Cuaderno de Aprendizaje – 2012
CUADERNO DE APRENDIZAJE INFERENCIA ESTADÍSTICA
Elaborado por: CLAUDIO ACOSTA ZAMORA
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012
Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.
Mucho Éxito.-
Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
UNIDAD 1: Fundamentos del cálculo de probabilidades. APRENDIZAJE ESPERADO
1. Aplican los fundamentos teóricos, técnicas y procedimientos a la solución de problemas básicos de probabilidad Criterio 1.1 Traduce eventos o sucesos del lenguaje corriente al lenguaje algebraico y
viceversa, en el contexto de problemas de aplicación
Ejercicio 1
Sea el experimento aleatorio, : , definidos por: =
,
=
=
, y los eventos A, B y C ,
a) determinar el espacio muestral,
Solución: Ω=
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6
b) determinar los eventos A, B y C
Solución:
=
2 ,
4 ,
6 ;
=
3 ;
=
1 ,
2 ,
3
c) dibujar diagrama de Venn C
5
2
1 3
A
4
B
6
⋃ ⋃ ⋃ d) determinar: "
"
Solución: =
2 ,
3 ,
e) determinar: "
4 ,
6
3 ,
4 ,
"
Solución: =
1 ,
2 ,
f) determinar: "
6
"
Solución: =
1 ,
2 ,
3
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Ω
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⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋂ g) determinar:
"
"
h) determinar: "
"
Solución: =
3
Solución: =ϕ
i) determinar: "
"
Solución: =
2
j) determinar: "
"
Solución: =
1 ,
3 ,
5
k) determinar: "
"
Solución:
=
5
l) determinar: "
"
Solución: =
4 ,
5 ,
6
m) determinar: "
"
Solución:
=
1 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6
Ejercicio 2
Una caja contiene 3 bolas: una roja (R), una azul (A) y una blanca (B). Se define el experimento:
:
,
a) Determinar el espacio muestral del experimento í b) Determinar el evento: " c) Determinar el evento: "
"
"
Solución: / = 1,2. a) Se define cada evento simple del espacio muestral, , de la forma: = 1,2, por ejemplo: (primera bola: blanca y segunda bola: roja) 1 2 , entonces:
Ω=
1 2 ,
1 2 ,
1 2 ,
1 2 ,
1, 2 ,
1 2 ,
1 1 ,
1 2 ,
1 2
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b) " c) "
":
í
1 1 ,
":
1 2 ,
1 1 ,
1 2
1 2 ,
1 2
Ejercicio 3
Una clínica clasifica a cada paciente según disponga o no de seguro médico y según su estado de salud que puede ser calificado como bueno (B), aceptable (A), serio (S) o crítico (C). El administrador registra primero un cero si el paciente no tiene seguro y un 1 si lo tiene, y después asigna las letras B, A, S o C, según el estado en que se encuentra el paciente. Por ejemplo, el código 1A correspondería a un paciente con seguro y un estado de salud calificado como aceptable.
Ω −
a) Determinar el espacio muestral, b) Determinar el evento: " " c) Determinar el evento: " d) Determinar el evento: "
, del experimento
é
í
"
á
"
é
Solución: a) Para facilitar la conformación de se puede construir una matriz bidimensional como la siguiente: Bueno: B Aceptable: A Serio: S Crítico: C Con seguro: 1 x x x x Sin seguro: 0 x x x x de tabla, extrayendo los pares: Ω=
1
, 1
, 1 , 1
, 0
, 0
, 0 , 0
b) Desglosando el evento en sus eventos o sucesos simples, se tiene:
⋂⋃ ⋂⋃ ⋂
" " "
é
": 0
": S í ": C,
entonces, recordando que : " " se representa por é tiene: " = 0 0 0 ,por lo tanto: "
, y que " " se representa por
"=
í
c) De la tabla: á “
"
í
é
, se
0 , 0
d) De la tabla: "
" =
é
"=
1 ,
1
, 1
,0 ,
1 ,
0
, 1 , 1
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Explica el concepto de probabilidad y evento o suceso aleatorio. Criterio 1.3 Aplica la definición clásica de probabilidad al cálculo de probabilidad simple en casos sencillos. Criterio 1.2
Ejercicio 4
Un lote de producción consta de 10 artículos buenos (B), 4 con defectos menores (M) y 2 artículos con defectos graves (G). Se elige un artículo al azar. Determinar la probabilidad de que: a) no tenga defectos b) tenga defectos graves c) que tenga defectos menores d) que sea bueno o que tenga defectos graves
Solución: a) Sean los eventos: ó í B: ó í G:
Sea
;
M:
ó
.
un evento cualquiera, entonces:
=
ú
í
ú
;
í
=
=
ú
10
;
í
ú
10
5
= 10+4+2 = 16 = 8 = 0,625 ;
= 0,625
b)
∈ ⋃ − ∩ ⋃ −∩ ⋃ − ⋃ ⋃ ⋂ ⋂ =
ú
=
ú
í
ú
2
;
í
2
1
= 10+4+2 = 16 = 8 = 0,125;
= 0,125
c)
í
ú
d) En general, si se tienen 2 eventos, 1
2
=
1
+
2
4
;
í
1
1,
2
2
1
= 10+4+2 = 4 = 0,25 ;
Ω, entonces:
,
Luego, que sea bueno o que tenga defectos graves = y aplicando los resultados de a) y b), se tiene: = 0,625 + 0,125
Obs.:
0
: eventos excluyentes
= ,
=
3
= 4 = 0,75 ; =Φ
+
= 0,75
=
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 5
En el ejercicio 4, se eligen 2 artículos al azar (sin reposición). Determinar la probabilidad de que: a) que ambos sean buenos b) ambos tengan defectos graves c) el primero sea bueno y el segundo tenga defectos menores
Solución: a) P(ambos sean Buenos) =
∙ ∙ ⟹ ∙ ⟹ 1, 2 =
b) P(ambos tengan defectos graves) =
10
9
=
16 15
2
1
1, 2 = 16
15
=
c) P(el primero sea Bueno y el segundo tenga defectos menores) =
1,
2 =
10
4
16 15
=
Ejercicio 6
La fenilcetonuria es una enfermedad genética que ocasiona un retraso mental. Aproximadamente, uno de cada 10.000 recién nacidos vivos la padecen. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo bebé que nazca en un hospital de Houston la padezca? Solución: Sea A = ñ
é
, entonces:
=
.
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.4 Identifica los axiomas y teoremas básicos de las probabilidades. Criterio 1.5 Resuelve problemas que involucran el cálculo de probabilidad simple.
Ejercicio 7
Sea , un espacio muestral de un experimento tal que Ω = 1 , 2, 3, 4 , 5, 6 . Se dispone de la siguiente tabla de probabilidades para cada evento o suceso simple: / = 1,2,3,4,5,6
1
0,1
2
0,2
Se definen los eventos E, F y G como: =
1,
4,
6
3
4
5
0,15
0,15
0,1
=
1,
3,
5
,
=
6
0,3
2,
4,
6
,
a) de la tabla, verificar el cumplimiento de los teoremas básicos de las probabilidades b) determinar P(E), P(F), P(G) c) determinar P(
∪ ∪∪ ∩∩ ∩∩ ∩
)
d) determinar P(E G) e) determinar P(F G) f) determinar P(E F)
g) determinar P(F G)
h) determinar P(E G)
i) determinar P(E F G)
Solución: a)
≤ ≤
1º) 0 2º)
6 1
1,
= 1,2,3,4,5,6
= 0,1+0,2+0,15+0,15+0,1+0,3 = 1 (eventos excluyentes)
b)
P(E) = 0,1+0,15+0,1 P(E) = 0,35 ; P(F) = 0,2+0,15+0,3 P(F) = 0,65 P(G) = 0,1+0,15+0,3 P(G) = 0,55
∪
c) P(
) = P(E) + P(F) – P(E
F) = 0,35+0,65 – 0
d) P(E G) = P(E) + P(G) – P(E G) = 0,35+0,55 – 0,1
⋃
P(E
)=1
P(E G) = 0,80
e) P(F G) = P(F) + P(G) – P(F G) = 0,65+0,55 – (0,15+0,3)
P(F G) = 0,75
f) P(E F) = 0
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 g) P(F G) = 0,15+0,3
P(F G) = 0,45
h) P(E G) = 0,1 i) P(E F G) = 0 Ejercicio 8
Encontrar los errores en c/u de las siguientes aseveraciones: a) Las probabilidades de que en una calle de Santiago se cometan 0, 1, 2 o 3
infracciones del tránsito en cualquier día de Febrero son, respectivamente: 0,20; 0,38; 0,29 y 0,18. b) La probabilidad de que llueva mañana es 0,9 y de que no llueva es 0,2. c) una caja contiene 200 pernos de los cuales 5 son defectuosos; se extrae un perno al
azar, entonces la probabilidad de que sea no defectuoso es de 0,9 Solución:
− −
= a) 4=1 = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 0.20+0,38+0,29+0,18 = 1,05 Error : por teorema básico la suma debe ser 1 ñ ñ , entonces: b) Sea = + = 0,9 + 0,2 = 1,1 + Error : por propiedad de eventos o sucesos complementarios
c) Sea
, entonces:
=
=1
=1
Error: se asevera que
=
5
200
=1
= 0,025
0,025 = 0.975
=
= 0,9
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 9
Una empresa recibe un artículo en lotes de 100. Según un estudio, las probabilidades del número de artículos defectuosos que hay en un lote se indican en tabla siguiente: n0 de defectuosos Probabilidad
0
1
2
3
más de 3
0,29
0,36
0,22
0,10
0,03
a) determinar la probabilidad de que en un lote haya menos de 3 defectuosos b) determinar la probabilidad de que en un lote haya más de 1 defectuoso c) las 5 probabilidades de la tabla suman 1 ¿porqué?
Solución:
≤ ≥ a)
Sea
= ú í <3 = 2 = <3 = ,
, entonces:
=0 +
=1 +
= 2 = 0,29 + 0,36 + 0,22
b)
>1 =
2 =
=2 +
=3 +
> 3 = 0,22 + 0,1 + 0,03
>1 = ,
c)
Porque del teorema básico de probabilidades, se establece que la sumatoria de probabilidades de los eventos o sucesos simples que conforman un espacio muestral es uno.
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 10
Un automovilista encuentra 3 semáforos en su trayecto habitual al trabajo. Los siguientes valores representan las probabilidades asociadas al número de semáforos en rojo (X) que puede encontrar camino a su trabajo:
=
0 0,14
1 0,36
2 0,34
3 0,16
a) verificar el cumplimiento de los teoremas básicos de probabilidades. b) determinar la probabilidad que el automovilista se deba detener al menos una vez. c) determinar la probabilidad que el automovilista se deba detener una o dos veces. d) determinar la probabilidad que el automovilista se deba detener en más de dos
semáforos. Solución: a)
∀ ≤ ≤ i) ii)
= 1 se cumple que 0 = = 1, puesto que 0,14+0,36+0,34+0,16 = 1
4 =1
= =1 + =2 + = 0,36 + 0,34 + 0,16 = ,
b)
= = ,
c)
d)
á á
á á
=1 +
=3
= 2 = 0,36 + 0,34
= >2 = = ,16
=3
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APRENDIZAJE ESPERADO 2. Calculan probabilidad de sucesos Criterio 1.8. Resuelve problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos
contrarios. Criterio 1.9. Resuelve problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos
mutuamente excluyentes. Criterio 1.10. Resuelve problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos independientes. Criterio 1.11. Resuelve problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos condicionales. Ejercicio 11 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω, tales que:
P(A) = 0,40 , P(B) = 0,70 , P(A B)=0,15. a) Determinar la probabilidad de que ocurra A o B b) Determinar la probabilidad de que no ocurra B c) Determinar la probabilidad de que ninguno de los 2 eventos ocurra d) Determinar la probabilidad de que ocurra solo B e) ¿son excluyentes los eventos A y B? f) ¿son independientes los eventos A y B? g) Determinar la probabilidad de que ocurra A, si ocurre B h) Determinar la probabilidad de que ocurra B, si ocurre A
Solución:
∪ ∪ − ∩ − ∪ − − ∩ ∪ − ∪ − ∩ − ∩ − ∩ ∩ ≠ ∙ ∩ ∩ ∙ ∙ ∙ ∩≠ a)
=
= + = 0,40 + 0,70
0,15
= ,
b)
=
=1
=1
2
c)
0,70
= ,
=
=
=1 = 1 0.95 = ,
(Teorema de Morgan)
d)
=
e) A y B excluyentes
= 0,70 = ,
0,15 = 0,55
= 0 pero
= 0,15
0
A y B no son excluyentes
f) A y B independientes
=
, en efecto:
= 0,15 y
= 0,40 0,70 = 0,28 no son sucesos o eventos independientes
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∩ ∩ ∩ ∪ 0,15
g)
,
=
=
= 0,70
h)
,
=
=
= 0,40
=
,
h)
0,15
,
=
=
= ,
=
− ∪ − = = = 0,214
= 0,375
1
1 0,95
0,05
0,3
0,3
=
Ejercicio 12
La probabilidad de que una alarma funcione es 0,9. Un dispositivo de seguridad está compuesto por 2 de estas alarmas. El dispositivo funcionará si por lo menos funciona una de las alarmas. Suponiendo independencia de operación entre las alarmas, determinar: a) la probabilidad de que el dispositivo funcione. b) la probabilidad de que el dispositivo no funcione. c) la probabilidad de que la alarma 1 no funcione. d) la probabilidad de que la alarma 1 funcione, si la alarma 2 no funciona.
∪ − ∩ − ∙ − ∙ − − − − ∩ ∙ Solución: a) Sea =
/ = 1,2 con
1
=
2
=
=
eventos
1 y
1
2
1
2
, y por independencia de
2:
= = ,
1
+
2
1
= 0,9 + 0,9
2
=1 = ,
b)
1
c)
d)
+
= 0,9 ; entonces: = 1 2
1
= = ,
,
=1
=1
1
1
2
pero por independencia de eventos
1
,
y
1
2
=1
0,9
=
1
2 :
=
1
2
2
=
2
=
0,9 0,9 = 0,99
0,99
1
2
,
2
1
=
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 13
Una empresa dedicada a la búsqueda de petróleo lo encuentra en el 10% de sus perforaciones. Si la empresa perfora 2 pozos. Sean los sucesos: ó ó y 1ª 1 = 2ª ó ó . 2 =
a) establecer el espacio muestral (Ω) b) determinar la probabilidad asociada a cada evento E i de Ω, suponiendo eventos
independientes c) determinar la probabilidad de que la empresa encuentre petróleo en a lo menos una de las 2 perforaciones efectuadas (0,19). Solución:
∩∩ ∙ ∙ ∙ ∙ ∩∩ ∙ ∙ ∙∙ ⟹ ⟹ =
a)
,
,
b) Dado que : 1 = 1 2
=
3 4
,
=
,
,
,
,
,
,
(10%), se tiene:
2
= =
1
2
1
2
=
1
2
= 0,1 0,9
= ,
=
1
2
1
2
=
1
2
= =
1
2
= 0,9 0,1 = 0,9 0,9
= , = , 1
1
2
= 0,1
,
= 0,1 0,1
=
,
c)
ó
=
1
+
2
+ ó
3
= 0,01 +
0,09 + 0,09
= ,
ó
Ejercicio 14
El jefe del depto. de tránsito de la Municipalidad de una comuna, clasificó los accidentes del tránsito ocurridos durante el segundo semestre del año anterior, de acuerdo a la edad en años del infractor y si el accidente se produjo estando el infractor en estado de ebriedad o no. Los resultados se indican en tabla siguiente: edad (en años) estado del conductor Ebrio
menos de 20 (A)
20 – 40 (B)
más de 40 (C)
total
(E)
27
41
14
82
no ebrio (EC)
12
34
22
68
39
75
36
150
total
Del registro computacional de accidentes del tránsito se selecciona aleatoriamente un infractor: Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 a) determinar la probabilidad de que el infractor haya estado ebrio b) determinar la probabilidad de que el infractor tenga 40 años o menos c) determinar la probabilidad de que el infractor haya estado ebrio o tenga menos de 20
años d) si el infractor seleccionado estaba ebrio, determinar la probabilidad de que tuviera más de 40 años e) si el infractor seleccionado tenía entre 20 y 40 años, determinar la probabilidad de que no estuviera ebrio f) ¿son independientes los eventos B y E C? Solución:
∩ ∩ ∩ ∩∪ ∩∪ −∩ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∙ ∩ ∩ ∙ ∙ ∩ ∙ ∩ a)
=
+
=
27
c)
f) B y
82
41
+ = 39 75 114 19 = 150 + 150 = 150 = 25
40 ñ
=
ñ
e)
14
= ,
b)
d)
41
= 150 + 150 + 150 = 150 = 75
+
=
+
=
= ,
=
14 150
=
= 82
14
82
39
+ 150 150
7
= 82 = 41 150
34 150
=
= 0,76
= 75
=
34
= 75 150
eventos independientes
=
27
94
47
= 150 = 75 150
= 0,170
= ,
=
=
;
=
En efecto, de la tabla: =
68
150
=
=
75
,
= 150 ,
68
75
150
150
17
= 75
y
=
=
By
34
150
34
150
=
, entonces: 17 75
eventos independientes.
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APRENDIZAJE ESPERADO:
3. Resuelven problemas contextualizados utilizando valor esperado y varianza de una distribución de probabilidades Criterio 1.14. Calcula el valor esperado de una distribución de probabilidades Criterio 1.15. Calcula la varianza de una distribución de probabilidades Criterio 1.16. Resuelve problemas contextualizados utilizando valor esperado y varianza
de una distribución de probabilidades. Ejercicio 15
Dada la tabla siguiente:
=
0 0,10
=
a) demostrar que el par
1 0,30
2 0,35
3 0,25
/ = 1,2,3,4 representado en la tabla es función de probabilidad de la variable aleatoria discreta, X. b) determinar el valor esperado, , de la variable aleatoria X 2 c) determinar la varianza, , y la desviación típica de X, ,
≤ ≤ ∀ ……… ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⟹ ∙ ∙ − ∙ ∙ ∙ − ⟹ Solución: , a) si
=
0
1
i)
=0 = =3 =
4 =1
ii)
=
es función de probabilidad de X. se debe cumplir:
=
/ = 0,1,2 1
4
1
= 0,10 ; = 0,25
+
2
+
3
+
Se cumple i) y ii) el par = =1 = ,
b)
c)
ii)
=1 =
4
,
=1
, en efecto:
= 0,30 ;
=2 =
=1
2
3
= 0,35 ;
= 0,10 + 0,30 + 0,35 + 0,25 = 1 / = , ,
es función de probabilidad de X.
= 0 0,10 + 1 0,30 + 2 0,35 + 3 0,25 = 7 4 = 1,75
2 = =1 2 2 = 02 0,10 + 12 0,30 + 22 0,35 + 32 0,25 = ,
2
=
2
=
0 ,8875 = 0,9420
1,752 = 71 80 = 0,8875
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 16
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad dada por : donde =1,2,3,4.
= / ,
a) determinar el valor de la constante k, sabiendo que p(x) es función de probabilidad;
expresar p(X) en forma tabular. b) determinar E(X) c) determinar 2 >2 d) determinar e) determinar 1 3 2 f) determinar
≤≤≤ ⟹
Solución:
=
a)
4 =1
ó
/1 + k/2 +k/3 + k/4 = 1
=1
(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1
= 12/25
= 12/25
=
=
(25/12) = 1
= 12/( 25 Xi )
Tabla de distribución de probabilidades Xi P(X=Xi) = pi = 12/(25 Xi)
1 12/25
2 12/50
3 12/75
4 12/100
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⟹ ∙ − ∙ ∙ ∙ ∙ − ⟹ ≥ =
b)
2
c)
2
=
= 12
=1
2
=1
12 25
+2
12 50
+3
12 75
>
+4
12
3 =
=3 +
1,922 =
=4 =
12
f)
1
= ,
12
7
25
= ,
= 0,28
= ,
3 = =1 + = 0,88
2 =
696 = 1,1136 625
+ 100 = 75
≤≤ ⟹≤≤ ≤ e)
=
100
2
12 12 12 12 + 22 + 32 + 42 25 50 75 100
> 2 =
d)
=1
=1 +
= 2 =
12 25
+
12
12
12
= 3 = + + = 22/25 = 0,88 25 50 75
=2 +
12 50
18
= 25 = 0,72
≤ = ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 17
El número de camiones que llega en una hora a una bodega es una variable aleatoria, X, que sigue la función de probabilidad dada en la tabla:
nº de camiones,
0 0,05
=
1 0,10
2 0,15
3 0,25
4 0,30
5 0,10
6 0,05
Determinar la probabilidad de que en una hora cualquiera: a) lleguen camiones a la bodega b) llegue el número máximo de camiones c) lleguen 3 camiones como máximo d) lleguen 2 camiones como mínimo e) lleguen más de 2 pero menos de 6 camiones Determinar la Esperanza y la Varianza del número de camiones que en 1 hora llegan a la bodega
f) Esperanza o Valor Esperado g) Varianza 2 h) para una compañía de seguros el costo de asegurar un camión es C = 16X + 0,5
(U.M). Determinar el costo promedio de asegurar un camión Solución:
≥ − − ⟹ ≤ ⟹ − ≥ − ≤ − ⟹ ≤≤ ⟹ =
a)
ó
=1
=
1 =1
=0
0,05 = 0,95
= ,
b)
ú
=
á
3
c)
= =
á
3
2
í
2
í
= =1 =1
í
e)
á á
á
2 2
= ,
=0 +
=1 +
=2
= 0,05 + 0,10 + 0,15 + 0,25 = 0,55
á
á
d)
3 = =3
=
6 6
= ,
2 =1 1 =0 + =1 0,05 + 0,10 = 0,85
= ,
= 2< <6 = 3 = =3 + =4 + = 0,25 + 0,30 + 0,10
5 =5
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⟹ ∙ ∙ − ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⟹ ∙ ∙ ⟹ ∙ =
f)
=1
∙
∙
= 0 0,05 + 1 0,10 + 2 0,15 + 3 0,25 + 4 0,30 + 5 0,10 + 6 0,05 = 3,15
= ,
h)
2 = =1 2 2 = 02 0,05 + 12 0,10 + 22 0,15 + 32 0,25 + 42 0,30 + 52 0,10 + 62 0,05 = 2,1275
2
∙ −
3,152
= .
h)
= 16
+ 0,5
= 16
+ 0,5
= 16 3,15 + 0,5 =50,9 (U.M.)
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
APRENDIZAJES ESPERADOS 4. Identifican y resuelven problemas relacionados con el modelo de probabilidad binomial
Criterio 1.18. Identifican el modelo de probabilidad binomial y los parámetros que lo
definen. Criterio 1.19. Resuelve problemas que involucren operar con el modelo de probabilidad
binomial Ejercicio 18
La probabilidad de encontrar una pieza defectuosa en una línea de ensamble es 0,05. El número de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, donde es el número de unidades defectuosas en la muestra. Se extrae una muestra de 20 unidades.
a) definir la variable aleatoria (nombre y recorrido) b) establecer los fundamentos que indican que el proceso señalado en el problema se
puede asimilar a un modelo de probabilidad binomial. c) determinar la probabilidad de encontrar 2 unidades defectuosas en la muestra d) determinar la probabilidad de encontrar 2 unidades defectuosas como máximo en la muestra. e) determinar la probabilidad de encontrar una unidad defectuosa como mínimo en la muestra. f) determinar el número promedio de unidades defectuosas en muestras de tamaño n= 20 g) determinar la varianza del número de unidades defectuosas en muestra de tamaño n=20 Solución:
;
a) : ú
= 1,2,3,
…………
,20
b) El proceso se puede asimilar a un modelo de probabilidad Binomial porque se constata
que posee las condiciones particulares de un modelo de esta naturaleza, en efecto:
i) El experimento consta de = 20 ensayos idénticos ii) Cada prueba tiene 2 resultados posibles: Éxito (E=unidad defectuosa) o fracaso (F=unidad no defectuosa) iii) La probabilidad de tener éxito en un solo ensayo es igual a = 0,05 y permanece constante de ensayo en ensayo; la probabilidad de fracaso es: =1 = 1 0,05 = 0,95. iv) Los ensayos son independientes. v) La variable aleatoria es y representa el número de Éxitos observados en los = 20 ensayos. : á *
− − ∙ ∙ −− ∙ ∙ − − c) si ~
= 20,
2
= 0,05
=
=
1
=
=2 =
= 0,1887 = ,
20 2
0,052
1
0,05
20 2
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
≤ ⟹ ≤ ≥ − ⟹ ≥ − ∙ ⟹ ∙ ⟹ ∙∙ − ∙ ∙ − 2
d)
= =0 +
á =
2 = 0,3585 + 0,3774 + 0,1887 = 0,925 á 1 =1
g)
=
2
= 20 0,05
=
=2
1 =1
=0
0,358 = 0,642
= ,
í
f)
=1 +
= ,
=
í
e)
2
2
1
=
= 20 0,05
1
0,05 = 0,95
=0,95
Ejercicio 19
Según una empresa, el 40% de los automóviles que circulan en Santiago contaminan el ambiente, eliminando más de un 6% de CO (monóxido de carbono), nivel máximo permitido. Una comisión de inspectores municipales selecciona al azar en una calle, 10 automóviles. Suponiendo una distribución binomial del número de automóviles que contaminan (X), determinar:
a) definir la variable aleatoria (nombre y recorrido) b) determinar la probabilidad de encontrar automóviles que contaminan en la muestra c) determinar la probabilidad de encontrar 2 automóviles que contaminan en la muestra d) determinar probabilidad de encontrar como mínimo 2 automóviles que contaminan en
≤≤ … ≥ − ≥ − ∙ ∙ − − ⟹ ∙ ∙ − − la muestra
5 e) 4 f) determinar el promedio y varianza del nº de automóviles que contaminan.
Solución: a)
: ú
;
ó
=
ó
b) ; = 0,4
10 0
1 =1
0,400
1
0,40
10 0
2
=2 =
10 2
=
ó
1
0,40
10 2
=0
= ,
ó
0,402
1 =1
,
= 0,994
ó
c)
= , , ,
=2
=0,12
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
⟹ ≥ − ≥ − ≤ ⟹ ≥ − ∙ ∙ − − ∙ ∙ − − − ≤≤ ∙ ∙ − − ∙ ∙ − − ≤≤ ∙ ⟹ ∙ ⟹ ∙∙ − ∙ ∙ − ⟹ 2 í =0 +
d)
2 =1 2 =1
=1
10 0
0,400
1
0,40
10 0
10 1
+
0,401
2 =1
1
0,40
1
10 1
0,046357 = 0,954
í
e)
=
ó =1
4
5 =
10 4 = 0,4515 =
=
f)
2
=
=4 + 0,44
=5
1
0,4
10 4
= 10 0,40
1
= ,
ó
2
= 10 0,4
10 5
+
0,45
= 1
1
0,4
10 5
ó
0,4
= ,
ó
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 20
Un sistema para detectar la presencia de llama en un recinto, utiliza 3 celdas sensibles a la temperatura que actúan independientemente, de modo tal que una o más pueden activar la alarma. Cada celda tiene una probabilidad p = 0,8 de activar la alarma de incendio al alcanzar la temperatura de 100 º C o más. Sea X el número de celdas que activan la alarma cuando la temperatura alcanza los 100 grados.
a) establecer la distribución de probabilidad para X b) determinar la probabilidad de que no se active la alarma en presencia de llama c) determinar la probabilidad de que se active la alarma en presencia de llama en un
recinto d) determinar el valor esperado y la varianza del número de celdas que activen la alarma en presencia de llama. Solución:
a) Sea ~
Xi P(X=Xi)
= 3,
/
= 0,8
0 0,008
= 0,1, 0,1,2, 2,3 3 aplicando
1 0,096
2 0,384
∙ ∙ − − =
=
1
:
3 0,512
≥ − ≥ − ≥ ∙∙ ∙∙∙ ⟹ − ∙ ⟹ ∙ ∙ − ⟹ =
b)
=
= 0 = 0,00 0,008 8
= ,
= 0,008
c)
1 =1
d)
2
= =
í
1 = 0,99 0,992 2
= 3 0,80
1
=
2
= , = 3 0,8 1 0,8
1 =1 = ,
=0
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 21
Todos los días se seleccionan de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de producción, con el propósito de verificar el % de unidades defectuosas en el proceso. Con base en la información anterior se sabe que el proceso produce 5% de unidades defectuosas. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de tamaño 15 contenga 2 o más unidades defectuosas (extracción con reposición).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera la producción se detenga? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera la producción no se detenga? c) ¿Cuál es el número esperado y la varianza de unidades defectuosas en el día? d) Si la producción es aceptada, la utilidad obtenida es de 35.000 dólares, si se detiene,
se genera una pérdida de 10.000 dólares, determinar la utilidad diaria esperada.
≥ − − ≤ − − ≥ − ∙ ∙ − ∙ ∙ − ≥ ≤ −− ≤ ∙∙ ∙ ⟹ ∙ ⟹ ∙∙ − ∙ ∙ − ⟹ ≤ ≥ ∙ ≤ − ∙ ≥ ∙ − ∙
Solución: a) ~
= 15,
= 0,05
=
ó
2 =1
15 0
2 =1
0,050
=
2
=
1
15 1
+
0,051
1
0,05
15 1
=1
= 0,17 0,171 1
ó 1 =1 = 1 0,17 0,171 1 = 0,82 0,829 9 = ,
=
ó ó
15 0
=0 +
= ,
=
ó
c)
0,05
=
ó ó
b)
1
1 =1
= 15 0,05 2 = 15 0,05
1
= , 0,05
= ,
d) Sea U: utilidad; si
U = 35.000 dólares,
1
= 35.0 35.000 00
1
10.000
si
2
U = -10.000 dólares
2 = 35.0 35.000 00 0,829
10.000 0,171
= 27.305 dólares
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
APRENDIZAJE ESPERADO 5. Identifican y resuelven problemas relacionados con el modelo de probabilidad de
Poisson. Criterio 1.22. Identifican el modelo de probabilidad de Poisson y los parámetros que lo
definen. Criterio 1.23. Resuelve problemas que involucran operar con el modelo de Poisson. Problema 22 .- Sea X una variable aleatoria de Poisson con parámetro
que: X : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
∙ =
= 2 tal
a) establecer la distribución de probabilidad para X =4 b) determinar c) determinar 2 <4 d) determinar e) determinar 4 6 2 f) determinar E(X) y g) determinar la Moda de X
≥ ≤ ≤
… … …
Solución:
a) Sea ~ Xi P(X=Xi)
=2 /
0 O,1353
1 0,2706 0,2706
2 0,2706
= 0,1, 0,1,2, 2,3 3 3 0,1804
4 0,0902
..,10 aplicando 5 0,0361
− ∙
6 0,0120
=
7 0,0034
/ ! :
=
8 0,0008
9 0,0002
10 0,00004
≥ ≥ − − ≤ ≤ ≤≤ ≤≤ =
b)
= ,
2 =1
c)
=0 +
=1
=1
0,13 0,1353 53 + 0,27 0,2706 06
<4 = =0 + =1 + =2 + = 0,13 0,1353 53 + 0,27 0,2706 06 + 0,27 0,2706 06 + 0,18 0,1804 04 <4 = ,
d)
4
e)
6 = = ,
f) E X = λ 2 =λ
=4 +
=5 +
=
=3
= 6 = 0,09 0,0902 02 + 0,03 0,0361 61 + 0,01 0,0120 20
E(X) = 2 =
g) La Moda de la variable aleatoria X corresponde al o los valores más probables de X, en este caso:
:
=
=
=1 =
= 2 = 0,27 0,2706 06
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 23
El número de clientes que llega a un banco es una variable aleatoria de Poisson. Si la tasa de llegadas es de = 120 (clientes/hora): a) determinar probabilidad de que en 1 minuto lleguen clientes b) determinar la probabilidad de que en 2 minutos lleguen 2 clientes como mínimo c) determinar la probabilidad de que en 3 minutos llegue 1 cliente como máximo d) determinar el promedio de clientes que llegan en períodos de media hora
Solución: a) Sea X: nº de clientes que llegan en un cierto período de tiempo, X = 0,1,2,3,………..n
∙ ∙ ≥ ≥ − −− ∙ ∙ ∙ − ≥ − ≤ − − ≥ − ∙ ∙ ∙ ∙ ⟹ ≤ − − ≤ ∙ ∙ ∙ ∙ λ = α t = 120 60 1 min 1 =1
1 = 2 clientes en 1 min; = 1 =1 2 20 /0!
=0
= ,
b) λ = α t = 120 60 2 = 4 clientes en 2 min; 2 min 2 = í =1 =0 + =1 4 0 4 1 2 =1 4 0! + 4 1! í
2 =1
1
;
= ,
c) λ = α t = 120 60 3 = 6 clientes en 3 mi á 3 min 1 = 1 6 0 6 1 1 = =0 + =1 = 6 0! + 6 1! á
d) E X = λ = α t = 120 clientes hora
= ,
0,5 horas
=
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 24
El número de accidentes graves en una planta industrial sigue una distribución de Poisson con una tasa de ocurrencia de = 10 (accidentes/año). El gerente diseña un plan para reducir el número de accidentes en la planta. Un año después de puesto en marcha, la tasa de accidentes sigue siendo 10. a) determinar la probabilidad de que en 1 año ocurran 5 accidentes graves. b) determinar la probabilidad de que en 6 meses ocurran 4 accidentes graves. c) Si después de 2 años de aplicación del plan, la tasa de accidentes graves se ha . ñ : reducido a = 6 1. determinar la probabilidad de que en 6 meses ocurran 4 accidentes graves 2. determinar la probabilidad de que en 4 meses ocurran 2 accidentes graves como
mínimo Solución: a) Sea X : nº de accidentes graves en un período de tiempo, X = 0,1,2,3…………n = = 10 . ñ 1 ñ 1 ñ 5 . = =5 10 5 =5 = 10 5! ñ . = ,
⟹ ∙ − ∙ ∙ ∙ ∙ − ∙ ∙ ∙ − ∙ ∙ ∙ ≥ − ≤ − − ∙ − ∙ ≥ − b)
=
= 10 12
6
6=5 4
. =
=4 =
5
6 54 4!
=4 =
3
6 34 4!
. = ,
c.1.)
= 6
= 6 12
6=3 4 . =
. = ,
c.2.)
= 4
= 6 12
2 =1
4=2 2 .
2
0
2
= 0! + .
4
í
2
2 =1 2 1! í = ,
1 =1
=0 +
=1
1
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 25
El número de fallas en el tejido de una tela tiene una distribución de Poisson con una 2 . tasa de = 4
a) determinar la probabilidad de que una muestra de tela de 2 2 tenga 5 fallas b) determinar la probabilidad de que una muestra de 1,5 2 tenga 2 fallas como máximo c) determinar la probabilidad de que una muestra de 1,5 2 tenga 3 fallas como mínimo d) el costo de reparación de fallas en el tejido de la tela es de 10 dólares por falla,
determinar el promedio y la desviación estándar del costo de reparación para un lienzo de 8 2
Solución: a) Sea X: número de fallas que tiene el tejido de una tela de cierta superficie, X = 0,1,2,3……..n
∙− ∙ ⟹ ∙ ⟹ ≤ − − − ∙ ≤ ∙ ∙ ≥ − ≤ − ∙ ∙ ∙ ∙ ⟹ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ =4
2
2
=
8
2
=8 5 8 5!
2
2
5
2
2
=
=5
2 =1
0,062
= ,
b)
2
=4
2
1,5
2 = =0 + 6 0 6 0! + 6
2 =
3
c)
1,5 2 1,5 2 = á =1 + =2 1 6 6 1! + 62 2! , = , á
=6
2
1,5 ,
í í
= = ,
2
3 =1
d) Costo promedio de reparación ó y sea : ú Sea :
=
pero =
=
2
=4
= 10
10
8
= 10
= 10
2
=32=
32
ó
8
ú
=
=
2
ó
Desviación estándar del costo de reparación 2
Sea
2
pero
2
: =
=
ó
2
10
= 10
2
2
= 100
2
= 32 (distribución de Poisson)
Desviación típica,
Desviación típica =
=
2
=
2
2
= 100 32 = 3.200 ó
2
= 3.200 = 56,57 dólares
= 56,57 dólares
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
APRENDIZAJE ESPERADO 6. Calculan área bajo la curva normal y percentiles de la curva normal estándar, mediante
tabla. Criterio 1.26. Identifica el modelo de probabilidad normal y los parámetros que lo definen. Criterio 1.27. Identifica el modelo de probabilidad normal estándar y los parámetros que
lo definen.
Criterio 1.28. Calcula el área bajo la curva normal utilizando tablas de la curva normal
estándar.
Criterio 1.29. Calcula percentiles de la distribución normal estándar mediante tabla. Ejercicio 26
Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con media = 60 y desviación estándar =10, ~ (60, 102 ) . Calcular las probabilidades siguientes: a) b) c) d)
≤ ≤≤
57 < < 83 > 60 65 82 38
Solución: a) Aplicando:
− ∶ − − − − − −≤ − − ≤ −≤ − − − ≤≤ ≤≤ − ≤≤ ≤ ≤ − ≤− ≤ =
57 <
57 60
< 83 =
10
> 60 = 1
60 60
60 = 1
<
83 60 10
=
0,3 <
< 2,3
;
57 < < 83 = < 2,3 < 0,3 De la tabla de distribución Normal : 57 < < 83 = 0,9893 0.6179 = 0,3714 ; < < 83 = , b)
<
10
= 1
0 = 1
0,5
> 60 = ,
c)
d)
65 60
65
82 =
65
82 = 0,9861
=
10
38 60 10
<
=
<
82 60 10
=
0,6915
0,5 <
< 2,2 =
< 2,2
< 0,5
= ,
2,2
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 27
Encontrar el valor estándar tal que: a) El 80% de la distribución esté por debajo (a la izquierda) de ese valor. b) El área a la derecha de ese valor sea 0.15. c) El 91% de la distribución esté por sobre (a la derecha) ese valor.
Solución:
−≤ ⟹ ≤ − ≤ −≤ ⟹ ≤ − − a)
<
b)
>
0
0
0
0
= 0,80
de la tabla de distribución Normal :
= 0,15 > 0 =1 = 1 0,15 = 0,85
0
= 0,15
= 0,85 de la tabla de distribución Normal :
c) > 0 = 0,91 > 0 =1 de la tabla de distribución Normal :
Ejercicio 28
=
= ,
= 0,91
0
= ,
0
=1
0,91 = 0,09
,
Suponiendo una distribución Normal,
~ ( ,
2
) ~ 0,1 encontrar:
a) el valor aproximado de Z asociado al primer cuartil b) el valor aproximado de Z asociado al sexto decil c) el valor aproximado de Z asociado al cuarto quintil. d) los dos valores (aproximados) Z estándares tales que acoten el 50% central de la
distribución. e) los dos valores (aproximados) Z estándares tales que acoten el 90% central de la distribución. Solución: a) b) c) d) e)
≈− ≈ ≈ − −
< < <
0,25
= 0,25
,
,
0,60
= 0,60
,
,
0,80
= 0,80
,
,
0,25
<
<
0,75
= 0,50
,
=
,
,
= ,
0,05
<
<
0,95
= 0,90
,
=
,
,
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 29
Las lecturas de colesterol (en mg/dl) correspondientes a personas adultas de un grupo de edad particular, se distribuyen normalmente con media 210 y desviación estándar 15. Determinar: a) El % de esta población que tiene lecturas de colesterol mayores que 250 mg/dl b) El % de esta población que tiene lecturas de colesterol entre 200 y 220 (mg/dl) c) El tercer quintil de las lecturas de colesterol de esta población; interpretar el valor
obtenido Solución: a)Sea
− − −≤ − − − −− − − − : ~
(
2
= 210,
> 250 =
=1
= 15 250 >
c)
200 <
< 220 =
200 <
< 220 =
<
210
15
=
>
250
210
15
=
> 2,67 = 1
2,67
0,9962
> 250 = ,
b)
)
2
0,38%
200 210 15
<
<
220 210 15
< 0,67
<
49,72%
< 220 = ,
=
0,67 <
0,67 = 0,7486
< 0,67
0,2514
210
= , = 0,25 El 60% de los adultos de la población tiene colesterol inferior a 213,75 <
60
= 0,25
0,60
= 0,67
0,60
15
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 30
Un fabricante de un cierto tipo de maquinaria industrial necesita adquirir remaches cuya especificación técnica exige une tensión de ruptura mínima de 10.000 . Los proveedores A y B ofrecen este tipo de remaches con tensiones de ruptura X, con las siguientes características: Proveedor A:
~
.
,
donde :
¿Qué proveedor le conviene al fabricante? Solución:
> 10.000 =
>
>
.
,
ó
− − −≤− − − − −≤− −
10.000 14.000 = 2.000
>
2 =1
2 =1
0,0228
10.000 13.000 = 1.000
>
3 =1
3 =1
0,0013
= 0,9772
> 10.000 =
~
proveedor B:
= 0,9987
dado que la probabilidad que un remache fabricado por B presente una tensión de ruptura mínima exigida mayor que en el caso del proveedor A, al fabricante le conviene adquirir remaches del proveedor B Ejercicio 31
Una unidad de radar es utilizada para medir la velocidad de los automóviles en una vía rápida durante la hora de mayor congestión. La velocidad de los automóviles se distribuye normalmente con una media = 100
a) Determinar la desviación estándar,
, de la distribución de velocidades si se sabe que 3% de los automóviles se desplaza a velocidades mayores que 116 (km/h). b) Utilizando la desviación estándar obtenida en a), determinar el porcentaje de automóviles que se desplaza a velocidades menores que 90 (km/h). c) Determinar el valor de la variable “velocidad” correspondiente al percentil 95 de la distribución; interpretar el valor obtenido Solución: a) Sea :
− ≤ ≤ − ⟹ − − − ⟹ ó
> 116 = 0,03
1
í 116 = 0,03
de la tabla de distribución normal, = 1,88 116 100 = 1,88 = 16/1,88 entonces: = < 90 =
b)
< 90 = <
c)
,
0,95
<
,
90 100 8,51
=
<
1.18
á
116 = 0,97
= ,
< 90 = 0,1190
%
= 0,95
= 1,64
0,95
100
8,51
= 1,64
0,95 =
1,64 8,51+100
=
el 95% de los automóviles se desplaza a una velocidad menor que
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
UNIDAD 2: Teoría elemental de muestreo e intervalos de
confianza. APRENDIZAJE ESPERADO 7. Explican, relacionan e identifican los conceptos básicos de la teoría elemental del muestreo
Criterio 2.1. Explica el concepto de muestreo. Criterio 2.2. Identifica distribución muestral de medias y su relación con la normal. Criterio 2.3. Explica el concepto de error muestral Criterio 2.4. Relaciona el concepto de error confianza y precisión Criterio 2.5. Identifica el concepto de estimación, demostrando conocimiento de los
distintos parámetros y sus respectivos estadígrafos.
Ejercicio 32
Dada una distribución normal con media de tamaño = 25 :
= 100 y
= 10, si se selecciona una muestra
a) determinar la probabilidad de que sea menor que 95 b) determinar la probabilidad de que esté entre 95 y 97,5 c) determinar la probabilidad de que sea mayor que 102,2 d) ¿para qué valor de habrá un 65% de probabilidad de que éste sea mínimo?
Solución:
− −∙ − ∙ − − ∙ − ∙ − − − − − − − ∙ −≤ − ⟹ ≤ − − − ∙ − ∙ a)
<
=
<
< 95 =
b)
95 <
95 <
c)
<
=
95
100 10
95 100
< 97,5 =
< 97,5 =
> 102,2 =
25
25
10
<
>
=
<
10
97,5 100
25
<
<
<
< 2,5 = 0,1056 < 97,5 = ,
1,25
102,2 100
2,5 = 0,0062
25
10
=
=
< 95 = ,
2,5 <
<
1,25
0,0062
> 1,1 = 1
1,1 = 1
0,8643
= 0,1357 > 102,2 = .
d)
>
0,35
= .
0,35
=
.
= ,
0,39 (tabla de
=
distribución normal) 0,35
100
10
25
=
0,39
0,35
=
0,39 10
25 + 100
,
=
,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 33
Un fabricante de “flashes” para cámaras fotográficas necesita estimar la probabilidad de que cada una de éstas funcione. Como éstos se destruyen al ser probados, se requiere tomar la muestra más pequeña posible. Determinar el número de observaciones, , que se deben efectuar, para estimar la probabilidad con un nivel de confianza de = 95% con un error máximo de = 0,04 si el fabricante:
a) No tiene antecedentes para estimar el porcentaje de flashes defectuosos, b) Tiene antecedentes para estimar que el porcentaje de flashes defectuosos,
supera el 6 % Solución: a) En este caso se considera
∙∙ − ∙∙ − 2
1
=
b)
2
=
2
1
=
2
∙ ∙ − ∙ − =
0
1,962 0,5 1 = 0,042
∙
1,962 0,06 1 0,06 0,04 2
= 0,5 , 0,5
= 95%
= 600
= 135,4
= 1,96
, no
entónces:
=
=
Ejercicio 34
Supóngase que una investigación efectuada recientemente revela que el 60% ( = 0,60) de los adultos de una población no son fumadores. Si se toma una muestra aleatoria de = 600 adultos, encontrar la media, , y la desviación estándar, , de la distribución de muestreo.
Solución:
∙ ∙ ∙∙ − ∙ ∙ − =
=
= 600 0,60 1
=
=
600 0,60
no fumadores
1
0,60
=
no fumadores
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 35
Una compañía de transporte determinó que, con base anual, la distancia recorrida por = 50 camión tiene una media y desviación estándar = 12 . Del registro de los recorridos anuales de los camiones se extrae una muestra aleatoria de = 16 camiones.
a) Determinar la probabilidad de que la distancia promedio recorrida sea menor que 45
(miles de millas anuales) b) Determinar la probabilidad de que la distancia promedio recorrida esté entre 44 y 48 (miles de millas) c) ¿Qué suposición se debe hacer para resolver a) y b)? d) Si se selecciona una muestra aleatoria de 64 camiones, ¿para qué valor de habrá un 95% de camiones con recorrido anual inferior a dicho valor? e) ¿Qué suposición se debe hacer para resolver d)?
Solución: a) b)
< 45 =
44 < 44 < <
− ∙ − − −∙ − −− ∙ −− − 45 50
<
12
44 50
< 48 =
16
12
< 48 = < 48 = ,
c) Dado que
16
<
=
<
0,67
<
<
1,67 = 0,0475
48 50
16
=
12
<
< 45 = ,
2<
2 = 0,2514
<
0,67
0,0228
= 1 6 < 3 0 se debe suponer que los valores de las distancias anuales
recorridas por los camiones de la compañía siguen una distribución aproximadamente normal. d)
− ∙ ∙ ⟹ <
0,95
= 0,95
= 1,64 12 =
e) Puesto que
= 1,64
50
12
64
= 1,64
64 + 50
,
= 6 4 > 3 0, basado en el teorema central del límite , se puede considerar
que los valores de las distancias medias recorridas por los camiones anualmente, siguen una distribución aproximadamente normal, en consecuencia, es válido utilizar la tabla de ésta distribución para los cálculos.
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
APRENDIZAJE ESPERADO 8. Calculan intervalos de confianza para la media con varianza conocida Criterio 2.8. Calcula el error estándar para la media con datos muestrales dados. Criterio 2.9. Explica la influencia del tamaño de la muestra en el error. Criterio 2.10. Calcula intervalos de confianza para la media con varianza conocida. Ejercicios 36
Al efectuar el ajuste de una máquina cambia la longitud de las piezas que produce pero no afecta la desviación estándar. La longitud de las piezas se distribuye en forma normal . Después del ajuste, se extrae una con una desviación estándar de magnitud = 0,5 muestra aleatoria para determinar la longitud media de las piezas producidas. Las longitudes resultantes de la medición fueron:
75,3 – 76,0 – 75,0 – 77,0 – 75,4 – 76,3 – 77,0 – 74,9 – 76,5 – 75,8
a) ¿Cuál es el parámetro de interés? b) Determinar la media muestral, c) Estimar un intervalo de confianza (IC) de
= 99% para la media de la longitud,
determinar el error, , que se comete en la estimación del intervalo d) Determinar el tamaño de la muestra si se desea un error máximo de estimación del intervalo de confianza para
,y
= 0,2 mm en la
Solución:
⟹ −∙ ∙ ∙ ⟹ ⟹ − ⟹ − ∙ ∙ ∙ ∙ a) La media poblacional, =1
=
b)
=
759,2
c) IC:
=
10
<
Donde: =
<
,
+
: error máximo en la estimación
= 99% = 2,58 IC: 75,92 2,58 0,5 : 75,92 0,4079 < < 75,92 + 0,4079 :
d)
,
=
<
<
,
= ,
=
2
=
2,58 0,5 2 0,2
10 <
(
∙
< 75,92+ 2,58 0,5
10
)
n = 42 piezas
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 37
Los siguientes datos son un registro de los tiempos de reacción a un cierto estímulo, en segundos, de una persona de 45 años de edad: 0,28 – 0,30 – 0,27 – 0,33 – 0,31 Se sabe que dicho tiempo para personas entre 25 y 60 años distribuye según una distribución normal. a) Si la desviación estándar es de
= 0,024 seg, construir un intervalo de confianza de
95% para la media, , del tiempo de reacción al estímulo indicado. b) Si la desviación estándar fuese de = 0,05 seg, ¿cuántos valores de tiempos de reacción se deberían tomar si se desea cometer un error máximo de =0,02 seg en la estimación del tiempo promedio de reacción?
Solución:
⟹ ⟹ ⟹ − ⟹ − ∙ ∙ ∙ =
a)
=1
=
1,49
= ,
5
= 95% = 1,96 IC: 0,298 1,96 0,024 : 0,298 0,021 < < 0,298 + 0,021 :
,
<
2
=
b)
< ,
=
( )
1,96 0,05 2 0,02
= ,
5<
∙
< 0,298 + 1,96 0,024
5
(s)
n = 24 valores
Ejercicio 38
Se sabe que el peso de los ladrillos que produce una fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de = 0,12 . Una muestra aleatoria de 16 ladrillos de la producción de hoy tenía un peso promedio de 4.07 kg.
a) Estimar un intervalo de confianza (IC) de 99% del peso promedio,
, de todos los
ladrillos producidos hoy b) Explique sin realizar cálculos sin un intervalo de confianza de 95% de la media poblacional tendría más amplitud, igual amplitud o menos amplitud que la obtenida en a) c) Si la desviación estándar fuese de = 0,20 kg, ¿qué tamaño de muestra se debería tomar si se desea cometer un error máximo de = 0,06 kg en la estimación de la media poblacional del peso de los ladrillos? = 0,15 kg, estimar un intervalo de d) Si la desviación típica de la producción de hoy es confianza de 99% del peso promedio, , de la producción de hoy.
⟹ ⟹− ⟹ − ∙ ∙ Solución: a) = 99%
: 4,07
:
,
<
= 2,58 0,0774 < < ,
IC: 4,07
2,58 0,12 < 4,07 + 0,0774
16 <
= ,
< 4,07 + 2,58 0,12
(
16
)
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 b) Tendría menos amplitud
∙ ∙ ⟹ ⟹− ⟹ − ∙ ∙ 2
c)
=
d)
= 99% : 4,07
:
,
=
<
2,58 0,20 2 0,06
n = 74 ladrillos
= 2,58 IC: 4,07 2,58 0,15 0,09675 < < 4,07 + 0,09675 < ,
16 <
= ,
< 4,07+ 2,58 0,15
(
16
)
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJES ESPERADOS 9. Calculan intervalos de confianza para parámetros de proporciones y el tamaño de una
muestra para un intervalo de confianza con error dado
Criterio 2.13. Calcula el error estándar de proporciones con datos muestrales dados. Criterio 2.14. Calcula intervalos de confianza para proporción poblacional con muestra
grande.
Criterio 2.15. Calcula el tamaño de una muestra para un intervalo de confianza con error
dado.
Ejercicio 39
En una muestra aleatoria de =100 estudiantes de una universidad, 82 de ellos manifestaron que no eran fumadores.
a) Sobre esta base obtenga un estimador por intervalo para, , la proporción de estudiantes no fumadores de la universidad, con = 99% de confianza. b) ¿Cuántos estudiantes habría que seleccionar como muestra aleatoria si se desea cometer un error máximo de = 0,05 5% en la estimación del porcentaje de estudiantes
no fumadores?
Solución:
− ∙ − ∙ − ∙ − ⟹ ⟹ − ∙ − ∙ − ⟹ − 1
a) IC:
<
<
1
+
donde: =
1
: error máximo en la
estimación. :
ó
ñ
82 = 0,82 100
=
=
= 99%
= 2,58
: 0,82
:
,
0,099 <
<
í
< ,
IC: 0,82
0,82 1 0,82
2,58
100
<
< 0,82+ 2,58
0,82 1 0,82 100
< 0,82 + 0,099 = ,
, %
De este modo se puede afirmar que, con un 99% de confianza, el porcentaje de no fumadores en la universidad está comprendido entre 72,1 y 91,9 % de los estudiantes
∙ − ∙ ∙ − ∙ ∙ − ⟹ ∙ ∙ − b)
=
1
= 2,582 0,82
0,05 = 2,58
1
0,82 0,052
0,82 1 0,82
0,052 = 2,582 0,82
1
0,82
=
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é
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 40
Se sabe que las personas que sufren un ataque al corazón por primera vez tienen una mayor propensión que el resto a sufrir nuevos ataques en el plazo de un año. Para estimar la proporción de ellas que sufren nuevos ataques al corazón dentro del año se seleccionó una muestra de = 300 personas que sufrieron un ataque reciente y se les hizo un seguimiento durante un año.
a) Si 46 de ellas sufrieron un nuevo ataque, obtenga un estimador por intervalo de confianza de 95% , para la proporción poblacional indicada. b) Repita la pregunta anterior si 92 individuos de la muestra volvieron a sufrir un nuevo
ataque durante el año de seguimiento. Solución: a)
=
46 300
= 0,1533
⟹ ⟹ − ∙ ∙ − ⟹ − = 95%
= 1,96
IC:
0,1533
1,96
∙ −
0,1533 1 0,1533 300
<
0,1533 1 0,1533
< 0,1533 + 1,96
∙
300
:
: 0,1533
0,04077 <
,
< ,
<
< 0,1533 + 0,04077 = ,
,
%
De este modo se puede afirmar que, con un 95% de confianza, de las personas que han sufrido un ataque al corazón, el porcentaje de personas que sufren un nuevo ataque al corazón antes de un año de ocurrido el primero está comprendido entre 11,25 y 19,41 % b)
=
92 300
= 0,3067
⟹ ⟹ − ∙ ∙ − ⟹ − = 95%
= 1,96
IC:
0,3067
1,96
∙ −
0,3067 1 0,3067
0,3067 1 0,3067
300
<
< 0,3067 + 1,96
∙
300
:
: 0,3067
0,05218 <
,
< ,
<
< 0,3067 + 0,05218 =
,
,
%
De este modo se puede afirmar que, con un 95% de confianza, de las personas que han sufrido un ataque al corazón, el porcentaje de personas que sufren un nuevo ataque al corazón antes de un año de ocurrido el primero, está comprendido entre 25,45 y 35,89%
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 41
El 24 de Diciembre de 1991, el periódico New York Times publicó una encuesta, de la que se concluía que el 46% de la población estaba a favor de la forma en que el presidente Bush estaba llevando la economía, con un margen de error de 3%. ¿Qué significado tiene lo expresado en el periódico? ¿Es posible determinar el número de personas que participó en la encuesta? Solución: En los medios de comunicación es habitual informar de resultados de encuestas indicando que en éstas se ha considerado un intervalo de confianza (IC) de 95%. En este caso, como en problemas anteriores, para = 95% de tabla de distribución normal se obtiene = 1,96 , luego:
− ∙ − ∙ − ∙ − ∙ − ⟹ ∙ − ⟹ IC:
1,96
1
<
<
+ 1,96
1
la estimación, es el tamaño de la muestra , conducción de la economía por parte de Bush) y 1
=
1,96
0,46 1 0,46
= 0,03
donde: =
1
: error máximo en
= 0,46 (46 % a favor de la forma de = 0,03 ± 3% en consecuencia:
1,962 0,46 (1- 0,46)/n =0,032
n = 1,962 0,46 (1- 0,46)/0,032 ; n = 1,962 0,46 (1- 0,46)/0,032 ; n = 1.060,28
= .
Se encuestó aproximadamente a 1060 personas, de las cuales el 46 % manifestó su conformidad por la forma en que el presidente Bush llevaba la economía de Estados Unidos.
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
UNIDAD 3: Contrastes de hipótesis. APRENDIZAJE ESPERADO
10. Identifican, explican y plantean los conceptos básicos de docimasia de hipótesis Criterio Criterio Criterio Criterio Criterio Criterio
3.1. Identifica concepto de hipótesis estadística. 3.2. Explica los errores tipo I y de tipo II presentes en una decisión. 3.3. Identifica hipótesis nula 0 y alternativa en casos dados. 3.4. Plantea correctamente hipótesis estadísticas . 0 3.5. Identifica los pasos de la metodología clásica de docimasia de hipótesis. 3.6. Identifica ensayos de cola izquierda, cola derecha y de dos colas en
situaciones dadas. Criterio 3.7. Comenta casos de mal uso de las estadísticas. En los siguientes problemas plantear las hipótesis nula, correspondan:
0,
y alternativa,
, que
Ejercicio 42
En la sección armaduría de una fábrica, interesa averiguar si el tiempo promedio de armado de una pieza del producto que elabora es mayor que 10 minutos. Plantea las hipótesis, nula 0 y alternativa , señalando el tipo de ensayo o test a desarrollar basado en una muestra aleatoria que se extrajo para el efecto.
Solución: Sea : tiempo promedio de armado (minutos) de la pieza del producto elaborado por la fábrica
Hipótesis:
:
=
; tiempo de armado es de 10 minutos
: > 10 ; tiempo de armado es mayor que 10 minutos, (ensayo unilateral, lado derecho) Ejercicio 43
Se estudia la efectividad de una nueva droga (A) frente a la de aplicación actual (B) en el tratamiento de una enfermedad, medida en términos de la proporción de casos que responden favorablemente a su aplicación. Solución: Sean y proporción de enfermos que responden favorablemente al tratamiento con drogas A y B, respectivamente, entonces se pueden plantear las siguientes hipótesis:
hipótesis 1:
− − :
=
o
: > o unilateral, lado derecho)
= ; drogas A y B son igualmente efectivas > ; droga A es más efectiva que droga B (ensayo
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Hipótesis 2:
− ≠ − ≠ :
=
: bilateral )
= ; drogas A y B son igualmente efectivas
o
o
; drogas A y B producen distinto (efecto ensayo
Ejercicio 44
Un economista estima que el sueldo promedio de los profesionales de la empresa A no supera al sueldo promedio de los profesionales de la empresa B en más de $150.000. Solución: Sean: y medias de los sueldos de los profesionales de las empresas A y B respectivamente
− − ≤
= 0 ; no hay diferencias significativas entre sueldos promedio de o profesionales de empresa A y empresa B 0:
=
150.000 ; sueldo promedio de profesionales de empresa A no supera en
:
más de $150.000 al sueldo promedio de profesionales de la empresa B Ensayo unilateral, lado izquierdo
Ejercicio 45
En una empresa que fabrica aviones, el gerente de producción le preocupa que los remaches que adquiere la empresa no cumplan la especificación de resistencia promedio de 925 lb. Solución: Sea : resistencia promedio al corte de los remaches adquiridos por la empresa (libras)
≥ 0:
:
925 < 925
; resistencia promedio al corte es como mínimo 925 lb ; resistencia promedio al corte es menor que 925 lb
(Ensayo unilateral, lado izquierdo) Ejercicio 46
El tiempo medio de reacción de una persona a un estímulo dado es mayor que 1,25 segundos Solución: Sea : tiempo medio de reacción de una persona a un estímulo (segundos)
≤ 0:
:
1,25 ; tiempo medio de reacción a un estímulo es como máximo 1,25 s > 1,25 ; tiempo medio de reacción a un estímulo es mayor que 1,25 s
(ensayo unilateral, lado derecho) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 47
El precio promedio de venta de departamentos de una comuna de la Región Metropolitana no es $ 23.500.000. Solución: Sea : precio promedio de venta de departamentos de una comuna de la Región Metropolitana
≠ 0:
= $23.500.000; precio promedio de venta de departamentos de una comuna de la
RM es $23.500.000 $23.500.000 ; precio promedio de venta de departamentos de una comuna de la RM no es $23.500.000 (ensayo bilateral) :
Ejercicio 48
La vida útil de tubos fluorescentes es al menos 1.600 horas Solución: Sea : vida útil media de lámparas fluorescentes (horas)
≥ 0:
< 1.600 horas;
vida útil media de lámparas fluorescentes es menor que 1.600
horas
: 1.600 horas; vida útil de lámparas fluorescentes es al menos 1.600 horas (ensayo unilateral, lado derecho)
Ejercicio 49
La resistencia media de soldaduras hechas con un nuevo proceso es diferente de 570 libras por unidad de área, que es la resistencia media de soldaduras hechas con el proceso anterior. Solución: Sea : resistencia media de soldaduras determinado
≠ 0:
á
hechas por un proceso
= 570 lb ; resistencia media de soldaduras es de 570
: 570 lb ; resistencia media de soldaduras es diferente de 570 (ensayo bilateral)
á
á
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
APRENDIZAJES ESPERADOS 11. Realizan pruebas de hipótesis estadísticas, aplicando diferencia de proporciones,
analizando e interpretando los resultados. Criterio 3.10. Realiza pruebas de hipótesis para proporciones. Criterio 3.11. Analiza e interpretan los resultados de las dócimas de hipótesis de
proporciones en el contexto de casos dados. Ejercicio 50
El gerente de una industria farmacéutica afirma que una droga de su elaboración tiene una efectividad de 90% en el alivio, por un período de 8 horas, de los efectos producidos por una alergia. Se suministró la droga en una muestra aleatoria de 200 personas que padecían la alergia de las cuales 160 experimentaron alivio notorio. Verificar la certeza de la afirmación del gerente utilizando las hipótesis adecuadas con = 0.01 Solución:
≥ − ∙ − ∙ − ⟹ − ⟹ − ⟹ − 1) hipótesis: : 0.90 : < 0.90
,
2) nivel de significancia: [ = = 0.01
=
0
0:
V: verdadera
= 0.01 ]
3) estadístico de prueba:
=
=
;
=
160 = 0,80 ; 200 =
0
= 0,90 ;
,
=
0,90
=
0
1
0
1 0,90 = 0,02121 200
=
0,80 0,90 0,02121
,
4) valor crítico:
= 0.01 = , (
,
,
ó
,
)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
⟹
, en efecto, para ensayo lateral, lado izquierdo: <
0,01
6) conclusión:
á
0
0
− − ⟹ =
,
<
,
=
,
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , con = 0,01, en consecuencia, la efectividad de la droga es inferior al 90%, o sea ésta no posee la efectividad que asegura el gerente. Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012
Gráfico:
=0,01
Z=-4,725
Z 0,01= -2,33
ReH0
Ejercicio 51
Se tiene que reparar una máquina en cierta fábrica, si produce más del 10% de artículos defectuosos del gran lote de producción de un día. De ensayos de laboratorio se constata que una muestra aleatoria de 100 artículos de la producción contiene 15 defectuosos y el jefe de la planta decide que la máquina se debe enviar a reparación. ¿La evidencia de la muestra apoya la decisión del jefe? Plantear las hipótesis adecuadas utilizando un nivel de significancia de = 0,02.
Solución: 1) hipótesis:
: :
= 0.10 > 0.10
,
2) nivel de significancia:
= 0.02
[
=
0
0:
= 0.02 ]
3) estadístico de prueba, Z:
− =
;
∙ − ∙ − ⟹ − ⟹ =
=
15 = 0,15 ; 100
,
0
0
=
= 0,10 ; =
=
1
0,10
0
1 0,10 = 0,03 100
0,15 0,10 0,03 = ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
⟹ ⟹ ⟹ 4) valor crítico,
:
= 0.02 ,
= ,
(
,
ó
,
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final > 0,98 á 0 , 0 = , en efecto, para ensayo lateral, lado derecho:
<
,
ho.)
= ,
6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , con = 0,02, en consecuencia, el porcentaje de defectuosos al parecer no supera el 10%, es decir, la evidencia muestral no apoya la decisión del jefe
Gráfico:
= ,
Z=1,67
Z0,98 = 2,06 ReH0
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 3.12. Realiza pruebas de hipótesis para la diferencia de proporciones Criterio 3.13. Analiza e interpreta los resultados de las dócimas de hipótesis de diferencia
de proporciones en el contexto de casos dados. Ejercicio 52
En un estudio reciente que abarcó 25 años, se investigó la posible protección que proporciona la ingestión regular de una forma de vitamina A llamada caroteno contra el desarrollo del cáncer pulmonar. Se encontró que de 488 hombres que habían ingerido una baja cantidad de esta sustancia durante ese tiempo, 14 desarrollaron cáncer pulmonar, pero en un grupo del mismo tamaño en que el consumo de caroteno era mayor, sólo dos personas desarrollaron cáncer. a) Bajo las suposiciones apropiadas, ¿puede concluirse que la ingestión regular de
caroteno reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres? Utilizar las hipótesis adecuadas con = 0,01.
Solución:
Sea 1 : proporción de hombres que ingirieron baja cantidad de caroteno y desarrollaron CA pulmonar 2 :
Proporción de hombres que ingirieron una cantidad mayor de caroteno y desarrollaron CA pulmonar 1) hipótesis:
− −
o 1 2 = 0 (más consumo de caroteno no influye en la disminución del desarrollo de CA pulmonar) : 1> 2 o 1 2 > 0 (más consumo de caroteno influye en la disminución del , desarrollo de CA pulmonar) :
1
=
2
2) nivel de significancia:
− −∆ ∙− ∙ ⟹ ∙ − − ∙− ⟹
= 0.01
[
=
0:
0
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, Z:
=
;
1
+
=
+ 1+ 1
2
2
=
14+2 = 0,0164 488 + 488
=
1
=
1
14 = 0,0287 , 488
=
2
0,0287
0,0164
1
=
0,0041
0,0164
2
=
2
2 = 0,0041 488
0
1 1 + 488 488
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
⟹ ⟹ ⟹ 4) valor crítico,
= 0.01 = , ,
:
(
,
ó
,
ho.)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
, en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
0,99
á
0
0
= ,
>
,
= ,
6) conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , con = 0,01, en consecuencia, se puede concluir que el consumo regular de caroteno reduce el riesgo de desarrollar CA pulmonar en los hombres
−≤ − ⟹ b) calcular el
Solución:
= > 3,026 = 1 3,026 = 1 o sea, el nivel de significancia mínimo para
0,9988 valor p = 0.0012 debe ser = ,
Gráfico:
= ,
Z = 3,026 Z0.99 = 2,33 ReH0
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 53
Un fabricante ha diseñado un nuevo método para fabricar chips de computador. Estima que este nuevo método reduce la proporción de chips defectuosos. Para verificar la estimación, extrajo una muestra de 360 chips producidos por el método antiguo (1) y 320 chips por el nuevo (2). Los resultados se muestran en la tabla:
Tamaño muestra, número de defectuosos,
= 360 1 = 94
1
2 2
= 320 = 76
a) ¿Proporcionan estos resultados una evidencia significativa para que el fabricante
concluya que con el nuevo método se logrará una menor proporción de chips defectuosos? Utilizar nivel de significancia, = 0,05
Solución:
− − − −∆ ∙− ∙ ⟹ ∙ − −∙ ⟹ ⟹ Sea
Proporción de chips defectuosos producidos por método antiguo y 2 : Proporción de chips defectuosos producidos por método nuevo 1:
1) hipótesis:
:
1
=
2 o
1
2
= 0 (método nuevo produce igual proporción de chips defectuosos
que el antiguo) : 1> 2 o 1 2 > 0 (método nuevo produce menor proporción de chips , defectuosos que el antiguo) 2) nivel de significancia:
= 0.05
[
=
0:
0
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, Z:
=
;
1
1
=
1
+
=
+ 1+ 1
2
2
=
=
94+76 = 0,25 360 + 320
94 = 0,2611 , 360 0,2611
=
0,25
1
2
=
2
=
2
76 = 0,2375 320
0,2375
1 1 + 360 320
0,25
= ,
4) valor crítico,
= 0.05 = , (
:
,
,
ó
,
)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
⟹ ⟹ , en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
0,95
á
0
0
= ,
<
,
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , con = 0,05, en consecuencia, no es posible concluir que el nuevo método producirá una menor proporción de chips defectuosos
b) Si en la muestra de chips fabricados por el método antiguo se hubiesen encontrado
126 defectuosos, ¿cuál sería la conclusión? Solución:
1
⟹ ∙ − − ∙ ⟹ ⟹
=
=
1
=
1
+ 1+ 1
126 = 0,35 360 2
=
2
126 + 76 = 0,2971 360 + 320
0,35
=
0,2971
1
0,2375
0,2971
1 1 + 360 320
= ,
Entonces:
= ,
>
,
= ,
Conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , con = 0,05, luego, se concluye que el nuevo método produce menor proporción de ships defectuosos que el antiguo Gráfico caso b)
= 0,05
Z = 3,204 Z0,95 = 1,65 ReH0
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 54
Un economista de un centro de estudios socio-económicos desea determinar si la tasa de desempleo en las dos grandes áreas urbanas de un estado, son diferentes. Con base en muestras aleatorias de cada ciudad, cada una de 500 personas, el economista encuentra 35 personas desempleadas en un área y 25 en la otra. Bajo las suposiciones adecuadas y con un nivel de significancia = 0,05, ¿existe alguna razón para creer que las tasas de desempleo en las dos áreas son significativamente diferentes?
Solución:
− ≠ − ≠ − −∆ ∙− ∙ ⟹ ∙ − −∙ ⟹ ⟹ − sea
tasa de desempleo en área urbana 1 2 : tasa de desempleo en área urbana 2
1:
1) hipótesis:
o 1 2 = 0 (no hay diferencias significativas en las tasas de desempleo de ambas área urbanas) : 1 0 (las tasas de desempleo son significativamente distintas entre 2 o 1 2 ambas áreas urbanas) :
1
=
2
2) nivel de significancia:
= 0.05
[
=
0:
0
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, Z:
=
;
1
+
=
+ 1+ 1
2
=
2
35+25 = 0,06 500 + 500
=
1
=
1
35 = 0,07 , 500
2
0,07
0,05
=
0,06
1
0,06
=
2
2
=
25 = 0,05 500
1 1 + 500 500
= .
4) valor crítico,
= 0.05
:
2 = 0,25
,
=
,
,
= ,
(ensayo bilateral, tabla distr.
normal)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
⟹ ⟹ >
0,975
<
á
0,025
en efecto, para ensayo bilateral:
= ,
0
<
0
,
,
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , con = 0,05, en consecuencia, no es posible concluir que existan diferencias significativas entre las tasas de desempleo de ambas áreas urbanas
Gráfico:
ReH0
ReH0
Z0,025 = -1,96
Z0,975 = 1,96 Z = 1,3316
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
APRENDIZAJES ESPERADOS 12. Realizan pruebas de hipótesis estadísticas, para la media con varianza conocida y
desconocida, analizando e interpretando los resultados obtenidos. Criterio 3.16. Realiza pruebas de hipótesis para la media con varianza conocida. Criterio 3.17. Realiza pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida. Criterio 3.18. Analiza e interpreta los resultados de las dócimas de hipótesis de medias
en el contexto de casos dados. Criterio 3.19. Reconoce las implicaciones sociales del error de tipo I y de tipo II.
Ejercicio 55
Los siguientes datos representan tiempos de armado, en minutos, para =20 unidades seleccionadas aleatoriamente: 9.8 - 10.4 - 10.6 - 9.6 - 9.7 - 9.9 - 10.9 - 11.1 - 9.6 - 10.2 10.3 - 9.6 - 9.9 - 11.2 - 10.6 - 9.8 - 10.5 - 10.1 - 10.5 - 9.7. El tiempo empleado para , 2 = 0,62 . armar una unidad es
↝
a) Con base en esta muestra, ¿existe alguna razón para creer, a un nivel de significancia de = 0,05, que el tiempo de armado promedio , , es mayor que 10 minutos?
Solución: =1
=
=
204 = 10,2 20
,
= 0,6
1) hipótesis:
Ho: = 10 minutos Ha: > 10 minutos (ensayo unilateral, lado derecho) 2) nivel de significancia:
− − ⟹ ⟹ ⟹ ⟹
= 0.05
[
=
0
0:
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, Z:
=
n
=
4) valor crítico,
10,2
10 0,6
20
= ,
:
= 0.05 ,
= ,
(
ó
,
,
ho.)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
, en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
0,95
á
0
0
= ,
<
,
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , en consecuencia, no existe razón para creer, a un nivel de significancia de = 0,05, que el tiempo de armado promedio de las unidades , , es mayor que 10 minutos b) Efectuar test con
= 0,08
Solución:
= 0,08
⟹
0,92
= 1,41
⟹ ⟹ = ,
>
= ,
,
Conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , en consecuencia, a un nivel de significancia de = 0,08, se puede concluir que el tiempo de armado promedio de las unidades , , es mayor que 10 minutos Gráfico para caso b)
= ,
= ,
Z = 1,49 Z0.92 = 1,41 ReH0
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
−≤ − ⟹ c) Determinar el
=
para el caso b),
> 1,49 = 1
= 0,08
1,49 = 1
0,9319
o sea, el nivel de significancia mínimo para
valor p = 0.0681
debe ser
= ,
Ejercicio 56
La resistencia a la ruptura de los cables producidos por una fábrica es = 1.800 y la desviación típica es = 100 . La especificación técnica de seguridad para el uso al que están destinados, exige que la resistencia a la ruptura de los mismos debe ser superior a 1.800 . Para asegurar el cumplimiento de la especificación, la fábrica introduce modificaciones en el proceso de fabricación a objeto de incrementar la resistencia de sus cables. Para comprobar esta aspiración, se ensaya una muestra de = 50 y se encuentra que la resistencia promedio es = 1.850 . Suponiendo que la desviación típica no varía: a) ¿Puede concluirse que efectivamente se produjo un aumento de la resistencia a un nivel de significancia = 0,01?
Solución: 1) hipótesis:
Ho: = 1.800 libras Ha: > 1.800 libras (ensayo unilateral, lado derecho) 2) nivel de significancia:
− − ∙ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹
= 0.01
[
=
0
0:
= 0.01 ]
3) estadístico de prueba, Z:
=
n
=
4) valor crítico,
1.850
1800 100
50
= ,
:
= 0.01 ,
= ,
(
ó
,
,
ho)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
, en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
0,99
á
0
0
= ,
>
,
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 6) conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , en = 0,01, que la consecuencia, se puede concluir, a un nivel de significancia de resistencia a la ruptura de los cables , , producidos con las modificaciones introducidas al proceso, es superior a 1.800 libras y cumplen con la exigencia de la especificación técnica de seguridad.
Gráfico:
= ,
Z = 3,54 Z0,99 = 2,33
−≤ −
ReH0
b) Determinar el
=
> 3,54 = 1
3,54 = 1
0,9998
⟹
valor p = 0.0002
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 57
El voltaje de salida en cierto circuito eléctrico debe ser igual a 130 (V), según la especificación correspondiente. Una muestra de = 40 lecturas independientes para este circuito dio una media muestral de = 128,6 ( ) y una varianza de 2 = 4,41 ( 2 ). Probar la hipótesis de que el voltaje de salida promedio es 130 (V) frente a la hipótesis alternativa de que es menor que 130 (V). Usar un nivel de significancia de = 5%.
Solución:
2
La varianza poblacional, por la varianza muestral
2
, se desconoce, pero se puede estimar muy acertadamente = 4,41, puesto que = 40 es suficientemente grande, luego = 4,41 = 2,1( ), entonces:
= 4,41
2
1) hipótesis:
Ho: = 130 V Ha: 130 V (ensayo unilateral, lado izquierdo) 2) nivel de significancia:
− − ⟹ − ⟹ − ⟹ − − ⟹
= 0.05
[
=
0
0:
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, Z:
=
n
=
4) valor crítico,
128,6
130 2,1
40
=
,
:
= 0.05 ,
=
,
(
ó
,
,
)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
, en efecto, para ensayo lateral, lado izquierdo: <
0,05
á
0
0
=
,
<
,
=
,
6) conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , en = 0,05, el voltaje consecuencia, se concluye que, a un nivel de significancia de promedio de salida, , del circuito es menor que 130 (V)
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Gráfico:
Z0,05 = - 1,65
= ,
Z = - 4,216 ReH0
Ejercicio 58
Un método para resolver la carencia de energía eléctrica, requiere de la construcción de plantas eléctricas nucleares flotantes unas millas mar adentro. Se necesita una estimación de la densidad del tráfico naval en el área, porque existe una preocupación con respecto a una posible colisión de un barco con la planta flotante (aunque anclada). El número de barcos que pasan dentro de un radio de 10 millas (16 km) de la ubicación propuesta de la planta eléctrica, registrado durante = 60 í en julio y agosto, tuvo respectivamente una media y una varianza muestral igual a = 7,2 y 2 = 8,8
a) Probar la hipótesis de que el número promedio de barcos que pasan dentro del radio
indicado es 7 o menos, contra la hipótesis alternativa de que el promedio es mayor que 7 barcos diarios. Utilizar = 0,05
Solución:
La varianza poblacional, por la varianza muestral
2
= 8,8
2
, se desconoce, pero se puede estimar muy acertadamente = 8,8, puesto que = 60 es suficientemente grande, luego = 8,8 = 2,97( ), entonces: 2
1) hipótesis:
Ho: 7 barcos Ha: 7 barcos (ensayo unilateral, lado derecho) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 2) nivel de significancia:
− − ⟹ ⟹ ⟹ ⟹
= 0.05
[
=
0
0:
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, Z:
n
=
=
4) valor crítico,
7,2
7 60 2,97
= ,
:
= 0.05
= ,
,
(
ó
,
,
ho)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
, en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
á
0,95
0
0
= ,
<
,
= ,
6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , en consecuencia, a un nivel de significancia de = 0,05, no se puede concluir que el número promedio de barcos que pasan en julio y agosto dentro del radio de 10 millas, , sea mayor que 7 barcos diarios.
b) Confrontar las mismas hipótesis de a) con
− − ⟹ ⟹
= 0.05, si se efectuaron mediciones en
los meses de noviembre y diciembre del mismo año y el número promedio de barcos fue de = 8 con la misma desviación estándar. Solución: =
n
Entonces:
=
= ,
8
7 60 2,97 > = , ,
= ,
Conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 , en consecuencia, se concluye que, a un nivel de significancia de = 0,05, el número promedio de barcos que pasan dentro del radio de 10 millas en los meses de noviembre y diciembre, , es mayor que 7 barcos diarios
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Gráfico caso b)
= ,
Z0,95 = 1,65
Z = 2,61 ReH0
−≤ − c) Determinar el
para el caso b)
Solución:
=
> 2,61 = 1
2,61 = 1
o sea, el nivel de significancia mínimo para
⟹
0,9955 = 0,0045 debe ser
= ,
= ,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
Ejercicio 59
= 800 Un proceso químico ha producido, en promedio, diarias de un producto químico. Las producciones diarias de la semana anterior fueron: 785 – 805 – 790 – 793 y 802 toneladas (se desconoce la varianza poblacional 2 ). ¿Indican estos datos que la producción promedio es menor que 800 toneladas y que por lo tanto algo anda mal en el proceso? Efectuar la prueba con = 0,05.
Solución:
Dado que se trata de una muestra pequeña < 30 , se pueden formular ensayos de hipótesis utilizando otras distribuciones, además de la normal. En este caso se deben usar la distribución , aplicando el estadístico de prueba:
− ∙ − − − − − n
=
1
sigue una distribución =
ó
con =
á
1
2
=1
1
785
− :
785 + 805 + 790 + 793 + 802 = 795 5
=
=
,
795
2
+ 805
795
2
+ 790 5
= 8,34
−− − − 795 2 + 793 1
795
2
+ 802
795
2
1) hipótesis:
Ho: = 800 toneladas Ha: < 800 toneladas (ensayo unilateral, lado izquierdo) 2) nivel de significancia:
− − ∙ − ⟹ − − − ⟹ −
= 0.05
[
=
0
0:
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, T:
=
n
4) valor crítico,
795
=
800 8,43
5
1
=
,
:
= 1=4 1 0,05 = 0.05; 0,05 = 2,1313
ó
,
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
⟹ − − ⟹ , en efecto, para ensayo lateral, lado izquierdo: <
=
á
0,05; 4
,
>
,
;
=
0
0
,
6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia, a un nivel de significancia de = 0,05, como para rechazar 0 , en consecuencia, no se puede concluir que la producción promedio diaria , , sea inferior a 800 toneladas.
Gráfico
t0,05;4 = - 2,1313
T = -1,186
= 0,05
ReH0
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Ejercicio 60
En determinadas ocasiones los productos radiactivos de desecho industrial van a dar a fuentes de agua utilizadas para el consumo de la población. Por ésta razón, los organismos estatales de salud vigilan en forma periódica las fuentes naturales de agua mediante la toma y análisis de muestras de agua. Las disposiciones legales pertinentes exigen que la cantidad promedio de radiación en el agua para beber no debe exceder una concentración de = 4 . Se extrae una muestra de 16 especímenes de una fuente natural de abastecimiento de una zona densamente poblada, la cual proporciona valores de = 4,2 y desviación estándar de = 1,2 . 12 = 10 ; = ) . Suponer que la cantidad de radiación por litro de agua se encuentra modelada aproximadamente por una distribución normal. Establecer las hipótesis con = 0.01
−
Solución:
1) hipótesis:
− − − ∙ − ⟹ − − ⟹ ⟹ ⟹ Ho: = 4 Ha: > 4
(ensayo unilateral, lado derecho)
2) nivel de significancia:
= 0.05
[
=
0
0:
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, T:
=
n
4) valor crítico,
1
=
4,2
4 16 1,2
1
= ,
:
= 1=15 1 0,01 = 0.01; 0,99 = 2,6025 (
,
ó
)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
, en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
0,99; 15
á
0
0
= ,
<
,
;
= ,
6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia, a un nivel de significancia de = 0,01, como para rechazar 0 , en consecuencia, no se puede concluir que la concentración de radiación en el agua de la fuente sea mayor que 4 .
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Gráfico:
ReH0
= ,
T = 0,65
t0.99;15 = 2,6025
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
APRENDIZAJES ESPERADOS 13. Realizan pruebas de hipótesis estadísticas para la diferencia de medias con varianzas
iguales y desconocidas, analizando e interpretando los resultados obtenidos en el contexto de los casos dados. Criterio 3.21. Realiza pruebas de hipótesis para la diferencia de las medias con
varianzas iguales y desconocidas. Criterio 3.22. Analiza e interpreta los resultados de las dócimas de hipótesis para la diferencia media con varianzas iguales y desconocidas en el contexto de casos dados. Ejercicio 61
En forma reciente se ha incrementado el interés por evaluar el efecto del ruido en la habilidad de las personas para efectuar una determinada tarea. Un investigador diseña un experimento en el que se pedirá a un cierto número de personas que ejecuten una tarea específica en un medio ambiente controlado y bajo dos niveles (decibeles) diferentes de ruidos de fondo . El investigador selecciona 32 personas que son capaces de realizar la misma tarea y de manera práctica en el mismo tiempo. Del total de personas, 16 al azar realizarán esta tarea bajo un nivel dado de ruido de fondo, nivel 2. Las16 restantes harán la misma tarea bajo un ruido de nivel 1, más severo que el ruido de nivel 2. Los siguientes datos son los tiempos en minutos, observados que fueron necesarios para completar la tarea para cada una de la 16 personas sometidas a cada nivel: nivel 1
20
22
18
18
19
15
18
15
22
18
19
15
21
22
18
16
4
2
5
5
1
6
7
2
4
3
8
3
8
5
6
1
1
nivel 2 2
Suponiendo que estos datos constituyen muestras aleatorias de 2 distribuciones normales e i independientes con varianzas iguales pero desconocidas: ¿Existe alguna razón para creer que el tiempo promedio empleado por las personas sometidas a ruido ambiental de nivel 1 es mayor por más de 2 minutos que aquel empleado por las personas sometidas a ruido de nivel 2 durante la ejecución de la tarea? Utilizar = 0.01 Solución:
Sea 1 : tiempo promedio empleado (minutos) por las personas sometidas a ruido ambiental de nivel 1 2 : tiempo promedio empleado (minutos) por las personas sometidas a ruido ambiental de nivel 2 1) Hipótesis:
−− 0:
1
:
1
= 2 minutos 2 > 2 minutos
2
,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 2) nivel de significancia:
= 0.01
[
=
0
0:
= 0.01 ]
3) estadístico de prueba, T
=
− − −
− −∆
2 1
1
2
1
1
2
0
+
1
2
=
1 1 =1
1
2
=
=
−
90+77,75
16+16 2
2 2 =1
1+ 2
2
≈
y 22 desconocidos pero 12 296 de tabla: 1 = 1 = 16 = 18,5
2+
1
1
2 2 ;
2
=
2 2
2
=
2
230 16
2
= 14,375
= 5,59;
5 ,59 = 2,36 18,5 14,375
− − ⟹ ∙ − − − ⟹ =
1 1 + 16 16
2,36
4) valor crítico,
=
1
0,99;30
+ =1 1
2
= ,
:
2=30 0.01; 0,99
2
= 2,457 (
,
ó
ho)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
⟹ ⟹ , en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
0,99; 30
á
0
0
= ,
>
,
;
= ,
6) conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia, a un nivel de significancia de = 0,01, como para rechazar 0 , en consecuencia, se puede concluir que el tiempo promedio, 1 , empleado por las personas sometidas a ruido ambiental de nivel 1 supera en más de dos minutos en realizar la tarea a aquel empleado por las personas sometidas a ruido ambiental de nivel 2 menos severo que el nivel 1
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Gráfico:
= ,
T = 2,55 ReH0
t0,99;30=2,4573 Ejercicio 62
Dos tipos de soluciones químicas, A y B, fueron ensayadas para determinar su (el grado de acidez de una solución). Se analizaron 6 muestras de A y 5 muestras de B con los resultados indicados en tabla siguiente:
Solución A B
1
2
=6 =5
1
2
= 7,52 = 7,49
1
2
= 0,024 = 0,032
Utilizando un nivel de significancia = 0,05. Determinar si los dos tipos de soluciones tienen valores distintos de (distintos niveles de acidez) Solución:
−
sea
promedio de solución A promedio de solución B
1:
2:
1) hipótesis:
:
1
=
soluciones)
2
o
1
2
= 0 (no hay diferencias significativas en los
de ambas
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
≠ −≠ :
1
2
o
0 (hay diferencias significativas en los
1
de ambas soluciones)
2) nivel de significancia:
= 0.05
[
=
0
0:
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, T:
∙ − −∆ ∙ −∙ ⟹ ∙ −∙ ≈ − ∙ − − − − ⟹ − 1
=
2 1
0 1
1
2
+
1
=
1+ 2
2 1
= 0,0309
=
7,52
7,49
0,0309
2 1+ 2
0
2
2 2
y
6 0,024 2 +5 0,032 2
=
6+5 2
desconocidos pero
2 1
2 2
= ,
1 1 + 6 5
4) valor crítico,
2 2
:
= 1+ 2 2=9 2 = 1 0,05 2 = 0,975
1
,
;
= ,
,
;
=
,
,tabla t de Student, ensayo bilateral
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
⟹ ⟹ >
0,975;9
<
0,025;9
en efecto, para ensayo bilateral:
= ,
á
0
<
,
0
;
,
= ,
6) conclusión:
Los datos muestrales no aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 con = 0,05, en consecuencia, no es posible concluir que existan diferencias significativas entre los valores de o acidez de ambas soluciones.
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Gráfico:
−
= ,
,
;
=
,
,
ReH0
;
= ,
ReH0 T = 1,6
Ejercicio 63
Una consultora industrial ha sugerido una modificación del método existente para producir semiconductores. Ésta sostiene que la modificación incrementará el número de semiconductores que puede producir un trabajador al día. Para contrastar la efectividad de ésta, el equipo de gestión ha planteado un pequeño estudio. Se ha dividido aleatoriamente a un conjunto de 50 trabajadores en dos grupos. A uno de ellos, formado por 30 trabajadores, se le entrenó para que aplicara la modificación propuesta por la consultora. El otro grupo, actuando como control fue sometido a un entrenamiento con respecto a una modificación diferente. El equipo de gestión considera que ambas modificaciones son en general iguales en complejidad de aprendizaje y en tiempo de implementación. Adicionalmente, el equipo de gestión está bastante seguro de que la modificación alternativa (a la propuesta por la consultora) no tendrá ningún efecto real sobre la productividad. A ninguno de los dos grupos se le indicó si estaba o no aprendiendo la propuesta de la consultora. Se monitoreó a los trabajadores durante un período de tiempo con los resultados siguientes: trabajadores entrenados para la técnica de la consultora trabajadores del grupo de control
1
= 30
2 =
20
2
1
= 242
2
= 234
2 1
= 62,2
2 2
= 58,4
a) ¿Aportan los datos muestrales suficiente evidencia para concluir que la aplicación de la
modificación de la consultora incrementará la productividad de los trabajadores? Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012
Solución:
sea 1 : Cantidad promedio diaria de semiconductores producidos por trabajadores entrenados para aplicar la técnica diseñada por la consultora. 2 : Cantidad promedio diaria de semiconductores producidos por trabajadores del grupo de control entrenados para aplicar una técnica distinta de la diseñada por la consultora. 1) hipótesis:
− − − − − − − ⟹ ⟹ ⟹
o 1 2 = 0 (no hay diferencias significativas en las cantidades de semiconductores producidos por ambos grupos) : 1 > 2 o 1 2 > 0 (modificación de la consultora aumenta la productividad :
1
=
2
,
2) nivel de significancia:
= 0.05
[
=
0
0:
= 0.05 ]
3) estadístico de prueba, Z: (si las poblaciones no son normales, o se desconoce su
naturaleza, dado que los tamaños de las muestras se pueden considerar grandes, los valores de 12 y 22 dan estimaciones adecuadas de 12 y 22 , respectivamente, y en ese caso se puede utilizar Z como estadístico de prueba) =
1
μ1
2
2 1 1
+
μ2
=
242
234
0
62,2 58,4 + 30 20
2 2 2
= ,
4) valor crítico,
= 0.05 ,
= ,
(
ó
,
,
ho)
5) criterio de rechazo de Ho (ReH 0) y decisión final
, en efecto, para ensayo lateral, lado derecho: >
0,95
á
0
0
= ,
>
,
= ,
6) conclusión:
Los datos muestrales aportan suficiente evidencia como para rechazar 0 con = 0,05, en consecuencia, es posible concluir que la modificación de la consultora aumenta la productividad, o sea, esta modificación es más efectiva que la aplicada por el grupo de control
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