Izbočavanje

Izbočavanje

Metalne konstrukcije 2

P8-1

Izbočavanje pravougaone ploče

σx,cr kritičan napon elastičnog izbočavanja. Metalne konstrukcije 2

P8-2

Ojlerov napon izbočavanja Ojlerov napon izvijanja za traku jedinične širine σE = π ⋅ 2

E

λ

2

=π ⋅ 2

2

E

(b/( 12 ⋅ t))

2

=

π2 ⋅ E ⎛ t ⎞ 12

⋅⎜ ⎟ ⎝ b⎠

Ojlerov napon izbočavanja π2 ⋅E ⎛t⎞ ⋅ σE = ⎜ ⎟ 12 ⋅ 1 − υ 2 ⎝ b ⎠

(

2

)


P8-3

Naponska stanja pri izbočavanju Do izbočavanja može da dođe usled dejtva: • Normalnog napona pritiska σx i ili σy • Smičućeg napona τxy • Kombinacije normalnog napona pritiska i smičućeg napona. Za razliku od izvijanja, izbočavanje ne mora da predstavlja obavezno i gubitak globalne stabilnosti konstrukcije, ili njenog dela. Postoji postkritična rezerva nosivosti. Metalne konstrukcije 2

P8-4

Osnove linearno elastične teorije izbočavanja Osnovne preptostavke (Timošenko): • Materijal je idealno elastičan; • Nema početnih geometrijskih imperfekcija; • Opterećenje deluje u srednjoj ravni ploče; • Deformacije upravno na ravan ploče (w) su male.


P8-5

Diferencijalna jednačina izbočavanja Parcijalna diferencijalna jednačina savijanja ploče po teoriji II reda – opšti slučaj: ∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w t ⎛ ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2 w ⎞ qz ⎜ + 2 2 2 + 4 + ⋅ ⎜σ x 2 + 2τ xy + σ y 2 ⎟⎟ = 4 D ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ⎠ D ,

σ y = τ xy = qz = 0

t ∂ 2w ∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w + 2 2 2 + 4 +σ x ⋅ ⋅ 2 = 0 4 D ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y D=

E ⋅t3 12 ⋅ (1 − v 2 )

Diferencijalna jednačina izbočavanja

krutost ploče na savijanje Metalne konstrukcije 2

P8-6

Rešenje diferencijalne jednačine Pretpostavlja se rešenje u obliku dvostrukog Furijeovog reda

w( x , y ) =

∞ ∞

∑ ∑ Amn ⋅ sin

m =1n =1

mπ nπ x ⋅ sin y a b

2 ⎫ ⎧ ⎡ 2 2 2 ⎤ t ⎪ ⎪ 4 ⎛m⎞ ⎛n⎞ 2 ⎛m⎞ Amn ⋅ ⎨π ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ σ x ⎬ = 0 D⎪ ⎝a⎠ ⎪⎩ ⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦ ⎭

Amn ≠ 0 Netrivijalno rešenje

2

2 ⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ D 2 ⎛ a ⎞ σ x = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎝m⎠ t ⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦ Metalne konstrukcije 2

P8-7

Kritičan napon elastičnog izbočavanja α = a /b 2

α⎞ π2 ⋅E ⎛m ⎛t⎞ ⋅⎜ ⎟ σ x = ⎜ + n2 ⎟ ⋅ 2 m ⎠ 12 ⋅ (1 − v ) ⎝ b ⎠ ⎝α

2

2

α⎞ ⎛m σ x = ⎜ + n 2 ⎟ ⋅ σ Ε = k (α ) ⋅ σ Ε m⎠ ⎝α α⎞ ⎛m k (α ) = ⎜ + n 2 ⎟ m⎠ ⎝α

2


P8-8

Minimum funkcije k(α) ⎛1 ⎞ k (α ) = ⎜ + α ⎟ ⎝α ⎠

2

dk (α ) =0 dα

α m =1 = 1,0 k min = 4,0


P8-9

Familija krivih k(α) i kritičan napon

2

σ x ,cr

π2 ⋅E ⎛ t ⎞ = k min ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ = kσ ⋅ σ E = 4 ⋅ σ E 12 ⋅ (1 −ν 2 ) ⎝ b ⎠ Metalne konstrukcije 2

k min ≡ kσ P8-10

Parametri koji utiču na vrednost kritičnog napona • Dimenzije ploče (debljina t, dužina a i širina b) uvode se u proračun preko Ojlerovog napona; • Uslovi oslanjanja ploče - uvode se u proračun preko koeficijenta k (kσ ili kτ); • Način naprezanja ploče - uvodi se u proračun preko koeficijenta k (kσ ili kτ);


P8-11

Uticaj uslova oslanjanja


P8-12

Uticaj načina naprezanja

ψ=

τ xy ,cr = kτ ⋅ σ E

σx1 maksimalan napon pritiska Metalne konstrukcije 2

Normalni naponi (kσ) Uslovi oslanjanja

ψ=1

ψ = 0,5

ψ=0

ψ = –0,5

ψ = –1

Smičući naponi (kτ)

α ≥ 1 : kτ = 5,34 + 4,00

5,32

7,81

13,40

23,90

α < 1 : kτ = 4 + α ≥ 1 : kτ = 9 + 6,97

9,27

13,54

24,50

39,52

α < 1 : kτ = 7 +

-

11,73

-

-

9,54

-

1,28

-

5,91

-

3,3

α2 5,3

α2

23,94

1,28

-

1,608

-

0,426

-

1,702

-

0,426

-

0,567

-

4

α2 5

α2

-

2,134

Vrednosti koeficijenta k

α2

α < 1 : kτ = 6,5 + 5,41

4

α2

P8-13

5,34

α ≥ 1 : kτ = 7,5 + 5,41

σ x2 σ x1

⎧8,2 / (1,05 + ψ ) ⎪ kσ = ⎨7,81 − 6,29 ⋅ψ + 9,78 ⋅ψ 2 ⎪5,98 ⋅ (1 −ψ )2 ⎩

za 0 < ψ < 1 za − 1 < ψ < 0 za − 2 < ψ < −1

-

-

0,851

-

-


P8-14

Povećanje stabilnosti ploče na izbočavanje primenom ukrućenja

π2 ⋅E ⎛t⎞ σE = ⋅ 2 ⎜ ⎟ 12 ⋅ 1 − υ ⎝ b ⎠

(

2

)


P8-15

Optimalan položaj ukrućenja Jedno ukrućenje


Dva ukrućenja

P8-16

Uticaj krutosti ukrućenja na vrednost kritičnog napona izbočavanja

Propisuje se potrebna krutost ukrućenja na savijanje (Imin) da bi se obezbedio kvalitetan (nepopustljiv) oslonac duž ukrućenja!

γs =

EI s I krutost ukrućenja = = 10,92 ⋅ s 3 krutost ploče D ⋅b b⋅t Metalne konstrukcije 2

P8-17

Nosivost pritisnute ploče na izbočavanje koncept efektivne širine

⎛ t π2 ⋅E f y = σ x , cr (beff ) = kσ ⋅ ⋅⎜ 2 12 ⋅ (1 − ν ) ⎜⎝ beff

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

π2 ⋅E ⎛t⎞ ⋅⎜ ⎟ f y = σ x ,cr (beff ) = kσ ⋅ 2 12 ⋅ (1 − ν ) ⎝ b ⎠

2

⎛ b ⋅⎜ ⎜ beff ⎝

2

⎞ ⎛ ⎟ = σ x ,cr ⋅ ⎜ b ⎟ ⎜ beff ⎠ ⎝


⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

beff = b ⋅

σ x , cr fy P8-18

Određivanje efektivne širine beff = b ⋅

λP =

beff =

fy

σ x , cr b

σ x , cr fy

Relativna vitkost ploče na izbočavanje

Karmanova hiperbola

λP

beff = ρ ⋅ b

ρ redukcioni koeficijent (1 ≥ ρ)


P8-19

Preporuke za određivanje koeficijenta ρ ⎧ 1 ⎪⎪ ρ=⎨ 1 1 ⎪ − 0,22 ⋅ 2 ⎪⎩ λP λP

⎧ ⎪⎪ 1 ρ=⎨ 0,9 ⎪ ⎪⎩ λP ⎧ ⎪ ⎪ ρ=⎨ ⎪ ⎪ ⎩

za λP ≤ 0,673 za λP > 0,673

za λP ≤ 0,9

SIA

za λP > 0,9

1 0,6

λP2 − 0,13

Vinter

za λ p ≤ 0,7 za λ p > 0,7

JUS


P8-20

Komparacija različitih krivih


P8-21

Koeficijent redukcije - Evrokod 3 Deo 1-5 - za unutrašnje pritisnute delove poprečnog preseka: za λ p ≤ 0,673

ρ = 1,0

ρ =

λ p − 0,055 ( 3 + ψ ) ≤ 1,0 λ p2

za λ p > 0,673

gde je ( 3 + ψ ) ≥ 0

- za konzolne pritisnute delove poprečnog preseka:

ρ = 1,0

ρ =

λ p − 0,188 ≤ 1,0 λ p2

za λ p ≤ 0,748 za λ p > 0,748

gde je:

λp =

fy

σ cr

=

b /t 28 ,4 ε k σ


P8-22

Raspodela efektivnih površina kod unutrašnjih pritisnutih delovi preseka Dijagram napona (pritisak je pozitivan)

ψ = 1:

Efektivnap širina beff

beff = ρ b be 1 = 0,5 beff 1>ψ ≥ 0 :

be 2 = 0,5 beff

beff = ρ b 2 be 1 = beff 5 −ψ ψ < 1:

be 2 = beff − be 1

beff = ρ bc = ρ b /(1 − ψ )

be 1 = 0,4 beff

ψ = σ2 σ1 Koeficijent izvijanja kσ

1 4,0

1>ψ>0 8,2/(1,05+ψ)

0 7,81

be 2 = 0,6 beff

0 > ψ > -1 7,81 - 6,29ψ + 9,78ψ 2

-1 23,9

-1 > ψ > -3 5,98(1-ψ)2


P8-23

Konzolni delovi preseka Dijagram napona (pritisak je pozitivan)

1>ψ ≥ 0 :

Efektivnap širina beff

beff = ρ c

ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c /(1 − ψ )


1 0,43

0 0,57

-1 0,85

1>ψ ≥ 0 :

1 ≥ ψ ≥ -3 0,57 - 0,21ψ + 0,07ψ 2

beff = ρ c

ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c /(1 − ψ )


1 0,43

1>ψ>0 0,578 / (ψ + 0,34)

0 1,70


0 > ψ > -1 1,7 - 5ψ + 17,1ψ 2

-1 23,8

P8-24

Efektivan poprečni presek aksijalan pritisak

Bruto poprečni presek

N

Efektivan poprečni presek

G težište bruto porečnog preseka G' težište efektivnog poprečnog preseka 1 težišna osa bruto poprečnog preseka 2 težišna osa efektivnog poprečnog preseka 3 neefektivna zona

N + Me


P8-25

Efektivan poprečni presek savijanje

G težište bruto porečnog preseka G' težište efektivnog poprečnog preseka 1 težišna osa bruto poprečnog preseka 2 težišna osa efektivnog poprečnog preseka 3 neefektivna zona Bruto poprečni presek

Efektivan poprečni presek Metalne konstrukcije 2

P8-26

Izbočavanje

Recommend Documents