III Hidrostática

3. HIDROSTÁTICA 3.1 CONCEPTOS BÁSICOS

La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos fluidos en reposo. Cuando se trata solo de los fluidos líquidos se denomina “Hidrostática”. 3.1.1 Presión

Se define a la presión como el resultado de una fuerza actuando sobre una superficie en dirección perpendicular a ésta, tal como se muestra en la figura siguiente.

F

Para el cálculo de la presión se emplea la siguiente expresión p =

F A

Donde F = = fuerza aplicada perpendicularmente a la superficie, en unidades de fuerza [F] A = área de la superficie, en unidades de área [L2] p = presión, en unidades de fuerza sobre área [ F / L2]

3.1.2 Escalas de presión

La medición de la presión se realiza de acuerdo a una referencia arbitraria que por lo general, es el cero absoluto (vacío total) ó la presión atmosférica local. Cuando la presión se expresa con respecto a la presión atmosférica local, se le conoce como “ presión manométrica o relativa”. En cambio, cuando se mide con respecto al vacío total, se le conoce como “presión absoluta”. La relación entre estas dos es la siguiente: p abs

= p rel + p atm

donde pabs = presión absoluta prel

= presión relativa o manométrica

patm = presión atmosférica

Hidrostática Hidrostát ica

3.1

Dr. Jesús Alberto Alberto Rodríguez Rodríguez Castro Castro

Las presiones absoluta y relativa se pueden representar de forma gráfica de la siguiente manera

P rel P abs

Presión atmosférica local p = 1.033 kg/cm2 Vacío total (p = 0)

3.1.3 Presión atmosférica Es la presión que ejerce la atmósfera sobre los cuerpos sumergidos en ella. A una altitud determinada, la

presión atmosférica es igual al peso de la columna de aire existente encima de dicha altitud. Al nivel del mar, su valor normal es de apróximadamente 760 mm Hg (1.013 mbar), mientras que a una altura de 5.500 m, este valor se reduce a la mitad. El aire frío pesa más que el caliente, y éste es uno de los factores que influyen en las diferencias de presión atmosférica a un mismo nivel. Para medir la presión atmosférica en cualquier punto de la tierra se utiliza un barómetro. Torricelli fue el primero en medir la presión atmosférica con el barómetro que lleva su nombre. Este aparato consiste en un tubo de cristal cerrado en uno de sus extremos lleno con mercurio e invertido sobre un recipiente que contiene también mercurio como se muestra en la figura:

Patm

Patm

H

Hg

Debido a la acción de la gravedad, el mercurio dentro de la columna, trata de descender. Sin embargo, la presión atmosférica actuando sobre la superficie libre del mercurio en el recipiente, lo detiene equilibrándose ambas fuerzas, a una altura de la columna de mercurio igual a “H”. A nivel del mar y a una temperatura de 20 ºC, la altura H de la columna de mercurio es aproximadamente, igual a 760mm ó 1.033 kg/cm2


3.2


Las presiones absoluta y relativa se pueden representar de forma gráfica de la siguiente manera

P rel P abs

Presión atmosférica local p = 1.033 kg/cm2 Vacío total (p = 0)

3.1.3 Presión atmosférica Es la presión que ejerce la atmósfera sobre los cuerpos sumergidos en ella. A una altitud determinada, la

presión atmosférica es igual al peso de la columna de aire existente encima de dicha altitud. Al nivel del mar, su valor normal es de apróximadamente 760 mm Hg (1.013 mbar), mientras que a una altura de 5.500 m, este valor se reduce a la mitad. El aire frío pesa más que el caliente, y éste es uno de los factores que influyen en las diferencias de presión atmosférica a un mismo nivel. Para medir la presión atmosférica en cualquier punto de la tierra se utiliza un barómetro. Torricelli fue el primero en medir la presión atmosférica con el barómetro que lleva su nombre. Este aparato consiste en un tubo de cristal cerrado en uno de sus extremos lleno con mercurio e invertido sobre un recipiente que contiene también mercurio como se muestra en la figura:

Patm

Patm

H

Hg

Debido a la acción de la gravedad, el mercurio dentro de la columna, trata de descender. Sin embargo, la presión atmosférica actuando sobre la superficie libre del mercurio en el recipiente, lo detiene equilibrándose ambas fuerzas, a una altura de la columna de mercurio igual a “H”. A nivel del mar y a una temperatura de 20 ºC, la altura H de la columna de mercurio es aproximadamente, igual a 760mm ó 1.033 kg/cm2


3.2


La relación entre la presión absoluta, relativa y atmosférica, se puede visualizar por medio del diagrama siguiente: 4 kg/cm 2

P abs kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2

3 kg/cm 2 2 kg/cm 2 Prel 1 kg/cm

2

Pabs

0

kg/cm 2

Patm= 1.033 kg/cm2 0

Cero absoluto

3.2 FUNDAMENTOS 3.2.1 Presión de un líquido sobre una superficie

La fuerza que ejerce la presión de un líquido en reposo sobre las paredes y el fondo del recipiente que lo contiene, es siempre perpendicular a éstas, lo cual se puede demostrar, observando las fuerzas que actúan sobre una partícula que está en contacto con la pared del recipiente, como se muestra en la figura siguiente.

Ps Pt Pn

Las fuerzas que están actuando sobre la partícula son las siguientes: Ps = fuerza debido al peso de la partícula Pn= componente de P s s normal a la pared del recipiente a la pared del recipiente Pt = componente de P s s paralela Como el líquido está en reposo, no existe movimiento de las partículas y por lo tanto, la acción de la componente de la fuerza ( Pt ), paralela a la pared del recipiente es nula; no así, la componente normal a a pared ( Pn ), que trata de comprimir la partícula. Por lo tanto, es la única fuerza que tiene efecto sobre


3.3


la pared. De esto se puede concluir que la dirección de las fuerzas, derivadas de la presión que actúa sobre una superficie, es siempre perpendicular a éstas. 3.2.2 Presión en un punto “ En una masa líquida el efecto de la presión sobre un punto es el mismo en todas las direcciones ”. Esto

se

puede demostrar considerando una masa líquida homogénea en reposo y dentro de ella un prisma del mismo líquido, con paredes imaginarias y ancho unitario, como se muestra en la figura siguiente SLA

a

p3 cos θ

p

3

cosθ =

θ

p

1

p3 sen θ θ

b

bc ac

senθ =

ab ac

∴

∴

bc = ac cosθ

ab = acsenθ

c

w p

2

Las variables p1 , p2 y p3 son las fuerzas debidas a la presión que actúa sobre cada una de las caras del prisma y el ángulo de la cara inclinada del prisma, con respecto al plano horizontal es θ . Partiendo de la definición de presión se definen las fuerzas p1 , p2 y p3, como p i

=

F i Ai

∴

F i

= p i Ai

donde i = 1, 2 ó 3. Debido a que el líquido está en reposo, el sistema de fuerzas esta equilibrado y por lo tanto, la suma de fuerzas en todas las direcciones, es igual a cero. En la dirección horizontal, la suma de fuerzas es

∑ F

H

= p1 ⋅ ab ⋅ 1 − p2 senθ ⋅ ac ⋅ 1 = 0

pero ac ⋅ senθ = ab entonces, sustituyendo se tiene que p1 ⋅ ab ⋅ 1 − p2 ⋅ ab ⋅ 1 = 0

∴

p1

= p2

En la dirección vertical, la suma de fuerza es

∑ F

V

Hidrostática

= − p 2 cos θ ⋅ ac ⋅ 1 − w + p 3 ⋅ bc ⋅ 1 = 0

3.4

Dr. Jesús Alberto Rodríguez Castro

pero como w=

bc ⋅ ab

⋅ 1 ⋅ γ además 2 y sustituyendo en la expresión anterior, se tiene que p 2 ⋅ bc +

bc ⋅ ab

2

Por lo tanto, p2

+

ab

2

ac ⋅ cosθ = ab

γ − p3 ⋅ bc = 0

γ − p3

=0

En el límite cuando la distancia ab tiende a cero, es decir ab ⎛ ⎞ ⎜ p 2 + γ − p3 ⎟ = 0 ∴ ab → 0 ⎝ 2 ⎠

lim

p 2

= p3

Por lo tanto, p1

= p2 = p3

Esto quiere decir que si se hace tender las dimensiones del prisma a cero, en el límite este se convierte en un punto y por lo tanto p1, p2, y p3 son iguales en cualquier dirección. 3.2.3 Presión en un líquido

Considérense dos puntos en una masa líquida homogénea en reposo, situados a las profundidades z1 y z2 respectivamente, tal como se muestra en la figura siguiente SLA θ

z 1

p

1

1

z2

L

wcosθ

dA

h

θ w

2 p 2

La diferencia de profundidades se define como h. Supóngase que en los puntos 1 y 2 se encuentran las bases de una región cilíndrica dentro del líquido. El área de estas es de magnitud diferencial ( dA) y la longitud del cilindro es L. El peso del cilindro (w) actúa en el centro de gravedad de este y sobre las bases actúan las presiones p1 y p2.

Hidrostática

3.5


Como el líquido está en reposo, la suma de las fuerzas, en cualquier dirección, debe ser igual a cero. En la dirección del eje del cilindro se tiene que p 2 dA − w cos θ − p1 dA = 0

pero como w = L dA γ entonces p 2 dA − LdAγ cos θ − p1dA = 0

También de la figura se observa que h = L cos θ

por lo tanto, al sustituir se obtiene la siguiente expresión p2

− hγ − p1 = 0

Entonces, al reagrupar se obtiene

p 2 − p1

= hγ

Esta expresión indica que la diferencia de presiones entre 2 puntos, dentro de una masa líquida, homogénea en reposo, es igual al producto del peso específico del líquido por la diferencia de profundidades a que se encuentran los puntos. Este es el principio fundamental de la hidrostática Ahora bien, si los puntos están en un plano horizontal, entonces

h = z 2 − z1

=0

y por lo tanto p2 =p1

Esto significa que las presiones en un plano horizontal de un líquido homogéneo, en reposo, tienen el mismo valor. Ahora bien, si el punto 1 está localizado sobre la superficie libre del agua (SLA), entonces p1 = 0 (presión relativa) y z1 = 0. Por lo tanto p2

= γ h

En general, para cualquier punto en el seno de una masa líquida situado a una profundidad h, con respecto a la superficie libre, la presión es igual a p = γ h

Hidrostática

3.6


De esto se concluye que la presión hidrostática es una función lineal de la profundidad y el peso específico del líquido. Si el líquido es homogéneo, el peso específico no cambia, por lo que la presión varía solamente con la profundidad, es decir a mayor profundidad, mayor presión. En el desarrollo anterior se observa que el tamaño del cilindro no tiene significado alguno en el cálculo de la presión hidrostática, por lo que cualquier volumen de un mismo líquido produce la misma presión a la misma profundidad, como se puede observar en la siguiente figura.

h

La presión en el fondo de los recipientes mostrados en la figura es igual para cada caso, ya que el nivel que alcanza el líquido en cada uno de ellos es el mismo, por lo tanto la profundidad h es idéntica en cada uno de ellos. 3.2.4 Principio de Pascal

Cuando se aplica una fuerza externa a un fluido, la presión que se genera dentro de este, se trasmite íntegramente en toda su extensión y en todas direcciones, tal como se muestra en la figura siguiente.

f A

Por lo tanto, la presión en cualquier punto del líquido es igual a p = p f

Hidrostática

3.7

+ γ h


Donde P f es la presión producida por la fuerza f actuando sobre la superficie de área A, que está en contacto con el líquido, es decir

=

p f

f A

y al sustituir queda f

p =

Por lo tanto,

f A

A

+ γ h

representa una constante que se añade a la presión hidrostática en cualquier punto de la

masa líquida. 3.3 APLICACIONES

3.3.1 PRENSA HIDRÁULICA Es un dispositivo que se utiliza para mover grandes pesos aplicando fuerzas relativamente pequeñas, basándose en el principio de la transmisión íntegra de presiones en una masa fluida. La prensa hidráulica consiste básicamente, en dos cilindros de diferente diámetros conectados entre si por un tubo. En el interior de los cilindros y del tubo de conexión se coloca un fluido confinado por pistones, tal como se muestra en la figura. Al aplicar una fuerza ( f ) en el pistón de menor diámetro, la presión resultante ( p1 ) es p1

=

f A1

Esta presión se transmite en todo el fluido y en todas las direcciones, así como en las paredes que están en contacto con este. f w

A 1

2

1

A 2

De esta manera, sobre el pistón de diámetro mayor, se ejerce la misma presión, es decir

p1 Hidrostática

3.8

= p2 Dr. Jesús Alberto Rodríguez Castro

pero, de acuerdo a la definición de presión, se tiene que w p2 = A2 igualando la presión en 1 y 2, se obtiene f w

=

A1

A2

y despejando el peso w=

A2 A1

f

lo cual significa que la fuerza en 1 se multiplica por la relación de áreas. Como variantes se pueden tener los siguientes casos: Caso 1 f

w

h

A1

2

1

A 2

donde p1

= p2

p1

=

p2

=

w

=

f A1

+ γ h

w A2

igualando se tiene A2

f A1

+ γ h

y por lo tanto

⎛ f ⎞ + γ h ⎟⎟ A2 ⎝ A1 ⎠

w = ⎜⎜

Hidrostática

3.9


Caso 2 w f h

A 1

1

2

A 2

donde p1

= p2

p1

=

p2

=

w

+ γ h =

f A1 w A2

+ γ h

igualando A2

f A1

por lo tanto

⎛ f ⎞ − γ h ⎟⎟ A2 ⎝ A1 ⎠

w = ⎜⎜

3.3.2 MANÓMETROS Son dispositivos que emplean una columna líquida para medir la presión. El manómetro más elemental consiste en un tubo conectado a un recipiente o tubería a presión con uno de sus extremos expuesto a la atmósfera como se muestra en las figuras siguientes

h A

h

h A A

a)

b)

c)

Este tipo de manómetros se conocen generalmente como piezómetros y miden la presión en función de la altura de la columna h. Por ejemplo, la presión en el punto A de la figura (a) es igual a

p A Hidrostática

3.10

= γ h Dr. Jesús Alberto Rodríguez Castro

donde γ es el peso específico del líquido a presión. Cuando se requiere conocer la diferencia de presiones entre dos puntos se utiliza un “manómetro diferencial” que

no es más que un tubo que conecta dos recipientes ó tuberías, como se muestra en la

figura siguiente

B

A

h

Otro tipo de manómetros son los denominados “manómetros abiertos” que son similares a los piezómetros pero difieren de estos en que contienen un líquido de mayor peso específico que el del líquido a presión como se muestra en la figura.

A

h

γ γ' γ ’ > γ

3.3.2.1 Método de cálculo Para calcular la presión con un manómetro abierto o diferencial, se pueden seguir dos procedimientos: uno consiste en igualar con cero. la suma de todas las presiones a lo largo del manómetro y el otro en igualar las presiones en puntos convenientes. Suma de presiones a) Manómetro abierto

Se suman las presiones que se generan a lo largo del manómetro, teniendo en cuenta su signo. Si realiza la suma desde el punto m hasta el punto d de la figura siguiente, se tiene que las presiones contrarias a esta dirección son negativas, es decir

Hidrostática

3.11


d

m

hcd h ma a

c hbc

hab b p m

+ hmaγ + hab γ '−hbc γ '−hcd γ ' = 0

o bien

p m

= hdc γ '−hma γ

donde, γ ’ es el peso específico de líquido manométrico. b) Manómetro diferencial

En este caso la suma de presiones se realiza desde el punto m al punto n que se muestran en la figura siguiente y se iguala a cero e

hde

hen

n d

m

h cd

hma a

c

hab

h bc

b pm + γ hma + γ ' hab − γ ' hbc − γ ' hcd − γ hde + γ hen − pn

=0

por lo que

p m − p n

Hidrostática

= −γ hma + γ ' hcd + γ hde − γ hen 3.12


Igualación de presiones a) Manómetro abierto

Igualando las presiones en los puntos a y b de la figura siguiente d

m

hcd h a

c h bc

hab b

se tiene que pa

= pc

Entonces pa

= pm + γ hma

y

p c

= γ hcd

igualando pm + γ hma

= γ ' hcd

y despejando pm

= γ ' hcd − γ hma

que es igual al resultado obtenido con el otro método. b) Manómetro diferencial

e hde

hen

n d

m

hcd hma

a c hab

h bc b

Igualando las presiones en los puntos a y c de la figura anterior, se tiene p a

Hidrostática

3.13

= p c


es decir p a

= p m + γ hma

y

p c

= p n − γ hen + γ hde + γ ' hdc

igualando p m

+ γ hma = p n − γ hen + γ hde + γ ' hdc

p m

− p n = −γ hma − γ hen + γ hde + γ ' hdc

por lo que

que es igual a la expresión obtenida con el primer método. 3.3.3 EMPUJE SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

El empuje sobre una superficie sumergida en un líquido es la fuerza que resulta de la acción de la presión sobre dicha superficie. Para facilitar su estudio, se hace la distinción entre empuje sobre superficies planas y curvas. SUPERFICIES PLANAS Una superficie plana de área “A”, colocada horizontalmente a una profundidad “h” en el seno de un líquido, está sujeta a una presión hidrostática ( p = γ h ) constante en toda la extensión de su área. Esta presión se puede representar como un conjunto de fuerzas distribuidas uniformemente en toda el área. A esta representación se le conoce como “diagrama de presiones”, tal como se muestra en la figura siguiente SLA

h

Centro de gravedad del diagrama depresiones

E

Diagrama de presiones

P=γ h

CG= C p

A

El efecto de la presión hidrostática se puede representar con una fuerza equivalente, llamada “Empuje ( )” , la cual se define como de acuerdo a la siguiente expresión E

E = p A

Hidrostática

3.14


Donde p es la presión hidrostática. Si se sustituye la expresión p = γ h , se tiene E = γ h A

En este caso particular, el centro de presiones (C P), que se alinea con el centro de gravedad del diagrama de presiones, coincide con el centro de gravedad (C G), de la superficie horizontal. Nótese que el producto h A es igual al volumen del diagrama de presiones y que al multiplicar por el peso específico del líquido se obtiene el peso de este volumen. Por lo tanto, se puede decir que el empuje es equivalente al peso de la cuña de presiones. Cuando la superficie plana sumergida en el seno de un líquido se coloca en una posición diferente a la horizontal, las presiones que actúan sobre ella no tienen el mismo valor en todos sus puntos, ya que son mayores en los puntos de mayor profundidad. En este caso, el diagrama de presiones es como se muestra en la figura siguiente Centro de gravedad del diagrama de presiones

SLA θ

E Diagrama de presiones

C G C p

En este caso el empuje, pasa por el centro de gravedad del diagrama de presiones pero no coincide con el centro de gravedad de la superficie plana (C G), sino que se aplica en un punto diferente al que se le conoce como centro de presiones (C P ). La magnitud del empuje y posición del centro de presiones, se pueden calcular de la siguiente manera: Supóngase una superficie plana en una posición cualquiera en el interior de una masa líquida, en reposo, como se muestra en la siguiente figura. SLA

o θ

z z

y y

o' dA

y

c

Hidrostática

3.15

C G C P A


La superficie está contenida en un plano imaginario que intersecta la superficie libre del agua (SLA) con un ángulo θ y forma la traza oo’. Sobre una pequeña franja de área diferencial dA, situada a una profundidad z, la presión hidrostática es igual a p = γ z

Asimismo, la presión debida a un empuje diferencial dE , sobre la franja es igual a p =

dE dA

Igualando estas dos expresiones y despejando dE , se tiene dE = p dA = γ z dA

Para calcular el empuje sobre toda el área de la superficie se integra de la forma siguiente

∫

E = γ z dA A

Por otro lado, de la figura se observa que senθ =

z y

∴

z = y senθ

Al sustituir el valor de z en la integral, se tiene

∫

∫

E = γ y senθ dA = γ senθ y dA A

A

∫

Pero el valor y dA es el momento estático de la superficie considerada con respecto al eje oo’, por lo A

tanto

∫ y dA = M = y A o

A

Volviendo a sustituir en la ecuación del empuje, se obtiene lo siguiente E = γ senθ y A

Al referirse de nuevo a la figura anterior, se puede observar que la profundidad al centro de gravedad de la superficie, se puede expresara como z = y senθ

Entonces, al sustituir en la expresión del empuje, se obtiene lo siguiente E = γ z A

Hidrostática

3.16


o bien E = p A

Esta expresión indica que el empuje sobre una superficie plana cualquiera, es igual a la presión sobre el centro de gravedad, multiplicada por el área de la superficie. La posición del centro de presiones (donde se aplica el empuje) se calcula considerando el momento estático de la superficie libre con respecto a la traza oo’, es decir d M = ydE = y γ z dA

integrando ambos lados de la ecuación, se tiene

∫

∫

∫

M = y γ z dA = y γ ysenθ dA = γ senθ y 2 dA

pero también el momento de la resultante (el empuje)se calcula como

∫

∫

∫

∫

M = ycp E = ycp dE = ycp γ z dA = ycp γ y senθ dA = ycp γ senθ ydA

igualando estas dos ecuaciones, se tiene

∫

∫

γ senθ y 2 dA = ycp γ senθ ydA

∫ y dA = ∫ ydA 2

y cp

pero

∫ y

2

dA y

∫ y dA son los momentos de inercia ( I

oo’

) y estático (M oo’ ) de la superficie A con

respecto a la traza oo’, respectivamente, es decir ycp

=

I oo ' M oo '

donde I oo '

= ∫ y 2 dA

y también

M oo '

= ∫ y dA = A y

A partir del teorema de Steiner o de los ejes paralelos I oo '

Hidrostática

= I G + A y

3.17

2


sustituyendo, se tiene ycp

=

I G + A y

2

A y

o bien ycp

=

I G A y

+ y

en donde I G , es el momento de inercia con respecto al centro de gravedad de la superficie SUPERFICIES CURVAS Considérese una superficie curva en el seno de una masa líquida como el que se muestra en la figura siguiente. SLA

θ z z

θ

s

dA

C p

d E A d

Av

o c A d = A d

dE V = dE senθ

V

dE H = dE cosθ

θ

d A

V

dA = dA senθ H

dA H

Si se analiza un área diferencial dA de esta superficie, situada a una profundidad z, se observa que está sujeta a un empuje diferencial igual a dE = γ z dA

La línea de acción de este empuje forma un ángulo

θ

con respecto a la superficie libre del agua. Así

mismo, este se pude expresar en función de sus componentes ortogonales dE H y

dE V , que

se definen

como dE H

= dE cos θ = γ z dA cos θ = γ z dAV

dE V

= dEsenθ = γ z dAsenθ = γ z dA H

La componente horizontal del empuje E H se obtiene integrando dE H , es decir

∫ dE = ∫ γ z dA H

A

Hidrostática

V

A

3.18

= γ ∫ z dAV = E H A


El producto z dAV es el momento estático de la proyección vertical del área diferencial dA con respecto a la superficie libre del agua. Integrando se obtiene

∫ z dA

V

= z AV

A

que es el momento estático de la proyección vertical de la superficie curva ( AV ), con respecto a la superficie libre del agua. Sustituyendo en la expresión del empuje, se tiene E H

= γ z AV

Esto significa que la componente horizontal del empuje se puede calcular, simplemente, multiplicando la proyección vertical del superficie ( AV ) por la profundidad de su centro de gravedad ( z ) y el peso específico ( γ ) del líquido en que se encuentre sumergida. Para el cálculo de la componente vertical del empuje, se integra la ecuación de la componente vertical del empuje, es decir

∫ dE = γ ∫ z dA V

H

A

= E V

A

Al integrar el producto z dA H en toda el área, se obtiene volumen del líquido colocado sobre la superficie considerada, es decir

∫ z dA

H

= Vol

A

por lo tanto, E V

= γ Vol

Como el producto γ Vol corresponde a un peso, se concluye que la componente vertical del empuje sobre la superficie curva es igual al peso del líquido encima superficie. Esto se cumple aún cuando no haya líquido encima de la superficie. Por ejemplo, la componente vertical del empuje sobre la superficie abc del cuerpo sumergido mostrado en la figura siguiente, es E V = γ Aeabcd L SLA L e

d

a

c b

Hidrostática

3.19


Donde Aeabcd es el área lateral del cuerpo y L es el ancho. La posición de la componente horizontal del empuje se calcula considerando el momento del empuje horizontal con respecto a la superficie libre. Para el diferencial de dicho empuje, se tiene d M = d E H z

integrando

∫

∫

M = d M = d E H z

= ∫ γ z dAV z = γ ∫ z 2 d AV A

A

Este momento también se pude calcular multiplicando la componente horizontal del empuje total ( E H ) por la distancia del centro de presiones a la superficie libre del agua, es decir M = E H y cp

= y cp ∫ d E H = y cp ∫ γ z dAV = γ y cp ∫ z dAV A

A

igualando las dos expresiones

∫

γ z 2 d AV A

= γ y cp ∫ z dAV A

entonces

∫ z d A = ∫ z dA 2

V

y cp

A

V

=

I AV Q AV

A

Donde I AV es el momento de inercia de la proyección vertical de la superficie ( AV ) y Q AV es el momento estático de esta proyección, con respecto a la superficie libre del líquido. El empuje total sobre la superficie curva se obtiene de la siguiente manera E = E H + E V 2

2

3.3.4 FLOTACIÓN

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES El Principio de Arquímedes dice que “Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido recibe un empuje hacia arriba igual al peso del volumen del líquido desplazado”. La

línea de acción de este empuje

coincide con el centro de gravedad del volumen desplazado.

Hidrostática

3.20


Una demostración sencilla de este principio se puede efectuar considerando un cuerpo sumergido en un líquido, como se muestra en la figura siguiente z 1

dE 1

z 2 z

dA

dE 2

Se puede considerar que el cuerpo está formado por una gran cantidad de prismas de sección diferencial dA y

altura z.

Analizando un prisma separadamente, se puede observar que sobre las bases, situadas a profundidades z1 y z2, están actuando los

empujes diferenciales dE 1 y dE 2, respectivamente, cuyo valor se define como dE 1

= γ z1 dA

y

dE 2

= γ z 2 dA

la resultante de estos empujes es entonces, dE = γ dA ( z 2 − z1 )

donde el producto dA(z2-z1) es el volumen del líquido desalojado por el prisma. Si se multiplica este volumen por el peso específico del líquido γ , se obtiene el peso del mismo. Integrando sobre todo el cuerpo, se obtiene el volumen total, es decir

∫

E = dE V

por lo tanto

= ∫ γ dA( z 2 − z1 ) = γ ∫ dVol E = γ Vol

Como el empuje es mayor en las bases inferiores de los prismas, la resultante tiene dirección hacia arriba. ESTABILIDAD Y FLOTACIÓN Para que un cuerpo sumergido permanezca estable, su centro de gravedad debe estar situado directamente debajo del centro de presiones del líquido desplazado. Si los dos centros coinciden, se dice que el cuerpo está en equilibrio indiferente.

C p

p C G C

C G

Equilibrio estable

Hidrostática

3.21

Equilibrio indiferente


Tarea 2

1. Determinar la presión en kg/cm2 sobre una superficie sumergida a 6m de profundidad en una masa de agua. Solución: 2 P= 0.60 kg/cm (man)

2. Determinar la presión en kg/cm2 que ocurre a una profundidad de 9m en un aceite de densidad relativa de 0.75 Solución: 2 P=0.675kg/cm

3. Encontrar la presión absoluta, en kg/cm2, en el problema 1, si la lectura barométrica es de 75.6 cm de mercurio (densidad relativa 13.57). Solución: 2 P=1.628kg/cm

4. ¿A que profundidad en un aceite, de densidad relativa Dr =0.750, se producirá una presión igual a 2.80 kg /cm2? ¿A cuál si el líquido es agua? Solución: hac = 37.30m hag = 28.0m

5.

(a) Convertir un altura de presión de 5m de agua, en altura de aceite de densidad relativa 0.75 (b) Convertir una altura de presión de 60cm de mercurio (Dr=13.57), en altura de aceite de densidad relativa 0.75 a) b)

solución: 6.33m 10.85m

6. Con referencia en la figura, las áreas del pistón A y del cilindro B son, respectivamente, de 40 y 4000cm 2 y B pesa 4000 kg. Los depósitos y las conducciones de conexión están llenos de aceite de densidad relativa0.750. ¿cuál es la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A? P

A

5m B

Solución: P = 25kg.

Hidrostática

3.22


7. Determinar la presión manométrica en el punto A, en kg/cm2, debida a la columna de mercurio (Dr=13.57) en el manómetro en U mostrado en la siguiente figura. 3.8

A

D

3.6

C

3m

Agua B

Solución: P A = 1.0256kg/cm2

8. Aceite de densidad relativa 0.750 esta fluyendo a través de la boquilla mostrada en la siguiente figura y desequilibra la columna de mercurio (Dr=13.57) del manómetro en U. Determinar el valor de h si la presión en A es de 1.40 kg/cm2.

A .825m D h

B

C

Solución: h = 1.14m

9. Para una presión manométrica en A, de –0.11 kg/ cm 2, encontrar la densidad relativa (Dr) del liquido manométrico B, de la siguiente figura.

E

3.38m

Aire

3.15m

A

E

2.7m

C

D

F

3.0m

Líquido B

Dr=1.6

Solución: Dr = 1.0

Hidrostática

3.23


10. Para una lectura manométrica en A de –0.18 kg/cm2, determinar: a) la elevación de las ramas abiertas de los piezómetros E, F y G b) la lectura del manómetro en U de mercurio (Dr=13.57) de la siguiente figura. F

E

A

G

Aire Elev. 15m

Dr=0.70 Elev. 12m

Agua Elev. 8m Dr=1.60 Elev. 6m

C

h

B

D Elev. 4m

a)

b)

Solución: E = 12.43m F =12.30m G = 10.69m h =0.61m

11. Un manómetro diferencial esta unido a dos secciones rectas A y B de una tubería horizontal por la que circula agua. La lectura en el manómetro de mercurio (Dr=13.57) es de 0.60m, siendo el nivel mas cercano a A el mas bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kg/cm2. vease la figura siguiente.

0.60m

z

A

B

Solución: 2 P’A –P’B = 0.754 kg/cm

Hidrostática

3.24


12. Los recipientes A y B contienen agua alas presiones respectivas de 2.80 y 1.40 kg/cm 2.¿ Cual es la lectura en el manómetro diferencial de mercurio (Dr =13.57), mostrado en la siguiente figura?.

Elev= 5m

A x y

h

B Elev= 3m

Solución: h = 1.27m

13. Un deposito cerrado contiene 60cm de mercurio (Dr=13.57), 150cm de agua y 240cm de un aceite de densidad relativa 0.750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la presión manométrica en el fondo del deposito es de 3.0 kg/cm2, ¿ Cual será la lectura manométrica en la parte superior del depósito?

Solución: 2 1.860 kg/cm

14. Con referencia en la siguiente figura, el punto A en el recipiente, está 53cm por debajo de la superficie libre del líquido, el cual, posé una densidad relativa de 1.25, en el recipiente. ¿ Cual es la presión manométrica en A si el mercurio (Dr=13.57) asciende 34.3cm en el tubo?. Aire

34.3cm A

Solución: -0.40 kg/cm2

Hidrostática

3.25


15. con referencia en la siguiente figura y despreciando el rozamiento entre el pistón A y el cilindro que contiene el gas, determinar la presión manométrica en B en cm de agua. Supóngase que el gas y el aire tienen pesos específicos constantes e iguales, respectivamente, a 0.560 y 1.200 kg/ cm3 60 m A 1600 toneladas

GAS

90 m 20 m

Solución: 60.60cm de agua

16. Los recipientes A y B que contienen aceite y glicerina de densidades relativas 0.780 y 1.250, respectivamente, están conectados mediante un manómetro diferencial. El mercurio del manómetro está a una elevación de 50cm en el lado de A y a una elevación de 35cm en el lado de B. Si la cota de superficie libre de la glicerina en el deposito B es de 6.40m. ¿ a que cota esta la superficie libre del aceite en el recipiente A? Solución: Cota =7.60m

17. Un deposito A, a una elevación de 2.50m, contiene agua a una presión de 1.05 kg/cm2. Otro depósito B, a una elevación de 3.70m, contiene un liquido a una presión de 0.70 kg/cm2, si la lectura de un manómetro diferencial es de 30cm de mercurio (Dr=13.57), estando la parte más baja en el lado de A y a una cota de 30cm, determinar la densidad relativa del liquido contenido en B Solución: Dr = 0.525

18. El aire del recipiente de la izquierda de la figura siguiente esta a una presión de –23cm de mercurio, determinar la cota del liquido manométrico en la parte derecha, en A 2

p =0.2 kg/cm

Aire Elev.=36 m Aceite Dr=0.80

Aire Agua

Elev.=33.5 m

Elev.=32 m Dr=1.6 A

Solución: Elevación 26.30m

19. Los compartimientos B y C de la siguiente figura están cerrados y llenos de aire. La lectura barométrica es 1.020 kg/cm2. cuando los manómetros A y D marcan las lecturas indicadas, ¿qué valor tendrá x en el manómetro E de mercurio?.

Hidrostática

3.26


2.1 kg/cm 2

C

A

25 cm

B x

D

E Aire

Aire

Solución: x = 1.80m

20. El cilindro y el tubo mostrado en la siguiente figura contienen aceite de densidad relativa 0.902. para una lectura manométrica de 2.20 kg/cm2. ¿ cual es el peso total del pistón y la placa w?

W

1.80m

Pistón

1.80m

Solución: Peso =60.10kg

21. Con referencia a la figura, ¿qué presión manométrica de A hará que la glicerina suba hasta el nivel B?. Los pesos específicos del aceite de la glicerina son de 832 y 1250 kg/m3, respectivamente. A

Elev. = 9.0 m Aire

B

Elev. = 7.5 m Aceite Elev. = 3.6 m Glicerina Elev. = 1.5 m

Solución: 2 p = 0.35 kg/cm

22. Para levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gato hidráulico. Si en el pistón actúa una presión de 12 kg/cm2, y es transmitida por el aceite de densidad relativa 0.810, ¿qué diámetro se requiere? Solución: 32.6 cm

23. El peso específico de la glicerina es de 1260 kg/m3, ¿qué presión de succión se requerirá para elevar la glicerina 22 cm en un tubo de 12.5 mm de diámetro? 24. Solución: -277 kg/m2

Hidrostática

3.27


TAREA 3

1. El de posito de la figura siguiente contiene aceite y agua encontrar la fuerza resultante sobre la pared ABC que tiene 1.20m de anchura. A

3m

Aceite Dr = 0.80 B

1.8 m

Agua C

Solución: Fuerza total resultante = 11448 kg

2. En la figura siguiente la compuerta ABC esta articulada en B y tiene 1.2 m de longitud. Despreciando el peso de la compuerta, determinar el momento no equilibrado debido a la acción del agua sobre la compuerta. A

2.50 m 60°

C

B

1m

Solución: Momento no equilibrado = 2650 m kg (sentido de las agujas del reloj )

3. La compuerta AB de 1.80 m de diámetro de la figura mostrada a continuación puede girar alrededor del eje horizontal C, situado 10 cm por debajo del centro de gravedad (CG). ¿Hasta que altura h puede ascender el agua sin que se produzca un momento no equilibrado respecto de C, del sentido de las agujas del reloj?.

h A

CG 10 cm C B

Solución: h = 1.125 m por encima de A

Hidrostática

3.28


4. Encontrar para la compuerta AB (de la siguiente figura) de 2.50 m de longitud la fuerza de compresión sobre el jabalcón CD ejercida por la presión del agua (B, C y D son puntos articulados). 60 cm

A m c 0 9

C

m c 0 9

45° 60°

D

B

Solución: F = 7160 kg.

5. una compuerta vertical rectangular AB de 3.6 m de altura y 1.5 m de ancho puede girar alrededor de su eje situado situado 15 cm por debajo del centro de gravedad de la compuerta. La profundidad total del agua es de 6 m . ¿ que fuerza horizontal F ha de aplicarse en el fondo de la compuerta para mantener el equilibrio?. Solución: F =1490 kg

6. Determinar el valor de z (figura siguiente) de forma que la fuerza total sobre la barra BD no sobre pase los 8000 kg al suponer que la longitud en dirección perpendicular al dibujo es de es de 1.20 m y que la barra BD esta articulada en ambos extremos. C

Z

B 90°

2m

A

D

45°

Solución: Z = 1.84 m

7. un aceite de densidad relativa 0.800 actúa sobre un área triangular vertical cuyo vértice está en la superficie libre del aceite. El triángulo tiene una altura de 2.70 m y una base de 3.60m. una superficie rectangular vertical de 2.40 m de altura esta unida a la base de 3.60 m del triángulo y sobre ella actúa agua. Encontrar el modulo y posición de la fuerza resultante sobre la superficie total. Solución: F = 36.029 kg 3.57 m de profundidad

8. En la figura siguiente la compuerta AB tiene su eje de giro en B y su anchura es de 1.20m ¿Qué fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 2000kg?.

1.5 m A 1.5 m 45° B

Solución: F = 5200 kg

Hidrostática

3.29


9. Un deposito de paredes laterales verticales contienen 1m de mercurio y 5.5m de agua. Encontrar la fuerza que actúa sobre una porción cuadrada de una de las paredes laterales, de 50cm por 50cm de área, la mitad de la cual esta bajo la superficie de mercurio. Los lados del cuadrado están situados verticales y horizontales respectivamente. Solución: F = 1572 kg 5.52m de profundidad

10. En la siguiente figura para una longitud de 4m de la compuerta, determinar el momento no compensado respecto del eje de giro O, debido al agua, cuando esta alcanza el nivel A. A 1m 3m

O B

Solución: 18.000 m kg en el sentido de las agujas del reloj

11. El deposito de la sección recta se muestra en la siguiente figura tiene 2m de longitud y esta lleno de agua a presión. Determinar las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro en una posición, despreciando el peso mismo. 0.15 kg/cm m 1 = r

1.5 m

Agua

Solución: 4690kg hacia abajo y 6750kg hacia la izquierda

12. Determinar las componentes horizontal y vertical, por metro de longitud, de la fuerza debida a la presión del agua sobre la compuerta del tipo “Tainter” mostrada en la siguiente figura.

3m

= R

6 m

Solución: 4500kg y 1630kg

13. Determinar la fuerza vertical que actúa sobre la bóveda semicilíndrica mostrada en la siguiente figura cuando la presión manométrica leída en A es de 0.60kg/cm2. la bóveda tiene 2m de longitud. c m 0 6 = R

A

Dr = 1.60

Solución: F = 12.600kg

Hidrostática

3.30


III Hidrostática

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