harita projeksiyonları

İTÜ İnşaat Fakültesi Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü

Düzlem (Azimutal) Projeksiyonlar

JDF 433

Kartografik Projeksiyonlar

Meridyenlerin izdüşümleri bir noktadan (kutup noktasından) dağılan ışın demetleri, paralellerin izdüşümleri ise bu noktayı merkez alan daireler biçimindedir. Kutup noktasında meridyenler arasında oluşan açılar (α) küre üzerindeki açılarla (λ) aynıdır. Paralel dairelerin yarıçapları (m) projeksiyonun özelliğine göre δ kutup uzaklığının (δ=90-ϕ) fonksiyonu olarak belirlenir.

Doç Doç.Dr. Cengizhan İpbü pbüker

3.hafta

m = f (δ) Tüm azimutal projeksiyonlar birbirlerinden bu yarıçap eşitliğine göre ayrılırlar.

JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

ipbüker_kartproj03


ipbüker_kartproj03

Meridyen Boyu Koruyan Düzlem Projeksiyon

Düzlem Projeksiyonlarda Deformasyonlar Meridyen yönündeki uzunluk deformasyonu h, projeksiyon düzleminde m yarıçapının dm kadar artışını, δ yay uzunluğunun dδ kadar artışına oranlayarak bulunur. Paraleller yönündeki uzunluk deformasyonu k ise herhangi bir paralel dairenin projeksiyondaki çevresini, küredeki çevresine bölerek elde edilir.

h=

dm , dδ

k=

www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm

m K

Projeksiyon Düzlemi

P’ sin δ

m sin δ

Meridyen uzunluğunun korunması için projeksiyon düzleminde KP’ doğrusu, kürede KP yayına eşit olmalıdır.

) α = λ, m = δ

P

h=1 Ekvator


ipbüker_kartproj03

1

M


ipbüker_kartproj03

Açı Koruyan (konform) Düzlem Projeksiyon

Alan Koruyan Düzlem Projeksiyon δ F = 2π(1 − cos δ ) = 4π sin 2

(Stereografik Projeksiyon)

2

F ' = π m2 www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm

F = F ' ⇒ 4π sin 2


δ 2

K


m= 2 tan δ/2

P’

L=2 R tan(A/2)

δ = π m2 2

Alan koruma şartının sağlanması için paralel dairelerin izdüşümlerinin yarıçapı, bir paralel dairenin kapladığı harita alanı, bu paralel daire tarafından sınırlanan küre kapağının alanına eşit olacak şekilde seçilmelidir.

m = 2 sin

) δ sin δ

k=

δ

δ dm = cos dδ 2 m 2 sin δ2 1 k= = = sin δ 2 sin δ2 cos δ2 cos δ2 h=

Açı koruma şartı dm m h=k⇒ = dδ sin δ

δ = ln tan + c2 2 δ δ ln m = ln tan + ln c ⇒ m = c tan 2 2 1

1

P

δ Ekvator

M 1

∫ m dm = ∫ sin δ dδ ⇒ ln m + c

1

m = 2 tan ipbüker_kartproj03

sin δ



δ

2

δ/2 G ipbüker_kartproj03

1

Ortografik Projeksiyon

Gnomonik Projeksiyon

(Paralel Projeksiyon)

(Merkezi Projeksiyon) K


P’

m= tan δ


h=

dm 1 tanδ 1 = ,k = = dδ cos 2 δ sinδ cos δ

δ Ekvator

P

1

M



ipbüker_kartproj03

Projeksiyon Türü

Alan koruyan

Konform

m

a

b

sin ωmax

δ ρ

δˆ sin δ

1

δ − ρsin δ δ + ρsin δ

R

δ 2Rsin 2 2R tan

δ 2

1 cos

δ 2

1 cos2

cos

δ 2

δ 2

δ 2 − sin 2

X = mcos ∆λ δ R cos ∆λ ρ

δ 2R sin sin ∆λ 2

δ 2R sin cos ∆λ 2

δ 2R tan sin ∆λ 2

δ 2R tan cos ∆λ 2

R tan δsin ∆λ

R tan δcos ∆λ

R sin δsin ∆λ

R sin δcos ∆λ

2

1 δ 2

sin 2

Y = msin ∆λ δ R sin ∆λ ρ

cos2

δ 2

Gnomonik

R tan δ

1 cos δ

1 cos 2 δ

Ortografik

Rsin δ

1

cos δ

0 cos δ −1 cos δ +1 δ tan 2 2


ipbüker_kartproj03

Projeksiyon Eşitlikleri Silindirik projeksiyonlarda düzlem dik koordinatlar ile coğrafi koordinatlar arasındaki genel ilişki teğet silindir durumunda, )

y = λ, x = f (ϕ)

kesen silindir durumunda ϕ0 boyu korunan paralel dairenin enlemini göstermek üzere,

y = λ cos ϕ0 , x = f (ϕ)

ipbüker_kartproj03

Ekvator

1

P

M


ipbüker_kartproj03

Silindirik Projeksiyonlar

İzdüşüm yüzeyinin küreyi saran ya da kesen bir silindir seçilmesi durumunda silindirik projeksiyonlar elde edilir. Silindirik projeksiyonlar genellikle normal konumda ekvator bölgesinde yapılacak küçük ölçekli harita çalışmalarında, denizcilikte, transversal konumda referans yüzeyi elipsoit alınarak büyük ve orta ölçekli topografik harita yapımında ve jeodezik amaçlar için kullanılırlar. JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

ipbüker_kartproj03

Silindirik Projeksiyonlarda Deformasyonlar Meridyen yönündeki uzunluk deformasyonu h azimutal projeksiyonlardaki gibi düzlemdeki x yönündeki dx diferansiyel artımının, kürede ϕ yönünde dϕ diferansiyel artımına oranı ile bulunur. Paraleller yönündeki uzunluk deformasyonu k ise, düzlemde ve kürede paralel dairelerin uzunluklarının birbirine oranlanması ile elde edilir.

h=

dx 1 , k= dϕ cos ϕ

Kesen silindir durumunda:

Tüm silindirik projeksiyonlarda teğet silindir durumunda projeksiyonun deformasyon özelliklerine ek olarak ekvatorun uzunluğu, kesen silindir durumunda ise iki paralel dairenin uzunluğu korunmuş olmaktadır. JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

sin δ

Perspektif özelliği taşıyan projeksiyonlar içerisinde projeksiyon merkezinin sonsuzda olmasından dolayı ekstrem durumdur.

Normal Konumlu Azimutal Projeksiyonlar iç için Formü Formül Özeti Meridyen boyu koruyan

P’

δ

h = cos δ, k = 1

Kutuptan uzaklaştıkça hızla büyüyen alan, uzunluk ve doğrultu deformasyonları nedeniyle topografik haritalar için uygun değildir. Ancak hava ve deniz navigasyonunda ortodromların izdüşümlerinin doğru şeklinde olmasından dolayı pratik önemi olan bir projeksiyondur.

m= sin δ

K


sin δ

h= JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

dx cos ϕ0 , k= dϕ cos ϕ ipbüker_kartproj03

2

Uzunluk Koruyan Silindirik Projeksiyon K cos ϕ

Ekvator

ϕ

P

P’

E

Teğet silindir

Meridyen uzunluğu koruma şartı meridyenlerin kürede ve harita düzleminde uzunluklarının eşit olmasını gerektirir. Projeksiyonun tipik bir özelliği; ∆x=∆y olduğundan coğrafi ağın izdüşümünün kareler ağı biçiminde gözükmesidir. Bu özelliğinden dolayı ingilizce kaynaklarda “equirectangular” olarak da isimlendirilmektedir.

Uzunluğ Uzunluğu korunan iki paralel daire ile projeksiyon Uzunluğu korunan iki paralel dairenin anlamı, silindir yüzeyinin küreyi +ϕ0, -ϕ0 enlemlerinde kesmesidir. Başka bir ifade ile burada kesen silindirik projeksiyon söz konusudur. İzdüşüm yüzeyi olarak kesen silindir kullanılmasının amacı projeksiyonda oluşan ve silindirik projeksiyonda kutuplara yaklaştıkça çok hızlı artan deformasyonları azaltmaktır. Burada ϕ0 değeri değişkendir.

) ) x = ϕ, y = cos ϕ0λ

) ) x = ϕ, y = λ JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

h = 1, k = ipbüker_kartproj03

cos ϕ0 cos ϕ


ipbüker_kartproj03

Alan Koruyan Silindirik Projeksiyon

Konform Silindirik Projeksiyon

Alan koruma özelliği gereği herhangi bir ϕ enlemine kadar küre kuşak alanı projeksiyonda buna karşılık gelen alana eşit olmalıdır: )

Bu projeksiyon ilk defa kendini Merkator olarak tanıtan G. Kremer tarafından 1570 yılında bir dünya haritası için kullanılmıştır. Bu nedenle Merkator Projeksiyonu olarak da tanınır. Projeksiyon eşitliklerini elde etmek için konform olma şartı a=b ya da h=k eşitliklerinden yararlanılır.

2π sin ϕ = 2πx ⇒ x = sin ϕ, y = λ

h=k⇒

Deformasyonlar:

h = cos ϕ, k =

1 cos ϕ


sin ω =

sin 2 ϕ 2 − sin 2 ϕ ipbüker_kartproj03

ϕ

x=∫ 0

dx cos ϕ0 cos ϕ0 = ⇒ dx = dϕ dϕ cos ϕ cos ϕ

cos ϕ0  π ϕ dϕ ⇒ x = cos ϕ0 ln tan +  + c cos ϕ 4 2

Projeksiyonun doğası gereği gerektiğinden c=0 olmalıdır. JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

ϕ=0

için

x=

olması ipbüker_kartproj03

Projeksiyon Eş Eşitlikleri ve Deformasyonlar

Pratik Değeri

teğet silindir durumunda: π ϕ  x = ln tan  + , y = λ 4 2

)

kesen silindir durumunda; Merkator Projeksiyonunun en önemli özelliği, Loksodrom eğrilerinin projeksiyondaki izdüşümlerinin doğru biçiminde olmasıdır. Bu nedenle özellikle denizcilikte kullanılır. Teğet silindir durumunda uzunluk deformasyonu kutuplara doğru çok hızlı artar. Örneğin 60º enleminde ölçek ekvatora göre iki kat büyüktür. Bu nedenle coğrafi amaçlı olarak tercih edilmemektedir.

)  π ϕ x = cos ϕ0 ln tan  + , y = cos ϕ0λ 4 2

Endikatris: h=k =

cos ϕ0 ⇒h=k =a=b cos ϕ

Alan deformasyonu: Φ= JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

cos 2 ϕ0 cos 2 ϕ

ipbüker_kartproj03


ipbüker_kartproj03

3

Soldner Projeksiyonu Eş Eşitlikleri Soldner Projeksiyonu

K

Y

x

P δ

X

Yp'

α H

Soldner projeksiyonu ordinat koruyan (düşey daire boyları korunan) transversal silindirik projeksiyondur. İlk defa Fransız bilgin Cassini tarafından 1745 de kullanılmıştır. Bavyeralı (Almanya) bir astronom olan Soldner 1810 da hesaplama formüllerini oluşturduğundan Soldner Projeksiyonu olarak isimlendirilmiştir. Bazı kaynaklarda da geliştiren bilim adamlarına atıf yapılarak Cassini-Soldner Projeksiyonu olarak adlandırılmaktadır. JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

ipbüker_kartproj03

O

Ekvator y

Teğet Meridyen G

x = Rα

δ = arccos(cos ϕ cos ∆λ )

olmak üzere,

 sin ∆λ  α = arctan   tan ϕ 

ipbüker_kartproj03

Açıklı klık Aç Açısı, Uzunluk ve Alan İndirgemeleri K P2 T1

O y

Y2 = 2R2


T2 − t2 = S −s=− ipbüker_kartproj03

h

k

sin ω

φ

Meridyen Uzunluğu Koruyan Teğet

) λ

1

1 cos ϕ

ϕ tan 2

1 cos ϕ

Meridyen Uzunluğu Koruyan Kesen

) ϕ

) cos ϕ0λ

1

cos ϕ 0 cos ϕ

sinϕ

) λ

cos ϕ

1 cos ϕ

cos ϕ cos ϕ 0

cos ϕ 0 cos ϕ

) λ

1 cos ϕ

1 cos ϕ

0

1 cos 2 ϕ

) cos ϕ 0 λ

cos ϕ 0 cos ϕ

cos ϕ 0 cos ϕ

0

cos 2 ϕ 0 cos 2 ϕ

Konform Kesen JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar

 π ϕ ln tan  +  4 2  π ϕ cos ϕ 0 ln tan +   4 2

(

)

s Y12 + Y1Y2 + Y22 cos 2 t1 6R2


F−f =

(

]

f Y12 + Y1 Y2 + Y22 6R 2

)

ipbüker_kartproj03

Map Projection Home Page

y

Konform Teğet

)

isimli internet sitesinden alınmıştır.

) ϕ

Alan Koruyan Kesen

(

Karen Mulcahy’nin

x

2

[

1 ( X 1 − X 2 )(2Y2 + Y1 ) + Y22 + Y1Y2 + Y12 sin t2 cos t2 6R2

Arkaplan

Normal Konumlu Silindirik Projeksiyonlar iç için Formü Formül Özeti

) cos ϕ0 λ

t2 P'1

G

w = 2ωmax

sin ϕ cos ϕ 0

P'2 t1 H

Y2 k =1+ 2R2

Maksimum açı deformasyonu

Alan Koruyan Teğet

x T2

P1

Ana yön uzunluk deformasyonları,

Projeksiyon Türü

π  y = R − δ  2 


Soldner Projeksiyonunda Deformasyonlar

h =1

P' xp'

http://www.geography.hunter.cuny.edu/mp/

cos ϕ 0 cos ϕ

sin 2 ϕ 2 − sin 2 ϕ

1 1

ipbüker_kartproj03


4

harita projeksiyonları

Recommend Documents