COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA
SEMANA 02: ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA-SISTEMA DE ECUACIONES CUADRÁTICA Y APLICACIONES Estimado estudiante te invitamos a disfrutar de los recursos didácticos que hemos dispuesto para facilitar tu aprendizaje En el siguiente link se encuentra alojado el video de c lase de ecuaciones cuadráticas Para comprobar su respuesta puede descargar el software Matemática Mircrosoft que se encuentra alojado
en el siguiente link:
La próxima sesión de clase se estará evaluando un problema de la hoja de trabajo
1. Sea la función y = X 2 – 6X +5, crear su respectiva gráfica SOLUCIÓN : Determinamos los coeficientes:
Encontramos el vértice de la parábola
( , ) , ,
a=1 b = -6 c=5
Calcular los puntos de corte con el eje de abscisas X2 – 6x + 5=0
= ±√
= – = 1
= – = 5
Entonces los puntos puntos de corte con la abscisa: (5, 0) y (1, 0) El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, 5).
Tabulando los valores
X -2 -1 0 1 2
Y 21 12 5 0 -3
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2. Hallar la ecuación de la parábola con foco (5,3) y directriz con la recta x= - 1 SOLUCIÓN : Foco (5,3)
Vértice (2,3)
Eje Foco
3
P=3 6
Directriz
Nota: Por definición El vértice se ubica a una distancia intermedia entre el foco la directriz Encontramos la ecuación de la parábola
(y - k)2 = 4p( x – h ) Tomando los datos obtenidos en la imagen
V(h,k) V(2,3); P = 3 Reemplazamos
(y - 3)2 = 4(3)( x – 2 )
Obtenemos La ecuación general de la parábola
La ecuación ordinaria de la parábola
y2 -6y +9 = 12x – 24 y2 -12x -6y +33=0
(y - 3)2 = 4(3)( x – 2 )
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3. Sea f
( x ) = x 2 + 3x + 5 , determinar si posee intersecciones con el eje x
SOLUCIÓN : Determinamos los coeficientes a=1 b=3 c=5
Discriminante
Discriminate de la ecuación
∆= 4 ∆= 3 415 ∆>0: 2 ∆=0: 2 ∆=920=11 ∆< 0: 2 ∴∄ b
2
4ac
4. Determine y dibuje el vértice y el eje de simetría de la función, f(x) = -x² - 4x + 5; haga un esbozo de su gráfico apoyándose en una tabla de valores. Determinamos los coeficientes
a = -1 b = -4 c=5
Eje de simetría
Gráfica
( , )
= 2 = 4 21 =2
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Vértice
,
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Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Cuadrático 1. Jorge, un joven malabarista, lanza hacia arriba tres pelotas, cada una de ellas se desplaza siguiendo una trayectoria que cumple con la gráfica de la función cuadrática de la forma:
= 12 +96+100 Donde f ( x ) representa la altura (en centímetros) alcanzada por las pelotas al cabo de x segundos de transcurrido el lanzamiento.
Resolver: a) ¿Cuánto tiempo tarda una pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza cada pelota? c) ¿Qué altura alcanza una pelota transcurridos dos y seis segundos desde su lanzamiento? d) Complete la siguiente tabla con la altura de la pelota en cada instante indicado:
SOLUCIÓN : a) ¿Cuánto tiempo tarda una pelota en alcanzar su altura máxima? El tiempo que tarda una pelota en alcanzar su altura máxima lo entrega la coordenada x del vértice de la función Coeficientes a = -12 b = 96
Ecuación del vértice − = − =
= −
El tiempo que tarda una pelota en alcanzar su altura máxima es de 4 seg.
c = 100
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza cada pelota? Para determinar la altura máxima que alcanzará cada pelota, debemos encontrar los coeficientes de la función, de esta manera podremos hallar el vértice, el mismo que se constituye en la respuesta: Coeficientes a = -12 b = 96 c = 100
−
− ,
V(
,
Ecuación del vértice
− , −− − −
La altura máxima está dada por la coordenada y =292 cm
c) ¿Qué altura alcanza una pelota transcurridos dos y seis segundos desde su lanzamiento? Tabulando x 2 244 6 244
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Ecuación del vértice La altura máxima de una pelota, transcurrido 2 y se segundos, es de 244 cm.
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2. La escudería Ferrari, ha identificado que, el rendimiento de combustible de un automóvil se obtiene de acuerdo a la velocidad con la que se desplaza. Si x representa la velocidad medida en kilómetros por hora (km/h), el rendimiento está dado por la función:
= + , < < Resolver: a) Completar la siguiente tabla de rendimiento: ) .R(x)
20
40
60
80
100
b) ¿A qué velocidad se obtiene el máximo rendimiento?
=
=
= /
c) ¿Cuál es el máximo rendimiento?
+ ( ) → =
( )→=.
d) Graficar la parábola que modela la situación.
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3. Un contador determina que el ingreso mensual I, en soles, que obtiene un relojero con experiencia, por la reparación de un número x de relojes, está dado por la función ingreso: I ( x ) = 2000x - 50x 2 a) Determine cuántos relojes se deben reparar para obtener el ingreso máximo quincenal. Determinamos los coeficientes a = -50 b = 2000 c=0
Discriminante
Discriminate de la ecuación
∆= 4 ∆=2000 4500 ∆>0: 2 ∆=0: 2 ∆=4´000.000 ∆< 0: 2 ∴∆>0 b
2
=
4ac
− = = −
∴ 20 á
b) ¿Cuál será el ingreso máximo mensual?
=
=
∴ á á 20,000 c) Graficar la parábola que modela la situación
4.
Durante una exhibición, una avioneta debe realizar una maniobra de “vuelo rasante”, la cual debe iniciar
a una cierta altura h0. La función que describe la altura h que alcanza la avioneta (en metros) a los x segundos de haber comenzado la maniobra está dada, por la expresión:
=. +, ≤ ≤ El piloto sabe que no corre riesgo de tocar el suelo si comienza la maniobra a una altura mayor de cierto valor. Indique cuál es esa altura mínima a partir de la cual debe iniciar la maniobra.
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Determinamos los coeficientes a = 0,5 b = -6 c = h0
La coordenada x del vértice está dada por:
= = → = . ∴ , á á
La coordenada
del vértice está dada por:
= ,∗ + = + = í → =; = ∴ í 5. El tiempo (en minutos) de reacción, f(x), de una plaga de insectos al contacto con un plaguicida está descrita por la función: f ( x ) = x ( 9 - x ), donde x es la cantidad de insecticida en mg/l (0 < x < 9, se debe usar menos de 9 mg/l de insecticida debido a los costos). a) ¿Con cuánta cantidad de plaguicida se obtiene el tiempo optimo para la reacción? b) ¿Cual es el tiempo optimo para la reacción?
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6. Bajo ciertas condiciones, una compañía encuentra que la utilidad diaria en miles de dólares al producir x artículos de cierto tipo está dada por: U ( x ) = -x2 + 1000x a) ¿Cuál es la máxima utilidad? U ( x ) = -x 2 + 1000x
-5002 +
1000(500) = 250,000
De la solución b, tenemos que la cantidad de productos a vender debe ser 500, por lo que l a utilidada máxima sería de 250500 b) ¿Cuántos artículos deben fabricar en la compañía para que la utilidad sea igual a cero? Determinamos los coeficientes a = -1 b = 1000 c=0
Determinamos el vértice
, , ,
La empresa deberá vender 500 artículos, para obtener la ganancia máxima
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