CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2014.2 Provas Anteriores – Parte II – Prof. Raul Rosas e Silva CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2006.2 Prov Provaa da da Par Parte te II – Rau Raull Ros Rosas as e Sil Silva va 712 7122 200 0066 1. !0"#$0"#$1"0$1"0% Obtenha a carga crítica da coluna engastada e livre da Fig. 1a, submetida a uma carga axial de direção constante, considerando uma função na forma a + b cos
π x
2 L
para o deslocamento transversal.
Determine primeiramente o valor apropriado da relação entre os coeficientes a e b, e utilie utilie !a" o #uociente #uociente de $a%leigh e !b" o #uociente de &imoshen'o. &imoshen'o. ( seguir !c" empregue o #uociente de $a%leigh para calcular a carga de flambagem do p)rtico da Fig. 1b. P
x P
L
EI
L
EI
L
k
EI
Figura 1a
Figura 1b
2. !2"0%*ma coluna engastada e apoiada, conforme mostrado na Fig. 2, por alguma raão, deve ser enri+ecida #uanto flexão no plano xy plano xy com com uso de forças dirigidas para os pontos ( e -, sem acrescentar rigide no plano xz plano xz !sugerese !sugerese usar o sistema de cargas mostrado". /ual o valor da dist0ncia d para #ue a carga crítica fora do plano !rotação θ" fi#ue igual carga crítica no plano !rotação θ%"
x
P d
A
d
B
roldan a cabo L
mg
m g
EIy, EIz = EIy/2
z y Figura 2
&. !1"0$1"0% ( extremidade da viga da Fig. est3 su+eita a dois momentos 4, #ue se e#uilibram mas são aplicados de diferentes formas. Obtenha os valores críticos de 4, para diferentes formas de comportamento p)scrítico, conforme as Figs. a e b. !&ome s) as rotaç5es indicadas." 6aso ha+a necessidade de considerar efeitos din0micos, admita #ue h3 uma in7rcia rotacional r, em ambas as direç5es, concentrada na extremidade da viga.
L
r
P = /d
θ P= /d
!"a#
φ
EI, GJ
P = /d d
!"b# P = /d
$%&guidor' !(&)or mom&n)o %&gu& a ro)a*+o da (iga &m )orno d& ambo% o% &ixo%#
4. '2"0( 6alcule a carga crítica do p)rtico ( abaixo !pode considerar diretamente os coeficientes de rigide el3stica e geom7trica, despreando deformaç5es axiais", considerando #ue as cargas mant8m magnitude constante durante a flambagem mas são oriundas de atuadores !macacos" fixados a uma dist0ncia d acima dos n)s superiores do p)rtico ( !vide no detalhe direita o comportamento das forças ap)s9durante a flambagem".
atuadores d
:
:
:
#1 #2
#
:
#1
;
:)rtico rígido
:)rtico (
;
#. '1"0( Obtenha, +ustificando com uso de matries geom7tricas, as cargas críticas de uma viga biapoiada de seção sim7trica su+eita a uma força de protensão centrada = e uma força aplicada : na extremidade, #uando !a" o cabo de protensão 7 aderente linha m7dia, ap)s a deformação e !b" #uando o cabo 7 externo viga, preso na extremidade inferior.
P 0 !or*a no cabo#
Função de forma> w( x )
1.
•
RES)*+,-) A PR)VA/2006 π x = a + b cos ÷ deslocamento transversal 2 L
condiç5es de contorno
- .1 - w( ?)
?π = ? → a + b cos ÷ = a + b ∴a = −b 2 L
- .? - w(@ ?) a"
π
=?→
2 L
π x = π b sin ?π = ? ÷ ÷ 2 L 2L 2L
b sin
#uociente de $a%leigh
L 1 ⌠ V1 = EIw,2 xx dx e V = ⌡? 2
L
∫ ?
qwA,2 x dx Q R
:ara o coeficiente de $a%leigh, preciso de w, xx e w, x L 1 ⌠ EIw,2 xx dx V ⌡ 2 Q R = P cr = 1 = ? L
V
∫ qw dx ?
Babendo #ue
2 , x
=
V 1 V
w(@ x ) w(@@ x )
π x ÷ 2 L 2 L 2 π π x = − 2 b cos ÷ C L 2 L =−
π
b sin
π x 1 π2 ⌠ EI b cos − 2 L÷÷ dx ⌡? 2 C L2 L
P cr =
L
⌠ ⌡?
− b sin ÷ 2 L 2 L ÷ π
π x
2
dx
L
EI
=
1 ⌠ π C
π x dx ÷ 2 ⌡? 1 LC 2 L L ⌠ π 2 2 π x b sin C L2 2 L÷ dx ⌡? b cos2
:or trigonomia, sabese #ue>
= 1 + cos 2θ 2 sin 2 θ = 1 − cos 2θ 2 cos2 θ
EI P cr
=
1 ⌠ π C
π x dx ÷ 2 ⌡? 1D LC 2 L L ⌠ π 2 2 2 π x C L2 b sin 2L÷ dx ⌡? b
2
cos2
,- .1 -/ 1 π C b2 2 π L
2 L÷ 2 1D L = 2 2 π b L π L sin + L÷ C L2 2 1- 2 -" EI
C
sin
?
EI
=
1 π C b2 2 1D LC 2
2
π b L
C L2 2 b" coeficiente de &imoshen'o
=
EI π
C
b
2
2 1D LC
×
E 2
L
π b
2
=
EI π
C L
2
L
QT
=
∫
? L
w,2 x dx 2
⌠ w dx ⌡? EI L
⌠ bπ xπ dx sin − 2 L 2 L÷ = ⌡? L 2 1 ⌠ π x dx a b cos + ÷ EI ⌡? 2 L 2
Faendo as integrais L
⌠ ⌡?
2
L
bπ sin xπ dx ⌠ b 2π 2 sin2 xπ dx b2π 2 L sin xπ b2π 2 = 2L÷ = CL2 2 + L÷ = EL 2 − 2 L 2 L÷ C L ⌡? L 2 L 1 ⌠ xπ 1 ⌠ 2 2 xπ dx = 1 a 2 L + b2 L 2 a b cos dx a b cos + = + 2 L÷ ÷ EI ⌡? EI ⌡? 2L EI 2
b2π 2 QT
=
E L
,sabendo #ue a = δ e a
a 2 L + b2 L EI 2 1
= −b
b2π 2
=
E L 1 2a 2 L + b2 L
EI
=
b2π 2 E L
2
2δ 2π 2 EI
2 EI
× 2 = −b L
=
EL2δ 2
EIπ 2
C L2
c" empregue o #uociente de $a%leigh para calcular a carga de flambagem do p)rtico da Fig. 1b
2 2
n F de colunas
Q R
= P cr =
V 1 V
=
base el3stica . - L
L
∫ EIw dxG ∫ kw dx ∫ 1- w2 -"dx 2 , xx
?
L
?
?
2 , x
nF de colunas c9 força aplicada
2 2
base el3stica . -
n F de colunas
P cr =
∫
L
?
EIw,2 xx dxG L
L
∫ ?
kw2 dx
∫ 1- 2 -" ?
w,2 x dx
nF de colunas c9 força aplicada
Faendo as integrais, temos #ue L
⌠ bπ 2 xπ EIb2π C 2 2 EIw, xx dx = 2 EI 2 cos ÷ dx = ? C L 2 L 1 L ⌡? L
∫
2
2
L
L
⌠ ⌠ a 2 2 xπ a 2 L b2 L xπ 2 kw dx = k a + b cos ÷ dx = k − b sin ÷ dx = k + ? π 2 L L 2 ⌡? 2 ⌡? L L 2 L ⌠ ⌠ b2π 2 2 xπ b2π 2 L b2π 2 π π b x 2 w, x dx = sin ÷ dx = sin ÷ dxH = 2 2 ? 2L CL 2 EL ⌡? C L ⌡? 2 L 2 L 2
L
∫ ∫
De posso desses valores, substituir na expressão anterior 2
EIb π P cr =
1 L
C
a L b2 L + Gk π 2 2
b2π 2 E L
EIb2π C a 2 L b2 L EL = + 2 2 Gk π b π 1 L 2 Ca 2 L2 EL2 EI π 2 EI π 2 = 2 + k 2 2 + = 2 k 2 L 2L π bπ π + 2 EI π 2 = 2 + CkL2 2 L π
Cδ 2 L2 2
δ π
2
EL2
+ = π
EI π 2 2 L2
+ k
+ EL2 π
C L2π
2. ". /ual o valor da dist0ncia d para #ue a carga crítica fora do plano !rotação θ" fi#ue igual carga crítica no plano !rotação θ%" Babendo #ue >
EI y EI y EI = z 2
rigide el3stica *sando matries de rigide geom7trica !de :" rigies das cargas !mg" B) h3 um deslocamento, considerer δ y !matri 1x1" $igide da coluna engastada e livre> K E $igide geom7trica> K G $igide das cargas> K L
=
=
P
I L mg d
=
12 EI L
=
12 EI C L
=
EI L
CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2007.2 Prova da Parte II – Prof. Raul Rosas e Silva 10122007 1. !2"0% Obtenha a carga crítica nominal da estrutura abaixo !2 barras inclinadas, 1 horiontal. 4ostre em #ue situação prevalece o modo de flambagem de treliça !do con+unto" sobre o de flambagem isolada dos elementos. J:ista> montar matries de rigide el3stica e geom7trica, para 2 g.l. de translação.K :
; (s barras t8m mesmo
;
α
(
2. '2"0( 6alcule aproximadamente a carga crítica de uma vigacoluna em balanço, ligada a uma base el3stica tipo Min'ler, submetida a duas cargas axiais de direção constante, na extremidade e no meio do vão. *se uma função polinomial cNbica para o deslocamento transversal, com C constantes a determinar. JObs.> 2 constantes podem ser eliminadas considerando as condiç5es essenciais no engaste."
x
P1
P2
A k L
&. !2"0% !a" 4ostre como obter uma estimativa da carga crítica !mínima" de um tubo alongado sob pressão externa, flambando no plano transversal, usando o #uociente de $a%leigh com um termo trigonom7trico sen!nπx9;" e as express5es !aproximadas" de energia
EI 2
∫
!vO+ v 9 R
2
qR
" dx e
2
∫
v @ 2 dx
e, onde v 7 o deslocamento radial !positivo para dentro" correspondente ao modo de flambagem. (tenção> admita ainda #ue no interior do tubo h3 um material #ue funciona como uma base el3stica Min'ler na direção radial, de constante '.
4. !2"0$2"0% *ma viga est3 sob ação de duas forças iguais e opostas, de direção constante, aplicadas a um bloco rígido em sua extremidade !centro de cada face". !a" 6alcule as cargas críticas para flambagem no plano e fora do plano. !b" $ecalcule a carga crítica !est3tica ou din0mica", considerando agora #ue uma das forças aplicadas acompanha a rotação da viga ap)s a flambagem. J1,IG?,IG1,?K h
h :
h
: :
h
: :
:
;
:
; !a"
:
-loco de massa translacional 4 e massa rotacional !in7rcia rotação" $. Qiga de massa despreível em relação massa do bloco.
CIV2106 Instabilidade das Estruturas 200.2 Prova da Parte II – Prof. Raul Rosas e Silva 1112200 1. !0"#$1"0$1"0% Obtenha a carga crítica nominal da estrutura abaixo !flambando como treliça, 2 g.l." , considerando os seguintes comportamentos de carga logo ap)s a flambagem> !a" magnitude e direção constantesP !b" magnitude constante, dirigida para o ponto (P e !c" direção constante, magnitude proporcional ao deslocamento horiontal do n). : (s barras t8m mesmo <( e m !massa por unidade de comprimento ;
α
(
2. !0"#$20"#$20"#% Obtenha a carga crítica da coluna engastada e livre da Fig. 1a, submetida a uma carga axial, considerando uma função na forma a + bx + cx 2 para o deslocamento transversal. Determine primeiramente o valor apropriado da relação entre os coeficientes, satisfaendo as condiç5es essenciais de contorno. *tilie !a" o #uociente de $a%leigh e !b" o #uociente de &imoshen'o, para os casos de carga de direção constante e dirigida para o apoio.
x P
L
EI
Figura 1a
&. !0"#$0"#$0"#% *m engenheiro no campo precisa de estimativas para as cargas críticas, no plano e fora do plano, de um anel fino de raio $, com seção retangular de lados b e t !RRb", su+eito a carga radial de direção constante distribuída uniformemente. O anel est3 engastado em um ponto, conforme figura. !a" 6omo a força de compressão na seção do anel 7 uniforme !igual a #$", ele decide estimar as cargas críticas considerando uma viga reta e#uivalente !comprimento 2 π$". Obtenha esse resultado. !b" $epita o caso plano, usando o #uociente de
$a%leigh
EI 2
com
um
termo
trigonom7trico
∫
!vO+ v 9 R
2
e
as
express5es
" dx e
!aproximadas"
qR 2
de
energia
∫
v @ 2 dx
, onde v 7 o deslocamento radial !positivo para dentro" correspondente ao modo de flambagem. !c" 6ompare !a" e !b" com os resultados obtidos na literatura !cl3ssicos e o mais recente de 1SE?9E1 para o caso plano". 4ostre, como foram obtidos tais resultados, +ustificando as discrep0ncias9aproximaç5es com o resultado estimado pelo engenheiro. # !distribuída uniformemente em todo o anel" !fora do plano"
b
raio $ %
Beção transversal
!radial" t (
4. !1"0$1"#% *ma viga est3 sob ação de duas forças iguais e opostas, de direção constante, aplicadas a um bloco rígido em sua extremidade !centro de cada face". !a" 6alcule a carga crítica para flambagem no plano. !b" $ecalcule a carga crítica !est3tica ou din0mica", considerando agora #ue uma das forças aplicadas acompanha a rotação da viga ap)s a flambagem. !Obs.> considere 2 g.l.> translação e rotação do centro do bloco." h
: :
h : ;
: !a"
-loco de massa translacional 4t e massa rotacional !in7rcia rotação" 4r Qiga de massa despreível em relação massa do bloco.
CIV2106 Instabilidade das Estruturas 200.2 Prova da Parte II – Prof. Raul Rosas e Silva 1712200 1. !1"0$21"0$2"0% Obtenha a carga crítica da coluna em base el3stica engastada e livre da figura abaixo, submetida a uma carga axial, considerando uma função na forma a + bx + cx 2 + dx para o deslocamento transversal. Determine primeiramente o valor apropriado da relação entre os coeficientes, satisfaendo as condiç5es essenciais de contorno. *tilie o #uociente de $a%leigh, para os casos de carga de !1" direção constante e !2" dirigida para o apoio, ap)s a flambagem. ( seguir, obtenha a carga crítica !c" no caso de carga #ue permanece tangente viga ap)s a flambagem.
x P m =
L
ma%%a 3or unid4 com3r4 EI k =
con%)an)& da ba%& &l5%)ica
2. !0"#$0"#$0"#% Obtenha estimativas para as cargas críticas, no plano e fora do plano, de um anel fino de raio $, com seção retangular de lados b e t !RRb", su+eito a carga radial de direção constante distribuída uniformemente. O anel est3 engastado em um ponto, conforme figura. !a" 6omo a força de compressão na seção do anel 7 uniforme !igual a #$", estime as cargas críticas considerando uma viga reta e#uivalente !comprimento 2π$". !b" $epita o caso plano, usando o #uociente de $a%leigh com um termo
trigonom7trico !desconsidere o engaste" e as express5es !aproximadas" de energia
EI 2
∫
!vO+ v 9 R
2
" dx e
qR 2
∫
v @ 2 dx
, onde v 7 o deslocamento radial !positivo para dentro" correspondente ao modo de flambagem. !c" 6ompare !a" e !b" com os resultados obtidos na literatura !cl3ssicos e o mais recente de 1SE?9E1 para o caso plano". Tustifi#ue as discrep0ncias9aproximaç5es entre tais resultados. # !distribuída uniformemente em todo o anel"
!fora do plano"
b
raio $ %
Beção transversal
!radial" t (
&. '0"#$0"#( Obtenha, +ustificando com uso de matries geom7tricas, as cargas críticas de uma viga bi apoiada de seção sim7trica su+eita a uma força de protensão centrada = e uma força aplicada : na extremidade, #uando !a" o cabo de protensão 7 aderente linha m7dia, ap)s a deformação e !b" #uando o cabo 7 externo viga, sem ader8ncia !preso apenas nas extremidades". L, EI
P 0 !or*a no cabo#
4. !1"0$1"#% ( extremidade da viga da figura abaixo est3 su+eita a dois momentos 4, #ue se e#uilibram mas são aplicados de diferentes formas. Obtenha os valores críticos de 4, para diferentes formas de comportamento p)scrítico, conforme as Figs. a e b. !&ome s) as rotaç5es indicadas." 6aso ha+a necessidade de considerar efeitos din0micos, admita #ue h3 uma in7rcia rotacional r , em ambas as direç5es, concentrada na extremidade da viga.
L
r
P = /d
θ P= /d
!a#
φ
EI, GJ
P = /d d
!b# P = /d
$%&guidor' !(&)or mom&n)o %&gu& a ro)a*+o da (iga &m )orno d& ambo% o% &ixo%# #. '0"#$0"#( Obtenha, +ustificando com uso de matries geom7tricas, as cargas críticas de uma viga biapoiada de seção sim7trica su+eita a uma força de protensão centrada = e uma força aplicada : na extremidade, #uando !a" o cabo de protensão 7 aderente linha m7dia, ap)s a deformação e !b" #uando o cabo 7 externo viga, sem ader8ncia !preso apenas nas extremidades". L, EI
P 0 !or*a no cabo#
CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2010.2 Prova – Parte II – Raul Rosas e Silva
1. !0"#$0"#$0"#$1"0% Obtenha a carga crítica da coluna engastada e livre da Fig. 1a, submetida a uma carga axial de direção constante, considerando uma função na forma a + b cos
π x
2 L
para o deslocamento transversal.
Determine !a" primeiramente o valor apropriado da relação entre os coeficientes a e b, e utilie !b" o #uociente de $a%leigh e !c" o #uociente de &imoshen'o. ( seguir !d" empregue o #uociente de $a%leigh para calcular a carga crítica aproximada do tubulão da Fig. 1b, parcialmente restringido por uma base el3stica tipo Min'ler e por um apoio el3stico na extremidade. P x P kL L/" L
EI
EI
k 2EI 2L/"
Figura 1b
Figura 1a
2. '1"0$1"0( 6alcule as cargas críticas do p)rtico ( abaixo !pode considerar diretamente os coeficientes de rigide el3stica e geom7trica, despreando deformaç5es axiais", considerando #ue as cargas mant8m magnitude constante durante a flambagem mas são oriundas de atuadores presos de duas formas !a" fixados a uma dist0ncia d acima dos n)s superiores do p)rtico ( e !b" liberados para sofrer deslocamento horiontal Observe no detalhe direita o comportamento das forças ap)s9durante a flambagem.
atuadores d
:
:
#1 #2
#
; :)rtico (
:
:
#1 !a" :)rtico rígido
:
:
#1 !b"
;
&. !1"0$1"0% *ma viga est3 sob ação de duas forças iguais e opostas, de direção constante, aplicadas a um bloco rígido em sua extremidade !centro de cada face". !a" 6alcule as cargas críticas para flambagem no plano. !b" $ecalcule a carga crítica !est3tica ou din0mica", considerando agora #ue uma das forças aplicadas acompanha a rotação da viga ap)s a flambagem. J1,IG?,IG1,?K
4.
!1"0$1"0%
h
'a(
:
:
h
:
: h
Obtenha a carga h : crítica nominal da : : :
;
(
#. !0"#$0"#$0"#% *m engenheiro no campo precisa de estimativas para as cargas críticas, no plano e fora do plano, de um anel fino de raio $, com seção retangular de lados b e t !RRb", su+eito a carga radial de direção constante distribuída uniformemente. O anel est3 simplesmente apoiado no plano em pontos diametralmente opostos, mas os apoios são tais #ue impedem rotação fora do plano. !a" 6omo a força de compressão na seção do anel 7 uniforme !igual a #$", ele decide estimar as cargas críticas considerando uma viga reta e#uivalente !de mesmo comprimento #ue o arco considerado". Obtenha esses resultados. !b" $epita o caso plano, usando o #uociente de $a%leigh com um
termo
EI 2
trigonom7trico
e
as
∫
!vO+ v 9 R
express5es 2
!aproximadas"
qR
" dx e
2
de
energia
∫
v @ 2 dx
, onde v 7 o deslocamento radial !positivo para dentro" correspondente ao modo de flambagem . !c" 6ompare !a" e !b" com os resultados obtidos na literatura !cl3ssicos e o mais recente de 1SE?9E1 para o caso plano". 4ostre, como foram obtidos tais resultados, +ustificando as discrep0ncias9aproximaç5es com o resultado estimado pelo engenheiro. # !distribuída uniformemente em todo o anel"
!fora do plano"
simplesmente apoiado, no plano
b
raio $ !rotação impedida, fora do plano"
% (
-
Beção transversal
!radial" t
CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2011.2 Prova da Parte II – Raul Rosas e Silva 122011
1. '0"#$0"#( Obtenha, +ustificando com uso de matries geom7tricas, as cargas críticas de uma viga biapoiada de seção sim7trica su+eita a uma força de protensão centrada = e uma força aplicada : na extremidade, #uando !a" o cabo de protensão 7 aderente linha m7dia, ap)s a deformação e !b" #uando o cabo 7 externo viga, sem ader8ncia !preso apenas nas extremidades".
L, EI
P 0 !or*a no cabo#
&. !2"0% !a" 4ostre como obter uma estimativa da carga crítica !mínima" de um tubo alongado sob pressão externa, flambando no plano transversal, usando o #uociente de $a%leigh com um termo trigonom7trico sen!nπx9;" e as express5es !aproximadas" de energia
EI 2
∫
!vO+ v 9 R
2
qR
" dx e
2
∫
v @ 2 dx
e, onde v 7 o deslocamento radial !positivo para dentro" correspondente ao modo de flambagem.
2. !0"#$20"#$20"#% Obtenha a carga crítica de uma coluna engastada e livre, submetida a uma carga axial, considerando uma função na forma a + bx + cx 2 para o deslocamento transversal. Determine primeiramente o valor apropriado da relação entre os coeficientes, satisfaendo as condiç5es essenciais de contorno. *tilie !a" o #uociente de $a%leigh e !b" o #uociente de &imoshen'o, para os casos de carga de direção constante e dirigida para o apoio. x P
L
EI
2. !2"0% 6alcule aproximadamente a carga crítica de uma vigacoluna em balanço, ligada a uma base el3stica tipo Min'ler, submetida a duas cargas axiais de direção constante, na extremidade e no meio do vão. *se uma função polinomial cNbica para o deslocamento transversal, com C constantes a determinar. JObs.> 2 constantes podem ser eliminadas considerando as condiç5es essenciais no engaste." x
P
P
A k L
4. !1"#$1"0% *ma viga est3 sob ação de duas forças iguais e opostas, de direção constante, aplicadas a um bloco rígido em sua extremidade !centro de cada face". !a" 6alcule as cargas críticas para flambagem no plano e fora do plano. !b" $ecalcule a carga crítica !est3tica ou din0mica", considerando agora #ue uma das forças aplicadas acompanha a rotação da viga ap)s a flambagem. J1,IG?,IG1,?K h
h
CIV2106 Instabilidade das Estruturas 2012.2 Prova da Parte II – Raul Rosas e Silva 1&122012 1. !0"#$1"0$1"0% 'a( *tiliando
funç5es
h
:
: :
;
h
:
: :
:
; !a"
:
-loco de massa translacional 4 e massa rotacional !in7rcia rotação" $. Qiga de massa despreível em relação massa do bloco.
cNbicas convencionais obtenha um do termo !+3 conhecido de nossas aulas" das matries !2x2" de rigide el3stica, de tens5es iniciais !geom7trica" para uma força axial de tração de direção constante, e de massa, para o elemento estrutural abaixo !considere os graus de liberdade #1 e # 2 indicados na figura". !b" De posse das matries !2x2", calcule o valores aproximados da carga crítica em compressão e da primeira fre#U8ncia angular natural do elemento. !c" 4ostre em gr3fico a variação do #uadrado da primeira fre#U8ncia angular em função de uma força atuante :. : #2 #1 c ; 6
2. !1"#% :ara a mesma estrutura da #uestão 1, verifi#ue se h3 possibilidade de flambagem !para um certo valor de c" #uando a força : 7 de tração e permanece dirigida para o ponto 6 #uando h3 translação # 1.
&. !1"#% (inda para a estrutura da #uestão 1, obtenha a carga de flambagem !est3tica ou din0mica" #uando a força : acompanha a rotação #2, nos casos de !a" tração e !b" compressão.
4. !0"#$1"0%
kL L/"
EI k
2EI 2L/"
#. !0"#$1"0% Obtenha uma estimativa para a carga crítica no plano de um anel de raio $, com seção retangular de lados b e t !RRb", su+eito a carga radial de direção constante distribuída uniformemente. O anel 2 C est3 engastado em um ponto, conforme figura. :ode utiliar uma função v ! x " = a + bx + cx + dx + ex usando o #uociente de $a%leigh com as express5es !aproximadas" de energia
EI 2
∫
!vO+ v 9 R
2
qR
" dx e
2
∫
v @ 2 dx
, onde v 7 o deslocamento radial !positivo para dentro" . # !distribuída uniformemente em todo o anel"
!fora do plano"
b
raio $ %
Beção transversal
!radial" t (
6. !1"#% ( extremidade da viga abaixo est3 su+eita a dois momentos 4, #ue se e#uilibram, oriundos de forças : de direção constante, al7m de duas forças : em oposição, tamb7m de direção constante. (s forças atuam em elementos rígidos, como indicado na figura. Obtenha os valores críticos de :. !&ome s) as rotaç5es indicadas."
P
2Pd L
r
θ
d
φ
EI, GJ 2Pd
d d
P
P
d P
CIV2106 Instabilidade das Estruturas 201&.2 Prova da Parte II – Raul Rosas 1. !0"#$0"#$0"#$1"0% Obtenha a carga crítica aproximada da coluna engastada e livre da Fig. 1a, submetida a uma carga axial de direção constante, considerando uma função cNbica para o deslocamento transversal. !a" Determine primeiramente os coeficientes da função !considerando tr8s condiç5es de contornoP duas na base e uma, de momento nulo, na extremidade livre"P !b" utilie o #uociente de $a%leigh e !c" o #uociente de &imoshen'o. ( seguir !d" com a mesma função, empregue o #uociente de $a%leigh para calcular a carga de flambagem do p)rtico da Fig. 1b.
P
x
P/2
P
L
6 =EI/L"
L
EI
EI
L
k =EI/L-
EI
Figura 1b
Figura 1a
2. !1"#% ( extremidade da viga abaixo est3 su+eita a dois momentos 4, #ue se e#uilibram, oriundos de bin3rios formados por forças de direção constante !momentos V#uasetangenciaisW". Qerifi#ue #ual a possível magnitude crítica de 4.
4@
;
4O 4OH 4
x 4@H 4
&. !0"#$0"#$0"#% Obtenha estimativas para as cargas críticas, no plano e fora do plano, de um anel fino de raio $, com seção retangular de lados b e t !RRb", su+eito a carga radial de direção constante distribuída uniformemente. O anel est3 engastado em um ponto, conforme figura. !a" 6omo a força de compressão na seção do anel 7 uniforme !igual a #$", estime as cargas críticas considerando uma viga reta e#uivalente !comprimento 2π$". !b" $epita o caso plano, usando o #uociente de $a%leigh com um termo trigonom7trico !desconsidere o engaste" e as express5es !aproximadas" de energia
EI 2
∫
!vO+ v 9 R
2
" dx e
qR 2
∫
v @ 2 dx
, onde v 7 o deslocamento radial !positivo para dentro" correspondente ao modo de flambagem . !c" 6ompare !a" e !b" com os resultados obtidos na literatura !cl3ssicos e o mais recente de 1SE?9E1 para o caso plano". Tustifi#ue as discrep0ncias9aproximaç5es entre tais resultados. # !distribuída uniformemente em todo o anel"
!fora do plano"
b
raio $ %
Beção transversal
!radial" t (
4. !1"0$1"0$1"0% !a" *tiliando funç5es cNbicas convencionais obtenha os termos !+3 conhecidos de nossas aulas" das matries !2x2" de rigide el3stica, de tens5es iniciais !geom7trica" para uma força axial de tração de direção constante, e de massa, para o elemento estrutural abaixo !considere os graus de liberdade #1 e #2 indicados na figura". !b" De posse dessas matries e de matries de carga Y ; apropriadas, calcule o valores aproximados da carga crítica #uando b.1" a força permanece dirigida para um ponto 6 e b.2" a força segue a rotação #2, ap)s a flambagem. : #2 #1 c ; m
6
6
!b.1"
!b.2"
#. !1"#% 4ostre como, a partir das funç5es cNbicas convencionais da #uestão anterior, se pode obter matries x com uso de uma função de C grau, introduindo um grau de liberdade adicional sem modificar os graus de liberdade #1 e #2.
