H11 - Virtuele arbeid

addendum bij H1B0 Toegepaste Mechanica 1 Virtuele arbeid op stelsels van starre lichamen D. Vandepitte — J. Vander Sloten november 2007

Dit hoofdstuk introduceert de eerste begrippen van arbeidsmethoden in de mechanica van enkelvoudige starre lichamen en samenstellen van starre lichamen met inwendige verbindingen. Een star lichaam is een samenstel van stoffelijke punten die onder alle omstandigheden steeds op onveranderlijke afstand van elkaar blijven. De stand van een star lichaam in de driedimensionale ruimte is volledig bepaald door de opgave van 6 parameters. De gebruikelijke set van 6 parameters bestaat uit 3 co¨ordinaten van de positievector ~rG van het zwaartepunt G van het lichaam en 3 componenten van de hoekpositievector θ~G die de stand van het lichaam rond zijn zwaartepunt vastleggen. Alternatief kunnen de hoekparameters worden vervangen door verplaatsingsparameters van punten die niet met het zwaartepunt samenvallen. Er dient steeds op gelet te worden dat de 6 parameters de stand van het lichaam op een eenduidige en niet-redundante manier specifi¨eren. De externe invloeden die inwerken op een lichaam zijn steeds krachten. In vele gevallen kunnen in die externe invloeden paren van 2 even grote maar tegengestelde krachten worden onderscheiden waarvan de krachtresultante nul is, maar die door de onderlinge hefboom tussen beide werklijnen het effect van een moment hebben. In de onderstaande secties over virtuele arbeid zullen ook momenten als externe belastingen worden beschouwd. In de daarop volgende paragraaf over potenti¨ele energie beperkt de ontwikkeling zich tot die gevallen waar de externe invloeden alleen krachten zijn. Eventueel optredende momenten worden daar dan ontbonden in krachten.

1 1.1

Het principe van virtuele arbeid in virtuele verplaatsingen Evenwicht van een star lichaam

~ i aan in n stoffelijke Op het star lichaam grijpen uitwendige krachten F~i en uitwendige momenten M punten die zich in het inwendige of op het buitenoppervlak van het star lichaam bevinden (i = 1, . . . , n). Reactiekrachten en -momenten maken hiervan deel uit. Deze n punten hebben de co¨ordinaten ~ri . De evenwichtsvoorwaarde bestaat dan uit 2 vectorgelijkheden (of 6 scalaire gelijkheden), waarbij het momentenevenwicht hier bij wijze van voorbeeld uitgedrukt is om het zwaartepunt van het lichaam : (

evenwicht ⇔

1.2

Pn ~ ~ F~resultante = i=1 Fi h i = 0 P n ~ resultante = ~ i = ~0 M ri − ~rG ) × F~i + M i=1 (~

(1)

Virtuele verplaatsingen

Aan het lichaam zullen virtuele verplaatsingen worden opgelegd. Virtueel of denkbeeldig beduidt dat er geen verband hoeft te zijn met het werkelijke belastingsgeval noch met de werkelijke randvoorwaarden 1

(verbindingen met de buitenwereld). De virtuele verplaatsingen mogen echter op geen enkele manier afbreuk doen aan de samenhang van het lichaam. De virtuele verplaatsingen moeten verder als klein worden gedacht, wat onder meer impliceert dat er een lineair verband bestaat tussen een rotatie en een verplaatsing. Een toelaatbare virtuele verplaatsing is hier een willekeurige samenstelling van translaties en/of rotaties die geen afbreuk doen aan de samenhang van het starre lichaam. Voor een enkelvoudig star lichaam volstaat het dus de 6 verplaatsingsparameters te specifi¨eren om de verplaatsing volledig te beschrijven, en het ligt voor de hand de verplaatsings- en hoekverdraaiingsparameters aan te duiden voor het zwaartepunt G, met name δ~rG en δ θ~G . Het symbool δ wijst hier op het virtueel karakter van de grootheden. Daarmee kunnen ook de verplaatsingen van een willekeurig ander punt op het lichaam berekend worden, wat voor de n aangrijpingspunten van uitwendige krachten leidt tot : δ~ri = δ~rG + δ θ~G × (~ri − ~rG ) i = 1, 2, . . . , n

(2)

De uitdrukking (2) beschrijft een samengestelde beweging, waarbij het relatieve assenstelsel dat is bevestigd aan het zwaartepunt van het lichaam alleen de translatie δ~rG ondergaat, en waarbij de relatieve beweging dus een rotatie is omheen de as met ori¨entatie volgens δ θ~G . De eerste term in (2) beschrijft de sleepbeweging, en de tweede term beschrijft de relatieve beweging. De figuur 1 illustreert de combinatie van een translatie en een rotatie voor een vlakke beweging. De translatie gebeurt in het xy-vlak, en de rotatie vindt plaats rond de z-as (loodrecht op het papier). ............ .. .. ........ A ... 2b ..  .. .. .. .. .. ..  .. . .. 6 0 A y 6 .... .. .. .. .. :e -0 ....  .   .  . x ... y0 6  .... ..   .. ..  ~rG  e  . .. .. 2h .. 0 . x .. .. G .. .. .. . .. ................... . y ? 6

x -

Figuur 1: Samengestelde beweging in een vlak, en met een kleine rotatie Voor het punt A bestaat de virtuele verplaatsing volgens (2) dan uit 2 componenten : sleepverplaatsing die gelijk is aan de verplaatsing van het zwaartepunt δ~rG relatieve beweging die gelijk is aan : δ θ~G × (~rA − ~rG ) = δ θ~G × (b~ex0 + h~ey0 ) =

~ ex0 0 b

~ey0 0 h

~ez 0 δθG 0



= −hδθG~ex0 + bδθG~ey0 (Als de hoek δθ groot zou zijn, zou deze uitdrukking niet kloppen.)

2

1.3

Virtuele arbeid

Arbeid is steeds het product van een kracht of moment met een overeenstemmende grootheid, respectievelijk een verplaatsing of een hoekverdraaiing. In de stelling van de virtuele arbeid zijn de uitwendige krachten en momenten re¨eel en de verplaatsingen virtueel.

2

Stelling van virtuele arbeid voor enkelvoudige lichamen

De stelling drukt uit dat de nodige en voldoende voorwaarde opdat het lichaam in evenwicht verkeert, is dat de virtuele arbeid van de uitwendige krachten in een willekeurige maar toelaatbare virtuele verplaatsing gelijk is aan nul. Symbolisch luidt de stelling van virtuele arbeid dan : (

n n X X F~resultante = ~0 ~G : δV = ~i · δ~ri + ~ i · δ θ~i = 0 ⇔ ∀δ~ r , δ θ F M G ~ resultante = ~0 M i=1 i=1

(3)

De uitdrukking van de totale virtuele arbeid van de uitwendige krachten en momenten in de n stoffelijke punten is voor elk van die punten gelijk aan het scalair product van de krachtvector met de verplaatsingsvector of van de momentvector met de hoekvector : δV

= = = = =

n X i=1 n X i=1 n X i=1 n X

F~i · δ~ri +

n X

~ i · δ θ~G M

(4)

i=1

h

i

F~i · δ~rG + δ θ~G × (~ri − ~rG ) +

n X

~ i · δ θ~G M

(5)

i=1

F~i · δ~rG + F~i · δ~rG +

i=1 n X

n X

F~i · δ θ~G × (~ri − ~rG ) +

i=1 n X

i=1 n X

i=1 n h X

i=1

(~ri − ~rG ) × F~i · δ θ~G +

~ i · δ θ~G M

(6)

~ i · δ θ~G M

(7)

i

~ i ·δ θ~G (~ri − ~rG ) × F~i + M

F~i ·δ~rG +

i=1

i=1

| {z }

|

~resultante F

n X

{z

(8)

}

~ resultante M

= 0

(9)

In de overgang (6) naar (7) wordt gebruik gemaakt van de gelijkheid ~a · (~b ×~c) = (~c ×~a) ·~b die gemakkelijk algemeen kan worden bewezen in de vectorrekening. De redenering (4)-(8) geldt zowel voor het bewijs van de nodige voorwaarde als voor de voldoende voorwaarde : nodige voorwaarde : als het lichaam in evenwicht is, dan moet de virtuele arbeid nul zijn. De uitdrukking (8) bevat twee termen, met in de eerste term de vectorsom van alle uitwendige krachten op alle punten, en in de tweede term de vectorsom van alle uitwendige momenten plus de herleiding van alle uitwendige krachten naar het zwaartepunt. Evenwicht van een lichaam vereist dat de resulterende kracht en het resulterend moment beide gelijk moeten zijn aan de nulvector ~0. De scalaire producten zijn dan uiteraard ook nul, voor willekeurige vectoren δ~rG en δ θ~G . voldoende voorwaarde : als de virtuele arbeid nul is, dan moet het lichaam in evenwicht zijn. 3

Hier is de interpretatie van de uitdrukking (8) precies andersom. Deze som is nul, voor een willekeurige keuze van (de zes vrij te kiezen) componenten in de vectoren δ~rG en δ θ~G . Door achtereenvolgens de zes keuzes te maken waarbij telkens slechts ´e´en van die componenten verschilt ~ resultante individueel van nul volgt snel de conclusie dat elk van de zes componenten in F~resultante en M gelijk moeten zijn aan nul. Dat vereist dat het starre lichaam voldoet aan alle evenwichtsvoorwaarden.

Opmerking met betrekking tot verplaatsingsrandvoorwaarden In de stelling van de virtuele arbeid is er nergens sprake van verplaatsingsrandvoorwaarden, inklemmingen of steunpunten. Werkelijke verplaatsingen van het lichaam zijn immers onbelangrijk in deze stelling. Het is natuurlijk wel nodig om in de punten waar een verplaatsing of hoekverdraaiing is voorgeschreven een reactiekracht of reactiemoment aan te brengen. Op deze manier verschijnen alle reactiecomponenten in de evenwichtsuitdrukkingen waar een overeenstemmende verplaatsings- of hoekverdraaiingscomponent optreedt. De stelling van de virtuele arbeid kan zo bij voorbeeld gebruikt worden om de evenwichtsvergelijkingen samen te stellen die leiden tot de bepaling van onbekende reactiekrachten.

3

Stelling van virtuele arbeid voor samengestelde systemen

De stelling is ook toepasbaar op systemen die zijn samengesteld uit meerdere starre componenten. In dit geval treden er in de verbindingspunten verbindingskrachten op, die voldoen aan het principe van actie en reactie. Indien de verbinding 2 componenten aan elkaar verbindt, dan heffen de beide contactkrachten elkaar op. Ook als de verbinding 3 of meer componenten aan elkaar verbindt dan is de som van alle contactkrachten gelijk aan nul. In het geval van een scharnier in een vakwerk, luidt de evenwichtsvoorwaarde na het vrijmaken van het scharnier immers dat de som van alle krachten die op het scharnier ingrijpen gelijk moet zijn aan nul. In een context van virtuele arbeid is de arbeid die wordt geleverd door alle verbindingskrachten in ´e´en verbinding ook gelijk aan nul als dat verbindingspunt een unieke verplaatsing ondergaat. Dit wil zeggen dat dit verbindingspunt op alle lichamen waartoe het behoort een zelfde waarde van de virtuele verplaatsing moet krijgen. Dit is meteen de voorwaarde waaraan moet zijn voldaan opdat de stelling van de virtuele arbeid toegepast kan worden op samengestelde systemen : de aangelegde virtuele verplaatsing mag geen afbreuk doen aan de verbinding. Figuur 2 illustreert dit met een voorbeeld van twee staven die in het punt B met een scharnier aan elkaar zijn gekoppeld. Figuur 3 illustreert enkele virtuele /

F~A e A

1

e

~

2

e FC .

B

/

C

F~A e A

1

F~12 = −F~21 e . / B B e

2

~

e FC .

C

Figuur 2: Een samenstel van 2 staven — vrijgemaakte componenten verplaatsingen, waarvan de eerste en de tweede toelaatbaar zijn, en de derde niet toelaatbaar. De e...................... e...................... e 1 2 e e e

A

B

C

A

1

. e. C ..... .........2 e e ..... ..... . .e B

... e ..... . . . . . e...

e...................... e 1 Be 2 e e C e...................... e

A

Figuur 3: 2 toelaatbare virtuele verplaatsingen (links, midden) en 1 niet-toelaatbare (rechts) verplaatsing in het rechterdeel van figuur 3 is niet toelaatbaar als virtuele verplaatsing doordat het

4

verbindingspunt B verschillende verplaatsingen heeft. De bijdragen van de even grote maar tegengestelde verbindingskrachten F~12 en F~21 tot de totale virtuele arbeid zouden elkaar niet opheffen. De stelling van de virtuele arbeid luidt in een geval van samengestelde lichamen : de nodige en voldoende voorwaarde opdat een stelsel dat is samengesteld uit meerdere starre componenten die onderling aan elkaar zijn verbonden in evenwicht verkeert, is dat de virtuele arbeid van de uitwendige krachten in een willekeurige maar toelaatbare virtuele verplaatsing, die geen afbreuk doet aan de verbindingen, gelijk is aan nul. Eventueel kunnen de verschillende onderdelen van een samengesteld lichaam een verschillende virtuele verplaatsing ondergaan.

4 4.1

Praktische toepassingen Een takel

Een takel is een hefsysteem dat toelaat een last te hijsen door slechts een fractie van de kracht uit te oefenen. In figuur 4 loopt de hijskabel over 3 wielen die op een as aan het plafond zijn bevestigd en over 3 wielen waar onderaan de lasthaak aan is bevestigd. De massa van de kabel is verwaarloosbaar en de wrijving in de katrollen is verwaarloosbaar.

L L L j e

L L  L         

e

   z 6   e j 

∇ F~

~ ∇ G Figuur 4: Een takel met 6 kabels gevraagd : bepaal de grootte van de kracht F die nodig is om een gegeven gewicht G te hijsen, door toepassing van de stelling van virtuele arbeid oplossing : geef het aangrijpingspunt van de kracht F een virtuele verplaatsing δ~rF = δr~ez . Het teken van δr is hierbij niet gespecifieerd. Doordat de kabel niet kan uitrekken, en doordat hij 6 maal over de katrollen loopt ondergaat het aangrijpingspunt van de last daarbij een virtuele verplaatsing δ~rG = −1/6δr~ez . De aanhechtingspunten van de katrollen aan het plafond ondergaan geen verplaatsing, en daardoor leveren deze reactiekrachten geen virtuele arbeid. De totale virtuele arbeid is dan : δV

~ · δ~rG = F~ · δ~rF + G = (−F ~ez ) · δr~ez + (−G~ez ) · (−1/6δr~ez ) = −F δr + Gδr/6 5

De voorwaarde voor evenwicht luidt : δV = 0 voor een willekeurige waarde van δr, wat impliceert F = G/6.

4.2

Een balk op 2 steunpunten

Een balk rust op 2 steunpunten A en B die een afstand L overspannen. In het punt C tussen de steunpunten grijpt een kracht F~C aan waarvan de werklijn onder 45◦ staat t.o.v. de balk, en in het ~ aan. Dit moment kan ontbonden worden in 2 even grote maar punt D grijpt een uitwendig moment M tegengestelde horizontaal werkende krachten ter grootte F = M/h die op een vertikale hefboom h van elkaar aangrijpen. Het steunpunt in A is vast en scharnierend en het steunpunt in B is vast en glijdend in de x-richting. Figuur 5 toont de situatie.

A

h S  S

y

F~C = −F ~ex − F ~ey ..... . . . . . . C . . h. . . . .

~ D = F h~ez M
 

h


D



B

h S  S

6

x -

L/3 

L/3

L/3

-

-

-


z



Figuur 5: Een balk op 2 steunpunten gevraagd : bepaal de reactiekrachten in A en B door toepassing van de stelling van virtuele arbeid oplossing : de eerste stap in de oplossingsprocedure is zoals steeds het vrijmaken van de balk. F~C = −F ~ex − F ~ey F~D1 = F ~ex . A A ~ ex + RAy ~ey A RA = RAx~

y 6

F~D2

/ = −F ~ex

4 ~ B = RB ~ey R

x Figuur 6: De vrijgemaakte balk op 2 steunpunten Figuur 6 toont alle krachten, waarbij het moment M is vervangen door 2 krachten F die op een tussen~ A en R ~ B onbekend, echter wel met het afstand h van elkaar aangrijpen. Hierbij zijn de reactiekrachten R gegeven dat RBx gelijk is aan 0. De keuze van de virtuele verplaatsing is vrij. Doordat een uitdrukking van virtuele arbeid een scalaire uitdrukking is, kan er uit elke vergelijking slechts 1 onbekende reactie worden gevonden. Om 3 componenten van de reacties te kunnen vinden is het dus nodig om achtereenvolgens 3 oordeelkundig gekozen virtuele verplaatsingen aan te leggen : 1. een rotatie van de hele balk omheen het steunpunt A over een hoek δ θ~ = δθ~ez ; bij deze verplaatsing ~ A dus niet in de uitdrukkingen van blijft steunpunt A ter plaatse, en treden de componenten van R arbeid op. Figuur 7 toont de gekozen verplaatsing (let op : de getoonde verplaatsing lijkt groot, maar in werkelijkheid moet zij als klein worden aanzien zodat het verband (2) tussen hoeken en verplaatsingen lineair blijft). De verplaatsingen van de aangrijpingspunten van de krachten zijn dan : 6

F~C = −F ~ex − F ~ey

....... .................... .. .. .. .. .. .. .. .. ~ .. .. = F ~ex ..............F..D1 . .................... .. .. .. .. .. .. .. δθ .. .. .................... 4 A / A ~ ~ ex + RAy ~ey RB = RB ~ey F~D2 = −F ~ex A RA = RAx~

y 6

x Figuur 7: De vrijgemaakte balk met een virtuele rotatie omheen steunpunt A A B C D

verplaatst niet : δ~rA = ~0 ondergaat een opwaartse verplaatsing δ~rB = Lδθ~ey ondergaat een opwaartse verplaatsing δ~rC = L/3δθ~ey ondergaat een opwaartse verplaatsing δ~rD = 2L/3δθ~ey , en de punten D1 en D2 ondergaan ook horizontale verplaatsingen : D1 ondergaat een verplaatsing δ~rD1 = −h/2δθ~ex + 2L/3δθ~ey D2 ondergaat een verplaatsing δ~rD1 = h/2δθ~ex + 2L/3δθ~ey

De virtuele arbeid geleverd bij deze virtuele verplaatsing is dan : ~ B · δ~rB = F~C · δ~rC + F~D1 · δ~rD1 + F~D2 · δ~rD2 + R

δV

= (−F ~ex − F ~ey ) · L/3δθ~ey + F ~ex · (−h/2δθ~ex + 2L/3δθ~ey ) + . . . . . . + (−F ~ex ) · (h/2δθ~ex + 2L/3δθ~ey ) + RB ~ey · Lδθ~ey = (−F L/3 − F h + RB L)δθ De voorwaarde voor evenwicht luidt : δV = 0 voor een willekeurige waarde van δθ, wat impliceert RB = F/3 + F h/L. 2. een translatie van de hele balk over een vertikale afstand δ~r = δr~ey ; bij deze verplaatsing ondergaat ~ A dus niet op in de steunpunt A geen horizontale verplaatsing, en treedt de x-component van R uitdrukkingen van arbeid. Figuur 8 toont de gekozen verplaatsing. F~C = −F ~ex − F ~ey F~D1 = F ~ex . .........................................................................................................................

δ~r = δr~ey 6

A A ~ ex + RAy ~ey A RA = RAx~

y 6

F~D2

/ = −F ~ex

4 ~ RB = RB ~ey

x Figuur 8: De vrijgemaakte balk met een virtuele translatie volgens de y-as De aangrijpingspunten van alle krachten ondergaan dezelfde verplaatsing : δ~rA = δ~rB = δ~rC = δ~rD = δ~rD1 = δ~rD2 = δr~ey . De virtuele arbeid geleverd bij deze virtuele verplaatsing is dan : δV

~ A · δ~rA + F~C · δ~rC + F~D1 · δ~rD1 + F~D2 · δ~rD2 + R ~ B · δ~rB = R = (RAx~ex + RAy ~ey ) · δr~ey + (−F ~ex − F ~ey ) · δr~ey + F ~ex · δr~ey + (−F ~ex ) · δr~ey + . . . . . . + RB ~ey · δr~ey = (RAy − F + RB )δr

De voorwaarde voor evenwicht luidt : δV = 0 voor een willekeurige waarde van δr, wat na invulling van de reeds bekende waarde voor RB impliceert RAy = 2F/3 − F h/L. 7

3. een translatie van de hele balk over een horizontale afstand δ~r = δr~ex ; bij deze verplaatsing ondergaat geen van beide steunpunten A of B een vertikale verplaatsing, en treden de y-componenten ~ A en R ~ B dus niet in de vergelijkingen op. Figuur 9 toont de gekozen verplaatsing. van R F~C = −F ~ex − F ~ey

y 6

F~D1 = F ~ex . δ~r =-δr~ex ......................................................................................................................... 4 A / A ~ ~ RA = RAx~ex + RAy ~ey RB = RB ~ey F~ = −F ~e D2

A

x

x Figuur 9: De vrijgemaakte balk met een virtuele translatie volgens de x-as De aangrijpingspunten van alle krachten ondergaan dezelfde verplaatsing : δ~rA = δ~rB = δ~rC = δ~rD = δ~rD1 = δ~rD2 = δr~ex . De virtuele arbeid geleverd bij deze virtuele verplaatsing is dan : δV

~ A · δ~rA + F~C · δ~rC + F~D1 · δ~rD1 + F~D2 · δ~rD2 + R ~ B · δ~rB = R = (RAx~ex + RAy ~ey ) · δr~ex + (−F ~ex − F ~ey ) · δr~ex + F ~ex · δr~ex + (−F ~ex ) · δr~ex + . . . . . . + RB ~ey · δr~ex = (RAx − F )δr

De voorwaarde voor evenwicht luidt : δV = 0 voor een willekeurige waarde van δr, wat impliceert RAx = F . In conclusie zijn de reacties dan : ~ A = F~ex + F R



2 h − ~ey 3 L 

~B = F R



1 h + ~ey 3 L 

opmerking : de bovenstaande uitwerking had ook kunnen gebeuren door gebruik te maken van het moment M in plaats van de krachten FD1 = M/h en FD2 = M/h. Dit vereenvoudigt de uitdrukking voor de virtuele arbeid in het punt D die nu in de plaats komt van D1 en D2. 1. een rotatie van de hele balk omheen het steunpunt A over een hoek δ θ~ = δθ~ez (figuur 7). De verplaatsingen van de aangrijpingspunten van de krachten en het moment zijn dan : A verplaatst niet : δ~rA = ~0 B ondergaat een opwaartse verplaatsing δ~rB = Lδθ~ey C ondergaat een opwaartse verplaatsing δ~rC = L/3δθ~ey D ondergaat een rotatie δ θ~ = δθ~ez De virtuele arbeid geleverd bij deze virtuele verplaatsing is dan : δV

~ · δ θ~ + R ~ B · δ~rB = F~C · δ~rC + M = (−F ~ex − F ~ey ) · L/3δθ~ey + (−M~ez ) · δθ~ez + RB ~ey · Lδθ~ey = (−F L/3 − M + RB L)δθ

De voorwaarde voor evenwicht luidt : δV = 0 voor een willekeurige waarde van δθ, wat impliceert RB = F/3 + M/L. 8

2. een translatie van de hele balk over een vertikale afstand δ~r = δr~ey ; bij deze verplaatsing ondergaat ~ A dus niet op in de steunpunt A geen horizontale verplaatsing, en treedt de x-component van R uitdrukkingen van arbeid. Punt D ondergaat geen rotatie (figuur 8). De aangrijpingspunten van alle krachten ondergaan dezelfde verplaatsing : δ~rA = δ~rB = δ~rC = δ~rD . De virtuele rotatie δ θ~ = ~0. De virtuele arbeid geleverd bij deze virtuele verplaatsing is dan : δV

~ A · δ~rA + F~C · δ~rC + M ~ · δ θ~ + R ~ B · δ~rB = R = (RAx~ex + RAy ~ey ) · δr~ey + (−F ~ex − F ~ey ) · δr~ey + RB ~ey · δr~ey = (RAy − F + RB )δr

De voorwaarde voor evenwicht luidt : δV = 0 voor een willekeurige waarde van δr, wat na invulling van de reeds bekende waarde voor RB impliceert RAy = 2F/3 − F h/L. 3. een translatie van de hele balk over een horizontale afstand δ~r = δr~ex ; bij deze verplaatsing ondergaat geen van beide steunpunten A of B een vertikale verplaatsing, en treden de y-componenten ~ A en R ~ B dus niet in de vergelijkingen op. Punt D ondergaat geen rotatie (figuur 9. De van R virtuele rotatie δ θ~ = ~0. De aangrijpingspunten van alle krachten ondergaan dezelfde verplaatsing : δ~rA = δ~rB = δ~rC = δ~rD = δr~ey De virtuele arbeid geleverd bij deze virtuele verplaatsing is dan : δV

~ A · δ~rA + F~C · δ~rC + M ~ · δ θ~ + R ~ B · δ~rB = R = (RAx~ex + RAy ~ey ) · δr~ex + (−F ~ex − F ~ey ) · δr~ex + RB ~ey · δr~ex = (RAx − F )δr

De voorwaarde voor evenwicht luidt : δV = 0 voor een willekeurige waarde van δr, wat impliceert RAx = F . In conclusie zijn de reacties dan : ~ A = F~ex + R

4.3



2F M − 3 L



~ey

~B = R



F M + 3 L



~ey

Evenwicht van een stangenmechanisme, voorbeeld 1

Een samenstel van 4 scharnierende stangen is met 5 glijdende scharnieren ondersteund. De stangen zijn star, en ze hebben een lengte 2L (fig. 10).

h S  S Z Zx  

θ

x@ @ @ @ @ @ @ h @ @S @  @S @ @ @ @ @ x @

x@

h S  S

@ I @

@L @ @ @ @ @ R @ @ @ @ I @ @ h L @ @S @ @ @  @S @ @ R @ @ @ P @ @ x . @

∇ 4P Figuur 10: Een stangenstelsel met 2 uitwendige krachten gevraagd : bepaal de stand θ die de stangen innemen in een evenwichtssituatie 9

oplossing : de evenwichtstoestand van het stangenstelsel kan worden geanalyseerd met de methode van de virtuele arbeid, waarbij θ de evenwichtsstand aanduidt en δθ een virtuele verplaatsing ten opzichte van de evenwichtsstand. De stelling gebruikt een uitdrukking van de virtuele arbeid van de beide krachten in een virtuele verplaatsing δθ die zich ontwikkelt vanaf een welbepaalde, maar nog onbekende stand θ : • de virtuele arbeid van de horizontale component P bedraagt 8P L cos(θ + δθ) • de virtuele arbeid van de vertikale component 4P bedraagt 4P L sin(θ + δθ) De totale virtuele arbeid bestaat nu uit 2 delen, waarvan een deel te wijten aan de werkelijke stand θ en een ander deel te wijten aan de virtuele verplaatsing δθ : V + δV

= 8P L cos(θ + δθ) + 4P L sin(θ + δθ)

(10)

= 8P L(cos θ cos δθ − sin θ sin δθ) + 4P L(sin θ cos δθ + cos θ sin δθ)

(11)

≈ 8P L(cos θ − sin θδθ) + 4P L(sin θ + cos θδθ)

(12)

= 8P L cos θ {z + 4P L sin θ} + (−8P L sin θ + 4P L cos θ)δθ | |

V

{z

(13)

}

δV

In de overgang van (11) naar (12) is de verstoring δθ klein, wat betekent cos δθ ≈ 1 en sin δθ ≈ δθ. De stelling zegt dat een toestand in evenwicht is als een kleine verstoring vanuit die toestand gebeurt zonder verandering van de potenti¨ele energie. Dit betekent dat de stand θ een evenwichtsstand is als vanuit die stand δV = 0. In dit geval moet de factor tussen haakjes in δV verdwijnen. Dat gebeurt als tan θ = 0.5, of θ = 26.5◦ .

4.4

Evenwicht van een stangenmechanisme, voorbeeld 2

Een samenstel van 4 scharnierende stangen is met 1 vast en 1 glijdend scharnier ondersteund. De stangen zijn star, de beide linkse stangen hebben een lengte 2L, en de beide rechtse stangen hebben een lengte L (fig. 11). Z Zx@  @ @ @ @ @ @ @ x

Z Zx  

x@

@ I @

@L @ @ @ @ @ R @ @ @ @ P @ x . @

@ @ @ @ 45◦ @ @ @ x @

∇ 10N

∇ 5N

Figuur 11: Een stangenstelsel met 3 uitwendige krachten gevraagd : bepaal de grootte van de kracht P die vereist is om het stangenstelsel met een hoek van 45◦ in evenwicht te houden oplossing : de vereiste kracht P bedraagt 10N

4.5

Evenwicht van een stangenmechanisme, voorbeeld 3

Een samenstel van 10 stangen is met scharnieren aan elkaar bevestigd (fig. 12). 10

h S  S 

h  S  S  S



 θ

Z Z h   S S

S

 S

h S   S 

h  S S  S



S



S S S  S  S  Q P h . h h / Sh S S S      S  S  S  S S S     S S S S     S S S S    S  SSh S S Sh h h  S S  S



S





Figuur 12: 10 stangen scharnieren in elkaar gevraagd : bepaal de relatie tussen P en Q opdat de situatie in evenwicht is oplossing : Q = 4P

4.6

Evenwicht van een schaarheftafel

Een schaarheftafel bestaat uit 2 scharnierende stangen met een lengte 2L die een hefplatform dragen (fig. 13). Het scharnier rechts boven is uitgerust met een glijpaar.

 h H

3L

h

HH

HH H

HH H

 

 

∇10kN

 

HH  h  HH  HH  HH L   H  HH   H  θ HHh30kN  h / S S  S  S

Figuur 13: Een schaarheftafel draagt een uitkragende last van 10kN gevraagd : bepaal de evenwichtsstand θ oplossing : θ = 18.43◦

4.7

Stabiliteit van een enkele slinger

Een slinger (figuur 14) met een gewicht G is scharnierend opgehangen aan zijn uiteinde. De afstand tussen scharnier en zwaartepunt van de slinger is a. Op het uiteinde van de slinger, op een afstand L grijpt een horizontale verstorende kracht aan ter grootte F . Daardoor verdraait de slinger over een hoek θ uit de vertikale stand. gevraagd : bepaal de evenwichtsstand(en) van de slinger oplossing : de stand van de slinger is eenduidig bepaald door de hoek die hij insluit met de vertikale as. 11

@ I @ @ m@ @ S @ @L  S @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ × @θ @ I @ @ @ @ R @ @ @a @ @ @ @ @ @ R @ G∇ @ h . F @

Figuur 14: Een slinger met een horizontale stoorkracht Ten opzichte van een werkelijk deel θ van die hoek is het deel δθ een (kleine) denkbeeldige verdraaiing. Het gewicht G en de steunkracht F leveren elk een bijdrage tot de virtuele arbeid in het werkelijke deel θ van de positie en in het virtuele deel δθ. In eerste instantie worden deze beide delen samengenomen, en nadien zullen deze worden gescheiden. De bijdragen van G en F zijn : G de bijdrage van G is −Ga [1 − cos(θ + δθ)] F de bijdrage van F is F L sin(θ + δθ) De resulterende arbeid in de stand θ + δθ bestaat dan uit een re¨eel deel V en een virtueel deel δV : V + δV

= −Ga [1 − cos(θ + δθ)] + F L sin(θ + δθ)

(14)

= −Ga + Ga(cos θ cos δθ − sin θ sin δθ) + F L(sin θ cos δθ + cos θ sin δθ)

(15)

= −Ga + Ga(cos θ − sin θ δθ) + F L(sin θ + cos θ δθ)

(16)

= −Ga + Ga cos θ + F L sin θ} + (−Ga sin θ + F L cos θ)δθ | {z V

|

{z

δV

(17)

}

In de overgang (15) naar (16) is gebruik gemaakt van de eigenschap dat de virtuele verdraaiing δθ klein is, wat impliceert sin δθ ≈ δθ en cos δθ ≈ 1. In het eindresultaat (17) is de tweede term het virtuele deel van de arbeid dat resulteert uit de kleine denkbeeldige verandering van de stand δθ. Volgens de stelling van de virtuele arbeid is de stand θ een evenwichtssituatie als het virtuele deel δV van de arbeid ten gevolge van een willekeurige (kleine) verstoring δV gelijk is aan nul. Dit vereist hier : δV = 0 ⇒ −Ga sin θ + F L cos θ = 0 FL ⇒ θ = arctan Ga

(18) (19)

De oplossing (19) beschrijft 4 evenwichtsstanden, waarvan 2 met een positieve F (naar rechts wijzend op de figuur 14) en 2 met een negatieve F (naar links wijzend). In 2 van die standen hangt de slinger naar beneden, waarbij F een trekkracht betekent, en in 2 standen ligt het aangrijpingspunt van de zwaartekracht in een horizontaal vlak boven het scharnierpunt, en in deze gevallen drukt de kracht de slinger naar boven. De limietgevallen F = 0 en G = 0 zitten ook in de oplossing vervat. Bij F = 0 hangt de slinger vertikaal (θ = 0) of staat hij vertikaal opwaarts (θ = 180◦ ). Bij G = 0 neemt de slinger een horizontale stand in naar rechts (θ = 90◦ ) of naar links (θ = 270◦ ).

12

4.8

Stabiliteit van een dubbele slinger

Een dubbele slinger (figuur 15) bestaat uit 2 identieke gelederen die elk een lengte L, een uniforme massaverdeling en een een gewicht G hebben. Wrijving in de scharnieren is verwaarloosbaar. Op het uiteinde van het tweede gelid van de slinger grijpt een horizontaal werkende kracht aan ter grootte F (wijzend naar links of naar rechts). De stand van de eerste gelid wordt gemeten met een hoek θ1 t.o.v. de horizontale en de stand van het tweede gelid wordt gemeten met een hoek θ2 t.o.v. de horizontale.

z@ S @  @θ1 @ S @ @ @ @ @ @ @ × @ @ @ @ @ @PP @ PP G∇ @ z PP @ PPθ2 PPP P× PP PP PP PP z PP PP P

. F

G∇

Figuur 15: Een dubbele slinger met een horizontale stoorkracht gevraagd : bepaal de evenwichtstoestand(en) van de slinger oplossing : de hoeken θ1 en θ2 zijn gemeten ten opzichte van de horizontale. De 3 aangrijpende krachten leveren elk arbeid in het werkelijke deel van de verplaatsing en in het virtuele deel van de verplaatsing : G op het eerste gelid (dat bevestigd is aan het vaste scharnier) : 1 − GL [1 − sin(θ1 + δθ1 )] 2 G op het tweede gelid (met het vrije uiteinde waar F op aangrijpt) : 1 −G L [1 − sin(θ1 + δθ1 )] + L [1 − sin(θ2 + δθ2 )] 2 



F op het tweede gelid : F L [cos(θ1 + δθ1 ) + cos(θ2 + δθ2 )] De totale arbeid is dan (werkelijk + virtueel), na uitwerking : V + δV

3 1 = −2GL + GL sin θ1 + GL sin θ2 + F L cos θ1 + F L cos θ2 + . . . 2 2 | {z } V



... +

3 GL cos θ1 − F L sin θ1 δθ1 + 2 

|

{z

δV

13



1 GL cos θ2 − F L sin θ2 δθ2 2 

}

Volgens de stelling van de virtuele arbeid is een evenwichtstoestand equivalent met δV = 0 voor een willekeurige virtuele verplaatsing. Dit betekent hier dat de factoren van δθ1 en δθ2 allebei nul moeten worden, of : ( 3 2 GL cos θ1 − F L sin θ1 1 2 GL cos θ2

= 0

− F L sin θ2 = 0

⇒

  θ1

= arctan 3G 2F

 θ 2

G = arctan 2F

Deze oplossing beschrijft 4 evenwichtsstanden, waarvan 2 met een positieve F (naar rechts wijzend op de figuur 15) en 2 met een negatieve F (naar links wijzend). In 2 van die standen hangt de slinger naar beneden, waarbij F een trekkracht betekent, en in 2 standen ligt het aangrijpingspunt van de zwaartekracht in een horizontaal vlak boven het scharnierpunt, en in deze gevallen drukt de kracht de slinger naar boven.

14