Izbočavanje
Metalne konstrukcije 2
P8-1
Izbočavanje pravougaone ploče
σx,cr kritičan napon elastičnog izbočavanja. Metalne konstrukcije 2
P8-2
Ojlerov napon izbočavanja Ojlerov napon izvijanja za traku jedinične širine σE = π ⋅ 2
E
λ
2
=π ⋅ 2
2
E
(b/( 12 ⋅ t))
2
=
π2 ⋅ E ⎛ t ⎞ 12
⋅⎜ ⎟ ⎝ b⎠
Ojlerov napon izbočavanja π2 ⋅E ⎛t⎞ ⋅ σE = ⎜ ⎟ 12 ⋅ 1 − υ 2 ⎝ b ⎠
(
2
)
Metalne konstrukcije 2
P8-3
Naponska stanja pri izbočavanju Do izbočavanja može da dođe usled dejtva: • Normalnog napona pritiska σx i ili σy • Smičućeg napona τxy • Kombinacije normalnog napona pritiska i smičućeg napona. Za razliku od izvijanja, izbočavanje ne mora da predstavlja obavezno i gubitak globalne stabilnosti konstrukcije, ili njenog dela. Postoji postkritična rezerva nosivosti. Metalne konstrukcije 2
P8-4
Osnove linearno elastične teorije izbočavanja Osnovne preptostavke (Timošenko): • Materijal je idealno elastičan; • Nema početnih geometrijskih imperfekcija; • Opterećenje deluje u srednjoj ravni ploče; • Deformacije upravno na ravan ploče (w) su male.
Metalne konstrukcije 2
P8-5
Diferencijalna jednačina izbočavanja Parcijalna diferencijalna jednačina savijanja ploče po teoriji II reda – opšti slučaj: ∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w t ⎛ ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2 w ⎞ qz ⎜ + 2 2 2 + 4 + ⋅ ⎜σ x 2 + 2τ xy + σ y 2 ⎟⎟ = 4 D ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ⎠ D ,
σ y = τ xy = qz = 0
t ∂ 2w ∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w + 2 2 2 + 4 +σ x ⋅ ⋅ 2 = 0 4 D ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y D=
E ⋅t3 12 ⋅ (1 − v 2 )
Diferencijalna jednačina izbočavanja
krutost ploče na savijanje Metalne konstrukcije 2
P8-6
Rešenje diferencijalne jednačine Pretpostavlja se rešenje u obliku dvostrukog Furijeovog reda
w( x , y ) =
∞ ∞
∑ ∑ Amn ⋅ sin
m =1n =1
mπ nπ x ⋅ sin y a b
2 ⎫ ⎧ ⎡ 2 2 2 ⎤ t ⎪ ⎪ 4 ⎛m⎞ ⎛n⎞ 2 ⎛m⎞ Amn ⋅ ⎨π ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ σ x ⎬ = 0 D⎪ ⎝a⎠ ⎪⎩ ⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦ ⎭
Amn ≠ 0 Netrivijalno rešenje
2
2 ⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ D 2 ⎛ a ⎞ σ x = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎝m⎠ t ⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦ Metalne konstrukcije 2
P8-7
Kritičan napon elastičnog izbočavanja α = a /b 2
α⎞ π2 ⋅E ⎛m ⎛t⎞ ⋅⎜ ⎟ σ x = ⎜ + n2 ⎟ ⋅ 2 m ⎠ 12 ⋅ (1 − v ) ⎝ b ⎠ ⎝α
2
2
α⎞ ⎛m σ x = ⎜ + n 2 ⎟ ⋅ σ Ε = k (α ) ⋅ σ Ε m⎠ ⎝α α⎞ ⎛m k (α ) = ⎜ + n 2 ⎟ m⎠ ⎝α
2
Metalne konstrukcije 2
P8-8
Minimum funkcije k(α) ⎛1 ⎞ k (α ) = ⎜ + α ⎟ ⎝α ⎠
2
dk (α ) =0 dα
α m =1 = 1,0 k min = 4,0
Metalne konstrukcije 2
P8-9
Familija krivih k(α) i kritičan napon
2
σ x ,cr
π2 ⋅E ⎛ t ⎞ = k min ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ = kσ ⋅ σ E = 4 ⋅ σ E 12 ⋅ (1 −ν 2 ) ⎝ b ⎠ Metalne konstrukcije 2
k min ≡ kσ P8-10
Parametri koji utiču na vrednost kritičnog napona • Dimenzije ploče (debljina t, dužina a i širina b) uvode se u proračun preko Ojlerovog napona; • Uslovi oslanjanja ploče - uvode se u proračun preko koeficijenta k (kσ ili kτ); • Način naprezanja ploče - uvodi se u proračun preko koeficijenta k (kσ ili kτ);
Metalne konstrukcije 2
P8-11
Uticaj uslova oslanjanja
Metalne konstrukcije 2
P8-12
Uticaj načina naprezanja
ψ=
τ xy ,cr = kτ ⋅ σ E
σx1 maksimalan napon pritiska Metalne konstrukcije 2
Normalni naponi (kσ) Uslovi oslanjanja
ψ=1
ψ = 0,5
ψ=0
ψ = –0,5
ψ = –1
Smičući naponi (kτ)
α ≥ 1 : kτ = 5,34 + 4,00
5,32
7,81
13,40
23,90
α < 1 : kτ = 4 + α ≥ 1 : kτ = 9 + 6,97
9,27
13,54
24,50
39,52
α < 1 : kτ = 7 +
-
11,73
-
-
9,54
-
1,28
-
5,91
-
3,3
α2 5,3
α2
23,94
1,28
-
1,608
-
0,426
-
1,702
-
0,426
-
0,567
-
4
α2 5
α2
-
2,134
Vrednosti koeficijenta k
α2
α < 1 : kτ = 6,5 + 5,41
4
α2
P8-13
5,34
α ≥ 1 : kτ = 7,5 + 5,41
σ x2 σ x1
⎧8,2 / (1,05 + ψ ) ⎪ kσ = ⎨7,81 − 6,29 ⋅ψ + 9,78 ⋅ψ 2 ⎪5,98 ⋅ (1 −ψ )2 ⎩
za 0 < ψ < 1 za − 1 < ψ < 0 za − 2 < ψ < −1
-
-
0,851
-
-
Metalne konstrukcije 2
P8-14
Povećanje stabilnosti ploče na izbočavanje primenom ukrućenja
π2 ⋅E ⎛t⎞ σE = ⋅ 2 ⎜ ⎟ 12 ⋅ 1 − υ ⎝ b ⎠
(
2
)
Metalne konstrukcije 2
P8-15
Optimalan položaj ukrućenja Jedno ukrućenje
Metalne konstrukcije 2
Dva ukrućenja
P8-16
Uticaj krutosti ukrućenja na vrednost kritičnog napona izbočavanja
Propisuje se potrebna krutost ukrućenja na savijanje (Imin) da bi se obezbedio kvalitetan (nepopustljiv) oslonac duž ukrućenja!
γs =
EI s I krutost ukrućenja = = 10,92 ⋅ s 3 krutost ploče D ⋅b b⋅t Metalne konstrukcije 2
P8-17
Nosivost pritisnute ploče na izbočavanje koncept efektivne širine
⎛ t π2 ⋅E f y = σ x , cr (beff ) = kσ ⋅ ⋅⎜ 2 12 ⋅ (1 − ν ) ⎜⎝ beff
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
π2 ⋅E ⎛t⎞ ⋅⎜ ⎟ f y = σ x ,cr (beff ) = kσ ⋅ 2 12 ⋅ (1 − ν ) ⎝ b ⎠
2
⎛ b ⋅⎜ ⎜ beff ⎝
2
⎞ ⎛ ⎟ = σ x ,cr ⋅ ⎜ b ⎟ ⎜ beff ⎠ ⎝
Metalne konstrukcije 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
beff = b ⋅
σ x , cr fy P8-18
Određivanje efektivne širine beff = b ⋅
λP =
beff =
fy
σ x , cr b
σ x , cr fy
Relativna vitkost ploče na izbočavanje
Karmanova hiperbola
λP
beff = ρ ⋅ b
ρ redukcioni koeficijent (1 ≥ ρ)
Metalne konstrukcije 2
P8-19
Preporuke za određivanje koeficijenta ρ ⎧ 1 ⎪⎪ ρ=⎨ 1 1 ⎪ − 0,22 ⋅ 2 ⎪⎩ λP λP
⎧ ⎪⎪ 1 ρ=⎨ 0,9 ⎪ ⎪⎩ λP ⎧ ⎪ ⎪ ρ=⎨ ⎪ ⎪ ⎩
za λP ≤ 0,673 za λP > 0,673
za λP ≤ 0,9
SIA
za λP > 0,9
1 0,6
λP2 − 0,13
Vinter
za λ p ≤ 0,7 za λ p > 0,7
JUS
Metalne konstrukcije 2
P8-20
Komparacija različitih krivih
Metalne konstrukcije 2
P8-21
Koeficijent redukcije - Evrokod 3 Deo 1-5 - za unutrašnje pritisnute delove poprečnog preseka: za λ p ≤ 0,673
ρ = 1,0
ρ =
λ p − 0,055 ( 3 + ψ ) ≤ 1,0 λ p2
za λ p > 0,673
gde je ( 3 + ψ ) ≥ 0
- za konzolne pritisnute delove poprečnog preseka:
ρ = 1,0
ρ =
λ p − 0,188 ≤ 1,0 λ p2
za λ p ≤ 0,748 za λ p > 0,748
gde je:
λp =
fy
σ cr
=
b /t 28 ,4 ε k σ
Metalne konstrukcije 2
P8-22
Raspodela efektivnih površina kod unutrašnjih pritisnutih delovi preseka Dijagram napona (pritisak je pozitivan)
ψ = 1:
Efektivnap širina beff
beff = ρ b be 1 = 0,5 beff 1>ψ ≥ 0 :
be 2 = 0,5 beff
beff = ρ b 2 be 1 = beff 5 −ψ ψ < 1:
be 2 = beff − be 1
beff = ρ bc = ρ b /(1 − ψ )
be 1 = 0,4 beff
ψ = σ2 σ1 Koeficijent izvijanja kσ
1 4,0
1>ψ>0 8,2/(1,05+ψ)
0 7,81
be 2 = 0,6 beff
0 > ψ > -1 7,81 - 6,29ψ + 9,78ψ 2
-1 23,9
-1 > ψ > -3 5,98(1-ψ)2
Metalne konstrukcije 2
P8-23
Konzolni delovi preseka Dijagram napona (pritisak je pozitivan)
1>ψ ≥ 0 :
Efektivnap širina beff
beff = ρ c
ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c /(1 − ψ )
ψ = σ2 σ1 Koeficijent izvijanja kσ
1 0,43
0 0,57
-1 0,85
1>ψ ≥ 0 :
1 ≥ ψ ≥ -3 0,57 - 0,21ψ + 0,07ψ 2
beff = ρ c
ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c /(1 − ψ )
ψ = σ2 σ1 Koeficijent izvijanja kσ
1 0,43
1>ψ>0 0,578 / (ψ + 0,34)
0 1,70
Metalne konstrukcije 2
0 > ψ > -1 1,7 - 5ψ + 17,1ψ 2
-1 23,8
P8-24
Efektivan poprečni presek aksijalan pritisak
Bruto poprečni presek
N
Efektivan poprečni presek
G težište bruto porečnog preseka G' težište efektivnog poprečnog preseka 1 težišna osa bruto poprečnog preseka 2 težišna osa efektivnog poprečnog preseka 3 neefektivna zona
N + Me
Metalne konstrukcije 2
P8-25
Efektivan poprečni presek savijanje
G težište bruto porečnog preseka G' težište efektivnog poprečnog preseka 1 težišna osa bruto poprečnog preseka 2 težišna osa efektivnog poprečnog preseka 3 neefektivna zona Bruto poprečni presek
Efektivan poprečni presek Metalne konstrukcije 2
P8-26