GEOMETRI FLAlON' MTFlA' N L TFIÁNGULO OeLlUÁNGULO Y FLAlON' M-TFlA' N LA lFU N f FNlA
8)7 6 E) 24 3
A) � 5 D)9
M A 01 :J8 M ): • t ) J8 Y• t Y
C)6 3
En un triángulo acutánguloA8CA8=c, 8C ay AC b tal que c > b > a se traza la altura 8H. Calcule AH - HC ª c A) b+ ª C)c E) 2ab
En un paraelogramo ABCD A8 a BC b (a>b); el ángulo entre las dagonales mde 45. Calcule la dstanca dstanca entre A8 A8 y CD. ª +b ª +b A) 8) ª _ ª b C) 2ab D) ª"2 ª b E)
iQU1:J!MA 02 1
•03)=f os l
2
2
2
2
En el gráfico AM MB y AC MD 1 OO S AD = cm calcue A8 (en cm) 2
2
c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a/
En un trángulo A8C las medianas BM y CN son perpendculares Calcule A + AC 2
2
2 0c
A)3 D) 6
8)4 E)
PROBLEMA
C)5
' y son 2 crcunferencas tangentes exterormente cuyos rados mden R y r de A)0 8)2 C)14 centros A y 8 respectvamente tangentes en C E) 6 D)5 con dámetro A8 se traa la semcircunferenca tal que - n D E Calcule la longtud de rado de la crcunferenca nscrta arcos CE CD y ED. (R > r) En un triángulo A8C los lados y las medanas entre los arcos mden respectivamente a b c y m m y m A)Rr r 8) C) Calcule: r R+r Rr a + b + c D) + 2(R r) E) 2R r m +m +m 1
3
4
4
a
4
4
b
4
4
e
2
3
2
3
1
i@:M4Wo1 i@:M4W o1
Dado ngulCal o cuyas medi anas m(endencm)9 cm, 1menor cmunyla15dotriIácm c ul e l a l o ngi t ud del del triánguo A) 6 8) C) E) 10 D) 4
,t•)J8A0 ,t•)J8A
En unaOsemi c=rcunferenci acentro de dáenmeto ABtazay centro (AB 6 cm) con A se una aarco quecircunferenci pasa por p or ela enpuntoC. CaO yculquee aintersecta sem ongtuda (en cm) del rado de a crcunferencia tangente OB OC y BC l�;t•]=JS&oa l�;t•]=JS& oa B) A) C) 3 3 cABC es un tri á ng ngul ul o acutángul o n scri t o en una 3 3 O cunfeenci a de adi o R SI Ges el bar c entro y E) rcuncentro aasbongi tudes de lvoamente s ados D) 4 yentonces dees eltrcángu o son y respecti la distancia OG es En unL tapeci o ABCD,ADBC=b BC AD(b>a) m L HalBAle =a j A A R -( a +� +c ) m ADC, AB=a, longtud de a altua de tapeco B jR -( a + � c ) A) /b(b B) / (ba) a) (ba) C /R a c C) /b /b(a b)) D) 1¡(a +b)(3ab) (ab D jR -( a c ) - E) /(b a)(b a) E jR a + +c ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
BC ABC=esaSi triángu de ademueste dos AB = que , ACCH= es:b y aunSi CH es alotura, En l a f g ura AB BC y AC son di á metos o s puntos Q y R sona. deCaltangenci a)(p de a ciPrcunferenc cule x a y O es cento /(p /(p a)(pb)(p b)(p)) PROBLEMA
(
p
ab A) -ab ab D) a+b
2a ab B) ab ab a+b E)
c
4ab C) ab
AnBCD esunauncicuadrado dea "aydocon4u,centro en elensee scri b e cunferenc vérticeenA selotaza e cuadrante cuadrant e especti BD que vinamente tersecta tersecta aEntonces puntos P y Q laslongi tud de PQ (en u) es: A) B) C) E) 4 D) / U•)=M
C) 60
el cicuncentro B) /R /R(R (R++) A) /R(R r) IA:t•l=14�IA:t•l=14� - s D) /R /R(R(R++) C) /R /R(R(R r) En una ci r cunferenci asesentazan lasencuedas e s tesectan R Si DR=BD AB y CDBCas= cual m L BR y CR · R= 3RB = 6 halle B) 45 C ) 53 A) 30 deA centro B y COsony depuntos dede luna circunferenci a D) 60 E) 74 radi o o ngi t ud R tal que mLABC= mLABC = 70BCse trazan ANeny CMBCpependi cABular U•)J!f4s U•)J!f4 aSilaANs cuerdas y AB (N y M en Enm LunCBAtriángul o ABC BC = a CA = b BA = y CM se intesectan en H y CHHM = a } m L CAB entonces se cumple Hale OH A) b a = ac B) c b = ab A) R a D) a b = b C) c a = ab E) b a = b C) jR _ a R Se tiene el cuadrilátero átero ABCD de manera que E) =ADSi 3 cm y ABCCAD(en 9cm)cmABCal=cu5 ecmla lBCong=tud4 cm de laCD= diagonal En unaOsemisecirncunferenc acuadrado de diámetroOPQ AB y dede centro scr b e un modo quecuerda Q pertenece aconti la cienercunferenci a. seSi C) F s F B) 2Y/ taza l a BE que al punto PO 3 cm calcule EP (en cm) / D) �2Ys A) B) C) D) E) . EnDH J AunC (Hcuadri látero ABCD seM entraza A C) se ubi c a el punto BC En la fgura O es centro Mes ta que HM; HC MCalesculpunto de(entangenci a Si CD= 5u y DB = 4u e BM u) Siy BMm LABC=mLCMH ABC=m LCMH¿cuál AD es=6la cm CDtud4(en cm MC entonces l o ng cm)de AB? B) C) 4 0) 31 E)5 B) 45 E) 90
E) /
2
2
2
2
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
2
A)
1
U•'f
1
baricentro lDado AaGm=LAGB ecmtrángul BG o 6ABC cm yGCGes=elcm Calcuey
A) 9 A)
Q=9 Q=
Enmidenun tir áyngulR oespecti ABC evamente inradio Determi y crcunradi oa n e l longitud del segmento que une el ncentro con
c
Ge
A) 2 D) 4 PROBEMA
8) 2 E) 3
C) 6
PROBEMA
Dado el cuadrado ABCD de centro F. por F y D pasa una circunferenca que intercepta a los ladosAD y CD, desde 8 se traza la secante 8PQ a la circunferenca. S 8P = 4 cm y PQ = 5 cm, calcule (en cm) 8C A) 4 8) 5 C) 6 D) 7 E) ROBEMA
En un tiángulo ABC el cicunradio y el exradio relatvo a 8C, mden R y r respectvamente Detemine la longitud del segmento que une el crcuncentro con el excentro relativo al lado 8C A) R(R + 2r 3) 8) R(R r 8 ) C) R(R-2r 3 ) D) R(R-r 8) E) f En la igura 3AM 5PM PN = 8N y A8 = 10 cm 8C = 6 cm Halle P8 (en cm)
A) 6 D) 9
8) 7 E) 10
A) 2 D) 4
C)
En un tiángulo acutángulo ABC la semicrcunferenca de dámetro AC intrseca a la altura BQ en el punto P tal que 8P 3 u y PQ = 6 u. Calcule la dstanca en (u) del otocentro del trángulo A8C al lado AC
8) 3 E) 5
C) 2
f
En un triánguloA8C se dibuja una circunerencia que pasando por el vértce B ntercepta al lado AC en los puntos E y D (D EC) tal que AB ED y AD EC Desde el vétce C se traza la tangente CT a la crcunerenca sendo T el punto de tangenca S BC = 2TC y BD es la mayor cuerda de la circunerencia entonces ¿Cuál es la medida del ángulo BA? A) 30 B) 37 C) 45 D) 53 E) 60 PROBEMA
BC sobre el dietro BQ Si la dierencia de las proyeccones es 2m, la longtud de la altura BH del trángulo mde m Calcule uma de las longtudes (en m) de dichas pro· :cones A) 1 B) 2 D) 4 E) 5
En un paalelogramoABCD, AC 1O cm y BD = 6 cm. a circunferenca crcunscrta al triángulo ABD es secante a 8C y tangente a CD en D Calcule CD (en cm) A) 3 8) 3 C) 2 D) 3 E) 2 PROBEMA
Una crcunferenca es tangente a los lados A8 y AD de un cuadrado y contiene al vétice C e intersecta al lado CD en P Si AB a halle la longitud de PD A) 2a(3-2
8) a(3 -)
C) a(3-2
D) �(6-) 2
ROBEMA
A) 10 D) 30 PROBEMA
8) 15 E) 50
C) 20
En un triángulo KM de medana N, se traa una crcunferenca que pasa por y N (N es un punto de tangencia) e ntercepta a K y M en los puntos P y Q S K = cm LP = 6 cm M m; t Q ( m) A) 54 B) 64 C) 74 D) .4 E) 94 PROBEMA
En la fgura mostrada KM es un trángulo (K a, M b) inscrto en la crcunferencia de rado R. H es la altura relatva a KM entonces H mde
PROBLEMA
i
En un trángulo acutánguo isóscelesABC (AC = 8C) inscrto en una crcunerenca de centro y rado de longtud rAC = a y h es la longtud de la altura respecto a BC entonces la longtud de la proyeccón de A8 sobre BC es 2 2 2 2 A) h r 8) h a ª r 2 2 a 2h C) D) r h ª E) h 2a r PROBEMA
En el cuadrado ABCD se nscrbe el cuadrante BA, sendo A el véice del cuadrante se eligen en el arco B l ntos E y F de anera que CE = CF. Si l dst ancas de E y F al lado AD son de 6u y 4u respectvamente Calcule BC (en u) A / B) C) . D) 4 E) 2/ PROBEMA '
E) �(4-) 2 En la fgura mostrada A y 8 son puntos de tangencia y BM = MP. Si LP = 4 cm calcule M (en cm)
f
A) ab
3R
D) 3aR 2b PROBEMA
8) ab 2R E) aR 2b
C) ab R
En un tránguloABC nscrto en una circunferenca de dámetro 8Q se proyectan los lados A8 y
En un trángulo A8C recto en 8 se traa la bsectr nterior del ángulo B ntersectando a AC en D por D se traza DH perpendicular a AC H esta sobre 8C. S A8 BH 1 cm entonces BD (en cm) es C) 2 A) B) D) 2 E) PROBEMA
En un tránguloA8C de ncentro cuyo perímetro mde 2p 8 = d y AC = b Halle la longitud del crcunrado de trángulo AIC
Ge
db A) p-b 2db C) - pb db p-2b
db 8) 2(p-b) db D) 2p-b
A) (+ d) C) ( d) E) ( d)
E)
B) (+ d) 2 D) (d)2
l�¡t•=J!3z 3a
En tránguP oesequunlápunto tero A8C cuyo lado mdea En a gura adunta S KLMN es un cuadáteo fnscr elelpunto de l a c r cunerenci nscrto entonces la longtud de KM es: + CP t a al tr á ngul o . Entonces AP + 8P es guala C) � A) 3 4 2
2
modo quen hal 8Ple lAD Stanc(AB) + (PD) =m y PC = a d s a entre l o s puntos la son guradáOmetrosA8·8C=125 es centro de a crcunerenc a BD medos de B y AD ADCD=350 yEn PQ u 2m -n u B) m 2n Calcule PQ (en u). C) 2m n D) 2n 2m E) 2n 2-m PROBLEMA
2
2
A)
,
2
2
2
2
2
Enverunca trapec o esca eno ABCD (ABABCD //CD)= 2se = 200 y que (BC) + (AD) Entonces ¿a qué es gual (AC) (8D) ? B) 13 C) 14 A) 12 E) 16 D) 15 2
PROBEMA
B) 12 E) 20
C) 15
Ensemunperímetro tránguomABC aesbel ynpcentro lovsamente ados y d en respect de la crcunerenca cDeterm rcunscrneta aleltrárad nguloo AC. ac ¡ b A) 2bp(p-b) B) bp(p-c) p(p ) D) (p b) C) 2 2 ac E) 2 (p-)
2
2
PROBEMA
A) 10 D) 1
2
2 2
2 Q
IO:•J! 39
2
2
2
2
tránguloa A8C está del nscrángul to eno A8C una cElnrtersecta cunerenc l a b s ectr z (mpnq)(npmq) al l a do AC en el punto D e n tersecta A) mnpq ancentro la crcunerenc a oenA8Ce punto EcmSy DE es=el1 cm del t á ngul 8 = 6 (np mq) entonces ID (en cm) mde. B) ¡(mp-nq) mn-pq C) 25 A) 1,0 8) 20 np mq) D) 30 E) 35 C) (mnpq)( mpnq iQ,t•)= J!MUW4ol pq)(np-mq) D) ¡ (m mp-nq En un tr á ngul o ABC se d b uj a n l o s tr á ngu o s equ lálterosABP y BCQAQexter ormente al tránguleno dado o s segmentos y PC se n terceptan nq)(mn-pq) FFP Ses BF(en=u)u y AF + FC = 9u entonces FQ + E) (mpnpmq C) 17 A) 14 B) 15 •= 43 1 D) 1 E) 19 as lotongson tudes7 decmlos15lados de20uncmcuadr látero n scr cm y 24 cm iQt•:j.41 respect v amente hal l e l a l o ng t ud (en cm) dellas En un tr á ngul o ABC recto en B se traza l a segmento que une l o s puntos med o s de bmanera sectrzque8Dasem ubEDC ca el= 90puntoS ABE =en BC de dagonales. BE=d B) 60 C) 75 A) 50 Calcue BD. E) 90 D) 0
2
2
2
2
-ÍlN� 1UF� Y �IfTFÍ
PROBEMA
m
ndque celones valor de verdad de las sguentes propos l Elsósceltráengu o donde elementa es esune tradoángudeo s en l a base polgono regular conguentes En un trángu o ela eser mentalel radloso deadosla v e nen crcunerenc PROBEMA regul ar. a crcunscrita a polgono El ladoel deadoun depolungonopoldegono "n ladedos2nes menor tránguloABC; AB =a12entreu BC 6 u y ACde que lados =lEnas unongentonces l a d erenc e cuadrado tudes (en u ) de las bsectrces extero ambos nscrtos en la msma crcunerenca. e nteror trazada desde e vétce B es A) B) WF C) VFV A) _3 B) 3 C) 163 D) VFF E) FW PROBEMA f D) 169 E) 49 Secuadrado nscrbABCD e un trdeángul o a.equHalláleteroa AEF endelun l a do o ng t ud PROBEMA lado del trángulo equátero En e exter o r y rel a t v o a AD de un paraleogamo ABCD se ubca el punto P de Bu;
2
B a/ - A) a- 3a- D a/- E �/ PROBLEMA Dao esQ. a puntoecuehexágno meBQo e regu E ar ABDEF, nterceptaABa =BPR enP B A R 3 3 E D R 3 3
Cal c u e a o ngi t ud de una d a gonal de trapeo (en cm. A B D E 1
PROBLEMA
Shexágono e ao ereguunapentágono esaoe eunaecágono o e un r es y e PROBLEMA· reguar es 0 entonces se cumpe: EnHaune ahexágono regu a r ABDE e a o 8cm. stanc terseccAón(ene A 20 2 2 B 2 2 02 cm as agona es ADa ey Bpuntoa aeangona 0 = 2 A B E 2_ 0 E 8 D 5
l
6
=
2 s +
2
BLEMA -
Encrcunerenc un cuarao ABD nscrPQto para en euna a se traza a cuera o Sa B. La cuera PQ n tercepta a BD en P =raa yo Q = b centonces ¿uá esrcunscr a ongtatua e e a r cunerenc a c cuarao?
=
s +
2
+
s +
Q6
2
PROBLEMA
W
reguanarenABDE aPs Demuest agonaeres Enque AunyeBEpentágono se n tercept e punto puntorazón P, ve a a agona A en mea y extrema PRBtEMA
1
trángueo ABDMBtasequetrazaDA =a aBturaSMAB es eseEnsegento unun punto a m DMB esáureo e A y AM = A entonces B 6 C 72 A E 8 D 9 L
PROBLEMA 541 I n queceonesvaor e vera e as sguentes Unse trnscr ángubeno equ á tero y un exágono regu a r propos en una c r cunfeenc a e moo que o eocaasósce unoesresunscr ta serto eas bases eo representa e 6% e tota ecrcunerenc unun atrapec cha . Ee número a ongtuáurtota e un segmento a S e rao me ( -cm
1i•)=fA
e,
C.
l
En un heptágono reguar ABDEG se cupe i· acue e perímetro e heptágono A A regu ar 38 A 3 ) 35 D E PROBLEMA
Laa oongngtutudedeaasecc o deón áurea decágono es ogua a e ra e a crcunerenca crcunscrta Sa oangatgona eaoun pentágono es regu entonces u e e eágono ar es gua a a seccón áurea e A W B VV D V E W PROBLEMA
tránguo punto AB Dobtuso en Ba arco ta que ASea Bta que =eB= pertenece B BD O S { ; R = entonces a ongtu e AD es A B 3 D E 5
1id•l#U6 I
A + B - D - E 6- 3 ROBLEMA
(
Inqueceonesvaor e vera e as sguentes propos esLa gong tauaeongaotueeuna pent áógono reguear ua secc n áurea a ongtu e su agona esa gouangtauaeongatouee una secc ecágono reguear ó n áurea ra o e aregu crcunerenc pogono ar a crcunscrta a cho eEn susun ángu tránguosocongruentes sóscees aesmee ob a ee eunoa mea base a eestercer ángu ong utuegoeaasecc ongtuón eáurea g ua a a o e uno e os aos congruentes. A VW B VV W D E W
B unconarcocentroe encEnrcunerenc Buny trraánguoa que gouaABnatersecta ABrectose entraza en MentoncesAM a A en N(ena cm BesS mNM=7 BN=, 1i;J•l!A 65I A B En un pentágono regu aormánose r cuyo ao unmenuevo se D E - trazan sus a gona e s pentágono ormao acue e permetro e pentágono = P}pentágono reguar POABDE B 3(3- EnAEB S AB = entonces me A (3- A / + B / ( D ( / + D /- E (3 y
y
+
e
+
;N U66I
Ena aunturatrárenguatvoaAB recto en B seS traza BH mBA a a h p otenusa A= En unBDpentágono regu a r ABDE A BE P} = = 9, entonces BH me E =ABQ}y DLa enrectaos puntos PQ ntersecta arespect os avos G es amente S G = K(B entonces K 1i;t•M#&4W 63!
y
y
y
Ge
8 i1 4 D 16
A i 1 C i - 1 E J 0 PROBLEMA
E
m
En un polígono regular de n ados nscrto en una crcunferenca cuyo rado mde R el lado de polígono regular de dobe número de lados nscrtos en una msma crcunferenca de Calcule la longtud de la apotea del polígono regular de n lados en funcón de R Y 2 2 A R ( � ) 8 R ( � ) R R 2 Q2 C R R D R Q2 R 2
2
2
PROBLEMA
En una crcunferenca cuyo rado mde R está nscrto un polígono regular de n ados. S Q es la longtud del lado del polígono reguar nscrto de n lados y a es la longtud de la apotema del polígono regular nscrto de n lados en la sma crcunferenca Demuestre a sguente relacón: Q ªP2 = /R +R4R
PROBLEMA
Un hexágono regular y un octógono regular son soperétrcos, hexágono está nscrto en una crcunferenca de rado R. Calcue el rado de la crcunferenca crcunscrta al octógono regular 8 + A R· D 3R + C 4 + E 3R4 + PROBLEMA
I
Indque el valor de verdad de las sguentes proposcones l La apotema del polígono regular opto dl dol númo d lado es gual a la eda artétca del rado y la apotema del prmero. El rado del polígono regular sopermétrco del doble número de lados es la meda geométca entre el rado del prmero y la PROBLEMA r apotema del segundo A8 = = lado del polígono regular nscrto . Al pasar de un polígono regular al polígono regular soperétrco del doble número de CD = = lado del polígono regular nscrto en lados el rado dsnuye una crcunferenca concéntrca. C VW 8 VFF OE = R; O = a apotea de polígono regular A FFF E WF nscrto en la crcunferenca concéntrca D FW OH a PROBLEMA l R+a Un hexgono reglar y un octógono regular Deostrar a2 = son polígonos sopermétrcos Calcule la reacón entre os rados de las crcunferencas n
2
2
en
2
2
2
crcunscrtos a dchos polígonos A 4 8 4 3 3 C D 3 3 .2-ñ E
proposcones l La crcunferenca tene nfntos ees de smetra que pasan por el centro. Un cuadrado tene 4 ees de smetría El trángulo equltero tene 3 ees de smetría. I odo polgono reguar tene centro de smetría PROBLEMA 1 Un punto A es nteror al ngulo XO e A 8 F C WFF encue_a en una poscón tal que AE OX AF O d E F 1u Calcule la longtud D VFFF E FFFF mínma que debe tener su trayectora seguda PROBLEMA para llegar a la poscón ncal pasando por un Indque el valor de verdad de las sguentes punto de cada lado del ángulo proposcones A 8 16 C 0 l Toda fgura sétrca respecto a un punto D 4 E 30 tambén lo es respecto a una recta que contene a dcho punto PROBLEMA f fguras smétrcas respecto a un punto A8C es un trángulo equlátero se traza 8 es Dos tabén son smétrcas respecto a una recta smétrco de la altura 8H con respecto a 8C S que contene a dcho punto. A8 = entonces AD mde Exste al enos un par de fguras smétrcas que tengan un punto coún con el centro A / 8 de setría y que tabén sean sétrcas respecto a una recta que contenga a dcho E 3 centro A FVF 8 FFF C V PROBLEMA 1 D VFV E FW ndque el valor de verdad de las sguentes proposcones PROBLEMA , l Todos los polgonos regulares convexos El smétrco del rectánguoA8CD respecto a la tenen centro de setría recta que contene a a dagonal AC esA8' CD' La crcunferenca tene nfntos ejes de SA8 byAD a a< b entonces ¿Cul es la smetra longtud de 8D ? S dos pentágonos regulares son smétrcos A ab con respecto a una de sus dagonales a +b entonces son congruentes b a ab C D a+b A VW 8 WF C VFF ª +b FVF E FW ab E a+b PROBLEMA Indque el valor de verdad de las sguentes C,
2
2
2
2
2
2
m PROBLEMA CDF es un hexágono regula de longitud de lado a, el hexágono C'D''F' es siético del prie hexágono respecto de C = {Q}. Calcule el peíetro del triánguo CQ ) �(7 + 3/) 2
) �(6 /) 4
C) �(8 + 2/) 3
D) �(9 3/) 2
) �(6 3/) 2 LON6ITUD D Cl(CUNfNCIA Y LON6TUD D AC0
PROBLEMA l Indique el valor de verdad de las siguientes poposiciones: a circunferenca tiene un centro de sietría l. y dos ejes de sietría Dos rectas paraelas tienen infinitos centros de sietía Un polgono regular de n lados tiene n ejes de sietía IV. Un polígono regular de núero de lados par tiene un centro de setía C) VFVF ) FVFV ) FFFV ) WFF D) FV PROBLEMA Indique el valo de verdad de las siguientes proposiciones l 31416 . a razón de a longitud de una crcunfeencia a su diáetro es a sa para todas as cicunferencias a longitud de una circunferencia es el líite de los peretros de los polígonos regulares inscitos I l núero no es acional.
) FVFV D) FVFV
) FVW )WW
C)FWF
PROBLEMA [ Dada una circunferencia cuyo radio ide calcule la longitud de la circunferencia gráficaente(ectifcaciónd e unacircunfeencia) y deterine analíticaente la longitud de esta PROBLEMA n una circunferencia de adio 2u se nscibe un cuadrado dento del cuadado se inscribe una cicunfeencia y dentro de esta se inscribe otro cuadado entonces la longitud del lado de este últio cuadrado (en u) es: ) 21
) 1
D) 2
)1
C) 1 2
PROBLEMA I n una circunferencia se traza una cuerda de longtud 2a/ y la ongitud de la flecha respectiva ide a Halle la ongtud de la cicunferencia C)3 a ) 2 a ) D) 4 a ) 6 a PROBLEMA CDF es un pogono egular inscrito en una cicunfeencia las prolongacones de y D deterinan un ángulo de edida 9 oo 11 Si la longitud del arco ide 6u entonces la ongitud de la cicunfeencia es: C)66 ) 60 ) 54 )77 D) 72 PROBLEMA n una crcunferencia de cento se trazan l diáetros pependiculares y CD. Se ubic el punto edio de C la prolongacón de intercepta a la cicunferencia en el punto .
C e. ¿Cuál es la ongitud de la cicunferencia cicunscrita al tiángulo C? C) 3 ) ) 2 D) 2 ) PROBLEMA
) (F) 6
) (F) 3
D) (F) 5
) (F) 8
C) (F) 4
n la fgura se tenen de igua radio de longitud r ortogonales entre s dos a dos Cacule e períetro de a figura sobreada
f
n a figura ostrada CD es un cuadrado cuyo lado ide e; los puntos y D son centos de crcunfeencia. Hale la longitud de cicunferencia de centro 1
. -·'
"
) 2 D)
.'3-· D
) 3 )
C) 4
7Q
2 1Q;•)=l!tW I n un ectánguo CD 3u C 4u se tazan exteriorente a ectángulo os cuadantes D F FCG y GDH Calcule a longtud (en u) de la curva DFGH ) 14 C) 16 ) 12 )18 ) 20 PROBLEM
•
C) 2 3
r
Una ecta se encuentan los puntos consecutivos F de tal anera que F se constuyen una seicircunfeenca de diáetro F y un trángulo equilátero KF ubicados en seiplanos diferentes los rayos K y K inteceptan a la seiccunferencia en los puntos y espectivaente Calcule la longitud de arco
PROBLEMA
D) 2 PROBLEMA
f
n un cuadado NQ de lado se inscrbe una circunferencia - que es tangente a los lados Q N y N en los puntos S y T respectivaente Si - {U} entonces la ongitud del arco UT es ) 37 C) 53 ) 53 180 360 180 37 3 5 D) ) 360 90 PROBLEMA
) 3 ) 2r 5
) r
�
Un cuadrilátero CD está inscito en una circunferencia cuyo adio de S CD/ y D 6 c Calcule la longtud de aco A (en c)
B 4/ 3 E3/
C 5/ 3
ROBLEMA •
alle la longitud del arco de circunferencia cuya medida es de 108 que subtiende una cuerda cuya ongitud es .+ 3 4 6 PROBLEMA C) -, A B 5 5 5 ABC es un triángulo y ' una circunferencia D 2 E 3 tangente a AC en A, B es un punto de ' y BC contiene el diámetro de ' n BC {E}. Si Í{€A Df {€(,dONf 'OLlONALf AB 2a 2+1 donde a es la longitud de la apotema de un polígono regular de 5 lados PROBLEMA inscrito en la misma circunferencia entonces la Indique el valor de verdad de las siguientes longitud del arco AE es: proposiciones A 30 B 20 C 16 El área de una regón poligonal es la medida D 10 E 08 del tamaño de dicha región . A toda región poigonal le corresponde un PROBLEMA real positivo único En la figura adjunta, O 1, 2 3 son centros número Si dos polígonos son congruentes entonces de las circunferencias EF a FB b y las regiones poligonales correspondientes AB 2R Calcule la longitud de la circunferencia tienen la misma área de centro IV. A la reunión de un polígono y su interior se denomina región poligonal A WFF B VFVF C FVFV D FFFV E WW =
5
5
=
3
.
PROBLEMA
A aR A - a+b D 2bR a+b
f
Indique el valor de verdad de las sguientes proposiciones l Si dos regiones rectangulares son equivalentes entonces los rectángulos correspondientes a dichas regiones son congruentes No existe una región trianguar equivalente a PROBLEMA f una región cuadrada El lado de un pentágono regular ABCDE . Si la suma de las áreas de dos regiones triangulares es igual al área de una región mide ( 2 - 1) alle la longitud del arco CD cuadrangular entonces dchas regiones que tiene como centro la intersección de las trangulares tienen un lado común prolongaciones de los lados BC y ED C FFV A VFV B WF A 25 B -5 C 35 D FVF E FFF D 2 E H º2 bR B a+b C 2aR a+b 2ab E) a+b o
i
Gm
PROBLEMA
PROBLEMA
1
Sea ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero inscrito en ABCD Si el área de la región triangular AEF es 1 cm entonces el área en cm ) de la región cuadrada ABCD es A 2+/ B 2+ C 3+/ D 4+1 E 5+/ 2
2
PROBLEMA
En un cuadrado ABCD de lado E BC tal que EC i,3 AEBD M Entonces e área de la región triangular ADM es B 9 A �8 e,
2
2
En un cuadrado ABCD el área de dica PROBLEMA l región es 48 m . Si M y N son los puntos que trisecan el lado BC BM < MC N pertenece En la figura mostrada T es punto de tangencia O a MC AMBD = P ACBD = O y es centro y CT a Calcule e área de la región AC DN Q alle el área de la región cuadrada ABCD OPMNQ C 7 B 6 A 4 D 8 E 9 2
PROBLEMA
r
En un rectángulo ABCD se traza la diagonal AC y DF perpendicular a AC F en AC Si DF = 6 cm y AB 2AD entonces el área de la región rectanguar en cm ) es C 60 B 45 A 30 ª C B -6 A4 E 120 D 90 ª 2 PROBLEMA � E 8 D En la figura es el centro de la circunferencia inscrita en el triánguo ABC Si el área de la ! región rectangular ABCD es 36u calcule en u ) EnPROBLEMA la fgura mostrada el punto O es centro de el área de la región rectangular EFD as circunferencias y B es punto de tangencia Cacule el área de la región paraleográmica ABCD en términos de r
2
2
2
2
2
2
2
2
•
•
A 6 D 24
B 18 E 28
C 20
Ge
C) r 2 1
B) 1 116 E) 1 376
ROBLEA
PROBLEMA ·f
En un cuadrado ABCD se inscribe un rectángulo cuyos ados son paraeos a as diagonales del cuadrado. Si a longitud del ado de cuadrado es 6 u y la ongitud de a diagona de rectánguo es 8 u, entonces ¿Cuál es e área (en u 2) de a regón rectanguar? A) C) 4 B) 3 D) 5 E) 6 RBLEMA
A) 1 476 D) 1 686
C) 1 576
l
En a figura ABCD es cuadrado. Cacule e área de a región trianguar MND AE = a ; QC b
B) ab ab E) 3
A) AB D) ab 3
C) ab 4
E radio de la circunferenca crcunscrita a un dodecágono reguar mde R Cacue e área de a región poigona reguar B) R2
OLEMA
C) 9
E) 4R2
Las bisectrces interores y exterores de un paraeogramo forman dos cuadrláteros que imitan regiones de 8 y 48 m 2 de área respectivamente Hale e área (en m2) de a región paraeográmca A) 16 B) 0 C) 4 D) 8 E) 3 1Aí•l=!36tW 1ad En un trapeco as bases miden 6 u 0 u y los lados no paralelos miden 39 u y 45 u Cacue e área de la supeice de trapecio
as ongitudes de as medianas de un triánguo ABC son 9 u 1 u y 15 u respectiamente Cacue (en u2 ) e área de a región trangular ABC A) 36 B) 48 C) 60 D) 66 E) 7 l
En un triánguo ABC sea P AC y Q AB ta que m PQA m PCB Si PQ 3 cm BC 5 cm y e área de a región PQBC es 16 cm2 hae e área de a región trianguar APQ (en cm2 ) C) 7 A) 3 ) 5 D) 9 E) 11 =
m
B) 5 E) 14
ea=t•M-31
ROBLEMA
Si ABCD es un paraeogramo y S 1 + S 3 = 9 cm2 S 2 = 4 cm2 cacue s4 .
A) 4 D) 13
Halle e área de un poígono regular de 16 ados nscrto en una circunerenca de rado R R2 R2 A) B) 4/ 4( ñ) C)
E)
4R2 l4+2ñ
6R
2
42ñ
D)
8R2 42ñ
GEOMETRI
RESOLUCIÓN l
2
/
A
m
H
n
Se pide hallar m -n. Pr el teorema de EUCLIDES: m = b +2bc ª ; n = ª +b2b c Hacemos la diferencia mn = b +c a 2ba b +c mn = 2c 2b2a 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
6
2
B
2
2
Pr dato b +n = 00 Pr el teorema de EULIDES 6AMb 4c +4c +2m·c 2
2
(Claue !
RESOLUCÓN (
2
6ADM n +�+ 2m = 4 (2) Sumando (1) y (2) b +n = � +4 ' 4c 100 4 � = ' =
Pr el teorma de la medana b +c = 2m + ª ' 2m = b + c a Análogamente 2m = a +c b 2m = a +b 2c Elevando al cuadrao a caa miembro b +c +4 2 ( ª2 2)b +c2 = 4m4 () a +c + 2 a +c = 4m (2) a +b +2a +b = 4m! (3) 2
2
- (1)
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 .
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
Ge
Sumando () y (3): a + b + c + b + b c +j/ - b - b c 4m! + mb + m¿ (1),
4
4
2
4
2
Si AB c B a AB b Se pide allar OG x OM: OMVR - AB por teorema de la mediana a + c 3n 2 + b De donde 18n a + c -b MOB por el teorema de SEWR Recordemos qe a mayor medi a na menor l a do x 3n R n + R - b n-n ·n 3n relativo y viceversa Es decir si M > AN > BQ b 6n 3x R + R Entonces AB < B < A Por teorema de la mediana en AGB 9x 9R - 3b 18n c 6 + 8 5 + Reemplazando (1) en () 3b -c + b 9x 9R a 100 - 50c c 100 9x 9R a b c (Caue H x R a + + c J RESOLUCÓN .f
RESOLUCIÓN
2 2
-
4
=
2
2
Claue B
a
H
e
a
b/2
M
c
b
b +c Se pide hallar x r teorema de a mediana en el AB: 0a b + c [a + ªf +a 2
2
D
2
2
2
2
Por ley de cosenos en el DAM b = m + n mn c1aue ! r teorema de la mediana en e DAB RSOLUCÓN [ 2 2 () a +b n +m m +n = � Reemplazando () en (1) + - mn mn b Trazamos CQ DB, obtenemos DQC DHB x m n a ' mnxa r el teorema de la mediana en el AFB De éstas dos últimas igadades R + xf +r + xf R; r -x + R rf .ª _ b xa Simpliicando obtenemos: 2
2
2
- (1 )
2
2
2
2
2
2
2
2
A
A
=
=
2 2
RESOLUCIÓN C
=
2
2
2
2
1
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
2
2
l
2
2
2
2
;
2
RESOLUÓN l
2
2
2
2
aue t RESOLUÓN l
2
[Caue
[Cauef
G Baricenro del AB O ircncenro del AB
De la igra n a b x Po el teorema de EULIDES en el M
1 1:
Ge
(a x) b + (a + b -x) + 2bn Reemplazando (1) en (2): (a + x) b + (a + b -x) + 2b (a -b - x) Simpliicando, obtenemos 2
2
2
2
2
+
- - (2)
(Clauef
3 T Por el teorema de HERÓN X = �f�rn+ X x� - X)rn) Elevando al cuadrado m.a.m 9x 2(2 x .1 4 24 2 x ! x � x = 247 _ x 4x 27 12x � 16x 9· 4x o
A
2
B
2
2
h�=ª [ª + :- b r 2
e
ClaueD
4c
2
2 2 2 2 h2=(Zac+ a + c 2 -b ) (2ac-a -c + b ) 2
4c h a+ cfb b ac 4c h =(a+ b + c)(a+ c b)(a+ b-c)(b+ c a) 4c h 2p2p2b2p 2c2pZa 4c Si G es baicent dé AC h 4ppap bpc GC2MG10 eoema de HERÓN r el teorema de la mediana en el AG 6 + 8 2 5 + c2 c 1005 0 � c 100 2 '
2 e
2
2
2
2
2 e
2
2 e
2
2
e
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 h2 =4a2 c -(a + c -b )
2
2
Factorizando
2
2
2
2
-
RESOUÓN B
e
natural AGeza10 deltri6ángul+ oes esto demuestra rectángul o que la 2
2
2
Re mplzando (2) en (1)
Se traza / C m < A Ahora zamos E de modo que m < AEZ E isósceles EE AE isósceles AEa EEA Como C en un romboide Cn Pero por condición A b + n Ab AEba AE isósceles AH HE AHHEba 2 AH h ª [b; a h a 4 +2abb h 1 a+ ba b 2
2
2
(Caue !
2
2
2
Claue
=
ld=1•)!tí•UI1 s
[Claue RESOLUIÓN
m e
(1) HC· h a m Por el teorema de EUCLES en el AC b a + c -2mc ma + 2cc b (2) e
b
2
a
F
D
2
2
2
2
2
2
-
2
r el teorema de HERÓN en AOQ: 2 { + + 1 1 X 2 � 2xñ X y921
1 1
Gme
r condicón del problema: DR=BD= b, CRD =6 RB =2 BC= Sea CR=a a·b 6 Por teorema de las cuerdas ab=A2 ' 6=AR2 ' AR=3 ACB por teoremas de Stewart 5a =193 92 -(3)(2)(5) 5a =57 18 30=75 30=45 a 9'a 3 Esto demuestra que el trángulo ACR es equilátero AC=CR=AR=3 2 2
2
+
+
=
ab= b(b -a) =b ab -ab ' =b 2ab () ACD r teorema de Eucldes 16 =4 b -2ab b 2ab=16 4 = (16 4)(16 4) b -2ab= 240 () Reempaando () y () =240 ' ¿
•Wl-·N!tüi1
+
2
2
e
2
2
-
2
+
2
2
2
2
2
+
2
2
Se traza CQ I AB AB =CQ =5 ACD por el teorema de Stewart 25(9)= .5 95 -(4)(5)(9) 225 180 36=5 5 =369 5 =941 2
(Claue ! RESOLUCIÓN
+
2
+
E
2
2
a
(1) r dato mn=a Observa que SM= MH=n Por teorema de las cuerdas (2) (2n)(m)=(R )(R ) Reemplaando (1) en (2) 2a =R ' =R 2a 2
X
[ClaueJ
[Claue f
+
2
x � . �: T" , a -
2
-
2
2
2
2
Claueg
En A se toma E de modo que BE=BC=a CBE sósceles CB =BE=a ACE sósceles AC=CE=b CBEACE a b ' a ac=b b a+ c -
2
+
2
Claue
En C se toma de modo que B=AB = como la m
2
+
r teorema de las cuerdas ab=(R -)(R ) BI ECF
(1)
+
(2) != b 2R ' ab= 2Rr De (1) y (2) 2Rr= R ' =R 2Rr 2
2
2
2
-
laue
Observa que OQ=OB 3 POB PB =3 3 ' PB=3 Por teorema de las cuerdas 3=33 ' 2
2
+
auet
e m G
Por teorema de las secantes (x!)x ()(9) x = 36
A
G
Si PMM 3 M n " PM 3n r teorema de las secanes 8nn= 6 n= 2 También a2a= 3n8n a= a = 22 =
=
2
lauef
2
2
RESOLUCIÓN
=
�
:.-
(Caue
RESOLUCIÓN f
5 Oberva que m < E m S 0 � S m 4 F 9 0 �BC:m C= 0 Esto demuestra que el cuadrilátero CED es inscriptible. r teorema B · BE= 9 - B BE= 36 También por teorema de la tangente 2 x =B · BE x = 36 De (1) y (2): =
2
(Caue!
x lO(QC ' x 105 - 156) 2
2
Por torema del las cuerdas 6 a= 6 a= r teorema de la angente 2
=
x = 22 6 x = 29 2
r el problema 19 y = RR2r r propiedad IE = Rrr OIE, por teorema de la mediana IE X +y =2R +2 x + RR2r= 2R 2Rrr x + %=2R 2Rr %
2
2
2
2
2
2
2
-
2
x2 =R2 + 2Rra � \ l • I
o
1 5
2
2
2
(Caue D ,e
'
RESOLUCIÓN I
I / ;
-1 _ ,
r teoremas de las secantes BC · BS= 3 En el cuadrilátero inscriptible QHSC se cumple también 2 BC BS=99x r dao B= ED= c y E=DC=m De y 2 Como BC= 2C B= 3·C= 3n 9 9 x= 3 Por teorema de Eucides 9x= -- DBC n = + m 2cm + B = c m + c 2mm c [Caue c + m + c � -� 2m 2 BD 2c m 2
6
80
80
2
2
2
2
2
08
2
2
-
2
2
2
2
2
2
Sumando (1)+y 2cm(2): f 8n c(c + m) - -(i) (4n) 2c Por teorema de las secanes (4n)(n) m(c + m) f 4n m(c + m) -(i) (i) (i) � = ( � f m 1 2 g m( � Tenemos 2
2
G
2
2
[Caue •31M)a301
p
6BAM6BM - (1) n AM AM x 6AM por e eorema de Stewart 1AM 4n x+ n A A·x·AM (2) Reempazando (1) en (2): nx xn (AMxx AMxn 1=4n 1 4x+ n x xn x . .! 16=4x -x + x 4x 1 f x 4 f 2
•;J/1)!tB)a 29 1
2
Claue !
2
(Claue D
ambién (2) n (2)(8) De (1) y (2) 1 10(10x) 1 100 üx x 1001 üx 84
2
2
2
X
X
Q,'
2
2
2
2
2
2
2
�KQ- LM
2
2
2
2
(Claue 1
X
X
RESOLUCIÓN
2
2
2
2
2
2
X
2
T l
2
2
;
,' R
2
2
2
----�
Por teorema de as Isogonaes h·2R a·c Pero por dato h 1 f B a (1) Por RM en e BC a BM·B En e BA: c BNB } (x) (2) (ac) BM·BNB De (1) y (2) BMBN BM · BN 1 Hacemos (BM + BN) BM + BN + 2·BM·BN (BMBN) BM + BN 2BMBN Deest as dosigual dades x 2(1) 2 + 2(1) x 2 f x 8
Claue
Caue f
L OMP ax=a+ x ax=ax
a(. 1) =x(. + 1) Q x a(. -1}
+ 1
� a(-1)(-1) f x=a(.-1)
¡ 11
Por e teorema de a tangente n 10(10x) K
2
2
n
--- (1)
AHBCBN 2n2
(1)
Ge
�HB- �CQB =2an n={ D (1) y (2):
- (2)
(Claue f
Dato: e+k= En cuadrilátro BHD s inscriptibl a una circunfrncia, s cumpl ntoncs l torma d Ptolomo x·n=en+kn x=ck x =1 � -
RESOLCÓN l
m +n +k =(Q�) Lugo 2
2
2
Claue
(Caue B
RESOLUCIÓN m RESOLUCIÓN
- � f f
A 4 Obsrvamos qu
FQEH= En l rctángulo HEP: E=BC=a P =HE= �E a + 6 a2 16 + 36 a 52 I
2
2
2
=
2
=
(Claue D RESOLUCIÓN m
O: Circuncntro d IC. r Circunradio dl C Por dato a+b+e2p Por torma d Ptolomo n l cuadrilátro inscrito BCO: b r)=a+e (d+ r)(b) =ar+ cr (d+ r (d+ r r)+ba+b+e=2p bd+ br+ br=2pr bd2r(p b)
Por torma d la mdiana n l / PB (1) a b =2 +2 nálogamnt (2) b +c =2n + (3) a +c =2k Sumando (1) (2) y (3): 2
2
2
2
2
2
2
2
2
Rcurda sta propidad:
=
e
[Claue $
-=-
X
b
=
b
.·-
/ JE Isóscls E= IE =x+1 EC sóscls: IE EC x+1 Por torma dl incntro n l BC 6 a+e (1) or tora d Ptolomo n l cuadrilátroinscrito BCE b(x+7) a(x + 1)+c(x+1) x+7 a+c (2) x+1 b D (1) y (2) 71=6 x + x 6x + 6
x =m + n + mn Torma d Chadú 2
2
2
y =a + b ab 2
2
2
Usando adcuadamnt stas iguadads obtnmos
X+
X+
+x+6+
2 X
2
X 1
1
4
4
(Claue !
G Como l cuadrlátro ABED s nscriptb a una crcunfrnca, s cump l torma d Ptoomo x c+d cd
G
4x (T r R ab 13 ¡ - ( 1AC BD (1 1 3 R r prbma anrr R 3 1 4)(7 2 0 +15 . 24) � A C = v(l5 2 0 +7.2 R 7.5 04 7 2 + 15 2 + 20 2 + 244
2
=
2
2
2
2
2
2
2
+
2
2
=
B D=720 + 15. 24 � B D=25
Rmpazand t d útm ar n (: 1 1
laue RSOCÓN n
2
2
-
aue f
RESOLUCIÓN f
6 ABQ = 6 PBC (LA Por torma d Vt: � m < BPC m < BAQ x- pmq (1 m < PCBm < AQB e y m+pq Eso dmusra qu os cuadrlátros PBFA y Pr orma d Ptoom BQC sn inscripbls a una crcunfrncia. xymp nq y mp+q ( Por toma d Poom rspctvamnt. y / /+m ; Rmpazando ( n (1 y+mx npmq mp+nq xm Sumando ambas gualdads m·a m q x xymn)+1 2 p+mq)mpq) m+pq X
(Claue
/
=
[Clau
p
o
r cndcón d prbma ab 1 (a R(R b 3 r trma d a can (1 BSPD APAS (a Ra CSPO APAS (a R(a b ( Iaand (1 ( I Ra IRaabRb R (ab ab a bab R D a cndcón a RR b3 R R 3
+
2
e
r trma d Ptm OBb ar cr � 8!a b c (1 r prbma r ) Yacr r Ob _ ac ( Juaand (1 (: acacr and a cadrad mam (a c b (ac [(a c b ] ab c [(a bc(a cb ab c [(p(p b ab c
2
2
2
+
+
2
2
2
2
2
+
2
Ge
ac 4 p(p-b)
Veamos un ejempo
RESOLUCIÓN [
2
b 2 r =-·
,mr�·!•MtUI 51
(Claue
Por e teorema de EULE d b] �+ b + d = C + BD + 4[T 200 + C + BD + - 2�2 200 56 AC BD AC + BD 256 .C + BD 6 R
2
2
2
ABCEF: Hexágono reguar ACE Tránguo eqátero Observa que € €
2
2
6 < 3
2
2
=
r el teorema: x = (12)(6)- )(i) y 168 12 6 x / 72 12 12 + 72 = 16 2
2
Q
2
+
2
2
2
2
B
E
2
Claue D
Veamos un ejempo ATg 1 2 a 2- 2a- x = 4a 2a x = 2a-2a x {2ª(-1 x 2a ( 4 2)
a-
2
Q
R
2
2
2
2
2
2
2
R
R
2
R
2
R
2
R = R X2=
°
Por e teorema de EULE en cuadrátero ABDP a + b + c + d PB + BC + 4x
R
2
l.
R
9
(Claue f
Como FP CB C 2·F Pero CF 2 C + C = 2 C 43 BC por propedad x = + [ - 2R 4 13 9 3 9
2
9
(Caue t
2
OB es Isósceles OA OB Como m < AOB 120 Q AB € nscriLong tudunade lacdorcunferenc de un tráangude oradeqoác teroya t o en ongtud es R. R
°
3
3:
--
. Según la proposcón !, es verdad O = OB R
2
2
[Claue
Claue 1
� AQP notable de 30 y 60 . Si PQ=x AP = 2x � APF notable de 30 y 60 S Ap=2x FA=4x ro : =8=4x VM °
°
°
G � BHC sósceles H=HC= R 2 � BHA notable de 30 y 60 R BH= R 2 2 Nos pden hallar: AC= + AC R (+ 1 AC 1. 1+ 1 AC 3 1 • °
°
SÓ
°
(L q d.•
�AH=
[Claue!
o
=
=
( Claue\
R ecuerda que: 1) RR Ahora en la fgura; por teorema de la tagente: 2) C R R \) e 1) "2): TC Q¡ C € Esto es 2
=
2
2
Observa que: FQ=FH=b " + =90 � POH Isóscees: OP=r " OH=r PH =r � PFH: r) =a + b ª + b r =-- 2
2
2
2
2
°
=
r condcón del problema ;<. 1
e
n
=
M
Claue
2
, - : �
SÓ f
2
A
m N
m
2
2
e
[Claue f RESOLUCIN m
En el heptágono regular observamos que AE AD=a " AC =CE=b En el cuadrlátero iscrito ACDE, por el teorema de Ptolomeo ab=ax+ bx 1 1 1 1 Dato) a b 5 x= rímetro del heptágono reguar es µ
mi
Esto demuestra que Caue f RESOUCN t J.
-+
' es el úmero (. Número Aureo 2- 1) o sea: O, 618 O 62 que mutplicao por la logtud a de un segmento mayor de a que ha sdo dvdido e media y extrema razó Luego e segmento áureo es e 62% de a =
X
[Claue1
C
APBABC _ � Q� (d
Gme
I
Q R co = ) r cod E a fgura observamos que b es ua dagoa de etágoo etoces � Qb5 = Q5 ( ) De ) y ) = - � R = ( 1 ) També e e 6AD ) R = ( De ) y ) b
o
Como DB es bsectr, se cumpe: QlO _ R + QO n2 R Q · QO = R(RQ0 De dode 1.
e
4
4
AP =D = 1(
e
Luego
Ahora K Q + 1 + i( K Q = !( - K +
2
i (�) = 2(f)
(Cauej RESOLUCIÓN [
2
2
2
2
2
2
2
2
º
°
[aue
e
2
6ABC6APB �. Q=Q(Q-Qs) QQ5 Q5 Resovedo Q5 = i< 1 Los poígoos tee que ser reguares e caso cotraro esto o se cumpe.
6 PCD por ey de coseos x cos 7 x se 8 ) x = Q [( 4 ] x = Q x = ( 4 2
n=i4 (l-1) =(
[laue f e
(Claue!
6 BCP sóscees BC =CP CP Seccó Aúea e AC Se cumpe CP Q5 = %< 5
6ABM x 0 X = 3(
Claue1
6AFP;6GD AF FP G GD =
=
o
Ge !AOB-ABD
_ � R 01
II.
0
RESOLUCIÓN 1
'
R ( R - e)
RESOLUCÓN [
B
10
o
A � BHM: Sen 18 X / 1 Pero Sen 8 = 4 1 X Iguaando 4 Q/2
� - t . E ª ·
1A
o
__
}
2R-x
°
r teorema en el BC
°
(Claue
� · ·"
Qn
Q2
(R ) 4
Q2
O R +4 2
'
Resovendo
OD EB ED DB C CE Ra º S OH a � EQ Q H - 2 '
n
=
=
aue!
e
ldi·N !•t :1 s
Tambén y R 2
(Lggd w
y =TX y2 = �[ R-{� R -Q�] R
2
2
�AO:
apn = R y 2
6 PBQ: PQ = 5 Se cumple X ( ) /( -1) s
X=
Luego
2 4(1)
X=
-Q �] ªP2n -- R [2R -R{ 4R 4 ªP2n = [2R +R{4 4R -Q �] 2
A
!( 4 - )
2
2
Por reacones métricas en el PBQ \ (R - )(R) Despejando xR
2
2
2
2
2
Recordemosque,dospolígonossonsopermércos como su nombre lo ndca cuando tenen el mismo perímetro, sea cual fuere el número de lados de cada uno de ellos. S un heágono regular y un octágono regular son lsopermércos, entonces se cumple Perímhe Perímoct R 3 R 8· R 4 Gráfcamente A
0
o
(Lqqd. w
� 2R:
[Claue �
aueg
"•a_ 4
B
Por ley de Cosenos: [3Rj2 = 2x - 2x Cos 45 4 2
2
Gme
V veamos el gráco Ej S
•;J-·i!t·ia12
Por el problema 70 x (3 R/8){ 2+2 ) Raconalzando
°
B D
4 . -
3 h
x=----
X=
x 3R 4 J2 2
4p- ---
-
2/
Caue
[Clauef
Podemos resumir la teoría de polígonos regulares sopermétrco. Cuando se pasa de un polgono regular a oo polígono regulader sopermétrco dobl e número lados con el prmero, de *1 deLa apotema del poldeígono ar soperimétco doble número ladosregul es gual a la meda armétca del rado y apotema del prmero *2 I rado del polígono regular sopermétrco de doble número de lados es la meda geomética entre el rado del prmero y la apotema del segundo Al pasar de polígono regular al polígono regular sopermétrico de doble número de lados observamos * Que el rado dsmnuye *2 Que la apotema aumenta *3 del Quenuevo la dferenca el radio y la deapotema polgonoentresoperm�co doble número de lados es menor que el cuarto de lpola derencia ígono dadoentre el rado y la apotema del º
A
'
º
º
°
(Claue
es smétrco de la altura H con respecto a C entonces el H es sósceles H /2 A
Observa que OA r npasanconsecuenca nintas son que por el centodasde lalas rectas circunerenca ees de smetría Acrcunerenca y son smétrcos respecto al centro O de la
•
1\
Jll. (V)
[Claue RESOLUCIÓN m
l l trángulo equlátero no tene centro de smetría veamos por qué?
o
y
º
Advertencia.-
H
E'
, , '
" ea A el smétrco de A respecto al rayo i. ea A el sméco de A respect al rayo La longtud mínma que debe tener su ayectora seguida para l egar a la poscón ncal pasando por el punto P y Q de cada lado del ángulo es AA A M F es base meda por teorema [aue t
A
e
ey estraza la rect que opasa el barcentro secante al rángul en lpor os puntos y G Por una smple nspección: n consecuenca G no es centro de smetría
Observamos AC6AC C A smétrco de respecto de la dagonal t
AC.
n consecuencia, los pentágonos regulares son congruentes Claue D
Gme
•4:1t3(ül 76! l.
(V)
I (F) El iángulo equilátero es un políg no regular y no tiene centro de sietría
(Clau e A
l
(F) veaos con un ejemplo que no cumple En primer lugar figuras simétricas con scto a un punto
La recta C divide en dos parts congruentes, tales que cada una de ellas es la siméica, con respecto a /, de la otra parte. Esta recta se llama eje de simetría de la circunferencia, como la circunferencia tiene infinitos diámetros, entonces tendrá infinitos ejes de simetría 11 Veamos:
B'
B
A'
El simétrico del segmento con respecto a "O" es el segmento que está en la misma recta A'.
simétrico de con respecto a la r ecta A. D simétrico de D con respecto a la recta A. Luego se unen ordenadaente y se obtiene el polgono buscado AD, pues es el simétrico de AD coespecto a la recta que contiene a la diagonal A. El trapecio AD es isósceles en donde se cupe el teorema de Ptolomeo b2 = a 2 + xa2 + b2
También los segmentos son simétricos respecto a la recta "('' que contiene al punto O II. (V) Veamos
(c1au e
O centro de simetría
Ahora figura simétricas con respecto a una recta llamada eje de simeía
O: eno de simetra Tiene cuatro ejes de simeía 1. (V)
O No es centro de simetría. Tiene 3 ejes de simetría
- ---3 E ---- ----- -----
-
eje de simetría Resulta que la sietría de la lea E, dibujada en la parte superior en la figura, con respecto al centro O es la letra "E" invertida, que aparece en la parte inferior en la figura (F. Si dos figuras son siméicas respecto a un punto no necesariaente son simétricas respecto a una recta que contiene a dicho punto simultáneamente sólo en algunos casos particulares Ejemplo
A
o
El simétrico de cuadro AD con respecto al ceno " es el cuadrado D También son simétricas respecto a una recta que contenga a dicho punto. ceno de simetra punto común [ca í:1)azal E
b
B'
A
a
D
E simétrico de E con respecto a la recta e. D siétrico de D con respecto a la recta . P simétrico de F con respecto a la recta e simétrico de con respecto a la recta Unimos ordenadamente y obtenemos el hexágono buscado ADEF es simétrico al primer hexágono respecto a la recta
Gm
=3,1415926538979322846263383. Desde la antigüedad se trató de determinar el valor del número 7. Arquímedes lo expresó por la fracción 2 7 2 , que da su valor con un error menor que 2 milésimos. [Claue f RESOLUCIÓN ( Adriano Metius expresó el valor de 7 por la () la circunferencia tiene un centro de simetría fracción �i , que da su valor con error menor e infinitos ejes de simetra. que medio millonésimo (V) Veamos En la resolución de problemas es preciso adoptar un valor aproximado de 1; en general se considera 1 = 31 o bien 1 31416 La razón ent la longitud de la circunferencia y el diámetro, es igual a un número constante Ese número constante se llama pi" y se lo designa por a letra griega "", que tiene ese nombre. Así: m/n v ab O es centr de simetría Así se pueden trazar infinitas rectas paralelas secantes con las otras dos paralelas, determinándose La longiud de la circunferencia es el límite infinitos centros de simetría común al que tienen los perímeos de los polgonos regulares inscritos y circunscritos (V) Veamos a la circunferencia, cuando se doble indefinidamente el número de lados de estos polígonos Este número 1 razón ente la longitud de la circunferencia y el diámetro es un número irrcional El perímetro de � E'QC es: 2P=3a2 + 3a2 + 3
F=1,2 1,21= 3 1423 En la rsolución de los problemas se adopta un valor aproximado de Es decir 7 3,14 Luego F =2 el número con error menor que una milésima En consecuencia la cuerda DF es equivalente a la cuarta parte de la longitud de la circunferencia con menos error de una milésima del radio
1
l.
a
b
Claue
3 ejes de simetría 4 ees de simetría Rectificación de la circunferencia, este I (V) Solamente cuando el polígono re lar problema consiste en hallar un segmento de tiene un número par de lados tiene centro de longitud i al a la ongitud de una circunferencia simetría dada El probema no puede resolverse exactamente Claue\ con la regla y e compás. Se han dado multitud RESOUCÓN l de constucciones aproximadas de as que la siguiente que nos da la rectificación Veamos a continuación las 26 primeras cifras expondremos de un cuadrante !ales: g
g
2
2
ª
Sea
mB=mBC=mD 60 BC CD = Con centro en "A y rado A azamos un arco, o mismo hacemos con centro en D" y radio BD; los dos arcos se interceptan en E * EO AD Ahora trazamos el arco E con centro en C y radio CE " en a circunferencia Se trata de demostrar or dato AC 4 BC 2 que la cuerda D es a cuarta parte de la longitud � TB : x= · \ de la circunferencia, para o cual demostaremos Clau é que si e radio de a circunferencia es la unidad, la longitud de DF es En la fi ra sea: OE BC ={M} OM= _ OE=· ME=- 2 2 ' � EMC : CE F r el teorema de toomeo obtenemos la longitud de esto es: R 4 F F= °
�A
6
R
A
g
o
2
/ f 2
2
Por relaciones métricas en la circunferencia: (a/3 = a(2R-a a+ a = 2R R 2a ongitud de la circunferencia será L 2R 2
6= ZnR (36060 / 11)
2R 66
�- ·
Gm
r una smple inspección m OUT 5 uego = 22 60)
RSOLUCÓN l
°
(Claue !
! c1aueD
RESOLUCIÓN l
A
EnelABC E
En eledadcuadrilátero no convexo 8TDC; por propi 900 10e 2e+= e 10 9oo 10 1-�) e = 10 11 6 ' e 60 11 60 ero e = c Ademas I 60c 2
En la circunferencia de centro m CPM 45 CM ! CM: r ' 2r=
K
Cau í
Q
N
p
11
11
Sea EF a rcon Kel tecentnemos ro tracemos OM KF y uniendo M 8M8F OMFK 88F ' a a2 88F 8 8F2 Esverdecificar queque elel segment M haesdeequipasarláteporro y8.porSe triánguloo OM consecuencia M es igual al radio M E ·
11
e
Q
L
= 21( �)( 3 ) 0
0
11
! '
B
AN8 CM8(A< 8N 8M MD a DN8 notabe de 0 y 60 uego2 0 ' 15 Ahora 2r[ 6º 0] _- erímeto de la igura sombreada
c
Q
°
°
°
°
[
G
me G
RESOLUCIÓN f
L L G H + LFG+ DE+ L
=
2 r+
Recordemos coneaes por teoría os punos E, F y B on n e OEB 0 3 F OB entonces 0 3EF OEB ab R ab X=�
7 7= 18
2++
7
[ ae
�=-ª
e
{Claue !
Dao: AB .a ro a5 ¡< ) R=4 Recuerda que 5
(€/2) M (€2) � 0 A; por el teorema de Piágoras: (Q - xf (Q fX Qx = - Qx Q Longtud de a crcunerenca de ceno 0 será: Q A
1
=
Q
2
-
+�
Q
2
4
Q
2
+ -+ 4
+�
OBC por ey de cosenos ({ .f R + R R Cos9 Smpcando: Cos 9 � 9 Además s AB R m < AOB Tambén s CD R m < COD o ano m < AOD AOD R 6 q R Luego: L ()[!�] 2
x=-
1
2
-
°
[c1ue !
�(1 +
2
º
º
+
+
2
Luego: m < AOC Longud de arco AE:
/
e /
;
;
I
,'R
I I I
)
°
COD: m < COD m < COD 6 Como: CD= ( ) R _ · (6) L 6
°
°
°
G
/. °•
[ Clau •J$i1!tM�l 94
2
.
2
q
°
(Clau
14
H
[ 1e
H
1
Ge
I Una nguloarr es la reunión de un triángulrego oynsuriinateri Lo mismo es una región poligonal
2n·aa + b=nb2a + b a=b =2· =12 S D S AO = =6 S Q S + 24 4+2 4/3( 4) A
[Claue1
•W1AtRls
L uego:
F Veamos
s
S + 2 4=32
Por condición del problema: �({ 2 + 1) { + 1 R 2 _B=2(2)(108) 360 =
.
r
RESOLUCIÓN
S
=
=
e
Q
1
:.
2
a
I
' l
(Claue
S BD 26=12 " S N Q=34=12 S BD= S Q Cuando dos fi g uras geométri cas enigualel epls anosin son equi v al e ntes, ti e nen áreas embargo no son congruentes dicas figuras f F Sí existe, veamos delClartamaño o está, eldeáreala regide una debe depender ón solregión amente Ejemplo 1_ - Fveamos Tienen lado común y alura común A H M 1 S bh S N Q=1 bh S B S Q I S egún el postulado del área. número toda real regiópositvo n poligúnico onal le corresponde un III S egún el postulado de la congruencia. entonces llaoss Sregii dosonestrátringulangulos asonres congruentes, determi n adas por el tienen la misma área Cuando s pole.ígonos son congruentes, también selocumpl (Claue r
=
r
" 1 a S =-= 4 3 2
Y
AEF
F
a=2
4 n (8 + 9 + 8 9 4=n 16 n 4 n=
uego
r
r
r
S B ¡(8 + 4) (Claue! •f1)!9Ui100
D
�ACD: (2n)(n)=6(nf)
r
n=3{
S Ao=2(3{)2 =90cm2
Q
(Claue { ¡J:-)e· )�l 102!
=
OC; por enelao Se c 4/
A
Por teoría
b
D
Ge
S D ab 36 r ab 18 A
=
=
(Claue �i•)!t•UI103¡
2C/
B
1
4S
1 1 1 1
6S
Clauef
1 1 1
A
A
o
Q
2
2
+
+
+
b
4
2
2
B
ueg
+
+
2
H es ntable de 30 y 60 . TO; Si OT T Pe °
[Claue!
bn
2
Pr semejana: SS AMMBED = -49 teía S AMB SME = 6 También 9S 1 4 = i( � e e) S30 +
+
Áea pedd S M S S36x (6x J S 36 x 36 1x x ] (1) 12x 2x n 6x++6x6 ( X3 Reemplaand ( en (1 S = 13+) 3+ñt S36+J - 3 J
o
e
+
RQ aua del paaelgam. nde RQ = m n e a fgura bm (1 S+Sz+ 2 ( S+N Sumand (1 y ( +S+S++N) %m+n) demas ++ N m+n) Iguaand ésas ds ecuacines
RESOLUCIÓN R
2
1 1 1 1
e
teema de la angente T? = (8n(n TP = n P P 5n (1 � 7n a 7n = Áa pedd ( S ABD (7n Reemplaand (1 en (
SS+Sz+S S 9 4 4
+
°
Claue1
e
Lueg
M
p
S AB CD (2rf) (2 ) =
Claue
Q
''< I
/ /
Q
P dat S M 48 S EFG 8
e m G
Pm· propiedad: SA = SMNQ 2- SEFGH Reeplazando valore SAsc= 488 2 S 20
I
39
A
.a figura
p
=
S � Sen30'
R S 4 Área pedido 12S
I 1
D
=
B exento del O T ; T =C n TT b � n ab a n r teoría SMN n S ab m
D
2
S
�
Se(45 /) º
R S [ 4+2 ] Áea dido 6 2
CB X [31 Ca - x+ 6 5 25x x+1 6 2
=
1m.,;[� 3
=
=
s
uiiene alla el áa del iángulo eleenal de un polgono regular de 6 lado, eao
[c1aue'
f\
ae
(C la t
A
Sc=6(6 )(6 45)(6 42 Siplifiando S 756 r oto lado 756 2 (42) � 6 S 206 720 Luego SA 720 756 = 476 '.
[Ca1e t
42
A
+122 15 � Reeplazando valore S 18(18 )(18 12)(18 15) Siplifiando
2
h'!
I
G
Reodeo
} x
=
9.) �
a t
