) d 1 y, por lo tanto, lg(nl $; 2Ae p(g) y la proposición 8. 1 .3 da (g') - (z) = zg(z) - g(O). Pero g'(t) = f(t) y, por lo tanto, g(O) = O, así que /(z) =zg (z) y entonces g(z) = j(z)lz . Si B > O y 1 � O, entonces -e1 $; y 1/(t)l < e-1 < e81• B log 8 Si B < O, sea A = máx (1/e, e <-8>), y sea g(t) = * * * *1 + Bt + log A. Entonces g(O) = + log A � O. También, g'(t) = O únicamente en t = log(-B) y g(log (-B)) = - B + B log (-B) + log A <:: O y, por lo tanto, -e-1 $; Bt + log A para t � O y lf( t)l $; Ae81• Así, p( /) = - oo y, por Jo tanto, cr(/) = - oo. (z +
f(Zo + rei) d
f(Zo
+
+
J
e
t
-
21t
-E
rei) d
f(zo + rei(a + <1>>) d
J
E
-E
f(7+ re i) d
f
En la primera y en la tercera integrales, el i n tegrando no es mayor que lf(z0)1 y
la longitud del i ntervalo es 1t - E. Así, cada una de las i ntegrales no es mayor que
2.5.
TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO
1 87
l/(z0)1 (1t - E). En la i ntegral intermedia, la longitud del intervalo es 2E, y el integrando es menor que l/(z0)1 - o . Por lo tanto, esta integral no es mayor que (lf(Zo) - o) 2E. Al reunir todo esto nos da
Figura 2.5. 1 . Construcción para l a demostración del pri ncipio del mód u l o máximo -versión loca l-. lcpl < E da l a parte del círculo donde se sabe que l tl es
menor. 1
lf(z0)1 < 21t
[ lf(z0)1(1t - E) + ( l/(z0)1 - 0)2E +
lf(Zo)l(1t - E)]
o
Esto es obviamente imposible y muestra que no puede existir tal punto z en D0 para
el que 1/(z)l < 1/(Zo)l. La única posibilidad restante es que 1/(z)l = lf(Zo)l para todo z en D0.
Así que lfl es constante en D0• Al usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann ,
como en el ejemplo resuelto 1.5.19, se muestra que la propia función f debe ser
constante. Esto es exactamente lo que deseábamos. •
La versión local del principio del módulo máximo nos dice que una función
analítica no puede tener un máximo local en u n punto, a menos que ésta sea cons
tante cerca del punto. En el capítulo 6 veremos que aún más es cierto . Una función analítica en u n conjunto abierto y
conexo
no puede tener un máximo local en nin
gún punto del conjunto, a menos que sea constante en todo el conjunto. Dirigimos ahora nuestra atención a una versión global un tanto diferente de este principio. In vestigaremos máximos globales, esto es, el valor más grande que toma 1/(z)l en todo el conjunto. Mostraremos que éste sólo puede encontrarse en la orilla o frontera del conjunto. En la sección 1.4, vimos que una función continua con valores reales en
un conjunto cerrado y acotado, alcanza un máximo finito, pero podría no hacerlo si
el conjunto no es cerrado o no es acotado .
188
Cerradura y frontera En la sección 1 .4 se vio intuitivamente que un conjunto es cerrado, si contiene todos los puntos de su frontera; y es abierto, si no contiene a ninguno de ellos. Así, si empezamos con un conjunto A y agregamos todos aquellos puntos de la frontera que le hacen falta, deberemos obtener un conjunto cerrado que contiene a A . Esto es cierto, pero hay algunos problemas técnicos. Uno de ellos es que aún no tenemos una definición de "frontera".
Sea A un conjunto. La cerradura de A, denotada por A o por el (A) , consiste de A junto con todos los puntos límite de todas las sucesiones convergentes de puntos de A.
Definición 2.5.3.
Esto produce el resultado deseado, el conjunto cerrado más pequeño que contiene a A. Proposición 2.5.4.
Si A e C , entonces
(i) A e el (A). (ii) A es cerrado si y sólo si A = el (A). (iii) Si A e C y C es cerrado, entonces el (A) (iv) el (A) es cerrado.
e C.
Demostración. La primera afirmación es inmediata a partir de la definición. La herramienta principal para las restantes, es la proposición 1 .4.8, la cual establece que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a los límites de todas las sucesiones convergentes de sus puntos. Si hacemos lím (A) = (wl existe una sucesión de puntos en A que converge a w), entonces A e lím (A) pues las sucesiones constantes, ciertamen te convergen. La cerradura se definió como el (A) = A u lím (A), así que en realidad tenemos que el (A) = lím (A). Pero la proposición 1 .4.8, dice exactamente que A es ce rrado si y sólo si lím (A) e A, por ende (ii) queda establecida. Esto también muestra que si e es cerrado y A e e, entonces lím (A) e e y, por tanto, tenemos (iii). Lo úni co que resta mostrar es que el (A) es cerrado. Para ello, tan sólo necesitamos mostrar que c1 (A) = el (el (A)), esto es, que lím (A) = lím (lím (A)). Puesto que automáti camente lím (A) e lím (lím (A)), resta por mostrar que lím (lím (A)) e lím (A). es una sucesión de puntos en lím (A) tal que l ím zn = w. Supóngase que Zp z2, z3 , . . •
n � co
Queremos mostrar que w está en lím puntos wn en A para los que lwn - zn 1 < tanto w
E
l ím
(A), como se deseaba.•
(A). Cada zn está en lím (A), así que hay 1/n. Esto obliga a que nlím wn w, y por lo � oo
=
La frontera de un conjunto A es el conjunto de puntos en la "orilla" de A . Si w está en la frontera debe ser posible aproximarse a él desde A y desde el comple mento de A. Esto nos lleva a la siguiente definición. Definición 2.5.5.
Si A es un conjunto, la frontera de A se define como fr (A) = el (A)
No es difícil ver que el (A ) = A
u
n
el (C\A)
fr (A ) . Véase el ejemplo resuelto 2.5. 17.
189
Un principio del módulo máximo global
Estamos ahora listos para dar la versión global del principid del módulo máxi mo prometida.
Sea A un conjunto conexo, abierto y acota do, y sea f: el (A) -7 C una función analítica en A y continua en el (A). Sea M el máximo de lf(z)l en fr (A); esto es, M es la menor de las cotas superiores o supre mo de lf(z)l, con z variando en fr (A). En símbolos, M = sup {lf(z)l tal que z E fr (A)}. Entonces Principio del módulo máximo 2.5.6.
(i) lf(z)l$; M para toda z E A
y
(ii) Si lf(z)l = M para alguna z E A, entonces f es constante en A.
Este teorema establece que el máximo de f ocurre en la frontera de A y que si el máximo se alcanza en el propio conjunto A, entoncesfdebe ser constante. Éste es un resultado bastante sorprendente y ciertamente es una propiedad muy especial de las funciones analíticas. Los valores de lfl dentro de una región A, deben ser menores que el mayor valor de lfl en la frontera. Uno debe tener algo de cuidado. Por ejem plo, el principio del módulo máximo en esta forma, no necesariamente es cierto, si A no es acotada. En tal caso, la función no necesariamente es acotada en A, aun si lo es en fr (A). (Véase el ejercicio 3.) En las aplicaciones de este teorema, A será a menudo, el interior de una curva cerrada simple, por lo que el (A) será A u y, y fr (A) será y. Es razonablemente claro que si A es acotado, también lo es su cerradura. Si lzl es una sucesión en A que converge a w, enton $; B para toda z en A, y Zp z 2, z3, ces lznl converge a lwl, así que lwl $; B. Por lo tanto, el (A) = lím (A) también está acotado por B. Del teorema del valor extremo ( 1 .4.20), sabemos que una función continua con valores reales en un conjunto cerrado y acotado, alcanza su máximo en ese con junto. Se sigue que si M' = sup { lf(z)l tal que z E el (A)} entonces M' = lf(a)l, para alguna a E el (A). •
•
•
El primer paso es mostrar que el (A)j y M = sup { lf(z)l tal que z E fr (A)). En el primer paso, hay dos casos. Primero, supongamos que no existe a E A tal que lf(a)l = M' . Por tanto, debe haber una a E fr (A) tal que lf(a)l = M' (puesto que sabemos que debe haber alguna a E el (A) = A u fr (A) tal que lf(a)l = M'). Pero, entonces, debemos tener que lf(a)l = M' = M. Segundo, supongamos que existe una a E A tal que lf(a)l = M'. Por la versión local (2.5 . 1 ), el conjunto B = [z E Al f(z) = f(a )j es abierto, ya que cada z E B tiene una vecindad en la cual f es el valor constante f(z) = f(a ). Por otra parte, B es la imagen inversa del conj unto cerrado !J(a)} bajo la transformación continua/ restringida a A; en consecuencia, B es un conjunto cerrado en A. Así B es tanto abierto como cerrado en A y, por su puesto, no vacío, por lo tanto, de los hechos básicos sobre conectividad, tenemos que B = A. Por ende, f es el valor constante f(a) en A y, en consecuencia, por la continuidad de f en el (A), también el valor de f es igual al valor constante f(a) en c1 (A) (¿por qué?). Por lo tanto, también en este caso tenemos que M = M'. Demostración del principio del módulo máximo.
M = M', donde M' = sup {!f(z)ltal que z E
190
CAP. 2. TEOREMA D E CAUCHY
Ya que M = M' , obviamente 1/(z)l ::;; M para toda z E A , y así (i) está de mostrado. Si 1/(z)l = M = M' para alguna z E A, correspondiente al segundo caso, entonces, como se mostró allí, fes constante en A y (ii) queda demostrado. • Lema de Schwarz
El siguiente teorema es un ejemplo de una aplicación del teorema del módulo máximo. Este resultado no es uno de los resultados más básicos de la teoría, pero indica el tipo de severas restricciones que la analiticidad impone.
f analítica en el disco abierto unitario A = {z E e tal que lzl < 1 ) y supóngase que lf(z)l ::;; 1 para z E A y f(O) = O. Entonces lf(z)l ::;; lzl para toda z E A y lf'(O)I ::;; l. Si lf(z0)1 = lz01 para alguna z0 E A, Zo =F O, entonces f(z) = c z para toda z E A y para alguna constante e, con le! = l . Lema de Schwarz 2.5.7. Sea
Demostración.
Sea
g(z) =
{
/(z) z /'(0)
si z =F
G
si z = O
La función g es analítica en A porque es continua en A y analítica en A\{0\ (véase el corolario 2.4. 1 1 del teorema de Morera). Sea Ar = {z tal que lzl ::;; r\ para O < r < l (véase la figura 2.5.2). Entonces g es analítica en Ar, y en lzl = r, lg(z)l = 1/(z)/zl ::;; llr. Por el principio del módulo máximo lg(z)l ::;; llr en todo Ar; esto es, 1/(z)l ::;; lzl/r en Ar. Pero al mantener z E A fijo, podemos dejar que r � 1 para obtener que 1/(z)l ::;; lzl. Claramente, lg(O)I ::;; 1 ; esto es, 1/'(0)1 ::;; l . y
(/(0)=0) lf(z) l � 1
=>
<
lf(z)l _ lzl
Figura 2.5.2. Lema de Schwarz.
Si l/(z0)1 = lz01, z0 =F O, entonces lg(Zo)l 1 es un máximo en Ar, donde IZol < r < 1 y, por lo tanto, g es constante en Ar. La constante es independiente de r (¿por qué?), y el teorema está demostrado. • =
2.5. TEOREMA DEl MÓD U lO MÁXIMO
1 91
El lema de Schwarz es una herramienta para muchos elegantes resultados geo métricos, y ocasionalmente útiles, del análisis complejo. Una generalización que es útil para obtener estimaciones precisas de cotas para funciones, es conocida como
principio de Linde/Of, el cual es el siguiente: Supóngase que f y g son analíticas lzl < 1 , que g transforma a lz l < 1 en forma uno a uno y sobre en un conjunto G, que f(O) = g(O), y que la imagen de f está contenida en G. Entonces lf'(O)I ::; lg'(O)I, y la imagen de lzl < r bajo f, para r < 1 , está contenida en su imagen bajo g. Este el
en
principio se hace particularmente útil por la conveniente disponibilidad de las trans = formaciones fraccionales parciales, para el papel de éstas tienen la forma
(az + b)l(cz + d).
g,
g(z)
Como demostraremos en el capítulo 5, éstas mandan círculos en
círculos, así que l a i magen baj o
g
del disco lzl
(véase el ejercicio 4 para detalles adicionales).
<
r es
usualmente fácil de encontrar
Para un estudio provechoso de los resultados más geométricos y una bibliogra
fía, véase T. H. MacGregor, "Geornetry Problerns i n Cornplex Analysis",
can Mathematical Monthly, mayo
1 972, p. 447.
Ameri
Funciones armónicas y armónicas conjugadas Si fes analítica en
A y f = u + iv,
sabemos que
u y v son
infinitamente diferen
ciables y que son armónicas (por el teorema 2.4.6 y l a proposición 1 .5. 1 1 ) . Vamos
ahora a mostrar que el recíproco también es cierto.
Sea A una región en C y sea u una función armónica, dos veces continuamente diferenciable en A. Entonces u es C"' , y en una vecindad de cada punto z0 e A, u es la parte real de alguna función analítica. Si A es simplemente conexa, existe una función analítica f en A tal que u = Re f. Proposición 2.5.8.
Así, una función armónica es siempre l a parte real de una función analítica (o la parte imaginaria de l a función analítica
if)
al menos localmente y en todo el
dominio de la función, si el dominio es simplemente conexo. Demostración. Demostremos primero la última afirmación del teorema. Vamos a considerar la función mos
g=
U+
iV donde
g = (CJu/ox) - i(oloy). Sostenernos que g es analítica. Si hace U = ou!CJx y V = -CJu/CJy, debernos verificar que U y V tienen
primeras parciales continuas y que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riernann. En efecto, las funciones ción y son iguales cruzadas,
()UfCJx = o2u !ox2 y CJV!CJy = -o2 u/oy2 son continuas por suposi ya que V 2u = O. También, por l a igualdad de l as parciales au
oy
=
()2u CJy ox
=
Así concluirnos que g es analítica. Más aún, si A es simplemente conexa, exis
A tal que f' = g (por el teorema de la antiderivada, 2.2.5 o 2. 3 . 1 6) . Sea f = Ü + iV. Entonces/' = ()ufox) - i(CJu/CJy) y , por tanto, ou!ox = oÜ!CJy = ouloy. Por ende u difiere de u por una constante. Si ajustamos jsustrayendo esta constante, obtenernos u = Re f te una función analítica/ en
192
CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY
Demostremos ahora la primera afirmación. Si D es un disco alrededor de Zo en A , es simplemente conexo. Por lo tanto, como resultado de lo que acabamos de demostrar, podemos escribir u = Refpara algunafanalítica en D. Así, puesto quef es e "', u es también e "" en una vecindad de cada punto en A y, por lo tanto, es e "' en A. • Recuérdese que cuando existe una función analíticaftal que u y v están relacio nadas porf= u + iv, decimos que u y v son armónicas conjugadas. Ya quejes ana lítica, -v y u son también conjugadas armónicas. ¡Cuidado! El orden importa; si v es una armónica conjugada de u, entonces u probablemente no es una armónica conju gada de v. ¡En cambio, -u lo es! La proposición precedente dice que en una región simplemente conexa A, cualquier función armónica tiene una armónica conjugada V = Im f. Ya que las ecuaciones de Cauchy-Riemann ( ou tax = avtay y fJu /fJy -fJvlfJx) se deben cumplir, v está determinada únicamente excepto por la adición de una constante. Estas ecuaciones deben usarse como un método práctico para encon trar v cuando u está dada (véase el ejemplo resuelto 1 .5.20). Otra forma de obtener la armónica conjugada de u en un disco, definiéndola directamente en términos de una integral, se indicó en el ejercicio 32 de la sección 1 .5. =
Propiedad del valor medio y principio del máximo para funciones armónicas
Una razón de por qué la proposición 2.5.8 es importante, es que nos permite deducir propiedades de las funciones armónicas a partir de las correspondientes propiedades de las funciones analíticas. Esto se hace en el siguiente teorema. Propiedad del valor medio para funciones armónicas 2.5.9. Sea
una región que contiene un círculo de radio r alrededor de terior. Entonces
u armónica en z0 = x0 + iy0 y a su in (3)
Por la proposición 2.5.8, existe una función analítica f definida en una región que contiene este círculo y su interior, tal que u = Re f. Esta región de contención puede escogerse para que sea un disco ligeramente más grande. La existencia de un círculo ligeramente más grande en A es intuitivamente clara; la de mostración precisa se da en el ejemplo resuelto 1 .4.28. Por la propiedad del valor medio paraf, Demostración.
Al tomar la parte real en ambos lados nos da el resultado deseado. • A partir de este resultado podemos deducir, en una forma similar a la manera en que deducimos el teorema 2.5. 1 , el siguiente hecho.
2 . 5 . TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO
1 93
Principio del máximo para funciones armónicas (versión local) 2.5.10. Sea u armónica en una región A. Suponga que u tiene un máximo relativo en z0
E
A
(esto es, u(z) � u(z0} para z cerca de z0). Entonces u es constante en una vecindad de z0•
En este teorema "máximo" puede ser remplazado por "mínimo" (véase el ejer cicio
6).
En lugar de llevar a cabo realmente una demostración para u(z) similar a la de
mostración del teorema 2.5. 1 , podemos usar ese resultado para dar una demostra ción rápida.
Demostración. En un disco alrededor de z0, u = Re f para alguna f analítica.
Entonces ef
te en x, para todo real x, los máximos de u son los mismos que aquellos de lefl. Por el teorema 2.5. 1 , efes constante en una vecindad de
Zo; por lo tanto, eu y, por ende u,
son con stantes (otra vez debido a que eX es estrictamente creciente para x real). •
A partir de este resultado deducimos, exactamente como se dedujo el principio del módulo máximo de su versión local, la siguiente más provechosa versión.
Principio del máximo para funciones armónicas 2.5.1 1 . Sea A
nexo y acotado. Sea u: el (A)
�
e C abierto, co
R continua y armónica en A Sea M el máximo de
u en fr(A). Entonces {i) u(x, y ) � M para toda (x, y)
E
A.
(ii) Si u(x, y) = M para alguna (x, y)
E
A, entonces u es constante en A.
Hay un resultado correspondiente para el mínimo, denótese por m al m ínimo de u en fr (i)
(A). Entonces
u(x, y) :2: m para (x, y)
E
A.
(ii) Si u(x, y) = m para alguna (x, y)
E
A, entonces u es constante.
El principio del mínimo para funciones armónicas, puede deducirse del princi pio del máximo para func iones armónicas al aplicar éste a -u.
El problema de Dirichlet para el disco y la fórmula de Poisson Existe un problema muy importante en matemáticas y física, llamado el problema
de Dirichlet, y es éste: Sea A una región acotada abierta y
sea
u0 una función continua
(A). Encuentre una función de valores reales u en el (A) que es continua en el (A) y armónica en A, y que es igual a u0 en fr (A). Existen teoremas que afirman que si la frontera fr (A) es "suficientemente sua
dada en fr
ve" entonces siempre hay una solución u. Estos teoremas son bastante difíciles. Sin
embargo, podemos mostrar fácilmente que la solución es siempre única.
Unicidad para el problema de Dirichlet 2.5.12. La solución al problema de Dirichlet es única (suponiendo que hay una solución).
194
CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY
Demostración. Sean u y Ü dos soluciones. Sea 4> = u - Ü. Entonces 4> es armó nica y 4> = O en fr (A ). Debemos mostrar que 4> = O. Por el principio del máximo para funciones armónicas,
Queremos encontrar la solución al problema de Dirichlet para el caso donde la región es un disco abierto. Para hacerlo así, deducimos una fórmula que exprese explícitamente los valores de la solución en términos de sus valores en la frontera del disco. Fórmula de Poisson 2.5.13. Si u está definida y es continua en el disco cerrado [z tal que lzl < r} y es armónica en el disco abierto D(O; r) = (z tal que lzl < rj, entonces, para p < r,
2 2 u(pél>) = r - p 21t
i2Jt o
u{rei 9 ) de r2 - 2rp cos ce - 4>) + p 2
J zx u(rei9) lrei9r2 --lzl2zl2
o
1 u(z) = 21t o
de
(4)
(4')
NOTAS
(i) Las partes técnicas de la siguiente demostración requieren un conocimiento de la idea de convergencia uniforme. El estudiante que no ha estudiado con vergencia uniforme en cálculo avanzado, podría releer esta demostración después de estudiar la sección 3. 1, donde se discuten las ideas relevantes. (ii) Si hacemos z = O en la ecuación {4'), recobramos la propiedad del valor medio para funciones armónicas. Puesto que u es armónica en D(O; r), y D(O; r) es simplemente conexa, existe una función analíticajdefinida en D(O; r) tal que u = Re f. Sea O < s < r y sea 'Ys el círculo lzl = s. Entonces, por la fórmula integral de Cauchy, tenemos Demostración.
f
1 j(z) = -. 21tl 'Y,
j(�) �-z
d�
para toda z tal que lzl < s. Podemos manipular esta expresión de una forma conve n iente para tomar las partes reales. Sea z= s21Z. la cual es llamada la reflexión de z en el círculo 1�1 = s. La reflexión se ilustra en la figura 2.5.3. Así, si z está dentro del círculo, entonces z está fuera del círculo, y en consecuencia f{�) �-z
d� = O
1 95 y
Figura 2.5.3.
Reflexión de un número complejo en un círculo.
para lzl < s. Podemos sustraer esta fórmula integral de /(z) = -1. 21tt
( JY,
para obtener f(z) = -121ti
( )y,
J
/(C.,) dt., 1; - z
( ¡; 1-
z
-
1
r., - z
) di;
Observando que 11;1 = s, podemos simplificar como sigue: 1
1; - z
1
1 = 1; - z s-z
---
---
1
----
¡; - l sl2/z
=
-
1
�--
�; - z
z
s
IC.,I2 - lzl2 1;11; - zl2
Por lo tanto, tenemos /(z) = -1. 21tl
esto es, /( pei
=
_ 1
21t
f
Y,
f21t f se. (
0
i!l)(s2
-:- p2) de
lse 6 - pe'l2 '
1 96
CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY donde
p
<
s. Si observamos que lsei6 - pél>j 2 = s2 + p 2 - 2sp
las partes reales en ambos lados de la ecuación, obtenemos
.
1 u(pe'
f 2n: 2 u(se2 i6)(s2 - p2) o
s
+
cos(9 -
d9
p - 2sp cos (9 -
p y a
uniformemente en 9, lo cual implica que cuando
s � r,
(Vea la proposición 3. 1 .9, si no está fami liarizado con este resul tado acerca de la
convergencia de i ntegrales.) Así
u(pei
=
r2 - P1 21t
f2n: o
u(re'·a) d9 • r2 + p 2 - 2rp cos (9 -
La fórmula de Poisson (ecuación (4)) también nos permite encontrar una solu
ción al problema de Dirichlet para el caso en el que la región es un disco. Supónga = se que hemos dado la función continua definida en el círculo Definimos
por la fórmula (4):
izl r.
u
r y u(rél>) = u0(reí
para
p
u0
<
es armónica en
010 cerca de 9 = tj>. No se dará aquí una demostración.
Ejemplos resueltos 2.5. 1 4. Sea f analítica y distinta de cero en una región A. Muestre que
lfl no tiene un míni mo local estricto en A. Si f tiene ceros en A, muestre, mediante un ejemplo, que esta conclusión no se satisface.
2.5.
Solución.
TEOREMA DEL MÓDU LO MÁXIMO
1 97
Puesto que f es analítica y distinta de cero en
A , l lf es analítica en A . Por el A , a menos que 1/lfl sea constante. Así 1 / lfl no tiene un máximo local estricto en A . Por l o tanto, lfl no puede tener un mínimo local estricto en A . La función identidad /: z � z es
teorema del módulo máximo, 1 /lfl no puede tener un máximo local en
analítica en el disco unitario y 111 tiene u n míni mo estricto en el origen.
2.5. 1 5 . Encuentre el máximo de lsen zl en (0, 21t]
Solución.
Puesto que el sen
z
X [0,
21t].
es entero, podemos aplicar el principio del módulo
máximo, el cual nos dice que el máximo ocurre en la frontera de este c u adrado. Ahora lsen zl2 senh2
y +
senh y, sen2 x + cos 2 x
sen2 x debido a que sen (x
= 1
+ iy)
= sen xcosh
y + i
como máximo 1 ; para x = O el máximo es senh2 27t, ya que senh
y
zl 2
ocurre en x = 1t/2,
tanto, el máximo de lsen
zl
y
= 21t, y e s senh2 21t
en [0, 21t] X [0, 27t] es cosh 27t.
+ 1
+ l.
Así,
= cosh2 21t. Por lo
2.5. 1 6. Encuentre el máximo de u(x, y) = sen x cosh y en el cuadrado unitario [0, 1 ]
Solución. u(x, y ) e s
•
crece con y; para
x = 27t el máximo es otra vez senh2 27t; para y = 21t, el máximo es senh2 21t el máximo d e lsen
cos x
, y cosh2 y - senh2 y = l . En la frontera y = O , lsen zl 2 tiene
x [ O,
1].
una función armónica y n o e s constante, así que e l máximo d e
u
en el cuadrado un itario (0, 1 ] X [0, 1 ] ocurre en l a frontera. El máximo de sen x cosh
y
es sen ( 1 ) cosh ( 1 ) , ya que tanto el sen como e l cosh son crecientes en e l
i ntervalo [0, 1 ] .
2.5 . 1 7 . Sea A un conjunto. Demuestre que el (A) = A
u fr (A).
Solución. A e el (A) y fr (A ) e el (A), y por ende A d i rección, si z está en el (A) y no está en A , entonces zE
(lím
(A ))
n
( C \ A ) e el (A)
Por lo tanto, el (A) e A u fr (A).
n el
u fr
(A) e el (A). En la otra
(C\A) = fr (A)
2.5. 1 8. Demuestre lo siguiente: Bajo las condiciones del lema de Schwarz, si l f' (0)1 = 1 , entonces f(z) = c z para toda z en D(O; 1 ), para alguna constante e, con lcl= 1 .
Solución.
Sea C el círculo
lz
tal que
lzl
=
lf(z)l e n C . P o r e l lema d e S c h w arz, s i
entonces M <
r.
rj
con
f(z )
r<
1, y
sea M el valor máximo d e
n o e s u n m ú l ti plo constante d e
z,
Usemos ahora l a fórmula i ntegral de Cauchy para derivadas:
lf' (0)1 =
1. 2nt
( )e
1 M f(z) dz $ - 27tr < 1 2n r2 z2
Por lo tanto, la desigualdad lf' (0)1 $ 1 , dada por el lema de Schwarz, debe ser estric ta, a menos quef(z) sea un múltiplo constante de
z.
2.5 . 1 9. Suponga que f y g son funciones analíticas uno a uno del disco unitario D sobre D, que
satisfacen
f(O) = g(O) y g'(O) = f'(O) � O.
Demuestre que f(z)
= g(z) para
toda z en D.
Solución. La función h(z) = g-1 ( f( z)) es analítica de D a D, y h(O) = g-1 (f(O)) = g-1 (g(O)) = O. Ya que g(h(z)) = J(z), tenemos g '(h(O)) h'(O) = f' (O), por tanto h' (O) = f' (0)/g' (0) = l . El ej emplo 2.5. 1 8 muestra que h(z) = cz para alguna constante e, pues h ' (O) = 1 , e = l . Asíf(z) = g(h(z)) = g(z). •
1 98
CAP. 2. TEOREMA D E CAUCHY
Observación. En el capítulo 5 veremos que la suposición de quefy g son uno a uno, obliga a la derivada a no ser O, así que esta suposición es realmente superflua.
Ejercicios l. Encuentre el máximo de le<"l en lzl � l . 2. Encuentre el máximo de leos zl en [0, 21t] x [0, 21t]. 3. Dé un ejemplo para mostrar que la interpretación del principio del módulo máximo que dice: "El valor absoluto de una función analítica en una región, es siempre menor que su máximo en la frontera de la región" es falsa, si la región no es acotada. La región de su ejemplo debe ser diferente todo C de tal manera que la frontera no sea vacía. 4. a) Muestre que para l.zol< R, la transformación
manda al disco abierto de radio R, en forma uno a uno y sobre, en el disco de radio l ; y manda a Zo al origen. (Sugerencia: Use el teorema del módulo máximo, y verifique que Zo >-+ O y lzl = R implica que ITzl = 1 .) b) Suponga que f es analítica en el disco abierto lzl < R y que 1/(z)l < M para lzl< R. Suponga también quef(Zo) = w0. Muestre que
M[f(z) - w0] < R(z - Zo) R2 - z0z M2 - w0/(z) (Ésta es una generalización del lema de Schwarz.)
5. Seanfy g continuas en el (A), y analíticas en A, donde A es una región acotada,
conexa y abierta. Si/= g en fr (A), muestre quef= g en todo el (A). 6. Sea u armónica en la región acotada A y continua en el (A). Entonces muestre que u alcanza su mínimo únicamente en fr (A), a menos que u sea constante. (Compare este ejercicio con el ejemplo resuelto 2.5. 14.) (Sugerencia: considere -u.) 7. Encuentre el máximo de lez21 en el disco unitario. 8. Encuentre el máximo de u = Re z3 en el cuadrado unitario [0, l] x [0, 1 ]. 9. Encuentre las armónicas conjugadas para cada una de las siguientes funciones (especi fique una región en cada caso):
b) u(x, y) = log Jxz + y2
a) u(x, y) = senh x sen y
e) u(x, y) = ex cos y
10. Muestre que
u(x, y) = log �x2 + y2 es armónica, pero que no tiene armónica conjugada en C\{Oj. 1 1. Verifique directamente que las curvas de nivel de Re eZ e lm eZ se intersectan ortogo nalmente. 12. a) Demuestre que
2n J o
b)
R2 - r 2
d9 = 21t R2 - 2rR cos (9 - ) + r 2
para R > r y cualquier
""
1 r cos '+' = 2Jt 13. Seafanalítica y seaf'(z)
J2lt o
199 2 .10 -=--=-�--::-::-'--''-:-:: --'-- ..., uu l - 2r cos (9 - c!>) + r2
(1 - r ) cos 9
=F O en una región. Tómese Zo e A y supóngase quef(Zo) =F O. Dada E > O, muestre que existe una z e A y una � e A tal que lz - .zol < E, 1� - .zol < E, y lf(zl > 1/(Z¡¡)I
14.
lf(�)l < lf(.zo) l
(Sugerencia: use el teorema del módulo máximo.) Demuestre el teorema de Hadamard de los tres círculos: Seaf analítica en una región que contiene al conjunto R de la figura 2.5.4; sea R =lz 1 r1 S: lz 1 S: r3j y suponga que O < r1 < r2 < r3. Sean MI ' M2, M3, los máximos de lfl en los círculos lz l = r1, r2, r3, respectivamente. Entonces Mlog(r,tr,) S: M log(r,fr2) M �og(rjr,l. (Sugerencia: sea A. =
log(MiM1 )1Iog(r/r1 ) y considere g(z) = zfJ(z). Aplique a g el principio del máximo; tenga cuidado con el dominio de analiticidad de g.) -
y
Figura 2.5.4.
Teorema de los tres círculos de Hadamard.
15.
Sea g analítica en lz tal que lzl < tJ y suponga que lg(z)l = lzl para toda lzl < l . Muestre que g(z) = ei0z para alguna constante 9 e [0, 2Jt}. (Sugerencia: use el lema de Schwarz.) 16. Demuestre: si u es continua y satisface la propiedad del valor medio, entonces u es C "' y es armónica. 2(Sugerencia: use la fórmula de Poisson.) 17. Evalúe fr dz/(z - 1 ) donde 1 es el círculo lzl =2. 18. La función f(z) es analítica en todo el plano complejo, e Im f S: O. Demuestre que f es una constante.
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2 l. Evalúe las siguientes integrales:
a)
J
Y
sen z dz, donde 1 es el círculo unitario.
200 b) e)
d)
f J., J
sen z ---'-'--=dz, donde y es el círculo unitario. z Y sen z dz, donde y es el círculo unitario. z2
se�e'
l.d • l
z
dz
2. Sean f y g analíticas en una región A. Demuestre: Si lfl
lgl en A y f =F O, excepto en puntos aislados, entoncesj(z) = ei6g(z) en A para alguna constante e, O � e � 21t. 3. Sea fanalítica en !z tal que lzl > 1 ]. Muestre que si Y, es el círculo de radio r > 1 y centro en O, entonces f"f fes independiente de r. 4. Sea j(z)
=
=
r
P(z)/Q(z), donde P y Q son polinomios, y el grado de Q es mayor que el de P, en al menos 2 unidades más.
a)
Argumente que si R es suficientemente grande, existe una constante M tal que
P(z)
M lzl2
�
Q(z)
para lzl � R
b) Si y es un círculo de radio r y centro en O, con r suficientemente grande para que f sea analítica fuera de y, demuestre que f j(z) dz = O. (Sugerencia: use el ejercicio 4 y 1 haga r � oo)
e) Evalúe f1 dz/( l + z2) donde y es un círculo de radio 2 y centro en O.
= x 2 + iy 2 y y es la línea que une a 1 con i. 1 6. Sea u una función armónica y acotada en C. Demuestre ·que u es constante. 7. Sea/ analítica en un conjunto conexo y acotado A, y suponga que existe una z0 E A tal que lf(z)l � lf(Zo)l para toda z E A. Entonces muestre quejes constante en A. 8. Seanfentera y 1/(z)l � M para z en el círculo lzl = R, con R fijo. Entonces demuestre que
S. Evalúe f f, dondef(x + iy)
<
1/(kl( re ;e)l
_
k!M
(R
_
r) k
k = O, 1 , 2, . . .
para toda O � r � R.
9. Encuentre una armónica conjugada para
u(x, y)
=
x2 + y 2 - x (X - 1 ) 2 + y 2
en un dominio apropiado. 10. Seaf analítica en A y sea f' (Zo) =F O. Muestre que si y es un círculo con centro en Zo• suficientemente pequeño, entonces ·
21ti
!' (z0)
=
J
y
dz /(z) - /(z0)
(Sugerencia: use el teorema de la función inversa.)
1 1 . Evalúe
2I 1t o
12.
Sean f y
g
201
e -i9e"� de g'(z) # O para toda z E A ; sea g uno para z q u e no está en y, demuestre que
analíticas en una región A, y sea
sea y una curva cerrada en A . Entonces,
(Sugerencia:
Jv
��;)
f(z)l(y, z) =
{
) dl; j(f;, g (f;,) - g(z)
•
aplique el teorema de la integral de Cauchy a
h(l;)
=
/(l;) (s - z) g ( ) g(z) f;, J g' (l;)
z
#
z=
l;
r;,
g(z) = e" ) elog i; i; ; ¡Iog(n. log log (- i) 13. S i mplifique: 14. Sea A = C menos a l ej e real negativo y e l O. Mue stre que log Aplique este resultado al caso en el que
15.
16. 17. 18.
.
z
donde yz es
Sea f analítica en una región A y sca f distinta de O. Sea y una curva homotópica a u n
punto e n A . Muestre que
f
Y
J ' (z) dz = O J(z)
Seafanalítica sobre y en el i nterior del círculo unitario. Suponga que la imagen del círculo u n i tario
lzl
=
1
está en el di sco D =
{z
tal que
lz - z01 < r].
Mue stre que la imagen de todo
el interior del círculo unitario está en D. lustre esto con e"
¿La i ntegral
J'Yx dx + x dy e s
.
siempre O s i y e s una curva cerrada?
M u e stre que l a fórmula de Poisson puede escribirse como
para demostrar que si de ella. Sea f =
u + iv
u(l;)
e s continua en la frontera, entonces
u. Utilice esta fórmula u(z) e s armónica dentro
analítica e n u n a región A. Indique cuáles de las siguientes expresiones
son analíticas en A :
a) u - iv 20.
z = JY df;,ll;,
cualquier curva en A que une a 1 con z. ¿A es simplemente conexo?
Entonces escriba una fórmula para la armónica conjugada de
19.
a uno y
b)
U
-
-
C)
lV
S i fes analítica sobre y en el interior del disco unitario, entonces muestre que
1 f(rél•) = 21t
J21t o
1
f(ei9)
- rei
de
r<
1
IU - V
202
CAP. 2. TEOREMA DE CAUCHY
21. Calcule las raíces cúbicas de
Si.
22. Discuta el siguiente bosquejo de una demostración para el teorema de Cauchy: Suponga que f es analítica en una región convexa G que contiene al
O, y que y es una curva ( t) t f.yf(tz)dz para O � t � l . El teorema de Cauchy dice que O. Calcule que F' (t) J..¡ l(tz)dz t fr zf' (tz)dz, e integre por partes la segunda
cerrada en G. Defina F F( l )
=
=
+
=
integral, para obtener
F' (t)
=
f,
f(t<} dH 1
{[ ,¡� 1 - + J/(t')
=
0
F(O) = O. (Véase Philip M. Morse y Herman Feshbach, Methods of Ma Nueva York; McGraw-Hill Book Co., 1953, pp. 364-365.) 23. Demuestre la desigualdad de Harnack; Si u es armónica y no negati va para lzl � R, así que F( l )
thematical Physics, Parte 1, =
entonces
R lzl u(O) RR - izilzl � u(z) � u(O) R - lzl +
+
--
24. Demuestre el teorema de deformación, diferenciando bajo el signo de la integral e inte grando por partes. (Asuma que estas operaciones son válidas.)
Representación en series de funciones analíticas Existe una forma alternativa importante para definir una función analítica. En
ciertos tratamientos de la teoría de funciones complejas, una función f es ll amada
analítica
si, localmente, se representa como una serie de potencias.1 Si esto puede
hacerse, esa serie deberá ser la serie de Taylor de f. Como en el cálculo de variable real, la serie de Taylor defcon centro en
a,
es la serie
1 f(a) + /' (a)(z - a) + -f"(a)(z - a)2 +
2
•
•
•
oc
¡Cn)(a)
n ; IJ
n!
=L
(z - a)n
Así, una función analítica es aquella que es infinitamente diferenciable, de
modo que se puede escribir su serie de Taylor y la serie resultante converge a la
función. Con las variables reales, cada una de estas tareas puede representar un
problema. Por ejemplo, la función
f(x) =
es diferenciable
pero f' (x)
=
{x2-x2
para x � O para x :::;; o
2 1xl. Así que la segunda derivada no existe en O. Aun
si todas las derivadas existen, la serie de Taylor puede no converger a la función.
La función
{e-llxZ f(x) =
1
Véase, por
0
para x F O para x
ejemplo. H. Cartan, EleliU!ntary Theory Reading, Mass., Addison-Wesley, 1963.
=
O
of Analytic Functions of One or Severa/
Complex Variables,
203
204
CAP. 3. REPRESE NTAC IÓN EN SERIES
es un ejemplo de ello. Por inducción, uno puede verificar que f (k)(O) existe para toda k (en el sentido de variables reales), y que j (k)(O) = O. Aquí todos los coefi cientes de la serie de Taylor en O son O y, por ende, la serie resultante es cero, la cual no es igual a f(x) en ningún intervalo no trivial alrededor del O. Una de las cosas más agradables sobre el análisis complejo es que no surge ninguna de estas dificultades . Asumir que una derivada compleja existe, es mucho más fuerte que asumir que una derivada real existe. Nosotros descubrimos en el ca pítulo 2, que en el momento en que la primera derivada existe en una región, todas las derivadas superiores deberán existir también. En este capítulo encontraremos que la segunda dificultad también desaparece. Si f es analítica en una región A y z0 está en A, entonces la serie de Taylor defcon centro en Zo· debe converger ajen el disco abierto más grande centrado en Zo y contenido en A. El lector está, probablemente, familiarizado con la serie geométrica 1 =1 1 -t
--
+
t
+
t2
+
t3
+ • • •
00
= L tn n=O
la cual es válida para ltl < l . E n la sección 3. 1 mostraremos que esto funciona igualmente bien para números complejos como para reales. En la sección 3.2 la usa remos para expander el integrando en la fórmula integral de Cauchy como una serie infinita, integraremos término a término esta serie, y usaremos la fórmula integral de Cauchy para las derivadas, para reconocer a los coeficientes resultantes como los adecuados para una serie de Taylor. Se necesita cierta preparación en la sección 3 . 1 por varias razones. Los pasos en la argumentación anterior requieren justifica ción. También queremos investigar la representación como serie de una función analítica en una vecindad agujerada, esto es, de una función con una singularidad aislada. Esto se hará en la sección 3. 1 , también basándonos en la preparación de la sección 3. 1 . La serie resultante, llamada la serie de Laurent, brinda información va liosa sobre el comportamiento de las funciones cerca de las singularidades y este comportamiento es la clave del tema de residuos y sus aplicaciones subsecuentes. 3. 1. SERIES CONVERGENTES DE FUNCIONES ANALÍTICAS
Usaremos la fórmula integral de Cauchy para determinar cuando el límite de una sucesión o de una serie convergente, de funciones analíticas, es una función analítica y cuando la derivada (o la integral) del límite es el límite de la derivada (o la integral) de los términos de la sucesión o de la serie. El tipo básico de conver gencia que se estudia en este capítulo es la convergencia uniforme. El criterio M de Weierstrass es la herramienta básica usada para determinar tal convergencia. Esta remos especialmente interesados en el caso particular de series de potencias (estu diadas en la sección 3.2), pero debemos tener cuidado en que algunas funciones importantes son series convergentes, que no son series de potencias, tal como la función zeta de Riemann (véase el ejemplo resuelto 3. 1 . 1 5). Las demostraciones de los primeros resultados son ligeramente técnicas y ya que éstas son análogas al caso para series reales, aparecen al final de l a sección.
205
Convergencia de sucesiones y series
Definición 3.1.1. Se dice que una sucesión de números complejos zn converge al
número complejo z0 si, para toda e > O, existe un entero N tal que n 2:: N implica que l z n - z01 < E. La convergencia de zn a z0 se denota como zn � z0. Se dice que 00
00
una ,serie infinita L. ak converge a k= l
parciales definidas como sn El límite
=
S, y escribimos L. ak S, si la sucesión de sumas n k= l L. ak converge a S. k= 1 =
z0 es ú n ico; esto es, una sucesión puede converger a un solo punto z0.
(Esta y otras propiedades de límites fueron d i scutidas en l a sección sucesión
1 .4.)
Una
z, converge s i es una sucesión de Cauchy, en otras palabras, s i , para toda N tal que n, m 2:: N implica que lz, - zml < e. (Equivalentemente, la defi n ición de sucesión de Cauchy puede leerse: Para toda e > O, existe una N tal que n 2:: N impl ica que lz, - z, + 1 < e para todo entero p = O, l , 2, . . . ) Esta propie dad de C = R2 se sigue de la cor�espondiente propiedad de R y aceptaremos esto del e>
O,
exi ste una
cálculo avanzado.
00
Pueden hacerse afirmaciones correspondientes para la serie L.
l a sucesión de sumas parciales de Cauchy resulta: n + ¡>
n
sn = L. ak. Puesto que S
1'
-S
n
n +p
L.
=
ak, el cri terio
k=n + 1
k= l
k=n + l
p=
n
k= 1
+
L. ak converge si, para toda e > O, existe una N tal que n 00
plica que 1 L. akl < e para toda p = l , Cauchy, con
ak si consideramos
k= l
1 , vemos que si
2, 3, . . .
2:: N im-
Como un caso particu l ar del criterio de
L. ak converge, entonces ak � O. El i nverso no e s
00
k= 1
00
necesariamente verdadero, como lo muestra en el cálculo la serie armónica L. l lk. k= 1
00
Como con las series reales, se dice que una serie compleja L. oo
l utamente, s i L.
k=l
t= l
ak converge abso-
latl converge. Usando el criterio de Cauchy obtenemos:
Proposición 3.1.2. Si L. ak converge absolutamente, entonces converge. 00
k=l
La demostración de este teorema se encuentra al final de esta sección. El ejemplo 00
del cálculo, L.
t= l
(-I )k/k muestra que el inverso no es c ierto: esto es, esta serie conver-
ge, pero no converge absolutamente.
Esta proposición es importante porque
L. lakl es una serie real y los cri terios co
k= l
usuales para series reales que conocemos del cálculo, pueden ser aplicados. Algu
nos de esos criterios están i n c l uidos en la s i guiente proposición (otra vez, l a
demostración aparece a l final d e l a sección).
Proposición 3.1.3 (i) Serie geométrica:
Si lrl < l , entonces L. r" converge a
(no converge), si 1 r 1 2:: l .
00
-U n-
11( 1
-
r),
y diverge
206
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
(ii) Criterio de comparación: Si l: bk converge, y O :::; ak :::; bk, entonces l: ak 00
00
00
k= l
k=l
converge; si l: ck diverge y O :::; ck :::; dk, entonces l: dk diverge. k= l k= l oc (iii) Criterio de p-series: l: n-P converge si p > 1 y diverge a oo (esto es, las n= 1 sumas parciales crecen sin cota) si p :::; l . an + 1 existe y es estrictamente (iv) Criterio de la razón: Suponga que lím 00
0 -+ OC
1
a0.
!
menor que l . Entonces l: an converge absolutamente. Si el límiJe es estrictaOO
n=
1
mente mayor que 1, la serie diverge. Si el límite es igual a 1 , el criteriofalla.
n (v) Criterio de la raíz: Suponga que lím (lanl)i/ existe y es estrictamente menor 00
n � oo
que l . Entonces l: an converge absolutamente. Si el límite es estrictamente n= 1 mayor que 1 , la serie diverge; si el límite es igual a uno, el criterio falla. Hay algunos otros criterios del cálculo que vamos a requerir ocasionalmente, tales como el criterio de la serie alternante y el criterio de la integral. Suponemos que el lector revisará éstos, conforme surja la necesidad.
Convergencia uniforme Supóngase que fn: A � C es una sucesión de funciones, todas ellas definidas en el conjunto A . Se dice que la sucesión converge puntualmente si, para cada z E A , la sucesión fn (z) converge. El l ímite define una nueva función f(z) en A . Una clase más importante de convergencia es la llamada convergencia uniforme y se define como sigue.
3.1.4. Una sucesión fn: A � C de funciones definidas en un conjunto A, se dice que converge uniformemente a una función f, si para cada e > O, existe una N tal que n � N implica que l fn(z) - f(z) l < e para cada z E A Esto se escribe como "fn � f uniformemente en A". Definición
Se dice que una serie l: gk(z) converge puntualmente, si las correspondientes n k= 1 oo sumas parciales sn(z) = � gk(z) converge puntualmente. Se dice que una serie � gk(z) k 1 k 1 converge uniformemente si sn(z) converge uniformemente. 00
Obviamente, l a convergencia uniforme implica l a convergencia puntual. La di ferencia entre convergencia uniforme y puntual es la siguiente. Para la convergencia puntual , dada e > O, a la N requerida se le permite variar de punto a punto: mientras que para la convergencia uniforme, debemos poder encontrar una sola N que fun cione para toda z. Es difícil dibujar la gráfica de una función con valores complejos de variable compleja, ya que requeriríamos cuatro dimensiones reales, pero las correspondien tes nociones para funciones de valores reales son instructivas para ejemplificar. El significado geométrico de la convergencia uniforme se muestra en la figura 3 . 1 . 1 . Si e > O, entonces para n suficientemente grande, la gráfica y = fn(x) debe permanecer ·
3. 1 . SERIES CONVERGENTES
207
dentro del "E-tubo" alrededor de la gráfica de f. Es importante notar que el «oncepto de uniformidad depende no sólo de las funciones involucradas, sino también del con junto en el cual estamos trabajando. La convergencia podría ser unifom1e en un conjunto, pero no en un conjunto mayor. El siguiente ejemplo ilustra este punto. y
Figura 3.1 . 1 . Convergencia u n iforme en un i ntervalo ra, b] .
a
La sucesión de funciones f,.(x)
b =
O, para x en el intervalo semiabierto
xn converge puntualmente a la función O f(x) =
[0, 1 [, pero la convergencia no es uniforme. Al valor de la función xn, le toma mucho más acercarse al O para x cerca de 1 que para x cerca del O; tomando x suficientemente cerca de 1 , necesitamos valores de n arbitrariamente grandes. La convergencia es uniforme en cualquier subintervalo cerrado [0, r] , con r < l . Ya que el peor caso es cuando x = r, cualquiera que sea la n que ahí funcione, también lo hará para toda x menor. Véase la figura 3 . 1 .2. ,
y
Figura 3.1 .2. La convergencia de xn a O no es u n i forme en {x l O s; x < 1 }.
208 Criterio de Cauchy 3.1.15
(i) Una sucesión fn(z) converge uniformemente en A si, para cualquier e > O, existe una N tal que n � N implica que !fn(z) - fn + (z)l < e para toda z E A P y toda p = 1 , 2, 3, . . .
(ii) Una serie L gk(z) converge unifomzemente en A si, para toda o:;
k= l
una N tal que n � N implica que
e >
O, existe
n+p
1:
k=n+ l
para toda z E A y toda p = 1 , 2, . . .
El siguiente resul tado establece una propiedad básica de ]a convergencia uni forme.
3.1.6. Si la sucesión fn consiste de funciones continuas definidas en A si fn � f uniformemente, entonces f es continua en A Similarmente, si las funcio-
Proposición
y
nes gk(z) son continuas y g(z) = continua en A.
I: gk(z)
cc
k= l
converge unifomzemente en A, entonces g es
(Los resultados 3. 1 .5 y 3. 1 .6 también son demostrados al final de la sección. ) En otras palabras, u n l ímite uniforme de funciones continuas es continuo. S i la convergencia no es uniforme, entonces el límite puede ser discontinuo. Por ejem plo, sea
y f(x) =
{�
-l
para x � - 1 /n para - 1 /n < x < 1 /n para 1/n � x para - oo < x < O para x = O para O < x < oo
como se il ustra en la figura 3. 1 . 1 3. Las funciones fn convergen puntualmente a f en toda l a l ínea, pero l a convergencia no es uniforme en cualquier i ntervalo que con tenga al O, ya que para valores de x distintos de O y muy pequeños, n tendría que ser muy grande para llevar a fn(x) dentro de una di stancia específica de f(x). Cada una de las funcionesfn es continua, pero la función límite no lo es.
El criterio M de Weierstrass El criterio M de Weierstrass es una de las herramientas teóricas y prácticas más útiles para mostrar que una serie converge uniformemente. Éste no siempre funciona, pero es efectivo en muchos casos.
3.1.
SERIES CONVERGENTES
209
El criterio M de Weierstrass 3.1.7. Sea gn una sucesión defunciones definidas en un conjunto A C C. Suponga que existe una sucesión de constantes reales M0 ;::: O tal que
(i) l gn(z)l :::; M n para toda z E A. y
(ii) 2: M0 converge. ""
n=l
y
Figura 3.1.3. Un límite no uniforme de funciones continuas, no necesariamente es continuo.
Entonces 2: g0 converge absoluta y uniformemente en A. 00
n=l
Demostración. Puesto que 2: Mn converge, para cualquier e > O, existe una N
tal que n ;::: N implica 2: Mk < e para toda p = l , 2, 3, n+p
k =n+I n p
luto no se necesitan en
i
k =n+l
k =n+l
. (Las barras del valor abso-
Mk, pues M ;::: 0.) Así n;::: N implica n
n+p
l:
. . .
giz)
n ... p
L :::; k =n +l
n +p
lgk(z)l:::;
L
k = n +l
Mk < e
y, por lo tanto, por el criterio de Cauchy, tenemos el resultado deseado. •
00 n Por ejemplo, considere la serie g(z) = 2: z ln. Se demostrará que esta serie con-
n=I
verge uniformemente en los conjuntos Ar= {z tal que lzl :Sr} para cada O :Sr< l. (No podemos hacer r = 1.) Aquí gn (z) = znln y lg (z)l =lzl n¡n :Sr nln ya que lzl:::; r. Por lo n 00 tanto, hacemos M =rnln . Pero r nln :S rn y rn converge para O :Sr< l. Así, 2: Mn n� 1 n converge y, por el criterio M de Weierstrass, la serie dada converge uniformemente en Ar. Ésta converge puntualmente en A= {z tal que lzl < 1 }, ya que cada z E A está en alguna Ar, para r suficientemente cerca de1 (véase la figura 3.1.4).
21 0
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
Sin embargo, esta serie no converge uniformemente en A. En efecto, si lo hiciera, L xntn convergería uniformemente en [0, 1 [. Suponga que esto fuera cierto, entonces para cualquier e > O existiría una N tal que n �N implicaría que
xn xn+l xn+ p -+ +···+
y
Figura 3.1.4.
para toda x
E
Región de convergencia del: mente en A.
(z"/n): uniformemente en A,, puntual
[ O, l [ y p = O, 1, 2, .... Pero la serie de tipo armónico 1 1 -+ +... N N+ l
diverge a infinito (esto es, las sumas parciales � oo) y, por tanto, podemos escoger p tal que
---
1 l -+... + > 2e N N+p
Enseguida, escogemos x tan cerca de 1 que xN + P >
-- .. xN
N
+·
·
+
x N+p
(
+· Entonces
1 1 > xN+p -+·· + N+p N N+p ·
)
>e
lo cual es una contradicción. Sin embargo, nótese que g(z) es, no obstante, conti nua en A pues es continua en cada z, ya que cada z está en algema Ar, en la cual tenemos convergencia uniforme.
211 Series de funciones analíticas El siguiente resultado es uno de los principales teoremas concernientes a la convergencia de funciones analíticas. El teorema fue formulado por Karl Weierstrass en 1860, aproximadamente. Teorema de convergencia analítica
3.1.8
(i) Sea A una región en C y sea fn una sucesión de funciones analíticas defi nidas en A. Si f0 � f uniformemente en cualquier disco cerrado contenido en A, entonces f es analítica. Más aún, f'n � f' puntualmente en A y uniformemente en cualquier disco cerrado en A (véase la figura 3.1.5). (ii) Si gk es una sucesión de funciones analíticas definidas en una región A en C y
g(z)
L oc
=
k;[
gk(z) converge uniformemente en cualquier disco cerrado en A,
entonces g es analítica en A y g'(z)
1: 00
=
k;l
g �(z) converge puntualmente en
A y también uniformemente en cualquier disco cerrado contenido en A.
Disco cerrado
=
{zl lz- ;¡1:,:; r}
Figura 3.1.5. Convergencia de funciones analíticas. Este teorema revela además otra remarcable propiedad de las funciones analí ticas, que no es compartida por las funciones de variable real (compare la sección 2.4). La convergencia uniforme usualmente no es suficiente para justificar la dife renciación de una serie término a término, pero para las funciones analíticas, esto es suficiente. Observación opcional. Se necesita realmente cierto tipo de suposiciones acer ca de la uniformidad. El ejemplo ilustrado en la figura 3.1.3 muestra, al menos para funciones de variables reales, que un límite puntual de funciones continuas no ne cesariamente es continuo, mucho menos diferenciable. El ejemplo resuelto 3.1.11 muestra que esto puede aun pasar, incluso si todas las funciones de la serie son in finitamente diferenciables. Con la experiencia de las últimas secciones sobre el buen comportamiento de las funciones analíticas, uno esperaría que la convergencia
212
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES puntual de funciones analíticas debería ser suficiente, pero no lo es. Por ejemplo, hay una sucesión de polinomios que converge puntualmente en el disco unitario a la rama de la función raíz cuadrada definida por (rei9)112 = ..¡;:e;ap con-Tt/2
Proposición 3.1.9. Sea y: [a, b] �A una curva en una región A y sea fn una suce----sión defunciones continuas definidas en y ([a, b]), las cuales convergen tinifonnemente a f en y ([a, b]). Entonces
00
Similarmente, si L g n (z) converge uniformemente en y, entonces n= 1
i ),.
Demostración. La funciónfes continua, por la proposición 3.1.6 y, por tanto, es integrable. Dada E > podemos escoger n tal que n �N implica que lfn(z)-f(z)< E para toda z en y. Entonces, por la proposición 2.1.6,
O,
a partir de la cual se sigue la primera afirmación. La segunda afirmación se obtiene aplicando la primera a las sumas parciales. (El estudiante debe escribir los de talles.) •
Demostración del teorema de convergencia analítica (3.1.8). Como es usual, es suficiente con demostrar (i). Sea Zo e A y sea {z tal que lz- z.ol :s; r un disco cerrado alrededor de Zo• completamente contenido en A (¿por qué existe tal disco?). Consi dere D(Zo, r) = {z tal que lz - Zol < r}, que es una región simplemente conexa puesto que es convexa. Ya que fn �/uniformemente en [z tal que lz- z.ol :s; r es claro que fn � f uniformemente en D(z.o; r). Queremos mostrar que fes analítica en D(z0, r). Para hacer esto, usamos el teorema de Morera (2'.4.10). Por la proposición 3.1.6,/ es continua en D(Zo; r). Sea y cualquier curva cerrada en D(z0; r). Ya que fn es ana lítica, rfn = por el teorema de Cauchy y por el hecho de que D(Zo; r) es simple mente conexo. Pero, por la proposición 3.1.9, por tanto, !=O. fn � Así, por el teorema de Morera,fes analítica en D(Zo, r).
)
}
I
O,
Ir
frfy,
Ir
3.1. SERIES CONVERGENTES
213
Debemos mostrar aun que f� � f' uniformemente en discos cerrados. Para hacer esto, usamos la fórmula integral de Cauchy. SeaB { z tal que lz- z01 � r} un disco cerrado en A. Podemos dibujar un círculo y de radio p > r centrado en z0, que contiene completamente aB en su interior (véase el ejemplo resuelto 1.4.28 y la figura 3. 1 .6). =
A
Figura 3.1.6. Un disco cerrado en u n conjunto abierto puede ser ligeramente agrandado.
Para cualquier z E B,
f'n(z)
1 21ti
= __
f'Y(/;f-n (/;)z)2
di;
y
f'(z) =
1 _
2n;i
f (/;/(/;) - zi 1
di;
por la fórmula integral de Cauchy. Por hipótesis,.fn �/uniformemente en el disco cerrado {z tal que lz- Zo � p}, el cual está completamente dentro de A. Entonces, dada E> O, tomamos N tal que n � N implica que lfn(z)-f(z)l
1/�(z)-f'(z)l = y obsérvese que para 1; y
y,
y z E B,
!f'n (z)- f'(z)l �
1/;- z 1 � p- r. Por lo tanto, n � N implica que
1 --
21t
•
E (p- r)2
---
•
/(y)
Ep (p- r)2
= ---
Puesto que p y r son constantes fijas que son independientes de z E B, obtenemos el resultado deseado. • Aplicando repetidamente el teorema de convergencia analítica, vemos que las k-ésimas derivadas /�k) convergen uniformemente a ¡
214
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES 00
1
ejemplo l: z:'/n en A= {z tal que lz Ar =
n=l
<
1} converge uniformemente en los conjuntos
{z tal que lz l � r} para O � r < 1 (como vimos en el ejemplo precedente) y, por
lo tanto, converge uniformemente en todos los discos cerrados en A. Así podemos concluir que l: znln es analítica en A, y que su derivada es l: zn- 1, que también con verge en A. Sin embargo, como lo demostró aquel ejemplo, tenemos convergencia puntual pero no convergencia uniforme en A; la convergencia es uniforme única-
mente en cada �ubdisco cerrado en A.
Demostraciones técnicas Proposición 3.1.2.
Si
Demostración.
00
l:
k=l
ak converge absolutamente, entonces converge.
Por el criterio de Cauchy, dada
implica
n+p
L
lakl< E "\
� •\\ k=n+l
p
=
E >
O existe una N tal que n ;;::: N
1, 2, ...
�
Pero
criterio de Cauchy, por la desigualdad del triángulo (véase la sección 1.2). Así, por el 00
l:
k=l
ak converge.ll
Proposi1Ción.
3.1..3
(i) Serie geométrica: Si lrl
� r" converge a 1/(1- r), y diverge 1, entonces ��o
<
00
00
(ii) Criterio de comparación: Si l: bk converge y O � ak � bk, entonces l: ak
converge. Si
00
l: ck diverge y
k=l
00
k=l
00
O � ck � dk, entonces l: dk diverge.
(iii) Criterio de la p-serie: l: n-P converge si p k=l
>
k=l
k=l
1, y diverge a oc (esto es, las
sumas parciales crecen sin cota) si p � l. ..
.
""
,
(iv) Criterw de la razon: Suponga que hm
nor que
l.
Entonces
co
n-Jo
l: a
n= 1
00
3n+ l
--
an
existe y es estrictamente me-
n converge. absolutamente. Si el límite es estricta-
mente mayor que 1, la serie diverge. Si el límite es igual a 1, el criterio falla.
(v) Criterio de la raíz: Suponga que lím ( lanl}1 1n, existe y es estrictamente menor
que l . Entonces
00
l:
n=l
n->ao
� converge absolutamente. Si el límite es estrictamente
mayor que 1, la serie diverge. Si el límite es igual a 1, el criterio falla.
215 Demostración (i) Por álgebra elemental. 1
+
r+r
2
+
·
·
•
rn+ l +rn = ----1 r 1-
-
r# l.
Ya que�+ 1 --+O conformen--+ oo si rl < 1, y puesto que --+ oo si rl > 1, tenemos la convergencia si 1 rl < 1, y la divergencia si
si
1
1
Obviamente, .I:
1 rl
>
1
l.
rn diverge si 1 rl = 1, ya que rn � O. Las sumas parciales de la serie I: bk forman una sucesión de Cauchy y así k=l 00
n=O
(ii)
1 rln +
00
las sumas parciales de la serie I: ak también forman una sucesión de Cauchy, 00
k= 1
+ ak+ k y p, tenemos ak + ak+ 1 + p :S; bk+bk+ 1 + +bk+p · Por lo tanto, *-;1 ak converge. Una serie positiva puede diver-
pues para cualquier ·
·
•
·
•
•
00
ger únicamente a +oo y, por tanto, dada M > O, podemos encontrar ko tal que k� k0 implica que c1 + c2 + • · • +ek� M. Por lo tanto, para k� k0, d1
dk �M y así k=l .I: dk también diverge a Primero suponga que p :S; 1; en este caso 1/ n P � lln para todan =
+
(iii)
d2 +
•
•
•
00
+
oo.
1, 2, . . .
En consecuencia, por (ii), I: 1/n P divergirá si .I: 1/n diverge. Recordemos 00
00
n=l
n=l
ahora la demostración de esto del cálculo.2 Si sk = 111 + 1/ 2 + • • • + 1/ k, entonces sk es una sucesión estrictamente creciente de números reales positivos. Escribamos s2k como sigue:
Por tanto,
sk puede hacerse arbitrariamente grande, si k es suficientemente
grande; así .I: 1/n diverge. 00
n=!
2 También podemos demostrar (iii) usando el criterio de la integral para series positivas (véase cualquier libro de cálculo). La demostración que se da aquí, también demuestra el criterio de condensación
de Cauchy: Sea I: a, una serie de términos positivos con a,+
1
s;
a,.
Entonces I: a,. converge si
"'
.
j� 1 2 Ja i 2
converge (véase G. J. Porter, "An Altemative to the Integral Test for lnfinite Series", American MathetrUl tical Monthly, vol. 79, 1972, p. 634).
216
CAP.
3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
Supóngase ahora que p > l. Si hacemos
1 1 1 1 ++· ••+Sk=-P +kP 2P 3P 1
entonces s k es una sucesión creciente de números reales positivos. Por el otro lado,
(..!.._ + ) +(..!.._ +
..!.._ S2 = P + t-1
1
+
(
2P
1 3P
4P
..!.._) +• ••
1 _!_ - + + 5P 6P ?P
1 ... + 1 + (2k-1)P (2k- 1) P
)
1 +-1 +-1 +...+ =-}P-1 2P-1 4p -1
1 + 2 + 4 + 2k -1 _ _ ----:- _ ..,.. _ 1P 2P 4P (2k - I )P
S_
1 (2k -1)p-1
---
< -
1
_
1 --:1/2P-I
(¿Por qué?) Así, la sucesión {sk} es acotada, de lo anterior, por 1/(1-l/2 P-1); por tanto,
l:
ce
n=l
1/n converge. P
(iv) Suponga que lím
n--+OO
que n � N implica
1 an+a 1 = 1
n
r < 1. Escoja r' tal que r < r'< 1 y sea N tal
<
r'
laN+pl laNl (r')P . Considere la serie la11 +· · +laNl +laNI r' +laNI (r')2 + laNI (r')3 +· · · . Esto converge a Entonces
<
·
la11 +
·
·
·
+laN- 11 + ¡aN1
1 -r
Por (ii) podemos concluir que
,
i: lakl converge. Si lím
1 aan+1l a 1
Por tanto,
n->""
laN+ P1 > (r')P laNI, y así el lím laNI = n-+oo
oo,
:
1+1+1+···,y .
1 a n+ 1 = 1 1
n-+oo
n-+oo
n =l
la/1n= r
<
<
r'.
l:
ce
k=!
l an+l
ak
di-
.
considere las series
i llnPpara p > i �n a:bos casos, lím
pero la primera serie diverge y la segunda converge. (v) Suponga que lím
r> l,
mientras que el límite
tendría que ser O si la suma converge (véase el ejercicio 10). Así verge. Para ver que el criterio falla si lím
=
�: 1 1
escogemos r' tal que 1 < r' < ry sea N tal que n �N implica qu k=l
an
1 = 1,
l. Escoja r' tal que r < r' < 1 y N tal que n�N
3.1. SERIES CONVERGENTES
217
1
/ n < r'; en otras palabras, que lan l < ( r')n . La serie la11 + converge a la11 + la21+ la _11 + (r')N (r')N+
implica que l a
1
+ o oo + la21 + o o o + • o o+ N co 1n laN_11 + (r')N/(1 -r'), y así, por (ii), L a k converge . Si Iím la 1 1 = r > 1 , n4oo n k;; 1 n escójase 1 < r' < r y N tal que n � N implica que lanPi > r' o, e n otras 00 n palabras, que l aJ > ( r' ) . Por tanto, lím l an 1 = oo. Por consiguiente 1: ak din�oo k=l 1n verge. Para mostrar que el criterio falla cuando lím lan 1 1 = 1, usamos estos n�oo H
límites del cálculo: lím
n--tXl
( ) 1
-
1/n
n
=
1
y
lím
n---+
00
( )1/n 1 n
2
=
1
(tome logaritmos y use la regla de L'Hopital para mostrar que (log x)lx � O conforme x � oo). Pero
1:
00
n=l
lln d iverge y
1:
00
n=l
lln 2 converge.
•
Criterio de Cauchy 3.1.5 (i) Un a sucesión f0 (z) converge un iformemente en A si para cualquier E> O, existe una N tal que n � N implica que lf0 (z) - f0 + P (z)l
L 00
k=l
gk (z) con verge uniformemente en A si para toda e > O, existe
una N tal que n � N implica n+p
l:
k=n+l
para toda z
E
Ay p
=
1, 2, . . .
Demostración (i) Primero demostraremos el "si". Seal (z)
=
límln (z), el c ual e xiste porque
n-->»
para cada z.ln(z) es una sucesión de Cauchy. Queremos mostrar queln �1 uniformemente en A. Dada e > O, escogemos N tal que IJ;. (z) -J;. + /z)l < e/2, para n � N y p � l . El primer paso es mostrar que para cualquier z y cualquier n � N, ll n (z ) -l (z)l < e. Para z E A, escójase p suficientemente grande, tal que lln + /z) -l (z)l < e/2, lo cual es posible por la convergencia puntual. Entonces, por la desigualdad del triángulo, ll n (z) -l (z) 1 $; ll n (z) -In + p (z)l !In + /z) -l (z)l < E/2 + e/2 = e. (Nótese que aun cuando p depende de z, N no.) Recíprocamente, si In � 1 uniformemente, dada e > O escogemos N tal que n � N implica ll n (z) -l (z)l < E/2 para toda z. Ya que n p� N, ll n (z) In + P (z )l $; I J;. (z) -l (z )l +ll (z) -In + /z )l < E/2 E/2 = e. (ii) Aplicando (i) a las sumas parciales, deducimos (ii). •
+
+
+
218
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
Proposición 3.1.6. Si las funciones f0 son continuas en A, y f0 � f uniformemente, entonces fes continua. Similarmente, si las funciones g k(z) son continuas y g(z) = ce
1:
g k(z) converge uniformemente en A, entonces g es continua en A
k=l
Demostración. Es suficiente con demostrar la afirmación para sucesiones (¿por qué?). Queremos mostrar que para Zo E A, dada e > O, existe una o > O tal que lz - .zol < o implica que l f(z) -f(.zo)l < e. Escójase N tal que l fN (z) - f(z)l
Ejemplos resueltos 3.1.10. Muestre que la sucesión de funciones fn (x) =sen (x/n) converge uniformemente a la función constante f(x) =O para x en el intervalo [0, 1t]. Solución. Del cálculo, sen e es creciente y sen e :s; e para o :s; e :s; 1t/2. Así, si X E [0, 1t] y n � 2, entonces lf n(x) - f (x)l = lsen (x/n)l :s; sen (1t/n) :s; 1t/n (véase la figura 3.1.7). Por lo tanto, l f n(x) - f (x)l < E siempre que n > máx (2, 2/E). La misma n funciona para toda x en el intervalo, y así la convergencia es uniforme en [0, 1t]. y
Figura 3.1.7. y= sen (x/n) para
n
X=1t
de l a 7.
3.1.11. Muestre que la sucesión de funciones fn(x) intervalo [-5, 5], a la función f (x) =
{
-1tl2 O
1t/2
=
arctan (nx) converge para x en el
para x
pero que la convergencia no es uniforme . (Véase la figura 3.1.8.)
3.1.
SERIES CONVERGENTES
219
Solución. Si x >O, entonces lf (x)- j(x)l = larctan ( nx)- n:/21. Sabemos que arctan n (nx) es una función creciente de x cuyo límite es 7r/2 conforme x -t oo. Por lo tanto, larctan
(nx)
-
n:/21
<
E
si y sólo si nx >tan
(n:/2
-
E).
Para cualquier valor particular
de x, funcionarán valores de n suficientemente grandes, pero al tomar x cerca del O,
podemos forzar a la n requerida a ser muy grande. Así, tenemos convergencia pero no convergencia uniforme. (Discusiones similares se aplican para el caso x �
0.)
Uno puede ver indirectamente que la convergencia no debe ser uniforme. Si esto fuera, entonces la función límite sería continua, por la proposición 3.1.6, pero esto no es así.
y
5
--t-------�--�� X 5
-
Fi�ura 3.1.8. y= arctan (nx) para n de 1 a 5. Los siguientes tres ejemplos desarrollan el importante caso especial de las series geo métricas, y muestran cómo las herramientas de esta sección pueden aplicarse para obtener algunos resultados interesantes. El desarrollo de estos ejemplos es típico de las series de po tencias más generales, estudiadas en la siguiente sección.
3.1.12.
00
Muestre que la serie � zn converge en el disco unitario abierto D n=O
=
D(O; l ) a lafun-
z). Demuestre que la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado Dr = { z tal que lzl � r} con r < l .
ción analítica f(z) =
Solución. Si
zE
1/(1
-
D, entonces z E D, siempre que lzl � r < l . Así, la convergencia en
z se sigue del segundo enunciado. Para demostrarlo, suponga, que entonces
1zn1
<
rn. Ya que� rn converge (proposición
z
está en Dr'
3.1.13 (i)), se aplica el
criterio
M de Weierstrass, con M = rn y nuestra serie converge uniforme y absolutamente n en D r. Nos hemos internado en uno de los inconvenientes de herramientas tales como el criterio M de Weierstrass: hemos mostrado que la serie converge pero no hemos identificado el límite. Para hacer esto, note que
1 así que
-
zn+ l =
(1 - z)(l
+
z + z2 +
. . . +
zn)
220
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
n
L
1- z Ya que
r
< l, esto tiende a
k=O
r"+
1
O conformen� oo, y obtenemos nuestro resultado.
3.1.13. Muestre que la serie I:. nz" -I = I:. (n 00
l
zk = --- � --11 -zl 1- r lzl"+
n=l
00
n=U
+
1)z" converge en el disco unitario abierto
D, a g(z) = 1/(1 - z)2• La convergencía es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado contenido en D.
Solución. Si B es cualquier disco cerrado contenido en D, entonces B C Dr, para algún disco cerrado Dr, como en el último ejemplo. La serie I:. z" converge uniforme y absolutamente aj(z) = 1/( l - z) en D, y, por tanto, en B. Por el teorema de la con vergencia analítica (3.1.8(ii)), la serie de las derivadas converge uniformemente en
cualquier disco cerrado D aj'{z). Esto es, I:. 00
nz"- 1=j'(z)= l l( l -z )2, como
n= 1
La convergencia es absoluta por comparación. Si pero I:.
se quería.
lzl � r < 1, entonces l nz"- 1 1
nr"- 1 converge, por el argumento que se acaba de dar.
<
nr"- 1 ,
3.1.14. Muestre que la serie L (-l )"-1z"/n converge uniforme y absolutamente a log (1 + z) 00
n=l
en el disco unitario abierto, donde log (pei9) = log p
+
¡e con -1t < e < 1t.
Solución. Sabemos que la fórmula dada para el log, define una rama del logaritmo en el disco de log w =
D( l; l ).
En efecto, ésta es la misma que se describió en la construcción
fr (1/�) d�. donde y es la trayectoria rectilínea de
1a
w. Por la indepen
dencia con respecto de la trayectoria, garantizada por el teorema de Cauchy, pode mos integrar primero a lo largo del arco circular de un rayo a partir del origen figura 3.1.9). Esto da
f
l _
1 � y
Figura 3.1.9.
d�=
fa
O
(e
(r = 1 constante) y luego a lo largo
constante), para llegar a l a w = pei 9 (véase la
e - i
f
p --. ei9 dr =
1
l
re'9
Trayectorias para calcular log w en D (1; 1 ).
;e + log p
3.1 . SERIES CONVERGENTES
221
Al cambiar las variables a � = t,;- l nos da log w= {¡¡ l l(� + 1) d� = f11 11[1 - (- �)] d�. siendo la trayectoria Jl una línea recta de l a z = w- l en el disco umtario abierto D = D(O; l ). Por el ejemplo resuelto 3. 1.12, el integrando puede ser expandido en una seoo
rie infinita 1: (- �)",la cual converge uniformemente en Jl. El teorema de convergencia n;O
analítica nos permite integrar término a término para obtener
=
oo
L
n;i
( - 1)"-l(w- 1)"
-----
n
Esto funciona para toda wen D (1; 1). Haciendo z = w- 1 nos da log (z
+
00
1) =1: (-1) " -1 n;J
z"/n para toda z en D (O; 1). Nuevamente,la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier Dr' con r < 1 . En efecto, ya que lz l � r implica que 1( -1)"z"/nl � r"/n � r" y 1: r" converge,el criterio M de Weierstrass es aplicable con M, = r".
3.1.15. Muestre que lafunción 'de Riemann, definida como 00
'(z) =
L
n;J
es analítica en la región A = {z 1 Re z
>
n-z 1 }. Calcule ''(z) en ese conjunto.
Solución. Usamos el teorema de convergencia analítica (3.1. 8). Debemos tener cui dado de tratar de demostrar la convergencia uniforme únicamente en discos cerrados en A y no en todo A. En efecto, en este ejemplo no tenemos convergencia uniforme en todo A (véase el ejercicio 8). Sea B un disco cerrado en A y sea o su distancia de la línea Re z = 1 (figura 3.1.10). 00
Mostraremos que 1: n -zconverge uniformemente en B. Aquí n -z=e -zlogn, donde n;
l
log n significa el log usual de números reales. Ahora ln-' 1=le z Iog n 1 = e-x log "=n -x. Pero x;:::: 1 + o si z E B y, por tanto, ln-z 1:::; n- (l+o) para toda z E B. Escojamos, por lo tanto,M,=n-O +ól. oo -
Por la proposición 3. 13(iii). 1: M, converge. Así, por el criterio M de Weierstrass, 00
n= 1
nuestra serie 1: n-z converge uniformemente en B. Así t,; es analítica en A. También n;J
por el teorema de convergencia analítica, podemos diferenciar término a término para obtener l,;'(z) = -
00
L
n=l
(log n) n-z
la cual sabemos también debe converger en A(y uniformemente en discos cerrados de A). 3. 1.16. Muestre que f (z) = es analítica en A= {z tal que l z 1
<
oo
L
n= 1
z"
-
n2
1 }. Escriba una serie paraj'(z) .
222 )' A
Rez= 1
--------�---+--�� x
Figura
3.1.10. El dominio de analiticidad de la función zeta de Riemann.
Solución.
Usamos otra vez el teorema de convergencia analítica. (Nótese que ésta es una serie de potencias que puede ser abordada de modo alternativo, después que el estudiante haya leído la sección 3.2). En este caso tenemos realmente la convergencia uniforme en todo A. Sea Mn = lln2• Claramente, I: M, converge y lz"/n21 < l/n2 = M, para toda z E A. Así, por e l criterio
M de Weierstrass,
I: 00
n= 1
z"ln2 converge uniformemente en A;
verge en cualquier disco cerrado de A. Así, la suma I:
co
en A. Más aún.
n=l
J'(z) =
00
�
nzn-1
n
n2
co
por lo tanto, la serie con-
z"/n2 es una función analítica
z"- t
= L.1--n n=
(Esta serie, para f' (z), no converge para z = l, por lo que f no puede ser extendida analíticamente en ninguna región que contenga al disco unitario cerrado.)
3.1.17. Calcule
donde y es un círcuÍo de radio
+·
Solución. Sea B un disco cerrado en A = { z tal que lz 1 lzl l . Para z E B, lz nl lzl" ::; (1 ·_O)" con n �O.
círculo
=
=
notamos que I: M, es convergente. Por lo tanto, I:
00
n=U
< 1 } a una distancia o del Escogemos M, = ( l -O)" y
z" es uniformemente convergente
3.1. SERIES CO NVERG ENTES
en B, así, por el teorema de convergencia analítica, :E co
n=O
n z
223
es analítica en A. Por lo tanto,
por e l ejemplo 2.1.12 y el teorema de Cauchy.
3.1.18. Este ejemplo y el siguiente, ilustran cómo la fórmula integral de Cauchy, puede a menudo ser usada para obtener uniformidad donde podría no ser esperada.
Definición. Unafamilia defunciones ':J' defmida en un conjunto G, se dice que es uni formemente acotada en los discos cerrados de G si para cada disco cerrado Be G, existe un número M(B) tal que lf(z)l � M(B) para toda z en B y para toda f en ':J'.
Demuestre lo siguiente: Si f1, f , f3, es una sucesión defunciones analíticas en una 2 región G, la cual es uniformemente acotada en los discos cerrados de G, entonces la sucesión de las derivadas r;. r;. r;. . . . es también uniformemente acotada en los discos cerrados de G. . • •
Solución. Suponga que B = {z tal que lz- Zo 1 � r } es un disco cerrado de G. Puesto que B es cerrado y G es abierto, el ejemplo resuelto 1.4.28 muestra que existe un número p con Be D (Zo; p) e G. Sea R = (r + p) 12 y D = { z tal que lz-z01 � R}. Por hipótesis, existe un número N(D) tal que lf, (z)l � N(D) para toda n y toda z e n D. res e l círculo frontera d e D, la fórmula integral de Cauchy para derivadas nos da, para cualquier z en B,
IJ'(z)l n
=
1
--
2ni
f
r
fn((,)
((,-z) 2
d(,
1
�
_ I
21t
[
=-]
N( D ) -_ _ _ (R- r)2
Así, si ponemos M(B) = N (D)RI(R- r ) 2, tendremos lf�(z)l para toda z en B, como se quería.
2nr
� M (B)
para toda n y
Definición 3.1.19. Unafamilia ':J' de funciones definidas en un conjunto B es llama da uniformemente equicontinua en B, si para cualquier € >O existe un número 8 >O tal que lf ((,) - f (t)l < € para toda f en ':J', siempre que r, y� estén en B, y ! (,-�� < 8.
Esto es, para cada € > O, la misma 8 funciona para todas las funciones en la familia ':J' , y en todo el conjunto B. Demuestre: Si fl' f , f3, . .. es una sucesión defunciones analíticas en una región G, 2 que es unifonnemente acotada en los discos cerrados de G, entonces, esta familia defunciones es uniformemente equicontinua en todo disco cerrado de G. Solución. Sea B un disco cerrado en G. Por el último ejemplo, existe un número M(B) tal que lf � (z)l � M(B) para cada n y para toda z en B. Sea y una línea recta de r, aten B. Ya que la línea recta está contenida en B, tenemos lfn ( /;) - fn (t)l = 1 fyf�(z) dzl � f'Y lf�(z)l ldzl � M(B) ll;; -�1. Así, dada E > O, podemos satisfacer la definición de equicontinuidad uniforme en B haciendo 8 = eiM(B).
224
Ejercicios l. ¿Convergen las siguientes sucesiones? Si Jo hacen, ¿cuáles son sus límites?
a) zn = (
-
I)n
+
n
+
n!
b) zn =
---
l
2. Sea e una constante compleja. Sean Zo =O y z1 = e y defina una sucesión haciendo zn +
= z� +c.
a) Muestre que si lcl
>
2, entonces lím zn = n-->"'
oo.
1
(Sugerencia: Haga r =lcl- 1 y use in-
ducción para mostrar que l z) > lcl r " -l para toda n.) b) Muestre que si lcl ::;; 2 y existe un valor de k con lzk l
>
2, entonces lím z n = oo. n�oo
(Sugerencia: Haga r =lzkl - 1, y muestre que lzk +PI ;;::: lzkl rP para toda p ;;::: O.) Observación: Aquellos valores de e para los cuales la sucesión zn' definida en esté
problema, permanece acotada, forman un conjunto muy interesante con varios patrones
agradables, llamado el conjunto de Mandelbrot. Véase A. K. Dewdney, "Computer Recreations", Seientific American, agosto de 1985. Véase también la figura 6.S.B.l.
3. ¿Cuál es el límite de la sucesiónf/x) = (1 ""
4. a) Muestre que la serie :E l/(n2 n=O
+
+
x)11", x ;;::: O? ¿Converge uniformemente?
z) converge en el conjunto C\{z =ni 1 n es un entero}.
b) Muestre que la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado con tenido en esta región.
5. a) Muestre que la sucesión de funcionesfn(z) = z" converge uniformemente a la función
Of(z) =O en cualquier disco cerrado D, = { z tal que lzl ::;; r} con r < l . b) ¿La convergencia es uniforme en el disco unitario abierto D(O; 1)? 6. a) Muestre que la sucesión de funcionesfn(z) = cos( x/n) converge uniformemente a la función constantef(x) = 1 para x e [0, 7t]. b) Muestre que converge puntualmente a 1 en todo R. e) ¿La convergencia es uniforme en todo R? 7.
Examine la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series. 00
a) L, -2
log
n
1· L.-oc
i"
b)
l
n
n
8. Demuestre que 1
00
l;(z) =
L-
n=
1
no converge uniformemente en A = {z 1 Re z
9.
nl
>
1}.
00
Si :E gk(z) es una serie de funciones continuas que converge uniformemente y si zn k= 1
muestre que 00
L
oc
L giz)
gk( zn) = nlím k -->"' =l k=l
--+
z,
3.1. SERIES CONVERGENTES 00
00
k=l
k=l
225
10. Si I: ak converge, demuestre que ak � O. S i I: gk(z) converge uniformemente, muestre 11.
que gk(z) � O uniformemente. Muestre que oc
1
1:-
n= 1
z"
es analítica en A = {z tal que lzl > 1} . 12. Muestre que 00
1
1:-
n=l
n!z"
es analítica en C\{0}. Calcule su integral alrededor del círculo unitario. 00
13.
Muestre que I: e-n sen nz es analítica en la región A = {z 1 -1 n=l
<
Im z
<
1}.
14. Demuestre que la serie
n=l
2 1 +z "
converge tanto en el interior como en el exterior del círculo unitario y representa una función analítica en cada región. 00 k 15. Muestre que I: (log n) n -z es analítica en {z 1 Re z > 1}. (Sugerencia: utilice e l resultado n=l
tado del ejemplo resuelto 3.1.15.) Seafuna función analítica en el disco D(O; 2) tal que lf (z)l � 7 para toda z E D(O; 2). Demuestre que existe una o> O tal que si Zp z2 E D(O; 1) y si lz1 - z21 < o, entonces lf(z1)-f(z2)1 < 1/10. Encuentre un valor numérico de o independiente de J, que tenga esta propiedad. (Sugerencia: use la fórmula integral de Cauchy.) 17. Si!, (z) � f(z) uniformemente en una región A, y si f, es analítica en A, ¿es cierto que f� (z) �f' (z) uniformemente en A? (Sugerencia: vea el ejemplo resuelto 3.1.16.) 18. Demuestre: f, � f uniformemente en cualquier disco cerrado en una región A si f, � f uniformemente en cualquier subconjunto compacto (cerrado y acotado) de A. 19. Encuentre una región apropiada en la cual 16.
00
1:
n=l
20.
(2z- 1) " n
sea analítica. Sea!, analítica en una región acotada A y continua en el (A), n = 1, 2, 3, ... Suponga que las funciones f, convergen uniformemente en fr (A). Entonces demuestre que las funciones J, convergen uniformemente a una función analítica en A. (Sugerencia: utilice el teorema del módulo máximo.)
226 3.2. SERIES DE POTENCIAS Y EL TEOREMA DE TAYLOR En esta sección se considerará una clase especial de series, llamadas series de oc
potencias, las cuales tienen la forma :E an (z- z0)n. Vamos a examinar sus propien=o
darles de convergencia y a mostrar que una función es analítica si es representable localmente como una serie de potencias convergente. Para obtener esta representa ción, primero necesitamos establecer el teorema de Taylor, el cual establece que si f es analítica en un disco abierto centrado en Zo• entonces la serie de Taylor de J, oc
n=O
n!
converge en e l disco y es igual af(z) en todo ese disco. Para demostrar los resultados de esta sección, usaremos las técnicas desarro lladas en la sección 3. 1 y la fórmula integral de Cauchy.
Convergencia de series de potencias oc
Una serie de potencias es una serie de la forma :E an (z- Zo)n. (Aquí a y Zo E e n=O n son números complejos fijos.) Cada término a (z- Zo)n es entero y, por tanto, para n demostrar que la suma es analítica en una región, podemos usar el teorema de convergencia analítica (3.1.8). El hecho básico a ser recordado acerca de las series de potencias, es que el dominio apropiado de analiticidad, es el interior de un círculo centrado en Zo· Esto se establece en el primer teorema. oc
Teorema de convergencia de series de potencias 3.2.1. Sea :E a8(Z- z0)" un a sen=o
ríe de poten cias. Existe un único número R � O, posiblemente + oo; llamado el tal que si lz - z01 < R, la serie converge y si lz - z01 > R, la serie diverge. Más aun, la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en A = { z E C tal que lz - Zol < R}. No se puede hacer un enun ciado general acerca de la convergencia si lz- z01 = R. (Véase la figura 3.2. 1.)
radio de convergencia,
Así, en la región A = {z E C tal que lz- Zol < R} la serie converge y tenemos divergencia en z, si lz- Zol > R. El círculo lz- Zol = R es llamado el círculo de con vergencia de la serie de potencias dada. Los métodos prácticos para calcular R uti lizan los criterios de la razón y de la raíz (3.2.5).
Demostración. Sea R = sup { r � O .
1
oc
:E l anlrn converge}, donde sup significa n=O
la más chica de las cotas superiores de ese conjunto de números reales. Vamos a mostrar que R tiene las propiedades deseadas. El siguiente lema es útil a este res pecto.
2 27 y
__..-
Círcu l o de convergencia
-------4--� x
Figura 3.2.1. Convergencia de series de p otencias. Las series convergen dentro de un círculo, las series divergen fuera del círculo.
Lema d e Abel-Weierstrass 3.2.2. Suponga que r0;::: O y que la0lr 3
dondeM es alguna constante. Entonces, para r< r0, :E a0(z- z0)n converge unifonne 00
y
n=O
absolutamente en el disco cerrado Ar = {z tal que 1 z - z01 � r }. Demostración. Para z
e
Ar, tenemos
Sea
Ya que r!r0< 1, :E M converge. Así, por el criterio M de Weierstrass (3.1.7), n la serie converge uniforme y absolutamente en Ar. .,. Podemos ahora demostrar la primera parte del teorema de convergencia de se ries de potencias. Sea r0
-
-
-
-
228
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
n tonces � an(z1 - Zo)n converge absolutamente si z1 E Ar. Por lo tanto. � lanl r con verge. Pero esto significaría, por la definición de R, que R < R. Hemos demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado Ar estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A. • Combinando los teoremas de convergencia analítica y de convergencia de se ries de potencias, podemos deducir lo siguiente: 00
Analiticidad de las series de potencias 3.2.3. Una serie de potencias n�o a0(z- z0)"
es una función analítica en el interior de su círculo de convergencia.
Sabemos también que podemos diferenciar término a término. Así: Diferenciación de series de potencias 3.2.4. Sea f(z) = � an(z- Zo)" la función analí00
n=o
tica definida en el interior del círculo de convergencia de la serie de potencias dada.
Entonces f '(z) = � na0(z- Zo)"-1, y esta serie tiene el mismo círculo de convergencia n=l n que� a0(z- zo)". Más aún, los coeficientes a n están dados por an = f( ) (z0) /n!. 00
Demostración. Sabemos, del teorema de convergencia analítica, que la derivada 00
f'(z) = n�l nan(z- Zo)n-l converge en A= D(.zo; R) = {z E C tal que lz- .zol < R}.
Para mostrar que la serie de las derivadas tiene el mismo círculo de convergencia que la serie original, necesitamos únicamente mostrar que ésta diverge para lz- z01 >R. Si ésta convergiera a algún punto z 1, con lz1- .zol = r0 > R, entonces na rB- 1 sería 1 n acotada. Así anro = (nanro- )(r0/n) sería también acotada y, por tanto, � a (z- Zo)n n convergería para R � lz - .zol < r0, por el lema de Abel-Weierstrass. Pero esto con tradice la propiedad máxima de R, del teorema de convergencia de las series de potencias (3.2.1). Esto establece el enunciado acerca del radio de convergencia. Para identificar a los coeficientes, hágase z = Zo en la fórmula que define f(z), para encontrarf(Zo) = a0. Procediendo inductivamente, encontramos 00
¡
+
L n
k= +l
k(k- l )(k - 2)
al hacer z = .zo, obtenemos¡
•
•
·(k- n
+
k n l)(z - zO) -
·
Es importante reparar en lo que se acaba de hacer en el último enunciado de este teorema. Los coeficientes de una serie de potencias alrededor de un centro en particular, están completamente determinados por la función que esta serie repre senta. Así, si dos series aparentemente diferentes se han obtenido de la misma función alrededor del mismo centro, ellas deben ser, en efecto, la misma serie. Unicidad de la serie de potencias 3.2.5. Las expansiones en series de potencias aire00
00
n=O
n=O
dedor de un mismo centro, son únicas. Si � an(z- z0)" = f(z) = � bn(z- z0)" para toda z en algún disco no trivial D(Zo; r) con r >O, entonces a0 = b0 para n = 1, 2, 3, ...
3.2. SERIES DE POTENCIAS
229
Demostración. La última afirmación del teorema de diferenciación de series de potencias dice que a = ¡
R. (El método para encontrar R. dado en la demostración del teorema 3.2.1. no es útil para calcular R en ejemplos específicos.
convergencia
Proposición 3.2.6. Considere una serie de potencias (i) Criterio de la razón:
Si n->""
lím
(ii)
existe, en tonces es igual a R, el radio de converg encia de la serie. Criterio de la raíz: Si p = lím � l a01 existe, entonces R = 1/p es el radio n-> oc
de converg encia. (Hágase R = oo si p = O; hágase R = O si p = oo.) Demostración. Para demostrar ambos casos, mostramos que R :l:
00
n=O
=
sup { r
lanlrn < oo}. (i)
Por el criterio de la razón (proposición
3.1.3 ) ,
sabemos que
converge o diverge conforme
n->oo
lím
lan+l rn+ 11
<
o
l
>
:l: 00
n=O
�O 1
lan lr n
1
esto es, de acuerdo a si >
n->oo
lím
r
o
< r
n->oo
lím
R en el teorema de convergencia de series de potencias (3 .2.1 ), el límite es igual a R. 00
Así, por la caracterización de (ii)
Por el criterio de la razón (proposición n�oo
ge o diverge conforme lím
r
<
1/lím n�oo
(lan1 rn) lln
lan111n
o
r
>
3. 1 .3) <
sabemos que :l:
l o
1/lím
n-too
>
n=o
1;
lanlrn conver-
esto es, de acuerdo a si
lan111n
230
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
El resultado se sigue como en (i). • Por ejemplo:
La serie I: z!' tiene radio de convergencia 1, pues an 00
lím
n--+""
n�o
l y, por tanto, tenemos
=
la/an +JI= l.
La serie I: Z11ln! tiene radio de convergencia R 00
n�o
=
entera), ya que a11 = 1/n ! y, por tanto, la/a11 +JI= n + 1
+ oc
(esto es, la función es
---+oc.
La serienI: n! Z11 tiene radio de convergencia R=O pues lan lan+JI= ll(n + 1) ---+ O . oc
::;O
(Esta función no tiene una región no trivial de analiticidad.)
Obsen.>ación. Al refinar el criterio de la raíz, es posible mostrar que R= 1/p, don
de p = lím sup n-.oo
� el cual siempre existe (lím sup en = lím (sup {en , en+ n----+oo
n-7oc
i'
. . . }),
por definición. Ésta es conocida como la fórmula de Hadamard para el radio de convergencia.) No existe un refinamiento análogo para el criterio de la razón (conocido por nosotros.)
Teorema de Taylor
Es obvio, a partir de los cálculos precedentes, que sif : A ---+ C es igual, en un disco pequeño alrededor de cada Zo E A, a una seri� de potencias convergente, enton cesfes analítica. El inverso es también cierto: Sifes analítica, es igual, en cualquier disco de su dominio, a una serie de potencias convergente. Esto se hace explícito en el siguiente teorema. Teorema de Ta�;lor 3.2.7. Sea f analítica en una región A Sea z0 E Ay sea Ar= { z tal que lz -/z01 < r} contenida en A (usualmente se usa el disco más grande posible: si r= oc, Ar=A= C) (véase la figura 3.2.2). Entonces, para cada z E Ar, la serie 00
L
n=O
converge en Ar (esto es, tiene un radio de convergencia :2: r), y tenemos f(z)
00
=L
n=O
f(n)(zo) --�-(z- zo)n n!
( 1)
(Usamos la convención de que O ! = 1.) La serie de la ecuación ( 1) es llamada la serie de Taylor de f alrededor del punto z0.
Figura 3.2.2. Teorema de Taylor. Antes de demostrar este resultado. vamos a estudiar un ejemplo que ilustre su utilidad. Considere f(z) = eZ. Aquí fes analítica y ¡
3.2.1. Algunas expansiones comunes.
Series de Taylor alrededor de O
Función l
""
L
I-z
n=O
Donde es válida lz 1 < l
z"
(serie geométrica)
"'
l:
n=o
z" n!
z3
zs
3!
senz
todoz
-
5!
z--+-- •
+
z ._ L (-l )n 1 --:-=::...--:-:"7 ""
• • =
n=l
2"-I (2n-l)!
todoz
cos z
todoz
log(1 +z)
(rama principal)
(1 +z)"
(rama principal
con a e e
fija)
00
(-l)n-1
n=l
n
l:
(� ()
*
n
O
z l l< 1
zn
(serie binomial), donde
a
n
=
a(a-l)···(a-n+l) n!
�)
(sea(:) cero si a es un entero< n y Sea(
=
l
)
232
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
binomiales pueden ser familiares a partir del álgebra. Las series de Taylor de algunas funciones pueden encontrarse por otros medios, si se usan las propiedades especia les de las series de potencias que nos permiten su manipulación. Algunas de éstas se presentan en los ejemplos resueltos. Ya hemos encontrado la serie geométrica para 11(1-z) y la serie para log (1 + z) en los ejemplos resueltos 3.1.12 y 3.1.14. Es particularmente importante advertir que hemos hecho esto para la serie geo métrica, ya que la usaremos en la demostración del teorema de Taylor que sigue. Demostración del teorema de Taylor. Sea O <
/(z)
=
1 _ _. 21tt
f
/(�)
y
�-z
d�
El plan es usar las series geométricas para expander el integrando como una serie de potencias en z -z0 y entonces, usar la proposición 3.1.9, para integrar tér mino a término. Finalmente, los coeficientes de la serie integrada resultante, son reconocidos como aquellos de la serie de Taylor, por la fórmula integral de Cauchy para derivadas. Puesto quez está dentro del círculo y, y � está sobre su frontera, te nemos l( z - Zo)/ ( s- Zo)l < l. La serie geométrica del ejemplo resuelto 3.1.12 nos permite la siguiente expansión: ----:e 1 -
�-z
1
-
--� - Zo
así que f(z)
=
�
. - -
2m
I[ Y
/(�) �- Zo
f ( (�z- Zo) )n] d�
n=O
- Zo
=
_1 _ . 2m
I· [f Y
n=O
/(�) ( z
-n��n Jd�
(�- Zo)
Más aún, puesto que g está lejos de la fronteOMiel disco de convergencia, el ejemplo resuelto 3.1.12 también muestra que la convergencia de la serie
es uniforme en� conforme� corre alrededor del círculo y, con z fija. También ,f ( s)/ ( s- Zo) es una función continua de� alrededor del círculo y, así que es acotada allí. Se sigue que la serie 00
2.
n=O
n /(�) (z- Zo) (� -
Zo)n + I
3.2.
SERIES DE POTENCIAS
233
converge uniformemente en y af(�) 1 (�- z). (La primera serie satisface el c riterio de Cauchy uniformemente en �. por lo tanto, lo sigue satisfaciendo después de ser multiplicado por algo que permanezca acotado. Se le pide al estudiante que propor cione los detalles en el ejercicio 21. ) Por la proposición 3.1. 9, tenemos /(z)
=f
n;O
=f
n ;o
=� n
o
I
_ _
21CÍ
[ [
f
Y
/(�) (z- Zo)n (� - z0) n + l
< z - Zo)n _ 1 _
2ni
(z-
f
d�
/(�) Y
(�- Zo)n + l
Zo)"
como se quería. La última igualdad es justamente la fórmula integral de Cauchy para derivadas. Puesto que el radio del círculo y fue arbitrario, en tanto éste perma nezca dentro de la región de analiticidad, esta representación de /(z) es válida en el disco abierto más grande centrado en Zo que esté contenido en la región A. • La siguiente consecuencia de este teorema fue mencionada informalmente al principio de esta sección. Corolario 3.2.8. Sea A una región en C y sea f una función con valores com plejos, definida en A. Entonces, f es analítica en A si y sólo si, para cada z0 en A, existe un número r > O tal que el disco D(z0; r) C A y f es igual a una serie de po tencias convergente en D(Zo; r). Demostración. El teorema de Taylor muestra que cualquier función analítica es igual a una serie de potencias, en efecto, a su serie de Taylor, en cualquier disco en A. Por otro lado, sij(z) es igual a una serie de potencias convergente en D(Zo; r), en tonces D(Zo; r) debe estar en el interior del círculo de convergencia de la serie y, por lo tanto, f debe ser analítica en D(Zo; r). Puesto que existe tal disco y tal serie de potencias convergente para cada Zo en A se sigue, de la analiticidad para series de po tencias (3. 2. 3), quefes analítica en A. •
L a condición de este corolario, debe entonces ser tomada como una definición alternativa de "analítica". Hemos mostrado que las nociones de diferenciabilidad en una región y analiticidad en una región coinciden para funciones de variable compleja. (Cuidado: recuerde que éstas no coinciden para variables reales.) El teo rema de Cauchy, las fórmulas integrales de Cauchy y el teorema de Taylor, están entre los teoremas fundamentales del análisis complejo. En los ejemplos específicos, las derivadas dej pueden ser muy complicadas y encontrar la serie de Taylor puede hacerse más fácilmente buscando directamente una serie convergente que represente a j, en lugar de calc ular las derivadas. Por el corolario 3. 2.5, sij(z)
00
= n�o an(z- Zo)n y la serie converge, entonces ésta debe ser la
234
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
serie de Taylor. De hecho, algunas veces podemos usar el teorema de Taylor para obtener las fórmulas para las derivadas, luego de haber encontrado la serie por otros medios. En los ejemplos resueltos, se encuentran algunos trucos para mani pular estas series y sus aplicaciones.
Ejemplos resueltos 3.2.9.
Use la expansión de series, dadas en la tabla 3.2.1, para confinnar la identidad eíz = cos z + i sen z para toda z. Solución.
cos z
+
i sen z
ao
= L.
n=o
(2n)!
oc
(iz)2n
n=O
(2n)!
00
(iz)2n
n = ll
(2n)!
= L. = L. 00
= L. como se quería.
(- l )nz2n -----
k =O
(iz)k
k!
+
oo
L.
n=l
(- l )n + lz2n - l ------
(2n - l ) !
00
( -i)i2nz 2n - 1
n= l
(2n - 1)!
+ L. 00
(iz) 2n - l
n=l
(2n - 1)!
+ L. =
i
éZ
3.2.10. ¿ Puede una serie de potencias l: a0(z - 2)" converger en z = O pero diverger en z = 3? Solución. No. Si converge en z = O, esto implica que, por el teorema de convergen cia de series de potencias (3.2.1) que el radio de convergencia R satisface R � 2. Pero z = 3 está dentro de este círculo, así que la serie debe converger allí (véase la figura 3.2.3). ,
y
Figura 3.2.3.
El círculo de convergencia para la serie de potencias del ejemplo re suelto 3 . 2 . 1 O, debe ser al menos así de grande.
3.2. SERIES D E POTENCIAS
3 . 2. 1 1 . Encuentre la serie de Taylor alrededor de
z0 = O, para f(z)
radio de convergencia.
Solución. Escribaf(z)
entonces
11( 1
- w) =
=
+ { 11 [ 1
:E w". 00
(- z2/4)]
Reemplazando
n =O 1
-
oo
f(z) = - L
4 n =O
( ) z2 -4
n
w
}.
=
235
1 /(4 + z2) y calcule el
Sabemos que mientras que lwl
<
1,
por -z214 nos da
oo
= 1: (- l )n 4 -(n +l )z2n n=O
mientras que 1- z2/41 < 1 ; esto es, mientras que lzl < 2. Por lo tanto, el radio de con vergencia es 2. Observe que éste es el disco más grande alrededor del Zo en el cualf es analítica, ya que la analiticídad falla en z = + 2i. 3.2. 1 2. Encuentre la serie de Taylor de vergencia (véase la tabla 3.2. 1 ).
log ( 1 + z) alrededor de z = O y de su radio de con
Primera solución: Ya hemos hecho este problema como el ejemplo resuelto 3 . 1 . 14, usando la serie geométrica y la integracíón término a término. Segunda solución: Usamos la rama principal del log, de tal manera que la función f(z) = log ( 1 + z) esté definida en z = O. Ya que fes analítica en la región A = C\{x + iy 1 y = O, x S -1 } . mostrada en la figura 3.2.4, el radio de convergencia de la serie de Taylor será ;;:::: 1 , por el teorema de Taylor (3.2.7). Que esto es exactamente 1 , puede mostrarse como sigue. Sabemos que
f(O) = log 1
f ' (z) f " (z) = y f '"(z) =
z+l
= O
y, por tanto,f'(O) =
---1
(z + 1 )2 2
---
(z +
1
1 )3
1
y, por tanto,f " (O) = y, por tanto,f" ' (O)
=
-1
2
Inductivamente, vemos que (n - 1 ) ! (- l ) n - 1
(z + l ) n así quef
1 ) ! (-l )n - 1 •
De este modo, l a serie de Taylor es
236 y
Figura 3.2.4. la serie de Taylor de log(1
+
z).
(de acuerdo con la tabla 3.2.1). Cuando z
= -1,
ésta es la serie armónica, la cual di
verge; así, el radio de convergencia es :::; 1 y, por lo tanto, es exactamente l . (Un procedimiento general a seguir para determinar el radio exacto de convergencia sin
calcular la serie, se encuentra en el ejercicio 19.)
3.2.13. Suponga que "1:. a0z" y l:. bnz" tienen radios de convergencia a ;;::: r0• Defina C0 �
n
�0�bn -
k"
Demuestre que "1:. cnz" tiene radio de convergencia ;;::: r0 y que dentro de este círculo de radio r0, tenemos
Solución. Esta manera de multiplicar dos series de potencias, es una generalización de la manera en que se multiplican los polinomios. Se puede dar una demostración dí recta, pero sería un poco largo. Si usamos el teorema de Taylor, la demostración es bastante simple. Seaf(z) = "1:. a z n , g(z) = "1:. b zn y sea A = {z tal que lz 1 < r0 } . Entonn n=O n n=O "'
00
ces , f y g son analíticas e n A : así quefg es también analítica e n A . Por e l teorema de
Taylor, podemos escribir
co
L
( f · g)(z) = n=O
(/
•
g)<"l(O)
n!
z"
para toda z e n A . Es u n ejercicio simple (como en e l cálculo), mostrar por inducción,
que la n-ésíma derivada del productof(z)g(z) está dada por
(/ • g)
f
k= O
() n
k
J
3 . 2 . SERIES DE POTENCIAS donde
(: )
En consecuencia
=
n!
n!
=
k ! (n - k) !
1
n
L
237
k = O k ! (n - k) !
f(k)(O)g(n - k)(O) =
Así 1:. c z n converge en A (y en consecuencia, por el teorema de Taylor, el radio de 00
n =O
n
convergencia es ;;:: r0) y en A
3.2. 1 4.
Calcule la serie de Taylor alrededor de z a)
b)
= O y dé los
radios de convergencia para
z/(z - 1 )
ez/( 1 - z) (Calcule los primeros ténninos únicamente).
Solución a)
1 + z + z2 + ·) = -z( l + z + z2 +
A partir de la expansión binomial (tabla 3.2. 1 ), tenemos que ( 1 - z)- 1
=
· es válido para l z l < l . Por tanto, para l z l < 1 , zl(z - 1 ) = · -z - z2 - z3 - z4 Por la unic idad de la representación en series de po •
•
•
•
•
•
•
tencias, ésta es la serie de Taylor de z /(z - 1 ) al rededor del
O.
zl(z - 1 ) es analítica en el disco abierto 1 z 1 < 1 , sabemos, por el teorema de Taylor,
Al observar que
que la serie de Taylor debe tener un radio de convergencia ;;:: l . Por supuesto, un análisis más detallado de la serie -z - z2 - z3 - z4 - · · · , usando el criterio de la ra
b)
zón o el criterio de la raíz, muestra que el radio de convergencia es exactamente l . 2 · para l z l < 1 y ez = 1 + z + z212 + 1 /( 1 - z) = 1 + z + z + · para toda z. Así, •
•
•
•
por el ejemplo resuelto 3 . 2 . 1 3 , obtenemos la serie para el producto, multi plican converger aun para 1z 1 < l . Obtenemos
do formalmente las dos series como si fueran polinomios; el resultado debe
e __' - = ( 1 + z + z2 + z 3 + 1 -z
=
1 + (z + z) +
·
=
1 + 2z +
5z2
.
(-�-2-
--
2
•
·
)
(
2 3 z z 1 + z + ___ + ___ + 3! 2
+ z 2 + z2
8z3 + -- + · 3
·
) (-�-3+
+
.
_z_;_
•
·
)
+ z3 + z3
)
+
.
•
•
·
En esta última serie, el término general no tiene una forma simple. Observe que este método es más rápido que calcular f
(O)
para k moderadamente grande.
Encuentre la serie de Taylor alrededor de z0
determine el radio de convergencia.
= O
para f(z)
=
l l( z 2 - 5 z +
6)
y
Primera solución: Factorice el denomi nador, use la serie geométrica dos veces y multiplique la serie de potencias resultante:
238 /(z)
=
/
3-(z--2-(z-)
� ( -� ) ( � )
=
/3
1
1 -
/2
Si l z l < 2, entonces cada uno de los dos últimos términos puede ser expandido en la serie geométrica: 1 /(z) = 6
[n�00o(3Z )"] [�00o(2Z)"] = 6,.�o [ t:o ( l )' ( l )"-•] l
En general, a " +
/(z)
1 -b" + 1
= - �n�o [ 1
6
= (a - b) 1
n
3
2
z"
n
I: akb n - k, así que la última ecuación se convierte
k�O
]
(tt ' -(tt'
�
oc
1
,- - 2
z"
=
[(
�
n�o �
)
l n+!
2
-
( ¡)n+!]
z"
3
=
=
Todas estas expansiones y operaciones son válidas si l z l < 2 y así el radio de con vergencia debe ser 2. En efecto, la analiticidad falla únicamente en z
más cercano de éstos a
Zo es 2. Por lo tanto, el radio
2yz
de convergencia es 2.
3. El
Segunda solución: En lugar de usar la identidad algebraica empleada anteriormente y la multiplicación de series, podemos usar fracciones parciales y adición de series: /(z)
=
=
=
1
(z - 3)(z - 2)
2
-
1
z- 3
) +( l: ( ) - n�ol: (-)" n�o
�( 1
-
= --
l
1
z/2-1-
oc
z
2
"
-
-
z-2
-
1
00
3
z
3
t [Htl -Htl" n�o
como antes.
= O. ¿Cuál es el radio de convergencia? = Solución.
3.2. 1 6. Calcule los primeros ténninos de la serie de Taylor para f(z)
z0
Suponga que f(z)
multiplica por cos z.
sec z
=
1 /cos z
= a0
+
a 1z
= +
sec z alrededor de
a 2z2
+
·
·
· .
S i se
3.2.
SERIES DE POTENCIAS
239
En consecuencia (ya que sólo puede haber una expansión en series para la función constante g(z) = 1 ), tenemos 5 a0 a2 a4 = -- -- = -24 2 24
E l radio de convergencia debe ser 1t / 2, ya que los puntos más cercanos a O en los cuales la analiticidad falla, son z = ±1t /2, los puntos donde cos z = O.
3 .2. 1 7. Aplicación a ecuaciones diferenciales: Encuentre una función f'(x) = 3f(x) + 2 para toda x.
f(z) tal que f(O) = O y
Solución.
Suponga que existe una solución J, la cual es la restricción al eje real de una función que e s analítica e n C. Por lo tanto, ésta tendrá una expansión en series
de potencias f(z)
=
00
00
.I:
a z n . Ya quef' (z) = .I: nan z n - I , debemos tener, n =O n n= l
o 00
00
3anz L (n + l )an + 1z n = ( 2 + 3ao) + nL =l n=O
n
Así 00
[3an - (n + 1 )an + l ]z n O = (2 + 3a0 - a 1 ) + nL =l = /(0) = O. Por lo tanto, a 1 = 2. Para n � l , an 1 = 3an/ (n + l ) y, por 3 tanto, a2 = 3a 1 / 2, a3 = 3 2a¡/(3)(2), a4 = 3 a ¡/(4)(3)( 2), . . . , a = 3n - l a 1 /n ! = ( ;)3n/ n!. n (Observe que esta fórmula también nos da a 1 = 2. ) Así, si existe una serie de poten Sabemos que a0
+
cias que represente una solución, ésta debe ser
Al tomar las derivadas término a término, se confirma que ésta es una solución. En este caso, podemos reconocer aun a la función que la serie representa:
J(z)
i:
=l 3 n= 1
(3z)n =l 3 n!
[( i:
( 3z)n n=O n!
) - 1]
(e3z = l 3
- 1)
El lector debe verificar que esta función resuelve el problema original3 3 Para aplicaciones adicionales de las series de potencias a las ecuaciones diferenciales, véase, por
ejemplo, J. Marsden y A. Weinstein,
Calculus 11,
Nueva York, Springer-Verlag,
tualmente, cualquier texto de ecuaciones diferenciales.
1985,
sec.
1 2.6,
o vir
240
CAP. 3. REPRESENTACIÓN E N SERIES
3.2.18. Función generadora para los polinomios de Hennite: La función f(z) = e2xz - z' es
analítica en todas partes y, por tanto, tiene una expansión en series de potencias de
cuyos coeficientes dependen de x. Si hacemos f(x) = l: H0(x)z"/n!, entonces las n=O funciones H0(X ) son llamadas los polinomios de Hermite. ( Uno necesita verificar que éstos son, en efecto, polinomios de x. ) La función f es llamada funci6n generadora. Calcule H0(x), H1(x), y Hix). 00
z,
Solución
H0(x) = f(O) = l H ¡ (X) = J'(O) = (2x - 2z)e2xz - z'lz = 0 = 2x H2(x) = f"(O) = [-2e 2xz - z '+(2x - 2z)2e 2xz - z ' ] z = O = 4x2 - 2
Procediendo inductivamente, vemos que f (kl(z) siempre es un polinomio de x y z. multiplicado por e2xz - z ', y por tanto la evaluación en z = O, siempre producirá un polinomio de x.
Ejercicios
l. Encuentre el radio de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias:
00 zn d) !: n= 1 n
2. Encuentre el radio de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias:
z2n b) !: n =O 4n oo
00 e) L n!zn n
=0
3. Calcule las series de Taylor de las siguientes funciones alrededor de los puntos indica dos y determine el conjunto en el cual la serie converge: a) ez, Zo = 1
�,Establezca la serie de Taylor para sen z, cos
'
,··
b) 1 /z. <;¡ = l z.
y ( 1 +z)a en la tabla 3.2.1.
5. Calcule las series de Taylor de lo siguiente. (Dé unicamente los primeros términos,
donde sea apropiado.)
a) (sen z)/z. z0 = 1 e) eZ sen z, z0 = O 6. Calcule los primeros cuatro términos de la serie de Taylor de
¿Cuál es el radio de convergencia?
l/(1+é) alrededor de z0 = O.
3.2. SERIES DE POTENCIAS 7.
Calcule la serie de Taylor de las siguientes funciones alrededor de los puntos indicados: 1 /(z - l )(z - 2), Zo = O
b) 8.
Calcule la serie de Taylor de las siguientes funciones alrededor de los puntos indicados: b) e2z· Zo = 0
a) sen z2• z0 = O 9.
Calcule los primeros términos en la expansión de Taylor de �z2 - 1 alrededor del O. n Sean f(z) = l:: anz y g(z) = l:: bn z n convergentes para l z l < R. Sea y un círculo de radio 00
10.
241
00
n;O r < R y defina
n;O
F(z) =
1 21ti
00
Muestre que F(z) = l:: anbnzn . (Sugerencia: use el ejemplo resuelto 2.4. 1 5.) n ;O
'J(. Establezca lo siguiente:
oo
senh z = L
z2n - l
y
n ; 1 (2n - 1 ) !
---
00
cosh z = L
n ;O
(2n) !
00
12.
¿Cuál es la falla del siguiente razonamiento? Ya que ez = l:: z"/n !, obtenemos que e11z = 00
:I: 1 /(n ! z n ).
n ;O
n=O
Dado que esto converge (pues & es entera) y ya que la expansión de Taylor 00
es única, la expansión de Taylor de f(z) = e11z alrededor de z = O es l:: z - n /n ! . n =O
13.
Diferencie las series para 11(1 - z), para obtener las expansiones de 1
14.
1
y
Dé el radio de convergencia. Suponga quef(z) = l:: anz" tiene radio de convergencia R y sea A = { z tal que l z l < R } . Sea z0 E A y sea R el radi� de convergencia de la serie de Taylor defalrededor de Zo· Demues tre que R - 1 Zol $; R $; R + lz01. 00
00
n;o
n;O
15.
Si l:: anz" tiene radio de convergencia R, muestre que l:: (Re a,)z " tiene radio de con-
16.
vergencia � R. Sea f(z) = l:: a,z n una serie de potencias con radio de convergencia cualquier curva cerrada y en A = { z tal que lz 1 < R } muestre que J., f = O a) Usando el teorema de Cauchy. b) Justificando la integración término a término.
17.
¿En qué región representa oo
l:
n;1
sen nz ---
2"
R
>
O. Para
242
CAP.
3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
una función analítica ¿Qué hay acerca de sen nz
?
n2
18. Encuentre los primeros términos de la expansión de Taylor de tan z
= (sen z)/(cos z) alrededor de z = O. (Sugerencia: sabemos que tal expansión existe. Escriba
sen z
=
cos z
+
a0
a 1z
+
Multiplique por cos z
=
l
z2
-
--
2!
+
a z2 2
z4
4!
+
.
-
.
. .
. .
y use el ejemplo resuelto 3.2. 1 3 para encontrar a0, a l ' a .) 2
19. Sea f analítica en una región A, sea Zo tro en Zo y contenido en A.
E
A y sea D el disco abierto más grande, con cen
a) Si f no es acotada en D, entonces muestre que el radio de D es igual al radio de convergencia de la serie de Taylor para fen Zo· b) Si no existe una extensión analítica def (esto es, si no existenf y A ' tal que fes ana_
_
lítica en A', A' :J A , A' � A, y f = f i A), entonces muestre, mediante un ejemplo, que el radio de convergencia de la serie de Taylor defen Zo• puede ser aún mayor que el radio de D. (Sugerencia; use la rama principal de log (1 + z) con Zo = -2 + i.)
20. Demuestre: Una serie de potencias converge absolutamente en todo su círculo de con vergencia, o en ningún lugar de éste. Dé un ejemplo para mostrar que cada uno de los 21.
casos puede ocurrir. Si I: gn(z) converge uniformemente en un conjunto Be C, y h(z) es una función acota da en B, demuestre que I: [h(z)gn(z) ] converge uniformemente en B a h(z) [I: g n (z) ] .
22. Seaf(z)
=
I: a z" convergente para lzl
00
n=O
n
00
< R. Si O < r < R, muestre quef(z) = I: anr"eine, n=O
donde z = rei9 y
(3) y que
(4) La ecuación (4) es referida como el teorema de Parseval y decimos que la ecuación (3) expresa a la serie de Taylor como una serie de Fourier. (Sugerencia: use la fórmula integral de Cauchy par an y expanda en una serie affy luego integre término a término.)
3.3. SERIES DE LAURENT
243
23. Sea Hn(x) el polinomio de Hermite, introducido en el ejemplo resuelto 3.2. 1 8. Muestre que H 1 (x) = 2xH0(x) y que para n � l
00
24. Calcule la expansión de Taylor de /;(z) = � n-z alrededor de z =
2 (véase el ejemplo ren- I suelto 3. 1 . 1 5.} 25. Encuentre una función tal que /(0) = 1 y f' (x) = x + 2/(x) para toda x (véase e l ejemplo resuelto 3.2. 1 7.) 26. Encuentre una función f tal quef(O) = l y f' (x) = xf(x) para toda x.
3.3.
SERIES DE LAURENT Y CLASIFICACIÓN D E SINGULARIDADES Las series de Taylor nos permiten encontrar una expansión en series de poten cias convergentes, alrededor de Zo• para f(z) cuando f es analítica en todo un disco alrededor de Zo· Así, la expansión de Taylor alrededor de Zo = O no se aplica a fun ciones como /(z) = 1 /z o ez/z2, las cuales no son analíticas en z = O. Para tales funciones, existe otra expansión, llamada expansión de Laurent (formularui aproxima damente en 1840), que utiliza las potencias inversas de z en vez de las potencias de Esta expansión es particularmente importante en el estudio de puntos singulares de una función y nos conduce a otro resultado fundamental del análisis complejo, el teorema del residuo, que se estudia en el próximo capítulo.
z.
Teorema de Laurent Teorema de expansión de Laurent 3.3.1.
Sea r l � O, r2 > rl y Zo E e y considere la región A = { z E Cl r1 < lz - z01 < r2 } (véase la figura 3.3. 1). Se admite que r¡ = O o r2 = oo (o ambos). Sea f analítica en la región A. Entonces, podemos escribir f (z) =
00
.L,
n=0
an (z - z0)n
+
00
.L,
n=
b
n
1 ( z - z0)n
(1)
donde ambas series en el lado derecho de l a ecuación, convergen absolutamente en A y uniformemente en cualquier conjunto de la forma Bp l 'pZ = { zlp1 � lz - z01 � p2) donde r 1 < p1 < p2 < r2 • Si y es un círculo alrededor de z0 con radio r, con r1 < r < r2 , entonces los coeficientes están dados por an =
1 --
2 1ti
f
1
(l;
f ( i;) d l; zo)n + 1
n = O, 1 , 2, . . .
_
(2)
y 1 21ti
n = 1, 2, . . .
244
CAP. 3. REPRESENTAC I Ó N EN SERIES
(Si hacemos b0 = a_0• entonces la primera fórmula cubre ambos casos.) La serie para f en la ecuación ( 1 ) . es llamada la serie de Laurent o expansión de Laurent alrededor de z0 en el anillo A. Cualquier expansión convergente puntualmente de f de esta forma, es igual a la expansión de Laurent; en otras palabras, la expansión de Laurent es única. y
F i gura 3.3.1 .
La serie de Laurent, con
NoTA.
z0
=
O.
No podemos hacer an = f
Las ecuaciones (2) para a y bn, n o son muy prácticas para calcular l a serie de Laurent de una función dada f.n Se pueden usar trucos para obtener algunas expan siones de la forma deseada y la unicidad de la expansión, garantizará que ésta es la forma deseada. En la siguiente parte del texto se dan algunas técnicas, así como en los ejemplos resueltos. En la siguiente demostración veremos que la parte en series de potencias de f, esto es.
converge y, por tanto. es analítica en el interior del círculo lz - z01 que la parte singular.
=
r 2 , mientras
00
:r.
n=l
converge fuera de lz - z01
=
r1 • La suma, por tanto. converge entre estos círculos.
3.3. SERIES DE LAURENT
245
Se previene al estudiante que la unicidad depende de la elección de A . Por ejemplo. si A = { z tal que l z l > 1 }. entonces f(z) = 1 / [z(z - 1 )] tiene la expansión de Laurent 1
1 =f(z) = z(z - 1 ) z (válida si l z l f(z) =
>
[
( ) z 11
1 z
J
1 1 1 1 1 +··· =2 +2 - · · ·) = 2 (1 + - + z z z3 z z
1 ). mientras que en A = { z tal que O < l z l < 1 }. tiene la expansión 1 1 2 = - - ( 1 + z + z + · · ·) = z(z - 1 ) z
- (1 z
+1
2 +z+z +
·
··
)
(válida para O < l z l < 1 ). Por la unicidad, éstas son las expansiones de Laurent para las regiones apropiadas. Demostración del teorema de la expansión de Laurent. Como con la de
mostración del teorema de Taylor. empezamos con la fórmula integral de Cauchy. Primero mostraremos la convergencia uniforme de las series establecidas en Bp Py2• donde an y bn están definidos por el par de ecuaciones (2) . Puesto que todos los círculos y de radio r, son homotópicos uno con respecto a otro en A. mientras que r1 < r < r2 (¿por qué?. los números an y bn son independientes de r y así 1 = __
an
y bn
21ti
-
I
'Yt
I
J(t;,) dt;, (t;, z )n + 1 o
1 f( t;,)( t;, ___ 21tl 'Y2
- z )n o
1
dt;,
donde y1 es un círculo de radio p1 y y2 es un círculo de radio p2• y donde r1 < p 1 < P 1 < P2 < p2 < r2 (véase la figura 3.3.2) . Para z
E
BP 'P , /
tenemos
1 f(z) = -21ti
J
'Y2
/( t;,) dt;, t;, - z
- _I_
21ti
I
'Yt
J(t;,) dt;, t;, - z
por la fórmula integral de Cauchy (véase el ejercicio 5). Como en el teorema de Taylor, para t;, en y2 (y z fijo dentro de y2).
la cual converge uniformemente en t;, sobre y2•
246
Figura 3.3.2. Construcción de las curvas
y1 y y2 •
Podemos integrar término a término (por la proposición 3 . 1 .9, y por el hecho de quef(�) es acotada ( véase el ejercicio 2 1 , sección 3 .2) y obtener así
Puesto que esta serie de potencias converge para z en el i nterior de y2 , converge uniformemente en discos estrictamente más pequeños (en particular en
BP.'P) ·
- 1
(
1
) --- --
-- = ------ =
�-z
(z - Zo) 1 -
� - z0
Z - Zo
1
z - Zo
+
� - z0
----"'� 2 +
(z - Zo)
(� - .zo)2
(z - z0)3
+ . . .
converge uniformemente con respecto de � en y • Así 1
Esta serie converge para z. en el exterior de y , así que la convergencia es uni 1 forme fuera de cualquier círculo estrictamente mayor. Este hecho puede demostrarse de la misma manera que el hecho análogo para series de potencias, usando el lema de Abel Weierstrass de la sección 3.2. (Otro método consiste en hacer la transformación 00 w = 1 /(z - Zo) y aplicar el resultado de series de potencias a L b w n.) Se le pide al n n; 1 estudiante hacer esto en el ejercicio 1 5 .
3.3. SERIES DE LAURENT
247
Hemos demostrado ahora la existencia de la expansión de Laurent. Para demostrar la unicidad, vamos a suponer que tenemos una expansión paraf :
Si ésta converge en A, esta convergencia será, por las observaciones preceden tes, uniforme en el círculo y, así que podemos formar
la cual también converge uniformemente. Podemos entonces integrar término a tér mino. Por el ejemplo resuelto 2. 1. 12, tenemos
m ;é -l m = -1 Así, si k 2: O, la integral alrededor de y1 de cada término de la segunda serie y todos los de la primera, excepto aquel para el que n = k, es O. Por lo tanto
I
f(z)
r
1
-----
(z - Zo)k +
dz = 2mak
Similarmente, si k :5; -1, la integral de todos los términos es O, excepto aquel de la segunda serie con n =- k y , por tanto
I
f(z)
r (z - Zo)k+
Esto es,
bn =
1.
-
2m
1
----
J
r
dz = 2mb-k
f(z)(z- Zo) n - l dz
para n 2: 1
Así, los coeficientes an, bn están determinados en forma única por f y , por tanto, la demostración está completa. •
Singularidades aisladas: clasificación de puntos singulares Queremos examinar con más detalle el caso especial del teorema de la expan sión de Laurent cuando r1 = O. En este caso, f es analítica en { z 1 O < lz Zol < r2 }, que es la r2 -vecindad agujerada de Zo (véase la figura 3.3.3) y decimos que Zo es una singularidad aislada de f. Así, podemos expander f en una serie de Laurent, como sigue: -
248 (3)
(válido para O < 1 z - .zol < r2).
A
Figura 3.3.3.
Singularidad aislada.
A que contiene alguna e - vecindad agujerada de z0, entonces z0 es llamada una singularidad aislada. (Así, la expan sión de Laurent precedente (ecuación (3)) es válida en tal e-vecindad agujerada.) Si z0 es una singularidad aislada de f y si todos tos, bn, excepto un número fini to, en la ecuación (3) son cero, entonces Zo es llamado un polo de f. Si k es el mayor entero tal que bk #- O, Zo es llamado un polo de orden k. (Para enfatizar que k #- oo, algunas veces decimos "un polo de orden finito k ".) Si Zo es un polo de primer orden, también decimos que es un polo simple. Si un número infinito de b es distinto de k cero, z0 es llamada una singularidad esencial. (Algunas veces esta z0 es llamada un polo de orden infinito. ) "Polo ", significará siempre un polo de orden finito. Llamaremos a bl' el residuo de f en ZoSi todos los bk son cero, decimos que z0 es una singularidad removible. Una función que es analítica en una región A excepto para los polos en A, es llamada meromorfa en A La frase "f es una función meromoifa " significa que f es meromoifa en C.
Def"mición 3.3.2. Si f es analítica en una región
Por lo tanto,/tiene un polo de orden k si su expansión de Laurent tiene la forma
La parte
que es llamada a menudo la parte principal de f en Zo• nos dice justamente "que tan singular" esfen Zo·
3 . 3 . SERI ES D E LAU R ENT
249
S i f tiene una singularidad removible, entonces
f(z )
00
= L
n=O
an(z - Zo)n
es u na serie de potencias convergente. Así. si hacemos f(Zo) = a0, f será analítica en Zo· En otras palabras, f tiene una singularidad removible en Zo si f puede definirse en z0• de tal fo rma que f resulte analitica en z0. Como veremos e n e l capítulo 4. encontrar l a expansión d e Laurent no e s tan i mportante como poder calcular el residuo b 1 , y este cálculo puede hacerse a menu do sin calcular l a serie de Laurent. Las técnicas para hacer esto serán estudiadas en la sección 4. 1. La importante propiedad de b p no compartida con los otros coefi cientes, se establece en el siguiente resultado.
Proposición 3.3.3. Sea f analítica lada en Zo> con residuo b 1 en z0.
en una región A que tiene una singularidad ais Si "( es cualquier círculo alrededor de z0 en A cuyo interior, excepto para el punto z
JY
f(z) dz = b 1
·
21ti
(4)
Esta conclusión se sigue a partir de la fórmula para b 1 en el teorema de expan sión de Laurent. El punto es que podemos calcular b 1 por otros métodos que la ecuación (4) y, por lo tanto. podemos usar la ecuación (4) para calcular Por ejemplo, si z # O, entonces
Jy .f.
e llz
= 1
1
+
z
+
1
+
1
+
•
•
•
(¿por qué?) y así e 1Z tiene una singu l aridad esencial en z = O y b 1 = l . Por tanto, e 1 1Zdz = 2 1ti para cualquier círculo y alrededor del O. La siguiente proposición caracteriza los diferentes tipos de singularidades.
1
Y
J
Proposición 3.3.4. Sea f analítica
en una región A con una singularidad aislada en :zo.
es una singularidad removible si se satisface alguna de las siguientes condiciones:
(i) z0
1 ) f es 2 ) l ím
acotada en una vecindad agujerada de z0• f(z ) existe
Z --4 z0
o
3 ) lím (z - z0) f(z) = O
(iii)
Z -4 Z
es un°polo simple si lím (z - z0) f(z) existe y es diferente de O. Este lí z --+ z0 mite es igual al residuo de f en z0. z0 es un polo de orden < k (o posiblemente una singularidad removible) si se satisface alguna de las siguientes condiciones:
(ii) z0
250
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
1 ) Existen una constante M > O y un entero k � 1 tales que
l f(z)l
�
M
--
lz - zrl
en una vecindad agujerada de Zo 1 2) lím (z - z0)k + f(z) = O z � 11}
3) lím (z - z0)k f(z) existe z .....
'o
(iv) z0 es un polo de orden � 1 si existe una función analítica <1>. definida en una vecindad U de z.o, tal que U\{z.o} C A, <1> (z0) ::1:- O, y f(z) <1> (z)/(z - z0)k para toda z E U, z ::1:- z0• =
Demostración
(i) Si Zo es una singularidad removible, tenemos entonces que en una vecindad agujerada de Zo,f(z)
=
00
n::oan(z - Zo)n . Ya que esta serie representa una fun-
ción analítica en una vecindad no agujerada de Zo• obviamente se satisfacen las condiciones 1 , 2 y 3. Cada una de las condiciones 1 y 2, implican ob viamente la condición 3 y, por tanto, sólo resta mostrar que la condición 3 implica que Zo es una singularidad removible paraf Debemos demostrar que cada bk en la expansión de Laurent alrededor de Zo es O. Ahora bien
donde 'Yr es un círculo en A cuyo interior está en A (excepto por Zo)· Sea e > O dada. Por la condición 3, podemos escoger r > O con r < 1 , tal que en 'Yr• tenemos la estimación lf(/;) 1 < t/1 1; - z01 e/r. Entonces =
Por lo tanto lbkl � e. Ya que e fue arbitrario, bk O. Usaremos (iii) para demostrar (ii), así que (iii) se demuestra en seguida. (iii) Esta afirmación se sigue al aplicar (i) a la función (z - Zo)kj(z), la cual es analítica en A: (El estudiante debe escribir los detalles.) (ii) Si Zo es un polo simple, entonces, en una vecindad agujerada de Zo· =
3.3. SERIES DE LAURENT
251
donde h es analítica en z0 y donde b1 # O, por la expansión de Laurent. Así, lím (z - Zo)f(z) = Jím [b1 + (z - z0)h{z)] = b1• Por otro lado, suponga z -+ :o
z -+ .zo
que Jím (z - z0)f(z) existe y es diferente de O. Por lo tanto, lím (z - Zo)2 z -+ �
z -+ �
J(z) = O. Por el resultado obtenido en {iii), esto muestra que
para alguna constante b1 y una función analítica h, donde b1 puede ser o no ser O . Pero entonces (z - Zo)f(z) = b1 + (z - Zo) h (z) y en consecuencia lím z -+
Zo
(z - Zo)f(z) = b1 • Así, en efecto, b1 # O y, por lo tanto,f tiene un polo sim ple en Zo· (iv) Por definición, Zo es un polo de orden k � 1 si f(z) =
=
b"
(Z - Zo) k 1
(z - z0) k
+
�bk
bk - 1
(z - z0)/c - l +
+ . . . +
bk- 1(z - Zo) +
·
·
·
+
bl
Z - Zo
+
00
L an{z - Zo)n
n=O
b1(z - z(Y'" -
1
� + k.
n a (z - Zo) + n =O n
�
(donde bk =F- 0). Esta expansión es válida en una vecindad agujerada de Zo· Sea cp (z) = b" + bk _ 1(z-Zo) +
• • • +
b(z - Zo)" -
1
oc
+ �
n =0
a (z - Zo)n + "· Entonces n
cp (z) es analítica en la correspondiente vecindad agujerada (ya que es una serie de potencias convergente) y cp(z0) = b k =F- O . Recíprocamente, dada tal cp, podemos desandar este camino para mostrar que z0 es un polo de orden k '?. l . •
Ceros de orden k Seaf analítica en una región A y sea Zo e A. Decimos que f tiene un O de orden k en z0 sif(z0) = O, . . . , J<" - I )(zo) = O,j < k) {Zo) =F- O. De la expansión de Taylor f{z) =
i:
n=O
¡
(z - zo>n
vemos que f tiene un O de orden k si, en una vecindad de Zo• podemos escribir f(z) = (z - z0)"g{z), donde g{z) es analítica en Zo y g{Zo) = J <")(z0)/k ! =F- O . De la proposi ción 3.3.4 (iv), haciendo cp(z) = g(z) - l , obtenemos lo siguiente. Proposición 3.3.5. Si f es analítica en una vecindad de zO' entonces f tiene un O de orden k en z0 si 1 /f(z) tiene un polo de orden k en z0. Si h es analítica y h(z0) =F- O, entonces h(z)/f(z) también tiene un polo de orden k en Zo·
252
CAP.
3.
REPRESENTACIÓN EN SERIES Obviamente, s i
Zo
es un O de f y f no es idénticamente igual a cero en una
vecindad de Zo• entonces z0 tiene orden finito sería idénticamente
k.
0.)
(De otra manera, la serie de Taylor
Singularidades esenciales En los ejemplos prácticos, muchas singularidades son polos. No es di fíc i l mos
trar que si f(z) tiene un polo en
z --?
Zo
(véase el ejercicio
7).
Zo
(de orden finito
k) entonces
1/(z)l � oo conforme
S in embargo, en el caso de una singularidad esencial,
lfl no se aproximará, en general, a
oo
conforme z �
resultado, demostrado por C. E. Picard en
1 879.
Zo·
De hecho, existe el siguiente
Sea f con una singularidad esencial en z0 y sea U cualquier vecindad agujerada de z0 (arbitrariamente pequeña). Entonces, para toda w E C, excepto quizá en algún valor, la ecuación f(z) = w tiene una infinidad de soluciones z en U. Teorema de Picard 3.3.6.
Este teorema corresponde en realidad a un curso más avanzado.4 Sin embargo,
podemos fácilmente demostrar una versión más simple.
Sea f con una singularidad esencial en C. Entonces, existen z l ' z2, z3, . . . tales que zn � z0 y f(zn) � w .
Teorema de Casorati-Weierstrass 3.3.7.
Zo Y sea w
E
Demostración. S i l a afirmación fuera falsa, habría una vecindad agujerada
de z0 y una e [ /(z) -
w].
>O
w 1 ;;::: e para toda z E U (¿por qué?). Sea g(z) = g es analítica y acotada en U, así que z0 es una si ngulari
tal que lf(z)
De modo que
U 11
-
dad removible, por la proposición 3 . 3 .4(i). Sea si
k
el orden del O de g en z0 (hágase
g(z0) =F- 0.) (El orden debe ser finito porque, de otra manera, como se men cionó previamente, por el teorema de Taylor, g debería ser O en una vecindad de Zo• mientras que g nunca es cero en U.) Así, f(z) = w + l lg (z), o es analítica (si k = 0),
k=O
o tiene un polo de orden
k,
por la proposición 3 . 3 . 5 . Esta conclusión contradice
nuestra suposición de quef tiene una singularidad esencial. •
Para otra interpretación de este resultado, véase el ej ercicio
20.
Ejemplos resueltos 3.3.8. Encuentre la expansión de Laurent de las siguientes funciones (con z0, r1 y
se indican):
r2
como
a) (z + l )/z; z0 = 0, r1 = O, r2 = oo 2
b) z/(z + l); z0 = i, r1 = O, r2 = 2
4
Véase E. C. Titchmarsh,
página 283.
The Theory of Functions,
Nueva York, Oxford University Press, 1939,
253 Solución
a)
z+ I
---
z
l
=
+
z
l
Esta ecuación está en la forma de la expansión de Laurent y, por lo tanto, por la
bk = O para k > J , b1 = 1 , a0 = 1 , ak = O para k � l . b) Una expansión en fracciones parciales nos da unicidad, es igual a ella; esto es,
z
----::---
z2 + 1
=
z
=
(z + i)(z - i)
1
1
2
z-i
Puesto que 1 /(z + i ) es analítica cerca de z
1
+
2
z+i
= i, puede ser expandida como una 3.3.4):
serie de potencias en z - i, usando la serie geométrica (véase la figura
1
---
z+i
=
1
1
2i + (z - i)
2i
-----
=
2i
( L oo
1
z-i
l
- ---
--
n=O
2i
)
n
(
1
- -
=
z-i
oo
L
n=O
2i
)
¡ n - 1 2 -n - l (z - i ) "
Así, la expansión de Laurent es
z --- = z2 + 1
1
-
2
00
L.
n=O
¡n - 1 2 -n - 2
y
-i Figura 3.3.4. Región de convergenc i a para l a expansión de 1 /(z + i).
254
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
3 .3.9. Detennine el orden de los polos de cada una de las siguientes funciones en las sin gularidades indicadas: a) (cos z)/z2, z0 = O e) (z + l )/(z - l ), z0= 0
b) (ez - l )/z2, z0 = O
Solución a) z2 tiene un O de orden 2 y cos O = l , así que (cos z)/z2 tiene un polo de orden 2, por l a proposición 3.3.5. Alternativamente,
1 __ z2
cos z z2
(
1 -
�+�- · . · 2!
4!
)
1 1 = -_ _ __ + z2 2!
�- · . . 4!
y, por lo tanto, otra vez el polo es de orden 2. b) El numerador se anula en O y, por tanto, no se aplica l a proposición 3.3.5. Pero 1 -z2
[(
1 +z+
-z2 2!
+ · ··
) ]
1 -1 = - + z
-- -- -1
2!
z
+
3!
+
z2 4!
+ · · ·
y , en consecuencia, el polo es simple.
e) No hay ningún polo pues la función es analítica en O. 3.3. 1 O. Detennine cuáles de las siguientesfunciones tienen singularidades removibles en 2Q = 0: b) eT/z d) z/(ez - l )
a) (sen z)/z e) (ez - 1 )2tz2 Solución
a) lím z · (sen z)/z = lím sen z = O y, por lo tanto, la singularidad es removible (por z�O
z�O
la proposición 3.3.4(i). Alternativamente, sen z z
(
1 =_ z z
_
�+ 3!
•
•
)
· = 1
_
�+�_ 3!
.
•
•
5!
b) lím z · eztz = l , así que el polo es simple (la singularidad no es removible). z -+ 0
e) (ez - 1 )/z tiene una singularidad removible, y a que lím z (eZ- 1 )/z = O, y, por tanto, z -> 0
•
[(ez - I )lzF también tiene una singularidad removible. d ) lím zl(e' - 1 ) = 1 , pues (e' - 1 )/z = 1 + z/2 + z2/3 ! + z -> 0
•
•
·
--+
1 conforme z --+ O.
Por lo tanto, zl(e' - 1 ) tiene una singularidad removible.
3.3. 1 1 . Muestre que si f y g son analíticas en Zo• y g tiene un O de orden n y f tiene tm O de orden k, con k ;::: n , entonces glf tiene un polo de orden k - n. ¿Qué pasa si k < n? Solución. Podemos factorizar la serie de Taylor para f y g centradas en Zo• y obtener funciones analíticas F y G tales que j(z) = (z - Zo)KF(z) y g (z) = (z - zo)"G(z) para
3 . 3 . SERIES DE LAURENT
255
puntos z cercanos a Zo• y con F(Zo) '* O y G (z0) '* O. Así, f(z)lg (z) = (z -
(Zo)
=
F (Zo)
(k - n)!
Por lo tanto, f/g tiene un cero de orden
G (Zo)
k-n
'* O
en zO' por
3.3.5.
argumento similar muestra que g/ftiene un cero de orden n - k.
Si
k
<
n
entonces un
Ejercicios l. Encuentre la expansión de Laurent de las siguientes funciones, alrededor de Zo las regiones indicadas:
a) sen ( 1 /z), O < lzl < oo e)
z/(z + 1 ), O < lzl <
b)
1
d)
=
O, en
1 /z(z + l ), O < Izl < l 2 e'lz , O < lzl < oo
2. Encuentre la expansión en series de Laurent de l lz(z + l ) alrededor de Zo = O, válida en la región l < lz 1 < oo. 3. Encuentre la expansión en series de Laurent de z/(z + 1 ) alrededor de z0 = O, válida en la región 1 < lz 1 < oo.
4. Expanda
l
z(z - l )(z - 2)
en una serie de Laurent, en las siguientes regiones:
a) O < lz 1 < l
b)
l < lz l < 2
S. Sean y1 y y2 dos círculos concéntricos alrededor de
de radios R1 y R2 , R1 < R 2 • Si z está entre los círculos y f es analítica en una región que contiene a 'Yp y2 , y a la región
Zo
comprendida entre ellas, muestre que f(z) = -�-
21ti
6.
I
'Y2
f(�)
d�
�-z
�
-
-21ti
I
'Y¡
/(�)
�-z
d�
Suponga que la serie de Laurent de f(z) = e11zt( l - z), válida para O < lzl <
Calcule e _2 , e -I, CO, el y e2.
7. Sea f con u n polo en Zo de orden
k�
l . Demuestre que f(z) �
( Sugerencia: use la parte (iv) de la proposición 3.3.4.)
oo
00
1 , es L e
n = - OO n
zn.
conforme z � zO'
8. Demuestre, usando series de Taylor, la sigui ente versión complej a de l a regla de 1 'Hopital: Sean f(z) y g(z) analíticas, ambas con ceros de orden
f(z)lg(z) tiene una singularidad removible, y lím
z -4 Z0
k
en Zo· Entonces
f(z)
g(z)
9. ¿Cuáles de las siguientes funciones tienen singularidades removibles en los puntos in dicados:
a) e)
cos (z - l ) 2 z
f(z)/(z - Zo)k
_
•
Zo -
0
si ftiene un O de orden
b)
z/( z - l ), Zo = l
k en Zo· •
256
CAP.
3.
REPRESENTACIÓN EN SERIES
10. Si / es analítica en una región que contiene a un círculo y y a su i nterior, y tiene un O de orden 1 únicamente en Zo en el interior o sobre y, muestre que
Zo =
--
21ti
f
zf ' (z) Y
/(z)
dz
(Sugerencia: hagaf(z) = (z - Zo) cp(z) y aplique la fórmula integral de Cauchy.)
11. Encuentre los primeros términos en la expansión de Laurent de
ll(e' - 1 ) alrededor de z = O. (Sugerencia: muestre que, puesto que 1 /(e' - 1 ) tiene un polo simple
1 ---
e' - 1
=
h¡ --
z
+ a0 + a 1 z + a z2 + · · · 2
Luego multiplique en cruz (usando el ejemplo resuelto 3.2. 13) y resuelva para b l ' a0,
a ¡ .)
12. Para f como en el teorema de expansión de Laurent 3.3. 1 , muestre que si entonces
13.
r1
<
r
<
r , 2
Use la sugerencia del ejercicio 1 1 , para encontrar los primeros términos en la expan sión de Laurent de cot z = (cos z)/( sen z) alrededor de z = O.
Defina una rama de � z2 - 1 que sea analítica, excepto para el segmento [-1 , 1 ] en el eje real. Determine los primeros términos en la expansión de Laurent, que es válida para lzl > l . 15. Si 14.
16. 17. 18.
19.
converge para lz - Zol > R, demuestre que esta serie necesariamente converge uniforme mente en el conjunto F, = { z tal que lz - Zol > r } para r > R. (Sugerencia: adapte el lema de Abe! Weierstrass y el criterio M de Weierstrass a este caso.) Suponga que ftiene un O en Zo de multiplicidad k. Muestre que el residuo de f'lfen Zo• es k. Discuta las singularidades de 1/cos(l/z). Evalúe J'Y zne l fz dz, donde y es el círculo de radio l centrado en O y recorrido una vez en la dirección contraria al sentido de las manecillas del reloj. Encuentre los residuos de las siguientes funciones, en los puntos indicados:
a) 1 /(z2 - 1 ), z = 1 e) (e' - 1 )/z2, z = 0 20.
a)
b) d)
z/(z2 - 1 ), z = l
(e' - 1 )/z, z = O
Sea z0 una singularidad esencial de f y sea U una vecindad agujerada de Zo Demuestre que la cerradura def(U) es C. b) Suponga el teorema de Picard (3.3.6) y derive e l "teoremita de Picard": La imagen de una función entera no constante, es tqdo C, excepto posiblemente por a lo más un punto.
25 7
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3 l. Encuentre la expansión de Taylor de log z (la rama principal del logaritmo) alrededor
2.
3. 4. 5. 6. 7.
de z = l . ¿Dónde están los polos de 11 cos z y cuáles son sus órdenes? Encuentre la expansión de Laurent de l /(z2 + z3) alrededor de z = O. La 2n-ésima derivada def(z) = e'2 en z = O, está dada por (2n) !/n !. Demuestre esto sin calcular realmente la 2n-ésima derivada. Expanda z2 sen z2 en una serie de Taylor, alrededor de z = O. Si f es analítica y no constante en cualquier conj unto abierto e n u na región A, demuestre que los ceros de f son aislados. (En otras palabras, demuestre que si Zo e s u n O, existe una vecindad de Zo en l a cual n o hay otros ceros.) Verifique el teorema de Picard (3.3.6), para la función e 11z.
8. Sea exp[t(z - l lz)/2] = 1: Jn (t)zl' la expansión de Laurent para cada 00
n = - oo
llamada la fun ción de Bessel de orden
1 a) Jn(t) = 1t
lt J
O
n.
t E
R fija. Jn (t) es
Muestre que
cos (t sen e - nO) de
9. Encuentre los radios de convergencia de
a) 10.
11. 12. 13. 14.
2n L -- z" n = O n2 oo
b)
00
L
n=O
z"l
Sea 1: a,(z - <;¡)" una serie de potencias con radio de convergencia R > O. Si O < 00
n=O
r
< R,
muestre que existe una constante M tal que l a., l � Mr -n , n = O, l , 2, . . . Sea j analítica en C\{ 0} . Muestre que las expansiones de Laurent de f, válidas en las regiones { z tal que l z l > O } y { z tal que !zl > l } , son la misma. Suponga que fes analítica en el disco unitario abierto lzl < l y que existe una constante M tal que IJ
-------
(z - l )(z + l )(z - 2)(z - 3 )
cuando se expande alrededor de z = i?
15. Evalúe
z2 + e'
----
z(z - 3)
dz
donde y es el círculo unitario.
16. Suponga que 1: .
00
n=O
a, converge, pero que 1: 1 a, 1 diverge. Muestre que 1: an z " tiene un 00
n=O
00
n=O
258
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES
radio de convergencia igual a l . Responda a la misma pregunta, pero suponga ahora que la serie l: an converge y que l: nlan l diverge. 00
00
17. Encuentre la expansión de Laurent de n=O
n=O
1 f(z) = -�- z(z2 - 1 )
que es válida para
a) O < lzl < 1
b) 1 < lzl
18. Encuentre la expansión de Laurent de j(z) = 11( l de las siguientes regiones:
+
z2)
+
1 /(3 - z), válida en cada una
b) { z tal que 1 < lzl < 3 }
a) { z tal que lzl < 1 }
e) { z tal que lzl > 3 }
19. Seaf entera y sea g (z) = l: anz , con radio de convergencia R. ¿Puede usted encontrar 00
otra serie de potencias l:
n
n=O
bnzn con radio de convergencia � R tal que
20. Seaf entera y suponga que f(z) � oo conforme z � oo. Muestre quej es un polinomio. (Sugerencia: muestre que f( l /z) tiene un polo de orden finito en z = O. 21. Suponga que f tiene una singularidad aislada en Zo· Muestre que si f(z) es acotada en una vecindad agujerada de Zo• entonces lím /(z) existe. z -> "'
22. Sea f analítica en lzl < l . Muestre que la desigualdad 1/ (k)(O)I toda k. 23. Evalúe
J:
;;:: k!5k no es válida para
eei6 da
24. Seaj(z) una función entera que satisface estas dos condiciones:
a) f' (z) = f(z)
b) /(0) = 1
Muestre que /(z) = eZ. S i se remplaza (a) por f(z1 + z2) = f(z 1) /(z2), muestre que /(z) = eaz para alguna constante a. 25. Determine el orden de los polos de las siguientes funciones en sus singularidades:
a)
e)
ez(z - 3 ) (z - 1 )(z - 5) (e' - 2)/z
b) (e' - I )lz
d)
(cos z)/( 1 - z)
26. Identifique las si ngularidades de f(z) = zl(ez - 1 ) (ez - 2) y clasifique a cada una como removible, esencial, o un polo de algún orden específico. 27. Evalúe fre
EJ ERCICIO D E REPASO DEL CAPÍTUlO 3
25 9
tales que la línea recta que une z 1 y z2 , está en A . Demuestre que no necesariamente existe Zo en esta línea recta tal que /' (zo) =
b)
29.
2 Suponga quef(z) = (z -
a) b)
e) 30. 31. 32.
Sin embargo, si 1/' (z0) 1 � M en esta línea, demuestre que l/(z 1 ) -/(z2)1 � M lz 1 - z2 1 ; en general, que si 1/' (zo)l � M sobre una curva y que une z 1 con z2, entonces l/(z1 ) /(z2)1 � ML(y).
1)1 [cos (1tz) + 1 ]
00
tiene la expansión en series l: an z " cerca de z = O. n=O
Calcule a0, a 1 y a2 • Identifique las singularidades de f y clasifíquelas de acuerdo a si son esenciales o un polo de algún orden específico. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie? 00
Sif(z) = f(-z) y f(z) = l: anz " es convergente en un disco lzl
n=O
<
R, R > O, muestre que an = O
para n = 1 , 3 , 5, 7 . Si fes entera y acotada en el eje real, entonces fes constante. Demuestre o dé un contra ej emplo. Sea/analítica en una región A que contiene { z tal que lz - Zol < R } de tal manera que f(z) =
00
L n =O
n!
Sea Rn(z) igual a f(z) menos l a n-ésima suma parcial. (R es, por tanto, e l residuo.) Sea " p < R y sea M el máximo de f en { z tal que lz - z:ol = R } . Muestre lz - z:ol � p implica que IRn(z)l � M
33.
( ) p
n
+
1
1
-
R
1 - p/R
Los números de Bemoulli Bn , están relacionados con los coeficientes de la serie de potencias de zl(ez - 1 ), por medio de la fórmula z
---ez _ ¡
a)
oo
B
"- z n L -n =O n!
=
Determine el radio de convergencia de la serie oo
� �
n= O
-Bn n!
zn
b) Usando l a fórmula i ntegral de Cauchy y el contorno lz l = 1 , encuentre, para Bn, una expresión i ntegral de la forma
Bn (para funciones apropiadas
=
2
J:
gn(9) d9
gn (9), donde O � 9 �
21t).
260
CAP. 3. REPRESENTACIÓN EN SERIES 34. Los polinomios de Legendre P (a) se definen como los coeficientes de z e n el de n
sarrollo de Taylor
n
00
( l - 2a z + z 2) - 1 12 =
L
n=O
P
Demuestre que P (a) es u n polinomio de grado n y encuentre P I ' P2, P3, P4. n 00
35. Encuentre el radio de convergencia de la serie de potencia :E 2nz n '. n=O
36. Demuestre
a)
(
b)
L
\2 = -�. n !l 21tl zn
00
n =O
(--) zn
n!
2
f
=
ne _z_ _ '_ '
dt
donde y es el círculo unitario.
n!tn 1 __
21t
i
2 Jt e 2z
O
37. Encuentre una serie de potencias que resuelve la ecuación funcional / (z) = z + /(z2) y muestre que existe sólo una serie de potencias que resuelve la ecuación conf(O) = O. 38. ¿Cuál es el error en el siguiente argumento? Considere
/(z) =
•
· · +
Note que
l
1
1
z3
z2
z
-- + -- + -- + 1 z + z2 + · · · =
z --
l -z
siempre que 1 1 +-+ z
1
-- + z2
.
.
•
=
+ z + z2 + · · ·
1
1 - 1/z
=
-z ---1 -z
Por lo tanto,J(z) = O. ¿Esf, en efecto, la función O?
39. Suponga que f es una función entera y que 1/ (kJ (0)1 � 1 para toda k � O. Muestre que 1/(z)l � e 1' 1 para toda z e C. 40. Sea
/(z) =
(z - 1 )2 (z + 3) 1 - sen (1tz/2)
a) Encuentre todas las singu laridades de f e identifique cada una de acuerdo a si es una b)
singularidad removi ble, un polo (dé el orden) o una singularidad esencial. Si /(z) = a0 + a 1 z + a 2z2 + · · · es la expansión de Taylor de f centrada en O,
encuentre a0, a1 y a • 2 e) ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie en b?
4 Cálculo de residuos Este capítulo se centra en el teorema del residuo, el cual establece que la i nte gral de una función analíticafalrededor de un contorno cerrado, es igual a 21ti veces la suma de los residuos de f'dentro del contorno. Vamos a usar este teorema en nuestra primera aplicación importante del análisis complejo, la evaluación de inte grales definidas. A fin de que el estudiante gane una amplia facilidad en el manejo de los residuos, el capítulo empieza con las técnicas para calcular residuos de fun ciones en singularidades aisladas. 4.1. CÁLCULO DE RESIDUOS
Recordemos, de la sección 3.3, que si f tiene una singularidad aislada en z 0, entonces f admite una expansión de Laurent que es válida en una vecindad agujerada de z 0 : f(z) = • . . +
b
2
+
(z - Zo)2
b¡
_:__
_ _
(z - Zo)
+ a0 + a 1 (z - Zo) +
·
·
·
donde b 1 es llamado el residuo de f en z 0• Esto se escribe b
1
= Res (f, Zo)
Queremos desarrollar técnicas para calcular el residuo sin tener que encontrar la expansión de Laurent. Por supuesto, si se conoce la serie de Laurent, no hay pro blema. Por ejemplo, ya que e l lz = 1 + 1 f(z) = e 1z tiene residuo 1 en Zo
l
_
z
=
+
1 l + . . • + + . . . 2 ! 2z n z 11
__
__
O. 261
262
CAP.
4.
CÁLCULO D E RESIDUOS
El lector debe tener en mente lo siguiente, cuando trate con residuos: el residuo en z0 es simplemente el coeficiente de (z - z - 1 e n la serie de Laurent de la función, para una región anular z 1 O < 1 z - z01 < R¡ cerca de z0. Cualquiera de los trucos aprendidos en el capítulo anterior para calcular esto, nos puede ayudar. Esta sección se concentra en obtener fórmulas mecánicas que siempre funcionarán pero algunas veces un poco de reflexión producirá un truco que sea más fácil. (Esto se ilustra en algunos de los ejemplos resueltos.) Es particularmente importante el caso de un polo (en contraste a una singularidad esencial). Para este caso, tenemos bastantes téc nicas directas que son fáciles de aplicar si el orden del polo no es demasiado grande. Si tenemos una función f definida en una región A con una singularidad aislada en z0, entonces procedemos de la siguiente manera para encontrar el residuo. Primero decidimos si podemos encontrar fácilmente los primeros términos en la expansión de Laurent. En tal caso, el residuo de f en z0, será el coeficiente de 1/(z - zo) en la expan sión. Si no es así, entonces propondremos un orden para la singularidad, verificándolo de acuerdo a las reglas que serán desarrolladas en esta sección (algunas reglas ya se desarrollaron en la proposición 3.3.4) y calculamos el residuo de acuerdo a esas reglas. (Las reglas se resumen en la tabla 4. 1 . 1 , véase la página 269.) Si tenemos alguna duda acerca del orden que propusimos, debemos proceder sistemáticamente, proponiendo primero una singularidad removible, luego un polo simple, y así sucesivamente, corroborando en la tabla 4. 1 . 1 , hasta que obtengamos una respuesta verificada.
{
Q?
Singularidades removibles
{ }
Seaf analítica en una vecindad agujerada U\ z0 de z0• Se mostró en la sección 3.3, que / tiene una singularidad removible si lím (z - z0) f(z) = O. El siguiente teoz -> Zn
rema cubre muchos casos importantes y es, algunas veces, el más fácil de usar. Proposición 4.1.1.
orden, entonces f(z)
Si g(z) y h(z) son analiticas y tienen ceros en z0 del mismo = g(z)/h(z) tiene una singularidad removible en z0.
Demostración. Por la proposi
Del mismo modo si g tiene un O en Zo de orden mayor que h, entonces glh tiene una singularidad removible en z0.
Ejemplos (i) ezt(z - 1 ) no tiene una singularidad en z0 = O. (ii) (eZ - 1 )/z tiene una singularidad removible en O, porque eZ - 1 y z tienen ceros de orden l . (Ellas se anulan pero sus derivadas no.) (iii) z2/sen2z tiene una singularidad removible en z0 = O, porque tanto el nume rador corno el denominador tienen ceros de orden 2. 'Y La discusión precedente se resume en las líneas 1 y 2 de la tabla 4. 1 . 1 .
263
Polos simples Por la proposición 3.3.4, si lím (z - z0)j(z) existe y es distinto de O, entonces! Z � lo
tiene un polo simple en z0 y este límite es igual al residuo. Vamos a aplicar este re sultado para obtener un método útil para calcular residuos. Proposición 4.1.2. Sean g y h analíticas en Zo y suponga que g(Zo) F O, h(zo) = O y h' (zo) F O. Entonces f(z) = g(z)/h(z) tiene un polo simple en Zo• y Res (f, Zo) =
g(Zo)
(1)
h '(z0)
Demostración. Sabemos que lím
z --+ z,
h(z) - h(Zo) Z
- Zo
h(z) = l ím ___ = h '(Zo) F O Z - Zo z --+ Z¡¡
por lo tanto lím
< -+ Zo
Z - Zo h(z)
1 = ---
h'(z0)
Así
g(z)
hm (z - zo) -- = /
h(z)
z-+ "'
existe y, en consecuencia es igual al residuo.
g(Zo)
----=--
h '(Zo)
•
Demostración alternativa. h(zo) = 0 y h ' (Zo) F O implican que h(z) = h(z)(z - Zo)
donde h(z) es a�alítica en Zo y q� h(Zo) = h'(Zo) F O. Por lo tanto, podemos escribir g(z)lh(z) = g(z)lh(z)(z - Zo) y g(z)/h(z) es analítica en Zo· Así, existe una serie de Taylor -
'X)
g(z)/h(z) =n:E an(z - zo)n, donde a0 =O
-
=
co
-
g(z0)/h(zo). Por lo tanto g(z)/h(z)(z - z0)
=
:E
n=O
anCz - z.or- 1 es la expansión de Laurent y llo = g(Zo)/h(Zo) = g(Zo)lh' (zo) es el residuo. • En general, si g(z) tiene un O de orden k, y h tiene un O de orden l con l > k, entonces g(z)/h(z) tiene un polo de orden l - k. Para ver esto, escriba g(z) = (z - Zoi g(z) y h(z) = (z - z0) (h(z), donde g(zo) F O y h(Zo) F O. Así
----'4>'-
264
CAP. 4. CÁLCULO D E RESIDUOS
en una vecindad de Zo)· De modo que nuestra aseveración se sigue de la proposición 3.3.4. Si l = k + 1 , tenemos un polo simple y podemos obtener el residuo a partir de la siguiente proposición. Ésta generaliza el resultado precedente. Proposición 4.1.3. Suponga
O de orden k + l .
que g(z) tiene un O de orden k en z0, y que h(z) tiene un Entonces, g(z)/h(z) tiene un polo simple cuyo residuo está dado por
Por el teorema de Taylor y el hecho que g(z0) = O , . . . • g
g(z) =
(Z - Zol k!
1 g
donde g es analítica. Similarmente , h (z) =
(z - Zo )k + J (k + 1 ) !
h
2
h (z)
Así (Z - Zo) Conforme z
�
g(z) h (z)
-
=
g
h
z0• esto converge (por el teorema del cociente para límites) a
lo cual demuestra nuestra aseveración. • También pudimos haber demostrado que
usando la regla de l' Hopital (véase el ejercicio 8, sección 3.3) y observando que (z - Zo) g(z) como h(z), son analíticas en z0, con z0 un O de orden (k + 1 ).
tanto
Ejemplos
(i) eztz en z = O. En este caso, el O no es un O de eZ, pero es un O de primer orden de z, así que el residuo en O es 1 eü/1 = l . Claramente , también se aplica la proposición 4. 1 .2 . •
4 . 1 . CÁLCULO DE RESIDUOS
265
(ii) eZI sen z en O, eZ no es diferente de O en el punto z = O, y dado 0que cos O = 1 , O es u n O de primer orden de sen z . Por lo tanto, el residuo es e /cos O = l . (iii) z/(z2 + 1 ) en z = i. Aquí, g(z)= z , h(z) = z2 + l . Por l o tanto, g(i) = i � O, y h(i) = O, h ' (i) = 2i � O. Así que el residuo en i es g(í)lh' (i) = + . (iv) z/(z4 - 1 ) en z = l . Aquí g(z) = z y h(z) = z4 - l . Así g( l ) = 1 � O y h( l ) = O, h'( 1 ) = 4 � O y, por lo tanto, el residuo es f . (v) z/(1 - cos z) en z = O. Aquí g(O) = O y g ' (z) = 1 � O, por lo tanto, el O es un O simple de g. También h(O) = O, h '(O) = sen O = O y h ''(O) = cos O = 1 � O, así que el O es un cero doble de h. Por ende, de la ecuación (2) (véase también la línea 5 de la tabla 4. 1 . 1 ), el residuo en O es 2 •
g ' (O)
h" (O)
1 = 2 · - = 2 T 1
Polos dobles
Conforme el orden de los polos crece, las fórmulas resultan más complicadas y se vuelve más laborioso obtener los residuos. Sin embargo, para polos de segundo
orden, la situación es aún relativamente simple. Probablemente, la fórmula más útil para encontrar el residuo en este caso, es la ecuación (3) en el siguiente resultado.
g y h analíticas en Zo y sean g(Zo) � O, h(Zo) = O, h '(z0) = h"(z0) � O. Entonces g(z)/h(z) tiene un polo de segundo orden en z0 y el
Proposición 4.1.4. Sean
O
y
residuo es
2
g(z0)h'"(z0)
3
[h "(z0)]2
(3)
Ya que g no tiene ceros y h tiene un O de segundo orden, sabe mos que el polo es de segundo orden (véase la observación precedente a la propo sición 4. 1 .3). Así que podemos escribir la serie de Laurent en la forma Demostración.
g(z) h(z) y
nosotros queremos calcular b1 • Podemos escribir g(z) = g(zo) + g' (Zo}(z
y
h(z) =
-
Zo) +
g " (zo) 2
(z - Zo)2 + . . .
266
CAP. 4. CÁLCULO DE RESI DUOS
[
Por lo tanto, g(z) = h(z)
b 2 (z - z0)2
+
b1
---=----
Z - Zo
+
a0
+
a 1 (z - z0)
+
·
·
•
]
Podemos multiplicar estas dos series de potencias convergentes cómo si fueran polinomios (véase el ejemplo resuelto 3.2. 1 3). El resultado es g(z) =
b h " (zo) 2 2
+
[
b h " ' (z0) 2
6
+
. .
b 1 h " (z0) 2
]
(z - zo)
+
·
·
·
Ya que estas dos series de potencias son iguales, podemos concluir que los coe ficientes son iguales. Por lo tanto, y Resolviendo para b 1 se produce el resultado.• NOTA.
Para un polo de segundo orden de la forma g(z)/(z - z.o)2 , donde g(z.o) oF O, la ecuación (3) se simplifica a g '(z.o ). El siguiente resultado puede demostrarse de una forma análoga.
Proposición 4. 1 .5. Sean g y h analíticas en Zo y sean g(zo) = O, g '(z0) oF O, h(Z¡)) = O, h ' (zo) = O, h "(Zo) = O, y h "' (z0) oF O. Entonces glh tiene un polo de segundo o rden en z0 con residuo 3g " ( z0)
3
h "' Czo)
2
g '(Z¡)) h(iv)(zo) [h " '(z0)] 2
(4)
La demostración se le deja al estudiante en el ejercicio 4.
Ejemplos (i) eZ/(z - 1 )2 tiene un polo de segundo orden en Zo = 1 ; aquí, escogemos g(z) = eZ, h(z) = (z - 1 )2 y observamos que g( l) = e oF O, h(z.o) = O, h ' (Zo) = 2 (Zo - 1 ) = O, h " (Zo) = 2 oF O. Por lo tanto, por la ecuación (3), el residuo en 1 es (2 e)n -2 3
•
·
(e
•
0)/22 = e.
(ii) 2(é - 1 )/sen3 z con z0 = O. Aquí, escogemos g(z) = eZ - 1 , h(z) = sen3 z y obsérvese entonces que g(O) = O, g '(O) "# O, h(O) = O, h' (O) = 3 sen2 O cos O = O, •
4 . 1 . CÁLCULO D E R ES I D U OS
267
h "(z) = 6 sen z • cos2 z - 3 sen3 z (que es igual a cero en O) y finalmente h'" (z) = 6 cos3 z - 1 2 sen2 z • cos z - 9 sen2 z • cos z (que es 6 en z = 0). Calculamos también h(iv)(O) = O. Así, por la ecuación (4), el residuo es 3 • _1_ = _1_ . T 6
2
Polos de orden superior
Para polos de orden mayor que 2, podemos desarrollar fórmulas de la misma manera en que desarrollamos las precedentes, pero serán mucho más complicadas. En lugar de eso, se pueden usar dos métodos generales. El primero de ellos se des cribe en la siguiente proposición. Proposición 4.1.6. Suponga que f tiene una singularidad aislada en Zo y sea k el más pequeño entero � O, tal que 1ím (z - z0) kf(z) existe. Entonces f(z) tiene un polo de Z -> Zo
orden k en z0 y si hacemos
Res ( f, zo) =
4> puede
ser definida en
q,
_
1)
�
(5)
Ya que zlím (z - z0) kf(z) existe,
=
=
•
•
b¡ + a0 + a 1 (z - Zo) + ----'-(z - Zo)
·
·
•
Si b = O entonces lím (z - z0)k - 1 f(z) existe, lo cual contradice la hipótesis acerca k
z ----+ z0
de k. Así, Zo es un polo de orden k. Finalmente, considere la expansión para
268
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
donde p es analítica Suponga también que Zo es un cero de orden m para g(z) y un cero de orden m + k para h(z). Entonces g
""
g(z) = L
n=m
y
n!
h(n)(Zo)(z - Zo)n
""
h(z) = L
n=m+k
n!
Así, podemos escribir
Í _g_
n=m + k
n =m
.
[
h(n) (zo)(z - Zo)n n!
bk
---"-- + . . . +
-
(z - Zol
]
b¡ (z - Zo)
]
+ p (z)
Podemos entonces multiplicar el lado derecho de la ecuación como si los facto res fueran polinomios (debido al ejemplo resuelto 3.2. 13) y comparar los coeficientes k , (z - Zo)m + - 1 para obtener k ecuaciones de b1 , b2, de (z - Zo)m, (z - Zo)m + 1 , bk. Finalmente, podemos resolver estas ecuaciones para b 1 • Este método puede ser algunas veces más práctico que el de la proposición 4. 1 .6. Cuando m = O (esto es, cuando g(Zo) "# 0), puede usarse la fórmula explícita, contenida en la siguiente pro posición. (El estudiante debe demostrar este resultado usando el procedimiento que se acaba de describir.) •
•
• • •,
•
g y h analíticas en zO' con g(Zo) "# O y asuma que h(z0) = O l k = h( - O(z0) y h(k (Zo) "# O. Entonces, glh tiene un polo de orden k, y el residuo en zO' Res (g/h, Zo) está dado por
Proposición 4.1.7. Sean ·
·
·
h(k)(Zo)
k! (k+ 1)!
h(k + l l(Zo)
Res (glh , zo)
=
o h(kl(Zo)
k!
[ k' (k+ 2)! (k+ l)! h(kl(zo) r ·
•
h(k + 2l(Zo)
h(k + l l(Zo)
h(2k - l l(zo)
h(2k - 2l(Zo)
o
o
g(Zo)
o
o
g< l )(Zo)
k!
o
h(kl(Zo)
(2k- l)! (2k-2)! (2k- 3)!
h(2k - 3)(Zo)
2!
g(2l( Zo)
gl k - I )(Zo)
(k+ 1)! (k-
h(k + ll(Zo)
l)!
(6)
4. 1 .
CÁLCULO DE RESIDUOS
269
donde las barras verticales denotan el determinante de la matriz k X k. Contenida entre dichas barras.
Aquí hay algunos ejemplos: (i) z2/[(z - 1 )3 (z + 1 )] en Zo = l . El polo es de orden 3. Usamos la ecuación (5). En este caso,
y por lo tanto, 1
------:;,-
y I 2 así que
1
o
1 1 1
o
-� 2 o
o o
-
21
-1 1 -1 o
1 1 1
= 1
2
(La última columna es sustraída de la primera.) Tabla 4.1.1. Técnicas para encontrar residuos.
En esta tabla g y h son analíticas en Zo y f tiene una singularidad aislada. Las téc nicas más útiles y comunes se indican con un asterisco.
Función
l. ftz)
•2.
g(z)
h(z)
Criterio
lím (z - z.,) ftz) = O
g y h tienen ceros del mismo orden
Tipo de singularidad
Residuo en lo
remov1ble
o
removiblc
o
2 70 Tabla 4.1.1. (Continuación.) Función
Criterio lfm (z- zolf(z) existe
*3. /(z)
•4.
5.
•6.
•7.
8.
' �"
g(z)
y es ,. O
g(z)
g tiene uncero h tiene un cero
h(z) g(z)
h(z)
g(z) (z - z,l"
lím (z - z,)J(z)
polo simple
g(z,) .. o. h(z,) : o. h'(z,) .. o
h(z)
Residuo en lo
Tipo de singularidad
z -+ .:o
g(z,)
polo simple
de orden k. de orden
k
h'(z,)
polo simple
+ l
g(z,) .. o h(z,) : o : h'(z.,) h"(z,) .. o
polo de segundo onlen
g(z,)h"'(z,) g' (z,) -- 2 2lh":",.,-:)-]2 :o"'h" ( '1¡) - 3 -=-:-: (z,
¡¡(z,l .. o
polo de segundo orden
g'(z,)
g(z)
g "(zol
polo de segundo orden
3h -,,(z0 }
h(z)
9. J(z)
k es el entero más pequeño tal que lfm
cj>(z0) existe, donde cj>(z) : (z - z0'/
' �"
polo de orden
k
lfm
,_,
/(<)
* 10.
l l.
g(z)
g tiene un cero
h(z)
h
de orden l.
tiene un cero de orden k +
..
o, h(z.,) : . h' - '<
g(z)
g(z,)
h(z)
..
=
(k - 1 )!
8
donde (z) : (z - z,'/ h
véase la ecuación (6) en la proposición 4.1.7
polo de orden k
..
•W- "
- ll(z) }!,":, q,<> (k _ l )l
polo de orden k
1
3 g '(zo)h 1"'(z,)
[h-7: .,-:-: ,(z0-:-: )]c;'2 - 2 --::
Singularidades esenciales
En el caso de una singularidad esencial, no hay fórmulas simples como las pre cedentes, así que debemos confiar en nuestra habilidad para encontrar la expansión de Laurent. Por ejemplo, considere f(z)
=
e
=
eZ . e lfz
.
=
(
1
+ Z +
� 2!
+
.
•
·
)(
1
+
2_ z
+
Al reunir los términos que involucran a 1/z, obtenemos 1
_ _
z
(t _ +
1_
2!
+
1
_ _ _ _
2!3!
+
1
_ _ _ _
3 !4!
+ . . .
)
_2 !z2
1_
+
•
.
·
)
4. 1 . CÁLCULO DE RESI DUOS
271
(Multiplicamos como en el procedimiento del ejemplo resuelto 3.2. 13, un méto do que se justifica por un resultado más general que se bosqueja en el ejercicio 12.) El residuo es entonces Res (f, O) = 1
+
1
----v- +
1
1
+ ---,-- +
3 !4!
2131
. . .
No podemos sumar la serie explícitamente.
Ejemplos resueltos 4. 1 .8. Calcule el residuo de z2/sen2 z en z = O. Solución. Ya que tanto el numerador como el denominador tienen un cero de orden 2,
la singularidad es removible y, por lo tanto, el residuo es cero.
4. 1 .9. Encuentre los residuos en todas las singularidades de tan z =
sen z cos z
Solución. Las singularidades de tan z ocurren cuando cos z = O. Los ceros de cos z
ocurren en
z=
±
2
::!:: --
::!:: --
51t
31t
1t
-
•
2
2
'
'
•
•
•
El estudiante debe recordar que estos puntos son los únicos ceros de cos z. Concluimos
z ocurren en los puntos zn = (2n + 1 )7t12, donde n es un entero. Escogemos g(z) = sen z y h(z) = cos z. En cualquier zn' h' (zn) = ::!:: 1 # O y, por tanto, cada zn es un polo simple de tan z. Así, podemos usar la fórmula 4 de la tabla 4. 1 . 1 para obtener. que las singularidades de tan
Segunda solución. Sabemos que sen z =
(- l )n
sen
(z - 1tn) = =
y cos
(-Ú"+ (- 1 )"
+
1 cos
1
:i:
(
z - 1tn -
(-I )k ( z - zn)2k + 1 -'.J (2k + 1)! t-0 �
(- l )n + 1
cos(z - zn)
( I )k (z - zn)Zk (2k)!
(
(- 1 ) n
=
_ _ _ _
t-o
z = (- 1 )" cos (z - 1tn) = (- 1 )" sen z - 1tn -
=
�)
;)
=
(- I )n sen (z - zn)
272
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS Como antes, los polos son simples, así la serie para la tan z es de la forma tan z
=
b¡f
"'
(z - zn)+ L a k (z - zn) k, así que sen z = tan z cos z se convierte en k:O
esto es,
Necesitamos únicamente comparar los primeros términos para obtener b 1
4. 1 . 1 O. Evalúe el residuo de (z2 - 1 )/(z2 + 1 ) 2 en z
=
=
-l.
i.
Solución. (z2 + 1 ) tiene un cero de orden 2 en i , e i2 - 1 � O, por lo tanto, (z2 - 1 )l(z2 + 1 )2 tiene un polo de orden 2; así, para encontrar el residuo, usamos la fórmula 6 de la tabla
4. 1 . 1 . Escogemos g(z) h(z)
=
h"(z) h' " (l)
z2 - 1 , que sati sface g(t)
=
(z2 + 1 )2 y observamos que h'(z) = =
4(z2 + 1 )+ 8z2
=
=
=
-2 y g' (t)
=
2i. Tomamos también
4z(z2 + 1), así que h(z)
1 2z2 + 4, por lo que h" (i)
=
h'(i)
=
-8 y h'"(z)
=
=
O . También,
24z: por lo tanto,
24i. En consecuencia, el residuo es
2 3
2 . 2i -8
(-2) .
24i =
64
o
Segunda solución. Sabemos del álgebra (o de la integración en cálculo) que (z2 - 1 )/ (z2 + 1 )2 tiene una expansión en fracciones parciales de la forma Az + B =
+
(z - t)2
a ---
(z - i)
Cz + D
+
(z + i)2
+
b --
(z + i)
Al resolver para los coeficientes, da la identidad
1 l ----::-- + 2 2 (z - z)2 l
1 ----
(z + i?
El segundo término es analítico en z = i y, por lo tanto, la serie de Laurent es de la forma
1 = -
2
E l residuo es el coeficiente de (z -
1 n an(z - i) ---- + (z - ¡)2 n:O 00
L
t)-1 , el cual es O.
273
Ejercicios l. Encuentre los residuos de las siguientes funciones en los puntos indicados: a)
e) e)
e' - 1
• Zo = o
b)
' zo = O z 2 - 2z
d)
sen z z+2 e'
(z2 - 1 )2
1 e' - 1 l + e'
z4
. Z¡¡ = o
• Zo = o
• Zo = 1
2. Encuentre los residuos de las siguientes funciones en los puntos indicados:
e'2
a)
e)
(
z- l
, Zo = 1
cos z - 1 z
y
b)
. Z¡¡ = o
3. Sif(z) tiene residuo b 1 en z =
d)
¿2
(z - 1 )2 z2
z4 - 1
,
•
Zo = o
irrl Zo = e 2
Zo• muestre mediante un ejemplo que [f(z)]2 no necesaria-
. mente nene res1"duo b21 en z = Zo-
4. Deduzca la proposición 4. 1 .5 a partir de la proposición 4. 1 .4. S. Explique cuál es el error con el siguiente razonamiento. Sea
/(z) =
1 + e' z2
l +z
f(z) tiene un polo en z = O y el residuo en ese punto es el coeficiente de 1 /z, a saber, el l . Calcule correctamente e l residuo. 6. Complete la demostración de la proposición 4. 1 . 7.
7. Encuentre todos los puntos singulares de las siguientes funciones y calcule los residuos
en esos puntos:
b)
1
1
e)
8. Encuentre todos los puntos singulares de las siguientes funciones y calcule los residuos
en esos puntos:
a)
1 é- 1
9. Encuentre el residuo de l /(z2 sen z) en z = O
1 b) sen z
274
CAP.
4.
CÁLCULO DE RESIDUOS
10. Si/1 y /2 tienen residuos r1 y r2 en Zo• muestre que el residuo def1
+ f2
en Zo es r1
+
r2"
11 . S i /1 y /2 tienen polos simples en Zo• muestre que /¡/2 tiene un polo de segundo orden en Zo· Deduzca una fórmula para el residuo. 12 . Sean
f{z) = . .
.
+
bk (z - Zo)k
+
•
.
.
+
b¡
+
Z - Zo
a0 + a 1 (z - Zo) +
•
·
•
y
g(z) =
.
.
.
+
dk
(Z - Zo)
k +
.
.
.
+
d¡
+
(z - z0)
eo + e 1 (z - Zo) +
.
•
.
las expansiones de Laurent para f y g válidas para O < l z - Zol < r. Muestre que la expansión de Laurent parafg se obtiene mediante la multiplicación formal de estas series. 00
00
Haga esto demostrando el siguiente resultado: S i L an y L b son absolutamente conn n=O n=O vergentes, entonces
n donde e = L a . b .; más aún, la serie L e es absolutamente convergente. (Sugerencia: n j = O 1 n-J n=O n oo
muestre que
n
y use esto para deducir que L e converge absolutamente. Estime el error entre L ek n
k=O
n n (L ai) (L bk) y (L a .) (L bk)). k=O j=O 1 k=O j=O oo
oo
13 . Calcule los residuos de las siguientes funciones en sus singularidades: a)
e)
1
b)
( 1 - z)3
1
d)
z( l - z) 3 2
14. Encuentre los residuos de (z - 1 )/[cos (1tz)
+
( Véase el ejercicio de repaso 29 del capítulo 3.)
4.2.
ez ( 1 - z)3 ez
z(l - z) 3
1 )] en cada una de sus singularidades.
EL TEOREMA DEL RESIDUO El teorema del residuo, que se demuestra en esta sección, incluye al teorema de Cauchy y a la fórmula integral de Cauchy como casos especiales. Es uno de los prin-
4.2. TEOREMA DEL RESIDUO
275
cipales resultados del análisis complejo y nos conduce inmediatamente a interesantes aplicaciones, algunas de las cuales son consideradas en l a siguiente sección. Las principales herramientas que se necesitan para demostrar el teorema, son el teorema de Cauchy (2.2 . 1 y 2.3. 14) y el teorema de la expansión de Laurent (3.3. 1 ).
La demostración precisa del teorema del residuo es precedida por dos demos
traciones intuitivas que se basan únicamente en el material de la sección 2.2, y la si guiente propiedad del residuo en
Zo:
J1
( f, Zo) = f
21ti Res
donde y es un círculo pequeño alrededor de Zo (véase la proposición 3.3.3). Para la mayoría de los ejemplos prácticos, las demostraciones intuitivas son, en efecto, per
fectamente adecuadas pero, como fue evidente en la sección 2.2, es difícil formular un teorema general para el cual se aplique rigurosamente el argumento.
Teorema del residuo zn A, n puntos dis A una región y sean z1 , tintos de A. Sea f analítica en A\{ zl ' z2, , znl ; esto es, sea f analítica en A, excepto para singularidades aisladas en z l ' . . , zn. Sea y una cu rva cerrada en A, homotópica a un punto de A. Suponga que ningún está sobre y. Entonces Teorema del residuo 4.2.1. Sea
.
•
.
.
•
,
E
.
.
Z¡
L
f
=
�
21ri
[Res (f,
;
z ¡)]I (y, z¡)
(1)
donde Res (f, es el residuo de f e n (véase la sección precedente) e l(y, índice (o número de vueltas) de y con respecto a Z¡ (véase la sección 2.4).
z¡)
z¡
z¡) es el
En la mayoría de los ejemplos prácticos, y será una curva simple cerrada, reco
rrida en sentido contrario al de las manecillas del reloj y entonces /(g, Z¡) será 1 o O,
de acuerdo a si z¡ está dentro de y o fuera de y. (Esto se ilustra en la figura 4.2. 1 ) La
misma política en relación al cálculo del índice /(y, z) que se usó en la sección 2.4,
se seguirá en esta sección. Una demostración intuitiva es aceptable mientras que tales afirmaciones puedan justificarse con argumentos homotópicos, cuando se
pidan. Por ejemplo, /(y, z0) = + 1 si se puede demostrar que y es homotópica en
C\{Zo} a "j(t) = Zo + rei9, O ::;; 9 ::;; 21r.
Suponiendo que aceptamos el teorema de la curva de Jordan, una formulación
general del teorema del residuo para curvas cerradas simples se puede enunciar
como sigue: Si y es una cu�Ya cerrada simple en una región
A
cuyo interior está en y si f es analítica en , zn entonces es 27ti veces la suma de los residuos de f dentro de y, cuando y es recorrida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Ésta e s una manera clásica de formular el teorema del residuo, pero e s preferible nuestra afirmación original (4.2. 1 ) porque no nos
A,
A\{z1,
•
•
•
l
J/
restringe a curvas cerrada simples y no se atiene al difícil teorema de Jordan.
276
Figura 4.2.1 . Teorema del residuo:
f/
=
2ni[Res (f, z1 } + Res (f, z2) + Res (f, z3)] .
Se dan ahora dos demostraciones cortas e intuitivas del teorema del residuo para curvas cerradas simples. Serán ilustradas mediante un ejemplo que muestre que, en los casos prácticos, tales demostraciones pueden hacerse muy precisas. Primera demostración intuitiva del teorema del residuo para curvas ce
Ya que y es contraíble en A a un punto de A , el interior de y está en A. Supóngase que cada z¡ está en el interior de g. Alrededor de cada Z¡ dibuje un círculo Y; que también esté dentro de y. Aplicamos el ejemplo resuelto 2.2. 1 0 (el teorema de deformación generalizado) para obtener ya quejes analítica en y, y1 , Yn y en la región entre ellas (figura 4.2.2). Suponga que y, y1 , Yn son todas recorridas en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Como se demostró en la proposición 3.3 . 3, 21ti Res (/, z ¡) y, por tanto, :?-�i L Res (/, 1=1 l es la afirmación del teorema del residuo pues /(y, z) 1 para z dentro de y, e /(y, z) O para z fuera de y. • rradas simples.
•
•
fyf =i�l f 'f¡f,
•
Irf=
=
=
Ir!=
•
•
•
Z¡),
Figura 4.2.2. Primera demostración i ntu itiva del teorema del residuo. Segunda demostración intuitiva del teorema del residuo para curvas cerra
Esta demostración procede de la misma manera que la anterior, excepLos círculos se conectan to que se da una justificación diferente de que como se muestra en la figura 4.2.3, para obtener una nueva curva y. Así, y y y, son homotópicas en A\{z " . . . , znl y, por lo tanto, por el teorema de deformación,
das simples.
fr¡ � �)r/
Ir!=
/:yf. Pero [:yf =; �Jr¡f, ya que las porciones a lo largo de las curvas que conectan los
círculos se cancelan. •
277
Figura 4.2.3. Segunda demostración i ntu itiva del teorema del resid uo. Es importante que el estudiante entienda cl aramente porque estas demostracio nes
no resultan precisas. Primero, suponemos que
=
y es simple. Segundo, usamos el
= J.'! 1 =;�1 J"f; f.
teorema de la curva de Jot·dan (el cual no se demostró) para poder discutir el i n terior y el exterior de
de
y y el hecho que /(y, z)
1 para z dentro de
y e /(y, z)
O para z fuera
y. Finalmente, en l a primera demostración intuitiva, usamos el ejemplo resuelto
2.2.1 0, el cual se estableció sólo informalmente, para justificar que Ejemplo. Considere J dzl(z2 1 ), donde y es el c írculo con centro en O y radio 2. La función l /(z2 - 1 ) tiene polos simples en -1 , 1 (véase la figura 4.2.4). Observe que en este ejemplo podemos discutir el i nterior y el exterior de y y sabemos que -1 y 1 tienen u n índice de + 1 con respecto de y. (No se necesita e l teorema de l a curva "!
-
de Jordan en este ej emplo concreto.) Dibujamos los círculos
y1 y y2 de radios ...!_ , alrededor de -1 y 4
1 , respectivamente.
La única afirmación en las demostraciones precedentes del teorema del residuo, que no fue precisa fue
f"ft = I"ft f"f2 1 J J =f f +
La justificación exacta de que explicada en el ejemplo resuelto
"! f
"!
2.3.23.
1
f+
12
f en términos de homotopías, fue
y
Figura 4.2.4. J u stificación de que .
J/ JY =
1
f+
JY
2
f.
278
CAP.
4.
CÁLCULO DE RESIDUOS Observe que en este caso
=2
·[
Jrt
1 2(-1 )
1
+
2 . 1
]=o
Jyf = f1 f f1/ al considerar la curva de la figura 4.2.5(i) y mostrando que es hornotópica en C\j l , -1 ) , a un punto. Esto geométri También podernos justificar
1
+
es
camente claro; una hornotopía se indica en la figura 4.2.5(ii) y (iii). • y
y
y
(i)
(ii)
(iii)
Figura 4.2.5. Una curva que es homotópica a un pu nto. Demostración precisa del teorema del residuo. Ya que
z ¡ es una singularidad
aislada def, podernos escribir una expansión de la serie de Laurent.
(z - zr en alguna vecindad agujerada de Z¡ de la forma Recordemos, de la proposición 3.3 .2, que ce
lz 1 > lz - z¡l > o) para alguna > O. r
r
bm
m�l - (z - z )"' es llamada l a parte singular de la expansión de l a serie de Laurent y que ésta converge uniformemente en Por lo tanto,
C\jz J, en el exterior de cualquier círculo lz - Z¡l =
E >
O.
C\lz;f (véase la proposición 3 . 1 .8). Denote a la parte singular de la ex pansión de Laurent de/ alrededor de z;, por S¡ (z). es analítica en
4.2.
TEOREMA DEL RES I DUO
2 79
Considere la función n
g (z) = f(z) - :L S; (z) i= 1
A\{z1 zJ y puesto que S ¡(z) es analítica en C\{z ¡}, g e s , analítica e n A\[zl ' . . . zJ Todas las z i son singularidades removibles de f porque, en una vecindad aguje rada {z 1 r > lz - z ;1 > 0), la cual no contiene ninguna de las singularidades, tenemos •
Ya que f es analítica en
•
.
•
,
f(z) = L an(z - z 1 )n + S ¡(z) 00
n=O
y, por lo tanto,
g(z)
=
oo
i-1
n
L an (z - Z ¡)n - L sj (z) - L Sj (z) j= l
n=O
S}.,j # i, son analíticas en C\{z1.}, sabemos que lím g(z) existe ��� y es igual a a0 - l:S .(z ) Consecuentemente, z . es una singularidad removible de g. } Puesto que las funciones n
j= 1
j .. i
.
l
.
1
g puede definirse en los puntos Z ; de tal forma que g sea analítica en todo A, podemos aplicar el teorema de Cauchy (2.3. 14), para obtener que J.Y g = O. Así Debido a que
f J = i f S¡ i= 1
y
Enseguida considérese la integral
y
J'Y si" La función S¡(z) es de la forma
00
m=l la cual, como hemos observado, convergente uniformemente fuera de un disco peque
Z¡· Por lo tanto, la convergencia es uniforme en y. (Ya que C\{y ( [a, bD} conjunto abierto. cada Z; tiene un pequeño disco alrededor de ella, que no
ño centrado en es un
corta a
y.) Por la proposición 3 . 1 .9.
I S. y
Pero, para m
>
1 yz #
l
=
iJ
m= 1
y
Z;,
1
d
b m!....- dz ___, (z - z¡)m
[ (z - Z¡) 1 - m ] l -m
280
CAP. 4. CÁLCULO DE RESI DUOS
y, por lo tanto, por la proposición 2. 1 . 7 y el hecho de que y es una curva cerrada, todos los términos son cero, excepto el término para el cual m = l . Así
f f h¡ y
S¡ =
y
Z - Z¡
dz = b 1
f
y
1 --- dz
Z - Z¡
Por la definición 2.4. 1 para el índice, esto es igual a b 1 (f, Z¡)] /(y, z¡). Por lo tanto,
•
21ti /(y, Z¡) = 21ti[Res •
y el teorema está demostrado. •
SUPLEMENTO A LA SECCIÓN 4.2: RESIDUOS Y COMPORTAMIENTO EN INFINITO
Si una función f es analítica para toda z suficientemente grande (esto es, fuera de algún círculo grande), entonces es analítica en una vecindad agujerada de en el sentido de la esfera de Riemann y el punto al infinito, como se definió en la sec ción 1 .4. Podemos pensar al como una singularidad aislada def, quizá removible. Sea F(z) = f( l lz ). Si z = O, hacemos llz = . (Equivalentemente, 1/z ---7 conforme en términos del z ---7 0). Así que tiene sentido discutir el comportamiento de f en comportamiento de F en O. oo,
oo
oo
oo
oo,
Definición 4.2.2
(i) Decimos que f tiene un polo de orden k en si F tiene un polo de orden k en O. (ii) Decimos que f tiene un cero de orden k en , si F tiene un O de orden k en O. (iii) Definimos Res(f, ) = -Res(( llz2) F(z), 0). oo,
oo
oo
Observe, en particular, que un polinomio de grado k tiene un polo de orden k en Esto coincide con lo que vimos en la demostración del teorema fundamental del álgebra en la sección 2.4. Conforme z ---7 un polinomio de grado k se comporta de modo similar a z k. Véase también el ejemplo resuelto 4.2.8. La definición de residuo en puede parecer un poco extraña, pero es ideada para hacer que funcionen correctamente las dos siguientes proposiciones.
oo .
oo,
oo
> tal que f (!S analítica en (z E e Ro· r es el círculo de radio R centrado en O, y r es recorrida una vez en sentido contrario al de las manecillas del reloj, entonces rf = -21ti Res (f, oo ) .
Proposición 4.2.3. Suponga que existe una Ro
tal que lzl
>
R0}. Si R
>:
o
J
Demostración. Sea r = 1 /R, y sea y el círculo de radio r centrado en O y recorri do en sentido contrario al de las manecillas del reloj . Si z está dentro de y, entonces
S U P L EMENTO A LA SECCIÓN 4.2.
281
llz está fuera de r, así que la función g(z) =f( 1/z)/z 2 es analítica en todo el interior de y, excepto en O. Así
f [f( llz)lz2]dz = j21t0 f(r-1 e -ir)r-2 e -2i1reir dt = m1t f(Re -i')Rrit dt = f� f(ReiS)Reis ds = f�1t f(Reis)Reis ds 21t =f f
21ti Res (g, O) =
.
1
r
La penúltima igualdad se sigue de la 21t perioditicidad de �-• La elección del signo menos se sigue del hecho de que, conforme avanzamos a lo largo de una curva cerrada simple en e en sentido contrario al de las manecillas del reloj , la región que normalmente pensamos como el interior, está a la izquierda. (Mire cualquiera de las figuras de esta sección.) El punto al infinito, está a la iz quierda si avanzamos en la dirección opuesta a lo largo de la curva. De aquí el signo menos. Para las curvas de la última demostración, si z avanza en la dirección contra ria al sentido de las manecillas del reloj a lo largo de r, entonces 1/z avanza en la di rección de las manecillas del reloj a lo largo de y. Ya que f es analítica fuera de r, excepto, posiblemente, en la proposición 4.2.3 puede ser interpretada diciendo que ( l /2xi)fr f es el residuo negativo deffuera de r. En general esto es correcto. oo,
oo,
Proposición 4.2.4. Sea y una curva cerrada en e recorrida una vez en sentido
contrario al de las manecillas del reloj. Sea f analítica a lo largo de y y suponga que f tiene únicamente un número finito de singularidadesfuera de y. Entonces
L
f
= -
27ti L {residuos de f fuera de y, incluyendo al oo)
Aplique el teorema del residuo a la curva compuesta, tal como la de la figura 4.2.6. Escójase r un círculo lo suficientemente grande para que contenga a y y a todas las singularidades finitas de f en su interior. Se le pide al lector que proporcione los detalles restantes de una demostración informal, en el ejercicio 14 • Demostración.
.
Figura 4.2.6. Curva u sada en la demostración del teorema del residuo para el exterior de una curva . .
282
Ejercicios resueltos 4.2.5.
Sea y el círculo de radio ...!... 2
, parametrizado por y(t) = ei1f2, O :s; t :s; 21t. Evalúe.
Solución. Las singularidades ocurren en los puntos para los cuales el denominador se
anula. Estos puntos son
Z¡
=
-1 + � 1 - 4 = 2
-1 + ,ij¡ 2
-1 - � l - 4
-1 - .[3¡
y
z2 =
2
2
1 , así que tanto
z1 como z2 están fuera del círculo de ra dio T· Ahora, y es homótopica a O en C\lz,J y 1 /(z - z1) es analítica en C\{z1l y, por ende, del teorema de Cauc hy , /(y, z1) = O. Similarmente, /(y, z2) O Por lo tanto, del teorema del Es fácil verificar que
lz1 1 = 1�1 =
=
=
residuo,
.
Alternativamente, podríamos notar que y es homotópica a O en C\lz1, z2l (figura y l/(z 2 + z + 1 ) es analítica en C\{zl ' z2J; entonces, por el teorema de Cauchy,
f : Y
•
d z2 + + 1 y
Z¡
Figura 4.2.7.
=
-1 + jj¡
dz Y z2 + z + l
f
2
= O.
=
O
4.2. 7)
SU PLEMENTO A L A SECCIÓN 4.2.
4.2.6.
283
Evalúe
I
dz . --4,...y z + l
donde
y consiste de la porción del eje -2, centrado en O.
superior desde 2 a
desde -2 a +2 y el semicirculo en el semiplano
Solución. Los puntos si ngulares del i ntegrando ocurren en las cuatro raíces de 1t l e i 4 , e
Es intuitivamente claro que
/(y,
e1til4)
=
1 , /(y,
e31tif4
)
=
1,
-1:
mientras que los otros dos
y es homotópica recorrido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Para ver esto, reparametrice y de tal manera que esté definida en el intervalo [0, 27t). Una homotopía adecuada es entonces H(s, t) = ( 1 - t)y(s) + tY (s). Esta homotopía se ilustra en la figura 4.2.9. Sabemos que /(!V, e1til4 ) = 1 , por el ejemplo resuelto 2. 1 . 1 2; y que /(!V, e1til4) = /(y, e1til4), por el teorema de deformación. Así, /(y, e1tif4) = 1 y similarmente /(y, e31tif4) = l . Más aun, y puede contraerse al origen a lo largo del radio del semicírculo, y, por lo tanto, por el teorema de Cauchy, /(y, e51ti/4) = O e /(y, e 7Jti14 ) = O.
índices son O. Esto puede justificarse más cuidadosamente corno sigue: a un círculo '? alrededor de e1tif4 ,
y
Figura 4.2.8. La curva
y en el ej emplo 4 . 2 .6.
Para calcular
Res
(
l z4 + 1
, ) e Jti/4
284
CAP.
4.
CÁLCULO DE RESIDUOS
observe que erci/4 es un polo simple de la función l l(z4 + 1), así que podemos usar la fórmula 4 de la tabla 4. 1 . 1 para obtener e7Cil4 4 y
Figura 4.2.9.
Homotopía entre y y y.
Similarmente, Res
(
z4
Por lo tanto,
Jl
dz 4 z + 1
-
+
1
31ti/4 ,e
-21ti 4
)
=
4( e3rcit4) 3
( e -!ti/4 - erti/4)
=
1t
=
e - rci/4 4
1t sen -
4
=
n/2 2
Observación. Realmente no tenemos que usar un método tan detallado para calcular los índices (número de vueltas). Simplemente usamos nuestra i ntuición para estimar el número de veces que la curva en cuestión gira alrededor de tal punto dado, en la direc ción contraria al sentido de las manecillas del reloj. Pero debemos tener presente que la justificación para esta intuición, consiste de un argumento como el precedente. 4.2. 7. Evalúe
J
1
)
+Z
----___ dz � - c·os z
donde y es el círculo de radio 7 alrededor del O. Solución. Las singularidades de ( 1 + z)/( 1 - cos z) ocurren cuando 1 - cos z = O. Pero ( eiz + e- iz)/2 = 1 implica que (eiz)2 - 2(eiz) + 1 = O, esto es, que (ei' - 1 )2 = O, y, por lo i . , tanto, e z = l . En consecuencia, las singularidades ocurren en z = 2 1t n para n = -2, - 1 , O, 1 , 2, 3 , . . . Las únicas singularidades de (1 + z)/( 1 - cos z) que están dentro del círculo de radio 7 , son z1 = O , z = 27t y z3 = -27t (véase la figura 4.2. 1 0). 2 También, d(l - cos z)ldz = sen z, la cual es cero en O, -27t, +27t; y d 2 (1 - cos z) ldz2 =
..
285 y
Figura 4.2.1 O. la curva )' contiene tres s i n g u l a ridades.
cos z, la cual es distinta de O en O, -2n y 2n, así que las singularidades son polos de orden 2. El residuo en uno de estos polos z0 es, por la fórmula 6 de la tabla 4. 1 . 1 ,
g ' (Zo) 2 ----=- h"(zo)
2 g(Zo)h"' (Zo) [h" (Zo)] 2 3
En este caso g(z) = 1 + z. así que g'(z) = 1 ; y h(z) = 1 -cos z. así que h'(z) = sen z. = cos z y h'"(z) = -sen z. Así, h'"(z) = O para z = Zp z2 , z 3 , y por ende la fórmula para el residuo se convierte en 2g'(z.¡_1)/h"(Zo). Por lo tanto,
h"(z)
Res (f, z 1 ) =
2 cos o
=
2
Res (f,
z2)
=
2 cos (21t)
=
2
Res (f,
z3) =
2
cos (-21t)
=2
Así, por el teorema del residuo,
1
+
z
1 - cos z
dz
= 2ni[Res (f, z 1 ) + Res (f,
z2)
+ Res (f,
z3 )] = 1 2ni
Note que hemos usado i m plícitamente el hecho que /()', z) = O para z fuera de y, e 1 (y, z) = 1 para z dentro de y. Cualquier estudiante que no crea en su intuición, debe dar una demostración cuidadosa de este hecho.
4.2.8. Muestre que si p(z) es un polinomio de grado al menos 2, entonces la suma de los re siduos de 1/p(z) en todos los ceros de p, debe ser O. Primera solución.
"
Suponga que el grado de p es n y que p(z) = l::
a zk con an � O , n ;;;:: 2. k=O k
Sabemos que p puede tener a lo más n diferentes ceros, así que s i y e s u n círculo de radio R suficientemente grande, centrado en O, éste encierra a todas las singularidades finitas de 1 /p(z). Así,
286
L
�
p z)
dz
(
21ti L residuo de
=
�)
y esto se satisface para toda R suficientemente grande. Pero para R grande, +
así que
lp(z)l
=
1 ± zn
k=O
akz k - n
1 R
+
+
.
•
•
+
:�
1)
la _ 1 � Rn _n 2 y , por lo tanto, 1 J [ l /p(z)] dzl :s; 21tRI(Rn lan 112)
Y
1 Haciendo R debe ser O.
�
oo,
L
(
residuos de
..!...). l p
=
:s;
41t/Rn - I lal Así
�
R n - lan l
obtenemos: ll: ( residuos de l /p)l :s; O. En consecuencia, la suma
Segunda solución (para aquellos que han estudiado el suplemento sobre residuos al infinito). Con y como antes, no hay singularidades finitas de 1 /p fuera de y y , por tan to, fy ( 1 /p) = -21ti Res ( llp, oo) 21ti Res( ( l lp ( l /z)) ( llz2), 0). Pero,
1
1
¿=
p( l lz)
Y a que n � 2, la singularidad en z O es removible, así que el residuo es O y, por lo tanto, = la integral es O. Pero la integral es igual a la suma de los residuos de l lp en los ceros de p.
Ejercicio 1. Evalúe
f
1
dz
(z + 1 )3
S U P L EMENTO A LA SECCIÓN 4 . 2 .
a) y es
donde
1
+
i, i.
el círcu lo de radio 2, centro en O y b)
y es
287
e l cuadrado con vértices O, 1,
2. Deduzca la fórmula integral de Cauchy a partir del teorema del residuo. 3. Evalúe
y es el círculo unitario.
donde
4. Evalúe
I
Y
�
1
--ez
5.
donde y es el círculo de radio 9 y centro en O. Evalúe
6.
donde y es el círculo de radio Muestre que
8 centrado en O.
I
y
donde
dz
5z - 2 z (z - 1)
dz = 101ti 1 y centro en O.
y es cualquier círculo de radio mayor que
7. Evalúe
dz donde a) y es el cuadrado con vértices -1 i, a cos t + ib sen t, donde a, b > O, O :5 t :5 21t. -
1 - i, - 1 + i y 1
+
i, y b)
y es
la elipse y(t) =
8. Sea f analítica en C excepto para los polos e n 1 y - l . Asuma que Res (/, 1) = -Res ({. - 1) . Sea A = lz 1 z é [ - 1 , 1]j . Muestre que existe una función analítica h en A , tal que h ' (z ) = /(z).
9. Evalúe las siguientes integrales:
a) 10.
I
lzl =
;
dz z( 1 - z)3
b)
( J
lzl
=
eZ dz -=-_ _ __ __ _!___ _z( l z )3 2
Evalúe las siguientes integrales:
a)
J
e)
( J
lzl - _!___ - 2
lz
-
11
dz ( 1 - Z)3
d
=
z "' -=--� _!__( 1 z) 3 2
b)
d)
L+ll=_!___ 2
L- 1 =�
dz ( 1 - z)3 ez
( 1 - z)3
dz
288
CAP. 4. CÁlCUlO DE RESIDUOS 1 1. Seaf: A � B analítica, uno a uno, y sobre, y seaf'(z) .P O para z
e
A. Sea y una curva en A
y sea y = fo y. También sea y continua en Y. Muestre que.
¿Qué resulta en el caso en quef(z) = l fz? 12. Muestre que si lím [-zf(z)] existe, éste es igual al residuo dejen Z -> "'
oo.
13. a) Encuentre el residuo de (z - 1 )3/(z + 2)3 en z = oo
b) Muestre dos métodos para evaluar
Ir
(z - 1 )3 z(z
+
2)3
dz
donde y es el círculo con centro en O y radio 3. 14. Muestre informalmente que si y es una curva cerrada simple, recorrida en contra del sentido de la manecillas del reloj , entonces
Ir
f = -21ti L {residuos de /fuera de y incluyendo ooJ
15. Escoja una rama de
�z2 - 1 que sea analítica en C excepto en el segmento [ - 1 , 1 ] sobre
el eje real. Evalúe.
donde y es el círculo de radio 2 centrado en O.
4.3. EVALUACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS En esta sección se desarrollan métodos sistemáticos para usar el teorema del resi
duo en la evaluación de ciertos tipos de integrales. Estas técnicas se resumen en la tabla
4.3. 1 . También
se
dan algunos ejemplos y artificios especiales para evaluar integrales
que involucran funciones "multivaluadas", tales como la raíz cuadrada o el logaritmo. Es valioso para el lector en entender las técnicas y estimaciones que se usan para esta blecer las fórmulas, ya que estas mismas ideas pueden usarse a menudo, cuando las fór
mulas obtenidas aquí no se aplican directamente. Los ejemplos resueltos relacionados
directamente con las fórmulas obtenidas se agrupan en el texto con los teoremas. Al final de la sección, aparecen diversos ejemplos resueltos acerca de importantes casos es
peciales, que ilustran cómo pueden modificarse los métodos para manejar problemas que no son estándar.
Integrales del tipo
t., f(x) dx
Este tipo de integrales impropias es a menudo más fáci l de evaluar por medio
del análisis complejo, aun cuando la función involucrada sea de valores reales para
4.3.
EVALUACIÓN D E INTEGRALES DEFINIDAS
289
toda x. Es importante recordar que hay siempre dos preguntas involucradas cuando estu diamos tales integrales: ¿La integral converge? Si lo hace. ¿a qué converge? Algunas veces estas dos preguntas deben tratarse por separado. Nuestras dos primeras proposi ciones dan condiciones que garantizan la convergencia; y dan fórmulas para los valores. Proposición 4.3.1
(i) Suponga que f es analítica en un conjunto abierto que contiene al semiplano superior = 1 Im, excepto por un número finito de singularidades
H jz
z ;;::: o)
aisladas, ninguna de las cuales está en el eje real y que existen constantes M y p > 1 y un número R tales que lf(z)l :::; M/lziP siempre que z e H y lzl ;;::: R. Entonces
¡_:
f(x) dx
(ii) Si las condiciones de inferior L Im
= (z 1
J-�
= 21ti L ( residuo de f en H}
(i) se satisfacen, con
z :::; o). entonces.
f(x) dx
H remplazado por el semiplano
= -21ti L, (residuo de f en L}
(iii) Ambas fórmulas se satisfacen sí f = PIQ, donde P y Q son polinomios. el grado de Q es mayor que el de P en al menos 2, y Q no tiene ceros reales. Demostración. (i) Sea r > R y considere l a curva Yr mostrada en la figura 4.3. l (i). Escoja r lo suficientemente grande tal que todo los polos de j en el semi plano superior, estén en Yr· Por el teorema del residuo,
I
'Y,.
f
= 21ti L (residuos de f en el semi plano superior}
La i ntegral sobre Y,. se rompe en una porción recta y en una curva. como sigue:
Jy/ = J �r
f(x) dx +
r
f(rei6)iré9 de y
y -r
-¡
r
r
(i) Figura 4.3.1 . La curva y,.
(ii )
290
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS Suponga que podemos demostrar que conforme r �
oo,
el último término se
aproxima a cero. Entonces, tendríamos
J ím r � oe>
f
r -r
f(x) dx = 21t i
L \residuos de f en el semi plano
!
superior
Del cálculo, sabemos que f(x) es integrable como una función de x e R (por
que fes continua en R y por la condición lf(z)l � M llxiP para lxl
� R); por lo tanto,
Así, sólo resta demostrar que
Pero
lflt o
1
M
f(re'·e )rie '·e de � 1t
lo cual se aproxima a cero conforme r �
•
oo,
-rP
•
1tM r = ---:-rP - 1
ya que p > l . Esto establece la parte (i).
La parte (ii) se sigue de una manera similar usando la curva mostrada en la figura
4.3 . 1 (ii). El signo menos ocurre debido a que la curva es recorrida en la dirección contraria al sentido de las manecillas del reloj .
Finalmente, si f = PIQ, vamos a establecer que lf(z)l � M/lzl2 para lzl grande y
completar así la demostración. Si P es de grado n y Q es de grado n + p, p
� 2,
sabemos que existe una M 1 > 0 tal que IP(z)l � M1 lzln para lzl � 1 y existe una M2 > O tal que I Q(z)l � M2lzl n + P si lzl � R para alguna R > 1 (véase la demostración del
teorema fundamental del álgebra
para lzl
(3.4.9)). Así
� R, ya que p � 2. Por lo tanto, podemos hacer M = M ¡1M2 en este caso.•
Ejemplo 4.3.2. Evalúe
�
J
�
dx __ x4 + 1
Solución. Aquí P(x) = 1 y Q (x) = x4 + 1 , así que las condiciones de la proposi ción 4.3. 1 son satisfechas. Los polos de PIQ están localizados en las cuatro raíces de - 1 , a saber, exi/4, e3xil4, e5xil4, e1xil4• Estos polos son simples y únicamente los
4.3. EVALUACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS
291
dos primeros están en el semiplano superior. El residuo en cualquiera de estos puntos z0 es 1 /4zó = -zJ4 (véase la tabla 4. 1 . 1 . fórmula 4) y. por lo tanto.
�(
=-
1 +i
-12
)o
+
i) = -
+ � ·
i
= - --2 .[2
Así que la respuesta es (21t i) (- i)/2 [2= 1t/,f2. Algunas simples verificaciones, tal como el determinar que la respuesta debe ser real y positiva (porque 1/(x4 + 1 ) � O está en R). pueden a menudo detectar errores de cálculo básicos. Nuestra integral dx
x4 + 1
pudo haber sido evaluada usando el método de fracciones parciales. Sin embargo, posteriormente. en esta sección, vamos a encontrar integrales que pueden evaluarse usando residuos pero para las cuales el método de fracciones par ciales (y, para el caso. todas las técnicas elementales de integración) falla. T La proposición
4.3 . 1 no se aplica en algunos casos importantes. Una fuente obvia
de dificultad. es la posibilidad de singularidades en el eje real. Vamos a ver breve mente. en la subsección sobre el valor principal de Cauchy, como está situación puede ser a menudo salvada. Una fuente sutil más de problemas, es que una fun ción que se comporta muy bien en el eje real podrá no tener el desarrollo requerido por la proposición en cualesquiera de los dos semiplanos. Un importante ejemplo de esto es lafunción normal de probabilidad f(x) =
-1
,¡ 21t
2 e-x 12
El problema con esta función es que e-z 2 no tiene el comportamiento correcto en el límite conforme z se va a infinito. En ambas direcciones a lo largo del eje real se va a O más rápido que el recíproco de cualquier polinomio. Sin embargo, a lo largo de la línea de 45°. donde arg z = + 7t/4 o + 31t/4. su valor absoluto es cons tante e igual a 1 y en ambas direcciones a lo largo del eje imaginario. crece más rá pido que cualquier polinomio. No obstante, podemos evaluar la integral. Proposición 4.3.3 (integral gaussiana) f1t =
J:
e-x 2 dx
292
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
Esta fórmula es importante en probabilidad y en estadística, y en otras áreas de la matemática y aplicaciones. Nos la encontraremos otra vez en el capítulo 7, donde veremos un método para evaluarla usando la función gama. Quizá el método más di recto, utiliza una doble integral; véase el ejercicio 2 1 , capítulo 9 de J. Marsden, Ele mentary Classical Analysis, Nueva York, W. H. Freeman and Co., 1974. Veremos un método para evaluarla indirectamente por medio de residuos, en los ejemplos resueltos al final de esta sección, después de relacionarla con otras dos interesan tes integrales. (Este método y algunos otros, junto con comentarios históricos, están reunidos en D. Mitrinovic y J. Keekié, The Cauchy Method of Residues (Dordrecht, The Netherlands: D. Reidel Publ. Co., 1984, pp. 158- 1 64.)
Transformadas de Fourier Enseguida consideramos una técnica para evaluar integrales de la forma
cos (rox) dx y
f"'
f (x)
J: f(x) sen (rox) dx, las cuales son llamadas las transformada;;eno y
coseno de Fourier de f. Si f es un función definida en el eje real para la cual las inte grales tienen sentido, las dos integrales precedentes están relacionadas a la expresión F(ro)
=
f�
f(x)e -irox dx
_
la cual define una nueva función llamada la transformada de Fourier de f. Es de gran importancia en ecuaciones diferenciales (debido al resultado del ejercicio 24, entre otras razones), física teórica, mecánica cuántica y en muchas otras áreas de la matemática y la ciencia, y hay una amplia bibliografía concerniente a esto. (Exis ten posibles variaciones en su definición. La integral puede ser multiplicada por una constante o puede aparecer en el exponente -21tirox en vez de sólo -irox.) Si ro y f(x) son reales y las transformadas seno y coseno de Fourier son las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier:
J� J�
f(x) cos (rox) dx = Re F(ro)
f(x) sen (rox) dx = -Im F(ro)
Si ro es real y f satisface algunas condiciones moderadas, éstas pueden evaluar se usando la siguiente proposición.
Proposición 4.3.4. En la situación (i) o en la situación (ii) que siguen, la integral
J:e iroxf(x) dx existe en el sentido de que
lím
c � oo
Joc eirox f(x)dx y lím J0 c � oc
-e
eirox f(x) dx
existen, y están dados por la fórmula correspondiente. Si f(x) es real para x real, entonces
J:
cos(rox) f(x) dx y
ginaria, respectivamente.
J: sen(rox) f(x)dx son iguales a su parte real
e ima
(i)
ro >
4.3.
O.
EVA LUACIÓN DE I NTEGRALES DEFI NIDAS
Suponga que f es analítica en un conjunto abierto que contiene al semiplano superior = z 1 Imz :2: o¡, excepto por un número finito de singu laridades aisladas, ninguna de las cuales está en el eje real. Suponga (Esto es, suponga que para también que lf (z)l � O conforme z � oo en cada E > O existe una R tal que lf(z)l < E siempre que lzl :2: R y z E Entonces
H j
H.
f -�
(ii)
2 93
e iwx f(x)dx
=
21ti
L ! residuo d e e 'WZf(z) e n
ro < 0: Si se satísfacen las condiciones de ( i ) con miplano inferior L = j z 1 Im z :5; of, entonces
f�
e i wx f(x)dx
=
-21ti
H.)
H}
H reemplazada por el se
L ] residuo d e e íoozf(z)
en
Lj
(iii) Tanto (i) como ( i i ) son válidas si f
= PIQ, donde P y Q son polinomios, el grado de Q es mayor que el de P y Q no tiene ceros en el eje real.
Como con l a proposición 4.3. 1 , veremos en la sección sobre el valor principal de Cauchy, cómo algunas veces la integral puede ser manejada cuando existen polos en el eje reaL Note que las condiciones sobref son mucho más fuertes que en la pro posición 4.3 . 1 . El factor adicional de é(J)x es esencial para esto, y de hecho, en la proposición 4.3. 1 , no es cierto con p
y1
>
>
1.
0:
Sea y la curva mostrada en la figura 4.3.2, donde O y x l ' x2, y 1 son escogidas lo suficientemente grandes para que y
Demostración. Para
xl ' x2
ro >
=
contenga todos los polos de f en e l semi plano superior. Por el teorema del residuo,
J"Y e iwz f(z) dz
=
21ti I: [residuos de f(z) eiú)z en el semiplano superior] . y
..
--------�--�--_.-.- x Figura 4.3.2. la curva y usada para la demostración de la p ro po sició n 4 . 3.4.
Estimemos ahora los valores absolutos de las tres integrales /1
=
f"' n
e iw (x2 + yi) f(x2 +
yi ) i
dy
294
J
/3 = o y
1
eíro (-x, + yl) f(-X¡
+ iy)i dy
como sigue. Sea E > O y escójase R como en (i). Sea M1 = máx [ lf(x2 + iy)l tal que O :S; y :S; y1 ) M2 = máx [ lf(x + iy1)1 tal que -x1 :S; x :::;; x2} M3 = máx [ lf(-x1 + iy)l tal que O :S; y :S; y1) Si y1 > x1 > R y y 1 > x2 > R , entonces M1 < e, M2 < e y M3 < e. Entonces M1
e-roy dy = -(1)
(1
-
M1
e -roy,) :::;; -(1)
Similarmente 1/31 :::;; M/00. Finalmente,
< e.
Ya que ro> O, podemos hacer a y1 1o suficientemente grande para que e-roY, (x1 + Xz) que
Puesto
tenemos
J::. eíroxf(x)
y
dx - 21ti .L [residuos def(z)é1>z en el
semiplano superior) = - (/1 + /2 + /3)
por lo tanto,
IL: e iroxf(x)
�siduos de f(z)eiroz en el semiplano superior} !
dx - 21ti .L [r
puesto que E es arbitraria, eiroxf(x) dx
4.3.
EVALUACIÓN DE I NTEGRALES DEFI NIDAS
·. .
295
existe y tiene el valor requerido. Al estudiante se le deja el ejercicio de demostrar, como u n hecho del cálculo, que la existencia de este doble límite es lo mismo que la existencia de
y
lím
.XI -+ ce
Jo
-XI
e iorc
f(x) dx
Así, hemos demostrado la existencia (en el sentido condicional) de
J� y que
J: eiroxf(x) dx
=
e irox f(x)
21ti l: {residuos de f(z)e i(l);O en
La parte (iii), ara f(z) = >
1 + grado P(x), se sigue como en la demostración de la proposición 4.3. 1 : lzl 2! 1 existe una M1 > O tal que IP(z) l M1 1zln donde n = grado P(x), y existe una 1 y una M2 > O tales que, para lzl 2! R tenemos que IQ(z)l 2! M2 lzln + 1 • Por lo tanto,
Q(x) >
}
el semiplano superior .
P(x)IQ(x), donde P y Q son polinomios con grado
<
Para
R
dx
para
lzl 2! R; y las partes (i) y (iii) son satisfechas.
La demostración de la parte (ii) (el caso donde
ro <
O) es
similar a la demostra
ción precedente, excepto que la curva apropiada es un rectángulo en el semiplano
inferior. •
Observe que
[",
cos
roxf(x)
}
plano superior . (Esta fórmula
es
dx no es
21ti l: { residuos de
(cos roz) f(z) en el semi
en realidad falsa.) Las hipótesis de las proposiciones
4.3 . 1 y 4.3.4 simplemente no se aplican, una lf(z)l
2 � M/lzl •
Existe otro método para demostrar esta proposición, el cual el estudiante inte
lema de Jordan : Si f(z) � O conforme lzl --) =, uniformemente en el arg z. O � arg z � 1t, y si .f(z) es analítica cuando lzl > e, e
resado puede desarrollar. Está basado en el una constante,
O � arg z �
1t,
entonces
pe'-a ,
J'Y e p
iml.f(z)
dz --) O conforme p
--) =, donde
'Yp(e)
=
O � e � 1t. (Consúltese E. T. Whittaker y G.N. Watson, A Course of Modem Analysis, Nueva York; Cambridge University Press, 1927, p. 1 15.
Ejemplo 4.3.5. Muestre que para b > O
J
c os x --::,...__� dx x2 + b2 o ""
·. '
_/
296
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
Solución. Ya que (cos x)l(x 2 +
foo
b 2) es una función par, tenemos dx
COS X
o
x2 + b2
f"'
_!. 2
=
-00
COS X
x2 +
dx
b2
Debemos encontrar los residuos de eízt(z 2 + b 2) en el semiplano superior. El úni co polo en el semiplano superior está en b¡ y el polo es simple, por lo tanto
(Tabla 4. 1 . 1 , fórmula 4, página 270), y en consecuencia
f
�
os
"' -"' x +
[
x
dx = Re 21ti
b2
( � )] : e b
1t -b
=
2cb
Integrales trigonométricas Proposición 4.3.6. Sea R(x, y) una función racional de x, y cuyo denominador no
2lt
se anula en el círculo unitario. Entonces
J
o
R(cos e, sen e) de = 21ti L [residuos de f(z) dentro del círculo unitario]
donde R f(z)
=
( ( ) _!_ 2
z
+
_!_ z
.
'
l
_
2i
IZ
(
z
_
_!_ z
))
Demostración. Si z = x + iy está en el círculo unitario, entonces
2
x = ..!._ (z + z)= __!_
2
( ..!.).. z+
z
y
Y
• =.
2l
( ) z - 1... z
Ya que R no tiene polos en el círculo unitario, tampoco los tiene f, así que si y es el círculo unitario, tenemos, por el teorema del residuo,
2x
Por lo tanto,
J
0
JY
f = 21ti L (residuos de f dentro de y)
R(cos e, sen e) de =
2" ( J
lo cual demuestra el teorema. •
0
R
e i9 + e - i9
----2
4.3.
EVALUACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS
f�"
Si usted olvida la fórmula para J. siempre puede empezar con R (cos e, sen e) de y seguir el método de la demostración precedente (esto es, escribir cos e = (ei9 + e-i9)/2, y así sucesivamente). La fórmula parafresultará entonces evidente.
Ejemplo 4.3.7. Evalúe 1=
f21t o
de ---:--.,-----:---::- a
1 + a2 -2a cos e
>
O, a =F
1
Solución. Por la proposición 4.3 .6, dz
- J'Y · [ 1
[-
=
I
(
�
1
)]
2a 1 + a 2 - -- z + z 2
lZ
i [-az2 + ( 1 + a 2)z - a ]
=
J
i� 1
(z - a ) (az - 1 )
Los polos del integrando están en z = a y z = lla. Primero, suponga que a < 1 ; el polo dentro del círculo está entonces en z = a. El residuo es l
Si suponemos que a
>
1 , el integrando tiene un polo en z = l la y el residuo es
------ ---i
a( lla - a)
Así
21t 1=
21t
=
l
l - a2
si a < 1 si a > 1
Las tres últimas proposiciones dan cuenta de algunas de las clases más comu nes de integrales. Ahora vamos a integrales más especializadas. La primera involu cra la función multivaluada z � za.
Integrales del tipo
f; xa -
1
f(x) dx: Transformadas de Mellin
4.3.8. Sea f analítica en C, excepto para un número finito de singula ridades aisladas, ninguna de las cuales está en el eje real estrictamente positivo Sea a > + iy l y = O y x (esto es, todas están en el complemento del conjunto
Proposición
{x
> o)).
298
4. CÁLCULO DE RESIDUOS
CAP.
O con la restricción de que a no es un entero, y suponga que (i) existen constantes M 1 , R 1 > O y b > a tales que, para lzl � Rl ' lf(z)l 5 M¡llzlb; y (ii) existen constantes M2 , � y d, con �. R2 > O y O < d < a, tales que, para O < lzl 5 �. lf(z)l 5 Mflzld. Entonces la integral convergente), y
oo
J
xa - 1 f(x) dx = -
O
J:
xa - l f(x) dx existe (en el sentido de ser absolutamente
1te -ruú sen (a1t)
1 L. \residuos de za- f(z) en las singularidades de f, excluyendo el residuo en O)
Aquí za - I = e
La demostración de este resultado es típico del enfoque que se tomó cuando se trató con puntos rama. Demostración. La existencia, en e l sentido de integrabilidad absoluta, de xa - 1j(x) dx se sigue si utilizamos las condiciones asumidas !f(x)l 5 M ¡ lxb para x grande, y lf(x)l 5 Mixd para x pequeña, junto con el criterio de comparación para integrales. La curva que vamos a usar, y = y1 + y2 + y3 + y4, se ilustra en la figura 4.3.3. El radio del círculo incompleto y1 es r; el radio del círculo incompleto ''(J es e > O; y y4 y y2 forman cada uno un ángulo 11 > O con el eje positivo x. Escogemos e suficientemente pequeña, r suficientemente grande, y 11 suficientemente pequeña de
J�
y
Figura 4.3.3. 'Y = Y1
+ Y2 + 'Y3 + 'Y4 ·
4.3. EVALUACIÓN DE I N TEGRALES DEFINIDAS
299
modo que (i) e :::;; R2 , (ii) r ;;:: R ; y (iii) y = y + y2 + y3 + y4 encierre a todos los polos 1 1 defi.z) excluyendo al polo en O. Por :é' - 1 queremos decir e(a- l )log z. donde Iog z denota la rama del log con O
f(z) dz y /4 =
f,y1
J 4 z a - 1 f(z)dz, así que 1 = 11 + 12 Y
+
/3
2
+ 14, Por el teorema del residuo,
{
1 = 21ti l: residuos de z a - 1JCz). excluyendo el residuo en
o}
Claramente, las singularidades de :é' - 1j(z) son las mismas que las de f(z), excepto posiblemente el O. Primero vamos a mostrar que 13 � O conforme E � O, e / � O conforme r � 1 independientemente de 11 · Recuerde que cuando a es real Iza - 1 1 = lzla - 1 , así que obtenemos oo,
También, lzla - l
--,--
-
lzlb
<
21tM
1
ldzl
•
ra - b
Estas estimaciones muestran que /3 � O conforme E � O, e 1 1 � O conforme r oo, independientemente de 11 · Enseguida vamos a estudiar el comportamiento en el límite de 1 2 e 14, para E y r fijos pero con 11 � O. Note que no hay razón para esperar que /2 y -/4 converjan al mismo valor conforme 11 � O (y en efecto no lo hacen) ; esto es debido a la discontinuidad en la función za - 1 conforme cruzamos el eje positivo x. (El eje posi tivo x es una línea rama.) Por definición 12 = J: (tei(Zx - tl.)a - I f(te i(Zx - Tl)eí (Zx - tl)dt. Se le deja al estudiante el ejercicio de demostrar que conforme 11 � O, tenemos �
uniformemente en [e, r] ; por lo tanto, conforme 11 � O,
Similarmente, /4 �
J:
[<1 - l f(t)
dt
30 0
CAP. 4. CÁLCULO D E RESI D UOS
por lo tanto �
1 2 + 14
=
( 1 - e 21tia)
{
fl - 1
-2ie 1tia (sen na)
J:
f(t) dt ta - 1 f(t) dt
Suponga que damos o > O. Podemos escoger r suficientemente grande y e > O su ficientemente pequeña para que
Más
aún, podemos escoger
nera que
r
más grande y o
4
E
más chica si es necesario, de ma 1/31
y
....--=.,..-
12ie 1tia sen nal
-
<
o
4
Asimismo, podemos escoger 11 suficientemente chico para que
1
Esto implica que
1 + 14 � -2ie 1tw sen 1ta
J1 ooo
1
ta - f(t) dt -
f' e
1
o t a - l f(t) dt < -
/ -2ie 1tia sen 1ta
(por qué?). Ya que o fue arbitrario, tenemos
Jooo
t a - l f(t) dt =
=
4
1
/
-2ie 1tia sen 1ta -1te - !tia sen 1ta
.
L, residuos de z a - 1 f(z) excluyendo el residuo en
(
0). •
El estudiante debe verificar el siguiente corolario. Corolario 4.3.9. Las hipótesis de la proposición
4.3.8 se satisfacen si f(z)
=
P(z)/ Q(z) para polinomios P de grado p y Q de grado q, que satisface las siguientes dos condiciones: (i) O < a < q - p . (ii) Si n Q es el orden del O de Q en z = O (con la convención de que nQ = O si Q(O) =F O) y si np es el orden del O de P en z = O , entonces n Q - nP < a. (Esta condición se satisface, por ejemplo, si nQ = O.
4.3. EVALUACIÓN DE I NTEGRALES DEFI N I DAS
301
Ejemplo 4.3.10. Demuestre que para O < a < 2
f"' 0
p
1 + x2
1t
-----
2 sen (a1t/2)
Solución. Con esta restricción sobre a, el corolario se satisface (aquí q = 2, = O) y así
oo J 0
Res la suma es
(
dx
xa - 1
1
+ x2
Los polos de 1 /( 1
y
xa - 1
---::- dx =
za -
1
)
·
1 + z2 , t
=
¡a -
1
--
2i
+
iy
2a -
L residuo de
sen (a1t)
están en
+ z 2)
(
-1te - 1WÍ
-
1
l + z2
son simples. Por lo tanto Res
y
(
·
za - 1
1
+ z2
,
-z
)
=
)
(-i)a - 1
- --2i
¡ a - 1 _ (-i) a - 1 2i
Calculamos i a - 1 = e (a - 1 )logí = e (a - l )ltí/2 y (-i)a - 1 = e
=
1 2i
=
Por lo tanto,
Pero
fooo
x a - ' dx _____ 1 + x2
=
1t cos (a1t/2) sen (a1t)
sen (2) = 2sen cos , así que esto resulta 1t/[2 sen(a1t/2)], como se quería.
•
Valor principal de Cauchy Suponga que ftx) es continua sobre la línea real R excepto en el punto x0• Enton dx ces f(x) no necesariamente está definida. Recordemos, del cálculo, una manera
t_"'
de dar una definición que tenga sentido. Considere para E > O y r¡ > O
302
CAP.
4.
CÁLCULO DE RESI DUOS
(suponiendo que ambas integrales son convergentes para cada e y 11) y hágase e � O y 11 � O. Si cada límite existe, decimos que la integral es convergente. Debemos tener cuidado cuando usemos esta definición en la resolución de ejemplos. Por ejemplo, suponga que consideramos
f-<: =
Por otro lado,
f-e
1 dx + _ -"' x3
1 dx + _ x3
f
= e
_!_ dx = - 1- + _ 1_ = 0 x3 2e2 2e2
f2e
3 - � - 00 "' J._ dx = - 1-+ 1 = -x3 2e2 2(2e)2 8e2
conforme e � o. Así, vemos que podemos obtener diferentes valores para roe dependiendo de como e y 11 se aproximan a O; en este ejemplo, las integrales J:
( llx3) dx, ( 1 /x3) dx
y J� ( llx3) dx no son convergentes. Vamos a escoger una manera particular, más restrictiva, de hacer que e y 11 se aproximen a O; el camino simétrico, tomar e = 11 Encontraremos que al hacer esto, podemos aplicar el teorema del residuo en la evaluación de tales integrales. La de finición que sigue es ligeramente más general que la precedente, en el sentido que se permite un número finito de discontinuidades sobre el eje real. Seaf continua en R excepto para un número finito de puntos x 1 < x < • • • < xn. Si t:e j(x) dx es convergente para cualquier e > o ' si e > O, y si
r
xn + E
2 f(x) dx
es convergente para cualquier
existe y es finito, entonces llamamos a este límite el valor principal de Cauchy, que se abrevia V.P. r"' f(x) dx. Observe que si la integral es convergente en todos estos pun tos, recobramos el valor usual de la integral r,., f(x) dx. Sin embargo, como lo muestra el ejemplo previo, el valor principal de Cauchy puede existir aun cuando las inte grales no converjan en el sentido usual. La técnica general que se utiliza para evaluar el valor principal de Cauchy de una gran clase de integrales, es la siguiente. Pedimos que j(z) esté definida y sea analítica en C, con un número finito de singularidades aisladas, algunas de las cuales pueden estar en el eje real, digamos en los puntos x1 , , xn' donde x1 < x < • • • < xn. Las 2 restantes están fuera del eje real. Vamos a considerar la curva y mostrada en la figura 4. 3 .4. En esta figura, el radio r del semicírculo grande se escogió suficientemente grande y el radio e > O de los semicírculos pequeños se escogió suficientemente pe queño para que y encerrara a todos los polos de f en el semiplano superior, sin incluir a aquellos sobre el eje real. También pedimos que la integral alrededor del semi círculo se aproxime a O conforme r � y que los límites de las integrales alrededor •
oo
•
•
303 y
Figura 4.3.4. La c u rva y para eva l u a r e l valor pri nci p a l de Cauchy. de los semicírculos pequeños existan y sean finitos conforme mientos. junto con el hecho de que
f,1 f
=
e �
O. Estos requeri
2ni L. (residuos en el semi plano s uperior.
fuera del eje real). aseguran la existencia de V.P.
roo
f(x) d.x y nos permiten calcular
su valor. Estos requerimientos son satísfechos en la proposición 4.3. 1 1 . en la cual se deduce
roo
una fórmula explícita para V.P .
f(x) d.x. Este teorema se reduce a l a proposición
4 . 3 . 1 en el caso en el que ningún polo esté en el eje real. Proposición 4.3. 1 1 . Sea f analítica en un conjunto abierto que contiene al semi
plano superior H aisladas. Sean X p polos simples. Si
{z 1 Im z ;;::: o} excepto para
=
.
.
•
•
un número finito de singu la ridades xm singularidades sobre el eje real y suponga que éstos son
(i) f satisface la condición de la parte (i) de la proposición 4.3 . 1 (excepto para los polos sobre el eje) ( i i ) f(z) eíazg(z) con a > y g satisfaciendo la condición de la parte ( i ) de la
O
=
proposición 4.3 .4. entonces V.P. V .P.
J�oo
f(x) dx
=
[,
f(x ) dx existe y
21ti L (residuos de f en el semiplano superior Im z > O) +
{
1ti L residuos de f sobre el eje x
}
Naturalmente. exi sten resultados correspondientes para el plano inferior.
Proposición 4.3.12. Sea f analítica en un conjunto abierto que contiene al semi plano inferior L z 1 Im z :5: excepto para un número finito de singularidades aisladas y suponga que aquellos polos sobre el eje real son simples. Si =
{
O}
304
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
(i) f satisface la condición de la parte (ii) de la proposición 4.3. 1 . (ii) f(z) = eiazg(z) con a O y g satisfaciendo la condición de la parte (iii) de la proposición 4.3.4, entonces
<
V.P.
r.,
f(x) dx
=
-21ti
L \residuos de f en el semiplano abierto Im z < o}
-ni L (residuos de f sobre el eje real)
Observación. La siguiente demostración asume que la condición (i) se satisfa ce. La demostración que asume la condición (ii) difiere en un sentido: los tres la dos del rectángulo grande en el semiplano superior podrían ser más apropiados que
el semicírculo mayor, justo como en la proposición 4.3.4. Note que
L:
+e
e�-E f(x) dx y
f(x) dx son integrales convergentes para toda E > O, en el caso en que la condi
ción (ii) se cumple. Esta conclusión se sigue de la demostración de la proposición 4.3.4. Si consideramos la curva y en la figura 4.3.4, vemos que para demostrar la proposición 4.3. 1 1 , necesitamos saber cómo manejar integrales sobre círculos pe queños. Este resultado es proporcionado por el siguiente lema. Lema 4.3. 13. Si f(z) tiene un polo simple en Zo y Ye es una porción de un arco
circular de radio E y ángulo a (véase al figura 4.3.5). Entonces
J
lím
e --+ 0
Figura 4.3.5.
1e
f = ai Res (f, z0)
La curva yE
Demostración del lema. Cerca de Zo podemos escribir f(z) = b ¡f(z - z0) + h(z), donde h es analítica y b 1 = Res (f, z0) (¿por qué). Entonces
f J 1,
f=
1,
1 dz + J h(z) dz : z z0 Y,
4.3.
EVALUACIÓN D E INTEG RALES DEFIN I DAS
305
Por lo tanto,
Aquí Ye(9) = + Ee iO '
1 I.
l
h(z) dz :::;; Ml (Ye) = Mc:t.t
� O
conforme E � O. El lema se sigue. T Demostración de la proposición 4.3.11. Sea Y = Yr + y1
+ + Y + y donde Yr es la porción semicircular de radio r; Yp . . . , Y son las porciones semicirculares de radio E; y y, consiste de las porciones rectilíneas de y a lo largo del eje reaL Por el teorema del residuo, f Y f = 2ni l: {residuos en el semiplano superior}. En e seguida observe que r�- f(x) dx y I:.. + E t
•
•
m
,
m
e >
Y -" ""
y;
r
oo,
.
j ;J
.
'YI
Y -" ""
x
,
. .
, m.
y
Figura 4.3.6. Cu rva usada para la demostración de la proposición 4.3. 1 2.
306
CAP. 4 . CÁLCULO DE RESIDUOS
el contorno en conjunto está orientado negativamente (esto es, orientado en el sentido de las manecillas del reloj ) con respecto a su interior, los semicírculos pequeños alrededor de los polos sobre el eje real, van en sentido contrario al de las manecillas del reloj, con respecto de esos puntos.
Ejemplo 4.3.14. Considere (sen x)lx, el cual está definido de manera que vale 1 cuando x = O. Entonces (sen x)/x está definida y es continua sobre R. Muestre que [(sen x)/x] dx existe y calcule su valor.
J:
Solución. La integral I = V.P.
J
oo
e ix -- dx X
-oo
existe por la proposición 4.3 . 1 1 , por lo tanto, Im / = V.P.
(,
sen x X
dx
existe. Pero V.P.
f_�
s
�x
dx =
f_�
sen x X
por la continuidad de (sen x)lx en x = O. La existencia de existencia de
J;
[(sen x)lxJ
dx
J:J(sen x)/x] dx implica la
dx ya que (sen x)lx es una función par, y así Im / = 2
foo o
sen X X
dx
A partir del resultado de la proposición 4.3. 1 1 tenemos 1 en z = O) = 1ti. Por tanto
oo J
sen X
0
X
= 1ti (residuo de eiz¡z
dx = � T 2
Note que s i usamos el integrando e-iz¡z, entonces este ejemplo satisfaría las condiciones de la proposición 4.3. 1 2, pero no las de la proposición 4.3. 1 1 . Aun cuando tenga residuo 1 en z = O, el signo menos entra en juego y da V.P.
f_� -e- íx X
dx = -1ti
Pero esto es razonable ya que Im (e- ixlx) = [sen(-x)]/x = -(sen x)lx, y así espe raríamos que la integral fuera negativa.
307
Análisis adicional de integrales que involucran funciones multivaluadas Por el resultado de la proposición 4.3.8, hemos visto que cuando tratamos con fun ciones multivaluadas, debemos escoger una curva apropiada para una rama de la función. Este requerimiento puede ilustrarse mejor con un ejemplo.
Ejemplo 4.3.15. Use residuos para demostrar que
I=1
dx
1t
x Jx2 - 1
2
--;�=- =
Esta integral no puede ser evaluada directamente por ninguna de las fórmulas que hemos desarrollado. Las técnicas básicas que se usan en este problema, sin em bargo, son similares a aquellas que ya hemos aplicado. Lo siguiente es un bosquejo, los detalles se dejan al estudiante.
Solución. Recordemos que un dominio apropiado de J z 2 - 1 consiste de e menos las semilíneas x � 1 y x :::;; l Considere la curva y en la figura 4.3.7, que consiste de los círculos incompletos de radio r alrededor del O y de radio € alrededor de 1 y -1, y las líneas horizontales que distan o del eje real. La función 1 /z J z 2 - 1 está definida y es analítica en la región e menos las semirrectas x � 1 y x $ -1 ex cepto para un polo simple en O. Esto se lleva a cabo como sigue: Considere J z 2 - 1 como el producto v z - 1 ,-----:;V z + 1 , en el cual el primer factor utiliza una rama de la raíz cuadrada definida con un corte de rama de + 1 a -oo como -
.
/(z) = J z - 1 = J lz - l le i[arg(z - I J/2
para
-1t < arg (z - 1 ) :::;; 1t
y el segundo factor usa una rama de la raíz cuadrada con un corte de rama de - 1 a +oo como
g(z) = � z =
+
1
J lz + l lei[arg (z + l )l/2
para
O $ arg (z + 1 )
<
21t
(Véase la figura 4.3.8). El producto f(z)g(z) da una raíz cuadrada para z 2 - 1 , la cual aparenta ser analítica únicamente en el plano con todo el eje real suprimido. Al cruzar el corte de rama de cada factor, cambia el signo de ese factor. Así, el producto c ambia de signo si cruzamos el eje en un punto x con lxl > l . Sin embargo, al cruzar en el región -1 < x < 1 cambian ambos factores, así que el pro ducto no cambia sino que es continuo a través de este segmento. Así, es analítica a través de este segmento, por el corolario del teorema de Morera, establecido en el ejemplo resuelto 2.4. 1 7. Podemos usar esta función para definir nuestro integrando de manera que sea analítica en C\lz 1 Im z = O y IRe zl � 1 Por el teorema del residuo,
}.
308
y
Figura 4.3.7.
La curva y. y
y
-1
-1 (i)
Figura 4.3.8. Cortes de
f
rama que se necesitan para Jz2
Y
dz z Jz2 - l
=
21ti Res
(
1
(ii) 1;
(i) para v
z Jz 2 - l
, ) O
z-
1;
(ii) para J z + 1 .
= 21t
El estudiante debe verificar que a) la integral sobre el semicírculo incompleto de radio
r
se aproxima a O conforme
r � oo
(el integrando es menor o igual que M/lzl2
para lzl grande), b) la integral sobre los círculos incompletos de radio E se aproxima a
cero conforme E
�
O (la integral es acotada por una constante por El [E= [Een esos
círculos), y e) para E y
r fijas,
la integral sobre las líneas horizontales se aproxima a
309 Tabla 4.3.1.
Evaluación de Integrales definidas.
l. tf(x)dx
2.
¡�-� P(x) dx Q(x)
f(z) no tiene polos en el eje real; un número finito de polos en C; l ftz)l :>: Mllzj2 para lzl grande P, Q polinomios; grado Q � 2 + grado P; Q no tiene ceros reales
ro> O;
lf(z)l S Mll zl para lzl grande y ningún polo de f sobre el eje real, o f(z) =P(;;)JQ(z) donde grado Q(z)� l + grado P(z)y Q no tiene ceros reales b.
J:� cos(rux)f(x)dx t sen(úh:)/(x)dx �
f real en el eje real
4.
J:• R(cos 9, sen 9) d9
R racional y R(cos 9, sen 9) continua en 9. (Sin polos en el círculo unitario.)
5.
t
a> O y/tiene un número finito de polos, ninguno en el eje real positivo; lf(z)l :>: MJizt b, b > a, para lzl grande, y lft z) 1 :>:, MI lzJd, d
xa- 1f(x)dx
o
f =PJQ, y Q no tiene ceros en el eje real positivo. O
7.
� P(x) dx J-�Q (x)
F6rmula
Condiciones
Tipo de integral
Las mismas que en l excepto que
se permiten polos simples en el eje x.
Las mismas que en 2 excepto que
se permiten polos simples en el eje x.
f f(x) �
{residu':'s de f en . el semtplano supenor
d� =27ti :E
f-�� Q(x) dx = P(x)
21t i
}
{residuos de PJQ en el semiplano superior
}
:E
� f e'=t(x) dx =1 -� . residuos de e'"" f(z) = 21t1 :E { en el semiplano superior _
.
5• ro < O, use
}
residuos en el semiplano }
-:E { inferior
r cos(OlX)/(x)dx =Re 1 �
r sen(OlX)f(x)dx =Im I �
Si ro
f,. R(cos 9, sen 9) 0
J:
d9
=2
.
{ residuos de/
x0-1f(x)dx - :n:e
--.:m
sen (:n:a)
L
al usar la rama O
f
�
-�
{
� P(x) dx f -� Q(x)
=
2
aO
z< 2:n:
:E {residuos en el eje x} . '<"
1tl "-'
+ :n:i
}
residuos de z a- 1 /(z) en los polos de/ excluyendo
resid�os en el semiplano } f(x)dx =2:n:i L { supenor + :n:i
}
1tl :E dentro del círculo unitario
residuos en el semiplano { } supenor
:E (residuos en el eje x}
31 0 Tabla 4.3.1. (Continuación.) Tipo de integral 8a.
t.
Fórmula
Condiciones La< mismas que en 3 e"cepto que
e H»xf(x) dx
( i) ro> 0:
se permiten polos simples en el ejex.
J� e'""' f(x) dx =1 _
-
2ltt. L + 1ti L
{ { { {
residuos de eiiD'f(z) en el semiplano superior residu �s de e"'"f(z) en el eJe X
}
residuos de e1(j)'f(z) .� '" "' enel semiplano inferior
- _2 11 "' < o·· 1 _ Cl
-lti L b.
J� cos(rox)f(x)
dx
t sen(rox)f(x)
dx
resido� de en el eJe X
} }
é""J(z)J
J� cos(wx)f(x)dx=Re/ J� sen(mx)f(x)dx=lml
f real sobre el eje real; se permiten polos simples en el eje real, como en8a.
Si ro < O, use el semi plano inferior como en 8a.
Estos tres hechos, junto con el hecho de que
f
r
dz z � z2- 1
muestran que
existe y es igual a 1t/2 ....
J
ool
Z1t
----;: dx = ::::;=
x � x 2 -1
Ejemplos resueltos 43 . 1 . 6 . Evalúe
1
---
1 + x2n
So lució n. Esta
dx
para
n�1
integral puede evaluarse usando la proposición 4.3 1 . , pero tendñamos
que considerar todos los polos del semiplano superior. Si en su lugar usamos el contor no indicado en la figura 4 3 . 9 . , necesitamos considerar sólo un p o lo . La única + z2n) dentro de este contorno es un polo simple en ettil2n
singularidad def(z) = 1/(1
donde el residuo es -e1tü2nf2n. Así,
,
311
y
II •
e1til2n
I Figura 4.3.9.
-
R
Contorno para el ejemplo resuelto 4.3.16.
� ettil2n = n
=
J J J IOR f"'o n f: f+
1
u
f+
1
__ __
1 + x2n
= ( 1 - e1tiln)
m
f
dx +
-��:--:- iRei9
-
-
1 + R 2n e2nifJ
1 _ _ _ _ _ _ dx+iR 1 + x2n
da +
f :n
JoR
1 --....,.... - e1tiln dr 1 + r2ne 21ti
La segunda integral no es mayor, en su valor absoluto, que (1tln)Rf(R2n - 1), la cual se
va a O conformeR �oc. HaciendoR � oc, obtenemos
Joco
--
4.3.17. Integrales de FresneL Muestre que y son
e1til2n 1t -----:--- = -1til n 1 -e 2n
1 1ti _ _ _ __ dx=" n 1 + x2
ese
1t -2n
reo cos (x2) dx y J: sen (x 2) dx existen ambas
igua les a J rr12
Solución. Primero mostrarnos que las integrales existen. Observe que sen (x2) tiene ceros en xn
= .f1tilpara
cualquier entero n. Ya que J n + 1
-
fn = 1 /(J n + 1 +in),
la dis-
tancia entre estos ceros se acerca a O conforme n crece y, por tanto, las cantidades
a..
=
IJ xn
Xn-1
sen (x2 )dxl decrecen monótonamente a O. Así
i (-1 )"a n converge, por el O
criterio de la serie alternante, a algún número A. SiR es cualquier número real, enton-
JR
ces x N_ 1 s; R < xN para un único N, y 0 sen (x2) dx está entre las sumas parciales N O
(-l) "an y l:. (- 1 )"a n. Por lo tanto, lím mente, lím
R-+<<>
J:
cos
(x2) tú existe.
R�®
JR0
N-1
�
sen (x2 ) dx existe y es igual a A. Sirnilar-
312
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
Considere la integral de/(z) =eiz2/sen ( ..f1iz) alrededor del contorno y=1 + li + lii
+
IV mostrado en la figura 4.3.10. La función/tiene un polo simple en O dentro de y, con
residuo 1/.[it, y así
L
f=
2f7ii
A lo largo de 1, z = x- Ri, así que
y
En consecuencia, a lo largo de l tenemos
IJ 1 1
f
2 < - eR[1t 1 _
J¡;ií
e2Rxdx=..!. R
_¡;¡,
y III Ri IV ,.
•
fit -2
,fit --2
r
·�
l
Figura 4.3.10.
X
-Ri
Il
..
El contorno u sado para evaluar las i ntegrales de Fresnel.
la cual se va a O conforme R � oo. Similarmente contribución de los lados verticales es
J
m
f � O conforme R
� oo.
La
f f Il
f+
IV
f-
e i( J1il2 + iy )2
J I
R
-R
sen
R
-
(x/2+ >� xyt)
-------
J
idy +
313 R
R
sen
ei
------- 1 dy
-R
cos
e i<.f1il2 + iy)z -------
(i IXy)
.
= 2t
(- 7t/2+
I
R
-R
IXy i)
idy
.
e'
HaciendoR � oo obtenemos
y
J21ti =
[-f_�
J:ao
cos(x2) dx+
] [ J�
sen(x2) dx +i
f�
cos(x2) dx+
]
sen(x2) dx
La parte real de esta ecuación muestra que nuestras integrales son iguales, mientras que las partes imaginarias muestran que su valor común es
4.3. 1 8.
Mue stre que
J.�""
e -x2 dx
= ,[it
Solución. 1 Seaf(z) = e- '2 y considere la integral defa lo mostrado en la figura 4.3. 1 1.
y
J
111
f=
f
1 El
Note que
0 e-ir2e7til4dr
R
= e 57til4
y
Figura 4.3.11. Contorno para
J2x/2 = .Jx/2.
J:
1
' e-"
I
R O
largo del conjunto y= 1 +11+III
(cos r2- sen r2) dr
R
dx.
siguiente método es atribuido a menudo a R. Courant. Véase también el ejercicio 25.
31 4
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
A lo largo de 11, z + Ré9, y así
Pero para O� 9 � 1t/4, tenemos cos 29 � 1- 4911t (véase la figura 4.3.12) y por tanto R 2 R2 9/rt y así lf(z)l � e- e4 ,
y y= cos 29
1
(
y= l-
Figura 4. 3.12.
49 -1t
7tl4
Demostración de que cos
29 � 1 - 49/7t.
Esto ciertamente se va a O conforme R
O= Haciendo R --7 oo, obtenemos
--7 oo.
Y a que fes entera,
f f f 1
f+
II
f+
III
f
Por lo que sabemos del último ejemplo, ambas integrales existen, Ambos integrandos son pares y ambas integrales son f7t/2l2.Encontramos que
f
oo
o
2
e-x dx =
l+ i . l2 (l-z)
Otra vez, el integrando es par y, por lo tanto,
[it [it .f2= -2 2
4.3. EVALUACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS 4.3.19.
31 5
Transformadas de Fourier. Suponga que la transformada de Fourierde unafunción f estádefinida con una constante multiplicativa IN 21t y
l
f(ro) =-..J 21t
J
""
-
CO
una
convención del signo como
f(x)e-irox dx
Muestre que lafunción nonrud de probabilidad f(x) =(IN 21t) e-"'12 satisface f(ro)
=
= f(ro).
Solución. Sea g(z) e- z '12 e- iroz. Entonces g es una función entera y, por lo tanto, su integral es O alrededor del contorno y = I + 11 + 111 + IV mostrando en la figura 4.3.13, para cualesquiera reales R y 't. (Sí 't < O, dibuje el contorno en el semiplano inferior.) Así,
J
I
g
= IR
-R
e-x'l 2 e-irox dx
y
y
-R + 'ti
R + 'ti
'ti III
'"IV ----L-----------------------�--------��----------L--.-X rl
-R
Figura 4.3.13.
Contorno para evaluar la transformada de Fourier de
R
e-
x'12! ..J 21t.
A lo largo de 11 y IV lg(z) = le-<±R + iy)212 e-iro(±R + iy)J e -R't2 + y'l2 eroy :5: e- R'I2 e -r'l21ro1:1
=
Por lo tanto
IJ
u
gl y 1
e- R'l2 1'tle't' l2 + 1ro1:1. Con
en
J = Y
g
O, obtenemos
J
't
rv
y
l
g están cada una de ellas acotadas superiormente por
ro fijos, esto tiende a O conforme R --7 co. Haciendo R --7
co
316
CAP. 4. CÁLCULO D E RESIDUOS
Esto se satisface para cualesquiera reales
't
y ro . H aciend o
't
= -ro da
H aciend o el camb io d e vari ab le (x � xt.J 2 ) en el ú ltim o ej em plo (o en la proposició n
4.3.3 ), esto resulta
esto es, 1
.J 21t
J""
-00
f(x)e-irox dx =
1
_-
e-f/2 iil
.J2it
o A
f(ro ) = j{ro ) com o se quería. 43 . .2 0. Si p > O y q > O, m uestre q ue
foo o
log (px )
---
q 2+x2
dx
=
1t
--
2q
log (pq)
So lución. f(z) = [log (pz)] /(q 2+ z2) es analítica en el plano con el ej e im aginario ne gati vo suprimid o, si d efinim os una ram a d el logaritm o com o .... 1t 31t log (pe'"') = log p + i
--
C onsid erem os la integral d e f a lo largo d el contorn o y = I +11 + 111 +IV m ostrad o en la figura 4 3 . 1 . 4 . N ote que
r I: f=
log (px)
q 2+x2
Figura 4.3.14. El contorno usado en el ejemplo 4 3 . .2 0.
dx y
f f" m
f=
R
log (-px)
q 2+(-x) 2 y
(-dx) =
f
R
•
•
log (px) +1ti
q 2+x2
dx
4.3. EVALUACIÓN DE INTEGRALES DEFINIDAS A lo largo de u, og (pR) +1t lf (x) :o; _n_ _ _ _ _I_ _ _ y, por tanto, R 2_ q2
lf
11
1
f :o;
31 7
l log (pR)I+1t 1tR R 2_ q2
Esto se va a O conforme R �oc (use la regla de L'Hopital para (log R)IR). A lo largo de IV, llog (p€)1 +1t q2 -€2
1/(z)l :o;
1t €
Esto también se va a O conforme € � O ya que lím € log € =O. Puesto que F tiene un
polo simple dentro de y en
z
E-tO
= iq con residuo [log (pqt)]/2qi = [log(pq)]/2qi + 1t/4q,
podemos hacer que R �oc y € � O para obtener
2
foo 0
log (px) q2 +x 2
dx
+1tl
.
f""o
q2 + 1 r
.
dx=21tt
[
log (pq)
2qi
]
1t +-
4q
Al comparar las partes real e imaginaria nos da
f o""
log (px)
q 2 + x2
1t 1 ( ) - -- og pq
dx-
fooo
y
2q
}
1t - dx = __ 2q
--::--::-
q 2 + x2
La última integral, por supuesto, puede evaluarse mediante cálculos elementales
usando la inversa de la función tangente.
Ejercicios l. Evalúe
2. Demuestre que
(Suger enc ia: 3. Evalúe
4.
Evalúe
considere
f_� J
o"'
f_� foo
dx __ __ _ _ _ _ x 2 2x_+4
sen2 X
o
1_
e2ix
� dx=
x2
dx
2
y aplique la proposición 4.3.11.)
de _
__
para O < b <
__
( a +b cos 6)2
dx
a
318
CAP.
4. CÁLCULO DE RESIDUOS 5. Evalúe cosmx
dx
1 +x4 6. Evalúe
J ooo
x_a - I _
___ dx
0
para
1 +x3
7. Evalúe xsenx
dx
1 +x2 8. a) Demuestre que
f=
-""
integrando
COS X
____ _ e x + e___x
dx
=
--,.,,-
e 2
1t
_ +e
__ _lt/_2_
alrededor del rectángulo con vértices -r, r, r +
eiz(e<- e-z)
haga r� oo .
b) Use la misma técnica para demostrar que
f=
e-x
-oo
9. Evalúe
10.
11.
12.
1 + e-2n:x
V.P.J�
donde Im a > O. Muestre que
dx- __ 1_
2 sen 2.. 2
dx
(x-a)2 (x -1)
J:
Muestre que para a > O, b > O
fooo .
cos ax ----
(x2 +b2)2
dx =
1t
--
4b3
(1 + ab)e-ah
Muestre que para O< b< 1
Joco
_
_ __
l
xh(x +1)
dx
=
Jt __ _
_
sen (b1t)
1ti,
-r
+
4.3. EVA LUACIÓN DE I NTEGRALES DEFI N I DAS
319
13. Encuentre dx
14. Demuestre que
J""u
Io g x : . :-.,....: ::...----:
(x2
15. Encuentre
+
Jol
4.3.15 y
- _1t_
=
4
--;:::; dx ; =
mediante a) el cambio de variable y= figura
1)2
d x
2 J x -l
1 /(x
+
G- 1) y b) considerando la curva
encontrando el residuo de una rama de
11J z2- 1
en
en la
oc.
y
Figura
4.3.15. Contorno para eva l uar
J01
dx
J x2 -1
16. Sean P(z) y Q(z) polinomios con grado Q(z) ;?: 2 los residuos de P(z)IQ(z) es O.
17. Evalúe
Joo ----
bx 2 dx x +a cos
-""
18.
Sea f(z) como en la fórmula
2
5
para
de la tabla
+ grado P(z). Muestre que la suma de
a > O, b
4.3.1,
>
O
excepto que se permite a f tener un
número finito de polos simples sobre el eje real positivo (estrictamente). Muestre que
V.P.
f""o
xa -l t
_-_ne_-lta_i - 1: ¡ residuos sen (1ta)
de
<-z)a-IJ
en los polos de¡ ruera
)
del eje real no negativo
320
cos L {residuos de -( z)«- 1 /(z) en los polos def sobre el eje real sen positivo! Use el ejercicio para mostrar que foo x«-1 cot para Establezca las siguientes fórmulas: x2 x para J: sen2 J: (x x3 senx xsenx : e-11ffsen 1 J x4 J�oo (x2 Demuestrepolares. la proposición evaluando la doble integral sobre todo el plano en coor denadas Enotraelpotencia ejemplo resuelto ¿podría el exponente ser remplazado por cualquier Evalúe J2" cos cos ( considerando la parte real de J2" cos yluego convirt iéndola en una integral alrededor delfunción círculogx( unitario. Suponga que la t r ansformada de Fourier de una ) está definida como en el ejercicio resuelto mediante f -00"" Muestre que sifes diferenciable ylas integrales para/y( /')'' convergen, entonces (f ')A f f x ( ) debe irse a en ambas direcciones a lo largo del eje x. Trate integrar por partes.) Evalúe lím f donde y es como se muestra en la figura +
19.
ne-=i
na
na
------
18
V.P.
20.
a)
1
de
+
e) 21. 22.
9
24.
dx = -1t
ff
1t
-
2
+ 1)2
(na)
O
b)
1t
---
dx=
e
2d
+ a2)2
d)
-
+1
1t
a>O
=--
4a
1
1t dx =-
--
2
ff
4.3.3
p;;:::
23.
1 -X
0
o
2+
4.3. 16.
2? 1
2n
1
4 9)d9
9
o
2+
9
4.3.19
g(m)
g(x)e-irox dx
1 f2it
= ---
1\
A
1
(ro)= -. -
(ro)
lffi
(Sugerencia:
O
de
25. a)
{iU = [1tei1114
R--" oo
yR
'YR
e 2 _ _ ..,_ dz _ _-z__+_,� e2 .{itiz
_
1
4.3.16.
e4i0d9
321 -R
+
fit[ 2
R
+
-& 2
.o
,tni
2
-R ---
Figura
4.3.16.
El contorno
R-
usado para t�
e-x2
,¡m -2
dx.
b) Muestre que las integrales a lo largo de las partes horizontales
"" mente para dar un múltiplo de J
dx=
4. 4.
-oo
se
cancelan parciai-
2 e-x dx. Use esto para mostrar que
[ff.
f"""" e-x -
2
EVALUACIÓN DE SERIES INFINITAS Y EXPANSIONES EN FRACCIONES PARCIALES En la sección anterior vimos cómo usar sumas de residuos para evaluar inte grales. En esta sección damos una breve discusión de algunas aplicaciones en la otra dirección: usar integrales para evaluar sumas. Por ejemplo, vamos a ver que al apli car estos teoremas podemos demostrar que
Ésta es una famosa fórmula de Leonhard Euler, quien la descubrió en el siglo
XVIII
usando otras técnicas.
Series infinitas 00
Vamos a desarrollar un método general para evaluar series de la forma I: f(n), n = -oo
donde fes una función dada. Suponga que restringimos a fa ser una función meromorfa con un número finito de polos, ninguno de los cuales es u n entero. Suponga que G(z ) es una función meromorfa cuyos únicos polos son polos simples en los enteros, donde los residuos son todos l. A sí, en los enteros, los residuos def(z )G(z) sonf(n). Entonces, si y es una curva cerrada que encierra a -N, -N + 1, . . , O , 1 , ,
.
N, el teorema del residuo da
)
e n los polos def . S i
f
1
f
G(z)f(z) dz 1
=
2rci
\ L �N
f(n)
]
+
...
!
I: residuos de G(z )f(z )
G(z)f(z) dz muestr a un comportamiento controlable e n el lími-
322
CAP.
4. CÁLCULO
DE RESIDUOS
N
te conforme y resulta más grande, tendremos información acerca del comportamiento en el límite de L. f(n) conforme N � oo en términos de los residuos de G(z) f(z) en n==-N
los polos def Una G(z) apropiada es
1t cot nz.
Por supuesto, siempre tenemos
J
Y
G(z)/(z) dz = 2ni L [todos los residuos de G(z)/(z) dentro de y}
así que si alguno de los polos def resulta ser un entero, necesitamos únicamente mo ver los términos a su alrededor:
L
1t
G(z).f(z) dz = 2 i
LtN !
J(n)l n no es una singularidad def}
+L [ residuos de G(z) f(z) en las singularidades def)
Teorema de la adición 4.4.1. Sea f analítica en e excepto en un número finito de
eN
(N+�)
singularidades aisladas. Sea un cuadrado con vértices en X (+I +i), cot 7tZ)./(z) dz �O confonne � oo. N = 1, 2, 3, . ..(figura 4.4.1). Suponga que
fcN(1t
N
Entonces tenemos lafórmula de la adición N
lím L [ f(n)l n no es una singularidad de f}
N -.-. oo - N
=-
L [residuos de 1t cot nzf(z) en las singularidades de f}
Si ninguna de las singularidades de f está en los enteros, entonces Iím
lím
N
L f(n)
N-.-.oo n=-N
N-+ oo n =-N
•
existe, es finito y =-
N
L.
L [residuos de 1t cot m;f(z) en las singularidades de f} y -
i(N+ 1) iN •
N-1 -N
N N+l
,
00
Figura 4.4.. 1. Contorno para evaluar L.
-00
f(n).
eN
�
-iN -t(N + 1) �
X
f(n)
323
4.4. EVALUACIÓN DE SERIES INFINITAS
Demostración. En este argumento asumimos que ninguna de las singularidades de f está en los enteros. (Para el caso más general simplemente inserte la frase ca lificativa en la primera suma y mueva los términos apropiados. Sólo puede haber un número finito de ellos.) Por el teorema del residuo, n
.
�
1t cot 1tZJ ,z ) dz = 2 1tt "'-'
.
+ 21tl
{
L
residuos de 1t cot xz;f(z) en los enteros -N, -N+ 1 , ... , O, 1 , ... , N
{
residuos de 1t cot xzf(z) en las . smgu1 ar1"dad es de f
¡
}
para N suficientemente grande de modo que e encierre todas las singularidades de f. Ya que cot 1tZ = (cos xz)/(sen xz) y (sen xz)' #O en z = n, vemos que n es un polo simple de cot 1tz y que Res (cot xz, n) = (cos 1tn)/(1t cos 1tn) = l /1t (use la fórmula 4 de la tabla 4. 1 . 1 ). Por lo tanto, Res (1t cot xif(z), n) = 1tj(n) Res (cot 1tZ, n) =f(n). Así,
N
N
[
}:. residuos de 1t cot xzf(z) en los enteros -N, -N+ 1 , ... , O, 1 , ... , N)= L f(n).
fcN
Tomando límites en ambos lados de la precedente ecuación para y usando el hecho de que 1t cot xzf(z) dz �O conforme N� lím
N--+oo
N
L
fc N
L {residuos de 1t cot
f{n) =-
n=-N
oo,
n=-N
1t cot xzf(z) dz obtenemos
1tif(z) en las singularidades de
J!•
Es importante notar que lo que hemos obtenido es una fórmula para el límite de 00
las sumas parciales simétricas de }:. f (n). Esto no es lo mismo que las series dobles -00
infinitas, las cuales piden que los límites superior e inferior crezcan independiente""
N
-1
N
mente:}:. f(n) = lím L f(n) = lím }:. f(n) + lím }:. f(n). Si se sabe que las series N---+ oo -M
-oc
M--+ oon=-M
N-...+oo n=O
infinitas dobles convergen, entonces nuestro límite debe dar la misma respuesta, pero N
lím }:. f(n) puede existir aun cuando el límite más general no lo haga. La situación
N-+oo -N
es análoga a aquella en el cálculo de una integral impropia por medio del valor prin cipal de Cauchy. Sin embargo, nuestra fórmula es a menudo suficiente. Podemos ve rificar independientemente que el límite doble exista o como en nuestro primer ejemplo, podemos estar interesados en una serie infinita sencilla. Sifes una función N
N
par, entonces}:. f(n) =f(O) + 2}:. f(n). -N
n=l
La cotangente no es la única candidata para ser una útil función para G. Otras son 2xil(e21tiz- 1 ) y -21ti/(e-2xiz- 1 ). En los ejercicios indicamos una manera de usar 1t ese 1tz, la cual es particularmente útil para series alternantes. (Una exposi ción más completa y referencias extensas, pueden encontrarse en D. S. Mitrinovic y J.D.Keckié, The Cauchy Method of Residues, Dordrecht, The Netherlands; D. Reidel Publ. Co., 1 984.) En seguida establecemos un criterio por medio del cual puede juzgarse si f sa tisface las hipótesis del teorema de la adición ( 4. 4. 1 ).
324
CAP.
4.
CÁLCULO DE RESIDUOS
Proposición 4.4.2. Suponga que f es analítica en C excepto para singularidades aisladas. Si existen constantes R y M tales que lzf(z)l :s; M siempre que lzl � R, entonces se satisfacen las hipótesis del teorema de la adición ( 4.4.1). Demostración. Ya que l.if(z)l es acotada más allá de R, todas las singularida des def están en la región lzl :s; R. Ya que éstas son aisladas, debe haber un número finito de ellas (¿por qué?) Más aún, lf( 1/z)/zl está acotada por M en la región lzl < 11 R y, por ende, O es una singularidad removible def(llz) 1/z y podemos por tanto 2 escribirf(l/z) 1/z = a0 + a1z + a2 z + · · ·para lzl < 1/R; así •
•
para lzl
>
R.Consideremos ahora la integral 1t cot xz dz z
Por el teorema del residuo,
f
1t cot 1tz z
eN
dz = 2xi residuos de
+
(
21ti
� ¿_.
(
1t cot 1tZ z
en z = O
. 1t cot xz en residuo de z
n = +1, +2, ..., +N
l
¡
Ya que el polo en O es de orden 2, podemos escribir 1t cot 1tz z
=
Puesto que (1t cot xz)/z es una función par de z (esto es, [1t cot 1t(-z)]/(-z) = (1t cot xz)/z), la unicidad de la expansión de Laurent muestra que los coeficientes de las potencias impares de z son O; en particular, b _1 = O. Pero b _1 es exactamente Res [(1t cot xz)lz, 0]. (En lugar de este truco pudimos haber usado la fórmula 9 de la tabla 4.1.1). También, Res [(1t cot xz)/z, n] = 1/n para n= +1, +2, ... , +N (¿por qué?), así L {residuos de (1t cot 1tz)z en n = +l, +2, ... +N}= O. En consecuencia, 1t cot 1tz dz = 0 z Así, podemos escribir
f
eN
1t COt 1tZ/(z) dz =
f
eN
]
1t(cot 1tZ) rf(z) -� dz z
l
EVAlUACIÓN DE SERIES INFINITAS
4.4.
325
Para estimar esta última integral, obsérvese que
>R. z 1/IRI,
a2z a3z2
a
lzl
+ + · ·representa una función analítica para lzl < 1+ ésta es acotada, digamos por M', en el disco cerrado :5 1 /R', donde R' >R.
para l l
Ya que
•
Esto implica que
1f(z) z 1 -
para lzl �
N
e
R '.
satisfagan
IJ eN
lzl
Suponga que �
R
1•
N es
a
0-
-
:5
suficientemente grande para que todos los puntos en
[t(z)- ;o ] dz 1
1tM' :5
! lcot 7t ZI tal que Z esta en e �
(nótese que en los lados verticales, lcot lcot 7tZI :5
2.
x
•
8(N+ T
(N+
El estudiante debe verificar que
máximo ocurre en
lzl 2
Entonces
7t (cot 7tZ)
sup
M' --
7tzl
..!.)2
e rt(N+ 2 N} e21t(N+ 1;
(sup lcot 7t ZI)
zcnCN
2
=
:5
)
1/2) +
1
12)
_
1 1
en los lados horizontales, el
= 0). Así, para toda N suficientemente grande, tenemos sup len
La desigualdad previa muestra entonces que
JeN se aproxima a O conforme
fe N
7t(cot
N � oo,
1t cot 1tZ/(z)dz
7tz) [t(z)- :o ]
eN
dz
lo cual, a su vez, muestra que �
conforme
O
N � oo
•
Nosotros damos aquí un famoso ejemplo de esta técnica. Uno aprende usualmen"'
te en cálculo que la p serie � ( 1 /nP) converge si p n
=1
>1
y diverge si p :5
1 , pero usual-
mente sin ninguna i n dicación de cual podría ser exactamente l a suma. En contramos esta suma en el capítulo
3 como /;(p ), donde 1; es la función zeta de
Riemann, un ingrediente importante en teoría de números. El caso en el que p es interesante y hay varias formas de evaluar
Proposición 4.4.3
"' l:
n=l
2
1
n
-
/;(2).
7t2
=6
Aquí está una
=
2
326
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS Demostración. Aplicamos el teorema de la adición (o su corolario) con
I/z2.
Ya que tan
f(z) =
z tiene un O simple en z =O, cot z tiene un polo simple ahí. z= b /z+a0+a1z+ • • ·, entonces
Si la
expansión de Laurent es cot
( 1-�+�-· • ·) -(z -�+�-···)(�+ao +a 1 z+· • ·) z 3! 5! 2! 4! Al multiplicar, agrupar términos y comparar coeficientes, encontramos que b 1
a0=0ya1 =-t. Así
1t2 --z
1t( ll1tz - 1tz/3+ • • ·) 1 1t cot 1tZ = = z2 z3 z2 Por lo tanto,
Res
( 1t
e��1tz ) = ,O
Ya que la única singularidad de f está en
(
lí m N->"' y, puesto que
3
+ ...
-1t2 3
z = O, la fórmula de la adición resulta
i� + i: � )= n n
n=-N
1
= 1,
n=l
3
l/(-n )2= l/n2, obtenemos lím
N->oo
N
}
L -2- = n =l n
1t2 6
Concluimos que 00
l = .Ln2 n=l
1t2 6
•
Expansiones en fracciones parciales
Síj(z) =p(z) /q(z) es una función racional, conocemos un truco del álgebra que f puede ser expandida en "fracciones
es a menudo útil en el cálculo: La función
parciales" en términos de los ceros del denominador. Algunas veces una función meromorfa puede pensarse en algo así como una función racional con, posiblemen te, una cantidad infinita de ceros en el denominador y uno dese aría saber si es posible una expansión similar. Aun cuando uno podría no tomar muy en serio esta analogí a, algo acerca de esto puede hacerse. Primero damos un ejemplo específico que muestra cómo puede usarse el teorema de la adición, el cual será usado en el capítulo 7. Luego daremos un resultado un poco más general.
4.4.
EVALUACIÓN DE SERIES INFINITAS
327
Proposición 4.4.4. Sea z cualquier número complejo que no sea un entero; entonces
�( 1 00
z-n
n
:)
+
""
y
1
�
- �)
z+n
l(
n
son series absolutamente convergentes y 1t cot
1tZ
=
__1 z
+
:E
n= l
(--_1 _ ) +
z- n
• n
--
:E (- -_ 1 _-
+ n=l
z+n
1)
n
Esta ecuación también puede escribirse como
1t cot 1tz =
-1z
i:'
+
n=-oo
--1-- + I n ( z-n
)
donde la "prima" indica que se han omitido los términos correspondientes a n Demostración. Para n suficientemente grande,
lz -ni
>
=
O.
n/2. Por lo tanto,
21zl
1 z-n Al comparar con la serie convergente
21zl·
1 -- +
--:-1 (n
( n2
vemos que
�
n
1 + (-z--- -n-
)-2-
+ •
•
.
)
!)
es absolutamente convergente. Similarmente.
00
n�l
(
es absolutamente convergente. Fíjese
1
1 z + n -n) z
y considérese la función
Esta función es meromorfa; su único polo está en fácil ver que
posición adición
lwf(w)l
está acotada para
w
f(w) = 1/(w- z). z, el cual no es un entero y resulta
suficientemente grande (como en la pro
4.3.1). Por la proposición 4.4.2, vemos que las hipótesis del teorema de la
se
satisfacen y así
lím
i
N ..... oo n=-N
--1-- { n-z
=
- residuo de
1t
cot 1tw
W-Z
a
w
=
z
}
=
-1t cot 1tZ
328
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
Notamos que N
+L
n=1
y,
por tanto, 1
z+n
-
i n
)
= 1t cot 1t z
•
También podríamos haber obtenido la expansión para la cotangente a partir del siguiente teorema. Teorema del desarrollo en fracciones parciales 4.4.5. Suponga que f es mero
morfa con polos simples en al' a2 , a 3 , con O< la11 :::; 1�1 :::; ...y residuos bk en ak. (Estamos suponiendo que f es analítica en 0). Suponga que existe una sucesión R l ' R2 , R 3, con la propiedad de que lím �=coy curvas cerradas simples CN n ..... que satisfacen •
.
•
.
.
.
00
(i) lzl2::: RN para toda z en C N" (ii) Existe una constante S con longitud (CN) :::; SR N para toda N. (iii) Existe una constante M con lf(z)l :::; M para toda z en CN y para toda N. (La misma M debe funcionar para toda N.) Entonces
f(z) = f(O)
+n�l
(
b -z - a n
_: +
b _ _a -
:
)
Demostración. Si z0 oF O no es un polo de f, sea F(z) = f(z)/(z - z0). Entonces
F tiene polos simples en z0 y en a 1' a 2 , a 3 ,
.
.
•
Claramente
Res (F; zo) = lím (z- z0)F(z)= f(z0) Z�Zo
y
Por el teorema del residuo,
1
. 2m
--
1 --
. 21tz
I
eN
I
eN
f(z)
z - z0 /(z)
--
z
dz = /(Zo) + L
dz=/(0) + L
¡
¡
b n
b n an- z0
--
an
1
an
1
}
all está dentro de e N
}
está dentro de e N
4.4. EVALUACIÓN DE SERIES INFINITAS
329
Al restar, Zo
2ni
JeN
f(z) z (z- z0)
b dz=J(z0)-f(O) +L -- _,.
[
__
a,.-z0
l a,.está dentro deeN}
b " a,.
A lo largo deeN, lzl '?. R N y lz-z01 '?. IRN- lz011 y, por lo tanto, la integral de la úl tima desigualdad está acotada superiormente por M
R NI R N-lz011
-----
Esto se va a cero conforme N dentro dee N" Por lo tanto, /(z0) =/(0) -lím
N->"'
00
=f(O)-:L n=l
( (
L
[longitud ce N)] :::;; � oo
y
lz 01MS
-=---- -
--
2rt IR N -lz 011
cada una de las a,. está eventualmente
¡f a,. �z0 -� l a,. está dentro dee N} ) a,.
b" a,.-Zo
b -"-
) a,.
Y
a que esta fórmula se satisface en toda establecido el teorema. •
"' =J (O) + L
n=l
z0
(
bn Zo-an
b +-"a ,.
)
para la cual f es analítica, hemos
Los contornos usados comúnmente para las e N' son círculos de radio R N o cua drados grandes como aquellos de la figura 4.4.1. La expansión dada en el teorema del desarrollo en fracciones parciales es un caso especial de un resultado más ge neral conocido como el teorema de Mittag-Leffler, 2 nombrado así en honor del fa moso matemático sueco Gosta Mittag-Leffler (1846-1927).
Ejercicios l. Muestre que 00
:L
n=1
1 -
n4
1t4
=90
2. Muestre que
2 Puede encontrarse, por ejemplo, en Peter Henrici,
vol. l, Nueva York, Wiley-Interscience,
Applied and Computational Complex Analysis, 1974, pp. 655-660 y Nueva York, Springer-Verlag, 1986.
330
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
3. Muestre que
1
n=O
----
n2+a2
=
-1t
2a
coth 1ta +
-1
2a2
para
a> O
4. Muestre que 00
1t2
---
sen 2 1t z
=
L
1
n=-co
(Sugerencia: empiece con la expansión de 1t cot 1tZ.) 5. Desarrolle un método para evaluar series de la forma
00
k
n=-00
(-l)n f(n) donde fes una fun-
ción meromorfa en C con un número finito de polos, ninguno de los cuales es un entero. En otras palabras, desarrolle teoremas análogos al teorema de la adición ( 4.4.1) y la proposición 4.4.2. (Sugerencia: 1t/sen 1tZ tiene polos en los enteros con Res (1t/sen 1tZ, n) = (-1 )n. Discuta cómo podría manejar la adición si alguno de los polos de/estuviera en los enteros; véase la proposición 4.4.4.) 6. Muestre que si 2z -1 no es un entero, entonces
1 1 4 = + COS1t Z n
:E [
n
=l
2z-1 (2z-1)2-4n2
+
(Sugerencia: cos(x + iy )= cos x cosh y + i sen x senh y, Utilice el cuadrado con esquinas
±N±Ni para las eN dadas en el teorema de desarrollo en fracciones parciales (4.4.5).
Finalmente, combine los términos n y -n.) 7. Use el teorema del desarrollo en fracciones parciales para mostrar que
1 ' cot z = - +L z
(
)
1 1 00 +-- = -+ L =1 z -n1t n1t z n 1
1
---::---::--::-z2 -n21t2
donde k ' significa que la suma es sobre todo n � O.
-
2 1122+ 113 -1142 +... = 1t2f12. 3 9. Trate de evaluar la suma I: (1/n ). (No se desanime demasiado si no tiene éxito. Vea las 8. Demuestre que
1
00
n=l
observaciones en las respuestas a los ejercicios impares al final del libro.)
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 l. Evalúe
2. Evalúe
JY
J
2o"
__d_e
__
2-sen e
1 --- --- d z donde (z -1) (z-2)
a) y es el círculo con centro en O y radio l.. recorrido una vez en sentido contrario al de 2 las manecillas del reloj.
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4
3.
b)
Igual que en
a)
e)
Igual que en
a) pero
S.
Calcule
8.
con radio ;.
I�
Evalúe
f_�
- dx -x4 -:- - I-
senx ------
xx ( +1)(x2 + 1)
I�
Evalúe
1 x6 + 1
J:
n es un entero positivo.
dx
dx
d8
2 cose+ 3
Seafanalítica en una región que contiene el semiplano superior z { 1 Im z;;::: o]. Suponga que para alguna a > O, lfz ( ) ::;; Mllzla para z l l grande. Muestre que para Imz > O, f( z) =
9.
�
x
Jc zne11zdz siC es el círculo unitario centrado en O y
Evalúe
7.
�
pero con radio
Evalúe
4.
6.
331
1 . 21tl
--
""J
10. Muestre que
dt= ��
sen kt
t
i
zl
1
(e-z)
-=:---_;_
__
z2
dx
k>O
k=O
-1
cos =
x-z
-00
Evalúe
1 1 . Evalúe
f(x)
k
dz
12. Muestre que
dx = donde O< m < n.
1t --
--
n sen
(m1tln)
332
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS 13.
Encuentre las expansiones de Laurent de f(z)
1 (z -l)(z -2)
que sean válidas para a) O< lzl < 1 y b) lzl > 2 . Escoja Zo=O. 14.
Muestre que
f"' o
15. 16.
17.
sech x dx=_:: 2
(Sugerencia: considere el rectángulo con esquinas en ( ±R , ±R+ni).) ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor de 1/ cos z alrededor de z =O? Explique cuál es el error en el siguiente razonamiento. Sabemos que a z= ez Iog a, así que daZ/dz =(log a)a'. Por otro lado da ztdz = z a'- 1 • Por lo tanto, z a z - 1 = a2(log a), así que z =a log a. Encuentre los residuos de las siguientes funciones en cada singularidad: b)
00
¿Dónde es analítica I:0 zn e-izn? n19. Seaf(z) con un cero de orden k en .zo, Muestre que Res (f'IJ, z 0)=k. Encuentre (f"/f', Zo) y Res (f"lf, z0). 20. Seaf entera y suponga que Ref es un polinomio enx,y. Demuestre quejes un polinomio. 21. Explíque cuál es el error en el siguiente razonamiento, luego calcule el residuo correc tamente. La expansión
18.
1
=---..,... (z-1)2 z(z-1)2
---
1 l+(z-1)
-----
=
.
•
.
+
1
1
--:- +
----
-
(z-1)5
(z-1)4
1
---7'""
(z-1)3
es la expansión de Laurent; puesto que no hay término en 1/(z- 1), el residuo en z = 1 es cero. 22. Verifique el principio del máximo para funciones armónicas y el principio del mínimo para funciones armónicas, para la función armónica u(x, y) = x2- y2 en [0, 1] X [0, 1]. 23.
Evalúe
J
r
1 z(z-l)(z-2)
donde y es el círculo centrado en O, con radio
;
dz
.
24. Lo mismo que en el ejercicio 23 pero con radio � . 25. Determine el radio de convergencia de las siguientes series: b)
� ( 1--;)n zn "'
¡
EJERCICIOS D E R EPASO D E L CAPÍTULO 4
26.
333
Establezca lo siguiente: senh ax
----
senh 1tX
a 1 dx =-tan-
para
2
2
-1t
(Sugerencia: integre e"Z/senh (1tz) sobre un "cuadrado" con lados y= O, y= 1, x =-R, x.= +R y encerrando las singularidades en O, i.)
27. Expanda lo siguiente en series de Laurent como se indica:
f(z) = (
1-z
a) paralzl< l;z0=0
e) 28.
para lz +
11< 2; z0 =
J<
b)
para lzl > 1; z0=O
d)
para O< lz- 1 1< oo ;
d e _ (a + sen2 6)2
___
__ _
=
1t (2a +1)
para
4(a2+ a)312
dx=�
J= o
b)
8
Demuestre que
----
x2X' + b2
dx=
para
31.
z0 =
a>O
2
1tba- l
cos
(1ta/2)
para-1
z � (n+ _!_)1t
2
(Sugerencia: empiece con la identidad para la cot z de la proposición 4.4.4 y use el z= cot z- 2 cot 2z.)
hecho de que tan Demuestre que
L -oc
(-l )n
---:-- =
(a+ n)2
1t2
ese
(na)
cot
(na)
32. Evalúe oc
1:
1
n6
-
n=I
33.
1
Establezca las siguientes fórmulas: sen x 3
30.
1
3
Muestre que
r 1tl2 o
29.
-
)
......
Explique cuál es el error en el siguiente razonamiento:
Ioo O
donde
yR es el
sen
X
x
1
dX- _
2
J"'
=
-
sen x X
1 1, dx- 1m _
2
eje x de-R aR más la circunferencia
R-> oo
J
'YR
sen z
z
1 z = Re'91 O �
dz
e � 1t
J.
334
CAP. 4. CÁLCULO DE RESIDUOS
Pero (sen
z)lz
es analítica en todo punto, incluyendo al cero y, por lo tanto , por el teorema
deCauchy,
LR
Por lo tanto,
z
sen
dz=O
z
J:
senx X
dx=O
34. Seaj(z) analítica dentro y sobre un contorno cerrado y simple y. Para ferenciable cerca de
z 0, muestre que 1
f(z0) =. V.P. 1tl
· J
f((,)
r
z 0 sobre y,
y y di
d (,
r, -zo
35. Use el ejercicio 34 para encontrar condiciones suficientes bajo las cuales
1
f(x, 0)=-.- V.P.
1tl
--00
paraf(x, y)=f (z) analítica. Deduzca que l u(x, O)=- V.P.
1t
f""
v(l;, 0) 1;-x
-00
u y v son llamadas las
NOTA.
36. Muestre que 1
sen z donde
-
z
+
�
'
"' J
d(,
f((, , O) (, -x
d(,
_..!:.._ V.P.
y
v(x, 0)=-
1t
Joo 0
sen ffiX
----
senh
bx
n(
(-1)
z
l
-n1t
1
)
n1t
z
1;-x
di;
�
11 ; 1
O.
dx.
puesta caótica" del oscilador, está dada por 3
f:
M=
3 Véase
O)
00
1
+ -- =-+2z
38. Cuando un oscilador no lineal es forzado con una frecuencia
Muestre que M=
-00
u(l;,
transfonnadas de Hilbert una con respecto de la otra.
�' quiere decir que la suma se toma sobre toda n -,.6
37. Evalúe
J""
sech
ro, una medida de la "res
bt cos rot dt
(1t/2b) sech (rox/2b).
J. Guckenheimer y P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations 1983, sec. 4.5.
ofVector Fields, Nueva York, Springer-Verlag,
5 Mapeos conformes En el capítulo 1 se incluyó una breve investigación de algunos aspectos geo
métricos de las funciones analíticas. Regresamos ahora a este tópico para desarrollar al gunas técnicas adicionales. Queremos ser capaces de transf ormar una región dada en otra región dada mediante una función analítica, uno a uno y sobre. En la sec
ción 5.2 se discuten algunos casos concretos para los cuales tales transformaciones o mapeos pueden escribirse explícitamente. Que tales mapeos siempre existen en
teoría, es l a afirmación del famoso teorema del mapeo de Riemann, el cual se dis
cute, pero no se demuestra, en la sección 5.1 . Se da una demostración en el suple
mento del capítulo 6, pero ese material no se requiere para entender la teoría principal
y las aplicaciones de este capítulo o del resto del texto, así que puede omitirse si así se desea. La teorí a de los mapeos conformes tiene algunas aplicaciones importantes al problema de Dirichlet y a las funciones armónicas. Estas aplicaciones son usadas en problemas de conducción del calor, electrostática e hidrodinámica, las cuales se
rán discutidas en la sección 5.3. La idea básica de tales aplicaciones es que un mapeo conforme puede usarse para transformar una región dada en una región más sim
ple, en la cual el problema puede resolverse mediante inspección. Al regresar otra vez a la región original, se obt iene el resultado deseado.
5.1. TEORÍA BÁSICA DE LOS MAPEOS CONFORMES
Transformaciones conformes La siguiente definición fue presentada en la sección 1 .5: Un mapeo f:
es llamado conforme si para toda z0
E
A, frota
A
�
B
a vectores tangentes a curvas a
través de z0, un ángulo específico 9 y los alarga un factor definido r. Vamos a re cordar el siguiente teorema que se demostró en la sección 1 .5.
Teorema del mapeo conforme 5.1.1. Sea f: A
toda z0
E
A. Entonces fes conforme.
�
B analítica y f'(z0)
oF O para
335
336
CAP. 5. MAPEOS CONFORMES
De hecho, si f solamente preserva ángulos y si ciertas condiciones de regulari dad se satisfacen, entonces f debe ser analítica y f'(z 0) 7'= O (véase el ejercicio 8). Por lo tanto, podemos decir que "conforme" significa analítica con derivada distinta de cero. Encontraremos que es conveniente asumir este significado en el resto de este texto. Sea A = { z 1 Re z > O e Im z > O} y B = { z 1 Im z > O}. Entonces el mapeo f: A 2 -; B definido por z -; z , es conforme. (El estudiante puede verificar esto fácil mente.) La figura 5.1.1 ilustra el teorema mostrando la preservación de ángulos en este caso. Si f' (Zo) = O, los ángulos no necesariamente se preservan. Por ejemplo, para el mapeo z-; z 2, los ejes x y y se intersectan en un ángulo rt/2, pero las imá genes se intersectan en un ángulo rt. Un punto tal en donde f'(z0) = O para una función analítica¡, es llamado un punto singular. Los puntos singulares se estudian con mayor detalle en el capítulo 6.
y
y
1
Figura 5.1.1. Un mapeo conforme. Proposición 5.1.2
(i) Si f: A-; Bes conforme y biyectiva (esto es, uno a uno y sobre) entonces f-1 : B-; A es también conforme. (ii) Si f: A -; By g : B -; C son conformes y biyectivas, entonces g o f: A -; C es conforme y biyectiva. Demostración
(i) Ya que f es biyectiva, el mapeo¡-1 existe. Por el teorema de l a función inversa (1.5.10),J-1 es analítica con df-1(w)ldw = 1/[d f(z)ldz] donde w = f(z). Por lo tanto, df -1(w)ldw 7'= O, así que f-1 es conforme. (ii) Ciertamente, g o f es biyectiva y analítica, pues g y f lo son. (La inversa de g o f es¡-1 o g-1.) La derivada de g o f en z es g'( f(z)) f'(z) 7'= O. Por lo tanto, g o fes con . forme, por definición. • •
Debido a las dos propiedades de la proposición 5. 1 .2 (y el hecho obvio de que el mapeo identidad z -; z es conforme), podemos referirnos justificadamente al conjunto de mapeos conformes biyectivos de una región fija en sí misma, como un grupo.
337
5.1. TEORÍA BÁSICA DE LOS MAPEOS CONFORMES
La propiedad (i) es importante porque podremos usarla para resolver varios problemas asociados con una región dada (como el problema de Dirichlet). El mé todo consistirá en encontrar un mapeo conforme biyectivo f: A � B, donde B es una región más simple en la cual se puede resolver el problema. Para obtener la respuesta en A, transformamos entonces nuestra respuesta de B a A, mediante ¡-1• El problema de Dirichlet involucra funciones armónicas, así que debemos verificar que las funciones armónicas permanecen armónicas cuando las componemos con un mapeo conforme. Para hacer esto demostramos el siguiente resultado. armónica en una región By sea f: A � fes armónica en A.
Proposición 5.1.3. Sea
Entonces
u
o
u
B
analítica.
Sea z E A y w = f(z). Sea U un disco abierto en B alrededor de w y sea V =f-1 (U). Es suficiente mostrar que u f es armónica en V (¿por qué?). Por la proposición 2.5.8, existe una función analítica g en U tal que u = Re g. En tonces u f = Re (g f) (¿por qué?) y sabemos que g fes analítica, por la regla de la cadena. Así, Re (g f) es armónica. • Demostración.
o
o
o
o
o
Teorema del mapeo de Riemann
Hay un teorema básico, pero más sofisticado, concerniente a mapeos confor mes, que garantiza la existencia de tales mapeos entre regiones dadas A y B. En la siguiente sección se verifica la validez de este teorema en algunos casos especiales. El teorema general no tiene siempre un valor práctico inmediato, porque no nos dice explícitamente cómo encontrar los mapeos conformes. Sin embargo, es un im portante teorema que debemos conocer. Vamos a demostrar aquí la unicidad, pero dejaremos la existencia para el suplemento al capítulo 6; véase también E. Hille, Analytic Function Theory, Vol. II (Boston: Ginn, 1959), pág. 322, o L. Ahlfors, Complex Analysis (Nueva York: McGraw-Hill, 1966), pág. 222. Teorema del mapeo de Riemann 5.1.4. Sea A una región simplemente conexa tal que A "# C. Entonces existe un mapeo conforme biyectivo f: A � D, donde D = { z tal que lzl < 1 }. Más aún, para cualquier z0 E Afija, podemos encontrar una ftal que f(Zo) = O y f '(z0) >O. con tal especificación fes única.
A partir de este resultado, vemos que si A y B son dos regiones simplemente conexas con A "# C, B "# C, entonces existe un mapeo conforme biyectivo g: A � B. En efecto, si f: A � D y h: B � D son conformes, podemos tomar g = h 1 o f (véase la figura 5.1 .2). Dos regiones A y B son llamadas conformes si existe un ma peo biyectivo conforme de A a B. Así, el teorema del mapeo conforme de Riemann -
implica que dos regiones simplemente conexas (distintas de C) son conformes.
Suponga quefy g son mapeos conformes biyectivos de A sobre D, con /(z0) = g(z0) = O, f '( Zo) >O y g '(Zo) >O. Queremos mostrar que f(z) = g(z) para toda z en A. Para hacer esto, defínase h en D como h(w) = g( f-1 (w)) para w E D. Entonces h: D � D y h(O) = g(f-1 (O)) = g(Zo) = O. Por el lema de Schwarz (2.5.7), l h(w) l � lwl para toda w E D. Exactamente el Demostración de la unicidad en el teorema 5.1.4.
338
CAP.
5.
MAPEOS CONFO RMES
mismo argumento se aplica a h-1 = f o g-1 , así que lh-1 (�)1 ::;; 1�1 para toda � E D. Con � = h(w) esto da lwl ::;; lh(w)l. Al combinar estas desigualdades, obtenemos lh(w)l = lwl para toda w E D. El lema de Schwarz nos dice ahora que h(w) = cw para una constante e, con lcl = l . Así, cw = g( f -1 (w)). Con z = f- 1 (w) obtenemos cf(z) = g(z) para toda z E A . En particular, cf' (z0) = g' (z0). Ya que tanto f' (z0) como g'(Zo) son números reales positivos, también lo es c. Así, e = 1 y, por tanto,f(z) = g(z), como se quería. •
Figura 5.1 .2. Para transformar A en B, componemos h- 1 con f.
La condición j'(z0) > O es equivalente a decir que arg f'(Zo) =u. Usando el ar gumento precedente, uno puede modificar la afirmación de unicidad de tal manera que f(Zo) y arg f' (Zo) se especifiquen. Se le pide al estudiante demostrar esto en el ejercicio 7. Aquí está otro hecho útil que debemos conocer acerca de los mapeos confor mes. Sean A y B dos regiones (conexas) con fronteras fr (A) y fr (B). Suponga que f: A � f(A ) es conforme. Si f(A) tiene frontera fr (B) y si, para alguna z0 E A, te nemos f(z0) E B, entonces f(A) = B. En otras palabras, para determinar la imagen de un mapeo conforme, solamente necesitamos considerar la frontera y un punto interior. Para demostrar esto argumentamos lo siguiente. Puesto que B es abierto, B n fr (B) = 0. La cerradura de B es B u fr (B), así que podemos descomponer al pla no en la unión ajena C =B u fr (B) u ext B, donde ext B es abierto. Ya que f' nunca se anula en A , el teorema de la función inversa muestra que f(A) es abierto. Por ende f (A) n fr (f(A)) = 0. Pero fr ( f(A)) = fr (B), así quef(A) está contenida en la unión de los conjuntos abiertos ajenos B y ext B. Puesto quefes continua en el conjunto co nexo A,f(A) es conexo. Por lo tanto, f(A) e B o f (A) e ext B. Como f(Zo) E B, debe mos tener quef(A) e B. Ya quef(A) es abierto, es abierto relativo de B. Finalmente. f(A)
f(A) n B =[ f(A) n B] u [fr (B) n B] [ f(A) n B] u [fr ( f(A)) n B] = [ f(A) u fr ( f (A))] n B = el ( f(A)) n B =.
=
así que f (A ) es cerrado relativo de B. Como B es conexo, f (A ) proposición 1 .4 . 1 3).
=
B (véase la
5 . 1 . TEORÍA BÁSICA DE LOS MAPEOS CONFORMES
339
La conectividad simple, es esencial en el teorema del mapeo de Riemann. Es fáci l mostrar (véase el ejemplo resuelto 5. 1 . 7) que sólo una región simplemente co nexa puede ser mapeada biyectivamente mediante un mapeo analítico sobre D. Un resultado relacionado que puede demostrarse es que los anillos O < lzl < 1 y 1 < lzl < 2 no son conformes: véase el ejemplo resuelto 6. 1 . 1 4 .
Comportamiento en la frontera El teorema del mapeo de Riemann y la mayoría de nuestras otras observacio nes acerca de los mapeos conformes han discutido el desarrollo en regiones, que son conj un tos abiertos conexos. En particular, el teorema del mapeo de Riemann no dice que pasa en la frontera de A o de D. Sin embargo, muchas de las aplicaciones implican encontrar algo dentro de una región, a partir de la información en la fron tera. Así que el comportamiento de los mapeos conformes en la frontera puede ser importante. En la siguiente sección investigaremos algunos casos concretos que in volucran regiones tales como discos, semiplanos, cuadrantes y demás, y los mapeos seguirán usualmente un buen comportamiento en la frontera. Esto no es casual, como lo muestra el siguiente teorema, pero no es automático. Los conjuntos abier tos conexos y simplemente conexos para los cuales se aplica el teorema del mapeo de Riemann, pueden ser bastante complicados . Por ejemplo, considere el conjunto A obtenido al suprimir del cuadro S = { zl O < Re z < 2 y O < Im z < 2 } los segmentos verticales Jn = {z = l ln + yiiO � y � 1 } , n = 1 , 2, 3, . . . (Véase la figura 5. 1 .3.) El teorema del mapeo de Riemann garantiza que existe un mapeo conforme de A sobre D, pero el pretender extenderlo continuamente a la frontera de A, particularmente a O, crea problemas. (Una descripción detallada del comportamiento en la frontera de los mapeos conformes se puede encontrar en el li bro Theory of Functions of a Complex Variable, de A. l. Markushevich, Nueva York. Chelsea Publ. Co. , 1 977, Vol. 3, cap. 2. Para regiones bien comportadas existe un bonito resultado, el cual establecemos sin demostración:
y
y 2 �------, A
--fU�-'---'-------'2'----;o.. Figura
X
5.1 .3. Aun cu ando A tiene una frontera compl icada, puede m apearse confor memente en O.
340
CAP. 5. MAPEOS CON FORMES
Si A 1 y A2 son regiones simplemente conexas acotadas, cuyas fronteras y1 y y2 son curvas cerradas, continuas y sim ples, entonces cualquier mapeo conforme uno a uno y sobre de A 1 en A2, puede extenderse a un mapeo continuo uno a uho y sobre, de A1 u y1 en A2 u y2• Teorema de Osgood-Caratheodory
5. 1.5.
Una vez que se conocen las fronteras que son transformadas continuamente, podemos obtener información acerca de las regiones mismas. El siguiente teorema
bosquej a tal procedimiento. Las condiciones son lo suficientemente restrictivas que no necesitamos verificar un punto z0
E
A.
Sea A una región acotada con f: A � C u n mapeo conforme bi yectivo sobre su imagen f(A). Suponga que f se extiende continuamente a el (A) y que f transforma la frontera de A sobre un círculo de radio R. Entonces f(A) es igual al interior de ese círculo. Más generalmente, si B es una región acotada que, junto con su frontera, puede transformarse conformemente sobre el disco unitario y su frontera, y si f transforma a fr (A) sobre fr (B), entonces f(A) = B . Teorema
5.1.6.
Demostración. Al componer f con el mipeo conforme h que manda a B al
círculo unitario, es suficiente considerar el caso especial en el que B es i gual a D = { z tal que lzl <
1 }.
Sobre fr (A), 1/(z)l =
1
y, por lo tanto, por el teorema del módulo
máximo, 1/(z)l :S: 1 en A. Puesto que f no puede ser constante, /(A) C D. En otras
palabras, en ninguna z
E
A se alcanza el máximo 1/(z)l = l . Hemos supuesto que
f(fr (A)) = fr (D), pero esto también es igual a fr ( /(A)). Para ver esto, use la com pacidad de el (A), la continuidad def, y el que D 11 fr (D) = /(A)
n
fr ( /(A)) = 0.
Así que nuestro primer argumento se aplica para mostrar quef(A) = D. •
Ejemplos resueltos 5. l.7. Encuentre un mapeo conforme biyectivo que mande una región acotada a una región
no acotada. ¿Puede usted encontrar uno que mande una región simplemente conexa a una región que no es simplemente conexa ? Solución. Considere J(z) = 1/z en A = { z 1 O < lzl < 1 } Claramente, A es acotada. También, B = f(A) = { z tal que lzl > 1 } ; f es conforme de A en B y tiene i nversa g-1 .
(w) = l lw. Pero B no es acotado. La respuesta a la segunda parte de la pregunta es no. Si A es simplemente conexa y si f A � B es un mapeo conforme biyectivo, entonces B debe ser �implemente conexo. Para mostrar esto, sea y una cur.va cerrada _en B y sea y = ¡ -1 o y. Entonces, si H(t, s) es una homotopía que contrae y a un punto, Jo H(t, s) es una homotopía que contrae y a u n punto. 5. 1.8. Considere lafunción armónica u(x, y) = x + y en la región A = { z 1 O < Im z < 21t} . ¿ Cuál es la correspondiente función armónica en B = C\(eje positivo real) cuando A es transformada mediante z � ez? Solución. Sea J(z) = e'. Sabemos, del capítulo l , que f es uno a uno sobre B y que f' (z) = e' ,t O. Así que f es conforme de A a B y, por lo tanto, por la proposición
5. 1.3, la funciórt correspondiente en B es armónica. Esta función es:
341 v(x, y) = u(J- 1 (x, y)) = u(log (x + iy))
(
= u Iog = log
J r + y2 + i tan-1
:)
J r + y2 + tan-1 � X
donde tan-1 (y/x) = arg(x + iy) está en ]0, 2x[. Note que verificar directamente que v es armónica sería un poco tedioso, pero sabemos que esto debe ser así por la proposi ción 5. 1 .3. 5. 1 .9. ¿ Cuál es la imagen de la región A = { z 1 (Re z)(lm z) > l y Re z > O, Im z > O} bajo la transformación z -7 z2? '
Solución. En el semiplano derecho {z 1 Re z > 0 } , sabemos que f(z) = z2 es conforme (¿por qué?) . Para encontrar la imagen de A primero encontramos la imagen de la cur va xy = l . Sea w = z2 = u + iv. Entonces u = x2 - y2, v = 2xy. Así, la imagen de xy = 1 es la curva v = 2 . Debemos verificar la localización de la i magen de un punto en A, digamos, z = 2 + 2i. Aquí z2 = 8i y, por lo tanto, la imagen es la región sombreada B t.. en la figura 5. 1 .4. y
V
Figura 5.1.4. Imagen del conjunto A bajo el m apeo conforme
z
�
2 z •
Ejercicios l. 2.
¿Cuál es la imagen del primer cuadrante bajo el mapeo z � z3? Considere/ = u + iv, donde u(x, y) = 2x2 + y2 y v = y2/x. Muestre que las curvas u = cons tante y v = constante se intersectan ortogonalmente pero quefno es analítica. 3. ¿Cerca de qué puntos son conformes los siguientes mapeos? a) /(z) = z3 + z2
b) f(z) = z/( 1 + 5z)
4. ¿Cerca de qué puntos son conformes los siguientes mapeos? a ) /(z) = z
b) f(z) = (sen z)/(cos z)
342
CAP.
S.
MAPEOS CONFORMES
2
2
S. Considere la función armónica u(x, y) = l - y + xl(x + y ) en el semi plano superior y > O. ¿Cuál es la correspondiente función armónica en el pqmer cuadrante x > O, y > O,
2
bajo la transformación z � z ? 6. Sean A y B regiones cuyas fronteras son arcos suaves. Seafconforme en una región que incluye A u fr (A) y que transforma A sobre B y fr (A) sobre fr (B). Sea u armónica en B y u = h(z) para z en la frontera de B. Sea v = u o f de tal manera que v es igual a h o f en la frontera de A. Demuestre que iJvliJn = O en Zo si iJuliJn = O en f(z0), donde Zo E fr (A) y iJ/iJn denota la derivada en la dirección normal a la frontera. 7. Sean A y B regiones como en el teorema del mapeo de Riemann. Dadas Zo E A, w0 E B y un ángulo 90, y suponiendo este teorema, demuestre que existe un mapeo conforme f: A � B conf(;¡) = Wo y argf'(;¡) = eo; también demuestre que tal fes única. 8. Seaf A � B una función tal que iJfliJx y iJfliJy existen y son continuas. Suponga quef es uno a uno y sobre, y que preserva ángulos; demuestre que f es analítica y conforme. ¿Puede el mapeo del ejercicio 2 preservar todos los ángulos? (Sugerencia: sea c(t) una curva con e( O) = z0 y sea d(t) = f(c(t)). Demuestre ,
1
d (t) = 2
(
a¡
--
iJx
.
-1
a¡
)
--
iJy
,
1
e (t) + 2
(
a¡
--
. a¡
+ 1 -iJx iJy
)
,-
e (t)
y examine la afirmación d' (O)/c'(O) tiene argumento constante, con el fin de establecer las ecuaciones de Cauchy-Riemann paraf) 9. Si f: A � B es biyectiva y analítica con inversa analítica, demuestre que fes conforme. 10. Seaf: e � C, z � az + b. Muestre quefpuede ser escrita como una rotación, seguida de una amplificación, seguida de una traslación. 1 1. El teorema del mapeo de Riemann explícitamente excluye de ser considerado el caso en que A = e.
a) ¿Existe un mapeo conforme uno a uno y sobre de C en el disco unitario D? b) ¿Existe un mapeo conforme uno a uno y sobre de D en C? 12. Muestre que toda transformación conforme biyectiva de C en e es del tipo descrito en el ejercicio 1 O. 13. Suponga que fes un mapeo conforme de una región acotada A en una región no acotada B. Muestre que f no puede ser extendida de tal manera que sea continua en A u fr (A). (Observación: no se necesita toda la fuerza de la conformalidad en este problema.)
5.2. FRACCIONALES LINEALES Y TRANSFORMACIONES DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL En esta sección se investigan algunas maneras de obtener mapeos conformes específicos entre dos regiones dadas. No se puede dar una prescripción general para obtener estos mapeos; sin embargo, después de un poco de práctica, el estu diante debe ser capaz de combinar transformaciones fraccionales lineales (estudiadas en esta sección) con otras transformaciones familiares (como z 2, e"- o sen z) y así poder manejar muchas situaciones útiles. Para ayudar en este esfuerzo, se ilustran algunas transformaciones comunes en la figura 5.2. 1 1 , al final de esta sección. Además, se estudiará brevemente la fórmula de Schwarz-Christoffel, aun cuando da respuestas que usualmente sólo pueden ser dadas en términos de integrales.
343
Transformaciones fraccionales lineales Se discutirá primero la clase más simple, y una de las más útiles, de mapeos conformes. Una transformación fracciona/ lineal (también llamada una transfor mación bilineal o transformación de Mobius) es un mapeo de la forma
T(z) =
az + b
(1)
-
ez + d
donde a, b, e y d son números complejos fijos. Supondremos que ad - be oF O, puesto que de otra manera T sería una constante (¿por qué?) y queremos omitir este caso. Las propiedades de estas transformaciones se desarrollarán en las siguientes cuatro proposiciones. Proposición 5.2. 1.
El mapeo T, definido por la ecuación ( 1 ), es biyectivo y
conforme, de
{
A= z
d cz + d oF O, esto es, z oF c
}
{
sobre B = w
w oF
:}
De hecho, la inversa de T es también una transformación fracciona[ lineal dada por - dw + b T- 1 (w) = (2) cw - a ----
Demostración. Ciertamente T es analítica en A y
S(w) = (-dw + b)l(cw - a) es analítica en B. El mapeo T será biyectivo si podemos mostrar que T o S y S o T son la identidad, ya que esto significa que T tiene a S como su inversa. En efecto, esto se ve en estos cálculos: a T(S(w)) =
-dw + b cw - a
) )
+b
------
-dw + b
+d cw - a -adw + ab + bcw - ab c
=
( (
-cdw + be + dcw - da (be - ad) w =w = bc - ad Podemos cancelar porque cw - a oF O y be - ad oF O. Similarmente, ST(z) = z. Finalmente, T(z) oF O pues
d --
dz
S(T(z)) =
d --
dz
z=1
344
CAP. 5. MAPEOS CON FORMES
y así
S'(T(z)) Por lo tanto, T (z)
� O.
·
T'(z) = 1
•
Algunas veces es conveniente escribir T(-d/c) = oo (aunque, como siempre, de bemos ser cuidadosos para evitar las respuestas erróneas que obtendríamos si can celamos oofoo o
0/0).
En efecto, podemos mostrar que todas las tr�nsformaciones
fraccionales lineales son mapeos conformes del plano extendido Algunos casos especiales deben señalarse. Por ejemplo, si
a
=
1,
C en sí mismo. e =
O
y
d
=
1,
obtenemos T(z) = z +b, la cual es una traslación o "deslizamiento" que únicamente traslada por el vector resulta T(z) =
a z.
la figura
5.2. 1 ).
En el caso en que
b
=e=
O, d = 1 , T
a, es una rotación por arg a y una lal. El estudiante debe revisar el significado geométrico en este T(z) = 1/z es una inversión. Esto se ilustra en la figura 5.2.2.
Este mapeo, multiplicación por
amplificación por caso. Finalmente,
b (véase
y
y
. b
Figura 5.2.1 . Traslación.
y
Figura 5.2.2. Inversión.
5.2. FRACCIONALES LINEALES
Cualquier mapeo conforme de D { z tal que l zl mismo es una transformación fracciona/ lineal de la forma Proposición
5.2.2.
<
345
1 } sobre sí
(3)
T(z) = ei6
para a lguna z0 e D fija y e e [O. 27t[; más aún, cualquier T de esta forma es un mapeo conforme de D sobre D. Demostración. Primero verificaremos que para T de esta forma, lzl = 1
implica que I T(z)l = l . En efecto,
lz - z01 z - z0 ___:__ I T(z)l = 1 --.::...._ = lzl lz- 1 :fol l - ZoZ _ _
-
Pero lzl = 1 y, por tanto, z-1 = z. Así, obtenemos I T(z)l =
lz - Zol tz- :fot
= 1
ya que lwl = lwl. La única singularidad de T está en z = �- l , que está fuera del círculo unitario. Entonces, por el teorema del módulo máximo, T transforma D e n D. Pero por la proposición 5 .2. 1 ,
T-I( w) = e-i6
[
w - (-ei67�)
.�
l - (-e-'6 z0)w
J
la cual, puesto que tiene la misma forma que T. es también un mapeo de D en D. Así que T es conforme de D sobre D. Sea R: D � D cualquier mapeo conforme. Sea Zo = R-1(0) y sea e = arg R'(Zo)· El mapeo T definido por la ecuación (3), también tiene T(Zo) = O y e = arg T' (z0); en efecto,
el cual, en z = Zo• es igual a
una constante real por ei6. Así, por la unicidad de los mapeos conformes (véase e l teorema del mapeo de Riemann (5 . 1 .4) y e l ejercicio 7. sección 5. 1 ). R = T. •
346
CAP. S. MAPEOS CONFORMES
El resultado de esto es que la única forma de transformar un disco sobre sí mismo conformemente, es por medio de una transformación fracciona} lineaL Esta transformación tiene dos propiedades adicionales, como se mostrará en los dos re sultados que siguen. Proposición 5.2.3. Sea T una transformación fraccional lineal. Si L e e es una lí nea recta y S e e es un círculo, entonces T(L) es una línea recta o un círculo, y T(S) es una línea recta o un círculo.
Una línea puede transformarse en un círculo o en una línea. Si vemos a las líneas como círculo de radio infinito, entonces este resultado puede resumirse diciendo que círculos se transforman en círculos. T3 o T2 o TI ' donde T1(z) = z + die, Tiz) = llz, T3(z) = (be - ad)z/c y Tiz) = z + ale. (Si e = O, sólo escribimos T(z) = (ald) z + bid). Esto es fácil de verificar (véase el ejercicio l l ). Es obvio que TI ' T3 y T4 Demostración.
Escribiremos T = T4 2
o
transforman líneas en líneas, y círculos en círculos. Así que si podemos verificar la conclusión para T(z) = 1/z, la demostración estará completa. Sabemos, de la geo metría analítica, que una línea o un círculo está determinado por la ecuación
para constantes A, B, C, D, con A, B, C, no todas 2cero.2Sea z = x + iy suponga que 2 z oF O y sea llz = u + iv, de modo que u = xl(x + y ) y v = -y(xl + y ). Así, la ecuación precedente es equivalente a ,
2 2 Au - Bv - D(u + v )
=
-C
la cual es también un círculo o una línea. • Otra propiedad de las transformaciones fraccionales lineales se describe en el siguiente resultado. Dados dos conjuntos de puntos distintos z 1 , �· z3 y w 1 , w2, w3 (esto es, z1 oF z2, z 1 oF z3, z2 oF z3 y w 1 oF w2, w2 oF w3, w 1 oF w3, pero podemos tener z1 = w2, y así sucesivamente), existe una única transformación fracciona[ lineal T que manda z¡ � W¡, i = l , 2, 3, De hecho, si T(z) = w, entonces
Razón cruzada 5.2.4.
=
(4) z-�
El estudiante encontrará que frecuentemente es más fácil proceder directamen te que tratar de recordar lá ecuación (4) (véase el ejemplo resuelto 5.2. 1 3). Demostración. La ecuación (4) define una transformación fraccional lineal w = T(z) (¿por qué?). Al sustituir directamente vemos que tiene las propiedades deseadas 20.) Vamos a probar que es única. Defina T(z.) = w1., i = 1 , 2, 3. (Véase el eiercicio .., 1
347 S(z) =
Z - Z¡ z - z2
y z2 a Entonces S es una transformación fracciona) lineal que manda z 1 a O, z3 a· (z2 es la singularidad de S.) Sea R cualquier otra transformación fracciona}
1,
oo.
lineal, R(z) = (az + b)/(ez + d) con R(z 1 ) = O, R(z3 ) = y R(z2 ) (esto es , e� + d Entonces az 1 + b = O, ez2 + d = y (az3 + b)l(ez3 + d) = l . De este modo obtenemos que a = -b/z 1 y e = -dlz2, así que la última condición da b(z 1 - z 3 )/z 1 =
=
0.)
1
O
= oo
d(z2 - z3 )1z2 . Al sustituir en R, vemos, después de simplificar (lo cual debe hacer el estudiante), que R = S.
Usamos este resultado para probar que T es única, como sigue. Sea T cualquier transformación fracciona! líneal que manda
Z¡
a W;, i = 1 , 2, 3, La transformación
fracciona! lineal sr-1 manda W ¡ = Tz ¡ a O, w3 = Tz3 a y w2 = Tz2 a oo. Por lo tanto, sr-1 está determinado de esta manera única, por los cálculos precedentes. Así, T está determinada de manera única, ya que T = (ST- 1 )- 1 8. •
1,
Se sigue que podemos usar una transformación fracciona! lineal para transfor mar cualesquiera tres puntos en otros tres. Tres puntos están en un único círculo o línea y así, por la proposición 5.2.3, la transformación manda el círculo ( o línea) a Zp
z2 , z3 , en el círculo (o línea) que pasa por w l ' w2 , w3 , Por ejemplo, po demos tener la situación descrita en la figura 5.2.3. El interior del disco se transforma
través de
en uno de los dos semiplanos. Para determinar cuál, uno puede ver a dónde va el y
y
--------�---4� X
Figura
5.2.3. Efecto de u n a transform ación fracciona! l i nea l .
centro del círculo ( o cualquier otro punto, especialmente s i sucede que el centro va
) . Otra m a n era de hacer e s to es comprobando la orientac i ó n . Conforme avanzamos desde z 1 , a través de z2, hasta z 3 , localizados como en la figura 5.2.3,
a
oo
vamos en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del círculo con el disco a
la derecha. La imagen debe avanzar desde w l ' a través de w2, hasta w3, a lo largo de l a línea, con la imagen del disco a la derecha, como se muestra. El semiplano que es la imagen puede cambiarse al intercambiar z 1 y z 3 • Suponga que Z p z 2 , z 3 y w l' w2 , w3 determinan los círculos C 1 y C2 que acotan a los discos D 1 y D2 • Si la transformación fraccional lineal que manda z l ' z2 y z3 a wl ' w2 , y w3 es analítica en D l ' entonces debe transformar a D 1 sobre D2 y al exterior de C1 sobre el exterior de C2 •
348
CAP.
5.
MAPEOS CONFORMES
Si el cero del denominador está en Dl ' entonces transforma a D 1 en el exterior de e2, j unto con el punto al infinito. Otra vez puede determinarse la situación al examinar la orientación de los puntos a lo largo de los círculos y puede i nvertirse al cambiar la orientación de una de las ternas de puntos. Algunas de estas ideas y técnicas se ilustran en el ejemplo resuelto 5 .2 . 1 5 . Como mencionamos antes, las transformaciones fraccionales lineales pueden combinarse con otras transformaciones para obtener una clase bastante grande de mapeos conformes. Esto se ilustra en los ejemplos resueltos.
Reflexión en un círculo La idea de la reflexión en un círculo, que fue usada en la demostración de la fórmula de Poisson en la sección 2.5, puede generalizarse rápidamente a círculos con centros distintos de O. Esto puede discutirse en forma puramente geométrica y funciona también para transformaciones fraccionales lineales. En el espíritu de esta sección, las líneas rectas pueden ser pensadas como círculos de radio infinito. En este caso la nueva noción de reflexión resulta la reflexión usual. En particular, la reflexión en el eje real es la conjugación complej a. La proposición clave es una bo nita ilustración del uso del análisis complejo en un contexto aparentemente pura mente geométrico. Proposición 5.2.5. Sea C un círculo (o una línea recta) y z un punto que no está en
C. Entonces, todos los círculos (o líneas) a través de z que cruzan a C en un ángu lo recto, se intersecan uno con respecto de otro en un solo punto z. (Si sucede que z es el centro de C, entonces z es el punto al infinito. )
Demostración. Sea j una transformación fraccional lineal que manda a e a la línea real y al interior de e al semiplano superior. La familia de círculos que pasan por z y cruzan a e en un ángulo recto deben transformarse en la familia de círculos que pasan a través de w = j(z) y cruzan el eje real en un ángulo recto, ya que f transforma círculos en c írculos y preserva ángulos: Pero en la última familia clara mente todos se intersecan en w. En consecuencia, en l a primera familia deben todos cruzarse uno a otro en un solo punto z = ¡-1 (w). Véase la figura 5.2.4. •
Figura 5.2.4. los círc u l os que emanan de z y que cruzan C en ángu l os rectos, todos pasan a través de
z.
FRACCIONALES LINEALES
5.2.
349
Definición 5.2.6. Sea C un circulo o una linea recta y z un punto que no está en C. El único punto z obtenido en la proposición 5.2.5 es llamado la reflexión de z en C. Si z está sobre C. hágase z = z. Puesto q u e las transformacione s frac c ional e s l i neales mandan círc u los e n c írculos y preservan ángulos, la siguiente afirmación n o debe ser sorprendente. Proposición 5.2. 7.
Si g es una transformación fracciona/ lineal y C es un circulo (o una linea), entonces g manda la reflexión de z en C a la reflexión de g(z) en g(C). Esta afirmación puede ser parafrase ada en la siguiente forma. algo impreci s a
pero fác i l de recordar:
Una transformación fracciona/ lineal preserva reflexiones
en circulos: esto es, g(Z)
=
[ g(z) r
Demostración. La familia de c írc ulos ortogonales a e que pasan por z es lle
vada a la fam i l i a d e c írculos ortogo nales a g ( e ) que pasan por g(z), ya que g
manda c írculos en c írculos y preserva ángulos. De este modo, la i n tersección de l a primera fam i l i a , que e s fami l ia. que es
g(Z). •
z.
debe transformarse e n l a intersección d e l a segunda
De hecho, la reflexión es casi una transformación fracciona) l ineal por sí misma. Proposición 5.2.8.
Si C es un circulo (o una linea), entonces el mapeo z � z de reflexión en C, es una composición de transformaciones fracciona/es lineales y conjugación compleja. Si C es el círculo con centro z0 y radio R, entonces
Demostración. Seaf como en la demostrac ión de l a proposición d e esa demostración fue la ecuación
z = f-1 (w)
=
5.2.5.
El final
f 1 ( f (z)). l a cual es justamente la -
afirmación general de la proposición. Para obtener l a fórmula concreta. construi
mos una función f que manda e al c írculo unitario mediante z � (z - z0)/R, y en
tonces componemos con el mapeo del c írculo unitario al semiplano superior dado en l a figura
5.2. 1 1
(vi). (Véase tam bién el ej emplo resuelto
f(z)
Hágasef(Z)
=
=
i
5 .2. 1 3.) El
resultado es
R + z - z0
-=-
-
R - z + z0
f(z) y resuelv a para z. para obtener la fórmula deseada. •
A partir de la fórm ula de la proposición
otra descripción geométrica de
z.
5 .2.8,
podemos rápidamente calc ular
350
CAP. S. MA PEOS CONFORMES Proposición 5.2.9. Si e es un círculo con centro
z0
y radio R y si z � zO' entonces z es el punto sobre el mismo rayo que va de z0 a z, y se selecciona de modo que el producto de las distancias desde z0 es R 2 : i.e.,
Demostración. Use el hecho de que
lz - Zol
lz - 2o1 y calcule
lz
-
Zol lz - 2o1 •
usando la fórmula de la proposición 5.2.8. (Véase el ejercicio 23 y la figura 5.2.5.) • =
y
Figura
5 .2.5 . La refl exión de
z
en C.
A partir de las caracteri zaciones anteriores, la mayoría de los siguientes resul tados deben resultar ahora claros.
Proiwsición 5.2.10 (i)
z
z.
z no es conforme, pero se preserva la magnitud de los ángu los y se invierte su dirección (justo como en la conjugación compleja). (iii) Si e es una línea recta, z es el punto sobre la línea perpendicular a e a través de z y a una distancia igual en el lado opuesto de C. (iv) El mapeo z >---? z manda círculos en círculos (las línea rectas cuentan como círculos de radio infinito). =
(ii) El mapeo
z >---?
La fórmula de Schwarz-Christoffel La fórmula de Schwarz-ehristoffel da una expresión integral para transformar el semiplano superior o un círculo unitario, en el interior de un polígono dado. El caso del semiplano superior se discutirá aquí; el caso de un c írculo se deja como ejercicio.
351
5 . 2 . F RACC IO NAL ES L I N EAlES
Fórmula de Schwarz-Christoffel 5.2.11. Suponga que P es un polígono en el w plano, con vértices en w i ' w2, . . . , wn y con ángulos exteriores 1t
f(z) = a
(J: (� - x 1 )- al
•
•
•
)
(� - xn _ 1 )- an - J d� + b
(5)
donde a y b son constantes y la integración es a lo largo de cualquier trayectoria en A que une a z0 E A con z; se usa la rama principal para las potencias en el integrando. Más aún,
(i) Se pueden escoger arbitrariamente dos de los puntos x l ' . . . , xn. (ii) a y b determinan el tamaño y la posición de P; (iii) f(x¡) = wi + 1 ' í = 1, . . . , n - 1 ; y
(iv) f manda el punto al infinito a w 1 •
Figura 5.2.6.
l a fórmu l a de Schwarz-Ch ristoffe l .
El significado geométrico de las constantes a y b se explica con más detalle en la siguiente demostración. Se puede mostrar que la función /puede extenderse para que sea continua en el eje x y que/ transforma al eje x en el polígono P. Sin embar go, la función f no es analítica en el eje x, porque no preserva ángulos en x Pero f será analítica en A misma. Unicamente se darán las principales ideas de la demostración de la ecuación (5), puesto que dar una demostración absolutamente precisa sería bastante tedioso.
.
l
'
El primer paso es mostrar que si Xp · · · · xn 1 han sido ya escogidos, entonces f transforma al eje real en un polígono que tiene los ángulos correctos. Sea Bosquejo de la demostración de la fórmula de Schwarz-Christoffel. _
así que, en A , f (z) = g(z). Entonces '
352 =
arg a - a 1 arg (z - x 1 )
-
•
•
n-1
· -a
arg (z - xn - 1 )
En un punto donde f' (z) existe, arg f' (z) representa la cantidad que f rota a los vectores tangentes. Así, conforme f se mueve a lo largo del eje real, f(z) se mueve a lo largo de una línea recta, para z en cada uno de los segmentos ]-oo, x1 [, , ] x,, x, + 1 [, , arg f(z) salta por una cantidad a¡1t. (Si z - X¡ < O, Conforme z cruza x oo[. . , , . • ]xn 1 , arg(z - x¡) = n ; si z - X¡ > O, arg(z • X¡ ) = 0. ) En consecuencia, el eje real es trans formado en un polígono con los ángulos correctos. El último ángulo del polígono • • •
_
n
está determinado pues debemos tener L a.n = 2 1t. i= t
l
Enseguida, ajustamos este polígono para obtener P. La igualdad de los ángulos obliga a la semejanza de polígonos sólo para triángulos. (Por ejemplo, no todos los rec tángulos son cuadrados. ) Ésta es la razón básica de por qué deben escogerse arbitrariamente dos de los puntos (tres, si contamos el punto al infinito). Las posi ciones de los otros puntos relativa a estos puntos, controla las razones de las longi tudes de los lados del polígono imagen. Al escoger la x, correctamente, obtenemos entonces un polígono similar a P. Otra manera de entender este problema es consi derar la transformación del semiplano superior en un disco. Sabemos que esto puede ser efectuado mediante una transformación fraccional lineal y que esta trans formación está determinada completamente por su valor en tres de los puntos fron tera. (Dos de los puntos finitos y el valor en el infinito son especificados.) Escoger apropiadamente a a y b significa realizar un ajuste de escala, una rotación y una traslación para llevar este polígono a P. •
Ejemplos resueltos 5 .2.12. Enc u entr e un m ap eo confonn e q u e m and e a A = { z 1 O < conÍ unto D = { z tal que lzl < 1} . Sol uc ió n. La
respuesta no está dada por
z � .t,
sobre D; su imagen omite al eje real positivo. Primero considere z
� z 2•
arg
z < 1t/2, O < lzl < 1} al
porque este mapeo no transforma A
Éste transforma A en B, donde B es la intersección de D y
del semi plano superior (fi gura
5 .2.7).
Enseguida (consulte la figura
transforme a B en el primer cuadrante mediante
5 . 2. 11(iv))
z � (1 + z)/(1 - z) y eleve al cua z � (z - i)l(z + i)
drado para obtener el semiplano superior; entonces transforme para obtener el círculo unitario.
Así obtenemos nuestra transformación mediante sustituciones consecutivas: w,
=
z 2; wz =
l +
wl
l - w1
=
. w =w2 2 1- z2 ' 3
1 + z2
( (
1 + zz
) )
2
=
_i
(
l z2 = -.,-----;---
1 + z2 l
- z2
2
+
i
5.2.
FRACCIONALES L I N EALES
353
Por lo tanto.
es la transformación requerida.
l +z 1 -z
z-i z+i -
Figura 5.2.7. Transformaciones sucesivas que mandan a l cuarto de círculo en el círculo completo. 5.2. 1 3.
Verifique la figura 5.2. l l (vi). Solución. Buscamos una transformación fracciona} lineal T(z) = (az + b)l(cz + d) tal que
T(-1 ) = i, T(O) = -1 . T( l ) = -i . Así (-a + b)l(-c + d ) = i. b = -d, y (a + b)l(c + d ) =
-i. Al resolver resulta -a -d = i(-c + d), b = -d, a - d = - i(c + d ) . A l sumar la primera y la última ecuaciones, obtenemos -2d = i(-2c) o d = ic y al restar nos da a
= -id. Podemos hacer, digamos, b = 1 (pues el numerador y el denominador se pueden multiplicar por una constante), así que d =
T(z) =
iz + 1
iz - 1
=
-
1 a = i. e = i y en consecuencia ,
z-i z+i
Debemos comprobar que T(i) está dentro del círculo unitario. Esto es cierto pues
T(i ) = O. (Si se encontrara fuera, podríamos intercambiar A = - 1 y B = 0.) 5.2. 1 4. Encuentre un mapeo confonne que mande al semiplano mostrado en la figura 5.2.8
sobre el disco unitario.
354 y
y
Figura 5.2.8. Mapeo de un sem iplano rotado en el di sco. Solución. Considere S(z) = e -ia z. Éste transforma la región A en el semi plano supe rior (¿por qué?). Entonces, al usar la figura 5 . 2. 1 l (vi) obtenemos
como la transformación requerida. 5.2. 1 5. Estudie la acción de las funciones f(z) = (z - 1 )/(z - 3) y g(z) = (z el círculo unitario, el disco unitario y el eje real.
+
l )/(3z
+
1 ) en
Solución. Primero calculemos las imágenes de algunos puntos adecuados a) f( l ) = O
e) /(-1 ) = 1 2 e) /(3) = oo
1 g(I ) = _ 2
b) ji(i) = � -1 i 5
g(-1) = o
d) /(0) = +
1 ) 00 g (- = 3
5
2 1 g( l) = - -l 5 5 "
o
g(O) = 1
Así,/ manda al círculo que pasa por 1 , i y - 1 , al círculo que pasa por O,
+ - +i y +·
El mapeo g manda al círculo unitario al mismo círculo pero con la orientación in vertida, f manda al disco unitario al interior del círculo imagen mientras que g lo manda al exterior. Esto puede determinarse al examinar las imágenes de O o al notar que g(= oo. Podría no ser obvio cuál es el círculo imagen, pero es más fácil después de observar que tanto f como g mandan al eje real sobre el eje real. (La línea que pasa por - 1 , O
+)
2
y 1 , va a la línea que pasa por 1 , O, 1 y
1
3
-
y O, en el caso de fy va a la línea que pasa por
+• en el caso de g. Considere a dónde van las diferentes partes de la línea.) El
círculo unitario cruzá al eje real en ángulo recto en debe cruzar el eje en ángulo recto en O y centrado en
±
1 y, por ende, el círculo imagen
+· Entonces, es el círculo de radio + cen
+ compruebre que éste pasa por + - + i. Los efectos de este mapeo se
indican en la figura 5.2.9.
355
y
e
d
Figura 5.2.9. los m apeos para e l ejemplo resuelto 5 . 2 . 1 5 .
5.2. 1 6. Sea A = { z 1 I m z > O } \ { z 1 Re z = O y O � Im z � l } .
a) Encuentre un mapeo confonne f uno a uno y sobre, de A en el semiplano superior. b ) Encuentre un mapeo conforme g, uno a uno y sobre, de A en el disco unitario. Considere las siguientes funciones:
Primera solución.
= -iz = z2 = z2 - 1 = lz (corte = iz 1 -z f6(z) = l +z f1 (z) f2(z) f,(z) J4(z) f5(z)
de rama en el eje real negativo)
--
El mapeo
h
rota a A 90° para obtener el semi plano derecho con u n corte de
lo extiende a todo el plano con u n corte desde un corte desde
f5
- oo
a
O. f4
-oo
a
semiplano derecho a l disco unitario.
Calculamos
a),
y
a l.
f2
manda esto de regreso al semi plano derecho. Finalmente,
rota e l semiplano derecho en el semi plano su perior, mientras que
para la parte
O
1 , y f3 traslada esto al plano con
f6
manda a l
Así f(z) = f5(f4(f3( fz(f1 (z))))) debe funcionar g(z) = f6(f4 (fif2(f1 (z))))) debe funcionar para la parte b) .
356
CAP. 5. MAPEOS CONFORMES
,J-1 con cuidado: -1
Escójase
i(-i) v z2 + 1 = � z2 +
está en el corte de rama. Con
v'=I = -i tenemosj(z) =
l y la i magen es el semiplano superior. Para llegar al disco
unitario, tómese
g(z) = f6(-i ..J z2 + l ) =
Véase la figura
l + i Jz2 + l --
--
t - i Jz2 + 1
5.2. 1 0.
y
X
t
�
f3
y
y
!4
_...._ X
X
y
lx Figura 5.2.1 O.
�
los mapeos conformes f, a (6 usados en el ejemplo resuelto 5 . 2. 1 6.
Segunda solución
(para la parte
a)).
La región A puede ser considerada como un po
lígono (extraño) con ángulos exteriores de
0°
en
oo.
90°
en
O, -1 80°
en
i, 90°
O, y - ..[2, O y ,[2
otra vez en
Pruebe la fórmula de Schwarz-Christoffel usando los puntos
en el eje x. La fórmula de Schwarz-Christoffel debe dar u n mapeo que manda a el semiplano superior, en w en A. Así, probamos
w
= f(z) = a
I f
=a
(t; + m-1/2 t;(t; - Jz)-112 dt; + b t;
� r;z - 2
dl; + b = a h?- - 2 + b
z
en
5.2. FRACCIONALES LI NEALES
357
Si a = llffy b = O, éste manda al semiplano superior a A , con O yendo a i. Por lo 2 2 tanto obtenemos w = v z - 2112. Al resolver para z nos da z = ff.J w + 1 como un mapeo de A en el semiplano superior. La función / obtenida en la primera solución ha sido multiplicada por ..[2. Pero esto es correcto ya que transforma al semiplano superior en sí mismo. T La figura 5.2. 1 1 recopila algunas de las transformaciones comunes.
Ejercicios l. Seaj(z) = (z - 1 )/(z + 1 ). ¿Cuál es la imagen bajo f de
a) la línea real?
b) el círculo con centro en O y radio 2? e) el círculo con centro en O y radio 1 ?
d) el eje imaginario?
2. Sea f(z) = (z - i)l(z +
i). ¿Cuál es la imagen bajo f de
a) la línea real?
b) el círculo con centro en O y radio 2 ? e) el círculo con centro en O y radio 1 ?
d) el eje imaginario?
3. Encuentre las transformaciones fraccionales lineales para i = 1 , 2, 3 si
f, que satisfagan que f(z;) = w;,
a) z1 = -l , z2 = l, z3 = 2; w1 = 0, w2 = -l, w3 = -3
b) z 1 = -1 , z2 = 1 , z3 = 2; w1 = -3, w2 = - 1 , w3 = O 4. Encuentre las transformaciones fraccionales lineales para i = 1 , 2, 3, si
a) z1 = i, z2 = O, z3 = -l ; w1 = O, w2 = - i, w3 = b) z1 = i, z2 = O, z3 = -1 ; w1 = - i, w2 = O, w3 =
f, que satisfagan que f(z;) = w;,
oo oo
S. Encuentre una transformación fracciona! lineal que mande al disco unitario en el semi plano superior, con f(O) = 2 + 2 i. 6. Encuentre una transformación fraccional lineal que mande al disco unitario en el semi plano derecho, conf(O) = 3.
+ a +· Encuentre un mapeo conforme del disco unitario sobre sí mismo que mande + a - +
7. Encuentre un mapeo conforme del disco unitario sobre sí mismo que mande 8.
·
9. Encuentre un mapeo conforme uno a uno, de A = { z tal que lz - 1 1 < ,[2y lz + 1 1 < .[2} sobre el primer cuadrante abierto. 10. Transforme la región del ejercicio9, en el semiplano superior. 1 1. Demuestre: Cualquier transformación fracciona! lineal, con e "" O, puede escribirse como T = T4 o T3 o T2 o T1, donde T1(z) = z + die, T2(z) = 1/z, T3(z) = [(be - ad)lcl]z, y Tiz) = z +ale. Interprete geométricamente a T.
358
CAP. 5. MAPEOS CONFORMES 12. Demuestre que si tanto T como R son transformaciones fraccionales lineales, entonces también lo es T o R. 13. Encuentre un mapeo conforme del disco unitario sobre sí mismo que mande al O.
-}
14. Muestre que K(z) = z/( l - z) 2 manda en forma uno a uno y sobre, al disco unitario abierto 1
e n C\{z 1 Re z = O e lm z < - 4 } .
15. Encuentre todos Jos mapeos conformes que manden al disco d e radio R y centro e n O, sobre el disco unitario. 16. Establezca las partes (iii), (iv) y (v) de la figura 5.2. 1 1 . 17. Demuestre: La transformación conforme más general que manda al semiplano superior sobre el disco unitario e s T(z) = e ;e
( ) z - A.
z - A.
donde lm A. > O.
B
A
e
------ -----------
B'
C'
A'
(i)
21ti
z � e' log z � z (ii)
(ii i)
z� A
1 -z l +z
1 +z
l -z
�z
(iv) Figura
D'
5.2.1 1 . Algu nas transformaciones comu nes.
A'
B'
35 9
A'
A z� B e
z-1 z+1 B'
z+ 1 ( z- 1 )�z
C'
(v)
A' z� A
B
e
-i
z-i z .!... i B'
z+ 1 ( z+i )�z
C'
(vi)
z � e' log z � z -1
(vii)
z � eZ log z � z
1tÍ
1
-1
o
(viii)
l
z�z+ z - 1 =A
l =B
z+� 2
(ix)
l z� z
(x)
- 2 = A'
C'
2 = B'
360
z � sen z
sen-1 z +-1 z
A=
-1t
B
--
2
C=� 2
A' = - 1
(xi)
B
C' = 1
z � sen z 1 sen- z +--< Z
A
1t
B=2
Figura 5.2.11.
(xii)
A
B= 1
(Continuación.)
18. Suponga que a, b, e y d son números reales y que ad > be; muestre que T(z) = ( az + b)l ( cz + d) deja invariante el semiplano superior. Muestre que cualquier mapeo conforme del semiplano superior sobre sí mismo, es de esta forma. 19. Encuentre un mapeo conforme que mande a ( z 1 O < arg z < 1t/8 } sobre el disco unitario.
20. La razón cr uzada de cuatro puntos distintos Zp z2, z3, z4, está definida como
21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
Muestre que cualquier transformación fraccional lineal tiene la propiedad de que [T(z1 ), T(z2), T(z3 ), T( z4 )] = [Zp z2• z3, z4 } . ( Sug er en cia: utilice el ejercicio 1 1 .) Sean y1 y y2 dos círculos que se intersecan ortogonalmente. Sea T una transformación fracciona! lineal. ¿Qué podemos decir acerca de T(y1 ) y T(y2)? (Véase el ejercicio 20.) Mt!estre que [ zp z2, z3, z4] es real si Zp z2, z3, z4 están en una línea o en un círculo. Use el ejercicio 20 para dar otra demostración de la proposición 5.2.3. Complete los cálculos en la demostración de la proposición 5.2.9. Muestre que una transformación fraccional lineal T que no es el mapeo identidad, tiene a lo más dos puntos fijos (esto es, puntos z para los cuales T(z) = z). Dé un ejemplo para mostrar que T no necesariamente tiene puntos fijos. Encuentre los puntos fijos de
T(z) = z/( z + 1).
Transforme conformemente a A = { z 1 R e z < O, O < Im z < 1t } sobre e l primer cuadrante. Transforme conformemente a A = { z tal que l z - 1 1 < 1 } sobre B = { z 1 Re z > 1 } . Transforme conformemente a C\{eje real no positivo} sobre la región A = { z l-1t< 1m z < 1t} . Demuestre que los mapeos conformes que mandan l zl < 1 al interior de un polígono con zn en el círculo unitario l zl = 1 , a los puntos vértices wl' . . , wn, y a los puntos Zp w , . . . , wn, están dados por 1 . • •,
.
.
donde las
a;
f(z)
=a [J:
(/;-z1 )-«1
•••
J
(/; - zn )-«n di; + b
son como en la fórmula de Schwarz-Christoffel (5.2. 1 1 ).
5 . 2 . FRACCIONALES L I N EALES 29.
Muestre que
/(z)
=foz
361
d� ----;:= : ==== � �(� - l )(� - e)
donde e > O, transforma al semi plano superior en un rectángulo. Esta i ntegral es llama
30. 31.
32. 33. 34.
da una
integral elíptica y generalmente no se puede calcular explícitamente.) 5 . 2. 1 1 .
Verifique la parte (ix) de la figura
¿Es posible transformar conformemente al semiplano superior en un triángulo, usando
transformaciones fracciona les lineales? Invente una fórmula que esté basada en la fórmu
la de Schwarz-Christoffel.
Verifique, a partir de la fórmula de Schwarz-Chri stoffel, que z
conforme del semiplano superior en {z
�
1 sen- z es un mapeo
1 Im z > O y -rrl2
Muestre quefiz)
Suponga que C1 y C2 son dos círculos tangentes, con C2 en el interior de C1 . Muestre que se pueden colocar un número infinito de círculos en la región comprendida entre C1 y C2 , cada uno de ellos tangente a C1 y C2 y cada uno tangente al siguiente, como se muestra en la figura 5.2. 1 2. Muestre que los puntos de tangencia de cada círculo con el
siguiente, están en u n círculo.
Figura 5 .2 . 1 2.
35.
(Sugerencia: considere el ej ercicio 33.)
Se puede u tilizar una transformación fracc i ona! lineal para llenar el disco con círculos.
Considere una transformación fraccional lineal de la forma f(z) Muestre que
=a
(
z-b z-d
)
a) Los círculos que pasan por los puntos b y d, son transformados en líneas que pasan por el origen.
b) Los círculos de Apolonio, con ecuación l(z - b)/(z - d ) l = rila!, son transformados en círculos con centro en O, radi o r. e) Los círculos en a) y b), cuando están localizados en el plano z, son llamados círculos de Steiner. Bosquéjelos y verifique que tanto estos círculos como sus imágenes se i ntersecan en ángulos rectos.
362
5.3. APLICACIÓN DE LOS MAPEOS CONFORMES A LA ECUACIÓN DE LAPLACE, LA CONDUCCIÓN DEL CALOR, ELECTROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA Estamos ahora en posición de aplicar la teoría de los mapeos conformes, desa rrollada en las secciones
5 . 1 y 5.2, a algunos problemas físicos. Al hacer esto, re
solveremos el problema de Dirichlet1 y algunos problemas relacionados, para ciertos tipos de regiones bidimensionales. Aplicaremos entonces estos resultados a las tres clases de problemas físicos que se mencionan en el título de esta sección. Sólo se necesita un escaso conocimiento de l a física elemental, para entender estos ejem plos. Se previene al estudiante que la variedad de problemas que se pueden resolver explícitamente de esta manera, es un tanto l i mitada y que los métodos discutidos se aplican únicamente a problemas bidimensionales.
Los problemas de Dirichlet y de Neumann Recordemos que se dice que
u(x, y) satisface la ecuación de Laplace (o es
armónica) en una región A, cuando
Además de esta condición, generalmente se especifica cierto comportamiento en la frontera, determinado por el problema físico a resolver. Este comportamiento en la frontera (o condiciones de frontera) usualmente determinan a Por ejemplo, el teorema de unicidad para el problema de Dirichlet una función armónica
u en forma única. (2.5. 1 2) indica que
u(x, y), cuyos valores en la frontera de A son especificados,
está determinada en forma única. También tendremos ocasión de considerar condi ciones de frontera en las que
iJuliJn
= grad u
•
n se especifica en la frontera.
es igual a la derivada en la dirección normal a la fr definida, la frontera de
(fJuliJn (A)). (Para que iJuliJn esté bien
A debe ser, al menos, suave por tramos, de modo que tenga exterior de n puede defi
una dirección normal bien definida.) La dirección normal
n irse precisamente, pero ya que el énfasis general de esta sección está en los méto dos de cálculo, no se dará aquí un tratamiento matemático preciso. Así, aceptaremos como conocido lo que se entiende por normal unitaria exterior n (véase la figura
5.3. 1 ). El problema de encontrar una función armónica
u, con iJuliJn especificada en problema de Neumann. No podemos especificar cp = iJuliJn arbitrariamente porque si tal u existe, entonces afirmamos que l a frontera, e s llamado el
J �=0 r
iJn
1 El problema de encontrar una función annónica en una región A cuyos valores estén especificados
en la frontera de A, es llamado el problema
de Dirichlet. Este problema fue discutido en
la sección 2.5.
363
Figura
5.3. 1 . Problema de Neumann. A. Para demostrar esto, aplicamos el teorema de Green 2 .2), que puede escribirse en su forma di vergente (frecuentemen
donde y es la frontera de (véase la sección
te llamado el teorema de Gauss)
f1
X
·
n
f
ds =
A
div X d.x dy
donde X e s una func ió n vectorial dada, con componentes
(X1 , X2) y donde la
divergencia de X se define como
div X =
ax 1 --
ax
Al aplicar la ecuación ( 1 ) a X = grad
f
y
� ds = an
f
y
puesto que div grad
u
(grad
=
u)
· n ds =
f
A
ax2
+ --
{1 )
ay
u, nos da div grad u d.x dy =
J
A
V2 u d.x dy = 0
V2 = O. Esto demuestra nuestra afirmación.
f1<1> tiene, en efecto, una solución. S in embar
Si en y damos una condición en la frontera demostrar que el problema de Neumann
go, podemos demostrar el sigui ente hecho: La
solución al problema de Neumann en una región acotada y simplemente conexa es única excepto por la suma de una constante. Sean U¡ y u dos soluciones, con au llan = auian en y = fr (A ). Sean V¡ y 2 v2 las conjugadas armónicas de u 1 y u y hágase u = u 1 - u , v = v1 - v2. Ahora 2 2 bien, autan = o y así, por la proposición 1 . 5 . 1 2, V es constante a lo largo de y. En
consecuencia, de la unicidad de la solución del problema de Dirichlet, v es cons
A . Por lo tanto, puesto que -u es el conjugado armónico de v, u también es constante en A . Esto muestra nuestra afirmación.
tante en
Si los valores sobre a frontera, especificados en los problemas de Dirichlet y
Neumann, no son continuos, los resultados de unicidad son aún válidos, en cierto sentido, pero son mucho más difíciles de obtener. S in embargo, se previene al estu
A el u 1 (x, y) = x y uix, y) = x + y tienen los mismos valo
diante de que en una región no acotada, no tenemos unicidad. Por ej emplo, sea semiplano superior. Entonces, res en la frontera (en y =
O) y son armónicas, pero no son iguales. Para recuperar la
unicidad en regiones no acotadas, se debe también especificar una "condición al
364
CAP. 5. MAPEOS CONFORMES oo":
"u
acotada en todo
A"
es una de tales condiciones. En los ejemplos que se
integran en esta sección se ilustrarán algunas de estas condiciones. Los problemas de Dirichlet y de Neumann también pueden combinarse; por ejemplo,
u
puede especificarse en una parte de la frontera y
'du!'dn
puede especifi
carse en otra.
Método de solución El método básico para resolver los problemas de Dirichlet y de Neumann en una región
A,
es el siguiente: Tome la región
A
dada y transfórmela, mediante un
mapeo c onforme, en una región "más simple" B, en la cual el problema pueda ser resuelto. Este procedimiento se justifica por el hecho de que bajo un mapeo confor me
J,
funciones armónicas se transforman nuevamente en funciones armónicas
(véase la proposición 5. 1 .3). Cuando hemos resuelto el problema en B, podemos trans
formar la respuesta de regreso a A .
Para el problema de Dirichlet damos los valores de frontera en fr (A). Obviamen te estos valores son transformados en los valores correspondientes en B. (Asumi mos que el mapeo conforme f está definido en la frontera.) La especificación de
éJu!dn = O es fácil u0(x, y) = u(f(x, y)) (véase la figura 5.3.2). Entonces afirmamos que éJuoféJn = O si éJuléJn = O sobre las porciones correspondientes. Esto se sigue porque duJdn = O y du!dn = O significa que las conjugadas son constantes en esas porciones y si v es el conjugado de u, entonces v o f= v0 es el conjugado de u0• Esto demuestra nuestra afirmación. Éstos son los únicos tipos de condiciones de frontera para dul'dn que desarrollaremos den du/dn
es un poco más complicada. Sin embargo, el caso especial
de entender. Sea
u o f= u0
la solución que buscamos; esto es
tro de este texto.
Figura
5.3.2. Transformación de fu nciones armón icas.
Para usar este método, necesitamos ser capaces de resolver el problema en al
guna región sencilla B. Ya vimos en la sección 2.5 que el disco unitario es adecuado
para este propósito porque en ese caso tenemos la fórmula de Poisson para la solu ción del problema de Dirichlet. Sin embargo, algunas veces podemos obtener so luciones más explícitas que aquellas que se consiguen mediante esa fórmula.
5 . 3 . AP LICACIÓN DE LOS MAPEOS CONFORMES
365
La siguiente situación se usa para ilustrar el método y será usado en los ejem plos subsecuentes. Consideremos el semiplano superior H y el problema de encon trar una función armónica que mande al valor constante en la frontera
x 1 [, a e 1 en ]xl ' x2[,
• • .
, y a en en ]xn, oo[, donde x1 < x2 <
•
•
eje real . Afirmamos que la solución está dada por
·
c0,
en ]-oo,
< xn son puntos en el
(2) donde 9 1 ' . . . , 9n son como se indica en la figura
5.3.3.; O ::;; 9; ::;; 1t.
y
1
H
x
1
x2
x3
�--A----v-- --''--�--.L-�---"
u = c0
u = c1
u = c2
u =c
n
Figura 5.3.3. La ecuacíón (2) da la so lución de este problema de Di richlet en el sem i plano superior. Esto es fácil de ver. Primero, ya que u es la parte real de 1
en + 1ti
--
[(en - 1 - en ) log(z - xn ) + · · · + (eO - c 1 ) log (z
-
x 1 )]
ésta es armónica. También, en ]x¡, X¡ + 1 [ u se reduce a e¡ - (El estudiante debe com probar esto.) Como lo mencionamos anteriormente, el problema de Dirichlet no tiene una solución única, así que surge la pregunta: ¿Por qué se escogió esta solu ción? Se pudo haber obtenido otra solución al sumar u(x, y) = y a la solución dada
por la ecuación (2). La respuesta es que la u que está dada por la ecuación (2), es acotada (¿por qué?). El estudiante encontrará esta respuesta físicamente razonable después de estudiar los ejemplos que siguen.
Así, si un problema puede ser transformado en uno como en el descrito por la figura
5.3.3,
podemos usar la ecuación (2) para encontrar una solución. Esto se
hará en los ejemplos de esta sección.
Conducción del calor Las leyes físicas nos dicen que si una región bidimensional se mantiene a una temperatura fij a T (esto es, una temperatura que no c ambia con el tiempo,
366
CAP. 5. MAPEOS CONFORMES producido esto al fijar la temperatura en las paredes, o al aislarlas), entonces T debe ser armónica.
2
El negativo del gradiente de T, representa la dirección en la que el calor fluye. Así, podemos, usando la proposición
1 .5 . 1 2, interpretar a las superficies de nivel de la armónica conjugada de T, q¡, como las líneas a lo largo de las cuales fluye el calor y la temperatura decrece. Líneas donde T es constante, son llamas isotérmicas; líneas en las cuales la conjugada 4> es constante, son llamadas líneas de flujo (fi gura 5. 3.4). grad T
Líneas donde T es constante
Líneas donde 9 es constante = líneas de flujo
Figura
5.3.4. Conducción de calor.
Así, decir que T es prescrita en una porción de la frontera, significa que la por ción es mantenida a una temperatura preasignada (por ej emplo, mediante u n disposi tivo de calefacción). La condición
()Tf(Jn
=
O significa que la línea de flujo (o -grad T )
e s paralela a l a frontera; en otras palabras, l a frontera está
aislada. (No fl uye calor
a través de la frontera.)
Ejemplo 5.3. 1 . Sea A el primer cuadrante: el eje x se mantiene a T
O
mientras que el eje y se mantiene a T = 1 OO. Encuentre la distribución de la temperatura en A. (Físicamente, la región puede ser aproximada mediante una delgada hoja de metal. )
Solución.
mediante 2
=
Transformamos al primer cuadrante e n e l semiplano s uperior
z � z2
(fi gura
5. 3.5).
Esto e s una consecuencia de la conservación de l a energía y del teorema de Gauss (véase la
ecuación
( 1 )).
El calor fluye en la dirección del campo vectorial
de la energía es
cpT (e = calor específico, p
= KV
T (K = conductividad) y la densidad
= densidad). Entonces, la ley de la conservación de la ener
gía establece que la razón de cambio de la energía en cualquier región V es igual a la razón a la cual en
tra a V; esto es
. �L
c
p T dx
= -
Dnv) - KVT
· n
Por el teorema de Gauss, esta condición es equivalente a
Si
e,
p
y T son independientes de t, concluimos que T es armónica.
ds
367 y
y
T = 1 00 ----+-----� x T=O
-----.....,�--- x T = I OO
T= O
Figura 5.3.5. Transformación d e l a región A e n e l sem i p l a no superior.
Es físicamente razonable que la temperatura sea una función acotada; de otra manera obtendríamos temperaturas arbitrariamente altas (o bajas). Por lo tanto, la solución en el semiplano superior está dada por la ecuación (2):
( )
y 1 1 00 tan-1 u(x, y) = - ( 1 00 arg z) = --
1t
1t
X
Así que la solución que buscamos es u0(x, y) = u(f(x, y)) dondefix, y) = z 2 = x2 - y2 + 2ixy = (x2 - y2, 2xy). Por lo tanto, u0(x, y) =
100
n: -
-
tan 1
(
2xy x2 y2 _
)
es la respuesta deseada. Se sobreentiende que tan- 1 es tomada en el intervalo [0, n:]. Otra forma de la respuesta puede ser obtenida como sigue: u O(x,
( )
1 00 200 200 y arg z = -- tan-1 y) = u(z2 ) = -- arg (z2) = --
1t
1t
1t
X
Las líneas isotérmicas y de flujo, están i ndicadas en la figura 5.3 .6. -,.. Ejemplo 5.3.2. Sea
A la mitad superior del disco unitario lzl � l . Encuentre la temperatura interior si la porción circular es aislada; T = O para x > O y T = 1 O para x < O en el eje real. Para este tipo de problema, donde hay una porción de la frontera donde iJT/iJn = O (aislada), es conveniente transformar la región en una semibanda. Esto puede ser hecho para A por medio de log z (usando la rama principal ). Véase la figura 5.3.7 (y 5.2. l l (viii)). Para la banda B obtenemos, por inspección, la solución Solución.
T0(x, y) =
l Oy
-
n:
368 y
T = 1 00
T = 75
T= 25
Líneas de flujo
T=O Figura 5.3.6. Líneas isotérmicas y de flujo para el ejemplo resuelto y
5 . 3. 1 .
y
z � Iog z
�
Figura 5.3.7. Transformación de l a región semicircular A en l a sem ibanda B en el
ejemplo 5.3.2.
(Note que a lo largo del eje y , ()TJo n = ()TJo x = 0.) Así, nuestra respuesta es T(x,
y)
=
. T0(log (x + ty))
=
10
--;-- tan-1
( y) _
x
'Y
Potencial eléctrico De la física aprendimos que si un potencial eléctrico <1> está determinado por cargas eléctricas estáticas, <1> debe satisfacer la ecuación de Laplace (esto es, ser armónica). La función conjugada «!> de <1> se interpreta como sigue: Líneas a lo largo de las cuales «!> es constante, son l íneas a lo largo de las cuales viajaría una pequeña carga prueba. Éstas son llamadas líneas de flujo. Los vectores tangentes a
5.3.
369
E, llamado el
campo eléctrico (véase la fi gura 5 .3 .8). Así, las líneas de flujo y las líneas equipotenciales (líneas donde <1> es constante) se intersecan ortogonalmente.
tales líneas son -grad
<1>
APLICACIÓN DE LOS MAP EOS CONFORMES
=
Líneas donde <1> es constante :-- Líneas donde
1 1
Figura
es constante
5.3.8. Potencial e l éctrico.
El problema de Dirichlet surge en electrostática cuando la frontera s e mantiene en un potencial dado (por ejemplo, por medio de una batería o haciendo tierra) .
Ejemplo 5.3.3. Considere el círculo unitario. El potencial eléctrico es mantenido en <1> = O en el semicírculo inferior y en <1> = 1 en el semicírculo superior. Encuentre la <1> interior. Solución. Usamos el procedimiento general para resolver el problema de Dirichlet transformando nuestra región dada en el semiplano superior. En el pre sente caso, podemos usar una transformación fracciona} l i neal (véanse las figuras
5 .2 . 1 1 (vi) y 5 . 3 .9).
Figura
5.3.9. Mapeo conforme uti l i zado para resolver el problema de Dirich let en el disco.
3 70
CAP. 5. MAPEOS CONFORMES
Como con la temperatura, es físicamente razonable que el potencial esté acota do. Así, por la ecuación (2), la solución en el semiplano superior es 1 ct>0(x, y) = 1 tan �
-
y
1
( ) y ---:;-
por lo tanto, la solución en el círculo unitario es cp(x, y) = cl>0(f(x, y))
donde f( z) = (z - 1 )/i(z + 1). Si hacemos (z - 1 )/i(z+ 1 ) = u + iv, entonces y
Por ende, la solución es 1 cp(x, y) = 1 - - tan-1 1t Las líneas equipotenciales y de flujo se muestran en la figura 5.3. 10.
Figura 5 .3.10. Líneas equ i potenciales y de flujo para el poten c i a l .
Este ejemplo también pudo haber sido resuelto usando la fórmula de Poisson. Las dos respuestas deben· ser iguales, aun cuando esto podría no ser obvio a partir de sus formas. T 5.3.4. La función armónica cp(z) = (Q/21t) log lz - z01 + K para una cons tante K, la cual es la parte real de (Q/21t) log (z - z0) + K, representa el potencial
Ejemplo
5.3.
APLICACIÓN DE LOS MAPEOS CONFORMES
3 71
de una carga Q localizada en z0. (Esto es debido a que es un campo radial tal que si E = -grad es el campo eléctrico de fuerzas, entonces la integral de E n alrededor de una curva rodeando a z0 es Q, por el teorema de Gauss). 3 La cons tante K puede ajustarse de modo que en cualquier luga r conveniente, como infini to, o algún objeto conectado con tierra, tenga potencial O. (Esto es razonable ya que únicamente la fuerza E es realmente observada y no hay cambio al variar K.) Bosqueje las líneas equipolencia/es para dos cargas de signos iguales u opuestos. •
El potencial de dos cargas se obtiene al sumar los respectivos poten ciales. Por lo tanto, dos cargas Q > O, localizadas en z1 y z2, tienen el potencial electrostático ( Q/21t) log ( lz - z 1 1 lz - z21 ) ; una carga Q > O en z 1 y -Q en z2• tienen potencial (Q /21t) log (l z - z 1 1/lz - z21) . Las líneas equipotenciales se bosquejan en la figura 5 . 3 . 1 1 . Las curvas = constante en el dibujo de la izquierda son llamadas lemniscatas; en el dibujo de la derecha son llamadas círculos de Apolonio. Las lí neas de fuerza son la familia de círculos ortogonales a ellos que pasan a través de dos puntos. Juntos forman los círculos de Steiner que se discutieron en el ejercicio 3 5 de la sección 5.2. "f' Solución.
lz - z 1 1 = constante
·
lz - z2 1
!:--"" Líneas de fuerza
\
\
Figura 5 . 3 . 1 1 .
lz - z 1 1
·
lz - z21 = constante
El campo de cargas iguales
(derecha).
(izquierda) y el campo de c argas opuestas
Suponga que una carga puntual de + 1 se localiza en z0 = + y el círculo unitario es un conductor conectado a tierra mantenido a un potencial O. Encuentre el potencial de cada punto z � Zo dentro del círculo unitario. Ejemplo 5.3.5.
La funciónf(z) = (2z - 1 ) /( 2 - z) transforma al disco unita rio D en sí mismo mandando Zo = a O. La función u (z) = ( l /21t) log l z l es una solución en el disco imagen (carga puntual de + 1 en O y potencial O alrededor del círculo unitario). Así, q>( z) = u ( f(z)) = ( l /21t) log 1(2z - 1 )/(2 - z)l resuelve el pro blema original. (Véase la figura 5 .3 . 1 2.) Primera solución.
+
3 Este e s el potencial para una carga en e l plano. En e l espacio esto corresponde al potencial pro ducido por una carga lineal.
372 y
y
R
Figura 5 . 3.1 2 . El mapeo conforme
f, traslada l a carga pu ntual de
z0
=
+ a O.
Segunda solución. Damos una segunda solución que ilustra el método de re flexión en un círculo de la sección 5.2 y una interesante idea de la electrostática llamada carga imagen. Necesitamos un campo
0
y
Figura 5.3. 1 3. Reflexión y carga de i m agen.
+
�
373 j(z) =
1
--
21t 1
=
--
=
--
21t 1
21t
1 log lz - +1 2 -
1
--
21t
log lz - 21 + K
1
Z - --z
log
+K
z-2 2z - l
log
2 -z
-
1
--
21t
Iog 2 + K
Al hacer la constante K igual a ( 1121t) log 2 el potencial se hace O alrededor de C y nos da la misma respuesta que en l a primera solución. T
Hidrodinámica S i tenemos un fluido viscoso e incompresible (estado estacionario), estamos i nteresados en encontrar su campo de velocidades, V(x, y). Del análisis vectorial elemental, sabemos que "incompresible" significa que la divergencia div V = O. (Decimos que V es de libre divergencia.) Vamos a suponer que V es también un flujo potencial y, por lo tanto, es de circulación libre; esto es, V = grad (j> para algu na (j> llamada potencial de velocidad. Así, (j> es armónica pues V2q> = div grad (j> = div V = O. Entonces, cuando resolvemos para (j> obtenemos V al tomar V = grad (j>. El conjugado 'V de la función armónica (j> ('!' existirá en cualquier región sim plemente conexa) es llamada la función de corriente y la función analítica F = $ + i'l' es llamada el potencial complejo. Líneas donde 'V es constante tienen a V como sus tangentes (¿por qué?) y, por lo tanto, las líneas donde 'V es constante, pueden ser interpretadas como las lfneas a lo largo de las cuales se mueven las partículas del fluido; de allí el nombre de función de corriente (véase l a figura 5.3. 1 4). Líneas de corriente
'JI = constante
:
1
1 Figura 5.3.1 4. E l flujo de u n flu ido.
1 1
1
\ \
374
CAP. 5 . MAPEOS CONFORMES
La condición natural en la frontera es que V debe ser paralela a la frontera. (El fluido fluye paralelo a las paredes.) Esto significa que ()cp/éJn = O, así hemos llega do al problema de Neumann para cp. Vamos a considerar otra vez al semiplano superior. Un movimiento físicamen te aceptable se obtiene al hacer V(x, y) = a = (a, 0) o cp(x, y) = ax = Re (az), donde a es real. El fluido correspondiente a V es paralelo al eje x, con velocidad a. Observe que ahora cp no está acotada; en consecuencia el comportamiento en oo para fluidos, para la temperatura y para el potencial eléctrico, es diferente debido a las diferentes circunstancias físicas (véase la figura 5.3. 1 5).
y
Velocidad
a
Potencial complejo
=
az
--------�--� X Figura
5.3.1 5.
Flujo en el semiplano su perior.
Así, para encontrar el fluido en una región, debemos transformar la región en el semiplano superior y usar la solución cp (x, y) = ax. a debe especificarse como la velocidad al infinito. Debe ser claro que fes un mapeo conforme de la región dada en el semiplano superior, el potencial complejo requerido está dado como F(z) = aj(z).
Ejemplo 5.3.6. Encuentre el fluido alrededor de la mitad superior del circulo unitario, si la velocidad es paralela al eje x y es a en infinito. Solución. Vamos a transformar el exterior de la región dada en el semiplano superior. Tal mapeo conforme es z .- z + 1 /z (figura 5.3. 1 6). En consecuencia F0(z) = az es el potencial complejo en el semiplano superior y, por lo tanto, el po tencial complejo requerido es y
z � z + llz
y
........-----..
X ----+----.-
Figura
5.3. 1 6.
Efecto de z >-+ z +
1 /z.
3 75
Es conveniente usar coordenadas polares
ry
e para expresar
obtenemos
9)
= a.
( +) r+
cos e
y
\jf(r, 9)
= a.
( +) r-
sen e
en la figura 5.3 . 1 7 se muestran algunas líneas de corriente.
1 1 1 1
._
�--'*'-;:' ��
/ Velocidad
1
.. x
Figura 5.3.1 7.
Líneas de corriente para el flujo al rededor de un cili ndro.
NOTA. Modificando ligeramente la transformación z
,_
z + l lz mediante la adición
de términos de orden mayor escogidos apropiadamente, el semicí�ulo puede ser remplazado por algo más parecido a un ala de un aeroplano; éstas son llamadas las
transformaciones de Joukowski. ?
376
Ejercicios l. Encuentre una fórmula para determinar la temperatura en la región mostrada en la figura
5.3. 1 8, con los valores en la frontera indicados. y
figura 5.3.1 8. Encuentre T para esta región. 2. Encuentre una fórmula para determinar la temperatura en la región ilustrada en la figura
5.3.19. (Sugerencia: considere el mapeo z � sen z.) y
Figura 5.3.1 9. Encuentre la temperatura en esta región.
3. Encuentre el potencial eléctrico en la región ilustrada en la figura 5.3.20. Bosqueje unas
cuantas curvas equipotenciales. 4. Encuentre el potencial eléctrico en la región ilustrada en la figura 5.3.2 1 . 5 . Encuentre e l flujo alrededor de un disco circular, s i e l flujo forma u n ángulo 9 con el eje x,
a
en infinito (figura 5 .3.22). + l se localiza en z0 = ( l + z)l [2y los ejes positivo e imaginario (las fronteras del primer cuadrante A = { z 1 Re z > O e Im z > O}) son conduc tores conectados a tierra, mantenidos a potencial O. Encuentre el potencial en cualquier punto z � z 0 dentro de la región A. con velocidad
6. Suponga que uná carga puntual de
377 y
Figura 5 .3.20. E n cuentre el potenc i a l eléctrico.
y
4> = 1
<1> = 0
Figura 5.3.21 . Encuentre
y
Figura 5 . 3.22. Fl ujo al rededor de u n di sco (ejercicio
5).
378
CAP. 5 . MAPEOS CON FORMES 7. Obtenga una fórmula para determinar el flujo de un fluido, en la región ilustrada en la fi gura 5.3.23. (La velocidad en oo es a.)
y
X
Figura
5.3.23. El fluido de un flujo en u n a cuña (ejercicio 7).
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 5
l. Considere el mapeo z � z3• ¿En qué conjuntos A e e es este mapeo conforme (sobre su imagen)? 2. Verifique directamente que el mapeo z � o. S. Encuentre un mapeo conforme que mande a la región A
f'( ! )
< 2 } sobre B = { z 1 0 < Re z < l } . 6. Sean Z ¡ , z2 E e y a E R, a > o. Muestre que
z - z1 z - z2
+
= { z tal que lz - 1 1 > 1 y lz - 21
=a
define un círculo y que Zp z2 son puntos inversos en el círculo (esto es, son colineales 2 con el centro Zo• y lz1 - .zol 1� - .zol = p , donde p es el radio del círculo). 7. Examine la imagen del conjunto { z E e; Im z � O, O � Re z � 7t/2} bajo el mapeo z � sen z. considerando que es la composición de los mapeos z � eiz, z � z - 1/z, z � z/2i. 8. Seaf: A � B un mapeo conforme, sea y una curva en A y sea y = f o y. Muestre que •
l( 'V) =
J:
lf ' (y(t))l · ly'(t)l dt
Si f preserva las longitudes de todas las curvas, demuestre que f(z) alguna a E e y para 9 E (0, 21t(.
=
e'"Bz
+
a para
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTU LO 5
{ z tal que lz - il < 1 } sobre B = { z tal que lz - 1 1 < l } . Muestre que la funciónf(z) (z - 1 ) /(z + 1 ) transforma la región { z tal que lzl > 1 y lz - 1 1 < 2 } en forma uno a uno y sobre, en B { z 1 O < Re z < + } . La región en el ejercicio 1 0 está acotada por dos círculos, como lo es la región { z 1 1 < lzl < 2 } . ¿Puede transformarse conformemente esta región en B, mediante una transfor mación fracciona} lineal? Si se puede, muestre la función. Si no se puede, por qué no. Sea T(z) (az + b)l(cz + d). Muestre que T(T(z)) z (esto es, T o T identidad) si y sólo si a -d. ¿Es posible encontrar un mapeo conforme del interior del círculo unitario sobre su exterior? ¿Esf(z) 1 /z tal mapeo? Encuentre un mapeo conforme del cuadrante { z 1 Re z > O e Im z > O } uno a uno y sobre en el disco unitario, que mande l + i al O, con derivada posi tiva en 1 + i. Sean F1 y F2 mapeos conformes del disco unitario sobre sí mismo y sea F1(z¿J FiZo ) = O para alguna z0 fija, IZol < l . Muestre que existe 6 e [0, 21t[ tal que F1 (z) e i9F2(z). Suponga que f es un mapeo conforme uno a uno y sobre, del semi plano superior en si mismo, conf( - 1 ) O,f(O) 2 y f( 1 ) == 8. Encuentref( i). Dé una lista completa de todos los mapeos conformes del primer cuadrante { z 1 Re z > O e Im z > O } sobre sí mismo.
9. Encuentre un mapeo conforme que mande 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
A= =
379
=
A ==
=
A=
A=
=
=
{A =
=
=
=
}
= = A=
z+3 z tal que 1 -_--1 < 3 . (Sugerencia: ¿f(z) (z + 3)/(z - 1 ) z- l manda qué puntos al círculo lwl 3?). 19. Encuentre un mapeo conforme que mande la región de la figura 5.R. 1 en el semiplano superior. Utilice este mapeo para encontrar el potencial eléctrico cp con las condiciones de frontera establecidas. (Sugerencia: considere una rama de z � ..fi.2- 1 después de rotar la figura 90°. Véase también el ejemplo resuelto 5.2. 1 6. ) 18.
Describa la región
=
y
i -r
�--�------
----
4> = 0
----
4> = 0
Fi gura S.R.l . Datos de frontera para e l ejqrcicio 1 9 . 20. Encuentre el flujo de un fluido en la región mostrada en la figura 5.R.2. 21. Utilice el ejercicio 1 9 o el ejemplo resuelto 5 .2. 1 6 para encontrar el fluido de un fluido sobre el obstáculo de la figura 5 .R.3 y trace unas cuantas líneas de corriente. 22. Sea B el primer cuadrante abierto, esto es, B { z 1 Re z > O e Im z > O } y sea S = { z 1 O
=
< lm z < 1t } .
a) Encuentre una función analítica que transforme en forma uno a uno y sobre a B en S. b) Encuentre una función u armónica en B y continua en la cerradura de B excepto en (0, 0) la cual satisface que u(x, y) O y u(iy) 1t para y > O.
=
=
380 y
Figura 5 . R.2. La región para el ejerc i ci o 20.
y
Figura 5.R.3. Flujo sobre u n obstácu lo. 23.
Encuentre el potencial eléctrico en la región mostrada en la figura 5.R.4.
y
Figu ra 5. R.4. Datos de frontera para el ejercicio 2 3 . + l se coloca en z0 = i en el semi plano superior y que el eje es un conductor conectado a tierra, mantenido con potencial constante O. Encuen tre el potencial en cualquier punto z o¡6 i en el semi plano superior.
24. Suponga que una carga puntual de
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTU LO
5
381
25. Use la fórmu l a de Schwarz-Christoffel para encontrar un mapeo conforme entre las dos regiones mostradas en la figura 5.R. 5(A = -1 B = 1 , B' = 0.)
y
B= l
A = -1
Figura
26.
y
5.R.5. Regiones para los ejercicios 2 5 y 26.
Use el ejercicio
25
para encontrar las líneas de flujo sobre el escalón del lecho del canal
profundo que se muestra en la figura
5.R.5.
27. Encuentre la temperatura en la región ilu strada en la figura 5.R.6. (Sugerencia: use z
�
sen-1 z.)
y
-a
Figura
a
Aislada
T= O
X
5.R.6. Datos de frontera para e l ejercicio 2 7 .
28. Sea gn una sucesión de funciones analíticas definida en una región A. Suponga que :E 00
lgn (z)l converge uniformemente en A . Demuestre que :E
n=l
en los discos cerrados de A . 29. Evalúe mediante residuos:
J
oo
o
30.
COS X
---
x2
+
3
lg 'n(z)l converge uniformemente
dx
Sea f analítica en C\{ 0 } . Suponga que f(z) � oo conforme z � O y f(z) �
z �
oo.
n=l
Demuestre quefpuede escribirse en la forma
oo
conforme
38 2 f(z)
para constantes
31. Si
1: O
· De ¿
e;
c
=
k -+ .. k z ·
+
c
1 -+ c0 + d z + 1 z
·
·
·
+
d z1 1
y dr
anz" tiene radio de convergencia p, ¿cuál es el radio de convergencia de
1:
n=O
a2z" ? n
1:
n=O
32. Encuentre la expansión de Laurent def( z) =z41(1 - z2) que sea válida en el anillo 1
<
anz2"? lzl < oo.
Desarrollo adicional de la teoría En este capítulo se continúa el desarrollo de la teoría de las funciones analíti cas que se empezó en los capítulos 3 y 4. Las principales herramientas usadas en este desarrollo, son las series de Taylor y el teorema del residuo. El primer tópico de este capítulo es la continuación analítica; esto es, el esfuerzo de hacer el dominio de una función analítica lo más grande que sea posible. Inves tigaciones adicionales de las funciones analíticas nos conducen naturalmente al con cepto de superficie de Riemann, el cual será brevemente discutido. Propiedades adicionales de las funciones analíticas se desarrollan en las subsecuentes secciones. Algunas de estas propiedades tienen que ver con tópicos como el conteo de ceros de una función analítica; otros son generalizaciones del teorema de la función inversa. 6.1. CONTINUACIÓN ANALÍTICA Y SUPERFICIES DE RIEMANN ELEMENTALES
El primer teorema que se demostrará en esta sección, es llamado el principio de continuación analítica, el cual también es referido como el teorema de identidad. Este teorema y su demostración, conducen a la discusión de las superficies de Rie mann, las cuales facilitan un tratamiento más satisfactorio de lo que previamente fue referido como "funciones multivaluadas", tales como log z y ¡z. La discusión es heurística, está pensada principalmente para motivar trabajos más avanzados. Continuación analítica
Si dos funciones coinciden en una parte pequeña de una región (conexa), en tonces ellas coinciden en toda la región en la cual ambas son analíticas. Esto se establece precisamente en el siguiente teorema. 383
384
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
Principio de continuación analítica o teorema de identidad 6.1.1. Sean f y g ana
líticas en una región A. Suponga que existe una sucesión z l ' z2, de puntos distintos de A que converge a Zo E A, tal que f(z0) = g(z0) para toda n = 1 , 2, 3, . . . Entonces f = g en todo A (véase la figura 6 . 1 . 1 ). La conclusión es válida, en particular, si f = g en alguna vecindad de algún punto en A. • . .
•
Figura 6.1 .1 . El teorema de identidad:
o
Z¡
{ f = g en z 1 , z2, • • •j � { f(z) = g(z) para toda z E
A J.
Demostración. Debemos demostrar quef- g = O en A . Haremos esto demostran do que para una función analítica h en A , las siguientes cuatro afirmaciones son equivalentes: (i) Para alguna
z0, la n-ésima derivada en z0 se anula: z0•
(ii) h = O en alguna vecindad de es alguna sucesión de puntos distintos que converge a (iii) h (z k) = O, donde (iv) h = O en todo A .
zk
z0.
Después que estas equivalencias sean demostradas, el teorema se sigue al tomar f- g = h y aplicar (iv). Primero, (i) {::::> (ii), por el teorema de Taylor. (El estudiante debe escribir los detalles de esta afirmación si ésta no es clara.) Enseguida mostramos que (iii) � (ii) al mostrar que los ceros de una función analítica h son aislados, a menos que h = O en una vecindad de Zo· En efecto, si h no es idénticamente O en un disco alrededor de podemos escribir h(z) = donde � O y k es un entero � 1 (¿por qué?). Ahora bien, =F O en toda una vecindad de por continuidad, así que en esa vecindad h(z) =F O excepto en = Esta afirmación contradice el que h ( ) = O puesto q ue, para n suficientemente grande, está en la vecindad y podemos suponer que Z n =F Claramente, (iv) � (iii). La demostración estará completa cuando demostremos que (ii) � (iv). Sea B = E A 1 h es cero en una vecindad de Por definición, B es abierto y es no vacío por hipótesis. Vamos a demostrar que B es también cerrado en A , mostrando que si � E B, entonces E B. Es suficiente (por el resultado previo (i) � (ii) aplicado al punto probar que h (n l( ) = O para toda n. Pero h ( )( ) = lím h ( )( k) = O. Entonces, B es cerrado, abierto y no vacío y , por lo tanto, B = A , k � oo
z0,
�(z)
zn
(z - z0l�(z),
�(z)
z z0.
zn
z0•
[z
zk
n z
z0,
z)
z, zk
z)
z
z
.
n z
6.1 .
CONTI N UACIÓN A NALÍTICA
385
puesto que se supone que A es conexo (recuerde que una región es abierta y conexa, por definición). • Una interesante aplicación de este teorema es la siguiente. Existe exactamente una función analítica en C que coincide con ex en el eje x, a saber, ez. Ésta es una consecuencia inmediata del teorema de identidad puesto que el eje x contiene una su cesión convergente de puntos distintos (por ejemplo, 1/n). Las siguientes consecuencias del teorema de identidad son lo suficientemente importantes que merecen ser enunciadas explícitamente. Corolario 6.1.2. Los ceros (o, más generalmente, los p untos donde se asume un
valor especifico) de una función analitica no constante, son a islados en e l siguiente sentido. Si f es analítica y no constante e n una región A, y f(z0) = w0 para un punto z0 en A, entonces existe un número E > O tal que f(z) no es igual a w0 para ninguna z en la vecindad agujerada {z 1 O < lz - z 01 < Ej.
S i no existiera tal E, entonces f coincidiría con la función cons tante h (z) = w 0 al menos en alguna sucesión de puntos que convergen a z0. Pero entonces coincidiría con h en todo A , por el teorema de identidad y, por lo tanto, sería constante. • Demostración.
Observe que puede haber un punto límite de ceros en la frontera de la región de analiticidad. (Esto se ilustra en el ejemplo resuelto 6. 1 . 1 1 con la función sen ( 1/z).) El teorema de identidad dice que una función no constante no puede tener un punto límite de ceros en el interior de la región de analiticidad. Corolario 6.1.3. Sean
Suponga que A
n
f:
A
B # 0y
�
f= g
B � C analíticas en las regiones A y B. en A n B. Definase
C y
g
{
:
f(z) h{z) = g (z)
· sz si
zE zE
A
B
Entonces h es analítica en A u B y es la única función analítica en A u B que es igual a f en A (o a g en B). Decimos que h es una continuación analítica de f (o de g) (véase la figura 6. 1 .2).
Figura
6. 1 .2 . Conti n uación analítica.
386
CAP. 6. DESARROllO ADICIONAL Demostración. Que h es analítica es obvio, ya quef y g lo son. La unicidad de h resulta a la vez del teorema de identidad y de los hechos de que A v B es una re gión y de que A n B es abierto. •
La continuación analítica es importante porque proporciona un método para hacer el dominio de una función analítica tan grande como sea posible. Sin embar go, puede ocurrir el siguiente fenómeno: Sea f en A. continuada a la región A 1 y sea A 2 como se muestra en la figura 6.1 .3. Si continuarnos / para que sea analítica en A P luego continuarnos esta nueva función de A 1 a A 2, el resultado no necesariamente
Figura 6.1 .3. Conti nuación de u n a fu nción de A a A1 y de A1 a A2•
coincide con la función originalf en A. Un ejemplo específico puede clarificar este p u nto. Considere e l log z. la rama principal (-1t < arg z < 1t) en la región A , consistente del semiplano derecho unión e l semiplano inferior. L a función log puede continuarse ú nicamente para que incluya a A 1 = el semiplano superior, en su dominio. Similarmente, podemos continuar otra vez el log, del semiplano s uperior a fin de que incluya a A 2 = el semiplano izquierdo, en su dominio, al escoger la rama O < arg z < 21t. Pero estas ramas no coinciden en el tercer cuadrante; difieren en 21tí (véase la figura 6. 1 .4). Por lo tanto, al continuar una función, debemos estar seguros de que la función, en la región extendida B, coinciden con la original en toda la intersección A n B y no únicamente en una p arte de ella. y
Figura 6 . 1 .4. Conti nuación del log.
6 . 1 . CONTINUACIÓN ANALÍTICA
No siempre ejercicio
es
387
posible extender una función analítica a un dominio mayor. En el
5 se le pide al lector confirmar que la serie de potencias l:
n=O
z n! converge a
una función analítica f(z) en el disco unitario abierto, pero que esta función no puede
ser continuada analíticamente a ningún conj unto abierto más grande. El círculo
unitario es llamado una frontera natural para esta función. En las dos siguientes subsecciones examinaremos las técnicas mediante las cuales puede algunas veces llevarse a cabo la continuación analítica.
Principio de reflexión de Schwarz Hay un caso especial de continuación analítica que puede tratarse directamente como sigue.
Principio de reflexión de Schwarz 6.1.4. Sea
A una región en el semiplano supe
rior cuya frontera fr (A) intersecta al eje real en un intervalo [a, b] (o en la unión finita de intervalos ajenos). Sea f analítica en A y continua en A u ] a, b [. Sea A = ( z 1 z e A}, la reflexión de A (véase la figura 6. 1 .5), y defina g en A como g(z) = f(z). Asuma que f es real en ]a, b [ . Entonces, g es analítica y es la única conti
nuación analítica de f en A u ]a, b [ u A. y
Figura 6. 1 .5 . A es la reflexión de A
Demostración. El teorema de identidad implica la unicidad, porque f es igual a g en un conjunto (a saber, ]a, b[) que contiene una sucesión convergente de puntos distintos; note que f = g en el eje real porque aquí, z = z y f =f. (fes asumida real en el eje real.) La analiticidad de g en A se sigue directamente de las ecuaciones de Cauchy-Riemann y fue establecida en el ejemplo resuelto
1 .5. 1 8. Si h está definida
en A u]a, b [ u A, al hacer la igual af(z) en A u ]a, b[ y a g(z) en
A, entonces h es
(z = z y !=fallí, puesfes real en el eje real). Así, h continua en A u]a, b[u A. La analiticidad en todo el
continua ya quef= g en el eje real. es analítica en A y
A,
y es
conjunto se sigue del teorema de Morera y fue establecida en el ejemplo resuelto
2.4. 17 . •
388
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
Este resultado es notable pues únicamente necesitamos que f sea continua y real en ]a, b[. Se sigue automáticamente que fes analítica en ]a, b[ cuando se continua a través del eje real. Para ayudar a ver que g (y, por lo tanto, h) es continua en A, consi dere el mapeo en tres pasos: z
�
z;
z � f{i) ;
f(z)
�
f(z)
El mapeo de enmedio es conforme; el primero y el último son anticonformes en el sentido que éstos invierten ángulos. Puesto que los ángulos son invertidos dos veces, el resultado preserva ángulos. El mapeo total es entonces conforme. Un principio de reflexión relacionado puede formularse usando círculos en lugar del eje real y remplazando la conjugación compleja por la reflexión en el círculo. El teorema de reflexión de Schwarz (6. 1 .4) es un caso especial de líneas que son tratadas como círculos de radio infinito, como en el capítulo 5. Sea A una región en el interior o en el exterior de un círculo C 1 (o en uno de los lados de una linea) con parte de su frontera un arco y de C1• Suponga que f es analítica en A y continua en Principio de reflexión de Schwarz para u n círculo 6.1.5.
A u y y f(y) es un arco r rf:.e otro círculo (o !fnea) C :z- Sea A { z 1 z e A) la reflexión A en C 1 y defina g en A como g(z) = [f(z)] - (el segundo -denota la reflexión en C2). Entonces g es analítica y es la única continuación analítica de f hasta A u y u A. =
de
Asumimos que A es interior a C 1 y que f(A) es interior a C 2. Los otros casos son similares. Sean T¡. i 1 , 2, transformaciones fraccionales li neales que mandan a C ¡ en el eje real y a sus interiores en el semiplano superior. Para w en T1(A), h(w) = Tif(T � ' (w))) es analítica y, por el principio de reflexión de Schwarz (6. 1 .4), h (w) da una continuación analítica de T1(A). Usando el hecho de que las transformaciones fraccionales lineales preservan la reflexión en círculos (pro posición 5.2.7) (y que la conjugación compleja es una reflexión en el eje real), encontramos que [f(z)] - = T2_ , (h (T1 (z))) y, por lo tanto, es una continuación analítica def (Véase la figura 6. 1 .6.) • Demostración.
=
Un argumento similar al usado anteriormente para establecer el ejemplo resuelto 2.4. 1 7 y el principio de reflexion de Schwarz (6.1 .4) se pueden usar para establecer lo siguiente, a partir del teorema de Morera. Sean A y B dos regiones simple mente conexas ajenas cuyas fronteras se intersecan en una cun;a simple suave y. Sea C = A u (y interior) u B (donde y interior significa la imagen de y sin los extremos) y suponga que Continuación analítica por continuidad 6.1.6.
(i) (ii)
Cada punto en y interior tiene una vecindad en C.
f es analítica en A y continua en A u y.
389
h
Figura 6.1 .6. Conti nuación analítica mediante reflexión.
(iii) g es analítica en B y continua en B (iv) Para t E y, Jím f (z) = lím g (z) z4t z eA
u
y.
z ---+ t ze B
Entonces, existe unafunción analítica h en C que coincide con f en A y con g en B.
Continuación analítica por series de potencias a lo largo de curvas Suponga que fes analítica en una vecindad U de z 0 y que y es una curva que une a z 0 con algún otro punto z ' (como en la figura 6. 1 . 7). Si queremos continuarfa z ' , podemos proceder como sigue. Para z 1 sobre y en U, considere la serie de Taylor defexpandida alrededor de z 1 :
serie de potencias puede tener un radio de convergencia tal que l a serie de potencias sea analítica a lo largo de y más allá de la porción de y en U. La serie de po tencia así obtenida, define entonces una continuación analítica de f Podemos conti nuar este camino a lo largo de y en espera de llegar a z ' , lo cual será posible si los su cesivos radios de convergencia no se contraen a O antes de alcanzar z ' . Si tenemos éxito, decimos que f puede ser continuada analíticamente a lo largo de y. Sin em bargo, debemos ser cuidadosos, pues la continuación analítica defasí definida, podría no ser una función univaluada si y se interseca a sí misma (como en la figura 6. 1 .8). Esta
390 z'
Figura 6.1.7.
Conti nuación med i ante series de potencias.
Figura 6.1.8.
La conti nuación puede l levar a autointersecc iones.
Los coeficientes de la serie de potencias alrededor del nuevo centro, z 1, pueden
calcularse en términos de los coeficientes para la serie de Taylor de f alrededor del centro original z0• (Véase el ejemplo resuelto manera a
z'
6. 1 . 1 3.) Si se puede llegar de alguna
mediante este proceso, entonces esto se puede hacer en un número
finito de pasos. Esto se debe esencialmente al lema de l a cubierta de una trayectoria. 7.) Así, la continuación de z ' puede calcularse en términos de la
(Véase el ejercicio
función original. (Una discusión de esto que incluye los aspectos numéricos de los
3 de Applied and Computational Complex Analysis, de Peter Henrici, Nueva York: Wiley-Interscience, 1974.) cálculos se puede encontrar en el capítulo
! El ejemplo I:. z n que se mencionó anteriormente, muestra que puede ocurrir
que no haya dirección en la cual una serie de potencias pueda ser continuada. Afor tunadamente éste no es siempre el caso. Sin embargo, siempre debe haber una di rección en la cual esto no sea posible.
Proposición 6.1.7. < oo.
Suponga que f(z) = f
n=O
a0(z - z0f
tiene radio de convergencia
Entonces, debe haber al menos un punto z P con lz0 - z 1 1 = R, tal que f no pueda ser continuada analíticamente a algún conjunto abierto que contenga a z 1 • R
6.1 .
CONTINUACIÓN ANALrTICA
391
Demostración. Sea B = { z tal que lz - z01 < R } y sea C su círculo frontera {z tal
que lz - z 01 = R
}.
Vamos a demostrar que si la afirmación fuera fal sa entonces f
podría ser continuada analíticamente a un conj unto abierto que contiene al disco cerrado B
u
C. Si se hiciera esto, el ej emplo resuelto 1 .4.28 mostraría que A contiene
J
[
u n disco más grande BE = z tal que lz - z 01 < R + (Véase l a figura 6. 1 .9.) Habríamos continuado fa un disco mayor con el mismo centro. Esto no es posible ya que esto implicaría un radio de con vergencia mayor que R. {Véase el ejemplo resuelto 6. 1 . 1 2.)
Figura 6.1 .9.
Si A es un conjunto abierto que contiene a B y a su frontera, entonces A contiene a un disco ligeramente más grande.
Para obtener A, procedemos como sigue. Para cada
cindad B w de
w sobre C existe una ve
w y una continuación analítica fw de f a A w = B
u
B w· {Véase la fi
gura 6. 1 . 1 0.) Entonces A = (unión de todas las A w) e s un conjunto abierto que con
tiene a B
u
C. Tratamos de definir una continuación de f a A haciendo g (z) = fw(z)
para z en A w. S i esto tiene un significado no ambiguo, ciertamente será analítica en
A , ya quefw es analítica en A w. Para que g tenga sentido, necesitamos saber que si z está en A w n A w , entonces fw (z) = fw (z). Pero esto es cierto. Las dos funciones z t 1 2 son ambas analíticas en la región A w n A w y ambas son iguales a f en el conjunto 1 2 abierto B e A W ¡ n A W . Por lo tanto, ellas deben coincidir en toda la región, por el z
teorema de identidad. Así, la definición de g tiene sentido. Esto no depende de la
A w que contiene a z que hayamos seleccionado. •
Figura 6.1 . 1 O.
El conjunto Aw
=
B v Bw-
392
CAP. 6 . DESARROLLO ADICIONAL
Consecuentemente, el radio de convergencia de una continuación analítica es muy independiente del método que se use para obtenerlo. Esto coincide con lo que fue visto en el capítulo 3; el radio de convergencia debe ser la distancia a la singularidad más cercana que no se puede evitar.
Suponga que f es analítica en una vecindad de un punto z0 de una región A y que f puede ser continuada analíticamente a lo largo de cualquier curva que une a z0 con cualquier otro punto z1 de A . Entonces, el radio de convergencia de la serie de Taylor en z 1 para cada una de tales continuaciones a z 1 es la misma y es al menos tan grande como la distancia de z1 al complemento de A . Proposición 6.1 .8.
Demostración. Suponga que no. Entonces, al extender la curva radialmente de
z 1 a cualquier punto sobre el círculo de convergencia, la extensión podría ser conti nuada analíticamente aun más allá en toda dirección desde z 1' contrario a la propo sición 6. 1 . 7 . •
La proposición no asegura que todas las continuaciones son l a misma. Esto podría no ocurrir, como lo demuestra el ejemplo del logaritmo. Podríamos obtener simplemente funciones locales definidas en discos pero que no necesariamente coinciden en los traslapes. Esta construcción es una forma básica en la cual surgen las funciones multivaluadas. Un punto es llamado un punto rama si una continua ción analítica alrededor de una curva cerrada que lo rodee, puede producir un dife rente valor al regresar al punto inicial. Los siguientes resultados básicos dicen que las funciones multivaluadas no surgen a partir de continuaciones a lo largo de cur vas en regiones simplemente conexas.
Sea A una región simplemente conexa y sea Zo E A. Sea f analítica en una vecindad de z0. Suponga que f puede ser continuada analíticamente a lo largo de cualquier arco que une a z0 con cualquier otro punto z E A. Entonces, esta continuación define una continuación analítica ( univalua da) de f en A Principio de monodromía 6.1.9.
Demostración. Necesitamos demostrar que si z 1 es cualquier otro punto de A,
entonces el proceso de continuación a lo largo de una curva y de z0 a z 1 a través de siempre producirá el mismo valor en Zp sin importar la curva que se haya usado. Con este fin, sean Yo y y1 dos curvas de z0 a z 1 en A. Puesto que A es simplemente conexa, éstas son homotópicas con extremos fijos, en A. Esto es, existe una función continua H: [0, 1 ] X [0, 1 ] � A del cuadrado unitario en A, tal que H(O, t) = y0 (t), H ( l , t) = y1 (t), H(s, O) = z0, y H(s, 1 ) = z 1 para toda s y t entre O y 1 , inclusive. Las funciones .ys(t) = H(s, t) son una familia de curvas de z0 a z 1 en A , que se deforman continuamente de y0 a y 1 • Véase la figura 6. 1 . 1 1 . Hay una conti nuación analítica fs de f, desde z0 hasta z 1 , a lo largo de cada curva Ys· Vamos a probar que fs(z 1 ) no puede cambiar conforme s es trasladada continuamente desde O hasta l y , por lo tanto, que f0(z 1 ) = /1 (z 1 ). Esto es exactamente lo que necesita mos para establecer el teorema.
A,
393
t
l
.. . .
·
.
·•
..
· .. . ·
·. ..
·. .
.
. .· .
•
••
. . .
.
H
•••
.
. ..
.•
o
S
1
Figura 6. 1 . 1 1 . Homotopía entre y0 y y1 •
La imagen de un cuadrado es un subconj unto cerrado y acotado de A . Así, por
el lema de l a distancia ( 1 .4.2 1 ) ésta está a una distancia positiva p del complemen to de A. Por l a proposición (6. 1 . 8), el radio de convergencia siempre es al menos p,
conforme continuamos anal íticamente a f a lo largo de cualquiera de las curvas y ·
s
Por el lema de la cubierta de una trayectoria ( 1 .4.24), l a continuación a lo largo de
cualquier "(5, debe ser completada hasta z l ' en un número finito de pasos, usando discos de radio p. Para cada s, este procedimiento produce una continuación analítica de f en una función fs analítica sobre un "tubo" A
s
alrededor de "(5, como en la fi
gura 6. 1 . 1 2. Con un poco de cuidado, podemos seleccionar un número finito de pun
tos O = s0
< s 1 < s2 <
<
s N = 1 y los valores de t que definen Jos centros de los d i scos, haciendo que los tubos A estén lo suficientemente cerca para que ys s k esté contenido en el tubo precedente A . y en el tubo subsiguiente A . . Esto se · • ·
5k + i
'k - 1
hace usando la continuidad uniforme de H, exactamente como en l a demostración
del teorema de deformación (2.3. 1 2); véase, en particular, la figura 2.3. 1 4. Las funcio
nesf �c son, cada una de ellas, analíticas en la región A . n A
s
junto abierto D (z0; p) C A
sk
nA
sk + 1
,
'*
sk
•
•
y coinciden en el con-
y, por lo tanto, coinciden en toda la región, por
el teorema de identidad en particular,.f (z 1 ) =.f = •
sk- i
sk + i
(z1 ), así quej,0(z 1 ) =.f (z 1 ) =.f (z 1 )
= fs (z 1 ) =f1 (z 1 ). La continuación de j a lo l argo de y0 hasta N
S¡
Zp
s2
coincide con
aquella a lo l argo de y1 en el punto yl " Esto es lo que necesitábamos mostrar. •
F i gura 6. 1 . 1 2. Cada y5
k+1
está contenida en A5 • k
394
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
Para regiones que no son simplemente conexas, podemos obtener diferentes va lores para la continuación de f, cuando recorremos dos trayectorias diferentes. Este hecho fue ya mencionado en el inicio de esta sección en conexión con log
z.
Por
6. 1 . 13, al empezar con log definido cerca de 1 y al continuar a lo largo de y l ' obtenemos log (-1 ) 1ti, mientras que a lo largo de y2, obtenemos log (-1) 1ti. Esto se debe a que la región C\(0) no es simplemente conexa.
ejemplo, en la figura
=
=
-
y
El log z definido cerca de z = 1 X
-1
Figura 6.1 .1 3. Continuación del log
z
a lo largo de dos arcos diferentes, desde 1 a -1 .
Superficies de Riemann de algunas funciones elementales El fenómeno que se acaba de describir, puede l levar al estudiante a preguntarse si existe una definición del log que no introduzca líneas de rama artificiales (las cuales, después de todo, pueden escogerse arbitrariamente). La respuesta está dada por una brillante idea de Georg Riemann en su tesis doctoral en crita aquí brevemente.
1 85 1 , la cual es des
z
se hiciera univaluada, deberíamos considerar a y 1 y
6. 1 . 14.
Se muestra sólo una parte de la escalera de caracol
Para el logaritmo, si log
y2 en la figura 6. 1 . 13 como si terminaran en lugares distintos. Esto puede represen tarse como en la figura
M, con ejes sobre el origen -ésta deberá extenderse indefinidamente hacia afue ra-. Si cortamos desde el
O hacia afuera en cualquier nivel y
en el nivel inmedia
tamente abajo de éste, obteneínos una parte de la superficie llamada una hoja (la porción sombreada en la figura
6. 1 . 14).
Esto puede ser identificado con el dominio
de cada una de las ramaS del log. Así, hemos apilado una cantidad infinita de copias
del campo complejo C unidas a través del
6. 1 . 14.
O y pegadas como se muestra en la figura
Ahora los arcos y1 y y2 van a diferentes puntos, así que podemos asignar
diferentes valores de log
z
a cada uno, sin ambigüedad.
395
Figura 6. 1 .1 4. la su perficie de Riemann para log z.
La principal propiedad de esta superficie, que nos permite definir a log z = log lzl + i arg z como una función univaluada, es que en esta superficie, el arg z está bien definido y las diferentes hojas corresponden a los diferentes intervalos de lon gitud 21t en las cuales el arg z toma sus valores. Así, podemos considerar a las funciones multivaluadas introduciendo un dominio más grande en el cual la función resulte univaluada. Consideremos brevemente otro ejemplo, la función raíz cuadrada: z � .fZ = .fre ;an. Aquí l a situac ión es ligeramente diferente a la de l a función log. S i rodeamos al origen una vez, rztoma un diferente valor, pero si lo rodeamos dos veces (9 incrementado por 41t), regresamos al mismo valor, así que queremos estar en el mismo punto en la superficie de Riemann. La superficie se ilustra en la figura 6. 1 . 15.
Hoj a 2 Figura 6.1 .1 5. la s u perficie de Riemann para J z.
Aun cuando parece que las hojas en esta figura se intersecan, se supone que no lo hacen . La falla es nuestro intento de visualizarla en R3• Uno puede considerar que la superficie de Riemann está en R4 o en C2. La figura 6. 1 . 1 5 es una ilustración de su "sombra" en R 3• Aquí está otra manera de pensar cómo se relaciona a la su perficie con la continuación analítica. Sea y el círculo unitario recorrido dos veces en
396
CAP.
6.
DESARROLLO A D ICIONAL
contra de las manecillas del reloj, al hacer que t cambie suavemente desde O hasta 41t en y(t) = e ir. Entonces, f(t) = e it/2 da una raíz cuadrada que cambia suavemente para y(t). En el inicio, y(O) = 1 y f(O) = 1 = "fl." Conforme hacemos el primer tránsito alrededor del círculo, y(t) toca sucesivamente a los puntos B, C y D (i, -1 y -i), y f(t). toca los correspondientes puntos en el círculo imagen. En t = 21t, y(t) ha regresado a 1, pero f(t) ha alcanzado la otra "raíz cuadrada", - l . En el segundo tránsito alrededor del círculo, y(t) retoma los puntos que tocó en el primer circuito, mientras que f(t) va a través de las otras posibles raíces cuadradas en el semiplano i n ferior. Al final del segundo circuito y(41t) = 1 y f(41t) = 1 ha regresado al valor original . (Véase la figura 6 . 1 . 1 6. ) y
)'
F B
C'
H D
G'
e
Figura 6.1 .1 6. Sigu iendo a
.JZ
conforme uno recorre
el círculo un itario.
Para funciones más complicadas como cos-1 (z), la superficie de Riemann se puede construir como sigue. En ciertas regiones de e, cos z es uno a uno y defini mos cos-1 (z) como la función inversa. Las bandas de periodicidad definidas en la sección 1 .3 son ejemplos de tales regiones para eZ y log z. Tal región para cos z se ilustra en la fi gura 6 . 1 . 1 7.
X
Figura 6 . 1 .1 7. Una región sobre la cual cos z es u n o a uno.
El interior de cada una de tales bandas es transformada conformemente sobre e menos las porciones ]-=, - 1 ] y [ 1 , oo[ del eje real, con los semiplanos correspon dientes a las semibandas, como se muestra en la figura 6. 1 . 1 8. Cada una de esas porciones no consideradas es la imagen de dos diferentes porciones de la frontera de cada banda. Cada hoja de la superficie de Riemann es una copia de e cortada a lo largo de estas porciones del eje real. La superficie es entonces construida al "pe gar" l as hojas a lo largo de estos cortes en tal forma que los semiplanos estén uni dos en la misma forma que las correspondientes semibandas preimágenes.
397
y
y z
�
cos z
......---
X
F i gura 6.1 . 1 8. Construcción de l a superficie de R i em a n n para cos --1 z.
l
Una sección cruzada de la superficie sobre el círculo e = z tal que lzl
dibuj arse algo así como en la figura
6. 1 . 1 9 .
=
2) podría
Los puntos negros en el di agrama de la
derecha, i ndican los lugares en la superficie sobre
2 y -2, donde e l círculo e cruza
los cortes a lo largo de las cuales las hojas son pegadas. Para construir el modelo, uno
debería enrollar el diagrama de la derecha en un cilindro que una la base y la tapa de tal forma que las marcas sobre las hoj as coincidan. Entonces uno podría colocar el cilindro sobre el círculo de tal manera que las hileras de puntos negros estén sobre y
2
-2. Si seguimos una curva escogida adecuadamente que dé vuelta alrededor de 1 y
-1
y que pase algunas veces entre ellos, y algunas veces sobre los cortes de rama,
podemos pasar desde cualquier hoja a cualquier otra, para obtener todos los posibles valores de cos-1 z.
y
sobre
z=2
-2
X
sobre
z = -2
Fi gura 6.1.19. Sección tra nsversal de l a s u perficie de R i ema n n para cos-1 z sobre el círculo lzl = 2.
398
Ejemplos resueltos 6. 1 . 1 O. Sea f una función entera que es igual a un polinomio sobre el eje real. Muestre que f es un polinomio.
n
en [0, 1 ]. Entonces /(z) y a0 + a 1z + + coinciden para z E [0, l ] y ambas son analíticas en C (esto es, ambas son enteras). Entonces, por el teorema de identidad, son iguales en todo C, ya que [0, l ] contiene una sucesión convergente de puntos distintos (por ejemplo, zn = l ln). Esto demuestra la afirmación. Solución. Seaf(x) = a0 + a 1 x +
a nz
n
•
•
+ an x
·
·
•
•
6. 1 . 1 1 . Demuestre que si zn 4 O y zn � O y si f está definida en una vecindad agujerada de
O, con f(zn) = O, entonces f tiene una singularidad no removible en z = O, a menos
que f sea idénticamente O. Ilustre con sen( l /z).
Solución. Si la singularidad de f en O fuera removible, entonces (por definición)
podríamos definir /(0) de tal manera que f fuera analítica en O. Así, si /(zn) = O, el teorema de identidad implicaría que fes idénticamente O. (Las zn tienen una cantidad infinita de valores distintos -¿por qué?-.) Esto es cierto con sen(l /z) = f(z), pues para zn = Il1tn,zn 4 O, perof(zn) = O. Por lo tanto, la singularidad es no removible.
Podemos ir un paso más allá. Para talf, la singularidad debe ser esencial, porque sif tuviera un polo en O, entonces f(z) se iría a infinito conforme z � O (véase el ejercicio 7, sección 3.3). 00
6 . 1 . 1 2. Sea f(z) = L a0(z - Zo)" con un radio de convergencia R > O. n=O
a) ¿Existe siempre una sucesión zn• con lzn - Zol < R para n = tal que f(zn) 4 oo?
1 , 2, 3, , . . . y lzn - Zol 4 R,
b) ¿Puede f ser continuada analíticamente al disco lz - z01 < R + E para alguna E > O? Solución a) Tal sucesión no necesariamente existe. Considere la serie
de la razón, el radio de convergencia es
1
= lím n
-t oo
(n + 1 )2
----
l: 0
z n/n2• Por el criterio
= 1
Pero para lzl $ 1 , tenemos
1L 71 oc 1 ""
o
z"
1
lzl" 1 z" "" $ .L 7 = l: y $ l: 7 < oo o
Así, 1/(z)l está acotada por que/(zn) 4 oo.
oo
o
o
i l ln2 en lz tal que lzl < 1 J y, 0
por ende, es imposible
b) No. Suponga que existe una función analítica g en l z - zJ < R + E con g(z) = f(z) para
l z - zJ < R; Ya quef y g son analíticas y coinciden en l z - Zol < R, la serie de Taylor de 00
g, L an(z o
Zo)". es válida para l z - <1JI < R + E. Por lo tanto, el radio de convergencia
de la serie dada es mayor que R, lo cual es imposible (ya que es igual a R).
CONTINUACIÓN ANALÍTICA
6. 1 .
6. 1 . 1 3. a) Suponga que f estádada por la s erie de potencias f(z) lz -
i;
n = O an
=
(z - zo)n
válida para
Zol < R. Muestre que si lz 1 - z01 < R, entonces la s erie de Taylor para f centrada
"" bk(z - z )k,
"' [ (k
+ m) !
ak + m(z 1 -
)m .
Zo k!m! b) Trabaje con los prim eros términos, empeza ndo con la ra ma principa l de lag z0 = 1 y z 1 = (1 + i )12. en
399
z1
1
es 1:
k=O
bk
donde
=
1:
m=O
]
z en
Solución a) Al tomar la k-ésima derivada de la expansión en series de / alrededor de z0, encon tramos, para lz - z01 < R, que Jikl(z)
=
.',E
m=O ""
� = ¿,¿
(k + m)(k + m - 1 ) (k + m)!
•
•
( m + I )a k + m (z -
Zo) m
m ak + m (Z - 7-) -u
m 1.
m=O
•
Así, la serie de Taylor para/alrededor de z1 es
Esto converge a/(z) cuando lz - z 1 1 < R - lz1 - z01, pero podríamos tener un radio de convergencia mayor. Si esto sucede, entonces nos da una continuación analítica de f mediante la serie de potencias.
b) La rama principal de log ( l + w) para lwl < 1 , tiene la expansión log( l + w) = oo
1:
n= l
1
(- l )n -
w n. Haciendo w
n
=
para lz - l l < l . Así, a 0 = O y a n tenemos
bo =
i',
b¡ =
Í:
m= 1
1 )m -
(
�
__ -_ _ _ __
m
m + 1 )! (_ _ _ . _ m...,.! m=O
=
1
1 - (1 - i)/2
(
i
�
(m
m =O
+
2!m! 1
1
=
m+ 1
m+2
r� -e ; )Y i
=-
� log
(
i- 1
1
)
2
=
[(- l ) n - ltn] (z - l ) n , válida
l;
n=l
>
O. Ya que z 1 - z0
: )m = Í:
=
i
2+
m=O
(
)
1 -i m 2
1 -i
(
= - - ---..,...--�- =
2
1 (-1)n - /n para n
(-l )m - 1 + 1
(-l )m + 1
2) !
=
; 1 )m
y
b2 = "'-
z - 1 nos da log z
i
¡
_
2
m
1
= - -
00
1:
2m=O
(m + 1 )
(
1 -i
2
)
(i - 1 )12 ob
400
CAP.
6.
DESARROLLO ADICIONAL
6. 1 . 14. Mapeos conformes de anülos. (Existe una abundante bibliografía acerca de los ma peos conformes de regiones que no son simplemente conexas, El tema es complicado ya que no hay un teorema tan amplio en alcance como el teorema del mapeo de Riemann. En algún sentido, la presencia de más de una componente de frontera, res tringe tales posibles mapeos. Este ejemplo muestra cómo usar el principio de reflexión de Schwarz para estudiar la situación para un anillo.) Si O < r < 1 , sea Ar = {z 1 r < 1 z 1 < I j, sea Cr = {z tal que lzl = rj, y sea C 1 = { z tal que lzl = l j, así que la cerradura de Ar es c l (Ar) = Cr u Ar u C 1 • Demuestre lo siguiente: Suponga O < r < 1 y O < R < 1 y que f es un mapeo analftico uno a uno y sobre, de Ar en A R , el cual extiende a un mapeo continuo, uno a uno y sobre, de cl(Ar) sobre ci(A R) . Entonces r = R y f debe ser de uno de estos dos tipos: (i) una rotación, donde existe una constante real e tal que f(z) = ei6z para toda z en Ar; o (ii) una rotación e inversión, donde existe una constante real e tal que f(z) = rei6/z para toda z en Ar. Solución. f debe transformar a el en e, y a er en eR, o intercambiar los círculos exteriores e i nteriores. Si lo último ocurre, entoncesf(r/z) es otro mapeo de Ar sobre AR, el cual no los intercambia. Así, debemos asumir que f manda a e1 en e1 y a C, en eR continuamente. E l principio extendido de reflexión de Schwarz (6. 1 .5 ) muestra cómo continuar a f analíticamente a un mapeo de un anillo mayor A,-2 sobre AR2' así que la continuación es otra vez continua en la frontera y manda a e,2 en eR2· Este proceso puede repetirse i ndefinidamente hasta extenderf a una sucesión creciente de anillos.
que son transformados respectivamente sobre
(Véase la figura 6. 1 .20.) Cada extensión transforma a er2" en eR2. y a Jos anillos entre ellos en forma correspondiente. Ya que R2n � O conforme n � oo, lím f(z) = O. Así z = O z --+ 0
e s una si ngularidad removible y al hacer f(O) = O sirve para completar l a extensión de f a una función analítica del disco D = {z tal que lzl < l j en sí mismo, conf(O) = O. La función extendida satisface las condiciones del lema de Schwarz y, por lo tanto, lf(z)l� lzl para toda z. Puesto que e, va a eR, esto obliga a que R � r. Este procedi 1 miento pudo también haber sido aplicado af- , la cual manda a A R en A r· Esto daría r � R y, por lo tanto, r = R. Finalmente, esto muestra que lf(z)l = lzl en cada uno de Jos círculos er2n, así que f debe ser una rotación, por e l lema de Schwarz.
y
r
A,... Figura
6.1 .20.
Mapeos conformes de ani llos.
401
Ejercicios l. a) Seaf(z) = e 1" - l . Si zn = l /2nni, entonces zn � O yf(zn) = O, perof no es idénticamen te O. ¿Contradice esto el teorema de identidad? ¿Por qué si o por qué no? b) ¿Es cierto el teorema de identidad para funciones armónicas?
Sea h(x) una función de variable real x E R. Suponga que h(x) '= L anxn la cual conn =O verge para x en algún intervalo 1-11. 11[ alrededor de O. Demuestre que h es la restricción de alguna función analítica definida en una vecindad de O. "'
2.
3.
Sea f analítica en una región A y sean constante en una vecindad de z2.
Zp
z2
E
A. Seaf'(z 1) # O. Muestre que f no es
4. Sea[ analítica y no idénticamente O en A. Muestre que si f(zo) = O, existe un entero k tal que f(z0) = O = · · · = J'k - 1 l(zo) y jik)(zo) # O. 5.
Demuestre el siguiente resultado de Karl Weierstrass. Seaf(z)
=
f
z"' Entonces /no
puede ser continuada analíticamente a ningún conjunto abierto que"co�tenga propiamente a A = {z tal que lzl < 1 }. (Sugerencia: considere primero z = re 21fiplq• donde p y q son enteros.) 6.
Formule un principio de reflexión de Schwarz para funciones armónicas.
7. Suponga que f puede ser continuada analíticamente a lo largo de una curva
y en la
manera mostrada en la figura 6. 1 .2 1 . Muestre que f puede ser continuada mediante series de potencias (en un número finito de pasos).
Figura 6.1 .2 1 . Continuación analítica de fa lo largo de una curva desde 8. 9.
z 0
hasta
' z .
2 Discuta la superficie de Riemann para � z - l . Discuta la superficie de Riemann para 3,¡-z.
10.
Discuta la relación entre la proposición 2.2.6 y el teorema de monodromía.
11.
Considere la serie de potencias
f o
(-I)nzn definida en lzl < l . ¿Para qué dominio en e
puede usted continuar analíticamente esta función? 12.
13.
Muestre que sifes un mapeo analítico, uno a uno y sobre de {z 1 r1 < lzl < R1} en !z 1 r2 < l z l < R2}, el cual se extiende a un mapeo continuo, uno a uno y sobre de lz 1 r1 :;; lzl :;; R1} en lz 1 r2 :;; lzl :;; R2}, entonces R¡lr1 = R/r2• Dé una descripción de tales funciones. Sea A una región, seaf: A � e, y sea y : ]a, b[ � A una curva suave sin autointersecciones, con y ' (t) # O. Asuma que fes continua en A y analítica en A \y. a) Muestre que fes analítica. b) Utilice a) para demostrar el principio de reflexión de Schwarz.
402 6.2. EL TEOREMA DE ROUCHÉ Y EL
PRINCIPIO DEL ARGUMENTO
En esta sección desarro1larnos algunas propiedades de las funciones analíticas que serán usadas para localizar raíces de ecuaciones dentro de curvas. La herra mienta principal será el teorema del residuo.
Una fórmula para el conteo de raíces y polos Los principales resultados de esta sección serán los mencionados en el título. Es conveniente empezar con una fórmula que cuente las raíces de una ecuación en el i nterior de una curva cerrada. Se dará una versión más intuitiva corno corolario de la siguiente versión precisa. Teorema del conteo de raíces y polos 6.2.1. Sea f analítica en una región A excep to para los polos en bp . . . , bm y ceros en a l ' . . . , an, contados con su multiplicidad (esto es, si b1 es un polo de orden k, b 1 será repetido k veces en la lista y similarmen te para los ceros a Sea y una curva cerrada homotópica a un punto en A y que no pasa a través de nmguno de los puntos aj o b 1 • Entonces
)-
f .!_ 1
(z) dz = 2 1ti f(z) í
[ ± I(y, aj) - i I(y, b 1 )] =
1
1= 1
(1)
NOTA. La ecuación ( 1 ) se aplica en particular a funciones meromoifas, esto es, a funciones definidas en C excepto para los polos (véase la sección 3.3). Puede haber únicamente un número finito de polos en cualquier región acotada, ya que los polos son aislados. Demostración. Primero, es daro que
bt> . . . , bm. f'/f
f' (z)/f(z) = g (z ) es analítica excepto en
a l . . . , an, Si f tiene un cero de orden k en a ., f'tiene un O de orden k - 1 y, por lo tanto, = g tiene un polo simple en a y el 1residuo es k. Esto se debe a j que podernos escribir = (z - a k
f(z)
)
k
z - aj
---
En consecuencia, el residuo en aj es claramente k. Similarmente, si polo de orden k, podemos escribir, cerca de
b1,
f(z) =
b1 es un
donde
b
403 g(z) =
-
k
z - b1
(z)
+
4>'
así que el residuo es -k.
Por el teorema del residuo,
donde I: ' significa la suma sobre los distintos puntos. Pero ya que el residuo es igual al número de veces que resulta
como se quería.
a¡ ocurre y a menos ese número para br esta expresión
•
La fórmula en el último teorema puede ser mejor entendida para una curva ce rrada simple, cuando puede ser usada para contar ceros y polos. Corolario 6.2.2. (i)
Sea y una cu rva cerrada simple:
Si f es analítica en un conjunto abierto que contiene a y y a su interior, ex cepto para una cantidad finita de ceros y polos, ninguno de los cuales está en y, entonces
J
f' (z)
y
--
f(z)
.
dz = 21tt (Z¡- P¡)
{2)
donde Zr es el número de ceros dentro de y y I} es el número de polos dentro de y, cada uno contado con su multiplicidad (orden). (ii) Fórmula para el conteo de raíces :
Si f es analítica en un conjunto abierto que contiene a 'YY a su interior y f(z) nunca es igual a w en y, entonces
I
y
f ' (z) fi(z)
-w
dz
. = 21t1Nw
donde Nw es el número de raíces de la ecuación f(z) = w dentro de y contada con su multiplicidad como ceros de f(z) - w. Demostración. Puesto que
y es simple,
e l índice d e y con respecto de
a es 1 , si i a¡ está dentro de y y es O si está fuera. El teorema 6.2. 1 da así la parte (i). La parte (ii) se sigue al aplicar la parte (i) a g(z)
=f(z) - w. •
404
Principio del argumento Consideramos ahora una útil consecuencia del teorema del conteo de raíces y
polos. Para una curva cerrada y y z0 que no está sobre y, podemos legítimamente de cir que el cambio en el argumento de z - z0 conforme z corre y es 21t 1 (y, z0). Ésta ·
es en verdad la base intuitiva sobre la que se desarrolló el índice; esto se escribe
como !!. arg (z - zo) = 21t 'Y
•
/(y, z0) (véase la figura 6.2. 1).
ll.y arg (z - z0)
=
21t
Figura 6.2.1 . Cambio en el argumento de
z - z0
cua ndo se recorren las dos curvas.
Enseguida queremos definir 11 arg J, esto es, el cambio en el arg.f(z) conforme 'Y z rodea una vez a y. Intuitivamente y para los cálculos prácticos, el significado es claro, únicamente calculamos arg f(y(t)) y hacemos correr a t desde
[a,
b]
�
a
hasta b si y,
C, luego observamos la diferencia argj{y(b)) - argf(y(a)). Escogemos una
rama del argumento tal que argf(y(t)) varíe continuamente con t. Equivalentemente, al
cambiar las variables, podemos hacer y = f o y y calcular !!.:¡ arg z. Esto conduce a la
formulación de la siguiente definición.
6.2.3. Sea f analítica en una región A y sea y una curva cerrada en A. homotópica a un punto y sin pasar por ningún cero de f. Entonces, definimos
Definición
!!. arg f = 21t 'Y
•
I(f o y, O)
(El índice tiene sentido porque O no está en
f o y.)
En los ejemplos, podemos hacer uso de nuestra previa intuición acerca del índice, para calcular !!. argf. El principio del argumento es como sigue. 'Y
en una región A excepto para los polos en b 1 , • • • , bm y ceros en a1 , • • • , an contados de acuerdo a sus multiplicidades. Sea y una curva cerrada homotópica a un punto y sin pasar a través de aj o de b 1 • Entonces Principio del argumento
6.2.4.
Sea
f analítica
( 3)
Demostración. Por el teorema del conteo de polos trar que
y raíces, es suficiente mos
i
L\Y arg f =
puesto que f no tiene polos o ceros en
i
L\Y arg f= 21ti
fb ;
y.
405
f
f'(z)
Y
dz
-fo y Z
=
· /(jo y, O) =
(4)
I
fo y
_!É_ Z
2.4). Al tomar y. [a, b] � e, tenemos
f(y(t)) dt =
f(y(t))
a
dz
En efecto,
por la fórmula para el índice (véase la sección
f
/(z)
fb a
f' (y(t)) , y ( t) dt f(y(t))
vor la definición de integral y por la regla de la cadena. La última i ntegral es i gual a J Y [f' (z)if(z)] dz, por definición. (Si y es únicamente C1 a trozos , esto se cumple sólo
en cada intervalo donde La ecuación
y'
existe, pero obtenemos el resultado por adición.)
•
(3) se aplica usualmente al caso donde y es una curva cerrada simple.
el cambio en el arg f(z), conforme recorremos una vez y (en dirección contraria al sentido de las manecillas del reloj), es 21t(Zf - Pr), donde Zr (o Pf) es el número de ceros (o polos) dentro de y, contados con sus multipli cidades. A priori, es un tanto sorprendente que z1- P1 y el cambio en el argumento de f estén relacionados. Entonces podemos concluir que
Esto puede sonar familiar al lector alerta que recuerde un truco del cálculo, lla mado diferenciación logarítmica. Si
y es
un pequeño fragmento de una curva lo sufi
cientemente corta para que f(y) sea un segmento de curva que esté en un semiplano, como en la figura
6.2.2, podemos definir una rama del logaritmo con el corte de rama
alejándose del semiplano, mediante una elección apropiada del ángulo de referencia, al definir el arg
z.
Entonces
d dz
[log f(z)] =
f'(z) f(z)
a lo largo de
y
y
y
\
f -----------+--� X
\ \ \ \ \ \ \ f(y) \ ------���--------� X -----...... -
--
_... .-
Figura 6.2.2. la diferenciación logarít m ica y el pri ncipio del argu mento.
406
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
y, por lo tanto,
Jj
(z) dz = a logf(z) = a log (z)
r
IJ(z)l
+
i a argf(z)
Para una curva cerrada y, podemos hacer esto a lo largo de partes cortas y suce sivas de la curva, usando una elección apropiada del logaritmo para cada una de
ellas. Cuando regresamos al punto inicial, las contribuciones para a Iog
lf(z)l tendrán
que ser todas canceladas, pero no aquellas para a arg f(z), puesto que hemos estado cambiando la determinación del argumento.
Teorema de Rouché Se puede utilizar el principio del argumento para demostrar un teorema muy útil que tiene varias aplicaciones, algunas de las cuales se darán en el resto de este capítulo.
Teorema de Rouché 6.2.5. Sean f y g analíticas en una región A excepto para un
número finito de ceros y polos en A. Sea y una curva cerrada en A homotópica a un punto y que no pasa a través de ningún cero o polo de f o de g. Suponga que, en y lf(z) - g (z)l Entonces: (i) a los de ceros de similarmente.
1
f,
argf=
<
lf(z)l n
� arg g; y (ii) Zr - Pf = Zg - Pg' donde Zr = �� I(y, aj), aj son i
contados con su mu ltiplicidad,
y Pf' Z8, Pg
están definidos
Demostración. Ya quef y g no tienen ceros en y, podemos escribir nuestra su
posición como
1 g(z) J(z)
Así,
g(z)lf(z) = h(z)
i
- t <
1
sobre
y
transforma a y sobre el círculo unitario centrado en 1 (véase
la figura 6.2.3). Por lo tanto,
l(h o y, O) = O, ya que h o y es homotópica a 1
y
Figura 6.2.3. la imagen de 'Y bajo h.
en ese disco
6.2.
(el cual no contiene a
EL TEOREMA DE ROUCHÉ
a h y la definición de lly arg
0). Por la ecuación (4), aplicada
obtenemos
f
Y
h ' (z) dz h (z )
=
407
h,
O
Pero
h ' (z)
g ' (z)
f ' (z)
h (z)
g (z)
f (z)
y en consecuencia
f
g ' (z) y
g (z)
dz -
J
f ' (z) y
/(z)
dz
Por lo tanto, el resultado se sigue del teorema del conteo de polos y raíces, y el
principio del argumento. •
Un importante caso especial del teorema de Rouché es el siguiente. Sea y una curva cerrada simple y sean f y g analíticas en el interior y sobre y, con y sin pasar por los ceros de f o de g; suponga que l f(z) - g(z)l < 1 f(z)l sobre y. Entonces f y g tienen el mismo número de ceros en el interior de g. Note que si lf(z) - g(z)l < lf(z)l sobre y, entonces, automáticamente y no puede pasar por los ceros de f o de g (¿por que'?. ) . El teorema de Rouché se puede utilizar para localizar los ceros de un polino mio. Se da una ilustración en el ejemplo resuelto
6.2. 1 1 .
El teorema de Rouché se
puede usar también para dar una simple demostración del teorema fundamental del álgebra, incluyendo el hecho de que un polinomio de grado raíces (véase el ejercicio
9).
n tiene exactamente n
Teorema de Hurwitz Una de las aplicaciones teóricas del teorema de Rouché es el siguiente resultado de Hurwitz. Teorema de Hurwitz 6.2.6.
Sea f0 una sucesión de funciones analíticas en una re gión A, que convergen uniformemente a f en cualquier disco cerrado en A. Asuma que f no es idénticamente cero, y sea Zo E A. Entonces f(Zo) = O si existe una suce sión Z0 � z0 y existe un entero N tal que f0(Z0) = O siempre que n � N (esto es, un cero de f es un límite de ceros de las funciones f0) . El teorema se seguirá de la siguiente proposición. Proposición 6.2.7.
Sea f0 una sucesión de funciones analíticas en una región A, la cual converge uniformemente a f en cualquier disco cerrado en A. Asuma que f no
408
CAP. 6. DESARROllO ADICIONAl
es idénticamente cero y que y es una curva cerrada simple que junto con su interior está contenida en A y que no pasa por los ceros de f. Entonces existe un entero N(y) tal que cada f0, con n � N(y), tiene el mismo número de ceros dentro de "( que f (contados de acuerdo a sus multiplicidades).
Ya que lfl es continua y nunca es cero en el conjunto compac to y, tiene un mínimo m, distinto de cero, sobre y, digamos que !f(z)l � m > O para toda z en y. La curva es cubierta por un número finito de discos cerrados y , por lo tanto, la convergencia de fn af, es uniforme sobre y. De acuerdo con esto, existe un entero N(y) tal que lfiz) -/(z)l < m -5./(z) para toda z en "( siempre que n � N(y) . Podemos aplicar el teorema de Rouché y concluir que fn y f tienen el mismo nú mero de ceros dentro de y, como se quería. (Note que fes analítica en A , por el teo rema de convergencia analítica (3. 1 .8).) • Demostración.
Otra vez, f es analítica en A por el teorema de convergencia analítica (3. 1 .8). Suponga que f(zo) = O. Ya que f no es idéntica mente O, los ceros son aislados, por el teorema de identidad. Existe un número o > O tal que j(z) nunca es O en la vecindad agujerada {z 1 O < lz - z01 < o]. Para cada entero positivo k, sea "(k el círculo {z tal que lz - z01 = o!k]. Tome Nk como N(yk), por la pro posición 6.2.7. Entonces n � Nk implica que fn tiene al menos un cero zn dentro de 'Yk· Esto es, fn(zn) = O. Para n � Nk, tenemos lzn - z01 < olk. Esto demuestra el teorema con N = N1 siempre y cuando nos aseguremos de haber escogido la zn den tro de 'Yk tan pronto como n � Nk garantice su disponibilidad. • Demostración del teorema 6.2.6.
Debemos asumir que f no es idénticamente cero. Considere, por ejemplo, la función fn(z) = e'ln, la cual se aproxima uniformemente a cero en los discos cerra dos (¿por qué?) pero para la cualfn no tiene ceros. Corolario 6.2.8. Sea fn una sucesión de funciones analíticas en una región A, la cual converge uniformemente a f en los discos cerrados en A. Si cada f0 es uno a uno en A y f no es constante, entonces f es uno a uno en A.
Suponga que a y b están en A y que f(a) = f(b). Queremos mostrar que a = b. Considere gn(z) = fn(z) - fn(a) y g(z) = /(z) - f(a). Entonces gn � g uniformemente en los discos cerrados en A y g(b) = O. Puesto que g no es idénticamente O, el teorema de Hurwitz dice que existe una sucesión zn � b con gn(zn) = O. Esto es,fn(zn) =fn(a). Perofn es uno a uno y, por lo tanto, zn = a. Ya que zn � b, debemos tener a = b, como se quería. • Demostración.
Es perfectamente posible para funciones uno a uno, converger uniformemente en discos a una fución constante. Por ejemplo, las funciones fn(z) = z/n convergen uniformemente en el disco unitario a la función constantef(z) = O. Funciones uno
a
uno
Las funciones analíticas que son uno a uno, encuentran muchas aplicaciones útiles. El término función simple (schlicht) es usado a menudo. Vamos ahora a re-
6.2.
El TEOREMA DE ROUCHÉ
409
lacionar las funciones uno a uno con el teorema del mapeo inverso. Otra vez, el teo rema de Rouché es la herramienta adecuada. Proposición 6.2.9. Si f : A � C es analitica y uno a uno arbitrariamente, entonces f ' ( z0) �O para toda z0 E A. Se sigue, por el teorema de la función inversa, que f(A) es abierto y si f es uno a uno globalmente, que r-1 es analítica de f(A) en A.
Demostración. Suponga que, por el contrario, para algún punto z0 tenemos f'(z0) =O. Entonces f(z) - f(Zo) tiene un cero de orden k � 2 en z0• Ahora bien, fno
es constante y, por lo tanto, los ceros de f' son aislados. En consecuencia, existe una o > O una m > O tal que en el círculo lz -z01 =o, l f(z) - f(z0)1 > m > O y f' (z) �O para O < lz - z01 :::;; o. Para O < r¡ < m, concluimos que f(z) - f(z0) - r¡ tiene k ceros dentro de z l - z01 =o, por el teorema de Rouché. Un cero no puede ser un doble cero, ya que f'(z) �O para lz -z01 :::;; o, z �z0. Así, f(z) =f(z0) + r¡ para dos puntos distintos z y, por lo tanto, no es uno a uno. Esta contradicción significa que f'(z0) � O, como queríamos demostrar. • Otra propiedad básica de las funciones uno a uno es la siguiente: Teorema de la función uno a uno 6.2.10. Sea f analítica en una región A y sea y una curva cerrada homotópica a un punto en A. Suponga que l(y, z) =O o l . Defina el conjunto B = !z E AII(y, z) � o} (el "interior' de y). Si f es tal que cada punto de f(B) tiene índice con respecto a la curva y= f y, entonces f es uno a uno en B.
1
o
Demostración. Considere, para z0
N=
E
B y w0
I
1
21ti
=f (z0) ,
f'(z)
f(z) - w0
1
dz
Por el corolario 6.2.2, N es igual al número de veces que f(z) = w0 en B. Debemos entonces mostrar que es igual a l. Haciendo y=f g, concluimos, como en el principio del argumento, que o
N=-
1
-
---:i 2-=-1t
I
1 - - dz - --
y z - w0
el cual es el índice de w0 con respecto de y. Así, N = 1 y, por lo tanto, f(z) = w0 tiene exactamente una solución, z =z0. Esto significa que fes uno a uno. • El teorema de la función uno a uno resulta más intuitivo si usamos el teorema de la curva de Jordan. Sea y una curva cerrada simple y sea B su interior. Suponga que el conjunto f(B) está acotado por la curva y =f y. Las hipótesis del teorema de la función uno a uno se cumplirán si y es una curva cerrada simple (ya que esto significa que f debe ser uno a uno sobre y). Por lo tanto, el resultado puede ser reformulado como sigue: Para ver si una función analítica es uno a uno en una o
región, es suficiente con verificar que es uno a uno en la frontera.
410
Ejemplos resueltos 6.2.1 1 . Utilice el teorema de Rouché para determiiUlr los cuadrantes en los cuales están los ceros de z 4 + iz2 + 2 y el número de ceros que están dentro de los círculos de radio varían. Solución. Sea g(z)
=
z 4,f(z)
=
z4
+
iz2
lf(z)-g(z)l
=
+
2 , y observe que
liz 2 + 21 � lzl 2 + 2
y que lg(z)l Por lo tanto, si r = lzl
>
=
lzl 4
J2, tenemos lf(z)-g(z)l < lg(z)l
Puesto que g no se anula en ningún círculo de radio positivo, la desigualdad precedente muestra quefno se anula en círculos con radio > .fi. El teorema de Rouché muestra en tonces que las cuatro raíces defestán dentro de estos círculos, esto es, dentro del disco cerrado lzl � .f2. Enseguida, sea h(z) = z4 + 2iz2 = z2 (z2 + 2i). Claramente, h tiene una doble raíz en O y dos raíces adicionales sobre el círculo lzl = ..ff. Más aún !f(z)- h(z)l
=
l -iz 2 + 2 1
=
lz2 + 2 il
lh(z)l
= ---,-
l z12
Para cualquier elección de r, con 1 < r < .[2,h y, por lo tanto,f, no se anulan en el círculo lzl = r y lf(z)-h(z)l < lh(z)l. El teorema de Rouché muestra queftiene precisamente dos ceros en lzl < r para cualesquiera de estos valores de r. Haciendo que r se aproxime
a 1 y a ff, vemos queftiene dos raíces en el disco cerrado lzl � 1 ydos raíces sobre el círculo lzl
=
.J2.
Finalmente, sea k(z)
=
2. Entonces
lf(z)-k(z)l
=
l z 4 + iz21 � lzl 4
+ lzl2
<2
=
l k(z)l
siempre que lzl < l . Argumentando como antes, para cualquier r, con O < r < 1 , k y, por lo tanto, f, no se anulan en lzl < r. Combinando estos tres resultados, encontramos que f tiene dos ceros sobre lzl = 1 y dos sobre lzl = ff. Regresemos ahora al análisis de los cuadrantes sobre los cuales están las raíces. Para z real o puramente imaginario, f(z) = z4 + iz2 + 2 tiene una parte imaginaria distinta de cero, a menos que z = O. Así, f no tiene raíces sobre los ejes. Consi dere un cuarto de círculo grande, como se muestra en la figura 6.2.4. Vamos a calcular !!.1 arg(z4 + iz2 + 2 ) y a usar el principio del argumento. A lo largo del eje x, z
411 y
Figura 6.2.4. La curva y utílizada para localizar los cuadrantes en que están los ceros del polínomio z4 + iz2 + 2.
es real y f(z) está en el primer cuadrante. Tambiénf(O) = 2 y, conforme R---* /(R) ---*O, ya que
(
arg/(R)=argR4 1
+
i -
R2
+
2
)
-
R4
=arg
(
1
+
i
-
R2
2 R4
+
oo,
arg
)
-
tiende a O conforme R ---* oo. Puesto que f toma sus valores en el primer cuadrante, concluimos que el cambio en el argumento es cero conforme z se mueve desde O hasta oo. A lo largo de la porción curveada de y,z4 claramente cambia de argumento por 21t (=4 x 1t/2). ConformeR---* oo, 21t es el límite en el cambio del argumento paraf(z) también, como vemos al escribir
Similarmente, al bajar por el eje imaginario, en el límite cuando R crece, no hay cambio en el argumento de f. (Si /(0) no fuera real, este esquema daría aun el com portamiento en el límite del argumento en el infinito y el valor en cero, y así el cambio en el argumento se puede inferir al menos hasta un múltiplo de 21t.) Concluimos que el cambio en el argumento, conforme recorremos y, es 21t. Por el principio del argumento, hay exactamente un cero en el primer cuadrante. Por ins pección, /(z) = f(-z), así que -z es una raíz cuando z lo es. Por lo tanto, debe haber una raíz en cada cuadrante. En consecuencia , debemos tener una de las dos posibilidades mostradas en la figura 6.2.5. Los métodos utilizados aquí no nos per miten decir realmente cuál de estas posibilidades ocurre sin un análisis más detallado. Podemos comprobar este ejemplo al encontrar las raíces directamente usando la fórmula cuadrática dos veces; sin embargo, en otros ejemplos el cálculo directo puede ser imposible o impráctico, mientras que los métodos descritos aquí pueden ser usados.
412 y
y
Figura 6.2.5. Localización de l as raíces del polinomio
z4
+ íz2 + 2.
6.2. 1 2 . Si a> e, muestre que la ecuación ez = azn tiene n soluciones dentro del círculo unitario. Solución. Sea f(z) = e'- az" y sea g(z) = -azn. Entonces g tiene exactamente n raíces. Vamos a probar que f y g tienen el mismo número de raíces dentro del círculo unitario lzl = l . Para hacer esto debemos mostrar que lf(z) - g(z)l < lg(z)l para lzl = l . Pero
1/(z) - g(z)l = le'l = ex::;; e n
ya que lxl::;; l. También lg(z)l = laz l = a > e y, por lo tanto, el resultado se sigue del teorema de Rouché.
6.2. 1 3 . Sea f(z) = I: a nz". Suponga que a0 = O y a 1 = l . Demuestre que fes uno a uno en el n=O disco unitario !z tal que lzl < 1 ) si I: l la11 ::;; l . =
oo
1=2
Solución.
La serie de f converge para
::;; 1 , obtenemos lanl::;;
lzl < 1 ya que, como una consecuencia de
I: =
1=2
1, así lanz nt::;; lzln,
y sabemos que I: lz ln converge para lzl Por l o tanto, f e s analítica e n {z tal que lzl < 1). Sea lz01 <
na11 <
1,
1. Queremos mostrar que f(z) = f(zo} tiene exactamente una solución, z00 Sea
g(z) = z - z0, la cual tiene exactamente una raíz. Si hacemos h(z) = f(z) - f(zo}.
entonces
00
h(z) - g(z) = L
n=2
a n zn - L anz ; 00
n =2
Para estimar esto, podemos usar el siguiente truco. Sea cJ>(z) = I: a n z n. n =2 Entonces 00
6.2.
EL TEOREMA DE ROUCHÉ
413
donde el máximo es sobre todas aquellas l; sobre la línea que une Zo con z (¿por qué?).
J�2 00
Sin embargo, 14>'(l;) l =
na,.
l;"- 1 1
<;, �2 nla,.l � 00
1, ya que l l;l < l . Por lo tanto,
lh(z)- g(z)l = 14>(z)- 4>Cz 0) 1 < lz- z01 = lg(z)l Así, por el teorema de Rouché, h(z) =j(z) - /(z0) tiene exactamente una solución, a saber, z = z0; esto demuestra la afirmación.
6.2.14. Utilice el teorema de Rouché para demostrar que las raíces de un polinomio de grado n (las raíces son contadas con sus multiplicidades) dependen continuamente
de los coeficientes del polinomio.
Solución. Aquí, parte del problema es establecer precisamente lo que quiere decir la
pregunta. Suponga que el polinomio es p(z) = a,.z" +a,._ 1z"- 1 + · · · + a1 z +a0 con
a, =F- O, y los ceros son w , w2, ..., w, . (Algunos de éstos podrían ser el mismo.) 1 Después de normalizar dividiendo entre a,, ciertamente los coeficientes dependen
continuamente de las raíces. De hecho, éstas son expresiones polinómicas de las
w/ . Simplemente multiplicamos por p(z)la,. = (z- w1) (z- w 2 ) (z- w, ) para obtener a,. _¡la,.=-(w1 + w2 + · · · + w,), etcétera. Nuestro problema presente está •
•
•
en otra dirección. Se puede pensar como un problema de estabilidad. Si la ecuación
es cambiada ligeramente al cambiar los coeficientes. ¿Podemos concluir que las
soluciones n o cambian mucho? Tales preguntas pueden ser importantes, por
ejemplo, se pueden conocer los coeficientes, sólo aproximadamente. Éstos podrían
estimarse por experimentación y estar sujetos a algún error experimental o ser
conocidos dentro de un intervalo de confianza estadística. ¿Un pequeño error en las medidas puede causar un error muy grande en las soluciones? Este ejemplo dice que
en algún sentido la respuesta es no.Aquí está una posible formulación.
1 1 z"- + · · · +a1z + 3o con an =F- O tiene , wk con multiplicidades n1, n2, ... nk, y que E es un número positivo
Proposición. Suponga que p(z) = anz" +an ceros en wl' w2,
. . •
_
menor que la mitad de la mínima distancia entre los puntos wr Entonces, existe un 1 z" + · • · + b1z + b0 tiene 1 exactamente nj ceros (contados con sus multiplicidades) en el disco D ( wj ; E) para cada número O> O tal que el polinomio q(z) = bnz" + bn
j=
_
l , 2, ... , k siempre que lbm- a m i � o para cada m = O,
],
2, ..., n.
Demostración. Sea Y; el círculo {z tal que lz- w) =E} . Entonces Jp(z)l nunca es O en y 1 u · · · u yk, y ya que es continua, tiene un mínimo A distinto de cero en este conjunto compacto. Sea M= max (lw11,
lbm- ami
. .. , l wkl)
� o para toda m, y z está en l p(z)- q(z)l
+E y escoja
n
o< A/(2 .I: M m). m=O
Entonces, si
y1 u · · · u'Yk' tenemos
n
� L lam- bmi • l zl m=O
m
n
� L oMm
Por ende, el teorema de Rouché muestra que el número de ceros de q dentro de Yj es el mismo que el número de ceros de p dentro de Y¡ paraj= 1 , 2, · • ·, k. •
6.2.15. Encuentre el mayor disco centrado en Zo =1 en el cual la función f (z) = z4 es uno a uno.
Solución. Este problema tiene la intención de proporcionar una advertencia en contra
de un error común. La derivada j'(z) =
4z 3
es O únicamente en z = O . En particular,
41 4
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
.
f' (z) nunca es O en el disco D( 1; 1 ) Sin embargo, no podemo s concluir quefes uno a uno en este disco. En efecto, no lo es.f( ( l + i)//2) = /(( 1 - i)/J2) =-l. S i / fuera uno a uno cerca de un punto, la derivada no debe ser O en ese punto yf' ( z) � O es suficiente para garantizar quefes uno a uno en alguna vecindad de z. Pero quef' no sea nunca O e n una región grande, no es sufi c i ente p ara forzar a que f sea globalmente uno a uno en toda la región. En el presente ejemplo, f(re11t14) = f(re -i1tl4) para cualquier r. Por lo tanto, la función dejará de ser uno a uno tan pronto como el disco toque estas líneas a figura
45°.
Esto ocurre para D(l; R) cuando R
=
llf'I. Véase la
6.2.6.
y
Figura 6.2.6. la función f(z) = z4 es uno a uno en este disco.
(6.2.10),
Los métodos basados en e l teorema de la función uno a uno los cuales involucran consideraciones en la frontera, usualmente son más útiles que el examinar la derivada. Si z1 = r 1e 18• y z2= r2e 162 están en el círculo de radio R alrededor de 1, con
O < R
Ejercicios
2 z6- 4z5 + z - l en el disco {z tal que lzl < 1)? ¿Cuántos ceros tiene z4- 5z + 1 en el anillo { z 1 l < lzl < 2)? Muestre que existe exactamente un punto z en el semiplano derecho { z 1 Re z > o) en el cual z + r'= 2. (Sugerencia : considere contornos tales como el de la figura 6.2.7.)
l. ¿Cuántos ceros tiene 2. 3.
Ri
Figura 6.2.7.
415
y
El contorno para el ejercicio 3.
4.
Muestre que sí p(z) zn + an 1z n- 1 + · • • + a 1z + a0, entonces debe haber al menos un punto z con l zl 1 y lp(z)l � l. (Sugerencia: si lp(z)l< 1 en todo {lzl 1 ) ¿cuántos ceros tienean_1zn-I + • • • +a1z+ a0?) l. Suponga que O< lf(z) 1< 1 si lzl l . 5. Seafanalítica dentro y sobre el círculo unitario lzl Muestre que/tiene exactamente un punto fijo (un punto z0 tal queflz0) z0) dentro del círculo unitario. 5z3 - 1 tiene tres soluciones en el disco { z tal que lzl< 1}. (Sugerencia: 6. Muestre que ez piense en el ejemplo resuelto 6.2.12.) 7. Muestre que la conclusión en el ejercicio 5 es aún válida si la suposición O< 1/ (z)l< 1 es remplazada por O< 1 /(z)J S l . (Excepto que el punto fijo estuviera sobre el círculo unitario.) k 1: z fk!. Sea D(O, R) el disco de radio R > O. Muestre que para n suficientemen8. Sea gn k=O te grande, gn no tiene ceros en D(O, R). 9. (Teorema fundamental del álgebra) Utilice el teorema de Rouché para demostrar que si a0 + a1z + • • · + a nz , n � l y an #O, entonces/tiene exactamente n-raíces. f(z) 10. Proporcione los detalles de la siguiente demostración del teorema de Rouché: Bajo las hipótesis del teorema 6.2.5, la función H(s, t) sg(y(t)) + ( l - s) fly(t)) es una homotopía de curvas cerradas entre las curvas/ y y g y en C\{0), Se sigue que/(/ y, 0) /(g o y, 0). La conclusión del teorema de Rouché se sigue a partir de esto y del principio del argumento. 1 1 . Extienda el teorema del conteo de polos y raíces (6.2.1) para incluir el siguiente resultado. Si fes analítica en A excepto para los ceros ena1 ' . .. , a y los polos en b1' bm (cada uno repetido de acuerdo a su multiplicidad), si h es analítica en A y si y es una curva ce rrada homotópica a un punto en A, que no pasa por ningún a1, , an, bl' ... , bm, entonces n z -'----h(z) dz 21ti L h(a¡) /(y, a¡)- L h(bk)l(y, bk) =
=
_
=
,
=
=
=
=
=
n
=
n
o
=
o
o
n
.
•
I
1
f(z) f()
=
[
m
i=I
k=t
•
•
]
.
•
,
=
416
CAP. 6. DESARROLLO A DICIO NAL 12. Proporcione los detalles de la siguiente demostración del teorema de Rouché (debida a
Caratheodory): La función �
F(11.) =
l
--
2 ni
I
A.g'(z) g(z)
-r
+
+
( l-A.)f'(z)
( l -A.)/(z)
dz
es una función continua de A. para O � A. � l. Pero su valor es siempre un entero y, por lo tanto,
13.
Si Of(z) es un polinomio, utilice el ejercicio l l para demostrar que
l
-2 ni
I
J'(z) /(z)
-r
zdz
es la suma de los ceros defsi el círculo y es suficientemente grande.
14. a) Sea f: A � B analítica, uno a uno y sobre. Sea w e B y sea y un círculo pequeño en
A con centro en Zo· Utilice el ejercicio 1 1 para demostrar que
1 ¡-'(w)=- 2 ni
I
f'(z)z -r
f(z)-w
dz
para w suficientemente cerca def(z¿J. b) Explique el significado de
J'(z) f(z) -w 15. Seaf(z) un polinomio nde grado n, n
dz
� l . Muestre que/transforma a
C sobre C.
16. Suponga que gn(z) = :E l l(k'zk), y sea E> O . Paran suficientemente grande, ¿todos los k=O
ceros de g n están e n el disco D(O; E)?
17. Síf(z) es analítica y tienen ceros dentro de la curva cerrada simple y, ¿podría concluirse
quef'(z) tiene n
-
l ceros dentro de y?
18. Localice los ceros (como se hiz o en el ejemplo resuelto 6.2.1 ) para el polinomio z4- z + 5=O.
19. Encuentre una r> O tal que el polinomio z3 - 4z2 + z-4 tenga exactamente dos raíces
dentro del círculo lzl =r.
20. Sea f analítica dentro y sobre lzl = R y sea /(0) � O. Sea
M = máx 1/(z)l sobre lzl = R. Muestre que el número de ceros defdentro de lzl= R/3 no excede a l ---·
log 2
log
M ---
lf(O )I
(Sugerencia: sea h(z)=f(z)l[(z-z1) (z-z n)] donde zn son los ceros def dentro de lzl =R/3 y aplique el teorema del módulo máximo a h.) •
•
•
21. Muestre que z � z2 + 3z es uno a uno en z tal que lzl < l
[
}.
22. ¿Cual es el disco más grande alrededor de .zo =O sobre el cual la función en el ejercicio
2 1 es uno a uno?
6.3. PROPIE DADES DE LAS FUNCIO N ES ANALÍTICAS
417
23. Demuestre que la siguiente afirmación es falsa: Para toda función/analítica en el anillo
�
<
lzl
<
�
,
existe un polinomio p tal que lf(z)-p(z) l
24. Sea/analítica en C y sea 1/(z)l �
<
�
para lz l = l.
5 fiZf para toda lzl � l. Demuestre quefes constante.
6.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
ANALÍTICAS COMO MAPEO
En esta sección se demostrarán propiedades adicionales de las funciones analí ticas, que son de naturaleza local (esto es, que dependen únicamente de los valores de /(z) para z en una vecindad de un punto dado z0). Se darán aquí demostraciones adicionales del teorema de la función inversa (1 .5. 10), del teorema del módulo má ximo (2.5.6) y del teorema del mapeo abierto (establecido formalmente por primera vez en esta sección, pero mencionado previamente por primera vez en esta sección, pero mencionado previamente en el ejercicio 8, sección 1 .5). Podemos demostrar estos teoremas y también obtener información concerniente al comportamiento de una función cerca de un punto, usando la fórmula del conteo de raíces (véase el corolario 6.2.2):
1 2rti
f
f' (z) --,7-..,.----dz = número de raíces de f(z) = w dentro de y, contando multiplicidades 1/(z) - w
Comportamiento local de las funciones analíticas Si j(z0) = w0 con multiplicidad k, en el sentido quej(z) - w 0 tiene un cero de or den k en z0, entonces mostraremos que f es arbitrariamente k a uno, cerca de z0• La formulación precisa del teorema es algo rebuscada y confusa. Empezamos con la mo tivación y el típico ejemplo y parafraseamos el teorema en forma un tanto imprecisa antes de formular y demostrar la versión más precisa. (El lector debe tener en mente el ejemplo y seguir la argumentación precisa a la que se refiere la figura 6.3. 1 .) Con-
f
�
Figura 6.3. 1 . Esta función es dos a uno cerca de
z0•
41 8
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
sidere el caso especial en el que f(z) = z". Esta función tiene un cero de orden k en z0 = O (aquí w0 = 0). Entonces, para toda w cerca de O, z" = w tiene exactamente k solu ciones cerca de O. Para ver que este comportamiento es heredado por una función / más general para la cual f(z0) = w0 con multiplicidad k, considere la expansión en series de potencias de/alrededor de z0: 00
f(z) - w0 = L a (z - z0)n n n =k Para lz- z01 suficientemente pequeño, podríamos conjeturar (correctamente) que el comportamiento del término de menor grado que no se anula, a (z - z0)", dominará. "
Suponga que f toma el valor w0 en z0, con multiplicidad k. Entonces, para toda w suficientemente cerca de w 0, f toma el valor w exactamente k veces cerca de z0 (contando multiplicidades). Para toda w aun más cerca de w0, las k raíces de f(z) = w cerca de z0, son distintas. Teorema del mapeo: versión informal 6.3.1.
La formulación más precisa es la siguiente:
Sea f analítica y no constante en una región A y sea Zo E A. Suponga que f(z) - w0 tiene un cero de orden k 2:: 1 en Zo· Entonces existe una TI> O tal que para toda e E ]0, TI], existe una o >O tal que si lw - w 01 < O, entonces f(z) - w tiene exactamente k rafees (contadas con sus multiplicidades) en el disco lz - z01
Puesto que f no es constante, los ceros de.ft:z) - w0 son aislados. Así, existe una TI>O tal que para lz - z01:::;: Tl. /(z)- w0 no tiene otros ceros que z0. En el conjunto compacto z tal que lz - Zol =e (el círculo y en la figura 6.3.1), /(z) - w0 es continua y nunca es cero. Por lo tanto, existe una o > O tal que !f(z) - w 01 ::;; o >O para lz - z01 =E. Así, si w satisface lw - w01
{
}
(i) f(z) - w0 "'"' O (ii) f(z) - w "'"' O (puesto que f(z) = w significaría que lw - w 01 2:: O) (iii) l(f{z) - w) - (f(z) - w0)l = lw - w 01
41 9
Los teoremas del mapeo abierto y de la función inversa
El teorema del mapeo nos dice que en algún disco cerrado centrado en z0, fes
exactamente
k
a uno. El teorema puede no ayudar directamente en encontrar el ta
maño de este disco (véanse los ejemplos y ejercicios al final de esta sección), pero
muchas veces, el conocimiento de su existencia nos puede conducir a interesantes
resultados.
Una función/: A --te es llamada abierta si, para cualquier conjunto abierto U e A , f(U) es abierto. Por la definición de un conjunto abierto, esta afirmación es
E> O suficientemente pequeña, existe una o> O tal que lw w01 < o, implica que existe una z, lz- z01 < E con w =f(z). En otras palabras, siftoca a w 0, f toca a toda w suficientemente cerca de w0. Una lectura cuidadosa de la de finición de conjunto abierto y un examen de la figura 6.3. 1 , muestran que el teorema
equivalente a: Para toda
del mapeo implica el siguiente teorema:
Teorema del mapeo abierto 6.3.3. Sean A e e abierto y f : A --t e no constante analítica. Entonces f es un mapeo abierto, esto es, la imagen bajo f de cualquier conjunto abierto es abierta.
y
Usando el teorema del mapeo abierto (6.3.2), podemos también obtener una
demostración alternativa del teorema de la función inversa (1.5.10).
Teorema de la función inversa 6.3.4. Sea f : A --t e analítica, sea Zo E A y sea f' (Zo) =;6 O. Entonces, existen una vecindad U de Zo y una vecindad V de w0 = f(zo) tales que f : U --t V es uno a uno y sobre, y f-1: V --t U es analítica. Demostración.f(z)- w0 tiene un cero simple en z0 ya quef'(z0) =;6 O. Podemos usar el teorema 6.3.2 para encontrar E> O y o> O tales que cada w, con lw- w01 < o, tenga exactamente una preimagen Z, con lz- Zol < E. Sea V = !w tal que llw- wol < o} y
sea U la imagen inversa de V bajo el mapeo frestringido a jz tal que lz - z.ol
< E]
(la
región sombreada en la figura 6.3. 1 ) . Por el teorema del mapeo, f transforma en
forma uno a uno y sobre, a U en V. Ya quefes continua, U es una vecindad de z0. Por el teorema del mapeo abierto,/= (f-1)-1 es un mapeo abierto y, por lo tanto,¡ -1 es continua de V a U. Para mostrar que es analítica, use ¡-t (w) =
_ 1_
21t i
I
f '(z)
lz-z.,l=e /(z)-
w
z dz
(véase el ejercicio 14 al final de la sección precedente). Ésta es analítica en w, por el ejemplo resuelto 2.4.15. • Estas ideas pueden usarse como la base de otra demostración del teorema del
módulo máximo (véase la sección 2.5) como sigue.
Teorema del módulo máximo 6.3.5. Sea f analítica en una región (conjunto abierto y conexo) A. Si lfltiene un máximo local en z0 E A, entonces fes constante.
420
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
Suponga que f no es constante y que z0 e A. Puesto que f es un mapeo abierto, para lw f(z0)1 suficientemente pequeña, existe una z cerca de z0, con w =f(z). Escoja w con lwl > l f (z0)1. Específicamente, escoja w = ( 1 + o/2)/(Zo) si f {z0) �O, y w = o/2 si f (z0) =O para o pequeña. Entonces, es claro que f no tiene un máximo relativo en z0• • Demostración.
-
Una demostración similar muestra que si /(z o) � O, entonces f no tiene un mínimo en z0 a menos que fsea constante. El principio del módulo máximo (2.5.6) se sigue como en la sección 2.5.
Ejemplos resueltos 6.3.6. Detennine el mayor disco alre dedor de z0 = O so bre el cual f(z) = 1 + z + z2 es uno a uno.
Solución. Puesto que f' (O) = 1, j(z) -1 tiene un cero simple en O, y el teorema del mapeo (6.3.2) muestra quejes uno a uno en algún disco alrededor de z0 = O. Comoj(z) -1 = z + z2 = z( l + z), la cual tiene raíces en O y -1, sabemos que j(z) -1 tiene solamente una raíz en el disco !z tal que lzl < 1 }. Este disco es el disco de la primera parte del teorema del mapeo, pero eso no garantiza que j sea uno a uno en el disco; en efecto, no lo es. El teorema del mapeo muestra únicamente que j es uno a uno en la subregión del disco sombreada en la figura 6.3.1, la preimagen de (w tal que lw - w01 < o }. Podemos encontrar que es lo que causa este fenómeno al dibujar la imagen del círculo unitario. En este casoj(z) = 1 + z + z2, z0 = O y w0 = l . Así j(O) = l
j(e2"ü3) = O
j( l ) = 3
j(é"i/3) =o
( i) ( �) ( �)¡ ( � ) ( � ) ( 1 )i
1 j -
j(i ) = i
.fi
j -
f(-1) =1
j(- i) =
(
1 1 j - --
J2
12
-i
)( )( )
· i = l +-
.fi
- 1 +-
1
J2
..n
+
l
.J2
--
1
.fi
=
i =
l +
v2
l -
n
+
+
1+
v2
l --
J2
¡
Al dibujar estos puntos, encontramos que la imagen del círculo unitario es como se muestra en la figura 6.3.2. El índice de la curva imagen con respecto de la pequeña región sombreada, es 2. Por lo tanto, aquí cada punto es tocado dos veces por los puntos en el disco unitario; por ejernplo,f'(-
i-) = O y fl-i-) = ! . El teorema del rnapeo mues-
tra quejes dos a uno en vecindades pequeñas de_...!.... En consecuencia,jno será uno a 2 uno en ningún disco que contenga una vecindad de _!_, 2 _
421
y
2i
f
B
.....-----... A'
A
D Figura 6.3.2.
Imagen del círculo unitario bajo f(z) = 1
+
z + z2.
Considere el disco D(O,r) = {z tal que lzl < r}. La curva frontera es el círculo 'Yr = [z tal que lzl = r). Conforme r decrece, el aro problema en la curva imagen se contrae. Para alguna r0 críti ca,desaparece. Para r > r0,fno es uno a uno en 'Y r· Para r< r 0,fes uno a uno en 'Yr· Por el teorema de la función uno a uno (6.2.10),/es entonces uno a uno en D(O, r) y el disco deseado es D(O, ro). Para encontrar r0, suponga que re;e y rei\JI están en 'Yr• y que f(reffi) = f(reilll). Entonces
rei(B + \JI)
(ei(B- '!')
_
e i(\11 9)) = ¡¿ (9 \JI)/2 (e i(\11 - 9)1 2 -
+
_
ei(B- \J/)12)
Por ende, 6rei<9 \JIV2 sen (6- 'JI) = -sen --=-"' 2 +
-'--
En otras palabras, +
2rei<9 \JI)/2 sen
6-'JI 6-"' 6-"' cos = -sen 2 2 2
Ahora, una de dos cosas debe pasar: o sen [(6- 'lf)/2] = O, en cuyo caso 6- 'JI = 2xn para algún entero n y entonces rei8 = rei'l',o cos [(6- 'lf)/2] = - (112r)e- i(B \11)/2• Si r >__!___ ,lo último puede pasar para 'JI = -9; por ejemplo,en r = 1,esto ocurre en los puntos 2 e21til3 y e41til3. Si r<-.!2 ,esta misma condición no se puede satisfacer,ya que lcos[(6-'Jf)/2]1 � l . Sí r = �, esto puede pasar úni camente para 9 = 'JI = 1t. El radío crítico es, por lo tanto, r0 = _!___ Así,fes uno a uno en el disco D(O,_!__ 2 ) = {z tal que lzl <_!__2 }pero no lo 2 es ningún disco abierto más grande. (D(O, � )) es el di sco más grande, alrededor de +
422
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
z0 =O en el cualf'(z) nunca es cero. No es cierto generalmente que éste también será el disco en el cualfes uno a uno (véase el ejercicio 3).
6.3.7. Demuestre l o siguiente: Si fes analítica cerca de z0 E A y si f(z)- fZo ( ) tiene unO de orden k en z0, 1 � k< oo, entonces existe unafunción analítica h(z) tal que f (z) = f(Zo) +
[hz ( )]k para z cerca de z0, y hes localmente uno a uno.
Solución. Puesto que k< oo yfno es constante. Podemos escribir f(z)-f(zdj = (z- z;>k
1¡.j
=
(z- z0) l¡j
-
�
f
-
...
h 1; � 1;3
......
Figura 6.3.3. Ejemplo resuelto 6.3.7, con k= 3.
Ejercicios l. Seaf(z)
= z + z2• Para cada z0 especificada, encuentre el mayor disco centrado en Zo• en el cualfes uno a uno:
b) z0 = 1
a) z0 =0
2. ¿Cuál es el disco más grande alrededor de Zo
=
1 en el cualf(z) =e'- es uno a uno?
= {z tal que lz- Zol < r j . Seaf(Zo) = w0 y suponga quef(z)- w0 no tiene otras raíces en D diferentes a z0 y que/'(z) nunca es cero en D. Muestre que no necesariamente es cierto que fes uno a uno en D. S ( ugerencia: considere z3.)
3. Sea/analítica en D
4. ¿Cuál es el mayor disco centrado en z0 = 1 en el cual/(z)
véase el ejercicio 3.)
5. Si fes analítica en
.
·
=
z3 es uno a uno? S ( ugerencia:
A,O E A y f' (O) � O, entonces demuestre que cerca deO podemos escribirf(zn) =f(O) + [h(z)]n para alguna función analítica h que es uno a uno cerca de O. (Sugerencia: use el ejemplo resuelto 6.3.7.) 6. Sea u: A� R armónica y no constante en una región A. Demuestre que u es un mapeo abierto.
SUPLEMENTO A DEL CAPÍTULO 6 7.
423
Utilice el ejercicio 6 para demostrar los principios del máximo y del mínimo para funciones armónicas (véase la sección 2.5).
8. Sea f entera y con la propiedad de que si B e e es cualquier conjunto acotado, entoncesf-1(B) es acotado (o tal vez vacío). Muestre que para toda w E e, existe z E e tal que /(z) = w. (Sugerencia: muestre que /(e) es tanto abierto como cerrado y deduzca que /(e)
=
e). Aplique este resultado a los polinomios para deducir otra
demostración más del teorema fundamental del álgebra.
9. Muestre que la ecuación círculo unitario.
z=
e'- a, a
>
1, tiene exactamente una solución dentro del
10. Considere el ejemplo resuelto 6.3.7 y torne el caso en donde local en tres pasos, corno sigue:
k= 4.
Visualice el rnapeo
Bosqueje este mapeo.
11. Suponga que fes analítica en una región A que contiene al disco unitario cerrado D = {z tal que lzl :S: 1 J y que 1/(z)l > 2 siempre que lzl = l. Si ./(0) = l muestre queftiene un cero en D."'
"'
n
12. Seaf(z) = I: anz con un radio de convergencia R. Suponga que la11 � I: nlanlr" -l para O
alguna O <
r :S: R. Muestre que fes uno a uno en
{z
tal que
lzl
<
n=2
r) a menos que fsea
constante. Compare su método con el que se usó para resolver el ejemplo resuelto 6.2.13.
SUPLEMENTO A DEL CAPÍTULO 6: FAMILIAS NORMALES
Y EL TEOREMA DEL MAPEO DE RIEMANN El principal objetivo de este complemento es bosquejar una demostración del teorema del mapeo de Riemann. El material está separado ya que es un poco más avanzado que el resto del capítulo y no es necesario para entender o usar éste o los capítulos subsecuentes. Sin embargo, ilustra algunas poderosas herramientas y técnicas del análisis complejo. En todo el suplemento, G representará un conjunto abierto, conexo y simple mente conexo, contenido propiamente en el plano complejo e y D representará el disco unitario abierto D = D(O; 1) = [z tal que lzl < 1}. Dada z 0 e e, el teorema del mapeo de Riemann asegura que existe una función f que es analítica en G y que transforma a Gen forma uno a uno y sobre en D, con f(Zo) = O. Más aún, si se pide que f'(z0 ) > O, entonces existe exactamente una función tal. La unicidad ha sido ya establecida en el capítulo 5; esto es, no puede haber más de una de tales funciones. Necesitamos todavía demostrar que existe al menos una. La idea de la demostra ción es investigar en todas las funciones que transforman a G de manera uno a uno en D y que mandan a z 0 a O, con derivada positiva en z 0; encontrar una entre ellas que maximicef'(zJ y mostrar que esta función manda a G sobre D.
Teorema de Montel y familias normales
La demostración de la existencia de una función que maximice af'(z 0) descan sará en el material de la sección 3.1, concerniente a la convergencia uniforme en discos cerrados. Aprendimos ahí que si una sucesión de funciones analíticas en una
424
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
región converge uniformemente en los discos cerrados contenidos en la región, en tonces la función límite debe ser analítica. La existencia de tales sucesiones es co nocida como el teorema de Montel sobre familias normales. Definición de familia normal 6.S.A.l. Si A es un subconjunto abierto de e, un conjunto 9' defunciones analíticas en A, es llamado unafamilio normal si toda suce sión de funciones en Y' tiene una subsucesión que converge uniformemente en los discos cerrados en A.
Observe que por el teorema de convergencia analítica (3 cesión debe ser analítico en A.
.
1
.
8 ) el límite de tal su ,
Teorema de Monte) 6.S.A.2. Si A es un subconjunto abierto de e y � es un con junto de funciones analíticas en A, el cual es uniformemente acotado en los con juntos cerrados en A, entonces toda sucesión de funciones en 9' tiene una subsuce sión que converge uniformemente en los discos cerrados en A. Esto es, 9' es una familia normal. Demostración1 El plan de ataque es el siguiente:
(i) Seleccionar un conjunto numerable de puntos C = [ zp z2, z3, J que estén distribuidos densamente en todo A, en el sentido que A e el (C). (ií) Mostrar que existe una subsucesión de la sucesión original de funciones que converge en todos esos puntos (iii) Mostrar que la convergencia en este conjunto denso de puntos es suficiente para obligar a que la subsucesión converja en todos los puntos de A. (iv) Verificar que esta convergencia es uniforme en cualquier disco cerrado en A. •
•
•
El primer paso puede realizarse al tomar aquellos puntos con ambas partes, real e imaginaria, racionales. Hay sólo una cantidad numerable de éstos y, por lo tanto, pueden ser arreglados en una sucesión, y éstos están distribuidos densa mente en A , en el sentido que algunos de ellos están arbitrariamente cerca de cualquiera en A. una sucesión de funciones en�- La suposición de ser uniforme Seaf1,f2,J3, mente acotado en los discos cerrados significa que para cada disco cerrado B e A, existe un número M (B) tal que lfn(z)l < M(B) para toda n y para toda z en B. En particular, los númerosf1(z1),f2(z1),f3(z1), son todos menores que M({z1 )). Por lo tanto, debe haber una subsucesión de éstos que converjan a un punto wl' con lw11 ::::; M(\ z1j ). Reetiquetamos esta subsucesión como • • •
•
•
•
Al evaluar estas funciones en z2, nos da otra sucesión de númerosf1 1(z2)./1 2(z2), , , 1 El estudiante que haya visto el teorema de Arzela-Ascoli (véase por ejemplo, J. Marsden,
Elementary Classical Ana/ysis, Nueva York, W. H. Freeman and Company, 1974) puede dar una rápida
demost ración del teorema de Montel utilizando la suposición de ser u niformemente acotado, y el ejemplo resuelto 3.1.19 de este libro para demostrar la equicontinuidad.
SUPLEMENTO A DEL CAPÍTULO 6
1 1, 3(z2),
•
•
la cual está cotada por
•
425
M({z2}). Alguna subsucesión de ésta debe
converger a un punto w2. Reacomode esta sub-subsucesión como
Es importante notar que las funciones12 1,12, 2,12, 3, están seleccionadas entre , Al continuar de esta manera, seleccionando subsucesiones de subsu•
11, 1,11, 2.11, 3,
,
•
•
•
••
cesiones, se produce el arreglo
/1 . 1(z1),/1,2(z1 ),fl,3(z1), . /2. 1(z2)./2, 2(z2)./2. lz2), / 3, 1 (z3)./3, izJ)./3, 3(z3), 14, 1(z4)./4, 2(z4)./ 4, 3(z4),
.
.
�
w1
·
·
·
�
w2
·
·
·
�
w3
·
·
·
�
w4
en la cual la k-ésima hilera horizontal converge a algún número complejo wk y las funciones usadas en cada hilera se seleccionan de entre las funciones de la hilera
anterior. La demostración utiliza un procedimiento, llamado la construcción diagonal, la cual es algunas veces útil en otros contextos. Sea gn = In, n· Entonces g 1, g 2, g 3, es una subsucesión de la sucesión de funciones original, y lím g 1(zk) •
•
•
1->=
= w k para toda k. Esto es debido a que g n =In, n es unasubsucesión de 1 k. 1,1 k. 2,1k, 3, . tan pronto como n > k. Así, la subsucesión gn converge en un conjunto de puntos .
.
que están distribuidos densamente en todo A. Los pasos (iií) y (iv) del programa son para mostrar que el hecho de que las
g n estén uniformemente acotadas en los
discos cerrados en A, es suficiente para obligarlas a que converjan en todo G y, en efecto lo hacen uniformemente en los discos cerrados en A. Realizamos esto para demostrar que l a sucesión satisface la condición de Cauchy uniformemente en discos cerrados.
B un disco cerrado contenido en A y sea € > O. Por el ejemplo resuelto gn son uniformemente equicontinuas en B; esto es, existe un número o > O tal que lg¡(t;)- g 1(�) < F13 para toda 1, siempre que l; y � estén en B y 11; � 1
3.1.19,
las funciones
-
hacer esto podría ser tomar una red cuadrada de puntos con coordenadas racionales y separarlos en menos que O. Véase la figura 6.S.A.l. Ya que lím
1-> 00
g1(zk) = wk para
toda k, cada una de las sucesiones satisface la condición de Cauchy y como sólo hay una cantidad finita de ellas, existe un entero siempre que
n
2::
N(B),
m >
N(B) y
1 �k�K(B).
N(B) tal que lgn(zk)- gm(zk)l < F13
426
Figura
6.S.A.1. Cua lquier punto en B está a una distancia menor que
un punto de la familia finita de
zk.
Ponga todo esto junto, suponga que n :;::: N(B) y m :;::: N(B). Sí z E está a distancia menor que o de zk, para alguna k :5 K(B) y, por lo tanto,
o de A,
a l menos
entonces z
La sucesión gn satisface entonces la condición de Cauchy uniformemente en B y, en consecuencia, converge uniformemente en B a alguna función límite, como se quería. • Demostración del teorema del mapeo de Riemann
Estamos ahora en posición de demostrar el teorema del mapeo de Riemann. Sea G un conjunto abierto, simplemente conexo y conexo, contenido en el plano complejo C. Sea z0 E G, y sea D D(O; 1 ) el disco abierto unitario. Debemos mostrar que existe una función analíticaf en G, la cual transforma en forma uno a uno y sobre a G en D, conf(z0) O y f'(z0) >O. Para hacer esto, sea =
=
ff lf: G �Dijes analítica y uno a uno en G,f(zo) =O y f'(z0) >O] =
Los principales pasos de la demostración son: (i) Mostrar que ff no es vacío. (ii) Mostrar que los números {f'(z0)1f E ffj están acotados superiormente y tienen, por tanto, i.Jna mínima cota superior finita M. (iii) Utilice el teorema de Monte] para extraer de una sucesión de funciones en ff, cuyas derivadas en z0 converjan a M, una subsucesión que converja uniformemente en los discos cerrados en G. La función límite f, es analítica en G y f' (Zo) M. =
SUPlEMENTO A DEL CAPÍTULO 6 (iv) (v)
Muestre quefe
g>_
Muestre quefdebe transformar a G sobre
Para mostrar que
427
D.
g> no es vacío, es suficiente mostrar que podemos trans
formar analíticamente a G en el disco unitario. Una vez hecho esto, únicamente necesitamos componer con una transformación fracciona} lineal del disco sobre sí mismo, la cual mande a z0 a O, y luego multiplicar por una constante
ei8,
escogida
de tal manera que la derivada del mapeo resultante en z0 sea positiva. Si G es acotado, por ejemplo, si lz -- z01 < R para toda z en G, el mapeo z
�
el trabajo. Si G no es acotada, el mapeo omite a l menos un punto z
�
z
-
a,
(z- z0)1R hace
a.
La traslación
manda a G a una región simplemente conexa G 1 que no contiene al O.
Por e l teorema 2.2.6, existe una rama del logaritmo, definida en G 1, a la cual le (li2)F(z) es una rama de llamaremos F. Entonces, el mapeo g definido como z � e
la función raíz cuadrada; por el teorema del mapeo inverso o por el teorema de la función inversa, uno ve que G2
=
g(G 1) contiene algún disco
propiedades de la función raíz cuadrada, =
D(b; r). Por las D(-b, r) no interseca a G2• El mapeof(z)
rl[b + z] transforma entonces a G2 en el disco unitario. Véase la figura 6.S.A.2.
G
y
Figura 6.S.A.2. La transformación de Gen el disco unitario.
g> no es vacío, debemos establecer la parte g> está uniformemente acotada por 1 en G y, por lo tanto, por el
Una vez que hemos mostrado que (ii). La familia
ejemplo resuelto 3.1.18, las derivadas están acotadas uniformemente en los discos cerrados en G. En particular, existe un número finito Mc z0 ) tal quef'(zo)
{ }
{ }
g>_ Sea M la mínima cota superior de estas derivadas. Debe de haber
428
CAP. 6. DESARROLLO ADICIONAL
una sucesión/1 ,/ 2,/3•
•••
de funciones en g>, con la propiedad de que lím /,'(z0) = M. n n�oo
Puesto que la familia g> es uniformemente acotada, es normal, por el teorema de Montel, debe de haber una sucesión que converja uniformemente en los discos ce rrados en G. Debemos también desechar las funciones que no necesitamos y asu mir que tenemos una sucesión que converge uniformemente en los discos cerrados en G. Por el teorema de convergencia analítica (3.1.8). éstas convergen a una fun ción límite f que es analítica en G y f' (z0) = M. E n seguida queremos saber que f es un miembro d e g>. Cada una de l as funciones f n' transforma a G en el disco unitario, y así/transforma ciertamente a G en el disco unitario cerrado. Puesto que f no es constante, el principio del módulo máximo dice que 1/(z)l no puede tener un máximo en G y, por lo tanto, la imagen nunca toca a la frontera del disco y /transforma a G en D. Ciertamente, f(z0) = lím n->oo
fn(z0) = O. Finalmente, el corolario del teorema de Hurwitz (6.2.8), muestra que f debe ser uno a uno, ya que es un límite no constante de funciones uno a uno que convergen uniformemente en los discos cerrados. Por lo tanto,¡ E
SUPLEMENTO B DEL CAPÍTULO 6
429
lg'(O)I < 1, por el ejemplo resuelto 1/g'(O). Por lo tanto, F'(O) > 1, como se quería. Todas las piezas
es una rotación, tenemos una desigualdad estricta
2.5.19, pero F'(O)
=
han sido ensambladas y, por tanto, la demostración del teorema del mapeo de Riemann, está ahora completa. •
Figura 6.S.A.3.
Construcción para la afirmación en la demostración del teorema del mapeo de Riemann.
SUPLEMENTO B DEL CAPÍTULO 6: LA DINÁMICA DE LOS MAPEOS ANALÍTICOS COMPLEJOS Los dibujos mostrados e n la figura 6.S.B.l son representaciones de la dinámica de los mapeos analíticos complejos. El propósito de este complemento es propor-
430
a)
b) Figura 6.5.8.1.
Los diferentes sombreados representan el rango de aproximación de los puntos al infinito bajo la iteración del mapeo; la región negra consiste de los puntos "estables" que permanecen acotados bajo la iteración. En la parte a), el mapeo es (1 + 0.1 i) sen z mientras que en b), es (l + 0.2í) sen z. (Cortesía de R. Devany de Boston University, con la asistencia de C. Mayberry, C. Sma/1 y S. Smith).
SUPLEMENTO B DEL CAPÍTULO 6
43 1
in vestigar más consultando referencias en esta materia, tales como R. L. Devany, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Reading, Mass, Addison-Wesley, 1 985; P. B l an c hard, "Complex Dynamics o n the Rieman n Sphere " , Bulletin of the American Mathematical Society, VoL l l , 1 984, pp. 85- 1 4 1 ; o B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Nueva York ; W. H. Freeman and Co., 1 982. E l tema que investigaremos está relacionado con la forma en que se comportan los puntos en el plano complejo, baj o la i teración de una función analítica. Esto tiene su origen en el clásico y hermoso trabajo de G. Julia ("Memoire sur l ' iteration des fonctions rationel les" J. Math. , vol . 8, 1 98 1 , pp. 47-245) y P. Fatou ("Sur l ' iterations des fonctions transcendantes entieres", Acta Math., vol. 47, 1 926, pp.
337-370).
En este
estudio, las familias normales (véase el suplemento A) j uegan un importante papel . En efecto, el mismo Montel estuvo i nteresado en estas cuestiones; véase su Lerons sur les fam illes normales de fonctions analytiques et leurs app licationes ( 1 927, reimpr., Nueva York; Chelsea, 1 974, cap. Vlll. Fijemos una función entera f : C para empezar. Dado un punto z
e
�
C. Necesitamos un poco de term inología
C, l a órbita de z es la sucesión de puntos z, f(z),
f(f(z)), f(f(f(z))), . . . , la cual también se escribe como z. f(z), f2(z), f3(z), . . .
Pensemos a los puntos z como moviéndose sucesi vamente bajo el mapeo f hacia nuevos l ugares. Un punto fijo es u n punto z tal que f(z)
=
z, esto es, un punto z que
no se mueve cuando le aplicamos f. Un punto periódico es un punto z tal que fn(z) =
z, para algún entero n (llamado el periodo), donde fn significa f compuesta con
ella misma n veces. Un punto fijo z es l lamado punto fijo atractor, si lj'(z)l < l . La razón para esta terminología es que las órbitas de puntos cercanos convergen a z; esto se debe a que cerca de z, f se c omporta como un mapeo que rota por una cantidad arg f ' (z) y am plifica por una cantidad lj'(z)l, así que cada vez que se aplica J, los puntos serán
atraídos hacia z por un factor lf ' (z)l y conforme esto se repite, el punto tiende hacia z. Asimismo, un punto fijo es llamado un punto fijo repulsor, si lj' (z)l
>
1 ; puntos
cercanos a puntos repulsores serán empujados bajo la iterac ión de la función f. Simi
larmente, un punto periódico z, con periodo n, e s l l amado un punto pe riódico
atractor, si l(j n ) ' (z)l < 1 ; tales puntos tienen l a propiedad de que las órbitas de pun tos cercanos a z. tienden a la órbita de z. Asimismo, un punto periódico repulsor tie ne la propiedad de que 1 (fn)' (z)l
>
1 ; las órbitas de puntos cercanos a tales puntos se
irán alej ando de la órbita de z. El conjunto de Julia J ( f ) de f está definido como la cerradura del conj u n to de los puntos periódicos repulsores de f. Este conjunto puede ser de una complej idad
notable y hermosa, usualmente e s l l amado u n fractal; en efecto, en l a fi gura 6.S .B . l la región no oscura es el conj unto de Julia. Este enunciado descansa en un teorema, que no vamos a demostrar, el cual establece que el conj unto de Julia es l a cerradura de l o s puntos q u e s e v a n al infinito bajo la iteración d e f. Es esta caracte rización la que será útil en propósitos computacionales. La figura 6.S.B.2 m uestra
dos conjuntos de Julia más, para mapeos cuadráticos. Hasta donde concierne al análisis complejo, uno de los resultados más impor tantes, es e l s i guiente: El conjunto de Julia es el conjunto de puntos en el cual la familia defunciones
tn, no es normal.
432
a)
Figura
6.S.B.2.
b)
a) El conju nto de J u l i a de f(z) = z2 + � i, el cual es u n a curva cerrada simple, pero no es diferenciable en ningú n lado. b) El conjunto de Jul ia de f(z) = z2 1 , el cual contiene una cantidad i nfinita de curvas cerradas. -
Este resultado puede ser usado como una definición alternativa para el conjunto de Julia y, en efecto, ésta fue la definición original de Fatou y Julia. Aquí únicamen te demostraremos la siguiente afirmación, para dar una idea de cómo va el argu mento: Si z es un punto fijo repulsar de f (y, por lo tanto, está en el conjunto de Julia), entonces, la familia de iteraciones f'l no es normal en z. Vamos a suponer que esta familia es normal en z y a concluir una contradicción. Normal en z significa normal en una vecindad de z, en la misma manera que usamos la terminología "ana lítica en z" . Por la definición 6.S.A. l , la familia fn tiene una subsucesión que con verge uniformemente en una vecindad de z. Ya que f(z) = z y 1/ '(z)l > l , se sigue, de la regla de la cadena, que
esto es, que la sucesión de las derivadas defn, evaluadas en z, deben tender a infi nito conforme n � oc. Sin embargo, la sucesión de derivadas debe converger a la derivada de la función límite, por el teorema de convergencia analítica (3.1.8), la cual es finita, lo que nos da la contradicción requerida. Esta discusión representa tan sólo una muestra de la gran colección de muy in teresantes y hermosos resultados. Esperamos que el lector haya sido motivado para leer algunas de las referencias que hemos dado sobre el tema y otras referencias que se encontrarán en estas fuentes y que explorarán el tema más profundamente. In sistimos en señalar que la iteración de mapeos complejos es tan sólo una parte del amplio y creciente campo llamado dinámica caótica. Para estos aspectos más ge nerales, el lector puede consultar el libro de Devany citado anteriormente, o el libro Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcation of Vector Fields, de J. Guckenheimer y P. Holmes, Nueva York; Springer-Verlag, 1983. EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6 1. Sea f analítica en acerca def?
lz tal
que
lzl
<
1 ] y sea f( l /n)
=
O, n
=
1,
2,
. . .
. ¿Qué podemos decir
EJERCICIOS DE REPASO DEl CAPÍTUlO 6
2.
Suponga que J y g son analíticas en el disco A =
{z tal que lzl < 2} y
son O para z E A. S i
f' ( l ln)
g ' ( l ln)
=
J( lln)
para
g ( l ln)
n=
433
que ni J(z) ni g(z)
1 , 2, 3, 4, . . .
muestre que existe una constante e tal que f(z) = cg(z) para toda z E A.
(Sugerencia:
Considere (f/g)'( 1 /n).) 3.
Suponga que J es una función entera y que existe una sucesión acotada de números
reales distintos a 1 , a 2, a3,
• • •
tal que J(a k) es real para toda
k.
a) M uestre que J(x) es real para todo real x. b) Suponga que a 1> a2> a3> > O y que lím ak = O. Muestre que si fta 2n + 1) = fta 2n) k ->a> •
·
•
para toda n, entonces f debe ser constante.
4. Si f es analítica en el conjunto {z tal que lzl < l } y J( I sigue que J = O?
5. SeaJ analítica y acotada en { z
6. 7.
queJes constante.
1
Im z <
SeaJanalítica y acotada en lz + tl
>
�
1} y
-
1 /n) = O, n =
y real en ]-1 , l [. Muestre queJes constante. (Suge
Sea J entera y suponga que para z = x real, J(x +
para toda z E C .
2,
. . . , ¿se
suponga que J es real en el eje real. Muestre
rencia: utilice el principio de reflexión de Schwarz de la sección
8. Muestre que para n >
1 , 2, 3 ,
todas las raíces de
1 ) = J(x).
zn -
(z
2
+
6. 1 )
Muestre que f(z + 1 ) = J(z)
z +
1 )/4
= O están dentro del
círculo unitario. 9.
10. 11.
Suponga queJes analítica en C excepto por los polos en n
±
i, n = O,
± 1 , ± 2. ¿Cuál es
la longitud del intervalo más grande ]x0 - R, x0 + R[ en R, sobre el cuaiJ(xo) + f' (x0)(x 2 k k xo) + J" (x0)(x - xo) /2 + + J< >(x0)(x - x0) Jk! + converge? Sea J : A � B analítica y sobre; asuma que Zp z2 E A , z 1 # z2 implica queJ(z 1 ) # J(z2). 1 Demuestre queJ- es analítica. ·
•
•
·
•
•
Sea J un polinomio. Muestre que la integral def'/Jalrededor de todo círculo suficiente mente grande centrado en el origen, es 2xi veces el grado def
12. a)
Demuestre el teorema de convergencia de Vitali. Sea fn analitica en un dominio A
tal que
(i) Para cada disco cerrado B en A, existe una constante M8 tal que lfn(z)l ::;; M8
para toda z
E
Byn=
1 , 2, 3, . . . .
(ii) Existe una sucesión de puntos distintos zk de A que converge a
que lím fn(zk) existe para k =
n ->oc
1 , 2,
z0
E
A tal
. . .
Entonces fn converge unifonnemente en todo disco cerrado en A ; el límite es una función analítica. (Sugerencia: primero tome el caso de un disco B con
R y zk � z0 = centro de B. Utilice el lema de IJn (z) -Jn(z0)1 ::;; 2Miz - z0VR. Entonces muestre que
radio
Schwarz para mostrar que
434
CAP.
6. DESARROLLO ADICIONAL
y deduzca quefn(z0) converge. Sea
y concluya que gn(z0) converge. Muestre que en general, si fn(z) = L a n. iz - Zo) k k;() entonces an . k � ak conforme n � oo. Deduzca quefn (z) converge uniformemen te en lz - z01 < R E. Luego utilice la conectividad de A para deducir la conver gencia uniforme en cualquier disco cerrado.) b) Muestre que si se omite la condición (i), la conclusión es falsa. (Seaf,(z) = z n.) -
13.
Sea f analítica en una región A y sea y una curva cerrada en A homotópica a un punto. Muestre que
14.
Seaj(z) analítica en {z 1 O < lzl < 2) y suponga que, para n = O, 1 , 2, . . .
15. 16.
I
18.
z "J(z) dz = O
Muestre que ftiene una singularidad removible en z = O. Seaf analítica y acotada en A = {z tal que lzl < l ). Muestre que si fes uno a uno en {z 1 O < lzl < 1 J, entonces fes uno a uno en A. Sea lf(z)l � l cuando lzl = 1 y seaj(O) -1 , conjanalítica. Demuestre que 2
lf(z)l � 17.
lzl ; 1
� l �
para toda lzl � _!_ 3
para _!_3 � lzl � 1
Seanjy g continuas para lzl � 1 y analíticas para lzl < l . Suponga quef= g en el círculo unitario. Demuestre quef= g. Si j(z) es analítica para lzl < l y si lf(z)l � 1/( 1 - lzl), muestre que los coeficientes de la expansiónf(z) = � a nz n están sujetos a la desigualdad n ; !l "'
19.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? radio de convergencia de i 2nz2 n es 1 / Q n;O b) Una función entera que es constante e n el círculo unitario es constante.
a)
El
435
EJERCICIOS DE REPASO DEl CAPÍTULO 6
e)
• El residuo de l /[z 1 0 (z - 2)] en el origen es -(2) - 1 0
d ) S i fn es una sucesión de funciones enteras que convergen a una función / y si la con
vergencia es uniforme en el círculo unitario, entonces fes analítica en el disco unita
rio abierto.
e) /)
J
"'
0
de a
+ cos
21t
e
= ----,---
a2 - 1
Para / suficientemente grande, sen z transforma al exterior del disco de radio r
que lzl > r
b en cualquier vecindad preasignada de
(j z tal
oo.
g) Sea f : C
-7 C analítica en el disco unitario abierto y sea f con una singularidad no
h) Sea f : C
-7 C analítica y no constante, y sea
removible en i. Entonces el radio de convergencia de la serie de Taylor de fen O, es l . forma la frontera de D en la frontera de f(D).
D un dominio en C. Entonces / trans
i) Sea / analítica en {z 1 O < lzl < 1 ] y suponga que 1/(z)l ;S; log ( 1 /lzl). Entonces f tiene una singularidad removible en O.
J)
Suponga que j : C -7 C es entera y que f tiene exactamente
k
ceros en el disco uni
tario abierto pero ninguno sobre el círculo unitario. Entonces existe una E >
que cualquier función entera g que satisface 1/(z) - g(z)l < E para lzl
=
bién tener exactamente k ceros en el disco unitario abierto.
O
tal
1 , debe tam
20. Demuestre el teorema de Phragmen-Lindelof:
a) Suponga que f es analítica en un dominio que incluye la banda G = {z E e 1 o ;S; Re z ;S; 1 }. Si lím f(z) = O y si lf(it)l S 1 y lf( 1 + it)l S 1 para todo real t, entonces l f(z) l S 1 para z -> oo ze G
toda Z E G.
b) Si
g es analítica en un dominio que contiene a
lg( l + it)l
G,
si lím g(z) z -> oo ze G
= O y si
lg(it)l
;S;
M y
S N para todo real t, entonces lg(z)l S M 1 - Re z N Re z.)
(Sugerencia: aplique el resultado de a) af(z) 2 1 . ¿Es correcto decir que 1 /Jz tiene un polo en z
=
=
g(z)IM1 - 'N'.)
O?
22. Demuestre que para el valor principal del logaritmo, llog zl S r/( 1 - r) si 1 1 - zl S r < l . 23. a) Sea f : C
b)
-7 C continua en C y analítica en C \ R. ¿Esjen efecto entera?
Sea f : C -7 C analítica en C \ R. ¿Es /entera?
24. Sea P(z) u n polinomio. Demuestre que
J
lzl =
P(z) dz = -21tiP' (O) 1 00
25. Encuentre el radio de convergencia de la serie I: 2!' z n. o 26. Muestre que j(z) = (z2 + l )/(z2 - 1 ) es uno a uno en {z 1 Im z > algún conj unto mayor?
oj.
¿Es uno a uno e n
7 Métodos asintóticos En este capítulo se dará una introducción a la teoóa de los métodos asintóticos� esto es, al estudio de funciones f(z) conforme z � oo. Este capítulo empieza con productos infinitos y la función gamma. Estos tópicos son interesantes por sí mis mos pero también proporcionan al estudiante una motivación para el estudio de expansiones asintóticas, las cuales son analizadas en la sección 7.2. Una de las prin cipales técnicas utilizadas en este análisis, el método del descenso más pronuncia do, y su variante, el método de la fase estacionaria, son también considerados y son aplicados a la fórmula de Stirling y a las funciones de Bessel, en la sección 7.3. 7.1. PRODUCTOS INFINITOS Y LA FUNCIÓN GAMMA
Para estudiar la función gamma y los tópicos subsecuentes, vamos primero a desarrollar algunas propiedades básicas de los productos infinitos. Éstos son un tanto análogos a las sumas infinitas consideradas en la sección 3. 1 . Para orientarse y motivarse, el estudiante debe notar que cualquier polinomio p(z) puede ser escri to en la forma n
p(z) = an(z -
n
donde al' . . . , an son las raíces de p(z) = anz + • • • + a1z + a0 y TI quiere decir "tomar el producto de", de la mista manera que l: quiere decir "tomar la suma de". Es natural pretender generalizar esta expresión a funciones enteras y al hacer esto, nos encontramos con el concepto de un producto infinito.
Productos infinitos
Sea z1, z2,
• • •
una sucesión de números complejos. Queremos considerar 00
rr ( 1 + zn) = ( 1 + zl )( 1 + z2) • • •
n;l
436
7.1 . PRODUCTOS I N F I N ITOS Y L A FU NCIÓN GAMMA
437
Escribimos 1 + zn porque s i el producto converge, el término general se debe aproximar a 1 , esto es, zn � O. Algunos tecnicismos están involucrados cuando zn = - l . Queremos permitir que el producto sea cero y aun ser capaces de imponer al gunas condiciones de convergencia. La siguiente definición se ajusta a nuestras necesidades. Definición 7.1.1.
00
Se dice que el producto TI ( 1
mero finito de zn es igual a - 1
,
y
converge conforme Hacemos
para k � m)
oo
IJ ( 1
n=l
n
si TI ( 1 n
k=m
�
+
oo
Z0)
n=l
+
=
zk)
+
z0) converge
( 1 + zm )
•
•
•
si únicamente un nú-
( 1 + zn ) (donde -1< 7_ � -1
a un número distinto de cero.
=
n
+ zk)
lím IJ ( 1
n � oo k = l
(Este producto será O si alguna zk = -1
distinta de cero de otro modo.)
y
Por ejemplo, considere
1 ) II ( 1 - n n =2 00
El
2
1 2
3
= - · - · - · . .
4
3
n-ésimo producto parcial es 2
1 2
1 �0 n
n- 1 n
- · - · · · --- = -
3
Por lo tanto, el producto no converge, puesto que hemos pedido la convergen cia a un número distinto de O. (Decimos que el producto diverge a cero.) Si co menzamos en n = 1 , el producto aun divergióa. Una razón para esta terminología y convención, es que la sucesión de logaritmos de los productos parciales diverge a -oo. La relevancia de esto se hace clara con el teorema de convergencia que sigue. Al empezar con un producto dado después del punto donde alguna zn = - 1 , podemos asumir que zn =F - 1 para toda n. Tal suposición no impone verdaderas restricciones en los criterios de convergencia. Teorema de convergencia para productos 7 1 2 .
(i) (ii)
Si
00
TI
n=l
(1 +
z0)
Suponga que 00
.
converge, entonces zn � O. lz01
<
1 para toda
n
=
1 , 2,
00
Entonces TI ( 1 + Z0) converge, si y s6lo si l: n= l
la rama principal; 00
lz01
<
00
(üi) TI (1 + lz01 converge si l: n= l
n=l
n= l
Si
f}
n
00
1
log ( 1
1 implica que log ( 1 + 1�1 converge.
converge absolutamente.)
(iv)
de tal manera que
...
( 1 + lz01), converge, entonces
Z0) converge. (log es
Z0) está definido.) 00
(En este caso decimos que TI (1 + z0)
i}-
n
+
Z0 =F - l .
00
n=l
1
(1
+
Z0)
converge.
438
CAP. 7. MÉTODOS ASI NTÓTICOS
Este teorema resume las principales propiedades de convergencia de los pro ductos infinitos. Los criterios (iii) y (iv), son particularmente importantes y son fá ciles de aplicar. Debido a que la demostración de este teorema es técnica, ésta aparece al final de la sección. Aquí únicamente se discutirá la plausibilidad del teorema. El criterio (i) fue explicado al inicio de esta sección. Para explicar (ii), observe que si hacemos Sn
=
n
L.
log( l
l
+
n
zk) y Pn = n1
+ zk), entonces
(1
Pn
eSn
=
Que (ii) es plausible se sigue fácilmente de esta ecuación. En efecto, si S ---7 S, es n claro que Pn ---7 eS. Una vez que (ii) es demostrado, (iii) y (iv) se siguen. El siguien te corolario no requiere demostración, ya que está implícito en la discusión pre cedente. Corolario 7.1.3.
converge a é.
Si lznl
<
1 y L.
zn) converge a S, entonces n ( 1
+
log ( l
+
zn)
Este corolario es útil, algunas veces, pero cuando se aplica a problemas con cretos, la suma de los logaritmos es, a menudo, difícil de manejar. Seafn(z) una sucesión de funciones definidas en un conjunto B C C. La manera 00
de definir el concepto de convergencia uniforme de n ( 1 1 clara. Definición 7.1.4.
+ fn) debe ser totalmente
El producto 00
rr
n=l
[1
+
fnCz)]
se dice que converge uniformemente en B si, para alguna m, fnCz), =F - 1 para n 2!-m y
n
toda z E B, si la sucesión Pn(z) =k�m [ 1
alguna P(z) y si P(z) =F O para toda z
+
fk(z)] converge uniformemente en B para
B (véase la sección 3 . 1 para la definición de convergencia de una sucesión de funciones). E
El siguiente resultado se sigue del teorema de convergencia analítica (3. 1 .8). Analiticidad de productos inf'mitos 7.1.5.
ciones analíticas en una región A y que
Suponga que fiz) es una sucesión defun-
oo
n
n=l
(1
+
fn(z)] converge uniformemente a f(z)
en cualquier disco cerrado en A. Entonces f(z) es analítica en A. Tal convergencia uniforme se satisface si lfn(z)l memente, o si casos).
00
L.
n=
l
<
00
1 para n 2!' m y si L.m log[ 1 n=
+
fnCz)] converge unifor-
lfn(z)l converge uniformemente (en los discos cerrados en ambos
7.1 . PRODUCTOS I N F I NITOS
Y
LA FUNCIÓN GAMMA
439
Para verificar la validez de la última afirmación, uno debe comprobar que la demostración del teorema de convergencia para productos, funciona para la con vergencia uniforme; esto se deja como un ejercicio.
Productos canónicos El siguiente útil teorema es un caso especial de un teorema de Weierstrass que construye la función entera más general, con un conjunto dado de ceros. El caso especial descrito aquí es aplicable a muchos ejemplos, no obstante ilustra las prin cipales ideas del caso general. (Para un enunciado del caso general, véanse los ejercicios 1 0 y 14 al final de esta sección.)
.
Teorema sobre productos canónicos 7.1.6. Sea a l ' �· . . una sucesión dada (posiblemente finita) de números complejos distintos de cero, tal que co
I:
n= l
-12 1
lan
< OO
Entonces, si g(z) es cualquierfunción entera,
la función
(1)
es entera. El producto converge uniformemente en los discos cerrados, tiene ceros en
al' �· · · ·· y tiene un cero de orden k en z = O, pero no tiene otros ceros. Más aún, si
f es cualquier función entera con estas propiedades, ésta puede ser escrita en la misma forma (ecuación ( 1 )). En particular, f es entera sin ceros, si y sólo si f tiene co
la forma f(z) = eg(z) para alguna función entera g. El producto n ( 1 - z/an)ezla.. es n=l llamado un producto canónico. La demostración técnica de este teorema aparece al final de esta sección. El re sultado es bastante plausible si tomamos que el producto se anula exactamente cuando z es igual a alguna an y que zk tiene un cero de orden k en O. También, eg(z) no se anula en ningún lado, ya que ew #= O para toda w e C. Notemos que los puntos a1, a , no necesitan ser distintos; cada uno puede repetirse un número 2 finito de veces. Si an es repetido l veces,ftendrá un cero de orden 1 en an . El teorema sobre productos canónicos se aplicará varias veces en el resto de esta sección. Una importante aplicación del teorema se encuentra en el ejemplo resuelto 7 . 1 . 1 O, donde se demuestra que • • •
sen 1tZ
= 1tZ
j}"' ( � )¿In 1 -
n ,. O
Otra aplicación del teorema es a la función gamma.
(2)
440
La función gamma La función gamma es una útil solución a un problema de interpolación que ha sido estudiado desde finales del siglo xvm. ¿Cuál es la mejor manera de definir una función continua de una variable real o compleja que coincida con la función factorial en los enteros? La función gamma, r(z) es una solución. Es analítica en C excepto para los polos simples en O, - 1 , -2, . . . , y r(n + 1 ) = n! para n = O, 1 , 2, . . . La importancia de esta función fue comprendida por Euler Gauss en los inicios del siglo xvm. Aquí se dan dos definiciones equivalentes de la función gamma; la pri mera será en términos de productos infinitos, la segunda en términos de una fórmu la integral. Estas dos fórmulas se atribuyen a Euler. Gauss y Legendre hicieron también importantes contribuciones. Los principales hechos que se incluyen en la si guiente discusión y en los ejercicios del final de la sección, son resumidos en la tabla 7. 1 . 1 , al final de esta sección. Para la primera definición, vamos a empezar con una función asociada que está definida por el producto canónico G(z) =
!] ( : )e-dn 1 +
(3)
Por el teorema sobre productos canónicos, esta función es entera, con ceros simples en los enteros negativos - 1 , -2, -3, . Esta función satisface la identidad .
.
sen 1tZ
zG(z)G{-z) =
---
1t
(4)
debido a la ecuación (2). Consideremos ahora la función H(z) = G(z - 1 )
(5 )
Esta función tiene ceros en O, - 1 , -2, . . Así, por el teorema sobre productos canónicos, podemos escribir .
(6) para alguna función entera g(z). Se demostrará ahora que g(z) es constante. Usando eJ teorema de convergencia para productos, obtenemos log H(z) = log z + g(z) +
'f [log ( 1 + _:_n ) - _:_] n
n=l
Ya que la convergencia es uniforme en discos cerrados, podemos diferenciar término a término
441 1 d __ log H(z) = - + g ' (z) + dz z
d
log G(z - 1 ) =
dz
=
f
n=l
1
_
z
(
1
z- 1 +n
- 1 +
1 =-+ z
i
n=l
(
00
:L
n=l
Comparando las ecuaciones
n=l
(7)
(3),
Similarmente, por la ecuación
__
1 l ) (--- z + n n
f
1
1 ) = - -1 + n z
_ _
1 _ 1 ) + ( -- z+n n 1
f
1 (-z + n
n=l
i
1 (- n
n=l
n 1
n + 1
1
- -)
z +n
�
)
1
) (8)
n
(7) y (8), y usando la ecuación
(5), vemos que
g' (z) = O, así que g(z) es constante. (La parte (ii) del teorema de convergencia para
productos es realmente válida sólo para lzl < 1 , pero esta región de validez es sufi
ciente ya que dos funciones enteras que coinciden en lzl < 1 son iguales, por el teo rema de Taylor o por el teorema de identidad.) El valor constante g(z) = y es llamado la constante de Euler. Podemos determinar una expresión para ésta como sigue. Por las ecuaciones
( 3),
(5) y (6), obtenemos
G(z - 1 ) = zeYG(z)
(9)
y así, si hacemos z = 1, entonces G(O) = 1 eYG( 1 ) . En consecuencia, por la ecuación e-Y =
�
�
( 1 + � ) e - 11" =
n
(
:
1
(3),
) e - l ln
Al notar que n
I1
k=l
(
k+ l k
)e - I Ik =
2
_
1
.
3
_
2
.
4
_
3
= (n + 1 )e -1 - 1 12 = ne -1 - 1 12 -
Obtenemos que e-Y = lím mos que
n -> oo
·
ne- 1 - 1 12 -
·
n + 1
. . .
·
·
___
n
·
·
· -
e -1 - 1 /2 - 1/3 -
l ln
- 1 /n + e - 1 - 1 12 -
·
·
-
•
.
.
·
·
·
- !In
- l ln
1 1" . Tomando logaritmos, encontra-
( lO)
No necesitamos una demostración por separado de que el límite en la ecuación
( 1 O) existe y es finito, ya que esto se sigue a partir de lo que hemos hecho. Numérica
mente, podemos calcular a partir del límite en la ecuación ( 1 0), que "{ Estamos ahora listos para definir la función gamma. Hagamos
==
0.577 1 6
•
•
·.
442
(1 1) Puesto que G es entera, podemos concluir que r(z) es rneromorfa, con polos simples en O, - 1 , -2, . . Puesto que, por la ecuación (9), G(z - 1 ) = zeYG(z), encon tramos que .
r(z + l ) = zr(z)
z � 0, -1 , -2, . . .
para
( 1 2)
la cual es llamada la ecuación funcional para la función gamma (véase el ejercicio 7). También r( l ) = 1 , pues r(z) = [zeYzG(z)]-1 y G( l ) = e -Y, por nuestra construc ción de "(. Así, de la ecuación ( 1 2), vernos que r(2) = 1 1 , r(3) = 2 1 , r(4) = 3 2 1 , y en general, como lo hicimos notar en el principio, •
•
•
•
r(n + 1 ) = n !
( 1 3)
Esta fórmula nos permite obtener aproximaciones manejables par n ! , las cua les se deducen en la sección 7.3. (La figura 7. 1 . 1 muestra una gráfica de r(x) para x real.)
V -3
-
2
-1
---r---+--�--�------�------------�
Figura 7.1 .1 .
n Gráfi ca de
"" 1 .46
X
n
r(x) para
x
real.
De la ecuación zG(z)G(-z) = (sen 1tz)!1t (véase la ecuación (4)), obtenernos la relación
r(z)r( l - z) =
1t
---
sen 1tZ
( 1 4)
A partir de esto se sigue que r(z) � O para toda z. (Por supuesto, z � O, - 1 , -2, . . . ) Sabemos que esto debe de ser cierto porque si r(z) = O, tendríamos 1t = r(z) r(l - z) sen 1tZ = O en tanto z � O, + 1 , + 2, . . . (Éstos son los puntos en los cuales sen 1tZ se anula, así que la multiplicación cruzada no es válida en esos puntos.) .
PRODUCTOS INFINITOS
7.1 .
..
Y
lA FUNCIÓN GAMMA
443
Pero también sabemos que r(z) # O si z = 1 , 2, 3 . , ya que r(n + 1 ) = n ! , n = O, 1 , 2 , . . . Así, hemos demostrado que r(z) # O si z # O, -1 , -2, . . . Si hacemos z = � en la ecuación ( 1 4), obtenemos [r( �)] 2 = 1t. Pero r( �) > O. Para ver esto, note que r es real para reales positivos z; hemos mostrado que r no tiene ceros y que rcn + 1 ) = n! > o. Por lo tanto, ya que r(x) es continua para X E ] O, oo[(pues r es analítica), se sigue, del teorema del valor intermedio, que r(x) > O para toda X E ]0, oo[(como en la figura 7. 1 . 1 ). Así, r(� ) = f1t (en vez de la otra posibilidad. -!Tt ). La fórmula de Euler para la función gamma es
1 r(z) = - rr z n=l oo
[( 1 + -1 ) ( 1 + -z ) z
n
n
-1
J
=
lím n --+ 00
n!nz z(z + l ) · · · (z + n)
( 1 5)
Esta fórmula se demuestra como sigue. Por definición,
(
1 __ = Z r(z)
[
=z =z
+
112 +
·
·
·
+
1 /n - log n)z
n -+ OC
eO + 1 /2 +
lím
· ·
·
l ím
[n-z fi ( 1 + --=-)]
(1 + � ) ] fi ( 1 + � ) e-zlk J
)[
+ lln - log n)z
lím
f¡
e-zlk
n -+ OC k = )
k= l
n � co
n --+ oo
ya que n-z =
e
lím
k
k= 1
e - Iog n z . Así, obtenemos 1 [ =z -r(z) •
lím
n --+ oo
n-1
rr
k=l
Se sigue ahora la primera igualdad en la ecuación ( 1 5). Se le pide al estudiante demostrar la segunda en el ejercicio 1 1 . Otra propiedad importante de la función gamma se da en l a fórmula de Gauss: Para cualquier entero positivo fijo n ;:.::: 2,
( �)
r(z)r z +
•
•
•
r
(z + n : 1 ) =
(27t)(n - l )/2n°12>-nzr(nz)
( 1 6)
Para demostrar esta fórmula, notemos primero que podemos escribir la fórmu la de Euler (ecuación ( 1 5)) como
r (z) =
lím
(m - 1 ) !mz m!mz ----= -----z(z + l ) · · · (z + m - 1 ) z(z + 1 ) (z + •
•
•
m)
lím
444
=
(mn - 1 ) ! (mn)Z
lím
---
--
z(z + 1 ) • • • (z + mn - 1 )
Definimosf (z) como sigue:
(
n nz r(z)r z +
f (z) = n-1
k = 0 m -+ oo
I1 lím
=
(m - 1 ) !mz + kln
--�-��---�--�----�
: )( � ) ( (� ��---��
lím m-+ oo
-
•
•
•
z+
-
(mn - l ) !(mn)11z
� + m - 1)
----�
-
-------
nz(nz + 1 ) • •
•
(nz + nm - 1 )
[ (m - 1 ) !] 11m
(mn - 1 ) ! fi [(nz + k)(nz + k + n) • • • (nz + k + mn - n)J k=O
-1 [(m _ 1 ) ! ] nm(n - 1 )12nnm
lím
(nm - 1 ) !
Así,f es constante. Haciendo z
=
1/n nos da
así que [/(z)] 2 =
al
+ 1
z+
z+
-
lím
=
)
nr(nz) n nz - 1
=
--!;-) . . . r (z + n : 1
1tn - l -------
1t n
sen -- sen
(n - 1)1t 21t • • • sen ____::__ _:..:..:... . . n n
--
_
utilizar la ecuación ( 1 4). Del hecho de que 1t
sen - sen n
21t --
n
• • • sen
(n - 1 )1t n
=
(véase el ejercicio 28, sección 1 .2), obtenemos [/(z)] 2
Puesto que/(z)
>
O,
=
n
n 2n - l
-----.,.-
para n
= 2, 3, . . .
445 (2 n)
f(z) =
In
'n
Se sigue, por tanto, la fórmula de Gauss. S i tomamos el caso especial de la ecuación ( 1 6), en el cual n = 2, obtenemos la
fórmula de duplicación de Legendre:
( 1 7) Vamos enseguida a mostrar que el residuo de r(z) en z = -m, m = O, 1 , 2 . . . es (- l )mtm ! . En efecto
r(z + 1 )
(z + m)r(z) = (z + m)
= (z + m)
z
r(z + 2 )
----
z(z + 1 )
Más generalmente, encontramos que
(z + m)r(z) =
r(z + m + 1 )
--------
z(z + 1)
•
•
•
(z + m - 1 )
Haciendo z � -m, obtenemos -------
-m(-m + 1)
•
•
•
(-1)
=
---
m!
como se requería. Existe una importante expresión para r(z) como una i ntegral. Para Re z > O, vamos a establecer la siguiente fórmula, conocida como la integral de Euler para
r(z):
( 1 8) El estudiante podría pensar que esta expresión puede ser evaluada mediante los métodos de la sección 4.3. Desafortu nadamente, las hipótesis del teorema 4.3.8 no se satisfacen en este caso y se necesita entonces otro método para demostrar la ecuación ( 1 8). Vamos a empezar por definir
y
a mostrar que
Fn(z) =
-------
z(z + I ) · · · (z + n)
( 1 9)
446
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
Por la fórmula de Euler (ecuación ( 1 5)), tendremos entonces demostrado que F/z) � r(z) conforme n � oo. Para demostrar la ecuación ( 1 9), notamos que al cambiar variables y al hacer t = ns,
n
F (z) = n4
-
f ' ( 1 s)"sz O
I
ds
Ahora, integramos esta ecuación por partes sucesivamente, el primer paso es
Repitiendo este procedimiento, integramos por partes
Fn(z) = nz
n • (n - 1 ) · · · 1
z(z + l ) · · · (z + n - l )
n veces y obtenemos
n !nz f ' sz + n - l ds o z(z + l ) · · · (z + n)
lo cual establece la ecuación ( 1 9). A partir del ejercicio 1 5, obtenemos una fórmula que debe ser bien conocida del cálculo
( - �Y 1
�
e-1
conforme n � oo
(20)
Si hacemos n � oo en la ecuación ( 1 9), la validez de la ecuación ( 1 8) parece asegurada. Sin embargo, tal afirmación no se justifica tan fácilmente. ' Para hacerlo, procedemos como sigue. De las ecuaciones ( 1 5) y ( 1 9), sabemos que ·
r(z)
=
lím
n -> ""
Ion ( _!_)n n z - 1 1-
t
dt
(2 1)
J: e-1 t z - 1dt. Esta integral converge ya que le-trz - 1 1 � e-tf?e z - 1 y Re z > O (compare con J; e-1tP dt y J� tP dt, p > -1 ). Necesitaremos saber "que tan rápido" [ 1 - (tln)]n � e-1• La siguiente desigualdad se cumple: Seaf(z) =
(22) (Esto se sigue de un lema del cálculo cuya demostración se pide en el ejercicio 1 5.) De la ecuación (2 1 ) y de la definición de f, tenemos
1
Al lector que ha estudiado los teoremas de convergencia en la teoría de integración de Lebesque
se le apremia para que los aplique a esta integral.
7.1 . PRODUCTOS I NF I N ITOS Y LA F U NCIÓN
Para mostrar que el límite (ecuación forme n �
oo.
(23)) es cero note que
GAMMA
447
r e-ttz - 1 dt � O conn
En efecto, si t > 1 , entonces le-ttz - 1 ¡ s; e-1f", donde m ;;:: Re z > O, es
un entero. Pero del cálculo (o directamente, usando integración por partes), sabemos que
J: e-trm dt
<
oo,
así que
r e-ttm dt � O conforme n �
J: [ ( �rJ e-1 -
Por la desigualdad
t -
oo.
Resta mostrar que
t z - 1 dt � O conforme n
�
oo
(22),
la cual se aproxima a cero conforme n �
oo,
ya que la integral converge. Esto com
pleta la demostración de la ecuación ( 1 8) ; esto es, para Re z > O,
De hecho, si examinamos esa demostración, vemos que conforme O s; lzl s; R y
< € <
R,
(-Tt/2) + o s; arg z s; (Tt/2) � O, O > O, l a convergencia es uniforme en
E z
(véase el ej ercicio 1 8).
Demostraciones técnicas de los teoremas 7.1.2 y 7.1.6 Teorema de convergencia para productos 7.1.2. oc
(i) Si n ( 1 + z0) converge, entonces zn � O. n= 1
(ii) Suponga que lz01 n :::; l
00
n=l
=
1 , 2, . . . de modo que Z0 =¡6 - 1 . Entonces
( 1 + zn) converge si y sólo si L log( l + Z0 ) converge. (log es la rama
principal; lz01 (iii) n
1 para toda n
oc
00
n
<
<
n=l
1 implica que log( l + Z0) está definido.) "'
"'
n=l
n=l
( 1 + lz01) converge si L lz01 converge. (En este caso decimos que n ( 1
converge absolutamente.) oc
=
n=l
n=l
(iv) Si n ( 1 + lz 0 1) converge, entonces n ( 1 + lz01) converge.
+
z0)
448 Demostración
(i) Podemos asumir que zn � -1 para toda n. Sea Pn =
[! p + zk ); por suposición, n
Pn � P para alguna P � O. Así P/Pn _1 � 1 , por el teorema de cocientes para límites. Pero P/P, 1 = 1 + zn . En consecuencia, zn � O. _
n
(ii) Sea Sn = l: log( 1 + z •.) k�I
..
y sea Pn = kn� I ( 1 + z.. ). Entonces, Pn = én. Es claro que n
..
si Sn converge, entonces también P, converge pues eZ es continua. Recíprocamente, suponga que P, � P � O. Para mostrar que Sn converge, es suficiente mostrar que para n suficientemente grande, toda Sn está en una banda de periodicidad (en la cual eZ tiene una inversa continua). No podemos escribir log l: ( 1 + zk ) = log n
k=I
P,. porque Pn
podría estar en el
eje real negativo. En vez de eso, para los propósitos de esta demostración, vamos a escoger la rama del log tal que P esté en su dominio A. Ahora P, � P, así que pn E A, si n es grande y, por lo tanto, podemos escribir sn = log � + kn 21ti para un entero kn. Así •
Puesto que el lado derecho de la ecuación es puramente imaginario, Por (i), zn + 1 � O y en consecuencia, arg (1 + zn + 1) � O. También, arg � � arg P y, por lo tanto, kn + 1 - kn � O conforme n � oo . Ya que las kn son ente ros, deben ser igual a un entero fijo k, para n grande. En consecuencia, Sn = log Pn + k 21ti, así, conforme n � oo, Sn � S = 1og P + k 21ti. (iii) Por (ii), es suficiente mostrar que para xn 2:: O, L xn converge si l:. log (1 + xn) converge. En efecto, puesto que •
•
z3 z2 log ( 1 + z) = z - -- + -- para lz l 3 2 vemos que log ( 1 + z) z z2 = 1 - - + -- - . . . 2 3 z •
•
•
<1
tiene una singularidad removible en z = O y que lím
z-+0
1og( 1 + z)
z
=1
Suponga que L xn converge, entonces xn � O. Así, dada E > O, O :5 log ( 1 + xn) :5 ( 1 + e)xn para n suficientemente grande. Por el criterio de comparación, l: log ( 1 + xn) converge. Si usamos ( 1 - E)xn :5 log ( 1 + xn), obtenemos el inverso.
7.1 .
PRODUCTOS INFINITOS Y LA FU NCIÓN GAMMA
449
(iv) S uponga que ll( l + lz l) converge. Entonces, por (ii), I: log (1 + lz l) conver n n ge. (Debemos empezar con términos tales que se satisfagan las condiciones de (ii).) En efecto, el argumento en (iii) muestra que I: Iog (1 + z ) converge n absolutamente y , por tanto, converge. Así, por (ii), TI( l + z ) converge. •
n
Teorema sobre productos canónicos 7.1.6. Sea al ' a , una sucesión dada (posi 2 blemente finita) de números complejos distintos de cero tal que • • •
00
I:
n=l
-l 12 1
<
an
00
Entonces, si g(z) es cualquier función entera, la función
(1) es entera. El producto converge uniformemente sobre discos cerrados, tiene ceros en a l ' �· · · ·· y tiene un cero de orden k en z = O, pero no tiene otros ceros. Más aún, si f es cualquier función entera con estas propiedades, puede ser escrita en la misma forma (ecuación (1)). En particular, f es entera sin ceros, si y sólo si f tiene la for ma f(z) = eg(z) para alguna función entera g.
n
Demostración. Primero mostramos que ll( l - z/a )ezfa es entera. Para cada R n > O, sea AR = {z tal que lzl :S; R } . Puesto que a � oo, únicamente un número finito n de a n está en AR, digamos, a l ' . . . , aN 1• Por lo tanto, para z e AR, únicamente un número finito de términos (1 - z/a ) se anulan. n Para efectuar la demostración, expresemos el siguiente lema: _
Lema 7.1.7. Si
1 + w = (1 - a)ea y lal < 1, entonces lwl
:S;
lal2 ---1 - lal
Demostración. Tenemos
(1 - a)ea = l -
a2 -
·
·
·
-
(t - 1 ) n
2
an _ _ _ _ _
(n -
1)!
Así
1(1 - a)ea - 1 1 = lwl :S; :S;
=
lal2 -2
+
•
•
+
•
(n n!
1)
laln +
lal2 + l a1 3 + lal2 ya que la l < 1 Y 1 - lal
----
•
•
·
·
•
·
450
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
El siguiente paso en la demostración es mostrar que la serie
converge uniforme y absolutamente en ARn· Esto mostrará que
es entera (por el teorema 7.1 .5). En efecto, para n 2: N, lzla111 < 1 si lzl '5. RI2 y, por ende, por el lema precedente,
(R/2)2
1 -t
1 la11 12
ya que lzl '5. R/2 y la111 2: R para n 2: N. Por lo tanto, lw11(z)l '5.
R2 --
2
1 •
---
la11l2
= M11
Por suposición, 'LM11 converge y en consecuencia, por el criterio M de Weierstrass, 'Lw11(Z) converge uniforme y absolutamente. 00
Así,f1 (z) =zk n [ 1 n=
l
-
(z/an )]ezlan
es entera. A partir de la definición del producto
es claro que /1 tiene exactamente el número requerido de ceros. Por lo tanto, tam bién egh los tiene. Si f tiene el número dado de ceros, entonces /1/1 será entera y no tiene ceros (por la proposición ). Por lo tanto, únicamente necesitamos demostrar el siguiente lema.
4. 1 .1
y
i
Figura 7.1 .2. El contorno para l a fó rmu l a de Hankel.
451
Propiedades de la función gamma.
Tabla 7.1.1.
Definición:
[ 00
r(z) = -
1
z
) ],
-
ze7Z D (
l. 2. 3. 4.
5.
7.
r(z) =
1 0. 1 1. 1 2.
1 3.
r(z) =
-J1t;
r(n +
�) =
1 +
lím
1 6.
•
;n. (2n
5 •
-
•
- log
n) ""' 0.577.
.
1) ..fit.
n --> ""
1
n!n' z(z + 1) ··· (z + n)
------
r(z)r (z + � ) • . • �z + n : 1 )
=
(21t)(n - 1
V2n012l -nznnz).
22z - 1 r(z)r (z + +) = iltr(2z). El residuo de r en -m es igual a (- l)mlm!.
r(z) = J: rz- l e-t dt para Re z > O. La convergencia es uniforme y absoluta para -'lt/2 + o � arg z � 1t/2 - o, o > O y para E � lzl � R, donde O < E < R. (La integral de Euler)
r' (z) = -y - � + f r(z) z 1 n
(�-
( Fórm ula de H ankel) 7. 1 .2.)
1 5.
3
1
-� + ••· + -:
+ }] [( � )z ( + � t ]
resuelto 7 . 1 . 1 1 .) 1 4.
n e -zl
..
r(-4-) =
9.
+ --¡;
y =}� ( 1 + ""
r es meromorfa con polos simples en O, -1 , -2, . r(z + 1 ) = zr(z), z ""' O, -1, -2, . . . . r(n + 1 ) = n!, n = O, 1 , 2, . . . . r(z)r(l - z) = 1t/sen 1tz. r(z) ""' O para toda z.
6.
8.
1
donde
= -i- e 21t r(z)
J
1
r(z +
1)
=
1
z+n
) = feo (_!C_ o
t
�
e-z
1 -e
1
)
dt. (Véase el ejemplo
1 r(z) = - ----- fe (-t)z - 1 e-' dt. (C como en la figura 2i sen 1tz
(-t)-ze-' dt. (C como en la figura 7. 1 .2.)
,J21t z z 1 12e-z para lzl grande, Re z > O. sección 7.3.) +
cual será demostrada en la
(Ésta es la fórmula de Stirling, la
452
CAP.
7.
MÉTODOS ASINTÓTICOS
Lema. Sea h(z) entera y sin ceros. Entonces, existe una función entera g(z) tal que
h = e8.
Demostración. No es del todo correcto hacer g(z) = log h(z). porque no es obvio que h(C) sea simplemente conexo y, por ende, no sabemos si log tiene una rama analítica en h(C). Sin embargo, podemos evitar este problema tomando como guía la diferenciación logarítmica. Puesto que h 'lh es entera, podemos escribir h '(z)
= a0 + a 1 z +
----
h(z)
•
·
·
; esto es g ¡ = h '/h.
(La serie para g 1 tiene un radio de convergencia infinito ya que l: a ¡!l lo tiene.) Seaj(z) = eg¡(z), entonces n
y hacer g 1 (z) = a0z + a 1 z212 + a z3/3 +
2
J' (z) ---
J(z)
•
•
•
, = g, (z) =
h ' (z) ---
h(z)
y , por lo tanto, (dldz) (flh) = O, así h = K · f, para una constante K. Si hacemos z = O, vemos que K = h(O) # O. Puesto que K # O, podemos hacer K = é, para alguna
así que h = e" · eg• = eg, donde g = g1 + c. •
e,
Ejemplos resueltos
7.1 .9. ¿Para qué z( l es 11(1
-
z).
+
00
z) n ( l n=l
+
z2n) converge absolutamente? Muestre que el producto
oc
Solución. Por el teorema 7 . 1 .2(iii), tenemos la convergencia absoluta si I: z2n conn=l
verge absolutamente. Esto ocurre para lz 1 < 1 , ya que el radio de convergencia de la serie es l . Por ende, el producto converge absolutamente para lz 1 < l . La evaluación del producto requiere de un truco el cual, en este caso, es bastante simple. Nuestro producto es (l + z)(l + z2)(l + z4)(1 + z8) Note que ( 1 + z) (l + z2) = 1 + z + z2 + z3 y, por ende, ( 1 + z) ( 1 + z2) ( l + z4) = 1 + z + z2 + z3 + + z7• •
En general, ( l
+ z)
n
--
+
k
z2 ) = 1
converge a 1 /( 1 z) conforme n de z = O para 1/(l z). 7. 1 . 10. Demuestre que
•.
·
n (l
k= l
•
sen z = z
+
z + z2
� oo
+
•
·
·
+
z2
n+ 1
-1 •
·
·
Sabemos que esta serie
ya que ésta es la serie de potencias alrededor
n(• -
n=
1
Solución. Los ceros de sen z ocurren en O y en ±n1t; definamos a1 = 1t, a2 = -1t, a3 = 21t , a4 = - 21t, . . . . Todos los ceros son simples, y I:lllai converge. Por lo tanto, por
el teorema sobre productos canónicos, podemos escribir
453
(al agrupar los términos en parejas). Así que resta mostrar que es
Sabemos que P,(z) � sen z (uniformemente sobre discos), así que P � (z) � cos z. Entonces
P� (z) P, (z)
__.:.:.._ _
� cot z
z ,p o. -+-1t,
para
Pero
± 21t,
• • •
[
(
)]
z2 d_ d _P --'�"-(_z_)- = _ log Pn (z) = __ g(z) + log z + 't log 1 _-k= 1 k21t2 P, (z) dz dz n
1 z
= g'(z) + - + 1:
k= 1
(
Sin embargo sabemos, de la sección 4.3, que oc
1 cot z = - + _L z 1 n
=
2z
z2 - n21t2
----
para
-
z "" n1t
Así, g'(z) = O y, por ende g(z) es una constante, digamos c. Por lo tanto,
Hágase z � O. El lado izquierdo se aproxima a 1 mientras que el lado derecho se aproxima a é (¿por qué?). En consecuencia é = 1 y tenemos nuestra fórmula.
7. 1 . 1 1 .
Demuestre que
r'(z)
n
1 = - "(- - + lím _L r(z) z k= 1
Solución. Tenemos
n -> oo
(
1
k -
454 1
fi
ze"/1.
í(z)
n= 1
(
1 + ..:...) e-zln n
Tomando logaritmos (que sabemos podemos hacerlo cerca de cada z para las cuales tengamos convergencia), obtenemos
� [ ( : - :]
- log í(z) = yz + log z +
log
1+
)
Diferenciando, obtenemos
Éste es el resultado que se quería.
Ejercicios l. Muestre que 2. Muestre que
3. Muestre que tamente.
( �2 � . fi ( _!__ 1
[\
1-
n=2 00
rr
n=l
)=
-
2
)=
n(n + 1)
3
(1 + zn) converge absolutamente si
00
L
n=l
log
(1 + zn) converge absolu-
4. Complete la demostración de la analiticidad de productos infinitos (7. 1 . 5). S. Utilice el ejemplo resuelto 7. 1 . 1 0 para establecer la f6rm ula de Wallis,
2
1t
2
4
4
6
6
- = - · - · - · - · - · - ····
(). Muestre que
00
I1
n =2
(
2
1
2
1
-
7. Demuestre la fórmula
3
3
5
5
7
2
n3 + 1
) = -.
3
2 de la tabla 7 . 1 . 1 .
00
rr ( 1 + zn ) converge (suponiendo que Zn � -1) si, para toda E > o. existe n=l una N tal que n � N implica que
8. Muestre que
1(1 + Zn )
•
•
•
(1 + Z
< ) n +p - 1\ E
para toda p =
(Sugerencia: use el criterio de Cauchy para sucesiones.)
9. Demuestre la fórmula 4 de la tabla 7. l . l . 10. Sean a l ' a2 , puntos en C, con a1 � O, y sea • . .
:E 1
1
:--:- < 00 l+h
_ _ _
lanl
O, 1 , 2, . . .
7.1 . PRODUCTOS I N F I N I TOS Y LA F U NCIÓN GAMMA para un entero fijo
a1 • a
11. 12. 13.
2
•• • •
h � O.
455
Muestre que la función entera más general que tiene ceros en
y u n cero de orden k en O, es
(Cada uno de los puntos a¡ debe ser repetido un número finito de veces.) (Suge rencia: • • • + ahth para lal < 1 , entonces w = ( 1 - a)e a + a212 +
Demuestre e l siguiente lema: Si l + lwl :$; l a l h + 1 /( 1 - l a l ) . )
Demuestre la fórmula 8 de la tabla 7. 1 . 1 .
Utilice la fórmula de Euler (fórmula 7 de la tabla 7. 1 . 1 ) para demostmr que r(z +
zr(z).
l) =
Muestre que en la vecindad lz + mi < l , para m entero positivo fijo,
r(z)
(-l )m -
---
m ! (z + m)
es analítica (esto es , tiene una si ngularidad removible en z = -m). 14. a ) Sea E(z. h) = ( 1 - z ) e z + Z212 + • • - + /'lh_ Muestre que l a función entera más general que tiene ceros en al ' a , , cada uno de ellos repetido de acuerdo a su multiplicidad, 2 � oc, y que tiene un cero de orden k en O, es
(
. . •
donde an
f(z) = e &
k
z E - , n)
fi
n= 1
-
an
(éste es el teorema de factorización de Weierstrass.)
15.
16.
b)
Concluya que toda función meromorfa es el cociente de dos funciones enteras.
Demuestre que, para O :$; t :$; n , o :$; e -1-
Demuestre que, para Re z � O,
r ' (z) r(z)
-
_
( �y 1
f"" ( o
:$;
-
e-t
--
t
(Sugerencia: Re z � O, entonces ll(z + n) =
-
J""
+ l ln - log n) y el eJemplo resuelto 7. l . 1 1 .)
1 - e-t
) dt
e -r
n � oo
O
•
e-u
17. Seag y el círculo de radi o + alrededor de z0 = O. Muestre que J.., r(z) dz = 18. Establezca la convergencia uniforme en la fórmula 12 de la tabla 7 . 1 . 1 . 19. Demuestre lafónnula de Hankel (fórmula 1 4 de la tabla 7. 1 . 1 ): 1
--r(z) --2i sen xz
f
e
2
·
·
•
2xi.
(- t) " - 1e - 1dt
donde C es el contorno ilustrado en la figura
7. 1 .2.
Utilice r(z) r( l - z) = 1t /sen 1tZ, pam concluir que
¿Para qué z es válida la fórmula?
456 1_
_ _
r(z)
=
_ i
_
21t
f (-t)-ze-tdt e
20. Para contestar esta pregunta, consulte la sección 6. 1 . Defina r(z) =
z > O.
J:
rz -
l e-' dt para Re
a) Demuestre directamente que r(z) es analítica en Re z > O para mostrar que
Jn t - 1e-r dt 0
z
converge uniformemente en discos cerrados conforme n � oo. b) Muestre que r(z + 1 ) = zr(z), Re z > O. e) Utilice b) y la continuación analítica para demostrar que r(z) puede ser extendida a una función meromorfa que tiene polos simples en O, -1 , -2, . . (Sugerencia: el pro cedimiento usado es análogo al que se utilizó al demostrar el principio de reflexión de Schwarz; véase la sección 6. 1 .) .
..[ity que J: y2e-Y' dy [it12 utilizando la función gamma. (Sugerencia: Relacione estas ecuaciones integrando por partes y use r<+) .[1t:)
21. Muestre que
J: e-Y' dy
=
=
=
7.2. EXPANSIONES ASINTÓTICAS Y EL MÉTODO DEL DESCENSO MÁS PRONUNCIADO Las expansiones asintóticas proporcionan un método para usar las sumas par ciales de una serie, para aproximar valores de una función f(z). si z es grande. Un aspecto sorprendente es que la serie en sí misma puede no converger a la función y puede en verdad diverger. Si usamos únicamente un término, decimos que tenemos una aproximación asintótica o una fórmula asintótica para .f. La fórmula de Stirling para la función gamma es una de tales fórmulas. Este resultado, demostrado en la sección
7 .3, establece que
La expresión del lado derecho puede ser más fácil de manejar que la función r en sí misma y tiene importantes aplicaciones en campos como la probabilidad y la mecánica estadística. Otro ejemplo famoso es el teorema de los números primos, el cual asegura que si 7t(x) es el número de primos menores o iguales al número real x, entonces
7t(x)
X -
--
log x
En esta sección se desarrollará exactamente lo que esta fórmula q uiere decir y en qué sentido es una aproximación. La teoría de las funciones asintóticas conside rada en esta sección se aplicará en l a siguiente, donde se demuestra la fórmula de Stirling y donde se estudian las funciones de Bessel. Existen otros métodos para estudiar el comportamiento asintótico de las funcio nes f(z). diferentes
a
los que desarrollaremos. Por ejemplo, si f satisface una ecua
ción diferencial, entonces esta ecuación frecuentemente puede ser usada para obtener una fórmula asintótica. El lector que desee profundizar en estos temas, debe consul tar las referencias dadas en el prefacio.
45 7 La notación de "O grande" y "o chica"
Cierta notación es útil para no perder de vista la relación en el comportamiento entre dos funciones. Suponga quef(z) y g(z) están definidas en z en algún conjunto A. Decimos quef(z) es O(g(z)) (se pronuncia "f(z) es 'o' grande de g(z)") para z en A, si existe una constante C tal que 1/(z)l $ Clg(z)l para toda z E A . Usualmente escri biremos j(z) = O(g(z)) aun cuando esto es de alguna manera un abuso de notación y a que el objeto de la derecha es un enunciado de relación y no una cantidad específica a la cual f(z) es iguaL Por ejemplo, sen x = O(x) para x en R, ya que el cálculo elemental muestra que lsen xl $lxl para toda x. Una sencilla, pero útil obser vación es que f(z) = 0(1 ) justamente quiere decir que f (z) es acotada. Una notación más útil para nosotros será la "o chica". Ésta requiere cierta clase de com portamiento en el límite para su definición. Hablando vagamente, la notación f(z) = o(g(z)) significa que f(z)/g(z) tiende a O conforme z � Zo o z � oo, etc. (Decimos "vagamente" únicamente porque g(z) se puede anular.) Por ejemplo,
1
-
cos x = o(x) conforme x � oo log x = o(x) conforme x �
e-x
=
o
(: ) n
oo
conforme x � oo para toda n
Estaremos interesados principalmente cuando z � oo en un sector a $ arg (z) $ (3 . En lo que resta de esta sección, a menos que se especifique otra cosa, Jos sím bolos serán entonces definidos como sigue: /(z) = O(g (z)) significa: Existen constantes R y M tales que siempre que lzl 2!: y a $ arg (z) $ (3,1 /(z)l $ Mlg(z)l. f(z) = o(g(z)) significa: Para toda E > O existe una R tal que siempre que lzl 2!: R y a $ arg (z) $ (3,1 /(z)l S: elg(z)l .
R
En algunos casos estaremos interesados únicamente en el comportamiento a lo largo del eje real positivo y tomaremos entonces a = 13 = O. Observe que si /(z) es n 0(1/z + 1 ) entonces/(z) es o( l lzn) pero el inverso no es cierto en general.
Expansiones asintóticas
Desde el capítulo 3 hemos estado interesados en representar una función como una serie infinita que converja al valor de la función y hemos suprimido cuidadosa mente las series divergentes. Sin embargo, las series divergentes pueden ser algunas veces útiles si bien uno debe ser muy cuidadoso en sus interpretaciones. Veremos ahora que algunas veces es posible asociar con una función, una serie infinita que puede o no converger, pero cuyas sumas parciales pueden producir buenas aproxi maciones al valor de la función. Considere una serie de la forma
458
y
sea
Así, Sn está bien definida para toda z ,P O pero no pedimos que S converja. La manera correcta de decir que S es asintótica a una función dadaf está dada en la si guiente definición. Dermición 7.2.1. Decimos sión asintótica de f, si
con arg
z
que f - S, o que f es asintótica a S, o que S es una expan
en un rango específico [a, jl] (véase la figura 7.2. 1 ).
Aun cuando S puede ser divergente, las sumas parciales usualmente resultan n adecuadas aproximaciones a f, siendo el error aproximadamente ltz . Esto se ilus trará con un ejemplo en los siguientes párrafos. Si permitimos el rango completo [-1t, 7t] para arg z, podríamos esperar que a0 convergiera si /(z) fuera analítica en el exterior de un c írculo + a¡fz + aiz2 + grande, puesto que f tiene una serie de Laurent convergente de esa forma. Sin embargo, usualmente/ tiene polos zn � oc (tal como r(z), la cual tiene polos en O, - 1 , -2, . ) y, por Jo tanto, en muchos ejemplos, no tenemos una serie de Laurent que sea válida en el exterior de cualquier círculo. Si f tiene polos zn � oo en el sector arg z e [a, jl] y f - S, entonces S no puede converger a ninguna Zo· Si lo hi ciera, entonces S convergería uniformemente para toda lzl > lz01 + l . (Véase la sección 3.3.). La definición 7.2. 1 y la convergencia uniforme de Sn a S, diría que para lzl suficientemente grande en ese sector, tenemos 1/(z) - S(z)l < l . Pero esto no se puede satisfacer cerca de los polos de f. ·
•
•
. .
y
Figura 7.2. 1 . Expansión asi ntótica.
7.2. EXPA N S I O N ES ASI NTÓTICAS
459
El siguiente ejemplo debe ayudar a clarificar el concepto de expansión asin tótica. Ejemplo 7.2.2.
Muestre que
oo
1 1 t- l ex - t dt - - - -- + x x x2
J
Solución. Sea x real,
x � O, y sea f(x) =
-- -2! x3
3!
+•• ·
x4
L"' rl ex - 1 dt
(¡ É sta no es la función gamma!) Integrando por partes da
1 f(x) = - X
-- -1
x2
+
2!
x3
-•••+
(-l)n-l(n- 1)! xn
+ (- l )nn!
J"' --tn x
+1
dt
Afirmamos que
-- -- --
2! 3! 1 1 + + f(x) - S(x) = - x4 x3 x2 x Note que la serie diverge. Aquí el sector es giendo z al eje real positivo. En efecto, si 1
tenemos
S =-n X
-1
x2
::;; n !
+·.·+
a
= !} = O; esto es, estamos restrin
----(-l) n - l (n - 1)!
xn
"' --ex -r "' ex - l dt = --J t J x
dt ::;;
n! X
n! X
X
lo cual se aproxima a cero conforme x � oo. Entonces f(x) - S (x) es o( llxn) y, por n tanto, f- S como se requería. Observe que aun cuando n ! crece rápidamente, aún te nemos una aproximación adecuada porque
(
n! 1 = O -lf(x) - S (x)l ::;; n xn + 1 xn + l
)
y s i x es, digamos, mayor que n, entonces n !lx n + 1 es muy pequeña. Y
460
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
En seguida se resumen algunas propiedades básicas de las expansiones asin tóticas. Proposición 7.2.3
f(z) - S(z) = a0 +
(i) Si
a¡ --
z
f(z) - S n(z) = o
entonces y recíprocamente.
(
+ 3z + · · · z2 --
)
1
z" + 1
(ii) Si
a¡
-
y
f - ao + -- + z
entonces a¡ = (iii) Si
a¡.
� + ·· •
--
z2
(Las expansiones asintóticas son únicas.) a1
f - ao+
--
z
+
a2
--
z2
+···
b¡ b2 g - bo + -- + -- + · · · z2 z
y
son ambas válidas en el mismo rango de arg z, entonces en ese rango f + g - (ao + bo) + y
c c 1 + 2 fg - eo + -z2 z
--
(a + b l ) 1 z
+···
n donde en = '!: akbn - k k;O
(Las series asintóticas pueden ser sumadas y multiplicadas.) (iv) Dos funciones diferentes pueden tener la misma expansión asintótica. (v) Sea (jl: [a, oo[ � R continua y suponga que (jl(x) = o(llxn), n 2:: 2. Entonces
f""
"
Demostración
(jl(t) dt = o
( 1 ) xn - l
n (i) Puesto quef - S, tenemos, por definición,/- Sn + 1 = o( lfz + 1 ). Por lo tanto, n n obtenemos/- Sn =f- Sn + 1 + Sn -Sn = o(lfzn + 1 ) + an ¡lz + 1 = O(llz + 1 ). + +1
461
EXPANSIONES ASINTÓTICAS
7.2.
(ii) Vamos a mostrar que an = iin• por inducción sobre n. Primero, por la defini ción dej- S, f(z) - a0 � O conforme z � oo y, en consecuencia a0 = lím f(z). z -> oo
Entonces a 0 = ii0. Suponga que hemos demostrado que a0 = ii0, . . . , an = iin. Vamos a mostrar que an + 1 = iin + 1 • Dada E > O, existe u na R tal que si lzl � R, tenemos
y
zn+ { [
zn + 1
f(z) -
f(z) -
( (
a0 +
:
+
iio
:�
+
+
1
•
•
•
•
•
•
+
an + 1 n z +1
+
iin + 1 n z +1
Por lo tanto, por la desigualdad del triángulo, lan + ! - iin + l = l z" + I¡ l
lan
)] )]
- iin + 1 1 +l lz" + I¡
< E + E = 2E Así, lan + 1 - iin + 1 1 < 2E para t�a E > 0. Por l o tanto, an + 1 = iin + 1 • n (iii) Sea Sn(z) = a0 + + aiz y S (z) = b0 + + b/zn. Debemos mostrar quef n = (f- S ) + + g -ssn + S ) = o( ltzn). Para hacer esto, escriba / + g - (S + n n n (g - S ) = o( l /z n ) + o( l lz n ) = o( I /z n ) ( ¿por qué?). n Para establecer la fórmula para el producto, observe que c0 + c/z + · · + n n c/z = SnS + o(l /z n ) ya que Sn Sn = c0 + C/Z + c/z más los términos de orden mayor. Asífg - (c0 + c 1 + + c tz n) = fg - SnSn + o( Itz n ). Escriba n ahora fg - s s = (f - S ) g + Sn(g - Sn) y observe que ambos términos son n n n o( Itz n ) puesto que g y s son acotadas conforme z � oo. n (iv) En R, la función e-x es o( l /x") conforme x � oo para cualquier n. Así, si f a0 + a /x + ajx2 + · ·, entoncesf(x) + e -x - a0 + a /x + ajx2 + · también. n (v) Puesto que cj>(t) = o( l ltn), lím t cj>(t) = O. Dada E > O, existe una x0 > O tal que n -> oo n t > x0 implica que lt $(t)l < E. Por l o tanto, para x > x0, •
•
•
•
•
•
•
•
S,)
•
•
_
•
•
•
t
•
·
$(t) dt
::;;
feo X
E n t
dt =
L""
cj>(t) dt
--
•
1 n- 1
y así, para x > x0, xn - 1 n Por lo tanto, lím x - 1 x ----+ oo
::;; E
J""' cj>(t) dt = O, y en consecuencia J"" cj>(t) dt = o( 1 x n X
X
/
-
1 ). •
462
Fórmulas asintóticas y equivalencia asintótica Si una función tiene una serie asintótica como se acaba de describir, entonces las sumas parciales de esa serie pueden ser usadas para obtener aproximaciones a la función para z grande. Sin embargo, el rango de aplicabilidad de este método es un poco restringido. Si/tiene la serie asintótica f(z) - S(z) = a0 +
al
--
z
+
a2
--
z2
+
·
·
·
entonces f(z) - a0 = o( 1 ); esto es, lím f(x) = a0 y por lo tanto, ftiene un límite finito X � "'
en infinito, en el sector especificado. Esto es demasiado restrictivo. Nosotros esta mos interesados comúnmente en funciones que crecen conforme x crece. Los dos ejemplos mencionados al inicio de esta sección, r(z) y 1t(z) ciertamente hacen eso. Así, también escribiremos
(
f(z) - g(z) a0 +
a1 --
z
+
a2
--
z2
+
·
·
que quiere decir
[
f(z) = g(z) a0 +
a1 --
z
+
·
·
•
+
a
n +o zn
--
·
)
( )] 1
--
zn
En otras palabras, si g(z) #= O, entonces f(z) --
g(z)
- ao +
a1 --
z
+
a2
--
z2
+ . . .
la esperanza es que, al menos en algún sentido, g(z) sea una función más fácil de manejar para x grande que lo que fes. Incorporando al factor a0 en g, tenemos f(z) - g(z)
(
bl b 1 + -+ 2 z
--
z2
+
·
·
.
)
A menudo estaremos interesados principalmente en obtener el primer término. Éste proporcionará una función g(z) con f(z) = g(z) [ l + 0(1/z)], o un poco más ge neralmente, f(z) = g(z) [ 1 + o( l )] . En este caso decimos que f y g son asintótica mente equivalentes.
Dos funciones f(z) y g(z) son asintóticamente f(z) = g(z) [ l + o(l ) ] . En este caso escribimos f(z) - g(z).
Definición 7.2.4.
equivalentes
si
Observe que si g(z) #=0, esto dice quef(z)lg(z) - 1 = o( l ), así que lím [f(z)lg(z)] Z � ""
= 1 en el sector especificado. La expresión g(z) está pensada en cómo dar una fórmula
463
7.2. EXPANSIONES ASI NTÓTICAS
asintótica paraf(z). Es en este sentido que son interpretados la fórmula de Stirling y el teorema de los n úmeros primos. El próposito de todo esto es usar a g(z) para aproximar f(z) para z grande. Pero se requiere cuidado. La aproximación
no
necesariamente mejora conforme z �
oo
en el sentido que lo hemos estado usando hasta aquí en este texto. Esto es, el valor absoluto del error 1:1f = g(z) - f(z) no necesariamente se reduce. En vez de esto es el
error relativo o error porcentual, el
error expresado como la fracc ión del valor
verdadero, el que tiene que reducirse. El error relativo es 1:1 f --
=
g(z) - f(z) -----
f
f(z)
=
g(z) --
-
J(z)
1
y esto se va a O conforme z se va a infi nito en el sector específico, ya que es El siguiente ejemplo simple puede aclarar esto. Sea f(z) f(z)
-
ez;
esto es, g(z)
=
ez
=
o( 1 ).
zé/( 1 + z). Entonces
es una fórmula asintótica para .f. El error asintótico en
el que se incurre al usar g(z) para aproximar f(z) es IJ.f = eZ -f(z)
=
eZf( 1
+ z). Este
error se va a infinito conforme z crece a lo l argo del eje real positivo, el error absoluto expresado como una fracción del valor verdadero, es IJ.f --
=
!
eZ ---
1 +z
1 +z
1
zeZ
z
--- = -
el cual se va a O conforme z crece. Es también importante observar que la fórmula asintótica no es única. La mis m a función puede tener dos fórmulas asintóticas de diferente aspecto aun cuando la razón de las dos tiende a 1 conforme z crece en el sector especificado. Algunas de las funciones que uno desea estudiar surgen de, o pueden ser con vertidas en, i ntegrales de la forma f(z)
=
J
Y
ezh<�>g(�) d�
La función r misma es
En la siguiente sección seguiremos esta idea para obtener la fórmula de Stirling a partir de uno de los resultados del final de esta sección. El plan de ataque general es encontrar un punto
to sobre
la curva tal que el factor
ahí pero resulte muy pequeño lejos de
to a
ezh(�)
sea bastante grande
lo largo de la curva, para z grande. La
mayor contribución de la integral vendrá de la parte de l a curva cerca de
to y po
dríamos estimarla en términos del comportamiento de h y g cerca de
Primero
to·
volveremos nuestra atención a algunos casos en los cuales h sea lo suficientemente simple para que podamos obtener todos los términos de las series.
464
La transformada de Laplace La transformada de Laplace es una construcción muy parecida a la transforma da de Fourier que vimos anteriormente. Siempre y cuando la integral tenga sentido, la transformada de Laplace de una función g definida en el eje real positivo es
g(z) =
J: e-ztg(t) dt
Dedicaremos considerable atención a esta construcción y a algunas de sus aplicaciones en el capítulo 8. Aquí veremos cómo las series asi ntóticas pueden arrojar alguna luz en el comportamiento de g(z) para z grande. Proposición 7.2.5. Suponga
que g es analítica en una región que contiene al eje real positivo y acotada en el eje real positivo. Sea � a0 z0 la serie de Taylor para g centrada en O y sea g(z)
=
00
n=o
J; e-zt g(t) dt. Entonces
conforme z � oo, arg z = O. Demostración. Sea h(z)
= [g(z) - (a0 + a 1 z +
•
•
•
+ an 1 z n - 1 )]/zn. Entonces h _
es acotada en el eje real positivo porque, primero, g es acotada, segundo, el término polinomial en el numerador tiene grado menor que n y tercero, el límite conforme z tiende a O es an . Así, existe una constante M con para toda t � O y, por lo tanto, para z real ,
J:
e-zt[g(t) - (a0 + a 1 t +
g(z) -nÍ,l ak k=O
•
i"" O
•
•
+
an _ , t n - I )] dt
e -z trk dt
::;;;
M
i
"'
::;;;
M
L"'
e -ztt n dt
zt n d 0 e- t t
Haciendo x = z t, obtenemos
-1
g(z) - nL ak k =o
---
r(n + 1 ) r(k + l ) ::;;; M zn + 1 zk + 1
que es exactamente lo que queríamos. •
=
_ M _n_!_ = 0 zn + 1
(-) l zn
7.2. EXPANSIONES ASINTÓTICAS
La suposición de analiticidad para la función
465
g, embona adecuadamente dentro
del tema de este texto y hace posible que la demostración que
se
acaba de dar sea
tan simple. Vale la pena observar, y es importante para muchas aplicaciones, que el mismo resultado se satisface con suposiciones ligeramente diferentes sobre analiticidad no es tan esencial como el que
g sea infinitamente diferenciable.
g.
La
Proposición 7.2.6. Suponga que g es infinitamente diferenciable en el eje real po sitivo y que g y cada una de sus derivadas son de orden exponencial. Esto es, existen constantes An y B n tales que l g(n) (t)l :::;; AneBnt para t � O. Sea g(z) = e-ztg(t) dt. Entonces
J�
g(O)
g' (O)
g (z) - -- +
_
z2
z
conforme
z � oo , arg z
=
Demostración. Fij e
+
g' ' (O)
z3
+
•
.
•
+
g
zn + 1
+
•
•
•
O. �
n
O y suponga z > máx(B0, B p · · . , Bn). Entonces, la repe
tida integración por partes da
ya que
l e-zrg
Por lo tanto,
z l�z)l - Sn (z)l :::;; n
y esto se va a O conforme El segundo resultado
z
i"" o
le -ztg
f"" o
A ne<8n - z), dt =
An z - Bn
crece, como necesitábamos. •
(7.2.6) se aplica tanto a funciones infinitamente diferen
ciables que no son analíticas, como a funciones que no son acotadas , como los po linomios. El primero
(7.2.5) incluye funciones tales como g(z) = sen e1' cuya derivada
no es de orden exponencial.
Teorema de Watson Casi el mismo argumento que se usó para la proposición expansión con una función
h ligeramente más complicada.
Teorema de Watson 7.2.7.
contiene al eje real. Hágase
Sea g(z) analítica
y
7 .2.5 establecerá una
acotada en un dominio que
466
f(z)
=
para z real. Entonces f (z )
f:oo
e-zy2f2
g(y) dy
a6 · 1 · 3 · 5 + _.;________ +
-
z3
conforme z � oo. arg z = O. donde g(z)
=
• •
·
)
00
; a0z0 cerca de cero. n 0
Demostración. Primero observe que
es acotada en el eje real ya que g es acotada y puesto que h(z) � a2n conforme z � O. Por lo tanto. obtenemos
Usamos ahora el hecho de que para z > o.
f ""
e -ZY212y2k dy -oo
=
·� 21t 1 3 •
•
•
•
•
2k - 1
--
zk + 112
y
(véase el ejercicio 7). para obtener
f ""
- oo
+
e -zy2g ( y) dy
a2n
_
2
_(
· fu· l
•
a � 2_1t a 0_ _ + -.;_
3
ztn
•
•
•
(2n - 3)
zn - l + tl2
a � 21t · l · 3 + __4________ + z2 + 1 12
/Zit
z l + 112
)
21t
•
•
-------
�
� Mv
•
1
•
3
•
•
•
(2n - l )
zn + l /2
a partir de lo cual el teorema se sigue. •
Método del descenso más pronunciado Finalmente regresamos a situaciones en las cuales h puede ser más complicada y en las que se necesitan técnicas más sofisticadas. Una de estas técnicas es el llamado método del descenso más pronunciado o el método del punto silla. Fue descubierto por P. Debye en 1 909 aproximadamente. Vamos a buscar una expansión de la forma
f(z) - g(z)
(
a1 a2 + -- + z 1
�
)
+ •
•
467
•
para una función particularmente simple g(z) y estaremos interesados principal mente en obtener el primer término. El método aquí descrito funciona bien siftiene la forma especial f(z) = J.Y éh(�) di;. Usaremos contornos y(t) definidos para toda t e R. Podemos integrar sobre tales contornos infinitos de la misma manera en que in tegraríamos sobre contornos ordinarios, tan pronto como verifiquemos la conver gencia de las integrales. y:]-oo, oo[ ---+ C una curva C1 en C. (y puede estar definida únicamente en un intervalo finito. ) Sea �o = y(t0) un punto en y y sea h(�) una función continua a lo largo de y y analítica en � Considere las siguientes hipótesis: Para lzl � R y arg zfijo. Teorema del descenso más pronunciado 7.2.8. Sea
(i) (ii) (iii) (iv)
f(z) = J.Ye zh(l;) d� converge absolutamente. h ' (�0) = O; h " (�0) "# O. Im zh(�) es constante para � en y en alguna vecindad de �Re zh(�) tiene un máximo estricto en � a lo largo de toda la curva y. Entonces
(1) conforme z ---+ oo, arg z fijo. El signo de la raíz cuadrada se escoge de tal manera que rz � -h "(�o) . y' (to)
> o.
Observaciones
(i) Para lograr las condiciones (i) a (iv) puede ser necesario deformar a y aplicándole el teorema de Cauchy. Una trayectoria y que satisface estas condiciones es llamada una trayectoria de descenso más pronunciado. (ii) La expansión asintótica en la conclusión del teorema depende únicamente de h(�0) y h (�0) y no del comportamiento de h en toda y (excepto, por supuesto, que h debe satisfacer las hipótesis del teorema.) Se pueden uti lizar derivadas de orden superior si se necesitan términos adicionales. (iii) El origen del término ••descenso más pronunciado" se puede derivar de las condiciones (iii) y (iv) de la siguiente manera. Recuerde que Im zh(�) = v(�) y Re zh(�) = u(�) son armónicas conjugadas, y el hecho de que v sea constante sobre y significa que u cambia más rápidamente en la dirección de y. Ya que � es un máximo, u(�) = Re zh(Q decrece lo más rápida mente cuando se mueve desde � en la dirección de y. Así, la curva y es llamada la trayectoria del descenso más pronunciado. El término "método de punto silla" se originó de la manera siguiente: La función u(�) = Re zh(�) tiene un máximo sobre y en �0. Pero h"(�o) "# O implica que u no es cons tante y, por lo tanto, �o debe ser un punto silla de u ya que las funciones armónicas nunca tienen un máximo o mínimo local (véase la figura 7.2.2). "
468 u
y
Curva del descenso más pronunciado u
Figura 7.2.2. El
método del punto si l la .
(iv) Frecuentemente e l signo correcto de l a raíz cuadrada puede determinarse al examinar el signo de la integral que define af(z).
Demostración. Divida a y en tres porciones y1 , e y y2 , como se ilustra en la fi gura 7.2.3. Escoja a e de tal manera que esté en una vecindad de � suficientemen te pequeña para que ( 1 ) sea analítica y (2) se satisfaga la condición (iii). Claramente, f(z) 11 (z) + liz) + J(z), donde utilizamos las notaciones J(z)
h( �)
ezh (�)
= d � y /k(z) f'Yk ezh (�) d �, k = 1 , 2.
= fe
=
y
Figura 7.2.3.
E l método del descenso más pronunciado.
Vamos a mostrar que, para z grande, la parte de la integral que realmente im porta es J(z), así que una aproximación asintótica para J(z) también dará una para f(z). El ejemplo resuelto
7 .2. 1 1
dice que, en aras de hacer esto, es suficiente mostrar
que /k(z)/J(z) = o(l /zn) para toda
Pero J(z)
=
f
e
n positiva.
e z h (�)
d� =
Para demostrar esto, observe que
fe
e Re zh (�)e iim z h(� )
dt;.
7.2. EXPANSIONES ASINTÓTICAS c.
Ya que Im zh (t;) es constante sobre
469
obtenemos
Si C es lo suficientemente corta para que el ar� (y') cambie en menos que 1t/4 a lo largo de e, entonces obtenemos lJ(z)l > ( 1 /{2) J e eRe zh
f 1 f
< yk -
e
eRe zh (/;) ld{,l eRe zh
,f2 '
Ahora, sea C un subintervalo de e estrictamente menor. centrado en So· Entonces 1,(z)
J(z)
1 Lf ,;
C
eR«h(O ld�l ff eRe zh (l;} ld{,l
Fije Zo y sea a el mínimo de Re (zh({,)) sobre C. Existe una E > O tal que Re(z0h({,)) ::;;; a - E para toda t; e yk. Así. usando el hecho de que z está sobre el mismo rayo que z0,
- eRe zh (!;) Id l;l
e
Esta expresión es un factor constante, digamos M, por e-lz - <:ol(e)ll:z:ol. Lo anterior es, por cierto, 0( 1/z) (y de hecho es 0( 1/zn) para toda n � 1 ) así que hemos demos trado que liz)IJ(z) 0(1/zn) para toda n � l. Esto localiza el problema a una ve cindad alrededor de So• donde se hace la mayor parte de la contribución a la integral. También. podemos reducir la longitud de e sin afectar la conclusión de quef(z) - J(z) conforme z � oo. Enseguida, escribimos =
donde w(t;) es analítica e invertible (abusando de la notación, denotamos a la inversa como t;(w)), donde w(So> = O, y donde
470
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
(véase el ejemplo resuelto 6.3.7.) Puesto que Im (zh(l;)) = Im (zh(�)) sobre C y Re (zh (!;)) < Re (zh (1;0)), vemos que z[w(l;)] 2 es real y mayor que cero sobre C; también, por nuestra elección de la rama para ¡-: v"Zw(l;) es real y como una función del parámetro t de la curva, tiene derivada positiva en t0• Así, al contraer C si es necesario, podemos asumir que Tzw(l;) es creciente a lo largo de C.
J(z) =
J
e
ezh
J
e
ezh
J
e
e -z lw(1;)]2 dl;
podemos cambiar variables al hacer /Zw(l;) = y y obtenemos
puesto que y es real sobre C; escogemos números positivos E 1 y E2 tales que [esté en el rango de y correspondiente a !; sobre C. Enseguida escri bimos
IJZIEp ffi�]
así que
donde w = y ![z. Entonces,
=
Por el ejercicio
LJE� [ "-'
V
lziE1
e-Y2
.2, (k + I )ak + 1
kN =O
(YZ ) ] .
k
y r=-
dy
7, sabemos que si k
=
2m es par
si k = 2m
+ 1 es impar
7.2.
EXPANSIONES ASI NTÓTICAS
471
y así llegamos a la serie (2m + l )a2m + 1
Esto da la serie deseada: J(z)
Las primeras dos integrales son o( li.[Z)2M), por la proposición 7.2.3(iv), ya 1 que e-fZyk = o( lfy2M + ). En la tercera, existe una constante BM tal que el integran do está acotado por BM e-Y2Iyt2M + I.[ZI2M + l
I
Puesto que
este término es también o( l /lziM). Entonces, e zh
J(z) -
y por el ejemplo resuelto 7.2. 1 1 , también lo es f(z). En consecuencia, f(z) - ezh
{ft(
-y
�
z
al +
1
•
3a3 z
a __ ·_ _,... s_ '-5 + _1_·_3 2 z
_
Para completar la demostración, observe que a1
d�
= --
dw
( O)
{Z:
dw
.J -h "(�)
---;JF; (�o>
así que f(z) como se quería. •
1
---- _ --;=::::�=-::::;-
.J2ii fZ.J- h" ( �o> e z h
+
•
.
·)
4 72
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
Observe que para obtener los términos de orden mayor en la expansión
(
A1 A2 + · . . 1 + -- + -z2 z
)
(2)
uno debe poder calcular más términos de la serie l; = � + a 1 w + a w 2 + · · · en la 2 demostración precedente. En casos simples, estos términos de orden mayor pueden ser evaluados explícitamente; véase el teorema de Watson (7.2.7). No se darán aquí los detalles del método para obtener términos de orden mayor, porque estos términos se necesitan únicamente en cálculos muy refinados. El término principal que se dio en el teorema del descenso más pronunciado, es el importante. Las aplicaciones de este teorema, que se dan en la siguiente sección, tratan principalmente con el caso en el que z es real y positivo. Claramente, en ese caso, las condiciones (iii) y (iv) del teorema pueden ser escritas equivalentemente con o sin l a z. Una demostración similar a la dada anteriormente conduce a lo siguiente. (Véase el ejercicio 8.)
7.2.9. Si se satisfacen las condiciones del teorema del descenso más pronunciado (7.2.8), pero f tiene la for ma f(z) = ezh(/;;)g(l;) dl; donde g(l;) es una función continua y acotada sobre y, con g(� ) -:;6 O. Entonces
Teorema generalizado del descenso más pronunciado
[1
f(z) -
ezh(�\f21i g(l;0)
fZJ-h"(�)
Método de la fase estacionaria Si el exponente del integrando del teorema 7 .2.8 es puramente imaginario, pode mos obtener un resultado relacionado conocido como el método de la frase estacio naria. Este método fue desarrollado en parte por Lord Kelvin en 1 887 y se aplicará al estudio de las funciones de Bessel en la siguiente sección. Teorema de la fase estacionaria
7.2.10. Sea [a, b] un intervalo acotado en el eje real. Sea h(t) analítica en una vecindad de [a, b] y real para todo real t. Sea g(t) una función de valores reales o complejos en [a, b] con derivada continua. Suponga f(z)
=
J:
eizh(Og(t) dt
Si h ' (t) = O en exactamente un punto lo en ]a, b[ y h"(lo) forme z � oo en el eje real positivo, tenemos
-:;6
O, entonces, con
7.2.
Se utiliza el signo más si h " (1Q)
>Oy
EXPANSI ON E S A S INTÓTICAS
se usa el signo menos si h " (t0) <
473
O.
La fórmula asintótica para j se puede escribir como l ím
,fZe-izh(t0)
z -> + ""
fb a
e izh(t)g(t) dt =
,j21te±1til4g(tO) J +h" (t0)
Esta fórmula también tiene sentido cuando g(t0) = O y lo estableceremos en esa forma. Observamos que al dividir a g en sus partes real e imagi naria, es suficien temente demostrar el teorema para g con valores reales. El nombre "fase estacionaria" viene de la interpretación de que el integrando es una cantidad complej a con amplitud (magnitud) g(t) y ángulo fase zh(t). La intui ción detrás de la fórmula es que la contribución principal de la integral debe venir de la vecindad de t0, donde el ángulo fase varía tan lentamente como es posible. Para ver por qué, piense a la integral en términos de sus partes real e imaginaria:
j(z)
=
J:
g(t) cos (zh(t)) dt + i
J:
g(t) sen (zh(t)) dt
Si z es muy grande, entonces zh(t) cambia muy rápidamente en las regiones donde h'(t) no es cero. Así, cos (zh(t)) y sen (zh(t)) oscilan rápidamente. La figura 7 .2.4 ilustra esto con h(t) = t2 para las gráficas de cos ( 10 r2) y cos (20 r2). Si g es del todo razonable, las oscilaciones resultantes de la i ntegral deben tender a cance larse excepto cerca de los puntos donde h' (t) = O. y
X
y
n
X
V Figura 7.2.4. Las gráficas de
a)
(a) y = cos (1 Ot2) y (b) y = cos (20t2).
b)
474
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
Podría también esperarse que los extremos del intervalo de integración contri buyeran, pero resulta que en el peor de los casos esta contribución es proporcional a 1/z y, por lo tanto, no interferirá con el resultado que esperamos demostrar: que la integral se comporta como 1 /JZ. Debemos ser capaces de estimar la integral, para z grande, usando únicamente una porción de la trayectoria cercana a t0• En este corto intervalo aproximamos en tonces a g(t) mediante la constante g(t0), y a h(t) mediante su aproximación de Taylor de segundo orden h(to) + [h"(t0 )/2](t - t0)2 , para obtener f(z) � eíz h(tJ g(to)
f
e iz h "(t0)(t- r0)2n dt
donde la integral es sobre algún intervalo pequeño centrado en to- Al cambiar va riables se produce f(z) =
eizh(to) g(t0)
nf
..¡z� h"(to)
2 e'x dx o
Ahora la integral es sobre algún intervalo de la forma [-AJZ: Ak]. Sabemos, de las integrales de Fresnel en 1 ejercicio resuelto 4.3. 17, que conforme z se va a infinito, _ esta integral converge a 1t/2( 1 + i) = .fitex•/4• Esto nos deja con exactamente el re sultado que queremos, con la obvia modificación para el caso en el que h"{t0) < O. Veremos algo de la aplicabilidad de esta fórmula en la siguiente sección, cuan do estudiemos las funciones de Bessel. Kelvin las usó para estudiar el modelo de las olas de la proa y la popa de un barco en movimiento. En cualquier aplicación particular, la amplitud g(t) usualmente se comporta bien, pero al volver a la de rivación intuitiva que se dio en la demostración es un poco engañoso. El primer paso requiere que la función g sea lo suficientemente suave para que cuando se multiplique por las rápidamente oscilantes cos(zh(t)) y sen (zh(t)), aporte algo para lo cual efectivamente la integral se cancele lejos de t0 y para lo cual cualquier can celación no sea efectiva cerca de t0. Esto no pasa si g en sí misma tiene muchas os cilaciones en muy altas frecuencias. La continuidad sola no es suficiente para pre venir esto, como se puede ver en el siguiente ejemplo.
�
Ejemplo 7.2. 1 1. Encuentre una función continua g para la cual sea falsa la con clusión del teorema de /ajase estacionaria (7.2. 10). 00
Solución. Sea cj>(t) = .I: (llk2) cos (k!'t). Esta serie converge uniforme y absoluk= l
tamente para t e R, ya que el k-ésimo término está dominado por l /k2. Así, el> es continua. Defina g(t) en el intervalo 1 = [- fiit, fiit] como g(t) = 2t cj>(t2) cuando t � O, y como g(t) = O cuando t < O, y considere la integral f(z)
=
f
I
e -iz r2 g(t) dt
Ésta satisface el modelo de (7.2. 10), con h(t) embargo, para un entero positivo n, tenemos
=
-t2 , t0 = O y h"(O) < O. Sin
475
f(n) = =
I f
1
e-intl
g(t) dt
21t
e-inx cjl(x)
21t -=L J(of = L -o
00
1
k= l
k2
k= 1
k2
00
1
dx
= Jf2iie-int2 cjl(t2)2t dt o =
e-inx
21t
o
f1t [00L -o
e-inx
1
k=l
k2
]
cos (k6x) dx
cos (t6x) dx
cos (nx) cos (k6x) dx - i
f
21t
o
sen (nx) cos (k6x) dx
=
]
Estas integrales son todas O excepto la primera, en el solo caso en que k 6 n y en el que es 1t . Asíf(k6) Ttlk 2• En otras palabras, para un entero positivo z. tenemos f(z) O a menos que z sea una sexta potencia, en cuyo caso f(z) 1t P JZ. Por lo tanto, ,jiJ(z) no permanece acotada y la condición del teorema 7.2. 1 0 no puede ser posible que se satisfaga. 'Y
=
=
=
En este ejemplo, la función g no es lo suficientemente suave para hacer que funcione el teorema 7.2. 10. Tiene demasiada influencia de sus componentes de alta frecuencia, y se necesita alguna condición para prevenir esto. El requerimiento de una primera derivada continua (en el sentido de una variable real), especificada en el teorema 7 .2. 1 O, es una de tales condiciones. Esto implica una propiedad que es formulada en términos de las oscilaciones de g y la cual es de central importancia en la teoría de i ntegración, llamada variación acotada. Algunas de las ideas acerca de esta propiedad y una demostración del teorema 7 .2.1 O se bosquejan en el suple mento de esta sección, el cual se puede considerar opcional.
SUPLEMENTO A LA SECCIÓN 7.2: VARIACIÓN ACOTADA Y LA DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LA FASE ESTACIONARIA En el método de la fase estacionaria, vimos que necesitamos imponer algunas condiciones en la amplitud que limitarían Ja cantidad de oscilaciones de alta fre cuencia que pueda tener. Esta clase de cosas es a menudo necesitada en la teoría que involucra integrales; la noción de variación acotada provee las herramientas adecuadas para tratar con esta situación. Definición 7.2.12.
Suponga que f: [a, b]
� R.
t = b, entonces = t0 t1 n la variación de f en [a, b] relativa a P es V f = k;l lf(tk) - f(tk _ 1 ) 1 . P La variación total de f en [a, b] es V[a.blf = sup {V f) , donde la mínima cota superior se toma de todas las posibles particiorl'es. (Puede ser +oo.)
(i) Si P es una partición de [a, b] dada por a
(ii)
<
n
<
•
•
•
<
476
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS (iii)
Si
V¡a, bJ f < oo, decimos que f es de variación acotada y escribimos f E
VA ([a, b]).
Algunos ejemplos importantes de tales funciones se incluyen en la siguiente: Proposición 7.2.13 (i)
Si f es monótona y acotada en [a, b], entonces f E lf(b) - f(a)l .
VA ( [a, b]) y
V[a,bl =
Si f es diferenciable en u n intervalo acotado [a, b ] y l f '(x)l < M para toda x E [a, b], entonces f E VA ( [a, b]) y f =:;; lb - aiM. (iii) Si f tiene una derivada continua en el intervalo acotado [a, b] -esto es, si 1 f E C ([a, b])- entonces f E VA ([a, b]). (ii)
V[a, bl
Demostración. El primer resultado es inmediato, ya que las diferencias sucesivas de punto a punto entre cualquier partición son todas del mismo signo y Jos valores en puntos intermedios se cancelan. Lo segundo se demuestra al aplicar el teorema del
valor medio a cada subintervalo de c ualquier partición y el tercero se sigue ya que sif' es continua en el intervalo compacto [a ,
b], entonces es acotada. •
Es posible para una función continua el no tener variación acotada. En [- 1 , 1 ] hágase f(O) = O y f(x) nemos lf( l/n1t)
-
= x cos( l lx) para x # O. (Véase la figura 7 .2.5 .). Entonces te
/( 1/(n
+ 1 )1t)l
= (2n + 1 )/n (n + 1 )1t > 1 /n1t. Ya que las series
armónicas divergen, se pueden crear particiones usando estos puntos que dan una variación arbitrariamente grande. y
\
Figura 7.2.5. La función continua x cos ( 1 /x) tiene variación no acotada . Algunas de las propiedades importantes de las funciones de variación acotada se ennumeran en la siguiente proposición. Proposición 7.2.14. Supo.nga que f E VA ( [a,b]). (i) (ii)
Si [e, d]
entonces f E VA ([e, d]) y =:;; si a < e < b. x f es una función creciente acotada en [a, b], con (Vf)(a)
C [a, b],
V¡a, c] f + V¡c, b]f = V¡a, bj Í Y¡a, J o y (Vf) (b) = v[a. b l
(iii) (Vf)(x) =
V[c, dl V¡a, b{
=
SUPLEMENTO A LA SECCIÓN 7 . 2
477
(iv) Si a :::;;;; x :::;;;; y :::;;;; b, entonces (Vf)(y) - (Vf)(x) = V[x, Y l (v) f es la diferencia de dos funciones crecientes acotádas: f = f1 f2, con f1 = (Vf + f)/2 y f2 = (Vf - f)/2. -
Demostración. La primera afirmación se sigue de que cualquier partición de
[e, d] puede ser extendida con los intervalos [a, e] y [d, b] para obtener una parti ción de [a, b] , proporcionando un candidato más grande para V[a, bJ f Para la segunda, únanse particiones de [a, e] y [e, b] para obtener una partición de [a, b] y muestre que V[a cJf + V[c bJ ¡:::;;; V[a bJf Para la desigualdad opuesta, sea a = t0 < t1 < < tn = b , , ,
•
n
cualquier partición de [a, b], con l: lf(tk) -f( tk _ 1 )1 -1 ke :::;;;; tN 1 • Entonces
>
+
v[a, b]f < <
N
N+ 1
o
N
·
•
V[a' bJ - E . Tómese N con tN :::;;;;
:r. lf(tk) -f(tk - l ) l + L lf( tk) -f( tk - l ) I + E N
n
:r. lf( tk) -f(tk - 1 )1 + lf(c) -f(tN)I + lf(tN + 1 ) - /(c)l + L lf(tk) -f(tk _ 1 )1 + E N+2
o
Ya que esto se satisface para cualquier E � O, tenemos l a desigualdad deseada. La tercera afirmación es clara y la cuarta se sigue de ésta y de la segunda. Para la úl tima afirmación, use (iv) para mostrar que las funciones indicadas son crecientes.•
La última propiedad será la que se utilice directamente en la demostración del teorema 7.2. 1 0. La herramienta mediante la cual l a usaremos, será el segundo teo rema del valor medio para integrales. Segundo teorema del valor medio para integrales 7.2.15.
ciente en [a, b] y g es integ rable, entonces existe un punto e
fb
f(t)g(t) dt = f(a )
a
Demostración.
fe
g(t) dt + f(b)
a
Sea F(x) = f(a)
Entonces F(a ) = f(b)
f(a )
J:
g(t) dt + f(b )
J: g(t) dt y F(b) = f(a) J:
J:
g(t) dt :::;;;;
J:
J:
fb e
Si f es acotada y cre en [a, b] tal que
g(t) dt
g(t) dt
g( t) dt y
f( t)g(t) dt :::;;; j(b)
J:
g(t) dt
Puesto que F es continua en [a, b], la conclusión se sigue del teorema del valor intermedio.•
478
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS También necesitamos las siguientes estimaciones.
Lema 7.2.16. Si f es diferenciable en [a, b] y lf '( x) l � M para toda x en [a, b], entonces l f(y) - f(x ) l , I(Vf)(y) - (Vf)(x)l, l f1 (y) - f1 (x)l, y l f2(y) - fix)l son
acotadas superiormente, cada una de ellas, por Mly - xl.
Demostración. La primera conclusión se sigue del teorema del valor medio, y la segunda de la proposiciones 7.2. 1 3 (ii) y 7.2. 14(iv). Las últimas dos se siguen de la pri mera y de l a segunda, y las fórmulas para
/1
/2
y
dadas e n l a propo s i c i ó n
7.2 . 1 4(v) . ... El primer paso en la derivación intuitiva del teorema 7.2. 1 0 fue que las contri buciones a la integral de las partes del intervalo lej anas a
t0,
tienden a cancelarse y
pueden omitirse al compararlas con la contribución de intervalos cortos cercanos a
t0• El único punto crítico de h estaba en t0 y h' y h" eran continuas, así que lejos de t0, la derivada permanece alejada en O y podemos aplicar el siguiente lema. Suponga que h tiene una segunda derivada continua en [a, b¡, que h'(x) nunca es O en [a, b] y que g tiene una derivada continua en [a, b]. Entonces J: dzh(t) g(t) Lema 7.2.17. dt = 0( 1/z).
Demostración.
'lf(x) = g(x)lh'(x)
tiene una derivada continua en [a,
b]
y, por
lo tanto, tiene variación acotada y puede escribirse como la diferencia de dos
funciones crecientes, 'lf = '1ft - 'lf2• Entonces
Ib a
1
eízh(t>g(t) dt = Z
Ib Ib a
1 -Z
i 'lf1(t) cos (zh(t)) zh'(t) dt + -
a
Z
'lf2(t) cos
fb a
'lf 1 (t) sen (zh(t)) zh'(t) dt
b I .
(zh(t))zh'(t) dt - ' Z
a
'lf2(t) cos
(zh(t))zh'(t) dt
Cada una de estas integrales puede manejarse mediante el segundo teorema del
valor medio para integrales. La primera es típica. Existe u n punto x entre
J:
'lf 1 (t) cos (zh(t))zh'(t) dt =
'lf1{a)
+ 'lf 1 (b)
f
J:
a y b con
cos(zh(t))zh'(t) dt
b cos (zh(t)) zh'(t) dt
X
=
l'lf1(a)[sen
+ 'l'¡ (b)
(zh(x)) - sen (zh(c))]
[sen
:S 2l'lf1 (a)l
Las otras se tratan similarmente para obtener
(zh(b)) - sen (zh(x))] l
+ 2l'lf1 (b)l
479
J:
4 :5 -
eizh(t)g(t) dt
[ l'lf1 (a)l + l 'lf1 (b) l + l 'lf (a)l + l'lf (b)l] 2 2
z
como se necesitaba. T
7 .2. 1 O. Ya que t0 es el único punto crítico de h e n [a, b] , sabemos que para toda o > O, h ' (t) nunca es o e n [a, to - o] o en [to + o, bJ, y así, por el último lema, las integrales de e iz h(t) g(t) sobre cada uno son 0( 1/z) y, por lo tanto, o( l l >lz). Así, para establecer el teorema 7 .2. 1 O es suficiente mostrar que Ahora estamos listos para completar la demostración del teorema
l ím
z -> 00
donde J
.- •' h(1o ) ..Jze-
f
�21t e •.z h (1)g(t) dt = --;::::=;:=;::;::;::=;:- e :!:1t''/4g(t0) �-+- h" (to)
J
= [t0 - o, t0 + o] . Podemos fij ar o tan pequeña como queramos mientras z. En el transcurso de la demostración encontrare
que s u elección no dependa de
mos condiciones para esa elección.
t0. Por el ej emplo resuelto 6.3.7 existe una función analítica w(t) tal que h(t) = h(t0) -+- [w(t)f para t cercana a t0 y w es localmente uno a uno. Podemos escoger w de tal manera que sea real y estric tamente creciente en J si se selecciona a o lo suficientemente pequeña. Éste es nuestro primer criterio para o. Escogemos el signo más si h" (to) > O y el signo menos si h"(t0) < O. Puesto que w(t0) = O y w es continua, w(t0 + o) = e y w(t0 - o) = d, donde e < O < d. El cambio de variables x = w(t) da Sabemos que h es analítica en una vecindad de
1 1 'lf(x) = g(w- (x))l(w- )'(x). La función 'lf tiene una derivada continua e n [e, d] . El punto x = O corresponde a t = t0, y h" (t0) = -+-2w(t0)w"(t0) -+- 2[w'(t0)]2. En 1 tonces, ( w- )'(O) = 1 /w'(t0) = � -+- h " (t0)/2. Puesto que V' es contin ua, 'lf tiene variación acotada y puede escribirse como la diferencia 'lf 1 - '1'2 de dos funciones crecientes. Sea E > O, puesto que e y d se van a O conforme o � O, podemos usar el lema 7 .2. 1 6 para seleccionar a o lo suficientemente pequeña de tal modo que las cantidades l 'lf1 (e) - '1' 1 (0)1, l'lf1 (d) - f 'l 1 (0)1, l'lfie) - '1'2(0)1, y l'lfid) - '1'2(0)1 sean donde
todas menores que
.Jze -izh (t0)
J
J
E.
Por lo tanto,
eizh(l)g(t) dt =
.Jz
J: J:
=
-
J:
e :!: izx2'1f(X) d.--e
cos(zx2) 'lf1 (x)
cos
..fZ dx -+-
(zx2)'1f (x) ..fZ dx + i 2
J: J:
i
sen
(zx2) 'lf1(x) ..fZ dx
sen
(zx2) 'lf (x) ..fZ dx 2
480
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
Como en la demostración del lema 7.2. 1 7, cada integral puede ser manejada mediante el segundo teorema del valor medio para integrales y la primera es típica. Existe un punto y entre e y d, con
Utili zando l as integrales de Fresnel del ej emplo resuel to 4 . 3 . 1 7 , éstas convergen conforme z se va a + oo. Puesto que e < O < d, el límite es '1'1 (d) �rt/2 si y < O, es '1'1 (e) �rt/2 si y > O y es H'l'1(e) + '!11 (d)]12 Un12 si y = O. Pero cada una de ellas está a una distancia e�7t/2 de '1'1 (0) �7t/2. Argumentos similares para las otras tres integrales muestran que toda la suma converge al límite que es
con un error no mayor que e� 7t/2 en cada término. Así, obtenemos un límite que no está a una distancia mayor que 2e {21tdel punto ['1' (0) - 'l'i0)] ( 1 + i) � 7t/2 = 1 '!1(0) Fe± ltil4 = � 21tg(t0)e ± ltíl4f � +h"(t0), justo como se deseaba. Esto completa la demostración del teormea 7 .2. 1 O. •
Ejemplos resueltos 7.2. 18. Suponga que f(z) y que
=
I(z) + J(z), que l(z)/J(z)
J(z) - g(z)
Muestre que f(z) - g(z)
=
0( 1/zM) para todo entero positivo M,
( -- -- ) ao +
a, z
+
a2 z2
+...
( -- -- ) a0 +
a, z
+
a2 z2
+···
Solución. Puesto que /(z)/J(z) = O( lfzM), sabemos que zMJ(z)IJ(z) permanece acota da y, por lo tanto, zM- 1/(z)/J(z) � O. Asf, /(z)/J(z) = cr(l/7!') para todo entero N ?. O. Existe una función B (z) tal que z NJ(z) = B (z)J(z) y B (z) � O conforme z � oo. N N N Calculemos ahora
l [ zN .
(z) f - SN(z) g(z)
]
�
+ zN
[-J(z)
g(z)
- SN(z)
]
SUPLEME NTO A LA SECCIÓN
7.2
481
El primer término se va a O, ya que BJ._z) � O y J(z)lg(z) � a0• El segundo término se va O puesto que J(z) - g(z)(a0 + a¡lz + a.Jz2 + • • • ) . Esto completa la demostración. 7.2. 1 9.
Sea h(�) = �2• �o = O. Encuentre una curva y que satisfaga las hipótesis del teorema del descenso más pronunciado. (En otras palabras, encuentre una trayectoria de descenso más pronunciado. ) Tome arg z = O, esto es, z es real, z > O.
Sea h(�) = u + iv, así que si � = � + i11 , u = �2 - 112 y v = 2�. La discusión que sigue al teorema de descenso más pronunciado, indica que la trayectoria de descenso más pronunciado está definida por v = constante (puesto que en nuestro caso z es real, z > 0). En consecuencia, la línea de descenso más pronunciado a través de � = O es � = O o 11 = O. Ya que u debe tener un máximo en � = O, la curva y está definida por � = O.
Solución.
7 .2.2 0.
f_�
Demuestre que f(z)
=
z � oc; arg z
conforme Solución.
� 21t ---
e-zy2n cos y dy
.JZ
= O.
1 1 1 - -- + --( 2z
Aplicamos el teorema de Watson. Aquí
yt
y2
cos y = 1 - -- + -- - · · · 5! 2!
Por lo tanto, a0 =
y entonces
1
-1
1 , a = --, a4 = 2 2!
,
--
4!
1 3 4!z2 •
• •
• ·•
·)
=
�
(
1-
:z
+
� z-2 --=2� 2
-• •
·)
Ejercicios l. Muestre que s i f(z)
bg(z) = O(h(z)).
= O(h(z)), g(z) = O(h(z)), y a y b son constantes, entonces af(z) +
2. Muestre que la equivalencia asintótica es una relación de equivalencia, en el sentido de que se satisfacen las siguientes tres propiedades:
a) Reflexiva: f f b) Simétrica: S i f - g, entonces g - f e) Transitiva: Sif- g y g - h, entonces/ - h. -
3.
Si f(x)
- alx2 + a/x3 + · g(x) =
· · para x E [0, oo[, muestre que
foo
f(t) dt -
X
a
2
--
X
+
a
3
--
2x2
+
a4 3x3
--
+
•
• •
482
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS 4. Seaf(x)
=
J; e-1/t dt. Use integración por partes para mostrar que f(x)
5. Muestre que
f(x) =
_
(
1 e -x _ x
2 · _ 1 _ + _1__
_ _
x2
x3
foo --- - -- -e -xt
o
dt -
1 + t2
1
x
-
2!
x3
+
4! -· · · x5
g(z) analítica en Zo y sean g'(zo) = O y g" (¡o) =F O, de tal manera que cerca de Zo• g(z) - g(Zo) = [w(z)] 2 con w analítica, w' (Zo) =F O. Demuestre que existen exactamente dos curvas perpendiculares sobre las cuales Re g (respectivamente, Im g) son constantes a través de Zo· (Recuerde que la proposición 1.5. 1 2 muestra que si f '(zo) =F O, Re ftiene exactamente una curva de nivel a través de Zo·) Muestre también que las líneas de Re g e Im g constantes se intersecan a 45°. a) (Véase el ejercicio 2 1 , sección 7. 1.) Muestre que si z > O, entonces, para enteros k 2: O,
6. Sea
7.
f
00
-oo
y
e -zy212y2k dy = V1 2 1t
J_:
- -:---:-=:--
1 • 3 • 5 • • • ( 2 k- 1 ) zk + 1/2 -
-
e-zy212y 2k + 1 dy = 0
b) Muestre que para enteros m 2: O,
foc -oo
2
e-Y 12y2m dy =.[1f
y
8. Sea
hn(t)
=
1 • 3 • 5 • • • ( 2 m- l ) 2m
=
( 2 m) ! ,j1t m!22 m
n ..¡ne- il. El área bajo la gráfica de hn(t) es ,fit y para toda E > O, hn(t)
� O uniformemente fuera de ]- E, E[. Tal sucesión es llamada una sucesión aproximante a o. Véase la figura 7. 2 .6.
J:: g(t)hn(t) dt L"' g(t)hn(t) dt
a) Muestre que si g(t) es continua y O < N < oo, entonces conformen � oo. b) Muestre que si g(t) es continua y acotada, entonces conformen � oc.
"'
� �
g(O)['if g(O) [1t
9. La expansión
fue discutida en· el ejemplo 7. 2. 2. Calcule Sil O) y S5( 1 0) numéricamente y encuentre una cota superior para los errores respectivos. Discuta cómo cambian los errores en Sn(x) conformen y x crecen. Por ejemplo, para una x dada, ¿se reducen los errores si to mamosn muy grande?
483
y
Figura. 7.2.6. Sucesión aproximante a B. 10. Bosquej e la demostración del teorema generalizado del descenso más pronunciado (7.2.9) usando el ejercicio 8. 11. Encuentre una expansión asintótica para
/(z)
=
f_�
e-•Y212 sen y2
dy
(Asuma que z --+ oo, z > 0.) 12. Muestre que si j(z) = O(cp(z)) y g(z) = o(h(z)), entoncesj(z)g(z) = o(!p(z)h(z)). 13. Encuentre la trayectoria del descenso más pronunciado a través de t0 = O si h(t)
14.
(Tome z real, z > 0.) Demuestre que
mostrando que
J
e
e-Y2
dy ,[n. donde C es =
f1
f
e
e-y2
dy
=
f
oo
la línea a 45°, z
-oo
e-y2
=
t +
it con
- oo
=
cos
< t <
t. oo
dy
(Sugerencia. Muestre que e-1;2 d� --+ O conforme x --+ que une a x con x + ix o use bl ejemplo resuelto 4.3. 1 7 .)
oo,
donde 'Yx es la línea vertical
15. Repita el ejercicio 13 pero bajo la suposición que z está en el eje i maginario positivo . 16. Muestre que el primer término en el teorema de Watson puede ser obtenido como un caso 17.
especial del teorema generalizado del descenso más pronunciado, si g ;:: O en el eje real. Encuentre la fórmula asintótica para j cuando la trayectoria encontrada en el ejercicio
1 3 es usada en el teorema del descenso más pronunciado.
18. Use
el teorema del descenso más pronunciado para obtener la fórmula asintótica para /
usando la trayectoria y que se obtuvo en el ejemplo resuelto 7 .2. 1 9.
19. Encuentre la fórmula asintótica para/ cuando la trayectoria y encontrada en el ejercicio 1 5 es uti lizada en el teorema del descenso más pronunciado.
7.3. LA FÓRMULA DE STIRLING Y LAS FUNCIONES DE BESSEL En esta sección se aplicará la fórmula del descenso más pronunciado para de
r(z). Se desarrollarán también Bessel Jiz), que están definidas
mostrar la fórmula de Stirling para la función gama algunas de las propiedades de las funciones de
484
CAP. 7. MÉTODOS ASI NTÓTICOS
para n = . . . , -1, O 1 , . . . , y se usará el método de la fase estacionaria para obtener una fórmula asintótica para estas funciones. Fórmula de Stirling
Fórmula de Stirling 7.3.1
(1) conforme z �
oo
en el eje real positivo.
Observación. Una extensión de la demostración dada aquí muestra que este re sultado también se satisface para -x/2 + o ::;; arg z ::;; rc/2 o, para toda o > O (véase la figura 7.3.1). -
Figura 7.3.1 . La reg ión de val idez para la fórmula de Sti rli ng.
Demostración. Recuerde, de
la fórmula 12 en la tabla 7 . 1 .1, que para Re z > O,
tenemos la integral de Euler r(z)
=
f:
e-t�z - l dt
Hemos estado preocupados en el caso en el que z es real y positivo. Queremos reescribir la integral de tal manera que se pueda aplicar el teorema del descenso más pronunciado (7.2.8). Para hacer esto, hacemos el cambio de variable t = z't. Obtenemos
7.3. LA FÓRMULA DE STIRLING
485
Así, r(z + 1 )/zZ + 1 tiene la forma
fr
e z h
donde h(l:,) = log l:, - l:, y y es el eje real positivo, [0, oo[. Debemos comprobar las hipótesis (i) a la del método del descenso más pronunciado (7 .2.8) . Sea l:.o = 1 , claramente h(l:.o) = -1 , h' (l:,0) = O y h" (l:,0) � O; por ende, se satisfacen las hipótesis (i) y (ii) del método. También, h(l:,) es real sobre y, y en consecuencia (iii) es válida. Para demostrar (iv), sabemos que Re(zh(t)) = xh(t)tiene u n máximo si h(t) lo tiene. Pero h(t) tiene un máximo de - 1 a l:,0 = 1 sobre y (véase la figura 7.3.2). En consecuencia, (iv) se satisface. Por lo tanto, r(z
+
1) zz + 1 h(t)
1
= �So �-.
------
-4�
------
t
-1
Figura 7.3.2. L a gráfica de
Así, que r(z + 1 )
-
h(t)
=
log
t- t.
zZ + 1 12e-z ..fiir., como se requería.•
Si z = rei9 no fuera real, el eje x dejaría de ser la trayectoria de descenso más pronunciado y la trayectoria de integración tendría que ser deformada en tal trayec toria utilizando el teorema de Cauchy. Si se examina este método más cuidadosamente, uno encuentra que Jos prime ros términos son r(z + 1 )
-
�2xzZ + 1 12 e-z
(
1
+
1 1 -- + 288z2 1 2z
+
•
·
·
)
esto es, r(z + 1 )
=
[
J2iiz z + 1 12 e-z 1
+
1 1 _- + + 288z2 1 2z
o(-•-)] z3
(2)
486
CAP. 7. MÉTODOS ASINTÓTICOS
Sin embargo. cuando resolvemos problemas particulares, usualmente encon tramos que el primer término es el más importante. e-x,r - 1 12(21t) 1 12, mencionado Puesto que r(z + 1 ) = z r(z), obtenemos r(x) anteriormente. -
Funciones de Bessel En el resto de esta sección se incluirá una breve discusión de algunas propie dades básicas de las funciones de Bessel y se describirá una forma en l a que se puede aplicar el método de la fase estacionaria para obtener una fórmula asintótica. Las funciones de Bessel (cuyas propiedades principales se enlistan en la tabla 7.3. 1 ), son estudiadas porque ellas surgen de manera natural en las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales, tales como la ecuación de Laplace, cuan do estas ecuaciones son expresadas en términos de coordenadas cilíndricas. Las funciones de Bessel se pueden definir de diferentes maneras. Encontramos que la siguiente definición es conveniente. Tabla 7.3.1. Resumen de las propiedades de las funciones de Bessel.
l . liz) = _!.._
Jx
1t o
cos (n9 - z sen 9) d9, donde n es un entero.
2. lln(z)l s; 1 para z real. ( l )i'zn + 2k ,n 2n + 2kK!(n + k) !
� O.
4. Jn e s entera y tiene un cero de orden n en z = O; 10(0) = l . n Jn(z) = (- l ) 1-n(z) .
5.
6. Ecuación de Bessel:
d_ 2J� l � n- + _ _ dz2
10. Jn(z)
-
.Jf- (
cos z -
z
dz
+
(
)
t - -n2Jn = 0 z2
'; -J-)conforme z
�
oo,
z real y mayor que cero.
7.3 . LA FÓRMULA D E STI R L I N G e
Definición 7.3.2. Sea z
487
C fijo y considere la funci6n f(�) = ez(/; -1 //;)12
Ex:panda f(�) en una serie de Laurent alrededor de O. El coeficiente de �n, donde n es positivo o negativo, es denotado por Jn(z) y es llamado la función de Bessel de orden n , llamamos a ez
(3)
n = - oo
De la fórmul a para los coeficientes de una expansión de Laurent (véase el teorema
3.3 . 1 ), vemos que
Jn(z)
=
_1_. 21tl
f �-n -lez
donde y es cualquier círculo alrededor de
O.
d�
Si utilizamos el círculo unitario �
=
y escribimos la integral explícitamente, obtenemos
Jn(z)
12" e-(n " . 1 "21t Jo -- 1 - --;- f"o =
_1_ 21t
+
O
e •z sen
_
-
l)i9eiz sen9ei9 de e
- n r·e de + 1 21t
cos (ne
Aun cuando
( 1 0),
ción
7.3.3.
__
lt Jo
n e-iz sen 9 + i9 de
- z sen e) de
(4)
estará bien definida para valores no enteros de n en la ecua
la ecuación (4) es válida únicamente si n es un entero. La ecuación (4)
muestra que gura
Jn(z)
ei9
Lln(z)l:5: 1
para
z real. Las gráficas de J0(x) y J1 (x) se muestran en l a fi
Enseguida mostraremos que
Jn(z) es entera y se describirá un método para en
contrar su serie de potencias. Para llevar a cabo estas faenas, es conveniente hacer el cambio de variables �
.-
2r,1z obteniendo, para cada z fija,
1 Jn(z) = _ 21tl.
( (�)n r,-n - 1 f 2 y
exp
�-
)
_E_ 4�
Al escribir la exponencial como una serie de potencias da
exp
z4 z2 -z2 ) (� = 1 -� + 2•
(4�)
2
-•••
d�
(5)
488
Figura 7.3.3. Las funciones de Bessel J0(x), }1 {x). Esta serie converge uniformemente en 1; sobre y (¿por qué?), así que podemos integrar la ecuación (5) término a término ( véase el teorema 3. 1 .9) y obtener
n Si n � O, el residuo de er.¡¡; + k + tanto,
=
[-
n z z nn !
1
1
en
z2 22 • l (n + 1)
1; = O es 1/(n + k)!
+
(¿por qué?) y, por lo
....,.-...- ------- ]
z4 24 • 1 • 2(n + 1 )(n + 2)
Así, Jn(z) es entero para n � O y tiene un O de orden para n � O, uno encuentra que
n
(6)
en z = O. Similarmente,
n (- 1 )k - nz - + 2k Jn(z) = L n k k = O z - + 2 (k - n)!k! "'
-----
.
• • •
(7)
(véase el ejercicio 1 1 ) Se sigue que, para n � O,
(8)
La relación de las funciones de Bessel con las ecuaciones diferenciales es la siguiente: Jn( z) es una solución de la ecuación de Bessel:
d 2Jn di.2
+
1 dJn z dz
(
)
+ 1 - � Jn = 0 z2
(9)
La ecuación (9) se obtiene al diferenciar la ecuación (4) o la ecuación (5) para Jn (z), e i nsertar el resultado en las ecuaciones de Bessel (véase el ejercicio 1). Ob serve que Jn y J satisfacen la ecuación (9).
-n
7.3. LA
FÓRMULA
DE
STI RLI N G
489
Si n � O pero n es u n entero, podemos todavía hacer que J/z) tenga sentido en l a ecuación (6) al hacer
( l O) Algunas identidades básicas se pueden obtener de las siguientes relaciones:
si
z
=F
O
(11)
Esto puede demostrarse directamente al diferenciar la serie de potencias. (La diferenciación término a término es válida, por supuesto (véanse las secciones 3. 1 y 3.2). Se le pide al estudiante que establezca tal demostración en e l ejercicio 4. En la identidad ( 1 1 ), diferenciamos z-nJ/z) para obtener
( 1 2) Escribiendo -n en lugar de n, llegamos a
esto es,
( 1 3) Combinando las ecuaciones
( 12) y ( 1 3), obtenemos ( 1 4)
Las relaciones ( 1 1 ) , ( 1 2) y ( 1 4) son llamadas las relaciones de recurrencia para las funciones de Bessel. Por ejemplo, si conocemos Jn y Jn - 1 ' la ecuación ( 14) determina recursivamente a Jn + 1 • Nuestro estudio se concluye con la fórmula asintótica para Jn(z). Fórmula asintótica para las funciones de Bessel 7.3.3. La
satisface para cualquier entero n :
siguiente fórmula se
490 ( 1 5)
conforme z larg zl < 1t.)
� oo,
z real y mayor que O. (La ecuación ( 1 5) es también válida para
Demostración. Utilizamos el teorema de la fase estacionaria (7.2. 1 0) y la representación
obtenida en la ecuación (4) . Primero vamos a considerar la función
f(z) =
t
e íz sen 9 - ni9 d9
En la notación del teorema de la fase estacionaria, h(t) Claramente h es analítica y real para t real, y g es C1•
=
sen t y g(t) = e-in t.
El intervalo [a, b] es [0, 1t], y h'(t) = cos t se anula únicamente en t0 = rt/2. En este punto, h"(t0) = -sen (1t/2) = -1 < O. Así, usamos el signo menos en la fórmula asintótica paraf. lo que da
J(z) -
e iz ff'lie-1ti14 •
{Z
Similarmente, si hacemos g(z) g(z)
-
=
e -ni1tl2 =
J� e-iz
�
sen
1t
� ei
z
( 17)
9 + in9 d9, obtenemos
e-i(z - n7t/2 - lt/4)
( 1 8)
(La demostración de esto se pide en el ejercicio 9.) Sumando las ecuaciones ( 1 7) y ( 1 8), obtenemos, de la ecuación { 16),
n(z)
J
( ) P!-1t 1
-
--
21t
-
z
•
2
cos
(z -
n1t --
2
1t -
)
-
4
que es el resultado deseado. • En consecuencia, para x grande, Jn(x) se comporta como donde 9 es un cierto ángulo llamado de desfasamiento.
� 2/1tx [cos (x - 9)],
491
Ejercicios l. Demuestre que Jn(z) satisface la ecuación de Bessel (fórmula 6 de la tabla 2. Muestre que
r(z y que
r(z
3. 4. S. 6.
7. 8.
9.
+ 1)
+
[ 1+ o(+)J [ 1 + -12z1 - + o(-1-)] 0.) n.
7.3.1).
} ) = .fiiiz Z + lf2e-z
1 = .J2iizz + 12e-z
z2
conforme z � oo. (z es real y mayor que Demuestre que J ' 0(z) = -J1(z), utilizando la ecuación (4). n Demuestre que d[z - nJn (z)]ldz = -z - Jn + 1(z), para toda Demuestre que J (z) = J '�(z) - J'0(z)/z. 2 Use las relaciones de recurrencia para las funciones de Bessel y el teorema de Rolle del cálculo, para mostrar que entre dos ceros positivos, reales y consecutivos de J,(x), hay exactamente u n O de Jn + 1 (x). Muestre que J,.(x) y Jn + 1(x) no tienen raíces comunes. Demuestre que J1 1 (z) = �217tz (sen z), utilizando la definición de J,(z) para n no entera, 2 dada por la ecuación Verifique que la expansión asintótica para Jn (z) es consistente con la ecuación de Bessel. Complete la demostración de que
(10).
mostrando que
f�
e-iz sen 9 + ni9 d6
_
�
e-i(z - n7t/2 - !f/4)
n n
(La función del lado izquierdo de la expresión es llamada unafu ció de Hankel.)
10. Verifique que cp(x) = Jn(kx) es una solución de
d --
dx
11.
(xcp')
+(
k2x -
n2 )
--
x
cj>(x) = O
con cp(O) = O, cp(a) = O, donde ka es cualquiera de los ceros de J,, Establezca las ecuaciones (7) y (8).
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7 1. Establezca la convergencia del producto infinito y evalúelo
1 ) ( 1 + + 2)1} -n-(n--
2. Establezca la convergencia del producto infinito y evalúe lo
n
#< O.
492
IT ( n2 + 3n + 2 ) n2 + 3n
1
3. Use el ejemplo resuelto
7 . l . l O para mostrar que
!2= (+)(+)(+)(-fu-)(4&)(�) . . . 4. Use el ejemplo resuelto 7 . 1 . 1 O para mostrar que
!3= 2(+)(+)(4:-)(it)(-f})(ig) . . . 5. ¿ Sobre qué regiones es convergente cada uno de los siguientes productos? a) 6.
00
ITO - z ") 1
00
Sea H = l:. 1 m n=
1/nm. Demuestre que log ro + z) = -yz +
00
L
n=2
--(-1 )" n
Hn z n
para lzl <
1
donde y es la constante de Euler.
J;
7. Se af(z) = eiz sen t sen2 t dt. Utilice el método de la fase estacionaria para dar una fórmu la asintótica paraj(z) conforme z � oo, z real y positivo. 8. Demuestre que oo (-l )n + Q(z) r(z) 1: n = O nl(z + n)
=
----
donde Q(z) es entera. Además, muestre que
3 9. Desarrolle e- ' dt en términos de la función gama. (Sugerencia. Haga el cambio de variable y = t3.)
J;
10. Muestre que ldkJiz)ldzk¡ !S; 11. Demuestre que
..
1 , k = O, 1 , 2, . , para cualquier n, z real.
r(-j- + iy) � O conforme y � oo.
12. Muestre que lím Jn (x) = O x ->oo
f:� e-'Y212 cos y2 dy (conforme z � oo, z > 0). Demuestre que x nJn(x) = fo t nJn _ 1 (t) dt, n = 1, 2, . . .
13. Obtenga una expansión asintótica para 14.
15. Demuestre que Jn(iy) - i"eYN 2ny (conforme y � oo, y > 0).
EJERCICIOS D E REPASO DEl CAPÍTULO 7 16. En este ejerc i c i o se le pide desarrollar algunas propiedades de las
Legendre (véase el ejercicio de repaso 34, capítulo 3).
493
funciones de
Estas fu nciones se encuentran en
el estudio de las ecuaciones diferenciales (específicamente en la ecuación de Laplace en tres dimensiones, la cual describe una amplia gama de fenómenos físicos), cuando se utilizan coordenadas esféricas. 2
a)
Para -1 <
x < 1 , hágase P,(x) =
----
2n + 11ti
J
dt
y
donde y es el contorno que se muestra en la figura 7.R. l . A l d i ferenciar bajo el signo de la integral (véase el ejemplo resuelto 2.4. 1 5), muestre que P,(x) resuelve la
ecuación de Legendre: (l
-
x2)y" -2xy' + n(n
1 )y = O
1
X
-1
+
y
Figura 7.R.1 . El contorno para la fu nción de Legendre.
b)
e)
Para un entero
n, deduzca lafórmula de Rodrígues:
Esta fórmula da una extensión analítica obvia de Muestre que
P (x) = n
Pn(z).
dn 1 -n ! dtn (t2 - 2tx + 1 )112 1
--
------
t=O
y deduzca del teorema de Taylor que
d)
Desarrolle relaciones de recurrencia para los coeficientes de las soluciones de la ecuación de Legendre. Luego use estas relaciones para mostrar que las soluciones enteras deben ser de la forma
2
Consulte, por ejemplo, G.F.D. Duff y D. Naylor,
Nueva York, Wiley, I965.
Dijferential Equations of Applied Mathematics,
494
'JI(x) o de l a forma
p(x)
00
=
L a�2k,
lc = O 00
=
k L bkx2 + 1 , k=O
n par
n impar
ak y bk se anulan para k
Muestre que éstos son en realidad polinomios, esto es, que grande.
e) Utilice e) para mostrar que nP,(x) = (2n - 1 )xP, _ 1 (x) - (n f) Demuestre que P0(x) = l , P1(x) = x, Pix) = (3x2 - 1)/2. g) Muestre que
1 )P, _ 2(x).
n ,., m n =m (Sugerencia: utilice
17.
b) para demostrar el caso en el que n
mostrar el caso en el que n
Obtenga la fórmula asintótica parte b) del ejercicio
1 6.
= m.)
P,(z)
-
""' m; utilice e) para de
[ (2n)!/2"(n!Plz" conforme z
�
oo,
usando la
La transformada de Laplace y aplicaciones Este capítulo final da una introducción a la transformada de Laplace y a algunas de sus aplicaciones. La primera sección introduce dos propiedades claves que hacen a la transformada de Laplace útil para las ecuaciones diferenciales: Primero, ésta se comporta bien con respecto de la diferenciación, y segundo, se puede recuperar una función si se conoce su transformada de Laplace. La cercanamente relacionada trans formada de Fourier también disfruta de estas propiedades. Esto se discutió en la sección 4.3; véase también el complemento a la sección
8.3. 8.2 se desarrollan técnicas para invertir la transformada de La place; en la sección 8.3 se consideran algunas aplicaciones de la transformada de En la sección
Laplace a las ecuaciones diferenciales ordinarias.
8.1. PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE La transformada de Laplace es una poderosa herramienta que es utilizada tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Es importante, por lo tanto, tener una buena comprensión tanto de su teoría básica como de su utilidad. Considere una función (de valores reales o complejos)f(t) definida en
j
] O, oo[. La transformada de
Laplace def como la función de una variable compleja z dada por
(1)
!estará bien definida para aquellas C para las cuales la integral converja. Otras notaciones comunes para l una son ;;E (f) o simplemente F. z E
495
496
CAP.
8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Por razones técnicas, será conveniente imponer una leve restricción a las fun ciones que consideremos. Vamos a querer que f: [O. oo[ � e (o R) sea de orden exponencial. Esto significa que debe haber constantes A > O, B R. tales que
E
lf(t)l :::;; AetB
(2}
para t � O. En otras palabras,f no debe crecer demasiado rápido; por ejemplo, cual quier polinomio satisface esta condición (¿por qué?). Se supondrá que todas las funciones en el resto de este capítulo son de orden exponencial. También se supon drá que en cualquier i ntervalo finito [O. a], f es acotada e i ntegrable. (Si, por ejemplo, suponemos que jes continua a trozos. esta última condición se satisface.)
Abscisa de convergencia El primer resultado importante concierne a la naturaleza del conjunto en el
cual f (z) está definida y es analítica.
Teorema de convergencia para las transformadas de Laplace 8.1 . 1 . Sea f:
[0, oo[ � e (o R) de orden exponencial y sea f(z) =
J:
e-zt f(t) dt
{
Existe un único número a,-oo :::;; a < oo, tal que
ooI O
e-ztf(t) dt
converge si Re z > a diverge si Re z < a
[
Más aún, fes analitica en el conjunto A = z IRe z d - f(z) = dz
fooo
para Re z > a. El número a es llamado al número p como p = inf
{B E
(3)
>
a y tenemos
j
(4)
te-21f(t) dt
la
abscisa de convergencia, y si definimos
Rl existe una A > O tal que l f(t}l :::;; Ae81
J
(5)
entonces a :::;; p. El conjunto
{z ! Re z > a } es llamado el semiplano de convergencia. (Si a =
-oo, éste es todo C.) Véase la figura 8. 1 . 1 . En general, es difíci l decir cuando j(z) convergerá en la línea vertical Re z = a.
8. 1 .
PROPIEDADES BÁSICAS
497
La demostración de este teorema y resultados de convergencia más detallados, se dan en el suplemento al final de esta sección. para o p(f) para p. Si hay algún peligro de confusión, podemos escribir Una manera conveniente de calcu lar se describe en los ejemplos resueltos
cr(f)
cr(j)
cr
8. 1 . 1 2 y 8. 1 . 1 3 . El mapeo ¡ .- f es claramente lineal en el sentido de que (af +bg)
al+ bg, válido para Re z > máx [cr(j), cr(g)]. Es también cierto que el mapeo es uno a uno; esto es, j g implica que f g; una función
=
=
Laplace de a lo más una función. De manera precisa: y
]diverge
1
!converge
Figura 8.1 . 1 . Semíplano de convergencia de l a transformada de laplace. Teorema de unicidad para las transformadas de Laplace
8.1.2. Suponga que f
f(z) h(z) para Re z > y0, para alguna y0. Entonces, f(t) [0, oo[.
h son continuas y que h(t) para toda t e
y
=
=
Este teorema no es tan simple como parece. No hay suficiente maquinaria para dar una demostración completa, pero al final de esta sección se dan las ideas prin cipales de una demostración. Usando las ideas de la teoría de integración, podemos extender el resultado del teorema de unicidad a funciones discontinuas también, pero tendríamos que modificar lo que queremos decir con "igualdad de funciones". Por ejemplo, si f(t) cambia en un solo valor de t, f no cambia. El teorema de unicidad nos permite dar una respuesta significativa al proble-
g
j g",
ma, "Dada (z), encontrarf(t) tal que = porque resulta claro que puede haber a lo más una de tales f (continua). Llamaremos a f la transformada de Laplace inversa de g: en la siguiente sección se consideran los métodos para encontrar a f cuando está dada.
g
Transformadas de Laplace de derivadas La
principal utilidad de la transformada de Laplace es que nos permite trans formar problemas diferenciales en problemas algebraicos. Cuando estos últimos han sido resueltos, las respuestas a los problemas originales se obtienen usando la transformada de Laplace inversa. El procedimiento se basa en el siguiente teorema.
498
CAP.
8.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Proposición 8.1.3. Sea f(t) continua en [0, oo[ y C1 a trozos, esto es, continuamente diferenciable a trozos. Entonces, para Re z > p (como se definió en el teorema de convergencia (8. 1 . 1 )) ,
( )
-
df
dt
(z) = zf(z) - f(O)
(6)
Demostración. Por definición,
( ) f
df d f (z) = "' e-zt (t) dt dt dt o
Integrando por partes, obtenemos
lím
fo ---> co
(
e-zt f(t)
10
O
) f"' +
O
ze -ztf(t) dt
Por la definición de p, Je-81•· j(t0)1 :5 A para alguna B < Re z. Así, obtener le-z1• j(t0)1 = le-
•
•
Por lo tanto, obtenemos -j(O)
+
zj(z), como se aseguró .•
Observe que hemos demostrado que (dfldt)-(z) existe para Re z > p, aun cuando su abscisa de convergencia podría ser menor que p . S i aplicamos l a ecuación (6) a d2j!dfl, obtenemos
( )
d2j -
dt2
(z) = z2J(z) - zj(O) -
df (O) dt
(7)
La ecuación (4) del teorema de convergencia (8. 1 . 1 ) es la fórmula de relación
g(z) = dj(z)/dz, donde g(t) = - tf (t) . En el ejercicio 1 9 se le pide al estudiante que
demuestre la siguiente proposición, la cual contiene una fórmula s i m ilar para i ntegrales.
Proposición 8.1.4.
J:
Sea g(t) =
f('t) d't. Entonces, para Re z > máx [0, p{t)],
(8)
Los teoremas de traslación y de convolución En la tabla 8 . 1 . 1 , al final de esta sección, se enlistan algunas fórmulas que son
útiles para calcular j(z). Las demostraciones de estas fórmulas son directas y están .
8.1 . PROPIEDADES BÁSICAS
499
incluidas en los ejercicios y ejemplos. Sin embargo, tres de estas fórmulas son lo suficientemente importantes para que se dé una explicación por separado, lo cual se hace en los siguientes tres teoremas. Primer teorema de traslación 8.1.5. Fije a para Re z > a(f) - Re a, tenemos
e
E
y sea g(t)
=
e-at f(t). Entonces,
(9) Demostración. Por definición
lo cual es válido si Re (z + a)> a.• Segundo teorema de traslación 8.1.6. Sea
H(t)
si t < O =
{:
si t 2: O
(Ésta es llamada lafunción de saho unitario o de Heaviside.) También, sean a � O y g(t) = f(t - a)H(t - a); esto es
g(t)
=
si t < a
{o
f(t - a)
si t 2: a
(véase la figura 8. 1 . 1 2). Entonces, para Re z >
g (t)
.f(t)
a
a
Figura 8.1 .2. La función g en e l segundo teorema de desfasamiento.
CAP. 8. lA TRANSFORMADA DE lAPlACE
500
Demostración. Por definición y puesto que g
=
O para O ::;; t < a,
Haciendo 't = t - a, obtenemos
De la ecuación (1 0) podemos deducir que si a � O y g(t) =f(t)H(t - a), en tonces g(z) = e-az'F(z), donde F(t) = f(t + a), t � O (véase la figura 8. 1 .3). g
f
F
a
Figura 8.1 .3. F se
obtiene de f al trasladar y truncar.
La convolución de las funcionesf(t) y g(t) está definida como (f * g)(t) =
J:f(t - 't) g('t) d't para t •
�O
(11)
donde hacemosf(t) = O si t < O. (Así, la integración es realmente sólo desde O hasta t). La operación de convolución está relacionada con las transformadas de Laplace de la siguiente manera. Teorema de convolución 8.1.7. Tenemos f *
siempre que Re
z > máx
[ p(f) , p(g}] .
g = g * f, y
(12)
Brevemente, la ecuación (12) establece que la transformada de Laplace de una convolución de dos funciones es el producto de sus transformadas. Es precisamente esta propiedad la que hace de la convolución una operación de interés para nosotros.
8.1 .
Demostración.
PROPIEDADES BÁSICAS
501
Tenemos
Jooo
=
e -z'te -z (t - -r )
roo f(t - 't)g('t) d't dt Jo
Para Re z > máx [p(f), p(g)J. Las integrales de flz) y g(z) convergen absolu tamente, así que podemos intercambiar el orden de integración 1 y obtener así
Si hacemos s
= t - 't y recordamos quef(s) = O si s < O, obtenemos
I:
e-zt flz)g('t) d't
= Jcz) g(z) •
Al cambiar las variables no es difícil verificar que f * g = g * f, pero tal verifi cación también se sigue de lo que hemos hecho sify g son continuas. Tenemos
=1· = · f=
(f * g)(g * f)-. En consecuenci a, (f * g -g * f)g g el teorema de unicidad (8. 1 .2), f * g - g * f = o.•
= O, así que por
Demostraciones técnicas de los teoremas Para demostrar el teorema de convergencia (8. 1 . 1 ), vamos a utilizar el siguien te importante resultado.
Suponga que f(z) =f:e < rt/2 y defina el conjunto
Lema 8.1.8.
S9 (véase la figura 1
-
z1
f(t) dt converge para
z = zo- Asuma que O .59
= \z tal que targ. (z - zo)l :5 9)
8.1.4). Entonces f converge uniformemente en S9.
Este es un teorema concerniente a la teoría de integración del cálculo avanzado. Véase, por
ejemplo, J. Marsden, Elementary Classical Analysis Nueva York, W. H. Freeman & Company, 1974, cap. 9.
y
502
X
Figura 8 . 1 .4. Sector de convergencia uniforme.
h ---? O conforme x ---? oo. Debemos mostrar que para toda E > O, existe una t0 tal que t" t2 � t0 Demostración.
Sea h(x) = J-�e-zi f(t) dt-Jo e-zif(t) dt, de tal manera que
implica que
para toda z e S9. Se sigue que f� e-Zif(t)dt converge uniformemente en S9 conforme
x ---?
oo, por el criterio de Cauchy. Haremos uso de la función Escobase
h(x)
como sigue.
Si integramos por partes, obtenemos (como el estudiante puede fácilmente ve rificar)
Dada e > O, escójase Entonces, para t2 > t0,
ya que
t0 tal que lh(t)l
<
e/3 y
lh(t)l
<
e'= e/(6 sec
9) si t � t0•
le-
�
Debemos todavía estimar el último término:
503
x
donde = Re y obtenemos
z y x0 = Re Zo· Si z = z0, este término es O. Si z =F Zo• entonces x =F x0,
(véase la figura 8. 1 .5). Observe que la restricción sec = 11 cos sea finito.
e
e
O � e < 7t/2 es necesaria para que
sec
1)> < sec e
Figura 8.1.5. Algo de geometría
en la región
59•
Combinando las desigualdades precedentes, obtenemos
si
t1 , t2 ;::: t0 para toda z
E
Se, completando así la demostración del lema....
Demostración del teorema de convergencia. Sea a = inf E R 1 e-xr converge , donde inf quiere decir "la máxima cota inferior". Notamos, del lema
)
[x
f
f0"'
j(t) dt
8. 1 .8, que si converge, entonces, más específicamente ftz) converge si Re Re Zo· puesto que z está en alguna Se para Zo (¿por qué?).
z>
z > a. Por la definición de a, existe una x0 < Re tal que J;e-x.r¡(t) dt converge. Por lo tanto, f
z
504
CAP.
8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
tanto, decir que cr � x es una contradicción. En consecuencia, /(z) no converge si Re z < cr. Enseguida, utilizando el teorema de convergencia analítica, demostramos que Jes analítica en (z 1 Re z > crj . Sea g/z) = f� e-z t¡(t) dt, entonces, g/z) � f
+ l 1 1
---� X ----�0�'-+�---�Figura 8.1 .6. Cad a d isco está en 59 para a l g una e, o � e < rr/2.
Así, por el teorema de convergencia analítica (3. 1 .8)Jes analítica en (z IRe z > cr) y (j)'(z) = -
J:
te-zt¡(t) dt
Sabemos automáticamente que esta representación integral para la derivada de /convergerá para Re z > cr, así como lo harán todas las derivadas literadas. Resta mostrar que cr � p. Para demostrar esto únicamente necesitamos demos trar que cr � B si lf(t) l �Ae81• Esto se cumplirá, por lo que hemos demostrado, si flz) converge siempre que Re z > B. En efecto, vamos a demostrar la convergencia ab soluta. Observe que le-Zfj(t)l = le-
Proposición 8.1.9. Suponga que f es continua y que f(z) para alguna y0. Entonces f(t) para toda t e [0, oo[.
=O
= O siempre que Re z > y0,
El lema crucial que usamos para demostrarla es el siguiente. Lema 8.1. 10. Sea
O,
f continua en [0, 1 , 2, . . . Entonces f = O.
1] y suponga que n tDf(t) dt = o para toda n =
8 . 1 . PROP I E DA DES BÁSICAS
Esta afirmación es razonable ya que se sigue que quier polinomio P.
505
f� P(t)f( t) dt = O para cual
La demostración precisa depende del teorema de aproxima ción de Weierstrass, el cual establece que cualquier función conti nua es el límite uniforme de pol i nom ios; véase, por ejemplo, J. Marsden, Elementa ry Classical Analysis, Nueva York, W.H. Freeman and Company, 1 974, cap. 5. Por este teore ma, obtenemos que ff.g(t)f(t) dt = O para cualquier g continua. El resultado se sigue Demostración.
al tomar g = f Yo aplicar el hecho de que si la integral de una función continua no negativa es cero entonces la función es cero. T Demostración del teorema
flz) =
8.1.9. S uponga q ue
J: e-zr¡(t) dt = O
siempre que Re z > a. Fije x0 > y0 real y hágase s = e-t. Al cambiar variables para expresar a las integrales en términos de s, obtenemos, en z = x0 + n para n = O, 1 , 2, . . . , n
donde h(s)
= e -V +'J(t). Así, por el
= O, 1 , 2, . . .
lema 8. 1 . 1 0, h y, en consecuencia/, es cero.•
Observación. Es útil notar que flz) � O conforme Re z � oo. Esto se sigue de los argumentos utilizados para demostrar el teorema 8 . 1 . 1 (véase el ejercicio de repaso 10) . Tabla
8.1.1. Algunas transformadas de Laplace comunes.
J:
Definición: f
l . g(z) = 2.
3. 4.
e-«J(t) dt
d f(z) donde g(t) = tf(t). dz
(af + bg)- = a]+ bg.
( ) =df dt
(z)
zj(z) -/(0). (Asuma quejes C1 a tramos.)
f'
1 g(z ) = -f(z) donde g (t) = /('t) d-r. z o
5. g(z) =f(z + a) donde g(t) = e-a'f(t). 6. g(z) = e-az}(z ) donde a >O y g(t) =
{0
f(t - a)
t
506 Tabla 8.1.1. (Continuación.) 7
·
-
g(z) = e-azF(z) donde a :2': O, F(t) =f(t + a) y g(t) =
8. (/
*
g>- (z) = l
*
g)(t) =
I:
�
(t)
O�t
f(t - t)g(t) dt .
9. Si /(t) = e-at, entonces f(z) = -- y cr(/) = -Re a.
10. Paraf(t) = cos at,f(z) = l l . Si /(t) = sen at,f(z) =
2
2
z
1 z +a
z +a a
z +a
2
2
y cr(f) = 11m al.
y cr(/) = 11m al.
r(a + 1 ) . 1 2. SI/(t) = t a, a > -1 . /(z) = zU 1 Y cr(/) = Ü' +
1 1 3. Si/(t) = l , f
Ejemplos resueltos 8. 1 . 1 1 . Demuestre la fórmula 9 en la tabla 8 . 1 . 1 y encuentre cr(f) en ese caso. Solución. Por definición 00
l e- (a + z)t = -o a+z z+a
e- O, ya que Je - -Re a.
NOTA. La fórmula para Jes válida únicamente para Re z > -Re a, aunque lcoincida
allí con una función que sea analítica excepto en z = -a. Esta situación es similar a aquella de la función gama (véase la fórmula 1 2 de la tabla 7 . 1 . 1 ). Finalmente, mostramos que para f(t) = e-at, cr(/) = -Re a. Acabamos de mostrar que cr(/) � -Re a. Pero la integral diverge en z = a, así que cr(/) :2': -Re a, y, en con secuencia cr(/) = -Re a. En el caso en el que a = O, este ejemplo especializa la fórmula 1 3 de la tabla 8. 1 . 1 .
8. 1 . 12. Suponga que hemos calculado f(z) y se ha encontrado que ésta converge para Re z > y. Suponga también que f coincide con una función analítica que tiene la línea Re z = y. Muestre que cr (f) = y.
un polo
sobre
Solución. Sabemos que cr(/) � y, por la propiedad básica de cr en el teorema de con
vergencia. También, puesto que Jes analítica para Re z > cr, no puede haber polos en la región !z 1 Re z > cr] . Si cr(/) fuera < y, habría un polo en esta región. Por lo tanto, cr(/) = y (véase la figura 8. 1 .7).
507 y
t
r�
>,
i'
·'·····.·.· · .
.
.
���� · convergencia
.
f 1 t
P ( olos def �.•
®
.
••
r· � cr r•������
--------
1 1
. "
--·
x
¡· r.:. 1 • 1 1 1 1
Figura 8.1 .7. Local ización de los polos de 7. 8. 1 . 1 3 .
Sea f(t) = cosh t. Calcule f y cr(f). Solución. f(t) = cosh t = (e' + e -1)/2. Así, por las fórmulas 2 y 9 de la tabla 8. 1 . 1 , 1 /(z) = -
2
z ( -z--1 1 ) ..::.. +2 _--:z - = -z-;; 1
+ 1
1
Aquí cr(/) = 1 , por el ejemplo resuelto 8. 1. 12; cr(e') = l y cr(e- 1) = - 1 , así que cr(f) :5; 1 , pero no puede ser < 1 ya que f tiene un polo en z = l .
Ejercicios En los ejercicios del 1 al 9 calcule la transformada de Laplace de f(t) y encuentre la abscisa de convergencia. l.
f(t) = t2 + 2 f(t) = senh t
2. 3. f(t) = t + e-1+ sen
4. f(t) =
S. f(t) =
{
o
o :5; r :5; 1
o
t� 2
l
(t +
{
t
1< 1 < 2
1 )n, n un entero positivo.
6. f(t) = sen t O :5; t :5; 1t t > 1t o 7. f(t) = t sen at 8. f(t) = t senh at
508
CAP. 8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 9. f(t) = t cos at
10. Utilice los teoremas de traslación para mostrar lo siguiente:
a) Si f(t) =e-at cos bt, entonces z +a f(z) = (z + a)2 + b2 b) Si f(t) =e-atrn, entonces
flz) = r(n + 1 )
(z + a)n +l
¿A qué es igual cr(f) en cada caso? 1 1. 12. 13. 14. 15.
Demuestre la fórmula 1 O de la tabla 8. 1 . 1 Demuestre la fórmula 1 1 de la tabla 8. 1 . 1 Demuestre la fórmula 1 2 de la tabla 8. 1 . 1 Demuestre la fórmula 1 3 de la tabla 8. 1 . 1 Suponga que fes periódica con periodo p (esto es,f(t + p) =f(t) para toda t � 0) . De muestre que p
f
0 e-zr¡(t)
1- e
dt
pz
es válida si Re z > O. (Sugerencia. Desarrollef(z) como una suma infinita.)
16. Utilice el ejercicio 1 5 para demostrar que
l 1- e- z f(z) =-· z l - e 2'
donde f(t) es como se ilustra en la figura 8. 1 .8.
f
1
¡...--;-!---,
r-1 1 1
Figura 8.1 .8. La fu nción de pulso unitario. 17. Sea g(t)
=
f'
o
.
e-s sen s ds. Calcule g(z). Calcule ](z) si f(t) = tg(t).
18. Seaf(t) = (sen at)lt. Muestre que ](z) =tan-1(a/z). 19. Demuestre la proposición 8. 1 .4. Primero establezca que p(g) :5: máx [0, p(f)].
8.2. FÓRMULA DE I NVERSIÓN COMPLEJA
20. Dé una demostración directa de que f * g
(8. 1 .7)).
=
g
*
509
f (véase el teorema de convolución
21. Seaf(t) = e-er, t � O. Muestre que cr(f) = -oo. 22. Con respecto del teorema de convergencia (8. l . l ) muestre que, en general, cr ofi p. (Sugerencia: Considerej(t) = e1 sen e' y muestre que cr = O , p = l .) ,
8.2. LA FÓRMULA DE INVERSIÓN COMPLEJA
Es importante poder calcular f(t) cuando se conoce f(z).Una fórmula general para tal cálculo, llamada la fórmula de inversión compleja, se establecerá en esta sección. También, usando las fórmulas de la tabla 8. 1 . 1 en forma inversa, podemos obtener un número de útiles técnicas alternativas. (Véanse los ejemplos resueltos 8.2.4 y 8.2.5.) Fórmula de inversión compleja
La demostración de la fórmula de inversión compleja se basa en muchos de los puntos principales que se desarrollaron en los primeros cuatro capítulos de este libro. Ésta debe ser vista como uno de los resultados clave de nuestro análisis de la transformada de Laplace. Fórmula de inversión compleja 8.2.1. Suponga que F(z) es analítica en e excepto para un número finito de singularidades asiladas y que F es analítica en el semiplano {z 1 Re z > crj . Suponga también que existen constantes positivas M, R y !3 tales que IF(z)l :::; M/zl� siempre que lzl � R; esto es cierto, por ejemplo, si F(z) = P(z)/Q(z) para polinomios P y Q con grado (Q) � 1 + grado (P). Para t � O, sea
f(t) = L (residuos de eztF(z) en cada una de sus singularidades en e} Entonces
(1)
f(z) = F (z) para Re z > cr.
Demostración. Sea a > cr y considere un rectángulo grande r con lados a lo largo de Re z = + x l ' Im z = y2 e lm z = -y 1 seleccionados lo suficientemente gran des para que las singularidades de F estén dentro de r y lzl > R en todo r. Divida
a r en una suma de dos trayectorias rectangulares y y y mediante una línea vertical a través de Re z = a. (Véase la figura 8.2. 1 .) La demostración de la fórmula de in versión compleja ( 1 ) puede también efectuarse usando un círculo grande en lugar del rectángulo r. De hecho, en el último parágrafo de la demostración, r es ligera mente deformado hasta tal círculo. Sin embargo, la trayectoria rectangular será útil en el corolario 8.2.2, en el cual éste juega un papel parecido al de la trayectoria rec tangular en la demostración de la proposición 4.3.4, concerniente a la evaluación de las transformadas de Fourier. Puesto que todas las singularidades de F están dentro de y, tenemos
J'Y
ez1F(z) dz = 21ti
L ( residuos de ez1F(z)}
=
21tif(t)
51 0
CAP.
8.
LA TRANSFORMADA OE LAPLACE
así que
(r e-zt r -> "" J o
2Ttij(z) = lím
[f
y
]
er.1F(�) d� dt = lím
r -> oo
f(
r e
y 1
!
1 1 1
Yz
!
�
tl !
/� - X¡ ¡ Singula�dades de F
1 1
a
¡a
�
�
t X¡
X
1
¡ Y¡
y
1 1 1
y r
figura 8.2.1 . r = y + y. Pudimos intercambiar el orden de in tegración porque ambas integrales están sobre intervalos finitos. Por lo tanto.
f
(�) d� (e<[, - z)r - 1 ) F 21tij(z) = lím r -> oo y � -z Con
z
z > a. el término e
fijo en el semi plano Re
tegrando converge
f
f
2rcij(z) = -
O y el in
F( ') d� = F(�) d� - { F(�) d� y �-z :y � - z J �-z
= 2rt iF(z) -
r
( F(l:.,) d� J r �- z
siempre que r sea lo suficientemente grande para que
{ F(�) d� Jr � - z
:5
f
r
M ld�l lzl�l� - zl
:5
z esté dentro de y. Finalmente,
2rt p M p�{p - R)
al escoger a r lo suficientemente grande de tal manera que esté fuera del círculo
=p
>
R
con todas las singularidades de
F(�)/(� - z)
1�1
dentro de este círculo y luego
8.2. FÓRMULA DE INVERSIÓN COMPLEJA
51 1
deformando r hasta el círculo. Esta última expresión se va a O conforme p � oo. Así, haciendo que r se expanda hasta oo, obtenemos z) = F(z). Con una elección adecuada de a esto se puede hacer para cualquier z en el semiplano Re z > cr.•
ft
El siguiente corolario de teorema y su demostración deben tomarse en cuenta. Corolario 8.2.2. Suponga que se satisfacen /as condiciones de la fórmula de inver sión compleja. Si F(z) es analítica para Re z > a y tiene una singularidad sobre la linea Re z = cr, entonces (i) la abscisa de convergencia de f es cr, y (ii)
f(t) =
1 . 2m
J
--
a + ioo
1 ez1F(z) dz = 21t a - i oo
f eo
- oc
.
e
(2)
para cualquier constante a > a. La primera integral se toma a lo largo de la línea vertical Re z = a y converge como una integral de Riemann impropia; la segunda integral se utiliza como una notación alternativa para la primera. Demostración
�
(i) La f rmula de la inversión compleja (8.2. 1 ) muestra que a (f) � � puesto
que f(z) converge para Re z > cr. Si cr(f) fuera < a, entonces f(z) sería analítica para Re z > a(f), por el teorema de convergencia (8. 1 . 1 ). Pero F tiene una singularidad en un punto z0 sobre la línea de Re z = cr y, por lo tanto, existe una sucesi n de puntos z. , z2, z3, . . . que converge a Zo• con F
�
(z,.) � oo. Puesto que f(z) = F(z) para Re z > cr, y ya que ambas son analíticas en una vecindad agujerada de Zo• éstas serían iguales en esa vecindad agujerada, por el principio de continuación analítica. Esto sig-
nificaría que f(z,.) � oo. Pero esto es imposible, ya que f(z) es analítica en Re z > cr(f). Así, cr(f) < cr no es posible. Debemos tener cr(f) = a. ezrF(z) dz. Esta (ii) De la fórmula de inversión compleja (8.2. 1 ), 2 1t if(t) = integral converge a la integral de la ecuación (2), exactamente como en la demostración de la proposición 4.3.4, conforme xl ' y 1 y y2 � oo. Puesto que y1 y y2 se van independientemente a oo, esto establece la convergencia de la integral impropia. (La situación aquí es rotada en 90° de aquella de la proposición 4.3.4.) • -
-
JY
En los ejemplos resueltos, deben verificarse todas las condiciones del teorema. Si no se satisfacen, la ecuación (2) paraf(t) puede no ser válida La ecuación ( 1 ) es algu nas veces más conveniente que la tabla 8. 1 . 1 para calcular las transformadas de Laplace inversas, ya que es sistemática y no requiere un trabajo de adivinación de cuál es la fórmula apropiada. Sin embargo, la tabla puede ser útil en los casos en los cuales no se satisfacen las hipótesis del teorema, o resulte inconveniente el verificarlas. Teorema de expansión de Heaviside Aplicamos ahora la fórmula de la inversión compleja para el caso en el que F(z) = P(z)/Q(z), donde P y Q son polinomios. Damos un caso simple aquí.
51 2
CAP. 8.
LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema de expansión de Heaviside 8.2.3. Sean P(z) y Q(z) polinomios, con grado Q 2: grado P + l . Suponga que los ceros de Q están localizados en los puntos Z p · · . , zm y que son polos simples. Entonces, la transformada de Laplace inversa de F(z) = P(z)/Q(z) está dada por
(3) a(f) = máx (Re z¡ 1 i = 1, 2, .
Más aún,
..
m).
Demostración. Puesto que grado Q 2: grado P + 1 , se satisfacen las condicio nes de la fórmula de la inversión comple� a (8.2. 1 ) (compare con la proposición 4.3.4). Así,f(t) = � (residuos de eZI[P(z)/Q(z)]]. Pero los polos son todos simples y, por lo tanto, por la fórmula 4 de la tabla 4. 1 . 1 , tenemos
Res
(ér
)
P(z ) P(z) , Z¡ = ez't ' ¡ Q(z) Q (z¡)
La fórmula para a(/) es una consecuencia del corolario 8.2.2.
•
Ejemplos resueltos 8 . 2 . 4 . Si
f(z) = 1 /(z - 3), encuentre f(t).
Remítase a la fórmula 9 de la tabla 8. 1 . 1 . Sea a = -3; entonces obtenemos Alternativamente, podríamos obtener el mismo resultado si usamos el teo rema de expansión de Heaviside. En este ejemplo, cr(f) = 3.
Solución. 3 f(t) = e '.
8.2.5. Si f(z) =
log (z2 + z), ¿ a qué es igual f(t)?
Solución.
Observe que si g(t) = tf(t), entonces, por la fórmula l de la tabla 8. 1 . 1 , d d g(z) = - -J(z) = - - log (z2 + z) = dz dz
-
-= 2� z_ +_1_ z2 + z
Para encontrar g(t) usamos fracciones parciales: 2z + 1 g(z) = z2 + z
1
Por lo tanto, g(t) = -1 - e-', y entonces f(t) = -
-1
= --z z + l
1
t
( l + e-')
Aun cuando este argumento parece satisfactorio, es engañoso porque en efecto no existe f(t) cuya transformada de Laplace sea log (z2 + z). Si existiera, entonces este procedimiento nos llevaría f( t) = - ( 1 + e-')tt. Para cualquier x real,
51 3
no puede converger porque cerca de O, e-xt es ble. Así,
Jno existe en ni nguno de
�+yf(t) � 1 /t, pero 1 /t no es integra
los sentidos que hemos di scutido. El argumento
previo en el que se obtuvo f(t) es aparentemente plausible porque asume la existencia de unaj(t); véase también la observación al final de la sección 8. 1 . 8.2. 6 . Calcule la transformada de Laplace inversa de z F(z) = ____-,,..."""" . ____ (z + l )2(z2 + 3z __l-: O)
Luego calcule cr(f), la abscisa de convergencia de f. Solución. En este caso, es conveniente la ecuación ( 1 ) porque las hipótesis de la fórmu la de la inversión compleja (8.2. 1 ) claramente se satisfacen. Así,
f(t) =
L
. restduos de
{
e z�
(z + 1 )2(z2 + 3z
Los polos están en z = -1 , z = -5
(z + 1 )2(z + 5)(z - 2)
1 O)
_
y z = 2. El polo en -1 es doble, mientras que los otros
son simples. El residuo en -1 es, por la fórmula 7 de la tabla 4. 1 . 1 , g'(- 1 ) , donde g(z)
= (ez'z)/(z2 + 3z - l O). Obtenemos entonces -te-1 -12
+
e -1
(-e-1 ) • [2 • (- 1 ) + 3 ]
-12 -
- 12
1 44
(
1
_
)
{
te
_,
e-1 _ - e 1 + 1'2"
)
"El residuo en -5 es e-51 • 5/1 6 • 7; el residuo en 2 es e21 • 219
f(t) =
1
12
e-1 te-t - e--t + ""12"
+
5e-51 + 16 . 7
•
7 . Por lo tanto
2e21
63
Por el corolario 8.2.2, cr(f) = 2. 8.2.7. Verifique Lafónnula 9 de la tabla 8. 1 . 1 utilizando lafónnula de inversión compleja.
Solución. Podemos encontrar la transformada de Laplace inversa de l/(z + a) utilizando la ecuación ( 1 ). El único polo, el cual es simple, está en z = -a. El residuo de e"l(z + a)
en z = -a es claramente e-ar, el cual coincide con la tabla 8. 1 . 1 . También, cr (j) = - Re a porque el polo de F está en la línea Re z = -Re a.
Ejercicios l.
Calcule la transformada de Laplace inversa de cada una de las siguiente funciones
a) F(z) =
2.
z z2 + 1
b) F(z) =
1
(z + 1 ) 2
e)
F(z) =
Verifique las fórmulas l O y 1 1 de la tabla 8. 1 . 1 utilizando el teorema 8.2. 1 .
z2 z3 - I
514
CAP. 8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 3. Explique cuál es el error con el siguiente razonamiento. Sea
g(t) =
{
o
o� r< 1
1
t� 1
Entonces, por las fórmulas 6 y 1 3 de la tabla 8. 1 . 1 , g(z) = e-'/z. Por la ecuación ( l ), g(t) = Res (é
z (z + l ) (z + 2)
b) senh z
1 e) (z + J )3
7 de la tabla 8. 1 . 1 ) para encontrar una fórmula para la transformada de Laplace i nversa de e- Zf(z2 + 1 ). 7. Utilice el teorema de convolución para encontrar una fórmula para la transformada de 6. Utilice el teorema de traslación (fórmula
Laplace inversa de la función J{z)/(z2 + 1 ) paraf(t) dada. 8. Encuentre la transformada de Laplace inversa de l t\lz mediante una modificación adecuada de la demostración de la fórmula de inversión compleja (8.2. 1 ). 9. Encuentre la transformada de Laplace i nversa de (z + 1 )/[z(z + 3)2]. 10. Seaf(t) = J1 (kt)lt, donde 11 es la función de Bessel. Muestre que
8.3. APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE A LAS ECUA CIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
En esta sección se presentará una breve introducción a una de las muchas apli caciones de las transformadas de Laplace. El método está basado en la fórmula
(:ir)-(z)
=
zf
y las técnicas para encontrar la inversa de las transformadas de Laplace que fueron desarrolladas en la sección precedente. Vamos a asumir que las soluciones existen y a intentar encontrar fórmulas para ellas. Cuando se encuentre la fórmula, podemos verificar que, en efecto, es una solución. Sin embargo, algunas veces las soluciones no son diferenciables y entonces no satisfacen estrictamente la ecuación.Tales soluciones deben ser vistas como solu ciones generalizadas. Un análisis más amplio de estas soluciones conduciría al tema de la teoría de distribuciones. Debe tenerse en cuenta que aun cuando jno sea diferenciable pero sea continua en O, zf
Ejemplo 8.3. 1. Resuelva la ecuación y" + 4y' + 3y = O para y(t), t � O, sujeto a las condiciones de que y (O) = O y y' (O) = l . Aquí y' representa a dyldt.
8.3.
APLICACIÓN DE lAS TRANSFORMADAS
515
Solución. Tenemos la transformada de Laplace en cada lado de la ecuación usando la fórmula 3 de la tabla 8. 1 . 1 :
(dtt Si
se
(z) = zy(z) - y(O) = zy(z)
aplica esto otra vez nos da
( :tJ t
(z) = z 2y(z) - zy(O) - y '(O) = z 2y(z) - 1
Por lo tanto, nuestra ecuación resulta z 2y(z) - 1 + 4zy(z) + 3y(z) = O y, por lo tanto, y(z) =
1 1 = -:---�-:----=-:-z2 + 4z + 3 (z + 1 )(z + 3)
La transformada de Laplace inversa de esta función es, por la fórmula de inversión,
{
y (t) = L residuos de En consecuencia
y(t) =
e zt (z + l )(z + 3)
e-t
_
a -1 . -3
}
e-Jt
2
Ésta es la solución deseada, como en la ecuación diferencial. 'Y
se
puede verificar directamente al sustituir
Ejemplo 8.3.2. Resuelva la ecuación y'(t) - y(t) = H(t - 1 ), t � O, y(O) = O. donde
H es la función de Heaviside. Solución. Otra vez tomamos las transformadas de Laplace en ambos lados de la
ecuación. Obtenemos zy(z) - y (O) - y(z) = e-ztz Por lo tanto, y(z) = e-ztz (z - 1 ). La tra�sformada de Laplace inversa de 1/[z(z - 1 )] es 1 - e-1 así que la de e-z¡ [z(z - 1 )1 es, por la fórmula 6 de la tabla 8. 1 1 . .
. •
y (t) =
{
o
-1 + e1 - 1
H(t - 1 )
--+---��----.- 1 1 Figura 8.3.1 . En t = 1 y recibe un i mpulso.
o�t< 1
t� 1 y'(t)
--+---�---- 1 1
516
CAP. 8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
(Observe que la fórmula de inversión compleja (8.2. 1 ) no se aplica tal y como está formulada). Esta solución (véase la figura 8.3 . 1 ) no es diferenciable y no puede ser considerada entonces como una solución en el sentido estricto. Sin embargo, es una solución en un sentido generalizado, como se explicó previamente. En la figura 8.3 . 1 , la discontinuidad en H(t - 1 ) causa el salto repentino en y'( l ). Decimos que y(t) recibe un "impulso" en t = l .... Ejemplo 8.3.3. Encuentre una solución particular de y" (t) + 2y'(t) + 2y(t) = f(t). Solución. Vamos a encontrar la solución con y(O) = O, y' (0) = O. Al tomar transformadas de Laplace, z2y(z) + 2zy(z) + 2y(z) =ftz), y así y(z) =ftz)/(z2 + 2z + 2).
La transformada de Laplace inversa de
ll(z2 + 2z + 2) es
donde Zp z son las dos raíces de z2 + 2z + 2 , a saber, -1 ± i. Al simplificar, 2 = e-t sen t. Así, por la fórmula 8 de la tabla 8. 1 . 1 , obtenemos g(t) y(t) = (g
* f)(t)
J: J:
= =
f(t - 't)g('t) d't
f(t - 't)e-'t sen 't d't
Ésta es la solución particular que buscábamos. Generalmente, tales soluciones particulares a ecuaciones de la forma any
•··
+
a 1 y =f a l ' . , an son constantes . .
se expresarán en forma de una convolución. Para obtener una solución con y(O), y'(O), . . . , y
La transformada de Fourier, la cual se introdujo en la sección 4.3, proporciona una segunda gran herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. llustramos ese uso y el papel de la variable compleja enfocados en la ecuación de onda. Nuestra discusión será un tanto informal y vamos a renunciar a la formulación rigurosa de los teoremas.
51 7
La ecuación de onda La ecuación de onda es la ecuación del movimiento que describe el desarrollo de la propagación de una perturbación ondulatoria en un medio. Describe, por ejemplo, el desplazamiento vertical de una cuerda vibrante (véase la figura 8.3. 2), la propagación de una onda electromagnética a través del espacio y las ondas sono ras en una sala de conciertos y ciertos tipos de movimientos de ondas de agua.
• X
Figura 8.3.2. <1> es l a ampl itud de onda.
Consideremos primero el problema homogénero, el caso más simple en el cual una onda viaj a a lo largo de una cuerda de densidad constante p y bajo una tensión constante T. El desplazamiento vertical q,(x, t), en la posición x y al tiempo t, satis face la ecuación diferencial parcial (1) donde e = � Tlp, la velocidad de propagación, es una constante. Aceptamos este hecho de la física elemental. (La derivación asume que la amplitud es pequeña.) Observe que si hubiéramos tenido e = ,¡-=[ en la ecuación ( 1 ), la ecuación de movimiento, recobraríamos la ecuación de Laplace (véanse las secciones 2 .5 y 5.3). En efecto, al momento en que esa ecuación admite soluciones de la formaf(x + � -ly), las soluciones de la ecuación de onda toman la forma f(x + et). El hecho de que la ecuación ( 1 ) es de segundo orden en la variable t, sugiere que una solución esté dada en forma única cuando se especifican dos piezas de los datos originales en t = O. Es tos datos consisten de q,(x, 0) y aq,lat en (x, O); la ecuación ( 1 ) da entonces el com portamiento de q,(x, t) para todas las t subsecuentes. Para resolver la ecuación ( 1 ) realizamos una transformada en la variable x para obtener una ecuación más simple que involucre la variable transformada k. Sin em bargo, aquí x va desde -oc hasta + oc, así que en vez de usar la transformada de La place usamos la transformada de Fourier. Seaf: R � C, la función transformada "
de Fourierf de f está entonces definida como
/(k) =
r:
e -ikxJ(x) dx
Hay una fórmula de inversión que es análoga a la fórmula de inversión de La place. Esta es:
f+oo
f(x) = ..!.__ 21t
-oc
j
e ikx (k) dk
51 8
CAP.
8.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
+J oo
La transformada de Fourier de la función
cP(k, t) =
-
oo
Cll(x,
e -ikxc¡,(x,
t) está definida como (2)
t) dx
Aquí realizamos la integral con respecto de la variable
x, viendo a
parámetro fijo. La fórmula de inversión de Fourier se lee ahora
=
f+oo
!.._
21t
e ikx:t>(k,
- oo
t como un
(2')
t) dk
( 1). Al aplicar la ecuación ( 1 ) a (2') y diferenciar abajo la integral, obtenemos2
Estamos ahora listos para resolver la ecuación la ecuación
(3) En otras palabras, nuestra técnica de transformación ha reemplazado la ecua ción diferencial para
Cll(x,
t)
con una ecuación diferencial simple para
ecuación (3) es fácil de resolver. La solución es
$(k,
t)
=
$(k,
t).
A(k)eikct + B(k)e-ikct
La
(4)
B(k) son dos constantes de integración que pueden depender del pará metro k. Aplicando la fórmula de inversión (2'), tenemos donde A(k) y
Cll (x,
+J oo
t) _!_ =
21t
-
oo
[A(k)ék(x + ct)
+
Ésta es nuestra solución a la ecuación terminadas por los datos iniciales
'll(x, O) y
B(k)eik(x - ct)] dk
(4')
( 1 ). Las funciones A(k) y B(k) están de
d'll{x, 0)/dt.
Obsérvese también que la primera integral en la ecuación (4') depende única mente de la variable esto es,
x + ct, mientras que la segunda depende únicamente de x - ct;
'll(x, t) toma la forma
Cll(x,
t) f(x + ct) + g(x - ct) =
g están otra vez determinadas por e¡, y d'llldt en t = O. Podemos verificar mediante la sustitución en la ecuación ( 1 ) que esta fórmula para e¡, da en efecto una solución de la ecuación ( 1 ) . Algunas soluciones especiales de l a ecuación ( 1 ) merecen una atención por se donde las ecuaciones f y
parado. Éstas son las ondas monocromáticas (uní-frecuencia), y son de la forma
Cll(x, 2 La ecuación
t)
=
ei(xlc - t)ro
(3) se puede también obtener al tomar la transformada de Fourier de la ecuación ( 1 )
y usando el hecho que
Cll
SUPLEM ENTO DE LA SECCIÓN 8.3
519
donde ro es la frecuencia. Esta e¡, representa una onda de frecuencia ro que viaja ha cia la derecha de la cuerda. Generalmente, f(x + ct) es una onda que se mueve hacia la izquierda y cuya forma es aquella de la gráfica de f, con velocidad c. Simi larmente, g(x - ct) es una onda que se mueve hacia la derecha. En seguida vamos a tratar con el problema no homogéneo. el cual ocurre cuando se le aplica a la onda una fuerza externa. Por ejemplo, suponga que en la cuerda que se ilustra en la figura 8.3.2 se diera una densidad de carga constante q y luego se pusiera en un campo eléctrico externo E(x, t) apuntando en la dirección y. Esto resultaría en que a la cuerda se le aplica una fuerza F(x, t) proporcional a qE(x, t). Debemos resolver entonces la siguiente ecuación del movimiento para el desplazamiento cll(x, t):
1
2
e
·
()2q, at
---:\2 =
Por simplicidad, tomamos frecuencia ro:
()2c¡,
---:\'2 ax
+
F(x, t)
(5)
F(x, t) en la ecuación (5) para que sea periódica con F = f(x, ro) eirot
Esto nos permite considerar el problema más simple
() 2c¡, ()2 - c¡, + /(X, ro)e irot • c2 aP - ax2 1
(6)
Escribimos la solución de la ecuación (6) como cll(x, t, ro). Una vez que hemos resuelto la ecuación (6) podemos tratar con el problema de una fuerza general F(x, t). Primero la "Fourier-analizamos", esto es, escribimos F como sigue:
1 F(x, t) = 21t donde
f+oc +J-ococ
f(x, ro)e-i001 dro
- oc
f(x, ro) =
F(x, t)e itro dt
Superponemos entonces las soluciones de la ecuación (6) para obtener
1
cll(x, t) = 2 1t
+J oc
c!l(x, t, ro) dro
-oc
Resolvemos la ecuación (6), otra vez tomando la transformada de Fourier con respecto de la variable x, para obtener
(7)
520
CAP.
8.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
donde
/(k, ro) =
+J- oo oo
e ikxJ(x, ro) dx
La ecuación (7) es una ecuación diferencial de segundo orden, no homogénea y simple. Al sumar la solución particular
" . f(k, ro)e'ror k2 - (ro/c)2 de la ecuación (7) a las soluciones homogéneas de la ecuación (4), obtenemos la solución general de la ecuación (7):
$(1, ro) = A(k)eikcr + B(k)e-ikc t +
" f(k, ro) e irot k 2 - (ro/c)2
(8)
La solución de la ecuación (6) es entonces
cll(x, t, ro) = h(x + ct) + g(x - ct) + (G * f)eiror
(8')
Los términos de la ecuación (8') se explican como sigue. Los primeros dos tér minos son soluciones de la ecuación homogénea ( 1 ), y otra vez, éstas son escogi das de manera que se satisfagan los datos iniciales en t = O. El último término, una solución particular de la ecuación no homogénea (6), está dado al tomar la inversa de la transformada de Fourier del último término de la ecuación (8):
..!_
21t
J+oo [ -oc
e ikx
f(k, ro) 2 k - (ro/c) 2
]
dk
Como con la transformada de Laplace, este término es la convolución de G y J,
"
"
donde G = l/[k 2 - (ro/c)2]. Esta función G juega un papel central en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. Su transformada,
G(x, ro) =
1 21t
J+oo-oo [
eikx k2 - (ro/c)2
]
dk
(9)
es llamada la "función de Green" y podemos usar integración de contorno para evaluarla en forma cerrada como sigue. El integrando de la ecuación (9) tiene polos simples en k = + (role). En esta forma presente, la integr�l en la ecuación (9) no es convergente. Para especificar su valor debemos usar el valor principal de Cauchy. Se pueden obtener varios valores posibles dependiendo de como interpretemos nuestras integrales. Para seleccionar el valor que queremos, vamos a evaluar la ecuación (9) acercando el contorno de in tegración en la mitad superior del plano complejo k, para x > O y en la mitad inferior del plano para x < O. Esto es necesario si la integral sobre el semicírculo se aproxima
SUPLEMENTO DE LA S ECCIÓN 8.3
521
a O conforme el radio se aproxima a infinito. Por el teorema de Cauchy. tomamos los residuos de los polos encerrados. Debemos todavía especificar cómo nos vamos a ir alrededor de l as singularidades e n k = + rofc. Elecciones diferentes nos llevan diferentes valores de G, pero aun matemáticamente aceptables. Nuestra elección final está determinada por el comportamiento asintótico que queremos tenga G conforme en las cuales estarnos interesa x � oo. Las soluciones homogéneas de la ecuación dos. se comportan como exp ( + ikx). vista como una función de x. y requeriremos el mismo comportamiento de G. Esto puede especificarse mediante la "regla ie":
(1 )
1
G(x, ro) = l ím E -> o 21t E>O
+J oo [ -oo
J
e ikx
dk
k2 - (ro/e - ie) 2
en la cual todavía acercamos el contorno (como se muestra en la fi gura acuerdo al signo de x. y
y
x>O
x
Figura 8.3.3. Contornos para
(9')
8.3.3)
de
G(x, ro).
Podemos ahora evaluar G(x, ro). De la ecuación (9') y el teorema del residuo obtenemos, para x > O,
1
[
G(x, ro) = lím - 21ti e -. o 21t E>O
eix(iE + role) •
-2 (ro1e - z.E)
J
ic = - - eiwxlc 2ro
Haciendo cálculos similares para x < O y usando el lado derecho del contorno de la fi gura 8 .3.3, obtenemos · ·-·-' -ic elUMIC --
2ro
G(x, ro) =
-ic e-iroxlc 2ro
x>O
X
522
CAP. 8. LA TRANSFORMADA D E LAPLACE
Equivalentemente,3
G(x' ro) =
e
_ _
2 iro
eirotxltc
(9")
El problema de dispersión Cuando el medio a través del cual se propaga la onda no es homogéneo, encon tramos el problema de dispersión. Por ejemplo, suponga que la cuerda vibrante de l a figura 8.3.2 consiste ahora de las tres piezas unidas suavemente con una pieza de longitud a, que tiene una densidad p2 (la región II en la figura 8.3.4) y las otras dos I
X
Figura 8.3.4. Dispersión u n idimensional.
piezas tienen cada una densidad p 1 (las regiones 1 y III en la figura 8.3.4). Denóte se con e 1 y e2 las correspondientes velocidades de propagación. Asuma que p2 > p 1 • Imagine que una onda incidente ei(xlc,- t)ro viaja a través de la cuerda desde l a iz quierda. Conforme la onda se mueve sobre el material más denso en x = O, parte de ésta será reflejada hacia atrás, mientras que otra parte será trasmitida hacia adelan te. En x = a, una parte de la onda será otra vez reflejada hacia atrás mientras que el resto viajará hacia adelante (véase la figura 8.3.5}. I -
III
II
'\.1\f\.fV
-
A
�
Figura 8.3.5. Reflexión en una di spersión u n idimensional.
3 En los libros de texto sobre la materia de ecuaciones diferenciales, G se obtiene como la solución de
donde 5 es la "función S de
�� +
ro2G = S(x - y)
Diraé". La solución se encuentra mediante la fónnula general G(x, y, ro) =
{
-u(x)v(y)/w
x>y
-u (y)v(x)lw
x-y
Aquí u y v son soluciones de la correspondiente ecuación homogénea y w es su wronskiano, w = uv'- vu'. En este caso, tenemos u = ei(J)JC y v = e-í(J)JC. Recobrarnos la ecuación (9") al hacer y = O.
SUPLEMENTO DE lA SECCIÓN 8.3
523
Debemos resolver la ecuación de onda en cada región
iJ2$ 1 - 2 2 dx c1 () 2$ 1
--
-- =
dx2
{)2 $ d t2 () 2$
-
•
--
para las regiones 1, III
-
·
--
para la región 11
c2 2
dt2
No es irrazonable esperar soluciones de las siguientes formas:
$ (x, t) = ei(xlc, - t)ro + Rei(- xlc, - t)ro $�¡(X, t) = Aei(xlc, - t)ro + Be i(-xlc, - t)ID
$1 (0, t) = <�'u (0, t)
���
co, t) =
a:;�
co. t)
=
d$
a;· (a, t)
Estas cuatro ecuaciones nos permiten resolver para los coeficientes R, A, B, T. Estamos particularmente interesados en T. Después de efectuar algunas manipula ciones algebraicas encontramos que ( 1 0)
(véase el ejercicio II). T es llamada la amplitud de dispersión y el cuadrado de su valor absoluto representa la intensidad de onda trasmitida en la región III. Vamos a permitir que en la ecuación ( 1 0), ro resulte una variable compleja y vemos que T(ro) tiene las siguientes propiedades: (i) T es meromorfa en ro y tiene polos en el semiplano superior en ro = (c /a) 2 (n1t - ip ) , donde p está determinado por e 2P = (c 1 + c ) 2/(c. - c )2•
2 2 (ii) T tiene valor absoluto 1 en aquellos puntos ro para los cuales e 2 irolc, = l . (iii) Conforme ro � + ico, T � O. (iv) Conforme Ol � -ioo, T � co.
Relaciones de dispersión Cuando una función de una variable complej a f(z) comparte las mismas cuatro propiedades que T(ro), el teorema de Cauchy puede utilizarse para obtener una útil e interesante representación paraf(z), como se muestra en el siguiente
Si f(z) es analítica para lm(z) :2: O f(z) � O uniformemente conforme z � co en el semiplano O < arg z < 1t, entonces f(z) satisface las siguientes relaciones de integración: Teorema de la transformada de Hilbert 8.3.4.
y
5 24
CAP. 8. LA TRANSFORMADA D E LAPLACE
z
(i) Si 0 = x0 + iy0, con y0 > O, entonces
f(zo) Yofoo (xo - 2 =
1t
f(x, O) ----=--=- dX x) + yg
-oo
(1 1)
y
( 1 2)
z
(ii) Si 0 = x0 es real, entonces
�I""oo
f(Zo) =
1tl
f(x, O) dx X - x0
(13)
Demostración. Debido a las suposiciones, podemos aplicar e l teorema de
Cauchy, usando un semicírculo grande en el semiplano superior, para obtener 1
f(Zo) = 21tl.
+f-oooo j(x,
-
O) dx
X - Zo
(véase la sección 4.3). También tenemos
0=
+f oo f(x, dx
1_ _
21tt
_
_00
O) X - Zo
donde � está en el semiplano ·inferior. Si sustraemos estas dos últimas ecuaciones , obtenemos la ecuación ( 1 1 ); si sumamos los términos obtenemos la ecuación ( 1 2). La ecuación ( 1 3) se sigue de la fórmula 6 de la tabla 4.2. 1 . • Como un corolario, al tomar las partes real e imaginaria de cada lado de la ecuación ( 1 1 ), obtenemos
donde f = tenemos
u
(1 1') +
iv; una ecuación similar se satisface para v(x, y). De l a ecuación ( 12)
u(xo• Yo) J +oo (x(x-x- o)2 Y5 1 1t
=-
x0 )v(x, O) dx
-oc
+
( 1 2')
SUPLEMENTO DE LA SECCIÓN 8.3
525
Finalmente, de la ecuación ( 1 3), obtenemos 1 u(x0, O) = - V.P. 1t
-1 v(x0, y0) = - V.P. 1t
+ oo J +oc J - oc
v (x, O) dx X - X0
- oc
u(x, O) dx X - X0
(13')
La ecuación ( 1 1 ' ) nos d a los valores de una función armónica en el semiplano superior, en términos de sus valores frontera sobre el eje real y proporciona entonces una solución a la ecuación de Laplace en el semiplano superior (véase el ejercicio 1 2). Observe que si f(z) satisface la propiedad simétrica f(- x) = f(x) entonces po demos escribir 2 Ref(x0) = -V.P. 1t
feo 0
Imf(x) dx x X2 - X2o
mientras que si f(z) satisfacef(-x) = -f(x), entonces Ref(x0) =
2x0 1t
--
V.P.
feo o
lmf(x) x
2
-x,j-
dx
Las ecuaciones ( 1 2') y ( 1 3') pueden ser vistas como las versiones integrales de las ecuaciones de Cauchy-Riemann; éstas simplemente nos dicen; por ejemplo, los va lores que debe tomar la parte real de una función analítica, cuando se especifica la par te imaginaria. Cuando las funciones u y v satisfacen la ecuación ( 1 3') decimos que u y v son las "transformadas de Hilbert" una con respecto de la otra. Históricamente, las transformadas de Hilbert fueron las precursoras de una serie de relaciones llamadas relaciones de dispersión. Primero se observó que éstas se satisfacían para la constante dieléctrica compleja como una función de la frecuencia incidente, por H. A. Kramers y R de L. Kroning, en 1 924. Desde 1950 aproximadamente, éstas han sido estudiadas sistemáticamente y aplicadas a la amplitud de dispersiónT(ro) y a clases bastante ge nerales de problemas de dispersión, para los cuales está definida esta amplitud. La extensión de estas relaciones a problemas de dispersión tridimensionales será conside rada posteriormente en este suplemento. Las relaciones derivadas asumen que f(z) es analítica sólo para Im z 2::: O. Sin embargo, existe una segunda clase de problemas de dispersión para funciones que son analíticas en el plano z excepto para la línea de rama a lo largo del eje real.
Proposición 8.3.5.
Si f(z) es analitica en el plano z con una línea de rama desde z = a hasta oo, y si lf(z)l = 0( 1 /z), entonces f(z)
=
1
�-.O+ 2 1t l
lím
.
-
ooJ a
l_ [f(x
_
X
-Z
+
iE) - f(x - ie)] dx
(la notación 0( 1/z) se exp1ica en la sección 7.2; lím significa que el límite se toma e->0+ para e > 0.)
526
CAP. 8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Tome el contorno de la figura 8.3.6 y aplique el teorema de Cauchy af(�)/(� - z). • Demostración.
y
Figura 8.3.6. El contorno usado en la demostración de l a proposición 8.3.5.
Si, además de las hipótesis de la proposición 8.3.5,/(z) también satisface la re lación f(z) = f(z), esto es, si u(x, e) + iv(x, e) = u(x, -e) - iv(x, -e), de tal manera que la parte real de f es continua mientras que la parte imaginaria es discontinua, entonces obtenemos f(z) = lím __!._ E-+0+ 1t
J00a 1X
-Z
Im f(x + ie) dx
En efecto, cuando z se mueve sobre el eje real, podemos tomar las partes rea les de cada lado de la ecuación precedente para obtener V.P. E->0+ 1t
Re f(x0) = lím
( oo )a
l
x - x0
Im f(x + ie) dx
La ecuación de onda en tres dimensiones
Las ideas que se han desarrollado hasta ahora en esta sección para el movimiento de onda en una dimensión, pueden extenderse fácilmente a problemas de dimensión mayor. En dos dimensiones, la cuerda vibrante es remplazada por una membrana vi brante. En tres dimensiones podemos pensar en las ondas del sonido que se propagan en el aire. La presión cp(r, t) satisface entonces la ecuación de movimiento, 1
c2
•
.
()2 cp 012 (r, t)
=
V 2cp(r, t) + F (r, t)
donde F representa alguna fuente externa de ondas, r
=
(x, y, z), y
( 14)
SUPLEMENTO DE LA SECCIÓN
8.3
527
es el operador de Laplace. Cuando la ecuación ( 14) es expresada en términos de coordenadas rectangulares, las soluciones homogéneas y no homogéneas de l a ecua ción ( 14) se obtienen en mucho en la misma forma en que se obtuvieron previamen te. El nuevo y excitante aspecto de la ecuación ( 1 4) que no está presente en una dimensión, surge en el problema de dispersión, y éstos son más interesantes y mane jables c uando el medio de dispersión tiene simetría esférica. Considere una onda i ncidente plana e i (xlc - ro)t que viaja desde la izquierda del eje x y que tropieza con una pelota localizada en el origen (figura 8 . 3 .7). Una parte de la onda puede penetrar la pelota, parte de la onda se dispersa por la superficie de l a pelota y l uego viaj a radialmente hacia afuera, y el resto de l a onda simplemente evita a la pelota. Para resolver para cp, procedemos como anteriormente. Primero obtenemos las soluciones para cp en las regiones 1 y 11 separadamente y luego re querimos que cp y l a derivada radial é1cplé1r sean continuas en la superficie de l a pelo ta. Eventualmente, este procedimiento especifica la onda total que resulta de la "impureza" del medio de la región 11.
ei
Figura 8.3.7. Dispersión de una onda por u n obstáculo esférico.
Estos cálculos no se detallan aquí porque tal tarea nos podría llevar demasiado lejos dentro del campo de las ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la for ma del resultado final no es muy difícil de anticipar. La onda en la región 1 será la suma de l a onda incidente y la onda radial que sale, y esto tomará l a forma asintótica
conforme lrl = r ---+ oo. Aquíf(ro, e) es la cantidad de onda dispersa que viaj a a un ángulo e con el eje de simetría (véase la figura 8 . 3 .7); ésta es la analogía tridimen sional de la amplitud de di spersión T(ro) del problema unidimensional que se dis cutió al principio de l a sección. Observe que f es ahora una función de dos variables complejas ro y e. Física mente ocurren di spersiones observables, por supuesto únicamente cuando ro y e son reales, con O ::::; e ::::; 1t. Pero al estudiar las propiedades de f para los valores comple-
528
CAP. 8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
9,
jos de ro y como lo haremos en los siguientes párrafos, ganamos un entendi miento más profundo de las características de f Será conveniente cambiar variables como sigue:
t = -2
ro2 ( l - eos 9) c2
--
9).
Defina la función A de dos variables complejas s y t como A (s, t) = j(ro, Para una gran clase de problemas de dispersión, se puede mostrar que A tiene las siguientes propiedades: (i) A(s, t) es analítica en las dos variables complejas s y t, con líneas ramas desde s = a hasta oo y desde t = b hasta ao. (ii) A(s, t) = 0( 1 /s) conforme s � oo para cada t. (iii) A(S, t) = A(s, t) para t real. Al aplicar la proposición 8. 3. 5, 1 lím 2 e-->0 1tl
. -
+
lím
e--.O+
_!_ 1t
1
[A(s a sJ(<» - s0 -
+
foo 1 - Im A(s Jb s - s0 -
ie, to') - A(s - ie, to)1 ds
+
ie, t0) ds
So , fo
en e
t0 real
( 15) ( 1 6)
En la ecuación ( 15) estamos integrando A(/;, t) para 1; ligeramente arriba y aba jo del eje real, considere ahora el integrando; por la propiedad (i) de A(s, t) podemos escribir una relación de dispersión en la variable t, como sigue: 1
Joo t b
A(s + ie, to') = lím 2
•
o.....o+
1t
.
1[A(s + ie, t + iB) - A(s + ie, t - iB)] dt t - t0
-
Si usamos una representación similar para el segundo término de la ecuación ( 1 5) finalmente obtenemos la doble relación de dispersión
A(s0, t0) =
�fooa [Joob 1t
1 --
s - s0
1 -- p(s, t) dt] ds
t - t0
( 1 7)
donde
2 p(s, t) = lím (�) [A(s + ie, t + iB) - A(s + ie, t - iB) e. 0---> 0+
2t
- A(s - ie, t + iB) + A(s - ie, t - iB)].
La ecuación ( 1 7) es la representación para A(s, t) obtenida primero por S. Mandelstam en 1958.
529
Ejercicios
Resuelva las ecuaciones diferenciales en los ejercicios del 1 al 9 usando transformadas de Laplace. l. y" - 4y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1
2. y" + 6y - 7 = O, y(O) = l , y'(O) = O
3. y" + 9y = H(t - l ), y(O) = y'(O} = O 4. y' + y = e 1, y(O) = O
5.
y' + Y +
J:
y ('t) dt = f(t) donde y( O) = 1 y
ftt) =
e
o ::;; t < t . t � 2
6. y " + 9y = H(t), y(O) = y'(O) = O .
7. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones para y 1 (t), Yit) usando trans
formadas de Laplace.
8. y' + y = cos t, y(O) = 1 9. Resuelva y" + y = t sen t, y(O) = O, y'(O) = l . 10. Estudie l a solución de y" + ro�y = sen rot, y(O) = y'(O) = O, y examine el compor tamiento de las soluciones para varias ro, especialmente aquellas cercanas a ro = ro0• Interprete estas soluciones en términos de oscilaciones forzadas. 11. Aplique las condiciones de frontera de la página 523 para obtener expresiones par T(ro), R(ro) y B(ro). Verifique que cuando ro es real, f IT(ro)l2 + IR(ro)¡2 = 1
(Esta última relación expresa la "conservación de la intensidad": En un medio sin pérdida disipativa, la intensidad unitaria de la onda incidente de la figura 8.3.5 es igual a la suma de la intensidad de la onda R reflejada hacia atrás en la región I y la intensidad de la onda T trasmitida en la región III.) 12. Ya que la ecuación ( 1 1 ) resuelve el problema de Dirichlet para el semiplano supe rior, aplíquelo al problema ilustrado en el lado derecho de la figura 5.3.5 y obtenga la misma solución. Así, tenemos dos métodos para resolver la ecuación de Laplace; el mapeo conforme y las relaciones integrales del tipo descrito por la ecuación ( 1 1). 13. Como una aplicación de la proposición 8.3.5, sea l _ r-11 e-i91 2 f(z) = _ 2 = rz
definida en el plano igualdad resulta?
z
para O < 9 < 21t
con una línea rama a lo largo del eje real positivo. ¿Qué
530
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 8 l. Calcule la transformada de Laplace y la abscisa de convergencia para f(t) sen (t - 1). 2. Calcule la transformada de Laplace y la abscisa de convergencia para f(t)
+ 3e-
{
3. Calcule la transformada de Laplace y la abscisa de convergencia para
f(t) = 4.
= H(t -
l)
= H(t - 1)
t O :S t :S 1
1 t> l
Seaf(t) una función acotada de t. Muestre que cr(f) :S O.
5. Calcule la transformada de Laplace y la abscisa de convergencia para
e1- 1 f(t) = t
6.
"
-
Sif(t) = O para t < O, entoncesf(y) = f(iy) es llamada la transformada de Fourier de f Use el corolario 8.2.2 para mostrar que, bajo condiciones adecuadas,
1
foo
f(x) = 21t
1\
f(y)e ixY dy
-oo
teorema de inversión para transfonnadas de Fourier.)
7. Calcule la transformada de Laplace inversa y la abscisa de convergencia para
(Este resultado es llamado el
F(z) = 8.
e-z z2 + 1
Calcule la transformada de Laplace inversa y la abscisa de convergencia para F(z) =
(z
1 + 1 )2
9. Calcule la transformada de Laplace inversa y la abscisa de convergencia para
F(z) = 10.
z
(z
+
1 )2
+
e-z
-z
a) Seaj(z) la transformada de Laplace def(t). Muestre quej( z) -7 0 conforme Re z -7 oo. b) Utilice a) para mostrar que, bajo condiciones adecuadas, zf(z) -7/(0) conforme Re z -7 oo.
e) ¿Puede un polinomio distinto de cero ser la transformada de Laplace de algunaf(t)? d) ¿Puede una función entera F distinta de cero ser la transformada de Laplace de una función/(!)?
1 1 . Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando transformadas de Laplace:
a) y " + 8y + 15 = O, y(O) + 12.
Suponga que f(t) ;;?;
l , y'(O)
=O
b) y' + y = 3 , y(O) = O
O y es infinitamente diferenciable.
Demuestre que
(-1)"f
531
EJERCICIOS DE REPASO DEl CAPÍTUlO 8
= O, 2,
� O.
(El recíproco, llamado el teorema de Bernstein, es también cier 1, . . . para z to pero es más difícil de demostrar.) 13. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando transformadas de Laplace.
a) 14.
y"+ y =
H(t -
1), y(O) = O, y'(O) = O
y" + 2y' + y = O, y(O) = 1 , y' = (0)
b)
1
He aquí otra manera para resolver la ecuación de Laplace, tome las transformadas de Fourier de
con respecto de la variable x (utilice el método descrito en la página este método de la ecuación diferencial ordinaria
518);
(a) muestre que
(b)
Resolvemos. sumamos sobre todas las soluciones y guardamos únicamente aquellas que decaen exponencialmente en el límite y -+ y obtenemos así la fórmula u (x,
y) =-21t J+ ocoo 1
-
+oo
A(k)e i kx - kly dk
(e)
Con relativa facilidad, A(k) puede ser evaluada en términos de Jos datos en la frontera en Puesto que en la ecuación (b) se reduce a
y= O.
y =O
u (x. 0)
= -1 f+oo 21t
-oc
A(k)e ikx dk
A(k) debe ser, en efecto. la transformada de Fourier de u(x, 0). Si utilizamos este resultado, sustituimos en la ecuación (b) e intercambiamos Jos orde nes de integración, obtenemos
u(x,
y) =J+oo - 00
u( z. 0)
(-1 J+oo - 00
2lt
)
e i k(x - z) - i k i y dk dz
Realizando la integral con respecto a k obtenemos
u(x,
y) =f+oo- O) -1t1 oo u (z,
•
•
1 +y
(x - z)2
(d)
2 dz
En referencia con la ecuación (d) muestre que
y +y = -- yl
2 (x - z) donde
2
-d
:. ow
G(x,
z. w )
w =O
532 G(x, y 1 z. w) = log Ir - r ' l con r = x + iy, r' = z + iw. (La función G es llamada la función de Green y es reconoci da como el potencial de r causado por una carga unitaria en el punto r' en el plano.) 15. Muchos problemas en matemáticas aplicadas incluyen una serie infinita ""
F(z) = Lfn(z) n=O en la cual la función F(z) tiene singularidades además de todas aquellas de cada fn(z). Estas singularidades se introducen por fallas en la convergencia de la serie. El ejemplo más simple de este tipo de series es 1 1 -z
-- =
1 + z + z2 + ···
Los términos individuales en el lado derecho de la ecuación son funciones enteras, la función que su suma define, tiene un polo simple en z = l . Como un segundo ejemplo considere 1 1 z -- = 1 + - + - + · ·· z- 1 z z2 Los términos de1 lado derecho de esta ecuación tienen singularidades en z = O; su suma es singular en z = l . Considere ""
donde a y g son constantes.
n
F(j) = L [g log(j - a)] n=O
a) ¿Cuáles son las propiedades analíticas de cada uno de los términos individuales en el lado derecho de la última ecuación? b) Al sumar las series en forma cerrada, verifique que la suma en esta ecuación tiene un polo enj = a + e 11K.
Respuestas a los •
•
•
•
eJercicios Impares 1.1.
Introducción a los números complejos l.
a)
.
3. z = ± 5. Re
Re
5
3 -le) 2 2
6 + 4i (2 - i )
1 _
2 z
x2 - jl . .2 )2 (.r, + y �
--3z + 2
3x + 2 (3x + 2)2 + 9r
1 Im --- =
3z + 2
-3y
(3x + 2)2 + 9jl
7. No; hágase z = w = i. 9. Si z = x + iy, entonces Re {iz) = Re (ix - y) = - y = - Im (z), e Im (iz) = Im (ix - y) = x
= Re (z). 11. En el texto se bosquejó la demostración de la ley asociativa para la multiplicación. Mostramos que la adición es conmutativa y dejamos las otras al lector: si z = x + iy y w = u + iv, donde x, y, u y v son reales, entonces z y w corresponden a (x, y) y (u, v) respecti vamente y entonces z + w = (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
= (u + x, v + y) = (u, v) + (x, y) = w + z
como se quería.
a
= (x2 - y 2)J(x2 + y 2 ) y b = - 2xyl(x2 + y2). Entonces muestre que los cuadrados de éstos suman J 15. Un número complejo z puede ser escrito como z = x + iy de una manera única, con x y y reales, correspondiente al vector (x, y). A los números reales se les hace corresponder con vectores de la forma (x, ÜJ y así y = O, y por lo tanto z = x = Re z. 13. Primero muestre que
•
17. a) - 4 19. a) � 1 + .Ji= ±
b) i
(�1
+ f2 + � 4 + 2 ff+ i �-I - .J2 + J4 + 2 l2 2314
2314
)
e) Véase el ejemplo resuelto 1 . 1 .6. 533
534 1 .2. Propiedades de los números complejos
l. a) z =
'}¡;;;o '1 ¿
b) z = cos
( ( 31t
21tk 5
.
21tk 5
cos -- + ' sen --
-
21tk +-
-
)
.
)
+ 1 sen
(
k = O, l . 2,
31t 2 1tk - + -8 4
-
)
8 4 3. - 8i)4/( l - i )10 5. eos 5x = cos5 x - 1 O cos3 x sen2 x + 5 cos x sen4 x sen 5x = sen 5 x - 1 O cos2 x sen3 x + 5 cos4 x sen x
(3
7. 9.
•
Utilice la identidad ( 1 -
4
k = O, 1 , 2,
3
•
•
� 3;7
3,
•
w) ( 1 + w + w2 +
•••
+ w" - 1) = 1 - w".
1 1 . la - bl 2 + la + bl2 = (a - b)(a - b) + (a + b)(a + b)
= (a - b)(a - b) + (a + b)(ii + b)
= lal2 - ab - ha + lbl2 + la12 + ab + ha + lbl2 = 2(1a12 + lbl2) 13. Todos los puntos deben tener el mismo argumento. Éstos deben estar sobre el mismo rayo que parte del origen.
15. No; tome z = i z2 = lzl2 si y sólo si z es real. 17. Cada lado es un número real positivo cuyo cuadrado es •
a2a • 2 + a2b' 2 + a ' 2b2 + blb ' 2.
19. lz - (8 + 5i)l = 21. El eje real .
3
23 . l + lal. 25. Utilice la fórmula de De Moivre y la identidad l + w +
k�
cos ke
=
=
Re
Re
[� .t
(cos e + i sen e).t
•••
+ w" = ( 1 - w" + 1)/(1 - w),
]
1 - (cos 6 + i sen e)n + 1 = R 1 - cos (n + 1 )e - i sen (n + I )e e 1 - cos 6 - i sen e 1 - cos e - i sen e
- 1 - cos 6 - cos (n + l )e + cos (n + 1 )e cos a + sen (n + 1 )6 sen e 2 - 2 cos e cos n6 - cos. (n +-=l� )e 1 -== _ + ....;:..::.::...:,�7,.-:...:.� � 2 2 ( l - eos 6) 1 =-+ 2 27.
a)
(
2 sen (6/2) sen n + 2 ( 1 - cos e)
(z - z 1)1(z3 -:- z ) (-) es real. 2 1
� )e
1 =-+ 2
(
sen n +
-4-)e
2 sen (e/2)
535
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 29. Multiplique por
1 - w y utilice el ejercicio 9 para mostrar que la suma es - nl( l - w).
l. 3. Algunas funciones elementales
1
(• )
. 1
( ·)
l.
a) t? (cos 1 + i sen 1 )
3.
a) z = ±
5. 7.
b) z = ± [21tn - i log (4 + ID)]. (NOTA. log (4 - ID) = - log (4 + ID).) b) log i = 1ti/2 + 2xni a) log 1 = 2xni a) e'1C12e-27tn = e-27t(n - 114)
(�
b)
+ 2xn - i
�
(sen l )
e
+e
+t
2
(cos 1 ) .
e-
-¡-
log 2
[ (;
b) e012) log 2 - 27tn - '1C14 cos
)
2
log 2 +
9. z = n 1t para cualquier entero n 11. Puesto que lezl = e Re z, lezl se va a
:)
+ i sen
Ü
log 2 +
:)]
O a lo largo de los rayos que apuntan al semiplano iz quierdo. Éste es 1 a lo largo del eje imaginario y se va a +oo a lo largo de los rayos hacia el semiplano derecho. b) e-Y (cos x + i sen x) 13. a) e" - y' (cos 2xy + i sen 2xy)
(
e) exl(x' + y') cos 15. sen
(1t/2 - z) = =
y xZ + r
e i(!t/2 - zl
_
2i
e -iz + eiz
2
e- i(lt/2 - z)
= cos z
Las otras dos afirmaciones se siguen de una manera similar. 17.
19. 21. 23.
25. 27.
lsen zl2 = sen2 x cosh2 y + cos2 x senh2 y = sen2 (x)( l + senh2y) + cos2 x senh2 y = sen2 x + senh2 y :?! senh2 y y así lsen zl :?! 1 senh y l. La otra desigualdad se sigue de una manera similar.
�
,
No, ni siquiera para a y b reales. Hágase a = 2, b = -l . Entonces tal>¡ = 1 2-1 1 = pero la11b1 = 2. Si lzl =1 , entonces z = e i9 para alguna 6 y, por lo tanto, z + llz = e i9 + e- ;e = 2 cos 6. Como 6 varía desde O hasta 21t, esto cubre el intervalo [-2, 2] dos veces. Puesto que l l/zl = 1/lzl, el mapeo intercambia el interior y el exterior del círculo unitario. Los círculos de radio r son transformados en círculos de radio 1/r. Si z = rei9, entonces llz = ( 1/r)e-;9 y en consecuencia, el radio deñnido por arg z = 6 es transformado en el radio con argumento -6. Esto se satisface si b log a tiene su parte imaginaria en [-1t. 1t]. De otra manera, la fórmula se lee log ah = b log a + 21tik. Éstas son las raíces n-ésimas de 1 , puesto que (w.ty' = [(e2•ifn)k]n = ilflki = l . Todas ellas j)ln = l . Por la proposición 1 .3.2 (vii), son diferentes, ya que wj = wk implica que e2•Kk esto obliga a que (k - J)/n sea un entero.
536
RES PUESTAS A LOS EJERC I C IOS IM PARES
29. 31. 33. 35.
sen z = O si y sólo si eiz = e-iz o e2iz = l. Por la proposición 1 .3.2 (vii), esto sucede exactamente cuando 2iz = 2xni, o z = nx. El máximo es cosh (2x) = 267 y se alcanza en z = 2xi, x + 2xi y 2x + 2xi. a) = 24 - i4.5 b) = l . l 7 - i( l . 1 9) + 2xni e) = 96. 1 6 - i l 644.43 No, sen z no es uno a uno en O :s; Re z < 2x. Por ejemplo, sen (O) = sen (X) = O. Sabemos que sen z = sen (z + 2x). Supongamos ahora que sen z = sen w. Entonces +w z - w cos z-0 = sen z - sen w = 2 sen z -2 2 y por el ejercicio 29 y un resultado similar para el coseno, z - w = 21at
o
z + w = n1t
k = O, ± 1 ± 2, . . . n = ± l , ±3, ±5, . . .
Utilizando el ejercicio 34 y este resultado, para cada Zo E C existe precisamente una w, con -x/2 :s; Re w :s; x/2 tal que sen w = z0, siempre que, por ejemplo, se omita la porción de la frontera que está abajo del eje real. Al tomar este valor de w se define una rama de sen-1 Zo· Las otras están dadas por el par de fórmulas <*>. La discusión para cos-1 es análoga. 1.4. Funciones continuas
l. 3.
S. 7.
� W
Puesto que lwl2 = (Re w)2 + ( lm w)2, las tres afirmaciones se siguen de la observación de que si a � O y b � O, entonces a :s;; ,Ja2 + b2 :s; a + b. Puesto quefes continua, existe una o > O, tal que lz - Zol < o implica lf(z) -f(Zo)l < lf(Zo)l /2. Así, /(z) � O, puesto que si /(z) fuera igual a O, entonces lf(z0)1 sería menor que lf(Zq)V2, lo cual es absurdo. Sea \ap � ,an) un conjunto finito de puntos y sea Zo su complemento. Sea ok = IZo - ak! y sea o = mín \o¡12, . . . , �)/2) . Entonces ninguna ak puede estar en D(z.o, o) ya que o < lz.o - a kl. Sea E > O y O = E. Si lz - Zok O, entonces 1/(z) -/(Zo)l = IZ - zol = l(z - Zo)l = lz - z01 < E. Así, para cualquier Zo E C,zlím/(z) = /(z.o). •. . .
C\\2xnil
..... ""
n es un entero)
Abierto, no es cerrado. e) No es abierto, cerrado. b) Ni abierto ni cerrado. a) Conexo y compacto. b) Compacto, no conexo. d) Ni compacto ni conexo. e) Conexo, no compacto. f(z) 17. z E C\f-1(A) � ze: ¡-1 (A) � e: A � f(z) E C\A � z E ¡-1 (C\A) 19. Si los U son conjuntos abiertos y z E 'd. U entonces z E U para alguna a0. Puesto que U es abierto, existe una E > 0 tal que D(z, E) e Ua. e u U Esto muestra que la unión es abierta, ya que esto se puede hacer para cualquier z. 21. ñ D(O; 1/n) = \O), y este conjunto no es abierto. , � Sea R > O. Necesitamos mostrar que existe una n tal que lz n/n l � R siempre que n >N. Un \.../ poco de aritmética muestra que esto es equivalente a (nR) 11n :s;; lzl. Pero se puede usar la regla de L'Hópital para mostrar que lím (nR)11n = l . (Primero tome logaritmos y utilice la regla de L'Hópital para mostrar que log (nR)11n � 0.) Puesto que lzl > 1 tenemos la desigualdad que necesitamos para n suficientemente grande. 13.
lzl
a)
15.
a
a
ao
n•l
ao'
a
.
n -+ oo
a·
537 1.5. Funciones analíticas 1.
a) b) e) d)
3.
a) Si n � O, es analítica en donde sea. Si n < O es analítica en todos lados excepto en O. La derivada es nzn - 1 • b) Analítica en C\{0, i, -i). La derivada está dada por
Analítica en todo C. La derivada es 3(z + 1 )2. Analítica en C\!O). La derivada es 1 - llz2• Analítica en C\{ 1 ). La derivada es -10[ 1 /(z - 1 ) ] 1 1 • Analítica en C\{e2lti13, e4ltil3, 1 , i .J2, - iiTj. La derivada es
-2
1 (z + l /z)3
( ) 1 l -z2
e) Analítica excepto en las raíces n-ésimas de 2, fte2ltiktn. La derivada está dada por ( l - n)zn - 2 (zn - 2)2 5. 7. 9. 11.
a) Localmente./ rota a = o y multiplica la longitud por l . b) Localmente./ rota un ángulo a = O y alarga longitudes por un factor de 3. e) Localmente./ rota un ángulo x y alarga longitudes por un factor de 2. (j-1 o f)'(z) = (f-1) ' (J(z))/ "(z). Pero (f-1 of) (z) = z, y así (j-1 o f)'(z) = l . Por lo tanto, "(J-1 ) '(j(z)) !' (z) = l . f(z) = z2 + 3z + 2 = (.x2 - y2 + 3x + 2) + i(2xy + 3y) y, por lo tanto, duldx = 2x + 3 = dvldy y duldy = -2y = -dvldx. Puesto que X = r COS a y y = r sen a, la regla de la Cfldena nos da •
-
du du du = cos e - + sen a dx dy dr
dU du dU - = - r sen e - + r cos a ay ax aa
y
Al resolver para duldx y ()uf()y nos da
du du sen a au = COS e r da dr dX
dU dU COS e dU - = sen a - + --dr r aa ay
y
Similarmente,
dV dV sen a dV = COS a dr r dX da
y
y así, las ecuaciones de Cauchy-Riemann resultan cos 9 dv du dv sen 9 du = sen 9 + cos 9 - aa dr r dr aa r y
sen a
---
dV dV COS 9 dV - = sen a - + r ()9 ay dr
dV sen 9 dV du cos 9 dU = -cos a - + + dr r dr ()9 aa r
538
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
Sí multiplicamos la primera por cos a y la segunda por sen a y sumamos, nos da dv 1 dv . . 1 au . S t milarmente, = -;:ar = -;:- aa . aa
�;
-
13•
a
¿ = _!_ a z
2
=
15.
17.
19. 21. 23.
25.
27.
29.
_!_ 2
( (
) ( ( ) ( )
a a¡ _ J._ ¡ ax i ay a u av _ dx dy
+;
1
=_ 2
av au av _ au _ 1 +í +i ax ax i dy ay
1 a v au _ + 2 dx dy
)]
Entonces, las ecuaciones de Cauchy-Riemann auJ ax = a vJ ay y au l dy = - d v l dx son son equivalentes a decir que la cantidad compleja df/ dz es O. Si / = u + iv, entonces d u/ dx = O = du/ dy ya que u es constante. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, también d vl dy = dul dx = O y d vldx = - d ul dy = O. Así, f'(z) = dul dx + i (d vl dx) = O en todo A . Puesto que A es conexo, / es constante. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, dul dx = d v! 'dy. Por lo tanto, 2'dvl dy = O y así d ul dx y d vl dy son idénticamente O en A . En consecuencia, u depende únicamente de y, y v depende sólo de x. Pero entonces duldy y puede depender únicamente de y y d vl dx únicamente de x. Puesto que dul dy = -J vldx para toda x y y, d u/ dy y -J v/ dx son iguales a la misma constante real c. Así, u = cy + d1 y v = -ex + d2• Por lo tanto, ¡ = u + iv = -ic(x + iy) + (d1 + i�). a) C\ [ 1 }. b) Sí e) eje x\ { l } ; círculo unitario \{ 1 }. d) 90° 13} Jt i i C \ { 1 , e 2Jt !3, e 2 a) u es la parte imaginaria de la función f(z) = z2 + 3z + 1 , la cual es analítica en todo C. Por lo tanto, u es armónica en C. b) Verifique las segundas derivadas directamente en la ecuación de Laplace o blen , observe que u es la parte real de f(z) = l /(z - 1 ) para ver que u es armónica en C \ [ 1 }. . Localmente en B, w = Re g, donde g es analítica. Entonces w o f= Re (g o fl. Pero g o f es analítica y así w o fes armónica. dlu a2u = é cos y - é cos y = o para toda (x, y) a) axr + a_yr b) Necesitamos que a v/ay = autax = eX cos y; así, v(x, y) = eX sen y + g(x). Entonces eX sen y + g'(x) = a vJax = -dul ay = ex sen y. Así, g'(x) = O y, por lo tanto, g es cons tante. Para obtener v(O, O) = O, tome v(x, y) = ex sen y. e) e< = ex cos y + iex sen y. Por los incisos a) y b), las partes real e imaginaria satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy-Riemann 1 .5.8 y, por lo tanto,/es analítica. a) No. Contraejemplo: u (x, y) = x2 - y 2 y v(x, y) = x son armónicas, pero u(v(x, y), O) = x2 no es armónica. 2 b) No. Contraejemplo: u(z) = v(z) = x. Entonces u(z) v(z} = x no es armónica. e) Sí. Escriba •
31.
au au U=a - y V=-a x y entonces/= U + íV. Por suposición. U y V tienen derivadas parciales continuas. Por la suposición de la continuidad de las segundas parciales para u y v, obtenemos dlu ax ay
a2u au ay ax esto es, dy =
-
av
ax
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS I M PARES
5 39
una de las ecuaciones de Cauchy-Riemann paraf Las otra ecuaciones resultan de
fes entonces analítica por el teorema de Cauchy-Riemann( 1 .5.8).
1.6. Diferenciación de las funciones elementales
l.
a) Analítica para toda z; la derivada es 2z
+
b) Analítica e n C \ {o); la derivada es - 1 /z2 •
l.
e) Analítica en C\ {z = (2k + 1 )1t /21k = O , ± 1 , ±2, ± 3, . . . ); la derivada es l /cos2 z.
d)
Analítica en C\ { 1 j. La derivada es 2z3 - 3z 2 - 1
-----::-- exp (z - 1 ) 2
+ --z3
1
z- 1
3. a)
1
7. Sí
Analítica en C \ { ± 1 j. La derivada es - (z2 + 1 )/(z2 - 1 )2•
5. No 9.
a)
b) El límite no existe
b) Analítica en C \ {0). La derivada es ( l - 1 /z2)e' + 11z. 1 1 . El mínimo es 1 /e, en z = ± i. 13. El mapeo z >-+ 2z' es una composición de funciqpes enteras y , por lo tanto, es entem, z 2 z = e2 • l ogz es analítica en la región de analiticidad del logaritmo elegida. Ejercicios de repaso del capítulo 1
l.
( +) ( _) ( ;} � )
ti = cos ( 1 ) + i sen sen i = i
�
(1)
log ( 1
e-
3. e �ti/1 6 ¡ , e �tm 6
1 --
J2
+
b)
(
z3
1
+
1
)
'
=
J2 +
e) [exp (z4 - 1 )] '
d)
[sen (log z2 )]'
-Jz2
(z3 =
=
+
=
=
� log 2 + � + 1
(
( A-
21tni, n un entero
)
i_ , e1ti11 6 , e!till 6 -=!..___ _i_ i +
21tn ± i log (.J3+ .f2) El eje real. 9. a) (z3 + 8) ' = 3z2 en todo C. =
7. a)
i)
exp [2 log (-1)]
e !ti/ 1 6 (-1 ), e 1t i/I 6
5. z
+
1 )2
ff
. e!ti/ 16(-i), e !till6
J2
_
•
�)
b) Un cfrculo, centrado en
( �7• O ) de radio ! .
en C \{-1 , e�til3, e-1ti13)
42 exp (.z4 -
1 ), en todo C .
2. cos (log z 2), en todo C excepto en todo el eje imaginario. z
540
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
11.
13. 15. 17. 19.
Analítica en C \ {0} ; (e11•)' =-.=e11•!z2 b) Analítica en C \ {z = (n/2) + 2nn \ n = O, ± 1 , ± 2, ±3, . . . J ; (l/(1 - sen z)2)' = 2 (cos z)/(1 - sen z)3 e) C \ { ±aJ ; [ea
x = y = -1 .
Observe que v(x, y) = O en A. Por Jo tanto,
y las ecuaciones de Cauchy-Riemann dan
Así,f'es idénticamente O en el conjunto conexo A . Por lo tanto, por la proposición 1 .5.5, fes constante en A. 21. Por hipótesis, (di dz) (f(z) - log z) = O. Utilice ahora la proposición 1 .5.5. 23. lím h�
(Zo - h)n - zn0 h
= f' (.,.'1Y' donde f(z) = zn
25. Fije una rama de log, por ejemplo, la rama principal, la cual es analítica en C \ {eje real no positivo ). Entonces podemos escribir ;:;- = eZ log ', la cual es analítica en la región de
analiticidad del logaritmo escogida. La derivada es z'(l + log z). 27. z = 2eixl2, 2e1 xil6, 2e l l x i/6 29. Éstas son las partes real e imaginaria de z3. 31. a) O. b) Diferenciable en todos los puntos z E C.
b) v(x, y) = xl - 3xy2 35. 37.
z = í, - 1 , -í, 1 f(z) = f(2z) = f(4z) = = f(2nz) para cualquier z y cualquier entero positivo n. Si hace mos w = 2nz, obtenemosf(w/2n) = f(w) para toda n. Si hacemos que n --t oo y usamos la continuidad de f en O, nos da f(O) = f(w). Puesto que esto no se puede hacer para ···
cualquier w en C,f es constante.
2.1. Integrales de contorno l. a)
2+
i�
b)
+reos (2
+
2i) - cos (21)]
e)
O
3. La rama principal del logaritmo es una función que es analítica en un conjunto abierto
que contiene a y y cuaya derivada es 1/z allí. Puesto que y es cerrada, el valor de la inte gral es O, por el teorema fundamental de cálculo para integrales de contorno (2. 1 .7). S. No; por ejemplo, seaf(z) = z, y(t) = it para t E [ O, 1]. Entonces
L t Ref=
pero
O · i dt = O
Re 7.
a) 2ni
i
b)
f
y
f = Re
f'
iti dt = Re
o
(
- !_ 2
1
o
)
541
=
-
1 2
3
9. Para lzl = l tenemos
l 2 + z2 ya que lz 1
+
-
l 12 + z21
Zzl � 1 z 1 1 - l z21 . Por lo tanto,
( Jr ll.
a)
13. o 15.
( Jl l z
=l
< -
dz = 21ti z
( ) lzl
=
1
( )
dz 2
dz = 0 lzl lzl
=
+
1
z2
ldzl z
l
2 - lzl 2
S l
=0
·
l
l (y) = 1t
( ) lzl
=
1
dz = 21t z
b)
i 3
Si z = eie está sobre y, entonces sen z z2
-iz¡
+ le = lsen zl S .:...__.:_ ..:. .:...c__.:... ...:c: .
leiz¡
2
e -sen e
e co• e
+ _.:...___.:..._.:.__ S
2
e
Puesto que y tiene longitud 21t, la estimación se sigue de la proposición 2. 1 .6.
2.2. El teorema de Cauchy: versión intuitiva
l. 3.
S.
a) - 6 b) O e) O d) O O, por el teorema de Cauchy aplicado a z = Zo + reie . La integral será O si y encierra a las dos o a ninguna de las raíces de z2
- ( l /2) ± (ffi2)i. 7. No; seaf(z) = z, y(t) = ei1, t E [0, 21t] (el círculo unitario). Entonces mientras que fy Imf(z) dz = -1t.
9•
2 -3 2 1. -3
+z
+
1 , a saber,
JY Re .f{z) dz = ni,
1 1 . 4ni
2.3. El teorema de Cauchy: versión precisa
l.
Si así fuera, entonces el círculo lz l = 1 sería homotópico a un punto en C\{0}, así que Jlzl 1 dz/z = O. Pero 1 1 1 dzlz = 2ni. Esta contradicción muestra que C\{ 0} no es simplemente z conexo. 3. Sea y: [a, b] una curva cerrada en A. Defina una homotopía H: [a, b] X [0, 1 ] � A como H(t, s) = sy(t) + ( 1 - s)Zo· H es claramente continua y está en A ya que A es en for ma de estrella en Zo- Así, y es homotópica mediante H al mapeo constante en Zo· S. G contiene al segmento entre cada uno de sus puntos y el O. Ejemplo de parte de una demostración: considere un punto e para el cual O < Re e < 1 y O < Im e < 3. Si z = se + ( 1 - s)O = se, con O S s S l está en el segmento entre e y O, entonces Re z = Re (se) = sRe e e Im z = s lm e, así que O S Re z S l y O S Im z S 3 . Por ende z E G. Los puntos que están en otras partes de G, son manejados similarmente.
f
=
=
542
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
7. 9.
a) a)
21ti 21ti
b) o b) 21ti
e) O
d)
1tÍ
2.4. La fórmula integral de Cauchy l.
a)
21tí
b) 21ti
k
3. Las desigualdades de Cauchy (2.4. 7) muestran que¡< ) (z) es idénticamente O para k > n. La conclusión se sigue del ejercicio 20 de la sección 1 .5. S. a) O b) -1ti/3 7. Utilizando las desigualdades de Cauchy, 1/'(0)1 :S: 1/R para toda R < l . Por lo tanto, 1/' (0)1 :S: l . Ésta es la mejor cota posible, como es claro a partir del ejemplo fl.z) = z.
y
9. Sea y el círculo l{t) = z1 + reí'· O :S: t :S: 21t, Izo - z11 < r, es homotópica a y mediante H(t, s) = s(z1 + re i1) + ( l - s)(Zo + re i 1). Ya que z1 no está en la imagen de la homotopía,
/(y
1
¡
_ _
' z 1 ) = 21ti
I
_ _
y Z -z1
1_ 21ti
=_
f
I
_ _
y
-
Z - Z¡
=
1
11. Por la proposición l .5.3,Jes analítica en A\(0), así que es continua allí. Puesto que f(;¡) = F'(;¡) =_lím .-+z.,
F(z) - F(;¡) z - Zo
= !íf!lf(z)
.....""
f también es continua en z0. Por el corolario al teorema de Morera (2.4. 1 1 ), f es analítica en A. d ) 7ti/2. e) O 13. a) O b) O
15. 41ti. 17. 11fes entera y l l //( z)l :S: 1 en C. Por lo tanto, 11fes constante por el teorema de Liouville. En consecuencia,¡ es constante.
19. a) 7t/2 + i(7t/2) b) O 21. Escriba la fórmula integral de Cauchy para f(z1 ), f(z2) y f' (z0), sustituya en el lado iz quierdo y simplifique.
2.5. Teorema del módulo máximo y funciones armónicas l. e 3. Sea A = C\(O),f(z) = el 5. f- g es continua en el (A) y es analítica en A . (f - g) (z) = O para z E fr(A) y, por lo tanto, por el teorema del módulo máximo, (f - g) (z) = O para toda z E A. En otras palabras,f(z) = g(z) para toda z E A . Por lo tanto /= g en todo elemento de el (A) = A V fr(A). 7. le<'l alcanza un valor máximo de e en ± l . 9. a) v(x, y) = - cosh x cos y b) v = arctan ( ylx) o -arctan (x/y) e) v(x, y) = ex sen y. (Observe que se puede agregar un valor constante a cada una.) 11. Si z = x + iy , Re e< = ex cos y e Im el = eX sen y . El vector normal a las curvas de nivel de estas funciones está dado por los vectores gradientes ·
(eX cos y, -ex sen y)
y
(ex sen y, eX cos y)
Puesto que éstos son ortogonales, las curvas también son ortogonales. 13. Ya que f es analítica y no constante en A, z0 no puede ser un máximo relativo. Así, en
543
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
1
cada vecindad de Zo y, e particular, en {z tal que lz - z01 < eJ, existe un punto z con lf(z0)1 > 1/(Zo)l. Si f(Zo) "" O, e tonces, por continuidad, f(z) "" O en algún disco pequeño D centrado en Zo· Por ende, 1/f(z) es analítica en D. Por este último argumento, existe una ' cercana a Zo tal que
Por lo tanto,
15. 17.
\\
lf
lg(O)I = 101 = O, y en consecuencia g(O) = O. También, lg(z)l = lzl < 1 para toda z que lzl < l j. Por ende, se aplica el lema de Schwarz y así g(z) = ez con lcl = l .
E
{z tal
o
Ejercicios de repaso del capítulo 2
l.
b) O
a) O
e) 21ti
d) 21ti cos ( 1 )
3. S i r1 > r2 > l , entonces Yr es homotópica a Yr en lz tal que lzl > 1 2
mtegrales son Iguales. •
•
5. 7.
y por l o tanto, las
2 3
Si z1 E A , sea y una trayectoria en A desde Zo hasta z1• Por el lema de la distancia ( 1 .4.21 ), existe una o > O tal que el conjunto B = 1 z 1 existe un punto w sobre y con 1 z - wJ < oj C A. El teorema del módulo máximo muestra que fes constante en esta subregión acotada y en particular /(z1) = /(z0). Puesto que z1 fue arbitraria,fes constante en A.
9. v(x, y) =
�
(x - 1 ) + y2
1 1 . Considere 13.
lj
J
-
lzl
. =
en
C\{ l j
� dz para obtener 21t. z
1
i; log i = i(1t/2) + 21tin; log (-i) = -i(1t\2) + 21tin;
¡log (-! ) = -i.
15. Por las fórmulas integrales de Cauchy, f' es analítica en A. Puesto que f no es O en A,
f' !fes analítica en A y la integral es O, por el teorema integral de Cauchy. No; sea y el círculo unitario. Entonces f1 x dx + x dy = 1t. 1 9. a) No. b) Sí. e) S í. 21. 2e i1t16, 2e i51tl6 y 2e i3rc/2. 23. Por la propiedad del valor medio para las funciones armónicas (2.5.9), 17.
�
u(O) = Por la fórmula de Poisson (2.5 . 1 3), u(re i+ ) =
R2 - r2 21t
2
J
2"
0
Utilizando estas igualdades obtenemos
J:"
u(Re ie )d9
u(Re ¡e)
R2 - 2Rr cos
(6 - cp) + r2
dO
5 44
esto es,
(R + r)(R - r) l (R + r)(R + r) 27t Por lo tanto,
2lt J o
u(Re
R - lz l R + lzl
- u (z) < ;e) de <
u
(R - r)(R + r) (R - r)(R - r)
R+
< u (z ) < (O) u(O) - R - fzl lzl
3.1. Series convergentes de funciones analíticas l. a) No converge. b) O. 3. El límite es y la convergencia no es uniforme. 5. Si lzl :s; r, entonces lzn - O l:s; rn y así f zn - 01 < E siempre que
1
funciona para toda z en
uniforme en
D(O;
n > (log e)/(log r).
Esa
n
D,, así que la convergencia es uniforme. La convergencia no es
1). Por ejemplo, si z = r, la n mínima requerida es (log E)/(log r), la
cual resulta arbitrariamente grande conforme
r se acerca a
l.
7. Ninguna de estas series converge absolutamente. Sin embargo, tanto la parte real como la i maginaria de cada una de ellas son series alternantes cuyos términos decrecen mo
nótonamente a cero en valor absoluto y entonces son convergentes (por el criterio de
series alternantes del cálculo).
9. La sucesión de sumas parciales converge uniformemente, entonces converge a una fun ción continua y la afi rmación se sigue.
1 1 . Sea E
D cualquier disco cerrado en A. Entonces existe una r >
l tal que
lzl > r para toda z
D. Por lo tanto, l l /znl < ( llr)n para toda z E D. Pero I:=1 ( l lr)n converge, ya que 1/r < 00
n Por lo tanto, I: 1 /zn converge absoluta y uniformemente en 00
n =1
ca en A, el teorema de convergencia analítica
D. Puesto que oo
15. Por e l ej emplo resuelto cerrados de
A
n
A
A,
con � ' (z )
A . Por lo tanto, (- l )kl;k(z) = I: ( log n= l
n
k 1 (z tal que 1 2z - 1 1 <
1j
=:
(z tal que l z -
� 1 +l <
3.2. Series de potencias y el teorema de Taylor l. a)
1
b)
A
�
I: (-log
oo
17. No; seaf,(z) = 'f zkf/2. 19.
e
z=
n )n-z, que también n=l y es por tanto, analítica. Por
=
i=1 (-log n)kn-z converge uniformemente en los
y es entonces analítica en
analítica.
± l . Para
00
converge uniformemente en los discos cerrados de n
=
3. 1 . 15, t(z) = I:= 1n-z converge uniformemente en los discos
n y entonces es analítica en
inducción, �(kl(z) =
llzn es analíti-
(3.1 .8) muestra que I:= 1 llzn es analítica en A.
D un disco cerrado en A y sea 3 su distancia desde la frontera Im z x + iy E D, demuestre que le-n sen (nz )l :s; e -no.
13. Sea
l.
e)
e
d)
1
discos cerrados de
n)kn-z es
también
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 3.
5.
9.
5 45
"'
a)
e'- = l:: (e/n !)(z - 1 )", que converge en todos lados.
b)
1/z =
n�o "'
n
a)
sen z
b)
z2eZ =
z
� (-1 )" (z - 1 )"; la serie converge para lz - l l< l . o
= sen ( l ) + [cos ( l ) - sen ( l )](z - 1 )
00
L
n �o
,J z2 -
e) e' sen z = z + z2 + _!_ z 3 - ..!.... z 5 +·
1
- z" + 2 n!
1 =i- �
z2 -
�
30
3
• •
z4 + . . .
1 1 . Para senh z , las derivadas impares son l y las derivadas pares son O e n z = O. Por l o tan to, por el teorema de Taylor, senh z = El argumento para cosh z es similar.
13 . 15.
1
( l - Z)2 Si l z l
<
� n-1 - � nz _
n�l
R,
"�' 00
z2 n - 1 (2n
_
l)!
y
entonces l::a,. z " converge absolutamente; esto es, l:: la,l lzl" converge. Pero
a,)z" IS ia,. 1 lz,.l, así que l:: I(Re a,)z"IS l:: la,.l lz"l y, por lo tanto, l:: (Re a,)z" con verge. Puesto que l::(Re a,)z" converge para cualquier lzl < R, el radio de convergencia I(Re
debe ser ;e: R.
{
17.
La región para la primera serie es A = z tal que llm(z)l
19.
a)
La segunda serie no es analítica en ningún lado.
<
j
log 2 .
�
f< "l(z0)(z - z0)"/n ! , tiene radio de conver Suponga que la serie de Taylor para f 1 o gencia R y converge a una función g(z) en D(Zo; R). Sea R0 el radio de D. Por el
teorema de Taylor (3.2.7), la restricción de g a D es igual afy R ;::: Ro - La función g es analítica y, por lo tanto, continua en D(Zo; R). Si R fuera > R0, entonces g sería continua y e n consecuencia acotada en e l disco cerrado compacto el (D) = lz tal que
lz - Zo l ::;; R0 . Pero g y f son la misma en D, y f no es acotada en D, así que R no es mayor que R0 y por lo tanto R = R0. Las ramas de log( l + z) pueden ser definidas con el corte de plano a lo largo de
j
b)
cualquier rayo desde - l hasta
oo.
Para la rama principal esto es a lo largo del eje ne
gativo. Estas determinaciones difieren por la suma de una constante que depende del ángulo entre el rayo y el eje real. Las expansiones en series alrededor de Zo = -2 + i difieren únicamente en los términos constantes y, por lo tanto, tienen el mismo radio de convergencia, al cual le podemos l lamar t
R.
Si escogemos el rayo que parte de -1
y es directamente opuesto a Zo• entonces D(Zo;.f2) está en la región de analiticidad y,
por lo tanto, R ;::: ff. Pero D = D(Zo; es el disco más grande centrado en Zo que está contenido en la región de analiticidad de la rama principal de log ( l + z), y J2> l . Suponga que l h(z)l S M para z en B y sea E > 0,; S i g(z) = l::¡g¡(z). entonces la convergen-
1)
21.
gencia uniforme nos da una N tal que lg(z) - l:: g .(z)l i=m + 11 Por ende,
<
EIM siempre que
n ;::: N y m :<::
546 n
h(z)g(z) - .L h(z)g¡(z) i=m+ 1
=
n
lh(z)l g(z) - .L g¡(z) < e i=m+
1
23.
Por lo tanto,
oo
H1 (x) + ,L H + 1 (x) n=1 n
�
1
n.
-
ro
=
2xH0(x) + ,L [2xH (x) - 2nH 1 (x)]zntn ! n n n=1 _
Al igualar los coeficientes obtenemos los resultados deseados. 2S.
n � 5 ! 2_ 5 z2 + _ j(z) = 1 + 2z + _ 4 n= 3 n! 2
2 - 2z - 1:. .. ...:
.. z.. _::-::...:... ...: _ :.e:... =5 4
3.3. Series de Laurent y clasificación de singularidades l.
1 - 1 + 1 ' O < lzl < oo 3 !z3 5 !z5 z 1 - 1 + z - z2 + z3 - z4 + · ··, 0 < lzl < b) z e) z - z2 + il - z" + z5 - ···, lzl < 1 a)
d) 3. 5.
-
-
· · ·
1 + ...!_ z + _!_ z2 + 1 +...!_ + -
z2
z
2!
3!
4!
00
• • •
'
1
O < lzl < 00 ""
z/(z + 1 ) = 1 /( 1 + 1 /z) =n I: (- l )n ( 1 /z)n =n I: ( l )nz-n para lzl > 1 =O =O Sea y u n segmento radial desde y hasta y1 que no pase por z. Sea "(4 = "( + "(3 - "(1 - y 3 3 2 2 como se indica en l a figura A.3.3. 5 . Sea y5 un círculo pequeño alrededor d e z que esté entre "(1 y "( y que no cruza a "(3 " 2
Figura A.3.3.5. Solución del ejercicio 3.3.5.
547
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES Entonces y4 es claramente homotópica a y en la región de analiticidad 5 z). Por lo tanto, por la fórmula integral de Cauchy,
(t 121tl-. f f(z) == -21ti�-J =21ti�-J
Y,
ft -(t) dt= _27U1 _. f f(t) dt+ -21ti1- f f(t) dt 21tiI _f t-z Z
y
f(t) dt f-(t) dt-21ti� - f tf-(t) dt - 21ti� - f f-(t) dt f(t) dt t-z
y. 1- Z
y2 1- Z
y3 t
_ _
y2
de f(t) de f(t)l
y1
Z
Z
y1
y3 1
Z
7. Utilice el hecho de que existe una función analítica definida en una vecindad de Zo tal
O /(z) = ez-t = -z - Tl + l 2z - 7202z3 + ··· = _!__ --31 _!_ z3 --- + ... Z¡¡) " lz -Z¡¡I =(R + r)/2 R, z0)" -+O lz -Z¡¡l = (R + r)/2. 2" lb,I /(R + r)"-+ O = lz lz -Z¡¡l p) p 2/(R + r). p = r 2/(R + r), ; 1b,(:- z0)" , ,lr" l 1 /rj. -"Z¡¡)" r ( M O + = (2n ; l)1t =O, .
que
9. 11. 13.
(Z¡¡) #
y
a) No 1
b)
No
l
cot z
z
1
l
z
_
00
45
15. Puesto quc;, � b/(z 1
e)
Sí
945
z5
>
converge para
Esto es,
�
tal que
<
si
Z¡¡)" converge uniforme ll <
Al tomar
y por lo tanto,
verge uniformemente en F, , por el criterio
17. cos ( l/z) tiene un
b"
z -zo)"
<
lb 1
r"
y absolutamente en
En particular, I: l b
converge uniforme y absolutamente en {z tal que z - Z¡¡I � converge. Si z E F,, lz - 7-1 > -u
para
y, por lo tanto, es acotada. En consecuencia,
00
por el lema de Abel-Weierstrass � b,(z ;, 1
AP
bi(z -
.
Ast I: b,l(z n=1 '
00
n=l
con-·
de Weierstrass.
de orden l en
± l , ±2,
n
..
esto es, en
z
= (2n +2 1)1t
:-:-=---=-:-
Por ende, 1/cos( l /z) tiene polos simples en esos puntos y z aislada.
a) l.
19.
2
·
b)
]_ 2
Ejercicios de repaso del capítulo 3 l. I: 00
(-1)"
n=l
- 1 (z - l )"/n
e)
1
d) o
=O
no es una singularidad
548
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 3. 5
1 1 -- - -- + z2 oo
.
n
�
1 - z + z2 - z3 + · · ·
z
n (- l ) + 1
(2n -
1)!
z
4n
7. Suponga que w
e, w � o. Resuelva e 11z = w para z, como si gue:
E
1 - = log w = z
z=
log lwl + i(arg w +
1
21tn)
...,...,--=--
loglwl + i (arg w +
-
21tn)
En cualquier vecindad agujerada del origen está un número infinito de estas soluciones.
9. a)
-}
b)
1
1 1 . Los coeficientes para cualquier serie están dados por an -
1
J r,n
·-
21ti
/( ) (,
y
+1
d(,
donde y es el círculo de radio 2 centrado en el origen. 13. Se aplica el lema de Schwarz con lo que da 1/(z)l :5; lzl para toda lzl < l . También, 1/(z)l = lz l
15. 17.
para cualquier l z l <
-21ti/3
1
implica que/(z) = ez una constante e, con Id =
1 3 5 1 a) = - - z + z - z + z - · · · z
l.
1 l 1 l l b) = - - - + - - - + - · ·· ll z3
zs
z1
z9
z
19. Sí. Usted puede basar su argumento en el hecho de que una composición de funciones analíticas es analítica.
21. Puesto que fes acotada cerca de Zo• Zo no es un polo ni es una singu laridad esencial. 23. 21t 25. a) Polos de orden l en z = 1 y z = 5.
27.
b) e) d)
Singularidad removible e n z = O.
Polo de orden l en z = O. Polo de orden
21ti.
29. a)
b)
a0 = -
El denominador tiene ceros de orden los de orden
1
en ±
1 y,
No; sen z.
33.
a) 21t a0 + z + z2 + z
los enteros i mpares. El numerador tiene
2 en todos los otros enteros i mpares
_·n! 21t
b) Bn - -
.
4
2 en
por lo tanto, la función tiene polos simples en
Las singularidades más cercanas a
31.
35. 37.
en z = l .
; , a 1 = O, a2 = (4 - 1t2)/8
ceros de orden
e)
1
f21t o
O están
e -i(n - 1)9 e"' - 1 .•
±1 y
po
en ± l . El radio de convergencia es l .
d6
+ zs + z 1 6 + · · · , donde a0 = /(0). Muestre la unicidad demostrando que
los coeficientes están determinados de manera única.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
39.
1/(z) l = lím , ..... oo
n
L k= O
Jl kl(O)
zk
k!
f. ¡< kl�O) z k
k=O
549
para toda z. Pero
� í, lf ( k (O) I I z l k � l z !k � lzl k = e izi, k O k =O k. . k= k=O k.
:
k.
l:�
l:J,
y, por lo tanto, el límite no es mayor que e1zl . 4.1. Cálculo de residuos l.
a) O
b) l
3. Seaf(z) = l lz. S. El residuo correcto es 2. 7. a)
Res (f, O) =
e) -1
� . Res (f, - 4) = - �
d)
1
e) O
6
b) Res (/. - l ) = O
e) Res (/, VJ) = 3 -513, Res (f, V'3e 2Jti/3) = 3 -513 e --4xil3, Res (f,if3e4Jti/3) = 3 - 5t3e -2Jtil3. 9.
!
11. Res (/1/2, Zo) = a1 Res (/2, Zo) + a2 Res (ji' Zo) donde a¡ es el término constante en la ex pansión de!;. e) Res (/, O) = l , Res (/, 1 ) = -1 13. a) O b) -e /2
d) Res (/, 0) = 1 , Res (f, 1 ) = -e/2.
4.2. El teorema del residuo l. a) O 3. o. S. -l 27ti 7. a) O 9. a) 27ti
b) o. b) o b) 27ti.
f,/(+)? f
11. -
dz = r g(w) dw donde y es la curva 1 /y
13. a) - 8. 15. -1ti
b) 27ti.
4.3. Evaluación de integrales definidas 1 . 1tiD
5.
7te -m /12 r=-
2v2
(
cos
m
¡-;;;-
v2
+
m
)
.
sen � SI m > O v2
1teml vT 2v2
=-
(
cos
m
=-
�2
m
)
.
- sen -¡==- SI m < O v2
550
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 9. - 1ti/(a - 1 ) 2
11. La función es par y se aplica la línea 3 de la tabla 4.3. 1 .
13.
o
15. -7ti/2 (o 7ti/2 si se usa una rama diferente). Construya
�z2 - 1 en mucho como en el ejemplo 4.3. 1 5, pero haga el corte de rama para que el factor �z - 1 vaya de 1 hasta -oc y el de .JZ+1 de -1 a oo. Al cruzar el eje real en x, con lxl > 1 se requiere cruzar ambos
cortes o ninguno. El producto es analítico en C\{z 1 Im z = O y IRe z 1 � 1 ) , como en el ejemplo 4.3.1 5 . 17. 1t e- ah¡a 19. Utilice el ejercicio 18; Res ((- z)a - l J(z), l ) = (elti)a - 1 . 21. Después de verificar que todas las integrales existen y que las operaciones están justifi· cadas, calcule
(too ) (f� e -l dy
e -x' dx
oo
) f f: J =
oo
= 21t
o
oo
e -(x' + y') dx dy =
oo
e -r'r dr = -1t e -r'
= -1t (O - 1 ) = 1t
J: J:
lt e -r'r d 6 dr
o
00
y, por lo tanto, [:'."' e-x' dx = lit:
23. 21t(97 13- 1 68)/3
25. a)
..f1ti
4.4. Evaluación de series infinitas y expansiones en fracciones parciales 1 . Como en la demostración de la proposición 4.4.2 , --+ oo.
fe
7t
e? 1tz
N
--+
O conforme N
El residuo en n � O es lln4• Calcule los primeros términos de la serie de Laurent
cot z = 1 /z -
-j- z - ;5 z3 -
, [
hm
N ->
oo
-
•••
para encontrar que el residuo en O es -'lt"/45, así que
] ,(
N 7t4 N J 1 + L -:4 ,!'¡ ( 4 45 , = 1 n n = l -n )
N 1 1t4 = hm + 2 L -:4 45 n N-> ,= l
)
ce
_
y entonces l: l /n4 = 7t4/90. l
3. Aplique el teorema de la adición (4.4. 1 ) y la proposición 4.4.2.
Res (verifique esto), y así
(
1t COt 7tz z2 + a2
+
, _a¡
)
·
-
-
-
1t coth 1ta 2a
1t 00 1 1 - coth 1ta = L 2 2 =2+ 2 a a n = - oc n + a
00
L
n=l
Entonces ce
1
1
1t
+ - coth 1ta L n 2 + a 2 = - -2a 2 2a
y
dz
n=l
1 2 n + a2
551 00
1
L
5.
n = O n2
00
l:
n =-�
(-l)nf(n) =-
+ a2
=
1
-
a2
1
oc
+�
n¿_¡ = l n2
+ a2
=
l
--
2a2
1t
+ - coth 1ta 2a
[suma de los residuos de 1t ese 1tZ/(z) en los polos defl. Aquíf debe .
obedecer algunas condiciones como: Existen R > O y M > O tales que para lzl > R, lf(z)l S: M/lzla, donde ex > 1 . Si alguno de los polos de f estuviera en los enteros, la técnica puede aún ser usada. Después de verificar que
( )eN
tendríamos
1tf(z)
sen 1tz
dz --+
O conforme N --+
oo
00
- n -J:- oo (-l )nf(n) = [suma de los residuos de 1t ese 1tzf(z) en los polos de f]. 7.
n no es un
polo de/
Considere f(z) = cot
z-
tiene polos simples en do con esquinas en
z
f(z) = O y fes z ..... (T'
1 /z. Entonces lím =
mt
para n =¡6
analítica en
O. Verifique que
O, con residuo l en cada uno. Sea eN el cuadra-
( N + � ) 1t ( ± 1 , ± i). A lo largo de eN tenemos cot z = cot(- z), y -z
está en eN cuando z lo está. Entonces, es suficiente verificar lcot zl para y = Im z = x + iy, y > O , entonces lcot zl =
=
e iz
z
� O. Si
+ e -iz
e iz _ e -•z
k 2 ix - 2y + 1 �2 ix - 2y 1 _
( N + T) 1t > 1 y, por lo tanto, lcot zl S: 2/( l - e-2) S: 4. Sobre los lados verticales, x = ± ( N + � ) 1t y, por lo tanto, e 2 ix = - 1 , y sobre la horizontal superior del cuadrado y =
lcot z l S: y,
9.
-
e
?Y _ 1
< 2. En cualquiera de los casos, 1/(z) l S: 4 + 2/1t para
en consecuencia, con R =
z
sobre eN
( N + t) 1t, M = 4 + 2/1t, y S = 8 , las condiciones del
teorema de fracciones parciales (4.4.5) se satisfacen y los datos en los polos se pueden introducir para dar la fórmula deseada. No se conoce una respuesta exacta a este aparentemente simple problema. La suma es l;(3), donde l; es la función zeta de Riemann, importante en el análisis y en teoría de nú meros y una fuente de varios problemas abiertos famosos en matemáticas. El método 00 del teorema de la adición (4.4. 1 ) puede ser usado para sumar l; (p) = !: ( 1 /nP) para p 1 par, como en la proposición 4 .4.3 y el ejercicio l . Uno obtiene l;(2m) = (-1 ) m + 1 (21t)2m
B m 2
2(2m)!
donde las B m son los números de Bernoulli involucrados en Ja expansión de la función 2 cotangente. (Véase también el ejercicio de repaso 33 del capítulo 3.) Este método falla para p impar básicamente porque l l(-n )P + 1/nP = O, no a 2/n P. Un valor aproximado es l;(3) 1 .2020569, no se sabía si l;(3) era irracional. Esto se mostró en 1 978 por R. Apery (véase Mathematical lntelligencer, vol. 1 ( 1 979), pp. 1 95-203.) Aun cuando la irraciona lidad l;(p) es todavía desconocida para otros valores impares de p. =
552 Ejercicios de repaso del capítulo 4 l.
2 1tli3
3.
(1t /2) 12
5.
� [ 2 - -1-- - cos ( 1 ) ] -
7. 1tlf5 9.
2 1t
1 1. 2 1ti sen ( 1 )
1
13. a)
T
3 7 + 4 z + g z2 +
•
1 3 7 15 b) +-+- +-+ 3 z2 z z4 zs
•
•
·+ •
•
2
+
"
+ 1 -
2,+1
1
z"
2 "- 1 + zn + l
•
+ •
•
•
•
•
.
15. 1tl2
Res (f, 0)=-l. Los otros residuos están en z . con z2= 2 1tni , n= ± 1 , ± 2 , . . , y son son iguales a -
17. a)
f.
b) Res (f, n1t)= 2 7tn cos ( n21t2) 19.
Res
(!
21.
1 + 23. -1ti 25.
( ) _
1)
e) cos ( l )
(f' )
/" /'' z / '' =k- 1 y Res
2k = k+ 1 0
¡
J
•
para k ,., O , 1
h a sido expandida incorrectamente.
a) El radio de convergencia es infinito.
b) El radio de convergencia es 1 (utilice el criterio de la raíz). NOTA: Para usar el criterio de la razón, se utilizan los siguientes hechos:
( 3...)"
(i) lím 1 + = e '. n � oo n (ii) En la serie de potencias l:a,z". Jos coeficientes a, tienden a un límite finito distinto de cero, entonces el radio de convergencia debe ser l . · + (n + l)(n + 2 ) z + 27. a) 1 + 3z + 6z2 + I O z3 + n 2 1 3 6 (n + l )(n + 2 ) 1 b) -.. . -. . . n 2 z +3 - � - tr - z5 6 3 (n + l )( n + 2 ) ¡ + (z + l ) + (z + l )2 + · · · + e) _g(z + l )" + · · . 16 32 2 " +4 - 1 (z - 1 )3 .
•
d)
29. a )
•
•
•
Use sen3x= (3 sen x - sen 3x)/4. Utilice un argumento parecido al del valor principal de Cauchy, verificando directamente que
f
y
3 e iz _ e3 iz z3
�
. - 31tl
conforme
p�O
donde "( es un semicírculo en el semi plano superior desde -p hasta b) Use la línea 5 de la tabla 4.3. 1 .
p.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
553
Utilice el ejercicio 5 de la sección 4.4. F(z) = (1t ese nz)/(z + a)2 tiene un polo en z = -a con residuo -1t 2 ese (na) cot (1ta). 33. La última igualdad es errónea porque se omite la i ntegral a lo largo del semicírculo. No podemos concluir que la i ntegral a lo largo del semicírculo se va a O conforme R � oo y debe entonces evaluarse más cuidadosamente. 35. Es suficiente para/ el que sea analítica en una región que contenga al eje real y al semi plano superior y que sea tal que la integral de /(z)/(z x), a lo largo del semicírculo superior de lzt = R, tiende a O conforme R � oo. Estas condiciones se satisfarán si 1/(z)l < MfR« para alguna M > O y a > O, para R suficientemente grande y para z que esté en el semiplano superior. Utilice el ejercicio 34 para la última parte. (1)1t 1t tanh "2i) 37. 2b 31.
-
5.1. Teoría básica de los mapeos conformes l. Los primeros tres cuadrantes. 3.
a) En todos lados excepto en z = O y z = -
-
En todos lados excepto en z = x2 - y2 5. v(x. y) - 1 2xy + 2 (x + y2)2 b)
_
- -}.
�.
7. Sean g y h las funciones garantizadas por el teorema del mapeo de Riemann:
g: A � D h: B � D
con con
g(z0 ) = O h(w0) = O
y y
g' (z 0) > O h'(w0) > O
Hágase f(z) = h-1(e i9g(z)) para z e A y verifique quefmanda a A en forma uno a uno y sobre en B, que/( <;¡) = h-1 (ei9g(z )) = h-1(0) = w0, y quef' (z 0) = e ;9[g' (z0) 1h ' (w0) ]. 0 9. De f o ¡-1(z) = z obtenemos f' (f-1 (z)) (f-1 ) ' (z) = l . Se sigue que f' (z) =;é O, así que f es conforme, por el teorema del mapeo conforme (5. 1 . 1 ). ll. No para ambas partes. Una función para a) es una función entera acotada. El teorema de Liouville dice que ésta debe ser constante y, por lo tanto, no puede transformar a C sobre D. La inversa de una función para b) es una función para a). 13. A u fr (A) es cerrado. Si A es acotado entonces A u fr (A ) sería también acotado y, por lo tanto, compacto. Si hubiem una extensión continua de f a este conjunto compacto, su imagen sería compacta y no contendría al conj unto no acotado B. •
5.2. Transformaciones fraccional lineal y de Schwarz-ChristotTel l.
a) R\{ 1 ) (f(oo) = l y f(- 1 ) = oo) b) El círculo que corta al eje real en ángulos rectos en 3 y
e) { eje i maginario } u {oo} (f(-l ) = oo). d) { el círculo unitario } \ { l } (f(oo) = l ) 3. a) /(z) = (z + 1 ) /(z - 3) b) f(z) = z - 2 5. De acuerdo a la figura 5.2.1 1 (vi), z �--+ -i
(� � � )
-3-- (centro }-. radio}-) .
manda al disco al semiplano superior
554
RESPUESTAS A lOS EJERCICIOS IMPARES
con O � i. El mapeo w � 2(w + Entonces,
1 ) manda al semiplano superior en sí mismo.
hace lo que queremos. z-
7. z �
1 2
1 - ...!.. z 1
2z - 1 3w - 1 manda a D en D y a 1 en O. w � _ 2 2 z 3 w
=
2
ya3 en O. Al resolver =
manda a D en D
_
3w - 1 3-w
=
2z - 1 5z - 1 -c::-='---- para w da w = y, por lo tanto,f(z) 2-z 5-z
5z - l es el mapeo que queremos. 5-z
( �)
9. f(z) = e-3�ti/4
z+
Z-l
1 1 . T es la composición de una traslación, una inversión en el círculo unitario, una refle xión en el eje real, una rotación, una amplificación y otm traslación. 13. (2z - 1 )/(2 - z). (Esto puede ser multiplicado por e;e para cualquier constante real 9).
15. e ia
z - R:zo R - :zoz
17. Suponga que T es tal mapeo. Defina W como W(z) = T
(� 1
•
z+ 1 z- 1
)
W transforma conformemente al círculo unitario sobre sí mismo. Utilice ahora la pro posición 5.2. 1 . z8 - i 19. z8 + i 21. Por la proposición 5.2.3, T(y1 ) y T(y ) son círculos o líneas rectas y puesto que T es 2 conforme, por el teorema 5 . 1 . 1 , éstos se intersectan ortogonalmente. 23. l z - z01 1z - z01
=
=
25. j(z) =
1 + e'
=
lz- z01 1z - z01
(
z0z + R2 - lz012 Z - Zo
lzoZ + R2 - lzJ2 - z0z + z0z01 = IR21 = R2
1 -é
27. Utilice una mma del log definida en C\ {eje real no positivo} para log (re;e) = log r + i9 , donde -n: < e < n:. 29. Por la fórmula de Schwarz-Christoffel, la imagen es un polígono con cuatro lados, tres de cuyos ángulos son de 90°. Por lo tanto, la imagen es un rectángulo. 31. No. El mapeo
/(z) =
J:
(1 - I)-a• t -a, dt
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
555
manda al semi plano superior en un triángulo con ángulos exteriores 1tal ' 1ta2, 1t�. 33. Ambos círculos frontera van a O y f(O) = oo. Puesto que f manda a R en R, los círculos van a líneas que pasan porf( 2) yf( 4) y que son otorgonales a R. Éstas son las líneas Re z = 2 y Re z = l . Verifique el valor def( 3) para estar seguros que la región es correcta. 35. f(b) = O y f(d) = oo. Entonces un círculo a través de b y d debe transformarse en un círculo a través de O e oo, esto es, una línea a través del origen. Puesto que 1/{z)l =
a
z-b z-d
tenemos
=
z-b z-d
lal
r
z-b z -d
= - � lf{z)l = r lal
Esto establece a) y b). La manera más fácil para obtener la ortogonalidad es observar que las imágenes bajo el mapeof son trivialmente ortogonales. Puesto que la inversa de una transformación frac ciona! lineal es de la misma forma, en consecuencia conforme, lo mismo debe haber sido cierto para la preimagen. (Para confirmar directamente esto, se requieren cálculos directos pero largos.)
5.3. Aplicaciones a la ecuación de Laplace: conducción del calor• electrostática e hidrodinámica
l
l . u (x, y) = - arctan
1t
3 • IJI(.x, y) = 1 5. F(z) = lal
_
(
4x3y - 4xy3
_A
2 2
.A x · - 6x y + y
_!_ arctan 1t
�
e-i&z + -i e z
X
1t
cos x senh y 1 _ arctan + sen x • cosh y - l 1t •
)
En coordenadas polares,
IJI(r, 0) = lal
7.
4 y - arctan -
'JI(r,
0) = lal
En coordenadas polares,
[(r +) [(r-+)
IJI(r, 9) = ar4 cos 49 En coordenadas rectangulares,
+
y
cos x senh y sen x cosh y + 1
cos (0 - 9)
•
•
J ]
sen (0 - 9)
'JI(r, 9) = a r4 sen 49
5 56 Ejercicios de repaso del capítulo S
l. Cualquier región que no contenga al 3.
S. 7.
El primer cuadrante.
9.
j(z) = z + l - i
11.
O.
(2z-i)/(2 +iz). (Esta respuesta puede ser multiplicada por ei9 para cualquier constante real 9.) f(z) = (2z - 4 )/z es una de éstas. No. La región
lz
1 l < lzl <
2j
no es si mplemente conexa. La i nversa mandaría a la
región simplemente conexa en ella, lo cual es imposible, por el ejemplo resuelto
lS. Utilice la proposición
5. 1 . 7.
13. No.
5.2.2.
z'2" "+7} :-- donde a, b,c y d son reales y ad > be cz2 + d
17.
F(z) =
19.
f(z) = ..¡ z2 + 1
donde ¡-debe tomarse como la rama definida en
(Z::: : )
C\{ eje
real positivo ) ,
l a cual toma valores en e l semiplano superior. El potencial deseado es
21.
El potencial complejo deseado debe ser
y2 =
av
F(z) =
K- l
2x2 + K -
1
q>(z) = _!_ arg
z2 + l . La fórmula
+ K- 1 2
---
25.
K > 1 , da líneas de '1' constante, las cuales son líneas de corriente. 4>(x, y) = 1 - 1 arctan ex sen y . Los valores de arctan se escogen entre O y 1t. 1t ex cos y - 1 h ,--/(z) = - (v z2 - J + cosh- 1 z)
27.
T(x. y)
23.
29.
•
para
-
:+- �
Re
( �) m=n
,-----
2 31. v p; p
6.1. Continuación analítica y superficies elementales de Riemann
l.
a)
No, no lo es. Una condición i mportante del teorema de identidad
b)
punto límite Zo debe estar en
A.
No. Sea A el disco unitario. Sea
S.
que el
u1 (z) = Im z y uz(z) = Im e'. Tanto u1 como u2 son
armónicas en A y son cero a lo largo del eje real, pero éstas no son idénticamente O, no coinciden una con otra en
3.
(6. 1 . 1 ) es
A.
z , sería constante en todo A, por el teorema de f (z1) a ser O,2 lo cual no es cierto. Si z = re 2 triplq, entonces zn! = rn! siempre que n � q. Cualquier conjunto abierto que contenga a A, contiene un punto e 2 triplq = z0• S i / fuera continuada analíticamente para in cluir a Zo• debería tener un límite finito en z0, pero 1ím f(re 2 triplq) = oo. Verifique esto Si
f fuera
constante en· una vecindad
identidad. Esto obligaría a
'
uti lizando la primera observación.
r->
1
RESPUESTAS A LOS EjERCICIOS IMPARES
557
7. La unión de los conj untos Uk es un conjunto abierto que contiene a y. El lema de la dis tancia da una distancia positiva p de y al complemento de A. Puesto que la continuación es analítica en cada Uk , el radio de convergencia es al menos p en cada punto a lo largo de y. El lema de la trayectoria cubriente da una cadena finita de discos traslapados con centros a lo largo de y, donde cada uno contiene el centro del siguiente, así que éstos pueden ser usados para implementar la continuación mediante series de potencias. 9. La situación es algo parecida a aquella para ..[Z, excepto que ahora hay tres hojas, cada una copia del plano cortado a lo largo del, digamos, eje real negativo. Éstas se unen a lo largo de estos cortes de tal manera que al seguir una trayectoria que gira una vez al rededor de cero, uno es llevado desde la primera hoja hasta la segunda. Cuando la tra yectoria gira una vez más alrededor del cero, uno es llevada a la tercera hoja; cuando la trayectoria gira una tercera vez alrededor del cero. uno es llevada de regreso a la primera hoja. 11. f(z) = l / ( 1 + z) la extiende a C\l- 1 ]. 13. Use el ejemplo resuelto 2.4. 1 6. (El teorema de la función implícita puede usarse para ase gurar que la mayoría de los rectángulos pequeños se intersecan con y a lo más dos veces.)
6.2. El teorema de Rouché y el principio del argumento l. Cinco. Considere g(z) = z6 - 4z5 + z2 - 1 y /(z) = - 4z5 y utilice el teorema de Rouché. 3. Para R suficientemente grande, la curva yR mostrada, incluirá a cualquier número finito
S.
7.
9. 11. 13. 15. 17. 19. 21.
23.
de posibles soluciones en el semi plano derecho. Sean g(z) = z + e-z - 2 y f(z) = z - 2. A lo largo de Yw lf(z) - g (z)l = e -Re z s; 1 < 1/(z)l, y /tiene exactamente una solución. Por lo tanto, g tiene una solución. Sean h(z) = f(z) - z y g (z) = -z. Sobre el círculo lzl = 1 , lh(z)l - g(z)l = lf(z)l < 1 = lg(z)l y, por lo tanto, el teorema de Rouché muestra que h tiene un O en el interior de { z tal que lzl = 1 } . Un O de h es un punto fijo def Sea rn = 1 - 1 /n y fn (z) = f(rnz). Utilice el ejercicio 5 para obtener zn• con J, (zn) = zn. (Utilice el teorema del módulo máximo para obtener lf(rnz)l < 1 si lzl = 1 .) Las zn están todas en el disco cerrado D = { z tal que lzl s; 1 } y, por lo tanto, existe una subsucesión que converge a un punto Zo E D, digamos zn, � z0• Verifique lo siguiente: rn, zn , � Zo y por lo tantof(rn, zn) � f(zo), perof(rn • z n ) = zn, � Zo y en consecuenciaf(z.o) = Zo· , , n Sea g(z) = anz , estimef(z) - g (z) a lo largo de círculos grandes, como en demostración del teorema fundamental del álgebra (2.4.9). y aplique el teorema de Rouché. Use el método del teorema 6.2. 1 para calcular el residuo de f'(z)h(z)/f(z). obteniendo kh(a) si /tiene un O de orden k en a., y -kh(b1 ) si ftiene un polo de orden k en b 1 • Aplique el ejercicio 1 1 , con h(z) = i. (Los ceros se repiten en la suma de acuerdo a sus multiplicidades.) Aplique el teorema fundamental del álgebra al polinomio f(z) - w. No. Sea.f(z) = el - l . / tiene tres ceros en el i nterior de un círculo de radio 37t y centro en O, pero f'(z) no tiene ceros. Cualquier r tal que 1 < r < 4, dará el resultado deseado, el teorema de Rouché funciona con r = 2 y g (z) = - 4 z2• Suponga que e;a y e i'll están en el círculo frontera. Si ei'P #- e i 'll, entonces una ecuación (ei9)2 + 3(e i9) = (ei'll) 2 + 3(e;'l') se convertiría en (é9)2 - (e i '11) 2 = 3(e;a - e i 'll) o (e;a + ei'll) (ei9 - ei'll) = 3(e ;a - é'��) , requiriendo que e;a + e i 'll = 3. Esto no es posible ya que e ;a y e i\JI tienen ambas valor absoluto l . La función es uno a uno en la frontera del círculo y, por lo tanto, en toda la región, por el teorema de la función uno a uno (6.2. 1 0) . Considere f(z) = 1 /z y aplique e l teorema de Rouché; usted obtendrá que - 1 "es igual a" un número no negativo.
558 6.3.
Propiedades de mapeo de las funciones analíticas
l.
a)
{ z tal que lzl < � }
b) { z tal que lz - 1 1
<; }
3. Sea f(z) = z3, w0 = z0 = 1 , r = L Las raíces de z3 - l están en l , e2"i/3 y é!til3• De éstas, únicamente una está en D = { z tal que lz - 1 1 < 1 } . .f (z) = 3z2 y es O únicamente en O, 5. 7.
9. 11.
que no está en D. Sin embargo,f(re "i13) = f(re-xiiJ) = -r3, y para r suficientemente pe queño, estos puntos están en D. Utilice la regla de la cadena para mostrar que g (z) = f(z") -f(O) tiene un cero de orden n en Zo = O y aplique el ejemplo resuelto 6.3.7. Sea u armónica y no constante sobre una región A, z0 E A, y sea U cualquier vecindad abierta de Zo contenida en A . Por el ejercicio 6, u es un mapeo abierto y, por lo tanto, u (U) es una vecindad abierta de u (z0) en R. Esto significa que, arbitrariamente, cerca de z0, u toma valores tanto mayores como menores que u (z0). Seanf(z) = e z - a - z y g(z) = -z. Entonces, para z = x + iy sobre el círculo unitario, 1/(z) - g(z)l = lex + iy - a¡ = ex-a < l = lg(z)l. Se aplica ahora el teorema de Rouché. lfl tiene un mínimo en algún lugar de D, ya que es continua. Éste no está en la fronte ra puesto que f(O) = 1 < 2. El mínimo está en un punto interior z0 de D. Si f(z) nunca fuera cero, entonces l lf sería analítica, con un máximo local en z0• El principio del módulo máximo diría que 1 /f, y por lo tanto, también/. sería constante. Pero esto no es cierto, ya que/{0) = l y 1/( 1 )1 = 2.
Ejercicios de repaso del capítulo 6
l. fes idénticamente O sobre { z tal que lzl
< 1 }.
3. a) g(z) = f(z) -f(z) es entera y g(ak) = O para toda k. Puesto que las ak están acotadas, existe una subsucesión convergente a algana a0• Entonces, g = O, por el teorema de identidad y, por lo tanto,f(z) =f(Z) para toda z. Al tomar z real da el resultado.
b) Por la parte a), f(x) es real para x real. Utilice el teorema del valor medio del cálculo, para obtener bn, con a2 n + 1 ::;; bn :5; an y f ' (bn) = O. Verifique que b � O y, n
por lo tanto,f' = O, por el teorema de identidad. Concluya quejes constante. 5. Utilice el principio de reflexión de Schwarz para definir a f en el semi plano superior. La función/y su reflexión coinciden en la banda { z 1 O < Im z < 1 } y juntas definen una función entera acotada. Utilice ahora el teorema de Liouville. 7. Use el teorema de identidad para mostrar que g(z) = f(z + l ) - /(z) es idénticamente igual a O . .----
9. v 5 11. Use la fórmula del conteo de raíces.
13. Use
f
y
Í,
1' = 2 1ti /(y, r'). j= l 1
1 5. Sea O < r < 1 , D(O, r) = { z tal que lzl < r}, 'Yr = { z tal que lzt = r } . Por suposición. / es uno a uno sobre 'Ir• así que f(Y) es una curva cerrada simple. Puesto que f es acotada sobre A,f debe transformar a D(O, r) en el interior de 'Yr· El teorema de la función uno a uno (6.2. 1 0), muestra ahora que j es uno a uno en D(O, r). Dado que esto se satisface para cualquier r < l ,fes uno a uno en A . 1 7 . Sea h (z) = f(z) - g(z) y utilice e l principio del máximo para funciones armónicas. 19. a) Cierto; b) cierto; e) cierto: d) cierto; e) falso; / ) falso; g) cierto; h) falso; i) cierto; j) cierto;
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
21 . No. 23. a) Sí. 25.
559
No.
b)
1
2
7.1. Productos infinitos y la función gamma l. Los productos parciales son
fí
( )
n=2
t
- -4 = fí n n=2 =
(n - l )(n + l ) n
3
1
2
3
4
5
2·2·3·3·4·4· · ·
que converge a
T conforme N
3. Muestre que para E pequeña y
-t
(N - 1 ) N
•
(N + l ) 1 N+ 1 = N 2 N
oo
n grande,
y use la parte (iii) del teorema de convergencia para productos
S. Hágase
z = ..!.. en sen 1tZ = 1tZ fi = ( l - z2/n2) para obtener
2
[ -] n=1
1 = � IT
1
2
= 7.
G(z) =
fi = l
n=1
(7. 1 .2).
1t
1
_ _
3
1
(2n)2
3
= � IT
2
5
n =1 5
(2n - 1 )(2n + 1 ) (2n)2
7
7
9
2 · 2 · 2 · -¡- · -¡- · 6 . 6 · s · s · · ·
( 1 +zln)e -zln tiene ceros en - 1 , -2, -3 , . .
.
, y , por lo tanto,
G(z)] - 1 tiene polos en O, - 1 , -2, .. Sabemos que G(z -1 ) = zeYG(z), así que r(z + l ) =
1
(z + l )eY'eYG(z + 1 )
( ) ( )
=
r(z) = [zeYz
z - zr(z) eY'G(z) zeYzG(z)
( )
en tanto permanezcamos fuera de los polos. 9.
zG(z )G(-z) = z IT
n=l
1 + � e ztn fi n
z nfi = l 1 - n�
=z
-
n=l
1 - � ezln n
= ...:se..:..n"-"'m"'1t
por el ejemplo resuelto 7. 1 . 1 0. Utilizando el ejercicio 7,
-z = r(z)r( l - z) = -zr(z)r(- z) = ' zeY G (z)(-z)e Yz G(-z) zG( z)G(-z)
1 1 . Empiece con la tercera línea de demostración de la fórmula de Euler:
1t
sen 1tz
560 1 -- = z lím n -z k= r(z) ,. .... ,
f¡
= lím
n --+ ""
l
( )
z(z + 1 )(z + 2) · · n< 1 2 3 •
fi
1 + � = 1ím � k n --+ 00 n' k =
•
•
•
•
•
l
k+z k
(z + n) n •
1 )'-· · ·--=("'(z'-+ z_ ) +_n-', --=zco.: ----' = l tm ..,... ...., n � oo n!nl 13. Utilice la expansión de Laurent y Res (r, -m) = (-1 )"'/m ! .
15. Una manera e s proceder como sigue: Primero, muestre que 1 + y � eY � ( l - y)- 1 para O
� y � 1 usando series de potencias o cálculo. Haga y = tln para obtener O � e-t - ( 1 - tln)" 2 2 y concluya que e - t - ( 1 - tln) " � e - 1[ 1 - ( 1 - t /n ) "]. Utilice la desigualdad ( 1 - k)" � l - nk, con O � k � 1 para obtener 1 -
/2 " p 1 -- � -
( ) n2
n
para O � t � n. 17. r tiene polos simples en O, - 1 , -2, . . . y es analítica en el resto. Por lo tanto,
J
Y
r(z) dz = 21ti Res (r, 0) = 21ti lím z r(z) z --+ 0
= 21ti lím r(z + 1 ) = 21tir( 1 ) = 21ti z -+ 0
19. Sea r < 1 el radio d e la parte circular de C. Para n > 1 , considere!,(:::) =
fe
ltl�n
(-t)z - l e-t dt.
a) Use el ejemplo resuelto 2.4. 1 5 para mostrar que f,.(z) es entera. b) Estime la parte de la integral, con ltl > n para mostrar que la i ntegral impropia converge y que la convergencia de J, a esa integral es uniforme en los discos cerrados. e) Concluya que la integral de Hankel es una función entera. d) Utilice el teorema de Cauchy para mostrar que el valor es independiente de r y E. e) Use arg (-t ) = -1t en el lado superior del eje real y 1t en el lado inferior para mostrar que las porciones rectilíneas se combinan para dar -2i sen 1tz J; t< - 1 e-1 dt.
f) La parte a lo largo del círculo se va a O conforme r se va a O. g) Utilice la integral de Euler para r(z) y concluya que la fórmula se satisface para Re z > O. h) Utilice el teorema de identidad para concluir que tiene sentido que las fórmulas coincidan en ambos lados; esto es, en z � O, 1 , 2, . . . i) Utilice r(z)r( 1 - z) = 1t/(sen 1t z) para obtener la última afirmación. 2 21. Haga la primera integral para y positiva, con la sustitución t = y Para la segunda, in ' tegre por partes, con u = y y dv = ye-y dy.
•
7.2. Expansiones asintóticas y el método del descenso más pronunciado
l. Existen constantes Rl' B l ' R2 y B2 tales que lf(z)/h(z)l < B siempre que lzl � R y a � 1 1 arg z � Jl, y lg(z)lh(z)l < B2 siempre que lzl � R2 y a � arg z � Jl, así que si lzl � R = máx (Rl' R2) y a � arg z � ¡3, entonces l[af(z) + bg(z)Jih(z)l � alf(z)lh(z)l + blg(z)lh(z)l �
3.
aB 1 + bB2• En consecúencia, af(z) + bg(z) = O(h(z)). Si S,.(x) = (a/x k), entonces / - S,. = o ( 1 /x") y así, por la proposición 7 .2.3(v), {;¡-
f
{; S,. = o( IIx" - 1 ) . Esto es, f: f- f [a/(k - l )xk - 1 ] = o( l/x" - 1), o f:¡ - (aix) + (a/2r) +
•
•
· , como se quería.
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 5. Utilice la serie geométrica y aplique la proposición 7.2.5. 7. Para el caso par de a), integre por partes repetidamente hasta reducir al caso en que Luego cambie variables por mismo o haga i mpar de converge.
y.
z = 2 en
zy212 = t 2 y
la parte
a).
utilice
561 k = O.
J:,, e-''dt = n En la parte b) realice lo
Para los casos impares, el integrando es una función
Entonces, si la integral converge, lo debe hacer a
O.
Verifique que ésta
Para x fij a, el término el error es s; 0.00024 y para 5 ( l ) es erróneo decrece conforme n crece hasta que n resulta más grande que x, en cuyo punto
9. Para
S4(10}
0.00012.
S 0
empieza a crecer otra vez. De hecho, para x fijo, nuestra cota en el término de error se va a infinito con n. Para n fija, lím n !lxn + 1 = 0, así que el error se va a cero conforme x X -> OO
crece.
11.
/(z) -
f2it
--
fZ
(
l -z
1 ·3 ·5 3!
l
z3
l
1 ·3 · 5 ·7 ·9
+
z5
5!
-·
•
·
13. La trayectoria del descenso más pronunciado es el eje real. 1 sen x 15. y = og
)
1-
cos x
17. 19.
� �1t f(z) - e z ( l i� f(z) - e z
-
7.3. La fórmula de Stirling y las funciones de Bessel l . Diferencie cualquier fórmula conveniente para
Jn(z)
dos veces y sustitúyala en la
ecuación. Por ejemplo:
1 . Jn(z) = -21tl 3.
De la ecuación
(�)n f r -n - l e t-(z'l4t) Jt y
(4), J0(z) = 1/1t f� cos (z sen 9) de
(z sen 9) sen 9 d9.
Pero
11(z) = ..!.... 1t = 1 1t
-
Utilice la simetría en
5. De la ecuación
2
( 1 2)
1t/2
J"' J" o
o
cos
(9 - z
[cos
9 cos
y, por lo tanto,
sen
J¿ (z) = - l /1t f:f
9) d9
(z sen
8) +
sen
9
sen
(z sen 9)} d9
para demostrar que el primer término se anula.
(la línea
8 de la tabla 7.2).
Jó (z) = _Q_ 10 (z) - 11 (z) = -11 (z) z y, por lo tanto,
J'ó(z) = - JÍ(z) =
_
_!_ J1 (z) + liz) = J2(z) + _!_ Jó (z) z z
sen
562
RESPU ESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
7. Por definición.
oo
=
=
-
L
(- l ) kz 2 k+ 1
* = o J1tr(2k + 2)
(por la fórmula de duplicación de Legendre)
'J{2 :iz sen z
9. Utilice el teorema de la fase estacionaria (7.2. 10) con r = [0, 1t] h(9) = -sen 9, g(9) = eine, 90 = 1t/2 yf(z) =f� e -iz sen IJ + n ie d9. Claramente h es real sobre y, con un mínimo estricto en
1t/2 = 90; h'(90) = O, h'' (90) = l . Todas las condiciones del teorema se cumplen, y así
11. Sea n S O y m = -n � O. El residuo en la expansión de la ecuación así que
-� -) !;-:-: (k--m Hágase j
•
(5) es
_ 1
k!
= k - m y k =j + m para obtener oo
Jn (z) = � � j
(
_
1 )j + mz n + 2(j + m) 2n + 2 (j + m)
•
1
1
(j + m - m)!
(j + m) !
-:-:----:-:
(-l )*- n z - n + 2 k k = O 2 - n + 2kk l (k n )1.
"' - (-1 )nJ_ (z) - (-1 )nJm(z) - L n
•
_
Ejercicios de repaso del capítulo 7 l. 2 3. Utilice z = 1t/4 y z = 1t{2 en el ejemplo resuelto 7. 1 . 1 0 para obtener oo
r-. '1 2 =
11 ( 1 1
l / 1 6 n2)
-------
fi ( 1 - 114n2)
N
11 ( l - 1 / 1 6n2) N -> oo 1 = ----:Nc:--lím 11 ( l - 1 14n 2 ) lím
N ---t oo l
ahora 1 /(k -
m) !,
563 "'
n (1 -
=
1/l 6n 2)
1 lím -N -> "' N
n o - 114n2) 1
5.
a)
{ z tal que lzl <
b)
1}
lím
N -> «>
fi 1
(4n - 1 )(4n + 1 ) (4n - 2)(4n + 2)
{z i Re z > l }
7. f(z) - ei
r
(+}
3
1 1. Pri mero establezca, por ejemplo, de la representación como producto para
r(z) = r(z). Con z = r(l - �
13.
� -y-z
+ Íy)
(
+
+ iy, esto da
1r
llr, que r(z)
(� ) 12 = r ( � ) �+ ) = � � ) + iy
+ iy
·
+ iy ·
- iy
= 1t/sen (1t ( � ) + iy) = 21t/(e-1tY + e 1tY) lo CUal se Va a 0 COnforme y �
. _ 1 1 - ..!...:..l . _!__2 + 1 3 . 5 . 7 2 z 4! z4 •
. . ·)
00
15. Aplique el teorema generalizado del descenso más pronunciado (7.2.9) después de escribir
- _j_ 21t
[ J21t
e-y sen o (sen n9 +
o
1 ) d9 -
i21t o
e-y sen O
y de usar h(9) = -sen 9, 90 = 31t/2 y y = [0, 21t]. 17. De la parte b) del ejercicio 16,
= 2 " 1 , • (2n)(2n - 1 ) n.
P (x)
-
"
=
2����2 x"
·
·
•
(n + 1) • x" + (términos de orden menor)
+ (términos de orden menor)
8.1. Propiedades básicas de las transformadas de Laplace
2 3
l.
f
3.
1 + /(z) = 2
5.
f< z) =
z
+
z
+
+
�
a(f) = O
z
1
z+
n
•
+
1
:2
+
2
1
z +
a (/) = O
1
n(n - 1 )
:3
+ • • •+
a(f) = 11m al
1 n! - ,:=-: +,..,1--,
z
a(/) = 0
]
d9
5 64
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
-
11.
z2
- a2 (z2 + a2) 2
=
9 · f(z)
= 11m al
cr (/)
](z) = f1l e -z r cos al dt = � Jo e -r(z - ia) dt + + f0e - t(z + ia) dt. Para Re (z - ia) > O, la pri mera integral converge a 1 1 (z- ia). Para Re(z + ia) > O, la segunda converge a l/2(z + ia).
2
(Véase el ejemplo resuelto 8. l . l l .) Así, para Re z > 11m al f(z) converge a
1 /(z + ia)] = z/(z2 + a2).
� [ 1 /(z - ia) +
u = z t para obtenerJ(z) = [;'; e-"u
13. Para z real y posi tivo, hágase que a >
-1 ,
esto converge a
real positivo. El lema
8. 1 .8
nos da la convergencia sobre el semiplano derecho abierto.
El teorema de identi dad muestra que /(z)
8. 1 . 1 3 muestra que cr(j) = O.
resuelto
1 5.
19.
21.
r(a +
1 )Iza + 1
para Re z >
O
y el ejemplo
flz ) = Jo e-
�
le-ZPI<
17.
=
-
g (z)
J , esto es
1
=z·
[J� e-ztf(t) dt] /(1 - e-z P ).
1 1 )2 + 1
-
/(z)
=-
3z2 + 4z +
2
(z3 + 2z2 + 2z)2 S uponga quejes de orden exponencial p y sea g(T) = 'f f;f(s) ds. Para E > O, existe una A, con lf(s)l $;Ae
;
-1
1
8.2. La fórmula de inversión compleja
l.
a) cos
t
3. La ecuación
S.
( 1)
j(t) = te -t
j(t) = [e ' + en la fórmula de la i nversión compleja
b)
que no existen constantes a)
j(t)
= 2e-21- e-1•
e)
M y R para las cuales le -z /zl
2e-112 cos ( &/2)]/3
7) (8.2. 1 < Ml l l
b) senh z no tiene transformada i nversa de Laplace. S i ](:z)
tf(t)
no se puede aplicar, ya
z siempre que l z l > R.
=
senh z. hágase
g(t) =
h(t) =tg(t). Entonces g(z) = -cosh z y ii(z) = senh z = j(z). Esto forzaría que j(t) = h(t) = t2f(t) y en consecuencia f( z) = senh z = O lo cual no es cierto. e) j(t) = t2e-1/2.
7.
g (t) =
9.
f(t) =
t
y
[sen
(t - s)]/(s) ds
(6te-31- e-3' + l )/9
a
565
8.3. Aplicación de las transformadas de Laplace a las ecuaciones diferenciales ordinarias
l.
y (t) = (5e21 + 3e-2')/4
3. y (t) =
5.
{� o
y(t) -= g 1 (t)
o :::;; t < 1 [ 1 - cos (3t - 3)] +
g 1 (t) =
gz(t) =
íJ ) 13 e -112 ( 3 cos '- t - sen �- t -2 2 ..f3 gz (t)
{
y git) =
7. a)
�� 1
+
g3(t) donde
ff
O -
{
e -
..f3
2 sen -- (t - 2) 2
o
o :::; t < l
e - (t - 1 )12
[3
'[
2 sen
�� l
y1 (t) = (e1 + e-1)12 = cosh t; y (t) = - ( e 1 - e - 1) /2 = -senh t 2 b)y , (t) = -31, yz (t) = 3 [ ( 1 + t? - 1 ]/2 9. y(t) = [(t + 4) sen t - t2 cos t]/4 11. Si sustituimos la expresión para <1> de la página 523, en las condiciones de frontera que siguen, obtenemos cuatro ecuaciones simultáneas q u e i nvolucran a A , B, R y T. Después de algunas manipulaciones algebraicas, muestre que obtenemos la ecuación ( 1 0) , así como
Juntas, éstas nos dan IR12 13.
1112 = l .
.fX l
dx
(Al hacer el cambio de variabales w = [X, usted puede evaluar directamente el lado de recho de la última ecuación para verificar la igualdad.)
Ejercicios de repaso del capítulo 8
l.
+
/(z) = e -zt(z2 + 1 ), cr (J) = O.
3. /(z) =
566
RESPU ESTAS A lOS EJERCICIOS IMPARES
7. f(t) =
9.
1 1.
f(t)
tS 1
{o sen (t - 1 )
t> 1
{-re-t + e-t
t< 1
=
a) y (t)
-e-1 + e-1 + 1 =
(-1 5
t> 1
b) y(t)
+ 23 cos 2 fu)/8
{o
=
3( 1 - e-1)
ost< l
13. a) y (t) = 1 - cos (t - 1 )
�� 1
15. Cada término tiene una singularidad de tipo logarítmico enj = a. Pero F(j)
=
l
l
-
g log (j - a)
Así, además de la singularidad de tipo logarítmico en j
= a, F(j ) tiene también una singularidad de polo simple cuando el denominador se anula, enj = a + e 11g .
_,
Indice analítico Abscisa de convergencia, 496 Adición reglas de la, 1 6 teorema de la, 322 Álgebra, teorema fundamental del, 1 65 , 1 73 Amplitud de dispersión, 523 Análisis complejo, 1 2- 1 3 ventaja, 1 09 Analiticidad d e productos fini tos, 438 Ángulo, 36 de desfasamiento, 490 entre dos curvas, 78 Antiderivada, 143 teorema de la, 1 33 , 1 56
Argand, J. R. , 1 2 Argano, J. F. , 1 3 Argumento principio del, 404 rama del, 24 Autenticidad de las series de po tencias, 228
teorema del, 77 fundamental del, 1 1 6 Campo conservativo, 1 21 eléctrico, 368-369 no conmutativo, 1 8 reglas para un, 1 5- 1 6
Bisección, proceso de, 1 4 1 Biyección, 8 3
Blanchard, P. , 43 1
integral de línea del, 1 1 0 para integrales de contorno, teo rema fundamental del, 1 1 6
propiedades de los, 63 conexo, 60-62, 1 50 por trayectorias, 60 de Julia, 43 1 -432
Carga imagen, 372
de los números complejos, 1 .
Cauch� A., 1 2, 1 73n
fractal, 43 1 -432
Cero de orden, 25 1 -252
imagen, 63-64
Cerradura, 1 88 Círculo(s) de Apolonio, 3 7 1 de convergencia, 226 de Steiner, 37 1 principio de reflexión de Schwarz para un, 388
simplemente conexo, 1 50 Conteo de raíces fórmula del, 403, 4 1 7 y polos, teorema del, 402 Continuación analítica, 385-38t 389 por continuidad, 388
transformación fracciona! lineal
principio de, 384
que preserva reflexiones en, 349 Comparación, criterio de, 206, Comportamiento local d e las funciones analíticas, 4 1 7418 Conforme, 336 propiedades de la, 29 Conjunto abierto, 53-54, 1 8 8 conexos, propiedad de los, 1 17
·
Constante de Euler, 441
reflexión en un, 348
Conjugación compleja, 28 Cálculo
propiedades de los, 5 8 compactos, 63-64
Cardano, G., 1 1 - 1 2
214 B andas de periodicidad, 48
propiedades de los, 54-55 cerrado, 1 88
aplicación, 385 Continuidad, continuación analí tica por, 388 Contorno, teorema fundament<> del cálculo para integrale
·
de, 1 1 6 Convergencia abscisa de, 496 analítica, teorema de, 2 1 1 - 2 1 2 círculo de, 226 de series de potencias, teorema de, 226 ecuación del teorema de, 498
5 68
ÍNDICE ANAlÍTICO
para las tran s formadas d e Laplace, teorema de, 496 para productos, teorema de, 437-438, 447 puntual y uniforme, diferencia, 206 radio de, 226, 392 semi plano de, 496 uniforme, 194, 206-208 y puntual, diferencia, 206 Convolución de las funciones, 500 teorema de, 500 Coordenadas polares, 22 representación en, 23 Corriente, función de, 373 Coseno, 36, 40-4 1 y seno de Fourier, transforma ciones, 292 Criterio de Cauchy, 208, 2 17 de comparación, 206, 2 14 de la rmz, 206, 2 14, 229 de la razón, 206, 2 14, 229 de p-series, 206, 2 14 M de Weierstrass, 208-209 Cubierta, 63-64 de una trayectoria, lema de la, 67 Curva(s), 139 cerrada(s) curvas homotópicas como, 149 simple(s) fórmula para una, 403 teorema del residuo para, 275 de Jordan, teorema de la, 128, 16 1- 162 g e o métri c a orientada para evaluar la integral, 1 14 homotopía de una, 148 homotópica como curvas cerradas, 149 con extremos, 147- 148 interior de una, 168 lemniscatas, 37 1 opuesta, 1 1 1 parametrizadas, distancia entre dos, 158 por tramos, 1 12 unión de dos, 1 1 1
Debye, P., 466
Definición generalizada, 5 14 Deformación suave, 157 teorema de, 160 teorema de, 130, 15 1- 152, 16016 1 Derivada(s), 73 fórmula i ntegral de C auchy para las, 17 1 Descenso más pronunciado método del, 466-467 teorema, 467 generalizado del, 472 trayectoria del, 467 Desfasamiento, ángulo de, 490 Desigualdad(es) de Cauchy, 172 del triángulo, 30-3 1 Devany, R. L., 430f-43 1 Diferenciabilidad, 79-80 de integrales del tipo de Cau chy, 170, 175 Diferenciación de series de potencias, 228 logarítmica, 405 Dinámica caótica, 432 Dirichlet, P., 12 Disco de Cauchy-Goursat, teorema para un, 139 teorema de Cauchy para un, 154 fortalecido de Cauchy-Gour sat para un, 147 Dispersión amplitud de, 523 doble relación de, 528 problema de, 522 relacim:'es de, 525 Distancia entre dos curvas parametriza das, 158 lema de la, 65 Divergencia, 363 Dominio, 55 Duplicación de Legendre, fórmu la de, 445 Ecuación de Bessel, 488 de movimiento, 526
de onda, 5 17 d e solución del problema de Dirichlet, 365 del teorema de convergencia, 498 funci o n a l para l a fu nción gamma, 442-443 Ecuaciones de Cauchy-Riemann, 80, 82-83 Eje imaginario, 13, 22 real, 22 Energía potencial, 12 1 Error asintótico, 463 relativo, 463 Esfera de Riemann, 68-69 Estimación de integrales, 1 151 16 Euler, L., 12, 440 Evaluación d e integrales defi nidas, 309t- 3 1Ot Expansión asintótica, 458 de Heaviside, teorema de, 5 12 de Laurent, 243-244 teorema de, 243 Expansiones asintóticas, 456 propiedades de las, 460 comunes, 23 l t Extremos, curva homotópica con, 147- 148 Familia(s) de iteraciones, 432 normal(es), 424 teorema d e M a n t e l sobre, 424 Fase estacionaria, 473 teorema de la, 472-473 Fatou, P., 43 1 Flujo, líneas de, 366, 368 Fórmula asintótica para las funciones de Bessel, 489-490 cuadrática, 12 de Cauchy para las derivadas, 17 1 de De Moivre, 27 d e duplicación d e Legendre, 445
ÍNDICE ANALÍTICO de Gauss, 443 de inversión compleja, 509 de Fourier, 5 1 8 de Leonhard Euler, 3 2 1 d e Poisson, 1 94, 1 96 de Schwarz-Christoffel, 350351 de Stirling, 456, 484 del conteo de raíces, 41 7 integral de Cauchy, 1 69 para el conteo de raíces, 403 para una curva cerrada simple, 403 Fracciones parciales, 326-327 teorema del desarrollo en, 328 Frontera, 1 88 aislada, 366 natural, 387 Función, 42, 55, 1 43 abierta, 4 1 9 analítica, 9 7 , 1 00- 1 02 , 1 3 3 , 203 , 280, 409 transformada en forma uno a u no, 428 armónica, 86, 1 9 1 composición contínua, 57 con serie asintótíca, 462 conforme y biyectiva, 336 continua, 57, 66 de corriente, 373 de Green, 520 de Heaviside. Véase Función de salto unitario de orden exponencial, 496 de salto unitario, 499 diferenciable, 73-74 entera, 97, 1 00 exponencial, 37-38 propiedades de la, 38 gamma, 440 ecuación funcional para la, 442-443 propiedades de la, 45 1 t generadora, 487 i nversa · para funciones de vari able real, teorema de la, 84 regla de la, 77 teorema de la, 83-84, 4 1 9 logaritmo, 43 meromorfa, 248, 327
multivaluada, 44 periódica, 3 8 potencia, 46-47 propiedades globales de una, 66 raíz cuadrada, 47 n-ésima, 45, 1 0 1 rama de la, 45 uniformemente continua, 66 uno a uno, teorema de la, 409 Funciones analíticas, compo rtam iento local de las, 4 1 7-4 1 8 armónicas conjugadas, 86-87, 1 92 ortogonalidad de las, 87-88 principio del máximo para, 193 propiedad d e l valor medio para, 1 92 asintóticamente equivalentes, 462 convolución de las, 500 de Bessel, 486-487 fórmula asintótica para las, 489-490 propiedades de las, 486t de variación acotada, propie dades de las, 476-477 de variable real, teorema de la función inversa para, 84 enteras acotadas, 1 73 meromorfas, 402 multivaluadas, 307 trigonométricas, 36 Gauss, K. F., 1 2, 1 73n, 440 Goursat, E., 1 28, 1 39- 1 40 Grado k, polinomio de, 280 Grupo, 336 Hamilton, W. R., 1 2 Homotopía de una curva, 1 48 suave, 1 55
Incompresible, 373 Independencia con respecto de la trayectoria, teorema de la, 1 1 8 - 1 1 9 de la trayectoria, 1 32
569
Índice, 1 66- 1 67 teorema del, 1 68 Infinitesimalmente, 78 Integral(es), 1 10 convergente, 302 curva geométri c a ori entada para evaluar la, 1 1 4 de contorno, teorema funda mental del cálculo para, 116 de Euler, 445 de línea del cálculo, 1 1 0 definidas, 288-289 evaluación de, 309t-3 1 0t del tipo de Cauchy, 1 70 diferenciabilidad de, 170, 1 75 estimación de, 1 1 5 - 1 1 6 gaussiana, 29 1 independiente de la trayectoria, 1 18 para evaluar sumas, 3 2 1 segundo teorema del valor medio para, 478 trigonométricas, 296 Interior de una curva, 1 68 Intuición geométrica, 22 Inversión compleja, fórmula de, 509 de Fourier, fórmula de, 5 1 8 Inverso multiplicativo, 14- 1 5 Iteraciones, familia de, 432 Julia, G., 43 1 Lema de Abel-Weierstrass, 227 de la cubierta de una trayec toria, 67 de la distancia, 65 de Schwarz, 1 90 Leyes físicas, 365-366 Límite( es), 55-56, 68, 73 de las series dobles infinitas, 323 de las sumas parciales simétricas, 323 de una sucesión, 57-58 operaciones con, 68 para sucesiones, 68 Línea(s) de flujo, 366, 368 del cálculo, integral de, 1 1 0 isotérmicas, 366
5 70
ÍN DICE ANALÍTICO
Logaritmo, 37, 4 1 rama de, 1 34, 405 principal del, 98-99 Longitud del vector, 22 Mandelbrot, B., 43 1 Mandestam, S., 528 M apeo abierto, teorema del, 4 1 9 conforme, 78, 335 teorema del, 79, 335-336 de Riemann, teorema del, 337, 339 teorema del, 4 1 8-4 1 9 Marsden, J., 36 Matriz, 8 1 jacobiana, 79 M áximo para funciones armó nicas, principio del, 1 93 Mayberry, C., 430f Método básico para los problemas de Dirichlet y de Neumann, 364 de las transformadas de Lapla ce, 5 1 6 del descenso más pronunciado, 466-467 Mittag-Le.ffler, G., 329 Módulo máximo, teorema del, 1 85, 1 89, 4 19-420 Monodromía, principio de, 392 Movimiento, ecuación de, 526 Multiplicación compleja, 1 3 de números complejos, 1 3 , 25 reglas de la, 1 6 Número(s) finito de singularidades, 28 1 imaginario puro, 14 primos, teorema de los, 456 propiedades de los, 1 4 reales, 1 4 desarrollo histórico, 1 1 - 1 2 negativos, raíces cuadradas de, 1 6- 1 7 sistema de los, l l Número(s) complejo(s), 1 3 , 22 conjunto de los, 1 8 multiplicación de, 1 4, 25 producto de dos, 24-25
raíces cuadradas de un, 1 7 representación polar de un, 40 sistema de los, 1 3 valor absoluto de un, 29 o
chica, 475 grande, 475 Onda, ecuación de, 5 1 7 Operaciones con límites, 68 Órbita, 43 1 Orden cero de, 25 1 -252 exponencial, función de, 496 polos de segundo, 265-266 superior, polos de, 267-269 Ortogonalidad de las funciones armónicas conjugadas, 8788 Parte imaginaria, 1 4 real, 1 4 Periodicidad, 48 Picard, C. E., 252 Plano en sí mismo, transformación lineal del, 26 3 xy . 1 Polinomio de grado k, 280 Polo(s), 248 de orden, 248 superior, 267-269 de segundo orden, 265-266 residuo del, 264 simple, 248, 263 y raíces, teorema del conteo de, 402 Potencial complejo, 373 requerido, 374 eléctrico, 368 Potencias autenticidad de las series de, 228 diferenci ac i ó n de series de, 228 series de, 226 teorema de convergencia de series de, 226 unicidad de la serie de, 228 Principio
de continuación analítica, 384 aplicación, 385 de Lindelof, 1 9 1 de monodromía, 392 de reflexión de Schwarz, 387388 para un círculo, 388 del argumento, 404 del máximo para funciones ar mónicas, 1 93 Problema(s) de dispersión, 522 de Neumann, 362-363 Problema(s) de Dirichlet, 1 3 3 , 193, 362 aplicaciones, 335 ecuación de solución del, 365 teorema de u nicidad para el, 362 unicidad para el, 1 93 y de Neumann, método básico para los, 364 Proceso de bisección, 1 4 1 Producto(s) canónico(s), 439 teorema sobre, 439, 449 convergente, 437 uniformemente, 438 de dos números complejos, 2425 finito(s), 436-437 analiticidad de, 438 regla del, 75 teorema de convergencia para, 437-438, 447 Propiedad(es) de la conjugación compleja, 29 de la función exponencial, 38 gamma, 45 l t de la superficie de Riemann, 395 de las expansiones asintóticas, 460 de las funciones de Bessel, 486t de variación acotada, 476477 de las transformaciones fraccio nales lineales, 343-347 de los conjuntos abiertos, 54-55
ÍNDICE ANALÍTICO cerrados, 5 8 compactos, 6 3 conexos, 1 17 de los números complejos, 1 4 del valor absoluto, 29 medio, 1 85 para funciones armónicas, 1 92 globales de una función, 66 local, 66 P-series, criterio de, 206, 2 1 4 Punto(s) fijo, 43 1 atractor, 43 1 repulsor, 43 1 periódico, 43 1 atractor, 43 1 repulsor, 43 1 rama, 392 singular, 336 sucesión de, 59 Radio de convergencia, 226, 392 Raíces cuadradas de números reales negativos, 1 6- 1 7 d e u n número complejo, 1 7 fórmula del conteo de, 403, 4 1 7 n-ésimas, 27-28 y polos, teorema del conteo de, 402 Raíz, criterio de la, 206, 2 1 4, 229 Rama de la función raíz n-ésima, 45 del argumento, 24 del logaritmo, 1 34, 405 principal del logaritmo, 98-99 Razón, criterio de la, 206, 2 14, 229 Rectángulo, teorema de Cauchy Goursat para un, 140, 145146 Recurrencia, relaciones de, 489 Reflexión, 1 94 de Schwarz para un círculo, principio de, 388 principio de, 387-388
en un círculo, 348 Región estrellada, 1 5 1 exterior, 1 6 1 interior, 1 6 1 simplemente conexa, 1 3 1 - 1 3 2 teorema d e Cauchy para una, 156 Regiones, 339 conformes, 337 simplemente conexas, teorema de Cauchy en términos de, 1 32 Regla(s) de la adición, 1 6 de la función inversa, 77 de la multiplicación, 1 6 del producto, 75 para un campo, 1 5- 1 6 Relación de dispersión, doble, 528 Relaciones de dispersión, 525 de recurrencia, 489 Reparametrización, 1 1 2 Representación en coordenadas polares, 23 polar de un número complejo, 40 Residuo, 27 1 Residuo(s) del polo simple, 264 para curvas cerradas simples, teorema del, 275 técnicas para encontrar, 269t270t teorema del, 261 , 275 Riemann, G. F. B., 1 2, 394 Salto unitario, función de, 499 Semiplano de convergencia, 496 Seno, 36, 40-4 1 y coseno de Fourier, transfor maciones, 292 Serie(s) asintótica, función con, 462 convergente, 205, 2 14 de Laurent, 204 de Maclaurin, 37, 204 de Taylor, 203-204, 230, 243 divergentes, 457 dobles infinitas, límites de las, 323
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geométrica, 205 Serie(es) de potencias, 226 autenticidad de las, 228 diferenciación de, 228 teorema de c o nvergencia de, 226 unicidad de la, 228 Singularidad(es), 1 29 aislada, 247-250 esencial, 248, 270 número finito de, 28 1 removible, 248, 262 Sistema de los números complejos, 1 3 reales, 1 1 Small, C., 430f Smith, S., 430f Solución del problema de Di richlet, ecuación de, 365 Soluciones generalizadas, 514 Subconjunto abierto relativo, 59 cerrado, 58 relativo, 59 Subcubierta, 64 Sucesión convergente, 205 de Cauchy, 58 de puntos, 59 límite de una, 57-58 Sucesiones, límites para, 68 Sumas de Riemann, 1 24- 1 25 integrales para evaluar, 321 parciales simétricas, límite de las, 323 Superficie de Riemann, 394-397 propiedad de la, 395 hoja. Véase Superficie de Rie mann Técnicas para encontrar resi duos, 269t-270t Temperatura, 367 Teorema de Casorati-Weierstrass, 252 de Cauchy, 109, 126- 128, 1 55, 1 62, 1 66 en términos de regiones sim plemente conexas, 1 32 un disco, 1 54
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ÍN DICE ANALÍTICO
para una región simplemente conexa, 1 56 de Cauchy-Goursat para un rectángulo, 1 40, 145 - 1 46 de Cauchy-Riemann, 80 de convolución, 500 de deformación, 1 30, 1 5 1 - 1 52, 1 60- 1 6 1 suave, 1 60, de expansión de Heaviside, 5 1 2 de Laurent, 243 de Gauss, 363 de Oreen, 1 27- 1 28 de Hurwitz, 407-408 de identidad. Véase Pri ncipio de continuación analítica de la adición, 322 de la antiderivada, 1 33, 1 56 de l a curva de Jordan, 1 28, 1 6 1 - 1 62 de la fase estac ionaria, 472473 de la función inversa, 83-84, 4 1 9 para funciones d e variable real, 84 uno a uno, 409 d e la independencia con res pecto de la trayectori a , 1 1 8-1 1 9 de la transformada de Hilbert, 523-524 de Liouville, 1 73 de los números primos, 456 de mapeo conforme, 335-336 de Mittag-Leffler, 329 de Monte), 424 sobre familias normales, 424 de Morera, 1 74 de Osgood-Caratheodory, 340 de Picard, 252 de Rouché, 406 de Taylor, 226, 230, 233 de traslación, primer, 499 de unicidad para el problema de Dirich let, 362 para l a s transformadas d e Laplace, 497 de Wats�n. 465-466 del cálculo, 77
del conteo de raíces y pol os , 402 del desarrol l o en fracciones parciales, 328 del descenso más pronunciado, 467 del índice, 1 68 del mapeo, 4 1 8-41 9 abierto, 4 1 9 conforme, 79 de Riemann, 337, 339 del módulo máximo, 1 85, 189, 4 1 9-420 del residuo, 26 1 , 275 para curvas cerradas simples, 275 del valor extremo, 65, 1 89 medio para integrales, segun do, 478 fortalecido de Cauchy-Goursat para u n disco, 147 fundamental del álgebra, 1 65, 1 73 del cálculo, 1 1 6 para i ntegrales de contorno, 1 16 generalizado del descenso más pronunciado, 472 para un disco de Cauchy-Gour sat, 1 39 sobre productos canónicos, 439, 449 Teorema de convergencia analítica, 2 1 1 -2 1 2 de series de potencias, 226 ecuación del, 498 para productos, 437-438, 447 para l a s transformadas de Laplace, 496 Términos de regiones simple mente conexas, teorema de Cauchy en, 1 32 Tramos, curvas por, 1 1 2 Transformación fracciona! lineal, 343 que preserva reflexiones en círculos, 349 USO, 347-348 lineal del plano en sí mismo, 26
Transformaciones de Jouk.owski, 375 fraccionales lineales, propieda des de las, 343-347 seno y coseno de Fourier, 292 Transformada(s) de Fourier, 292, 5 1 7-5 1 9 de Hilbert, teorema de la, 523524 de Mellin, 297-298 Transformada(s) de Laplace, 95, 464, 497 comunes, 505t-506t método de las, 5 1 6 teorema de convergencia para las, 496 de unicidad para las, 497 utilidad, 497 Traslación, primer teorema de, 499 Trayectoria(S) conjunto conexo por, 60-6 1 del descenso más pronunciado, 467 diferenciable, 62 independencia de la, 1 32 i ntegral i ndependiente de la, 1 18 lema de la cubierta de una, 67 rectangular, 1 43- 1 44 teorema de la i ndependencia con respecto de la, 1 1 8 1 19 Triángulo, desigualdad del, 3031 Unicidad, 245 de la serie de potencias, 228 para el problema de Dirichlet, 1 93 teorema de, 362 para las transformadas de La place, teorema de, 497 Unión de dos curvas, 1 1 1 Valor absoluto de un número complejo, 29 propiedades del, 29 extremo, teorema del, 65, 1 89
ÍNDICE ANALÍTICO medio para fu n c i o ne s armó n i c a s , propiedad del, 1 92 para i ntegrales, segundo teo rema del, 478 propiedad del, 1 85 principal de Cauch y, 301 -304 Variación
acotada, 475-476 propiedades de las funciones de, 476-477
Watson, G. N., 1 73n Weierstrass, K., 1 2, 2 1 1 Weierstrass, A . , 246
relativa, 475
Weinstein, A . , 36
total, 475
Wessel, C., 1 2
Vecindad, 54 agujerada, 54 Vector, longitud del, 22
Whiitaker, E. T. , 1 73n
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