Introduccion de Flujos de Potencia

APLICACIÓN DE LOS METODOS NUMERICOS (METODO DE NEWTON-RAPHSON) PARA DETERMINAR EL FLUJO DE POTENCIA DE UN SISTEMA INTRODUCCIÓN Los estudios de fujo de potencia son de gran importancia en la planeación y diseño de la epansión !utura de los sistemas el"ctricos de potencia# as$ como tam%i"n en la determinación de las mejores condiciones de operación de los sistemas eistentes& La planeación apropiada# la operación y el control de estos sistemas a gran escala# re'uieren t"cnicas computacionales a(an)adas# como la programación de m"todos num"ricos& *l ingeni ingenier ero o 'ue 'ue planea planea la transm transmisi isión ón puede puede descu% descu%rir rir de%ili de%ilida dades des en el sist sistem ema# a# como como el caso caso de los los (olt (oltaj ajes es %ajo %ajos# s# so%r so%rec ecar arga gass en l$ne l$neas as o condic condicion iones es de carga carga 'ue 'ue ju)gu ju)gue e eces ecesi(a i(as& s& *stas *stas de%ili de%ilidad dades es pueden pueden ser remo(idas al +acer estudio de diseño 'ue incluyan los cam%ios y,o adiciones al sistema& O-.*TI/O 0*N*R1L& 1plicación del programa 21TL1- para determinar los (oltajes en una red el"ctrica y el fujo de potencia en l$neas de transmisión tr ansmisión ante cual'uier condición de demanda de energ$a& O-.*TI/O D* LO3 *3TUDIO3 D* 4LU.O D* 5OT*NCI1& *l propó propósit sito o del an6lis an6lisis is de fujo fujo de potenc potencia ia es calcul calcular ar con con preci precisió sión n la magnitud y 6ngulo de !ase de los (oltajes de estado estacionario en todas las %arras de una red y a partir de ese c6lculo# los fujos de potencia acti(a y reacti(a en cada una de las %arras# l$neas de transmisión y trans!ormadores# %ajo la suposición de generación y carga conocidas& Las Las magn magnit itud udes es y 6ngu 6ngulo loss de !ase !ase de los los (olt (oltaj ajes es de %arr %arra a 'ue no se especi7can en los datos de entrada# se llaman (aria%les de estado# ya 'ue descri%en el estado del sistema de potencia8 tam%i"n se les llama (aria%les dependientes# por'ue sus (alores dependen de las cantidades especi7cadas en cada una de las %arras& *ntonces# el pro%lema de fujo de potencia consiste en determinar los (alores de todas las (aria%les de estado# resol(iendo un igual n9mero de ecuaciones de fujo de potencia simult6neas# %asadas en los datos especi7cados& *l estado completo del sistema de potencia se conoce +asta cu6ndo se +an calculado las (aria%les de estado8 despu"s de esto# pueden determinarse todas

las dem6s cantidades 'ue dependen de las (aria%les de estado# como es el caso de la potencia acti(a y reacti(a para la %arra de compensación y la potencia reacti(a para las %arras de (oltaje controlado& 5ara el c6lculo de las (aria%les de estado# se emplean m"todos iterati(os como el m"todo de 0auss:3eidel o el m"todo de Ne;ton:Rap+son& CONC*5TO3 -<3ICO3& 5ara comprender la !orma en 'ue interact9an los di!erentes elementos de un 3istema *l"ctrico de 5otencia =3*5># es necesario anali)ar el comportamiento de cada uno de ellos en !orma independiente# cada uno de ellos presenta un comportamiento caracter$stico 'ue lo distingue de los dem6s& 5ara anali)ar la respuesta de cada componente del sistema el"ctrico ante di!erentes condiciones de operación# es necesario contar con modelos matem6ticos adecuados 'ue nos representen en !orma acepta%le su comportamiento& 5OT*NCI1 *L?CTRIC1# 1CTI/1 @ R*1CTI/1& La de7nición de potencia en t"rminos de energ$a es Ala cantidad de energ$a consumida o generada por unidad de tiempoB& 5ara el caso particular de potencia el"ctrica# se esta%lece la de7nición Ala potencia el"ctrica generada o a%sor%ida por un elemento es el producto del (oltaje en sus terminales y la corriente a tra("s de "lB# alge%raicamente est6 dada por

=&> Una (e) 'ue se +a de7nido la potencia el"ctrica# es interesante anali)ar cómo es consumida por los elementos pasi(os& 5or ejemplo para el caso de una resistencia a la cual se le aplica una señal del tipo alterna# es decir# ( E /msen=;t> por lo 'ue la respuesta de este elemento ante una señal alterna es i E Imsen=;t># por lo tanto sustituyendo en =&> se tiene =&F> 3e o%ser(a 'ue la potencia el"ctrica consumida por una resistencia es positi(a# aun'ue tenga una (ariación en el tiempo como lo muestra la epresión =&F>& *n la 4igura & se tiene gr67camente la (ariación de la potencia el"ctrica consumida porla resistencia al aplicarle una señal de corriente alterna&

De igual !orma se aplica una señal de (oltaje de corriente alterna a un inductor de la !orma ( E / msen=;t> # o%teni"ndose como respuesta una corriente a tra("s de "l del tipo i E :I mcos=;t> # recordando 'ue la relación entre (oltaje y corriente es ( E L di,dt # por lo tanto la potencia instant6nea a tra("s del elemento se epresa mediante la ecuación =&G>& La 4igura &F muestra gr67camente las (aria%les el"ctricas de un inductor ante una ecitación senoidal&

=&G>

*s interesante o%ser(ar a partir de la 4igura anterior 'ue la potencia instant6nea en un inductor (aria en el tiempo con una !recuencia igual al do%le

de la !recuencia del (oltaje aplicado& 1dem6s# toma (alores positi(os y negati(os con amplitudes m6imas iguales lo 'ue lle(a a concluir 'ue la onda de potencia instant6nea tiene un (alor promedio cero& Caso similar ocurre cuando se le aplica en terminales de un capacitor un (oltaje ( E /msen=;t># circulando a tra("s del elemento una corriente de la !orma i E I mcos=;t># la potencia instant6nea es el producto de estas dos señales# por lo 'ue se llega a la epresión =&H># la 4igura &G presenta en !orma gr67ca las señales el"ctricas en un capacitor&

=&H>

De las gr67cas anteriores se o%ser(a 'ue la potencia suministrada a un elemento puramente inducti(o o capaciti(o es a%sor%ida durante un cuarto de la onda de (oltaje y de(uelta a la !uente durante el siguiente cuarto de la onda& 3e puede decir 'ue la potencia en estos dos elementos tiene un comportamiento reacti(o# por lo 'ue puede decirse 'ue es una potencia reacti(a& 1 di!erencia de la potencia en un elemento puramente resisti(o en el cual siempre es positi(a# por lo 'ue puede considerarse como una potencia acti(a& 3i a+ora se anali)a el comportamiento de la potencia el"ctrica instant6nea en un circuito m6s general# es decir# uno 'ue contenga resistencia# inductancia y capacitancia como se muestra en la 4igura &H# al cual se le energi)a con una señal de (oltaje alterna del tipo ( E /msen=;t># o%teni"ndose una respuesta tam%i"n alterna de la !orma i E Imsen=;t  J>

La potencia el"ctrica en el circuito ser6 entonces

=&K> Utili)ando identidades trigonom"tricas ymanipulando la ecuación anterior puederescri%irse como

=&> La potencia instant6nea se descompone en dos t"rminos8 recordando 'ue los (alores m6imos pueden ser epresados como (alores e7caces utili)ando la relación M(M E /m , F# por lo tanto se tiene

=&> *n =&> se o%ser(a 'ue la potencia instant6nea oscila alrededor de un (alor promedio dado por el primer t"rmino de la epresión# con la particularidad de 'ue nunca se +ace negati(a# mientras 'ue el segundo t"rmino tiene un (alor promedio cero& De7niendo entonces las siguientes cantidades

=&P> 3ustituyendo =&P> en =&> se simpli7ca la epresión

=&Q>

*n la 4igura &K se tiene la (ariación de la potencia instant6nea con respecto al tiempo# as$ como las (aria%les (oltaje y corriente para el circuito de la 4igura &H&

*n la 4igura &K =a> y =%> se o%ser(a 'ue la potencia instant6nea toma (alores negati(os durante ciertos periodos de tiempo# indicando con esto 'ue la energ$a fuye en esos momentos de la carga al generador&   De las epresiones y gr67cas anteriores se puede concluir 'ue la 5otencia 1cti(a se de7ne como el (alor promedio alrededor del cual oscila la potencia instant6nea# por lo 'ue representa la potencia 9til# a'uella 'ue es capa) de reali)ar un tra%ajo o 'ue se disipa en !orma de calor& 2ientras 'ue la 5otencia Reacti(a se de7ne como el (alor pico de una de las componentes de la potencia instant6nea# cuyo (alor promedio es cero y 'ue por lo tanto no es capa) de reali)ar tra%ajo 9til# pero 'ue se despla)a continuamente del generador a la carga y (ice(ersa& 5OT*NCI1 CO25L*.1& 5ara !acilitar el an6lisis de comportamiento de redes el"ctricas en r"gimen permanente# cuando estas son ecitadas por señales de tipo alterno# se desarrolla una trans!ormación denominada !asorial# mediante la cual una !unción del tipo senoidal puede representarse por un n9mero complejo denominado !asor& Considerando el circuito el"ctrico elemental mostrado en la siguiente 7gura

*l (oltaje y la corriente del circuito se pueden epresar en !orma !asorial como

=&> De acuerdo con la condición original de potencia instant6nea dada por p E (i# la potencia compleja se de7ne como

=&> *n la epresión anterior se introduce un concepto 'ue se conoce como potencia aparente y se sim%oli)a por la letra 3& 1dem6s# de la misma epresión# el 6ngulo =S(  Si> es el 6ngulo de des!asamiento entre el (oltaje y la corriente =J># por lo 'ue=&> se puede escri%ir como

=&F>  TRI1N0ULO D* 5OT*NCI13& La relación 'ue eiste entre potencia aparente# reacti(a y acti(a puede ser (isto en !orma gr67ca utili)ando lo 'ue se conoce como tri6ngulo de potencia# el cual se muestra en la siguiente 4igura

Del tri6ngulo de potencia se o%tienen las epresiones

=&G> *n donde J representa una medida de la cantidad de potencia 9til 'ue est6 siendo consumida por el elemento# por lo 'ue al cosJ se le conoce como !actor de potencia# el cual al multiplicarlo por la potencia aparente# resulta en la potencia acti(a 'ue el elemento consume&

3I3T*21 *N 5OR UNID1D& Una (e) 'ue se dispone de los modelos de los elementos 'ue componen el 3*5# este de%e representarse interconectado de alguna manera los modelos correspondientes& Los !a%ricantes de e'uipo el"ctrico especi7can normalmente las caracter$sticas del mismo en !orma porcentual o por unidad con respecto a (alores nominales# esto es# (alores en condiciones de carga u operación normal de diseño& De%ido a la gran di(ersidad de e'uipo# surge la necesidad de esta%lecer %ases comunes con respecto a las cuales se re7eran los par6metros de los circuitos e'ui(alentes# para estar en posi%ilidad de interconectar los modelos& *sta con(ención introduce algunas simpli7caciones en la representación de los elementos y en la solución computacional&

Un sistema por unidad se especi7ca epresando la tensión# la corriente# la potencia y la impedancia de un circuito con re!erencia a un (alor %ase 'ue se elige para cadauna de tales magnitudes& *l (alor por unidad de una magnitud cual'uiera se de7ne como la ra)ón de su (alor al (alor %ase

=&H> *l (alor %ase siempre tiene las mismas unidades 'ue el (alor real# !or)ando al (alor unitario a ser adimensional& *l (alor en por ciento es igual a cien (eces el (alor por unidad& Los m"todos de c6lculo 'ue utili)an los (alores por unidad o por ciento son muc+o m6s sencillos 'ue a'uellos 'ue emplean los (alores reales en /olts# O+ms# /1# etc& Las tensiones# corrientes# potencias e impedancias est6n relacionadas entre s$# de tal !orma 'ue seleccionando dos cantidades %ase# de entre las cantidades de inter"s# se pueden encontrar las otras dos& *s com9n seleccionar el (oltaje y la potencia como (alores %ase& *L DI10R121 UNI4IL1R O D* UN1 LVN*1& *n un circuito tri!6sico %alanceado siempre se resuel(e como un circuito e'ui(alente mono!6sico# o por !ase# este diagrama se simpli7ca al omitir el neutro e indicar las partes 'ue lo componen mediante s$m%olos est6ndar en lugar de sus circuitos e'ui(alentes& 1 este diagrama simpli7cado de un sistema el"ctrico se le llama diagrama uni7lar o de una l$nea& *l propósito de un diagrama uni7lar es el de suministrar en !orma concisa in!ormación signi7cati(a acerca del sistema& La importancia de las di!erentes pie)as de un sistema (ar$a con el pro%lema %ajo consideración# y la cantidad de in!ormación 'ue se incluye en el diagrama depende del propósito para el 'ue se reali)a&  *l Instituto Nacional de Normas 1mericanas =1N3I por sus siglas en ingl"s> y el Instituto de Ingenieros *l"ctricos y *lectrónicos =I*** por sus siglas en ingl"s> +an pu%licado un conjunto de s$m%olos est6ndar para los diagramas el"ctricos&*n la 7gura &P se muestran algunos s$m%olos usados com9nmente&

La 7gura &Q se muestra el diagrama uni7lar de un sistema de potencia sencillo& Dos generadores# uno aterri)ado a tra("s de una reactancia y el otro a tra("s de una resistencia es tan conecta%a a una %arra y por medio del trans!ormador de ele(ación de tensión# a una l$nea de transmisión& *l otro generador aterri)ado a tra("s de una reactancia se conecta a una %arra y por medio de un trans!ormador# al etremo opuesto de la l$nea de transmisión& Una carga est6 conectada en cada %arra& *s com9n dar in!ormación so%re el diagrama 'ue est6 relacionada con las cargas# los (alores nominales de los generadores y trans!ormadores y con las reactancias de los di!erentes componentes del circuito

4OR21CIÓN D* L1 21TRIW D* 1D2IT1NCI13 5ara el an6lisis de sistemas el"ctricos es necesario disponer de todos los datos para lle(ar a ca%o una gran cantidad de estudios 'ue permiten determinar sus condiciones de operación tanto en estado estacionario como en estado transitorio& 5ara ello es importante conocer la matri) de admitancias de la red# de%ido a 'ue as$ es posi%le# mediante estudios de fujos de potencia calcular los (oltajes de cada nodo de la red# as$ como la potencia real y reacti(a 'ue circula a tra("s de los sistemas de transmisión& 3e presentan di!erentes !ormas de calcular la matri) de admitancias de una red el"ctrica& 4OR21CIÓN D* L1 21TRIW D* 1D2IT1NCI13

&

 Tam%i"n llamada @ -1RR1 o @NODO# y los elementos de y ijser6n i y j la 7la y la columna correspondientes de la matri)& La matri) de admitancias puede !ormarse de di!erentes maneras# entre las cuales se encuentran las siguientes & 1plicación de la ley de corrientes de irc++oX& F& 5or inspección de la red& G& 5or la aplicación de matrices de trans!ormaciones singulares& H& 1plicación de un algoritmo de !ormación de la matri) de admitancias& 4OR21CIÓN D* L1 21TRIW D* 1D2IT1NCI13 15LIC1CIÓN D* L1 L*@ D* CORRI*NT*3 D* IRCYYO44&  La ley de corrientes esta%lece 'ue Ala suma alge%raica de las corrientes 'ue entran a un nodo en un nodo es igual a ceroB y se epresa matem6ticamente por medio de la siguiente ecuación

=&K> Zue tam%i"n puede epresarse como Ala suma de las corrientes 'ue entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes 'ue salen del mismo nodoB& La ecuación es

=&>

*n !orma compacta se acostum%ra a escri%ir la ecuación anterior en !orma

=&>

4OR21CIÓN R*D&

D*

L1 21TRIW

D*

1D2IT1NCI13

5OR IN35*CCIÓN D* L1

Los sistemas el"ctricos reales normalmente est6n !ormados por un considera%le n9mero de nodos# por lo 'ue no es cómodo esta%lecer para cada uno la ley de corrientes de irc++oX y encontrar una relación semejante a ecuaciones en !orma matricial# en su lugar se acostum%ra a tener la in!ormación de la red como se muestra en la ta%la &&  Ta%la & In!ormacion de la interconeion de la red

*n la ta%la F&# se muestra toda la in!ormación necesaria de la red para la !ormación sistem6tica de la matri) de admitancias# la cual es aplica%le independientemente del tamaño del sistema&

*l m"todo de !ormación de la matri) de admitancias se denomina as$# de%ido a 'ue 9nicamente es necesario o%ser(ar detenidamente la red o los datos para determinar el (alor de los elementos de [@\ de la siguiente ecuación matricial&

=&P> La !orma sistem6tica y r6pida para encontrar la matri) de admitancias por inspección a partir de los datos de la ta%la F& es 5ara los elementos de la diagonal principal# la admitancia propia es igual a

 =&Q> *n pala%ras# Ala admitancia propia de cada nodo i de matri) [@\# es igual a la suma de los in(ersos de las impedancias de los elementos conectados a ese nodoB Las admitancias colocadas !uera de la diagonal principal de la matri) de admitancias se o%tienen a partir de la relación siguiente&

=&F>

*.*25LO& 1nali)ar la ta%la & sin considerar el nodo de re!erencia => y usando el m"todo de inspección de la red# encontrar la matri) de admitancias& 3OLUCION *l nodo uno est6 !ormado por los elementos # F y G de tal manera 'ue

De igual manera para el nodo dos# la admitancia y FF  est6 !ormada por los elementos F# H y K# y es igual a

4inalmente para el nodo tres# su admitancia est6 !ormada por los elementos G# K y # 'ue es igual a

Los elementos yijde la matri) de admitancias se o%tienen de la o%ser(ación de las columnas 5 y Z sin considerar el elemento cuando ZE& 5ara los elementos dos y cuatro en 'ue 5E y ZEF se tiene

5ara los elementos tres y siete se tiene 5E y ZEG# por lo tanto

5ara los elementos seis y oc+o se tiene 5EF y ZEG# por lo tanto

*l signo negati(o en las admitancias es de%ido a 'ue la corriente entre el nodo i y el nodo j # 'ueda determinada por la di!erencia de (oltaje del nodo i y el nodo j donde aparece el t"rmino :/ j,Wij & La matri) de admitancias pertenece a la red %ilateral lineal en donde se cumple 'ue y FEyF# yFGEyGF# yGEyG& La matri) deadmitancias as$ !ormada es igual a

4OR21CIÓN D* L1 21TRIW D* 1D2IT1NCI13 5OR L1 15LIC1CIÓN D* 21TRIC*3 D* TR1N34OR21CION*3 3IN0UL1R*3& *ste m"todo es una alternati(a& *sta matri) tiene la particularidad de no tener in(ersa# de donde pro(iene el nom%re del m"todo& 5ara !ormar esta matri) de trans!ormación# 9nicamente se +ace uso de la interconeión de la red asignando una re!erencia al nodo de en(ió y al nodo de recepción# mismos 'ue son designado de manera con(encional por 'uien utili)a el m"todo&

5ara !ormar la matri) de admitancias por trans!ormaciones singulares# se re'uiere !ormar la matri) 1# y la matri) de admitancias primiti(a# mismas 'ue se utili)an en la ecuación

=&F>