Solucionario Algebra Lineal Hoffma Hoffman n Kunze Kunze Juan Ju an M´ arqu ar quez ez
Cap Ca p´ıtul tu lo 2 2.4
6. Sea V el espacio vectorial sobre los n´ umeros complejos de todas las funciones de R en C; es decir, umeros el espacio de todas las funciones sobre le eje real a valor complejo. Sea f 1 (x) = 1, f 2 (x) = eix , f 3 (x) = e ix . (a) Demostrar que f 1, f 2 , f 3 son linealment linealmentee independientes. independientes. (b) Sea g1 (x) = 1, g2 (x) = cos(x), g3 (x) = sin(x). Hallar una matriz inversible 3 × 3, P , tal que −
3
g j =
P ij ij f i
i=1
. Prueba: α1 , α2 , α3 ∈ C. α1f 1 + α2 f 2 + α3 f 3 = 0 ⇔ ∀x ∈ R, α1 f 1 (x) + α2 f 2 (x) + α3 f 3 (x) = 0(x). Si x = 0 ⇒ α 1 + α2 + α3 = 0 funcionales funcionales lineales lineales 3. Si A, B son matrices n × n sobre el cuerpo F , demostrar que traza(AB )=traza(BA ). Entonces demostrar que las matrices semejantes tienen la misma traza.
n
Demostraci´on: on: Sean A = (aij ), B = (bij )
∈
M n
n
×
(F )
⇒
(AB ) =
aik bkj
= (cij )
⇒ traza(AB )=
k=1
n
n
n
cii =
i=1
n
n
aik bki =
i=1
k=1
bki aik =traza(BA ).
k=1
i=1
9. Sea V el espacio vectorial de todas las matrices 2 × 2 sobre el cuerpo de los n´ umeros umeros reales, y sea
2 B= −1
−2
1
.
Sea W el subespacio de V que consta de todas las A tales que AB = 0. Sea f un funcional lineal sobre V qu´e esta´ en el anulador de W . Sup S up´´onga on gase se que qu e f (I ) = 0 y f (C ) = 3, donde donde I es es la matriz identidad identidad 2 × 2 y C =
0 0 0 1
Hallar f (B ).
a b a b Soluci´on: on: Sea A = . A ∈ W ⇔ c d c d
2 −1
−2
1 1
= 0⇔ A =
a 2a . c 2c
∴
W =
a 2a : a, c ∈ R = c 2c
B=(-1)
1 2 1 0 0 0 +(3) +(-1) 0 0 0 1 1 2
f(B)=(-1)f
1 2 0 0 + c : a, c ∈ R . Por inspecci´ on : a 0 0 1 2 ⇒
1 2 1 0 0 0 +(3)f +(-1)f = 0 0 0 1 1 2
=(-1)0+(3)0+(-3)3+(-1)0+(2)0=-9.
∴
f (B ) = −9
Valores Propios 1. En cada uno de los siguientes casos, sea T el operador lineal sobre R2 representado por la matriz onica de R2 y sea U el operador lineal en C2 representador por A en al base A en la base ordenada can´ ordenada can´ onica. Encontrar el polinomio caracter´ıstico de T y de U , hallar los valores propios de cada operador y para cada uno de tales valores propios c hallar una base para el correspondiente espacio de vectores caracter´ısticos.
1 0 2 3 1 1 , A= , A= 0 0 1 1 −1 1 1−λ 0 Soluci´on: i) det(A − λI ) = det = (1 − λ)(−λ) = p (λ), ∴ λ = 0 paraT yU. 0 −λ 2−λ 3 ii) det(A − λI ) = det = 5 − λ = p (λ), ∴ λ = 5 valor propio para T y U . 1−λ −1 1−λ 1 iii) det(A − λI ) = det = (1 − λ)2 − 1 = 0 ⇔ λ (λ − 2) = 0 ⇒ λ = 0 ∨ λ = 2. 1 1−λ A=
2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre F. ¿Cu´al es el polinomio caracter´ıstico del operador identidad sobre V? ¿Cu´ al es el polinomio caracter´ıstico para el operador cero?
1−λ 0 Soluci´on: pc (λ) = det = (1 − λ)2. 0 1−λ 2 ∴ p c (x) = (1 − x) . pc (λ) = det
−λ
0
0
−λ
= λ 2 . ∴ p c (x) = x 2 .
3. Sea A una matriz triangular n × n sobre el cuerpo F. Demotrar que los valores propios de A son los elementos de la diagonal de A, es decir, los escalares Aii Demostraci´on: Inducci´ on en el orden de la matriz. Sin p´erdida de generalidad sea A una matriz triangular superior, A =
a11 Ddots
···
a1n
0 · · · ann con diagonal a11 y det(A) = a 11 .
Para n = 1 se tiene que A = a 11 , es decir A triangular superior
2
Sea v´alida la proposici´on para orden n en la matriz, ahora sea A =
a11
.. .
···
a1n
ann ann+1
a1n+1
3
