(x)} (n O 1, 2, ...) é definido pelas equações =
P�ª· Pl(x) As funções
,
=
=
(- 1)" d" n . 1 ( 1-x)-• (1 + x)-P - n [( 1-x)"+ (1 + xf+"J. 2 n. dX
(7-73)
(1 - xf1 '2"'(1 + xJ° '2JP P��·P1(x) formam um sistema ortogonal IX fJ O, as funções
completo no intervalo -1 � x � 1. Quando
=
=
duzem-se a polinômios de Legendre.
483
Cálculo Avançado
Polinômios de Herrnite. O sistema dé polinômios {Hn(x)}
é definido pelas
equações H (x) "
d
=
"
( 1 ) e 1 12 x2 - e-112·'2 -
"
dx"
São ortogonais sobre o intervalo irifinito peso e -112x2.
(n
oo <
x
=
O, l, 2, . . . ).
< oo
( 7 74 ) -
com relação à" função
Polinômios de Laguerre. Para cada or: >-1, o sistema de polinômios {L�>(x)} é definido pelas equações:
(7-75) São ortogonais sobre o intervalo infinito O ;;:; x < oo com relação à função ª peso x e-x. Quanto ao significado de intervalos infinitos e maiores informações sobre essas funções, recome1tdamos o livro de Jackson citado no final do capítulo. Todas essas funções surgem de modo natural em problemas fisicos. Isso será ilustrado no' Cap. 10, onde mostraremos que cada problema, de uma grande classe de problemas fisicos, automaticamente fornece um sistema com pleto de funções ortogonais. PROBLEMAS
1. Fazer o gráfico de P0(x), .P1(x), ..., P4(x). 2. Prove as seguintes partes do Teorema 17: (i) parte (c); (ii) parte (d); (iii) parte (e). Cada uma pode ser deduzida só de
(7-63). 3. Prove a parte (t) do Teorema 17 por indução, usando a fórmula de recor rência (e). 4. Prove a parte (g) do Teorema
17 elevando ao quadrado (a) e (b) de (7-63) e eliminando os termos em P n-i, p;,_1 das equações obtidas. 5. Prove a parte (h) do Teorema 17. [Sugestão: mostre por indução que (g) dá a cadeia de desigualdade: 1-x2
p � n'2
•
+
p2 n
< =
1-x2 p'2 n-1 (n 1)2
+
p2 < . . . < 1 n-1= = '
lxl ;2; l.]
6. Prove a parte (i) do Teorema
17 como conseqüência de (h). {Sugestão: para toda função muito lisa f(x) ein -1 ;2; x ;2; l, seja f*(x) [(1- x2)f'(x)]'. Prove por integração por partes que (f *, g)-(f, g*) = O. Tome f= P"(x), g Pm(x) e use a equação diferencial (d} para substituir f* por-n(n + l])f e g* por -m(m + 1 )g, e conclua que (f, g) [m(m + 1)- n(n + 1)] O } Prove a parte (k) do Teorema 17. [Sugestão: use a fórmula de recorrência (e) para exprimir Pn em termos de P._1 e Pn_2 e use a condição de ortogo nalidade para mostrar que (P., P.) = [(211-l)/n](xP., P"_1). Aplique a
7. Prove a condição de ortogonalidade (j). =
=
=
8.
484
.
Séries de Fourier e Funções Ortogonais
xP.
fórmula de recorrência a
(P., P.) (P., P.) 9.
=
=
e use a ortogonalidade para mostrar que + 1)]. Agora prove por indução que
(P._1, P._1) [(2n-1)/(2n
2/(2n
+
1).J
Prove a parte(!) do Teorema 17 por indução, usando o fato de ser P.(x) um polinômio de grau n.
*7-16. SISTEMAS ORTOGONAIS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VA RIÁVEIS. A teoria das Secs. 7-10 a 7-12 pode ser generalizada com pequenas modificações para funções de várias variáveis; basta substituir o intervalo por uma região fechada e limitada R e a integral definida por uma integral múltipla sobre R. Por exemplo, em duas dimensões, o produto interior e a norma são definidas como segue:
(f, g )
=
ff
f(x, y)g(x, y) dx dy,
}!
R
li f 11
=
(f,
1'2
J)
=
{ff
(7-76)
[f(x, y)]2 dx dy
R
Sistemas ortogonais são definidos como antes e pode-se considerar a sene de Fourier correspondente. A discussão de descontinuidades fica mais com plicada, e, para a maior parte das aplicações, é suficiente considerar funções contínuas. Os análogos dos Teoremas 7 a 11 podem então ser provados essencial mente sem alteração. A generalização do Teorema 12 pode ser provada, mas exige mais cuidado. Correspondendo ao sistema trigonométrico, temos o seguinte sistema em duas dimensões:
1,
sen x,
cos x, sen y, cos y, sen x cos y, ..., sen px sen qy, cos px senqy, sen px cos qy, cos px cos qy,... (7-77)
Esse sistema pode ser ordenado de modo a formar um sistema {
00
L: L: {apqsenpx senqy + bpq cos px senqy q=o p=o + cpq sen px
cos qy
isso corresponde a um reordenamento e reagrupamento série é absolutamente convergente, então o raciocínio que a série dupla tem a mesma soma que a série simples Se f(x, y) tem derivadas primeiras e segundas contínuas periódica nas duas variáveis,
a
f(x, y)
=
f(x
+
2n, y)
=
f(x, y
+
+ dpq cos px
(7-78)
cosqy}.
especial da série; se da Sec. 6-10 mostra em qualquer ordem. para todo (x, y) e é
2n),
então um argumento análogo ao da Sec� 7-8 mostra que a série converge abso luta e uniformemente, com soma f(x, y).
485
Cálculo Avançado
*7-17. FORMA COMPLEXA DAS SÉRIES DE FOURIER. INTEGRAL DE FOURIER. Da identidade
eix = cos x + i sen x
(i
=
.j"=t)
da Sec. 6-19 obtemos as relações =
COS X
-- -. 2
-
senx =
(7-79)
---
2i
Uma série de Fourier
�+
00
I n=l
(an cos nx + bn sen nx)
pode, pois, ser escrita na forma 00
00
I (cnei•x + d.e-inx) = I � + n=1 n=
-co
e
n
O somatório de
-
ª· - ib. =--,
d = ª• + 2
2
a
oo
00
n�-co
=
•
e
n -
(7-80)
(n=l,2, .... )
é entendido como sendo uma soma. de duas séries
oo
" �
ib.
c.ei•x,
e einx = � e einx + � n i..J � n 00
00
n=O
n=1
e
-n
e-inx
·
Se ambas convergem, o resultado é claramente o mesmo que na série no pri meiro membro de
(7-80).
A forma (7-80) tem várias vantagens. Os coeficientes nidos diretamente em termos de
e
"
=
2 -
2n
f"
.
f(x)e -inx dx
-n
pois a integral à direita é
1 2n Quando quando
n
n
=
<
f (x):
fx
_,,
f(x)
t(a_. =
f
.
podem ser defi
(n =O, ±1, ±2; ...),
(7-81)
f(x) (cos nx- i sen nx) dx.
O, isso dá !a0; quando n
O vale
e
>
O, a integral é igual a !(a. - ibn), e
+ ib -n). Tem-se, pois,
n= -co
c.einx,
sempre que a série converge a
(7-82)
f (x).
Para o trabalho formal com séries de Fourier, e mesmo para cálculo de coeficientes, a série
486
(7-82) oferece simplificação considerável.
Séries de Fourier e Funções Ortogonais
É
interessante notar que, com um processo adequado de passagem ao
(7-82)
limite, as equações
J
1
f(x) = r;;: v 2n
oo
-
conduzem às relações
oo
J
1 g(t) = r;;: v 2n
g(t)eixr dt,
oo
-
oo
.
f(x)e-•x< dx.
(7-83)
Portanto, com hipóteses adequadas, uma funçãof(x) definida para - oo
< x < oo (eixr = integral de
pode ser representada como "soma contínua" de senos e cossenos
= cos xt + i sen xt). A integral que representa f(x) chama-se a Fourier de /(x). Os coeficientes de Fourier de f(x) nessa representação integral são os números g(t), os quais forma1?1 uma nova função. As Eqs. (7-83) mos tram que a relação entre f e g é quase simétrica. As Eqs. (7-83) podem também ser escritas em forma real como segue: f(x) =
100
1 a(t) = -;
a(t) cos xt dt
J
oo
_ 00
+
100
f(x) cos xt dx,
/J(t) sen xt dt,
p(t)
=
1
-
7t
J
oo
- 00
(7-84) f(x) sen xt dx. .
Isso está em analogia direta com a forma real das séries de Fourier. A validade das fórmulas belecida se
f(x)
(7-83)
ou das equivalentes
(7-84)
pode ser esta
é lisa por partes em todo intervalo finito e se a integral
f-'
if(x)\ dx
00
converge; a integral de Fourier converge à média dos dois valores-limite de
f(x)
nas descontinuidades de salto. Para uma prova, indicamos ao leitor a
pág.
88 do livro de Churchill sobre séries de Fourier citado no final deste capítulo. PROBLEMAS
(7-77) -n � x � n, -n � y � n.
1. (a) Prove que as funções R:
(b ) Expandir f(x,
y) = x2y2
formam um sistema ortogonal no retângulo
em série de Fourier dupla em R.
2. Represente as seguintes funções como integrais de Fourier: (a ) (b)
3.
/(x) =O, x
Mostre que, se
fé
f 00 o
>
1.
par, então sua integral de Fourier reduz-se a
a(t) cos xt dt,
a(t) =
2
-
7t
f
00
f(x) cos xt dx
o
487
·
Cálculo Avançado e
que, se f é ímpar, sua integral de Fourier reduz-se a
f0 4
1.
(b) �
+
9
fJ(t) sen xtdt,
/J(t)
=
2
-
1t
foo o
f(x) senxtdx.
RESPOSTAS
200 nx + 4 co\ _2:_ L (- lr cos �Y _2:_ L (- l)"
4200 3
n
n=l
m
3 m=l
+ 16
2.
(a) (b)
1
-
1t
1 1t
-
- ir+•cos n� c�s my.
f f(
n=1m=1
nm
00cosxt + tsenxt dt, 1 2 + t
í f
o
- cos t) sen xt d 00sent cos xt + (1 . t. t
o
REFERÊNCIAS Churchill, Ruel V., Fourier Series and Boundary McGraw-Hill,
Value Problems. New York:
1941.
Churchill, Ruel V., Modern Operational Mathematics in Engineering. New York: McGraw-Hill,
·
1944.
Franklin, Philip, Fourier Methods. New York: McGraw-Hill,
1949.
Franklin, Philip, A Treatise on Advanced Calculus. New York: John Wiley and Sons, Inc.,
1940.
Jackson, Dunham, Fourier Series and Orthogonal Polynomials (Carus Mathematical Monographs, n.º
6).
1941. 1938.
Menasha, Wisconsin: Mathematical Association of America,
Jahnke, E., and Emde, F., Tables of Functions. Leipzig: B. G. Teubner,
Rogosinski, Werner, Fourier Series (traduzido para o inglês por H. Cohn and F. Steinhardt). New York: Chelsea Publishing. Co.,
1950.
Szego, Gabor, Orthogonal Polynomials (American Mathematical Society Coloquium Publications, Vol.
23).
New York: American Mathematical Society,
.
1939.
Titchmarsh, E. C., Eigeefunction Expansions. Oxford: Oxford University Press,
1946. 1937.
Titchmarsh, E. C., Theory of Fourier Integrais. Oxford: Oxford University Press, Watson, G. N., Theory of Bessel Functions, 2.ª edição. New York: Macmillan, Whittaker, E. T., e Watson, G. N., Modern Analysis,
bridge University Press,
1940.
4.ª
1944.
edição. Cambridge: Cam
Wiener, Norbert, 1he Fourier Integral. Cambridge: Cambridge University Press,
1933.
488
Zygmund, A., 11-igonometrical Series, Varsóvia,
1935.
capítulo 8
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 8-1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Uma equação diferencial ordinária de ordem
n
é uma equação da forma
y', ..
F(x, y,
que exprime uma relação entre derivadas y', y", ... até ordem
.
=
(8-1)
O,
uma função não especificada y(x), e suas
x,
n.
, y
Por exemplo
y" +
3y' +
{y'")2
-
2y-6e"
=
2y' y"' + (y")3
(8-2)
O
,
=
o
(8-3)
3 respectivamente. (8-1) tenha significado, é necessário que a
são equações diferenciais ordinárias de ordens 2 e Para que a equação diferencial
função F esteja definida em algum domínio do espaço das variáveis de que depende. Neste capítulo consideraremos principalmente equações que podem ser resolvidas em relação à derivada de ordem mais alta e escritas na forma y
=
F(x, y, y', ... , y
(8-4)
A Eq. (8-2) pode imediatamente ser reduzida a essa forma. A Eq.
(8-3) é uma
equação quadrática em y'"; resolvendo essa equação quadrática, obtemos duas equações diferentes para y'", isto é, duas equações da forma
(8-3) é uma equação diferencial de
(8-4). Dizemos: 1.
grau 2, enquanto que (8-2) é de grau
Também consideraremos sistemas de equações diferenciais (Sec. 8-12). A expressão "ordinária" é usada aqui para. ressaltar que não aparecem derivadas parciais, havendo só uma variável independente. Uma equação como
a2 z ôx2
a2 z ôy2
--- = o
(8-5)
seria chamada equação diferencial parcial. O Cap.
10 trata dessas equações.
As aplicações das equações diferenciais ordinárias a problemas de fisica são numerosas. As equações da dinâmica são relações entre coordenadas, ve locidades, acelerações, e o tempo; Jogo, dão equações diferenciais de segunda ordem ou sistemas de ordem maior. Circuitos elétricos obedecem a leis descritas por equações diferenciais ligando correntes e suas derivadas com relação ao tei:npo. Servomecanismos, ou controles, são combinações de componentes me cânicas e elétricas (e outras), e podendo ser descritos por equações diferenciais. Problemas envolvendo meios contínuos (dinâmica dos fluidos, elasticidade, condução de calor, etc.) levam a equações diferenciais parciais.
(8�1) uma função (8-1) e suas derivadas são substituídas por ({x)
8-2. SOLUÇÕES. Chama -se solução particular de y
=
f(x), a < x < b, com derivadas até ordem
torna-se uma identidade quando y
n
no intervalo e tal que
489
Cálculo Avançado e suas derivadas. Assim y
=
ex é uma solução particular de
(8-2) e y =
x
é
uma solução particular de (8-3). Para a maior parte das equações diferenciais que serão consideradas aqui, provaremos que todas as soluções particulares podem ser incluídas numa fórmula: y=f(x ,c1, •
onde
c1,
. • .
, e.
dos valores das
• .
(8-6)
,cn)
são constantes "arbitrárias". Assim, a cada escolha particular e,
(8-6) dá uma solução de (8-1) e todas as soluções podem ser
obtidas dessa maneira. (O campo de valores das
e
e de
x
pode ter de restringir-se,
em alguns casos, para evitar expressões imaginárias ou outns dificuldades.) Por exemplo, todas as soluções de (8-2) são dadas pela fórmula
(8-7) a solução y
=
ex é obtida quando
e1
=
O,
= O. Quando se obtém uma fórmula
e2
como (8-6), fornecendo todas as soluções, ela se diz a solução geral de (8-1 ). Para as equações que serão consideradas aqui será provado que o número de constantes arbitrárias é igual à ordem n.
A presença de constantes arbitrárias não deve surpreender, pois aparecem na equação diferencial mais simples: y
'
=
F(x).
(8-8)
Todas as soluções de (8-8) são obtidas por integração: y=
f
Aqui há uma constante arbitrária:
c1
F(x) dx + C. =
(8-9)
C. Isso pode ser generalizado a equações
de ordem mais alta, como mostra este exemplo: " y
=
20 x 3
.
(8-10)
' Como y" é a derivada de y , conclui-se, integrando duas vezes seguidas, que
(8-ll) 8-3. OS PROBLEMAS BÁSICOS. TEOREMA FUNDAMENTAL. Para uma equação diferencial dada ou um sistema de equações dado, o problema fundamental é o de achar todas as soluções. Isso é uma tarefa pesada e que só pode ser completada satisfatoriamente para poucas equações diferenciais sim ples. Além disso, dos exemplos que serão considerados, ficará claro que o sen tido de "achar as soluções" não é tão evidente como poderia parecer. Na verdade, veremos que, para um problema prático determinado, podem-se achar tantas soluções particulares quantas sejam necessárias e com a exatidão que se queira. O único obstáculo real é o tempo, pois cálculos longos podem ser inevitáveis. Além disso, em muitos casos práticos, não é a expressão explícita da solução geral que importa, mas sim o conhecimento de certas propriedades qualitativas
490
Equações Diferenciais Ordinãrias
da família de soluções. Pode ser possível determinar tais propriedades sem resolver explicitamente as equações diferenciais. Isso será ilustrado adiante. Além do problema geral de achar todas as soluções, há dois problemas especiais de grande importância: o problema do valor inicial e o do valor de
.fronteira. Para a Eq. (8-1) o problema com valor inicial é o seguinte: dado um valor
x0
de
x
e n constantes, (n-1)
I
Yo' Yo' procura-se uma solução, y intervalo
lx-x0I
<
=
c5(c5 > O)
·
·
·
,
Yo
'
.f(x), de (8-1) tal que
y
=
.f(x) seja definida num
e
(8-12) Se
x
é uma variável representando o tempo e
dições para a solução no instante
O,
x0
=
O então (8-12)
impõe n con
ou "condições iniciais".
Teorema Fundamental. Seja uma equação diferencial ordinária de ordem n
dada na forma y<•J
=
F(x, y, y', ... , y<•-1)),
(8-13)
e suponhamos a função F definida' com derivadas parciais primeiras con tínuas num aberto D do espaço d e suas variáveis. Seja (x0, um ponto de D. Então existe uma função y +
=
y0 , y�, . , y�' 11) .f(x), x0 - <5 < x < x0 + .
.
-
c5(c5 > O), que é uma solução particular de (8-13) e satisfaz às condições
iniciais (8-12). Além disso, a solução é única, isto é, se y solução de (8-13) satisfazendo a (8-12), então .f(x)
=
=
g(x) é uma seyunda
g(x) em todo
x
onde
ambas estejam de,finidas. Para uma prova desse teorema (sob condições um pouco mais gerais) ver o Cap. II do livro de Goursat citado na lista de referências do final do capítulo. Quando se conhece a solução geral, a solução do problema com valor inicial é relativamente simples. Por exemplo, da solução geral (8-7) de (8-2) obtém-se uma solução particular tal que
y
=
1 e
y'
=
2 para
x =
O,
resolvendo
as equações
Assim, c1 = 1, c2 -1 e y = e-x e- lx + ex é a solução particular procurada. Em geral, o Teorema Fundamental dá uma maneira de verificar uma fórmula =
-
que se acredita fornecer a solução geral (rodas as soluções): se a fórmula de.fine
soluções e fornece uma solução para cada conjunto admissível de condições iniciais, então é de fato a solução geral. Deve-se observar que as condições iniciais (8-12) impõem n condições sobre a função f (x) para um valor
x0
de
x
escolhido. Como a solução geral
(quando pode ser encontrada) tem n constantes arbitrárias, isso nos leva a n equações simultâneas em n incógnitas, que, "em geral", têm uma, e uma só.
491
Cálculo Avançado
solução. Podem-se impor algumas das n condições num valor x0 de x e as outras num segundo valor x1• Então se procura uma solução particular y = .f(x) de
finida para x0 ;;;i; x � x 1 e satisfazendo às condições dadas em x0 e x 1 . Esse é o problema de valor de .fronteira para (8-13).
Por exemplo, seja o problema o de achar uma solução y = .f(x) de (8-2) que satisfaça às duas condições: f(O) = O, f ( 1) =O. Somos levados a escrever as duas equações: 0=c1e-1+c e- 2+e; 2
0=c1+c +1, 2
estas têm uma solução: c1 =-1-e-e2, c =e+e2, de modo que 2
e2 -2x x +e )e y = (-1-e-e2)e-x +(e+
é a solução procurada.
As condições sob as quais o problema geral de valor de fronteira tem
solução são complicadas e não serão consideradas aqui.
PROBLEMAS 1. Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
(a)
dy dx
=e2x_x
(c)
d2y
( b)- =o 12 lX
(d)
d3y
=
dx3 d"y -
dx"
(e)
x
(f)
=o
d"y dx" dy dx
=1
=
.!... X
2. Ache uma solução particular satisfazendo às condições iniciais dadas para
cada uma das seguintes equações diferenciais: dy
(a) - =sen x;
y = 1 para x = O;
dx
d2y
(b) 1
{X2
-
= ex;
dy
(c) 1
lX
-
=
y;
y = J e y' = Ü para
X
= 1;
y = 1 para x =O.
3. Ache uma solução particular da equação diferencial satisfazendo às con dições de fronteira dadas. (a)
(b)
d 2y dx2
= 1;
d 4y 4 =O; dx
y
=
1 para x =O;
y = 1 para
x =
y = 2 para
-1 e x = 1;
x = 1;
y' =O para x =-1 e x
=
1.
4. Verifique que as seguintes são soluções particulares das equações dife
renciais dadas:
492
Equações Diferenciais Ordinárias
(a) y = sen x, para y" + y =O; (b) y = e2x, para y" -4y =O; (c) y = c1 cos x + c sen x (c1 e c constantes quaisquer), para y" 2 2 (d) y = c1e2x + c2e-2x p ara y"-4y =O.
+ y =O;
5. Diga qual a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais:
(a) (b)
dy
-
dx
( c)
= x2-y2
112 y dx2
-
( )
dy 2
+
dx
xy
(d)
O
( ) ( )
=
d1 2
-'-
dx
dy + x--y2 =O dx
d2 y 4
dx2
-
2
d2 y dx2
+ x
dy dx
=O
RESPOSTAS 1. (a)
!(e2x - x2) +
(f) log jxj
+
2. (a) 2-cos x,
e
e,
(x =F
(b)
O). (c)
ex-ex+ 1,
ex:
(a)
3.
±x2
+
x)
+ 1,
(b) 1.
5. Ordem: (a) 1, (b) 2, (c) 1, (d) 2. Grau: (a) 1, (b) 1, (c) 2, (d) 4. 8-4. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU. A equação geral de primeira ordem e primeiro grau sera considerada na forma dy dx
= F(x, y),
(8-14)
ou na forma dy = F(x, y) 1./x;
se agora multiplicamos por uma função P(x, y) dx +
g(x, y),
pode ser escrita
Q(x, y) dy =O.
(8-15)
Essa última operação pode introduzir descontinuidades que não existiam, em pontos (x, y) que são descontinuidades de g(x, y), e soluções extras: curvas ao longo das quais g(x, y) = O. O método básico para obter a solução geral de (8-14) é transformá-la pelos passos descritos numa equação (8-15) que tenha a forma du =O,
u = u(x, y).
( 8- 1 6 )
As soluções de (8-16) são então dadas em forma implícita pela equação u(x, y) = e,
e = const.,
(8-17)
isto é, pelas curvas de nível de u(x, y). Uma equação (8-15) que possa ser inter pretada como uma Eq. (8-16), de modo que P dx + Q dy = du, chama-se uma equação exata. 493
Cálculo Avançado Do fato de as soluções de (8-14) serem curvas de nível de uma função
u(x, y), obtemos uma idéia geométrica das soluções como uma família de curms no plano x y (Secs. 2-3 e 2-17). Isso está ilustrado na Fig. 8-1. O Teorema Fun damental afirma que, através de cada ponto de um aberto em que aF/ax e aF/ay são contínuas, passa exatamente uma tal curva. y
Figura 8-1. Soluções de y'
:: ;;:---+ ,,,._, .. :,;;: .....+--.: _;�:;::::::�
curvas de nível de
.x
u =
F(x, y) como
=
f(x, y)
Equações com variáveis separáveis. Se a função F(x, y) pode ser escrita x por uma função de y, F(x, y) X(x) Y(y), então dizemos que 8-14 tem variáveis separáveis. Por exemplo, como um produto de uma função de
é desse tipo, com
X(x)
=
-x,
dy
X
dx
y
Y(y) X
=
1/y. Multiplicando por y dx, (8-18) fica
=
dx + y dy
A equação é exata pois x dx + y dy
(8-18)
=
=
Ü.
d(tx2 + ty2). Logo, as soluções são os
círculos
í(x2 + y2)
=
te,
x2 + y2
isto é,
=
e.
(8-19)
A Eq. (8-18) daria a y' um valor infinito ao longo do eixo dos x; admitindo isso como um caso-limite, (8-19) fornece uma solução para todo
(x, y), exceto
(O, O).
A equação geral com variáveis separáveis pode ser escrita na forma exata
P(x) dx + Q(y) dy
=
O,
(8-20)
e as soluções correspondentes são
J Exemplo. 1. y' 494
=
y/x.
P(x) dx +
J
Q(y) dy
= e.
(8-21)
Equações Diferenciais Ordinárias
dy dx _
Solução.
y
X
log
y
-
=O.
log x
=e
(x >O, y/x
y log-
o;
=e ,
=e.
X
y
'
=
c'x.
e' = e< é uma nova constante e e' > O. No entanto as restrições x > O, y >O, e' >O podem ser removid
evitada escrevendo-se
d
f: A reta
x
=
= log l y l + const.,
f�
= log
lxl
+ const.
O pode ser vista como uma solução-limite, quando
Exemplo
2.
y' = x"' 1
' e = oo.
y'. \s soluções podem ser escritas na forma
·
f_!!!._ _ F-7
=
_!__x2 +
2
(y <
e
A integral à esquerda define uma função de y = 1 é também uma solução.
1).
y, como se explicou na Sec. 4-3.
A reta
Equações homogêneas. Se na equação diferencial (8-14) a função F(x, y) v = y/x [F(x, y) = G(v)], então a Eq. (8-14) chama-se homogênea. São desse tipo as seguintes equações:
pode ser expressa em termos da vari�vel
y'
y
= -· X
y, =
x2 - y2
�
v2 - - , v
1 =
-
y'
= sen
y
(�)
= sen v.
Uma equação homogênea pode ser reduzida à forma exata como segue: como
y
=
xv, dy = xdv +vdx e xdv +vdx dv --
V-
G(v)
dy = F(x, y)dx = G(v)dx, dx v = +-=O =
( �).
X
Em outras palavras, a substituição
v = y/x e a eliminação de y levam a uma
separação de variáveis.
Exemplo 3. y'
x2 + y2
= --
xy
, X y 1 y =-+-=-+v, y X V
Solução.
xdv +vdx =dy = dx vdv - � y2
=
= 'O,
1
T
x2 log x2 + cx2
(+ )
+v dx,
v2 - log 1 x1
= e,
(y # O, x # O).
495
Cálculo Avançado 8-5. A EQUAÇÃO GERAL EXATA. Nos exemplos considerados até
agora, a exatidão e a forma de u eram óbvios. A equação
(3x2 y + 2xy) dx + (x3 + x2 + 2y) dy
=
O
(8-22)
é também exata, mas isso é menos evidente. Se uma equação P dx + Q dy
du
=
O é exata, então
P (x, y) dx + Q(x, y) dy, u
=
=
u(x, y).
Logo (Secs. 2-6 e 2-11),
ôu ôx ôP ôy
au
P(x, y),
=
ô2u =
ôy ax
Q(x, y),
=
ôy ô2u
=
ax ay
ôQ =
ax'
desde que P e Q tenham derivadas primeiras contínuas. Portanto, se uma equação P dx + Q dy = O é exata, então
ôP ôy
ôQ =
(8-23)
ax
Reciprocamente, se (8-23) vale, então, com alguma restrição, P dx + Q dy
=
O
é exata, como veremos. Portanto (8·23) é um critério de exatidão.
Exemplo 4. A equação diferencial (8-22). Aqui, P
=
3x2y + 2xy,
=
3x2 + 2x,
ôP ôy
Q
ªº ax
=
=
x3 +
x2
+ 2y ;
3x2 + 2x.
O critério está verificado. Para achar a função u, escrevemos
au ax u
=
=
3x2y + 2xy, x3y + x2y + C(y),
isto é, integramos em relação a x, mas admitimos uma "constante" arbitrária que depende de y. A condição ôu/ôy
x + Logo, C'(y)
=
2y e C(y)
=
x2
+ C'(y)
=
=
Q estará satisfeita se x3 + x2 + 2y.
y2; não somamos constante a y2, pois essa constante
seria absorvida na constante final. A função ué, pois, a função x3 y + x2 y + y2 e a Eq. (8-22) equivale à equação
d(x3 + x2 y + y2)
=
O.
As soluções são as curvas
x3 y + xz y + y2
496
=
e.
Equações Diferenciais Ordinárias
Exemplo 5. x dy + ydx O. Por inspeção, vê-se que isso pode ser escrito d(xr) O. Logo, as soluções são as curvas xy c. =
=
==
Exemplo 6. (xycosxy + senxy) dx + x ( 2cosxy + eY)dy ser resolvida pelo método usado no Ex. 4
ou
=
O. Esta pode
por inspeção, mas será instrutivo
usar um processo diferente. Primeiro verificamos o critério de exatidão
BP -
ay
=
2xcosxy-x2ysenxy =
Raciocinamos agora, como na Sec.
BQ -·
ax
5-6, que a integral curvilinea J P dx + Q dy u cuja diferencial é P dx + Q dy
é independente do caminho e que uma função é dada por
f(x,y)
P(x, y) clx +
Q(x, y) dy,
(xo, Yo)
onde (x0, y0) é um ponto fixado e a integral curvilínea é tomada sobre qual quer caminho. Se escolhemos (x0, y0) como sendo
f(X,
sendo a linha quebrada indo de
u
=
O)
(0, 0)
+
(0, O) e o caminho como (0, O) a (x, O) a (x, y,) achamos
(xycosxy + senxy)
f(x,y)
(xycos xy + sen
dx + (x2 cosxy + eY) d y
xy) if.y + (x2 cos xy + eY) tlr
(X, O)
=
pois y =
dy
=
xsenxy +
e'-1,
O na primeira integral, e dx
=
O na segunda. Portanto as so
luções procuradas são as curvas xsen x y +
eY - 1
=
e.
Uma vez que, pela definição como integral curvilínea,
u(O, O)
=
O, a solução
passando pela origem (problema com valor inicial ) é xsenxy +
e' - 1
=
O.
O exemplo que acabamos de considerar mostra que o problema de equa ções exatas é coberto completamente pela teoria das integrais curvilíneas (Cap.
5) e podemos concluir isto:
Se P(x, y) e Q(x, y) têm derivadas parciais primeiras contínuas num aberto simplesmente conexo, D e 8P/8y BQ/Bx em D, então a equação diferencial P dx + Q dy O é exata em D e todas as soluções são dadas pela equação u(x, y ) c, onde =
=
=
u
=
f(x,y)
P dx + Q dy
(8-24)
(Xo, Yo) 497
Cálculo Avançado
e (x0, y0) é um pontode D. A
sdluçcio
f(x.y)
11ue passa por (x0, y0) é definida pela equação
Ptlx+Qdy=O.
(8-25)
(xo. Yol
Se o domínio D não é simplesmente conexo, podemos usar integrais cur vilíneas para encontrar soluções da equação em toda parte simplesmente conexa de D. Quando as variáveis são separáveis, (8-25) toma a forma
r
r
P (x) dx +
Q (y) dy =O.
(8-26)
YO
Xo
Fatores integrantes. A equação diferencial ydx-xdy =O não é exata. No entanto torna-se exata quando é dividida por y2, pois
()
ydx -X dy =d � . y y2 Nesse caso, o fator y-2 é chamado um fator integrante para a equação dife O. As
rencial dada. Onde y =P O, a equação dada equivale à equação d(x/y)
=
soluções, portanto, são dadas pelas retas x/y = const.
Surge a questão de saber se é sempre possível achar um tal fator integrante. Num sentido geral, existe um fator integrante, num domínio convenientemente restrito, mas esse fato em si não ajuda a encontrar fatores integrantes para certas equações. As diferenciais que seguem merecem ser registradas, como pistas para de terminar fatores integrantes:
c1(1-)
d(xy)= ydx + xdy; X
.
=
xdy - ydx X2
y
Xdy - ydx
X
X2 + y2
d arc tg-=
(8-27a) (8-27b)
;
1 Xdx + ydy -d log (x2 + y2)= x2 + y2 2
(8-27c) (8-27d)
·
Também deve-se observar que, se d.f= Pdx + Q dy então P dx + Q dy per manece exat� quando multiplicada por qualquer função da função f Assim •
2xdx + 2ydy=d(x2 + y2), (x2 + y2)(2xdx + 2ydy) = fdf =d
(�2)
2xdx + 2ydy = df =d log f x2 + y2 f
498
(f
�
x2 + y2),
Equações Diferenciais Ordinárias
Isso explica (8-27dJ. Também (8-27c) é obtida de (8-27b) multiplicando por
x2 2 x + y2
=
=
�( )
y 2
l+ f2
X
8-6. EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM. Urna equação
diferencial de primeira ordem chama-se linear se pode ser escrita na forma y' + p(x ) 1 ·
q(x).
=
(8-28)
Serú conveniente escolher uma função s(x) tal que
p(x)
d -1 log s(x);
s'(x)
=-
=
s(x)
x
1
bastH escolher
s(x)
=
efr1.1•dx
A equação diferencial (8-28) fica então s'(x) ' + y r s(x)
=
(8-29)
q(x) .
Se Hrnbos os membros são multiplicados por s(x), ela toma a forma 1(
dx
[s(x)y]
q(x}s(x),
=
de modo que a solução geral é
s(x)y
=
f
q (x)s(x) dx +
s(x)
e,
= efvix.
(8-30)
Mostramos na verdade que s(x) é um fator integrante para a equação
dy + (py- q) dx
integral
J p dx,
=
O. Não é necessário carregar uma constante arbitrária na
pois pode ser absorvida na constante final.
Exemplo. y' + xy
=
x. Aqui, p
x e
=
s
=
e012>"2
obtém-se
e<1121x2 y' + xe(l/2)x2 y
.!:._ (e0f2)x2 y) dx
=
=
• Multiplicando por
s,
xellf2)x2,
xe (lf 2)x2.
Logo,
e<112>x2 y
=
f
x e<1t2>x2 dx +
e
=
e<112>x2 +
e,
y
=
1 + ce
PROBLEMAS 1. Ache todas as soluções por separação de variáveis:
(a) y'
(b) y'
=
ex+y
=
sen x cos y
(e) y' (d) y'
=
=
(y-l)(y -2) y-2
499
Cálculo Avançado 2. Ache todas as soluções das seguintes equações homogêneas: x-y
(a) y'
=
-x+y
;
(b) xy' -y
xe*;
=
(c) (3x2 y+y3)dx+(x3 +3xy2)dy
=
O.
3. Verifique que as seguintes equações são exatas e ache todas as soluções: (a) 2xydx +(x2 +l)dy
=
O
;
(b) (2x +y)dx +(x-2y)dy =O; (c)
x cos(x+y)+sen(x+.r) dx +x cos(x +y)dy =00.
[
]
4. Ache os fatores integrantes de cada uma das seguintes equações diferenciais e
obtenha as soluções gerais:
(a) (x+ 2y)dx+xdy (b) (x+3y)dx+xdy (c) ydx+(y-x)dy
=
=O O =
;
;
O;
(d ) 2y2dx+(2x +3xy)dy
=
(e) (x2+y2+x)dx+ydy
O;
=O
.
5. Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais lineares:
1 dy (a) -1 + 1 y X+ lX
--
=
sen x;
(b) (sen2 x- y)dx-tg x dy =O:
(c) (y2-l)dx +(y3-y+2x)dr
(d)
dx
df+X
=
=
e2'.
O
;
6. Para cada uma das seguintes equações diferenciais, determine se a equação
tem variáveis separáveis, é homogênea, é linear, ou é exata; então, resolva
por todos os métodos aplicáveis: x+l
(a) y'
=
-y
;
(b) y' +y
=
2x+ J;
(c) (2xy-y+2x)dx+(x2 -x)dy 1 x2 (d) y' 1 ; y2 +
=O
;
=
(e)
y x2 dx+_!:_!!J_ --+ 1 xy + 1 xy+
)
(
(f) y sen log xdx-tg ydy (g).y'
X+ =
JX2-y2 y
=
O
=
O;
;
;
(h) (2x sen xy+x2 y cos xy)dx +x3 cos xydy y+e'; Ul (2x-y)dx+(x +2y)dy O.
(i) y'
=
=
500
=
O
;
Equações Diferenciais Ordinárias 7. Ache a solução particular especificada, para a equação dada: (a) (2x + y + 1)dx + (x + (b) y'= (c)
x(y2 + l ) (x- l)y3
,
3y + 21 dy = O,
y = 2 quando x = 2;
(3xy + 2)dx + x2dy =O, dx xt
(d)
dt
=
8. Escolha
n
y = 1 quando
x= 1 quando
x2 + t2'
(e) e-"'2ydx +
y=O quando x = O;
(f:
t
=
x = l;
O;
)
e-x2dx + y d.r =O,
y=1 quando x=1.
de modo que x" seja um fator integrante de cada uma das se
guintes equações e obtenha a solução geral: (a) (x +
(h) (x2 + 2y)dx-xdy
y3)dx + 6xy2dy =O;
=
O
.
9. Mostre que g(x, y) é um fator integrante da equação diferencial
Pdx + Q dy =O se, e só se,
g
(ªº ) ôx
- aP = -Q ag + P iJg . ôy iJy iJx
10. Dada uma família de curvas no plano xy, uma curva para cada ponto de um aberto D, uma segunda família assim é chamada a família de
trajetórias ort o gonais da primeira família se as curvas da segunda família cortam as da primeira em ângulos retos. Assim , se y' F(x, y) é uma equação di =
ferencial descrevendo a primeira família, então , y=
1
--
F(x,y)
é uma equação diferencial para a segunda. Ache as trajetórias ortogonais das famílias seguintes e faça o gráfico: (a) x2 + Y2 = c2 (b) x2 + y2 + ex
=
(c) y2 = 4cx + y2 + 2cy-1
(d) x2
O
11. Método de substituição. Se novas variáveis u, x = g(u, v),
v
=
O.
são introduzidas por equações
y = h(u, v),
de modo que
dx
ôg
=
.,,.-du + uU
tg
-"'· cl'
dv,
iJh ôh dy = -du + ;;-clv, iJu CV
a equação diferencial P(x, y)dx + Q(x, y)dy
=
O
501
Cálculo Avançado transforma-se numa equação
R(u, r) du + S(u, v) du = O. Se a nova equação for exata. isto é, R du +
S clv = d{,
f = f(u, v),
então a equação original era exata: P dx + Q dy =
t(f,
f = f [u(x, y), v(x. y)].
Se a nova equação é transformada a uma íorma exata por um fator inte grante µ, então o mesmo racincínio mostra que µ, quando expresso em termos de
x
e
y, deve ser um fator integrante para a equação de partida.
Se as soluções da nova equação são obtidas na forma
1/J(u, v)
=
e,
então as soluções da equação original são as curvas
[111x. y), v(x, y)] = e. Obtenha todas as soluções das equações seguintes com ajuda da subs tituição indicada:
u = x2, v = y; r sen e; ydy) + ydx-xdy =O, X= rcose, y V= y. (c ) (x + y- 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = O, u = x + y,
(a) 2xydx + (x2 + 2y)dy = O. (b) (x2 + y2)(xd x +
=
12. Mostre que uma conveniente translação de eixos: x = u + h, y = v + k, transforma a equação
(ax + by + e) dx + (px + qy + r) dy = O numa equação homogênea, desde que aq- bp # O. Mostre que, quando aq -bp = O, a substituição
u = a x + by, v = y leva à separação de va
riúveis, a menos que a = O; discuta o caso excepcional. 13. Ache todas as soluções (conforme Prob. 12): (a) (x + 2y- l)dx + (2x-y-7)dy = O, (b) (x + y + 1)dx + (2x + 2y-1) dy = O. 14. Mostre que a introdução de coordenadas polares x = r cos e, y = r sen O, leva à separação de variáveis numa equação homogênea: y' = F(x, y).
RESPOSTAS
1. (a)
x e
+ e-' = e,
(c) y-2 = ce-"(y-1), 2. (a) x2 - 2xy y2 = e, -
502
(b)
y = 1,
(1 + sen y) = ecos y e
-cos
x,
( d) y3 = 3x + e.
(b) e-y/x + log lxl = e,
(c) x3 y + xy3 = e.
Equações Diferenciais Ordinárias
(b) x2+ xy-y2 =e, 3. (a) x2 y + y =e, (c) x sen (x+ y)= e. (c) x + y loglyl = cy 4. (a) x3+3x2 y=e; (b) x4 + 4x3y =e; e y =O; (d) y log l x2 y3 j-2 = cy, x = O e y =O; (e) 2x + log (x2 + y2) =e. 5. (a) (x + l) y = sen x-(x + l)cos x +e e x+ 1 =O; (b) 3y sen x = sen3x +e; y+I (c) x = --- [4y-y2-log(y + 1)4 +e] e y = ±1; 2(y-1 ) (d) x = ! e2'+ ce-•. 6. (a) y2 = (x+ 1)2 +e;
(b) y = 2x-1 + ce-x; (c) x2 y-xy ' (d) y3+3y = x3 -3x +e; (e) (xy + 1)3= ce-x ;
(f) (i)
f f_:!!_ _ +
sen log xdx-
eY
y
=x
f�y
dy=c;
+e;
(j)
r
(g) x+Jx2-y2=c;
+ x2 =e;
(h) x2 sen xy= c;
= ce-812 (em coordenadas polares).
7. (a) 2x2 + 2xy + 3y2+ 2x + 4y = O,
(b) y2-log (y2 + 1) = 2x + log (x- 1 )2-log 5, -'' (c) xJ Y+ x2 = 2, (d) x = e<11211' ,
(e) 2y
r
e - x'dx+ y2 = 2
8. (a) x(x +3y 3)2 = e,
e=/=
r
e-x'dx
+ 1.
(b) x2 loglxJ- y'= cx2,
O;
10. (a) y � ex, x = O; (b) x2 + y2+ cy = O; (d) x2+ y2-ex + 1 = O. 11. (a) x2y
+ y2 =e;
(b) x2 + y2 = 2 arc tgl:'._ X
x =O. (c) 2x2 + y2 = c2;
+e;
(e) x + 2y-3 loglx + y + 21 =e e x + y = -2. 13. (a) x2 + 4xy-y2-2x-14y=e; (b) x + 2y + log jx + yj =e e x+ y =O. 8-7. PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO LINEAR. As equações diferenciais lineares de primeira ordem e ordens superiores são de fundamental importância para as aplicações. Na verdade, pode-se afirmar que, com poucas exceções, os únicos mecanismos que realmente são bem com ·
preendidos são os que satisfazem a e4uações lineares. A equação linear de primeira ordem pode ser usada para ilustrar muitas propriedades básicas das equações lineares. Para ressaltar o fato que a variável independente é usualmente o tempo, a equação será escrita na forma dx
a - + x = F(t).
dt
(8-31)
No que segue, exceto quando expressamente mencionado, suporemos que a é uma constante positiva.
503
Cálculo Avançado
Caso 1. F(t)
O. A solução geral, achada a partir de (8-30) ou por sepa
=
ração de variáveis, é x =ce-'1ª. Essas curvas estão traçadas para o caso a
=
1
na Fig. 8-2. Elas ilustram um fenômeno muito comum, conhecido como de
créscimo exponencial. Exemplos são a queda de luminosidade de uma lâmpada quando a corrente é desligada, o resfriamento de um termômetro para a tem peratura do meio ambiente, a perda do rádio, e os índices de reação em várias reações químicas. Em todos esses casos, o sistema aproxima-se de um estado de equilíbrio, representado pela reta x =O. A taxa segundo a qual o sistema aproxima-se do estado de equilíbrio é ferença
1 x1
l dx/dt l
=l x/a l , e é proporcional à di
entre o estado atual e o estado de equilíbrio. Para t =O, x =c,
de modo que c =x0 , o valor inicial de x. Para t =a, x =x0e-1 ou e-1 vezes. o valor inicial; para t =2a, x = x0e-2 ou e-2 vezes o valor inicial. De um modo geral, os valores de x para tempos igualmente espaçados formam uma
progressão geométrica, que se avizinha de O quando t cresce. O número a mede a taxa dessa aproximação a O; quanto maior a, menor a taxa. O número
a
tem dimensão de tempo e freqüentemente é denominado
constante de tempo ou tempo de solução. Supôs-se aqui a como sendo positivo. Se for negativo, as soluções crescerão em valor absolll:to quando o tempo crescer, e o sistema será instável. Esse caso tem aplicação em muitos problemas práticos: crescimento de população, crescimento de bactérias, de dinheiro a juros compostos, etc.
Caso II. F(t )
=
K
= constante. A solução geral é x = K + ce-''ª· É claro
que o único efeito é transladar a configuração da Fig. 8-2 na direção x, como se vê na Fig. 8-3. A solução de equilíbrio é agora a reta x = K. X
Figura 8-2. Decréscimo exponencial
a
O
Figura 8-3. Aproximação exponencial a x=K
Caso III. F(t) é uma função descontínua, constante por partes, como se vê na Fig. 8-4. Uma tal função chama-se função-degrau. Suponhamos a fixo e consideremos uma solução x =x(t) com x(O)
=
O.
Do ponto de vista físico (sem usar teoria da relatividade!), o mecanismo des crito por. x só conhece os valores de
504
F(t) no presente e passado, não podendo
�quações Diferenciais Ordinárias
F(t)
o
2 Figura 8-4. Seguimento de entrada em função-degrau
antecipar que F(t) terá um salto em t
2. Assim, entre t
=
é a mesma que no Caso II, com a constante K x cresce, avizinhando-se da reta x
=
=
=
Oet
=
2, a solução
2. Quando t cresce de O a 2,
2 exponencialmente. Quando t
=
2, F
salta a um novo valor 1; o mecanismo passa a aproximar-se desse valor expo nencialmente. O processo repete-se nos outros intervalos. A situação pode ser descrita da seguinte maneira. A função F(t) é o que
entra. e x(t) o que sai. Se não houvesse um "mecanismo", a seria O e a saída seria igual à entrada. De qualquer modo, a saída x(t) procura acompanhar a entrada F(t). Assim, se ignorarmos o termo em dx/dt, obteremos a solução apro ximada x F(t). O grau de aproximação depende do tamanho de a, que go =
verna a velocidade do "acompanhamento". Se F(t) for agora substituída por uma função arbitrária, contínua ou con tínua por partes, ela poderá ser aproximada com erro tão pequeno quanto se queira por uma função em degrau; e chegaremos às mesmas conclusões quali tativas. Se a varia com o tempo, os resultados são semelhantes. A velocidade de acompanhamento varia, em vez de ser constante. Se a toma-se negativo, as soluções são instáveis e afastam-se de F(t) em vez de acompanhar. Mais informações podem ser obtidas da fórmula geral (8-30). No caso presente, com a
=
const., a fórmula fica
x
=
e-'1"
f
e'1" F(t) dt +
ou, em termos da condição inicial x(O) X
=
Variando o valor inicial de Se
u
e-tia
x
f
e'1ª
=
ce-tfa
x0,
F(t) dt + x0e-•la.
(8-32)
o segundo termo é afetado, mas não o primeiro.
é positivo, o segundo termo aproxima-se de zero exponencialmente sendo
"transitório". Assim, para valores grandes de t, a solução, na prática, inde pende da condição inicial; a equação diferencial tem, nesse sentido, uma só
solução. Pode-se descrever a situação dizendo que o mecanismo tem "memória" fraca. Para qualquer solução particular, torna-se cada vez mais difícil, à medida que o tempo passa, determinar o valor inicial x0•
505
Cálculo Avançado Se
F(t) é multiplicada por uma constante k, então
é, exceto pelo termo transitório, multiplicada por k. Se
F1 (t)
x(t) (a menos dos termos transitórios) x2(t), correspondendo a F1 e F2 respecti vamente. Em outras palavras, a saída depende linearmente da entrada. Essas conclusões resultam imediatamente de (8-32). Se F(t) é harmônica simples, F(t) = Ae sen wt, também o é a solução x(t), funções
e F
2(t),
x(t) também F(t) é a soma de duas
a solução
então a solução
x 1(t)
é a soma de duas soluções
e
a menos do termo transitório:
x(t)
=
A. sen
(wt- a)
+
ce-•1•.
A freqüência w é a mesma para entrada e saída, mas a amplitude da saída, A., é menor que A., amplitude da entrada, e há uma diferença mostrado na Fig.
8-5.
A = ----;== =·==
A •
a de fase. Isso é
Mais precisamente, tem-se a =
J1 +a2w2
are tg(aw),
estas relações estão retratadas na Fig.
8-6.
em que o "fator de amplificaç�v"
AsfA. e a diferença de fase a têm seus gráficos em função de w. Como As
<
A.,
o fator de amplificação é menor que 1, de modo que há diminuição em vez de amplificação. Os resultados enunciados aqui são deduzidos de Prob.
2
(8-32) (ver
abaixo).
X
a
a
Figura 8-5. Resposta à entrada sinusoidal
Figura 8-6. Amplificação e diferença de fase .contra freqüência da entrada
Da propriedade de linearidade resulta que, se série de Fourier de período F
=
t a0
Fé
representada por uma
p = 2n/w: n
+
I
{a.cos(nwt) + b.sen(nwt},
n=l
o mesmo vale para
x(t),
x(t) = ta0
+
descontado o termo transitório: «>
I n==
506
1
{a.cos(nwt) +
õ. sen
(nwt) }
+
ce-'1ª.
Equações Diferenciais Ordinárias
Se a série para F é uniformemen�e convergente, isso resulta imediatamente de
(8-32) (ver Prob. 3 abaixo); pode-se mostrar que geralmente vale mais, por exemplo, quando F é contínua. Cada termo na série para F representa uma oscilação harmônica simples de freqüência w: a,, cos.(nwt)
+ b. sen(nwt ) = A'.; sen (nwt + P.).
A esse termo corresponde o termo de mesma freqüência em x(t): ª• cos
(nwt) + 1.i,, sen (nwt)
=
A� sen (nwt + P.
-
ex11).
As amplitudes e diferenças de fase estão relacionadas como antes:
Ae
As= "
ex11
11
J1 +
n2w2a2
=
O<
are tg(anw),
ex. < fn.
(8-33)
Para os termos constantes, w = O, e verifica-se que a0 = a0•
Por causa do termo em n2 no denominador, os termos de ordem alta em
F(t) sofrem grande redução de amplitude. O mecanismo é sensível principal mente a baixas freqüências. Isso pode ser predito numa base qualitativa (Prob. 4 abaixo).
PROBLEMAS 1. Calcule e esboce a solução tal que
x = O para
t
= O, para as seguintes
equações diferenciais: (a)
dx
dx
(e) - + x = sen t
+ = ) dt X
dt
dx
dx
(b) )Q- +X= 1
(d) 10- +
dt
dt
x
= sent.
Compare saída com entrada em cada caso e discuta o atraso. 2. (a)
Mostre que, se a é uma constante positiva, então a solução geral da
equação diferencial a
dx 1 + et
x
=
A. sen wt
é dada por
x = onde
A= s
J1
A, sen(wt
A,
,
-ex) +
ce-•I•,
tg ex= aw,
+ a2w2
(b) Verifique os gráficos da Fig.
1
O� ex< 2n.
8-6.
3. Ache a solução geral da equação diferencial dx dt
1
a-+ x = -a0 + 2
00
L
n=l
{a11cos(nwt) + b.sen(nwt)},
507
Cálculo Avançado onde a é constante e a série de Fourier à direita é uniformemente convergente para todo t [compare com os resultados acima - em particular com (8-33)].
4.
Seja
F(t) igual a 1 para O < t <
a -1 para
3b
4b,
b, a -1 para b
< t < 2b, a 1 para 2b < t < 3b, F(t) é uma "onda quadrada" de
etc., de modo que
período 2b e amplitude
1. Discuta os aspectos qualitativos das soluções
da equação diferencial
dx
a- +
dt
e sua dependência de a e
x
=
F(t)
b. Em particular, mostre
que a razão das ampli
tudes de saída e entrada decresce e avizinha-se de zero quando
b
decresce.
RESPOSTAS 1. (a)
1-e-•;
(d) (sent-
8-8.
(b) 1-e-o,tr; 10 cos t + lOe-')/101.
(c)
t(sent-cost +e-');
PROCESSOS GRÁFICOS E NUMÉRICOS PARA A EQUAÇÃO
y' F(x, y) determina a .f(x) no ponto (x, y). Assim, ainda que
DE PRIMEIRA ORDEM. A equação diferencial inclinação da tangente à solução
y
=
=
as soluções não tenham sido encontradas, podemos traçar tangentes às soluções. Se traçarmos segmentos de tangentes muito pequenos, obteremos um diagrama como na Fig. em
8-7, para o
qual a equação diferencial é
(1, 1) a inclinação é -1, em
(3, 2)
é
-3/2,
y'
=
-x/y; por exemplo,
etc. Se traçarmos muitos desses
segmentos, as próprias soluções começarão a surgir como curvas lisas. O processo para traçar o diagrama pode ser abreviado traçando ao mesmo tempo os segmentos com mesma inclin ação, isto é, traçamos as c u rvas F(x, y)
= m =
const. para diferentes escolhas de
m.
Essas curvas não são as
soluções; elas são chamadas isóclinas. As tangentes às soluções pelos pontos da isóclina
F(x, y)
= m
têm todas inclinação
m.
As isóclinas para a Fig.
8-7
são retas pela origem, enquanto que as soluções são círculos. y
y
-.,,oct--�--�-�-�..Figura r'
=
8-7. Distribuição de retas para
-x/y
508
Figura
x
8-8. Integração passo a passo
Equações Diferenciais Ordinárias ·�
Se procuramos só uma solução por um ponto particular (x0, y0) (problema
com valor inicial), então não precisamos traçar todo o campo de tangentes. Traçamos um pequeno segmento por (x0 , y0) com inclinação F(x0, y0) e o seguimos até um ponto próximo (x1, y1) e traçamos um segmento com essa inclinação por (x1, y1) indo até um ponto próximo (x2 , y2). Repetindo o pro cesso, obtém-se uma poligonal, como se vê na Fig. 8-8, que é uma aproximação d� solução procurada.
É claro que, quanto mais curtos os segmentos usados,
mais precisa será a solução. O Teorema Fundamental da Sec. 8-3 pode, na verdade, ser provado, demonstrando que uma única solução por (x0 , y0) é obtida por passagem ao limite no processo descrito. O trabalho numérico envolvido no cálculo da particular· poligonal pode
ser disposto numa tabela em quatro colunas, dando os valores de
X,
y, F(x, y)
e Ay. O acréscimo Ax é escolhido à vontade, ao passo que Ay é caleulado if'da fórmula
A_r= F(x, y) Ax. (Na realidade é dy que está sendo calculada, e usá-se a aproximação Ay � dy.) O acréscimo
x
pode ser variado a cada passo, embora seja mais simples man�
tê-lo constante. O exemplo
y' = x2 - y2, com x0 = 1, y0= 1, Ax= 0,1, está calculado na
Tab. 8-1. Tabela 8-1
y' = x2-y2
y
X
1 1,1 1,2 1,3
1,021 1,061
Ay
o
o
0,21 0,40
0,021 0,040
O processo numérico descrito aqui é conhecido como integração passo a passo da equação diferencial. Deve-se notar que, para a equação diferencial y' = F(x), o processo descrito é equivalente a integrar F(x) por uma fórmula retangular, com.o na Sec. 4-2, pois o valor de y para x = x0 + n Ax na solução por (x0, y0) é dado exatamente por
y=
fxo+nilx
F(x)dx+y0;
Xo
o processo numérico acima dá
= Yo + F(x0) Ax + F(x0 + Ax) Ax + = Yo + Ax{F(x0) + F(x0 +A.>)+ + F[x0 + (n-1) Ax]}.
Y
·
·
·
·
·
·
Essa é exatamente a soma retangular com F calculado nas extremidades esquerdas.
509
Cálculo Avançado
De um modo geral, deve-se pensar na resolução de equações diferenciais como uma espécie de processo generalizado de integração. Existem aparelhos mecânicos e elétricos para resolver equações diferenciais que são compostos de "integradores"; estes executam o processo acima de integração passo a passo continuamente, isto é, na prática, passam ao limite para ôx
-
O.
A generalização da integração passo a passo a equações de ordem su perior é indicada nos Probs. 5 e 6 abaixo, Outros processos numéricos são descritos nos livros de Bennett, Milne e Bateman, Levy e Baggott, Milne, Morris e Brown, e Scarborough, citados no final do capítulo.
PROBLEMAS 1. Para cada uma das seguintes famílias de curvas faça um esboço (isto é,
esboce um certo número de curvas da família) e ache a inclinação da curva da família por um ponto arbitrário (x, y ): (a) y = 2x + e
(d) y = ex + 1
(b) y= x2 +
e
(e) x2 + cy=O
(c) x2-y2
e
(f) y
=
=
ce-x.
2. Trace um certo número de tangentes para cada uma das seguintes equações diferenciais:
.
y
(a) y' =- ; X
(b) y' = x - y;
(c) y' = x + y2•
Tente também esboçar algumas curvas-soluções em cada caso. Para (a) e (b) compare os resultados com as soluções gerais que são: (a) y=cx,
x-#0;
(b) y=ce-x+x-1.
3. Usando a integração passo a passo com ôx =0,1 ache o valor de y em
x
=
1,5 sobre a solução de y' = x - y2 tal que y= 1 quando x = 1. Esboce
a solução obtida como poligonal. 4. Usando a integração passo a passo com ôx= 0,1 ache o valor de y para
J 1-y2 tal
x = 0,5 sobre a solução de y'=
que y =O para x=O. Com
pare o resultado com a solução exata, que é y = sen
x.
5. As equações
dy dx
=f(x, y, z),
dz dx
=
g(x, y, z)
são chamadas de um sistema de duas equações diferenciais ordinárias si
multâneas. Por solução particular de tal sistema entende-se um par de funções y(x), z(x) satisfazendo identicamente às equações. O Teorema Fun damental da Sec. 8-3 pode ser estendido a esse caso e, sob hipóteses apr
y(x0)= y0, z(x 0) = z0. Uma solução aproximada
pode ser obtida por integração passo a passo como segue. Escolhe-se Lh e cakula-si: y1 =_r0 + ôy, z1 = z0 + ôz por meio de ôy=f(x0, y0, z0)ôs,
510
.
Equações .Diferenciais Ordinárias
�z = gx ( 0, y0, z0) �x. Esse processo pode ser então repetido com os
novos valores iniciais x1
com x0=O, y0=1, z0
=
=
dy
dx
=
x0 + �x, Yi> z1• Aplique o processo descrito,
O, �x
yz -x,
=
0,5, às equações diferenciais
dz
dx
= x
+
y.
Calcule a solução y(x), z(x) até x = 3.
6. Uma equação de segunda ordem: y" = F(xy, , y)' é equivalente a um par
de equações:
dy dx
=z,
dz -1 = F(x,y,z), IX
onde z= y'. Assim, pode-se aplicar o processo de integração passo a passo
como no Prob. 5. Determine por esse processo a solução da equação y" =yy' +X,
tal que y = 1 e y' = O para x
=
X= 3.
O. Use �x =0,5 e calcule a solução até
RESPOSTAS 1. (a) y'= 2, 2y (e) y' = , X
(b) y'
=
(c) y'=_:_,
2x,
y
y ( (d)y'= -1) , X
(f) y' = -y.
3. 1 ,082.
5. y =27,1, z = 10, 8 quando x= 3.
4. 0,4850.
6. y = 5,00 quando x= 3.
8-9. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM ARBI
TRÁRIA. Uma equação diferencial linear ordinária de ordem
n
é uma equação
diferencial da forma
Suporemos aqui que os coeficientes a0x ( ), a1x ( ), ... , a.(x) e o segundo membro Q(x) são funções definidas e contínuas num intervalo a ;_;;x ;_;; b do eixo x e que a0(x) # O nesse intervalo.
As seguintes equações são exemplos: y" +y= sen 2x,
x2y"' -xy' + exy= logxx ( > O), dy d 5y d 3y --x-+x3 dx dx3 dx5
(a) (b)
O'
(c)
y " +y =O,
(d)
--
dy - + dx
=
x2y =e"'.
(e)
511
Cálculo Avançado Se Q(x) =O, a equação
(8-34) é chamada homogênea (com relação a y e
suas derivadas).Assim, nos exemplos acima, (c) e (d) são homogêneas; as demais são não-homogêneas. Se Q(x) for substituído por O numa equação geral
(8-34), obtém-se uma
nova equação, dita a equação homogênea correspondente à equação difere11cial
dada. Se os coeficientes a0(x), a1(x),..., a.(x) são todos constantes, Jogo, inde
.
pendentes de x, diz-se que a Eq.
Q(x) dependa de
x.
(8-34) tem coeficientes constantes, mesmo que
Assim, (a) e (d) têm coeficientes constantes; os demais exem
plos não.
É conveniente escrever-se a Eq. (8-34) em forma "operacional":
[
ao(x)
d d" + a.(x) [y] " + . .. + ª•-t(x) dx dx
J
ou, com a abreviação,
L
=
ªo(x)
=
Q(x)
d" d + a .(x), " + .. + ª•-1 dx dx .
(8-35)
simplesmente como segue:
L[y]
=
Q(x).
Por exemplo, a equação: xy" + 2xy' - 3y
L
2 x(d /dx ) + 2x(d/dx)- 3. 2
=
=
5 seria abreviada: L[y]
=
5,
Das regras básicas de diferenciação, concluímos que L é um· operador
linear (Sec. 3-6); isto é, L(c1y1(x) + c2 yif.x)]
=
c, L[y1] + c2L[y2],
(8-36)
onde y1(x) e y2(x) são funções tendo derivadas até ordem n para a � x� b e c" c2 são constantes. Daí resulta: se y1(x)
e y2(x) são soluções da equação' homogênea L[y] O então c1 y1(x) + c2 y2(x) também é. Logo, de soluções conhecidas y1(x),..., Y.(x) da equação homogênea, podemos construir so luções y c1 y1(x) + + c.y.(x) contendo n constantes arbitrárias. Isso pa rece ser uma solução geral. No entanto poderia acontecer que Y.(x), por exemplo, fosse uma combinação linear de .r1(x), ... , Y.-1(x): =
,
·
=
Y.(x) oµde k1,
•
•
.
k1 y1(x) + ··· + k._1y._1(x),
a� X� b,
, k,,_ 1, são constantes. A pretensa solução geral. então, envolveria
na verdade só n
y e
=
· ·
-
=
J constantes:
(c1 + c.k1)y1(x) + · · · + (c._1 + c.k._1) y._1 (x)
não se poderia esperar que fosse a solução geral. Para eliminar essa possi
bilidade, supomos que as funções y1(x), ... , Y.(x) são linearmente independentes (Secs.
1-5, 3-9, 7-10); isto é, que nenhuma delas pode ser expressa como com
binação linear das demais, óu, equivalentemente, que uma identidade
512
Equações Diferenciais Ordinárias só pode valer se as constantes c1,
y
=
e
• • •
, e. são todas nulas. Se isso ocorre, então
1y1{x) + ··· + c.y.(x) é de fato a solução geral:
Teorema A. Existem n soluçõc>s linearmente independentes da equação di
ferencial homogênea L[y]=O no intervalo dado a � x� b. Se y1{x), ... , Y.(x) são soluções linearmente independentes da equaçllo L[y]=O para a� x � b, então y= c1y1{x) + · · · + c.y.(x) é a solução geral. Para a demonstração, referimos o Cap. 16 do livro Agnew citado na lista de referências.
A solução geral da equação não-homogênea L[y] =Q(x) pode ser cons truída a partir da solução geral c1y1(x) + ·· · + c.y.(x) de L[y] =O e uma solução particular y*(x) de L[y]
=
Q, ou seja, como
y=y*(x) + c1y1(x) + · · + c.y.(x),
(8-37)
·
pois, por linearidade,
L[y]=L[y* + c1y1 + ··· + c.Y.]=L[y*] + c1L[y1] + · =L[y*] + O=Q(x);
· ·
+ c.L[y,,]
além disso, se y(x) é qualquer solução de L[y]=Q, então L[y-y*]=L[.v] - L[.r*]=Q-Q=O. Logo y- y* é uma solução da equação homogênea e r tem a forma
(8-37):
Teorema 8. Existe uma solução da equação não-homogênea L[y] =Q(x)
no
intervalo dado a� x � b. Se y*(x) é uma tal solução e c1y1(x) + ·· + c.y.(x) y*(x) + c1y1(x) + · · · + c.y.(x) é a solução geral de L[y]=O, então y ·
=
é a solução geral de L[y]=Q(x) para a� x �
b.
Para uma prova da existência de uma solução particular y*(x) novamente citamos o livro de A"gnew. De um modo geral, a existência de soluções 0 ga rantida pelo Teorema Fundamental da Sec.
8-3; no entanto precisamos ta 111 hém a � .\ � b.
mostrar que cada solução é definida em todo o intervalo dado
8-10. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES A COEFICIENTES CONSTANTES. CASO HOMOGeNEO. A discussão da seção precedente nada diz sobre como achar as funções y1(x), ... ,y.(x) e y*(x). Para a equação
linear geral, is o é bem dificil, embora as séries de potências ajudem muito; isso será discutido na Sec.
8-14.
No caso especial de co�ficientes constantes o problema está completamente resolvido. Nesta seção damos a solução no caso homogêneo. Seja
L[y]
=
ª0
d"y dy + ª•Y=O, " + ... + ª•-l dx dx
a equação diferencial dada, onde
a0,
(8-38)
···.a,, são constantes e a0 # O. Por subs
tituição direta temos
L[e'x]=e' x(a0r" + ··· + a._1 r +a .)=f(r)e'x, f(r)=ªor" + · · · + ª·-1' + ª··
513
Cálculo Avançado Logo,
'x e
será uma solução, desde quer satisfaça à equação algébrica de grau
f(r) = O. A equação f(r)
=
(8-38). Se a equação tem
Yt
=
n
e
n:
O chama-se a e11uação característica, associada com raízes reais distintas,
r1 x
,
Y2
são todas soluções para todo
=
r x e i ,
... ,
r1,
Yn
• • •
=
,r.,
' X e "
então as funções
x e são linearmente independentes (conforme
Prob. 3 abaixo). Logo, nesse caso, (8-39) é a solução geral de (8-38). Embora se prove que uma equação algébrica de grau algumas das
n
n
tem raízes (Sec. 0-3),
raízes podem ser complexas e algumas podem ser iguais. Ve
remos que (8-39) pode ser modificada apropriadamente para cobrir esses casos. Por exemplo, a equação com raízes
y" + y
O tem a equação característica r2 + 1
=
±i. Operando formalmente, obteríamos as "soluções'.' éx e
=
O,
e-ix.
Dessas soluções a valores complexos, podemos formar combinações lineares que são reais: cosx =
ix e
+ e-ix 2
sen
_ _ __ ,
x =
(8-40)
--2-i--
como resulta da identidade (Sec. 6-19) i.< e
As funções
y1(x)
=
.
cos
cos
=
x e y2(x )
=
x
+ i sen x.
(8-41)
sen x são de fato soluções linearmente
independentes da equação dada: y" + y
=
O, e
y = c 1 cos x + c2 sen x é a solução geral. Uma análise .semelhante aplica··Se a raízes complexas em geral. Tais raízes aparecem em pares a +
bi (complexas conjugadas). Das duas funções
( ±bilx e •
=
e"x (c os
bx ± i sen bx)
obtemos as duas funções reais e•
x
cos
bx,
ªx e
sen bx
como soluções da equação diferencial. Se a equação tem uma raiz real múltipla
r,
pode-se mostrar (Prob. 9 abaixo) que as funções luções. Se luções sen hx.
ªx e
a
± bi é um par de raízes complexas múltiplas, então obtemos so
cos
bx,
e
"x
sen
bx, xe
x
"
cos
bx. xeªx sen bx, ... , xk-I eªx cos bx,
Resumimos os resultados. Depois de achar as
terística, associa-se:
514
de multiplicidade k, então · xe'x, ... , xk- I e'x são so
'X e ,
n
xk- i
é''-'
raízes da equação carac
Equações Diferenciais Ordinárias
(1) (II)
a cada ra ,z real simples
±
a
a cada pa;
oi
r
e'"-';
a função
cie raízes complexas simples as funções
e"·'
cos bx.
e"·' sen bx; (III) a cada raiz real (IV) a cada par
r
de multiplicidade k as funções e'X, xe'x, . . .
.
xk- 1 e''.
± bi de raízes complexas de multiplicidade k as fun
a
ções e"x cos hx, e"x sen hx. xe"' cos hx xe"x sen hx, .. , xk-I e"x cos hx.
,
.
xk- I e"x sen bx. Se as
n
funções y1 (x).... , y,,(x) assim obtidas são multiplicadas por constantes
(8-38) é
arbitrárias e somadas, a solução geral de
obtida na forma
Exemplo 1. y" - y = O. A equa�·ào característica r
e
tem as raízes distintas
-
Exemplo 2. y'" - y" + y'
1
-
1
=
O
Logo. a solução geral é
.
-
2
y
=
O. A equação característica
r3- r2 + r
-
1
O
=
tem as raízes distintas 1, i, -i. Logo. a solução geral é
Exemplo 3. y" + y' + y =O. A equação característica é r2 + r + 1 com raízes
1
-2
±
.J3
T
y
Exemplo 4.
=
d6 y
6
-
dx
i.
O
,
Logo, por (II) a solução geral é
e-11 ')-'·
+
=
d4 y
8 -4 dx
(c1
cos
+ 16
.J3 x + 2
d2 r
-, "
d:c
=
c2 sen
.J3 x 2
)
·
O. A equação característica é
r6 + 8r4 + J 6r2 = O, ou
As raízes são O, O, ±2i, ±2i. Por (III) e (IV), a solução geral é y = c1 +
c:2x
+ c3cos2x + c4sen2x + c5xcos2x + c6xsen2x.
Assim, parece que a equação linear homogênea a coeficientes constantes está completamente resolvida; uma vez que se tenha resolvido uma certa equação
515
Célculo Avançado algébrica, podem-se escrever todas as soluções da equação diferencial. No entanto, para a prática, isso não basta, pois a resolução de uma equação algé brica pode não ser simples. Para maiores informações sobre isso, mencionamos o livro de Willers e Scarborough, .citado no fim deste capítulo.
PROBLEMAS 1
1. Verifique que a função y = c1x-2 + c x- , x >O, satisfaz à equação 2
diferencial x2 y" +
4xy' + 2y =O
para toda escolha de c1 e c2, e que
c1
e c podem ser escolhidas, de modo 2
único, de forma que y satisfaça às condições iniciais y = y0 e y' = y� para
x
-1 c2x
= x0(x0 > 0). Logo y = c,x-2 +
é a solução geral para x >O.
2. Verifique que a função . y sn tis faz
=
x2
+
e - x (c 1
cos 2x +
c2
sen 2x)
à equação diferencial
y" + 2y' + para todo
x,
e que c1 e c
2
5y
=
5x2 +
4x + 2
podem ser escolhidas de modo único, de forma
que y satisfaça às condições iniciais y = y0, y'
=
y� para
x
=
x0 • Logo
a expressão dada é a solução geral. 3. Mostre que as funções ex, e2x, e3x são linearmente independentes para
todo x.
[Sugestão: se vale uma identidade
derive duas vezes. Isso dá 3 equações para c1 , c , c1
=O,
c 2
=O,
c3
2
=O.]
c3
cuja única solução é
4. Mostre que as funções seguintes são linearmente independentes para todo x (conforme Prob. 3): (a) x, x2, x3
(e)
( b) sen x, cos x, sen 2x
(d) �. e-x.
eX, xeX, senh x
5. Determine quais dos seguintes conjuntos de funções são linearmente inde
pendentes para todo x: (à) senh x, ex, e-x
(c) 1 + x,
(b) cos 2x, cos2 x, sen2 x
(d) x2 - x + 1,
6. Ache a solução geral: (a) y" -4y =O " + 4y' o
(b) y
=
(e) y'" - 3y" + 3y' - y =O 516
1 + 2x, x2 - 1,
x2 3x2 -
x
- 1.
Equações Diferenciais Ordinárias
2 dx dx (g) - 2 +- +7x = O ' dt dt
5 dy
d3 y dy + 2-3 + =O tx dx dx
(e) 1
5
-
(f)
dx
td
7 . Ache
a
-
s dy = O, dxs
( h)
+ 3x = O
solução particular da equação diferencial satisfazendo à condição
inicial dada para cada um dos casos seguintes: (a) y" + y = O,
d2x
(b) dt2 +
dx dt
-3x
y
=
=
O
1 e y' =O para x = O;
dx x =O e dt = 1 para t = O,
,
8. Ache uma solução particular da equação satisfazendo às condições de
fronteira dadas em cada um dos casos seguintes:
(a) y
"
-
y' - 6y
=
O,
y = 1 para x
( b) y" +y = O,
y
=
( c) y" +y = O,
y
=
9. (a) Prove que, se
r1
=
1 para x = O,
O para
x
= O,
O, v
-
y = O para x = 1; = 2 para x
n =
-
2
·,
y = O para x = n.
é uma raiz dupla da equação característica f(r) = O,
então xe"x é uma solução da correspondente equação diferencial linear
homogênea.
[Sugestão: se
f(r) = (r-r1)2(a0r"-2 +···)então J(r1) = O
e f'(r1 ) = O. Agora e'x pode ser considerada como função d e r e x e da regra
\
[
para uma tal função concluímos que
J
a L[xe'x] =L -e'x ar Agora , faça r
=
a a = -L[e'-'] = -[f(r)e'x ] = f'(r)e'x +xf(r)e'x, ar ar
r 1 .]
(b) Generalize o resultado da parte (a) para o caso de uma raiz de mul tiplicidade k. RESPOSTAS 5. (a),
(b), (d) são linearmente dependentes, (c) é um conjunto linearmente
independente.
(e) c1 ex+ c2xex + c3x2ex; 6, (a) c1 e2x +c2e-2\ . (b) c1 +c 2 e - 4x; 1 r.:\ 1 -(! 2>J2i o. 2)/2i t [:; (c3 cos(2.yr.:\ (d) e c1 + c sen +e cos ( 2.y 2x) hv 2x) 2x) + [ . ) 2 +c4 sen
(g) e-<112J•[c1 cos(t3
../3t) +c2 sen(t3 .j3t)];
(h) c1 +c x +c3x2 +
2 + C4X3 + C5 X4.
517
Cálculo Avançado
1 8. (a) ---s 1 -e
� e-11
(b)
7. (a) cos x;
(e3x - es -is);
senh
�"
v 13
(tjl31).
(b) cosx + 2scnx:
(c)
e
sen x.
8-11. EQUAÇÕES DIFE R ENCIAIS LINEARES, CASO NÃO-HOMO
GÊNEO. Em vista do Teorema B da Sec. 8-9, a solução de uma equação linear
não-homogênea
L[y]
( )y'
a0 x
=
"'
+
·
· ·
+
a,,_ 1
(x)y'
+ a,,(x)y
(X-42)
Q(x)
=
reduz-se a dois problemas distintos: (a) determinação da solução geral da equação homogênea correspondente
y*(x)
lução particular
L[.1']
= O: (b) determinação de
da equação não-homogênea
A solução de (a) é da forma
J,(x) dependendo de
x e 11
=
c1
y1(x) +
·
·
·
L[y]
=
uma so
Q.
+ c11y11(x).
18-43)
constantes arbitrúrias: chamamos
.r.(x)
de funçào
com
ple1111'11/11r. Quando os coeficientes são cnnstantes . .r, pode ser achada explici tamente pelos métodos da Sec. li-1 O. Esta seção tratará do método da rariaçâo de parâmetros pelo qual uma solução particular
.r*(x)
pode ser achada. sempre que a função complementar
seja conhecida. O método aplica-se pois quer os coeficientes sejam constantes quer não. sempre com a condição de podermos determinar a função comple mentar. :'vlétodos para determinar essa função quando os coeficientes são variúvcis serão descritos na Sec. li-14. Outros métodos para achar .r*(x) quando os cpcficirntcs são constante.; sãll descritos nos Probs. 5 e 6 abaixo. Seja dada
Eq. (8-42) com função complementar
a
procuraremos uma solução
r*(xJ Assim
as
a
.
.
.
. •
r,,( x ) .
r1(x)y1(x) +
(li-42), isto é.
uma
As
r
y.(x)
conhecida. Então
de (8-42), da forma
constantes (ou "parâmetros")
por f u nçõ e s r1(x) satisfaça
=
.r*(x . )
e1
·
·
•
·
•
•
( 8 -44)
+ v,,(x)yJx). •
e"
•
em (8-43) foram substituídas
devem ser escolhidas de modo que (8-44)
condição e
/1
funções. Assim, devemos impor mai.s
11- I cond içõcs adicionais. Escolhemos como tais ' y1 r 1
+
·
·
·
11- l
condições as seguintes equações:
' y 1 v'1 + + y� v;, i; -2'v' + ... + Y::1-2•v;, 1 O y 1
+ y11 v;, = O ,
·
·
·
=
=
O, ...
,
(8-45)
.
Elas são escolhidas de modo que as deriradas sucessivas até ordem n-1 da função
(8-44)
dependam de v 1(x), . . . , v,,(x) e mio das derivadas das v. De fato, y*' V1l1 + . .. + v,,.y;, + .\'1V'1 + ... + Yn V� = V1l1 + . .. + vny;,. =
por causa da primeira das (8-45). De um modo geral,
y*1k1 V1 y�k1 + ... + v,,.l':,k1 (k V1Yi" + ... + VnY�11 + y<;_'-l!v'1 =
y*<"l
518
=
=
1, ... . +
...
/1
-t-
·-·
l ),
.\'::1-11v;,.
(8-46) (8-47)
Equações Diferenciais Ordinárias
Dessas relações, resulta que +
L[y*] = V 1L[yJ pois
L[y 1]
··· + vn L[ynJ
O, . ., L [Yn]
=
.
=
+
a0J ( 'i"-llv1 ' + ···
O. Portanto, substituindo
+
n Y� , -l>v;,) =
(8-44) em (8-42), obtemos (8-48)
Essa é a n-es1ma condição snhre as
v.
Em suma, então, exigimos que as funções
v1(x), ..., v"(x)satisfaçam
às
n
equações
y 1 v1 ' + y2 V� + . . . + ynV� =O, ' V� + y � V� + . .. + y � V� 0, y1 .;�.:2> + .. + ( n 2 v' 1 yn - >v' 11 =O' Y1 ( ).
(8-49)
.
.
São essas as
n
.
equações para as derivadas
v'1, . .., v � .
Elas podem ser resolvidas
por determinantes (Sec. 0-3). Assim, achamos
, V1
=
DI [)'
D " v'n=-, D
D2 V,i =-,··· , D
(8-5 0 )
onde
D=
Y1 'y 1
Yn y�
� y�
o o
D1 =
1) Yi"-uy�-u. Y�n-
Q
Y2 y �
Yn y�
y�-1).
1 y�- )
, .. .
(8-51)
ªº
Conhecidas
(8-44),
v'1, ..., v�,
achamos
v1,
..
., v" por
Deve-se observar que o determinante que, se
integração. Substituindo em
obtemos a solução particular procurada.
D
=
D
não pode ser
O,
pois mostra-se
y (x), ..., Yn(x) 1 325-327 do livro D chama-se determinante
O num ponto do intervalo dado, então as funções
são linearmente dependentes. Uma prova é dada nas págs. de Agnew citado no final do capítulo. O determinante
Wronskiano das
funções
Exempo l . y"' - y" Solução. A
+
( ), ..., y0(x). y1x 'y - y =x.
função complementar é
y*(x)na forma v2(x)cosx + v3(x)senx.
Logo, procuraremos a solução particular
y*(x)= v1(x)e�
+
519
Cálculo Avançado
As equações (8-49) ficam ex v� + cos x v� + sen x vj =O, ex v'1 - sen x v� + cos x vj = O, eXv'1 cos X V� - sen X V� X. -
=
Resolvendo, achamos v'1 = ixe-x,
v� = ix (sen x -cos x),
vj =-ix (sen x + cos x).
Logo após integração (ignorando as constantes arbitrárias), achamos v1 = -i(x + l)e-x,
v2 = -t[x(sen x + cos.x)-sen x + cos x],
v3 =t[x (cos x-sen x)- sen x-cos x]. Portanto
A solução geral é y = c1 ex + c cos x + c3 sen x-x 2
-
l = yc
PROBLEMAS 1.
Ache a solução geral pelo método da variação dos parâmetros: (d) y" + 4y = sec 2x (e) y" -y log x
(a) y" -y =ex (b) y"' -6y" + lly'-6y = e4x (c) y" + y cotg x.
=
=
Resolva a equação linear de primeira ordem y' + P(x)y Q(x) resolvendo primeiro a correspondente equação homogênea e depois obtendo a solução por variação dos parâmetros. 3. Verifique que y c1 x + c x2 é a solução geral da equação 2
2.
=
=
x2 y"-2xy' + 2y =O, e ache a solução geral da equação x2 y"-2xy' + 2y = x3• 4. Verifique que y =c1ex + que corresponde a
c2x
-1
é a solução geral da equação homogênea
x(x + l)y" + (2-x2)y' -(2 + x)y 5.
=
(x + 1)2
e ache a solução geral. Método operacional. Escrevemos D d/dx de modo que L pode ser escrito L = a0 D" + + ª•- t D + ª•, isto é, como polinômio no operador D. A soma e o produto de dois operadores L1 e L são definidos pelas equações: 2 (LI+ L2)[ y] L1[Y] + L2[Y], (L1L2)[ y] = L1{L2[Y]}. Se os coe.fiei=
· · ·
=
520
,
Equações Diferenciais Ordinárias
entes são constantes, essas operações podem ser realizadas como para po linômios comuns. Por exemplo, (2D + l)(D-2)[y]
=(2D
+ l)[y'-2y] = 2y"-3y'-2y
=(2D2-3D-2)[y].
A regra geral pode ser provada por indução. Para achar uma solução y*(x) da equação não�homogênea 2y" - 3y' -2y
=
Q(x),
escrevemos em forma de operador:
(2D + l)(D-2)[y] ""Q(x). Pomos então
(D- 2)[y] = u, de modo que (2D + 1)(u] = Q(x). Portanto,
pela Sec. 8-6, y = e2"
f
e- 2 u d x "
,
u =!e-012>x
f
tfl12>·'Q(x)dx.
Ache as soluções gerais das equações dadas: (a) D(D2 -9)[y]
=
O
3
(d) (D-1) [y] = 1
(b) (D5 -D3)[y] =O
(e) Prob. l(a) acima
(c) (D2 -9)[y]
(f) Prob. 1(b) acima.
="
Se"
O uso de operadores pode ser desenvolvido numa técnica muito eficiente. Para maiores informações, ver o livro de Agnew citado no fim do capítulo. 6. Método dos co�cientes a determinar. Para obter uma solução y*(x) da
equação (D2 + l)[y]
(a)
=e"
podemos multiplicar ambos os lados por D - 1: (D-l)(D 2 + l)[y] = (D-l)[e"] =O.
(b)
O segundo membro é O p o rque e" saüsfaz à equação homogênea (D-1) [y] =O. De (b), obtemos a equação característica: (r- l)(r 2 + 1)
=
O.
Logo, toda solução de (b) tem a forma y = c1 cos x + c sen x + c3e". 2 Substituindo em (a), os dois primeiros termos dão O, pois formam a função complementar de (a). Obtém-se uma equação para o "coeficiente a deter minar". c3: 2c3e" =e", c3 =t. Logo, y* =te" é a solução particular pro curada.
Ó
método depende de achar um operador que "anule" o segundo
membro Q(x). Tal operador sempre pode ser achado se Q é uma solução de uma equação homogênea a coeficientes constantes; o operador L tal que L[Q] =O é o operador procurado. Se Q é da forma
(p0 + P1 x +
· · ·
+
+ pkxk-l>eª"(Acos'bx + Bsenbx). o anulador é L = {(D-a)2 + b2}k. Para
521
Cálculo Avançado
multiplicar os operadores correspon o método descrito para achar soluções particulares das se
uma soma de tais termos, po demos dentes. Use
guintes equações: sen x (o anulador é D 2+ 1); y" +y (o anulador é D-2 ); (b) y" +y e2x (c) y" +y'-y = x2 (o anulador é D3); (d) y" +2y' +y = sen 2x +ex; (e) y" +4y = 2 5xex; (1) y"'-2y'-4y e-x senx; (g) y" + 2y' + y 6xe-x. (a)
=
/
=
=
7.
=
Prove, por variação de parâmetros ou pelo método do Prob. 6 , que uma solução particular da equação 2 d x
dx
dt2 +2h dt
+ -1.2 x
=
B sen rot
(h »o, ro
>
O)
é dada por X
=
B sen(rot - rx) ---;:======= 2 ,1.2 ( -ro ) 2 + 4 ro2hz
tg rx
J
=
2wh .F-ro 2 ,
---
O
< rx <
n.
RESPOSTAS
1. (a) c1ex (b) (c) (d) (e)
c2e-x +fxex; C1 ex +C2 e2x + C e3x + t,-e4x; 3 c1 c os x +c2senx-senx-senxlog(cosecx +cotgx) ; c1 cos 2x + c2 sen 2x +t cos 2x log 1cos 2x 1+fx sen2x; c1ex +c2e-x +!exJe-x logxdx-fe-xJex logxdx. +
5. (a) c1 +c2e3x+c e-3X, 3 + c,e3x +C2e-3x,
(b) c1+c2x+c x 2+c4ex + c5e-x, 3 -1 + c1 ex +C2Xex + c x2ex.
(d)
6. (a) -fx cos x, (d) t(4 cos 2x+3 sen 2x)+iex, (g) x3e-x.
(b) te2x,
(e)
ex(5x-2),
(c)
-ex+
3 (c) -x2-2x -4 , (f) 2'axe- '(3 cos x - sen x),
8-12. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A COEFICIENTES CONSTANTES. Consi deramos sistemas como os se guintes:
dx
dt = a1x
522
b1y + p(t), (8-52)
dy dt
+
=
a2x +b2Y +q(t);
Equações Diferenciais Ordinárias
dx - = alx + bly + dt dy dt dz dt
Aqui, a1,
•
•
.
= a2X + b2y +
C1Z
+ p(t),
C2Z
+ q(t),
(8-53)
= a3X + b3y + C3Z + r(t).
, c3 são constantes. O caso geral envolveria
n
variáveis x1,
.
•
.
, xn
que são funções de t:
(8-54) Há sistemas mais gerais que podem ser reduzidos a essa forma (Prob. 2 abaixo).
(8-53). Primeiro consideramos
Os métodos serão ilustrados para as Eqs. o sistema homogêneo correspondente
(8-55) é, por definição, uma
Cada solução de
tripla de funções x(t), y(t), z(t),
todas definidas em algum intervàlo e satisfazendo às equações identicamente. Procuramos uma solução particular
(8-56) onde A, B, C são constantes. Substituindo em
�es
(8-55) e cancelando o fator
e;,',
obtemos as equa
(ai -À.)A +
blB +
C1
e= O,
ª2A + (b2 - À.)B + Cz e= O, a3A + b3B + (c3-À.)C =O.
(8-57)
Essas são equações lineares homogêneas para as constantes A, B, C; elas sempre têm ao menos a solução trivial A = O, B = O, C = O, que fornece a solução
(8-56): o
x = O, y
=
O, z = O. As Eqs.
(8-57) têm solução não-trivial se, e só se, 0-3):
determinante dos coeficientes é O (Sec. ª 1- À. ª2 ª3
A Eq.
bl hl-À.
(8-58)
b3
(8-58) desenvolvida fornece uma equação cúbica para À.. Essa equação (8-55). Se À.1 é raiz da equação
chama-se equação característica associada com
característica, então podemos achar uma correspondente tripla de constantes A1, B1, C1, não todas O, satisfazendo a
(8-57), com
À.= À.1, e
(8-59) 523
Cálculo Avançado
é uma solução de (8-55); (8-59) permanece uma solução se as três(unções são multiplicadas pela mesma constante
e,
pois cA1, cB1, cC1 também será soJução
de (8-57) com À. =À.1• Se a equação característica tem 3 raízes distintas. À1• À.2, À.3, o processo fornece 3 triplas que são soluções particulares. As combi
nações
lineares ).3t X= C1À1e.i.1t + C2À2eÀ2t + C3À3e , ;.•' 1 y = c1B1e;.,, + c2B2e.i., + c3B3e ,
(8-60)
z = c1 C1é11 + c2C2é21+ c3C3et.••,
fornecem mais soluções, para cada escolha das constantes c1, c2, c3; isso pode ser verificado por substituição direta
em
(8-55): De fato, pode-se mostrar que
(8-60) é a solução geral de (8-55); ver o livro de Agnew citado no fim do capítulo. Se À. =a
±
bi é um par de raízes complexas da equação característica,
a solução (8-60) envolve exponenciais imaginárias. As soluções podem ser obtidas em forma real combinando termos conjugados como na Sec. 8-10. Se À.= À.1 é uma raiz dupla, o processo fornece uma solução incompleta, só com
duas constantes arbitrárias. As soluções restantes são obtidas pondo ;. y= (B + f3t)e '',
x = (A + ixt)e;.11,
e determinando as constantes A, B, C, ix,
{3,
z = (C + yt)e.<1'
(8-61)
y, de modo que (8-55) seja satisfeita.
Para uma raiz de multiplicidade k, substitui-se as funções lineares de t por polinômios de grau k-1, com coeficientes a determinar . Exemplo 1.
dx dt
dy
=x-2y,
dt
=
y- 2x.
Solução. A substituição x = Ae.i.t, y = Be;.' leva às equações (l-À.)A-2B=O,
-2A+(l-Ã)B=0.
(8-62)
A equação característica é 1-
-2 _.:. = ,1.2 - 2À.- 3 = o. À. 1
1-2À.
1
(8-63)
As raízes são, 3 e -1. Quando À. =À.1 = 3, (8-62) fica -2A-2B=O, Logo, A =-B; tomamos A1
=
-2A-2B=O.
1, 81 =-L Quando À.= À.2=-1, (8-62) fica
2A-2B=O,
-2A + 2B=O.
Logo, A= B; tomamos A2= 1, B2= 1.
Exemplo 2.
524
dx dt
=y,
dy -=z' dt
A solução geral é
dz -= x-y + z. dt
Equações Diferenciais Ordinárias
Solução. A substituição x = Ae;.', y= Be;.',
=Ceu leva às equações
z
A-B+(1- À.)C =O.
-À.A+B=O, -À.B +C=O, A equação característica é -À.
1
o
-À.
o =--{À.2 + l)(À.-1)=o.
-1
1-À.
A raiz À.1 = 1 fornece as equações -A+B=O,
-B+C=O,
A-B=O,
satisfeitas para A = B = C=1. A raiz À.2 =i leva às equações -iA+B =O,
A-B+(1- i )C =O.
-iB+C=O,
Logo, B= iA, C = iB = -A e as equações são satisfeitas por A =1, B= i, C=-1. Analogamente À.3 =-i dá a solução A =1, B=-i, C =-1. Portanto a solução geral é x = c1e'+ c2ei•+ c3e-i',
.r= c1e'+ c2ie;'-c3ie-i•,
z= c1e'-
c2e;'-c 3e-i'.
Se escrevermos e±it = cos t+isente introduzirmos novas constantes c'1=e 1,
� = c2+c3, e� = i(c2- c3),
e
as soluções tomam a forma real:
x = c'1 e'+e� cos t +e� sen t, y=c'1e' +c'3 cos t z= c'1
Exemplo 3.
dx dt
e'
e� sent, e� cos t - e� sen t.
-
-
dy -=-2x-y. dt
= 3x +2y,
Solução. A equação característica é 3-À. -2
2
1
-1-À.
2 =À. -2À.+1=o.
Aqui, temos raízes iguais: 1, 1. A substituição: x =(A +1Xt)e', y =(B+flt)e' fornece as equações 2A+2B-IX- t(21X +2{3)=O,
2A +2B+f3+t(21X+2/3) = o.
Essas equações serão satisfeitas identicamente se = o,
21X +2/3 =o,
2A+2B+f3 =O,
21X+2{3= o.
2A +2B -
IX
Essas equações permitem exprimir IX, f3 em termos de A e B:
IX= 2A+2B =-{3.
525
Cálculo Avançado
Logo. y = [B + t(-2A-2B)] e',
x =[A+ t(2A + 2B)]e',
em termos das duas constantes arbitrárias
Á e. B.
Caso não-homogêneo. O método de variação de parâmetros pode ser usado,
numa forma que é mais simples que para uma só equação de ordem
n.
·11us
tramos o processo com um exemplo: Exemplo 4.
d x
dí
=
X
- 2y
dy
+ cos r,
dt
= y-2x-sen t.
Primeiro resolvemos o correspondente sistema homogêneo, como no Ex. 1 acima. Substituímos
c1, c2
por v1, v2 na solução geral encontrada:
Substituindo nas equações dadas, obtemos as relações dv dv e31_1 + e-1_2 = cost, dt dt dv -e3'-1 + dt
·
dv
e-'-2
dt
=
-sent.
Logo, dv 2e-• -2 dt
dv 2 -1 e3' = cost + sent, dt
f tf
=
v
=t
e-3'(cost + sent)dt =
v2
=
e'(cost -sen t)dt
1
=
cos t-sent,
-O, l e - 3'(sent
+ 2cost),
!e' cost,
por (i), (j) do Prob. 31 que segue a Introdução, e x = y
=
c1e
-c 1
3'
+
3' e
-• c2e
+
+ 0,1(3cost-sent),
-• c2e
+ 0,1(7 cost + sent).
Observamos que não é necessário impor outras condições a como foi feito no método correspondente da Sec. 8-10.
v1(t), v2 ( t)
Digamos que instrumentos adequados para tratar da resolução de equações diferenciais lineares sejam os da álgebra linear, em particular, as matrizes, que permitem grandes simplificações. Pode-se mostrar que, quando os coeficientes ai em (8-54) podem depender i de t, a solução geral das equações homogêneas [plt) = O] é. formada como combinação linear de soluções particulares, como em (8-60). Quando essa "função complementar" foi achada, o método de variação dos parâmetros pode ser usado para completar a solução, como no exemplo acima.
526
Equações Diferenciais Ordinárias
A idéia básica do método de variação de parâmetros pode ser estendida a equações não lineares do modo seguinte. Suponhamos que as equações não -lineares possam ser escritas na forma dx.
df
=
F;(x1, ... , Xn, t) + G;(x 1,...
(i = 1, ... , n),
, xn, t )
(8-64)
onde se sabe que as G; são muito pequenas comparadas com as F;. Suponhamos ainda que a solução geral das equações dx. ' = Flxl' dt
(i = 1, ... ,n)
...,xn,t)
(8-65)
é conhecida na forma: X;= J;(t,c1, ... ,cn)
(i =
l,
(i<-66)
.. ,n). .
Substitui-se agora as e por funções v1(t),..., v"(t), isto é, introduzem-se novas variáveis ti1, . , v" pelas equações .
.
·x;
=
J;(t,v1,
• • •
(8-67)
,vn).
Podem-se, agora, transformar as Eqs. (8-64) em n equações diferenciais para , v O fato importante é que, como as G; são pequenas, as v serão apro ximadamente constantes, tendo derivadas pequenas. Isso é muito vantajoso para um método numérico ou por séries para resolução para as v. Esse método está em uso há vários séculos para problemas de mecânica celeste (movimento da Lua, planetas, etc.). Para aplicações a problemas de engenharia ver Intro duction to Non-linear Mechanics, por M. Kryloff e N. Bogoliuboff (Princeton: Princeton University Press, 1943).
v1,
. . •
•.
PROBLEMAS 1. Achar as soluções gerais (a) .
(b) (c)
dx dt dx dt dx -
dt
= X
+2y,
= X
+ 2y,
=
dx -
dt
=
dx
(f) dt
=
dt
dy dt
y;
dy -
dt
dy =y-z, dt
x +2y +e',
-
-2x+Sy·,
=
x-2y +t2 +2t,
dx (d)-=x- y, dt
(e)
dy
- = 12x
dy dt
2x- y + 3z +t,
=
=
5x- y-4t2 +2t;
dz --z- x·, dt -x + 4y-2;
dy . -=-x+y-z-1 , dt
dz dt
=
y- z .
527
Cálculo Avançado
2.
(a) Achar a solução geral do sistema
2 d x dt2" = x-y, resolvendo o sistema equivalente:
dx = z, dt
dz = x-y, dt
dy -=W' dt
dw = y x. dt -
(b) Achar a solução geral da equação
2 dx d x 2 2 + 2--3x =. 3t -4t -2 dt dt
-
resolvendo o sistema equivalente:
dx = y, dt
dy 2 - = 3x-2 y + 3t -4t - 2. dt
Generalizando o método indicado, essencialmente todo sistema de equações diferenciais pode ser reduzido a um sistema de equações de primeira ordem:
dx.
a} = f;(x 1, 3.
.
.
•
, xn, t)
(i = 1, ... , n).
Verifique que existe uma, e uma só, solução do Ex. 1 da Sec. 8-11 corres pondendo a condições iniciais dadas:
x(O) = x0,
y(O) = Yo
RESPOSTAS 1. (a)
x = c1e5' 3
+
c2e-5', 3
y = 2c1e5' - 3c2e-5'; 3 3 + 2c2 te ';
(b) x = c1e ' + 2c2 te ', y = (c1 + c2)e ' 2 (c) x = 2c1 cos 3t + 2c2 sen 3t + t ,
2 y = (c1 -3c2) cos 3t + (c2 + 3c1) sen 3t + t ; (d) x = c1 + eª'(2c2 cos bt + 2c3 sen bt), y = c1 + eª'[(-c2-2bc3) cos bt + (-c3 + 2bc2) sen bt], z = c1 + eª'[(-c 2 + 2bc3)cosbt + (-c 3 2bc2) sen bt], onde a = f, b = t J3; 3 2 3 2 (e) x = c1e ' + 2c2e '-fe' -f, y = c1e ' + c2e '-íe' + t; 2 2 (f) x = c1e' + c2e-• + 4c3e '-l, y = -2c1e'-3c3e ' + ±-tt, 2 z =-c1e' -c2e-'-c3e ' + i-tt. -
2. (a) x = c1 3 (b) c1e- ' 528
+ +
c2 t + c3eª' 2 c2e'-t •
+
c4e-••, y = c1 + c2 t-c3eª'-c4e-••, a= fi;
Equações Diferenciais Ordinárias 8-13. APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES. As aplicações que consideraremos aqui são principalmente as da equação di ferencial linear de segunda ordem
dx d2x m+ 2c + k2x = F(t). dt2 dt -
(8-68)
A notação sugere um problema de mecânica. Uma partícula de massa m mo ve-se sobre uma reta, o eixo dos x, sujeita a três forças: uma força de"atrito"
--2c(dx/dt), opondo-se ao movimento (se
e
>O); uma força de "restauração"
--k2x; uma "força aplicada" F(t). Isso está ilustrado na Fig. 8-9.
Figura 8-9. Modelo para equação linear de segunda ordem
o Esse problema tem um paralelo em teoria dos circuitos elétricos, ou seja, o representado pela equação diferencial
d2i
L dt2 +
R
di 1 C i = F(t), dt +
(8-69)
onde L é a indutância, R a resistência, C a capacitância, e F(t) a derivada em relação ao tempo da força eletromotriz aplicada. Suporemos m,
e,
k constantes e m > O,
racterística de (8-68),
e
!;';; O, k > O. Logo, a equação ca
mr2 + 2cr + k2 = O,
(8-70)
tem raízes que são ou negativas ou complexas. Se as abreviações
À=
k
(8-71)
-
Jm são usadas, as raízes são dadas por
r = --h ±
J h2--À2•
(8-72)
Suponhamos primeiramente que F(t) = O. Então surgem os seguintes casos, dependendo do valor de h:
Caso l. h = O.
r = ± Ài.
Caso II. O < h < À. Caso III. h = À.
Caso IV. h > À.
Movimento harmônico simp{es.
r = -h ± i J À 2 - h2•
r = -L, -h.
Vibrações amortecidas.
Amortecimento crítico.
r = -h ± J h2--À2•
Amortecimento supracrítico.
No Caso I não há amortecimento por atrito. A massa vibra livremente segundo a equação
x = A sen (Àt + ex),
(8- 73)
529
Cálculo Avançado
onde A e ex são constantes arbitrárias. A freqüência  dessas vibraçqes é cha mada a freqüência natural do sistema. No Caso II há amortecimento por atrito e, em conseqüência, a massa oscila, mas com amplitude que tende a zero: x =
Ae-h• sen (pt
p JÃ.2-h2.
+ex),
(8-74)
=
A freqüência dessas oscilações é menor que a freqüência natural. Nos Casos
III e IV as oscilações desapareceram por atrito excessivo e, em ambos os casos,
à parte um possível período inicial de crescimento, o movimento é essencialmente
o de decréscimo exponencial, como descrito na Sec. 8- 7: X = C1
e-hl + t
C2 te-
ht
[Caso III]; [Caso IV];
+ h +�Ã2,
X = C1e ª1 =
-
a1
2I C C!-a 1
ª2
=
(8-75)
h-Jh2-Â.2.
Os tipos de movimentos em todos os casos são representados na Fig. 8-10. X
X
Amortecimento subcrítico
/
Nenhum
amorteci-
Figura 8-10. Soluções de
m
d2x dx dt2 + 2cdt + k2x
=
O
Podem ser discutidas as propriedades qualitativas das soluções quando existe uma força aplicada F(t) com auxílio do ponto de vista de entrada-saídá da Sec. 8-7. A entrada é definida, como no caso de primeira ordem, como a solução x.(t) obtida desprezando-se os termos em dx/dt e d2 x/dt2• Assim, entrada
=
x (t) e
F(t) =
k2
-
·
(8-76)
A solução verdadeira x(t), obtida levando em conta os termos contendo deri vadas, será chamada saída. Como no caso de primeira ordem, a aproximação entrada
=
saída
pode ser usada; a qualidade dessa aproximação depende do tamanho de e c/k2• 530
m/k2
Equações Diferenciais Ordin�rias Suponhamos, por exemplo, que temos o Caso II para a equação homogênea,
e que
F(t)
F 1, uma constante. Então a solução geral de (8-68) é da forma
=
F
x como na Fig.
=
k�
+
Ae-h• sen
(Pt + ix),
8-11. Assim, a saída avizinha-se da entrada, oscilando cada vez Fé uma função em degrau, como na Fig. 8-12, a solução (saída)
menos. Se agora
tenta seguir a entrada, enquanto oscila. Como a figura ilustra, após um período inicial transitório duas soluções quaisquer praticamente coincidem; nesse sen tido, a saída
é uma função bem definida de t. X
Figura 8-11. Resposta de sistema de se
. Figura 8-12. Resposta de sistema de se
gunda ordem à entrada constante Deve-se notar que, se
gunda ordem à entrada função-degrau
F salta a um valor positivo quando a saída está
crescendo e a um valor negativo quando a saída está decrescendo, então osci lações inicialmente pequenas aumentam de amplitude. Uma imagem disso é a de uma pessoa que empurra uma criança num balanço; se empurra na direção do movimento, a amplitude cresce. Esse efeito de sincronização do t�rmo que reforça com a freqüência da resposta
é conhecido como ressonância. Se não
houvesse atrito, uma sincronização perfeita levaria a uma amplitude indo para
trabalho realizado pela força aplicada, de um lado, é igual à energia contribuída ao sistema, de outro, ao produto da componente da força na direção do movimento pela distância percorrida (Sec. 5-4). Portanto a res sonância é simplesmente o caso de uma força sempre aplicada para acrescentar
infinito. Ora, o
energia ao sistema. Para obter uma descrição matemática de ressonância, pode-se tomar o caso de uma função
F(t)
=
x.(t) onde
F 1 sen wt. Neste caso, a entrada é
=
A. sen wt
F1 =
k2 sen wt,
(8-77)
A. é a amplitude de entrada. Verifica-se (ver Prob. 7 depois da Sec. 8-11) é
que a saída
x.
=
A. sen (wt
-
ix)
+ (transitório),
(8-78) 531
Cálculo Avançado onde
\ tg a
=
2(J)h
--..1.2 - ()) 2
,
O
� a < n.
(8-79)
Quanto maior é h, mais forte o amortecimento e menor a razão de para
Ae.
Para h e À. fixados a razão de As para
da freqüência de entrada
(J)
Ae depende
As
somente da razão
para a freqüência natural À.; na Fig. 8-13 está o
gráfico dessa relação. A razão
A.fA
••
o
fator de amplificação, é grande quando
h é pequeno, com um máximo, para h fixado, numa freqüência (J) dita freqüência
de ressonância. Se h
=
O, as fórmulas acima dão
A,
é o caso de ressonância pura. Quando h é grande,
=
oo
quando À.=
AJAe fica
()) ;
esse
menor que l; a
amplitude diminui, especialmente para freqüências altas.
2
Figura 8-13. Amplificação contra freq üencia da entrada para sistema de segunda ordem
2
O fenômeno de ressonância é familiar da experiência diária. Embora fre qüentemente produza ruidos desagradáveis ou danos materiais, pode ser usado com grandes vantagens para produzir mecanismos "afinados" para responder a uma freqüência dada. As observações feitas aqui sobre a equação de segunda ordem podem ser facilmente estendidas a equações de ordem superior ou (o que é o mesmo) sistemas de equações lineares. Isso é discutido no Cap. 10, onde se mostra que tais sistemas formam uma transição natural a equações diferenciais parciais. Para todos os sistemas, o ponto de vista de entrada e saída pode ser conservado. Enquanto o sistema é estável, isto é, enquanto todas as soluções avizinham-se de zero à medida que t cresce na ausência de termos de reforço, há essencial mente uma única saída para uma entrada dada. Além disso, há um princípio de superposição: a saída varia linearmente com a entrada. Todas as realizações desse sistema são consideradas tipos de "servomecanismos", que são projetados para reagir a uma entrada dada de um modo especificado. O analisador di ferencial é um tipo particularmente flexível de servomecanismo, e pode trans-, formar entrada em saída, segundo uma classe ampla de equações diferenciais.
532
Equações Diferenciais Ordinárias
PROBLEMAS 1. Ache uma solução particular e compare entrada e saída graficamente para as seguintes equações:
d2 x (a) -;ft2 + 4x d2x (b) -;ft2 + 4x d2x (c) -;ft2 + 4x 2.
=
=
=
sen t
dx d2x (d) -;ft2 + 2 + 5x
t
dx d2x (e) -;ft2 + 5 + 6x dt
sen 2t
dx d2x (f) -;ft2 + 2 + 5x dt
dt
sen 2t
=
=
=
sen 2t
t3 - 3t2 + 2t.
Seja F(t) uma "onda quadrada": F(t) tem período 2t1 e F(t) l para O < t < t 1, F(t) -1 para t 1 < t < 2 t 1 . Discuta a natureza da solução das equações =
=
d2 x (a) - + ,1,2 x dt2
=
dx n2 d2x (b) - + 2h- + 2X dt2 dt t1
F(t)
=
F(t) .
3. Ache a equação do lugar geométrico dos máximos de AsfA. como função de w/À para h fixo, segundo (8-79); compare com a Fig. 8-13. 4. Discuta o sentido do atraso de fase rx e analise sua dependência em relação a }.., h e w. 8-14. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR SÉRIES DE TAYLOR. A série de Taylor f(a) +
f'(a)(x - a) 1!
+
.f"(a)(x - a)2 2!
+
·
+
· ·
J<"'(a)(x - a) " n!
+
·
· ·
(Sec. 6-16) de uma função f(x) pode ser formada quando todas as suas derivadas em x = a são conhecidas. Se, por exemplo, f satisfaz à equação diferencial
y' com condição inicial dada f(a) Assim
=
f'(a)
y0,
=
(8-80)
F(x, y)
=
então a própria equação dá y'
=
f'(a).
F[a, f(a) ].
Se F tem derivadas contínuas para os valores das variáveis envolvidas; podemos diferenciar (8-80) e obter uma fórmula para a derivada segunda: de modo que
.f"(a)
=
�=
[a, f(a) ] +
{!;
}
[a, f(a) ] f'(a).
Procedendo assim, obtém-se uma série de Taylor para f O fato de que a série obtida converge num intervalo centrado em x a e representa uma solução y f(x) da equação diferencial pode ser provado com hipóteses convenientes sobre F(x, y). Na maior parte das aplicações, Fé uma função racional de x e y =
=
533
\
Cálculo Avançado
e o método é válido, exceto se o denominador anula-se em (a, y0). Mais ge
analítica, isto é, pode ser expandida x- a e y- y0 numa vizinhança de (a, y0) (Sec. 6-20).
ralmente, o método é valido quando F é em série de potências de
Para as demonstrações, consultar o Cap. XII do livro de Ince citado no fim deste capítulo.
Exemplo. y' y" Logo, em
=
x2-y2; y = 1 para x = O. Aqui,
=
y'" = 2-2y'2-2yy",
2x-2yy',
yi•
=
-6y'y"-2yym, ...
x = O, tem-se, para a solução procurada, y
=
'
1,
y
=
-1,
y"
=
2,
y"'
=
yi•
-4,
=
20, .
.
.
Assim, a solução é dada por
y = 1- x + x2-�x3 + ix4 + ..
·
Não há esperanças de obter o termo geral aqui; esse é um defeito característico do método, se aplicado a uma equação diferencial não-linear. No entanto o teorema geral acima mencionado assegura que a série converge para todo em algum intervalo
-a <
x
<
x
a e é uma solução. Além disso, é possível obter
avaliações do intervalo de convergência e do resto após
n
termos. Portanto a
série pode ser usada para cálculos numéricos cuidadosamente controlados. O método aplica-se igualmente a equações de ordem superior e a sistemas de equações. Assim, para a equação
y" =X + y2 com condições iniciais
y"'
y
=
=
1 e
y'
=
2 para x
i•
2yy' + 1,
=
=
1, tem-se
2y'2 + 2yy", ...
'
de modo que
y = 1 + 2(x- l) + (x-1)2 + i(x-1)3 + t(x-1)4 + . .
·
Para equações diferenciais lineares dispomos de outro método para obter a série e, freqüentemente, será fácil obter uma expressão para o termo geral. Esse é o método de "coeficientes a determinar". Por exemplo, seja a equação
y" + xy' + y =O e procuremos uma solução em forma de série em
y
=
Co + C1X + C X2 + 2
Substituindo essa série na equação de
e
.
.
. +
x =O:
c x· + ... .
reunindo os termos segundo as potências
x, obtém-se a equação
(c0 + 2c ) + x(2c1 + 6c3) + x2(3c2 + 12c ) + 4 2 + "[(n + l)c. + (n + l)(n + 2)c.+2] + · · ·
534
· ·
·
=
O.
Equações Diferenciais Ordinárias Pelo Corolário do Teorema 40 da Sec.
6-1 6, cada coeficiente deve ser O. Logo,
obtêm-se as equações 3 c2 + e.
donde há uma
+
(n
+
12c4 = O, ...,
2)c. + 2 = O, . . . ,
fórmula de recorrência para os coeficientes:
Assim,
Co e6 =- --- ,···, 2 . 4. 6
Vê-se que
Có e e1 são constantes arbitrárias; são, na verdade, simplesmente os y e y' em x O. As soluções podem agora ser escritas na
valores iniciais de forma:
[ [
1 y = Co 1- - x z 2 +
C1
=
1
+--x4 2·4
1
1 x6 2 4 6
____
1
·
2 · 4 · 6 ·· 2n (-1r+1
·
·
2 x " + ...
·
.
x--x3 + --xs + ... + 3 5 3 3
(-1)"
+ ... +
·
5
·
7
·
·
·
(2n - 1)
x
2n-1
+
J
J
. . . .
Uma aplicação do critério da razão mostra que a série converge para todo x. Além disso,
y satisfaz à equação diferencial para todo Y1(x)=
oo
x. Como as funções
2 (-l)"x •
L �,
n=O
são claramente linearmente independentes, as funções
constituem de fato a solução geral da equação diferencial. Esse método pode ser também usado para equações não-lineares, mas os processos algébricos usualmente são muito complicados e a .Probabilidade de poder-se obter o termo geral da série ou uma expressão para a solução geral é mínima. Para muitas aplicações é importante ter uma solução em série de uma equação diferencial y' = F(x,
y), mesmo que a função
F(x, y) não seja analítica
numa vizinhança do ponto considerado. O caso mais comum é aquele em que F é uma função racional cujo denominador é O no ponto considerado. Este é, então, um
ponto singular da equação e não se pode dar um enunciado
geral quanto a soluções em volta de um tal ponto. No entanto, em muitos
535
Cálculo Avançado casos, é possível obter as soluções no _ponto singular e vizinhanças sob a forma de uma série do tipo conveniente.
Por
exemplo, a série
(8-81) onde
m
não é necessariamente positivo ou um inteiro, pode ser usada em certos
casos. Em outros, a solução pode ser expressa como uma série 00
xm I CIJXpn,
(8-82)
11-=0
onde
m
e p não têm restrição.
Observações semelhantes aplicam-se a equações de ordem mais alta e a sistemas de equações. Séries do tipo (8-81) são de particular importância para equações lineares. Por exemplo, a equação diferencial de Bessel de ordem n,
d2y dx2
+
tem soluções dessa forma (com
1 dy x dx m
+
( ) 1
n2
xz
y =O
,
(8-83)
= n). Quando n =O, uma solução é a função
J0(x), a função de Bessel de ordem O, considerada na Sec. 7-15. Outros exemplos são dados nos Probls. 7 a 9 abaixo. Para equações lineares, freqüentemente é possível exprimir as soluções nas vizinhanças do ponto singular por uma série do tipo (8-82) em termos de um parâmetro t. Para uma discussão completa desse assunto, ver os livros de Ince, Picard e Whittaker-Watson citados no fim do capítulo. Verifica-se que a teoria das funções de variável complexa é essencial para uma análise completa do problema. PROBLEMAS
1. Calcule os quatro primeiros termos não-nulos da solução em série para as seguintes equações com condições iniciais: (a) y' = x2y2 + 1, (b) (c) (d )
y = 1 para x = 1; y = 3 para x =O; y" = x2 y2, y 1 e y' =O para x = O; y' = l, y" = 2 para x =O. y"' = xy + yy', y = O,
y'
=
-
sen(xy) + x2,
=
2. Ache a solução em geral em forma de série: (a) y
"
+ 2xy' + 4y = O
(b) y"
-
x2 y = O.
3. Ache uma solução tal que y = 1 e y' =O para x = O para a equação: y" + y' + xy =O. 4. Ache uma solução em forma de série, até termos em x3, para o sistema dy
= yz , dx
dz - = xz + y dx
tal que y = 1 e z =O para x =O.
536
Equações Diferenciais Ordinárias 5. Mostre que
satisfaz às equações de Bessel de ordem O na forma
xy" + y' + xy = O para todo x. 6. Determine, se possível, uma solução da equação de Bessel de ordem 1:
x2 y" + xy' + (x2 - l) y
O,
=
da forma ao
y = L c" x". 11=0
7. Determine, se possível, uma solução da equação de Bessel de ordem n da
forma 00
Y = xm :L ckxk.
k=O
8. (a) Determine uma solução da equação hipergeométrica:
(x2 - x)y" + [(a + p + l)x -y]y' + apy
=
O
(a, p, y constantes),
tendo a forma dada no Prob. 7. (b) Determine uma solução da equação hipergeométrica da forma ao
y = xm L ckx-k. k=O 9. (a) Ache soluções da equação de Legendre: (1 - x2)y" - 2xy' + a(a + 1 )y = O da forma
(b) Mostre que o polinômio de Legendre P"(x) (Sec. 7-14):
P (x) = n
1 -
d"
-(x2-1r "
2"n! dx
é uma solução quando
(n =
a = n,
constante vezes um P0(x) .
e
1, 2,. ..),
P"(x)
=
1 para n
=
O,
que toda solução polinomial é uma
[Su11<-'stão: ponha z = (x2-1)";
mostre que
(x2 - l)z' = 2nxz. Derive ambos os membros n + 1 vezes por meio da regra de Leibnitz
(0-94).]
537
Cálculo
Avançado
(c) Considerando o polinômio de Legendre como uma particular solução em série de potências, obtenha as fórmulas (para n � 1): p n (x)
(-1)"'2
=
1. 3 ... (n-1) 2·4
· ·
·(n)
r L
1- (n + l)n
2!
x2+
(n+ l)(n + 3)n(n 2) 4 + -x +...+ 4! +(-1)"12 p
+
(n + l)(n
( l
3) .. ·(2n-l)n(n-2).. · 2 x" n!
1. 3... n 2 4. . '(n- 1 ) ·
[x-
(n +2)(n-1) 3!
J
'
n par;
x3 +
(n+2)(n+4)(n - l)(n-3) 5 + X +...+ 5! (n-3)·"2 l _ 1 (n+2)(n+4)·"(2n-l)(n-l) . + (-1) 1 12 X n! n
1 .
"
]
.
,
n Impar.
RESPOSTAS
(a) 1+2(x-1) +3(x-1)2+ 1 9(x-1)3 +... ; 3 -tx4+. .. ; (c) 1-txz + tx4- �ox6; 3
2ªx2n
(b) 3+tx2+ tx3(d) x+x 2+ l4x4+ ,�xs.
22 2. (a)c0 1-2x2+-x4+..·+(-1)" +... + J ·3 l · 3 ··· (2n- 1) 2 22 2•-l x2n-1 +e 1 x--x 3 +-x5 +· ..+(-1)•-1 +... ; 2 2 4 2 · 4 . . (2n -2)
[
(b)
Co
J
[
[
·
1+
x4
x8
·
+ + . + (8 · 7)(4 3) . .
M
]
·
x4n + +..· (4n)(4n-1)(4n-4)(4n-5) ·· · (4 · 3) 5 +Cl x+ + . . �;, + (9 4 · · 4) x4n+l + + (4n+1)(4n)(4n-3)(4n-4) .. (5 4) ... .
[
;.
8�;5
·
·
J
x6 x4 xs x3 3. 1-- + --+ +· · · +e nx" + · · ' onde e n+(n+ 2)c n+ + 2 6 24 120 144 -
-
+(n +3)(n +2)cn+ 3 = O. ------..__
4.
538
y =
x2 1 + +··· 2 ,
x3 z=x+-+"· 2
·
J
Equações Diferenciais Ordinárias
[
x3 xs 6.c x--+ +"· + (-1)" 2 4 2 ·4 · 4 · 6 2 42 ·
·
1 x2•+ (2n)2(2n
· 62 . .
•
+
2)
+
"
·
J
·
[Isto é,2cJ 1( x), onde J1 é a função de Bessel de primeira espécie de ordem 1. J
m
7.
ex
(-l)k x2k
I 4k k .'(m + l)(m + 2) · . . (m + k) onde m k=O 00
,
inteiro negativo. [Para m, um inteiro positivo, e
=
±
e =
função de Bessel de primeira espécie e ordem m.]
n, mas m nao e um -
•
1 - , esta é Jm
2mm! -
8. (a)
m[i
a
�
+L
k= 1
]
(oc+m)(P+m)(oc+m+l)(P+m+l)"·(oc+m+k-l)(P+m+k-1) k , X ( m + l)(m + y)(m + 2)(m + y + 1) · · · (m + k)(m + y+ k-1)
onde m O (a menos quey seja O ou um inteiro negativo) ou m 1-y (a menos que 7 seja um inteiro positivo); a série converge para 1x1 < 1. [Param O, a solução é cF(oc, p,y, x), onde Fé a série hipergeométrica.] =
(b)
=
=
cx
m
[
1
+
k
(-m) (1-y-m) (1-m) (2-y-m) · · · (k-1-m) (k-y-m)x-
oo
�
k
l
J
(1-�-m)(l-p.:::m)(2- x-m)(2-P�m)�-�k-oc-m)(k-fi-rrz) '
onde m -oc (a menos que oc - P seja um inteiro negativo) ou m -P (a menos que p- oc seja um inteiro negativo); a série converge para =
9. (a)
.
1.
lxl
>
C1
1+
[ [
=
2)(oc + l)"·(oc +2n -l) n�l (-1) X2.oc(oc-2)"·(oc-2n + (2n)! 00
J
n
�
+e 2 X+ L (-l)"x2 "
+t
n=t
+
(oc-l)(oc -3)..·(oc-2n+l)(oc+2)(oc+4) .. ·(oc+2n) (2n +I)!
A série converge para
1x1
<
1 ou reduz-se a um polinômio.
J
.
REFERÊNCIAS Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1942. Andronow, A., e Chaikin, C. E., 7heorr of Oscillations. Princeton: Princeton Uni
Agnew, Ralph P., versity Press, 1949.
Bennett. A. A., Milne, W. E., e Bateman, H., Numerical Integration of Differential Equations. Washington: National Research Council (Bulletin n.º 92). 1933. Cohen, A., Differential Equations, 2.ª edição, Boston: Heath, 1933. Forsyth, A. R., 7heory of Dijferential Equations, Vols. 1-6. Cambridge: Cambridge University Press, 1890-1906. Golomb, Michael, e Shanks, Merrill,
Elements of Ordinary Differential Equations.
New York: McGraw-Hill, 1950. Goursat, Édouard,
A course in Mathematical Analysis, Vol. II, Parte II, traduzido
O. Dunkel. New York: Ginn .and Co., 1917. Ordinary Differential Equations. Londres: Longmans, Green, 1927.
para o inglês por E. R. Hedrick and Ince, E. L.,
539
Cálculo Avançado Kamke, E., Differentialgleichungen, Lôsungsmethoden und Lôsungen, Vol. 1, 2.ª edição, Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 1943. Kamke,
E.,
Dijferentialgleichungen
reeller
Functionen.
Leipzig:
Akademische
Verlagsgesellschaft, 1933. Levy, H., e Baggott, E. A., Numerical Studies in Differential Equations, Vol. 1. Lon res: Watts and Có., 1934. McLachlan, N. W., Ordinary Non-linear Differential Equations in Engineering mui Phisycal Sciences. Oxford: Oxford University Press, 1950. Milne, W. E., Numerical Calculus. Princeton: Princeton University Press, 1949. Morris, M., e Brown, O. E., Dijferential Equations, edição revisada. New York: Prentice-Hall, 1942. Picard, Emile, 11-aité d'Analyse (3 Veis.), 3.ª edição. Paris: Gauthier-Villars, 1922. Rainville, Earl D., lntermiate Dijferential Equations. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1943. Scarborough, James B., Numerical Mathematical Analysis, 2.ª edição. Baltimore. Johns Hopkins Press, 1950. Whittaker, E. T., e Watson, G. N., A Course of Modern Analysis, 4.ª edição. Cam bridge: Cambridge University Press, 1940. Willers, F. A., Praticai Analysis, traduzido para o inglês por R. T. Beyer. New York: Dever, 1948.
capítulo 9
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA 9-1. INTRODUÇÃO. Números complexos foram encontrados em vários pontos dos capítulos anteriores: como parte da álgebra, na Sec. 0-3; na teoria das séries, Sec. 6-19; em relação com séries e integrais de Fourier, na Sec. 7-17; e como instrumento na solução das equações diferenciais lineares, nas Secs. 8-10 e 8-12. Esses exemplos são, talvez, suficientes para convencer de que nú-meros "imaginários" podem ter muita utilidade. No entanto, essa utilidade vai muito além do que sugerem esses exemplos. Não é exagero dizer que quase não há ramo da matemática pura ou aplicada onde não se tenha empregado de modo significativo
variáveis complexas.
as
Um exemplo típico da simplicidade e força dos métodos baseados em variáveis complexas é o problema de determinar funções harmônicas de duas variáveis. Obser�a-se que
(x + iy)2 = x2 - y2 + i · 2xy tem uma parte real u
x2 - y2 que é harmônica, pois
=
ô211 i!2u + � ôx•Y '
=
2 - 2 = o.
Analogamente, a parte imaginária L' = 2xy é harmônica. Também
(x + iy)3 = x3 - 3xy2 + i(3x2 y - y3) tem partes real e imaginária:
u que são harmônicas.
É
=
x3 - 3xy2,
v = 3x2 y- y3
natural agora conjeturar que, para todo inteiro po
sitivo n, as partes real e imaginária de
(x + iy)" são harmônicas. Isso de fato é .verdade. Se escrevermos: z = x + iy, uma afir mação análoga se aplicará a todo polinômio na variável complexa
z:
onde a0 , a1, . , ª• são constantes complexas. Novamente uma generalização natural apresenta-se: considerar a série de potências _
.
.
a0 + a1 z + · · · + a.z" + · · · =
f n=O
a.z".
Veremos que as partes real e imaginária de tal série" que são séries de potências em x
e
y, são harmônicas, desde que a s.érie em
z
convirja em algum aberto.
541
Calculo Avançado Mais geralmente, podemos considerar séries da forma
I
n=O
an(z-b)",
onde b é complexo, e vale um resultado semelhante. Isso é tudo de que neces sitamos, pois toda função harmônica pode ser"âssim obtida. Como dissemos na Sec. 5-15, toda função harmônica pode ser interpretada como potencial de um movimento fluido, como uma distribuição de tem
É claro então que as
peratura em equilíbrio, como potencial eletrostático.
variáveis complexas ajudarão a resolver problemas nesses campos. Conside raremos abaixo exemplos de tais aplicações. Uma série de potências convergente em
z
ou
z
-
b define uma função a
valores complexos da variável complexa z. Tais funções são o principal objeto de estudo aqui; chamam-se funções analíticas de z. Acontece que todas as funções elementares familiares têm extensões naturais a valores complexos da variável independente e dão origem a funções analíticas dez:
e',
log z, sen z, etc.
Na verdade, o estudo dessas funções como funções de uma variável complexa dá muita informação nova sobre as mesmas funções de variável real.
9-2. O SISTEMA DOS NÚMEROS COMPLEXOS. O sistema dos nú 0-2, mas repetimos as
meros complexos foi introduzido brevemente na Sec.
definições básicas aqui e consideramos várias propriedades mais de perto. Os números complexos são denotados na forma: X+ iy onde x e y são reais. Escrevemos Z
=X+ iy
e representamos os números complexos no plano xy, também chamado plano dos z (Fig.
9-1). Dois números complexos são iguais se, e só se, têm mesmo x
y
Figura. 9-1. Plano complexo
\.
........__,
e mesmo y, isto é, por definição Xi + iyi
542
=
x2 + iy2
se, e só se,
Xi
=
x2, y1
=
y2.
(9-1)
Funções de Uma Variável Complexa Quando z =x + iy, escrevemos x = Re(z) =parte real de
z,
y =lm(z ) = parte imaginária de
e
(9-2)
z,
arg z =argumento de z (amplitude de z)�
=
1 1
= valor absoluto de z (módulo de z),
r =z
x - iy =z =conjugado de z.
Tudo isso está representado na Fig. 9-1. O ângulo e é medido em radianos, e determinado a menos de múltiplos de 2n; não é definido para x = y =O. As operações de adição e multiplicação são definidas por: (x1 + iy 1) + (X2 + iy2) =.\'.1 + X2 + i(Y1 + Y2), (xi + iy1) (x2 + iy2) =Xi X2 - Y1Y2 + i (x1Y2 + X2Y1).
(9-3)
·
Verifica-se então Z1 . Z2 =Z2. Z1'
Z1 + Z2 = Z2 + Z1'
Z1 + (z2 + Z3) = ( z1 + Z2) + Z3 , Z1
·
(z2 +
Z1 ·(z2Z3) =(z1z2)-Z3 ,
(9-4)
Z3) = Z1 ·z 2 + Z1 ·23.
Os números da forma x + i ·O são identificados aos números reais, escrevemos X +
iO
=X.
Chamamos então z = x + iO de número complexo real. Em particular, O + iO = =O, 1 ·+ iO = 1 e vale:
1 . z =z,
z + o
=
z,
z.o
=
o.
(9-5)
O número O + i 1 é escrito i, por ( 9-3) tem a propriedade: ·
i
2 =
(9-6)
-1.
O número complexo z = x + iy, por essas definições, é a soma do número real x (isto é, x + iO ) com o produto de i pelo número real y. Isso justifica a notação x + iy. Os números da forma iy são ditos imaginários puros. As equações
têm solução única em z, notação respectivamente
na segunda com a condição z1 # O. Vale z2-z1 =z2 + (-z1),
-z1 =(-l)·z1 .
As outras regras de operação deduzem-se destas.
543
Cálculo Avançado
A cada número complexo z podemos associar o vetor Oz, cujas compo nentes são x e y. A adição definida por (9-3) é a adição de vetores; isso está ilustrado na Fig. 9-2. Também está ilustrada a subtração. Daí resulta
(9-7) y
Figura 9-2. Adição e subtração de números complexos
Daí temos duas desigualdades
l z1+221 l z2 - 211
� lz1 I +l z2 j ,
(9-8)
� ll 22l - l 21l I·
Essas desigualdades exprimem a propriedade triangular da distância. As regras
Re(z1 ± z2) lm(z1 ± z2) z
=
=
=
Re(z1) ± Re(z2), Im(z1) ± lm(z2), Re(z) i Im(z)
(9-9)
-
são essencialmente reformulações das definições de ad}Ção e conjugado. Delas concluímos imediatamente
(9-10) Também observamos que z + z
=
2x
e.
=
2 Re(z),
z
-
2 z· z = x2 + y
z
=
=
2iy
=
2i lm(z)
j z j 2.
(9-11) (9-12)
9-3. FORMA POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS. Das proprie dades das coordenadas polares obtém-se a relação z
= x
+ iy
=
r cos (} + ir sen O
=
r(cos (} + isen (}).
(9-13)
Chamam'es...i:(_ços () + isen O) a forma polar de z. Esta é muito útil para analisar a multiplicação e a divisão, pois z1·z2
r1(cos01 + isen{}1)·r2(coslJ2 + isen02) r1 r2 [(cos (}1 cos (}2 - sen e1 sen 82) + i(sen 01 cos 82 + cos 81 sen 02)] � r 1r2[cos (01 + 82) + isen (81 + 82)]. (9-14) =
=
544
Funções de Uma Variável Complexa Temos pois as regras arg(z1 ·z2)
=
=
l_z1 ·z2J
Jz1J· Jz2J,
arg z1 + argz2 (a menos de múltiplos de
Isso pode ser usado para a construção gráfica do produto na Fig.
z1
•
2n).
(9-15)
z2 como se vê
triângulo de vértices O, 1, z1 deve ser semelhante ao triângulo
9-3. O
de vértices O, z2, z1 z2.
Figura 9-3.
Multiplicação de números complexos
Da definição de divisão deduzimos as propriedades correspondentes a
(9-15):
arg
(::)
1�1= 6_1, 1 I
=
(9-16)
z2
Z2
arg z1 - arg z2 (a menos de múltiplos de
2n).
Combinando com a operação de subtração, concluímos que z -z1 arg -3 Z2-Z1 _ _
representa o ângulo no vértice
z1
,
do triângulo
z1
z2 z3 , como se vê na Fig.
9-4.
y
Figura 9-4.
X
o Também observamos que z J:J
=
JzJ,
argz
de onde se conclui, por
=
-arg: (a menos de múltiplos de
(9-15)
e
(9-16),
2n),
(9-17)
que
(9-18) 645
Cálculo Avançado
Por aplicação repetida de (9-14) deduzimos a fórmula para a potência n-ésima de z: " z
= [r(cose+ i senO)]" = r"(cos nO + i sen nO) (n = 1 , 2, ...).
(9-19)
Para r = 1, esse é o teorema de De M oivre: (cose+ i sen 8)" = cos ne+ i sen ne
(9-20)
(n = 1, 2, . ..).
Esse, por sua vez, leva a uma fórmula para as raízes n-ésimas de
z,
pois, se
então r�(cos n01 + i sen n01) = r(cosO+ i senO). Logo, r
1 = fr
(a raiz n-ésima real positiva)
n01 =O+ 2kn
(k
=O,
± 1, ±2, ...).
Daqui se obtém someyte n números complexos diferentes: ou seja, os números
fz
= zlln = fr
+ i sen
e
2kn + - ;:;
(�
e
[ (°'; )J COS
,
+
2k·· ) -f +
(9-21)
k = O, 1, .. , n - 1. .
Isso está exemplificado na Fig. 9-5 com n = 4. 1
A propriedade (9-12), efetuar uma divisão:
z
3-i 5 + 2i
·
z
= 1z12, é extremamente útil. Por exemplo, ab
3- i
5-2i
--·--
5+ 2i 5-2i
13 - l li 29
Para tornar real o denominador simplesmente se multiplica numerador e de nominador pelo conjugado do denominador.
546
Funções de Uma Variável Complexa 9-4. A FUNÇÃO EXPONENCIAL. Escrevemos e"+iy
(9-22)
e"'(cos y + i sen y)
=
O, ez reduz-se à função como definição de ez para z complexo. Quando y . familiar e" Essa função será estudada e usada amplamente nas seções seguintes. Nós a introduzimos aqui por causa da fórmula de Euler: =
eiO
COS
=
(J + i sen (J,
(9-23)
que é um caso particular de (9-22). Essa é uma abreviação muito cômoda. Podemos agora escrever:
z
r(cos (J + i sen (J)
=
=
rei8
e obtemos uma maneira mais concisa de escrever e (9-16) concluímos que
e;9,. eiB2
=
e'º2 e'º1
_
=
z
em forma polar. De (9-15)
(e, 82), ei +
(9-24)
e•
Essas são propriedades familiares da função exponencial real. A operação de multiplicação agora é como segue: (9-25)
Analogamente
z" A fórmula (9-21) para zl/11
=
=
(rei8)'1
z11"
(r iO)l/11 e
=
r"eino
(n
=
(9-26)
l, 2, ... ).
também pode ser escrita concisamente: =
rlf n e i(8+ 2kn!n>,
k
=
O, 1, . .. ,
n
-1.
(9-27)
PROBLEMAS 1. Represente graficamente os números complexos: 1, i, -1, -i, l + i, -1 + i, 2i, .
fi - fii.
2. Reduza à forma
x
.
+ iy:
i
(a) (2 + 3i) + (5-2i)
(d )
(b) (1-i) '(2 + i)
(e) (1 + i)1º
(c)
l
-
i
l l z1 lal -
4. Prove que, se
=
=
-i-
l 1 -zj. Interprete geometricamente. 1 e lbl # l, então
1 [Sugestão:
1 + i .
(f) jl 7
3 + i
3. Prove que
1 + i +
ponha
z
a
-b
--
1-ba
1
=1
·
= (a-b)/(1-Õa). Mostre qµe
z ·
z
=
1 e use
z ·
z
=
lzl2.] 547
Cálculo Avançado 5. Calcule as seguintes raízes:
(a)
.ji,
-Vi,
(b)
(c)
�.
Í -1,
(d 1
(e)
�/-32.
6. Resolva as equações: (a) z2 (b) z4
+ 3 =O + 16=O
(c) z8- 2z4 + 1 (d) z3 + z2 + z
=O + 1 =O
[Sugestão: _.multiplique por z-1.]
7. Prove as identidades
cos 38=cos3 e - 3 cos e sen2 e,
38 = 3 cos2 e sen e - sen3 e.
sen
[Sugestão: use (9-20).] 8. Faça o gráfico dos seguintes lugares geométricos:
(a)
1z1 =1
(k) lz- 21 =lz-2ij (1) Jz-21 = 2 lz- 2il (m) 1z 1 I + 1z + ti = 3 (n) 1 z- 1 I - 1z + 1 1 l (o) Re(z-1) = lzl
(f) 1z1 � 1 (g) I z -1 I = 1 (h) 1z -1 I < 2 (i) Jz-1 I � 1 U) lz-11�1 (1 + i)z + (l-i)z + 1 =O
(b) arg z=n/4 (c) R e(z) = 1 (d) lm(z)=-1
-
(e)izl
=
9. (a) Prove as propriedades 9-4. (b) Prove que
também vale para
n =-1, -2 , . . . se definimos z-• como l/z" (z # 0). RESPOSTAS
2. (a)
7
5. (a) ±
+ i,
�
(b)
(1 + i),
3-i, (b) 1,
(c)
t-�i,
3 - _!__ + _f_i i 2 - 2
'
(d)
f-ti,
6. (a) ± fii,
-i, -i,
(b) ± fiu + i), (d) -1, ±i.
( 2(
(c) 6r;;. v"'
fi fi k=3,ll,19, (d)±T(l+i), ±2(1-i), ( e) k = 1, 3, 5, 7, 9. ± fi,(1-i),
32i, (f) i. kn + kn , cos i sen ( e)
12
kn
) kn)
12
cos +i sen , 5 5
(c)
1, 1, i, i, -1,
-1,
9-5. SEQÜ�NCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS. Êste tópico foi estudado na Sec. 6-19. Aqui recordamos brevemente os fatos essenciais e introduzimos um novo conceito, o de limite infinito. 548
Funções de Uma Variável Complexa Se a cada inteiro n
1, 2, ... associarmos um número complexo
=
z., então
estará definida uma seqüência de números complexos. Dizemos que a se qüência converge ao .!imite
z0 :
z,,
lim
n�oo se. para cada
e
z0
=
(9-28)
positivo, pode-se escolher N tal que
1 z. z01 < -
e
para n
>
N.
Se a seqüência não converge, dizemos que diverge. Teorema 1. A seqüência
z.
z0
converge a
se e, só se, Re (z .) converge a
Re(z0) e lm ( z.) converge a Im (z0). Teorema cada
2. (Critério de Cauchy). A seqüência
I zm Teorema lim
(z. ±
z. converge
se, e só se, para
positivo, pode-se encontrar um N tal que
e
)
w.
-
I
z .
3. Se lim z.
=
z0
±
w0,
para
< e
=
z0
lim
lim
e
n
w.
(z. w.) ·
=
>
N
e
w0,
=
m
>
(9-29)
N.
então
z0 w0, •
lim -3!_
Wn
=
�
(9-30)
W0
2 são os Teoremas 46 e 47 da Sec. 6-19; o Teorema 3 1 e do Teorema 5 da Sec. 6-4.
Os Teoremas 1 e resulta do Teorema Escrevemos
(9-31) e lemos "a seqüência
z.
diverge a infinito" se, para a seqüência real
1z.1, (9-32)
Logo, para cada número real K, deve ser possível achar N tal que
lz.I >,K
para
isto é, dado qualquer círculo de centro
z
n =
>
(9-33)
N;
O e raio K, todos os termos
z.
da
seqüência estão fora do círculo para n suficientemente grande. Observamos que para números complexos não há distinção entre +·oo e �oo; há só um Esse elemento especial será discutido na Sec.
oo.
9-25.
· Uma série infinita de números complexos é um símbolo de soma de termos
de uma seqüência: escreve-se Z1
+
.
Z2
+ ... +
,
:: ,
+ ..- ,=
·oo
L z n=l
•.
(9-34)
Dizemos que a série converge e tem soma S se . lim s.
=
S,
(9-35)
n�oo
549
Cálculo Avançado onde s. é a n-ésima soma parcial: s.
=
z1
+ ... + z• .
(9-36)
Se a seqüência S" diverge, dizemos que a série diverge. Dizemos que a série ,é absolutamente convergente se a série
(9-34)
l z1 l + . ·+lz.I+ . .
=
.
·
I
l z. I
n=l
converge. Teorema
4.
f
z.
=
S se, e só se,
n=l co
I
Re (z.)
=
n=l
Re(S)
co
I
e
lm(z0) = lm(S).
(9 - 37)
n=l
Teorema 5. Se I:z. é absolutamente convergente, então I:z. converge. Teorema
6. Se o n-ésimo termo z0 da série I:z. não tem limite
O, a série
diverge. Teorema 7. (Critério de comparação para convergência.) Se
I:a. converge, então
I:z.
1z.1
;:;;
ª•,
onde
é absolutamente convergente.
Teorema 8. (Critério da razão). Se a razão
1 z::1 I tem limite L, então a série I:z. é absolutamente convergente se L
<
1, e
divergente se L > 1. Mais geralmente, a série é absolutamente convergente se a razão mantém-se menor que um número r menor que 1 para n suficien temente grande; a série diverge se a razão é maior ou igual a 1 para n sufi cientemente grande. Teorema
9. (Critério da raiz). Se a seqüência
converge a L, então a série l:z0 converge absolutamente se L
<
se L > 1. Mais geralmente, a série converge absolutamente se
e diverge se
550
1 e diverge
Funções de Uma Variável Complexa
Teorema 10. Se co
L
z" =
*
z
co
e
L
w. = w*,
n=O
n=O
então co
L
n=O
(z. ± w.)
=
z* ± w*.
Se ambas as séries são absolutamente convergentes, então
z0w0 + (z1w 1 + z1w0) +
· · ·
+
(z0wn + z1w._1 +
· · ·
+
z.w0) + · = z* · w*; + · ·
a série à esquerda é absolutamente convergente e os parênteses podem ser removidos sem afetar a convergência absoluta ou a soma.
Demonstrações no Cap. 6. 9-6. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA. Se a cada z = x + iy de um certo conjunto de números complexos está associado um número complexo w u + iv, então dizemos que w é função de z no con junto dado: =
w = f(z). Pode acontecer que todos os valores de f sejam reais ou imaginários puros. As seguintes são funções no domínio indicado: w = z3 (todo z), w
1 =
---
2 z
+ 1
(todo z, exceto ± i),
w = lz l (todo z), w = 8 = arg z, onde O � 8
<
z, exceto O),
2n (todo
w = z (todo z). Para quase todas as funções consideradas neste capítulo, a variável z per correrá algum aberto do plano z (ver Sec. 2-2). Seja D um aberto do plano z e seja w = f (z) definida em D. A cada z = x + iy em D é então associado um vaÍor w = u + iv. Assim, u = Re(w) depende de x e y, como também v = lm(w). Por exemplo, se w = z2, então u + iv = (x +
iy)2 = x2 - y2 + i 2xy; ·
logo u = x2 - y2,
v = 2xy.
A função complexa
w = f (z) equivale a um par de funções reais u(x, y), v(x, y). Tais pares de funções de duas variáveis foram estudados nas Secs. 2-8,
4-8 e 5-14, onde são interpretados como uma transformação do plano xy no
551
Cálculo Avançado
plano
uv. Assim, se w = z2 e D é escolhido como o disco 1 z
-
1I
<
l, então a
cada ponto de D corresponde um ponto do aberto D1 (interior de uma car dióide) mostrado na Fig. 9-6. Para z = 1, w = z2 = 1 e outros pares de pontos correspondentes são dados na tabela da Fig. 9-6. A associação de valores w a pontos z é também indicada por f lechas unindo
z
ao correspondente w. Esse
método de representar a função em gráfico é claramente desajeitado; será melhorado na Sec. 9-31. V
z u
Figura 9-6. A função
Outra interpretação do par de funções
w = z2
u(x, y), v(x, y) é como campo de
vetores no plano (Sec. 3-2). Isso será estudado melhor na Sec. 9-34. A função w = f(z) pode ser definida, não em termos de operações sobre z, como nos exemplos acima, mas de operações sobre w =
x e y. Assim,
x2y + y3 + i(x3 - xy)
define w como função de z = x + iy, para todo z; pois, dado z, achamos x, y e depois w. As correspondentes funções reais u(x, y), v(x, y) são as seguintes:
u = x2y + y3,
v = x3-xy.
É claro que as duas maneiras são equivalentes. Toda função w = f(z) é u = g(x, Y1 v = h(x, y), e todo par de funções reais em D define uma função w = f (z) em D.
um par de funções:
Um número complexo z0 tal que f(z0) =O é chamado de um função
zero
da
f Por exemplo, z0 = i é um zero de f(z) = z2 + 1.
9-7. LIMITES E CONTINUIDADE. Seja w = f(z) definida no aberto D exceto eventualmente no ponto ::0·• Então escrevemos limf(z) z-zo
552
=e
(9-38)
Funções de Uma Variável Complexa e pos1ttvo, pode-se escolher um ô tal que l f (z)- c 1 < e para 1 z - z01 < ô. Em palavras: .f(z) fica tão perto quanto se queira de c, desde que z esteja suficientemente perto de z0; isso está ilustrado na Fig. 9-7.
se, para cada
O <
V
y -----------------
X
Figura 9-7. Limites de funções complexas A função
w =
.f(z)
é chamada contínua em lim .f (z)
=
z0 se está definida em z0 e
(9-39)
f (z0)
z-zo
Seja w = .f(z) definida no aberto D exceto talvez no ponto x0 + iy0 de D. Sejam
Teorema 11. z0 =
u
=
v
g(x, y),
as correspondentes funções reais de x lim
.f(z)
=
e
= e =
h(x, y)
y. Então
a + ib
(9-40)
z-zo
se, e só se, lim
x ... xo y-+yo
g(x, y)
=
lim
a,
x-+xo y-+yo
h(x, y)
=
b.
(9-41)
Se f(z0) está definida, então f(z) é contínua em z0 se, e só se, g(x, y) e h(x, y) são contínuas em (x0, y0). A prova é a mesma que a da proposição correspondente para seqüências, Teorema
46
da Sec.
6-19.
Exemplo. A função w =
log (x2 +
é definida e contínua, exceto para
u
=
z
log (x2 +
y2) + i(x2 - y2)
=
O, pois isso vale para as funções reais
y2),
v
=
x2 y:i,. -
553
\lculo
Avançado
Teorema 12. Se lim f(z)
c e lim g(z)
=
=
z--1ozo
z-+zo
lim (.f(z) + g(z)]
=
z-+zo
lim •
�.º
lim (.f(z) · g(z)]
c + d, f(z) g(z)
=
d, então =
z-+to
c ·d,
""-
_:__(d # O). d
(9-42)
A soma, produto e quociente (se o denominador não é zero ) de funções con tínuas são funções contínuas. Uma função composta de funções contínuas é contínua. Esse teorema resume os análogos para funções complexas dos teoremas familiares de limites e continuidade. Podem ser provados como para variáveis reais (Sec. 2-4) ou como aplicação do Teorema 11. Assim seja f(z)
g(z)
=
=
u1 + iv1,
u2 + iv2• Então f(z) g(z) ·
=
(u1 + iv1)(u2 + iv2)
Se f e g são contínuas em z0
=
u1u2 -v1v2 +. i(u1u2 + u2v1).
x0 + iy0, então u1, u2, v1, v2, são contínuas
=
em (x0 , y0), de modo que u1u2 - v1v2 e u1v2 + u2v1 são contínuas em (x0, y0) pelo teorema para variáveis reais. Logo, f(z) · g(z) é contínua em z0• As outras afirmações são provadas de modo análogo. Por aplicação repetida do Teorema 12, verifica-se que todo polinômio
é contínuo para todo z, como todá função racional:
P(z)
(P, Q polinômios)
w = -
Q(z)
em todo domínio que não contenha zeros do denominador. Teorema 13. Seja .f (z) definida em D e suponhamos f(z) contínua no ponto z0 de D. Então lim f(z.)
=
f(z0)
n�oo
para toda seqüência z. que converg e a z0. A demonstração é a mesma que a do teorema corréspondente para funções reais, Teorema 4 da Sec. 6-4. Vale também uma recíproca: se .f(z.) converge a
f(z0) para toda seqüência z. que converge a z0, então f(z) é contínua em z0. ' Seja f(z) definida em D exceto talvez no ponto z0 de D. Escrevemos lim f(z)
= oo
z-+zo
(9-43)
se lim jf(z)j
z-+zo
554
=
oc;
(9-44)
Funções de Urna Variável Complexa isto é, se, para todo número real K, existe um
lf(z)I > Analogamente, se
f(z)
K
lim
z-oo
se, para cada
e
>
O,
positivo tal que
O
para
é definida para
ô
lzl
j(z)
R
>
(9-45)
R,
para algum
então
(9-46)
=e,
podemos achar
R0
lf(z)-cl
para
tal que
lzl > R0;
(9-47)
de outro lado, lim .
- ..,
f(z)
=
(9-48)
co,
se, para cada número real K, existe um número
IJ(t)I >
tal que
lzl > R0•
para
K
R0
(9-49)
Todas essas definições salientam o fato de que só há um do
co"
equivale a afastar-se da origem. Na Sec.
9-25
co
e "aproximar-se
discute-se isso novamente.
Como na Sec. 2-4, as noções de limite e continuidade aplicam-se a funções definidas num conjunto de pontos arbitrário E do plano
z e os resultados acima
valem. Para a maior parte das aplicações aqui as Junções serão definidas em abertos conexos. Ocasionalmente consideraremos funções definidas no fecho de um aberto, ou sobre uma curva.
9�8.
SEQÜÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES. Se
f1(z), ... , fn(z) .
.
. são
funções todas definidas num mesmo D, elas formam uma seqüência de funções
z0 em D corresp�nde uma seqüência de números com f1 (z0), ••• , f.(z0), ••• Dizemos .que a seqüência f. converge ao limite f(z)
em D. Assim, a cada plexos em D
lim
fn(z)
=
f(z)
(9-50)
"-"'
se
(9-51) para cada
z0
fixado em D.
Se temos uma série infinita de funções
f.
todas definidas em D temos a
série
f1(z) +
· · ·
+ fn(z) +
a)
· · ·
=
L fn(z)
(9-52)
n=l
de funções em D. Essa série converge em D para a soma lim· Siz) •-oo
=
S(z),
S(z)
se
(9-53) 166
Cálcuro Avançado
onde
S.(z)
é a n-ésima soma parcial:
s.(z) =f1(z) + ... + f.(z).
(9-54)
D (ou num conjunto de pontos D) se, para cada e > O, pode-se fazer corresponder um N o mesmo para todos os z em D (ou E) - tal que, para todo z em D (ou E), tenhamos Dizemos que a série converge uniformemente em
E de
-
IS. (z)-S(z)/
para
n >
.
(9-55)
N.
O significado dessa condição é o mesmo que para séries reais (Sec.
1.
Exemplo
A série geométrica complexa
1 + z + z2 +
é convergente para
/z/ < 1
. S"(z) = 1 +
Logo
6-12).
·· · ·
+ z" +
· ·
·=
f
n=O
z"
com soma1/(1-z), �ois
+
· · ·
z"-1
1-z" 1 1 = -- = --z"-· 1-z 1-z 1-z
1 . = lz/"-1 . 1 1=lz"·IS.(z)-1-z 1-z /1-z/
1
T
Se zé um ponto fixado do disco fixado, como na Fig. 9-8. Quando
s.(z)
converge a
1/(1 - z).
/zl
n
< 1, então
l 1-zl
/ 1 z/
entre
.
é um número positivo
cresce, /zl" converge a.O, pois
lz/ < 1. Logo
Y'
No entanto o "erro absoluto"
para cada nha-se de
n
fixado depende da distância
1, esse
erro tende a
ro
exemplo, o erro é máximo para
556
-
e, no entanto, se
z = }.
1 e z. Quando z avizi z .fica num disco 1 z/ � }, por
Logo, a convergência da série é uni-
· Funções de Uma Variável Complexa
forme para lzl ;;;;
t.
1 s.(z). - 1 t.;;;; (21 )" ·2= n1-l;
pois, se lzl;;;; 1
2
1-z
se n for tomado suficientemente grande, esse erro é menor que um para todo
z
do disco
prefixado
e
1z1 ;;;; t.
Teorema 14. (Critério M). Seja
M1 +
·
·
·
+ Mn +
·
"
'
= L Mn n=l
uma série convergente de números reais positivos. Seja l: f.(z) uma série de funções complexas todas definidas numa mesma região R. Se lf.(z)I;;;; M . para todo z em R, então a série .I: f.(z) é uniformemente convergente em R e é absolutamente convergente para cada z em R. Teorema 15. Suponhamos a série l: f.(z) uniformemente convergente numa
região R e suponhamos todas as funções f1, f2, a soma f(z) é também contínua em R.
•
•
•
contínuas. em R. Então
Esses teoremas são provados como para funções reais, ou podem ser re duzidos a teoremas sobre funções reais pelos Teoremas 4 e
11 (Secs. 9-5 e
9- 7).
A região R pode ser substituída por qualquer conjunto E nos dois teoremas.
Exemplo
2.
Consideramos outra vez a série geométrica
f
11=0
z". Podemos
provar a convergência uniforme sem conhecer a soma da série. Seja k um nú mero real positivo menor que 1; então
para todo z da região: 1 zl ;;;; k. Como .I:A( =.I:k" converge se k
<
1, concluímos,
do Teor�ma 14, que l:z" converge uniforme e absolutamente para lzl;;;; k.
Logo, pelo Teorema 15, a soma da série é contínua em cada região lzl;;;; k;
logo, a soma é contínua para I z I
<
1.
PROBLEMAS
1.
Verifique se são convergentes e absolutamente convergentes:
�
�
i"
i"
� (1 + i)" n=I n.
(b) L.., _ n=2logn
(a) L.., 2 n=ln
(c) L..,
2. Para cada uina das funções seguintes de 5 valores diferentes de
valores de z e de (a) w = z4
z
--
•
z faça uma tabela de valores para
e indique graficamente a correspondência entre
w:
(b) w=2z
557
Cálculo Avançado
(c) w =z + 3 + 2i
(e) w =ei(1t/3Jz
(d) w =z
(f) w =
1
2z-1 z-2
.
3. Determine, para cada uma das funções (a), (b), (c), (d), (e) do Problema 2 o conjunto de valores de w quando z varia no disco 1z1 < 1. 4. Escreva como par de funções reais de x e y: (a) w = z3 . 1 (b) w = z z (c) w=
l
(d) w =z + z (e) w =e'
(f) w =ze'.
--
1 + z
5. Determine os valores de z para os quais as seguintes funções são contínuas:
(a) w = z2-z (b) w =xy + i(x3 + y3) 2-iz2 (c) w =?TI
(e) (f) (g) (h)
( d) w = e"
w =Re(z) w =z w = 1z 1
w =loglzl + iarg z, onde -n < arg z � n
6. Mostre que cada uma das séries seguintes é uniforme e absolutamente convergente para 1z1 � 1 : (z-.1)" z" (c) (a) I'
I
co
.�1
n=l n.
(b)
Jl :;.
(d)
I
n=l
3
sen nx + i cos ny n2
RESPOSTAS 1. (a) absolutamente convergente, ·(b) convergente, não absolutamente, (c) divergente. (b) lwl � 2, (c) lw-3-Zij � 1 , 3. (a) lwl � 1, (d) lwl � 1, (e) lwl � 1. 4. (a) u = x3 -3xy2, V =3x2y-y3; X -y (b)u= ·· v= 2 + z·, x y x2 + y2 X2 + y2 +X y .. v(c) u= , . - (x + 1)2 + y2 , (x + 1)2 + yz . y X (d) U =X + -V=y- 2 2 • X + y2 X + y2; --
--
(e) u=ex cos y, v=ex sen y, (f) u=xex cos y - yex sen y, v=xex sen y + yex cos y.
(b) todo z, (c) z -=/- ± i; (d) todo z, (e) todo z, (f) todó z, (g) todo z, (h) todo z, exceto z real menor ou igual a O.
5:_ (a) todo z,
558
Funções de Urna Variável Complexa 9-9. DERIVADAS E DIFERENCIAIS. Seja
z0
um ponto de D. Então dizemos que . 11m
.<1.�o
w
w
=
f(z)
definida em D e
tem derivada· em z0 se
f(z0 + Az)- f(z0) Az
(9-56)
�������
existe; o valor do limite é então denotado por
f'(z0).
Esta definição tem a mes
ma forma que para funções de variável real e provaremos que a derivada tem de fato as propriedades usuais. No entanto mostraremos também que, se
w
=
f(z)
tem derivada contínua num aberto D, então
f
tem muitas outras
propriedades; em particular, as funções reais correspondentes
u
e
v
devem ser
harmônicas. A razão para essas conseqüências notáveis do fato de ter uma derivada está em que o acréscimo restringirmos
Az de
Az pode
se avizinhar de O de qualquer maneira. Se
modo que z0 +
Az permaneça
sobre uma reta fixada por
z0, então obteremos como que uma "derivada direcional". Mas aqui exigimos que o limite obtido seja o mesmo em todas as direções, de modo que a "derivada direcional" tem o mesmo valor em todas
z0
avizinhar-se de
as
direções. Também z0 + � pode
de qualquer outra· maneira, por exemplo, segundo uma
espiral. O limite da razão Aw/Az deve ser sempre o mesmo.
z0 + Az .avizinha-se de z0 segundo uma reta z0z1, f(z0 + Az) se aproximará de w0 segundo uma curva pas-
Se, como na Fig. 9-9, então
w0 + Aw
=
y·
.. 1l
Figura 9-9. Derivada e representação conforme safrdo por
w0•
uma constante
A existência da derivada implica que
e (e
=
a +
bi) vezes
Aw -
Aw seja.aproximadamente
Az:
eAz
[e
·
=
f'(z0)].
Logo,
!Awl - lei· !Azl isto é,
Aw tem
e
(aproximadamente) um módulo j A wj cujo quociente por
fixo, e um argumento que difere do de
z0z1
argôw - arg e+ argAz;
Az por um ângulo
for substituída por uma reta i� z2 que forma um . ângulo
então a curva correspondente no plano no mesmo sentido. Se
z0 + Az
w
!Azl é
fixo. Assim, se a reta IX
com a primeira,
também irá girar por um ângulo
varia num pequeno círculo centrado em
IX
z0,
559
C�lculo Avançado então w0 + ôw varia (aproximadamente) num pequeno círculo centrado em w0. Se z0 + ôz gira por um ângulo
1:1.
em torno de z0, então w0 + ôw faz o
mesmo (aproximadamente) em torno de w0. [Supôs-se aqui que f'(z0) o caso f'(z0
=
=
c #- O;
O exige discussão especial.]
Uma transformação do plano xy no plano uv é dita conforme, preservando orientação, se a cada par de curvas formando um ângulo f3 no plano xy cor responde um par de curvas formando o mesmo ângulo /J, com o mesmo sentido, no plano uv (Fig. 9-9). Resulta da discussão acima que, se w = f(z) tem uma derivada em D, então a correspondente transformação do plano xy no plano
uv é conforme, preservando orientação, exceto quando f'(z) melhor estudado na Sec. 9-30.
=
O. Isso será
Seja agora w = f(z) definida em D e suponhamos que exista f'(z0), igual a c. Seja e=
Então, por
ôw. Az
=
c
-
f(z0
+ ÍlZ)- f(z0) óz
c.
(9-56), .lime= O. z-+O
(9-57)
Podemos escrever Aw
=
cAz + eAz.
(9-58)
Essa equação mostra que ôw deve avizinhar-se de O quando Az avizinha-se de O;
logo, se f'(z0) existe, f(z) é contínua em z0• De um modo geral, dizemos
que urna função w
=
f(z) tem uma diferencial dw·= cóz
em z0, se, em z0, Aw
=
cAz + eAz,
onde c é independente de Az e lim
4z�o
Assim, as Eqs.
e=
(9-57) e (9-58) dizem que, se
O.
w
tem uma derivada em z0, então
w tem diferencial em z0. Reciprocamente, se. w tem diferencial em z0, então Aw •z LJ.
= c
+ e,
lim e = O, .dz-t-0
de modo que . ôw hm o!lz-+O ÔZ
-.=
e w tem derivada f'(z0)
560
= e.
c
Funções de Uma Variável Complexa
Teorema 16. Se w
=
f(z) tem uma diferencial dw
=e
!lz
em z0, então w tem derivada f'(z0) e. Reciprocamente, se w tem derivada em z0 , então w tem diferencial em z0 : =
Assim, "diferenciabilidade" e ter derivada são a mesma coisa. Como para funções reais, a diferencial define uma aproximação Hnear da função dada:
(9-59) Pode-se provar agora que as funções
w
(n
z"
=
=
1, 2, ...)
(9-60)
t�m derivadas:
dw -
Podemos também escrever
dw
nz•-1
=
dz
=
(9-61)
1 nz"- dz
(com dz substituindo !lz pela mesma razão que no cálculo real). As regras usuais do cálculo continuam válidas: se w1 e w2 são diferen ciáveis em D, então
d(w1 + w2)
=
dw1 + dw2 ,
d(w1w2)
=
w1dw2 + w2dw1,
(9 62) -
Essas regras são provadas como para variáveis reais. Temos também a regra de função-de-função: se w2 é função diferenciável de w1 e w1 é função dife renciável de z, então, onde w2[w1(z)] esteja definida,
dw2
'1w2• dw1
dz
dw1 dz
(9-63)
A prova é como a da regra da cadeia na Sec. 2-7. PROBLEMAS 1. Seja dada a função
w
=
2i z + 1. Calcule
!lw !lz para z0 (a) !lz
=
=
l,
f(z0 + !lz)-f(z0 ) !lz
i e as seguintes escolhas de !lz: (b) !lz
=
i,
(c) !lz
=
-1,
(d) !lz
= -i.
Marque num gráfico os pontos z0, z0 + !lz, w0 , w0 + !lw.
561
Cálculo Avançado
2 2. O mesmo que no Prob. 1, usando w = f(z) z • Compare os resultados, observando que dw = 2i dz em z = i, .de modo que w = 2i(z - i)- 1 = 2 = 2iz + 1 é a melhor aproximação linear de w z em z i. =
=
3. Diferencie as funções (a) (b)
w
=
-
z5
(c)
3z2 - 1
z w =1 z
4. Prove que
(d)
dz" = nz"-1 dz
(n
=
w w
=
( )
(1 - z)4(z
z
=
z
=
2
1 4
1
--
+
+ 1)3
.
2, ...).
1,
5. Prove as regras (9-62).
6. Prove (9-63).
[Sugestão: escreva L\w2 c2L\w1 + e2L\w1' divida ambos L\z e faça L\z tender a O.] =
os membros por
7. Seja dada a curva lisa C pelas equações
x
=
y
x(t),
=
t1 � t � t2•
y(t),
(a) Mostre que o número complexo
dx
+
dt
L\x+ i L\y dz dy i = = lim 0 dt dt A1� L\t
representa um vetor tangente à curva. Note que se trata aqui de uma derivada de uma função a valores complexos de uma
variável real t e
não da derivada de uma função de variável complexa, como na discus são precedente. (b) Seja
w = u + iv
=
f(z) uma função diferenciável de z num aberto con
tendo C. Mostre que
dw
-=
dt
dz f'(z)-· dt
[Sugestão: faça como no Prob. 6.) A equação w f[z(t)] define uma curva u = u(t), V= v(t) no plano w, que é a imagem de e por f; assim, por (a), dw/dt define um vetor tangente à curva-imagem; conforme também o =
C':
Prob. 14 seguinte à Sec. 9-31. 8. Sejam duas retas formando um ângulo
dadas pelas equações paramé
.ex
tricas:
x x
=
=
x0 + a1 t, ª2 t,
Xo +
y y0 + y = Yo + =
b1 t b 2 t.
(a) Mostre que, a menos que transformação
w
=
x0 = y0 = O, as imagens dessas retas pela z2 são duas curvas que se cortam sob um ângulo ex.
[Sugestão: ache os vetores tangentes às curvas como números com plexos, tal como no Prob. 7. Observe que arg (z2/z1) define o ângulo entre dois vetores, representados por (b) Mostre que, para
x0
=
y0
=
se cortam formando um ângulo
562
z1 e z2 .]
O, as curvas-imagem são duas retas que
2ix.
Funções de Uma Variável Complexa 9. Suponha que
w = f(z) tem derivada no ponto z0•
(a) Faça z0 + Az avizinhar-se de Az
=
z0 segundo uma paralela ao eixo x,
Ax, e conclua que
au
av
ax
ax
f'(z) =-+ i-· o (b) Faça Az
=
z0 +
Az avizinhar-se de
z0 segundo uma paralela ao eixo
y,
iAy, e conclua que
av
au
ay
ay
f'(z) =--i-· º
(c) Iguale os resultados de (a) e (b) para deduzir que au
av
ay
ax
-=-Estas são as equações de Cauchy-Riemann. 10. Suponha que (a) Faça
z0 +
w = f(z) tem derivada em z0• 6.z avizinhar-se de
z0 segundo uma reta que faz um ângulo a
com o eixo x: Az = 6.s (cos a+ isen a)= As· ei•
para concluir que
onde du ds
= v.u,
dv ds
= v. v
são as derivadas direcionais de u e v na direção escolhida.
z0 + Az avizinhar-se de z0 como na parte (a) com a substituído a+ (n/2). Mostre que
(b) Faça por
(c) Iguale os resultados de (a) e (b) para concluir que
isto é, a derivada direcional de .u na direção
a é igual à de v na direção
a+ (n/2). (d) Obtenha as equações de Cauchy-Riemann do Prob. 9(c) como casos especiais de (c)
[a= O e a= (n/2)]. 563
Cálculo Avançado
u
(e) Mostre, partindo de (c) que, se
e
v
são expressas em coordenadas
polares, então ou
=
or
[Sugestão:
tome
ex =
1 ov
7 88
8 e
1 au
'
ex =
-; ae
tn
=
ov
- ar
(r #- O).
+ 8.]
RESPOSTAS 1. Em todos os casos:
9-10. INTEGRAIS. Seja
D:
caminho em
1
(l-z)-2,
5z4-6z,
(b) (d) 8(z- 1)3(z + W 5•
3. (a)
2. (a)
2i.
w
x = x(t),
= .f(z) =
y
(b) 3i,
+ 2i,
(c) (1- z)3(z2 +
(c) -1 + 2i,
1)2(-4
definida num aberto
y(t),
a
D
+
(d) i. 6z-10z2),
e seja C um
;:;; t ;:;; b.
(9-64)
Suporemos x(t) e y(t) contínuas e lisas por partes de modo que C é uma curva lisa por partes (Sec. 5-2). A integral complexa é definida como uma integral curvilínea:
f
f(z) dz
=
lim
e
J1
.f(zj) l\jz.
(9-65)
Ao caminho C atribui-se um sentido de percurso fixo, em geral o que corres ponde a
t0 =
t
crescente. O intervalo
..., t.
a
;:;; t ;;;; b é subdividido em
n
partes por
= b; zi x(t) + iy(tj) e l\zi zi-zj-l ; tj é um ponto do j-ésimo subintervalo e zj = x(tj) + iy(tj). Isso está sugerido na Fig. 9-10. O limite é tomado para n tendendo a infinito enquanto que o máximo de l\ 1 r, . . ., l\.t a,
=
=
tende a O.
Figura 9-10. Integral curvilínea complexa
Tomando as partes real e imaginária na definição (9-65), vem
f (z) f
dz
=
lim L (u + iv)(l\x + i l\y)
=
lim{l:(uAx-vl\y) + i l:(vAx + uAy)};
e
664
Funções de Uma Variável Complexa isto é,
J
f(z) dz = J(u + iv)(dx + i dy) =
J
e
e
(u dx -v dy) + i J( v dx + u dy).
(9-66)
e
e
Assim, a integral curvilínea complexa é simplesmente uma combinação de duas integrais curvilíneas reais. Podemos pois aplicar toda a teoria do Cap. particular, podemos afirmar imediatamente:
5. Em
17. Se f(z) é contínua em D e C é lisa por partes, então a integral (9-65) existe e
Teorema
b b dy dx dy dx f(z)dz = f (u--v-)dt + i f (v- + u-) dt. dt dt dt dt
J
e
a
a
(9-67)
O caminho C pode ser representado por meio de uma função a valores com
t:
plexos da variável real
a � t � b.
z = z(t) = x(t) + iy(t),
Isso, com outra notação, é a representação vetorial de um caminho na Sec.
1-15 . Uma tal função tem derivada .
dz dt
lim
êix + il!iy
.dt�O
M
dx .dY = - + z-, dt dt
(9-68)
x e y forem deriváveis. Essa derivada é um caso particular da derivada de 1-15; em geral, dz/dt representa um vetor tangente ao caminho (Prob. 7 da Sec. 9-9). Podemos também integrar uma fonção z(t) = x(t) + iy(t):
se
uma .função vetorial na Sec.
b b b b f z(t) dt = f [x(t) + iy(t)] dt = f x(t) dt + i f y(t) di. a
a
a
a
(9-69)
As propriedades usuais das integrais permanecem válidas. Em particular,
b d f _!__ dt = z(b)-z(a). dt
(9-70)
a
Pode-se agora escrêver mais concisamen.te a fórmula
ff(z) dz = e
f a
f [z(t)]
�;
dt.
(9-67): (9-67')
Exemplo 1 . Seja e o caminho: X = 2t, y = 3t, 1 � t � 2 . Seja f(z) = z2•
565
Cálculo Avançado / Então
f
z2 dz
r
=
(2t
+
3it)2(2
3i) dt
+
e
(2
=
Exemplo
+
C
2. Seja
3i)3
f12
t2dt
=
7 -(2 3
o caminho circular:
+
x
=
Isso pode ser escrito mais concisamente como
dz/dt
=
-
sen t + i cos t
=
ie;'·
e-''(ie'') dt 1 " . . 0
=
e
=
-107t
+
21i.
t, y = sen t, O 2 t 2 2n. e;', O 2 t 2 2n. Também
cos
z
=
Logo,
2
1 --; dz f
3i)3
=
2
i
f " 0
dt
=
2ni.
Outras propriedades das integrais complexas resultam das propriedades das integrais reais:
Sejam f(z) e g(z) contínuas num aberto lisa por partes em D. Então
Teorema 18.
f
[f(z)
+
g(z)] dz
=
e
f
f(z) dz
+
e
f
D.
Seja C uma curva
g(z) dz.
(9-71)
e
Ainda mais, f
kf(z) dz
=
k
e
f(z) dz, f
k
=
constante,
(9-72)
e
f(z) dz f
=
f(z) dz f
f(z) dz, f
(9-73)
e,
e,
e
+
onde C compõe-se de um caminho C1 de z a z1 e um caminho C ele z1 a 2 0 z , e 2 f(z) dz f e
onde C'
é
obtida ele
e
=
-
f(z) dz, f
(9-74)
C'
invertendo o sentido de percurso.
Majorações para o valor absoluto de uma integral complexa são obtidas pelo teorema seguinte. Teorema
566
19. Seja f(z) contínua sobre C e seja
Funções de Uma Variável Complexa
o comprimento de C. Então
1 ff(z) dz 1 � f1f(z)I
onde
1f(z)1 �M sobre
�M
ds
f i f(z)I
ds
=
lim
c
J lf (z)I ds
J
é definida como um limite:
1 lf(zj)l11is,
onde /1 is é o comprimento do j-ésimo arco de C (Sec.
1f(zj)11A l 11iz1
(9- 75)
L,
C.
Demonstração. A integral curviHnea
pois
·
c
c
=
5-3).
Mas
1f(zj)l·l11;zl � 1f(zj)l·11i s,
representa a corda do arco /1 is. Logo,
II f(zj)11iz1 � I 1f(zj)11iz1 � I 1f(zj)l11i s, por aplicação repetida da desigualdade (9-8). Passando ao limite, concluímos:
1 ff(z) dz l � f1 f(z)I ds. c
c
Isso fornece a primeira desigualdade. A segunda resulta da majoração para integrais reais
[Sec.
4-2, desigualdade
(4-15)]
ou da observação que
I 1f(zj)l11is �MI 11is O número
1f(z)1
M pode
=
ML.
ser escolhido como sendo o máximo da função contínua
sobre e ou qualquer número maior.
Teorema 20. Uma série un(formemente convergente de funções contínuas. ·pode ser integrada termo a termo; isto é, se as funções fn(z) são todas conoo
tínuas sobre C
e
fn(z) nI =l
converge uniformemente a .f(z) sobre C, então
f (z) dz .I ffn(z) dz. .f
(9-7 6)
=
c
c
A demonstração do Teorema
32
da Sec.
6-14 pode
ser repetida sem alte
ração.
PROBLEMAS
1.
Calcule as seguintes integrais:
(a)
r 1
(x2
+
iy3) dz sobre o segmento de reta indo de 1 a i;
567
Cálculo Avançado
(b)
f
l+i
(z + 1)dz sobre a parábola y = x2;
o
(c)
f
{ xdz sobre o círculo lzl = 1;
e
(d)
l dz J� z + 1
sobre o círculo lzl = 2.
2. Escreva cada uma das integrais J f(z) dz seguintes na forma (9-66), isto é, em termos de duas integrais curvilíneas reais; então mostre que cada uma dessas integrais reais independe do caminho no plano z: (b) J iz2dz,
(a) Jzdz = J(xdx-ydy) + íJ(ydx + xdy), (e) Jz4dz. (d ) J
3. Usando (9-66), mostre que J f (z)dz é independente do caminho num aberto
simplesmente conexo em que ordem contínuas se
u
e v têm derivadas parciais de primeira
Essas são as equações de Cauchy-Riemann. 4. Mostre que as equações de Cauchy-Riemann do Prob. 3 valem se, e só se,
quando
u
e v são expressas em coordenadas polares
ou or
[Sugestão:
=
1 ov 7 oe'
ou
1
--;: o(}
=
ov
e 8,
r
(r-:;:. O).
- ar
(a)
aplique as regras da cadeia da Sec. 2-7 para mostrar que
ou ou ou -= - cos O + sen (J ' oy or ox
1 ou --=···, r o(}
-
e analogamente para v. Mostre a partir ·dessas quatro equações que
(u o
ar
_
) (.!__
.!_ av 2 + r i)(J
r
ou i)(J
+
) (ºu ) (
av 2 ar
=
_
OX
av 2 +
ºu
oy
ày
+
)
av 2 ox
•
A afirmação resulta imediatamente dessa identidade.] 5. Use os resultado� dos Probs. 3 e 4 para mostrar que
f
z"dz
(n = 1, 2, ...)
z. [Sugestão: use a Eq. (9-19) para exprimir z" em coordenadas polares. Então verifique que (a) vale. A origem deve ser tratada separadamente em coordenadas retangulares.] é independente do caminho no plano
568
Funções de Uma Variável Complexa 6.
(a) Mostre que, se valem as equações de Cauchy-Riemann (Prob. 3) e se u e v têm derivadas parciais segundas contínuas, então u e v são fun ções harmônicas. (b) Use a equação de Laplace em coordenadas polares (Sec. 2-13) para verificar que Re (z") e Im (z") são harmônicas para n = 1, 2, . . . [Sugestão: use (9-19). Novamente a origem deve ser tratada separadamente em coordenadas retangulares.]
7. (a) Calcule
sobre o círculo 1z1 = R. (b) Mostre que a integral da parte (a) é O em todo caminho fechado simples que não envolva a origem ou passe pela origem. (c) Mostre que
f :2
dz
=O
sobre todo caminho fechado simples que não passe pela origem. RESPOSTAS
1. (a) 112 (-7 + i), 7. (a) 2ni.
(b)
1 +
2i,
(c)
ni,
(d) 2ni.
9-11. FUNÇÕES ANALÍTICAS. EQUAÇÃO DE CAUCHY-RIEMANN. Uma função w = .f(z), definida num aberto D, é chamada de uma função ana lítica em D se w tem derivada contínua em D. Quase toda a teoria de funções de variável complexa restringe-se ao estudo de tais funções. Ainda mais, quase todas as funções usadas nas aplicações da matemática a problemas físicos são analíticas ou obtidas a partir de tais funções. Como se indicou na Sec. 9-1, o estudo das funções analíticas equivale ao estudo de funções harmônicas de x e y; essa relação será melhor estudada mais adiante. Será provado que o fato de uma função ter derivada contínua implica em possuir derivada segunda, terceira, .. ., e, na verdade, implica na conver gência da série de Taylor,
numa vizinhança de cada z0 de D. Poderíamos pois definir uma função analítica como sendo uma função representável por séries de Taylor, e essa definição é freqüentemente usada (Sec. 6-17). As duas definições são equivalentes, pois a convergência da séllie de Taylor numa vizinhança de cada z0 acarreta a con tinuidade das derivadas de todas as ordens. Embora seja possível construir funções contínuas de z que não são ana líticas (exemplos serão dados abaixo), é impossível construir uma função .f(z)
569
Cálculo Avançado que tenha uma derivada não-contínua nurµ aberto D. Em outras palavras, se
f (z) tem uma derivada no aberto D, a derivada é necessariamente contínua, de modo que f (z) é analítica. Pôde-se pois definir uma função analítica como sendo simplesmente uma função derivável num aberto D e essa definição tam bém é freqüentemente usada. Para a demonstração de que a existência da derivada implica na continuidade, ver Volume 1 do livro de Knopp citado no
9-21.
fim do capítulo; ver também a Sec.
Teorema 21. Se w = u + iv = f(z) é analítica em D, então u e v têm de
rivadas parciais primeiras contínuas em D e satisfazem às equações de Cauchy -Riemann,
(9-77) em D. Ainda mais, dw
dz
àu =-
àx
+
. av
àv
-
=-
1
ax
+
ày
. àv
au
. au
àv
. au
àx
àx
ày
ày
ày
(9-78)
1-=--1-=--1-·
Demonstração. Seja z0 um ponto de D fixado e ponhamos Liw
=
f(z0 + ·
+ Liz)- f (z0). Como f é analítica, temos Liw = c Liz + pelo Teorema
Liw
=
e·
c
Liz,
=
.f'(z0),
16 (Sec. 9-9). Se escrevemos (Fig. 9-11)
Liu + iliv,
c =a+ ib,
e=
e1 + ie2 ,
Liz
=
Lix + iliy,
então isso dá
Liu + iliv
=
(a + ib)(Lix + i Liy) + (e1 + ie2 )(Lix + i Liy).
Comparando as partes real e imaginária de ambos os membros, concluímos que
Liu
Como
e
a Lix - b Liy +
e1
Lix
Liv = b Lix + a Liy +
e2
Lix +
=
e1
tende a O quando Liz tende a O, temos lim
y-+ 0
4x-+O 4
e1 =
O,
lim
4x-+O .dy-+0
Figura 9-11
-+-----li;
570
- e2
e2 =
O.
Liy, Liy.
Funções de Uma Variável Complexa Portanto u e v têm, diferenciais (Sec.
2-6): dv =b dx+ a dy
du = a dx-b dy, e
au -=
8x
Portanto
(9-77)
(9-80).
au
av
=
-,
-
8y
=
c
=
(9-80)
=--·
a+ ib
=
au
av
8x
ax
-+ i -
ax
=
Logo, valem as Eqs. ( 9 - 78). Como c
com z0, concluímos que a
av av -+ i 8y ax
-= ·
=
·
·
f'(z0) varia continuamente
8u/8x = 8v/8y e b =-(8u/8y) = 8v/8x são funções
=
contínuas de x e y (Teorema Teorema
av
b
=-
8y
vale. Além disso
.f'(zo) por
a
(9-79)
11
acima).
22. (Recíproco do Teorema 21). Se w =u+ iv =f(z) está de
.finida no aberto D, se u e v têm derivadas parciais primeiras contínuas e valem as equações de Cauchy-Riemann au
av
ax = ay'
au
av
8y
ax
em D , então f(z) é analítica em D . Demonstração. Seja z0
=
x0+ iy0 fixado como na demonstração prece
dente. Então pelo Lema Fundamental da Sec. 2-6, u e v têm diferenciais em
(xo , Yo):
Au = Av onde
/8x
au ax av
=
ax
Ax+-
Ax +
au Ay+ 81Ax+ 82Ay, 8Y av ay
Ay+ 83 Ax+ 84Ay,
8u/ ..., 84 tendem a O quando (x, y) ·- (x0 , y0). Se escrevermos a 8v/8y, b -(8u/8y) 8v/8x e somarmos essas equações, acharemos
81,
=
Aw
=
=
=
=
Au + i Av =(a+ ib)(Ax+ i Ay)+ (81 + ie3) Ax+ (82 + ie4) Ay.
Logo
Aw =(a+ ib)Ax+ i Ay)+ 8Óz, onde
Se mostrarmos que
8
-----+
O quando Az
em D e, logo, pelo Teorema
16
(Sec.
-----+ 9-9),
O, resultará que w é diferenciável que w tem uma derivada:
dw au . av - = a+ ib =-+ i- = dz ax ax
·
· ·
571
· Cálculo Avançado .
-
Como õu/õx e õv/õx são contínuas, a derivada é contínua, de modo que
w
é
analítica. Para mostrar que e -> O, quanào ti.z -> O observamos que ti.y ti.x ti.x y + Je2 + ie4 J Jel = (e1 + ie3) ti.z + (e2 + ie4) ti.z � Je1 + ie3J ti.z ti.z ti. � Je1 + ie3J + Je2 + ie4J � Je1J + Je3J + JezJ + Je4J,
l
1
! i
l l
pois, como mostra a Fig. 9-11,
1�:1
1��1
� l,
1 � .
Como e1, e2, e3, e4 tendem a O quando (x, y)
->
(x0 , y0) resulta que
lime= O.
z-+zo
Assim, o teorema está provado. Os dois teoremas fornecem um perfeito critério de analiticidade: se f(z) é analítica, então valem as equações de Cauchy-Riemann; se valem as equações de Cauchy-Riemann (e as derivadas envolvidas são contínuas), então f(z) é analítica. Observação. As demonstrações dos Teoremas 21 e 22 mostram que esses teoremas podem ser renunciados como segue: .f(z) tem derivada em z0 se e
só se u e v têm diferenciais em z0 e valem as equações de Cauchy-Riemann
em z0; se .f'(z) existe em D, então f'(z) é contínua em z0 se e só se ou/ox, ou/oy, õv/ox, ov/oy são contínuas em z0. Outra dedução das equações de Cauchy -Riemann a partir da existência de .f'(z0) é dada no Prob. 9 que segue a Sec. 9-9. Exemplo 1.
w
= z2
Logo,
e
w
=
x2 - y2 + i · 2xy. Aqui
u = x2 - y2,
ov ou -=2x=-• oy ox
ou oy
-
= = -
2y
ov -
OX
é analítica para todo z. Exemplo 2.
ou ox Logo
w
w
=
X Í\' =.· · x2 +---y2 x2 + y2
õv y2-x2 = 2 2 2 x oy, y ) ( +
w
=
x-iy = z.
ou -= 1, ox Logo
w
Aqui
-2xy (x2 + y2)2
ou oy
é analítica exceto quando x2 + y2
Exemplo 3.
572
v = 2xy.
=
O, isto é, z=O.
Aqui, u = x, v=-y e
õv -=-1' oy
au ov -=0=�· oy õx
não é analítica em nenhum aberto.
ov ox
Funções de Uma Variável Complexa Exemplo 4.
w =
x2y2 + 2x2y2i. Aqui av ay
au
4x2y,
=
ay
av
2x2y,
=
-
ax
=
4xy2•
As equações de Cauchy-Riemann dão 2xy2
=
4x2 y,
2x2 y
=
-4xy2,
Essas equações estão satisfeitas somente· ao longo das retas x
=
O, y
=
O.
Não há nenhum aberto em que valem as equações de Cauchy-Riemann e, logo, nenhum aberto em que f (z) seja analítica. Só se fala em funções analíticas em certos pontos se eles formam um aberto. Os termos "analítica num ponto" ou "analítica ao longo de uma cu�va" são usados, em aparente contradição com a observação feita acima. No entanto dizemos que f (z) é analítica no ponto z0 somente se existe um aberto contendo z0 no qual f (z) é analítica. Analogamente, f (z) é analítica ao longo de uma curva
C somente se f (z) é analítica num aberto contendo C. Teorema 23. A soma, produto e quociente de funções analíticas são funções analíticas (no caso do quociente, desde que o denominador não seja igual a O em nenhum ponto do aberto em questão). Todas as funções-polinômio são analíticas no plano todo. Toda função racional é analítica em qualquer aberto que não contenha zeros do denominador. Uma função analítica de função analítica é analítica. Isso resulta do Teorema l 2 (Sec. 9-7) e das Eqs. (9-62) e (9-63). Teorema 24. Se de u na direção
w = ex
u + iv é analítica em D, então a derivada direcional
é igual à de v na direção
ex
+
!n: (9-81)
Demonstração. A derivada direcional de u na direção
IX
(Fig. 9-12) é dada
por
V
•
u =
au au -cos1X +-senex ax ay
(Sec. 2-10). Pelas equações de Cauchy-Riemann isso dá av - cos ex iJy
-
av - sen ax
IX =
av -
ax
cos
(
IX
+
n
)
-
2
que é a derivada direcional de v na direção
IX
+
av
(
n
)
sen .ex + ay 2
-
+ tn.
Deve-se notar que as próprias equações de Cauchy-Riemann correspondem aos casos particulares ex para duas escolhas de
ex
=
O e
IX =
n/2. Assim, a validade da condição (9-8 J)
que diferem por n/2 implica na validade para todas
as escolhas de ex. Disso resulta o Teorema 25.
573
Cálculo Avançado
y .,
�.\ Figura 9-13
Figura 9-12
Teorema 25. Se u e v têm derivadas parciais contínuas num aberto D que não contêm z
= O,
então w
f (z)
=
é analítica em D se, e só se, quando u e v são
e
expressas em coordenadas polares r, au
1
1 au
av
r ae
ar
av
= , ar --; a e
(9-82)
e, se valem essas equações, então dw
-=e dz
-i8
(
ªu
. av
ar
ar
)
-+z-
(9-83)
·
Demonstração. As equações (9-82) exprimem a condição (9-81) para e
ex = e + �n
modo que a: reta
w
ex = e
(Fig. 9-13); logo, essa condição vale para todas as direções, de
é analítica. Para provar (9-83), fazemos z + .1z tender a z segundo
e = const.
por z, como na Fig. 9-13, de modo que .1u + i .1v 8 .1re'
.1w .1z Se fizermos M tender a O, resultará (9-83).
Podem-se estender as condições (9-82) ao ponto z au ar
w
U
= z + z2,
Logo,
8=o:+rr./
2
então
y + 2xy au ar
av ar
2-
sen2e),
= r Sen e + 2r2 sen e COS e.
- =cos e+ 2r (cos2 e
574
(9-84)
ar r=O
=X+ x2-y2 =reas e+ r2(cos e
V =
pois aqui (9-8 1 ) fica
av r=O
O=ix Por exemplo, se
=O ,
-
sen2e),
= sen � + 4r sen e cos e,
Funções de Uma Variável Complexa
e av
au ar
=cosa= ar
r=O
r=O
B=•+n/2
6=a:
PROBLEMAS ··
1.
Verifique que as seguintes funções de z são analíticas : (a) w = x2 y2 - 2xy + i(x2 - y2 + 2xy), todo z; -
(b) w =
x3 + xy2 + x + i(x2 y + y3 - y) , 2 X2 + y
z #- O;
(c) w =ez =ex cos y + iex sen y, todo z; (d) w =sen x cosh y + i cos x senh y, todo z (isto é, sen z); . (e) w =log r + i(}, r > O, -n < (} < n (isto é, uma determinação de log z); (f) w =Jz. =Jr cos f + i Jr sen !, r
>
o,
-7t <
e
< 7t.
2. Verifique se são analíticas: (a) w =x2 + y2 + 2ixy; (b) w =2x-3y + i(3x +
2y);
x + iy cos (} (c) w = =--+ . x2 + y2 r ---
(d) w =lx2-y2I +
.
sen (}
1--·
r
,
2ílxYI·
3. Escolha as constantes reais ·a, b, sejam analíticas:
e,
... de modo que as seguintes funções
(a) w � x + a y + i(bx + cy); (b) w =x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2); (c) w = cos x cosh y + a cos x senh y + i(b sen x senh y + sen x cosh y).
RESPOSTAS
2. (a) não
é analítica em nenhum ponto; (b) analítica em todo o plano; (c) não é analítica em nenhum ponto; (d) analítica nos 4 abertos conexos em que (x2 - y2) xy > O. 3. (a) e = 1, a= -b; (b) a=2, d= 2; b = -1, e = -1, (c) a=-1, b = -1.
9-12. INTEGRAIS DE FUNÇÕES ANALÍTICAS. TEOREMA DA IN TEGRAL DE CAUCHY. O teorema seguinte é fundamental na teoria das funções analíticas. 575
Cálculo Avançado Teorema 26. (Teorema da integral de Cauchy). Se f(z) é analítica em um
aberto simplesmente conexo D, então
sobre qualquer caminho fechado simples C em D. Demonstração. Por (9-66) acima temos
t
f(z) dz
=
t
u dx
-
v dy + i
e
e
t
v dx + u dy.
e
y
Figura 9-14. Teorema da integral de Cauchy
As duas integrais reais são iguais a O (pela Sec. 5-6) desde que u e v tenham derivadas contínuas em D e
av
e
ax
av
au
ay
ax
Essas são exatamente as equações de Cauchy-Riemann. Logo,
t
f(z) dz
=
O + i ·O
=
O
e
Esse teorema pode ser enunciado em forma equivalente: Teorema 26(a). Se f(z) é analítica no aberto simplesmente conexo D, então
f
f(z) dz
· é independente do caminho em D. Isso porque, pelo Teorema II da Sec. 5-6, a independência do caminho e o fato de ser igual a zero em caminhos fechados são propriedades equivalentes
576
Funções d.e Uma Variável Complexa das integrais curvilíneas. Se C é um caminho de z1 a z2 podemos agora escrev�r
f
f(z)dz=
f2
f(z)dz,
Z1
e
já que a integral é a mesma para todos os caminhos C indo de z1 a z2• Há uma recíproca do teorema da integral de Cauchy: Teorema 27. Seja f(z)= u + i v contínua _em D e suponhamos que u e v têm deri vadas parci a is contínuas em D. Se
§
f(z)dz= O
(9-85)
e
sobre todo caminho simples fechado C em D, então f(z) é ana lí tica em D. Demonstração. A condição (9-85) acarreta
§
, udx- vdy=O,
§
vdx +udy= O
e
e
sobre todo caminho simples fechado C. Logo, pela Sec.
udx- vdy=dU ,
5-6,
vdx+udu=dV
para convenientes funções U(x, y), V(x, y). Assim
au
8x
= u,
av -=U ay
2 au av a u = =- . ay axay ax
2 a v av = = axay ay' ax
e
av --=V, ax
au -=-v, ay
au
Portanto as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas e f(z) é analítica.
Esse teorema pode ser provado sem a hipótese de que u e v têm derivadas
contínuas em D; então é conhecido como te orema de Morera. Para uma de monstração, ver o Cap.
5 do Vol. I do livro de Knopp citado no final deste
capítulo. Teorema
28. Se f(z) é ana lítica em D, então
f2
f'(z)dz=.f(:::)
!"
=.f(zz)-.f(z1)
(9-86)
z1
z1
para todo caminho em D indo de z1 a z2 Em particular, •
§
f'(z)dz=O
e
sobre toda curva fechada em D..
577
Cálculo Avançado
Demonstração. Por (9-78),
f
'2
z1
f'(z) dz
í" (ªu av) (dx + i dy) + i _ J ax ax
=
z1
. f'2 f2
=
•
(ªu� ;, ax X
=
Zt
du
au ay
+
i dv
+
) dy
(u
=
i
+
iv)
+
f" (ªv Zt
1=•
dx
ax
=
Zt
av
+
ay
) dy
f(z2)-f(z1).
A segunda afirmação no teorema é obtida tomando-se
z1
=
z2
•
Essa regra serve de base para calcular integrais simples, como no cálculo elementar. Assim,
11+; i f-i '
z2 dz
_;_dz z
=
z311+;
-
.3
(1
i)3-i3
+
--
.
3
1
=
_..!._ z
1i-i
=
-i- i
= -
2
=
-3
. +
1
'
2i.
Na primeira integral, qualquer caminho pode ser usado, na segunda, qualquer caminho que não passe pela origem. Teorema 29.
Se f(z) é analítica em D, e F(z)
=
r
..
f(z) dz
(z1 fixado em D)
é uma primitiva de f(z); isto é, F'(z) Demonstração. Como f(z)
=
ZJ
D,
f(z) dz
z. Tem-se ainda
F
onde u
=
r
ZI
=
u dx-v dy,
e
D é simplesmente conex o, .
�
é independente do caminho e define uma função
final
(9-87)
f(z). Assim, F(z) é também analítica.
é analítica em
f
é simplesmente conexo, então
D
U
+
V
iV, =
F que só depende do ponto
·Q_,
r
V
ZI
dx
+
u dy,
e ambas as integrais são independentes do caminho. Pelo Teorema 1 da Sec. ,
5-6,-
578
dU
=
u dx-v dy,
dV
=
u dx
+
u dy,
Funções de Uma Variável Complexa
V satisfazem às equações F = U + iV é analítica e
como na prova do Teorema 27 acima. Logo U e de Cauchy-Riemanm, de modo que
íJV íJU F'(z) = íJx + i iJx
=
u + iv= f(z).
*9-13. MUDANÇA DE VARIÁVEL EM INTEGRAIS COMPLEXAS. Como a integral complexa é uma integral curvilínea, o problema considerado aquiJelaciona-se com o discutido na Sec. 5-14. Teorema 30. Seja Cw um caminho de w1 a w2 no plano dos w e seja f(w) contínua sobre Cw. Seja w g(z) analítica num aberto D do plano dos z e seja e,: =
z =
t1 � t � t2
z(t),
um caminho indo de z1 = z(t1) a z2 = z(t2). Seja g(z1) wl> g(z2) w2. Sup,onhamos que, quando z percorre C, uma vez no sentido indicado, w = g(z) percorre Cw uma vez no sentido indicado. Então, =
·
=
(9-88)'
'I
V
�-t-�������--. X Figura 9-15. Mudança de variável numa integral
Demonstração. As hipóteses estão ilustradas na Fig. 9-15. O parâmetro t
pode também ser usado como parâmetro para Cw, de modo que Cw é dado pela equação
Logo,
fw2
Wt Cw
f(w) dw=
fl2 t1
.f{g[z(t)]}
; dt.
d
d
Mas, pelo Teorema 16,
dw dt
=
lim .:11�0
6w
ót
= l im
.:11�0
dw óz
(
dz ót
+
e
óz
.ót
)
=
dw dz . dz dt
579
Cálculo Avançado Logo,
f (w) dw f
12
f
=
,,
�
dw dz f {g(z(t)]} dz dt dt
Exemplo.
w
dw dz dz
dw w
lwl=l e' e tomamos Cz como sendo o segmento retilíneo de O a 2ni.
=
Sobre esse segmento percorre o círculo
w
jwj
=
=
1
i e y
d -e• dz
=
ô -8
X
(ex cos y)
(9-88),
dw w
-
lwl = 1
cos y + i sen y; quando y varia de O a 2n,
=
[Prob. 1 (c) ô
i -8 (e"' sen y)
+
=
em seguida à Sec.
X
f
2,.;
o
1
-ezdz z e
=
e"(cos y +
f
=
ni 2
dz
=
9-11]
i sen y)
=
e
ez.
2ni.
o
PROBLEMAS
1.
Calcule estas integrais: (a)
(bJ
f
z2
dz,
lil dz r �
onde e é o quadrado de vértices .
sobre o arco circular:
z
=
1
(c)
(d)
(e)
{f) 580
f ! dz 2
1
+i
.
sobre a elipse:
(z2 - iz
,( _ l _ dz J z-4
f(3,
2)
(1, l)
w
uma vez no sentido positivo. Agora se verifica fa
cilmente que e' é analítica
Logo, por
f [g(z)]
Para calcular a integral
f
fazemos
f
�
1
(9-67').
por
=
x2
+
2y2
=
1, i, -1, -i;
cos t +
1t
i sen t, o� t � 2;
J;
+ 2) dz sobre o segmento unindo os pontos;
sobre o círculo:
(xi - y2) dx - 2xy dy
Jzl
=
1; '
sobre o segmento unindo os pontos.
Funções de Uma Variável Complexa
2.
Calcule usando as substituições indicadas:
(a)
.J: J
l•I =2
�z dz , z +1
w =
z2+1 [Sugestão:
uma vez o círculo em sentido positivo,
w
mostre que, quando
percorre o círculo
z
1 w -1 I
percorre
=
4 dua!>
vezes em sentido positivoJ ;
.1 J
(b)
1•1=2 3. Calcule
(a)
d dZ1
z3
dz
-z4-1
'
w
=
z4- 1.
derivadas seguintes, sendo as integrais independentes do caminho:
as
fz' z2dz;
(c)
1
(b) � J.Zl(z3-z+l)dz; d 1 Ü
(d )
d dZ1
f": z3dz
d
JZ1
(ver Sec.
O
; � r (z2+l)dz. l
4-12);
4. Admitindo que a regra de Leibnitz (Sec. 4-12) pode ser generalizada às .
·
funções consideradas, calcule as derivadas seguintes:
f'(z) = O
5. Prove: se
no aberto conexo D, então
f(z) = const. em D. Logo F(z)+ C, se F(z) é uma
todas as primitivas de uma f (z) são dadas por primitiva.
RESPOSTAS
1. (a) O, 2. (a) 4ni, (d) 4. (a)
(b) !ni,
2zi-zi+2z1 -1. z2 + 1 .J: J (z- z1)2 dz, .
1•1=1
(c) 2ni,
(b)
(e) O, (f) -f. i(40+25i), zi, (b) zi-z1+1, (c) 2zi,
(d) 3. (a)
(b) 2ni.
1 J
1•1= 1
dz (z-z1)3 . 2e'
9-14. FUNÇÕES ANALÍTICAS ELEMENTARES. Já se mencionou que os polinômios
(9-89) são funções analíticas em todo o plano, e que as funções racionais
(9-90) 581
.
Cálculo Avançado são analíticas em todo aberto que não contenha um zero do denominador. A função w = e
"'
= e
x
cosy + i�sen y
(9-91)
também é analítica em todo o plano, pois ôu -
ôx
=
�cosy
=
ôv
ôu
-·
-
ôy
ôy
= -e
x
sen y
ôv =
- - ·
ôx
Agora ampliamos a lista das funções analíticas elementares com estas de finições: senz
=
e
cosz
=
senh z
=
coshz
=
(9-92)
2i +
iz
-iz e
(9-93)
2 -z z e - e
(9-94)
2 z e
+
-z e
(9-95)
2
As outras funções trigonométricas e hiperbólicas podem ser definidas em termos destas pelas fórmulas conhecidas. Como
i• -• -•• e , e , e
são todas analíticas em todo o plano (como funções
analíticas de funções analíticas), concluímos que sen z, cosz, senh analíticas para todo Se y x
=
=
z,
cosh z são
z.
O, e" reduz-se à função conhecida
x e
da variável real x. Quando
O, tem-se e
iy
=
cos y + isen y.
Se substituirmos y por -y, obtemos -iy e =
cosy-iseny.
Se somarmos essas equações, obteremos iy e
+
e
-iy
=
2 cos y,
(9-96)
2isen y.
(9-97)
e, se subtrairmos, e
iy
-e
-iy
=
As Eqs. (9-96) e (9-97) sugerem as definições (9-92) e (9-93) e mostram que elas se reduzem às funções conhecidas quando
z
é real. As equações (9-94) e (9-95)
são exatamente as definições usuais. ·
Dois teoremas básicos mais avançados são úteis neste ponto. Demons
trações são dadas no Cap. IV do livro de Goursat citado no fim do capítulo. Ver também a Sec. 9-38 e o Prob. 1 que segue a Sec. 9-39.
582
Funções de Uma Variável Complexa
Teorema A. Dada uma função f(x) da variável real x, a � x � b, e um aberto conexo D do plano que contém esse intervalo do eixo real, existe, no máximo, uma função F(z) analítica em D, cuja restrição ao intervalo é f(x).
Se f(z), g(z), ... são funções analíticas num aberto conexo D que contém um intervalo do eixo real, e se f(z), g(z), ... satisfazem a uma identidade al g ébrica quando z é real, então vale a mesma identidade para todo z em D.
Teorema B.
·
O Teorema A implica que as definições dadas acima de
e•, sen z, . . . são
as únicas que fornecem funções analíticas e concordam com as definições para variável real. Pelo Teorema B, podemos ter certeza de que todas as identidades fami liares da trigonometria sen2 z + cos2 z = 1, valem ainda para
sen (tn - z)
= cos z, ...
(9-98)
z complexo. Uma identidade algébrica geral em f(z), g(z), .. . c[f(z)]m[g(z)]" ...,
obtém-se igualando a zero uma soma de termos da forma onde
c é uma constante e cada expoente é um inteiro positivo ou
O. Assim,
nos exemplos dados, temos
[f(z)] 2
+
[g(z)]2 -1 f(z)- g(z)
=
O [f(z)
= sen z, g(z) = cos z],
=
O [f(z)
"."'
sen (ín- z),
g(z)
=
cos
z].
Para provar identidades como
(9-99) pode ser necessário aplicar o Teorema B várias vezes [ver Probs. Deve-se observar que, embora
2
e 3 abaixo].
e• seja escrita como potência de e,
é melhor
não imaginá-la como tal. Assim, e1'2 tem um só valor, e não dois, como teria uma raiz complexa usual. Para evitar confusão com a função potência geral, a ser definida abaixo, escreve-se freqüentemente
e•= exp z e chama-se
e• de função exponencial de z.
As seguintes identidades resultam de senh
iz = i sen z,
ei• =
(9-92)... (9-95):
cosh iz
= cos z,
cosz + isenz.
(9-100)
As duas primeiras mostram quanto as funções trigonométricas e hiperbóliéas estão relacionadas e explicam a analogia entre as identidades trigonométricas e hiperbólicas. Assim, cos2z + sen2z
= 1
fica cosh2(iz)- senh2(iz)
=1
583
C:álculo Allançado
ou, substituindo iz por z, 2 cosh2z-senh z
=
1.
Para obter as partes real e imaginária de sen z usamos a identidade
(9-101) que 'vale, pelo raciocínio descrito acima, para quaisquer z 1 e z2 complexos. Logo, sen
(x
iy)
+
=
sen
x
cos iy + cos x sen iy.
De (9-100), com z substituído por iy, temos senh y
=
-i sen iy,
cosh y
=
cos iy.
(9-102)
Logo, sen z
sen
=
x cosh y
+ i cos x senh
y.
(9-103)
senh y.
(9-104)
Analogamente prova-se: cos z De
cos x cosh y- i sen
=
x
(9-100), temos senh z
=
i sen (-iz) =
i sen (y- ix).
Portanto senh z
=
senh x cos y +
i cosh x sen y,
(9-105)
cosh x cos y + i senh x sen y.
(9-106)
e, analogamente, cosh z
=
De (9-91) resulta que
(9-107) Assim, a função complexa
e'
tem período 2ni. Analogamente, a ful!ç�o
e"'
tem
período 2ni/n. Isso sugere o uso da função exponencial complexa como uma base para séries de Fourier, o que está feito na Sec.
7-17, onde se mostra que
toda série de Fourier pode ser escrita em termos das funções
ei•x
e
e-i•x.
Outras propriedades das funções aparecem nos problemas que seguem.
PROBLEMAS 1. Prove as propriedades seguintes diretamente a partir das definições das
funções:
(b)
(e')"
= e"'
(n
(c) sen (z1 + z2)
584
=
=
1, 2, ·
·
");
sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2
Funções de Uma Variável Complexa (d) (e)
d dz d dz
e•
e•;
=
senz
cosz,
=
(f) sen(z + n)
(g) sen(-z)
=
=
d dz
cosz
=
-senz;
-senz;
-sen z,
cos (-z)
=
cosz.
2. Prove a identidade
por aplicação do Teorema B.
fixo, e z 1
=
[Sugestão: seja z2
z um número qualquer. Então e z+xz
=
x2 um número real ez ex2 é uma identidade =
·
entre funções analíticas dez que é verdadeira paraz real. Logo, é verdadeira para todo z complexo. Agora proceda analogamente com a identidade:
eZl + z
=
eZl . e=.]
3. Prove as seguintes identidades por aplicação do Teorema B (conforme Prob.
2):
= sen z1 cosz2 + cosz1 senz2;
(a) sen(z1 + z2) (b) cos(z1 + z2)
(c)
eiz
(d) e•
=
=
(e) (ez)"
=
cosz1 cosz2- senz1 senz2;
cosz + i senz;
cosh z + senh z; =
e"z
(n
=
1, 2,
·
· ·
)
.
4. Calcule os seguintes números complexos: _ ; 1 (e) e-1/4(ni) (a) e +"
(b)
2+1ni e ) (c) elf2(ni 2 ( (d) e3/ 7tiJ
(f) sen (1 + i)
(g) cos (-i) (h) senh
(1 - i).
5. (a) Prove que e• não tem zeros complexos; (b) Mostre que senz só tem zeros reais;
(c) Mostre que cosz só tem zeros reais; (d) Ache todos os zeros de senh z; (e) Ache todos os zeros de coshz. 6. Determine onde são analíticas (cf. Prob. (a) tgz
senz -=
cos z cosz
(b) cotgz
(e) secz'. (d) cosec z
senz =.--
cosz
=
1
·-
senz
5) estas funções: (e) tgh z
senh z
=
hcos z
senz
(f) -z
(g)
(h)
e•
-z:cosz
ez
senz + cos z
. 585
Cálculo Avançado
R ESPOSTAS (b) -e2,
4. (a) -e,
(f) (g)
(h)
� [( � ) ( +). � [( +) e +
sen 1 +
( � ) 1}
i e
(d)
-i,
(e)
± J2(1- i),
cos
-
2- e + e
-
cos 1- i
( +) 1} e +
sen
5. (d) nni (n .= O, ± 1, ± 2, ...),
6.
i,
(c)
(e)
tni + nni (n = O, ± 1, ...).
As funções são analíticas, exceto nos seguintes pontos: (a)
( b) nn, (c) ±n + nn, (e) ±ni + nni, ±n + nn, (d ) nn, (h) -in + nn, onde n = O, ± 1, ±2, ... ±n + nn,
(f) O,
(g) O,
*9-15.
f(z) está definida numa parte D z = g(w) que a para os quais f(z) = w. No entanto,
FUNÇÕES INVERSAS. Se w =
do plano z, existe em correspondência uma "função inversa" cada w associa o valor (ou valores) de
z
a menos que f(z) assuma cada valor w no máximo uma vez em D, a "função" g(w) é necessariamente multivalente. Por exemplo, a inversa de w = z2 é z =
Fw; para cada w
diferente de O existem duas raízes quadradas, de modo
que w é, em geral, a dois valores. Embora nos ocupemos de fórmulas que dão todos os valores da "função" inversa, não é possível usar tais funções na forma usual. Assim, continuidade, derivadas, etc. perdem todo o sentido. Portanto é necessário escolher para cada w um dos muitos valores da inversa. Tal escolha leva a um "ramo" da função inversa. Por exemplo, um ramo de z
=
fp ei<.Pt21,
Fw é
O<<2n,
definido como segue:
p >O,
onde p, são coordenadas polares no plano w: w = Assim, um ramo é uma função
pei
univalente, cuja continuidade e analiticidade
podem ser investigadas. De um modo geral, será possível representar a função inversa completa por vários ramos (talvez em número infinito), cada um dos quais é uma função contínua e, exceto em pontos excepcionais (os "pontos de ramificação"), analítica num aberto. Dessa forma, a "função inversa" multi valente é substituída .por
várias funções univalentes.
some nte quando f(z) for univalente. Uma interpretação mais geral do termo "função analítica" A expressão "f (z) é analítica no aberto D" será usada
está descrita na Sec.
9-38.
Essa questão tem seu correspondente para variáveis reais. Assim, y = are sen x tem infinitos valores para cada
586
x,
como se vê na Fig. 9-16. Ramos se-
Funções de Uma Variável Complexa .,
Figura 9-16.
y =
are sen x
parados y1(x), y2(x), ... são discriminados de modo natural como segue: y1 =are sen x,
y2 = are sen x, y3 = are sen x, Estes são mostrados na Fig. 9-16.
-tn in -fn
tn, fn, � -tn,
� y �
� y � � y
É claro que uma infinidade de tais ramos
fornece uma descrição completa da função inversa. Cada ramo é uma função contínua. Ainda mais, exceto nas extremidades
x =
± 1, cada um tem uma
derivada contínua. Esses pontos são os pontos de ramificação, em que os di ferentes ramos
se
unem.
Outro exemplo da teoria de funções de variável real que é ainda mais instrutivo para o estudo de variáveis complexas é o da função (} = arg z como função de x e y. Esta se encontra representada na Fig. 9-17. A superficie é ge rada por uma reta que se move paralelamente ao plano xy; a reta corta o eixo (} e uma hélice em volta do eixo e. Para cada
(x,y) diferente de
(O, O) obtêm-se 2n.
infinitos valores de (}, dois quaisquer deles diferindo por um múltiplo de A função pode ser construída a partir dos ramos seguintes: (}1=(},
-n<(:J
02=0,
0<0<2n;
03=0,
-2n
.
.
.
O intervalo em cada caso especifica ao mesmo tempo o valor da função e a· parte do plano xy em que está definida. Assim, menos y =O, x �
O;
B2(x,
y)
01(x,y) está definida no plano
não está definida para y =O, x
� O.
Os ramos·
587
Cálculo Avançado
Figura 9-17. e= arg(x + iy) são escolhidos de modo a sobreporem-se ou para y > O ou para y < O; po deriam ter sido escolhidos de modo a sobreporem-se apenas ao longo de retas. Cada ramo é uma função contínua com derivadas contínuas. Nesse exemplo não há· pontos de ramificação como no precedente. No entanto a origem (O, O) é um ponto de fronteira comum ao domínio de todos os ramos e seria chamado um "ponto de ramificação logarítmico".
9-16. A FUNÇÃO LOG Z. A função
z
=
ew é uma função analítica de
w.
Sua inversa é a função logarítmica de z; isto é, w =
log z,
se
z
= ew.
(9-108)
Logo,
de onde concluímos que r
588
=e",
v =
(} +
2nn
(n
=
O
,
±1, ±2, ...).
(9-109)
Funções de Uma Variável Complexa Portanto
w=
u
+ iv
log z
=
=
log r + i(O + 2nn)
(9-110)
ou, mais simplesmente, w=
log 1z1 + i argz,
onde log 1z1 é o logaritmo real de
1z1 e
(9-111)
arg z é, como sempre, definido apenas
a menos de múltiplos de 2n. Portanto o logaritmo complexo é definido para cada tem infinitos valores para cada
z.
z
diferente de O e
Primeiro ·escolhemos um ramo dessa função:
o valor principal de log z, pela seguinte definição: Log z
=
log r + iO,
-n
8
<
n,
<
r > O.
Essa função é definida e contínua no aberto da Fig.
(9-J 12)
9-18. Além disso, é uma
função analítica nesse aberto, pois
u
e au
=
logr,
v
=
8
1 av
1
y
Figura 9-18
Assim, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares estão sa tisfeitas e, pelo Teorema 25, a função é analítica. Ainda mais, por
dw dz
-=e
-i8
. av -+1ar ar
(ªu
(9-83),
) (9-113)
1
Todos os valores de logz podem ser obtidos de ramos como segue: f1(z) = Log z = log r + iO, f2(z) log z = log r + iO,
f
= 3(z)
f4(z)
=
=
log z
log z
= log r
=
+ iO,
log r + iO,
-n O
<
8
<
O
<
-2n
<
8
n
f)
<
<
<
n,
2n, <
O,
3n,
r > O; r
> O; r > O;
r > O;
589
Cálculo Avançado Cada uma dessas funções é analítica no domínio escolhido e satisfaz à equação
dlog_::= dz
_.
z
De-ve-se observar também que
Esses ramos são escolhidos de modo a terem domínios que se sobrepõem e a darem, juntos, todos os valores da função inversa. Seu significado pode ser melhor compreendido olhando a função arg z, que é a fonte de todas as com plicações. Essa função teve seu gráfico traçado na Sec.
9-15 e deco1!1pôs-se em
ramos exatamente da mesma maneira que foi usada aqui para log z. A escolha de ramos feita aqui é arbitrária e pode ser variada de muitas maneiras. No entanto, deve-se observar que um ramo de log z só será analítico num aberto se esse aberto não contiver caminhos fechados C rodeando a origem, pois (} não pode ser escolhido de modo ·a permanecer contínuo ao longo de um tal caminho. De modo geral, se D é qualquer aberto simplesmente conexo que não contém a origem, um ramo analítico de log z pode ser definido em D,
2ni.
e todos os outros ramos de log z em D são obtidos a partir deste somando um múltiplo de
Podem-se obter todos os valôres de log z pela fórmula log z
=
J
zd
1
_!_,
(9-1 1 4)
z
onde o caminho de integração é qualquer caminho que não passe pela origem. A integral no segundo membro é independente do caminho em qualquer aberto simplesmente conexo que não contenha a .origem. De um modo geral, a integral dá
z f -= dz
1
z
=
log z
,.= 1
log 1z1- log
l + i(arg z
-
arg
l)
loglzl + i(},
onde (} é a variação total de arg z quando esse argumento varia continuamente sobr e o caminho de
d
1 a z. Assim, uma escolha de log 1 é dada por
§ d:= 2ni,
pois argz aumenta por
J z/z
2n
é dada por Im
590
1•1=1 ao longo do caminho. A parte imaginária da integral
dx idy -ydx xdy f iy J x2 y2 +
+
X+
=
+
·
Funções de Uma Variável Complexa Esta integral curvilínea real foi discutida na Seção 5-6 (Exemplo
2) e resultados
análogos foram obtidos.
9-17. AS FUNÇÕES a•, zª, sen- i z, cos-1 z. A função exponencial geral a•
será agora definida, para a =/= O, pela equação
a• = ezlog a = exp (z log a)._ 0
Assim, para z = O, a
(9-115)
1. À parte isso,
=
log a
log 1 a 1 + i arg a
=
e obtemos muitos valores: a• =
exp {z[log l a l + i (8 +
2kn)]},
(k
= O, ±1, ±2, ...)
onde e denota uma escolha de arg a. Por exemplo,
= e-(x/4i -2tx(cos log
.J2 + i sen log .j2).
Se zé um inteiro positivo n, a• reduz-se a a" e tem só um valor; o mesmo para z = -n, e tem-se
a-n =
1
-·
(9-116)
a"
Se z é uma fração p/q (simplificada), verifica-se que a• tem q valores diferentes, que são as raízes q-ésimas de aP. Se fixarmos uma escolha de Ioga em (9-115), então a• é simplesmente e = log a, e, portanto, é uma função analítica de
cz ,
e
z para todo z. Cada escolha
de log a determina uma tal função, Se usamos o valor principal Log a, obtêm-se a função analítica exp(z Log a), chamada valor principal de a'. Se trocarmos a e
z
em (9-115) obteremos a função-potência geral:
(9-J 17) Se escolhermos um ramo analítico de log z como acima, então essa função fica analítica no domínio escolhido, como função analítica de função analítica. Em particular, o valor principal de
zª é definido como sendo a função analítica
por meio do valor principal de log z. Pór exemplo, se a = t. temos l2 z /
=
e(l/2)
loa z
=
e(l/2)
(loa r+i9)
=
0 e(l/ 2)
log r
como na Sec. 9-3. Se usamos Log z, então
e(l/2) i9
=
Jr{ � cos
+ i sen _
�)
Jz
da Fig. 9-18. Um segundo ramo analítico
= f1 (z) fica analítica no domínio f2(z), no mesmo domínio, é obtido
591
Cárculo Avançado
exigindo qi\ie n < fJ < 3n. São esses os únicos ramos analíticos que podem ser obtidos. nesse domínio. Deve-se observar que eles estão ligados pela equação
f2(z)
=
-f1(z),
pois f2 é obtida de f 1 aumentando fJ de 2n, o que substitui e1'2 iB por i e 112 i(B+ 2 1 = e e 112 ;o "
..
Outros ramos de
=
-e 112 ;o .
Jz podem ser obtidos como segue: f3(z) Jre112 o e 2n f4(Z)
=
iB,
=
Jre l/2 iB,
<
<
-27t < (}
<
Q.
Essas relações associam dois valores para cadaz, excetuados os pontos do eixo real positivo. Observamos que e que
exceto no eixo
x.
Os quatro ramos descritos dão juntos, com as superposições indicadas, todos os valores da inversa dez
=
w2, exceto o valor
JO
=
O. A origem é um
ponto de fronteira para os domínios de todos os quatro ramos e é impossível ampliar esses domínios de modo a incluir esse ponto sem perder a analiticidade. No entanto, se definirmos
então os quatro ramos permanecerão contínuos, isto é, lim f(z) = O z-o para f
=
f1, f2, f3 ou f4, quandoz tende a O dentro do domínio em que a fun
ção está definida, pois cada função tem por valor absoluto
Jr, que tende a O.
A origem é um ponto em que todos os ramos concordam, e é um ponto de
ra
mificação da função inversa. As funções sen 1z e cos-1z são definidas como inversas de sen z e cosz. -
Obtêm-se
. 1 sen-1 z = -;- log [z i ± l
cos-1z =
..
�],
(9-118)
� log[z±i �]. 1
As provas são deixadas aos exercícios. Pode-se mostrar que ramos analíticos dessas duas funções podem ser definidos em todo aberto simplesmente conexo que não contenha ± 1, os pontos de ramificação. Para cadaz diferente de ± 1,
592
Funções de Uma Variável Complexa temos duas escolhas de
�
e depois uma seqüência infinita de escolhas
do logaritmo, diferindo por múltiplos de
2ni. Isso será estudado na Sec. 9-31.
PROBLEMAS
1. Obtenha todos os valores: (a) log2
(e)
(b) log i (c) log (d)
2 (1 + i) 13
(f) j/2 (g) sen-
(1- i)
1
(h) cos-1
ii
1 2
2. Prove as fórmulas (9-118). 3. (a) Calcule sen- l O, cos-1 O. (b) Ache todos os zeros de sen z e cos z (cf. parte (a)].
4. Prove as identidades seguintes, no sentido de que, com uma escolha ade quada dos valores das funções multivalentes envolvidas, a equação é válida para cada escolha das variáveis admitida: (a) log (z1 (b)
e'0g•
(c) log
=
·
z2) z
# O)
z2log z1
=
z2 # O)
log z1 + log z2 (z1 #O,
(z z
e' =
(d) log z�2
=
(z1
5. Determine todos os ramos analíticos das funções multivalentes nos do mínios dados: (a) log z,
x
(b)
fz,
x
>O.
6. Prove que, para a função analítica zª (valor principal), d -zª dz
7. Faça os gráficos deu
=
Re(
=
a
-zª z
Jz) e
=
v =
az• - I
Im(
mostre os quatro ramos descritos no texto.
Jz) como funções
de
x
e y e
RESPOSTAS
1. (a) 0,693 + 2nni, (d) exp(-tn - 2nn),
(f) exp (h)
(�
(b) (e)
)
(c)
i{tn + 2nn),
.y2 exp
ni + 2}2nni '
(!
(g)
ni +
;
4 n
)
0,347 + i(in + 2nn),
i ,
tn + 2nn,
2nn ±1,317i. ntoma os valores O, ±1, ±2, . .. exceto em (e), onde vale o, 1, 2. 593
Cálculo Avançado
3. (a) e (b) nn e 5. (a) log r + iB, (b)
� exp
t n +/nn, tn +
e:} - ;
(n
O
=
2nn
± 1, ±2, . . . ).
,
<
+ 2nn
8
<
tn + 2nn,
<
8
<
;+
n
2nn,
n
=
=
O, ± 1, ± 2, ... ,
O, 1, 2.
9-18. SÉRIES DE POTÊNCIAS COMO FUNÇÕES ANALÍTICAS. Agora ampliamos a classe das funções analíticas explicitamente conhecidas mostrando que as séries de potências ro
I
n=O
c n(z-zo)" = Co + C1(Z-Zo) +
+ (cn(z-z0)" +
· · ·
que convergem para valores dez diferentes dez
=
· · ·
z0 representam uma função
analítica. As séries de potências foram estudadas no Cap. 6 com ênfase em variável real. No entanto o teorema fundamental, o Teorema
35 (Sec. 6-15), estende-se
a variáveis complexas com apenas uma mudança: o intervalo de convergência
div
Figura 9-19. Círculo de convergência de uma série de potências
é substituído pelo disco de convergência, como se vê na Fig.
9-19. Devido a
sua importância, reenunciamos o teorema (com ligeiras mudanças de notação): Teorema
31. Toda série de potências
tem um raio de convergência r* tal que a série converge absolutamente quando
l
z-z0
I
<
l
r*, e diverge quando z-z0
um número positivo, ou
00
>
1 z -z0 1 r* r*
=
=
r*. a
série converge só para z .=
z0),
(nesse caso, a série converge para todo z).
Se r* não é O e r 1 é tal que O formemente para
594
I
O número r* pode ser O (nesse caso,
<
r1
<
r*, então a série converge uni
::;:; r 1 . O número r* pode ser calculado como segue: lim
1�1,
n_..co Cn+ 1
se o limite existe,
1 . --- , se o limite existe, n-ro m hm
(9-119)
Funções de Uma Variável Complexa
e, em qualquer caso, pela fórmula r*
1 =
lim
n�oo
V1TcJ
(9-120)
.
Como o critério da razão, o critério da raiz e o critério M estendem-se
ao caso complexo (Sec. 9-5), a prova dada na Sec. 6-15 pode ser repetida sem alteração.
. Como no caso real, nada se pode afirmar sobre a convergência na fron
r* =f. O, r* =f. :x;) é r*, chamado círculo de convergência. A série pode con
teira do domínio de convergência. Essa fronteira (quando um círculo 1 z-z01 =
vergir em alguns pontos, todos os pontos, ou em nenhum ponto, desse círculo.
Exemplo 1.
00
z
n
2 · A fórmula (9-119) dá
L
n
n=l
r* = lim
(n
n-+ 00
1 +2 )2 = 1. n
A série converge absolutamente em todo ponto do círculo de convergência,
pois, quando lzl
Exemplo 2.
=
1, a série dos valores absolutos é a série convergente
f
n z .
:E(l/n2).
Essa série geométrica complexa converge para lzl < 1,
n=O
como mostra (9-119). Além disso,
1
00
z" = 1-z n=O
L
(lzl < 1),
como se mostrou na Sec. 9-8. Sobre o círculo de convergência, a série diverge
em todos os pontos, pois o n-ésimo termo não converge a O.
Exemplo 3.
oo
z
"
-·Novamente a fórmula (9-119) fornece o raio:
L
n
n=l
Sobre o círculo 1z1 =
r*
=
1.
1, a série não é absolutamente convergente, ·pois a série :E{l/n ). No entanto, nesse círculo,
dos valores absolutos é a série divergente
z = cos e + i sen e e
00
z
"
00 (cos e + i sen 8)"
I-= I n
n= 1
n= 1
n
=
00 cos ne I n= 1 n
00
sen ne
-· n= 1 n
+iI
As duas séries reais são séries de Fourier. A parte imaginária é a série de Fourier de
nF(8), onde F(x) é a função de salto estudada na Sec. 7-9. Portanto -n;::;; e< o
I
Cálculo Avançado e, para () = O, a série converge a O. A parte real é a série
j
n=l
cosnO , n
que diverge claramente quando () = O. A série é a série de Fourier da função 1 -log ---2 2-'-2 cos () e pode-se mostrar que converge a essa função, exceto quando ()
O, onde a
=
função torna-se infinita [ver K. Knopp, Infinite Series, pgs. 402 e 420 (Londres: Blackie, 1928)]. Portanto a série
z
�(z"/n)
converge para
lzl �
1 exceto para
[1/(1-z)]
1. Veremos mais tarde que essa série é a série de Taylor de Log
=
e que 00
1 Log - = 1 -z
I
n=I
" z
lzl �
-·
n
z
1,
=fa
1.
O terceiro exemplo mostra como pode ser delicada a investigação da série sobre o círculo de convergência. Mostra também a estreita relação entre esse problema e o das séries de Fourier. Teorema 32. Uma série de potências com raio de convergência não-nulo representa uma função contínua dentro do círculo de convergência. A prova do Teorema 36, Sec. 6-15, num ponto
z
=
z1
pode ser
lz-z01 = r*, ponto z1; tem-se
do círculo
certo sentido contínua no
repetida. Se a série converge
então a soma
como está ilustrado na Fig. 9-19. Assim, lim .f(z) z1
ao longo de um raio; inclusive quando
uma curva lisa
z
=
f(z1)
.f(z)
da série é em
quando
aproxima-se de
z1
z
tende a
ao longo de
e que não é tangente ao círculo em Z1. Esse resultado é o teo
rema de Abel, estendido por Stolz. Para a demonstração, ver a pg. 406 do livro de Knopp citado acima. Teorema 33. Uma série de potências pode ser integrada termo a termo dentro do círculo de convergência, isto é, se r* =fa O e
f(z)
00
=
L cn(z-z0)",
n=O
lz-zol
< r*,
então, para todo caminho C dentro do círculo de convergência,
J.
2 •,,,f(z)dz
%1
C
596
ao
=
I
n=O
. c,,
·f'2 (z-z ) .
0 " dz
ZI
=
ao
I
n=O
c"
(z z0)" _
n+l
+1 1
» ZI
,
Funções de Uma Variável Complexa
/
ou, em termos de primitivas,
f
f(z)dz
Demonstração.
oo
=
I
n=O
e"
(z-z0 )"+1 n +
1
+
/
/ /Í
const;,
lz-z01
<
r*.
Como para o Teorema 37 da Sec. 6-15, concluímos que
a integração termo a t ermo ao longo de C é permissível. Mas, como cada termo
c"(z - z0)"
é analítico, as integrais independem do caminho, donde
f
2
f(z)dz
z1
é independente do caminho. Logo,
r
f(z)dz
=
F(z)
zo
1 z-z01 < r*. f(z), de modo
é bem definida para
F'(z)
Como na prova do Teorema
temos que
que
[conforme
Prob. 5 da Sec.
=
F(z) é
dentalmente, analítica. Todas as primitivas de f(z) são dadas
F(z)
=
9-13].
Iz
(Sec.
9-12),
Agora
f(z)dz
Zo
29
f(z) e é, inci por F(z) + const.,
uma primitiva de
=
oo
L
n=)
cn
(z - z °)" + 1 n+!
,
por integração termo a termo da série. Logo, o teorema está provado. Teorema 34.
isto é, se r*
Uma série de potências pode ser derivada termo a termo, e
i= O
00
f(z)
=
.f'(z)
=
f"(z)
=
L
n=O
c,,(z-z0)",
Jz-z0J
<
r*
então 00
L
n=1 00
L
n=2
ncn(z-z0)"-1,
lz-z0I
n(n- l)c (z-z0r2, "
<
r*,
lz-z0I
<
r*
Logo, toda série de potências com raio de convergência não-nulo def . ine uma função analítica f(z) dentro do círculo de convergência, e a série de po tências é a série de Taylor de f(z):
597
Cálculo Avançado
Demonstração. Como na demonstração do Teorema 38 da Sec. 6-15, <>on
cluímos que a série das derivada�tem o mesmo raio de convergência. Seja g(z) sua soma: 00
g(z) Então, pelo Teorema de
f(z), isto é,
=
I nc.(z - z0r 1.
n=1
33, uma primitiva de g(z) é exatamente a soma da série
f'(z)
00
=
g(z )
I nc.(z-z0r1.
=
n=l
Agora se pode derivar quantas vezes se queira. De um modo geral,
P"1(z)
=
·
n !c. + (n + l) n(n - 1) · ·2c.+ (z - z0) + 1 ·
+ (n + 2)(n + 1)·
Fazendo z
=
Taylor:
z0, achamos: n !c,,
f(z) Teorema
=
=
I
· ·
3c.+2(z-z0)2 +
· · ·
j<•>(z0), de modo que a série é a série de
n=O
.r<•>(zo)
(z-
�o)".
n.
35. Se duas séries de potências 00
I
n=O
00
I
c.(z- z0)",
n=O
c.(z-z0r
têm raios de convergência não-nulos e têm a mesma soma onde ambas con vergem, então as séries coincidem, isto é, c. =e.,
n
=
o, 1,2, ...
. A demonstração é a mesma que para o Teorema 40 da Sec. 6-16. PROBLEMAS I. Determine o raio de convergência de cada uma das séries seguintes: (a)
I ::n�
(c)
n= r
I
=O
2"(z -1)"
n
00
(d)
(b) I nz" n=l
f nz:
u=1
2. Mostre que a sene do Prob. l(a) converge absolutamente para todo z
sobre o círculo de convergência enquanto que a série do Prob. l(b) diverge
em todo po
� do círculo de convergência.
3. Escreva a parte real e a parte imaginária da série do Prob. 1 (a) para J z J como série de Fourier.
598
=
1
Funções de Uma Variável Complexa 4. (a) Resolva a equação diferencial
dw dz pondo
w
=
"�º
"
c.z
-w
/
=O
/
j
e determinando os c
'e
ficientes
e"
de modo a sa-
tisfazer à equação.
(b) Resolva a equação diferencial
dw d2w (2z3- z2)--(6z2-2z)dz dz2
+
(6z-2)w
=O.
RESPOSTAS 1. (a) 1, 3.
I
n3
n=I
4. (a)
(b) 1,
cos n8
w
=
(c)
I
, +
z
(d)
oo.
n3
n=I
c0(1
!,
sen n8
+
·
·
·
+
z"
n!
+
·
·
·
,
)
9-19. TEOREMA DE CAUCHY EM ABERTOS MULTIPLAMENTE f(z) é analítica num aberto conexo D multiplamente conexo,
CONEXOS. Se
não se pode afirmar que
f
f(z) dz
=O
:
e
sobre todo caminho fechado simples C em D. Assim, se D é o aberto da Fig.
9-20, de conexão dupla, e
C é a curva C1, então a integral ao longo de C não
é, necessariamente, O. No entanto, introduzindo-se cortes, podemos raciocinar
como na Sec. 5-7 e concluir que
f
f(z) dz
=
f
f(z) dz;
(9-121)
e,
Figura 9-20. Teorema de Cauchy para aberto de conexão dupla
Fiimra 9-21. Teorema de Cauchy para aberto de conexão tripla
599
Cálculo Avançado isto é, a integral tem o mesmo valor ao longo de todos os caminhos que dão uma volta em torno do "buraco" no sentido positivo. Para nexão tripla, como na Fig.
um
aberto de co
9-21, tem-se "'
f
f (z)dz
=
e,
f
f(z)dz +
f
f(z)dz.
(9-122)
e,
C2
Isso pode ser escrito na forma.
f
f(z)dz +
-f
f
f(z)dz +
f(z)dz
=
O;
(9-122')
C3
Ci
isso diz que a integral ao longo da fronteira completa de uma certa parte de D vale
O. Mais geralmente, como na Sec. 5-7, tem-se o seguinte teorema: Teorema 36. (Teorema de Cauchy para abertos multiplamente conexos).
Seja f(z) analítica num aberto D e sejam C1, . . . , e. curvas simples fechadas em D que, juntas, constituem a fronteira B de uma região R contida em D. Então ,.,.
f!
(z)dz
=
O
,
onde o sentido de integração em B é tal que o ângulo da normal exterior com o vetor tangente para o sentido .fixado (nessa ordem) é de 90º.
9-20. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY. Seja agora D um aberto simplesmente conexo e seja z0 um ponto de D fixado. Se f (i) for analítica em D, a função
f(z) z-z0 deixará de ser analítica em z0• Logo,
f �;o
dz
e
em geral não será
O num caminho C que rodeie z0. Para calcular esse valor,
raciocinamos que, se C for um círculo muito pequeno, de raio R, centrado em
z0, então, por continuidade, f(z) tem aproximadamente o valor constante f (z0) sobre o caminho. Isso sugere que dz --
z-z0
e
600
lz-zol =R
= f(z0) 2ni, •
Funções de Uma Variável Complexa pois calcula-se
f
dz _ = z-z0 __
lz-zol =R
h� R
I
·
iO
Re'
0
d()= i
f
2n
0
d()= 2ni,
com a substituição z - z0 = Rern. A confirmação de que isso é verdade está no conteúdo do seguinte resultado fundamental: Teorema 37. (Fórmula integral de Cauchy). Seja f(z) analítica num aberto
D. Seja C uma curva simples fechada em D dentro da qual f(z) é analítica, e seja
Zo
um ponto dentro de e. Então f(z0)
=
l f(z) dz. � 2m J z-z0
(9-123)
e
Demonstração. Não se exige que D seja simplesmente conexo, mas como
f é analítica dentro de C, o ·teorema diz respeito apenas a uma parte simples-
Figura 9-22. Fórmula integral de Cauchy
mente conexa de D, como se vê na Fig. 9-22. Raciocinamos como antes para concluir que
l f(z) J z-z0 dz = e
z-z0 lz-zoi=R
Resta mostrar que a integral à direita vale de fato f(z0) 2ni. Mas, como ·
f(z0) = const.,
f (z ) l l� J o dz. = f (z ) J o
Z-Zo
=
Z-Zo
.f(z0) 2ni, •
onde integramos no círculo 1 z- z01 = R. Logo, nesse mesmo caminho,
(z) l J _.f
Z-Zo
dz - f(z0) 2ni = ·
J: .f(z)- f(zo) dz. J Z-Zo
(9-124)
601
C<ílculo Avançado
R sobre o caminho, e como f(z) é contínua em z0, lf(z) - f(z0)j < e para R <ó, para cada e > O dado. Logo, pelo Teorema 19,
lz-z0I
Como
=
l .J j
f(z)-f(zo) d
z-z0
1
z
<
!.___ 2nR R ·
=
2ne.
Assim, o valor absoluto da integral pode ser tomado tão pequeno quanto se
R suficientemente pequeno. Mas a integral tem o mesmo R. Logo, a integral vale O para todo R. Portanto o primeiro membro de (9-124) é O e conclui-se (9-123). A fórmula integral (9-123) é notável por exprimir os valores da função .f (z) em pontos z0 dentro da curva C em termos dos valores sobre C apenas. Se tomarmos C como um círculo z z0 + Re;o, então (9-123) reduz-se a queira escolhendo
valor para todas as escolhas de
=
(9-125) Logo (conforme Sec. 4-2), o valor de uma.função analítica no centro de um círculo é igual à média de seus valores sobre a circunferência. Como o teorema da integral de Cauchy, a fórmula integral de Cauchy pode ser estendida a abertos multiplamente conexos. Sob as hipóteses do Teorema
36, ·tem-se
f(zo )
=
�
2m
f
f(z)
Z-Zo
dz
=
� .J 2m j
f . (z) dz +
Z-Zo
c,
B
1 f(z) dz + j Z-Zo
·
· ·
,
(9-126)
e,
onde z0 é qualquer ponto dentro da região R limitada por C 1 (fronteira exterior), C2,
•
.
.
, C". A prova fica como exercício (l>rob. 6, em seguida à Sec. 9-21).
9-21. EXPANSÃO EM SÉRIE DE POTÊNCIAS DE UMA FUNÇÃO 9-18 mostrou-se que toda série de potências
ANALÍTICA GERAL. Na Sec.
cujo raio de convergência não é zero representa uma função analítica. Agora mostramos que todas as funções analíticas podem ser obtidas dessa maneira. Observe-se que, se a função
f (z) é analítica num aberto D que não é um disco, f(z) por uma só série de potências, pois uma
não podemos esperar representar
série de potências converge num disco. No entanto podemos mostrar que, em
D0 contido em D, existe uma série de potências que converge em D0 z em D0 é .f(z). Assim, várias (talvez infinitas) séries de potências serão necessárias para representar f(z) em D todo.
todo disco
e cuja soma em cada
38. Seja f(z) analítica no aberto D. Seja z0 em D e seja R o raio do maior círculo centrado em z0 cujo interior esteja contido em D. Então existe uma série de potências Teorema
,/ -
.
I c.(z-z0)" n=O
602
Funções de Uma Variável Complexa
que converge a f (z) para cn
=
lz-z0I
o /<"'(z ) n!
=
<
R. Além dis °, f( z
__!.___ J:
J
j
2niJ(z - zor+l e
onde e é um caminho fechado em D tal que lítica dentro de e.
dz,
(9-127)
,
'
Zo , ca dentro de
1 '
e
e f(z) é ana-
Demonstração. Para simplificar, tomemos z0 O. O caso geral é obtido depois, com a substituição z' z - z0• Seja 1z1 � R o maior disco centrado na origem cujo interior esteja contido em D; o raio R é então positivo ou + oo (nesse caso, D é o plano todo). Seja z1 um ponto do disco aberto, de modo que lz11 < R. Escolhamos R?. de modo que lz11 < R2 < R; ver Fig. . 9-23. Então =
=
Figura 9-23. Série de Taylor de uma função analítica
f(z) é analítica num aberto que contém o círculo Logo, pela fórmula integral de Cauchy, f(z1)
1
=
-.
2m
f
C2
:
1z1
=
R2 mais seu interior.
f( z ) --dz. z-z1
C2
Agora, o fator 1/(z -z1) pode ser desenvolvido em série geométrica:
A série pode ser considerada como série de potências em 1/z, para z1 fixado; ;onverge para (z1/z) < 1 e converge uniformemente para lz1/zl � lz1l/R2 < 1. víultiplican�r f(z) vem
como f(z) é contínua para 1z1 R2, a série permanece uniformemente con vergente sobre C2; conforme Teorema 34 da Sec. 6-14. Logo, pode-se integrar =
603
Cálculo Avançado termo a termo sobre C2 (Teorema 20, Sec. 9- 10 ) :
__1__ 2ni
l f(z) dz j z-z1
=
1
_ _
2ni
C2
l f(z) dz + 2 l f(z) dz + . . . j z 2ni j z2
C2
+
..:'.!_ 2ni
C2
J f(z) dz + ... j z•+I C2
""
O primeiro membro vale
f(z1), pela fórmula integral. Logo, 00
f(z1)=L c.z;,
e
n=O
= n
l 2ni
_ _
_l J
f(z) d . z
Zn+I
C2
O caminho C2 pode ser substituído por qualquer caminho C como descrito no teorema, pois
f(z) é analítica em D exceto em
z = z0 =O.
Pelo Teorema 34, a série obtida é a série de Taylor de e
n
=
JM(zo) '
f, de modo que
z0=O.
---
n!
O teorema está pois completamente demonstrado. As conseqüências desse teorema vão longe. Primeiro, ele não só garante que toda função analítica é representável como série de potências, mas garante que a série converge para a função em todo disco contido no aberto em que a função está definida. Assim, sem mais averiguações, concluímos imediatamente que
z2 z +- +
e'
=
1 +
sen z
=
z-- +- +
=
1--
cos
z
2!
z3
z5.
3!
5!
z2
2!
+ ... +
z"
· · ·
+
-
· · ·
+
(-1)•+1
n!
z2n
+
(-1)" -(2n ) !
· · ·
' z2n+1
(2n + 1) !
+ ...
+
· · ·
,
'
z. Muitas outras expansões conhecidas podem ser obtidas assim. f( z) é dita analítica em um aberto D se f(z) tem uma derivada f'(z) contínua em D (Sec. 9-11 acima). Pelo Teorema 38, f(z) então deve ter derivadas de todas as ordens em cada ponto de D. Em para todo
Deve-se lembrar que uma função
particular, a derivada de uma função analítica é ela própria analítica: Teorema 39. Se
f!"'(z), ...
f(z) é
analítica num aberto D, então
(,
n!
.( "(zo)=2--; 1tl
604
f'(z), f"(z), . .. ,
existem e são analíticas em D. Ainda mais, para cada n,
f e
f(z) dz, (Z - z0)n+I
(9-128)
Funções de Uma Variável Complexa onde C é qualquer caminho
fechado
simples em D rodeando
z0
e, no interior
.f é analítica.
do qual,
Como se indicou na Sec. 9-11, pode-se definir analiticidade apenas exi
f'(z)
gindo a existência de
e não a continuidade. O teorema da integral de
Cauchy e sua conseqüência, a fórmula integral, podem ser provados sem uso de continuidade, de modo que vale ainda o Teorema 39. Em outras palavras, a simples existência da derivada .f'(z) garante a continuidade de
.f'(z), .f"(z), ...
e a convergência da série de Taylor. Para detalhes, ver Volume I do livro de Knopp mencionado no fim do capítulo. Se na prova do Teorema 38 expandirmos inhmta,
mas
na
soma 1
1
z- z1
--
=
[
1/(z-z1) não
finita
z
-
1
z" z"
z
+ __!_ + ... + __!_ +
z
1 z"+ ! z"(z-z1)
J
__ __
e procedermos como antes, concluiremos que
.f(z1)
=
f(O)
+
zJ'(O)
+ ··· +
z�
[<"'(O) ·
em série geométrica
-1 n.
+ R.,
(9-129)
onde (9-130)
Essa é a outra forma de Fórmula de Taylor com resto (Sec. 6-17). Se a série está centrada em
f(zi)
=
f(z0)
+
z0,
tem-se a fórmula geral
(z1-z0).f'(z0)
+ ··· +
+
P"'(zo) (z1 -z0)"--1 n.
(z1 - zo )"+ 2ni
1t
+
(9-131)
.f(z) dz. (z-z0)"+ 1(z-z0)
C2
O caminho C2 pode ser qualquer caminho fechado simples em D rodeando
z0
e
z1,
dentro do qual
f(z)
seja analítica.
Cír culo de convergência da sér ie de Taylor. O Teorema 38 garante a con
vergência da série de Taylor de
f(z)
em volta de cada
z0
em D no maior disco
Figura 9-24. Prolongamento analítico
605
Cálculo Avançado
1 z- z01
<
9-23.
R em D, como se vê na Fig.
No entanto isso não significa que
r* da série, pois r* pode ser maior que R, como se sugere na Fig. 9-2.4 Quando isso acontece, a função f(z) pode ser prolongada R seja o raio de convergência um
a
(O
<
f(z) Log z z = -1 + i, a série tem R =1 [Prob. 5(e) abaixo].
aberto maior, conservando a analíticidade. Por exemplo, se (}
<
n)
=
é expandida em série de Taylor no ponto
.j2,
raio de convergência
ao passo que
O processo de prolongar a função sugerido aqui chama-se
analítico. É discutido na Sec.
9-38.
protongamento
PROBLEMAS 1. Calcule por meio da fórmula integral de Cauchy:
1 2m
(a)-.
(b)
(c)
2.
f --dz z- 2 e•
+ l 22 � 2m J z
1 -. 2m
4
dz
f --dz z sen z
,
sobre o circulo:
2 1 l -- + - - dz j z + 1 z-·3
(e)
1 1-2-dz j z -1
(f)
j (z2 + l)(z2 +
)
(
)4
dz
lzl =
lzl =
sobre o círculo:
1;
;4
lzl = 4;
lzl = 2;
sobre o círculo;
1
sobre o círculo:
lzl = 2-. 2
e• para z = O com a média de seus valores z = i, z = -1, z = -i. Interprete em termos de (9-125). 2 que, se w = f(z) = z , então
(a) Compare o valor da função para
z=
(b) Mostre
f(zo)
1,
.f(z0 + Az) + f(z0 + i Az) + f(z0- Az) + f(z0 - i Az) � --=� � -----4-= - ------
para todo
z0
correta para
3.
sobre o círculo:
(d)
l
lz-21=1;
sobre o círculo:
Az. Interprete em = z3? Para w = z4?
e todo w
termos de
(9-125).
A fórmula é
Pode-se mostrar que a integral
f
sec
z dz
e
é igual a -2ni se C é um círculo de raio 1, no interior do qual só cai um dos pontos
606
tn
+
..
2nn (n = o, ±1, . ),
e é igual a
2ni se,
no interior de
e,
Funções de Uma Variável Complexa
ín + 2nn.
cai só um dos pontos
Calcule essa integral para as seguintes
escolhas de e:
jzj = 1,
(a)
(b)
lzl
=
2,
lzl = 10,
(c)
Descreva um caminho sobre o qual a integral vale
4.
l es dz j '
sobre o círculo:
z
f 2dz z-1n ) f :2dz sen z
(b)
1
(
(c)
f
1 2 dz z (z-3) -
lzl
lOni.
1;
=
lzl
sobre o círculo:
sobre o círculo:
(d)
jz-21=4.
(9-128):
Calcule por (a)
(d)
lzl
2;
1;
=
sobre o círculo:
=
. lzl =2.
5. Desenvolva em série de Taylor no ponto indicado; determine o raio de convergência r* e o raio R do maior disco no qual a série converge para a função: (a) e' em z
1 z
(b)- em z
=
=
(e) Log z em
(f)
Jz
(g)
f(z)
=
=
1 (c) - em
1
z-2 1 (d) zz-2 ( )
1
--
z =-1 + exp(tiO ),
Jr
�. l -z J z1
z
em
=
z
1
=
1
i; O < 8 <
lzl
2n,
< 1,
em
em z
=
1 + i;
z =O.
lz11= 1
6. Prove (9-126) sob as hipóteses do Teorema
36.
7. Prove as· desigualdades de Cauchy
1 f(n)(zo)I se
f(z)
;;;:;
Mn'. " R
(n
= O, 1, ...),
é analítica num aberto que contenha o disco fechado
1z-z01
;;;:; R
� sobre o círculo 1 z -Zo1 = R. [Sugestão: tome e R em (9 - 128) e avalie a integral como na círculo fz -z01
e M é o máximo de 1 .f( como sendo o
=
prova da fórmula integral de Cauchy.]
8.
Uma função .f(z) que é analítica no plano todo chama-se uma função
inteira. Exemplos são os polinômios, e', cos z, sen z. Prove o Teorema de
Liouville: se f ( z) é uma função inteira e é constante, então
f(z)
é constante.
1 f(z)j
;;;:; M para todo z, onde M
[Sugestão: tome n
dades de Cauchy do Prob. 7, para mostrar que
=
f'(z0) =O
1 nas desigual para todo
z0 .] 607
Cálculo Avançado
RESPOSTAS 1. (a) e2, (c) O, (d ) 6ni, (e ) O, , (f) O. (b) 4, 2. (a) a média é 1,04. (c) O, 3. (a) O, (b) O, (d ) 2ni. (c) O, (d ) -i ni. (b) O, 4. (a) /2 ni, 5.
(a)
e( z l)"' n=O n!
(c)
- I (z-1)",
I
00
n=O
R = r*
=
R = r*
oo;
(b)
00
R = r* = 1;
I (-t)"(z-1)",
n=O
=
1;
(--) ( )[ -
R = r* = 1;�
(dJ - I (z-1)2", n=O
3 . 1 + i " (z + 1-i )" R =1 r* =fi; 2 + - nz - � ,,_ L.. (e) 1og vr:> ' 2 n 4 n=l 1-i 1 (i-1)"·1· 3·5···(2n- 3) (z-1-i)" , tf) � exp - ni 1 + (z-1-i)- I 1 4 n. 8 4 n=2
R
=
1,
r* =fi;
(g) 2ni,
•
J
00
11
R = 1,
·
r* = oo.
9-22. PROPRIEDADES DAS PARTES REAL E IMAGINÁRIA DAS FUNÇÕES ANALÍTICAS. FÓRMULA INTEGRAL DE POISSON. As pro priedades das funções analíticas provadas acima levam a propriedades de duas funções de duas variáveis reais: u = u (x, y) = Re[.f( z )],
v = v(x,
y) = Im [.f(z) ]
Vimos que a analiticidade de .f implica na existência e continuidade das de rivadas de todas as ordens para .f(z). Como
-
ôv ôu ôu ôv .f'(z) = + i- =--i-, a x ôy ôy ôx ·
.f"(z) =
a2 u a2 v a2 v a2 u + i- = ---i-ôx2 ôx2 ôyôx ôyôx
=
···,
e assim por diante , concluímos que u e v têm deri vadas parciais contínuas de ·todas as ordens.
Agora as equações de Cauchy-Riemann (9-132)
podem ser derivadas, dando Ô2u
ôx2
=
Ô2
V
' ôxôy
ô2 u ô2 v =ôy2 ôyôx.
Somando estas, obtém-se (9-133)
608
Funções de Uma. Variável Complexa
pois a2·v ax ay
a2 V =
ay ax
.
Analogamente prova-se: (9-134) Teorema 40. As partes real e imaginária de uma função analítica são funções harmônicas de x e y; isto é, se w = f (z) é analítica no aberto D, então u Re[f(z)] e v Im[f(z)] são harmônicas em D. =
=
Seu e v são funções harmônicas ligadas por (9-132) num aberto, então v é chamada de uma "harmônica conjugada" deu nesse aberto, e o par u, v cha ma-se um par de funções harmônicas conjugadas. Assim a parte real e a parte imaginária de uma função analítica formam um par de funções harmônicas conjugadas. Reciprocamente, pelo Teorema 22 (Sec. 9-11), se u, v formam um par de funções harmônicas conjugadas, então elas podem ser interpretadas como partes real e imaginária de uma função analítica u + iv f (z). Deve·-se observar que as equações de Cauchy-Riemann não são simétricas, de modo que, se v é conjugada de u, u é conjugada de -v. Se só a função u = Re[f(z)] é conhecida, pode-se obter v, com base em (9-132), por uma integral curvilínea: =
V
=
f[ '
•1
-
au ay
au
dx +
ax
J
dy
+
const.,
(9-135)
pois, por (9-132), essa integral é simplesmente J dv: dv
=
av av -dx + -dy ay ax
au
= --dx ay
au + -dy. ax
(9-136)
Dada dv, v está determinada a menos de constante aditiva, de modo que (9-135) dá todas as soluções. Se u é dada apenas como uma função harmônica num aberto D simples mente conexo, então (9-135) pode ser usada para construir uma harmônica conjugada v tal que u + iv = f(z) seja analítica em D, pois essa integral é inde pendente do caminho por (9-133) e portanto define uma função v. Como (9-136) deve então valer, resultam as equações de Cauchy-Riemann e v é conjugada de u ..Se D não é simplesmente conexo, a integral pode depender do caminho, e então resulta uma função multivalente; isso é exemplificado pela função logz, para a qual u = ! log (;2-+ y2) é harmônica exceto na origem. Tais fun ções' multivalentes não são inúteis, pois podem ser construídas a partir de ramos analíticos, como se fez com logz na Sec. 9-16. A função u pode ser obtida de v por uma fórmula semelhante
fa z
u
=
z1
av
Y
dx 1
av ax
dy +
const.
Cálculo Avançado A fórmula integral de Cauchy pode ser aplicada para obter relações valiosas para funções harmônicas:
$eja contendo o círculo interior do círculo, Teorema 41.
u + iv .f(z) uma função analítica num aberto R mais seu interior. Então, para z0 = r0 ewº .no
w =
1z1
=
=
(9-137) \
e analogamente (9-138)
Ainda mais,
1
v(z0) = 2
n
f2n 0
2Rr0 sen(e0 - e)
R2 + r02
_
2Rr0 cos
(O0
_
.0 ) u(Re' ) de +
e
v(O),
(9-139)
e (9-137) e (9-139) são obtidas tomando partes reais e imaginárias na equação: 1 2 • z + z0 -- u (z) de +
1
f (z0) = -
0 z - z0
2n
iv(O),
(9-140)-
fórmula integral de Poisson para a função har u. Isso será melhor estudado na Sec. 9-32. Ela exprime os valores de u
A Eq. (9-137) chama-se mônica
dentro do círculo em termos dos valores na fronteira, como a fórmula de Cauchy faz com urna função analítica. A Eq. (9-138) apenas reformula (9-137) para Mas(9-139) exprime
v
v.
diretamente em termos dos valores na fronteira da função
conjugada.
Demonstração do Teorema 41. A fórmula integral de Cauchy para o círculo
C:jzj=Rdá
1
f (z0) = -. 2m
Agora o ponto
z1 =
t z-z0 c
f (z) -- dz.
(9-141)
R2/i0 está fora de C, como se vê na Fig. 9-25 e, portanto,
.f(z)
é analítica dentro de C. Portanto O
=
l f (z) dz .J: f (z) dz. j z-z1 j R2 =
c
610
z-Zo
(9-142)
Funções de Uma Variável Complexa
Figura 9-25. Fórmula integral de Poisson
Se fizermos
z = Reie em (9-141), de modo que dz = i Reiede = iz de, acharemos 1
12n -Z
.f(z0)= 2 n 0
z-z0
(u+ iv) de.
(9-143)
Fazendo a mesma substituição em (9-142), vem O=
1 2n
J.2"
z
�(u+ iv)de.
o
(9-144)
z- Zo
Tomamos agora conjugados em (9-144); usando O=
z ·
z
=
R
- 12• 1
2n
-z 0 --(u-iv)de. 0 z-z0
2
acha!Ilos (9-145)
E subtraindo (9-145) de (9-143), obtemos a equação
f(z0)
. - l2n
- 12• 1
=
2n
1 z+z0 -- u(z)de+ z z0 2n 0
0
( ) de.
v z
(9-146)
Tomando partes reais, vem imediatamente
u(z0)
- f2n (--) 1
=
2n
0
Re
z + z0
z - z0
u(z)de,
Isso dá a fórmula integral desejada (9-137). Como v é a parte real da função analítica
v- iu, vale a fórmula análoga (9-138) para v. Se fizermos z0= O em
(9-138), vem 1 v(O) /-2; 2n
12" ·
0
v(Rew) de.
(9-147)
Logo, (9-146) reduz-se a (9-140); tomando partes imaginárias em (9-140), acha mos (9-139). O teorema está, pois, provado. A Eq. (9-147) tem interesse em si. Ela diz que, tal como para funções ana líticas, o valor de uma função harmônica no centro de um círculo é igual à média dos valores
na
circunferência; conforme (9-125).
611
Cálculo Avançado
É muito importante o fato de a fórmula de Poisson (9-137) ser verdadeira
ainda para uma função arbitrária u que é contínua para lzl � R e harmônica
apenas para lzl
<
R (Prob. 9 abaixo). Na verdade, se h(8) é uma função cà
tínua por partes de 8 para O � 8 � 2n e h(O) = h(2n), a equação
. u(r 0e'80)
=
1 f2n
-
2n
Rz-rz0
0 R 2 +r�- 2Rr0cos (80- 8)
define uma função harmônica u na região 1 z 1
<
h(8) d8
(9-148)
R tendo na fronteira os valores
h(8); isto é, se pusermos u(R e;8) = h(O), então u é harmônica para 1 z 1
<
R
e
contínua para 1 z 1 � R , exceto onde h é descontínua. Essa questão será melhor estudada na Sec. 9-33.
Do fato de a função analítica .f(z) poder ser desenvolvida em série de
Taylor, conclui-se que u(x, y) = Re[.f(z)]
e
v(x, y) = Im[.f(z)], ou de modo
geral, toda função harmônica pode ser expandida em série de Taylor em x e y; a série convergirá num disco, como para f(z). Assim, da expansão
z" z2 e•=t+z+-+···+-+··· ' 2
conclui-se que
u = ex cos y = Re(e")
=
·
n!
Re(x+ iy)" x2 - y2 1 + X + --- +... + +... 2!
n!
(9-149)
Se usarmos coordenadas polares, teremos r"(cos n8 + i sen n8) ' e = 1 +r(cos 8 + i sen 8) +... + +... n!
Logo,
u = e'
cos
8 cós r (
sen (}) = 1 + r cos (} +···+
r" cos n8
n!
+· ··
(9-150)
Isso representa u como série de Fourier em (} com coeficientes que dependem der.
As equações de Cauchy-Riemann já apareceram de modo um pouco dife rente na teoria dos campos de vetores, isto é, como condição para que um campo de vetores no plano tenha divergência O e rotacional O. Assim, seja V = ui - vj
(onde i, j e
k
são os vetores unitários usuais). Então,
.
ou
ov
d1v V=---,
ox
oy
rot V=(-:� -
��)k.
Logo, as condições: div V= O e rot V= O reduzem-se a
ou
ax
=
av
ay,
au
oy
av
àx
'
estas são as equações de Cauchy-Riemann. Essa relação com a teoria dos campos de vetores é básica para aplicações em hidrodinâmica e eletromag netismo; será considerada de novo adiante.
612
Funções de Uma Variável Complexa
\ PROBLEMAS 1.
Mostre que a inclinação da tangente de uma curva: u(x, y) = const., é dada por
--
au;ax ' y =au/ay
(conforme Sec. 2-8). Daí, conclua que, se u e v formam um par de funções harmônicas conjugadas, então as curvas v = const. são ortogonais às curvas u = const. Há pontos excepcionais? 2. Esboce as curvas de nível de u Re[f(z)] e v Im[f(z)] para =
(a) f(z) (b) f(z)
=
=
=
z2 z3
(d) f(z) (e) f(z)
(c) f (z) = 3iz-1 -i
=
=
log z (qualquer ramo)
ez 1
(f) f(z) = z
3. (a) Desenvolva em série de potências de x e y:
u
=
1-x (1-x)2 + y2
=
Re
( ) 1
1-z
,
(b) Escreva as séries (a) em coordenadas polares. 4.
(a) Desenvolva y = ex cos x numa série de Taylor na variável real x.
[Sugestão: use (9-149).] (b) Desenvolva y = ecosx cos(sen x) em série de Fourier. (9-1 50).]
[Sugestão: use
5. Mo�tre que as funções seguintes são harmônicas, e obtenha as conjugadas por integração sobre caminhos: (a) u = 5x-3y 6.
(b) u = 2xy
y (c) u = -2 +-y2 X
(d) ex(x cos y- y sen y).
Mostre que, se u(x, y) é harmônica no aberto D, então as funções
au ax
au '
'
ay
o2u ox2
,
a2u ' . ax ay
a2u 8y2
'
83u 8x3
,
são todas harmônicas em D. Se v é conjugada de u, que função é conjugada de 82u/8x2? 7. Sejam· u(x, y) e v(x, y) um par de funções \ harmônicas conjugadas num aberto D e seja u + iv = f(z). J (a) Mostre que
J
a(u, v) =
a(x, y)
=
2
1 f'(z)i .
(b) Mostre que, se f'(z0) # O, então as equações
u = u(x, y),
v = v(x, y)
613
Cálculo Avançado
po-'1em ser resolvidas para x e y em termos de u e v numa vizinhança de (x0 , y0), de modo que as equações definem uma aplicação biunívoca dessa vizinhança no plano uv (conforme Sec. 2-8). (c) Mostre que a aplicação inversa de (b)
x
=
x (u, v),
y
=
y(u, v)
satisfaz às equações de Cauchy-Riemann
ox ou
oy =
ox
ov '
ov
de modo que a função inversa z
=
oy ou
z(w) é analítica numa vizinhança
do ponto fixado. (d) Mostre que a aplicação inversa z(w) de (b) e (c) satisfaz à condição
dz
dw
dw/dz
8. Seja
=
f(z)
analítica no aberto D, do plano z, com valores em D"". (a) Mostre que
,
=
(b) Mostre que 9.
).
função harmônica de
x e y em D.,.
,
Integrais que dependem de um parâmetro. Seja g(z1, z2) g(x1 + iy1 x2 + iy2) uma função de duas variáveis complexas z1, z2 . A continuidade para tais funções é definida exatamente como para variáveis reais; pode também ser definida exigindo-se que u Re[g] e v Im[g] sejam con tínuas em x1, y1, x2, y2 . Suponhamos g definida para z1 sobre uma curva C do plano z 1 e z2 num aberto D do plano z2, e suponhamos g contínua nas duas variáveis. Ainda mais, suponhamos g analítica em z2 para cada z1, e suponhamos a derivada og/àz2 contínua nas duas variáveis. Então as integrais =
=
F(z2)
=
=
f
g(z" z2) dzp
e
são bem definidas. Além disso, pode-se aplicar a regra de Leibnitz (Sec. 4-12): (a)
-f d
g(zp z2)dz1
dz2
=
J
og -(z1, z 2) d z 1 ;' uz2
e
e
. pois a integral curvilínea pode ser escrita em termos de duas integrais curvilíneas reais e, então, usando um parâmetro t, em termos de duas
integrais reais em relação a t. Pela regra de Leibnitz, as equações de Cauchy -Riemann são satisfeitas por u Re[F(z2)] e v Im[F(z2)], de modo que =
614
=
Funções de Uma Variável Complexa
F(z2) é analítica. Como F'(z2 ) au/ax2+ i iJv/ax2, (a) reduz-se a duas identidades em variáveis reais. (b) Aplique a regra (a) para provar as fórmulas (9-128) a partir de (9-123). (c) Prove que, se F(z) é contínua no caminho C, então F(z) dz z-zo =
·
f
e
define uma· função analítica f(z0) em todo aberto disjunto de C. As funções f obtidas em abertos conexos diferentes não precisam ser re lacionadas, como mostra este exemplo:
l _1 dz j .z-z0
lzl
=
2n {' i, 0,
1
=
(d) Seja h(B) contínua para O � (] � 2n e seja h(O) 2n z+ Zo f(z0) = }_ h(B) d(], 2n 0 z - z0
f
é
<
=
h(2n) . Prove que
R e, portanto, que 21' 2 R2 -ro h((J)d(J ' 0 R2+t�-2Rr0 cos(B0-B)
f }_
analítica para 1z01 u(z0)
=
2n
são harmônicas para 1z01 < R. (e) Suponha -que a função h((J) da parte d tem derivada contínua. Mos tre, por integração por partes, que v(z0)
=
1
-1t
f2" O
1 1 h'((J) d(], logI Z-Zo
z
-
=
Re;6•
Isso é uma representação da função harmônica v como potencial lo garítmico de uma distribuição de massas no círculo 1z1 = R.
3. (a) u
v
=
=
RESPOSTAS
2
1+ x+ (x - y2) + (x3 - 3xy2)+ + n( n-1) _2 2 n (n-l) (n-2) (n-3) _4 4 x" y + + x" - --- x" y +
[
·
[
+ nx •.
4!
2!
y+2xy+(3x2 y- y3)+ 1 y-
· ·
· · ·
+
n(n-; (n - 2) •-3 3 x Y + .. ,
-]
J
· · ·
+
· · ·
'
2 + . .. ; x + yz .< 1; 615
Cálculo Avançado
(b)
u =
1
r
+
cos (} + · ··+r" cos nfJ + · · ·,
v
=
1 + r sen (}
+ ··
·+
+ r" sen nfJ + · · · . 4. (a)
5.
(a) (c)
1
+
x +· ·
+
--
cosnx -
n 1.
(j"2x)"
·
+ -;y- cos
+ ·· .
v =
9-23.
+y
1
+ ··"
nn
(b)
1
+
COS X
As duas séries convergem para todo
·
v = 3x + 5y +const., X -2 2 X
(4 )
(b)
v =
y
2
- x2
·
· ·+
x.
+ const.,
(d) ex(x sen y +y cos
+const.,
+
y).
SÉRIES DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES POSITIVOS E
NEGATIVOS - DESENVOLVIMENTO DE LAURENT. Já mostramos que
l:a (z - z0)" com raio de convergência não-nulo re "
toda série de potências
presenta uma função analítica e que toda função analítica pode ser definida por tais séries. Assim não parece necessário procurar outras expressões explí citas para funções analíticas. No entanto as séries de potências representam a função somente em discos e portanto não são cômodas para a representação em domínios mais complicados. Portanto é útil considerar outros tipos de representações. Uma série da forma
--"b- = b +�+···+--·b-+··· (z-z0)" n=o(z-z0)" O z-z0
f
(9-151)
representará também uma função analítica num aberto em que seja convergente, porque a substituição
reduz essa série a uma série comum de potências:
Se essa série converge para
1z1 I
* < r ,
então sua soma é uma função analítica
f(z1); logo, a série (9-151) converge, pois lz-z0I
>r
i
=
1 r
*
(9-152)
para a função analítica
g(z) O valor
z1
=
f
(-1 ) z-z0
·
z = oo e, portanto, podemos tam g(z) é analítica no oo e g( oo) = b0• Isso será justificado mais
O corresponde, como limite, a
bém dizer que
completamente na Sec.
616
=
9-25.
Funções de Uma Variável Complexa O aberto de convergência da série (9-151) é definido em (9-152), isto é,
é o exterior de um círculo. Pode acontecer que rj verge para todo z, exceto z0 ; se rj z
= oo,
=
ro,
=
O; nesse caso, a série con
a série diverge para todo z (exceto
como acima).
Se juntarmos a uma série (9-151) uma série de potências positivas de z-z0,
f
n=O convergindo para
an(z-zo)" =ªo+ a1(Z-Zo) + ... ,
1 z - z0 1
<
� L..
r�r,
obtemos uma soma
b"
+ f L.. an(z - z0)". n=O
. --,,
n=o(Z-.::oJ
(9-153)
Se rT < ri a soma converge e representa uma função analítica f(z) em uma
coroa:
como se vê na Fig. 9-26; cada série tem uma soma que é analítica nesse aberto, de modo que a soma das duas é analítica aí. Mudando os índices, podemos escrever essa soma numa forma mais compacta:
L 00
f(z )
=
n=
a"(z - z0)",
(9-154)
- co
embora isso deva ser sempre interpretado como soma de duas séries como em (9-153).
Figura 9-26. Teorema de Laurent
Dessa maneira, construímos uma nova classe de funções analíticas; cada uma definida numa coroa. Toda função analítica num tal aberto pode ser obtida desta maneira: Teorema 42. (Teorema de Laurent). Seja f(z) analítica na coroa R1 < <
jz-z0j
< R2. Então
817
Cálculo Avançado
onde
J .f(z) dz 2ni j (z-zo)"+l
a =� n
(9-155)
e
e C é qualquer curva simples fechada que separe I z z0 I = R1 de 1 z- z01 fy. série converge uniformemente para R 1
-
A
Demonstração. Para simplificar, tomemos z0 =O. Seja z1 qualquer ponto r1, ri de modo que R1
da coroa e escolhamos na Fig.
[(9-126)
9-26.
Aplicamos então a fórmula integral de Cauchy na forma geral
acima] à região limitada por
.f(z) 1
=
f(z) J: � j z -z 2m
1
C2
C1: lzl =r1 e Ci: dz-
� J: f(z) j 2m
z - z1
lzl =ri.
Portanto
dz.
(9-156)
e,
O primeiro têrmo pode ser substituído por uma série de potências
f(z) dz 2ni j z•+l ,
1 .J: a =-n
Cz
como na prova do Teorema 38 (Sec.
válida para
1z1 1
>
1z1
=
9-21).
Para o segundo, a expansão
r1 leva analogamente à série ,
ª• =
� f :.��
2 i
dz.
e,
Logo,
f(z1) =
L
n= -
GO
a.z�,
l a = __ 2ni n
J: f(z) dz ,
j z•+l
-
e
Ci ou C1 podem ser substituídos por qualquer C separando I z 1 = R1 de I z 1 = Ri, pois a função integrada é analítica na coroa. A con
os caminhos
vergência uniforme é provada como para séries de potências comuns (Teorema 31, Sec. 9-18). O teorema está provado.
O teorema de Laurent é ainda válido quando
R1 =O ou Ri = oo ou R1 =O, o desenvolvimento de Laurent representa uma função. f (z) analítica numa vizinhan ça reduzida de z0, isto é, num disco 1 z z01
-
618
Funções de Uma Variável Complexa
Observação. O teorema de Laurent não fornece um desenvolvimento de
Laurent para log z numa coroa: R 1
1z1
<
R2, pois log
<
z não
pode ser defi
nido como função analítica numa tal coroa.
9-24. SINGULARIDADES ISOLADAS DE UMA FUNÇÃO ANALÍ TICA. ZEROS E PÓLOS. Seja que
f (z)
definida e analítica no aberto D. Dizemos
tem uma singularidade isolada no ponto
f(z)
z0.
vizinhança de z0, exceto no próprio ponto
z0
se f (z) é analítica numa
O ponto
z0 é
então um ponto
de fronteira de D, que seria um ponto de fronteira isolado (ver Fig. 9-27).
Figura 9-27. Singularidade isolada
Uma vizinhança reduzida O anular em que se aplica reduzida,
.f(z)
o
<
1 z - z01
<
R é um caso especial do aberto
teorema de Laurent. Portanto, nessa vizinhança
tem uma representação em série de Laurent:
f (z)
+
00
an(z -z0)".
I
=
11=
-
00
A forma dessa série leva a uma classificação das singularidades isoladas em três tipos fundamentais:
Caso 1. Não aparecem potências negativas de
z --z 0
.
Nesse caso, a série
é uma série de Taylor e representa uma função analítica numa vizinhança de z0. Assim à singularidade pode ser removida pondo f(z0) a0. Chamai:rios =
isso de uma singularidade removível de
z2
sen z --=
z
em z
=
f(z). Como exemplo, temos z4
1--+-·" 3! 5!
O. Na prática, sempre se remove automaticamente a singularidade de
finindo \t função de modo conveniente.
affso II. Só aparece um número .finito de potências negativas de
z - z0.
Então, tem-se
f (z)
ª-N
. (�r.zolN =
---
+
"'
ª-1
+ -- +
z - zº
a 0 + .. . + a n z -z 0) +
(
n
' . '
(9-157)
com N � 1 e' à_J =!=-O. Dizemos, nesse caso, que.f(z) tem um pólo de ordem N em z0• Podemos .escrever ·
f(z)
1
=
N g(z),
(z-z0)
g(z)
;;=
ª-N
+
ª-N+1(z-z0) + ..
· ,
(9-158) 619
Cálculo Avançado
g(z) é analítica para 1 z-z01 < R2 e g(z0) # O. Reciprocamente, .f(z) representável na forma (9-158) tem um pólo de ordem N em z0 • Exemplos de pólos obtêm-se considerando funções racionais de z como
de modo que toda função
z-2 (z2 + l)(z
-
1)3
'
que tem pólos de ordem 1 em ± i e de ordem 3 em
z
l.
=
A função racional
ª-N ª-1 N + .., + (z-z0) z-z0 ---
chama-se
--
parte principal de f(z) no pólo
=
p(z)
Assim,
z0.
(9-159)
f(z)-p(z) é analítica em z0.
Caso III. Aparecem infinitas potências negativas de z-z0. Nesse caso, singularidade essencial em Zo. Como exemplo, a função
dizemos que f(z) tem ·
f(z)
=
e11z
=
1 +
. tem singularidade essencial em
z
1
z
-
=
l 1 1 l + -- + -- +· 2 ! z2 3 ! z3
·
·
'
o.
f(z) tem um limite finito em z0 e, portanto, !.f(z)I é limitado z0 ; isto é, existe uma constante M tal que ! .f (z) 1 < M para z suficientemente próximo de z0• No Caso II, No caso 1,
numa vizinhança de
lim
.
f(z)
=
oo
z-=o
e é costume atribuir o valor ::JJ a f(z) no pólo. Em uma singularidade essencial, f(z) tem uma singularidade muito complicada; na verdade, para cada número complexo e, pode-se achar uma seqüência z" convergindo a z0 tal que lim
n-oo
f(zn)
=
(ver Prob. 13 abaixo). Como os Casos 1, II
e;
e
III são mutuamente exclusivos,
! .f(z) 1 é limitada perto de z0, então z0 tem de ser singularidade removível e, se lim f(z) = oo em z0, z0 tem de ser um pólo . Seja f(z) analítica num ponto z0 e seja J(z0) = O, de modo que z0 é um zero de .f(z). A série de Taylor de f em z0 tem a forma N f(z) = aN(z-z0) + aN+1(z-z0t+1 + ···, resulta que, se
onde N f;; 1 e que, nesse caso,
aN #O, ou, então, .f(z) =O numa vizinhança de z0; veremos f(z) =O em D se D é aberto conexo. Se f(z) não é identicamente
O, então
Dizemos que
620
f(z) tem um zero de ordem N ou multiplicidade N em z0. Por
t'
Funções de Uma Variável Complexa exemplo, 1
-
cos z tem um zero de ordem 2 em z 2 z z4 1-cosz=---+··· 4 2
Se .f(z) tem um zero de ordem
=
O, pois
N. em z0, então
F(z) =
1 .f(z)
tem um pólo de ordem N em z0 e reciprocamente. Isso porque, se
.f tem um zero
de ordem N, então f(z) = (z - z0)N h(z) como acima, como h(z0) ::f. O. Resulta, pela continuidade, que h(z) #- O numa vizinhança de z0• Logo, g(z)
=
1 /h(z) é analítica nessa vizinhança e g(z0) # O.
Agora, nessa vizinhança menos z0, 1 g(z) · = F(z)=-= f (z) (z - z0)N h(z) (z - z0)N --
de modo que F tem um pólo em z0 . A recíproca é provada do mesmo modo. Resta considerar o caso em que .f
=
O nu;na vizinhança de z0, o que é
feito pelo teorema que segue. Teorema 43. Os zeros de uma função analítica num aberto conexo são isolados, a menos que a função seja identicamente nula; isto é, se f(z) é analítica no aberto D e f(z) não é identicamente nula, então, para cada z0 de f(z), existe uma vizinh ança reduzida de z0 em que f (z) # O. Demonsfração. Denotemos por E1, o conjunto dos pontos z1 em D para os quais f(z)
=
O numa vizinhança de z 1 ; denotemos por E2 o resto de D.
Suponhamos que nem E1 nem E2 seja igual a D. E1 é um conjunto aberto pela sua própria definição (Sec. 2-2). O conjunto E2 também é aberto. Seja z2 em E2• Se acima, .f(z)
=
.f(z2) = O, então, como
(z- z2)N h(z), onde h(z) é analítica em z2 e h(z2) #- O. Resulta da
continuidade de h(z) que h(z) #- O em alguma vizinhança de z2• Logo, f(z) ::f. O nessa vizinhança, exceto em z2, e todo ponto da vizinhança pertence a E2• Analogamente, se f(z2) #- O então f(z) # O numa vizinhança de z2 e todo ponto da vizinhança pertence a E2• Logo, E2 é aberto. Assim, D decompõe-se em dois conjuntos abertos E1, E2 sem pontos comuns. Como se viu na Sec. 2-2, isso é impossível. Logo, ou E1 é D todo, isto é, .f(z)
=
O, ou E2 é D todo e, então, .cada zero de f é isolado.
9-25. O o
oo
oo
COM�LFxO. Várias vezes introduzimos, entre os complexos,
em processos de passagem ao limite. Por exemplo, na discussão de pólos
na seção precedente. Em cada caso, o
oo
aparece de modo natural como po
sição-limite de um ponto que se afasta indefinidamente da origem. Podemos incorporar esse elemento no sistema de números complexos com regras espe-
621
Cálculo Avançado
ciais de cálculo:
z
z ± :x>
- =O (z t= oo), 00
z · oo
=
=
00
oo (z t= O),
Expressões como oo + oo, :x> -
:x>,
z
0 = XJ
oo (z t= oo),
-
z
:x; /
=
(z t= 0), (9-160)
oo (z t= oo).
oo não são definidas.
Dizemos que uma função f(z) é analítica numa vizinhança reduzida do
oo se f(z) é analítica para lzl >Ri para algum Ri. Nesse caso, vale um de oo e z0 =O e tem-se
senvolvimento de Laurent com R2
f(z) =
00
L
n=
-
=
a.z",
lzl >Ri.
oo
Se não aparecem potências positivas de :: aqui, dizemos que .f (z) tem uma s in
gularidade removível no .
:x>
e tornamos f analítica no oo definindo f( oo)
ª-i + · · · + ª-· + · · r (z) = a + o
z
·
�
1z1
,
=
a0;
>Ri ;
(9-161)
f(oo)=a0. Isso claramente equivale à afirmação de que, se fizermos
zi
=
l/z, então .f(z)
torna-se uma função de z1 com singularidade removível em z i = O.
Se aparece um número finito de potências positivas tem-se, para N � J,
=
(9-J 62)
ªN-
i + · · ", h(z) = aN + -z
z!Vh(z),
onde h(z) é analítica no oo e h(oo) = aN t= O. Nesse caso, dizemos que f(z) um pólo de ordem N no CX). O mesmo vale para.f(l/zi) em Zi O Além disso,
tem
=
lim f (z) = oo
.
(9-163)
z�oo
Se aparecem infinitas potências positivas, dizemos que f(z) tem uma singularidade essencial no oo. Se .f(z) é analítica no oo como em (9-161) e .f (oo) = a0 =O, então dizemos que f(z) tem um zero no oo. Se f não é identicamente zero, então algum ª-N i= O e
ª-N
ª-N-1
.f(z) = Ir + N+I + · ·-,
z f
= fig(z), z
z
g(z)
=
1z1
>Ri
ª-N-
1 + ª-N + -... z
(9-J 64)
Assim, g(z) é analítica no oo com g( oo) = ª-N t= O. Dizemos que .f(z) tem um zero de ordem (ou multiplicidade) N no oo. Podemos então mostrar que, se
622
Funções de lh:na Variável Complexa f(z) tem um zero de ordem N no no
oo
oo,
e reciprocamente.
O significado do elemento
oo
então 1/f (z) tem um pólo de ordem N
pode ser apresentado geometricamente
usando a projeção estereogrqfica, isto é, uma projeção do plano numa esfera tangente ao plano z = O, como se vê na Fig. 9-28.
t
Figura 9-28. Projeção estereográfica
1
-1'
X
, , I I
', t------/-
--T----y
/
z
A esfera é dada no espaço xyt pela equação xz
±-
de modo que o raio é
+y2 + (1-�)2 = 4'
(9-165)
(O, O, 1). Nz encontrará
N denota o "pólo norte" da esfera, o ponto
Se unirmos Na um ponto arbitrário
z do
plano xy, o segmento
a esfera em um outro ponto P, que é a projeção dez sobre a esfera. Por exemplo, os pontos do círculo círculo máximo: t
=
1z1 = 1 projetam-se no 1- Quando z afasta-se
"equador" da esfera, isto é, no indefinidamente da origem, P
aproxima-se de N como posição-limite. Assim, N corresponde ao Chama-se o plano
z
mais o
oo
de plano
z
oo.
estendido. Quando queremos
frisar que o oo não está incluído, falamos em plano dos
z .finitos.
PROBLEMAS
1.
Prove a validade do desenvolvimento binomial
m
m(m-1)
(1+zt=1 + -z +---z2 + ·· + 1 1 2
m(m-1)-··(m-n
·
·
para
lzl
<
1,
n!
+
1)
z"+· · ·
onde m é um número complexo arbitrário e foi escolhido o
valor principal de
(1 + zr.
[
,-�+)];
2. Desenvolva em série de Laurent ou Taylor como indicado: (a)
,�2
pam
l'I
<
2
S"g"tão
,12 - 2 (
623
Cálculo Avançado
1 (b) ,
(c) (d)
(e)
(z
parn 1
l)(z
_
_
2)
1
(z- 1)
--2
.
),
1
""''
1,1
1
1
�
[Sugestão:
[Sugestão:
> !.
)m para lzl <
z-a (
2
l
use frações par;iais.]
para l < lzl < 2;
para lzl <
\
< l
1 zI
para
1
l'"•"'ªº' ,�
> 2
1;1
(z- l)(z-2)
(ij (,
(g)
2
' '(t -+)
(h) --- para lzl > (z-ar
lal,
[
s""'"ªº'
lal,
use Prob. l.];
(,'1)'
m
= l, 2, ... ;
m
= l, 2, ...
�
''
'
1 -
( +r
l
3. Desenvolva em série de Laurent na singularidade isolada dada e diga
qual o tipo de singulari dade:
e•
(a) - em z =O; z (b)
1-cos z z
em z =O;
1
(c) --- em z = 1
[Sugestão:
z(z -1)2
ponha z1 = z-1 e
=O.];
Z1
[Sugestão:
(d) cosec z em z = O
cosec z =
1
--
sen z
=
desenvolva em
�--
z3 z--+··· 3!
Logo, há um pólo de primeira ordei:n em z = O. Agora ponha.cosec z = l = 3 z z--+··· 3!
a0,
-
ª-1
a0
+ .
a1 z + ···e
determine os coeficientes a_ 1,
. . . de modo que
(e) cosec z em z = n;
(f) cotg z em z =O. 624
z
+
[Sugestão: faça z1
= z-n e continue como em (d).]
Funções de Uma Variável Complexa 4. Seja .f (z) analítica para a
parte principal de
(a) Mostre que
1z1
f(z)-p1(z)-p2(z)-" ·-pk(z) é analítica para lzl
menos de singularidades removíveis, e pode ser representada por uma série de Taylor:
f(z)-p1(z)-"·-pk(z)=
00
L an z",
n=O
lzl
R1 o máximo de lz1l, ..·,lzkl• de modo que .f(z) é analítica para R1 < 1z1< R. Mostre que o desenvolvimento de Laurent de f(z) nessa
(b) Seja
coroa é dado por
f(z)
onde os termos
00
=
.
I a n z" ,
n=
R1
- oo
a0 + a1 z +
· são obtidos como na parte (a) e -1 P1(z) + ·· + Pk(z) = L anz" n= · ·
·
-oo
é a expansão de Laurent de
p1(z) + · · · + p/z) no
oo.
5. Desenvolva cosec z em série de Laurent para n < 1z1< 2n.
[Sugestão:
proceda como no Prob. 3(d) e (e) para achar as partes principais
p1(z),
p2(z), p3(z) em O, n, -n, respectivamente. Faça 1
---p1(z)-p2(z)-'p3(z)= Sen
Z
como no Prob. 4(a) .e determine
a0, a1 ,
. • .
00
I a.z"
n=O
de modo que isso seja uma
identidade; isso exige eliminar os denominadores e substituição de sen z por'
3 z - (z /3 !) +
· ·
· Agora proceda como no Prob. 4(b).]
6. Desenvolva em série de Laurent na coroa dada: (a) sec (b)
(c)
z,
1.2 n < lzl<' ln· 2 '
z -2 · z -1
e• z
-
7. Sejam
1
'
1 < lz-21< 3
[Sugestão:
faça
z1
-2.];
= z
lzl>L
A(z) e B(z) analíticas em z= z0; seja A(z0) # O e suponha que B(z) z0 de modo que
tem um zero de ordem N em
625
Cálculo Avançado
tem um pólo de ordem N em z0 Mostre que a parte principal de f (z) em . z0 é
e obtenha o termo seguinte explicitamente.
[Sugestão: faça
multiplique pelos denominadores e resolva para
e -N,
c _N +
1, ... ]
8. Ache as partes principais nos pontos indicados, usando o resultado do
Prob. 7: 7t
(a) cosec z em z = O
(c) tg z em z =
(b) cosec z em z = n
(d) 2 - em z = i z + 1
T
z
--
(e)
z 4 - l 2 em z ) (z
(f) tg2 z em z
=
i
7t =
- ·
.2
9. Seja f(z) uma função racional expressa em forma mais simples por
O
grau d de f(z) é definido como sendo o máximo entre
m
e n. Assumindo
o teorema fundamental da álgebra, mostre que f(z) tem precisamente d zeros e d pólos no plano z estendido, um pólo ou zero de ordem N sendo contado como N pólos ou zeros. 10. Ache todos os zeros e pólos no plano z estendido (conforme Prob. 9): (a) (b)
z2
-
1
z2 + 1 z - 1
z3 + 1
(c) (d)
(z - 1)2(z + 2)3 z 1
. (z-1)3
11. Suponha que z 1 = x1 + iy 1 projeta-se no ponto (x, y, t) sob a projeção estereográfica descrita acima. Mostre que X1 X� + Y � . Y1 t = Y = 1 + X21 + Y1z 1 + x21 + Y1z ' 1 + Xz1 + Y1z ' (b) um círculo no plano z1 projeta-se num círculo; (a) x =
(c) z1 projeta-se em (x, -y, t), -z1 projeta-se em (-x, -y, t), -1/f1 projeta-se no ponto diametralmente oposto a (x, y, t) .
. 12. Prove o teorema de Riemann: se f(z) é limitada numa vizinhança reduzida de uma singularidade isolada z0, então z0 é uma singularidade removível de f(z). [Sugestão: proceda como no Prob. 7 seguinte à Sec. 9-21, usando (9-155) para mostrar que ª" =O para n
626
Funções de Uma Variável Complexa
1 3.
teorema de Weierstrass e Casorati: se z0 é uma singularidade essen cial de f(z), e é um número complexo arbitrário, e e > O, então 1f(z)-e1 < e para algum z em qualquer vizinhança de z0• [Sugestão: se não for ver
Prove o
dadeira a propriedade, então 1/[f(z)-e] é analítica e limitada em valor absoluto numa vizinhança reduzida de z0. Agora aplique o Prob. 12 e conclua que f ll'm um pólo ou singularidade removível em z0 .] RESPOSTAS
oo z" 2. (a) -.�o 2•+1' (d) -
(g)
oo1 .�02.+1 - J;; oo
z
(-a)
z
3.
n=l
I
I oo
L
l)
m(m +
n=O
(d) (e)
(f)
· ·,
n.
�, pólo de ordem n ·
(-l)n-1 22 •-1 ' 1
7
-; + 6 z + 300 z3
+
_!__ _!__ z _!__ z3+· · · _
3
_
45
(b)
_!___
(c)
n=O
Z
a" zm+•
·
1;
·
·
de ordem
2;
.
·, polo de ordem
,
pólo de ordem
1; '
de ordem 1·
1.
!
n
-n
n -1
a
2 --}-2 J1 2:. :1+ ( - �1)z+(3�0 - �4)z3 (a)
n=2
�],
7 1 ·1 ----(z-n)--(z 3 60 - n)3 +···,pólo z -n 6
z
00
(f) I -,----;;-,
-removível'·
(-l)"(z-1)"-2 , pólo
1
11�oo0 (n+ l)z" ,
n- 1)
+
n.,
n=I (2n)! 00
z
m(m + 1) · · ·(m+ n - 1)
---
(c) I
----;;+! ,
(e)
'
·
(a) (b)
6.
00
n= 1 oo n-1
n=O
5.
f:
+
--1m[i
1 (h) ----m+
n=O
"
z"
2"
00
I
( b)
_16 z2 . . f 4"z7t22 " +2 +1-_±_7t +(_!__ 2 7t 3) + .
+ .. "
,
-
n=O
f (-l)"+� + _!___6 f (-�)" (z-2)", 2•=1(z-2) n=O 3 1 1 1+1+1+..·+1 2 n.
00[e- (
I
.
)] z
"
+e
00 1
I -;;-·
n=l z
627
Cálculo Avançado
1
8. (a) -, z
(b)
-i 1 1 + ( e) -8 6 1(z-l·)2 ·.
JO. Zeros: (a) ± L
-1
-
z-n
1 (c) -1- '
, f ( )
1
z-i
-"
(b) 1,
9-26. RESÍDUOS. Seja
Lf3i,
f(z)
l
Z-l
.
(c) 1, l, -2, -2, -2,
oo, oo,
(b) -1, t ±
pó los: (a) ± i,
1
(� z--n 2)
1
2z
(d)-:---: ,
z - 2n
(c) O,
(d)
oo, oo,
::o;
(d) 1, l, 1.
oo, oo, oo, oo,
analítica num aberto conexo D excetuada
z0
uma singularidade isolada num ponto finito
em D. A integral
f f(z) dz e
não será, em geral, O num caminho simples fechado em D. No entanto a integral
terá o mesmo valor em todas as curvas C que têm nhuma outra singularidade de
z0
de f em
f
[.f(z), z0].
e é denotado por Res Res
[.f(z), z0]
=
z0
no interior e mais ne
Esse valor, dividido por 2ni, chama-se resíduo Assim,
� f f z dz
2 i
(
(z0
)
finito),
(9-166)
e
onde a integral é estendida a qualquer caminho simples fechado C em D dentro
do qual
f(z)
é analítica exceto em
z0
(Fig. 9-29).
Figura 9-29. Resíduo
Teorema 44. O resíduo de f (z) num ponto .finito Res
[.f(z), z0]
=
z0
é dado pela equação
a_ 1 ,
(9-167)
onde
f(z)
=
ª-N
.. +-- + ·
(z -zo)N
·
ª1 . . +-z - Zo
+ao +a 1 (z-zo)
é o desenvolvimento de Laurent de .f (z) em
+
·
.
.
(9-168)
z0•
Demonstração. Para calcular a integral (9-166), escolhemos como C um I z0 - z01 k em D que não contenha outra singularidade além de z0.
círculo
=
A série de Laurent converge uniformemente sobre C, pelo Teorema 42; logo,
628
Funções de Uma Variável Complexa
pode-se integrar (9-168) termo a termo. Mas
l _l_ dz J(z-z0)"
f2x
=
0
kieio k"e"'º
{º'
d8=
n # 1,
2ni, n= l
de modo que
J
f(z) dz= 2nia_ 1
e
Deve-se observar que essa relação é o caso n . Exemplo 1. Res
1- , ] -1, [-z2(z-1 ) o
l -- =
z2(z-l)
1
1
z
1
1
z2 z
-----
[ 2(z! 1 z2 (z2
Exemplo 2. Res
=
- 1)
]
,o
- .
.
=
-l de (9-155).
pois
·-z"-... '
O< l z l < 1.
= O, pois
- l - zz - ... - z2n - . .. , = -- 1) z2
-.,,. � ..-
O<
1z1 <
1.
Assim o resíduo pode ser O, ainda que f(z) tenha singularidad<'. não-removível ein z0. Se C é um caminho simples fechado em D, no interior do qual f (z) é ana lítica exceto por singularidade isoladas em z1, ... , zk, então, pelo Teorema 36, .
J e
f(z) dz =
J
.
f(z) dz +
· · ·
+
e,
onde C1 só rodeia a singularidade z1, C2 só então o seguinte teorema básico: ' .
J
f(z) dz,
ck
z2,
.. . como na Fig. 9-30. Tem-se
Figura 9-30. Teorema dos resíduos de Cauchy
z
Teorema 45. (Teorema dos resíduos de Cauchy). Se f ( ) é analítica em D, e C é um caminho simples fechado em D no interior do qual f(z) é analítica, exceto por singularidades isoladas em z1, , zk, então . . •
J
e ·
f(z) dz= 2ni {Res [.f(z), z1] + . . + Res [f(z), zk]). ·
(9-169) 629
Cálculo Avançado
/
Esse teorema permite o cálculo rápido de integrais em caminhos fechados
a_ 1
sempre que seja possível calcular o coeficiente
do desenvolvimento de
Laurent em cada singularidade dentro do caminho. Várias técnicas para obter o desenvolvimento de Laurent foram exemplificadas nos problemas que pre cedem esta seção. No entanto, se queremos só o termo em
(z-z0)-1
do de
senvolvimento, várias simplificações são possíveis. Damos algumas regras aqui:
Regra
1.
Num pólo simples z0
(isto é, pólo de primeira ordem),
[.f (z), z0]
Res
=
(z -z0)f(z).
lim z-zo
Regra
II.
Num pólo z0 de ordem N, (N Res
[.f (z), z0]
=
=
2, 3, . . . )
N g< - l)(z)
lim
(N -1)!
z�zo
onde g(z)
=
,
N (z-z0) f(z).
Regra III. Se A(z) e B(z) são analíticas numa vizinhança de z0 , A(z0) e B(z) tem um zero em z0 de ordem l, então J(z)
=
A(z) B(z)
z0
tem um pólo de primeira ordem em Res
=F O
[J(z), z0]
e
=
A(z0) -- · B'(z0)
Regra IV. Se A(z) e B(z) são como na Regra III mas tendo B(z) um zero de segunda ordem em z0; de modo que f(z) tem um pólo de segunda ordem em z0, então 6A'B"-2AB"' , Res [f(z), z0] (9-170) 3 B,,2 =
onde A e as derivadas A', B", B"' são calculadas em z0 . Demonstração das regras. f(z)
Suponhamos que
1
=
N [a_N + ª-N+i(Z-Zo) (z-z0)
+
J .
tem um pólo de ordem
. ·]
=
N:
1 N g(z), (z-z0)
onde
e
g
o coeficiente de o
z0. O coeficiente de (z-z0)-1 na série de (z-z0t-1 na série de Taylor de g(z). Esse
é analítica em
resíduo procurado, é
g
(N -1)!
630
=
. g
z->zo
(N -1)!
·
Laurent de
f(z)
é
coeficiente, que é
Funções de Uma Variável Complexa Para N
=
l, isso dá a Regra 1; para N
=
2, ou maior, a Regra II.
As Regras III e IV resultam da identidade a0 + a1(z-z0) + · N 1 bN(z-z0) + bN+1(z-z0t+
A(z)
·
B(z)
---
o
1
ª =-
N bN (z-z0)
+
·
+
a1bN-aObN+1 b�
·
· ·
1 1 (z-z0t-
+"·
obtida no Prob. 7 acima. Para um pólo de primeira ordem, N a0 b1
=
Para um pó lo de segunda ordem, N
A(z0) B'(z0)
=
1 e o resíduo é
.
2 e o resíduo é
=
Como
b2 isso se reduz
=
B "(zo) 2!
'
expressão (9-170). Como foi indicado no Prob. 7, é fácil gene
;1
ralizar o m.:·todo para tratar de um pólo de ordem três ou maior; também é fácil modifi.:á-lo para cobrir o caso em que A(z) tem um zero de ordem M em z0, ao Pª''º que B(z) tem um zero de ordem N, e N
>
M (ver Prob. 9 abaixo).
Exemplo 3.
1 j lzl
z
ze" 2_
1
dz
=
2ni{Res[.f(z), 1]
+ Res[.f(z),-1]}.
=2
Como .f(z) tem pólos de primeira ordem em ± 1, resulta da Regra 1 ez e zez z= Res[f(z), 1] , lim (z -1) lim 2 z-1z+l z-1 z -1 2 1 zez = zez -eRes[.f(z), -1 ] lim 2 lim (z + 1) · -.�-1 .�-12_-l -2 z -1 ·
=
=
=
=
Portanto
t -z " e'
lzl =2
2 z -1
-- - --
dz
=
2ni
(- -) e
2
+
e-
1
2
=
·
2nicosh 1.
Também poderíamos usar a Regra III: Res[f(z),l] Res[.f(z),-1]
=
=
zez 1 ze' 1 2z
22
z=1
=
z=-l
e
2'
-e -1 -2
631
Cálculo Avançado
/
Isso é mais simples que a Regra I, pois, uma vez calculada a expressão
A(z)
B'(z)' ela serve para todos os pólos do tipo prescrito.
Exemplo 4.
1 -!---- dz=2ni { Res[.f(z), 1 J + Res [f(z),-1 J J z -1
+ Res[f(z), i] + + Res [f(z),-i]}.
l•l=2
Todos os pólos são de primeira ordem. A Regra III dá
como expressão para o resíduo em cada um dos quatro pontos. Além disso,
z4=1
em cada pólo, de modo que
2 z2 z = 4=4· 2 4 z 4z 1
Portanto
§ -z
1•1=2 Exemplo
5.
§
l•I =2
z(z
2ni dz=-[l +1-1-1]=0. 4 z4-1
�1)2 dz=2ni {
No pólo de primeira ordem
1.
O] + Res [f(z), 1J}. Regra I, obtemos o resíduo
=O z , por aplicação da = z 1, a Regra II
No pólo de segunda ordem Res [f(z),
Res [f(z),
( )
dá
1
d e' e'(z-1) -1]=- ==O. dz z . •= i z2 z= i
I
A Regra IV também poderia ser usada, com A=e•, Res[f()z ,
6e (6 z-4)-2e' 1 J= ' 3(6z-4)2
·
1
6
B = z3-2z2 + z:
= z=l o.
Logo,
§ --e•
632
1•1=2
z(z
dz=2ni(l + O)=2ni. 1)2
·
Funções de Uma Variável Complexa Exemplo 6.
J tgz --dz J z
1•1=2
pois a singularidade em
= 2ni{Res[.f(z),Ín] + z
=
Res [f(z),-Í n]},
O é removível e as únicas outras singularidades
no interior do caminho são ± tn. Nesses pontos cos ordem (pois sua derivada, -sen tg
z
z,
z tem um zero
de primeira
não é zero em nenhum deles), de modo que
tem um pólo de primeira ordem. A Regra I dá
Res
[.f(z},ínJ
=
lim z�(l/2)n
(z-ln)tgz 2
•
Z
Aqui nenhum cancelamento é possível, a menos que se usem séries:
(z-ín) tg z z
(z-ín) sen z z[-(z-ín)+i(z-ín)3+"·]
(z -ín) sen z zcosz
sen z z[-1 + i(z-ín}2 + .. ·] Agora podemos tomar o limite e achamos
[.f(z), ínJ
Res
A Regra III daria, com A Res
=
[.f(z},ínJ
sen
=
.
z,
B
cos
=
1 =
-1 ·
-2n
z cos z,
sen z z- z sen z
1
-
-t n
z=(l/2)n
Os dois métodos são essencialmente a mesma coisa aqui. No entanto, temos imediatamente Res
[.f(z), -in]
senz =
cos
z - z sen z
1
-1 z= -(1/2)n
Logo,
f
lzl =2
�zdz
t
=
2ni
(- ! + ! )
=
O.
Esse exemplo mostra que a. eficiência da Regra I e mais ainda a da Regra III diminuem muito se não é possível cancelamento. Vale a pena observar que,
quando essa dificuldade aparece, pode-se obter o limite pelo procedimento familiar para "formas indeterminadas", como se vê no Prob. 11 abaixo. .
633
Cálculo Avançado
9-27. RESÍDUO NO INFINITO. Seja f(z) analítica para j z j > R. De f(z) no oo como segue:
fine-se o resíduo de
Res
[f(z), oo] =
�1 J f(z) dz,
2m
e:.
onde a integral
é tomada sobre um caminho simples fechado C, no domínio f, fora do qual f(z) não tem singularidade exceto no oo, sendo C percorrido em sentido negativo. Isso está sugerido na Fig. 9-31. O Teo de analiticidade de
rema 44 tem extensão imediata a esse caso: Teorema 44(a). O resíduo de Res onde a_ 1 é o coeficiente de
oo
f(z) no
[f(z),
co
J
=
é dado pela equação
-a-1'
z- 1 no desenvolvimento de Laurent de f(z) no
a
a
1 f(z)=···+-=-+···+--=-+a +a ' z+···. o z" z
-1 z
A demonstração
(9-171)
n
oo :
(9-172)
é a mesma que a do Teorema 44, pois só o termo em
contribui para a integral. Deve-se salientar que a presença de um resíduo
no
oo
no
oo; isto é, f (z) pode ter um resíduo não-nulo, quer tenha quer não tenha
não tem relação com a presença de um pólo ou singularidade essencial
pólo ou singularidade essencial. O pólo ou singularidade essencial no deve a potências positivas de
z,
e não a potências negativas (Sec.
oo
se
9-25). Assim,
a função e
1'
,z
=
1 1 +- +
z
1 -- + · ·· 2!z2
é analítica no oo, mas tem resíduo -1 aí.
·Figura 9-31. Resíduo no infinito
Figura 9-32. Teorema dos resíduos para o exterior
634
Funções de Uma Variável Complexa O teorema dos resíduos de Cauchy também tem uma extensão para incluir o
CXJ:
Seja .f (z) analítica num aberto D que contém urna vizinhança reduzida do CXJ. Seja C um caminho simples fechado em D fora do qual f(z) é analítica exceto em singularidades isoladas z1, ... , zk. Então,
Teorema 45(a).
1
f(z) dz
2ni { Res [.f ( z), z 1] +
=
· · ·
e
+ Res
[.f(z), zk] +
+ Res
[.f(z), CXJ]}.
(9-173)
A prova, que é análoga à do Teorema 45, é deixada como exercício (Prob. 6 abaixo). Deve-se salientar que a integral sobre C é tomada com sentido de percurso negativo (ver Fig. 9-32) e que, no segundo membro, deve ser incluído o resíduo no X!. Para uma integral
1
f(z)dz
e
sobre um caminho simples fechado C temos agora duas maneira s de calcular: a integral vale
2ni vezes a soma dos resíduos dentro do caminho (se houver menos 2ni vezes
apenas um número finito de singularidades aí), e também vale a soma dos resíduos fora do caminho mais o resíduo no
XJ
(desde que haja
só um número finito de singularidades no exterior). Pode-se calcular a integral dos dois modos para verificar resultados. O princípio envolvido vai enunciado a seguir:
Se f(z) é analítica no plano z estendido, excetuado um número finito de singularidades, então a sorna de todos os resíduos de f(z) (inclusive no oo) é zero. Teorema 46.
Para calcular resíduos no
CXJ,
pode-se formular um conjunto de regras
como as que precedem. No entanto as duas regras seguintes bastam na maior parte das situações:
Regra V. Se f(z) tem um zero de primeira ordem nó Res
[f(z), oo J
=
oo,
então
- lim zf(z). z-oo
Se f(z) tem um zero de ordem maior ou igual a dois no Regra VI. Res [f(z),
CXJ
l
=
- Res
oo,
o resíduo no
XJ
é O.
[:2 (+}Ol f
A prova da Regra V fica como exercício (Prob. 10 abaixo). Para provar a VI, escrevemos
f(z)
=
· · ·
+
anz" +
· · ·
+
a a a1z + a0 +---=-.!. + -=/ + z z
· · -
, lz l
>
R. 635
Cálculo Avançado
Então,
(z)
.r 2-
1 =···+ ª:+···+ª +a0+a_1z +a_2z2+··., z z
1 (1) -
-.f 2 z
z
R
-
ª-1 ªo +ª-2 + ... .. + - 2 + z z
.
=
O
Logo,
e segue a regra. Esse resultado reduz o problema ao cálculo de
O,
um
resíduo no
ao qual se aplicam as Regras I a IV.
Exemplo l. Consideramos a integral
1 j
_ z
z4-l
dz
1•1 =2 do Ex. 4 da seção precedente. Não há singularidade fora do caminho a não ser no
oo,
e no
Exemplo
oo
a função tem um zero de ordem 3; logo a integral vale
2. 1 j
l•I =2
(z +
1)4 (z� -9)(z-4) dz.
O.
Aqui há um zero de ordem 4
dentro do caminho, no qual o cálculo do resíduo é desagradável. Fora, há pólos de primeira ordem em ± 3 e 4 e um zero de ordem
7 no
oo.
Logo, pela
Regra I.
f
lz 1=2
dz -1 �4) (� -(z-+ - 4) z�--9 -)(-z--
*9-28.
�
=
+ (- )4(�6 (- ) + -45-1.-7 )-2ni (2 ) 7 4 -6�--- 1 ) 4
RESÍDUOS LOGARÍTMICOS - O PRINCÍPIO DO ARGU
MENTO. Seja .f(z) analítica num aberto D. Então
.f' (z) .f(z)
(9-1174)
é analítica em D exceto nos zeros de .f(z). Se escolhermos um ramo analítico de Jog .f(z) em uma.parte de D
[que
necessariamente exclui os zeros de .f(z)],
então
d
-log.f(z)
dz
f'(z) -·
=·-
f(z)
Por isso, a expressão (9-174) chama-se derivada logarítmica de
f(z) conforme
Prob. 27 após a Sec. 0-9) Sua utilidade é demonstrada pelo seguinte teorema'. .
636
Funções de Uma Variável Complexa Teorema 47. Seja f (z) analítica no aberto conexo D. Seja C um caminho simples fechado em D dentro do qual f ( z) é analítica, exceto por. um número finito de pólos e seja .f(z) # O sobre C. Então,
onae N0 é o número total de zeros de .f dentro de C e NP é o número total de pólos de f dentro de C, zeros e pólos contados segundo suas multiplicidades. Demonstração. A derivada logarítmica f' lf tem singularidades isoladas f. Num zero z0 ,
exatamei;ite nos zeros e pólos de
.f(z) = f'(z) = f '(z) --= .f(z)
.
( z - z0f g(z), g(z0) # O z z0) z) N(z-z0)N-1g(z) + ( - Ng'( (z-z0)Ng'(z) + N(z-z0f-1g(z) (z-z0)N g(z)
N g'(z) =-+ · z) z -z0 g( --
Logo, a derivada logarítmica tem um pólo de primeira ordem, com resíduo N igual à multiplicidade do zero. Um cálculo análogo pode ser feito para os pólos de
f, com N substituído por -N. O teorema segue então do teorema
dos resíduos de Cauchy (Teorema 45), desde que provemos que só há um nú
.f são, por hipótese, em número f dentro de C, poderíamos escolher uma seqüência z. = x. + iy. de zeros distintos de f dentro de C. Tal seqüência teria pelo menos um ponto de acumulação z0 dentro ou sobre C, isto é, um ponto z0 tal que toda vizinhança conteria infinitos termo� da se qüência (ver P. Franklin, A treatise on Advanced Calculus, pg. 18 (New York: Wiley, 1940]. Se .f(z0) = O, então f (z) # O numa vizinhança reduzida de z0 pelo Teorema 43; se .f(z0) #O, então f (z) #O numa vizinhança de z0 por continuidade; se z0 é um pólo, então f tende a oo quando z aproxima-se de z0 qe modo que f (z) #O numa vizinhança reduzida de z0• Assim, z0 não pode mero finito de singularidades. Os pólos de
finito. Se houvesse uma infinidade de zeros de
ser em caso nenhum
um
ponto de acumulação de zeros, e só pode existir um
C. O teorema está provado. z percorre o caminho C; o ponto w = .f(z) percorre um caminho
número finito de zeros ao todo, dentro de Quando
Cw no plano
w.
Podemos mudar a variável como na Sec. 9-13 acima e escrever _
1
2ni
1 f'(z) dz j f (z)
=
1 _
2ni
f
dw . w
e
O caminho
Cw será um caminho fechado, podendo, entretanto, interceptar-se f (z) # O sobre C, de modo que Cw não passa pela
várias vezes. Por hipótese, origem do plano
w.
Como se observou na Sec. 9-16, a integral
637
Cálculo Avançado
mede a variação total de logw quando logw varia continuamente sobre o caminho. Se w1 w2, então =
logw2-logw1
=
=
logJw2J
+
iargw2-(logJw1J
+
i(argw2-argw1).
iargw1)
Logo, num caminho fechado Cw, a integral
é um imagmano puro e vale i vezes a variação total de argw quando argw varia continuamente sobre o caminho. Esta variação total de arg w tem de ser um múltiplo de 2n, pois w1 w2, e pode ser considerada como medindo o número de voltas que o caminho Cw dá em torno da origem no plano w (Fig. 9-33). Também, =
f
dw
Cw
w
=
i ·
f
Cw
-vdu + udv. u2 +
v2
integral no segundo membro é a integral de Kronecker, já vista várias vezes em outras situações (Secs. 5-6 e 5-14).
A
V
Figura 9-33. Princípio do argumento
Resumimos essas interpretações diversas do Teorema: 1 -. 2m
A
f
.f'(z) f dz (z)
-
=
1
-
2n
.
.
[vanaçao de arg f (z) sobre o cammho] _
=
afirmação 1
2n
[variação de arg f(z) sobre o caminho]
é conhecida como princípio de funções analíticas. 638
do argumento.
=
N 0-N
P
(9-176)
É muito útil para encontrar zeros
Funções de Uma Variável Complexa Teorema 48.
Seja f (z) analítica no aberto D. Seja e. um caminho simples fechado em D dentro do qual f (z) é analítica. Se a função f (z) aplica na curva Cz biunivocamente sobre um caminho simples fechado Cw do plano w e .f'(z) #O dentro de Cz, então f (z) aplica o interior de Cz biunivocamente sobre o interior de Cw. Demonstração. Primeiro observamos que o Jacobiano da transformação x y ao plano uv é
do plano
au J
Logo J
>
=
ô(u, v) ô(x, y)
au
=
av
ôv
ôx
ôy
( ) ( ) ªu 2
ôy
ôx
=
ax
ªv 2
+
ax
=
(9-177)
O. Segue-se então como na Sec. 5-14 (observações antes do Teorema
III) que, quando
z
Cz no sentido positivo, w f (z) percorre Cw no w0 é um ponto interior a Cw (Fig. 9-34), arg (w - w0)
percorre
sentido positivo: Logo, se
=
=
[ f (z) - w0] aumenta exatamente de 2n. Aplicamos mento à função f(z)- w0 e, como essa função não tem =
l .f'(z)i2.
arg
o princípio do argu pólos dentro de
Cz,
concluímos que
N0
1 =
-·
2n
2n
=
1' ·
f (z)- w0 tem exatamente um zero z0 dentro de Cz. Portanto uma trans z z(w) está definida dentro de Cw e invertendo os papéis e w (conforme o Prob. 7 que segue a Sec. 9-22), concluímos que a corres
isto é,
formação inversa de
z
=
pondência entre interiores é biunívoca.
Figura 9-34. Aplicação biunívoca Corolário. Seja f (z) analítica em Dz e suponhamos que aplique Dz biu nivocamente sobre o plano w. Então .f'(z) #O em Dz.
Demonstração. Se .f'(z0) O, escolhamos um círculo Cz centrado em z0, Dz com seu disco interior. A função f(z) aplica Cz sobre Cw como =
contido em
no teorema acima e, como na demonstração acima,
f(z)- w0. No entanto, como .f'(z0) de modo que
N 0 � 2.
=
N0
=
1 para a função
O, f (z)- w0 tem uma raiz dupla em
Isso é uma contradição; logo
.f'(z)
z0,
# O em D,.
639
Cálculo Avançado
Observação. Por causa de (9-177), a condição .f'(z) f= O é equivalente à 2-8 como sendo suficiente para garantir ser a transformação biunívoca numa vizinhança sf!ficientemente pequena de um ponto dado. A condição .f'(z) f= O em D. não é suficiente para garantir que a transformação é biuníyoca em D Por exemplo, w = z2 satisfaz condição J f= O. Essa condição foi dada na Sec.
• .
z f= O, mas a transformação não é biunívoca, pois a inversa é a função a dois valores z = fo. Condições suficientes para uma transfor mação ser biunívoca, suplementando o Teorema 48, são dadas na Sec. 9-30. a essa condição para
47 e 48 podem ser estendidos a abertos multiplamente co 7 abaixo). O princípio do argumento e o Teorema 48 podem também ser estendidos, por um processo de limite, ao caso em que f(z) é ana Os Teoremas
nexos (Prob.
lítica somente dentro de Cz e contínua em Cz mais o interior; a exigência de analíticidade de
f (z) = u + iv no Teorema 48 pode até ser substituída pela = a(u, v)/a(x, y) sempre positivo (ou sempre negativo) dentro
condição de ser J de e..
PROBLEMAS
1. Calcul� as integrais seguintes, nos caminhos dados: (aj
z J: . __dz, Jz+ l
(b)
l z j -3__ dz,
(c)
d ( ) (e)
(k)
lzl = 2
z + 1
f
ez --dz, z2 -1 dz,
1 z -1'
dz 2z2 + z-2 ,
l ez j z 3 dz,
J 1 j z2 +
g) (
l senz j (z - 1)2(z2+ 9) dz,
(h)
lzl=2
f �1 f \ z4
lzl=2
(f)
= 2
(i)
lzl = 1
U)·
l zl = 1
) (1
(z
f
1)
tg2 z dz,
f � f f (z4
dz,
lzl = 2
lzl =
02 dz,
lzl = 2 lzl = 2
� dz (z - l) (z - 7) .
2. Determine qual das transformações seguintes do plano z ao plano biunívoca no aberto dado:
(a)
w
(b)
W
(c)
w
(d)
w
640
= z2, = z2,
= =
I z I < 1; < X < 1, Ü < y < 1; z O < x < 1, O < y < n; , e sen z, --!-n < x < tn, O < y < k. Ü
= 2
10
3 4z + 2z dz z4+ z2+ 1 ,
lz 1�2
lzl
w
é
Funções de Uma Variável Complexa
3. -Se uma função racional própria só tem pólos de primeira ordem, f(z)
bz"+···+b =
z+b " (n tz-z1 ) (z -z2) ... (z-zk ) n-l
então a expansão de
< k,
z1, ..., zk distintos),
f(z) em frações parciais .f(z)
=
.c1 + . . -. z -z1
+
ck -z-zk
exige só a determinação dos números
c1, ... , ck, que são os resíduos de f(z) nos pólos. Aplique isso para obter as decomposições das funções se
guintes: (a ) ( b)
1 2_4 z
.
z2
( c)
z+ 1
(z - l)(z
zs + 1
(d )
- 2) (z - 3)
· z -1 +-
4. Prove: toda função racional própria f(z) tem uma decomposição em frações parciais.
[Sugestão: sejam p1(z), ... , p.(z) as partes principais de f(z) em
seus pólos. Então g(z)
f(z)- p1(z)-p2(z)- · · -P.(z) é racional e não tem
=
·
pólos. Mostre que g(z) tem de ser identicamente O.]
5. Prove o teorema fundamental da álgebra: todo polinômio de grau maior [Sugestão: mostre que Res [.f'(z)/f(z),
ou igual a 1 tem um zero. é O, na verdade é
-n,
onde
n
rema 47 para mostrar que
é o grau do polinômio
oo
f tem n zeros.]
6. Prove o Teorema 45(a).
7. Formule e prove o Teorema 47 para integração sobre a fronteira uma região R em D limitada por curvas simples fechadas
8. Estenda a Regra IV da Sec. 9-26 ao caso em que
ceira ordem.
não
]
f(z). Então use o Teo
C 1,
•
.
•
B de Ck.
,
B(z) tem um zero de ter
[Sugestão: use o Prob. 7 que segue a Sec. 9-25.]
9. Estenda a Regra IV da Sec. 9-26 ao caso em que meira ordem em
10. Prove a Regra
A(z) tem um zero de pri z0 e B(z) tem um zero de segunda ordem.
V da Sec. 9-27.
11. Prove a regra de l'Hôpital para funções analíticas: se em
z , 0
A(z) e B(z) têm zeros
então lim
z�zo
A(z) B(z)
=
lim
z�zo
A'(z) , B'(z)
[Sugestão: suponha que A(z) tem um zero de B(z) um de multiplicidade M em z0. Mostre que o limite de ambos os membros é O se N > M, é .4lN>(z0)/BlN>(z0) se N = M, desde que o limite exista. multiplicidade N, e
e que é
oo
se N < M.]
12. Calcule a integral que segue, aplicando a RegraU e a regra de l'Hôpital (Prob.
1 1):
�
cosec3 z dz
sobre
1z1
=
1. 641
Cálculo Avançado
RESPOSTAS l.
(a) -2ni,
(c) 2ni senh 1,
(b) O,
{g) 2ni(O,l cos 1 -0,02 sen 1),
(h) O,
2ni
(j) 8ni,
(i) 2ni,
(f ) O,
(e)-· 5
(d) O,
(k) ni,
(l)
-
ni 108
·
2. Todas exceto (a) são biunívocas. 3· {a)
1
1 (d)n
8.
1
1
1
4 z- 2 - 4 z +2
[-z1
z-z1
+"·+
1 3 2 {b)---+-:
;
z-1
-J z.
'
zk = exp
z-z.
1 20A" B'"2 - 60A' B'"Biv
l 2 A B'" B" +
3 40B"'
2A' 9.-· B"
(2kni) n
z-2
k = 1,. . .,
,
z-3
n.
15AB;"2
12. ni.
9-29. APLICAÇÃO DOS RESÍDUOS AO CÁLCULO DE INTEGRAIS REAIS. Muitas integrais definidas. reais entre extremos particulares podem ser calculadas com a ajuda de resíduos. Por exemplo, uma integral
2"
1o J
R(sen8, .cos8) r/8,
onde R é uma função racional de sen8 e cos8, transforma-se numa integral curvilínea complexa pela substituição: z
=
cos8=
ei6,
dz = ie;8 d8
e;e + e-;o 2
-
e;e - e ;e sen z = ----2i
f,2n
o caminho de integração é o círculo: Exemplo 1.
o
t 2 ·
642
lzl =l
:
cos + 2
=
iz d8,
1 ( 1 ) =- z+- '
(
2 1
=
2i
Iz1
=
z
)
1 z- - ; -
;
1.
d8. A substituição reduz isso a
-2i dz z + 4z + 1
=
3], 4n Res[z2 + 4z+ 1, -2 + v"'
Funções de Uma Variável Complexa pois -2
+
.J3
é a única raiz do denominador dentro do círculo. Portanto
f
ln
0
--- dB= cos e + 2
2
':.._
J3
A substituição pode ser resumida na regra:
in f R(sen e,
CDS
0
B)dB
=
I {p .J
1z1
R
-1
(22 22 1) d2 -1 .212
'
+
�
· -
22
12
·
(9-J 78)
A integral complexa pode ser calculada por meio de resíduos, desde que R não
tenha pólos no círculo
Iz1 =
1.
Um segundo exemplo é fornecido por integrais do tipo
f' f(x)dx. -
00
Ilustramos o processo com um exemplo e formulamos um princípio geral em seguida.
Exemp
l
o
f
oo
2.
.f( )
2
dx
4 X + 1
- 00
·
.' Essa mtegral pode ser olhada como uma integral
J/(z4 + 1) ao longo do eixo real. O caminho não é fechado (a não ser que incluamos o XJ ), mas mostraremos que funciona como um ca
curvilínea de
=
minho fechado "cercando" o semi-plano superior, de modo que a integral ao longo do caminho é igual à soma dos resíduos no semi-plano superior. Para provar isto, consideramos a integral de
.f
(2)
ao longo do caminho
semicircular CR mostrado na Fig. 9-35. Quando R é suficientemente grande, o caminho envolve os dois pólos: 21 = exp(i in), z2 = exp(i in) de .f(2). Logo,
f
.f (z)dz = 2ni {Res[.f(z), z 1]
+Res[.f(z),zi]}.
cR
Quando R cresce, a integral sobre CR não pode mudar, pois sempre é igual à
soma dos resíduos vezes 2ni. Logo,
J: .f(z)dz = J
lim
R-+oo
1.f(z)dz =
J
lim
R-+oo
R
f
-
R
--f:!:--+ + 1 X
lim
R�oo
f-4-1 -dz, z_ + 1
DR
y
. Figura 9-35. Cálculo de duos
f"'
f(x) dx por resi-
J
L
_.,
643
Cálculo Avançado
z Rei9, o� e� n. o limite do primeiro termo é desejada (pois os limites em + oo e XJ exíSlem separadamente, como se exige; conforme Sec. 4-4). O limite do segundo termo é O, poi s sobre DR onde DR é o semicírculo:
=
a integral
1
por
-'-
z4
(9-8), e
1 Portanto
J
f(z)dz
=
CR
Regra
Pela
i" J
1
+ 1
1
f
l
�
1z j 4 - 1
1
z4 + 1
dz
_
dx 4+ l x - .00
=
1
=
1
R4 - 1
'
R4!_!!._ -1 __. � ____!
2ni{Res[.f(z),z1]
+
Res[.f(z),ziJ}.
III acima, a soma dos resíduos é
foo _!!!____
logo,
- 00
x4 ,i+ 1
nJ2. =
2
/
Agora formulamos o princípio gytaI:
49. Seja f(z) an/lítica num aberto D que contém o eixo real e todo o semiplano y > O, Íxceto para um número .finito de pontos. Se
Teorema
(9-179) e
f"'
f(x) dx
(9-180)
- 00
f"'
existe, então f(x) dx
=
2ni [soma dos resíduos de f(z) no semiplano superior]
(9-181)
-oo
A demonstração é uma repetição do raciocínio usado no exemplo acima.
Vale a pena observar que, mesmo que a integral (9-180) não exista como integral imprópria, a condição
(9-178) implica na existência do lim
R�oo
644
f
R
f(x) dx.
-R
(9-182)
Funções de Uma Variável Complexa 5
Assim, mesmo que a integral de O a +
oo
e a integral de
-
oo
a O não existam,
pode existir o limite simétrico (9-182). Isso é ilustrado por
f
oo
- 00
[à
----:-dx + 1 X
qual se pode demonstrar que (9-179) se aplica]. Quando (9-182) existe, cha
ma-se o valor principal de Cauchy da integral e é denotado por
A fim de aplicar o Teorema 49, é necessário ter critérios simples que ga rantam que (9-179) vale. Damos aqui dois desses critérios:
1. Se f(z) é racional e tem um zero de ordem maior que 1 no
co,
então (9-179)
vale. Isso porque, quando lzl é suficientemente grande f(z)
=
ª-N ZN
+
ª-N+1 1 ZN-
+ .. . ,
N
>
1,
de modo que zf(z) tem um zero no infinito. Agora, por (9-75),
de modo que a integral tem limite O quando R
---> oo.
II. Se g(z) é racional e tem um zero de ordem 1 ou maior no vale para f (z)
=
emi•g(z),
m >
oo,
então (9-179),
O.
Para uma prova e outros critérios, ver a pg. 115 do tratado de Whittaker e Watson citado no fim do capítulo. A regra II toma possível calcular a integral
fº.,
ix g(x)em dx
=
f_"'.,
g(x) cos mx dx + i
f_"'.,
g(x) sen mx dx,
desde que ambas as integrais reais existam.
f
Exemplo 3. As integrais 00
-oo
X
cos X
x2 + 1
dx
e
f
00
- 00
x
sen x
x2 + 1
dx
existem ambas pelo Corolário do Teorema 51 da Sec. 6-22. Logo,
f"'
- 00
x xei --- dx x2 +l
=
2ni R es
[
J
zeiz -2--d z +l
=
ni
-·
e
645
Cálculo Avançado
Tomando parte real e parte imaginária, obtemos
f
00
-oo
X COS X dx = O, 2 x + 1
f
x sen x dx = 2 � x + 1 e .
00
- 00
Como a primeira integral é a integral de uma função
ser previsto.
PROBLEMAS
1. Calcule as seguintes integrais: (a)
(b)
1
d8
f"
5+3 sen 8
f"
S-4 cos 8
f
1 dx . 2 X +X+ 1
0
1
0
2
(e) 1
0
d8
(d)
2. Calcule as seguintes integrais: (a)
(b)
00
(c)
- 00
f
:(x2
2 oo l _ oo(x +
+
4 dx )
(d )
3. Calcule as seguintes integrais: (a)
(b)
oo J f""
- 00
cos x dx 2 x +4
X
-oo
2
sen 2x
4. Prove que
[Sugestão:
646
DR:
J
oo
O
( c)
dx
( d) .
f
2
"
1 d 2 8 ( cos 8+ 2) 1 2 2 d8. (3+ cos 8)
0
f
00
O podia
1 -6-- dx X +1
- 00
i I "" dx. Jo (x2 + 1) 2
oo
3
sen x
o x4 + 1
i
x
dx
x2 cos 3x dx. 2 oo i (x2 + 1) o
sen x --dx = trr. X
seja C o caminho formado pelos caminhos semicirculares D, :
;;i; x � -r, r ;;i; = r e
+X+ 1
"
ímpar, o valor
1z1
=
x
R, onde o � e ·� 7r e o < r < R, mais os intervalos -R � ;;i; R sobre o eixo real. Mostre que lim r-o
fr eizz_l z -r
-- d
= O.
1z1
=
Funções de Unia Variável Complexa
Use esse resultado e II acima para concluir que
f
r
lim
r-+O
iz
� dz
=
Z
lim
---ni,
R-+oo
-r
f.
-R
R
eiz Z
dz
=O.
DR
Portanto lim
R-+oo
{
lim
r-tO
1 J
ei• dz Z
e
}
=
lim
R-+oo
{ [ f-' l im r-+O
e ix
-R
X
f.
R
dx
+
eix X
r
dx
]} - rri.
O primeiro membro é zero, pelo teorema da integral de Cauchy. Mostre que . . , . a parte 1magmana do segundo membro vale .
2
i""
senx --
O
X
dx - rr.]
RESPOSTAS
1. (a)
2. (a)
rr
(b) fn,
2' 2rrj3
,
3
(b)
(c)
7t
4n
J3'
3
(c)
6
_,
(d)
3
2n
rr 7 J3. 72
(d)
3'
.
!!:.. 4·
J3 (b) -2-ne -./3 senl, 3 (d)
-trre
-
3.
90 3 . REPRESENTAÇÃO CONFORME. Como se indicou na Sec. 96 - , w f(z) é uma transfor.mação ou representação do- plano z no
uma função plano
w.
=
O termo "representação" pode ser usado quando a correspondência
entre os valores de z e os de
w
plano z corresponde um w
f(z) de um aberto Dw do plano w, e reciprocamente.
=
é biunívoca, isto é, a cada z de um aberto D, do
O aberto Dw é então um "retrato" distorcido do aberto D,; círculos em D, correspondem a curvas fechadas em Dw, etc., como ilustrado na Fig. y
93 6.
V
Figura 9-36. Representação conforme
647
Cálculo Avançado
Se f(z) é analítica, tal representação tem uma propriedade.adicional: a de ser conforme. Uma aplicação biunívoca de Dz em Dw é chamada COf!forme se associa a um par qualquer de curvas em Dz que se interceptam com um ângulo IX, µm par de curvas em Dw que se interceptam com um ângulo IX. Diz-se que a representação é confor_me e preserva a orientação se os ângulos são iguais e de mesma orientação, como indicado na Fig. 9-36. Teorema 50. Suponhamos w = f(z) analítica no aberto D., e que aplique Dz biunivocamente sobre um aberto Dw. Sef'(z) t= O em Dz, então .f(z) é conforme e preserva a orientação.
Demonstração. Seja z(t) = x(t) + iy(t) a equação de uma curva lisa pas sando por z0 em D Com uma escolha adequada do parâmetro (por exemplo, usando comprimento de arco) podemos fazer que o vetor tangente • .
dz
dx
dt
dt
.dy dt
- = -+1-
não seja O em z0 A curva dada corresponde a uma curva w = w(t) no plano w, com vetor tangente •
dw dt
=
dw dz ' dz dt
como na Sec. 9-13 acima. Logo,
dw dw dz arg- = arg- + arg-· dz dt dt Essa equação diz que, em w 0 = f(z0), o argumento do vetor tangente difere do de dz/dt pelo ângulo argf'(z0), que é independente da particular curva por z0 . Portanto, variando a direção da curva por z0 , a da curva correspondente por w0 tem de variar pelo mesmo ângulo (inclusive em sentido). Logo, o teorema está provado. Inversamente, pode-se provar que toda aplicação w = f(z) conforme e que preserva a orientação é dada por função analítica; mais explicitamente, seu e v têm derivadas parciais primeiras contínuas em Dz e J = o(u, v)/o(x, y ) t= O em Dz, então o fato de a aplicação w = u + iv = f(z) ser conforme e· preservar a orientação implica que ux = vY, uY = -vv, de modo que w é analítica [ver P. Franklin, A Treatise on Advanced Calculus, págs. 425-428 (New York: Wiley, 1940)]. Dessa caracterização geométrica, resulta que a inversa de uma ápli cação injetora conforme, que preserva a orientação, tem a mesma propriedade e é, pois, também anaUtica. Se f'(z0) = O num ponto z0 de Dz, então argf'(z0) não tem sentido e o argumento falha. Na verdade, pode-se mostrar que a aplicação não é conforme em z0 e, ainda mais, a transformação não é biunívoca em nenhuma vizinhança de z0 , pelo Corolário do Teorema 48; ver também o Prob. 14 abaixo.
648
Funções de Uma Variável Complexa
Na prática, o termo "conforme" é usado para significar "conforme e que preserva a orientação", o que será feito aqui. Deve-se notar que uma reflexão, como a aplicação
w =
z, é conforme, mas inverte a orientação.
Critérios de biunivocidade. Para as aplicações da representação conforme, é essencial que a aplicação seja biunívoca no aberto escolhido. Na maior parte dos casos, a função também será definida e contínua na fronteira do aberto; ser biunívoca aí é menos importante. Pelo Corolário do Teorema 48, se f '(z)
=
O em algum ponto do aberto,
então a aplicação não pode ser biunívoca. Portanto, como primeiro passo deve-se verificar se f '(z) #- O no aberto. Porém, mesmo que isso ocorra, a apli cação não é necessariamente biunívoca e devem-se aplicar outros critérios. São úteis na prática os seguintes:
Fórmula explícita para a função inversa. Se temos uma fórmula explícita z = z(w), de modo que, para cada w te�os no máximo 2 um z em D., a aplicação é biunívoca. Por exemplo, w = z é biunívoca no primeiro quadrante do plano z, pois existe para cada w, no máximo, uma raiz 1.
para a função inversa
quadrada
Fw no quadrante.
plano superior II.
v
>
Quando
z varia em D.,
w
varia em Dw: o semi
O, como veremos depois.
Análise das curvas de nível de u e v. Podemos verificar a biunívocidade
e, ao mesmo tempo, obter uma imagem clara da aplicação traçando as curvas de nível: u(x, y) c1, v(x, y) = c2• Como se indicou na Sec. 4-8, se, dados c1, c2 , as curvas u c1, v c2 interceptam-se no máximo uma vez em D,, então a aplicação de D,·no plano uv é biunívoca. =
=
=
Biunivocidade nafronteira. É esse o critério formulado no Teorema 48: · C mais o aberto interior D e biu nívoca sobre C, então f (z) é biunívoca em D,. Como se observou, é suficiente quef seja contínua em C mais aberto interior, e analítica no interior; em vários Ili.
se f(z) é analítica na curva simples fechada
z
''exemplos importantes é isto o que ocorre: a analiticidade falhando em um ou mais pontos da fronteira. Pode-se raciocinar também desta forma: se pudermos mostrar que, para toda curva simples fechada
C' contida em D, , fé biunívoca . C' , então fé biunívoca em D., pois, se não fosse, haveria z1, z2 em D, tais que f (z1) = f(z2). Uma curva C' próxima bastante de C deixaria os dois
sobre
no seu interior e revelaria a não-biunívocidade. Outras extensões naturais do princípio contido no Teorema 48 serão indicadas nos exemplos a seguir.
Máximos e mínimos na fronteira da parte real e imaginária. Seja f(z) D. limitado pela curva simples fechada C. Seja u = Re [f(z)] contínua em D, mais C. Se u tem exatamente um máximo relativo e um mínimo relativo sobre C, então w = f(z) é biunívoca em D,. Um critério semelhante vale para v = I m [f (z)]. Ainda mais, a mesma conclusão vale para aplicações u = u(x, y), v = v(x, y), por funções não-analíticas, desde que o Jacobiano J = = 8(u, v)/8(x, y) seja sempre positivo (ou sempre negativo) em D,. Que o autor. IV.
analítica no aberto
saiba, a demonstração (relativamente simples) desse fato não foi ainda publi cada; é sua intenção publicar uma dentro em breve.
649
Cálculo Avançado V. Seja f(z)
=
u + iv analítica em D. e suponhamos D. convexo, isto é,
tal que, para cada par de pontos z1, z2 de D., o segmento de
tido em D
• .
Se existem constantes a, b tais que
z
1
a
z
2
está con
au au a a + b ay >O em D., x
então fé biunívoca em D.(ver Prob. 15 abaixo, após a Secção 9-31). VI. Seja j(z)
u + iv analítica em D. e seja D. o semiplano: y >O. Se
=
existem uma constante complexa
e
e um número real a, tais que
Re [ c(z - a) f'(z)] >O em D., então fé biunívoca em Dz (ver Prob. 16 abaixo, após a Sec. 9-31). 9-31. EXEMPLOS DE REPRESENTAÇÃO CONFORME. Exemplo 1. Translações. A forma geral é
z + a + bi (a, b constantes reais).
w =
(9-183)
Cada ponto zé deslocado pelo vetor a + bi, como se vê na Fig. 9-37. Exemplo 2. Rotações-homotetia. A forma geral é w =
(A e
Ae;ªz
ix
constantes reais, A
1
-
1 1
V
1 1
'v/
/
Figura 9-37. Translação
Se escrevermos
z = reiO, w,
(9-184)
-, 1 1 \1
polares no plano
O).
y
V
y
>
Figura 9-38. Rotação-homotetia
w =
pél>, de modo que p e
teremos p
=
Ar,
=
8 +
IX.
(9-185)
Assim, as distâncias à origem são dilatadas na razão de A para 1, enquanto tudo gira em torno da origem por um-ângulo
IX
(Fig. 9-38).
Exemplo 3. A transformação linear inteira geral: w =
az + b
(a, b constantes complexas).
É equivalente a uma rotação-homotetia, como no Ex. 2, com a guida de uma translação pelo vetor b.
650
(9-186) =
Ae;ª, se
Funções de Uma Variável Complexa Exemplo 4. A transformação re íc pro ca: 1 W=-· z
(9-187)
Em coordenadas polares, tem-se
P
1 =
4> =-e.
-·
r
(9-188)
Assim. essa transformação envolve uma reflexão sobre o eixo real mais uma "inversão" no círculo de raio 1 com centro na origem (Fig. 9-39). Assim, as
z
e
w
p
Figura 9-39. A transformação
_!_ z
w =
A'
C'
B'
'l
figuras fora do círculo correspondem a figuras menores dentro. Pode-se mostrar que círculos (incluindo retas, "círculos pelo
oo")
correspondem a círculos
(Prob. 5 abaixo). Assim, a reta x = 1 transforma-se no círculo
Exemplo 5. A transformação linear fra cionária geral: az + b w = --- (a, b,e, d constantes complexas), z c +d
1
a
1
b c
d
(9-189)
;é o.
Se ad-bc fosse igual a O, w se reduziria a uma constante; portanto isso é ex
cluído. Os exemplos 1, 2, 3 e 4 são casos particulares de (9-189). Ainda mais, a transformação geral (9-189) equivale a uma composição de transformações:
z1 = CZ +d,
a bc ad W=-+ z2 ---
e
(9-190)
e
dos tipos dos Exs. 3 e 4; se e= O, (9-189) é já do tipo (9-186).
651
Cálculo Avançado A transformação pois a Eq.
(9-189) é analítica, exceto para z=-d/e. É biunívoca, (9-189) pode ser resolvida para z, dando a inversa:
-dw + b z= cw-a
(9-191)
---
que é univalente;
w tem um pólo para z=-d/e e z tem um pólo para w = a/c; = -d/c corresponde a w = oo, e z oo corresponde a
em outras palavras, z
=
w = a/c. Se incluirmos esses valores, então a transformação (9-189) será uma transformação biunívoca do plano estendido sobre si mesmo. Quando c = O, z = oo corresponde a w = oo.
Como todas as transformações (9-190) têm a propriedade de aplicar círculos
(inclusive retas) sobre círculos, a transformação geral
(9-189) também tem essa
propriedade. Considerando abertos particulares limitados por círculos e retas, obtém-se uma variedade de aplicações biunívocas interessantes. Os três casos seguintes são importantes:
Exemplo
6.
Disco unitário sobre disco unitário. z-z w= ei• ---=-º-(IX real, I z01 1-z0z
aplicam
1 sobre
lzl �
<
Todas as transformações
1)
(9-192)
e toda transformação linear fracionária (ou
lwl � 1
mesmo transformação conforme biunívoca) de l z l ;:::;
1 sobre
forma (ver Prob. 11 abaixo).
Exemplo
7.
Semiplano sobre semiplano. az + b w = --- (a, b, c, d cz + d
.
lwl � 1
tem essa
As transformações
reais e
ad - bc
>
O)
(9-193)
todas aplicam em Im (z) fracionária de Im (z)
�O sobre Im (w) �O e toda transformação linear �O sobre Im (w) �O tem es.sa forma (ver Prob. 12 abaixo).
Exemplo 8. Semiplano sobre disco unitário. z- z w= ei•---!- [a z-zo
aplicam Im (z) Im (z)
�O
Exemplo
real, lm(z0)
� O sobre 1w1 ;:::; 1 e toda jwl � 1 tem essa forma
sobre
9. A
Todas as transformações
>
O]
(9-194)
transformação linear fracionária de (ver Prob.
13 abaixo).
transformação (9-195)
Aqui a transformação não é biunívoca no plano z todo, pois a inversa é z que tem dois valores para cada
p
652
w.
Em êoordenadas polares tem-se
= r2,
= W.
=
fw
(9-196)
Funções de Uma Variável Complexa Assim cada setor do plano
z
com vértice na origem e ângulo
setor do plano w com vértice em w Dz: Im (z) >O é aplicado no plano vê na Fig.
=
w
a
é aplicado num
O e ângulo 2oc. Em particular, o semiplano menos o semi-eixo real positivo, como se
9-40. Como cada uma das duas raízes quadradas de
w
é igual à outra
com o sinal -, cada w tem· no máximo uma raiz quadrada em D z, de modo que a aplicação é biunívoca. A estrutura das curvas de nível:
u = x2 - y2
=
const.,
v =
2xy = const.,
9-40, também revela a biunívocidade, segundo o critério II 9-30. O critério V dá a desigualdade: ax - by > O. Tal desigualdade é
mostrada na Fig. da Sec.
satisfeita em cada semiplano limitado por uma reta pela origem; logo w
=
z2
é billnívoca em cada tal semiplano. Deve-se observar que dw/dz
=
O para z
=
O e a aplicação não é conforme
nesse ponto; os ângulos entre curvas são duplicados. V
y
u
Figura 9-40. A transformação
w = z2
Exemplo 10. As transformações w Aqui, a inversa z
=
=
z" (n
=
2, 3, 4, ... ).
(9-197)
w11" tem n valores. Em coordenadas polares,
p = r",
=
nO,
(9-198)
de modo que cada setor tem o ângulo do vértice multiplicado por n. Obtém-se uma aplicação biunívoca tomando a restrição a um setor: O
9-41. A biunivocidade resulta da fórmula explícita: r =
:JP,
(J = -,
n
O<<2n
(9-199)
para a função inversa, ou por qualquer um dos outros critérios. Na verdade, n não precisa ser um inteiro; para n número real positivo qualquer valem os mesmos resultados.
653
Cálculo Avançado
y V
u
X
l
vaO
Figura 9-41. A transformação
Exemplo 11.
A
transfarmação exponencial w
Aqui, a inversa
z =
log
w
Isso mostra que as retas w,
=e'.
(9-2 00)
tem infinitos valores. Em coordenadas polares:
= y
p = eX,
no plano
w = z"
+
2nn
x = const., no plano y = const.
ao passo que as retas
z,
transformam-se em círculos
transformam-se em raios
= const.
Obtém-se uma aplicação biunívoca restringindo
< y <
que é então aplicada sobre o plano
n,
como se vê na Fig.
(9-201)
(n =O, ±1, ±2, ...).
w
z
a uma faixa
-n
= <
menos o semi-eixo real negativo,
9-42. 'I
v ... o
V
U=O
V=O
X
u
U=O
V=O
Figura 9-42. A transformação
654
w = e'
Funções de Uma Variável Complexa
Exemplo 12 . A transformação w = senz
(9-202)
Aqui, a inversa z = sen-1 w =
f log(iw
+
�)
tem infinitos valores. Obtém-se uma aplicação biunívoca restringindo z à faixa
-!-n <
x <
!-n, como mostra a estrutura das curvas de nível da Fig. 9-43.
Pode-se também verificar que v = cos x senh y tem exatamente um máximo e um mínimo em cada retângulo com vértices
(± !-n, ±k); logo, pelo critério
IV, concluímps que a aplicação é biunívoca no interior de cada um desses re tângulos e, portanto, em toda a faixa. Também se pode aplicar o critério V, com
a =
1 e b
=
O. f
V
..,u
Figura 9-43. A transformação
w =
sen
z
J;Exemplo 13. A transfarmação w. = z +
�·
A inversa é formada com duas soluções da equação quadrática z2_:_zw + 1 =O. A aplicação é biunívoca no aberto: l z l > 1, como mostra a Fig. 9-44 (vertam bém o Prob. 3 em seguida à Sec. 9-36).
655
Cálculo Avançado
,,
u
Figura 9-44. A transformação
w = z
+
_!_ z
Muitos outros exemplos de representação podem ser obtidos por com posição destes, uma vez que uma função analítica de função analítica é uma função analítica. Também a inversa de cada uma dessas aplicações é analítica e biunívoca num aberto conveniente do plano w. Uma discussão de classes gerais de aplicações é dada na Sec.
9-37.
PROBLEMAS
1.
Determine as imagens do círculo
1 z -1 j
=
1
e
da reta y =
1
sob as trans
formações seguintes: (a) w
=
2z
z+ i . Z-l
(e)w=
(c)w= 2iz
(b) w= z+ 3i-1
1 z
(f) w=z2•
(d)w=-
2. Para cada uma das transformações que seguem, verifique que a transfor mação é biunívoca no aberto dado, determine o aberto correspondente no plano w, e esboce as curvas de nível de (a) w=
Jz= Jre1f2ie,
z-i (b)w= -.• (e) w
=
< () < n;
lzl
a= O.]
656
-n
�
u
e.
v:
(c)
1
W= -
z
'
(d) w = Log z,
1 < X < 2; lm(z) > O;
use o critério VI, com
e=
i
e
Funções de Uma Variável Complexa
(f)
w
=z
1
+
-
z
, lm(z)
>O; [Sugestão:
use o critério VI com
c = -i
e
a=OT
.
1 = z--, lzl > 1;
(g)
w
(h)
w= Log
(i)
w
z
a=O = e•
z
-2Log z, lm(z) z + 1 e b = -1.] --
+ z,
-n
>O; [Sugestao:
use o critério V, com
< y< n.
3. Verifique a representação sobre o aberto dado e as curvas de nível de u e
v
para a:s transformações da
(a) Fig.
9-40, (b) Fig. 9-41, (c) Fig. 9-42, (d) Fig. 9-43, (e) Fig. 9-44.
4. Combinando transformações particulares dentre as dadas acima deter mine uma representação conforme biunívoca de . >O, y >O sobre o aberto lwl<
1; O< O< fn sobre o quadrante u >O, v >O; semiplano y >O sobre a faixa O< v< n; meiafaixa -tn< x< tn, y >O, sobre o quadrante u > O, v >O; aberto r > l, O< O< 7t sobre a faixa O< v< n; faixa 1 < x + y< 2 sobre o semiplano v >O; semiplano x + y + 1 >O sobre o quadrante u >O, v >O.
(a) o quadrante x (b) o setor (c) o (d) a (e) o
(f) a (g) o
5. (a) Mostre que a equação de um círculo ou reta arbitrários pode ser es crita na forma
azz +
bz + bz +
c
(a
O
=
e
c
reais).
(b) Usando· (a), mostre que· círculos ou retas transformam-se em círculos ou retas sob a transformação
6. Se
w
= f(z) é
w = 1/z.
uma função linear fracionária
7. Um ponto em que
f'(z)
O
=
chama-se um
(9-189), mostre que f'(z) #-O.
ponto crítico da
função analítica
f(z). Ache os pontos críticos das funções seguintes e mostre que nenhum se acha no aberto da aplicação correspondente nos Exs. (a)
w
= ir,
(b)
w
=
sen
(c)
z,
w
=z
+
11,
12, 13:
�-
8. •(a) Mostre que o determinante dos coeficientes da inversa (9-191) da trans formação (9-189) não é zero. Assim, a
linear fracionária
é
(b) Mostre que, se
w1
inversa de uma transformação
linear fracionária. az cz
+ b
=---·
+
d
w1 = f(z), w2 = g(w1), então = g[f(z)] também é. Assim, a composta de transformações lineares fracionárias é um . a transformação linear fracionária.
são transformações lineares fracionárias, w2
657
Cálculo Avançado
razão dupla de quatro números complexos z1, z2, z3, [z1, z2, z3, z4], é definida como segue:
9. A
z4,
denotada por
Isso tem sentido, desde que pelo menos três dos quatro números sejam distintos; se
z1
=
ou
z4
z2
=
tido se um, mas só um, dos (a) Prove que, se
z3, o valor é z é oo.
oo; a expressão tem ainda sen
z1, z2, z3 são distintos, então
z. (z é uma função linear fracionária e w1 f ) (z w 3 z f ), 4 ""'f ( 4), então
define uma função linear fracionária de (b) Prove que, se
w2
=
f(z2), w3
w
=
=
desde que pelo menos três dos
=
f(z1),
z1, z2, z3, z4 sejam distintos. Assim,
a razão dupla é invariante por transformações lineares fracionárias.
z1, z2, z3 distintos e sejam w1, w2, w3 distintos. Prove que há w f (z ) tal que f(z1) w2, f (z 3) w,, que é a transformação definida pela w1, f(z2)
(c) Sejam
urna e uma só transformação linear fracionária =
=
=
=
=
equação
(d) Usando o resultado de (c), ache transformações lineares fracionárias que levem cada uma das seguintes triplas de valores de
z
nos
w cor
respondentes: (i) (ii)
z z
=
1, i, O;
=
O,
oo,
1;
w
=
w
O, i, 1; =
oo,
O, i.
C um círculo de raio a e centro Q. Dizemos que os pontos P, P' são C se P está sobre o segmento OP1 ou 2 a Q e oo também são considerados como P' sobre QP e QP QP' um par de pontos inversos. Se C é uma reta, pontos P, P' simétricos em relação a C são ditos inversos um do outro.
10. Seja
inversos um do outro em relação a ·
(a) Prove:
=
·
P, P' são inversos em relação a C se, e só se, todo círculo pas P e P' corta C em ângulos retos.
sando por
P, P' são inversos em relação a C e é aplicada urna transfor P em P1, P' em P� C em C 1 então P1, P'1 são inversos em relação� C1. [Sugestão: use (a), observando
(b) Prove: se
mação linear fracionária, levando
,
que, sob uma transformação linear fracionária círculos vão em círculos e âµgulos retos em ângulos retos.]
658
Funções de Uma Variável Complexa
11. (a) Seja w f(z) uma transformação linear fracionária que leva lzl � 1 sobre 1w1 � 1. Prove que f(z) tem a forma (9-192). [Sugestão: seja z0 =
levado em w =O. Pelo Prob. lO(b), 1/i0 deve ir em w =
oo.
O ponto
z = 1 deve ir num ponto w = eiP. Tome z1 = 1, z2 z0, z3 = l /z0 em 9(c).] (b) Prove que toda transformação (9-192) leva 1z1 � 1 sobre I w1 � 1. =
12. Prove que toda transformação linear fracionária de lm(z) �O sobre Im(w) � �O tem a forma (9-193) e que toda transformação (9-193) leva Im(z) �O sobre Im(w) � O.
13. Prove que toda transformação linear fracionária de Im(z) �O sobre lwl � 1 tem a forma (9-194) e que toda transformação (9-194) leva lm(z) � O so bre lwl � 1. 14. Seja w = f(z) analítica em z0 e f'(z0) =O, ...,J<•l(z0) O, J<•+ 'l(z0) =f. O. Prove que os ângulos entre curvas que se cortam em z0 são multiplicados por n+ 1 sob a transformação w =f(z). [Sugestão: pelo Prob. 11 que segue a Sec. 1-17, o vetor tangente à curva w =f[z(t)] pode ser calculado como derivada (n + 1)-ésima de w em relação a t. Assim =
dw dw dz = ' dt dz dt Se n
=
1,
d2w dw d2z = dt2 dz dt2
+
)
d2w dz 2 ( , dz2 dt
.
.
•
a tangente em w0 =f[z(t0)] é dada por
de modo que os ângulos são duplicados.]
15. Prove a validade do critério V. [Sugestão: seja z2 z1 + reia pontos distintos de D. Então
e
=a+ ib. Sejam z1 e
=
c[f(z2)- f(z1)] =e
fz2
f'(z) dz =e;ª
f'
cf'(z) dt,
O
z1
+
onde z = z1 teiª sobre o caminho de integração retilíneo. Mostre que a parte real dessa última integral é positiva, de modo que f(z ) =f. f(z1). 2 Conforme um artigo de F. Herzog e G. Piranian em Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 2 (1951), pág. 625-633.] 16. Prove a validade do critério VI. [Sugestão: faça z1 = Log (z -a) e mostre que a função w1 =f[z(z1)] =g(z1) é analítica e satisfaz à desigualdade: Re [cg'(z1)] >O no aberto O < Im (z 1 ) <'Ir. Agora aplique o critério V.] RESPOSTAS 7.
(a) nenhum,
9· (d) (i) w
=
(b) !n+ nn (n =O, ± 1,...),
z-1 ' (1-2i)z- 1
(ii) w =
(c) ± 1
i z
-·
659
Cálculo Avançado
9-32. APLICAÇÕES DA REPRESENTAÇÃO CONFORME. O PRO
BLEMA DE DIRICHLET. O problema seguinte, conhecido como problema
de Dirichlet, surge, numa variedade de situações, em dinâmica dos fluídos,
teoria dos campos elétricos, condução do calor e elasticidade: dado um aberto conexo D, achar uma funÇão u(x,
fronteira de D.
y) harmônica em D e tendo valores dados na
O enunciado é um tanto vago no que se refere aos valores de fronteira. Veremos imediatamente como pode ser tornado mais preciso.
Seja D um aberto simplesmente conexo cuja fronteira é uma curva simples
fechada C, como na Fig. 9-45. Então os valores na fronteira são fixados dando uma função h(z) para
z
sobre C e exigindo que u
=
h sobre C. Se h é contínua,
a formulação natural do problema é exigir que u(x, y) seja harmônica em D, contínua em D mais C, e igual a h sobre C. Se h é contínua por partes, é natural exigir que u seja harmônica em D, contínua em D mais C, exceto onde h é des
contínua, e igual a h, exceto nos pontos de descontinuidade. e
Figura 9-45. O problema de Dirichlet
Se C é um círculo, 1z1.
=
R, o problema é resolvido pela fórmula integral
de Poisson da Sec. 9-22. Por exemplo, se R u(r0, 00)
1
=
-2 n
f
2 "
=
1, h pode ser escrita como h(8) e
(1- r2)h(8)
.
0 1 + r 2 - 2r cos ((} 0 (})
define uma função harmônica em 1z1
<
d(}
(9-203)
1. Se h((}) é contínua e definimos u(l, 8)
como sendo h(O), então se pode mostrar que u é contínua para 1z1 � 1 e por tanto satisfaz a todas as condições. Se h((}) é contínua por partes, o mesmo
processo funciona e (9-203) novamente fornece uma solução. Devemos também perguntar: a solução fornecida pela fórmula (9-203)
é a única solução? A resposta é si.m, quando h é contínua para 1z1
=
1; a. res
posta é não se h tem descontinuidades. Nesse último caso, (9-203) fornece uma·
solução u(x, y) que é limitada para 1z1
<
1, e pode-se mostrar que é a única
solução limitada. Com a exigência suplementar de que a solução seja limitada,
(9-203) fornece a única solução.
Agora, seja D um aberto limitado por C como na Fig. 9-45 e suponhamos·
que se achou uma representação conforme biunívoca: z1 f (z) de D sobre o disco lz11 < 1 e que essa aplicação é também contínua \: biunívoca em D, =
mais C, levando C em 1 z � 1
660
=
1. Fazendo corresponder a cada ponto
_z_i
.
sobre
Funções de Uma Variável Complexa 1 o valor de h no ponto correspondente sobre C, obtemos valores de 1z1 I fronteira h1(z1) sobre lz11 = 1. Suponhamos que u(z1) seja solução ao problema de Dirichlet para 1z1 I < 1 com esses valores de fronteira. Então u[.f (z)] é ·harmônica em D e resolve o problema de Dirichlet dado em D, pois u(z1) pode ser escrita como Re[F(z1)] onde F é analítica e u[f(z)] Re{F[f(z)]}; isto é, u[f(z)] é a parte real de uma função analítica em D. Logo, ué harmônica em D. Como funções compostas de funções contínuas são contínuas, u[f(z)] terá o comportamento conveniente na fronteira C e, portanto, resolve o pro blema. A representação conforme é, portanto, um instrumento poderoso na re solução do problema de Dirichlet. Para todo aberto que possa ser representado conforme e biunivocamente sobre o disco 1z1 < 1, o problema é resolvido explicitamente por (9-203). Pode-se mostrar que todo aberto D simplesmente conexo pode ser aplicado biunívoca e conformemente sobre o disco: 1z1 < 1, =
=
desde que D não seja o plano todo. Ainda mais, se D é limitado por uma curva simples fechada e, a aplicação pode ser sempre definida sobre e de modo a per manecer contínua e biunívoca. Para provas desses teoremas e das propriedades mencionadas da fórmula integral de Poisson (9-203), ver o livro de Kellog citado no final do capítulo. Resta a questão de como aplicar um particular aberto simplesmente co nexo D sobre um disco. Mais informações sobre isso são dadas na Sec. 9-37 abaixo. Não consideraremos a extensão da teoria a abertos multiplamente _conexos. 9-33. PROBLEMA DE DIRICHLET PARA O SEMIPLANO. Como a transformação
z1 -i . 1z= z1 + i
(9-204)
-
aplica o disco lz11 < 1 sobre o semiplano lm(z) >O, o problema de Dirichlet para. o semiplano pode ser reduzido ao problema para o disco como acima. No entantoé mais simples tratar o semiplano por si. Desenvolveremos o equi valente de (9-203) para o semiplano. Assim, se um aberto D puder ser repre sentado sobre o semiplano, o problema de Dirichlet para D estará automatica mente resolvido. Consideremos primeiro vários exemplos: y
Figura 9-46
y
Figura 9-47
661
Cálculo Avançado
Exemplo 1. u(x, y) harmônica para y > O; u n para y = O, x < O; u =O =O, x > O, como se vê na Fig. 9-46. A função =
para y
u = arg z = 8,
O;;;; 8 ;;;; n
evidentemente satisfaz â todas as condições.
É harmônica no semiplano su
perior, pois
arg z
=
8
=
Im(Log z)
=O, exceto para x =O, e tem os valores certos na < u < n no semiplano superior de modo que a solução
é contínua na fronteira y
fronteira. Além disso, O é limitada.
Exemplo 2. u(x, y) harmônica para y > O; u = h = const., para y =O, x > O; u =O para y = O, x < O. A solução é obtida como no Ex. 1: u
=
h
(
l-
)
arg z 1t- ' -
O;;;; arg z;;;; n.
Novamente essa função é harmônica e tem os valores certos na fronteira.
Exemplo 3. u(x, y) harmônica para y > O, u = h const., para y = O, x > x1; u =O para y =O, x < x1; ver Fig. 9-47. Uma translação reduz isso ao Ex. 2: =
(
:
arg( -z1)
u = h l-
O;;;; arg(z-z1);;;; n;
z1
}
= x1 +Oi.
Exemplo 4. u(x, y) harmônica para y > O; u = h = const., para y =O, x1 < x < x2; u =O para y =O, x < x1 e x > x2; ver Fig. 9-48. A solução
(
) (
)
é obtida como diferença de duas soluções do tipo do Ex. 3.
u =h l
arg(z
-
z1)
n
-
h
l
-
h = -[arg(z-z2)-arg (z-z1)] n
:
arg( -z2)
h
= -arg n
z-z2 --
z-z1
·
O resultado tem uma interpretação geométrica interessante, pois z-z arg-- 2 = z-z,
l/J,
O< l/J< n,
y
Figura 9-48
662
(9-205)
Funções de Uma Variável Complexa
ijJ
onde
9-48. hij;
é o ângulo indicado na Fig.
Assim
U = -· 7t
Podem-se verificar os valores de fronteira diretamente sobre a figura.
1, 2,
e 3 podem ser considerados como casos-limite
-cx::i,
x2
Observação. Os Exs. do Ex.
4.
1, Xi
No Ex.
=
9-46,
gulo 8 mostrado na Fig. é visto na Fig.
Xo;
<
.. .
; u=
u =
h.
O, e h ijJ 8.
11:,
=
de modo que
No Ex. 3,
=
x2
ijJ
torna-se o ân
+ cx::i; o ângulo
=
ijJ
9-47.
Exemplo 5. ux ( ,
X
=
e u=
para
g
y) harmônica para y > O; u = h0 const., para y O, O, Xi < X < Xz; o Xo < X < Xi; u = h2 para y y O, x._ 1 < x < x.; u = h.+ 1 para y = O, x > x., como =
para
hi
=
=
=
=
,
y
Figura 9-49
na Fig.
9-49. A
solução é obtida por adição de soluções de problemas como os
dos exemplos anteriores:
[
1
u
=
- h0 arg(z -z0) 11:
+
h1
z-z
1 arg -- +
z-z o
+ u
=
1 -[hoi/Jo + hii/Ji + 7t
···
· · ·
z-z + h. arg --"z-z.-i
h. + i { n - arg(z -z.)}]; O� i/Jo�
+ h.+ii/Jn+i],
n,
(9-206)
O� i/Ji�
n,. ..
(9-207) Os ângulos
ij;0,
• . .
, i/J.
9-49. A soma desses h0, hi, ... , h.+i e
são mostrados na Fig.
logo, ué a média ponderada dos números
(9-208)
h'� u � h", onde
h' �
o menor desses números e
Seja 1agora
t + Oi
h0
=
O, hn+1
=
O.
Seja
h" z
ângulos é n;
o maior. fixado no semiplano superior e seja
um ponto variável no eixo x; façamos
g(t)
=
arg (z-(t
onde o ângulo é sempre tomado entre como: u=
O
e
+Oi)], n.
Então,
(9-206)
pode ser escrita
1 -{hi[g(ti)-g(t0 )] + h2[g(t2)-g(ti)] + · · + h.[g(t.) -g(t.-i)]}. ·
7t
Essa fórmula sugere passagem ao limite:
n -+
cx::i; a expressão sugere uma
integral. Na verdade, a expressão pode ser interpretada (usando o teorema
663
Cálculo Avançado da média) como uma soma
que (com hipóteses convenientes) converge, quando n
u
l -;
=
-+ oo,
a uma integral:
íp. h(t) ) dt. g'(t J
Agora,
g(t)
=
arg[z-(t +Oi)]= arc tg_:!:'_,
x-t
de modo que
y g '(t) (x - t)2 + yz Somos assim levados à fórmula:
u(x, y)
1 =
-
n
fp •
h(t)y dt (x-t)2 +y2
(9-209)
como a expressão para uma função harmônica no semiplano superior com valores de fronteira h(t) para z = t + iO, ex < t
<
p, e u = O no resto da fron -oo, p = + oo:
teira. Obtemos generalidade completa fazendo ex =
u(x, y)
=
_!_ n
foo
- 00
h(t)y dt. (x-t)2 + y2
(9-210)
Vê-se facilmente que essa integral converge, desde que h seja contínua por
(9-210) é exatamente a fórmula integral de Poisson para o semiplano. Na verdade, uma mudança de variáveis (Prob. 6 abaixo) transforma (9-203) em (9-210).
partes e limitada. A fórmula
Exemplo 6. u(x, y) harmônica na meia faixa da Fig. 9-50, com os valores de fronteira indicados. Procura-se a aplicação dessa meia faixa sobre um sey
u
664
•O
Figura 9-50
Funções de Uma Variável Complexa
miplano e verifica-se que é dada por z1 = senz como no Ex. 12 da Sec. 9-31. Sob essa aplicação, z =-tn vai em z1 =-1, z = = tn em z1 = 1 e a fronteira toda sobre o eixo real do plano z1 . O novo pro
blema no plano z1 pede uma função valores de fronteira:
u harmônica no semiplano superior, com u = 2 para -1 < x1 < 1, u =O para x1 > 1 e para x1
Esse problema se resolve como no Ex. 4. acima, por (9-205). Logo, 2
u =-arg n
z1
-
1
z1 + 1
---
e, no plano z, u
senz- 1 2 =-arg n senz + 1
·
Para aplicar essa fórmula, o mais simples é usar o diagrama da Fig. 9-43 que mostra a aplicação do plano z no plano z1 . Para cada z, tomamos o corres
pondente z1
=
senz, medimos o ângulo
1/1
=
z1 -1 arg -z1 + 1
como na Fig. 9-48, e dividimos por tn. A resposta pode também ser escrita explicitamente em forma real:
Im
u
{ ::� } } { s
1
1 2 se =-are tg-----n senz-1 Re senz + 1 2 =-arc tg n sen2
-2 cos cosh2
x senh y
+ cos2
senh2 y- 1
------
Exemplo
7.
x
y
u(x, y) harmônica para lzl < 1,
como na Fig. 9-51;
u
x u
= 1 parar= 1, a< 8 < f3
= O no resto da fronteira. y
Figura 9-51 X
665
Cálculo Avançado
A função z1
.z-eifl . el/2(a-/J)• __ z-e'ª
=
aplica lzl < 1 sobre o semi-plano Im(z1) >O. O ponto eiª tem como imagem z1
c:o; o ponto eifl tem como imagem z1
=
=O; o arco
ex<
8
<
fJ corresponde
ao semi-eixo real negativo no plano z1. Assim, a solução é dada por u
1
=
- arg z1
=
n
1 - arg n
[
. z-eifl] e112
(9-211)
Essa fórmula um tanto incômoda é a fórmula para o disco que corresponde a
(9-205) para o semiplano. Usando geometria, isso pode ser escrito nesta forma muito mais simples:
s U=-, 2n onde
s
é o comprimento do arco sobre 1z1
(9-212) =
1 determinado pelas cordas pas
sando por e;ª e z e por eifl e z; ver Fig. 9-51. Esse problema também poderia ter sido resolvido diretamente pela fór mula de Poisson (9-203): u(ro ,
8o)
1 =
f./J
l-r2
a
1 + r2 - 2r cos (80 - 6)
-
2n
d8.
(9-213)
A integração, embora complicada, pode ser feita [Prob. 31(t) após a Sec. 0-9]. y
y
X
X
Figura 9-53
Figura 9-52
PROBLEMAS
1. Resolva os seguintes problemas de valor de fronteira: (a) u harmônica e limitada no primeiro quadrante, lim u(x, y)
y-o+
=
1 para O <
lim u(x, y) = 1 para O
x�o+
Ver Fig. 9-52.
666
<
x<
1, lim
u(x, y) = O para
1, lim
u x,
y�o+
y
<
x�o+
(
y) = O para
x
> 1,
y > 1.
Funções de Uma Variável Complexa (b) u harmônica e limitada no setor: O < 8 < in, com valores de fronteira 1 no eixo
x
e O na reta y =
x,
como na Fig. 9-53.
(c) u harmônica e limitada para O < 8 < 2n, com valor-limite 1 quando z
avizinha-se do semi-eixo real positivo pelo semiplano superior e -1
quando z avizinha-se do semi-eixo real positivo pelo semiplano inferior. (d) u harmônica e limitada na faixa: O < y < 1 com valores de fronteira O para y = O,
y =O,
x
rx
x
>O e para y = 1,
>O. '
(e) u harmônica e limitada no aberto; O < (} < n,
r
> 1 com valores de
fronteira 1 no eixo real e -1 sobre o círculo.
2. (a) Verifique que a transformação w=
2Logz-z2
aplica o semiplano Im(z) >O de modo biunívoco e conforme sobre o plano
w
menos as semi-retas v = 2n, u < -1, e v = O, u < -1.
(b) Ache o potencial eletrostático U entre duas placas de condensador idealizados como dois semiplanos perpendiculares ao plano uv ao longo das semi-retas v = a, u
=
O, u
potencial entre as placas é U 0 ; isto é, resolva o problema de valor de fronteira: U(u, a)= U0 para u
w=
z 2 aplica o aberto: Im(z) > 1 de modo
biunívoco e conforme sobre. o domínio parabólico
vi u < --1. 4 (b) Seja um sólido idealizado como um cilindro infinito perpendicular ao plano uv, cuja seção no plano uv é dada por u
�
v2.
Suponhamos
esse sólido em equilíbrio de temperatura, com temperaturas T1 mantida na parte da superficie de fronteira em que v >O e T onde v
2
distribuição de temperatura dentro do sólido, isto é, resolva o pro
blema de
valor de fronteira: T(u, v) harmônica para u < v2 com valores
de fronteira T(u, v) = T1 para u = v2, v >O, e T(u, v) = T
= V2, V< Ü.
2
para u =
4. (a) Verifique que as funções (em coordenadas polares) " r
cos
são harmônicas para sen
n(J para
r=
n(J, r
"
r
sen
nB
(n = O, 1, 2, ...)
< 1 e têm como valores de fronteira cos n(J,
1. 667
Cálculo Avançado
(b) Seja
h(9)
contínua e com período
Fourier convirja a
h(9) ª
"
=
=
ͪo 1
-;
+
f"
h(8) C(l
L (a" cos n8
+
h(8) cos n8 d9,
bn
n=l
-n
2n e suponhamos que sua série de
para todo
8: bn sen n9),
f"
1
= -;
-n
h(O) sen n8 d8.
Resolva o problema de valor de fronteira: lim u(r,
8)
=
h(9)
quando r
-+
para construir a função
u(r, 8) harmônica parar < 1, [Sugestão: use o resultado de (a)
1.
C(l
u =
tao
+
Verifique a convergência a
36 da Sec. 6-15.]
L (anr" cos ne + bnr" sen
nO).
n=l
h(O) usando a observação que segue o Teorema
5. (a) Verifique que a função
(9-206) tem o limite Í(hi + hi+ 1) se o ponto (x, y) aproxima-se do ponto (xi, O) segundo a semi-reta x x1, y > O. (b) Qual o limite se (x, y) aproxima-se de (xi, O) segundo uma semi-reta fazendo um ângulo oi: > O com o semi-eixo x positivo? (c) Discuta os limites da função (9-210) quando (x, y) -+ (t1, O) num ponto de descontinuidade t1 de h(t). =
Observação. O Prob. 5 tem um análogo em termos da fórmula inte
gral de Poisson para o disco. Como sugere o Prob. 4, o tópico está rela cionado de perto com séries de Fourier. Na verdade, as propriedades da integral de Poisson enunciadas na Sec.
9-32 acima implicam que, se
é contínua por partes, então para a série obtida no Prob. 4(b) vale lim
r-1 8-+80
u(r, 8)
em todo ponto de continuidade de 1. im ,�1
u(r,
(J
0
)
= h(O0)
h(O) =
h(O)
e
h(80 +)
+
h(80-)
------
2
em cada ponto de descontinuidade de
h(O). A série de Fourier de h(O) pode h(O) para todo O sob essas hipóteses, mas pode-se reencon trar a função h(9) a partir da série multiplicando os termos por r" e fazendo não convergir a
r-+ 1. Esse processo chama-se soma de Poisson (ou de Abel) da série.
6. Mostre que a fórmula integral de Poisson (9-203) transforma-se na fór mula (9-210) para o semiplano, se o disco lzl < 1 é aplicado sobre o semi668
Funções de Uma Variável Complexa
plano lm (z ) > O pela equação '
' z
.1 + z
=1--·
1-z
[Sugestão: escreva (9-203) na forma
u onde
z = ei8•
=
,
.1
+ z0
z'
=1--•
1-z o
Mostre que f (z0) fica 1
J
-
ni
=
=
2 " 20 + z h(z) d8, 2n 0 z0-z
_!._
i
A mudança de variável deve ser feita tanto em z0 quanto em z:
zo
onde h1(t)
J(z0)
Re [ f (z0)],
"{
1
=
.1 + z 1 1-z --
t
=
. t + 01.
t2}
_ h 1 (t) dt
_ _ __
- 00
1 +
t -z'o
hlz(t)l-J RESPOSTAS
z2-1 1 1. (a) -arg--, 2 n z + 1
e'"- 1
2
e
1 (b) -(n-arg z 4), n
2 (e) 1--arg n ·
(d) 2--arg , n en• + 1 --
( z-1 )2 --
z +1
(c) 1--(0
·
As funções-argumento são todas tomadas entre O e
2. (b) V
=
U 0 arg
n
z,
n.
onde z é a inversa da função w
a
=
-(2 Log z 2n
-
-
z2 + 1),
lm(z) > O.
T -T 2--1 arg (yr.:::-; 3. T1 + 4w 1- i); a raiz quadrada é escolhida com parte n
5.
imaginária > 1 e o arg é escolhido entre O e n. (b) [ah1 + (n - a)h1+ 1]/n.
9-34. APLICAÇÃO CONFORME EM HIDRODINÂMICA. Como se observou na Sec. 9-22, as condições div V= O,
rot V= O
para um campo de vetores V= ui-vj no plano equivalem às equações de Cauchy-Riemann para u e v, de modo que a função complexa u + iv = f (z) é
669
Cálculo Avançado
analítica. Pela Sec. 5-15, essas equações descrevem portanto um movimento de fluido incompressível, irrotacional, a duas dimensões. Se restringirmos nossa atenção a um aberto simplesmente conexo, f(z) tem uma primitiva F(z) (determinada a menos de constante). Se escrevermos F
=
(x, y) + ii/J(x, y),
então
, F (z)
o =
ox
.a
- l
=
u+
.
IV.
Logo,
o ox
=
o
u,
-
ºY
=
V
-
ou grad
=
ui-vj =V.
A função chama-se potencial de velocidade, e F(z) o potencial de velocidade complexo. Podemos escrever
o
_
F'(z)
=
-
ax
o
+ iay
=
u-iv.
Logo, o conjugado da derivada do potencial de velocidade complexo é o vetor -velocidade. As curvas (x, y) const. chamam-se curvas eqüipotenciais; são ortogo =
nais em cada ponto ao vetor-velocidade grad r/J. As curvas i/J(x, y) const. chamam-se linhas de corrente; o vetor-velocidade em cada ponto é tangente a uma dessas curvas, de modo que elas podem ser consideradas como traje tórias de partículas de fluido. =
A representação conforme pode ser aplicada a problemas de hidrodinâ mica de várias maneiras. Primeiro, problemas particulares podem ser formulados . como problemas de valor de fronteira e resolvidos com ajuda de representação conforme como na seção precedente. Segundo, partindo de uma configuração de fluxo conhecida, pode-se obter uma variedade de outras configurações de modo empírico, simplesmente aplicando diferentes representações conformes.
Figura 9-54. Fluxo ao redor de um obstáculo
670
Funções de Uma Variável Complexa
Consideramos aqui brevemente um exemplo do primeiro tipo de aplicação. Consideremos o problema do fluxo em torno de um obstáculo, como é suge rido na Fig. 9-54. O domínio D do fluxo é o exterior de uma curva fechada simples (lisa por partes) C. Como D não é simplesmente conexo, não podemos ter certeza de que exista um potencial complexo (univalente) F(z). Veremos que, com uma hipótese adequada sobre o fluxo "no oo", existe F(z). A hipótese natural é que o fluxo aproxime-se de um fluxo uniforme a velocidade constante no oo. Então f (z) = F'(z) é analítica no oo: f
(z) =
F(z)
=
ao +
ª-1 + ª-2 + z z2
const. +
· ·
a0z + a_1
.
,
1z 1
> R,
ª-z log z-+ z
·
·
.,
1z1
>
R.
Se F(z) deve ser univalente, não deve existir o termo em log z; portanto su pomos que o fluxo seja tal que a_ 1 O, de modo que =
ª-2 ..., !(z) =ªo+ - + z2 F(z)
=
const. +
a 0z - a _ 2z- 1
(9-214) +
· ·
·
A constante a0 é exatamente o valor de f no oo, de modo que ã0 é a ve locidade do fluxo uniforme limite. A função-corrente if! Im[F(z)] é constante ao longo de C, pois (na au sência de viscosidade) o vetor-velocidade deve ser tangente a C. Seria natural formular um problema de valor de fronteira para if!, porém é mais fácil observar que a hipótese (9-214) sobre o comportamento de F(z) no oo e a condição: Im[F(z)] const. sobre C implicam em que z1 F(z) aplica D de modo biu nívoco e conforme sobre um aberto D1 do plano z1. Isso se prova pelo princípio do argumento (Prob. 3 abaixo). Como lm(z1) y1 é constante sobre C, a ima gem de C deve ser um segmento y1 = const. no plano x1y1; assim, D1 consiste no plano x1y1 todo menos um talho, como na Fig. 9-55. Inversamente, se F(z} é analítica em D e aplica D de modo biunívoco e conforme sobre um tal do mínio com talho D1 , então F deve ter um pólo de primeira ordem no oo e if! = = Im[F(z)] deve ser constante sobre C; assim, toda aplicação de D sobre um =
=
=
=
Figura 9-55. Domínio com talho
671
Cálculo Avançado
domínio D1 com talho fornece um potencial de velocidade complexo F(z) adequado.
Exemplo. Seja C o círculo: 1z1 = 1. Então z1
aplica D sobre
um
= a0 (z +
�)
=
F(z)
(a0 real)
domínio com talho D1, estando o talho situado sobre o
eixo real (conforme Ex.
13 da Sec. 9-31). Logo, esse é
um
potencial adequado
para o fluxo em torno do círculo. A função corrente é
y l/I = ªoY-ao---2; X2
+ y
as linhas de corrente são mostradas na Fig.
9-44 (Sec. 9-31). ã0 no oo, a representação
Pode-se mostrar que, dada C e a velocidade
(9-214) no
F(z) que tem a expansão
oo
existe e é univocamente determinada
a menos de uma constante aditiva [que não tem efeito sobre o vetor-velocidade F'(z)]. Um teorema semelhante vale para o fluxo em torno de vários obstáculos limitados por curvas e 1 ... ' cn; o potencial de velocidade complexo aplica '
o domínio do fluxo sobre o plano z1 menos
n talhos. Para as demonstrações,
ver o livro de Courant citado nas referências.
9-35. APLICAÇÕES DA REPRESENTAÇÃO CONFORME NA TEO RIA DA ELASTICIDADE. Problemas a duas dimensões na teoria da elas ticidade podem ser reduzidos à resolução da equação biarmônica
(9-215) (Sec.
2-11). A função U é a função de "stress" de Aíry; suas derivadas segundas a2u ax2 ,
dão as componentes do
a2u
a2u
ax ôy'
ôy2
tensor de "stress", que descreve as forças que agem
sobre uma seção plana arbitrária do sólido em estudo. A resolução de (9-215) num aberto D equivale à resolução de duas equações: V2U=P,
,
V2P=0.
As soluções P da segunda equação são funções harmônicas. Além disso, se U1
U satisfazem à primeira equação para P dada, então 2
logo as soluções da primeira equação são da forma
u1 + w,
g
onde U1 é uma solução particular e W é harmônica. A Óra se possível, esco-
672
Funções de Uma Variável Complexa
u
lhamos funções harmônicas
e
v
tais que
ôu ôv · -=P=ôx ôy Então
V2(xu+yv)
xV2u + 2
=
ôv ôu + yV2v + 2 = 4P. ôx ôy
Logo,
U1=i{xu+yv) é a solução particular requerida, desde que simplesmente conexo, podemos escolher
Q
u
e
.v
possam ser achadas. Se D é
tal que
P + iQ
=
F(z) seja
ana
lítica em D; então
u+iv =f(z)= JF(z)dz define (a menos de constantes aditivas) funções harmônicas
u
e
v
tais que
ôu av - =-=P ôx ôy e
U 1 pode
ser escrita como segue:
U1 Finalmente, as soluções
U
=
z (z)]. i(xu + yv)= -!Re(f
de
(9-215) podem ser escritas na forma:
U = U1 + O fator -! pode ser absorvido líticas no aberto D, então
W
=
Re
(z) [Zf4+ g(z) -
J
·
emf (z ) e temos a conclusão:
U=
Re
[Zf(z) + g(z)]
sef(z) e g(z) são ana (9-216)
biarmônica em D; se D é simplesmente conexo, então todas as funções biar mônicas em D podem ser representadas nessa forma. Os problemas de valor de fronteira para a função U podem ser formuladqs em termos das funções analíticas f e g. Se D é aplicado conformemente sobre
é
um segundo aberto D1, o problema é transformado num problema de valor de fronteira em D1• Representando sobre um aberto simples D1, tal como o semiplano ou o disco unitário, reduzimos o problema a outro mais simples.
Portanto, assim como para o problema de Dirichlet, a representação conforme é uma ajuda poderosa. A importância de de funções analíticas, que
(9-216) é que exprime U em termos
permanecem analíticas
se for feita uma mudança
de variável conforme. Uma função biarmônica, em geral, não permanece biar mônica sob uma tal transformação.
673
Cálculo Avançado Para mais detalhes sobre as aplicações à elasticidade, ver o Cap. V do
Mathe.matical Theory of Elasticity, de 1. S. SokolnikofT (curso mimeografado na Brown University, 1941); ver também um artigo de V. Morkovin, págs. 350-352 do Vol. 2, Quarterly of Applied Mathematics (1944). 9-36. OUTRAS APLICAÇÕES DA REPRESENTAÇÃO CONFORME. De um modo geral, a representação conforme pode ajudar na resolução de todos os problemas de valor de fronteira associados com a equação de Laplace ou com a
equação de Polsson mais geral 82u 82u �a 2 +� a2 X )
= g(x,y)
(9-217)
'
no plano. O fato crucial é que funções harmônicas permanecem harmô nicas . sob representação conforme. Embora os valores de fronteira possam ser trans formad.os de modo complicado, essa desvantagem usualmente é compensada pela possibilidade de simplificar o domínio por meio de uma representação conveniente. Mencionamos aqui um exemplo das possibilidades e, para mais informações, referimo-nos aos livros de Kellog e Frank e vou Mises citados no final do ca pítulo. Suponhamos que se queira encontrar uma função u(x,
y) harmônica
num dado aberto D, limitado por uma curva simples fechada lisa C e satisfa zendo às condições de fronteira: u tem valores dados
8u/8n =O no resto de C, onde
n
h(x, y) sobre um arco de C; 8u/8n O
é o vetor normal a C. A condição
equivale à condição de a função conjugada
v
=
ser constante sobre C: logo, essa
condição é invariante sob representação conforme. Para resolver o problema,
quadrante: x1 >O, y1 >O, de modo que o arco 8u/8n =O se transforme no eixo y1. A função h(x, y) fica uma função h1(x1), dando os valores deu para y1 =O. Agora resolvemos o problema: u(x1 y1) harmônica no semiplano superior; u(x1 , O) h(x1) para x1 >O e h(-x1) para x1 < O. Em outras palavras, refletimos os valores de u(x1 , O) fronteira na reta x1 =O. A função u obtida é harmônica no quadrante e tem os valores de fronteira certos para x1 >O. Além disso, (9-210) mostra que u(x1 , y1) = u(-x1, y1), isto é, u tem a mesma simetria que os valores de fronteira. Isso implica 8u/8x1 O para x1 O, isto é, 8u/8n =O sobre o resto da fronteira do quadrante. Logo, u satisfaz a todas as condições. Se voltamos ao plano xy, u fica uma função de x e y que satisfaz ao problema de valor de fronteira dado. Pode-se mostrar que essa é a única solução limitada, se h é contínua por partes. aplicamos D, se possível, no
sobre o qual
,
=
=
=
=
PROBLEMAS 1. Prove que
F(z) aplica D
674
:
1z1 > 1
=
(
a0 ze;ª +
�) zeux
+ const.
(IX real)
de modo biunívoco e conforme sobre um aberto com
Funções de Uma Variável Complexa talho D1 (essa é a aplicação mais geral desse tipo). Interprete F como um potencial de velocidade complexo.
·
2. Mostre que o vetor V=
(
1 +
x2
y x 2 + y2
----
_
y2
.+
) ( 1
(x2 + y2)2
2 xy
-x x2 + y2
----
(x2
)
+ y2 )2
.
J
pode ser interpretado como velocidade de um fluxo irrotacional, incom pressível, em volta do obstáculo limitado pelo círculo x2 + y2 1. Ache o =
potencial de velocidade complexo e a função corrente, e esboce algumas linhas de corrente. 3. Seja
w
=
F(z) analítica em D, aberto exterior à curva simples fechada C,
e com pólo de primeira ordem no
Seja F(z) contínua em D mais C e
oo.
seja Im [ F(z)] = const. sobre C. Mostre que F(z) aplica D biunivocamente sobre um domínio com talho. [Sugestão: mostre que o princípio do argu mento da Sec. 9-28 toma aqui esta forma: a variação de argF(z) quando z percorre C em sentido negativo é
2n vezes (N0 -N00), onde N0 e N00 são
os números··de zeros e pólos de F(z) em D mais o ponto z= oo. Mostre que a variação de arg[F(z)- w0] é O se =O; mas
w0
não está na imagem de C. Logo,
l, de modo que N0 = 1.J 4. Seja U(x, y) biarmônica para x2 + y2 < 1. Mostre que U pode ser desen
N0-N00
N00
=
volvida em série de Taylor nesse disco, de modo que U é analítica em x e y. 5. Ache a distribuição de temperatura de equilíbrio Tna meia faixa: O y
>
O se o lado x = O é mantido à temperatura T0, o lado x
=
<
x
<
1,
1 à tem
peratura T1, enquanto que y=O está isolado (aTjan= O). RESPOSTAS
2. F(z)= z + � + i log z
(não-univalente).
9-37. FÓRMULAS GERAIS PARA APLICAÇÕES BIUNÍVOCAS. TRANSFORMAÇÃO DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL. Os exemplos encon trados acima indicaram a importância da representação conforme para as aplicações. Resta o problema de exibir uma classe de representações explícitas suficientemente ampla para as aplicações. Damos aqui várias fórmulas que ajudam nessa questão. Aplicação sobre uma faixa não-limitada com talhos. Sejam h1 , h2 ,
• • .
,
h., hn+ 1, constantes reais tais que, para algum m, hl
<
hz
< ... <
hm
hm;
Como casos extremos, pode-se escolher m
=
pontos x1 , ... , x. no eixo real tais que x1 mônica limitada v no semiplano y
>
hm+ 1
>
1
> ... >
ou m= n
hn+ 1
(9-2 18)
.
+ 1. Sejam escolhidos
x2 < < x Uma função har O, com os seguintes valores de fronteira <
· ·
·
• .
para y= O: V = h1 para X
<
X1'
v = h. para x._1 < x
V = hz para X1 <
x.,
<
X
<
X 2 ' ...
v = hn+I para x
>
x.,
675
Cálculo Avançado é fornecida por
(9-206):
1
z-z2
'lr:
z-z1
,
z-z.
v = -[h1arg(z-z1) +h2 arg-- + · · · +h.arg ---
z-z._1
+h.+1{n-arg(z-z.)}];
aqui, z1
x1 +Oi, z2 = x2 +Oi, . . . Uma correspondente f (z) = u +iv = w analítica no semiplano superior é =
1
z-z
z-z
2 + f(z) = -h [ 1 Log (z-z1) +h2 Log -z-z1
'lr:
· ·
"· +h. Log -z-z._1
n - Log (z-z.)]
+h. + 1 (i
onde a é uma constante real. Quando as constantes h1 ,
(9-218),
. . •
+a,
(9-219)
, h.+ 1 satisfazem a
essa função fornece uma representação biunívoca conforme sobre o semi
plano; para a demonstração, ver o Prob. 5 abaixo. O aberto imagem D1 é limitado
por retas v
=
const.
Exemplo. f (z) =
_!._
=
'Ir:
'Ir:
1
[
Log (z +
[
2ni
1)
z
+ 3 Log __ + z +
1
+ Logz-2 Log (z +
J
2( in- Logz)
1)]
aplica o semiplano superior sobre o aberto D1 que se vê na Fig. V
9-56.
"2
----4--+---+---u -1 Figura 9-56
Figura 9-57
De um modo geral, o aberto-imagem D1 jaz entre as retas v =h*, v =h**, ondeh* eh** são o menor e o maior dosh1, h2,
. . •
, hn+l; a fronteira de D1
consiste dessas retas mais raios v = const. correspondendo aos demaish. Cada tal aberto-imagem D1 pode ser obtido com uma conveniente escolha dos núme ros x1 , ... , x., a, pois o teorema geral da aplicação conforme (Sec. rante a existência da aplicação; como
v
9-32)
dados, a função v deve ter a forma acima, de modo que f tem a forma Aplicação sobre um setor com talhos radiais. Se h**-h*
que a largura de D1 é, no máximo,
676
2n,
ga
é limitada e tem valores de fronteira
então a função
ew
� 2n,
(9-219).
de modo
toma cada valor no
Funções de Uma Variável Complexa máximo uma vez em D1. Logo, F(z) = exp[f(z)] fornece também uma apli
cação biunívoca, se w2
=
(9-218) vale. A função F(z) pode ser escrita:
F(z)
=
exp[f(z)] =
exp(a + ih.+1)
(Z-Zl )k1 ( z-z2)
k . .. (z-z ;k ' nl" 2
as potências de (z-z1}, ... sendo os valores principais: (z-z1)k'
(z
-
z1}] . A
=
(9-220)
exp[k1 Log
função ew aplica D1 sobre um aberto D2 contido no setor: h* <
< arg w2 < h** e limitado pelos lados do setor e outras retas e raios, como
9-57; logo, w2 = F(z) aplica o semiplano superior sobre D2 Quando 2n, o setor tem ângulo 2n e as semi-retas de fronteira coincidem.
sugere a Fig.
h** - h*
=
•
Aplicações de Schwarz-Christojfel. Outra importante classe de aplicações
pode ser obtida de f(z): a das aplicações w = G(z) = .
r
F(z) dz + const. =
-
r
ef<•) dz + const.,
lm(z0) > O,
-
ou, mais explicitamente,
(9-221) onde A e B são constantes complexas.
A função w
= G(z) define a transformação
de Schwartz-Christoffel. Com hipóteses adequadas sobre as constantes ki, w
=
G(z) aplica o semiplano superior biunivocamente sobre um aberto limi
tado por meio de retas ou segmentos, e pode-se mostrar que toda aplicação biunívoca do semiplano sobre um tal aberto pode ser representada na forma
(9-221). Isso inclui, em particular, toda aplicação sobre o interior de um polígono.
A
função G(z) satisfaz às condições de fronteira: arg G'(z) = h1 para y = O, x < x1,
arg G'(z) = h2 para y = O, x1 < x < x2, pois
• • •
,
G'(z) = ef(•) = e•+iv arg G'(z) = v = Im[f(z)].
A função G'(z} mede quanto
as
direções giram indo do plano z ao plano w (Secs.
9-9 e 9-30). Logo, ao longo da fronteira o ângulo de rotação é constante por
partes; portanto cada intervalo x < x1, x1 < x < x2, numa reta por w = G(z). Os números h1, h2
,
. • •
• • •
deve ser aplicado
dão os ângulos da direção
do eixo real positivo com essas retas, como está sugerido na Fig. caso de um polígono convexo; os números
9-58 para o
677
Cálculo Avançado w
Figura 9-58
são
ângulos exteriores sucessivos do polígono; o (n + 1)-ésimo ângulo exterior
é h1 + 2n - h.+ 1 . Pode acontecer que h.+ 1 tem só
n
=
h1 + 2n e, nesse caso, o polígono
vértices; de outra forma, para um polígono convexo próprio, h.+ 1 <
< h1 + 2n. Como k1 n + ·
+ k.n
· ·
(h2 - h1 ) +
=
·
· · + (h.+ 1 - h.)
=
h n+ 1 - h1,
os dois casos são os seguintes: kl + . .
.
+ k.
=
(n vértices) (n + 1 vértices).
2
kl + ... + k. < 2 Os vértices w1 ,
• • .
,
w. do polígono são as imagens de z1, .
ésimo vértice, se existe, é a imagem de
z
= oo.
• •
,z
• .
O
(n + 1)
Observamos que, para um po
lígono convexo, O < k1n < n, O < k2n < n, . . . de modo que os k estão entre O e 1. Dado qualquer conjunto finito de ki tais que kl + k2 +
o a correspondente função w
<
=
kl
<
.
.
. + k.
� 2,
1, ... 'o < k.
<
1,
G(z) define uma aplicação biunívoca do semi
plano superior sobre o interior de um polígono convexo com ângulos exteriores k1n, k2n, ... Reciprocamente, dado
um
polígonp de vértices
w , . 1
. . , w.+ 1,
G(z) do semiplano superior sobre o interior do polígono. A determinação dos pontos z1, , z. e das constantes A e B é,
, existe uma aplicação biunívoca
w =
• . .
em geral, um problema dificil de equações implícitas; em casos especiais, como nos problemas abaixo, as constantes podem ser todas determinadas. Como se mencionou acima, a imagem pode ter também retas na fronteira. Um tal caso é sugerido na Fig. 9-59, na qual o valor dos h é mostrado. A fron teira pode ser considerada como um polígono, com alguns vértices no
oo.
No exemplo apresentado, há 10 vértices ao todo. Como o exemplo mostra, alguns dos lados podem sobrepor-se, de modo que o arg
G'(z) tem valores di
ferindo por ± n em "bordas" opostas do lado.
Observação. Seja dado um aberto simplesmente conexo D. do plano w e > O do plano z biunívoca e
suponhamos que se queira aplicar o semiplano y
678
Funções de Uma Variável Complexa
Figura 9-59
9-32
conformemente sobre D. Resulta do teorema geral da aplicação da Sec.
que tal aplicação existe, desde que D não seja todo o plano w. Na verdade, uma infinidade de tais aplicações existe. Seja w = f (z) uma delas e seja z
g(z 1)
=
uma transformação linear fracionária [conforme (9-193)] do semiplano Im(z 1) > > O sobre o semiplano Im(z) > O. Então
w =f[g(z1)] = h(z1) aplica Im(z1) > O
sobre D, isto é, w = h(z) aplica lm(i) > O sobre D. Para cada escolha da apli cação g de semiplano sobre semiplano, obtemos uma nova aplicação h do semiplano sobre D. Pode-se mostrar que todas as aplicações do semiplano no aberto D dado po"dem ser obtidas a partir de uma só f, compondo dessa forma com uma transformação linear fracionária g de semiplano sobre semiplano. Podemos distinguir uma particular aplicação f impondo condições adi cionais. Por exemplo, podemos impor que três pontos dados z1, z2, z3 do eixo real correspondam a três pontos dados w1, w2, w3 da fronteira de D, desde que a ordem cíclica das triplas ajuste-se às direções positivas correspondentes sobre as fronteiras. A explicação dessa regra é que se pode aplicar o semiplano sobre si mesmo levando três pontos dados do eixo real em três pontos dados do eixo real, desde que as ordens cíclicas combinem (conforme Prob. a Sec.
9
após
9-31).
Os pontos z1 , ... , z. ,
(9-219), (9-220)
e
(9-221).
oo
desempenham papéis especiais nas transformações
Ao procurar uma transformação de um desses tipos
sobre um aberto dado, podem-se supor três dos pontos em posições convenien tes, desde que a ordem cíclica escolhida obedeça à propriedade de preservar a orientação da transformação. Verifica-se que sempre é conveniente tomar o oo
como ponto especial, de modo que hn+ 1 #- h1 e, para
(9-221), hn+ 1
#- h1 +
2n. 1.
Os outros dois pontos especiais podem ser escolhidos, por exemplo, como O e
Aplicações sobre círculos com dentes. Como exemplo final de uma classe
de aplicações biunívocas conformes explícitas, mencionamos as funções w = =
H(z) da seguinte forma: H(z)
=
z +
ª
I1 k5z5 [1- (1-�) 'J ·
s=
Aqui, os números k. e rt5 são reais e k. > O, O
(9-222)
Zs
< rt5 <
1,
para
números z1 , ..., z. representam pontos distintos do círculo
s
=
1z1
=
1, 1;
..
. , n; os
usa-se o
valor principal da potência rt5• A função H(z) é então analítica para
1z1
<
1
679
/
Cálculo Avançado
e, além disso, é biunívoca nesse disco (Prob. 6 abaixo). O aberto-imagem· é aproximadamente o disco lwl < 1 mais n "dentes" agudos que se projetam dele; as pontas dos dentes são as imagens dos pontos z1, , z Quanto menor cada a, , mais aguçado será o dente correspondente. Mais propriedades dessas funções e de outras classes de aplicações são descritas em um artigo de P. Erdõs, F. Herzog, e C. Piranian no Pacific Coast Journal of Mathematics, Vol. 1 (1951), págs. 75-82. • . .
• .
PROBLEMAS 1. Verifique que as funções seguintes definem aplicações biunívocas confor mes do semiplano superior e determine as imagens: (a) w =2Log (z + 1)-Log z z-2 z-3 z-1 (b) w =Log- + 2Log- + 3Log- -2Log (z-3) z-2 . z- 1 z (c) w =
J
(z -2Xz -3) z(z-1 )
(parte principal).
2. Determine uma transformação biunívoca conforme do semiplano lm(z) > O sobre cada um dos abertos seguintes: (a) o aberto limitado pelas retas v =O, v 2 e o raio v = 1, O � u < oo; [Sugestão: procure uma transformação da forma (9-219), com z1 =O, z2 1, h1 =O, h2 = 1, h3 =2.] (b) o aberto limitado pelas retas v =O, v 2 e os raios v = 1, -oo < u � � -1; v = 1, 1 � u < oo; [Sugestão: use (9-219) com z1 = -1, z2 =O, z3 p > O, h1 =O, h2 = 1, h3 =2, h4 1 e determine p de modo que a aplicação seja como se quer.] (c) o primeiro quadrante do plano w menos o segmento de w O a w = = exp(it). [Sugestão: primeiro apliqve a transformação w1 Log w e então aplique o semiplano no aberto obtido no plano w1 .] =
=
=
=
=
=
=
3: Mostre que cada uma das seguintes transformações do semiplano superior pode ser considerada como caso particular da transformação de Schwarz -Christoffel: (a) (b) (c) (d)
w = Jz;
w = sen'-1z, -fn < Re(w) < in;
as transformações da forma (9-219); as transformações da forma (9-220);
4. Usando
a transformação de Schwarz-Christoffel, determine uma trans formação biunívoca conforme do semiplano lm(z) > O sobre o plano w menos as retas v =2n, u < -1 e v =O, u < -1 [conforme Prob. 2(a) após a Sec. 9-33].
680
Funções de Uma Variável Complexa 5. Prove que, se (9-218) vale, então (9-219) define uma transformação biu ..
nívoca conforme do semiplano lm(z) não-constante g de Re[i(z - z
m
)g (z)] '
>
f
=
-
>
O. [Sugestão: prove que cada termo
r. ki Log (z-z) + const. satisfaz à desigualdade:
O no semiplano. Então aplique o critério VI da Sec. 9-30.]
6. Seja w = u +iv = H(z) definido por (9-222), sob as condições descritas acima. Mostre que
H(z) é analítica e biunívoca para l z l < 1. [Sugestão:
mostre que cada termo h de H(z) satisfaz à condição: Re[h'(z)] > O para
lzl
< 1. Agora aplique o critério V .da Sec. 9-30.] RESPOSTAS
1. (a) O aberto limitado pelas retas v = ± n e o raio v = O, log 4 � u < oo; (b) O aberto limitado pelas retas v = n, v = -2n e os raios v = -n, 1,89 �
� u < 00; V = O, 1,28 � u < 00; V = O, -00 < u �
3,17;
-
(c) O semiplano superior do plano w menos as partes do eixo imaginário entre O e 0,27i e entre 3,7i e 2. (a)
(b)
�[ _!._ [
Log
n
z
oo.
·
� l +2ni-2Log (z-1)-log4l
z-5,l z + ni Log -- + 2 Log
z+l 12 i (c) (1+ )z ' (z -1)114.
z
Log ( z- 5, 1)
-
]
0 03 ,
;
-
9-38. PROLONGAMENTO ANALÍTICO. As funções multivalentes tais
1
como log z e sen - z são incômodas para lidar, pois não são funções no sen tido usual. Fomos obrigados a escolher "ramos" de modo arbitrário para usá-los como funções analíticas. Há
um
aqui, segundo o qual log z, sen
ponto de vista mais natural, que descreveremos -
i
z, as outras funções inversas, e suas combi
nações umas com as outras e com funções elementares ficam sendo "funções analíticas", no sentido próprio. Seja f1(z) defmida e analítica num aberto conexo D1 ; seja fi(z) analítica D2 aberto conexo e suponhamos que D1 e D2 se interceptam, como na Fig. 9-60. Se f2(z) = f1 (z) na interseção de D1 e D2, então dizemos que f2(z) é um prolongamento analítico direto de f1(z). Dizemos também que f1(z) foi prolon gada analiticamente de D1 a D2• Dada f1 (z) em D1 e dado D2 aberto conexo com interseção não-vazia com D1, pode ou não ser possível prolongar f1(z) a D2; no entanto, se o pro longamento é possível, é único, pois, se f2(z) e f !(z) são analíticas em D2 e coin cidem com f 1 (z) na interseção de D2 com D1, então f2(z)-f�(z) =O na inter seção; logo, pelo Teorema 43 da Sec. 9-24, f2(z) = J!(z) em D2• em
Figura 9-60. Prolongamento analítico direto
681
Câlculo Avançado
Tendo prolongado f1(z) de D1 a D2, podemos agora tentar prolongar f2(z) a um novo aberto conexo D3, etc. Repetindo isso um número finito de vezes, chegamos a uma função analítica f.(z) em D0, como sugerido na Fig. 9-61. Chamamos f0(z) de um prolongamento analítico indireto de f1(z) e dizemos quef1(z) foi prolongada analiticamente a D. , via os abertos D2, D3, , D0_1 . Não podemos mais dizer que f0(z) é univocamente determinada por f1(z); pois pode ser possível prolongar f1 a D0 via uma segunda cadeia de abertos e os resultados em D. não precisam coincidir. Isso é exemplificado por prolonga mentos de Log z em volta da origem em sentidos diferentes. Em particular, pode acontecer que D. e D1 tenham interseção e, no entanto, f. seja diferente def1 na parte comum. No entanto, sef1 pode ser prolongada a D. via D2 , D3, , D._1, o prolongamento via essa cadeia é único, pois o resultado em D2 é único, logo em D3 é único, etc. .
.
•
•
•
.
Figura 9-61. Prolongamento analítico indi reto
Figu ra 9-62
Um método fundamental para prolongamento analítico é o das séries de potências. Seja f1(z) definida por uma série de potências, de modo que D1 é um disco cujo raio supomos finito, pois, de outra forma, não há nada de in teressante a fazer. Seja z1 o centro de D1 e seja z2 outro ponto de D1 . Pelo Teo rema 38 (Sec. 9-21), f1(z) pode ser desenvolvida em série de Taylor centrada em z2; essa série define uma função analíticaf2(z) num disco D2. D2pode chegar só até a fronteira de D1 ou pode ultrapassá-la; nesse caso, f2(z) é um prolon gamento analítico direto def1(z). Repetindo o processo em D2, podemos obter novo prolongamento j3, etc. Em particular, sejaf(z) analítica num aberto conexo D e sej!lf1(z) a soma da série de Taylor de f(z) em torno de um ponto z1 de D. Se f2(z) é outra tal soma, relativa a outro ponto z2 de D, então f1(z) pode ser prolongada a f2(z) por desenvolvimento em série de f(z); isto é, pode-se achar uma cadeia de discos em D, ligando D1 a D2, como sugere a Fig. 9-62. Os desenvolvimentos de Taylor de f (z) nos centros desses discos fornecem o prolongamento dese jado. Assim,f(z) pode ser olhada como resultando do prolongamento de uma série de potências segundo cadeias de disco em D. Isso sugere pensar em f(z) como uma coleção de séries de potências ligadas por prolongamento analítico.
682
Funções de Uma Variável Complexa Esse ponto de vista pode ser generalizado, e é a pista para compreender uma função multivalente. Seja
D1•
disco
Agora consideramos
obtidas de
f1(z)
f1(z) definida por uma série de todas as séries de potências .f(z)
potências num que podem ser
por prolongamento analítico, direto e indireto. Essa coleção,
em geral vasta, de séries de potências é o que entendemos por função
analítica
em sentido amplo. Por exemplo, log
z
é olhado como sendo todas as séries de potências
(z
00
log lzo l + iargz0 +
z0,
-
z
z0
n�
n=l
Para um dado
)"
I (-1)·-1 � ,
=f. O.
há infinitas séries, mas duas quaisquer são prolongamentos
analíticos uma da outra. Outra razão para considerar todas as séries de potências ligadas por pro longamento analítico como parte da mesma função analítica é que toda pro priedade funcional de uma será propriedade das outras. Assim, se /
1(z) satisfaz
à relação algébrica
f1(z)
então todo prolongamento analítico de
Então
f1(z)
g1(z)
é uma função analítica de
z
em
satisfaz à mesma relação: seja
D1
e pode ser prolongada onde
g1(z)
possa; em particular, o prolongamento de
a
D.
sobre uma cadeia
particular é
g.(z)
=
[f.(z)]2
onde f.(z) é o prolongamento de
D1;
f1(z)
+
4f.(z)
+ 3,
segundo essa cadeia. Mas
g1(z)
=O em
logo, pela propriedade de unicidade, todos os prolongamentos de
g1(z)
são identicamente nulos; isto é,
[f.(z)]2
+
4[.(z)
+ 3
=
O.
Esse raciocínio estende-se a uma grande variedade de identidades, e a equa ções diferenciais. Assim, como uma série de log
dw dz
l
--- =
z
z
satisfaz a
O
,
essa equação é satisfeita por todas. A identificação de uma "função analítica" com uma coleção de séries de potências tem seus defeitos. Assim, se em
z0,
um
ramo de uma função tem um pólo
gostaríamos de incluir esse fato na descrição da função; isso pode ser
feito acrescentando a série de Laurent em centar séries em
z0
=
co,
z0 •
Analogamente, podemos acres
se um ramo da função tem um pólo ou é analítico
683
,CAicuio Avançado no
oo.
Uma dificuldade maior surge com uma função como
nhum desenvolvimento em série cobre o ponto a
z
w
�
Jz.
Ne
O, no qual desejamos atribuir
=
o valor O. Se admitirmos séries da forma
w
00
L: a.(z - z0)•pfq,
(9-223)
n=-N
onde
p
e q são inteiros primos entre si, esse defeito pode ser remediado. Di
zemos que a função tem um ponto de ramificação algébrico de ordem q - 1 em
z0 ; quando N
=
O, a série dá à função o valor
a0 .
Para uma definição mais completa de pontos de ramificação e mais in formação sobre prolongamento analítico, o leitor pode consultar o livro de Knopp citado nas referências.
9-39. SUPERFÍCIES DE RIEMANN. Embora a definição geral de fun ção analítica dada acima simplifique a descrição de funções multivàlentes como log z, o fato de ser multivalente permanece. Para cada muitas séries diferentes de potências de
z0 pode haver z - z0 que são todas parte de uma mesma
função. Para tornar a função univalente, introduzimos a
superficie de Riemann
associada à função. Esta pode ser imaginada como construída da seguinte forma: a cada série de potências que forma parte da função, associamos o disco cujo raio é o raio de convergência. O disco não precisa mais ser consi derado parte do plano
z, mas pode ser considerado êle próprio como um espaço.
Se duas séries são prolongamento analítico direto uma da outra, identificamos os discos na parte em que as somas coincidem. Pode-se fazer uma imagem concreta imaginando os discos conio pedaços de papel, e a identificação é feita colando-os. Feito isso para todas as séries que formam uma função, ob tém-se
um
objeto em geral bastante complicado. Para log z é a superficie da
Fig. 9-17. Agora, usam-se os valores de partida em cada disco; em outras pala vras, achatamos a superfície sobre o plano
z de modo que os discos retomem z0, mas
suas posições originais. Muitos discos podem ter o mesmo centro
devem ser considerados distintos a menos que as séries correspondentes sejam idênticas. Esse objeto é
a
superfície de Riemann da função. Cada ponto dele
pertence a um disco e o valor dafunção nesse ponto é a soma da série associada com o disco nesse ponto;,esse valor é o mesmo para dois discos quaisquer contendo o mesmo ponto. Portanto a função é Para
w =
Jz,
hã duas séries para c�da
z
univalente sobre a superftcie.
diferente da origem, logo, a
superfície tem duas "folhas" sobre ó plano z.,Na origem hã só uma série, da ' (9-223); assim a origem corresponde i um só ponto da superfície. Uma
forma
situação análoga vale no
oo.
em volta da origem no plano
Se consideramos z,
um
caminho simples fechado C
hã um correspondente caminho na superfície;
basta-nos escolher uma cadeia de séries de potências cujos centros estejam sobre C e que formem uma sucessão de prolongamentos analíticos. Dessa forma, a cada ponto de C associa-se um ponto da superficie. No entanto, per-
684
Funções de Urna Variável Complexa
correndo C uma vez de
z1
a
o prolongamento analitico correspondentê
z 1,
.não voltará ao valor inicial, mas a êsse valor com sinal-. O caminhô corres
pondente na superficie de Riemann não é fechado. Para obter um caminho fe
chado, é necessário dar duas voltas em torno da origem. Isso é típico de um
ponto de ramificação de ordem
1.
As superfícies de Riemann são de valor incalculável, especialmente no
estudo de funções algébricas. Há uma grande literatura sobre o assunto, e
mencionamos os livros de Knopp e Hurwitz e Courant para maiores infor
mações e detalhes.
PROBLEMAS
1. 2.
(a) Prove o Teorema A da Sec.
Represente as seguintes funções analíticas (em sentido amplo) como co
leções de séries de potências: (a)
3.
9-14. 9-14.
(b) Prove o Teorema B da Sec.
1 w=-· z
(b)
w=
1 · z(z-1) --
(c)
w= z112,
(d)
w=
log z + e'.
Quais dos seguintes pares de funções formam prolongamentos analíticos? (a)
"' f1(z) = I z " ,
lzJ < 1 e
n=O
f2(z) =
1
para Re(z)
1-z i arg z,
(b) ft(z )= Log z,
-
>
t;
O < arg z<2n; f2(z) = log J zj + "' "' (z 2)" (c)f1(z)= I (-l)"(z-1)", jz-11<1 efz(z)= I (-1)"--=n-•Jz2j<2 2 n=O n=O ·
4.
Analise as superfícies de Riemann das seguintes funções: (a)
w =;ri,
(b)
w=
z-1 z+1
log--·
Será útil esboçar, para (a), Re[f(z)] e, para (b), arg [f(z)] como função de e y; conforme Sec. 9-15 acima. Pode-se obter daí a superfície de Riemann
x
achatando sÓbre o plano z, conservando a distinção entre as folhas. RESPOSTAS
2.
(a) I
n=O
(z (- l )" �f� )" Zo
mais séries:
w =..!..._em Z
O e oo;
1 "' --- I z" z n=O
_l__ I
z-1
n=O
(-l)"(z-1)" em
1,
"' 1 I •no
em O,
oo;
n=2 Z
685
Cálculo Avançado
(e) z 1012
[
onde z�12 00
z-(z -z0)2 1 -z0 - ----2 z0 222 ! z�
1 !+-
=
,,,1 3 ( z -z0)3 + -----+ ··· , 233 ! z6 ·
1z01112 exp (tiargz0), mais séries:
e'º
(d) L: 1(z-z0)" n= n .
+
o
loglzol
nenhuma série em
O
ou
+
iargz0
+
w =
z112 em
J
O
e
co;
00 (z - z )" L; (-1r+1�,
n=l
nz
o
co.
3. (a) e (b) são prolongamentos analíticos. REFERÊNCIAS Betz Albert, Konformç Abbildung. Berlim: Springer, 1948. Bieberbach, Ludwig, Lehrbuch der Funktionentheorie (2 vols.), 4.ª edição. Leipzig: B. G. Teubner, 1934. Churchill, Ruel V., Introduction to Complex "Variables and Applications. New York: McGraw-Hill, 1948. Courant, R., Dirichlet's Principie, Conformai Mapping and Minimal Surfaces. New York: Interscience, 1950. Frank, P., e v. Mises, R., Die Differentialgleichungen und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. Vai. 1, 2.ª edição, Braunschweig: Vieweg, 1930; Vol. 2, 2.ª edição, Braunschweig: Vieweg, 1935. Goursat, Édouard, A Course in Mathematical Analysis, Vol. II, Part 1 (traduzido para o inglês por E. R. Hedrick e O. Dunkel). New York: Ginn and Co., 1916. Hurwits, A. e Courant, R., Funktionentheorie, 3.ª edição. Berlim: Springer, 1929. Kellogg, O. D., Foundations of Potencial 1heory. New York: Springer, Berlim, 1929. Knopp, Konrad, 1heory of Functions (2 vols.), traduzido para o inglês por F. Bagemihl. New York: Dover, 1945. Osgood, W. F., Iehrbuch der Funktionentheorie (2 vois.), 3.ª edição. Leipzig: B. G. Teubner, 1920. Pidard, Emile, Traité d'Analyse, 3.ª edição, Vol. II. Paris: Gauthier-Villars, 1922. Titchmarsh, E. C., The 1heory of Functions, 2.ª edição. Oxford: Oxford University Press, 1939. Whittaker, E. T., e Watson, G. N., A Course of Modern Analysis, 4.ª edição. Cambridge: Cambridge University Press, 1940.
686
·
capítulo 1 O
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 10-1.
INTRODUÇÃO. Uma equação diferencial parcial é uma equação
que exprime uma relação entre uma função incógnita de várias variáveis e suas derivadas com relação a essas variáveis. Por exemplo,
(10-1) (10-2) são equações diferenciais parc1a1s. Por solução de uma equação diferencial parcial entende-se uma certa
função que satisfaz à equação identicamente em seu domínio. Por exemplo, u são soluções de
(10-1)
e
= e
- ' sen x,
(10-2),
u
=
x 2 - y2
respectivamente.
Embora não tenhamos estudado equações diferenciais parciais como tais nos capítulos anteriores, elas apareceram em várias relações importantes. Por exemplo, as soluções de de
x
e
y;
(10-2)
são precisamente as funções harmônicas
tais funções foram longamente estudadas no capítulo precedente.
As equações de Cauchy-Riemann: u x
= v , ,
u,
=
- vx
formam um sistema de
equações diferenciais parciais; também elas foram estudadas no Cap. 9. Outros
sistemas encontrados antes neste livro são os seguintes:
Q(x, y); Fx = P(x, y), F1 Fx F, X(x, y, z), Fz = Z(x, y, z); Y(x, y, z), ZY- Y, = L(x, y, z), X, -Zx = M(x, y, z), Y,,- XY N(x, y, z). =
=
=
=
O primeiro e o segundo surgiram quando se tratou de integrais curvilíneas no plano e no espaço (Sec.
5-6
de vetores solenoidais (Sec.
5-13); o 5-13). Os
e
terceiro apareceu no estudo de campos resultados da Sec.
2-17
também dizem
respeito a equações diferenciais parciais, formadas com Jacobianos. Neste capítulo, não tentaremos considerar métodos gerais para deter minar as soluções de equações diferenciais parciais, mas restringir-nos-emos principalmente a uma classe de equações diferenciais parciais lineares: as equa
ções da forma
ou o2u p-2 + H -0 - K 2 v 2u · t at
=
F(t, x, ...),
(10-3)
onde ué uma função de t mais uma, duas ou três variáveis coordenadas x, ... , p, H_ e K2 dependem das coordenadas, e F depende de t e das coordenadas.
687
Cálculo Avançado
Essa equação é a generalização natural a meios contínuos da equação
m
dx d2x + k2x = F(t) + h dt2 dt
(10-4)
para vibrações forçadas de uma mola. Veremos que o paralelo entre (10-3) e (10-4) vai longe. Para tornar clara a relação entre (10-3) e (10-4), primeiro estudaremos o caso do movimento de
duas partículas presas a molas. Os resultados obtidos
serão então generalizados ao caso de N partículas. Veremos que as equações que governam o movimento formam um sistema da forma
.ma u1,
d 2u duª + hª dt + [ ...] = Fª(t, u1, .. ., uJ, dt2
(u = 1, .. ., n);
(10-5)
, u. são coordenadas que medem os deslocamentos das várias partículas equilíbrio. A expressão entre colchetes [...] depende das uª e, em particular, de suas diferenças: u - u1, u3 - u , Mostraremos que 2 2 .
•
.
a partir de suas posições de
•
•
•
esses sistemas gerais podem ter "movimento harmônico", vibrações amorte
cidas, decréscimo exponencial, movimento forçado, tal como uma única massa governada por (10-4). Se fazemos N tender a infinito, então
n torna-se infinito
em (10-5) e obtemos como "caso-limite" a equação diferencial parcial (10-3).
diferenças na expressão [ ...] transformam-se em derivadas parciais de que V2u compõe-se. Finalmente, veremos que a equação diferencial obtida como
As
limite continua a exibir todas as propriedades observadas para os sistemas de 1, 2, ..., N partículas: movimento harmônico, decréscimo exponencial, etc. A única diferença básica entre os vários casos é que, enquanto para uma
uma só freqüência de oscilação, para duas partículas movendo-se duas freqüências, para N partículas há N freqüências, para uma infinidade de partículas há irifinitas freqüências.
partícula há
sobre uma reta há
10-2. REVISÃO DA EQUAÇÃO PARA VIBRAÇÕES FORÇADAS DE UMA MOLA. Lembramos brevemente alguns fatos (conforme Sec. 8-7, 8-13)
m � O, h � O, k >O. Movimento harmônico simples. Aqui, h =O e F(t) =O, m >O. A equação
relativos à Eq. (10-4). Supomos sempre (a) fica
(10-6) . As soluções são oscilações sinusoidais:
x = A sen (Àt + e), (b)
h2
<
k
rm
-
·
(10-7)
Vibrações amortecidas. Aqui, m >O, F(t) =O, eh >O, mas h é pequeno:
4 mk2. A equação fica
m 688
À=
d2x dx + h + k2X dt2 dt
=
0.
(10-8)
Equacões Diferenciais Parciais
As soluções são oscilações com amplitude decrescente: x = Ae-ª'
sen (Pt + e),
onde a = h/2m e {J (4mk2 -h2)1'2/2m. (c) Decréscimo exponencial. Aqui m=O, h >O, F(t)
(10-9)
=
dx h+ k2x =O. dt
=
O. A equação fica
(10-10)
As soluções são funções exponenciais decrescentes: X=
k2 a=-· h
ce-ar,
(10-11)
Um resultado semelhante vale se considerarmos uma Eq. (10-8) na qual h é grande comparado com .m: h2 > 4mk2; na verdade, (10-10) pode ser conside rada como caso-limite: m-> O de (10-8). (d) Equilíbrio. Supomos F(t) = F0 constante. A equação fica d2x dx m- + h+ k2 x= F0. dt dt2 O
(10-12)
valor de equilíbrio de x é aquele para o qual x fica constante; logo, dx/dt Portanto, em equilíbrio,
=
O,
d2x/dt2= O.
X=
x* =
Fo
(10-13)
-·
k2
(e) Aproximação ao equilíbrio. Para estudar essa aproximação, fazemos
(10-14)
u= x-x*,
de modo que u mede a diferença entre x e o valor de equilíbrio. Achamos m
d2u dt2
+h
du dt
+ k2 u
=
O,
(10-15)
de modo que u tem a forma (10-7), (10-9), ou (10-11). Por exemplo, sem= O e h >O [caso (c)],
x = u + x*
=
k2 a=-, h
(10-16)
ce-ª' + x*;
(10-17)
x aproxima-se do valor de equilíbrio exponencialmente.
(t)
Movimento forçado. F
m = O, h
pode ser qualquer função de t. Se, por exemplo,
>O, então dx h- + k2x = . F(t). dt
(10-18) 689
Cálculo Avançado Cada solução consiste de uma solução transitória mais
x x*(t)
=
=
ce-•1 + x*(t),
e-•t
f
(10-19)
eª'F(t) dt.
As soluções procuram acompanhar a "entrada"
(10-20)
2 F(t)/k , o que é dificultado
pelo atrito. Observação. As equações para as quais
m
=
O podem ser realizadas por
outros modelos fisicos: por exemplo, o resfriamento de uma massa quente, um circuito elétrico contendo resistência e capacitância. 10-3. CASO DE DUAS PARTÍCULAS. Consideramos o modelo ilus trado na Fig. 10-1. Duas partículas de massas
�.
6
Xo
xl
X2
X3
m1 , m2 são presas uma à outra
Figura 10-1. Sistema linear com duas massas
X
e a "paredes" por molas. As partículas movem-se sobre um eixo coordenadas
x e têm x1, x2; as paredes estão em x0, x3. Por simplicidade, supomos
que todas as molas têm o mesmo comprimento natural l e a mesma constante
2 k . Supomos que as partículas estão sujeitas a resistências -h1 (dx1/dt), -h2(dx 2/dt) e a forças exteriores F 1(t),F2(t). As equações diferenciais têm a forma de mola
dzx, 2 dt 2 d x2 m2 2 dt m1
2
=
dx1
ds 2
.
-k (x2-x1 -1) + k (x3 -x2-l)-h2 dt + F2(t). 2
=
2
-k (x1-x0-I) + k (x2-x1-l)- h1 dt + F1(t), 2
Simplificando, obtém-se
(10-21)
Não afirmamos explicitamente que as paredes estão fixas em
x0, x3 e
as equações diferenciais são ainda corretas mesmo que as paredes se movam de modo controlado de fora do sistema. No entanto, se x0 e x3 são constantes, xó, x� e F1(t), F2(t) são O, o sistema tem exatamente um estado de equilíbrio, que é a solução das equações (10-22) Verifica-se imediatamente que a solução é (10-23) em equilíbrio, as partículas estão igualmente espaçadas entre as paredes.
690
Equações Diferenciais Parcicis Agora, referimo-nos a cada partícula em relação à sua posição de equi líbrio introduzindo novas variáveis:
como está sugerido na Fig. 10-2. As equações diferenciais (10-21) então têm a forma
2 d u1 du1 ? + h1 dt - k -(uz - 2u1 + Uo) = F1(t), dtz (10-25) dzuz du z 2 m2 -2 + h2 -- k (u3 - 2u 2 + u1) = F2(t). dt dt . Se as paredes são lixas: x0 = xó, x3 = x!, u0 e u3 são O; no entanto (10-25) mi
admite um movimento qualquer das paredes e, em particular, valores cons
tantes e não-nulos de u0 e u3, que significam um deslocamento das paredes em relação à posição de equilíbrio.
Figura 10-2
Agora consideramos vanos casos particulares de (10-25), análogos aos casos (a), (c), (d), (e) e (f) da sec. precedente. A discussão do análogo de (b) é deixada ao Prob. 10 abaixo. (a) Movimento harmônico. Supomos m1 > O, m2 > O, h1 = h2 =O, u0 = = u3 =O e F1(t) = F2(t) =O, de modo que as equações diferenciais (10-25) ficam (10-26) Estas equivalem a quatro equações de primeira ordem:
du1 dt
-
dUz -dt
=
W1,
= Wz,
2 dw1 k - =-(uz-2u1), dt m1 2 d.Wz k -(-2uz + u1), dt m2 -
(10-27)
=
e, portanto, podem ser resolvidas pelo método da Sec. 8-12. Podemos abreviar o processo fazendo a substituição usual (10-28) diretamente em (10-26). Obtemos as equações
2 2 2 (m1À + 2k ) A1 -k A2 =O,
2 2 2 -k A1 + (m2À + 2k )A2 =O.
(10-29)
A equação característica é (10-30)
691
Cálculo Avançado As raízes são os quatro números complexos distintos ± rx =
k
p
k
=
J Pi J Pi
+ P2 +
+ P2
-
rxi, ± /Ji, onde
J Pi-PiP2 + P�, J Pi-PiP2 + P�
(10-31)
p1 1/m1 , p2= 1/m (ver Prob. 1 abaixo). Quando À ± rxi, as Eqs. (10-29) 2 são satisfeitas se A1 = k2 , A ± {3i, são satisfeitas 2k 2 - m1 rx2 ; quando À 2 2 para Ai = k2, A 2k 2-m1{3 . Portanto a solução geral é 2
e
=
=
=
=
=
u,
=
Uz =
c1k2e•it + C k2e-•ir + C3 k2ep;r + c4 k 2e - fi it, 22 C1(2k2 - m1rx )e•i• + C2(2k2-m i rx2 )e - •i•
= cosa ± i sena e introduzindo novas constantes
e±•i
Escrevendo
i:1 ,
2
+ c3(2k2-m tfJ2)efi i• + C4(2k2-m1 f3 )e-fii!.
i:2, isso pode ser escrito em forma real:
u1 =
u = 2
Cik 2 sen (at + i:1) + C k 2 sen (/3t + 1:2), 2 2 C1(2k 2 - m1a ) sen (at + B1) + C2(2k2-m 1 /32 ) sen (/Jt +
Quando C = O, a solução é 2
u1
=
C1k2 sen (at + 1:1),
u = 2
2 C1(2k -m1a2) sen (at +
_
C1, C2,
i:2).
(l0-32)
i;i);
duas partículas oscilam sincronizadas com freqüência rx. Chamamos isso de modo normal de movimento. Quando C1 = O, obtemos um segundo modo normal com freqüência /J. O movimento geral é uma combinação linear dos dois modos normais. As freqüências a, p são chamadas de freqüências de ressonância. (e) Decréscimo exponencial. Supomos m1 = m2 O F1 =O, F2 =O, ' u0 = u3 O, h1 > O , h2 > O As Eqs. (10-25) ficam as
um
=
=
,
.
h1
du1 -k2(u2-2u1) dt
=
O
(10-33)
,
Procuramos soluções
(10-34) e procedemos como no caso (a). A equaÇão c;;rracterística é de segundo grau e tem raízes reais
distintas -a, -b, as quais são negativas (Prob. 5 abaixo): a= k1(qi + qi + b= k1(q1 + q2
onde
q1
=
J qi-qiq2 + q�),
- J qi-qiqz
+ q�),
(10-35)
1/h1 , q2= 1/h • Verifica-se (Prob. 5 abaixo) que a solução geral é 2 (10-36)
Podemos dizer: o movimento geral do sistema é uma aproximação exponencial ao estado de equiUbrio: u1 u2= O. Ambos os "modos normais" são transi=
892
Equações Diferenciais Parciais
tórios nesse caso, mas podemos considerar o movimento geral como com binação linear de dois modos normais. O modelo fisico da Fig. 8-2 não é muito adequado aqui, pois estamos considerando o caso-limite m1 na Fig.
10-3.
=
O m2 ,
=
O Um modelo melhor é .
o
sugerido
Aqui, consideramos uma barra feita de quatro partes, cada uma
Figura 10-3
sendo
um
condutor de calor perfeito, de modo que a temperatura u é constante
em cada uma. As partes nas extremidades são mantidas a temperaturas u0
e u3. Supõe-se que o calor possa fluir pelas faces de partes adjacentes segundo
a lei de Newton, de modo que a taxa de fluxo é proporcional à diferença de
temperatura. Se h1 e h2 denotam calores específicos totais para as partes do meio. obtemos as equações diferenciais du1 h1 dt du2 h2dt Se k1
=
k2
= k3
e u3
=
u0
2
2
2
2
= -k1(u1-uo)-k2(u1- u2), (10-37)
= -k2(U2-U1)-k3(U2-U3)·
=
O, obtemos
(10-33).
Fisicamente, é óbvio que,
quando as temperaturas nas extremidades são mantidas a O, as temperaturas nas partes do meio aproximam-se também gradualmente de O. (d) Equilíbrio. Supomos que u0 e u3 têm valores constantes uó e
forças constantes F 1 e F2 são aplicadas. As Eqs.
(10-25)
u;
e que
têm então uma solução
de equilíbrio, obtida fazendo-se todas as derivadas em relação a t iguais a O:
(10-38) Assim, os valores de equilíbrio de u1 e u2 são
(e) Aproximação ao equilíbrio. Seja w1
(10-39).
e ui são dados por F1
=
const., F2
=
=
u1 -11f. w2
=
u2-·u� onde
Substituindo em (10-25) com u0
=
const. vem as equações
2 dw , 2 d w, 2 + h1 dt-k (w2-2w1) =O, dt 2 dw2 d w2 z m2 2 + hz dt- k (-2wz + w1) = O . dt
uó, u3
=
uf uj,
m1
Se, por exemplo, m1
=
W1
W2
m2
=
=
=O,
então essas são as mesmas
(10-33),
2 C1kze-ª' + c2k e-b1, 2 2 c1(2k -h1a)e-ª' + c2(2k - h1b)e-b'.
(10-40) de modo que
(10-41) 693
Calculo Avançado Assim,
u1 u2
=
=
w1
+
w2
+
u! u;
2 c1k e-ª' + c2k2e-bt + u!, 2 2 c1(2k -h1a)e-ª' + c2(2k -h1b)e-b'
=
=
+
(10-42)
u;.
Como para uma partlcula, a solução é uma aproximação exponencial ao equi líbrio. (f) Movimento forçado. Forças externas podem ser aplicadas tanto va riando as posições u0, u3 das paredes quanto pelas forças F1 , F2 Admitimos .
ambos os casos, mas desprezamos as massas, considerando as equações
du1 2 h1 dt-k [u2-2u1
+
du2 2 h2--k [u3(t)-2u2 dt
u0(t)] +
u1]
=
=
F1(t), (10-43)
F2(t).
8-12); substituímos C1 e C2 nas soluções (10-36) das equações homogêneas por funções
Agora usamos o método da variação de parâmetros (Sec. as constantes
v1(t), v2(t): ui u2 Se substituirmos em quando
v1
e
v2
=
=
2 2 v1k e-ª' + V2k e-bt' 2 2 v1(2k -h1a)e-ª' + v2(2k -h1b)e-b'.
(10-43)
e usarmos o fato de que
v� , v�
.
satisfaz a
(10-33)
são constantes, obtemos as equações
2 2 h1(v�k e-ª' + v�k e-b') 2 2 h2[v'1(2k -h1a)e-ª1 + v�(2k -h1b)e-b•] para
(10-44)
(10-44)
=
=
F1 F2
+ +
k2u0, 2 k u3 ,
As soluções são
(10-45)
Substituindo em
(10-44)
obtemos uma solução
u!(t), ui(t).
A solução geral
é então
u1 u2 Os termos em
=
=
2 2 c1k e-ª' + c2 k e-bt + uj(t), 2 2 c1(2k -h1a)e-ª' + cz(2k -h1b)e-b•
e-ª' , e-bt
com
ui, u�, F1 , F2
entrada,
substituídos pelas funções dadas de
do acompanhamento depende do tamanho de
694
(10-46)
u!(t).
podem ser considerados transitórios. As soluções
podem ser interpretadas como acompanhando uma
(10-39)
+
h1 , h2 .
definida por
t;
a rapidez
Equações Diferenciais Parciais
PROBLEMAS 1. Mostre que as
raízes de (10-30) são dadas por ± IXÍ, ± {Ji onde a e {J são definidos por (10-31). Mostre que IX e {J são reais e que IX > f3 > O. 2. Resolva (10-27) como na Sec. 8-12 pondo u1 A1e.i.', u2 = A2e.1.t, w1 = B1e11, w2 = B2eA.t. Mostre que se obtém novamente (10-32). 2 3. Seja m1 =m2 = 1 e k =1, em unidades adequadas, em (10-26). =
=
(a) Escreva a solução geral. (b) Obtenha a soh1ção particular para a qual u1 u2 =O para t =O e du1/dt =1, du2/dt =O para t =O. Esboce os gráficos de u1 e u2 como funções de t. Também esboce a curva u1 =u1(t), u2 =u2(t) no plano u1u2; é uma "figura de Lissajous". =
( )
4. Prove que a expressão E=
1
du1
2m1 dt
2
+
1
( ) du2
2 m2 dt
2
2
2
2
+ k (u1 -U1U2 + uz)
é constante para cada solução de (10-26). [Sugestão: derive E em relação a t e use (10-26).] Os dois primeiros termos dão a energia cinética total, o terceiro termo é a energia potencial. .t. ·� a energia total e permanece cons tante (Sec. 5-15). 5. Obtenha a solução geral (10-36) de (10-33) e verifique que O < b < a. 2 6. Seja h1 = h2 = 1, k = 1, em unidades adequadas, em (10-33). (a) Obtenha a solução g era l . (b) Obtenha a solução particular para a qual u1 =1, u2 =3 quando t =O. Esboce o gráfico de u1 e u2 como funções de t. Esboce também a curva u1 u1(t), u2 = u2(t) no plano u1u2• 7. Seja m1 m2 = O, h1 h2 = 1, k' = 1, F 1 2, F 2 =3, u0 = 1, u3 = 4, ..:111 unidades adequadas, em (10-25). =
=
=
=
(a) Ache o estado de equilíbrio. (b) Resolva as equações diferenciais (10-25) por int egração passo a passo (conforme Prob. 5 após a Sec. 8-8) partindo de u1 =1, u2 =2 e usando l1t =0,1. Esboce o gráfico da solução obtida no plano u1 u2. 2
8. Seja h1 =h2 1, k 1, F1(t) = O, F 2(t) = O, em unidades adequadas em ( 1 0-43). Seja ainda .u0(t) =sen t e u3(t) = O. Obtenha a solução par ticular para a qual u1 =u2 O para t =O. Esboce u1 e u2 como funções de te também a curva u1 =u1(r), u2 =u2(t) no plano u1u2 . 2 9. Seja m1 m2 1, h1 =h2 =O, k = 1, u0(t) =u3(t) =O, F 1(t) =4 sen t, F2(t) =4a sen t em (10-25). Ache uma solução particular. Ocorre res sonância? [Sugestão: use (10-27) e variação dos parâmetros.] 2 10. (a) Seja m1 =m2 = 4, h1 =h2 = I, k = 1, u0 =u3 =O, F 1 (t ) = F2(t) =O em ( 1 0- 2 5). Mostre que as soluções representam vibrações amortecidas. (b) Podem-se modificar os valores de h1, h2 de modo que um modo normal apresenta amortecimento subcrítico e o outro amortecimento supracrí tico? =
=
=
=
=
695
Cálculo Avançado RESPOSTAS 3. (a) u1 =c1 sen (
.j3t + ) + c2 sen (t + e2), .j3t + ) + c2 sen (t + e2), =-ifi sen fit + ! sen t. (b) u1=ifi sen fit + ! sen t, e 1
u2 = -c1 sen (
e 1
u2
c2e-31, u2=c1e-'-c2e-31, (b) u1= 2e-•-e-3',u2=2e-• + e-3'.
6. (a) u1=c1e-•
+
7. (a) u1 =lf• u2=lf 8. u1 = 0,25e-• + O,Ose-3' - 0,1(3 cos t-4 sent), u2 0,25e-• - 0,05e-3'-0,1(2cost-sent). ·
=
9. u1 = (1 + a) cos t), u2 = (1 + sonância, exceto quando a=-1.
a) (-t cost) + (2a - 2) sen t. Ocorre res-
(-t
10. (a) u1= e�ª'(c1 cos /3t + c2sen /Jt + c cos yt + c4 sen y t), 3 _ u2= e ª'(e 1 cos P + c2 sen Pt - c cos yt-c4 sen yt), 3
t p=fe;s,
a=f·
')'
=
J47;s.
10-4. CASO DE N PARTÍCULAS. Agora consideramos o caso geral de
N partículas P1 ,
, PN de massas m1 , , mN movendo-se sobre o eixo x como na Fig. 10-4. A partícula P" é ligada às partículas P"_1 e P"+1 por molas; a partí• .
.
.
. •
Figura 10-4. Sistema linear com N partículas cuia P1 é ligada a uma parede em P0 e a P2; a partícula P N é ligada a PN i e.a uma parede em PN + 1 . De modo geral x denota a abscissa de P". Por simpli " cidade, supomos que todas as molas têm o mesmo comprimento natural 1 e mesma constante k2• Supomos que Pª está sujeito a uma resistência -hª dx. e a t d uma força exterior As equações diferenciais correspondentes a (10-21) são as seguintes: m.,
d:�"
F"(t).
"- 2 x k ( .,+ 1 - 2xª + x"_ 1) = F.,(t).
:C
+ h" d
(10-47)
Se as paredes são fixas, x0 x�, xN+I = x�+i e =O para a= 1, . . . . N, então há um estado de equilíbrio, determinado pelas N equações: =
Xl1+1-2xl1 + xa- 1 =o,
As Eqs. (10-48) podem ser escritas como:
696
F.,(t)
(J=1,
...,N.
(10-48)
Equações Diferenciais Parciais "'
Elas dizem que Pu está a meio caminho entre Pu-i e Pu+i. Logo em equi líbrio todas as partículas estão igualmente espaçadas entre x0 e xN + 1
:
1
x1 = x� = xó + --- (x�+1-xó), .. ., N + 1
(10-49)
N
XN =X�= xó+---(x�+I -xó). N+ 1
Agora, referimos o movimento das partículas às posições de equilíbrio (10-49) introduzindo novas coordenadas: uu = xu-x: (O' =O, ... , N + 1).
(10-50)
As equações diferenciais (10-47) são então substituídas por:
d 2u u duu k2 mu 2 + h -;Jt (11�+1-2uu + Uu-1) =Fu(t) dt
(10-51)
-
u
·
Um segundo modelo físico que leva às Eqs. (10-51) é sugerido na Fig. 10-5. Aqui, as partículas P1 , ... , PN são forçadas a mover-se sobre retas
Figura 10-5. Modelo com N partículas de corda vibrante
x = x1 ,
,X= xN no plano xu. Novamente, Pu está ligado a Pu+i e P�_1 por molas; P0 e PN+i são pontos nas "paredes"; x = x0, x = xN+i ·Supomos • • •
que as retas x = x" são igualmente espaçadas, à distância Ax, e que todas as mq las têm mesma constante
k�
e comprimento natural /, onde 1 < Ax. Se Pu
tem coordenadas (xu, uu) e está sujeito a uma resistência -h,,(duu/dt) e uma força exterior F,,(t), então as equações diferenciais que governam o movimento são:
d 2u u duu .i,2 (sen ( ( 1X"-sen1Xu-I ) +Fut), � - 2uu+uu_1) -. m"- 2 + h,,- =k20Uu+1 dt dt (10-52) onde
O'
= 1, ... , N e
os ângulos
IX,,
IX "
é o ângulo do semi-eixo
"
"
permanecem suficientemente pequenos para que se justifique
a aproximação sen rx
�
tg IX, as equações ficam
d2uu duu m"- 2 + h"- -k2(u u+ 1 -2u'í.. + u"_1) =Fu( t), dt dt ' onde
-
x positivo com P p +1 . Se
k2 = k�[l -(1/Ax)]. A
(10-53)
dedução de (10-52) e (10-53) fica para o Prob. 1
abaixo. As Eqs. (10-53) são idênticas a (10-51).
697
Cálculo Avançado Quando
m" = O para
u
= 1, ..., N, um modelo natural pode ser imagi
nado generalizando o modelo de condução de calor da Fig. 10-3. Outros mo delos podem ser construídos, por exemplo, usando circuitos elétricos. As Eqs. (10-51) podem ser escritas numa forma que sugere novas gene ralizações. Escrevemos
(10-54)
energia potencial associada ao sistema. As Eqs. (10-51) ficam então
Vé a
d " 2d u u av m,, 2" + h,,- +a-= F,,(t), td u,, td exceto para
u =
1e
u
(10-55)
= N; os casos excepcionais podem ser incluídos se modi
ficarmos as definições de respectivamente.
F1 (t) e F N(t) de modo a incluir k2u0(t) e k2uN+ 1 (t),
Se tomarmos para V uma função geral de
u1 ,
.
.
•
, uN em vez da função
particular (10-54), então, em (10-55), fica incluída uma classe muito ampla de problemas fisicos. De grande importância é o caso em que Vé uma expressão quadrática geral:
N N V=
L L aiiu iui"
(10-56)
i= 1j=1
Esse caso surge na consideração de problemas de "pequenas vibrações", isto é, problemas relativos às vibrações de um sistema de partículas que permanece próximo às posições de equilíbrio. Os problemas das Figs. 10-4 e 10-5 são assim. A aproximação sena;
�
tg a baseia-se em ser pequeno o afastamento
para o equilíbrio. Agora, enunciamos brevemente os resultados correspondentes a (a), ... , (1) para (10-51). Na verdade, muitos enunciados aplicam-se igualmente às Eqs. (10-55), onde V é definida por (10-56). Para demonstraÇão e uma discussão mais completa ver os livros de Goldstein (Cap. 10) e von Kármán e Biot (Cap.V) mencionados no final deste capítulo. Vários casos particulares são considerados nos problemas abaixo. (a)
Movimento harmônico. Aqui, h"
=
O,
u0
=
uN+ 1
=
O, F,,(t)
=
O. Veri
ficamos que há N modos normais de vibração, com freqüências de ressonância À.1,
.
.
•
, ÀN, e que o movimento geral é uma combinação linear destes:
N u"
=
L
n= 1
e. A"·" sen (À.t +
A ... são constantes determinadas, e . arbitrárias.
as
(b)
F,,(t)
=
• • .
,
(10-57)
cN, e1 , ... , eN são constantes
Vibrações amortecidas. Nesse caso, m" > O, h,, >O, u0 = uN+ 1 =O, O. As oscilações de (a) são substituídas por oscilações amortecidas,
da forma
698
c1 ,
e.);
e-ar
sen (Àt +
e), ou termos de decréscimo exponencial: e-ar, te-ª'.
Equações Diferenciais Parciais
(c)
Decréscimo exponencial. N "modos
Aqui,
Verificamos que há
m,,
F,,
=O,
=O,
u0 = uN+l
=O,
h.,
>O.
normais de decréscimo" e que o movimento
geral é uma combinação linear dos modos normais:
u(J Equilíbrio.
(d)
Se
N '°' = � n=l
u0 = uó, uN+l
cnAn, (Je =
-a, "
(10-58)
•
ut+l' F,,
=
F:,
onde as letras com
u,,
asterisco são constantes, então os valores de equilíbrio: mente espaçados entre
uó
+
(F!Jk2)
e
ut +1 + (Ftfk2 ).
=
u:
são igual
Aproximação ao equilíbrio. Sob as hipóteses do caso (d), o movimento uª(t) é uma solução das equações homogêneas correspondentes a (10-51) a solução de equilíbrio u:. Quando as equações homogêneas são do tipo
(e) geral mais
(c), tem-se, pois, aproximação exponencial ao equilíbrio:
u
'J a
= i...J '°'
cnAn, e-ª"'+ u*a
((J
u
n=l
= 1, ..,N).
(10-59)
.
Movimento forçado. Aqui, u0, uN+ 1, e todas as Fª podem depender de u,,(t) é uma solução das equações homogêneas corres pondentes a (10-51) mais uma solução particular u:(t). A solução particular (f)
t.
O movimento geral
pode sempre ser achada por variação de parâmetros; sempre pode ser inter pretada como acompanhando uma entrada. O efeito total de todas as
F,,(t)
sobre a solução pode ser considerado como uma superposição dos efeitos das uma
Fª(t) separadamente. Somando um termo sinusoidal de freqüência À a Fª soma-se um termo sinusoidal de freqüência À a todas as u:(t), a menos
que todas as
h,,
sejam O, e À seja freqüência de ressonância, pois, então, pode
ocorrer ressonância (conforme Prob. 9 após a Sec.
10-3)
.
PROBLEMAS l. (a) Obtenha as Eqs. (10-52) para o modelo da Fig. 10-5. (b) Mostre que, quando os ângulos
rx,,
permanecem pequenos, as Eqs.
(10-53) são aproximações justificadas de (10-52). 2. Mostre que, quando
hª
=O e
F,,(t)
=O para (J = 1,
de (10-55) tem a propriedade que a
E
=
N [1 (du )2] L1 2 m,, = dt a= -
... , N,
toda solução
energia total +
V(u1,
•
.
.
,
uN)
[Sugestão: ver Prob. 4 após a Sec. 10-3.J N = 3 em (10-51) e m1 = m2 m3 = 1, k2 = 1, h1 h2 = h3 =O, u0 = u4 =O, F 1 = F 2 = F 3 = O, de modo que temos o caso (a). Procure soluções u1 = A1e;,', u2 = A2e;,', u 3 = A3e;,' e obtenha a solução geral
é constante. 3. Seja
=
=
na forma (10-57).
699
Cálculo Avançado 4. Seja
N
2
3 em (10-51) e m i m2 = m3 = O, k 1, hi = h2 = h3 = 1, u0 = u4 = O, Fi F2 F3 O de modo que temos o caso (c). Procure soluções: Ui = A i e"', u2 A2e"', u3 A3e" e obtenha a solução geral na forma (10-58). 5. Equações de diferenças. Consideramos funções f(u) de uma variável u: u = O, ± l, ± 2, ... Seja f(u) definida para u = m, u = m + 1, . .., u =' n. Então a primeira diferença ll+f(u) é a função f(u + 1)- f(u) (m;;:; u < n); a primeira diferença tl_f(u) é a função f(u)- f(u-1) (m < u;;:; n). A se gunda diferença é a primeira diferença da primeira diferença; isso poderia significar ô.+ ô._ f, ô._ ô.+ f, ô.+ ô.+ f, ô._ ô._ f; usaremos só =
=
=
=
=
=
=
=
conforme a Sec. 2-18. Diferenças de ordem maior podem ser definidas de modo análogo. Uma equação de diferenças é uma identidade a ser sa tisfeita por f(u) e suas diferenças de várias ordens. De um modo geral, a "equação de diferença linear" tem uma teoria análoga à das equações diferenciais lineares e as funções e'ª desempenham um papel semelhante. Consideramos só dois casos: 2
(a) ô. /(u) = O. Mostre que a solução geral é dada por f(u) = ciu + c2 , onde Ci, c2 são constantes. Obtenha a solução que satisfaz às con dições de fronteira: f (O) = u0 .f (N + 1) = uN + i , onde u0 , uN + i são constantes dadas. 2 2 (b) ô. /(u) + p f(u) O. Mostre que as funções Ci cos qu + c2 sen qu são 2 soluções, se cos q 1 - tp e O < p2 < 4. Mostre que se p2 > 4, pode-se achar números distintos ªi e a2 de modo que as funções Ci a� + c2a� 2 sejam soluções e que se p = 4, as funções c1(-l)" + c2u(-1)ª são soluções. (c) Mostre que, se /(O) e /(1) são dadas, então a equação de diferenças da parte (b) determina sucessivamente /(2), /(3), ... Portanto, para tais "condições iniciais'', há uma e uma só solução. Determine as cons tantes Ci c2 para cada um dos casos da parte (b), ajustando-as às con dições iniciais dadas. O fato de isto ser possível garante que cada expressão dá a solução geral para o valor correspondente de p. (d) Mostre que as únicas soluções da equação de diferenças da parte (b) que satisfazem às condições de fronteira, f (O) O, f (N + 1) = O, são múltiplos constantes das N funções
,
=
=
,
=
=
sen
(N : ) n
1
u
(n = 1,. .. , N),
e que
700
2
= 2
(
1-cos� N +1
)
Equações Diferenciais Parciais 6. Mostre que a $0IU1;ão de (10-48), onde
x0 = xó, xN + 1 = x�+ 1 , é
equiva
lente à solução da equação de diferenças 11 2f(a)=O do Prob. 5 (a), sujeita
a condições de fronteira, e compare a solução do Prob. 5 (a).
.
m1 = m = · · ·= mN= m., hª =O e F;(t) =O para a = 1, ... , N e 2 u0 = uN+i =O em (10-51), de modo que se tem o caso (a), com massas iguais. Mostre que a substituição uª = A(a) sen (Ã.t + e) leva à equação
7. Seja
de diferenças com condiçÇ)es de fronteira:
11 2A (a) + p2A(a)=O,
A(O) =O,
A(N
+
p 2 = m Ã.2/k2
1) =O.
Use o resultado do Prob. 5 (d) para obter os N modos normais
( -.Jm
uª(t)= sen À.
Mostre que
"
O
..l.1 < ..l.2
<
8. Para duas funções
N
2k
=
:
n
1
a
)
sen (Ã..
nn
n= l, ... ,N.
sen --2(N + 1)
··
<
f(a), g(a)
t + e.),
< À.N. definidas para ·
a=O,
1, 2,... , N + 1, defi
nimos um produto interior (f, g) pela equação (conforme Sec. 7-10) (f, g)=f(O)g(O)
+ f(l)g(l) + · · · + f(N)g(N) + f(N
+ l)g(N
+ 1);
ll!ll é então definida como (f,f)112• No que segue, consideramos somente funções que valem O para a =O e a = N + 1. Em particular, usa
a norma
mos as funções
.(a)
do Prob. 5 (d):
.(a)= sen (nixa), (a) Faça o gráfico das funções (b) Mostre que
(m, .)=O
escreva
.(a)
ix =n/(N +
no caso N= 5.
se m # n e que
ª r -sª
1).
r
=
ll
e«ni '
s= e-ani
e calcule o produto interior e a norma por meio da fórmula para soma de progressão geométrica, Eq. (0-29).] (c) Mostre que,se associamos a cadafunçãof(a) ovetorv onde
v1 =f(l), v2=f(2), ... vN =f(N),
= [v1 ,v2,
• • •
,
vN],
então as operações f + g,
cf, (.{, g) correspondem às operações sobre vetores
u
+ v, cu, u v ·
da
Sec. 3-9. Logo, o espaço de funções considerado forma um espaço ve
torial Euclidiano de dimensão N. Os vetores correspondentes às funções formam um sistema de vetores de base.
.(a)/ll.(u) ll
(d) Mostre que, sef(u) é definida para a=O, ..., N + 1 ef(O)=f(N + 1) =O, então
f(a)
pode ser representada de uma e uma só maneira com9
combinação linear das funções f(a)=
N
b .�, .
( ),
.(a), b= .
ou seja, como:
N
2 +
N+l º f(a)
�
Compare com a série de Fourier de senos, Sec. 7-5.
701
Cálculo Avançado 9. Escreva a solução geral do Prob. 7 na forma N
u"(t) onde
ix,,
e
fln
I "(a) (ex,, sen l,,t
=
{311 cos l/),
+
n=l
são constantes arbitrárias. Use o resultado do Prob. 8(d) para
mostrar que as constantes
modo, para que
e
ex"
podem ser escolhidas de um e um só
fln
satisfaça a condições iniciais dadas:
u"(t)
du"
u0(0)
=
f(a), dt (O)
g(a).
=
Isso mostra que, de fato, obtiveram-se
tod as as soluções. h2 hN h, ma o e Fn(t) = o para (J 1, ... ' N, Uo uN + 1 O em (10-51), de modo que temos o caso (c), com o c efic ientes de atrito i guais. Mostre que a substituição u0 A (a)e Jo' conduz à equação
10. Seja
hl
=
=
=
. . .
=
=
=
=
=
=
=
de diferenças com condições de fronteira: 62 A(a)
p2 A(a)
+
A(O)
=
O,
=
O,
A(N +
1)
p2 =
=
2 hl/k,
O.
Use o resultado do Prob. 5 (d) para obter os "modos de decréscimo":
u(t) "
a Mostre que
O
<
a1
<
a2
"
<
sen
=
2 2k
=
'
1-cos� · N +1
h
· ··2
e-ª"'
N + 1
(�a) ( )
N
•
11. Prove que podem ser escolhidas de um e um só modo constantes
e,,
tais que
N
u0(t)
I c,,
=
n= l
é uma solução do problema do decréscimo exponencial (Prob. 10) e sa tisfaz a condições iniciais dadas: u0(0)
12. Em (10-51) seja
h1
=
h2
=
·
·
Prob. 10, mas seja permitido
uN + 1 O, e FN+1(t). =
·
=
h, m" que F0(t) =
=
f(a) O,
(conforme Prob.
para
a
=
dependa de t. Supomos
pois toda variação nas "paredes" pode ser absorvida
O u0 em F0(t) =
,
Use o método da variação dos parâmetros para obter uma so
lução particular. Se substituímos
[Sugestão: a "função c11 por v11(t) para n
=
obtemos equações
complementar" é dada no Prob. 11.
1, ... , N e substituímos em (10-51),
Agora use o resultado do Prob. 8 (d) para concluir que
h�-ª' e " dt 702
9).
1, ..., N como no
2 =
1
-N +
t 'l'n( (J) . ] �F(),1.. L, a
a=1
Equações Diferenciais Parciais
RESPOSTAS 3.
u1 = c1 sen (cxt
+
e1)
+
c2 sen (f3t
+
e2)
+
c3 sen (yt
+
e3),
.j2c1 sen (cxt + e1)-.j2c3 sen (yt + e3), = c1 sen (cxt + e1)-c2 sen (f3t + i;2 ) + c3 sen (yt + e3), 12 2 onde ex = (2- .j2) L/ , f3 = .j2, y = (2 + .j2) 1 . 4. u1 = c1e-ª' + c2e-b' + c3e-", u2 = .j2c1e-ª'-.J2c3e-c' , onde a= 2-.j2, b = 2, e= u3 = c1e-ª'-c2e-b' + c3e-c', 5. (a) u0 + (uN+ 1 - u0)a/(N + 1). u2 u3
=
2 + .j2.
10-5. MEIO CONTÍNUO. EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL FUNDAMENTAL. Consideramos agora o caso-limite N-->
oo.
Em vez de
tentar uma passagem precisa ao limite, deixamo-nos guiar pela intuição fisica. O caso-limite natural para um sistema de N partículas que se movem sobre uma reta (Figura 10-4) é o de uma haste que pode vibrar longitudinalmente, como sugere a Fig. 10-6. As partículas separadas são substituídas pelas seções u
Figura 10-6. Vibrações longitudinais de uma
-+--lf----1
haste
X
da haste, que podem ser imaginadas como uma fina camada de moléculas que se movem juntas paralelamente ao eixo da haste. Se não estão aplicadas forças externas, essa camada tem uma posição de equilíbrio x. Como para as partí
culas, podemos medir o deslocamento u da camada a partir de sua posição de
equilíbrio x; u é então uma função de x e t.
Se passamos ao limite no modelo da Fig. 10-5, obtemos a corda vibrante:
por exemplo, uma corda de violino. Como primeira aproximação cada "molé cula" da corda executa vibrações perpendiculares à reta fornecida pela posição de equilíbrio da corda. O deslocamento da molécula na posição x relativamente
à sua posição de equilíbrio é medida por u, que é função de x e t. Supomos que
as vibrações têm lugar num plano xu; poderíamos considerar o caso mais geral em que as vibrações não estão restritas a um plano.
A fim de obter uma equação diferencial para u(x, t), voltamos às equações
básicas (10-51), escrevendo-as como segue:
d2u. dx dt2 m.
+
u.. 1-2u + u.. _1 duª_k2 F..(t). .. = dx + dx dt (dx)2 dx
�
Supomos x0 e xN+ 1 fixos e fazemos L
(10-60)
xN+ 1 -x0, dx L/(N + 1). Fazemos ../dx representa uma "densidade média" na posição x; é razoável postular que tende a um limite que é uma função p(x) então N crescer. O quociente
=
=
m
representando a densidade (massa por unidade de comprimento) no ponto
x. A lei de atrito mais simples faria h.. proporcional a
.. , de modo que h..Jdx
m
teria como limite uma função H(x) cuja dimensão é força por unidade de com
primento por unidade de velocidade. Para o modelo da Fig. 10-4 o produto
703
Cálculo Avançado
k2ô.x representa a tensão em uma. mofa quando é estirada de ô.x. Mas a mesma tensão exatamente deve existir em cada metade da mola, que só é estirada de
!ô.x. Logo, se usamos sempre molas de mesma rigidez., 0k2ô.x deve tender a um limite que é uma força constante K2 Para o modelo da Fig. 10-5 tem-se de fato k2ô.x k� (ô.x-1), onde k� é a constante de mola para cada mola; por tanto k2ô.x representa a tensão em cada mola quanto todos os deslocamentos uª são O; o valor-limite K2 é exatamente a tensão na corda. •
=
Podemos escrever Ua-1
onde
-
2ua + (ô.x)2
Ua-1
u(xª + ô.x, tj- 2u(xª' t) + u(xª-Ô.X, t) (Ax)2
xª é a posição de equilíbrio de Pª. No limite xª fica sendo uma variável
num intervalo e, como na Sec. 2-18, o quociente da segunda diferença por
(ô.x)2 tem como "limite" a derivada a2u (x, t). axz F(x, t) x. Chegamos
·Supomos que os segundos membros tenham como limite uma função representando a força aplicada por unidade de comprimento em assim à equação diferencial parcial
au a2u p(x) 8tf + H(x) at
�
K2
a2u ax2
=
F(x, t).
(10-61)
Essa é a equação diferencial parcial a ser estudada. Certas generalizações serão introduzidas nas seções seguintes, notadamente a substituição de pelo Laplaciano
82u/8x2
V2u: (10-62)
Isso corresponde a uma generalização a movimento num espaço a duas ou três dimensões. Pode-se facilmente construir um modelo a N partículas para isso. Da equação geral (10-55) obtém-se uma classe mais ampla de equações
-K2V2u é substituído por uma expressão mais complicada, u e suas derivadas. Problemas em duas e três dimensões podem levar a siste.mas de equações diferenciais parciais. em que o termo
possivelmente não-linear, em
Embora as generalizações de fato introduzam complicações, os prin cipais problemas e métodos se revelam na Eq. (10-61) e, na verdade, já na apro ximação por N partículas na seção precedente; como se observou na seção introdutória, mesmo a partícula única apresenta as propriedades que são cruciais. O processo-limite pelo qual chegamos a (10-61) baseou-se na intuição física e o teste básico da validez. do resultado é a precisão com que explica o comportamento de meios contínuos. Esse é um problema de física, nada simples, que não nos vai preocupar. No entanto podemos pôr a questão puramente
704
Equações Diferenciais Parciais matemática: as soluções das equações de diferenças convergem às soluções das correspondentes equações diferenciais, quando o intervalo básico (por exemplo,
Lh) tende a O? Essa questão foi feita precisa e respondida de modo
em geral afirmativo, em pesquisa recente. Para uma discussão do problema e mais referências à literatura, citamos as págs.
160-196 do livro de Tamarkin
e Feller mencionado no final do capít�lo.
10-6. CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. PROBLEMAS BÁSICOS. As Eqs.
(10-61) e (10-62) são lineares em u e suas
derivadas e são portanto equações diferenciais parciais lineares. Envolvem derivadas de u até segunda ordem e, portanto, são equações diferenciais parciais de segunda ordem. A equação diferencial parcial linear de segunda ordem em duas variáveis independentes tem a forma au a2u a2u a2u àu A -aX 2 + 2BaXay + Ca--z +D-a + E :;-+ Fu + G = O, y X oy -
onde A, ... , G são funções de x e y. As Eqs. elípticas:
B2-AC
<
(10-63)
(10-63) classificam-se em três tipos:
O, AÇ2 + 2BÇl'f + C112 = 1 é uma elipse;
parabólicas: B2-AC = O, AÇ2 + 2BÇ11 + C112 + DÇ + E11 =O é uma parábola hiperbólicas: B2-AC
>
O, AÇ2 + 2BÇ11 + C112 = 1 é uma hipérbole.
Uma equação pode ser de um tipo numa parte do plano xy e de outro tipo em outra parte. Uma classificação análoga é feita para equações em três ou mais variáveis independentes. Os três tipos são ilustrados respectivamente pelas equações
A primeira destas é a equação V2u = O e aparece naturalmente no problema do equilíbrio em duas dimensões. A segunda corresponde a decréscimo.exponencial e a terceira a movimento harmônico. A equação diferencial
(10-61) foi dada como sendo a equação natural para 10-6, ou para as vibra
as oscilações longitudinais de uma haste, como na Fig.
ções transversas de uma corda. Há outros problemas a uma dimensão em que a equação é aplicável: ondas de som planares e ondas eletromagnéticas, difusão do calor, e outros processos de difusão (p = O). A equação também pode ser aplicada a intervalos irifinitos do eixo x; embora a vibração de uma corda de comprimento infinito pareça uma noção artificial, um tal caso ideal é útil para aplicações. A Eq.
(10-62) tem aplicações análogas em duas ou três dimensões,
inclusive as equações hiperbólica, parabólica e elíptica básicas. equação de onda:
a 2u p--K2V2u =o, ar2
equação do calor: equação de Laplace:
705
Cálculo Avançado
aqui, p, H_ e K2 usualmente são tomados como constantes. Como se indicou nas Secs. 5-15 e 9-34, a equação de Laplace é satisfeita pelo potencial de velo cidade de um movimento fluido irrotacional, incompressível. As equações completas da hidrodinâmica são sistemas não-lineares (ver Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1932). Os problemas básicos associados com (10-61) são simplesmente os análogos para um meio contínuo dos problemas estudados nas seções precedentes. Por exemplo, o problema (a) diz respeito ao caso em que p(x)
F(x, t)
=
O, H(x) =O,
>
O, e as "paredes" são fixas:u(O, t) = O,u(L, t) = O; esperamos mostrar
que há uma só solução para o problema com valor inicial:u
g(x) .flx), au/at para t =O. Uma tal solução u(x, t) seria definida e contínua para O ;;::; x ;;::; L e =
=
para t � O, e exigir-se-ia que tivesse derivadas parciais até segunda ordem para O < x < L e t > O e satisfizesse à equação diferencial no aberto descrito. Como para o problema de Dirichlet (Sec. 9-32), pode-se considerar a possibi lidade de descontinuidades na fronteira; isso exige cuidado, mas podem-se obter resultados significativos. A palavra "solução" significará funções u(x, t) contínuas para O ;;::; x ;;::; L, t � O, a não ser que se diga o contrário. Os problemas (b) e (c) (vibrações amortecidas e decréscimo exponencial) são formulados de modo análogo. O problema de equilíbrio (d) agora dá uma equação diferencial ordinária -K2
com condições de fronteira: u =
d 2u 2
-
dx
u0
=
F(x),
para x
=
O u ,
=
u1 para x
=
L. Em duas
dimensões a equação análoga é a equação de Poisson
ondeu tem valores dados na fronteira de uma região a duas dimensões; quando F
=
O, este é o problema de Dirichlet. Em qualquer caso, queremos mostrar
que há um único estado de equilíbrio u*(x) [em duas dimensões, u*(x, y)]. Como para o problema com N partículas, a aproximação ao equilíbrio, problema (e), é descrita por uma função u*(x) + u(x, t), onde u(x, t) é uma solução de um problema homogêneo (a), (b) ou (c). O problema (1) do movimento forçado inclui os outros cinco como casos especiais. São dadas condições de fronteira: u(O, t) = u0 (t) u(L t) ,
,
=
u1(t) e
valores iniciais deu; queremos mostrar que existe uma e uma só solução cor respondente. Os métodos usados são uma extensão natural dos usados para o problema com N partículas. Os problemas homogêneos são tratados por meio de uma substituição: u(x, t) = A(x) el•, que dá os modos normais; a "solução geral" é novamente obtida como combinação linear de modos normais. O problema não-homogêneo do movimento forçado é resolvido por variação dos parâ metros; a solução geral é a soma de uma solução particular u*(x, t) com a solução geral do problema homogêneo.
706
Equações Diferenciais Parciais Consideramos apenas os casos de paredes fixas ou de paredes que se movem de modo pré-estabelecido. Há outras condições de fronteira naturais; por
au/a x seja O para x
exemplo, poderíamos exigir que
=
O. Para o caso de N partí
culas, isso corresponderia a exigir que a parede P0 se movesse de tal maneira
que u0 = u1; então a distância entre P0 e P 1 é fixa e nenhuma energia pode ser transmitida. Para o problema de condução do calor, isso corresponde a uma O. fronteira isolada em x =
10-7. A EQUAÇÃO DE ONDAS EM UMA D IMENSÃO. MOVIMENTO (10-61) supusemos H(x) = O e F(x, t) = O p constante, independente de x. A equação diferencial fica
HARMÔNICO. Na equação básica e
a 2u
a2 u
p at - K2 ax2 2
=
o < X < L, t
O,
>
o
(10-64)
A equação deve ser aplicada a uma haste ou corda ocupando a parte do eixo entre
x
=
Oe
x =
L.
u(O, t)= O,
=
n.
u(L, t)
x'
Com uma mudança de escala, ao caso em que L
x
Supomos que as extremidades são fixas: =
nx/L,
=
O.
podemos reduzir o problema
A equação fica
pL Por simplicidade, colocamos
2
x
viação:
a 2u
aiu
2
atz n K 2 ax'2= O. -
em vez de
x'
no que segue. Introduzimos a abre
n a=- K ·
(10-65)
-
Lj{i
A equação e condições de fronteira agora ficam
a2u
a2 u
atz - a2 ax2 u(O, t)
=
=
o
o < X < n;
O,
u(n, t)
=
t
>
O,
O.
(10-66) (10-67)
Para determinar os modos normais podemos agora colocar
u(x) em
(10-66), (10-67). (10-68)
(10-68)
ei'
5
abaixo) e simplificamos o processo fazendo
a substituição
u(x) As Eqs.
A(x)
No entanto vemos que, como no caso de N partículas, À.
deve ser imaginário puro (Prob. em lugar de
=
(10-66), (10-67)
=
A(x) sen (À.t + e).
(10-68')
O,
(10-69)
ficam
-A(x)À.2 - a2A"(x) A{O)= A(n)
=
=
O.
(10-70) 707
Cálculo AvaQçado O sistema de equações lineares do problema com N partículas é pois substi tuído por uma equação diferencial com condições de fronteira. Isso é previsto nos Probs. 5-12 após a Sec. 10-4, nos quais se mostra que esse sistema de equa ções pode ser tratado como uma equação
de diferenças com condições de fron
teira. As soluções ali obtidas estão relacionadas muito de perto com as obtidas para (10-69), (10-70). A solução geral de (10-69) é
A(x)
=
c1sen
(�)
+ c2cos
As Eqs. (10-70) só são satisfeitas se sen
c2 =O, Obtêm-se os
C':)
(�}
(10-71)
=O.
valores característicos (freqüências de ressonância ou valores
próprios) À• e as
(n
an
=
=
1, 2, ...) ,
(10-72)
funções características associadas A.(x)
sen nx
=
(n
=
1, 2, ...).
(10-73)
Nós nos restringiremos a À positivo, pois uma mudança de sinal pode ser absor
e. Os modos normais são
vida na constante de fase
sen
nx sen (ant + e.)
(10-74)
e múltiplos coni;tantes destes; há
uma infinidade de modos normais. O conjunto espectro. Tentamos agora construir a solução geral u(x, t) como uma combinação
das freqüências !e. chama-se o linerar de modos normais "'
u(x, t)
=
2:
c
.
sen nx sen
(ant + e.).
(10-75)
n=l
No entanto enfrentamos uma dificuldade nova: a série infinita (10-75) pode não convergir. Mesmo que seja convergente, pode não satisfazer à Eq. (10-66), pois isso exige a existência de derivadas segundas. Ora, a série (10-75) pode ser considerada como uma série de Fourier de senos em
x, com coeficientes t. Da teoria das séries de Fourier (Cap. 7) obtemos facilmente condições sobre as constantes c,., tal que a série seja convergente para todo x e possa ser derivada duas vezes em relação a x e a t. dependendo de
A escolha das constantes em (10-75) depende das condições iniciais, pois podemos escrever (10-75) na forma: "'
u(x, t)
=
2:
sen nx[a.. sen (ant) + f3. cos (ant)],
n=l
a..
708
=
c. cose.,
P.
=
c. sen e•.
(10-75')
Equações Diferenciais Parciais
Então, se supusermos que as séries envolvidas são uniformemente convergentes, 00
u(x, O) = L fJ. sen nx, n=l
?u -·
- (x, O)
ac
ao =
'\' L,
n=l
\_
naan sen nx
(10-76) •
Assim, fJ. e naa. são os coeficientes de Fourier de seno do desloeamento e da velocidade iniciais respectivamente. Teorema. Se as constantes c. são tais que c.n4 é limitado:
M lc.1<4 n
(n=l,2,. ..),
(10-77)
então a série (10-75) converge uniformemente para todo x e t e define uma solução da equação de onda (10-66) para todo x e t. Sejam f(x) e g(x) defi nidas para O� x� n; suponhamos que f(x) tenha derivadas contínuas até quarta ordem e que f(O) =f(n) =f"(O) = f"(n) = O; suponhamos que g(x) tenha derivadas contínuas até terceira ordem e que g(O) g(n) g"(O) = =g"(n) =O. Então existe uma solução u(x, t) da equação de onda (10-66) com condições de fronteira (10-67), tal que =
u(x , O)
=
=
ôu
- (x, O) =g(x) ;
/(x),
� lt
(10-78)
é a série (10-75'), onde fJ. =n 2
f"
f(x) sen nx dx,
ª• = nan 2
o
f" 0
g(x) sen nx dx.
( 1 O-7 9)
A solução é única; isto é, se u(x, t) satisfaz a (10-66) e (10-67), e as derivadas parciais u""' u" são contínuas para O � x� n, t ;;;; O, então u(x, t) é neces sariamente representada pela série (10-75'), com coeficientes dados por (10-79).
Demonstração. Se vale (10-77), então o critério M de Weierstrass (Sec. 6-13) mostra que a série (10-75) converge uniformemente para todo x e t. Analoga mente, as séries - L n2c. sen nx sen (ant + e.),
- L n2a2c. sen nx sen (ant + e.),
obtidas derivando-se (10-75) duas vezes em relação a x e t, convergem unifor - memente para todo x e t; pois, por (10-77), ln2c.1 < Mn-2• Logo, essas séries representam u""' e u11 respectivamente. Substituindo em (10-66), verificamos que a equação de onda está satisfeita. Sef(x) e g(x) satisfazem às condições mencionadas, então (Prob. 4 abaixo) n4a. e n4fJ. são limitados de modo que
n4c.
=
J (n4a.)2
+
(n4/J.)2
é limitado. Portanto (10-77) vale, de modo que (10-75) ou (10-75') representa uma solução u(x, t) que é contínua para todo x e todo t. Quando t = O, as séries
709
Cálculo Avançado
para u eu, se reduzem às séries de Fourier de senos def(x) e g(x); estas séries convergem paraf(x) e g(x) (Prob. 1 após a Sec. 7-13). A prova da unicidade fica para o Prob. 6 abaixo.
10-8. PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE ONDA. Consideramos as soluções na forma 00
u(x, t)
L: sen nx[rx.. sen (nat)
=
+
fJ. cos (nat)].
(10-80)
n=l
Para cada x fixado, a série é uma série de Fourier em t, com período 2n/a (Sec. 7-5). Portanto cada ponto da haste ou corda considerada tem um movimento periódico, com período 2n/a. O modo normal com n 1 chama-se o modo fundamental. Aqui, =
u(x, t)
=
sen x[rx.1 sen (at)
+
/11 cos (at)].
Isso é fácil de visualizar no caso de uma corda vibrante, para a qual o des locamento tem sempre a forma de uma sinusóide, em cada instante (Fig. 10-7). A corda, portanto, vibra nessa forma com freqüência a/2n (ciclos por unidade de tempo). Os modos correspondentes a n 2, 3, ... chamam-se primeiro harmônico, segundo harmônico, etc.; musicalmente, dão a oitava, oitava mais quinta, etc. Estes estão sugeridos na Fig. 10-7. São facilmente observáveis =
------ ........
,,,,.,..-
,.---- .....
,--�...
,--- ...... ... ... __ .,,.
_____ .,.
Figura 10-7. Modos normais para corda vibrante
num instrumento musical, especialmente nas notas graves, como, por exemplo, no grave de um violoncelo. Observamos que as formas dos modos normais são exatamente as funções características A.(x) sen nx e que essas funções formam um sistema ortogonal completo para o intervalo O � x � n. A relação entre a !'IVlução e as condições iniciais pode ser destacada de modo claro com a seguinte observação: primeiro supomos que g(x) =O, de �odo que a haste (ou corda vibrante) está inicialmente em repouso, mas tem um deslocamento inicialf (x). Por (10-79), rx.. O par a todo n. Agora, podemos escrever =
=
00
u(x, t)
=
L: fJ. sen nx cos nat
00
=
t L: [/3. sen n(x
n=J
+
at)
+
sen n(x - at)].
n=l
Como f (x)
00
=
L: fJ. sen nx,
(10-81)
n=l
podemos escrever u(x, t)
710
=
t[J(x
+
at)
+ f (x - at)].
(10-82)
Equações Diferenciais Parciais Essa representação é, em princípio, válida só para
O � x + at � n,
O � x - at � n.
No entanto, se estendermos a definição de
(10-82)
tem sentido para todo
x
e
t
f(x)
x
presenta uma solução da equação de onda para todo
O termo f(x +
at)
x
à...,todo
por
(10-81),
então
e, sob as hipóteses do teorema acima, re e
t.
representa o deslocamento inicial transladado
at
uni
dades para a esquerda; o segundo termo representa esse deslocamento trans ladado
at
unidàdes para a direita; isso está sugerido na Fig.
10-8.
u
t=O
u
f{x-at)
L
I
X
.... ---,
'\ ,,. ... ,,,,'(
X
t=S Figura
10-8. f(x) versusf(x + at),f(x- at)
Figura
10-9. Soluções u(x, t) da equação de
onda. As curvas mostram as formas das ondas para
t
=
O, l,
..
. , 10. As unidades são
escolhidas de modo que a velocidade de on da a seja
0,2 L por unidade de tempo
10-9,f(x) é escolhido como um deslocamento restrito quase inteiramente !ir- ô < x < in + ô, onde ô é pequeno; a solução pode então traçada como função de x e t. A perturbação é, como se vê, dividida em
Na Fig.
a um intervalo ser
duas que se deslocam em sentidos opostos até alcançarem as paredes, onde são refletidas, com mudança de sinal, e voltam juntas para trás. Isso pode ser provado experimentalmente de várias maneiras: deslocando e soltando uma corda de violino ou por ecos de som. Se o deslocamento inicial exemplo, em
x0,
f(x)
tem uma descontinuidade de salto, por
(10-82) continua a definir x ± at x0 + kn. Esses são descontinuidades"; chamam-se características.
mas é muito liso por partes, então
uma solução da equação de onda, exceto para os caminhos de "propagação de A constante
a
=
aparece como a velocidade com que a perturbação ou des
continuidade propaga-se à esquerda e à direita; chama-se Se escolhemos
u
u(x, t)
=
!Pn [sen n(x
+
at) +
então a perturbação inicial é simplesmente a intervalos de freqüência de
velocidade de onda.
como sendo um modo único de vibração:
2n/n, na/2n
o
comprimento de onda.
sen
n(x - at)]
P. sen nx,
uma onda que se repete
As oscilações em cada
x
têm uma
(ciclos por unidade de tempo). Logo,
711
Cálculo Avançado
\
_' 2n na (comprimento de onda)· (jreqütnciaJ.. "=' =a =velocidade de onda. n 2n - · -
'
Essa é uma das leis fundamentais da tisica. Consideramos agora o caso em que f(x) =O, mas a velocidade inicial g(x) é diferente de zero. Agora, como acima, 00
g(x) = L naan sen nx. n=l
(10-83)
Logo, podemos integrar (Sec. 7-13):
f
g(x) dx =
u(x, t) é, pois,
A solução
J1
(-aan cos nx) + const.
00
00
n=l
n=l
(10-84)
u(x,t) = L a.sennxsennat =t L a.{ cos n(x - at)- cos n(x l
=2a
fx+at x-at
+
at)} (10-85)
g(s)ds,
s é uma variável de integração. A representação (10-85) será válida para x e t, se usarmos (10-83) para estender a definição de g(x) a todo x. A Eq. (10-85) pode ser interpretada como a diferença de duas perturbações que se movem para a esquerda e para a direita com velocidade a. onde
todo
Se admitirmos tanto deslocamento inicial quanto velocidade inicial, o
mesmo raciocínio acima leva à fórmula geral
u(x, t) =t[J(x
+
at) + f(x- at)]
+
1 -
2a
fx+at
g(s) ds.
(10-86)
x-at
PROBLEMAS 1. Seja f(x) uma função periódica ímpar de período 2n e seja f(x) =O para
O
< x < n/3 e para 2n/3 <
x
<
n,
f(x) = 1 para n/3 < x
< 2n/3. Mostre
que (10-82) define uma solução da equação de onda para uma parte do plano
xt; analise a solução graficamente como nas Figs. 10-8, 10-9. A so f(x) como deslocamento
lução em série de Fourier é válida com essa inicial?
2. Seja g(x) uma função periódica ímpar de período 2n e seja
O
<
x
< n/3 e para 2n/3 <
x
<
n,
g(x) =1 para n/3
<
x
g(x) =O para
< 2n/3. Mostre
que (10-85) define uma solução da equação de onda para uma parte do
xt; analise a solução graficamente. A solução em série de Fourier g(x) como velocidade inicial? 3. Mostre que a mudança de variáveis r = x + at, s= x - at, converte a plano
é válida para essa
equação de onda (10-66) na equação
a2u aras= 712
o.
(a)
Equações Diferenciais Parciais
Interprete geometricamente a mudança de variáveis. Mostre que a "solução geral" de (a) tem a forma
u
=
F(r) + G(s).
Discuta a relação entre essa representação e (10:86). 4. (a) Prove que, se f(x) satisfaz às condições enunciadas no teorema da Sec. 10- 7, então f3.n4 é limitado. [Sugestão: use integração por partes como na Sec. 7-8.] (b) Prove que, se
g(x) satisfaz às. condições enunciadas no teorema da
Sec. 10-7, então
ix.n4
é limitado.
5. Mostre que a substituição
(10-68) em (10-66), (10-67) leva a equações que = c(ei•x e-inx). Dessas expressões,
A.(x) ani e A obtenha os modos normais (10-74). só são satisfeitas se l.
=
=
_
10-7, a solução u(x,t) que satisfaz às condições iniciais (10-78) tem de ter a forma (10-75') e, portanto, é univocamente determinada. [Sugestão: nas hipóteses feitas, u(x, t) tem uma representação como série de Fourier de senos em x:
6. Prove que, nas condições enunciadas no teorema da Sec.
00
u
L
=
n=l
2
= -
7t
f" o
u(x, t) sen nx dx.
t, usando a regra de 4-12) e integração por partes para mostrar que .(t) = ix. sen (nat) + f3. cos (nat).]
Derive a segunda equação duas vezes em relação a Leibnitz (Sec.
+ a2n2
(b) diminuir a densidade, (c) encurtar a corda. Mostre como essas con clusões resultam de
(10-72) e (10-65).
8. Ache as soluções gerais das seguintes equações diferenciais parciais para
O < x < n, t
>
O, com condições de fronteira: u(O, t) a2u
(b)-'
at2
=
u(n, t)
=
O:
au a2u ---2- =o. ax ax2
9. Ache a solução geral da equação de onda
a2u (J2u - - a2 ax2 at2
-
tal que
u(O, t)
=
=
0,
u(2n, t), ux(O, t)
=
0 < X < 2n,
t
>
0,
ux(2n, t).
10. Ache a solução geral da equação de onda
a2u at2 tal que
u(O, t)
=
-a 2
a2u
- O, ax2
O, u (n, t) x
=
o < X <
n,
t
>
O,
O. 713
Cálculo Avançado RESPOSTAS
8. (a)
L
e "
sen nx sen
(fn2=lt +
)
en ,
n =: 1
I c"e-x sen nx sen (�t +
(b)
)
e . "
n= 1
L (a" cos nx
9.
+ b" sen nx) sen
(nat +
)
e. .
n=l
10.
I
e "
sen (n +
!)x sen [(n + !)at +
]
e" .
n=l
10-9. A EQUAÇÃO DO CALOR EM DIMENSÃO UM. DECRÉS 10-5:
CIMO EXPONENCIAL. Voltamos à equação básica da Sec.
a2 u
a2u
au
p -- + H--K2-2 8x2 at
8t
=
F(x, t).
O. Supomos que H é uma constante, F, e que as "paredes" são fixas. A equação diferencial
Desprezamos massas, isto é, tomamos p = que não há força exterior
e as condições de fronteira ficam
au
2 2a u O ax2 = ,
K H at -
A Eq.
u(O, t) = O,
o < X < L,
u(L, t)
=
t
>
O.
O;
(10-87) (10-88)
(10-87) é a equação do calor em dimensão um. A equação do calor em três
dimensões
ar
2 V 2 T =O (10-89) at foi obtida na Sec. 5-15 [ Eq. (5-131)]; a Eq. (10-87) pode ser considerada como --e
caso especial de condução do calor numa placa infinita limitada pelos planos
x = Oex
=
L no espaço, sendo as condições de fronteira tais que a temperatura
depende só de
x. Pode-se também interpretar a equação como descrevendo
a condução de calor numa haste fina isolada, exceto nas extremidades. A passagem de um sistema de massas ligadas por molas ao problema de condução de calor pode parecer a princípio artificial. No entanto, as soluções de
(10-87) apresentam as propriedades de um caso-limite do sistema de massas O. Como as massas são desprezadas, as perturbações podem propagar-se instantaneamente; a velocidade de onda é infinita. Como nas seções precedentes, introduziremos uma nova variável, x' nx/L,
quando o atrito aumenta e a massa total avizinha-se de
=
e faremos a substituição:
(10-90) 714
Equações Diferenciais Parciais Escrevendo x em vez de x', a equação e condições de fronteira ficam
ô2u ôu - - c2 -2 =O, ôx Ôt
t >O,
O
<
x
(10-91)
< n,
(10-92)
u(n, t) =O.
u(O, t) = O, A substituição
u
=
A(x)e;.'
(10-93)
leva ao problema de valores característicos:
A"(x)- �A =O, c
(10-94)
A(O) = A(n) = O.
(10-95)
Se À é positivo ou zero, a única solução de (10-94), (10-95) é a solução trivial: A(x) = O (Prob. 9 abaixo). Se À é negativo, as soluções são as funções características A.(x) sen nx (n =1, 2, ...), (10-96) =
com valores característicos associados
(10-97) Portanto os "modos normais" são as funções
(10-98) e os múltiplos constantes delas. Esperamos que a solução geral seja dada pelas combinações lineares 00
L.., u(x, t) = "
n=l
b
11
-c2n2t sen nx e ,
(10-99)
onde as b. são constantes arbitrárias. Novamente devemos ter cuidado com a convergência. O problema é mais simples que para a equação de onda, pois, se os coeficientes b. são limitados: lb.I < M para n = 1, 2, ... então a série (10-99) converge uniformemente em
x
e t em cada semiplano: t G; t 1
, - oo <
x
< oo,
desde que t 1 >O. Isso
resulta do critério de Weierstrass (Sec. 6-13), pois
lbn sen nx e - c2•21 I
<
Me-c2"2'1
=
M
·
n'
a série M 11 é uma série numérica cuja convergência resulta do critério da razão. Da mesma maneiia, verificaremos que a série (10-99) permanece uniformemente convergente no domínio mencionado, se a derivarmos quantas vezes quiser mos em relação a x e t (Prob. 5 abaixo). Em particular, - 2 2, ôu . � 2 2 -= L.., b11(-c n ) sen nx e e • Ôt n=l
=
2 2ô u c -2 ÔX
•
de modo que (10-99) é uma solução da equação do calor no aberto: t >O, - oo <
x
< oo.
As condições de fronteira (10-92) são satisfeitas, pois cada
715
Cálculo Avançado
termo da série vale O se x =O ou x· =n. Toda solução suficientemente lisa da equação de calor e condições de fronteira no aberto descrito deve ter a forma (10-99) (Prob. 7 abaixo). Para t
=
O, a série (10-99), se convergir, r�duzir-se-á a 00
u(x, O)= L b. sen nx.
(10-100)
n=l
Logo, como para a equação de onda, os valores iniciais de u: u(x, O) f(x), são representados por uma série de Fourier de senos. Se, por exemplo, /(O)= � f (n) =O e f (x) tiver uma derivada segunda contínua para O � x � n, então· sua série de senos convergirá uniformemente af(x) e a série (10-99) convergirá uniformemente para O � x � n e t � O. Portanto, sob as hipóteses enunciadas, a série (10-99) define uma função u(x, t) que é contínua para t � O, O � x � n e que satisfaz à equação de calor (10-91), às condições de fronteira (10-92) e à condição inicial u(x, O) =f(x). Além disso, a solução é única (Prob. 7 abaixo). Esses resultados mostram que, com pequenas modificações, o teorema da Sec. 10-7 vale para a equação do calor. Se f(x) é apenas contínua por partes, as constantes =
2 b. = n
fn
f(x) sen nx dx
(10-101)
o
são limitadas, pois a seqüência b. tende a O [Eq. (7-14), Sec. 7-4]. Portanto a série (10-99) define uma solução da equação do calor para t > O. A série converge af(x) em média (Sec. 7-11) para t =O; na verdade, pode-se mostrar que lim u(x, t)
=
f(x),
O
t-O+
em cada
x
em que f(x) é contínna.
10-10. PROPRIEDADES nAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DO CALOR. Para x fixado, cada termo da série (10-99) descreve uma aproximação expo nencial a O. Uma asserção a,·.i üga pode ser feita quanto à soma da série; isto é, lim u(x, t) = O (Prob. 6 abaixo). A taxa de�: .-créscimo varia com n; os termos de alta freqüência em (10-99) têm coeficientes exponenciais menores que os de freqüência baixa e, portanto, amortecem mai, rapidamente. I sto corresponde ao fato observável de que variações abruptas de temperatura num objeto desaparecem rapidamente, ao passo que diferenças de temperatura em grandes distâncias desaparecem lentamente. Se escrevemos (nx}3 (nx)5 sennx = nx+ 1-- ... 31. 5. ·
-
716
-
Equações Diferenciais Parciais
em (10-99) e reunimos os termos segundo potências de x, obtemos uma série:
E
k= 1
1
"'
L:
n=I
1 1 1 )k 1(n)2'k - . -c2n2•. b. \e -
(2k-1).
(10-102)
·
Essa operação pode ser justificada por teoremas sobre séries ou, mais simples mente, por variáveis complexas, como no Prob. 4 abaixo. Assim, para cada
t
>
O fixado a solução u(x, t) pode ser represerJtada por uma série de potências
em x; a série de potências tem raio de convergência infinito, de modo que a
série converge para todo x. As soluções u(x, t) são analíticas em x.
Desse resultado, deduzimos outra propriedade das soluções: a rapidez
infinita da propagação de perturbações. Por exemplo, seja a função inicial
f(x) igual a O para O & x & x1 e maior que O para x1
< x < x onde O < x1 < 2 < 7t. No caso da equação de onda, a solução u(x, t) permaneceria identi 2 camente O perto de x O até que a "onda" começando em x =x1 pudesse chegar <
x
lá. Para a equação de calor, a solução u(x, t) toma valores não-nulos em todo =
intervalo de variação de x para t
positivo fixo. Então u(x,
> O. Para verificar isso, consideramos um t t) pode ser considerada como função analítica de uma
variável complexa x. Pelo Teorema 43 da Sec. 9-24, se u(x, t) =O quando x
descreve um intervalo da reta real, então u
=
O para esse valor de
sariamente, b. = O para n =1, 2, ... , de modo que f(x) Logo, para cada t positivo, u(x,
=
t. Logo, neces
O contra a hipótese.
t) toma valores não-nulos em todo intervalo de
valores de x. A perturbação propaga-se instantaneamente.
10-11. EQUILÍBRIO E APROXIMAÇÃO AO EQUILÍBRIO. Por ana
logia com o caso (d) das Sec. 10-2 e 10-3, admitimos forças aplicadas F(x) e "deslo
camentos das paredes" u0 e u1 que não variam com o tempo. A equação dife
rencial e as condições de fronteira são então:
u ô 2 ôu ô 2u p(x)- + H(x)- -K 2-;;-2ôt ôt2 ex ·
u(O) = u0,
=
F(x),
u(L) = u1•
(10-103) (10-104)
Procuramos uma solução u*(x) independente do tempo; u*(x) então descreve
o estado de equilíbrio do sistema. Assim, substituímos por O as derivadas com relação a t em (10-103) e chegamos ao problema
d2u -K2 - = F(x) ' dx 2 u(O) =u0,
O
<
x
<
L,
u(L) = u1•
(10-105) (10-106)
A Eq. (10-105) é uma equação diferencial ordinária cuja solução geral é obtida
integrando duas vezes:
}
{ -F(x) u =J J [(2dx dx. 717
Cillculo Avançado Se escolhermos uma particular primitiva G(x), de modo que G"(x) =
-F(x)/K2,
então a solução geral é
u = Ax + B + G(x).
(10-107)
As condições de fronteira dão as equações
B + G(O)=u0, AL + B + G(L)= u1• Estas são facilmente resolvidas para A e B. O estado de equilíbrio é, pois,
u*(x)
=
[u1 - u0 + G(O)- G(L)]
X
L
+ u0 - G(O) + G(x).
(10-108)
Supusemos F(x) contínua para O ;:;:; x ;:;:; L, de modo que as integrais acima têm sentido. Para descrever a aproximação ao equilíbrio, tomamos uma solução arbi trária u(x, t) de (10-103), (10-104) para t
O, O
>
<
x
<
L Então
y (x, t) = u(x, t)- u*(x) satisfaz ao problema homogêneo:
a2y
a.v
2 a2y
(10-109)
y(L)=O.
(10-110)
p(x)-;1 + H(x) ;)- K :12 =O, ot ut ox y(O) =O,
Isso se verifica por substituição nessas equações, usando o fato de que u(x, t) satisfaz a (10-103), a (10-104), ao passo que u*(x) é a solução do problema do equilíbrio (10-105), (10-106). Portanto
u(x, t) =y(x, t) + u*(x); a solução geral é formada da "função complementar" e de uma solução parti cular, como de costume. Se, em particular, H(x) =O e p(x) é uma constante positiva p, então a função complementar
y(x, t) é uma solução da equação de onda; as soluções
u(x, t) consistem em oscilações em torno da posição de equilíbrio. Se H é também uma constante positiva, as oscilações são amortecidas (conforme o Prob. 8 abaixo). Se H é tão grande que p pnde ser desprezado, a função y(x, t) é uma solução da equação do calor: a aproximação ao equilíbrio é exponencial. PROBLEMAS
1. Determine a solução para t � O, O ;;=; x ;:;:; com
e
n
da equação do calor (10-91),
= 1, tal que u(O, t) = O, u(n, t) =O, u(x, O)=sen x + 5 sen 3x. Faça o
gráfico da solução como função de x e e e compare as taxas de decréscimo dos termos em sen x e sen 3x.
2. Determine a solução para t
>
O, e O
que é contínua para t � O, O;:;:; x;:;:;
718
< n
x
< n
da equação do calor (10-91),
e tem uma derivada contínua ou/ox
Equações Diferenciais Parciais
au/ax =O para x =O = n, u(x, O) =f(x), ondef(x) tem derivadas primeira e segunda contínuas para O� x � n. Isso pode ser interpretado como um problema de condução
nessa faixa, e que, além disso, satisfaz às condições: ex
de calor numa placa cujas faces são isoladas.
3. Determine a solução, para
t
> O, O
< x < n,
da equação
au a2u --- + 4u = 5senx + 4x, at ax2 tal que
u(O, t)
I
=
O, u(n, t) =n, u(x, O) = x + 2 sen x.
b.
4. Prove que, se as constantes
são limitadas, então a série (10-99) pode ser
t >O, como uma série de potências em para todo x. [Sugestão: seja t > O fixado e seja
escrita, para cada
x,
que converge
v(x, y) = b. sen nx cosh ny e-•2<21• n= 1
I
v converge uniformemente para - oo < x < oo, y� y1, aplicando o critério M com M Me-l/2n'c't . para n suficientemente grande. Mostre que a série permanece uniformemente convergente após derivação qualquer número de vezes em relação a x e a y. Cada termo da série é harmônico em x e y; logo, conclua que v(x, y) é harmô nica para todo x e y. Pela Sec. 9-22, v(x, y) admite desenvolvimento em série em x e y; faça y =O para obter a série desejada para u(x, t).] Mostre que a série para
-y1 �
=
5. Prove que, se as constantes
b. são limitadas, então a série (10-99) permanece
t � t1 >O, oo < x < oo, após derivação qualquer número de vezes com relação a x e t.
uniformemente convergente para
-
b. são limitadas, lb.I
< M, então a função u(x, t) uniformemente a O quando t --+ oo; isto é, dado e >O, pode-se achar t0 tal que 1 u(x, t)I < e para t > t0 e oo < x < XJ. [Sugestão: mostre que iu(x, t)i é menor que a soma da série geométrica ' .\1. z::=1 (e-" 'rJ
6. Prove que, se as constantes
definida por (10-99) converge
-
7. Seja u(x, t) com derivadas contínuas até segunda ordem em x e t para t
� O O� x � n e seja u(O, t) = u(n, t) =O. Prove que, se u(x, t) satisfaz à equação do calor (10-91) para t > O, O < x < n, então u(x, t) tem a forma (10-99). [Sugestão: ver Prob. 6 após a Sec. 10-8.] 8. Discuta a natureza das soluções para O < x < n, t >O, da equação e
a2u au2 au K H PJt2 + ·at - 2 ax2 =O, com condições de fronteira:
u(O, t)
=
u(n, t) =O, se p, H. e K são constantes
positivas. 9. Prove que, se À. trivial:
A(x)
=
� O, as Eqs. (10-94), (10-95) não têm solução além da solução O. 719
Cálculo Avançado
RESPOSTAS 1.
e-' sen x
2.
u= I
n.
00
n =l
+ se-9' sen
3x.
" a "e- 2c21 cos nx,
ª
8. As soluções têm a forma
b
=
K2/p , Yn=(a2-bn2)1'2•
- f"
2
"
=n
.ftx) cos nx dx.
3.
x + senx + e-51senx.
o
f
sen nx (ix"eY•' + /J"e-Y•'), onde a =_!_ H/p , 2 n =I Se y.=O para n=m, e "'' é substituído por t.
e-••
10-12. MOVIMENTO FORÇADO. Consideremos agora o problema geral do tipo (!):
p(x)
a2u at2
+H�x)
au
a2u =F(x,t), O< x< L, t >O, -K2 ax2 at u(L, t) b(t). u(O,t) =a(t),
(10-111) (10-112)
=
Esse é o problema da resposta do sistema a dimensão um a forças exteriores variando com posição e tempo. O fato de as condições de fronteira (10-112) serem variáveis mostra que o movimento também é forçado nas extremidades X=
O, X=L. Como no caso do problema do equilíbrio da Sec. 10-11, raciocinamos que,
se
u*(x,t) é uma solução particular de (10-111), (10-112) para O< x< L, t >O, u(x, t) neste aberto é
então a solução geral
onde
(10-113) , u(x,t) =y(x,t) + u*(x, t) y(x,t) é uma solução do problema: homogêneo (10-109), (10-110).
Portanto o problema é o de determinar uma solução particular. Podemos ainda concentrar a atenção no caso de "paredes" fixas, isto é,
a(t)=b (t )
=
O.
Pois seja
g(x,t)=a(t) 1 -
( �) � +
b(t);
g(x, t) é simplesmente a função linear de x que interpola entre os valores a(t) em x=O,b(t) em x L. Agora [se supusermos que a(t) e b(t) têm as derivadas =
necessárias]
p(x) G(x,t)= 1 -
2a u at2
( �)
Portanto, se
. u a 2a u +H(x) -K2 G(x,t) , ta ax2 [p a"(t) +H a'(t)] +
�
[pb"(t) +Hb'(t)].
•
u*(x,t) satisfaz a (10-111) e a (10-112), então w(x,t)=u*(x,t)-g(x, t)
satisfaz a
2a w a2w w a p(x)- +H.(x)- -K2- =F(x,t)-G(x,t)=F1(x,t), a2 a a2 t X t w(O,t)=a(t)- a(t)=O,
720
w(L, t)=O.
(10-114) (10-115)
Equações Diferenciais Parciais
Inversamente, se
w(x,t)
+
g(x,t)
=
w(x,t) satisfaz a (10-114) e a (10-115), então verificamos que u*(x,t) satisfaz a (10-111) e a (10-112). Logo, reduzimos o
problema ao de paredes fixas. A determinação de uma função IV(x, t) é feita agora por variação de parâ metros. A aplicabilidade desse método não depende de serem os coeficientes p e H constantes. No entanto restringiremos aqui a atenção ao caso de coefi
cientes constantes; o procedimento il:� caso geral difere pouco deste. Suponhamos primeiro que
p
=
O e H
=
const.
>
O. Então a "função
complementar" é a solução geral da equação do calor. Mudamos a escala e introduzimos as abreviações da Sec. 10-9, de modo que a solução é 00
L b" sen nx e-c2n,,.
n=l
Agora substituímos as constantes bn por funções vn(t) e procuramos uma solução
w(x, t)
=
00
L v"(t ) sen nx e_c,n•t.
(10-116)
n=l
Procedemos formalmente e depois determinamos condições sob as quais a solução obtida é válida. Substituindo (10-116) em (10-114) (com
p =O) temos
a equação n H. L {v�(t)e- •c•t sen 00
11=1
nx}
=
F1(x,t);
os outros termos cancelam-se. Essa equação é simplesmente uma série de Fourier de senos em
x para
F 1 (x,t). Logo,
d
v 22 H. td"e-nct
vn(t)
=
2 =-
7t
f" o
7t� f {{' n e •c•
F 1 ( x , t ) sen
nxdx, (10-117)
F1(x,
t) sen nx dx dt.
Como só queremos uma solução particular, podemos escolher a primitiva aqui, de modo que
vn(O) =O; isto é, escolhemos
vn(t)
onde
2 =
7tH
f' {"f",. 0
n e •cls
0
'F 1 (x,
}
s) sen nxdx ds,
s é uma variável de integração. Portanto v"(t)
2 =
7tH
f'f" 0
0
'.
F 1 (x s)e"2c•s sen
(10-118)
nx dxds,
é a solução particular procurada é
w(x,t)
=
2_ f H 7t
.n=l
{
sen
nx e-n•c•i
f.' Jr o
o
F1(r,s)e"2 <2 • sen
}
nx dx ds .
(10-119)
721
Cálculo Avançado Agora estudamos a validez do resultado. Se F1(x, t) é definida para t � O O ;;;;; x ;;;;; n e é aí contínua nas duas variáveis, então v.(t) é bem definida por (10-118). Além disso, suponhamos ô2F ifox2 contínua em x e t, de modo que i'J2F1/ôx2 tem um máximo M(t 1) em cada retângulo: O ;;;;; x ;;;;; n, O ;;;;; t ;;;;; t 1 ; seja ainda F1(0, t) F1(n,t) =O. Então, como na Sec. 7-8, concluímos que, para O ;;;;; t ;;;;; t1
e
=
1� r
Logo; por
F1(x,t)sennxdx
(10-118), neste retângulo,
1
I < 2M(t,) (t) Hn 2
v.
=
e cada têrmo da série
'
J
0
e
n2c2s
d
s
=
l 2:�t ;;i;
1)
·
2M(t1) en•c•t 1) ( Hn4e2
(10-119) é limitado por 2M(t1)/c2n4H. A série, portanto,
converge uniformemente, e isso ainda é verdade, após derivação, uma vez em relação a
t, ou duas vezes em relação a x. Portanto achamos ô2w H ôw --;;- - K2 :l2 ut
uX
=
"'
2 -
I
1t n= 1
sennx
i" 0
F1(r, t) sen nrdr.
0 segundo membro é a série de Fourier de senos de F1(x, t) e, nas hipóteses
feitas, converge para
(10-115). Portanto
F1(x,t). Logo, (10-114) está satisfeita, como também
(10-119) é a solução particular procurada. A função u*(x,t)
é -então uma solução particular de
u(x,t)
=
w(x,t) + g(x,t)
=
(10-111) e (10-112), e
y(x,t) + u*(x, t)
=
y(x,t) + w(x,t) + g(x,t)
é a solução geral, onde
y(x, t) as
b.
"'
= I b. senn x e
,
sendo constantes arbitrárias. Para determinar uma solução que satisfaça
à condição inicial u(x,O)
=
que
f (x), devemos determinar as constantes
.f (x) "'
=
y(x,O) + w(x, O) + g(x,O)
I b. sen nx
n=i
isto é, a série
r.b. sennx
+
a(O)
( ) X
1-L
+
X
-b(O); L
deve ser a série de Fourier de senos de
( �)-� b(O).
/(x)-a(O) I722
-•2<2'
n=l
b. de modo
Equações Diferenciais Parciais Supusemos sempre
p =O
e H = const. Se
pé
uma constante positiva e H = O,
então a função complementar é a solução geral da equação de onda: 00
L
sen nx(O(n sen nat +
Pn cos nat).
n=l
A função experimentada (10-116) é substítuída pela função
w(x, t)
f
=
sen nx[p.(� sen
n=l
nat
+
q.(t) cos nat].
(10-116')
Substituindo em (10-114) não se obtêm condições em número suficiente para determinar
P.(t)
e
qn(t),
pois a equação é agora de
segunda ordem
em
t.
Esco
lhemos mais um conjunto de condições (conforme Sec. 8-11):
p�(t) sen nat
+
q�(t) cos nat =
(n = 1, 2, ...).
O,
(10-120)
Essas condições podem também ser obtidas substituindo (10-114) por um sistema de equações:
aw
7ii =
(10-121)
z,
(Prob. 5 abaixo). Procedendo como acima, achamos
2
Pn(t) = --
nanp
q.(t)
2
=
--
nanp
f'f" 0
f'f" 0
F 1 (x, s) cos nas sen nx
dx ds,
0
(10-122) F 1 (x, s) sen nas sen
nx dx ds.
0
Um procedimento análogo vale quando p e H são ambos constantes positivas.
PROBLEMAS
1. Ache a solução da equação diferencial parcial
au a2u at ax2
=
x2 cos t - 2 sen t,
O
<
x
que satisfaz às condições de fronteira 11(0, t) = O, dições iniciais
2. Seja
u(x, t)
u(x, O)
=
nx - x2 .
<
t
n,
>
O,
u(n, t) = n2 sen t,
e às con
uma solução da equação diferencial parcial
a2u a2u
ai2 ax2
= sen X sen wt,
e das condições de fronteira:
o
< X < n,
t
>
O,
u(O, t),= O, u(n, t) =O, u(x, O)= O, au/at(x, O)=O.
Mostre que ocorre ressonância somente quando w = ± 1 e determine a forma da solução nos dois casos: w
=
± 1, w t= ± 1. [As outras freqüências
723
Célculo Avançado
de ressonância
2, 3, ...
F(x, t) é ortogonal 2x, sen 3x, . . . ; conforme Prob.
não são excitadas porque a força
aos correspondentes "vetores de base" sen
10-3.]
9 após a Sec.
3.
Seja a força exterior
F(x, t)
dada por uma série de Fourier de senos:
00
F(x, t)
L F.(t) sen 11x,
=
t ;:=; O,
O � x�
n.
n=l
Ache uma solução particular da equação diferencial parcial
2 ,a u
au
H ar--K-8
x2
com condições de fronteira: u (O,
t)
=
F(x, t)
=
O, u(n, t)
00
u(x, t)
L
=
n;::::
=
O,
fazendo
1
substituindo na equação diferencial. e comparando os coeficientes de sen
1,
(Corolário do Teorema corda com
4.
(10-116') em (10-114), com p > O, H = O, (10-122) para P.(t), q.(t). Mostre que a solução do problema homogêneo (F = O) correspondendo a (10-121), com as condições de fronteira w(O, t) = O, w(n, t) O, é dada Mostre que a substituição de
aplicando
5.
(10-119).
nx
Sec. 7-2). Mostre que o resultado obtido con
(10-120),
leva às equações
=
por
w
00
L
=
sen
nx[cx. scn nat
sen
nx[naa,, cos nat- nafJ. sen nat].
+
fJ. cos nat],
n=l 00
L
z =
n= 1
Mostre que, substituindo
ex.
por p.,U),
fJ.
q.(t)
por
e, levando em
(10-121),
obtêm-se as equações
p;, sen nat + q� cos nat
nap� cos nat- naq� sen 11at (10-122). t), u2(x, t), u 3 (x, t)
=
e daí obtenha
6.
Sejam u1 (x,
t > O),
2
-
n p
=
f"
O, F1
sen nx dx,
o
soluções dos problemas (para
O
<
x
<
n,
respectivamente:
Mostre que
u, - uxx
=
u, - uxx
=
u, - uxx
=
u1(x, t)
+
u, - uxx
F(x, t), u(O, t) = O, u(n, t) = O; u(n, t) = O; u(O, t) = a(t), O, u(n, t) = b(t). O, u(O, t) = O,
u2(x t) + u3(x, t) é uma solução do problema
=
,
F(x, t),
u(O, t)
=
a(t),
u(n, t)
=
b(t).
Isso mostra que os efeitos dos diferentes modos de forçar o sistema com binam-se por superposição.
724
Equações Diferenciais Parciais
RESPOSTAS
2 4 � 1 -(-1)" 1. x sen t + - L.. sen nx e-•'. n3 n n=l 2
2. Para
w
Para
w
= ± 1, i= ± 1,
u = ± t sen x(sen t - t cos t). u = sen x(sen wt -w sen t)/(1 -w2).
10-13. EQUAÇÕES COM COEFICIENTES VARIÁVEIS. PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA DE STURM-LIOUVILLE. Para determinar os modos normais no problema
i'J2u 2 a2u =O, p(x)iit2-K axz u(O, t) =O,
fazemos a substituição:
u(L, t) =O,
(10-123)
u = A(x) sen (Àt + e) e somos levados às equações:
K2A"(x) + p(x),1,1 A(x) =O, A(O) = A(L) =O.
(10-124)
Quando
p(x) é constante, sabemos que as únicas soluções de (10-124) são as A.(x) =e sen (nnx/L); as freqüências associadas À,, são da forma an. Qual é a natureza das soluções quando p é variável?
funções
Uma questão semelhante surge se consideramos o problema para a equação do calor com coeficiente variável
H(x)
H(x):
ou 2 à2u =O, at K Bx2
u(O, t) =O,
A substituição
u(L, t) =O.
(10-125)
u = A(x) e;.' leva às equações
K2A"(x)- lH(x)A(x) =O, A(O) =O, A(L) =O.
(10-126)
Excetuada uma mudança, de notação, essas equações são iguais às
(10-124). (10-124) e (10-126) são casos particulares da classe dos problemas de valor de fronteira de Sturm-Liouville. O caso geral é o seguinte: Os problemas
d
[
dy
]
+ [Àp( x) + q( x)] y =O, dx cxy(a) + {Jy'(a) =O, icxl + l.81 >O, yy(b) + by (b) =O, IYI + lbl >O.
- r(x)
-
dx
(10-127)
'
725
Cálculo Avançado Aqui, a função y(x) deve ser uma solução .da equação diferencial para a ;;:; x
;;:; b
e deve satisfazer às condições de fronteira dadas em a e b. Supomos ainda que
r(x), p(x), q(x) têm derivadas contínuas no intervalo e que r(x)
>
O,
p(x)
>
O.
Um valor de il para o qual (10-127) tem alguma solução diferente de y(x) =O chama-se um valor característico. Poderíamos admitir valores característicos complexos, mas é possível mostrar que, com as hipóteses feitas, estes não ocorrem; porta;µto vamos nos restringir a valores característicos reais. Para cada valor característico il,-·existe uma solução associada y(x) chamada uma
função característica; as funções cy(x), onde c é uma constante, são também funçÕe" características. Pode-se verificar que, com as hipóteses feitas, não há outras funções além das cy(x) com o mesmo il: Teorema. Os valores característicos do problema de Sturm-Liouville (10-127)
.Podem ser enumerados em seqüência crescente: il.1
<
il.2
<
· · ·
<
il.
<
·
· · .
As funções_,características çorrespondentes podem ser enumeradas: Y.(x); cada y11(x) é determinada a menos de constante multiplicativa. As funções Y.(x) são ortogonais com relação à função-peso p(x):
fb
Ym(x)y11(x)p(x) dx
=
{º'
B.
ª
m i= n, >
O,
m
=
n.
A série de Fourier de uma função F(x) com relação ao sistema ortogonal
{JP{zj Y.(x)} converge uniformemente a F(x) para toda função F(x) que tem derivada contínua para a ;;:; x ;;:; b e satisfaz F(à) O, F(b) O. =
=
Para a demonstração desse teorema, ver os livros de Titchmarsh e Kamke mencionados no final deste capítulo. Devido ao teorema, podemos ter certeza de que, a menos de pequenas modificações na forma, as afirmações sobre a equação de onda e equação do calor nas Secs. 10-7 e 10-9 ainda valem quando os coeficientes p(x), H(x) são variáveis [p(x)
>
O,
H(x)
>
O].
Por exemplo, as funções características A,,(x)
de (10-124) fornecem modos normais
A.(x) sen (il.t + e) e múltiplos constantes destes. A "solução geral" de (10-123) é novamente uma série 00
L
00
c.A.(x) sen (il,,t +e,,)
L
=
n=l
A11(x) [ix. sen il,,t + f3. cos il.t].
n=l
Para satisfazer a condições iniciais
u(x, O) basta escolher as constantes
=
ix,,,
f (x),
ôu ôt
(x, O)
=
L n=l
726
g(x),
f3. de modo tal que
00
f (x)
=
00
/3.A,,(x),
g(x)
=
L n=l
il.a:.A,,(x);
Equações Diferenciais Parciais
isso exige que se desenvolva as funções
j/)(zj f (x), j/)(zj g(x)
em série de
Fourier:
j/)(zj f (x)
00
I /3. j/)(zj A11(x),
=
j/)(zj g(x) = L À.11an j/)(zj A.(x).
n=l
n=l
Pelo teorema acima, essas expansões têm as mesmas propriedades que as séries de senos usadas acima, de modo que os resultados não mudam. A teoria dos estados de equilíbrio, aproximação ao equilíbrio, e movimento forçado pode também ser repetida. A única dificuldade está em determinar efetivamente os valores caracte rísticos e funções. Para várias equações especiais, séries infinitas funcionam bem (Sec. 8-14). Para outras, é necessário usar métodos numéricos. Estes são
10-i 7.
discutidos nas Secs. 10-16 e
O teorema acima sobre o problema de Sturm-Liouville pode ser estendido sob hipóteses adequadas ao ''caso singular" em que a função ou ambos, permanecendo positiva para
a <
x
<
r(x) é O em
a
ou b
b. Esse caso inclui, em parti
cular, o importante problema:
d dx
[
]
dy (l-x2) dx
-1�X�1,
+ À.y =O,
cujas soluções são os polinômios de Legendre
(10-128)
P11(x), com À." = n(n + 1) (Secs.
7-14 e 8-14). Nenhuma condição de fronteira é imposta em x
=
± 1, mas exige-se
que a solução permaneça contínua nesses pontos. A teoria pode também ser estendida de modo a incluir o problema:
(xy')'
+(À.X- : ) 1
y(l)
y =O,
=
O,
o correspondente
À.mn
smn
(10-129)
(m � O).
Exige-se que a solução seja contínua em funções Jm(sm.x), onde
O�x �1,
x =
O. As soluções de (10-129) são as
percorre as raízes positivas da função de Bessel Jm(x);
= s;,•. As extensões a esses casos são tratadas no livro de
Titchmarsh citado no fim do capítulo. 10-14. EQUAÇÕES EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. A generalização de nosso problema básico a duas e três dimensões não traz modificação essencial aos resultados, embora a determi nação dos modos normais seja, em geral, mai.s complicada. Como exemplo, consideramos a equação de onda para um retângulo:
iJ2u at2
-a
(
2 ª2u
)
a2u
ax2 + a y2
-
-
u(x, y, t) = O para x
O ,
=
0 O,
< X < TC,
X= TC,
O< y y =O,
< n,
y = n.
(10-130)
A substituição
u(x, y, t) =A (x, y) sen (À. t + e) 727
Cálculo Avançado
leva ao problema de valores característicos
a2 A(x, y)
=
(
a2A ax 2 + ay2
a2A
)
;.2A =O,
+
O para x =O,
x = n,
Para determinar as funções características
y =O,
y
=
n.
(10-131)
A(x, y), procuramos funções caracte x por
rísticas particulares tendo a forma de um produto de uma função de uma função de
y:
A(x, y) =X (x)
Y(P).
Assim,
a2[X"(x)Y + XY"(y)] X"
Y"
X
Y
J.2X(x)Y"(y) =O,
+
.1.2 a2
(10-132)
-+-+-=0. Agora, se variamos
x, o segundo
e
o terceiro termos da última equação não
podem variar; logo, o primeiro termo é uma constante. Analogamente, o segundo termo é uma constante:
X"=-µX, X" + µX = O,
( �:) G: )
Y"= µY" +
Por causa das condições de fronteira em
-
µ
Y,
y = o.
(10-131), somos levados a dois novos
problemas de valor de fronteira:
X" + µX =O, Y" +
X(O)
e: )
A primeira é satisfeita por
-µ Y=O,
=
X(n) =O;
Y(O) =Y(n) =O.
(10-133)
X.(x) = sen nx, paraµ= n2; para esse valor deµ. a Ym(Y) sen my, desde que (À2/a2)-µ= 1112•
segunda é satisfeita pelas funções
=
Assim,
A m.(x, y) = sen nx sen my
(10-131), para .1.2 =a2(m2 + n2), onde m e n são inteiros. À pode haver várias funções características; na verdade, se Amn(x, y) é uma função, então A.m(x, y) é uma segunda, a menos que m =n. Isso não causa dificuldades porque colocamos todas as combinações
é uma solução de
Para um valor característico dado
lineares na "solução geral"
u(x, y, t) = I cm• sen nx sen my sen (J.mnt
+
e.),
m, n
Àmn =a J m2 /
+
n2.
(10-134)
Equações Diferenciais Parciais A série é uma "série dupla'', a ser somada sobre todas as combinações de valores inteiros positivos de
me n; a
série é uma série de Fourier em duas variáveis
x, y
e, como se observou na Sec. 7-16, pode ser reordenada para formar uma única série ou somada como série "iterada":
� t�
m
,
, cmn sen
nx
sen my sen (Àmnt
+e")}·
Como só aparecem funções-seno, a série é, na verdade, uma série de Fourier de senos em duas variáveis. Como na Sec. 7-16, as funções sen nx sen my formam um sistema ortogonal completo para o quadrado: O � x � n, O � y � n. Portanto os resultados obtidos em uma dimensão podem ser todos generalizados a duas dimensões. Devido serem mais complicados os valores característicos, as solu ções são mais dificeis de analisar; em particular, as soluções, em geral, não são periódicas em
O X(x)
t.
passo crucial no que precedeu foi a substituição de
A(x, y)
pelo produto
Y(y). Isso levou a uma "separação de variáveis" em (10-133) e à determi
nação de particulares funções características
A(x, y)
que, juntas, formam um
sistema ortogonal completo. O fato de esse procedimento poder dar resultados já havia sido indicado em nosso método para determinar modos normais para os problemas em uma dimensão; a substituição cada por uma substituição
u = A(x)T(t)
u = A(x) eA•
pode ser recolo
e uma separação das variáveis levaria
então aos mesmos resultados.
O
método da separação das variáveis aparece assim como um método
geral para atacar equações diferenciais parciais lineares homogêneas.
O
método
em certos casos pode fornecer apenas soluções particulares; em muitos casos, mostrou-se que essas soluções particulares fornecem um conjunto completo de funções ortogonais. Esses casos incluem a equação de Laplace em coorde nadas cilíndricas e esféricas (Secs. 2-13, 3-8); ver Prob. 4 após a Sec. 9-33 e os Probs. 4 e 7 abaixo.
O problema do equilíbrio: V2u = - F(x, y), com valores de u prescritos na · xy, pode ser atacado de várias maneiras. Pode-se mostrar que, com hipóteses apropriadas sobre F(x, y) a função ( poten
fronteira de uma região R do plano cial logarítmico)
u0(x, y)
=
-
:n ff
F(r, s) log [(x - r)2 + (y- s)2] dr ds
(10- 135)
R
V2u0 -F no interior de R e é contínua em R = u - u0 satisfará então à condição V2v = - F + F O em R e terá certos valores diferentes na fronteira de R. A determinação de v é então um problema de Dirichlet, que pode ser atacado como na Sec. 9-32. Embora
satisfaz à equação de Poisson:
=
mais fronteira. A função v
=
não exista, para problemas a três dimensões, um instrumento como a represen tação conforme, métodos baseados na
teoria do potencial
p odem ser usados;
ver especialmente o livro de Kellog mencionado no final do capítulo.
729
Cálculo Avançado Em geral, pode-se reduzir o problema do equilíbrio
V2u
=
-
F ao caso de
valores de fronteira iguais a zero da seguinte maneira (conforme Sec. 10-12): suponhamos que se imponha a u (x, y) ter valores
h(x, y) na fronteira C de R. h1(x, y) que
Se h(x, y) é suficientemente lisa, pode-se então achar uma função
tenha derivadas primeira e segunda contínuas no interior de R, seja contínua em R mais C, e igual a h(x, e
V2v = F -
-
V2h1
=
-
y) sobre C. A função:
v
=u
F1 (x, y). A determinação de
-
h1 é então zero sobre C,
v pode ser feita com auxílio
da função de Green, como indicado na Sec. 10-18. 10-15. REGIÕES NÃO-LIMITADAS. ESPECTRO CONTÍNUO. Em muitos problemas físicos é natural considerar um meio contínuo como não-limi tado. Por exemplo, em uma dimensão, pode-se considerar a equação de onda
a2u --
8t2
para o intervalo infinito
x
>
a2
a2u -=
8x2
(10-136)
0
O. Se procuramos modos normais, somos levados
ao problema de valores característicos
a2A"(x) + .l.2A(x) =O,
x
(10-137)
A(O) =O.
>O;
Esse problema tem soluções para todo valor de .l., que são as funções seu para a2oc2
=
ocx, .l.2• Assim, as freqüências de ressonância formam um "contínuo"
e tem-se um "espectro contínuo". [Há também "modos normais" não-limitados: u
=
senh ocx eªª'. Êstes são de menor interesse na física.] Podem-se construir combinações lineares dos modos normais para obter
uma "solução geral" do problema homogêneo. Como há um contínuo de valores
.l., o que deve aparecer é integração em vez de somação. Para oc � O devemos integrar expressões da forma seu x[p(oc)cos (aoct) + onde
q(oc) seu (aoct)],
p(cx) e q(cx) são funções "arbitrárias" de
fº
seu
ex.
Obtemos a integral
cxx[p(oc) cos (acxt) + q(cx) seu (acxt)] doe.
Para cada t fixo, isso pode ser considerado como uma integral de Fourier (a integral de Fourier de senos, Sec. 7-17). Em particular, para t
===O obtemos uma
representação como integral de Fourier do deslocamento inicial u(x, O):
fº
p(oc) seu cxx doe.
Como a teoria da integral de Fourier foi bastante desenvolvida, pode-se estender ao caso infinito a maior parte dos resultados para intervalos finitos. Afirmações semelhantes podem ser feitas com respeito a problemas em duas ou três dimensões em regiões não-limitadas. Para mais informações, ver os livros
730
Equações Diferenciais Parciais
dos autores que seguem, mencionados no fim do capítulo: Sneddon, Titchmarsh, Wiener, Courant e Hilbert, Frank e von Mises, e Tamarkin e Feller. A trans formação de Laplace (Sec. 6-24) também pode ser usada para representar solu ções em intervalos infinitos. Isso é discutido nos textos mencionados e no segundo livro de Churchill. PROBLEMAS
1. (a) Seja uma corda vibrante estendida entre x O e x =1; seja a tensão K2 igual a (x + 1)2 e a densidade p seja 1, em unidades adequadas. Mostre que =
os modos normais são dados pelas funções
A.(x)
=
� ""' -r- i sen
v
[nn
]
log(x + 1) log2
sen (À.t + e.) ,
À
"
)1.
n1n1 +1 2. - (-log22 4
[Sugestão: faça a substituição x + 1 =e" no problema de valor de fronteira para A.(x).] (b) Mostre diretamente que toda função f(x) com primeira e segunda deri vadas contínuas para O� x � 1 e tal quef (O) =f(l) = O pode ser expan dida numa série uniformemente convergente nas funções características A.(x) da parte (a). [Sugestão: seja x + 1 =e" como na parte (a). Expandir F(u) =f(e"-1) e<-1l2l• numa série de Fourier de senos no intervalo O� u � log2.J 2. Mostre que a equação linear geral de segunda ordem
onde p0(x) i=- O toma a forma de uma equação de Sturm-Liouville (10-127) se a equação é multiplicada por r(x)/p0(x), onde r(x) é escolhido de modo que r'/r p1/p0 (conforme Sec. 8-6). Em geral, uma equação da forma: (ry')' + + h(x)y = O chama-se auto-adjunta. 3. Obtenha a solução geral, para t > O, O < x < n, O < y < n, da equação do calor com condições de fronteira: =
ou àt u(x, y, t)
=
-e
(
2 ª2u àx2
à2u) - O,
+ à y2
x =n,
O para x = O,
4. Mostre que a separação de variáveis:
u(r, IJ)
y =
=
O,
y
=
n.
R(r) e (IJ) no problema em
coordenadas polares para o disco r < 1:
V2u
+ À.
u
=
_.!._r2 [,. �àr (rºàru)
+
�2 U]
àlJ�
+
À.u = O,
u{l,IJ)
=O
leva aos problemas:
(rR') '
+
c�.r-�) R =O,
R{l) =O,
8" +µ@=o.
731
Cálculo Avançado
Se exigirmos que u(r,e) seja contínua no disco r � 1, então 0 (e) deve ser periódica em e, com período 2n. Mostre que isso implica emµ ,,;, m2 · (m 0,1,2, 3,. . ) e que R(r) = Jm(Anr), para l = lmn; conforme (10-129) acima. Logo, obtêm-se as funções características
.
=
=
K. r) cos me,
Jm(
J (J"T:. r) sen me m
e combinações lineares delas. Pode-se mostrar que essas funções caracte rísticas formam um sistema ortogonal completo para o disco r� l. 5. Usando os resultados do Prob. 4, determine os modos normais para as vibrações de uma membrana circular, isto é, ache modos normais para a equação ô 2u - a2V2 u =O x2 + y2 < 1 , Ôt2
'
u(x, y, t) =O para x2 + y2 = 1. 6. Usando os resultados do Prob. 4, determine a solução geral do problema da
condução do calor: ôu
2V2u =O,
--e
at
u(x, y, t)
=
x 2 + y2 < 1,
O para x 2 + y2 = 1.
7. Mostre que a substituição: u = R(p)
nadas esféricas para o domínio p < 1:
V2 11 + A.u
=
---- [ 1
p2 sen2
() 0 (e) no problema em coorde
- ( -)
ou sen2 ô p2 op op
+
+ sen
o o
u(p, ,e) =O para p
(
sen
=
ou
)
o
a2u
]
+ oe 2
+ lu
=
o,
1,
leva aos diferentes problemas de Sturrn-Liouville: (p2R') ' + (À.p2-a)R =O, R = O para p = 1; (sen ef;')' + (a sen - p cosec ) = O, 0" + pe =O. Aqui, a, f3 e À são valores característicos a serem determinados. A condição de u ser contínua sobre a esfera e interior exige que 0 tenha período 2n, de modo que p k2 (k =O, 1, 2, ... ) e 0k(e) é combinação linear de cos ke e sen ke. Quando f3 k2 , pode-se mostrar que é possível obter soluções contínuas do segundo problema para O� � n somente para a = n(n + 1), k O 1, . . . , n, e uma constante vezes P k(cos ), onde =
=
=
,
•.
p
(x)
n, k
=
k (l -x2)112n d p (x) _
dxk n
=
e P.(x) é o n-ésimo polinômio de Legendre. Quando a = n(n + 1) (n O, 1, 2,...) o primeiro problema tem urna solução contínua para p =O somente se
732
Equações Diferenciais Parciais
À
é uma das raízes
Àn+ 112, 1, Àn+ 112, 2 , n + t;
• . •
é a função de Bessel de ordem tante vezes
p- 1121.+112 (-/}p).
da função ln+
para cada tal
À,
112(fx), onde ln+ 112 (x)
a solução é uma cons-
Assim, obtêm-se as funções características
12 2 p-11 I.+ 112(-/}p)P k(cos
=
=
tem um espectro contínuo e ache as funções características para os modos normais limitados.
RESPOSTAS
5.
Jm(K. r)
sen
(aK.t
e) (c1 cos mfJ
+
+
c2 sen mfJ),
onde
c
1
e
c2 são
cons
tantes.
6. 8.
� L�o J,.(K.r)e-c2J.mn'(rxmn
n l
1 cos rxx
c
10-16.
+
c2 sen rxx,
O �
rx
cos
m8
< oo,
+
À
}
Pmn sen m8) ·
= arx.
MÉTODOS NUMÉRICOS. Para problemas com coeficientes
numéricos ou problemas em duas ou três dimensões referentes a regiões de forma inadequada, os métodos descritos acima, em geral, não produzirão soluções numa forma conveniente para aplicações numéricas. Observações semelhantes aplicam-se a classes de equações diferenciais mais gerais que as consideradas aqui, em particular, equações não-lineares. Ao passo que os aspectos teóricos do assunto estão altamente desenvolvidos, e pode-se, muitas vezes, provar a existência de soluções, isso nem sempre é o bastante para as necessidades da física. Por isso, uma variedade de métodos numéricos foi desenvolvida para a determinação explícita de soluções satisfazendo a condições de fronteira e condições iniciais dadas. Consideramos brevemente alguns desses métodos.
inversão do processo a2u/x a 2 pela expressão em
O primeiro método consiste simplesmente em uma
de limite da Sec. 10-5.
Substituímos a derivada
diferenças
Ua+l -2ua + Ua- 1 (fa)2 onde
uª
=
u(xª).
Da equação diferencial
a2u p(x)- 2 at
+
2 a u 2 a u H.(x)- - K - 2 at aX
=
F(x, t),
(10-138) 733
Cálculo Avançado somos assim levados ao sistema de equações
m,, onde
a =
m,,
=
d2u,,
du,,
dt2 + h,,dt-
k2(u,,+1-2u,, + u,,_1 )
=
F,,( t, )
(10-139)
1, .. . , N e
p(x,,) ôx,
h,,
kz
= H_(x,,) ôx,
=
Kz,
ôx
F,,(t)
=
F(x,,, t) ôx.
(10-140)
As Eqs.
(10-139) podem ser completamente discutidas pelos métodos da Sec. 8-12. Os instrumentos exigidos são basicamente algébricos. Para que (10-139) seja uma boa aproximação de (10-138), é necessário que N seja grande; isso
torna os problemas algébricos nada triviais.
Problemas com valores iniciais. Se procuramos uma solução particular de (10-138) satisfazendo a condições iniciais e condições de fronteira dadas (va lores de u0 e uN + 1 ), podem-se escrever as equações de aproximação (10-139) e aplicar o método de integração passo a passo descrito na Sec. 8-8. Este pode ser aperfeiçoado por outros processos semelhantes, descritos nos livros citados no fim daquela seção. Pode-se também usar analisadores diferenciais para obter soluções particulares. Todos esses métodos são ainda mais convenientes quando se trata de problema não-linear, por exemplo, se a2u/ax2 é substituída por seu quadrado; em tal caso, o processo algébrico em geral, é, inútil.
Problemas de valores característicos. A determinação dos modos normais (10-138) leva, em geral, a um problema de Sturm-Liouville (10-127). Este pode ser atacado con siderando o problema aproximado (10-139), para o qual a determinação dos modos normais é um problema algébrico; podem-se também usar equações de diferenças, como nos Probs. 5 a 10 após a Seção 10-4. Um método varia cional também pode servir; isso está descrito na Sec. 10-17. para uma equação de onda ou equação de calor obtida de
Pode-se tratar o problema como um problema de valor inicial, da seguinte maneira: para resolver as equações
A"(x) + À.p(x)A(x)
=
O,
A(O)
=
A(l) = O,
construímos soluções particulares do problema com valor inicial: A(O)
A'(O)
=
= O, 1 para diferentes valores de À.. Aumentando À. gradualmente, as soluções
variam de maneira simples e, por tentativas, podem-se determinar soluções para as quais a condição
A(l)
=
O está satisfeita. Essas são exatamente as
funções características procuradas.
Problemas de equílibrio. O problema de equilíbrio para (10-138) foi resol 10-11; o único passo dificil é uma integração, que, se necessário poderá ser efetuada numericamente, como na Sec. 4-3. Outra
vido em toda generalidade na Sec.
maneira de escrever a solução com a ajuda de uma função de Green é expli cada na Sec.
10-18. Problemas em duas dimensões. Se a2u/ax2 é substituído por um Laplaciano V2u a duas dimensões em (10-138), de modo que se tenha um problema para u(x, y, t) numa região R do plano xy, um sistema aproximado semelhante 734
Equações Diferenciais Parciais a (10-139) pode ser obtido. Se R é um retângulo a� x
� b, c� y� d,pode-se
dividir R em quadrados (se os lados de R têm razão racional) de lado h . Então consideramos os valores de u somente nos vértices dos quadrados. Em cada vértice,o Laplaciano é calculado aproximadamente (Sec. 2-18) como a expressão
u(x + h,y) + u(x,y + h) + u(x-h,y) + u(x,y-h)-4u(x,y) h2 Um sistema de equações análogo a (10-138) é obtido. Se R não é um retângulo, pode-se aproximar R por uma figura formada de retângulos e proceder de modo semelhante. As afirmações referentes ao problema com valor inicial feitas acima podem ·
agora ser repetidas sem alteração. O problema de valor característico pode também ser substituído do mesmo modo por um problema algébrico que o aproxima; o método variacional da Sec. 10-17 abaixo é também útil. O problema de equilíbrio pode ser atacado numericamente considerando o sistema aproximado de equações nas variáveis u" como acima. Temos então N equações lineares simultâneas; se N é grande, estas podem ser bastante difíceis de tratar. Pode-se também considerar o problema de equilíbrio como um caso especial de uma equação de calor; u, - K2V2u
=
F(x, y), com u dada
na fronteira de R, pois todas as soluções da equação do calor tendem expo nencialmente à solução de equilíbrio. Podém-se dar valores iniciais arbitrários e obter uma solução particular; para t grande, esta aproximará a solução de equilíbrio procurada. Os métodos variacionais da Sec. 10-17 também são úteis para o problema de equilíbrio. A maior parte das observações feitas pode ser generalizada a problemas em três dimensões. A precisão dos métodos de aproximação descritos foi investigada e, em geral, os processos podem ser aplicados para fornecer soluções com a pre cisão desejada. Alguns detalhes disso são dados no Cap. V do livro de Tamarkin e Feller citado no fim do capítulo. Vale a pena observar que o passo crucial de substituir (10-138) por (10-139) pode ser considerado como uma substituição
de um modelo físico por outro. Segundo o que pensam os fisicos, ambos os mo delos são simplificações grandes do que se observa na natureza. Se um modelo qualquer serve para descrever os fenômenos em estudo com precisão suficiente, então é um modelo útil.
10-17. MÉTODOS VARIACIONAIS. A solução de equilíbrio para os sistemas (10-139) e as análogas em duas e três dimensões podem ser consideradas como problemas de minimizaruma função cf>(u1 , ... , uN).Pois, como se observou na Sec. 10-4, as Eqs. (10-139) podem ser escritas na forma m
av du d2u --f + hª .......!! +
-,
=
F)t)(rr
"' 1·11 ê então o"problema rio ilib equ a do blem O pro " d1-
av
ôu"
=
F" '
=
1.
.
..
N).
(10-141)
(10-142)
735
Cálculo Avançado
F u são constantes. Os valores nas extremidades u0 e uN+ 1 também O, modificando a defi nição de F1 e FN Agora, se fazemos
onde as
são dados como constantes; podemos tomá-los iguais a •
cjJ(u1, ... , uN)=V(u1, ..., uN)-(F1u1 + então
·
·
· + FNuN),
(10-143)
(10 - 14 2 ) é simplesmente a condição (u
=
1,. .., N).
(10-144)
(10 - 139) temos
Para
= k2[u� + . .. + u�-U1U -U U3-' .. -uN-!uN]-F1U1-· ··- FNuN' (10-145) 2 2 e podemos verificar que (10-144) tem exatamente uma solução uj, ... , ut;
cjJ
que esse ponto crítico é um ponto de mínimo também é fácil verificar (Prob. 6
abaixo). Uma asserção análoga vale para os problemas semelhantes em duas
ou três dimensões. De fato, o modelo flsico que leva a equações da forma
(10-141) é quase sempre o de um sistema de partículas capaz de ter um estado de equilíbrio, no qual a energia potencial tem seu valor mínimo; as Eqs. ( 1 0-14 1) descrevem então as oscilações forçadas em torno desse estado de equilíbrio. Quando as forças aplicadas são
constantes, a energia potencial V é substituída (10-141) ficam então
por uma cjJ modificada; as Eqs.
d2uu h ua d ocjJ m,,- + ,,- + ,,-=O; td td2 uu,,
(10-146)
o novo estado de equilíbrio dá agora o mínimo de c/J. Por uma adequada passagem ao limite, pode-se mostrar que o problema de equilíbrio para
(10-138) equivalente a minimizar a expressão "
A expressão " é
=
r
[tK2{ u'(x)}2- F(x)u] d x.
(10 - 14 7 )
umfuncional, isto é, seu valor depende dafunção u(x)escolhida. u*(x) que satisfaz às condições de equilíbrio
Pode-se mostrar que a função
-K2u"(x)
=
F(x),
u(O) =O,
u(L)=O,
dá a " o valor mínimo que pode atingir para todas as funções lisas
(10-148)
u(x) que
satisfazem às condições de fronteira (Prob. 7 abaixo).
cál de variações.Assim, os métodos baseados em achar mínimos (ou máximos) de funcionais convenientes chamam-se métodos variacionais. Pode-se atacar o problema de minimizar o funcional " de (10-147) pelo culo
O problema geral de minimizar funcionais como «I>. e o que trata o
processo seguinte (devido a Rayleigh e Ritz): escolhe-se uma função particular
u(x) dependendo linearmente de várias constantes arbitrárias: (10-149) 736
Equações Diferenciais Parciais
u1(x), ... , u.(x) são escolhidas satisfazendo às condições de fron x =O ex L; fora isso, são escolhidas como se queira,
As funções
teira, isto é, são O em
=
embora a eficácia do método dependa muito da habilidade com que são esco lhidas. Substituindo a expressão (10-149) em (10-147) obtém-se uma função e 1 , ... , e Por causa da forma de , e.) é também uma expressão quadrática, e seu mínimo é a so
P cujo valor depende só das constantes
", P(c1, .
.
.
• .
lução única das equações
(10-150) Esse é um sistema de equações lineares. Resolvendo para c1, c . . . , e. obtéfi1;-Se 2 uma função (10-149) que dá a " um valor menor que o correspondente a certas funções concorrentes. Se a classe de funções que concorrem é suficientemente grande, pode-se esperar que a função
u(x)
encontrada seja vizinha do verda
deiro mínimo de " . Para o problema do equilíbrio em uma dimensão, o método descrito é desnecessário, pois é possível resolver (10-144) explicitamente como na Sec. 10-11 acima. No entarito, para problemas em duas e três dimensões, a reso lução explícita é em geral dificil (conforme Sec. 10-14) e o método de Rayleigh -Ritz pode ser muito útil. Pode-se mostrar que a resolução do problema do equilíbrio
-K2V2 u
=
F em duas e três dimensões equivale ao de minimizar
os funcionais
ff [tK2{u;
+
u;}-F(x, y)u] dx dy,
R
fff [!K2{u;
(10-151)
+
u;
+
u;}-F(x, y, z)u] dx dy dz,
R
respectivamente. Métodos variacionais também podem ser aplicados à determinação de valores característicos e funções características. Por exemplo, o problema dos valores característicos para os modos normais de (10-139), com h
Fª = O, é o problema À2mªAª + k2(Aa+1-2Aª + Aª_1) =O onde A0 =
AN + 1
=
(a= l,
. . .
,N),
=O e
(10-152)
O. Essas são as equações para minimizar a função
sujeita à condição
g(A1,
. • .
,
AI\')
=
t(m1Ai +
· · ·
+ mNA� -1) = 0.
(10-154)
De fato, o método dos multiplicadores de Lagrange para esse problema (Sec. 2-16) fornece as equ�ções
737
Cálculo Avançado que são iguais à (10-152). A condição (10-154) fixa a constante de proporciona lidade dos A (exceto com um sinal
±). Os valores característicos ..1.1, ... , À.N correspondem a pontos críticos para V sobre o "elipsóide" definido por (10-154). De um modo geral, dois dos À correspondem ao máximo e mínimo absoluto
de V, quando (10-154) está satisfeita. Novamente uma passagem ao limite leva a uma formulação variacional do problema dos valores característicos para um meio contínuo. Para a equação
p(x,y)
a2u 2 -K2V2 A at
=
O,
o problema dos valores característicos diz respeito aos "pontos críticos" do funcional
QA =
ff
tK2(A; + A;) dx dy,
R
sujeito à condição
ff
p[A(x, y)]2 dx dy
=
1.
R
O método de Rayleigh-Ritz aplica-se aqui do mesmo modo que acima. Para mais informações ver o artigo e livros de Courant citados no fim do Capítulo.
10-18. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E EQUAÇÕES INTE GRAIS. Dado o problema de equilíbrio
2 -k (uu+l -2u17 + U17_1)
=
(a= 1, . . , N),
F 17
.
u0
=
UN+I
=
O
,
(10-155)
pode-se obter a solução pelo método seguinte. Pode-se resolver primeiro o problema com
F1
l e F2 = F3 = F4 =···=O; seja a solução U17
gu, i · 1 e as demais F,, =O, obtendo g" 2; de um · modo geral U17 =g".µ é a solução para F = l e F17 =O para a=/.µ. A com binação linear =
Pode-se então resolver com
F2
=
=
(10-156) é então a solução desejada de (10-155), pois, substituindo
U17 no primeiro membro F 1, pois g,,, 1 dá 1 e as demais O; um ra ciocínio análogo vale para as outras equações. Assim, o efeito de todas as F" pode ser construído por superposição de forças unitárias. da primeira Eq. (10-155) obtém-se
Por uma passagem ao limite, obtém-se
um
resultado análogo para o
problema:
Acha-se
u"(x) =- F(x),
u(x) =
738
1L
u(O) = u(L)
g(x, s)F(s) ds,
=
O.
(10-157)
(10-158)
Equações Diferenciais Parciais
g(x, s) são as soluções para uma força F "concentrada num ponto s". g(x, s) chama-se a função de Green para (10-157); vale O quando x O e x = L, vale s(L-s)/L quando x s, e é linear em x entre esses valores. Por tanto g(x, s) tem um "canto" em x s, devido à força concentrada nesse ponto, o nos demais pontos. ao passo que à2g/àx2 onde as
A função
=
=
=
=
Resultados análogos valem para equações lineares não-homogêneas bas tante gerais. Em particular, pode-se achar uma função de Green
g(x, y; r, s)
para o problema (equação de Poisson)
V2u
=
-
u(x, y) para uma região geral de
F(x, y) no interior de R, O na fronteira de
=
(10-159)
R,
R do plano. As soluções de (10-159) são então dadas
pela fórmula
u(x, y)
=
ff
g(x, y; r, s)F(r, s) dr ds.
(10-160)
R
Para cada
(r? s) a função g satisfaz a V2g
=
O, exceto para
x
=
r, y
=
s, onde g(x, y;
há uma singularidade devida a uma "carga puntiforme". Também vale
r, s) =O quando (x, y) está na fronteira de R; logo, ué dada como "combinação linear" de funções todas nulas da fronteira de R, sendo portanto, nula também na fronteira de R. Para resolver o problema de valores característicos
V2u + À.U u
=
=
o em
pode-se reescrever o problema na forma
u(x, y) =À.
R,
(10-161)
O na fronteira de R,
ff
(10-159): V2u
=
-À.u; logo,
g(x, y; r, s)u(r, s) dr ds.
(10-162)
R
u, na qual a operação crucial é uma integra equação integral.
Isso dá -uma equação implícita em ção. A equação chama-se uma
Muitos outros problemas de equações diferenciais parciais podem ser reenunciados como equações integrais. Muitos métodos existem para achar soluções de équações integrais e elas devem ser consideradas como uma das maneiras mais fortes de atacar equações diferenciais parciais. De grande impor tância são os seguintes aspectos: a teoria das equações integrais é muito mais
unificada que a de equações diferenciais, problemas em uma, duas ou três valores de fron teira é mais simples: por exemplo em (10-162) a condição de fronteira sobre 1:1 é automaticamente preenchida, pois g O na fronteira; os métodos de reso lução são muito mais adaptáveis a problemas não-lineares. dimensões, sendo tratados do mesmo modo; o tratamento de
=
Para uma discussão das equações integrais e suas aplicações, citamos os livros de Tamarkin e Feller, Frank e von Mises, e Courant e Kellog da lista de referências.
739
Cálculo Avançado
PROBLEMAS 1. Seja dado o problema do equilíbrio:
V2u(x, y) = O para o quadrado: 2 ;;;; y ;;;; 3, com estes valores de fronteira: u = x para y = O, 2 2 2 = = u = x - 9 para y y para x 3, u O, u = 9-y para x 3. Ache 2 a solução, considerando a equação de calor u,-V u =O. Use só valores
O
;;;;
x
;;;; 3;
O
-
=
inteiros de
x,
=
y de modo que só quatro pontos: (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2) no
interior do retângulo; estão envolvidos. Sejam u1 , u2 , u3 , u4 os valores de u nesses quatro pontos, respectivamente. Usando os valores de fronteira, mostre que as equações de aproximação são u� (t)-(u2 + u3 - 4u1) = O, u�(t) = (12 + u4 +
u�(t)-(u4-12 + u1-4u3) = O,
Ui
-4u2),
u�(t) - (u3 + u2-4u4) =O.
Substitua por equações de diferenças em t: Liu1 = (u2 + u3-4ui) t:i.t, .
.
.
e
resolva por integração passo a passo. Use t:i.t = 0,1 e os valores iniciais: u1 = u2 = u3 = u4 = 1. Mostre que, para t = 1, os valores estão próximos dos valores de equilíbrio: u1 =O, u2 = 3, u3 =
-
3,
u4
= O.
2. O método de relaxamento ou de Liebmann, aplicado ao Prob. 1, consiste em escolher valores iniciais de u1, u2, u3, u4 e depois corrigir cada um por sua vez substituindo-o pela média dos quatro valores vizinhos. Assim, em (1, 1), o valor
ui seria substituído pela média de u2 , u3 , -1, e 1. O valor u2 em u4, ui (novo valor) e u3. Aplique esse processo repetidamente, começando com ui = u2 = u3 = u4 1 e
(2, 1) seria então substituído pela média de 8,
=
mostre que os valores corrigidos aproximam-se gradualmente do equilíbrio procurado. Essa técnica é discutida nos dois livros de Southwell citados na lista de referências.
2
3. Seja dado o problema da equação de onda: u,, -V u =O, u(x, y, t) =O sobre a fronteira, para o quadrado do Prob. 1. Determine as freqüências de resso
2
nância usando expressões em diferenças para V u, como no Prob. 1, de modo que se tem as equações
u�(t)-(u2 + u3 -4u1) =O, 2
2
As freqüências exatas são determinadas como na Sec. 1 0 1 4, t n(m + n )i;z = (m 1, 2, ..., n 1, 2, ...). Mostre que as quatro freqüências mais baixas -
=
são aproximadas bastante bem.
2 4. Seja (10-138) a equação de onda: u"-a uxx =O para o intervalo O<
x< n
como na Sec. 10- 7. O correspondente sistema de aproximação (10-139) foi considerado no Prob. 7 após a Sec. 10-4. Na notação usada aqui, os valores e funções características encontradas eram À. = 2a(N + 1)
" onde
u
n
=O, 1, .. . , N + 1,
sen
nn 2(N + 1)
,
n = 1, ... , N; compare com as soluções exatas ---> an quando
da equação de onda. Mostre que, para cada n fixado, À.,, N
740
---> oo.
Equações Diferenciais Parciais
5.
Estude o comportamento das soluções do problema com valor inicial:
u"(x) quando À. cresce de
Àu(x)
+
Oa
=
u(O)
O,
=
u'(O)
O,
=
l,
oo; observe, em particular, o aparecimento de valores
de À. para os quais a condição
u(l)
O
=
está satisfeita. Pode-se mostrar que
a mesma configuração qualitativa vale para o problema de Sturm-Liouville geral da Sec.
6.
10-13. cjJ
Mostre que a função
cjJ toma
crítico em que
definida por
com uma escolha adequada das constant �s W1 =
U1-u 2
transforma
+
CXp
Wz
-U 3
Uz
=
+
tk2[wi
cjJ --->
w� + (w1
u1 , ... , uN
nem todas as
UN-1-UN +
oo
quando
+ . .. +
wi
WN =
CXN-1'
wN-cx1 - ... -aN)2]
+ ... +
ao menos um ponto crítico que dá a em
[Sugestão: mostre que, ... , rxN, a substituição UN + CXN
expressão
+ ... +
Isso mostra que
ix , 1
CXz,· .. ,
WN-1 =
cjJ numa
tem exatamente um ponto
(10-145)
seu valor mínimo absoluto.
cjJ
w� -->
oo,
+ const.
de modo que
cjJ tem
seu mínimo absoluto. As equações
para o ponto crítico são equações lineares simultâneas. Se
F
u
são zero, essas equações são não homogêneas e têm, no
máximo, uma solução. Se todas a.s Fusão nulas, então u1
= u2 = ... = uN = O ui, ... , u� fosse outro, então ôcjJ/ôuª seria O para todo a quando u1 = u� t, . . . , uN = u�t e - oo < t < oo. Isso contradiz o fato de cjJ--> oo quando wi + ... + w�---> oo. A unicidade do ponto crítico
é um ponto crítico; se
pode também ser provada usando equações de diferenças, como no Prob. 5 após a Sec.
7.
10-4.J
Prove que o funcional
(10-147)
atinge seu mínimo valor,
entre funções lisas u(x) que satisfazem às condições de fronteira u(O) quando
u
é a solução da equação -K2u"(x)
=
F(x). [Sugestão:
=
u(L) = O, L=n
tome
para simplificar. Então exprima a integral em termos de coeficientes de Fourier de senos para
u(x), u'(x)
e
F(x),
usando o Teorema
14
da Sec. 7-13.
Isso dá para cada n um problema de mínimo, que é resolvido exatamente para
-K2u"
=
F(x).]
8. (a) Determine a fµnção
u(x)
f se
u(O)
=
u(l)
=
que minimiza
{[u'(x)]2
+
6xu} dx,
O.
(b) Use o método de Rayleigh-Ritz para resolver o problema da parte
(a),
usando como funções para tentativas as funções
u
=
c1(x-x2)
c sen 2n x. 2 (10-157), descrita
+
9. Verifique que a função de Green para
no texto, é a função
741
Cálculo Avançado
que segue. qunndo L
g(x, s) = x(l - s),
=
1:
O�x �s � 1;
g(x, s)
s(l - x),
=
O�s�x �l.
Verifique que a função u(x)
=
f
g(x, s)s ds
resolve o problema: u"(x) = -x, u(O)
=
u(l) =O
.
REFERÊNCIAS Bateman, H., Partial Dif!erential Equations of Mathematical Physics. New York: Dover, 1944. Churchill, R. V., Fourier Series and Boundary Value Problems. New York: McGraw -Hill, 1941. Churchill, R. V., Modern Operational Mathematics in Engineering.
New York:
McGraw-Hill, 1944. Courant, R., Advanced Methods in Applied Mathematics. Nota de aulas na New York University, 1941. Courant, R., "Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations'', Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 49. págs. 1-23. New York: American Mathematical Society, 1943. Courant, R., e Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Ph.rsik. Vol. 1, 2.ª edição, Berlim: Springer, 1931.
Vol. 2, Berlim: Springer, 1937.
Frank, P., e Mises, R., Die Dif!erentialgleichungen und Integralgleichungen der
Mechanik und Physik. Vol 1, 2.ª edição, Braunschweig: Vieweg 1930. Vol. 2, 2.ª edição, Braunschweig: Vieweg, 1935. Goldstein, Herbert, Classical Mechanics. Cambridge: Addison-Wesley Press, 1950. Kamke,
E.,
Differentialgleichungen
reeller
Funktionen.
Leipzig:
Akademische
Verlagsgese!lschaft, 1933. Kármán, T. V., e Biot, M. A., Mathematical Methods in Engineering. New York: McGraw-Hill, 1940. Kellogg, O. D., Foundations of Potential 1heory. New York: Springer, Berlim, 1929. Lord Rayleigh, The 1heory of Sound, (2 vols.) 2.ª edição. New York: Dover Pu blications, 1945. Sneddon, 1. N., Fourier Transforms. New York: McGraw-Hill, 1951. Sommerfeld, A., Partia/ Differentia/ Equations in Physics (traduzido para o inglês por Straus). New York: Academic Press, 1949. Southwel�
·
R. V., Relaxation Methods in Engineering Science. Oxford: Oxford
University Press, 1946. Southwell, R. V., Relaxation Methods in iheoretical Physics. Oxford: Oxford University Press, 1946. Tamarkin, J. D., e Feller, W., Partia/ Dif!erential Equations. Notas (mimeografadas) de aulas da Brown University, 1941. Titchmarsh, E. C., Eigenfunction Expansions Associated with Second-order Dif
ferential Equations. Oxford: Oxford University Press, 1946. Titchmarsh, E. C., 1heory of Fourier Integrais. Oxford: Oxford University Press,
1937. Wiener, N., 1he Fourier Integral. Cambridge: Cambridge University Press, 1933.
742
ÍNDICE ALFABÉTICO Abel,fórmula de,433 (Prob. 10) teorema de,596 Abscissa,8
a determinar,521(Prob. 6), 534 variáveis,518,533,725 Colinear, 43, 55
Aceleração de Coriolis, 80
Complexo conjugado, 3,5, 542
Adição,de número complexos,544
Componente, 46, 181
de vetores, 39,182 Amortecimento crítico,530, 695 (Prob. 10) Amplitude,3,445,506,532, 543 Analisador diferencial,532 Ângulo, 11, 183,543 de fase,445 sólido,326 (Prob. 5) Ângulos diretores,11
normal de aceleração,69 Componentes direcionais, 10 Comprimento,
de
arco, 27, 172, 179
(Probs. 6, 7),180 (Prob. 9), 232, 236, 261-263,567 de uma curva
(ver Comprimento de
arco) de onda,711 de vetor, 42
Aplicação (ver Transformação)
Condição suplementar, 144,737
Aproximação, ao equilíbrio, 504, 689,
Condicionalmente convergente, 354
694,699,717
de Stirling do fatorial. 430 Área,do paralelogramo,55 plana,25, 219, 263,272, 319 (Prob. 3) de superficie, 232-236, 291 de superficie de revolução,237 (Prob. 5) Argumento de um número complexo, 3, 543,587 Auto-adjunto, 731 (Prob. 2)
Condições, de fronteira, 700 iniciais,491,708,716 Condução de calor, 331, 332, 693, 705, 707,714 Conjunto,aberto,83 aberto conexo, 83 fechado,83 limitado,83,216 de pontos, 83 Conservação, de energia, 78 (Prob. 1),
Base, vetores de,48,182,469 Bessel, equação diferencial de, 536-537, 727, 731 (Prob. 4), 732 (Prob. 7) funções de, 481, 483, 536-537, 727, 728, 731 (Prob. 4), 732 (Prob. 7) Binário, 79 (Prob.8) Binormal,71
329, 695 (Prob. 4), 699 (Prob. 2) de massa, 307 Constante de Euler-Mascheroni, 430 Constantes arbitrárias, 490 Convergência, absoluta, 210, 352, 412, 424,550 de integrais, 207-213, 419-425, 644 na média,470
Cálculo, numérico de integrais, 189,198, 209,237,244,264(Prob.6) de variações,736 Calor especifico,333,693 Campos,escalares, 160 de vetores,159,189,552,612 Características,711 Caso singular, 727 Centro de massa, 77, 79 (Prob. 5), 219, 223,300 (Prob. 3) Circulação,313, 329 Círculo,9 de convergência. 413,594. 605 Coeficientes, constantes,512, 513,522
de seqüências, 343, 380, 409, 549, 555 de séries, 342, 350, 379, 411, 549, 555 uniforme, 381-393, 425, 458-461, 556, 567,594 Coordenadas,cilíndricas,13,179 (Prob.6) curvilíneas, 109, 170, 180 (Prob. 8), 227,235 curvilíneas ortogonais, 170-180 (Prob. 9) esféricas, 13, 132,177-178 polares,3,10 Coriolis, aceleração de,80 Coroa,617 Corpo em queda livre, 78 (Prob. 1)
743
Cálculo Avançado
Cossenos diretores, 12, 50 Critério, de Cauchy, 348, 352, 411, 422,
Determinante, jacobiano, 106, 110
148-153. 226. 337 (Prob. 6), 687 wronskiano, 519
549 da integral, 356
Determinantes, 6, 106
da raiz, 359, 431 (Prob. 5), 550
Diferença, 153, 700 (Prob. 5)
da raiz generalizado, 365
Diferencial, 20, 416, 560
da razão, 357, 431 (Prob. 3), 550 da razão generalizado, 365
lema fundamental da, 93 total, 93
para séries alternadas, 358
Dinâmica, 73-81, 329, 529-533, 688-703
do termo geral, 353, 550
Dirichlet, problema de, 660, 661, 706, 729
Critério M, para integrais, 425
Disco de convergência, 594
para séries, 386, 557
Discriminante, 5
de Weierstrass, 386, 425, 557
Distância, 8, 9, 181, 544
209, 210, 424
Divergência, de um campo vetorial, 158,
para séries, 354, 550 Curva, no espaço, 62, 115
(ver também
Comprimento de arco)
Critérios de comparação, para integrais,
163-164, 166-181, 186, 286. 303-309, 337-338 (Probs. 6, 7), 612
fechada, 255
para o infinito, 345, 549
fechada simples, 255
de seqüências, de séries, de inlei!rais
(ver
lisa, 255 Curvas, equipotenciais, 670 de nível, 84, 148, 493, 649 Curvatura. 70.71
Convergência)
teorema da, 271, 302, 303 Domínio, 82, 551 com talho, 671 Duplamente conexo. 278
Decréscimo exponencial, 504
Elasticidade, 129, 672
Dei, 117, 161
Elemento de área de superfície, 255, 298
( ver também Nabla)
Densidade, 221
de carga. 1 64. :i:i 1
301 (Prob. 8) Eletromagnetismo, 165, 331
Dependência funcional, 148-153
Elipse, 9
Derivação, de integrais, 246-251, 426
Elipsóide, 13
de séries, 392, 398, 4 76, 597 Derivada, 19-24, 63-68
de inércia, 224 (Prob. 4) Energia, 78 (Prob.
direcional, 121, 123, 140, 160, 563, 573 direcional segunda, 140
Derivadas, de ordem superior, 20, 68, 127, 129, 133
329, 531,
(Prob. 2) interna, 333 livre, 336 (Prob. 5) potencial, 329, 698, 736
parciais, 91, 127
Entrada, 505, 531, 690, 694
de Stokes, 102 (Prob. 10), 167 (Prob. 2),
Entropia, 335
250 (Prob. 6), 330
Equação, algébrica, 4, 5, 514, 516, 641
Derivável, 23 Descontinuidades, de salto, 205
(Prob. 5) biarmônica ( ver Equações e funções
oscilatórias, 205 Desigualdade, 2, 4, 42, 183, 184, 468, 544 de Bessel, 445, 470 de Minkowski, 468 de Schwarz, 183, 468 triangular, 42, 183, 544 Desigualdades de Cauchy, 187 (Prob. 2), 607 Deslocamentos. 40
744
695
cinética, 78 (Prob. 1), 267, 329, 699
logarítmica, 32 (Prob. 27), 636 segunda, 20, 68, 127, 129, 133
1),
(Prob. 4), 699 (Prob. 2)
biarmônicas) característica, 514, 523, 692 de
Cauchy-Riemann.
336 (Proh. 2),
563. 568. 569, 575. 612.687 de continuidade, 164, 307, 330, 339 (Prob. 8) de diferenças, 157, 700 (Probs. 5, 6), 708.734
e- ºº'�do. :1.1�
Índice Alfabético
funcional da Função Gama, 429 funcional, permanência da,583, 683 hiperbólica, 705 hipergeométrica,537 de onda, 705, 707, 727 parabólica, 705 d� Poisson, 309 (Prob. 3), 331, 674, 706, 739
1
Fatorial, 8, 429 Fluxo, 302, 306 dinâmica)
(ver também Hidro
incompressível, 158, 164, 167 (Prob. 2), 186,307,330
ao redor de um obstáculo, 670
quadrática,5
9, 12
Equação diferencial, 134, 478, 489-540 (Cap. 8), 599 (Prob. 4), 687-742 (Cap. 10) de Bessel, 536-537, 727, 731 (Prob. 4), 732 (Prob. 7)
elíptica, 705
Força, 73, 266 elétrica, 160,164, 331 Forças internas e externas, 75 Forma, normalizada, 9, 13 polar de um número complexo, 544 quadrática, 144 Fórmula,de Abel, 433 (Prob. 10)
exata, 493, 496
integral de Cauchy, 602
de Legendre, 478, 537 (Prob. 9), 727
integral de Poisson, 251 (Prob. 7), 611,
ordinária,489
Equações, e funções biarmônicas, 128,
660, 664, 668 (Prob. 6) de recorrência, 478,535
134 (Probs. 4, 5), 134 (Prob. 9), 157
do retângulo, 191
(Prob. 16), 672, 675 (Prob. 4)
de Rodrigues,477
homogêneas, 6 lineares, 5, 9,12 simétricas, 11 simultâneas, 5, 103 Equações diferenciais, homogêneas, 495, 512-518, 523 lineares,499, 511-533,687-742 (Cap. 10) lineares a coeficientes constantes, 513 não-homogêneas, 512 não-lineares,527, 739
de Taylor com resto,402, 417, 605 ·Fórmulas de Frenet, 71 (Prob. 9) Freqüência, 711
(ver também Freqüências
de ressonância)
Freqüências de ressonância, 513, 523, 532, 692, 698, 708, 715, 725, 726, 730, 733,738, 739
Função, 14. 62, 82, 102, 109, 551, 586,648 /
. Beta, 430
complementar, 518,526, 718
ordinárias: existência de soluções, 491
composta, 15, 88
parciais, 239, 489, 687-742 (Cap. 10)
contínua, 14, 63,87, 137, 142, 347,560
simultâneas, 510 (Prob. 5), 522-528
·
peso, 482
Fatores integrantes, 498
estacionário, 158
de Parseval, 464 (Prob. 2), 470, 475
do segundo grau.
Fator,de amplificação, 5,06, 532
Equilíbrio,76,332,667 (Prob. 3),689,693, 698, 705, 717, 729, 734 estático, 76 Erro, estimativa de,194,220, 368-374,405
contínua
à esquerda ou à direita, 15
de corrente, 336 (Prob. 2),671 elíptica,204
de erro, 205 (Prob. 8),244 (Prob. 1) exponencial, 16, 547,582, 583,591
Escalar, 42
Gama,429
Espaço,euclidiano n-dimensional,181
harmônica,128, 154, 167,168 (Prob. 8),
vetorial,181-187, 467,701 (Prob. 8) vetorial euclidiano,186,701 (Prob. 8) Espectro, 708, 730 contínuo, 730 Euler, identidade de, 413,547 Euler-Mascheroni, constante de, 430 Existência de soluções para equações di.
ferenciais ordinárias,491
289
(Prob.
10),
308
(Prob.
3),
330-332, 336 (Prob. 2), 456, 541, 559, 569 (Prob. 6), 609, 611, 660, 687 ímpar,449 inteira ou integral, 607 (Prob. 8) limitada, 86, 137, 142, 205, 241, 607 (Probs. 7 e 8) lisa, 439
Família triplamente ortogonal de super ficies, 172
logarítmica, 17,588 par, 448
745
Cálculo Avançado
302, 307, 313, 330, 337-339
-potência, 4, 546, 591 de
stress de Airy, 672
(Probs. 6-8), 669. 670. 706
de várias variáveis, 82, 85
Hipérbole, 9
zeta de Riemann, 357
Hiperbolóides, 13
Função analítica, 40:2, 415, 542, 569, 586,
Hodógrafo, 81 (Prob. 11)
ao longo de uma curva, 573 em sentido amplo, 683
Identidade de Euler, 413, 547
no infinito, 621
Identidades, de Green, 288 (Prob. 10),
num ponto, 573
308 (Prob. 3)
Funcional, 736
(ver
Funções biarmônicas
Equações e
funções biarmônicas) Funções, de Bessel, 481, 483, 536-537, 727, 731 (Prob. 4), 732 (Prob. 7) características, 708, 715, 726, 728, 734, 737, 739
Igualdade, 2 Imaginários puros, 2, 543 Inclinação, 9 Independência do caminho, 273, 314, 576 Indução, 8 Integração, passo a passo da equação
hiperbólicas, 31 (Prob. 23), 582
diferencial, 509, 734
homogêneas, 102 (Prob. 9), 318
de séries, 390, 474, 567
implícitas, 14, 102, 106 inversas, 109, 110, 407, 586. 613
(!'rob. 7), 649
Integral, complexa, 564 ·
curvilínea, 252-291, 309-316, 564 definida, 24, 189-215, 246-251: 257, 291,
ortogonais, 466, 484, 710, 726
419-434, 642
periódicas, 435 racionais, 16, 89. 554, 581, 626 (Prob. 9), 641 (Probs. 3, 4)
dependente de parâmetro, 246, 614 (Prob. 9) elíptica completa, 246
transcendentes elementares, 16-18
de Fourier, 487, 730
trigonométricas, 17, 582
iterada, 217
trigonométricas inversas, 18, 592
de Kronecker, 327 (Prob. 6)
vetoriais, 62
de linha
elípticas, 202, 246
Gradiente, 117, 161, 165-169, 279, 314
impróprias, 205, 209, 241, 286, 419-427
Grau, 4, 9, 13, 102 (Prob. 9), 318, 415
múltiplas. 221
de uma equação diferencial, 489 de uma função racional, 626 (Prob. 9) 320,
325-327
·
(Probs. 2. 3, 6) Gravidade, 79 (Prob�l), 159, 162 (Prob. 4), 272 (Prob. 4) Green, função de, 739, 741 (Prob. 9) identidades de, 289 (Prob.
(ver Integral curvilínea)
Integrais, duplas, 215, 209, 326 (Prob. 4)
Gauss, teorema de, 271, 302, 303
da transformação,
vetoriais, 60, 166
Infinito complexo, 555, 621, 634
harmônicas conjugadas, 609
·
Hiperplano, 118 Hipersuperficie, 86
604, 648, 717 ,.
10), 308
(Prob. 3) teorema de, 268, 282 Grupamento de séries, 374
de superficie, 29 4 triplas, 221, 229 Intervalo, 84 aberto, 84 de convergência, 394 fechado, 84 Irrotacional, 165, 316, 330, 336 Isóclinas, 508 Jacobi, polinômios de, 484 Jacobiano, determinante, 106, 110, 148-153, 226, 337 (Prob. 6), 687
Harmônica, conjugada. 609 Harmônico, 436, 710
Kronecker, integral de, 327 (Prob. 6)
Hermite, polinômios de, 484
Laguerre, polinômios de, 484
Hidrodinâmica, 102 (Prob. 10), 158, 159,
Laplace, equação de
163, 164, 168 (Prob. 2), 250 (Prob. 6),
746
harmônicas)
(ver Funções
1 ndice Alfabético
transformação de, 427, 731 Laplaclano, 128, 131, 132, 167, 175, 704, 734
(ver também
Funções
harmônicas)
de inércia, 78, 219, 223,300 (Prob. 3) de inércia polar, 219 Morera, teorema de, 577 Movimento, dos fluidos
Laurent. séries de. 617. 618. 618 Legendre, equação diferencial de, 478, 537 (Pro b. 9), 727
(ver
Hidrodinâmica) forçado, 503-508, 529-533, 694, 699, 720
Legendre, polinômios de, 477-481,537 (Prob. 9),727, 732 (Prob. 7) Lei, de Coulomb, 294
harmônico, 688, 698,701 (Prob. 7), 707 harmônico simples, 436, 529, 688
distributiva, 1, 47, 54, 182, 302, 468,
planar de um corpo rígido, 79 (Prob. 9) relativo, 80 (Prob. 10)
543 do paralelogramo, 3
rígido, 76, 151
dos senos, 61
l Hôpi tal. regra de. �O. 641 (Prob . 11) '
Mudança de variáveis em integrais, 27, 224,239,320,579
Liebmann, mét0do de, 740 (Prob. 2)
Multiplamente conexo, 278
Limite, 14, 86, 552
Multiplicação, 1,3,543,546
inferior de seqüências, 345
de séries, 376, 550
em média, 471
de vetor por escalar, 42, 181
superior de seqüências, 345
de vetores, 46,54,182
Linearização, 103
Multiplicadores de Lagrenge, 145,737
Linearmente, dependentes, 43, 182,468
Multiplicidade de zero, 620
independentes, 468, 512 Linha de ação, 39, 76 Linhas, de contorno
(ver
Nabla, 117, 161 Curvas de
nível) de corrente, 670 Liouville, teorema de, 607 (Prob. 8) Lisa por partes, 257, 293, 564
Newton, segunda lei de, 37, 74, 267 terceira lei de, 75 Norma, 182, 467, 701 (Prob. 8) Normal, a curvas, 117, 119 principal, 71 a superficies, 117, 119 Notação funcional, 14. 84
Maclaurin, série de, 400
Números, diretores, 10, 50
Massa, 219, 223,300, (Prob. 3)
irracionais, 1
Matrizes, 526
racionais, 1
Máximo absoluto, 137, 142 Máximos e mínimos, 136-149, 418, 735-738
Ondas. eletromagnéticas. 705 de som planares, 705
Maxwell, equações de, 331
Operadores lineares, 166,512
Mecânica estatística, 187 (Prob. 7)
Ordem, de equação diferencial, 499, 705
Média aritmética, 192,220, 602 Método, operacional, 428,520 (Prob. 5)
de pólo, 619 Ordenada, 8
de Rayleigh-Ritz, 736
Orientação no espaço, 53
variacional, 735-738
Ortonormal, 467, 469
Métodos numéricos para equações diferenciais, 508, 733 Mínimo absoluto, 137, 142 Mínimos quadráticos, 148, 443, 470
Parábola, 9
Parabolóide. dipticu. 1 .: hiperbólico, 13
Minkowski, desigualdade de, 468
Paralelo, 9, 11, 12, 55
Modo fundamental, 710
Parseval, equação de, 464 (Prob. 2), 470,
Modos normais, 692, 698; 701 (Prob. 7), 706,707,708, 715, 730
475 Parte, imaginária, 3, 543
Módulo, 2,543
principal, 620
Momento, de força, 74, 79 (Probs. 3,7. 8)
real, 2, 543
747
Cálculo Avançado
Pequenas vibrações,698
Progressão, aritmética,8
Permanência de equação funcional. 582,
estereográfica,623 geométrica,8
683 Perpendiculares,9. 12,48,184
Prolongamento analítico, 583,605,681 .
. Propriamente divergente, 350
Planímetro, 190 Plano, 12
Propriedade da unicidade, 456, 471,479
finito, 623 Quantidade, lk 111o vimc111 0. 7�
tangente,116 z
de movimento angular, 74, 78
estendido, 623
Poisson, equação de, 309 (Prob. 3), 331 Radianos,3
674, 706, 739 Polinômio, 4,16,89,541, 554,581 Polinômios, de Hermite, 484
Raio, de convergência,394, 413,594,606 de curvatura, 69, 71 Raízes, 4, 5,546, 5_52, 591, 641
homogêneos, 415 de Jacobi,483
Ramo,586,592, 681
de Laguerre, 484
Rearranjo de séries, 375
de Legendre, 142, 537 (Prob. 9),727
Região, aberta,84,551 fechada,84
Pólo,619, 622, 630
Regiões não-limitadas, 244, 730
Ponto. de aplicação. 39
Regra,de Cramer, 6
de fronteira, 84, 619 de fronteira isolado, 619
de Leibnitz para derivadas,21
de inflexão, 136
de Leibnitz para integrais,246, 250 (Prob. 5), 338 (Prob. 7),580
de ramificação, 587, 592, 684 de ramificação al?:ébrica. 684 de ramificação logarítmico, 588 Pontos, críticos, 136, 138, 657,738 inversos, 658 (Prob. 10)
de Simpson, 193, 238,239 do trapézio,192
Potencial, eletrostático, 168 (Prob. 8), 331, 336 (Prob. 3), 667 (Prob. 2) logarítmico, 245 (Prob. 2), 615, 729 newtoniano, 245 (Prob.
(Prob. 4), 614 (Prob. 9) de l'Hôpital, 30,641 (Prob. 11)
3)
de velocidade, 330, 336 (Prob. 2), 67 0
Regras de cadeia, 98 Representação conforme,647,659 (Prob. 14) Resíduo logarítmico,636 Resíduos, 190, 628, 634, 642
Preservação da orientação,648
Ressonância,531,695 (Prob. 9)
Primeira diferença, 154, 700 (Prob. 5)
Resultante, 75
Primeira lei da termodinâmica, 333
Reta, 9, 11,65, 67,181
Princípio do argumento, 638 Problema, de Dirichlet, 660, 661, 706, 729 homogêneo, 706, 718
normal, 12 tangente, 64, 115, li 8 Riemann, função zeta de, 357
do valor de fronteira, 491,492
superfícies de, 684
do valor inicial, 491, 734, 741 (Prob. 5)
teorema de, 626 (Prob. 12)
Problemas de valor de fronteira de Sturm-Liouville, 725 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, 185,480 Produto, de Cauchy para séries, 377 escalar, 46,182 interior (ou escalar) 182,467,701 (Prob. 8) triplo escalar, 57
Rodrigues,fórmula de, 477 Rolle,teorema de, 23 Rotacional de um campo vetorial,158, 164,166,167,271,279,310,313, 330, 331, 336 (Prob. 2),612 Saída
(ver Entrada)
Schwarz-Christoffel, transformações de, 677
de um vetor por um escalar,42,181
Seções cônicas, 10
vetorial, 54
Segunda diferença,154. 700 (Proh. 5). 704
Produtos, de inércia, 224 (Prob. 4) triplos vetoriais, 60
748
ségunda lei, de Newton, 37,74, 267 da termodinâmica, 335
1 ndice Alfabético
Stokes, teorema de,271, 311
Sentido, negativo, 260
Sturm-Liouville,problemas de valor de
positivo, 260 Seqüência limitada, 344
fronteira de, 725
monótona,344
Substituição em equações diferenciais,
Seqüências infinitas,342-349,380, 389,
134,SOl (Prob. 11)
409,414,548,555
Série, harmônica, 357
Subtração, de números, 1,3, 544
harmônica de ordem p, 356
de vetores,39, 181
hipergeométrica, 539
Superficie, 13,117,291
de Taylor,399,415,533,569, 591, 604
trigonométrica,435
lisa,292
(ver também
não-orientável,293
Séries de Fourier) Séries
(ver também
Mudança de variáveis em integrais)
Superfieies, de nível, 86
(ver Séries infinitas)
quádricas,13
Séries,duplas de Fourier,485,729
·
de Riemann,684
Superposição, 463, 724 (Prob. 6),738
de Fourier,435-488 (Cap. 7)
Supremo,383
de Fourier-Bessel, 482 de Fourier de cossenos,449
Tabela de integrais,27
de Fourier-Legendre,479 de Fourier de senos, 449, 701 (Prob. 8),
Taylor,série de,399, 415, 533,569,591,
geométricas, 357, 556, 557, 595
Temperatura,331
708
604
infinitas, 240, 341-434 (Cap. 6), 533 549-551
(ver também Séries de
Fourier, de potências)
de Laurent,617,618,628
de potências,393-409,412,541, 594-599,602-608,616-619
Servomecanismos,532 Símbolo V (dei ou nabla), 117,161 Simplesmente conexo,278,315,600, 609 Singularidade,essencial, 620, 622 isolada, 619 removível, 619,622, 626 (Prob. 12) Sistema, de coordenadas retangulares, 8, 11
.
(ver também Condução
de calor; Termodinâmica)
Tens.ão, 704 Tensor de stress, 672
Tensores,175,182,672 Termodinâmica,113 (Prob. 14),332-337 Teorema, de Abel, 596 binomial, 8,399,404 do eixo paralelo,224 (Prob. 3) de Euler para funções homogêneas, 102 (Prob. 9) fundamental da áÍgebra, 4, 641 (Prob. 5)
fundamental do cálculo,26, 199 de Gauss, 271, 302, 303
dos números complexos, 2, 542
de Green,268,282
ortogonal completo,469, 471,476
da média,23,25,220,223,417
dos números reais,1
(Probs. l, 2),480, 482, 483,485, 710. 726, 729
ortogonal normalizado (ortonormal), 467,469
Sistemas,destros,
53
mecânicos de N partículas,690, 696 recíprocos de vetores,61 (Prob. 8), 171 Solenoidal,317,'320 (Prob. 6),330, 687 Solução geral,490 particular,489,523 Som,436,705 Soma,de números,1,3,.543 de vetores, 39,182 Somas parciais de séries,350,549,554
Somatória de Abel para séries, 668
da integral de Cauchy,575, 599,605 de Moivre. 5, 546 de Morera, 577 dos resíduos de Cauchy, 629 de Riemann, 626 (Prob. 12) _de Rolle,23 de Weierstrass e Casorati, 627 (Prob. 13)
Teoria, dos gases,113 (Prob.14),332 do p'Otencial, 729
Terceira lei de Newton, 75 Trabalho,47,254,266,291,329, 334, 531 Transformação, bijetora (biunívoca), 110, 226,228,324,648,676
de coordenadas,109,-176, 226,228, 324.639.647,675
749
Cálculo Avançado
exponencial,' 654
livre, 39
de Laplace,427,731
nulo, 38, 181
linear fracionária,651
tângente, 72 (Prob. 11), 562 (Prob.
7)
linear inteira, 650
Vetor-aceleração, ()8,73,71
recíproca,651
v·etor-elemento de área, 255, 298, 301
de Schwarz-Christoffel,677
(Prob. �J
Transitório, 505,531, 692
Vetor-posição, 73
Translações, 650
Vetor-velocidade, 37, 63,68, 73
Triplamente conexo,278
Vetor-velocidade angular,65, 76
Vetores,37-81 (Cap. 1), 158-188 (Cap. 3),
Tripla, negativa, 53
252-339 (Cap. 5)
positiva,53
de base,48,182,469
Unidade imaginária, 2
coplanares, 43, 57 deslizantes,39, 76
Valor, absoluto, l, 2
ortogonais, 47,184,701 (Prob. 8)
absoluto de um número complexo, 2,
unitários,50,51,182,469
409,543
Vibração,de corda, 455 (Prob. 2),703
absoluto de um vetor, 182
de mola,529-533, 688-702
médio,192,220,602
Vibrações,amortecidas, 529, 688,696
principal de função,18,589, 591
(Prob. 10),698
principal de integral, 645
de membrana circular,732
Valores característicos, 513, 523,531,
Vizinhança, �J,618
692,698, 708,715, 725,726,729,
reduzida, 618
734, 737,739
Volume,57, 217, 218,223
Variação de parâmetros,518, 526,527, 721
Weierstrass, critério M de,386, 425,557
Variáveis,dependentes, 85,103 independentes,14,85 separáveis, 494,729
Weierstrass e Casorati, teorema de, 627 ·
(Prob.13)
Velocidade de onda, 711 Vetor, diferencial de área, 255, 298 ligado, 39, 159
750
Zeros da função,552, 585 (Prob. 5), 621, 622
Este trabalho foi elaborado pelo processo de FoTOCOMPos1çÃo Monophoto
-
no Departamento de Composição da Editora
Edgard Blücher Ltda. - São Paulo -
Impresso na 03043
�--
.,. ,,,.M;e•-· •
Rua Martim 81.Jlchard, 246 Brás - São Paulo · SP Fone: (011 J 270-4388 CPABXJ
com filmes fornecidos pelo Editor.
Brasil