Irving Shames-problemas resueltos - álabes

IRVING SHAMES (3era Edición – Problema 5.25) El labe de la !"#ra $e m#e%e con #na %elocidad con$&an&e #'2m$. n c*orro de a"#a con %elocidad V +',m$ c*oca en e$&e como $e m#e$&ra. El a"#a $ale -or &re$ l#"are$ / en #na bo0#illa de $alida la %elocidad del a"#a e$ V 1'1m$ con re$-ec&o a e$&e. El rea A 1'.2m2 mien&ra$ 0#e el rea A +'.m2. Por 4 $ale el doble de a"#a 0#e -or . alc#le el em-#+e $obre el labe6 #&ilice #n %ol#men de con&rol 0#e no cor&e al $o-or&e de a0#el. S#-on"a 0#e no *a/ 7riccion ni e7ec&o$ "ra%i&acionale$ $obre el 8#+o no con!nado en el labe. Sin embar"o el 8#+o en la bo0#illa de $alida &iene #na %elocidad de $alida del 8#ido di"eren&e debido a 0#e en e$&a bo0#illa el 8#+o e$ con!nado / $e e9-#l$a a #na %elocidad ma/or con re$-ec&o al labe.

1) SP: SP:SI SII I:N :NES ES ;labe li$o *orro 8#/e &an"encial '1 ?'1) =l#+o #nidimen$ional • • •

• • • • •

2) AN;
• •

3) S:<IN MB&odo correc&o MB&odo 7ormal • •

3.1.1. MEC:D: :RREC:

a) Dia"rama Vec&orial

b) Velocidad Rela&i%a V r =V  j + u V r =6 + 2 V r =8 m / s V rC = V rB =V r

c) Velocidade$ Ab$ol#&a$ ´ + V ´ r V ´ C =u V 

(¿¿ r ∗cos 60−u) i^ =uC  V C X =¿ V 

(¿¿ r ∗sin 60)  j =v C  V CY =¿ ^

 ´ r V ´ B =u´ + V  V 

−(¿¿ r ∗cos 60+ u ) i^ =uB V B X =¿ V 

−(¿¿ r ∗sin 60)  j =v B V CY =¿ ^

d) Velocidade$ de la 4o0#illa Vr'1i -or condición del -roblema (%elocidad de $alida e$ 1 m$ re$-ec&o al labe)

´ =V Boq. ´ + u´ V rBoq.

=V  1 + 2

10

V  1 =8 m / s

Velocidad rela&i%a bo0#illa V r =10 m/ s

Velocidad ab$ol#&a de la bo0#illa V =8 i^ m / s

e) Hallando el rea &ran$%er$al de F4 / F Por ec#ación de la con$er%ación de la na$a d  ρ∗d V +  ρ∗V ∗dA =0 dt  VC  SC 

∫

∫

Por 8#+o -ermanen&e ❑

d  ρ∗d V =0 dt  VC 

∫

Por 8#+o #ni7orme

∫ ρ∗V ∗dA =∑  ρ∗V ∗ A SC 

Por 8#+o incom-re$ible  ρ= ctte. No$ 0#eda ∑ V ∗ A = 0

∑ Q =0 Q entra =Qsale Q j =QB + QC + Q Boq. V r j∗ A j=V rC ∗ AC + V r B∗ A B + V Boq.∗ A Boq.

De condición del -roblema A'A42

∗0.08= 8∗ A B +

8

 A B =  A C =

11 300 11 600

m

∗ A B

8

2

+ 10∗0.02

2

2

m

7) A-licando la Ec#acion de an&idad de Mo%imien&o
∑

❑

❑

 d ´ ( ρ∗d V )+ V  ´ ( ρ ´V d  A´ )  F = V  dt  VC  SC 

∫

∫

Por 8#+o -ermanen&e ❑

d ´  ( ρ∗d V )=0 V  dt  VC 

∫

Por 8#+o #ni7orme

∫ V ´ ( ρVdA )=∑ V ´ ( ρ ∗V  ∗ A ) i

i

ri

i

SC 

No$ 0#eda

∑  F =∑ u ( ρ ∗V  ∗ A ) i

i

ri

i

− F  X =u j (− ρ∗V r∗ A j ) + u B ( ρ∗V r∗ A B ) + uC  ( ρ∗V r∗ A C ) + u Boq. ( ρ∗V rBoq.∗ ABoq .) − F  X = ρ (−u j∗V r∗ A j + u B∗V r∗ A B + uC ∗V r∗ A C + uBoq. (V  rBoq.∗ A Boq. )) − F  X = ρ ( V r∗(−u j∗ A  j + u B∗ A B + u C ∗ AC ) + u Boq .( V r B o q .∗ A Boq. ) ) V  V 

(¿¿ r∗cos 60−u )∗ A C  −(¿¿ r∗cos 60+ u )∗ A B +¿ V r∗(−u j∗ A j ¿+ u ( V r ∗ A ) ) − F  X = ρ ¿ 1

((

1

1

− F  X =1000 8∗ −6∗0.08 −

)

( 8∗cos 60+2 )∗11 ( 8∗cos 60−2 )∗11 + + 8 (10∗0.02) 300

600

− F  X =−3706.667 N   F  X =3706.667 N … … …<− Fuerzaejercidadel álae sore el luido

)

 !  X =−3706.667  N … … … " Fuerza ejercida delálae sore elluido

3.1.2. MEC:D: =:RMA<

olocando #na %elocidad 0#e con&rare$&e el mo%imien&o

A*ora &raba+amo$ con $olo %elocidade$ rela&i%a$

Gra!co del %ol#men de con&rol

Hallando el rea &ran$%er$al de F4 / F Por ec#ación de la con$er%ación de la na$a ❑

❑

d  ρ∗d V +  ρ∗V ∗dA =0 dt  VC  S C 

∫

∫

Por 8#+o -ermanen&e d  ρ∗d V =0 dt  VC 

∫

Por 8#+o #ni7orme ❑

∫ ρ∗V ∗dA =∑  ρ∗V ∗ A SC 

Por 8#+o incom-re$ible  ρ= ctte. No$ 0#eda ∑ V ∗ A = 0

∑ Q =0

Q entra =Qsale Q j =QB + QC + Q Boq. V r j∗ A j=V rC ∗ AC + V r B∗ A B + V rBoq.∗ A Boq.

Pero

V r =V  j + u V r =6 + 2 V r =8 m / s

  de condición del -roblema A'A42

∗0.08= 8∗ A B +

8

 A B =  A C =

11 300 11 600

m

∗ A B

8

2

+ 10∗0.02

2

2

m

a) De$com-oniendo la$ %elocidade$ rela&i%a$

b) A-licando la Ec#acion de Momen&#m lineal

∑  F =∑ u ( ρ ∗V  ∗ A ) i

i

ri

i

− F  X =u j (− ρ∗V r∗ A j ) + u B (− ρ∗V r∗ A B ) + uC  (− ρ∗V r∗ AC ) + u Boq .(− ρ∗V rBoq.∗ A Boq.)

omo u j =uB =uC =( v j + u )

− F  X =( v  j + u ) (− ρ∗( v  j+ u )∗ A j ) −( v  j + u )∗cos60∗( ρ∗( v  j + u )∗ A B ) + ( v  j + u )∗cos60∗( ρ∗( v j + u )∗ AC ) + V r ( ρ∗V  1

− F  X = ρ∗( −( v  j+ u )  A j− ( v  j+ u ) ∗cos 60∗ A B + ( v j + u ) ∗cos 60∗ A C + V r  A Boq .) 2

2

2

2

1

− F  X = ρ∗( ( v j +u ) (− A j −cos60∗ A B + cos60∗ A C ) + V r  A Boq. ) 2

2

1

( (

− F  X =1000∗ ( 6 + 2 ) −0.08 −cos 2

∗

 60 11 300

+ cos

∗11

60

600

)+

2

10 0.02

)

− F  X =−3706.667 N   F  X =3706.667 N … … …<− Fuerzaejercidadel álae sore el luido  !  X =−3706.667  N … … … " Fuerza ejercida delálae sore elluido

) :N<SI:NES En e$&e -roblema al a-licar el mB&odo correc&o / 7ormal con &odo$ $#$ decimale$ $e ob&#%o el mi$mo re$#l&ado -ara ambo$ ca$o$ En el mB&odo correc&o $e analiJa el -or0#B de cada %alor ob&enido En el mB&odo 7ormal $e realiJa #n ar&i!cio al colocar al c#er-o en e$&ado !+o / a$i $olo &raba+ar con %elocidade$ rela&i%a$  Can&o el mB&odo correc&o / el 7ormal $on im-or&an&e$ dado 0#e -ara encon&rar la $ol#ción a #n n#e%o &i-o de -roblema lo analiJaremo$ -or el mB&odo correc&o / -ara c#ando el -roblema $ea al"o conocido $e -#ede a-licar el mB&odo 7ormal -ara a*orrar &iem-o •

• •

•