PROBLEMAS DE ESTAD´ISTICA ´ GRADO EN INGENIER´IA ELECTRONICA ´ INDUSTRIAL Y AUTOMATICA CURSO 2014/2015
Estad´ıstica Descriptiva 1. Una compa˜ n´ıa el´ectrica ha realizado una investigaci´on estad´ıstica en relaci´on con las causas que han provocado la interrupci´on del suministro de energ´ıa el´ectrica en la red que abastece y se han obtenido los siguientes datos. AT FM FF AT OC FF NA AE OC OC
AP AE AT FM OC AT OC OC AT FF
FM FF NA OC AT AE FF OC OC OC
FF AT OC AE FF OC OC FF OC AE
OC FF AE AT OC FM AE AT OC FF
NA OC OC FF AT AE AT OC AT FM
AE AT FM OC FF FF OC OC AE AT
FF OC AT AP FM OC AT NA FF AP
OC AE AE OC AT OC FF FM OC NA
AT OC FF FM OC AE FM AT FF AT
donde las abreviaturas utilizadas significan: • FF: Fallo Elemento. • AT: Atmosf´ericas. • AE: Agentes Externos. • FM: Falsas Maniobras. • AP: Mala Actuaci´on de Protecciones. • OC: Otras Causas. • NA: No aclaradas. Se pide: (a) Construir la tabla de frecuencias de la variable estad´ıstica en estudio. ¿De qu´e tipo se trata?. (b) ¿M´as de la mitad de interrupciones se debieron a causas atmosf´ericas?. (c) ¿El porcentaje de interrupciones no aclaradas es superior al debido a causas atmosf´ericas?. (d) Representar un diagrama de rect´angulos y uno circular. 2. Las puntuaciones obtenidas por 100 opositores en el u ´ltimo ejercicio se presentan en el siguiente cuadro:
1
7 3 2 8 0 9 6 4 4 8
3 2 5 6 2 7 1 6 7 5
2 4 6 3 1 3 0 2 6 2
4 9 5 4 5 4 5 1 3 7
5 8 4 0 6 3 7 1 5 1
1 1 7 10 4 5 8 2 0 4
8 0 1 2 3 7 5 6 2 6
6 2 3 5 5 4 2 7 8 3
1 4 0 7 2 6 3 4 2 5
5 1 5 4 3 5 10 5 7 6
Se pide (a) Construir la tabla de frecuencias adecuada para las puntuaciones de los opositores. (b) Dibujar el pol´ıgono de frecuencias y el diagrama de frecuencias relativa acumulado. (c) Calcular media, mediana y moda de las puntuaciones obtenidas. (d) ¿Cu´al es el porcentaje de opositores que sacaron un 5 en la oposici´on? ¿y menos de un 5?. (e) Hallar el porcentaje de opositores que sacaron notas superiores a 4. (f) Si s´olo hay 20 plazas ¿En qu´e nota hay que situar el aprobado?. 3. Considere las siguientes observaciones efectuadas en el flujo de corriente (miles de acres-pies) registradas en una estaci´on de Colorado. 177.96
285.37
200.19
125.86
117.64
204.91
230.07
100.85
66.24
114.79
262.74
311.13
203.24
89.59
247.11
109.11
280.55
150.58
108.91
185.36
299.87
330.33
145.11
262.09
178.21
126.94
109.64
85.54
95.36
336.78
94.33
172.08
125.32
142.07
99.24
137.8
Se pide (a) Construir la tabla de frecuencias agrupando en 5 intervalos cuyo l´ımite inferior de la primera clase sea el mayor entero menor que el valor m´ınimo y el l´ımite superior de la u ´ltima sea el menor entero mayor que el valor m´aximo. (b) Representar el histograma de frecuencias absolutas y el pol´ıgono de frecuencias relativas acumulado. (c) Calcular la media, mediana y moda de la variable en estudio. (d) ¿Entre qu´e valores del flujo se encuentra el 40% de las observaciones centrales?. (e) Calcular las medidas de dispersi´on: varianza y coeficiente de variaci´on de Pearson. ¿Es la media representativa de los datos? 4. Una empresa est´a realizando un estudio sobre la capacidad de ahorro de los individuos de una determinada regi´on. Entre otros datos obtuvo la distribuci´on del ahorro anual, habi´endose construido una tabla completa que posteriormente se extravi´o, quedando u ´nicamente una fotocopia en mal estado con muchos datos borrosos. Reconstruya la tabla original a partir de la siguiente incompleta. Los datos aparecen en miles de pesetas.
2
Intervalo 20-50 - 60 60 -
xi 35
ni 2
Ni 2 8
75
fi
Fi
Amplitud
0.04 0.12
10
0.13 44
100 - 150 150 - 250 - 850
119 0.11
550
12
171 188 200
25 50
Se pide: (a) Construir el histograma de frecuencias absolutas. (b) Calcular la media, moda y mediana. (c) ¿Qu´e porcentaje de personas presenta un ahorro superior a 120.000 ptas?. (d) ¿Entre qu´e valores de ahorro est´a situado el 80% central de las personas estudiadas?. 5. El n´ umero de coches que circulan por un t´ unel que comunica dos ciudades, durante diversos per´ıodos de tiempo se muestra en el siguiente gr´afico.
Se pide: (a) Indicar qu´e tipo de gr´afico es el representado anteriormente y qu´e tipo de variable se analiza en el mismo. (b) Construir la tabla de frecuencias. (c) Calcular la media, la mediana y la moda. (d) Calcular los cuartiles. 6. A un grupo de alumnos se les realiza una prueba de rendimiento, siendo las puntuaciones obtenidas las que muestra el siguiente gr´afico:
3
Se pide: (a) ¿Qu´e tipo de gr´afico recoge las puntuaciones de los alumnos?. Observando el mismo decir qu´e tipo de variable es la que se ha medido, y de cu´antos individuos consta la muestra. (b) Construir la tabla de frecuencias. (c) Representar gr´aficamente el pol´ıgono de frecuencias relativas. (d) ¿Cual es la frecuencia relativa acumulada del valor 7 de la variable?. 7. Se desea estudiar el gasto mensual (en euros) en los tel´efonos m´oviles de los estudiantes universitarios de la Universidad de La Laguna. Para ello, se ha elegido una muestra de 95 alumnos obteniendo los resultados que recoge el siguiente gr´afico.
¿Podr´a usted contestar las siguientes cuestiones formuladas sobre el gasto mensual de los universitarios? (a) ¿Qu´e clase de gr´afico es el anterior? ¿Qu´e tipo de variable representa? Construir la tabla de frecuencias asociada a dicho gr´afico. (b) Calcular la mediana y la moda del gasto mensual en m´oviles. 4
(c) ¿Es la media representativa? ¿En qu´e coeficiente te basas? Calc´ ulalo y contesta razonadamente si es o no representativa la media de los datos. (d) ¿Cu´al ser´ıa el gasto mensual en m´oviles que tan s´olo el 10% de los estudiantes de esta muestra superan ese gasto?. (e) Calcular el n´ umero de estudiantes cuyo gasto mensual no supera los 60 Euros. 8. El siguiente gr´afico recoge el espesor de una pintura de baja viscosidad.
(a) ¿Qu´e gr´afico es el anterior, y qu´e tipo de variable se analiza?. Construir la tabla de frecuencias asociada con dicho gr´afico. (b) Calcular la media, mediana y moda de la variable en estudio. (c) Representar el pol´ıgono de frecuencias de la variable. (d) ¿Qu´e porcentaje de muestras de pintura tienen un espesor superior a 0.95? ¿Entre qu´e valores del espesor se encuentra el 70% de las muestras de pintura con menor espesor?. (e) ¿En cu´antas muestras de pintura el espesor se mantuvo dentro del intervalo 0.70 y 1.25?. 9. La siguiente tabla de doble entrada muestra la relaci´on entre las aver´ıas mensuales de una m´aquina X y la temperatura media de funcionamiento de la misma Y. Supuesto que el tama˜ no de la muestra fuese de 100 m´aquinas, completa la tabla de correlaci´on de la variable bidimensional (X,Y). Determina el n´ umero medio de aver´ıas mensuales, la temperatura media de funcionamiento, la covarianza entre ambas variables y la distribuci´on de la variable temperatura cuando el n´ umero de aver´ıas mensuales es cuatro. ¿Qu´e puedes decir de la independencia entre ambas variables?. Aver´ıas / Temperatura
120
140
160
2 3 4 5
0.2 0.12 0.04 0 0.36
0.15 0.07 0.1 -
0.05 0.02 0.1 -
10. Se considera la siguiente distribuci´on bidimensional (X, Y)
5
0.45 -
X/Y 100 200 300 400
1 2 1 3 4
2 4 2 6 8
3 6 3 9 12
4 10 5 15 20
5 8 4 12 16
Se pide: (a) Calcular las medias y varianzas marginales de X e Y. ¿Qu´e distribuci´on est´a m´as agrupada alrededor de su media?. (b) Calcular las medias de X condicionada a todos los valores de Y. (c) Calcular las medias de Y condicionada a todos los valores de X. (d) ¿Son X e Y independientes?. (e) Calcular la covarianza. 11. La siguiente pregunta tiene 4 posibles respuestas, razona las que consideres correcta e indica el porqu´e. Una distribuci´on bidimensional de frecuencias tiene por rectas de regresi´on: I.- x + 0.3y − 2.9 = 0 y II.- 2.7x + y − 8.4 = 0 Entonces: a).- I es la recta de regresi´on de Y sobre X. b).- ρ coeficiente de correlaci´on vale 0.81. c).- ρ coeficiente de correlaci´on vale 0.9. d).- Las tres afirmaciones anteriores son falsas. Averiguar adem´as las medias de las variables X e Y. Suponiendo que la varianza de Y es de 180, calcular la varianza de X y la covarianza entre ambas. 12. Dadas las siguientes pares de rectas, estudiar si es asumible que sean rectas de regresi´on, y en dicho caso calcular el coeficiente de correlaci´on lineal, los coeficientes de regresi´on y las medias de x e y. a) 2x - 4y 6x + 5y
= =
50 75
4x - 8y 2x - 4y
= =
70 50
b)
13. Las notas obtenidas por 10 alumnos de Ingenier´ıa T´ecnica Industrial especialidad en Mec´anica en Tecnolog´ıa Mec´anica y en M´etodos Estad´ısticos en la Ingenier´ıa son: Tecn. Mec´anica Met. Estad´ısticos en la Ing.
6 6.5
4 4.5
8 7
5 5
3.5 4
7 8
5 7
10 10
5 6
4 5
Se pide: (a) Calcular las rectas de regresi´on y representarlas junto con el diagrama de dispersi´on o nube de puntos. (b) Calcular el coeficiente de correlaci´on y el de determinaci´on. 6
(c) ¿Cu´al ser´ıa la nota esperada en M´etodos Estad´ısticos de un alumno que haya obtenido un 8.3 en Tecnolog´ıa Mec´anica?. 14. A continuaci´on se recoge el tiempo de respuesta en nanosegundos de un circuito l´ogico en fr´ıo X y tras una hora de uso intesivo Y, para un conjunto de 15 m´aquinas: X Y
6.0 8.5
5.0 8.0
8.0 11.0
16.0 12.3
7.0 10.0
4.0 7.7
5.0 9.0
9.0 11.2
12.0 12.0
8.0 10.0
6.0 9.0
11.0 10.5
9.0 9.8
5.0 9.0
8.0 9.0
Se pide: (a) Calcular las medias y varianzas de ambas variables. (b) ¿Qu´e muestra tiene mayor dispersi´on?. ¿En qu´e coeficiente te apoyas para contestar a la anterior cuesti´on?. (c) ¿Son incorreladas dichas variables? Si no es as´ı indica el tipo de correlaci´on que existe entre las mismas. (d) ¿Cu´anto se estima que tardar´a en responder un determinado circuito tras una hora de funcionamiento intensivo, si en fr´ıo tuvo un tiempo de respuesta de 10 nanosegundos?. ¿Consideras el modelo adecuado para dicha predicci´on?. ¿En qu´e coeficiente te basas?. Razona la respuesta.
7
