Fecha 03/06/2015 Subgrupo 01 Nota
´ DEL MOMENTUM ANGULAR CONSERVACION USANDO UNA MASA PUNTUAL Miguel Angel Alvarez (2140012), Cristian Or tiz Duarte (2101567) Abstract ´ del momentum angular es de gran importancia dada la poca intuicion ´ que se tiene El principio de la conservacion de su concepto en general, y es de gran ayuda gracias a la facilidad con que se maneja en las aplicaciones de ´ ´ ´ diferentes campos. Como se podra´ observar y demostrar experimentalmente en esta practica, la conservacion del momentum angular es un absoluto.
´ 1. An alisis de resultados 1.1 Momentos de iner cia Se calcularon los momento de inercia hallando la aceleracion angular y el torque, que a su vez fueron calculados con el ´ tiempo (ver ??), el n umero de vueltas(n=7) a una distancia recorrida(x) y la fuerza(F) ejerciada por una masa de 20 g . a=
2x t2
=
a r
Imasa = mr2
(2)
en donde r se puede obtener de la ecuaci´on: r=
x 2nπ
(3)
La ecuaci´on (3) junto con la tensi o´ n en la tabla (1) nos permite hallar el Torque: τ
=
F·r
(4)
Finalmente, el momento de inercia lo podemos hallar a partir de las ecuaciones (2) y (4): I=
τ α
Teniendo los datos de masa de la masa cuadrada y el radio al que estaban se pudieron sacar los momentos de inercia de la masa cuadrada en la posici´on interior y exterior.
(1)
y α
(7)
I f inal = Iaparato + Imasa2
(5)
Adem´as, para hacer mas exacto el c´alculo del momento de inercia se puso una masa cuyo peso se cancelara con la fricci´on, esto se da cuando se libera la masa, y la velocidad del aparato es constate, a esta masa se le llam o´ masa del fricci o´ n y no se tuvo en cuenta para calcular el torque para que el sistema sea ideal sin fricci o´ n. Los momentos de inercia se pueden sumar, por esto se puede plantear la siguiente ecuacion
(8)
Siendo Imasa1 y Imasa2 los momentos de inercia de la masa cuadrada en las posiciones 1 y 2 respectivamente y I aparato el momento de inercia del aparato sin la masa cuadrada. El momento de inercia en la posici´on 1 y 2 se saco´ de las medidas de la posici´on de la masa y de su masa. Se reemplaz´o en las ecuaciones el momento de inercia ´ 1 y 2, se inicial y final y el momento de inercia en la posicion despejaron los momentos de inercia del aparato y coincidieron con un error insignifacante. Table 1. En esta tabla est a´ n los datos recolectados en para hallar los momentos de inercial Interior Exterior Masa de fricci´on [Kg] 0,0027 ± 0 0001 0,0037 ± 0 0001 Masa total colgante [Kg] 0,0227 ± 0 0001 0,0237 ± 0 0001 Radio[m] 0,067 ± 0 001 0,182 ± 0 001 Altura [m]x 0,845 ± 0 001 0,845 ± 0 001 Promedios tiempo [s] 18,27 ± 0 08 22,485 ± 0 05 rad Aceleraci´on angular [ s]2 0,26 ± 0 001 0,17 ± 0 001 Radio de la columna [m] 0,019 ± 0 001 0,019 ± 0 001 Tensi´on F [ N ] 0,196 ± 0 001 0,196 ± 0 001 Torque [Nm ] 0,003 ± 0 001 0,003 ± 0 001 I del sistema [kgm2 ] 0,014 ± 0 001 0,021 ± 0 001 2 0,0012 ±0 001 0,009 ±0 001 I de la masa puntual [ kgm ] I del aparato [kgm2 ] 0,013 ± 0 002 0,0125 ±0 002 ,
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(6)
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Iinicial = Iaparato + Imasa1
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1.2 Momentos angulares
3.53% en promedio, lo cual nos da una exactidud de alrededor de 96.47%
Table 2. Velocidad angular antes y velocidad angular despu´es medidas experimentalmente ωi [rad/s] ω f [rad/s] 5.42 8.27 8.98 13.51 6.83 10.56 7.18 10.65 6.54 9.67 8.32 12.32 5.19 7.52 5.93 8.61 5.71 8.11 7.71 11.12 7.76 11.12 6.90 9.82 5.69 7.95 7.02 9.97
En esta tabla se puede ver como var´ıa la velocidad al cambiar su momento de inercia, en este caso, como se disminuy o´ su momento inercial, su velocidad aument o´ . Los 14 datos fueron tomados de 14 mediciones diferente donde se midi o´ el tiempo que tardaba en dar un par de vueltas antes y despu e´ s del cambio de momento de inercia. Las ω fueron obtenidas de la formula 4tπ con cada uno de los 14 tiempos tomados. Table 3. Velocidad angular despu´es calculada te o´ ricamente y error relativo orico [rad/s] Error Relativo [%] ω f te´
8.20 13.60 10.34 10.88 9.91 12.60 7.87 8.98 8.65 11.68 11.75 10.46 8.61 10.63 Promedio
Table 4. Tabla del momento angular L antes y despu´es
Momento angular Antes
kg·m2 s
Momento angular Despu´es
0.117229 0.194265 0.147810 0.155412 0.141652 0.180113 0.112385
0.118133 0.193077 0.150892 0.152171 0.138124 0.176041 0.107522
0.128288 0.123623 0.166853 0.167883 0.149435 0.123064 0.151939
0.122988 0.115846 0.158904 0.158904 0.140283 0.113647 0.142509
En la tabla anterior, se aprecia que la mayor ´ıa de los momentos angulares iniciales son mayores que los momentos angulares finales, aunque sea minu´ scula la diferencia. Esto se debe a que la friccio´ n, no solo en la base al girar en el soporte, si no tambi e´ n en la fricci o´ n con el aire causan un impulso que aumenta con el tiempo y disminuye la velocidad final disminuyendo a su vez el momento angular final. En los casos que el L aumenta ligeramente, probablemente est´e atribuido a error el la medici´on del tiempo.
0.77 0.61 2.09 2.09 2.49 2.26 4.33 4.13 6.29 4.76 5.35 6.12 7.65 6.21 3.53
En la tabla ( 3) se comparo´ un valor te o´ rico sacado con la velocidad inicial y los momentos de inercia final e inicial(1)
con el valor de la velocidad angular final: Ii ωi ω f inal = If
(9)
Como se puede apreciar en la tabla, el error relativo con respecto a la ω f inal obtenida en la tabla ( 2) es de tan solo
En la gr a´ fica se puede apreciar como la pendiente de la linea de tendencia que es 1,00594, indica la relacio´ n propocional entre ambos momentos angulares, esto demuestra que el momento angular se conserva, dejando una peque˜na inclinacion
kg·m2 s
que se le atribuye a la fricci´on.
2. Conclusiones •
•
•
El momento angular se conserva en su mayor´ıa, tiende a disminuir debido a la fricci´on. La precisi o´ n en el c a´ lculo del momento de inercia I influye mucho en el c´alculo del momento angular. Dicho I es inversamente proporcional a la velocidad angular. La fricci o´ n produce un torque, e´ sta puede ser contrarestada con otro torque en direcci´on opuesta y de igual magnitud, en este caso generado por la masa de fricci´on
La aceleracio´ n angular depende directamente de la fuerza de gravedad que actua sobre una masa y pone el sistema en moviviento (2) ´ n, aumenta con el tiempo, • El impulso creado por la fricci o esto hace que el momento angular disminuya. •
