II. Dereceden Denklemler & Eşitsizlik & Parabol

İLK SÖZ Herşeyin çok hızlı tüketildiği bir zamanda hayatımıza giren YENİ liklerin birçoğu daha anlaşılmadan tekno çöplüklere dönüşüyor. BİLGİ ise artık eskisi gibi değil, heryerde; zamandan ve mekandan bağımsız ulaşabiliyoruz. Oyunun yeni kuralı bilmekten çok, bilgiyi yorumlamaya dayanıyor. Bu süreçte siz öğrenci arkadaşlarımıza düşen, bilmekten çok YORUM lamak olacaktır. Bu kitapla amaçladığımız davranış biçimi soruları tek başınıza yorumlayarak çözmenizdir. Artık öğretmen de öğrenci de sizler olacaksınız. Bu kitapla bizim size sağlamak istediğimiz fayda evde tek başınıza yorumladığınız sorulara farklı bir bakış açısı kazandırmaktır. Herşey gönlünüzce...

Fikret ÇELENK & Merve ÇELENK

I

Copyright © Akıl Fikir Mektebi - Fikret Çelenk Bu kitabın ve sistemin her hakkı saklıdır. Tüm hakları Eğitim Atölyem Fikret Çelenk’e aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve sorular yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz, yayımlanamaz. Görsel Tasarım, Grafik ve Dizgi Bahtım KIRBAŞ BASKI NEŞE MATBAASI Esenyurt / İstanbul Tlf : 0(212) 886 83 30 Genel Dağıtım Akıl Fikir Mektebi Nailbey Sokak No : 24-26 Daire : 5 Kadıköy / İstanbul GSM : 0532 263 97 27 www.akilfikirmektebi.com Birinci Basım, Eylül 2013

II

MTEMATİK

II. DERECEDEN DENKLEMLER

İ İN İ DE E EDEN DEN LE LE a, , reel sa ılar ve a lmak zere a 2 ifa esine ikin i ere e en ir ilinme enli enklem enir

(a

⇒

www.akilfikirmektebi.com

Denklemi ar anlarına kökleri la iliriz

ii

ar anlarına a rılmı rsa enklemin iskriminantı ile kökler l n r Dİ

İ İN NT 2

a

3

0

a ırarak

ile gösterilir

ile esa lanır

i

ise, iki reel kök var ır

ii

ise,

2

5

ile kökler l n r a Diskriminant ile ilgili r mlar

(m

2)

3

0

enkleminin köklerin en iri ğ na göre, m ka tır ⇒

l-

Köklerden biri 1 ise; 1; bu denklemi sağlamalı.

Kökler çakışıktır. (Eşit iki kök vardır. Tam kare ifadedir. Çözüm kümesi bir elemanlıdır.)

ise, reel kök

2

Denklem 2. dereceden ise, 3 lü terimi yok etmeliyiz. 2 0 3 b–1 (a 2). 2 3 0

,

iii

b–1

a 2 ve b 3 seçilirse denklem ikinci dereceden olur.

l n rken iki öntem izle-

i

3

e itliği ikin i ere e en ir ilinmeenli ir enklem l ğ na göre, a t lamı ka tır

B enklemi sağla an reel sa ılarına enklemin kökleri enir Genellikle 1 ve 2 ile gösterilir ökler ne ilir

2)

⇒

5

2

2)

3

1 için; 5.( 1)2

(m

(m

⇒5 ⇒m

kt r 2

(m

2)

0 2)( 1) 3

10 bulunur.

0

3

0

2

2

1

2

0

enkleminin öz m k mesini n z ⇒

2

2

1 az

+1

Ba

k

–1 1 ve 2

2

1)

36

1 bulunur.

(m

2n)

az Bak

0 l -

1)

a b c

12

1 6 3

formülünden,

–6 ± 24 2.1 3 ± 6 bulunur.

Ç.K

3 2

6, 3 2

5

6 dır. 0

enkleminin öz m k mesini n z

+1 2).(n

–b ± 2a

1,2

+2

n

yi kullan

24 bulunur.

1,2

2

l -

0 denkleminde;

62 – 4.1.3

0 veya 0 2

3

b2 – 4ac

Çarpanlarına ayırarak bulabiliriz. m.n. 2 (m 2n) 2 0

(m

6

0 dır.


m

Çarpanlarına ayrılmıyorsa 2

1 , 1 dir. 2

Ç.K

m.n

1).(

0

⇒

0 dır.

m

2 0 veya n 1 0 2 1 ve 2 bulunur. 1 m n 2 1 Ç.K , m n 3

l -

Çarpanlarına ayrılmıyorsa yi kullan b2 – 4ac a 1 b 2 ( 2)2 – 4.1.5 c 5 4 20 16 bulunur. ∆ 0 olduğundan reel kök yoktur. Ç.K ∅ olur.

İKİNCİ DERECEDEN DENK EM ER

1

⇒

⇒

0 (2

3


Çarpanlarına ayırarak bulabiliriz. 2

⇒

l -

6

9 – 2.3

1

27

0

enkleminin öz m k mesini n z ⇒

Denklemde; 3

⇒

(3 ) – 2.3 .3


⇒

2

27

0

t – 6.t 27 0 3 t –9 t +3 (t 9).(t 3) 0 bulunur. t1 3

1

⇒ 2

2

Ç.K

2.

3

i)

0 için;

(

3).(

1)

3 ve ii)

3).(

2

1)

3 ve Ç.K

45

0

l n z

1

⇒

3 .3

2

Değişken değiştirelim; (

2

2 )2

2

18.( 45

t

–15

t

–3

∅

(t

2 )

45

2 0

0 a dönüşür.

15).(t

3)

2

15).(

0 dır.

0

2

3 3 1

l n z

⇒

(

2

0

0

(

5).(

2

2

3)

5

3

3

1

3).(

3).(

0

1)

0

1 bulunur.

0 için,

(

3]

3

enkleminin köklerini 2

2 )

2

9

3 tür.

9 ve 3

2

18.(

enkleminin köklerini

t2 – 18t

0 9 ve t2

2 dir.

l -

2 )

t olsun.

2

0

2

2

(

2

3 3 1

0

Kökler; Ç.K

0 1 bulunur.

3, 3 tür. 4

1

5;

2

3;

3

5, 3, 1, 3 tür.

3;

4

1 dir.

t

2

(m

5)

m

8

x+

0

enkleminin e it iki reel kök ğ na göre, m ka tır

⇒

2

(m

5)

m

8

l

enklemini sağla an

-

0

⇒

b2 – 4a.c

(m

5)

4.1.(m

m2

10m

25

m2

6m

7

m

+7

m

–1

8) 4m

1 (m 5) m 8

(

x+

x+2

x+

(

x+2

)

2

= (2)2

x+2 =4

)

2

= (4 − x)2

x + 2 = 16 − 8 x + x2

0 32

0 ⇒

0

2

9

14

0 bulunur.

7 2 ilk denklemi sağlamaz.

⇒

(m

7).(m

1)

0; m

7 ve m

1 dir.

1

5

2 ve

2

7 bulunur.


a b c

0 dır.

⇒

ka tır

Her iki tarafın karesini al

denkleminin eşit iki reel kökü varsa;

2

x+2 =2

E a

T

ve a,

Y B ,

2

NT L

reel sa ılar

1

enkleminin kökleri


2

1

1

ve

2

⇒

a

⇒

2

⇒

2

3

1

2

1

2

3

1

2

1

2

⇒

1

2

m n e

2

1

ve

2

ir

12

1

2

1

2

b a

1

1

. . .

3

2

c a 2 1

2

1

2

3) 1

m bulunur.

2 bulunur.

2

2 + 3–m

3

2

1

2

5

azıla ilir

⇒

1

1

2

2

1

0

1

(m

ar anlara a ırma aki özellikler en, 1

2

ls n

a

⇒

.

a

2

2

olduğuna göre, m ka tır

2

a

3)

enkleminin kökleri

lmak

zere

1

(m

m m

2

tarzın aki s r ların öz -

t azılarak er iki tarafın 1 2 karesi alınır 6

12 12 12 7 dir.

a b c

1 m 2

3

2

5

m

2

2

0

enkleminin kökleri 2 1

.

2

1

2

.

1

ve

2

ir

1

⇒

. 1 1

1

2

( 5) 1

2

.

2

1

.

a b c

5

Denkleminin katsayıları;

1 5 m 2

a

⇒

c a m+2 1

2

.

2

⇒

b a

m

2 2

2 dir.

1, b

⇒

4 tür.

4 x1.x2 + 2 3 2 3 x1 + = ⇒ = x2 x2 2 2 1

20

m ve c

2

.

2

c a 4

⇒

6 3 = x2 2

⇒ x2 = 4 bulunur.

4 değeri denklemde yerine yazılarak

m değeri bulunur. ⇒

1

(m

. 2.(

1

2). 5 m

2

)

20 ⇒

20 6 bulunur.

7

42 – 4.m

4

0

m

5 dir.


1

2

0

2

olduğuna göre, m ka tır ⇒

4

denkleminin kökleri 1 ve 2 dir. 2 3 ise, m ka tır 1 2

20

2

m

2

2

8

3

m

denkleminin kökleri 1

2

0 1

ve

2

2a

1

0

denkleminin kökleri

dir.

2

ise, m ka tır

2

3

2

1

1

ve

2

ise, a ka tır

2

Denkleminin katsayıları; Denkleminin katsayıları;


a

2, b

⇒

8 ve c

3 +

1

2

1

2

4 1

⇒

. 1 3

1

3

a

b a

2

1, b 2

4

3 ve c 2 2

1

⇒

8 ve

1

(

1

.

)2 – 2. 1.

2

c a

2

1 dir.

2a 2

⇒

c a

3–m ve m 2

2

1 dir.

3 bulunur.

12 2

1

2a

b a

2

4 dür.

3 bulunur ve

2

m dir.

1

⇒

3 bulunur.

1

(

2 2

3

)2 – 2 1 .

1

2

32

2.(2a 9

8

1 bulunur.

4a

3

2

1)

3

2

3

a

2 bulunur.

dir.

2

2

a

1

0

2

denkleminin kökleri 1

2

2

1

ve 1

dir. 2

1, b

3

2

1

. 1 ⇒

(

2

a

)2 2

2 1.

a

3

1 dir.

dir.

( x2 )

⇒

+ x 22 = −3 x1.x2

⇒

22 − 2.(a + 1) = −3 a+1

7 dir.

(

.

3 2

2

)3 – 3. 1. 2(

(

1

2

)3

3 1. 2.(

(–5)3 – 3.( 7).( 5) 125

105

230 bulunur.

2

3a

3

a

5 bulunur.

9

1

2

)

7

2

3 1

1

5

2 1

⇒

⇒

3 2

1

2a

2

2

x12

4

ve

ifa esinin eğeri ka tır

5 ve c

1

( x1 + x2 )2 − 2 x1.x2 = −3 x1.x2

⇒

1, b

2

2 2

1 dir. 1

2

1

Denkleminin katsayıları;

x1 x + 2 = −3 x2 x1

( x1)

⇒

a

0

1

2

)


2

1

3

1

2 ve c

7

denkleminin kökleri

ise, a ka tır

Denkleminin katsayıları; a

5

2

28

16

2

0

denkleminin kökleri t 2

1

m k

n 0 denkleminin bir kökü 6, p 0 denkleminin bir kökü 3

B iki ise, m

enklemin iğer kökleri e it k t lamı ka tır

⇒

2

n

⇒

2

2 1

ve

2

dir.

tür.

lamı ka tır


1, b

28 ve c


öncelikle; ⇒

(

1

1

+

+ 2

2

)2

2

⇒

T

1

2

16 dır. T olsun.

1

T2 +2

2

. 1

2

28

m

1

16

–

k

p

6

m

( 3)

1

.

2

dir.

m

m

T2

36 ve T 1 1

+ +

2 2

k ve m

k

9 dur.

m

5

0 ile,

m enklemlerinin irer kökleri rtak ise, m ka tır ⇒

Ortak kökleri 2

6 veya 6 dır.

negatif olmayacağından;

ve 3 olur.

2

28 + 2 16 8

1

ve 6 olsun.

lmak zere, 2

28

0 kökleri

1

k

9 1

0 kökleri

1

olsun;

2 +m 1 5 –5 1–m 1 ( 1 i yerine yazılıp denklemleri eşitledik.) 1

⇒

m

1

5

m

1

5

(m

5). 1 m 5 –m – 5 1 bulunur. , 1 1 m+5 Bulduğumuz kökü denklemde yerine yazarak m yi bulabiliriz.

6 bulunur.

⇒

( 1)2 + m( 1) 1

10

m

5

5

0 ve m

0 6 dır.

ökleri erilen mi Yazmak 1

2

1

2

Denklem

2

Dere e en Denkle-

7

0

enkleminin köklerinin sını kök ka l e en enklemi azınız

T ls n 2

4

2

T

4

7

0 ın kökleri

1

ve

eni denklemin kökleri;

ır

⇒

3 ve

2

T

1

2

+6

10 bulunur.

⇒

Ç

öklerin en irisi lan ikin i ere e en enklemi azınız 1 2

T

3

5 ise,

3

5 dir.

1

2

3

Ç

1

.

(3

2 2

5).(3

6

Ç 4

2

3 12

2 1

3) 3

2

9

14 bulunur.

2 2

– T.

.

7

⇒ 2

6 bulunur.

3).(

1 1

Kökler birbirinin eşleniğidir.

5+3+ 5

(

0 0 dır.

5)

4 bulunur. 11

– T. 10.

Ç 14

2 1

+3

2

olsun. 1

3 olur. 3

1

2

0 dan 0 dır.

+9

.

2

4 7


1

er fazlaere e en

2

(a

2)

8

0

denkleminin kökleri 2 1

2

1

ve

2

dir.

olduğuna göre, a ka tır



⇒

1, b 1

a .

2 2

8

2 3

⇒

1

1

2 ve

2

4 + ( 2)

2 1

8

2 2

8 dir.

8

2

.

2 ve c

1

a a

.

2

a

2

8

4 bulunur.

2 2, a

4 bulunur.

12

1.

7 – x2 = 0

3.

2x2 + 12x = 0

denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?


A) {–49, 49}

A) {–6}

B) {–7, 7}

D) {– 7, 7}

C) { 7, 7}

E) {–7, 7}

B) {0} D) {–6, 6}

C) {0, 6} E) {–6, 0}

TEST KODU : 20301

x2 – 4x = 0

4.

x2 + 4x – 21 = 0



A) {0, 2}

A) {–7, 3}

D) {4}

B) {2, 4}

C) {0, 4} E) {0}

B) {–3, 7}

D) {–3, –7}

13

C) {3, 7}

E) {–7, –3}


2.

5.

x2 – 3x – 40 = 0


3x2 + 7x – 6 = 0



A) {–5, 8}

2⎫ ⎧ 3 ⎫ ⎧ ⎧ 2 ⎫ A) ⎨− , 3 ⎬ B) ⎨−3, ⎬ C) ⎨− , 2 ⎬ 3 3 ⎩ 2 ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 3⎫ ⎧ D) ⎨−2, ⎬ E) {−3, 2} 2⎭ ⎩

B) {–8, 5}

D) {–6, 8}

6.

7.

C) {–5, 3}

E) {–2, 5}

x2 + 16x + 64 = 0

8.

10x2 – 11x + 3 = 0



A) {–4}

⎧1 3⎫ A) ⎨ , ⎬ ⎩2 5 ⎭

B) {–8} D) {–16, –4}

C) {8}

⎧1 2⎫ ⎧5 ⎫ B) ⎨ , ⎬ C) ⎨ , 2 ⎬ ⎩3 5 ⎭ ⎩3 ⎭ ⎧3 1 ⎫ ⎧5 ⎫ D) ⎨ , ⎬ E) ⎨ , 3 ⎬ ⎩2 5 ⎭ ⎩2 ⎭

E) {–8, 8}

14

9.

mx2 – (m2 + 1)x + m = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ⎧1 ⎫ A) ⎨ , 1⎬ ⎩m ⎭

⎧1 ⎫ B) ⎨ , m⎬ m ⎩ ⎭


C) {1, m}

A) {–2}

C) {0, –2} E) {–2, 2}

E) {−1, − m}

12.

p x + (pq – pr)x – qr = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ⎧p r ⎫ B) ⎨ , ⎬ ⎩q q ⎭

⎧ q r⎫ D) ⎨− , ⎬ ⎩ p p⎭

B) {2} D) {0, 2}

2 2

⎧ p r⎫ A) ⎨ − , ⎬ ⎩ q p⎭

1 1 =4– 2–x x–2

⎧ r q⎫ C) ⎨ , ⎬ ⎩p p ⎭

⎧ r q⎫ E) ⎨− , ⎬ ⎩ p p⎭

x+5 x+2 + =0 x–1 x+1 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ⎧1 ⎫ A) ⎨ , 3 ⎬ ⎩2 ⎭

1⎫ ⎧ B) ⎨−3, − ⎬ 2⎭ ⎩

⎧ 3 ⎫ D) ⎨− , − 1⎬ 2 ⎩ ⎭

15

⎧ 3⎫ C) ⎨1, ⎬ ⎩ 2⎭

E) {−2, 3}


10.

x2 +

TEST KODU : 20301

1⎫ ⎧ D) ⎨−m, − ⎬ m ⎩ ⎭

11.

13.

15.

6 x–5 + 2 =0 x+1 x +x


denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {–1, 2}

B) {0, 2}


D) {–1, 3}

– A) {1 + 3}

B) {–1, 2} C) {–2, 1} – – D) {2 + 3} E) {1 + 2}

C) {–2, –1} E) {2, 3}

3 2 1 + = x+1 x–1 x

14.

x2 – 2x – 2 = 0

16.

x2 – 4x + 1 = 0



A) {3}

A) {–2, 2}

B) {–3} D) {1, 3}

C) {–1, 0, 1}

– B) {2 + 2}

– D) {3 + 2}

E) {–3, 3}

16

– C) {2 + 3} – E) {1 + 3}

x4 – 5x2 + 4 = 0

1.

3.

(x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0



A) {–2, –1}

A) {–2, 2}

B) {1, 2}

D) {–1, 1}

C) {–2, 2} E) {–2, –1, 1, 2}

B) {–1, 3}

D) {–1, 2, 3}

C) {–2, 3}

E) {–2, –1, 2, 3}

TEST KODU : 20302

4. (x2 + 3x – 2)2 – 4(x2 + 3x – 2) – 32 = 0

denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? A) 0

B) 1

C) 2

D) 2 2 E) 3

aþaðýdakilerden hangisi denklemi saðlayan x deðerlerinden biri deðildir? A) –5

17

B) –2

C) –1

D) 1

E) 2


x4 – 7x2 – 8 = 0

2.

5.

4x – 10.2x + 16 = 0


3x − 5 + 1 = x denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

A) {1}

A) {2}

B) {2} D) {1, 2}

6.

7.

denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? C) {3} E) {1, 3}

B) {3} D) {–2, 3}

4x – 3.2x + 1 + 8 = 0

8.

C) {2, 3} E) {–3, 2}

5−x +x=3



A) {–2, –1}

A) {1, 4}

B) {–4, –2}

D) {2, 4}

C) {0, 1}

E) {1, 2}

D) {4}

18

B) {1, 2}

C) E) {1}

9.

x−2 +8=x olduðuna göre, x kaçtýr? A) 9

B) 11

C) 13

D) 15

x2 − 3 x + 2

11.

2

x + 2x − 3

=0


E) 17

A) {1}

B) {2} D) {–3, 2}

C) {1, 2} E) {–3, 1, 2} TEST KODU : 20302

3

x−7 +

1 3

12.

=2

x−7 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

4 x + 12 3 x − 1 + −4=0 3x − 1 x+3 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 7

E) 8

19


10.

B) 8

C) 9

D) 11

E) 12

13.

x2 + x + 1 =

15.

42

2

x +x


denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {–3, 2}

B) {–2, 3}

A) {–2, 0}

B) {–6, 4}

D) {0, 4}

C) {2, 3}

C) {–6, –2}

E) {–6, –2, 0, 4}

E) {–3, –1, 2}


D) {1, 2, 3}

(x + 1)2 – |4x + 4| – 5 = 0

14.

x2 – |x| – 2 = 0

16.

|x2 + x – 6| – |3x – 6| = 0


denklemini saðlayan x deðerlerinin toplamý kaçtýr?

A) {–2, 2}

A) –6

B) {–1, 2}

D) {–1, 1}

C) {–2, 1}

E) {1, 2}

20

B) –4

C) –2

D) 0

E) 2

mx2 – (m – 3)x + 4 = 0

1.

3.

x2 – (m + 1)x + 2 = 0

denkleminin köklerinden birisi 2 ise, m kaçtýr?

denkleminin köklerinden biri 2 olduðuna göre , diðer kökü kaçtýr?

A) –5

A) –2

B) –4

C) 0

D) 4

E) 5

B) –1

C) 1

D) 3

E) 4

TEST KODU : 20303

4.

5x2 + 2(n + 1)x – n2 = 0

–mx2 + (m – 3)x + 3m = 0

denkleminin bir kökü –1 ise, n kaçtýr?

denkleminin bir kökü m ise, diðer kökü kaçtýr?

A) 1

A) –4

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

21

B) –3

C) –2

D) 1

E) 2


2. n > 0 olmak üzere,

mx2 + (4m – 3)x – m + 3 = 0


5.

6.

7. 2(m + 1)x2 – 4(m – 1)x + m – 2 = 0

denkleminin kökler toplamý –3 olduðuna göre , m kaçtýr?

denkleminin kökler çarpýmý 1 olduðuna göre , m kaçtýr?

A) 2

A) –8

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

(p – 4)x2 – (2p – 4)x + p – 1 = 0

A) 10

B) 8

C) 6

D) 4

E) 2

D) –2

E) –1

denkleminin kökler toplamý, kökler çarpýmýna eþit olduðuna göre , m kaçtýr? A) 4

22

C) –4

x2 + 3x + m – 1 = 0

8.

denkleminin kökler toplamý 3 olduðuna göre , p kaçtýr?

B) –6

B) 3

C) –2

D) –3

E) –4

9. 3x2 – 6x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 11. x2 + (m + 1)x + 2 = 0 denkleminin kökx2 dir.

leri x1 ve x2 dir.

Buna göre, x1 + x2 + x1.x2 deðeri kaçtýr? A)

2 3

B) 1

C)

4 3

D) 2

3.(x1 + x2) – 5x1.x2 = –16 olduðuna göre, m kaçtýr?

E) 3

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

TEST KODU : 20303

denkleminin köklerinin aritmetik ortalamasý geometrik ortalamasýna eþit olduðuna göre , m kaçtýr? A) 1

B) 2

C) 3

D) 2

E) 3

ve x2 dir.

x + 1

1 =8 x 2

olduðuna göre, k kaçtýr? A) 9

23

B) 8

C) –4

D) –8

E) –9


12. x2 + kx – 9 = 0 denkleminin kökleri x1

x2 – 2mx + 2 = 0

10.

x2 – 8x + m = 0

13.

denkleminin kökleri ardýþýk iki tek sayý olduðuna göre , m kaçtýr?


A) 3

B) 5

C) 12

4x – 6.2x + 8 = 0

15.

D) 15

denkleminin kökler toplamý kaçtýr? A) 1

A) 1

1 1 deðeri + x x 1

kaçtýr? B) 2

C) 3

D) 4

C) 3

D) 4

E) 6

x −1 x −1 + =0 x−3 x−5

14. 2x2 – 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 16. ve x2 olduðuna göre ,

B) 2

E) 35

2

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x1 + x2 toplamý kaçtýr?

E) 5

A) 2

24

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

1. x2 – (k – 1)x + 8 = 0 denkleminin kökle- 3. 2x2 – 8x + k = 0 denkleminin kökleri x1 ri x1 ve x2 dir.

ve x2 dir.

1 1 3 + = x x 4 1

2x1 – 3x2 = 8 olduðuna göre, k kaçtýr?

2

olduðuna göre, k kaçtýr? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

A) 4

B) 3

C) 2

D) 1

E) 0

E) 9 TEST KODU : 20304

leri x1 ve x2 dir.

denkleminin köklerinden biri diðerinin 3 katýndan 3 eksik olduðuna göre , k kaçtýr?

x1 = 3.x2 olduðuna göre, m kaç olabilir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

x2 – 5x + 4k – 6 = 0

A) 1

E) 5

25

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


2. x2 – (3m + 1)x + 3 = 0 denkleminin kök- 4.

5. x2 + 5x – 4m + 12 = 0 denkleminin kök- 7. x2 – 3x + 2a – 1 = 0 denkleminin kökleleri x1 ve x2 dir.

ri x1 ve x2 dir.

2x1 – x2 = 17

x =

olduðuna göre, m kaçtýr? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

2 x + 14 2

1

3

olduðuna göre, a kaçtýr?

E) 14

5 2

B)

3 2

C)

1 2

D) –

3 2

E) –

5 2


A)

6. x2 – 15x + a – 4 = 0 denkleminin kökle- 8. x2 – 4x – 1 = 0 denkleminin kökleri x ve 1 ri x1 ve x2 dir.

x2 dir.

Buna göre, x12.x2 + x1.x22 ifadesinin deðeri kaçtýr?

x1 = 2x2 + 3 olduðuna göre, a kaçtýr? A) 36

B) 40

C) 44

D) 48

A) –8

E) 52

26

B) –4

C) –2

D) 2

E) 4

9. x2 – 6x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 11. x2 – (k – 2)x + 8 = 0 denkleminin köklex2 dir.

2

ri x1 ve x2 dir.

2

Buna göre, x1 + x2 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 20

B) 25

C) 30

D) 35

E) 40

x12 + x22 = 20 olduðuna göre, k nýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2


x2 dir.

leri bir dikdörtgenin kenarlarýdýr.

2

Buna göre, x1 + x2 kaçtýr? A) 23

B) 24

2

C) 25

ifadesinin deðeri D) 26

E) 27

Bu dikdörtgenin çevresi 34 br olduðuna göre , köþegeni kaç br dir? A) 5

27

B) 10

C) 12

D) 13

E) 17


10. x2 – 5x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 12. x2 – (m + 7)x + 6m = 0 denkleminin kök-

13. x2 – (m + 1)x – 8 = 0 denkleminin kök- 15. x2 – 7x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 leri x1 ve x2 dir.

ve x2 dir.

x1 = x22

A = x12 + x22 – 7x1 – 7x2 + 7 olduðuna göre, A kaçtýr?

olduðuna göre, m kaçtýr? B) 2

C) 3

D) 4

A) 1

E) 5

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9


A) 1

2 14. x2 – 2mx – 8 = 0 denkleminin kökleri 16. x + 4x – 5a – 3 = 0 denkleminin kökle-

ri x1 ve x2 dir.

x1 ve x2 dir.

x12 + 5x1 + x2 = 19

x1 = x22 olduðuna göre, x1 + x2 deðeri kaçtýr?


A) –4

A) 2

B) –2

C) 0

D) 2

E) 4

28

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

1. x2 – 4 2x – 17 = 0 denkleminin kökleri x1 3.

x2 – (3a – 2)x + 2a + 4 = 0

Buna göre, |x1 – x2| ifadesinin deðeri kaçtýr?

denkleminin köklerinin geometrik ortalamasý 4 olduðuna göre , aritmetik ortalamasý kaçtýr?

A) 2

A) 5

ve x2 dir.

B) 5

C) 7

D) 10

E) 12

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

TEST KODU : 20305

ve V2 dir.

leri x1 ve x2 dir.

A þehrinden B þehrine V1 km/sa hýzla gidip, V2 km/sa hýzla dönen aracýn yolculuðu boyunca ortalama hýzý kaç km/sa dir?

5 2 olduðuna göre, k kaçtýr? |x1 – x2| =

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

A)

29

2 3

B)

4 3

C)

3 2

D) 3

E) 6


2 2. –2x2 + 3x + k + 1 = 0 denkleminin kök- 4. V – 12V + 8 = 0 denkleminin kökleri V1

5. x2 – 3x + m = 0 denkleminin kökleri x1 7. x2 + 2x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve ve x2 dir.

x2 dir.

Buna göre, x13 + x23 toplamý kaçtýr?

x12 + x22 = 11 olduðuna göre, m kaçtýr?


A) –2

B) –1

C) 1

D) 2

A) –20 B) –18 C) –16 D) –14 E) –12 E) 3

6. x2 – 4x + 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 8. x2 – 5x + m + 1 = 0 denkleminin kökleri x2 dir.

3

3

x1 ve x2 dir.

Buna göre, x1 + x2 t

lamı ka t r

A) 4

D) 12

B) 6

C) 9

x13 + x23 = 5

E) 16

olduðuna göre, m kaçtýr? A) –5

30

B) –2

C) 2

D) 5

E) 7

9. x2 – 3kx + 9 = 0 denkleminin kökleri x1 11. x2 – 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve ve x2 dir.

x2 dir.

Buna göre, x1 – x2 ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr?

x1 – x2 = 3 olduðuna göre, k kaçtýr? A) –1

B) 1

C) 3

D) 5

A) 2

B) 5

C) 2 5 D) 10 E) 4

E) 7

TEST KODU : 20305

x1 ve x2 dir.

x2 dir.

Buna göre, x1 + x2 ifadesinin deðeri kaçtýr?

x1 – x2 = 1 olduðuna göre, p nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? A) 6

B) 5

C) 4

D) 2

E) 1

31

A) 1

B) 2

C) 2

D) 2 2 E) 3 2


10. x2 – px + p – 1 = 0 denkleminin kökleri 12. x2 – 6x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve

13. x2 – 12x + 9 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 15. x2 – 3x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

x2 dir.

Buna göre, týr?


A) 2

x x

B) 3

1

+

2

x

2

x

toplamý kaç-

1

C) 4

D) 6

Buna göre, x1 x1 + x2 x2 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 5

E) 9

B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5 5

14. x2 – 2x + c = 0 denkleminin kökleri x1 16. x2 – 4x – 1 = 0 denkleminin kökleri x ve 1 ve x2 dir. 1 x

+

1

x2 dir.

1 x

olduðuna göre, deðeri kaçtýr?

=2 2

A) –1

olduðuna göre, c kaçtýr? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

32

B) 1

3

x1 +

C) 3

3

x2 ifadesinin

D) 4

E) 5

1. Çözüm kümesi {–1, 4} olan 2. derece- 3.

x2 + mx + n = 0

den denklem aþaðýdakilerden hangisidir?

denkleminin çözüm kümesi {–3, 2} olduðuna göre , m.n çarpýmý kaçtýr?

A) x2 – 3x – 4 = 0

A) –6

2

C) x + 3x – 4 = 0

B) x2 – 3x + 4 = 0

B) –3

C) 2

D) 3

E) 6

2

D) x + 3x + 4 = 0

2

E) x + 4x – 3 = 0 TEST KODU : 20306

denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 – 2x – 8 = 0

B) x2 + 2x – 8 = 0

C) x2 + 2x + 8 = 0

D) x2 – 2x + 8 = 0

E) x2 + 4x – 8 = 0

ceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 + 4x – 1 = 0

B) x2 + 4x + 1 = 0

C) x2 – 4x – 1 = 0

D) x2 – 4x + 1 = 0

E) x2 – x + 4 = 0

33


2. Kökleri –4 ve 2 olan 2. dereceden 4. Köklerinden biri (2– 3) olan 2. dere-

2 5. Köklerinden biri 5 + 1 olan 2. dere- 7. x – 2ax + 3b = 0 denkleminin kökleri

ceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir?

sýfýrdan farklý a ve b sayýlarýdýr.

A) x2 – 4x – 2 = 0

B) x2 + 2x + 4 = 0

A) 5

C) x2 + 2x – 4 = 0

D) x2 – 2x + 4 = 0

Buna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? B) 6

C) 8

D) 9

E) 12


E) x2 – 2x – 4 = 0

8. x2 – 3x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve

6. x1 + x2 + x1.x2 = –1

x2 dir.

x1 + x2 – x1.x2 = –11 olduðuna göre, kökleri x1 ve x2 olan 2. dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? A) x2 + 6x – 5 = 0

B) x2 – 6x – 5 = 0

C) x2 + 6x + 5 = 0

D) x2 – 12x + 6 = 0

E) x2 + 12x – 6 = 0

34

Kökleri x1 – 2 ve x2 – 2 olan 2. dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 + x – 3 = 0

B) x2 – x – 3 = 0

C) x2 + x + 3 = 0

D) x2 – x + 3 = 0

E) x2 – 3x + 1 = 0

9. x2 – (x1 + 2)x + 3x2 = 0 denkleminin kök- 11. x2 – 3mx + 20 = 0 denkleminin kökleri, leri x1 ve x2

x2 – (m + 2)x + n = 0

olduðuna göre, kökleri x1 + 1 ve x2 + 1 olan denklem aþaðýdakilerden hangisidir?

denkleminin köklerinden ikiþer fazla olduðuna göre , m kaçtýr?

A) x2 – 3x + 6 = 0

B) x2 + 5x + 6 = 0

A) 2

C) x2 + 7x + 12 = 0

D) x2 – 7x + 12 = 0

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

10.

TEST KODU : 20306

E) x2 + 6x + 8 = 0

12. x2 – mx + 3m – 8 = 0 denkleminin kök-

x2 – 4x – 25 = 0

A) 25x2 + 4x + 1 = 0

leri, x2 + (m + 2)x – m + n = 0 denkleminin köklerinden 3 er fazla olduðuna göre , m kaçtýr? A) –3

B) 25x2 + 4x – 1 = 0 C) x2 – 4x – 29 = 0 D) x2 + 4x + 25 = 0 E) x2 + 2x – 25 = 0

35

B) –2

C) 1

D) 2

E) 3


denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir?

13. x2 – 3x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 15. x2 dir.

Kökleri x12 ve x22 olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 + 11x – 1 = 0

B) x2 – 11x – 1 = 0

C) x2 – 11x + 1 = 0

D) x2 – x – 11 = 0

2x2 – (2m + 6)x – 18 = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa, m kaçtýr? A) –3

B) –1

C) 0

D) –1

E) 3


E) x2 + x – 11 = 0

14. x2 – x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 16. x2 dir.

Kökleri,

1 1 ve olan ikinci x +1 x +1 1

2

dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 – x + 1 = 0

B) 2x2 – x + 2 = 0

C) 3x2 – x + 3 = 0

D) 3x2 – 3x + 1 = 0

E) 2x2 – 3x – 3 = 0

36

x2 – mx + 5x – 6 = 0 enkleminin simetrik iki kök na göre, m kaçtýr?

l

A) 1

E) 5

B) 2

C) 3

D) 4

ğ -

x2 – (m2 – 4m – 5)x + m – 2 = 0

1.

x2 – (2m – 1)x + 1 = 0

3.

denkleminin kökleri simetrik olduðuna göre , m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?

denkleminin çift kat kökü olduðuna göre , m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?

A) –5

A)

B) –4

C) 1

D) 4

E) 5

1 2

B) 1

C)

3 2

D) 2

E)

5 2

TEST KODU : 20307

denkleminin çözüm kümesi 1 elemanlý olduðuna göre , m kaçtýr? A)

25 B) 1 12

C)

4 3

x2 – (2m + 6)x + m2 = 0

4.

D)

5 3

denkleminin kökleri çakýþýk olduðuna göre, m kaçtýr?

E) 2 A) –

37

3 B) –1 2

C) 0

D)

1 3

E) 1


3x2 – x + m – 2 = 0

2.

(p + 5)x2 – (2p + 2)x + p = 0

5.

denkleminin çakýþýk iki kökü olduðuna göre , p kaçtýr?


A)

6.

2 3

B)

1 3

C) 0

D) –

1 3

mx2 + 2(1 – m)x + m – 3 = 0

7.

E) –

denkleminin kökleri birbirine olduðuna göre , m kaçtýr?

2 3

A) –1

x2 – 2x + m – 1 = 0

B) –2

C) –3

D) –4

eþit

E) –5

8. x2 + mx – n = 0 denkleminin bir kökü 1, x2 – kx + r = 0 denkleminin bir kökü 2 dir.

denkleminin çözüm kümesi iki elemanlý ise, m nin deðer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

Bu iki denklemin diðer kökleri ortak olduðuna göre , m + k toplamý kaçtýr?

A) ( 2, )

A) 1

D) (

B) (2, ) , 2)

C) ( 2, 2) E) (

, 2)

38

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

9. x2 + (m – 2)x + k = 0 denkleminin bir kö- 11. x2 – ax + 2 = 0 kü 5,

x2 – x + 3 – a = 0

2

x – (n + 3)x + v = 0 denkleminin bir kökü –7 dir.

denkleminin birer kökleri ortak olduðuna göre , a kaçtýr?

Bu iki denklemin diðer kökleri eþit olna göre , m n t lamı ka t r

A) 3

A) –13 B) –7

C) –3

D) 7

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

E) 13 TEST KODU : 20307

x2 + bx + q = 0 denkleminin bir kökü 3 tür. Bu iki denklemin diðer kökleri eþit olduðuna göre , b – a +

p q ifadesinin de-

ðeri kaçtýr? A) 4

B) 5

x2 + 6x + m – 24 = 0 denklemlerinin birer kökleri eþit olduðuna göre , denklemlerin diðer köklerinin toplamý kaçtýr? A) –8

C) 6

D) 7

E) 8

39

B) –5

C) –3

D) 3

E) 8


12. x2 – 5x + m – 2 = 0

10. x2 + ax + p = 0 denkleminin bir kökü 6,

13. x2 – 2x – 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 15. Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden x2 dir.

denkleminin kökleri arasýnda,

Buna göre, kökleri x1 + 3x2 ve x2 + 3x1 olan 2. dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 – 8x – 12 = 0

B) x2 – 8x = 0

C) x2 – 8x – 30 = 0

D) x2 – 8x – 24 = 0

x1 + x2 – 2x1.x2 = 3 x1 + x2 – x1.x2 = 6 baðýntýlarý olduðuna göre , bu denklem aþaðýdakilerden hangisidir?

E) x2 – 8x + 27 = 0

A) x2 + 3x – 3 = 0

B) x2 – 9x + 3 = 0

C) x2 + 9x – 3 = 0

D) x2 – 9x + 6 = 0


E) x2 + 9x – 6 = 0

14.

16.

(3x – 2)2 – 7.3x – 4 = 0

x3 – 3x2 – 3x + 9 = 0

olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?

denklemin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 0 < x < 1

A) {– 3, 3}

B) {–3, 3}

C) {– 3, 3}

D) {– 3, 3, 3}

B) 1 < x < 2 C) 2 < x < 3

D) 3 < x < 4

E) 4 < x < 5

E) {–3, – 3, 3, 3}

40

1.

x−2=

3.

x + 10

(x2 – 1)2 – 2.(x2 – 1) – 3 = 0



A) {6}

A) {0}

B) {4} D) {–1, 6}

C) {3}

B) {0, 2} D) {–2, 0, 2}

E) {–6, 1}

C) {–2, 2} E) {0, 1, 2}

TEST KODU : 20308

x2 + mx – 8 = 0 denkleminin bir kökü m ise, diðer kökü kaçtýr? A) –4

B) –3

C) –2

D) 2

⎛ 2x − 1 ⎞ x+3 6⎜ =5 ⎟+ ⎝ x + 3 ⎠ 2x − 1 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {1, 2}

E) 4

⎧3 5 ⎫ B) ⎨ , ⎬ ⎩5 6 ⎭

⎧3 6 ⎫ D) ⎨ , ⎬ ⎩5 5 ⎭

41

⎧6 5 ⎫ C) ⎨ , ⎬ ⎩5 3 ⎭ ⎧5 5 ⎫ E) ⎨ , ⎬ ⎩6 3 ⎭


4.

2. m > 0 olmak üzere,

2–x

3x


5.

6.

2

+ 32 + x – x = 10

7.

(x – 3).(x – 2) = (x – 2)

denkleminin kökler toplamý kaçtýr?


A) 0

A) 3

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

x4 + x2 – 12 = 0

8.

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

mx2 – (2m + n)x + 2n = 0

denkleminin reel köklerinin çarpýmý kaçtýr?


A) –3

⎧ n⎫ A) ⎨2, ⎬ ⎩ m⎭

B) –2

C) 1

D) 3

E) 9

⎧ m⎫ B) ⎨2, ⎬ ⎩ n⎭

⎧ n⎫ D) ⎨1, ⎬ ⎩ m⎭

42

⎧m ⎫ C) ⎨ ⎬ ⎩n⎭

⎧ m⎫ E) ⎨1, ⎬ ⎩ n⎭

9. x2 – 3x + n = 0 denkleminin kökleri x1 11. x2 – (m + 1)x + 81 = 0 denkleminin kökve x2 dir.

leri x1 ve x2 dir.

2

x1 = 3x22

x1.x2 + x1 = 9

olduðuna göre, m kaçtýr?

olduðuna göre, n kaçtýr? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

A) 8

E) 3

B)12

C) 16

D) 25

E) 29

TEST KODU : 20308

leri x1 ve x2 dir.

leri x1 ve x2 dir.

x13 + x23 = 4

x1 – 2x2 = 2 olduðuna göre, m kaçtýr? A) –3

B) –2

C) 2

D) 3

olduðuna göre, m kaçtýr? E) 6

A) 1

43

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


2 10. x2 – 5x + 2m + 8 = 0 denkleminin kök- 12. x – 4x + 3m – 1 = 0 denkleminin kök-

x2 + 2mx – 4m – 4 = 0

13.

15. x2 + (p + 2)x + 3p = 0 denkleminin kök-

denkleminin çözüm kümesi bir elemanlý olduðuna göre , m kaçtýr?

leri x1 ve x2 dir.

A) –2

olduðuna göre, p nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?

B) –1

C) 0

D) 1

|x1| = |x2|

E) 2


A) –10 B) –6

16.

x2 + mx + k = 0

14.

denkleminin çözüm kümesi {3} olduðuna göre , m + k kaçtýr? A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 15

C) 0

E) 10

x2 – 2bx + c = 0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, aþaðýdakilerden hangisi daima doðrudur? A) b2 < c

B) b < c2

D) b2 + c < 0

44

D) 6

C) b2 > c

E) b + c2 < 0

1.

2 – 4x + 3

(x – 3)x

3.

=1

|x2 – 1| – |1 – x| = 0



A) {1, 2}

A) {–2}

B) {1, 3}

D) {1, 2, 3}

C) {1, 4} E) {1, 3, 4}

B) {1} D) {–2, 1, 2}

C) {–2, 1} E) {–2, 0, 1}

TEST KODU : 20309

x2 + |x| – 2 = 0

4.

denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {–2, –1, 1, 2}

B) {–2, 2} C) {–1, 1}

D) {–2, –1}

x2 − x + 2 − x2 + x = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {–1, 2}

E) {1, 2}

B) {–2, 1}

D) {1, 2}

45

E)

C) {–2, –1}


2.

5. x2 + (a – 3)x + 2b = 0 denkleminin kökleri 7. sýfýrdan farklý a ve b sayýlarýdýr.


Buna göre, küçük kök kaçtýr? B) –1

C) 1

D) 2

A) 0

B) 4

C) 2

D) –2

E) –4

E) 3


A) –2

x4 – 10x2 + 9 = 0

6.

8.

x2 – b(a + 1)x + ab2 = 0

(x2 – 3)2 + 3(x2 – 3) – 4 = 0



A) {a, ab}

A) {–1, 1}

B) {b, ab}

D) {–a, ab}

C) {–b, ab}

B) {–2, 2}

D) {–2, 1}

E) {–a, –ab}

46

C) {–1, 2}

E) {–1, 1, 2}

(m + 1)x2 + (m + 5)x + m – 6 = 0

9.

11. mx2 – 2mx + 1 + m = 0 denkleminin

denkleminin köklerinden biri –2 olduğ na göre , m ka t r

kökleri x1 ve x2 dir.

A) 1


B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

2x12 + x1.x2 – x22 = 8 A) –2

B) –1

C) –

1 1 D) 3 3

E) 3

TEST KODU : 20309

x1 ve x2 dir.

ve x2 dir. 1

x1 + 2x2 = 7

x

olduðuna göre, m kaçtýr? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

+

1

x =3 2


E) 3

A) 1

47

B) 3

C) 5

D) 7

D) 9


10. x2 – 3x + m – 5 = 0 denkleminin kökleri 12. x2 – ax + 4 = 0 denkleminin kökleri x1

x2 + 3x – 4 = 0

13.

15.

ax2 + (ab – b)x – b2 = 0

denkleminin kökleri arasýndaki uzaklýk kaç birimdir?


A) 3

⎧ b ⎫ A) ⎨ − , b ⎬ ⎩ a ⎭

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

⎧b a ⎫ D) ⎨ , ⎬ ⎩a b ⎭


⎧ a ⎫ C) ⎨− , a⎬ ⎩ b ⎭

B) {−b, a}

b⎫ ⎧ E) ⎨−b, ⎬ a⎭ ⎩

14. x2 + 5x – 7 = 0 denkleminin köklerin- 16. x2 + (m – 3)x + 8 = 0 denkleminin kökden biri a dýr.

leri x1 ve x2 dir.

A = (a – 1)(a + 2)(a + 6)(a + 3)

x1

olduðuna göre, A deðeri kaçtýr? A) –13 B) –7

C) –1

D) 7

x2

– x1 = – 1


E) 13

A) –5

48

B) 3

C) 5

D) 8

E) 11

1.

2x + 3 −

3. 2x2 – 5x + p2 + q2 = 0 denkleminin kök-

x−2 =2


leri p ve q olduðuna göre, diskriminantý kaçtýr?

A) 8

A) 17

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

B) 9

C) 1

D) 0

E) –1

(ÖYS - 1989)

TEST KODU : 20310

4. x2 – 5x + 9 = 0 denkleminin kökleri a ve

denkleminin köklerinin geometrik ortalamasý 1 olduðuna göre , köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamý kaçtýr? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

b dir. a3b – 4a2b + ab2 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) –45 B) –36 C) –27 D) –18 E) –9

E) 6

49


x2 – 3(m + 2)x + 2m + 1 = 0

2.

5. (b + c)x2 + (c – a)x + a – b = 0 denkle- 7. x2 + mx + n = 0 denkleminin katsayýlar minin kökleri x1 ve x2 dir.

toplamý sýfýr ve kökleri eþit olduðuna göre , n kaçtýr?

x1 + x2 = x1.x2 olduðuna göre, aþaðýdaki baðýntýlardan hangisi daima doðrudur? A) a = bc

B) b = c


D) a = c

A) –2

B) –1

C) 1

D) 2

E) 3

C) b = ac E) a = b

6. x2 – 3x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 8. x2 dir.

Buna göre, kökleri 2 – x1 ve 2 – x2 olan denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 – x = 0

B) 7x2 – 6x = 0

C) x2 + x = 0

D) x2 + 3x + 2 = 0

E) x2 + x – 3 = 0

50

1 4 + +4=0 a a2 olduðuna göre, a kaçtýr? A)

1 2

B) 1

C) –2

1 2 (ÖSS - 2006)

D) –1

E) –

x3 – 5x2 + 5x – 1 = 0

9.

denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {1}

11.

B) {– 3, 3} – D) {2 + 3, 1}

C) {– 3, 1, 3}

x 2 − =0 x + 1 x2 − 1 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {–1}

B) {1} D) {2}

– E) {1 + 3, 1}

C) {–2} E) {–1, 2} TEST KODU : 20310 II. DERECEDEN DENKLEMLER

(x – 2)2 + |x – 2| = 6

12.

22x + 2 – 33.2x + 8 = 0

10.

denklemini saðlayan x deðerlerinin toplamý kaçtýr?

denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlýdýr?

A) 1

A) 0

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

51

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

13. a, b, t gerçel (reel) sayýlar olmak üzere, 15. Her x gerçel (reel) sayýsý için, x2 – ax + b = 0 denkleminin kökleri 1 ve t, x2 – 2ax – b = 0 denkleminin kökleri 2 ve t olduðuna göre, t kaçtýr? B) 1

C) 2

D) 3

olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? A) –9

B) –8

C) 0

E) 4

D) 8

E) 9

(ÖSS – 2002)


A) 0

x2 + ax – 5 = (x + 1)(bx + c)

x−3 x−3 + =0 x+4 x−6

14. x2 + x + a + 2 = 0 denkleminin kökleri 16. x1 ve x2 dir.


x12 + x22 = 5 olduðuna göre, a kaçtýr? A) –10 B) –8

C) –6

D) –4

A) 2 E) –2

52

B) 3

C) 4

D) 7

E) 8

x2 – (x1 + 2)x + x2 + 3 = 0

1.

3.

denkleminin kökleri x1 ve x2 olduðuna göre , x1.x2 çarpýmý kaçtýr? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

3x2 + 6x – 8 = 0 denkleminin köklerinin çarpma iþlemine göre terslerini kök kabul eden 2. dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir?

E) 5

A) 8x2 + 6x + 3 = 0

B) 6x2 + 8x – 3 = 0

C) 8x2 + 6x – 3 = 0

D) 6x2 – 8x – 3 = 0

x2 dir.

2.

⎛ ⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎟ olan ⎟ ve ⎜ x − Kökleri ⎜ x1 − 2 ⎜ ⎟ ⎜ x x ⎟ 2⎠ 1⎠ ⎝ ⎝ 2. dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir?

x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 8 denkleminin reel köklerinin toplamý kaçtýr? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

A) x2 – 3x + 1 = 0

B) x2 – 6x + 1 = 0

C) 2x2 – 6x + 1 = 0

D) 2x2 + 6x + 1 = 0

E) 2x2 + 6x – 1 = 0

E) 7

53


4. x2 – 6x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve

TEST KODU : 20311

E) 8x2 – 6x – 3 = 0

f(2x + 1) = 4x2 – 2x – 6

5.

7. x 0 olmak üzere, (x – y)2 = x2 – xy – y2

olduðuna göre, f(x) = 0 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? A) –2

B) 1

C) 3

D) 4

y oranýnýn alabileceði x deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? olduðuna göre,

E) 5

A) {0, 2}

B) {− 2 , 2 }


⎧1 ⎫ D) ⎨ , 2 ⎬ ⎩2 ⎭

denkleminin kökleri ardýþýk iki tamsayý olan x1 ve x2 olduðuna göre , k kaçtýr? A) 1

B) 3

C) 6

2, 1 +

2}

8. a ve b sýfýrdan farklý sayýlardýr.

x2 – 7x + 2k = 0

6.

E) {1 −

⎧ 1⎫ C) ⎨0, ⎬ ⎩ 2⎭

D) 12

E) 15

2

x – ax + b = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri x1 + x2 ve x1.x2 olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) x2 – (a +b)x + ab = 0 B) x2 – abx + a + b = 0 C) x2 – (a + b)x – ab = 0 D) x2 – abx + a – b = 0 E) x2 – (a – b)x – ab = 0

54

b olmak üzere, f(x) = x2 – 2x – 1 fonksiyonu veriliyor.

9. a

11. x2 – 6x + m + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

f(a) = 0 ve f(b) = 0

3x12 + 2x1.x2 – x22 = 12

⎛ 1 1⎞ olduðuna göre, f ⎜ + ⎟ kaçtýr? ⎝a b⎠ A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

olduðuna göre, m kaçtýr? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


12. x2 – (3a – 1)x + a2 = 0 denkleminin kök-

⎝

⎠

⎝

leri x1 ve x2 dir.

⎠

x +

denkleminin köklerinden biri x1 dir. 1 Buna göre, x 2 + deðeri kaçtýr? 2 1 x

1

B) 5

C) 7

2

olduðuna göre, a aþaðýdakilerden hangisidir?

1

A) 3

x =3

A) 1

D) 9 E) 11 (ÖSS - 1999)

55

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


2

10. ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ − 6 ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ + 9 = 0 x x

13. x2 – (m – 1)x + 2 = 0 denkleminin kök- 15. –x2 + (t + 2)x + k = 0 denkleminin kökleri leri x1 ve x2 dir.

x2 – t2x + t = 0 denklemininde kökleri olduðuna göre , t aþaðýdakilerden hangisi olabilir?

2

x1 .x2 + x1 + 3x2 = m + 1 olduðuna göre, m kaçtýr? B) –2

C) –1

D) 1

A) 1

E) 2

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


A) –4

2 14. x2 – x + 2a – 4 = 0 denkleminin kökleri 16. x + mx + n = 0 denkleminin kökleri,

mx2 + 3x – 1 = 0 denkleminin köklerinden birer fazladýr.

x1 ve x2 dir. x12 – x22 = 5

m pozitif olduðuna göre , n kaçtýr?

olduðuna göre, a kaçtýr? A) –3

B) –2

C) –1

D) 1

A) –3

E) 2

56

B) –2

C) –1

D) 0

E) 1

3. x2 – 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2

1. 9a = 3b – c olmak üzere,

dir.

ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü aþaðýdakilerden hangisidir?

Buna göre, x12 + 5x2 + 9 ifadesinin deðeri kaçtýr?

A) 9

A) 11

B) 3

C) 1

D) –3

E) –6

B) 15

C) 21

D) 29

E) 31

TEST KODU : 20312

4. x2 + px + q = 0 ve x2 + mx + n = 0

f2(x) – 12f(x) = x2 + 8x – 20 olduðuna göre, f(x) aþaðýdakilerden hangisi olabilir?

denklemlerinin ortak çarpaný (x – 2) q–n olduðuna göre , oraný kaçtýr? p–m

A) x – 6

A) 2

B) –x + 2 D) –x – 10

C) –x + 8

E) x – 10

57

B) 4

C) 8

D) –2

E) –4


2.

5.

5m2 – 4mn + n2 n

2

eþitliðini saðlayan n nin m cinsinden deðerleri toplamý aþaðýdakilerden hangisidir?


m m A) –2m B) –m C) – D) 2 2

(a + 3)x2 – ax + 1 = 0

7.

=9

denkleminin kökleri eþit olduðuna gö12 re , a – kaçtýr? a A) –12 B) –6

C) 4

D) 6

E) 12

E) m

6. x2 – 8x + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve 8. x2 + px + q = 0 ve x2 + mx + n = 0 x2 dir.

denklemlerinin ortak çarpaný (x + a) q–n oraný kaçtýr? p–m

1 ifadesinin deðer kaçtýr? x +2 1 x

olduðuna göre ,

1

A) 2 2 B) 3

A) a

C) 10 D) 2 3 E) 14

58

B) a2

C) 2a

D) 2a2

E)

a 2

9. a 0 için,

11.

2

ax + bx + c = 0 denkleminde a + b + c = 0 olduðuna göre, denklemin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {1, b}

b⎫ ⎧ C) ⎨1, − ⎬ a⎭ ⎩

B) {1, c }

C) Eþit iki kök var

D) Kökler negatif

E) Kökler ters iþaretli

dir.

denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ⎧b ⎫ B) ⎨ , ab ⎬ ⎩a ⎭

⎧a b ⎫ C) ⎨ , ⎬ ⎩b a ⎭

= a2 + 4b2 olduðuna göre, a + 2b nin pozitif deðeri kaçtýr? A) 1

⎧ a ⎫ E) ⎨− , ab ⎬ b ⎩ ⎭

59

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


12. x2 – 5x + ab = 0 denkleminin diskriminantý

ax2 – (a2b + b)x + ab2 = 0

⎧ b ⎫ D) ⎨− , ab ⎬ a ⎩ ⎭

B) Kökler pozitif

⎧ c⎫ E) ⎨1, ⎬ ⎩ a⎭

10. a ve b reel sayýlar olmak üzere,

⎧a ⎫ A) ⎨ , ab ⎬ ⎩b ⎭

A) Gerçel kök yok

TEST KODU : 20312

c⎫ ⎧ D) ⎨−4, ⎬ a ⎩ ⎭

a = 0 ve a < 0 2 olduðuna göre, denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? x2 – (a – 1)x –

x2 – (m – 1)x + 3m = 0

13.

5

15.

x4 + 5 x2 – 2 = 0

denkleminin köklerinden biri 2 ise diðer kökü kaçtýr?


A) –9

A) {1, 2}

B) –8

C) –7

D) 7

E) 9


D) {–3}

(x – 2).(x2 – 6x + a) = 0

14.

x1 = x2 koþulunun gerçekleþmesi için, a yerine gelebilecek sayýlarýn toplamý kaç olmalýdýr? A) 8

B) 10

C) 13

D) 15

E) 17

60

C) {3}

E) {–2, 2}

23 x2 + 3 x – 3 = 0

16.

denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 tür.

B) {–1, 1}

denklemini saðlayan x hangisi olabilir? A) –

27 8 8 27 B) – C) D) 8 27 27 8

E) 4

MATEMATİK

II. DERECEDEN E İT İ LİKLER

E İT İ Lİ LE reel sa ılar lmak zere,

a ve a

ise, a,

3≤0

4

e itsizliğinin öz m k mesini n z

L

l -

f( ) a

ise, a,

a

ise,

ax + b > 0 b x > – ise, a

a,

L

Y

a,

L 4

b , a

3 4

x 3

a

l r

Dahil Ç.K

(

3 ] 4

,

a –

b ise, a

b a

,

l r

a

f nksi

x f

n n n ir kök –

–

–

b a

ır

3

2≥

7

2 2

7

⇒ 2.(3 ⇒6

b a

+

–

+

a

ise,

+

–

a

ise,

Ç.K = [ 63

11 , ) 8

2) ≥ 7 4 ≥ 7 – 2x

⇒ 8 ≥ 11 11 ⇒ ≥ bulunur. 8

2

l -

İK ER

2 2 e itsizliğinin öz m k mesini n z 2≥

3

f

4 pozitif

İKİNCİ DERECEDEN EŞİTSİ

a

L

4 3 0 3 kökü ve a 4 dür. 4 Tablomuzu yapalım;

x2 8 15 0 e itsizliğinin en geni sini l n z

İ İN İ DE E EDEN E İT İ Lİ LE f a 2 + bx + c a, b, c R a f

enkleminin kökleri

1

ls n i


1

–

x1

a nın i areti ile a nı i aret

f

x2 a nın i areti ile zıt i aret

⇒

f(x)

⇒

(

2

8

15 5 3

ve x2

ise,iki farklı reel kök var ır T x

TE x

0

x

3).(

5)

3

5

0

3 ve 5 kökleridir.

0

Kökler dahil olmadığı için AÇIK ARA IK

f(x)

2

+ a nın i areti ile a nı i aret

Ç.K

(

öz m k me-

Dahil değil , 3) (5, ) 2

ii

ise, İ T x f

1

2

4 21 0 e itsizliğini sağla an nın t lamı ka tır

ir

T

–

x


1

⇒

+

2

f(x)

4 Bak


az

⇒

(

7).(

x

7

3)

21 7 3

T

LE DE

İ

İ T DE İ

T

LE DE

İ

ET

(

7 ve 3 kökleridir.

Kökler dahil olduğu için KA A I ARA IK

ET Ç.K

0

0

3

f(x) TE DE İ İ

tamsa ıları-

Dahil , 7 3, )

Tamsayılar toplamı;

E 64

... 9 8 7 3 4 ⇒ 18 bulunur.

5

6

7

8

9

...

x2

6

9

e itsizliğinin en geni sini l n z ⇒

f(x)

2

6

GENEL

0

9

E itsizlik s r larının öz mlerin e

öz m k me-

B t n ar anlarının a a ölenlerin kökleri l n r

0

öklerin karakterleri elirlenir

3

⇒

x

(

3)2

0

a)2n

(

2n

a Tek kat b Çift kat

b)

Tek katlı kökler e i aret eği ir

3 fonksiyonunun ÇİFT KAT I K K

ift katlı kökler e i aret DE İ E

3

ökler k kten zilir l an ağa

f(x) DAHİ

Çift Kat Köklerde İşaret Değişmez

B l

a i-

ksa

a ıktır

E itlik varsa

3 tür.

Y aki kökler ka alı, YD

aki kökler a ık azılır

E itsizlik s r ların a DELE Tİ EY L ök ka e ersin ± 65

ler aima a ık aralıktır

İK ER

3 sağlar.

ğe ta l

ğ m z en k kökten a a k ir sa ı ile i aret elirlenir

E itlik Eşitlik olduğu için Ç.K

1


3

(

x3

4

2

3

0

(

e itsizliğinin öz m k mesini n z ⇒

f(x)

.(

2

4

3)

l -

0


1

x

.(

1).(

3

3)

1

0

0

f(x)

5)

(

5)

e itsizliğini sağla an nın t lamı ka tır

3

⇒

4)(

⇒

(

4).(

5)

(

5)

⇒

(

4).(

5)

(

5)

⇒

(

5).(

4

1)

(

5).(

f(x)

3, 1 ve 0 kökleridir.

tamsa ıları-

0

0 3)

0

Eşitsizlik sorularında SADE EŞTİRME A MA

0 dan büyük değerlerde f( ) ( ) olur.

x

3

3 ve 5 kökleridir.

5

f(x) Kapalı

f( )

0 için açık aralık.

Ç.K

( 3, 1)

f( )

(0, ) bulunur.

0 için kapalı aralık

Ç.K

3, 5 dir. 3

2

1

9 bulunur. 66

0

1

2

3

4

5

x2

7

10

2

9 x e itsizliğinin en geni sini l n z 5 2 10

7 2

x

9

5).(

2

25)31

0 ( 2) e itsizliğinin öz m k mesini n z 69

öz m k me-

⇒ (

2).(

5)

(

3).(

3)

f( )

(

(

5)32.( (

5)31

2)69

(

0

3, 2, 3 ve 5 kökleridir.

5)31.(

5).(

5)31

2)69

0

2 ve 5 TEK KAT, 5 ÇİFT KAT K K ERİDİR.

x

3

2

3

5 x

2

5

f(x)

KA A I

AÇIK KA A I Ç.K

(

, 3)

2, 3)

5, )

f( ) 0 iken, A daki kökler kapalı, A DA daki kökler açık olur.

Ç.K

67

( 2, 5

5 bulunur.

İK ER

AÇIK

5

l -


⇒

x x x2

(

0

a

lmak zere, (

a).( (

b)

x

4

3

x

0

c)

e itsizliğinin öz m k mesini


l -

n z


⇒

f( )

(

a).( (

b) c)

4 x 4 x < ⇒ − <0 3 x 3 x ( x)

0

⇒ f ( x) =

a, b ve c kökleridir. a

x

c

b

b

(3)

2

x − 12 <0 3x

c 2 3, 0 ve 2 3 kökleridir

a

f(x)

2 3

x

0

2 3

f(x) AÇIK

Ç.K

(

, c)

AÇIK

( b, a) bulunur. Ç.K

68

(

, 2 3)

(0, 2 3) bulunur.

l -

3 x.(2 − x)124 .( x2 − 5 x − 24)103 13

(8 − x)


13

(8 − x)

x−x

2

≥0

e itsizliğinin en geni sini l n z

l -

≥0

f ( x) =

x2 − 6 x x−x

2

=

x.( x − 6) ≥ 0 dır. x.(1 − x)

3 TEK KAT

1 ve 6 TEK KAT

2, 8 ÇİFT KAT köklerdir. 3

x

2

0 ÇİFT KAT köklerdir.

8

X

f(x)

0

1

6

AÇIK

AÇIK

3x den kök gelmez DİKKAT , 3

Ç.K

2 bulunur.

69

(1, 6 bulunur.

KA A I

İK ER

f(x) KA A I

Ç.K

öz m k me-


3 x.(2 − x)124 .( x − 8)103 .( x + 3)103

x2 − 6 x

≥0

E İT İ Lİ

İ TE İ

x

4 .( x − 5)

İki ve a a a fazla e itsizlik a nı an a s r l rsa ⇒

Tek ta l a a rı a rı öz l İ LE İNİ almalı ız

( x + 3) 2

, E İ-


2

3

0

2

5

0

x

4 .( x − 5) ( x + 3)

⇒ g( )

e itsizlik sisteminin öz m k mesini l n z ⇒ f( )

5

2

.(5

)

x2

4

(

5).(

5 TEK KAT 3 ÇİFT KAT kökleridir. 5 1)

0 1 ve 5 kökleridir.

0 dır. 0 ve 5 kökleri.

⇒ g( ) x

3

2

0

2

2

2

.(

2)

x

0

g( )

1

5

g( ) Ç.K

Ç.K Ç.K

3

f(x)

5 2 TEK KAT 0 ÇİFT KAT kökleridir.

f(x)

öz m

<0

0 2

2

4

<0

e itsizlik sisteminin en geni k mesini l n z

⇒ f( )

5

2

Ç.K

(0, 2) bulunur. 70

(

, 1

3 bulunur.

TL

DE E Lİ E İT İ Lİ LE +

a,

lmak zere

f

a ise, a

f

a ise, f

a

(x2

f

f

a a ve f

ise, a a

f

2).( 4

2

f a

(x2

2).( 4

2

9)

x2 2 0 kök yok 3 ve 3 TEK KAT 4 ÇİFT KAT kökleridir. l -

x

3

5

5 TEK KAT 1 ÇİFT KAT kökleridir.

Ç.K

1

f(x) KA A I Ç.K

5, )

AÇIK 1 71

( 3, 3) bulunur.

3

4

İK ER

x

0


f(x)

f(x) 0

l -

ve

5 0 1 e itsizliğinin öz m k mesini n z ⇒ f(x)

0


a

a ifa esinin ir kök lan a İ T T gi i avranır

5 1

9)

2 1 5 3x.( 2 5)

e itsizliğinin öz m k mesini n z 3x

0 kök yok

x2

5

0 kök yok

y

0 l -

3 y

3x.( 2 5) ifadesi daima pozitiftir.


O halde; 2

1

5 1

5

⇒ 5

2

1

⇒ 6

2

4

⇒ 3

f nksi

2

0

(

3 ).f( )

e itsizliğinin en geni sini l n z ⇒

5

f( ) in kökleri; 3

⇒

2 dir.

Ç.K

Y karı a f fiği verilmi tir

0 olması yeterlidir.

⇒ 2

(

2

.(

x

Grafiğin eksenini kestiği n ktalar TE T kökler ir

3).f( )

Grafiğin eksenine teğet l n ktalar İ T T kökler ir

5

n n n gra-

öz m k me-

0 ve

5, 3 Tek kat 0

Çift kat

0

3

h( )

ğ Ç.K 72

(

, 5)

3 tür.

0

h( ) in kökleri;

İ Lİ E İT İ Lİ LE DE

f( )

5 ve 0 Tek Kat Çift Kat

3 ) in kökleri

h( )

3, 2 bulunur.

G

x

5

(3, ) bulunur.

İ İN İ DE E EDEN DEN LE LE İN LE İNİN İ ET İN ELEN E İ a,

+

ve

f

2

a ve

+ bx + c < 0 < x2 ise, Y r mY k l r

2

,

1

⇒

⇒

. 1

< x2

⇒

(m

ise,

a

f

D İ

i

2

ve a

ii

ve a f

D İ

.

2

9

0 le-

⇒ orum yok. 0 olur.

2

a

c a

2

m

2

b

3m

2

c

m2

9

0

3).(m 3) (m 2)

m

l r

2

f

⇒ x1

m2 9 m 2

x1 + x2 < 0 x1

m2

i in,

3

x1.

2

(

, 3)

m

0

2

3, 2 ve 3 kökleridir.

3

ise, İTİ Tİ

Ç.K

ise, NEG Tİ Tİ 73

(2, 3) bulunur.

İK ER

l r

2

2)

< x2 ise,

x1 + x2 > 0

1

2

1

l r

,

0

< 0 < x2 ve |x1| < |x2 ise,

, < 0 < x ve |x | > x ise, 1 2 1 2 x1 + x2 < 0 x1 2 l r

x1

(3m

ıt işaretli iki kökü varsa; x1

x1 + x2 > 0 x1

2


1

2)

enkleminin zıt i aretli iki kök ğ na göre, m in ala ile eği ğerler k mesini l n z

ls n

1

x1 + x2 x1 2 ,

ve a

(m

(a

2)

2

(a

4)

2a

enkleminin kökleri 0

1

2

ve

1

6

0

f( )

ve x2 ir

1

(m

2

f( )

a

2

b

ozitif

0


x1 ⇒

ve 2

2

0 ve

1

2

.

2

a a

0 olmalıdır.

4 2

0

I

⇒

a

⇒

m

m

. 1

2a 6 a 2

2

0

2

3

3

0

( m)2

II

Eşitsizlik sisteminin ortak çözümü; x

0 olmalıdır.

3 bulunur.

⇒ ⇒

a

ise, 2

1 1

4.(m

m2

4m

(m

6).(m

3).1

12

0

0

2)

0 bulunur.

Ortak çözümden;

4

m

I

3

a

II

Ç.K

1

c

f( ) Daima 0

m

f nksi n aima zitif eğerler al ığına göre, m angi aralıkta lmalı ır

lması i in, a nın ala ile eği eğerler k mesini l n z

x1

2

3)

( 2, 3) bulunur.

Ç.K

74

( 2, 6) bulunur.

2

6

1.

5x – 32

3.

0

x2 – 5x + 6

0

eþitsizliðini saðlayan kaç farklý doðal sayý vardýr?

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 6

A) (2, 3]

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

B) [2, 3)

D) (– , 2]

[3, )

C) [2, 3] E) (2, 3)

TEST KODU : 20401

4.

0

x2 + x – 2

EŞİTSİ

x2 – 9

2.

0


A) 3

A) (2, ]

B) [–2, 3]

C) [–1, 2]

D) (– , –1]

B) 4

C) 6

D) 7

E) 8

E) (– , –2]

75

[1, )

[2, )

İK ER

eþitsizliðini saðlayan kaç farklý doðal sayý vardýr?

5.

(x2 + 6).(3x – 3) > 0


x2 + 3x + 4 < 0



A) (–6, –1)

A) (–1, 4)

B) (– , 1)

D) (– , –1)

6.

7.

(x – 1).(x – 3)

C) (1, )

E) (–1, 1)

B) (–4, 1)

D) R

8.

x–1

C) {1}

E)

(x – 1).(4 – x2) > 0



A) [1, 4]

A) (–2, 1)

B) (1, 4) D) (3, )

C) [1, 3] E) (–3, )

{1}

76

(2, )

B) (– , –2)

(1, 2)

C) (– , –2)

(2, )

D) (–2, 1)

(1, )

E) (– , 1)

(2, 4)

9.

(x – 2).(9 – x2)

0

11.

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (– , –3] C) (– , 2]

[2, 3] [3, )

(x2 – 2).(x2 + 4) 2 x –4

<0

B) [–3, 2]

[3, )


D) (– , 2]

[9, )

A) (–2, – 2)

E) [–3, 3]

C) (–2, 0)

( 2, 2)

B) (– 2, 2)

( 2, 2)

D) [– 2, 2]

x–6 2

x –4

12.

>0

A) (–2, 2) C) (– , –2)

(6, )

B) (–6, –2)

(2, 6) D) (–4, 4) E) (– , –4)

(2, )

x+1

>2

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (1, 2)

B) (–3, –1)

D) (–1, 3)

(6, )

(4, 6)

77

C) (–1, 1)

E) (1, 3)

İK ER


x–1

EŞİTSİ

10.

(2, )

TEST KODU : 20401

E) (– , – 2)

13.

x2

–1 x–2 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [–2, 2)

B) [1, 2)

C) (–2, 1]

D) (– , –2]


E) (– , 2)

14.

x

x + 17

eþitsizlik sistemini saðlayan kaç farklý tam sayý deðeri vardýr? B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

[1, 2)

(4, 5)

3

B) –2

9 – 2x < 3x – 1

A) 6

– >0 2 x eþitsizliðini saðlayan en küçük tamsa eğeri ka tır A) –4

15.

C) –1

D) 2

16.

E) 4

3–x.(x – 1) (x + 2)

0

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (– , 1]

B) (–2, 1]

D) (– , 1] – {–2}

78

C) [0, 1)

E) (– , –2)

{0}

1.

–2x + 5

0


3.

5⎤ ⎛ ⎛ 5 ⎞ ⎡ 5 ⎞ A) ⎜ −∞, − ⎥ B) ⎜ − , ∞ ⎟ C) ⎢ − , ∞ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎠

, 14)

B) ( 14, ) C) ( 14, 14)

D) (14, )

E) (

, 14)

5⎤ ⎛ E) ⎜ −∞, ⎥ 2⎦ ⎝

A) (4, )

A) 1

D) (

B) ( 4, ) , 4)

C) (

, 4)

E) ( 4, 4)

79

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

İK ER


2x x + 3 2 – x – 3 4 2 eþitsizliðini saðlayan en küçük tamsayý deðeri kaçtýr?

4.

3.(x – 2) < 4x – 2

EŞİTSİ

2.

A) (

TEST KODU : 20402

5⎞ ⎛ D) ⎜ −∞, ⎟ 2⎠ ⎝

x+2 x–2 < 4 3 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

5.

x2 – x + 3 > 0


5)

0



A) (–1, 3)

A)

B) (–3, 1)

D) R

6.

(x + 2)2.(

7.

(3x – 1) (x + 1).(2 – x)

C) {–1}

E)

2, 5

B)

2, 5)

D) (2, 5

C) (

,5

E) 5, )

0

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ⎡1 ⎞ A) (−∞, − 1) ∪ ⎢ , 2 ⎟ ⎣3 ⎠ 1⎤ ⎛ B) ⎜ −∞, ⎥ ∪ (1, 2) 3⎦ ⎝ 1⎤ ⎛ C) ⎜ −1, ⎥ ∪ (2, ∞) 3⎦ ⎝ ⎡1 ⎞ D) ⎢ , 1⎟ ∪ (2, ∞) ⎣3 ⎠

(x2 – 4).(x + 3)2012

8.

0

eþitsizliðini saðlayan x in kaç farklý tam sayý deðeri vardýr?

⎡ 1 ⎞ E) (−∞, − 1) ∪ ⎢ − , 2 ⎟ ⎣ 3 ⎠

A) 3

80

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

x2(x2 – 2x – 24) < 0

9.

eþitsizliðini saðlayan kaç farklý x tamsayý deðeri vardýr? A) 7

B) 8

C) 9

x2 – 8x + 7

11.

D) 10

2

(x + 2)

<0

eþitsizliðini saðlayan x tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr?

E) 11

A) 32

B) 28

C) 24

D) 20

E) 16

TEST KODU : 20402 EŞİTSİ

10. (x – 1)

2000

.(x + 3)

2001

.(x + 4)

(x – 1).(x2 – 2x – 3)

12.

<0

2–x

0

eþitsizliðini saðlayan x in kaç farklý tamsayý deðeri vardýr?

e itsizli ini sa la an ka farklı sayý deðeri vardýr?

A) 1

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

81

B) 2

C) 3

İK ER

1999

D) 4

tam E) 5

13.

(x2 – x – 2).(x + 2)

15. m > 0 olmak üzere,

0

2

x2 – 6x – 7

x – 2x eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (

, 2

[–1, 0)

B) (

, 1

[0, 2)

C) (–2, –1]

(0, )

D) [–1, 0]

A) [–1, 7]

B) [–2, 3]

D) [m, 3]

C) [–m, 3]

E) [–3, 5]

(2, )

, 2

1, )


E) (

0 2 x +m eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

14.

(x2 + 4).(x2 – 4x + 4) 2

16.

0

x – 5x + 6 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (2, 3) D) (

B) ( , 3)

2

, 3)

C) 2, 3)

E) (3, )

82

x2 + 2x – 3 < 0 ve A = 2 – 4x olduðuna göre, A nýn alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? A) 10

B) 11

C) 12

D) 15

E) 17

1.

(x – 2)

(x – 2).(x +4)

eþitsizliðini saðlayan x tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? A) –3

B) –2

C) 0

D) 1

−( x − 3)2 .( x + 2) >0 ( x − 1)

3.

eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsa eğeri ka t r

E) 2

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

TEST KODU : 20403

(2 – x).(x2 – 2x – 3) < 0

2

( x − 9).( x − 2)

≤0

eþitsizliðinin çözüm aralýklarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir?

eþitsizliðinin en geniþ çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

A) (– , –1)

A) (2, 3)

B) (–1, 3)

D) (2, 3)

C) (1, 3)

{1} B) (–3, 2)

D) (–3, 3)

E) (3, )

83

C) [–3, 2)

E) [1, 3)

İK ER

2.

(− x + 1)2 .( x − 3)

EŞİTSİ

4.

( x2 + 4).(−9 − x2 )

5.

3

2

x − 5x + 6x

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (

, 2

C) (0, 2)

(0, 3) B) ( (3, )


E) (

,0

2

x −x−6

,0

D) ( 3, 2

, 2

C) [–2, 2]

2, 3) 3, )

E) (–2, 2]

≥0

eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsayý kaçtýr?

[2, 3)

A) –4

(0, )

8.

≥0

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (

4

x −1

B) –2

C) –1

D) 1

E) 2

[2, 3)

( x2 + 1).( x3 − 8)

6.

(1 − x)2003 .( x2 + 25)

7.

≤0

B) (

, 2

[2, 3]

D) ( 3, 2)

2, )

(3, )

84

( x − 2)30 ( x − 4)31 32

2

( x + 3) ( x + 4)

<0

eþitsizliðinin çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) ( 4, ) D) (

B) ( 3, 2) , 3)

E) (

C) (2, 4) , 4)

3, 2

9. m pozitif çift sayý olmak üzere, xm.( x − 2)m − 1.( x + 3)2m + 1 ( x − 4)

5m

11. a < b < 0 < c olmak üzere, (bx − a).(ax − c) ≥0 (bx − c)

≤0


eþitsizliðini saðlayan x tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? A) –5

B) –4

C) –3

D) –2

c⎤ ⎛ A) ⎜ −∞, ⎥ a ⎝ ⎦

E) –1

⎛c c⎤ B) ⎜ , ⎥ ⎝ b a⎦

12. a < b < 0 < 1 < c olmak üzere,

10. m < n < 0 < k olmak üzere,

bx2

⎛ b⎞ A) ⎜ 0, ⎟ ⎝ a⎠

kaçtýr? A) –6

B) –3

C) –2

1 E) – 3

⎛b ⎞ B) ⎜ , c ⎟ ⎝a ⎠

D) (−∞, 0)

85

C) (c, ∞)

E) (0, c)

İK ER

eþitsizliðinin çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

m ⎞ 0 ⎟ ∪ [3, ∞) olduðuna göre , k ⎠ 1 D) – 2

>0

EŞİTSİ

(ax − b).(c − x)

(mx − 2).( x − k) ≥0 nkx eþitsizliðinin çözüm kümesi ⎡ 1 ⎢− 3 , ⎣

⎡a c ⎞ E) ⎢ , ⎟ ⎣b b ⎠

TEST KODU : 20403

⎡c a⎤ D) ⎢ , ⎥ ⎣a b⎦

⎡a ⎞ C) ⎢ , ∞ ⎟ b ⎣ ⎠

13. x doðal sayý olmak üzere, 1 x–5 eþitsizliðini saðlayan x deðerleri kaç tanedir?

4 1 < 2 x x

15.

x–5

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8


A) 4

eþitsizliðini saðlayan kaç farklý x al sa eğeri var r A) 2

16.

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

x–1 x+2 > x+2 x–1 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) ( −∞, − 2)

18 x

14.

1⎞ ⎛ B) ⎜ −2, − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ C) ⎜ − , 1⎟ ⎝ 2 ⎠

2x

⎛ 1 ⎞ D) (−∞, − 2) ∪ ⎜ − , 1⎟ ⎝ 2 ⎠ 1⎞ ⎛ E) ⎜ −2, − ⎟ ∪ (1, ∞) 2⎠ ⎝

e itsizli ini sa la an ğal sa ı e ðerlerinin toplamý kaçtýr? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

86

1. Bir esnaf (x2 – 3x) liraya aldýðý bir malý 3. (x + 5) liraya satmýþtýr. Bu esnaf satýþtan zarar etmediðine göre, x in alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

2

(0,2)x

–x

0,04

e itsizli ini sa la an toplamý kaçtýr?

tamsa larının

A) –1

D) 3

B) 1

C) 2

E) 4

E) 6

TEST KODU : 20404

81x – 4.9x + 3

2.

4.

0

A) 0

x

1 1 B) 0 x 1 C) x 2 2 1 D) x 1 E) 1 x 3 2

3

87

A) –2

B) –3

C) –4

D) –5

E) –6

İK ER


EŞİTSİ

2

⎛ 3 ⎞ x + 2x – 25 (0,6) < ⎜ ⎟ ⎝5⎠ koþulunu saðlayan x tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? x+5

5. Ç1 = (–5, 4]

7.

Ç2 = [2, 9] olduðuna göre, Ç1 den hangisidir?

Ç2 aþaðýdakiler-

A) (4, 5)

(–5, 2]

B) [2, 4)

C) (–5, 2]

[4, 9]

D) [2, 4)

4−x

>0 2 x +2 4 >0 2+x eþitsizlik sisteminin çözüm aralýýðý aþaðýdaiklerden hangisidir?

[5, 9]

A) (–4, 2)

E) [2, 4]

B) (–1, 0)


D) (–2, 4)

6.

x −1 >0 x−4 x ≤0 2−x

D) (– , 0]

E) (0, 4)

8. x2 – x – 2 0 x2 – 2x – 15 < 0

eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [0, 1)

C) (0, 2)

B) (2, 4) (2, 4)

C) (1, 4)

E) (– , 0]

(4, )

88

eþitsizlik sistemini saðlayan kaç farklý x tamsayý deðeri vardýr? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

2 < x2 – x < 6

9.

11. x3 > x x2 < 2 – x

eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (–2, 3) C) (–3, –1)

(4, 6) (2, 6)

E) (–6, –2)

B) (–3, –2)

(1, 2)

D) (–2, –1)

(2, 3)

eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

(1, 3)

A) –2 < x < –1

B) –1 < x < 0

C) 0 < x < 1

D) x > 0

A) R

1, 2

B) R

D) [–1, 1)

1

12.

C) ( 1, 1

1 >1 x x2 – 1 < 0 eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (–1, 1)

E) (1, )

B) (–1, 0)

D) (– , –1)

89

C) (0, 1)

E) (1, )

İK ER

x–1 <1 x+1 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? 0<

EŞİTSİ

10.

TEST KODU : 20404

E) x > 1

(x + 4)2

13.

(x + 4)3

eþitsizliðini saðlayan x in en geniþ deðer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) [–4, )

B) (– , –4)

C) (– , –3] – {–4}

D) [–3, )

15.

(x3 – 6x2 + 12x – 8).(x – 3)

f(x) =

4 2 x .(x + 4)

0

olduðuna göre, eþitsizliðini saðlayan x tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?

[–3, )

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

{–4}


E) (– , –4]

14.

f(x) =

(x – 1)2.(x – 4) x+3

16.

olduðuna göre, f(a) 0 þartýný saðlayan a tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

x2 – 3x + a 2 x +x+5

eþitsizliðinin daima doðru olmasý için a ne olmalýdýr? A) a < –

9 4

B) a <

D) a >

90

>0

3 2

9 4

C) a > E) a >

2 3

9 4

1.

(x – 6).(3 – x) > (3 – x) eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? A) 8

B) 7

C) 6

D) 5

3.

x

8 2

x


E) 4

A) (– , 2]

B) (– , 2] – {0}

C) (– , 0]

D) (– , 0) TEST KODU : 20405

E) (0, 2]

EŞİTSİ

(x – 5)2.(2x + 4) 0 x eþitsizliðini saðlayan kaç tamsayý deðeri vardýr? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

4.

E) 6

(x – 4)2002.(x + 5)2001 2x.(x – 2)3

eþitsizliðini gerçekleyen x tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? A) –10 B) –9

91

0

C) –8

D) –6

E) –4

İK ER

2.

5.

x2 – x – 6 2

(5x – 1).(x + 3)


0

|x – 2| – 2


eþitsizliðini saðlayan kaç tane x tamsayýsý vardýr?

A) (–3, 0)

A) 1

B) (0, 3)

D) (–2, 0)

6.

x2 + 5

7.

<0

x2 – 7x + 12 |x| + 5

C) (3, )

8.

0

⎛3 ⎞ B) ⎜ , 3 ⎟ ⎝4 ⎠

⎡ 7⎤ D) ⎢3, ⎥ ⎣ 2⎦

C) 3

D) 4

E) 5

E) (– , –2) - {–3}

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (3, 4)

B) 2

x2 + 7 |x – 2| – 8

eþitsizliðinin en geniþ çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (–6, 10)

⎛7 ⎞ C) ⎜ , 4 ⎟ ⎝4 ⎠

<0

B) (–6, 5]

D) (5, 10]

E) [3, 4]

92

C)

E) [6, 10]

9.

|4x – 4|.(x – 9) < 0 eþitsizliðini saðlayan x in kaç farklý doðal sayý deðeri vardýr? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

54x.|x – 8|

11.

(x + 5).(4 – x)

0

eþitsizliðini saðlayan x tamsayý deðerleri toplamý kaçtýr?

E) 11

A) –5

B) –4

C) –1

D) 3

E) 4

TEST KODU : 20405 EŞİTSİ

2

x – 8x + 12

12.

0

e itsizli ini sa la an ka farklı ðal sayýsý vardýr? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

(x2 – 49).|25 – x2| 2 x +1

İK ER

|x + 3|.x

10.

<0

eþitsizliðini saðlayan kaç farklý tamsayý deðeri vardýr?

E) 6

A) 15

93

B) 14

C) 13

D) 12

E) 11

13.

|3x2 – 4x – 4| <

15.

x2 − 4 x + 4

eþitsizliðini saðlayan x in tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr?

eþitsizliðinin çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? 1⎞ ⎛ A) ⎜ −1, − ⎟ 3⎠ ⎝

A) –2

1⎞ ⎛ B) ⎜ −2, − ⎟ C) (−∞, − 1) 3⎠ ⎝

⎛ 1 ⎞ D) ⎜ − , 2 ⎟ ⎝ 3 ⎠

|2.|x| – 2| < 1

C) 0

D) 1

E) 2

E) (−1, ∞)

|x – 2| – 3

16. www.akilfikirmektebi.com

B) –1

0

|x – 2| – 1

eþitsizliðini saðlayan kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? A) 1

14.

3x.|x – 2|.(x2 – x – 2) 36 (x – 3) .(x + 1)

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

<0


17.

|x + 2|

|x – 1|

A) (– , 2)

B) (– , 2) – {–1}

eþitsizliðinin en geniþ çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

C) (–1, 3)

D) (2, 3)

A) x

{–1}

E) (– , 3) – {–1}

94

–

1 2 D) x

B) x < –1 1

C) x > –1 1 E) x – 2

1. Karesi, kendisinin 2 fazlasýndan küçük olan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

25 − x2 ≥0 x+3

4.

E) 5 eþitsizliðini saðlayan kaç farklý x tamsayý deðeri vardýr? A) 11

C) 9

D) 8


2 (x – 1). x − x − 2

2.

B) 10

0

eþitsizliðinin en geniþ çözüm aralýðý aþaðýdaiklerden hangisidir? A) [–1, 2]

B) [2, )

D) (– , –1] ∪ {2}

C) (– , 2]

5.

E) [2, ) ∪ {–1}

B) 2

C) 3

D) 5

A) [–1, 0] ∪ (3, 4]

İK ER

A) 0

, 1 ∪ [0, 3) ∪ 4, )

C) [–1, 3] ∪ 4, ) D) (

, 1 ∪ 4, )

E) (–1, 0) ∪ (3, 4)

E) 7

95

4x x−3 EŞİTSİ

eþitsizliðini saðlayan x tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?

x2 −

fonksiyonunun en geniþ taným aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

B)

( x + 2). 16 − x2 > 0

3.

f ( x) =

6.

5−x <

x −1

eþitsizliðinin reel sayýlarda en geniþ çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [1, 5]

B) (3, 5]


D) R

(1, 3

x−3 + x+3

7.

2

x +4

C) [1, 3) E) R

B) R D) [3, )

36 − x

2

≥0

eþitsizliðini saðlayan kaç tane x tamsa ısı var ır A) 1

1, 5

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

ve g(x) = x2 – 4x – 12 fonksiyonlarý veriliyor.

9. f(x) = x – 4

>0

eþitsizliðinin en geniþ çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) ∅

( x − 4).(6 − x)

8.

C) ( 3, 3 E) (–3, )

96

(gof)(x) < 0 eþitsizliðini saðlayan x in tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? A) 30

B) 33

C) 36

D) 39

E) 42

10. f(x) = |x + 2| – x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(x) < 3 eþitsizliðini saðlayan en küçük x tamsayýsý kaçtýr? A) –5

B) –4

C) –3

D) –2

x2 − 6 x + 9 ≤ x − 3

12.


E) –1

A) (–8, 3]

B) {3}

D) ∅

C) [3, )

E) R

!'(')*"+

#$

&

%

"

Yukarýdaki þekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiði çizilmiþtir. f ( x) ≤0 ( x − 3) eþitsizliðini saðlayan x tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?

A) –2

A) –12 B) –11 C) –8

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

97

D) –7

E) –5

İK ER

þýk üç tamsayý deðeri bulunduðuna göre, a + b toplamýnýn en büyük deðeri kaçtýr?

EŞİTSİ

11. a ve b birer tamsayýdýr. a2.b > 0, a.b < 0 olmak üzere, x–a 0 eþitsizliðini saðlayan ardýx–b

TEST KODU : 20406

!

13.

14.

'

15.

"

#$

!

%

!"

#

$

"

%

& ()&*

&'!(


Yukarýdaki þekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiði çizilmiþtir. (x – 2).f(x)

0

eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [2, 5]

B) [–2, 5]

D) [2, 5] ∪ {–2}

C) [0, 5]

E) [–2, 2] ∪ {5}

98

Þekilde f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiştir. (x2 – 7x + 12).f(x) > 0 eþitsizliðini saðlayan x tamsayý değerlerinin t lam ka t r A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

1.

f ( x) =

2

x + (m + 1) x + 1

eþitsizliði daima saðlandýðýna göre, m nin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr?

fonksiyonu daima tanýmlý olduðuna göre , m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (–3, 1)

B) (–2, 1)

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

C) (–3, 2)

E) (3, 5)

x

EŞİTSİ

4.

mx2 + 2(m – 2)x + 1 > 0

2.

A) 5

TEST KODU : 20407

D) (–2, 2)

(m + 3)x2 – 6x + 7 – m > 0

3.

31

R için,

olmasý için m in en geniþ çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 0

A) (– , 0)

B) 3

C) 5

D) 9

E) 10

B) (0, 1)

D) (0, )

99

C) (1, ) E) ∅

İK ER

mx2 – (2m + 1)x + 1 < 0

eþitsizliði x R için doðru olduðuna göre , m nin alabileceði tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr?

5.

f(x) = (m – 1)x2 + 6x – 2mx + 1

x2 – 4x – m = 0

f(x) fonksiyonu x R için pozitif olduðuna göre , m nin deðer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

denkleminin farklý iki gerçel kökü olduðuna göre , m nin en geniþ çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

A) (–5, –2)

A) (– , 4)

B) (2, 5)

C) (– , 2) E) (–2, ) ∪ {5}

D) (–2, )


7.

6. f(x) = mx2 – (m + 3)x + 4 fonksiyonu ve- 8. riliyor. x

R için, f( )

0

olduðuna göre, m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (0, )

B) (1, )

D) (1, 9)

C) (0, 9)

E) (0, 1) ∪ (9, )

100

B) (

D) (4, )

, 4)

C) ( 4, )

E) ( 1, 4)

(m – 3)x2 + 4x – 1 = 0 denkleminin iki reel (gerçel) kökü olduðuna göre , m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) ( 1, )

B)

D)

3

1, )

1, )

C) (3, )

E) (1, )

3

x2 – mx + 16 = 0

9.

3x2 – 4x + 2m + 6 = 0

11.

denkleminin negatif iki reel kökü olduðuna göre , m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

denkleminin kökleri zýt iþaretli olduðuna göre , m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

A) (

A) (

, 8)

B) (

, 4)

D) (8, )

C) (4, )

E) ( 8, 8)

, 4) D) (

B) ( 3, 4) , 3)

C) (4, )

E) ( 4, 3) TEST KODU : 20407

10.

mx2 + (m + 1)x + 7 – m = 0

12.

x2 – 2x + m – 3 = 0 denkleminin pozitif iki reel kökü olduðuna göre , m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

denkleminin kökleri zýt iþaretli olduðuna göre, m aþaðýdaki aralýklarýn hangisindedir?

EŞİTSİ

A) (3, )

A) (

İK ER

B) (

D) (–4, –3)

, 4)

C) (

, 3)

, 0)

B) (0, )

E) (3, 4)

C) (0, 7)

101

D) (

, 0) ∪ (7, )

E) (

, 7) ∪ (0, )

13. x2 + (m + 1)x + m – 2 = 0 denkleminin 15. x2 – (m + 5)x + 3m – 6 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.


x1 < 0 < x2 ve |x1| > x2

x1 < 0 < x2 ve |x1| < x2

olduðuna göre, m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

olduðuna göre, m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?

A) (

A) (2, 5)

, 1) D) (

B) (2, ) , 2)

C) ( 1, 2) E) (1, )

B) (–5, 2)


C) (–2, 5) D) (

, 5) ∪ (2, )

E) (

, 2) ∪ (5, )

14. x2 – (2 – m)x + m – 9 = 0 denkleminin 16. 2x2 + 6x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

kökleri x1 ve x2 dir. x1 < 0 < x2 ve |x1| > x2 olduðuna göre, m nin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) (2, )

B) (0, 2)

D) (9, )

2 1

x

+x

x .x 1

2

2

<2

2

olduðuna göre, m nin alabileceði tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr?

C) (0, 9) E) (2, 9)

A) –10 B) –11 C) –12 D) –13 E) –14

102

f(x) = (a – 1)x2 – (a – 1)x + 2

1.

3. (p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p – 2) = 0

fonksiyonu daima pozitif deðerler aldýðýna göre, a nýn kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 < 0 < x2 ve |x1| > x2 olduðuna göre, p nin alabileceði deðerler aþaðýdaki aralýklardan hangisidir? A) (–6, –1)

B) (–1, 3)

E) (– , –6) (ÖYS - 1995)

kökleri x1 ve x2 dir. olduðuna göre, m hangi aralýkta olmalýdýr? A) (– , –2)

B) (–4, –2)

D) (–2, 4)

C) (–2, 2)

E) (2, )

103

fonksiyonu x R için, –1 den küçük olduðuna göre, a nýn alabileceði en küçük tamsayý deðeri ile en büyük tamsayý deðerinin çarpýmý kaçtýr? A) 3

B) 2

C) 1

D) –4

E) –5

İK ER

x1 < 0 < x2 ve |x1| < x2

f(x) = –x2 + ax + a – 4

EŞİTSİ

2. x2 + (m – 2)x + m2 – 4 = 0 denkleminin 4.

TEST KODU : 20408

D) (–1, 2)

C) (0, 3)

5. f(x) = x2 – (2a – 4)x + 4a + 2 fonksiyonu 7. veriliyor.

denkleminin iki farklý pozitif kökünün olmasý için, a aþaðýdaki aralýklarýn hangisinde bulunmalýdýr?

x R için, f(x) > 5 olduðuna göre, a nýn alabileceði en büyük ve en küçük tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr?


A) 6

6.

B) 7

C) 8

D) 9

x2 – (2a – 4)x + 8 – 2a = 0

A) (0, 1)

E) 10

B) (1, 2)

D) (3, 4)

C) (2, 3) E) (4, 5)

8. x2 – (m – 3)x + m – 8 = 0 denkleminin

x2 – 2ax + a2 – 1 = 0


denkleminin gerçel köklerinden birinin negatif, diðerinin pozitif olmasýný saðlayan a nýn en geniþ deðer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

x1 < 0 < x2 olduðuna göre, x1 + x2 nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr?

A) (1, 3)

A) 2

B) (– , –1)

D) (1, )

C) (1, 2)

E) (–1, 1)

104

B) 3

C) 4

D) 6

E) 7

9. m < |m| ve n2 < n olmak üzere,

11. 4x – 2x + 1 + a – 3 = 0 denkleminin birbirinden farklý iki reel kökü vardýr.

x2 – (m – n)x + mn = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

Buna göre, a nýn çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?

Bu denklemin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?

A) (– , 4)

A) Reel de ildir.

B) (3, 4)

D) (4, )

C) (4, 5) E) (8, 10)

B) x1 < x2 < 0 ve |x1| > x2 TEST KODU : 20408

C) 0 < x1 < x2 D) x1 < 0 < x2 ve |x1| < x2 E) x1 < 0 < x2 ve |x1| > x2

12. x

10. m < 0 olmak üzere,

R için, ax2 + bx + c

2

x – (m + 1)x + 3m = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?

<0

eþitsizliði saðlandýðýna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle doðrudur?

B) x1 < 0 < x2

A) c < 0, b2 – 4ac < 0

C) x1 < x2 < 0

B) a < 0, b2 – 4ac < 0

D) x1 = x2

C) a ≠ 0, b2 – 4ac ≠ 0 c D) b > 0, > 0 a c E) b < 0, < 0 a

E) Reel kök yok

105

İK ER

A) 0 < x1 < x2

2 x + 4 x + 16

EŞİTSİ

2

13. x2 – 2x + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 15. a,b ve c reel sayýlardýr. ve x2 dir.

a
(x1.x2 – x).(x1 + x2 + x) > 0

(x – a).(x – b) + (x – c) = 0

eþitsizliðini saðlayan kaç farklý x tamsayý deðeri vardýr?

denkleminin reel ve birbirinden farklý olan kökleri x1, x2 dir.

A) 2

x1 < x2 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur?

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A) a < x1 < x2 < b < c B) a < b < x1 < c < x2 www.akilfikirmektebi.com

C) x1 < a < x2 < b < c D) x1 < a < b < x2 < c E) x < a < b < c < x 1

2

14. x2 – (m – 2)x + 5 = 0 denkleminin kök- 16. (x + k).(x + 2) = k denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

leri x1 ve x2 dir. 2

2

x1 + x2 < 6 olduðuna göre, m kaç tamsayý deðeri alýr? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

1 1 + >3 x x 1

olmak üzere,

2

k sayýsý için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) –1 < k < 1 B) k < 2 C) k < 3 1 5 D) – < k < 0 E) 2 < k < 2 2

106

|x2 + 1| ≤ 3

1.

(x + 4).(x2 – 4x + 16) > 65

3.

e itsizliğinin öz m k mesi a ağı akilerden hangisidir?

e itsizliğinin en geni öz m aralığı a ağı akiler en angisi ir

A) [–2, 2]

A) (

D) R

B) [– 2, 2 2, 2

E) R

C) R

, 1)

B) ( 1, 1)

D) (

2, 2]

, 1)

C) (1, )

E) ( 1, )

(1987 – ÖYS) TEST KODU : 20409

A) 4

B) 2

C) –1

D) –2

( x − 2)2012 .( x + 2)2011

4.

( x + 5)2013

e itsizliğini sağla an tamsa ı eğeri var ır

≤0

in ka

farklı

E) –4

(1997 – ÖSS)

107

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

İK ER

x 3 − >0 2 x olduğuna göre, in ala ile eği en küçük tamsa ı eğeri ka tır

EŞİTSİ

2.


7.

a ≥2 x−5

5.

denkleminin reel kökleri x1 ve x2 dir.

e itsizliğinin öz m k mesi duğuna göre, a ka tır

,

A) 10

E) 35

B) 12

C) 14

D) 20

ol-

x2 − 25 ≤0 x+2

6.

x2 + mx + m – 3 = 0

Buna göre, x1 < –3 < x2 olabilmesi için m a ağı aki aralıkların angisin e lmalı ır 3 A) m > 3 B) m > 2 C) m > 2 D) m < –2 E) m < –3

8. a.b < 0 olmak üzere, (ax + b).(bx –a) ≥ 0

e itsizliğini sağla an t lamı ka tır

tamsa ılarının


A) –2

D) 1

⎡a b⎤ A) ⎢ , ⎥ ⎣b a ⎦

B) –1

C) 0

E) 2

⎡ b a⎤ B) ⎢ − , ⎥ ⎣ a b⎦

⎡ a⎤ D) ⎢1, ⎥ ⎣ b⎦

108

b⎤ ⎡a C) ⎢ , − ⎥ a⎦ ⎣b

⎡ a b⎤ E) ⎢ − , ⎥ ⎣ b a⎦

x2 + x + 6 ≤0 x−2 −4

9.

e itsizliğini sağla an ka tane sa ı eğeri var ır A) 7

B) 8

C) 9

( x3 − 27)2 .3 x

11.

D) 10

+1

x5 + 32

>0

e itsizliğini sağla an aralıklar an risi a ağı akiler en angisi ir

tam-

A) x < –3

E) 11

B) x < –2

D) –1 < x < 2

i-

C) x > –1

E) –2 < x < 3 TEST KODU : 20409

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

109

≥0


tamsa ılarının

A) 22

D) 16

B) 20

C) 18

E) 14

İK ER

x1 < 1 < x2 olduğuna göre, m nin alaile eği ka farklı tamsa ı eğeri varır

49 − x2

EŞİTSİ

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

A) 9

x−3

12.

10. (m2 – 16).x2 + 10x + 4m + 10 = 0

13.

(a – 2)x2 – 3x + a – 7 = 0 enkleminin zıt i aretli iki reel kök olduğuna göre, a nın en geni çözüm k mesi a ağı akiler en angisi ir A) (2, 3)

B) (3, 7)


D) (–2, 5)

14.

(3 x − 81).(2 x + 8) x2 − 5 x − 14

B) (4, 7)

D) (–2, –3)

x −6

3

.x−3

2x + 1

≤0


C) (2, 5)

A) ∅

E) (2, 7)

B) R D) (–3, 3)

C) ( 8, 3 E) {3}

16. A, B ve C kümeleri için,

>0

e itsizliğini sağla an aralıklar an risi a ağı akiler en angisi ir A) (–2, 4)

π

15.

i-

C) (–3, 4) E) (–3, 7)

A

B = [–5, 4)

A

Cı = (2, 8]

olduğuna göre, A B ler en angisine e ittir A) [–5, 2)

B) [–5, 8]

D) (4, 8]

110

a ağı akiC) (2, 4)

E) (2, 8]

1. a ve

3.

zitif tamsa ılar ır a+2

(x – 3)

b+1

.(x + 2)

y y = f(x)

<0

2

e itsizliğinin öz m k mesi ∞, –2) olduğuna göre, a ağı akiler en angisi ğr r

Y karı aki ekil e f n n n grafiği verilmi tir

A) a ve b tek sayılar B) a ve b çift sayılar D) a tek, b çift sayı E) a ve b asal sayılar

A) –3

B) –2

C) 0

f nksi

-

tamsa ılarının D) 2

E) 3

y f(x)

6

f nksi

-

4.

f(x + 1).f(2x) < 0 e itsizliğini sağla an ka farklı sa ı eğeri var ır A) 2

B) 3

C) 5

D) 7

tam-

x31 − x30

( x − 1)3 .( x2 + 2 x + 2)

e itsizliğinin öz m k mesi a ağı akilerden hangisidir? A) {0}

E) 9

B) ∅ D) {0, 1}

111

≤0

C) R E) (0, 1)

İK ER

Y karı a grafiği verilen f nu için,

x

EŞİTSİ

–2

TEST KODU : 20410

f ( x − 2) ≤0 x e itsizliğini sağla an t lamı ka tır

C) a çift, b tek sayı

2.

x

4

–4

1
5. x3 < x ve

A)

1, 1

, 0)

E) (


tamsa ılarının

A) –2

D) 1

B) –1

C) 0

E) 2

, )


D) (

C) ∅

B) (0, )

6 − 2x − 2 ≤1 3 + 1− x

7.

6.


tamsa ılarının

A) –1

D) 5

B) 1

C) 2

x2 + 4x + m – 2 > 0

8.

( x − 2)(5 − x)4 ≤0 x +1

e itsizliği x i in sağlanı rsa, m in ala ile eği en küçük tamsa ı eğeri ka tır A) 5

E) 8

112

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

f(x) = (m – 2)x2 + 4m + 1

9.

fonksiyonu daima –3 den küçük olduğuna göre, m a ağı aki aralıkların hangisindedir? A) (

, 1)

B) ( 1, 2)

D) (

, 2)

x − 3 .( x2 − 4)

11.

C) (2, )

E) ( 2, 1)

x2 − 25

<0


tamsa ılarının

A) –3

D) 2

B) –2

C) 1

E) 3

TEST KODU : 20410

12.

x2 + (a – 4)x + a + 2 = 0

denkleminin pozitif iki reel kökü olduğuna göre, m i in a ağı akiler en angisi ğr r

denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 1 1 + x1 x2

e itsizliğinin öz m aralıkların an iri a ağı akiler en angisi ir A) –2 < m < –5

B) –2 < m < 4

C)

D) 1

m

5 E)

m

m

2

113

A) m < 3

B) m < 1

D) 1 < m < 3

C) m < 0

E) 0 < m < 1

İK ER

x1 + x2 >

x2 + (m – 3)x + 1 – m = 0 EŞİTSİ

10.

13.

x2 – (m + 1)x + m = 0 denkleminin kökleri arasında 0 < x1 < 2 < x2


ağıntısı varsa, m i in a ağı akileren angisi ğr r A) – < m < 1

B) – 1 < m < 0

C) 0 < m < 1

D) 1 < m < 2 E) 2

e x .( x2 + e2 ) ≥0 x − e .ln x

15.

A)

e, e) D) (1, )

B) e

1, )

C) 1, e)

E)

e, e)

1

m


(1986 – ÖYS)

16. x2 – 3mx + m – 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 1 1 + >4 x1 x2

14.

1

y

4

6

ağıntısının göster iği ölgenin alanı kaç br2 dir? A) 18

B) 24

C) 36

D) 48

E) 72

olduğuna göre, m in ala ile eği eğerler k mesi a ağı akiler en angisidir? A) ( 8, 8)

B) ( 8, 12)

D) (3, 12)

C) R/ 12

E) (0, 12) (1996 – ÖYS)

114

MATEMATİK

PARABOL

y

PARABOL a, b, c R ve a lmak zere, f(x) = ax2 + bx + c ikin i ere e en f nksi n n grafiğine B L enir

x=r

simetri ekseni f(x)

B x1

A

x

x2

K T.N(r, k)


f(x) = ax2 + bx + c için, Tepe Noktası a ğr

ise, r

ara

ara

l n k lları

n EN

eksenini kestiği n kta-

lar f(x) in kökleridir. (y = 0 yaz)

karı

ara

Te e n ktasın a f nksi eğerini alır

l n

l n

eksenini kestiği n kta

K(0, c) dir. (x = 0 yaz)

-

imetri ekseni Te e N ktasın an

Tepe Noktası

ge en

r

ğr s

r

Simetri ekseni parabolü ortadan ikiye böler. r= a ğr

ise, r

ara

l n k lları a ağı

Te e n ktasın a f nksi Y eğerini alır

k n EN B -

x1 + x2 2 f r ile

=

–b 2a l n r

|AB| = |x1 – x2| = 116

ır

|a|

ile

l n r

f(x) = –x2 + 4x + 12 ara n z

f(x) = 2x2 + (m – 2)x + 5

l n n te e n ktasını

l -

parabolünün simetri ekseni x = 1 ğr s l ğ na göre, f in alaile eği en küçük eğer ka tır

⇒

Tepe noktası (r, k) olsun; b r=– dır. 2a 4 =– ⇒ r 2 bulunur. 2.(–1) k = f(r) dir. k = f(2) = –(2)2 + 4.2 + 12 k

⇒

f( ) parabolünde a 2 0 olduğundan en küçük değeri tepe noktasının ordinatıdır.

⇒

Simetri Ekseni :

a = –1 b=4 c = 12

x=r=1⇒r

16 bulunur. ⇒ T.N (2, 16) dır.

f(x) = x2 – (m – 5)x + 8 parabolünün simetri ekseni x = 6 ğr s l ğ na göre, m ka tır ⇒

⇒

Simetri ekseni :

x = r = 6 ⇒ r 6 bulunur. b a=1 r=– dır. 2a b = –(m – 5) –(m – 5) c=8 6=– 2.1 (m – 5) 6= 2 m

5

12 ve m

a=2 b = (m – 2) c=5

b r=– dır. 2a (m – 2) 1=– 2.2 –m + 2 1= 4 2

r doğrusudur.

1 bulunur.

m

4 ve m

2 bulunur.

⇒

f(x) = 2x2 – 4x + 5 dir.

⇒

k = f(r) dir. k = f(1) k = 2.12 – 4.1 + 5 k

17 bulunur.

3 bulunur.

f( ) in en küçük değeri 3 bulunur. 117

PARABOL

⇒

r doğrusudur.

y

enar z nl kları m ve (2x + 4) cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm2 ir

8 – 2x

Alan = –4x2 lunur.

2x + 4


⇒

A

Alan = (8 – 2x).(2x + 4) 8

0 olduğundan en büyük değe-

r=–

b dır. 2a

8 r=– ⇒r 2.(–4) ⇒

1 bulunur.

B ⇒

⇒

k

ğ na göre, m ka -

A ve B noktaları parabolün eksenini kestiği noktalardır. A( 1, 0) ve B(x2, 0)

⇒

= b2 – 4.a.c

|a|

= 52 – 4.(–1).(–m) = 25 – 4m bulunur. ⇒

|AB| =

2

k = –4.(1) + 8.1 + 32

r l

|AB| = |x1 – x2| =

a = –4 b=8 c = 32

k = f(r) = f(1) dir.

⇒

+ 5x – m parabolü ve-

tır

ri tepe noktasının ordinatıdır. ⇒

2

Şekilde y rilmiştir.

için bir parabol gibi düşünülebilir. 4

x

y = –x2 + 5x – m

32 bu-

Alan fonksiyonu 2. dereceden olduğu a

B

0

13 =

36 bulunur.

|a|

25 − 4m −1

⇒ ( 25 − 4m) = (13)2

Alan en çok 36 cm2 dir.

25 – 4m = 169 –4m = 144 m 118

36 bulunur.

dır.

a = –1 b=5 c = –m

y

x

f(x) = ax2 – 6x + 3

Parabol x eksenini iki noktada kesirsa l r İki reel kök var

ara l eksenine teğet na göre, a ka tır arabol

eksenine teğet ise;

l 0 dır.

2

⇒

b – 4.a.c

a=a b = –6 c=3

0 = (–6)2 – 4.a.3 y

x

Parabol x eksenini kesmi rsa l r eel kök kt r

ğ -

0 = 36 – 12a 12a

36 ve a

3 bulunur.

y

x

parabolü x eksenine negatif tarafta teğet l ğ na göre, m ka tır

Parabol x eksenine teğet ise l r akı ık iki kök var

arabol

eksenine negatif tarafta teğet ise; b < 0 olur. 2a a=1 b r=– <0 b = (m – 4) 2a c = 16 (m – 4) – <0 2.1 –m + 4 0 ve m 4 bulunur. 2

0 ve r = – ⇒

eksenine

zitif tarafta teğet ise b ve r = – > 0 ır 2a

b2 – 4ac = 0

⇒

eksenine negatif tarafta teğet ise b ve r = – < 0 ır 2a

(m – 4)2 –4.1.16 = 0 (m – 4)2 m 119

64 ve m

4 olduğundan m

12 ve 4 bulunur. 12 dir.

PARABOL

f(x) = x2 + (m – 4)x + 16

y = x2 – (2a – 3)x + a2 ara l n n te e n ktası ekseni zerin e l ğ na göre, a ka tır arabolünün tepe noktası ekseni üzerinde ise, parabol

eksenine teğettir.

0 olmalıdır.


⇒

a=1

b – 4ac

2

[–(2a – 3)]2 – 4.1.a2 = 0

c=a

4a2 – 12a + 9 – 4a2 = 0 –12a = –9 ve a =

3 9 = bulunur. 12 4

B) b2 < 4ac

C) b.c < 0

D) a.b.c > 0 y

E) a + b + c > 0

x1

x2

r 0,c

y

x

T(r, k)

arabolün kolları yukarı doğrudur; a > 0 olur. Parabol y eksenini negatif tarafta kesmiş;

x Tepe noktası

f(x)

A) a.b > 0

b = –(2a – 3)

2

andaki şekilde, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafix ği verilmiştir. Parabolün tepe nokT(r, k) tası T dir. Buna göre, a ağı akiler en angisi daima ğr r y

c < 0 olur. b r=– > 0 ve a > 0 dan 2a b < 0 olur.

ekseni üzerinde.

arabol

eksenini iki noktada kesiyor;

2

b – 4ac > 0 ve b2 > 4ac dir. Dolayısıyla; +.–.– a.b.c > 0 D şıkkı daima doğrudur. 120

G İ İ E İLEN B L N DEN LE İNİ Y

y

f(x) = ax2 + bx + c

12

y P(x0, y0) x1

x2

3

x

x

Şekilde f( ) foksiyonunun grafiği verilmiştir.

arabolün eksenleri kestiği noktalar ve üzerindeki bir nokta belli ise;

t

y

Parabolün x eksenini kestiği noktalar fonksiyonun kökleridir.

f(x)

(0, 12) (3, 0)

x (4, 0)

lamı ka tır

x1 = 3 ve x2 = 4

tür. (0, 12) noktası parabolün üzerindeki bir nokta olduğundan f( )i sağlar; f(0) = 12 dir. ⇒

y

f(x) = a.(x – 3).(x – 4)

T(r, k) P(x0, y0)

f(x) = a.(x – x1).(x – x2)

⇒ x

f(0) = 12 12 = a.(0 – 3).(0 – 4) 12 = 12a ve a = 1 dir. f(x) = 1.(x – 3).(x – 4)

Tepe noktası ve geçtiği bir nokta belli ise,

f(x) = x2

y = a.(x – r)2 + k

7

12 bulunur.

a = 1, b = –7 ve c = 12 dir.

a yı bulmak için, ( 0, y0) ı yerine yaz.

a 121

b

c

1

( 7)

12

6 dır.

PARABOL

Buna göre, a

y = a.(x – x1).(x – x2) dir. a yı bulmak için, ( 0, y0) yerine yaz.

4

y

andaki şekilde,

y

2

f(x) = x – 5x + 2 a b

c

8

fonksiyonunun grax fiği verilmiştir.

4

–2

x

f(x) Buna göre,

a eğeri ka tır

y

Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulabil-


mek için fonksiyonda ⇒

0 yazılır.

(0, 8)

T(r, k)

(–2, 0) r=1

f(0) = a dır. f(0) = 0 – 5.0 + 2

⇒ eksenini kestiği noktalar f( ) in

kökleridir. (y ⇒

⇒

b = x1 ve c = x2 dir. x – 5x + 2 = 0 ⇒ x1 + x2

⇒

c

a

5

f(0) = 8 8 = a.(0 + 2).(0 – 4) 8 = –8a ve a = –1 bulunur.

5 bulunur. ⇒

f(x) = –1.(x + 2).(x – 4) f(x) = –x2 + 2x + 8 dir.

b + c = 5 dir. b

f(x) = a.(x – x1).(x – x2) f(x) = a.(x + 2).(x – 4)

0 yaz.)

2

Parabolü x eksenini kestiği noktalar fonksiyonun kökleridir. x1 = –2 ve x2 = 4 dür.

(0, 8) parabolün üzerindeki bir nokta olduğundan f( )i sağlar; f(0) = 8 dir.

2 bulunur. ⇒ a = 2 dir.

Grafiğin

(4, 0) x f(x)

2

f(0)

Yan aki ekile, grafiği verilen y = f(x) f nksi n n n ala ile eği en büyük eğer ka tır

2

3 bulunur.

Fonksiyon en büyük değerini tepe noktasında alacağından; x1 + x2 r= ⇒ r = 1 dir. 2 k = f(1) = –(1)2 + 2.1 + 8 k = 9 ⇒ f( ) in en büyük değeridir. 122

y

y f(x) 1

A3

A

x

–3

T(1, –3) Tepe noktası T(1, 3) olan f( ) parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre, f

OB y

eğeri ka tır

A (–p,0)

2p

0

x B (2p,0)

⇒

0 dır.

f(3) = a.(3 – 1)2 – 3 0 = 4a – 3 ve

a=

3 bulunur. 4

2p olur.

|AB| = 3p dir. a=1 b = –4 c=m

f(x) = x2 – 4x + m b x1 + x2 = – = 4 dir. a arabolün

eksenini kestiği noktalar

f( ) in kökleridir.

3 .(x – 1)2 3 bulunur. 4 3 f(4) = .(4 – 1)2 – 3 4 27 f(4) = –3 4 15 f(4) = dür. 4

x1 = –p ve x2 = 2p ⇒ –p + 2p = 4

f(x) =

p

4 bulunur. Dolayısıyla;

x1 = –4 ve x2 = 8 dir.

c = m dir. a m = (–4).8 = –32 bulunur. x1.x2 =

123

PARABOL

p

– 4x + m

2. OA olduğuna göre, m ka tır |OA| = p ise,

f(x) = a.(x – 1)2 + (–3) f(3)

⇒

2

OB

f(x) = a.(x – 1)2 – 3 dür.

⇒

x

B

Şekildeki parabol f( ) fonksiyonuna aittir.

Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi; f(x) = a.(x – r)2 + k dır. ⇒ Şekildeki parabolün tepe noktası T(1, 3) ve üzerindeki bir nokta A(3, 0) dır. ⇒

0

f(x) = x2 – 2 parabolü ile

B L İLE D Parabolü P ile , ğr D ile gösterelim ara l ve ğr s r larının öz m n e D = 0 ikinci dereceden denklemi incelenir. D enkleminin sına akılır 1

0 ise,

Kesim noktaları


D A

ğr s n n farklı iki n kta a kesie ilmesi i in m angi k l sağlamalı ır

ile D iki noktada kesişir.

P B

g(x) = –2x + m

P – D = 0 denkleminin kökleridir. ( 1 ve x2)

A(x1, y1) ve B(x2, y2) dir. y1 ve y2 yi bulmak için 1 ve x2 değerle-

P = x2 – 2 farklı iki noktada kesişiyorsa; D = –2x + m P – D = 0 denkleminde 0 olmalıdır. P – D = x2 – 2 – (–2x + m)

⇒

ri doğruda yada parabolde yazılır. 2

0 ise,

ile D kesişmez. b2 – 4ac

⇒ 2

2 – 4.1.(–m –2) > 0 4 + 4m + 8 > 0

D

4m > –12 3

0 ise, P D

0

dır.

P – D = 0 denkleminin kökleri yoktur.

P

x2 + 2x – m – 2 = 0 denkleminde

ile D teğettir.

m

P – D = 0 denkleminin kökleri çakışıktır.

A(x, y) 124

3 olmalıdır.

a=1 b=2 c = –m – 2

y = x2 – 4x – 1 parabolü ile y = x + 5 doğrusunun kesiştiği noktalar A ve B dir.

f(x) = 3x2 – (m + 1)x + 1 parabolü ile g( ) 2 doğrusu teğet olduğuna göre, m nin zitif eğeri ka tır

Buna göre, ile B n ktaları arasınaki zaklık ka r ir

P = 3x2 – (m + 1)x + 1 teğet olabilmesi için; D=x–2 P – D = 0 denkleminde 0 olmalıdır.

P = x2 – 4x – 1 P – D = 0 ın kökleri kesim D=x+5 noktalarıdır. P – D = x2 – 4x – 1 – (x + 5) ⇒ x2 – 5x – 6 = 0 x –6 x = 6 ve x = –1 1 2

P – D = 3x2 – (m + 1)x + 1 – (x – 2)

+1 y1 = 11 ve y2 = 4

x 3x2 – (m + 2)x + 3 = 0 denkleminde 0 dır.

y = x2 – 4x – 1

a=3 b = –(m + 2) c=3

b2 – 4ac

A(6, 11) ve B(–1, 4)

[–(m + 2)]2 – 4.3.3 = 0

AB = (6 − (−1))2 + (11 − 4)2

(m + 2)2 = 36 m

2

6 ve

m

m

4

ve

m

2

B y=x+5

A

6 dır.

2

AB =

7 +7

AB =

98

2

AB = 7 2 br dir.

8 bulunur.

m nin pozitif değeri 4 tür. 125

PARABOL

⇒

y

m

a

n doğrusu ile,

lmak zere, y = x2 + ax

y = x2 – 4x + 5 parabolü

ara l n n te e n ktası ğr s zerin e l ğ na göre, a ka tır

, n ktasına göre simetrik iki n kta a kesi tiğine göre, m ka tır P = x2 – 4x + 5 M(3, 1)


A(x1, y1)

arabolünün tepe noktası y üzerinde ise, T(r, r) olmalıdır. b r=– 2a a r = – dir. 2 a a ⇒ T(– , ) olur. 2 2

D = mx + n B(x2, y2)

arabol ile doğrunun kesim noktaları A(x1, y1) ve B(x2, y2) ise, M(3, 1) noktası , A ve B nin orta noktasıdır.

Kesim Noktaları için; P – D = 0 a bakılır. ⇒ ⇒

P – D = x2 – 4x + 5 – (mx + n) x2 (4 m) 5 n 0 ın kökleri ve x2 dir.

1

2

1

2

= 3 ve

2 x +x =6

4+m =6 1 4 + m = 6 ve

y +y 1

2

2

a=1 b=a c=0

Tepe noktası parabolün üzerindeki bir noktadır. arabolde yerine yazılarak a değeri bulunur.

1

⇒

⎛ x + x2 y1 + y2 ⎞ , M⎜ 1 ⎟ Orta Noktadan ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ x +x

doğrusu

⎛ a⎞ a f ⎜− ⎟ = ⎝ 2⎠ 2 2

⎛ a⎞ ⎛ a⎞ a ⎜ − 2 ⎟ + a. ⎜ − 2 ⎟ = 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

a a a − = 4 2 2

= 1 dir.

a=1 b = –(4 + m) c=5–n

−

m = 2 bulunur.

⇒ 126

2

a a = 4 2

−2a2 = 4a a = − 2 bulunur.

y = x2 3 1 parabolü birbirine teğet olduğuna göre, a ka tır

y = x2 – 2x – 3 parabolünün x grafiği verilmişB tir.

0

A

y = 2x2 – x + a parabolü ile

andaki şekilde

y

C Buna göre, B br2 ir

P1 = 2x2 – x + a ve P2 = x2

geninin alanı ka

3

1 parabolü teğet ise;

P1 – P2 = 0 2. dereceden denkleminde

y = x2 – 2x – 3 x –3 x +1

0 olmalıdır. ⇒

P1 – P2 = 2x2 – x + a – (x2 + 3x + 1) P1 – P2 = x2 – 4x + a – 1

y = (x + 1).(x – 3) 1 ve

3 bulunur.

x = 0 için, y

3 bulunur.

⇒

⇒ A(–1, 0), B(3, 0) ve C(0, –3) y

x2 – 4x + a – 1 = 0 denkleminde dır. b2 – 4ac

0 4 A (–1, 0) 3 C (0, –3)

0

(–4)2 – 4.1.(a – 1) = 0

B x (3,0)

a=1 b = –4 c=a–1

16 – 4a + 4 = 0 4a = 20 a

|AB|.|OC| 2 4.3 A(ABC) = 2 A(ABC) =

2

A(ABC) = 6 br dir. 127

5 bulunur.

PARABOL

y = 0 için,

E İT İ Lİ LE ara l i in

y

+ 4x + 12

y>x–4 e itsizlik sistemini iziniz

y

2 + 4x + 12 ⇒ I. y bölgesidir. Grafiği düz çizmeliyiz.

y = ax2 + bx + c İç x

y

0 İÇ

y

0 DIŞ

arabolünün dış

II. y > x – 4 ⇒ Doğrununu üst tarafıdır. Grafiği noktalı çizmeliyiz. 4

y =

x

Dış

y


2

–

y = ax2 a>0

4

–2

6

x

–4

a<0 y

2

y = –x + 4x + 12

Dış x

y

0 DIŞ

y

0 İÇ

y y=x–4

İç x

ve

E itlik varsa

ve

E itlik

z iz

ksa n ktalı iz

y = –x2 + 4x + 12

128

1. f(x) = (m – 3)x3 + xn – 3 + (n + 3)x + m

3.

f(x) = 3x2 – 3x – 36

fonksiyonunun belirttiði eðri parabol olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr?

parabolünün Ox eksenini kestiði noktalar arasý uzaklýk kaç birimdir?

A) 2

A) 12

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

B) 9

C) 7

D) 4

E) 1

TEST KODU : 20501

4.

parabolü A(–1, 3) noktasýndan geçtiðine göre, a kaçtýr? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

y = 2x2 + (m – 2)x + 15 parabolünün x eksenini kestiði noktalar orjinden eþit uzaklýkta olduðuna göre, m kaçtýr? A) –2

129

PARABOL

f(x) = ax2 + 4x + 2

2.

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

f(x) = 3x2 – 2mx + 2m – 4

5.

fonksiyonunun y eksenini kestiði noktanýn ordinatý 2 olduðuna göre, m kaçtýr? B) 4

C) 5

D) 6

parabolünün tepe noktasý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (–3, 3)

E) 7

B) (–3, 2)

D) (3, –3)

C) (–3, –3)

E) (3, 3)


A) 3

f(x) = x2 + 6x + 12

7.

6.

parabolü A(1, –2) noktasýndan geçtiðine göre, tepe noktasýnýn ordinatý kaçtýr? A) –2

B) –5

C) –7

D) –9

f(x) = x2 – (m – 3)x + 11

8.

f(x) = x2 + mx – 2m + 1

E) –11

130

parabolünün tepe noktasý T(2, k) olduğuna göre, k kaçtýr? A) 2

B) 4

C) 5

D) 7

E) 10

f(x) = x2 + 4x + 5

9.

fonksiyonunun grafiðinin tepe noktasý T(r, k) olduðuna göre, r + k toplamý kaçtýr? A) –1

B) –2

C) –3

f(x) = x2 + 12x + 12

11.

D) –4

ara l n n simetri ekseni a ağı akilerden hangisidir? A) x = –4

E) –5

B) x = –6

D) x = 6

C) x = –12

E) x = 12

TEST KODU : 20501

B) 6

C) 7

D) 8

parabolünün simetri ekseni x = 2 olduğuna göre, m kaçtýr? A) 2

E) 9

131

PARABOL

fonksiyonunun en küçük deðeri kaçtır A) 5

y = x2 + (m + 1)x + 4

12.

f(x) = x2 – 6x + 17

10.

B) 1

C) –2

D) –4

E) –5

y = x2 – (m – 1)x – m + 11

13.

15. m

y = x2 – 2mx + m + 1

ara l n n simetri ekseni ğrusu olduðuna göre, y eksenini kestiði noktanýn ordinatý kaçtýr? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

R olmak üzere,

parabollerinin tepe noktalarýnýn geometrik erinin enklemi a ağı akilerden hangisidir?

E) 6

A) y = x2 + x + 1

B) y = x2 – x – 1

C) y = –x2 – x + 1

D) y = –x2 + x – 1


E) y = –x2 + x + 1

16. f(x) = ax2 + (b – 2)x + c – 1 parabolü veriliyor. a–b+c=1

14.

f(x) = –2x2 + 12x – a + 1 fonksiyonunun en büyük deðeri 7 olduðuna göre, a kaçtýr? A) 15

B) 12

C) 9

D) 7

E) 4

olduðuna göre, aþaðýdaki noktalarýn hangisi bu parabolün üzerindedir? A) (1, –2)

B) (1, 2)

D) (–2, –1)

132

C) (0, 3) E) (–1, 2)

f(x) = x2 + 2x + m – 1

1.

3.

y = x2 + mx + 4

parabolü Ox eksenine teðet olduðuna göre, m kaçtýr?

parabolü x eksenine pozitif tarafýnda teðet olduðuna göre, m kaçtýr?

A) 1

A) –4

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) –2

C) 2

D) 4

E) 8

TEST KODU : 20502

f(x) = –x2 + 4x + m – 2

4.

PARABOL

2.

f(x) = x2 + (m – 2)x + 16

parabolünün tepe noktasý Ox ekseni üzerinde olduðuna göre, m kaçtýr?

parabolü Ox eksenine negatif tarafta teðet olduðuna göre, m kaçtýr?

A) –4

A) 12

B) –2

C) 2

D) 4

E) 6

133

B) 10

C) 6

D) –6

E) –10

f(x) = 3x2 – 2(m – 5)x + 9

5.

7.

parabolünün tepe noktasý y ekseni üzerinde olduðuna göre, m kaçtýr? A) 3

B) 5

C) 7

D) 9

f(x) = x2 + 2kx + k – 4 parabolünün tepe noktalarýnýn geometrik yerinin denklemi aþaðýdakilerden hangisidir?

E) 10

A) y = –x2 + x + 4

B) y = –x2 – x + 4

C) y = x2 – x – 4

D) y = –x2 – x – 4


E) y = –x2 + x – 4

6.

8. m bir gerçel sayý olmak üzere,

y = 3(x – 3)2 + 5 parabolü ile

f(x) = x2 – (2m +6)x + m2 + 3

y = a(x + m)2 – k + 2 parabolünün tepe noktalarý ayný olduðuna göre, k + m toplamý kaçtýr?

parabolünün tepe noktasý Ox ekseni üzerinde olduðuna göre, m kaçtýr?

A) –8

A) –1

B) –6

C) –4

D) –2

E) 0

134

B) –2

C) –3

D) 1

E) 2

9. f : R

11. A

R

B ABCD dikdörtgeninde,

2

f(x) = –x + 4x

|AB| = (9 – x) br

olduðuna göre, f(R) nin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (

, 4

B) (

, 4)

D) 4, )

E)

C) (

|BC| = (x – 5) br C

,4

olduðuna göre, A(ABCD) en çok kaç br2 dir?

4, )

C) 1

D) 7

E) 8

D) 2

E) 3

nara ait yükseklik (3 – 3a) birim olduðuna göre, bu üçgenin alaný en çok kaç br2 dir? A) 4

135

B) 3

C) 2

D)

3 2

E)

3 4

PARABOL

olduðuna göre, A nýn en büyük tam sayý deðeri kaçtýr? B) 0

C) 6

12. Bir kenar uzunluðu 4a birim ve bu ke-

A = (2 – b).(b – 4)

A) –1

B) 5

TEST KODU : 20502

A) 4

10.

D

13. a ve b gerçel sayýlar olmak üzere, A = a2 + 6a + 10

parabolü üzerinde koordinatlarý toplamı en küçük olan noktanýn ordinatý kaçtýr?

B = –b2 + 6b + 1 olduðuna göre, A nýn en küçük deðeri ile B nin en büyük deðerinin toplamý kaçtýr? B) 9

C) 11

D) 13

A) –4

B) –7

C) –9

D) –11 E) –13

E) 15


A) 7

f(x) = x2 – 7x + 5

15.

14. f(x) =

36 2

x – 6x + 10

fonksiyonunun ala-

f nksi n n n en büyük deðeri kaçtýr?

ile eği en büyük deðer kaçtýr? A) 6

B) 9

C) 12

D) 18

f(x) = x2 – 4x + 5

16.

E) 36

A) 1

136

B) 2

C) 6

aral

D) 8

n aki E) 10

1. y = x2 + 4x – 9 parabolü ile

3. y = x2 – 12 parabolü ile

y = 5x – 3 doðrusunun

y = –x doðrusunun

kesim noktalarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir?

kesim noktalarý arasýndaki uzaklýk kaç birimdir?

A) (–2, 7)

A) 4

B) (2, 7)

D) (3, 12)

C) (4, 17)

B) 5

C) 7

D) 5 2 E) 7 2

E) (–3, –18) TEST KODU : 20503

y = 3x2 – 5x + 7 parabollerinin kesim noktalarýnýn apsisleri çarpýmý kaçtýr? A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

y = 3x + 2 doðrusunun kesiþtiði noktalar M(x1, y1) ve N(x2, y2) dir. Buna göre, |x1 – x2 ka tır A) 2

137

B) 2 3 C) 2 5 D) 7

E) 2

PARABOL

4. y = x2 – x + 1 parabolü ile

2. y = 5x2 + 3x + 9

5. y = x2 – x – 2 parabolü ile

7. y = x2 + 4x + m parabolü ile

y = mx – 2 doðrusunun kesim noktalarý A ve B dir.

y = –4x + n doðrusu

[AB] doðru parçasýnýn orta noktasýnýn apsisi 3 olduðuna göre, m kaçtýr?

farklý iki noktada kesiþtiklerine göre, kesim noktalarýnýn apsisleri toplamý kaçtýr?

A) 1

A) –8

C) 3

D) 4

E) 5

B) –4

C) 0

D) 4

E) 8


B) 2

6. y = 4x2 – 4x + m parabolü ile

8. y = mx2 + 6x + 7 parabolü ile

y = 4x – m doðrusu birbirine teðet olduðuna göre, m kaçtýr? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

y = 2x + 6 doðrusu farklý iki noktada kesiþiyorsa, m için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) m < 1

B) m < 3

D) m > 3

138

C) m < 4

E) m > 4

11. y = –x2 – x + 2

9. y = x + k doðrusu ile y = x2 + 5x + 6 parabolü

parabolünün y = –2x + 3 doðrusuna en yakýn noktasýnýn apsisi kaçtýr?

farklý iki noktada kesiþtiðine göre, k için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) k > 2

B) –2 < k < 0 D)

k

2

E) 2

A)

1 2

B)

3 4

C) 1

D)

3 2

E)

5 2

C) k < –2 k

3 TEST KODU : 20503

y = x2 + 3x + 2 parabolleri kesiþmediklerine göre, m nin alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? A) –1

B) –2

C) –3

D) –4

E) –5

139

y = –2x – 5 doðrusuna en yakýn noktası a, olduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? A) –8

B) –4

C) 0

D) 2

E) 4

PARABOL

12. y = x2 + 2x + 4 parabolünün

10. y = –2x2 + x – m

13.

y = x2 – 3x – 4

15. y = mx2 – nx + m + 2 y = –nx2 + mx + 2 – n

parabolünün y = 3x + 12 doðrusuna paralel teðetinin denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? A) y = 3x + 10

B) y = 3x – 12

C) y = 3x + 1

D) y = 3x – 13

parabollerinin kesim noktalarý A ve B dir. Buna göre, [AB] doðru parçasýnýn orta noktasýnýn apsisi aþaðýdakilerden hangisidir? A)

E) y = 3x + 3

1 2

B)


D) –

14.

16.

f(x) = (a – 2)x2 – 2ax + a fonksiyonunun grafiði daima Ox ekseninin altýnda kalýyorsa, a için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) a < 0

B) a < 1 D) a > 2

1 2

E)

140

m+n 2

n–m 2

parabolü Ox eksenini kesmediðine göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? B) k > 2 D) k < 2

E) a > 1

C)

y = (k + 1)x2 – 4x + 1

A) k > 1

C) a < 2

m–n 2

C) k > 3 E) k < 3

y = x2 – 4x + m

1.

parabolünün tepe noktasý y = 3x – 1 doðrusu üzerinde olduðuna göre, m kaçtýr? A) 12

B) 9

C) 6

y = (m – 1)x2 – (m2 – 1)x + m + 4

3.

D) 4

parabolünün tepe noktasý Oy ekseni üzerinde olduðuna göre, m kaçtýr? A) 3

B) 2

C) 1

D) –1

E) –2

E) 1

TEST KODU : 20504

5 6

B)

4 5

C)

3 4

D)

6 5

E)

5 4

parabolünün x eksenini kestiði noktalar arasýndaki uzaklýk 4 birim olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4

141

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

PARABOL

parabolünün simetri ekseni x – 2 = 0 doðrusu olduðuna göre, m kaçtýr? A)

y = x2 – 2x – m + 3

4.

2. y = (2m – 1)x2 – (3m + 2)x + 4

5. f : R

y = –x2 + 4x + 5

7.

R olmak üzere, f(x) = x2 – 2(m – 1)x + 16

parabolü Ox eksenine pozitif tarafta teðet olduðuna göre, m kaçtýr?

parabolünün y = 3 doðrusuna göre simetriði olan parabol denklemi aþaðýdakilerden hangisidir?

A) –5

A) y = x2 – x + 4

B) y = –x2 + x – 4

C) y = x2 – 4x + 1

D) y = –x2 – 4x + 1

B) –3

C) 3

D) 5

E) 7


E) y = x2 – 2x + 1

6. x

5–3x

2

– 6x – 2

ifadesinin alabileceði en büyük deðer kaçtýr? A)

1 1 1 B) C) 125 25 5

y = (m + 2)x2 + (m + 1)x + m + 5

8.

R olmak üzere,

parabolünün grafiði y eksenine göre simetrik olduðuna göre, tepe noktasýnýn ordinatý kaçtýr? A) 1

D) 1

E) 5

142

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

9.

y = x2 + 2bx + c

11. y = x + a doðrusunun, y = x2 – bx – 16

parabolü x eksenine teðet olduðuna göre, b ile c arasýndaki baðýntý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 2b2 = c

B) b2 = 4c

D) b2 = 4c

parabolünü kestiði noktalardan biri A(3, 5) olduðuna göre, doðrunun parabolü kestiði diðer noktanýn ordinatý kaçtýr?

C) b2 = c

E) b = c

A) –4

B) –2

C) 0

D) 2


12. Tepe noktasýnýn apsisi x = 1 ve kolla-

10. y = 7 doðrusu ile 2

y = –x + mx – 6 parabolünün tepe noktasý arasýndaki uzaklýk 4 birim olduðuna göre, m a ağı akiler en angisi la ilir A) –6

B) –3

C) 3

D) 5

E) 7

I. 2, 4

f(2), f(4)

II. 0, 5

f(1), f(5)

III.

2, 0

f(0), f( 2)

I .

2, 2

f(1), f(2)

A) 0

143

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

PARABOL

rı kar lan ir ara l n a ağı akilerden kaç tanesinde görüntü kümesi doðru verilmiþtir?

13. f : A

15. y = f(x) parabolünün x eksenini kestiði

R olmak üzere,

A = {x

R; 2

noktalar A ve B olmak üzere,

2

|AB| = 6, f(0) = 5 ve parabolün simetri ekseni x = 2 doðrusu olduðuna göre, f(3) kaçtýr?

f(x) = x2 – 2x – 3 olduðuna göre, f(A) aþaðýdakilerden hangisidir? A) ( 3, 5

B)

C)

A) 2

5, 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

E) [–4, 5)


D) (–4, 5)

3, 5)

16. y = x2 + x parabolünün

14. y = 2x2 – 4x + c parabolü ile y = x2 + 2x – 2c

y = 6 doðrusu

parabolünün birbirlerine teðet oldukları n ktan n r ine lan zakl ka birimdir?

üzerinde oluþturduðu parabolün iç bölgesinde kalan doðru parçasýnýn uzunluðu kaç br dir?

A) 2

A) 1

B) 2 2 C) 3

D) 3 2 E) 2 3

144

B) 5

C) 6

D) 9

E) 12

1.

y = x2 – 3x – 4

2.

fonksiyonunun grafiði aþaðýdakilerden hangisidir?

Buna göre, f(2) kaçtýr? A) –16 B) –12 C) –8

D) –6

E) –4

TEST KODU : 20505

Yukarýdaki grafik y = f(x) parabolüne aittir.

!

3. #$

$

PARABOL

%

"

Yukarýdaki þekilde y = f(x) parabolünün grafiði verilmiþtir. Buna göre, parabolün tepe noktasýnýn ordinatý kaçtýr? A) –18 B) –16 C) –12 D) –8

145

E) –4

4.

6.

y = f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.

Þekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.

Buna göre, f(3) kaç týr? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

Buna göre, (fof)(–1) de ðe ri kaç týr?

E) 12


A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

5. 7.

Þekilde, tepe noktasý T(1, –9) olan ve Oy eksenini C(0, –8) noktasýnda kesen parabol verilmiþtir.

Yukarýda f(x) = x2 – 6x + p + 2 fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.

Buna göre, |AB| kaç bi rim dir?

|AB| = 4 br olduðuna göre, p kaç týr?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A) 1

146

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

8.

9.

A) 1

B) 2

C)

4 3

D)

5 3

E)

1 2

Þekilde grafiði verilen, y = –2x2 + (m – 4)x + m + 1 parabolünün x eksenini kestiði noktalar A ve B olduðuna göre, |AB| kaç birimdir? A) 2

(ÖYS - 1993)

B)

5 2

C) 3

D)

7 2

E) 4

TEST KODU : 20505

Yukarýdaki þekilde f(x) parabolü ile g(x) doðrusunun ortak noktalarý (0, 0) ve (5, 5) dir. (fog)(8) Buna göre, deðeri kaçtýr? (fof)(2)

PARABOL

147

10.

12.

Yukarýdaki grafik f(x) = x2 – 2x + m fonksiyonuna aittir.


|AB| = 6 br olduðuna göre, m kaçtýr? A) –8

B) –6

C) –4

D) 6

Yukarýdaki þekilde y = ax2, y = bx2 ve y = cx2 parabollerinin grafikleri verilmiþtir.

E) 8

Buna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? A) b > c > a

11.

B) a > b > c C) c > a > b

D) a > c > b

f(x) = ax2 + bx + c parabolü için, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) a.c < 0

B) a.b.c > 0

D) a.b < 0

C) b.c > 0 2

E) b – 4ac < 0

148

E) c > b > a

1.

2.

Þekilde f(x) = x2 – 3x + m – 3 fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.

Buna göre, f(x) in alabileceði en küçük deðer kaçtýr?

|KL| = 5 br olduðuna göre, m kaçtýr?

A) –20 B) –18 C) –16 D) –14 E) –12

A) –2

B) –1

C) 1

D) 2

E) 3

TEST KODU : 20506

Þekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.

PARABOL

149

3.

5.

Þekilde y = –x2 + 4x + p parabolünün grafiði verilmiþtir.

f(x) = (a – 1)x2 – (2a + 2)x + 2a fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.

|OB| = 3|AO| olduðuna göre, p kaçtýr?


|AB| = 2 birim olduðuna göre, a kaçtýr? A)

3 2

B)

7 4

C) 2

D)

11 4

A) –12 B) –8

E) 3

C) 8

D) 12

E) 16

6.

4.

Yukarýda f(x) = x2 – 6x + 2m – 10 parabolünün grafiði verilmiþtir.

Yukarýdaki þekilde f(x) = x2 – 2x – m + 3 parabolünün grafiði verilmiþtir.

|OB| = 2|OA| olduðuna göre, m kaçtýr?

3|AO| = 2|OB| olduðuna göre, m kaçtýr?

A) – 19 B) –23 C) –27 D) –31 E) –35

A) 6

150

B) 9

C) 18

D) 24

E) 27

7.

Yandaki de,

þekil-

9.

A(–3, 0), B(1, 0) ve C(0, –6) noktalarýndan geçen parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir?

2

y = a.(x – r) + k parabolünün grafiği verilmi tir.

A) 2x2 – 4x + 6

B) 2x2 + 4x – 6

C) x2 – x + 3

D) x2 + x – 3 E) x2 – 2x + 6

A) –2

C) 0

D) 1

E) 2

10. y = –x2 + mx + m – 1

y = x2 – 2x – 8 parabolünün eksenleri kestiði noktalar birleþtirilerek oluþturulan þeklin alaný kaç br2 dir? A) 48

B) 32

C) 30

PARABOL

8.

B) –1

TEST KODU : 20506

Buna göre, a + r + k toplamý kaçtýr?

D) 28

E) 24

y = 2x2 + nx – 4 parabolleri x eksenini ayný noktada kestiklerine göre, m + n toplamý kaçtýr? A) –3

151

B) –2

C) –1

D) 2

E) 3

11.

13.

ABCD kare olmak üzere, y = 15 – x2 parabolü veriliyor.


Buna göre, ABCD karesinin alaný kaç br2 dir? A) 9

B) 16

C) 36

D) 64

E) 81

Yukarýdaki þekilde ABCD karesinin A köþesi y = x2 parabolünün üzerinde ve DC kenar ekseni üzerindedir. C(2, 0) olduðuna göre, ABCD karesinin alaný kaçtýr? A) 1

12.

ekilde f( ) parabolünün grafi i verilmiştir. Buna göre, OABC karesinin alaný kaç br2 dir? A) 1

B) 4

C) 9

D) 16

E) 25

152

B) 4

C) 9

D) 16

E) 25

1.

2.

Yukarýda þekli verilen parabolde,

2|OB| = 3|OA|

f(x) = –x2 + 6x + k – 1

2

f(x) = x – 5x – 3m + 57

4|ON| = 5|MN|


olduðuna göre, k kaçtýr?

A) 69

B) 65

C) 57

D) 51

E) 19

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

TEST KODU : 20507

Yukarýda þekli verilen parabolde,

3. PARABOL Grafik, tepe noktasý T(–4, –3) olan f(x) fonksiyonuna aittir. |AB| = |BC| = |OC| olduðuna göre, ATC üçgeninin alaný kaç br2 dir? A) 3 153

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

4.

6.

Yukarýdaki þekilde f(x) = x2 + 2 parabolü y = 22 doðrusu ile kesilmiþtir.

2

y = x eðrisi ile y = 2x doðrusu O ve A noktalarýnda kesiþiyor.

Buna göre, ABCD karesinin alaný kaç br2 dir?


Buna göre, A(AOB) kaçtýr? A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

A) 25

E) 12

B) 16

C) 9

D) 4

E) 1

7.

5.

y = f(x) parabolünün grafiði þekildeki gibidir.

Yukarýdaki þekilde B noktasý y = x2 parabolü üzerinde ve ABCD karedir.

Buna göre, OABC dikdörtgeninin alaný kaç br2 dir?

C noktasýnýn koordinatlarý toplamý 8 olduðuna göre, B nin ordinatýnýn alacaðý deðer kaçtýr?

A) 4

A) 1

B) 6

C) 8

D) 12

E) 16 154

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

8.

9.

Buna göre, ABCD karesinin çevresi kaçtýr? A) 8

B) 12

C) 16

D) 20

Þekilde y = x2 – 6x + m parabolünün tepe noktasý T dir. |OA| = |AT| = 5 br olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

TEST KODU : 20507

Yukarýdaki þekilde ABCD karesinin A köþesi y = x2 parabolü üzerinde, DC kenar 6 do rusu üzerinde ve BC kenarý x ekseni üzerindedir.

E) 24

PARABOL

155

12.

10.

Yukarýdaki þekilde y = f(x) = ax2 parabolünün grafiði verilmiþtir.


A(x, x) noktasý için |OA| = 4 2 birim olduðuna göre, a kaçtýr? A) 1

B)

1 2

C)

1 4

D)

1 8

E)

1 16

f(x) = 1 – x2 ve g(x) = 2 – x2 parabolleri ile þekildeki gibi sýnýrlanmýþ karenin alaný kaçtýr? A) 12 – 6 2

B) 12 – 8 2

C) 12 – 4 2

D) 12 – 2 2 E) 12 – 2

11.

y = x2

Þekilde iki köþesi y = x2 eðrisi üzerinde bir köþesi orjinde olan karenin alanı ka r2 dir? A) 1

B) 2

C) 2

D) 2 2 E) 4 156

1.

3.

Denklemi y = ax (a > 0) olan þekildeki parabol yayý üzerinde P ve Q noktalarý alınarak birbirine e OH S ve HK kareleri çizilmiþtir.

AB // Ox olduðuna göre, k + m toplamý kaçtýr? A) 2

B) 4

C) 5

D) 6

Buna göre, |KQ| kaç birimdir?

E) 8

A)

3a 4

B)

2a C) a 3

D) a 2 E) a 3

TEST KODU : 20508

2 Şekildeki y m do rusu f( ) – 2x + k parabolüne B noktasýnda teðettir.

(ÖYS - 1992)

2. PARABOL

Yukarýdaki þekilde y = f(x) parabolü verilmiþtir.

4. y = x2 – 5x + 7 parabolü ile

|f(x)| = –f(x) koþulunu saðlayan kaç farklý x tamsayýsý vardýr?

r s n n kesi tikleri n k talarýn orta noktasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr?

A) 9

A) –7

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

157

B) –3

C) 7

D) 10

E) 12

7.

5.


Yukarýdaki þekilde AB doðrusu y = f(x) parabolüne A(–1, 3) noktasýnda teðettir.

Þekildeki taralý bölge aþaðýdakilerden hangi ile ifade edilir?

C(–4, 0) olduðuna göre, B noktasýnýn apsisi kaçtýr? 5 A) 2

B) 2

3 C) 2

D) 1

1 E) 2

A) x2

y

C) y

2

B) ve y

2

y

D) y

2

ve y

E) 1 < y < x2

6.

8. y = x2 parabolüne Oy ekseni üzerindeki Þekilde orjinden geçen iki parabol verilmiþtir. Tepe noktalarý A ve B olan bu iki parabolden birinin denklemi y = x2 + 4x ve |CD| = 10 birim olduðuna göre, B noktasýnýn apsisi kaçtýr? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7 158

bir A noktasýndan çizilen teðetler birbirine diktir. Buna göre, A noktasýnýn ordinatý kaçtýr? A) –

1 1 1 B) – C) – 8 4 2

D) –1

E) –2

10.

9.

[AB] nin orta nokta apsisi 4 olduðuna göre, k kaçtýr? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

A) A

B) D D) E veya C

C) B E) A veya B

TEST KODU : 20508

Þekildeki y = –x2 + kx + 4 parabolü ile y = 8 – kx doðrusu A ve B noktalarýnda kesiþiyor.

Grafikteki y < x – 1 ve y > x2 – 7x + 6 koþullarýna uyan nokta aþaðýdakilerden hangisidir?

E) 5 PARABOL

159

11. y y

2

12.

– 2x 2

eþitsizlik sistemi aþaðýdaki grafiklerden hangisi ile gösterilir?


Þekildeki taralý bölge aþaðýdaki eþitsizlik sistemlerinden hangisi ile gösterilir? x2 2

A) y y

4

C) y y

x2 2

4

y 4

4 E) y y

160

x2 –x+4 2

B) y

D) y

4

x2 +x+4 2

y 4 x2 +x–4 2 4

cevap anahtarı 20301 - II. DERECEDEN DENKLEMLER 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

D

C

E

A

A

B

B

A

B

D

A

B

E

A

A

C

20302 - II. DERECEDEN DENKLEMLER 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

E

D

E

D

E

E

C

E

B

E

B

A

A

A

B

B


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

A

C

B

B

B

C

C

C

B

A

D

D

D

C

C

CEVAP ANAHTARI

1.


3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

A

E

C

C

D

D

B

C

E

B

D

A

D

B

C


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

D

D

D

B

B

A

A

E

D

A

A

D

C

C

B

B


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

B

A

D

E

C

D

A

D

B

B

D

C

D

A

E

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

B

A

B

B

C

B

D


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

D

A

B

A

B

E

A

A 161

TEMEL KAVRAMLAR

1.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

A

D

C

C

A

D

A

C

B

E

B

A

A

D

A


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

C

E

A

B

B

A

B

D

C

B

C

C

E

E

A



2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

D

E

D

B

B

A

C

E

D

A

D

C

A

D

B

C


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

E

A

E

C

C

C

C

A

C

C

E

B

E

C

B

A


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

D

B

E

D

C

D

C

A

E

B

D

E

A

E

B

A

E İT İ Lİ LE 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

B

C

E

C

A

E

B

B

A

A

B

D

B

B

B

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

E

B

D

C

D

A

C

D

B

C

D

D

A

A

A

D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

E

C

B

C

E

B

E

C

C

D

B

C

A

B

D

E İT İ Lİ LE

E İT İ Lİ LE

162

E İT İ Lİ LE 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

D

A

C

D

E

E

D

A

D

E

B

C

D

D

D

C

1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

C

B

B

A

E

E

C

A

B

C

E

E

A

B

C

D

A

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

A

D

D

C

B

B

D

B

E

D

D

C

B

D

C

E İT İ Lİ LE

E İT İ Lİ LE

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

C

C

E

B

D

C

D

A

E

D

D

C

E

B

A

CEVAP ANAHTARI

E İT İ Lİ LE

E İT İ Lİ LE 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

C

D

A

C

E

C

C

E

B

B

B

D

C

D

D

E İT İ Lİ LE 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

D

C

C

D

E

A

C

A

D

E

C

E

A

E

C

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

A

E

A

C

E

B

C

A

E

A

B

E

E

D

D

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

D

B

E

E

B

E

E

E İT İ Lİ LE

20501 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

D

C

C

E

A

E

A

D 163

TEMEL KAVRAMLAR

1.

20502 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

B

A

B

B

B

D

A

C

C

A

D

C

E

B

E

20503 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

D

C

E

C

E

B

A

C

A

A

A

A

D

A

A

C


20504 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

D

D

C

D

E

C

D

C

A

A

E

E

D

E

B

20505 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

C

C

C

D

E

E

C

A

D

A

C

B

20506 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

C

B

E

D

D

A

E

E

B

A

C

B

A

20507 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

A

E

C

A

D

B

C

C

C

C

C

B

20508 - PARABOL 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

D

D

D

D

E

A

A

B

D

C

E

D

164

NOTLAR

NOTLAR

II. Dereceden Denklemler & Eşitsizlik & Parabol

Recommend Documents