COURS HYPERFREQUENCE LTIC3 – ESMT – DAKAR 2009 – 2010
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THEMATIQUE CHAPITRE I -PARAMETRES SECONDAIRES DES LIGNES HOMOGENES I-1 – Définitions I-2- Impédance caractéristique caractéristique de la ligne homogène I-2-1- Mesure de l’impédance caractéristique caractéristique I-2-2- Calcul de l’impédance caractéristique caractéristique I-3 - Exposant linéique de propagation p ropagation I-3-1 – Définition I- 3-2 - Affaiblissement linéique I-3-3 – Déphasage linéique I-3-4- Expression générale de l’exposant linéique de propagation I-3-5-Application aux cas particuliers particuliers d’utilisation 3-5-1 - R<< << Lω et G = 0 3-5-2 – R >> >> Lω.ce cas est celui des lignes urbaines utilisées en BF (lignes d’abonnés). I-4 - Equation Générale de propagation I-5- Vitesse de propagation I-5-1 - Vitesse d’onde I-5-2 - Vitesse de groupe, généralisation I-5-3 - Durée des phénomènes transitoires I-6- Distorsion de phase apportée par les lignes 2
THEMATIQUE CHAPITRE I -PARAMETRES SECONDAIRES DES LIGNES HOMOGENES I-1 – Définitions I-2- Impédance caractéristique caractéristique de la ligne homogène I-2-1- Mesure de l’impédance caractéristique caractéristique I-2-2- Calcul de l’impédance caractéristique caractéristique I-3 - Exposant linéique de propagation p ropagation I-3-1 – Définition I- 3-2 - Affaiblissement linéique I-3-3 – Déphasage linéique I-3-4- Expression générale de l’exposant linéique de propagation I-3-5-Application aux cas particuliers particuliers d’utilisation 3-5-1 - R<< << Lω et G = 0 3-5-2 – R >> >> Lω.ce cas est celui des lignes urbaines utilisées en BF (lignes d’abonnés). I-4 - Equation Générale de propagation I-5- Vitesse de propagation I-5-1 - Vitesse d’onde I-5-2 - Vitesse de groupe, généralisation I-5-3 - Durée des phénomènes transitoires I-6- Distorsion de phase apportée par les lignes 2
I-7- Correction Correction de la distorsion distorsion de phase I-8- Influence de la température sur l’affaiblissement l’affaiblissement des lignes CHAPITRE II - ETUDES DES LIGNES HOMOGENES MAL TERMINEES II-1 - Onde incidente, onde réfléchie II -2 - Coefficient de réflexion
I2
II- 3- Affaiblissement Affaiblissement d’adaptation II - 4- Coefficient de régularité II-5 - Variation du coefficient coefficient de régularité avec la distance II-6 - Oscillation de la courbe d’impédance. II-7 - Taux d’ondes stationnaires II-8- Cas des lignes sans perte II- 8-1 – Formules simplifiées simplifiées des lignes sans perte II- 8-2 - Ligne quart quart d’onde II-9– Applications II- 9-1 : Impédance d’entrée de la ligne en circuit ouvert II- 9- 2 - Nécessité de l’adaptation II-9-3 - filtre réjecteur à ligne : II-9-4 – Circuit résonateur quart d’onde :
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CHAPITRE III – PARAMETRES S
III- 1 – La matrice S III-1-1 – La matrice Impédance et admittance III-1-2 Coefficients de réflexion en tension et en courant III-1-3 - Ondes incidentes et réfléchies III-1- 4 - Matrice [S ] III-1- 5 – Système sans perte III-1-6 – Matrice S d’une impédance série III-1-7 – Matrice S d’une admittance parallèle III-1-8 – Changement du plan de référence aux accès d’un quadripôle III-1-8 - Mise en cascade de quadripôles Chapitre IV – COMPOSANTS HYPERFREQUENCE IV – 1 - Les dipôles IV – 2 - Les Quadripôles IV – 3 - Les multipôles IV – 3 -1 - Les multipôles réciproques IV – 3 -2 - Les multipôles non réciproques Chapitre V – MESURES DES PARAMETRES S V- 1 – Introduction V-2- Quelques techniques de mesure en hyperfréquence V-2-1 - Mélange ou détection `a diode 4
V.2.2 - Réflectométrie à coupleurs V-2-3 - Analyseur de réseau vectoriel Chapitre VI – GAIN TRANSDUCIQUE D’UN QUADRIPÔLE VI- 1- Quadripôle unilatéral VI- 2 - Quadripôle unilatéral : Etude du générateur VI- 3 - Quadripôle unilatéral : Etude de la charge VI - 4 - Quadripôle quelconque : Quadripôle chargé ,
Facteur de réflexion à l’entrée du
VI-5- Quadripôle quelconque : Facteur de réflexion à la sortie du Quadripôle VI-6- Quadripôle quelconque : Gain transducique
Chapitre VII – ADAPTATION Chapitre VIII - ABAQUE DE SMITH Chapitre IX – BRUIT EN HYPERFREQUENCE IX – 1 - Température & facteur de bruit, chaînage de quadripôles IX -1-1 - Température de bruit IX.1.2 Facteur de bruit IX.1.3 Facteur de bruit de quadripôles en cascade IX.1.4 Modèle d’un quadripôle bruyant IX-1-5- Mesure du facteur de bruit
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Chapitre X – LES GUIDES D’ONDES X-1 Propagation dans le vide X-1-1 Equation de Maxwell X-1-2 Equation d’onde X-1-3-Les Ondes planes X-2- Propagation dans un guide X-2-2 – Equation de Helmholtz X-2-3 – Résolution de l’équation de Helmholtz par la méthode de séparation des variables : X-2-4 – Guides d’ondes rectangulaires X-2-4-1 - Hypothèses X-2-4-2 - Les ondes transverses électriques (TE) X-2-4-3 - Les ondes transverses magnétiques X-2-4-4 – Etude des modes de propagations X-2-4-5 - Puissance active de l’onde transportée par le mode TE01
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CHAPITRE I -PARAMETRES SECONDAIRES DES LIGNES HOMOGENES I-1 – Définitions Les paramètres primaires ne peuvent être mesurés que sur de très courtes longueurs de ligne. Dans les calculs de transmission, on utilise d’autres systèmes de paramètres, les paramètres secondaires, qui s’introduisent naturellement dans les questions d’adaptation ou de rendement et sont mesurés directement sur une ligne de longueur quelconque. On distingue deux paramètres secondaires de la ligne homogène : - l’impédance caractéristique - l’exposant linéique de propagation Nous étudierons la ligne homogène, c’est à dire une ligne dont toutes les parties sont identiques entre elles, sur toute sa longueur. Les paramètres secondaires sont des quantités vectorielles c’est à dire définies par deux données à savoir module et angle.
I-2- Impédance caractéristique de la ligne homogène Les paramètres primaires longitudinaux et transversaux sont uniformément répartis le long de la ligne, c’est à dire que celle-ci est constituée par un nombre infini de branches. S l’on considère un élément de ligne très court (100m), on peut sans erreur appréciable supposer que les paramètres transversaux sont situé au milieu de l’élément. L’élément de ligne est fermé sur une impédance Zt
Rdx / 4
Ldx / 4
Rdx / 4
Gdx Cdx
Ldx / 4
Zt
7
V
L’impédance caractéristique Zc d’une ligne est telle que l’impédance d’entrée de la ligne fermée sur Zc est égale à Zc L’impédance longitudinale est Z1 = (R +jL ω)dx L’impédance longitudinale est Z2 = 1/ (G +jC ω)dx Zth = [ (Z1 /2 + Zt)Z2 ]/ (Z1 /2 + Z 2 +Zt ) + Z1 /2 = Zt (Z1 /2 + Zt)Z2 + (Z1 /2 + Z 2 +Zt )( Z1 /2) = Zt (Z1 /2 + Z 2 +Zt ) Z2 Z1 + Z12 /4 = Zt2 ⇒ Zt = √ Z2 Z1 + Z12 /4 Lorsque nous aboutons plusieurs éléments de ligne avec le dernier terminé l’impédance Zc, nous avons les schémas équivalents suivants :
Zc
1
2
3
n-1
n
Zc
A l’entrée de l’élément n, l’impédance est Zc par définition. Cette impédance termine l’élément n-1 donc l’impédance d’entrée de l’élément n-1 est aussi Zc et ainsi de suite.
L’impédance Zc se retrouve n’importe où sur la ligne. On l’appelle impédance caractéristique de la ligne. I-2-1- Mesure de l’impédance caractéristique Soit un câble dont on veut connaître l’impédance caractéristique : on va rendre la ligne à mesurer très longue en aboutant les paires les une sur les autres. 8
- On mesure Ze, l’impédance d’entrée de la ligne fermée sur Zt variable. - On fait varier Zt en observant Ze jusqu’à obtenir Ze = Zt = Zc.
I-2-2- Calcul de l’impédance caractéristique On peut calculer l’impédance caractéristique de la ligne par le mémo technique dont ci-dessous la proposition. Considérons la cellule suivante : Rdx / 4
Ldx / 4
Rdx / 4
Ldx / 4
Gdx
Zt
Cdx
4 ElleRdx est /équivalente à Ldx celle/ 4qui suit :
Rdx / 4
Z1/4
Ldx / 4
Z1/4
soit Zcc l’impédance d’entrée de la ligne en court circuit : on a Z2 Z1/4
Z1/4 Z1/4
Z1/4
Z2
Z1/4
Z1/4
Soit Zou l’impédance d’entrée de la ligne ouverte : on a Z1/4
Z1/4
Z2
Z1/4
Z2 se trouve en parallèle sur Z1/2 soit une équivalente égale à (Z1Z2/2) / (Z1/2 + Z2).
Zou = Z1/2 +Z2
Z1/4
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Zcc.Zou = ( Z1/2 +Z2)(Z12 /4 + Z1Z2] / (Z1/2 + Z2) = (Z12 /4 + Z1Z2) = Zc2 d’où Zc = √(Z12 /4 + Z1Z2)
= √ Zcc.Zou
En générale, on considère que Z1 2 /4 = ¼ (R + jLω)2dx2 est négligeable par rapport à Z1Z2 = (R + jLω) / (G + JC ω) et finalement, on écrit que Zc = √(R + jLω) / (G + JC ω) En posant R/ jL ω = tanδ et G/ C ω = tanξ, où δ et ξ sont les angles de perte dans le conducteur et dans le diélectrique ; on peut écrire : R + jL ω = (Lω /cosδ)e j(π /2 - δ) et G + JC ω = (Cω /cosξ)e j(π /2 - ξ) Zc = √(R + jLω) / (G + JC ω) = √L cosξ /Ccosδ) . e
j(ξ - δ) / 2
- Cas d’une ligne à forte réactance R est très inférieure à Lω et G = 0 ⇒ δ et ξ sont presque nuls et
Zc = √L/C - Cas d’une ligne à faible réactance R est très supérieur à L ω et G = 0 ⇒ ξ = 0 et tan δ assez grand. j(δ /2) Zc = √L/Ccosδ) . e . or tanδ = R/Lω ⇒ L = R / ωtanδ et alors j(δ /2)
Zc = √ R /Cωtanδ cosδ) . e -
= √ R /Cω.sinδ) . e - j(δ /2)
jπ /4
Si δ = π / 2, Zc = √ R /Cω. e -
= 1/2√ 2R /Cω. (1 – j) 10
Zc = 1/2√ 2R /Cω. (1 – j) I-3 - Exposant linéique de propagation I-3-1 – Définition Soit une ligne homogène de longueur l fermée sur son impédance caractéristique. Elle peut être représentée par une succession de cellules en T.
Zc
On peut aussi sans modifier la structure, considérer la ligne comme une succession de cellules, comme le montre la figure ci dessous
A v
i
Z1
i – i’
B v – v’
Z2
VB –VA = (v-v’) – v = -v’ = -iZ1 = - i.(R + jL ω)dx = dv ⇒ - dv/dx = i.(R + jL ω) (1)
iB–iA = (i– i') – i = - i' ≈ - v/Z2 = - v (G + jC ω)dx = di ⇒ -di/dx = v (G + jCω) (2)
En dérivant chacune des deux équations précédentes, on a : -dv/dx = i.(R + jL ω) ⇒ -d2 v/dx2 = (di / dx) (R + jL ω) (3) 11
-di/dx = v (G + jC ω) ⇒ -d2 i/dx2 = (dv / dx) (G + jC ω) (4) En remplaçant dv/dx par sa valeur dans l’équation 4, on a d2 i/dx2 = i.(R + jLω) (G + jC ω) En faisant de même au niveau de l’équation 3, on a d2 v/dx2 = v (G + jC ω) (R + L ω) En posant γ 2 = (R + jL ω) (G + jC ω), on a
d2 i/dx2 = iγ 2 (5) d2 v/dx2 = v γ 2 (6) Les équations 5 et 6 sont des différentielles de propagation dites équations des télégraphistes. Leur solution mathématique est de la forme : γ x
-γ x
v(x) = Ae + Be (7) où A et B sont des tensions constantes. En dérivant cette dernière équation, on a : γ x
dv/dx = γ (Ae - Be γ x
- γ (Ae - Be
-γ x
-γ x
) et en utilisant l’équation 1, on a γ x
) = i.(R + jL ω) ⇒ - γ (Ae - Be
-γ x
)/(R + jL ω) = i
γ / (R + jL ω) = (R + jL ω)-1(R + jL ω)1/2 (G + jC ω)1/2 γ / (R + jL ω) = (R + jL ω)-1/2 (G + jC ω)1/2 = 1/Zc. Alors on a γ x
v(x) = Ae + Be
{
γ x
i = - (Ae - Be
-γ x
-γ x
(7)
)/Zc (8)
Ce système d’équation donne l’état du signal qui se propage le long de la ligne en tout point de cette dernière. A l’entrée de la ligne, on peut considérer que x = 0 et qu’au bout de la ligne, x = l si l est la longueur de la ligne. Point x = 0 on est à l’entrée de la ligne et le signal à l’entrée est caractérisé par : 12
γ x
v(x) = Ae + Be
{
γ x
i = - (Ae - Be
-γ x
-γ x
(7)
)/Zc (8)
vo = A+B
vo/Zc = (A+B)/Zc
{
{
io = (B-A )/Zc
io = (B-A )/Zc
B = (vo + io.Zc)/2 et A = (vo - io.Zc]/2 . Si la ligne est terminée sur son impédance caractéristique Zc, l’impédance d’entrée est égale Zc = vo / io ⇒ vo = Zc.io ⇒ A = 0 et B = vo. Le système d’équations 7 et 8 devient : v(x) = vo.e
{
-γ x
(9)
-γ x
⇒e
-γ x
-γ x
= v(x) / vo et finalement, - γ e
= dv/vodx
i = vo.e /Zc (10) -γ voe
-γ x
= dv/dx ⇒ γ v(x) = -dv/dx ⇒
γ γ = -v’(x)/ v(x). C’est
l’exposant linéique de propagation de v(x) sur la ligne.
I- 3-2 - Affaiblissement linéique
γ est un nombre complexe ; γ = α + jβ et ensuite, v(x) = vo.e -(α + jβ) x = v(x) = vo.e-α x e- jβx ⇒ vo / v(x) = eα x ⇒ (1/x).Ln vo/ v(x) = α
α est le coefficient linéique d’affaiblissement de la ligne, il est souvent exprimé en Np/km
I-3-3 – Déphasage linéique
13
Le déphasage entre vo et v(x) est égale à ∆ϕ(x) = βx, β = ∆ϕ(x) / x est appelé déphasage linéique de propagation, Il est souvent exprimé en rd/km.
I-3-4- Expression générale de l’exposant linéique de propagation . En posant R/Lω = tanδ et G/C ω = tanξ γ = √(R + jL ω) (G + jC ω) où δ et ξ sont les angles de perte dans le conducteur et dans le diélectrique, on peut écrire : R+ jLω = (Lω /cosδ)e
j[(π /2) - δ)]
et G + jCω) = (C ω /cosξ)e
j[(π /2) - ξ ]
γ = √(R + jL ω) (G + jC ω) = √(L Cω2 / cosξcosδ).e j{(π /2) – [(δ + ξ) / 2]} et
γ = √(L Cω2 / cosξcosδ).e j{(π /2) – [(δ + ξ) / 2] } et α = √(L Cω2 / cosξcosδ). .sin[(δ + ξ) / 2] β = √(L Cω2 / cosξcosδ). .cos[(δ + ξ) / 2] I-3-5-Application aux cas particuliers d’utilisation 3-5-1 - R<< Lω et G = 0 C’est ce cas qu’on rencontre sur les lignes aériennes utilisées en BF, et HF, les lignes pupinisées (BF), les lignes utilisées dans le transport des MIC. R/ Lω est très petit et on peut le confondre à 0 et ainsi, on a δ et ξ tous presque nuls.
β = √(L Cω2 / cosξcosδ). .cos[(δ + ξ) / 2] = β = √(L Cω2 = ω√(L C β = ω√L C Le produit αβ est égal à (L C) ω2 /cosξcosδ).sin[(δ+ξ)/2]cos[(δ +ξ) / 2]
αβ = ( ½).(L C) ω2 / cosξcosδ).sin[(δ + ξ) 14
αβ = ( ½).(L C) ω2[ sin[(δ + ξ) / (cosξcosδ).] αβ = ( ½).(L C) ω2[ (sinδcosξ + sinξcosδ ) / (cosξcosδ).] αβ = ( ½).(L C) ω2[ (sinδ / cosδ)+ (sinξ / (cosξ) ] αβ = ( ½).(L C) ω2 (tanδ + tanξ ) = ( ½).(L C) ω2 (R/Lω + G/Cω) αβ = ( ½).(L C) ω2 (tanδ + tanξ ) = ( ½).(L C) ω2 (R/Lω + G/Cω) αβ = ( ½).(L C) ω2 (tanδ + tanξ ) = ( ½).(√L C) ω (R/L + G/C)√L C αβ / β = α et puisque β = .(√L C) ω, α = ( ½)(R/L + G/C) √L C α = (R/2)√C/L + (G/2)√L/C A la limite, si δ et ξ tendent vers 0, α tend vers zéro (ligne sans perte)
3-5-2 – R >> Lω.ce cas est celui des lignes urbaines utilisées en BF (lignes d’abonnés). On prend en général ξ = 0 et L = R / ωtanδ
α = √(L Cω2 / cosξcosδ).sin[(δ + ξ) / 2] α = √( R C ω / sinδ) .sinδ /2] = √(RCω (sin2δ /2)/2(sinδ /2)(cosδ /2) . α = √( R C ω / sinδ) .sinδ /2] = √ (RCω.tanδ /2)/2 α = √ (RCω.tanδ /2)/2 β = √(L Cω2 / cosξcosδ).cos[(δ + ξ) / 2] β = √( R C ω / sinδ) .cosδ /2] = √(RCω (cos2δ /2) /2(sinδ /2)(cosδ /2) . β = √ (RCω./2tanδ /2
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I-4 - Equation Générale de propagation En revenant aux équations des télégraphistes, on se propose de calculer la tension et l’intensité en tout point de la ligne en fonction de la tension vt et du courant it en bout de ligne et le l’impédance de terminaison Zt. l it 1
Ze
2
3
n-1
n
Zt
vt γ x
v(x) = Ae + Be
{
γ x
i = - (Ae - Be
-γ x
-γ x
lγ
(7)
-lγ
vt = Ae + Be
{ )/Zc (8)
lγ
-lγ
it = - (Ae - Be )/Zc
Avec vt = Zt.it, on a : A = (vt/2).[1 – (Zc/Zt)].e
-γ l
et B = (vt/2).[1 + (Zc/Zt)].e
γ l
En remplaçant A et B par leurs nouvelles valeurs dans les équations 7 et 8 on a les nouvelles équations pour tout point de la ligne : v(x) = {vt/2).[1 – (Zc/Zt)]}.e-γ (l-x) + {vt/2).[1 + (Zc/Zt)]}.eγ (l-x) (9)
{
i(x) = -1/Zc{(vt/2).[1– (Zc/Zt)]} e-γ (l- x) – {vt/2).[1 + (Zc/Zt)]}eγ (l-x)} 10 -γ y
v(y) = {vt/2).[1 – (Zc/Zt)]}.e
{
+ vt/2).[1 + (Zc/Zt)] }.e -γ y
γ y
(11) γ y
i(y) = - 1/Zc. {(vt/2).[1 – (Zc/Zt)]} e - {vt/2).[1 + (Zc/Zt)]} e
(12)
avec y = l-x
v(y) = vt [chγ γ. y + (Zc/Zt)shγ γ. y ] (11) i(y) = vt [(chγ γ. y / Zt) + (shγ γ. y / Zc)] (12) 16
v(y)ZtZc = vt [Ztch γ .y + (Zc)shγ .y ]Zc i(y)ZtZc = vt [(Zc.chγ .y) + (Zt.sh γ .y)] L’impédance en ligne est donc : Z(y) = [v(y)ZtZc]/ [i(y)ZtZc] Z(y) = Zc [Zt.chγ .y + Zc.shγ .y ] / [(Zc.chγ .y) + (Zt.sh γ .y)]
Z(y) = Zc [ Zt + Zc.th γ γ. y ] / [Zc. + Zt.th γ γ. y)] (13) Si Zc = Zt, on a Z(y) = Zc ∀ y < l Si la ligne est ouverte en bout de ligne, Zt= +∞ et Zou(y)=Zc/thγ .y Si la ligne est en court circuit en bout de ligne, Zt = 0 et Zcc (y) = Zc thγ .y Ainsi, Zou(y).Zcc(y) = Zc2. Cette formule a été une fois utilisée dans le calcul précédent de Zc. Les équations 11, 12, et 13 nous renseignent totalement sur la propagation du signal v(t x) le long de la ligne terminée sur une impédance Zt alors que son impédance caractéristique est Zc
I-5- Vitesse de propagation I-5-1 - Vitesse d’onde Lorsqu’une onde sinusoïdale V = asin(ωt + ϕ) se trouve à l’entrée d’une ligne homogène terminée sur son impédance caractéristique, elle se -αx propage le long de la ligne selon l’équation y(t,x) = ae .sin ( ωt + ϕ - βx) y(t,x) = ae
-αx
.sin [ ω(t - βx / ω) + ϕ]. 17
L’onde va retrouver sa phase initiale lorsque βx / ω = kT où T = 2 π / ω et k un entier quelconque. βx = 2kπ ⇒ x = 2kπ / β. Considérons la suite des points en phase par rapport à l’entrée. xk = 2kπ / β et x k+1 = xk + 2π / β ⇒ x k+1 - xk = 2π / β = Tω / β ⇒ (x k+1 - xk )/ T = ω / β . La distance parcourue par l’onde durant la période T étant x k+1 - xk , le rapport (x k+1 - xk )/ T n’est rien d’autre que la vitesse d’onde Vo = ω / β
I-5-2 - Vitesse de groupe, généralisation Le courant qui parcourt une ligne comporte un grand nombre de fréquences que l’on peut mettre en partition selon la proximité des unes par rapport aux autres. Chaque ensemble d’ondes issu de cette partition est appelé groupe d’ondes. Soit donc deux ondes d’un même groupe, ayant même amplitude. Leurs pulsations ω’ et ω’’ sont voisines. Les phases initiales sont ϕ’ et ϕ’’. Les déphasages linéiques sont β’ et β’’. Les affaiblissements linéiques sont α’ et α’’. Y’(t,x) = ae
-α’x
Y’’(t,x) = ae
.sin (ω’t + ϕ’ - β’x)
-α’’x
.sin ( ω’’t + ϕ’’ - β’’x)
Lorsqu’on transmet ces ondes simultanément sur la ligne, on assiste à un phénomène de battement. En effet, ω’étant peu différent de ω’’, on peut estimer que α’ et α’’ sont pratiquement égaux. Y’(t,x) + Y’’(t,x) = ae
-α’x
Y’(t,x) + Y’’(t,x) = 2ae multiplié par :
.[sin ( ω’t + ϕ’ - β’x) + sin ( ω’’t + ϕ’’ - β’’x)]
-α’x
.[sin (ω’+ω’’)t/2 + (ϕ’+ ϕ’’)/2 - (β’+ β’’)x/2] .[cos ( ω’- ω’’)t/2 + (ϕ’ - ϕ’’)/2 - (β’- β’’)x/2]
La courbe représentative à l’origine de cette équation est constituée d’une enveloppe de pulsation ( ω’- ω’’)/2 qui contient une sinusoïde de pulsation (ω’ +ω’’)/2. 18
L’énergie électrique qui va influencer le récepteur situé à l’extrémité de la ligne est tout entièrement concentrée dans le ventre de la courbe enveloppe. Ainsi, la vitesse de propagation de l’ensemble des deux ondes est celle de la courbe enveloppe, soit : Vg = ( ω’- ω’’) / (β’- β’’) = ∆ω / ∆β
Vg = ∆ω / ∆β. D’une manière générale, un point A d’abscisse x correspond à un ventre d’énergie si les courants sont en phase, c’est à dire si leur différences de phase est nulle. d(ωt + ϕ - βx)/dω = t + d ϕ /d ω + x.dβ / dω = 0 x = (d ω /dβ).(t + dϕ /dω). on a bien Vg = dω /dβ
I-5-3 - Durée des phénomènes transitoires Le temps de propagation de groupe sur une ligne de longueur L est tp = L / Vg = L d β /dω. L’idéal serait que le temps de propagation de groupe ne dépende pas de la fréquence. La réalité est souvent contraire à ce cas et ainsi, on parle de distorsion de phase. Supposons qu’à un instant donné, on émette un signal composé de plusieurs fréquences et que la durée soit plus faible pour les HF que les BF. Le signal reçu sera déformé parce que les BF arriveront à l’extrémité de la ligne après les HF. On appelle durée des phénomènes transitoires, la différence entre la durée de propagation maximale et la durée de propagation minimale 19
τ
= tpmax - tpmin = L[(dβ /dω)max – (dβ /dω)min] . Cette quantité
caractérise la distorsion de phase.
I-6- Distorsion de phase apportée par les lignes - Pour une ligne à forte réactance, on a trouvé que β = ω√LC. La vitesse d’onde est alors : Vo = ω / β = 1/ √LC et la vitesse de groupe Vg = d ω /dβ = 1/ √LC Ici il n’y pas de distorsion de phase puisque les vitesses ne dépendent pas de ω - Pour une ligne résistive, ie R >> Lω, avec δ = 0, on avait trouvé
β = √ (½RCω)/tan(δ /2) ⇒ Vo = √ 2ω /RC. √ tan(δ /2)
dβ /dω = √ tan(δ /2) . ½(RC ω /2)1/2-1 .(RC/2) = √ tan(δ /2) . 2 √2ω /RC = 2Vo
dβ /dω = 2Vo On constate qu’il y a distorsion de phase puisque Vo et Vg sont des fonctions croissantes avec √ω. Ce type de câble est utilisé pour les lignes courtes.
I-7- Correction de la distorsion de phase On corrige la distorsion de phase au moyen de réseaux compensateurs de phase placés en série avec la ligne et ayant une courbe de temps de propagation (tp en fonction de ω) variant en sens inverse à celle de la ligne. Cette correction est utilisée pour les circuits spéciaux. (circuits radio, transmission de données etc…). 20
I-8- Influence de la température sur l’affaiblissement des lignes La température à une influence importante sur les lignes longues Considérons par exemple le cas d’une ligne où R << Lω et G<< Cω. Son affaiblissement est donné par :
α = (R/2)(C/L)1/2 + (G/2)(L/C)1/2 dα = (∂α / ∂R)dR + (∂α / ∂C)dC + (∂α / ∂L)dL + (∂α / ∂G)dG (∂α / ∂R) = ½ √ (C/L) ; (∂α / ∂C) = R/4 √LC – (G/4) √L/C3 (∂α / ∂L) = G/4√LC – (R/4) √C/L3 , (∂α / ∂G) = ½ √ (L/C) dα = ½ (C/L)1/2 dR + (R/4)(LC)-1/2 dC – (G/4) (L/C3)1/2 dC + (G/4)(LC)1/2 dL - (R/4) (C/L3 )1/2dL + ½ (L/C)1/2 dG dα = ½ (C/L)1/2 dR + (R/4)(LC)-1/2 dC – (R/4) (C/L3 )1/2dL + ½ (L/C)1/2 dG – (G/4) (L/C3)1/2 dC + (G/4)(LC)1/2 dL dα = (R/2) (C/L)1/2 [(dR/R) + (dC/2C) – (dL/2L)] + (G/2) (L/C)1/2 [(dG/G) – (dC /2C) + (dL/2L)] dα /dθ = (R/2) (C/L)1/2 [(dR/ dθR) + (dC/ d θ2C) – (dL/dθ2L)] + (G/2) (L/C)1/2 [(dG/dθG) – (dC /dθ2C) + (dL/dθ2L)] Si on pose : αR = dR/ d θ.R, αC = dC/ dθ.C, αL = dL/dθ.L, αG = dG/dθG
αR αC αL αG sont respectivement les coefficients de température de la résistance, de la capacité, de l’inductance et de la perditance. Ci-dessous leur ordre de grandeur :
21
αR = 39.10- 4, αC = 4.10- 4, αL = 0.410- 4, αG = -250.10- 4 dα /dθ = (R/2)(C/L)1/2[αR + αC /2 – αL /2 ]+(G/2).(L/C)1/2[αG – αC /2 + αL /2] Pour une ligne à fréquence vocale, αC , αL , αG sont petits devant αR On a donc dα /dθ = (R/2)(C/L)1/2αR ⇒ dα /dθ [(R/2)(C/L)1/2] = dα / αdθ = αR dα / αdθ = αR ⇒
αθ = α20.[ 1 + αR (θ° - 20°)]
CHAPITRE II - ETUDES DES LIGNES HOMOGENES MAL TERMINEES II-1 - Onde incidente, onde réfléchie I2
I1 V1
θ = γ l
V2
l 22
Nous avons dans le chapitre III, à l’aide des équations générales de propagation appliquées au cas particulier d’une ligne homogène bien terminée, le régime idéal de propagation, c’est à dire les relations : γ l
V1 = V2 e
et I1 = I2 e
γ l
Si la ligne est terminée sur une impédance Z2 différente de Zc V1 = V2 [chγ l + (Zc/Z2)shγ l ] I1 = V2 [(chγ l / Z2) + (sh γ l / Zc)] γ l
γ l
γ l
γ l
En remplaçant chγ l par ½(e + e - ) et shγ l par ½(e - e - ), on a γ l
γ l
V1 = V2 .½.(e )[1 + (Zc/Z2)] + V2 .½.(e- )[1 - (Zc/Z2)] γ l
V1 = V2.e .[(Z2+Zc)/2Z2)]+ -γ l V2.e .[(Z2–Zc)/(Z2+Zc) ].[Z2 + Zc)/2Z2)] En posant : k’ = .[(Z2+Zc)/2Z2)] et k’’ = .[(Z2–Zc)/ (Z2+Zc) ].[Z2 + Zc)/2Z2)] On peut écrire :
V1 = k’V2.eγ l + K’’V2.e-γ l En posant V’1 = k’V2 et V’’1 = k’’V2
V1 = V’1.eγ l + V’’1.e-γ l Cette expression nous reflète deux propagations sur ligne homogène -γ l γ l bien terminée à savoir V’1.e et V’’1.e , l’un dans un sens, l’autre en sens inverse. On dit que V’ 1 est l’onde incidente et que V’’ 1 est l’onde réfléchie. 23
En procédant de la même manière que ci dessus, on trouve : γ l
I1 = I2.e .[(Z2+Zc)/2Z2)]+ -γ l I2.e .[(Zc–Z2)/(Z2+Zc) ].[Z2 + Zc)/2Z2)] Le courant incident est I’ 1 = I2.[(Z2+Zc)/2Z2] et le courant réfléchi est I’’1 = I2.[(Zc–Z2)/2Z2)]
II -2 - Coefficient de réflexion On le définit par rapport à un point donné de la ligne, soit en tension, soit en intensité, comme égal au rapport complexe des tensions ou intensités de l’onde réfléchie à l’onde incidente. A l’extrémité de la ligne, C2v = V’’/ V’ = k’’/ k’ = .[(Z2–Zc)/ (Z2+Zc) ] C2v = [(Z2–Zc)/ (Z2+Zc) ] C2i = I’’/ I’ = [(Zc–Z2)/ (Z2+Zc) ] = - C 2v
C2i = [(Zc–Z2)/ (Z2+Zc) ] = - C 2v A l’origine de la ligne, nous avons l’équation : Z1 = V1 /I1 = (V1’ + V1’’) / (I1’ + I1’’). Ayant considéré chacune des ondes incidente et réfléchie comme étant en propagation sur une ligne terminée sur son impédance, on peut écrire : I1’ = V’1 / Zc et I 1’’ = -V1’’/ Zc, ce qui donne l’égalité Z1 / Zc = (V1’ + V1’’) / (V1’- V1’’). En appliquant la propriété suivante des rapports : a/b = c/d ⇒ (a-b)/(a+b) = (c-d)/(c+d), on a : 24
(Z1- Zc) / (Zc +Z 1) = V1’’/ V1’ = C1v C1i = I1’’/ I1’ = - V1’’/ V1’ = - C1v
C1v = - C1i = (Z1- Zc) / (Zc +Z1)
II- 3- Affaiblissement d’adaptation C’est par définition, le logarithme népérien de l’inverse du module du coefficient de réflexion en un point donné de la ligne. Ainsi, à l’extrémité de la ligne, nous aurons :
A2 = Ln(1/ C2v) = Ln(Zc +Z2)/(Z2- Zc) . Si la ligne est parfaitement terminée, ie, Zc = Z 2, C2v = 0 et A 2 = +∞ A l’origine on a également :
A1 = Ln(1/ C1v) = Ln( Zc +Z1) / (Z1- Zc ). II - 4- Coefficient de régularité En général, en tout point M d’une ligne homogène mal terminée, le coefficient de régularité en tension et en courant sont donnés par la relation :
r = (ZM- Zc) / (Zc +ZM) = rϕr = re j.ϕr où ZM est l’impédance mesurée à droite du point M. On définit aussi l’affaiblissement de régularité comme étant le logarithme népérien de l’inverse du module du coefficient de régularité.
Ar = Ln (Zc +ZM)/(ZM- Zc) = Ln1/r 25
II-5 - Variation du coefficient de régularité avec la distance Soit une ligne présentant un défaut d’adaptation à l’extrémité. Calculons le coefficient de régularité à l’origine r1 en fonction de r2 à l’extrémité Partant de la relation : γ l
-γ l
I1 = I2.e .[(Z2+Zc)/2Z2)] + I2.e .[(Zc–Z2)/2Z2)] -γ l
γ l
r1 = - C1i = e .[(Z2–Zc)/2Z2)]/ e .[(Z2+Zc)/2Z2)] r1 =
e
-2γ l
-2γ l
.[(Z2–Zc)/(Z2+Zc) ] = r2. e
r1 = r2. e-2γ l = r2 e-2γ l .e j.ϕ2 = r2 e-2αl. e -j2βl. e j.ϕ2 r1 = r2 e-2αl. e .j(ϕ2 - 2βl) 1/r1 = 1/r2. e2αl. et ainsi, Ln 1/r1 = Ln1/r2+ 2αl
Ar1 = Ar2 + 2αl
II-6 - Oscillation de la courbe d’impédance. 26
r1 = (Z1 – Zc) / (Z1 +Zc) = r2 e-2αl. e .j(ϕ2 - 2βl) Pour une légère désadaptation en un point distant de l’origine de x, on peut écrire : Z1 +Zc ≈ 2Zc. Ainsi, Z 1 = Zc + 2Zc.rx e-2αx. e .j(ϕ x- 2βx) Si Zc = Zc.e
jϕc
, on a :
Z1 = Zc + 2 Zcrx e-2αx. e .j.(
ϕc + ϕ - 2βx) x
Si R1 et X1 sont les parties réelle et imaginaire de Z1, et Rc et Xc de même pour Zc, on a R1 = Rc + 2 Zcrx e-2αx.cos.(ϕc + ϕ x - 2βx) X1 = Xc + 2 Zcrx e-2 α x.sin.(ϕc + ϕ x - 2βx) La courbe représentative de R1 en fonction de la fréquence f passe par des maximums. La différence de phase entre deux maximums consécutifs étant 2π, on a .(ϕc + ϕ x - 2β’x) - (ϕc + ϕ x - 2βx) = 2π. On estime que ϕ x et la vitesse d’onde Vo restent sensiblement indépendants de la fréquence, donc constants (β - β’) x = π. ⇒ 2x (f – f’)/ Vo = 1 ⇒ x = Vo/2(f – f’) La distance à laquelle se trouve le défaut d’adaptation est alors :
x = Vo/2(f – f’). La mesure de f-f’ fournit une méthode pour déterminer la distance x, de la station de mesure à l’emplacement du défaut II-7 - Taux d’ondes stationnaires De la somme de l ‘onde incidente et de l’onde réfléchie résulte la manifestation d’ondes stationnaires par la présence de nœuds et de ventre de tensions et de courants. C’est la nature de la charge à l’extrémité de la ligne qui détermine l’amplitude et la position des uns et des autres 27
On définit alors l’état électrique de la ligne par un nouveau paramètre : Le TOS. TOS = Vmax / Vmin = Imax / Imin. Si on prend l’équation générale : γ x
v(x) = Ae + Be
-γ x
Le coefficient de réflexion en x étant C xv = B/A ⇒ B = A.Cxv. γ x
v(x) = Ae + A.Cxv e
-γ x
Vmax = A + A.C xv et Vmin = A - A.Cxv TOS = (A + A.C xv) / (A - A.C xv)
TOS = (1 + Cxv) / (1 - Cxv)
II-8- Cas des lignes sans perte II- 8-1 – Formules simplifiées des lignes sans perte Les lignes sans perte sont l’idéal des fabricants de câble et de guide, ils fournissent l’effort de rendre négligeable la résistance linéique et les pertes dans le diélectrique. R = 0 et G = 0 Ensuite l’impédance caractéristique de telles lignes s’écrit : Zc = [(R+jL ω) / (G +jC ω)]1/2 = (L/C)1/2 . C’est une résistance pure 28
La constante de propagation est :
γ = [(R+jLω).(G +jCω)]1/2 = jω.(LC)1/2 . donc α = 0 et β = ω.(LC)1/2 Lorsqu’une ligne sans perte est terminée sur une impédance Zt, l’impédance en tout point de la ligne est : Z(y) = Zc [ Zt + Zc.thj β.y] / [Zc. + Zt.thj β.y] chjβy = cosβy et shjβ.y = j.sinβ.y donc thjβ.y = j.tan β.y Z(y)/ Zc = [ Zt/Zc + j.tan βy] / [1. + j.(Zt/Zc). tan βy] En posant Z(y)/ Zc = z (y), Zt/Zc = zt ; zc et zt sont appelées impédances réduites de Z(y) et Zt. L’égalité précédente devient : z (y) = [ zt + j.tan βy] / [1. + j.zt.tan βy] Si l’on se situe à l’origine de la ligne, l’impédance réduite d’entrée de la ligne est ze = [ zt + j.tan βl] / [1. + j.zt.tan βl] où l est la longueur de la ligne. La longueur d’onde de propagation λ est telle que βλ = 2π ⇒ β = 2π / λ
ze = [ zt + j.tan(2πl / λ)] / [1. + j.zt.tan(2πl / λ)] II- 8-2 - Ligne quart d’onde Si l est égale à λ /4, 2πl / λ = π /2 et puisque tan π /2 = ∞, on peut dire que ze = 1 / zt ⇒ Ze/Zc = Zc/Zt ⇒ Zc2 = ZeZt . Supposons que nous voudrions abouter deux quadripôles de la manière suivante.
29
Ligne sans perte n°1
Z1
Z2
Ligne sans perte n°2
Si les impédances Z1 et Z2 sont différentes, il y a désadaptation ce qui provoque des pertes de puissance. Cela est contraire aux objectifs de la transmission. Pour éviter cela, on procède à une adaptation ainsi que le montre le schéma suivant.
Ligne sans perte n°1
Z1
Zc
Z2
Ligne sans perte n°2
Il suffit d’intercaler une ligne quart d’onde entre les deux quadripôles telle que Zc2 = Z1.Z2 Une telle ligne est appelée transformateur.
II-9– Applications II- 9-1 : Impédance d’entrée de la ligne en circuit ouvert Il est intéressant de calculer l’impédance d’entrée de ce tronçon de ligne en circuit ouvert. Le courant est en avance de π /2 sur la tension et l’impédance d’entrée complexe s’écrit alors :
Ze = Zc / jtg( βl) avec β = ω /v où v est la vitesse de propagation. Pour une fréquence et une ligne donnée, cette impédance peut être capacitive ou inductive. L’impédance d’entrée est nulle pour des longueurs de lignes l telles que : βl = ( 2n + 1 ). π /2 soit l = ( 2n + 1 ). λ /4 30
Une ligne ouverte à son extrémité se comporte à son entrée comme un court-circuit lorsque sa longueur est égale à un multiple impair de λ /4. Pour bien voir les conséquences pratiques de ce résultat, prenons l’exemple d’un câble coaxial de 1m branché sur un oscilloscope de résistance 1 M , les caractéristiques du câble étant : - impédance caractéristique Zc = 50 - Capacité linéique C = 100 pF/m - inductance linéique L = 250 nH/m - une vitesse de propagation v = 200 000 m/s Ce câble devient un court-circuit aux fréquences fo telles que l = v/4fo soit :
fo = 50 MHz, 150MHz etc... Voici l’allure de l’impédance d’entrée de l’ensemble oscilloscope + câble de 1m
50Ω
50
100
150
200
250
300 fréquences en MHz
On peut remarquer qu’aux fréquences basses l’impédance d’entrée s’écrit :
Ze ≈ Zc / jωl/v ≈ Zc.v / jωl ≈ 1/jCω On retrouve une impédance d’entrée pratiquement déterminée par la capacité du câble. Il y a sur la ligne des points où la tension crête vaut 2.V i et d’autres où la tension est nulle. Les résultats pour le courant sont analogues.
31
On peut remarquer aussi qu’un ventre de tension (amplitude maximale) correspond à un noeud de courant (courant nul) et inversement. Pour une fréquence assez élevée donnée, une lampe s’allume et s’éteint à mesure q’on promène sa connexion sur l’antenne (ligne ouverte) comme le montre la figure suivante :
II- 9- 2 - Nécessité de l’adaptation Dans les circuits fonctionnant aux fréquences élevées, il est fondamental de savoir que la tension disponible en sortie d’un étage amplificateur par exemple se retrouvera intégralement à l’entrée de l’étage suivant. On se placera donc systématiquement dans le cas de la ligne adaptée, ce qui implique les contraintes suivantes : - résistances d’entrée et de sortie des amplis, mélangeurs, atténuateurs, antennes toutes égales à la valeur normalisée de 50 ou 75 - composants reliés entre eux par des pistes d’impédance caractéristique correspondante, donc de largeur donnée pour un matériau donné. 32
- plan de masse permettant de réaliser des pistes d’impédance caractéristique donnée. On reconnaît facilement sur un circuit imprimé haute - fréquence les pistes 50 à leur largeur assez importante qui reste constante tout au long du trajet du signal.
On reconnaît facilement sur un circuit imprimé haute - fréquence les pistes 50 à leur largeur assez importante qui reste constante tout au long du trajet du signal
Circuit imprimé d’un amplificateur à large bande.
On pourra aussi repérer les pistes 50 sur la carte du Tuner pour TV- satellite dont le dessin est le suivant :
33
34
35
II-9-3 - filtre réjecteur à ligne : L’impédance d’entrée de la ligne en circuit ouvert s’écrit :
Ze = Zc / jtg(kl) avec kl = ωl/v Cette impédance d’entrée est nulle pour des longueurs de lignes l telles que : ωl/v = ( 2n + 1 ). π /2 soit l = ( 2n + 1 ). λ /4
Le cas le plus intéressant correspond à n = 0 et nous donne un résultat simple permettant de réaliser facilement des filtres réjecteurs en hautes-fréquences : si on désire supprimer une fréquence parasite de 850 MHz avec un substrat caractérisé par une vitesse de v = 160 000 km/s,on utilisera une longueur de piste de :
l = v/4f = 4,7 cm 850 MHz
L = λ /4
850 MHz
l = λ /4
II-9-4 – Circuit résonateur quart d’onde : L'impédance d'entrée d'une ligne terminée par un court-circuit s'écrit :
Ze = jZc.tg(kl) Cette impédance devient infinie si la longueur l vaut : donc à une fréquence fo telle que :
l = λ /4, fo = v/4l 36
On parle de résonateur quart d’onde dont l’équivalent est un circuit R, L, C tous en parallèle
L
C
R
En regroupant des résonateurs en circuit ouvert et en court-circuit, on peut aussi réaliser des filtres passe-bande peu encombrants.
L1 Z1
C1
L1 = λ /2 C2
Ze
L2
Ze
Z2 L2 = λ /2
3 dB
37
CHAPITRE III – PARAMETRES S
Bande à -3dB
III- 1 – La matrice S III-1-1 – La matrice Impédance et admittance La matrice [S], matrice de répartition ou ( scattering matrix ), est l’outil de base pour l’étude des quadripôles ou des multipôles linéaires en hyperfréquence. Les paramètres S, comme nous le verrons, ont un lien direct entre les transferts de puissance entrée et sortie d’un quadripôle et la puissance est la chose la plus facile à mesurer en hyperfréquence. L’intérêt pratique est donc considérable puisque c’est aussi presque exclusivement, des optimisations de transfert de puissance qui sont recherchées dans les systèmes hyperfréquences. Dans ce qui suit nous considérerons des éléments de circuits actifs ou passifs à plusieurs entrées. D’une façon majoritaire nous considérerons des quadripôles tels que celui montré, c’est à dire des fonctions électriques liant un port d’entrée à un port de sortie. I1
V1
I2 Quadripôle
V2
Tension et courant appliqués à un quadripôle
Une méthode usuelle pour connaître la fonctionnalité d’un quadripôle est de connaître sa matrice de transformation courant - tension, la matrice Impédance, ou tension - courant, la matrice Admittance, c'est-à-dire
38
V1
Z11 Z12
I1
Z21 Z22
I2
Y11 Y12
V1
Y21 Y22
V2
= V2
Matrice impédance
ou I1 = I2
Matrice admittance
La connaissance de l’une de ces deux matrices définit totalement la fonction, pour un quadripôle linéaire. Il subsiste toutefois un problème de taille : Comment mesurer les paramètres qui interviennent dans ces matrices? Remarquons que l’on a Z11 = V1/I1 avec I2=0 Z12 = V1/I2 avec I1=0 Z21 = V2/I1 avec I2=0 Z22 = V2/I2 avec I1=0 et Y11 = I1/V1 avec V2=0 Y12 = I1/V2 avec V1=0 Y21 = I2/V1 avec V2=0 Y22 = I2/V2 avec V1=0.
39
Cela se lit par exemple : Z 11 égale le rapport de V 1 sur I1 lorsque I2 est nul, on en déduit aisément une procédure de mesure mettant en jeu successivement des mesures en circuits ouverts pour la matrice impédance [Z], respectivement en court-circuit pour la matrice admittance [Y ], afin d’en déduire les éléments. Ceci pose toutefois le problème essentiel de la disponibilité d’un bon Circuit Ouvert dans le cas de la matrice [Z], et d’un bon Cour t- Circuit dans le cas de la matrice [Y], afin de réaliser les conditions d’annulation de courant et/ou de tension. Or, au-dessus de environ 100 MHz la condition de circuit ouvert ou de courtcircuit est difficile voire impossible à réaliser, à cause des capacités et inductances parasites, et de plus la mise en court-circuit ou en circuit ouvert de quadripôles possédant du gain conduit souvent à une oscillation. On peut donc affirmer que les matrices [Z] et [Y] sont inadaptés aux hautes fréquences. En conséquence nous sommes amenés à définir une nouvelle matrice, la matrice [S] qui aura l’avantage d’être mesurable sur entrée et sortie adaptées, usuellement 50 Ω, ce qui résoudra tous ces problèmes.
III-1-2 Coefficients de réflexion en tension et en courant Définissons dans un premier temps les coefficients de réflexion en tension et en courant d’un réseau à un accès. Ceci présuppose toutefois que l’on découpe le courant et la tension en une Composante Incidente et une Composante Réfléchie, d’une façon analogue à ce que l’on fait en Optique.
I Zo +
ZL
V
E
40
Générateur d’impédance interne Z 0 chargé par ZL.
La charge complexe ZL est branchée aux bornes de la source de tension E d’impédance interne Z o. Il vient alors de façon triviale. I = E/(Zo +Z L)
et
V = ZL I = EZL /(Zo +ZL)
On dit qu’il y a Adaptation lorsque l’impédance de charge est conjuguée de l’impédance de source. ZL = Zo* Alors le Courant Incident est le courant à l’adaptation, soit Ii = E/(Zo + Zo *) = E/2Ro où Ro est la partie réelle de (Zo). De même la Tension Incidente est la tension aux bornes de Z L à l’adaptation Vi = E Zo * /2Ro Des deux relations précédentes, on déduit directement Vi = Zo * Ii Le courant Réfléchi et la tension réfléchie sont alors les différences par rapport aux courants et tension calculés aux bornes de Z L I r = Ii − I Soit l’expression du courant réfléchi Ir =[E/( Zo + Zo *)] − [E/ (Zo +ZL)] = [Ii(ZL − Zo*)/( ZL +Zo)], et de la tension réfléchie Vr = E ZL /(Zo + ZL)] − E Zo * /( Zo* + Zo) = [Vi (Zo/ Zo *)( ZL - Zo*) /( ZL +Zo)], De ces relations nous déduisons directement les expressions des coefficients de réflexion en courant et en tension. 41
SI = Ir/Ii
=
[(ZL − Zo*)/( ZL +Zo)],
Sv = Vr/Vi =
[(Zo/ Zo*)( ZL - Zo*) /( ZL +Zo)],
Il apparaît de façon évidente que si Zo est réelle alors ces deux coefficients sont égaux et on a S = SI = Sv = Ir/Ii = Vr/Vi = [(Z L − Ro)/( ZL + Ro)], Bien évidemment nous nous placerons en permanence dans ce cas pour des raisons de simplicité. De plus on utilisera souvent l’Impédance Réduite z telle que : z = Z/Ro, car alors on obtient S = (zL −1)/(zL +1) ou zL = (1+ S)/(1− S)
III-1-3 - Ondes incidentes et réfléchies On définit l’onde incidente par la relation a = Ii .√Zo + Zo* /2 = √Ro Ii = V i/ √Ro De manière similaire on définit l’Onde réfléchie par la relation b = Ir .√Zo + Zo* /2 = √Ro Ir = Vr / √Ro Alors ces définitions impliquent a + b = V/ √Ro et a - b = I/ √Ro Ceci permet d’introduire naturellement la tension réduite, v et le courant réduit, i par a + b = V/ √Ro = v
et 42
a - b = V/ √Ro = i Les variables réduites v et i possèdent donc une dimension qui est [V] [ Ω] −1/2 pour v, [A] [Ω] ½ pour i , ce qui est équivalent grâce à la loi d’Ohm et se résume à [W]1/2 qui est la racine carré d’une puissance. Les ondes incidentes et réfléchies a et b auront donc cette même dimension qui n’est pas celle d’une grandeur directement mesurable.
III-1- 4 - Matrice [S ] Considérons le système multipolaire suivant
Z cn πn
Z ck πk Z c1 π1 Z c2 π2
Nous pouvons généraliser les notions d’onde incidente et d’onde réfléchies : Soient ai et bi, respectivement l’onde incidente et l’onde réfléchie à l’accès i, on a les équations suivantes :
43
b1 b2 . . bn-1 bn
√Rc1 =
√Rc2
√R c1
√R c2
√R c n-1 √ Rc n
Ii 1 Ii 2 . . Ii n-1 Ii n
. .
a1 a2 . = . a n-1 an
√R c n-1 √R cn
Ir 1 Ir 2 . . Ir n-1 Ir n
. .
Soit M = mij la matrice carrée d’ordre n définie par Ir 1 Ir 2 . = . Ir n-1 Ir n
a1 a2 . . a n-1 an
M = mij
Alors ,
b1 b2 . . bn-1 bn
√R c1 =
√Rc2
.
M .
√Rc n-1 √R cn
a1 a2 . . a n-1 an 44
Posons :
√R c1 S
=
√R c2
.
M .
√Rc n-1 √R c n
S = [√Ro] *M = (Sij ), avec Sij = √Rc i. mij. Rc i est la partie réelle de Zci La matrice S est la matrice recherchée. Elle permet de calculer les ondes réfléchies en fonction des ondes incidentes, pour un système multi- pôle donné Chaque terme Sij de la matrice S est une fonction de transfert de la forme : Sij = bi /a j lorsque ak = 0 pour tout k ≠ j On calcule donc S ij pendant qu’il n’y a pas d’onde entrante aux accès k différents de j donc pas de réflexion à ces accès. Alors ces accès sont adaptés Sii est le coefficient de réflexion à l’accès i Sij i ≠ j est le coefficient de transfert de l’accès i à l’accès j
III-1- 5 – Système sans perte La matrice S d’un multi pôle passif sans pertes, contenant des milieux isotropes ou anisotropes, est unitaire, c’est à dire que : t
S* . S = I,
ce qui se lit « transposé du conjugué de la matrice S multiplié par la matrice S est égal à la matrice unité. En effet, le système étant sans perte, la somme algébrique des puissances incidentes et des puissances réfléchies est nulle, soit : 45
½ ∑ ai ai* = i
½ ∑ bi bi* et sous une forme matricielle, cette égalité s’écrit: i
(a1* a2*……. an*). .
a1 a2
=
. an
(b1* b2*……. bn*) .
b1 b2 . . bn
t *
a .a = t b*.b = t (S.a) *.Sa = t a* t S*.S . a, alors on en déduit que
t
S*.S = I
Si le système ne contient que des matériaux isotropes, alors sa matrice est réciproque ce qui se traduit par : Sij = S jI pour tout i ≠ j Si le système est sans perte et réciproque, alors sa matrice vérifie l’égalité suivante : S*. S = I
Prenons l’exemple de n = 2. S =
S11
S12
S21
S22
Si le système est réciproque sans perte, alors :
S21 = S12 S* =
S11* S12* S21* S22*
et | S11 |2 + | S12 |2 = 1 ; | S12 |2 + | S22 |2 = 1 ;
Par conséquent, on a | S 11 |2 = | S22 |2 On a aussi 46
S11 S12* + S12 S22* = 0
III-1-6 – Matrice S d’une impédance série I1 ; a1
I2
a2
Z V1
V2
b1
b2
En désignant par z l’impédance réduite, par i 1 , v1, i2, v2 les courants et tensions réduites aux accès 1 et 2, puis par a 1, a2, b1, b2 les ondes incidentes et réfléchies aux accès 1 et 2 ; conformément aux définitions des ondes incidentes et réfléchies, on a les égalité suivantes : a1 + b1 = v1,
a1 - b1 = i1,
a2 + b2 = v2,
a2 - b2 = i2,
Remarquons que i1 = - i2 = i et que v 2 = v1 – iz S11 = b1 / a1 avec a2 = 0 a1 + b1 = v1,
a1 - b1 = i,
b2 = v1 – iz,
b2 = i,
v1 – iz = i ⇒ v1 = i(z + 1) 1 + b1 / a1 = i(z + 1)/ a1 Or 2 a1 = v1 + i = i(z + 1) + i = i(z+2) ⇒ a1 = i(z +2)/2 Donc 1 + b1 / a1 = 2(z + 1)/(z+2) ⇒ b1 / a1 =[2(z + 1)/(z+2)] - 1 = z/(z+2) 47
S11 = z/(z+2) S12 = b2 / a1 avec a2 = 0 S12 = b2 / a1 = i/[ i(z +2)/2] = 2/(z +2)
S12 = 2/(z + 2) Puisque ce système est réciproque, S12 = S21 = 2/(z + 2) On aurait pu le calculer aussi S21 en faisant :
S21 = b1 / a2 avec a1 = 0 a1 + b1 = v1,
a1 - b1 = i1,
a2 + b2 = v2,
a2 - b2 = i2,
b1 = v1 = - i, a2 + b2 = v1 – iz, a2 - b2 = -i, 2a2 = - i – iz - i = - (z + 2)i a2 = - (z + 2)i/2 b1 / a2 = -i/[- (z + 2)i/2] = 2/(z+2) b1 / a2 = -i/[- (z + 2)i/2] = 2/(z+2)
S21 = 2/(z+2) S22 = b2 / a2 avec a1 = 0 a2 + b2 = v1,
a2 – b2 = i,
b1 = v1 – iz,
b1 = i,
v1 – iz = i ⇒ v1 = i(z + 1) 1 + b2 / a2 = i(z + 1)/ a2 48
Or 2 a2 = v1 + i = i(z + 1) + i = i(z+2) ⇒ a2 = i(z +2)/2 Donc 1 + b2 / a2 = 2(z + 1)/(z+2) ⇒ b1 / a1 =[2(z + 1)/(z+2)] - 1 = z/(z+2)
S22 = z/(z+2) Finalement, on a la matrice de l’impédance en série égale à :
S
z/(z+2)
2/(z+2)
2/(z+2)
z/(z+2)
=
III-1-7 – Matrice S d’une admittance parallèle Considérons à présent une admittance y en parallèle sur un tronçon de ligne. Avec les mêmes raisonnements que précédemment on obtient : v = v1 = v2 i=yv i = i1 +i2, I1 ; a1
I2
Y
V1
a1 + b1 = v1,
a1 - b1 = i1,
a2 + b2 = v2,
a2 - b2 = i2,
V2
49
Remarquons que v = v1 = v2 i=yv i = i1 +i2, S11 = b1 / a1 avec a2 = 0 a1 + b1 b2 a1 + b1 b2
= v, =v = v, = v = – i2
a1 - b1 = i1, - b 2 = i2 , a1 - b1 = i1,
1 + b1 / a1 = v/a1 = i/ya1 Or 2 a1 = v + i1 = v + i – i 2 = v + i + v = 2v + i = i(y+2)/y ⇒ a1 = i(y+2)/2y Donc 1 + b1 / a1 = [2y(i/y)/i(y +2)] = 2/(y+2)
S11 = 2/(y+2) – 1 = -y/(y+2) S11 = - y/(y+2) S12 = b2 / a1 avec a2 = 0 b2 = v = i/y
et
a 1 = i(y+2)/2y
S12 = b2 / a1 = 2/(y +2)
S12 = 2/(y +2) Puisque ce système est réciproque, S12 = S21 = 2/(y + 2) S22 = b2 / a2 avec a1 = 0 a2 + b2 = v,
a2 – b2 = i2, 50
b1 = v,
- b1 = i1,
b1 = v = -i1, 1 + b2 / a2 = v/ a2 = i/ ya2 Or
2 a2 = v + i2 = v + i - i 1 = 2v + i a2 = i[(y + 2)/2y ] Donc 1 + b2 / a2 = 2/(y+2) ⇒ b2 / a2 = [2/(y+2)] - 1 = [- y/(y+2)]
S22 = [- y/(y+2)] Finalement, on a la matrice de l’admittance en parallèle égale à :
S
-y/(y+2)
2/(y+2)
2/(y+2)
-y/(y+2)
=
Un tronçon de ligne de longueur l est comme une admittance en parallèle nulle, (y = 0) mais qui déphase le signal de l’accès 1 à l’accès 2 et vice versa d’un angle.
51
ϕ = -2πl/ λ 0 S
S
1 * e - j2πl/ λ
=
=
l
1
0
0
e - j2πl/ λ
e - j2πl/ λ
0
III-1-8 – Changement du plan de référence aux accès d’un quadripôle
Ligne déphaseur de longueur l, Zo, ϕ1
Quadripôle Q
Tronçon de ligne ajouté en entrée d’un quadripôle de matrice [ S] connue Imaginons un tronçon de ligne placé en entrée d’un quadripôle de matrice [S] connue. Ce tronçon de ligne apporte un déphasage ϕ1 lié à la propagation. Si l’on suppose tout d’abord que la sortie est adaptée, alors a2 = 0 et - le coefficient de réflexion en entrée subit deux fois le déphasage, donc S’11 = S11 e(−2 j ϕ1); - le coefficient de transmission de l’entrée vers la sortie subit une fois le déphasage, donc S’21 = S21 e(− j ϕ1); 52
Si l’on suppose à présent que l’entrée est adaptée, alors a 1 = 0 et - le coefficient de réflexion vu de la sortie ne change pas alors S’22 = S22; - le coefficient de transmission de la sortie vers l’entrée subit une fois le déphasage, donc S’12 = S12 e(− j ϕ1); En résumé, cela conduit à S11 e(−2 j ϕ1) S’
=
Ligne déphaseur de longueur l, Zo, ϕ1
S12 e(− j ϕ1)
S21 e(− j ϕ1)
S22
Ligne déphaseur de longueur l, Zo, ϕ2
Quadripôle Q
Tronçons de lignes ajoutés en entrée et en sortie d’un quadripôle de matrice [S] connue
S11 e(−2 j ϕ1) S’
=
S21 e− j (ϕ1 +ϕ1)
S12 e− j (ϕ1 +ϕ1) S22 e(−2 j ϕ2)
III-1-8 - Mise en cascade de quadripôles Malheureusement de part sa définition, la matrice [S] n’est pas chaînable. Pour résoudre ce problème, définissons une nouvelle matrice (matrice hybride), [T], qui elle peut être chaînée entre plusieurs quadripôles en cascade. Par définition 53
b1
=
[T]
a1
b1
b2 a2
=
a1
T11
T12
b2
T21
T22
a1
Alors en résolvant le système linéaire on trouve la relation entre [S] et [T ] T11
T12
T21
T22
=
(S11S22 −S12S21)/ S21
S11 / S21
- S22 /S12
1/ S12
Ainsi, si deux quadripôles A et B de matrices [T A] et [TB] sont mis en cascade, la matrice de l’ensemble est simplement [T] = [T A] [TB]. La matrice [S] de ce quadripôle pouvant être retrouvée par la relation inverse de la précédente S11
S12
S21
S22
=
T12 / T22 1/ T22
(T11T22 −T12T21)/ T21 - T21 /T22
Chapitre IV – COMPOSANTS HYPERFREQUENCE 54
IV – 1 - Les dipôles Un dipôle est une boite fermée auquel on accède par une ligne de transmission
P
Le plan P est considéré comme entrée du dipôle. Ce dipôle, connecté à la ligne de transmission, est un obstacle. On le caractérise par son coefficient de réflexion complexe Γ 0 dans le plan P. Le coefficient de réflexion est défini comme le rapport de l’amplitude de l’onde réfléchie à l’amplitude de l’onde incidente. C’est à dire : (V-0 / V+0) = |Γ 0 |.e jϕ
= S11
Le dipôle peut être une charge adaptée qui sert à disposer sur une ligne de transmission d’une onde progressive, c'est-à-dire qui n’y a pas de réflexion.
Γ 0 = 0
Exemple de charge adaptée en guide d’onde (Zo = 50 Ω)
Les paramètres S s’expriment souvent en dB et on peut écrire : S (dB) = 10 Log( P r/Pi) = 10 Log(| b 1|2 /|a1|2) = 20Log(S11) Le dipôle peut être un court circuit est caractérisé par un coefficient de réflexion Γ 0 = -1. C’est à dire qu’il y a réflexion totale de l’énergie, mais que l’onde réfléchie est en opposition de phase avec l’onde incidente. Sur les figures 55
suivantes nous pouvons voir des exemples de court circuit réalisés en guide d’onde.
Exemples de court circuit en guide d’onde
Le dipôle peut être ouvert, on parle de circuit ouvert. Un circuit ouvert correspond à la terminaison d’une ligne de transmission. Il est caractérisé par Γ 0 = 1. D’où il y a réflexion totale de l’énergie et, de plus, l’onde réfléchie est en phase avec l’onde incidente. Le dipôle peut être un cristal détecteur Les détecteurs hyperfréquence utilisent des diodes Schottky. Ce sont des jonctions métal – semi conducteur de très faible surface. Leur fréquence de coupure peut être très élevée (100 GHz et plus). Ces détecteurs sont montés dans des structures coaxiales ou dans des guides d’ondes. En générale, pour des courants ≤ 50 µA, le courant détecté est proportionnel à la puissance micro-onde reçue. On a alors une détection quadratique. Adaptation Entrée Self de choc
Sortie Découplage 56
Schéma de principe d’un détecteur hyperfréquence
IV – 2 - Les Quadripôles - Atténuateur Un atténuateur est un quadripôle inséré sur une ligne qui transmet une onde incidente avec une atténuation indépendante du sens de propagation. L’atténuateur est donc un quadripôle réciproque (S 12 = S21) De plus, les atténuateurs sont adaptés aux deux accès. C’est à dire que les coefficients de réflexion aux deux accès sont nuls (S 11 = S22 = 0). On définit alors la matrice S de l’atténuateur
S
0
S12
S12
0
=
Un atténuateur est caractérisé par le rapport, exprimé en dB, et appelé atténuation, de la puissance transmise à la puissance incidente. A (dB) = 10 Log( PS /Pi) = 10 Log(| a 1|2 /|b2|2) = - 20Log(S12) Exemples : En ligne coaxiale, une longueur l du conducteur central du quadripôle peut être constituée ou recouverte d’un matériau à pertes. L’atténuation est alors proportionnelle à l. Il peut aussi être réalisé en changeant localement les dimensions du coaxial. On sait en effet que l’atténuation d’un coaxial dépend du rapport d2 /d1 des diamètres de ses conducteurs ; l’atténuation minimale correspond à d2 /d1 = 3,6. En donnant à ce rapport une valeur différente ' d’2 /d1 sur une longueur l, on obtient une atténuation qui dépend de l et de d’ 2
57
Atténuateur coaxial avec tronçon central à pertes
Atténuateur coaxial avec pertes changement de dimensions
En guide d’ondes, des atténuateurs de tarage, non étalonnés, sont obtenus en insérant dans le guide, parallèlement au champ E, une lame d’un matériau dissipatif. Cette lame peut pénétrer plus au moins profondément dans le guide à travers une fente usinée longitudinalement au milieu de l’une de ses grandes faces. Elle se trouve ainsi dans un plan où le champ électrique est maximal et provoquera une atténuation proportionnelle à l’enfoncement de la lame. Un autre procédé consiste à placer la lame à l’intérieur du guide d’onde, parallèlement aux grandes faces du guide, et à la déplacer depuis le bord (atténuation minimale) jusqu’au centre (atténuation maximale).
Enfoncement variable
Position variable
D’autres atténuateurs de précisions sont réalisés de la façon suivante : Un guide circulaire C est inséré entre deux tronçons R1 et R2 de guide rectangulaire et relié par de transitions T1 et T2. Dans les guides rectangulaires, la polarisation du champ E est perpendiculaire aux grands côtés. Dans le guide circulaire est placée une lame métallique qui peut tourner autour de l’axe longitudinal du guide. Une telle lame ne laisse passer que la composante du champ E qui lui est perpendiculaire. Le fonctionnement de l’ensemble est résumé dans le schéma ci-dessous. Pour une position de lame faisant un angle α avec le plan horizontal, cet atténuateur introduit une atténuation en cos α2 , soit en dB : A = 40 Log (cosα )
58
- L’isolateur En guide d’ondes, la condition de non réciprocité est réalisée en plaçant une plaque de ferrite, soumise à un champ magnétique vertical, dans l’un des plans verticaux du guide. Ce plan correspond au plan ou le champ magnétique hyperfréquence est polarisé circulairement. Son principe de fonctionnement est le suivant : Pour un sens de propagation (sens 1), le champ E à une forte valeur sur la face interne de la ferrite, alors que pour l’autre sens de propagation le champ a une faible valeur sur cette même face. Il suffit alors de coller une plaquette résistive (dissipatrice) sur cette face de la ferrite pour avoir une atténuation importante dans le sens (1) et négligeable dans le sens (2).
59
Isolateur à déplacement de champ (coupe transversale)
IV – 3 - Les multipôles IV – 3 -1 - Les multipôles réciproques - le combineur diviseur de puissance de Wilkinson Un Wilkinson est un hexa pôle réciproque, adapté à ces trois accès. C’est à dire que les voies d’accès (1) (2) (3) ont une impédance caractéristique Z0. Les voies (1) – (2) et (1) – (3) sont reliées par des lignes λ /4 d’impédance caractéristique Z1 ; les voies (2) – (3) sont reliées par une résistance 2R0, où Ro est la partie réelle de Zo.
Accès 2
λ /4
Zo Z1
Accès 1
2Ro
Zo
λ /4 Accès 3 Zo
Schéma de principe d’un Wilkinson 60
:
Lorsqu’une onde d’amplitude unité arrive par la voie (1), elle se divise en deux parties égales d’amplitude 1/ √2 dans les voies (2) et (3) puisque la structure est symétrique par rapport à la voie (1). En puissance on trouve alors P1 = P2 + P3 avec P2 = P3 = P1/2. Ce sens de parcours donne un diviseur de puissance. : De même, lorsque deux ondes, en phase, d’amplitude 1 arrivent sur les voies (2) et (3), elles se recombinent dans la voie (1) en une onde d’amplitude unité. C’est un combineur de puissance. La matrice est de la forme :
S
=
S11
S12
S13
S21
S22
S23
S31
S32
S33
Tous les trois accès étant adaptés, on a :
S
=
0
S12
S13
S21
0
S23
S31
S32
0
Le dispositif étant réciproque, on a
S
=
0
S12
S13
S12
0
S23
S13
S23
0
Puisque le transfert de puissance entre les accès 2 et 3 doit être nul, on a S 23 = 0
S
=
0
S12
S13
S12
0
0
S13
0
0
61
L’onde transmise de l’accès 1 à l’accès 2 ou 3 subit un déphasage de e -jπ /2 et une multiplication 1/ √2, donc S12 = S13 = e-jπ /2 / √2 0 S
S
=
=
e-jπ /2 / √2
e-jπ /2 / √2
e-jπ /2 / √2
0
0
e-jπ /2 / √2
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
e-jπ /2 / √2
- les coupleurs directifs Un coupleur directif est un octopôle réunissant entre elles deux paires de lignes ou de guides de telle manière que les lignes d’une même paire pa ire (1) et (3) ou (2) et (4) soient découplées. La voie (1) ou (3) est couplée aux voies (2) et (4) et découplées de la voie (3) ou (1). La voie (2) ou (4) est couplée aux voies (1) et (3) et découplées de la voie (4) ou (2). Soient P1 la puissance envoyée dans la voie (1) et P2, P3, P4 les puissances sortant dans les voies (2), (3) et (4) lorsqu’elles sont adaptées P1
P2
P3
P4 Coupleur directif avec onde entrante par la voie 1 62
Trois paramètres permettent de caractériser un coupleur directif : - Couplage - Directivité - L’isolation
C D I
= = =
10 Log (P1 / P4) 10 Log (P3 / P4) 10 Log (P1 / P3)
Le couplage peut être de 3 dB (coupleur ou jonction hybride), 10, 20 ou 30 dB. Une directivité de 20 dB caractérise un coupleur moyen et 30 dB un très bon coupleur. Soit S la matrice du coupleur directif, elle de la forme :
S=
S11
S12
S13
S14
S21
S22
S23
S24
S31
S32
S33
S34
S41
S42
S43
S44
Dans le cas d’un coupleur parfait : - les quatre accès sont adaptés : S11
=
S22
=
S33
=
S44
=0
- les voies (1) et (3) d’une part, (2) et (4) d’autre part sont découplées : S13
=
S31
=
S24
=
S42
=0
- les transmissions entre les voies situées en ligne droite sont identiques. S12
=
S21
=
S34
=
S43
=
δ e jϕ
- les transmissions entre les voies situées en ligne diagonale sont identiques. S14
=
S41
=
S32
=
S23
=
τ e jθ
La matrice S du coupleur directif se résume alors à : 0
δ e jϕ
0
τ e jθ 63
δ e jϕ
0
τ e jθ
0
0
τ e jθ
0
δ e jϕ
τ e jθ
0
δ e jϕ
0
0
δ e - jϕ
0
τ e - jθ
δ e - jϕ
0
τ e - jθ
0
0
τ e - jθ
0
δ e - jϕ
τ e - jθ
0
δ e - jϕ
0
S=
*
S =
Le coupleur étant sans perte et réciproque, on a : S.S* = I, la matrice unité et alors :
δ2 + τ2 = 1 δ e jϕ τ e - jθ + δ e - jϕ τ e jθ = 0 δτ e j(ϕ - θ)
+ δτ e - j(ϕ-θ) = 0
cos(ϕ - θ) = 0, soit θ = ϕ ± π /2 Les signaux en ligne droite et ceux en ligne diagonale sont donc en quadrature. Considérons le cas d’un coupleur à entrée en accès 1 : Accès 1 a 1 , P1
Accès 2 b2 , P2
Accès 4 b4 , P 4
Sur la voit 4, on a 64
⇒
b4 = a1 S14
|b4 |2 = |a1|2 |S14|2
Soit, P4
=
P1 |S14|2
Couplage C (dB) =
10 log (P1 / P4) = - 20logτ
De même, sur la voit 2, on a ⇒
b2 = a1 S12
|b2 |2 = |a1|2 |S12|2
Soit, P2
=
P1 |S12|2
Directivité D (dB)=
10 Log (P2 / P1) = 20logδ
Quant à l’isolement, on a I (dB) = 10 Log (P2 / P1) + 10 Log (P1 / P4) = 20(Logδ - Logτ) = 20log(δ / τ)
C (dB)
=
- 20logτ
D (dB)
=
20logδ
I (dB)
=
20log(δ / τ) = C(dB) + D(dB).
Voyons de près le cas du coupleur directif à trois dB: Le coupleur directif à 3 dB est souvent appelé jonction hybride. Son principe est le suivant : Ce coupleur à deux propriétés importantes : - il divise la puissance par 2 (donc l’amplitude par √2 ) sur les voies (2) et (4) - il crée un déphasage retard de 90° entre les voies (2) et (4).
65
Fonctionnement du coupleur à 3 dB en diviseur d’onde a) déphasages absolus b) déphasages relatifs
En appliquant ces propriétés à deux ondes d’égale amplitude et déphasées de 90°, arrivant sur les voies (1) et (3) nous trouvons qu’elles ne peuvent se recombiner que dans la voie 4. En effet :
(A/ √2)exp(j0)
(A/2)expj(α - 180 )
(A/2)exp(j α)
3dB
3dB (A/2)expj(α - 90)
(A/ √2)exp-(j90)
(A/2)expj(α - 90)
La superposition des deux cas de figure donne une recombinaison à l’accès 4 mais une annulation à l’accès 2 (A/2)expj(α - 180 ) (A/ √2)exp(j0)
(A/2)exp(j α)
3dB (A/ √2)exp-(j90)
(A/2)expj(α - 90) (A.expj(α - 90) (A/2)expj(α - 90)
66
- Exemples de réalisation de coupleur : - En guide d’ondes Coupleur à deux trous : Ce coupleur est composé de deux guides d’ondes rectangulaires ayant un petit côté commun. Le couplage entre ces deux guides se fait par l’intermédiaire de deux fines fentes distantes de λg /4
Coupleur directif à trous
Cette figure montre l’ensemble des ondes qui se développent dans la structure. Toutes ces ondes ont à peu près la même amplitude car le couplage entre les guides est supposé faible. Les ondes O’’2 et O’’’1 sont en phase dans la voie (4) puisque les chemins qu’elles ont parcourus depuis la voie (1) sont égaux. Par contre les ondes O’’’2 et O’1 se retrouvent en opposition de phase, car O’’’ 2 parcourt une distance λg/2 en plus dans la voie (3) et donc se détruisent. Sur les figures suivantes on peut voir quelques exemples de réalisation pratique.
67
Coupleur directif en guide d’onde à réseau d’ouvertures
En ligne coaxiale :
Coupleur directif en guide en croix
- Coupleur par proximité : Le couplage est obtenu par le rapprochement, sur une certaine distance, des conducteurs de deux lignes TEM (micro-ruban ou triplaque).
1
2 Coupleur par proximité
3
4 68
Le couplage dépend, au premier ordre, de la distance entre les bandes métalliques parallèles et de la structure même du coupleur. On montre que l’amplitude de l’onde sortante dans la voie couplée est B4
=
(jKsinθ)/(√1-K2 . cosθ + jsinθ) , avec K = (Zcp – Zci)/(Zcp + Zci)
où Zcp et Zci sont les impédances caractéristiques des lignes TEM utilisées. B4 dépend aussi de la longueur des lignes couplées à travers la formule
θ = 2πl/ λ La fréquence centrale de fonctionnement est telle que λ /4 = l et dans ces conditions,
θ = π /2 ; B 4 = K, le couplage est C = 1/K2, C(dB) = 20log(1/K) Le problème de ce type de coupleur est que le couplage est réalisé pour une faible largeur de bande. L’augmentation de cette largeur de bande passe par la mise en série de plusieurs coupleurs λ /4 ayant des valeurs de couplage différentes et convenablement échelonnées. Sur la figure suivante on peut voir un coupleur à 7 sections élémentaires.
Coupleur directif large bande
69
- Coupleur à jonctions Coupleur en échelle Les coupleurs en échelle sont constitués par deux lignes parallèles d’impédance caractéristiques Z2, distantes de λ /4, reliées par des tronçons de ligne d’impédance caractéristique Z1 disposés tous les λ /4. Les lignes aboutissants aux accès 1, 2, 3, 4 ont des impédances caractéristiques Zo.
Coupleur directif en échelle
Coupleur en anneau C’est un anneau dont la circonférence a une longueur égale à 6 λ /4. Quatre lignes sont branchées sur une moitié de cet anneau à des intervalles de λ /4 de sorte que les deux lignes extrêmes, qui sont diamétralement opposées, soient séparées de 3λ /4. Cet anneau admet un plan de symétrie pour les voies (1) et (4) d’une part, et pour les voies (2) et (3) d’autre part.
70
Coupleur directif en anneau
Une onde entrant dans la voie (1) se divise en deux ondes qui tournent en sens inverse sur l’anneau au niveau de la voie (2), la différence de chemin parcourue par les deux ondes est de 5 λ /4 - λ /4 = λ. Les deux ondes se combinent alors en phase avec un déphasage de λ /2 par rapport à l’onde incidente. - au niveau de la voie (3), la différence de chemin parcourue par les deux ondes est de 4λ /4 - 2 λ /4 = λ /2. Les deux ondes sont alors en opposition de phase. - au niveau de la voie (4), les deux ondes ont parcouru le même chemin. Elles se trouvent donc en phase et avec un déphasage de 3 λ /2 par rapport à l’onde incidente.
- Les Tés Les Tés simples en guide d’ondes rectangulaires sont des hexa pôles constitués d’un tronçon de guide principal sur lequel est greffé perpendiculairement un autre tronçon de guide. Ces Tés sont des multipôles passifs, réciproques : S12 =
S21 ;
S13
=
S31
;
S23 =
S32
- Té plan E Le Té plan E est obtenu lorsque les faces étroites du tronçon de guide principal et du tronçon de guide dérivé sont coplanaires alors que les faces larges sont orthogonales. Il en résulte que la transmission d’une onde de la voie dérivée (3) vers les voies principales (1) et (2) s’effectue dans le plan du champ E, avec une rotation de 90° de ce dernier. Cette rotation a lieu dans un sens de (3) vers (2) et 71
dans l’autre sens de (3) vers (1). Ainsi E est en opposition de phase en deux points homologues des voies (1) et (2).
Té plan E
La matrice S d’un Té plan E est de la forme :
S
=
1/2
1/2
-1/ √2
1/2
1/2
1/ √2
1/ √2
1/ √2
0
- Té plan H Le Té plan H est obtenu lorsque les faces larges de deux tronçons sont coplanaires alors que les faces étroites sont orthogonales. Il en résulte que la transmission d’une onde de la voie dérivée (3) vers les voies principales (1) et (2) s’effectue dans le plan H tandis que le champ E reste constamment parallèle à lui même et se retrouve donc en phase en deux points homologues des voies (1) et (2).
72
Té plan H
La matrice S d’un Té plan H est de la forme :
S
=
-1/2
1/2
1/ √2
1/2
-1/2
1/ √2
1/ √2
1/ √2
0
- Té hybride et Té magique La combinaison de deux Tés plans E et H constitue un Té hybride. Contrairement aux Té simples, il est possible d’adapter simultanément les quatre voies d’un Té hybride. Un Té hybride possédant cette propriété est appelé Té magique.
73
Té hybride
La matrice S d’un Té magique est de la forme :
0
0
1
-1
0
0
1
1
1
1
0
0
-1
1
0
0
S=
74
IV – 3 -2 - Les multipôles non réciproques Le circulateur Le circulateur en Y sur guide comporte trois voies à 120° les unes par rapport aux autres autour d’un corps central où se trouvent les éléments qui confèrent la non réciprocité du circulateur. Ces éléments sont constitués par un prisme de ferrite triangulaire, auquel est appliqué un champ magnétique continu vertical, et par des plaquettes résistives qui sont collées sur chacune des faces du prisme.
Le fonctionnement du circulateur est fondé sur le phénomène du déplacement de champ qui se manifeste dans chacune des jonctions correspondant aux trois faces du prisme. Les dimensions des éléments et le champ magnétique appliqué sont tels qu’une onde entrante dans la voie (1), (2) et (3) ne puisse sortir respectivement que par la voie (2), (3) et (1). Les paramètres S d’un circulateur sont les suivants : S11 = S22 = S33 = 0 (adaptation aux trois accès) S21 = S32 = S13 = 1 S12 = S23 = S31 = 0
S =
0 1 0
0 0 1
1 0 0 75
Chapitre V – Mesure des paramètres S. V- I – Introduction Les paramètres S tels que nous les avons introduit et utilisés dans les chapitres précédents ne prennent leur vrai sens que parce ce qu’il existe dorénavant un appareil, l’Analyseur de Réseau Vectoriel qui permet aisément leur mesure de quelques dizaines de MHz jusqu’à plus de 110 GHz. A l’heure actuelle les mesures sont réalisées en technologie coaxiale jusqu’à 60GHz et en technologie guide d’onde au-delà. Des appareils de laboratoire spécifiques permettent d’atteindre des fréquences aussi élevées que 700 GHz. Il ne faut toutefois pas perdre de vue que la technique de mesure est complexe et met en jeu de nombreux éléments actifs ou passifs qui sont tous imparfaits. En pratique la précision des mesures réalisées est dépendante à la fois du soin apporté par l’expérimentateur aux diverses manipulations, tout particulièrement lors de la procédure de calibration dont la description clôt ce chapitre.
V-II- Quelques techniques de mesure en hyperfréquence V-II-1 - Mélange ou détection `a diode Cette première partie regroupe quelques rappels des techniques de base de mesure hyperfréquence, en particulier la détection, le mélange et la réflectométrie qui sont toutes mises en oeuvre dans l’ Analyseur de Réseau Vectoriel . Le principe du mélange repose sur la caractéristique non - linéaire d’un élément. En pratique aujourd’hui celui-ci est presque exclusivement une diode semi conductrice à laquelle sont associées les connexions nécessaires. Alors la relation entre le courant I , et la tension V , appliqués à la diode est :
I = I0 exp(αV − 1), où α = e/(n kB T ) est une constante faisant intervenir le facteur d’idéalité n de la diode, la constante de Boltzmann k B ,la température T et e la charge électrique élémentaire . Si on se limite au petit signal, un développement en série de Taylor est possible en V, 76
I = I0 (αV + α2V2 /2 ! + α3V3 /3 ! + ….) En pratique seul le second terme de ce développement limité nous sera utile. En effet le premier terme est linéaire et ne permet donc pas le changement de fréquence et le troisième sera d’intensité nettement plus faible si les valeurs de V reste modérées. Si à présent on applique à cette diode une tension V somme de deux tensions sinusoïdales, V = V1 sin(ω1t )+ V2 sin(ω1t), le terme quadratique s’écrit : ¡ (I0 α2 /2!)V2 = (I0 α2 /2!) (V1 sin(ω1t ) + V2 sin(ω2t)) 2 (I0 α2 /2!)V2 = (I0 α2 /2!)[V12sin2(ω1t) + V22 sin2 (ω2t) + 2V1V2sin(ω1t) sin( ω2t)] (I0 α2 /2!)V2 = (I0α2 /2!){[V12 (1 – cos2ω1t) + V22 (1 – cos2ω2t)] + 2V1V2[cos(ω1 - ω2)t]+ 2V1V2[cos(ω1 + ω2)t]} Des composantes apparaissent alors à d’autres fréquences que ω1 et ω2 qui étaient contenues dans le signal original. On observe l’apparition de composantes continues et aux fréquences 2 ω1, 2ω2, ω1 + ω2 et ω1 - ω2. Si les trois premières de ces fréquences restent élevées, la dernière composante permet de ramener un signal hyperfréquence en basse fréquence. C’est la fonction de mélange que réalise le mélangeur dont la diode sera l’élément fondamental. Un cas particulier du mélange concerne deux signaux identiques de même fréquence ω1 - ω2 , ou plus exactement, un seul signal V sin(ωt ) que l’on découpe en deux signaux identiques (V/2) sin(ωt ). Dans ce cas, il vient (I0 α2 /2!)V2 = (V2 I0α2 /4)(1−cos(2 ωt )) 77
si l’on ne retient que la composante continue, on a un Détecteur Quadratique en champ ou linéaire en puissance. Le même formalisme et le même composant (diode semi conductrice) permettent) donc de rendre compte à la fois des fonctions essentielles de mélange et de détection de puissance . La mesure vectorielle nécessite la détermination simultanée de l’amplitude et de la phase. En pratique cela est souvent réalisé grâce à un double changement de fréquence (20 MHz puis 100 kHz) effectué par deux mélangeurs successifs, suivi d’une boucle à verrouillage de phase à la fréquence basse.
V.2.2 - Réflectométrie à coupleurs On rappelle qu’un Coupleur Directif idéal est un composant à quatre accès qui permet de prélever une partie de la puissance sélectivement suivant que celle-ci correspond à une onde entrante ou sortante. Sa matrice est de la forme [S] est
0
δ e jϕ
0
τ e jθ
δ e jϕ
0
τ e jθ
0
0
τ e jθ
0
δ e jϕ
τ e jθ
0
δ e jϕ
0
S=
Le coupleur étant sans perte et réciproque, on a S.S* = I, la matrice unité. Alors,
δ2 + τ2 = 1
⇒
δ = cosψ et τ = sinψ
δ e jϕ τ e - jθ + δ e - jϕ τ e jθ = 0 δτ e j(ϕ - θ)
+ δτ e - j(ϕ-θ) = 0
cos(ϕ - θ) = 0, soit θ = ϕ ± π /2
⇒
e jθ
= ± je jϕ 78
Prenons le cas e jθ = je jϕ, la matrice devient :
cosψ e jϕ
0 cosψ e jϕ S= j sinψ e jϕ
j sin ψ e jϕ
0 j sin ψ e
0
j sin ψ e jϕ
0
jϕ
0
0 cosψ e jϕ
0 cosψ e jϕ
0
La réflectométrie à un Coupleur est alors réalisée comme cela est montré sur la figure ci dessous. Le coupleur dont le port 4 est fermé sur 50 Ω est inséré entre le composant à mesurer (Device Under Test : DUT) et la source qui est connectée à son port 1, et y envoie l’onde a 1. L’onde réfléchie sur le DUT, est alors couplée sur le port 3 à l’extrémité du quel on mesure b3 à l’aide d’un dispositif adapté à 50 Ω. 3
b3 4
50Ω 2
1 a1
in
DUT
out
50Ω
Réflectométrie à un coupleur. Le port 4 du coupleur et le port out du DUT — (Device Under Test), ou composant à mesurer sont adaptés à 50 Ω.
Si ρ est le coefficient de réflexion du DUT et que le coupleur est parfait, alors a2 = ρa1 et on peut chercher b 3 en faisant le produit suivant: 0 cosψ e jϕ
cosψ e jϕ 0
0 j sin ψ e jϕ
j sin ψ e jϕ 0
a1
ρδa1 79
j sin ψ e jϕ
0 j sinψ e jϕ
0
cosψ e jϕ
cosψ e jϕ
0
qui donne:
0
0
0
b3 = j sin ψ e jϕ.ρδa1
En reprenant le même calcule pour un court circuit à l’accès 2 ( ρ = -1) du coupleur directif, on a :
cosψ e jϕ
0 cosψ e jϕ
j sinψ e jϕ
j sin ψ e jϕ
j sin ψ e jϕ
0 j sin ψ e jϕ
0
0
0
- δa1
0 cosψ e jϕ
cosψ e jϕ
0
a1
0
0
0
b’3 = - j sin ψ e jϕ δa1 Le rapport - b3 / b’3 donne la mesure du coefficient de réflexion du dispositif sous test (DUT) = ρ = S11 La réflectométrie à deux coupleurs quand à elle est réalisée comme cela est montré sur la figure qui suit 4
50Ω
3 b3
50Ω 50Ω
1 a1
2
DUT
ou
80
En supposant les deux coupleurs identiques, notamment en terme de directivité, symétriques (Sij = S ji), et parfaitement adaptés (Sii = 0), S12 = S43 (directivité), S23 = S14 (couplage type 1) ; S24 = S13 (couplage type 2) . On peut écrire la matrice [S] de l’ensemble comme il suit :
S=
S=
0
S12
S13
S14
S12
0
S23
S24 Réciprocité, adaptation parfaite
S13
S23
0
S34
S14
S24
S43
0
0
S12
S13
S14
S12
0
S14
S13
S13
S14
0
S12
S14
S13
S12
0
= = =
γ , δ β
En posant S12 S13 S14
Symétrie des couplages
On a finalement la matrice de l’ensemble ayant la forme suivante :
S=
0
γ
δ
β
γ
0
β
δ
δ
β
0
γ
β
δ
γ
0 81
Si ρ désigne le coefficient de réflexion du DUT, alors a2 = ρa1 et on peut écrire b3 et b4 en faisant le produit suivant: 0
γ
δ
β
a1
b1
γ
0
β
δ
ργ a1
b2
δ
β
0
β
δ
γ
γ
= 0
⇒
b3 = a1δ + βργ a1
b3
0 0 b4 b4 = a1β + δργ a1 Le rapport b3 / b4 permet de trouver la mesure de ρ, en effet, b3 / b4 = (δ + βργ ) /(β + δργ ) et ensuite,
ρ = (βb3 - δb4 ) / γ γ( βb4 - δb3 ) V-2-3 - Analyseur de réseau vectoriel ao
bo
Directe 1 DUT Générateur Hyperfréquence
2
Inverse
a3
b3
82
Représentation schématique de l’analyseur de réseau
L’oscillateur hyperfréquence est commuté tantôt dans le sens direct, tantôt dans le sens inverse, ce qui permet la mesure des quatre quantités vectorielles a 0, b0, a3 et b3. Dans l’hypothèse où les coupleurs sont parfaits, les paramètres S du DUT inséré entre les ports 1 et port 2, s’écrivent alors, S11 = b0 / a0, générateur sur direct S21 = b3 / a0, générateur sur direct S22 = b3 / a3, générateur sur inverse S11 = b0 / a3, générateur sur inverse VI – Gain transducique d’un quadripôle
VI- 1- Quadripôle unilatéral Le gain que l’on peut tirer d’un quadripôle est l’une des caractéristiques les plus importantes que l’on peut déduire de la connaissance de ses paramètres S. Le gain transducique est la notion de gain la plus générale applicable aux quadripôles puisqu’elle inclut simultanément les coefficients de réflexion présentés à son entrée et à sa sortie. Avant d’aborder le cas général nous allons faire le calcul dans le cas particulier du quadripôle unilatéral.
a1
eg
Q
b2
(S)
b1
zl
a2
Quadripôle alimenté en entrée et chargé en sortie.
Considérons le schéma donné par la figure ci dessus où le quadripôle est par exemple un bipolaire ou un FET auquel ont été intégré les tronçons de ligne d’accès comme vu auparavant. L’impédance de normalisation est supposée être Ro = 50 Ω. Supposer le quadripôle unilatéral signifie alors que S12 = 0.
VI- 2 - Quadripôle unilatéral : Etude du générateur Étudions tout d’abord la source. Décomposons-là simplement comme montré sur la figure suivante, en une partie comportant l’impédance de normalisation Zo en série et l’autre ne comportant que la différence des impédances. zg - 1 eg
ag
a1 b1
Q
(S)
b2 83
a2
zl
ρ1
ρ
Soit Ro la partie réelle de Zo l’impédance de normalisation, par définition, ag = Ii√Ro. Le courant incident I i est celui correspondant au générateur adapté sur une charge Ro, soit : Ii = Eg /2Ro et par conséquent ag = Eg√Ro./2Ro. = Eg /2√Ro = eg /2 où eg est la force électromotrice réduite du générateur. La matrice S’ de l’impédance en série z g – 1 est :
S’
(zg – 1) /( zg +1)
2/( zg + 1)
2/( zg +1)
(zg – 1) /( zg +1)
=
a1 = S’21 ag + S’22 b1 =2 ag /(zg +1) + b1 (zg −1)/(zg +1) = t ag + ρ1 b1, où t représente la transmission à travers l’impédance du générateur et où ρ1 est le coefficient de réflexion vu de l’extérieur. La puissance active fournie par le générateur sur une charge quelconque de coefficient de réflexion = ρ = b1 /a1 s’écrit : Pg = ½( vi* + v* i) = ½ [(a 1 + b1) (a*1 - b*1) + (a1* + b1*) (a1 - b1)] = | a1|2 - | b1|2 Pg = | a1|2 - | ρ|2.|a1|2 = | a1|2 (1- | ρ|2) Pg = | a1|2 (1- | ρ|2) a1 = t ag + ρ1.ρ.a1 ⇒
a1 = t ag /(1- ρ1.ρ)
84
Pg = | a1|2 (1- | ρ|2) = | t ag |2[(1 - | ρ|2)/|(1- ρ1.ρ)|2] Cette puissance est maximale si ρ1 = ρ* , c'est-à-dire,
Pgmax = | t ag |2[(1 - | ρ1|2)/|(1- | ρ1|2)|2] = [| t a g |2 /|1- | ρ1|2|] Pgmax = | t ag |2 /(1- | ρ1|2) puisque | ρ1| < 1 Rappelons que t = 2/(zg + 1) et que ρ1 = (zg −1)/(zg +1) VI- 3 - Quadripôle unilatéral : Etude de la charge Pour sa part, la charge est complètement caractérisée par son coefficient de réflexion ρ2 = (zL−1)/(zL+1) = a2 / b2 . La puissance active effectivement transmise à la charge est : Pc = ½( vi * + v* i) = ½ [(a2 + b2) (a*2 - b*2) + (a2* + b2*) (a2 - b2)] = | a2|2 - | b2|2 Pc = | b2|2 - | ρ2|2.|b2|2 = | b2|2 (1- | ρ2|2) Pc = | b2|2 (1- | ρ2|2) Les équations suivantes : a1 = t ag + ρ1.b1 ⇒ a1 = t ag /(1- ρ1.S11) b1 = S11 a1 puisque S12 = 0 (unilatéral) b2 = S21 a1 +S22 a2 a2 = ρ2 b2 b2 = a1S21 /(1− /(1−ρ2S22) = t ag.S21 /(1−ρ2S22).(1- ρ1. S11)
En conséquence, la puissance transmise à la charge s’écrit :
Pc = | t ag.S21|2(1- | ρ2|2)/|(1−ρ2S22)| 2.|(1- ρ1. S11) |2 Par définition, le gain en puissance composite, ou gain transducique, est alors égal au gain en puissance du quadripôle référencé à la puissance maximale de la source, c’est-à-dire 85
G = Puissance utile / Puissance maximale du générateur . G = Pc /Pgmax = | t ag.S21|2(1- | ρ2|2) |1- | ρ1|2|]/|(1−ρ2S22)| 2.|(1- ρ1. S11) |2 [| t ag |2]
G = |S21|2 (1- | ρ2|2) (1- | ρ1|2)] / |(1− ρ2S22)| 2.|(1- ρ1. S11) |2 On distingue dans cette expression trois termes – le terme G0 = |S21|2 qui représente le gain interne du quadripôle ; – le terme G1 = (1- | ρ1|
2
) /|1− /|1− S11 ρ1|2
Ce qui traduit l’adaptation à l’entrée. Ce terme prend sa valeur maximale si *
S11 = ρ1
,
C’est-à-dire si le quadripôle est adapté à l’entrée, alors G1max = 1/(1−|S11|2) ; – le terme G2 = (1- | ρ2|
2
/|1− S22 ρ2|2 ) /|1−
qui traduit l’adaptation à l’entrée. Ce terme prend sa valeur maximale si *
S11 = ρ1
,
C’est-à-dire si le quadripôle est adapté à la sortie, alors 2
G2max = 1/(1−|S22|
);
Pour obtenir les conditions d’adaptation en entrée et en sortie on interpose entre le quadripôle et l’entrée d’une part, et entre le quadripôle et la charge d’autre part, des circuits passifs sans pertes, par exemple des (stubs) ou des éléments réactifs localisés comme des selfs et des capacités. Alors le gain maximal du quadripôle dans un tel montage est Gmax = G0 G1max G2max , soit
G = |S21|2 /(1− | S22|2)(1- |S11|2), c’est le gain transducique du quadripôle 86
Cette formule n’est valable que sous l’hypothèse que le quadripôle est unilatéral (S12 = 0). Le montage suivant montre le cas d’un transistor bipolaire au niveau duquel on a fait une adaptation à l’entrée et une autre à l’entrée
VI- 4 - Quadripôle quelconque :
Facteur de réflexion réflexion à l’entrée du Quadripôle chargé
a1
b2
b1
a2
ρ2
Quadripôle chargé par un coefficient de réflexion ρ2 on a les équations suivantes b1 = S11 a1 + S12 a2 b2 = S21 a1 + S22 a2 a2 = ρ2b2, Donc si l’on définit le coefficient de réflexion à l’entrée du quadripôle par S’11 = b1 /a1 avec sortie chargée par ρ2 , on a :
S’11 = S11 + ρ2S21 S12 / (1-ρ2 S22) . ,
VI-5- Quadripôle quelconque :
Facteur de réflexion réflexion à la sortie du Quadripôle
De façon identique pour un quadripôle dont l’entrée est chargée par le coefficient de réflexion ρ1, on obtient 87
S’22 = S22 + ρ1S21 S12 / (1-ρ1 S22)
VI-6- Quadripôle quelconque : Gain transducique Pour un quadripôle quelconque, on montre que :
G
= |S21|2 (1- | ρ2|2) (1- | ρ1|2)] / |(1− ρ2S22)| 2.|(1- ρ1. S’11) |2 = |S21|2 (1- | ρ2|2) (1- | ρ1|2)] / |(1− ρ2S’22)| 2.|(1- ρ1. S’11) |2
L’expression ci-dessus est tout à fait similaire à celle obtenue pour le quadripôle unilatéral à l’exception du S’11 ou du S’22 qui vient remplacer le S11 ou du S22. On a donc toujours les trois termes correspondant au gain interne, à l’adaptation d’entrée qui prend en partie en compte la sortie par l’intermédiaire de S’ 11 qui fait intervenir ρ2 , et l’adaptation de sortie. A l’aide des coefficients
S’11 = S11 + ρ2S21 S12 / (1-ρ2 S22) et
S’22 = S22 + ρ1S21 S12 / (1-ρ1 S22) On définit les critères de stabilités d’un dispositif amplificateur qui peut entrer en oscillation lorsqu’on cherche à optimiser son gain. - A la fréquence f où on connaît ses paramètres S, un quadripôle est stable à son entrée si | S’11| < 1 - A la fréquence f où on connaît ses paramètres S, un quadripôle est stable à sa sortie si |S’ 22| < 1. - Un quadripôle est dit Inconditionnellement Stable s’il est stable quelles que soient les charges passives placées à l’entrée et à la sortie.
88
- Un quadripôle est Conditionnellement Stable s’il existe des charges passives à l’entrée et à la sortie qui le rendent stable. Il doit cependant rester au moins une possibilité en entrée et en sortie permettant d’adapter le quadripôle avec des charges passives. - Autrement, le quadripôle sera dit Inconditionnellement Instable et réservé à une application d’oscillateur.
Chapitre VII – ADAPTATION D’UN QUADRIPOLE AVEC DES ELEMENTS LOCALISES Nous nous proposons ici de transformer un coefficient de réflexion en un autre sans perte d’énergie. Ceci trouve son utilité par exemple dans l’adaptation des transistors afin d’optimiser le Gain transducique. 89
Nous allons fabriquer un quadripôle sans pertes qui réalise la transformation. Un moyen de le faire utilise des lignes, c’est l’adaptation Simple Stub et l’adaptation double Stub. Nous supposerons ici n’avoir affaire qu’à des éléments localisés, et donc pour que ce quadripôle soit sans pertes il faut bannir les résistances et n’utiliser que des capacités et des inductances. Il reste cependant une liberté sur la topologie du circuit puisque les éléments réactifs peuvent être utilisés soit en série soit en parallèle. A Q ?
Zl
B
ρs
ρ
ρm
Adaptation du quadripôle [Q] : schéma de base.
Entre A & B et la source de coefficient ρs on peut insérer soit une impédance série, soit une admittance parallèle, soit une combinaison des deux. Dans le cas de l’insertion d’une impédance série, le coefficient de réflexion ρs évoluera à partir du point défini par ρs sur un cercle à partie réelle de l’impédance constante. Ces cercles sont naturellement tracés dans l’abaque de Smith. Ce cas est représenté sur la figure (b) où nous avons aussi noté les évolutions à partir ρs en fonction de la nature de l’élément réactif inséré en série. Dans le cas de l’insertion d’une admittance parallèle, le coefficient de réflexion ρs évoluera à partir du point défini par ρs sur un cercle à partie réelle de l’admittance constante. Rappelons que ces cercles sont obtenus par une symétrie par rapport au centre de l’abaque des cercles à partie réelle de l’impédance constante ; ils ne sont donc pas tracés habituellement dans l’abaque de Smith. Ce cas est représenté sur la figure (b) où nous avons aussi noté les évolutions à partir ρs en fonction de la nature de l’élément réactif inséré en parallèle. Il est alors facile de voir que par la combinaison d’un élément série et d’un élément parallèle il est possible d’atteindre n’importe quel point de l’abaque à partir de n’importe quel point de départ. 90
Certaines fois la combinaison sera série - parallèle, d’autres parallèle - série, mais on peut ériger en théorème que l’adaptation par éléments localisés est toujours possible avec deux et seulement deux éléments réactifs. La figure (c) donne ainsi la solution pour le cas initialement posé. Le cas traité ici est typiquement celui que l’on rencontre avec l’adaptation de la sortie d’un transistor avec l’entrée d’un second transistor dans le cas d’un amplificateur à plusieurs étages. En résumé, la procédure d’adaptation est la suivante : 1. Identifier les deux coefficients de réflexion à considérer ; ils doivent pointer dans la même direction. 2. Considérer que l’on va ajouter les éléments localisés en remontant le sens des flèches. 3. Tracer en chacun des points dans l’abaque de Smith le cercle à partie réelle de l’impédance constante et le cercle à partie imaginaire de l’impédance constante. 4. Choisir le chemin d’adaptation grâce à deux arcs de cercle qui se coupent. 5. Déterminer les valeurs grâce aux figures (b) et (c), en remontant le sens des flèches.
91
Figure (a) = Adaptation du quadripôle [Q] : Position des coefficients de réflexion Figure (a) de Smith. dans l’abaque
Figure (b) : Évolution de ρs sur un cercle à partie réelle de l’impédance constante
92
Figure (c) Évolution de ρs sur un cercle à partie réelle de l’admittance constante.
Figure (d) adaptation du quadripôle
93
VIII - ABAQUE DE SMITH Calcul de l’impédance d’un circuit simple
Figure 1
Avant de passer à l’abaque proprement dit, nous allons nous livrer au calcul « manuel » de l’impédance d’un circuit comportant des résistances, des inductances et des condensateurs. Sur la figure 1, on désire déterminer l’impédance résultante aux points A et B sachant que la fréquence d’utilisation est de 10 MHz. On pourrait imaginer que la résistance de 10 ohms en série avec le condensateur de 159 pF représente une antenne et que la self et le condensateur constituent un système d’adaptation d’impédance, les points A et B étant les points de raccordement de l’émetteur.
Cela c’est2 l’impédance série, or, d’après le schéma de la figure 1, nous devons Figure mettre en parallèle une inductance. Nous sommes confrontés exactement à la même problématique qu’avec de banales résistances, on ne peut pas adopter la même méthode de calcul selon qu’il s’agisse de résistances en série ou parallèle. Nous allons donc, et vous l’avez deviné, passer par les inverses, comme nous le 94
faisons pour des résistances en parallèle. Sauf qu’ici, s’agissant d’alternatif et de valeurs complexes, nous allons définir d’autres grandeurs. - L’admittance, notée Y, est l'inverse de l'impédance, elle se mesure en S (Siemens). - (Le siemens S est l'unité dérivée de conductance électrique du système international (SI), nommée ainsi en hommage à Werner von Siemens). - La conductance notée G est l’inverse de la résistance, elle se mesure en S (Siemens). La conductance est la capacité à conduire l’électricité. Une résistance de 10 ohms possède une conductance de 1/10 = 0,1 S ou 100 mS. - La susceptance notée B est l’inverse de la réactance, elle se mesure en S (Siemens). Pour une inductance la susceptance Bl vaudra 1/ 2 π f L et la susceptance d’un condensateur Bc vaudra 2 πf C, tout ceci naturellement exprimé avec les unités du Système International (SI) Pour résumer, nous avions pour les impédances série Z = R + jX, nous aurons pour les admittances Y = G - jB et réciproquement, pour Z = R - jX, nous aurons Y = G + jB
Figure 3
Application à l’exemple de la figure 1. 1) posons la valeur de l’impédance série de la résistance de 10 ohms couplée au condensateur de 159 pF à la fréquence de
95
Z = 10 - j100
2) Il faut maintenant ajouter l’inductance en parallèle, nous devons passer de Z vers Y en appliquant les formules de la figure 3. Z = 10-j100 devient Y = 0,00099 + j 0,0099 Notez au passage que le signe s’inverse lors de la transformation. Nous pourrions, pour simplifier l’écriture, utiliser un sous-multiple du Siemens, le milli-Siemens ou mS.
3) déterminons la susceptance de l’inductance de 1118 nH, X = 70,25 ohms, B = 0.01423 S soit Y = 0 - j 0,01423
4) nous pouvons maintenant additionner les deux admittances, il vient : Y = [0,00099 + j 0,0099] + [0 - j 0,01423] On additionne terme à terme : Y = 0,00099 - j 0,00433
5) nous allons maintenant connecter un condensateur en série, il faut donc revenir aux impédances. Nous transformons Y = 0,00099 - j 0,00433 en utilisant les formules de la figure 3, il vient : Z = 50,8 + j 221
6) nous déterminons maintenant la réactance X du condensateur de 72 pF à 10 MHz, il vient X= 221 ohms. En impédance série Z = 0 - j 221
7) ajoutons la réactance du condensateur à notre circuit : Z = [50,8 + j221] + [0 - j221] Z = 50,8 - j 0 96
Donc aux points A-B, le montage décrit figure 1 équivaut à une résistance pure de 50,8 ohms, on peut dire qu’on a réalisé l’adaptation à 50 ohms. Ce calcule n’est pas difficile mais c’est très laborieux !
Présentation de l’abaque de Smith
Figure 4
97
Mode d’emploi Parcours d’une inductance en série
Avant d’étudier avec l’abaque le circuit de la figure 1, examinons le positionnement des composants réactifs et leurs évolutions sur les arcs de cercle. Nous partons arbitrairement du centre (50 ohms purement résistif) et plaçons une inductance en série, négligeons les valeurs (fréquence, réactance), intéressons-nous seulement au parcours. Augmenter la valeur de l’inductance, c'est-à-dire augmenter la réactance, augmente la longueur de l’arc de cercle (figuré en bleu su figure 5. Notez que l’on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre
98
Parcours d’une inductance en parallèle En parallèle, augmenter la valeur de l’inductance va réduire le parcours sur l’arc de cercle des susceptances, notez que l’on tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 6).
Parcours d’une capacité en série Augmenter la valeur du condensateur va diminuer sa réactance et conséquemment diminuer l’arc de cercle. On tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 7).
99
Parcours d’une capacité en parallèle
Augmenter la valeur du condensateur augmente son parcours sur le cercle des susceptances. On tourne dans le sens des aiguilles d’une montre (figure8).
Figure 8
Application pratique au cas de la figure 1
Figure 1
Figure 9
100
Figure 10
Notre but est de déterminer quelle est l’impédance aux points de connexion A et B. Nous allons partir de la résistance de 10 ohms de la figure1. Il faut déterminer la valeur « normalisée à 50 ohms » de la résistance de 10 ohms. Il vient 10/50 =0,2. Comme il s’agit d’une résistance pure, elle est positionnée sur l’axe des résistances au point de coordonnée 0,2 et identifiée par la lettre A.
101
Nous
Figure 11
allons
maintenant placer en série le condensateur de 159 pF. Préalablement il faut déterminer sa réactance à la fréquence de 10 MHz grâce à la formule de la figure 9. Un condensateur de 159 pF présente à 10 MHz une réactance de 100 ohms. Reste à placer ceci sur l’abaque. Partant de la résistance au point 0,2 sur l’axe des résistances, nous allons tourner sur un arc de cercle de réactance depuis ce point et bien sûr, dans la partie des réactances capacitives. On sait que la réactance du condensateur est de 100 ohms, en valeur normalisée 50 ohms cela fera 100/50 = 2. Nous lisons les valeurs normalisées des réactances sur le cercle extérieur et partant de 0 nous tournons jusqu’au point 2. Le point d’arrivée est le point B. Il est important de comprendre qu’il ne s’agit pas d’atteindre le point de réactance 2 mais de se déplacer d’une quantité égale à 2.
102
On sait que la réactance du condensateur est de 100 ohms, en valeur normalisée 50 ohms cela fera 100/50 = 2. Nous lisons les valeurs normalisées des réactances sur le cercle extérieur et partant de 0 nous tournons jusqu’au point 2. Le point d’arrivée est le point B. Il est important de comprendre qu’il ne s’agit pas d’atteindre le point de réactance 2 mais de se déplacer d’une quantité égale à 2. 3) Nous allons maintenant placer l’inductance de 1118 nH en parallèle. Jusqu’à présent, nous placions des valeurs en série, ce qui est très simple, pour positionner des valeurs en parallèle, nous allons effectuer un certain nombre de manipulations. - il faut déterminer la réactance de cette self, il vient Xl = 70 ohms, ce qui normalisé à 50 ohms nous ferait 70 / 50 = 1,4. Mais comme il s’agit non pas d’une réactance mais d’une susceptance, nous prenons son inverse qui est 1/1,4 = 0,71. C’est de cette quantité que nous allons devoir tourner sur le cercle des susceptances. Le point B représente une impédance, il faut préalablement passer aux admittances. Pour y parvenir, on trace une droite passant par le centre, sa longueur valant deux fois le segment [B ; centre], voir le schéma plus explicite de la 12, le point d’arrivée est repéré C.
Figure 12 Figure 12
4) comme indiqué, nous devons tourner d’une valeur égale à 0,71. Nous tournons dans le sens inverse des aiguilles d’une montre comme une capacité en série, nous passons du point C au point D. Nous avons au point D une admittance, si nous voulons repasser aux impédances, il faut suivre la même procédure, c’est à dire tracer une droite passant par le centre et de longueur égale à deux fois le segment [D ; centre] 103
Figure 13
5) Nous avons tracé la droite [D;E] de manière à repasser aux impédances puisque nous allons maintenant ajouter un condensateur en série. Pour nous entraîner, nous lisons les coordonnées du point E qui sont : 1 + j 4,4 ce qui correspond à 50 + j221.
104
Figure 14
6) Nous allons maintenant placer le condensateur en série, sa valeur est 72 pF soit une réactance capacitive de 221 ohms à 10 MHz. Normalisons cette valeur, 221/50 = 4,42, nous allons tourner sur l’arc de cercle d’une quantité de 4,42 (approximativement, la résolution du graphique ne permet pas une telle précision). Et divine surprise, nous constatons que nous sommes parvenus au centre de l’abaque. Notre circuit se comporte comme une résistance pure de 50 ohms.
105
Les cercles de ROS constant Nous pouvons tirer un enseignement très intéressant de notre abaque. Imaginons que nous ayons un générateur alternatif d’impédance purement résistive de 50 ohms alimentant une charge purement résistive de 150 ohms, qu’en est-il du ROS ? Nous savons le calculer, toujours à partir de la formule de la figure 6, nous pouvons déterminer le coefficient de réflexion qui sera pour notre exemple égal à (150-50)/(150+50) = 0,5. Connaissant le coefficient de réflexion (nous avons pris soin de n’utiliser que des valeurs résistives de manière à légèrement simplifier le calcul) il suffit d’appliquer la formule bien connue de la figure 15:
Figure 15
Dans notre exemple le ROS vaut : (1+0,5) / (1-0,5) = 3 Utilisons maintenant l’abaque (figure 16), positionnons le point 150 + j0 soit en valeurs normalisées à 50 ohms 3 + j0 indiqué A. Depuis le centre (r=1) traçons un cercle ayant pour rayon la distance [centre ; point A]. Effectuons maintenant une projection sur les points extrêmes de ce cercle sur l’échelle positionnée au bas de l’abaque, relevons la valeur lue sur la règle, il vient ROS=3. C’est beaucoup plus commode que de passer par un calcul. Autre enseignement utile, tous les points positionnés sur ce cercle auront le même ROS.
Figure 14
106
Figure 16
Figure 15
107
Nous allons maintenant étudier un autre cas, le schéma est représenté figure 18. Avec un peu d’imagination, on peut penser à une antenne se présentant à la fréquence de 7 MHz comme une résistance en série avec une inductance et couplée à l’émetteur sans ligne de transmission, par une boîte d’accord constituée d’un circuit en T. Reste à déterminer quelle est l’impédance vue par l’émetteur aux points de connexion A et B avec les valeurs des composants que nous avons choisies.
Figure 15
Figure 17
108
Chapitre IX - Bruit en hyperfréquence Il est bien sûr illusoire de vouloir indéfiniment amplifier un signal s’il est originellement entaché de bruit. Voici quelques définitions fondamentales et les méthodes et techniques spécifiquement utilisées pour la mesure du bruit en hyperfréquence.
IX – 1 - Température & facteur de bruit, chaînage de quadripôles IX-1-1 - Température de bruit Dans une bande de fréquence ∆ f , un corps noir à la température T produit une puissance de bruit N = k B T ∆ f , où k B = 1,38 10−23 J/K est la constante de Boltzmann. Par analogie directe on définit la température de bruit d’un objet hyperfréquence quelconque comme la température produisant la même puissance de bruit N. Cette température n’a donc pas lieu d’être identique à la température thermodynamique ambiante. Si T A est la température d’une résistance par exemple, la puissance de bruit qu’elle introduira à l’entrée d’un récepteur sera k B T A ∆ f . 109
Si T R est la température de bruit du récepteur, cela signifie qu’il ramène à son entrée une puissance de bruit équivalente k B T R ∆ f et donc la puissance de bruit totale à prendre en compte à l’entrée du récepteur sera N’ = k B (T A+T R)∆ f . En réalité pour une antenne directive, la température de bruit sera celle de la cible pointée par l’antenne ou de son environnement. Si cette cible baigne dans le vide interstellaire, on aura T = 3 K, si la cible est à la température ambiante à la surface de la terre T ≈ 300 K, cette température sera 100 fois plus grande.
IX.1.2 Facteur de bruit On définit le Facteur de Bruit d’un objet hyperfréquence à partir des rapports signaux à bruit mesurés à l’entrée et à la sortie à la température normalisée T 0 = 290 K, soit (Se /Be)/(S s/Bs) Comme tout objet hyperfréquence apporte du bruit, ce facteur F est toujours supérieur à 1. En conséquence il est presque toujours exprimé en dB par F(dB) = 10 log10(F).
Cas de l’amplificateur. Considérons un amplificateur de gain G et de température de bruit T A recevant, dans la bande de fréquence ∆f, à son entrée une puissance de signal Se, et une puissance de bruit Ne = kB T 0 ∆f. Son facteur de bruit s’exprime alors directement en fonction des températures de bruit par : F0 = (Se / kB T0∆f) / [GSe /G k B (T0 + TA) ∆f] = 1 + (TA / T0) A une autre température T (avec T A constant, la mesure du facteur de bruit donne F tel que : F = 1 + (T A / T) = 1 + (T A / T0)(T0 /T) = 1 + (F 0 -1)( T0 /T) 110
TA = T0 (F0 -1) Ceci signifie que la puissance de bruit N’ effectivement présente à l’entrée d’un amplificateur alimenté par une source à la température T est :
N’ = kB (TA + T)∆f. N’ = kB T0 (F0 -1) ∆f + kB T ∆f. N’ = kB T0 F0 ∆f + kB (T - T0 )∆f.
Cas de l’atténuateur. Considérons un atténuateur dont le coefficient d’atténuation linéaire est A. Supposons le initialement à la température de normalisation T 0. Si S /N0 est le rapport signal à bruit que l’on lui présente à l’entrée, le signal à la sortie sera S /A, ce qui donne un rapport signal à bruit de sortie S / N 0A puisque le bruit à la sortie reste constant à la valeur N 0 étant donné que l’atténuateur est à la même température T0 . (S /N0)/( S / N0A) = A Donc le facteur de bruit d’un atténuateur à la température de normalisation égale son atténuation A. Sachant que si l’atténuation est A, corrélativement le gain est alors G = 1/A, nous en déduisons le facteur de bruit F d’un atténuateur à la température T : A la température T, si l’affaiblissement de l’atténuateur est A, sa température de bruit TA doit vérifier: A = (1 + TA /T) En suite, le facteur de bruit à la température T est : F = (1 + TA /T0 ) = 1 + ( TA /T ) (T /T0 ) = 1 + ( A - 1) (T /T0 ) =
TA = (A - 1).T
111
IX.1.3 Facteur de bruit de quadripôles en cascade En hyperfréquence, on très fréquemment avec des quadripôles que l’on chaîne pour réaliser des fonctions. La question naturelle est alors de savoir comment se chaînent eux-mêmes les facteurs de bruit. F2,T2,G2
F1,T1,G1
F3,T3,G3
F4,T4,G4
Chacun des quadripôles amplifie le bruit qui se présente à son entrée et génère en plus un bruit propre. Soit Ni , la puissance de bruit ramenée à l’entrée de chaque quadripôle On a en sortie du quadripôle i une puissance de bruit B i égale à : Rappelons que Ni = kB Ti ∆f Bi = Gi Ni + Ni+1 Bi+1 = Gi+1 Bi + Ni+2 = Gi+1 (Gi Ni + Ni+1) + Ni+2 ) En sortie de la cascade on a une puissance de bruit égale à B = (N1G1 + N2)G2 + N3)G3 + N4)G4 . . .+ Nn)Gn, B = kB ∆f (T1G1 + T2)G2 + T3)G3 + T4)G4 . . .+ T n)Gn,
n En divisant membre à membre cette égalité par k B ∆f.Π Gi on obtient la température de bruit de la cascade (T) comme il suit :
i=1
T = T1 + (T2 / G1)+ (T3 / G1G2)+ (T4 /G1 G2G3) . . + (T n /G1 G2 ……Gn) T = T1 +
n i ∑ Ti / Π Gi i j=1
En divisant l’égalité précédente par T 0 la température de normalisation, T/T0 = T1 /T0 +
n ∑ (Ti /T0)
i
Π Gi 112
F-1 = F1 -1 +
F = F1 +
i
j=1
n ∑ (Fi -1) i
i
n ∑ (Fi -1) i
Π Gi
j=1
i
Π Gi
j=1
La conclusion essentielle est que l’on a toujours intérêt à placer en premier dans une chaîne un quadripôle à faible bruit et à gain élevé, son gain masquant ainsi le bruit apporté par les étages suivants. C’est le cas par exemple du LNA dans les liaisons par satellites
IX.1.4 Modèle d’un quadripôle bruyant La représentation usuelle d’un quadripôle linéaire bruyant consiste à le remplacer par un quadripôle non bruyant, conservant la même matrice [S] auquel on adjoint en entrée une source de tension et une source de courant de bruit corrélées.
v Quadripôle bruyant
⇔
i
Quadripôle Non bruyant
Modélisation des quadripôles bruyants par leur contrepartie non bruyante affublée de sources de bruits corrélées à l’entrée.
On démontre qu’il est possible d’obtenir un facteur de bruit minimal du quadripôle en mettant à son entrée, une admittance dite optimale. C’est aussi une adaptation tendant à diminuer le bruit à la sortie de l’élément.
IX-1-5- Mesure du facteur de bruit
113
Reprenons la formule de la puissance de bruit aux températures T 1 et T2 développé dans la partie IX-1-2 : N1 = kB T0 F∆f + kB (T1 - T0 )∆f. N2 = kB T0 F ∆f + kB (T2 - T0 )∆f. N1 / N2 = [kB T0 F ∆f + kB (T2 - T0 )∆f.]/[ kB T0 F∆f + kB (T1 - T0 )∆f.] si on pose γ = N1 / N2 F = [1/(γ -1)]. [ ((T2 - T0)/ T0 ) – (γ (T1 - T0)/ T0 )] Si T1 = T0 La mesure de F donne :
F = [1/(γ γ- 1)]. [ ((T2 - T0)/ T0 )] En pratique on utilise une diode de bruit comme générateur capable de fonctionner à deux températures. - Diode éteinte, elle se comporte comme une charge adaptée à la température ambiante, usuellement T 0. - Diode allumée, elle fournit un bruit blanc en excès important correspondant à une température TH élevée. Le fabriquant de source de bruit la caractérise par son ENR - Excess Noise Ratio qui est défini par : ENR = (TH −T0)/T0 et est très souvent spécifié en dB. Une valeur typique est ENR = 15 dB. 30 MHz Mélangeur Quadripôle A mesurer Diode de bruit
Amplificateur FI Partie HF
Mesure de puissance
114
Chapitre X – LES GUIDES D’ONDE X-1 Propagation dans le vide X-1-1 Equation de Maxwell Dans un milieu homogène et isotrope, contenant des charges et des courants, les équations de Maxwell s’écrivent : rot E
=
- µ ∂H / ∂t
rot H
=
ε ∂E / ∂t
div E
=
ρ / ε
(3)
div H
=
0
(4)
(1) + J (2)
X-1-2 Equation d’onde En particulier pour le vide, on a le vecteur densité de courant qui est nul et densité volumique de charge est nulle ; soit J = ρ = 0. Les équations 1 à 4 deviennent : rot E
=
- µo ∂H / ∂t
(1)
rot H
=
εo ∂E / ∂t
(2)
div E
=
0
(3)
div H
=
0
(4) 115
(2) rot(rot H )
=
εo ∂(rotE) / ∂t
(2) rot(rot H )
=
- µo εo ∂2 (rotH) / ∂t
(2) grad(divH) – div(grad H) = - µo εo ∂2 (rotH) / ∂t (2) div(grad H) - µo εo ∂2 (rotH) / ∂t = 0 (2) ∆H - µo εo ∂2 (H) / ∂t = 0 (5) ie
∆H - ∂2 (H) /c2 ∂t = 0 (5) X-1-3-Les Ondes planes Les ondes planes sont des solutions les plus simples de cette équation d’onde. Le champ électromagnétique d’une onde plane ne dépend que d’une variable spatiale, celle qui correspond à la direction de propagation. y
E = Ex(z,t) i H = Hy (z,t) j
j
E H k direction de propagation
i
k
z
x
Le vecteur densité de puissance électromagnétique S est transporté selon l’axe de propagation :
S = E H = E(z,t) H(z,t) i j = E(z,t) H(z,t) k Cette onde est plane est solution de l’équation
∂ 2 H / ∂ 2z – (1/c2)(∂ 2 H / ∂ 2t) = 0; équation de d’Alembert 116
⇒
∂ 2 Hy / ∂ 2z – (1/c2)(∂ 2 Hy / ∂ 2t) = 0 ; la solution est : Hy (z,t) = Hy0 cos[ω(t ± z/c)] ou Hy0 sin[ω(t ± z/c)]
et alors, Ex (z,t) = Ex0 cos[ω(t ± z/c)] ou Ex0 sin[ω(t ± z/c)]
Pour une constante z0 donnée, E et H forment un plan d’onde perpendiculaire à la direction de propagation. On démontre que Ex (z,t) = µ0cH K = ω /c = (2 πf/c) = (2π /Tc) = 2 π / λ k est le nombre d’ondes, grandeur proportionnelle au nombre d’oscillation qu’effectue une onde par unité de longueur. C’est aussi le nombre de longueurs d’onde présentes sur une distance de 2π. On lui associe un vecteur d’onde K = K.k Ex (z,t) = Ex0 sin(ωt ± kz) = µ0cH
ou Ex0 cos( ωt ± kz) =µ0cH
X-2- Propagation dans un guide X-2-1 – Description Un guide d’onde est conducteur creux métallique qui a la propriété de guider le champ électromagnétique selon sa composante longitudinale. Le comportement du champ électromagnétique dans le guide est complètement décrit par les équations de Maxwell. En effet, le champ électrique obéit à l’équation d’onde :
y
j 117
k
i
x
X-2-2 – Equation de Helmholtz Les solutions harmoniques sont de la forme ;
E = i.Ex0 exp(-j(ωt).E(r)
∂E / ∂t2 = - ω2E L’équation d’onde devient (∆ + (ω2 /c2) E = 0 En posant k0 = ω /c, et E = ∑ Ei.ei (∆ + k02) E = 0 (6), c’est l’équation de Helmholtz et (∆ + k02) (Ei.ei) = 0 ∀ i ∈{1, 2, 3} Ce qui équivaut à (∆ + k02) Ei = 0 ∀ i ∈{x, y, z} . (∂2 / ∂x2 + ∂2 / ∂y2 + ∂2 / ∂z2) Ei + k02 Ei . C’est l’équation de Helmholtz scalaire
X-2-3 – Résolution de l’équation de Helmholtz par la méthode de séparation des variables : Ei . (x, y, z) = X i (x). Y i (y).Z i (z) (∆ + k02) X i (x). Y i (y).Z i (z) = 0 ∀ i ∈{1, 2, 3} . 118
Y i (y).Z i (z) (∂2X i / ∂x2) + X i (x).Z i (z) (∂2Y i / ∂y2) + Y i (y).X i (x) (∂2Z i / ∂z2) + k02 X i (x).Y i (y).Z i (z) = 0 En divisant par cette égalité par le produit X i (x). Y i (y).Z i (z), on obtient: X’’i (x) / X i(x) + Y’’i (y) / Y i(y) + Z’’i (z) / Z i(z) + k02 = 0 La somme des trois fonctions indépendantes est une constante si les trois fonctions sont constante chacune. On a alors : X’’i (x) / X i(x) = - k x2 Y’’i (y) / Y i(y) = - ky2
⇒ kx2 + ky2 + kz2 = k02 ;
Z’’i (z) / Z i(z) = - kz2 c’est l’équation de dispersion X’’i (x) / X i(x) = - k x2 Y’’i (y) / Y i(y) = - ky2
X’’i (x) + X i(x)kx2 = 0 ⇒
Z’’i (z) / Z i(z) = - kz2
Y’’i (y) + Y i(y)ky2 = 0 Z’’i (z) + Z i(z)kz2 = 0
X i(x) = a exp(-jkx x) + b exp(jkx x) Y i(y) = a’ exp(-jky y) + b’ exp(jky y) Z i(z) = a’’ exp(-jkz z) + b’’ exp(jkz z) Si dans le guide on veut que la propagation se fasse selon l’axe (oz), et bien, en revenant sur l’équation de dispersion, on tire l’expression de kz qui doit être un réel, soit, kz = √k02 - (kx2 + ky2) En posant (kx2 + ky2) = kc2 = (ωc /c)2 kz = √k02 - kc2
=
√(ω /c)2 - (ωc /c)2 réel donc il faut que ω ≥ ωc 119
ωc est la pulsation de coupure du guide, soit une fréquence de coupure f c = ωc /2π kz = (ω /c)√ 1- (ωc / ω)2 kz est une fonction de la fréquence, ce qui témoigne de la dispersion.
La vitesse de phase s’écrit : Vph (ω) = ω /kz = c / √ 1- (ωc / ω)2 Cette vitesse est supérieure à la vitesse de la lumière
La vitesse de groupe s’écrit : Vgr ( ω) = dω /dkz Or, dkz /dω = d (c / √ 1- (ωc / ω)2) /d ω = 1/(c √ 1- (ωc / ω)2) Vgr ( ω)= c √ 1- (ωc / ω)2 Ainsi le produit V gr (ω)Vph (ω) = c2
120
X-2-4 - GUIDE D’ONDES RECTANGULAIRES X-2-4-1 - HYPOTHESES
Figure 1 Nous supposerons un guide de section rectangulaire (Figure 1) dont la paroi est supposée parfaitement conductrice. Il est rempli d'un matériau isotrope et sans perte caractérisé par sa permittivité et sa perméabilité : ε, µ L'onde se propage dans la direction z
A = A (x, y).e j(ωt - γ z)
(1)
Les conditions aux limites sur le champ électrique sont : Ex (y = 0) = 0
Ex (y = b) = 0
Ey (x = 0) = 0
Ey (x = a) = 0
(2)
121
Nous avons montré qu'on ne peut propager une onde TEM dans un guide d'onde, S'il existe une solution de propagation, les composantes longitudinales du champ sont donc différentes de 0. Elles obéissent aux équations de Maxwell :
rot(H) = ε∂E/ ∂t
et
rot(E) = - µ∂H/ ∂t (3)
rot(E) s’exprime comme il suit :
∂ / ∂x Ex ∂ / ∂y Ey ∂ / ∂z Ez
ux uy uz
= ux(∂Ez / ∂y - ∂ Ey / ∂z) - uy(∂Ez / ∂x - ∂ Ex / ∂z) + uz (∂Ey / ∂x - ∂ Ex / ∂y)
rot(E) = ux(∂Ez / ∂y - ∂ Ey / ∂z) - uy(∂Ez / ∂x - ∂ Ex / ∂z) + uz (∂Ey / ∂x - ∂ Ex / ∂y) Les solutions Ex Ey Ez étant de la forme A = A (x, y).e jωt - γ z
(1)
rot(E) = ux(∂Ez / ∂y - γ Ey) - uy(∂Ez / ∂x - γ Ex) + uz (∂Ey / ∂x - ∂ Ex / ∂y), aussi, on a : - µ∂H/ ∂t = - jµωH, soit l’égalité
ux(∂Ez / ∂y + γ Ey) - uy(∂Ez / ∂x + γ Ex) + uz (∂Ey / ∂x - ∂ Ex / ∂y) = - jµω(uxHx + uyHy + uzHz) On en déduit les équations suivantes :
(∂Ez / ∂y + γ Ey) = - jµωHx (4) - (∂Ez / ∂x + γ Ex) = - jµωHy
(5)
(∂Ey / ∂x - ∂ Ex / ∂y) = - jµωHz (6) De la même façon, on établit :
(∂Hz / ∂y + γ Hy) = jεωEx (7) - (∂Hz / ∂x + γ Hx) = jεωEy (8) 122
(∂Hy / ∂x - ∂Hx / ∂y) = jεωEz
(9)
Posons :
γ 02 = εµω2
(10)
Exprimons toutes les composantes du champ EM en fonction de Ez et de Hz A partir de 5 et 7 on peut facilement déterminer :
- (∂Ez / ∂x + γ Ex) = - jµωHy
(5)
(∂Hz / ∂y + γ Hy) = jεωEx (7) ⇒ (∂Hz / ∂y - jεωEx) = - γ Hy = - γ (∂Ez / ∂x + γ Ex)/( jµω) (jµω)(∂Hz / ∂y) + µεω2 Ex) = γ Hy = - γ∂Ez / ∂x - γ 2 Ex) (jµω)(∂Hz / ∂y) + γ∂Ez / ∂x = - (γ 2 + γ 02)Ex Ex = - [γ /(γ 2 + γ 02)][(jµω / γ) (∂Hz / ∂y) + ∂Ez / ∂x]
(11)
Aussi, Hy = - [γ /(γ 2 + γ 02)][(jεω / γ )(∂Ez / ∂x) + ∂Hz / ∂y]
(12)
De même, en utilisant les équations (4) et (9), on établir : Hx = [γ /(γ 2 + γ 02)][(jεω / γ )(∂Ez / ∂y) - ∂Hz / ∂x] (13) Ey = [γ /(γ 2 + γ 02)][(jµω / γ )(∂Hz / ∂x) - ∂Ez / ∂y] (14) Par ailleurs, Ez et Hz doivent être solution de l'équation de Helmoltz. Au lieu de résoudre le cas général, nous allons utiliser le principe de superposition et décomposer le problème général en deux. Pour cela, nous allons chercher une solution pour une onde transverse électrique (TE) c'est à dire avec une composante Ez = 0 et une solution en onde transverse magnétique (TM) correspondant à une composante Hz = 0. La solution générale étant la somme des solutions TE et TM.
123
X-2-4-2 - ONDES TRANSVERSES TE Une onde TE est caractérisée par : Ez = 0
(15)
Pour calculer Hz nous devons résoudre l'équation de Helmoltz pour cette composante soit : (∆ + k02) Hz = 0 c'est-à-dire
∂2 Hz / ∂x2 + ∂2 Hz / ∂y2 + ∂2 Hz / ∂z2 + k02Hz = 0 où k0 = ω√µε , or ce qui donne :
∂2 Hz / ∂x2 + ∂2 Hz / ∂y2 + ∂2 Hz / ∂z2 + ω2µεHz = 0 ⇒ ∂2Hz / ∂x2 + ∂2 Hz / ∂y2 + (γ 2 + γ 02)Hz
(16)
Compte tenu de la forme rectangulaire du guide d'onde nous allons chercher une solution de la forme : Hz(x,y) = f(x).g(y) e j(ωt - γ z)
(17)
Ce qui reporté dans l'équation (16) donne : g(y)∂2f(x)/ ∂x2 + f(x)∂2g(y)/ ∂y2 + (γ 2 + γ 02)f(x)g(x) = 0
(18)
que l'on peut écrire : [1/f(y)]∂2f(x)/ ∂x2 + [1/g(y)]∂2g(y)/ ∂y2 + (γ 2 + γ 02) = 0
(19)
Posons : (γ 2 + γ 02) = γ c2
(20)
il vient : [1/f(y)]∂2f(x)/ ∂x2 + [1/g(y)]∂2g(y)/ ∂y2 + γ c2 = 0
(21)
Nous pouvons trouver une condition suffisante pour que (21) soit réalisé qui s’écrit : 124
(p2 + q2) = γ c2
(22)
et [1/f(y)]∂2f(x)/ ∂x2 + p2 = 0 et [1/g(y)]∂2g(y)/ ∂y2 + q2 = 0
(23)
dont les solutions sont : f(x) = A.sin(px) + B.cos(px) et g(y) = C.sin(qy) + D.cos(qy)
(24)
Nous devons maintenant déterminer les constantes d'intégrations A, B,C,D, p et q. En reportant les valeurs de f(x) et g(x) dans les expressions 11de E x et 14 de Ey, on obtient : Ex = [- jµωq/ γ c2] [A.sin(px) + B.cos(px)][ C.cos(qy) - D.sin(qy)] e j(ωt - γ z)
(25)
Ey = [jµωp/ γ c2] [A.cos(px) - B.sin(px)][ C.sin(qy) + D.cos(qy)] e j(ωt - γ z)
(26)
Les conditions aux limites imposent que les composantes tangentielles du champ électrique doivent être nulles sur les parois conductrices du guide d'onde, ce qui donne : - Pour Ex
Ex (y = 0) = 0 ce qui donne : C = 0
(27)
et Ex (y = b) = 0 ce qui donne : sin(qb) = 0, soit q = n π
/b
avec n entier (28) - Pour Ey Ey (x = 0) = 0 ce qui donne : A = 0
(29)
et Ey (x = a) = 0 ce qui donne : sin(pa) = 0 c’est dire p = m π
/a
(30) 125
avec m entier
(31)
En reportant toutes ces valeurs dans les expressions des composantes du champ EM, on obtient : Ex = B.D[jµωnπ /bγ c2] [cos(mπx/a)][sin(nπy/b)] e j(ωt - γ z)
(32)
Ey = -B.D[jµωm/ γ c2] [sin(mπx/a)][cos(nπy/b)] e j(ωt - γ z)
(33)
Ez = 0
(34)
En reprenant les équations 12 et 13 Hx = BD (γ mπ /aγ c2) BD.sin(mπx/a).cos(nπy/b) e j(ωt - γ z) Hy = BD (γ nπ /bγ c2).cos(mπx/a).sin(nπy/b) e j(ωt - γ z)
(35) (36)
Hz = BD cos(mπx/a). cos(nπy/b) e j(ωt - γ z)
(37)
avec :
γ c2 = p2 + q2
(38)
que l'on peut écrire : (2π / λc)2 = (mπ /a)2 + (nπ /b)2 (1/ λc)2 = (m/2a)2 + (n/2b)2
(39)
Pour que la propagation se fasse sans pertes, Il faut que
λ0 > λc soit : γ 0 < γ c
(40) (41)
avec la relation : 1/ λ02 = 1/ λc2 + 1/ λ2 ; ceci vient de l’équation de dispersion
(42)
Dans cette expression : 126
λ0 dépend de la fréquence de la source λ est la longueur d'onde à l'intérieur du guide λc est la longueur d'onde de coupure qui dépend des dimensions du guide comme le montre l'expression (39)
X-2-4-3 - Ondes Transverses Magnétiques Hz = 0
(43)
les composantes du champ EM s'écrivent : Ex = (-jγ mπ /aλc2)E0 Cos (mπx/a).Sin (nπy/b) e j(ωt - γ z)
(44)
Ey = (-jγ nπ /bλc2)E0 Sin(mπx/a).cos(nπy/b) e j(ωt - γ z)
(45)
Ez = E0 Sin(mπx/a).Sin(nπy/b) e j(ωt - γ z)
(46)
Hx = (jωεnπ /bλc2)E0 Sin(mπx/a).Cos(nπy/b) e j(ωt - γ z)
(47)
Hy = (- j ωεmπ /aλc2)E0 cos(mπx/a).Sin(nπy/b) e j(ωt - γ z)
(48)
Hy = 0 avec la relation : (1/ λc)2 = (m/2a)2 + (n/2b)2
(50)
Pour que la propagation se fasse sans pertes, il faut que :
λ0 < λc
(51)
soit :
γ 0 < γ c
(52)
avec la relation : 1/ λ02 = 1/ λc2 + 1/ λ2 ; ceci vient de l’équation de dispersion
(53)
X-2-4-4 - Etudes des modes de propagations 127
Les modes de propagations sont définis par les valeurs des entiers m et n qui définissent la longueur d'onde de coupure (50) on défini ainsi les modes TEmn et TMmn. Etudions les différentes solutions en fonction des valeurs de m et de n. m=n=0 Les expressions des composantes des champs TE et TM montrent qu'elles sont nulles. Il n'y a donc pas de propagation possible des modes TE00 et TM00. m = 0 et n = 1 Dans ce cas la longueur d'onde coupure tirée de 50 est égale à :
λc01 = 2b
(54)
Les expressions 44 à 48 montrent que toutes les composantes de l'onde TM01 sont nulles. Seules une onde TE01 est possible. m = 1 et n = 0 Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 50 est égale à :
λc10 = 2a
(55)
Les expressions 44 à 48 montrent que toutes les composantes de l'onde TM10 sont nulles. Seules une onde TE10 est possible. m = 1 et n = 1 Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 50 est égale à :
λc11 = 1/ [√(1/2a)2 + (1/2b)2 ]
(56)
Les deux modes TE11 et TM11 sont possibles m et n différents de 0 et 1 Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 50 est égale à : Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 50 est égale à :
λcmn = 1/ [√(m/2a)2 + (n/2b)2 ]
(57) 128
Les deux modes TEmn et TMmn sont possibles. On peut donc représenter sur un graphique les différents modes de propagation en fonction de la longueur d'onde de l'émetteur.
x
TE01 TE10 TE11 & TM11
λc11
λc10 = 2a
λc01 = 2b
λ0
Figure 2
Ainsi, pour une longueur d'onde λ0 telle que
λc10 = 2a < λ0 < λc01 = 2b
(58)
Seul le mode TE01 peut se propager, c'est une propagation monomode. On appelle ce mode le mode dominant. C'est dans cette gamme de longueur d'onde que l'on utilisera le guide rectangulaire. Pour 129
λ0 < λc10 = 2a
(59)
Plusieurs modes sont susceptibles de se propager, c'est une propagation multi mode. Etude du mode dominant TE01 Il est caractérisé par m=0 et n=1 et une longueur d'onde de coupure égale à
λc01 = 2b
(60)
Dans ces conditions, les expressions 32 à 37 permettent de déterminer les valeurs des composantes du champ EM et si on pose : H 0 = B.D
Ex = H0 [jµωπ /bγ c2][sin(πy/b)] e j(ωt - γ z)
(61)
Ey = 0
(62)
Ez = 0
(63)
Hx = 0
(64)
Hy = H0(γπ /bγ c2).sin(πy/b) e j(ωt - γ z)
(65)
Hz = H0Cos(πy/b) e j(ωt - γ z)
(66)
On voit que le champ électrique est maximum au centre du guide
X-2-4-5 - Puissance de l’onde transportée par le mode TE 01 La puissance se calcule par le flux du vecteur de densité de puissance :
pz = (1/2)( E ∧ H*) = (1/2)( ExHy*) ux ∧ uy + (1/2)( ExHz*) ux ∧ uz pz = (1/2)( E ∧ H*) = - (1/2)( ExHy*) uz + (1/2)( ExHz*) uy où Ex , Hy et Hz sont donnés par (61), (65) et (66) soit :
pz = - (1/2){ H02 [jµγωπ2 /b2γ c4][sin2(πy/b)] } uz + 130
(1/2)(H02 [jµωπ /bγ c2][Sin(πy/b)Cos(πy/b)]uy
(67)
En posant, E0 = H0 [jµωπ /bγ c2] c'est-à-dire - E02 /[µ2ω2π2 /b2γ c4] = H02;
γ = jβ (guide sans perte) = j2π / λ ; γ c = 2π / λc ; λc = 2b ; E 0 /H0 = √µ / ε et en remarquant que
L’intégrale de Sin(πy/b)Cos(πy/b) pour y allant de 0 à b est nulle,
pz = (1/2){E02 [√µ / ε][sin2(πy/b)]( λ0 / λ) } uz + N(y) uy
(68)
où N(y) est une fonction dont l’intégrale sur [0, b] est nulle La puissance transportée se détermine en intégrant la densité de puissance à toute la surface du guide, soit :
a P = (1/2){ ( λ0 / λ) E02 [√µ / ε]
[∫ 0
b ∫sin2(πy/b)] dxdy} ; soit 0
P = (1/2){ ( λ0 / λ) E02 (√µ / ε )ab (69)
Exemple pour un guide rectangulaire travaillant en bande X à 10 Ghz, la puissance est limitée par le champ électrique que peut supporter le guide en son centre, dans le cas d'un guide rempli d'air sec, ce champ est de 10 000V/cm. On donne :
µ = 4π10-7 ; λ longueur d’onde du guide = 3,1 µm, λ0 =longueur d’onde de la source 3 µm
ε = 1/36π109 Les guides d'ondes peuvent donc transporter des puissances EM très importantes, cela d'autant plus que les dimensions du guide sont grandes ce qui correspond à des fréquences d'utilisation plus basses.
Bandes de fréquence micro – ondes 131
