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CAPITULO 2- Parte B. Técnicas Avanzadas de Predicción. Modelos de
vectores autorregresivos (VAR). Modelos de vectores de corrección del error (VEC). Modelos autorregresivos y condicionales heterocedásticos (ARCH). Bibliografía Básica Pulido San Román, A. (2004) Curso combinado de Predicción y Simulación. www.uam.es/predysim. www.uam.es/predysim. Universidad Autónoma de Madrid. Capítulo 5 Gujarati, D. (2006). Econometría. 4°Edición. 4°Edición. Mc Gr aw Hill. México. Capítulos 22. Pindyck, R. y D. Rubinfeld (2001). McGraw Hill. 4°E dición. Parte 4, Capítulos 15 a 19. Pérez López, C. (2006) Econometría. Conceptos y Problemas resueltos de Econometría. Thompson. Capítulo 4.
B. Técnicas Avanzadas de Predicción ■ Abordamos aquí tres técnicas que podemos considerar como avanzadas, tanto por su planteamiento metodológico como por lo reciente de su desarrollo. Estas son: los modelos de vectores autorregresivos , los modelos de corrección del error y los modelos autorregresivos condicionales heteroscedásticos . Estas técnicas suponen avances notables en la modelización de fenómenos económicos, tanto por adaptarse a una casuística económica tan variada que precisa de tratamientos específicos, como por resolver problemas no estudiados hasta no hace mucho. De hecho, aún hoy continúa investigándose sobre refinamientos técnicos. Aun así, el desarrollo de estas técnicas ha sido tan espectacular que ya se han constituido como técnicas habituales a efectos de predicción. Existe ya un acervo suficientemente consolidado sobre las mismas, al tiempo que ya se ha desarrollado su software equivalente. Por todo ello, desarrollaremos cada técnica en un nivel básico y pragmático, acompañadas de un ejercicio práctico de aplicación en EViews. Para seguir las soluciones se adjuntan tres Workfile de EViews denominados Ejercicio 1, Ejercicio 2 y Ejercicio 3. ■ Hemos organizado el acápite en 3 apartados, cada uno con su correspondiente resumen y explicaciones adicionales de conceptos. Se incluyen documentos explicativos, ejercicios de aplicación práctica y el test de autoevaluación. En conjunto consideramos que el aprovechamiento óptimo de la unidad pasa por una dedicación de unas 15 horas. Unas 6 para el estudio de los conceptos teóricos, unas 5 para la realización de los ejercicios, y el resto para la actividad propuesta y la realización del test de autoevaluación.
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1. Modelos de Vectores Autorregresivos (VAR) Resumen •
Hasta el momento hemos abordado la predicción de series de manera individual. En la práctica real a veces es necesario predecir varias series de manera “conjunta” puesto que pueden estar relacionadas entre sí. Una de las posibilidades es afrontarlo con modelos de ecuaciones simultáneas, pero esta opción tiene algunas dificultades. Por ello surgen como alternativa los modelos VAR.
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La esencia de los modelos VAR es la siguiente: se propone un sistema de ecuaciones, con tantas ecuaciones como series a analizar o predecir, pero en el que no se distingue entre variables endógenas y exógenas. Así, cada variable es explicada por los retardos de sí misma (como en un modelo AR) y por los retardos de las demás variables. Se configura entonces un sistema de ecuaciones autorregresivas también llamado vector autorregresivo (VAR)
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La expresión general de un modelo VAR vendría dada por la siguiente expresión:
donde es un vector con las g variables objeto de predicción (llamémoslas explicadas ), ), es un vector de k variables que explican adicionalmente a las anteriores, los coeficientes alpha y beta son matrices de coeficientes a estimar, y épsilon es un vector de perturbaciones aleatorias (una por ecuación), cada una de las cuales cumple individualmente el supuesto de ruido blanco (homoscedasticidad y ausencia de autocorrelación), y entre ellas cumplen el supuesto de homoscedasticidad inter-ecuaciones. •
Así especificado el modelo, puede ser estimado de manera consistente por mínimos cuadrados ordinarios (MCO). La predicción en el modelo es directa.
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Origen de los Vectores Autorregresivos
A la hora de realizar predicción conjunta de varias series económicas podemos encontrarnos con que entre ellas existan relaciones mutuas de interdependencia. Una de las alternativas para la predicción es estimar un sistema de ecuaciones que refleje las relaciones de interdependencia o causalidad que pueden darse entre las variables, bien sean las que serán objeto de predicción u otras relacionadas con aquellas. Este es el enfoque de los modelos de ecuaciones simultáneas o estructurales. Ahora bien, en los modelos de ecuaciones simultáneas, es necesario distinguir entre variables endógenas y variables predeterminadas. Esta distinción tiene una cierta base en la dirección de la causalidad de las variables y está inspirada en las relaciones sugeridas por la teoría económica. Lo que ocurre es que la teoría económica no siempre sugiere una especificación concreta entre variables. Además, poco nos dice de la relación dinámica de las mismas, cuando el tiempo interviene en las ecuaciones, al incluir variables con retardos o desfasadas. Más aún, la estimación e inferencia se complica con el hecho de que las variables explicadas pueden aparecer tanto a la izquierda como a la derecha de las ecuaciones, es decir, pueden también intervenir como variables explicativas. La adopción de una especificación en estas condiciones (distinción entre variables endógenas, número de retardos óptimo,...) adolece de una alta subjetividad. Además, estos modelos para ser correctamente estimados deben superar una serie de condiciones conocidas como de identificación que suponen, en la práctica, que algunas de las variables predeterminadas no intervienen en todas las ecuaciones. Nuevamente, cuestión subjetiva en la especificación. Estos aspectos movieron a Sims a proponer una alternativa en la modelización de la relación entre varias variables. En su artículo original critica la modelización econométrica convencional para la realización de la identificación de los modelos de ecuaciones estructurales. El objetivo fundamental de la propuesta era proporcionar una estrategia alternativa de modelización. Esta nueva modelización evitaría las imposiciones derivadas de la estimación e identificación de un modelo econométrico, y permitiría especificar modelos que reflejaran lo más fielmente posible las regularidades empíricas e interacciones entre las variables objeto de análisis. Nacían así los modelos VAR 1. ¿Por qué “vector” y “autorregresivo”?
Recordemos la metodología de los modelos autorregresivos (AR): se especificaba el comportamiento de una variable, digamos en función de sus propios valores pasados. Por ejemplo, un modelo AR (p) venía dado por la expresión: Sims, C. (1980), “Macroeconomics and Reality”, Econometrica , Vol. 48 (1), jan., pp.1-48. 1
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Pues bien, supongamos que en lugar de modelizar el comportamiento de una variable, modelizamos el de k variables . Es decir consideremos un vector columna de k variables aleatorias:
que es modelizado en términos de valores pasados de dicho vector. El resultado es un vector autorregresivo (VAR). Un ejemplo de formulación de un Modelo VAR
Pongamos por ejemplo el más sencillo de los VAR: intervienen dos variables
y
, explicadas en función de un retardo. El modelo se puede expresar desarrolladamente como:
donde el primer subíndice hade referencia a la ecuación, y el segundo al parámetro. Vectorialmente podríamos obtener una expresión como:
La estimación del VAR
Para la estimación del modelo VAR se parte de una elección sobre el número de variables que componen el sistema, el número máximo de retardos a incluir y, si se quiere, de una matriz de términos deterministas (constantes, variables ficticias u otro tipo de variables, pero de carácter determinista). En los modelos VAR se produce una ausencia de simultaneidad: las variables explicativas son todas retardadas y como consecuencia de la ausencia de autocorrelación no están correlacionadas con las perturbaciones aleatorias. Por todo ello el modelo puede ser estimado consistentemente por MCO. Aunque la existencia de correlaciones entre las distintas ecuaciones podría inducir la necesidad de utilizar métodos de estimación con información completa (máxima verosimilitud), lo cierto es que al no existir restricciones en la matriz de
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coeficientes (todas las variables aparecen incluidas en todas las ecuaciones) los métodos alternativos no serán más eficientes que los de MCO. Número de retardos y simulación en modelos VAR •
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El aspecto de mayor peculiaridad en la estimación del modelo VAR suele venir dado por la elección del número óptimo de retardos. Contamos con procedimientos para ello. Así estimado, el modelo presenta unos parámetros de difícil interpretación. Por ello, la simulación con modelos VAR adquiere matices especiales. Se realiza a través de las funciones de impulso-respuesta y del análisis de la descomposición de la varianza del error. A pesar de su sofisticación estadística, los modelos VAR no están exentos de críticas. Por ello, también han surgido planteamientos alternativos.
a) Procedimientos La determinación del número óptimo de retardos debe realizase de forma cuantitativa, ya que no existen evidencias teóricas al respecto. Sims en su artículo original propone la utilización de un ratio de verosimilitud entre el modelo restringido (el que tiene el menor número de retardos) y el modelo ampliado (el que incluye todos los retardos deseados). Ese ratio viene dado por: donde T es el número de observaciones, c número de variables del modelo ampliado, sigma mayúscula son las matrices de productos cruzados de los residuos y R el número total de restricciones. Contamos también con otras medidas para determinar el retardo óptimo: Akaike Information Criteria (AIC) o Schwarz Criteria (SC). Los programas que estiman modelos VAR incluyen estos criterios. Practicaremos su uso en el ejercicio 1. b) Función de impulso-respuesta y análisis de descomposición de la varianza
La función de impulso-respuesta y el análisis de descomposición de la varianza analizan las interacciones dinámicas que caracterizan al sistema estimado. Ello permite identificarlas con la simulación del modelo. Con la simulación pretendemos analizar los efectos que en las variables endógenas provocan las variaciones de las variables exógenas. Puesto que en los modelos VAR no existen, en sentido estricto, variables exógenas, las alteraciones se incluyen en algunas de las variables explicadas. La función impulso-respuesta muestra la reacción (respuesta) de las variables explicadas en el sistema ante cambios en los errores. Un cambio (shock ) en una
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variable en el período i i afectará directamente a la propia variable y se transmitirá al resto de variables explicadas a través de la estructura dinámica que representa el modelo VAR. Por ejemplo, supongamos que las exportaciones totales (EXGS ) y las importaciones totales de bienes y servicios (IMGS ) están determinadas conjuntamente por un modelo VAR de dos ecuaciones sin término independiente y con un retardo de las variables endógenas. El modelo VAR resultante sería:
Un cambio en modificará inmediatamente el valor presente de EXGS , pero también puede modificar los valores futuros de EXGS e IMGS al incluirse el valor retardado de EXGS en ambas ecuaciones. Si, en este ejemplo, las innovaciones y no están correlacionadas, la interpretación es sencilla, pues sería la innovación para EXGS y la innovación para IMGS . La función de respuesta de impulso para mide el efecto de una variación en los errores sobre los valores actuales y futuros de las importaciones y el valor futuro de las exportaciones. Sin embargo, normalmente los vectores de innovaciones están correlacionados, de forma que presentan un componente común que no puede ser asociado a ninguna variable específica. Un procedimiento arbitrario, pero de uso generalizado, para resolver este problema consiste en atribuir todo el efecto de cualquier componente común a la variable que se especifica en primer lugar en el modelo VAR. En nuestro ejemplo, el componente común de y se atribuye totalmente a , porque precede a . De esta forma, es la innovación de las exportaciones, y , las innovaciones de las importaciones, se transforman para sustraerles el componente común. Técnicamente, esto significa que los errores se ortogonalizan por el procedimiento de descomposición de Cholesky, de forma que la matriz de covarianzas de las innovaciones resultante es diagonal. Aunque la descomposición de Cholesky es un método de uso generalizado, no deja de ser bastante arbitrario a la hora de atribuir los efectos comunes.
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Además, hay que tener siempre presente que al cambiar el orden de las ecuaciones, los resultados de las funciones de repuesta de impulso pueden variar drásticamente. En definitiva, las simulaciones con modelos VAR son atemporales, en el sentido de que sólo recogen la influencia de acuerdo con el transcurso del tiempo, pero no están asociadas a un período concreto, como en el caso de las simulaciones con modelos estructurales. Operativamente la realización de simulaciones con modelos VAR se realiza mediante los siguientes pasos: 1) Se ordenan las variables de mayor a menor exogeneidad relativa, lo cual conlleva cierta carga de subjetividad, quizás análoga a la distinción entre variables endógenas y predeterminadas realizada en los modelos estructurales. 2) Se transforma el modelo de acuerdo con una matriz deducida de la ordenación realizada. 3) Se re-estima el modelo transformado en su forma autorregresiva. 4) Se computa la representación de medias móviles del nuevo modelo estimado. 5) Se incorpora un determinado valor a la perturbación aleatoria de una ecuación, normalmente equivalente a una desviación típica de dicha perturbación. 6) Se calculan los valores restantes de la transformación de dicha perturbación mediante la matriz de medias móviles estimada en el paso 4. 7) Se representan los valores obtenidos para cada variable incluida en el sistema. Dada la complejidad del proceso todos los programas que incluyen estimación de modelos VAR tiene incorporadas rutinas para la obtención de estas funciones impulso-respuesta de forma automática, tal y como veremos en el ejercicio 1. Algunas críticas a la metodología VAR
Varios son los argumentos que cuestionan o matizan el procedimiento de predicción y simulación mediante la utilización de modelos VAR. Gujarati sintetiza estas críticas en los siguientes puntos: 1) Los modelos VAR no son teóricos , a diferencia de los modelos de ecuaciones simultáneas. La renuncia a la cuantificación de las relaciones establecidas por la teoría es un alto precio, que en ciertos contextos no siempre se puede pagar. 2) Los modelos VAR se concentran en predicción . Su metodología y desarrollo los hace menos apropiados para la simulación de políticas económicas. Como vimos, en este contexto, y puesto que no distinguimos entre endógenas y exógenas,
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sencillamente asimilamos simulación con el análisis de los efectos sobre las variables del sistema de un cambio aleatorio conocido. 3) Con frecuencia los modelos VAR presentan problemas de grados de libertad. Efectivamente, en la práctica el tamaño de la muestra no es lo suficientemente amplio como para estimar modelos con un número elevado de retardos y de variables. Se presenta pues una sobreparametrización. 4) La estimación en niveles de un modelo VAR, la práctica habitual, obvia los problemas de estacionariedad conjunta de las series. La transformación apropiada de estas series no siempre arroja resultados positivos. 5) La utilidad del análisis de la función de impulso respuesta, base del análisis VAR, sigue siendo cuestionado por los investigadores. Todo ello no puede obviar que los modelos VAR alivian al investigador de la cuestión subjetiva de determinar qué variables son endógenas y cuáles exógenas, permite una fácil estimación por MCO individual a cada ecuación, y parece que se obtienen predicciones más acertadas frente a modelos de ecuaciones simultáneas más complejos. En este sentido cabe señalar como límite de predicción de estos modelos el corto plazo, que podríamos fijar en el propio orden del retardo. Para horizontes temporales más largos, al no incorporar información adicional, la inercia de la información disponible se va deteriorando a medida que alargamos el horizonte. Planteamientos alternativos a los modelos VAR
Varios son las alternativas metodológicas que se fundamentan en los modelos VAR originales, a los que podríamos denominar UVAR (Unrestricted VAR). Entre ellos señalamos: • Modelos VAR Estructurales (SVAR): Partiendo de una propuesta de Blanchard, la transformación se realiza a partir de una matriz que recoge restricciones a priori basadas en la propia teoría económica. • Modelos VAR Parciales (PVAR): se trata de una especificación más parsimoniosa que evita la sobreparametrización, ya que cada ecuación puede contener un número diferente de parámetros. • Modelos VAR cointegrados (o modelos de vectores de corrección del error, VEC). Surgen por la aplicación de la metodología de detección de raíces unitarias y la teoría de la cointegración al campo de los modelos VAR. • Modelos VARMA: que incorporan un componente de medias móviles sobre la perturbación aleatoria. • El usuario interesado en estos desarrollos puede consultar la bibliografía recomendada de la Unidad.
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EJERCICIO 1: Estimación y simulación de un modelo VAR en EViews
En el WORKFILE Ejercicio 1 disponemos de los datos sobre el tipo de interés interbancario a 90 días (TIC) y el índice de precios al consumo (IPC). Estas series presentan frecuencia mensual, con un horizonte temporal desde Enero de 1980 hasta Noviembre de 1988.
1) Estime con EViews un modelo VAR con término independiente y 2 retardos. Analice los criterios que utilizaría para elegir el retardo óptimo. 2) Realice simulación con la función de impulso – respuesta. 3) Simule ahora con un análisis de descomposición de la varianza. 4) Realice la predicción hasta Junio de 1999.
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a) Estimación y elección del retardo
Para la estimación de modelos con vectores autorregresivos podemos utilizar dos vías: una, a través del menú principal con QUICK / ESTIMATE VAR, y otra creando un objeto que sea, precisamente, un modelo VAR: OBJECTS / NEW OBJECT / VAR. En ambos casos, accedemos a la siguiente pantalla, en la que hemos incluido el término independiente en la especificación (Exogenous) y hemos indicado el número de retardos seleccionados, hasta dos. En la aplicación se obtiene una salida de estimación, en primer lugar con el Índice de precios al consumo (IPC) como variable dependiente; y en segundo lugar, con la variable Tipo de interés (TIC) como dependiente.
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Cada columna de la tabla corresponde a la ecuación para cada una de las variables endógenas en el modelo VAR. Por filas, tenemos las variables explicativas, para las que se indica el valor de su coeficiente estimado, la desviación típica y el cálculo de la t-student. Por ejemplo, el coeficiente que acompaña a la variable IPC – con un período de retardo – (en la ecuación del IPC como variable endógena (primera columna) tiene un valor estimado de 1,023, con una desviación típica de 0,067, resultando entonces un valor significativo de su tstudent (15,17). Al final de esta tabla de resultados se muestran los resultados de la regresión para cada ecuación, computando los resultados por separado. Así, en la primera ecuación (la que define al IPC como variable dependiente) se alcanza una bondad del ajuste del 0,99%, siendo algo inferior (0,97%) en la ecuación que explica al tipo de interés (TIC). En la parte inferior de la salida de resultados, aparecen los estadísticos del modelo VAR en su conjunto: el determinante de la covarianza residual (Determinant Residual Covariance); el valor del logaritmo de verosimilitud (Log Likelihood); y los dos estadísticos de criterios restantes (Akaike Information Criteria: AIC; Schwarz Criteria: SC). Estos criterios de información pueden
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utilizarse para seleccionar el modelo más apropiado entre diferentes modelos VAR con distintos retardos especificados, que será, precisamente, aquel que presente un valor más bajo para estos estadísticos . b) Función de impulso-respuesta
Una vez estimado el modelo VAR, la principal utilización del modelo son las funciones de impulso-respuesta y el análisis de descomposición de la varianza que EViews proporciona automáticamente. En el primer caso, para obtener la función impulso-respuesta, dentro del menú de la ventana creada para el modelo VAR seleccionamos IMPULSE, y en la nueva ventana marcamos las opciones de visualización de los datos (TABLE), función de respuesta de impulsos (IMPULSE RESPONSES) y aceptamos, por defecto, el número de períodos que nos indica EViews (10).
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Una función de impulso-respuesta muestra el efecto de un cambio en los errores sobre las variables endógenas del sistema de ecuaciones. EViews nos muestra nuestro modelo, con sus dos ecuaciones, de tres formas diferentes, seleccionando VIEW / REPRESENTATIONS dentro del menú de la ventana del modelo VAR estimado.
En las expresiones, el primer número que figura dentro de C(nº, nº) se refiere al orden (número) de la ecuación en el modelo VAR, mientras que el segundo número se refiere al orden que ocupa la variable en cada ecuación. Por ejemplo, C (2,3) es el coeficiente del tercer regresor (TIC (-1)) en la ecuación segunda (la de TIC). A continuación, los coeficientes ya se sustituyen por los valores estimados. Un cambio en modificará automáticamente el valor de la variable IPC, pero no sólo se alterará el valor de ésta, también el de la variable TIC debido a la estructura dinámica del sistema. Una respuesta de impulso separa los determinantes de las variables endógenas en cambios o innovaciones identificadas con variables específicas. De esta forma, una función de impulsorespuesta para medirá el efecto de una desviación en TIC hoy sobre el valor actual y futuro de IPC y TIC. La función impulso-respuesta mide un cambio en los errores equivalente al valor de su desviación típica que es, precisamente, 0.32, valor que aparece como respuesta de IPC en el primer período y que podemos comprobar fácilmente a partir de los resultados de la regresión previa.
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Así, un cambio en los errores de la ecuación de IPC, del orden de una desviación típica del error de esta primera ecuación, provoca un incremento equivalente a 0.32 en el período inicial, aumentando a 0.33 después de 2 y 3 períodos. A partir del cuarto período los efectos tienden a decrecer lentamente. Por otra parte, el efecto sobre los tipos de interés es nulo en el primer período (por planteamiento), incluso negativo durante los períodos 2 y 3, pero va acumulando sus efectos hasta añadir 0.03 al cabo de 10 períodos. Un cambio en TIC, equivale a una desviación típica del error de esta segunda ecuación (0.69, según resultados precedentes), apenas tiene efecto sobre precios en el primer período – como resultado de situar la variable IPC antes de TIC en el orden -, y provoca una caída de 0.03 y 0.06 después de 2 y 3 períodos en IPC. Sobre los propios tipos de interés, el efecto va aumentando durante los tres primeros períodos hasta transformar el cambio inicial de 0.69 a 0.90, para después ir reduciéndose progresivamente su impacto hasta alcanzar 0.46 al final del período considerado de 10 meses. Podemos visualizar los efectos comentados en términos gráficos si en lugar de seleccionar tabla de resultados (TABLE) en las opciones para obtener la función de respuesta de impulso indicamos la opción gráfica (COMBINES RESPONSE GRAPHS).
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En definitiva, y en este caso, comprobamos, nuevamente, que el efecto de un shock sobre la variable tipo de interés no tiene efecto sobre la variable índice de precios al consumo, mientras que los efectos sobre la propia variable son crecientes hasta el tercer período donde empiezan a decrecer. c) Análisis y descomposición de la Varianza
Para obtener el cálculo de la descomposición de la varianza, seleccionamos en VIEW esta opción (VARIANCE DESCOMPOSITION) La columna S.E. de la tabla puede interpretarse como el error de la predicción de la variable IPC en diferentes períodos en el futuro. La fuente de este error de predicción es la variación en los valores actuales y futuros de las innovaciones de cada variable endógena en el modelo VAR. Vemos que se indica un error de predicción de 0.32 en un primer período y de 0.46 en dos períodos hacia delante, y así siguiendo…
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Las otras dos columnas muestran el porcentaje de variación debido a cada innovación específica, donde cada fila suma la unidad. Un período hacia delante, toda la innovación de IPC es debida a cambios en IPC, y dos períodos hacia delante del porcentaje de explicación corresponde un 99.93 a IPC, y el resto (0.07) a TIC. La segunda parte de la tabla nos muestra que, de nuevo, la descomposición de la varianza depende del orden de las ecuaciones. Así, si situamos TIC en primer lugar, antes del IPC, obtenemos resultados diferentes. Por último, suponiendo que los resultados obtenidos con la estimación de este modelo VAR fuesen satisfactorios para el objetivo perseguido, podríamos realizar predicciones con el modelo (recuerde ampliar la muestra con PROC, seleccione STRUCTURE/RESIZE CURRENTE PAGE… y agregue hasta 1999M06. Haga esto en el WORKFILE original). Para ello, dentro del menú de la
ventana del modelo VAR seleccionamos PROC/MAKE MODEL.
Veremos entonces una ventana donde se específica el modelo y en la que podemos introducir los cambios que creamos convenientes. Seleccionamos la opción SOLVE en el menú de esta última ventana del modelo y en el cuadro de opciones que aparece a continuación indicamos el período para el que queremos
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obtener predicciones (en SOLUTION SAMPLE ponemos 1980:01 1999:06). Automáticamente, EViews nos proporcionará predicciones para nuestras dos series (IPC_0 y TIC_0) en el período comprendido entre el mes de diciembre de 1998 y junio de 1999. En el cuadro siguiente mostramos los resultados obtenidos donde se aprecia una predicción prácticamente plana para la serie de precios y una disminución en la serie TIC.
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2. Modelos de Vectores de Corrección del Error (VEC) Resumen •
En los modelos VAR, así como en la modelización univariante de series temporales, asumimos que las series temporales utilizadas son estacionarias. Cuando efectuamos regresiones entre variables no estacionarias podemos caer en el problema de las denominadas regresiones espurias. Ahora bien, modelizaciones entre variables no estacionarias, pero que cumplen ciertas condiciones denominadas de cointegración, no sólo no son espurias, sino que aportan gran información sobre las relaciones de equilibrio a largo plazo de las variables económicas.
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Pues bien, un modelo de vector de corrección del error (VEC) es un modelo VAR restringido (habitualmente con sólo dos variables) que tiene restricciones de cointegración incluidas en su especificación, por lo que se diseña para ser utilizado con series que no son estacionarias pero de las que se sabe que son cointegradas.
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El principio detrás de estos modelos es que existe una relación de equilibrio a largo plazo entre variables económicas y que, sin embargo, en el corto plazo puede haber desequilibrios. Con los modelos de corrección del error, una proporción del desequilibrio de un período (el error , interpretado como un alejamiento de la senda de equilibrio a largo plazo) es corregido gradualmente a través de ajustes parciales en el corto plazo. Un ejemplo puede ser útil para comprender esta idea.
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Una de las claves de los modelos VEC es determinar si las series que modelizamos son cointegradas y, si es así, determinar la ecuación de integración. Para ello utilizamos el método de Johansen.
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Análisis de Cointegración
Aunque en general la regresión entre series no estacionarias (por ejemplo, dos series I(1)) nos conduzca a correlaciones espurias, existe una situación especial en el que tal regresión no sería espuria, sino que el estimador MCO sería correcto. Esa situación especial recibe el nombre de cointegración . Engle y Granger señalaron que una combinación lineal de dos o más series no estacionarias puede ser estacionaria. Si existe una combinación lineal de series que es estacionaria, I(0), se dice que las series no estacionarias, con raíz unitaria, que dan lugar a esa combinación están cointegradas. La combinación lineal estacionaria se denomina ecuación de cointegración y puede interpretarse como la relación de equilibrio a largo plazo entre las distintas variables que conforman la ecuación por lo cual, en sí misma, tiene una alta importancia para el análisis de los fenómenos económicos. Por lo tanto, si se verifica que un conjunto de variables son integradas del mismo orden, todas ellas, están cointegradas, se asegura la existencia de una relación no espuria entre las mismas que, además, es estacionaria (es decir, de equilibrio en el sentido estadístico). El concepto de cointegración es la noción estadística equivalente a la idea de equilibrio estable, en el sentido de que cuando existe una relación de este tipo entre variables económicas, las desviaciones de la citada relación no pueden ser fuertes ni crecer ilimitadamente. De esta forma, la cointegración de las variables de un modelo da validez al mismo a largo plazo.
Cuando una serie es no estacionaria o integrada, los valores que toma en un momento del tiempo son, por definición, la acumulación de todas las perturbaciones o “shocks” pasados, a diferencia de las series estacionarias, para las cuales el efecto de las perturbaciones es transitorio. Entonces, el hecho que una combinación lineal de un conjunto de variables sea estacionaria implica, intuitivamente, que la forma en que estas se “mueven” en el tiempo es similar. Además, la relación de cointegración actuaría como un “atractor” para el conjunto de variables bajo análisis, en el sentido de que tiendan a formar un modelo compacto en el transcurso del tiempo. El análisis de la cointegración permite, entre otras cosas, detectar si existe la posibilidad de obtener estimaciones correctas, es decir, libres de resultados espurios, de los parámetros que definen las relaciones entre dos o más series, tanto a corto como a largo plazo. Además, si existe cointegración entre las variables de un modelo, este puede analizarse mediante un mecanismo de corrección del error (o modelo de corrección del error VEC) que representa correctamente el comportamiento dinámico de las series y, por lo tanto, constituye una base adecuada para el análisis empírico cubriendo la faceta del equilibrio sobre todo en el corto plazo. Por otra parte, si un conjunto de variables no estacionarias esta cointegrado, es posible entonces plantear un modelo estático (de las variables en niveles, sin rezagos) que tenga sentido, sobre todo en el largo plazo. Sin embargo, la distribución de los estimadores no será estándar en muchos casos, impidiendo la
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realización de pruebas de hipótesis y la predicción. No obstante, la alternativa de los modelos dinámicos no está exenta de problemas, especialmente cuando existe más de un vector de cointegración. Por lo tanto, si realmente hay cointegración entre las variables del modelo, la formulación inicial estática del mismo y su estimación, toman relevancia y se presentan como una opción muy válida y digna de tener en cuenta, entre otras cosas porque estaría ya libre de correlaciones espurias. En ese caso de cointegración, podemos distinguir entre una relación de largo plazo entre variables y la dinámica a corto plazo, es decir, las relaciones entre las desviaciones de la variable explicada respecto de su tendencia a corto plazo y las desviaciones de las variables explicativas respecto de su tendencia a corto plazo. Si este es el caso, una diferenciación de los datos sería contraproducente, ya que podría ocultar la relación de largo plazo entre ambas. Los modelos VEC conservan ambas informaciones. Por ejemplo, en Teoría Económica la relación de equilibrio a largo plazo entre la renta nacional y el consumo agregado es de gran importancia. Se puede asumir que en el corto plazo tal relación puede verse alterada, pero se confía en una convergencia a largo plazo hacia una relación estable. Pues bien, es bastante probable que la serie de datos de consumo privado y de renta familiar o ingresos de las familias estén cointegradas. Si no fuese así, se interpretaría que a largo plazo el consumo podría oscilar permanentemente sin alcanzar un valor estable de equilibrio. La estimación de un modelo VEC nos permitirá obtener conclusiones sobre la relación a largo plazo, y las desviaciones en el corto plazo. ¿Qué son las correlaciones espurias?
Con este término denominamos determinadas estimaciones de modelos que presentan, en principio, buenas validaciones: poseen un alto valor explicativo (R2), valores significativos de los parámetros... pero que encierran relaciones “no- reales ”. Así ocurre cuando las variables explicativas y explicada de la ecuación (por ejemplo, de un modelo AR(p)), no son estacionarias, es decir, presentan tendencia. Cuando esto ocurre, el estimador de mínimos cuadrados no es consistente, y los procedimientos de inferencia no son utilizables, puesto que su utilización nos puede llevar a conclusiones engañosas, al rechazar la hipótesis de nulidad de un parámetro, cuando en realidad sí es nulo, debido a que la distribución de probabilidad de los estadísticos, en esos casos, no coincide con la habitual que utilizamos. Por tanto, los valores críticos utilizados son inapropiados. Como sabemos, podemos convertir una serie en estacionaria mediante diferenciación apropiada. Una serie diferenciada estacionaria se denomina integrada y se denota por I(d), donde d es el orden de integración. El orden de integración es el número de raíces unitarias que contiene la serie o, de otra forma, el número de operaciones de diferenciación que hay que realizar para que la serie se convierta en estacionaria. Una serie estacionaria será I(0). De esta forma, una serie no estacionaria es integrada de orden d y se representa como → I (d )
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cuando puede ser transformada en una serie estacionaria diferenciándola d veces. De hecho, según la definición de Engle y Granger, una serie es integrada de orden d si admite una representación ARMA estacionaria e invertible después de ser diferenciada d veces. Engle y Granger caracterizaron las series I(0) frente a las I(1) como resumimos en el siguiente cuadro:
En la parte A de esta unidad describimos los procedimientos para detectar si una serie es estacionaria con los test de raíces unitarias: Test de Dickey-Fuller (el test DF y el test ADF: DF aumentado) y Phillips-Perron (test PP). Contraste para la cointegración
Los contrastes más comunes de cointegración están directamente relacionados con los contrastes de raíces unitarias. Consideremos el modelo Y t = β 1 + β 2 X t + u t . El análisis de la cointegración de X t e Y t (generalizable a más variables) se realiza mediante los siguientes pasos: • Análisis del orden de integrabilidad de las series X t e Y t , que ha de coincidir (I(1) habitualmente) • Estimación del modelo Y t = β 1 + β 2 X t + u t •
Con los residuos de estimación del modelo anterior uˆt = Y t − β ˆ1 + β ˆ 2 X t realizamos un contraste de raíces unitarias y si estos resultan estacionarios (son I (0)) las series están cointegradas.
Modelos de corrección por el error VEC
El concepto de cointegración y su relación con los modelos de corrección del error MCE ha sido introducido por Granger (1981), Granger y Weiss (1982) y Engle y Granger (1987). Esta teoría es actualmente relevante en las aplicaciones empíricas.
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En particular, la equivalencia entre la noción de cointegración y la existencia de un modelo de corrección de error para las variables resulta importante por varios motivos. En primer lugar, la cointegración brinda un sustento estadístico firme y con una interpretación económica clara para la formulación VEC, al relacionarla tanto con la idea de equilibrio estadístico como con los desajustes al mismo en el corto plazo. Además, la modelización conjunta de los efectos de corto y largo plazo permite resolver en algún sentido el debate sobre la utilización de variables en niveles y en diferencias. De esta forma, el enfoque de series temporales de BoxJenkins y los modelos econométricos estructurales aparecen como casos particulares de los modelos de corrección del error. Finalmente, el análisis del orden de integración de las variables y la existencia de cointegración entre ellas permite evitar el problema de las regresiones espurias. La teoría convencional para el tratamiento estadístico de series temporales se desarrolla bajo el supuesto de que estas son estacionarias. Es posible también realizar el análisis para series estacionarias alrededor de una tendencia temporal determinística, ya que esta es estimable y se puede depurar la serie de dicho componente. Por el contrario, cuando se trabaja con series no estacionarias, existen dos obstáculos principales: los estadísticos de prueba ya no poseen distribuciones estándar, con lo cual la inferencia queda invalidada; mientras que el riesgo de trabajar con regresiones espurias o sin sentido resulta bastante alto. Una de las soluciones de mayor difusión consiste en la diferenciación de las series, tantas veces como sea necesario para transformarlas en procesos estacionarios. Este procedimiento ha sido criticado, sin embargo, al observarse que implica perdida de información de largo plazo que en muchos casos resulta de interés para el investigador. El camino alternativo consiste en la utilización de modelos dinámicos, siendo el modelo de corrección de error VEC una de las formulaciones más populares. La definición del concepto de cointegración ha servido, de alguna manera, para dar cohesión a los diversos desarrollos aislados alrededor del tema. Por un lado brindó una justificación teórica interesante para diferenciar los modelos estáticos con sentido de aquellos que se denominaron espurios. Por otro lado llevo a un primer plano el análisis del orden de integración de las series involucradas, destacando la importancia conceptual de distinguir entre tendencias determinísticas y estocásticas y sus aplicaciones para la inferencia estadística. Finalmente, resultó una condición suficiente para sustentar la equivalencia entre distintas formulaciones dinámicas, como queda demostrado en el teorema de representación de Granger. Si las variables X t e Y t tiene el mismo orden de integración (I (1)) habitualmente) y están cointegradas mediante la relación Y t = β 1 + β 2 X t + ut entonces el modelo de corrección del error asociado VEC es: ˆ − β ˆ X ) + ε = α + δ ∆X + γ ˆ t + ε t ∆Y t = α + δ ∆ X t + γ (Y t −1 − β µ 1 2 t −1 t t
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De este modo, las variaciones de Y t ( ∆Y t ) dependen de las variaciones experimentales en X t a través de δ ∆ X t y del equilibrio que se produjo en el periodo anterior Y t 1 − β ˆ1 − β ˆ 2 X t 1 , a través del termino de corrección del error CE= γ (Y t 1 − β ˆ1 − β ˆ2 X t 1 ) . −
−
−
−
Si la variable Y estaba en el periodo de t-1 por encima de su valor de equilibrio es de esperar que γ sea negativo. Si la variable Y estaba en el periodo t-1 por debajo de su valor de equilibrio es de esperar que γ sea positivo. Resumiendo podemos decir que si existe cointegración entre las variables de un modelo, este puede analizarse mediante un modelo de corrección del error VEC que representa correctamente el comportamiento dinámico de las series del modelo. El modelo de corrección del error expresa el cambio presente en la variable dependiente como una función lineal de los cambios en las variables explicativas y del término de corrección del error CE. El coeficiente γ del término de corrección del error representa la velocidad de convergencia entre el corto y largo plazo, por lo tanto, una vez ajustado el modelo de corrección del error dado por ∆Y t = α + δ ∆ X t + γ (Y t 1 − β ˆ1 − β ˆ 2 X t 1 ) + ε t , ya se puede medir la fuerza de la validez del modelo Y t = β 1 + β 2 X t + ut a largo plazo. −
−
Esta es la utilidad esencial del modelo de corrección del error asociado a un modelo cointegrado. EJERCICIO 2 CONSUMO DE GASOLINA
Se trata de explicar el gasto real de gasolina per cápita Y mediante el precio real de la gasolina X2, el ingreso real disponible per cápita X3 y los litros por kilómetro consumidos X4. Todas las variables vienen dadas en datos trimestrales desde 1959.1 a 1990.4 en logaritmos ajustados estacionalmente (archivo ejercicio2.wf1).
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¿Será posible realizar un ajuste de este modelo no espurio y valido en el largo plazo? En caso afirmativo ajustar el modelo de corrección del error asociado a la relación de cointegración e interpretar los resultados. SOLUCION: para realizar un ajuste modelo valido en el largo plazo (no espurio)
será necesario que exista una relación de cointegración entre las variables del modelo. Para ello, en primer lugar, analizaremos la estacionariedad de todas las variables que lo integran Demuestre que las variables Y, X2, X3 y X4 no son estacionarias y sí lo son sus primeras diferencias, es decir, son variables I (1). Utilice el test de Philips Perron seleccionando en Unit Root Test como se indica en la siguiente pantalla:
Hemos visto que las cuatro variables del modelo (en logaritmos) son no estacionarias, pero sí lo son sus primeras diferencias. Esto indica que las cuatro series son I (1). Por lo tanto, se cumple la primera condición para que exista una relación de cointegración. La siguiente tarea será comprobar que efectivamente las variables cointegran. Para ello ajustamos el modelo Y = β 0 + β 1 X 2 + β 2 X 3 + β 3 X 4 + u y comprobamos si los residuos estimados tienen raíces unitarias (son estacionarios).
Usamos Quick — Estimate Equation , escribiendo la ecuación del modelo a ajustar en el campo Equation Specification de la solapa Specification , eligiendo Least Squares en el campo Method para ajustar por mínimos cuadrados y haciendo clic en aceptar. Se obtiene el modelo ajustado.
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Para guardar los residuos estimados (variable RESID) con otro nombre, seleccionamos la variable RESID, elegimos Object—Copy Selected y en la pantalla Object Copy elegimos RESID01 como variable destino. Al pulsar OK ya tenemos RESID01 como nueva variable copia de RESID.
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Para comprobar que los residuos estimados del nuevo ajuste son estacionarios elegimos Quick—Series Statistics—Unit Root Test , rellenamos la pantalla Series Name con la variable RESID01 y al pulsar OK se obtiene la pantalla Unit Root Test en cuyo campo Test Type elegimos Phillips-Perron y en cuyo campo Test For Unit Root in elegimos Level ya que estamos probando la estacionariedad de la serie RESID01 en niveles.
Dado que el test se realiza sobre residuos que provienen de una estimación previa, no es lícito utilizar la tabla de Phillips Perron. Los autores Engle y Granger calcularon por simulación valores críticos para este contraste, según cantidad de variables incluidas en la relación lineal. Davidson y Mac Kinnon calcularon valores asintóticos para este test. Los valores se incluyen en la siguiente tabla:
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Valores críticos asintóticos para test de cointegración Estadístico 1% 5% 10% K de contraste c -3.90 -3.34 -3.04 2 ct -4.32 -3.78 -3.50 c -4.29 -3.74 -3.45 3 ct -4.66 -4.12 -3.84 c -4.64 -4.10 -3.81 4 ct -4.97 -4.43 -4.15 c -4.96 -4.42 -4.13 5 ct -5.25 -4.72 -4.43 c -5.25 -4.71 -4.42 6 ct -5.52 -4.98 -4.70 K indica el número de variables en la ecuación de cointegración estimada. La letras c y ct indican si la ecuación contiene una constante
o una constante y una tendencia línea.
Fuente: Davidson y Mac Kinnon,” Estimation and Inference in Econometrics”, Oxford University Press, 1993.
Los valores marcados en amarillo en la tabla son los correspondientes a utilizar para comparar el valor de la t de student que es de 5.278111. Este valor es superior a los valores críticos de Davidson y Mac Kinnon a cualquier nivel de significación. Esto significa que el valor t cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula y por lo tanto hay que rechazar la hipótesis de raíz unitaria, lo que indica presencia de estacionariedad en los residuos del modelo. Llegamos entonces a la conclusión de que las variables del nuevo modelo cointegran y este ya no es espurio.
Además, si aplicamos la prueba de DWRC (Durbin Watson de regresión de cointegración) tenemos d= 0,74>0,511 , con lo que se acepta la cointegración al 99% de confianza. Este test se basa en el valor del estadístico d de Durbin Watson obtenido al hacer la regresión entre las variables del ejemplo. Los valores críticos calculados por Engle y Granger, para esta prueba, son: Nivel de Significación 1% 5% 10%
Valores 0.511 0.386 0.322
Finalmente, la relación de cointegración estimada es: Y=-1,514535299- 0,138560632 X2 + 0,9985472776 X3 – 0,518128151 X4 Por otra parte, según los resultados del ajuste MCO se observa una significatividad individual y conjunta de los parámetros estimados muy alta, así como un coeficiente de determinación muy bueno (ver modelo estimado más arriba).
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Asociado a esta relación de cointegración existirá un modelo de corrección del error VEC que tendrá la siguiente expresión: ∆Y t = β 0 + β 1 ∆ X 2 t + β 2 ∆ X 3t + β 3 ∆ X 4 t +
β 4 RESID03t −1
+ u t
Ajustamos este modelo utilizando Quick – Estimate Ecuation , escribiendo la ecuación del modelo a ajustar en el campo Equation Specification de la solapa Specification , eligiendo Least Squares en el campo Method para ajustar por mínimos cuadrados y apretando Aceptar . Los resultados son los siguientes:
El ajuste de este modelo de corrección del error asociado a la relación de cointegración es el siguiente. ∆Y t = −1,521427 − 0,13625 ∆ X 2 t + 0.999642 ∆ X 3t − 0,517948 ∆ X 4 t + 0,627359 RESID03t −1
Como β 4 = 0,627359 es positivo, la variable Y estaba en el periodo t-1 por debajo de su valor de equilibrio, con lo que empezará a aumentar en el siguiente periodo hasta restaurar el valor de equilibrio. Sabemos que el coeficiente del residuo en el modelo VEC mide la velocidad de convergencia al equilibrio del modelo cointegrado en el largo plazo. Por lo tanto β 4 =0,62 indica que la velocidad de convergencia al equilibrio del modelo cointegrado en el largo plazo es bastante aceptable. La estabilización de nuestro modelo en el tiempo es bastante rápida. La variable Y se ajusta rápidamente a los cambios a corto plazo experimentados en X2, X3 y X4.
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3. Modelos Autorregresivos Condicionales Heteroscedásticos (ARCH). Resumen •
En la modelización econométrica tradicional, tanto estructural como ARIMA, es habitual imponer el supuesto de homoscedasticidad , es decir, de constancia de la varianza. El análisis del cumplimiento o no de este supuesto se realizaba, hasta no hace mucho, con la única finalidad de obtener estimaciones estáticas de dichas varianzas e incorporarlas como un elemento de ponderación de las estimaciones habituales en la búsqueda de buenas propiedades estadísticas de los estimadores.
•
La modelización ARCH, por el contrario, plantea una estrategia de modelización dinámica de la propia varianza. En determinadas situaciones económicas se desea predecir las varianzas condicionales, es decir, determinar su patrón de comportamiento estadístico. Así ocurre al analizar los mercados financieros. Tan importante es la predicción del valor medio como de la volatilidad. El grado de dispersión de la serie (varianza) puede ser utilizado como un indicador del riesgo en el mercado.
•
El planteamiento básico reside en modelizar la varianza de una variable dependiente en función de los valores pasados de la propia variable y de las variables independientes o exógenas que se incluyan en el modelo. Así, Un proceso ARCH (q) simple viene definido por dos expresiones: en la primera se modeliza la esperanza condicionada en función de la varianza y de un término de error; en la segunda ecuación es la varianza condicionada la que es modelizada en función de sus valores pasados. En resumen:
donde se asumen las siguientes restricciones: a. El término de error, épsilon, es un proceso idénticamente distribuido con media cero y desviación típica igual a uno. b. El parámetro omega es mayor de cero y los parámetros alpha (para i=1,...q) son mayores o iguales a cero. Además, para cumplirse la condición de estacionariedad en media, la suma de todos los parámetros es menor que la unidad. c. Si épsilon es un proceso gaussiano y se distribuye según una normal, entonces es condicionalmente normal y su varianza depende del momento del tiempo. •
Los llamados modelos GARCH (Generalized ARCH) adoptan un esquema más general de comportamiento, en el que la varianza es función de los retardos de los residuos al cuadrado y de la varianza en períodos anteriores.
•
Una vez especificado el modelo, es necesario testar la presencia de factores de varianza condicional autorregresiva. Entre las distintas posibilidades, la más utilizada la constituye los contrastes basados en el multiplicador de Lagrange, bien con el test F de nulidad de los parámetros, o bien con el Test N*R2 (test LM). Si se determina la presencia de factores heterocedásticos
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condicionales, entonces es procedente pasar a la estimación del modelo GARCH (p,q) más adecuado, y ello se realiza mediante un proceso recursivo de estimación máximo verosímil. •
A partir de estas formulaciones generales, se han desarrollado extensiones metodológicas que se adaptan a una casuística extensa.
•
Los modelos ARCH tampoco están exentos de críticas. Resumimos algunas de ellas.
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Heterocedasticidad
En Econometría básica se expuso el problema de la heterocedasticidad y se mostró cómo las correcciones para las perturbaciones del error heterocedástico pueden conducir a estimaciones de parámetros más eficientes. Aquí nos enfocaremos en gran medida a situaciones en que la varianza del término del error varía en forma directa con una o más variables independientes. Por ejemplo, en la siguiente ecuación de regresión:
Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + ε t La varianza de ε t puede ser proporcional a X 2t 2 . En este caso podríamos usar un procedimiento de mínimos cuadrados ponderados en que dividimos las variables de la izquierda y la derecha entre X 2t y luego estimamos la ecuación de regresión transformada: Y t X 2t
= β 1
1 X 2t
+ β 2 + β 3
X 3t X 2 t
*
+ ε t
con mínimos cuadrados ordinarios. El término del error transformado ε t * = ε t / x2t es homocedástico y, por tanto, los mínimos cuadrados ordinarios producirán estimaciones de parámetro eficientes. En algunas aplicaciones puede haber razones para creer que la varianza del término del error no es una función de una variable independiente sino que varía con el tiempo de tal forma que depende de lo grande que fueron los errores en el pasado. Como ejemplos de esto se incluyen los modelos de inflación, tasas de interés y rendimientos en el mercado de valores. Con frecuencia en estas aplicaciones hay evidencia de un agrupamiento de errores grandes y pequeños. En el modelo de tasas de interés, por ejemplo, es probable que se encuentren períodos de volatilidad alta (y errores grandes) seguidos por períodos de volatilidad baja (y errores menores). En otras palabras, hay una clase particular de heterocedasticidad presente en la que la varianza del error de regresión depende de la volatilidad de los errores en el pasado reciente. Un modelo que se usa en forma extensa para esa forma de heterocedasticidad fue elaborado por Robert Engle, qué sugirió que el uso de un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) conduciría a un incremento de la eficiencia. El modelo funciona de la siguiente manera:
Comenzaremos con una primera ecuación
Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + ε t que relaciona una variable dependiente con dos variables independientes.
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Luego escribiremos una segunda ecuación relacionando la varianza del término del error con la cantidad de volatilidad observada en períodos recientes. La más “reciente” de estas ecuaciones sería,
σ t 2
2
= α 0 + α 1ε t −1
Especifica que la varianza de ε t , σ t 2 tiene dos componentes, una constante y las “noticias” respecto a la volatilidad del último período lo cual es modelado como el residual cuadrado del último período ( el término ARCH). Obsérvese que en este modelo ε t es heterocedástico, condicional en ε t 1 . −
Tomando en cuenta esta información acerca de la heterocedasticidad condicional de ε t , se puede obtener estimaciones más eficientes de los parámetros β 1 β 2 y β 3 . La estimación de estas dos ecuaciones con frecuencia se hace con máxima verosimilitud. Dado el bajo costo del poder de cálculo, esto no es muy difícil. Por consiguiente, los paquetes de programas de econometría, como EViews, hacen posible estimar modelos de ARCH de esta clase con mucha facilidad. Dado que la varianza de ε t en la segunda ecuación solo depende de la volatilidad del último período, nos referiremos a este modelo como ARCH (1). De manera más general, la varianza podría depender de cualquier cantidad de volatilidades rezagadas. Escribiremos el modelo ARCH (p) como:
σ t 2
2
2
2
= α 0 + α 1ε t −1 + α 2 ε t − 2 + L + α p ε t − p
Nótese que en este caso los parámetros p + 1 del proceso de varianza deben estimarse junto con los parámetros β 1 β 2 y β 3 de la regresión, una vez más
usando estimación de máxima verosimilitud. A menudo hay razón para esperar que la varianza de ε t dependerá de volatilidades pasadas que se remontan a una gran cantidad de periodos (esto sucede en particular en aplicaciones de finanzas que implican el uso de datos diarios o semanales). El problema en este caso es queda deben estimarse una gran cantidad de parámetros, y esto puede ser difícil de hacer con alguna precisión. Sin embargo, si reconocemos que la ecuación correspondiente al ARCH(p) tan solo es un modelo de rezago distribuido para σ t 2 , vemos que podemos reemplazar muchos de estos valores rezagados de ε t 2 con sólo uno o dos valores rezagados de σ t 2 . Esto nos conduce al modelo heterocedástico condicional autorregresivo generalizado (GARCH), el cual también puede estimarse por máxima verosimilitud. El modelo GARCH más simple es el GARCH (1,1):
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σ t 2
2
2
= α 0 + α 1ε t −1 + λ 1σ t −1
Ahora la varianza del término del error tiene tres componentes: una constante, la volatilidad del último periodo (el término ARCH) y la varianza del último periodo (el término GARCH). En el modelo de rezago distribuido geométrico (que se tratará en el próximo capítulo), mientras λ 1 sea menor que 1, podemos escribir la ecuación del GARCH (1,1) como: 2 t
σ
=
α 0 1− λ 1
∞
+ α 1
∑ λ 1
j −1
ε t 2− j
j =1
En otras palabras, la varianza de hoy depende de todas las volatilidades pasadas, pero con ponderaciones que declinan en forma geométrica. En general, se puede tener cualquier número de términos ARCH y de términos GARCH. El modelo GARCH (p, q) se refiere a la siguiente ecuación para σ t 2
σ t 2
2
2
2
2
= α 0 + α 1ε t −1 + L + α p ε t − p + λ 1σ t −1 + L + λ qσ t − q
Por último, esta ecuación puede generalizarse aún más incluyendo una o más variables exógenas o predeterminadas como determinantes adicionales de la fuera una variable exógena, podríamos varianza del error. Por ejemplo, si incluirla como parte del siguiente modelo GARCH (1,1)
σ t 2
2
2
= α 0 + α 1ε t −1 + λ 1σ t −1 + γ 1 X 3t
Sin embargo, la adición de variables exógenas o predeterminadas a la ecuación para σ t 2 debe hacerse con cuidado. Si toma valores negativos, esto puede causar que la varianza sea negativa para algunas observaciones. Del mismo modo como se puede introducir variables exógenas o predeterminadas en el lado derecho de la ecuación que describe σ t 2 , podemos incluir σ t 2 en el lado derecho de la ecuación de regresión. Por ejemplo, se puede hacer esto si el propósito de la regresión es explicar los rendimientos de acciones financieras como valores o bonos. La razón para esto es que uno esperaría que el rendimiento sobre una acción financiera fuera proporcional al riesgo de la acción. Se puede modelar el rendimiento nominal de un índice de valores, como el índice Standard & Poor's 500 (S&P 500), que denominaremos RETURN t , como dependiente de un término constante, la tasa de inflación y la varianza condicional: RETURN t = β 1 + β 2 INF t + β 3σ t 2 + ε t
Entonces, se puede describir la varianza σ t 2 como un proceso GARCH (p, q). Un modelo de éste tipo (en el que el riesgo esperado es sustituido por la varianza condicional). Se llama modelo ARCH-M (ARCH en MEDIA).
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Otra variante son los modelos TARCH (Treshold ARCH ) y EGARCH (Exponential GARCH ). La aplicación más extendida de los modelos GARCH y ARCH se centra en los datos del mercado financiero. En el caso de los mercados bursátiles, se observa con frecuencia que los movimientos a la baja del mercado son, generalmente, más volátiles que los movimientos al alza que le siguen. Para modelizar este fenómeno contamos con las variantes de los modelos ARCH Y GARCH conocidas como TARCH y EGARCH. El modelo TARCH se especifica, para la varianza condicional como:
σ t 2
2
2
2
= α 0 + α 1ε t −1 + λ 1σ t −1 + γ 1ε t −1 d t −1
Donde d t =1 si ε t < 0, y en caso contrario 0, con lo que la variable ficticia creada determina, precisamente, este componente asimétrico en las innovaciones positivas y negativas. En este modelo, buenas expectativas (ε < 0), y malas expectativas (ε > 0), tienen un efecto diferencial sobre la varianza condicional, pues las expectativas favorables tienen un impacto sobre α, mientras que las malas noticias tienen un impacto sobre α + γ . Si γ > 0 se dice que existe el efecto influencia, mientras que si γ ≠ 0, el impacto de las expectativas es asimétrico. En el modelo EGARCH la especificación para la varianza condicional es:
Es decir, se expresa el logaritmo de la varianza condicional, que implica que el efecto influencia es exponencial, en vez de cuadrático, y se garantiza que las estimaciones de la varianza condicional no sean negativas. La presencia del efecto influencia puede ser analizada bajo la hipótesis γ < 0, mientras que el impacto será asimétrico si γ ≠ 0.
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Ejercicio 3. Tasas de interés a largo plazo
En este ejemplo modelamos el comportamiento de la tasa del bono corporativo RAAA relacionándola con valores actuales y pasados de una tasa de interés libre de riesgo a corto plazo (tasa de bono de tesorería a 3 meses – R3) al igual que el índice de producción industrial IP y la tasa de inflación de precios al mayoreo PW.
La figura anterior muestra la tasa del bono corporativo RAAA y la tasa de bonos de tesorería a tres meses desde 1960 hasta principios de 1996, R3. Obsérvese que la tasa del bono, por lo general, es mayor que la tasa de bonos de tesorería y también tiende a suavizar las fluctuaciones a corto plazo en la tasa de bonos de tesorería. La tasa del bono refleja expectativas de valores futuros de la tasa de bonos de tesorería (y por lo tanto debería ser menos volátil que esa tasa) y también incluye una pequeña prima de riesgo que refleja la probabilidad de incumplimiento. Ejecutaremos la regresión de la tasa del bono (RAAA) contra valores actuales y rezagados de la tasa de tesorería (R3), valores actuales y rezagados del índice de producción industrial (IP), la tasa de crecimiento del índice de precios al productor para todas las mercaderías y el valor rezagado de la tasa del bono RAAA. Después de algunos ensayos se eligió la siguiente ecuación, estimada por MCO
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La figura a continuación muestra los residuales de ésta regresión. Obsérvese el “Agrupamiento de la volatilidad”, hay períodos extendidos en los que la volatilidad es bastante baja (por ejemplo, de 1962 a 1967) y períodos en los que la volatilidad es bastante alta (por ejemplo, de 1980 a 1988). Esto sugiere que el término del error es condicionalmente heterocedástico y, por lo tanto, puede ser representado por un modelo de ARCH o GARCH.
Para explorar ésta posibilidad, se reestimó la ecuación usando un modelo GARCH (1.1) simple para representar la varianza del término del error. Los resultados se muestran a continuación:
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Obsérvese que para estimar este modelo se utilizó Quick/Estimate Equation y en method se seleccionó ARCH , luego se hizo click en aceptar y los resultados son los mostrados en la salida del EViews anterior. En donde nos muestra el modelo GARCH(1,1), bajo el título Variance Equation , que podríamos escribirlo de la siguiente manera: σ t 2
2
2
= .00000011+ 0.2103 ε t −1 + 0.8139σ t −1
Al incluir esta representación GARCH de la varianza del error tuvo muy poco impacto en cualquiera de las estimaciones de coeficientes. Nótese también que el error estándar de la regresión se ha incrementado. Esto no significa que el modelo no explique también la tasa de interés. Tan solo refleja el hecho de que cuando se estima una regresión con errores heterocedásticos con MCO, los errores estándares estimados serán sesgados. Para explorar el patrón de heterocedasticidad más a fondo, agregamos una variable exógena a la ecuación GARCH. Retuvimos la estructura GARCH(1.1) pero también incluimos en esta ecuación el cambio en el valor rezagado de la tasa de bonos de tesorería a tres meses. Para incluir DR3(-1) generamos en el Workfile la variable DR3=R3-R3(-1); luego incluimos esta variable en forma rezagada un período: DR3(-1). Los resultados de estimar este modelo fueron los siguientes:
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El cambio rezagado en la tasa de bonos de tesorería a tres meses, se añade, significativamente, a la explicación de los cambios en la varianza del término de error de la regresión. Los términos de ARCH y GARCH son ahora significativos individualmente. Algunas debilidades de los modelos ARCH
Aunque sin duda los modelos ARCH suponen un paso adelante en la modelización econométrica adolecen, también, de ciertas restricciones o debilidades, algunas superadas por las extensiones metodológicas analizadas anteriormente. Sintetizamos las mismas siguiendo a R. Tsay (2001): 1) El modelo trata de la misma manera los cambios positivos y negativos, puesto que depende de los cuadrados de los cambios previos. En la práctica es suficientemente conocido que para series temporales financieras los precios responden de diferente forma a cambios positivos o negativos. 2) El modelo ARCH es demasiado restrictivo. Por ejemplo, para el modelo ARCH(1) el parámetro alfa 1, tiene que estar entre [0,1/3] si la serie tiene que tener un cuarto momento finito. La restricción es incluso más fuerte para modelos ARCH de orden superior. 3) El Modelo ARCH no provee nada nuevo para la comprensión de las series temporales financieras. Solamente aportan una manera mecánica para describir el comportamiento de la varianza condicional, pero no dice nada sobre las causas de que tal comportamiento ocurra. 4) Los modelos ARCH a menudo sobre-predicen la volatilidad, porque responden lentamente a grandes shocks aislados que cambian la serie.
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Actividades
1. Una visión de conjunto
Como ha comprobado a lo largo de estas dos unidades, es amplia la variedad de técnicas de predicción, su dificultad metodológica, y la casuística a la que se aplica. Le sugerimos realizar una actividad consistente en la comparación de las distintas técnicas a efectos de predicción. Seleccione un tema que sea de su interés, y del que pueda disponer de estadísticas, pero no utilice las más recientes. Éstas le servirán para comparar la predicción con los datos reales. Justamente se trata de aplicar varias de las técnicas vistas a lo largo de estos capítulos para realizar una comparación de las predicciones obtenidas con cada una de ellas y los datos reales. De tal comparación podría establecer una relación entre la eficacia de la técnica y los costos de la misma. Aplicado a su campo, ¿cuál de ellas arroja mejores resultados a efectos de predicción? 2.
Autoevaluación: Test y preguntas breves.
Marque la casilla de la respuesta que considere correcta: 1) ¿A qué puede obedecer la expresión:
a) Modelo estructural de 2 ecuaciones y 2 incógnitas. b) Modelo VARMA (1,1). c) Un modelo VEC de 2 ecuaciones. d) Modelo GARCH (1,1). 2) ¿Qué puede provocar una correlación espuria?
a) Una regresión con series no estacionarias. b) Una regresión con alta autocorrelación. c) Una regresión entre variables que no tiene relaciones de causalidad. d) Una regresión entre dos variables equivalentes. 3) Señale la respuesta CORRECTA en relación con los aspectos que distinguen un modelo VAR de un modelo estructural.
a) Al contrario que el VAR, el modelo estructural es multiecuacional. b) Al contrario que los estructurales, los modelos VAR predicen más de una variable. c) Al contrario que los VAR, en los modelos estructurales las variables endógenas no pueden ser explicadas por sus propios retardos.
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d) Al contrario que los estructurales, en los modelos VAR todas las variables explicadas retardadas actúan como explicativas. 4) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la ecuación de cointegración?
a) Es la combinación lineal que convierte en estacionarias varias series integradas de orden uno. b) Muestra la relación de equilibrio a largo plazo entre las variables que la forman. c) Contiene información sobre series estacionarias. d) Muestra el error cometido entre la predicción a corto y a largo. 5) ¿Cuál de los siguientes elementos diferencia a un modelo GARCH de un ARCH?
a) Al contrario que el ARCH, el GARCH incorpora en la explicación de la varianza a los valores rezagados de la propia varianza. b) Al contrario que el ARCH, los modelos GARCH permiten incorporar las asimetrías positivas y negativas en las innovaciones. c) Al contrario que el ARCH, los modelos GARCH permiten que el efecto de la innovación sea exponencial. d) Al contrario que el ARCH, los modelos GARCH permiten comprender las relaciones teóricas subyacentes a los modelos financieros. 6) La función impulso-respuesta muestra...
a) La variación global de las variables explicadas ante cambios de las variables explicativas. b) La variación relativa de la variable explicada ante un cambio en la misma variable rezagada. c) La variación de las explicadas ante cambios en los errores. d) La variación del error de predicción al aumentar el número de retardos de las explicativas. 7) ¿Cuál de las siguientes circunstancias es un problema en la estimación de modelos estructurales?
a) Se estiman varias ecuaciones. b) Se incluyen identidades entre las ecuaciones. c) Se necesita distinguir entre variables endógenas y predeterminadas. d) Existen relaciones de simultaneidad entre las ecuaciones. 8) ¿Cuál es el elemento diferenciador de un modelo ARCH?
a) Son modelos multiecuacionales. b) Tiene en cuenta la heteroscedasticidad de la varianza.
