DENKLEM KAVRAMININ TARİHSEL GELİŞİMİ GİRİŞ: Günlük hayatımızda bir kilo elmanın 2 lira olması, 5 telin 100 gram gelmesi duyduğumuzda önemsemediğimiz aslında matematiğin temel konularından biri olan “DENKLEM” dir. Denklem iki niceliğin eşitliğini gösteren bir bağıntıdır dediğimizde; aklımıza değişken, eşitlik veya eşitsizlik, çözüm kümesi gibi kavramlar gelmektedir. Grubumuz bunu kılavuz alarak aşağıdaki aşamalarla araştırmamızı tamamladık. Denklem kavramının tanımı, kritik noktaları ve ön öğrenmelerini vererek işe başladık ardından denklem kavramının tarihsel gelişiminden bahsedebilmek için öncelikle cebir notasyonlarının tarihsel gelişiminden de bahsetmenin gerekli olacağını düşündük. Ve sonra denklemlerin çözülmesi başlığı altında farklı dereceden denklemlerin olası çözümlerine ilişkin ön bilgiler verilerek 1. dereceden denklemler ve ardından ayrıntılı olarak 2. dereceden denklemlerin tarihsel gelişimini ve bu iki konunun doğmasına sebep olan problemlerin çözümünü anlattık.
DENKLEM
TANIMI,
KRİTİK
NOKTALARI
VE
ÖN
ÖĞRENMELERİ: Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır. Araya (=) işareti konularak ifade edilir. Denklemlerde eşitlik, değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir. KRİTİK NOKTALAR: -
Denklem kavramı
-
Özdeşlik kavramı
-
Denklemin çözümü
-1-
-
Analitik düzlemde denklem ve eşitsizlik gösterimi Denklem kavramı: Denklem tanımında bu kritik noktayı açıkladık.
Özdeşlik kavramı: İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki ifadeye özdeştir diyoruz. Her x gerçel sayısı için; x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz. Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir. İki ifadenin özdeşliği ( ) işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu işaret yerine (=) işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir. (x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik, x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir. x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır. Denklemin çözümü: x+1=7 x2 + 6 = 5x x+y=7 x2+ 5 = 0 x2+ y2 = -15 birer denklemdirler. Bir denklemde eşitliği sağlayan değere denklemin çözümü denir. Böyle bir değer bulunamadığı takdirde, denklemin çözümünün olmadığına karar verilir. Reel sayılar kümesinde, yukarıda verilen denklemlerden birincisinin 1, ikincisinin 2, üçüncüsünün sonsuz çözümü vardır, dördüncüsü ve beşincisinin çözümü yoktur. Örneklerde olduğu gibi x,y,z,... bilinmeyenlerini içeren ve bilinmeyenlerin bazı değerleri için gerçeklenen (sağlanan) eşitliklere denklem diyoruz. Bilinmeyenlerin denklemi sağlayan değerlerine denklemin kökü ya da çözümü, tüm çözümlerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi, denklemin köklerini bulmak için yapılan işlemler zincirine de denklemin çözülmesi denir. Analitik düzlemde denklem ve eşitsizlik gösterimi: Analitik düzlemde değişkenleri sağlayan noktalar kümesiyle grafikler oluşturulur.
-2-
Bu bir doğru olabileceği gibi derecesine göre sınıflandırılarak bir eğride oluşturabilir ki bu eğriler özel geometrik şekillerde olabilirler. Örneğin, çember denklemini ele alıp analitik düzlemde gösterelim. Çember üzerinde bir nokta P(x,y) ise, İki
|MP|=r’dir.
nokta
arasındaki
uzaklık
formülünden; |MP|=(x-a)2+(y-b)2=r (x-a)2+(y-b)2=r2 Bu
bağıntıya,
merkezinin
koordinatları
M(a,b), yarıçapı r olan çemberin denklemi denir. ÖN ÖĞRENMELER: -
eşitlik
-
değişken
-
denklem derecesi
-
eşitsizlikler Değişken: xy,
1,
3x2 - y2 + 2,
πr2,
2x + 5,
x2 + y3,
3x2 - 4x +1, x2 + 1,
x + 1, x2 +
1/2gt2
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bulunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken veya bilinmeyen diyoruz. Denklem derecesi: Bilinmeyenin en büyük kuvveti baz alınarak denklemin
derecesi
belirlenir.
(Birini
dereceden
denklemler,
ikinci
dereceden denklemler, ... , n. Dereceden denklemler) Eşitsizlikler: a, b Є IR, a ≠ 0 olmak üzere, ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 biçiminde yazılabilen
eşitsizliklere
birinci
dereceden
bir bilinmeyenli
eşitsizlik denir. Eşitsizliği doğru kılan x gerçel sayılarının kümesine de -3-
eşitsizliğin çözüm kümesi, bu kümenin bulunması işlemine de eşitsizliğin çözülmesi denir.
DENKLEM KAVRAMININ TARİHSEL GELİŞİMİ Cebir Notasyonlarının Tarihçesi: 15. ve 16. yüzyıldaki en önemli matematik çalışmaları cebir üzerine olmuştur. Bu konudaki ilerlemeler analitik geometrinin doğmasına ve integral hesabına icadına yol açmıştır. Cebirin modern anlayışa göre önem kazanmasını sağlayan husus cebir notasyonlarıdır. Cebir işaret ve notasyonlarının matematiğe girişi çok önemli ve yararlı olmuştur. Bilinmeyen sayıların harflerle gösterilmesi ve hesaplama işlemleri için işaretlerin kullanılması, problemlerin çözümlenmesine çok büyük kolaylıklar getirmiştir. Bir matematik probleminin çözümünde yapılacak işlemler tespit edilince, bunun cebir işaret ve notasyonlarıyla denklem haline sokulması çok kolaylaşmış olur. Bundan sonra yapılacak iş bilinmeyen sayının mahiyeti ile ilgilenmeye gerek kalmadan, sadece cebir işlemlerinin yürütmekten ibaret kalmış olur. Böylece klasik cebir, notasyon ve işaretleme sistemi sayesinde, açık, kesin ve mükemmel bir hüviyet kazanmıştır. Halen kullanılmakta olan cebir işaretlerinin çoğunu Alman ve İngiliz matematikçilerine borçluyuz. Mesela Jean Vidman’ın 1489’da basılıp yayınlanmış “Pratik Aritmetik” adlı kitabında (+) ve (-) işaretlerinin kullanıldığı görülmektedir. Daha önce, Arapça yazılmış eserlerde bildiğimiz bölme-kesir işaretlerinin kullanılmaktaydı. Kristof Rudolf adlı matematikçi 1525’de yayınlanmış Cebir kitabında √ karekök işaretini kullanmıştır. Küpkök için bu işaret üç kere tekrarlanıyordu. 1557’de yayınlanan İngilizce bir cebir kitabında eşitlik işareti olarak (=) kullanıyordu. eşitlik işaretleri de yine İngilizce bir kitapta görülmektedir. (1631) fakat bu çeşitli işaretler ancak 18.yüzyıldan itibaren genellikle kullanılır oldu. Bu zamana kadar
yayınlanan
eserlerde
yazarlar
birbirlerinden
farklı
işaretler
kullanmaya devam etmişlerdir. Mesela cebir üzerindeki çalışmalarıyla bu -4-
bilime çok önemli katkıları olan Viete (1540-1603), (a-b) farkını a=b şeklinde gösteriyordu. Fermat ile Descartes eşitlik işareti olarak ∞ işaretini kullanıyordu. Ve bu tercihlerinin sebebi olarak latince eşit anlamına gelen “aequus” kelimesinin baş harfinden yararlandıkları sanılmaktadır. ∞ işaretinin
sonsuz
büyük
kavramına
karşılık
kullanılması
İngiliz
matematikçisi Wallis (1616-1703) le başlamış ve yine ancak 18. yy da genelleşmiştir. Batıda daha 18. yy’dan itibaren, arapça yazılmış eserlerden de esinlenerek, hesap ve cebir problemlerinde göz önüne alınan kemiyetlerin harflerle gösterme eğilimi başlamıştı. Fakat bilinmeyen kemiyetler gibi sayıca belli değerler içinde –denklem kurmada- harf kullanılması usulünü genelleştirip yazan (1591’de yayınlanan eseriyle) Viete olmuştur. Hatta Viete, bir yüz ölçümünü kare üslü bir harfle, hacmi de küp üslü bir kemiyet olarak
göstermenin
denklemlerde
yararlı
homojenlik
olacağını, kuralını
bu
geometrik suretle
kemiyetlerle açıkça
ilgili
gösterilmiş
bulunacağını belirtmiştir. Descartes’in geometri adlı kitabının yayınlandığı 1637 tarihinden beri, bugün hala yapıldığı gibi, alfabenin ilk harfleri (a,b,c,d) bilinen kemiyetler için, (x,y,z) harfleri de bilinmeyen kemiyetler için sembol olarak kullanılagelmiştir. Üslü sayıları Am, xn gibi işaretlerle göstermek usulünü de Descartes’e borçluyuz. (a+b) iki terimlisinin açılım yöntemi Viete’den beri bilinmektedir. Viete (a+b)m’nin, m=6 ya kadar açılımlarını göstermiştir. Bu arada şunu da belirtmek yerinde olacaktır; pascal üçgeni Avrupa’da daha 16.yy’dan beri bilinmekteydi. Denklemlerin Çözülmesi: ikinci dereceden bir denklemin çözümü problemi elamanter cebirin belli başlı bilinen bir konusudur. 16. yy’da İtalyan bilgini Cardano (1501-1576) ile Tartaglia (1500-1554) üçüncü dereceden denklemlerin çözümü ile ilgili formüller bulmuşlar. Ferrari (1522-1565) de, dördüncü dereceden denklemine ait bir çözüm yolu vermiştir. n>4 olacak şekilde n. dereceden genel denklemin, katsayıları vasıtasıyla
köklerinin
ifadeye
yarayacak -5-
genel
cebir
formülleri
bulunmadığı, yani katsayılar üzerinde yapılacak sınırlı sayıda aritmetik işlem vasıtasıyla, kökleri hesaplamanın mümkün olmadığı çok sonraları, Norveçli matematikçi Abel (1802-1829) tarafından ispat edilmiştir. BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Matematik sayma, alan bulma gibi işlemlerin başlamasıyla ortaya çıkmıştır. Bu işlemlerde günlük sorunları çözmek amacıyla yapılmıştır. Mısırlılar, Babilliler, Mayalar… Günlük ihtiyaçtan ortaya çıkan birçok probleme
buldukları
çözümler
ile
bize
matematiğin
temelini
oluşturmuşlardır. Babilliler ve mısırlılar da bahsettiğimiz pratik ve günlük sorunlara ilgi duymuşlardır. Onların bu tip problemlere olan çözümleri yemek tarifleri gibi yazılmıştır. Yani bilinmeyen nicelikler harfle veya işaretle gösterilmek üzere düz yazı şeklinde yazılıyordu. Yazan kişi bir dizi talimatları yerine getirerek sonuca ulaşırdı. Eğer biz onların problem çözme stiline ilişkin bir örnek verelim; Şimdi elimizde bir demet tarçın kamışı olsun. Ama onları tartmak yerine, 4 tanesini basküle koyup ağırlıklarının 4 mislini ölçelim. Şimdi 20 gin1 ekleyeceğim. Şimdi buraya her şeyin yarısı ekleyelim. Yani 2 demet kamış ve 10 gin. Bu taraftaki her şey 1 manaya2 eşit. İşte karşımızda tarihin ilk matematik denklemlerinden biri çıkıyor. Bu 1. dereceden bir denklemdir. 4x 4x+20 gin 4x+20gin+2x+10gin =1 mana (60 gin) İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci
dereceden
denklemlerin
doğmasına
sebep
olan
problem: Babilliler de; günlük hayatın gereği olarak; arazi ölçümleri gibi problemleri çözmek için matematiği kullanmışlardır. .Ve işte tam burada ilk defa Babil matematiğinin bize bıraktığı en büyük miras olan 2.derece 1 2
Gin: babillilerde ağırlık ölçüsü birimi Bir mana 60 gine eşittir.
-6-
denklemleri
görüyoruz.
2.derece
denklemler
bulmaya
çalıştığımız
bilinmeyenin kendisiyle çarpıldığı ifadeler içerir. Buna 'karesi' diyoruz çünkü bize karenin alanını veriyor. Örneğin; tarlaların alanın hesaplanması doğal olarak 2.derece denklemlerin doğuşu hazırladı. Şöyle bir örnekle Babillilerin çözümlerini gösterebiliriz.
Kısa kenar kaç birimdir? ?
?+6
3 br
3 br 3 br
8 br
8 br Bir bölgenin alanı 55 birim kare ise ve bir kenarı diğerinden 6 birim uzun ise kısa kenar kaç birimdir? Babillilerin çözümü alanı bir kare haline getirmekten geçiyordu. 3 birimlik fazlalığı kesip, altına taşırız. Şu an, 3'e 3'Iük bir parça eksik onu da ekleyelim. Bölgenin alanı 9 birim kare artmış oldu.Böylece yeni alan 64 birim kare oldu. Yani, karenin bir kenarı 8 birimdir. Biz burada kenara 3 birim eklediğini biliyoruz. Dolayısıyla gerçek uzunluk 5 birim olmalıdır.
-7-
Bu soruyu modern matematikte cebir matematiğinin sembolik dilini kullanarak rahatlıkla çözebiliyoruz ama Babilliler cevabı bulurken hiçbir sembole
veya
formüle
ihtiyaç
duymadan
bu
geometrik
oyunları
kullanıyorlardı. MÖ 2000’lerde Mezopotamyalılar ikinci dereceden denklemlerin pozitif kökünü (çözümünü) bulmak için algoritma geliştirmişlerdi. Mezopotamya matematiğinin çok gelişmiş bir dalı da cebirdir. Mezopotamyalılar cebirin kurucusu olarak kabul edilir. Birinci derece denklemlerinin
çözümü
Mezopotamyalılar
için
bir
problem
teşkil
etmiyordu. Onların cebirde en çok üzerinde durdukları ve maharet sahibi oldukları konu ikinci derece denklemlerinin çözümleriydi. İkinci derece denklemleri dokuz grup halinde sınıflandırılmış ve her tip için ayrı çözüm formülleri verilmişti. Karşılaşılan problemlerin cebirsel ifadeleri önce bu belirli tiplere dönüştürülmekte, sonra belli çözüm formüllerine göre otomatik olarak çözüm bulunmaktaydı. Mezopotamyalılar’ın dokuz tip halinde ele aldıkları ikinci derece denklemleri ve çözüm formülleri şöyledir:
-8-
Mısırlıların
da
MÖ
2160–1700
tarihleri
arasında
bazı
ikinci
dereceden denklemlerin kökünü bulmayı bildikleri Berlin papirüsünden anlaşılıyor. Ama o zamanlar daha “denklem” kavramı gelişmemişti ve gerçek yaşamdan alınan problemlerde ortaya çıkan, dolayısıyla pozitif kökleri (genellikle bir uzunluk) olan denklemlerle uğraşılırdı. Berlin papirüsü Mısır, Gizze’de arkeolojik kazılar sonucu bulunup, 1827 yılında Berlin müzesine gönderilmiştir. 1909 yılında Almancaya çevrilmiştir. 24 sayfadan (21 ön, 23 arka sayfa) ibarettir. Büyük oranda Ebers papirüslerine benzemektedir. Mısırlılarda, bugünkü cebirin herhangi bir şeklinin varlığına dair, kesin
bilgiler
görülmemektedir.
Ancak;
Mısırlılarda,
bugünkü
cebir
konularına benzeyen, oldukça ilkel cebirin varlığı görülmektedir. Mısırlıların "Yanlış ve Deneme yoluyla Yoklayarak çözüm" metodu kullanılmış olduğu görülmektedir. Mısırlıların da MÖ 2160-1700 tarihleri arasında ikinci dereceden
denklemlerin
kökünü
bulmayı
bildikleri
bu
papirüsten
anlaşılıyor. Aydın Sayılı Mısırlılar'da ve Mezopotamyalılar'-da Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde bu tür hesabın nasıl yapıldığına dair altı örnek belirtmektedir. Bunlar; x/y = 4/3; xy = 12 xy = 40; x = (5/2)y xy = 40; x/y = (1/3) + (1/15) = 2/5 10xy = 120; y = (3/4)x x2 + y2 = 100; y = (3/4)x a2 + b2 = 400; a = 2x; b = (3/2)x Tabi ki, bu örnekler bugünkü cebir düşüncesine göre düzenlenmiş gösterim şekilleridir.
-9-
Yukarıdaki altı tip örnekte görülebileceği gibi, problemler hep özel durumları temsil ediyor. Ancak, Aydın Sayılı adı geçen eserinde, bu konuda şöyle demiştir: Mısırlı matematikçinin zihninde belli çözüm yollarının ve genel formüllerin bulunduğuna şüphe yoktur. Örneğin aha hesaplarıyla ilgili papirüslerde, herhangi bir metot söz konusu edilmemesine rağmen, bunlarda özel bir metoda uyulduğu gayet sarih bir şekilde görülmektedir. Problemlerin
pedagojik
amaçlarla
bu
şekilde
tertiplenmiş
oldukları
söylenebilir. Yunanlılar
MÖ
300
yıllarında
ikinci
dereceden
bir
denklemi
geometrik yöntemlerle çözebiliyorlardı. Yunanlılar için de bir sayı daha çok bir uzunluktu. Yunanlı Diofantus (210-290) ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu, ama köklerden sadece birini buluyordu, köklerin her ikisi de pozitif olduğu zaman bile. Gerek
Babillilerin
ve
gerekse
Brahmagupta’nın
yöntemleri
denklemleri doğru çözmekle beraber, bir sayının karekökü, Yunanlılar tarafından ele alındığı gibi bir sağlam temele dayanmıyordu. Yaklaşık İ.Ö. 300 de Öklid, bizim bu günkü gösterimimizle ikinci derece bir denklemin kökü olarak ifade edilebilecek bir uzunluğu geometrik olarak bulmayı sağlayan bir yaklaşım keşfetmiştir. Uzunluğu a olan AB doğru parçası üzerine bir kenarı AB olan bir dikdörtgen ile bir kenarı AB üzerinde olan ve D karesine benzer, dolayısıyla ister, istemez bir kare olan, ayni yükseklikte öyle iki dikdörtgen çiziniz ki bunların alanları farkı C olsun. Bu günkü
bilgilerimizi
kullanarak,
x=SB
koyacak olursak problemin çözümünün axx²=C denklemini çözmeye denk olduğunu görürüz.
Aslında
bu
önerme
paralel
kenarları ilgilendirmekle beraber, önermede geçen paralel kenarlar dikdörtgen olarak alınırsa önermeyi açıklayabiliriz. - 10 -
Diophantus’tan önceki dönemde, problemler ve çözümleri kağıt üzerinde düz yazı şeklinde yapılmaktaydı. Bu çözüm metodunu anlamak çok zordu ve kullanışsız bir yoldu. 2x3 -3x2 + 4x–5 ifadesi Diophantus’tan önceki dönemde şu şekilde ifade edilmekteydi. İlk sayı, ikinci sayının küpünün 2 katı ve ikinci sayının dört katından, ikinci sayının karesinin üç katı ve beşten çıkarılarak oluşturulur. Bu tip ifadeleri kavramak ve kullanmak bilinmeyen Kısaltmaları
oldukça için
zor
olmalıydı.
kısaltma
tanıtmak,
Yunanlı
kullanarak
problemleri
matematikçi
cebirsel ve
sembolü
çözümlerinin
Diophantus tanıtmıştır. anlaşılmasını
kolaylaştırdı ve daha kullanışlı hale getirdi. Diophantos sorulardaki ikinci dereceden denklemlerde 2 pozitif kökten sadece büyük olanı alır. Diophantos’un kullandığı 2. dereceden denklemler
hakkında
bilgi
vermek
gerekirse;
Diophantus’un,
İkinci
dereceden denklemlerin iki kökü olduğuna dair bir bilgisi olduğunu gösteren bir ipucu yoktur. Diophantus’un ele aldığı üç tip ikinci derece denklem vardı: ax2 + bx = c, ax2 = bx + c, - 11 -
ax2+c= bx. Bu üç denklemin de bugün aynı denklem olduğunu biliyoruz. Ancak o zaman için farklı denklemlermiş gibi görünmesinin sebebi, Diophantus için sıfır kavramının var olmayışıydı. Bu denklemlerde a, b ve c yi pozitif seçerek negatif katsayılardan da kaçınabilmişti. Bunun yanı sıra negatif olan kökleri dikkate almaz. Yani Diophantos’un tipik özelliği yalnızca pozitif, kesirli çözümlerle ilgilenmesi ve kesirsiz çözümleri olanaksız olarak nitelendirmesidir. Kullandığı katsayıları aradığı pozitif, kesirli çözümü bulmak için dikkatlice seçmiştir. Kitabında da sadece bu tarz seçilmiş problemlere yer vermiştir. Ayrıca yine aynı kitabında belirli ve belirsiz denklemler arasında kesin ayrımlara gitmemiş, belirsiz denklem içinde sonsuz çözüm olmasına rağmen sadece 1 çözüm üzerinde durmuştur. Şimdi Arithmetica da yer alan iki probleme Diophantos gözüyle bakalım; SORU-1: Toplamları 20,karelerinin toplamları 208 olan iki sayıyı bulalım? Diophantos burada hemen bizim gibi X ve Y kullanmıyor bunların yerine 10+X 10-X kullanıyor. (10+X)2+(10-X)2=208 100+X2+20X+100+X2-20X=208 2X2=8 X2=4 X=(+/-)2 Fakat
burada
Diophantos
un
sadece
pozitif
kökleri
almasından
dolayı(burada sonuç fark etmeyecektir ama) X=2 10+X=12 10-X=8 sayılarını buluruz. Bu örnekte denklemlerimiz belirliydi ve Diophantos’un bunlara yaklaşımını gördük. Diophantos belirsiz denklemlerde de aynı şekilde soruya yaklaşıyor, analiz ediyor. Örnek üzerinde görelim: - 12 -
SORU-2: Öyle iki sayı bulalım ki herhangi birinin karesini diğerine eklediğimiz de yine bir sayının karesi olsun? Bu örnek de yine tipik Diophantos analizi vardır. Yani sadece rasyonel sayıları çözüm olarak kabul eder, ve yine; X,Y yerine zekice X ve (2X+1)’i kullanır. (X2)+(2X+1)=(X+1)2 burada X in hangi değeri aldığı önemli değildir. Ve aynı zamanda (2X+1)2+X bir sayının karesi olması gerekiyor. İşte burada Diophantos bu sorunun sonsuz çözümü olduğunu göstermek yerine tek koşullarda çözüyor. Bu örneklerden sonra Diophantos un çalışmalarındaki metodu şöyle açıklayabiliriz. İki koşulu sağlayan iki sayı istendiği zaman, koşullardan birini sağlayan iki sayı seçilir. Daha sonra diğer koşuluna geçilir. Burada iki bilinmeyen tek bilinmeyene indirilir ve koşul çözülür. Metodu açıklamak için ilk örneğimize bakmamız yeterlidir. İlk koşul X+Y=20 dir. Sonra ikinci koşula geçmeden iki bilinmeyen teke indirilir ve 10+X ve 10-X yapılır, ikinci koşul çözülür. Hintli biliyordu.
Aryabhata
Ama
bu
bilgi
(475–550) daha
her
sonra
iki
kökü
unutulmuşa
birden
bulmasını
benziyor,
çünkü:
Brahmagupta (628) köklerden sadece birini bulabiliyormuş gibi bir intiba bırakmıştır. Mahavira (850) en azından pozitif kökü bulmayı mutlaka biliyordu, Sridhara da öyle (1025). Hintli matematikçiler Babillilerin yöntemlerini daha geliştirmişlerdir. Hatta Brahmagupta (598-665) neredeyse modern denilebilecek şekilde, negatif büyüklükleri de içeren yöntemler vermektedir. Bragmagupta, 7. yüzyılda kısaltma biçimini kullanmıştır Brahmagupta bilinmeyen için, genel olarak bir rengin baş harfi olan kısaltmalar kullanmıştır ve bazen tek bir problem birden fazla bilinmeyen içermektedir. Brahmagupta 628 de ax²+bx=c denkleminin çözümü
için
aşağıdaki - 13 -
çözüm
yöntemini
önermektedir.
"Mutlak sayının (yani sabitin) kare (yani x² nin katsayısı) ile çarpımının 4 katına, orta terimin (yani x in katsayısının) karesini ekleyin: Bunun karekökünden orta terimi çıkarılarak karenin (yani x² nin katsayısı) iki katına bölünürse değer bulunur." Modern yazımla: ax²+bx=c nin çözümü
Bragmagupta’dan sonraki diğer Hintli matematikçiler kısaltmanın benzer şekillerini
kullanmışlardır.
Tablo
4,
Bragmagupta’nun
notasyonunun
modern cebirsel ifadelere dönüştürülmüş şeklini sunmaktadır Modern ifade
Brahmagupta’nın ifadesi
Bilinmeyenin
Madde
Entegrasyon
Küpünün iki
Toplama
Yan yana koyarak
katı
Çıkarma
Çıkan sayı üzerindeki leke
Bilinmeyenin Dört katı
Çarpma
faktörlerden
Eksi Bilinmeyenin karesinin üç katı Beş Birim
Çarpılacak sonra bha yazılır.
Karekök Bilinmeyen Bilinen tamsayı İkinci bilinmeyen
- 14 -
Türk Al-Harazmi (780–850) ve İranlı Ömer Hayyam (1100) da pozitif kökü bulmayı biliyorlardı. Ömer Hayyam ayrıca üçüncü dereceden bir denklemin birden fazla kökü olabileceğini de biliyordu. Al-Harazmi ikinci derece denklemlerinin değişik formlarını incelemiş ve
bunlarla
Muhtasar
ilgili
Fi
nümerik
Hesab
örnekler
al-Cebr
Ve'l
vermiştir. Mukabele"
Harzemlinin kitabında
"Kitab-ül
altı
bölüm
bulunmaktadır. Her bir bölüm değişik tipte denkleme ayrılmıştır. Bu denklemler üç değişik büyüklükten oluşmaktadır: kökler, köklerin kareleri ve sayılar. ( yani. x, x2 ve sayılar). 1. Karelerin köke eşit olduğu denklemler, örneğin; x²=10x. 2. Karelerin sayıya eşit olduğu denklemler, örneğin; x²=25. 3. Köklerin sayıya eşit olduğu denklemler, örneğin; 10x=20. 4. Kareler ve köklerin sayıya eşit olduğu denklemler, örneğin; x²+10x=39. 5.
Kareler
ve
sayıların
köke
eşit
olduğu
denklemler,
örneğin;
x²+21=10x. 6. Köklerin ve sayıların kareye eşit olduğu denklemler, örneğin; 3x+4=x². Harezmî bu tür denklemlerin her birinin çözümü için bir çözüm yöntemi vermektedir. Bir örnek olarak x²+10x=39 denkleminin çözümünün neden 3 olacağını aşağıdaki şekilde görüyoruz. Yöntem şudur: Kenarı x olan bir kare düşünelim. Bu karenin kenarlarına yüksekliği 2.5 olan dikdörtgenler çizelim. Böylece şekilde görünen yeşil ve sarı alanların toplamı x²+10x olur. Şimdi bu şekli kareye tamamlayacak olursak alan 4⋅(2.5)²=25 kadar artar. O halde sağdaki şeklin toplam alanı 25+39=64 olur. O halde BC=8 dir. Buradan x=8-2⋅(2.5)=3 olarak bulunur.
- 15 -
Bu denklemin çözümünü gene kareye tamamlama yöntemi ile çözen bir başka şekil aşağıda verilmiştir.
Donald E. Knuth'un, Stanford Üniversitesi Bilgisayar Bilimleri Bölümü Report No. STAN-CS-80-786 nolu, 1980 tarihli ALGORITHMS IN MODERN MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE" isimli raporu Harzemli'nin bilime katkısı ile ilgili ilginç bilgiler içermektedir. Bu raporda verilen bir diagram özellikle ilginçtir.
- 16 -
Raporda özetle, Harezmi'nin cebire yaklaşımını bir başkasından öğrendiğine ilişkin bir yeni bilgi olmadığı sürece Harezmiye "Cebirin Babası" demenin haklı nedenleri olacağı belirilmektedir. Bu yorumun ardından
yukarıdaki
diagram
verilmekte
ve
Cebir'in
Sümerlerden
başlayarak Amerika kıtasına nasıl geçtiği gösterilmiştir. Ayrıca ayni raporda,
bu
gün
bilgisayarda
kullanılan
"algoritma"
sözcüğünün
kaynağının, al-Khwarizmi (Harezmi'nin adının batı dünyasında yazılan şekli) sözcüğünün zamanla değişerek "algorithm" şeklini alması olarak görülmektedir. 1000 yıllarında Araplar ax2n + bxn + c = 0 denklemini ikinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliyorlardı. İspanyol Abraham bar Hiyya HA – Nasi ya da Savasorda ikinci dereceden denklemlerin çözümünü Batı da ilk kez yayımlayan kişi olarak bilinir (Liber Embadorum adlı kitabında) Viete (1540–1603), geometrik yöntemler yerine cebirsel yöntemleri kullanan ilk batılı matematikçi olmuştur. Al – Harazmi bunu çok daha önceden biliyordu. Viète'in en önemli katkıları cebir alanında olmuş ve en çok bu konudaki çalışmalarıyla bugünkü çağdaş görüşlere yaklaşmıştı. Onun en önemli başarısı, denklemler kuramını geliştirmesiydi. Viète,
denklemlerde
sayıları
harflerle
gösteren
ilk
matematikçilerdendir. Pozitif ve negatif nicelikler için (+) ve (-) işaretlerini
- 17 -
kullanmış ve sayısal denklemlerde bilinmeyen niceliği N ile, karesini Q ile ve küpünü ise C ile göstermiştir. Böylece, x3 -8x2 + 16x = 40 denklemini, "1C - 8Q +16N eşit 40" olarak yazmıştır. Viète'in denklem çözümlerinde kullanmış olduğu ana yöntem, ilk kez kendi
tarafından
kullanılan
İndirgeme
Yöntemi
(Reduction)'dir.
2.Dereceden denklemleri çözerken, x’i içeren terimi ortadan kaldırmak için uygun bir değiştirme yapar ve denklemi 1. Dereceye düşürür. Genel 3.derece
denklemini
“x3+mx+n
=
0”
biçimine
indirger;
sonra
“x = ((a/3)-z2) / z” kabul ederek ve denklemde yerine koyarak “z6-bz3-(a3/27) = 0” elde eder. Denklemde “z3 = y” eşitliğini kullanarak bir ikinci
derece
denklemine
ulaşır.
Dördüncü
derece
denklemlerinin
çözümünde de, indirgeme yöntemini kullanır. Viète'in cebirinde, bir denklemin kökleriyle, katsayıları arasında mevcut olan ilişkilerin kısmen bilindiği anlaşılmaktadır. İkinci dereceden bir denklemde ikinci terimin katsayısı, çarpımları üçüncü terimi veren iki sayının toplamından çıkarsa, bu iki sayının denklemin kökleri olduğunu göstermiştir. Pozitif kökler hariç hepsini reddettiğinden, söz konusu ilişkileri tam olarak görmesi mümkün olmamıştır. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:
- 18 -
İkinci Dereceden Denklemlerin köklerinin cebirsel olarak bulunması: Bu denklemlerin çözümleri de MÖ 400 yıllarında Babilliler tarafından üç aşağı beş yukarı biliniyordu. ax2 + bx + c = 0 denklemimiz olsun. Anımsatırız a ≠ 0. biraz cebir yapalım:
eşitliklerinden, a ≠ 0 olduğundan,
çıkar. Bundan da sırasıyla,
ve
ve
çıkar. Denklemi çözdük, biri artılı biri eksili olmak üzere iki çözüm bulduk:
- 19 -
SONUÇ Denklem matematikte en az bir değişken içeren ve bu değişkenlerin ancak belirli değerleri için gerçekleyen eşitliktir. Örneğin: x2 – 5x +6= 0 eşitliği yalnız x = 2 ve x = 3 değerleri için sağlanmaktadır. Bu nedenle bu ifade bir denklemdir. Oysa x2-4=(x-2)(x+2) ifadesi her x değişkeni için sağlanmaktadır. Bu nedenle bu bir denklem değil bir özdeşliktir. Denklemlerin
çözümü
konusunda
ilk
önemli
adımlar
Babilliler
tarafından atılmıştır. Ölçme tartma hesabı tarla alan hesabı için ortaya çıkan problemleri çözmek için uğraşmışlar, böylece denkleme ilk adım atılmıştır. Sonraki yüzyıllarda denklemlerle önce Mısır Yunan daha sonra Hint Türk Arap matematikçiler uğraşmışlardır. Denklemlere ilgi duymuş
olan
bu
matematikçiler
kimi
2.
derece
denklemlerin
çözümlerini bulmuşlarsa da, bazıları Yunanlılarda olduğu gibi geometrik bir yaklaşım kullanmışlardır, kimileri Hintliler de olduğu gibi simgeleri kullanmışlardır. Ancak bu kişiler modern anlamda denklem çözümü ve formülünü bulamamışlardır. Bunu yapan Viete’dir. Şuan kullandığımız kökler
arasındaki
ilişkilerin
formüllerini
Viete’nin bulduğu şekliyle kullanıyoruz.
- 20 -
(kökler
toplamı,
çarpımı)
GÖREV BÖLMESİ Araştırmamıza öncelikle grup olarak toplandık ve arkadaşlarımızla kritik noktaları, ön öğrenmeleri, denklem kavramının doğmasına sebep olan olayları ve tarihçesini grup içinde dağıtarak araştırmamıza başladık. Aymammed internet taraması yaparak, bulduğu İngilizce kaynakları tercüme etti. Betül ve irem Buca Halk Kütüphanesinden, Aykut ve Gülünay BEF Kütüphanesinden araştırma yapmışlardır. Rüya; Oxford Üniversitesi matematik profesörü Marcus du Sautoy’ nin hazırlamış olduğu the Story of Maths belgeselini izleyerek araştırmaya denklemin doğmasına
sebep
olan
olayları
bulunmuştur.
- 21 -
inceleyerek
araştırmaya
katkıda