GEOMETRI TRANSFORMASI ISOMETRI
“
”
Disusun oleh :
Aghni Ermawati A. ( 130210101057 ) Wahyu Sulistio
( 130210101073 130210101073 )
Achmad Fachruddin ( 130210101083 )
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER SEMESTER GASAL 2014/2015
1
5.1 Pengertian Isometri Definisi 5.1.1 Transformasi U adalah isometri jika untuk setiap pasang Q d ipenuhi P’Q’ = PQ dengan P’ = U(P) dan Q’ = U(Q). Dapat dikatakan juga bahwa isometri adalah transformasi yang mengawetkan jarak (panjang garis). Selanjutnya digunakan lambang U untuk menyatakan isometri. Dalil 5.1.1 Isometri adalah kolineasi
a. b. c. d. e.
Akibat 5.1.1 Isometri adalah kolineasi yang Mengawetkan keantaraan Mengawetkan ruas garis Mengawetkan titik tengah Mengawetkan sinar garis Mengawetkan sudut
Contoh 5.1.1
[ ] = 4 ′
Diketahui suatu transformasi F dengan rumus
′
a. Apakah F suatu kolineasi? b. Apakah F suatu Isometri Penyelesaian b. misalkan A(a,b) dipetakan F ke A’(a’,b’) dan B(c.d) dipetakan F ke B’(c’,d’). Maka
= √ 〈 − 〉 + 〈 − 〉 = √ 〈4−〉 + 〈 − 〉 = √ 16〈 − 〉 + 〈 − 〉 .............................(1) Dilain pihak = √ 〈 − 〉 + 〈 − 〉 ....................................(2) ′
′
′
′
′
′
Dari (1) dan (2) didapatkan AB≠A’B’ sehingga F bukan isometri
a. dari rumus F diperoleh x=y’ dan y= x’. Selanjutnya nilai-nilai ini disubtitusikan ke persamaan umum pX+qY+r=0, sehingga didapatkan qX’+4pY’+4r=0. Karena persamaan ini adalah persamaan garis. Maka F adalah suatu kolineasi
Dalil 5.1.2 Isometri mengawetkan kesejajaran a b a b Ambil dua garis sejajar a dan b dengan a’=U(a). B’=U(b). Harus diperlihatkan a’ II b’. Andaikan a’ # b’, berarti a’ berpotongan b’. Misalkan P adalah titik (a’,b’). Jadi P € a’ dan 2
P € b’. Oleh karena U sebuah isometri, maka ada P sehinggga U(P)=P’ dengan P € a dan P € b. Ini berarti a dan b berpotongan di P, yang bertentangan dengan yang diketahui. Karena itu pengandaian a’ # b’ salah. Jadi haruslah a’ II b’ Akibat 5.1.2 Isometri mengawetkan ketegaklurusan Dalil 5.1.3 Isometri mengawetkan besar sudut
Perhatikan sebuah sudut ,
3
5.2 Pencerminan Definisi 5.2.1 Pencerminan terhadap garis s adalah suatu pemetaan M s sedemikian hingga untuk setiap titik P pada bidang dipenuhi:
, ∈ () = ,ℎ ℎ , ∈ ′
′
Garis s selanjutnya disebut sumbu pencerminan atau disingkat cermin. Nantinya dapat diketahui bahwa pencerminan merupakan unsur yang penting dalam membangun geometri transformasi. Dalil 5.2.1 Pencerminan adalah transformasi
a. b. c. d. e. f. g. h.
Akibat 5.2.1 Mengawetkan keantaraan Mengawetkan ruas garis Mengawetkan titik tengah Mengawetkan sinar garis Mengawetkan sudut Mengawetkan besar sudut Mengawetkan ketegaklurusan Mengawetkan kesejajaran Dalil 5.2.2 Pencerminan adalah isometri Misalkan A’=Ms(A) dan B’=Ms(B). Akan ditinjau beberapa kejadian.
∈ ⊥
Kasus 1. A,B s pembuktiannya lihat gambar 1 Kasus 2. AB s perhatikan gambar 2 Pembuktiannya didapatkan langsung dari definisi
Dalil 5.2.3 Pencerminan adalah involusi Dalil 5.2.4 a. titik tetap pencerminan adalah sautu titik pada sumbu cermin b. garis tetap adalah sumbu cermin dan semua garis yang tegak lurus sumbu cermin itu Dalil 5.2.5 Rumus umum pencerminan pada bidang kartesius adalah
4
0 [ ] = − + + =1 ++ = −− 0 ′
′
5
5.3 Geseran Definisi 5.3.1.
⃗ adalah pemetaan S sedemikian hingga untuk setiap titik P pada bidang dipenuhi ⃗ = ⃗ dengan P’=S(P) ⃗ disebut vektor geser. Setiap vektor menentukan geseran. Jika ⃗ adalah vektor Vektor ⃗ . maka S adalah sebuah geseran yang sesuai dengan Geseran searah vektor
AB
′
AB
Dalil 5.3.1
SAB = SCD jika dan hanya jika
⃗ = ⃗
Bukti : 1. Bukti pertama
⃗ = ⃗. Jika P adalah sebarang titik dengan P’= S (P) maka ⃗ = ⃗. Tetapi karena S S maka S (P)=P’ sehingga ⃗ = ⃗ . Jadi, maka ⃗ = ⃗ = ⃗ Akan dibuktikan jika S AB = SCD maka
′
AB
CD
′
CD
AB =
′
2. Bukti kedua Jika P adalah sebarang titik, harus dibuktikan bahwa S AB (P)= SCD (P). Misalkan S AB (P)=P1 dan S CD (P) = P 2 maka
⃗1 = ⃗.dan ⃗2 = ⃗. Karena ⃗ = ⃗. Maka
⃗1 =2 ⃗ . ini berarti bahwa P1=P2 sehingga S
AB =
SCD. Bukti selesai.
Dalil 5.3.2 Jika A, B dan C adalah tiga titik tak segaris, berlaku S AB = SCD jika dan hanya jika ACDB adalah jajaran-genjang Dalil 5.3.3 Geseran adalah transformasi. Dalil 5.3.4 Geseran adalah isometri.
Bukti : Geseran adalah transformasi sudah terjamin oleh dalil 5.3.3. misalkan P dan Q adalah dua titik berbeda dengan P’ = S AB (P) dan Q’ = S AB (Q) maka bahwa P’Q’ = PQ. Untuk ini akan ditinjau dua kasus. B
A
P’
⃗ = ⃗ = ⃗. Akan dibuktikan ′
Q’
P
Q (a) 6
Q’
Q P’
P (b) Gambar 5.3.2. Kasus 1 : bila P, P’ dan Q tidak segaris (perhatikan gambar 5.3.2(a)) maka PQQ’P’ adalah jajar genjang (dalil 5.3.2.) dari hal tersebut maka P’Q’ = PQ. Kasus 2 : Bila P, P’ dan Q segaris (Perhatikan gambar 5.3.2.(b)) maka Q’ terletak pada garis yang sama. Dengan aljabar vektor :
⃗ = ⃗ − ⃗ ⃗ + ⃗ − ⃗ = ⃗ + ⃗ − ⃗ = ⃗ = ′ ′
′
′
′
′
′
Jadi P’Q’=PQ. Dengan demikian geseran adalah isometri. Bukti selesai.
Akibat 5.3.1 Geseran adalah kolineasi yang : a. Mengawetkan keantaraan b. Mengawetkan ruas garis c. Mengawetkan titik tengah d. Mengawetkan sinar garis Dalil 5.3.5 Geseran mengawetkan arah garis.
Geseran SAB menjadi I bila A= B, namun S AB bukan I, sehingga geseran bukan identitas tidak mempunyai nilai tetap. Dalil 5.3.6 a. Geseran yang bukan identitas tidak mempunyai titik tetap. b. Garis tetap geseran yang bukan identitas adalah semua garis yang sejajar vektor gesernya Dalil 5.3.7 Rumus umum geseran pada bidang Cartesius adalah
[ ] = 10 01[ ] + ′
′
′
′
Bukti
7
Y P’ (x+a,y+b) B(a,b)
P(x,y) x 0
Misalkan pada bidang koordinat XOY dipilih titik B(a,b) maka S OB memetakan setiap titik (x,y) menjadi S OB ((x,y)) = (x+a,y+b). Ini berarti bahwa setiap titik P(x,y) oleh S OB dipetakan
⃗ = sebagai vektor geser. ⃗ = memetakan titik P(x,y) ke titik Dengan demikian, apabila geseran S dengan ke P’ (x+a,y+b) dengan
OB
P’(x’,y’) dapat dirumuskan hubungan “ x’=x+a y’=y+b atau dengan cara tulis vektor
[ ] = + Vektor adalah vektor geser. Selanjutnya 5.3.1 dapat dinyatakan dengan : [ ] = 10 01 + Jika a=m dan b=m maka [ ] = 10 01 + Sehingga rumus 5.3.3 adalah rumus geseran dengan vektor geser . Bukti selesai. ′
′
′
′
′
′
Contoh 5.3.2 Tentukan persaman peta tempat kedudukan titik-titik dengan persamaan x 2+y2+4x+6y+9=0 karena geseran yang memetakan titik asal (2,3) Penyelesaian : Geseran yang memetakan (0,0) ke (2,3) adalah geseran dengan vektor geser rumusnya adalah :
[ ] = + 23 ′
′
Dari rumus ini diperoleh x=x’-2 dan y=y’-3
8
23 sehingga
Apabila disubsitusikan ke persamaan x 2+y2+4x+6y+9=0 diperoleh persamaan x 2+y2=4 Yang tidak lain adalah persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-ja ri 2.
9
5.4 Setengah Putaran 5.4.1 Definisi setengah putaran terhadap titik P adalah pemetaan H p sedemikian hingga untuk setiap titik A pada bidang dipenuhi sebagai berikut:
, = ( ) = ,ℎ ℎ ℎ , ≠ ′
′
Yang selanjutnya titik P disebut pusat tengah putaran. Dalil 5.4.1 Setengah putaran adalah transformasi Akibat 5.4.1 a. Mengawetkan keantaraan b. Mengawetkan ruas garis c. Mengawetkan titik tengah d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut f. Mengawetkan besar sudut g. Mengawetkan ketegaklurusan h. Mengawetkan kesejajaran Dalil 5.4.2 Setengah putaran adalah Isometri
Dalil 5.4.3 Setengah putaran adalah involusi Pembuktiannya langsung diturunkan dari definisi 5.4.1 Dalil 5.4.4 Jika H p setengah putaran dan g sembarang garisdengan P g, maka P ll H p(g)
∈
Dalil 5.4.5 a. Satu-satunya titik teteap setengah putaran adalah titik pusatnya b. Garis tengah setengah putaran adalah garis yang melalui pusat setengah putaran itu. Dalil 5.4.6 Rumus umum setengah putarana pada bidang kartesius adalah
[ ] = −10 −10 + dengan pusat ( , ) ′
′
10
5.5 Putaran Definisi 5.5.1
Putaran terhadap titik P sejauh pada bidang dipenuhi :
adalah pemetaan , sedmikian hingga untuk setiap titik A 2
, = , (A) ={ = = , ≠ Titik P disebut pusat putaran dan disebut sudut putar. ′
′
˂
′
Dalil 5.5.1
Putaran adalah isometri Akibat 5.5.1
Putaran adalah kolineasi yang : a. Mengawetkan keantaraan. b. Mengawetkan ruas garis. c. Mengawetkan titik tengah. d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut f. Mengawetkan besar sudut. g. Mengawetkan ketegaklurusan. h. Mengawetkan kesejajaran. Dalil 5.5.2
Putaran yang merupakan involusi adalah setengah putaran. Dalil 5.5.3
Ukuran sudut-sudut antara sebuah garis dan petanya karena suatu putaran sama dengan ukuran sudut-putar putaran itu.
, (g) , maka u
Jadi, jika g’=
˂(g,g’)=
Dalil 5.5.4
a. Satu-satunya titik tetap putaran yang bukan identitas adalah titik pusat putaran. b. Suatu putaran bukan identitas mempunyai garis tetap hanya jika putaran itu berupa setengah lingkaran.
11
Dalil 5.5.5
Rumus umum putaran pada bidang kartesius adalah
[ ] = − + ′
′
dengan p2 + q2 = 1 dan ada sepasang tunggal bilangan a dan b yang memenuhi
= [−−+ −+ ]
12
5.6 Pencerminan Geser Definisi 5.6.1
⃗
⃗ ⃗
Untuk sembarang garis s dan vektor yang sejajar s, ≠ , pencerminan geser K s,AB adalah komposisi Ms dan S AB yang ditentukan oleh K s,AB = MsSAB Garis s disebut sumbu pencermminan geser. Notasi K AB,s berarti pencerminan geser dengan
⃗
ǀǀ s.
K s,AB menyatakan komposisi M sSAB , sedangkan K AB,s menyatakan SABMs.
Dalil 5.6.1
Pencerminan geser adalah isometri. Akibat 5.6.1
Pencerminan geser adalah kolineasi yang : a. Mengawetkan keantaraan. b. Mengawetkan ruas garis. c. Mengawetkan titik tengah. d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut f. Mengawetkan besar sudut. g. Mengawetkan ketegaklurusan. h. Mengawetkan kesejajaran. Dalil 5.6.2
a. Pencerminan geser tidak mempunyai titik tetap. b. Satu-satunya garis tetap pencerminan geser adalah sumbunya sendiri. Dalil 5.6.3
Titik tengah
̅ dengan p’ = K pp ′
s,AB(p)
pada s.
Akibat 5.6.2
Jika P dan Q adalah dua titik berbeda dengan P’= K s,AB(P) dan Q’= K s,AB(Q) serta T1 adalah titik tengah
̅ dan titik T adalah titik tengah ̅ , maka s=⃡ . ’
’
2
Dalil 5.6.4
Rumus umum pencerminan geser pada bidang kartesius adalah
[ ] = − + ++ ≠ 0 dengan p + q = 1 dan −+ 0 ′
′
2
2
13