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Informe n° 1 Leyes de Maxwell y vector de Poynting (Abril 2011) Franzel Madariaga, Dante Salcedo Resumen —La
importancia de las layes de Maxwell remonta al siglo siglo XIX(1865) XIX(1865) cuando cuando las leyes fundamentales fundamentales de la física se limitaban a demostrar que en un espacio vacío no pueden existir ondas. Maxwell adquirió su fama debido a los nuevos conceptos creados por él y cómo éstos permitían demostrar y comprobar que que en reali realida dad d las las onda ondass elect electrom romagn agnéti ética cass de cualq cualqui uier er frecuencia y longitud si se propagan en el vacío y a la Velocidad de la luz. Maxwell logró este avance en la historia de la física basánd basándose ose en ecuac ecuacion iones es de grandes grandes físic físicos os,, además además de sus experimentos y descubrimientos, así pudo mejorar las ecuaciones existentes en esa época. Un tiempo después en 1884 John Henry Poynting utiliza las ecuaciones de Maxwell y su concepto de onda electromagnética para definir un nuevo concepto llamado Vector de Poynting y para desarrollar el Teorema de Poynting. Palabras Palabras Claves—Leye Claves—Leyess de Maxwell, Maxwell, onda electromagnéti electromagnética, ca, Teorema de Poynting, vector de Poynting.
I. I NTRODUC NTRODUCCION CION
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l sigui siguient entee inform informee trata trata principa principalment lmentee las Leyes de Maxwell creadas creadas por James Clerk Clerk Maxwell y el vector vector de Poynting Poynting creado por John Henry Poynting, así como como también temas de importancia que involucran a las Leyes de Maxwell y el vector Poynting, por ejemplo Descripción y aplicación de las leyes de Maxwell y el Teorema de Poynting. Los conceptos tratados en este informe no son independientes sino que están liga ligado doss entr entree sí, sí, se desc descri ribe be la rela relaci ción ón qu quee tien tienen en los los descu descubr brim imien iento toss de Maxwe Maxwell ll y los los desc descubr ubrim imien iento toss de Poynting.
Las leyes de Maxwell, Maxwell, o mejor mejor llamadas llamadas ecuacione ecuacioness de Maxwell, son demostraciones y descubrimientos que explican todos los fenómenos electromagnéticos. Éstos los realizó el físico británico James Clerk Maxwell, quien luego de años de experimentos y análisis sobre electricidad y magnetismo, se plantea que las ondas pueden viajar viajar a través través de campos campos eléct eléctric ricos os y magné magnéti tico coss a la velo veloci cidad dad de la luz. luz. Dicho Dicho planteamiento planteamiento se regiría regiría por cuatro leyes de electricidad electricidad y magnetismo, magnetismo, las cuáles ya habían sido descubiertas descubiertas por Gauss, Ampere y Faraday. En sí, Maxwell, con sus análisis y experimentos, descubre que si un campo eléctrico es variable variable en el tiempo, éste crea un campo Magnético, fue un gran paso en su época debido a que sólo se sabía que la corriente eléctrica generaba un campo magnético. A través de este descubrimiento Maxwell introduce nuev uevos concepto eptoss a la física como omo lo son: campo electromagnético y corriente de desplazamiento. En donde el primero se referiría referiría a que una onda eléctrica eléctrica siempre siempre es acompaña por una onda magnética, es decir, que la propagación de éste campo está compues uesto por dos partes tes, un unaa correspondien correspondiente te a la parte eléctrica y la otra a la Magnética, tal como lo indica la figura:
La primera parte de este informe es sobre las leyes de maxwell, su historia, sus ecuaciones y la importancia de éstas y las aplicaciones que ha dado el hombre a estas leyes. La segun segunda da parte parte de este este infor informe me es sobre sobre el vect vector or de Poyn Poynti tinng, su signif gnific icad adoo, su relac elaciión con con las las ond ndas as electromagnéticas y el teorema de Poynting. Para finalizar se presenta un listado con las ideas y principios más importantes contenidos este informe. II.D ESARROLLO A. Leyes de Maxwell 1) Defin efinic ició ión n
(a)
Y el segundo concepto: “corriente de desplazamiento”, se describe describe como la variación variación de un flujo eléctrico que genera genera un campo campo magnéti magnético co como como si fuese una especi especiee de corrien corriente te eléctrica. Matemáticamente se define como el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada. (1) 2) Ecuaciones, Explicación y Procedencia
Maxwell publicó sus resultados en un documento llamado A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field en el año
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1865 el cual constaba de 20 fórmulas con 20 variables, las cuales explicaban todos los fenómenos electromagnéticos. En el año 1884 Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs reformularon estas ecuaciones disminuyendo el número a tan solo 4 ecuaciones con 4 variables. Las ecuaciones resultantes son las siguientes: Ley de Gauss
Es la ley que relaciona el flujo del campo eléctrico (Corriente de desplazamiento) y una superficie cerrada y sirve para analizar la cantidad de campo Eléctrico que pasa por la superficie. Flujo del campo eléctrico:
(c)
(2) Donde el Flujo del Campo Eléctrico es igual al cociente entre la carga ‘q’ y la permitividad eléctrica en el vacío. (3)
Ley de Faraday (Inducción Electromagnética)
Explica como un flujo de campo magnético variable en el tiempo puede inducir en un circuito una corriente eléctrica.
La ecuación (3) significa que la divergencia del campo Eléctrico es igual a la densidad de carga.
(5)
La ecuación (5) significa que el Rotacional del campo eléctrico es igual a la tasa de cambio del campo magnético.
(b) (d) Ley de Gauss para el campo magnético (Inducción magnética)
(4) La ecuación (4) significa que la divergencia del campo Magnético es cero, debido a que las líneas de fuerza o líneas de flujo de los campos magnéticos deben ser cerradas, esto significa que estas líneas no empiezan ni se acaban. es la densidad de flujo magnético.
Ley de Ampère Generalizada
Explica que 1 campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético. (6)
La ecuación (6) significa que el Rotacional del campo magnético es igual a la densidad de corriente más la tasa de cambio del campo eléctrico.
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Estas ondas cubren una amplia gama de frecuencias y pueden clasificarse según su producción, tal y como lo muestra el siguiente cuadro: Región del espectro Radio-microondas
0-3.0·1012
Infrarrojo
3.0·1012-4.6·1014
Luz visible
4.6·1014-7.5·1014
Ultravioleta
7.5·1014-6.0·1016
Rayos X
6.0·1016-1.0·1020
Radiación gamma Hz = Hertz.
(e)
Intervalo de frecuencias (Hz)
1.0·1020-…. (I)
En donde, cada una de las regiones del espectro, tiene diferentes utilidades.
Onda Electromagnética según la Ley de Faraday y la Ley de Ampere Generalizada
Si partimos del hecho que un campo magnético es generado por una corriente eléctrica, al variar este campo magnético y según la Ley de Faraday (5), creará un campo eléctrico que al variar con el tiempo y según la Ley de Ampere Generalizada (6), generará un campo magnético y así sucesivamente se irán generando estos campos intercaladamente y es de esta forma como ambos campos se propagan y conforman una onda electromagnética. Cabe destacar que ambos campos son perpendiculares entre sí y que además ambos campos son perpendicular a la dirección de propagación de la onda en cualquier punto que recorra la onda mientras viaja.
Radio-microondas: Las ondas de radios son utilizados en los sistemas de televisión y radio, los cuales se generan mediante circuitos oscilantes. También para las comunicaciones entre teléfonos móviles y vía satélite. Y las de microondas se usan en el radar y otros sistemas de comunicación. Infrarrojo: La utilidad la presenta la radiación Infrarroja que tiene muchas aplicaciones en la medicina, astronomía, industrias, etc. Luz visible: Esta presenta una gran utilidad ya que la retina es sensible a las radiaciones de esta frecuencia. Ultravioleta: En donde la radiación ultravioleta es la componente principal de la radiación solar. Rayos X: Desde su descubrimiento han sido utilizados en la medicina. Rayos Gamma: Útiles para destruir células cancerosas.
(f)
3) Aplicaciones de las leyes de Maxwell
Desde la formulación de las ecuaciones de Maxwell se estableció las bases del electromagnetismo lo que conllevó a la creación de muchos dispositivos electromagnéticos, los cuáles hoy en día forman parte de nuestra vida cotidiana. Como lo son: la radio, la televisión, el radar de microondas, telescopios, calculadoras electrónicas, microscopios, entre otros. Si bien, James Clerck Maxwell fue quien llegó a predecir la existencia de las ondas electromagnéticas, el que descubrió la forma de producir y detectar dichas ondas, fue el físico alemán Heinrich Hertz.
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Las ideas anteriores se pueden expresar en la siguiente fórmula: (7) Es el vector de Poynting y sus unidades en el SI son los Watts sobre metro cuadrado. representa el campo eléctrico y la intensidad del campo magnético y el campo de inducción magnética, es la permeabilidad magnética del medio.
(g)
B. Vector de Poynting
El trabajo de Maxwell y su descubrimiento de las ondas electromagnéticas están estrictamente ligados al vector de Poynting ya que éste vector es parte de la existencia de las ondas electromagnéticas o sea que si no existieran las ondas electromagnéticas no podría existir el vector de Poynting. John Henry Poynting demostró que las ondas transmiten energía y esta se conserva, demostraciones realizadas en base a los descubrimientos de Maxwell, por lo tanto debió haber utilizado las 20 ecuaciones que publicó Maxwell.
(h)
“El vector de Poynting se interpreta como la densidad de potencia instantánea medida en watts por metro cuadrado… cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética que fluye a través de una unidad de área superficial perpendicular a la dirección de propagación de la onda”. 1 De una manera más general el vector de Poynting puede definirse como el producto vectorial del campo eléctrico y el campo magnético, por lo tanto el Vector de Poynting es perpendicular a ambos campos ,eléctrico y magnético contenidos en las ondas electromagnéticas, además la dirección y sentido del vector de Poynting son los de propagación de la onda electromagnética. (i)
1 (Artículo Online) Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_de_Poynting
Teorema de Poynting
Este teorema hace referencia a la ley de Conservación de la energía debido a que explica la transformación de la energía
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electromagnética cuando ésta disminuye mientras la onda está viajando. La energía que transporta una onda va disminuyendo debido a la disipación de la potencia, efecto que se produce por el alejamiento de la onda con la fuente de ésta misma, es decir, que mientras más lejos está una onda de su fuente menor es la potencia que posee. La disipación de la potencia se transforma en calor (por efecto Joule). Otra de las causas por la cual la energía electromagnética disminuye es debido a que el 100% de la onda electromagnética no viaja en la dirección del vector de Poynting, por lo tanto su intensidad instantánea (energía que por unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie) disminuye a medida que la onda viaja. Un ejemplo de este efecto es la luz generada por una linterna.
El aporte fundamental de este informe para el lector radica, principalmente, en la comprensión y análisis de lo que son las leyes de Maxwell y el vector Poynting. Para dejar en claro las ideas principales se listan a continuación los principios más importantes. La propagación de los campos eléctricos y magnéticos generan la onda electromagnética. Las ondas electromagnéticas pueden viajar en un medio material y en el vacío. Las ondas electromagnéticas de cualquier frecuencia y longitud viajan a la velocidad de la luz en el vacío. A una onda eléctrica le acompaña 1 onda magnética siempre vaya a donde vaya. La variación de un flujo eléctrico o una corriente eléctrica puede genera un campo magnético. La variación de un campo magnético genera un campo eléctrico. Una flujo magnético variable puede generan una corriente eléctrica. Las ondas electromagnéticas transportan energía electromagnética, la que va disminuyendo a medida que viajen en el medio. Cuando el flujo magnético varia crea una circulación eléctrica. Un campo magnético o eléctrico que posee divergencia tiene un rotacional igual a cero.
(j)
El campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre si y ambos son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.
La fórmula que expresa este teorema es la siguiente: (8) Donde es la potencia disipada por efecto Joule (efecto producido solo cuando la onda se propaga por un medio material), es el vector de Poynting, energía electromagnética y es la superficie que envuelve a la onda electromagnética en ese instante. Entonces la fórmula significa que la potencia disipada por efecto Joule más la parte de la onda que se escapa en dirección al exterior del vector de Poynting es igual a la tasa de cambio de la energía electromagnética. III.
CONCLUSIÓN
Un campo magnético o eléctrico que posee rotacional tiene una divergencia igual a cero.
La dirección del vector de poynting es la misma que la dirección de la onda electromagnética. Los espectros electromagnéticos son visibles al ojo humano de acuerdo a su longitud de onda.
IV. [1] [2] [3]
REFERENCIAS
Universidad Nacional del Comahue, Facultad de Ingeniería Dpto. de Física, Física IV ( 2do Cuatrimestre 2004). “Ecuaciones de Maxwell”. [Online] Disponible en: http://www.actiweb.es/mathclass/archivo1.pdf Ivan Ramírez Carrascal-U.N.M.S.M - F.C.F. “Las Ecuaciones de Maxwell, Fundamentos de la Teoria Electromagnética”. [Online] Disponible en: http://www.ircpvl.8m.com/fisica/e-maxwell.htm (Artículo Online) “El Espectro electromagnético”. Disponible en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/espectro/espectro.htm
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[4]
Silvia Sokolovsky, (2002, Febrero). “Ondas Electromagnéticas”. [Online] Disponible en:
http://soko.com.ar/Fisica/Onda_electromagnetica.htm (I)
Leonberger. Revealing the small range of radio-microwave frequencies. Phys. Educ. Vol. 37, September 2002, pp. 425-427. Tabla [Online] Disponible en:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/espectro/ espectro.htm
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
Fig. [Online] Disponible en : http://4.bp.blogspot.com/_LbMIcnwRwaI/SLScpoF31nI/AAAAAAAAAB Q/TvQa7Ez-PHY/s400/onda+electromagnetica.gif Fig. [Online] Disponible en: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/GaussLaw1.s vg/220px-GaussLaw1.svg.png Fig. [Online] Disponible en: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/GaussLaw4.sv g/220px-GaussLaw4.svg.png Fig. [Online] Disponible en: http://www.espacial.org/images/gif/faraday_exper.gif Fig. [Online] Disponible en: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Electromagnet ism.png/220px-Electromagnetism.png Fig. [Online] Disponible en: http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/EMC/trabajos_02_03/emc_en_a eronaves/WEB/Fig1ondaelectromagnetica.gif Fig. [Online] Disponible en: http://3.bp.blogspot.com/_N7kybkGf5Ek/S9n_1OlrPJI/AAAAAAAAABg/ yZKNGMzvW1c/s1600/espectro.png Fig. [Online] Disponible en: http://www.cfn.uni-
karlsruhe.de/data/image/a15/kEB_neg.jpg (i) Fig. [Online] Disponible en: http://html.rincondelvago.com/000458391.png (j)
Fig. [Online] Disponible en: http://www.ctv.es/ross/200pxLEDFlashlight.jpg
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