UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´IA.
GU´ IA N 1 BAIN053 BAIN053 ´ ´ METODOS NUMERICOS PARA INGENIER´ IA
◦
I. Selecci´ on o n M´ ultiple ultiple 1. La propiedad distributiv distributivaa de la multiplica multiplicaci´ ci´ on con respecto de la suma establece que on x (y + z + z)) = x y + x + x z,
·
·
∀x,y,z ∈ R
·
Considere x Considere x = 0.4278, 4278, y y = 0.9155 y z y z = 0.3349. Al realizar el lado izquierdo de la operaci´on on anterior usando aritm´etica etica de punto pu nto flotante flot ante con cuatro d´ıgitos y redondeo re dondeo se tiene: (a) 0.5348. (b) 0.5350.
(c) 0.5351 0.5351.. (d) 0.5349 0.5349..
2. Considere un computador computador imaginario que representa representa los n´ umeros umeros en aritm´ ari tm´ etica etica de punto flotante por p or redondeo redo ndeo en la forma
±0.d1d2d3d4d5d6d7 × 10m;
d1 = 0;
0
≤ di ≤ 9, 9 ,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
Si a Si a = 0.000001 , b = 0.00003 , c = 2000000 , x = 21236111115 de x + y + y (ac) ac)b
× 10
−9 ≤ m ≤ 9, 9 , m ∈ Z. 10 , y = 0.11512 × 101, entonces el valor
−
obtenido por este computador es: (a) (b) (c) (d)
0. 0.5458019 0. 0.5458020 0. 0.5458017 0. 0.5458018
× 105 × 105 × 105 × 105
3. Considerando aritm´etica etica de punto flotante de 4 d´ıgitos ıgitos con redondeo, el resultado de la operaci´ op eraci´on on 4.82 102
·
÷ (8. (8.81 · 108 × 4.06 · 10
2
−
)
es: (a) 0. 0.1346 10−4 . (b) 0. 0.1347 10−4 .
(c) 0. 0.1348 10−4 . (d) 0. 0.2221 10−8 .
· ·
· ·
4. Considerando aritm´etica etica de punto flotante de 5 d´ıgitos con redondeo, si x1 = 0.23371258
× 10
(a) x1 x2 + x + x1 x3 = 0.54000 (b) x1 x2 + x + x1 x3 = 0.53753
× 10 × 10
4
−
,
x2 = 0.33678429
× 102
y
x3 =
−0.33654811 × 102,
se tiene que:
· ·
· ·
6
−
. −6 .
(c) x1 x2 + x + x1 x3 = 0.56000 (d) x1 x2 + x + x1 x3 = 0.55198
· ·
· ·
6
−
× 10 × 10
6
−
. .
5. Considerando aritm´etica etica de punto flotante de 4 d´ıgitos ıgitos con redondeo, el resultado de la operaci´ op eraci´on on 4.82 102
·
÷ (8. (8.81 · 108 × 4.06 · 10
2
−
)
es (a) 0. 0.1346 10−4 . (b) 0. 0.1347 10−4 .
(c) 0. 0.1348 10−4 . (d) 0. 0.2221 10−8 .
· ·
· ·
6. Considere la funci´on on f (x1 , x2 ) = sen(x sen(x1 x 2 ). El err error or E (f (¯ f (¯ x1 , ¯ x2 )) asociado a x ¯1 = 3.14 y x ¯2 = 2.65, aproximaciones de x de x 1 [3. [3 .0, 3.2] y x 2 [2. [2.6, 2.7], respectivamenente, est´a acotado acotado superiormen superiormente te por:
∈ (a) 2. 2.7|x1 − ¯ x1 | + 3. 3.2|x2 − ¯ x2 |. (b) 3. 3.2|x1 − ¯ x1 | + 2. 2.7|x2 − ¯ x2 |.
∈
·
|
|
(c) 3. 3.0 x1 (d) 2. 2.6 x1
| − ¯x1| + 2.2.6|x2 − ¯x2|. | − ¯x1| + 3.3.0|x2 − ¯x2|.
1
7. Considerando aritm´etica de punto flotante de 8 d´ıgitos con redondeo, si x1 = 0.23371258 10−4 ,
·
x2 = 0.33678429 102
·
y x3 =
−0.33677811 · 102,
se tiene que: (a) x1 + (x2 + x3 ) = 0.64137125 10−3 . (b) (x1 + x2 ) + x3 = 0.64100000 10−3 .
(c) x1 + x2 + x3 = 0.641371258 10−3 . (d) Todas las anteriores.
· ·
·
5 por x ¯ = 0.56, es incorrecto afirmar que: 9 1 1 (a) El error absoluto es E (x ¯ ) = . (c) El error relativo es E R (¯x) = . 225 125
8. Si se aproxima x =
|
|
|
(b) El porcentaje de error es 0.8%.
|
(d) x ¯ aproxima a x con 3 d´ıgitos significativos.
9. Considerando la ecuaci´ on cuadr´atica x 2
− 38x + 1 = 0, se tiene que √ x1 = 37.97366596 38 ± 1444 − 4 ⇒ x = 2
x2 = 0.026334039
Utilizando aritm´etica con cuatro d´ıgitos significativos y redondeo, la alternativa FALSA es (a) (b) (c) (d)
|E (x¯ 1)| = 6.334 · 10 3 y |E (¯x2)| = 1.334 · 10 3. |E R(¯x1)| = 1.668 · 10 4 y |E R(¯x2)| = 5.064 · 10 2.
(a) (b) (c) (d)
I debe medirse con un 4% m´aximo de error. I debe medirse con un 6% m´ınimo de error. I debe medirse con un 6% m´aximo de error. I debe medirse con un 4% m´ınimo de error.
−
−
−
−
x ¯1 = 37.97 y x ¯2 = 0.02633. x ¯1 = 37.98 y x ¯2 = 0.02500. V 10. Si se tiene que R = , ¿con qu´e precisi´on porcentual deber´a medirse I para que el error en el c´alculo de R I no exceda un 6%, si V se mide con un error del 2%?
11. El volumen de una pir´amide triangular V de altura h y de arista de la base a es: V =
√ 3a2h 12
.
¿Con qu´e precisi´on porcentual deber´a medirse h para que el error en el c´alculo de V no exceda un 7%, si a se mide con un error del 2%? (a) (b) (c) (d)
h debe medirse con un 5% m´aximo de error. h debe medirse con un 5% m´ınimo de error. h debe medirse con un 3% m´aximo de error. h debe medirse con un 3% m´ınimo de error. 1 12. Considere la funci´on f (x1 , x2 ) = . Si x¯1 = 0.333 y x ¯2 = 0.167 son aproximaciones de x1 y x2 , x1 x2 respectivamente, cuyos errores satisfacen E (x ¯1) 0.025 y E (¯x2 ) 0.005. La m´ınima cota superior de error para E (f (¯x1 , ¯ x2 )) es aproximadamente:
·
|
|
|
|≤
(a) 1.945. (b) 4.592.
|
|≤
(c) 9.184. (d) 2.246.
13. Considere el PVI
dy = t 2 t, y(0) = 1, dt cuya soluci´on exacta es y = y(t). Con respecto a la soluci´on num´erica del mismo, obtenida por alg´ un m´etodo num´erico con tama˜no de paso h, se puede afirmar que:
−
(a) Es un conjunto de puntos yk que coincide con la soluci´on anal´ıtica en t = h k, k N. (b) Es una funci´on que aproxima la soluci´on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial. (c) Es un conjunto de puntos yk que aproxima la soluci´on anal´ıtica en t = h k, k N. (d) Es una funci´on que coincide con la soluci´on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial.
{ }
·
{ }
·
2
∈
∈
14. Considere el PVI
y = x2 y(0) = 1
− 3y
25 −3x cuya soluci´on anal´ıtica es y(x) = 27 e + 31 (x2 orden para 0 < x < 0.4, con h = 0.1, se tiene que:
− 32 x + 92 ). Al utilizar el m´etodo de Runge-Kutta de cuarto
y(0.1) y1 (a) y(0.1) (b)
−
y(0.1) y1 y(0.1)
−
≈ ≈
3.2 10−5 .
y(0.1) y1 (c) y(0.1)
2.1 10−5 .
(d)
· ·
15. Considere el PVI
cuya soluci´on anal´ıtica es y(x) = 2ex h = 1, para y (1) se tiene que:
−
y(0.1) y1 y(0.1)
−
y = x + y y(0) = 1
− x − 1.
≈ ≈
1.2 10−5 .
·
6.6 10−5 .
·
Al utilizar el m´ etodo de Runge-Kutta de cuarto orden, con
(a) E A (y1 ) (b) E A (y1 )
| ≈ 0.006. | ≈ 0.6.
| |
(c) E R% (y1 ) (d) E R% (y1 )
| ≈ 0.006%. | ≈ 0.6%.
| |
16. Considere una masa m sujeta al extremo de un resorte de constante k sumergida en un fluido viscoso de resistividad b. La EDO que modela el desplazamiento x de la masa desde su posici´on de equilibrio como funci´ on del tiempo t es la del oscilador arm´onico amortiguado forzado: m
d2 x dx + b + kx = g(t), 2 dt dt
dx (0) = 0 dt
x(0) = x0 ,
Las condiciones iniciales corresponden a haber soltado desde el reposo la masa desplazada una distancia x0 desde su posici´on de equilibrio. Para resolver este problema mediante un m´ etodo num´ erico, en primer lugar, se transforma la ecuaci´on diferencial de segundo orden en un sistema de EDO de primer orden equivalente:
− − − − − − − − X = f (t, X ) X (0) =
y z
, con X =
x0 0
x
=
dx dt
Indique cuales son las iteraciones asociadas al m´etodo de Euler con paso h, k = 0, 1, 2, . . . (a)
(b)
(c)
(d)
yk+1 zk+1 yk+1 zk+1 yk+1 zk+1 yk+1 zk+1
17. Dado el P.V.I.
=
=
=
=
yk zk yk zk yk zk yk zk
+ h
yk bzk + ky k m
g(tk )
,
y0 z0
=
x0 0
.
+ h
zk bzk + ky k m
g(tk )
,
y0 z0
=
x0 0
.
+ h
zk byk + kz k m
g(tk )
,
y0 z0
=
x0 0
.
+ h
yk byk + kz k m
g(tk )
,
y0 z0
=
x0 0
.
y (x) = 4xy, y(0) = 1.
Considere el m´etodo num´erico basado en el m´etodo de Euler:
y k+1 yk+1
= yk + hf (xk , yk ), k = 0, 1, . . . = yk + hf (xk+1 , yk+1 ), k = 0, 1, . . .
Al utilizar este esquema con paso h = 0.5, el valor que falta en la siguiente tabla es: xk yk (a) (b) (c) (d)
0.0 1.0
6.0 4.0 10.0 3.0
3
0.5 2.0
1.0
18. El siguiente PVI modela un sistema vibratorio amortiguado, d2 x dx 0.2 2 + 1.2 + 2x = 5 cos(4t), dt dt
x(0) = 0.5,
x (0) = 0
Dado los siguientes esquemas num´ericos, con n = 0, 1,... (i) x0 = 0.5, z 0 = 0 y
(ii) x0 = 0.5, z 0 = 0 y
xn+1 = x n + hzn zn+1 = z n + h[25 cos(4tn ) xn+1 = x n + zn+1 = zn +
− 6zn − 10xn]
.
h [k1 + k2 ] 2
h [m1 + m2 ] 2 .
k1 = z n m1 = 25 cos(4tn )
− 6zn − 10xn
k2 = z n + hm1 m2 = 25 cos(4tn+1 )
− 6(zn + hm1) − 10(xn + hk1)
¿Cu´ al de las siguientes alternativas es incorrecta? (a) (b) (c) (d)
(i) es un m´etodo de serie de Taylor de orden 1. (ii) es un m´etodo de serie de Taylor de orden 2. (i) y (ii) son m´etodos de Runge-Kutta de orden 1 y orden 2, respectivamente. (i) es el m´ etodo de Euler y (ii) es el m´ etodo de Heun.
19. Para el PVI
dy = y + t, y(t0 ) = y 0 . dt Si y = y(t) es la soluci´on anal´ıtica de ´este PVI y se tiene que la soluci´on num´erica del mismo, obtenida por alg´ un m´etodo utilizando tama˜no de paso h, es el conjunto de puntos Y k ∞ k=0 . El error absoluto asociado a la tercera iteraci´on es:
{ }
(a) y(t0 + 3h) (b) y(t0 + 2h)
| |
− Y 3|. − Y 3|.
(c) y(t0 + 3h) (d) y(t0 + 2h)
| |
20. Considere el PVI
u + u = 0, u(0) = 0 u (0) = 1.
− Y 2|. − Y 2|.
t [0, π]
∈
Al aplicar el m´etodo de Euler (Heun) mejorado a la soluci´on de este problema con tama˜no de paso h > 0 se obtienen las siguientes aproximaciones u 1 a u(h) y u˙ 1 a u (h): (a) u1 =
h2 , u˙ 1 = 1 2
− h.
(c) u1 =
h2 , u˙ 1 = 1 2
2
− h2 . 2
(b) u1 = h, u˙ 1 = 1
h (d) u1 = h, u˙ 1 = 1 − . 2
− h.
21. Con respecto al PVI de orden 2:
y + y y = e x y(0) = 1 y (0) = 0
−
Introduciendo la variable auxiliar z = y , el problema se traduce en el sistema de ecuaciones
y = z z = y
− z + e
x
y(0) = 1 z(0) = 1
cuya soluci´on num´erica, seg´ un el m´etodo de Euler con h = 0.1, se construye a partir de y 0 = z0 = 1 y (a) (b) (c) (d)
yk+1 zk+1
= yk + 0.05zk = zk + 0.05(yk
yk+1 zk+1
= yk + 0.1zk = zk + 0.1(yk
yk+1 zk+1
= = zk + 0.05zk
yk+1 zk+1
= yk + 0.1(yk = zk + 0.1zk
− zk + ex ) k
, k = 0, 1, 2, . . . .
− zk + ex ) , k = 0, 1, 2, . . . . yk + 0.05(yk − zk + ex ) , k = 0, 1, 2, . . . . k
k
− zk + ex ) k
, k = 0, 1, 2, . . . .
4
22. Considere el PVI
y = 2x y(1) = 5
− 3y + 1
1 2 38 cuya soluci´on anal´ıtica es y (x) = + x + e−3(x−1) . Al utilizar el m´etodo de Heun, con tama˜no de paso 9 3 9 h = 0.25, es incorrecto se˜nalar que: (a) (b) (c) (d)
Para aproximar y(1.5) con un error absoluto menor a 10 −1 , son suficientes 2 iteraciones. y(1.5) 2.053216232. y2 = 2.302734375. E A (y2 ) 2.5 10−1 .
≈
|
|≈ ·
23. Se sabe que la soluci´ on del sistema lineal, de orden 3, Ax = b, est´a dada por x = (1.0, 1.0, 1.0)t donde
b = (1.0, 1.0, 1.0)t .
De igual modo se sabe que la soluci´on del sistema lineal perturbado A x ¯ = ¯b, est´a dado por x ¯ = (101.0, 1.0, 1.0)t con
¯b = (1.01, 1.0, 1.0)t .
Entonces, siempre es cierto que:
≤ 104. ≥ 104.
(c) K (A)∞ < 10 4 . (d) K (A)∞ > 10 4 .
(a) K (A)∞ (b) K (A)∞
17 5 x1 22 24. Considere el sistema = . Si un t´ ermino del lado izquierdo se perturba 0.002, el error 1.7 0.51 x2 2.2 relativo, de la soluci´ on del sistema perturbado x ¯ con respecto a la soluci´on del sistema original, x, satisface: (a) (b)
x − ¯x1 ≤ 0.2821. x1 x − ¯x ≤ 0.2200. x
(c)
∞
(d)
∞
25. Sea
x − ¯x1 ≤ 0.2200. x1 x − ¯x ≤ 0.2821. x ∞
∞
∈ ]0, 1[. Considere la matriz A = (a) K (A) = (1 − )
1 0 1
y su inversa A
1
−
=
1 0
− 1
(c) K ∞ (A) = 1 2 (d) K ∞ (A) = (1 + )2
. Entonces:
−
∞
(b) K ∞ (A) = (1 + )
26. Se resuelven dos sistemas de ecuaciones Ax = b y A(x + δx) = b + δb. Si δb indique cu´al de las siguientes alternativas es necesariamente cierta:
|| || ≤ 0.001||b||
(a) (b)
||δx|| ≤ 0.05||x|| . ||δx|| ≥ 50||x|| . ∞
(c) (d)
∞
∞
∞
∞
∞
y K ∞ (A) = 50,
||δx|| ≤ 0.001||x|| . ||δx|| > 0.05||x|| . ∞ ∞
∞
∞
27. Se debe resolver un sistema de ecuaciones cuya matriz tiene n´umero de condicionamiento 10 y en el que el lado derecho de la ecuaci´on tiene un error relativo inferior a 10 −2 . Indique cu´al de las siguientes afirmaciones es m´as precisa: (a) El error relativo de la soluci´on ser´a menor o igual a 10 −3 . (b) El error relativo de la soluci´on ser´a menor o igual a 10 −2 . (c) El error relativo de la soluci´on ser´a menor o igual a 10 −1 . (d) Ninguna de las anteriores.
17 5 x1 22 28. Considere el sistema = . Si un t´ermino del lado derecho se perturba 0 .02, 1.7 0.51 x2 2.2 el error relativo, de la soluci´on del sistema perturbado x ¯ con respecto a la soluci´on del sistema original x, satisface: (a)
x − ¯x ≤ 2.2000. x x − ¯x ≤ 2.0000. x ∞
(c)
∞
(b)
x − ¯x ≤ 1.6876. x x − ¯x ≤ 1.6378. x ∞
∞
∞
(d)
∞
∞
∞
5
29. Se sabe que la soluci´ on del sistema lineal, Ax = b, de orden 4, est´a dada por: x = (1, 1, 1, 1)t . De igual modo se sabe que la soluci´on del sistema lineal perturbado (A + δA) (x + δx) = b, est´a dado por: x + δx = (1.2, 0.9, 1.8, 1.5)t . Considerando que se perturb´o un t´ermino de la matriz A en 0.005, A es cierto que:
|| ||
(a) 9 (b) 9
× 10 3 < K × 10 3 ≤ K −
≤ × 103 × 103
(A) 4 ∞ (A) < 4 ∞
−
(c) 4 (d) 4
∞
= 45 y A−1
||
× 103 ≤ K × 103 < K
(A) < 9 ∞ (A) < 9 ∞
||
∞
< 200, siempre
× 103 × 103
30. Considere las matrices A =
1 0 2 0 1 0 2 0 1
A−1 =
;
−
1/3 0 0 1 2/3 0
2/3 0 1/3
−
.
Al resolver el sistema Ax = b, en la soluci´on se comete un error relativo en norma 2 estrictamente mayor a 6 10−4 , debido a un error en el t´ermino del lado derecho. Suponga que no hay errores en los co eficientes de la matriz ni errores de redondeo. Entonces, siempre es cierto que:
×
(a) (b) (c) (d)
¯b 2 2 ¯b > 2 2 ¯b 2
− ≤ − − ≤ − b b b b
× 10 4 b2 × 10 4 × 10 4 2 ¯b > 2 × 10 4 b 2 2 −
−
−
−
0.5 0.2 31. Dado el sistema Ax = b, donde A = y b = (2, 3)t . Si b cambia a ¯b = (1.8, 3.5)t , entonces el 0.2 0.3 error relativo de la soluci´on x usando norma infinito (a) Est´a entre 0.7 y 0.75. (b) Est´a entre 0.2 y 0.25.
(c) Est´a entre 0.6 y 0.65. (d) Ninguna de las anteriores.
32. Considere el sistema lineal (1)
99.87x1 + 12.35x2 7.231x1 + 0.9936x2
= 2.35 = 1.12
1634 1825 cuya soluci´on exacta tiene componentes x 1 = y x 2 = . 1411 191 Si los datos anteriores no se han medido con precisi´on y se ha obtenido el sistema
−
(2)
100x1 + 12x2 7x1 + x2
= 2.3 = 1.1
¿Cu´ al(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) es(son) verdadera(s)? (i) x ¯ x ∞ 3.6863. (ii) El n´ umero de condicionamiento de la matriz asociada al sistema (1), en norma infinito, es aproximadamente 1210.6. (iii) El n´ umero de condicionamiento de la matriz asociada al sistema (2), en norma 1 y en norma infinito, es 749.
− ≤
(a) Solo (i). (b) (i) y (ii).
(c) Solo (iii). (d) (i), (ii) y (iii).
33. Considere las matrices
A =
1/100 0 0 0
0 0 1 0 1 100 0 0
− −
0 0 1 π
−
A−1 =
;
t
100 0 0 0
−
0 0 0 1 0 0 1/100 1/100 1/100π 0 0 1/π
−
Al resolver el sistema Ax = b con b = (1, 1, 1, 1) , en la soluci´on se comete un error relativo en norma 1 estrictamente mayor a 10 −2 , debido a un error en el t´ ermino del lado derecho. Suponga que no hay errores en los coeficientes de la matriz ni errores de redondeo. Entonces: (a) (b)
¯b 4 1 ¯b > 4 1
− ≤ − b b
× 10 × 10
6
.
(c)
6
.
(d)
−
−
6
¯b = 4 1 ¯b < 4 1
− − b b
× 10 × 10
6
.
6
.
−
−
II. Problemas 1. Considere el sistema mec´ anico de la figura:
donde: m: Masa del cuerpo. k: Constante del resorte. b: Coeficiente del roce viscoso. f (t): Fuerza aplicada. v(t): velocidad del cuerpo. La ecuaci´on diferencial asociada al sistema es: d2 v(t) dv(t) + b + kv(t) = f (t). m 2 dt dt 1 [N/m], b = 4 [N/(m/s)] y f (t) = 3 la velocidad es de 1.5 [m/s] y la aceleraci´on de 0.5 [m/s2 ]. Considere m = 5 [kg], k =
2t
−
−10e
[N ]. Suponiendo que para t = 0 [s],
(a) Utilice el m´ etodo de Euler con h = 1.0, para estimar la velocidad y la aceleraci´on del cuerpo despu´es de 2 segundos. (b) Si la soluci´ on diferencial es: on anal´ ıtica de la ecuaci´ 60 −2t v(t) = e + 37
√ − 63
1367 21 1036
e
√ −6+ 21 15
t
−
√
1367 21 + 63 1036
e
√ −6− 21 15
t
determine el error relativo de la estimaci´on de la velocidad y aceleraci´on en t = 2 [s]. 2. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuaci´on diferencial siguiente: dv = g dt
− cmd v2
donde v es la velocidad [m/s], t es el tiempo [s], g es la aceleraci´on de la gravedad 10 [m/s2 ], c d es el coeficiente de arrastre de segundo orden [kg/m], y m es la masa [kg]. Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 [kg] con coeficiente de arrastre de 0.225 [kg/m]. Si la altura inicial es de 1 [km]. (a) Plantee el m´etodo de Heun para la velocidad y distancia del ob jeto. (b) Realice dos iteraciones del esquema planteado con h = 1. 3. El movimiento de un p´endulo de Foucault sin fricci´on es descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales
2 x ¨ 2ω sen(Ψ)y + k ˙ x = 0 2 ˙ y¨ + 2ω cos(Ψ)x + k y = 0
−
x(0) ˙ = 0, ˙ = 0, y(0)
x(0) = 1.5 y(0) = 1.5
donde Ψ es la latitud del lugar donde el p´endulo est´a localizado, ω = 7.29 10−5 [s−1 ] es la velocidad angular de la tierra, k = g/l con g = 9.8 [m/s2 ] y l es la longitud del p´endulo. Aplicando el m´ etodo de Euler con h = 50, calcule una aproximaci´on para x(t) e y(t), con t entre 0 y 200 segundos, considerando l = 20 [m] y Ψ = π/4 [rad].
×
7
4. Si un p´endulo de masa m se suspende con una cuerda de longitud L y se le aplica una fuerza peri´odica externa f (t), la ecuaci´on que rige el ´angulo x(t) que forma la cuerda con la vertical en el instante t, se deduce de la segunda ley de Newton obteni´endose x +
a g x + sen(x) = f (t), m L
donde g es la aceleraci´on de gravedad, a > 0 es la constante de rozamiento y el origen del sistema se encuentra en la posici´ on de equilibrio. Para estudiar el efecto de una fuerza externa f (t) = cos(2t) [N ] cuando m = 1 [kg], L = 1 [m] y a = 0.1 [N/(m/s)2 ], teniendo como condiciones iniciales x(0) = 0 y x (0) = 5. Se propone utilizar el m´etodo de Euler-Richardson descrito a continuaci´on: K 1 K 2 xk+1 yk+1
= f (xk , yk ) h h = f xk + , yk + K 1 2 2 = xk + h; k = 1, 2,... = yk + hK 2 ; k = 1, 2,...
para resolver el PVI
y (x) = f (x, y(x)) y(x0 ) = y0
Utilizando el m´etodo de Euler-Richardson con tama˜ no de paso h = 1 y considerando g = 10 [m/s2 ], obtenga una aproximaci´on para el ´angulo y la velocidad del p´endulo en el instante t = 2 [s]. 5. Un meteorito de masa m = 1.3450 109 [kg] que cae verticalmente sobre la tierra, ingresa a la atm´osfera terrestre a 5.4300 104 [m] de altura sobre su superficie y a una velocidad de descenso de 0 .5700 103 [m/s]. El PVI que rige su ca´ıda es el siguiente:
×
×
×
mK − cy)y + (y + R) = 0, 2 y(0) = 5.4300 × 104 , y (0) = −0.5700 × 103 , donde y es la altura del meteorito sobre la superficie de la tierra, K = 3.9800 × 1014 [m3 kg/s2 ] es la constante de gravitaci´on terrestre, R = 6.3710 × 106 [m] es el radio de la tierra y ( b − cy) es la resistencia del aire, con b = 1.2300 × 107 [s 1 ] y c = 2.2650 × 102 [m 1 ]. Al cabo de 12 [s] el meteorito se desintegra. my + (b
−
−
Se propone utilizar un m´etodo de Runge-Kutta de orden 2 descrito a continuaci´on:
K 1 K 2 xk+1 yk+1
= hf (xk , yk ) = hf (xk + h, yk + K 1 ) = xk + h; k = 0, 1, 2, . . . 1 = yk + (K 1 + K 2 ) ; k = 0, 1, 2, . . . 2
para aproximar la soluci´on del PVI
y (x) = f (x, y(x)) y(x0 ) = y0
a) Plantee el esquema num´ erico, basado en RK-2, para aproximar la soluci´on del PVI asociado al problema del meteorito. b) Obtenga una aproximaci´ on para la altura y la velocidad del meteorito en el instante en que se desintegra, considere h = 6 [s].
8
6. El sistema de encendido de un autom´ ovil est´a representado por el circuito que se muestra en la figura
y est´a modelado por el P.V.I.
d2 i(t) di(t) i(t) + R + = 0, 2 dt dt C V 0 i(0) = , i (0) = 0, R L
siendo i(t) la corriente el´ectrica del circuito en un instante de tiempo t y donde la tensi´on el´ectrica V 0 representa la bater´ıa y el alternador, el resistor R la resistencia, el inductor L la bobina de encendido, el capacitor C el condensador, y el interruptor, paralelo al condensador, representa el encendido electr´onico del autom´ovil. Considere el m´etodo de Runge-Kutta de orden 3 descrito a continuaci´on:
yk+1
h = yk + (2K 1 + 3K 2 + 4K 3 ) ; 9
xk+1
= xk + h;
k = 0, 1, 2, . . .
k = 0, 1, 2, . . .
donde: K 1
= f (xk , yk )
K 2
h h = f xk + , yk + K 1 2 2
K 3
3 3 = f xk + h, yk + hK 2 4 4
para aproximar la soluci´on del P.V.I.
y (x) = f (x, y(x)) y(x0 ) = y0
Para V 0 = 12 [V ], R = 4 [Ω], C = 1 [F ] y L = 8 [H ]: a) (20 puntos) Plantee el esquema num´ erico, basado en RK-3, para aproximar la soluci´on del P.V.I. asociado al problema de la corriente el´ectrica. b) (10 puntos) Obtenga una aproximaci´ on para la corriente el´ectrica al cabo de 4 [s], con h = 4 [s]. c) (10 puntos) Sabiendo que la soluci´on anal´ıtica del P.V.I. es i(t) = e
t/4
−
3cos
t 4
+ 3 sin
t 4
determine el error relativo que se comete al estimar la corriente el´ectrica a 4 [ s] de iniciado el proceso. Considere h = 4 [s].
9
7. En el estudio de un resorte vibratorio con amortiguaci´on se llega a un problema de valor inicial de la forma: mx (t) + bx (t) + kx(t) = 0, x(0) = x 0 , x (0) = v 0 siendo x(t) el desplazamiento medido a partir de la posici´on de equilibrio en un instante t y donde las siguientes par´ ametros denotan: m: la masa sujeta al sistema, b: la constante de amortiguaci´ on, k: la constante del resorte, x 0 : desplazamiento inicial, v 0 : la velocidad inicial. Considere el m´etodo de Runge-Kutta de orden 3 descrito a continuaci´on:
K 1 K 2 K 3 xk+1 yk+1
= hf (xk , yk ) h k 1 = hf xk + , yk + 2 2 = hf (xk + h, yk k1 + 2k2 ) = xk + h; k = 0, 1, 2,... 1 = yk + (K 1 + 4K 2 + K 3 ) ; 6
−
k = 0, 1, 2,...
para aproximar la soluci´on del PVI
y (x) = f (x, y(x)) y(x0 ) = y0
Si m = 36 [kg], b = 12 [kg/s], k = 37 [kg/s2 ], x 0 = 70 [cm] y v 0 = 10 [cm/s] : a) Plantee el esquema num´ erico, basado en RK-3, para aproximar la soluci´on del PVI asociado al problema del resorte. b) Obtenga una aproximaci´on para el desplazamiento y la velocidad del resorte despu´ es de 2 segundos de iniciado el movimiento, considere h = 1s. c) Sabiendo que la soluci´on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial anterior es 65 − 1 t e 6 sen(t), 3 determine el error relativo que se comete al estimar el desplazamiento y la velocidad del resorte despu´ es de 2 segundos de iniciado el movimiento al considerar h = 1 [s]. 1
x(t) = 70e− 6 t cos(t) +
10
