En la tabla 2.1 aparecen las expresiones de las propiedades geométricas de algunas de las secciones transversales más comunes .
2.4 Propiedades hidráulicas de la sección transversal.
Tabla 2.1 Propiedades geométricas de las secciones transversales más comunes. SECCION
En la sección normal de una conducción libre la velocidad no es uniforme (Fig. 2.8), debido a que en cada punto el vector velocidad es diferente y por tanto la energía y el momentum de dicha distribución no uniforme de velocidades son diferentes de los que produciría una distri bución uniforme.
AREA A
PERIMETRO MOJADO P
b ⋅ y
b + 2 ⋅ y
b ⋅ y + m ⋅ y 2
2 b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m
Fig. 2.8 Distribución de velocidades en la sección Por otra parte, la distribución vertical de presiones puede, en muchos casos, considerarse que cumple la ley hidrostática; sin embargo, en casos de pendientes fuertes o curvaturas en el perfil longitudinal del canal, el valor de la presión en un punto se ve afectado.
m ⋅ y
2
2 ⋅ y ⋅ 1 + m 2
Las propiedades hidráulicas más importantes de una sección son la distribución de velocidades, la velocidad media, la energía y el m omentum correspondientes. y la distribución de presiones. 1
Para determinar las propiedades hidráulicas relacionadas con la velocidad del flujo es necesario conocer la velocidad en cada punto de la sección normal, la cual se obtiene mediante diferentes instrumentos diseñados para ese fin sobre los cuales se tr ata en el capitulo 4.
8
⋅ (θ − senθ ) ⋅ d 2
1 2
⋅ θ ⋅ d ; θ = 2 ⋅ cos −1 (1 −
2 ⋅ y d
)
Calculo de la velocidad media La velocidad media puede calcularse una vez que se conoce la distribución de velocidades en la sección. Para esto, se calcula la velocidad media en una sección (Fig. 2.9):
2
N
vi
=
∑v
3
ij
j = 1
N
----------
(2.4)
----------
(2.5)
⋅ T ⋅ y
T +
8 y 2
⋅
3 T
y entonces M
∑ v ⋅ A i
v
=
i =1
A
i
(
π
2
T 2
4⋅m
Valida para 0 ≤ X
≤ 1 ; donde X =
−
r 2 m
⋅ (1 − m ⋅ cot −1 m)
4 ⋅ y
T Tomada de Open Channel Hydraulics de V.T. Chow
15
(π − 2) ⋅ r + b + 2 ⋅ y
− 2) ⋅ r 2 + (b + 2 ⋅ r ) ⋅ y
16
T m
⋅ 1 + m2 −
2 ⋅ r m
⋅ (1 + m ⋅ cot −1 m)
En el caso de canales que presentan curvaturas en el fondo (como es el caso de vertedores, transiciones, etc.), el flujo deja de ser paralelo debido al efecto de la fuerza centrífuga normal a la dirección de este, y la distribución de presiones es curvilínea (Fig. 2.13). La carga a presión real en un punto cualquiera i, en un canal con curvatura, se determina por: hC i
La presión unitaria es, por tanto, γ ⋅ y ⋅ cos 2 θ y la carga será: h = y ⋅ cos 2 θ = d ⋅ cos θ ---------- (2.26)
En el caso de conducciones con régimen variado debe utilizarse la segunda relación, ya que la primera pierde validez.
= h I + C V ---------- (2.23)
Fig. 2.14 Distribución de presiones. Canal con pendiente fuerte
Esta afectación al valor de la carga presión debe aplicarse a canales con pendientes mayores de 0.1; en canales de pendiente mas suave no vale la pena entrar en esos refinamientos de calculo. En los canales de pendiente fuerte. y con curvatura en la sección longitudinal deben aplicarse ambas correcciones (Fig. 2.15): 2 v 2 hC = y ⋅ cos θ ± ⋅ y ⋅ cos 2 θ ---------- (2.27) g ⋅ r Fig 2.13 Dis tri buci ón de presiones. Canal con curvatura en el fondo En la expresión (2.23) h i es la carga presión correspondiente a la distribución hidrostática de presiones y C i es la corrección por efecto de curvatura, que será positiva en caso de u n fondo cóncavo y negativa si el fondo es convexo. El valor de C i se calcula a partir de las leyes de Newton: C i
=±
v2 g ⋅ r i
⋅ hi ---------- (2.24) Fig. 2.15 Distribución de presiones. Canal con pendiente fuerte y curvatura
donde: r i : radio de curvatura medido desde el centro de l a curva hasta el punto i. Para el fondo del canal, donde ocurre la máxima carga presión:
hC
=h±
v
2
g ⋅ r
⋅ h = h ⋅ (1 ±
v
2.5 Ejercicios resueltos. 1. Calcular el área mojada, el perímetro mojado y el radio hidráulico del canal trapecial cuya sección se muestra en la figura 2.16. Considere la pendiente del fondo lo suficientemente pequeña como para poder igualar el tirante a la profundidad de circulación.
2
) ---------- (2.25) g ⋅ r
En la figura 2.14 se observa que en un canal de pendiente fuerte, el peso de la columna de agua (área rayada en la figura) tiene un valor γ ⋅ y ⋅ cos θ ⋅ dl . La presión debida a ese peso es: Fig. 2.16 Sección del canal
γ ⋅ y ⋅ cos θ ⋅ dl 2
21
22
VI
5.1
0.470
VII
1.0
0.24
Totales
30.65
v=
α = β =
2.397
1.104
0.519
0.240
0.058
0.014
19.261
12.794
8.771
como: r i
El calculo de
30.65 8.771
(0.628) 2 ⋅ 30.65 12.794 (0.628) 2 ⋅ 30.65
Pi
γ
= y i − 0.638 ⋅
y i
3 + y i
Pi
, para valores de y i desde 0 pasta 2, a intervalos de 0.5m aparece en la γ tabla 2.4 y el grafico de carga presión en la figura 2.20.
∑ ΔQ = 19.261 = 0.628m / s A
= 1 + (2 + y i ) = 3 − y i , quedando finalmente
= 1.144 = 1.052
4. Determinar el gráfico de carga presión en las verticales 1, 2 y 3 de la rápida que aparece en la figura 2.19, si se sabe que las profundidades de circulación en dichas secciones son 2m, 1.8m y 1.6m y el gasto es 10 m 3/s. Fig. 2.20 Distribución de presiones en la sección 1 Tabla 2.4 P Y 1.6m
Fig. 2.19 Rápida Análisis de la vertical 1
yi (m)
Ci (m)
0 0.5 1.0 1.5 2.0
0 0.128 0.319 0.638 1.276
γ
(m) 0 0.372 0.681 0.862 0.724
Análisis de la vertic al 2
La sección 1 tiene perfil longitudinal de fondo convexo y, por t anto en un punto i, a una profundidad y de la superficie libre actúa una carga presión: Pi = y i − C i γ donde C i , que es la corrección por efecto centrífugo se calcula según la formula (2.24): C i
=
v2 g ⋅ r
⋅ yi
Tomando v como la velocidad media en la sección: v=
10 2⋅2
i
Esta sección tiene pendiente uniforme pero fuerte, S = 1/5 = 0,2 = 20%, que corresponde a un ángulo θ=arctan 0.2=11 0 910, de modo que la carga presión en un punto i, ubicado a una distancia y i bajo la superficie libre es: Pi = y i ⋅ cos 2 θ = (cos 2 110 910´) ⋅ y i = 0.962 ⋅ y i ; γ lo cual corresponde a una distribución lineal de la carga presión en una vertical, de modo que basta determinar el valor de dicha carga presión en el fondo, para plotear el grafico que se muestra en la figura 2.21: PFONDO = 0.962 ⋅ 1.8 = 1.731m γ
= 2.5m / s
luego: Pi
γ
= y i −
(2.5) 2 9.8 ⋅ r i
⋅ y i = y i − 0.638 ⋅
= y i − C i
y i r i
25
26
0.5
1.0
r i 1.5
yi
1.8
1.6-yi
Fig. 2.21 Distribución de presiones en la sección 2
Análisis de la vertic al 3 DISTRIBUCION HIDROSTATICA
Es una sección de perfil de f ondo cóncavo y por tanto: 2 Pi y ⋅ v = y i + C i = y i + i γ g ⋅ r i
0.4
0.8 1.2
AI igual que en la sección 1, se toma v como la velocidad media: v=
Q A
luego:
=
10 2 ⋅ 1.6
Pi
γ
1.6
= 3.125m / s ;
= y i +
y i
9.8
⋅
(3.125) r i
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
CARGA PRESION (m)
2
= y i + 0.996 ⋅
y i r i
;
Fig. 2.22 Distribución de presiones en la sección 3
2.6 Ejercicios propuestos. tomando valores de y i desde 0 hasta 1.6 cada 0.4 m (tabla 2.5 y Fig. 2.22). Tabla 2.5 yi (m) 0 0.4 0.8 1.2 1.6
r i (m) 1.5 1.9 2.3 2.7 3.1
Ci (m) 0 0.211 0.348 0.444 0.516
P/γ (m) 0 0.611 1.148 1.644 2.116
1. Calcular el área mojada, el perímetro mojado y el radio hidráulico del canal cuya sección vertical se muestra en la figura 2.23a, sabiendo que la pendiente de fondo del canal es 0.15. R/ d = 1.978 m; A = 11.823 m 2; P = 9.594 m; R = 1.232 m. 2. Calcular el radio hidráulico del canal cuya sección transversal aparece en la figura 2.23a, y que tiene una pendiente de fondo de 0.001. R/ R = 1.243 m. 3. Calcular el radio hidráulico del canal cuya sección se muestra en la figura 2.23b, y que tiene una pendiente de 0.0016. R/ R = 0,5513 m.
Fi . 2.23 Canales 27
28
Q2 g ⋅ A1
+ z 1 ⋅ A1 =
Q2 g ⋅ A2
+ z 2 ⋅ A2 ----------- (3.29)
La fuerza especifica, F, se define por la expresión: F =
Q2 g ⋅ A
+ z ⋅ A ---------- (3.30)
Como tanto A como z son funciones de la profundidad de circulación del agua, puede establecerse una relación F vs. y, que puede representarse gráficamente, lo mismo que la relación E vs. y. Ese grafico F vs. y (Fig. 3.7), se denomina curva de fuerza específica. Fig. 3.5 Principio de momentum en flujo curvilíneo F 2
Esta ecuación podrá aplicarse directamente, entre otros, a los siguientes casos: a) cuando las pérdidas por energía interna son despreciables, aunque F f no lo sea (este es el caso de compuertas deslizables); b) cuando F f es despreciable, pero las pérdidas de energía interna son apreciables (como sucede en un salto hidráulico simple); c) cuando ni las pérdidas ni F f pueden ser despreciados (lo que sucede en un salto hidráulico provocado por algún obstáculo).
=
Q2
F 1
= z ⋅ A
g ⋅ A
SECCION
3.5 Fuerza especifica. Fuerza especifica mínima. Cuando se aplica el principio de momentum a un tramo como de una conducción libre, prismática y de pendiente horizontal o rnuy suave (Fig. 3.61), las fuerzas de fricción y el peso del agua no influyen en la ecuación de momentum θ ≈ 0 y F f =0.
Fig. 3.7 Curva de fuerza especifica En el grafico de la figura 3.7 se observa también la existencia de una profundidad para la cual la fuerza específica es mínima. Al igual que en el caso de la energ ía espec ífic a míni ma, este punto pued e hall arse busc ando el valor que anula la primera derivada de la ecuación (3.10): ∂F Q 2 ∂ 1 ∂ ( z ⋅ A) = ⋅ ( )+ ; ∂ y g ∂ y A ∂ y Q2 ∂F ∂ A ∂ ( z ⋅ A) =− ⋅( ) + = 0 ----------- (3.31) ∂ y ∂ y g ⋅ A 2 ∂ y
El primer sumando de la ecuación es de fácil solución ya que
Fig. 3.6 Fuerza especifica Si, además se supone que β 1 ≈ β 2
≈ 1 , la ecuación de momentum queda de la forma:
Q ⋅ γ
⋅ (v1 − v 2 ) = W 1 − W 2 ---------- (3.27) g Las fuerzas debidas a la presión hidrostática son: W 1 = γ ⋅ z 1 ⋅ A1 ---------- (3.28) W 2
= γ ⋅ z 2 ⋅ A2
Como, por otra parte, v1
=
Q A1
y v 2
=
Q A2
queda:
El segundo sumando de la ecuación puede resolverse de la siguiente forma: ∂( z ⋅ A) 1 = ⋅ ∂ ( z ⋅ A) = 0 ∂ y ∂ y pero: ∂( z ⋅ A) = ( z ⋅ A) INCREMENTA DO − ( z ⋅ A) ; luego: y + ∂ y y ) ⋅ ( y + ∂ y ) ⋅ T − ⋅ ( y ⋅ T ) ∂( z ⋅ A) = ( 2 2 de modo que:
37
∂ A según (3.1 6) es igual a T. ∂ y
38
'
A = b ⋅ y + m ⋅ y 2 D
=
b ⋅ y
f ( y )
+ m ⋅ y 2
b + 2 ⋅ m ⋅ y
= (b ⋅ y + m ⋅ y 2 ) ⋅
b ⋅ y + m ⋅ y 2
=
b + 2 ⋅ m ⋅ y
Q g
por algún método iterativo o por tanteos, como se indica en el diagrama de bloques de la figura 3.9. Un procedimiento de tanteo que converge rápidamente, y que es muy útil, tanto en cálculo manual como automatizado, es el siguiente: Sea la ecuación
Q g
= A ⋅
= f ( y )
D
Si la y supuesta es mayor que la necesaria para hacer valido el signo igual, quedaría
A ⋅ D
>
Q g
o sea, el desbalance es hacia la izquierda y viceversa. Una vez establecida la ley de desbalance, se asume un límite inferior y otro superior para la variable a calcular; por ejemplo, para el caso de y C, puede establecerse, según el caso: y C MIN
=0
y C MAX = 20.0m . Después de suponer los limites, el tanteo se realiza de forma muy simple, utilizando como variable de tanteo la promedio entre la mínima y la máxima y cambiando el valor de una de ellas de acuerdo con el sentido del desbalance, por ejemplo: valor real de y C = 3.6 m _ Q
Primer tanteo: y C = 10.0 m; Conclusión: y C
MAX
y C MIN y C MAX
Conclusión: y C
MAX
y C MAX
< A ⋅
D
es muy grande y por tanto hay que disminuir el límite.
=0 = 10.0m
Segundo tanteo: y C = 5.0m;
y C MIN
g
Q g
< A ⋅
D
es muy grande por lo tanto hay que disminuir el limite;
=0 = 5.0m
Tercer tanteo: y C = 2.5 m;
Q
> A ⋅
g
D
Conclusión: el desbalance ocurre en el otro sentido, y en este caso hay que incrementar el límite inferior; y C = 2.5 MIN
y C MAX
Fig. 3.9 Calculo de y C. Diagrama de bloque
= 5.0m
Cuarto tanteo: y C = 3.75m;
Q g
< A ⋅
D
41
42
Conclusión: de nuevo cambia el sentido del desbalance. y C = 2.5
Quinto tanteo: y C = 3.12m;
MIN
y C MAX
= 3.75m
y C MIN y C MAX
Q g
> A ⋅
D
= 3.12 = 3.75m
Fig. 3.10 Curvas adimensionales para el cálculo de y C
43
44
(a)
(b)
P R O F U N D I D A D D E C I R C U L A C I O N
Y (m)
Fig.3.20 Secciones transversales de canales En todos los casos, la condición de ocurrencia del régimen crítico es: v NF = 1 = g ⋅ D
Fig. 3.19 Curva F vs. y
o sea: 3 2 A Q
Ploteando estos puntos puede hallarse la curva F vs. y como aparece en la figura 3.19. 3
En el grafico puede observarse que F M I N = 6.4m y que le corresponde una y CRIT = 0.95m. También se observa que a y = 1.8m, con una F = 12.02 m 3 , le corresponde una profundidad conjugada de 0.4m . An al ít ic am en te pu ed en ha ll ar se va lo re s má s pr ec is os : F MIN F MIN
22.959
=
4 ⋅ (0.955) + 2 ⋅ (0.955) 2 = 6.473m 3
+
0.955 (3 + 0.955) 3
⋅
(2 + 0.955)
⋅ [4 ⋅ (0.955) + 2 ⋅ (0.955) 2 ]
=
=
g
En este ejercicio, como Q = 10 m 2/s: 3 A = 10.204 T En cualquiera de los tres canales el problema se reduce a determinar el valor de y que satisface esta ecuación; la diferencia entre cada canal estriba en las diferentes expresiones de A y de T de cada uno y la mayor o menor complejidad entre estas y la solución de esa ecuación. Canal a En este canal, como es rectangular y b = 3m; A = 3 ⋅ v y T = 3m, la ecuación adopta la siguiente forma: 9 ⋅ y 3 = 10.204 , que puede resolverse despejando la y directamente:
Para 1.8m F MIN
T
22.959 4 ⋅ (1.8) + 2 ⋅ (1.8) 2
+
1.8 (3 + 1.8) 3
⋅
(2 + 1.8)
⋅ [4 ⋅ (1.8) + 2 ⋅ (1.8) 2 ] = 12.046m 3
Resolviendo: 22.959 ( 4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 )
y CRIT
=3
10.204 9
= 1.043m
Canal b y (3 + y )
+ ⋅
3 (2 + y )
⋅ [4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ] = 12.046m 3
se obtiene:
Al tratarse de un canal trapecial con un ancho de fondo de 2m y talud 1:1, A = 2 ⋅ y + y 2 y T = 2 + 2 ⋅ y y la ecuación a resolver es: (2 ⋅ y + y 2 ) 3
y C O N J - 1 . 8 = 0.409m
(2 + 2 ⋅ y )
3. Determinar la profundidad crítica en cada uno de los canales que aparecen en la figura 3.20, cuando el gasto es 10 m 3 /s.
53
= 10.204
en la cual no puede despejarse directamente el valor de y CRIT , de modo que tanteando: y (m) 1.0 1.2 1.1 1.12 1.13 1.125 1.124 A 3 /T 6.750 12.869 9.441 10.064 10.386 10.224 10.192 54
2
⎛ A 2 ⎞ ⎜⎜ v 2 ⋅ ⎟⎟ 2 A1 ⎠ v y1 = ⎝ = y 2 + 2 + hf 1−2 2⋅g 2⋅g de donde: v2
=
2 ⋅ g ⋅ (y1 − y 2
− hf 1− 2 ) ---------- (4.24) 2 ⎛ A 2 ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ A1 ⎠
y c o m o Q = A2 ⋅ v2 : Q = K ⋅ A 2 ⋅
2⋅g ⋅ Δy - - - - - - - - - - ( 4 . 2 5 ) 2 ⎛ A 2 ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ A1 ⎠
donde: K - factor de corrección (menor que1) que tiene en cuenta las pérdidas de carga (generalmente varia de 0.95 a 1).
Fig. 4.18 Canaleta aforadora Si se aplica Bernoulli entre las secciones 1 y 2 se tiene: z 1 + y1 + α1 ⋅
v1
2
2⋅g
= z 2 + y2 + α2 ⋅
v2
2
2⋅g
+ hf 1−2 ---------- (4.21)
El primero que propuso este tipo de aforador llamado Venturi fue V.M. Cone en 1917, y posteriormente se recogen trabajos de P.S. Wilson y C.A Wright en 1920; de R.L. Parshall y C. Rohwer en 1921; de E.S Crump en 1922 y 1923 (India); de A.H. Jamenson en 1925 y 1930 (India): de R.L. Parshall a partir de 1926 (Estados Unidos); de C.C. Inglis en 1926 (India); de G. De Marchi y F. Contessini en 1936 (Italia); de G. Nebbia en 1936 y 1938 (Italia); de D. Citrini en 1941 (Italia); de A. Liulord en 1941 (Inglaterra); de A. Khafagi en 1942 (Suiza); de V.N. Verisev en 1947 (URSS): de Ballolet Ballolet en 19 5 5 (Argentina), (Argentina), y muchos muchos otros. Un diseño práctico de la canaleta Venturi triangular, de O. García Soto. 1983, aparece en la figura 4.19, en la cual las dimensiones del resto de la canaleta son:
pero en esa ecuación: z1 − z 2 = S 0 ⋅ L
L1
= 1.5 ⋅ b , L2 = b , L3 = 0.5 ⋅ b , = L1 , α A = 53 0 6 / , H = 1.33 ⋅ y1
y este término se desprecia por ser L muy pequeña.
L4
Ade más por hip óte sis : α1 = α 2 = 1.0 ; por lo que queda: 2 2 v v y1 + ⋅ 1 = y 2 + 2 + hf 1−2 ---------- (4.22) 2⋅g 2⋅g
El gasto en la canaleta puede calcularse según la siguiente formula: Q = 4.43 ⋅ K ⋅ μ C ⋅ A2 ⋅ Δ y ---------- (4.26) en la cual las unidades de medida deben ser: para Q en m 3/s; para A 2 en m 2 y para Δy en m.
Por otra parte, si se aplica el principio de continuidad entre 1 y 2, se tiene: A1 ⋅ v1
MAX
= A2 ⋅ v2
El resto de los factores se calculan según las expresiones: K = 0.93 + (4.07 − 4.59 ⋅ y1 ) ⋅ (3.28 ⋅ Δ y − 0.164 ⋅ y1 − 0.04) 2 ; A2
de donde: A v1 = v 2 ⋅ 2 ---------- (4.23) A1 Sustituyendo la ecuación (4.23) en la ecuación (4.22) queda:
A2
= 0.5 ⋅ y 2 2 ; ⎛ 4 ⋅ b + 3 ⋅ y1 ⎞ =⎜ ⎟ ⋅ y1 6 ⎝ ⎠
Se debe garantizar en el trabajo que
y 2 y1
≤ 0.8 para que la sumersión no afecte el trabajo de la
canaleta.
75
76
Canaleta Parshall Paralelamente a todas las consideraciones anteriores, J. Hinds, en 1920, propone una modificación de la pendiente del fondo, tal que en la entrada se tenga una pendiente adversa, y seguidamente una horizontal, una supercrítica (en la garganta) y por último de nuevo una adversa. Este diseño provoca la ocurrencia del régimen crítico en la sección de la garganta del aforador para un intervalo amplio de gastos. Sobre esta idea básica R.L. Parshall trabajó, a partir de 1921, elaborando entre 1926 y 1950 toda la información necesaria para el diseño de una nueva canaleta aforadora (Fig. 4.20) denominada con su apellido por el Comité Ejecutivo de la División de Riego de la American Society of Civil Engineers (ASCE), en 1929 (tabla 4.1).
Fig. 4.20 Canaleta Parshall (USSCS)
SECCION A-A
Fig. 4.19 Canaleta Venturi triangular 77
78
Fig. 4.22 Otros casos del factor de corrección para canaletas Parshall Canaleta SANIIRI Por otra parte, V.N. Yarsev diseñó, en 1947, una canaleta denominada SANII RI, en honor al Instituto Científico de Riego del Asia Central, al que pe rtenecía el investigador. Esta canaleta es de construcción muy simple y se utiliza mucho en los sistemas de riego, para gastos hasta de 2 m 3/s.
Fig. 4.21 Factor de corrección para canaletas Parshall
81
82
Fig. 4.24 Nomograma para aforadores Parshall
Fig. 4.23 Factor de corrección para anchos hasta 3 050m 83
84
La canaleta SANIIRI (Fig. 4.25), tiene paredes verticales al plato, no paralelas entre sí, y de forma tal que van convergiendo. El plato es horizontal y está situado más alto que el fondo del canal. En general, la canaleta es un estrechamiento brusco, que provoca una caída súbita del nivel del agua. El acceso al estrechamiento es un tramo de canal revestido y de igual forma el ensanchamiento brusco al final, lleva otro tramo revestido. Las principales dimensiones de la canaleta SANIIRI son: L = 2 ⋅ b0 ; 1.5 ⋅ b0 ≤ H C ≤ 2 ⋅ b0 ; 0.2m ≤ b0 ≤ 1m ; H MAX b1
≤ 0.8 ⋅ H C ; bC ≥ 1.4 ⋅ b1 ; = 1.76 ⋅ b0 ; 0.1m ≤ H ≤ 1.0m ; L1 = 2.5 ⋅ b0 ; L2 = 1.5 ⋅ b0 ; P ≥ 0.5 ⋅ H MAX .
La ecuación del gasto para esta canaleta es : 3
Q
= K S ⋅ b0 ⋅ H 2 ---------- (4.28)
Esta expresión es válida siempre que Q se exprese en metros cúbicos por segundo y b metros. El coeficiente K S se calcula según; K S
= 2.214 −
o
y H en
0.483
6.26 ⋅ H + 1 Una fórmula práctica con un error del 1 % con respecto a la anterior es: Q
= 2.14 ⋅ b0 ⋅ H 1.55 ---------- (4.28a)
en la cual Q, b o y H deben estar expresados en las mismas unidades que en el caso de la expresión anterior. El flujo no sumergido se logra cuando h>0 y la corrección del gasto para esa condición se calcula por: QS
= C C ⋅ Q ---------- (4.29)
donde: QS – gasto en condiciones de flujo sumergido, m 3/s. CC - Coeficiente de corrección. El coeficiente de corrección C C se calcula según la expresión: C C
= 1.085 −
1.085 ⎛ h ⎞ 11.7 ⋅ ⎜1 − ⎟ + 1 ⎝ H ⎠
La medición de H y h puede realizarse en los puntos 1 y 2, con escalas graduadas, con un limnigrafo u otro instrumento.
Recomendaciones prácticas para la instalación de las canaletas. De acuerdo con la experiencia de la URSS en la instalación de las canaletas deben tenerse en cuenta los factores siguientes: 1. Las instalaciones y la obra deben ser de fácil acceso. 2. La no coaxialidad entre el eje de la obra y el eje longitudinal del canal debe ser menor, de 5mm para anchos de plato menores de 0.5m; de 10mm para anchos de platos hasta 1.5m, y de 15mm para anchos mayores de 1.5m. SECCION A-A
3. El desvío de la vertical de las paredes no debe superar el 20% Fig. 4.25 Canaleta SANIIRI 85
86
.
A continuación se relacionan algunas fórmul as empíricas más conocidas: 1- Fórmula de Francis (1852).
Q
3 ⎡ 2 ⎛ v ⎞ 2 = 1.84 ⋅ L ⋅ ⎢⎢⎜⎜ H + a ⎟⎟ 2 ⋅ g ⎠ ⎝ ⎣⎢
3 ⎤ ⎛ v 2 ⎞ 2 − ⎜⎜ a ⎟⎟ ⎥⎥ ---------- (4.38) ⎝ 2 ⋅ g ⎠ ⎥ ⎦
lo cual implica:
⎡ ⎤ 2 ⎞ 2 ⎛ va 2 ⎞ 2 ⎥ va ⎢⎛ ⎟ ⎜ ⎟ K q = 1.84 ⋅ ⎜1 − ⎢⎜ 2 ⋅ g ⋅ H ⎟ − ⎜ 2 ⋅ g ⋅ H ⎟ ⎥ ---------- (4.39) ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦ que cuando v ≤ 1.5m/s puede simplificarse a: 3
2 ⎡ ⎛ H ⎞ ⎤ = 1.84 ⋅ ⎢1 + 0.259 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.40) ⎢⎣ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦
⎛ ⎜ ⎝
3
Q
2 1 0.08 ⋅ H ⎞ = ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎛ + ⎜ 0.605 + ⎟ ----------- (4.48) 3 1.049 ⋅ H − 3 P ⎠ ⎝
K q
Q
va
2
⎞ 2 ⎟ + 0.00065 ⋅ L ---------- (4.41)
2 ⋅ g ⎠⎟ 3
⎛ 1.5 v ⎞ 2 0.00065 ---------- (4.42) = 1.83 ⋅ ⎜⎜1 + ⋅ a ⎟⎟ + 3 ⎝ H 2 ⋅ g ⎠ H 2 2 ⎡ ⎛ H ⎞ 0.00118 ⎤⎥ ---------- (4.43) = 1.83 ⋅ ⎢1 + 0.383 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + 3 ⎢ ⎥ ⎝ H 1 ⎠ H 2 ⎦ ⎣
Q
de donde: 2
⎤ ⎥ ---------- (4.45) ⎥⎦
4- Fórmula de Frese (1890) Q=
---------- (4.49)
⎤ ⎥ ----------- (4.50) ⎥⎦
=
1.78 H
0.03
2 ⎡ ⎛ H ⎞ ⎤ ⋅ ⎢1 + 0.56 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.51) ⎝ H 1 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢
2 1 H ⎞ ⎤ ⎞ ⋅ ⎡⎢1 + 0.5 ⋅ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.53) = ⎛ ⎜1.815 + ⎟ 551 ⋅ H + 0.888 ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎦⎥ ⎣
8- Fórmula de Rehbock (1938) 3
3
2 3 ⎛ H ⎞ ⎤ 2 0.0045 ⎞ ⎡ = ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎛ ⎜ 0.6075 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ----------- (4.44) 3 H ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎦⎥ ⎣
⎡ ⎛ H ⎞ ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎠ ⎢⎣ ⎝ H 1 ⎠
P
2 3 2 0.615 H ⎞ ⎤ ⎞ ⋅ ⎡⎢1 + 0.5 ⋅ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ----------- (4.52) = ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎛ ⎜ 0.615 + ⎟ 3 1000 ⋅ H + 1.6 ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦ ⎣
K q
Q
H
2
H
y por tanto:
3- Fórmula de Bazin (1888).
0.0133 ⎞
+ 0.236 ⋅
7- Fórm ula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924)
que cuando v < 0.6m/s queda:
= ⎛ ⎜1.793 + ⎝
1
⎡ ⎛ H ⎞ = 1.78 ⋅ L ⋅ H 1.47 ⋅ ⎢1 + 0.56 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢⎣ ⎝ H 1 ⎠
K q
2
K q
= 1.786 +
357 ⋅ H − 1.014 6- Fórmula de King (1912)
por tanto
Q
H
5- Fórmula de Rehbock (1912)
3
Q = 1.83 ⋅ L ⋅ ⎜ H + 1 .5 ⋅
K q
2 ⎡ ⎛ H ⎞ ⎤ ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.47) ⎠ ⎣⎢ ⎝ H 1 ⎠ ⎦⎥
0.00619 ⎞
que implica:
2- Fórmula de Fteley y Stearns (1883).
K q
= ⎛ ⎜1.815 + ⎝
de donde: 3
K q
K q
2 3 ⎛ H ⎞ ⎤ 0.0021 ⎞ ⎡ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎛ ⎜ 0.615 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ----------- (4.46) 3 H ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎦⎥ ⎣
2
de donde:
2 H + 0.1097 ⎞ ⎛ 0.1097 ⎞ 2 = ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎛ ⎜1.093 + 0.1464 ⋅ ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ ----------- (4.54) 3 P H ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
por lo que: K q
= ⎛ ⎜ 3.228 + 0.4323 ⋅ ⎝
3
H + 0.1097 ⎞
⎛ 0.1097 ⎞ 2 ---------- (4.55) ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ H ⎠ ⎠ ⎝
P Todas las fórmulas anteriores corresponden a vertedores sin contracción lateral, por lo cual al ser aplicadas a otros casos, debe corregirse el valor de L según la relación: ' L = L − 0.1 ⋅ n ⋅ H ---------- (4.56)
donde: n – número de contracciones laterales; L – longitud física del vertedor; L’ – valor equivalente para utilizar las fórmulas. Los valores de K q de las fórmulas anteriores aparecen en la tabla 4.3 Tabla 4.3 3
Valores comparativos de K q en la expresión Q vertedores. 91
=
K q ⋅ L ⋅ H 2 obtenidos con las distintas fórmulas para
92
Θ
0
120
Kq
n
2.35
2.48
90
1.34
2.48
60
0.821
2.51
22.5
0.254
2.43
Por su parte, King ha propuesto una ecuación empírica general para el cálculo del gasto real en cualquier tipo de vertedor triangular: Fig. 4.32 Vertedor triangular de pared delgada con lámina libre . El gasto teórico en este caso puede determinarse por:
∂Q = 2 ⋅ g ⋅ L ⋅
va
Q
Vertedores trapeciales de pared delgada con l ámina libre.
2
2⋅ g
+ ( H − x )∂x ---------- (4.58)
Para un vertedor trapecial como el que se muestra en la figura 4.33 se puede calcular el gasto teórico como la combinación de uno rectangular y uno triangular:
pero L no es constante, sino que: L
θ ⎞ = 1.38 ⋅ tan⎛ ⎜ ⎟ ⋅ H 2.5 ---------- (4.64) ⎝ 2 ⎠
Q
θ ⎞ = 2 ⋅ x ⋅ tan⎛ ⎜ ⎟ ---------- (4.59) ⎝ 2 ⎠
3
2
= ⋅ 2 ⋅ g ⋅ b ⋅ H 2 + 3
8 15
⋅ 2⋅ g ⋅
l H
5
⋅ H 2 ---------- (4.65)
y por tanto: 2
v θ ⎞ ∂Q = 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ tan⎛ ⎜ ⎟ ⋅ a + ( H − x ) ⋅ x ⋅ ∂x ---------- (4.60) ⎝ 2 ⎠ 2 ⋅ g
Integrando: 5 ⎡ 2 ⎞ 2 ⎛ θ ⎞ ⎢⎛ v Q = 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ tan ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ a + H ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎢⎜⎝ 2 ⋅ g ⎠ ⎣
3 ⎤ ⎛ v 2 ⎞ 2 ⎛ v 2 5 ⎞ − ⎜⎜ a ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ a + ⋅ H ⎟⎟⎥⎥ ---------- (4.61) ⎝ 2 ⋅ g ⎠ ⎝ 2 ⋅ g 2 ⎠⎥ ⎦
La expresión (4.61) puede simplificarse cuando
va
2
2⋅ g
es despreciable, y queda:
5
θ ⎞ Qt = ⋅ 2 ⋅ g ⋅ tan⎛ ⎜ ⎟ ⋅ H 2 ---------- (4.62) 15 ⎝ 2 ⎠
8
Fig. 4.33 Vertedor trapecial
El modelo más conocido es el llamado vertedor Cipolleti, en el cual l/H = 0.25. Este valor ha sido fijado con el objetivo de que el gasto real del vertedor coincida con el gasto teórico de un vertedor rectangular de longitud b. Es decir, el aumento de área con respecto al rectangular compensa las constricciones laterales y verticales. 3
Q
Empíricamente se ha demostrado que el gasto real puede expresarse como: n Q = K q ⋅ H ---------- (4.63) En diferentes investigaciones se han obtenido los siguientes valores de K q y n para los ángulos indicados:
95
= 1.859 ⋅ b ⋅ H 2 ; [m3 / s ] ---------- (4.66)
en el cual b y H deben estar expresada en metros. En este vertedor se debe verificar que la velocidad de aproximación sea baja para obtener un correcto funcionamiento. Otros modelos estudiados en la URSS de esta forma geométrica de vertedor son el Ivanov y el SANIIRI. El vertedor Ivanov tiene como característica que m=1, o sea el ángulo de inclinación del lado es 45 0 . La fórmula empírica de este vertedor es:
96
d) 0.15 ≤
H P
≤ 1.5
Las dimensiones del umbral deben cumplir que:
H > 0.85 ; ≤ 0.85 L1 P f) el flujo no sumergido se logra garantizando el nivel aguas abajo 10mm por debajo del fondo del vertedor. e) si
H
y 2 ≤
M.V. Butirin, en la URSS, desarrolló en 1958 este diseño de umbral ancho (Fig. 4.37), el cual admite gasto con sedimentos en suspensión hasta una razón de 50g/l. Esta instalación se aconseja para gastos de hasta 60 m 3 /s y un coeficiente de sumersión y 2 /y 1 menor que 0.8.
4
; PU ≥ 0.15m ; 0.3 ≤ h ≤ 3m ; H
H MIN = 0.08m ; LP
Vertedor de umb ral ancho SANIIRI.
T
PU
Q MAX
≥ 2;
Q MIN
≥ (10 ÷ 15) ⋅ d P ; L1 = y1
5 ⋅ y1
MAX
≤ 8;
h PU
≤ 2;
; 3.8 ⋅ PU ≤ L U ≤ 4.8 ⋅ PU ;
≤ L ab ≤ 7 ⋅ y1 ; b U = b + 2 ⋅ m ⋅ PU ;
La fórmula empírica para este umbral es: 3
[
]
Q = μ ' ⋅ ( b + m ⋅ H ) ⋅ H 2 ; m 3 / s ---------- (4.71) en el cual el coeficiente
μ = 1.64 + 0.18 ⋅ '
μ se calcula por: '
H PU
Los requisitos constructivos y de explotación de estas obras están contenidos en los que se plantearon anteriormente para los vertedores y las canaletas. Este umbral está modificado desde 1971 por el propio Butirin y otros investigadores para aumentar la relación Q MAX / Q MIN hasta 30.
4.8 Técnica de aforo con t oberas hidro métricas. Tobera hidrom étrica SANIIRI. Las toberas hidrométricas se utilizan para pequeños caudales, principalmente en canales de riego. Se basan en crear una diferencia de carga por el estrechamiento de la tobera, la cual trabaja sumergida (Fig. 4.38). La forma geométrica de la sección del canal no tiene influencia en el trabajo de la tobera. La tobera SANIIRI fue desarrollada por M.V. Butirin en 1937, y puede ser de sección circular, cuadrada o rectangular. Su esquema constructivo se muestra en la figura 4.38, y sus principales características son: Q ≤ 1m 3 / s ; Q MAX
< 4; Q MIN para las toberas circulares y cuadradas: D = 1.92 ⋅ d y L = 2 ⋅ d : para las toberas rectangulares: A = 1.9 ⋅ a ; b = 2 ⋅ a ; B = 2.9 ⋅ a ; L = 3 ⋅ a El gasto se determina empíricamente según las fórmulas siguientes: a) para toberas de sección circular: Q = 3.3 ⋅ d 2
⋅ Δy ; [m 3 / s ] ---------- (4.72)
b) para toberas de sección cuadrada: Q = 4.1 ⋅ d 2
⋅ Δy ; [m 3 / s ] ---------- (4.73)
c) para toberas de sección rectangular: Q = 4.1 ⋅ a ⋅ b ⋅
Δy ; [m 3 / s] ---------- (4.74)
donde Δ y, a, b y d deben estar expresada en metros.
Fig. 4.37 Vertedor de umbral ancho SANIIRI
101
102
Fig. 4.39 Regulador con aditamento hidrométrico (RAH)
Reguladores hidr ométricos d e tubo (RHT) Estos reguladores tienen un gran empleo en la hidrometría de explotación. Pueden ser de varios tipos: RHT tobera, RHT anillo, RHT cilindro, RHT Venturi, etc. La condición indispensable es que el nivel aguas abajo sea tal que la obra trabaje sumergida. Como ejemplo, en la figura 4.10 se muestra el RHT tobera elaborado en el SANIIRI
SECCION B-B
Fig. 4.40 Regulador hidrométrico de tubo
105
106
Las principales dimensiones de la obra son: L 1 ≥ 6.5 ⋅ D ; L 2 = D ; d = 0.74 ⋅ D ; φ = 0.06m ; h p
= 0.066 ⋅
Q 2 MAX d 4
+ y 2( MAX) + 0.5
Fig. 4.41 RHT Venturi
La fórmula del gasto es la siguiente: Q = 3.9 ⋅ d 2
⋅ Δy , [m 3 / s ] ---------- (4.76)
y el gasto mínimo que puede medirse se calcula según: Q = 0.55 ⋅ d 2 ---------- (4.77) Por último, en la figura 4.41 se presenta el RHT Venturi desarrollado en conjunto por V.E. Starkovskaia y S.I. Obolenskii. Las principales dimensiones son: L 1 ≥ 6 .5 ⋅ A ; L 2 ≥ A ; L3
= 0.6 ⋅ a + u ;
L 4 = 0.4 ⋅ a + u ; 0.2 ≤ u ≤ 0.3 ; L 5 = 0.4 ⋅ a ; a = 0.71 ⋅ A ; 107
108
y, por tanto, empleando la ecuación (5.39) de Manning: 2
2 ⎛ ⎞ 3 b ( ⋅ y + m ⋅ y 2 )⋅ ⎜⎜ b ⋅ y + m ⋅ y 2 ⎟⎟ ⎝ b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m ⎠
=
Q⋅n S
Como se ve, es imposible despejar el valor de y que satisface la ecuación. El proceso iterativo de determinación de la y n aparece en el diagrama de bloques de la figura 5.3. Este procedimiento puede auxiliarse de un método gráfico para aligerar los cálculos. En ese caso es necesario que en los tanteos se tengan, al menos, dos puntos que cumplan que: 2
A 1 ⋅ R 1 3
<
Q⋅n S
2
< A 2 ⋅ R 2 3
De esa forma es posible plotear un gráfico y entrar en él con el valor de
Q⋅n S
y que al cortar la 2
curva trazada dé el valor de y n. Si el gráfico se traza en papel logarítmico, la curva A ⋅ R 3 vs. y se rectifica adoptando una forma lineal en la mayoría de los casos y el resultado es más rápido y exacto. Si se prefiere, la interpolación puede realizarse numéricamente, siempre que los dos puntos más cercanos a la solución difieran de esta por exceso y por defecto respectivamente.. Teniendo en cuenta que en un papel log-log, esos puntos pueden unirse con una línea recta (Fig. 5.4), la solución numérica de la interpolación, aplicando semejanza de triángulos, será:
(
log A1 ⋅ R 1
0.67
) − log(A
log y1
2
− log y 2
⋅ R 2 0.67 )
=
log(A ⋅ R 0.67 ) − log(A 2 ⋅ R 2 log y − log y 2
0.67
)
---------- (5.40)
log(A ⋅ R 0.67 ) , ya ⎛ ⎞ Q n ⋅ que este último es igual al log⎜ ⎟ ; por lo tanto, la única incógnita es log y, o sea, la S ⎠ ⎝ En la ecuación anterior se conocen los términos relativos a los puntos 1 y 2 y el
profundidad. Esta incógnita puede despejarse fácilmente y obtener así la solución deseada. Como elemento auxiliar para el cálculo aproximado de y n en el caso de canales rectangulares, trapeciales o circulares, puede utilizarse el gráfico adimensional de la figura 5.5, en el cual el eje de 2
las ordenadas es y/b y el de l as abscisas es
A ⋅ R 3 8
.
b 3 El empleo de ese gráfico se muestra en el diagrama de bloques de la figura 5.6. En el caso de que el canal tenga una sección circular, en el cálculo se sustituye b por d.
Fig. 5.3 Calculo iterativo de y n. Diagrama de bloques simplificado.
119
120
Fig. 5.4 Determinación gráfica de y n en papal logarítmico
121
Fig. 5.5 Curvas para determinar y n
122
Fig. 5.6 Cálculo de y n mediante el gráfico adimensional .
5.7 Pendiente normal, pendiente crítica y pendiente límite. Se conoce por pendiente normal la pendiente S 0 del fondo de la conducción, para la cual se satisfacen las ecuaciones del régimen uniforme. Se denomina pendiente crítica S C al valor de pendiente del fondo de la conducción que asegure que el régimen uniforme sea a la vez un régimen crítico. La pendiente normal se obtiene resolviendo la ecuación de régimen uniforme: a) según Manning 2
S0
⎛ Q ⋅ n ⎞ ⎟ ---------- (5.41) = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A ⋅ R 3 ⎠
b) según Chezy S0
⎛ Q ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ C ⋅ A ⋅ R ⎠
2
y la pendiente crítica se obtiene por: 2
⎛ Q ⋅ n ⎞ ⎜ ⎟ ---------- (5.42) SC = ⎜ ⎜ A ⋅ R 23 ⎟⎟ ⎝ C C ⎠ 123
124
A = 5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 ;
Si en lugar de usar la fórmula de Ganguillet-Kutter para determinar C, se usará la de Pavlovskii o la de Bazin, el procedimiento seria análogo. A = 5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 ;
P = 5 + 5.385 ⋅ y; R =
5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2
P = 5 + 5.385 ⋅ y;
5 + 5.385 ⋅ y Suponiendo y n = 1m: A = 5 ⋅ 1 + 2.5 ⋅ 12 = 7.5m 2 ;
R =
; P R = A/P Si 0.1m ≤ R ≤ 1.0m ;
P = 5 + 5.385 ⋅ 1 = 10.385m; R =
7.5 10.385
= 0.722m;
23 +
0.00155
+
R =
1
0.0005 0.02 C= 0.00155 ⎞ 0.02 ⎛ 1 + ⎜ 23 + ⎟⋅ 0.0005 ⎠ 0.722 ⎝ Q = 47.1 ⋅ 7.5 ⋅ 0.722 ⋅ 0.0005
A
= 1+
76.1 0.522
= 47.1;
= 6.71 < 15m / s 3
P
Y = 1.5 ⋅ 0.02 C=
0.722
A
1 0.02
⋅ R
pero si 1.0m ≤ R ≤ 3.0m ;
Suponiendo y n = 2m: A = 5 ⋅ 2 + 2.5 ⋅ 2 2 = 20m 2 ;
Y = 1.3 ⋅ 0.02
P = 5 + 5.385 ⋅ 2 = 15.77 m;
C=
R =
20
= 1.268m; 15.77 76.1 C= = 52.0; 0.522 1+ 1.268
1 0.02
= 0.1838
⋅ R
0.1838
finalmente Q = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S Suponiendo y n = 1m: A = 7.5m 2 ; P = 10.385m;
Q = 52 ⋅ 20 ⋅ 1.268 ⋅ 0.0005 = 26.19 > 15m 3 / s Suponiendo y n = 1.5m: A = 5 ⋅ 1.5 + 2.5 ⋅ 1.5 2 = 13.125m 2 ;
R = 0.722m; C=
P = 5 + 5.385 ⋅ 1.5 = 13.077m;
1 0.02
⋅ (0.722 )0.212 = 46.7;
Q = 46.7 ⋅ 7.5 ⋅ 0.722 ⋅ 0.0005
13.125 = 1.004m; 13.077 76.1 C= = 50.0; 0.522 1+ 1.004 R =
Q = 50 ⋅ 13.125 ⋅ 1.004 ⋅ 0.0005
= 0.212
0.212
= 6.65 < 15m 3 / s
Suponiendo y n = 2m: A = 20m 2 ; P = 15.77m;
= 14.70m 3 / s
R = 1.268m; 1
Finalmente se supone y n = 1.51m: A = 13.250m 2 ;
C=
P = 13.131m;
Q = 52.2 ⋅ 20 ⋅ 1.268 ⋅ 0.0005
0.02
⋅ (1.268)0.1838 = 52.2; = 26.30 > 15m 3 / s
R = 1.009m;
Finalmente se supone que y n = 1.515:
C = 50.1;
A = 13.31m 2 ;
Q = 14.910m 3 / s
P = 13.158m;
Para una mayor precisión debe calcularse hasta el mm; en ese caso se obtendrá: yn = 1.515 para A = 13.313m 2; P = 13.158m; R = 1.012m, C = 50.1; Q = 15.00 m 3/s. 131
R = 1.012m; C = 50.1; Q = 15.00m 3 / s; 132
Fig. 6.4 Factor de corrección de la velocidad permisible en suelos cohesivos y no cohesivos por la profundidad de circulación.
En las figuras 6.5 y 6.6 se muestran los gráficos obtenidos en la URSS por T.S. Mirtsjulava para suelos sueltos y suelos cohesivos. También resulta de utilidad el diágrama de Hjulstrom (Fig. 6.7) propuesto en 1935 y que se basa en los valores medios de las velocidades. En este gráfico se muestran las zonas en que ocurre erosión, transporte o sedimentación. Lo más notable de este trabajo es que muestra la diferencia que existe entre las velocidades que provocan el inicio del movimiento en el lecho y las que provocan transporte de sedimentos. Estos dos conceptos a veces se confunden y no aparecen en el resto de las fórmulas, tablas o gráficos. Fig. 6.2 Velocidad permisible en suelos no cohesivos
Por último, se exponen algunas fórmulas que se utilizan para calcular la capacidad de transportación de material del canal, como por ejemplo, la fórmula de E.A. Zamarin: 3 ⎛ v ⎞ ρS = 700 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ (R ⋅ S) 2 para 2mm / s ≤ v S < 8mm / s ---------- (6.11a) ⎝ v S ⎠ 1
⎛ R ⋅ S ⋅ v ⎞ 2 ⎟⎟ para 0.4mm / s ≤ v S < 2mm / s ---------- (6.11b) ρS = 350 ⋅ v ⋅ ⎜⎜ ⎝ v S ⎠ donde: ρS - cantidad de sedimento transportado, kg/m 3; v – velocidad media del agua, m/s; vS – velocidad promedio de sedimentación de las partículas con un diámetro medio D R - radio hidráulico del canal, m; S - pendiente del fondo del canal, tanto por uno. Otra fórmula propuesta por la norma soviética, GOST 3908-47, es ρS = B ⋅ Q 0.4 ⋅ S o ---------- (6.12) donde: Q - caudal, m 3/s; B - coeficiente empírico que torna los valores siguientes: 4 700 para v S ≤ 1.5mm / s ; 3 000 para 1.6 ≤ v S ≤ 3.5mm / s ; Fig. 6.3 Curvas de velocidad permisible en suelos cohesivos
147
1 100 para 3.6 ≤ v S ≤ 6.5mm / s ; 600 para v S > 6.5mm / s .
148
med ,
m/s;
Fig. 6.6 Gráfico de T S Mirtsjulava para suelos cohesivos
Fig. 6.5 Gráfico de T S Mirtsjulava para suelos sueltos Fig. 6.7 Criterio de erosión de partículas uniformes, según Hulstrom (1935)
149
150
donde: φ - ángulo de reposo del material; Fn y F 1 - fuerzas normal y tangencial al ángulo de reposo de la partícula analizada.
En la ecuación (6.19) se considera β = 0 para simplificar el procedimiento matemático. No obstante, en el flujo en curvas horizontales, donde la inclinación de la velocidad crítica resultante del movimiento secundario es apreciable, β0 no puede despreciarse.
De ahí puede plantearse (Fig. 6.9):
La fuerza que se opone al movimiento de la partícula de suelo, en caso de suelos friccionales, es la fuerza de fricción. Por tanto, en el caso de movimiento inminente se tiene:
tan φ =
W ⋅ senα 0
+ FA ---------- (6.18) W ⋅ cos α 0 − FE
W ⋅ cos α 0 ⋅ tan φ = ( W 2 ⋅ sen 2 α 0
+ a 2 ⋅ τ L 2 ) 0.5 ---------- (6.20)
de donde puede obtenerse el valor de
donde:
α - ángulo de inclinación de la partícula;
τL =
F A y FE - fuerzas de arrastre y de elevación respectivamente;
τL : 0.5
⎛ tan 2 α 0 ⎞ ⎟⎟ ---------- (6.21) ⋅ cos α 0 ⋅ tan φ ⋅ ⎜⎜1 − 2 a ⎝ tan φ ⎠
W
Igualmente, puede obtenerse el valor de haciendo α0 = 0:
W - peso de la partícula. Al analizar las fuerzas que actúan sobre la partícula para tratar de moverla de su posición de equilibrio (Fig. 6.10) puede plantearse la siguiente ecuación:
ΣF = W 2 ⋅ senα 0 + a 2 ⋅ τ L 2 ----------- (6.19) donde: α - área de la sección transversal de la partícula; τ L - fuerza cortante unitaria actuante en el talud del canal.
τF =
W a
τ L , fuerza cortante unitaria actuante sobre el fondo del canal,
⋅ tan φ ---------- (6.22)
De este modo se llega a l a relación de fuerzas cortantes unitarias K τ K τ
=
τL ---------- (6.23) τF
o lo que es lo mismo: K τ
= cos α 0 ⋅ 1 −
tan 2 α 0 tan
2
φ
= 1−
relación que solo depende de α0 y obtenerse de la figura 6.11.
sen 2 α 0 sen 2 φ
---------- (6.24)
φ . El valor de φ , que depende del material del lecho del canal, puede
Fig. 6.9 Diagrama de fuerzas sobre partículas en un lecho suelto no cohesivo
Fig. 6.10 Diagrama de fuerzas sobre partículas en el talud de un canal
153
Fig. 6.11 Ángulo de reposo de materiales no cohesivos, según Lane (1953)
154
De la misma forma que se ha trabajado para encontrar una expresión de la fuerza cortante unitaria actuante, muchos investigadores han planteado fórmulas para el cálculo de la fuerza cortante resistente o crítica del suelo, que es la fuerza cortante que el suelo es capaz de soportar sin comenzar a erosionarse. Schoklitsch, en 1914, propuso la ecuación:
[
]
3 0 .5
τ CRIT = 0 .201 ⋅ γ ⋅ (γ S − γ ) ⋅ λ ⋅ d
---------- (6.25)
donde: τ CRIT - se expresa en kgf/m 2 (1kgf/m2 = 9.81Pa); d - diámetro medio de los granos que forman el material; A - coeficiente de forma, que vale 1 para esferas y 4.4 para partículas achatadas; γ y γ S - pesos específicos del agua y del suelo en kgf/ m 2 (1kgf/m2 = 9.81 N/m 3)
τ CRIT = 0.076 ⋅ (γ S − γ ) ⋅ d para d ≥ 0.0006m ---------- (6.27) τ CRIT = 0.000285 ⋅ (γ S − γ ) ⋅ d 0.333 para 0.0001 ≤ d ≤ 0.003m ---------- (6.28) en la cual, d se expresa en metros, γ S y γ en newton por metro cúbico, y τ CRIT en pascal. Leliavski, por su parte, propone en 1955 una relación simple, que aparece en la figura 6.14 y cuya expresión es: τ CRIT = 16.3 ⋅ d , [Pa ] ---------- (6.29) válida para valores del diámetro medio de las partículas menores que 3.4mm.
La información aportada por investigadores tales como Krey (1925), Eisner (1932), Nemenyi (1933) y O'Brien (1934) corroboran los resultados de Schoklitsch. En sus estudios, Kramer (1935) sugirió que la composición granulométrica del material debía ser estudiada, además de por su diámetro medio, por un coeficiente de distribución M, dado por la relación entre la fuerza de arrastre F A y la fuerza resistente F R, definidas en la figura 6.12.
Fig. 6.13 Fuerzas cortante crítica en función del diámetro de los granos, según Schoklitsch (1950)
Fig. 6.12 Fuerza cortante crítica en relación con las características de la arena, según Tiffany (1935) Posteriormente, Tiffany, también en 1935, presentó otras evidencias experimentales que permitieron proponer la ecuación:
τ CRIT = 29 ⋅ (γ S − γ ) ⋅
d M
---------- (6.26)
De nuevo Schoklitsch, en 1950, reorganiza todos los datos existentes y propone dos ecuaciones que aparecen gráficamente en la figura 6.13, y que son:
155
Fig. 6.14 Fuerzas cortante crítica en función del diámetro de los granos, según Leliavski (1955).
156
Después de una recopilación de criterios, Lane, en 1953, propone un diagrama (Fig. 6.15), el cual recoge los estudios realizados en materiales friccionales por muchos autores. Este gráfico es de gran utilidad para el proyectista de canales. En él se observa claramente la diferencia entre la fuerza cortante crítica en el caso que la corriente sea de aguas limpias o de aguas con sedimentos en suspensión.
Un extenso trabajo del USBR (United States Bureau of Reclamation) reportado por Euger (1960) y Thomas (1961), el cual recopila información de cuarenta y seis investigadores con canales que van desde 0.1 m3/s hasta 100 m 3/s, da como resultado una ecuación de la forma: τ CRIT = a + b ⋅ (IP) + c ⋅ (LL) + d ⋅ (D%) + e ⋅ (Mφ) ---------- (6.32)
Otros criterios y estudios sobre el tema han sido desarrollados por investigadores como: Kalinske (1947), quien sugiere que las máximas fuerzas, en ocasiones, superan en 3 o 4 veces los valores medios hallados por criterios anteriores; Vanoni (1964), que emplea el criterio del número de "estallados" por segundo; y Grass (1970), quien realizó sus estudios mediante cámara ultrarrápida con un proceso de computación para el análisis de la fil mación del comienzo y desarrollo del proceso erosivo en el canal.
Fig. 6.15 Fuerza cortante crítica en función del diámetro de los granos, según Lane (1953) En el caso de los materiales cohesivos, la cohesión brinda una fuerza adicional que se opone al movimiento, y la relación para el ángulo de reposo es: tan φ =
FA
± Fcoh
W − FE
---------- (6.30)
En estos casos el esfuerzo cortante no solamente es función de d, sino también de c (coeficiente de cohesión), por lo que puede plantearse:
τ CRIT = f (d , c) ---------- (6.31) Tanto Lane (1953), Chow (1959) y Masch (1968) recomiendan la tabla de Fortier (tabla 6.1) dada en 1926 para trabajos en materiales cohesivos. Otra información útil es la dada por Chow (1959), representada en la figura 6.16.
157
Fig. 6.16 Fuerza cortante permisible, según el USBR y datos de la URSS (tomado de Open Channel Hydraulics, de V.T. Chow)
158
Para obtener el valor de α P es necesario conocer el ritmo de trabajo del canal (RTC), que es la relación entre el número de canales que trabajan simultáneamente (NCT) y el número de canales (NC) que desembocan en el canal que se quiere calcular (Fig. 6.19): RCT =
NC NCT
---------- (6.46)
Tabla 6.12 Coeficientes σ de pérdidas de agua en canales.
Suelo
El valor de α P puede entonces obtenerse por la siguiente relación:
αP 1.0 0.75 0.66 0.62
RCT 1 2 3 4
El coeficiente βP se obtiene en función del número de horas que trabaje diariamente la conducción y sus valores son: t 5 10 15 20 más de 24
βP 2.35 1.60 1.30 1.15 1.0
Para calcular las pérdidas de agua como porcentaje del gasto por kilómetro de canal ( σ), se presentan en la tabla 6.12 tres fórmulas desarrolladas por el académico N. Kostiakov y tres fórmulas propuestas por el Instituto de Hidromejoramiento de Asia Central, en función del tipo de terreno en que se construye el canal. De esta forma quedan determinados todos los factores que intervienen en el cálculo de PER según las fórmulas.
Muy permeables Medianamente permeables
σ Permeabilidad (m/día) según Kostiakov 3.4
≥2 0.5 – 1.0
σ= σ=
σ según Instituto de Hidromejoramiento del Asia Central (URSS) 2.85 ÷ 3.15
σ=
Q 0.5 1.9
σ=
Q 0.4 0.7
Q 0.5 1.87 ÷ 2.3 Q 0.5 1.0 ÷ 1.3
σ = 0.3 σ= Poco Q Q 0.5 ≤ 0.1 permeables Tomada de Metodología para un proyecto de riego en el cultivo de la caña de azúcar, de F. Rajimbaev. Si las aguas subterráneas no yacen profundamente y sostienen el flujo filtrante del canal, las pérdidas de agua son menores que la filtración libre. En este caso, PER se obtiene multiplicando las pérdidas por filtración libre por un coeficiente de corrección C p según los datos que aparecen en la tabla 6.13. Tabla 6.13 Coeficiente C p para corrección de pérdidas por influencia del manto freático. Profundidad del manto freático con respecto al fondo del canal (m) Gasto (m3/s) <3 3 5 7.5 10 15 20 25 0.3 0.82 1.0 0.63 0.79 3.0 0.50 0.63 0.82 10.0 0.41 0.50 0.65 0.79 0.91 20.0 0.36 0.45 0.57 0.71 0.82 30.0 0.35 0.42 0.54 0.66 0.77 0.94 50.0 0.32 0.37 0.49 0.60 0.69 0.84 0.97 100.0 0.28 0.33 0.42 0.52 0.58 0.73 0.84 0.94 Tomada de Metodología para un proyecto de riego en el cultivo de la caria de azúcar, de F. Rajimbaev. De acuerdo con esta metodología, el cálculo de las pérdidas puede esquematizarse en el diagrama que se muestra en la figura 6.20.
Fig. 6.19 Cálculo del ritmo de trabajo del canal
163
164
El Instructivo del MICONS de 1978 plantea, para el cálculo de PE R, diferentes fórmulas en función de la forma de la sección transversal del canal. Dicho instructivo propone: PER = 0.0116 ⋅ K ⋅ (T + 2 ⋅ y ); m 3 / s ---------- (6.47) donde: K - coeficiente de filtración del suelo del lecho del canal, m/día; T - ancho superficial del canal, m; y - profundidad de circulación, m. La fórmula (6.47) es válida para canales de sección aproximadamente semicircular. Para canales de sección trapecial se propone: T PER = 0.0116 ⋅ K ⋅ μ P ⋅ (T + 2 ⋅ y ) para ≤ 4 ---------- (6.48) y T PER = 0.0116 ⋅ K ⋅ (T + A P ⋅ y ) para > 4 ---------- (6.49) y donde: T A P y μ P - coeficientes que dependen de la relación y del talud m, y que se determinan mediante y la tabla 6.14. Tabla 6.14 Valores de A P y
μP m=1 T/y 2 3 4 5 6 7 10 15 20
AP 2.0 2.4 2.7 3.0 3.2 3.4 3.7 4.0 4.2
m = 1.5
μP 0.98 1.00 1.14 1.15 1.14 1.12 1.11 1.08 1.06
AP 1.9 2.2 2.5 2.7 3.0 3.2 3.6 3.9
μP 0.78 0.98 1.04 1.08 1.10 1.10 1.10 1.07 1.08
m=2 AP 1.8 2.1 2.3 2.7 2.9 3.3 3.6
μP 0.62 0.82 0.94 1.02 1.04 1.07 1.07 1.06 1.05
Tomada de Regulación de Proyectos, No. 1081, Ministerio de la Construcción. La influencia del agua subterránea se obtiene exactamente igual que en la metodología anterior. El coeficiente de eficiencia η para canales que trabajan con largas interrupciones se determina por la fórmula: Q Q η = N = n ---------- (6.50) QB QB En este caso, el gasto neto (Q N ) coincide con el gasto normal de circulación del canal. Si esto no se cumple, o sea, si el gasto de circulación es menor que el gasto normal, el coeficiente de eficiencia se determina por la tabla 6.15, en la cual Q Ω = N ---------- (6.51) Qn Fig. 6.20 Cálculo de las pérdidas por filtración en un canal. Diagrama de bloques simplificado
165
166
Fig. 6.22 Bordo libre según el USBR. En la práctica es usual dejar bordos libres entre el 5 y el 30% de la profundidad de circulación esperada en la sección, de forma que: 1.05 ⋅ y ≤ y + BL ≤ 1.30 ⋅ y ---------- (6.58) El USBR indica valores dé bordo libre desde 30cm para canales pequeños con tirantes bajos, hasta 1.30m en canales con capacidad mayor de 85m 3/s. Además, recomienda estimar el valor del bordo libre de acuerdo con la fórmula:
cotαR
Fig. 6.21 Diagrama de Jambu
F = C BL ⋅ y ---------- (6.59) donde: y - profundidad de circulación, m; CBL - coeficiente que varía desde 0.83 para canales con capacidad de 0.570m 3/s hasta 1.38 para canales con capacidad de 85m 3/s o más. Para canales revestidos se plantea el cálculo del bordo libre recubierto y el bordo libre total correspondiente al dique mediante el gráfico de la figura 6.22. La ecuación de la curva correspondiente a la altura del dique con respecto al nivel de agua, según Llanusa y Viamontes es:
6.8 Bordo libre. Un elemento de vital importancia en el diseño de un canal es el bordo libre, empleado como elemento de protección y resguardo, para evitar cualquier desbordamiento debido a variaciones temporales del caudal que conduce el canal, salpicaduras producto de oleaje, variaciones de nivel debidas a la ocurrencia de régimen impermanente causado por abertura o cierre de compuertas de entrega o de extracción. El bordo libre adquiere mayor importancia en las zonas donde se espera régimen variado y en las curvaturas donde el efecto del peralte de la superficie del agua pudiera llegar a ser pronunciado.
171
BL = 0.3723 + 0.02133 ⋅ Q − 0.0035 en la cual, Q debe estar expresado en metros cúbicos por segundo y BL en metros.
6.9 Sección de máximo radio h idráulico . La forma óptima de la sección transversal en conducciones libres puede caracterizarse de diferentes formas: 1- Para una misma área de la sección transversal, rugosidad y pendiente del fondo, será la sección capaz de conducir un gasto máximo.
172
Fig. 7.1 Método de simultáneo de ecuaciones. Diagrama de bloque simplificado
183
184
Fig. 7.2 Método de aproximaciones sucesivas. Diagrama de bloques.
7.5 Método de la sección hidráulicamente más estable. Este método de cálculo se emplea normalmente en canales no revestidos, ya que en materiales resistentes como el hormigón, el asfalto, etc., el τCRIT es muy alto. Se basa en los planteamientos estudiados en el epígrafe 6.10 y parte de los elementos básicos del método de la fuerza cortante, pero resuelve el diseño de la sección de forma muy particular fundamentándose en las hipótesis planteadas por Lane. Se debe aclarar que constructivamente este tipo de sección es desventajosa, debido al cuidado necesario que se debe tener en el replanteo, construcción y posterior mantenimiento. No obstante, para canales excavados en materiales granulares o arcillosos, de los cuales se tengan los datos necesarios, y para algunos revestimientos antierosivos que utilizan materiales granulares, debe considerarse este método, debido a las ventajas que implica. El uso más frecuente de la sección hidráulicamente más estable no es para diseño propiamente, sino para estimar la configuración que adoptará con el tiempo un canal excavado en un material erosionable, una vez que se logre la estabilidad de la sección. Un caso típico son los surcos que se utilizan para regadío. El procedimiento de cálculo se ilustra en la figura 7.5.
185
186
Fig. 7.3 Método de la fuerza cortante. Diagrama de bloques simplificado
187
188
Fig. 7.5 Método de la sección más estable. Diagrama de bloques simplificado
7.6 Diseño de canales con secci ón transversal c errada. El cálculo de canales de sección transversal cerrada se diferencia del resto de los canales en tres aspectos fundamentales. Primero: las secciones cerradas están construidas de materiales resistentes a las altas velocidades, debido a la función estructural que deben realizar, por lo cual su diseño no se basa en criterios de erosión. De esto no puede inferirse que el proyectista esté exonerado de revisar las velocidades que se producen en el conducto y que pudieran llegar a ser peligrosas, especialmente en las juntas constructivas. Segundo: las secciones transversales cerradas, por motivos estructurales o de operación, se diseñan con formas geométricas complejas, lo cual hace que las ecuaciones de las propiedades geométricas sean relativamente complicadas. Por supuesto, esto no es absoluto, pues las conducciones circulares o las rectangulares no presentan tanta dificultad como las ovoidales, de herradura, etc. Numerosos autores han contribuido a simplificar estos cálculos y salvar el obstáculo que representa la solución de ecuaciones, mediante gráficos y nomogramas. Fig. 7.4 Método del máximo radio hidráulico. Diagrama de bloques simplificado
189
Tercero: el gasto máximo y la velocidad máxima en muchas de estas secciones no se produce para el tirante máximo ni ocurren simultáneamente.
190
R =
d 0 4
d 0
−
⎛ 1 y ⎞ y ⎛ y ⎞ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ 2 d 0 ⎠ d 0 ⎝ d 0 ⎠ --------- (7.36) ⎛ y ⎞ ⎟⎟ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ d 0 ⎠ ⎝
b) conocidos Q, y, d 0 y n obtener S (Fig. 7.9); c) conocidos d 0, y, S y n determinar Q (Fig. 7.10); d) conocidos Q, y, S y n calcular d 0 (Fig. 7.11).
2
⎡ ⎛ 1 y ⎞ y ⎛ y ⎞ ⎤ 3 ⎟⎟ ⋅ ⎢ ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎥ d 0 ⋅ ⎜⎜ − 1 ⎢ d 0 ⎝ 2 d 0 ⎠ d 0 ⎝ d 0 ⎠ ⎥ v = ⋅⎢ − ⎥ ⋅ S 0 ---------- (7.37) n ⎢4 ⎛ y ⎞ ⎥ ⎟⎟ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎢ ⎥ d 0 ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ 5
⎡ d 0 2 ⎛ ⎛ y ⎞ y ⎛ y ⎞ ⎤ 3 y ⎞ ⎢ ⋅ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟ − d 0 2 ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎥ 4 d 0 ⎠ ⎝ ⎝ d 0 ⎠ d 0 ⎝ d 0 ⎠ ⎦⎥ 1 ⎣⎢ ⋅ S 0 ---------- (7.38) Q= ⋅ 2 n 3 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ y −1 ⎢d 0 ⋅ cos ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟⎥ d 0 ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝
Secciones rectangulares cerradas (tipo cajón) En la práctica diaria de la ingeniería es común el uso de las secciones rectangulares cerradas para resolver las conducciones de agua residuales, aguas pluviales o alcantarillas. Debido a su diseño estructural el cálculo de los parámetros hidráulicos no es simple (Fig. 7.12) por lo cual aparecen en el anexo 6, las tablas que permiten calcular este tipo de sección transversal cuando la circulación en la sección no es totalmente llena. Las ecuaciones para la sección llena son: A 0 = B ⋅ H − 2 ⋅ c ⋅ d
P0 R 0
= 2 ⋅ B1 + 2 ⋅ H1 + 4 ⋅ c 2 + d 2 =
A0 P0
Puede observarse que intentar trabajar con las fórmulas (7.35) a (7.38), si bien es posible, resulta engorroso, y A R v Q y es por esa razón que se ha preferido obtener los valores de , , y en función de . A 0 R 0 v 0 Q0 d 0 A A0
⎛ y ⎞ 4 ⎛ 1 y ⎞ y 1 = ⋅ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟ − ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ d 0 ⎠ π ⎝ 2 d 0 ⎠ d 0 π ⎝
⎛ y ⎞ ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ---------- (7.39) ⎝ d 0 ⎠
⎛ 1
R R 0
y ⎞ y ⎛ y ⎞ − ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ 2 d 0 ⎠ d 0 ⎝ d 0 ⎠ ---------- (7.40) ⎛ y ⎞ ⎟⎟ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ d 0 ⎠ ⎝
4 ⋅ ⎜⎜
= 1−
2
⎛ R ⎞ 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ ---------- (7.41) v 0 ⎝ R 0 ⎠ v
2
Q Q0
=
⎛ R ⎞ 3 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ---------- (7.42) A 0 ⎝ R 0 ⎠ A
La representación gráfica de estas expresiones, como se muestra en la figura 7.7, es de gran ayuda para el diseño de este tipo de conducción, pues basta calcular las propiedades geométricas o el caudal, o la velocidad de dicha conducción en condiciones de llenado total y determinar las correspondientes relaciones para cualquier llenado parcial, con el auxilio del gráfico de las propiedades de las conducciones circulares. Nótese que las fórmulas planteadas parten de la suposición de que n es constante, lo cual no corresponde con la realidad, pues se ha visto experimentalmente, y está lógicamente sustentado, que n varía con el tirante. Por lo tanto, la ley que relaciona v / v 0 con y / d 0 no es reflejada fielmente por las ecuaciones (7.41) y (7.42), sino por las curvas correspondientes de la figura 7.7 que han sido obtenidas por ensayos de laboratorio. A continuación se tratan algunos problemas típicos que pueden presentarse en el uso de tuberías circulares que funcionen como conducciones libres y cuyas soluciones se ilustran mediante diagramas de bloques: a) conocidos Q, d 0, n y S calcular y y v (Fig. 7.8);
193
194
Fig. 7.9 Diagrama de bloques del caso b)
-
Fig. 7.8 Esquema de cálculo del caso a)
Fig. 7.7 Curvas características para conductos circulares parcialmente llenos.
Fig. 7.10 Diagrama de bloques del caso c)
195
196
Otras secciones transversales cerradas Por un procedimiento similar al seguido para el análisis de las conducciones circulares pueden establecerse las propiedades de cualquier otro conducto cerrado no circular, aunque evidentemente el proceso es más complejo desde el punto de vista matemático en la medida que se complica la sección transversal. En la figura 7.13 se muestran las curvas características de varios tipos de secciones transversales cerradas que son de uso más o menos frecuente en el diseño de túneles, alcantarillados, drenajes pluviales, etcétera.
Fig. 7.11 Diagrama de bloques del caso
Fig. 7.12 Dimensiones típicas de la sección de
197
198
7.8 Ejercicios resueltos. 1. Diseñar un canal trapecial que debe excavarse en un terreno arcilloso coloidal con pendiente de fondo de 0.004, n = 0.02, capaz de evacuar 20m 3 /s sin erosionarse. Considerar m = 2. De la tabla 6.1 para agua limpia y este tipo de material v
MAX =
1.14m/s.
- Método de! sistema de ecuaciones Suponiendo v = v MAX = 1.14m/s; Q 20 A= = = 17.54m 2 v 1.14 3
⎡ v ⋅ n ⎤ 2 ⎡1.14 ⋅ 0.02 ⎤ ⎥ =⎢ ⎥ ⎣ S ⎦ ⎣ 0.0004 ⎦
R = ⎢
A
1.5
= 1.217m
17.54 = 14.41m 1.217 b ⋅ y + 2 ⋅ y 2 = 17.54 P=
v
=
b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + 2 2
= 14.41
b = 14.41 − 4.472 ⋅ y Sustituyendo: (14.41 − 4.472 ⋅ y) ⋅ y + 2 ⋅ y 2 o sea: 2.472 − 14.41 ⋅ y + 17.54 = 0
y=
14.41 ± (14.41) 2
− 4 ⋅ 2.472 ⋅ 17.54
2 ⋅ 2.472 y1 = 4.098: b 1 = - 3.916 (no tiene sentido) y2 = 1.732: b 2 = 6.664 (válida) Verificación de la relación
= 17.54
= 2.915 ± 1.183
b y
b = 3.847 (es aceptable) y Reajustando b a un valor de 7m; y recalculando y n; Q⋅n S
=
20 ⋅ 0.02 0.0004
= 20; 2
⎛ 7 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ⎞ 3 ⎟⎟ = 20 (7 ⋅ y + 2 ⋅ y ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 7 + 4.472 ⋅ y ⎠ 2
cuya solución es y n = 1.70m No es necesario verificar la velocidad, pues al aumentarse b, su valor es inferior al supuesto (1.14) Considerando un bordo libre: 0.05 ⋅ y ≤ BL ≤ 0.30 ⋅ y n ;
1.785 ≤ BL + y ≤ 2.21; se toma: BL + y = 2m; Fig. 7.15 Diseño de canal con vegetación. Diagrama de bloques.
203
luego: BL = 0.3m; con lo que se obtiene una sección transversal de ancho de plato 7m y profundidad total 2m.
204
E1
−
Se1
ΔX =
⋅ ΔX + S 0 ⋅ ΔX = E 2 +
2 E2
Se 2 2
⋅ ΔX ---------- (8.9)
8.3 Ecuación d iferencial del régimen permanente y gradu almente variado. En una sección cualquiera, como se conoce, puede plantearse que la carga total es: v2 H = z + d ⋅ cos θ + α ⋅ ---------- (8.18) 2⋅g
− E1 ---------- (8.10) S0 − S e
pero que son las formas usuales de la ecuación elemental del régimen permanente y gradualmente variado, de las cuales se parte para estudiar los diferentes métodos del cálculo de dicho régimen.
Si se deriva esta ecuación con respecto a un eje X, colineal con el fondo del canal, según aparece en la figura 8.2, se obtiene: ∂H ∂z ∂d ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎟ ---------- (8.19) = + cos θ ⋅ + α ⋅ ⎜⎜ ∂x ∂x ∂x ∂x ⎝ 2 ⋅ g ⎠⎟
H
Fig. 8.1 Ecuación de Bernoulli para régimen permanente gradualmente variado Es necesario señalar que algunos autores determinan el valor de Se en forma diferente a la presentada en las fórmulas (8.3) y (8.4) de acuerdo con el siguiente desarrollo:
Fig. 8.2 Ecuación diferencial del RPGV
2
⎛ v ⋅ n ⎞ Se = ⎜ 2 ⎟ ---------- (8.11) ⎜ ⎟ ⎝ R 3 ⎠ v + v 2 ---------- (8.12) v= 1
Ahora bien, como puede observarse en la figura 8.2: ∂H = −S e ---------- (8.20) ∂x El signo negativo se debe a que el valor de la carga total H decrece según el flujo avanza en el sentido del eje X.
2
n
=
R =
n 1 + n 2 2
---------- (8.13)
R 1 + R 2
---------- (8.14) 2 Alternativamente puede encontrarse que, según otros autores, el valor de R , en vez de calcularlo según (8.14), se determina por: A R = ---------- (8.15) P donde: A + A 2 ---------- (8.16) A= 1 2 P + P2 ---------- (8.17) P= 1 2 Aunque cualquiera de los caminos para determinar Se es válido, en el resto de este capitulo se utilizarán las fórmulas (8.3) y (8.4).
211
Además, en la figura: ∂z = −S 0 ---------- (8.21) ∂x La explicación del signo negativo es similar, puesto que se ha partido de un esquema en que la cota del fondo disminuye en el sentido del eje X. Por otra parte, puede expresarse que: ∂ ⎛ v 2 ⎞ ∂ ⎛ v 2 ⎞ ∂d ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⋅ ---------- (8.22) ∂x ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎠⎟ ∂d ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎠⎟ ∂x A partir de lo anterior y sustituyendo las expresiones (8.20), (8.21) y (8.22) en la ecuación (8.19): ∂d ∂ ⎛ v 2 ⎞⎟ ∂d − S e = −S0 + cos θ ⋅ + α ⋅ ⎜⎜ ⋅ ---------- (8.23) ∂x ∂d ⎝ 2 ⋅ g ⎠⎟ ∂x y despejando el valor de
∂d . ∂x 212
∂d = ∂x
− Se ---------- (8.24) ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ cos θ + α ⋅ ∂d ⎝ 2 ⋅ g ⎠
2
S0
En esta última expresión
∂d representa la pendiente de la superficie del agua y, por tanto, si esta ecuación ∂x
diferencial pudiera revolverse matemáticamente, su solución seria una ecuación que describiría la superficie libre del agua. Nótese que la superficie estaría trazada en un plano cuyas abscisas estarían medidas a lo largo del fondo del canal. Si
∂d = 0 , la superficie del agua es paralela al fondo del canal, en cuyo caso el tirante corresponde con el ∂x
valor del tirante normal. Si
donde: An y Rn – área mojada y radio hidráulico, calculados para la profundidad normal del canal con el gasto Q A y R – área mojada y radio hidráulico, calculados para la profundidad de circulación real en la sección considerada Recordando la expresión del número de Froude (NF) y la formula de régimen crítico: v Q ---------- (8.29) = g⋅D A⋅ g⋅D queda: 1 Q NF = ⋅ ---------- (8.30) A⋅ D g pero Q = A C ⋅ D C ---------- (8.31) g NF =
∂d es negativo, corresponde a una superficie de agua con pendiente más fuerte que la del fondo del ∂x
canal o, lo que es igual, que el tirante va disminuyendo en la dirección del flujo. Si
⎛ Q ⋅ n ⎞ ⎜ ⎟ ---------- (8.27) S0 = ⎜ ⎜ A ⋅ R 23 ⎟⎟ ⎝ n n ⎠ 2 ⎛ Q ⋅ n ⎞ ⎜ ⎟ Se = ⎜ ---------- (8.28) 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A ⋅ R 3 ⎠
∂d fuera positivo, indicaría que la pendiente de la superficie del agua es más suave que la del fondo y, ∂x
por tanto, que el tirante crece en la dirección del flujo. Esto se ilustra en la figura 8.3.
La ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado (8.24) puede adoptar otras formas, a partir de que θ sea pequeño, y por tanto y se aproxima a d: S0 − Se ∂y ---------- (8.25) = ∂x v 2 ⎞ ∂ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ 1+ α⋅ ∂y ⎝ 2 ⋅ g ⎠
donde: AC y DC - área mojada y profundidad hidráulica, respectivamente, calculadas con un tirante igual al crítico. Por lo tanto: A C ⋅ DC ---------- (8.32) NF = A⋅ D Reformulando la ecuación (8.26): ⎛ s ⎞ 1 − ⎜⎜ e ⎟⎟ S ∂y = S 0 ⋅ ⎝ 0 ⎠2 ---------- (8.33) 1 − NF ∂x y sustituyendo los valores de S e, S0 y NF expresados en las ecuaciones (8.27). (8.28) y (8.32): 2
Fig. 8.3 Significado del signo
∂d ∂x
Ya se ha demostrado que: ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎜ ⎟ = − NF 2 ∂x ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎠⎟ y considerando que α = 1, queda otra forma de la ecuación diferencial: ∂y S 0 − Se ---------- (8.26) = ∂x 1 − NF 2 Por otra parte, según la ecuación de Manning:
⎛ A ⋅ R 23 ⎞ ⎜ n ⎟ 1− ⎜ n 2 ⎟⎟ ⎜ 3 ∂y = S 0 ⋅ ⎝ A ⋅ R ⎠ 2 ---------- (8.34) ∂x ⎛ A C ⋅ D C ⎞ ⎟ 1− ⎜ ⎜ A⋅ D ⎟ ⎝ ⎠ 2
Es común designar a A ⋅ R 3 como Y y a A ⋅ D como Z, y la ecuación (8.34) toma la forma: 2
⎛ Yn ⎞ ⎟ Y ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 2 ---------- (8.35) ∂x ⎛ Z ⎞ 1− ⎜ C ⎟ ⎝ Z ⎠ 1− ⎜
En caso de trabajar con la ecuación de Chezy en lugar de con la de Manning: 213
214
Yn
=
Q
2
C⋅ S
---------- (8.36)
1
Y = A ⋅ R 2 Otra forma de la ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado es: 2
⎛ Q ⎞ ⎟ Q ⎟ ∂y = S0 ⋅ ⎝ n ⎠ 2 ---------- (8.38) ∂x ⎛ Q ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ Q C ⎠ 1 − ⎜⎜
donde: Q Yn = n o Yn S
=
Q
QC - gasto calculado por la fórmula del régimen critico suponiendo que el tirante existente es el crítico. Finalmente, en el caso de canales rectangulares y muy anchos, puede plantearse: a) cuando se emplea la ecuación de Manning
---------- (8.41)
C⋅ S
2
donde: Q - gasto real que circula; Qn - gasto calculado a partir de alguna de las fórmulas de régimen uniforme, suponiendo que el tirante existente es el tirante normal;
1
Y = A ⋅ R 3 o Y = A ⋅ R 2 ---------- (8.42) Q ---------- (8.43) Z C = g Z = A ⋅ D ---------- (8.44) 2
⎛ Q ⎞ ⎟ Q ⎟ ∂y = S 0 ⋅ ⎝ n ⎠ 2 ---------- (8.38) ∂x ⎛ Q ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ Q C ⎠ 1 − ⎜⎜
donde: 2 1 1 Q n = ⋅ A ⋅ R 3 ⋅ S 2 o Q n = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S ---------- (8.45) n Q C = A ⋅ g ⋅ D ---------- (8.46)
10
⎛ y ⎞ 3 1 − ⎜⎜ n ⎟⎟ y ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 3 ---------- (8.39) ∂x ⎛ y C ⎞ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠
5. Canales anchos rectangulares: a) empleando Manning:
b) cuando se usa la ecuación de Chezy 3
∂y = S0 ⋅ ∂x
⎛ Yn ⎞ ⎟ Y ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 2 ---------- (8.35) ∂x ⎛ Z ⎞ 1− ⎜ C ⎟ ⎝ Z ⎠ 1− ⎜
⎛ y n ⎞ ⎟⎟ ⎝ y ⎠ ---------- (8.40) 3 ⎛ y ⎞ 1 − ⎜⎜ C ⎟⎟ ⎝ y ⎠
10
1 − ⎜⎜
⎛ y ⎞ 3 1 − ⎜⎜ n ⎟⎟ y ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 3 ---------- (8.39) ∂x ⎛ y C ⎞ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠
Si se resumen las formas más usadas para expresar la ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado, se tiene: 1. Forma general S0 − Se ∂d ---------- (8.24) = ∂x ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ cos θ + α ⋅ ∂d ⎝ 2 ⋅ g ⎠ 2. Considerando θ pequeño S0 − Se ∂y ---------- (8.25) = ∂x ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎟⎟ 1 + α ⋅ ⎜⎜ ∂y ⎝ 2 ⋅ g ⎠ 3. Tomando α = 1 ∂y S 0 − Se ---------- (8.26) = ∂x 1 − NF 2 4. Otras formas de la ecuación
b) empleando Chezy: 3
⎛ y n ⎞ ⎟ y ⎟ ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 3 ---------- (8.40) ∂x ⎛ y ⎞ 1 − ⎜⎜ C ⎟⎟ ⎝ y ⎠ 1 − ⎜⎜
8.4 Características de las cu rvas sup erficiales. Para el estudio de las curvas superficiales o perfiles de flujo del RPGV es necesario tener en cuenta dos aspectos: La pendiente del fondo del canal. El valor del tirante real del agua con respecto al crítico y al normal.
Pendiente del fondo del canal La forma de la superficie del agua depende en gran medida del valor de la pendiente del fondo del canal y deben considerarse cinco casos posibles en dependencia de ese valor y su relación con la pendiente crítica (recuérdese que la pendiente crítica es aquella que provoca un régimen uniforme con profundidad normal
215
216
Fig. 8.10 Diferentes curvas superficiales en el RPGV
225
226
Fig. 8.13 Curvas superficiales en un canal prismático con cambios de pendiente Fig. 8.11 Diferentes casos de canales prismáticos con cambios de pendiente
8.7 Ejercicios propuestos 1. Trazar el perfil del agua, de forma cualitativa en los canales que se muestran en la figura 8.15. 2. Analizar la variación del perfil del agua según aumenta la abertura de la compuerta en el canal de la figura 8.15a 3. Analizar la variación del perfil del agua según varía el nivel de esta al final del canal en la figura 8.15b. Nota. Las respuestas dependen de los valores que suponga el estudiante y de las consideraciones que haga para el cálculo.
Fig. 8.12 Canal prismático con cambios de pendiente. Ejemplos
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