Factores: Como el tiempo y el interés afectan al dinero A .
Analizar y calcular los factores de valor presente y recuperación recuperación de capital de serie uniforme. Analizar y calcular los factores de valor futuro y fondo de amortización amortización de serie uniforme. Analizar y calcular los factores del valor presente de gradiente aritmtico y de serie uniforme. !ealizar el an"lisis de sensi#ilidad #"sico mediante las funciones de la $o%a de c"lculo.
B.
!E&'!SOS
(apel &alculadora (izarra &omputador. )u*a de (r"cticas.
&.
OBJETIVOS
+'!A&I,- +E A (!/&TI&A
+os sesiones 01 $oras2.
+.
3A!&O TE,!I&O
1. ANUALIDAD 'na anualidad es una serie de pagos 4ue cumple con las siguientes condiciones5 6. Todos los pagos son de igual valor.
14
Curso de Ingeniería Económica 1. Todos los pagos se $acen a iguales intervalos de tiempo 7. A todos los pagos se le aplica la misma tasa de inters 8. El n9mero de pagos es igual al n9mero de periodos 1.1. PLAZO DE UNA ANUALIDAD El tiempo 4ue transcurre entre el inicio del primer per*odo y el final del 9ltimo per*odo se denomina el plazo de una anualidad y se representa por n. 'na anualidad tienes dos valores el valor final y el valor presente en el primer caso: todos los pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al principio de la anualidad. 1.2 SERIES UNIFORMES DE VALOR PRESENTE El caso del valor presente lo representaremos por 0(;A:n:i<2 en la notación tradicional y significar" el valor presente de una anualidad de n pagos puestos en valor presente a la tasa i<. a fórmula se o#tiene al plantear la ecuación de valor con fec$a focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i ( > A ? @ 06i<2 N 6C @ i< ?06i<2N C
=AA! ( +A+O A D
6
1
7
A
A
A
n
1.3 RECUPERACIÓN DE CAPITAL El caso de anualidades lo representaremos por 0A;(:n:i<2 en la notación tradicional y significar" las anualidades de n pagos de un valor presente puestos en anualidades a la tasa i<. A > ( ? @ i< ? 06i<2 N C @06i<2 N 6C
=AA! A +A+O (
D
A
A
A
6
1
7
n
1.4 CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME
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Curso de Ingeniería Económica El valor futuro de la serie uniforme ordinaria es un pago 9nico futuro: el cual esta u#icado al final del plazo o termino de la serie: eactamente donde ocurre el ultimo pago y adem"s es e4uivalente a las - cuotas de valor A cada una y situadas al final de cada intervalo de pago. (ara determinar el valor futuro F: se esta#lece una ecuación de valor con -: por facilidad: de la siguiente forma5 F > A ? @ 06i<2 N 62 C i<
=AA! F +A+O A.
D
A
A
A
6
1
7
n
1.5 FONDO DE AMORTIZACIÓN (ara determinar las anualidades de un valor futuro F: se esta#lece una ecuación de anualidad con -: por facilidad: de la siguiente forma5 =AA! A +A+O F.
D
A > F?
6
1
7
A
A
A
i< @ 06i<2N 62 C n
1.6 RESUMEN DE LOS FACTORES Y DE LAS FUNCIONES DE EXCEL =VA(i!F" &onvierte una suma futura F #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ ! a una suma presente P #$ ,+-i'!+ &'$ ')*+&+ 1/ + 0'# %i!#$ &'$ ')*+&+ . =VF(i!A" &onvierte una serie uniforme de valor A/ ' 0' i!i,i# #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ 1 ')-i!# #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ !: a una suma futura F/ #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ !. =VA(i!A" &onvierte una serie uniforme de valor A/ ' 0' i!i,i# #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ 1 ')-i!# #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ ! a una suma presente P #$ ,+-i'!+ &'$ ')*+&+ 1/ + 0'# %i!#$ &'$ ')*+&+ . =PAO(i!P" &onvierte una suma presente P #$ ,+-i'!+ &'$ ')*+&+ 1/ + 0'# %i!#$ &'$ ')*+&+ a una serie uniforme de valor A/ ' 0' i!i,i# #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ 1 ')-i!# #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ !.
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Curso de Ingeniería Económica
=PAO(i!F" &onvierte una suma futura de valor F/ 0i#&# '! '$ %i!#$ &'$ ')*+&+ ! a una serie uniforme de valor A/ ' 0' i!i,i# '! '$ %i!#$ &'$ ')*+&+ 1 ')-i!# #$ %i!#$ &'$ ')*+&+ !. 1.7 E8'-$+0 'n documento estipula pagos trimestrales de GHD:DDD durante aos. Si este documento se cancela con un solo pago de5 a2 al principio #2 al final: con una tasa del 71< capitaliza#le trimestralmente Solución5 El n9mero de pagos es n > 8 > 18: A > GHD.DDD i > 71;8 > H< efectivo trimestral 80000
a2
80000
0
80000
1
80000
2
3…………. . ….. n
P
( > HD DDD
@ 06D.DH2 24 K 6 @ D.DH ?06D.DH2 24 C
> G H81 7D6
#2 80000
0
1
80000
2
80000
80000
3…………. . ….. 24
F > HD DDD ? @ 06D.DH224 62 C > G L 786 6H6 D.DH
F
'na persona empieza el d*a primero de %ulio de 6MH a $acer depósitos de G6:DDD mensualmente el d*a primero de cada mes. Estos depósitos son efectuados en una entidad financiera 4ue le paga el 18< capitaliza#le mensualmente pero: a partir del primero de octu#re de 6MHN: decidió 4ue de a$* en adelante: sus depósitos ser*an de G1:LDD. El 9ltimo depósito lo $izo el primero de agosto de 6.MHM. Si el primero de diciem#re de 6MHM decide 2500 2500 2500 cancelar la cuenta. &u"l ser" el monto de sus a$orrosP 1000
1000
1000
Solución5 1-6-86
1-7-86
1-8-86 ………. 1-9-87
1-10-87 1-11-87 ….. 1-9-89…. . ….. 1-12-89
F
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Curso de Ingeniería Económica
O#servemos 4ue $ay 1 anualidades5 la de renta de G6.DDD y la de renta de G1:LDD. a primera anualidad empieza el 6H 0primero de %unio de 6MH2 y termina el 6MHN 0primero de septiem#re de 6MHN2 y la segunda anualidad empieza el 6MHN y termina el 6HHM. +e sta forma la primera anualidad tendr" 6L per*odos y su valor final de#er" ser trasladado por 1N per*odos para llevarlo a la fec$a focal 0desde el 6MHN $asta el 661HM2. a segunda anualidad tendr" 17 per*odos y su valor final lo de#emos trasladar por 8 per*odos. !espuesta5 F > G6DN:LN8.M 'na deuda de GLD.DDD se va a cancelar mediante 61 pagos uniformes de GA. &on una tasa del 1< efectivo para el per*odo: $allar el valor de la cuota A situando5 la fec$a focal el d*a de $oy y poniendo la fec$a focal en 61 meses a. En este caso se usa A;( por4ue todo el flu%o de ca%a de#e ser puesto al principio 4ue es donde est" la fec$a focal: Q donde A > G8:N1N.MH #. En este caso puede usarse F;A por4ue todo el flu%o de ca%a de#e ser puesto en el punto 61 4ue es donde est" la fec$a focal: pero la deuda de los GLD.DDD sigue en D lo cual implica 4ue de#er" ser trasladada a valor final con todos los pagos: Q donde A > G8:N1N.MH
2. RADIENTES 'n gradiente uniforme es una serie de flu%o de ca%a 4ue aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir 4ue el flu%o de ca%a: ya sea ingreso o desem#olso: cam#ia en la misma cantidad cada ao. a cantidad de aumento o disminución es el )!A+IE-TE. Esta serie de pagos: cumple con las siguientes condiciones5 6. El n9mero de pagos es igual al n9mero de per*odos. 1. os pagos se efect9an a iguales intervalos de tiempo. 7. Todos los pagos cumplen con una ley de formación. 8. Todos los pagos se trasladan al principio o al final a la misma tasa de inters. Si un fa#ricante de ropa predice 4ue el costo de mantenimiento de una m"4uina cortadora aumentar" en G LD.DDD anuales $asta dar de #a%a la ma4uina: $ay involucrada una serie de gradiente y la cantidad gradiente es G LD.DDDD. +e la misma: manera si la compa*a espera 4ue el ingreso disminuya en G 7D.DDD anuales durante los próimos cinco aos: el ingreso 4ue disminuye representa un gradiente por la cantidad de G 7D.DDD. 2.1 RADIENTE ARITM9TICO. +enominado igualmente gradiente lineal. En el gradiente aritmtico cada pago es igual al anterior: m"s una cantidad constante )R si esta constante es positiva: el gradiente ser" creciente: si la constante es negativa: el gradiente ser" decreciente. Si ) > D todos los flu%os de ca%a son iguales y la serie se convierte en una anualidad. 2.1.1 VALOR PRESENTE DE UN RADIENTE ARITMETICO El modelo a utilizar es el siguiente5 Si la gradiente es positiva5 (T > (A () Si la gradiente es negativa5 (T > (A ()
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Curso de Ingeniería Económica
Si la gradiente es positiva ser" la primera de las fórmulas y si es negativa la segunda. P = : ; ( 1< i "N iN 1 > i 2 ( 1 < i "N E%emplo5 'na pare%a se propone empezar a a$orrar dinero depositando G LDD en su cuenta de a$orros dentro de un mes. &alculan 4ue los depósitos aumentar"n en G 6DD cada mes durante nueve meses. &u"l ser*a el valor presente de la inversión si la tasa de inters es L< mensualP. Se de#en $acer dos c"lculos5 6. ( > A 0 (;A: i : - 2 y: 1. ( > ) 0 (;): i :- 2 Entonces el valor presente total (T es igual al valor presente de la cantidad #ase (A m"s el valor presente del gradiente (): ya 4ue am#os ocurren en el ao cero. (T > (A () > LDD 0 (;A: L<: 6D2 6DD0 (;): L<: 6D2 > G 7:HD.HNL 7:L.1D8H > G N:D1.DN17 2.1.2 VALOR FUTURO DE UN RADIENTE ARITMETICO F = ; 1 : ( 1 < i " N 1 i i
N >
2.1.3 VALOR DE LA AMORTIZACIÓN DADO UN RADIENTE ARITMETICO A= ; 1 i
N
> N
( 1 + i ) - 1
A & T I V I + A + E S + E A ( ! / & T I & A 6. &alcular el valor de contado de un e4uipo industrial comprado as*5 G 6LD.DDD de cuota inicial y 61 pagos trimestrales de G HD.DDD: a una tasa de inters del 6D< trimestralmente. 1. 'n terreno 4ue vale de contado G 1L.DDD.DDD se va a financiar de la siguiente forma5 cuota inicial igual al H<: 7 cuotas mensuales iguales pagaderas en forma anticipada: y una cuota etraordinaria al final del mes 6H de G 1.LDD.DDD. Si la tasa de inters 4ue le co#ran es del 1< mensualmente: calcular el valor de las cuotas. 7. Se est" construyendo un negocio 4ue estar" en servicio dentro de un ao. Suponga 4ue las utilidades sean de G LD.DDD mensuales y durante 8 aos de servicio. 'sted desea comprar este negocio &u"l ser" el valor: en pesos de $oy: 4ue de#e ofrecer para 4ue al final de los 8 aos tenga una ganancia adicional de G 7.DDD.DDD: si su tasa de inters es del 7< mensualP
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Curso de Ingeniería Económica 8. &u"nto dinero podr*a invertir una compa*a de limpieza am#iental de suelos para financiar un proyecto de reclamación de sitio: si espera ingresos de S;. 68D:DDD anuales durante un periodo de limpieza de L aosP Suponga 4ue la tasa de inters es de 6D< anual. L. 'na Ingenier*a inició una pe4uea empresa 4ue usa tecnolog*a de #anda ultra anc$a para desarrollar dispositivos 4ue pueden detectar o#%etos dentro de edificios: tras las paredes o #a%o la tierra. a compa*a espera gastar S;. 6DD:DDD anuales para la#orar y S;. 61L:DDD anuales para suministros antes de 4ue un producto se comercialice: a una tasa de inters del 61<. &u"l es la cantidad futura e4uivalente total de los gastos de la compa*a al final de 7 aosP . En una empresa: los ingresos del reciclado de pl"stico se incrementaron a una tasa constante de S;. HDD en cada uno de los 9ltimos 7 aos. Si se espera 4ue el ingreso de este ao 0es decir: al final del ao 62 sea de S;. 8 DDD y la tendencia de ingreso contin9a $asta el ao L: a2 cu"l ser" el ingreso dentro de 7 aosP y #24u cantidad igual en los aos 6 al L es la e4uivalente de todo el ingreso durante dic$o periodo de tiempo a una tasa de inters de 6D< anualP N. 'na compa*a distri#uidora de li#ros por internet considera comprar un avanzado sistema de cómputo para c9#icar las dimensiones de un li#ro5 medir su altura: largo y anc$o para 4ue se utilice para em#ar4ue al tamao apropiado de la ca%a. Esto a$orrar" material de empa4ue: cartón y tra#a%o. Si los a$orros ser"n de S;. 61 DDD el primer ao: S;. 67 DDD el segundo ao y cantidades crecientes en S;. 6 DDD cada ao durante 6D aos. &uales son5 a2 el valor presente y #2 el valor anual uniforme del sistema a una tasa de inters de 6L< anualP. H. (or medio de la aplicación de tcnicas de ingenier*a industrial: una empresa logró a$orrar G1HDDD el primer ao: disminuyendo los a$orros en G8DDD cada ao durante un periodo de cinco aos. A una tasa de inters de 61< anual: a cu"nto e4uivalen los a$orros de los cinco aos al final del 4uinto aoP
EJE!&I&IOS (!O('ESTOS
.6 +etermine el valor actual del flu%o de efectivo de la siguiente figura usando a lo sumo tres factores de inters a un inters compuesto del 6D< anual. G1DD G6LD G6DD G6DD G6DD Años
D
6
1
7
A
A
8
L A
Años
20
Curso de Ingeniería Económica D
6
1
7
8
L
.1 'na mu%er acuerda pagar un prstamo #ancario de G6:DDD en 6D pagos iguales a una tasa anual de 6D<. En forma inmediata a su tercer pago: toma prestados GLDD tam#in al 6D<. &uando reci#e este segundo prstamo: acuerda con el #an4uero 4ue le permita pagar el restante de la deuda del primer prstamo y la cantidad total del primer prstamo en doce pagos iguales anuales. El primer pago se $ar" un ao despus de 4ue reci#a los GLDD. &alcule la cantidad de los 61 pagos. .7 Suponga 4ue se espera 4ue el ingreso anual por la renta de una propiedad comience en G67DD por ao y disminuya en una cantidad uniforme de GLD cada ao despus del primero: durante la vida esperada de 6L aos de la propiedad. El costo de la propiedad es de GHDDD y el i es de M< por ao. es una #uena inversiónP Suponga 4ue la inversión tiene lugar en el momento cero 0a$ora2 y 4ue el primer ingreso anual se reci#e al final del primer ao. 8. &u"nto dinero de#er" invertirse al final de cada ao durante 1L aos: comenzando el próimo ao en un fondo 4ue ascender" a G 6HD:DDD: al final de los 1L aosP Suponga 4ue la tasa de inters es de 68< anual. L. Si en el pro#lema anterior se ofrecen dos cuotas etraordinarias5 la primera de G 7LD:DDD en el mes L: y la segunda de G LDD:DDD en el mes 6H: cu"l ser" el valor de la cuota ordinariaP . Suponga 4ue los padres de un nio deciden realizar pagos anuales en una cuenta de a$orros: el primero de los cuales se efect9a en el 4uinto cumpleaos del nio y el ultimo en el decimo4uinto. +espus comenzando en el cumpleaos 6H: se realizan retiros como se muestran en la figura. Si la tasa es de H< por periodo. &uales son los depósitos anuales cinco a 4uince.
N. =allar el valor de G del siguiente flu%o de ca%a: con intereses al 7D<
100 100 100 100 100 100
0
80
80
80
1
2
3
100
4
5
X
6
7
8
9
10
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Curso de Ingeniería Económica
H. =allar G del siguiente flu%o de ca%a: con tasa del 1D<. 500
X 220 120 140 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
100 150 225 337.5 506.25
M. 'n #anco otorgó un prstamo por G66 DDD a una tasa de inters anual de H< y acordó 4ue se le pagar*a en 6D cantidades iguales al final de cada ao: dando inicio en el primero. +espus de pagar la 4uinta anualidad el #anco ofrece: como alternativa: $acer sólo un pago de GNDDD al finalizar el siguiente ao: es decir: ya no se $ar*an los cinco pagos restantes sino uno solo al final del seto ao. +etermine 4u opción de pago le conviene aceptar al deudor para li4uidar las 9ltimas cinco anualidades. 6D. El eclusivo clu# deportivo Failured &$amps ofrece dos opciones a los posi#les socios5 un pago de contado de G6DDDD 4ue da derec$o a una mem#res*a por 6D aos: o pagos anuales al inicio de cada ao. En el primer ao se pagar"n G61DD y este monto se incrementar" en G6DD anualmente. Si se considera una tasa de inters de 61< capitalizado cada ao: cu"l plan escoger*a usted en caso de 4ue deseara pertenecer al clu# por un periodo de 6D aosP
&'ESTIO-A!IO 6. 1. 7.
u condiciones re9ne anualidad o serie de pagosP u factores podemos tener en cuenta en las anualidadesP u condiciones re9ne una gradienteP
