Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
HIDROLOGÍA DEL RÍO SIGUAS
1. GENERALIDADES 1.1 INTRODUCCIÓN El Proyecto de Irrigación “Pampas Bayas”, ha sido concebido considerando la utilización racional de los recursos hídricos provenientes de las partes altas de la subcuenca semiregulada del río Siguas, incluido sus tributarios; para atender las demandas de agua de uso agrícola, agroindustrial y poblacional del Proyecto. Específicamente, se ha planteado el traslado del agua de los sectores de Huanca, Taya, Lluta, Querque, Murco y Quilca, afectados por la actividad sísmica del Sabancaya, hasta “Pampas Bayas” y, adicionalmente, la construcción del embalse de las aguas del río Pichirijma en la parte media de las estribaciones del nevado Ampato, donde se registran precipitaciones de alta intensidad. Para tal efecto, el estudio hidrológico del río Siguas está orientado a determinar con la mayor precisión, el potencial hídrico de la subcuenca, con el fin de planificar, ordenar y optimizar racionalmente sus usos. La realización del presente estudio, permitirá otorgarle mayor consistencia a la información existente relacionada a la disponibilidad de los recursos hídricos y sus usos dentro del ámbito del proyecto, cuyos estudios han sido realizados por consultores e instituciones del Estado. Una vez compilada la información existente, se tomaron datos de campo en relación a descargas base, uso actual del agua y la fisiografía de la subcuenca, con lo cual se ha evaluado y complementado la información hidrológica. Como se ha indicado, los recursos hídricos de la subcuenca del río Siguas servirá para irrigar el área denominada “Pampas Bayas”; en consecuencia, es necesario la definición de los parámetros de la misma tales como: la descripción y características morfológicas del área de la subcuenca desde la confluencia con el río Vítor, descripción y características morfológicas del área de la subcuenca aguas arriba de la bocatoma, descripción y características del área de la subcuenca aguas arriba del eje de la Presa en el río Pichirijma, características del agua, transporte de sedimentos, zonas de vida ecológica, máximas avenidas, balance hidrológico, calidad geoquímica, entre otras.
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1.2 MARCO TEÓRICO 1.2.1 HIDROLOGÍA La hidrología, versa sobre el estudio del agua de la tierra, su existencia y distribución, sus propiedades físicas y químicas y su influencia sobre el medio ambiente, incluyendo su relación con los seres vivos. El dominio de la hidrología abarca la historia completa del agua sobre la tierra. 1.2.2 EL CICLO HIDROLÓGICO El ciclo hidrológico, es la sucesión de cambios que experimenta el agua al pasar de la atmósfera a la tierra y volver nuevamente a la atmósfera; dichos cambios están referidos a la evaporación desde el suelo, mar o aguas continentales, condensación de nubes, precipitación, acumulación en el suelo de masas de agua y reevaporación. El ciclo hidrológico involucra un proceso de transporte recirculatorio e indefinido o permanente del agua, este movimiento permanente del ciclo se debe fundamentalmente a dos causas: la primera, la radiación solar, mediante la cual el sol proporciona la energía para elevar el agua (evaporación) y, la segunda, la gravedad terrestre, que hace que el agua condensada descienda (precipitación y escurrimiento). 2. SUBCUENCA DEL RÍO SIGUAS 2.1 DEFINICIÓN En general, una CUENCA, es el área de alimentación de una red natural de drenaje cuyas aguas provenientes de las precipitaciones son recogidas por un colector común. Una quebrada o un cauce cualquiera, es el dren natural de toda una cierta zona de terreno; esta quebrada, a la salida entrega a otro dren natural mayor el agua por ella recogida, este dren mayor que puede recoger el agua de varias quebradas, entrega a su vez toda el agua a otro dren aún mayor y así sucesivamente. La zona de terreno drenada por el dren recibe el nombre de cuenca.
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2.2 UBICACIÓN La subcuenca del río Siguas, es parte integrante de la cuenca del río Quilca, ubicada en su lado derecho, se desarrolla en el flanco oeste de la Cordillera Occidental de los Andes peruanos, los cursos más extremos nacen en los nevados (volcanes) Ampato y Sabancaya, a una altitud de 6 100 msnm, cuyo drenaje se manifiesta en un conjunto de cauces naturales, quebradas y ríos, según se muestran en los planos respectivos. Esta subcuenca limita tanto al norte, noreste y oeste, con la cuenca hidrográfica del río Colca, al sureste con la subcuenca del río Yura, afluente del río Uchumayo – Vítor y al Sur con la subcuenca del río Vítor. La confluencia de los ríos Siguas y Vítor en el extremo sur (fuera del área de estudio), da lugar al río Quilca, el cual mediante un recorrido de corta distancia confluye finalmente a la Hoya Hidrográfica del Océano Pacífico. La altitud de la subcuenca de mayor importancia para el proyecto, comprende desde la captación propuesta en el río Siguas, en la cota promedio de 1 940 msnm, hasta la cima del nevado Ampato en la cota 6 100 msnm. Políticamente, la subcuenca del río Siguas está ubicada en la jurisdicción de la provincia de Caylloma, departamento y región Arequipa, cuyas coordenadas geográficas extremas que delimitan al área son: 71º39’01” - 72º07’07” de longitud oeste y 15º43’00” - 16º11’04” de latitud sur y, para la zona de captación en el cauce del río Siguas es: 72º01’02” longitud oeste y 16º11’04” latitud sur y cota 1 940 msnm aproximadamente.
2.3
VÍAS DE ACCESO
El acceso a la subcuenca Alto Siguas que comprende los sectores de Huanca, Taya y LLuta, es a través de una vía asfaltada en su tramo inicial (aproximadamente de 35 km), que parte de Arequipa pasando por los baños La Calera en Yura hasta llegar a los poblados antes indicados y, la parte alta de Lluta (Querque), también es accesible desde la irrigación Majes. El acceso a la parte baja que comprende la subcuenca del bajo Siguas, ubicada entre las coordenadas: longitudes este 804 000 y 138 800 y las latitudes norte 8 169 900 y 8 178 600; a una altitud comprendida entre los 1 200 a 1 270 msnm, es a través de la carretera Panamericana Sur, a la altura del km 930.
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2.4
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INFORMACIÓN TOPOGRÁFICA Y CARTOGRÁFICA
La información topográfica y cartográfica básica utilizada para el estudio de nuestra cuenca, ha constado de las cartas nacionales, cartas de restitución aerofotográficas elaborado por el Instituto Geográfico Nacional (IGN) a la escala 1:100 000; identificados como sigue: • Orcopampa
(31r)
• Huambo
(32r)
• Aplao
(33r)
• Mollendo
(34r)
• Caylloma
(31s)
• Chivay
(32s)
• Arequipa • La Joya
(33s) (34s)
2.5 SISTEMA HIDROGRÁFICO DEL RÍO SIGUAS La subcuenca Siguas, es parte de la hidrografía de la cuenca del río Quilca. El río Siguas al unirse con el río Vítor forman el río Quilca, que desemboca al Océano Pacifico. El río Siguas se forma al confluir los ríos Lluta y Lihualla, teniendo como fuentes de alimentación los deshielos de los nevados Ampato y Sabancaya y parte del Hualca Hualca y Ananta y además, las precipitaciones pluviales de las partes altas de las cuencas. En esta superficie se desarrolla un conjunto de drenes naturales, como quebradas, ríos, etc., algunos sirven de colectores locales, están agrupados en cuatro franjas de escorrentía superficial, dos en el lado izquierdo y otros dos en el lado derecho con respecto al nevado Ampato. El río La Mina – Lluta tiene su origen en el lado norte del nevado Ampato, aproximadamente a una altitud de 5 200 msnm, sigue un curso orientado de norte a sur, una longitud estimado de 51,8 km hasta la confluencia con el río Huasamayo, con un desnivel de 3 800 m, una pendiente de S = 7%, de régimen hidrológico perenne, alimentado por numerosas vertientes provenientes de los deshielos del nevado Ampato; presentándose en su relieve morfológico hasta el sector de Toroya una mayor intensidad de drenaje desarrollando un sistema subparalelo a arborescente respecto a tributarios.
sus
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El río Seraj – Tarucani ubicado más hacia el Norte, nace a una altitud aproximado de 5 200 msnm, flanco norte del nevado Sabancaya y sur del otro nevado contiguo Hualca Hualca, se orienta de este a oeste hasta la altura del cerro Pucapunta, con drenaje pobre y sistema subparalelo por encontrarse en la altiplanicie, luego se encajona hasta el sector de Ichocollo confluencia con el río Huasamayo, con orientación de norte a sur, en este tramo existe una buena densidad de drenaje desarrollando un sistema dendrítico - rectangular, de régimen permanente alimentado por los flujos subterráneos que vierte en sus nacientes provenientes del deshielo de los nevados Hualcahualca y Sabancaya. La longitud de este río es de 34 km, un desnivel de 2 200 m hasta la confluencia con el río La Mina. Desde la confluencia de ambos cursos continúa encajonado con una orientación general de norte a sur y denominaciones como Lluta o Huasamayo al que entrega sus aguas el Proyecto Majes proveniente del lado oeste, tiene una longitud de 38 km y un desnivel de 1 000 m, con pendiente de S = 5,5%, hasta confluir con el río Siguas; en este tramo y sólo en la margen derecha es nítido el desarrollo del drenaje denso en el sistema dendrítico, mientras la margen izquierda carece de drenaje. El río Pichirijma es de mayor longitud y está ubicado en la parte central, con respecto al nevado Ampato, nace en las Pampas de Huanohuara del extremo este, a una altitud cercana a los 4 800 msnm, se orienta de este al suroeste en curso sinuoso y encajonado (profundo), hasta confluir con el río Lihualla del lado izquierdo, tiene una longitud de 39 km, un desnivel de 2 810 m y una pendiente de S = 4%. El drenaje desarrollado en esta microcuenca es ralo y, sólo en la margen derecha, parte alta, sectores de Moca y Cuñirca presenta un sistema de drenaje subparalelo respecto al colector principal. El río Lihualla está ubicado en el extremo sureste del área, al norte de Tacra, cerca de la divisoria de las aguas con la microcuenca del río Yura a una altitud de 4 800 msnm, se orienta hacia el suroeste en curso sinuoso profundo, en valle abierto pasando por varias localidades entre las principales Huanca y Murco, conformado por un conjunto de ríos pequeños como: Colquemarca, Huaypune, Quellocancha, Jaruma, Huaycco, Condori, Chaquimayo, etc., todos confluyen al río Lihualla, constituyéndose como colector principal localmente, cuyo recorrido tiene una longitud de 33,8 km hasta la confluencia con el río Pichirijma, un desnivel de 1 400 m y una pendiente de S = 5,2% aproximadamente; este río es de régimen hidrológico permanente alimentado por los deshielos del nevado Ampato, variando su caudal según las estaciones hidroclimáticas de la región.
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El drenaje es denso y uniforme en ambos márgenes con desarrollo del sistema subparalelo y dendrítico. La confluencia de los ríos Pichirijma y Lihualla al sur de la localidad de Murco, a una altitud aproximada de 2 000 msnm, dan origen al denominado río Siguas, que sigue un curso sinuoso y encañonado y profundo hacia el suroeste hasta confluir con río Lluta en la cota de 1 990 msnm, tiene una longitud de 15,1 km, un desnivel de 665 m y una pendiente aproximada de S = 5,2%.
2.6
PARÁMETROS MORFOLÓGICOS DE LA SUBCUENCA DEL RÍO SIGUAS
2.6.1
DELIMITACIÓN DE LA SUBCUENCA DEL SIGUAS
Se designa como delimitación de una cuenca, a la línea que separa las precipitaciones que caen en cuencas inmediatamente vecinas y que encaminan la escorrentía resultante para uno u otro sistema fluvial. La divisoria sigue una línea rígida, atravesando el curso de agua solamente en el punto de salida y une los puntos de máxima cota entre cuencas contiguas, lo que no impide que en el interior de una cuenca existan picos aislados con una cota superior a cualquier punto de la divisoria. Para la delimitación de la subcuenca, se ha utilizado la carta nacional digitalizada a escala 1:25 000 de acuerdo con su divisoria topográfica. El resultado de la delimitación puede observarse en el plano correspondiente. Bajo estos criterios, se han efectuado tres delimitaciones dentro de la subcuenca del río Siguas, de acuerdo al interés del proyecto y por la falta de información hidrométrica: la delimitación de la subcuenca del río Siguas, la delimitación de la subcuenca aguas arriba de la bocatoma y, la delimitación de la subcuenca aguas arriba del eje de la presa, sobre el río Pichirijma. 2.6.1.1 DELIMITACIÓN DE LA SUBCUENCA DEL RÍO SIGUAS Comprende toda la subcuenca del río Siguas, incluido sus tributarios, desde la confluencia con el río Vítor hasta sus inicios en las partes altas de la misma. Con esta delimitación nos ha permitido conocer la magnitud de toda la subcuenca, la distribución de su área con respecto a sus altitudes, la distribución de la precipitación dentro de la subcuenca, el potencial hídrico de la subcuenca, etc. 2.6.1.2 DELIMITACIÓN DE LA SUBCUENCA AGUAS ARRIBA DE LA BOCATOMA
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Comprende parte de la subcuenca del río Siguas, aguas arriba de la bocatoma, para lo cual previamente se ha ubicado la captación sobre el cauce principal del río Siguas, a una altitud aproximada de 1 944 msnm, mediante una nivelación en campo, realizada desde la cabecera de las pampas por irrigar, siguiendo una línea de gradiente en sentido inverso al flujo, de modo que nos garantice una conducción que funcione hidráulicamente por gravedad. Con esta delimitación, se ha logrado obtener todos los parámetros de la subcuenca descritos en el numeral precedente y además, la generación de caudales mensuales en la captación. 2.6.1.3 DELIMITACIÓN DE LA SUBCUENCA AGUAS ARRIBA DEL EJE DE LA PRESA DEL RÍO PICHIRIJMA Para aprovechar el agua excedente durante la temporada de lluvias y un mejor uso de la misma, se ha visto la necesidad de construir un embalse dentro del cauce del río Pichirijma, tributario del río Siguas, para lo cual previamente se ha realizado un reconocimiento de campo y los estudios pertinentes para definir el emplazamiento de la presa y luego, se ha procedido a la delimitación, que comprende parte de la subcuenca del río Pichirijma, aguas arriba del eje de la presa sobre el cauce de dicho río. Con esta delimitación, se ha logrado obtener todos los parámetros de la subcuenca descritos en el numeral precedente y además, la simulación hidráulica del embalse.
2.6.2 ÁREA Las áreas de la subcuenca del río Siguas delimitadas, descritas en los numerales 2.6.2.1; 2.6.1.2 y 2.6.1.3; son las siguientes: 2.6.2.1 Subcuenca del río Siguas
:
1 802,969 km2
2.6.2.2 Subcuenca Bocatoma
:
1 397,015 km2
2.6.2.3 Subcuenca Presa Pichirijma
:
389,590 km2
2.6.3
PERÍMETRO
Los perímetros de la subcuenca del río Siguas, según el numeral precedente, son los siguientes: 2.6.3.1 Subcuenca del río Siguas
:
309,477 km
2.6.3.2 Subcuenca Bocatoma
:
188,477 km
2.6.3.3 Subcuenca Presa Pichirijma
:
115,64 km
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2.6.4
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PENDIENTE DE LA CUENCA
MARCO TEÓRICO La pendiente de una cuenca, es un parámetro muy importante dentro del comportamiento hidrológico de la misma, debido a que influye en el tiempo de concentración de las aguas en un determinado punto del cauce. Para su determinación, existen varios criterios, siendo los mas importantes los siguientes: 2.6.4.1 CRITERIO DE HORTON En una copia del plano de delimitación de la cuenca que contiene curvas de nivel, se procede de la siguiente manera: −
Siguiendo la orientación del dren principal se traza un reticulado.
−
Si la cuenca tiene un área menor o igual a 250 km2, es necesario formar un reticulado de por lo menos 4 cuadrados por lado.
− Se asocia, el reticulado así formado, a un sistema de ejes rectangulares x e y acotándose cada eje, correspondiéndole una coordenada a cada línea del reticulado.
− A continuación se mide la longitud de cada línea del reticulado en las direcciones x e y, contándose además el número de intersecciones y tangencias de cada línea con las curvas de nivel de desnivel constante en las direcciones x e y. −
Se evalúa las pendientes de la cuenca en las direcciones x e y, según las siguientes fórmulas:
Sx =
N x .D Lx
Sy =
N y .D Ly
En las que: Sx = pendiente de la cuenca en la dirección x Sy = pendiente de la cuenca en la dirección y Nx = número total de intersecciones y tangencias de las líneas del reticulado con las curvas de nivel en la dirección x Ny = número total de intersecciones y tangencias de las líneas del reticulado con las curvas de nivel en la dirección y
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D = desnivel constante entre curvas de nivel Lx = longitud total de las líneas del reticulado comprendidas dentro de la cuenca en la dirección x Ly = longitud total de las líneas del reticulado comprendidas dentro de la cuenca en la dirección y Luego, se determina el ángulo θ entre las líneas del reticulado y las curvas de nivel para aplicar la ecuación de Horton y obtener la pendiente media ¨Sc¨ de la cuenca:
Sc =
N .D. sec θ L
En la que: L = Lx + Ly N = Nx + Ny Sec θ = 1,57 Según el criterio de Horton la pendiente de las subcuencas descritas en el numeral precedente, son las siguientes (ver anexos): Subcuenca del río Siguas
:
21,90%
Subcuenca Bocatoma
:
24,69%
Subcuenca Presa Pichirijma
:
11,25%
2.6.4.2
CRITERIO DE NASH
En el plano de delimitación de la cuenca que contiene curvas de nivel, se procede de la siguiente forma: −
Siguiendo la orientación del dren principal se traza un reticulado de tal forma que se obtengan aproximadamente 100 intersecciones dentro de la cuenca (N); asociando a este reticulado un sistema de ejes rectangulares.
−
A cada intersección se le asigna un número y se anotan las coordenadas x e y correspondientes.
− En cada intersección se mide la distancia mínima entre las curvas de nivel. −
Se calcula la pendiente (S) en cada intersección dividiendo el desnivel entre las dos curvas de nivel y la mínima distancia medida.
−
Se calcula la media de las pendientes de las intersecciones y este valor, según Nash, se puede considerar como la pendiente de la cuenca.
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−
Subcuenca Siguas
Cuando una intersección se ubica entre dos curvas de nivel de la misma cota, la pendiente se considera nula y esa intersección (m) no se toma en cuenta para el cálculo de la media.
−
La pendiente de la subcuenca, de acuerdo al criterio de Nash es: Sc =
∑S
( N − m)
Reemplazando valores se tiene las siguientes pendientes (ver anexos): Subcuenca del río Siguas
:
23,34%
Subcuenca Bocatoma
:
25,34%
Subcuenca Presa Pichirijma
:
21,73%
2.6.4.3 CRITERIO DE ALVORD La obtención de la pendiente de la cuenca está basada en la obtención previa de las pendientes existentes entre las curvas de nivel. Para ello se toman 3 curvas de nivel consecutivas y se trazan las líneas medias entre estas curvas, delimitándose para cada curva de nivel un área de influencia cuyo valor es a1. El ancho medio b1 de esta área de influencia puede calcularse como:
b1 =
a1 l1
En la que l1 es la longitud de la curva de nivel correspondiente entre los límites de la cuenca. La pendiente del área de influencia de esta curva de nivel estará dada por:
S1 =
D D.l1 = b1 a1
En la que D es el desnivel constante entre curvas de nivel. Se procede de la misma forma para todas las curvas de nivel comprendidas dentro de la cuenca y el promedio pesado de todas estas pendientes dará, según Alvord, la pendiente Sc de la cuenca. Luego tendremos:
Sc =
D.l n .a n D.l1 .a1 D.l 2 .a 2 + + ......... a1 . A a 2 .A an .A
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De donde se obtiene:
Sc =
D (l1 + l 2 + ...... + l n ) A Sc =
D.L A
Donde: A = área de la cuenca. D = desnivel constante entre curvas de nivel L = longitud total de las curvas de nivel dentro de la cuenca. Sc = pendiente de la cuenca. Reemplazando valores, se tiene las siguientes pendientes (ver anexos): Subcuenca del río Siguas
:
28,88%
Subcuenca Bocatoma
:
25,31%
Subcuenca Presa Pichirijma
:
21,11%
2.6.4.4 DETERMINACIÓN DE LA PENDIENTE REPRESENTATIVA De acuerdo a los valores calculados por los diferentes métodos para la determinación de las pendientes de las subcuencas en estudio y complementariamente, luego de un reconocimiento y una evaluación en campo, se concluye que las pendientes representativas son: Subcuenca del río Siguas
:
21,90%
Subcuenca Bocatoma
:
25,34%
Subcuenca Presa Pichirijma
:
21,73%
2.6.5 CURVA HIPSOMETRICA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ALTIMÉTRICAS 2.6.5.1 CURVA HIPSOMÉTRICA
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Subcuenca Siguas
La curva hipsométrica es la representación gráfica del relieve de una cuenca, relaciona la altitud con el área de la cuenca que está sobre la cota considerada; es decir, expresado de otra manera, representa la variación de la elevación del terreno de la cuenca con referencia al nivel del mar. En el presente estudio, se ha dibujado la curva hipsométrica para cada subcuenca delimitada, para lo cual se ha preparado los cuadros Nº 01; Nº 02 y Nº 03. 2.6.5.2 POLÍGONO DE FRECUENCIAS ALTIMÉTRICAS Es una gráfica donde los rectángulos representados en la figura, tienen longitudes proporcionales a la fracción de la cuenca comprendida entre las cotas consideradas. Para tal efecto, se utiliza los cuadros señalados en el numeral precedente, donde se tiene las cotas y los porcentajes de área entre curvas. Cuadro Nº 01. Curva Hipsométrica y Polígono de Frecuencias Subcuenca del Río Siguas.
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Cota m.s.n.m 135.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00 1400.00 1600.00 1800.00 2000.00 2200.00 2400.00 2600.00 2800.00 3000.00 3200.00 3400.00 3600.00 3800.00 4000.00 4200.00 4400.00 4600.00 4800.00 5000.00 5200.00 5400.00 5600.00 5800.00 6000.00 6200.00 6288.00
Subcuenca Siguas
Area sobre Area entre Area acumu- % Area entre % areas entre cota Km2 cotas km2 lada Km2 curvas area total 1802.969 1802.491 1799.875 1795.491 1789.410 1778.215 1745.436 1696.870 1653.439 1609.271 1553.556 1530.021 1508.084 1466.991 1408.615 1323.412 1219.428 1118.737 1019.902 893.164 717.840 583.814 419.417 275.557 152.789 92.685 60.571 34.622 15.856 7.453 2.410 0.355 0.000
0.000 0.478 2.616 4.384 6.081 11.195 32.778 48.566 43.432 44.168 55.715 23.534 21.938 41.093 58.376 85.203 103.985 100.690 98.836 126.738 175.323 134.026 164.397 143.861 122.768 60.103 32.115 25.948 18.767 8.403 5.043 2.055 0.355
0.000 0.478 2.616 4.384 6.081 11.195 32.778 48.566 43.432 44.168 55.715 23.534 21.938 41.093 58.376 85.203 103.985 100.690 98.836 126.738 175.323 134.026 164.397 143.861 122.768 60.103 32.115 25.948 18.767 8.403 5.043 2.055 0.355
0.000 0.027 0.145 0.243 0.337 0.621 1.818 2.694 2.409 2.450 3.090 1.305 1.217 2.279 3.238 4.726 5.767 5.585 5.482 7.029 9.724 7.434 9.118 7.979 6.809 3.334 1.781 1.439 1.041 0.466 0.280 0.114 0.020
Gráfico Nº 01. Curva Hipsométrica Subcuenca del Río Siguas.
100.000 99.973 99.828 99.585 99.248 98.627 96.809 94.115 91.706 89.257 86.167 84.861 83.644 81.365 78.128 73.402 67.634 62.050 56.568 49.538 39.814 32.381 23.263 15.284 8.474 5.141 3.359 1.920 0.879 0.413 0.134 0.020 0.000
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Subcuenca Siguas
Curva Hipsométrica
6135 5735 5335 4935 4535
Cota (m.s.n.m.)
4135 3735 3335 2935 2535 2135 1735 1335 935 535 135 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Area %
Altitud media. La altitud media es aquella que tiene el 50% del área total de la cuenca por encima y el 50% por debajo de la misma. De la curva hipsométrica se deduce que la altitud media de la subcuenca Siguas es de 3 750 msnm. Gráfico Nº 02. Polígono de Frecuencias Altimétricas Subcuenca del Río Siguas. Frecuencias Altimétricas 6000.00 5400.00
Cota (m.s.n.m.)
4800.00 4200.00 3600.00 3000.00 2400.00 1800.00 1200.00 600.00 135.00 0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
Area (%)
6.000
7.000
8.000
9.000
10.000
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Altitud más frecuente, correspondiente a la mayor área en porcentaje. Vemos que la altitud más frecuente de la cuenca Siguas está en la cota 4 000 msnm, correspondiente a un 9,12%. Altitud de frecuencia media, estableciendo la media de los porcentajes de las áreas, se concluye que la altitud de frecuencia media de la subcuenca Siguas se encuentra entre los 3 800-5 000 msnm y su valor en porcentaje es 3,1%. Cuadro Nº 02. Curva Hipsométrica y Polígono de Frecuencias Subcuenca Bocatoma. % areas entre area total 0.000 100.000 0.199 99.801 0.467 99.334 1.308 98.026 2.529 95.497 4.482 91.014 6.273 84.741 6.643 78.098 6.667 71.431 9.455 61.976 12.528 49.448 9.520 39.927 11.107 28.820 10.124 18.697 9.556 9.141 2.770 6.371 2.216 4.154 1.830 2.325 1.350 0.974 0.592 0.382 0.235 0.147 0.147 0.000
Area sobre cota Area entre cotas Area acumulada % Area entre Km2 km2 Km2 curvas
Cota m.s.n.m 2000.00 2200.00 2400.00 2600.00 2800.00 3000.00 3200.00 3400.00 3600.00 3800.00 4000.00 4200.00 4400.00 4600.00 4800.00 5000.00 5200.00 5400.00 5600.00 5800.00 6000.00 6200.00
1397.015 1394.231 1387.709 1369.436 1334.102 1271.482 1183.844 1091.046 997.904 865.811 690.790 557.788 402.626 261.196 127.697 88.999 58.035 32.476 13.609 5.334 2.055 0.000
0.000 2.783 6.522 18.273 35.335 62.620 87.637 92.798 93.143 132.093 175.021 133.002 155.161 141.430 133.499 38.698 30.964 25.560 18.867 8.275 3.279 2.055
0.000 2.783 9.305 27.578 62.913 125.533 213.170 305.968 399.111 531.204 706.225 839.227 994.388 1135.819 1269.317 1308.015 1338.979 1364.539 1383.405 1391.680 1394.960 1397.015
Gráfico Nº 03. Curva Hipsométrica Subcuenca Bocatoma. Curva Hipsométrica 6000 5600
Cota (m.s.n.m.)
5200 4800 4400 4000 3600 3200 2800 2400 2000 0
10
20
30
40
50
Area (Km2)
60
70
80
90
100
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Altitud media. De la curva hipsométrica se deduce que la altitud media de la subcuenca aguas arriba de la bocatoma es de 3 955 msnm. Gráfico Nº 04. Polígono de Frecuencias Altimétricas Subcuenca Bocatoma. Frecuencias Altimétricas 6000.00 5600.00 5200.00
Cota (m.s.n.m.)
4800.00 4400.00 4000.00 3600.00 3200.00 2800.00 2400.00 2000.00 0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
9.000 10.000 11.000 12.000 13.000
Area (%)
Altitud más frecuente, vemos que la altitud más frecuente de la subcuenca aguas arriba de la bocatoma está entre 4 000 msnm, correspondiente a un 9,12%. Altitud de frecuencia media, estableciendo la media de los porcentajes de las áreas, se concluye que la altitud de frecuencia media de la subcuenca aguas arriba de la bocatoma se encuentra entre los 3 800 - 5 000 msnm y su valor en porcentaje es 4,545%.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 03. Curva Hipsométrica y Polígono de Frecuencias Subcuenca Presa Pichirijma. Cota msnm
Área sobre cota Km2
Área entre cotas km2
Área acumulada km2
% Área entre curvas
% áreas entre área total
3225
389.591
0.000
0.000
0.000
100.000
3300
389.346
0.246
0.246
0.063
99.937
3400
388.547
0.798
1.044
0.205
99.732
3600
385.539
3.008
4.052
0.772
98.960
3800
366.361
19.179
23.231
4.923
94.037
4000
327.989
38.372
61.603
9.849
84.188
4200
304.930
23.059
84.662
5.919
78.269
4400
247.183
57.747
142.409
14.822
63.447
4600
157.123
90.059
232.468
23.116
40.330
4800
70.980
86.143
318.611
22.111
18.219
5000
36.000
34.981
353.592
8.979
9.240
5200
19.840
16.160
369.752
4.148
5.092
5400
10.913
8.926
378.678
2.291
2.801
5600
6.129
4.784
383.462
1.228
1.573
5800
3.227
2.902
386.365
0.745
0.828
6000
1.114
2.113
388.477
0.542
0.286
6200
0.140
0.974
389.451
0.250
0.036
6288
0.000
0.140
389.591
0.036
0.000
Gráfico Nº 05. Curva Hipsométrica Subcuenca Presa Pichirijma. Curva Hipsométrica 6025 5625
Cota (m.s.n.m.)
5225 4825 4425 4025 3625 3225 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Area (Km2)
Altitud media. De la curva hipsométrica se deduce que la altitud media de la subcuenca aguas arriba del eje de la presa del río Pichirijma es de 4 516 msnm.
Gráfico Nº 06. Polígono de Frecuencias Altimétricas Subcuenca Presa Pichirijma.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Frecuencia de Altitudes 6200
Cota (m.s.n.m.)
5800 5400 5000 4600 4200 3800 3400 3225 0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
22.00
24.00
Area (%)
Altitud más frecuente, vemos que la altitud más frecuente de la cuenca aguas arriba del eje de la presa del río Pichirijma está entre 4 600 msnm, correspondiente a un 23,11%. Altitud de frecuencia media, estableciendo la media de los porcentajes de las áreas, se concluye que la altitud de frecuencia media de la subcuenca aguas arriba del eje de la presa del río Pichirijma se encuentra entre los 3 800 - 5 000 msnm y su valor en porcentaje es 4,545%. 3. INFORMACIÓN BÁSICA EXISTENTE Dentro de la información existente, solamente se dispone de registros meteorológicos, mas no de registros hidrométricos, cuyas estaciones en su mayoría son operadas por el SENAMHI; por lo que el estudio hidrológico se ha orientado a la generación de caudales mensuales, sobre la base de los registros históricos de precipitaciones, complementado con un programa de medición de caudales en los diferentes tributarios del río Siguas. Dentro del trabajo realizado en esta etapa, se ha recopilado y actualizado la información básica existente en el área de influencia del proyecto y, para las mediciones caudales en campo, se ha utilizado un correntómetro proporcionado por la Oficina de la ATDR – Arequipa.
4. PRECIPITACIÓN
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
La precipitación se define como el fenómeno de la caída del agua desde las nubes en forma líquida o sólida, la cual es precedida por el proceso de condensación o sublimación o de ambos a la vez y, está asociada primariamente con las corrientes convectivas del aire. 4.1 RED DE ESTACIONES METEOROLÓGICAS El ámbito del estudio, se enmarca en la cuenca del río Quilca y la subcuenca en estudio del río Siguas. En este sentido, se ha visto por conveniente seleccionar un número de estaciones meteorológicas que dispongan de información pluviométrica y que se ubiquen en las cuencas mencionadas y otras vecinas, cubriendo así espacialmente el área de influencia del proyecto. Las características de la red de estaciones meteorológicas ubicadas en la cuenca del río Quilca, la subcuenca del río Siguas y otras, cuyos registros de precipitación se han consignado para el presente estudio, son las que se muestran en el Cuadro Nº 04. 4.2 INFORMACIÓN DE CAMPO Además de la evaluación de los registros históricos de precipitaciones de la red de estaciones meteorológicas, el trabajo de campo tuvo como objetivo evaluar los recursos hídricos superficiales, tanto en cantidad como en calidad, para lo cual se realizó una campaña de aforos y toma de muestras de agua en diferentes puntos de la red hidrográfica del área del proyecto. Los aforos realizados en los meses de estiaje, indican las cantidades mínimas de escurrimiento, originadas únicamente por los deshielos y afloramientos subterráneos, ya que en estos meses no se presentan precipitaciones pluviales. En el numeral correspondiente a caudales, se detalla las mediciones efectuadas en cada tributario.
PLU Pacífico Chili Arequipa Arequipa 15°59' 71°22' 4,150Senamhi
3 Sumbay
6 Chihuata PLU Pacífico Chili Are quipa Are quipa 16°24.5' 71°24.7' 2,964Senamhi
5 Agua da Blanca COPacífico Chili Are quipa Are quipa 16°15' 71°20' 3,725Senamhi
4 El Frayle COPacífico Chili Are quipa Are quipa 16°09' 71°11' 4,015Senamhi
PLU Pacífico Chili Arequipa Caylloma 15°59' 71°13' 4,200Senamhi
2 Pillones
Prov. Lat S. Long. O (msnm)
COPacífico Chili Are quipa Ca ylloma 15°50' 71°05' 4,495Senamhi
Dpto.
Coorde nadas Altitud Entidad
1 Imata
Hidrográfico
OrdenNombre TipoSistema Cuenca Ubica ción
Cuadro Nº 04. Características de las Estaciones de Precipitación Empleadas.
S
Pacífico Chili Are quipa Are quipa 16°21' 71°34' 2,525Corpac
MAP Pacífico Chili Arequipa Arequipa 16°44' 71°52' 1,255Senamhi
12 La Jo ya
PLU Pacífico Siguas Arequipa Arequipa 16°01.5' 71°52.6' 3,080Senamhi
COPacífico ColcaArequipa Caylloma 15°25' 71°04' 4,524Senamhi
PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°16' 71°27' 4,000Senamhi
PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°21' 71°27' 4,188Senamhi
COPacífico ColcaArequipa Caylloma 15°29' 71°27' 3,847Senamhi
PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°30' 71°27' 3,840Senamhi PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°37' 71°25' 4,042Senamhi COPacífico ColcaArequipa Caylloma 15°38' 71°36' 3,651Senamhi PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°39' 71°39' 3,417Senamhi
21 Huinco 22 Tisco 23 Sibayo 24 Callalli 25 Pulpera 26 Chivay 27 Yanque
PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°16' 72°00' 4,450Senamhi Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°44' 72°06' 3,352Senamhi 31 Huambo PLU
30 Calera
29 Cabanaconde COPacífico ColcaArequipa Caylloma 15°37' 71°59' 3,230Senamhi
28 Madrigal PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°36' 71°48' 3,262Senamhi
PLU Pacífico ColcaArequipa Caylloma 15°21' 71°19' 4,000Senamhi
20 Porpera
19 Condoroma COPacífico ColcaArequipa Caylloma 15°23' 71°06' 4,250Senamhi
18 El Pañe
17 Morocaque PLU Pacífico ColcaAre quipa Caylloma 15°37' 71°03' 4,450Senamhi
16 Crucero Alto PLU Pacífico ColcaAre quipa Caraba 15°46' ya 70°55' 4,400Senamhi
15 Huanca
14 Pampa dePLU Arrieros Pacífico Yura Arequipa Arequipa 16°04' 71°35' 3,741Senamhi
13 Las Salinas PLU Cerrado Las Salinas Arequipa Arequipa 16°18' 71°08' 4,326Senamhi
COPacífico Chili Arequipa Arequipa 16°25' 71°49' 1,552FAP
11 Vítor
10 Socaba yaPLU Pacífico Chili Arequipa Arequipa 16°27.8' 71°31.5' 2,335Senamhi
9 Characato CP Pacífico Chili Arequipa Arequipa 16°28' 71°29' 2,451I.G. UNSA
8 Corpac
7 La Pampilla CP Pacífico Chili Are quipa Are quipa 16°23.8' 71°31.3' 2,410Senamhi
Volumen I : Hidrología Subcuenca Siguas
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
4.3 REGISTROS DE PRECIPITACIONES La fuente base de la información pluviométrica, la constituye los registrados por la red de estaciones meteorológicas anteriormente citadas y provienen principalmente del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI). Los registros históricos proporcionados por SENAMHI y otras fuentes, se muestran en los anexos respectivos. 4.4 ANÁLISIS DE LA SERIE HISTÓRICA DE PRECIPITACIONES Antes de realizar cualquier cálculo con la información hidrometeorológica, es imprescindible evaluar primero su calidad; es decir, la información debe reunir tres requisitos: ser completa, de extensión suficiente y consistente. Si disponemos de información sobre la bondad de los datos, podremos valorar mejor las conclusiones de un estudio y por consiguiente posibilitar una toma de decisiones más consistente. La homogeneidad y consistencia de las series históricas hidrometeorológicas, representa uno de los aspectos más importantes del estudio en la hidrología contemporánea, particularmente en lo relacionado a la conservación, desarrollo y control de recursos hídricos, ya que cuando no se identifica, no se elimina ni se ajustan a las condiciones futuras la inconsistencia y no homogeneidad en la muestra histórica, un error significativo puede introducirse en todos los análisis que se realicen obteniendo resultados altamente sesgados. 4.4.1
ESTIMACIÓN DE DATOS FALTANTES Y EXTENSIÓN DE REGISTROS
Frecuentemente se halla uno con que faltan datos en los registros de precipitaciones. Esto se debe en algunos casos al ausentismo del operador y en otros a fallas instrumentales. Existen varios métodos para completar los datos faltantes, entre los más usados se tiene: el Modelo Hidrológico
denominado
HEC-4
MONTHLY
STREAMFLOW
SIMULATION
(1984),
desarrollado por el Hidrologic Engineering Center de los Estados Unidos de América y el Modelo de Regresión Lineal Simple.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
El primero, permite analizar los registros mensuales de un número determinado de estaciones interrelacionadas con la finalidad de determinar así sus características. Entre muchas otras aplicaciones, el modelo logra reconstruir los registros faltantes de una estación basándose en registros concurrentes observados en otras estaciones. Además, para cada estación con registros incompletos se realiza una búsqueda mes a mes de los registros de mayor longitud, para encontrar luego aquellas que sirvan de base al cálculo de los registros incompletos, tomando en cuenta la correlación entre la estación base y aquella que se desea extender respecto a su registro. Cada registro individual se convierte después en una variable estándar normalizada, usando una distribución Pearson III. Para evitar que los valores calculados sean sobrestimados debido a una inconsistencia en los coeficientes de correlación, todos estos coeficientes son recalculados después de cada estimación de datos faltantes. De presentarse inconsistencia se calcula nuevamente la ecuación de regresión hasta que se alcance la consistencia deseada. Para la realización de dicho procedimiento, tanto para datos pluviométricos e hidrométricos, se prefiere agrupar las estaciones según pertenezcan a una cuenca o zona hidrológica con comportamiento similar. Para el presente estudio, se ha aplicado el método de la Correlación Lineal Simple, utilizando la teoría de mínimos cuadrados, para lo cual se ha evaluado el mejor coeficiente de correlación entre la estación incompleta y las otras estaciones consideradas como estaciones índices. Dado que la información pluviométrica considerada es abundante dentro del ámbito regional y corresponde a diferentes periodos de registro, se advierte espacios sin datos e incluso años sin información; por lo tanto, se ha procedido primeramente a completar la información disponible y uniformizarla en cuanto a su periodo de registro. La información disponible corresponde al período 1964 – 2006; como se ha mencionado, tienen información incompleta dentro de este periodo. Ordinariamente, la mejor estimación de datos faltantes es obtenida relacionando datos de otras localizaciones, antes que una sola localización. Esto puede lograrse a través de un análisis de correlación múltiple lo cual mejora y supera las relaciones obtenidas con un análisis de correlación simple. Los modelos de regresión lineal simple y múltiple son utilizados para la extensión o transferencia de información desde uno o varios puntos, a una estación con datos incompletos o con registros cortos. La decisión a tomarse sobre el tipo de modelo de regresión y de la elección de la variable
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
independiente, depende de la disponibilidad de información y generalmente del criterio y experiencia del especialista. El proceso de completación y/o extensión de datos, se ha realizado en las series consistentes, vale decir, después de haber analizado la correlación de las mismas. Para realizar el proceso de estimación de datos de una estación en base a otra, se ha tenido en cuenta las siguientes condiciones:
-
Buscar o seleccionar las estaciones que guarden buena correlación con la
estación base que se quiere completar.
-
En los análisis respectivos no juntar datos de épocas secas con datos de
épocas húmedas, en todo caso realizar el proceso separadamente.
-
Verificar que las características de la cuenca de la estación completa y de la
cuenca a la estación a completar sean similares en su comportamiento hidrológico. Para este paso usar los parámetros: área, ubicación, altura, forma, vegetación, etc. Cuanto más similares sean estas características, es más probable que la correlación resulte más significativa. En general, las correlaciones entre estaciones cercanas de un mismo río son relativamente buenas.
-
Verificar que los escurrimientos superficiales registrados en las estaciones
sean efecto de la misma causa (precipitación, afloramientos de aguas subterráneas, regulaciones naturales, etc.).
-
Para realizar la completación de datos, de ser posible probar la normalidad de
las series, y si no lo son, transformarlos a normales. En la mayoría de casos esta condición es asumida como un hecho. El modelo de regresión lineal simple, es lineal porque genera una línea y es simple porque intervienen solamente dos variables. La representación matemática es:
Sx =
r=
∑( x − x ) ( y − y )
∑( x − x )
Sy =
n −1
( n −1) Sx . Sy
2
∑( y − y ) n −1
2
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
y' = a +b ( x − x ) a =y b =r
Sy Sx
Donde: x
= Datos de la estación índice (estación con datos completos).
y
= Estación con datos incompletos.
n
= Número de pares de datos conocidos = número de datos de y.
x
= Media aritmética de los datos de x que forman parejas con las de y.
y
= Media aritmética de todos los datos de y.
Sx
= Desviación estándar para todos los datos de x que forman pareja con los de y.
Sy
= Desviación estándar para todos los datos de y.
y'
= Datos faltantes obtenidos de la ecuación de la recta de regresión.
Los valores de r varían de -1 a +1: Para
r=0
correlación nula
r=1
correlación directa óptima
r = -1 correlación inversa óptima En los cuadros y en los histogramas siguientes, se muestran los registros de precipitaciones mensuales completos para cada estación considerada dentro del ámbito regional. Sin embargo, existen algunas estaciones con registros solamente de precipitaciones anuales, las cuales se ha tenido en cuenta para el proyecto, por su mejor correlación en cuanto a altitud y características fisiográficas con la subcuenca del río Siguas, como es el caso de la estación de Sibayo.
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Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 05 REGISTRO DE PRECIPITACION MENSUAL ACUMULADA (mm) Estacion
:
Cabanaconde
Tipo
:
CO
Latitud
:
15°37'
S
Departamento
:
Arequipa
Longitud
:
71°59'
W
Provincia
:
Altitud
:
3,230.00
msnm
Distrito
:
Caylloma Cabanaconde
AÑO
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
TOTAL
1,964
31.00
42.60
67.60
6.20
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
4.00
26.20
97.50
275.10
1,965
35.80
130.80
7.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.30
0.00
0.00
0.00
175.40
1,966
8.50
52.80
52.50
3.00
35.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7.50
0.00
0.00
159.30
1,967
107.80
186.40
245.60
32.50
0.00
0.00
0.00
0.00
25.50
0.00
0.00
20.50
618.30
1,968
187.90
120.30
210.50
2.50
17.00
0.00
0.00
0.00
0.00
23.00
38.50
15.80
615.50
1,969
62.70
44.60
77.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
25.50
44.80
255.50
1,970
147.20
86.00
81.50
0.00
1.60
0.00
0.00
0.00
0.00
11.70
12.20
18.00
358.20
1,971
101.80
114.10
46.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.60
0.30
103.10
371.30
1,972
174.40
160.60
239.00
18.60
0.00
0.00
0.00
0.00
8.40
29.70
0.00
41.40
672.10
1,973
147.10
141.90
133.10
0.00
0.00
0.00
0.00
32.00
21.30
0.00
4.90
12.90
493.20
1,974
179.30
160.40
47.70
34.00
0.00
5.70
0.00
66.10
0.00
0.00
0.00
31.30
524.50
1,975
97.00
190.20
173.30
83.50
4.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
82.10
630.60
1,976
213.10
130.90
114.70
4.30
0.00
0.00
2.40
0.00
43.50
0.00
0.00
27.50
536.40
1,977
37.20
194.90
71.90
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.10
6.40
12.20
168.50
500.20
1,978
93.90
14.90
39.70
0.00
0.00
0.00
7.70
0.00
0.00
0.00
30.50
4.60
191.30
1,979
35.30
15.40
122.80
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
34.40
3.40
35.60
246.90
1,980
26.00
39.00
101.50
20.90
0.00
0.00
0.00
0.00
2.40
6.50
5.40
21.70
223.40
1,981
72.40
137.90
82.60
0.00
0.00
0.00
0.00
31.50
0.00
0.00
8.40
54.00
386.80
1,982
64.40
81.80
13.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
9.20
11.70
36.70
0.00
217.30
1,983
10.40
15.50
19.50
1.20
7.70
0.00
0.00
0.00
13.20
0.00
0.00
10.20
77.70
1,984
79.20
209.50
182.40
18.00
0.00
4.20
0.00
0.00
0.00
24.20
51.00
47.10
615.60
1,985
0.00
98.80
92.10
6.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
12.80
77.90
288.20
1,986
132.60
164.20
222.30
119.20
0.00
0.00
0.00
75.10
55.40
0.00
15.00
114.70
898.50
1,987
98.10
203.90
25.60
26.00
12.48
12.48
6.30
0.00
0.00
13.30
12.48
2.50
413.14
1,988
141.40
12.50
62.30
6.50
0.00
0.00
0.00
0.00
4.10
0.00
0.00
59.00
285.80
1,989
75.40
110.70
71.90
0.00
0.50
0.00
0.60
2.00
1.92
0.00
4.90
0.00
267.92
1,990
24.90
9.50
28.90
0.00
0.30
10.50
0.00
2.90
0.00
7.20
77.60
71.10
232.90
1,991
35.70
18.00
22.20
10.20
2.60
7.50
0.00
0.00
0.00
0.60
16.10
0.00
112.90
1,992
19.00
4.70
2.00
0.00
0.00
2.20
0.00
4.40
0.00
3.80
0.40
44.10
80.60
1,993
110.00
32.30
43.50
0.00
0.50
0.00
0.00
6.60
0.00
11.60
3.80
37.50
245.80
1,994
166.40
132.00
42.70
20.20
0.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.70
23.30
386.20
1,995
86.40
6.40
156.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
20.70
19.00
289.10
1,996
57.40
165.70
39.50
28.70
1.00
0.00
0.00
1.80
5.30
0.00
11.60
40.50
351.50
1,997
104.20
100.80
133.50
3.60
0.50
0.00
0.00
44.30
39.60
0.00
0.00
110.40
536.90
1,998
239.80
118.10
50.10
35.20
0.00
0.30
0.00
0.00
0.00
0.00
37.80
110.30
591.60
1,999
94.40
257.50
175.60
64.00
0.00
0.00
0.00
0.00
13.80
29.20
0.30
48.30
683.10
2,000
58.35
100.88
0.00
0.00
2.28
0.40
0.00
0.00
0.00
20.30
0.00
48.10
230.30
2,001
104.40
312.00
184.10
16.50
2.40
0.00
0.00
4.10
7.00
4.70
0.70
10.20
646.10
2,002
56.20
206.40
192.90
14.10
2.40
0.00
24.20
0.00
0.00
0.00
28.90
44.00
569.10
2,003
67.10
52.30
89.00
0.40
5.90
0.00
1.80
5.20
0.00
0.00
0.00
17.10
238.80
2,004
154.10
107.90
79.70
7.30
0.00
0.00
8.30
0.00
2.10
0.00
0.00
32.30
391.70
2,005
53.00
114.40
58.20
1.40
0.00
0.00
0.00
0.00
7.10
0.00
1.00
78.00
313.10
2,006
110.00
144.60
98.90
18.80
0.00
0.00
0.00
0.10
7.90
9.30
4.60
14.50
408.70
Nº AÑOS
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
PROM
90.73
110.33
93.09
14.22
2.27
1.01
1.19
6.42
6.28
6.16
11.73
42.78
386.20
D.STD.
58.10
74.12
68.28
24.04
6.16
2.82
4.09
17.14
12.61
9.47
16.85
38.59
190.57
PPMAX
239.80
312.00
245.60
119.20
35.00
12.48
24.20
75.10
55.40
34.40
77.60
168.50
898.50
PPMIN
0.00
4.70
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
77.70
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 07
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 06 REGISTRO DE PRECIPITACION MENSUAL ACUMULADA (mm)
AÑO
Estacion
:
HUAMBO
Latitud
:
15°44'
Tipo
:
CO
Longitud
:
Altitud
:
W 72°06' 3,352.00msnm
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
S
JUL
AGO
SET
Departamento
:
Arequipa
Provincia
:
Caylloma
Distrito
:
Huambo
OCT
NOV
DIC
TOTAL
1,964
42.15
83.33
60.12
13.90
0.12
0.00
0.00
8.17
0.64
4.06
6.09
54.05
272.64
1,965
44.13
82.70
33.73
10.81
0.12
0.00
0.00
0.30
64.29
0.21
2.12
13.66
252.08
1,966
32.84
21.17
22.97
10.04
17.11
0.00
0.00
0.30
0.64
7.43
4.88
17.99
135.39
1,967
73.91
71.91
65.01
22.95
0.12
0.00
0.00
3.47
9.74
0.21
1.64
45.40
294.35
1,968
107.03
61.77
90.91
10.23
8.37
12.35
0.00
1.06
0.64
22.34
20.41
13.66
348.79
1,969
55.26
18.00
42.53
11.58
0.12
2.95
0.00
0.92
0.64
0.21
5.73
33.86
171.79
1,970
90.20
41.47
92.87
10.23
0.89
0.00
0.00
0.30
0.64
11.47
1.52
22.32
271.91
1,971
71.43
38.30
129.52
11.39
0.12
0.00
0.00
1.73
0.64
5.60
3.56
19.43
281.72
1,972
101.45
104.27
80.16
11.78
0.12
0.39
0.00
0.30
0.64
28.79
1.52
32.41
361.82
1,973
90.16
129.01
71.85
14.28
0.12
5.67
0.00
3.06
52.17
0.21
2.00
13.66
382.18
1,974
103.48
103.00
15.64
18.33
0.12
19.57
0.00
34.35
0.64
0.21
1.52
15.10
311.96
1,975
69.44
135.98
52.79
12.55
2.30
0.00
0.00
0.30
0.64
0.21
1.52
29.53
305.27
1,976
117.45
110.61
54.74
12.16
0.12
1.94
0.00
1.47
109.75
0.21
1.52
17.99
427.97
1,977
44.71
113.78
65.50
8.50
0.12
0.00
0.00
0.30
0.64
6.37
10.66
16.55
267.13
1,978
68.16
33.22
41.55
17.94
0.12
0.00
0.00
0.30
0.64
0.21
11.26
13.66
187.07
1,979
43.93
14.19
67.45
9.27
0.12
0.00
0.00
0.30
0.64
33.31
7.17
13.66
190.05
1,980
40.08
18.63
57.68
9.85
0.12
0.00
0.00
2.11
0.64
6.47
1.52
28.09
165.18
1,981
59.27
103.00
42.53
17.94
0.12
0.00
0.00
12.43
0.64
0.21
2.96
17.99
257.09
1,982
55.96
42.10
45.46
13.51
0.12
0.00
0.00
0.30
40.04
11.47
9.22
13.66
231.84
1,983
33.63
57.33
40.57
14.09
3.86
0.00
0.00
0.30
0.64
0.21
1.52
22.32
174.46
1,984
62.08
106.17
99.22
10.62
0.12
10.64
0.00
1.73
0.64
23.50
10.90
13.66
339.28
1,985
29.33
134.71
55.23
28.54
0.12
21.90
0.00
2.68
0.64
0.21
9.10
43.95
326.43
1,986
84.16
81.43
49.37
17.17
0.12
0.00
0.00
3.44
0.64
0.21
3.44
46.84
286.83
1,987
84.10
20.70
20.60
0.00
2.50
0.00
0.00
0.00
0.00
42.80
0.00
0.00
170.70
1,988
171.30
49.70
42.30
4.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
57.20
324.50
1,989
55.60
131.70
43.30
35.80
0.00
6.60
0.40
0.00
0.00
0.00
8.90
0.00
282.30
1,990
11.60
6.40
37.50
50.40
0.00
34.10
0.00
1.28
0.16
0.00
10.25
29.53
181.22
1,991
46.40
15.40
63.20
11.30
0.00
13.40
0.00
0.00
0.00
0.00
8.20
1.50
159.40
1,992
11.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.80
0.00
4.00
0.00
0.90
0.00
17.20
33.90
1,993
81.60
27.20
73.40
2.20
0.00
0.00
0.00
9.90
0.40
10.20
3.80
1.50
210.20
1,994
92.50
57.00
37.70
21.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
15.50
224.30
1,995
63.90
3.00
104.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
19.70
191.20
1,996
26.40
111.50
44.90
11.70
0.00
0.00
0.00
0.50
0.00
0.00
10.20
13.60
218.80
1,997
64.00
72.10
82.60
0.00
0.00
0.00
0.00
29.50
21.40
0.00
0.40
64.30
334.30
1,998
84.70
56.40
28.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
19.60
67.20
255.90
1,999
56.00
166.60
111.90
25.80
0.00
0.00
0.00
0.00
11.30
22.00
0.00
23.90
417.50
2,000
142.00
68.50
60.40
35.00
2.30
0.20
0.00
0.10
0.00
13.30
0.00
13.40
335.20
2,001
69.10
152.70
70.20
18.00
1.20
0.00
0.00
0.30
0.90
0.40
0.00
6.10
318.90
2,002
28.20
125.50
76.20
30.00
0.00
0.00
25.80
0.00
0.00
0.00
20.00
23.60
329.30
2,003
42.40
72.90
42.40
0.00
11.80
0.00
0.00
2.10
0.00
0.00
0.00
7.00
178.60
2,004
82.50
101.30
48.30
0.00
0.00
0.00
10.50
0.00
0.90
0.00
0.00
25.10
268.60
2,005
47.90
71.00
32.60
6.70
0.00
0.00
0.00
0.00
18.00
0.00
0.00
50.10
226.30
2,006
93.00
115.90
93.50
26.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.90
0.60
4.50
345.30
Nº AÑOS
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
PROM
66.85
72.83
57.93
13.89
1.22
3.04
0.85
2.96
7.92
6.14
4.74
23.26
261.62
D.STD.
32.72
44.91
27.05
10.98
3.35
7.18
4.21
7.02
21.17
10.39
5.65
17.12
81.62
PPMAX
171.30
166.60
129.52
50.40
17.11
34.10
25.80
34.35
109.75
42.80
20.41
67.20
427.97
PPMIN
11.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
33.90
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 08
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 07 REGISTRO DE PRECIPITACION MENSUAL ACUMULADA (mm) Estacion
:
HUANCA
Latitud
:
16°1.5'
S
Departamento
:
Arequipa
Tipo
:
CO
Longitud
:
W
Provincia
:
Caylloma
Altitud
:
71°52.6' 3,080.00
msnm
Distrito
:
Huanca
AÑO
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
TOTAL
1,964
38.00
64.00
28.00
5.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
28.00
163.00
1,965
38.00
14.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
4.00
3.00
0.00
0.00
0.00
59.00
1,966
0.00
1.00
0.00
0.00
18.00
0.00
0.00
0.00
0.00
15.00
7.00
3.00
44.00
1,967
84.00
62.00
20.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
22.00
188.00
1,968
118.00
8.00
13.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
6.00
0.00
148.00
1,969
14.00
29.00
22.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
14.00
80.00
1,970
28.00
25.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6.00
59.00
1,971
27.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
4.00
41.00
1,972
48.00
103.00
74.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
18.00
0.00
13.00
256.00
1,973
133.00
17.00
36.00
1.00
0.00
0.00
0.00
3.00
7.00
0.00
0.00
0.00
197.00
1,974
68.00
58.00
4.00
11.00
0.00
0.00
0.00
36.00
0.00
0.00
0.00
1.00
178.00
1,975
16.00
52.00
50.00
3.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11.00
133.00
1,976
11.00
50.00
28.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
17.00
0.00
0.00
3.00
109.00
1,977
36.00
69.00
27.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
7.00
2.00
142.00
1,978
10.00
0.00
16.00
2.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
27.00
0.00
55.00
1,979
2.00
3.00
27.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
8.00
5.00
0.00
45.00
1,980
13.00
0.00
15.00
7.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.00
0.00
10.00
47.00
1,981
29.00
41.00
26.00
11.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
110.00
1,982
3.00
23.00
11.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.00
1.00
25.00
0.00
65.00
1,983
11.00
33.00
5.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6.00
55.00
1,984
24.00
49.00
34.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16.00
0.00
2.00
61.00
0.00
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1,985
10.00
119.00
5.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
1.00
21.00
157.00
1,986
102.00
60.00
25.00
4.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
23.00
215.00
1,987
95.00
23.00
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0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
0.00
0.00
126.00
1,988
18.00
25.00
6.00
1.00
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7.00
65.00
1,989
49.00
136.00
1.00
11.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
198.00
1,990
24.00
18.00
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
2.00
11.00
64.00
1,991
15.00
9.00
2.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
9.00
0.00
36.00
1,992
0.00
6.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
1.00
17.00
25.00
1,993
68.00
2.00
21.00
6.00
0.00
0.00
0.00
13.00
0.00
2.00
2.00
3.00
117.00
1,994
86.00
75.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
1.00
2.00
166.00
1,995
28.00
4.00
44.00
6.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
0.00
85.00
1,996
1.00
23.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.00
1.00
31.00
1,997
32.00
74.00
4.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.00
12.00
124.00
1,998
42.00
11.00
4.00
22.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
15.00
95.00
1,999
25.00
68.00
120.00
3.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
8.00
1.00
2.00
227.00
2,000
31.00
11.00
22.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.00
66.00
2,001
49.40
150.50
98.20
8.10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.20
0.00
2.90
310.30
2,002
19.20
56.10
76.50
2.90
0.00
0.00
3.90
0.00
0.00
0.00
2.90
19.70
181.20
2,003
3.60
16.60
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3.40
2.70
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
47.30
2,004
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26.80
10.00
0.00
0.00
0.00
9.60
0.00
2.30
0.00
0.00
1.20
107.10
2,005
34.20
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0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
29.60
0.00
0.00
0.00
75.90
2,006
39.60
62.10
32.30
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6.80
1.30
0.00
142.70
Nº AÑOS
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
PROM
36.75
39.42
22.03
2.51
0.69
0.00
0.31
1.72
1.46
1.70
4.00
6.18
116.78
D.STD.
32.62
37.15
26.79
4.49
2.99
0.00
1.57
6.21
5.22
3.89
10.57
7.79
68.35
PPMAX
133.00
150.50
120.00
22.00
18.00
0.00
9.60
36.00
29.60
18.00
61.00
28.00
310.30
PPMIN
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
25.00
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 09
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 08 REGISTRO DE PRECIPITACION MENSUAL ACUMULADA (mm) Estacion
:
Tipo
:
PILLONES CO
Latitud
:
15°59'
S
Departamento
:
Arequipa
Longitud
:
71°13'
W
Provincia
:
Caylloma
Altitud
:
4,200.00
msnm
Distrito
:
Santiago de
AÑO
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
TOTAL
1,964
40.00
86.00
94.00
36.00
3.00
3.00
0.00
2.00
0.00
0.00
38.00
48.00
350.00
1,965
132.00
82.00
40.00
9.00
0.00
0.00
0.00
0.00
13.00
1.00
5.00
46.00
328.00
1,966
88.00
71.00
18.00
2.00
59.00
59.00
0.00
0.00
1.00
37.00
28.00
39.00
402.00
1,967
85.00
151.00
104.00
49.00
15.00
15.00
87.00
0.00
62.00
14.00
1.00
6.00
589.00
1,968
114.00
72.00
157.00
3.00
3.00
3.00
3.00
1.00
0.00
41.00
157.00
22.00
576.00
1,969
92.40
203.00
58.00
18.00
0.00
0.00
0.00
0.00
15.00
5.00
35.00
36.00
462.40
1,970
137.00
107.00
161.00
13.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11.00
0.00
27.00
456.00
1,971
115.00
144.00
236.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
17.00
44.00
566.00
1,972
107.00
40.00
135.00
15.00
0.00
0.00
0.00
0.00
27.00
17.00
0.00
72.00
413.00
1,973
136.00
138.00
118.00
50.00
0.00
0.00
4.00
0.00
18.00
0.00
4.00
11.00
479.00
1,974
45.00
86.00
3.00
1.00
0.00
0.00
0.00
51.00
0.00
0.00
0.00
15.00
201.00
1,975
85.00
172.00
79.00
21.00
15.00
15.00
0.00
0.00
0.00
5.00
0.00
155.00
547.00
1,976
142.00
64.00
83.00
17.00
13.00
13.00
7.00
7.00
47.00
0.00
0.00
47.00
440.00
1,977
63.00
168.00
105.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.00
22.00
76.00
77.00
513.00
1,978
153.00
6.00
56.00
67.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11.00
81.00
34.00
408.00
1,979
45.00
18.00
109.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6.00
47.00
70.00
295.00
1,980
55.00
44.00
89.00
0.00
1.00
1.00
3.00
0.00
18.00
103.00
0.00
48.00
362.00
1,981
125.00
185.00
58.00
52.00
0.00
0.00
0.00
23.00
1.00
0.00
12.00
103.00
559.00
1,982
65.00
56.00
64.00
12.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16.00
36.00
64.00
20.00
333.00
1,983
2.00
20.00
54.00
22.00
4.00
4.00
0.00
0.00
10.00
4.00
0.00
39.00
159.00
1,984
137.00
139.00
174.00
12.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
44.00
78.00
46.00
630.00
1,985
24.00
157.00
84.00
61.00
3.00
3.00
0.00
0.00
4.00
0.00
63.00
79.00
478.00
1,986
112.00
116.00
72.00
27.00
6.00
6.00
2.00
5.00
0.00
0.00
16.00
129.00
491.00
1,987
107.70
24.90
12.60
0.00
0.00
0.00
9.50
0.00
4.00
16.60
11.00
0.70
187.00
1,988
210.20
40.40
75.00
64.60
28.30
28.30
0.00
0.00
0.00
5.20
0.00
22.80
474.80
1,989
84.40
96.50
79.00
31.00
3.30
3.30
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.30
298.80
1,990
91.20
18.60
74.30
6.20
7.50
7.50
0.00
4.10
0.00
11.20
72.60
81.70
374.90
1,991
91.62
52.20
178.30
8.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
51.80
382.82
1,992
20.80
23.30
1.50
4.70
0.00
0.00
2.00
9.60
0.00
9.00
15.98
62.69
149.57
1,993
243.50
38.20
126.60
23.40
3.90
3.90
1.80
29.10
0.00
16.70
44.60
163.90
695.60
1,994
178.10
227.30
52.90
49.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.50
43.40
561.60
1,995
69.30
43.20
125.20
9.10
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
2.30
23.80
42.40
318.30
1,996
57.60
108.60
60.00
28.40
10.70
10.70
0.00
4.40
0.00
0.60
9.10
65.20
355.30
1,997
85.50
157.10
75.20
2.90
5.60
5.60
0.20
11.60
35.10
14.90
26.20
39.20
459.10
1,998
122.80
55.70
18.60
4.90
0.00
0.00
0.00
0.00
1.20
0.00
38.90
50.20
292.30
1,999
39.80
184.00
176.40
75.40
0.00
0.00
0.00
0.00
14.70
47.40
1.10
38.40
577.20
2,000
38.40
129.80
109.60
1.60
1.30
1.30
0.00
0.00
0.50
13.60
2.40
51.30
349.80
2,001
113.40
98.50
85.90
34.10
0.00
0.00
0.00
7.00
3.20
13.80
2.70
5.80
364.40
2,002
75.00
128.80
138.20
33.70
4.70
4.70
33.00
0.50
3.80
6.10
64.20
69.90
562.60
2,003
15.40
56.70
68.10
10.70
11.90
11.90
0.20
4.50
0.40
0.00
0.10
52.00
231.90
2,004
107.70
80.50
75.40
6.70
0.00
0.00
20.60
21.60
7.40
0.00
0.00
21.00
340.90
2,005
35.10
137.00
58.20
15.70
0.00
0.00
0.00
0.00
14.40
0.00
4.20
64.10
328.70
2,006
144.00
114.30
107.30
4.20
0.20
0.20
0.00
0.00
2.40
6.30
16.60
18.50
414.00
Nº AÑOS
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
PROM
93.74
96.29
89.52
21.22
4.64
4.64
4.03
4.22
7.54
12.11
24.79
50.22
412.95
D.STD.
51.20
57.22
50.48
20.98
10.29
10.29
14.28
9.87
13.39
19.28
33.14
36.14
130.22
PPMAX
243.50
227.30
236.00
75.40
59.00
59.00
87.00
51.00
62.00
103.00
157.00
163.90
695.60
PPMIN
2.00
6.00
1.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.70
149.57
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 10
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 09 REGISTRO DE PRECIPITACION MENSUAL ACUMULADA (mm) Estacion
:
Tipo
:
PAMPA ARRIEROS CO
Latitud
:
Longitud
:
Altitud
:
S
Departamento
:
Arequipa
71°35' 3,741.00
W
Provincia
:
Arequipa
msnm
Distrito
:
Yura
16°04'
AÑO
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
TOTAL
1,964
8.00
30.00
26.00
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.00
25.00
62.00
164.00
1,965
38.00
30.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
21.00
0.00
0.00
0.00
99.00
1,966
7.00
38.00
6.00
0.00
21.00
0.00
0.00
0.00
0.00
18.00
11.00
4.00
105.00
1,967
50.00
134.00
91.00
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
3.00
3.00
8.00
300.00
1,968
113.00
49.00
80.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
3.00
255.00
1,969
19.00
46.00
30.00
7.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.00
33.00
140.00
1,970
45.00
35.00
38.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7.00
0.00
14.00
139.00
1,971
77.00
41.00
11.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
35.00
164.00
1,972
112.00
154.00
99.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
15.00
0.00
20.00
400.00
1,973
60.00
85.00
57.00
0.00
0.00
0.00
0.00
4.00
17.00
0.00
0.00
3.00
226.00
1,974
119.00
82.00
22.00
13.00
0.00
0.00
0.00
54.00
0.00
0.00
0.00
15.00
305.00
1,975
34.00
110.00
96.00
29.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
58.00
327.00
1,976
99.00
82.00
63.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
36.00
0.00
0.00
0.00
280.00
1,977
39.00
50.00
49.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
9.00
13.00
160.00
1,978
40.00
0.00
28.00
0.00
0.00
0.00
4.00
0.00
0.00
0.00
23.00
0.00
95.00
1,979
15.00
15.00
61.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.00
6.00
18.00
120.00
1,980
16.00
19.00
46.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
22.00
113.00
1,981
47.00
96.00
27.00
47.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
29.00
246.00
1,982
41.00
48.00
9.00
3.00
0.00
0.00
0.00
0.00
13.00
8.00
14.00
12.00
148.00
1,983
6.00
41.00
24.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
55.00
126.00
1,984
42.00
97.00
74.00
0.00
0.00
24.00
0.00
51.00
0.00
0.00
75.00
73.00
436.00
1,985
20.00
123.00
24.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.00
0.00
0.00
28.00
39.00
236.00
1,986
78.00
123.00
76.00
15.00
2.00
0.00
0.00
2.00
0.00
0.00
19.00
124.00
439.00
1,987
70.00
54.00
13.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
48.00
186.00
1,988
42.00
52.00
56.00
3.00
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
20.00
181.00
1,989
21.00
209.00
75.00
6.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
311.00
1,990
31.00
114.00
50.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
0.00
15.00
213.00
1,991
42.00
22.00
27.00
0.00
0.00
2.00
0.00
0.00
0.00
1.00
69.00
18.00
181.00
1,992
13.00
9.00
0.00
1.00
0.00
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16.00
48.00
95.00
1,993
68.00
6.00
6.00
6.00
0.00
0.00
0.00
22.00
3.00
2.00
1.00
75.00
189.00
1,994
108.00
106.00
41.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
4.00
0.00
1.00
260.00
1,995
36.00
83.00
95.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
37.00
18.00
271.00
1,996
13.00
28.00
13.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.00
22.00
78.00
1,997
45.00
122.00
50.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.00
0.00
6.00
119.00
347.00
1,998
70.00
69.00
25.00
19.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
33.00
99.00
315.00
1,999
30.00
84.00
95.00
16.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
9.00
235.00
2,000
77.00
2.00
22.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
25.00
127.00
2,001
54.18
192.54
108.09
11.67
0.01
0.93
0.00
0.40
7.98
1.82
5.86
15.68
399.16
2,002
33.85
88.18
90.35
5.39
0.01
0.93
0.00
0.40
9.33
0.86
8.90
31.08
269.28
2,003
38.45
44.51
44.97
5.99
3.08
0.93
0.00
0.40
1.66
0.86
5.86
18.82
165.53
2,004
75.13
55.79
35.98
1.88
0.01
0.93
0.00
0.40
17.46
0.86
5.86
25.75
220.04
2,005
32.50
34.89
31.23
1.88
0.01
0.93
0.00
0.40
33.25
0.86
5.86
46.58
188.39
2,006
56.54
94.81
54.21
2.60
0.01
0.93
0.00
0.40
6.17
6.32
7.22
17.64
246.86
Nº AÑOS
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
PROM
48.41
69.74
45.81
4.92
0.79
0.92
0.09
3.43
4.04
2.22
10.06
30.52
220.96
D.STD.
30.22
48.94
30.61
9.14
3.42
3.82
0.61
11.57
8.64
4.05
16.85
30.46
95.91
PPMAX
119.00
209.00
108.09
47.00
21.00
24.00
4.00
54.00
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18.00
75.00
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439.00
PPMIN
6.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
78.00
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 11
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 10 REGISTRO DE PRECIPITACION MENSUAL ACUMULADA (mm) Estacion
:
SUMBAY
Latitud
:
15°59'
S
Departamento
:
Arequipa
Tipo
:
CO
Longitud
:
W
Provincia
:
Arequipa
Altitud
:
71°22' 4,150.00
msnm
Distrito
:
Cayma
AÑO
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
TOTAL
1,964
166.00
109.00
183.00
0.00
6.00
4.00
12.00
16.00
8.00
21.00
0.00
59.00
584.00
1,965
55.00
108.00
38.00
10.00
0.00
0.00
0.00
3.00
17.00
2.00
0.00
53.00
286.00
1,966
42.00
11.00
29.00
3.00
15.00
11.00
12.00
0.00
0.00
43.00
31.00
0.00
197.00
1,967
305.00
91.00
156.00
9.00
6.00
3.00
2.00
1.00
2.00
45.00
0.00
57.00
677.00
1,968
127.00
75.00
121.00
0.00
10.00
1.00
0.00
2.00
1.00
44.00
84.00
18.00
483.00
1,969
69.00
6.00
63.00
67.00
5.00
1.00
2.00
1.00
0.00
0.00
8.00
71.00
293.00
1,970
128.00
43.00
176.00
0.00
6.00
0.00
1.00
4.00
1.00
3.00
0.00
7.00
369.00
1,971
106.00
38.00
70.00
1.00
8.00
0.00
3.00
4.00
5.00
1.00
0.00
74.00
310.00
1,972
29.00
142.00
213.00
0.00
7.00
1.00
19.00
10.00
13.00
126.00
0.00
23.00
583.00
1,973
324.00
181.00
50.00
18.00
9.00
30.00
35.00
20.00
40.00
12.00
0.00
25.00
744.00
1,974
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140.00
91.00
1.00
0.00
3.00
0.00
15.00
3.00
5.00
0.00
65.00
458.00
1,975
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192.00
359.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.00
0.00
112.00
800.00
1,976
115.00
152.00
165.00
0.00
0.00
0.00
12.00
13.00
34.00
0.00
0.00
36.00
527.00
1,977
50.00
157.00
119.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16.00
36.00
47.00
46.00
471.00
1,978
71.00
30.00
33.00
42.00
0.00
0.00
4.00
0.00
0.00
12.00
66.00
58.00
316.00
1,979
24.00
0.00
209.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
22.00
28.00
60.00
343.00
1,980
23.00
7.00
72.00
0.00
1.00
0.00
1.00
0.00
7.00
69.00
0.00
39.00
219.00
1,981
101.00
140.00
53.00
43.00
0.00
0.00
0.00
25.00
7.00
0.00
1.00
55.00
425.00
1,982
58.00
44.00
73.00
23.00
1.00
0.00
0.00
5.00
6.00
37.00
95.00
19.00
361.00
1,983
105.00
68.00
35.00
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0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7.00
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1,984
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68.00
0.00
0.00
14.00
0.00
5.00
0.00
44.00
115.00
50.00
532.00
1,985
21.00
190.00
105.00
93.00
4.00
52.00
27.00
6.00
3.00
1.00
4.00
63.00
569.00
1,986
177.00
106.00
47.00
62.00
20.00
4.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
61.00
478.00
1,987
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18.00
130.00
5.00
0.00
4.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
0.00
251.00
1,988
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1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11.00
336.00
1,989
347.00
147.00
195.00
68.00
10.00
15.00
6.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
808.00
1,990
199.00
54.00
24.00
4.00
7.00
7.00
4.00
11.00
4.00
24.00
19.00
36.00
393.00
1,991
22.00
11.00
169.00
21.00
4.00
11.00
4.00
4.00
4.00
4.00
57.00
7.00
318.00
1,992
4.00
55.00
28.00
13.00
4.00
20.00
4.00
22.00
4.00
11.00
7.00
57.00
229.00
1,993
180.00
16.00
49.00
11.00
5.00
4.00
4.00
31.00
4.00
41.00
10.00
34.00
389.00
1,994
172.00
156.00
108.00
126.00
4.00
4.00
4.00
5.00
4.00
4.00
4.00
32.00
623.00
1,995
108.00
26.00
105.00
5.00
12.00
4.00
4.00
4.00
5.00
4.00
17.00
23.00
317.00
1,996
32.00
84.00
65.00
27.00
4.00
4.00
4.00
6.00
4.00
4.00
25.00
53.00
312.00
1,997
84.00
162.00
45.00
7.00
7.00
4.00
4.00
13.00
37.00
5.00
8.00
14.00
390.00
1,998
84.00
50.00
49.00
6.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
5.00
19.00
237.00
1,999
50.00
189.00
108.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
7.00
23.00
4.00
42.00
443.00
2,000
42.00
114.00
56.00
12.00
8.00
4.00
5.00
6.00
4.00
18.00
5.00
18.00
292.00
2,001
126.41
237.73
178.42
32.05
4.27
5.85
4.90
8.07
4.20
15.99
7.31
23.13
648.32
2,002
81.51
114.26
156.82
31.71
4.27
5.85
4.90
4.88
3.91
10.72
13.76
43.79
476.37
2,003
58.32
62.59
101.59
12.33
5.66
5.85
4.90
6.84
3.91
10.72
7.31
38.02
318.03
2,004
138.01
75.93
90.64
8.96
4.27
5.85
4.90
15.22
4.20
10.72
7.31
28.03
394.03
2,005
103.81
51.21
84.86
16.54
4.27
5.85
4.90
4.64
9.71
10.72
7.31
41.92
345.75
2,006
111.84
122.10
112.83
6.85
4.27
5.85
4.90
4.64
3.91
40.58
10.20
27.22
455.20
Nº AÑOS
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
PROM
107.60
92.44
102.61
21.20
4.63
5.77
4.92
6.70
6.46
18.17
16.21
37.44
424.16
D.STD.
77.76
62.41
68.06
29.88
4.36
9.37
7.09
7.40
9.37
23.87
27.49
23.73
157.41
PPMAX
347.00
237.73
359.00
126.00
20.00
52.00
35.00
31.00
40.00
126.00
115.00
112.00
808.00
PPMIN
4.00
0.00
24.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
197.00
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 12
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 11 REGISTRO DE PRECIPITACION MENSUAL ACUMULADA (mm) Estacion
:
IMATA
Latitud
:
15°50'
S
Departamento
:
Arequipa
Tipo
:
CO
Longitud
:
71°05'
W
Provincia
:
Caylloma
Altitud
:
4,495.00
msnm
Distrito
:
Santiago de
AÑO
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SET
OCT
NOV
DIC
TOTAL
1,964
88.00
144.00
113.00
29.00
40.00
0.00
0.00
7.00
0.00
5.00
16.00
59.00
501.00
1,965
27.00
100.00
89.00
13.00
1.00
0.00
4.00
0.00
0.00
8.00
0.00
53.00
295.00
1,966
59.00
76.00
101.00
9.00
42.00
0.00
0.00
1.00
2.00
54.00
47.00
0.00
391.00
1,967
93.00
128.00
121.00
76.00
5.00
1.00
8.00
0.00
40.00
21.00
12.00
57.00
562.00
1,968
177.00
88.00
142.00
10.00
7.00
2.00
4.00
0.00
3.00
46.00
108.00
18.00
605.00
1,969
109.00
89.00
73.00
17.00
0.00
1.00
2.00
2.00
10.00
5.00
51.00
71.00
430.00
1,970
142.00
87.00
130.00
10.00
23.00
0.00
0.00
0.00
5.00
6.00
1.00
7.00
411.00
1,971
135.00
154.00
101.00
16.00
1.00
1.00
0.00
1.00
0.00
4.00
12.00
74.00
499.00
1,972
188.00
186.00
157.00
18.00
1.00
1.00
1.00
0.00
42.00
31.00
8.00
23.00
656.00
1,973
245.00
191.00
145.00
31.00
11.00
0.00
4.00
8.00
41.00
9.00
28.00
25.00
738.00
1,974
343.00
204.00
69.00
52.00
0.00
25.00
1.00
57.00
1.00
0.00
5.00
65.00
822.00
1,975
162.00
181.00
92.00
22.00
12.00
1.00
0.00
0.00
1.00
18.00
8.00
112.00
609.00
1,976
138.00
77.00
111.00
20.00
10.00
1.00
10.00
19.00
74.00
0.00
0.00
36.00
496.00
1,977
54.00
174.00
136.00
1.00
1.00
0.00
2.00
0.00
8.00
9.00
94.00
46.00
525.00
1,978
245.00
37.00
85.00
50.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
17.00
78.00
58.00
571.00
1,979
85.00
44.00
101.00
5.00
0.00
0.00
1.00
2.00
0.00
22.00
60.00
60.00
380.00
1,980
50.00
63.00
118.00
8.00
0.00
0.00
7.00
3.00
11.00
93.00
7.00
39.00
399.00
1,981
196.00
261.00
75.00
50.00
0.00
0.00
0.00
28.00
3.00
2.00
12.00
55.00
682.00
1,982
115.00
46.00
114.00
27.00
2.00
0.00
0.00
0.00
19.00
36.00
81.00
19.00
459.00
1,983
28.00
36.00
34.00
30.00
9.00
2.00
0.00
1.00
8.00
1.00
0.00
7.00
156.00
1,984
156.00
158.00
114.00
12.00
1.00
4.00
0.00
0.00
0.00
57.00
93.00
50.00
645.00
1,985
38.00
211.00
157.00
105.00
15.00
9.00
0.00
0.00
7.00
0.00
82.00
63.00
687.00
1,986
123.00
129.00
139.00
46.00
1.00
0.00
0.00
10.00
2.00
6.00
7.00
61.00
524.00
1,987
150.00
66.00
20.00
11.00
0.00
0.00
18.00
0.00
3.00
9.00
26.00
0.00
303.00
1,988
198.00
30.00
103.00
80.00
2.00
0.00
0.00
0.00
7.00
8.00
0.00
11.00
439.00
1,989
126.00
69.00
116.00
49.00
7.00
3.00
1.00
0.00
0.00
1.00
16.00
4.00
392.00
1,990
111.00
14.00
61.00
23.00
10.00
30.00
0.00
8.00
0.00
16.00
105.00
36.00
414.00
1,991
124.00
74.00
134.00
10.00
0.00
16.00
0.00
0.00
0.00
10.00
33.00
7.00
408.00
1,992
44.00
41.00
8.00
5.00
0.00
3.00
3.00
7.00
0.00
7.00
22.00
57.00
197.00
1,993
181.00
37.00
138.00
23.00
0.00
1.00
0.00
15.00
1.00
36.00
42.00
34.00
508.00
1,994
210.00
182.00
87.00
66.00
3.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
28.00
32.00
609.00
1,995
62.00
60.00
110.00
18.00
10.00
0.00
0.00
0.00
9.00
1.00
41.00
23.00
334.00
1,996
130.00
167.00
66.00
50.00
5.00
0.00
0.00
8.00
0.00
1.00
21.00
53.00
501.00
1,997
53.00
183.00
52.00
14.00
10.00
0.00
0.00
27.00
44.00
0.00
4.00
14.00
401.00
1,998
124.00
90.00
60.00
7.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
4.00
35.00
19.00
339.00
1,999
77.00
218.00
256.00
66.00
2.00
0.00
0.00
2.00
16.00
49.00
2.00
42.00
730.00
2,000
165.00
116.00
74.00
13.00
8.00
1.00
0.00
1.00
0.00
35.00
6.00
18.00
437.00
2,001
129.94
116.47
198.39
41.08
3.97
0.33
0.00
8.69
4.79
17.36
11.57
23.13
555.72
2,002
78.68
141.40
172.17
40.70
6.34
0.33
0.00
2.06
5.41
10.06
65.00
43.79
565.95
2,003
96.48
82.08
105.11
19.03
9.97
0.33
0.00
6.14
1.90
4.28
9.31
38.02
372.64
2,004
146.74
101.66
91.82
15.26
3.97
0.33
0.00
23.58
9.13
4.28
9.22
28.03
434.02
2,005
103.37
148.15
84.81
23.74
3.97
0.33
0.00
1.55
16.36
4.28
12.87
41.92
441.36
2,006
159.89
129.47
118.76
12.91
4.08
0.33
0.00
1.55
3.96
10.25
23.64
27.22
492.07
Nº AÑOS
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
43.00
PROM
127.12
114.66
106.35
28.95
6.31
2.44
1.53
5.85
9.27
15.76
30.76
37.44
486.44
D.STD.
65.10
61.03
45.24
23.49
9.25
6.28
3.47
10.88
15.73
19.80
31.89
23.73
141.06
PPMAX
343.00
261.00
256.00
105.00
42.00
30.00
18.00
57.00
74.00
93.00
108.00
112.00
822.00
PPMIN
27.00
14.00
8.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
156.00
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 13
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 12
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 14
Volumen I : Hidrología
4.4.2
Subcuenca Siguas
ANÁLISIS DE CONSISTENCIA
La inconsistencia es sinónimo de error sistemático y se presenta como saltos y tendencias, los errores sistemáticos son los de mayor preocupación, los datos pueden ser incrementados o reducidos sistemáticamente, con lo que los resultados finales se desvían, pudiendo producirse grandes errores en los estudios de utilización y regulación que se realicen a partir de dichos datos. Los errores sistemáticos pueden ser a la vez naturales y artificiales u ocasionales por la mano del hombre. El procedimiento consta de tres fases: análisis gráfico, análisis de doble masa y análisis estadístico. 4.4.2.1 ANÁLISIS GRÁFICO Este análisis se realiza en forma visual, graficándose los datos de precipitación y tiempo en meses o años o utilizando la curva de doble masa, con la finalidad de detectar posibles saltos y/o tendencias y determinar el periodo en el cual la información es dudosa o aparentemente confiable, considerándose como información dudosa o de poco valor para el estudio, aquélla que muestra en forma evidente valores constantes en periodos en los cuales físicamente no es posible, debido a la característica aleatoria de los datos y cuando no hay compatibilidad, con la información obtenida en el campo. 4.4.2.2 CURVA DE DOBLE MASA El Análisis mediante la curva de doble masa, es una herramienta muy conocida y utilizada en la detección de inconsistencias en los datos hidrológicos, cuando se disponen de dos o más series de datos, en lo que respecta a errores que pueden haberse producido durante la obtención de los mismos, pero no para realizar una corrección a partir de la curva de doble masa. La curva de doble masa, verifica la consistencia del registro de una estación, comparando la precipitación anual acumulada con los correspondientes valores, también acumulados, de la precipitación anual promedio de un grupo de estaciones localizadas en los alrededores. Una de las formas de realizar el análisis de doble masa consiste en lo siguiente:
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Se toma la estación más confiable de todas las estaciones disponibles, la misma que va ha servir para comparar con los demás registros. Esto es posible siempre y cuando la información de campo y los hidrogramas proporcionen la información necesaria para tomar tal decisión. En caso de no realizarse el primer paso, plotear en el eje de las abscisas el promedio anual acumulado de la información de todas las estaciones de la cuenca y en el eje de las ordenadas la información anual acumulada de cada una de las estaciones del análisis. En las rectas de doble masa obtenidas en el paso anterior, seleccionar la que presente mayor regularidad, vale decir menor número de puntos de quiebre, como la más confiable. Luego, la estación seleccionada como la más confiable se plotea en el eje de las abscisas y en las ordenadas cada una de las demás estaciones, obteniéndose así tantas rectas como número de series se tengan menos una. 4.4.2.3 ANÁLISIS ESTADÍSTICO El análisis gráfico y el análisis de doble masa permiten básicamente, obtener la separación de los periodos con información confiable de aquellos que presentan información dudosa, según la magnitud de los quiebres en los gráficos respectivos. La evaluación rigurosa, se realiza con el análisis estadístico, el cual es un proceso de inferencia para la media y la desviación estándar de los diferentes periodos de información, mediante las pruebas “T” y “F” respectivamente y de esta manera determinar si la muestra es homogénea. Con dichas pruebas se establece si existe diferencia estadística a un determinado nivel de significación entre las medias y la desviación estándar entre dos periodos de información considerados. Una serie de datos es llamada homogénea si es una muestra de una única población. Si la serie no es homogénea se le deben hacer ajustes o correcciones. La no homogeneidad en los datos de precipitación es creada por tres fuentes principales: −
Movimiento de las estaciones en una distancia horizontal.
−
Movimiento en una distancia vertical.
− Cambios en el medio ambiente de una estación como árboles, construcción de casas, embalses, deforestación y reforestación en la zona, entre otros.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
La evaluación y cuantificación de los errores detectados en la forma de saltos, se realiza mediante el análisis estadístico, tanto de la media como de la desviación estándar. a) PRUEBA DE CONSISTENCIA EN LA MEDIA (X), CON EL ESTADÍSTICO “T” DE STUDENT Mediante la prueba estadística "T" de Student, se analiza si los valores promedios son estadísticamente indistinguibles, vale decir, probar que ambos valores provienen de la misma población. La prueba requiere identificar previamente de un histograma de precipitación, dos periodos que se sospeche sean no homogéneos. Si denominamos la longitud del primer periodo como (n1) y la del segundo periodo como (n2), teniendo cada uno de ellos a X1 y X2 como valores medios respectivamente, se tiene: X1, X2
:
Media de los periodos 1 y 2, respectivamente.
S1(x), S2(x)
:
Desviación estándar de los periodos 1 y 2.
n1, n2
:
Longitud de los periodos 1 y 2, respectivamente.
n
:
Tamaño de la muestra (n = n1+ n2)
Calculo del “T” calculado (Tc)
Tc =
x1 − x 2 1 1 + n1 n2
1
2
( n1 − 1) * S1 2 + ( n 2 − 1) * S 2 2 n1 + n 2 − 2
1
2
Calculo del “T” tabulado (Tt) El valor absoluto de T calculado (Tc) se compara con el T tabular (Tt) con (n1+n2-2) grados de libertad y con 5% de nivel de significancia. Si y sólo si, el valor absoluto de Tc es mayor que el Tt; se concluye que la diferencia entre las medias evidencian la falta de homogeneidad, con nivel de significancia a = 0,05 y con grados de libertad g.l. = n1+n2-2. Comparación del Tc con Tt
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Si Tc < Tt (95 %) ⇒ X 1 = X 2 (estadísticamente), no necesita realizar corrección en los datos. Si Tc > Tt (95 %) ⇒ X 1 ≠ X 2 (estadísticamente), se debe corregir los datos del periodo dudoso.
b) PRUEBA DE CONSISTENCIA EN LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR CON EL ESTADÍSTICO “F” DE FISHER El análisis consiste en probar, mediante la prueba “F”, si los valores de la desviación estándar de las submuestras son estadísticamente iguales o diferentes con un 5% de nivel de significancia (a=0.05). 2
2
2
2
Hipótesis planteada Hp :
S1 ( x) = S 2 ( x)
Hipótesis alternante Ha :
S1 ( x) ≠ S 2 ( x)
2
2
S1 ( x ), S 2 ( x) : Varianza de los periodos 1 y 2 respectivamente. Cálculo de F calculado (Fc) 2
S ( x) 2 2 Fc = 1 2 , si S1 ( x) > S 2 ( x) S 2 ( x) 2
S ( x) 2 2 Fc = 22 , si S 2 ( x) > S1 ( x) S1 ( x) Calculo de F tabulado (Ft) El valor crítico de F se obtiene en las tablas F de Fisher para una probabilidad al 95%. Con un nivel de significancia a= 0.05 y para grados de libertad según: 2
2
2
2
g.l.N= n1-1, g.l.D = n2-1, si S1 ( x) > S 2 ( x) g.l.N= n2-1, g.l.D = n1-1, si S 2 ( x ) > S1 ( x )
Comparación del Fc con Ft
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Si Fc < Ft (95 %) ⇒S1 ( x) = S 2 ( x) (estadísticamente), no necesita realizar corrección en los datos. Si Fc > Ft (95 %) ⇒S1 ( x) ≠ S 2 ( x) (estadísticamente), se debe corregir los datos del periodo dudoso. Corrección de Datos En los casos en que los parámetros media y desviación estándar de las submuestras de las series de tiempo resultan estadísticamente iguales, la información original no se corrige por ser consistente con 95% de probabilidad, aún cuando en las curvas de doble masa se observe pequeños quiebres; en caso contrario, se corrigen los valores de las submuestras mediante las siguientes ecuaciones: X '( t ) =
xt − x 1 S 2 ( x) + x 2 S1( x )
(1)
X '(t ) =
xt − x 2 S1 ( x ) + x 1 S 2( x)
(2)
Donde: X’(t)
= Valor corregido de saltos
xt
= Valor a ser corregido
La ecuación Nº 1 se utiliza cuando se deben corregir los valores de las submuestras de tamaño n1 y la ecuación Nº 2 cuando se deben corregir las submuestras de tamaño n2. Para el estudio, se ha utilizado los diagramas de doble masa, donde se han separado los periodos dudosos aparentemente confiables y los periodos homogéneos. Con estos periodos se ha realizado el análisis estadístico para verificar la igualdad de las medias y desviación estándar. En los siguientes gráficos se muestran los quiebres que pueden ser significativos para su posterior análisis estadístico:
Cuadro Nº 13. Precipitación Total Anual mm
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
ANALISIS DE DOBLE MASA Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
precipitación media Preciìtacióntotal anual acumulada Estaciónpromedio Pañe Imata Pillones Pañe Imata Pillones Promedio Acumulado 629.8 501.00 350.00 629.80 501.00 350.00 493.60 493.60 688.2 295.00 328.00 1318.00 796.00 678.00 437.07 930.67 579.7 391.00 402.00 1897.70 1187.00 1080.00 457.57 1388.23 598.9 562.00 589.00 2496.60 1749.00 1669.00 583.30 1971.53 691.9 605.00 576.00 3188.50 2354.00 2245.00 624.30 2595.83 544.6 430.00 462.40 3733.10 2784.00 2707.40 479.00 3074.83 716.1 411.00 456.00 4449.20 3195.00 3163.40 527.70 3602.53 699.2 499.00 566.00 5148.40 3694.00 3729.40 588.07 4190.60 753.3 656.00 413.00 5901.70 4350.00 4142.40 607.43 4798.03 962.6 738.00 479.00 6864.30 5088.00 4621.40 726.53 5524.57 686.1 822.00 201.00 7550.38 5910.00 4822.40 569.69 6094.26 754.3 609.00 547.00 8304.68 6519.00 5369.40 636.77 6731.03 460.2 496.00 440.00 8764.88 7015.00 5809.40 465.40 7196.43 556.5 525.00 513.00 9321.38 7540.00 6322.40 531.50 7727.93 555.3 571.00 408.00 9876.68 8111.00 6730.40 511.43 8239.36 651.6 380.00 295.00 10528.28 8491.00 7025.40 442.20 8681.56 601.1 399.00 362.00 11129.38 8890.00 7387.40 454.03 9135.59 815.9 682.00 559.00 11945.28 9572.00 7946.40 685.63 9821.23 737.2 459.00 333.00 12682.48 10031.00 8279.40 509.73 10330.96 414.1 156.00 159.00 13096.58 10187.00 8438.40 243.03 10573.99 1360.6 645.00 630.00 14457.18 10832.00 9068.40 878.53 11452.53 758.2 687.00 478.00 15215.38 11519.00 9546.40 641.07 12093.59 1069.4 524.00 491.00 16284.78 12043.00 10037.40 694.80 12788.39 556.5 303.00 187.00 16841.28 12346.00 10224.40 348.83 13137.23 805.3 439.00 474.80 17646.58 12785.00 10699.20 573.03 13710.26 492.1 392.00 298.80 18138.68 13177.00 10998.00 394.30 14104.56 697.0 414.00 374.90 18835.68 13591.00 11372.90 495.30 14599.86 752.1 408.00 382.82 19587.78 13999.00 11755.72 514.31 15114.17 369.7 197.00 149.57 19957.48 14196.00 11905.29 238.76 15352.92 819.8 508.00 695.60 20777.28 14704.00 12600.89 674.47 16027.39 955.5 609.00 561.60 21732.78 15313.00 13162.49 708.70 16736.09 718.3 334.00 318.30 22451.08 15647.00 13480.79 456.87 17192.96 874.6 501.00 355.30 23325.68 16148.00 13836.09 576.97 17769.92 893.5 401.00 459.10 24219.18 16549.00 14295.19 584.53 18354.46 813.6 339.00 292.30 25032.78 16888.00 14587.49 481.63 18836.09 932.9 730.00 577.20 25965.68 17618.00 15164.69 746.70 19582.79 836.3 437.00 349.80 26801.98 18055.00 15514.49 541.03 20123.82 825.2 555.72 364.40 27627.18 18610.72 15878.89 581.77 20705.59 955.0 565.95 562.60 28582.18 19176.66 16441.49 694.52 21400.11 798.3 372.64 231.90 29380.48 19549.30 16673.39 467.61 21867.72 918.7 434.02 340.90 30299.18 19983.32 17014.29 564.54 22432.26 631.7 441.36 328.70 30930.88 20424.68 17342.99 467.25 22899.52 762.5 492.07 414.00 31693.35 20916.75 17756.99 556.18 23455.70
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 15. Precipitación Total Anual mm
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 14. Precipitación Total Anual mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
Pañe
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1976
13
674.22
121.8066 14836.8557
N2
1977-2006
30
764.28
200.8244 40330.4441
Tc
G.L
1.496
Tt 41
2.7
Sd
181.2978
60.1997
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
2.7183
G.L.D 29
Ft 12
2.47
Análisis
Prueba de significancia
Fc > Ft
Si realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Imata
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1989
26
523.61
151.5552 22845.0415
N2
1990-2006
17
443.69
117.4428 14830.7706
Tc
G.L
1.8402
Tt 41
2.7
Sd
139.2409
43.43
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.5404
G.L.D 25
Ft 16
2.09
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Pillones
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1974
11
438.40
117.7971
N2
1975-2006
32
404.21
134.8624 18187.8715
Tc
G.L
0.7474
Tt 41
2.7
13876.16
Sd
130.9054
45.7531
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 1.3107
G.L.N
G.L.D 31
Ft 10
2.7 .
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 15. Precipitación Total Anual Corregido mm
ANALISIS DE DOBLE MASA Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
precipitación media Pañe Imata Pillones 691.04 501.00 350.00 787.33 295.00 328.00 608.44 391.00 402.00 640.10 562.00 589.00 793.43 605.00 576.00 550.57 430.00 462.40 833.33 411.00 456.00 805.46 499.00 566.00 894.66 656.00 413.00 1239.74 738.00 479.00 783.83 822.00 201.00 896.31 609.00 547.00 411.42 496.00 440.00 556.50 525.00 513.00 555.30 571.00 408.00 651.60 380.00 295.00 601.10 399.00 362.00 815.90 682.00 559.00 737.20 459.00 333.00 414.10 156.00 159.00 1360.60 645.00 630.00 758.20 687.00 478.00 1069.40 524.00 491.00 556.50 303.00 187.00 805.30 439.00 474.80 492.10 392.00 298.80 697.00 414.00 374.90 752.10 408.00 382.82 369.70 197.00 149.57 819.80 508.00 695.60 955.50 609.00 561.60 718.30 334.00 318.30 874.60 501.00 355.30 893.50 401.00 459.10 813.60 339.00 292.30 932.90 730.00 577.20 836.30 437.00 349.80 825.20 555.72 364.40 955.00 565.95 562.60 798.30 372.64 231.90 918.70 434.02 340.90 631.70 441.36 328.70 762.47 492.07 414.00
Preciìtacióntotal anual acumulada Pañe Imata Pillones 629.80 501.00 350.00 1318.00 796.00 678.00 1897.70 1187.00 1080.00 2496.60 1749.00 1669.00 3188.50 2354.00 2245.00 3733.10 2784.00 2707.40 4449.20 3195.00 3163.40 5148.40 3694.00 3729.40 5901.70 4350.00 4142.40 6864.30 5088.00 4621.40 7550.38 5910.00 4822.40 8304.68 6519.00 5369.40 8764.88 7015.00 5809.40 9321.38 7540.00 6322.40 9876.68 8111.00 6730.40 10528.28 8491.00 7025.40 11129.38 8890.00 7387.40 11945.28 9572.00 7946.40 12682.48 10031.00 8279.40 13096.58 10187.00 8438.40 14457.18 10832.00 9068.40 15215.38 11519.00 9546.40 16284.78 12043.00 10037.40 16841.28 12346.00 10224.40 17646.58 12785.00 10699.20 18138.68 13177.00 10998.00 18835.68 13591.00 11372.90 19587.78 13999.00 11755.72 19957.48 14196.00 11905.29 20777.28 14704.00 12600.89 21732.78 15313.00 13162.49 22451.08 15647.00 13480.79 23325.68 16148.00 13836.09 24219.18 16549.00 14295.19 25032.78 16888.00 14587.49 25965.68 17618.00 15164.69 26801.98 18055.00 15514.49 27627.18 18610.72 15878.89 28582.18 19176.66 16441.49 29380.48 19549.30 16673.39 30299.18 19983.32 17014.29 30930.88 20424.68 17342.99 31693.35 20916.75 17756.99
Estaciónpromedio Promedio Acumulado 493.60 493.60 437.07 930.67 457.57 1388.23 583.30 1971.53 624.30 2595.83 479.00 3074.83 527.70 3602.53 588.07 4190.60 607.43 4798.03 726.53 5524.57 569.69 6094.26 636.77 6731.03 465.40 7196.43 531.50 7727.93 511.43 8239.36 442.20 8681.56 454.03 9135.59 685.63 9821.23 509.73 10330.96 243.03 10573.99 878.53 11452.53 641.07 12093.59 694.80 12788.39 348.83 13137.23 573.03 13710.26 394.30 14104.56 495.30 14599.86 514.31 15114.17 238.76 15352.92 674.47 16027.39 708.70 16736.09 456.87 17192.96 576.97 17769.92 584.53 18354.46 481.63 18836.09 746.70 19582.79 541.03 20123.82 581.77 20705.59 694.52 21400.11 467.61 21867.72 564.54 22432.26 467.25 22899.52 556.18 23455.70
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 16. Precipitación Total Anual Corregido mm
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 16. Precipitación Total Anual Corregido mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
Pañe
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1976
13
764.28
200.8245 40330.4611
N2
1977-2006
30
764.28
200.8244 40330.4441
Tc
G.L 0
Tt 41
2.7
Sd
200.8244
66.6835
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N 1
G.L.D 12
Ft 29
2.47
Análisis
Prueba de significancia
Fc
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Imata
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1989
26
523.61
151.5552 22845.0415
N2
1990-2006
17
443.69
117.4428 14830.7706
Tc
G.L
1.8402
Tt 41
2.7
Sd
139.2409
43.43
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.5404
G.L.D 25
Ft 16
2.09
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Pillones
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1974
11
438.40
117.7971
N2
1975-2006
32
404.21
134.8624 18187.8715
Tc
G.L
0.7474
Tt 41
2.7
13876.16
Sd
130.9054
45.7531
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 1.3107
G.L.N
G.L.D 31
Ft 10
2.7 .
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 17. Precipitación Total Anual mm ANALISIS DE DOBLE MASA Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Sumbay 584.0 286.0 197.0 677.0 483.0 293.0 369.0 310.0 583.0 744.0 458.0 800.0 527.0 471.0 316.0 343.0 219.0 425.0 361.0 238.0 532.0 569.0 478.0 251.0 336.0 808.0 393.0 318.0 229.0 389.0 623.0 317.0 312.0 390.0 237.0 443.0 292.0 648.3 476.4 318.0 394.0 345.8 455.2
precipitación media Pulpera Sibayo 717.99 457.70 317.90 462.90 417.28 495.10 822.40 654.00 574.80 651.90 311.70 516.20 478.60 591.80 543.10 508.50 552.48 751.10 629.90 699.70 607.10 596.80 615.70 660.00 243.00 540.30 221.80 462.90 291.10 405.80 315.40 448.90 249.86 399.60 384.40 620.70 355.90 582.10 179.10 441.80 622.20 542.50 534.70 544.90 537.50 257.30 285.90 500.30 482.60 677.00 310.76 441.80 349.00 542.50 420.00 544.90 180.60 257.30 388.50 500.30 538.80 658.60 533.60 529.80 479.50 554.90 430.66 629.70 326.97 558.10 575.81 849.10 397.38 613.40 570.83 598.68 536.36 608.07 414.58 472.03 494.68 553.28 455.09 515.09 513.88 622.52
Preciìtacióntotal anual acumulada Sumbay Pulpera Sibayo 584.00 717.99 457.70 870.00 1035.89 920.60 1067.00 1453.17 1415.70 1744.00 2275.57 2069.70 2227.00 2850.37 2721.60 2520.00 3162.07 3237.80 2889.00 3640.67 3829.60 3199.00 4183.77 4338.10 3782.00 4736.25 5089.20 4526.00 5366.15 5788.90 4984.00 5973.25 6385.70 5784.00 6588.95 7045.70 6311.00 6831.95 7586.00 6782.00 7053.75 8048.90 7098.00 7344.85 8454.70 7441.00 7660.25 8903.60 7660.00 7910.11 9303.20 8085.00 8294.51 9923.90 8446.00 8650.41 10506.00 8684.00 8829.51 10947.80 9216.00 9451.71 11490.30 9785.00 9986.41 12035.20 10263.00 10523.91 12292.50 10514.00 10809.81 12792.80 10850.00 11292.41 13469.80 11658.00 11603.17 13911.60 12051.00 11952.17 14454.10 12369.00 12372.17 14999.00 12598.00 12552.77 15256.30 12987.00 12941.27 15756.60 13610.00 13480.07 16415.20 13927.00 14013.67 16945.00 14239.00 14493.17 17499.90 14629.00 14923.83 18129.60 14866.00 15250.80 18687.70 15309.00 15826.62 19536.80 15601.00 16223.99 20150.20 16249.32 16794.82 20748.88 16725.69 17331.18 21356.96 17043.72 17745.76 21828.98 17437.75 18240.44 22382.26 17783.51 18695.52 22897.35 18238.70 19209.40 23519.87
Estaciónpromedio Promedio Acumulado 586.56 586.56 355.60 942.16 369.79 1311.96 717.80 2029.76 569.90 2599.66 373.63 2973.29 479.80 3453.09 453.87 3906.96 628.86 4535.82 691.20 5227.02 553.97 5780.98 691.90 6472.88 436.77 6909.65 385.23 7294.88 337.63 7632.52 369.10 8001.62 289.49 8291.10 476.70 8767.80 433.00 9200.80 286.30 9487.10 565.57 10052.67 549.53 10602.20 424.27 11026.47 345.73 11372.20 498.53 11870.74 520.19 12390.92 428.17 12819.09 427.63 13246.72 222.30 13469.02 425.93 13894.96 606.80 14501.76 460.13 14961.89 448.80 15410.69 483.45 15894.14 374.02 16268.17 622.64 16890.81 434.26 17325.06 605.94 17931.01 540.27 18471.28 401.55 18872.82 480.66 19353.48 438.64 19792.12 530.53 20322.66
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 17. Precipitación Total Anual mm
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 18. Precipitación Total Anual mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
Sumbay
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1976
13
485.46
188.9795 35713.2692
N2
1977-2006
30
397.59
136.719 18692.0738
Tc
G.L
1.7199
Tt 41
2.7
Sd
153.8632
51.0901
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.9106
G.L.D 12
Ft 29
2.09
Análisis
Prueba de significancia
Fc
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Pulpera
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
N1
1964-1976
13
525.53
N2
1977-2006
30
412.58
Tc
G.L
2.4734
Tt 41
2.7
s2
Sp
167.5537 28074.2349 122.984
Sd
137.5321
45.6674
15125.072
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.8561
G.L.D 12
Ft 29
2.31
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Sibayo
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1985
22
547.05
97.8375
N2
1986-2006
21
546.89
129.313 16721.8488
Tc
G.L
0.0048
Tt 41
2.7
9572.1826
Sd
114.2796
34.8644
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 1.7469
G.L.N
G.L.D 20
Ft 21
2.1 .
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 19. Precipitación Total Anual mm ANALISIS DE DOBLE MASA
Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
precipitación media Pampa Orcopampa Arrieros Yanque 477.3 164.00 239.30 396.6 99.00 262.30 402.5 105.00 217.50 459.5 300.00 507.90 456.0 255.00 394.10 638.5 140.00 290.90 831.9 139.00 446.30 456.9 164.00 453.30 648.0 400.00 672.90 642.2 226.00 557.10 544.7 305.00 684.10 454.8 327.00 460.90 472.1 280.00 503.80 458.5 160.00 334.50 353.7 95.00 269.00 365.2 120.00 282.60 433.9 113.00 290.60 487.5 246.00 461.50 365.1 148.00 356.40 220.5 126.00 173.50 659.4 436.00 683.10 464.3 236.00 364.60 414.1 439.00 637.50 235.8 186.00 397.70 410.2 181.00 263.60 358.9 311.00 277.80 537.6 213.00 501.30 434.1 181.00 308.20 360.0 95.00 170.00 440.6 189.00 320.29 486.0 260.00 405.16 454.6 271.00 346.47 474.8 78.00 384.18 534.9 347.00 496.25 552.6 315.00 529.31 582.2 235.00 584.62 435.5 127.00 310.93 570.3 399.16 562.25 545.3 269.28 515.71 438.3 165.53 316.06 487.8 220.04 408.48 462.4 188.39 360.97 493.3 246.86 418.76
Preciìtacióntotal anual acumulada Pampa Orcopampa Arrieros Yanque 477.30 164.00 239.30 873.90 263.00 501.60 1276.40 368.00 719.10 1735.90 668.00 1227.00 2191.90 923.00 1621.10 2830.40 1063.00 1912.00 3662.30 1202.00 2358.30 4119.20 1366.00 2811.60 4767.20 1766.00 3484.50 5409.40 1992.00 4041.60 5954.10 2297.00 4725.70 6408.90 2624.00 5186.60 6881.00 2904.00 5690.40 7339.50 3064.00 6024.90 7693.20 3159.00 6293.90 8058.40 3279.00 6576.50 8492.30 3392.00 6867.10 8979.80 3638.00 7328.60 9344.90 3786.00 7685.00 9565.40 3912.00 7858.50 10224.80 4348.00 8541.60 10689.11 4584.00 8906.20 11103.21 5023.00 9543.70 11339.01 5209.00 9941.40 11749.17 5390.00 10205.00 12108.07 5701.00 10482.80 12645.65 5914.00 10984.10 13079.72 6095.00 11292.30 13439.72 6190.00 11462.30 13880.27 6379.00 11782.59 14366.32 6639.00 12187.75 14820.90 6910.00 12534.22 15295.70 6988.00 12918.40 15830.57 7335.00 13414.65 16383.17 7650.00 13943.96 16965.41 7885.00 14528.57 17400.95 8012.00 14839.50 17971.20 8411.16 15401.75 18516.51 8680.44 15917.46 18954.79 8845.97 16233.52 19442.62 9066.01 16642.00 19904.98 9254.40 17002.98 20398.32 9501.26 17421.73
Estaciónpromedio Promedio 293.53 252.63 241.67 422.47 368.37 356.47 472.40 358.07 573.63 475.10 511.27 414.23 418.63 317.67 239.23 255.93 279.17 398.33 289.83 173.33 592.83 354.97 496.87 273.17 284.92 315.90 417.29 307.76 208.33 316.62 383.73 357.35 312.33 459.37 465.64 467.29 291.15 510.56 443.43 306.63 372.12 337.24 386.32
Acumulado 293.53 546.17 787.83 1210.30 1578.67 1935.13 2407.53 2765.60 3339.23 3814.33 4325.60 4739.83 5158.47 5476.13 5715.37 5971.30 6250.47 6648.80 6938.63 7111.97 7704.80 8059.77 8556.64 8829.80 9114.72 9430.62 9847.92 10155.67 10364.01 10680.62 11064.36 11421.71 11734.03 12193.41 12659.04 13126.33 13417.48 13928.04 14371.47 14678.10 15050.21 15387.45 15773.77
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 18. Precipitación Total Anual mm
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 20. Precipitación Total Anual mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
Orcopampa
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1973
10
540.94
141.7552
20094.536
N2
1974-2006
33
454.21
91.6354
8397.0415
Tc
G.L
2.2945
Tt 41
2.7
Sd
104.7129
37.7988
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
2.393
G.L.D 9
Ft 32
2.21
Análisis
Prueba de significancia
Fc > Ft
Si realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Pampa Arrieros
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
N1
1964-1988
25
215.60
104.4569
10911.25
N2
1989-2006
18
228.40
84.9823
7221.9909
Tc
G.L
0.4276
Tt 41
2.7
Sp
Sd
96.8584
29.9409
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.5108
G.L.D 24
Ft 17
2.19
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Yanque
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1988
25
414.23
152.7429 23330.4008
N2
1989-2006
18
400.93
111.8591 12512.4553
Tc
G.L
0.3133
Tt 41
2.7
Sd
137.2768
42.4351
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 1.8646
G.L.N
G.L.D 24
Ft 17
2.19 .
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 21. Precipitación Total Anual Corregido mm ANALISIS DE DOBLE MASA
Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
precipitación media Pampa Orcopampa Arrieros Yanque 413.1 164.00 239.30 360.9 99.00 262.30 364.7 105.00 217.50 401.6 300.00 507.90 399.3 255.00 394.10 517.3 140.00 290.90 642.3 139.00 446.30 399.9 164.00 453.30 523.4 400.00 672.90 519.7 226.00 557.10 544.7 305.00 684.10 454.8 327.00 460.90 472.1 280.00 503.80 458.5 160.00 334.50 353.7 95.00 269.00 365.2 120.00 282.60 433.9 113.00 290.60 487.5 246.00 461.50 365.1 148.00 356.40 220.5 126.00 173.50 659.4 436.00 683.10 464.3 236.00 364.60 414.1 439.00 637.50 235.8 186.00 397.70 410.2 181.00 263.60 358.9 311.00 277.80 537.6 213.00 501.30 434.1 181.00 308.20 360.0 95.00 170.00 440.6 189.00 320.29 486.0 260.00 405.16 454.6 271.00 346.47 474.8 78.00 384.18 534.9 347.00 496.25 552.6 315.00 529.31 582.2 235.00 584.62 435.5 127.00 310.93 570.3 399.16 562.25 545.3 269.28 515.71 438.3 165.53 316.06 487.8 220.04 408.48 462.4 188.39 360.97 493.3 246.86 418.76
Preciìtacióntotal anual acumulada Pampa Orcopampa Arrieros Yanque 477.30 164.00 239.30 873.90 263.00 501.60 1276.40 368.00 719.10 1735.90 668.00 1227.00 2191.90 923.00 1621.10 2830.40 1063.00 1912.00 3662.30 1202.00 2358.30 4119.20 1366.00 2811.60 4767.20 1766.00 3484.50 5409.40 1992.00 4041.60 5954.10 2297.00 4725.70 6408.90 2624.00 5186.60 6881.00 2904.00 5690.40 7339.50 3064.00 6024.90 7693.20 3159.00 6293.90 8058.40 3279.00 6576.50 8492.30 3392.00 6867.10 8979.80 3638.00 7328.60 9344.90 3786.00 7685.00 9565.40 3912.00 7858.50 10224.80 4348.00 8541.60 10689.11 4584.00 8906.20 11103.21 5023.00 9543.70 11339.01 5209.00 9941.40 11749.17 5390.00 10205.00 12108.07 5701.00 10482.80 12645.65 5914.00 10984.10 13079.72 6095.00 11292.30 13439.72 6190.00 11462.30 13880.27 6379.00 11782.59 14366.32 6639.00 12187.75 14820.90 6910.00 12534.22 15295.70 6988.00 12918.40 15830.57 7335.00 13414.65 16383.17 7650.00 13943.96 16965.41 7885.00 14528.57 17400.95 8012.00 14839.50 17971.20 8411.16 15401.75 18516.51 8680.44 15917.46 18954.79 8845.97 16233.52 19442.62 9066.01 16642.00 19904.98 9254.40 17002.98 20398.32 9501.26 17421.73
Estaciónpromedio Promedio 293.53 252.63 241.67 422.47 368.37 356.47 472.40 358.07 573.63 475.10 511.27 414.23 418.63 317.67 239.23 255.93 279.17 398.33 289.83 173.33 592.83 354.97 496.87 273.17 284.92 315.90 417.29 307.76 208.33 316.62 383.73 357.35 312.33 459.37 465.64 467.29 291.15 510.56 443.43 306.63 372.12 337.24 386.32
Acumulado 293.53 546.17 787.83 1210.30 1578.67 1935.13 2407.53 2765.60 3339.23 3814.33 4325.60 4739.83 5158.47 5476.13 5715.37 5971.30 6250.47 6648.80 6938.63 7111.97 7704.80 8059.77 8556.64 8829.80 9114.72 9430.62 9847.92 10155.67 10364.01 10680.62 11064.36 11421.71 11734.03 12193.41 12659.04 13126.33 13417.48 13928.04 14371.47 14678.10 15050.21 15387.45 15773.77
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 19. Precipitación Total Anual Corregido mm
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 22. Precipitación Total Anual Corregido mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
Orcopampa
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
N1
1964-1973
10
454.21
91.6354
8397.0462
N2
1974-2006
33
454.21
91.6354
8397.0415
Tc
G.L 0
Tt 41
2.7
Sp
Sd
91.6354
33.0781
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N 1
G.L.D 9
Ft 32
2.21
Análisis
Prueba de significancia
Fc
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Pampa Arrieros
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
N1
1964-1988
25
215.60
104.4569
10911.25
N2
1989-2006
18
228.40
84.9823
7221.9909
Tc
G.L
0.4276
Tt 41
2.7
Sp
Sd
96.8584
29.9409
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.5108
G.L.D 24
Ft 17
2.19
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Yanque
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
Sp
N1
1964-1988
25
414.23
152.7429 23330.4008
N2
1989-2006
18
400.93
111.8591 12512.4553
Tc
G.L
0.3133
Tt 41
2.7
Sd
137.2768
42.4351
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 1.8646
G.L.N
G.L.D 24
Ft 17
2.19
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 23. Precipitación Total Anual mm ANALISIS DE DOBLE MASA
Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Huambo 272.6 252.1 135.4 294.3 348.8 171.8 271.9 281.7 361.8 382.2 312.0 305.3 428.0 267.1 187.1 190.1 165.2 257.1 231.8 174.5 339.3 326.4 286.8 170.7 324.5 282.3 181.2 159.4 33.9 210.2 224.3 191.2 218.8 334.3 255.9 417.5 335.2 318.9 329.3 178.6 268.6 226.3 345.3
precipitación media Cabanaconde Huanca 275.10 163.00 175.40 59.00 159.30 44.00 618.30 188.00 615.50 148.00 255.50 80.00 358.20 59.00 371.30 41.00 672.10 256.00 493.20 197.00 524.50 178.00 630.60 133.00 536.40 109.00 500.20 142.00 191.30 55.00 246.90 45.00 223.40 47.00 386.80 110.00 217.30 65.00 77.70 55.00 615.60 186.00 288.20 157.00 898.50 215.00 413.14 126.00 285.80 65.00 267.92 198.00 232.90 64.00 112.90 36.00 80.60 25.00 245.80 117.00 386.20 166.00 289.10 85.00 351.50 31.00 536.90 124.00 591.60 95.00 683.10 227.00 230.30 66.00 646.10 310.30 569.10 181.20 238.80 47.30 391.70 107.10 313.10 75.90 408.70 142.70
Preciìtacióntotal anual acumulada CabanaconHuambo de Huanca 272.64 275.10 163.00 524.71 450.50 222.00 660.10 609.80 266.00 954.45 1228.10 454.00 1303.24 1843.60 602.00 1475.03 2099.10 682.00 1746.95 2457.30 741.00 2028.67 2828.60 782.00 2390.49 3500.70 1038.00 2772.68 3993.90 1235.00 3084.64 4518.40 1413.00 3389.91 5149.00 1546.00 3817.88 5685.40 1655.00 4085.01 6185.60 1797.00 4272.08 6376.90 1852.00 4462.14 6623.80 1897.00 4627.32 6847.20 1944.00 4884.40 7234.00 2054.00 5116.25 7451.30 2119.00 5290.71 7529.00 2174.00 5630.00 8144.60 2360.00 5956.42 8432.80 2517.00 6243.25 9331.30 2732.00 6413.95 9744.44 2858.00 6738.45 10030.24 2923.00 7020.75 10298.16 3121.00 7201.93 10531.06 3185.00 7361.33 10643.96 3221.00 7395.23 10724.56 3246.00 7605.43 10970.36 3363.00 7829.73 11356.56 3529.00 8020.93 11645.66 3614.00 8239.73 11997.16 3645.00 8574.03 12534.06 3769.00 8829.93 13125.66 3864.00 9247.43 13808.76 4091.00 9582.63 14039.07 4157.00 9901.53 14685.17 4467.30 10230.83 15254.27 4648.50 10409.43 15493.07 4695.80 10678.03 15884.77 4802.90 10904.33 16197.87 4878.80 11249.63 16606.57 5021.50
Estaciónpromedio Promedio 236.91 162.16 112.90 366.88 370.76 169.10 229.70 231.34 429.97 357.46 338.15 356.29 357.79 303.11 144.46 160.65 145.19 251.30 171.38 102.39 380.29 257.21 466.78 236.61 225.10 249.41 159.36 102.77 46.50 191.00 258.83 188.43 200.43 331.73 314.17 442.53 210.50 425.10 359.87 154.90 255.80 205.10 298.90
Acumulado 236.91 399.07 511.97 878.85 1249.61 1418.71 1648.42 1879.76 2309.73 2667.19 3005.35 3361.64 3719.43 4022.54 4166.99 4327.65 4472.84 4724.13 4895.52 4997.90 5378.20 5635.41 6102.18 6338.80 6563.90 6813.30 6972.67 7075.43 7121.93 7312.93 7571.77 7760.20 7960.63 8292.37 8606.53 9049.07 9259.57 9684.67 10044.53 10199.43 10455.23 10660.33 10959.23
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 20. Precipitación Total Anual mm
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 24. Precipitación Total Anual mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
Huambo
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s2
s
N1
1964-1988
25
269.54
76.4078
5838.1569
N2
1989-2006
18
250.62
89.4213
7996.1765
Tc
G.L
0.7458
Tt 41
2.7
Sp
Sd
82.0545
25.3647
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.3696
G.L.D 17
Ft 24
2.11
Análisis
Prueba de significancia
Fc
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Cabanaconde
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s2
s
Sp
N1
1964-1979
25
413.99
179.8961 32362.6092
N2
1980-2006
18
369.73
198.0915 39240.2536
Tc
G.L
0.7629
Tt 41
2.7
Sd
187.6548
58.008
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
1.2125
G.L.D 17
Ft 24
2.11
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
Huanca
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s2
s
N1
1964-1983
20
108.70
63.6
4044.9579
N2
1984-2006
23
123.80
72.9033
5314.8841
Tc
G.L
0.7186
Tt 41
2.7
Sp
Sd
68.7487
21.0194
Análisis
Prueba de significancia
Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 1.314
G.L.N
G.L.D 22
Ft 19
2.16
Análisis
Prueba de significancia
Fc < Ft
No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 25 RESUMEN DE PRECIPITACIÓN TOTAL ANUAL CORREGIDO mm
AÑOS 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Nº AÑOS PROM PPMIN PPMAX D.STD.
ESTACIONES PAMPA DE ARRIEROS 164.00 99.00 105.00 300.00 255.00 140.00 139.00 164.00 400.00 226.00 305.00 327.00 280.00 160.00 95.00 120.00 113.00 246.00 148.00 126.00 436.00 236.00 439.00 186.00 181.00 311.00 213.00 181.00 95.00 189.00 260.00 271.00 78.00 347.00 315.00 235.00 127.00 399.16 269.28 165.53 220.04 188.39 246.86
CABANACONDE 275.10 175.40 159.30 618.30 615.50 255.50 358.20 371.30 672.10 493.20 524.50 630.60 536.40 500.20 191.30 246.90 223.40 386.80 217.30 77.70 615.60 288.20 898.50 413.14 285.80 267.92 232.90 112.90 80.60 245.80 386.20 289.10 351.50 536.90 591.60 683.10 230.30 646.10 569.10 238.80 391.70 313.10 408.70
HUAMBO 272.64 252.08 135.39 294.35 348.79 171.79 271.91 281.72 361.82 382.18 311.96 305.27 427.97 267.13 187.07 190.05 165.18 257.09 231.84 174.46 339.28 326.43 286.83 170.70 324.50 282.30 181.18 159.40 33.90 210.20 224.30 191.20 218.80 334.30 255.90 417.50 335.20 318.90 329.30 178.60 268.60 226.30 345.30
HUANCA 163.00 59.00 44.00 188.00 148.00 80.00 59.00 41.00 256.00 197.00 178.00 133.00 109.00 142.00 55.00 45.00 47.00 110.00 65.00 55.00 186.00 157.00 215.00 126.00 65.00 198.00 64.00 36.00 25.00 117.00 166.00 85.00 31.00 124.00 95.00 227.00 66.00 310.30 181.20 47.30 107.10 75.90 142.70
PILLONES 350.00 328.00 402.00 589.00 576.00 462.40 456.00 566.00 413.00 479.00 201.00 547.00 440.00 513.00 408.00 295.00 362.00 559.00 333.00 159.00 630.00 478.00 491.00 187.00 474.80 298.80 374.90 382.82 149.57 695.60 561.60 318.30 355.30 459.10 292.30 577.20 349.80 364.40 562.60 231.90 340.90 328.70 414.00
43.00 386.20 77.70 898.50 188.34
43.00 261.62 33.90 427.97 80.67
43.00 116.78 25.00 310.30 67.55
43.00 412.95 149.57 695.60 128.69
43.00 220.96 78.00 439.00 94.79
SUMBAY 584.00 286.00 197.00 677.00 483.00 293.00 369.00 310.00 583.00 744.00 458.00 800.00 527.00 471.00 316.00 343.00 219.00 425.00 361.00 238.00 532.00 569.00 478.00 251.00 336.00 808.00 393.00 318.00 229.00 389.00 623.00 317.00 312.00 390.00 237.00 443.00 292.00 648.32 476.37 318.03 394.03 345.75 455.20
IMATA 501.00 295.00 391.00 562.00 605.00 430.00 411.00 499.00 656.00 738.00 822.00 609.00 496.00 525.00 571.00 380.00 399.00 682.00 459.00 156.00 645.00 687.00 524.00 303.00 439.00 392.00 414.00 408.00 197.00 508.00 609.00 334.00 501.00 401.00 339.00 730.00 437.00 555.72 565.95 372.64 434.02 441.36 492.07
PULPERA 717.99 317.90 417.28 822.40 574.80 311.70 478.60 543.10 552.48 629.90 607.10 615.70 243.00 221.80 291.10 315.40 249.86 384.40 355.90 179.10 622.20 534.70 537.50 285.90 482.60 310.76 349.00 420.00 180.60 388.50 538.80 533.60 479.50 430.66 326.97 575.81 397.38 570.83 536.36 414.58 494.68 455.09 513.88
SIBAYO 457.70 462.90 495.10 654.00 651.90 516.20 591.80 508.50 751.10 699.70 596.80 660.00 540.30 462.90 405.80 448.90 399.60 620.70 582.10 441.80 542.50 544.90 257.30 500.30 677.00 441.80 542.50 544.90 257.30 500.30 658.60 529.80 554.90 629.70 558.10 849.10 613.40 598.68 608.07 472.03 553.28 515.09 622.52
PAÑE 691.04 787.33 608.44 640.10 793.43 550.57 833.33 805.46 894.66 1239.74 783.83 896.31 411.42 556.50 555.30 651.60 601.10 815.90 737.20 414.10 1360.60 758.20 1069.40 556.50 805.30 492.10 697.00 752.10 369.70 819.80 955.50 718.30 874.60 893.50 813.60 932.90 836.30 825.20 955.00 798.30 918.70 631.70 762.47
YANQUE 239.30 262.30 217.50 507.90 394.10 290.90 446.30 453.30 672.90 557.10 684.10 460.90 503.80 334.50 269.00 282.60 290.60 461.50 356.40 173.50 683.10 364.60 637.50 397.70 263.60 277.80 501.30 308.20 170.00 320.29 405.16 346.47 384.18 496.25 529.31 584.62 310.93 562.25 515.71 316.06 408.48 360.97 418.76
ORCOPAMPÀ 413.07 360.90 364.72 401.56 399.30 517.28 642.30 399.88 523.42 519.67 544.70 454.80 472.10 458.50 353.70 365.20 433.90 487.50 365.10 220.50 659.40 464.31 414.10 235.80 410.17 358.90 537.58 434.07 359.99 440.55 486.05 454.58 474.80 534.87 552.60 582.24 435.53 570.25 545.31 438.29 487.83 462.36 493.34
43.00 424.16 197.00 808.00 155.57
43.00 486.44 156.00 822.00 139.41
43.00 446.73 179.10 822.40 143.97
43.00 546.97 257.30 849.10 111.59
43.00 764.28 369.70 1360.60 196.10
43.00 405.16 170.00 684.10 134.09
43.00 454.21 220.50 659.40 89.48
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 26. Precipitación Total Anual Promedio mm DATOS PARA EL GRÁFICO DE ALTURA – PRECIPITACIÓN
Estación Pañe Yanacancha Tisco Callalli Sibayo Pulpera La Calera Imata Orcopampa Andagua Chivay sumbay Cabanaconde Yanque Pillones Huambo Machaguay tomepampa Pausa Pampacolca Pampa Arrieros Choco Lluta Socabaya Huanca Ayo Sta. Isabel de Sihuas
Años 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2007 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2007 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006
Altitud 4524 4450 4188 3867 3810 4042 3650 4519 3779 3587 3619 4175 3287 3417 4360 3332 3150 2650 2524 3000 3715 2473 2800 2340 3075 2000
P (mm/año) 764.28 649.80 641.50 578.80 546.97 446.73 524.60 486.44 454.21 455.60 446.60 424.16 386.20 405.16 412.95 261.62 281.90 256.60 232.50 232.20 220.96 171.30 168.50 123.30 116.78 97.50
1964-2006
1360
6.10
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 21. Precipitación Total Anual Promedio mm
ALTITUD vs PRECIPITACION 800
PRECIPITACION (mm)
700 600
y = 0.2049x - 333.06 R = 0.87
500 400 300 200 100 0 1300
1800
2300
2800
3300
ALTITUD (msnm)
3800
4300
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 27. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual mm ANÁLISIS DE DOBLE MASA Precipitación promedio Año
Precipitación total anual acumulada
Estación promedio
CABANAC. HUAMBO PILLONES CABANAC. HUAMBO PILLONES promedio Acumulado
1986
71.5
27.5
25
71.50
27.50
25.00
41.33
1987
92.8
42.8
13.6
1988
40.0
30.4
30.1
1989
24.5
17.0
1990
19.8
36.0
1991
8.0
1992 1993
41.33
164.30
70.30
38.60
49.73
91.07
204.30
100.70
68.70
33.50
124.57
17.0
228.80
117.70
85.70
19.50
144.07
31.7
248.60
153.70
117.40
29.17
173.23
15.8
15.5
256.60
169.50
132.90
13.10
186.33
33.6
90.0
23.9
290.20
259.50
156.80
49.17
235.50
20.0
16.8
50.5
310.20
276.30
207.30
29.10
264.60
1994
23.2
16.9
30.8
333.40
293.20
238.10
23.63
288.23
1995
32.8
17.9
22.6
366.20
311.10
260.70
24.43
312.67
1996
22.2
16.9
16.9
388.40
328.00
277.60
18.67
331.33
1997
51.0
32.9
17.4
439.40
360.90
295.00
33.77
365.10
1998
38.3
25.3
28.4
477.70
386.20
323.40
30.67
395.77
1999
32.9
26.6
26.6
510.60
412.80
350.00
28.70
424.47
2000
24.6
18.7
22.1
535.20
431.50
372.10
21.80
446.27
2001
48.6
11.5
25.1
583.80
443.00
397.20
28.40
474.67
2002
30.6
27.9
35.7
614.40
470.90
432.90
31.40
506.07
2003
19.3
25.5
13.8
633.70
496.40
446.70
19.53
525.60
2004
22.9
30.4
26.4
656.60
526.80
473.10
26.57
552.17
2005
24.4
18.3
21.3
681.00
545.10
494.40
21.33
573.50
2006
25.3
31.8
30.4
706.30
576.90
524.80
29.17
602.67
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Gráfico Nº 22. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual mm
ANALISIS DE DOBLE MASA
PRECIPITACION ACUMULADA(mm)
800 700 600 500 400 300 200 100 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
PROMEDIO ACUMULADO PROM EDIO CABANACONDE
PROM EDIO HUAM BO
PROM EDIO PILLONES
650
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 28. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
CABANAC.
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s2
s
N1
1986-1993
8
38.78
28.986
840.1907
N2
1994-2006
13
30.47
10.1003
102.0156
Tc
G.L
0.9558
Tt
Análisis
Sd 8.6899
Prueba de significancia
1.73 Tc < Tt
19
Sp 19.3384
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
G.L.D
8.2359
7
Ft
Análisis
Prueba de significancia
2.91 Fc > Ft
12
Si realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
HUAMBO
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s2
s
N1
1986-1992
7
37.07
25.2549
637.809
N2
1994-2006
14
22.67
6.781
45.3007
Tc
G.L
2.0385
Tt
Análisis
Sd 7.0641
Prueba de significancia
1.73 Tc > Tt
19
Sp 15.2602
Si realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
G.L.D
14.0795
6
Ft
Análisis
Prueba de significancia
2.92 Fc > Ft
13
Si realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
PILLONES
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
N1
1996-2006
11
25.24
10.5402
111.0965
N2
1997-2006
4
24.72
6.3618
40.4729
Tc
G.L
0.0908
Tt 13
Análisis
Sp
Sd
9.7364
5.6848
Prueba de significancia
1.77 Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 2.745
G.L.N
G.L.D 10
Ft 3
Análisis 8.78 Fc < Ft
Prueba de significancia No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 29. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual Corregido mm
Año
CABANAC.
HUAMBO
1986
41.9
20.1
PILLONES 25
1987
49.3
24.2
13.6
1988
30.9
20.9
30.1
1989
25.5
17.3
17.0
1990
23.9
22.4
31.7
1991
19.7
17.0
15.5
1992
28.7
36.9
23.9
1993
23.9
16.8
50.5
1994
23.2
16.9
30.8
1995
32.8
17.9
22.6
1996
22.2
16.9
16.9
1997
51.0
32.9
17.4
1998
38.3
25.3
28.4
1999
32.9
26.6
26.6
2000
24.6
18.7
22.1
2001
48.6
11.5
25.1
2002
30.6
27.9
35.7
2003
19.3
25.5
13.8
2004
22.9
30.4
26.4
2005
24.4
18.3
21.3
2006
25.3
31.8
30.4
Gráfico Nº 23. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual Corregido mm PRECIPITACION MAX. 24 HORAS 60.00
PRECIPITACION(mm)
50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 AÑOS
CABANACONDE
HUAMBO
PILLONES
En el gráfico se muestran los registros ya corregidos y distribuidos uniformemente.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 30. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual Corregido mm
ANALISIS DE DOBLE MASA Precipitación máx. 24 horas
Precitación total anual acumulada
Estación promedio
Año
CABANA.
HUAMBO
PILLONES
CABANA.
HUAMBO
PILLONES
Promedio
Acumulado
1986
41.87
20.10
25.00
41.87
20.10
25.00
28.99
28.99
1987
49.29
24.21
13.60
91.16
44.31
38.60
29.03
58.02
1988
30.90
20.88
30.10
122.06
65.19
68.70
27.29
85.32
1989
25.49
17.28
17.00
147.55
82.47
85.70
19.92
105.24
1990
23.86
22.38
31.70
171.41
104.85
117.40
25.98
131.22
1991
19.74
16.96
15.50
191.16
121.81
132.90
17.40
148.62
1992
28.67
36.88
23.90
219.82
158.69
156.80
29.82
178.44
1993
23.93
16.80
50.50
243.75
175.49
207.30
30.41
208.85
1994
23.20
16.90
30.80
266.95
192.39
238.10
23.63
232.48
1995
32.80
17.90
22.60
299.75
210.29
260.70
24.43
256.91
1996
22.20
16.90
16.90
321.95
227.19
277.60
18.67
275.58
1997
51.00
32.90
17.40
372.95
260.09
295.00
33.77
309.35
1998
38.30
25.30
28.40
411.25
285.39
323.40
30.67
340.01
1999
32.90
26.60
26.60
444.15
311.99
350.00
28.70
368.71
2000
24.60
18.70
22.10
468.75
330.69
372.10
21.80
390.51
2001
48.60
11.50
25.10
517.35
342.19
397.20
28.40
418.91
2002
30.60
27.90
35.70
547.95
370.09
432.90
31.40
450.31
2003
19.30
25.50
13.80
567.25
395.59
446.70
19.53
469.85
2004
22.90
30.40
26.40
590.15
425.99
473.10
26.57
496.41
2005
24.40
18.30
21.30
614.55
444.29
494.40
21.33
517.75
2006
25.30
31.80
30.40
639.85
476.09
524.80
29.17
546.91
Gráfico Nº 24. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual Corregido mm ANALISIS DE DOBLE MASA CORREGIDO 700.00
PRECIPITACION ACUMULADA(mm)
600.00
500.00
400.00
300.00
200.00
100.00
0.00 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
400.00
450.00
500.00
550.00
600.00
PROMEDIO ACUMULADO
P ROM EDIO CA BANACONDE
PROMEDIO HUAMBO
PROMEDIO PILLONES
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 31. Precipitación Máxima en 24 Horas Anual Corregido mm
ANALISIS DE CONSISTENCIA - ESTADISITICO ANALISIS DE SALTOS PARA LA PRECIPITACION Consistencia en la Media Estación :
CABANA.
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s2
s
N1
1986-1993
8
30.47
10.1003
102.0164
N2
1994-2006
13
30.47
10.1003
102.0156
Tc
G.L
0.0002
Tt
Análisis
Sd 4.5387
Prueba de significancia
1.73 Tc < Tt
19
Sp 10.1003
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
G.L.D
1
7
Ft 12
2.91
Análisis
Prueba de significancia
Fc
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
HUAMBO
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s2
s
N1
1986-1992
7
22.67
6.7823
45.9997
N2
1994-2006
14
22.67
6.781
45.3007
Tc
G.L
0.0003
Tt
Análisis
Sd
6.7814
3.1392
Prueba de significancia
1.73 Tc < Tt
19
Sp
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc
G.L.N
G.L.D
1.0154
6
Ft
Análisis
Prueba de significancia
2.92 Fc < Ft
13
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Media Estación :
PILLONES
Periodo de Análisis
N° de Datos
m
s
s2
N1
1996-2006
11
25.24
10.5402
111.0965
N2
1997-2006
4
24.72
6.3618
40.4729
Tc
G.L
0.0908
Tt 13
Análisis
Sp
Sd
9.7364
5.6848
Prueba de significancia
1.77 Tc < Tt
No realizar proceso de Corrección
Consistencia en la Desviación Estándar Fc 2.745
G.L.N
G.L.D 10
Ft 3
Análisis 8.78 Fc < Ft
Prueba de significancia No realizar proceso de Corrección
Volumen I : Hidrología
4.5
Subcuenca Siguas
PRECIPITACIÓN MEDIA EN LA CUENCA
Se trata de establecer un valor medio representativo, a partir de datos conjugados de varias estaciones pluviométricas que tengan correlación con la subcuenca en estudio, para el análisis de máximas avenidas. La precipitación es uno de los elementos importantes para realizar el balance hidrológico y para su estimación, se ha realizado un estudio regional con la participación de 3 estaciones pluviométricas mejor correlacionadas. Para este caso, es perfectamente aplicable el método aritmético, su ecuación esta dada por:
1 n P = ∑ Pi n j =1 Donde: n
: Número de estaciones pluviométricas.
Pi
: Altura de precipitación registrada en la estación (mm).
P
: Altura de precipitación media (mm). Cuadro Nº 32. Precipitación Media Máxima en 24 Horas Anual mm
Año
Precipitación máx. 24 horas
PROM.
CABANA.
HUAMBO
PILLONES
1986
41.87
20.10
25.00
28.99
1987
49.29
24.21
13.60
29.03
1988
30.90
20.88
30.10
27.29
1989
25.49
17.28
17.00
19.92
1990
23.86
22.38
31.70
25.98
1991
19.74
16.96
15.50
17.40
1992
28.67
36.88
23.90
29.82
1993
23.93
16.80
50.50
30.41
1994
23.20
16.90
30.80
23.63
1995
32.80
17.90
22.60
24.43
1996
22.20
16.90
16.90
18.67
1997
51.00
32.90
17.40
33.77
1998
38.30
25.30
28.40
30.67
1999
32.90
26.60
26.60
28.70
2000
24.60
18.70
22.10
21.80
2001
48.60
11.50
25.10
28.40
2002
30.60
27.90
35.70
31.40
2003
19.30
25.50
13.80
19.53
2004
22.90
30.40
26.40
26.57
2005
24.40
18.30
21.30
21.33
2006
25.30
31.80
30.40
29.17
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
5. CAUDALES 5.1 GENERALIDADES 5.1.1
MARCO TEÓRICO
De los diferentes elementos del ciclo hidrológico, interesa conocer la escorrentía superficial que un curso de agua descarga en un punto determinado, a efecto de establecer con la mayor precisión el régimen del río y el potencial hídrico de la cuenca en el punto de interés. Para el proyecto en estudio, se requiere los registros de los caudales medios mensuales del río Siguas, a la altura de la bocatoma proyectada (ver numeral 2.6.1.2) y además, las avenidas máximas para diferentes periodos de retorno, información que no existe con la debida confiabilidad, ya que los registros hidrométricos de la estación Lluclla considera los caudales totales del río, es decir los aportes de la subcuenca Siguas y los del proyecto Majes, sin distinguir los caudales propios, por lo que ha sido necesario recurrir a la generación de caudales sintéticos mediante modelos determinísticos-estocásticos, según se detalla en los siguientes numerales. Como se sabe, el caudal de un río contiene dos componentes bien definidos, el caudal base (Q B), proveniente de los deshielos, afloramientos subterráneos y retención de la cuenca, que tiene carácter permanente y, el caudal de la escorrentía directa (QD), proveniente de las precipitaciones, que tiene carácter estacional, definición que nos permite clasificar el tipo de corriente dentro de la cuenca como: corriente efímera, corriente intermitente y corriente permanente. Para el caso del río Siguas y sus tributarios, se trata de corrientes permanentes. 5.1.2
CALIDAD DE LAS AGUAS
Para todo Proyecto de Irrigación, es importante conocer las características químicas del agua a ser utilizada con fines agrícolas y uso doméstico, por lo que surge la necesidad de realizar estudios mediante ensayos de laboratorio, sobre muestras representativas obtenidas en campo. En el Estudio de Perfectibilidad, formulado por INRENA, se han efectuado los siguientes análisis:
- Salinidad del río Siguas. - Conductividad eléctrica. - Dureza.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
- Ph. - Contenido de aniones y cationes. - Relación de absorción de sodio. - Identificación de familias químicas. - Potabilidad. De la interpretación de los resultados y, luego de una verificación en campo, consideramos que la información contenida en el estudio, es conforme, y por lo tanto aplicable para la etapa de los diseños a nivel de factibilidad. 5.2 CAUDALES BASE Tal como se ha señalado anteriormente, el presente estudio ha sido complementado con trabajos de campo, cuyo objetivo ha sido evaluar los recursos hídricos superficiales, tanto en cantidad como en calidad, para lo cual se realizó una campaña de medición de caudales en diferentes puntos de la red hidrográfica de la subcuenca del río Siguas. El programa de mediciones se realizó en la época de estiaje; es decir, en la época donde el caudal del río está representado por el caudal base, ya que en esta época no se registra precipitación alguna. Por lo tanto, con el resultado de estas mediciones, ha quedado debidamente verificada la disponibilidad de agua de las partes altas de la subcuenca, para el traslado hasta Pampas Bayas. De otro lado, cabe puntualizar que actualmente no existe ningún sistema de regularización de ríos dentro de la subcuenca del río Siguas, por lo que la escorrentía directa proveniente de las precipitaciones no es aprovechada en forma regulada; por lo tanto, el embalse considerado en el río Pichirijma, según nuestra propia concepción hidráulica del proyecto, resulta dentro de la oferta hídrica, un incremento del recurso agua totalmente independiente y que está fuera de cualquier derecho de terceros. La simulación del embalse ha sido materia de un capítulo especial que forma parte del presente estudio. Las mediciones, se realizaron mediante el método del correntómetro, tal como se detalla en el numeral siguiente.
Volumen I : Hidrología
5.2.1
Subcuenca Siguas
AFORO CON CORRENTÓMETRO
Para este método se emplea el correntómetro, el cual es un aparato que mide la velocidad a una determinada profundidad dentro del curso de agua. Esta velocidad es medida en los instrumentos, por medio de un órgano móvil que detecta la velocidad de la corriente y transmite las indicaciones de un interruptor, encargado de cerrar un circuito eléctrico cuando ha dado un cierto número de vueltas sobre un contador. Para tal fin, se ha seleccionado previamente la sección de aforo, la cual debe cumplir los siguientes requisitos: - Sección estable donde se va ha realizar el aforo. - Sección de fácil acceso. - Tramo en lo posible de alineamiento recto y pendiente uniforme. - Se ha evitado secciones cercanas a estructuras que interfieran con el flujo. Ecuación a ser utilizada: Donde:
Vm = a × N + b
Vm = Velocidad media de la corriente (m/s). N
= Número de revoluciones de la hélice en la unidad de tiempo (rev/s).
a y b = Constante de paso hidráulico. Para determinar el caudal: Donde:
Q
Q = Vm * A
= Caudal (m3/s).
Vm = Velocidad media de la sección (m/s). A
= Área de la sección (m2). Sección transversal de una corriente dividida en franjas.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
5.2.1.1 AFORO RÍO PICHIRIJMA
RÍO: CUENCA: SUBCUENCA: AFORADOR: FECHA: Dist Mar Izq 0,5 1
Prof 0,00 0,45 0,55
1,5 2
0,60 0,62
2,5 3
0,57 0,55
3,5 4
0,45 0,00
REGISTRO DE AFORO PICHIRIJMA LONGITUD QUILCA LATITUD SIGUAS ALTITUD JUAN MANUAL MAMANI PARI 16 MAYO DE 2007
71°54'44" 15°59' S 3268 msnm
Prof.Obs.
T
NR
n=NR/T
V
Vprom
A
Q
0,50 0,30
128,00 105,00
110,00 110,00
0,86 1,05
0,23 1,05
0,64
0,11 0,25 0,36
0,23
0,11
0,70 0,50 0,30
165,00 161,00 153,00
110,00 110,00 110,00
0,67 0,68 0,72
0,18 0,19 0,20
0,19
0,29 0,31 0,59
0,50 0,30 0,10
168,00 159,00 154,00
110,00 110,00 110,00
0,65 0,69 0,71
0,18 0,19 0,19
0,19
0,30 0,28 0,58
0,11
0,50 0,30
120,00 110,00
110,00 110,00
0,92 1,00
0,24 1,00
0,62
0,25 0,11 0,36
0,23
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO PICHIRIJMA Long.(m) 0 0 0.1
Prof.(m)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0,676
m3 /seg
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
REGISTRO DE AFORO RÍO: CUENCA: SUBCUENCA AFORADOR FECHA
PICHIRIJMA QUILCA SIGUAS JUAN MANUAL MAMANI PARI 26 OCTUBRE DE 2006
Dist Mar Izq 0,5 1
Prof 0,00 0,48 0,55
1,5 2
0,60 0,62
2,5 3
0,61 0,55
3,5 4
0,51 0,00
Prof.Obs.
T
71°54'44 " 15°59' S 3268 msnm
LONGITUD LATITUD ALTITUD
NR
n=NR/T
V
Vprom
0,50 0,30
128,00 105,00
110,00 110,00
0,86 1,05
0,23 0,64 1,05
0,70 0,50 0,30
165,00 161,00 153,00
110,00 110,00 110,00
0,67 0,68 0,72
0,18 0,19 0,19 0,20
0,50 0,30 0,10
168,00 159,00 154,00
110,00 110,00 110,00
0,65 0,69 0,71
0,18 0,19 0,19 0,19
0,50 0,30
120,00 110,00
110,00 110,00
0,92 1,00
0,24 0,62 1,00
A
Q
0,12 0,26 0,38
0,24
0,29 0,31 0,59
0,11
0,31 0,29 0,60
0,11
0,27 0,13 0,39
0,24
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO PICHIRIJMA Long.(m ) 0 0 0.1
Prof.(m)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0,708
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
5.2.1.2 AFORO RÍO LLUTA
REGISTRO DE AFORO LLUTA LONGITUD QUILCA LATITUD SIGUAS ALTITUD JUAN MANUAL MAMANI PARI 16 MAYO DE 2007
RÍO: CUENCA: SUBCUENCA AFORADOR FECHA Dist Mar Izq 0,5 1
Prof Prof.Obs. 0,00 0,38 0,45 0,50 0,30
1,5 2
0,48 0,49
2,5 3
0,45 0,00
T
147,00 139,00
NR
100,00 100,00
n=NR/T
0,68 0,72
72°0'51" W 16°02'30" S 2675 msnm
V
Vprom
A
Q
0,19 0,19 0,20
0,10 0,21 0,30
0,06
0,08
0,07
0,70 0,50
157,00 151,00
100,00 100,00
0,64 0,66
0,17 0,18 0,18
0,23 0,24 0,48
0,50 0,30
146,00 141,00
100,00 100,00
0,68 0,71
0,19 0,19 0,19
0,24 0,11 0,35
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO LLUTA Long.(m) 0 0 0,1
Prof.(m)
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,208
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
REGISTRO DE AFORO LLUTA LONGITUD QUILCA LATITUD SIGUAS ALTITUD JUAN MANUAL MAMANI PARI 26 OCTUBRE DE 2006
RÍO: CUENCA: SUBCUENCA AFORADOR FECHA Dist Mar Izq 0,5 1
Subcuenca Siguas
Prof Prof.Obs. 0,00 0,41 0,49 0,50 0,30
1,5 2
0,49 0,48
2,5 3
0,45 0,00
T
NR
n=NR/T
72°0'51" W 16°02'30" S 2675 msnm
V
Vprom
A
Q
128,00 105,00
100,00 100,00
0,78 0,95
0,21 0,23 0,25
0,10 0,23 0,33
0,08
0,70 0,50
165,00 161,00
100,00 100,00
0,61 0,62
0,17 0,17 0,17
0,25 0,24 0,49
0,08
0,50 0,30
168,00 159,00
100,00 100,00
0,60 0,63
0,16 0,17 0,17
0,23 0,11 0,35
0,06
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO LLUTA Long.(m) 0
0,5
0 0,1
Prof.(m)
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
5.2.1.3 AFORO RÍO LA MINA
1
1,5
2
2,5
3
0,216
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
REGISTRO DE AFORO LA MINA LONGITUD QUILCA LATITUD SIGUAS ALTITUD JUAN MANUAL MAMANI PARI 16 MAYO DE 2007
RÍO: CUENCA: SUBCUENCA AFORADOR FECHA Dist Mar Izq 0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5 4
4,5 Mar D(5)
Subcuenca Siguas
Prof Prof.Obs. 0,00 0,60 0,80 0,50 0,30 0,10 0,90 0,75 0,70 0,50 0,30 0,10 0,70 0,70 0,50 0,30 0,10 0,60 0,50 0,50 0,30 0,10 0,25 0,00 0,10
T
NR
n=NR/T
72°1'35" W 15°58'24" S 3025 msnm
V
Vprom
170,00 120,00 90,00
100,00 100,00 100,00
0,59 0,83 1,11
0,16 0,50 0,22 1,11
240,00 190,00 170,00 150,00
100,00 100,00 100,00 100,00
0,42 0,53 0,59 0,67
0,12 0,15 0,15 0,16 0,18
220,00 175,00 150,00
100,00 100,00 100,00
0,45 0,57 0,67
0,13 0,16 0,16 0,18
175,00 150,00 110,00
100,00 100,00 100,00
0,57 0,67 0,91
0,16 0,19 0,18 0,24
90,00
100,00
1,11
1,11 1,11
A
Q
0,15 0,35 0,50
0,25
0,43 0,41 0,84
0,13
0,36 0,35 0,71
0,11
0,33 0,28 0,60
0,12
0,19 0,06 0,25
0,28
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO LA MINA
Long.(m) 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 0,1 0,2
Prof.(m)
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
RÍO:
LA MINA
REGISTRO DE AFORO LONGITUD
72°1'35" W
0,882
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
CUENCA: SUBCUENCA
QUILCA SIGUAS JUAN MANUAL MAMANI PARI 26 OCTUBRE DE 2006
AFORADOR FECHA Dist Mar Izq 0,5 1
Subcuenca Siguas
Prof Prof.Obs. 0,00 0,60 0,80 0,50 0,30 0,10 0,90 0,75 0,70 0,50 0,30 0,10 0,70 0,70 0,50 0,30 0,10 0,60 0,50 0,50 0,30 0,10 0,25 0,00 0,10
1,5 2
2,5 3
3,5 4
4,5 Mar D(5)
T
LATITUD ALTITUD
NR
n=NR/T
15°58'24" S 3025 msnm
V
Vprom
175,00 130,00 98,00
100,00 100,00 100,00
0,57 0,77 1,02
0,16 0,46 0,21 1,02
238,00 188,00 165,00 158,00
100,00 100,00 100,00 100,00
0,42 0,53 0,61 0,63
0,12 0,15 0,15 0,17 0,17
230,00 183,00 158,00
100,00 100,00 100,00
0,43 0,55 0,63
0,12 0,15 0,15 0,17
184,00 158,00 119,00
100,00 100,00 100,00
0,54 0,63 0,84
0,15 0,18 0,17 0,23
98,00
100,00
1,02
A
1,02 1,02
Q
0,15 0,35 0,50
0,23
0,43 0,41 0,84
0,13
0,36 0,35 0,71
0,11
0,33 0,28 0,60
0,11
0,19 0,06 0,25
0,25
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO LA MINA
Long.(m) 0
0,5
1
1,5
0 0,1 0,2
Prof.(m)
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
5.2.1.4 AFORO RÍO MURCO
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0,830
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
REGISTRO DE AFORO RÍO:
MURCO
LONGITUD
71°54’42.13" W
CUENCA:
QUILCA
LATITUD
16°5'4.54" S
SUBCUENCA
SIGUAS
ALTITUD
2605 msnm
AFORADOR
JUAN MANUAL MAMANI PARI
FECHA
16 MAYO DE 2007
Dist
Prof
Prof.Obs.
Mar Izq 0,5 1
0,00 0,25 0,37
1,5 2
0,38 0,43
2,5 3
0,30 0,00
T
NR
n=NR/T
V
Vprom
A
Q
0,25 0,30
171,00 135,00
100,00 100,00
0,58 0,16 0,18 0,74 0,20
0,06 0,16 0,22
0,04
0,50 0,50
168,00 157,00
100,00 100,00
0,60 0,16 0,17 0,64 0,17
0,19 0,20 0,39
0,07
0,40 0,25
185,00 188,00
100,00 100,00
0,54 0,15 0,15 0,53 0,15
0,18 0,08 0,26
0,04
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO MURCO Long.(m) 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,05 0,1
Prof.(m)
0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
REGISTRO DE AFORO RÍO:
MURCO
LONGITUD
71°54'42.13" W
CUENCA:
QUILCA
LATITUD
16°5'4.54" S
SUBCUENCA
SIGUAS
ALTITUD
2605 msnm
0,144
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
AFORADOR
JUAN MANUAL MAMANI PARI
FECHA
26 OCTUBRE DE 2006
Dist Mar Izq 0,5 1
Prof Prof.Obs. 0,00 0,25 0,37 0,25 0,30
1,5 2
0,40 0,43
2,5 3
0,30 0,00
0,50 0,50
0,40 0,25
T
NR
n=NR/T
V
Vprom
A
Q
128,00 105,00
100,00 100,00
0,78 0,21 0,23 0,95 0,25
0,06 0,16 0,22
0,05
165,00 161,00
100,00 100,00
0,61 0,17 0,17 0,62 0,17
0,19 0,21 0,40
0,07
0,60 0,16 0,17 0,63 0,17
0,18 0,08 0,26
0,04
168,00 159,00
100,00 100,00
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO MURCO Long.(m) 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,05 0,1
Prof.(m)
0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
5.2.1.5 AFORO RÍO QUERQUE REGISTRO DE AFORO RÍO:
QUERQUE
LONGITUD
72°4'28.02"
W
0,161
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
CUENCA:
QUILCA
LATITUD
15°54'56”
SUBCUENCA
SIGUAS
ALTITUD
3601 msnm
AFORADOR
JUAN MANUAL MAMANI PARI
FECHA
16 MAYO DE 2007
Dist
Prof
Prof.Obs.
Mar Izq 0,5 1
0,00 0,35 0,38
1,5 2
0,38 0,39
2,5 3
0,38 0,38
3,5 4
0,34 0,00
T
NR
n=NR/T
V
S
Vprom
A
Q
0,30 0,10
145,00 155,00
110,00 110,00
0,76 0,21 0,20 0,71 0,19
0,09 0,18 0,27
0,05
0,30 0,10
155,00 153,00
110,00 110,00
0,71 0,19 0,19 0,72 0,20
0,19 0,19 0,38
0,07
0,30 0,10
156,00 159,00
110,00 110,00
0,71 0,19 0,19 0,69 0,19
0,19 0,19 0,38
0,07
0,30 0,10
155,00 139,00
110,00 110,00
0,71 0,19 0,20 0,79 0,21
0,18 0,09 0,27
0,05
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
SECCION TRANSVERSAL RIO QUERQUE Long.(m) 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,05 0,1
Prof.(m)
0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
REGISTRO DE AFORO RÍO:
QUERQUE
LONGITUD
CUENCA:
QUILCA
LATITUD
72°4’28.02 15°54’56.2 1
SUBCUENCA
SIGUAS
ALTITUD
3601 msnm
AFORADOR
JUAN MANUAL MAMANI PARI
W S
0,255
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
FECHA
Subcuenca Siguas
26 OCTUBRE DE 2006
Dist Mar Izq 0,5 1
Prof Prof.Obs. 0,00 0,35 0,38 0,30 0,10
1,5 2
0,38 0,39
2,5 3
0,38 0,38
3,5 4
0,34 0,00
T
NR
135,00 145,00
n=NR/T
110,00 110,00
V
Vprom
A
Q
0,81 0,22 0,21 0,76 0,21
0,09 0,18 0,27
0,06
0,08
0,30 0,10
144,00 146,00
110,00 110,00
0,76 0,21 0,21 0,75 0,20
0,19 0,19 0,38
0,30 0,10
139,00 134,00
110,00 110,00
0,79 0,21 0,22 0,82 0,22
0,19 0,19 0,38
0,08
0,30 0,10
134,00 132,00
110,00 110,00
0,82 0,22 0,22 0,83 0,22
0,18 0,09 0,27
0,06
Fuente: Elaboración Propia CAUDAL TOTAL = Q
0,278
SECCION TRANSVERSAL RIO QUERQUE Long.(m ) 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,05 0,1
Prof.(m)
0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
5.3 GENERACIÓN DE CAUDALES MEDIOS MENSUALES Tal como ya se ha señalado para el proyecto en estudio, se requiere los registros de los caudales medios mensuales del río Siguas, a la altura de la bocatoma proyectada (ver numeral 2.6.1.2) y
m3 /seg.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
además, las avenidas máximas para diferentes periodos de retorno, información que no existe con la debida confiabilidad; por lo que ha sido necesario recurrir a la generación de caudales sintéticos mediante modelos determinísticos – estocásticos, según se detalla en los siguientes numerales. Para el presente capítulo, se obtuvo la información pluviométrica del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI), información correspondiente a las estaciones pluviométricas que se hallan cerca al área de estudio y cuentan con datos suficientes y actualizados. Como ya se ha señalado, el proyecto en estudio cuenta solamente con información pluviométrica, siendo necesario disponer de caudales medios mensuales en el punto de la bocatoma. En tal situación, muchos estudios hidrológicos recurren a relaciones área-precipitación entre la cuenca del punto de interés y la de una con mediciones hidrométricas (generación determinística). El uso de modelos matemáticos en hidrología para la generación de variables hidrológicas, es muy amplio, tanto así que prácticamente para cada estudio hidrológico se han desarrollado modelos matemáticos, para la solución de problemas generales y específicos. La generación de series hidrológicas sintéticas son necesarias para la determinación de ciertos aspectos como: el riesgo de carencia de abastecimiento de agua, confiabilidad de capacidades dependientes de sistemas hidrológicos, estudios de planeamiento sobre operación futura de reservorios, planeamiento de la expansión de la capacidad de los sistemas de abastecimiento de agua y muchas otras aplicaciones similares. La predicción de series hidrológicas futuras, es necesaria para el planeamiento a corto plazo de la operación de reservorios, operación en tiempo real de cuencas hidrográficas, operación y planeamiento durante la presencia de una sequía y otras aplicaciones similares. Los modelos combinados determinísticos-estocásticos, son una parte sustancial del proceso hidrológico, incluyendo la variación espacial y temporal de las variables y parámetros hidrológicos, los mismos que en la actualidad pueden ser descritos con el uso de modelos de simulación determinística por un lado y por el otro, la información disponible de valores de parámetros y variables de entrada, será siempre incompleta. Esta ausencia de un pleno conocimiento, es una fuente importante de incertidumbre en la simulación hidrológica.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
En base a esta dualidad, diversos tipos de modelos combinados determinístico-estocásticos han sido desarrollados. Estos modelo, están compuestos por dos partes de similar importancia, llamados así, de capa determinística con estructura estocástica. Un ejemplo de este tipo de modelos es el desarrollado por Lutz Scholz para la generación de caudales mensuales en la sierra peruana.
5.3.1
MODELO LUTZ SCHOLZ
Este modelo hidrológico es combinado, porque cuenta con una estructura determinística para el cálculo de los caudales mensuales para el año promedio (balance hídrico - modelo determinístico) y una estructura estocástica para la generación de series extendidas de caudal (proceso markoviano - modelo estocástico). Fue desarrollado por el experto Lutz Scholz para cuencas de la sierra peruana, entre los años 19791980, en el marco de Cooperación Técnica de la República de Alemania a través del Plan Meris II, debido a la ausencia de registros de caudal en la sierra peruana. El modelo se desarrolló tomando en consideración parámetros físicos y meteorológicos de las cuencas, que puedan ser obtenidos a través de mediciones cartográficas y de campo. Los parámetros más importantes del modelo son: los coeficientes para la determinación de la precipitación efectiva, déficit de escurrimiento, retención y agotamiento de las cuencas. El procedimiento que se ha seguido en la implementación del modelo es la siguiente:
- Cálculo de los parámetros necesarios para la descripción de los fenómenos de escorrentía promedio. - Establecimiento de un conjunto de modelos parciales de los parámetros para el cálculo de caudales en cuencas sin información hidrométrica. En base a lo anterior se realiza el cálculo de los caudales necesarios.
- Calibración del modelo y generación de caudales extendidos por un proceso markoviano, combinado de precipitación efectiva del mes con el caudal del mes anterior. Este modelo fue implementado con fines de pronosticar caudales a escala mensual, teniendo una utilización inicial en estudios de proyectos de riego y posteriormente extendiéndose el uso del mismo a estudios hidrológicos prácticamente con cualquier finalidad (abastecimiento de agua,
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
hidroelectricidad etc.). Los resultados de la aplicación del modelo a las cuencas de la sierra peruana, han producido una correspondencia satisfactoria respecto a los valores medidos.
5.3.1.1 ECUACIÓN DEL BALANCE HÍDRICO La ecuación fundamental que describe el balance hídrico mensual en mm/mes es la siguiente: CM i = Pi − Di + Gi − Ai
Donde:
CMi = Caudal mensual (mm/mes) Pi
= Precipitación mensual sobre la cuenca (mm/mes)
Di
= Déficit de escurrimiento (mm/mes)
Gi
= Gasto de la retención de la cuenca (mm/mes)
Ai
= Abastecimiento de la retención (mm/mes)
Premisas básicas:
- Asumiendo que para periodos largos (en este caso 1 año) el gasto y abastecimiento de la retención tienen el mismo valor es decir Gi = Ai, y - Que para el año promedio una parte de la precipitación retorna a la atmósfera por evaporación. Reemplazando (P-D) por (C*P) y tomando en cuenta la transformación de unidades (mm/mes a m3/seg) la ecuación se convierte en: Q =c ' ×C ×P ×AR
Que es la expresión básica del método racional. Donde:
Q = Caudal (m3/s). c' = Coeficiente de conversión del tiempo (mes/s). C
= Coeficiente de escurrimiento.
P
= Precipitación total mensual (mm/mes).
AR = Área de la cuenca (m2). Coeficiente de Escurrimiento: Se ha considerado el uso de la fórmula propuesta por L. Turc:
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
C=
Donde:
P −D P
C = Coeficiente de escurrimiento (mm/año). P = Precipitación total anual (mm/año). D = Déficit de escurrimiento (mm/año).
Para la determinación de D se utiliza la expresión:
D =P
1 P2 0 . 9 + L2
1
2
L = 300 + 25 (T ) + 0.05 (T ) 3
Siendo:
L = Coeficiente de Temperatura. T = Temperatura media anual (°C).
Dado que no se ha podido obtener una ecuación general del coeficiente de escorrentía para toda la sierra, se ha desarrollado la fórmula siguiente, que es válida para la región sur:
D = −1380 + 0,872 ( P ) +1,032 ( EP );
Donde:
r = 0,96
D = Déficit de escurrimiento (mm/año). P = Precipitación total anual (mm/año). EP = Evapotranspiración anual según Hargreaves (mm/año). r = Coeficiente de correlación.
La evapotranspiración potencial, se ha determinado por la fórmula de Hargreaves: EP = 0.0075 ( RSM
)(TF )( FA )
FA =1 +0.06 ( AL )
n RSM = 0.075 ( RA ) N
Volumen I : Hidrología
Donde:
Subcuenca Siguas
RSM
= Radiación solar media.
TF
= Componente de temperatura. Temperatura media anual (°F).
FA
= Coeficiente de corrección por elevación.
RA
= Radiación extraterrestre (mm H2O/año).
(n/N)
= Relación entre insolación actual y posible (%) 50 % (estimación en base a los registros).
AL
= Elevación media de la cuenca (km).
Para determinar la temperatura anual se toma en cuenta el valor de los registros de las estaciones y el gradiente de temperatura de -5,3 °C 1/1000 m, determinado para la sierra. Precipitación Efectiva Para el cálculo de la precipitación efectiva, se supone que los caudales promedio observados en la cuenca pertenecen a un estado de equilibrio entre gasto y abastecimiento de la retención. La precipitación efectiva se calculó para el coeficiente de escurrimiento promedio, de tal forma que la relación entre precipitación efectiva y precipitación total resulta igual al coeficiente de escorrentía. Para fines hidrológicos se toma como precipitación efectiva la parte de la precipitación total mensual, que corresponde al déficit según el método del USBR (precipitación efectiva hidrológica es el antítesis de la precipitación efectiva para los cultivos). A fin de facilitar el cálculo de la precipitación efectiva se ha determinado el polinomio de quinto grado:
PE = a0 + a1 P + a2 P 2 + a3 P 3 + a4 P 4 + a5 P 5 Donde:
PE = Precipitación efectiva (mm/mes). P
= Precipitación total mensual (mm/mes).
ai = Coeficiente del polinomio. Límite superior para la Precipitación Efectiva: Curva N° Curva I Curva II
Ecuación PE = P – 120.6 PE = P - 86.4
Rango P > 177.8 mm/mes P > 152.4 mm/mes
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Curva III
PE = P - 59.7
P > 127.0 mm/mes
Coeficientes para el cálculo de la Precipitación Efectiva:
Coeficiente
Curva I
Curva II
Curva III
Ao
0
0
0
a1
-0,0185
0,1358
0,2756
a2
0,001105
-0,002296
-0,004103
a3
-1,204E-05
4,35E-05
5,53E-05
a4
1,440E-07
-8,90E-08
1,24E-07
a5
-2,85E-10
-8,79E-11
-1,42E-09
Fuente: Generación de Caudales Mensuales en la Sierra Peruana – Lutz Schölz Programa Nacional de Pequeñas y Medianas Irrigaciones PLAN MERIS I.
De esta forma es posible llegar a la relación entre la precipitación efectiva y precipitación total:
C= 12
∑ PE i =1
Donde:
i
12 Q PE =∑ i P i =1 P
= Suma de la precipitac ión efectiva mensual
PE = Precipitación efectiva. C = Coeficiente de escurrimiento. Q = Caudal anual. P = Precipitación total anual.
Retención de la Cuenca Bajo la suposición de que exista un equilibrio entre el gasto y el abastecimiento de la reserva de la cuenca y además que el caudal total sea igual a la precipitación efectiva anual, la contribución de la reserva hídrica al caudal se puede calcular según las fórmulas: Ri = CM
i
− Pi
CM i = PE i + Gi − Ai
Donde:
CMi = Caudal mensual (mm/mes). PEi
= Precipitación Efectiva Mensual (mm/mes).
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Ri
= Retención de la cuenca (mm/mes).
Gi
= Gasto de la retención (mm/mes).
Ai
= Abastecimiento de la retención (mm/mes).
Ri
= Gi, para valores mayores que cero (mm/mes).
Ri
= Ai, para valores menores que cero (mm/mes).
Sumando los valores de G o A respectivamente, se halla la retención total de la cuenca para el año promedio, que para el caso de las cuencas de la sierra varía de 43 a 188 (mm/año). Relación entre Descargas y Retención Durante la estación seca, el gasto de la retención alimenta los ríos, constituyendo el caudal o descarga básica. La reserva o retención de la cuenca se agota al final de la estación seca; durante esta estación la descarga se puede calcular en base a la ecuación:
Qt = Q0 e −a ( t ) Donde:
Qt = Descarga en el tiempo t. Qo = Descarga inicial.
α
= Coeficiente de agotamiento.
t
= Tiempo.
Al principio de la estación lluviosa, el proceso de agotamiento de la reserva termina, comenzando a su vez el abastecimiento de los almacenes hídricos. Este proceso está descrito por un déficit entre la precipitación efectiva y el caudal real. En base a los hidrogramas se ha determinado que el abastecimiento es más fuerte al principio de la estación lluviosa, continuando de forma progresiva pero menos pronunciada hasta el final de dicha estación.
Coeficiente de Agotamiento Mediante la ecuación que a continuación se muestra, se puede calcular el coeficiente de agotamiento "α", en base a datos hidrométricos. Este coeficiente no es constante durante toda la estación seca, ya que va disminuyendo gradualmente.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Con fines prácticos se puede despreciar la variación del coeficiente "α" durante la estación seca empleando un valor promedio. El coeficiente de agotamiento de la cuenca tiene una dependencia logarítmica del área de la cuenca. a = f ( Ln AR )
a = 3.1249 E 67 ( AR )
−0.1144
( EP ) −19 .336 (T ) −3.369 ( R ) −1.429
Si r = 0.86 El análisis de las observaciones disponibles muestra además cierta influencia del clima, la geología y la cobertura vegetal. Se ha desarrollado una ecuación empírica para la sierra peruana. En principio, es posible determinar el coeficiente de agotamiento real mediante aforos sucesivos en el río durante la estación seca; sin embargo, cuando no sea posible ello, se puede recurrir a las ecuaciones desarrolladas para la determinación del coeficiente "α" para cuatro clases de cuencas. Cálculo de los Coeficientes de Agotamiento “α”:
Características de la Cuenca Relación Agotamiento muy rápido, por temperatura elevada > 10° C a = −0.00252 * Ln ( AR ) + 0.034 y retención reducida (50 mm/año) hasta retención mediana. Agotamiento rápido, por retención entre 50 y 80 mm/año a = −0.00252 * Ln ( AR ) + 0.030 Agotamiento mediano, por retención reducida mediana (alrededor 80 mm/año) y vegetación mezclada (pastos, a = −0.00252 * Ln ( AR ) + 0.026 bosques y terrenos cultivados). Agotamiento reducido, por alta retención (arriba 100 mm/año) y vegetación mezclada
a = −0.00252 * Ln ( AR ) + 0.023
Fuente: Generación de Caudales Mensuales en la Sierra Peruana – Lutz Schölz Programa Nacional de Pequeñas y Medianas Irrigaciones PLAN MERIS II.
Donde:
α = Coeficiente de agotamiento por día. AR = Área de la cuenca (km2). EP = Evapotranspiración potencial anual (mm/año). T
= Duración de la temporada seca (días).
R
= Retención total de la cuenca (mm/año).
Almacenamiento Hídrico
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Tres tipos de almacenes hídricos naturales que inciden en la retención de la cuenca son considerados:
- Acuíferos. - Lagunas y pantanos. - Nevados. Lámina de agua acumulada en los tres tipos de almacén hídrico. Tipo
Lámina Acumulada (mm/año) Pendiente de la Cuenca 2% 8% 300 250 500 500
Napa Freática Lagunas – Pantanos Nevados
15% 200
Fuente: Generación de Caudales Mensuales en la Sierra Peruana – Lutz Schols Programa Nacional de Pequeñas y Medianas Irrigaciones PLAN MERIS II
La determinación de la lámina "L" que almacena cada tipo de estos depósitos está dado por:
LA = − 750 ( I ) + 315
Acuíferos: Siendo:
LA = Lámina específica de acuíferos. I
Lagunas y Pantanos: Siendo: Nevados: Siendo:
LL
= Pendiente de desagüe: I <= 15%. LL = 500 mm/mes = Lámina específica de lagunas y pantanos. LN = 500 mm/mes
LN = Lámina específica de nevados.
Las respectivas extensiones o áreas son determinadas de los mapas o aerofotografías. Los almacenamientos de corto plazo no son considerados para este caso, estando los mismos incluidos en las ecuaciones de la precipitación efectiva.
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Subcuenca Siguas
La lámina de agua Ai que entra en la reserva de la cuenca, se muestra en forma de déficit mensual de la precipitación efectiva PEi. Se calcula mediante la ecuación: R Ai = ai 100 Siendo:
5.3.2
Ai
= Abastecimiento mensual déficit de la precipitación efectiva (mm/mes).
ai
= Coeficiente de abastecimiento (%).
R
= Retención de la cuenca (mm/año).
DETERMINACIÓN DEL CAUDAL MENSUAL PARA EL AÑO PROMEDIO
Está basado en la ecuación fundamental que describe el balance hídrico mensual a partir de los componentes descritos anteriormente: CM i = PE i + Gi − Ai
Donde:
CMi = Caudal del mes i (mm/mes).
5.3.3
PEi
= Precipitación efectiva del mes i (mm/mes).
Gi
= Gasto de la retención del mes i (mm/mes).
Ai
= Abastecimiento del mes i (mm/mes).
MODELO
ESTOCÁSTICO
PARA
GENERACIÓN
DE
CAUDALES
MENSUALES A fin de generar una serie sintética de caudales para periodos extendidos, se ha implementado un modelo estocástico que consiste en una combinación de un proceso markoviano de primer orden, según la siguiente ecuación, con una variable de impulso, que en este caso es la precipitación efectiva:
Qt = f ( Qt −1 ) Q = g ( PE t ) Con la finalidad de aumentar el rango de valores generados y obtener una óptima aproximación a la realidad, se utiliza además una variable aleatoria.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Z = z( S )
(1 −r ) 2
La ecuación integral para la generación de caudales mensuales es:
Qt = B1 + B 2 ( Qt −1 ) + B3 ( PE t ) + z ( S ) 1 − r 2 Donde:
Qt Qt-1
= Caudal del mes t. = Caudal del mes anterior.
PEt = Precipitación efectiva del mes. B1, B2, B3 = Factor constante o caudal básico. Se calcula los parámetros B1, B2, B3, r y S sobre la base de los resultados del modelo para el año promedio por un cálculo de regresión con Qt como valor dependiente y Qt-1 y PEt, como valores independientes. Para el cálculo se recomienda el uso de software comercial (hojas electrónicas) o de uso específico (programas elaborados tales como el SIH). El proceso de generación requiere de un valor inicial, el cual puede ser obtenido en una de las siguientes formas:
- Empezar el cálculo en el mes para el cual se dispone de un aforo. - Tomar como valor inicial el caudal promedio de cualquier mes. - Empezar con un caudal cero, calcular un año y tomar el último valor como valor Qo, sin considerar estos valores en el cálculo de los parámetros estadísticos del período generado.
Tests Estadísticos Para determinar la calidad de la coincidencia de los caudales generados con los observados, se desarrolla la comparación de los promedios y desviaciones tipo de los valores históricos y los generados.
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Subcuenca Siguas
Para probar si los promedios salen de la misma población, se utiliza el test de Student (Prueba "t"), esta prueba debe ser desarrollada para cada mes. Se compara el valor de t con el valor límite tp,n que indica el límite superior que, con una probabilidad de error del P%, permite decir que ambos promedios pertenecen a la misma población. La comparación estadística de promedios se realiza mediante el test de Fischer (Prueba "F"), que se compara con el valor límite Fp/2 (%), (n1, n2). Restricciones del Modelo El modelo presenta ciertas restricciones de uso o aplicación tales como: − El uso de los modelos parciales, únicamente dentro del rango de calibración establecido. − Su uso es únicamente para el cálculo de caudales mensuales promedio.
− Los registros generados en el periodo de secas presentan una mayor confiabilidad que los valores generados para la época lluviosa.
− La aplicación del modelo se restringe a las cuencas en las que se ha calibrado sus parámetros (sierra peruana: Cusco, Huancavelica, Junín, Cajamarca). Es importante tener en cuenta las mencionadas restricciones a fin de garantizar una buena performance del modelo. 5.3.4
APLICACIÓN DEL MODELO LUTZ SHOLTZ
Luego de realizar la selección de la información disponible, donde previamente han sido corregidos, completados y extendidos estocásticamente los datos, con esta información confiable se procedió a la calibración del modelo. El escurrimiento en la subcuenca del río Siguas, tiene su origen principalmente en la precipitación estacional y durante la época de estiaje de las descargas que provienen de los deshielos de los nevados, afloramientos subterráneos y retención de la cuenca.
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Para el procesamiento de la información se efectuó haciendo uso de una hoja de cálculo preparada previamente, hasta obtener series de caudales promedio mensuales generados. A continuación se resumen y explican los detalles del cálculo:
- Para el valor asumido del coeficiente de escorrentía, se partió con uno de la relación entre el caudal aforado y la precipitación real de la cuenca.
- El resumen de la calibración se muestra en el Cuadro Nº 33 y la descripción de cada columna se detalla a continuación:
1) Identificación del periodo seco. Para esta región de la zona en estudio se inicia en el mes de abril culminando en octubre. 2) Datos de Precipitación Areal Promedio Mensual de la cuenca en estudio.
3) Cálculo de las precipitaciones efectivas recomendadas en los párrafos anteriores, que nos ayudará en la selección de PEI – PEII o PEII – PEIII.
4) Se verifica que la curva esté dentro de los límites. 5) Cálculo de la precipitación efectiva para cada mes y está dado por la siguiente ecuación: PE = C1 × PEI + C 2 × PEII
C1 = C1
C × ∑P − ∑PEII
∑PEI − ∑PEII C × ∑P − ∑PEII = ∑PEII − ∑PEI
Para una mejor estimación de la precipitación efectiva se ha calculado la PEI y PEII para toda la serie de la precipitación real, obteniendo dos series, posteriormente, haciendo uso de las ecuaciones anteriores, se obtuvo otra serie de PE. De esta última serie, se calculó el promedio mensual y estos valores son los que se muestran en esta columna, permitiendo así ajustar y calibrar mejor hasta lograr su validación.
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6) Es el gasto de la retención (bi), que inicia al final del período lluvioso, y cubre todo el período seco, se hizo con el uso de la siguiente relación:
bi = e −a×t a = −0,0252 × Ln ( AR ) + w
Donde:
α : Coeficiente de agotamiento de la cuenca. t
: Número de días desde el inicio de la temporada seca.
w : Coeficiente a ser calibrado. AR : Área de la cuenca.
7) Es el gasto de retención en mm/mes, expresada mediante la siguiente relación:
Gi =
bi *R ∑ bi
8) Abastecimiento de la retención. 9) Abastecimiento de la retención, expresada en mm/mes dada por la siguiente relación: Ai = a i * R
10) Escorrentía generada (mm/mes), no es más que el balance hídrico de la cuenca. Los resultados de este método se muestran en el siguiente cuadro:
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Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 33 CALIBRACION DEL MODELO BOCATOMA 1397 Km2 0,45 p.e. Relación entre columnas (12) / (2) -2,07505 3,07505 55 Retención de cuenca en mm/año
AREA= C= C1= C2= R=
MES
AGO SET OCT NOV DIC ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL
Días acum. 1 31 154 30 184 31 215 30 31 31 28 31 30 30 31 61 31 92 31
123
PRECIPITACION MENSUAL EFECTIVA TOTAL P PE-I PE-II PE mm/mes mm/mes mm/mes mm/mes 2 3 4 5 5,8 0,0 0,7 2,0 7,6 0,0 0,9 2,6 10,8 0,0 1,2 3,6 17,5 0,0 1,9 6,1 39,5 0,6 4,2 14,2 91,4 6,6 19,6 56,3 91,8 6,7 19,9 57,8 84,5 5,2 16,4 47,3 18,9 0,0 2,0 6,1 3,9 0,0 0,5 1,4 3,1 0,0 0,4 1,2 2,2
0,0
0,3
0,7
CONTRIBUCION DE LA RETENCION GASTO ABASTECIMIENTO bi Gi ai Ai mm/mes Mm/mes 6 7 8 9 0,172 9,44 0,00 0,00 0,121 6,63 0,00 0,00 0,085 4,66 -0,10 -5,50 0,000 0,00 -0,25 -13,75 0,000 0,00 -0,35 -19,25 0,000 0,00 0,30 16,50 0,000 0,00 0,10 5,50 0,000 0,00 0,00 0,00 0,703 38,66 0,00 0,00 0,494 27,18 0,00 0,00 0,347 19,10 0,00 0,00 0,244
13,43
0,00
0,00
ESCORRENTIA GENERADA mm/mes 10 11,40 9,26 13,78 19,82 33,46 39,78 52,30 47,30 44,80 28,53 20,26 14,10
CAUDALES MENSUALES GENERADOS m3/seg 11 5,95 4,99 7,19 10,68 17,45 20,75 30,20 24,67 24,15 14,88 10,57 7,36
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Cuadro Nº 34 CAUDALES MENSUALES GENERADOS, en m3/s BOCATOMA NUM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
AGO 8,02 6,56 5,99 5,37 5,36 5,28 5,25 5,12 4,98 4,96 4,84 4,84 4,75 4,65 4,64 4,63 4,60 4,48 4,38 4,35 4,33 4,30 4,30 4,27 4,22 4,22 4,14 4,12 4,04 4,00 3,94 3,88 3,87 3,83 3,81 3,78 3,74 3,67 3,35 3,32 3,20 2,90
SET 9,92 7,83 7,47 6,89 6,35 5,73 5,53 5,47 5,37 5,29 5,24 5,23 5,18 5,08 5,01 4,97 4,91 4,85 4,76 4,70 4,66 4,63 4,60 4,60 4,58 4,55 4,45 4,35 4,24 4,20 4,08 4,05 4,01 4,01 3,94 3,92 3,84 3,78 3,72 3,69 3,51 2,89
OCT 10,49 7,54 6,77 6,72 6,71 6,62 6,29 6,26 5,63 5,52 5,51 5,51 5,33 5,21 5,16 5,06 5,01 4,93 4,93 4,74 4,71 4,70 4,68 4,52 4,48 4,45 4,43 4,38 4,25 4,23 4,17 4,15 4,05 4,02 3,98 3,95 3,92 3,91 3,77 3,54 3,44 3,43
NOV 12,96 10,68 10,61 8,03 7,54 7,30 7,19 6,87 6,70 6,69 6,59 6,51 6,42 6,42 6,38 6,34 6,17 6,04 6,02 5,85 5,67 5,48 5,36 5,35 5,14 5,11 4,87 4,64 4,55 4,54 4,39 4,26 4,24 4,21 4,19 4,11 4,04 4,01 3,94 3,71 3,53 3,49
MODELO ESTOCASTICO DIC ENE FEB MAR 18,57 40,15 67,40 66,05 13,61 30,17 56,17 55,42 13,23 29,82 55,89 52,24 11,81 29,37 47,95 47,61 9,89 27,57 46,27 46,01 9,53 26,08 39,01 42,58 9,40 24,54 38,78 41,91 8,99 24,51 38,35 37,64 8,96 23,98 37,73 36,74 8,84 21,07 36,80 35,90 8,75 20,77 35,74 35,07 8,36 19,47 34,80 33,46 8,23 19,42 34,63 31,44 8,11 19,25 33,72 29,58 7,92 18,44 32,80 29,09 7,84 17,49 31,77 28,80 7,74 17,08 30,23 27,44 7,70 17,03 28,80 26,70 7,56 15,59 26,98 26,09 7,53 15,44 26,39 25,86 7,43 15,12 26,22 24,74 7,19 13,97 26,00 23,70 7,13 13,38 24,09 22,43 7,02 12,76 23,95 21,55 6,91 12,53 22,28 18,67 6,65 11,91 21,94 18,49 6,58 11,56 21,19 18,44 6,31 11,45 20,50 17,74 6,31 11,13 19,32 17,66 6,27 10,69 18,38 16,76 6,17 10,66 16,28 15,79 6,10 10,27 15,39 14,27 6,06 10,05 14,06 13,79 5,48 9,56 13,68 13,35 5,37 9,43 12,34 12,82 5,15 9,25 11,66 12,15 5,01 8,34 9,04 10,70 4,92 8,04 8,91 10,27 4,57 7,42 8,79 9,89 4,55 6,72 8,09 8,68 4,53 5,29 7,73 6,58 4,39 4,44 5,47 4,88
ABR 45,45 41,83 38,90 37,96 35,41 28,47 28,20 25,37 24,86 24,16 23,48 22,87 22,22 21,59 20,25 18,32 18,03 18,00 17,86 17,65 17,29 16,96 16,78 15,97 14,98 14,90 13,17 12,95 12,78 12,27 12,09 11,48 10,99 10,24 9,03 8,88 8,79 7,16 6,88 6,84 6,03 5,25
MAY 21,39 18,26 16,00 15,55 15,53 13,03 12,88 12,46 12,19 11,66 11,31 11,27 11,16 10,54 10,54 10,15 10,01 9,54 9,14 8,98 8,77 8,71 8,64 8,60 8,14 8,01 7,67 7,44 7,44 7,42 7,39 7,20 7,07 6,72 6,69 6,03 5,57 5,57 5,15 4,73 4,72 4,62
JUN 12,26 8,74 8,37 7,98 7,93 7,87 7,80 7,34 7,26 7,06 6,96 6,89 6,78 6,35 6,34 6,30 6,09 5,80 5,79 5,74 5,73 5,55 5,54 5,48 5,48 5,30 5,17 5,14 5,01 5,00 4,89 4,89 4,88 4,83 4,73 4,71 4,67 4,46 4,39 4,27 3,98 3,87
JUL 8,44 6,12 6,03 5,80 5,65 5,61 5,57 5,51 5,46 5,38 5,25 5,25 5,24 5,16 5,12 4,99 4,98 4,96 4,94 4,72 4,72 4,66 4,52 4,40 4,40 4,36 4,35 4,31 4,26 4,22 4,21 4,10 4,05 4,00 3,99 3,94 3,87 3,82 3,80 3,46 3,34 3,25
PROB (%) 2,27 4,55 6,82 9,09 11,36 13,64 15,91 18,18 20,45 22,73 25,00 27,27 29,55 31,82 34,09 36,36 38,64 40,91 43,18 45,45 47,73 50,00 52,27 54,55 56,82 59,09 61,36 63,64 65,91 68,18 70,45 72,73 75,00 77,27 79,55 81,82 84,09 86,36 88,64 90,91 93,18 95,45
43
2,80
2,85
2,98
3,00
3,61
3,29
3,32
3,41
2,74
97,73
3,82
3,40
3,60
Cuadro Nº 35 CAUDALES MENSUALES GENERADOS EN LA BOCATOMA
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
CON PERSISTENCIA AL 75% MES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SETIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE
Q 75% (m3/s) 9,89 14,42 14,14 10,80 6,78 4,85 4,07 3,88 4,08 4,09 4,26 5,70
5.4 CAUDAL ECOLÓGICO Es el caudal mínimo adecuado, que da cuenta de la conservación de la biodiversidad propia del curso de agua en estudio, permitiendo el cumplimiento de las funciones y servicios ecológicos del medio acuático. En otras palabras, es el caudal mínimo que debe mantenerse en un curso fluvial al construir una presa o una bocatoma, de forma tal que no se alteren las condiciones naturales del ecosistema y se garantice el desarrollo de una vida fluvial igual a la que existía anteriormente. Se han desarrollado innumerables metodologías para determinar los requerimientos del caudal de los ecosistemas. Los más simples son los métodos hidrológicos o estadísticos, que determinan el caudal mínimo ecológico a través del estudio de los datos de caudales. Un ejemplo del método estadístico es definir el caudal mínimo ecológico como un 10% del caudal medio histórico. También se define el caudal ecológico, como el 10% del caudal medio anual como mínimo. O sea que, cuando un río transporte anualmente 1 000 m3 al mar, se permite consumir 900 m3, dejando en todo caso escurrir, los 100 m3 para fines ecológicos. También se suele expresar el caudal ecológico, en ciertos volúmenes por cuenca y por año o, en caudales mínimos a mantener en cierto río durante el año. Para el proyecto en estudio, el caudal ecológico estaría representado por los requerimientos de agua para los diferentes usos. Este caudal es aproximadamente del orden de los 2,00 m3/s aguas abajo de la bocatoma y, 100 l/s aguas abajo de la presa Pichirijma.
6.
MÁXIMAS AVENIDAS
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
6.1 HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES 6.1.1
INTRODUCCIÓN
En todo estudio de planificación para el aprovechamiento de los recursos hídricos con fines de irrigación, un aspecto muy importante es la determinación con cierto nivel de confianza de las máximas avenidas. Una sobreestimación para determinar caudales de diseño, implicará necesariamente el sobredimensionamiento de las estructuras con el consiguiente incremento de los costos; por el contrario, una subestimación del caudal de diseño implicará un dimensionamiento inadecuado de las obras y no cumplirá el objetivo de su planeamiento a cabalidad. Para determinar los máximos eventos existen muchas metodologías, las que podemos mencionar: métodos directos, empíricos, probabilísticos e hidrométricos. Para el presente estudio, se ha aplicado las funciones de distribución de probabilidad teóricas de mejor adaptabilidad a las precipitaciones máximas en 24 horas. El hecho de conocer la descarga pico, para diferentes periodos de retorno, permitirá tomar las prevenciones necesarias para el diseño de las estructuras en la represa y en la bocatoma. Se conoce como máxima avenida, el acontecimiento correspondiente a la circulación de un caudal extraordinario por el cauce del río. Por lo general, las máximas avenidas se producen cuando el agua procedente de todos los puntos de la cuenca ha fluido hasta una determinada sección. El periodo de tiempo requerido para esto se denomina tiempo de concentración. La descarga de una avenida, se debe generalmente a numerosas variables que incrementan el caudal normal del curso de agua. El río Siguas y el río Pichirijma, no cuentan con mediciones de descargas pico, por lo tanto la máxima avenida ha sido estimada en forma indirecta, haciendo uso de las precipitaciones máximas en 24 horas, registradas dentro del área de estudio.
6.1.2
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE LA PRECIPITACIÓN
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Existen varias fórmulas para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento, las mismas que se muestran en la siguiente tabla, siendo la más utilizada la formula de Weibull. Formulas empíricas para determinar la probabilidad de ocurrencia Método
Probabilidad de Ocurrencia (P)
m n m −1 / 2 n m n +1 m −0.3 n +0.4 m −3 / 8 n +1 / 4 3m −1 3n +1 m −a n +1− 2a
California Hazen Weibull Chegadayev Blom Tukey Gringorten
Donde: P = Probabilidad experimental o frecuencia relativa empírica. m = Número de orden. n = Número de datos. a = Valor comprendido en el intervalo 0
6.1.3
10 0.448
20 0.443
30 0.442
40 0.441
50 0.440
60 0.440
70 0.440
80 0.440
ANÁLISIS Y TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
90 0.439
100 0.439
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Los valores históricos, completos y consistentes utilizados datan desde el año 1986 hasta el año 2006 (21 años). En el siguiente cuadro, se muestra la información de la precipitación promedio anual máxima en 24 horas anual de las estaciones en estudio. Cuadro Nº 36 Precipitación Media Máxima en 24 Horas Anual mm
Año 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
6.1.4
Precipitación máx. 24 horas CABANA. HUAMBO PILLONES 41.87 20.10 25.00 49.29 24.21 13.60 30.90 20.88 30.10 25.49 17.28 17.00 23.86 22.38 31.70 19.74 16.96 15.50 28.67 36.88 23.90 23.93 16.80 50.50 23.20 16.90 30.80 32.80 17.90 22.60 22.20 16.90 16.90 51.00 32.90 17.40 38.30 25.30 28.40 32.90 26.60 26.60 24.60 18.70 22.10 48.60 11.50 25.10 30.60 27.90 35.70 19.30 25.50 13.80 22.90 30.40 26.40 24.40 18.30 21.30 25.30 31.80 30.40
PROM. 28.99 29.03 27.29 19.92 25.98 17.40 29.82 30.41 23.63 24.43 18.67 33.77 30.67 28.70 21.80 28.40 31.40 19.53 26.57 21.33 29.17
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
Una función f(x) es llamada función de probabilidad o función de densidad de la variable aleatoria continua X, si cumple con las siguientes condiciones: f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈R
Volumen I : Hidrología
∫ f ( x)dx
Subcuenca Siguas
=1 , cuando se encuentra en los límites
−∞
y
∞
A = ( x / a ≤ x ≤ b)
Sea el evento: Luego:
P ( A) = P ( x ∈ A) = P ( a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x) dx , cuando se encuentra entre los límites a y b.
En la estadística existen decenas de funciones de distribución de probabilidad teórica y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular, por lo tanto es necesario escoger uno de esos modelos, el que se adapte mejor al problema bajo análisis. Para el análisis de las precipitaciones máximas en 24 horas de la subcuenca del río Siguas, a la altura de la bocatoma y de la subcuenca del río Pichirijma, se han utilizado como ya se ha indicado los últimos 21 registros históricos de precipitaciones máximas en 24 horas completas y consistentes (1986-2006), para ello se ajustaron a seis distribuciones de probabilidades las cuales se detallan a continuación: −
Distribución Normal Estándar.
−
Distribución Gumbel (Distribución extrema Tipo I).
−
Distribución Log Pearson Tipo III.
−
Distribución Log Normal II Parámetros.
−
Distribución Log Normal III Parámetros.
−
Distribución Pearson tipo III.
6.1.5
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES
PROBABILÍSTICAS Existen varias técnicas para la estimación de los parámetros de una distribución, dentro de las cuales se puede mencionar: −
Método de momentos.
−
Método de máxima verosimilitud.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
−
Método de mínimos cuadrados.
−
Método gráfico.
El objetivo de la estimación de los parámetros es de relacionar los registros observados (media, varianza, sesgo, etc.) de un fenómeno aleatorio, con el modelo probabilístico seleccionado. En este trabajo se desarrollarán los dos primeros métodos. 6.1.5.1 MÉTODO DE MOMENTOS El método de momentos fue desarrollado por primera vez por Karl Pearson en 1902. Él consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una función de probabilidad, son aquellos para los cuales los momentos de la función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra. El método de momentos selecciona valores para los parámetros de la función de densidad de probabilidad, de tal manera que sus momentos son iguales a aquellos de la información de la muestra. n
∑ i =1
− Xi 1 n = ∑ Xi = X n n i =1
La media o promedio es el estimador que corresponde a la función teórica de probabilidad que es: ∞
u =∫
−∞
xf ( x ) dx
Originalmente Pearson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió común el uso de la varianza como el segundo momento central:
[
σ 2 = E ( x − u)
2
]
Y el coeficiente de asimetría como el tercer momento central estandarizado:
[
γ = E ( x − u)
3
]σ
3
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Para determinar el segundo y el tercer parámetro de la distribución. Cuando la distribución de probabilidad a la que se estima los parámetros por este método, es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este método es muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como ocurre muy a menudo con las variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la estimación. 6.1.5.2 MÉTODO DE LA MÁXIMA VEROSIMILITUD El método de la máxima verosimilitud fue desarrollado por R.A. Fisher (1922). Él razonó que el mejor valor de un parámetro de una distribución de probabilidad, debería ser el valor que maximizara la función de verosimilitud o probabilidad conjunta de ocurrencia de la muestra observada. Si tenemos n observaciones aleatorias: X1, X2,………, Xn y su función de probabilidad conjunta: f(X1, X2,………, Xn, θ1, θ2,………, θm). Dado que para una muestra aleatoria los valores de X son independientes, su función de probabilidad conjunta puede ser escrita como: f ( X 1,θ1 , θ2 ,......, θm ), f ( X 2,θ1 , θ2 ,......, θm )......, f ( X n ,θ1 ,θ2 ,......, θm )
Donde: θ1 ,θ2 ..........
.θm son los parámetros de la función.
La expresión anterior es proporcional a la probabilidad de que una observación aleatoria en particular, sea obtenida de la población y es conocida como función de verosimilitud de probabilidad. n
L (θi ) = L(θ1 , θ2 ,......, θm ) = ∏ f ( X i , θ1 , θ2 ,......... , θm ) i =1
Los m parámetros son desconocidos, por lo tanto la estimación de estos se realizan teniendo presente que deben maximizar la función de verosimilitud. Esto es posible tomando la derivada parcial de L (θi), respecto a cada θi e igualando a cero.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
∂L ∂L ∂L = 0, = 0,......... ........, ∂ =0 ∂θi ∂θ2 ∂θm
Estas ecuaciones en el mismo número que el número de parámetros característicos de la distribución teórica de probabilidad en estudio, permiten estimar los parámetros θ1, θ2,……, si estos parámetros eficientes existen. 6.1.6
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Función de densidad de probabilidad La función de densidad de distribución normal se define como:
−1 x −u σ
1 f ( x) = e 2 σ 2π
2
, para: − ∞ < x < + ∞
Donde μ y σ son los parámetros de la distribución. Estos parámetros determinan la forma de la función f(x) y su posición en el eje x, decimos que la variable aleatoria X, se distribuye normalmente con media μ y varianza σ2 y se representa: X ≈ N ( u ,σ2 )
El gráfico de la función densidad es:
Siendo una función continua y simétrica:
Z =
x −u
σ
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
La función densidad de Z, es llamada función densidad de la Distribución Normal Estándar y tiene la siguiente expresión:
1 e 2π
f ( x) =
−Z 2 2
, para:
−∞ < z<+ ∞
Los valores de f(x) o f(z) puede ser fácilmente evaluadas para un valor dado de x o de z por las ecuaciones anteriores, respectivamente. El gráfico de la función densidad de la distribución normal estándar es:
Una característica fundamental de la distribución normal estándar es que tiene μ z = 0 y σz2=1, es decir: Z ≈ N (0,1).
Función de distribución acumulada La función de distribución acumulada de la distribución normal es la integral de la siguiente ecuación: x
F ( x) =
∫ f ( x)dx
−∞
O sea:
O su equivalente:
1 F ( x) = σ 2π
F ( z) =
x
∫e
−1 ( x −u ) 2 2 σ
dx
−∞
1 2π
x
∫e
−∞
−Z 2 2
dz
Volumen I : Hidrología
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Donde F(x) es la función de distribución de probabilidad normal para la variable original x o también para la variable estandarizada z, según las ecuaciones respectivamente. De estas funciones de distribución se tiene: F (-∞) = 0 F ( µ ) = 0.5 F (+∞)= 1 Cálculo de la función de distribución acumulada de N (μ, σ2) o N (0,1) Para realizar cálculos computacionales de F (z) se utilizan funciones de aproximación, dentro de las cuales se pueden mencionar: Abramowitz y Stegun (1965), han dado varias aproximaciones para la función de distribución F (z) de la variable normal estandarizada z, una aproximación polinomial con un error menor que 10-5 es: F (z)= H (z),
para Z>0
F (z)= 1-H (z), para Z<0
Donde:
1 H (z) = 1 − e 2π
Siendo:
q=
−Z 2 2
(b q + b q 1
2
2
+ b3 q 3
)
1 1 + bo z
b0 =0,33267; b1 = 0,43618; b2 =-0,12017; b3 = 0,93730
Masting (1955): Ha dado una aproximación polinomial que ha sido utilizado por la IBM (1968), con un error menor que 7,5 x 10-8 es:
1 H (z) = 1 − e 2π
Donde:
w=
−Z 2 2
(b w + b w 1
2
1 1 + 0.2316419
2
+ b3 w 3 + b4 w 4 + b5 w 5 )
z
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
b1 = 0,3193381530; b2 =-0,356563782; b3 = 1,781477937 b4 =-1,821255978; b5 =1,330274429 Estimación de parámetros Para estimar los parámetros de la distribución teórica se puede usar el método de momentos o el método de máxima verosimilitud. Cabe mencionar que la distribución normal, es la única función de distribución que produce los mismos resultados de los parámetros estimados por el método de momentos y máxima verosimilitud, los parámetros obtenidos son los siguientes: _
X =u =
1 N ∑ Xi N i =1
1 N ( Xi − X ) 2 S =σ = ∑ N − 1 i =1
2
Donde: _
X
= Es el estimado de la media, llamado también parámetro de posición.
S = Es el estimado insesgado de la desviación estándar o parámetro de escala.
Método de Momentos Análisis de Distribución Normal Media
:
26,043
Desviación Estándar
:
22,13
Asimetría
:
-0,3586
Numero
Probabilidad
Valor
Valor
Desviación
Registro
Weibull
Observado
Predecido
Estándar
1 2 3 4
0.0455 0.0909 0.1364 0.1818
17.4 18.67 19.53 19.92
18.0884 19.7613 20.8834 21.7702
2.0167 1.7126 1.5237 1.3868
Volumen I : Hidrología
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Subcuenca Siguas
0.2273 0.2727 0.3182 0.3636 0.4091 0.4545 0.5 0.5455 0.5909 0.6364 0.6818 0.7273 0.7727 0.8182 0.8636 0.9091 0.9545
21.33 21.8 23.63 24.43 25.98 26.57 27.29 28.4 28.7 28.99 29.03 29.17 29.82 30.41 30.67 31.4 33.77
22.5263 23.2008 23.8212 24.4048 24.9637 25.5074 26.0434 26.5793 27.1229 27.6819 28.2655 28.8858 29.5603 30.3165 31.2032 32.3254 33.9982
1.2817 1.1994 1.1353 1.087 1.0532 1.0332 1.0266 1.0332 1.0532 1.087 1.1353 1.1994 1.2817 1.3868 1.5237 1.7126 2.0167
Análisis de Distribución Normal Predicciones
Probabilidad
Periodo
Valor
Desviación
Excedencia
Retorno
Esperado
Estándar
0.5 2 26.0434 1.0266 0.667 3 28.0719 1.1179 0.8 5 30.0018 1.3416 0.9 10 32.0729 1.6688 0.96 25 34.2809 2.07 0.98 50 35.7068 2.3453 0.99 100 36.9891 2.5998 0.995 200 38.1626 2.8369 0.998 500 39.5846 3.1282 Nota: En la distribución normal tanto por el método de momentos como por el método de Máxima verosimilitud dan resultados iguales
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Normal Distribution 40
30
Value
Actual Data 20
10 Distribution 0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Weibull Probability
6.1.7
DISTRIBUCIÓN DE VALOR EXTREMO TIPO I
Función de distribución acumulada La función de distribución acumulada, tiene la forma:
F ( x) = e −e
−α [ x −β ]
, para − ∞ < x < + ∞ , 0 < α < +∞ , − ∞ < β < +∞
Donde: El parámetro α se le conoce como parámetro de escala. El parámetro β se le conoce como parámetro de posición. Función densidad de probabilidad Derivando la función de distribución acumulada con respecto a x, se obtiene la función de densidad de probabilidad, es decir:
f ( x) =
dF ( x ) dx
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
f ( x ) = α * e [ ±α ( x −β ) −e
zα ( x − β )
] , para − ∞ < x < + ∞
El signo (+) se aplica para valores mínimos y el signo (-) se aplica para valores máximos (distribución Gumbel o Tipo I). Si se hace la transformación: Y = α( x − β ) ±y Con lo cual, la función densidad reducida es: f ( y ) = e ( ± y −e )
El signo (+) se emplea para eventos mínimos y el signo (-) para eventos máximos. La función de distribución acumulada es: F ( y ) = e −e
−y
→
(Máximo)
F ( y ) =1 − e −e
y
→
(Mínimo)
F ( y ) min = 1 − F ( −y ) max
Los valores correspondientes de x e y, están relacionadas por: F (x) = F (y) y la relación: Y = α( x − β ) o x = β +
6.1.8
y α
MÉTODO DE GUMBEL (Valor extremo Tipo I)
Según Paulet (1974), el método de Gumbel se utiliza para predecir magnitudes máximas de variables hidrológicas asumiendo que estos valores son independientes entre sí, también son usadas frecuentemente para el estudio de magnitud - duración - frecuencias de lluvias (Hershfiel 1961). Según Linsley (1971), que lo aplicó al río Clear Water en Idaho Estados Unidos, este método es adecuado cuando se utiliza como datos las descargas máximas anuales en un punto de control de una vertiente o un río. Método de momentos Según Lowery y Nash, 1970 utilizando el método de momentos se obtienen las siguientes relaciones:
Media:
E(x)= x = β +
c α
Volumen I : Hidrología
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Donde c, es la constante de Euler, cuyo valor es: 1 1 1 c = Lim n →∞ 1 + + + .......... . + − Ln (n) 2 3 n
c = 0,5772156649
X =β+
Por lo tanto: Varianza:
[
E ( X − E ( x) )
α=
De donde se obtienen:
2
0.57721
α
]=S
2
=
π2 α 2 *6
1.2825 S
β=X−
0.57721
α
Reemplazando se tiene lo siguiente: β = X −0.45 * S ==>Máximo β = X −0.45 * S ==>Mínimo
Para muestras muy grandes, o bien como:
α=
σy S
β = x−
µy a
Por otro lado, conocemos que la ecuación de GUMBEL se expresa como:
X =β+
y α
La que se puede escribir como: X =X−
µy y * S + α σy
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
X =X−
µy * S y * S + σy σy
X =X+
S (− µ y + y) σY
Se sabe que la función de distribución acumulada es:
Por otro lado se tiene: F ( y ) = 1 −
Entonces se tiene que: 1 −
F(y) = e
−e − y
1 T
−y 1 = e −e = F ( y ) T
Tabla de Medias Esperadas y Desviaciones Estándar de Extremos Reducidos N 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
my 0.524 0.525 0.527 0.528 0.53 0.531 0.532 0.533 0.534 0.535 0.536 0.537 0.538 0.539 0.54 0.541 0.541 0.542 0.542 0.543 0.544 0.544 0.545 0.545 0.546 0.546 0.547 0.547 0.548 0.548
sy 1.063 1.07 1.076 1.081 1.087 1.092 1.096 1.1 1.105 1.109 1.112 1.116 1.119 1.123 1.126 1.129 1.131 1.134 1.136 1.139 1.141 1.144 1.146 1.148 1.15 1.152 1.154 1.156 1.157 1.159
N 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
my 0.549 0.549 0.549 0.55 0.55 0.55 0.551 0.551 0.552 0.552 0.552 0.553 0.533 0.554 0.554 0.555 0.555 0.556 0.556 0.557 0.557 0.557 0.558 0.558 0.558 0.559 0.559 0.559 0.56 0.56
sy 1.161 1.162 1.164 1.165 1.167 1.168 1.17 1.171 1.172 1.173 1.175 1.177 1.179 1.181 1.183 1.185 1.187 1.189 1.191 1.192 1.194 1.195 1.197 1.198 1.199 1.201 1.202 1.203 1.204 1.206
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Tomando dos veces Ln a ambos miembros se obtiene lo siguiente:
T −1 y = −Ln − Ln T Reemplazando el valor de y en la ecuación se obtiene:
X =X+
S T −1 − µ y − Ln − Ln σy T
1 T µy + LnLn X = X + S − σy T −1
K S i consideramos que para valores grandes de N, la expresión
1
6 µ σ y tiende a π y que y tiende
a c =0,5772; entonces hemos comprobado que la ecuación general para expresar un valor de una serie hidrológica es: X = X +K *S
Análisis de Distribución Extremo Tipo I Gumbel Media
:
26.043
Desviación Estándar
:
22.13
Asimetría
:
- 0.3586
Numero
Probabilidad
Valor
Valor
Desviación
Registro
Weibull
Observado
Predecido
Estándar
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.0909 0.1364 0.1818 0.2273 0.2727 0.3182 0.3636 0.4091 0.4545 0.5
18.67 19.53 19.92 21.33 21.8 23.63 24.43 25.98 26.57 27.29
20.285 21.047 21.6884 22.2656 22.8057 23.3253 23.8353 24.3445 24.8605 25.3905
1.0784 0.9834 0.9194 0.877 0.8523 0.8437 0.8499 0.8704 0.9047 0.9526
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0.5455 0.5909 0.6364 0.6818 0.7273 0.7727 0.8182 0.8636 0.9091 0.9545
28.4 28.7 28.99 29.03 29.17 29.82 30.41 30.67 31.4 33.77
25.9423 26.5249 27.1494 27.8308 28.5899 29.4586 30.4896 31.7811 33.5524 36.5029
1.0141 1.0898 1.1809 1.2893 1.4187 1.5751 1.7692 2.0214 2.3782 2.9889
Análisis de Distribución Extremo Tipo I Gumbel
Probabilidad
Periodo
Valor
Desviación
Excedencia
Retorno
Esperado
Estándar
0.5 0.667 0.8 0.9 0.96 0.98 0.99 0.995 0.998
2 3 5 10 25 50 100 200 500
25.3905 27.6013 30.053 33.14 37.0404 39.934 42.8062 45.6679 49.4435
0.9526 1.2518 1.6861 2.2943 3.1016 3.7132 4.3259 4.9399 5.7534
Gumbel Extremal Type I 40
30
Value
Actu 20
10
Dist 0 0.0
0.2
0.4
0.6
Weibull Probability
0.8
1.0
Volumen I : Hidrología
6.1.9
Subcuenca Siguas
DISTRIBUCION PEARSON TIPO III
Según Chow, la distribución Pearson Tipo III se aplicó por primera vez en la Hidrología por Foster (1924) para describir la distribución de probabilidad de picos crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación Log para reducir la asimetría. La distribución Pearson Tipo III, También llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro, el límite inferior o parámetro de posición ε, de tal manera que por el método de los momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros λ, β, ε de la distribución de probabilidad. Función de densidad de probabilidad Pearson Tipo III: f ( x ) = (λβ ( x − ε )
β −1
e λ ( x −ε ) ) / Γ( β )
para x ≥ ε
El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma:
d ( f ( x ) / dx = ( f ( x) * ( x − d )) /(C 0 + C1 * x + C 2 * x 2 ) Donde d es la moda de la distribución (el valor de x para la cual f(x) es un máximo) y C0, C1 y C2 son coeficientes que deben determinarse. Cuando C2 = 0 es la solución de la ecuación anterior, es una distribución Pearson tipo III con una función de densidad de probabilidad. Para C1 = C2 = 0, la solución de la ecuación es una distribución normal. Según Markovick (1965), mostró que no hay diferencia entre el ajuste de una distribución Gamma y una Log Normal, esta función de distribución es muy popular debido a que cuando el coeficiente de asimetría se iguala a cero se obtiene la distribución Normal.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Función de densidad de probabilidad Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución Tipo III, si su función densidad de probabilidades con origen en la moda está dada por:
x −δ1 1 f ( x) = α 1 Γ( β 1 ) α 1
β1 −1
*e
x −δ 1 − α1
Donde α1, β1 y δ1, son los parámetros de la función Gamma Γ(β1), para: δ 1 ≤ x < ∞ Donde:
δ1 = Parámetro de posición α1 = Parámetro de escala β1 = Parámetro de forma
La variable reducida:
y=
x −δ1 α1
Por lo que:
f ( y) =
1
Γ( β1 )
y β −1 * e − y
Función de distribución acumulada La función de distribución acumulada de la distribución Pearson Tipo III es: x −δ 1 α1
− 1 F ( x) = e ∫ α 1 Γ( β 1 ) 0 x
x − β1 dx * α 1
Sustituyéndola en la anterior ecuación se tiene:
F ( y) =
y
1
y Γ( β ) ∫ 1
0
β −1
e − y dy
Volumen I : Hidrología
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Se trata de una función de distribución Ji cuadrada con 2β1 grados de libertad y X2=2y
(
)
F ( y ) = F x 2 / ν = Fx 2 ( 2 y / 2 β 1 ) Según Aparicio 1996, manifiesta que la manera de usar la función de distribución Pearson Tipo III es estrictamente válida cuando β1=n/2, donde n es un entero positivo cualquiera si, como es común, 2β1 es no entero, puede tomarse como el entero más próximo o bien. Cuando β1<0.3, será necesario acudir a tablas de la función de distribución Gamma de un Parámetro. Método de Momentos Los parámetros de α1, β1 y d1 de la función acumulada F(x), se evalúan a partir de n datos medidos mediante el siguiente sistema de ecuaciones.
X = α1 * β1 + δ1 2
S 2 = α 1 * β1 g=
2 β1
Donde: X es la media de los datos, S2 su varianza y g su coeficiente de sesgo o coeficiente de asimetría, que se define como:
− X ) *n Cs = g = Σ 3 i = 1 ( n − 1)( n − 2 ) S n
(X
3
i
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Análisis Distribución Pearson Tipo III Media
:
26.043
Desviación Estándar
:
22.13
Asimetría
:
- 0.3586
Numero
Probabilidad
Valor
Valor
Desviación
Registro
Weibull
Observado
Predecido
Estándar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0.0455 0.0909 0.1364 0.1818 0.2273 0.2727 0.3182 0.3636 0.4091 0.4545 0.5 0.5455 0.5909 0.6364 0.6818 0.7273 0.7727 0.8182 0.8636 0.9091 0.9545
17.4 18.67 19.53 19.92 21.33 21.8 23.63 24.43 25.98 26.57 27.29 28.4 28.7 28.99 29.03 29.17 29.82 30.41 30.67 31.4 33.77
17.3226 19.489 20.8691 21.9192 22.7868 23.5395 24.2143 24.834 25.4141 25.9656 26.4974 27.0173 27.5328 28.0505 28.5778 29.1237 29.7004 30.3263 31.0332 31.8865 33.0757
2.4427 1.8512 1.5767 1.423 1.3294 1.2691 1.228 1.1981 1.1746 1.1543 1.1352 1.1162 1.0963 1.0753 1.0534 1.0317 1.0129 1.0031 1.0165 1.0892 1.3386
Análisis Distribución
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Pearson Tipo III Predicciones
Probabilidad
Periodo
Valor
Desviación
Excedencia
Retorno
Esperado
Estándar
0.5 0.667 0.8 0.9 0.96 0.98 0.99 0.995
2 3 5 10 25 50 100 200
26.4974 28.4043 30.0684 31.6985 33.267 34.1914 34.9658 35.6289
1.1352 1.0606 1.0053 1.0666 1.3975 1.7595 2.1652 2.5909
0.998
500
36.3759
3.1646
Pearson Type III 40
30
Value
Actual Dat 20
10
Distributio 0 0.0
0.2
0.4
0.6
Weibull Probability 6.1.10 DISTRIBUCIÓN LOG PEARSON TIPO III
0.8
1.0
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Según Chow (1995), si Log X sigue una distribución Pearson Tipo III, entonces se dice que X sigue una distribución Log - Pearson Tipo III. Esta es la distribución estándar para análisis de frecuencias de crecientes máximas anuales en los Estados Unidos (Benson, 1968). La localización del límite X0 en la distribución Log - Pearson Tipo III depende de la asimetría de la información, se plantea 2 casos:
− Si la información tiene asimetría positiva, entonces Log x ≥ X0 y X0 es un límite inferior. − Si la información tiene asimetría negativa, Log x ≤ X0 y X0 es un límite superior. Según Bobee (1975), la transformación Log reduce la asimetría de la información transformada y puede producir información transformada con asimetría negativa utilizando información original con asimetría positiva. En este caso, la aplicación de la distribución Log - Pearson Tipo III impondría un límite superior artificial a la información. Dependiendo de los valores de los parámetros, la distribución Log - Pearson Tipo III puede asumir muchas formas diferentes, tal como se muestra en siguiente Tabla. Tabla de localización de la moda para la distribución Log - Pearson Tipo III como una función de sus parámetros.
Parámetro de Forma β
α<-Ln10
-Ln10<α<0
α >0
0<β<1
Sin moda, forma en J
Moda mínima forma en U
Sin moda, forma en J invertida
Β >1
Unimodal
Sin moda forma en J invertida
Unimodal
Función de densidad de probabilidad. El primer paso es tomar los logarítmicos de la información hidrológica, Z=logx, mayormente se utilizan logaritmos con base 10, se calculan la media X, la desviación estándar Sx y el coeficiente de asimetría Cs para los logaritmos de los datos. La función de densidad para X y Z se da a continuación:
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f ( x) =
1 log x − x αΓ( β1 ) α
β −1
* e −( log x − x ) / α
Si se hace una transformación: Z = log(x), la función densidad reducida es:
f ( z) =
( z − z 0 ) β −1 −( z − z ) / α *e α β Γ( β ) 0
Donde: Z = Variable aleatoria con distribución Pearson Tipo III X = Variable aleatoria con distribución Log - Pearson Tipo III Z0 = Parámetro de Posición α = Parámetro de escala β = Parámetro de forma En el caso de la distribución Log - Pearson Tipo III: X = 10z, la variable reducida es:
Y=
Z − Z0 α
Por lo que la ecuación queda de la siguiente manera:
f ( y) =
1 * y β −1 * e − y Γ( β )
Función de distribución acumulada La función de distribución acumulada de la distribución Log Pearson Tipo III es:
1 z − z0 F ( z) = ∫ αΓ( β ) α Z0 Z
β −1
*e
Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene lo siguiente:
−
( z − z0 ) α
dz
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F ( y) =
1
y
Γ( β )
∫y
β −1
* e − y dy
0
Esta ecuación es una distribución Ji cuadrada con 2β grados de libertad y X2=2y
(
)
F ( y ) = F x 2 / ν = Fx 2 ( 2 y / 2 β ) Método de Momentos El procedimiento recomendado para el método de momentos es convertir la serie de datos del cuadro Nº 3.16 a sus logaritmos y luego calcular los siguientes parámetros:
Media:
Logx
=
∑log x
Desviación Estándar:
σ log x =
Coeficiente de Asimétrica:
g=
n
Σ( log x − log x ) n −1
n ∑( log x − log x )
2
3
( n −1)( n − 2 )(σ log x ) 3
El valor de X; para cualquier nivel de probabilidad se puede calcular a partir de la siguiente expresión: Log x = log x + Kσlog x Los valores de K se toman de la tabla siguiente:
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Valores de K para la distribución Pearson tipo III
VALORES DE K PARA LA DISTRIBUCION PEARSON TIPO III (ASIMETRIA POSITIVA) COEFICIENTE PERIODO DE RETORNO DE 2 5 10 25 50 100 ASIMETRIA PROBABILIDAD DE EXCEDENCIA (g) 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
-0.396 -0.390 -0.384 -0.376 -0.368 -0.360 -0.351 -0.341 -0.330 -0.319 -0.307 -0.294 -0.282 -0.268 -0.254 -0.240 -0.225 -0.210 -0.195 -0.180 -0.164 -0.148 -0.132 -0.116 -0.099 -0.083 -0.066 -0.050 -0.033 -0.017 0.000
0.420 0.440 0.460 0.479 0.499 0.518 0.537 0.555 0.574 0.592 0.609 0.627 0.643 0.660 0.675 0.690 0.705 0.719 0.732 0.745 0.758 0.769 0.780 0.790 0.800 0.808 0.816 0.824 0.830 0.836 0.842
1.180 1.195 1.210 1.224 1.238 1.250 1.262 1.274 1.284 1.294 1.302 1.310 1.318 1.324 1.329 1.333 1.337 1.339 1.340 1.341 1.340 1.339 1.336 1.333 1.328 1.323 1.317 1.309 1.301 1.292 1.282
2.278 2.277 2.275 2.272 2.267 2.262 2.256 2.248 2.240 2.230 2.219 2.207 2.193 2.179 2.163 2.146 2.128 2.108 2.087 2.066 2.043 2.018 1.993 1.967 1.939 1.910 1.880 1.849 1.818 1.785 1.751
3.152 3.134 3.114 3.093 3.071 3.048 3.023 2.997 2.970 2.942 2.912 2.881 2.848 2.815 2.780 2.743 2.706 2.666 2.626 2.585 2.542 2.498 2.453 2.407 2.359 2.311 2.261 2.211 2.159 2.107 2.054
4.051 4.030 3.973 3.932 3.889 3.845 3.800 3.753 3.705 3.656 3.605 3.553 3.499 3.444 3.388 3.330 3.271 3.211 3.149 3.087 3.022 3.957 2.891 2.824 2.755 2.686 2.615 2.544 2.472 2.400 2.326
VALORES DE K PARA LA DISTRIBUCION PEARSON TIPO III (ASIMETRIA NEGATIVA) COEFICIENTE PERIODO DE RETORNO DE 200 2 5 10 25 50 100 ASIMETRIA PROBABILIDAD DE EXCEDENCIA (g) 0.005 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 4.970 4.909 -0.1 -0.017 0.846 1.270 1.716 2.000 2.252 4.847 -0.2 -0.033 0.850 1.258 1.680 1.945 2.178 4.783 -0.3 -0.050 0.853 1.245 1.643 1.890 2.104 4.718 -0.4 -0.066 0.855 1.231 1.606 1.834 2.029 4.652 -0.5 -0.083 0.856 1.216 1.567 1.777 1.955 4.584 -0.6 -0.099 0.857 1.200 1.528 1.720 1.880 4.515 -0.7 -0.116 0.857 1.183 1.488 1.663 1.806 4.444 -0.8 -0.132 0.856 1.166 1.448 1.606 1.733 4.372 -0.9 -0.148 0.854 1.147 1.407 1.549 1.660 4.298 -1.0 -0.164 0.852 1.128 1.366 1.492 1.588 4.223 -1.1 -0.180 0.848 1.107 1.324 1.435 1.518 4.147 -1.2 -0.195 0.844 1.086 1.282 1.379 1.449 4.069 -1.3 -0.210 0.838 1.064 1.240 1.324 1.383 3.990 -1.4 -0.225 0.832 1.041 1.198 1.270 1.318 3.910 -1.5 -0.240 0.825 1.018 1.157 1.217 1.256 3.828 -1.6 -0.254 0.817 0.994 1.116 1.166 1.197 3.745 -1.7 -0.268 0.808 0.970 1.075 1.116 1.140 3.661 -1.8 -0.282 0.799 0.945 1.035 1.069 1.087 3.575 -1.9 -0.294 0.788 0.920 0.996 1.023 1.037 3.489 -2.0 -0.307 0.777 0.895 0.959 0.980 0.990 3.401 -2.1 -0.319 0.765 0.869 0.993 0.939 0.946 3.312 -2.2 -0.330 0.752 0.844 0.888 0.900 0.905 3.223 -2.3 -0.341 0.739 0.819 0.855 0.864 0.867 3.132 -2.4 -0.351 0.725 0.795 0.823 0.830 0.822 3.041 -2.5 -0.360 0.711 0.771 0.793 0.798 0.799 2.949 -2.6 -0.368 0.696 0.747 0.764 0.768 0.769 2.856 -2.7 -0.376 0.681 0.724 0.738 0.740 0.740 2.763 -2.8 -0.384 0.666 0.702 0.712 0.714 0.714 2.670 -2.9 -0.390 0.651 0.681 0.683 0.689 0.690 2.576 -3.0 -0.396 0.636 0.666 0.666 0.666 0.667
200 0.005 2.482 2.388 2.294 2.201 2.108 2.016 1.926 1.837 1.749 1.664 1.581 1.501 1.424 1.351 1.282 1.216 1.155 1.097 1.044 0.995 0.949 0.907 0.869 0.833 0.800 0.769 0.741 0.714 0.690 0.667
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Análisis Distribución Log Pearson Tipo III Media
:
26.043
Desviación Estándar
:
22.13
Asimetría
:
- 0.3586
Numero
Probabilidad
Valor
Valor
Desviación
Registro
Weibull
Observado
Predecido
Estándar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0.0455 0.0909 0.1364 0.1818 0.2273 0.2727 0.3182 0.3636 0.4091 0.4545 0.5 0.5455 0.5909 0.6364 0.6818 0.7273 0.7727 0.8182 0.8636 0.9091 0.9545
17.4 18.67 19.53 19.92 21.33 21.8 23.63 24.43 25.98 26.57 27.29 28.4 28.7 28.99 29.03 29.17 29.82 30.41 30.67 31.4 33.77
17.4228 19.2953 20.565 21.5708 22.4273 23.1887 23.8853 24.5366 25.1557 25.7526 26.3354 26.9118 27.4894 28.0751 28.6769 29.305 29.9735 30.7036 31.5322 32.5351 33.9289
2.0671 1.6742 1.4891 1.3943 1.3469 1.3256 1.3182 1.3174 1.3186 1.3188 1.3158 1.3082 1.2951 1.2759 1.251 1.222 1.1941 1.18 1.2118 1.3702 1.8946
Análisis Distribución Log Pearson Tipo III Predicciones Probabilidad
Periodo
Valor
Desviación
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Excedencia
Retorno
Esperado
Estándar
0.5 0.667 0.8 0.9 0.96 0.98 0.99 0.995 0.998
2 3 5 10 25 50 100 200 500
26.3354 28.4784 30.4023 32.3141 34.1518 35.2195 36.0965 36.829 37.6268
1.3158 1.2597 1.1826 1.3212 2.0148 2.7359 3.5212 4.3298 5.4006
Log Pearson Type III 40
30
Value
Actual Data 20
10 Distribution 0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Weibull Probability 6.1.11 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL DE II PARÁMETROS Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma log normal. Esta función fue estudiada por primera vez por Galton en el año de 1875, por eso es que se le llama también función de Galton. Por el teorema del límite central, tenemos que si X es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variable y = ln x, también con distribución normal con media μ y y
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
varianza σy2, se usan estos parámetros para especificar que la distribución es logarítmica, puesto que también puede usarse la media y la varianza de x. Función de densidad de probabilidad La función densidad de distribución normal para Y es:
1 y −µ y σy
− 1 2 f ( y) = e σ y 2Π
2
, para -∞ < y < +∞
Refiriendo la función de distribución de f(y) con f(x), se tiene:
f ( x) = f ( y ) Como:
Y = ln x ⇒
f ( x) =
dy dx
=
dy dx
1 , X>0 x
[
1 ln x − µ y σy
− 1 2 e 2Π xσ y
] , para X>0
f(y) = Es la función de densidad de la distribución normal para y con media μy y variancia σy2. f(x) = Es la función de densidad de la distribución Log - Normal para X con parámetro μy y σy2. Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usadas para evaluar la distribución Log Normal. Como f(x) = f(y)/x; pero f(y) es una distribución normal tenemos: f(x) = f(z)/xσy. Función de distribución acumulada La función de distribución acumulada para X e Y es:
F ( x) =
1 2Π
x
1
∫ xσ 0
e y
−1 Lnx −µ y 2 σ y
2
dx
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y
1
F ( x) =
2Π
∫
e
−1 y −µ y 2 σy
2
dy
y −∞
Los valores de la función de distribución de probabilidad F(y) se obtienen usando la fórmula de Abramowitz y Stegun, si la variable estandarizada se define como:
Z=
F ( x) =
y −µy
σy
1 2Π
x
∫e
−z 2 2
dz
−∞
Método de Momentos Utilizando el método de momentos de las relaciones entre la media y la varianza de la variable x, y 2 los parámetros µy y δ y , pueden ser estimados por y y Sy2 mediante la transformación
yi = Ln Xi. Se sabe que y = Ln x tiene distribución normal, mientras que x tiene distribución LogNormal. n
y=Σ
y1
i =1
n
2 n 2 Σ yi − n y S y2 = i =1 n−1
Los valores de y y Sy2 se estiman a partir de n observaciones Xi, i = 1, 2, 3, 4..., n Según Chow (1954), se presentó la siguiente relación para calcular y y Sy2, sin que sea necesario transformar los datos previamente en sus logaritmos.
y=
x2 1 Ln Cv 2 +1 2
S y2 = Ln (Cv 2 +1)
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Donde Cv es el coeficiente de variación de los datos originales, C v =
Sx x
Existen las siguientes relaciones para obtener la media y varianza de la distribución Log Normal.
µ x = E ( x) = e
(
1 2 µy + σ y 2
σ 2 Var (x) = µ 2 e y
[
x
2
)
−1
]
Cv = e σ y − 1
1/ 2
Coeficiente de Asimetría: g = 3Cv + Cv3 2 2 Para valores prácticos de σ y ; 0.1< σ y < 0.6, la relación es casi lineal y puede ser aproximada
por: g = 0,52 + 4,85* σ y
2
Que es correcta dentro del 2%, en el rango mencionado.
Análisis Distribución Log Normal II Parámetros Media
:
26.043
Desviación Estándar
:
22.13
Asimetría
:
- 0.3586
Volumen I : Hidrología
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Numero
Probabilidad
Valor
Valor
Desviación
Registro
Weibull
Observado
Predecido
Estándar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0.0455 0.0909 0.1364 0.1818 0.2273 0.2727 0.3182 0.3636 0.4091 0.4545 0.5 0.5455 0.5909 0.6364 0.6818 0.7273 0.7727 0.8182 0.8636 0.9091 0.9545
17.4 18.67 19.53 19.92 21.33 21.8 23.63 24.43 25.98 26.57 27.29 28.4 28.7 28.99 29.03 29.17 29.82 30.41 30.67 31.4 33.77
18.9293 20.1747 21.0557 21.779 22.4154 22.9987 23.5486 24.0779 24.5961 25.1107 25.6286 26.1572 26.7044 27.2791 27.8923 28.5592 29.3024 30.1586 31.1947 32.5569 34.6989
1.3077 1.1723 1.0925 1.0392 1.0032 0.9799 0.9673 0.964 0.9693 0.9827 1.004 1.0335 1.0715 1.1187 1.1764 1.2465 1.3322 1.4389 1.5773 1.7706 2.0928
Análisis Distribución Log Normal II Parámetros
Probabilidad
Periodo
Valor
Desviación
Excedencia
Retorno
Esperado
Estándar
0.5 0.667 0.8 0.9 0.96 0.98 0.99 0.995 0.998
2 3 5 10 25 50 100 200 500
25.6286 27.6873 29.7993 32.2454 35.0745 37.0322 38.8859 40.6634 42.9266
1.004 1.1564 1.3932 1.7254 2.1509 2.4599 2.7592 3.0507 3.4262
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
6.1.12 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL DE III PARÁMETROS Es una función de distribución análoga a la anterior con la única diferencia que el límite inferior no es cero, fue introducida por primera vez por R. Gibrart el cual la llamó la ley de efectos proporcionales. Difiere de la distribución Log Normal de II parámetros por la introducción de un límite inferior x0, tal que: y = Ln (x-x0). Función de densidad de probabilidad La función de densidad de x es:
f ( x) =
Donde:
1 e ( x − x0 ) 2Πσ y
−1 ln( x −x0 ) −µ y 2 σy
2
, para x > x0
x0 = Parámetro de posición μy = Parámetro de escala o media σy2 = Parámetro de forma o varianza
Haciendo la transformación y = ln (x-x0), la función de densidad reducida es:
f ( y) =
Si:
1
σ y 2π z=
e
y − µy
σy
−1 y −µ y 2 σ y
2
, para − ∞ < y < +∞
⇒ f ( z) =
−1
z2 1 e2 2π
Función de distribución acumulada La función de distribución acumulada del Método Log - Normal de III Parámetros es:
F ( x) =
1 ( x − x 0 )σ y 2π
F ( y) =
1
σ y 2π
x
∫e
−1 ln( x − x0 ) −µ y 2 σy
x0
y
∫e
−∞
2 −1 y −µ y 2 σ y
dy
2
dx
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
z=
Como:
y − µy
σy
z
1 2π
⇒ f ( z) =
∫e
−z 2
dz
−∞
Las funciones: F(x), F(y) F(z) de las ecuaciones son iguales. La función F(z) es una distribución normal estándar, la que puede ser usada para evaluar la distribución Log Normal. Método de Momentos Los momentos de X pueden obtenerse de los correspondientes momentos de la distribución Log Normal de II parámetros, debido a que las variables difieren solo en el parámetro de posición Xo, ya que y = Ln (x-xo).
X = Xo + H Donde: X = Variable aleatoria con distribución Log Normal de III parámetros. H = Variable aleatoria con distribución Log Normal de II parámetros. Xo = Parámetro de posición.
µ x = x0 + E ( H ) = x0 + µH
σ x2 = σ H 2
Media:
Varianza:
1 2 µy + σ y 2
µ x = x0 + e
2
(
σx = e
σ y2
)
− 1 *e
(
( 2µ
σ y2
y +σ y
2
)
) (e 1
2
σ y2
El coeficiente de asimetría (g) está dado por:
g= e
Y de forma aproximada puede ser:
g = 0,52 + 4,85sy2
Luego se obtienen los siguientes resultados:
−1
+2
)
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σy =
g − 0.52 4.85
2 1 σ x 2 µ y = L n 2 − σ y 2 eσ y − 1
X0 = µx − e
µy+
σ y2
2
NOTA: Para que exista un valor real σy, g debe ser mayor que 0,52 en caso contrario, su valor será imaginario. Procedimiento de Cálculo Se procede al cálculo de los valores de xo, µy y σy, de donde se obtienen los siguientes resultados: el coeficiente de asimetría g = -0,4167; la media μ x = 26,043 y la desviación estándar σx= 4,703; luego, se deduce lo siguiente: Como g ≅ 0,52 + 4,85σ y = 5,512 entonces: σ y = imaginario y no tiene solución. 2
2
En el cuadro siguiente se muestra el resumen de los resultados por el método estadístico, aplicando el método de momentos desarrollados en el presente estudio. Se observa que la diferencia entre uno y otro método puede ser apreciable. En muchos casos las diferencias son muchos mayores que las que resultan aquí. Una selección apresurada de cualquiera de los métodos podría traducirse en una estructura sobrediseñada y costosa o subdiseñada y peligrosa. Resumen de Métodos Estadísticos
Periodos de retorno
2
Método de momentos Normal
Gumbel
Pearson Tipo III
Log Pearson Log Normal II Tipo III Parámetros
26,0434
25,3905
26,4974
26,3354
25,6286
28,0719
27,6013
28,4043
28,4784
27,6873
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
3 5
30,0018
30,0530
30,0684
30,4023
29,7993
10
32,0729
33,1400
31,6985
32,3141
32,2454
25
34,2809
37,0404
33,2670
34,1518
35,0745
50
35,7068
39,9340
34,1914
35,2195
37,0322
100
36,9891
42,8062
34,9658
36,0965
38,8859
200
38,1626
45,6679
35,6289
36,8290
40,6634
500
39,5846
49,4435
36,3759
37,6268
42,9266
6.2 VERIFICACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES MODELOS Para un mejor análisis de los datos hidrológicos, es necesario conocer el tipo o forma de distribución teórica que puede representar aproximadamente a la distribución empírica (método estadístico) de estos datos. Para averiguar cuan aproximada es esta distribución empírica a la teórica, es necesario realizar algunas pruebas estadísticas conocidas como pruebas de ajuste. 6.2.1
PRUEBAS DE AJUSTE
Consisten en comprobar gráfica y estadísticamente si la frecuencia empírica de la serie de registros analizados se ajustan a un determinado modelo probabilístico adoptado a priori, con los parámetros estimados en base a los valores maestrales.
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Las pruebas estadísticas tienen por objeto medir la certeza que se obtiene al hacer una hipótesis estadística sobre una población. Es decir, calificar el hecho de suponer que una variable aleatoria se distribuye según un modelo probabilístico. Los ajustes más comunes son: - Chi cuadrado. - Smirnov – Kolmogorow.
- Método del error cuadrático mínimo.
6.2.1.1 PRUEBA DE CHI CUADRADO Xc2 La prueba de Chi cuadrado fue propuesta por Karl Pearson. Para aplicar la prueba es necesario seguir el siguiente procedimiento: - Establecer una tabla de distribución de frecuencias. - Agregar a la tabla de distribución de frecuencias observadas, los valores de frecuencia esperada, teniendo en cuenta la distribución teórica a la que se desea ajustar.
- Calcular el estadístico (Xc2). (O1 − E1 ) 2 X =∑ E1 i =1 2 c
k
Donde: Xc2 = Valor calculado de Chi cuadrado. Oi = Número de valores observados en el intervalo de clase i. Ei = Número de valores esperados o predecidos en el intervalo de clase i. k = Número de intervalos de clase en el que se agrupa los registros. Una guía práctica empírica sugerida por Sturges (Pérez 1990) para determinar el número de intervalos de Clase k es: k = 1+ 3,33 log n Donde:
n = Longitud de registros (número de datos).
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Subcuenca Siguas
- Determinar el Chi cuadrado tabular Xt2 de tablas existentes para un nivel de significancia (a), estos valores usualmente se pueden tomar: 1%, 5%, 10%.
X t2α , (k − m − 1) Donde: (k-m-1) = Son los grados de libertad. m
= Es el número de parámetros que intervienen en la prueba.
- Se realizan las comparaciones entre ambos valores Xc2 (calculado) y Xt2 (tabular). - Si Xc2 ≤ Xt2, se acepta la hipótesis de que los datos se aproximan estadísticamente a la distribución teórica, en caso contrario se rechazan. En los siguientes cuadros se observa el procedimiento de la prueba de Chi cuadrado, de donde el número de intervalos de clase es igual a: k = 1 + 3,33 log (15) = 4,91 = 5
Prueba de Chi Cuadrado – Bondad de Ajuste INTERVALO DE CLASE 17.400 21.443 21.443 25.486 25.486 29.528 29.528 33.571 33.571 33.770
OBSERVADO ESPERADO (O) (E) 5 3 3 6 8 7 4 4 1 1 Se acepta
O-E 2 -3 1 0 0 X2c < X2T
(O-E)2 4 9 1 0 0 X 2c = X 2t =
(O-E)2/E 1.33 1.50 0.14 0.00 0.00 2.98 5.99
Ajuste a una distribución Gumbel-Valor Extremo Tipo I INTERVALO DE
OBSERVADO ESPERADO
O-E
(O-E)2
(O-E)2/E
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CLASE 17.400 21.443 21.443 25.486 25.486 29.528 29.528 33.571 33.571 33.770
(O) 5 3 8 4 1
(E) 3 8 6 3 4 Se rechaza
2 -5 2 1 -3 X2c > X2T
4 25 4 1 9 X 2c = X 2t =
0.00 3.13 0.67 0.33 2.25 6.38 5.99
Ajuste a una distribución Pearson Tipo III INTERVALO DE CLASE 17.400 21.443 21.443 25.486 25.486 29.528 29.528 33.571 33.571 33.770
OBSERVADO ESPERADO (O) (E) 5 3 8 4 1
3 6 7 5 0 Se acepta
O-E 2 -3 1 -1 1 X2c < X2T
(O-E)2 4 9 1 1 1 X 2c = X 2t =
(O-E)2/E 1.33 1.50 0.14 0.20 0.00 3.18 3.81
Ajuste a una distribución Log Pearson Tipo III INTERVALO DE CLASE 17.400 21.443 21.443 25.486 25.486 29.528 29.528 33.571 33.571 33.770
OBSERVADO ESPERADO (O) (E) 5 3 3 6 8 7 4 4 1 1 Se acepta
O-E 2 -3 1 0 0 X2c < X2T
(O-E)2 4 9 1 0 0 X 2c = X 2t =
(O-E)2/E 1.33 1.50 0.14 0.00 0.00 2.98 3.84
Ajuste a una distribución Log Normal de II Parámetros INTERVALO DE CLASE 17.400 21.443 21.443 25.486 25.486 29.528 29.528 33.571 33.571 33.770
OBSERVADO ESPERADO (O) (E) 5 3 3 7 8 7 4 3 1 1 Se Rechaza
O-E 2 -4 1 1 0 X2c > X2T
(O-E)2 4 16 1 1 0 X 2c = X 2t =
(O-E)2/E 1.33 2.29 0.14 0.33 0.00 4.10 5.99
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
6.2.1.2 MÉTODO DEL ERROR CUADRÁTICO MÍNIMO Este método consiste en calcular, para cada función de distribución, el error cuadrático.
n C = ∑ ( X i − Yi ) 2 i =1 Donde:
1
2
Xi = Es el iésimo dato estimado. Yi = es el iésimo dato calculado con la función de distribución bajo análisis. N = Número de datos.
m / (n AÑOS + 1) Po Pe
(Pe Po)^ 2 Pe
(Pe Po)^ 2 Pe
(Pe Po)^ 2 Pe
RAME TROS
(Pe Po)^ 2 Pe
(Pe Po)^ 2
PE ARSON LOG TIPEAR PO I GUMB I ISON EL I II
LOG NORMAL I I PAP (m m NOR .) MAL
C
SUMA
4.8 46 499 6 4 .2 0 27 724 4 1 . 3 3 16 126 4 1 .7 0 57 675 7 0 . 4 2 36 9552
2 3.48 8 55 3 6 6 7 .33 3 45 1 8 8 2 .62 8 94 1 5 6 1 .46 4 72 5 6 2 7 .37 3 520 6
2 10 .95 5 1 .04 8 0 .47 2 .34 0 .01 0 .00 3 .38 17.401 18.09 18.93 17.32 17.42 19.24
200.909 1.10 0 1.20 2.27 0.68 0.40 2.62 18.667 19.76 20.17 19.49 19.30 20.29
190.864 1.15 8 1.82 2.32 1.78 1.06 2.29 19.533 20.88 21.06 20.87 20.57 21.05
180.818 1.22 2 3.41 3.44 3.98 2.71 3.11 19.925 21.77 21.78 21.92 21.57 21.69
170.773 1.29 4 1.42 1.17 2.11 1.20 0.87 21.333 22.53 22.42 22.79 22.43 22.27
160.727 1.37 5 1.96 1.44 3.03 1.93 1.01 21.800 23.20 23.00 23.54 23.19 22.81
150.682 1.46 7 0.04 0.01 0.34 0.06 0.09 23.633 23.82 23.55 24.21 23.89 23.33
140.636 1.57 1 0.00 0.13 0.16 0.01 0.36 24.433 24.40 24.08 24.83 24.54 23.84
130.591.69 2 1.03 1.91 0.32 0.68 2.67 25.980 24.96 24.60 25.41 25.16 24.34
120.5 45 1.8 3 3 1.1 2 2.1 2 0.3 6 0.6 6 2.9 1 26.567 25.51 25.11 25.97 25.75 24.86
110.500 2.00 0 1.56 2.76 0.63 0.91 3.61 27.291 26.04 25.63 26.50 26.34 25.39
100.45 5 2.20 0 3.31 5.03 1.91 2.21 6.04 28.400 26.58 26.16 27.02 26.91 25.94
9 0 .409 2 .44 4 2 .49 3 .98 1 .36 1 .47 4 .73 28.700 27.12 26.70 27.53 27.49 26.52
8 0 .36 4 2 .75 0 1 .71 2 .93 0 .88 0 .84 3 .39 28.990 27.68 27.28 28.05 28.08 27.15
7 0.318 3.14 3 0.59 1.30 0.21 0.13 1.45 29.034 28.27 27.89 28.58 28.68 27.83
6 0.273.66 7 0.08 0.37 0.00 0.02 0.33 29.167 28.89 28.56 29.12 29.31 28.59
5 0.227 4.40 0 0.07 0.26 0.01 0.02 0.13 29.817 29.56 29.30 29.70 29.97 29.46
4 0.182 5.50 0 0.01 0.06 0.01 0.09 0.01 30.409 30.32 30.16 30.33 30.70 30.49
3 0.136 7.33 3 0.29 0.28 0.13 0.75 1.24 30.667 31.20 31.19 31.03 31.53 31.78
2 0.09 1 1 1.0 0 0 0.86 1.34 0.24 1.29 4.63 31.400 32.33 32.56 31.89 32.54 33.55
1 0.04 2 5 2.0 0 0 0.05 0.87 0.48 0.03 7.49 33.767 34.00 34.70 33.08 33.93 36.50
n
we ibu T ll
Metodo del error cuadratico mí nim
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Volumen I : Hidrología
6.2.1.3
Subcuenca Siguas
PRUEBA DE SMIRNOV KOLMOGOROV
Esta prueba consiste en comparar el máximo valor absoluto de la diferencia D que hay entre la función de distribución observada Fo(Pm) y la estimada F(Pm) D = máx F0 ( Pm ) −F ( Pm )
Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionada. Si D < d, se acepta la hipótesis. Esta prueba tiene la ventaja sobre la X 2, porque compara los datos con el modelo estadístico sin necesidad de agruparlos. La función de distribución de probabilidad observada se calcula como: Fo ( Pm ) = 1 −
m n +1
Donde: m es el número de orden de Xm en una lista de mayor a menor y n el número total de datos. Valores críticos para la prueba Smirnov –Kolmogorov de bondad de ajuste
Tamaño de la muestra
A= 0.10
a = 0.05
a = 0.01
5 10 15 20 25 31 40
0.51 0.37 0.30 0.26 0.24 0.22 0.19
0.56 0.41 0.34 0.29 0.26 0.24 0.21
0.67 0.49 0.40 0.35 0.32 0.29 0.25
N grande
1.22
n
1.36
n
1.63
n
En el cuadro siguiente se muestra el procedimiento de cálculo por el método de Smirnov Kolgomorov, donde en la columna 2 se han escrito las precipitaciones máximas anuales registradas ordenadas de mayor a menor, en la columna 3 se calculan los valores de la función de distribución de probabilidad observada según la ecuaciones anteriores. Se han encerrado en un rectángulo el valor de D para cada función de distribución. Según esta prueba se aceptaría todas las funciones de distribución consideradas de dentro de un nivel de significancia de a = 0,05, para el cual el valor crítico de d = 0,26 con n = 15. El método estadístico con el menor valor de D es el de Log Normal de II parámetros por lo que, según esta prueba, este método sería la preferible.
33.767 0.955 0.045 0.910 0.938 0.017 0.9067 0.048 0.950 0.005 0.933 0.021
31.400 0.909 0.091 0.818 0.872 0.037 0.8440 0.065 0.873 0.036 0.885 0.024
30.667 0.136 0.842 0.8178 0.837 0.027 0.864 0.000 0.864 0.728 0.022 0.046
30.409 0.182 0.830 0.8077 0.823 0.005 0.856 0.038 0.818 0.636 0.012 0.010
29.817 0.227 0.801 0.7827 0.789 0.016 0.835 0.062 0.773 0.546 0.028 0.010
29.167 0.273 0.765 0.7521 0.747 0.020 0.810 0.082 0.727 0.454 0.038 0.025
29.034 0.682 0.318 0.364 0.757 0.075 0.7455 0.064 0.738 0.056 0.804 0.122
28.990 0.636 0.364 0.272 0.754 0.118 0.7432 0.107 0.735 0.099 0.802 0.166
28.700 0.409 0.736 0.7280 0.714 0.123 0.789 0.198 0.591 0.182 0.145 0.137
28.400 0.545 0.455 0.090 0.717 0.172 0.7115 0.166 0.692 0.147 0.775 0.229
27.291 0.500 0.500 0.000 0.637 0.137 0.6439 0.144 0.605 0.105 0.714 0.214
26.567 0.455 0.545 0.090 0.579 0.124 0.5940 0.139 0.544 0.089 0.668 0.213
25.980 0.409 0.591 0.182 0.530 0.121 0.5505 0.141 0.495 0.086 0.626 0.217
24.433 0.364 0.636 0.272 0.395 0.031 0.4255 0.062 0.366 0.002 0.499 0.136
0.014 23.633 0.318 0.682 0.364 0.325 0.007 0.3574 0.039 0.304 0.426 0.108
0.090 21.800 0.273 0.727 0.454 0.183 0.090 0.2071 0.066 0.183 0.250 0.023
0.020 21.333 0.227 0.773 0.546 0.153 0.074 0.1730 0.054 0.158 0.069 0.207
0.102 0.094 0.085 19.925 0.182 0.818 0.636 0.080 0.0878 0.097 0.085 0.097
19.533 0.136 0.864 0.728 0.065 0.0696 0.083 0.053 0.073 0.063 0.071 0.067
18.667 0.091 0.909 0.818 0.038 0.053 0.0385 0.052 0.058 0.033 0.034 0.057
17.401 0.955 0.015 0.0126 0.033 0.012 0.006 0.039 0.045 0.910 0.030 0.033
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
(mm Fo(Xm F(Xm .) (Xm ) F(Xm ) ) (Xm F(Xm ) ) (Xm F(Xm ) ) (Xm F(Xm ) ) (Xm ) )
P
n
F(PX) Fo F(PX) Fo F(PX) Fo F(PX) Fo F(PX) Fo
Norr Log mal Norm Gumbel a l II Pearson parám Log etros Pears on
Metodo Kol m de ogorov Smi rnov
Volumen I : Hidrología Subcuenca Siguas
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
6.3 SELECCIÓN DEL MÉTODO ESTADÍSTICO APROPIADO En el siguiente cuadro, se resume los resultados de las pruebas efectuadas anteriormente. Se han calificado las funciones según el orden de preferencias indicado por cada prueba de ajuste, dando 1 a la “mejor” y 5 a la “peor”. De estos resultados y después de realizar todas las pruebas de análisis estadístico, se concluye que la distribución que mejor se adecua es la LOG PEARSON TIPO III.
Selección delaFunción deDistribución Método Estadistico Normal LogNormal II parámetros Gumbel- Valor Extremo Pearson Tipo III Log Pearson Tipo III
Chi-Cuadrado 1 4 5 3 1
Error cuadra- Smirnovtico Minimo Kolmogorov 3 4 5 2 1
Total
5 4 3 2 1
9 12 13 7 3
6.4 CÁLCULO DE LA PRECIPITACIÓN E INTENSIDAD MÁXIMA El estudio de la Precipitación Máxima e Intensidad Máxima es muy importante para tener conocimiento de la intensidad de las tormentas, sus magnitudes, así como su frecuencia, que son muy necesarios para el diseño de las diferentes obras hidráulicas que pudieran construirse en las zonas de estudio, en la cuenca del río Siguas. Para el análisis se ha tenido en cuenta la información de precipitación máxima en 24 horas. Con la finalidad de obtener dicha información para diferentes periodos de retorno y que permita tener confiabilidad de su recurrencia, se le evaluó a través de las 6 distribuciones descritas anteriormente.
6.4.1
CURVAS DE INTENSIDAD-DURACIÓN – FRECUENCIA (IDF)
Uno de los primeros pasos que debe seguirse en muchos proyectos de diseño hidrológico, es la determinación del evento o los eventos de lluvia que deben usarse. La forma más común de hacerlo es utilizar una tormenta de diseño o un evento que involucre una relación entre la intensidad de lluvia (o profundidad), la duración y las frecuencias o periodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. Deberían existir curvas IDF estándar desarrolladas por instituciones del gobierno, disponibles para el sitio para que su uso sea de forma general, uniforme y oficial.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Para construir la curva IDF para diferentes periodos de retorno utilizamos la fórmula de DYCK PESCHKE para el cálculo de máximas avenidas.
d Pd = P24 h 1440
Donde:
0 , 25
Pd = Precipitación máxima para un periodo de duración. d = Periodo de duración (min. 10, 15, 30………., etc.). P24h = Precipitación máxima para 24 horas (En este estudio se utilizará el modelo adecuado según las pruebas realizados en los acápites anteriores). Precipitación Máxima en 24 Horas Anual mm Distribución Log Person Tipo III
REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMAS PARA 24 HORAS(ANUAL) PARA LA DISTRIBUCION LOG PERSON TIPO III periodo de retor- P.MAX. no 24 horas
PERIODO DE DURACION (min)
T(años)
10
15
30
60
120
180
360
1440
37.6268
9.13
10.86
12.02
14.30
17.00
20.22
22.37
26.61
37.63
200
36.829
8.94
10.63
11.77
13.99
16.64
19.79
21.90
26.04
36.83
100
36.097
8.76
10.42
11.53
13.71
16.31
19.39
21.46
25.52
36.10
50
35.220
8.55
10.17
11.25
13.38
15.91
18.92
20.94
24.90
35.22
25
34.152
8.29
9.86
10.91
12.97
15.43
18.35
20.31
24.15
34.15
10
32.314
7.84
9.33
10.32
12.28
14.60
17.36
19.21
22.85
32.31
5
30.402
7.38
8.78
9.71
11.55
13.74
16.33
18.08
21.50
30.40
3
28.478
6.91
8.22
9.10
10.82
12.87
15.30
16.93
20.14
28.48
2
26.335
6.39
7.60
8.41
10.01
11.90
14.15
15.66
18.62
26.34
periodo de retor- P.MAX. 24 no horas T(años)
37.627 36.829 36.097 35.220 34.152 32.314 30.402 28.478 26.335
5
10
15
30
60
120
180
360
1440
109.61
65.17
48.08
28.59
17.00
10.11
7.46
4.43
1.57
107.28
63.79
47.06
27.98
16.64
9.89
7.30
4.34
1.53
105.15
62.52
46.13
27.43
16.31
9.70
7.15
4.25
1.50
102.59
61.00
45.01
26.76
15.91
9.46
6.98
4.15
1.47
99.48
59.15
43.64
25.95
15.43
9.17
6.77
4.02
1.42
94.13
55.97
41.29
24.55
14.60
8.68
6.40
3.81
1.35
88.56
52.66
38.85
23.10
13.74
8.17
6.03
3.58
1.27
82.96
49.33
36.39
21.64
12.87
7.65
5.64
3.36
1.19
76.71
45.61
33.65
20.01
11.90
7.07
5.22
3.10
1.10
Prec.mm/hr
500 200 100 50 25 10 5 3 2
PERIODO DE DURACION (min)
Prec.mm
5
500
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Volumen I : Hidrología
6.4.2
Subcuenca Siguas
ANÁLISIS DE RIESGO DE FALLA
El diseño de estructuras para el control de agua incluye la consideración de riesgos. Una estructura para el control de agua puede fallar si la magnitud correspondiente al periodo de retorno de diseño “T” se excede durante la vida útil de la estructura. Este riesgo hidrológico natural o inherente de falla puede calcularse utilizando la ecuación que a continuación se deduce:
periodo de retorno =
Donde:
1 1 ⇒T = probabilid ad P
T = Periodo de retorno. P = Probabilidad de ocurrencia de un caudal.
En hidrología se utiliza más el periodo de retorno que la probabilidad.
Probabilid ad de que un suceso de retorno T se produzca el próximo año....... ........
1 T
1 Probabilid ad de que un suceso de retorno NO se produzca el próximo año....... .....1 - T 1 1 Probabilid ad de que un suceso de retorno NO se produzca los proximos dos años.. 1 - 1 - T T 1 Probabilid ad de que un suceso de retorno NO se produzca los proximos n años..... 1 - T
n
1 Probabilid ad de que un suceso de retorno SI se produzca los proximos n años...... .1 - 1 - T
En el diseño de obras públicas, la última expresión obtenida es el Riesgo de Falla (R), es decir la probabilidad de que sí se produzca alguna vez un suceso de periodo de retorno T a lo largo a un periodo de n años. n 1 R = 1 − 1 − T
n
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
ESTRUCTURA CAUDALES DE PROYECTO Vertedor de grandes presas Vertedor de una presa de tierra Vertedor de una presa de concreto Galerias de aguas pluviales Bocatomas Pequeñas presas para abastecimeinto de agua puentes en carreteras importantes puentes en carreteras comunes
T(años) 10000 1000 500 5 a 20 25 a 75 50 a 100 50 a 100 25
Valores de periodo de retorno T asociado al riesgo R Riesgo R 0.01 0.10 0.25 0.50 0.75 0.99
Vida util de la obra (n) en años 10 25 50 995.49 2487.98 4975.46 95.41 237.78 475.06 35.26 87.40 174.30 14.93 36.57 72.64 7.73 18.54 36.57 2.71 5.94 11.37
1 100.00 10.00 4.00 2.00 1.33 1.01
100 9950.42 949.62 348.11 144.77 72.64 22.22
200 19900.33 1898.74 695.71 289.04 144.77 43.93
Un análisis de la tabla anterior muestra que si se adopta un riesgo de 10%, durante 50 años de vida útil de una bocatoma, ocurre una descarga igual o superior a la del proyecto. Se debe usar un periodo de retorno de 475 años.
6.4.3
PRECIPITACIÓN MÁXIMA DE DISEÑO EN FUNCIÓN DE LA VIDA
ESPERADA DE LA ESTRUCTURA Y EL RIESGO DE FALLA
6.4.3.1 GENERALIDADES Dada la magnitud de las subcuencas, para la estimación de las máximas avenidas se ha tenido en consideración los siguientes rangos de superficies de cuenca de recepción: Área
Método
< 10 Km2
Hidrograma del US - SCS
< 100 Km2
Mac Math
> 100 km2
Curvas Envolventes de Creager
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
6.4.3.2 MÉTODO RACIONAL El método racional, es el más usado para el análisis del comportamiento del escurrimiento para áreas de drenaje pequeñas, entendiéndose como tales a aquellas con áreas no mayores de 5 km2. Tiene una particular aplicación en el diseño de estructuras hidráulicas, donde se usa para el cálculo de Caudales Pico. En esencia, mediante este método, se puede calcular el caudal máximo Qp de escurrimiento, con la aplicación de la ecuación siguiente:
Qp =
C.I . A. 3,6
Donde: Qp = Caudal máximo de diseño (m3/s) I = Intensidad de la precipitación, para un período de duración equivalente al tiempo de concentración (mm/h) A = Área de la cuenca (km2) C = Coeficiente de escorrentía que depende de la topografía, fisiografía, tipo de suelos, entre otros, de la cuenca receptora (adimensional) Coeficiente de Escorrentía El coeficiente de escorrentía se considera como el porcentaje de agua que escurre en una lluvia determinada. Los valores típicos del coeficiente de escorrentía para una amplia variedad de condiciones son dados en manuales de diseño y otros libros de referencia. A continuación se presenta una tabla para la obtención de coeficientes de escorrentía C, para utilizarlo en el Método Racional.
Volumen I : Hidrología
Caracterisitcas de la cuenca EXTREMO RELIEVE
INFILTRACION
INFILTRACION
ALMACENAMIENTO SUPERFICIAL
Subcuenca Siguas
Caracterisiticas de la escorrentia y los correspondientes valores numericos ALTO NORMAL BAJO
Terreno escarpado y empinado con pendientes mayo- Accidentes, con pendiente res que 30%. Puntos…….. promedio del 10% al 30% ….…..40 Puntos……..….…..30
Ondulados, con pendientes Terreno Relativamente plapromedio del 5% al 10%. no con promedio del 0% al Puntos……..….…..20 5% Puntos……..….…..10
sin una capa efectivade suelo superficical terreno rocoso de insignificante capacidad de infiltracion . Puntos……..….…..20
Lento para absorber el agua, arcilla u otro suelo de baja capacidad de infiltracion Puntos……….....…15
Normal, franco profundo coninfiltracion similar a los suelos tipicos de praderas Puntos……..….…..10
Terreno desnudoo o sin cobertura Puntos.……..…. …..20
Cobertura regular, cultivos regular a buena cerca del limpios (de escarda) o cu- 50% del area con buenos bierto natural pobre menos pastizales bosques o equi- Excelente, cerca del 90% del 10% del area bajo buena valentes . No mas del 50% con buenos pastizales boscobertura Puntos………..... cultivos limpios Puntos…….. ques o cobertura equivalen…15 ….…..10 te puntos……..….…..5
Insignificnate depresiones en la superficie poco profundas, desagues pequeños y Bajo, sistemas bien definiempinados no hay lagunas dos de pequeños desagues, o pantanos Puntos……..…. no hay lagunas o pantanos …..20 Puntos……….....…15
Normal, considereable almacenamiento en depresiones superficiales lagunas y pantanos menores del 2% del area Puntos……..…. …..10
Alta, arena u otro suelo que absrbe el agua facil y rapidamente puntos……..…. …..5
alto almacenamiento en depresiones superficiales, sistema de drenaje no bien definidos; muchas lagunas y pantanos puntos……..…. …..5
El coeficiente de escorrentía C es la variable del Método Racional menos susceptible a una precisa determinación y requiere en consecuencia criterio y entendimiento de ingeniería. Su uso en la fórmula implica un valor fijo para un área dada. El coeficiente de escorrentía representa los efectos integrados de infiltración, almacenamiento por detención y retención, evaporación, tránsito del flujo e intercepción, los cuales afectan el tiempo de distribución y el valor del escurrimiento. Frecuentemente es conveniente desarrollar un C compuesto basado en porcentajes de diferentes tipos de superficie en el área de drenaje, que debe calcularse como:
C=
Donde:
∑CiAi ∑Ai
Ci = Coeficiente de Escurrimiento para el área Ai. Ai = Área del sector específico de la cuenca.
Tiempo de concentración Tc Es el tiempo empleado por una gota de agua que cae en el punto hidrológicamente más alejado de la cuenca para llegar a la salida de ésta. De acuerdo a esta definición, el caudal pico Qp en la salida de la cuenca, debe alcanzar su máximo valor, después de un lapso igual al del tiempo de concentración Tc.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
La obtención de los tiempos de concentración para las subcuencas del río Siguas y del río Pichirijma, por los diferentes métodos, ha sido desarrollada empleando los parámetros y procedimientos descritos por las siguientes formulas: Ecuación de Kirpich (1940)
0,06628 L0, 77 t c = 60 S 0,385
Donde: tc = tiempo de concentración (min). L = longitud del canal desde aguas arriba hasta la salida (km). S = pendiente promedio de la cuenca (m/m). Fórmula de Federal Aviation Agency (1970)
t c = 3,26036
(1,1 − C ) L0,50 S 0,333
Donde tc = tiempo de concentración (min). C= coeficiente de escorrentía de método racional. L = longitud del flujo superficial (m). S = pendiente de la superficie %. Valores de C de la Federal Aviation Agency.
Clasificación
Coeficiente de escorrentía C
Zona urbana comercial
0,70 – 0,95
Zona de residencia familiar
0,30 – 0,50
Asfalto / concreto
0,70 – 0,95
Suelo arenoso
0,05 – 0,20
Suelo rocoso
0,13 – 0,35
Pavimento de adoquines
0,70 – 0,85
Forma de Cálculo del Método Racional
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
La determinación de Qp por el método racional puede efectuarse siguiendo los siguientes pasos:
− Determinar la porción de cuenca interesada y calcular su área A. − Determinar el tiempo de concentración tc. − Determinar el periodo de retorno. − Determinar la intensidad I de la lluvia de diseño para el periodo de retorno Tr y duración t igual al tiempo de concentración.
− Seleccionar el coeficiente de escorrentía C de acuerdo al tipo de área considerada. − Con los datos anteriormente definidos, se procede a calcular Qp Para el caudal máximo de diseño utilizaremos el método Racional que es recomendable para cuencas de hasta 12 km2.
Qp =
C.I . A. 3,6
Donde el valor de C se obtiene de la tabla de obtención del coeficiente de escorrentía. Para la determinación de este parámetro se basa en la acumulación de una puntuación en base a 100, que se da dependiendo del relieve, tipo de infiltración, cobertura vegetal, almacenamiento superficial, etc. C=
Suma de puntaje 100
Dándose para nuestro caso lo siguiente: Relieve
= 30
Infiltración
= 10
Cobertura vegetal
= 10
Almacenamiento superficial
= 10
C=
30 + 10 + 10 + 10 = 0,60 100
El valor de I intensidad es igual al tiempo de concentración:
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
0.385
L3 Tc = 0 . 871 H
Donde: Tc = Tiempo de concentración en horas L = Longitud del cauce principal Km. H = Desnivel máximo en m 6.5 ESTIMACIÓN DE LAS DESCARGAS MÁXIMAS PROBABLES
6.5.1
CAUDAL MÁXIMO DE DISEÑO EN LA PRESA PICHIRIJMA
6.5.1.1 MÉTODO DE MAC MATH 4
Q = 0.0091CIA 5 S
1
5
Donde: Q = Caudal máximo con un periodo de retorno de T años, en m3/s. C = Factor de escorrentía de Mac Math, representa las características de la cuenca. I = intensidad máxima de la lluvia, para una duración igual al tiempo de concentración Tc y un periodo de retorno de T años mm/hr. A = Área de la cuenca en Has. S = pendiente promedio del cauce principal en %. De los parámetros que intervienen en esta fórmula, sobre el que se tiene que incidir es sobre el factor C, el cual se compone de las tres componentes: C = C1 + C2 + C3 Donde: C1 = Esta en función de la cobertura vegetal C2 = Esta en función de la textura del suelo C3 = Esta en función de la topografía del terreno
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
VEGETACION
SUELO
COBERTURA
C1
TEXTURA
C2
100 80-100 50-80 20-50 0-20
0,08 0,12 0,16 0,22 0,30
ARENOSO LIGERA MEDIA FINA ROCOSA
0,08 0,12 0,16 0,22 0,30
TOPOGRAFIA PENDIENTE C3 (%) 0,0-0,2 0,04 0,2-0,5 0,06 0,5-2,0 0,06 2,0-5,0 0,10 5,0-10 0,15
Para la cuenca del río pichirijma se tiene: C1 = 0,08; C2 = 0,08; C3 = 0,06 TOTAL = 0,08 + 0,08 + 0,06 = 0,22 Factor de Escorrentía de MAC MATH El valor de I intensidad es igual al tiempo de concentración: 0 , 385
L3 Tc = 0 , 871 H
Donde: Tc
= Tiempo de concentración en (horas).
L
= Longitud del cauce principal (km).
H
= Desnivel máximo en (m).
Para nuestro caso: L = 49,47 km; H = 1650,25 m. Reemplazando en la ecuación anterior tenemos:
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
0 , 385
49 ,47 3 Tc = 0 , 871 1650 ,25
= 4,95 hr = 297 ,35 min
Con un tiempo de concentración Tc igual al tiempo de duración ingresamos al grafico IDF y para un periodo de 50 años de vida útil se tiene una intensidad de 8,71 mm/hora. Luego, estos valores reemplazamos en la ecuación del método Mac Math: 4
Q = 0,0091CIA 5 S 4
1 5
Q = 0,0091* 0,22 * 8,71* 38959,1 5 33,3
1 5
= 165,37 m 3 / s
Donde Q es el caudal máximo de diseño para un periodo de 50 años de vida de la estructura y para un periodo de retorno de 475 años.
6.5.1.2 MÉTODO RACIONAL Según el numeral 6.4.3.2; se aplica la ecuación:
Qp =
C.I . A. 3,6
Donde: C = 0,20 I = 8,71 mm/hr A = 389,591 km2 Reemplazando valores, se tiene:
Qp =
0,20 * 8,71 * 389 ,591 =188 ,51 m 3 / seg 3,6
Volumen I : Hidrología
6.5.2
Subcuenca Siguas
CAUDAL MÁXIMO DE DISEÑO EN LA BOCATOMA
6.5.2.1 MÉTODO DE MAC MATH Para la subcuenca del río Siguas aguas arriba de la Bocatoma: C1 = 0,22 C2 = 0,16 C3 = 0,15 TOTAL = 0,22 + 0,16 + 0,15 = 0,53 El valor de intensidad es igual al tiempo de concentración: 0 , 385
L3 Tc = 0 , 871 H
Donde: Tc
= Tiempo de concentración (horas).
L
= Longitud del cauce principal (km).
H
= Desnivel máximo (m).
Para nuestro caso: L = 73,024 km H = 2 860 m Reemplazando en la ecuación anterior tenemos:
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
73,024 3 Tc = 0 , 871 2860
0 , 385
= 6,28 hr = 377 ,27 min
Con un tiempo de concentración Tc igual al tiempo de duración, ingresamos al gráfico IDF y para un periodo de 50 años de vida útil se tiene una intensidad de 4,45 mm/hora. Ahora estos valores reemplazamos en la ecuación del método Mac Math: 4
Q = 0.0091CIA 5 S 4
1 5
Q = 0,0091* 0,39 * 4,45 *139701,5 5 * 39,2
1 5
= 429,82 m 3 / s
Donde Q es el caudal máximo de diseño para un periodo de 50 años de vida de la estructura y para un periodo de retorno de 475 años. 6.5.2.2 METODO RACIONAL Según el numeral 6.4.3.2; se aplica la ecuación:
Qp =
C.I . A. 3 .6
Donde: C = 0,257 I = 4,45 mm/hr A = 1 397,015 km2 (bocatoma) Reemplazando valores, se tiene:
Qp =
0,257 * 4,45 * 1397 ,015 = 443 ,81 m 3 / seg 3,6
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7. CLIMATOLOGÍA
7.1 INFORMACIÓN METEOROLÓGICA 7.1.1
EVAPORACIÓN
La evaporación es un factor importante en la pérdida de agua para los proyecto de aprovechamiento hidráulico, principalmente desde la superficie libre de los embalses, sobre todo si la superficie evaporante es grande. Sin embargo, existen otras formas de evaporación, tales como la evapotranspiración, la cual se presenta desde las plantas. El factor predominante que determina este fenómeno, es la radiación solar, seguido de otros factores de menor incidencia. Para el embalse del río Pichirijma, se ha estimado la evaporación en base a los datos de las estaciones consideradas en el estudio de prefactibilidad, donde la Estación Cabanaconde tiene la mejor correlación; por lo tanto, la evaporación según esta estación resulta ser del orden de los 1 590,60 mm por año, lo que significaría una pérdida de agua de aproximadamente 500 000,00 m3 por año, según el espejo promedio del embalse. 7.1.2
TEMPERATURA DEL AIRE
La radiación solar absorbida por la atmósfera y el calor emitido por la tierra aumenta la temperatura del aire. El calor sensible del aire circundante transfiere energía al medio y la ejerce de modo tal que controla el índice de evapotranspiración. En la naturaleza, se puede observar que en tiempo asoleado, el ambiente se calienta y la pérdida de agua por evapotranspiración es mayor que en tiempo nublado y fresco. Según los registros del Estudio de Prefactibilidad, se tiene para la altitud de 3 951 msnm, los siguientes valores de temperatura: Tmed = 7,2 ºC
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Tmáx = 14,3 ºC Tmín = - 1,0 ºC 7.1.3
HUMEDAD DEL AIRE
Mientras que la fuente de energía del sol y del aire circundante, es la fuerza impulsora principal para la vaporización del agua, la diferencia entre la presión del vapor de agua en la superficie y el aire circundante, es el factor de la determinación para el retiro del vapor o humedad del aire. 7.1.4
VELOCIDAD DEL VIENTO
El proceso de retiro de vapor de agua, depende en gran parte de la turbulencia del viento y del aire, que transfieren grandes cantidades de excedente del aire de la superficie que luego se evapora al vaporizar el agua. El aire sobre la superficie que se evapora, se satura gradualmente con vapor de agua, si este aire no se sustituye continuamente por el aire más seco, la fuerza impulsora para el retiro del vapor de agua y la taza de la evaporación disminuye. La demanda de la evapotranspiración es alta debido a la sequedad del aire y de la cantidad de energía disponible como la radiación directa y calor latente. Bajo estas circunstancias, mucho vapor de agua se puede almacenar en el aire mientras que el viento puede promover el transporte del agua permitiendo que se tome más vapor de agua. Por otra parte, bajo condiciones atmosféricas húmedas, la humedad alta del aire y la presencia de nubes hacen que la taza de la evapotranspiración sea más baja, para las condiciones húmedas y el viento puede sustituir solamente al aire saturado en forma leve, es decir menos aire saturado y energía térmica. 7.1.5
RADIACION SOLAR
El proceso de evaporación es determinado por la cantidad de energía disponible para vaporizar el agua. La radicación solar es la fuente de energía más grande y puede cambiar cantidades grandes de agua liquida en vapor de agua. La cantidad potencial de radiación que puede alcanzar la superficie que se evapora se determina por su localización y época del año. Debido a las diferencias en la posición del sol, la radiación solar se diferencia en las diferentes latitudes y en diversas estaciones. La radiación solar real que alcanza la superficie que se evapora depende de la turbiedad de la atmósfera y de la presencia de las nubes que reflejan y absorben las partes importantes de la radiación. Al determinar el efecto de la radiación solar en la evapotranspiración, uno debe también
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considerar que no toda la energía disponible esta utilizada para vaporizar el agua, ya que parte de la energía solar se utiliza para calentar encima de la atmósfera y el perfil del suelo. 8. SEDIMENTOLOGÍA 8.1 INTRODUCCIÓN El estudio de sedimentos en la cuenca del río Siguas es importante, debido a las implicancias en las obras que se plantean en el proyecto de la Irrigación Pampas Bayas, sobre todo en el embalse proyectado en el río Pichirijma, donde se deberá tener en cuenta para calcular el volumen muerto y el volumen neto del mismo. El aporte de sedimentos a un embalse tiene gran influencia sobre la factibilidad técnica, económica y sobre la operación y mantenimiento del proyecto. Los sedimentos ocasionan no solamente reducción de la capacidad de almacenamiento, sino que también pueden llegar a ocasionar problemas en el funcionamiento de la captación y descargas de agua. La evaluación precisa de esta influencia se hace difícil, porque normalmente existen limitaciones significativas en la información básica disponible. Los sedimentos, son todas aquellas partículas que una corriente lleva por deslizamiento, rodamiento o saltación, ya sea en suspensión o sobre el fondo del lecho. Los sedimentos tienen su origen en el lecho, en las laderas del río y en la cuenca hidrográfica. Tres clases de materiales se distinguen en un cauce natural considerando únicamente la resistencia que ofrecen a ser transportados por una corriente: materiales no cohesivos o granulares, materiales cohesivos y rocas. El material granular está formado por partículas sueltas. La fuerza que un líquido debe hacer para mover las partículas, es función del peso de cada partícula y del coeficiente de fricción interna. El material cohesivo está formado de partículas muy pequeñas que ofrecen resistencia al flujo de agua, debido a la fuerza de cohesión; la fuerza de cohesión, que impide el transporte de las partículas por una corriente es considerablemente mayor que el peso de la partícula y, por lo tanto, una vez que esta fuerza es vencida, la partícula se puede comportar como si fuera granular y ser transportada en suspensión debido a su peso y tamaño reducidos.
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El material rocoso usualmente no es movido o erosionado por una corriente de agua durante el tiempo de vida de una estructura. El material rocoso puede comportarse como granular si está fracturado y la energía cinética del flujo es muy alta. El aporte de sedimentos se determina utilizando diversas formulas empíricas y semiempíricas, como las de: L.C. Gottschalk, Namba, J.B. Owen, F.A. Branson, Murano, US Bureau Reclamation y la formula universal de pérdida de suelos FUPS, que permiten cuantificar el aporte de sedimentos en ubicaciones específicas, cuando no se cuenta con mediciones de sedimentos. En el presente estudio, a todas las fórmulas con excepción de la FUPS, se le agrupa bajo la denominación de empíricas.
8.2 FÓRMULAS EMPÍRICAS 8.2.1
FÓRMULA DE L.C. GOTTSCHALK
Obtenida en el año de 1946 en base a mediciones en diversos embalses en los Estados Unidos de Norteamérica, USA, la ecuación es la siguiente: AS = 0,0522 C +822 ,9542 A + 330 ,7014 T − 2 217 ,09
Donde: AS
=
Aportación de sedimentos (m3).
C
=
Capacidad total propuesta del embalse (106 m3).
A
=
Área de cuenca del embalse (km2).
T
=
Periodo en que ocurrirá la sedimentación (años).
Para la Represa del río Pichirijma se tiene: AS
=
Aportación de sedimentos (m3)
C
=
25 x 106 m3
A
=
389,59 km2
T
=
30 años
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AS = 0,0522 x 25 x 106 + 822,9542 x 389,59 + 330,7014 x 30 – 2 217,09 AS = 1 633 318,68 m3 AS = 139,75 m3/km2/año
8.2.2
FÓRMULA DE NAMBA AS = 0,292 P + 0,474 H − 0,118 F + 2 452
Donde: AS
=
Aportación de sedimentos (m3/km2/año).
P
=
Precipitación media anual (mm).
H
=
Desnivel total de las elevaciones de la cuenca (m).
F
=
Relación del área de suelo desnudo a área de suelo cubierto de vegetación (%).
Para la Represa del río Pichirijma se tiene: AS
=
Aportación de sedimentos en (m3/km2/año)
P
=
550 mm
H
=
2 850 metros
F
=
0,5
AS = 0,292 * 550 + 0,474 * 2 850 − 0,118 * 0,5 + 2 452 = 3 950 ,84 m3/km2/año
8.2.3
FÓRMULA DE J.B. OWEN Y F.A. BRANSON (1970)
Para cuencas en el oeste del estado de Colorado,U.S.A. H AS = 19 464 ,6 +14 ,29 Ps − 604 ,8 L
Donde: AS
=
(H/L) =
Aportación de sedimentos (m3/km2/año). Cociente entre el desnivel de cotas de la cuenca y la longitud total del cauce
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principal (adimensional). Ps
=
porcentaje de suelo desnudo en la cuenca (%).
Para Represa del río Pichirijma: AS
=
Aportación de sedimentos (m3/km2/año)
(H/L) =
0,0515l
Ps
0,5
=
AS =19 464 ,6 * ( 0,0515 ) +14 ,29 * 0,50 − 604 ,8 = 599 ,792 m3/km2/año
8.2.4
FÓRMULA DE MURANO
Obtenida en base a datos de 103 embalses.
AS = 10 −3, 2 A −0, 21 P 0,97 Me 1, 21 Sc 0, 68 Donde: AS
=
Aportación de sedimentos (m3/km2/año).
A
=
Área de la cuenca (km2).
P
=
Precipitación media anual (mm).
Me
=
Elevación media de la cuenca en msnm.
Sc
=
Pendiente promedio de la cuenca (%).
Para la Represa del río Pichirijma se tiene: AS
=
Aportación de sedimentos (m3/km2/año)
A
=
389,59 km2
P
=
550 mm
Me
=
5 556 msnm
Sc
=
21,73 %
AS =10 −3, 2 389 ,59 −0 , 21 550
0.97
5 556
1, 21
0,2173
0 , 68
= 900 ,194 m3/km2/año
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8.2.5
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FÓRMULA SEGÚN U.S. BUERAU OF RECLAMATION
AS =1 421 ,8 A −0 , 229
Donde: A
=
Área de la cuenca (km2).
AS
=
Aportación de sedimentos (m3/km2/año).
Para la Represa del río Pichirijma se tiene: A
=
389,59 km2
Reemplazando valores tenemos: AS =1 421 ,8 * 389 ,59 −0 , 229 = 362 ,74 m3/km2/año
De la interpretación de los resultados para cada una de las fórmulas analizadas y teniendo en cuenta que la fórmula propuesta por LC GOTTSCHALK es la más completa, ya que considera como parámetros al área de la cuenca, el horizonte del proyecto, el volumen del embalse, entre otros, se concluye que el aporte de sedimentos para el embalse de Pichirijma sería de 139,75 m3/km2/año.
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9. REGULARIZACIÓN DE RÍOS
9.1 CAPACIDAD DEL EMBALSE “PICHIRIJMA” MEDIANTE MODELAMIENTO ESTOCÁSTICO DE LAS DESCARGAS ANUALES
9.1.1
MARCO TEÓRICO
En la actualidad, la hidrología estocástica es un instrumento indispensable en la solución de los problemas que se presentan en el proceso de planeamiento, diseño y operación de sistemas de aprovechamientos hidráulicos, así como en los programas tendientes a optimizar el uso del agua en sistemas ya establecidos. Durante los últimos años, la teoría de la estadística, las probabilidades y procesos estocásticos, se han utilizado con la finalidad de tener una representación más adecuada de la variabilidad de los datos hidrológicos. Esta representación matemática, generalmente se realiza mediante un modelo estocástico, respaldado con la estadística, el cual describe todas las características de la serie histórica. De esta manera, se ha superado los métodos tradicionales basados en los registros históricos cuyas deficiencias han consistido en el hecho de tomar individualmente los eventos del pasado como única experiencia para proyectar los eventos del futuro. Existen diversos modelos estocásticos para la generación de secuencias hidrológicas, cada una de ellos han sido elaborados poniendo énfasis en las características que eran necesarias preservar o resaltar en su aplicación. Para la regularización de ríos, los modelos de simulación matemática están formados por ecuaciones que representan en forma sintética las características principales del régimen del río que se desea simular y en ellos se preservan los parámetros estadísticos tales como la media, la desviación estándar, los coeficientes de correlación y regresión, obtenidos de los registros históricos.
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Con el uso de los modelos Markovianos se han conseguido preservar estas características en las ecuaciones que generan información básica tanto para el planteamiento como para el diseño de sistemas de recursos hídricos. La creciente demanda de agua en el mundo, requiere analizar más profundamente los fenómenos para determinar las consecuencias hidrológicas, ambientales y económicas de los proyectos de desarrollo. Las calculadoras y computadoras electrónicas, conjuntamente con las nuevas técnicas matemáticas y la programación sofisticada, han sido las herramientas que han hecho posible estos análisis. La hidrológica estocástica, estudia eventos estocásticos, los cuales están compuestos de una parte determinística y otra aleatoria correspondiente a eventos hidrológicos, tales como precipitaciones, caudales, niveles de embalse, etc. Son eventos estocásticos porque, de un lado tienen un patrón medio de comportamiento a largo plazo y por el otro, el pronóstico de sus magnitudes en un momento dado, tienen un mayor o menor grado de incertidumbre. El patrón medio de un comportamiento corresponde a la componente determinística y la incertidumbre a la componente aleatoria. Uno de los aspectos fundamentales del proceso del planeamiento, diseño y operación de obras hidráulicas, es el de conocer la variabilidad de las disponibilidades del agua y de los usos y demandas correspondientes. Con el estudio que a continuación se desarrolla, se determinará un modelo matemático de procesos markovianos, que simulará los registros para la subcuenca del río Pichirijma a la altura del embalse. El método a desarrollarse para determinar la capacidad del embalse, es el experimental estadístico de Montecarlo o simulación estocástica de las series hidrológicas de entrada al sistema (embalse), considerando las salidas respectivas iguales al promedio de las entradas mediante una regulación total anual, el cual proporciona diferentes capacidades efectivas del embalse, representadas por las variables denominado rango o rango ajustado. La simulación, o método de generación de datos, trata de resolver el problema de embalses por medio de la generación de numerosas muestras de secuencias de caudales estadísticamente semejantes a los registros históricos, utilizando los modelos Markovianos o Autoregresivos y así, permitir al diseñador el determinar aproximadamente los momentos (media, desviación estándar, etc.) y las funciones de distribución de probabilidades teóricas del rango ajustado.
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9.1.2
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OBJETIVOS
El presente estudio, se orienta a la búsqueda de los nuevos métodos de evaluación hidrológica y mejor uso de los recursos naturales. Entre los objetivos para la determinación del volumen de almacenamiento de un embalse, se puede mencionar:
- Generación y simulación de las series medias anuales mediante el modelo Markoviano, el cual será aplicado a la Represa de Pichirijma.
- Análisis de la distribución de la serie residual aleatoria del modelo Markoviano (media cero y desviación estándar igual a uno), para que el dicho modelo quede completamente determinado.
9.1.3
CONCEPTOS BÁSICOS
MODELO Un modelo es una representación simplificada de un sistema complejo, expresando relaciones entre variables y parámetros. MODELO MATEMÁTICO Es la representación numérica de un problema físico, en el cual el comportamiento del sistema está representado por un conjunto de ecuaciones acompañado de relaciones lógicas, cuya solución se realiza con la ayuda de la computadora. VENTAJAS DEL MODELO MATEMÁTICO
a) Es una herramienta muy flexible. b) Tiene un bajo costo. c) Puede utilizarse varias veces. d) Se utiliza en problemas de diseño de dimensiones muy grandes.
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9.1.4
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MODELAMIENTO ESTOCÁSTICO EN SERIES HIDROLÓGICAS
Se denomina modelo estocástico o modelo de series de tiempo en hidrología, al modelo matemático que representa a un proceso estocástico. Es el modelo que hace predicciones con salidas parcialmente aleatorias, dado un valor de entrada y se obtiene una respuesta diferente cada vez que se corre el modelo.
Entrada
9.1.5
MODELO ESTOCÁSTICO
Salidas
SIMULACIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS
En el diseño y operación de sistemas de recursos hidráulicos, los ingenieros siempre han reconocido la variabilidad e incertidumbre de las entradas hidrológicas. La lluvia, el caudal, la evapotranspiración y el flujo subterráneo, son todos en mayor o menor medida, procesos no predecibles. Una secuencia de eventos hidrológicos raramente se repetirá. Enfrentado a la decisión del diseño de una obra hidráulica, los ingenieros tradicionalmente usan el análisis de frecuencia. Considerando independencia entre los eventos y usando varias técnicas paramétricas y no paramétricas, la probabilidad de ocurrencia de eventos críticos puede obtenerse. Esta probabilidad o periodo de retorno medio, ayuda a seleccionar los eventos con que se diseñan las obras de ingeniería. 9.1.6
APLICABILIDAD DEL MODELO
El modelamiento estocástico de series hidrológicas tiene dos usos principales que son: la generación de series hidrológicas sintéticas y la predicción de series hidrológicas futuras.
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La generación de series hidrológicas sintéticas, es necesaria para la determinación de riesgos de carencia de proyectos de abastecimiento de agua o de los sistemas de irrigación y para estudios de planeamiento, sobre la operación de reservorios futuros. La predicción de las series hidrológicas futuras, es necesaria para el planeamiento a corto plazo de la operación de reservorios. Los objetivos del presente estudio son:
- Determinar un modelo matemático, a partir de registros históricos de las cuencas en estudio. - Generar precipitaciones sintéticas, a partir de datos o registros históricos mediante los procesos estocásticos con cadenas Markovianas, para determinar la capacidad del embalse. 9.1.7
METODOLOGÍA
La información básica utilizada en la elaboración del presente estudio, es la información meteorológica que fue obtenida del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrológica SENAMHI y las descargas medias mensuales y anuales generadas. 9.1.8
MODELO ESTOCÁSTICO DE DATOS ANUALES
El modelamiento matemático de datos anuales que se presentan en este estudio, es como sigue:
9.1.8.1 DESCRIPCIÓN GENERAL El modelo estocástico general considerado para una serie anual hidrológica de orden m, está dado por la ecuación: Yt = µy + S y X t
9.1
m
X t = ∑α k X t −k + b ε t
9.2
i =1
Estas ecuaciones 9.1 y 9.2 son el modelo Markoviano general de orden m. Reemplazando valores:
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m Yt = µ z + S z ∑ α k X t − k + b ε t i =1 Siendo b: m b = 1 − ∑ i =1
α i α j α i − j ∑ j =1 m
1
2
9.3
Donde: Sy
= Es la serie o registro hidrológico (puede ser anual, mensual, semanal).
µy
= Es la media del Zt.
αk
= Coeficiente de autoregresión de orden k.
ρk
= Coeficiente de autocorrelación de orden k.
m
= Orden de correlación del modelo (1er, 2do, 3er orden).
Xt
= Variable dependiente estandarizado.
ρ, β, α = Parámetros de función de densidad de f(x). t
= Tiempo (años, meses, semanas).
k
= Intervalos.
N
= Longitud de registro.
9.1.8.2 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Asumamos que se tiene N años de datos históricos con observaciones Y1, Y2,..., YN. Entonces la media µy y la desviación estándar Sy, se calculan con las siguientes fórmulas:
µY =
1 N
N
∑Y t =1
t
1 N ( Yt − µY ) 2 SY = ∑ N − 1 t =1
9.4 1
2
9.5
De la ecuación primera despejamos Xt:
Xt =
Yt − µ zY SY
9.6
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Los parámetros de autoregresión αk con k = 1, 2, 3, hasta m, se estima a partir de los valores de los parámetros de autocorrelación ρk de la variable dependiente Xt, o sea teniendo μy y Sy de las ecuaciones (9.4) y (9.5) y la variable dependiente Xt dado en la ecuación (9.6); por lo tanto, los coeficientes de autocorrelación de Xt se estiman por la siguiente ecuación: N −k
ρ k ,( X ) =
∑ X t X t +k − p =1
1 N −k N −k ∑ Xt ∑ X t +k ( N − k ) t =1 t =1
2 N −k 2 1 N −k Xt ∑ X t − (N − k) ∑ t =1 t =1
1
2
2 N −k 1 N −k 2 X t +k ∑ X t +k − (N − k) ∑ t =1 t =1
Donde: k
= retardo (intervalo considerado).
ρo(x)
= 1.
ρ y αk , varían según el orden del modelo.
9.1.8.3 MODELO MARKOVIANO DE PRIMER ORDEN (m =1) Desarrollando la ecuación (9.2), para m = 1 se tiene: m
X t = ∑α k X t −k + bε t t =1
Si k = 1, m = 1; entonces se tiene:
X t = α1 X t −k − bε t
De la ecuación (9.3) se tiene: m b = 1 − ∑ i =1
αiα jαi − j ∑ j =1 m
1
2
Si m = 1, entonces se tiene:
(
b = ( 1 − α 1α 1 ) 2 = 1 − α 1 1
Luego, reemplazando la ecuación resulta:
)
1 2 2
1
2
9.7
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(
X t = α 1 X t −1 + 1− α 2
)
1
2
εt
9.8
Por definición, para este modelo la constante alpha tomará el valor del coeficiente de autocorrelación:
ρ1 = α1
9.9
Donde ρ1 se calcula con la ecuación (9.7), que es el primer coeficiente de autocorrelacion de Y; por lo tanto, si este modelo es el adecuado para describir la dependencia de Yt entonces la variable Et es calculada por:
∈t =
X t − α 1 X t −1
(1 − α ) 2
1
9.10
2
1
Que debe ser una serie independiente.
9.1.8.4 MODELO MARKOVIANO DE SEGUNDO ORDEN (m =2) Desarrollando la ecuación (9.2), para m = 2 se tiene:
X t = α 1 X t− 1 + α 2 X t− 2 + b ∈ t De la ecuación (3), para m = 2, i = j = 1, 2; se tiene:
(
2
b = 1 − α 1 − α 22 − 2α 1 α 2 ρ 1
)
1
2
Luego, combinando las ecuaciones:
(
2
)
1
X t = α 1 X t − 1 + α 2 X t − 2 + 1 − α − α 2 − 2α 1α 2 ρ 1 2 ∈ t 2 1
9.11
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También se tiene:
ρ 1 (1 − ρ 2 ) 2 1 − ρ1
α1 =
α2 =
9.12
ρ 2 − ρ1 1− ρ1
2
2
9.13
Donde: ρ1 y ρ2 son los coeficientes de auto correlación de 1er y 2do orden, que son el primer y segundo coeficiente de auto correlación, que son calculados con la ecuación (9.7). Si este modelo es el adecuado para describir la dependencia de Yt, entonces la variable Xt se despeja de la ecuación (9.11) y la variable Et es calculada y estandarizada, de donde se tendrá:
∈t =
X t − α 1 X t −1 − α 2 X t − 2
(1 − α
2 1
2
− α 2 − 2α 1α 2 ρ 1
)
1
2
9.14
Que debe ser una serie independiente. 9.1.8.5 MODELO MARKOVIANO DE TERCER ORDEN (m =3) De idéntica forma que en los casos anteriores, este modelo se obtiene desarrollando la ecuación (9.2) para m = 3 y se tiene los siguientes resultados (ecuación 9.15):
(
2
X t = α 1 X t − 1 + α 2 X t − 2 + α 3 X t − 3 + 1 − α 2 − α 2 − α 3 − 2α 1α 2 ρ 1 − 2α 1α 3 ρ 2 − 2α 2α 3 ρ 3 Donde:
α1 =
(
)
ρ 1 1 − ρ 1 ( ρ − ρ 3 ) − ( 1 − ρ 2 )( ρ 1 ρ 2 − ρ 3 ) 2
(1 − ρ 2 ) (1 − 2 ρ 12 + ρ 2 )
9.15
)
1
2
Xt
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(1 − ρ )( ρ = 2
α2
2
2
2
2
+ ρ 2 − ρ 1 − ρ 1ρ 3
(1 − ρ 2 ) (1 − 2 ρ 1
2
+ ρ2
)
)
9.16
( ρ 1 − ρ 3 ) ( ρ 12 − ρ 2 ) − ( 1 − ρ 2 )( ρ 1 ρ 2 − ρ 3 ) α3 = ( 1 − ρ 2 ) (1 − 2 ρ 12 + ρ 2 )
9.17
Con ρ1, ρ2 y ρ3 se obtiene el primer, segundo y tercer coeficiente de autocorrelación de Y respectivamente, o sea que si la ecuación (9.15) es el modelo adecuado para describir la dependencia de Yt, entonces la variable Et es calculada por:
∈t =
(1 − α
X t − α 1 X t −1 − α 2 X t − 2 − α 3 X t − 3 2 1
2
2
− α 2 − α 3 − 2α 1α 2 ρ 1 − 2α 1α 3 ρ 2 − 2α 2α 3 ρ 1
)
1
2
9.18
Viene a ser una serie independiente. 9.1.8.6 PRUEBA DEL MODELO En el modelamiento estocástico de series hidrológicas, podría ocurrir que la serie Xt de la ecuación (9.1) sea independiente y por la tanto, no será ningún modelo de dependencia. Caso contrario, hay que decidir por el modelo Markoviano más adecuado para describir la dependencia de Yt. El criterio para escoger el modelo se basa en las funciones de autocorrelación ρk*(y) del modelo propuesto y la función ρk(y). Donde: ρk*(x) es el propuesto. ρk(x) es el calculado. Si la serie Xt de la ecuación (9.1) es independiente, entonces la función de autocorrelación ρk* es igual a cero para todos los valores de k diferentes de cero. Asimismo, si Xt sigue un modelo Markoviano de orden m, entonces la función de autocorrelación ρ tiene la siguiente forma: m
ρ k* = ∑ α j ρ * k − j j =1
Para el modelo Markoviano de primer orden es igual a:
9.19
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ρ k* = α 1k
9.20
Donde: ρ1* = α1 y ρ1 es calculado con la ecuación (9.7). Para el modelo Markoviano de segundo orden se tiene:
ρk* = α1 ρk*−1 + α 2 ρk*−2
9.21
Donde: ρ1* = α1 y ρ2* = α2 , ρ1 y ρ2 es calculado con la ecuación (9.7). Para el modelo Markoviano de tercer orden es igual a:
ρ k* = α1 ρ k*−1 + α 2 ρ k*−2 + α3* ρ k −3
9.22
Donde: ρ1* = α1, ρ2* = α2 y ρ3* = α3; siendo ρ1, ρ2 y ρ3 calculado con la ecuación (9.7).
9.1.8.7 PRUEBA DEL CORRELOGRAMA Esta prueba está basada en la comparación de las formas del correlograma del modelo postulado y del correlograma calculado. Para esto se puede seguir los siguientes pasos:
1) Fijar un modelo Markoviano de orden m = 1, 2 y 3. 2) Determinar los coeficientes de autocorrelación ρ1, ρ2 y ρ3 mediante la ecuación (9.7). 3) Calcular los coeficientes de autoregresión α1 con la ecuación (9.9), α1 y α2 con las ecuaciones (9.12) y (9.13) y α1, α2 y α3 con las ecuaciones (9.15), (9.16) y (9.17), según el modelo postulado, sea de orden 1, 2 ó 3 respectivamente.
4) Determinar la forma del correlograma del modelo ρk*(y) mediante las ecuaciones (9.20), (9.21) y (9.22), según el modelo de orden 1, 2 ó 3 respectivamente.
5) Determinar el correlograma ρk(y) calculado mediante la ecuación (9.7) para valores de k = 1, 2,..., M; donde M = 0,3 N; siendo N el tamaño de la muestra.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
6) Comparar el correlograma del modelo ρk*(y) y el correlograma de la muestra ρk(y), esta comparación generalmente se hace gráficamente. Se escoge el modelo cuando ambos correlogramas tienen aproximadamente la misma forma.
7) Repetir el procedimiento para cada orden del modelo que se desea probar.
9.1.8.8 PRUEBA DE INDEPENDENCIA DE LA VARIABLE ALEATORIA Esta prueba se basa en el hecho de que si Xt de la ecuación (9.1) es INDEPENDIENTE, entonces ρk = 0. Si un modelo Markoviano de orden “m” es el adecuado para representar la dependencia de Xt, entonces la variable aleatoria Xt de la ecuación (9.2) es INDEPENDIENTE y por tanto ρk(x) = 0, donde k es diferente de 0. Sin embargo, debido a la variabilidad que caracteriza a los registros y debido a la corta longitud de registros los valores calculados de ρk(x) defieren normalmente de cero. Por tanto, es necesario poner límites de confianza al correlograma para probar si los valores de ρ son estadísticamente iguales a cero. Para esto hay que seguir los siguientes pasos:
1) Calcular la serie Xt con la ecuación (9.6). 2) Determinar el correlograma ρk(x) con la ecuación (9.7). 3) Calcular los limites de confianza Lc(k) para un cierto nivel de probabilidad, para el 95% de probabilidad los limites de confianza se calcula con la siguiente ecuación:
LC ( k ) 0.95 =
−1 ±1.96 N − K − 2 ( N − K − 2)
9.23
Donde: N = tamaño del registro K = retardo
4) Si el número de valores de ρk(x) que caen dentro de los límites Lc(k) es igual o mayor a 0,95M, entonces se puede concluir que la serie Xt es INDEPENDIENTE o que no se requiere de ningún modelo de dependencia, o sea Xt = εt , en caso contrario se continuará con el paso siguiente.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
5) Fijar un modelo Markoviano de orden m =1, 2 ó 3 y determinar los coeficientes de autocorrelación ρ1, ρ2 y ρ3 mediante la ecuación (3.7).
6) Calcular los coeficientes de auto regresión α1 con la ecuación (9.9), α1 y α2 con las ecuaciones (9.12) y (9.13) y finalmente α1, α2 y α3 con las ecuaciones (9.15), (9.16) y (9.17), según sea el modelo Markoviano 1, 2 ó 3 respectivamente.
7) Calcular la variable aleatoria εt con las ecuaciones (9.10), (9.14) y (9.18), según el modelo propuesto.
8) Determinar el correlograma ρk(x) con k = desde 1, 2,..., M con la ecuación (3.7). 9) Si el Nº de valores de ρk(x) que caen dentro de los limite de confianza al 95% es igual o mayor que 0,95M, entonces se puede concluir que la serie Xt es independiente o que el modelo Markoviano escogido es el adecuado para describir la dependencia de Xt, caso contrario volver al paso 5 y repetir el procedimiento, con el siguiente modelo de Markov. 9.1.9
GENERACIÓN DE REGISTROS
Para la generación de series hidrológicas, se requiere el conocimiento del tipo de modelo estocástico así como de sus parámetros. En nuestro caso la generación se basa en el modelo Markoviano descrito en los puntos anteriores, o sea con las siguientes ecuaciones: Yt = µy + S y X t
9.24
Donde: m
X t = ∑αk X t −k i =1
m + 1 − ∑ i =1
1
2 αiα j ρi − j ε t ∑ j =1 m
9.25
En la cual los parámetros αk, Sz, μz y ρi-j son calculados de los registros o muestra. También ya se conoce la función de distribución de probabilidad para la variable aleatoria ε. Conocido toda esta información, se está en condiciones de generar registros sintéticos a futuro. El procedimiento para la generación á N´ años según el modelo escogido:
1) Generar N+N' números aleatorios con la función de distribución f(x). 2) Hacer que Xt = εt para t = 1,..., m. 3) Si t > m, se genera Xt en función de los m valores procedentes, es decir: Xt = Xt-1, Xt-m y de la variable aleatoria mediante la ecuación (9.25).
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
4) Desechar los N' primeros valores de Xt y hacer que Xt = Xt + N' para, t = 1,....,N. 5) Los valores Yt serán calculados a partir de los valores generados restantes de Xt en el paso 4).
9.1.9.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE Para definir completamente el modelo estocástico especificado por las ecuaciones 9.24 y 9.25, todavía es necesario encontrar la distribución de probabilidad de la variable independiente ya sea Xt o Et. En este trabajo se concederá la distribución normal log Normal; sin embargo, en varios casos puede ser necesaria la distribución empírica obtenida de los datos históricos. Las funciones de distribución mencionadas anteriormente y la estimación de sus parámetros, se obtienen de tablas; sin embargo, en muchos casos prácticos uno se ve forzado a adoptar una determinada distribución con el objeto de evitar, por ejemplo, la generación de valores negativos.
9.2 DETERMINACIÓN DE LA CAPACIDAD DEL EMBALSE Debido a la naturaleza estocástica de las variables hidrológicas, no se puede hablar de una capacidad de almacenamiento en un sentido determinístico. La capacidad necesaria de almacenamiento para una muestra de un tamaño dado, es una variable aleatoria y por lo tanto, es necesario considerar mediciones estadísticas (valor esperado y varianza). El método experimental, trata de resolver el problema de la determinación de la capacidad de embalses por medio de la generación de varias muestras de caudales, a partir de las cuales se determinan las características estadísticas relacionadas con el almacenamiento de agua, lográndose obtener tantas capacidades de almacenamiento como muestras generadas se tengan, con las cuales se estima la función de distribución de probabilidades de la variable relacionada.
9.2.1
DATOS DE PRECIPITACION MENSUAL PARA DETERMINAR LA
CAPACIDAD DEL EMBALSE En el siguiente cuadro, se presentan los datos para determinar la correlación entre altitud y precipitación para la subcuenca del río Pichirijma aguas arriba de la represa.
Volumen I : Hidrología
Estación Pañe Yanacancha Tisco Callalli Sibayo Pulpera La Calera Imata Orcopampa Andagua Chivay sumbay Cabanaconde Yanque Pillones Huambo Machaguay tomepampa Pausa Pampacolca Pampa Arrieros Choco Lluta Socabaya Huanca Ayo Sta. Isabel de Sihuas
Subcuenca Siguas
Años 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2007 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2007 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006 1964-2006
Altitud 4524 4450 4188 3867 3810 4042 3650 4519 3779 3587 3619 4175 3287 3417 4360 3332 3150 2650 2524 3000 3715 2473 2800 2340 3075 2000
P (mm/año) 764.28 649.80 641.50 578.80 546.97 446.73 524.60 486.44 454.21 455.60 446.60 424.16 386.20 405.16 412.95 261.62 281.90 256.60 232.50 232.20 220.96 171.30 168.50 123.30 116.78 97.50
1964-2006
1360
6.10
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
ALTITUD vs PRECIPITACION 800
PRECIPITACION (mm)
700 600
y = 0.2049x - 333.06 R = 0.87
500 400 300 200 100 0 1300
1800
2300
2800
3300
3800
4300
ALTITUD (msnm)
La altitud media de la cuenca es de 4 516,33 msnm y tenemos 2 estaciones muy cercanas para esta altitud, las estaciones del Pañe y Sibayo, de las cuales tomamos la de Sibayo por ser la más conservadora, ya que tiene una altitud de 3 810 msnm, con una precipitación promedio anual de 546,97 mm.
9.2.2
CAUDALES EN LA CUENCA DEL RÍO PICHIRIJMA PARA DETERMINAR
LA CAPACIDAD DEL EMBALSE El método a utilizar para determinar la capacidad de almacenamiento en la cuenca del río Pichirijma es como sigue:
9.2.2.1 COEFICIENTE DE ESCORRENTÍA Se determina las abstracciones o pérdidas de agua, que es la diferencia entre el histograma de lluvia total que se observa y el histograma de exceso de precipitaciones. Estas abstracciones pueden utilizarse por medio de los coeficientes de escorrentía, este valor es difícil de determinar utilizando la información observada. Un coeficiente de escorrentía también puede definirse como la relación entre la escorrentía superficial y la precipitación sobre un periodo de tiempo dado.
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Subcuenca Siguas
Estos coeficientes se aplican para información de precipitación y caudales mensuales o anuales, si M
∑Rm es la precipitación total y r
d
la correspondiente profundidad de escorrentía, entonces el
m =1
coeficiente de escorrentía puede definirse como:
C=
rd M
∑ Rm m =1
9.2.2.2 CONDICIONES DE PRECIPITACIÓN DE LA CUENCA El volumen de precipitación en un periodo de 5 a 30 días, precediendo a una tormenta determinada, se le llama precipitación inicial y las condiciones que se producen en la cuenca con respecto al escurrimiento potencial se le llama condiciones iniciales. En cuanto mayor es la precipitación inicial, mayor será el escurrimiento directo que ocurre en una tormenta dada. Los efectos de la infiltración y de la evapotranspiracion durante el periodo inicial también son importantes, porque pueden aumentar o disminuir el efecto de la lluvia inicial. Debido a las dificultades para determinar las condiciones iniciales producidas por la lluvia de los datos normales disponibles, el SUCS reduce estas condiciones a los siguientes casos: Clasificación Hidrológica de los Suelos Por ser de importancia, se indican dos definiciones que están consideradas en la clasificación hidrológica de los suelos: Tasa de infiltración, es el porcentaje de agua que penetra en el suelo superficial y que es controlado por las condiciones de la superficie. Tasa de transmisión, es el porcentaje de agua que se mueve en el suelo y que es controlado por los horizontes. Los grupos hidrológicos en que se pueden dividir los suelos son utilizados en el planeamiento de cuencas para la estimación de la escorrentía, a partir de la precipitación.
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Las propiedades de los suelos que son considerados para estimar la tasa mínima de infiltración para suelos desnudos luego de un humedecimiento prolongado son:
− Profundidad del nivel freático de invierno, − Infiltración, − Permeabilidad del suelo luego del humedecimiento prolongado y, − Profundidad hasta un estrato de permeabilidad muy lenta. La influencia de la cobertura vegetal es tratada independientemente. Los suelos han sido clasificados en cuatro grupos A, B, C y D de acuerdo al potencial de escurrimiento.
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Subcuenca Siguas
Bajo potencial de escorrentía: Son suelos que tienen altas tasas de infiltración aún cuando están enteramente mojados y están constituidos mayormente por arenas y gravas profundas bien y hasta excesivamente drenadas. Estos suelos tienen una alta tasa
Grupo Hidrológico B
de transmisión de agua. Moderadamente bajo potencial de escorrentía: Son suelos que
Grupo Hidrológico C
Grupo Hidrológico A
Clasificación Hidrológica de los Suelos – SUCS
Moderadamente bajo potencial de escorrentía: Son suelos que
tienen
tasas
de
infiltración
moderadas
cuando
están
cuidadosamente mojados y están constituidos mayormente de suelos
profundos
de
texturas
moderadamente
finas
a
moderadamente gruesas. Estos suelos tienen una tasa moderada de transmisión del agua.
tienen bajas de infiltración cuando están completamente mojados y están constituidos mayormente por suelos con un estrato que impide el movimiento del agua hacia abajo, o suelos con una textura que va de moderadamente fina a fina. Estos suelos tienen una baja tasa de transmisión del agua.
Grupo Hidrológico D
Alto potencial de escorrentía: Son suelos de alto potencial de escurrimiento, de tasas de infiltración muy bajas cuando están completamente mojados y están constituidos mayormente por suelos arcillosos con un alto potencial de esponjamiento, suelos con índice de agua permanentemente alto, suelos con arcilla o capa de arcilla en la superficie o cerca de ella y suelos superficiales sobre material casi impermeable. Estos suelos tienen una tasa muy baja de transmisión del agua o muy lenta. Fuente Hidrología Básica. Reyes C. Luis. CONCYTEC Lima Perú 1992 – Pág. 90.
Volumen I : Hidrología
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Curvas de Escorrentía para los Complejos Suelo – Cobertura (CN). Cobertura Uso de la Tierra
Tratamiento o práctica
A
hidrológica -.-
77
86
91
94
Hileras rectas
Mala
71
91
88
91
Hileras rectas
Buena
67
78
85
89
C/curvas de nivel
Mala
70
79
84
88
C/curvas de nivel
Buena
65
75
82
86
C/curvas de nivel y terrazas
Mala
66
74
80
82
C/curvas de nivel y terrazas
Buena
62
71
78
81
Hileras rectas
Mala
65
76
84
86
Hileras rectas
Buena
63
75
83
87
Curvas de nivel
Mala
63
74
82
85
Curvas de nivel
Buena
61
73
81
84
Curvas de nivel y terrazas
Mala
61
72
79
82
Curvas de nivel y terrazas
Buena
59
70
78
81
Hileras rectas
Mala
66
77
85
89
Hileras rectas
Buena
58
72
81
85
Curvas de nivel
Mala
64
75
83
85
Curvas de nivel
Buena
55
69
78
83
Curvas de nivel y terrazas
Mala
63
73
80
83
Curvas de nivel y terrazas
Buena
51
67
76
80
Mala
68
79
86
89
Regular
49
69
79
84
Leguminosas en hileras estrechas o forraje en rotación *
Cultivos en hileras estrechas
Rastrojo Cultivo en hilera
Hileras rectas
Pastos de Pastoreo
Grupo de Suelos Condición
D
Buena
39
31
74
80
Curvas de Nivel
Mala
78
37
81
88
Curvas de Nivel
Regular
25
59
75
83
Curvas de Nivel
Buena
6
35
70
79
Pasto de Corte
Pradera
Buena Mala
30 45
59 66
71 77
78 83
Bosque
Pastizales o similares
B C Número de Curva
Bosque
Regular
36
60
73
79
Buena -.-.-.-
25 59 72 74
55 74 82 84
70 82 87 90
77 86 89 92
Cortijos Caminos Tierra** Pavimentos **
Patios
* Siembra tupida o al voleo ** Incluyendo derecho de vía Fuente Hidrología Básica : Reyes C. Luis. CONCYTEC Lima Perú 1992 – Pág. 91
9.2.3
MÉTODO DE US SOIL CONSERVATION SERVICE (SCS)
El método es un procedimiento empírico desarrollado por hidrólogos del Soil Conservation Service, con base a numerosos datos de cuencas experimentales en los Estados Unidos, con áreas
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de hasta 2 600 km2 para estimar la escorrentía directa, basándose en la precipitación ocurrida y las condiciones de la cuenca que en los ítems anteriores se han descrito.
9.2.3.1 MÉTODOS SCS PARA ABSTRACCIONES El Soil Conservation Service (1972), desarrolló un método para calcular las abstracciones de la precipitación de una tormenta. Para la tormenta como un dato, la profundidad de exceso de precipitación o escorrentía directa “Pe” es siempre menor o igual a la profundidad de precipitación “P”; de manera similar después de que la escorrentía se inicia, la profundidad adicional del agua retenida en la cuenca es menor o igual a alguna retención potencial máxima. Si existe una cierta cantidad de precipitación (infiltración inicial antes del encharcamiento), para lo cual no ocurre escorrentía, la escorrentía potencial es P – Ia , la hipótesis del método del SCS consiste en que las relaciones de las dos cantidades reales y las dos cantidades potenciales son iguales, es decir:
Pe Fa = S P − Ia Del principio de continuidad se tiene: P = Pe + I a + Fa
Combinando las dos ultimas ecuaciones y resolviendo para Pe se encuentra:
Pe =
( P − Ia )2 P − Ia + S
La cual es la ecuación básica para el cálculo de la profundidad de exceso de la precipitación o escorrentía directa de una tormenta utilizando el método de SCS. Al estudiar los resultados obtenidos para muchas cuencas experimentales pequeñas, se desarrolló una relación empírica: I a = 0,2 S
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Pe =
( P − 0,2S ) 2 P + 0,8S
Al representar en una grafica la información de P y Pe para muchas cuencas, el SCS encontró diversas curvas. Para estandarizar estas curvas, se define un número adimensional de curva CN, tal que 0 < CN < 100 para superficies impermeables y superficies de agua CN = 100, para superficies naturales CN < 100 el CN y S se relacionan por:
S=
1000 −10 CN
Donde S esta en pulgadas. Los números de curva que se aplican para condiciones antecedentes de humedad (AMC), normales (AMCII), para condiciones secas (AMC I) o condiciones húmedas (AMC III).
9.3 OBTENCIÓN DE CAUDALES EN LA CUENCA DE LA PRESA PICHIRIJMA Utilizando el método del SCS expuesto anteriormente, procederemos al cálculo de los caudales en la cuenca del río Pichirijma. Los datos para el cálculo son los siguientes: Grupo Hidrológico de la Cuenca Uso de tierra
= 90% del grupo A y 10% del grupo B = 90% praderas del grupo de suelo A y 10% praderas del B
Con las condiciones antecedentes se calculan el número de curva ponderado como se muestra en el siguiente cuadro, con estos valores se procede a calcular los caudales para la cuenca hasta el eje de la presa proyectada.
Número de Curva Ponderado para la Cuenca. Uso de tierra
Grupo Hidrológico de Suelo
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A Praderas
B
%
CN
Producto
%
CN
Producto
90
30
2700
10
58
580
2700
10
90
CN =
2700 + 580 = 32 ,8 100
Reemplazando en las ecuaciones anteriores el valor de CN ponderado es 32,8 Y el valor de S = 20,49 pulg
S=
1000 −10 32 ,8
= 20 ,49
pu lg
Luego, con estos valores de S se determina el caudal para el embalse Pichirijma.
580
Volumen I : Hidrología
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PRESA PICHIRIJMA
AREA = S= Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
PROMEDIO
389.59km2 20.49pulg Precipitacion mm pulg 457.70 18.02 462.90 18.22 495.10 19.49 654.00 25.75 651.90 25.67 516.20 20.32 591.80 23.30 508.50 20.02 751.10 29.57 699.70 27.55 596.80 23.50 660.00 25.98 540.30 21.27 462.90 18.22 405.80 15.98 448.90 17.67 399.60 15.73 620.70 24.44 582.10 22.92 441.80 17.39 542.50 21.36 544.90 21.45 257.30 10.13 500.30 19.70 677.00 26.65 441.80 17.39 542.50 21.36 544.90 21.45 257.30 10.13 500.30 19.70 658.60 25.93 529.80 20.86 554.90 21.85 629.70 24.79 558.10 21.97 849.10 33.43 613.40 24.15 598.68 23.57 608.07 23.94 472.03 18.58 553.28 21.78 515.09 20.28 622.52 24.51 546.97 21.53
Estación:
Sibayo
Escorrentia Anual pulg mm MMC 5.63 143.07 55.74 5.77 146.44 57.05 6.60 167.76 65.36 11.12 282.55 110.08 11.06 280.95 109.45 7.17 182.14 70.96 9.29 235.96 91.93 6.96 176.85 68.90 14.12 358.60 139.71 12.52 317.89 123.85 9.43 239.63 93.36 11.30 287.14 111.87 7.83 198.92 77.50 5.77 146.44 57.05 4.36 110.73 43.14 5.41 137.43 53.54 4.21 107.04 41.70 10.13 257.37 100.27 9.01 228.87 89.16 5.23 132.92 51.78 7.89 200.47 78.10 7.96 202.17 78.76 1.37 34.85 13.58 6.74 171.27 66.73 11.82 300.22 116.96 5.23 132.92 51.78 7.89 200.47 78.10 7.96 202.17 78.76 1.37 34.85 13.58 6.74 171.27 66.73 11.26 286.06 111.45 7.54 191.56 74.63 8.24 209.26 81.53 10.40 264.13 102.90 8.33 211.55 82.42 17.27 438.64 170.89 9.92 251.92 98.15 9.49 241.02 93.90 9.76 247.96 96.60 6.00 152.40 59.37 8.19 208.11 81.08 7.14 181.37 70.66 10.19 258.73 100.80 8.18 207.72 80.93
m3/s 1.76 1.80 2.06 3.47 3.45 2.24 2.90 2.17 4.41 3.91 2.94 3.53 2.44 1.80 1.36 1.69 1.32 3.16 2.81 1.63 2.46 2.48 0.43 2.10 3.69 1.63 2.46 2.48 0.43 2.10 3.51 2.35 2.57 3.25 2.60 5.39 3.10 2.96 3.05 1.87 2.56 2.23 3.18 2.55
Volumen I : Hidrología
9.4 CÁLCULO PICHIRIJMA
Subcuenca Siguas
CAPACIDAD MEDIANTE
DE EL
ALMACENAMIENTO MODELAMIENTO
DEL
ESTOCASTICO
DESCARGAS ANUALES Caudales Normalizados y Estandarizados para el Modelo Markoviano Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
ESCORRENTÍA m3/s MMC 0.696 22.083 0.716 22.714 0.842 26.709 1.521 48.221 1.511 47.920 0.927 29.403 1.245 39.490 0.896 28.413 1.970 62.474 1.730 54.844 1.267 40.178 1.548 49.081 1.026 32.549 0.716 22.714 0.505 16.022 0.663 21.024 0.483 15.329 1.372 43.503 1.203 38.161 0.636 20.179 1.036 32.839 1.046 33.157 0.246 7.800 0.863 27.368 1.625 51.534 0.636 20.179 1.036 32.839 1.046 33.157 0.246 7.800 0.863 27.368 1.541 48.880 0.983 31.170 1.088 34.487 1.412 44.768 1.101 34.915 1.750 55.500 1.340 42.482 1.275 40.439 1.316 41.740 0.752 23.831 1.081 34.270 0.923 29.260 1.380 43.758
EMBALSE DE
Volumen I : Hidrología
9.4.1
Subcuenca Siguas
ELECCIÓN
DEL
MODELO
MARKOVIANO
PARA
LA
REPRESA
PICHIRIJMA La media y desviación Estándar para la represa del Río Pichirijma, se calcula con las ecuaciones (9.3) y (9.4) respectivamente Media (Uy)
= 33.96605
Desv. Standard (Sy)
= 12.67404
El valor de Xt se calcula con la ecuación (9.5) para el primer valor se tiene
X1 =
22.083 − 33 .96 = −0.938 12 .674
Y así respectivamente para cada dato para los 43 registros se calcula y los resultados se muestran en el siguiente cuadro ESTIMACION DE PARAMETROS DE AUTOCORRELACION MEDIA DESV.ESTANDART Sz
33.966 12.67418
Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Yt 22.083 22.714 26.709 48.221 47.920 29.403 39.490 28.413 62.474 54.844 40.178 49.081 32.549 22.714 16.022 21.024 15.329 43.503 38.161 20.179
Xt -0.938 -0.888 -0.573 1.125 1.101 -0.360 0.436 -0.438 2.249 1.647 0.490 1.193 -0.112 -0.888 -1.416 -1.021 -1.470 0.752 0.331 -1.088
X(t+1) Xt*X(t+1) -0.888 -0.573 1.125 1.101 -0.360 0.436 -0.438 2.249 1.647 0.490 1.193 -0.112 -0.888 -1.416 -1.021 -1.470 0.752 0.331 -1.088 -0.089
0.832 0.508 -0.644 1.238 -0.396 -0.157 -0.191 -0.985 3.705 0.807 0.585 -0.133 0.099 1.257 1.446 1.502 -1.106 0.249 -0.360 0.097
Xt2 0.879 0.788 0.328 1.265 1.212 0.130 0.190 0.192 5.059 2.713 0.240 1.422 0.013 0.788 2.004 1.043 2.162 0.566 0.110 1.183
X(t+1)2 0.788 0.328 1.265 1.212 0.130 0.190 0.192 5.059 2.713 0.240 1.422 0.013 0.788 2.004 1.043 2.162 0.566 0.110 1.183 0.008
Volumen I : Hidrología
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Subcuenca Siguas
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
32.839 33.157 7.800 27.368 51.534 20.179 32.839 33.157 7.800 27.368 48.880 31.170 34.487 44.768 34.915 55.500 42.482 40.439 41.740 23.831 34.270 29.260 43.758
SUMATORIAS
-0.089 -0.064 -2.065 -0.521 1.386 -1.088 -0.089 -0.064 -2.065 -0.521 1.177 -0.221 0.041 0.852 0.075 1.699 0.672 0.511 0.613 -0.800 0.024 -0.371 0.773
-0.064 -2.065 -0.521 1.386 -1.088 -0.089 -0.064 -2.065 -0.521 1.177 -0.221 0.041 0.852 0.075 1.699 0.672 0.511 0.613 -0.800 0.024 -0.371 0.773
0.006 0.132 1.075 -0.722 -1.508 0.097 0.006 0.132 1.075 -0.613 -0.260 -0.009 0.035 0.064 0.127 1.142 0.343 0.313 -0.490 -0.019 -0.009 -0.287
0.008 0.004 4.262 0.271 1.921 1.183 0.008 0.004 4.262 0.271 1.385 0.049 0.002 0.726 0.006 2.887 0.451 0.261 0.376 0.639 0.001 0.138 0.597
0.004 4.262 0.271 1.921 1.183 0.008 0.004 4.262 0.271 1.385 0.049 0.002 0.726 0.006 2.887 0.451 0.261 0.376 0.639 0.001 0.138 0.597
0.000
0.938
8.99
42.000
41.121
Los coeficientes de auto correlación se calculan con la ecuación (9.6) y con los datos del cuadro anterior
ρ1,( X ) =
8.99 41 .5
= 0.218
Y así sucesivamente, se calcula para todos los coeficientes de autocorrelacion. Los resultados se muestran en el siguiente cuadro 9.4.2
PRUEBA
DEL
MODELO
CORRELOGRAMA
DEPENDENCIA
INDEPENDENCIA
K 0 1 2 3 4
Pk(y) 1.000 0.218 0.020 0.202 -0.177
P*k(m1)
P*k(m2)
1.000 0.218 0.048 0.010 0.002
1.000 0.218 0.020 0.000 0.000
LC+(0.95) LC-(0.96) -0.322 -0.326 -0.330 -0.335 -0.339
0.279 0.276 0.276 0.276 0.275
E
Volumen I : Hidrología
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Subcuenca Siguas
-0.090 0.180 -0.061 -0.246 0.086 -0.298 -0.307 0.043 -0.040 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
-0.344 -0.349 -0.354 -0.360 -0.366 -0.371 -0.378 -0.384 -0.391 -0.398
0.275 0.276 0.275 0.275 0.276 0.275 0.275 0.276 0.276 0.276
K es el intervalo considerado Para el modelo markoviano de primer orden se tiene y de acuerdo a la ecuación (9.8) se tiene
ρ1 = α1
ρ1 = 0.218 Y para
ρk* se calcula de la siguiente forma
Para el primer valor se tiene
ρ1* = 0.2181 = 0.218 Y así sucesivamente para los de más coeficientes de auto correlación tal como se muestra en el cuadro anterior y de forma similar se realiza los cálculos para los modelos Markovianos de 2do y 3 er orden respectivamente De acuerdo a los resultados anteriores conducen a dos pruebas que se pueden hacer para escoger el modelo mas adecuado La prueba de la forma de correlograma ya descrito en los acápites anteriores De acuerdo alas teorías descritas en los anteriores párrafos se concluye que el que más se asemeja es el modelo de primer orden (de la prueba del correlograma) 9.4.3
PRUEBA DE INDEPENDENCIA DE LA VARIABLE RESIDUAL O
ALEATORIA (Et) Los procedimientos se describen en los párrafos anteriores Los limites de confianza se calculan con la ecuación (3.23) donde m = 0.3N el tamaño de registros en este en este estudio es m = 0.3*43 =12.99 =13 tomamos 14 puntos
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
CORRELOGRAMA (M1) Y (M2) EN LIMITES DE CONFIANZA 1.200 1.000
Serie1
0.800
Serie2 Serie3 Serie4
0.600
0.400
P
Serie5
0.200
0.000 0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.200
-0.400 -0.600
K
9.4.4
GENERACIÓN DE REGISTROS
Para la generación de registros de series sintéticas se ha tomado el modelo de Markov de primer orden De acuerdo a las ecuaciones (9.1) Y 1 = 33 .96 +12 .67 X t
Para hallar el valor de Xt es con la ecuación (9.2) X t = b εt
El valor de b se determina con la siguiente ecuación m b = 1 − ∑ i =1
αiα jαi − j ∑ j =1 m
1
Reemplazando datos se tiene
2
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
b = (1 − 0.218* 0.218) 2 = 0.976 1
Finalmente la ecuación queda X t = 0.975 εt
Donde εt es el número aleatorio normal (1,0), sea de media cero y desviación estándar 1. En la parte de anexos, se muestra como determinar números aleatorios. Para el primer valor es 0.028 Con este valor Xt queda X t = 0.979 * (0.027 ) = 0.028
Y el dato generado finalmente es
Y1 = 33 .96 +12 .67 * (0.027 ) = 34 .31
MMC
Este resultado es el primer valor de la cuenca de la represa del río pichirijma Es la forma en que se determinan series sintéticas mediante el modelo Markoviano Para facilitar los cálculos se ha elaborado un pequeño programa para generar caudales con modelos estocásticos para la represa del río Pichirijma
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
LISTA DE SERIES GENERADAS LISTADO DE SERIE GENERADA Media = Desviación = X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27 X28 X29 X30 X31 X32 X33 X34 X35 X36 X37 X38 X39 X40 X41 X42 X43
33.96 12.67 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
34.31 39.14 33.75 59.69 36.41 33.07 38.39 42.98 53.35 53.15 36.53 33.53 41.50 34.73 30.86 34.51 68.98 44.78 34.63 37.19 37.31 24.82 40.96 30.19 28.37 31.12 35.60 49.22 45.18 48.86 52.11 41.32 22.81 25.39 29.78 39.66 39.50 23.00 30.08 35.18 32.26 24.67 25.05
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Así se han generado 40 series para la Represa de Pichirijma de 43 años cada uno en MMC
9.4.5
ECUACIÓN MATEMÁTICA DE ALMACENAMIENTO
El problema físico que se genera en un sistema de regulación es el siguiente
Xt
Yt
St
Entrada
Almacén
Salida
Donde la relación básica entre el gasto de entrada, la salida y el almacenamiento es expresado por la ecuación matemática de almacenamiento (Ecuación de conservación de masa) ∆S * = Xt − Yt ∆t
9.26
O también *
dS t = Xt − Yt dt
9.27
Donde Xt
= Es la entrada neta después de haber descontado las perdidas
Yt
= Es la salida o demanda de embalse
S*t
= es el almacenamiento del embalse en el tiempo t
Considerando el incremento de tiempo ∆t = 1 la ecuación (9.26) se transforma en
S t* = S t*−1 + ( Xt − Yt )
9.28
Expresión que se denomina ECUACION GENERAL ESTOCASTICA DE ALMACENAMIENTO cuya solución es expresada en términos de momentos de distribución de probabilidades dado que Xt e Yt son en general variables aleatorias.
Volumen I : Hidrología
9.4.6
Subcuenca Siguas
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Para determinar la capacidad efectiva de embalse de acuerdo a la ecuación sobre regulación de un río, considerando solamente los factores hidrológicas y las normas de manejo de la presa, existen 3 métodos generales de acuerdo a la tipificación de las variables de entrada(Yevjevich1972) , esto es (Yevjevich1972)
9.4.6.1 MÉTODO TRADICIONAL
Se denomina tradicional por que ha sido el mas utilizado para analizar la relación entre las disponibilidades de agua, las demandas del proyecto y el volumen de almacenamiento 9.4.6.2 CURVA MASA Es la curva resultante de la relación entre los volúmenes parciales acumulados de las disponibilidades de agua, con el tiempo en años. Para dibujar la curva, se considera en el eje de las ordenadas los volúmenes y en abscisas el tiempo. DESVENTAJAS DEL METODO La precisión de los resultados obtenidos por este método, basado en la muestra de datos pasados es limitada, por las asunciones realizadas para su aplicación; esto es; es improbable que los datos ocurridos en el pasado puedan suceder en el futuro y en la misma secuencia. En forma resumida se puede decir que las desventajas de este método son: 1) Utiliza la muestra de datos registrados en el pasado, la cual es de un periodo corto por lo general
2) Determina un valor único de la capacidad del embalse, el cual depende del tamaño muestral de la serie histórica.
3) la capacidad del embalse determinado, esta afectado grandemente por los errores muestrales y depende de los valores extremos considerados.
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
4) se comenten errores de diseño por exceso y defecto al utilizar muestras de una longitud mayor o menor que la vida util del proyecto, respectivamente 5) No se puede determinar el riesgo
6) se produce un sesgo de inconsistencia y no homogeneidad, cuando en la información histórica, estos no son identificados, cuantificados, corregidos y/o eliminado, previamente
9.4.6.3 MÉTODO ANALÍTICO Este método analítico o matemático, utiliza la teoría de las probabilidades, estadísticas matemáticas y procesos estocásticos, las dificultades en la integración exacta de la ecuación de probabilidades de una serie secuencial en el tiempo, conlleva a la aplicación del método numérico de diferencias finitas El inconveniente que presenta el método analítico es que existen expresiones matemáticas solamente para procesos de entrada especificados, esto es, existen expresiones para series estacionarios, independientes en el tiempo y distribución en forma normal.
9.4.6.4 MÉTODO EXPERIMENTAL El método experimental o generación de información sintética, trata de resolver el problema de embalses por medio de la generación de varias series de caudales, a partir de las cueles se determina en forma aproximada los momentos y las distribuciones de probabilidades de las variables relacionadas con la capacidad del embalse. Estadísticamente se le conoce como el método de Monte Carlo e hidrologicamente como simulación- generación de datos o hidrología sintética. CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO Presentan las siguientes características:
1) Se basa en la generación de muestras sintéticas 2) Es una necesidad como método confiable
3) Usa cualquier ecuación diferencial de almacenamiento 4) Usa también el método RIPPL
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
5) Se determina en forma experimental el valor esperado y la varianza de la capacidad de almacenamiento 6) Se determina tantas capacidades de almacenamiento como series generadas se disponga 7) Se determina la capacidad de almacenamiento para una longitud igual a la vida útil del proyecto
8) El sistema es tratado como proceso periódico-estocástico 9) Permite obtener la extracción de toda la información desde los datos
10) Permite la extracción regional optima de información con los modelos matemáticos y análisis regional de parámetros
11) Permite un mayor condensación de la información a)
Mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas del proceso
b)
Conservación del índice del parsimonia en el numero de parámetros
c)
Modelos regionales para los parámetros
12) Permite determinar el riesgo 13) Es aplicable a cualquier serie de entrada dependiente o independiente normal o no normal. VENTAJAS DEL MÉTODO EXPERIMENTAL La principal ventaja del método es que se obtiene varias capacidades de almacenamiento, la cual permite una mayor flexibilidad en la toma de decisiones y, se puede optimizar dicha capacidad, combinándola con los demás aspectos de ingeniería y con los costos y beneficios respectivos.
9.4.6.5 MÉTODO Y PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO UTILIZADO Por las razones expuestas y por las ventajas que ofrece el método experimental, será éste el método utilizado para el cálculo de la capacidad del embalse de Pichirijma. Para desarrollar el método del rango ajustado (R*) en la serie histórica o en las series generadas, se procede de la siguiente forma: 1) Sea Xt : X1, X2, X3,…,Xn una serie hidrológica de N años de registro (suponer N = 50 años) 2) Calculo del promedio de los 50 valores de la serie Xt, el cual va ha ser igual a las salidas en una regulación total 3) Calculo de las diferencias:
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
Xt − Yt = Xt − X
9.26
Para t = 1,2,…50 4) Calculo de las sumas parciales ajustadas: S*o =0, Cuando se empieza la simulación con el embalse vacío o cero S1* = X 1 − Y1
S 2* = S1* + ( X 2 − Y2 ) S 3* = S 2* + ( X 3 − Y3 ) . . . S n* = S n*−1 + ( X n − Yn )
5) Determinar el valor máximo y el valor mínimo de las sumas parciales ajustadas (M*n y n*, respectivamente) 6) Calcular el rango ajustado según
Rn* = M n* − mn*
7) Graficar las sumas parciales ajustadas versus el tiempo respectivo en años, en papel milimetrado 8) Repetir los pasos 2 al 7 para todas las series generadas obteniendo tantos valores del rango ajustado como series generadas se disponga; así por ejemplo, si se han generado 20 series de50 años cada uno, entonces se obtendrá.
R1* , R2* , R3* ,..., Rn* 20 valores de rango ajustado 9) Determinar el valor esperado y la varianza del rango ajustado 10) Determinar la distribución de probabilidades del rango ajustado como descriptor de la capacidad del embalse, para una garantía y riesgo seleccionado Los gráficos de estas series generadas se muestran en los anexos
Volumen I : Hidrología
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9.4.6.6 RANGO AJUSTADO DE LOS 12 SERIES GENERADOS DE 43 AÑOS CADA UNO EN MMC
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Promedio D. Estandar
Rango R*
Max
Min
MMC 90.894 101.895 86.763 67.944 65.058 65.058 53.002 86.371 130.157 64.020 81.762 80.246 81.097
MMC 85.488 31.475 70.498 23.878 29.887 29.887 26.999 58.769 49.654 11.779 12.685 68.782 41.648
MMC -5.406 -70.421 -16.266 -44.066 -35.171 -35.171 -26.002 -27.602 -80.502 -52.241 -69.077 -11.464 -39.449
20.813
24.289
24.392
Rango Ajustado ordenado en forma creciente de las 40 series generadas de 43 años cada uno en MMC y probabilidad de ocurrencia empirica y su Ajuste a una distribución Normal
Nº
Rango R* MMC
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Promedio D. Estandar
53.00 64.02 65.06 65.06 67.94 80.25 81.76 86.37 86.76 90.89 101.90 130.16 81.097 20.813
Distr. Empirica (Weibull) (%) 7.69 15.38 23.08 30.77 38.46 46.15 53.85 61.54 69.23 76.92 84.62 92.31 50.000 27.735
Distr. Normal (%) 8.85 20.60 22.05 22.05 26.37 48.37 51.27 60.00 60.73 68.11 84.12 99.08 47.632 28.174
Volumen I : Hidrología
Subcuenca Siguas
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EMPIRICA Y AJUSTADA DEL RANGO AJUSTADO PARA LA CAPACIDAD DE EM BALSE 100 95 90 85 80 75 70 65 60
P(%)
55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 50
60
70
80
90
100
110
120
R*(M MC)
Distr. Normal (%)
Distr. Em pirica (Weibull)
130
140
Volumen I : Hidrología
10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Subcuenca Siguas
