Distribui¸ c˜ cao a ˜o das 1.048 Quest˜ oes do do I T A
94 (8,97%)
69 (6,58%)
104 (9,92%)
Equa¸c˜ coes ˜ oes Irracionais 09 (0,86%) Equa¸c˜ coes o ˜es Exponenciais Exponenciais 23 (2, Geo.. Ana Geo Anall´ ıtica ıti ca
Conjuntos 3 1 (2,96%) 101 (9,64%)
Geo. Espacial Espacial
Fun¸ c˜ coes ˜ oes
Binˆ omio omio de Newton 21 (2,00
An´ alise alise Combinat´ oria oria 36 (3 Geo. Plana
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica 01)(ITA)
Seja S o conjunto das soluções do sistema de desigualdades: 2 x
+
y
− 2 y y − 3 x x
+
− 3
my
+
>
1
< <
− 5
<
Uma equação do lugar geométrico das intersecções das diagonais dos retângulos inscritos no triângulo ABC e com um lado em AB (figura ao lado) é:
0 0 0 0, onde m é real
A) x
+
B) x
+
A representação geométrica de S , em coordenadas cartesianas ortogonais ( x, y ), é:
C) ax
A) um quadrilátero para qualquer m
D) x
> 0
B) um triângulo isósceles para qualquer m
5 3 < m < 4
02)(ITA) Num sistema
de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da circunferência que passa pelas pontos P1 (0, −3) e P2 (4, 0), e cuja centro está sobre a reta x + 2 y = 0, é: 2 + y )
B) 5( x2
+
C) x 2
+
y 2
D) x 2
+
y 2
+
2 x + 3 y
y 2 ) +
0
=
+
=
0
+
y
+
5
0
=
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. considere P1 a circunferência de 2 x2
+
2 y2
− 11 x
+
6 y − 8
=
0
Então, a equação da circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de P1 é dada por:
x
2
+
2
� � 11 � 3 − 4 2 � 11 ( − 2) 4 � � 2� 11 +
y
2
+
+
y
+
y
2
2
C) x −
4
=
=
2
+
3
=
4 9 2 3 4 9
1 = 0 8 E) nenhuma das respostas anteriores. D) 2 x2
+
2 y2
04)(ITA)
ab
=
+
b
b
2 =
a
+
c
2
0
1 3 2 < m < 2 .
B) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 < m < 1. C) Ela admite um máximo para todo m tal que − 12 < m < 12 . 1 3 2 < m < 2 .
06)(ITA) Sejam a , b , c e d
equação:
x
+
c ) y
a
+
E) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 < m < 1.
E) nenhuma das anteriores.
� A) � B) �
cy
+
a
=
− 2 x
03)(ITA)
A) Ela admite um mínimo para todo m tal que
D) Ela admite um máximo para todo m tal que
− 14 x 7 y − 24 4 x − 2 y − 15 0
+
3( b
=
=
de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva y = ax 2 + b x + c passa pelos pontos (1, 1), (2, m) e (m, 2), onde m é um número real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que:
E) nenhuma das anteriores.
A) 5( x2
+
y
05)(ITA) No sistema
m > 35
D) S é o conjunto vazio para
c a + b y c
E) nenhuma das anteriores.
< 0
C) um triângulo retângulo para m < 0 ou
2(a + b )
− 11 x
+
6 y −
números reaispositivos taisque A : (9a, 3 b), B : (−c, d ), C : (c, −d ) são os vértices de um triângulo equilátero. Então a equação da reta r que é paralela ao lado BC e passa pelo incentro do triângulo ABC é dada por: A) 3ax
+
by
=
c
d
−
B) dx
+
cy
=
3ad + bc
C) ax
+
by
=
2c
D) 2dx
+
3 ay
E) dx − 2 cy
=
+
4bc
9a
=
3 d
+
07)(ITA) Num
3 b
triângulo ABC , retângulo em A, de vértices B : (1, 1) e C : (3, −2), o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta de equação 3 x − 4 y + 2 = 0. Então, a reta que contém o cateto AC é dada por: A) 4 x
+
B) 4 x
+
3 y − 6
3 y − 3
C) 3 x − 4 y D) 2 x
+
5 y
E) 4 x − 3 y
1
+ = +
=
0
=
0
=
0
=
0
0
6
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica 08)(ITA)
Dados os pontos A : (0, 8) , B : (−4, 0) e C : (4, 0), sejam r e s as retas tais que ∈ s. Considere P1 e P2 os pontos pés das retas perpendiculares traçadas de P : (5 , 3) às retas r e s, respectivamente. Então a equação da reta que passa por P1 e P2 é:
A, B
∈
A) y
x
+
r , B, C 5
=
B) y
+
2 x
=
5
C) 3 y − x
=
15
D) y
+
x
=
2
E) n. r. a.
14)(ITA)
Por um ponto A de uma circunferência traça-se o segmento AA′ perpendicular a um diâmetro desta circunferência. Sabendo-se que o ponto A′ determina no diâmetro segmentos de 4cm e 9 cm podemos afirmar que a medida do segmento AA ′ é: A) 4 cm
09)(ITA)
2 x − 3 y A)
+
Considere a reta (r ) mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta 7 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto 14 , 61 à reta ( r ) é:
√
5 3 2
√ 4
B)
√
C) 3 13
13
D)
10)(ITA)
A equação da reta bissetriz do ângulo agudo que a reta y eixo dos x é: A) y B) y C) y D) y
=
=
=
=
1
√
1
2 + m
√ m
2 + m
+
1 −
1
m
−1 −
√
−1
√
+
1
+
2 3 7
E)
mx , m > 0
√ 2
3
forma com o
m 2
,
x
A)
y
2 5
13 cm
)
C) 3
D)
1 2
E) 2
denota o segmento reto de extremos R e S enquanto que RS denota o comprimento deste segmento.
√
+
√ 3
√
B) 4 3
+
√
2
√
C) 2
+
√ 3
√
D) 5 3
x
x
17)(ITA)
√
B) ( 2 −
√
3, − 1)
+
y2
+
C)
4 x
+
10 y
− 103 , − 1
�
�
+
28
=
0 que tem ordenada máxima é:
D)
√ 2 2 − 2 −2 ,
E) (−2, − 4)
+
A) R é um número irracional e R B) R é um número irracional e
< 21 .
1 2 < R < 1.
C) R é um número irracional e R
> 1.
D) R é um número racional e R
> 1.
E) R é um número racional e R
< 1.
Seja C a circunferência x2 + y 2 − 2 x − 6 y + 5 = 0. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é M : (2 , 2). O comprimento de AB (em unidade de comprimento) é igual a: 13)(ITA)
B)
√
Seja s a reta do plano cartesiano que passa pelo ponto (1,3) e é perpendicular à reta 1 = 0. Considere uma circunferência com centro na origem e raio R > 0. Nestas condições, se s for tangente à circunferência, então: +
(
1 3
A) 6 2
12)(ITA)
x
√
Seja C o centro da circunferência x2 + y2 − 6 2 y = 0. Considere A e B os pontos √ de intersecção desta circunferência com a reta y = 2 x. Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices A, B e C é:
ponto da circunferência x2
√ 2 2 − 2 − 92
E)
Duas retas r e s, concorrentes no ponto P : 12 , − 12 , determinam na circunferên2 cia x + y2 = 1 cordas AB e CD , respectivamente. Sabendo-se que r é dada pela equação x − y − 1 = 0, o valor de PC · PD é:
x2
A)
D) 6 cm
16)(ITA)
E) n. d. a.
11)(ITA) O
C) 13 cm
15)(ITA)
Nota: RS
x
2 + m
m
√
x
m
1
=
( )
B) 12 cm
+
A distância entre os pontos de intersecção da reta 10 2 y = 400 é:
√
√
A) 16 5
√
B) 4 5
Seja C a circunferência dada pela equação x2 é o ponto em C mais próximo da origem, então: A) a
=
B) a
=
C) a
=
D) a
=
− 32 − 12
e 4b 2
+
24 b
+
15
=
0
e 4b2
+
24 b
+
33
=
0
√
10 10
− 1 e b √ − 1 − 1010 e b
=
y
20
=
√
2
E) n. d. a.
1 com a circunferência
√
C) 3 3
18)(ITA)
+
+
√
D) 4 3 +
y 2
+
2 x + 6 y + 9
E) 5 7 =
0. Se P
=
(a, b )
3a =
3a
E) n. d. a. 19)(ITA)
Sejam m e n constantes reais estritamente positivas. Num sistema de coordenadas √ 2 carte2 sianas ortogonais, consideramos “ C ” a circunferência de centro P 1m , n1 e de raio R = mm n e √ 2 2 “ r ” a reta de equação mx + ny + ( m + n − 2) = 0.
( )
Nestas condições, se “ s ” com “ C ” são: A)
� 1
1
1
� � 1
1
1
n
�
+
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica
� 1 � � 1 1 � 1 e � 1 � � 1 � C) e − � 1 1 � � 1 1 � D) 1 e � 1 1 � � 1 B)
m
m
E)
m
,
+
m
n m
m
n
,
m
,
n
+
m
1 ,
+
n m
E) (a2
,
n
e
+
√
7 3
m
− 1 , 1n −
n m
B) R
√ =
15 3
C) R
√ =
10 3
D) R
=
(8, −2). Seja
√
10 5
=
E) n. d. a.
As circunferências x2 + y2 = 2 x e x2 + y2 = 4 y possuem um ponto comum P, distinto da origem. Obtenha a equação da reta tangente à primeira circunferência no ponto P. 21)(ITA)
A) 5 x
+
10 y
=
16
+
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, seja “ E ” uma elipse de equação 5 x2 + y2 = 5 . Considerando r e s duas retas distintas, tangentes a “ E ” e com coeficiente angular comum igual a 2, podemos afirmar que:
�
Seja r a mediatriz do segmento de reta de extremos M = (−4, −6) e N R o raio da circunferência com centro na origem e que tangencia a reta r . Então: =
=
=
24)(ITA)
n m
20)(ITA)
A) R
− 1) y a( x2 − 1) − 1) y − x2 1
n
m
n
D) (a2
n
m
,
+
,
B) 5 x
+
15 y
=
20
C) 5 x
+
5 y
=
12
D) 3 x
+
4 y
=
8
E) 10 x
+
5 y
=
20
A) as equações dessas retas são y C) a equação de uma das retas é y
E) a reta y
A) x sen θ + ycos θ
=
r
B) x sen θ − ycos θ
=
−r −r
C) x cos θ − y sen θ
=
D) x cos θ + y sen θ
=
r
E) x cos θ + y sen θ
=
−r
+
p e y
=
2 x − p, onde p é um número irracional.
=
2 x − 3 e a outra tangencia “ E ” num ponto cujas coordenadas são números racionais.
=
x corta uma das retas, r
ou s, num ponto M
=
afirmações: I – Uma elipse tem como focos F 1 : (−2, 0) ,
(a, a ), onde a é real e | a |
>
2 5.
7.
25)(ITA) Considere as
36 A equação da reta t , tangente à circunferência de raio r no ponto P, conforme figura ao lado é dada por :
2 x
D) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos de contato de r e s com a elipse “ E ” é
x2
22)(ITA)
=
B) os pontos de contato dessas retas com a elipse “ E ” são os pontos do 1º e 3º quadrantes.
+
y2
32
=
F 2
: (2, 0) e o eixo maior 12. Sua equação é:
1.
√
√
II – Os focos de uma hipérbole são F 1 : (− 5, 0) , F 2 : ( 5, 0) e sua excentricidade é equação é 3 x2 − 2 y2 = 6. 125 III– A parábola 2 y = x2 − 10 x − 100 tem como vértice o ponto P : 5, . 2 Então:
�
√
10 . Sua 2
�
A) Todas as afirmações são falsas. B) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. C) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. D) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. E) N. r. a.
coordenadas cartesianas ortogonais, a equação x2 a e b são números reais não nulos, representa a seguinte curva: 26)(ITA) No sistema de
A) a circunferência de raio 23)(ITA)
A equação da parábola, cujo eixo é perpendicular ao eixo x e que passa pelo centro da circunferência x2 + y2 − 2ax + 2 y = 0, com a > 1, e pelos pontos (–1,0),(1, 0) é: A) (a2
− 1) y B) (a2 − 1) y
= =
a2 ( x2
− 1) a2 (1 − x 2 )
B) a circunferência de raio C) a circunferência de raio
√ 2 a
+
√ 22 a
a+b
2
b2
+
.
b 2 .
.
D) a parábola de vértice no ponto ( a, b ). E) elipse com semi-eixos de comprimentos
a
b
+
y2
=
ax
+
by, onde
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica 3π 4 π 2π B) , 3 3 π 2π C) , 3 3 π 3π D) , 4 4 π 2 π E) , 3 3 A) 27)(ITA)
Sejam as retas (r ) e ( s) dadas respectivamente pelas equações 3 x − 4 y + 12 = 0 e 3 x − 4 y + 4 = 0. Considere ( ) o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente (r ) e ( s). Uma equação que descreve ( ) é dada por: A) 3 x − 4 y B) 3 x
+
4 y
C) x − y D) x
+
y
+
+
8
=
0
+
8
=
0
1
=
=
0
=
,
e D
=
( −2, −5)
e D
=
( −1, −5)
e D
=
( −2, −6)
e D
=
( −2, −6)
e D
=
( −2, −5)
32)(ITA) Seja o
0
de coordenadas ortogonais, considere a família de circunferências que passam pelo ponto 2, − 12 e que são tangenciadas pela curva y = − 32 . Então, a equação do lugar geométrico dos centros dessas circunferências é dada por:
(
)
+
=
B) uma elipse centrada em ( r , −2r ) com semi-eixos valendo r e 2r .
√
D) duas retas paralelas distando r 3 uma da outra.
=
+
A) uma circunferência centrada em ( r , −2r ) com raio r . C) uma parábola com vértice em ( r , −r ).
− 4 x − 2 y 2 0. − 2 y − 5 x − 2 0. C) x 2 2 x − 7 y 3 0. D) y2 − 4 y − 2 x − 3 0. E) x 2 y2 − 2 x y − 2 B) y2
ponto A = (r , 0) , r > 0. O lugar geométrico dos pontos P = ( x, y ) tais que é de a diferença entre o quadrado da distância de P a A é o dobro do quadrado da distância de P à reta y = − r , é: 3r 2
28)(ITA) Num sistema
+
4
0
E) 3 x − 4 y − 8
A) x 2
π
E) uma hipérbole centrada em ( r , −2r ) com semi-eixos valendo r .
= =
+
+
=
33)(ITA) O coeficiente angular da reta
0.
x2
29)(ITA)
As retas y = 0 e 4 x + 3 y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste paralelogramo, em cm2 , vale: A)
36 5
B)
27 4
C)
44 3
D)
48 3
E)
48 5
a hipérbole H e a parábola T , cujas equações são, respectivamente, 5( x + 3) 2 − 4( y − 2) 2 = −2 0 e ( y − 3) 2 = 4( x − 1). Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P ao vértice da parábola T , é:
tangente à elipse 16
+
y2
9
=
1
no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas no ponto P
√
3 3
A) −
1 B) − 2
C) −
√
2 3
=
(8, 0) é: D) −
√
3 4
E) −
√
2 4
30)(ITA) Considere
( x − 3) 2 ( y + 2) 2 + = 1 4 3 ( y + 1) 2 ( x − 3) 2 B) A hipérbole de equação − 4 =1 5 C) O par de retas dadas por y = ± (3 x − 1) . A) A elipse de equação
D) A parábola de equação y2
=
Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B ∈ r e C ∈ s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento BC é perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual a 12 × 10−1 , então a distância de B ao eixo das ordenadas vale: 1 2,
A)
8 5
B)
4 5
√
p
120
o paralelogramo ABCD onde A
2 5
D)
1 5
E) 1
Seja k > 0 tal que a equação ( x2 − x) + k ( y2 − y) = 0 define uma elipse com distância focal igual a 2. Se ( p, q ) são as coordenadas de um ponto da elipse, com q2 − q 0, então
− q2 é igual a: − p√
q2 31)(ITA) Considere
C)
35)(ITA)
4 x + 4.
E) A circunferência centrada em (9, 5) e raio
34)(ITA)
=
(0, 0) , B
=
(−1, 2) e C
=
(−3, −4).
A) 2
+
5
B) 2 −
√
5
C) 2
+
√
3
D) 2 −
√
3
E) 2
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica 36)(ITA) Considere a
região do plano cartesiano x y definida pela desigualdade: 2
x
+
4 x
+
2
y
− 4 y −
8
128 3
B)
π
128 4
C)
π
128 5
+
D)
π
pontos A : (2, 0) , B : (4, 0) e P : (3, 5 + 2 2). a) Determine a equação da circunferência C , cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e é tangente ao eixo y. b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que passam pelo ponto P.
0.
Quando esta região rodar um ângulo de 6π radianos em torno da reta x gerar um sólido de superfície externa total com área igual a: A)
y
128 6
=
0, ela irá
π
E)
128 7
π
37)(ITA)
Considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é parte: A) de uma elipse. B) de uma parábola. C) de uma hipérbole. D) de duas retas concorrentes. E) da reta y
=
− x.
38)(ITA)
Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4cm de r . A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em cm2 , a:
√
√
√
A) 3 15
B) 7 3
C) 5 6 x2
39)(ITA) Sabe-se que
D) y2
uma elipse de equação 2 + 2 a b de equação 5 e que a reta de equação 3 x Determine as coordenadas de P. x2
+
y2
=
√
42)(ITA) Sejam os
15 √ 3 2
E)
7 √ 15 2
43)(ITA) A área de um
triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos e B : (3 , −2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abscissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são:
A : (2 , 1)
�1 � − 0 ou (5 0) � 12 � B) − 0 ou (4 0) � 31 � C) − 0 ou (5 0) � 31 � D) − 0 ou (4 0) � 13 � A)
E)
,
,
,
,
,
,
,
,
− 5 , 0
ou (3, 0)
44)(ITA)
Duas retas r 1 e r 2 são paralelas à reta 3 x − y = 37 e tangentes à circunferência − 2 x − y = 0. Se d 1 é a distância de r 1 até a origem e d 2 é a distância de r 2 até a origem, então d 1 + d 2 é igual a:
x2
2 + y
√
A) 12 = +
1 tangencia internamente a circunferência 2 y = 6 é tangente à elipse no ponto P.
B)
15
C)
√
7
D)
√
10
E)
√
5
45)(ITA) Uma circunferência passa
pelos pontos A = (0, 2) , B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são: A) (0, 5) e 6.
Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos ( x, y ) do plano que satisfazem a equação x2 + y2 x y 1 40 2 6 1 det = 288 4 2 0 1 34 5 3 1
√
B) (5, 4) e 5.
C) (4, 8) e 5,5.
D) (4, 5) e 5.
E) (4, 6) e 5.
40)(ITA)
A) Uma elipse. 41)(ITA)
B) Uma parábola.
⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒
⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒
C) Uma circunferência.
D) Uma hipérbole.
E) Uma reta.
Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60◦ . Seja C 1 uma circunferência de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5cm de r . Determine o raio da menor
46)(ITA) A distância focal e
a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, –2) são, respectivamente:
√
A) 3 e
1 2
B)
1 e 2
√
3
C)
√
3 1 e 2 2
√
3 2
√
D) 3 e
√
3 2
√
E) 2 3 e
reta s : 12 x − 5 y + 7 = 0 e a circunferência C : x2 + y2 + 4 x + 2 y = 11. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C , corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo: 47)(ITA) Sejam a
� 91
A)
− 12 , − 81 12
�
B)
74 , − − 81 12 12
�
�
C)
30 , − − 74 12 12
�
�
� 30 74 �
D)
,
12 12
� 75 91 �
E)
,
12 12
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica 48)(ITA)
Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C ′ de menor raio, com centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C . 49)(ITA) Os focos
de uma elipse são F 1 (0, −6) e F 2 (0, 6). Os pontos A(0, 9) e B( x, 3), x estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F 1 e F 2 é igual a:
√
√
A) 22 10
√
B) 18 10
Sabendo que 9 y2 calcule sua distância focal. 50)(ITA)
√
C) 15 10
− 16 x2 − 144 y
+
224 x − 352
D) 12 10
=
>
0,
√
E) 6 10
0 é a equação de uma hipérbole,
E) y
−
=
√ 3 2
( x − 7)
equação y = ax 2 + b x + c , que passa pelos pontos (2, 5), (–1, 2) e tal que a, b , c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5). 55)(ITA) Considere a parábola de
56)(ITA)
No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) é igual a 4. Então, S é: A) uma circunferência de raio
√
2 e centro (2, 1).
B) uma circunferência de raio 1 e centro (1, 2). C) uma hipérbole.
51)(ITA)
2 x A)
Considere no plano cartesiano xy o triângulo y, x = 2 y e x = − 2 y + 10. A área desse triângulo mede:
=
15 2
B)
13 4
C)
11 6
delimitado pelas retas
√
D) uma elipse de eixos de comprimento 2 2 e 2. E) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1.
D)
9 4
E)
7 2
Sejam A : (a, 0) , B : (0, a ) e C : (a, a ), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P : ( x, y ) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C .
57)(ITA) A distância entre o
2 x2
52)(ITA)
A) x2
+
y 2
B) x2
+
y 2
C)
x2
3 a2
=
0.
2 ay + 3 a2
=
0.
=
0.
=
0.
=
0.
− 2 xy − 2 ax − 2 ay +
2 xy + 2 ax
2 + y
+
+
− 2 xy 2 ax 2 ay 3 a2 y 2 − 2 xy − 2 ax − 2 ay − 3 a2 y 2 2 xy − 2 ax − 2 ay − 3 a2
D) x2
+
E) x2
+
+
+
+
+
P
=
A) y
=
B) y
=
C) y
=
√ √ 3( x − 1)
3 x 2 √ 3 ( x + 1) 2 √ − 3
λ : x2
B)
3
=
0
3 2
C) 1
D)
3 4
E)
1 2
Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0, 0) e AB uma corda de C . Sabendo que (1, 3) é ponto médio de AB, então uma equação da reta que contém AB é: A) y + 3 x − 6 B) 3 y
− y2
+
58)(ITA)
plano cartesiano xy, duas circunferências C 1 e C 2 , que se tangenciam exteriormente em P : (5, 10). O ponto Q : (10, 12) é o centro de C 1 . Determine o raio da circunferência C 2 , sabendo que ela tangencia a reta definida pela equação x = y.
√ Dada a cônica (2, 3) ?
− 4 x − 4 y
é igual a: A) 2
53)(ITA) Considere, no
54)(ITA)
vértice e o foco da parábola de equação:
=
1, qual das retas abaixo e perpendicular à
λ no
ponto
C) 2 y D) y E) 2 y
x
+
+
+
0.
=
− 10 x − 7 x − 4 3 x − 9
+
=
= =
0. 0.
0. =
0.
a circunferência C : ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 20 e a reta r : 3 x − y + 5 = √ 0, considere a reta t que tangencia C , forma um ângulo de 45◦ com r e cuja distância à origem é 3 5 5 . Determine uma equação da reta t . 59)(ITA) Dadas
60)(ITA)
Dadas as retas (r 1 ) : x + 2 y − 5 (r 3 ) : x − 2 y − 1 = 0, podemos afirmar que: A) são 2 a 2 paralelas.
=
0, (r 2 ) : x − y − 2
=
0
e
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica
D) (r 2 ) é perpendicular a ( r 3 ).
cujos vértices são denotados, respectivamente, por V 1 e V 2 . Sabendo que r é a reta que contém V 1 e V 2 , então a distância de r até a origem é:
E) as três são concorrentes num mesmo ponto.
A)
C) (r 1 ) é perpendicular a ( r 3 ).
61)(ITA)
Sendo (r ) uma reta dada pela equação x − 2 y + 2 = 0, então a equação da reta ( s) simétrica à reta (r ) em relação ao eixo das abscissas é descrita por: A) x + 2 y
=
B) 3 x − y
+
0.
3
=
C) 2 x + 3 y + 1
0.
= =
0.
E) x − 2 y − 2
=
0.
Três pontos, de coordenadas (0, 0), (b, 2 b) e ( 5b, 0), com b retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: B) (2b, −b)
C) (4b, −2b)
> 0,
são vértices de um
D) (3b, −2b)
E) (2b, −2b)
63)(ITA)
x C
+
y
∈
Seja A o ponto de interseção das retas r e s dadas, respectivamente, pelas equações: 3 e x − y = −3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante, com B ∈ r e √ r . Sabendo que d ( A, C ) = 2, então a reta passando por B e C é dada pela equação: =
A) 2 x + 3 y
=
1.
B) y
1
=
C) y
2
=
D) x
=
1
E) x
=
2
64)(ITA)
Considere os pontos A : (0, 0) , B : (2, 0) e C : (0, 3). Seja P : ( x, y ) o ponto de interseção das bissetrizes internas do triângulo ABC . Então x + y é igual a: A)
12 (5
+
√
13)
B)
8 (2
+
C)
√
11)
65)(ITA) Tangenciando externamente a
9 x
2
+
4 y
2
elipse
10 (6
+
D) 5
√
13)
E) 2
66)(ITA) São dadas
√ 7
√ 17
D)
50
E)
50
√ 11
74
67)(ITA) Uma
reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente angular 2a e tangencia a parábola no ponto de coordenadas (a, b ). Se (c, 0) e (0, d ) são as a coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = −2d , então b é igual a:
y
x2
=
− 1
4 15
B) −
− 72 x −
24 y
+
144
B) (8, 2)
C) (8, 3)
( x − 1) 2 A) y
=
5 16
C) −
3 16
D) −
6 15
E) −
7 15
0
y 2
=
que o ponto (2,1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência 4, então a equação da reta que passa por A e B é dada por: B) y
=
=
− x2 − 4 x − 2
3
1 11
C) y
=
− x
+
3
D) y
=
3 x 2
− 2
E) y
=
− x2
+
2
69)(ITA)
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos A(1, 2) , B(2, 4) e são vértices de um triângulo. A distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado √ AB, é: A)
9 10 70
B)
9 10
√
C) 8 10
√
D) 3 3
E) n. d. a.
70)(ITA)
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais considere P1 a circunferência de equação 2 x2 + 2 y2 − 11 x + 6 y − 8 = 0. Então, a equação da circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e como mesmo centro de P1 é dada por: 3 2 + y 2 4 2 + y 11 11 2 + y 4
11 2 4
( ) ( − ) ( ) ( − 2) B) ( ) ( ) C) − A) x
+
x
+
2 x2
2 + 2 y
2
+
− 11 x
3 2 2
+
=
=
=
6 y −
4 9 2 3 4 9 1 8
=
0
E) (9, 2)
71)(ITA) Num sistema de
cia de equação
x2
2 + y
A) 3 x − y + 1 = 0
coordenadas cartesianas ortogonais, uma das retas tangentes à circunferên+ 2 x + 4 y − 20 = 0, passando pelo ponto P0 (−2, 5), tem por equação:
B) x + y − 3 = 0
72)(ITA) Num sistema de
p1 : y
− 1
E) n. r. a.
D) (9, 3)
as parábolas:
x
C (4, 1)
D) =
+
2 x − 3
x
1 , tal que 1 :
considere uma elipse 2 , de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de 1 e cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de 1 . Sabendo que 2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de 2 é: A) (7, 3)
C)
26
68)(ITA) Sabendo
62)(ITA)
A) (−b, −b)
√ 7
B)
26
A) −
0.
D) x + 2 y + 2
√ 5
C) x + 3 y − 13 = 0
D) 4 x − 3 y + 23 = 0
E) n. r. a.
coordenadas cartesianas ortogonais , a equação da circunferência que passa pelos pontos P1 (0, −3) e P 2 (4, 0), e cujo centro está sobre a reta x + 2 y = 0, é: A) 5( x2
+
y 2 )
+
2 x + 3 y
=
0.
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica C) x2
+
y 2
x2
+
y 2
D)
E) n. r. a.
4 x − 2 y − 15 − 2 x y 5
+
+
+
tos P( x, y ) que satisfazem a seguinte condição: “ a distância de P( x, y ) ao ponto Q(6, 0) é igual à distância do ponto P( x, y ) ao eixo das ordenadas. ” Nestas condições ( L) é:
0.
=
=
0.
A) Uma parábola de equação y2 x2
B) Uma elipse de equação 73)(ITA)
Considere o triângulo ABC do plano cartesiano, onde A = ( p, q ), B = (2 p, 3 q) e C = (3 p, 2 q); sendo p e q reais. Se m é o ponto de intersecção de suas medianas, então a reta que passa por M e é paralela à reta ←→ BC intercepta os eixos cartesianos nos pontos: A) (0, p ) e (4 p, 0)
B) (0, 4 q) e (4 p, 0)
C) (0, 4 p) e (4q, 0)
D) (0, q ) e ( p, 0)
E) (0, 3 q) e (3 p, 0)
74)(ITA)
A equação da circunferência tangente ao eixo das abscissas na origem e que passa pelo ponto (a, b ) onde a2 + b2 = 2b e b 0, é: A) ( x − b)2 + y2 = b2
√
B) ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 1
D) x 2 + ( y − 1)2 = 1
E) x 2 + y − 12
2
( )
=
1 4
C) x 2 + y2 = 1
D) y = a 1 x 2
76)(ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonaisseja
( )
A(0, a ), B a2 , 0 ,
E)
x 2
B)
3 a2 4
C)
+
y2
a22
9 2
+
√
3 3
C)
3 a2 2
3 2
=
1.
E) Uma parábola de equação
y2
− 2 y2
− 12 x
+
=
√
36
=
6. 0.
79)(ITA)
Suponha que x e y são números reais, satisfazendo simultaneamente às equações 2 x + 3 y = 21 e 7 x − 4 y = 1. Nestas condições, se S = x + y , então: A) S
=
10
B) S
=
8
C) S
=
5
D) S
=
√
D) 3 a2
D)
9 2
+
5 2
E)
√
3
− 8
3 a2 4
+
a 4
E)
1 2
+
E) S
15
=
80)(ITA)
Sejam a, b , c e d números reais positivos tais que A : (9a, 3 b), B : (−c, d ), C : são os vértices de um triângulo equilátero. Então a equação da reta r , que é paralela ao lado se e passa pelo incentro do triângulo ABC é dada por:
−d )
A) 3ax + by = c − d
B) dx + cy = 3ad + bc
C) ax + by = 2c + 3d
D) 2dx + 3ay = 4bc
81)(ITA)
Calculando-se a área da região limitada por y
3 2 ( x
+
Obtém-se:
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais considere o triângulo ABC , sobre o qual sabemos que: a. o lado AC está sobre a reta y = x. b. o vértice A tem coordenadas (1, 1) e o ângulo A mede 60◦ . c. o vértice B está no eixo das ordenadas. d. o lado BC é paralelo ao eixo das abscissas. A área deste triângulo vale: √ B)
D) Uma hipérbole de equação 3 x2
82)(ITA)
77)(ITA)
A) 9
4
Uma circunferência, tangente às retas de equações: 2 x − 3 y + 9 tem o seu centro sobre a reta x + 2 y − 10 = 0. C (0, 2 a) pon- Encontre a equação desta circunferência. a21
tos dados onde a é um número real, a < 0. Sejam as retas: (r ) passando por A e B e ( s) passando por C e paralela a (r ). A área do trapézio ( T ) delimitado pelos eixos cartesianos e pelas retas (r ) e ( s) vale: A) 3a2
6 x.
C) Um quadrado.
(e,
O lugar geométrico da intersecção de duas retas, passando pelo ponto (0, –1) com coeficiente angular a1 , a outra passando pelo ponto (0,1) com coeficiente angular a2 tal que a21 + a 22 = 2, é: B) x 2 − y2 = 1
+
y2
C) x 2 + ( y − 2)2 = 2
75)(ITA)
A) ( x − a1 )2 + ( y − a2 )2 = 1
3
=
√
A) 2 13 π
B) 13 π
83)(ITA) Uma
(r 1 ) : x − y
=
B) ( x + 1)2 + ( y − 1)2 C) ( x − 1)2 + ( y − 1)2
D) ( x − 1)2 + ( y + 1)2 E) ( x + 1)2 + ( y + 1)2
√
84)(ITA) Um
(13 π) 2
D)
0 e 3 x − 2 y + 1
2) e x2
√
( 13 π) 2
+
( y − 3)2
=
0,
13.
√
E) 13 π
das circunferências que passa pelo ponto P(0, 0) e tangencia as retas 0 e (r 2 ) : x + y − 2 = 0 tem sua equação dada por:
A) ( x − 1)2 + ( y + 1)2
5 3
C)
=
E) dx − 2cy = 9a + 3b
=
√
2
=
2
=
2
= =
√
2
2
√
triângulo equilátero ABC é tal que A(0, 3), B(3 3, 0) e a abscissa do ponto C é
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica a2 + b2 + r 2
é igual a:
A) 31
E) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam. B) 32
C) 33
D) 34
E) 35 91)(ITA) Pelo
9 x2
85)(ITA)
2 + 4 y
− 72 x − 24 y + 144 = 0, Tangenciando externamente a elipse 1 tal que 1 : considere uma elipse 2 , de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de 1 e cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de 1 . Sabendo que 2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de 2 é: A) (7, 3)
B) (8, 2)
C) (8, 3)
D) (9, 3)
x2
86)(ITA)
√ 5
11 4
x2
√ 7
B)
26
C)
26
√ 7
√ 17
D)
50
E)
50
√ 11
74
87)(ITA) Sabendo
( x − 1) 2 A) y
=
+
y 2
2 x − 3
=
que o ponto (2,1) é ponto médio de uma corda AB da circunferência: 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por: B) y
=
x
− 1
C) y
=
− x
+
3
D) y
=
√
88)(ITA)
3 x − 2 2
√
São dadas as retas r : x − y + 1 + 2 = 0 e s : 3 x circunferência C : x2 + 2 x + y2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que:
+
E) y y
− 2
+
√
3
=
− 12 x − 2 =
0 ea
B) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é tangente à C .
E) r e s são concorrentes e ambas são tangente à C .
Seja m ∈ R∗ tal que a reta x − 3 y − m = 0 determina, na circunferência 2 = 25, uma corda de comprimento 6. O valor de m é: + ( y + 3)
√
A) 10 + 4 10
+
B) 2
+
√
3
C) 5 −
√
a circunferência C de equação x2 equação x2 + 4 y2 − 4 x + 8 y + 4 = 0. Então: 90)(ITA) Considere
A) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
B) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. C) C e E são tangentes exteriormente.
ponto C : (4 , −4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola 2 nos pontos A e B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B é:
√
A) 6 12
B)
92)(ITA) Considere
√
12
C) 12
D) 8
2 +
D) 6 y 2
+
2 x
+
2 y
+
+
√
l
=
10
E) 3
0 e a elipse E de
E) 6
as circunferências:
− 4)2
C 1 : ( x
+
( y − 3)2
=
4
e
C 2 : ( x
− 10)2
+
( y − 11)2
=
9.
Seja r uma reta tangente interna a C 1 e C 2 , isto é, r tangencia C 1 e C 2 e intercepta o segmento de reta O1 O2 definido pelos centros O1 de C 1 e O2 de C 2 . Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede:
√
A) 5 3
√
√
B) 4 5
C) 3 6
D)
25 3
E) 9
93)(ITA)
Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B = (2, 1) e C = (5, 5). Das seguintes afirmações: I. A se encontra sobre a reta y = − 34 x + 112 . II. A está na intersecção da reta y = − 34 x + 458 com a circunferência ( x − 2)2 + ( y − 1)2 = 25. III. A pertence às circunferências ( x − 5)2 É (são) verdadeira(s) apenas:
A = (1, 1) , B (1, 7)
D) r e s são concorrentes, s é tangente à C e r não é tangente à C .
( x −
+
B) II
+
( y − 5)2
C) III
=
25 e x − 72
( )
2
+
( y − 3)2
e C = (5, 4) no plano xOy.
=
75 4 .
D) I e II
94)(ITA) Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos
C) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente à C .
1) 2
( x − 4) 2
A) I
A) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C .
89)(ITA)
=
E) (9, 2)
− 3 x + cujos vértices Dadas as parábolas p 1 : y = − − 4 x − 1 e p2 : y = são denotados, respectivamente, por V 1 e V 2 . Sabendo que r é a reta que contém V 1 e V 2 , então a distância de r até a origem é: A)
y
E) II e III
vértices são
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Analítica
Gabarito Geral - ITA - Geometria Analítica 1. C
2. B
3. C
4. B
5. B
6. C
7. A
8. A
9. B
10. D
11. E
12. C
13. D
14. B
15. D
16. E
17. A
18. C
19. E
20. D
21. D
22. D
23. E
24. C
25. C
26. A
27. A
28. A
29. E
30. E
31. D
32. E
33. D
34. B
36. A
37. C
38. B
39. P
√
35. ∅
�8 5� ,
9 3
40. C
41. (29 − 16 3) cm
√ √ √ 4 4 42. a) ( x − 3)2 + ( y − 2 2)2 = 9 b) y = − x + 2 2 + 9 e y = x + 2 2 + 1 3 3 43. C 44. E 45. D 46. E
�
48. x −
2
� 25 4
+
y2
=
25 16
49. D
√
√
50. 10
51. A
54. E
55.
√
59. t : 2 x + y + 3 = 0
5 5 60. E
63. D
64. A
65. D
67. A
68. C
69. A
70. C
72. B
73. B
74. D
75. B
77. D 78. E 225 1 81. ( x − 6)2 + ( y − 2)2 = ou ( x − 2)2 + ( y − 4)2 = 13 3 84. C 85. D 86. E
79. B
80. B
82. C
83. B
87. C
88. E
89. A
91. C
92. A
93. E
95.
96.
97.
52. A
53. RC 2
56. D
57. E
61. D
62. C
66. E 71. D
=
145 2 + 15 29 49 58. B
47. #
76. B
90. C
94. ( x − 52)2 + ( y − 4)2 =
9 4
