IZVIJANJE TLAČNO OPTEREĆENIH VITKIH ŠTAPOVA
Pri projektiranju konstrukcije potrebno je osigurati njenu: čvrstoću
krutost stabilnost
1
Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno (tla čno) opterećenog pravocrtnog prizmatičnog štapa, prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda): reda): z
materijal je homogen i izotropan F
veza izmeu normalnog naprezanja σ z i duljinske deformacije linearna, tj. vrijedi Hookeov zakon (linearno-elastičan materijal): σ z = E ε z
je
ε z
(a)
ravnotežne se jednadžbe uspostavlju na nedeformiranoj geometriji nosača pravocrtni štap pri opterećenju ne mijenja oblik, tj. uzdužna se os štapa samo skraćuje i ostaje pravocrtna ⇒ pravocrtna ravnotežna deformacijska forma štapa je stabilna
2
Štap male vitkosti:
Duktilni materijal
Krhki materijal
F = Fkr = A ⋅ σ T
F = Fkr = A ⋅ σ M
DIMENZIONIRANJE: Kriterij čvrstoće: σz =
F
≤ σ dop =
σT
f T
ili
σ M
f M
(b)
Kriterij krutosti:
∆l =
Fl A E
≤ ∆ ldop
(c) 3
Kod vitkih štapova aksijalna tlačna sila može uzrokovati i savijanje ⇒ IZVIJANJE štapa (engl. buckling) ⇒ pravocrtna deformacijska ravnotežna forma štapa je nestabilna.
Kritična sila izvijanja ⇒ sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.
4
Vitki štap:
Elastično izvijanje (elastic buckling) buckling)
F = F kr =
E I min π 2 EI 2
l0
F kr kr → Eulerova kritična sila izvijanja l0 → slobodna duljina izvijanja 5
Slobodna (efektivna) duljina izvijanja:
l0 = l
l0 = 0,7l
l0 = 0,5l
l0 = 2l
l0 = l
l0 = 2l
6
Srednje vitki štap:
Plastično izvijanje (plastic buckling)
F = Fkr = A ⋅ σ kr = A ⋅ ( a − bλ )
F kr → Tetmajerova kritična sila izvijanja
7
1. Stabilna, nestabilna i neutralna ravnoteža Problem odreivanja stabilnosti ravnotežnih formi deformabilnih tijela analogan je odreivanju stabilne ravnoteže krutih tijela:
STABILNA RAVNOTEŽA
NESTABILNA RAVNOTEŽA
NEUTRALNA RAVNOTEŽA
8
Kod tlačno opterećenog štapa:
z
z
z
F < F kr
F ∆F
STABILNA RAVNOTEŽA
F > F kr
F ∆F
NESTABILNA RAVNOTEŽA
z
z
z
F = F kr F ∆F
NEUTRALNA RAVNOTEŽA
9
LEONARD EULER (1744) – analiza elastične stabilnosti tlačno opterećenog konzolnog stupa
stup zglobno vezan na oba kraja
F kr
⇒
EULEROV STUP
⇒ Eulerova kritična sila izvijanja
TEORIJA STABILNOSTI KONSTRUKCIJA
10
2. Izvijanje štapa u elastičnom području (Eulerova kritična sila izvijanja) Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan vrijedi Euler–Bernoulli–Navierova teorija savijanja ravnotežne se jednadžbe uspostavljaju na deformiranoj geometriji štapa teorija (teorija drugog ili trećeg reda).
⇒
nelinearna
pomaci su mali → linearizacija zakrivljenosti elastične linije izvijena štapa:
d2v 2 1 M x z d = =− 3 2 (teorija trećeg reda) 2 r EI x dv 1 + d z
(1)
↓
d2 v (teorija drugog reda) = ≅− 2 r EI x dz
1 M x
(2) 11
Metode rješavanja: statičke dinamičke energijske
12
a) Štap zglobno vezan na oba kraja Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa prema nelinearnoj teoriji:
z F kr
x =
z y F kr
v
=
v
( z)
(3)
Diferencijalna jednadžba elasti čne linije izvijena štapa prema teoriji drugoga reda:
v
l = l0
Fkr v,
d2v EI x 2 = − M x d z d 2 v F kr v = 0 + 2 dz EI x
= − Fkr
v
(4)
13
Zamjena: 2
k =
F kr EI x
(5)
Iz izraza (4):
d2 v 2 + k v = 0 2 d z
(6)
Opće rješenje izraza (6) – pretpostavka: v
( z ) = A ⋅ sin k z + B ⋅ cos k z
(7)
14
Rubni uvjeti: z = 0,
(0) = 0 z = l , v = v (l ) = 0 v
=
v
(8)
Na osnovi prvog rubnog uvjeta, iz izraza (7) slijedi:
v
(0) =
⋅ 0 + B ⋅1 v
⇒ B=0
( z ) = A ⋅ sin k z
(9) (10)
Na osnovi drugog rubnog uvjeta, iz izraza (10) slijedi: v
(l ) = A sin kl = 0 ⇒ kl
=
n π,
sin kl = 0
n = 0,1,2,...
(11)
15
Izraz (11) → izrazi (5) i (10): kritična sila izvijanja: Fkr
=
2
k EI x
=
n
2
π 2 EI x l
2
(12)
elastična linija izvijana štapa: v
( z ) = A ⋅ sin
nπz l
(13)
16
Iz izraza (12) i (13): F kr = 0
n
=0
F kr = 0
4F kr
F kr
n
F kr
=1
n
4F kr
9F kr
=2
n
=3
9F kr
17
Od praktičnog značenja n = 1 i Ix = I2 = Imin: kl
=
π ⇒
Fkr
v
=
π 2 EI min l
= A ⋅ sin
2
⇒ l0
=l
π z l
(14)
(15)
l0 – slobodna (efektivna) duljina izvijanja
Izrazom (15) odreena je deformacijska forma izvijanja. Elastična linija prema približnom izrazu (2) ⇒ progib v i konstanta A neodreeni!
18
z
F
F kr
bifurkacija
F = F kr
idealni štap
v
l
realni štap početak plastifikacije
z y F kr
v
0
v
0
19
b) Štap zglobno vezan na jednom kraju, a ukliješten na drugom kraju Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa: z F kr
x =
Q
Fkr v − Q ( l − z )
(16)
Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena štapa: l0 = 0,7l v
l
z Q y
d2 v EI x 2 = − M x d z d 2 v Fkr + dz 2 EI x
v
=
= − Fkr
Q
v
+ Q(
( l − z)
EI x
l − z)
(17)
M = Q l F kr
20
Zamjena iz izraza (5): 2
k
=
F kr EI x
Iz izraza (17):
d2 v 2 2 Q k v = k + ( l − z) 2 F kr d z
(18)
Opće rješenje izraza (18): v
( z ) = A ⋅ sin k z + B ⋅ cos k z +
Q F kr
( l − z)
(19)
21
Rubni uvjeti: z = 0,
v
z = l,
v
= =
v
v
(0) = 0,
dv dv = d z dz z
= =
0
(20)
0
(l ) = 0
Izraz (20) → izraz (19): v
(0) = A ⋅ 0 + B ⋅1 +
dv dz z = 0 v
=
Ql Fkr
=
0 ⇒ B=−
A k ⋅1 − B k ⋅ 0 −
Q Fkr
=
Ql
0 ⇒ A=
(l ) = A ⋅ sin kl + B ⋅ cos kl = 0
(21)
F kr Q k Fkr
(22) (23)
22
Vrijednosti iz izraza (21) i (22) → izraz (23): v
(l ) =
Q k Fkr
⋅ sin kl −
Ql F kr
⋅ cos kl =
0 ⇒ tan kl = kl
(24)
Grafičko rješenje transcedentne jednadžbe iz izraza (24): y
y = tan kl
y = kl
0
1,5π
0,5π π
2π
kl
kl = 4,493
23
kl 2
k
=
=
4,493
4,4932 l
2
π2 ≈ 2 ( 0,7 l )
Iz izraza (5):
π 2 EI min Fkr = 2 ( 0,7 l )
⇒ l0
=
0,7 l
(25)
24
c) Štap ukliješten na oba kraja Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa:
z F kr
M
x =
(26)
Fkr v − M
Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena štapa: v
l
l0 = 0,5l
d2 v EI x 2 = − M x d z
= − Fkr
v
+
M
z
y F kr
d 2 v F kr + 2 dz EI x
v
=
EI x
(27)
M
25
Zamjena iz izraza (5): 2
k
=
F kr EI x
Iz izraza (27):
d2v 2 2 v = k k + F kr d z 2
(28)
Opće rješenje izraza (28): v
( z ) = A ⋅ sin k z + B ⋅ cos k z +
F kr
(29)
26
Rubni uvjet na donjem kraju: z = 0,
v
=
v
(0) = 0,
dv dv = d z dz z
=0 =
(30)
0
Izraz (30) → izraz (29): v
(0) = A ⋅ 0 + B ⋅1 +
dv d z z = 0
=
=
Fkr
0 ⇒ B=−
A k ⋅1 − B k ⋅ 0 = 0
⇒
M F kr
A=0
(31)
(32)
27
Vrijednosti iz izraza (31) i (32) → izraz (29): v
( z) =
F kr
( 1 − cos k z )
(33)
Rubni uvjet na gornjem kraju: z = l,
v
=
v
(l ) = 0
(34)
Izraz (34) → izraz (33): v
(l ) =
F kr
( 1 − cos kl ) = 0 ⇒ cos kl = 1
Od praktičnog značenja samo slučaj kl =
→
kl = 0, 2 π, 4 π,...
(35)
2π. 28
kl
=
2π =
π 0,5
π2 k = 2 ( 0,5 l ) 2
Iz izraza (5):
π 2 EI min Fkr = 2 l 0,5 ( )
⇒ l0
=
0,5 l
(25)
29
d) Štap na jednom kraju ukliješten, a na drugom kraju slobodan (konzolni stup) Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa:
z F kr
δ
M x
= − F kr (δ − v )
(37)
v
Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena stupa:
l l= 0
2
d2 v EI x 2 = − M x d z
z
y
F kr
M = F kr δ
d 2 v Fkr + dz 2 EI x
v
=
=
F kr
Fkr (δ − v )
⋅
δ
EI x 2
(38)
30
Zamjena iz izraza (5): 2
k
=
F kr EI x
Iz izraza (38):
d2 v 2 2 v = k δ k + d z 2
(39)
( z ) = A ⋅ sin k z + B ⋅ cos k z + δ
(40)
Opće rješenje izraza (28): v
31
Rubni uvjet na donjem kraju: z = 0,
v
=
v
(0) = 0,
dv dv = d z dz z
=0 =
(41)
0
Izraz (41) → izraz (40): v
(0) =
dv d z z = 0
⋅ 0 + B ⋅ 1 + δ =
=
0 ⇒ B = −δ
(42)
⇒
(43)
A k ⋅1 − B k ⋅ 0 = 0
A=0
Vrijednosti iz izraza (42) i (43) → izraz (40): v
( z ) = δ ( 1 − cos k z )
(44)
32
Rubni uvjet na gornjem kraju: z
= l,
v
=
v
(l ) = δ
Iz izraza (44) za z = l: δ = δ ( 1 − cos kl )
(45)
Izraz (45) bit će zadovoljen samo onda ako je:
π cos kl = 0 ⇒ kl = ( 2n + 1) , n = 0,1,2,... 2
(46)
Od praktičnog značenja samo slučaj n = 0.
33
kl
=
π 2
π2 k = 2 (2l ) 2
Iz izraza (5):
π 2 EI min Fkr = 2 (2l )
⇒ l0
=
2l
(47)
34
e) Obostrano ukliješten štap s jednim pomičnim uklještenjem Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa: M = F kr
z δ
F kr
v
δ
2
M x
δ − v 2
Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena stupa:
d2 v EI x 2 = − M x d z
l = l0 z
y
F kr
(48)
= − F kr
M = F kr
δ
d 2 v Fkr + 2 dz EI x
v
=
=
F kr
δ − v 2
Fkr
δ
EI x
(49)
2
35
Zamjena iz izraza (5): 2
k
=
F kr EI x
Iz izraza (49):
d2v 2 2 δ v = k k + d z 2 2
(50)
Opće rješenje izraza (50): v
( z ) = A ⋅ sin k z + B ⋅ cos k z +
δ
2
(51)
36
Rubni uvjet na donjem kraju: z = 0,
v
=
v
(0) = 0,
dv dv = d z dz z
=0 =
(52)
0
Izraz (52) → izraz (51): v
(0) = A ⋅ 0 + B ⋅1 +
dv d z z = 0
=
δ
2
=
0 ⇒ B=−
A k ⋅1 − B k ⋅ 0 = 0
⇒
δ
2
A=0
(53)
(54)
Vrijednosti iz izraza (53) i (54) → izraz (51): δ
v
( z ) = ( 1 − cos k z ) 2
(55)
37
Rubni uvjet na gornjem kraju: z
= l,
v
=
v
(l ) = δ
Iz izraza (55) za z = l: δ =
δ
2
( 1 − cos kl )
(56)
Izraz (56) bit će zadovoljen samo onda ako je:
cos kl = −1 ⇒ kl = n π, n = 1,3,5,...
(57)
Od praktičnog značenja samo slučaj n = 1.
38
kl 2
k
=
=
π π2 l
2
Iz izraza (5): Fkr
=
π 2 EI min l
2
⇒ l0
=l
(58)
39
f) Štap zglobno oslonjen na jednom kraju i učvršćen na drugom kraju s pomičnim uklještenjem M = F kr δ
Moment savijanja u presjeku z izvijena štapa:
z δ
F kr
x =
(59)
F kr v
Diferencijalna jednadžba elastične linije izvijena stupa:
v
d2v EI x 2 = − M x d z
l l= 0
2 z
y
d 2 v F kr + v = 0 dz 2 EI x
= − Fkr
v
(60)
F kr
40
Zamjena iz izraza (5): 2
k
=
F kr EI x
Iz izraza (49):
d2 v 2 + k v = 0 2 d z
(61)
( z ) = A ⋅ sin k z + B ⋅ cos k z
(62)
Opće rješenje izraza (61): v
41
Rubni uvjet na donjem kraju: z = 0,
v
=
v
(0) = 0
(63)
Izraz (63) → izraz (62): v
(0) = A ⋅ 0 + B ⋅1 = 0 ⇒ B = 0
(64)
Vrijednosti iz izraza (64) → izraz (62): v
( z ) = A ⋅ sin k z
(65)
42
Rubni uvjet na gornjem kraju: z = l,
v
=
v
(l ) = δ ,
dv dv = d z dz z
= =
0
(66)
l
Izraz (66) → izraz (65): v
(l ) = A sin kl = δ
dv d z z = l
=
k ⋅ cos kl
=
(67)
0
(68)
Iz uvjeta (68):
π cos kl = 0 ⇒ kl = ( 2n + 1) , n = 0,1,2,... 2
(69)
Od praktičnog značenja samo slučaj n = 0. 43
kl
=
2π
π2 k = 2 (2l ) 2
Iz izraza (5):
π 2 EI min Fkr = 2 (2l )
⇒ l0
=
2l
(70)
44
g) Kritično naprezanje Eulerova kritična sila izvijanja – opći oblik: =
F kr
π 2 EI min 2
l0
(71)
Kritično naprezanje: σ kr =
Fkr
=
π 2 EI min 2 l0 A
(72)
Polumjer inercije:
2
imin
=
I min
45
Izraz (72): σ kr
λ →
2 imin = π E l0
2
=
π 2 E 2
λ
(73)
vitkost štapa: λ =
l0 imin
(74)
46
Izraz (73) u dijagramu (σ kr − λ ) možemo prikazati u obliku hiperbole (Eulerova
hiperbola) σ P
σ kr
σ P
Eulerova hiperbola
λ P
σ kr ≤ σ P
→
– naprezanje na granici proporcionalnosti
λ
E = const.
47
Granična vitkost štapa:
⇒ = λ min
σ kr = σ P λ = λP
Izrazi (71) – (73) vrijede samo za
λ P =
π
E σ P
(75)
λ > λ P
48
3. Izvijanje štapa u neelastičnom ( plastičnom) području σ > σ P
→
E ≠ const.
σ
E t
1
σ P
E
1 ε
E t – tangentni modul elastičnosti
E t =
dσ dε
(76) 49
Engesser (1889) je predložio da se i u plastičnom područ ju (λ < λ P ) zadrži izraz (73) za kritično naprezanje, stim da se modul elastičnosti zamijeni s tangentnim modulom elastičnosti:
σ kr =
π 2 E t 2
λ
(77)
Engesserov postupak se rijetko primjenjuje u praksi zbog njegove složenosti, jer je za njega potrebno imati precizan dijagram σ − ε , a i analiza je tog dijagrama dosta složena. Izraz (77) zanemaruje činjenicu da se plastifikacija poprečnog presjeka pri izvijanju odvija postupno, tj. postoji dio poprečnog presjeka koji je plastificiran i dio poprečnog presjeka koji se još uvijek ponaša elastično.
50
Stoga je Engesser uveo modificirani izraz (77):
σ kr =
π 2 E r
(78)
2
λ
E r – reducirani modul elastičnosti
Vrijednost reduciranog modula elastičnosti ovisi o veličini kritičnog naprezanja obliku poprečnog presjeka.
σ kr
i
Do izraza (78), neovisno o Engesseru, došao je i Theodore von Karman (1909), pa se reducirani modul često naziva i Engesser-Karmanov modul.
51
U praksi se vrlo često koriste empirijski obrasci za kritično naprezanje, a kod kojih se krivulja (σ kr − λ ) u plastičnome područ ju aproksimira:
pravcem (Tetmajer , Jasinski) parabolom (Tetmajer , Johnson) hiperbolom ( Rankine, Gordon)
52
Tetmajerov izraz za kritično naprezanje: pravac: σ kr =
F kr A
=
(79)
a − bλ
parabola: σ kr =
F kr
=
2
a − bλ + cλ
(80)
a, b, c – koeficijenti dobiveni eksperimentalnim putem
53
Materijal Č.0360 Č.0460 Č.0560 krom-molibden čelik duraluminij
sivi lijev drvo
Tetmajerov izraz σ kr (MPa) 310 − 1,14λ 335 − 0,62λ 470 − 2,3λ 1000 − 5,4λ 380 − 2,185λ 776 − 12λ + 0,053λ 2 40 − 0,203λ
54
4. Dimenzioniranje I. područje
σ kr
:
Štapovi se proračunavaju na tlačnu čvrstoću, a izvijanje se ne uzima u obzir.
Temajerov pravac σ T
II. područje
σ P
III
II λ T
λ P
:
λ T < λ < λ P
Štapovi se proračunavaju na izvijanje s pomoću Tetmajerova izraza ili nekog drugog empirijskog izraza.
Eulerova hiperbola
I
λ < λ T
III. područje λ
:
λ > λ P
Štapovi se proračunavaju na izvijanje s pomoću Eulerova izraza.
55
Pri tome mora biti zadovoljen uvjet: σz =
F – stvarno
F
≤ σ kr, dop =
σ kr
(81)
f kr
opterećenje štapa
f kr – faktor sigurnosti protiv izvijanja
(koeficijent stabilnosti)
čelik: 1,5 – 3 i više lijevano željezo: 4,5 – 5,5 i više drvo: 2,5 – 3,5 i više.
56
U praksi se često koristi i tzv. omega postupak, kod kojeg se proračun izvijanja štapa svodi na proračun tlačnog opterećenja prema kriteriju čvrstoće, uvoenjem faktora ω = ω ( σ M , λ ) ≥ 1,
tj.
σz =
σ dop
F ⋅ ω A
≤ σ dop =
σT
f ν
ili
σ M
fM
(82)
– dopušteno tlačno naprezanje
σ T
– granica tečenja (granica plastičnosti)
σ M
– granica čvrstoće (vlačna čvrstoća)
f ν – faktor sigurnosti u odnosu na
granicu tečenja
f M – faktor sigurnosti u odnosu na
granicu čvrstoće
57
