Ingeniería de Sistemas

Ingeniería Ingeniería de sistemas Eduardo A. Arbones Malisani

P R O D U C T I C A

Colección «Prodúctica» Dirección técnica: José Mompín Poblet © MARCOMBO, S.A., 1991 Reservados todos los derechos de publicación, reproducción, préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión del uso de este ejemplar en cualquier idioma por MARCOMBO, S.A. Gran Via de les Corts Catalanes, 594 08007 Barcelona (España)

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de esos ejemplares para su distribución en venta, fuera del ámbito de la Comunidad Económica Europea.

ISBN: 978-84-267-0808-3 Depósito Legal: B.1880-1991 Impreso en España Printed in Spain Fotocomposición: FOINSA - Gran Via de les Corts Catalanes, 569 08011 Barcelona Impresión: Vanguard Gràfic, S.A. -Joan Miró, 17-19-08930 Sant Adrià de Besòs (Barcelona)

Prólogo

El objetivo principal de este trabajo es el de intensificar la apreciación y comprensión de la ingeniería de sistemas como un proceso, precisando las definiciones y conduciendo a los principales problemas y métodos que conciernen al proceso como la presentación del problema, el establecimiento de los objetivos, la síntesis y análisis del sistema y la elección entre varias alternativas. La Ingeniería de Sistemas nace como consecuencia de la necesidad de planificar, operar y diseñar sistemas, cada día más complejos, que solucionen problemas socio-técnicos. Utiliza para el logro de sus propósitos las técnicas de la investigación operativa, empleando modelos matemáticos para descubrir las interacciones entre los componentes del sistema. Los elementos que utiliza son igualmente aplicables a la mayoría de los sistemas industriales, militares, administrativos, interesando tanto a los que se ocupan de la ingeniería, la investigación operativa, las ciencias sociales o a los ordenadores. Por eso nuestro empeño fue mostrar que los sistemas tienen algunas propiedades generales y establecer la noción de configuración de sistemas. Desarrollar las capacidades de formalización de problemas de sistemas y proveer un puente entre el entrenamiento funcional y las exigencias de los modos de formulación problemática de análisis y de resolución encontrado en la práctica. Tratamos con cierto detenimiento, la teoría general de sistemas, los métodos gráficos en el estudio de los sistemas, los modelos, algunas técnicas relativamente nuevas como la teoría de decisión, las redes lógicas y la simulación de sistemas. El autor

5

Índice general

PROLOGO ..........................................................................................

5

INGENIERÍA DE SISTEMAS ............................................................ Conceptos generales ..................................................................... Objetivos.......................................................................................... Modelo de trabajo de la Ingeniería de Sistemas ........................... Relaciones de la Ingeniería de Sistemas con otras actividades .

9 9 9 10 13

SISTEMAS .......................................................................................... Definición ..................................................................................... Sistemas abiertos y sistemas cerrados ........................................ Principios en que se basan los sistemas ........................................ Características de los sistemas ...................................................... Evolución de la teoría de los sistemas ......................................... Clasificación de los sistemas ........................................................ El sistema de información y el sistema de información automatizado en una organización social ......................................................... Sistema automatizado ................................................................... Descomposición sistemática de la fabricación ................................ Aplicación de la teoría de los sistemas............................................ Aplicación de la teoría de los sistemas a la empresa ...................

15 15 15 16 16 16 17 24 26 26 27 28

MÉTODOS GRÁFICOS EN EL ESTUDIO DE LOS SISTEMAS ......... Introducción .................................................................................. Diagrama de bloques ...................................................................... Tipos de bloques ........................................................................... Operación de transformación ....................................................... Reglas de combinación de las cajas negras ................................ Operaciones lógicas ........................................................................ Bloque de decisión ....................................................................... Operación de corrección ................................................................. Bloque de reacción ....................................................................... Ejemplo ........................................................................................ Tabla de decisión ............................................................................

33 33 33 34 35 37 41 41 43 43 46 48

GRAFOS ......................................................................................... Introducción ................................................................................. Representación de la estructura de los sistemas ......................... Matriz............................................................................................... Partición .......................................................................................... Proceso A........................................................................................ Proceso B........................................................................................

51 51 52 53 55 55 57

7

Ingeniería de Sistemas

MODELOS ................................................................................................ Conceptos generales ........................................................................... Modelos de solución ............................................................................. Clasificación de los modelos .............................................................. Modelos según el grado de abstracción........................................... Modelo físico (icónico) ...................................................................... Modelo gráfico .................................................................................. Modelo esquemático......................................................................... Modelo analógico .......................................................................... Modelo matemático ....................................................................... Modelos según características de proceder......................................... Modelos según el grado de certidumbre ............................................. Modelos de acuerdo a la forma ........................................................... Modelos según el método de solución ............................................... Construcción de modelos ..................................................................

69 69 70 71 71 71 72 73 73 73 74 75 75 76 76

PROCESO DE DECISIÓN ...................................................................... Clasificación de la toma de decisiones ............................................. Modelo para la toma de decisiones ..................................................... Certidumbre, riesgos, e incertidumbre................................................. Decisión en estado de certidumbre ..................................................... Modelo comparativo de toma de decisiones ................................... El árbol de decisión en la toma de decisión .................................... Presentación de alternativas............................................................ Ejemplo general ................................................................................. Requisitos para construir el árbol......................................................... Elección de una alternativa .............................................................. Concepto de retroceso ...................................................................... Justificación del tiempo ...................................................................... Alternativas de incertidumbre ............................................................

77 77 78 78 79 79 90 90 93 95 95 96 98 98

REDES LÓGICAS ................................................................................. Introducción ...................................................................................... Símbolos y notación .......................................................................... Formulación de problemas ................................................................ Evaluación de sistemas a partir de las redes lógicas ......................... Decisiones lógicas secuenciales .........................................................

101 101 101 105 109 111

SIMULACIÓN ........................................................................................ Introducción ....................................................................................... Aplicaciones.......................................................................................... Construcción de un modelo de simulación .......................................... Ejemplo .............................................................................................. Ejemplo .............................................................................................. Simulación de las operaciones de reparación de máquinas .

115 115 117 119 119 143 143

APÉNDICE ............................................................................................ Generación de números aleatorios ................................................... Método multiplicativo de Lehner ...................................................... Tabla de números aleatorios ......................................................... Expresiones del álgebra de Boole ...................................................

153 153 153 155 157

8

Ingeniería de sistemas

CONCEPTOS GENERALES La Ingeneniería de Sistemas (IS), nace como consecuencia de la necesidad de planificar, operar y diseñar sistemas, cada día más complejos, que solucionen problemas socio-técnicos. Utiliza para el logro de sus propósitos, las técnicas de la Investigación Operativa (IO), empleando modelos matemáticos para descubrir las interacciones entre los componentes de un sistema. En general, la IS, es entonces una forma de resolver problemas. Figura 1. Relaciones de la IS con otras disciplinas de Ingeniería.

La solución es un modelo del sistema, una serie de especificaciones para idear diseñar e implementar el sistema. En el gráfico de la figura 1 se indican las distintas disciplinas que componen la IS. OBJETIVOS Los principales objetivos de la IS son: • Formular planes de largo alcance y objetivos, como un marco para vincular entre sí los proyectos individuales. 9


• Desarrollar los objetivos y los planes para proyectos particulares y hacerlos consistentes con los objetivos más lejanos. Conocer las necesidades actuales de la organización. Prever con antelación las necesidades futuras a fin de estar completamente preparados para el momento en que se requiere una acción. • Tener siempre presente las nuevas ideas, principios, métodos y dispositivos. Asegurarse tecnología moderna, de mejor empleo. • Efectuar cada una de las operaciones del proceso de la IS, en la forma más eficiente que sea posible, reconociendo que los requisitos para los detalles, la exactitud y la celeridad dependan sólo de la fase del proceso en que se está trabajando. MODELO DE TRABAJO DE LA INGENIERÍA DE SISTEMAS En la siguiente figura indicamos la estructura de operación de un proceso de IS. Observamos que el trabajo de la IS puede efectuarse en dos etapas, la de planeación y desarrollo y la de acción. Cada etapa comprende varias fases. Figura 2. Estructural funcional de la IS.

Etapa: planeación y desarrollo Fases — Estudio de sistemas. Durante esta primera fase se investigan todos los proyectos presentes y futuros posibles, con el objeto de lograr información que luego sirvan de base para la planeación de proyectos especificados.

10


— Planeación del proyecto. Esta fase se distingue de la anterior, porque el interés está enfocado hacia los proyectos particulares. Se deberá complementar la fase, con el estudio sobre la necesidad que se quiere satisfacer con el sistema, los recursos disponibles, el ambiente alrededor del sistema y las restricciones. Existen 6 funciones correlacionadas con esta fase. • Determinación del problema. Consiste en una separación, posiblemente cuantificando, en lo concerniente a una serie de factores que definen al sistema y a sus elementos. • Selección de los objetivos. Es una guía para la selección de las alternativas. Figura 3. Esquema de las etapas.

• Síntesis del sistema. Vincula compilando o descubriendo los sistemas alternativos que puedan satisfacer las alternativas. • Análisis del sistema. Considera las deducciones correspondientes a la ejecución del sistema, su costo, su calidad, etc. • Selección del mejor sistema. • Comunicación de los resultados. — Planeación del desarrollo. Esta fase se iniciará únicamente después de formular la decisión de que el proyecto en desarrollo se deba tomar en consideración. Se construye el modelo del sistema. 11


Etapa: acción Fases — Estudios durante el desarrollo. Perfecciona y ejecuta el plan de desarrollo por medio de la retroalimentación del diseño detallado y la comprobación del equipo. Algunos elementos del desarrollo se pueden posponer para las fases siguientes. — Prosecución técnica. Con el objeto de obtener las primeras aplicaciones de los rasgos básicos del nuevo sistema. Esta etapa de acción, tiene dos resultados: • Uno, que comprende toda información para la fabricación, operación, mantenimiento y aplicaciones industriales. • Otro, de retroalimentación, que proporciona la información para mejorar el trabajo de planeación de nuevos sistemas. Figura 4. Secuencia típica de: investigación, IS, desarrollo, fabricación y empleo.

La figura 4 da una representación más clara sobre las relaciones con respecto al tiempo. Indicándose la secuencia típica para lograr la creación de un sistema principal. Gran parte de la nueva tecnología proviene de la investigación. Las influencias de la investigación se aplican por completo al trabajo, pero esas influencias son especialmente sólidas en la primera fase de la IS. Estos estudios orientan hacia áreas más amplias de demandas. En puntos convenientes, se realizan las decisiones para efectuar estudios más concretos sobre áreas particulares, este es el comienzo de la planeación. Una operación completa de planeación del proyecto puede requerir el desarrollo y ensayo de un modelo de fabricación. 12


El modelo de fabricación se hace generalmente en el laboratorio y debe ser funcionalmente completo. Las líneas punteadas de la figura, significan que esas actividades se pueden o no realizar a tiempo. El tiempo que transcurre durante estas actividades dependerá de muchos factores, como la urgencia, la novedad de la tecnología que se está aplicando, la experiencia del personal de planeación y diseño, etc. RELACIONES DE LA INGENIERÍA DE SISTEMAS CON OTRAS ACTIVIDADES La IS viene a estructurar el uso de una serie de técnicas y herramientas clásicas y algunas nuevas (tales como la informática y la IO) con el propósito de ayudar a que tome las decisiones para satisfacer sus objetivos más eficientemente. IS, IO e Informática La IO está íntimamente relacionada y a veces se confunde con la IS. La IO se refiere generalmente a las operaciones de un sistema existente, incluyendo al mismo tiempo hombres y máquinas. Por lo tanto, encontramos la IO cuando nos referimos a las operaciones militares, a la de supermercados, fábricas, agricultura, etc. Examinaremos las funciones específicas dentro de estas operaciones como son el control de inventarios, la distribución de materias primas, de los productos terminados, las líneas de servicio, la publicidad, etc. Generalmente se trata de escoger lo óptimo, o sea, hacer el mejor empleo de los materiales, de las energías, del personal, de las máquinas en existencia y disponibles. En contraste, la IS enfatiza la planeación y el diseño de nuevos sistemas para obtener mejor rendimiento de las operaciones existentes, o para mejorar estas operaciones, funciones o servicios que no habían realizado antes. Los informáticos suelen considerar equivocadamente, a un sistema de cómputo, que es una combinación de equipo (hardware) y programas (software) que pueden ser utilizados para el desempeño de una tarea, como IS. La experiencia dice, que no hay expertos en todas las técnicas de la IS. Los ingenieros de sistemas, simplemente tratan de implementar la filosofía general de sistemas utilizando técnicas cuantitativas para satisfacer un objetivo bien definido y formulado en cooperación con el cliente. Es de igual importancia conocer el área de aplicación y los aspectos físicos del problema. Esto sugiere que la IS no es una especialidad sino una generalidad, pues cada vez que se resuelve un problema, se aprende algo de una nueva disciplina o profesión (economía, ingeniería, agricultura, comercio, etc.). 13


Veremos, en los siguientes capítulos: sistemas, técnicas de descomposición de sistemas, simulación, modelos y teoría de decisión, que representan lo nuevo, lo original de la IS.

14

Sistemas

DEFINICIÓN Sistema es el conjunto de elementos relacionados entre sí en función de un objetivo común, actuando en determinado entorno y con capacidad de autocontrol. En la definición destacamos: • • • • •

Un conjunto de elementos Relacionados entre sí Actuando en determinado entorno Con el fin de alcanzar objetivos comunes Con capacidad de autocontrol

SISTEMAS ABIERTOS Y SISTEMAS CERRADOS La mayor parte de los sistemas orgánicos son abiertos, esto quiere decir que hay un intercambio de energía con sus integrantes. Figura 5. Representación de un sistema abierto.

Se dice que un sistema es cerrado, cuando no hay aportación o expedición de información, de calor, o de materiales físicos y, por lo tanto, no se verifica ningún cambio en sus componentes. Como ejemplo, se tiene el caso de una reacción química que tiene lugar 15


dentro de un recipiente sellado y aislado; este ejemplo sugiere que una de las aplicaciones del concepto de sistema cerrado es la de simplificar el modelo de un sistema físico y hacerlo accesible para el análisis. Una computadora digital se comporta como un sistema abierto. Este sistema permanecerá en estado fijo si se le suministran "elevadas" formas de energía, como una corriente eléctrica o energía humana para su mantenimiento, piezas de recambio, etc. y si se le cambian formas de energías "bajas" como calor o elementos desgastados. En estas condiciones la computadora puede trabajar aceptando la información en su punto de entrada bajo la forma de datos y un programa de direcciones, transformando esos datos de acuerdo con las especificaciones del programa, y presentando los resultados en su punto de salida. PRINCIPIOS EN QUE SE BASAN LOS SISTEMAS Subsidiaridad. Ningún sistema es completo en sí mismo. Todo sistema es subsidiario, en su delimitación y en sus aportes, de otros sistemas en virtud de los cuales actúa y que forman su entorno. Interacción. Todos los sistemas que forman la empresa están mutuamente relacionados en su comportamiento, de manera que las acciones desarrolladas por uno de ellos tienden a influir en el comportamiento de los demás, trascendiendo los efectos del mismo a lo largo del total del sistema. Determinismo. Todo fenómeno que actúa en, o a través de los sistemas es resultado de causas definidas y contastables. Equifinalidad. El sistema debe estar diseñado de forma que pueda alcanzar un mismo objetivo a través de medios y acciones diferentes entre sí. CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS Estabilidad. Es la cualidad por la cual el sistema permanece en funcionamiento eficaz, frente a las acciones de los factores externos al mismo. Adaptabilidad. Es la cualidad que debe poseer el sistema mediante la cual es capaz de evolucionar dinámicamente con arreglo a su entorno, de manera que atravesa diferentes estados en los que conserva su eficacia y su orientación el objetivo que constituye su finalidad. Eficiencia. Cualidad por la cual el sistema atiende a su objetivo con economía de medios, poniendo en juego procesos que le permiten ser adaptable y equilibrado. Sinergia. Cualidad por la cual la capacidad de actuación del sistema es superior a las de sus componentes sumados individualmente. EVOLUCIÓN DE LA TEORÍA DE LOS SISTEMAS Trataremos de reagrupar las principales corrientes de investigación (indicando los nombres de tos investigadores más conocidos) en el siguiente gráfico, esquema que, por supuesto, es discutible. Dos postulados principales son la base de las investigaciones actuales: 16

Sistemas

— Existe en diferentes dominios del conocimiento sistemas que tienen estructuras idénticas. • Sistemas isomorfos: toda la estructura es idéntica. • Sistemas homomorfos: una parte de la estructura es idéntica. Figura 6. Evolución de la teoría de los sistemas.

— Existe una lógica de los sistemas, se busca formular principios válidos para todos los sistemas cualquiera que sea el dominio. Es por esto que se ensaya aplicar los mismos principios para comprender y explicar la biología, la mecánica, las ciencias naturales, las ciencias sociales, la empresa, etc. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Adoptaremos el modelo de clasificación de Boulding. 17


Figura 7. Representación de un sistema de nivel 1.

Se puede considerar diferentes niveles de complejidad de un sistema; cada sistema comporta todas las características de los niveles inferiores. Nivel 1. Estructura estática Objeto pasivo. Ejemplos: la piedra, el Sol, eran, son y serán, no se le asigna ninguna necesidad. El objeto - o sistema - "es". Figura 8. Representación de un sistema de nivel 2.

18

Sistemas

Es el nivel más simple de descripción, pero de poco interés. Nivel 2. Sistema dinámico simple Con movimientos necesarios y predeterminados. Puede decirse que es el nivel de relojería. El objeto "no es más" solamente (sólo, únicamente), el hace (o mejor interviene) y lo conocemos por su actividad. La Tierra es el objeto que asegura el movimiento de la Luna con relación al Sol. Figura 9. Objeto activo regulado. Nivel 3.

El átomo es el objeto que asegura la cohesión de la molécula. La palabra es la que asegura la significación de la frase. El reloj es conocido por su función, que es indicar la hora. Hacer es procesar. Se le puede representar por una caja negra, una flecha que entra y una flecha que sale. Se le llama frecuentemente procesador. Nivel 3. Sistema cibernético de lazo cerrado o de mecanismo de control Objeto activo regulado. Podría denominarse el nivel del termostático. El sistema es autorregulado para mantener el equilibrio. Se considera que el objeto presenta algunas regularidades de comportamiento: en un instante dado, el objeto parece rechazar ciertos compor19


tamientos posibles en función de su comportamiento precedente, para tenerlo en cuenta se ha creado la noción de lazo o bucle y se ha llevado a discernir al menos dos procesadores: el que actúa y el que regula. Esta representación muy general de un sistema es bastante reciente, es la base de los servomecanismos. Nivel 4. Sistema abierto o estructura de automantenimiento Es el nivel en que la vida comienza a diferenciarse de la falta de vida. Podría denominarse nivel de célula. El objeto se informa. Es una idea nueva al menos en la representación científica de los objetos, a veces todo sucede como si también existiera en la información relaciones informáticas específicas, en los objetos que representa. Figura 10. El objeto se informa.

Se puede identificar en la red de procesadores que constituyen el sistema a un objeto los que están especializados en conformación, codificador, descodificador. En particular se puede considerar que la regulación se efectúa por medio de este flujo «artificial» (con relación a la actividad del sistema) que es el flujo de información. La información permite a un procesador del sistema conocer algo de la actividad de otro procesador perteneciente al sistema o a su entorno. La regulación de un sistema, gracias a un flujo de informaciones es el concepto básico de la cibernética. Esta información es emitida, transportada y recibida según un esquema ahora bien conocido. 20

Sistemas

Figura 11. Emisión, transmisión, y recepción de la información.

Nivel 5. Organismos inferiores El objeto decide su actividad. Está representado por las plantas y domina el mundo empírico de los botánicos. El pasaje de los sistemas con información diferenciada a los sistemas, con decisión diferenciada, no es siempre fácil de diagnosticar. Se puede definir la decisión como un objeto que teniendo igual apariencia que una información, el mismo soporte (unas señales), pero dotado de una característica muy particular, no representa un suceso y se presupone que provoca una acción predeterminada. Cuando el sistema tiene un comportamiento "no inevitable" se puede Figura 12. El objeto tiene memoria.

21


suponer que este último es el resultado de una decisión. Puesto que existe, en el seno del sistema, un procesador decisor se podrán identificar las informaciones —decisiones al lado de las informacionesNivel 6. Sistema animal El objeto activo tiene memoria. Tiene una movilidad mayor (conducta teológica y autoconciencia). El sexto nivel está íntimamente ligado a los dos procesadores. En efecto, el procesador particular que almacena la información para proveer una copia a la demanda solicitada, es a menudo indispensable al funcionamiento del sistema de decisión que tiene necesidad no solamente de las representaciones, de los sucesos inesperados en el momento de la toma de decisión, pero también de los sucesos pasados. Son los procesadores con memoria.

Figura 13. El objeto tiene memoria.

Nivel 7. Hombre El objeto activo coordina. Cada uno de los tres subsistemas: el sistema operante, el sistema de decisión y el sistema de información, (que asegura la generación, circulación o memorización de las informaciones) puede estar compuesto de múltiples y diversos procesadores elementales. Es necesario entonces concebir procesos de coordinación en el seno de estos sistemas y en particular en el seno del sistema decisorio. El sistema de información juega un rol particularmente importante en la coordinación del sistema de decisión con el sistema operante. 22

Sistemas

Figura 14. El objeto activo es coordinado.

Nivel 8. Sistema social o sistema de organización humana. El objetivo activo imagina, luego se auto-organiza. Cuando el sistema de decisión es capaz de generar información simbólica, se dice que hace prueba de inteligencia. Es entonces capaz de adaptarse, de inventar nuevas regulaciones, nuevas organizaciones. Figura 15. Aparición de la imaginación en el seno del sistema de mando del sistema general. Aparición conjunta de los generadores de información simbólica.

23


Esta actividad necesita informaciones que representen la actividad pasada del sistema, pero también, menudo, informaciones designadas externas, es decir relativas al entorno del sistema. El sistema de información tendrá por misión coleccionar y memorizar a solicitud del sistema de decisión. Si es previsible que un sistema de nivel 8 efectúe prueba de imaginación en el ejercicio del proceso de decisión es, por el contrario, imposible prever rigurosamente cuando, sobre qué y cómo se realizará, es decir cuáles son las informaciones que son necesarias al decisor. Son las que deciden en el momento oportuno. A este respecto el rol de la memoria es fundamental tanto por su contenido como por su calidad de acceso que autoriza al sistema de información. Nivel 9. Sistema simbólico El objeto activado se automatiza. Emerge la conciencia. El sistema genera sus proyectos, determina sus finalidades, se autoanaliza, supone que el sistema se encuentra dotado de la facultad de decisión y de imaginación. EL SISTEMA DE INFORMACIÓN Y EL SISTEMA DE INFORMACIÓN AUTOMATIZADO DE UNA ORGANIZACIÓN SOCIAL Depende de la descripción de una organización, que el sistema de información tiene por misión esencial construir, después de almacenar en memoria, una representación de la actividad del sistema operante en el seno del entorno a fin de colocarlo a disposición de los actores del sistema de decisión, para que puedan mandar y coordinar el comportamiento del sistema operante. Por intermedio del acceso a la memoria de las representaciones de la actividad, es por lo que se efectúa el acoplamiento del sistema de decisión con el sistema operante. En una organización social, el funcionamiento del sistema de información es extremadamente complejo. Esta complejidad está acentuada por el hecho de que ciertos procesadores elementales físicos de la organización pueden ser alternativamente actores en cada uno de los tres grandes subsistemas. Así, por ejemplo un capataz en un taller, por la mañana asigna los obreros a las máquinas, actor del sistema de decisión; cuando arregla una máquina, auxiliado por un obrero, es actor del sistema operante; y cuando rinde cuenta de la jornada de trabajo es actor del sistema de información. En realidad, se prescinde analizar totalmente el sistema de información, se dedica a un sistema que trata de las informaciones codificables, (el único que es susceptible de ser automatizado mediante un sistema informático). Por comodidad se llama sistema de información a este último subsistema y se llama entonces sistema de información automatizado al subsis24

Sistemas

tema de información que funciona con ayuda del sistema informático. Precisando, las cuatro grandes funciones del sistema de información de una organización son: — Generar. Las informaciones que representan la actividad del sistema operante en el seno de su entorno, frecuentemente se designan como la información primaria. — Memorizar. Estas informaciones primarias, así que, sobre la demanda del sistema de decisión, representan la evolución del entorno, ciertas informaciones de decisión así como ciertos resultados de tratamiento, llamados a menudo informaciones elaboradas.

— Asegurar el acceso a la memoria y la comunicación de las informaciones. — Tratar, a demanda del sistema de decisión, ciertas informaciones. Esta concepción del sistema de información se articula alrededor de la memoria, común a todos los actores de la organización. 25

Figura 16. El sistema de información en la organización.


Quedando para los informáticos dos problemas a resolver: • ¿A partir de qué criterio se pueden seleccionar las informaciones que se deben memorizar?. • ¿Cómo se organiza esta memoria-lógica y físicamente-para que efectivamente pueda ser común a todos los actores de la organización? SISTEMA AUTOMATIZADO En general, se puede descomponer todo sistema automatizado en dos partes complementarias: Parte operativa Parte de mando La parte operativa, es el proceso físico que actúa sobre el producto. La parte de mando es el automatismo que elabora órdenes destinadas a procesar y las señales de visualización, en función de la información que le dan los procesos y las consignas. Figura 17. Parte mando y parte operativa de un sistema automatizado.

DESCOMPOSICIÓN SISTEMÁTICA DE LA FABRICACIÓN Veamos cómo estructurar, gracias al concepto de sistema, la fabricación de una pieza mecánica. Cualquiera que sea la pieza fabricada, se puede descomponer su fabricación en dos actividades fundamentales: • Elaboración del producto. • Mando y coordinación de las operaciones. 26

Sistemas

Elaboración del producto. Es la fabricación propiamente dicha, comprendiendo la fabricación, el control, sin olvidar la manutención y el transporte. Estas operaciones son efectuadas por los procesos elementales de la parte operativa del sistema de fabricación (máquinas herramienta, máquinas de control, manipuladores). Mando y coordinación de las operaciones. Esta operación es muy amplia y puede ir del simple mando de las máquinas al ordenamiento y gestión de la producción. Todo esto está tomado en cuenta por la parte de mando del sistema de fabricación (unidades de mando de las máquinas, ordenadores de gestión, etc.). Figura 18. Estructura funcional del sistema de fabricación.

La figura da la descomposición funcional del sistema automatizado de fabricación de una empresa de mecánica general. Efectuaremos algunas consideraciones respecto a la figura 18. El sistema de fabricación siendo muy complejo, se puede asimilar a dos sistemas que cooperan: • El sistema operativo (parte operativa). • El sistema de mando (parte mando). En la figura 19 representaremos la descomposición en subsistemas y procesos elementales. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LOS SISTEMAS Insuficiencia del método clásico Recordemos los principios cartesianos aplicados al estudio de un fenómeno. 27


Figura 19. Descomposición sistemática de la fabricación.

• Dividir un fenómeno en elementos simples. • Analizar cada elemento simple. • Reunir todos los elementos simples, para recomponer el fenómeno inicial. Este método que ha permitido, todos los descubrimientos científicos desde hace tres siglos, es de difícil aplicación en los fenómenos muy complejos. En efecto, Descartes no indicó las reglas de subdivisión, dejando que la efectúe el buen sentido: «dividir cada dificultad que examino, en tantas partes que se pueda y que serían requeridas para resolverlos mejor». Esto provocó la crítica de Leibnitz, hacia 1700: "esta regla es de poca utilidad puesto que el arte de dividir permanece inexplicado. Dividiendo el problema en partes inapropiadas, puede crecer la dificultad". Como nadie ha indicado reglas de subdivisión válidas para todos los fenómenos, nació la necesidad de una nueva teoría, que es precisamente la que estamos analizando, la teoría de los sistemas. Principios del análisis de los sistemas Para estudiar un fenómeno, se tratará de aplicar los principios teóricos siguientes: • Efectuar una aproximación total de los fenómenos. • Estudiar las relaciones con el entorno del sistema, Detallar los flujos de entrada y salida. • Estudiar, fundamentalmente, las relaciones entre los elementos, es decir, la estructura del sistema. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LOS SISTEMAS A LA EMPRESA En la teoría de los sistemas, destacan tres aspectos básicos que se 28

Sistemas

vinculan directamente con la empresa, considerada como un todo unitario, y en efectiva relación con el entorno. • Diseño del sistema o estudio de elementos y relaciones. • Investigación de su comportamiento o análisis de objetivos y decisiones. • Diseño de sistemas de formación y control que permiten reducir los efectos de las perturbaciones del medio y lograr los objetivos. Figura 20. Método cartesiano para estudiar un fenómeno.

Si indicamos con: S: sistema que contiene los elementos, xv..., xn, además del entorno x0 Estos elementos forman los conjuntos X={x1,..., xn) Y={x0,x1,...,xn} cada componente de X o de Y se caracteriza por un conjunto de entradas y salidas. Designando con: uij: las cantidades de entrada del elemento xj que dependen de las cantidades de salida de x, obtenido por la relación entre estas dos cantidades. y al conjunto de los uij lo designaremos: U-{uij} 29


Figura 21. Representación del sistema empresa.

Luego, a la empresa, en cuanto sistema, la podemos definir:

S={X,U} El sistema que configura la empresa se caracteriza por ser un conjunto de hombres y medios (elementos) que tiende a la consecución de un objetivo. Es decir, que a través de un proceso de transformación, en base a dicha estructura se logre un fin concreto. La empresa que cumple con sus objetivos, ha de disponer de unas funciones de control y regulación (feedback) de forma que permitan Figura 22. Sistema empresa: sistema abierto.

30

Sistemas

conducir y adaptar el proceso de transformación para la consecución de los fines deseados. Luego, la empresa es un sistema abierto, pues sus entradas y salidas dependen del medio. Figura 23. Esquema de un sistema a analizar.

En otras palabras: en la práctica para analizar un sistema (puede ser la empresa, o un departamento, o un servicio, etc.) se trata de discenir (lo que no siempre es fácil) tres subsistemas (o tres modelos) relacionados unos con otros. • Sistema de operaciones. • Sistema de gestión (o de decisión). • Sistema de información; cuyo rol es asegurar la relación entre los otros dos sistemas (el sistema de informática es la parte del sistema de información tratado por ordenadores).

31

Métodos gráficos en el estudio de los sistemas

INTRODUCCIÓN Uno de los aspectos de mayor importancia de un sistema es su estructura, o sea la forma en que sus partes están correlacionadas y gobernadas por un carácter general. La forma en que un sistema cumple con los requisitos que se le han impuesto, así como la forma de sus funciones se determina por medio de su estructura. Estudiaremos dos modelos gráficos, que son importantes en la síntesis y análisis de los sistemas: • El diagrama de bloques. • Los grafos.

Figura 24. Bloque que indica una simple transformación.

DIAGRAMA DE BLOQUES El elemento genérico de un diagrama de bloques, o sea el bloque fundamental, se ilustra en la figura 24. En su forma más simple representa una superficie, un proceso, o un elemento en el cual toma parte un proceso. 33


Este bloque simple, consta de una entrada y una salida, y una relación funcional o función de transferencia entre éstas. Un bloque se emplea para representar una transformación claramente identificable. Un cambio en la función de transferencia de un bloque no debe tener efecto sobre la función de transferencia en otros. ¿Qué es lo que constituye lógicamente un bloque en un diagrama de bloques? Dependiendo del diagrama, un bloque sencillo puede comprender desde una resistencia en un circuito, hasta una fábrica. TIPOS DE BLOQUES La figura 25 representa tres bloques elementales que definen un sistema de una manera más detallada. Los tres bloques representados, indican las tres principales operaciones de un sistema. Bloques que pueden servir para construir sistemas más complejos: Bloque de transformación Convierte una entrada x en una salida y de acuerdo a reglas de transformación fijadas; se puede también utilizar el bloque de transformación para indicar una sucesión de etapas en el proceso. Bloque de decisión En este bloque, dada la acción de entrada x, resulta en la salida la acción y o la z. Bloque de reacción Representa el mecanismo clásico de la reacción en el interior de las líneas punteadas, la entrada x es modificada en función de la salida y. La figura 25a) representa una simple transformación u operación de conversión. La figura 25b) representa la operación de una regla de decisión u operación lógica. La figura 25c) representa una fase de observación u operación de corrección en la cual la salida de una operación es llevada atrás para poder comparar a una norma de funcionamiento. Varias transformaciones y operaciones lógicas pueden ser combinadas para producir un sistema más complejo, se puede aplicar el principio de mando por bucle de reacción a grupos de transformaciones o de operaciones lógicas. Es posible reforzar la versatilidad de cada una de estas tres operaciones de base haciendo uso de «memoria». 34


Figura 25. Tres bloques elementales que se utilizan para construir sistemas. a) Bloque de transformación. b) Dos formas de bloque de decisión. c) Bloque de reacción.

OPERACIÓN DE TRANSFORMACIÓN Para mejorar la definición de un sistema por medio de una descripción estructural, nos preguntamos sobre los detalles de las operaciones componentes. Veremos a continuación, los detalles de la conversión: Estas etapas pueden ser simples o complejas, pero si es posible determinar las reglas de transformación, podremos predecir lo que llegará a una entrada. Ejemplo de operaciones de conversión 1. Supongamos que el departamento de ventas recibe un pedido, multiplica las cantidades demandadas por los precios unitarios y totaliza 35


para tener el importe total del pedido, que luego envía al departamento contable para acreditar. La operación es: encontrar y a partir de x con

y=ax2 + bx + c

La descripción de la transformación puede ser más o menos detallada, siendo, el objetivo de la conversión: establecida la entrada debemos saber describir la salida que resultará. En lo precedente, observamos que nada se dice sobre la forma exacta en que se haría la conversión. La relación contable podría ser efectuada a mano, con un ordenador, por una o varias personas. La operación matemática, puede ser efectuada de diversas maneras a mano, con una calculadora analógica o digital. Se acostumbra considerar la transformación como una caja negra que, como sabemos, representa un conjunto de detalles. La definición de la caja negra se realiza en virtud del funcionamiento. No nos interesa, cómo se realiza una transformación, pero sí el resultado. Si la relación observada entre la entrada y la salida es suficientemente estable para suministrar una predicción fiable se adapta, entonces, esta relación como transformación de la caja negra. Combinación de las transformaciones de las cajas negras El método que permite combinar las cajas negras estables, independientes y compatibles es directo. El acoplamiento entre bloques está concebido de manera de asegurar transferencias coherentes en salidas y entradas. El resultado es un diagrama de bloques con un punto de partida o entrada y un punto terminal o de salida. Si hemos seguido este proceso de combinación, los acoplamientos y conexiones deseadas serán igualmente completas, es decir, no hay relaciones faltantes. La estructura original que observamos en el diagrama de flujo o en una matriz prove la información sobre las relaciones. Las flechas del diagrama de flujo de bloques indican las variables que relacionan una operación con otra; las operaciones o transformaciones de los bloques son introducidas cuando las flechas se conectan. El diagrama de bloques resultante, indica: • Las entradas del sistema. • Las salidas del sistema. • La secuencia exacta de las operaciones que se colocan entre estos extremos. 36


• Las transformaciones de las variables que tienen lugar en cada elemento u operación. Este diagrama de bloques puede constituir por sí una descripción suficiente del sistema. El diagrama de flujo de un programa para un ordenador, no es otra cosa que un diagrama de flujo de bloques. Función de transferencia Si el sistema tiene una sola entrada E y una sola salida S, es cómodo reducir el diagrama de flujo total a una caja negra equivalente. Podemos efectuarlo fácilmente, definiendo la función de transferencia de la caja negra (a partir de su transformación), como la relación de la entrada a la salida. Figura 26. Operación de transformación: una entrada x es transformada en una salida y por la relación y=Kx.

En la figura representamos una caja negra correspondiente a una operación de transformación. Una entrada x es transformada en salida y por la relación: y=Kx Para conversiones continuas de este tipo, es habitual definir la función de transferencia, como la relación de S a E. y T= =K x esta función de transferencia se indica en el bloque. REGLAS DE COMBINACIÓN DE LAS CAJAS NEGRAS Regla de multiplicación Si 2 bloques actúan en serie, es necesario multiplicar la función de 37


transferencia de cada caja negra, para obtener la función de transferencia total, equivalente al nuevo sistema. En caso, de disponer en serie más de dos cajas negras se aplica igualmente regla. Figura 27. Dos bloques en serie, aplicación de la regla de la multiplicación.

La caja negra A tiene por función de transferencia y = K1 x

la caja negra B tiene por función de transferencia z = K2 y la función de transferencia total, de las 2 cajas negras conectadas en serie es: y z z ⋅ = = K1 ⋅ K 2 x y x y el sistema se puede ahora, describir como una única caja negra de entrada x y salida z con la función de transferencia z/x. Regla de adición Cuando dos cajas negras funcionan en paralelo, será necesario sumar o restar las variables para obtener la función de transferencia total, definida como la relación de la salida a la entrada. Ejemplo Una señal de entrada se divide en 2 señales iguales que son tratadas 38


separadament y luego nuevamente combinadas por adición para dar la variable de salida, situación que está representada en la figura anterior. La convención que efectuamos es que la variable será la misma en los tramos, pero cuando es necesario combinar variables diferentes es necesario colocar el símbolo de la adición. Resultando: T =

y = K1 + K 2 x

Observamos, que el resultado es equivalente a la adición de las transformaciones de las cajas negras en paralelo en el punto de unión. Figura 28. Dos bloques en paralelo, aplicación de la regla aditiva.

Funciones de transferencia con 2 entrada-salida Cuando la función de transferencia no está definida por una caja negra simple de entrada-salida, se considera una caja negra de varias entradas (o varias salidas). Es el caso representado en la figura de la página siguiente, donde la reducción directa a un solo bloque no es posible, la función de transferencia hará generalmente intervenir otras variables, distintas a las de entrada y de salida. en la figura resulta, z = K1 x + K 2 y z y = K1 + K 2 x x z x T2 = = K1 + K 2 y y T1 =

39


Figura 29. Caso de transferencia condicional.

Caso de varias variables de entrada - salida Notación vectorial y matricial Cuando la entrada de una caja negra tiene varios atributos o varias variables que son simultáneamente transformadas en una o varias variables, se acostumbra utilizar la notación vectorial y la matricial. En estas condiciones las reglas de combinación se aplican igualmente pero es necesario utilizar las reglas correspondientes a la multiplicación y adición matricial. Figura 30. Caja negra con tres entradas y una salida.

40


Ejemplos 1.— Supongamos una entrada con 3 atributos (número de artículos) x1, x2, x3 que llegan a una caja negra y deben ser transformados en una sola salida mediante la columna de la caja negra, cuyos valores representan los precios de los artículos 2.— Veremos una transformación de entrada vectorial. Una variable de entrada x tiene varios atributos, por lo cual se representa con un vector, como podría ser una información de costo correspondiente a tres tipos de piezas. El tipo de conversión, que se quiere aplicar, consiste en convertir una información sobre el costo de productos, de acuerdo a las indicaciones de la matriz que da el número de piezas de cada clase que integra cada producto fabricado. El producto del vector x por la matriz T da el resultado buscado, el vector y, cuyos componentes representan los costos unitarios de los diferentes productos. Aplicamos la operación de la multiplicación de matrices. Figura 31. Transformación de entrada vectorial.

OPERACIONES LÓGICAS Bloque de decisión El bloque de decisión es un órgano de ordenación. Distingue una salida de otra. Se puede describir el bloque de decisión utilizando los métodos usuales de transformación y la caja negra, pero por el hecho que un bloque de decisión produce cambios condicionales de la transformación total del sistema en condiciones determinadas, es práctico aislarlo en el diagrama de bloques como un caso particular. 41


Nos limitaremos, al análisis del bloque de decisión simple. En un sentido más genérico, una operación condicional implica la elección entre dos alternativas mas un determinante que establece la decisión. Ejemplo Si hace buen tiempo, iré a pescar, si no, veré la televisión. Si la condición (hace un buen tiempo) se cumple, la acción realizada es la primera (ir a pescar). Si no se cumple, se desarrolla la segunda actividad (ver la televisión). El diagrama sería el de la figura 32. Figura 32. Diagrama de bloques de una operación condicional simple.

Observamos que hay una elección entre dos acciones. El bloque de decisión efectúa una elección simple, llamada ramificación condicional, en los diagramas de flujo de los ordenadores. Bucle Es un caso particular de la aplicación de los bloques de decisión y de gran importancia en la programación de ordenadores y en la concepción de las máquinas. Un bucle es una acción que se repite. Esto plantea inmediatamente la cuestión de cómo controlar el número de repeticiones que han de efectuarse. 42


En particular en la técnica de programación de ordenadores se dispone de tres recursos: • Repetir mientras se cumple cierta condición. • Repetir hasta que se cumpla cierta condición. • Repetir durante un número de veces especificado. Los respectivos diagramas serían los indicados en la figura 33. Figura 33. Diagramas de bucle: a) Mientras; b) Hasta que; c) Durante.

OPERACIÓN DE CORRECCIÓN Bloque de reacción El tercer tipo importante de bloque es la caja de comparación y mando llamado bloque de reacción. Reacción: El principio de la reacción es el indicado en la figura 34 de la página siguiente. Básicamente una entrada en el sistema es recibida y tratada por un bloque de transformación. Los resultados deducidos de la transformación, con auxilio de dispositivos convenientes, a la salida, son comparados con los deseados. Todo error es utilizado de manera adecuada para corregir la salida del ciclo siguiente. Una reacción puede ser continua o periódica. Puede reducir o aumentar el error según la disposición del sistema y su objetivo. La reacción puede aplicarse a los bloques de transformación o a los bloques lógicos; pero el funcionamiento del principio de reacción necesita un bucle de acción como el indicado en la figura. 43


Figura 34. Esquema básico del bloque de reacción.

Ejemplo Regulador de Watt de la máquina de vapor. Principio del regulador de Watt La figura 35 presenta el esquema de funcionamiento de Watt, aparato puramente mecánico que regula la velocidad de rotación de un árbol en función de la fuerza centrífuga resultante. Según la velocidad impresa, las bolas se separan más o menos Figura 35. Regulador de Watt de la maquina de vapor.

44


del eje y accionan luego la palanca reguladora de la potencia con objeto de que la energía en el punto de salida sea siempre constante. Proceso de retroacción del regulador de Watt La figura 36 representa, mediante circuito cerrado, el proceso de retroacción del regulador de Watt. La reacción (feedback) del sistema, base de cualquier servomecanismo, parte de la comparación entre la velocidad real y la requerida, momento en el que interviene el regulador que, al ajustar la potencia transmitida a la máquina de vapor, corrige por si mismo las perturbaciones del sistema hasta conseguir una velocidad adecuada. El ciclo se reinicia incorporando la nueva información. Otro ejemplo clásico, es el termostato. La gestión de stock, la previsión, el control de calidad son ejemplos de reacción. Figura 36. Proceso de retroacción del regulador de Watt

Los tres factores que se destacan en los sistemas de bucle de reacción son: • Ganancia real del sistema, o sea la sensibilidad. • Cantidad de reacción utilizada. • Signo de la corrección, del error aplicado. Reacción negativa Para evitar complicar la exposición, supongamos que tenemos un sistema de reacción continua, como el de la figura 37. Si una parte b de la entrada de la caja negra K puede ser devuelta negativa, cuando la entrada del sistema es positiva (o viceversa) tenemos la configuración de base de la aplicación del principio de contrarreacción. 45


En la figura, la entrada x es modificada por una parte de la salida —by de manera que la salida con reacción es también modificada como se indica. Sin la reacción, aportada por el bloque inferior, la salida sería: y=Kx con la reacción representada, la salida es: y=K(x-by) La función de transferencia del sistema limitado por las líneas de trazo es: T =

y k = x 1 + bk

el efecto es mantener la salida constante si la función de transferencia K del bloque superior cambiará con la carga u otras condiciones externas. Figura 3 7. Diagrama de bloques de un dispositivo simple de reacción, mostrando la modificación de la función de transferencia que resulta de la reacción.

EJEMPLO Para indicar los efectos protectores de la contrarreacción sobre la relación de salida sobre la entrada y/x en los cambios de la transformación directa debido a las perturbaciones externas consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo Para indicar los efectos protectores de la contrarreacción sobre la relación de salida sobre la entrada y/x en los cambios de la transformación directa debido a las perturbaciones externas consideremos el siguiente ejemplo. 46


Suponiendo, K=100 b=0,09 la fórmula: T =

y k = x 1 + bk

resulta, y 100 = = 10 x 1+ 9

Supongamos ahora que la perturbación externa haya causado una disminución del 50% del rendimiento o de la ganancia, entonces tenemos: K=50 y la fórmula nos da: y 50 = = 9,1 x (1 + 4,5)

el nuevo valor de la relación de salida sólo ha caído en: (10 − 9,1) = 0,09 = 9% 10 cuando el rendimiento de funcionamiento ha descendido del 50% Se puede así utilizar la reacción negativa para mejorar la regulación de los sistemas. Reacción positiva ¿Qué sucede en caso de reacción positiva? De acuerdo a la ecuación T =

y k = x 1 + bk

vemos que la relación crece una exageración según el valor del denominador. Así, cuando el signo de bK cambia, el denominador que era: 1+bk

resulta

1-bK

y la relación y/x crece rápidamente si bK se aproxima a la unidad (en los sistemas prácticos esto se traduce a menudo por una oscilación con variaciones inestables entorno al valor de bK=1, que pertenece al límite). Es por eso que se trata de evitar este género de inestabilidad en los sistemas de mando, por lo tanto cuando es factible se debe desechar las reacciones positivas. 47


Dispositivos físicos, como los osciladores utilizados en transmisores y receptores de radio, constituyen ejemplo del empleo de la reacción positiva. TABLA DE DECISIÓN Cuando un diagrama de bloques representa un cierto número de transformaciones por cajas negras y operaciones lógicas, en general es más cómodo reducir el diagrama a una estructura equivalente. Para efectuar esta tarea se dispone de la tabla de decisión. Denominamos tabla de decisión a una representación tabular de la lógica de un problema en el que se presentan variadas situaciones y diferentes alternativas para cada una de ellas. Figura 38. Modelo de tabla de decisión.

Estructura de una tabla de decisión Una tabla de decisión es una representación en la que se distingue cuatro zonas. • Condiciones. Consta de un vector columna donde figura las condiciones que intervienen en el problema. Si establecemos al inicio un orden de importancia de las condiciones, las más importantes deben figurar en la parte superior y hacia abajo se colocan las de menor importancia. • Acciones. Consta de un vector columna en el que aparecen las acciones a realizar. Si en algún caso, para un estado determinado de las condiciones, se realizan varias acciones y éstas tienen que ejecutar en un orden preestablecido, figurarán en ese orden de arriba a abajo. • Entrada de condiciones. Es una matriz de tantas filas como condiciones y columnas como situaciones distintas se puedan presentar. • Salida de acciones. Matriz en la que figuran tantas filas como acciones y columnas como situaciones distintas se puedan presentar. Ejemplo Supongamos que tenemos 3 condiciones que se evalúan: • Se cumple 1 • No se cumple 0 48


Figura 39. Tabla de decisión del ejemplo.

y tres acciones que se ejecutarán según la representación de la tabla correspondiente a la figura 39. Cada columna de la matriz que representa la entrada de condiciones, correspondiente a un determinado estado de las mismas se denomina situación. Cada columna de la matriz que representa la salida de acciones, se denomina tratamiento. Figura 40. Tabla indicando: situación, tratamiento y regla de decisión.

49


Las acciones que componen un tratamiento son las que corresponden al signo de x que hay en la columna. Éstas se ejecutan, en caso de haber más de un signo x, de arriba a abajo, salvo que se especifique otro orden mediante subíndices en las mismas. Regla de decisión. Conjunto formado por una situación y su tratamiento correspondiente. Las situaciones pueden ser de dos tipos: • Simples: son aquellas en las que todas las condiciones han de ser evaluadas. • Compuestas: son aquellas en las que una o más condiciones no precisan ser evaluadas. Se dice entonces que la situación tiene una indiferencia en esas condiciones y se representa mediante un guión. Una situación compuesta equivale a tantas situaciones simples como el resultado del multiplicar el número de valores de cada condición que es indiferente en esa situación. Figura 41. Tabla indicando situaciones: simple y compuesta.

Ejemplo La situación compuesta de la anterior tabla de decisión equivale a dos situaciones simples por tener dos posibles valores la condición 1 la cual posee una indiferencia. — 1 0

equivale a

10 11 00

se dice que una regla es simple o compuesta según lo sea la situación que contiene. 50

Grafos

INTRODUCCIÓN Los grafos son apropiados para resolver problemas de sistemas, ya que permiten analizar como interacciones las partes del sistema y cómo fluye la información. Los conceptos que estudiaremos pueden ser aplicados a cualquier tipo de sistema. Grafo. Un grafo es un conjunto de puntos (vértices) y un conjunto de arcos (líneas) entre pares de vértices. Usamos los vértices para representar las partes de un sistema y los arcos nos indican los efectos de unos vértices sobre los otros. Es decir, un grafo muestra que parte del sistema afecta a las otras partes; esto se designa la estructura del sistema. Describiremos un sistema examinando su estructura y su tecnología. Insistiremos con estos dos conceptos. La estructura, de un sistema es la descripción de cómo las partes interaccionan. La tecnología del sistema establece cómo el comportamiento de una parte afecta o determina el comportamiento de la otra parte con la cual está relacionada. Figura 42. Estructura a la cual corresponden diferentes tecnologías.

51


Así, por ejemplo, supongamos la estructura de un sistema, donde los vértices A y B afectan la acción del C (figura 42). Esta estructura es válida para cualquier problema que presente la anterior relación entre A, B y C. En cambio la tecnología es diferente según consideremos un problema de mecánica, empresa, agricultura, etc. REPRESENTACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS Definiremos algunos elementos de la teoría de los grafos, que nos serán útiles en nuestro estudio, para ello, consideremos el grafo de la figura 43. En la figura 43 la flecha que va del vértice 1 al 2, implica que el nodo 1 afecta al nodo 2. Figura 43. Grafo sin circuito.

Camino. Es una sucesión de arcos, tal que el extremo final de cada uno corresponde al extremo inicial del siguiente (según el sentido de la flecha). En la figura (1, 2, 5) es un camino. Efecto directo. Es el indicado por un arco, por ejemplo, la parte 1 afecta directamente a la parte 2. Efecto indirecto. Es el indicado por un camino con dos o más arcos, por ejemplo el camino (1, 2, 5). Longitud de un camino. Es el número de arcos que contiene el camino. Así la longitud del camino (1, 2, 5) es 2. • Si hay un camino de a a b, a se dice predecesor (antecesor) de b y b es el sucesor de a. Circuito. Es un camino finito, en el que el nodo inicial coincide con el final. 52

Grafos

La figura 43 no presenta ningún circuito; en cambio, en la 44 hay varios circuitos. Así, por ejemplo, los circuitos: (1, 7,1); (6, 2, 3, 4, 6); (2, 3); (6, 9, 6); etc. Bucle. Es un circuito formado por un único nodo (en el mismo nodo inicia y termina). Figura 44. Grafo con circuitos.

Subgrafo. Subconjunto de vértices y arcos de un grafo. En nuestros análisis de estructura, asignaremos a los vértices números. Estos números representan el orden en que se consideran. Siguiendo el orden, determinamos las partes directamente afectadas, de esta forma no podemos establecer arcos desde un número mayor a uno menor. En próximo párrafo veremos cómo se efectúa el ordenamiento. MATRIZ Otra forma de representar la estructura de un sistema, y que es equivalente a un grafo, es por medio de una matriz. La matriz es cuadrada, con tantas filas y columnas como número de vértices presenta el grafo. El elemento aij, perteneciente a la fila i y a la columna j, se indica en la matriz con la marca x. Por convención, los elementos pertenecientes a la diagonal principal se indican con un pequeño círculo. Las figuras 45 y 46, indican las matrices correspondientes a los grafos anteriores. 53


Figura 45. Matriz del grato sin circuito.

Figura 46. Matriz del grato con circuitos.

54

Grafos

El sentido de la flecha indica el lugar de la ubicación de la marca x. Por ejemplo, 1 → 2 significa columna 1, fila 2. Si el número de vértices y arcos es pequeño, es fácil trabajar con un grafo sin embargo, cuando el número de vértices y arcos se incrementa, la matriz resulta más práctica para hacer el análisis. Estos conceptos pueden ser aplicados a cualquier tipo de sistema. PARTICIÓN Consideremos el problema de ordenar un conjunto de vértices X1, x2,..., xn pertenecientes a X sujeto a un conjunto de restricciones. Los vértices pueden representar tareas. Las tareas son actividades que se intenta ejecutar en un orden. Grafo directo Un grafo directo G =(X,U) es un conjunto finito de elementos x1 pertenecientes a X llamados vértices y un conjunto ordenado de pares de vértices (xi, xj) pertenecientes a U llamados arcos. Los vértices del grafo G son las tareas. Un camino de xi a xj implica que la tarea xi precedería o afecta a la tarea xj. PROCESO A Ordenación de tareas en un grafo sin circuitos Paso 1. Asignar l=0 Figura 47. Grafo con circuito.

55


Paso 2. Asignar I = I + 1. Puesto que el grafo no contiene circuitos, existirá un vértice sin predecesor, es decir, un vértice sin arco dirgido hacia él. Suprimimos tal vértice y todos los arcos que concurren. Numeramos este vértice. Si algún vértice permanece, repetir paso 2. Paso 3. Este paso completa el proceso. Puesto que cualquier vértice fue numerado después de todos sus predecesores, le ha sido asignado un número más bajo, no hay por tanto camino de un vértice de alta numeración a uno de numeración más baja. PARTICIÓN DE UN GRAFO CON CIRCUITOS Vamos a ordenar las tareas de un grafo con circuitos. La figura 47 nos muestra un grafo de esta naturaleza. Circuitos son, por ejemplo: (2, 9, 2) y (3, 5,1, 8, 3). Figura 48. Matriz correspondiente al grato anterior.

Partición significa asignar las tareas a subconjuntos de vértices, llamados bloques. Los bloques se definen de forma que: • Las tareas dentro de un bloque tienen asignados números enteros contiguos. 56

Grafos

• Ningún arco va del vértice de numeración alta a otro más baja. • Dadas dos tareas xi y xj en el mismo bloque hay un camino de xi a xj y un camino de xj a xi La figura 49 indica la partición del grafo anterior. Para lograr esta partición debemos seguir el proceso B cuyos pasos indicamos a continuación e ilustramos con las siguientes figuras. Figura 49. Partición de los vértices del grafo en bloques.

PROCESO B Partición Paso 1. Asignar l=0 Paso 2. Si no queda vértice ir al paso 5. Si cada vértice, tiene un inmediato predecesor ir al paso 3. Si no ir al paso 4. Paso 3. Elegir cualquier vértice remanente. Elegir un vértice inmediato predecesor, luego, a su vez, un vértice inmediato predecesor a éste, etc. Continuar este proceso hasta que un vértice ha sido encontrado 2 veces. Por este proceso un camino fue atravesado, volver atrás del vértice repetido. Este camino es un circuito. Elegir un vértice en el circuito y plegar todos los vértices del circuito en aquel vértice. Por plegar significa: un vértice del circuito, elegido arbitrariamente, estará listo para representar al conjunto de todos los vértices en el circuito. Este vértice representativo tendrá ahora un arco a o de un vértice en el grafo remanente, si y únicamente si, algún vértice en el circuito tiene un arco a o de, respectivamente otro vértice. Todos los vértices y sus arcos en el circuito o el que lo representa son 57


Figura 50. Matriz del grafo anterior.

removidos del grafo. Luego decimos que estos vértices han sido plegados en un vértice representativo. Ir al paso 2. Paso 4. Elegir un vértice que no tiene predecesor. Suprimir este vértice y todos los arcos que entran o salen de él. Si este vértice suprimido representa n vértices originales (ver paso 3), numerar estos n vértices I + 1, a I + n. Figura 51.

58

Grafos

Asignar I = I + n. Ir a paso 2. Paso 5. Este paso completa el proceso. Los bloques son los conjuntos de vértices que plegamos en el paso 4. El paso 4 asigna números contiguos a los vértices en un bloque. Como un vértice (o bloque de vértices) no está numerado hasta que todos los predecesores hayan sido removidos y asignados números bajos, ningún arco va de un vértice con número alto a uno de número bajo, en otro bloque. Utilizaremos el grafo de la figura 51 para ejemplificar el proceso B. Figura 52.

Siguiendo los diversos grafos o las correspondientes matrices tendremos la idea de la aplicación práctica. Ejemplo del proceso B Partición Paso 1. Asignar l=0. Paso 2. El vértice 8 no tiene predecesor, lo que verificamos en la matriz la fila 8 no tiene otra marca que la de la diagonal principal. Paso 3. Asignamos el número de orden 1 al vértice 8 y lo suprimimos junto con sus arcos. 59


Figura 53.

En la matriz trazamos por la fila y columna 8. El número 1 se escribe arriba del vértice 8. (Figura 53). En la figura siguiente se observa la matriz.

Figura 54.

60

Grafos

Figura 55. Las expresiones de estas figuras están en el texto.

Ejemplo del proceso B Partición Paso 2. Toda fila tiene una marca distinta que la de la diagonal principal. Figura 56.

61


Figura 57.

Paso 3. Arbitrariamente comenzamos con la fila (vértice 1) para generar una secuencia de predecesores. Elegimos, arbitrariamente, el vértice con el número más bajo como el próximo predecesor, generamos la secuencia 1, 2, 7, 2. Esto revela el circuito (2,7,2). Agrupamos el vértice 7 en el 2. Usamos la nueva marca + para indicar las Figura 58.

62

Grafos

marcas introducidas en columna 2 por plegamiento, tachamos la fila y la columna 7. Este proceso se indica en la figura 55. Ejemplo del proceso B Partición Paso 2. La fila 2 no tiene marca distinta a la diagonal principal. Paso 4. Asignamos a fila 2 plegada 7: próximo número de orden 2 y 3. Suprimimos el vértice 2 y sus arcos, tachamos en la matriz la fila y columna 2. Obtenemos la figura 57. Ejemplo del proceso B Partición Paso 2. Toda fila tiene una marca distinta a la de la diagonal principal. Figura 59.

Paso 3. Generamos la secuencia de predecesores 1,12,10, 4, 6,1. Revela el circuito (1, 6, 4,10,12,1). Plegamos 4, 6, 10, 12 en 1. Obtenemos la figura 59 que puede verse encima de estas líneas. Ejemplo del proceso B Partición Paso 2. Toda fila tiene una marca distinta a la de la diagonal principal. Paso 3. Generamos la secuencia de predecesores 1, 5,1. Plegamos 5 en 1. Obtenemos así la figura 61 representada en la página siguiente. 63


Figura 60.

Ejemplo del proceso B Partición Paso 2. Toda fila tiene una marca distinta a la de la diagonal principal. Paso 3. Generamos la secuencia de predecesores 1, 3, 9, 3. Plegamos 9 en 3. Obtenemos la figura 63. Figura 61.

64

Gratos

Figura 62.

Ejemplo del proceso B Partición Paso 2. Observamos que la fila 3 no tiene marca distinta a la diagonal principal. Figura 63.

65


Figura 64.

Paso 4. Asignamos a la fila 3 el número de orden 4 y a la fila 9 el número de orden 5. Tachamos la fila y columna 3. Paso 2. La fila 1 no tiene marca distinta a la diagonal principal. Paso 4. Asignamos a la fila 1 el número 6 y a las filas que plegamos 4, 5,6, 10 y 12 en 1, los números de orden 7,8,9,10 y 11 respectivamente. Tachamos la fila y columna 1. Figura 65.

66

Grafos

Figura 66.

Paso 2. Finalmente observamos que la fila 11 no tiene marca distinta a la diagonal principal. Paso 4. Asignamos a la fila 11 el número de orden 12 y tachamos la fila y columna 11. Obtenemos la figura 65. Figura 67.

67


Ejemplo del proceso B Partición Paso 2. No quedan vértices. Paso 5. Un número de orden ha sido asignado a cada vértice. En la figura 67 reordenamos las filas y columnas de acuerdo al orden de los números para obtener el bloque de forma triangular en la matriz.

Figura 68.

Bloque de forma triangular en la matriz En la matriz podemos observar que: • Las tareas en un bloque tienen asignados números enteros contiguos. • Ningún arco va de una tarea de número alto a una baja en otro bloque, • Dadas dos tareas en un mismo bloque hay un camino en cada dirección entre ellos. Finalmente obtenemos la partición del grafo, como indica la figura 68.

68

Modelos

CONCEPTOS GENERALES Un modelo es una representación o abstracción de la realidad. Muestra las relaciones entre causa y efecto, entre objetivos y restricciones. Problemas que no se pueden resolver por medio de soluciones directas debido a su magnitud, complejidad o estructura, a menudo que se puede manejar buscando una solución aproximada por medio de modelos de simulación. Un modelo no puede representar todos los aspectos de la realidad porque es únicamente una aproximación del objeto real o situación. Para que un modelo sea representativo de la realidad, todos los hechos significativos deben ser retenidos en el modelo. Los modelos deben ser examinados y comprobados repetidamente con datos observados para lograr un modelo aceptable. La importancia de la IS en la actualidad radica en la representación matemática de sistemas físicos y no en el uso de modelos físicos. Uno de los aspectos importantes del análisis de sistemas es evaluar las alternativas y predecir los efectos, para lo cual nos valemos del proceso de decisión. Los planes alternativos no pueden ser ensayados en sistemas operativos porque sería costoso, peligroso e insumiría mucho tiempo, por tanto debemos recurrir a los modelos. Los modelos que son más fáciles de resolver son también los más fáciles de comprender y aplicar. Sin embargo, si el modelo se simplifica hasta el punto en donde ya no representa el mundo real, proporcionará resultados erróneos o engañosos. Las aproximaciones pueden tomar una o más de las siguientes formas: 1. En el modelo se usan relaciones lineales para representar las relaciones reales que no son lineales en el sistema. Por ejemplo, una curva se puede aproximar por medio de cierto número de segmentos rectilíneos que se ajustan al patrón general de la curva. 2. Se omiten las variables que no tienen un efecto significativo en el funcionamiento del sistema. Las políticas de inventario a menudo se basan en el control de los artículos que cubren el volumen de la demanda, porque se supone que los artículos restantes no justifican el costo de la 69


atención. Tales ajustes en el costo de evaluación y el coste por falta de control deben justificarse rigurosamente. 3. Algunas variables se consideran en conjunto y subsecuentemente se tratan como una sola variable. Si las variables tienen esencialmente las mismas características, la variable agregada suministrará una buena aproximación. Nuevamente, empleando la política de inventario como una ilustración, artículos que tienen propiedades semejantes en la demanda, el almacenamiento, el empleo y la manipulación se tratan de manera idéntica como una sola variable, lo cual resulta con poca pérdida de realidad y mucho menos esfuerzo. MODELOS DE SOLUCIÓN La selección de un procedimiento para deducir de un modelo, una solución del problema depende de las características del modelo. Los procedimientos pueden ser: • analíticos. • numéricos. Figura 69. Etapas a seguir para el diseño de un modelo.

70

Modelos

Figura 70. Clasificación de los modelos.

Los procedimientos analíticos tienen un carácter esencialmente deductivo, mientras que los numéricos lo tienen inductivo. Existen métodos de solución de tipo iterativo, que son aquellos que se aproximan a la solución, o bien dan la solución exacta en base a una serie de repeticiones de la misma regla analítica sobre los resultados de una repetición anterior. En algunos casos no puede aplicarse ninguno de estos procedimientos hasta que se valora un término de la ecuación por medio de la técnica de Monte Cario. En el gráfico de la figura 69 indicamos los pasos a seguir para concretar un modelo. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS Ver el cuadro de la figura 70. MODELOS SEGÚN EL GRADO DE ABSTRACCIÓN Modelo físico (icónico) Son imágenes a escala del sistema cuyo problema se quiere resolver. 71


Muchas fotografías, pinturas y esculturas son modelos icónicos de personas, objetos o escenas. Un globo es un modelo icónico de la Tierra. La astronomía ha producido modelos icónicos de partes del sistema solar y la Física ha producido modelos de moléculas y átomos. En general, una representación es un modelo icónico en tanto que sus propiedades sean las mismas que las poseídas por aquello que representan. Sin embargo, estas propiedades están sujetas normalmente a una transformación métrica es decir, se adopta una escala mayor o menor que la real. Por ejemplo, en un globo el diámetro de la Tierra está reproducido a escala reducida. La transformación de la escala de las propiedades representadas significa una economía y facilidad de uso. En condiciones ordinarias se trabaja más fácilmente con el modelo de la Tierra, de un átomo, que con el propio ente modelado. Así por ejemplo, una planta piloto, que es un modelo icónico a pequeña escala, de una fábrica de tamaño natural, puede manejarse con más facilidad que la propia fábrica. Los modelos icónicos son adecuados especialmente para la representación de cosas estáticas, o dinámicas en un momento determinado. Por ejemplo, una fotografía o un plano de movimientos puede proporcionar una buena imagen de la planta. Pero es difícil utilizarlos para la representación de situaciones dinámicas, tales como las operaciones de una fábrica. Por esta razón no se adaptan bien al estudio de los efectos de cambios en un proceso o sistema. Es posible, naturalmente, construir un modelo pequeño en funcionamiento de una fábrica, pero su construcción sería muy costosa y más aún, su variación necesaria para estudiar las posibles mejoras del sistema. Modelo gráfico Los modelos constituyen ayudas efectivas, no sólo en el análisis de un diseño en sus pasos iniciales, sino en la presentación del producto o sistema final en forma tridimensional de fácil apreciación. El análisis de un modelo puede servir para deterninar espacios o relaciones que afecten la interacción de las diferentes partes. Las componentes reales del diseño propuesto se pueden construir y examinar por medio de repetidas pruebas para determinar sus límites de resistencia y fatiga. La escala y los detalles de presentación pueden variar según el propósito del modelo. 72

Modelos

La escala escogida debe ser suficientemente grande para permitir las operaciones y movimientos del diseño que se realiza. Modelos de disposición de sistemas se emplean para ilustrarlas relaciones entre los sistemas de fabricación, sistemas de tránsito o procesos industriales. Modelo esquemático Las gráficas de fluctuaciones de precios, los diagramas de barra, los diagramas de organización, diagramas de bloques, las redes, los diagramas de proceso, los diagramas simbólicos de actividades, los mapas de rutas, todos representan el mundo real en una forma esquemática. Los aspectos gráficos son útiles para propósitos de demostración. Los símbolos sobre tales diagramas pueden arreglarse fácilmente para investigar el efecto de la reorganización. Una experimentación semejante con el lugar real de trabajo podría ser dañino. Modelo analógico Al construir un modelo de la mayoría de los objetos, acontecimientos, procesos o sistemas no es siempre conveniente reproducir todas las propiedades pertinentes, ni siquiera a escala reducida o aumentada. Así no es posible, por ejemplo, reproducir convenientemente la estructura geológica de la Tierra en una esfera armilar. Pero sí es posible representar diversos tipos de formaciones geológicas por medio de colores diferentes. Al hacerlo así, estamos haciendo una sustitución conveniente de su propiedad (estructura geológica) por otra (color) de acuerdo con ciertas normas de transformación. En los mapas, por ejemplo, donde es muy corriente esta transformación, se dan al pie de página las reglas de la transformación y se nos dice que una línea discontinua representa una carretera en construcción. Un computador analógico es la representación física (mecánica o eléctrica) de las variables de un problema. En el grado en que un modelo representa un conjunto de propiedades por medio de otro conjunto de propiedades es un modelo analógico. El modelo analógico se utiliza con buenos resultados en la representación de situaciones dinámicas, es decir, en la representación de procesos o sistemas. Modelo matemático Las expresiones cuantitativas, es decir, los modelos más abstractos, generalmente son los más útiles. Cuando un modelo matemático puede construirse para representar en forma exacta la situación de un problema, suministra una poderosa arma para el estudio, es fácil manipular, el efecto de las variables interactuantes se aprecia claramente y sobre todo, es un modelo preciso. Por lo general, cualquier deficiencia debida al empleo de los modelos 73


matemáticos se origina por algún error cometido en las suposiciones básicas y en las premisas sobre las cuales están basados. En contraste con los otros tipos de modelos, es más difícil decidir lo que va a emplear, que cómo se va a emplear. En general, los modelos matemáticos de sistemas estáticos (que no varían con el tiempo) consisten en ecuaciones algebraicas, mientras que las representaciones matemáticas de sistemas matemáticos y leyes físicas se integran mediante ecuaciones diferenciales. Como ejemplo, formularemos en el cuadro 71 diferentes modelos matemáticos y las técnicas de optimización. Figura 71. Técnicas de optimización para diferentes tipos de modelos matemáticos.

En general el proceso de optimización se completa en dos pasos: 1. Desarrollamos un modelo matemático del problema (el modelo relaciona variables parámetros y constantes seleccionadas). 2) De acuerdo al tipo de modelo aplicamos una apropiada técnica de optimización para identificar la estrategia óptima. MODELOS SEGÚN CARACTERÍSTICAS DE PROCEDER Comprender dos tipos de modelos: • Estático. • Dinámico. En general, el modelo dinámico considera el tiempo como una de las variables y admite el impacto de cambios en el transcurso del tiempo. Un estado (punto de decisión) puede corresponder al tiempo variable. Ejemplo, la ejecución de la producción mensual. 74

Modelos

El caso contrario es el modelo estático, que no considera el impacto de los cambios, es decir, que es independiente del tiempo. Esta clasificación fue desarrollada por J.W. Forrester, quién propone el esquema de la figura 72. Figura 72. Clasificación de acuerdo a las características de proceder.

MODELOS SEGÚN EL GRADO DE CERTIDUMBRE De acuerdo a este punto de vista, los modelos pueden dividirse: • Determinista. • Probabilístico. El modelo determinista asume condiciones de certidumbre completa y perfectamente conocida. Esto implica que cada decisión o estrategia resulta en una única y conocida consecuencia. Ejemplos: Modelos de programación lineal, transporte, asignación, etc. El modelo probabilístico corresponde a situaciones que no se pueden predecir con certidumbre. Ejemplo: Modelo de simulación. MODELOS DE ACUERDO A LA FORMA La forma se refiere a la estructura del problema, la manera que los diferentes componentes del problema se encuentran relacionados. Ejemplos. Modelos de asignación, de inventario, de cola, de reemplazo, etc. 75


MODELOS SEGÚN EL MÉTODO DE SOLUCIÓN En general, las soluciones del modelo matemático puede tener dos tipos de proceder: • Analítico. • Simulación. En el proceder analítico, podemos identificar dos niveles de modelos. En la primera categoría tenemos una solución general en una forma abstracta. Ejemplo: esta forma puede ser usada directamente para resolver problemas específicos, tal como el modelo de inventario. En la segunda categoría, tenemos una metodología general, que es utilizada para resolver un problema específico. Este proceder es de naturaleza iterativa. El problema no es resuelto directamente. La metodología general (algoritmo) es empleada para producir una solución numérica y luego por sucesivas iteraciones lograr una solución mejor hasta llegar a la óptima. Ejemplo: el método simplex cuando es aplicado a la solución de un problema de programación lineal. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS El arte y ciencia de construir modelos se adquiere mediante la experiencia y la intuición, además con conocimientos diversos, en particular de la Investigación Operativa. Se efectúa según tres modelos: 1. Es necesaria la construcción de modelos como un proceso adaptativo y evolutivo. Se comienza con modelos simples, después se modifican con el propósito de que incluyan, sucesivamente, un número mayor de los aspectos importantes del problema. 2. Es útil hacer analogías con estructuras lógicas o modelos desarrollados con anterioridad. Generalmente, la búsqueda de analogías requiere el conocimiento de métodos o formulaciones generales tales como ecuaciones diferenciales, probabilidad teórica de filas de espera, etc. Interesa identificar los pasos que se deben tomar para establecer si existe o no una analogía con la realidad. 3. El proceso evolutivo de modelación incluye por lo menos dos tipos de procedimientos iterativos. a) Es necesario que se alterne entre la modificación del modelo y su evaluación o prueba mediante la utilización de datos. b) Hay que alternar entre la exploración de nuevos métodos para obtener el objetivo junto con cada versión del modelo, las suposiciones que se hicieron para obtenerlo. 76

Proceso de decisión

CLASIFICACIÓN DE LA TOMA DE DECISIONES Las situaciones de toma de decisiones que encontramos en el estudio de los sistemas, pueden clasificarse según el cuadro de la figura 73. El proceso de la toma de decisiones implica seleccionar una acción de entre varias alternativas. Figura 73. Tipos de toma de decisión.

Se trata de analizar situaciones que comportan un conjunto de acciones llamadas estrategias y un conjunto de condiciones en torno a la situación, llamados estados de la naturaleza, que debe considerar la persona encargada en tomar decisiones (decisor) antes de elegir una estrategia. El decisor desea escoger aquella acción que produzca resultados satisfactorios, si es posible óptimos, de acuerdo con algún criterio de optimizacion.

Un ejemplo nos aclarará estas nociones. Supongamos que una persona al salir para el trabajo, de acuerdo al estado del tiempo, debe decidir en llevar o no el paraguas. En la tabla de la figura 74 indicamos la situación. Figura 74. Estados de la naturaleza y estrategias del ejemplo.

77


Si la persona lleva el paraguas y hace sol la decisión es ineficaz. En cambio si lleva el paraguas y llueve la decisión es eficaz. De igual forma procedemos con las otras dos soluciones.

Figura 75. Modelo de Simón para la toma de decisiones.

MODELO PARA LA TOMA DE DECISIONES Indicaremos el modelo de Simón para la toma de decisiones. En el modelo de Simón el decisor busca una solución que satisfaga los criterios. Si se encuentran muchas soluciones se puede elevar los criterios para reducir los casos posibles. Si por el contrario, se encuentran pocas soluciones, los criterios se bajan. CERTIDUMBRE, RIESGOS, E INCERTIDUMBRE Puesto que las consecuencias de cada acción dependen del estado de la naturaleza el conocimiento de dicho estado resulta provechoso para el decisor. En ciertos casos todos los hechos relativos al estado de la naturaleza se conocen. El proceso de decisión, en estas circunstancias, se convierte simplemente en la selección de una acción simple de entre las posibles, que resulte óptima para el estado conocido de la naturaleza, situación conocida como toma de decisiones bajo certidumbre. Los riesgos y la incertidumbre se deben a diferentes grados de falta de conocimiento respecto al estado de la naturaleza. Cuando no se conoce dicho estado, pero existen evidencias objetivas o empíricas que permiten al decisor asignar probabilidades a los diversos 78


estados posibles, el proceso de hacerlo así para llegar a la decisión se denomina toma de decisiones en condiciones de riesgo. Cuando no se conocen los estados de la naturaleza, ni se dispone de información objetiva sobre sus posibilidades de aparición, el proceso de decisión se denomina toma de decisiones bajo incertidumbre. Como ya hemos estudiado en otros tomos de la colección varios casos de toma de decisiones, hoy nos abocaremos al caso del apartado siguiente. DECISIÓN EN ESTADO DE CERTIDUMBRE Modelo comparativo de toma de decisiones Para establecerlo, debemos cumplir tres etapas: • Establecer los objetivos. • Identificar las estrategias. • Seleccionar la estrategia óptima. Las tres etapas deben efectuarse en el orden indicado. Establecer los objetivos La primera tarea del decisor ante un problema es establecer los objetivos a lograr. La estrategia a adoptar debe permitir la realización de un estado deseado; ¿cuál es este estado? Consideremos la situación siguiente: Un gerente desea comprar un equipo para la fabricación de un nuevo producto. ¿Cuáles son los objetivos de esta compra? Los objetivos a lograr son de dos formas, según su importancia: • Objetivos obligatorios. • Objetivos deseados. Objetivos obligatorios Un objetivo obligatorio es una característica que la decisión debe permitir alcanzar, es una restricción que deberá ser respetada. Volvamos al ejemplo de la compra de un equipo de producción y Figura 76. Objetivos obligatorios del ejemplo.

79


supongamos que el gerente identifica los objetivos obligatorios indicados en el cuadro de la figura 76. La estrategia que adopta el gerente deberá permitir alcanzar los objetivos obligatorios establecidos. Los cuatro objetivos son necesarios, si un tipo de equipo no cumple con uno de los objetivos deberá ser eliminado. Objetivos deseados Un objetivo deseado es una característica que el gerente deseará que se alcance. No son obligatorios, si un equipo no reúne todos los objetivos puede ser igualmente adquirido. Supongamos que se han fijado los objetivos deseados, que se indican en el cuadro de la figura 77. Figura 77. Objetivos deseados del ejemplo.

Lógicamente puede fijarse más objetivos deseados, pero estos diez son suficientes para explicar la metodología del análisis. El gerente espera alcanzar en lo posible todos los objetivos deseados, pero entre ellos se destacan algunos por su importancia. Se obtiene la importancia relativa de los objetivos deseados por medio de la técnica denominada histograma. El histograma permite comparar dos a dos, los objetivos deseados, de manera tal que cada uno se compara una sola vez con los otros. 80


El histograma de la figura 78 toma la forma de un triángulo. Los números del 1 a 10 representan los objetivos deseados. Se compara los objetivos deseados de la primera fila (1) con los de la segunda fila (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10). Luego se compara los de la tercera fila (2) con los de la cuarta fila (3,4, 5, 6,7,8,9,10). Figura 78. Compra de un equipo de producción.

81


Y así continuamos hasta llegar al objetivo deseado, 9, que comparamos con el 10. El objetivo deseado más importante de esta comparación, según el criterio del decisor, se marca con un pequeño círculo, comparando dos a dos (Histograma de la figura 79). Es suficiente calcular el número de veces cuando el objetivo deseado es elegido es decir, marcados con el círculo (Figura 80). Figura 79. Comparación de los objetivos deseados.

82


Figura 80. Importancia relativa de los objetivos deseados.

Identificar las estrategias El decisor, en este estado de las soluciones posibles, deberá considerar dos elementos nuevos. En la compra del equipo, el decisor, conoce diferentes proveedores, de los cuales tratará de informarse. La identificación de la estrategia es una fase importante del proceso de decisión, cuando son reconocidas, el decisor las compara con el objeto de seleccionar la más eficaz. Supongamos que el decisor, ha escogido cinco equipos que a primera vista parecen satisfactorios. Figura 81. Comparación de las estrategias con los objetivos obligatorios.

Seleccionar la estrategia óptima La evaluación de las estrategias se efectúa en dos pasos: 1. Se compara las estrategias con los objetivos obligatorios. 2. Se compara las estrategias con los objetivos deseados, lo que se efectúa con el auxilio de un histograma. 1. Comparación de las estrategias con los objetivos obligatorios La comparación se efectúa directamente, para lo cual utilizamos una tabla, como la de la figura 81. 83


Figura 82. Comparaciones: costo de equipos.

De la comparación, sólo quedan cuatro equipos, los tipos 1, 2, 3, 5. El tipo 4 lo desechamos por no cumplir con la condición A. 2. Comparación de las estrategias con los objetivos deseados Para cumplimentar este paso nos valdremos de un histograma. Construiremos un histograma para cada objetivo deseado. Consideremos el objetivo deseado 1, costo del equipo. Es necesario comparar entre si los 4 equipos. (Histograma de la figura 82). Figura 83. Eficacias relativas: costo de equipo.

84


ahora, construimos el cuadro de las eficacias relativas correspondientes, (cuadro de la figura 83). Y así, procedemos con los otros objetivos deseados. 2. Capacidad de producción Figura 84. Comparaciones y eficacias relativas: capacidad de producción.

3. Período de garantía Figura 85. Comparaciones y encadas relativas: período de garantía.

85


4. Plazo de instalación Figura 86. Comparaciones y eficacia relativas: plazo de instalación.

5. Servicio Figura 87. Comparaciones y eficacias relativas: servicio.

86


6. Financiación Figura 88. Comparaciones y encadas relativas: financiación.

7. Valor de reventa Figura 89. Comparaciones y eficacias relativas: valor de reventa.

87


8. Concepto del proveedor Figura 90. Comparaciones y eficacias relativas: concepto del proveedor.

9. Costo de mantenimiento Figura 91. Comparaciones y eficacias relativas: costo de mantenimiento.

88


10. Complejidad de operación Figura 92. Eficacias relativas.

El resultado total de las comparaciones de los 4 tipos de equipos con relación a los objetivos deseados sería el indicado en el cuadro de la figura 93. Figura 93. Objetivos deseados.

Seleccionar la estrategia óptima La selección de la estrategia óptima se efectúa teniendo en cuenta las importancias relativas de los objetivos deseados y las eficacias relativas de los tipos de equipos con relación a cada objetivo deseado. Se obtiene esta doble consideración, multiplicando la importancia relativa del objetivo deseado por la eficacia relativa del tipo de equipo, el resultado es una eficacia ponderada. 89


El equipo de producción del tipo 1 presenta una eficacia ponderada total mayor que las correspondientes a los otros equipos, por tanto es el seleccionado. Figura 94. Equipos de producción.

EL ÁRBOL DE DECISIÓN EN LA TOMA DE DECISIÓN Presentación de alternativas El denominado árbol de decisión, tiene un enorme potencial como instrumento para la toma de decisiones. Puede aclarar mejor que otros métodos de toma de decisiones, las opciones, los riesgos, los objetivos, las ganancias y las necesidades de información implicadas en un problema. Consideremos nuevamente, la tabla de resultados del ejemplo de la persona que al salir para el trabajo, de acuerdo al estado del tiempo, debe decidir en llevar o no paraguas. Construimos el correspondiente árbol de decisiones. (Figura 95). Este árbol es un modo diferente de presentar la misma información que se indica en la tabla de resultados. No obstante, como otros ejemplos lo mostrarán, más adelante, el árbol de decisiones, en los problemas complejos, es con frecuencia un medio mucho más brillante de presentación de la información pertinente que la tabla de resultados. 90


El árbol se compone de una serie de nodos o nudos y ramas (grafo). En el primer nodo de la izquierda, el decisor tiene la elección de llevar o no el paraguas. Cada rama representa un curso alternativo de acción o decisión. En el extremo de cada rama o curso alternativo se encuentra otro nodo que representa el suceso aleatorio: lloverá o no. Cada curso alternativo subsecuente, a la derecha, representa un resultado alternativo de ese suceso aleatorio. Asociado a cada curso alternativo de acción, a lo largo del árbol, hay un resultado que se indica en el extremo o al final de la rama del curso de acción. Figura 95. Árbol de decisión aplicado a la tabla de resultados del ejemplo.

Para ser más claro, se acostumbra indicar: • Las bifurcaciones de la acción o la decisión con nodos cuadrados. • Las bifurcaciones de los sucesos aleatorios con nodos redondos. Un árbol de decisión, de cierto tamaño, combinará siempre: • Elecciones de una acción. • Diferentes sucesos o resultados posibles de la acción, que se ven afectados parcialmente por la casualidad u otras circunstancias no controlables. Cadenas de sucesos de decisión El ejemplo anterior, aunque incluye sólo una etapa simple de decisión 91


Figura 96. Árbol de decisión con cadenas de acciones y sucesos.

ilustra los principios elementales que permiten construir árboles de decisión mayores y más complejos. Consideremos otro ejemplo: Se trata de decidir si se aprueba o no un presupuesto para desarrollar un producto mejorado. Si el producto desarrollado da buenos resultados, dará gran ventaja competitiva. 92


Si no se desarrolla el producto, los competidores podrán hacerlo, llevándose buena parte de su mercado. Trazamos el árbol de decisión. (Figura 96). La decisión inicial se indica a la izquierda 1. Después de tomar la decisión de seguir adelante con el proyecto, si tiene éxito el desarrollo, es una segunda etapa de decisión en el punto A. Suponiendo que no haya ningún cambio en la situación entre ahora y el momento del punto A se debe decidir qué alternativa será importante en ese momento. Los resultados de diferentes secuencias de decisiones y sucesos los colocamos a la derecha. También estos resultados se basan en nuestra información actual. Por supuesto, no se tratará de identificar todos los sucesos que pueden acontecer, ni todas las decisiones que deberán tomar sobre algún tema analizado. En el árbol de decisión se indican sólo las decisiones y los sucesos o resultados que se consideran importantes y que tengan consecuencias que se desea comparar. EJEMPLO GENERAL Supongamos que una compañía debe decidir en construir una planta pequeña o una grande destinada a la fabricación de un nuevo producto. La decisión dependerá del tamaño del mercado que tendrá el producto. La posible demanda inicial será elevada durante los dos primeros años; pero, en caso que muchos de los primeros clientes consideren el producto como poco satisfactorio, disminuirá la demanda a un nivel bajo; o bien la elevada demanda inicial puede indicar la posibilidad de un mercado de gran volumen. Si la demanda es elevada y la compañía no amplía su producción aparecerán con seguridad productos competitivos. Si la compañía construye la planta grande, tendrá que mantenerla sea cual fuere la demanda del mercado. Si construye una planta pequeña, se podrá tener la opción de ampliar en dos años la planta, mientras que si durante este período la demanda decae la compañía mantendrá las operaciones en la planta pequeña y obtendrá pequeños benéficos por el bajo volumen. La figura 97 presenta un árbol de decisión que caracteriza a este problema de inversiones. En la decisión 1, la compañía debe tomar una decisión respecto a si construye una planta grande o pequeña. Si se decide construir una planta pequeña y luego se establece que la demanda es elevada durante el período inicial, dentro de dos años en la decisión 2 podrá decidir ampliar las instalaciones. Al tomar las decisiones los responsables, deben tener en cuenta las probabilidades, los costes y los beneficios que parezcan posibles. 93


– Un estudio de mercado establece las siguientes probabilidades:

Figura 97. Decisiones y sucesos del ejemplo general

Demanda inicial elevada, que se mantiene Demanda inicial elevada que desciende a largo plazo Demanda inicial baja y continua bajando Demanda inicialmente baja y después se eleva

94

60% 10% 30% 0%


– Las probabilidades de que la demanda sea inicialmente elevada son del 70%, (60% + 10%). Si la demanda es elevada al principio la compañía estima que hay 86% de probabilidades (60/70) que siga con nivel alto. Al comparar 86 % con 60 % resulta evidente que un nivel inicial elevado de ventas hace cambiar las probabilidades estimadas de que hay ventas elevadas en los períodos subsiguientes. De manera análoga, si las ventas son bajas en el período inicial, habrá 100%, (30/30) de probabilidades de que las ventas sigan bajas en los períodos siguientes. Así pues, se espera que el nivel de ventas del período inicial sea un indicador preciso del nivel de ventas de los períodos siguientes. Las estimaciones de los ingresos anuales se hacen bajo la suposición de cada resultado alternativo. 1. Una planta grande, con gran volumen producirá anualmente 100.000.000 de pesetas. 2. Una planta grande, con bajo volumen, producirá sólo 10.000.000 de pesetas, anuales debido a los elevados costos fijos y las ineficacias. 3. Una planta pequeña, con una demanda baja, sería económica y produciría ingresos anuales de 50.000.000 de pesetas. 4. Una planta pequeña, durante un período inicial de elevada demanda produciría 55.000.000 de pesetas al año, cifra que disminuiría a 30.000.000 de pesetas a la larga debido a la competencia. 5. Si se ampliara la planta pequeña para satisfacer una demanda continuamente elevada, produciría ingresos anuales de 70.000.000 de pesetas y sería menos eficiente que una planta grande construida al principio. 6. Si se ampliara la planta pequeña, pero la demanda no se sustuviera a un nivel elevado, los ingresos estimados serían de 5.000.000 de pesetas. 7. Además, se estima que una planta grande costaría 300.000.000 de pesetas para ponerla en funcionamiento y una planta pequeña costaría 150.000.000 de pesetas y la expansión de la planta pequeña costaría 260.000.000 de pesetas. Incluiremos estos datos en el árbol de decisión. REQUISITOS PARA CONSTRUIR EL ÁRBOL • Identificar los puntos de decisión y las alternativas disponibles en cada caso. • Identificar los puntos de incertidumbre y el tipo de la gama de resultados alternativos, en cada punto. • Estimar los valores necesarios para efectuar un análisis, sobre todo las probabilidades de diferentes sucesos o resultados y varias acciones. • Analizar los valores alternativos para escoger un curso de una acción. Elección de una alternativa Estamos, ahora, en condiciones de realizar la siguiente etapa del análi-

95


Figura 98. Árbol de decisiones con datos financieros.

sis, la comparación de las alternativas. Un árbol de decisión no da la solución para un problema de inversiones, en lugar de ello, ayuda a determinar qué alternativa, en cada punto dado de elección dará los máximos beneficios estimados, dada la información y las alternativas pertinentes para la decisión. Por supuesto, las ganancias deben tenerse en cuenta junto con los riesgos. CONCEPTO DE RETROCESO Veremos la forma de aplicar el retroceso, en la situación descrita. 96


En el momento de tomar la decisión 1, el decisor no tiene que tomar la decisión 2 y ni siquiera sabe si tendrá que hacerlo alguna vez. No obstante si tuviera la opción en la decisión 2, la compañía ampliaría la planta. El análisis se presenta en el cuadro de la figura 99.

Figura 99. Análisis de la posible decisión 2.

Podemos observar que el valor total esperado de la alternativa de expansión es mayor en 35.200.000 de pesetas a la alternativa sin expansión, a lo largo de los 8 años de vida que restan. Por tanto es la alternativa que escogerá el decisor si afrontara la decisión 2 con la información que posee. Pero hemos partido de la decisión 2, cuando el problema actual es el de la decisión 1. La razón es que debemos poder asignar un valor a la decisión 2 a fin de poder retroceder a la decisión 1 y comparar los beneficios que se obtendrían al tomar la rama baja (construir una pequeña planta) con las ganancias posibles al adoptar la rama superior (construir una planta grande). 97


Al valor de la decisión 2 se le llama valor de posición. El valor de posición de una decisión es el valor esperado de la rama preferida (en este caso la de expansión de la planta). El llegar a la posición en la que puede tomar la decisión 2 tiene un valor de 227.200.000 de pesetas. Dado este valor y los datos del cuadro ¿cuál será la mejor acción en la decisión 1?. El árbol sería el de la figura 100. A la derecha de las ramas, en la mitad superior, vemos los rendimientos para varios sucesos, si se construye una planta grande, (son los productos de la figura anterior). En la mitad inferior observadamos las cifras de la planta pequeña, incluyendo el valor de posición de la decisión 2, más el rendimiento para los 2 años anteriores a la decisión 2. Aplicamos a estos rendimientos las respectivas probabilidades, obtenemos: Construcción de una planta grande: 1.000 · 0,60+ 280 · 0,10 + 100 · 0,3 – 300 = 358 millones de pesetas Construcción de una planta pequeña: 387 · 0,70 + 500 · 0,30 – 150 = 270,9 millones de pesetas Por tanto, la elección que hace aumentar al máximo el rendimiento total en la decisión 1 es la construcción inicial de una planta grande. JUSTIFICACIÓN DEL TIEMPO ¿Qué sucederá al tener en cuenta las diferencias en el tiempo de las ganancias del futuro?. El período que transcurre entre etapas sucesivas de decisión, en un árbol de decisión, puede ser importante. En cualquier etapa deberemos considerar las diferencias en costos o ingresos inmediatamente en función de las diferencias de valor de la etapa siguiente. Sea cual fuere la norma de elección que se aplique, podemos situar las 2 alternativas sobre una base de comparación, si descontamos el valor asignado a la etapa siguiente, de acuerdo al porcentaje apropiado. Cuando se usan árboles de decisiones, el procedimiento de descuento puede aplicarse, etapa por etapa. Se descuentan tanto los flujos de efectivo como los valores de posición. ALTERNATIVAS DE INCERTIDUMBRE Al considerar el concepto del árbol de decisión, tratamos las alternativas de incertidumbre como si fuera posibilidades discretas y bien definidas. En nuestros ejemplos utilizamos situaciones de incertidumbre, dependientes fundamentalmente de una sola variable, como el nivel de la 98


demanda o el éxito o el fracaso del proyecto de desarrollo. En muchos casos, los elementos de incertidumbre toman la forma de alternativas discretas, de variable simple. No obstante, en otros, las posibilidades de flujo de efectivo durante una etapa pueden extenderse a lo largo de todo un espectro y dependen de numerosas variables independientes o paecialmente relacionadas, sujetas a influencias aleatorias: costos, demanda, rendimiento, etc.

99

Figura 100. Análisis de flujo de efectivo para la decisión 1.

Redes lógicas

INTRODUCCIÓN El concepto de red se utiliza en muchos tipos de aplicaciones: PERT, ingeniería eléctrica, teoría de circuitos, estudio de flujo etc. También se emplea las redes para ilustrar relaciones entre elementos de un sistema. Estos elementos pueden ser dispositivos eléctricos o electrónicos, máquinas, empleos, sucesos, personas o combinaciones de los anteriores. Las redes que estudiaremos son simplemente otra forma de modelo gráfico. Son un instrumento útil para analizar el problema total de decisión, dividiéndolo en sus partes componentes y proporcionando una representación de las relaciones lógicas entre las partes y el problema total. La denominación de red lógica, se debe a que representa un modelo lógico del sistema total; o sea, se supone que cada componente sólo puede asumir uno de los dos estados: verdadero o falso, bueno o malo, y que estos estados son completamente determinables para cada componente. La red para cualquier modelo lógico determina el estado del sistema resultante de cualquier combinación de estados componentes o bien, a la inversa, al trabajar en dirección contraria, o sea, a partir de un estado deseado del sistema para determinar los estados componentes que se requieren. SÍMBOLOS Y NOTACIÓN Describiremos los símbolos gráficos que se utilizan en el desarrollo de la red lógica. El sistema total de estados se designará con S. Los estados del sistema y sus componentes se limitan aquí, como hemos dicho, buenos o malos y asignaremos al estado bueno el valor 1 y al estado malo el valor 0, es decir: S=1 Significa que el sistema es bueno S=0 Significa que el sistema es malo Los componentes del sistema los identificamos con las letras mayúsculas A, B, etc. Debemos también considerar las posibibilidades de que los componentes mayores estén formados por componentes menores y estos a su vez pueden estar integrados por componentes submenores, 101


Figura 101. Dos componentes en serie.

etc., hasta llegar al nivel de detalles que parezca adecuado para llevar a cabo el análisis. Estos diversos niveles se identificarán con subíndices. Si A es un componente mayor de S, entonces A i representará un componente de A, Aij será un componente de Ai, etc. Figura 102. Dos componentes en paralelo.

El símbolo OR lógico se indicará con el signo (+). El símbolo AND lógico se indicará con el signo (·). El símbolo NOT, indicado mediante un guión sobre la letra, A, indica el complemento, para este caso, el complemento de A 102

Recles lógicas

En el apéndice indicamos las operaciones del álgebra de Boole, que nos permite determinar los valores de las operaciones con estos operadores. En la representación de redes, los componentes se indicarán por medio de casillas rectangulares. Si se quiere que dos componentes, por ejemplo, A y 8, se hallen en buen estado para que el sistema sea bueno, puede representarse por medio del diagrama de la figura 101, donde los bloques se dicen en serie. Figura 103. Representación de la operación: A, B, C.

Cualquier número de componentes pueden ponerse en serie, sin embargo, al complicarse la red, la disposición de los bloques en línea horizontal resulta difícil. En este caso la figura 102 muestra una representación alternativa y preferible, donde (·) representa la operación AND. La operación A AND B AND C puede representarse según la figura 103. 103


Figura 104. Representación de la operación OR.

En caso de A o B ambos sean suficientes para que el sistema sea bueno se utiliza la representación (+) de la figura 104. La figura 105 indica la operación A OR B AND C que se indica también, (A+B) · C. Figura 105. Representación de la operación: (A+B) · C.

104

Redes lógicas

Otro símbolo utilizado es la flecha que indica simplemente que A pertenece o es parte de S, o sea, que A es uno de los componentes de S. (Figura 106). Figura 106. Representación del símbolo flecha.

FORMULACIÓN DE PROBLEMAS Dado un sistema complejo cuyo estado depende del estado de sus componentes, nos encontramos con la tarea de desarrollar un modelo apropiado. Cuanto más complejo sea el sistema, más complicado será el modelo. Para construirlo seguiremos la técnica cartesiana, de la reducción seguida por la reconstrucción. Al analizar el sistema del problema total, el interés debe centrarse en aquellos componentes cuyos estados afectan al estado del sistema. Ejemplos 1. Supongamos dos componentes A y B, y pensamos desde el punto de vista lógico, que para que el sentido sea bueno lo debe ser A y B. Sin embargo, luego de considerarlo detalladamente llegamos a la conclusión de que si A es bueno, el sistema podrá considerarse bueno aunque B sea malo. La ecuación lógica que se establece es de la forma: S = (A·B) + (A· B )

las reglas de álgebra de Boole, nos permiten simplificar la expresión: S=A· (B+ B )

y como

B+ B =1

resulta

S=A

105


Figura 107. Representación S = (A·B·C) · (D+E).

lo que demuestra que el sistema es dependiente de A o independiente de B. Por lo tanto se puede eliminar B del modelo. 2. Supongamos que debe tomarse una decisión de acuerdo con el estado del sistema S. Figura 108. Otro modo de representar S = (A·B·C) = (D+ E).

106

Redes lógicas

El análisis demuestra que S consta de cinco componentes principales: A,B,C,D y E. S es bueno si A, B y C son buenos y si D o E es bueno. Escribimos la expresión lógica del problema: S = (A.B.C) · (D + E) que podemos representarla según las dos formas que indican la figuras 107 y 108. Es preferible la representación de esta última figura, pues tiende a agrupar componentes que se encuentran en el mismo nivel de importancia. Figura 109. Tabla de verdad para la simplificación del ejemplo.

La etapa siguiente para establecer el modelo, será examinar cada uno de los componentes mayores, a fin de determinar sus componentes menores y sus relaciones lógicas. Dado el componente A, supongamos que identificamos 4 componentes de A que denominamos A1, A2, A3, A4. Para estudiar las relaciones utilizamos la tabla de verdad. Como A tiene 4 componentes, hay 24=16 combinaciones posibles de los estados componentes como indicamos en la tabla de la figura 109. 107


La columna A se completó teniendo en cuenta cada una de las 16 posibilidades y determinando si A es bueno o tiene el valor 1 en cada caso. Solo el conocimiento profundo del sistema podrá conducirá la evaluación del estado de A para cada combinación de estados de sus componentes de la columna A, podemos escribir la función de forma canónica, uniendo con OR todos los términos para los que A=1. (A1 ·A2 ·A3 ·A4 ) + (A1 ·A2 ·A3· A 4 ) + (A1 ·A2 · A 3 ·A4 ) + (A1 ·A2 · A 3 ·A4 ) (A1 · A 2 ·A3 ·A4 ) + (A1 · A 2 ·A3 ·A4 ) de la combinación de términos y de acuerdo con el álgebra de Boole la forma canónica de la función puede transformarse en: A=A1· (A2 + A3) la cual indica que A no es dependiente de A4 que puede eliminarse. La expresión de esta última ecuación en red lógica sería la de la figura 110. Figura 110. Representación del sistema simplificado.

Los otros componentes principales se puede tratar de igual forma, lo que dará: B = B1·B2 C=(C1 ·C2 ) + C3 D = (D1 + D2 ) · (D3 + D4 )

y

E = E o sea no hay componentes relacionados con E Cada uno de los componentes menores de Ai , Bi , Ci y Di debe tratarse del mismo modo. 108

Redes lógicas

Supongamos que esto da como resultado lo siguiente: A1 =A1 A2 =A21·A22 A3 =A31+A32 B1 =B11 ·B12 B2 =B2 C1 =C1 C2=C21 +C22 C3=C31 +C32 D1 =D11 ·D12

D2 =D2 D3 =D3 D4 =D41 +D42

y además supongamos que, B12=B121·B122 la red lógica del sistema total sería la de la figura 111. Figura 111. Red lógica del sistema total.

EVALUACIÓN DE SISTEMAS A PARTIR DE LAS REDES LÓGICAS

Veamos la red de la figura anterior. Comenzando en el componente de nivel inferior del sistema, se asigna un valor de cero a uno, dependiendo si este componente es malo o bueno. La determinación del estado del componente se basa en la investigación, en los datos disponibles, etc. 109


Supongamos que se han asignado los valores siguientes: Para el componente mayor A, se ha determinado que, A1 = 1 A21 = 1, A22 = 1 A31 =0 ; A32 = 1 Por tanto A2 =A21

A22 = 1

A3 =A31 +A32 = 1 y A=A1 ·(A2 + A3)=1 Para el componente mayor B, se ha determinado que B2 =1 B11 =1 B121 =1 , B122 = 1 Por tanto B12 =B121·B122=1 B1 =B11·B12 =1 y B=B1 .B2=1 Para el componente mayor C, se ha determinado que C 1 =1 C 21 =1 , C 22 = 0 C 31 =0 , C 32 = 0 Por tanto C 2 = C 21 + C 22 = 1 C 3 = C 31 + C 32 = 0 y C = (C 1 ·C 2 ) + C 3 = 1 Para el componente mayor D, se ha determinado que D 11= 1

D 12 = 0

D2 = 0 D 3 =1 D 41 =1 Por tanto 110

D 42 =0

Redes lógicas

D 1=D 11 D 1 2 = 0 D4 = D41 + D42 = 1 y D = (D1 + D2)·(D3 + D4) = 0 Se ha determinado que E=1 Por consiguiente para el sistema S S=A·B·C· (D + E) = 1 En base a la red lógica y los estados componentes, el estado del sistema es bueno. DECISIONES LÓGICAS SECUENCIALES

La red que hemos visto hasta ahora conduce a una decisión simple sobre el estado del sistema, es decir, una evaluación del estado del sistema que conduce a una decisión simple. En una situación práctica, es muy probable que el problema sea tal que se tomen varias decisiones en secuencia. Figura 112. Representación de dos alternativas.

En otras palabras, la decisión final sobre el problema o sistema principal se toma sólo después de que se hayan tomado decisiones intermedias. Cualquier decisión intermedia puede proporcionar dos o más alternativas. Dependiendo del estado del sistema hasta ese punto de decisión, la decisión tomada puede ser parar o seguir adelante. Si se decide por este último, puede ser necesario elegir cursos alternativos de acción. 111


Este factor de las decisiones intermedias no afecta al método establecido. Cuando se toma la primera decisión, se construye una nueva red que conduce al segundo punto de decisión. Si se llega a un punto de decisión después de evaluar el componente mayor A, denominaremos a esa decisión. Si la decisión a tiene dos alternativas las designaremos a1 y a2. Cada alternativa puede conducir a un curso de acción diferente, supongamos que a1 conduce a una evaluación del componente mayor B, mientras que a2 produce una evaluación del componente mayor C. Se llega al estado del sistema total S, en etapas sucesivas a medida que se van evaluando todos los componentes mayores que se van presentando en forma secuencial. Figura 113. Representación de alternativas con numerosos componentes.

Para ilustrar la aparición de puntos secuenciales de decisión en la red debemos presentar un nuevo símbolo que denominaremos casilla de decisión y que se indica con una letra minúscula en un pequeño rectángulo. Si la casilla de decisión sigue a A y representa una opción entre dos alternativas, el diagrama sería el de la figura 112. La casilla de decisión a que indica que el estado A=1 conduce a la decisión a1, mientras que el estado A=0, lleva a a2. 112

Redes lógicas

Supongamos, ahora que a1 conduce al componente principal B, mientras que a2 lleva a C; luego, a1 y a2 son puntos de partida para una red lógica hacia B y C. Si se toma la decisión a1, el sistema S=AB. Si se toma a2, entonces S=AC. No se sabrá cuál de esos es el verdadero estado del sistema, en tanto no se evalúe la parte de sistema que lleve a la casilla de decisión a. Si tanto B como C tienen un gran número de componentes, será más Figura 114. Representación de alternativas con decisión.

conveniente trazar por separado la red que comienza con la decisión a y conduce a B o C. Si los componentes mayores son relativamente pocos en número y no muy complejos, las redes relacionadas se pueden trazar como indica la figura 113. Téngase en cuenta que todas las redes lógicas conducen eventualmente a una casilla de decisión. Al evaluar el estado del sistema, cuando sea bueno, se tomará la decisión de actuar de algún modo dado. Cuando el sistema sea malo, se tomará la decisión de actuar de otra manera. Esto lo indicamos en la figura 114.

113

Simulación

INTRODUCCIÓN

En general, las soluciones de los modelos matemáticos pueden ser derivados usando dos tipos de procedimientos: • Analítico. • Simulación. En los procesos analíticos podemos identificar dos categorías: 1. Obtener una solución general en forma abstracta. La solución general es obtenida mediante el empleo de técnicas matemáticas que luego pueden ser usadas directamente para resolver un problema específico, tal es el caso, por ejemplo, del modelo de inventario. 2. Aquí, tenemos una metodología general, que es utilizada para resolver un problema específico. Este proceso es de naturaleza iterativa (mecánica) y consiste en examinar varios valores de las variables de decisión y elegir la que da mejor resultado, considerando los valores de los parámetros del problema. En este caso, el problema específico no es resuelto directamente, la metodología general (algoritmo) es aplicada para producir una solución numérica específica y luego por sucesivas iteraciones se obtienen mejores soluciones hasta definir la óptima. Un ejemplo, sería el método simplex aplicado para resolver problemas de programación lineal. La simulación es una técnica de experimentación en que se usan modelos lógicos-matemáticos. La solución no es derivada en forma deductiva, sino de manera inductiva. La idea básica de la simulación es utilizar algún dispositivo para imitar un sistema de la vida real de forma de estudiar y comprender sus propiedades, funcionamiento y características operativas. El dispositivo puede ser físico, matemático y por medios convenientes se puede realizar una descripción efectiva del funcionamiento del sistema que se desee estudiar. Por ejemplo, podemos aprender bastante, acerca de las características operativas de un nuevo avión, simulando las condiciones de vuelo en un túnel de viento. Igualmente podemos, por ejemplo, simular el funcionamiento de un 115


sistema de inventario por experimentación (realizando muestreo aleatorio) o un modelo matemático que represente el sistema. Una simulación puede ser determinista o probabilística, según el comportamiento de las variables consideradas. Basado en los conceptos anteriores podemos establecer el esquema de la figura 115, para la solución de los modelos: La forma de simulación más conocida es la técnica de Monte Cario. Figura 115. Modelos: analítico y de simulación.

Esta técnica se aplica a la solución de problemas que no incluyen las decisiones humanas que no sean las posibles actividades representadas por una distribución conocida de sucesos. El enfoque es más bien un experimento controlado que un modo directo de resolver las variables del problema. En vez de desarrollar fórmulas para resolver un proceso de invención a seguir las condiciones del problema, se experimenta corridas de prueba para ver lo que sucedería como resultado de las diferentes alternativas de decisión. Los conceptos de simulación por medio del muestreo son tan sencillos que es difícil evitar que se aplique el método a todo problema. De modo innegable produce una respuesta, pero existe ciertas reservas. • Se necesitan muchas repeticiones de pruebas simuladas para producir una solución en la cual se pueda confiar. • Las pruebas pueden costar más en tiempo de ordenador o en esfuerzo personal que el gasto necesario para una solución analítica. • No existe una medida exacta de la precisión de la solución. • Un ligero cambio en las condiciones por lo común obliga a repetir todo el proceso de simulación para incorporar los datos revisados. • El enfoque general se representa en la figura 116. 116

Simulación

Del problema obtenemos la información para establecer un problema y una alternativa para probar la simulación. El resultado final se evalúa como una solución posible del problema, puede sugerir la conveniencia de probar otras alternativas. Figura 116. Proceso para la simulación de Monte Cario.

APLICACIONES

Control de líneas de espera del tráfico aéreo. Horario del mantenimiento de aviones. Diseño de aeropuertos. Localización y reparto de carga de ambulancias. Horario de autobuses. Diseño de circuitos. Diseño de sistemas de comunicación. Diseño de sistemas de distribución. Localización de almacenes. Modelos de empresa. Líneas de navegación. Layout de instalaciones. Operación de elevadores. Diseño de modelos industriales. Comunicación entre grupos (estudios de sociología). Diseño de sistemas de información. Diseño de reordenamiento de inventarios. Horario del personal. 117


Horario del tráfico ferroviario. Diseño de sistema de tráfico urbano. Operación de altos hornos. Programación óptima de la producción. Problemas de espera. Evaluación de alternativa de inversión. Evaluación de la estructura financiera. Figura 117. Frecuencias de llegada de los clientes.

Figura 118. Medias de llegadas de clientes por hora.

118

Simulación

CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE SIMULACIÓN En ciertas disciplinas de línea de espera o en ciertos fenómenos de una situación cualquiera puede resultar imposible la cuantificación de las relaciones entre las variables del problema. Entonces, cuando la teoría de las líneas de espera, no se puede aplicar, se debe recurrir al método de una simulación más bien que alas matemáticas para describir y analizar el problema. El método más utilizado en simulación es el de Monte Cario, que aplicaremos a las siguientes situaciones: EJEMPLO Supongamos un comercio dedicado a la venta de muebles. Con las estadísticas acumuladas por la empresa, calcularemos las frecuencias de llegadas de los clientes (Figura 117). Observamos que ha habido 50 horas durante las cuales no vino ningún cliente 70 horas durante las cuales llegó un solo cliente, etc.

Figura 119. Tiempo de servicio por cliente, en minutos.

Utilizando estos datos, podemos calcular las probabilidades de llegada de: 0, 1, 2, 3, 4, 5 clientes, en el transcurso de una hora cualquiera, y determinar la media de las llegadas de clientes por hora (Figura 118). Resultando una media de 2,55 clientes por hora. Otras informaciones acumuladas, permiten conocer los tiempos de servicio por cliente (Figura 119). En 10 ocasiones, el cliente ha sido servido en 15 minutos, en 30 ocasiones en 22 minutos, etc. A partir de estos datos, se determina, como 119


anteriormente, las probabilidades de llegada correspondiente a cada tiempo de servicio y el tiempo medio de servicio por cliente (Figura 120). Se necesitan 67,11 minutos de media para servir un cliente que se presenta en el comercio. Figura 120. Tiempo medio de servicio por diente por minuto.

El propietario del comercio dispone de 4 empleados para atender a los clientes. A primera vista parecería que son suficientes 3 empleados para esta tarea, puesto que por media entran 2,55 clientes por hora en el comercio. 120

Simulación

Figura 121. Diagrama de flujo de una línea de espera de atención de dientes.

No obstante, el propietario ha observado que en ciertas horas, varios clientes esperan y que algunos se van a otros comercios por no ser atendidos como corresponde. Suponemos, que un empleado gana 1000 pesetas por hora. El propietario desea saber si es rentable tener uno o dos empleados de más. (Figura 121). Para analizar la situación utilizaremos el método de Monte Cario. La simulación de Monte Cario se basa en la utilización de números aleatorios cuyo orden y magnitud son función del azar.

121


La primera etapa consiste en definir los intervalos según los cuales se compara los números aleatorios. Los intervalos se calculan de tal manera que la probabilidad de obtener un número aleatorio en un intervalo debe ser idéntica a la probabilidad de llegada a la situación que representa. En el cuadro 122 establecemos los intervalos de Monte Cario para la llegada de los clientes. Figura 122. Intervalos de Monte Cario para las llegadas de clientes.

Si se toman números aleatorios de 0 a 999, cada número se sitúa en el nivel de un intervalo particular que significa la llegada de la condición correspondiente. Cada número aleatorio representa una hora de trabajo, así, el primer número describe lo que se produce en la hora 1, el segundo número en la hora 2, el vigésimo en la hora 20, etc. Los números aleatorios se puede lograr de diversas formas: • Ordenador. • Tablas. • Fórmulas. En el apéndice figura una tabla de números aleatorios y también se indica el modo de lograrlos mediante la utilización de fórmulas. Vamos, ahora, a simular 200 horas de operación del comercio. Es evidente, que si 200 horas no son suficientes para describir adecuadamente el problema es posible simular otras tantas horas suplementarias, como se quiera. De una tabla de números aleatorios obtenemos el primer número que en este caso es 268, este número lo situamos en el intervalo 226-508, y significa que a la hora 1 se han presentado 2 clientes. El segundo número aleatorio es 550, que se sitúa en el intervalo 509-734, lo que significa que a la hora 2 se presentan 3 clientes. Y así procedemos para las 200 horas simuladas. 122

Simulación

Figura 123. Simulación de 200 horas de operación del comercio, (y páginas siguientes)

123


124

Simulación

125


Según los resultados de la simulación 532 clientes se han presentado en el comercio. Resultando una media: 532 = 2,66 clientes por hora 200

Esta media es aproximada a la media verdadera 2,55 calculada a partir de los datos estadísticos de la empresa. Cuando existe una diferencia apreciable entre estos valores, se debe efectuar simulaciones suplementarias para aproximar los valores. En efecto, cuanta más veces el fenómeno es simulado, nos aproximaremos más al fenómeno estudiado. En igual forma procedemos para los tiempos de servicio. Resultando para los intervalos los valores del cuadro de la figura 124. Sabemos que en el curso de 200 horas simuladas, 532 clientes se han presentado en el comercio.

Figura 124. Intervalos de Monte Cario para los tiempos de servido.

126

Simulación

Figura 125. Simulación del tiempo de servicio en 200 horas de operación del comercio, (y páginas siguientes)

127


128

Simulación

129


130

Simulación

131


132

Simulación

133


134

Simulación

Simularemos el tiempo requerido por cada cliente. (Cuadros de la figura 125). El tiempo total de servicio es de 35.423 minutos; luego media del tiempo de servicio =

35.423 = 66,58 minutos. 532

esta media es sensiblemente igual a la media de servicio por cliente calculada y que valía: 67,11 minutos. Se puede suponer entonces, que la simulación es exacta, puesto que las medias teóricas son casi iguales, a las medias medidas. Cuatro empleados, atenderán a los clientes. Un cliente esperará si todos los vendedores están ocupados con los clientes precedentes. Debemos, pues, tener en cuenta el tiempo que el vendedor dedica a cada cliente y el tiempo de espera de los clientes antes de ser atendidos. Si llamamos con: An: la hora de llegada del cliente n Bn: el tiempo de espera del cliente n Sn: el tiempo requerido para atender al cliente n.

El cliente n esperará si su tiempo de llegada es inferior a los 4 tiempos correspondientes a la finalización de la atención de los 4 clientes precedentes, atendidos por los 4 empleados. 135


Figura 126. Determinación de la hora de terminación de la atención.

Así, el cliente n esperará si las 4 inecuaciones siguientes se verifican: An
El tiempo de fin del servicio del cliente es igual al tiempo de llegada A más el tiempo de atención B más el tiempo de espera S. Si una inecuación no es verificada, significa que el empleado está libre y podrá atender al cliente que ha llegado. Se puede calcular, para cada cliente, el tiempo de espera y la hora de terminación de su atención. Si suponemos que los vendedores realizan sus tareas uno después del otro y que el primer empleado libre atiende al nuevo cliente que entra, tendremos el cuadro de la figura 126. Por ejemplo, el cliente 10 llega a la hora 4, decberá esperar puesto que el cliente 9 llegó a la hora 4 y su atención demandó 75 minutos, el cliente 8 llegó a la hora 4 y requirió 105 minutos para su atención, el cliente 7 llegó a la hora 4 y se invirtieron 75 minutos en su atención y el cliente 6 llegó a la hora 3 empleándose 120 minutos para atenderlo. 136

Simulación

Figura 127. Determinación del tiempo de espera. (y páginas siguientes)

137


138

Simulación

Se tiene pues: 4<4 + 0 + 1,15 el cliente 9 es atendido por el empleado 1. 4<4 + 0 + 1,45 el cliente 8 es atendido por el empleado 4. 4<4 + 0 + 1,15 el cliente 7 es atendido por el empleado 3. 4<3+ 0 + 2,00 el cliente 6 es atendido por el empleado 2. Las cuatro inecuaciones se han verificado. El tiempo de espera del cliente n corresponde a la diferencia entre el tiempo menor del fin de servicio de los cuatro clientes y el tiempo de llegada del cliente n. Así, que cuando un empleado haya terminado con la atención de uno de los cuatro clientes precedentes, atenderá al cliente que llegó últimamente. Así, el tiempo de espera Bn del cliente n es: 139


B n = min [ Aa +B a +S a ; A b+B b+S b ; A c +B c +Sc ; A d+B d +Sd ]-A n

Por ejemplo, el tiempo de espera del cliente 10 será: B 10 =min [4 + 0 + 1,15; 4 + 0 + 1,45; 4 + 0 + 1,15; 3+ 0 + 2,00]-4 = = min [5,15 ; 5,45 ; 5,15 ; 5]-4 = 5-4 = 1 hora = 60 minutos. luego, el cliente 10 debe esperar 60 minutos antes de ser atendido por el empleado 2. A fin de volver el modelo realista, agrupamos las 200 horas simuladas en grupos de 8 horas, que representan las horas en que el comercio permanece abierto (operación que hemos realizado en los cuadros). Podemos, ahora, calcular los tiempos de espera de los clientes. Lógicamente, los clientes que llegan al comienzo de cada jornada laboral no esperan. Para calcular la espera hemos considerado las llegadas de los clientes en el correspondiente día de trabajo (Figura 127). Observamos que se han producido 5931 minutos de espera, o sea 98,85 horas. El propietario del comercio evaluó en 2000 pesetas la hora, el costo de espera de un cliente. Luego, el costo total de la espera es: costo total de la espera = 98,85 horas·2000 pesetas = 197.700 pesetas. Este costo se ha establecido para 200 horas. Suponiendo que la duración de una semana de trabajo es de 40 horas, el costo semanal de la espera es: Costo espera por semana =

197.700 pts. ⋅ 40 horas = 39.540 ptas. 200 horas

¿A cuánto se elevará el costo de la espera si se agrega un quinto empleado?. El cliente n esperará hasta que al menos 5 clientes que le preceden sean servidos, es decir cuando las cinco restricciones siguientes se verifican, An
El tiempo de espera del cliente n será igual a: B n =min [Aa + B a + Sa ; Ab + B b +S b ; A c +B c+S c ; Ad +B d+Sd ; A e +B e +Se ]-An

Por ejemplo el cliente 37 llega a la hora 15, si escribimos las restricciones en función de los cinco clientes atendidos por los cinco empleados, se tiene:

140

Simulación

15 < 15 + 0 +1,00 el cliente 36 es atendido por el empleado 5 15<15+ 0 + 1,15 el cliente 35 es atendido por el empleado 4 15<14 + 0 + 1,15el cliente 34 es atendido por el empleado 3 15<14 + 0 + 1,30 el cliente 33 es atendido por el empleado 1 15<14 + 0 + 1,45 el cliente 32 es atendido por el empleado 2. las 5 restricciones son verificadas, luego el cliente 37 deberá esperar. Su tiempo de espera corresponde a: B37 = min [15 + 0 + 1,00 ; 15 + 0 + 1,15 ; 14 + 0 + 1,15 ; 14 + 0 + 1,30 ; 14 + 0 + 1,451-15 = = min [16,00 ; 16,15 ; 15,15 ; 15,30 ; 15,451-15= = 15,15-15=15 minutos. El cliente esperará 15 minutos y será atendido por el empleado 3. Los tiempos de espera de los 532 clientes, cuando son atendidos por 5 empleados serán los indicados en el cuadro de la figura 128. En total son 1469 minutos de espera, es decir 24,48 horas para el total de 200 horas simuladas. El costo total de la espera es: costo = 24,48 horas. 2000 pesetas/hora = 48.960 pesetas. El costo de espera por semana es: costo semana=

48.960 pts. ⋅ 40 horas =9.792 ptas. 200 horas

El agregado de un quinto empleado permite una economía de tiempo de espera igual a: 39.540-9.792 = 29.748 pesetas. El empleado suplementario cuesta a la empresa: 40 horas .1000 pesetas/hora=40.000 pesetas por semana, lo que significa una pérdida para la empresa de: 40.000-29.748 = 10.252 pesetas luego, no resulta económico colocar un quinto empleado. Además, se podría evaluar el beneficio medio no realizado a causa que ciertos clientes cansados por la espera decidan ir a comercios de la competencia. Después de una encuesta, se encuentra que un cliente espera una media de 30 minutos, después de los cuales abandona el comercio. El propietario evalúa en 5.000 pesetas el beneficio medio no realizado a causa de la salida de un cliente.

141


Figura 128. Determinación de los tiempos de espera, cuando los clientes son atendidos por cinco empleados.

142

Simulación

Con cuatro empleados, hemos calculado que un total de 66 clientes esperan más de 30 minutos. beneficio total perdido = 66 clientes · 5.000 pesetas = 330.000 pesetas, el beneficio total perdido por semana sería: beneficio perdido=

330.000 ptas. ⋅ 40 horas =66.000 ptas. 200 horas

El método de simulación de Monte Cario permite una gran flexibilidad en el análisis de un fenómeno. Pero cuando el fenómeno a analizar es complejo y comprende un gran número de posibilidades, debemos utilizar un ordenador para los cálculos. EJEMPLO Simulación de las operaciones de reparación de máquinas

Supongamos que una empresa es propietaria de 70 máquinas de tejer. Un análisis de los informes recopilados, indican la probabilidad correspondiente al tiempo entre averías de las máquinas reflejada en el cuadro de la figura 129.

Figura 129. Probabilidad del tiempo entre averías.

El costo estimado por la empresa, del tiempo improductivo de una máquina de tejer, es de 6.000 pesetas por hora. Para efecutar las reparaciones de las averías, se han formulado dos planes, debemos determinar el más beneficioso para la empresa. • contratar un mecánico cualificado, con un salario de 5.000 pesetas por hora. • contratar un mecánico cualificado y un ayudante, con un salario total de 8.500 pesetas por hora. La distribución estimada del tiempo de servicio para cada plan es el del cuadro de la figura 130. 143


Figura 130. Distribución estimada del tiempo de servicio correspondiente a los planes de servicio.

¿Cuál de los planes será seleccionado? En mantenimiento se sigue la política: el primero que entra es el primero que se repara. En este caso, los clientes que llegan a la sección de mantenimiento para requerir servicio son las máquinas con averías. Figura 131. Distribución de la probabilidad del tiempo entre averías.

144

Simulación

Si el mecánico está ocupado, las máquinas que llegan tienen que esperar hasta que las máquinas que llegaron antes han sido atendidas. La figura 131 indica la distribución de probabilidad del tiempo entre averías. La figura 132 establece la distribución de probabilidad del tiempo de reparación, siendo la a) la del plan 1 y la b) la del plan 2. Figura 132. Distribución de la probabilidad del tiempo de reparación, a) plan 1. b) plan 2.

Utilizaremos el método de simulación de Monte Cario, para evaluar los planes y seleccionar el que produce más beneficio. En los cuadros de las figuras 133,134,135 determinamos los intervalos de Monte Cario para: el tiempo entre averías y el tiempo de servicio de cada plan. Las condiciones de puesta en funcionamiento del sistema deben ser determinadas antes de comenzar la simulación. Figura 133. Determinación de los intervalos de Monte Cario para el tiempo entre averías.

145


Figura 134. Intervalos de Monte Cario del tiempo de servicio del plan 1.

En nuestro caso, nos formulamos las preguntas: ¿cuántas averías están en espera para ser reparadas al comienzo de la simulación? y ¿cuándo llega una máquina averiada?. Consideremos que el sistema no presenta ninguna avería al inicio de la simulación. Figura 135. Intervalos de Monte Cario del tiempo de servicio del plan 2.

Suponemos que la primera máquina llega x horas después de la puesta en funcionamiento al sistema (0 horas); x es el tiempo de llegada de una máquina con respecto a la llegada de la máquina previa. Empleamos la tabla de números aleatorios del apéndice, utilizando los dos primeros dígitos. Se requieren dos números aleatorios por cada máquina con avería, el primero corresponde al tiempo de llegada y el segundo al tiempo de servicio de reparación, la forma de proceder es la indicada en los cuadros de las figuras 136 y 137. En el cuadro de la figura 137 se indican los números aleatorios y los correspondientes tiempos de llegada medidos con respecto a la llegada previa, simultáneamente con el tiempo de servicio para 25 máquinas averiadas. En el cuadro de la figura 138 totalizamos el tiempo de llegada, los 146

Simulación

Figura 136. Simulación manual del tiempo entre llegadas y tiempo de servicio para 25 máquinas averiadas (Plan 1).

tiempos de espera de las máquinas para ser atendidas y el tiempo de reparación de 25 máquinas. En la puesta en funcionamiento del sistema no hay máquina con averías 147


Figura 137. Simulación manual del tiempo de espera de las máquinas y tiempo ocioso en la reparación (Plan 1).

en espera, la primera máquina llega 2,5 horas después del inicio de las operaciones. Como en este momento no hay máquina en espera, comienza el trabajo del mecánico de inmediato, la reparación dura 3 horas, terminando entonces el trabajo de reparación a 5,5 horas después de la puesta en funcionamiento. 148

Simulación

El mecánico no realiza tarea, en el tiempo que media desde el inicio a la llegada de la primera máquina a reparar. Es decir, el tiempo ocioso del mecánico es de 2,5 horas. La segunda máquina llega respecto a la primera (previa) a 2,5 horas y respecto al inicio en 5 horas (2,5 + 2,5). Como el mecánico termina el trabajo en la primera máquina a 5,5 horas, el tiempo de espera de la segunda máquina ha sido de 0,5 horas, en idéntica forma completamos el cuadro. Observamos que en el trabajo de reparación en la máquina 17 es a las 53 horas mientras que el tiempo de llegada de la máquina averiada 18 es a las 53,5, por esto el tiempo ocioso del mecánico es de 0,5 horas. Igualmente observamos en el cuadro que el tiempo total ocioso es de 5,5 horas durante las 80 horas de operación de la simulación. Como hemos manifestado en el ejemplo 1, el resultado será más aproximado a la realidad cuanto más horas sean simuladas. Siguiendo la marcha indicad en el ejemplo 1, hemos efectuado la simulación durante un tiempo de 500 horas. Los resultados obtenidos fueron: Plan 1

Plan 2

Tiempo de simulación

500 horas

500 horas

Número de unidades simuladas

154

154

Tiempo total de servicio

457,4 horas

305,5 horas

Tiempo total de espera de las máquinas con acerías

224,5 horas

6 horas

Tiempo total de espera de la instalación de servicio

42,5 horas

194,5 horas

Con estos valores calculamos las siguientes características: Plan 1

Probabilidad del tiempo en que la insta- =

Tiempo total de servicio en horas = Número de horas simuladas

lación de servicio está ocupada = 457,5/500 = 0,915 Probabilidad del tiempo en que la insta- =1 -0,915=0,085 lación de servicio está ociosa

149


Tiempo total de espera Tiempo medio de espera de las máqui-= = ñas con averías Número de máquinas atendidas = 224,5 horas /154 =1,46 horas/máquina

Tiempo medio de servicio

Tiempo total de servicio = = Número de máquinas atendidas = 457,3 horas /154 = 2,97 horas/máquina.

Tiempo medio (incluyendo tiempo dé servicio) por máquina en el sistema = 1,46 + 2,97 = 4,43 horas

Plan 2

Probabilidad del tiempo en que la instalación de servicio está ocupada =305,5 / 500=0,611 Probabilidad del tiempo en que la instalación de servicio está ociosa =1-0,611=0,389 = Tiempo medio de espera de las máquinas con averías 150

=6/154=0,04 horas

Simulación

Tiempo medio de servicio

=305,5 /154=1,98 horas

Tiempo medio (incluyendo tiempo de servicio) por máquina en el sistema

=0,04 + 1,98=2,02 horas

Costo total del tiempo improductivo de la máquina averiada

Salario total del mecánico y ayudante

=(6+ 305,5)·6000= =311,5·6000= =1.869.000 pesetas =500·8·500=4.250.000 pesetas

Costo total = 1.869.000+ 4.250.000=6.119.000 pesetas. Comparando los costos totales destacamos el plan 2, como el más beneficioso para la empresa.

151

Apéndice

GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Los números aleatorios son usados para obtener observaciones aleatorias en la simulación de Monte Cario. Los números aleatorios se generan de tal manera que cada uno tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Por ejemplo, en un dado perfecto, los números del 1 al 6 son un conjunto de números aleatorios. Si dividimos la circunferencia de un cuadrante en 10 sectores iguales, numerados del 0 al 9 (o 100 sectores de 0 a 99, etc.) y colocamos una aguja bien equilibrada, logramos construir un generador mecánico de números aleatorios. Pero la forma más práctica de obtener los números aleatorios es mediante fórmula matemática, tablas o por ordenador. Existen varios métodos numéricos para originar una serie de números aleatorios. Uno de ellos, es el método multiplicativo de Lehner. Método multplicativo de Lehner

Utiliza la siguiente fórmula: X n+1 =AX n (módulo m)

(1)

donde: Xn: Enésimo número aleatorio generado por el proceso. A y m : Números enteros positivos y conocidos. A
El número aleatorio Xn+1 es generado a partir del número aleatorio Xn. La ecuación (1) significa que Xn+1 es el resto de la división de AXn por m. Xo : Valor inicial de la secuencia y es cualquier número impar. m=rb r: Base que generalmente vale 2, o, 10.

luego: m =2b para base binaria,

suponemos b =4 , luego m=2b=24 = 16

El valor de A se establece por medio de las dos expresiones siguientes: A ≅ 2b/2 153


A=8 t ±3

t: Entero

para nuestros valores, tenemos A=22=4

y haciendo t=1

A=8±3 = 11 o 5

elegimos A = 5 Asignamos a Xo el valor 9, luego la fórmula (1) da: Xn+1=AXn

Xn+1 = 5Xn (módulo 16)

Xo=9

el primer número aleatorio X1 será, X1 = 5X0

(módulo 16)

5X0=5·9=45 45/16=2, resto 13 X1=13 En forma similar X2 es generado por X1, X3 es generado por X2, etc. En el cuadro indicamos los cálculos para 5 iteraciones.

Figura 138. Generación de números aleatorios por el método de Lehner.

Observamos que la secuencia se repite con un ciclo de 4 números. La longitud del ciclo del método puede ser predeterminada por la expresión longitud del ciclo=2bb-2 números para nuestro ejemplo, cuadro de la figura 138: longitud del ciclo=24-2=22 = 4 números Asignando convenientes valores a A, b y m podemos generar una gran cantidad de números antes que se repitan. Otra forma práctica de obtener números aleatorios es mediante el uso de tablas. Indicamos como ejemplo una. 154

Apéndice

Tabla de números aleatorios

155


Si deseamos seleccionar una muestra aleatoria de N elementos de un universo de M elementos, aplicamos el siguiente procedimiento. 1. Decidimos arbitrariamente la entrada en la tabla. Por ejemplo, cerramos los ojos y colocamos la punta del lápiz en la tabla, el valor indicado es el de partida. 156

Apéndice

2. Asignamos un número a cada elemento del universo M. Si por ejemplo M=500, podemos enumerar los elementos del 001 al 500. 3. Seleccionamos los números aleatorios que respondan al criterio establecido.

Figura 139. Números aleatorios correspondientes a 30 alumnos del ejemplo.

Ejemplo

Estableceremos una muestra aleatoria sencilla de tamaño 5 de una clase de 30 alumnos. M=30 N=5

Numeramos los estudiantes del 1 al 30 y de la serie de números aleatorios extraemos aquellos números aleatorios cuyas dos últimos dígitos corresponden a un valor igual o menor que 30. Del cuadro de la figura 139 sacamos los cinco primeros números cuyos números aleatorios asignados cumplen la condición establecida. La muestra estará formada por los estudiantes con los números: 1, 7, 9, 10,12. Expresiones del álgebra de Boole Propiedades

• Conmutativa A+B=B+A A-B = B-A 157


• Distributiva A·(B + C) = A·B + A·C A + B·C = (A + B) · (A + C) • Complemento A + A =1 A · A =0

• Relaciones remarcables A+AB=A A + B·C=(A + B) · (A + C) A.(A + B)=A • Teorema de Morgan Si X=A + B Si X=A·B

158

resulta X = A ⋅ B resulta X=A + B

Ingeniería de Sistemas

Recommend Documents