Isostatica

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO .......................................... ................................................................ ............................................ ................................. ........... 1.1 Parâmetros que influenciam a concepção concepção de sistemas sistemas estruturais .............. 1.2 Classificação das peças estruturais quanto à geometria ............................... ............................... 1.3 Tipos de Vínculos ........................................... .................................................................. ............................................. ...................... 1.4 Estaticidade e Estabilidade ............................................. ................................................................... ............................. ....... 1.5 Reações de apoio em estruturas planas .................................................. ....................................................... ..... 1.6 Reações de Apoio no Espaço ............................................. .................................................................... ........................... 2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ...................... ...................... 2.1 Treliças ............................................ .................................................................. ............................................ ...................................... ................ 2.1.1 Método de Ritter ........................................... .................................................................. ......................................... .................. 2.1.2 Método Cremona .......................................... ................................................................. ......................................... .................. 2.2 Vigas ............................................. ................................................................... ............................................ ......................................... ................... 2.2.1 Método Direto para Diagramas ............................................ ............................................................. ................. 2.2.2 Vigas Gerber ........................................... ................................................................. ............................................. ......................... 2.2.3 Vigas Inclinadas ............................................. ................................................................... ....................................... ................. 2.3 Pórticos .......................................... ................................................................. ............................................. ....................................... ................. 2.3.1 Estruturas Aporticadas ............................................ .................................................................. .............................. ........ 2.3.2 Pórtico Simples ............................................. .................................................................... ........................................ ................. 2.3.3 Pórtico com Articulação Articulação e Tirante ............................................... ........................................................ ......... 2.3.4 Pórticos Compostos ............................................. .................................................................... .................................. ........... 2.3 Cabos ............................................ .................................................................. ............................................. ......................................... .................. 2.4.1 Reações de Apoio para Cabos ............................................ ............................................................... ................... 2.4.2 Esforços Normais de Tração Atuantes em Cabos ................................. ................................. 2.4.3 Conformação Geométrica Final do Cabo .............................................. .............................................. 2.5 Arcos ............................................ .................................................................. ............................................ ......................................... ................... 2.5.1 Arcos Biapoiados ......................................................... ............................................................................... .......................... .... 2.5.2 Pórticos com Arcos ............................................. ................................................................... .................................. ............ 2.5.3 Arcos Triarticulados ............................................ ................................................................... .................................. ...........

1 1 1 3 8 13 19 21 21 27 33 42 42 48 54 61 61 69 76 78 82 87 92 97 106 109 112 114

ENG 2031 - ISOSTÁTICA ISOSTÁTICA Profº Rodrigo da Mata

1 – INTRODUÇÃO 1.1 - Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são: 

Projeto arquitetônico:

-Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço exterior,...) -Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes) 

Carregamento atuante:

-Permanente -Variável

Acidental Efeito do vento



Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento)



Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas peculiares): o material material deve estar adequado adequado ao tipo de esforços solicitantes solicitantes as estrutura

Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 1º.) Identificar as possíveis opções; 2º.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ;

1.2 - Classificação das peças estruturais quanto à geometria Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto denominado sistema estrutural. Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças estruturais:

1


Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.

Barra de elementos delgados : as três dimensões principais são de de diferentes diferentes ordens ordens de grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à solicitação por torção.

Folhas ou lâminas : duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira dimensão. Subdividem-se em:

Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. Chapas : carregamento contido no plano médio. Cascas : superfície média curva.

Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.

2

3


1.3 – Tipos de Vínculos Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem ser de translação ou de rotação.

1.3.1 – Vínculos no plano: No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: deslocamento em duas direções e rotação. y

y z

x

x

z

a)Apoio simples ou de primeiro gênero: y

Rx=0

Mz=0

Ry=0 x

Rx

Ry

Reação na direção do movimento impedido. Exemplo de movimento: rolete do skate.

b)Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero:

y

Rx

Mz=0

Ry

x Exemplo de movimento: dobradiça.

c)Engaste: ou apoio de terceiro gênero:

y

x z Exemplo de movimento: poste enterrado no solo.

Rx

Mz Ry

4

ENG 2031 - ISOSTÁTICA Profº Rodrigo da Mata

Vínculos no Plano Tipo de vínculo Cabo

Símbol o

Reações

Ligação esbelta_________________________________________________ Roletes

Rótula ___________________________________________ ______

luva com articulação____ ___ __ __ __ __ __ ___________ ______________

Articulação

_______ ________________________ _


Apoio deslizante

Luva rígida ______________________________________ ________

Apoio rígido, engaste______ ___ ___ ______ ___ ______ ______ ___ ___ _______

5

6


Rigidez de uma Ligação K 

Rigidez à Rotação

M

M 

geometria indeformada 

K = M /

M 

Ligação Articulada

K





Ligação Rígida

0

K    



0o

Ligação Semi-Rígida

0 < K < 

geometria

deformada

7


Exemplos de Vínculos

Apoio rotulado em viga de ponte

Apoio com material de baixo coeficiente de atrito, funcionando como roletes

Roletes nos apoios de vigas de Rolete nos apoios de vigas de concreto protendido de uma ponte rodoviária

Ligação de canto rígida de um pórtico de aço. Observam-se as chapas formando uma ligação rígida com os pilares.

A inclinação da rótula de apoio entre as duas vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio previnem a flambagem local causadas pelas altas reações de apoio

8


1.4 –Estaticidade e Estabilidade: a) Estrutura é restringida e número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio: ISOSTÁTICA. b) Estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de equilíbrio: HIPERESTÁTICA. c) Estrutura não é restringida ou número de incógnitas é menor que o número de equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA. Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. Número de incógnitas: -

Externas: reações de apoio ou vinculares

-

Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as reações de apoio) – estruturas fechadas.

Número de equações de equilíbrio: -

Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no espaço e três no plano).

-

Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais esforços internos (ex.: rótula).

g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações. Sussekind: g = g e + gi, sendo ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio externo e interno e

g i, = número de incógnitas internas, ou também

ge = grau de hiperestaticidade externa gi = grau de hiperestaticidade interna

Tipos de Equilíbrio: Estável

Instável

Indiferente

9


Exemplos: Estruturas Planas Vigas

g = número de incógnitas – número de equações = 4 – ( 3+1 ) = 4 – 4 = 0 ou g = ge + gi

ge = 4 – 4 = 0 gi = 0

Como resolver: 4 incógnitas: V A, HA, VB, VD . i)

 FX = 0

HA + ... = 0

 FY = 0

VA + VB + VD = 0

 MA = 0

d1.VB + d2.VD - ... - ... = 0 (qualquer ponto)

Uma equação adicional:

3 Equações

10


MC = 0 (Parte da direita ou da esquerda da viga) Ex.: À Direita  Mo = 0

MC + R xd + F1Yx(d/2) - VDxd = 0

VD= 0

ii) Separar em diversas vigas isostáticas

Nº de Equações adicionais = Nº de barras ligadas pela rótula - 1

Estrutura Isostática

g=0 Restringida a movimentação de corpo rígido

11


Exemplos: Pórticos, Arcos, Quadros. Pórticos:

(Triarticulado) g = ge = 3 – 3 = 0

g = ge = 3 – 3 = 0

g = ge = 4 – (3 + 1) = 0

MC = 0 (À direita ou à esquerda)

(Triarticulado)

Hiperestática

Hiperestática

g = ge = 4 – (3 + 1) = 0

g = ge = 4 – 3 = 1

g = ge = 4 – 3 = 1

MCD = MCE = 0

4 Incóg.: VA, HA, VB (Ext)

Incog(Ext) = 3

g = g e + gi

Incog(Int) = 1

ge = 3 – 3 = 0

ge = 3 – 3 = 0

Eq(Ext) = 3

gi = 1

gi = 1

Eq(Int) = 1

g=0

g = ge + gi = 1

g =(3+1)-(3+1)=0

Isostática

Hiperestática

ou ge = 3 - 4= -1

Restringida

NF10 (Int)

g =0

gi = 1

Isostática


12

Arcos:

Momento fletor é nulo

g = ge = 3 – 3 = 0

g = ge = 4 – 3 = 1

ge = 4 – (3 + 1) = 0

Isostática

Hiperestática

Isostática

g = ge = ((3 + 2) – 3)= 2

Hiperestática

ge = 3 – 3 = 0

ge = 4 – 3 = 1

gi = 1

gi = 1

Hiperestática

g=1

Quadros: Conhecidos N1, V1 e M1, obtem-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção.

ge = 3 – 3 = 0

gi = 3

Não é possível traçar os

g = ge + gi = 0 + 3 = 3

diagramas, só conhecidas

Hiperestática internamente

as reações de apoio HA, VA, VB.

g = ge + gi = 0 + 6 = 6

Hiperestática internamente

g=2


13

1.4 – Reações de apoio em estruturas planas: 1) Estrutura Aporticada Cos  =4/5 Sen  =3/5

m 0 5 . 1

  

Y

m 0 5 . 1

 X

2.00m 2.00m

3.00m

Decompor a força de 10kN nas direções x e y:

10x(4/5)=8kN 10kN

i) FX = 0

HA + 6kN = 0 HA = - 6kN

ii) FY = 0

VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN

iii) MA = 0

7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0

7VB = 190

10x(3/5)=6kN

 VB = 27,14N

Logo, V A = 38kN – 27,14kN = 10,86kN

Outra maneira seria:

MA = 0 7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0

7VB = 165+25 = 190 VB = 27,14kN Verificação: MB = 0 (10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) = 0 76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0

 m 0 5 . 2






14

2) Pórtico Isostático

m 0 0 . 3

m 0 0 . 3

4.00m

4.00m

i) FX = 0

-HA + 40 = 0

ii) FY = 0

VA + VB = 60kN

iii) MA = 0

8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0

8VB = 400

HA = 40kN

 VB = 50kN

VA = 60 – 50 = 10kN Verificação: MB = 0

(10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 120 + 120 – 240 = 0

3) Treliça Isostática i) FX = 0

HB + 4 -12 = 0

HB = 8kN

ii) FY = 0

VA + VB = 6 + 8 = 14kN

iii) MB = 0

(4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3V A = 0

m 0 0 . 2 m 0 0 . 2

3VA = 16 + 12 – 24 = 4 VA = (4/3) = 1,33kN VB = 12,67kN 1.50m 1.50m

Verificação: MA = 0 r=3; b=5; n=4.

r + b = 2n 5 + 3= 2x4


15

4) Pórtico Triarticulado Isostático

2.00m

m 0 0 . 4

    

2.00m

4 Incógnitas (Reação) 3 Equações Estáticas 1 Equação interna D E MC = MC = 0 Estrutura restringida

m 0 0 . 2

Isostática

i) FX = 0

HA + HB +20 -12 = 0 HA+ HB = -8kN

ii) FY = 0

VA + VB = 10x4 = 40kN

iii) MA = 0

4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0

4VB = 80 – 24 + 80  VB = 34kN VA = 40 – 34 = 6kN iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.)

MC – (6x2) + (20x1) + (H Ax4) = 0 Ou MC =(6x2) – (20x1) – (4H A) 2.00m

Mas MC=0  4HA= 12 – 20 = -8

m 0 0 . 4

Verif. MD = 0

HA = – 2kN HB = –8 + 2 = -6kN

(6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0 48 + 24 +24 – 80 = 0


16

Exercícios: Determinar a reação de apoio.

a) 2.00m

6.00m

m 0 0 . 6

FX = 0 (+)

R AX - R BX = 0

 R AX = R BX (I)

FY = 0 (+)

R AY - R BY - 20 - 112= 0

 R AY + R BY = 132

MA = 0

(20x8) + (112x4) – (6xR BX) = 0 R BX = 160 + 448

 R BX=101,33kN

6

R AX = R BX

(I)

 R AX=101,33kN

R AX = R BY

(45º)

 R AY=101,33kN

R BY = 132 - R AY

 R BY=30,67kN

R A = R AX/cos 45º

 R A= (R AX)x2 =143,30kN

45°

2

Conferindo

MC = 0

(20x2) - (112x2) + (6xR BY) – (6xR AX) + (6xR AY) = 0 10 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0 -184 + 184 – 608 + 608 =0 184 – 184 = 0


17

b)

m 0 0 . 6 m 0 0 . 6

12.00m

3.00m

i) FX = 0

R AX = R BX

ii) FY = 0

R AY – 12(12) – 30

iii) MA = 0

12xR BX – 30x20 – 144x6 = 0 R BX = 600 + 864

R AY = 174kN

R BX = 122kN

R AX = 122kN

12

Conferindo

MB = 0

12xR AX – 144x6 – 30x20 = 0 1464 – 864 – 600 = 0

MC = 0

6xR BX – 144x14 + 6xR AX – 20xR AY = 0 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0 732 + 2016 + 732 – 3480 = 0

c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo :

10 2kN

10 2kN

3.00m

6.00m

3.00m 3.00m


18

Balanço 72 

 (144/2) = 72

34 

 10 + 24 = 34

(8x3)/9 = 2,67 

 (8x6)/9 = 5,33

108,67 

 111,33

10 2kN

d) Determinar as reações de apoio para a viga:

2.00m

3.00m

2.00m

3.00m

3.00m

6

 (12/2) = 6

6

 6 + 8 = 14

2,67 

 (20-12)/3=2,67


19

1.5 – Reações de apoio no espaço: 6 Equações de Equilíbrio:

FX = 0; 1) Treliça

FY = 0;

FZ = 0;

Isostática

MX = 0;

MY = 0;

MZ = 0

r + b = 3n Restringida

r = 3x3 = 9 b = 3 n=4 r + b = 3n 9 + 3 = 3x4 12 = 12

Inicia-se pelo equilíbrio do nó D:

3 incógnitas N1, N2, N3 3 equações: FX = 0, FY = 0, FZ = 0

Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio.


20

2) Pórtico Espacial

4.00m

m 0 0 . 3

m 0 0 . 5

Isostática

6 reações 6 equações de equilíbrio Restringida

i) FX = 0

R AX – 2tf = 0

R AX = 2tf

ii) FY = 0

R AY – 4tf = 0

R AY = 4tf

iii) FZ = 0

R AZ – 1tf = 0

R AZ = 1tf

iv) MX = 0

MAX – (4x3) – (1x5) = 0

MAX = 17tfm

v) MY = 0

MAY + (2x3) - (1x4) = 0

MAY = - 2tfm

vi) MZ = 0

MAZ + (2x5) – (4x4) = 0

MAZ = 6tfm

21


2 – ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 2.1 – Treliças Treliças - Estruturas reticuladas, ou seja, formadas por barras (em que uma direção é predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós). Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas somente a esforços axiais. Estaticidade e Estabilidade: Condições para obtenção de uma treliça isostática: 1. equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis); 2. número de incógnitas (*) igual ao número de equações de equilíbrio da estática (**). * O número de incógnitas é dados por: - número de reações (r) + número de barras (b). (Incógnitas Externas)

(Incógnitas Internas)

** Número de equações de equilíbrio é o resultado do: - número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência de uma equação no eixo x e outra no y). Desta forma, podemos classificá-las da seguinte maneira: 1a. Condição

2a. Condição

Classificação

indeslocável

e

r + b = 2n

Isostática

indeslocável

e

r + b > 2n

Hiperestática

deslocável

ou

r + b < 2n

Hipostática

Os métodos de obtenção de esforços em treliças são: 1. Equilíbrio dos Nós; 2. Ritter; 3. Cremona (Maxwell).

22


Treliças Planas

Fonte: Engel, Heino, 1981

Sentido dos Esforços

Treliça com diagonais tracionadas

Treliça com diagonais comprimidas Fonte: Salvadori, Heller, 1975

23


Transmissão de Cargas para as Treliças

Treliça de Cobertura

Treliça de Ponte Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 Ligações das Extremidades das Barras

Fonte: Salvadori, Heller, 1975

Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1

24


Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais

Pórtico de Treliça Biarticulado

Pórticos de Treliça Triarticulado com Balanços

Arco de Treliça Triarticulado

25


Treliças com Diferentes Condições de Apoios

Treliças apoiadas nas duas extremidades: Estrutura de vão livre

Treliças com Apoio Duplo no Centro: Estruturas em Balanço

Treliças com Extremidades em Balanço: Estrutura com Vão Livre e Balanço Fonte: Engel, Heino, 1981

26


Lei de Formação de Treliças Isostáticas:

Treliça Hiperestática:

Treliça Hipostática:


2.1.1 – Método de Ritter Seja a seguinte treliça:

Suponhamos que deseja-se determinar os esforços axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, através da seção SS indicada. Considerando a parte da direita, deve-se colocar os esforços internos axiais que surgem nas barras para estabelecer o equilíbrio:

As forças N3, N 6 e N 10 representam a ação da parte da direita da treliça sobre a parte da esquerda.

27

28


É indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita:

Os esforços indicados N 3, N6 e N10 são iguais em módulo e direção, mas têm os sentidos opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ação da parte esquerda sobre a parte da direita. Para obter os esforços N 3, N6 e N10 utilizam-se as equações da estática, devendo ser escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incógnita diretamente. Para o exemplo, pode-se resolver utilizando: MC = 0  Obtém-se N3;



MD = 0  Obtém-se N6;



F = 0  Obtém-se N10.

 y

(tanto faz pela esquerda ou direita)

Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração) senão terão sentido inverso (compressão). Observações: 1. seções de Ritter não podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no mesmo ponto; 2. as seções podem ter forma qualquer (não necessitando ser retas); 3. para barras próximas às extremidades da treliça (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer que a seção de Ritter só intercepte 2 barras dos nós (conforme vimos anteriormente).



neste caso obter os esforços fazendo equilíbrio

29


Exemplos:

1. Obter os esforços nas barras 2, 3, 9 e 10.

I.

Obter as reações de apoio:

F =0



HB = -6 tf;

F =0



VA + VB = 10 tf;

MA = 0



VB . 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x 2 = 0;

 x  y 

VB = 6 tf e VA = 4 tf. II.

Seção S1S1

MH = 0



N2 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0

N 2 = 14 tf (tração);

MD = 0



-N16 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0

N 16 = -14 tf (compressão);

F =0



N9 + 6 = 4

N9 = -2 tf (compressão).

 

 y


III.

Seção S2S2

F =0



N3 + N10 cos45º = 14 tf;

F =0



N10 sen45º + 4 - 6 = 0;

 x  y

N10 = 2,83 tf e N3 = 12 tf.

30

31


2. Obter os esforços nas barras 2, 10, 19, 3 e 13.

I. Seção S1S1

MD = 0



N19 x 2 + 6 x 2 + 5 x 4 = 0

N 19 = -16 tf (compressão);

F =0



N19 + N2 = 0

N2 = 16 tf (tração);

F =0



N10 + 6 - 5 = 0

N10 = -1 tf (compressão);



 x  y

32


II. Seção S 2S2

MJ = 0





N3 x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0

N 3 = 15 tf (tração);

III. Seção S3S3

F =0

 y



N13 cos45º + 5 = 0;

N13 = -7,1 tf (compressão);


2.1.2 – Método de Cremona

Seja a seguinte treliça para a qual se obtiveram as reações e esforços indicados:

Se um nó está em equilíbrio, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ele será nula: Nó A:

Nó B:

33

34


Nó C:

A soma vetorial das forças externas e internas atuantes forma sempre um polígono fechado. O método de Cremona consiste em encontrar os esforços internos graficamente, a partir do equilíbrio dos nós da treliça, seguem-se os seguintes passos: 

inicia-se por um nó com apenas duas incógnitas;



marca-se em escala as forças externas atuantes, formando um polígono aberto;



pelas extremidades deste polígono traçam-se paralelas às barras que concorrem no nó, cujos esforços desejamos conhecer;



a interseção destas paralelas determinará o polígono fechado de equilíbrio; obtêm-se assim os módulos e sinais dos esforços nas barras;



Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: -

se o esforço normal aponta para o nó

-

se o esforço normal foge do nó





negativo (compressão);

positivo (tração);



O sentido do percurso de traçado de forças é arbitrário, adotaremos o sentido horário;



Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise reações.



sobrarão 3 equações de equilíbrio, já usadas para as


2.1.2.1 – Notação de Bow

Marcar com letras todos espaços compreendidos entre as forças (exteriores e interiores), que serão identificadas pelas duas letras adjacentes. No exemplo: 

reação Vertical no nó A : ab;



reação Horizontal no nó A: bc;



esforço Normal na Barra2: cf (ou fc);



esforço Normal na Barra2: cf (ou fc).

Roteiro do Método: 1. Iniciar o traçado do Cremona pelo equilíbrio de um nó que contém somente duas barras com esforços normais desconhecidos (incógnitas); 2. Começar com as forças conhecidas, deixando as incógnitas como forças finais; 3. Todos os nós são percorridos no mesmo sentido (horário ou anti-horário), para o exemplo escolheu-se o horário; 4. Prosseguir o traçado do Cremona pelos nós onde só haja 2 incógnitas a determina, até esgotar todos os nós, encerrando-se a resolução da treliça. 5. Os valores dos esforços nas barras são medidos no gráfico em escala; 6. Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: - se o esforço normal aponta para o nó: COMPRESSÃO (-); - se o esforço normal sai do nó: TRAÇÃO (+). O polígono resultante do traçado do Cremona deverá resultar num polígono fechado para que a treliça esteja em equilíbrio.

35

36


Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1

37


Nó A:

Medir em escala N 2 e N7 Nó E:

N2 conhecido - N 3,N1 incógnitas: mede-se em escala


Exemplos: 1.

Nó A:

38


Nó D:

Nó B:

39


40


2.

41


3.

42


43

42


2.2 – Vigas 2.2.1 - Vigas simples - método direto para diagramas

Convenção de sinais: Revisão:

Esquerda com carga para cima V – F = 0  V = +F

Esquerda com carga para baixo

positivo.

M – F.a = 0  M = +F.a

positivo.

Direita com carga para cima V+F=0V=-F

negativo.

M + F.a = 0  M = - F.a

negativo.

Direita com carga para baixo negativo.

M - F.a = 0  M = +F.a 

V+F=0V=-F

positivo.

Traçar DEC diretamente vindo pela esquerda.

V – F = 0  V = +F

positivo.

M + F.a = 0  M = - F.a

negativo.

43

ENG 2031 - ISOSTÁTICA Profº Rodrigo da Mata 

Traçar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicação de força concentrada.

Lembrando: 

Força Concentrada: Descontinuidade no DEC



Binário Aplicado: Descontinuidade no DMF q =

dV dx

dM V= dx

q=0 ; (entre cargas conc.) 

V

Constante



M

Varia Linearmente em x



V

Varia Linearmente em x



M

Varia Parabolicamente em x

q= k ;

Integrando q  V; Integrando V  M. Exemplos:

d2 M q = dx 2

44


1. (Obs.: dimensões em metros)

MC = 60.4 = 240 kN;

MEDir. = 110.2 = 220 kN ou

MD = 60.8 – 50.4 = 280 kN;

MEEsq. = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220 kN



45

46



MMÁX = q.a2/2 = 12.32/8 = 13,5



(q . a 2 ) / 8 = (20 . 2 2 ) / 8 = 10

47


48

2.2.2 – Vigas Gerber 

Aplicações principais – Pontes;



Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva;



Vigas Gerber Isostáticas serão decompostas nas diversas vigas isostáticas que as constituem: -

Vigas com estabilidade própria;

-

Vigas que se apóiam sobre as demais;

Exemplos de Decomposição:

Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção das reações de apoio. 

Os diagramas podem ser traçados separadamente, juntando-os em seguida;



As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento;



Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas verticais provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na o

o

decomposição não é necessário distinguir apoios do 1 ou 2 gênero. Usaremos apenas:

I

II

I

II

II


49

I

II

III

IV

II


Esforços Internos – Diagramas – Exemplos: 1.

50


51

MA = 0

MB = -6 x 2 = -12 MC = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20 MD = -6 x 7 + 9,33 x 5 – 20 x 2,5 + 22,67 x 2 = -0,01



0



OK

(o momento fletor na rótula é sempre nulo, a não ser que haja um binário aplicado na rótula .) ME = -36 + 18 x 3 – 12 x 1,5 = 0



OK

MF = -36

Quando na rótula não há força concentrada: esq

= Vd

esq

= Ve

Vd Ve

dir

dir


52

2.

6 12


53

2

MD = -4+ (2.4 )/8 + (4.4)/4 = 4

MI = 1.2 = 2


54

2.2.3 – Vigas Inclinadas

Independente do valor de b, as reações verticais serão iguais (= q.a / 2) 1. q

B

S

(q.a)/2

A x a

(q.a)/2 x/2 x

M

q.x

N

S

V

9 0 -

(q.a)/2

Esforços Internos: Seção S (a x do apoio A)

b


 q .a   q .x . cos   2 

V

55

 q .a   q .x . sen   2 

N  

 q .a q .x 2   M .x   2 2  

(para fins de momento fletor a viga se comporta como se fosse horizontal)

Diagramas:


56

q.a.(sen

(+)

/ 2

DEN

(-)

- q.a.(sen

/ 2 DEC

q.a.(cos

/ 2 (-) (+) - q.a(cos

DMF

q.a² /8

/ 2


57

2. q B

S

b

VB x

A

HA

VA a

I.

Fx = 0

II.

HA = q.b

Fy = 0

III.

HA = q.b

MA = 0 a.VB – qb.b/2 = 0 2

Esforços Internos:

VB = qb /2a = VA

M

N

S q.x

V

x 2 / x

q.b

(q.b²)/2.a

2

2

N = (qb – qx)cos + (qb /2.a) . sen

M = x.qb – qx /2 – x.(a/b).(qb /2.a)

V = (qb – qx)sen  - (qb2/2.a) . cos

M = qbx/2 – qx /2

2

M = x.qb – qx 2/2 – y.(qb2/2.a)

2


57

Diagramas:

/

]


58

R = q . (a 2 + b2) 0,5

3.

q

B

b

A

a

q.a

q

B

A

q B

q.b

A


59

Logo, o diagrama de momento fletor fica: DMF

q . ( a ² + b ² ) / 8

Se tivermos, por exemplo, as estruturas: 1 tf/m

B

2 tf.m

m 6

6 tf.m

A

8m

DMF

2

6 2

6


60

20 kN/m B

20 kN.m

m 3

A

4m

-20

(-)

1 0

(+)

52,5

DMF


61

2.3 – Pórticos 2.3.1 – Estruturas Aporticadas

Seção S1: Fx

=0

N – 6.cos + 10,86.sen = 0

Mz

N = 6.cos - 10,86.sen

M = 10,86.x + 6.y

N = -1,72 kN (const.)

=0

V = 6.sen + 10,86.cos = 12,2 kN (const.)



y = x.tg

M = 10,86.x + 4,5.x = 15,36.x Para

Ft

=0

x=0, M=0; x=2, M=30,72 kN.m;


62

Seção S2: N = -1,72 kN (const.)

V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.)

M = 15,36.x –8(x-2) –6(y-1,5) = 2,86.x + 25 – 0,75.x Para

x=2, M=30,72 kN.m; x=4, M=36,44 kN.m;

Seção S3: (direita)

V = 10.x’ – 27,14 Para

x’=0, V=-27,14 kN; x’=3, V=2,86 kN;

M = 27,14.x’ – 10.x’ 2/2 Para

x’=0, M=0 kN.m; x’=3, M=36,42 kN.m;



y = x.tg


63

Diagramas:

2

x = 10 x 3 / 8


64

Não havendo barras inclinadas, recomeça-se o traçado de diagramas pelo método direto.

2

x = 10 x 4 / 8


65

Considerações Sobre os Sinais dos Diagramas: As fibras inferiores serão tracejadas, definindo portanto a parte à esquerda e à direita da seção. Exemplos:

S2

S3 S1

M

N

N

M

V V

S1

S3


Exemplos: 01.

Fy

=0N=P

Fx

=0V=0

Mz

= 0  M = -P.a + P.2a = P.a (constante)

66


02.

67


2.3.2 – Pórticos Simples

69


70

Pelo Método Direto: Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo:

Reações:

Fx = 0 

R Ax = 1 tf

Fy = 0 

R Ay = 3 + 1.4 + 1 R Ay = 8 tf

MA = 0 

3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + M A = 0 MA = 1 tf.m

Seção S1: trecho DC N = 0;

Seção S3: trecho FB

V = -3 tf

N = -1 tf

MC = -6 tf.m

V = 1 tf M = -1.x

Seção S2: trecho CE

Para

N = 0;

x = 0; M = 0; x = 1; M = -1 tf.m;

V = 1.x Para

x = 0; V = 0; x = 4; V = 4 tf; 2

Seção S4: trecho BC N = -7 tf

M = -1.x /2

V=0

Para

M = -2 tf.m

x = 0; M = 0; x = 4; M = -8 tf.m;


Seção S5: trecho AB N = -8 tf V = -1 tf

Diagramas:

71 M = -1 – 1 . x Para

x = 0; M = -1 tf.m; x = 2; M = -3 tf.m;


72

Reações:

Fy = 0 

1 + 6 – 4.5 + V A + VB = 0 VA + VB = 13

MA = 0 

1.2,5 – 4.5.2,5 + 6.5 + H B.10 = 0 HB = 1,75 tf

Fx = 0 

HB = - HA  HA = - 1,75 tf

MEDir = 0  HB.4 - VB.5 = 0 (embaixo)

VB = 1,4 tf  VA = 11,6 tf

Seção S1: [0

x

2,5]

N = + 1,75 tf;

M = 11,6.x - 2.x 2

V = 11,6 - 4.x

Para

Para

x = 0; V = 11,6;

x = 0; M = 0; x = 2,5; M = 16,5 tf.m;

x = 2,5; V = 1,6 tf;

Seção S2: [2,5

x

5,0] 2

N = + 1,75 tf;

M = 12,6.x - 2.x – 2,5

V = 12,6 - 4.x

Para

Para

x = 2,5; V = 2,6 tf; x = 5; V = -7,4 tf;

x = 2,5; M = 16,5 tf.m; x = 5; M = 10,5 tf.m;


Seção S4: [0 tg = 4/5

x

73

5,0]

sen = 4/41

N + 1,75.cos + 1,4 sen = 0  N = - 2,24 tf; V + 1,75.sen - 1,4.cos = 0  V = 0; M = 1,4.x – 1,75.y



Seção S3: [0

M = 0;

x’

6,0]

N = - 7,4 tf; V = -1,75 tf;

M = 1,75.x’ Para

x’ = 0; M = 0; x’ = 6; M = 10,5 tf.m;


74

Reações:

Fx = 0 

HA + HB + 12 – 3,33 = 0 HA + HB = - 8,67 tf

Fy = 0 

-10 + 4,99 + V A + VB = 0 VA + VB = 5,01 tf

Diagramas:

MB = 0 

6.1 + 10.4 – 12.3 – 9.V A = 0 VA = 1,11 tf  VB = 3,9 tf;

MEEsq = 0  - HA.6 + VA.2,5 – 12.3 = 0 HA = -5,54 tf  HB = -3,13 tf


Determinar os diagramas de esforços solicitantes:

N = - 4,42 kN V = - 2,55 kN 0 = M + 3,2.(x - 0,3) + 1,9.x M = -5,1.x + 2,56 Para

x = 1,6; M = -5,6 kN.m; x = 3,2; M = -15,8 kN.m;

75


76

2.3.3 – Pórtico com Articulação e Tirante

Análise da estaticidade: 4 incógnitas: 3 inc. ext.; 1 inc. int.; 4 equações:

3 eqs estática; 1 eq. MFD = MFE;

g = (3+1) – (3+1) = 0



Substitui-se a barra CD pelo par de esforços N:

Reações e N: Fx

=0

HA = 0;

Fy

=0

VA + VB = 8 tf

Mz

= 0 (A) VB.4 – 8.2 = 0

VB = 4 tf.m  VA = 4 tf.m Momento Fletor em F, pela direita: MF = 0 

D

4 – 2.N = 0



+

N = 2 tf.


77

Diagramas:

2

x=2x4 /8=4


78

2.3.4 – Pórticos Compostos

Pórticos Compostos são uma associação de pórticos simples. Assim como a viga Gerber é uma associação de vigas simples. Se forem isostáticos, o resultado será uma Associação de Pórticos Simples Isostáticos.

1. F

E

C

G

H

D

A

B

J

F

E

Dx

H

Hy

Hy

Dx

A

B

Hx

H

Dy

D

K

G

Dy

C

I

Hx H

J

I

K


2.

3.

4.

79


80

5.

Decompondo:

Fx

=0

HC = 30 kN;

Fy

=0

VA + VC = 80 kN;

MA

= 0 8.VC + 4.HC –80.4 – 30.2 = 0 VC = 32,5 kN

Fx

=0

HD + HG +30 = 0

Fy

=0

VD + VG = 20 + 32,5 + 80 VD + VG = 132,5 kN

MD

=0

8.VG – 20.5 – 80.4 – 30.4 = 0 VG = 67,5 kN  VD = 65 kN

D

MC = 0 

4.HD = 0 HD = 0



HG = - 30 kN



VA = 47,5 kN

Isostatica

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