Modelo 2013. Pregunta 3A. Considérese, tal y como se indica en la
figura, una espira circular, contenida en el plano X-Y, con centro en el origen de coordenadas. Un imán se mueve a lo largo del d el eje Z, tal y como también se ilustra en la figura. Justifíquese J ustifíquese razonadamente el sentido que llevará la corriente inducida en la espira si: a) El imán se acerca a la espira, como se indica i ndica en la parte a) de la figura. b) El imán se aleja a la espira, como se indica en la parte b) de la figura. Solución. a. Al aproximarse el imán a la espira, aumenta el número de
líneas de campo que atraviesan la espira, aumentando el campo inductor en la dirección − k , según la ley de Lenz, la corriente se induce en un sentido tal que los efectos que genera tienden a oponerse op onerse al cambio de flujo que la origina, en definitiva, el flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor, por lo r tanto la corriente inducida deberá deberá generar generar un campo magnético magnético inducido inducido dirigido hacia + k , para lo cual siguiendo la regla del sacacorchos, la corriente girará en el sentido positivo (antihorario). r
Al alejarse el imán de la espira, disminuye el número de líneas que la atraviesan, la corriente inducida deberá compensar esta disminución girando en el sentido negativo (horario) generando un campo inducido que compense la disminución de líneas de campo que atraviesan la espira. b.
Junio 2012. Pregunta 3B.- Una espira circular de 10 cm de radio, situada inicialmente en el plano r
r
XY, gira a 50 rpm en tomo a uno de sus diámetros bajo la presencia de un campo magnético B = 0,3k T. Determine: a) EI flujo magnético que atraviesa la espira en el instante t = 2 s. b) La expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tie mpo Solución. El flujo a través de una espira inmersa en un campo magnético es: a. r
r
Φ = B o S = B ⋅ S cos α
Si se tiene en cuenta que la espira gira alrededor de uno de sus diámetros, la expresión se transforma expresando el ángulo que forma el campo con la superficie en función de la velocidad angular. 50 ⋅ 2 π 5 rad 5 5 2 −3 Φ (t ) = B ⋅ S cos(ω t ) = ω = = π = 0,3 ⋅ π 0,1 cos π t = 3 × 10 cos π t s 60 3 3 3 5 −3 π ⋅ 2 = −4,71 × 10 Wb 3
Φ (t = 2s ) = 3 × 10 −3 π cos
Según Faraday, la fuerza electromotriz inducida en una espira inmersa en un campo dΦ d magnético viene expresada por: ε = − = − [B ⋅ s cos(ω t )] = Bsω sen (ω t ) dt dt b.
ε
= 0,3 ⋅ π ⋅ 0,12 ⋅
5π 5π 5π sen t = 0,049 sen t 3 3 3
Modelo 2012. Pregunta 5B.- Se tiene el circuito de la figura en forma de triángulo rectángulo, r ectángulo,
formado por una barra conductora vertical que se desliza horizontalmente hacia la derecha con velocidad constante v = 2,3 m/s sobre dos barras conductoras fijas que forman un ángulo = 45º. Perpendicular al plano del circuito hay un campo magnético uniforme y constante B = 0,5 T cuyo sentido es entrante en el plano del papel. Si en el instante inicial t = 0 la barra se encuentra en el vértice izquierdo del circuito: a) Calcule la fuerza electromotriz inducida en el circuito en el instante de tiempo t = 15 s.
1
b)
Calcule la corriente eléctrica que circula por el circuito en el instante t = 15 s, si la resistencia eléctrica total del circuito en ese instante es 5 . Indique el sentido en el que circula la corriente eléctrica.
Solución.
Según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida ( ε) en un circuito en presencia de un campo magnético es: a.
ε
=−
dΦ dt
Φ ≡ Flujo de campo magnético que atraviesa la superficie del circuito. r
r
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α •
B = 0,5 T (constante)
Por ser un triángulo rectángulo isósceles ( α = 45º), los catetos son de igual longitud y esta es función del tiempo (l = v·t). • •
1 1 1 1 S = L ⋅ L = L2 = (v ⋅ t )2 = v 2 t 2 2 r 2r 2 2 r α = 180º B y S tienen igual dirección y sentidos opuestos. El sentido de S es saliente y el de r B es entrante. 1 2 2 1 2 2 Φ = B ⋅ S ⋅ cos α = 0,5 ⋅ v t cos 180º = − v t 2 4 dΦ d 1 2 2 1 2 1 2 = − − v t = v t = ⋅ 2,3 ⋅ 15 = 39,7 v ε=− dt dt 4 2 2 Según la ley de Ohm:
b.
I=
V 39,7 v = = 7,9 A R 5Ω
El sentido de la corriente lo determina la ley de Lenz “El sentido de la corriente inducida sería tal que su flujo se opone a la causa que la produce”. Si la barra conductora se desplaza en el sentido positivo de x, la intensidad de la corriente inducida I, ha de tener un sentido tal que la fuerza que actúe r r sobre el conductor debida a esta corriente, por estar en presencia de B , ha de ser opuesta a v . La regla de la mano derecha, indica que el sentido de I en el conductor que se desplaza debe ser en la dirección positiva r de y + j , por lo tanto el sentido de la corriente en el circuito será en el sentido horario. A la misma conclusión se puede llegar teniendo en cuenta que la fuerza es el producto vectorial de la velocidad (I) por el campo (B). Si la fuerza debe tener el sentido negativo de x r r (− i ) , el campo magnético tiene el sentido negativo de z (− k ) , r
la intensidad deberá tener la dirección positiva de y + j . Septiembre 2011. Cuestión 2B.a) b)
Defina la magnitud flujo magnético. ¿Cuál es su unidad en el S.I.? Una espira conductora plana se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme de inducción magnética B ¿Para qué orientación de la espira el flujo magnético a través de ella es máximo? ¿Para qué orientación es cero el flujo? Razone la respuesta.
Solución.
r
r
El flujo del vector B a través de la superficie S representa el número de líneas de fuerza que r r r atraviesa la superficie S y es igual al producto escalar de B por S : r r Φ = BoS a.
La unidad de flujo magnético en el sistema internacional es el weber (Wb). El weber es el flujo magnético que atraviesa una superficie de 1 m 2 situada perpendicularmente a un campo magnético de 1 T.
2
El flujo será máximo si la espira es perpendicular a la dirección de líneas de fuerza del campo magnético, y será mínima (nulo) cuando este en paralelo a la dirección de las líneas del campo. b.
Modelo 2011. Problema 2B.
Se hace girar una espira conductora circular de 5 cm de radio respecto a uno de sus diámetros en una región con un campo magnético uniforme de módulo B y dirección perpendicular a dicho diámetro. La fuerza electromotriz inducida (ε) en la espira depende del tiempo (t) como se muestra en la figura. Teniendo en cuenta los datos de esta figura, determine: a) La frecuencia de giro de la espira y el valor de B. b) La expresión del flujo de campo magnético a través de la espira en función del tiempo. Solución. a.
La espira conductora será recorrida por un flujo magnético generado por el campo con valor: r r r r Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α Puesto que la espira gira en torno a uno de sus diámetros, la expresión del flujo será: r Φ == B ⋅ πR 2 ⋅ cos(ωt ) Por tanto, la expresión de la corriente inducida será: r dΦ d r 2 2 ε=− = − ( B ⋅ πR ⋅ cos(ωt )) = B ⋅ πR ⋅ ω ⋅ sen(ωt ) dt dt
Si observamos la gráfica se obtiene que para t = 0,01 s el valor de la fuerza electromotriz es nulo, por lo que: r 2 ε (t = 0,01s ) = 0 = B ⋅ πR ⋅ ω ⋅ sen (ω ⋅ 0,01) ⇒ sen (ω ⋅ 0,01) = 0 ; ω ⋅ 0,01 = πrad ω
ω
=
π
0,01
= 2 π ⋅ f
rad = 100 π rad s s
; f =
ω
2π
=
100 π = 50Hz 2π
Nótese que se iguala a π el valor del argumento del seno puesto que en t = 0,01 el valor de la fuerza electromotriz es 0 con un desfase de π . Calculado el valor de ω, observamos la gráfica para obtener el valor máximo de la fuerza electromotriz: ε max = 0,5V Puesto que dicho valor se obtiene cuando el seno alcanza el valor de 1, se tiene la siguiente ecuación: r r ε 0,5 2 ε max = B ⋅ πR ⋅ ω 0,5 ; B = max = = 0,20T 2 2 πR ⋅ ω π ⋅ 0,05 ⋅ 100 π b.
Con los datos calculados anteriormente, la expresión del flujo queda:
3
r
Φ ==
B ⋅ πR 2 ⋅ cos(ωt ) = 0,2 ⋅ π ⋅ 0,052 cos(100 πt ) = 0,003 ⋅ cos(100 πt ) Wb
Modelo 2010. Problema 2B.- Una espira circular de sección 40 cm 2 está situada en un campo
magnético uniforme de módulo B = 0,1 T, siendo el eje de la espira paralelo a las líneas del campo magnético: a) Si la espira gira alrededor de uno de sus diámetros con una frecuencia de 50 Hz, determine la fuerza electromotriz máxima inducida en la espira, así como el valor de la fuerza electromotriz 0,1 s después de comenzar a girar. b) Si la espira está inmóvil y el módulo del campo magnético disminuye de manera uniforme hasta hacerse nulo en 0,01 s, determine la fuerza electromotriz inducida en la espira en ese intervalo de tiempo. Solución. Según la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en una espira que se a.
encuentra en un
campo magnético viene dada por la expresión:
dΦ dt Φ ≡ Flujo a través de la espira, se define como el producto escalar del vector campo magnético por el vector superficie. r r Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α ε
=−
Si la espira gira en torno a uno de sus diámetros, el ángulo que forman el vector superficie y el campo magnético ( α) es función del tiempo y varia según: α = ω ⋅ t = 2 π ⋅ f ⋅ t = 2 π ⋅ 50 ⋅ t = 100 π ⋅ t Conocido el ángulo, se calcula la expresión del flujo en función del tiempo. Φ = 0,1 ⋅ 40 × 10 −4 ⋅ cos(100 π t ) = 4 × 10 −4 ⋅ cos(100 π t ) Sustituyendo en la expresión de la fuerza electromotriz la expresión del flujo y derivando se obtiene la f.e.m. inducida en la espira. dΦ d = − (4 × 10 − 4 ⋅ cos(100 π t )) = −4 × 10 − 4 ⋅ (− sen (100π t )) ⋅ 100π = 4 π ⋅ 10 − 2 sen (100 π t ) ε (t ) = − dt dt El valor de la fuerza electromotriz máxima se obtiene cundo la expresión trigonométrica vale 1. −2 ε máx = 4 π ⋅ 10 ⋅ 1 = 4 π ⋅ 10 −2 v Para t = 0,1 s: −2 −2 −2 ε (0,1 s ) = 4 π ⋅ 10 sen (100 π ⋅ 0,1) = 4 π ⋅ 10 sen 10π = 4 π ⋅ 10 ⋅0 = 0 Si la espira permanece inmóvil, y el campo magnético disminuye desde su valor inicial hasta desaparecer de forma uniforme, el flujo también variará de forma uniforme, induciendo una f.e.m. en la espira. Φ − Φo dΦ ∆Φ ε=− =− = − f dt ∆t ∆t Φ f = Bf ⋅ S ⋅ cos 0 = 0 ⋅ S ⋅ cos 0 = 0 b.
Φ o = Bo ⋅ S ⋅ cos 0 = 0,1 ⋅ 40 × 10 −4 ⋅ cos 0 = 4 × 10 −4
Sustituyendo en la expresión de la f.e.m. ε
=−
Φ f − Φ o ∆t
=−
0 − 4 × 10 −4 = 0,04 v 0,01
Junio 2009. Problema 2B.- Sea un campo magnético uniforme B dirigido en el sentido positivo del
eje Z. El campo sólo es distinto de cero en una región cilíndrica de radio 10 cm cuyo eje es el eje Z y aumenta en los puntos de esta región a un ritmo de 10 −3 T/s. Calcule la fuerza electromotriz inducida en una espira situada en el plano XY y efectúe un esquema gráfico indicando el sentido de la corriente inducida en los dos casos siguientes:
4
a) b) Solución.
Espira circular de 5 cm de radio centrada en el origen de coordenadas. Espira cuadrada de 30 cm de lado centrada en el origen de coordenadas.
El módulo del campo magnético, teniendo en cuenta que aumenta a un ritmo 10 −3 T/s, vendrá dado por la expresión: B = Bo + 10−3 t En este primer caso se pide calcular f.e.m inducida en una espira circular inmersa totalmente en el campo magnético, tal y como muestra la figura. dΦ E=− dt a.
El flujo a través de la espira se calcula por su definición: Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S cos 0 = B ⋅ S = Bo + 10 −3 t ⋅ πr 2 Sustituyendo en la expresión de la f.e.m. y derivando respecto de t: dΦ d 2 −3 −3 2 E=− = − (Bo + 10 t )⋅ πr = −10 πr dt dt Para r = 0,05 m: E = −10−3 π ⋅ 0,052 = −7,85 ⋅ 10−6 Voltios El flujo inducido por las cargas que recorren la espira (flujo inducido) se opone al aumento de flujo producido por el campo magnético (flujo inductor ). Si el campo magnético está dirigido en el sentido positivo de z, el giro de las cargas buscara que su efecto este dirigido hacia z negativo, según el criterio de la mano derecha el pulgar deberá dirigirse hacia z negativo, los demás dedos rodearán al eje en el sentido antihorario que será el sentido de la corriente. En este segundo caso, la espira rectangular abarca mucho más región que el campo magnético, para calcular el flujo, solo se considera la región donde existe campo. Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S cos 0 = B ⋅ S = Bo + 10 −3 t ⋅ πr 2 dΦ d = − (Bo + 10 − 3 t )⋅ πr 2 = −10− 3 πr 2 E=− dt dt Para r = 0,1 m: E = −10−3 π ⋅ 0,12 = −3,14 ⋅ 10−5 Voltios b.
El sentido de la corriente, al igual que en el apartado anterior es el antihorario y el razonamiento es el mismo, el flujo inducido se opone al aumento del flujo inductor.
Modelo 2009. Cuestión 4 .- Una espira cuadrada de 10 cm de lado está recorrida por una corriente
eléctrica constante de 30 mA. a) Determine el momento magnético de la espira. b) Si esta espira está inmersa en un campo magnético uniforme B = 0,5 T paralelo a dos de sus lados, determine las fuerzas que actúan sobre cada uno de sus lados. Analice si la espira girará o no hasta alcanzar la posición de equilibrio en el campo. Solución. El momento magnético de una espira por la que circula una corriente a.
5
r
eléctrica de intensidad I situada en un campo magnético B , es un vector perpendicular al plano que contiene a la espira, que se obtiene como producto del escalar I (intensidad) por el vector área r ( µr = I ⋅ A ). Su módulo es: I ≡ Intensidad = 30 × 10 −3 A
µ = I⋅A :
− 2
( )
A ≡ Área de la espira = 10
2 −3 −2 −4 = 30 × 10 ⋅ 10 = 3 × 10 Am −2 2 = 10 m
Un conductor por el que circula una corriente eléctrica experimenta una fuerza cuando está situado en un campo magnético. Esta fuerza es la resultante de todas las fuerzas de Lorentz que el campo magnético ejerce sobre las cargas que forman la corriente eléctrica. En el caso de un conductor rectilíneo, la fuerza la fuerza viene expresada por: r r r F = I ⋅ l × B ; F = I ⋅ l ⋅ B ⋅ sen α b.
Aplicando la definición para cada lado de la espira y teniendo en cuenta la regla de la mano derecha: Fab = I ⋅ l ab ⋅ B ⋅ sen α = 3 × 10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 90 = 1,5 ×10 -3 N Fcd = I ⋅ l cd ⋅ B ⋅ sen α = 3 ×10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 90 = 1,5 ×10 -3 N Fbc = I ⋅ l bc ⋅ B ⋅ sen α = 3 ×10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 0 = 0 Fda = I ⋅ l da ⋅ B ⋅ sen α = 3 ×10 −3 ⋅10 −1 ⋅ 0,5 ⋅ sen 0 = 0 r
r
La dirección de la fuerza será perpendicular al plano que contiene l y a B . El sentido será r r opuesto al que determina el producto vectorial l × B , debido al signo negativo de la carga que circula por el conductor (electrones). Las fuerzas que se generan sobre los lados ab y cd, producen un par de fuerzas que tiende a producir una rotación en la espira hasta dejarla en su posición de equilibrio (perpendicular al campo magnético), tal como muestra la figura.
Junio 2008. Problema 2B. Una espira circular de radio r = 5 cm y resistencia 0,5 Ω se encuentra en r
r
r
reposo en una región del espacio con campo magnético B = Bok , siendo Bo = 2 T y k el vector unitario en la dirección Z. El eje normal a la espira en su centro forma 0° con el eje Z. A partir de un instante t = 0 la espira comienza a girar con velocidad angular constante ω = π (rad s ) en torno a un eje diametral. Se pide: a) La expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo t, para t ≥ 0. b) La expresión de la corriente inducida en la espira en función de t. Solución. a. r
r
r
B = B o k = 2 k ; r = 0’05 m; R = 0’5 Ω S = π r2 = 7’85×10−3 m2 φ = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos ωt = 0'016 cos πt
6
b.
ε
=−
dφ d = − (0'016 cos π t ) = +0'016π sen ω t ≈ 0'05 sen π t dt dt 0'05 sen π t ε I= = = 0'1 sen π t R 0'5
Modelo 2008. Problema 1A.- Una espira cuadrada de lado 1=5 cm situada en el plano XY se desplaza
con velocidad constante v en la dirección del eje X como se muestra en la figura. En el instante t = 0 la espira encuentra una región del espacio en donde hay un campo magnético uniforme B = 0,1 T, perpendicular al plano XY con sentido hacia dentro del papel (ver figura). a) Sabiendo que al penetrar la espira en el campo se induce una corriente eléctrica de 5 ×10−5 A durante 2 segundos, calcule la velocidad v y la resistencia de la espira. b) Represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo desde el instante t = 0 e indique el sentido de la corriente inducida en la espira. Solución. a. Se inducirá una corriente eléctrica en la espira mientras este variando el flujo de líneas de campo
en ella, lo cual sucederá en el trascurso de tiempo que va desde que la espira empieza a entra la espira en el campo hasta el momento que este totalmente inmersa en el campo.
La espira tarda 2 s en entrar el totalmente en el campo, lo cual significa que tarda 2 s en recorrer la longitud de su lado. La velocidad con la que la espira entra en el campo magnético es: s 5 × 10 −2 m = 2,5 × 10 − 2 m v= = s t 2s r
r
r
r
El flujo (Φ) que atraviesa la espira viene dado por la expresión: Φ = ∫ B o dS , donde B y dS son paralelos y de sentidos contrarios en todo momento. Para t = 0, el Φ = 0 Entre 0 < t < 2, Φ = ∫ B ⋅ dS ⋅ cos180 º = −B ⋅ S Teniendo en cuenta que la espira se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, la superficie de la espira inmersa en el campo magnético variará de forma uniforme según la expresión: M.R .U. S = l ⋅ x (t ) → S = l ⋅ v ⋅ t = 5 × 10 −2 ⋅ 2,5 × 10 −2 ⋅ t = 1,25 × 10 −3 t Sustituyendo en la expresión del flujo: Φ = − B ⋅ S = −0,1 ⋅ 1,25 × 10 −3 t = −1,25 × 10 −4 t (Wb ) Conocido el flujo que atraviesa la espira, se calcula la fuerza electromotriz inducida. dΦ d 4 4 ε=− = − (− 1,25 × 10 − t ) = 1, 25 × 10 − v dt dt Conocida la fuerza electromotriz inducida y la intensidad, mediante la ley Ohm ( ε = I · R) se calcula la resistencia. ε 1,25 × 10 −4 v R= = = 2,5 Ω I 5 × 10 − 5 A b. La intensidad de la corriente, según la ley de Lenz, lleva un sentido tal que se opone a la causa que la produce. El campo magnético inductor de la corriente en la espira aumenta a medida que la espira
7
se va introduciendo en la región donde existe el campo magnético, según la ley de Lenz, el campo inducido por el movimiento de los electrones en la espira debe contrarrestar el aumento del campo inductor, por lo tanto estará dirigido hacia fuera del papel, según la regla de la mano derecha, el giro de los electrones deberá seguir el sentido antihorario. La fuerza electromotriz inducida será constante en todo el intervalo de tiempo debido a que el campo es constante y a que la variación de la superficie con el tiempo también es constante en toda la experiencia, por realizarse está a velocidad constante. Modelo 2007. Problema 2A.- En el circuito de la figura la varilla MN se mueve con una velocidad
constante de valor v = 2 m/s en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0,4 T. Sabiendo que el valor de la resistencia R es 60 Q y que la longitud de la varilla es 1,2 m: a) Determine la fuerza electromotriz inducida y la intensidad de la corriente que circula en el circuito. b) Si a partir de un cierto instante (t = 0) la varilla se frena con aceleración constante hasta pararse en 2 s, determine la expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo, en el intervalo de 0 a 2 segundos. Solución. a. La corriente se induce en un sentido tal que los
efectos que genera tienden a oponerse al cambio de flujo que la origina, en definitiva, el flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor. Al desplazarse la varilla hacia la izquierda, aumenta el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie cerrada, produciendo un aumento del campo inductor, según la ley de Lenz, la corriente inducida, deberá producir un campo magnético que se oponga al aumento del campo inductor, por lo que el campo inducido deberá dirigirse hacia dentro del papel, y para que eso ocurra la corriente inducida deberá girar en el sentido horario, tal y como puede observarse en la figura. La fuerza electromotriz inducida es: dΦ d r r d d d ε=− = − (B o S) = − (B ⋅ S ⋅ cos α ) = − (B ⋅ S ⋅ cos 0º ) = − (B ⋅ S) dt dt dt dt dt La magnitud variable en este caso es la superficie (s(t)) atravesada por el campo magnético. s(t ) = (s o + v ⋅ t ) ⋅ l Donde l representa la longitud de la varilla MN Sustituyendo en la expresión de ε d d (B ⋅ S) = − (B ⋅ (so + vt ) ⋅ l ) = −B ⋅ v ⋅ l = −0,4T ⋅ 1,2m ⋅ 2 m s = −0,96v ε=− dt dt Aplicando la ley de Ohm se calcula la intensidad. 0,96 v ε V = ε = I⋅R ⇒ I = = = 0,016A R 60Ω Si a partir de t = 0, la varilla se ve sometida a una aceleración que la frena en 2 segundos ∆v − 2 m a = s = −1 m , la superficie atravesada por el campo magnético tambien se vera afectada = 2s ∆t s 2
b.
por esta aceleración.
1 s(t ) = so + v o t + at 2 ⋅ l 2 d d 1 2 ε=− (B ⋅ S) = − B ⋅ s o + v o t + at ⋅ l = − B ⋅ l ⋅ (v o + at ) dt dt 2
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Sustituyendo los valores ε = − B ⋅ l ⋅ (v o + at ) = −0,4 ⋅ 1,2 ⋅ (2 − 1 ⋅ t ) = −0,48 ⋅ (2 − t ) Septiembre 2006. Problema 1A.- Un campo magnético uniforme forma un ángulo de 30° con el eje
de una bobina de 200 vueltas y radio 5 cm. Si el campo magnético aumenta a razón de 60 T/s, permaneciendo constante la dirección, determine: a) La variación del flujo magnético a través de la bobina por unidad de tiempo. b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina. c) La intensidad de la corriente inducida, si la resistencia de la bobina es 150 Ω. d) ¿Cuál sería la fuerza electromotriz inducida en la bobina, si en las condiciones del enunciado el campo magnético disminuyera a razón de 60 T/s en lugar de aumentar? Solución.
Los datos del enunciado permiten plantear las expresiones correspondientes dB d al campo magnético y su variación: B = Bo + 60t ; = (B + 60t ) = 60 T s dt dt o Conocido el número de espiras que forman la bobina y su radio, se calcula su área o superficie. N = 200 R = 0,05 m S = πR 2 = π ⋅ (0,05)2 Se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie. r r Φ = BoS Φ = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos α a.
dΦ d dB 2 = (N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos α ) = {N, S, α = cte} = N ⋅ S ⋅ cos α ⋅ = N ⋅ π ⋅ 0,05 ⋅ cos 30º⋅60 = dt dt dt Wb = 0,408 ⋅ N Wb s = 81,6 s N = 200
Si el flujo Φ a través de la superficie de la espira varia con el tiempo, se observa una corriente inducida en el circuito (mientras que el flujo este variando). Según la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (fem) depende de la variación del flujo de campo magnético con el tie mpo. dΦ ε = −N ⋅ = −0,408N v = − 81,6 v dt N = 200 b.
c.
Aplicando la Ley Ohm:
V ε 81,6 v = = = 0,54 A R R 150 Ω El sentido de la corriente lo determina la ley de Lenz “La corriente se induce en un sentido tal que los efectos que genera tienden a oponerse al cambio de flujo que la origina” . Teniendo en cuenta que la variación del flujo se produce por un aumento de campo magnético, la corriente inducida deberá generar un campo magnético en sentido opuesto, hacia abajo, por lo tanto la corriente inducida deberá tener sentido negativo (horario), tal y como se indica en la figura. V = I⋅R
d.
I=
Si la intensidad del campo magnético disminuye según la expresión: B = Bo − 60t dB d = (Bo − 60t ) = −60 T s dt dt dΦ dB 2 == N ⋅ S ⋅ cos α ⋅ = 200 ⋅ π ⋅ 0,05 ⋅ cos 30º⋅(− 60) = −81,6 Wb s dt dt En este caso la fem es:
dΦ = −(− 81,6v ) = 81,6 v dt Se produce una intensidad I en sentido contrario a las agujas del reloj, para compensar de esta forma la pérdida de flujo, por disminución de la intensidad del campo magnético (B). ε
=−
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Junio 2006. Problema 1B.-
Una espira cuadrada de 1,5 Ω de resistencia está inmersa en un campo magnético uniforme B = 0,03 T dirigido según el sentido positivo del eje X. La espira tiene 2 cm de lado y forma un ángulo α variable con el plano YZ como se muestra en la figura. a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una frecuencia de rotación de 60 Hz siendo α = π / 2 en el instante t = 0 , obtenga la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo . b) ¿Cuál debe ser la velocidad angular de la espira para que la corriente máxima que circule por ella sea de 2 mA? Solución. a)
El vector característico de la superficie de la aspira (S) forma un ángulo α con el campo
magnético (B) . Este ángulo α depende del tiempo según: α(t ) = ω ⋅ t + α o π α o = rad siendo: 2 ω = 2π ⋅ f = 2π rad ⋅ 60 s −1 = 120π rad s
Por lo tanto α(t ) = 120π ⋅ t +
π
2 Según la ley de Faraday, la f.e.m. inducida en la espira será: dφ f .e.m. = − B dt donde φ B es el flujo de campo magnético a través de la superficie S que se calcula como: φ B = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α
Si la espira es rectangular de lado (L), su área es L 2, y la expresión del flujo queda: φ B = B ⋅ L2 cos(ω ⋅ t + α o ) y la variación del flujo respecto al tiempo será dφ B d = [ B ⋅ L2 cos(ω ⋅ t + α o )] = −B ⋅ L2 ⋅ ω ⋅ sen(ω ⋅ t + α o ) dt dt por lo tanto la fuerza electromotriz inducida será: dφ f .e.m. = − B = B ⋅ L2 ⋅ ω ⋅ sen(ωt + α o ) dt Sustituyendo por los datos
π
f .e.m. = 2'3 × 10 −3 sen 120π t + (V ) 2 La corriente que circula por la espira tiene una intensidad que está dada por la expresión: b) f .e.m. I= R f .e.m. max La intensidad máxima será I max = , y la f.e.m. max será cuando la componente trigonométrica R valga 1, quedando su expresión de la forma: BL2 ω f .e.m. max = BL2 ω ⇒ I max = R Despejando se obtiene la velocidad angular, y de esta la frecuencia. R I max 1'5Ω ⋅ 2 ×10 −3 A Por tanto ω = = = 250 rad s -2 2 2 BL2 0'03 T ⋅ (2 × 10 ) m
10
f =
ω
2π
250 = 40 Hz 2π
⇒ f =
Septiembre 2005. Problema 2B. Una espira circular de 0,2 m de radio se sitúa en un campo
magnético uniforme de 0,2 T con su eje paralelo a la dirección del campo. Determine la fuerza electromotriz inducida en la espira si en 0,1 s y de manera uniforme: a) Se duplica el valor del campo. b) Se reduce el valor del campo a cero. c) Se invierte el sentido del campo. d) Se gira la espira un ángulo de 90° en tomo a un eje diametral perpendicular a la dirección del campo magnético. Solución. Tenemos la siguiente situación inicial: r
r
Donde B es el campo magnético y s es el vector característico de la superficie interior de la espira. r s = πR 2 El flujo de campo magnético a través de la superficie interior a la espira es: r r Φ = Bo s Según la Ley de Faraday en todo campo magnético variable se induce una f.e.m. ( ε) en cualquier circuito cerrado, la cual es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético a través del circuito. dΦ ε=− dt Si la variación de flujo a través de la superficie es uniforme, los diferenciales se transforman en incrementos y la expresión de la ley de Faraday se simplifica a: f .e.m. = −
∆Φ ∆t
donde ∆Φ es la variación de flujo y ∆t es el intervalo de tiempo en que ocurre la variación. f .e.m. = − a.
Φ f − Φ i ∆t
Se duplica el valor campo. B f = 2·Bi r
r
Φ = Bo s =
r
r
α=0º
B ⋅ s ⋅ cos α = B ⋅ s
B f ⋅ s − B i ⋅ s (B f − B i )⋅ s (B f − B i )⋅ πR 2 f .e.m. = − =− =− =− ∆t ∆t ∆t ∆t 2 (B − B i )⋅ πR (2 ⋅ 0'2T − 0'2T )⋅ π ⋅ 0'2 2 m 2 f .e.m. = − f =− = −0'08π V 0'1 s ∆t Φ f − Φ i
b.
Se reduce el valor del campo a cero. B f = 0 T B f ⋅ s − B i ⋅ s Φ f − Φ i (B f − B i )⋅ s − B i ⋅ πR 2 − 0'2T ⋅ π ⋅ 0'2 2 m 2 f .e.m. = − =− =− =− =− = 0'08π V 0'1 s ∆t ∆t ∆t ∆t
c.
Se invierte el sentido del campo. B f = −Bi B f ⋅ s − B i ⋅ s (B f − B i )⋅ s (− B i − B i )⋅ πR 2 2B i ⋅ πR 2 Φ f − Φ i f .e.m. = − =− =− =− = ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t 2 ⋅ 0'2T ⋅ π ⋅ 0'2 2 m 2 f .e.m. = = 0'16 π V 0'1 s
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Se gira la espira un ángulo de 90° en tomo a un eje diametral perpendicular a la dirección del campo magnético d.
r
r
r
r
B f ⊥ s ⇒ B f o s = 0 ⇒ Φ f = 0 f .e.m. = −
Φ f − Φ i ∆t
B i ⋅ πR 2 0'2T ⋅ π ⋅ 0'2 2 m 2 =− = = = 0'08π V 0'1 s ∆t ∆t − Φi
Modelo 2005. Cuestión 4.- Un solenoide de resistencia 3,4 × 10 −3 Ω está formado por 100 espiras de
hilo de cobre y se encuentra situado en un campo magnético de expresión B = 0,01 cos (100 m) en unidades SI. El eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo magnético y la sección transversal del solenoide es de 25 cm2. Determine: a) La expresión de la fuerza electromotriz inducida y su valor máximo. b) La expresión de la intensidad de la corriente que recorre el solenoide y su valor máximo. Solución. a. Establecer en primer lugar, un sistema de referencia, para poder referir a él las coordenadas de
cualquier vector.
La fuerza electromotriz, o voltaje inducido, se produce cuando varía el flujo electromagnético que atraviesa la sección trasversal de la espira, que en este caso, se produce porque B = B(t ) :φ = N⋅ B ⋅ S φ = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos 0º φ = N⋅BoS
Sustituyendo valores: φ = 100 ⋅ 0'01 ⋅ cos(100πt )⋅ 25 ×10 −4 = 25 ×10 −4 cos(100πt ) (Wb) Para obtener la fuerza electromotriz se deriva el flujo respecto del tiempo: dφ d E = − = − [25 ×10 −4 cos(100πt )] = −[25 × 10 − 4 (− sen (100πt )) ⋅100π] dt dt E = 100π ⋅ 25 ×10 − 4 sen (100πt ) El valor máximo se obtiene de la fuerza electromotriz se obtiene cuando la parte trigonométrica vale 1. E max = 25 ×10 −2 π V b.
Si aplicamos la ley de Ohm, tenemos para intensidad: E (t ) 100 π ⋅ 25 × 10 −4 sen (100 πt ) E = I⋅R I (t ) = I (t ) = R 3'4 × 10−3 Ω
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250 π ·sen(100πt ) 3'4 Los valores máximos se obtienen cuando sen (100πt ) = 1; por tanto: I max = 73'5π A I (t ) =
Septiembre 2004. Problema 2A. Una espira conductora circular de 4 cm de radio y de 0,5 Ω de
resistencia está situada inicialmente en el plano XY. La espira se encuentra sometida a la acción de un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano de la espira y en el sentido positivo del eje Z. a) Si el campo magnético aumenta a razón de 0,6 T/s, determine la fuerza electromotriz y la intensidad de la corriente inducida en la espira, indicando el sentido de la misma . b) Si el campo magnético se estabiliza en un valor constante de 0,8 T, y la espira gira alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante de 10 π rad/s, determine en estas condiciones el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida. Solución. El campo magnético varía con el tiempo según la expresión: a. B(t ) = B o + 0,6t
El flujo inicial será viene expresado por: φ = B o A = B o πR 2 a medida que aumenta el campo, aumenta el flujo: φ(t ) = B(t )·A dφ dB d ∈= − = −A = − A (B o + 0'6 t ) = − A ⋅ 0'6 v dt dt dt y la corriente: 2
π(4 × 10 −2 ) (m 2 )⋅ 0'6(v ) V A ⋅ 0'6 −3 =− = −6'031× 10 A V = I·R : I = = − R R 0,5Ω
El sentido de la corriente lo da el signo ( −), en el mismo sentido que las agujas del reloj. Ahora B es constante. Sea θ el ángulo que forma el eje z y la normal a la espira, el flujo en este caso vendrá expresado por: φ = B ⋅ A ⋅ cos θ b.
Teniendo en cuenta que el ángulo varia con el tiempo según: θ = ω⋅ t y siendo ω = 10 π rad s , la expresión del flujo queda de la forma φ = B ⋅ A ⋅ cos(10π ⋅ t )
Con está expresión del flujo, la fuerza electromotriz queda: dφ d ∈= − = − (B ⋅ A ⋅ cos(10π ⋅ t )) = +B ⋅ A ⋅ sen (10π ⋅ t )⋅10π dt dt será máxima cuando sen θ = 1
∈= 10π ⋅ B ⋅ A = 10π ⋅ 0'8 ⋅ π ⋅
(4 ⋅10 −2 )2 = 128π 2 ⋅10 −4 = 0'126 v
Junio 2004. Cuestión 3.a) b)
Enuncie las leyes de Faraday y de Lenz de la inducción electromagnética. La espira circular de la figura adjunta está situada en el seno de un campo magnético uniforme. Explique si existe fuerza electromotriz inducida en los siguientes casos: b.1. la espira se desplaza hacia la derecha b.2. el valor del campo magnético aumenta linealmente con el tiempo.
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Solución. a. Ley araday: La fuerza electromotriz es directamente proporcional a la variación de flujo
magnético. La fuerza electromotriz y la corriente inducida poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. dφ ∈= − dt Ley de Lenz:
No se produce fuerza electromotriz, ya que el campo B es uniforme y dado que no cambia ni este ni el área de la espira el flujo permanece constante. b.1.
Si B aumenta linealmente con el tiempo si hay fuerza electromotriz inducida en la espira ya que se produce una variación de flujo a través de su superficie: φ = B·A = B 0 ·t·A dφ ∈= − = − B 0 ·A dt b.2.
Septiembre 2003. Problema 1B. Un solenoide de 20 Ω de resistencia está formado por 500 espiras
de 2’5 cm de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0’3 T, siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0’1s, determine: a) El flujo que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida. b) La intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportada en ese intervalo de tiempo. Solución. a.
El flujo inicial que atraviesa el solenoide tiene la expresión r r r r φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos α r
r
el ángulo que forman S y B es constante y vale 0º, con lo que la expresión anterior queda φ = B ⋅S El área de una espira viene dada por la expresión S = π⋅R 2 donde R es el radio de la espira circular. d 2'5 ×10 −2 2 R= = = 1'25 ×10 − m 2 2 2
S = π ⋅ R 2 = π ⋅ (1'25 × 10 −2 ) = 4'91× 10 −4 m 2 con el valor del área de la espira y el del campo magnético inicial, se calcula el flujo inicial φ i = B o ⋅ S = 0'3 T ⋅ 4'91× 10 −4 m 2 = 1,47 ×10 −4 Wb La fuerza electromotriz inducida es función de la variación del flujo a través de la superficie respecto del tiempo según la expresión: dφ ε = −N ⋅ dt En el caso propuesto, la variación del flujo a través de la espira es debido a la variación del campo magnético. Puesto que la variación del campo magnético se produce uniformemente, se puede sustituir la derivada por un incremento:
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φ − φi = − N ⋅ f ∆t ∆t −4 φi = 1’47×10 Wb φf = Bf · S ε = −N ⋅
∆φ
=0
por tanto, y puesto que esta variación se produce en un ∆t = 0’1 s, la fuerza electromotriz es: 0 − 1'47 × 10 −4 ε = −500 ⋅ = 0'735 V 0'1 La intensidad se puede hallar mediante la ley de Ohm: V = I⋅R : ε = V⋅I dado que R = 20 Ω, se despeja I: 0'735 V ε I= = = 0'037 A R 20 Ω b.
La relación entre la intensidad y la carga eléctrica es: ∆Q I= ∆t de donde ∆Q = I ⋅ ∆t = 0'037 A ⋅ 0'1 s = 3'7 × 10 −3 C Modelo 2003. Cuestión 4.- Para transformar el voltaje de 220 V de la red eléctrica a un voltaje de 12
V que necesita una lámpara halógena se utiliza un transformador: a) ¿Qué tipo de transformador debemos utilizar? Si la bobina del primario tiene 2200 espiras ¿cuántas espiras debe tener la bobina del secundario? b) Si la lámpara funciona con una intensidad de corriente de 5 A ¿cuál es el valor de la intensidad de la corriente que debe circular por la bobina del primario?
Junio 2002. Cuestión 3. Una bobina de sección circular gira alrededor de uno de sus diámetros en un
campo magnético uniforme de dirección perpendicular al eje de giro. Sabiendo que el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida es de 50 V cuando la frecuencia es de 60 Hz, determine el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida: a) Si la frecuencia es 180 Hz, en presencia del mismo campo magnético. b) Si la frecuencia es 120 Hz y el valor del campo magnético se duplica. Modelo 2001. Problema 2 .- Sobre un hilo conductor de resistencia despreciable, que tiene la forma
que se indica en la figura, se puede deslizar una varilla MN de resistencia R=10 Ω en presencia de un campo magnético uniforme B, de valor 50 mT, perpendicular al plano del circuito. La varilla oscila en la dirección del eje X de acuerdo con la expresión x = x o + A·sen ωt, siendo xo = 10 cm, A = 5 cm, y el periodo de oscilación 10 s. a) Calcule y represente gráficamente, en función del tiempo, el flujo magnético que atraviesa el circuito. b) Calcule y represente gráficamente, en función del tiempo, la corriente en el circuito.
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