Introducción a La Hidráulica e Hidrologia

Introducción a la Introducción hidráulica e hidrolo hidrología gía con aplicaciones para la administración del agua pluvial C U A R TA

E D I C I Ó N

John E. Gribbin, P. P. E. Essex County College

Traducción: Mara Paulina Suárez Moreno Traductora profesional

Revisión técnica: M. en C. Javier León Cárdenas Departamento de Formación Básica Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

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Introducción a la hidráulica e hidrología con aplicaciones para la administración del agua pluvial, cuarta edición

John E. Gribbin Presidente de Cengage Learning Latinoamérica:

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© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V C.V.,., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av.. Santa Fe núm. 505, piso 12 Av Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Gerente de Proyectos Especiales:

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Traducido del libro Introduction to Hydraulics and Hidrology

Coordinador de Manufactura:

John E. Gribbin Publicado en inglés por Delmar, Cengage Learning © 2014, 2007 ISBN: 978-1-133-69183-9

with Applications for Stormwater Management, Fourth Edition

Rafael Pérez González Editora:

Ivonne Arciniega Torr Torres es

Datos para catalogación bibliográfica: Gribbin, John E.

Diseño de portada:

Introducción a la hidráulica e hidrología con aplicaciones para la administración del agua pluvial

Gloria Ivonne Álvarez López

ISBN: 978-607-526-003-7 Imagen de portada:

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Baktun 13 Comunicación Gerardo Larios García

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16

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Contenido Prefacio ix Reconocimientos

CAPÍT ULO 4

Hidrodinámica fundamental

xii

CAPÍTU LO 1

Hidráulica e hidrología en ingeniería 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

3

Objetivos 3 Historia de la ingeniería del agua 3 Práctica moderna de la administración del agua pluvial 5 Problemas legales y ambientales 6 Agencias públicas 7 Diseño en ingeniería 8 Cálculos en ingeniería 9 Conversión al sistema métrico 14 Problemas 15 Lecturas adicionales 15

CAPÍTU LO 2

Mecánica de fluidos

17

Objetivos 17 2.1 Conceptos fundamentales 17 2.2 Peso específico y densidad 19 2.3 Viscosidad 21 Problemas 23 Lecturas adicionales 23

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

CAPÍT ULO 5

Dispositivos hidráulicos 5.1 5.2 5.3 5.4

83

Objetivos 83 Flujo a través de un orificio 83 Flujo por un vertedero 87 Flujo debajo de una compuerta 94 Flujo en un sifón 96 Problemas 98 Lecturas adicionales 101

Hidráulica de canales abiertos 6.1 6.2 6.3 6.4

25

Objetivos 25 Presión hidrostática 25 Presión sobre superficies planas Presión sobre superficies curvas Medición de la presión 38 Flotabilidad 40 Problemas 46 Lecturas adicionales 49

Objetivos 51 Movimiento del agua 51 Tipos de flujo 53 Carga de energía 54 Leyes de la conservación 55 Medición del flujo 67 Problemas 75 Lecturas adicionales 81

CAPÍT ULO 6

CAPÍTU LO 3

Hidrostática fundamental

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

51

28 34

103

Objetivos 103 Conceptos fundamentales 103 Tipos de canales 106 Profundidad normal 107 Profundidad crítica 108 Problemas 112 Lecturas adicionales 116

CAPÍT ULO 7

Flujo uniforme en canales

119

Objetivos 119 7.1 Ecuación de Manning 119 7.2 Flujo en canales 121

v

vi

Contenido

7.3 Flujo en tuberías 124 7.4 Flujo en corrientes 131 Problemas 135 Lecturas adicionales 137

11.5 Método NRCS versus método racional 253 Problemas 254 Lecturas adicionales 263

CAPÍTU LO 8

CAPÍT ULO 1 2

Flujo variado en canales 8.1 8.2 8.3 8.4

139

Diseño del drenaje pluvial

Objetivos 139 Conceptos fundamentales 139 Perfil de remanso 142 Entrada a un canal 147 Salto hidráulico 151 Problemas 154 Lecturas adicionales 155

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

CAPÍTU LO 9

Hidráulica de alcantarillas 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

157

Objetivos 157 Conceptos fundamentales 157 Tipos de flujo 160 Control de entrada 162 Control de salida 165 Eficiencia de entrada 169 Problemas 170 Lecturas adicionales 172

CAPÍTU LO 10

Hidrología fundamental 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7

Objetivos 265 Conceptos fundamentales 266 Investigación de diseño 269 Diseño del sistema 271 Diseño hidráulico 274 Desembocaduras del drenaje pluvial Estudio de caso 298 Problemas 315 Lecturas adicionales 321

Diseño de alcantarillas 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

323

Objetivos 323 Conceptos fundamentales 323 Investigación de diseño 331 Diseño de una alcantarilla nueva 332 Reemplazo de alcantarillas 338 Estudio de caso 1 347 Estudio de caso 2 354 Problemas 360 Lecturas adicionales 371

CAPÍT ULO 1 4

Detención del agua pluvial 14.1 14.2 14.3 14.4

373

Objetivos 373 Embalse de agua pluvial 373 Estructura de salida 379 Vertedor de demasías 387 Enrutamiento del depósito 390 Problemas 396 Lecturas adicionales 398

CAPÍTU LO 11

Cálculos del escurrimiento 11.1 11.2 11.3 11.4

219

Objetivos 219 Método racional 219 Método racional modificado Método NRCS 233 Cálculos del método NRCS

CAPÍT ULO 1 5

Diseño de detención 231 237

289

CAPÍT ULO 1 3

175

Objetivos 175 Ciclo hidrológico 175 Área de drenaje 177 Tiempo de concentración 182 Precipitación 187 Hidrógrafo de escurrimiento 191 Subcuencas 200 Enrutamiento 203 Problemas 205 Lecturas adicionales 217

265

15.1 15.2 15.3

401

Objetivos 401 Conceptos fundamentales 402 Diseño de detención en el sitio 409 Estudio de caso 1 413

Contenido

15.4 Estudio de caso 2 424 Problemas 432 Lecturas adicionales 437

A P É N D I C E E

Símbolos

523

A P É N D I C E F A P É N D I C E A

Conversión de unidades

Gráficas de diseño para flujo en canales abiertos 441 A P É N D I C E B

Gráficas de diseño para alcantarillas A P É N D I C E C

Gráficas de diseño para el método racional 491 A P É N D I C E D

Gráficas de diseño para el método NRCS 499

479

Glosario 529 Respuestas para problemas seleccionados 535 Índice analítico

539

527

vii

4 1 0 2 g n i n r a e L e g a g n e C ©

Hidráulica e hidrología en ingeniería L

os ingenieros no pueden evitar confrontar los problemas planteados por la precipitación y su consiguiente escurrimiento. Algunos de los primeros esfuerzos de la humanidad se centraban en esta antigua batalla con las fuerzas de la naturaleza en forma de agua. Durante gran parte de nuestra historia, los ingenieros y sus predecesores han tratado los problemas del agua con diferentes soluciones empíricas, es decir, cualquier cosa que pareciera funcionar. Sólo en los últimos tiempos estos esfuerzos han tomado la forma sistemática de leyes y fórmulas cuantitativas. En este capítulo realizaremos un rápido viaje por el mundo de la ingeniería hidráulica y la hidrología de ayer y de hoy. Observaremos los diversos aspectos de la administración de agua pluvial y revisaremos algunos de los principios generales del diseño en ingeniería.

1

OBJETIVOS Después de completar este capítulo, el lector será capaz de:

• • • • • •

Situar la ingeniería hidráulica/ hidrológica en una perspectiva histórica. Definir la administración del agua pluvial. Explicar los roles de las agencias públicas en la gestión del agua pluvial. Reconocer los factores relacionados con el diseño en ingeniería. Efectuar cálculos mediante las cifras significativas apropiadas. Realizar conversiones entre unidades métricas y unidades inglesas.

1.1 HISTORIA DE LA INGENIER ÍA DEL AGUA Las personas comenzaron a manipular el agua a gran escala como una respuesta a la necesidad de irrigación en la primera sociedad agraria. El primer proyecto de irrigación a gran escala conocido se llevó a cabo en Egipto, hace aproximadamente cinco mil años. En los siguientes milenios surgieron muchos otros proyectos de abastecimiento de agua en el Mediterráneo y el cercano Oriente. Estos incluían diques,

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FIGURA 1-1

ACUEDUCTO ROMANO EN LA TOSCANA, ITALIA.

(Cortesía de Jack Breslin.)

canales, acueductos y sistemas de alcantarillado. El transporte de agua por medio de tubos también se desarrolló en los tiempos antiguos. En China, los tubos de bambú se utilizaban desde 2500 a. C., y los romanos usaban tubos de plomo y bronce desde 200 a. C. La destreza de los romanos como ingenieros se demostró ampliamente en sus sistemas hidráulicos. Los famosos acueductos se encontraban entre las maravillas del mundo y continuaron en uso durante dos milenios (véase la figura 1-1). Sin embargo, los griegos, aunque no eran tan buenos ingenieros como los romanos, hicieron contribuciones significativas a las teorías de la hidráulica. Arquímedes se considera el primero que realizó aportes, con base en trabajos verdaderamente científicos. Alrededor del año 250 a. C. publicó un trabajo escrito sobre hidrostática que presentaba las leyes de flotabilidad (principio de Arquímedes) y flotación. En general, se le considera el Padre de la Hidrostática. Durante el periodo de 500 a. C. a la Edad Media se construyeron y conservaron los sistemas de irrigación y suministro de agua, en ubicaciones tan diversas como China, el Imperio romano y América del Norte. Dicha ingeniería fue diseñada y construida por artesanos con reglas empíricas, quienes, a pesar del trabajo de Arquímedes, carecían de los beneficios de la investigación científica. Los grandes ingenieros romanos, por ejemplo, no comprendían el concepto de velocidad y fue hasta 1500 d. C. que la conexión entre las precipitaciones y los caudales se tomó en serio. Con la caída del Imperio romano se olvidaron muchos de los avances realizados durante el periodo grecorromano, sólo para ser redescubiertos en el Renacimiento. En este lapso la hidráulica comenzó a desarrollarse como una ciencia. El primer esfuerzo por el conocimiento de la ingeniería organizada fue la fundación de la École des Ponts et Chaussées en 1760, en París. En 1738, Daniel Bernoulli publicó su famosa ecuación de Bernoulli, que formulaba la conservación de la energía en la hidráulica. Durante los siglos �� y ��, referidos como el periodo clásico, los avances en ingeniería hidráulica establecieron el trabajo preliminar para futuros desarrollos en el siglo ��.

Capítulo 1 Hidráulica e hidrología en ingeniería

5

FIGURA 1-2 LA CIUDAD DE LOWELL, MASSACHUSETTS, FUE LA SEDE DE UNA

FAMOSA SERIE DE EXPERIMENTOS SOBRE ENERGÍA HIDRÁULICA DIRIGIDOS POR JAMES FRANCIS Y URIAH BOYDEN. LA PUBLICACIÓN DE LOS RESULTADOS EN 1855 CONTRIBUYÓ EN GRAN MEDIDA AL CAMPO DE LA INGENIERÍA HIDRÁULICA. AQUÍ SE MUESTRA A DOS ASISTENTES QUE MIDEN LOS NIVELES DEL AGUA.

(Cortesía de University of Massachussets Lowell, Locks and Canal Collection.)

A pesar del dominio de los franceses durante el periodo clásico, también se hicieron trabajos en otros países. En Inglaterra, por ejemplo, John Smeaton se encontraba muy activo en diversos aspectos de la ingeniería hidráulica y fue el primero en llamarse a sí mismo ingeniero civil. Sin embargo, todavía en 1850 los diseños de ingeniería seguían basándose, principalmente, en reglas empíricas desarrolladas con base en la experiencia y afinadas con factores liberales de seguridad. A partir de esa época el uso de la teoría se ha incrementado rápidamente. Hoy en día, una gran cantidad de cálculos cuidadosos forma parte integral de muchos de los diseños de los proyectos. La figura 1-2 ilustra uno de tantos experimentos hidráulicos efectuados en Lowell, Massachusetts, a mediados de 1800, los cuales contribuyeron en gran medida al campo de la ingeniería hidráulica.

1.2 PRÁCTICA MODER NA DE LA ADMINISTRACIÓN

DEL AGUA P LUVIAL

Los ingenieros civiles trabajan con agua dondequiera que ésta afecte las estructuras y la infraestructura de la civilización. El papel del ingeniero civil y del técnico, en conexión con los muchos efectos diversos del agua, se puede agrupar en tres amplias categorías: 1. Control de inundaciones: administración del flujo natural del agua pluvial para prevenir daños en las propiedades y la pérdida de vidas. 2. Recursos hidráulicos: explotación de los recursos hidráulicos disponibles para propósitos benéficos, como suministro de agua, irrigación, energía hidroeléctrica y navegación. 3. Calidad del agua: gestión del uso del agua para prevenir su degradación debido a contaminantes, tanto naturales como producidos por el hombre.

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A pesar de que el primer aspecto que se ha mencionado antes, el control de inundaciones, constituye el principal enfoque de este texto, los otros dos no son menos importantes. Las tres áreas constituyen proyectos diseñados y realizados por personas que trabajan tanto en el sector privado como en el público. Como ejemplo de los esfuerzos privados en el control de inundaciones, imagine que un empresario desea construir una fábrica rodeada de un área de estacionamiento. Debe contratar a un ingeniero civil para diseñar una nivelación adecuada y un sistema de drenaje pluvial para conducir cualquier precipitación que se presente en el lugar. Además, podría requerirse una cuenca de detención para prevenir cualquier efecto adverso del escurrimiento desde el lugar de la fábrica hasta las propiedades adyacentes. Aunque estos problemas los resolverá una empresa de ingeniería contratada directamente por el propietario, también intervendrán las agencias públicas, ya que las dependencias locales, del condado y estatales correspondientes, revisarán y aprobarán todos los diseños que afecten el bienestar público. Existen muchos ejemplos de los esfuerzos públicos en el control de inundaciones y pueden ser tan simples como el diseño de una alcantarilla de tubos bajo un camino recientemente construido para permitir el paso libre de una corriente, o tan complejos como el extenso dique y el sistema de bombeo que rodea a la ciudad de Nueva Orleans, en Luisiana. El desastre que resultó del huracán Katrina en 2005 mostró qué tan importante es el control de las inundaciones. Cada uno de estos proyectos públicos puede ser diseñado por ingenieros contratados por agencias públicas o ingenieros privados contratados mediante la agencia pública correspondiente. En un proyecto típico de urbanización de propiedad privada, el ingeniero que representa al urbanizador trabaja con el ingeniero que representa a la agencia regulatoria para resolver los problemas de escurrimiento del agua pluvial. La relación entre los ingenieros es tanto antagónica como cooperativa, ya que trabajan para proteger los respectivos intereses del urbanizador privado y del público. De esta forma crean el mejor proyecto posible. El término administración del agua pluvial, que se usa en este texto, se refiere a las prácticas de ingeniería y a las políticas regulatorias empleadas para mitigar los efectos adversos del escurrimiento de agua pluvial. Por lo regular, estos esfuerzos están relacionados con problemas de escurrimiento que resultan de diferentes tipos de urbanización.

1.3 PROBLEMAS LEGALES Y AMBI ENTALES Durante las últimas tres décadas, los problemas legales y ambientales han cambiado de manera drástica la forma en la que los ingenieros civiles practican su arte, y la ingeniería hidráulica/hidrológica no es una excepción. En otra época, la administración del agua pluvial se basaba en los principios de la práctica de la buena ingeniería, pero ahora el diseño también debe satisfacer una miríada de regulaciones aplicadas por distintos niveles de agencias públicas. Cuando el diseño hidráulico e hidrológico afecta al público existe un problema legal, y cuando afectan al entorno se trata de uno ambiental. Por lo regular estos dos problemas se superponen, ya que cualquier cosa que afecte al ambiente a menudo también afecta al público. A pesar de que los problemas legales y ambientales abundan en todas las áreas de la ingeniería civil, nosotros sólo observaremos aquellos que afectan la administración del agua pluvial con regularidad. Cuando el agua cae del cielo golpea la tierra y después corre cuesta abajo impulsada por la gravedad, para unirse a las corrientes y los ríos que al final la llevan al océano. Nuestra sociedad considera que todos estos movimientos de agua suceden de manera natural y que si el agua causa daños durante su trayectoria, como erosión o


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inundación, no se debe culpar a nadie. Sin embargo, en el momento en que las personas alteran su tierra, como ocurre cuando desean cambiar el curso del agua pluvial, son responsables de cualquier daño causado como resultado de esa modificación. Las dos formas en que la urbanización por lo general afecta una propiedad aguas abajo son al concentrar el flujo del agua pluvial y al incrementar la cantidad de dicho flujo. La práctica de la administración del agua pluvial debe tomar en cuenta esos problemas y mitigarlos. La mitigación se logra con una variedad de métodos como la desviación del flujo, la dispersión del flujo, el revestimiento del suelo con protección contra la erosión y la provisión de una cuenca de detención. Otro problema que se presenta en el diseño hidráulico e hidrológico es la contaminación del agua pluvial. La urbanización por lo regular da como resultado que diferentes contaminantes no deseados se mezclen con el agua pluvial, conforme abandona el lugar urbanizado Estos incluyen sales y aceites de áreas pavimentadas o fertilizante, pesticidas y partículas de cieno provenientes de áreas con vegetación. La administración del agua pluvial mitiga estos problemas al proporcionar filtros vegetativos, cuencas de sedimentación, cuencas de recepción y cuencas de recarga. Los pantanos son una característica ambiental que se ha vuelto prominente a lo largo de las últimas dos décadas. En general se trata de áreas que se han formado de manera natural y que retienen agua durante gran parte del año. Son benéficos para los ecosistemas y particularmente sensibles a la alteración debida a los efectos de la urbanización. Se debe tener cuidado extra al identificar, demarcar y proteger estas áreas cuando se encuentren sobre un proyecto de urbanización o estén adyacentes a él. Los ingenieros de diseño trabajan junto con supervisores para abordar y resolver los problemas que surgen a causa de los problemas legales y ambientales. En la siguiente sección resumiremos brevemente las agencias supervisoras y los papeles que desempeñan.

1.4 AGENCIAS PÚBLICAS Durante las últimas décadas la vida en Estados Unidos se ha reglamentado mucho. Naturalmente, el campo del diseño de la ingeniería civil ha adquirido su propio conjunto de reglas especializadas. La tendencia hacia una mayor regulación se ha basado, en general, en el concepto de que el gobierno puede intervenir en cualquier aspecto que afecte la salud y el bienestar del público. En la ingeniería civil esto significa que casi todo puede regularse. La regulación comienza en el ámbito local con la proliferación de reglamentos de zonificación de todas las municipalidades. La zonificación se ha vuelto más y más compleja con el paso de los años, en especial, durante las últimas tres décadas. Originalmente el concepto era simple: una fábrica, por ejemplo, no se puede construir en un área de la ciudad reservada para el desarrollo residencial. En la actualidad la zonificación no sólo regula el tipo de desarrollo, sino también los detalles de la infraestructura, como el grosor del pavimento para los caminos, los parámetros clave en el diseño del drenaje pluvial y la metodología detallada para el diseño de detención. La zonificación municipal local y los reglamentos de urbanización son administrados por el ingeniero municipal, un ingeniero civil contratado por la municipalidad y el oficial de zonificación (también llamado inspector de construcciones), un empleado de la municipalidad capacitado para la aplicación del código de construcción. Un nivel por encima del municipal es el del condado donde se ubica el proyecto. El gobierno del condado tiene jurisdicción sobre ciertos caminos diseñados como parte del condado, así como muchos de los puentes y alcantarillas, excepto aquellas que se encuentran bajo las carreteras estatales. Por tanto, si el flujo de agua pluvial a partir de un proyecto se dirige hacia una carretera o pasa por una alcantarilla del condado, el departamento de ingeniería del condado tiene el poder

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regulatorio sobre el proyecto. Además, el Natural Resources Conservation Service (NRCS), antes llamado Soil Conservation Service, regula los aspectos relacionados con la erosión del suelo de las obras de urbanización a través de oficinas locales en todo el país. En muchas áreas reciben el nombre de Soil Conservation District (SCD) y son agencias regulatorias semiautónomas que emplean regulaciones promulgadas por el NRCS, una dependencia federal. El siguiente nivel de regulación consiste en algunas agencias semiautónomas regionales especialmente creadas que tienen jurisdicción sobre ciertas áreas geográficas problema. Por lo regular están asociadas con áreas sensibles en el aspecto ambiental que requieren un escrutinio más intenso que el resto del terreno que se va a urbanizar. Estas incluyen distritos de control de inundaciones, distritos de pantanos y distritos de bosques madereros. El siguiente nivel de regulación es el estatal. Las leyes estatales que gobiernan la urbanización son administradas por agencias especialmente creadas como el Department of Environmental Protection del estado el cual, de manera habitual, tiene jurisdicción sobre cualquier proyecto que afecta la entidad regulada por el estado, incluyendo, por ejemplo, pantanos, corrientes y frentes de agua o entidades propiedad del estado como autopistas y alcantarillas. Por último, el principal nivel de regulación es el gobierno federal. Las leyes federales, como la Clean Water Act de 1972, son administradas por agencias federales, incluyendo la Environmental Protection Agency (EPA) y el U.S. Army Corps of Engineers. Otra agencia federal que afecta el diseño hidráulico e hidrológico es la Federal Highway Administration, una división del Department of Transportation. Esta agencia afecta los proyectos locales diarios, principalmente a través de la publicación de manuales de diseño desarrollados mediante investigación.

1.5 DISEÑO EN INGENIERÍA Todos los ingenieros y técnicos, eléctricos, mecánicos o civiles, están comprometidos con el diseño. El diseñador civil trabaja en proyectos cuyos alcances pueden desalentar a cualquiera, como una presa de 500 pies (152.40 m) de alto con estación de energía hidroeléctrica, o tan mundanas como una tubería de concreto colocada en una fosa. Independientemente del tamaño del proyecto, el proceso de diseño requiere una especificación completa de todos los aspectos de la estructura, de tal forma que después se pueda construir con base en las especificaciones resultantes. Es decir, el ingeniero o técnico debe pensar en cada detalle de la estructura y transmitir con éxito sus pensamientos al constructor. PROCESO DE DISEÑO

Al diseñar una estructura se requiere dar diferentes pasos importantes para transformar una idea inicial en un documento claro y por completo desarrollado listo para la construcción. El ejemplo de una tubería de drenaje pluvial puede usarse para ilustrar los pasos generales de un diseño común: 1. Concepto. Determinar el concepto básico del diseño. En este caso, se debe llevar el agua pluvial de una ubicación a otra. 2. Mapa base. Preparar un mapa base que muestre las características topográficas del sitio del proyecto junto con cualquier límite de propiedad pertinente. Un buen mapa base es fundamental para un proceso de diseño exitoso. 3. Desarrollo del diseño. Esbozar diseños alternativos de la tubería en el mapa base. Además, investigar otros factores que afecten el diseño, como las condi-


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ciones del suelo, la carga estructural sobre la tubería, la interferencia potencial con otros servicios en el subsuelo, el área de drenaje y los datos meteorológicos. 4. Cálculos. Realizar los cálculos de ingeniería adecuados para las cantidades de diseño clave, en este caso la cantidad anticipada de agua pluvial que se conducirá por la tubería y el tamaño resultante de esta última. Los cálculos deberán realizarse por escrito y contener cualquier suposición. Otro diseñador deberá verificarlos. 5. Preparar planos y especificaciones. Preparar planos que muestren el diseño en planta y perfil, incluyendo cualquier detalle y las notas necesarias para describir la estructura con el fin de que el constructor los utilice en la construcción del proyecto. Deberá contener especificaciones por escrito según sea necesario. RESULTADO DEL DISEÑO

El diseño es un esfuerzo que se enriquece con la experiencia. Conforme se completan más y más proyectos, los buenos practicantes adquieren una apreciación más profunda de la imagen general alrededor del diseño y amplían la perspectiva sobre su trabajo. No es suficiente sólo imaginar el funcionamiento adecuado de la estructura; también se tienen que considerar otros factores como el mantenimiento apropiado, los costos, la seguridad durante la construcción y la disponibilidad de los materiales. Puesto que el proceso de diseño es un esfuerzo intelectual complejo y en constante crecimiento, una definición exhaustiva es casi imposible. Sin embargo, se pueden identificar ciertos elementos básicos. El diseño es el proceso que consiste en determinar la especificación completa de una estructura de tal forma que: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Realice su función prevista en todas las circunstancias previsibles sin fallar. Pueda construirse a un costo dentro del presupuesto del propietario. Su mantenimiento sea fácil y efectivo. Cumpla con todas las leyes y regulaciones locales, del condado, del estado y federales. No interfiera con otras estructuras o servicios que puedan construirse en sus cercanías en el futuro. Pueda construirse de manera segura. Permanezca intacta y funcional a lo largo de su vida útil prevista. No represente un peligro para la seguridad del público a lo largo de su vida útil. No degrade en exceso el ambiente durante su construcción ni a lo largo de su ciclo de vida. Sea estéticamente placentero.

Todas las estructuras deben diseñarse con base en todos estos factores, al margen de su aparente simplicidad. En capítulos posteriores observaremos la forma de emplear los principios del diseño que se enumeran aquí en proyectos que se encuentran relacionados con la ingeniería hidráulica e hidrológica.

1.6 CÁLCULOS EN INGENIERÍA Casi todos los diseños de ingeniería requieren el cómputo de algunos números. Aunque el uso de calculadoras y computadoras hace que sea relativamente fácil, la comprensión de ciertos principios básicos es importante para un proceso de diseño exitoso.

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS

El concepto de cifras significativas debe ser familiar para cualquier persona comprometida con los diferentes aspectos del proceso de diseño. El número de cifras significativas de una cantidad es el número de dígitos utilizados para formar la cantidad (excepto por los ceros en ciertas circunstancias, como se explica más adelante). Por tanto, las cantidades 429, 1.02 y 0.00315 tienen tres cifras significativas cada una. Los ceros en el tercer ejemplo no son significativos porque sólo son marcadores de posición. También pueden utilizarse como marcadores de posición en el extremo derecho de una cantidad, cuando ésta no tiene punto decimal. Por tanto, las cantidades 450, 1 500 y 92 000 tienen cada una dos cifras significativas. Sin embargo, si se agrega un punto decimal al final de dicha cantidad, los ceros se vuelven significativos. Por tanto, las cantidades 450., 1500. y 92 000. tienen tres, cuatro y cinco cifras significativas, respectivamente. En general, los números sujetos a las reglas de las cifras significativas son cantidades que se han medido. Por ejemplo, si la longitud de una tubería mide 229 pies se dice que la longitud se midió al pie más cercano y que la medición tiene tres cifras significativas. Una tubería de 229.0 pies se midió a la decena más cercana de un pie y la medición tiene cuatro cifras significativas. Una tubería cuya medida es de 230 pies se midió a los 10 pies más cercanos y la medición sólo tiene dos cifras significativas. Sin embargo, una de 230. pies se midió al pie más cercano y la medición tiene tres cifras significativas. Los números no sujetos a las reglas de las cifras significativas son números puros, que no pueden variar a cualquier grado. Éstos incluyen números naturales y cantidades supuestas. Por ejemplo, en la fórmula c 5 2pr , el 2 es un número natural y, por tanto, perfectamente preciso. Es lo mismo que si se expresara como 2.00000. Además, si el radio r , se supone hipotéticamente como 4 pies y no se mide, entonces la cantidad 4 también es perfectamente precisa e igual que si se escribiera 4.00000 pies. (Por supuesto, si r se mide, se debe expresar con el número de cifras significativas correspondiente a la precisión de la medición). Las reglas para los cálculos son las siguientes: 1. Multiplicación y división. La respuesta al cálculo de una multiplicación o división no debe tener más cifras significativas que el número menor de cifras significativas en cualquier cantidad en el cálculo. 2. Suma y resta. La respuesta al cálculo de una suma o resta no debe tener más dígitos a la derecha del punto decimal que el número menor de dígitos a la derecha del punto decimal en cualquier cantidad en el cálculo. 3. Cálculos en una serie. Si se va a realizar una serie de cálculos en donde la respuesta para uno se usa como una cantidad en el siguiente, entonces sólo la respuesta final del último cálculo se debe redondear a las cifras significativas. En dicho caso, el número de cifras significativas se basaría en todas las cantidades utilizadas en todos los cálculos. EJEMPLO 1-1

Problema

Encuentre la circunferencia de un tubo que tiene un diámetro medido de 4.00 pies. Solución

Puesto que el diámetro se midió con una precisión de tres cifras significativas, se expresa con tres cifras significativas. La fórmula para la circunferencia es c 5 pd . c 5 pd 5 (p )(4.00) 5 12.6 pies (Respuesta)


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A pesar de que la pantalla de la calculadora muestra 12.566371, sólo se pueden utilizar tres cifras significativas en la respuesta.

EJEMPLO 1-2

Si la medición hubiera sido 4.0 pies, la circunferencia calculada sería 13 pies. Nota:

Problema

Encuentre la circunferencia de un tubo común de 4 pies de diámetro. Solución

En este caso, el diámetro es un valor teórico y no está sujeto a cifras significativas. c 5 pd 5 (p )(4) 5 12.566371 pies (Respuesta)

A pesar de que todas las cifras que se han mostrado antes se pueden utilizar en la respuesta, por razones prácticas, en general sólo se usan tres o cuatro. Sin embargo, si la circunferencia se utiliza en otro cálculo, deben usarse tantas cifras como sea posible y sólo la respuesta final estaría sujeta al redondeo de cifras significativas. Véase el ejemplo 1-3. EJEMPLO 1-3

Problema

Encuentre el volumen de un cilindro que tiene un diámetro medido de 2.3 pies y una longitud medida de 8.25 pies. Solución

Primer cálculo: a 5 pd 2 /4 5 p (2.3) 2 /4 5 4.1547563 pies 2 (mostrado en la calculadora)

Segundo cálculo: 5 5 5 5

a (4.1547563)(8.25) 34.276739 pies3 (como se muestra en la calculadora) 34 pies 3 (Respuesta)

La respuesta final está redondeada a dos cifras significativas porque la cantidad 2.3 en el primer cálculo tiene dos cifras significativas.

Si la primera respuesta se hubiera redondeado a dos cifras significativas antes de efectuar el segundo cálculo, la respuesta hubiera sido 35 pies3. Nota:


Hidrostática fundamental E

l término hidrostática se refiere al estudio del agua en reposo. El concepto de presión resultante a partir del peso del agua es fundamental. En este capítulo usted aprenderá cómo cuantificar la presión ejercida por el agua sobre una superficie sumergida imaginaria o sobre las paredes de un recipiente. También aprenderá acerca de la presión ejercida por el agua sobre un objeto sumergido, lo que da lugar al concepto de flotabilidad.

OBJETIVOS Después de completar este capítulo, el lector será capaz de:

• • • • •

3

Calcular la presión en el agua a diferentes profundidades. Calcular la presión sobre una superficie vertical sumergida. Calcular la presión sobre una superficie inclinada sumergida. Calcular la presión sobre una superficie curva sumergida. Calcular la fuerza de flotación sobre un objeto sumergido.

3.1 PRESIÓN HIDROSTÁTICA La presión se define como la fuerza por unidad de área. Por tanto, p 5

F A

(3-1)

donde p presión, libras/pie2 (N/m2) F fuerza, libras (newtons) A área, pies2 (m2) El agua en un recipiente ejerce presión a un ángulo recto, o normal, hacia las paredes del recipiente o sobre cualquier superficie sumergida. Este fenómeno, que es único para los fluidos, se debe a la incapacidad de las moléculas del agua para resistir un esfuerzo cortante. Por tanto, sobre cualquier superficie sumergida, sólo existe una fuerza normal (presión) y no una fuerza de corte. En un sólido existen







26


tanto una fuerza normal como una fuerza de corte en cualquier superficie, debido a la naturaleza de las moléculas que componen al sólido. Como una consecuencia de la ausencia de una fuerza de corte en el agua, la presión en cualquier punto del agua en reposo es igual en todas direcciones. La figura 3-1 muestra elementos infinitesimales de agua en varias formas. En cada caso, la presión que actúa sobre la superficie del elemento tiene la misma magnitud. Para calcular la presión en cualquier punto en un recipiente con agua, podemos usar la ecuación 3-1, pero debemos encontrar una forma de evaluar F , la fuerza. Para determinar la fuerza, considere una superficie horizontal imaginaria o un plano ubicado a una distancia z por debajo de la superficie, como se muestra en la figura 3-2. El peso de una columna vertical de agua por encima de la superficie es igual a la fuerza ahí ejercida. Sin embargo, el peso del agua, W , se expresa como W 5

gV

donde g 5 peso específico lb/pie3 (N/m3) y V 5 volumen, pies3 (m3). El peso específico del agua se toma como 62.4 lb/pie3 (9.81 kN/m3). El volumen, V , es igual al área de la base por la altura, o V 5 Az. Por tanto, la presión se puede escribir como Az p 5 g 5 g z A

(3-2)

FIGURA 3-1 PARA CADA UNO DE LOS ELEMENTOS INFINITESIMALES DE AGUA

EN REPOSO, LA PRESIÓN QUE ACTÚA SOBRE CADA SUPERFICIE EN CUALQUIER DIRECCIÓN TIENE LA MISMA MAGNITUD. P

P P

P

P

P

P

P

P P

P

P

a) Cubo

b) Esfera

c) Punto


FIGURA 3-2 PRESIÓN A UNA PROFUNDIDAD z EN UN VOLUMEN DE AGUA.

z

Superficie horizontal con área A


Capítulo 3 Hidrostática fundamental

27

FIGURA 3-3 LA PRESIÓN EN EL PUNTO P ES IGUAL EN CADA RECIPIENTE SIEMPRE Y CUANDO LA

PROFUNDIDAD VERTICAL z SEA LA MISMA.

z z

z

P

P

a)

b)


P

c)

Por tanto, la presión del agua a una profundidad, z, por debajo de una superficie libre se calcula con la ecuación 3-2. También es importante observar que la presión a cualquier profundidad dada sólo depende de la profundidad y no del volumen o de la forma del recipiente. Entonces, las presiones son iguales en los tres ejemplos de la figura 3-3. En la figura 3-3 c), la presión en el punto P es igual a g z aunque no haya una columna vertical real de agua desde P hasta la superficie. La presión es la misma como si una columna vertical de agua con altura z se apoyara sobre ella. EJEMPLO 3-1

Problema

Un depósito de agua está conectado a una tubería, como se muestra en la figura adjunta. La válvula de la tubería está cerrada, lo cual impide cualquier flujo. Encuentre la presión del agua en el centro de la tubería en la válvula. La elevación de la superficie del depósito es 550.0 pies (NGVD) y la del centro de la válvula es 525.0 pies (NGVD).

Elev. 550.0

Válvula cerrada

Elev. 525.0

Todas las elevaciones que se usan en este texto se encuentran en el National Geodetic Vertical Datum (NGVD), y se muestran en pies.

Nota:


28

Introducción a la hidráulica e hidrología con aplicaciones para la administración del agua pluvial Solución

La profundidad vertical desde la superficie hasta el punto en cuestión es la diferencia en las elevaciones: z 5 550.0 2 525.0 5 25.0 pies

Por tanto, con la ecuación 3-2, tenemos p 5 g z 5 (62.4)(25.0) 5 1560 lb/pie2 (Respuesta) La presión que se analizó antes recibe el nombre de presión manométrica, que significa exceso de presión sobre la presión atmosférica. En la superficie del agua expuesta a la atmósfera (llamada superficie libre), la presión real es igual a la que ejerce la atmósfera y se incrementa con la profundidad por debajo de la superficie. Sin embargo, por convención, en la presión manométrica se supone una magnitud cero en la superficie. Todas las referencias a la presión en este texto serán a la presión manométrica, de acuerdo con la definición anterior.

3.2 PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES PLANAS

Considere una superficie plana horizontal ubicada a una profundidad, z, por debajo de la superficie libre de un recipiente con agua. La presión actúa de forma perpendicular al plano y tiene una magnitud g z. Esto se puede representar como una carga distribuida de manera uniforme, como se muestra en la figura 3-4. Al interpretar la figura 3-4 a) tome en cuenta que tanto la superficie plana horizontal como la distribución de la presión se extienden fuera del plano de la página. Por tanto, la distribución de la presión forma un perfil tridimensional, como se representa en la figura 3-4 b). La fuerza resultante, F R, que actúa sobre una superficie plana, es igual que pA; donde A 5 lw es el área de la superficie. La fuerza resultante actúa en el centroide

FIGURA 3-4 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA HORIZONTAL SUMERGIDA.

F R

F R

z

g z

g z

h o c n A

Superficie plana horizontal a) Vista ortográfica

Superficie plana horizontal b) Vista isométrica



29

de la distribución de la presión. A la ubicación de la fuerza resultante se le refiere como centro de presión. Por tanto, F R 5 pA F R 5 g zlw

(3-3)

donde z 5 profundidad por debajo de la superficie, pies (m) l 5 longitud de la superficie, pies (m) w 5 ancho de la superficie, pies (m)

Observe que la ecuación 3-3 se puede interpretar como sigue: la fuerza resultante es igual al “área” del diagrama de distribución de presión multiplicada por el ancho de la superficie horizontal, w. El diagrama de distribución de la presión, que se muestra en la figura 3-4 a), tiene una altura g z y una longitud l y, por tanto, un “área” igual a g zl. El “área” descrita aquí sólo es la del diagrama de distribución de presión y no una entidad física. SUPERFICIE VERTICAL

Si la superficie del plano sumergido es vertical, la distribución de la presión adopta una de las formas que se representan en la figura 3-5. En este caso, la magnitud se incrementa con la profundidad por debajo de la superficie libre. Si el plano vertical se extiende hasta la superficie libre, como se muestra en la figura 3-5 a), la distribución de la presión es triangular. Si comienza a cierta distancia por debajo de la superficie libre, como se muestra en la figura 3-5 b), la distribución de presión es trapezoidal. Las superficies verticales que se ilustran en la figura 3-5 se proyectan fuera del plano de la página, justo como lo hace la superficie en la figura 3-4. Por tanto, la superficie se representa como una línea vertical y la distribución de presión tridimensional aparece como una forma bidimensional. Para facilitar el análisis, supondremos que el ancho es uniforme e igual a w. Los centros de presión y las fuerzas resultantes para las superficies representadas en la figura 3-5 se muestran en la figura 3-6. Para cada caso, a) y b), la magnitud de la fuerza resultante es igual al área de la distribución de presión multiplicada por w, el ancho de la superficie. Por tanto, para el caso a), F R 5

g z 1 2 ( z )(g z )w 5

2

2

w

(3-4)

FIGURA 3-5 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA VERTICAL SUMERGIDA.

g z1

z1 z2

z

g z

Superficie plana vertical a)

g z2

Superficie plana vertical b)


30


FIGURA 3-6 FUERZA RESULTANTE Y CENTRO DE PRESIÓN PARA UNA SUPERFICIE PLANA VERTICAL,

a) INTERSECANTE A LA SUPERFICIE Y b) COMPLETAMENTE SUMERGIDA

z1 z2

z F R

F R

y

y R

y R

a)


b)

La ubicación de F R es el centro de presión, el cual es el centroide de la distribución de presión triangular. Por tanto, 1 y R 5 z 3

(3-5)

Para el caso b), F R 5

[

g z1 1 g z2

2

[

l yw 5

gl y

2

w ( z1 1 z2 )

(3-6)

donde ly 5 z2 – z1 es la altura de la distribución de presión. La ubicación de F R se determina como el centroide de un trapezoide. Por tanto, y R 5

EJEMPLO 3-2

l y 2 z1 1 z2 3 z1 1 z2

[

[

(3-7)

Problema

Una superficie vertical con una altura de 2.5 pies y un ancho de 2.0 pies está sumergida 1.0 pie por debajo de la superficie del agua. Encuentre la fuerza hidrostática resultante y la ubicación del centro de presión. Solución

La fuerza resultante se calcula a partir de la ecuación 3-6: (62.4)(2.5)(2.0) (1 1 3.5) 2 5 702 lb (Respuesta)

F R 5


31

La ubicación del centro de presión se calcula con la ecuación 3-7: 2.5 (2)(1) 1 3.5 y R 5 3 1 1 3.5 5 1.02 pies (Respuesta)

[

[

SUPERFICIE INCLINADA

Si la superficie plana sumergida está inclinada, la presión es perpendicular a la superficie y la distribución de presión es como se muestra en la figura 3-7. Para deducir la fuerza resultante y su ubicación en el centro de presión, consideraremos tres fuerzas que actúan sobre la superficie inclinada AB, como se muestra en la figura 3-8: 1. F H , la fuerza resultante que actúa sobre la proyección horizontal, BC 2. F V, la fuerza resultante que actúa sobre la proyección vertical, AC 3. W , el peso del agua que ocupa el espacio triangular ABC entre la superficie y sus proyecciones FIGURA 3-7 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA INCLINADA

SUMERGIDA.

q

z 1

z 2


FIGURA 3-8 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE UTILIZADO PARA CALCULAR LA PRESIÓN SOBRE UNA

SUPERFICIE PLANA INCLINADA SUMERGIDA.

x R z1

u

F H

C

z2

B

W

F v y R

A x W

Superficie plana inclinada con ancho w


32


El valor de F H se calcula a partir de la ecuación 3-3. Entonces, (3-8)

F H 5 g z1wl cos u

donde l es la longitud de una superficie plana inclinada. Observe que l y 5 l sen u. ¿Por qué? El valor de F V se calcula a partir de la ecuación 3-6. Por tanto, F V 5

gl yw

2

( z1 1 z2 )

lo cual también se puede escribir como F V 5

g w

2

( z1 1 z2 )l sen u

(3-9)

El valor de W es W 5

5

gV 5 g (12l sen u l cos u )w

g wl 2

2

(3-10)

sen u cos u

Para determinar la fuerza resultante F R en el centro de presión, encuentre la suma vectorial de F H , F V y W . Por tanto, la componente x de F R es F V y la componente y es F H 1 W . Por consiguiente, la magnitud de F R es F R 5 √ F V 2 1 (F H 1 W )2

(3-11)

La ubicación de F R se determina al sumar los momentos de todas las fuerzas en A. Por tanto, al utilizar las dimensiones en la figura 3-8, tenemos

S M A 5 2F V ( y ) 2 W ( xw ) 2 F H ( x ) R

R

Sin embargo, la suma de los momentos en A también se puede expresar en términos de F R a partir de la figura 3-9 como

S M A 5 2F (l ) R

R

FIGURA 3-9 FUERZA RESULTANTE Y CENTRO DE PRESIÓN PARA UNA SUPERFICIE PLANA INCLINADA

SUMERGIDA.

q

F R

A

B

R



33

donde l R es la ubicación del centro de presión. Al igualar los momentos se produce F R (l R ) 5 F V ( y R ) 1 W ( xW ) 1 F H ( x R )

o l R 5

EJEMPLO 3-3

1 [F ( y ) 1 W ( xW ) 1 F H ( x R ) ] F R V R

(3-12)

Problema

Una superficie plana con una longitud de 4.0 pies y un ancho de 3.0 pies está inclinada 30 grados con la horizontal y está sumergida 1.0 pie por debajo de la superficie libre de un recipiente con agua. Encuentre la fuerza hidrostática resultante y la ubicación del centro de presión. Solución

Primero, calcule las fuerzas F H , F V y W , con las ecuaciones 3-8, 3-9 y 3-10, respectivamente: F H 5 (62.4)(1.0)(3.0)(4.0) cos 30° 5 648 lb

(62.4)(3.0) (1 1 3)(4.0)sen 30° 5 749 lb 2 (62.4)(3.0)(4.0)2 W 5 sen 30° cos 30° 5 648 lb 2

F V 5

A continuación, calcule z2: z2 5 z1 1 l sen 30° 5 3.0 pies

Ahora, calcule las ubicaciones de F H , F V y W . La ubicación de F H es x R, que es la mitad de la proyección horizontal de la superficie inclinada. Por tanto, x R 5 12 l cos 30° 5 1.73 pies

La ubicación de F V es y R, la cual se calcula con la ecuación 3-7. Entonces, y R 5

2.0 2(1) 1 3 5 0.83 pies 3 1 1 3

[

[

La ubicación de W es xW , la cual es un tercio de la proyección horizontal de la superficie inclinada. Por tanto, 1 xw 5 (4.0) cos 30° 5 1.15 pies 3 A continuación, calcule F R con la ecuación 3-11. Así, F R 5 √ 7492 1 (648 1 648)2 5 1497 lb

(Respuesta)

34


Por último, calcule l R, la ubicación de F R, con la ecuación 3-12. Por tanto, 1 [749(0.83) 1 648(1.15) 1 648(1.73) ] 1497 5 1.66 pies (Respuesta)

l R 5

3.3 PRESIÓN SO BRE SUPERFI CIES CURVAS La presión hidrostática sobre una superficie curva sumergida se rige por las reglas generales que se han desarrollado en la sección previa, en que la presión es perpendicular a la superficie en todos los puntos y que el centro de presión se ubica en el centroide de la distribución de presión. Sin embargo, el cálculo de estos parámetros se vuelve más difícil debido a la geometría que describe las fuerzas. La distribución de presión común para una superficie curva circular se muestra en la figura 3-10. Observe que, al igual que en las secciones previas, consideramos un caso simplificado de superficies curvas sumergidas: una donde la superficie es perpendicular a la página. La superficie se puede orientar ya sea convexa o cóncava respecto a la superficie del agua. FIGURA 3-10 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA

SUMERGIDA.

F R

z1 z2

F R r

fR

Vista isométrica

f

Vista ortográfica a) Curva convexa

O

f z z

r

z1

fR F R

Vista ortográfica

Vista isométrica b) Curva cóncava



35

FIGURA 3-11 FUERZA RESULTANTE Y CENTRO DE PRESIÓN PARA UNA

SUPERFICIE CURVA SUMERGIDA.

O

x H F H r

f fR

z2

z1

C F R

F V

B 4 1 0 2 g n i n r a e L e g a g n e C ©

W

y V A

x W

Para calcular la fuerza resultante y la ubicación del centro de presión, consulte la figura 3-11. La superficie curva AB que se muestra en la figura 3-11 tiene un radio constante, r , y un ancho constante, w, proyectado fuera de la página. La línea OA es vertical. Las tres fuerzas que actúan sobre la superficie F H , F V y W se definen como en el análisis de la “superficie inclinada” en la sección 3.2. La fuerza F H es la resultante de la presión que actúa sobre la proyección horizontal BC de la superficie curva. F H se localiza en el centroide de la distribución, que es el centro de la línea BC . La fuerza F V es la resultante de la presión que actúa sobre la proyección vertical AC de la superficie curva. F V se localiza en el centroide de la distribución de la presión. La fuerza W es el peso de la cuña de agua que ocupa el volumen dentro de ABC . W se localiza en el centroide de ABC . La fuerza F H es el área de la distribución de presión horizontal multiplicada por el ancho, w. Por tanto, (3-13) F H 5 g z1wr sen f La fuerza F V es el área de la distribución de presión vertical multiplicada por el ancho, w, la cual se puede calcular con la ecuación 3-9 o con una ecuación alterna a través de la geometría de la superficie curva. La alternativa a la ecuación 3-9 es g w

(3-14) ( z 1 z2 )(r 2 r cos f ) 2 1 El valor de W es gV ; donde V es el volumen de la cuña de agua. Por tanto, F V 5

r 2 (3-15) pr 2 sen f cos f W 5 gV 5 gw 360 2 donde w 5 ancho de la superficie que se proyecta fuera de la página. Para determinar la fuerza resultante F R, encuentre la suma vectorial de F H , F V y W . La magnitud de F R se calcula a partir de la ecuación 3-11. La ubicación de F R se determina al sumar los momentos de todas las fuerzas en A. Por tanto, al utilizar las dimensiones en la figura 3-11, tenemos

[

f

[

2

S M A 5 2F V ( yV ) 2 W ( x

) 2 F H ( x H )

W

36


Sin embargo, la suma de los momentos en A también se puede expresar en términos de F R a partir de la figura 3-10 como

S M A 5 2F (r sen f ) R

R

donde f R es el ángulo creado por F R con la vertical. Al igualar los momentos se produce F R (r sen f R ) 5 F V ( yV ) 1 W ( xW ) 1 F H ( x H )

o f R 5 sen21

1 [F ( y ) 1 W ( xW ) 1 F H ( x H ) ] rF R V V

(3-16)

Las dimensiones yV y x H son las ubicaciones de los centroides de las distribuciones de fuerza respectivas y xW es la ubicación del centroide de la cuña de agua ABC sobre la superficie. EJEMPLO 3-4

Problema

Encuentre la fuerza hidrostática resultante y la ubicación del centro de presión sobre la porción circular, AB, del tanque que aquí se muestra. El tanque tiene un ancho de 8.0 pies que se proyecta fuera de la página. Revestimiento del tanque

6.09

A 4 1 0 2 g n i n r a e L e g a g n e C ©

3.09 B

Solución

A partir de la geometría del problema, la profundidad hasta el fondo de la superficie, z2, es 3.0 pies. Además, z1 5 0, r 5 3.0 pies, y f 5 90°. Las fuerzas F H , F V y W se calculan con las ecuaciones 3-13, 3-14 y 3-15, respectivamente: F H 5 0

(62.4)(8.0) (3.0)(3.0 2 3.0 cos 90°) 5 2246 lb 2 (3.0)2 90 2 p (3.0) 2 W 5 (62.4)(8.0) sen 90° cos 90° 5 3529 lb 360 2

F V 5

[

[


37

A continuación, calcule x H , yV y xW , las ubicaciones de las fuerzas: x H 5 0 yV 5 (3.0) 5 1.0 pie 3 xW 5

4(3.0) 5 1.27 pies 3p

En este caso, la distancia xW está basada en el centroide de un cuarto de círculo, como se muestra a continuación.

Nota:

r

r

4r 3p


A continuación, calcule F R a partir de la ecuación 3-11: F R 5 √ FV 2 1 (F H 1 W )2 5 √ 2 2462 5 35292 5 4 183 lb

(Respuesta)

Por último, calcule f R mediante la ecuación 13-16: 1 [(2246)(1.0) 1 (3 529)(1.27) 1 0 ] (3.0)(4 183) 5 32.4° (Respuesta)

f R 5 sen21

Un procedimiento alternativo para ubicar F R es calcular el ángulo de inclinación w R mediante un análisis vectorial simple. Puesto que la componente x de F R es F V y la componente y es F H 1 W , el ángulo entre F R y el eje vertical es w R 5 tan21

F V F H 1 W

2246 3529 w R 5 32.5° (Respuesta) w R 5 tan21

El procedimiento sólo es aplicable a las superficies curvas porque para éstas el ángulo f R determina la posición exacta de F R y para superficies planas no lo hace.

Nota:

38


3.4 MEDICIÓN DE LA PRESIÓN Con los años se han desarrollado diferentes dispositivos para medir la presión hidrostática. Éstos van desde dispositivos simples, como el piezómetro y el manómetro, hasta los más complejos, como el manómetro de Bourdon y el medidor de deformación eléctrico. Algunos de ellos se describen a continuación. PIEZÓMETRO

Como se muestra en la figura 3-12, un piezómetro es un tubo simple conectado a un cuerpo de agua con su otro extremo abierto hacia la atmósfera. El agua entra al piezómetro y sube hasta que alcanza una altura proporcional a la presión. (Un piezómetro no mide la presión directamente en lb/pulg 2, sino que mide una cantidad relacionada llamada carga de presión, un término que se define en el capítulo 4). Como se muestra en la figura 3-13, en un sistema hidráulico estático, un piezómetro colocado en el punto B muestra un nivel igual al nivel del estanque en el punto A. En un sistema dinámico, un piezómetro colocado en el punto B con agua en movimiento, muestra un nivel menor que el nivel del estanque en el punto A. Esta caída de presión debida al movimiento de agua y la aplicación de los piezómetros para la medición de la presión, se abordarán en el capítulo 4. Para construir un piezómetro de forma correcta, su longitud debe ser suficiente para adaptarse al incremento anticipado de agua sin derramarse. Además, el diámetro debe ser suficientemente grande para evitar la distorsión debida a la adhesión en las paredes del tubo. Por lo regular, un diámetro de 0.5 pulgadas (12 mm) es suficiente. Además, si el piezómetro medirá agua que se mueve por una tubería, la interfaz entre el tubo del piezómetro y la pared de la tubería se ajustará cuidadosamente para evitar imponer cualquier efecto en la corriente de agua. Por lo general, esto significa colocar el tubo de manera perpendicular a la tubería y hacer que la interfaz quede al ras. MANÓMETRO

Cuando la presión del agua que se va a medir es relativamente alta, un piezómetro podría ser inadecuado, por lo que será preciso usar un manómetro. Una presión alta requeriría un tubo de piezómetro largo; sin embargo, un manómetro resuelve este problema mediante el uso de un líquido pesado, como el mercurio. Como se muestra en la figura 3-14, la presión del agua en una tubería empuja el agua hacia arriba del tubo AB, lo que fuerza el mercurio hacia arriba del tubo FIGURA 3-12 PIEZÓMETRO UTILIZADO PARA MEDIR LA PRESIÓN DEL AGUA EN UNA TUBERÍA. TANTO

EN a) COMO EN b), SI LAS PRESIONES SON IGUALES, LOS NIVELES DE AGUA EN LOS PIEZÓMETROS SON IGUALES.

Piezómetro

Piezómetro Altura del agua

a)

Tubo

b)



39

FIGURA 3-13 PIEZÓMETROS UTILIZADOS PARA MEDIR PRESIÓN EN UN SISTEMA

HHIDRÁULICO a) ESTÁTICO Y b) DINÁMICO.

Nivel del agua

Piezómetro A B

Válvula cerrada

a) Sistema estático

Piezómetro Nivel del agua A B

Descarga libre

b) Sistema dinámico


FIGURA 3-14 MANÓMETRO UTILIZADO PARA MEDIR LA PRESIÓN DEL AGUA EN

UN TUBO.

Válvula Mercurio u otro líquido

B D

Lectura del manómetro C

Tubo

A

y 4 1 0 2 g n i n r a e L e g a g n e C ©

CD. El desequilibrio de mercurio entre los puntos C y D es una medida de la fuerza que causa el desequilibrio. Por tanto, la distancia vertical entre C y D es la lectura del manómetro, la cual, junto con la distancia y, se utiliza para encontrar la presión del agua en el tubo. Una válvula colocada en el punto alto del montaje del tubo se usa para liberar cualquier cantidad de aire atrapado en el agua.

40

Introducción a la hidráulica e hidrología con aplicaciones para la administración del agua pluvial FIGURA 3-15 DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN MANÓMETRO BOURDON.

Tubo flexible

Indicador Tubería 4 1 0 2 g n i n r a e L e g a g n e C ©

Los manómetros también pueden utilizarse para medir una presión negativa (vacío) en una tubería de agua. En este caso, el nivel de mercurio en C será superior a su nivel en D. La presión negativa por lo regular se encuentra asociada con el bombeo. MANÓMETROS MECÁNICOS

La presión del agua se mide convenientemente de manera directa en lb/pulg2 mediante manómetros mecánicos, como el manómetro de Bourdon, cuyo esquema se muestra en la figura 3-15. En el manómetro de Bourdon, un tubo curvo y delgado conectado al agua que se va a medir se deflecciona ante la influencia de la presión del agua y provoca que el indicador gire. Entonces, el indicador se calibra en lb/pulg2. Los manómetros de Bourdon también se pueden calibrar para medir la presión negativa. También se usa un medidor de deformación eléctrico para medir la presión del agua. En este caso se permite que el agua que se va a medir impacte un diafragma flexible que se mueve ante la influencia de la presión cambiante. El movimiento es detectado por un medidor de deformación eléctrico que está conectado a un amplificador y a una pantalla numérica y/o a un registrador gráfico.

3.5 FLOTABILIDAD La flotabilidad es la fuerza de levantamiento ejercida por el agua sobre un objeto sólido sumergido. La experiencia común nos indica que una roca pesada parece más ligera cuando se sostiene bajo el agua. Esto se debe a la flotabilidad del agua. Para comprender la flotabilidad, considere el objeto que se ilustra en la figura 3-16. Básicamente, tres fuerzas verticales actúan sobre él: la presión hacia abajo del agua por encima del objeto, la presión hacia arriba del agua por debajo del objeto y la gravedad, o el peso del objeto. Sobre la superficie superior del objeto (línea BEC ), la componente vertical de la fuerza es igual al peso del volumen del agua arriba del objeto, volumen ABECD en la figura 3-16(a). Sobre la superficie inferior del objeto (línea BFC ), la componente vertical de la fuerza es igual al peso del volumen del agua arriba de la superficie inferior del objeto, volumen ABFCD en la figura 3-16(b). Este es el volumen imaginario de agua que existiría si


41

FIGURA 3-16 DIAGRAMAS DE PRESIÓN PARA UN OBJETO SUMERGIDO.

A

D

Fuerza resultante, F 1 Presión que actúa sobre la superficie superior BEC E C

B

a) Presión sobre la superficie superior A

D

C

B F

Presión que actúa sobre la superficie inferior BFC Fuerza resultante, F 2 b) Presión sobre la superficie inferior Área de la proyección horizontal del objeto A

D E C

B F

c) Vista isométrica

sólo la superficie inferior del objeto estuviera presente y no el objeto real. Esto sigue la regla que se explica en la sección 3.1: la presión en cualquier punto se determina mediante la profundidad del punto, ya sea que esté presente una columna física de agua directamente por encima o no, y que la presión en cualquier punto es igual en todas direcciones. Puesto que el volumen de agua sobre la superficie inferior es mayor que el volumen de agua sobre la superficie superior, la fuerza que empuja el objeto hacia arriba es mayor que la fuerza que empuja el objeto hacia abajo. La fuerza de flo-


42


tación, F B, es la diferencia entre estas dos fuerzas y es igual al peso del agua que ocuparía el espacio desplazado por el objeto. Por tanto, F 1 5 peso del volumen de agua ABECD F 2 5 peso del volumen de agua ABFCD

y F B 5 F 2 2 F 1 5 peso del volumen de agua BECF

Por tanto, la fuerza de flotación se proporciona como F B 5 gV

(3-17)

donde V es el volumen de agua desplazado por el objeto. Si F B es mayor que el peso del objeto, este último subirá a la superficie del agua. Si F B es menor que el peso del objeto, éste se hundirá hasta el fondo. EJEMPLO 3-5

Problema

Una pelota de plástico de 50 libras con un diámetro de 2.0 pies se coloca en agua. ¿Cuál es la fuerza de flotación que actúa sobre la pelota? ¿La pelota flotará o se hundirá? Solución

La fuerza de flotación es igual al peso del agua desplazada por la pelota. Por tanto, F B 5 gV

donde V es el volumen de la pelota. 4 V 5 pr 3 3 4 p(1)3 3 5 4.19 pies3 5

Por tanto, F B 5 (62.4)(4.19) 5 261 lb (Respuesta)

La fuerza de flotación sobre la pelota es de 261 libras. Ya que el peso de la pelota es menor que la fuerza de flotación, la pelota flotará. (Respuesta) Si un objeto flota sobre la superficie de un cuerpo de agua, se debe a que F B es mayor que el peso del objeto. Pero, ¿cuánto más arriba de la superficie del agua reposará el objeto? Nos dicen que la punta de un iceberg representa aproximadamente 10% de su volumen total. Pero, ¿cómo podemos calcular la cantidad exacta del iceberg que comprende la punta?

43

Capítulo 3 Hidrostática fundamental FIGURA 3-17 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DEL OBJETO PARCIALMENTE

SUMERGIDO EN AGUA.

Altura sobre la superficie del agua, h

W 4 1 0 2 g n i n r a e L e g a g n e C ©

F B

Para responder esta pregunta, considere el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura 3-17. Puesto que el objeto emerge después de haber sido sumergido y una porción se proyecta por encima de la superficie, la fuerza de flotación se vuelve menor. Esto es porque dicha fuerza es igual al peso del agua desplazado por el objeto y conforme este último se mueve hacia arriba de la superficie, el volumen desplazado de agua disminuye. La fuerza de flotación reducida se designará como F B9. Cuando el objeto alcanza el equilibrio, la fuerza de flotación reducida es exactamente igual al peso del objeto. Por tanto, F B 5 r

W .

(3-18)

Con la ecuación 3-18 es posible determinar la porción sumergida del objeto. La altura del objeto sobre la superficie del agua depende de su forma. Para un objeto rectangular simple, el cálculo de la altura sobre el agua, h, se ilustra con el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 3-6

Problema

Una caja de 100 libras que mide 12 0 3 18 0 3 18 0 se coloca en agua. Si la caja flota, ¿cuál es su altura sobre la superficie del agua? Solución

Primero determine si la caja flotará. La fuerza de flotación se calcula con la ecuación 3-17, después de calcular el volumen de la caja V 5 (1.0)(1.5)(1.5) 5 2.25 pies3 F B 5 gV 5 (62.4)(2.25) 5 140.4 lb

Puesto que el valor de F B es mayor que el peso de la caja, esta última flotará.

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A continuación, determine la altura de la caja sobre el agua. El volumen de la caja por debajo de la superficie del agua desplaza un peso de agua igual al peso de la caja. Esto recibe el nombre de volumen V 9. V 5 r

W

g

100 62.4 5 1.60 pies 3 Puesto que el volumen sumergido es 1.60 pies 3, la profundidad sumergida se calcula con las dimensiones de la caja. 5

18

′′

18

′′

12

Altura sobre el agua

′′

Profundidad debajo del agua


Volumen 5 (1.5)(1.5)(profundidad) 5 1.60 pies3 profundidad 5 0.71 pies La altura sobre el agua es 1.0 2 0.71 5 0.29 pies (Respuesta) En el ejemplo 3-6 observamos cómo calcular la altura sobre el agua para un objeto simple. Si un objeto tiene una forma más compleja, como un cilindro o una pirámide, se requieren más cálculos. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3-7

Problema

Un cilindro de 2.0 toneladas que mide 4.09 de diámetro por 8.09 de largo se coloca en agua. Si el cilindro flota, ¿cuál es su altura sobre la superficie del agua? Solución

Primero determine si el cilindro flotará. La fuerza de flotación se calcula con la ecuación 3-17 después de calcular el volumen del cilindro. V 5 p(2.0)2(8.0) 5 100.53 pies3 F B 5 gV 5 (62.4)(100.53) 5 6 273 lb

( . tons) Puesto que el valor de F B es mayor que el peso del cilindro, este último flotará.


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A continuación, determine la altura del cilindro sobre el agua. Suponga que el cilindro flota sobre su costado. El volumen del cilindro por debajo de la superficie del agua desplaza un peso de agua igual a su peso. Esto recibe el nombre de volumen V 9. V 5 r

W

g

100 62.4 5 64.10 pies3 5

Puesto que el volumen sumergido es 64.10 pies 3, el volumen sobre el agua (llamado V 0) es V 5 100.53 2 64.10 5 36.43 pies3 s

La altura sobre el agua, h, se muestra en el siguiente esquema. Volumen sobre el agua, V 0 h

u

r

r


Para encontrar h utilizamos la fórmula para el “segmento” de un círculo. El área sombreada en el esquema es un segmento del círculo que comprende una sección transversal del cilindro. La cual recibe el nombre de área a0. r 2 up 2 sen u a 5 2 180 s

[

[

donde u se mide en grados. Una revisión minuciosa del triángulo mostrado en el esquema revela lo siguiente.

u

2 r 2h

r


Usando el triángulo de la derecha, podemos escribir u r 2 h cos 5 r 2

Introducción a La Hidráulica e Hidrologia

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