INFORME ESCRITO N◦ 1
Luis Miguel Perez Pertuz March 1, 2016
Revisi´ on de bibliograf´ıa de modelos RVE para compuestos Woven. Calculo de m´ odulos de Young (E) y Poisson( ν ) y modelos de falla . La micro-mec´ anicas de los anica es usada para estimar las propiedades mec´ materiales compuestos a partir de propiedades conocidas de la fibra y de la matriz. Este analisis es utilizado para hallar las constantes ingenieriles del material compuesto y esta basada en las siguientes hipotesis: on • Uni´ •
Las fibras son paralelas y uniformemente distribuidas en la matriz.
• La •
perfecta entre fibra y matriz.
matriz esta libre de tensiones residuales.
Tanto la matriz como la fibra son isotropicas y obedecen a la Ley de Hooke.
• Las
cargas son paralelas o transversales.
Modelos RVE (Representative Volume Element) El RVE es el volumen mas peque˜no sobre el que se puede hacer una medici´on que producir´a un valor representativo de la totalidad del material. Con el RVE podemos utilizar la t´ecnica de homogeneizacion la cual es la ley de las mezclas. Si la dispersion de la fibra es estadisticamente homogenea, el RVE es estaditicamente igual para el compuesto.
Figure 1: Elemento de volumen representativo (RVE)
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Calculo de modulo de Young (E) y Poisson( ν ) Calculo del modulo de Young E 1 El primer modulo que debe determinarse es el del material compuesto en una 1-direcci´on, es decir, en la direcci´on de la fibra:
Figure 2: RVE cargado en 1-direcci´ on
ε1 =
∆L L
(1)
Donde ε1 se aplica tanto para las fibras y la matriz de acuerdo con la suposici´o n b´asica. Entonces, si los dos materiales constituyentes se comportan el´ asticamente, las tensiones en la direcci´ on de la fibra son: σf = E f ε1
σm = E m ε1
(2)
Una tensi´on media σ1 act´ ua sobre un ´area de secci´on transversal A del elemento de volumen representativo, σ f act´ ua sobre un ´area de secci´on transversal de la fibra Af , y σm act´ ua sobre un ´area de secci´on transversal de la matriz Am , entonces la fuerza resultante en el elemento de volumen representativo del material compuesto es: P = σ 1 A = σ f Af + σm Am
(3)
De la macro-mec´anica tenemos que: σ1 = E 1 ε1
(4)
Luego entonces sustituimos (2) en (3): E 1 = E f
Af Am + E m A A
2
(5)
Pero la fracci´on de volumen de la fibra y de la matriz se puede escribir como: Af A
V f =
V m =
Am A
(6)
Entonces: E 1 = E f V f + E m V m
(7)
Calculo del modulo de Young E 2 En la mec´anica de materiales el modulo de Young E 2 , esta dado en las condiciones en que una carga σ2 es aplicada perpendicularmente a la direcci´on que lleva las fibras, como se muestra en la siguiente figura:
Figure 3: RVE cargado en 2-direcci´ on La deformaci´on en la fibra y en la matriz a partir de las tensiones aplicadas perpendicularmente es: εf = εm =
3
σ2 E f
σ2 E m
(8)
La deformaci´on ε f que act´ua sobre el ´area transversal se puede expresar de forma aproximada como V f W , as´ı como la deformaci´on de la matriz εm puede ser V m W , de esta manera el ´area transversal total deformada es: ∆W = ε 2 W = V f W εf + V m W εm
(9)
o ε2 = V f εf + V m εm
(10)
sustituyendo ε f y ε m en la ecuaci´on (10): ε2 = V f
σ2 σ2 + V m E f E m
(11)
Pero la relaci´on esfuerzo-deformaci´on macroscopica es:
ε2 = E 2 ε2 = E 2 [
V f σ2 V m σ2 + ] E f E m
(12)
Donde: E 2 =
E f E m V m E f +V f E m
(13)
Calculo de la proporci´ on de Poisson (ν 12 ) Este es obtenido por una similar aproximaci´on a el an´alisis de E 1 , La mayor proporci´on de Poisson es:
ν 12 = −
ε2 ε1
(14)
Para un estado de tensi´on σ1 = σ y todos los otros esfuerzos son cero. Entonces las deformaciones est´an representadas en el elemento de volumen representativo de la siguiente figura:
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Figure 4: RVE cargado en la 1-Direcci´on De la misma manera que en el an´alisis del modulo de Young E 2 , la deformaci´ on transversal ∆mW y ∆f W son aproximadamente: ∆mW = W V m ν m ε1 ∆fW = W V f ν f ε1
(15)
Combinando las ecuaciones en (15) y dividiendo en ε 1 :
ν 12 = ν m V m + ν f V f
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(16)
Modelos de Falla de los materiales compuestos El fallo de un material compuesto puede producirse por uno o mas mecanismos b´asicos, como lo es la aplicaci´on de carga axial, torsi´on o flexi´on. Para predecir el comportamiento de una lamina de material compuesto, se deben determinar los valores de las tensiones ultimas.
Figure 5: Mecanismos de carga, Longitudinal, transversal y cortante Considerando las tensiones ultimas aplicadas en la lamina, se pueden predecir las curvas de tensi´on-deformaci´ on. Cuando la matriz es fragil:
Figure 6: Curva Esfuerzo-deformaci´on para compuesto con matriz fragil Cuando la matriz es d´ uctil: Figura [7] Simplificaciones hechas al modelo de predicci´on de las curvas de esfuerzodeformaci´ on. Se presenta transferencia de carga entre fibra y matriz incluso una vez rotas. 6
Figure 7: Curva Esfuerzo-deformaci´on para compuesto con matriz ductil
- El agrietamiento m´ultiple de la matriz o de la fibra no supone que dejen de soportar carga. - La aparici´on de da˜ nos es asociada a una p´erdida de rigidez. La resistencia de la fibra no es constante. - Bajo carga axial, la fibra se rompe por el eslab´on m´as d´ebil. - Los modelos estoc´asticos calculan la resistencia del material compuesto.
Fallo por grietas en la matriz Se presentan dos tipos de comportamiento, relacionados con esta falla: El primero es si la grieta es capas de penetrar la fibra, se dice que tiene un comportamiento fragil. En caso de que la grieta se desvi´e por la intercara, se conoce como comportamiento pseudo-tenaz. Por el efecto de la rotura de la fibra, hace que se carguen las fibras contiguas.
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Figure 8: Interacci´on de matriz-fibra cuando se presenta una grieta en la matriz Modelo ACK (Aveston, Cooper y Kelly, 1971) Describe el proceso de agrietamiento de una lamina de matriz fr´agil con refuerzo de fibras largas unidireccional sometidas a carga axial. Planteamientos del modelo: • Ignora
el car´acter probabil´ıstico de la fractura.
• No
existe adhesi´on en la intercara fibra/matriz, por lo tanto los esfuerzos cortantes se producen debido a la fricci´on.
•
on de la primera grieta. εm = ε f hasta la aparici´
•
Si εmu es mayor que εfu la primera grieta aparece en la matriz y se propaga perpendicularmente a las fibra.
•
Si V f es suficiente, la carga soportada por la matriz se transmite a las fibras de forma que ´estas puentean la grieta.
Figure 9: Representacion del modelo ACK (Puentes en el material compuesto)
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•
σm = 0 en el plano de la grieta y aumenta con la distancia a la grieta.
• El • A
gradiente de aumento de σ m depende de τ .
una distancia X de la grieta se alcanza σ m u se genera una nueva grieta.
• Sin
incrementar carga aplicada (el modelo considera σmu constante) se produce agrietamiento m´ultiple de la matriz con un espaciado medio entre grietas l s que oscila entre X y 2X, siendo X: X =
V m σmu R V f 2τ
(17)
Siendo: •
on volum´etrica de fibra y matriz V f,m : Fracci´
• R:
Radio de la fibra
•
on de rotura de la matriz σm u: Tensi´
•
on a cortadura de la intercara τ : Tensi´
Seg´ un Kimber y Keer (1982): ls = 1.34X La relaci´ on entre la tensi´on de agrietamiento del material compuesto σ mc y la tensi´on de la rotura de la matriz σ mu, teniendo en cuenta la tensi´on residual en la matriz q : σmu = σ mc
E m + q E c
(18)
Donde q se puede medir o estimar para materiales densos a partir de los coeficientes de expansi´on t´ ermica de fibra y matriz y de la disminuci´o n de la temperatura durante el proceso de fabricaci´on. El modelo ACK se basa en un balance energ´ etico, obteniendo: 6τ Gm E f E c2 V f 2 ] σmc = [ 2 R(1 − V f )E m
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Siendo: Gm = Energ´ıa de fractura de la matriz por unidad de superficie
Una vez elegida la fibra y la matriz se puede aumentar σ mc si: • Si
aumentamos V f o τ
• Si
reducimos R (radio de la fibra) 9
(19)
Campo de tensiones alrededor de una grieta Producidas en las matrices fr´ agiles por deslizamiento con fricci´ o n y extracci´ on de fibras. -Tensiones radiales compresivas: Las superficies despegadas permanecen en contacto en la estela de la grieta. La propagaci´on de grietas se genera por nuevos despegues y fricci´on originada por deslizamientos a lo largo de la zona despegada que se opone a la apertura de la grieta.
Figure 10: Fractura de la matriz alrededor de la fibra Rotura y extraccion de fibras Fractura estoc´astica de las fibras (distribuci´on de Weibull) Las fibras se rompen en puntos donde la carga aplicada es suficiente para activar los defectos preexistentes. Extracci´ on de fibras de la matriz: se produce si k¡ lc , siendo lc la longitud cr´ıtica para la cual la fibra se fracturar´ a bajo la acci´ on de la tensi´on aplicada.
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Figure 11: Fractura de la fibra
Referencias Bibliograf´ıas • ROBERT
M.JONES - MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS SECOND EDITION
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