HORMIGON I-Tema 7 Análisis y Diseño a Torsión.

1

Instituto de Mecánica Estructural y Riesgo Sísmico

HORMIGÓN I Unidad 7:

ANÁLISIS Y DISEÑO A TORSIÓN

Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

2

CONTENIDO. 7.1. INTRODUCCIÓN. 7.2. TORSIÓN POR EQULIBRIO Y POR COMPATIBILIDAD. 7.3 HORMIGÓN SIMPLE SOMETIDO A TORSIÓN. 7.3.1 COMPORTAMIENTO ELÁSTICO. 7.3.2 COMPORTAMIENTO PLÁSTICO. 7.4 TORSIÓN EN ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO. 7.5 TORSIÓN Y CORTE. 7.6 ARMADURAS MÍNIMAS. 7.6.1 ARMADURA TRANSVERSAL. 7.6.2 ARMADURA LONGITUDINAL. 7.7 DETERMINACIÓN DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO T U  U.   CRITERIO DE DIFERENTES NORMAS. 7.7.1 TORSIÓN POR EQUILIBRIO. ACI-318-05 7.7.2 TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD. ACI-318-05 7.7.3 TORSIÓN POR EQUILIBRIO. NZS-3101 7.7.4 TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD. NZS-3101 7.7.5 PREVISIONES ADICIONALES DEL CIRSOC 201-2005. 7.8 TORSIÓN CRÍTICA. 7.9 RIGIDEZ A TORSIÓN. 7.10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN. 7.11 REFERENCIAS.

7.12. Apéndice: ejemplo de Torsión por Compatibilidad.

Filename T7-Torsión.doc Páginas

Emisión original Marzo 2004 44

Revisión 1 Enero 2006 51

Revisión 2 Octubre 2007 51

Revisión 3 Diciembre 2008 57

Observaciones

3

7.1. INTRODUCCIÓN. La torsión en estructuras de hormigón armado aparece generalmente debido a la continuidad entre sus elementos componentes. La situación más común en las estructuras es la presencia de momentos flectores, fuerzas de corte y axiales. Sin embargo, hay casos en que se pueden presentar fuerzas de torsión que intentan torcer el elemento con respecto a su eje longitudinal. La existencia de torsión pura es extremadamente rara ya que generalmente está combinada con momentos flectores, esfuerzos de corte y esfuerzos axiales. Por muchos años los efectos de torsión fueron ignorados en el diseño. Como se verá más adelante, en algunos casos es justificado, pero no en otros. Se tomaba a la torsión como una acción secundaria y en general no era tenida en cuenta en el diseño; su influencia era absorbida por el factor de seguridad global de las estructuras diseñadas a otros esfuerzos muy conservadoramente. Sin embargo, años posteriores surgió la necesidad de considerar la torsión porque por un lado los métodos más sofisticados de análisis permitían estructuras más livianas, menos conservadoras y por lo tanto con menor coeficiente de seguridad global; por otro lado se incrementó el uso de elementos estructurales en los cuales la torsión jugaba un rol principal en la respuesta ante las acciones, como es el caso de vigas de puentes curvos, vigas cargadas excéntricamente, estructuras prefabricadas sin continuidad para redistribución de esfuerzos, balcones, losas helicoidales, etc. A partir de los años 60 se comenzó a dar impulso en la investigación del comportamiento de elementos a torsión y la primera recopilación se materializó en un simposio organizado por el American Concrete Institute, ACI, en el año 1968. Las primeras previsiones de código para torsión aparecieron en el ACI en la versión 1971. Los procedimientos para abordar el problema de la torsión permanecieron prácticamente invariables hasta la versión del año 1989. En esta generación de códigos, la torsión cubría sólo a las estructuras de hormigón armado no pretensado. El procedimiento para diseño y análisis a torsión era similar al aplicado a corte. La resistencia a torsión consistía en una contribución por parte del hormigón, designada como T c c , y otra debido a los estribos y armadura longitudinal, designada como T s s , que estaba basada en la analogía del reticulado con diagonales a 45   grados. Ver por ejemplo, ref. [1], ACI-318-83. Las previsiones para torsión fueron completamente revisadas en la versión del ACI-1995. El nuevo procedimiento, tanto para secciones macizas como huecas, está basado en la analogía del reticulado espacial aplicado a tubos de pared delgada, ya que como se verá luego, la porción central de una viga sólida puede ser conservadoramente ignorada en el proceso de diseño. Las suposiciones son apoyadas por resultados de ensayos. El método se aplica tanto a hormigón armado como a hormigón pretensado. 7.2. TORSIÓN POR EQULIBRIO Y POR COMPATIBILIDAD. Los esfuerzos de torsión pueden aparecer como el resultado de acciones primarias o secundarias. El caso de torsión primaria aparece cuando la carga externa no tiene otra alternativa que ser resistida por esfuerzos de torsión. En tales

4

casos la torsión, que es requerida inevitablemente para mantener el equilibrio, puede ser determinada en forma unívoca mediante el sólo uso de las condiciones de equilibrio estático. Esta situación se conoce como de torsión por equilibrio . La torsión en este caso se transforma en un problema de resistencia puesto que la estructura o sus componentes colapsarán si no se suministra la adecuada resistencia a torsión. La Fig.7.1(a) muestra un caso típico donde la viga empotrada está sometida, además de flexión y corte, a torsión que le es transferida por el momento de flexión de la viga perpendicular sometida a la carga de punta P . El momento flector M= P.a  de  de la viga cargada se transforma directamente en momento torsor T= P.a  en   en la viga empotrada. La viga cargada además está sometida a corte V= P , y la viga empotrada a momento flector M= P.l , y a cortante V= P . Si el empotramiento no fuera capaz de restringir esa torsión, y/o la viga no resiste a torsión, el colapso es inevitable.

Fig. 7.1(a) Ejemplo de torsión por equilibrio: voladizo cargado excéntricamente 

La Fig.7.1(b) muestra otro caso muy típico de torsión por equilibrio donde la flexión de la losa en voladizo se transforma en torsión de su viga soporte la cual en sus apoyos debe contar con restricción a torsión y por otro lado resistir tanto torsión como flexión. El momento de torsión en los extremos de la viga induce momentos flectores del mismo valor en las columnas. Note que en dicha figura para que el efecto sea estrictamente de torsión primaria, la losa debe estar en voladizo, es decir su único apoyo debe ser la viga de borde indicada, por lo que el momento m E    de la E  de losa, por unidad de longitud, en su apoyo no puede ser nulo. No hay posibilidades de redistribuir o ignorar los momentos de torsión inducidos en la viga de borde. El momento torsor máximo en los extremos de la viga, o cara de la columna, es igual al momento T=(m E  /m) xL/2, (M T     en la figura) siendo L la luz libre de la viga. El T en momento torsor a lo largo de la viga varía, con valor máximo en los apoyos y nulo en el centro. Esto se puede visualizar si se toma a la viga de borde como un cuerpo libre y se sigue el camino inverso de las cargas: supóngase que, por ejemplo, la flexión de la columna de la izquierda, de valor M B  B , es ahora la que produce torsión de la misma intensidad T , y con sentido de giro anti-horario en la cara que se ve de la viga. A su vez, sección a sección, hacia el interior de la viga, la flexión de la losa va induciendo momentos torsores por cada metro, (m E  que se van oponiendo al E /m)   torsor del apoyo, T , ya que son en sentido horario, y lo hacen disminuir hasta anularlo en el centro de la viga. Como la flexión sigue en la viga de borde hacia el apoyo más alejado, ahora se comienza a acumular torsión en sentido contrario la que aumenta hasta un máximo M B  B   en el apoyo coincidente con la columna. Ésta

5

reaccionará con un torsor de igual valor y sentido contrario, nuevamente anti-horario. Se deja al alumno la deducción de cómo serían los esfuerzos de torsión en la viga de borde si la losa hipotéticamente estuviera desconectada en todo el borde de la viga excepto en el centro de la misma, donde transmite toda la flexión y el corte.

Fig.7.1(b) Ejemplo de torsión primaria: viga de borde que soporta un entrepiso.

La Fig.7.2, de ref. [2], muestra en (a) y (b) dos casos también muy frecuentes de encontrar en la práctica, siendo el tercero en (c) análogo al presentado en la Fig.7.1(b). Todos corresponden a torsión primaria.

Fig.7.2 Tres nuevos ejemplos de torsión primaria o por equilibrio.

En estructuras estáticamente indeterminadas, se genera torsión como acción secundaria para satisfacer los requerimientos de compatibilidad o continuidad estructural. El no considerar tal continuidad en el diseño puede conducir a una cantidad y ancho de fisuras excesivas, pero no tendría otras serias consecuencias como el colapso. La Fig.7.3 muestra claramente cómo se pasa de torsión por

6

equilibrio en el caso (a) a torsión por compatibilidad del caso (b), al tener la losa en su borde A la posibilidad de redistribuir los momentos negativos de apoyo hacia el centro por existir un apoyo adicional en la línea B, es decir que se tiene más de una alternativa para el equilibrio. El caso típico de la Fig.7.3(b) muestra la losa monolítica de hormigón armado y si la viga es rígida a torsión y está reforzada adecuadamente, y si las columnas pueden suministrar el momento resistente a flexión inducido por torsión de la viga, los momentos en la losa en su borde de apoyo serán aproximadamente los que corresponden a apoyo exterior rígido, con cierto valor que se esquematiza en la Fig.7.3(c). Sin embargo, si la viga tiene una rigidez baja a torsión y no está armada en forma apropiada para este efecto, se produce fisuración, se reduce aún más su rigidez al giro de la sección transversal y los momentos de borde de la losa disminuyen notablemente, aproximándose a los de un borde articulado, como lo muestra la Fig.7.3(d). Diseñando la losa para la situación de momentos redistribuidos evitará el colapso de la estructura.

Fig. 7.3 Efectos de torsión en hormigón armado. (a) torsión primaria en viga por descarga de losa en voladizo. (b) torsión secundaria o de compatibilidad en viga de borde de entrepiso. (c) momentos en las losas si la viga de borde es rígida a torsión (d) momentos en las losas si la viga de borde es flexible a torsión.

En la torsión inducida por equilibrio, la magnitud del momento torsor es generalmente independiente de la rigidez a torsión, pero en la torsión inducida por compatibilidad el momento torsor resultante depende directamente de la rigidez. La Fig.7.4 muestra en forma simultánea casos de torsión por equilibrio y compatibilidad, cuando una porción de un puente está sometido a acciones sísmicas. En el caso (a), por respuesta longitudinal, la columna fuera de la placa del puente que está unida monolíticamente a la viga transversal se espera que desarrolle rótulas plásticas de flexión en su cabeza y pié. El momento flector en la cabeza de la columna llevado al eje longitudinal de la viga debe ser equilibrado por el momento torsor de la viga de igual magnitud. En este caso, un diseño por capacidad requiere que el momento torsor resistente de la viga debe mayor que la torsión que

7

corresponde al desarrollo de la capacidad plástica de la columna a flexión en esa sección. A menos que esa línea estructural del puente sea estabilizada por otras líneas transversales adyacentes que resistan el sismo longitudinal, la resistencia a torsión de la viga es indispensable para mantener el equilibrio. Esto es torsión por equilibrio. Si se incluyen líneas resistentes alternativas para el sismo longitudinal, no sería necesaria la torsión de equilibrio, pero a la vez, la falta de resistencia a torsión llevaría a una reducción de los momentos de flexión en los extremos de las columnas, lo cual haría que en definitiva no se produjeran los momentos plásticos en extremos de columnas. Fig. 7.4 Torsión por equilibrio y por compatibilidad en puentes bajo acción sísmica.

El mismo ejemplo induce torsión de compatibilidad en las columnas. Debido a la deformación de flexión que la viga soporta por el corte necesario para inducir flexión en las columnas, la columna sufre giro alrededor de su eje longitudinal, es decir se tuerce, aparece torsión. La magnitud de ese momento torsor dependerá de la rigidez a torsión de la columna. Si esta es nula, el momento torsor será cero. De hecho, con rótulas plásticas en extremos de columna, la rigidez a torsión será muy baja y los requerimientos para una respuesta adecuada serán la habilidad de las articulaciones plásticas de las columnas desarrollando una respuesta dúctil mientras sobrellevan rotaciones torsionales mínimas. La Fig.7.5 muestra un caso real de construcción similar al esquema de Fig.7.4(a), y corresponde a un tramo del puente China Basin, viaducto I-280, que sufrió daños durante el terremoto de Loma Prieta, 17 de Octubre de1989, California, por lo que en la figura aparece apuntalado hasta su reparación. El caso de Fig. 7.4(b) muestra otro ejemplo de torsión por compatibilidad ante acciones horizontales inducidas en la porción de puente limitada por juntas de movimiento. La superestructura cuenta con una columna corta y otra larga. Se supone que está sometida a sismo transversal al eje longitudinal del puente. Como consecuencia de la diferente altura de las columnas, el centro de rigidez se desplaza desde el centro de masa (casi en el centro del tablero) hacia la columna más corta. Ante movimientos horizontales por sismo, se induce un modo de torsión indicado con línea a trazos y giro de planta θ  alrededor   alrededor del eje vertical. Esta rotación implica torsión en las columnas, con magnitud proporcional a la rigidez a torsión de las columnas. Sin embargo, aún con rigidez cero a torsión de dichas columnas, el sistema es aún estable. En este caso es posible la redistribución de esfuerzos.

8

Fig. 7.5 Puente con viga y columna exteriores, con falla de corte y de nudo durante el terremoto de Loma Prieta, Octubre de 1989 .

El diseño para torsión por equilibrio y por compatibilidad es diferente. En el primero la resistencia a torsión debe ser asegurada. En el segundo es suficiente con suministrar una capacidad rotacional adecuada. El torsor por equilibrio debe ser resistido por acciones elásticas (no se refiere acá al fenómeno de fisuración sino al de fluencia plástica). La torsión no es un modo apropiado de respuesta inelástica. En los casos de torsión por compatibilidad, la resolución numérica generalmente no es necesaria. Es suficiente con asegurar, como se demostrará luego, una buena distribución de armaduras longitudinales y de estribos para aliviar la rotación de la sección de hormigón. La ref. [3] indica que los ensayos sobre columnas con rotulación plástica bajo la combinación de desplazamientos que generan flexión y rotaciones de torsión han demostrado que la capacidad plástica de columnas circulares típicas no se ve adversamente afectadas si las rotaciones torsionales no superan el valor del 5 %. Es importante considerar lo que la ref.[3] señala con relación al comportamiento inherente del hormigón armado a torsión. Para flexión, como se vio en capítulos anteriores, la relación esfuerzo-deformación para la sección transversal está dada por:  M  =  EI φ   

(7.1)

donde φ  es   es la curvatura (rotación por unidad de longitud) y (EI) el módulo de rigidez a flexión, y que en forma aproximada para la viga de la Fig.7.4(a) se podría tomar como módulo de rigidez efectiva: E.I e e =  para el caso de hormigón precomprimido, y   = 1.0 E c. c.I g  g  para E.I e e =  para el caso de hormigón armado,   = 0.5 E c. c.I g  g  para siendo E c c  el  el módulo de elasticidad longitudinal del hormigón, e I g g el    el momento de inercia de toda la sección transversal de hormigón. A su vez, para torsión, si bien aún no hemos hecho referencia a los parámetros que controlan la respuesta, a partir del fenómeno descrito hasta ahora se puede adivinar que en el módulo de rigidez de la sección a torsión deben intervenir el

9

módulo de elasticidad transversal del hormigón, G , y el momento de inercia polar de la sección, J . Si θ t t   es la rotación de la sección transversal, entonces la relación similar a flexión será: T  = GJ θ t    (7.2) La citada referencia indica que, sin necesidad de mayor sofisticación, la rigidez torsional de la viga, se puede aproximar como: G.J e e  = 1.0 G c.c.J g g  para  para el caso de hormigón precomprimido o no fisurado G.J e e =  para el caso de hormigón armado fisurado.   = 0.05 G c. c.J g  g  para Se ve entonces que la rigidez a torsión se reduce drásticamente una vez que el hormigón se fisura. Es por ello que la ref.[2] indica que un análisis apropiado para estructuras estáticamente indeterminadas evitará la introducción de torsores importantes, resultando la utilización de armaduras mínimas de torsión. En cualquier caso, grandes torsores pueden ser soportados sólo a expensas de grandes giros, lo cual raramente puede ser suministrado para cargas de servicio. Por ello pareciera que para la mayoría de las situaciones la suposición de cero rigidez a torsión es razonable. Esto simplifica grandemente el análisis. Sin embargo, en elementos sometidos a torsión, es importante suministrar al menos la armadura mínima de torsión, con separaciones pequeñas, para asegurar que dichos miembros son capaces de sobrellevar giros de una manera dúctil sin exhibir excesiva fisuración a los niveles de cargas se servicio. La Fig. 7.6 muestra una idealización de la respuesta en torsión. Como se verá más adelante, la suposición implícita en las ecuaciones de diseño de la formación de una serie de fisuras en espiral alrededor de la sección requiere de una longitud del elemento igual a varias veces el ancho o profundidad del miembro para que se desarrolle el mecanismo en forma completa. Para miembros cortos, como normalmente será el caso de la viga de Fig.7.4(a), la fisuración espiralada completa de torsión no se podrá formar por lo que que las ecuaciones son de validez dudosa. Por ello, en la ref. [3] se sugiere que, para casos similares a los de la Fig. 7.4(a), cuando la longitud libre de la viga sea menor de 1.5  veces   veces la menor dimensión transversal de la sección es más apropiado considerar que los esfuerzos se van a transferir por corte por fricción cuando se de esa combinación de corte y torsión.

Fig. 7.6 Idealización de las características Torsión-Giro en hormigón armado.

En la actualidad existen herramientas computacionales muy poderosas que permiten evaluar los momentos torsores en estructuras estáticamente

10

indeterminadas, aún de alta complejidad. Sin embargo, el comportamiento no lineal, en particular ante la acción de terremotos, hace dudosa la validez de dichos resultados. Además, la redistribución de esfuerzos en el hormigón armado es por un lado inevitable y por otro muy conveniente. Por ello las normas, por ejemplo el ACI318, como luego se verá, permiten ignorar los esfuerzos de torsión bajo ciertas circunstancias, en particular en los casos de torsión por compatibilidad. En la Fig. 7.7(a) se muestra un múltiple cruce de carreteras de EEUU, cerca de la ciudad de Los Ángeles donde, como se aprecia, varios tramos sufrieron colapso durante el terremoto de Northridge del 17 de Enero de 1994. Por simple inspección se puede observar que los efectos de torsión deben ser considerados en este tipo de estructuras. Se aclara que las fallas en este caso no fueron necesariamente por torsión sino por fallas frágiles de corte que se iniciaron en las columnas más cortas de los puentes, refs. [13 y 14]. Fig. 7.7(a) Colapsos en dos sobre-pasos de las rutas I-  5/SR-14, cerca de Sylmar y San Fernando, en las afueras y a 45 Km de Los Angeles, durante el terremoto de Northridge del 17 de Enero de 1995. Los colapsos fueron atribuidos al inicio de fallas por corte en las columnas más cortas y por ende más rígidas, que atrajeron más momento flector.

Fig. 7.7(b). Elevación y dimensiones del soporte 2 (bent 2), del conector Sur (que aparece al frente de la figura). Los otros apoyos son similares pero tenían alturas diferentes

11

Fig. 7.7(c). Planta y elevación con dimensiones y designación de los apoyos, del conector Sur de la ruta I-5/SR-14. La falla comienza en el soporte (bent) No. 2. Las columnas, por costumbre, eran reforzadas con la misma armadura longitudinal y el mismo estribo, típicamente equivalente a diámetro de 13 mm (barra No.4 en EEUU) cada 30 cm. Obviamente, las columnas más cortas entraban antes en fluencia con demandas de corte mucho mayores que en las columnas esbeltas. Allí empezó la tragedia para esos cruces a las 4:40 del lunes 17 de enero de 1994. Epicentro a 30 Km. NW de centro de Los Ángeles.

7.3 HORMIGÓN SIMPLE SOMETIDO A TORSIÓN. El comportamiento del hormigón armado en torsión, antes de producirse la fisuración, puede basarse en el estudio del hormigón simple puesto que la contribución de la armadura en ese estado puede considerarse insignificante. 7.3.1 COMPORTAMIENTO ELÁSTICO. Para establecer los efectos de torsión en hormigón simple se pueden utilizar los conceptos que aparecen en los textos de mecánica estructural, ver por ejemplo Refs.[4] y [5]. La Fig.7.8 muestra un elemento de sección circular sometido a torsión, y las resultantes trayectorias de tracción y compresión. Para este caso, la ecuación de la torsión, similar en forma y concepto a la ecuación de la flexión que relaciona el Momento flector M  con   con el momento de inercia I , fue propuesta cerca de 1775 por el ingeniero francés Coulomb, y se expresa así: vmáx

=

Tr   J 

T  momento  momento torsor, r  radio  radio de la sección circular y J  momento  momento de inercia polar. Fig. 7.8 Trayectorias de las tensiones principales en una barra cilíndrica sometida a torsión pura.

12

Fig. 7.9 Distribución de tensiones de torsión en secciones rectangulares, circulares y huecas .

Para secciones rectangulares, se puede utilizar la solución clásica de St. Venant, debida al famoso científico francés B. de St. Venant, desarrollada en 1853, aplicada a secciones de hormigón, como las que se muestran a la izquierda en la Fig. 7.9. En base a ésta solución, la máxima tensión de torsión v t t  se  se produce en la mitad del lado más largo y puede obtenerse mediante la expresión: vt 

= ψ 

T  2

 x  y

 

(7.3)

donde T=  momento  momento de torsión en la sección. y,x  =  = dimensiones totales de la sección transversal, con y>x  ψ t t  = un factor de tensión que es función de la relación y/x , y que aparece cuantificado en la Fig. 7.10. Fig. 7.10 Factores de Rigidez y de tensión para secciones rectangulares sometidas a torsión.

Para representar la respuesta carga-deformación, como se la presentó en la Fig.7.6, es necesario establecer la relación entre la variable estática que es el momento Torsor T , y la cinemática que es la rotación o ángulo de giro torsor θ t t . Como se expresó en la ecuación (7.2):

13

d θ t 

=

d  z

T  GC 

 

(7.4)

Como se expresó antes: T=  momento   momento torsor aplicado, que puede variar en función de la ubicación de la sección a lo largo del elemento estructural, G=  el  el módulo de elasticidad transversal, dado por: G

=

 E c 2(1 + µ )

 

(7.5)

donde E c c  es   es el módulo de elasticidad longitudinal del hormigón y  µ  el   el módulo o relación de Poisson, de valor 0.16 a 0.30  para  para hormigón normal, C=   momento de inercia torsional, a veces llamado constante de torsión o momento de inercia polar equivalente, z=  distancia  distancia a lo largo del elemento estructural. Para secciones rectangulares, el momento de inercia torsional está dado por: C  =  β t  x 3 y  

(7.6)

en la cual el coeficiente  β t t depende    depende de la relación y/x , se aprecia en Fig. 7.10, y tiene en cuenta la distribución no lineal de deformaciones de corte a través de la sección, lo cual se manifiesta en las secciones de la Fig. 7.9, y en la Fig. 7.11.

Fig. 7.11 Torsión en un elemento rectangular.

Estas expresiones permiten calcular la rigidez torsional de un miembro de longitud l , definida como la magnitud del momento torsor requerido para producir un ángulo de giro unitario en dicha longitud, como: K t 

=

GC  l

 

(7.7)

Para el análisis de estructuras hiperestáticas tanto la rigidez a flexión, ecuación (7.1), como la rigidez a torsión son necesarias de cuantificar. La ecuación (7.7) que expresa la rigidez a torsión de un miembro se puede comparar con la ecuación para la rigidez a flexión del mismo miembro cuando su extremo más alejado está

14

empotrado, definido como el momento requerido para producir una rotación unitaria, y de valor 4EI/l , en un esquema como el representado en la Fig. 7.12.

Fig. 7.12 Esquema de viga empotrada con momento M en el extremos libre.

Fig. 7.13 División de componentes de secciones transversales para un análisis a torsión más simple.

La respuesta de secciones compuestas, como L y T , es más complejo. Es común aceptar a los fines del diseño que la sección está apropiadamente dividida en rectángulos y que cada uno de ellos absorbe una porción del momento torsor total en función de su rigidez. La Fig. 7.13 muestra casos típicos y divisiones posibles. En el caso de losas que forman parte de alas de las vigas, el ACI-318-05, en la sección 11.6.1 especifica que el ancho del ala en voladizo que se debe considerar (lo que indica la Fig. 7.13, de ref.[2], es anterior a la versión 2005) es el mismo que se estableció para sección efectiva en la evaluación de la rigidez de las vigas para ser comparada con la rigidez de las losas, sección 13.2.4 de la misma norma y que se muestra en la Fig. 7.14.

Fig. 7.14 Tomada de CIRSOC 201-2005. Sección de losa a considerar con la viga como alas para la contribución a la torsión, en los casos de construcción monolítica.

15

Con la aproximación citada, la fracción de la torsión total T   que resiste el elemento 2 de la Fig. 7.13(a) es entonces: T 2

=

K t 2

∑

3 i =1

K ti

T   

(7.7a)

y la máxima tensión de corte por torsión según la ecuación (7.3) está dada por: vt 2

= ψ t 2

T 2 2

 x2 y2

 

(7.7b)

Esta es una aproximación conservadora pues se ha ignorado el efecto de unión entre los elementos. La distribución de tensiones de corte por torsión sobre secciones compuestas o de formas que hagan difícil su resolución matemática puede ser visualizada a partir de una analogía muy descriptiva e ingeniosa publicada en 1903 por el famoso ingeniero científico alemán L. Prandtl, conocida como la “analogía de la membrana”. Ocurre que la solución de la ecuación diferencial parcial que se debe resolver en los problemas de torsión es automáticamente satisfecha por una membrana delgada, tal como una la de una película de jabón, suavemente estirada sobre un orificio, el cual debe ser geométricamente similar a la sección transversal en estudio. Con la aplicación de una presión de aire liviana y uniforme en un lado de la membrana, del otro lado se forma un volumen tal que: (i)

las tensiones de corte en cualquier punto son proporcionales a la mayor pendiente de la membrana estirada en ese punto. Otra forma de decirlo es que la tensión de corte, v t t , actuando en cualquier dirección y en cualquier punto de la sección es proporcional a la pendiente de la membrana inflada en dicho punto, midiendo la pendiente en la dirección perpendicular a la de la tensión v t t .

(ii)

La dirección de una tensión de corte particular en cualquier punto es tangente al contorno (un línea que une puntos de igual elevación) de la membrana en dicho punto.

(iii)

El doble del volumen comprendido entre el plano del contorno y la membrana deformada (es decir el volumen encerrado por la membrana) es proporcional al momento torsor soportado por la sección.

La analogía de la membrana también se puede ver como una membrana delgada estirada sobre la sección transversal en estudio e inflada por presión.

16

Además de ser una herramienta muy útil y que ha sido utilizada en varios casos prácticos, ref. [5], es una herramienta mental excelente para visualizar las tensiones y capacidades de torsión, en el rango elástico. Por ejemplo, todas las secciones que se muestran en la Fig. 7.15 pueden soportar aproximadamente el mismo momento torsor para la misma tensión máxima de corte (es decir para la misma pendiente máxima de la membrana), puesto que el volumen encerrado por la membrana será casi el mismo en los tres casos. Además, con poco esfuerzo el lector puede convencerse de que las líneas de contorno de una película jabonosa se apilarán en el punto a  de la sección angular, por lo que en dicho punto se producirá una alta concentración de tensiones.

Fig. 7.15 Miembros con igual sección transversal y espesor t resisten el mismo torsor (no es aplicable a secciones tubulares).

En estructuras de hormigón armado es muy raro encontrar condiciones en las que el comportamiento es lineal y elástico. 7.3.2 COMPORTAMIENTO PLÁSTICO. Cuando el material es dúctil al corte es posible alcanzar un estado en el cual la fluencia en corte ocurrirá sobre el área total de la sección transversal en estudio. Cuando esto ocurre el momento torsor plástico puede ser evaluado con cierta facilidad. Considere la sección cuadrada que aparece en la Fig. 7.16, en la cual se ha alcanzado la tensión de corte de fluencia, v ty  ty , en todos los cuadrantes. La fuerza de corte total V t t  actuando  actuando sobre un cuadrante es: V t  = b

b1 22

vty

=

b

2

4

vty  

(7.7c)

por lo que la resistencia total al corte es: T  = 4V t 

b 3

=

b

3

3

vty  

(7.7d)

Fig. 7.16 Sección cuadrada cometida a torsión en la que se considera que se ha alcanzado la fluencia por torsión.

17

Al mismo resultado se podría haber llegado utilizando la analogía de Nádais, 1931, de la “arena acumulada”. De acuerdo a ella, el volumen de arena colocado sobre la sección transversal dada es proporcional a la capacidad de torsión plástica de dicha sección. En el caso de la Fig.7.16 el “techo” del montón de arena acumulado, ver Fig.7.17, hubiera sido  xvty , donde x   es la menor dimensión de la sección transversal. Esto es porque el ángulo del talud o pendiente debe ser la misma para todos los bordes, por lo que la máxima altura que se alcance está controlada por la dimensión menor, x en este caso. El volumen de la pirámide sobre la sección cuadrada de Fig. 7.16, da un valor idéntico al anterior, es decir: T  = b

2

bvty

=

3

b

3

3

vty  

(7.7e)

Fig.7.17 Esquema de aplicación de la analogía del montículo de arena de Nadai para una sección rectangular.

Para el caso de la sección rectangular de Fig.7.17, el volumen del montículo de arena sobre la sección da el torsor plástico con esta simple expresión: T  = x

2

 x    x  + ( y − x ) x =  y − vty   3 2 2   3 

 xvty

2

 xvty

(7.7f)

por lo que la tensión de fluencia de corte plástica es: vty

= ψ ty

T   x 2 y

 

(7.8)

donde: Ψty =

2 1 − x / 3 y

 

(7.9)

18

≤ y     , cuando x= Dado que x ≤   cuando x= y el factor ψ ty  ty = 3.0 , su máximo valor posible, y (7.8) se hace igual a (7.e), mientras que cuando x/y= 0 , resulta ψ ty  ty = 2.0. La ecuación (7.8) es análoga a la (7.3).

El hormigón no es suficientemente dúctil, particularmente en tracción, para permitir una distribución plástica perfecta de tensiones de corte, por lo que la resistencia máxima a torsión de secciones de hormigón simple estará comprendida entre los valores predichos por la teoría elástica, analogía de la membrana, y la plástica, analogía del montículo de arena. Las Figs. 7.18 y 7.19 presentan respectivamente esquemas de interpretación de las analogías elástica y plástica según la ref. [6].

Fig. 7.18. Analogía de la membrana de L. Prandtl para régimen elástico 

.

Fig. 7.19. Analogía del montículo de arena de A. Nadai para régimen plástico.

7.3.3 MOMENTO TORSOR DE FISURACIÓN. Se trata a continuación de encontrar una expresión que permita calcular el momento torsor de fisuración para el hormigón, lo designaremos con T cr  cr , y que es el que corresponde al valor de T  para  para el cual la tensión principal de tracción alcanza su máx máximo valor. La Fig.7.20(a) muestra una porción de elemento prismático de hormigón sometido a momentos torsores, T , iguales y opuestos en sus caras extremas. Como se dijo antes, aceptando la teoría elástica de St. Venant, la distribución de tensiones en la sección transversal es como se indica en la Fig.7.20(b). Las mayores

19

tensiones se presentan en el centro de las caras más anchas. Si el material fuera capaz de sobrellevar deformaciones inelásticas, como se espera en el hormigón, la distribución de esfuerzos se aproxima a la indicada con líneas de trazos. Note la diferencia de la distribución de tensiones de corte de secciones rectangulares con la de una sección circular, observando la Fig.7.9 y Fig.7.11. En la sección circular la tensión es máxima en el punto más remoto, mientras que para la rectangular la tensión es cero en el punto más lejano. Fig. 7.20 Elemento prismático rectangular sometido a torsión y esfuerzos internos resultantes .

Los esfuerzos de corte resultantes, indicados con τ  en la figura, actúan siempre en pares sobre las caras o planos mutuamente perpendiculares de elementos diferenciales. Como se sabe, este estado es equivalente a un estado de fuerzas de tracción, en la τ,    iguales a la tensión de corte, y actuando en las figura σ = τ   y compresión, σ = - τ  caras de un elemento rotado a un ángulo de 45 o   con respecto a la dirección del cortante. Las tensiones inclinadas son similares a las inducidas por fuerzas de corte transversal, pero en el caso de torsión, puesto que las tensiones tienen signos opuestos en las dos caras opuestas, Fig. 7.20(b), los esfuerzos de tracción diagonal resultan perpendiculares entre sí, en una cara a 45  a  45 o  y en la opuesta a 135 o , es decir son hélices que se cruzan a lo largo de la barra, como muestra la Fig.7.21(a). La Fig.7.21(b) muestra la fisuración de un prisma de hormigón armado sometido a torsión pura, ref.[6]. Como se ve, la armadura más adecuada, para un elemento de hormigón sería una espiral con inclinación siguiendo las líneas de tracción. Esto no es nada práctico ni eficiente por estar la torsión combinada con otros esfuerzos. Por ello se verá otra forma de armado. Cuando los esfuerzos de tracción diagonal exceden la resistencia a tracción del hormigón, se forma una fisura en algún sitio donde se encuentra alguna debilidad en el material, y la misma se propaga inmediatamente a través de la viga. El valor del momento torsor asociado a la formación de la primer fisura diagonal se llama momento torsor de fisuración, T cr  cr .

20

Fig. 7.21(a). Trayectorias de las tensiones principales para torsión pura.

Fig. 7.21(b) Fisuración en un prisma de hormigón armado solicitado a torsión pura.

Tal como lo sugiere la distribución de tensiones de Fig. 20(b), para los efectos del diseño una buena aproximación es la de idealizar que en una sección maciza la torsión sólo es resistida por una sección o tubo de pared delgada, ignorando la parte central. Cinco razones fundamentales soportan esta analogía: (i) (ii) (iii) (iv)

(v)

Las tensiones en la parte central son muy pequeñas. Los brazos de palanca de las resultantes de las tensiones en el centro son también menores. Por las dos razones anteriores, la contribución al momento torsor de la parte central es doblemente menor que en las partes externas. En la parte externa la tendencia a entrar en campo no lineal del material hace que en ese tubo idealizado de pared delgada la tensión tienda a ser uniforme, y se acrecientan entonces las diferencias con las tensiones internas cada vez más relativamente menores. Los resultados experimentales avalan la modelación propuesta.

En definitiva entonces, en la viga de sección maciza se puede considerar que los esfuerzos de corte por torsión son constantes a través de un espesor finito t  alrededor de la periferia del elemento, permitiendo representar a la viga como un tubo equivalente como muestra la Fig.7.22.

Fig. 7.22 Tubo de pared delgada sometido a torsión.

21

Dentro de las paredes del tubo la torsión es resistida por el corte de flujo q , cuya trayectoria, como lo muestra la Fig.7.23, (tomada de ref. [7]) y con unidades de fuerza por unidad de longitud, se representa por una línea en la mitad del espesor .t, se considera constante en el perímetro idealizado t . En la analogía dicho flujo, q= τ .t, se (la tensión y el espesor son constantes).

Fig. 7.23. Ejemplo de una viga sometida a torsión que se idealiza como un tubo de pared delgada (a) en que no se considera el núcleo de hormigón de la sección transversal maciza, siendo Ao   el área total encerrada por la trayectoria del flujo de corte.

Como muestra la Fig.7.22, las resultantes de las componentes individuales del flujo de corte están localizadas dentro de las paredes del tubo, actúan a lo largo de las longitudes y o o  y x o o   en las paredes verticales y horizontales respectivamente, medidas por supuesto, en el plano medio del tubo. Esta suposición facilita enormemente el planteo de las ecuaciones de equilibrio, ya que la relación entre momento torsor actuante y resultante de esfuerzos internos es: T  = 2qxo yo / 2 + 2qyo xo / 2 = 2qxo yo

=

2qAo  

(7.10)

.  y o o , representa el área total encerrada por la trayectoria del flujo de donde Ao = x o o.y  corte, por lo que entonces el esfuerzo de corte unitario que actúa dentro de las paredes, tomado como uniforme es: τ  =

q t 

=

T  2 Ao t 

 

(7.11)

22

Dado que ya se explicó que dicho esfuerzo es igual a la tensión principal de tracción, cuando éste alcance la resistencia a tracción del hormigón, f t t , se alcanzará el momento torsor de fisuración. Ya se vio en el capítulo 2, ecuación (2.23) que: 1 ´  f t  = λ  f c 3

 

(7.12)

con λ = 1.0  para   para hormigón de densidad normal. Por lo tanto, el momento torsor de fisuración (note: “cr  “cr ” por cracking) resulta: T cr  =

1

 f c ( 2 Ao t )   ´

3

(7.13)

El valor de Ao   se puede representar como una fracción del área total Acp  t  se encerrada por el perímetro de la sección transversal, p cp  cp . A su vez, el espesor t se puede aproximar como una fracción de la relación Acp  /p cp  cp . Para elementos sólidos con sección transversal rectangular, t   puede tomarse como un valor comprendido entre 1/6  a  a 1/4  del  del ancho mínimo. Utilizando un valor de t= 1/4x , para y/x= 2 , resulta, (ver luego la demostración) como se indica en la Fig.7.23, una relación aproximada:  AO

=

2 3

Acp  

(7.14)

y también que: t =

3  Acp 4  pcp

 

(7.15)

por lo que en definitiva el momento torsor de fisuración , para torsión pura, en función de las dimensiones totales de la sección, vale: T cr  =

1 3

2

´ c

 f 

 Acp  pcp

 

(7.16)

Se ha encontrado que el uso de la ecuación (7.16) permite en forma razonable evaluar el momento de fisuración por torsión para elementos de hormigón armado independientemente de la forma de su sección transversal. En un elemento hueco con paredes continuas, la determinación de Ao  incluye  incluye el área del hueco, y se utiliza directamente la ecuación 7.13. Para llegar a la aproximación de ecuación 7.14, se tiene en cuenta que: Acp  =  = Área total de hormigón (c  (c  por  por concrete y p  por  por periférico o total) p cp  t otal (ídem explicación por los subíndices) cp  = perímetro de dicha sección total Para el caso de y = 2x , resulta: Acp  =  = x . 2x = 2 x 2  p cp   = 2(x+2x) = 6x cp  = Ao = x o o.y  .  y o o  , donde en este caso:

23

x o o =   = x- t = x – x/4 = ¾x y o o =   = 2x – x/4 = 7/4 x resulta entonces Ao  =  = 21/16 x 2  por lo que la relación: Ao  / / Acp  =  = 21/16 x 2  / 2x 2  = 21/32 = 2.1/3.2 ≅  2/3,  2/3, es decir:  AO

=

2 3

Acp  

(7.14)

y la relación: Acp  / / p cp   = 2x 2  / 6x = 1/3 x = 1/3 x 4t cp  = por lo que: t = ¾A cp  / / p cp   , que es la ecuación (7.15). cp  , 7.4 TORSIÓN EN ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO. Como se dijo antes, colocar la armadura siguiendo en forma estricta y continua las trayectorias de las líneas de tracción en un elemento de hormigón armado sometido a torsión es difícil, costoso, poco práctico y, para combinación de esfuerzos, poco eficiente. Por ello, para resistir torsión se utiliza una combinación de estribos poco separados y barras longitudinales. Esto implica que, de ser aplicable, se deben adicionar refuerzos de acero a los necesarios para corte y flexión (esfuerzos con los que normalmente coexiste la torsión). Los ensayos han demostrado que con barras longitudinales solamente, se aumenta muy poco la resistencia a torsión por encima del valor dado por la ecuación (7.16). Esto es razonable pues las mismas sólo pueden contribuir con el mecanismo de taco o dovela, el cual es débil y poco confiable si el fracturamiento longitudinal a lo largo de las barras no es restringido por armadura transversal.

Fig. 7.24(a) Analogía del reticulado Espacial para torsión

Cuando los elementos se refuerzan en forma adecuada como muestra la Fig.7.24(a) y (b), las primeras fisuras en el hormigón aparecen para un momento torsor igual o un poco mayor que el que corresponde a elemento no armado a

24

torsión, y aproximado por la ecuación (7.16). Esto es similar al mejoramiento de la resistencia al corte en vigas de hormigón por efecto de los estribos. Las fisuras tienen una configuración similar a la que indica la Fig.7.24(a). Luego de ocurrir la fisuración, la resistencia del hormigón sólo cae cerca de un 50 %  y   y sobreviene una redistribución de esfuerzos hacia las armaduras. Cuando la resistencia a torsión de la sección se aproxima a su máximo valor, el recubrimiento del acero está muy deteriorado y empieza a desprenderse, por lo cual su contribución en este estado debe ignorarse.

Fig. 24(b) Concepto de Aoh  para sección efectiva a torsión.

Se define el área  Aoh= xo yo  como el área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más extrema dispuesta para resistir torsión, y además el perímetro  ph= 2(xo + yo) del eje de la armadura de torsión transversal cerrada ubicada en la posición más externa. La resistencia a torsión en elementos de hormigón armado se puede obtener a partir de la analogía del reticulado espacial, en la que existen diagonales comprimidas de hormigón en espiral que toman los esfuerzos paralelos, pero no los perpendiculares, a las fisuras de torsión, tensores de acero transversales que corresponden a los estribos cerrados y cordones de tracción que corresponden a las armaduras longitudinales. De acuerdo a la Fig. 7.24(a), la resistencia de torsión correspondiente a un elemento con una sección transversal rectangular puede representarse como la suma de las contribuciones de los cortantes en cada una de las cuatro paredes del tubo equivalente. Por ejemplo, la contribución del cuarto elemento, pared vertical derecha del tubo es: T 4

=

V 4 xo 2

 

(7.17)

Fig. 7.25 Diagrama de cuerpo libre para Equilibrio vertical.

25

Como lo indica la Fig.7.25, el equilibrio en dicha pared vertical, con fisuras en ángulo θ , que son atravesadas por n  estribos   estribos de sección transversal At  (una rama pues refiere a una sola  cara)  cara) y tensión de fluencia f yv  yv , con separación s , requiere: V 4

 

(7.18)

cot θ   

(7.19)

=  At  f  yv n

 /s , resulta: y como n= y o ocot.  cot.θ  V 4

=

 At  f  yv y o s

por lo que combinando las ecuaciones (7.17) y (7.19), se obtiene: T 4

=

 At  f  yv xo yo 2s

cot θ   

(7.20)

Para las cuatro paredes existirán expresiones similares, por lo que sumando la contribución de todos los lados, la resistencia nominal a torsión de la sección es: T n

=

2 Aoh At  f yv

s

cot θ   

(7.21a)

Sin embargo, los ensayos han demostrado que, después de que ocurre la fisuración, el área encerrada por el flujo de corte, Ao , es menor que el área encerrada por las dimensiones x o o  e y o o,  medidas hasta la línea central del estribo cerrado más externo. En consecuencia, la versión ACI-318-2005, sección 11.6.3.6 especifica que debe utilizarse Ao  en   en vez de Aoh  para   para determinar el Momento Torsor Nominal con esta expresión: T n

=

2 Ao At  f yv

s

cot θ   

(7.21b)

donde Ao  se  se debe determinar en forma analítica, o bien adoptar: Ao = 0.85 Aoh

(7.22)

y Aoh  según  según la Fig.7.24(b). El ángulo de las diagonales comprimidas debe adoptarse o  θ  ≤   60  . La norma especifica que puede tomarse: de forma tal que 30 o  ≤  θ ≤   o  θ  = 45    para elementos no pretensados o pretensados con valores (a) menores a los que da el punto (b), y o  (b) θ   = 37.5  para elementos pretensados tal que la fuerza efectiva de pretensado sea mayor que el 40 %   de la resistencia a tracción de la armadura longitudinal. La resistencia de diseño a torsión, T d d,  se obtiene aplicando el factor de  = 0.75 , por lo que la ecuación básica de diseño es: reducción de resistencia φ  =

26

T d  = φ T n

= 0.75T n ≥ T u

 

(7.23)

siendo T u u   el momento torsor demanda en estado último o torsor requerido mayorado, el cual, como se verá más adelante, se determina según lo que especifica el ACI-318 en su sección 11.6.2. Las bielas comprimidas de las Figs.7.24(a) y 7.25, que transmiten esfuerzos de compresión paralelos a las fisuras diagonales, son necesarias para el equilibrio de la sección transversal. Como se muestran en la Fig.7.26, para cualquier cara i , la fuerza de corte vertical V i i  se  se puede descomponer en una diagonal D i i con   con inclinación θ , y y otra horizontal N i i , tal que: V i

 

 Di

=

 N i

= V i cot θ 

y

senθ 

(7.24a)  

(7.24b) Fig. 7.26 Diagrama de cuerpo libre Para equilibrio horizontal.

La fuerza N i i   está centrada a media altura de la pared i  puesto   puesto que se supone que el flujo de corte q   es constante en el ancho del la pared. En la analogía del reticulado espacial entonces para cada cordón superior e inferior le corresponde una fuerza N  /2  i i  . Internamente se supone que el acero longitudinal fluye cuando se alcanza la resistencia a torsión, por lo que la contribución total de la pared vertical derecha 4 al cambio de la fuerza axial del elemento por presencia de torsión es:  N 4

= V 4 cot θ  =

 At  f  yv yo

Totalizando el efecto para todas las caras:

∑ A  f  li

 yl

=  Al  f  yl =

s

∑ N  = ∑V  cotθ  = i

2

cot θ 

 At  f  yv

i

s

y como:  ph

=

2( xo + yo )  

2( xo + yo ) cot θ  2

(7.25)

es el perímetro de la línea central de los estribos cerrados, en forma reducida el equilibrio se escribe como:  Al  f  yl

=

 At  f  yv s

2

ph cot θ 

de donde se obtiene la expresión del refuerzo longitudinal que se debe suministrar para materializar la fuerza axial de tracción ∑ N i :

27

 Al

=

 At  s

 ph

 f  yv  f  yl

cot θ    2

(7.26)

Al  = área total del refuerzo longitudinal para resistir la torsión (en todo el perímetro) f yl   = resistencia de fluencia del acero longitudinal, yl  = Esta es la expresión que da el ACI-318, como armadura longitudinal adicional (a flexo-compresión) requerida por torsión, en su sección 11.6.3.7. Para el caso común en que las tensiones de fluencia de ambos aceros, longitudinal y transversal, sean iguales, y se adopte ángulo de las fisuras θ = 45 o , la expresión se simplifica a:  Al

=

 At  s

ph  

(7.27)

A partir de la ecuación (7.21) se obtiene el área requerida para la sección transversal de una rama de estribo para torsión como:  At  =

T u s 2φ   Ao f  yv cot θ 

 

(7.28)

7.5 TORSIÓN Y CORTE. La situación más común es que los elementos no estén sometidos a torsión pura sino que aparezca una combinación con momentos flectores y esfuerzos de corte. En un elemento de hormigón armado en estado I, no fisurado, el corte y la torsión producen esfuerzos de corte que son resistidos por el hormigón. En el elemento fisurado, el corte y la torsión aumentan las fuerzas en las diagonales comprimidas, incrementan el ancho de las fisuras, aumentan las tensiones en las barras longitudinales y crecen las fuerzas en los estribos. El ACI-318-05, sección 11.6.3.1 establece un control de las tensiones de corte para la combinación de corte por flexión y torsión. En corte por flexión limita con: vu

≤ φ v n ≤

´

´

0.75(0.30 + 0.67)  f c = 0.7275 f c

que de no verificar lleva a modificar las dimensiones para bajar la tensión máxima de corte. Para torsión y corte, la norma impone con similar concepto este límite: (a) para secciones macizas:   V u     b d    w  

2

  T u ph    +  1.7 A 2  oh    

2

  V c 2 ´   +  f   b d  3 c      w  

≤ φ 

(b) para secciones huecas:

(7.29)

28

  V u     T u ph     V c 2 ´      +    φ  ≤ +  f  c   2     bw d    1.7 Aoh    bw d  3  

(7.30)

La diferencia entre estas ecuaciones tiene su origen en la Fig.7.27. Para un elemento de sección sólida, como en la Fig.7.27(b), las tensiones de corte por torsión se distribuyen principalmente alrededor del perímetro, tal como lo sugiere la analogía del tubo hueco, pero toda la sección transversal es efectiva para resistir corte por flexión. En la sección hueca, Fig. 27(a), en el punto A  las tensiones de corte se suman en forma directa, y por ello la forma de la expresión (7.30). Sin embargo, en la sección maciza, el corte que no es de torsión se distribuye a través del ancho. Por esto, y corroborado por ensayos, la ecuación (7.29) permite una mejor representación, y a la vez no tan conservadora, de las tensiones de corte.

Fig. 27. Suma de esfuerzos de torsión y de corte en secciones huecas y macizas.

Si alguna de las ecuaciones (7.29) o (7.30) no se cumple, la norma exige que deben aumentarse las dimensiones o utilizar un hormigón de mayor resistencia. A su vez la norma, en la sección 11.6.3.2, especifica que si el espesor de la pared varía a lo largo del perímetro de una sección hueca, la ecuación (7.30) se debe evaluar para el caso en que las demandas, es decir la parte izquierda de la ecuación resulte máxima. En el punto A  de la figura anterior las tensiones son aditivas por lo que puede ser un punto crítico. Si las alas superior e inferior de la sección hueca son más delgadas que el alma, puede ser necesario verificar la expresión en los puntos B  y C . De todos modos en esos puntos las tensiones de corte son normalmente pequeñas y la norma dice que pueden ignorarse. También la norma aclara que si el espesor real de la pared es t<(Aoh  /p h h ),   entonces el segundo término de la ecuación (7.30) se debe reemplazar por:   T u      1.7 Aoht  

siendo t  el  el espesor de la pared hueca en el punto que se verifican las tensiones.

29

La norma también hace la diferencia para casos de secciones en L o T  que   que se construyan o no monolíticamente. En la sección 11.6.1.1 dice que se deben utilizar las especificaciones de la sección 13.2.4 para obtener los valores de Acp  y  y de 2  p cp  (Acp  /p cp  cp , y se debe establecer la relación entre (A cp ) y comparando los casos en que se incluye y no se incluyen las alas. Más adelante en un ejemplo se utiliza este concepto. 7.6 ARMADURAS MÍNIMAS. 7.6.1 ARMADURA TRANSVERSAL. De la ecuación (7.28) se obtiene la armadura transversal para torsión. La misma debe combinarse con la necesaria para el esfuerzo cortante. En el caso típico de estribos de dos  ramas,  ramas, el requerimiento puede expresarse como:   Av +t   Av =  s   s

+2

 At  

 

s  

(7.31)

La norma ACI-318, en la sección 11.6.5 especifica que en toda zona donde el momento torsor T u u   mayorado supere un cierto valor crítico , que luego se verá cómo se determina, será necesario contar con armadura de torsión, y la mínima cantidad a colocar debe ser tal que: ( Av + 2 At  ) ≥

1

´

16

 f c

bw s  f  yv

 

(7.32a)

y también: ( Av + 2 At  ) ≥

0.33bw s

 f  yv

 

(7.32b)

30

Fig. 7.28 Estribos y armaduras longitudinales de torsión.

Fig. 29. Descascar amiento en las esquinas de vigas solicitadas a torsión.

La norma aclara también que los estribos transversales para torsión deben ser cerrados para proporcionar la capacidad a tracción a través de las fisuras potenciales diagonales en todas las caras de la viga. Por ello, ciertas formas de colocar estribos en U no cerrados pueden no ser aptos para el caso de torsión. La Fig.7.28 muestra detalles permitidos, haciendo hincapié en la necesidad de cerrar estribos con ganchos a 135 o   a menos que se cuente con confinamientos de las ramas no cerradas. Se hace notar que para zona sísmica, tanto para corte, confinamiento o evitar pandeo, los estribos cerrados son los más eficientes. Además, en sus comentarios menciona que cuando una viga falla por torsión las esquinas de las vigas tienden a desprenderse debido a las tensiones inclinadas de compresión en las diagonales de hormigón del reticulado espacial, que cambian de dirección en la esquina. La Fig.7.29(a) muestra la zona potencial de descascaramiento, y en la Fig.7.30(a) y (b) esquemas de cuerpo libre que explican el fenómeno citado. Los ensayos demuestran que si los estribos sólo tienen t ienen ganchos o  a 90   los mismos no son efectivos por el salto potencial del recubrimiento. Por ello la norma exige que los estribos deben anclarse dentro del hormigón confinado. Sólo en el caso en que el descascaramiento esté restringido se permiten utilizar ganchos a 90 o . La Fig.7.28 muestra las exigencias de la norma. La separación s  de   de los estribos se limita con el fin de asegurar el desarrollo de la resistencia última a torsión, prevenir pérdida de rigidez luego de la fisuración, conferir adecuada capacidad de rotación a torsión y controlar el ancho de las fisuras. La exigencia es que:

31

s  ≤

 ph 8

 

(7.33a)

s ≤ 300mm  

(7.33b)

Fig. 30(a) Desvío de los elementos elementos comprimidos en la arista.

Fig. 30(b) Modelo de una sección llena fisurada en torsión.

7.6.2 ARMADURA LONGITUDINAL. La ecuación (7.26) es la que permite calcular el área de armadura longitudinal para torsión:  Al

=

 At  s

 ph

 f  yv  f  yl

cot θ    2

(7.26)

y la norma aclara que, a los efectos de evitar cantidades excesivas de armadura longitudinal, la relación (A /s) debe tomarse con el mismo valor que resulta de la t  ecuación de armadura transversal (7.28), sin que se vea modificado por los

32

requerimientos de acero transversal mínimo que especifica en la sección 11.6.5.2 o 11.6.5.3. Hasta la edición del ACI-318-1989 se utilizaba una expresión que exigía una cuantía longitudinal de acero cercana al 1 %  para   para vigas sometidas a torsión pura, y valores menores para vigas con corte y torsión en función de las relaciones entre dichos esfuerzos. La siguiente ecuación es la que adopta el ACI-318-2005 para establecer la mínima cantidad de armadura longitudinal de torsión que es necesario disponer para los casos en que sea necesario armadura de torsión: ´

 Al ,min

=

5  f c  Acp 12 f  yl

  At    f  yv    ph   s    f  yt 

(7.34)

−

donde:  At  s

≥

1 bw 6  f  yv

 

(7.35)

Existen estudios críticos sobre las armaduras mínimas de torsión exigidas por el ACI-318-1995, como los presentados en ref.[8]. En su sección 11.6.6.2 la norma aclara que la separación entre las barras longitudinales no debe ser mayor de 300 mm , y debe distribuirse en lo posible uniformemente alrededor del perímetro de la sección transversal. Esto es porque la armadura longitudinal es necesaria para resistir la suma de las fuerzas de tracción longitudinales debidas a torsión inducidas en las paredes de los tubos de pared delgada. Como el flujo se considera constante, el baricentro de la armadura longitudinal adicional por torsión debe coincidir en forma aproximada con el baricentro de la sección. Además, el diámetro mínimo de la armadura longitudinal d s s,  en función de la separación de estribos s , es según norma: d s

≥ 10mm

d s

≥

s / 24

 

(7.36)

(Considero que en nuestro medio podría usarse 8 mm   como diámetro mínimo). Debe existir al menos una barra longitudinal en cada esquina de estribo. El ACI-318- sección 11.6.4.3 establece que la armadura longitudinal debe ser anclada en ambos extremos del elemento sometido a torsión. En la sección 11.6.6.3 aclara que la armadura se debe prolongar, como mínimo, una distancia (b t t+d) más  +d) más allá del punto en el que ya no es teóricamente necesaria, siendo bt el ancho de la parte de la sección transversal que contiene los estribos cerrados que resisten la torsión. Aclaran los comentarios que la distancia (b t t+d) que  +d) que se toma es mayor que la que se utiliza para la armadura de corte y flexión pues ahora las fisuras de tracción por torsión se desarrollan en forma helicoidal.

33

7.7 DETERMINACIÓN DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO MAYORADO T U  U.  CRITERIO DE DIFERENTES NORMAS. Se presentan a continuación los criterios de las normas CIRSOC-201-05 que sigue al ACI-318, y el de la norma NZS-3101 1995, ref.[17]. En mi interpretación, esta última es más clara cuando se trata de decidir sobre cómo resolver los casos de torsión por compatibilidad. El ACI-318-2005, en su sección 11.6.2 especifica los casos diferentes para evaluar el momento de torsión T u u último    último o requerido como demanda. El NZS 3101 trata el tema en su capítulo 9. 7.7.1 TORSIÓN POR EQUILIBRIO. ACI-318-05 La Fig.7.31, torsión primaria o por equilibrio, y que ratifica los conceptos antes explicados, muestra el caso en que el momento torsor, obtenido por simple equilibrio estático, no se puede reducir, ya que el mismo se necesita indefectiblemente para el cumplir condiciones de equilibrio. En este caso, se debe disponer de armadura de torsión, obtenida con los criterios antes explicados, para soportar la totalidad del momento torsorT  torsorT u u . Esto es lo que expresa la norma en su sección 11.6.2.1.

Fig. 7.31 Ejemplo de acción de momento torsor que el reglamento no permite reducir.

7.7.2 TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD. ACI-318-05 En los casos como muestra la Fig.7.32, estructura estáticamente indeterminada, ver sección C-201-05 11.6.2.2, es posible una reducción de las fuerzas internas, incluidas las debidas a torsión, invocando redistribución de esfuerzos que se producen después de la fisuración. Esto es posible cuando exista torsión por compatibilidad. Esto significa que la norma dice que hay que evaluar el momento torsor a partir de un análisis estructural que contemple la compatibilidad de deformaciones por continuidad estructural, pero permite una “reducción de dicho momento máximo mayorado T u u a   a los siguientes valores: (a) En elementos no pretensados con N= 0 :

34

T u

=

1 3

2

´ c

φ   f 

 Acp  pcp

 

(7.37)

(b) En elementos no pretensados con axial de tracción o compresión: T u

=

1 3

2

´ c

φ   f 

 Acp  pcp

1+

3 N u ´ c

 

(7.38)

 Ag  f 

donde N u u se   se toma con valor positiva en caso de compresión y negativa en tracción, y corresponde a la carga axial para el estado último que se analiza (no es necesariamente una carga mayorada). Esto implica, como se ve, que la norma ha tomado el momento que produce fisuración como referencia para la máxima redistribución posible (es decir, se puede “redistribuir” todo el exceso por encima de ese valor de referencia), pero afectado por el factor de reducción de resistencia φ , ya que T cr  cr   (por “cracking”) vimos está dado por: T cr  =

1 3

2

´ c

 f 

 Acp  pcp

 

(7.16)

Fig. 7.32. Situación en la que el momento torsor último puede reducirse.

En síntesis, hasta aquí la norma C-201-05 nos indicaría que los casos posibles que se pueden presentar luego de obtener el T u  u,  a partir de un análisis elástico basado en propiedades de la sección no fisurada (ver comentario del código en sección C 11.6.2.1 y C 11.6.2.2, último párrafo) son tres: (i) (ii)

Si T u u  es   es menor que la “torsión crítica” y que es un valor mínimo de referencia, el cual ya se verá luego cómo se obtiene, la torsión puede ignorarse  y  y sólo se provee armadura mínima. Si T u u   es mayor que la “torsión crítica” pero menor que “mínima posible resultante de la redistribución” (y que sólo depende de propiedades geométricas), entonces se diseña con el valor de T u u  (esto es obvio pues no hay razones para redistribuir).

35

(iii)

Si T u u   es mayor que el momento torsor que resulta de la redistribución permitida, entonces es posible aferrarse a la redistribución y diseñar con esos momentos “reducidos”.

Esto es lo que interpreta también la Ref.[16], capítulo 7, sección 7.5.7, y que aplica en el Ejemplo 7.3. En definitiva, por lo expresado hasta ahora, el ACI-318 no permitiría ignorar la torsión por compatibilidad cuando, como en los casos (ii) y (iii) se supera el valor crítico. Note además que en sus comentarios habla de “ un análisis elástico basado en propiedades de la sección no fisurada” . Sin embargo, y ahora aparecen ciertas incongruencias o ambigüedades en la norma, en la sección 8.6 dedicada a Rigidez y comentario C 8.6 en particular, dice que las rigideces de un elemento EI y GJ   deben tener en cuenta el grado de fisuración y plastificación ocurrida antes de la fluencia. Como esto es complejo, admite, da simplificaciones para pórticos arriostrados para los valores de EI  (recordar   (recordar que esto es válido sólo para cargas gravitatorias: para combinación con sismo referirse a IC103-05, parte II). En otro párrafo siguiente del comentario manifiesta que es necesario “incorporar la rigidez a torsión” cuando se necesita evaluar la interacción flexión y torsión. Luego dice que en el caso de “torsión por compatibilidad, la rigidez a torsión con frecuencia puede no ser tomada en consideración”. La falta de claridad que observo en la aplicación de la norma se refieren a: (i) (ii) (iii)

habla de sección no fisurada para torsión, cap. 11. en el cap. 8, dice que hay que tener en cuenta el grado de fisuración. mismo cap. 8, en torsión por compatibilidad, dice que con frecuencia podría tomar GJ=0 .

7.7.3 TORSIÓN POR EQUILIBRIO. NZS-3101-1995. En la Sección 9.3.7.2 da lineamientos similares a los del ACI-318. 7.7.4 TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD. NZS-3101-1995. Es en esta parte donde la norma de Nueva Zelanda trata el tema con mayor claridad y consistencia que el ACI-318. En sus comentarios, sección C9.3.7.2 el NZS aclara que las previsiones para torsión siguen los lineamientos del Código de Canadá en vez de los del ACI-318. En su sección 9.3.7.3 el NZS dice claramente que “si la torsión en un miembro aparece porque éste debe torcerse para mantener compatibilidad, el efecto de torsión puede ignorarse , siempre que los momentos y cortes en la estructura sean evaluados suponiendo que el elemento en cuestión carece de rigidez a torsión, y que se adoptan las siguientes previsiones: (i) se debe suministrar una armadura mínima de torsión (ver previsiones 9.3.8 y 9.39) (ii) en aquellos elementos que se unen al miembro en cuestión y en el que ocurrirán momentos debido a la restricción torsional, se debe colocar la armadura mínima de flexión la cual debe ser apropiadamente anclada para desarrollar la máxima resistencia. (iii) Si la fisuración por torsión bajo el estado de cargas de servicio debe ser tenida en cuenta, se debe suministrar una armadura de torsión

36

que resista al menos 2/3   del momento torsor que produce la fisuración. Como se ve, la norma NZS no deja dudas sobre cómo tratar el tema, y sugiere ignorar la torsión por compatibilidad salvo casos muy especiales. Cuando se la ignora se debe adoptar GJ=0  para   para que los momentos y cortes resultantes sean coherentes con la hipótesis adoptada. El NZS aclara aún más el tema en sus comentarios de sección C9.3.7.3 donde expresa que cuando aparece la torsión por compatibilidad sería necesario evaluar tanto la rigidez a flexión como la de torsión. torsión. Adopta el tubo de pared delgada equivalente para determinar la rigidez a torsión para una sección no fisurada a través de la siguiente expresión: 2

Gc K gross

=

Gc

4( Aco ) t c

 poc

 

(7.39)

con el significado según Fig. 7.33, donde G c c puede   puede tomarse como 0.4E c. c.

Fig. 7.33 Concepto de tubo equivalen-  te para secciones de hormi-  gón no fisuradas .

Tener cuidado con la notación (aún en la fuente se ha observado errores: note corrección en Fig.7.33). El resumen sería: Aco = Área encerrada por el perímetro de la sección ≡ Acp  del  del ACI p c c  =  = perímetro correspondiente a dicha área ≡ p cp   del ACI cp  del p oc  oc = perímetro definido a mitad del espesor de tubo de pared delgada. Aoc  =  = área encerrada por el perímetro p oc  0.67 Aco  oc . Puede tomarse Aoc = 0.67 A Note similitud con ecuación (7.14) del ACI:  AO

=

2 3

Acp  

(7.14)

t c c   = espesor del tubo equivalente, supuesto constante, y según la Fig.7.33 note la equivalencia con lo del ACI: t =

3  Acp 4  pcp

 

(7.15)

Es importante seguir leyendo los comentarios de la norma NZS pues allí aclara, tal cual antes se expresó, que la rigidez a torsión del miembro fisurado es una fracción pequeña del que corresponde a sección no fisurada. Se puede

37

demostrar (ref.[2], ver cap. 8, ecuación 8.36) que la rigidez a torsión de una sección fisurada es controlada primariamente por las deformaciones de la armadura, y puede evaluarse mediante: Gc K cr  =

 E s 4( Ao ) 2

 po

2

 At  Al spo

 

(7.40)

La norma aclara que para vigas típicas se encuentra que la rigidez a torsión dada por la ecuación anterior es menos del 10 %  de   de la que corresponde a sección no fisurada. Dice la norma que al pasar al sección fisurada, la rigidez a flexión se %,  por lo que para obtener esfuerzos, habría que hacer el reduce cerca del 50 %,  análisis, por ejemplo, con sección no fisurada para flexión y dividiendo la rigidez a torsión por 5 (cinco ). ). Esto es como tomar rigidez a flexión dividida por 2 (dos ) y la de torsión por 10 (diez ). ). Los elementos diseñados para resistir torsión a partir de las hipótesis anteriores, se comportarán en forma satisfactoria. Sin embargo, el análisis puede involucrar un trabajo significativo, dice la norma. Si la torsión en los miembros aparece sólo porque los mismos deben girar en torsión para mantener la compatibilidad de deformaciones, la magnitud de la torsión será casi directamente proporcional a la rigidez de torsión. Esto queda nuevamente demostrado en la Fig.7.34 y donde se expresan además los requerimientos de la norma NZS. Por lo tanto, disminuyendo la cantidad de armadura de torsión hace decrecer la rigidez (note la dependencia de rigidez con resistencia en el rango no lineal) por lo que se reduce entonces el torsor inducido. Esto es coherente con las hipótesis adoptadas.

Fig. 7.34 Torsión por compatibilidad.

En tales casos, es decir, donde la torsión no es necesaria para mantener el equilibrio, el NZS permite al diseñador suministrar una mínima cantidad de armadura de torsión apropiadamente detallada y suponer que la rigidez a ese esfuerzo es nula. Como en realidad cierta torsión es inevitable, se exige la mínima armadura de flexión en el elemento de apoyo como indica la figura. Ello implicará en cierto grado una reducción en el corte que produce la fluencia de la armadura de alma. Sin embargo, si el elemento ha sido correctamente diseñado al corte (es decir para fallar en forma dúctil por flexión en vez de frágil por corte), la pequeña torsión no tendrá un efecto significativo en la carga de falla del elemento.

38

La Fig. 7.35 muestra la “sección efectiva” para resistencia a torsión en vigas de hormigón armado según el NZS, con la siguiente notación: t o o  = 0.75 Ao  /p o o  p o o   = perímetro supuesto como pasando por los centros de las barras longitudinales. Ao = b o oh     = 2(h o o+b   h o  o =   = área que encierra p o  o =  +b o  o )  ´  ”  b o o = +b o  )   = se puede tomar como 0.5(b o +b 

Fig. 7.35 Secciones efectivas para resistencia a torsión.

Hasta este punto este trabajo desarrolla los conceptos de la norma NZS, los que simplemente han sido explicados para por un lado ver la diferencia de tratamiento del problema con el ACI-318, y para aclarar sus fundamentos. Se deja al lector la referencia indicada para mayor profundización del tema. 7.7.5 PREVISIONES ADICIONALES DEL CIRSOC 201-2005. El código ACI-318 establece que los momentos flectores y esfuerzos de corte obtenidos luego de la redistribución de momentos en los elementos adyacentes, se pueden utilizar para el diseño de dichos elementos; ver Fig. 7.3(d). También aclara la norma que para secciones huecas el valor de Acp   no se debe reemplazar por el de Ag , como se hace para obtener el valor de torsión crítica (ver más adelante). Es decir que en secciones huecas se debe usar Acp , que dará un valor mayor de torsión, por lo tanto más conservador para torsión. Habría que usar directamente la ecuación 7.13.

39

La norma aclara, sección 11.6.2.3, que los momentos torsores provenientes de la losa se pueden considerar como uniformemente distribuidos a lo largo de la viga, a menos que se determinen por medio de un análisis más preciso. En los elementos no pretensados, las secciones ubicadas a una distancia menor que d   medida desde la cara del apoyo, se deben dimensionar para una torsión mínima T u u   que se evalúa a la distancia h/2   desde la cara del apoyo. Sin embargo, si existiera un torsor concentrado dentro de dicha distancia, al igual que ocurría con el esfuerzo de corte, la sección crítica debe ser la que corresponde a la cara del apoyo. 7.8 TORSIÓN CRÍTICA. La norma ACI-318 considera que cuando los momentos torsores T u u  no superen un valor crítico o de referencia, T crítico  crítico , no provocarán una reducción significativa a la resistencia de flexión y corte, por lo que pueden ser ignorados. El valor crítico se toma, en forma aproximada, como ¼ del momento de torsión que produce la fisuración, T cr  cr . En consecuencia, en la sección 11.6.1 la norma indica que el efecto de torsión puede ser ignorado si resulta: (a) En elementos no pretensados con N= 0 : T u

≤ T critico = =

T cr  4

1

=

12

2

´ c

φ   f 

 Acp  pcp

 

(7.39)

(c) En elementos no pretensados con axial de tracción o compresión: T u

=

1 12

2

´ c

φ   f 

 Acp  pcp

1+

3 N u ´ c

 

(7.40)

 Ag  f 

Para valores superiores a los de torsión crítica, el efecto de torsión no puede ignorarse y hay que tomar los recaudos de diseño necesarios. Cuando se trata de secciones huecas la norma dice que se debe utilizar Ag  en lugar de Acp . Ag  el   el área bruta o total de la sección, que en las secciones huecas no incluye los vacíos. Esto se hace para bajar el valor de la torsión crítica o de comparación. Solamente si T u u   es menor que dicho valor la torsión por equilibrio puede ser ignorada. Se ve además que se incluye el valor de φ , factor de reducción de resistencia, 0.75  en  en esta versión, para hacer aún menor el valor de comparación. 7.9 RIGIDEZ A TORSIÓN. Al sólo efecto de completar el tema, se presentan algunos conceptos adicionales sobre la rigidez a torsión. A partir de la teoría clásica de elasticidad se puede obtener la rigidez a torsión de vigas de material homogéneo con diferentes secciones transversales. Las ecuaciones (7.2) a (7.7) relacionan variables estáticas y cinemáticas con ese

40

propósito. Experimentos llevados a cabo sobre elementos de hormigón armado indican que existe una buena concordancia con las expresiones teóricas. La Fig. 7.36 presenta una síntesis de tensiones máximas por torsión en distintos puntos de diferentes secciones transversales y el momento de inercia polar C= J T     que corresponde a cada sección. T que

Fig. 7.36. Máximas tensiones de torsión y momentos de Inercia Polar J para algunas secciones homogéneas según la teoría de la elasticidad.

41

Sin embargo, cuando el hormigón armado se fisura, lo cual es lo normal, estos valores dejan de tener relevancia. Los ensayos de torsión efectuados sobre vigas de 250 mm x 381 mm   y presentados en la Fig.7.37, muestran que en la relación momento torsor vs. ángulo de giro, al inicio aparece un comportamiento francamente lineal, y luego de la fisuración si bien se pierde rigidez existe un incremento de la resistencia por encima del momento T cr  cr . Una vez fisurada la viga un nuevo mecanismo, como puede ser el explicado antes y referido como reticulado espacial, es el que soporta la torsión. Para este caso, el ángulo de giro por torsión está controlado no por las deformaciones de corte sino por las deformaciones que sufren las diagonales comprimidas de hormigón y las deformaciones de tracción tanto en los estribos como en las barras longitudinales. La Fig.7.35 muestra en forma esquemática deformaciones de un trozo de viga sometido a torsión. Note que las diagonales comprimidas está simultáneamente sometidas a tracciones transversales por lo que su rigidez y resistencia se ven afectadas.

Fig. 7.37 Típicas Relaciones Torsión-Ángulo de giro para vigas según ensayos presentados en ref.[2].

El núcleo de una sección sólida no contribuye significativamente a la resistencia a torsión, tal cual antes se expresó; por lo tanto, a los efectos de determinación de rigidez la sección sólida fisurada se puede reemplazar por una sección hueca. Se ha encontrado además que la relación y/x  no   no es una variable

42

significativa en la determinación de la pérdida de rigidez por fisuración. La Fig.7.36 muestra una síntesis de experimentos sobre vigas con el mismo área del núcleo ≤   6 , las cuales muestran casi la misma (x o oy   = constante) y con relaciones de 1≤   y/x ≤    yo  o    = rigidez en todos los estados asociados con la fisuración. La rigidez del reticulado espacial depende en gran medida del contenido de acero de torsión. Note que se da un fenómeno similar a la dependencia de la rigidez a flexión en función de la resistencia de la viga (contenido de armadura en tracción) que ha sido manifestado por Paulay y Priestley en sus últimos trabajos, ref.[12].

Fig. 7.38 Deformación por torsión de un elemento de viga.

Fig. 7.38. Rigidez torsional para secciones rectangulares y huecas de hormigón armado diagonalmente fisuradas.

43

7.10 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 1. Se trata del diseño de una viga prefabricada sometida a combinación de corte y torsión. La misma debe soportar elementos de techos prefabricados, simplemente apoyados sobre el lateral de la viga, como se muestra en la Fig.E1-1, en planta y elevación. Las vigas a diseñar están conectadas a las columnas para transferir la torsión y el corte. No se suministra continuidad entre las vigas soporte. Tomado de Ref. [15] A) Datos: D= doble TT + aislación + piso= 0.30 ton/m 2  L = 0.15 ton/m 2  2  3  f´ c c = w c c =   = 35 MPa = 3500 ton/m    = 2.4 ton/m 

f y y=  420 MPa= 42000 ton/m 2 

Fig. E1-1. Planta. Ejemplo de aplicación. 1pié=0.305m, 1pulgada=0.0254m: para el ejemplo se toma luz de vigas a ejes 9.0 m y columnas de 0.40x0.40 m. Luz de vigas de techo TT a ejes de columnas 18 m.

Fig. E1-2. Elevación. Ejemplo de aplicación. 1pié=0.305m, 1pulgada=0.0254m: para el ejemplo se toma viga de ancho arriba de 0.40m, altura toral 0.80 m y ancho inferior 0.55m. Saliente de apoyo de vigas TT de 0.15m de ancho por 0.20m de altura. Distancia de eje de apoyo a eje de viga 0.275m. Altura de vigas TT 0.60 m.

44

B) Resolución. 1) determinar los esfuerzos internos. Suponer carga uniforme de las vigas vigas TT sobre las vigas a diseñar. Reacción de techo sobre viga: Luz l= 18 m – 2 x 0.2750 m = 17.45 m Reacción a D  ...........R    ...........R D  D=   0.30 x 17.45/2 t/m = 2.62 t/m Reacción a L ........... R L= 0.15 x 17.45/2 t/m = 1.31 t/m Peso propio de viga: [(0.40x0.80) + (0.20x0.15)] m 2  x 2.4 t/m 3  = 0.84 t/m    y V u u:  Carga mayorada para M u u y U = 1.2 D + 1.6 L = 1.2 (2.62 + 0.84) + 1.6 X 1.31 = 6.25 t/m Momento en el centro del tramo: 2  2  M u u 6.25   6.25 t/m x 9  /8 m   = 63.30 tm Corte en los extremos: V u u =    = 6.25 t/m x 9/2 m = 28.13 t Carga mayorada para T u u:  U = 1.2 D + 1.6 L D = 2.62 t/m + (0.15 x 0.20) x 2.4 t/m = 2.70 t/m U = 1.2 x 2.70 + 1.6 x 1.31 = 5.35 t/m Torsión en los extremos: T u u  =  = (5.35 t/m x 9 m) x (0.075 + 0.20)m / 2 = 6.65 tm El corte y la torsión crítica están a una distancia d  desde   desde la cara del soporte. Se supone altura útil d = 80cm – 5 cm = 75 cm . Por lo tanto, la sección crítica está a 75cm + 20cm= 95 cm  del  del centro o eje de la columna, es decir: Sección crítica desde el centro del tramo (4.50m – 0.95m) = 3.55 m Esfuerzos en secciones críticas: V u u =    = 28.13 t x 3.55/4.50 = 22.20 t T u u  =  = 6.65 tm x 3.55/4.50 = 5.25 tm La viga debe ser diseñada para resistir en forma completa el momento torsor T u u  pues  pues se trata de un caso de torsión por equilibrio. 2) Verificar si es posible ignorar la torsión.

45

Torsión de fisuración: T cr  =

1 3

2

´ c

 f 

 Acp  pcp

 

(7.16)

y se puede ignorar si la torsión es menor de 0.25   ese valor, afectado por φ , es decir: T u

1

=

12

2

´ c

φ   f 

 Acp  pcp

 

(7.39)

Acp  = área encerrada por el perímetro exterior de la viga incluido el borde de apoyo Acp  =  = (0.40 x 0.80 + 0.15 x 0.20) = 0.35 m 2 . p cp   = perímetro exterior de la viga = 2 (0.40 + 0.80 + 0.15 ) m = 2.70 m cp  = T cr  =

1 3

2

35

0.35 m

4

2.7 m

= 0.0895 MNm = 8.95tm

y la torsión crítica o límite es: T lim   = 0.75 x 0.25 x 8.95 tm = 1.68 tm lim  = que resulta menor que la demanda T u u =  puede ignorarse el   = 5.25 tm , por lo cual NO  puede efecto de torsión. 3) Verificar si la sección transversal transversal de la viga viga es suficiente, es decir verificar verificar la tensión máxima de corte por combinación de efectos. Tiene como objeto cuidar que las diagonales comprimidas no estén sobre cargadas. Por tratarse de sección maciza:   V u     b d    w  

2

  T u ph    +  1.7 A 2  oh    

2

  V c 2 ´      +  f  c  b d  3   w  

≤ φ 

(7.29)

En la Fig. E1-3 se dan detalles que permiten obtener: Aoh  =  = área encerrada por el perímetro externo de estribo cerrado. Aoh  =  = 0.33 x 0.73 + 0.15 x 0.13 = 0.26 m 2  p h h =    = perímetro correspondiente = 0.33+0.73+0.48+0.13+0.15+0.60 = 2.43 m

46

Fig. E1-3. Se ha tomado como distancias a ejes de estribos: Arriba (13”) 0.33m (es decir 3.5cm de recubrimiento a eje de estribos), izquierda (29”) 0.73m; abajo (19”) 0.48m; borde apoyo (5”) 0.13m; las 6”= 0.15m y las 24”= 0.60m.

la contribución del hormigón a se vez debe ser tal que: vc

=

V c bw d 

   

≤ 0.30

φ  0.30  f c´

+

2 3

´

f c

   

 f c  = 0.75 x0.97 35 ´

  22.20t     2   0.40 x0.75m  

2

=

4.30 MPa = 430t  / m

 5.25tmx2.42m  + 2 4    1.7 x0.26 m  

2

2

=

2

5476 + 12222 = 133t  / m < 430t  / m

2

por lo que las dimensiones de la sección transversal son adecuadas. 4) Determinar el área de estribos por torsión. T d  = φ T n T n

≥ T u = T r  = 5.25tm

=

2 Ao At  f yv

s

cot θ 

Ao  =  = 0.85 Aoh  =  = 0.85 x 0.26 m 2  = 0.221 m 2  = 2210 cm 2  o  θ = 45    f y = 4.20 t/cm 2  cot θ = 1.0 ≤ p     h  separación máxima de estribos por torsión es s ≤   h /8   = 242cm/8= 30 cm y por corte d/2= 75cm/2 = 37.50 cm Adoptamos s= 30 cm  At 

=

525tcmx30cm 2

2 x 0.75 x 2210cm  x 4.2t  / cm

2

= 1.13cm

2

 por rama cada 30 cm .

que podría corresponder a un estribo cerrado con una barra de 12 mm cada 30 cm. Sin embargo hay que sumar requerimientos por corte.

47

5) Determinar el área de estribos por corte. V d  = φ V n

v c c  =  = 0.167 

35  =

= φ (V c + V s ) ≥ V u = V r  =

22.20t 

0.99 MN/m 2  = 99 t/m 2 

corte último: v u u  =  = 22.20 t / (0.40 x 0.75) m 2  = 74 t/m 2  necesario a tomar por acero: 2 

φ v  v s s  =  = v u u v c c =    = 74 – 0.75 x 99 = 0 t/m    - φ v 

por lo que no es necesario armadura de corte. 6) Área total de estribos por combinación de corte y torsión. Si se adopta un solo estribo cerrado:   Av    2

   

+  At   =

0 + 1.13 = 1.13cm

2

en cada rama y cada 30 cm .

En este caso resultaría un estribo con diámetro 12 mm cada 30 cm. El diámetro del estribo cumple además el requerimiento de norma de ser mayor de 10 mm . 7) Verificar armadura mínima de estribos. El área total de las dos ramas del estribo debe ser: ( Av

)

+ 2 At  =

2

(0.0 + 2 x1.13) = 2.26cm ≥

1 16

´

 f c

bw s

=

 f  yv

0.0625 x

35 420

 x 40 x30cm

y ( Av

)

+ 2 At  =

2

2.26cm ≥

0.33bw s

 f  yv

=

0.33 2 2  x 40 x30cm = 0.94cm 420

con lo cual se verifican ambos requerimientos. 8) Obtener la armadura longitudinal adicional por torsión.  Al

=

 At  s

 p h

 f  yv  f  yl

2

cot θ  =

1.13cm 30cm

2

 x 242cmx1.0 x1.0 = 9.10cm

2

2

= 1.05cm

2

48

9) Verificar la cantidad mínima de armadura longitudinal por torsión. ´

 Al ,min

 Al ,min

5  f c  Acp

=

12 f  yl

=

  At    f  yv  ph   s    f  yt 

−

5 35 x 3500cm 12 x 420

2

− 0.028cmx 242cm =

20.54 − 9.10 = 11.44cm

2

debiéndose cumplir además que:  At  s

=

113mm

2

300mm

=

3.43 ≥

1 bw 6  f  yv

=

0.167

400 420

mm = 0.15

y se ve que controla la condición de cuantía mínima adicional por torsión. El acero longitudinal requerido por torsión debe ser distribuido alrededor del perímetro del estribo cerrado, con separación máxima de 30 cm , y estar dentro del estribo, con una barra en cada esquina del mismo. En las siguientes figuras se indican esquemas de armado. De topas maneras, se verá que se ha apartado de lo calculado para el ejemplo, adoptando armaduras para corte y torsión un poco más conservadoras. Se adoptan 12   barras de diámetro 12 mm   que suministran 13.56 cm 2 . El perímetro donde se deben colocar es de 243 cm , lo que da una barra cada 20 cm  aproximadamente. La Fig. E1-4 muestra cuál sería la primer tentativa de armadura longitudinal por torsión. La misma puede verse levemente modificada en función de cómo se acomode la armadura de flexión.

Fig. E1-4. Armaduras parciales de torsión, corte y flexión.

49

10) Armadura de flexión en el centro del tramo:  A ≅

 M u / φ   f  y ( d − d ´)

=

6330tcm 2

0.90 x 4.2t  / cm (75 − 5)

=

23.92cm

2

mientras que la cuantía mínima por flexión es (1.4/f y y )  = 0.3333 , por lo que: Amin  =  = 0.333 x 40 cm x 75 cm = 10 cm 2  por lo que controla el momento demanda. En los extremos, extremos, donde el momento flector es nulo, se debe suministrar al menos 1/3   de la armadura que cubre el momento máximo, según el ACI-318, sección 12.11, es decir (24 (24 cm 2  / 3 = 8 cm 2 ). Teniendo ya presente los requerimientos de torsión, para la armadura de flexión se adoptan 4  barras  barras de diámetro 25 mm, 2 de 20 mm y una de 12 mm , lo que da un total de 27 cm 2 , dispuestos como lo indica la Fig. E1-4. Con esta disposición, y sin tener en cuenta la armadura de torsión, pues es adicional, un análisis seccional preciso da los siguientes resultados, para el estado último o resistencia nominal: M n n=  72.47 tm ε smax   =1.7 % por lo que φ = 0.90, con eje neutro a 11.23 cm smax  =1.7 M d d = 0.90 x 72.47 tm = 65 tm > 63 tm, O.K. La Fig. E1-5 muestra en definitiva las secciones transversales en tramo y apoyo cuando se combinan los requerimientos de torsión, flexión y corte.

Fig. E1-5. Diseño de la sección transversal en Tramo y Apoyo.

50

7.11 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 2. Una viga con un extremo empotrado y otro libre en voladizo, de sección con ancho b= 0.30m  y  y altura total h= 0.50 m  está  está sometida a un par torsor en su extremo H21 y el acero ADN 420 . Diseñar la libre igual a T u u=  4.0 tm . El hormigón es calidad H21 y sección a torsión. Solución.

(1) Es torsión por equilibrio, por lo que hay que evaluar T u u,  que es dato para este problema. (2) Torsión crítica: Acp  =  = 0.15 m 2  p cp   = 1.6 m cp  = Torsión que produce fisuración: T cr  =

1 3

2

´ c

 f 

 Acp  pcp

 

(7.16)

T cr   = 0.016 MNm = 1.6 tm cr  =  = 0.40 tm < 4.0 tm  Torsión crítica = ¼T cr  = por lo que la torsión no puede ser ignorada. (3) Verificación de dimensiones de hormigón Distancia de bordes a centros de estribos estimada en 2.5 cm , por lo que: p h h  =  = (0.25 m + 0.45m) x 2 =1.40 m Aoh  =  = (0.25 x 0.45) m 2  = 0.1125 m 2 2  T u u x  0.97 (f´ c c )  1/2 = 0.75 x 0.97 x (21)1/2  = 3.33 MNm   x p h  h /   / 1.7 x Aoh   = 2.60 MNm < φ  0.97

por lo que la condición queda satisfecha. satisf echa. (4) Armadura transversal: De la ecuación de diseño se obtiene  At  =

T u s 2φ   Ao f  yv cot θ 

 

(7.28)

51

y para s=17 cm <  p   p h h /  8 = 17.5 cm Ao  =  = 0.85 Aoh  =  = 0.85 x 0.1125 m 2  = 0.096 m 2   At 

400tcmx17cm

=

2

2 x 0.75 x 4.2t  / cm 960cm

= 1.12cm

2

2

 = 1.13cm 2  ) cada 17 cm. por lo que se adopta estribos de 12 mm (At  = (5) Armadura longitudinal: Teniendo en cuenta que el tipo de acero para armadura transversal y longitudinal es el mismo:  Al

=

 At  s

 p h

=

1.13cm

2

17cm

140cm = 9.31cm

2

para lo cual se pueden disponer de 4 barras de diámetro 12 mm por cara lateral y adicionar 1 barra de diámetro de 8 mm arriba y abajo, lo cual suma 10cm 2, y la distribución es casi uniforme como es la exigencia. (6) Armaduras mínimas: Transversal: 2 At  ≥

1 16

bw s

'

 f c

 f  y

= 0.0625 x 4.58 x300mmx170mm / 420 = 35mm

2

y esta expresión controla sobre: (2 At  ) ≥

0.33bw s

 f  yv

 

pero se necesitan 112 mm2, tal cual se calculó antes. Longitudinal: ´

 Al ,min

=

 Al , min

=

5  f c  Acp 12 f  yl

  At    f  yv  ph s      f  yt 

−

5 21 x1500 12 x 420

cm

2

− 9.13cm

2

= 6.82 − 9.13

la cual en este caso carece de sentido por dar negativa.

(7.32b)

52

7.12 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 3. La viga de la Fig. E3-1 es continua, está apoyada en columnas tal que la distancia entre caras de columnas es de 8.50m   y soporta una losa construida monolíticamente con un voladizo de luz libre 1.70m . La losa tiene espesor de 15 cm y la viga es de 30 cm de ancho y 60 cm de alto. La altura útil de la viga es d= 55 cm . La losa soporta una carga viva L= 0.25 t/m 2 . El hormigón es H30 y el acero ADN420. La viga además soporta una carga accidental centrada en su eje longitudinal y uniformemente distribuida de L=1.50 t/m. Evaluación de Cargas Últimas: Peso propio de losa = 0.15m x 2.40 t/m 3  = 0.36 t/m 2  Carga última sobre la losa U= 1.2 x 0.36 + 1.6 x 0.25 = 0.83 t/m 2  Peso propio de la viga = 0.30 x 0.60 x 2.4 t/m = 0.43 t/m Carga Última en viga U= 0.83 t/m 2  x 1.70m +1.2 x 0.43 t/m + 1.6 x 1.5 t/m = 4.33 t/m

Fig. E3-1. Viga continua sometida a Torsión por losa en vodadizo.

Esfuerzos para estado de diseño por resistencia. A) losa. Momento flector a cara de viga (ver ACI-318-sección 8.7, luz de cálculo) M u u /m = (0.83 t/m 2  /m) x 1.70 2  m 2  / 2 = 1.20 tm/m   Es el momento de empotramiento en losa por unidad de longitud de viga. V u u /m = 0.83 t/m 2  /m x 1.70m = 1.40 t/m   B) Viga. Momento flector: 2  2  M u u = x = f(del grado de empotramiento)   = 4.33 t/m x 8,50   m  / x Corte: V u u =    = 4.33 t/m x 8.50 m / 2 = 18.50 t

53

Momento Torsor máximo en caras de columnas o extremos de vigas: 2  T u u =   = 0.83 t/m   x 1.70 m (1.70/2 + 0.15) m x 8.50 m /2 = 6.0 tm Relaciones geométricas: (i) como sección rectangular: Acp  =  = 0.30m x 0.60m = 0.18 m 2 p cp   = (0.30 + 0.60) m x 2 = 1.80 m cp  = Acp  / / p cp   = 0.018 cp  = (i)

como sección rectangular L:

Acp  =  = 0.30m x 0.60m + 0.15 x 0.45 = 0.2475 m 2 p cp   = (0.60 + 0.30 + 0.45 + 0.45 + 0.15 + 0.75) m = 2.70 m cp  = Acp  / / p cp   = 0.023 cp  = por lo que controla este valor, y se debe considerar el efecto de las alas. El valor de T lim   o crítico es: lim  o T lim   = 1/12 x 0.75 x (30)1/2  x 0.023= 7.87x10 -3 MNm= 0.79 tm lim  = y resulta bastante menor que T u u=  6.0 tm , por lo que la torsión no puede ser ignorada. Suponiendo un recubrimiento de 3.4 cm en toda la periferia (a borde exterior de estribo), y considerando que se colocará estribo de 12 mm (prediseño), resultan: x o o  = 30 cm – 2(3.4+1.2/2) = 22 cm

y o o =    = 52 cm

por lo que: p h h  =  = (0.22 m + 0.52 m) x 2 =1.48 m Aoh  =  = (0.22 x 0.52) m 2  = 0.1144 m 2 2  2  v t t=   T u  u x   x p h  h /   / 1.7 x Aoh   = 3.99 MNm = 399 t/m 

(note que el código NZS-3101 designa a la tensión de corte por torsión como v t t=T   ), y  ), y observando la ecuación 7.15 se ve que son similares)  =T u  u /(2tA   o  y el corte es: 2  2  v u u =   = 18.50 t / 0.30 x 0.56m   = 110 t/m 

(v t t2   +v u u2   )1/2  = 413 t/m 2  > φ  0.97  0.97 (f´ c c )  1/2 = 0.75 x 0.97 x (30)1/2  = 3.98 MNm= 398 t/m 2  por lo que es necesario modificar las dimensiones. Se deja al lector la continuidad del ejercicio.

54

7.11 REFERENCIAS. [1] “Building Code Requirements for Reinforced Concrete”. ACI-318-83 y ACI-3182005. [2] “Reinforced Concrete Structures”. Robert Park y Tomas Paulay. John Wiley & Sons. 1975. [3] “Seismic Design and Retrofit of Bridges”. M. J. N. Priestley, F. Seible & G. M. Calvi. John Wiley & Sons. 1996. [4] “Mechanics of Materials”. E. P. Popov. Prentice-Hall, INC, Englewood Cliffs, N.J., sixth printing, 1957. [5] “Ciencia de la Construcción”. Odone Belluzzi. Tomo I. 1970. [6] “Estructuras de Hormigón Armado”. Fritz Leonhardt, Tomo I: Bases para el dimensionamiento de estructuras de hormigón armado. El Ateneo. 1973. [7]. CIRSOC 201. Proyecto de Reglamento Argentino para Estructuras de Hormigón. En período de discusión pública. Noviembre 2005. INTI. [8]”Armadura Mínima de Torsión”. Emil Sánchez. XXXI Jornadas Sud Americanas de Ingeniería Estructural. Mendoza. 17 a 21 Mayo 2004. [9] “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings”. Buildings”. T. Paulay & M. M. N. J. Priestley. John Wiley & Sons. 1992. [10] “Diseño de Estructuras de Concreto”. Arthur H. Nilson. 20th. Edición. McGrawHill. 1999. [11] “Curso de Hormigón Armado”. Oreste Moretto. 2th. Edición. El Ateneo. 1970. [12] “A Re-definition of the Stiffness of Reinforced Concrete Elements and its Implications in Seismic Design”. Tomas Paulay. Structural Engineering International 2001; 11(1): 36-41. [13] “Turning Loss to Gain”. Northridge Earthquake. Seismic Safety Comission. State of California. Report to the Governor. Governor´s Executive Order W-78-94. SSC Report No. 95-01. Sacramento, California, 1995. [14] “The 1994 Northridge Earthquake Damage Analysis of Selected Freeways Bridges”. Nigel Priestley. 2-EIPAC-1994. 24 al 28 de Octubre 1994. Mendoza. [15] “Notes on ACI 318-02. Building Code Requirements for Structural Concrete with design applications”. Edited by David Fanella & Basile Rabat. PCA, Portland Cement Association. [16] “Reinforced Concrete. A fundamental approach. Fifth edition. ACI-318-05 Code edition”. Edard G. Nawy. Prentice Hall. 2005. [17] “NZS-3101. Concrete Structures Standard”. Part 1 Design of Concrete Structures and Part 2 Commentary. 1995.

55

7.12 APÉNDICE: EJEMPLO DE TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD.

56

57

Modelos del ejemplo con ETABS.