Guía preparación Prueba N°1 Métodos de Optimización
I.
Solución por Método Gráfico
1. Una compañía de auditores se especializa en preparar auditorías y liquidaciones de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente mensualmente para maximizar maximizar sus ingresos. S e dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión mensualmente. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300.000. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100.000. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
R:
Variables de decisión: el problema dice que la empresa se especializa en preparar auditorías auditorías y liquidaciones, las cuales les otorgan ciertos ingresos, además, se dice que requieren saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente, lo cual nos otorga nuestras dos variables de decisión.
: í ñí : ñí 1
2
Función objetivo: el problema nos dice que necesita saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar ingresos, por lo tanto, nuestra función objetivo sería la suma de la cantidad preparada de auditorías y liquidaciones, multiplicadas multiplicadas por el ingreso que cada una genera.
: 300.000 300.000
1
1
2
1
2
2
1
2
2
Restricciones: el problema nos plantea las restricciones de horas de trabajo directo y de horas de revisión mensuales, y nos entrega el tiempo requerido de trabajo para las auditorías y las liquidaciones. Por otro lado, nos dice que las liquidaciones no pueden superar las 60 mensualmente. No olvidar que no se pueden realizar menos de cero auditorías o liquidaciones. liquidaciones. Ya analizado el problema podemos plantear las restriccione restr icciones. s.
+ 8 ≤ 800 + 5 ≤ 320 ≤ 60 , ≥ 0 40 10
+ 100.0 100.000 00
Ya planteado el problema debemos encontrar la solución mediante un gráfico, para eso debemos trabajar con las restricciones anteriormente planteadas. La primera es la de las horas de trabajo directo, y para graficarla debemos saber qué valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero c ero a X1, y vemos que valor toma X 2, y viceversa, igualándola al valor total de la restricción.
∗ ∗
40 1 + 8 2 = 800 40 0 + 8 2 = 800 8 2 = 800 2 = 100 40 1 + 8 2 = 800 40 1 + 8 0 = 800 40 1 = 800 1 = 20 Luego de encontrar los valores trazamos la recta (considerando siempre la r egla de no negatividad), y para encontrar el área con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X 1 y X2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restricción se cumple, de ser así el punto (0,0) está dentro del área factible, de no cumplirse la restricción se utiliza utiliza el área á rea contraria al punto (0,0).
∗ ∗ ≤ 800 ≤ ≤
40 0 + 8 0 0 + 0 800 0 800
Se cumple la restricción, por lo tanto trabajaremos con el área a la izquierda izquierda de la recta. r ecta.
X2
100
20
X1
Ya planteado el problema debemos encontrar la solución mediante un gráfico, para eso debemos trabajar con las restricciones anteriormente planteadas. La primera es la de las horas de trabajo directo, y para graficarla debemos saber qué valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero c ero a X1, y vemos que valor toma X 2, y viceversa, igualándola al valor total de la restricción.
∗ ∗
40 1 + 8 2 = 800 40 0 + 8 2 = 800 8 2 = 800 2 = 100 40 1 + 8 2 = 800 40 1 + 8 0 = 800 40 1 = 800 1 = 20 Luego de encontrar los valores trazamos la recta (considerando siempre la r egla de no negatividad), y para encontrar el área con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X 1 y X2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restricción se cumple, de ser así el punto (0,0) está dentro del área factible, de no cumplirse la restricción se utiliza utiliza el área á rea contraria al punto (0,0).
∗ ∗ ≤ 800 ≤ ≤
40 0 + 8 0 0 + 0 800 0 800
Se cumple la restricción, por lo tanto trabajaremos con el área a la izquierda izquierda de la recta. r ecta.
X2
100
20
X1
Ahora viene la segunda restricción, de las horas de revisión, y para graficarla debemos saber qué valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero a X 1, y vemos que valor toma X 2, y viceversa, igualándola igualándola al valor total de la restricción.
∗ ∗
10 1 + 5 2 = 320 10 0 + 5 2 = 320 5 2 = 320 2 = 64 10 1 + 5 2 = 320 10 1 + 8 0 = 320 10 1 = 320 1 = 10 Luego de encontrar los valores trazamos la recta (considerando siempre la r egla de no negatividad), y para encontrar el área con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X 1 y X2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restricción se cumple, de ser así el punto (0,0) está dentro del área factible, de no cumplirse la restricción se utiliza utiliza el área á rea contraria al punto (0,0).
∗ ∗ ≤ 320 ≤ ≤
10 0 + 5 0 0 + 0 320 0 320
Se cumple la restricción, por lo tanto trabajaremos con el área a la izquierda izquierda de la recta. r ecta.
X2
100
64
20
X1
La tercera y última restricción es la de las liquidaciones disponibles mensualmente, y para graficarla debemos saber qué valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero a X1, y vemos que valor toma X 2, y viceversa, igualándola al valor total de la restricción, pero en este caso, solo tenemos una variable, la cual al igualarla nos quedará siempre el mismo valor ( 2 = 60), por lo tanto la tercera restricción es una recta paralela al eje x.
= 60 2
Luego de encontrar los valores trazamos la recta (considerando siempre la r egla de no negatividad), y para encontrar el área con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X 1 y X2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restricción se cumple, de ser así el punto (0,0) está dentro del área factible, de no cumplirse la restricción se utiliza el área contraria al punto (0,0).
∗ ∗ ≤ 60 ≤ ≤
0 0+1 0 0 + 0 60 0 60
Se cumple la restricción, por lo tanto trabajaremos con el área bajo la recta.
X2
100
64 60
20
32
X1
Ahora para encontrar la región factible total consideramos el lugar de intersección de las regiones factibles de cada recta.
Luego tenemos 5 vértices en la figura trazada, las cuales serán nuestras posibles soluciones óptimas, de la cual deberemos escoger la que nos entregue un mayor beneficio. Denotaremos cada vértice con una letra del abecedario, el nombre de cada vértice será elegido arbitrariamente. A B C D E
Ahora necesitamos encontrar los valores de cada vértice, y, a través del gráfico podemos determinar 3 de los 5 puntos, que serán l os puntos A, B y E. Punto
Valor
A
(0,0)
B
(20,0)
E
(0,60)
Ahora, necesitamos encontrar los valores de C y D , para ello debemos considerar las rectas que se intersectan en esos puntos. Primero determinaremos el valor del punto C, y lo que debemos hacer primeramente es despejar una variable e n las restricciones que se intersectan, aquí despejaremos X1 de la restricción de las horas de trabajo, igualándola al valor total de la restricción.
+ 8 = 800 = 800 − 8 = 800 − 8 40 40
1
2
1
2
2
1
40
Luego de despejar una variable despejamos la misma (X1) de la segunda restricción, en este caso la de las horas de revisión, igualándola al valor total de la restricción.
+ 5 = 320 = 320 − 5 = 320 − 5 10 10
1
2
1
2
2
1
10
Con las variables despejadas procedemos a igualar ambas ecuaciones despejadas.
− 8 = 320 − 5 40 10 8000 − 80 = 12.800 − 200 120 = 4.800 = 40 800
2
2
2
2
2
2
Teniendo el valor de X 2 podemos despejar el valor de X1, reemplazando el valor encontrado en cualquiera de las dos restricciones que se intersectan, en este caso reemplazaremos en la recta de las horas de trabajo, e igualándola al total de la restricción.
+ 8 = 800 + 8 ∗ 40 = 800
40 40
1 1
2
40 40
1
+ 320 = 800 1 = 480 = 12 1
Entonces ya encontramos ambos valores del punto C Punto
Valor
C
(12,40)
Ahora encontraremos el valor del punto D, considerando la restricción de las horas de revisión y del límite mensual de liquidaciones. Lo que debemos hacer primeramente es despejar una variable en las restricciones que se intersectan, aquí despejaremos X 2 de la restricción del límite de las liquidaciones, igualándola al valor total de la restricción.
2
= 60
Ya tenemos el valor de X2, por lo tanto, para encontrar el valor de X1 debemos simplemente evaluar el valor encontrado en la segunda restricción, en este caso la de las horas de revisión, igualándola al total de la restricción.
+ 5 = 320 + 5 ∗ 60 = 320 + 300 = 320 = 20
10 10 10 10
1
1
2
1 1 1
=2
Entonces ya encontramos ambos valores del punto D. Punto
Valor
D
(2,60)
Entonces ya tenemos los valores de los 5 puntos, ahora podremos encontrar la solución que maximizará el ingreso para la empresa. Punto
Valor
Z
A
(0,0)
300.000 0 + 100.000 0 = 0
∗
∗
B
(20,0)
C
(12,40)
D
(2,60)
E
(0,60)
∗ 20 + 100.000 ∗ 0 = 6.000.000 300.000 ∗ 12 + 100.000 ∗ 40 = 7.600.000 300.000 ∗ 2 + 100.000 ∗ 60 = 6.600.000 300.000 ∗ 0 + 100.000 ∗ 60 = 6.000.000 300.000
Ya encontrados todos los valores de Z, procedemos a seleccionar el máximo (ya que se trata de un problema de maximización). La empresa debe realizar 12 auditorías y 40 liquidaciones mensualmente para maximizar su ingreso hasta $7.600.000. 2. Resolver el siguiente modelo de programación lineal utilizando método gráfico
: 3 + 1
− 7 ≤ 14 −4 + 3 ≤ 12 + ≥ −4 2
1
2
1
1
1
2
2
(1) (2) (3)
No hay restricciones de no negatividad, X 1 y X2 pueden tomar valores negativos y positivos. R: Debemos encontrar la solución mediante un gráfico, para eso debemos trabajar con las restricciones anteriormente presentadas. Para graficar la primera recta (1) debemos saber qué valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero a X 1, y vemos que valor toma X2, y viceversa, igualándola al valor total de la restricción.
− ∗ − − − − − ∗
2 1 7 2 = 14 2 0 7 2 = 14 7 2 = 14 2 2 = 2 1 7 2 = 14 2 1 7 0 = 14 2 1 = 14 1 =7 Luego de encontrar los valores trazamos la recta (al no existir reglas de no negatividad, las rectas tienden al infinito), y para encontrar el área con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X 1 y X 2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restricción se cumple, de ser así el
punto (0,0) está dentro del área factible, de no cumplirse la restricción se utiliza el área contraria al punto (0,0).
∗ − ∗ ≤ 14 ≤ ≤
2 0 7 0 0 + 0 14 0 14
Se cumple la restricción, por lo tanto trabajaremos con el área a la izquierda de la recta.
Para graficar la segunda recta (2) debemos saber qué valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero a X 1, y vemos que valor toma X 2, y viceversa, igualándola al valor total de la restricción.
−4 + 3 = 12 −4 ∗ 0 + 3 = 12 1
2
2
= 12 = 4 −4 + 3 = 12 −4 + 3 ∗ 0 = 12 −4 = 12 = −3 3
2
2
1
2
1 1
1
Luego de encontrar los valores trazamos la recta (al no existir reglas de no negatividad, las rectas tienden al infinito), y para encontrar el área con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X 1 y X 2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restricción se cumple, de ser así el punto (0,0) está dentro del área factible, de no cumplirse la restricción se utiliza el área contraria al punto (0,0).
−4 ∗ 0 + 3 ∗ 0 ≤ 12 0 + 0 ≤ 12 0 ≤ 12 Se cumple la restricción, por lo tanto trabajaremos con el área a la derecha de la recta.
Para graficar la tercera recta (3) debemos saber qué valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero a X 1, y vemos que valor toma X 2, y viceversa, igualándola al valor total de la restricción.
+ = −4 1
2
∗ − − − ∗ − −
1 0+ 2 = 4 4 2 = 1 + 2 = 4 1 +1 0 = 4 4 1 =
Luego de encontrar los valores trazamos la recta (al no existir reglas de no negatividad, las rectas tienden al infinito), y para encontrar el área con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X 1 y X 2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restricción se cumple, de ser así el punto (0,0) está dentro del área factible, de no cumplirse la restricción se utiliza el área contraria al punto (0,0).
∗ ∗ ≥ −4 ≥− ≥−
1 0+1 0 0+0 4 0 4
Se cumple la restricción, por lo tanto trabajaremos con el área a la derecha de la recta.
Ahora para encontrar la región factible total consideramos el lugar de intersección de las regiones factibles de cada recta.
Luego tenemos 2 vértices en la figura trazada, las cuales serán nuestras posibles soluciones óptimas, de la cual deberemos escoger la que nos entregue un número menor. Denotaremos cada vértice con una letra del abecedario, el nombre de cada vértice será elegido arbitrariamente.
A B
Ahora necesitamos encontrar los valores de cada vértice, pero no se pueden determinar a simple vista, por lo que debemos trabajar con las ecuaciones que se intersectan en cada punto para encontrar dichos valores. Primero buscaremos el punto A, trabajando con la restricción (2) y (3). Lo que debemos hacer primeramente es despejar una variable en las restricciones que se intersectan, aquí despejaremos X1 de la restricción (2), igualándola al valor total de la restricción.
−4 + 3 = 12 −4 = 12 − 3 = −1 24+ 3 1
2
1
2
2
1
Luego de despejar una variable despejamos la misma (X1) de la segunda restricción, en este caso la restricción (3), igualándola al valor total de la restricción.
+ = −4 = −4 − 1
2
1
2
Con las variables despejadas procedemos a igualar ambas ecuaciones despejadas.
−1 2 + 3 = −4 − 4 −1 2 + 3 = −16 − 4 2
2
2
2
= −4 = −74 7
2
2
Teniendo el valor de X 2 podemos despejar el valor de X1, reemplazando el valor encontrado en cualquiera de las dos restricciones que se intersectan, en este caso reemplazaremos en la recta (3), e igualándola al total de la restricción.
+ = −4 + 1 ∗ −74 = −4 + −74 = −4 = − 247 1
2
1
1
1
Entonces ya encontramos ambos valores del punto A Punto
Valor
A
−724 , −74
Luego buscaremos el punto B, trabajando con la restricción (1) y (3). Lo que debemos hacer primeramente es despejar una variable en las restricciones que se intersectan, aquí despejaremos X1 de la restricción (1), igualándola al valor total de la restricción.
− 7 = 14 = 14 + 7 = 1 4 +2 7 2 2
1
2
1
2
2
1
Luego de despejar una variable despejamos la misma (X1) de la segunda restricción, en este caso la restricción (3), igualándola al valor total de la restricción.
+ = −4 = −4 − 1
2
1
2
Con las variables despejadas procedemos a igualar ambas ecuaciones despejadas.
= −4 − 2 1 4 + 7 = −8 − 2 9 = −22 14+7
2
2
2
2
2
= −922 2
Teniendo el valor de X 2 podemos despejar el valor de X1, reemplazando el valor encontrado en cualquiera de las dos restricciones que se intersectan, en este caso reemplazaremos en la recta (3), e igualándola al total de la restricción.
+ = −4 + 1 ∗ −922 = −4 + −922 = −4 = − 149 1
2
1
1
1
Entonces ya encontramos ambos valores del punto A Punto
Valor
B
−914 , −922
Entonces ya tenemos los valores de los 2 puntos, ahora podremos encontrar la solución que minimizará el problema de progr amación lineal. Punto A
B
Valor
Z
−724 , −74 3 ∗ −724 + 1 ∗ −74 = −776 −914 , −922 3 ∗ −914 + 1 ∗ −922 = 649
Ya encontrados todos los valores de Z, procedemos a seleccionar el mínimo (ya que se trata de un problema de minimización). El valor de X 1 debe ser -24/7 y el valor de X 2 debe ser -4/7 para obtener un mínimo de -76/7.
3. Una empresa fabrica 2 tipos de hamburguesas para su venta:
Hamburguesas de vacuno (150 gr de carne y 50 gr de grasa) costo $75/unidad Hamburguesas de cerdo (170 gr decarne y 30 gr de grasa) costo $90/unidad La fábrica cuenta con una disponibilidad de 15 kg de carne y 5 kg de grasa. Además, se sabe que la empresa vende las hamburguesas de vacuno a $150 cada una y las hamburguesas de cerdo a $170 cada una. Determinar la cantidad de unidades de ambas hamburguesas producidas y vendidas (se asume que toda unidad producida es vendida) para maximizar la utilidad. R: Variables de decisión
: : 1
2
Función objetivo
= 75
1
+ 80
2
Restricciones
≤ 15.000 ≤ 5.000 ≥ 150 1 + 170 50 1 + 30 2 0 1, 2
2
X2
166,7
88,2 C
A
B 100
X1
Punto A B C
X1 0 100 0
X2 0 0 88,2
Z 0 $7.500 $7.056
4. Una compañía productora de fertilizantes es propietaria de 2 minas que le generan la materia prima básica bá sica para sus productos. productos. La mina 1 produce semanalmente 10 toneladas de materia prima grado A; 30 toneladas de materia prima grado B; y 50 toneladas de grado C. La mina 2 produce semanalmente 30 toneladas de cada materia prima, la compañía para la producción anual de fertilizantes requiere al menos de 150 toneladas de grado A y 300 toneladas de grado B pero no más de 900 toneladas de grado C. Los costos de explotación semanal de la mina 1 son de $800.000 mientras que los costos de la mina 2 son de $700.000 ¿Cuántas semanas al año se debe explotar cada mina para cumplir cumplir los planes de producción pr oducción minimizando costos?
R:
Variables de decisión
: ú ó 1 : ú ó 2 1
2
Función objetivo
: 800.000 800.000
1
Restricciones
+ 30 ≥ 150 + 30 ≥ 300 + 30 ≤ 900 ≥ 0 10 30 50 1,
1
2
1
2
1
2
2
+ 700.00 700.000 0
2
X2
D
30
E 10
5
A
10
B C 15
Punto A B C D E
X1 15/2 15 18 0 0
18
X1
X2 5/2 0 0 30 10
Z $7.750.000 $12.000.000 $14.400.000 $21.000.000 $7.000.000
II.
Planteamiento de problemas
5. Se necesita diseñar una dieta para estudiantes al menor costo posible pero satisfaciendo sus necesidades básicas de 2400 kcal diarias y de no menos de 1000 g de comida; las necesidades básicas también incluyen 2 litros de agua, aunque el líquido no debe necesariamente provenir de los alimentos, y cantidades específicas de proteínas, grasas y carbohidratos. En el cuadro se indican las características de cada tipo de alimento por porción de 100 g y los requerimientos diarios mínimos promedio para cada estudiante. estudiante. La dieta debe también incluir al menos 1 huevo, 200 g de vegetales y 100 g de leche o queso.
Alimento
Kcal
Pan Huevos Arroz Pollo Leche Frijoles Queso Vegetales Requerimiento mínimo
245 150 110 250 66 110 250 35 2.400
Agua ml 38 66 72 55 90 67 50 80 2 litros
Proteínas (g) 8 11 2 30 3,6 6 20 2 100
Grasas (g) 1,4 11 0,2 4 3,6 1 15 0 50
Carbohidratos (g) 52 1 23 0 4,8 21 0 18 375
Precio ($/kg) 750 1.000 800 2.000 2.000 1.000 2.500 1.500
R:
1 2 3 4 5 6 7 8
= = = = = = = =
Variables de decisión: el problema nos habla sobre la dieta de un estudiante, y nos dice los alimentos que debe consumir para lograr el objetivo de la dieta, por lo que las variables serían los alimentos que debe consumir.
ú ú ú ú ú ú ú ú Función objetivo: el problema nos plantea precios de los alimentos, además nos dice que quiere lograr la dieta a un costo mínimo, y hay que considerar que cada porción está determinada en 100 gr, y el precio está por kg, por lo que cada precio debe dividirse en 10.
= 75
1
+ 100
2
+ 80
3
+ 200
4
+ 200
5
+ 100
6
+ 250
7
+ 150
8
Restricciones: la primera restricción que podemos obtener ya en la segunda línea es que
los estudiantes necesitan cubrir sus necesidades básicas de kcal, y que debe consumir no menos de 1.000 gr de comida (no olvidar que cada por ción está considerada por 100 gr).
+ 66 + 110 + ≥ 10 245 1 + 150 2 + 110 3 + 250 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +
4
7
5
6
+ 250
7
≥ 2.400
+ 35
8
8
Luego el problema dice que se necesitas 2 litros de agua, pero que no necesariamente deben ser consumidos en los alimentos de la dieta, por lo que no se considera una restricción. La tabla nos indica los requerimientos mínimos de Proteínas, Grasas y Carbohidratos, además, nos presenta las cantidades que contiene cada alimento de estos 3 requerimientos.
≥ 100 ≥ ≥
8 1 + 11 2 + 2 3 + 30 4 + 3,6 5 + 6 6 + 20 7 + 2 8 1,4 1 + 11 2 + 0,2 3 + 4 4 + 3,6 5 + 6 + 15 7 50 52 1 + 2 + 23 3 + 4,8 5 + 21 6 + 18 8 375
Finalmente, la dieta nos dice que debe tener al menos 1 huevo (considerado de 100 gr), 200 gr de vegetales, y 100 gr de leche o queso, además de que no se puede tener un consumo negativo de alimentos, por lo que se debe considerar la restricción de no negatividad.
≥ 1 ≥ 2 + ≥ 1 , , , , , , , ≥ 0 2 8 5
1
7
2
3
4
5
6
7
8
Las restricciones del problema quedan de la siguiente manera:
≥ ≥ ≥ ≥
≥ ≥ ≥ ≥
≥ 2.400
245 1 + 150 2 + 110 3 + 250 4 + 66 5 + 110 6 + 250 7 + 35 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 8 1 + 11 2 + 2 3 + 30 4 + 3,6 5 + 6 6 + 20 7 + 2 8 100 1,4 1 + 11 2 + 0,2 3 + 4 4 + 3,6 5 + 6 + 15 7 50 52 1 + 2 + 23 3 + 4,8 5 + 21 6 + 18 8 375 1 2 2 8 1 5 + 7 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
8
6. Wood fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de roble o
de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla de roble y de 210 pies de tabla de pino. Una mesa requiere 17 p.t. de roble, o bien 30 p.t. de pino, y una silla necesita 5 p.t. de roble, o bien, 13 p.t. de pino. Se puede vender cada mesa a 40 dólares y cada silla a 15 dólares. Formule un PL que se puede usar para maximizar los ingresos. R:
Variables de decisión: en este caso son variables de otro tipo, ya que Wood fabrica mesas y sillas, pero además hay una subdivisión del material, de roble y pino, por lo que son variables del tipo X ij, donde i serán las mesas y las sillas, y j serán de lo que están hechas, es decir, pino y roble.
i = mesas, sillas j = roble, pino
: : : :
Función objetivo: el problema nos plantea maximizar los ingresos, y nos da el precio de venta de las mesas y las sillas, por lo que la función objetivo será la suma de las mesas y de las sillas multiplicadas por su respectivo precio.
= 40 + + 15 +
Restricciones: el problema nos presenta restricciones sobre los materiales, es decir, roble y pino, y nos entrega también los materiales que requiere cada mesa y cada silla. Además, no puede existir una producción negativa, por lo que debe considerarse la restricción de no negatividad.
+ 5 ≤ 150 + 13 ≤ 210 ≥ 0 17 30
7. Minas Universal opera tres minas en el norte de Chile. El mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las mismas así, como sus costos diarios de operación son los siguientes:
Mineral de grado alto, ton/día 4 6 1
Mina I Mina II Mina III
Mineral de grado bajo, ton/día 4 4 6
Costo de operación, $/día 20.000 22.000 25.000
La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Determínese el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo. R: Variables de decisión
= í á = í á = í á 1
2 3
Función objetivo
= 20.000
1
+ 22.000
2
+ 25.000
3
Restricciones
+ 6 + ≥ 54 + 4 + 6 ≥ 65 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 7 , , ≥ 0 4 4
1
2
1
2
3
3
1
2 3
1
2
3
8. Una excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar consigo, pero entre todos sobrepasan los 60 kilogramos que considera que puede cargar. Para auxiliarse en la selección, ha asignado un valor a cada artículo en orden ascendente de importancia:
Artículo Peso, lb Valor
1 52 100
2 23 60
3 35 70
4 15 15
5 7 15
¿Qué artículos deberá llevar para maximizar el valor total, sin sobrepasar la restricción de peso? R: Variables de decisión
1 2 3 4 5
= = = = =
í 1 í 2 í 3 í 4 í 5
Función objetivo
= 100
1
+ 60
2
+ 70
3
+ 15
4
+ 15
5
Restricciones
+ 23 + 35 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 , , , , ≥ 0 52
1
2
3
+ 15
4
≤ 60
+7
5
1
2 3 4 5
1
2
3
4
5
9. Los hospitales enfrentan constantemente problemas con el horario de trabajo de sus enfermeras. Un modelo de planificación de horarios en un problema de programación de enteros para minimizar el número total de trabajadores sujetos a un número específico de enfermeras durante cada período del día.
Período 1 2 3 4 5 6 7 8
Turno del día 8:00 - 10:00 10:00 - 12:00 12:00 - 02:00 02:00 - 04:00 04:00 - 06:00 06:00 - 08:00 08:00 - 10:00 10:00 - 12:00
N° requerido de enfermeras 10 8 9 11 13 8 5 3
Dado que cada enfermera trabaja jornadas de 8 horas diarias, el/ellas puede comenzar a trabajar al comienzo de cualquiera de los primeros cinco períodos: 8:00, 10:00, 12:00, 2:00, o 4:00. Adicionalmente, no se necesita ninguna enfermera que comience a trabajar después de las 4:00, dado que su horario se extendería hasta después de la media noche, cuando no son necesarias. ¿Cuántas enfermeras se deben reportar de forma tal de cumplir los requerimientos de la tabla anterior? Variables de decisión
1 2 3 4 5
í 1 í 2 í 3 í 4 í 5
= = = = =
Función Objetivo
= + + + + 1
2
3
4
5
Restricciones
≥ 10 + ≥ 8 + + ≥ 9 + + + ≥ 11 + + + ≥ 13 + + ≥ 8 + ≥ 5 ≥ 3 , , , , ≥ 0 1 1
2
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
4
5
5
1
2
3
4
5
10. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir frutas de 3 mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de frutas diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de frutas, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El costo del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:
Almacén A B
Mercado 1 10 15
Encontrar la distribución que minimiza costos.
Mercado 2 15 20
Mercado 3 20 10
Variables de decisión
1 2 3 4 5 6
é 1 é 1 é 2 é 2 é 3 é 3
= = = = = =
Función Objetivo
= 10
+ 15 Restricciones 1
2
+ 15
3
+ 10
4
+ 20
5
+ 10
6
+ + ≤ 10 + + ≤ 15 + ≥ 8 + ≥ 8 + ≥ 9 , , , , , ≥ 0 1
3
5
2
4
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
11. Una compañía tiene 2 plantas y 3 almacenes. La primera planta puede suministrar como máximo 500 lb de un producto dado, la segunda planta 200 lb como máximo. La demanda del primer almacén es de 150 lb, el segundo es de 200 y el tercero de 250. Los costos de fabricación del producto se indican en la siguiente tabla de precios de fabricación unitarios:
Planta 1 Planta 2
Almacén 1 30.000 18.000
Almacén 2 25.000 19.000
Determine un programa de embarques que satisfaga la demanda a un menor costo. Variables de decisión
1 2 3 4 5 6
1 é 1 1 é 2 1 é 3 2 é 1 2 é 2 2 é 3
= = = = = =
Almacén 3 36.000 21.000
Función Objetivo
= 30.000
+ 25.000
1
2
+ 36.000
3
+ 18.000
4
+ 19.000
5
+ 21.000
6
Restricciones
+ ≥ 150 + ≥ 200 + ≥ 250 + + ≤ 500 + + ≤ 200 , , , , , ≥ 0 1
4
2
5
3
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
12. Una industria productora de muebles fabrica mesas, sillas, escritorios y libreros utilizando dos tipos diferentes de madera A y B de las cuales se dispone 3.600 y 2.000 pies 2 respectivamente. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1, 9 y 12 pies 2 respectivamente de madera tipo A y 2, 3, 4, 3 pies2 madera de tipo B. Se cuenta con 1.200 horas hombre para este trabajo, para la fabricación de una mesa requiere 3 horas hombre, una silla requiere 2 horas, para un escritorio 5 horas y para un librero 10 horas. Los pedidos exigen una producción mínima de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no más de 10 libreros. Las utilidades son de $18.000 por mesa, $7.500 por silla, $22.500 por escritorio y $27.000 por librero ¿Cuántos muebles de cada tipo deben producirse para obtener máxima utilidad?
Variables de decisión
1 2 3 4
= = = =
Función Objetivo
= 18.000
1
+ 7.500
2
Restricciones
+ + 9 + 12 ≤ 3.600 + 3 + 4 + 3 ≤ 2.000 + 2 + 5 + 10 ≤ 1.200 ≥ 40 ≥ 130 ≥ 30 ≤ 10 5 2 3
1
2 3 4
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
4
+ 22.500
3
+ 27.000
4
, , , ≥ 0 1
2
3
4
13. Una compañía planificadora puede producir un pan especial en cualquiera de sus dos plantas, en la siguiente forma:
Planta
Capacidad de producción hogazas 2.500 2.100
A B
Costo de producción $/hogazas 23 25
Cuatro cadenas de restaurantes desean adquirir este pan; sus demandas y los precios que desean pagar son los siguientes: Cadena 1 2 3 4
Demanda máxima, hogazas 1.800 2.300 550 1.750
Precio ofrecido $/hogazas 39 37 40 36
El costo en pesos de embarcar una hogaza de una planta a un restaurante se da en la siguiente tabla: Cadena 1 6 12
Planta A Planta B
Cadena 2 8 6
Cadena 3 11 8
Cadena 4 9 5
Determine un programa de entregas para la compañía planificadora, maximizando su ganancia total en este tipo de pan. Variables de decisión
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 1 2 3 4
= = = = = = = =
Función Objetivo
= 10
1
+6
2
+6
3
+4
4
+2
5
+6
6
+7
7
+6
8
Restricciones
+ + + ≤ 2.500 + + + ≤ 2.100 + ≤ 1.800 + ≤ 2.300 + ≤ 550 + ≤ 1.750 , , , , , , , ≥ 0 1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
2
6
3
7
4
8
1
2
3
4
5
6
7
8
14. Una empresa maquiladora del norte del país dedicada a la producción de televisores y pantallas para video y computadoras necesita planear la producción del siguiente mes debido a la introducción de un nuevo producto y a que va a dejar de producir otros por cambios en la demanda. la gerencia piensa que los próximos meses deberían dedicarse a fabricar sólo cuatro productos: pantallas de cristal líquido de 20 y de 24 pulgadas y los televisores planos de 24 y 50 pulgadas. Debido a las diferentes tecnologías, los televisores son producidos en la planta de chihuahua, mientras que las pantallas se producen en la planta de Tijuana. el control de calidad y el empaque final se realiza en esta última. En el siguiente cuadro se presentan las disponibilidades de tiempo en cada una de las plantas; en el caso de chihuahua hay dos departamentos, el de electrónica y el de ensamble final. En el mismo cuadro se indica la utilidad neta por cada tipo de equipo.
Productos Pantalla 20” Pantalla 24” Televisor 24” Televisor 50” Capacidad (horas/mes)
Horas/unidad Chihuahua Tijuana Electrónica Ensamble Pantallas LCD 3,5 3,8 2,25 2,5 2 2,75 3.000 3.200 5.000
Utilidad $ 850 925 800 1.200
Finalmente todos los productos deben pasar por los departamentos de control de calidad y de empaque. La disponibilidad de tiempo y el número de equipos que se han de procesar por hora se indica en el siguiente cuadro.
Productos Pantalla 20” Pantalla 24” Televisor 24” Televisor 50” Capacidad (Horas/mes)
Unidades/hora Control de calidad 3 2,5 1,5 2 3.200
Empaque 6 5 5 3 800
El departamento de mercadotecnia ha decidido que se deben fabricar al menos 100 equipos de cada tipo para mantener su presencia en el mercado nacional. Encontrar la solución que maximiza la utilidad. Variables de decisión
1 2 3 4
= = = =
20" 24" 24" 50"
Función Objetivo
= 850
1
+ 925
2
+ 800
3
Restricciones
≤ ≤ ≤ ≤ 3.200 ≤ 800 ≥ ≥ ≥ ≥ 2,25 3 + 2 4 3.000 2,5 3 + 2, 7 5 4 3.200 3,5 1 + 3,8 2 5.000 1 1 1 1 + + + 1 2 3 3 2,5 1,5 2 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 6 5 5 3 100 1 100 2 100 3 100 4
4
+ 1.200
4
15. Se desea proponer una dieta que contenga al menos 2.000 (Kcal), al menos 55 gramos de proteína y 800 (mg) de calcio. Adicionalmente para garantizar cierta variedad en la dieta se establece límites de porciones por día en los alimentos. Con esta información se requiere encontrar la dieta que tenga el menor costo asociado y permita satisfacer los requerimientos siguientes:
Alimento
Avena Pollo Huevos Leche Entera Kuchen Porotos
1 2 3 4 5 6
Proteínas (Gramos)
Calcio (mg)
Precio ($/porción)
Límite (porciones/día)
110 205 160 160
4 32 13 8
2 12 54 285
30 240 130 90
4 3 2 8
170 g 260 g
420 260
4 14
22 80
200 60
2 2
í í í í í í
= = = = = =
Función Objetivo
= 30
1
Energía (Kcal)
Variables de decisión
Tamaño de porción 28 g 100 g 2 grandes 237 cc
+ 240
2
+ 130
3
+ 90
4
+ 200
5
+ 60
6
Restricciones
≥ 2.000 ≥ ≥
110 1 + 205 2 + 160 3 + 160 4 + 420 5 + 260 6 4 1 + 32 2 + 13 3 + 8 4 + 4 5 + 14 6 55 2 1 + 12 2 + 54 3 + 285 4 + 22 5 + 80 6 800 4 1 3 2 2 3 8 4 2 5 2 6 0 1, 2, 3, 4 , 5, 6
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥
16. Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos para $40.000 para invertir. Sus miembros pueden producir un máximo de 3 500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno y 4 000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5 la hora durante los meses de invierno y por $6 la hora en el verano.Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha: soya, maíz y avena y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1 200 y cada gallina costará $9.Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre durante el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1 000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son: nada de terreno, 0.6 horas-hombre durante el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 300 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha se indican en la tabla. La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto.
Horas-Hombre en invierno Horas-Hombre en verano Ingreso neto anual ($)/acre
Soya 20
Maíz 35
Avena 10
50
75
40
600
900
450
Variables de decisión
1 2 3 4 5 6 7
í − −
= = = = ú = ú = =
Función Objetivo
= 600
1
+ 900
2
Restricciones
+ + 1
2
3
≤ 125
+ 1,5
4
+ 450
3
+ 1.000
4
+5
5
+5
6
+6
7
≤
1.200 4 + 9 5 40.000 20 1 + 35 2 + 10 3 + 100 4 + 0,6 5 + 6 3.500 50 1 + 75 2 + 40 3 + 50 4 + 0,3 5 + 7 4.000 32 4 300 5 0 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7
≤ ≤ ≥
≤ ≤
17. Un cierto restaurant opera 7 días a la semana. A las camareras se les contrata para trabajar 6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En la tabla se presentan las necesidades de contratación. Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo mínimo. El siguiente cuadro muestra el número mínimo de horas de camareras necesarios:
Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Horas 150 200 400 300 700 800 300
Variables de decisión
1 2 3 4 5 6 7
í í í é í í í á í
= = = = = = =
Función Objetivo
= + + + + + + 1
2
3
4
5
Restricciones
+ + + + ≥ 150 + + + + ≥ 200
6 6
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
6
7
+ + + + ≥ 400 + + + + ≥ 300 + + + + ≥ 700 + + + + ≥ 800 + + + + ≥ 300 , , , , , , ≥ 0 6 6 6 6 6
1
3
4
5
6
7
4
5
6
7
1
5
6
7
1
2
6
7
1
2
3
7
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
18. Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 1.000 horas operario y dos plantas ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resume en la siguiente tabla:
Tarifa por paquete desde planta hasta el comercio Comerciante A Comerciante B Comerciante C
Planta 1
Planta 2
4.000 6.000 5.000
7.000 5.000 8.000
La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta 1 requiere de 1 hora operario en la planta 1 y de $2.000 en materia prima. La planta 2 requiere un 50% más en materia prima y ½ hora operario en la planta 2. El precio uniforme por paquete es de $13.000 y las cantidades de producción diarias máximas son de 400 unidades por cada planta. Encontrar la solución que maximiza la utilidad. Variables de decisión
1 2 3 4 5 6
1 1 1 2 2 2
= = = = = =
Función Objetivo
= 7.000
1
+ 5.000
2
+ 6.000
3
Restricciones
+ + ≤ 400 + + ≤ 400 + + + 0,5 + 0,5 , , , , , ≥ 0 1
2
3
4
5
6
1
2
3
1
2
3
4
4
5
6
5
≤ 1.000
+ 0,5
6
+ 3.000
4
+ 5.000
5
+ 2.000
6
19. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencia, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente, indicar ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?
Jugo naranja
Jugo toronja
40% 5% 100% 0 0
40% 10% 0 100% 0
Bebida A Bebida B Bebida C Bebida D Bebida E
Jugo arándano 0 20% 0 0 0
Variables de decisión
1 2 3 4 5
() ()
= = = = =
Función Objetivo
= 1,5
1
+ 0,75
2
+2
3
+ 1,75
4
+ 0,25
5
Restricciones
+ + + + ≥ 500 −0,2 + 0,15 − 0,8 + 0,2 + 0,2 ≤ 0 −0,3 + 0,1 − 0,9 + 0,1 ≤ 0 0,05 − 0,15 + 0,05 + 0,05 + 0,05 ≤ 0 ≤ 200 ≤ 400 ≤ 100 ≤ 50 ≤ 800 , , , , ≥ 0 1
2
3
4
1
2
1
3
1
2
1
2 3 4 5
1
2
5
3
4
5
3
4
4
5
5
3
4
5
Existencia (gal) 200 400 100 50 800
Costo ($/gal) 1,5 0,75 2 1,75 0,25
III.
Simplex
20.
= 800 + 600 + 5 − 3 ≤ 500 5 + 7 ≤ 700 ≤ 100 , , ≥ 0 1
1
2
1
2
+ 700
3
3
3
1 1
2
3
Este ejercicio se trata de un problema de maximización, por lo que para poder transferir los datos a la tabla se necesitan agregar variables de holgura a cada restricción, sumarle una variable S i.
+ 5 − 3 + = 500 5 + 7 + = 700 + = 100 1
2
1
3
3
1
1
2
3
Luego de haber agregado las variables de holgura procedemos a armar la siguiente tabla simplex.
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
Z j C j - Z j
VB: aquí trabajaremos con las variables para encontrar la solución óptima, siempre se debe partir con las variables de holgura. CB: aquí va el valor que acompaña a cada VB en la función objetivo. Z j: aquí va el resultado de la siguiente fórmula, correspondiente a cada columna:
= ∗ + ∗ + ⋯ + ∗ 1
1
2
2
C j – Z j: aquí va el valor que acompaña a la variable en la función objetivo (C j) menos el valor obtenido en Z j. RHS: aquí va el valor total de la restricción. En la sección amarilla van de izquierda a derecha todas las variables que tenga el problema, partiendo por las variables de decisión, y luego las variables de holgura. En la sección verde van los valores que acompañan a las variables en la función objetivo (C j). En las secciones rojas no va ningún valor.
Luego de armada la tabla procedemos a poner las variables de holgura en la columna VB, los valores acompañantes de las variables correspondientes en la columna CB, y en la primera fila los valores de C j.
CB
VB
0
S1
0
S2
0
S3
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
Z j C j - Z j
Como es la primera tabla, en la fila 3 ponemos los valores que acompañan a cada variable en la restricción perteneciente a S 1. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
1
5
-3
1
0
0
500
0
S2
0
S3 Z j C j - Z j
Luego hacemos el mismo paso anterior con los valores que acompañan a cada variable en las restricciones de S 2 y S3. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
1
5
-3
1
0
0
500
0
S2
5
0
7
0
1
0
700
0
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora necesitamos determinar los valores de Z j para cada columna, para eso utilizamos la fórmula correspondiente.
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
1
5
-3
1
0
0
500
0
S2
5
0
7
0
1
0
700
0
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j - Z j
Para finalizar la primera tabla, resolvemos la resta C j – Z j. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
1
5
-3
1
0
0
500
0
S2
5
0
7
0
1
0
700
0
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j - Z j
800
600
700
0
0
0
Ya resuelta la primera tabla debemos ver si hay valores de C j – Z j mayores estrictos a cero, de ser así, no es un resultado óptimo, por lo que debemos escoger una columna que entre, la cual será la que tenga el mayor valor de C j – Z j, en este caso será la columna correspondiente a X 1. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
1
5
-3
1
0
0
500
0
S2
5
0
7
0
1
0
700
0
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j - Z j
800
600
700
0
0
0
Habiendo escogido la columna entrante debemos escoger la fila que saldrá, para eso debe ser el menor valor de la siguiente fórmula:
ó = En este caso nos quedan los números 500/1; 700/5; 100/1, en este caso el menor de los 3 es 100/1 correspondiente a S 3, por lo que esa será la fila que salga de la solución, y la intersección de la columna entrante con la fila que sale será conocido como nuestro elemento pivote para la tabla número 2.
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
1
5
-3
1
0
0
500
0
S2
5
0
7
0
1
0
700
0
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j - Z j
800
600
700
0
0
0
Ahora armamos la segunda tabla simplex.
CB
VB
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
S1 S2 X1 Z j C j - Z j
Procedemos ahora a poner los valores acompañantes en la función objetivo de cada variable de la columna VB en la columna CB.
CB
VB
0
S1
0
S2
800
X1
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
Z j C j - Z j
Ahora necesitamos calcular la nueva ecuación pivote, a través de la siguiente fórmula: ó () ó = () * Para no confundirse al momento de realizar la fórmula se pueden ayudar con una tabla adicional, y luego pasar los resultados a la tabla simplex (esta es sólo una opción adicional, de ustedes depende si quieren o no utilizarla)
EPA 1 0 0 0 0 1 100
EP 1 1 1 1 1 1 1
NEP 1 0 0 0 0 1 100
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
Luego de determinada la NEP la traspasamos a la tabla.
CB
VB
0
S1
0
S2
800
X1
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora necesitamos determinar las Nuevas ecuaciones (NE) correspondientes a S 1 y S 2, utilizando la siguiente fórmula.
= ó − ( ∗) Primero calcularemos la NE correspondiente a S 1. El elemento de la columna entrante es la intersección de la columna que entra con la fila que actualmente estamos determinando (considerar los números de la tabla 1). * Para no confundirse al momento de realizar la fórmula se pueden ayudar con una tabla adicional, y luego pasar los resultados a la tabla simplex (esta es sólo una opción adicional, de ustedes depende si quieren o no utilizarla) ECE 1 1 1 1 1 1 1
NEP 1 0 0 0 0 1 100
ECE*NEP EA 1 1 0 5 0 -3 0 1 0 0 1 0 100 500
NE Variable X1 0 X2 5 X3 -3 S1 1 S2 0 S3 -1 RHS 400
Luego de determinada la NE para S 1 procedemos a pasar los valores obtenidos a la tabla.
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
-3
1
0
-1
400
0
S2
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora nos corresponde calcular NE para S 2. ECE 5 5 5 5 5 5 5
NEP 1 0 0 0 0 1 100
ECE*NEP EA 5 5 0 0 0 7 0 0 0 1 5 0 500 700
NE Variable X1 0 X2 0 X3 7 S1 0 S2 1 S3 -5 RHS 200
Calculada la NE para S 2 traspasamos los valores a la tabla. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
-3
1
0
-1
400
0
S2
0
0
7
0
1
-5
200
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora determinamos los valores de Z j con la fórmula correspondiente, y luego de eso calculamos la el valor de C j – Z j. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
-3
1
0
-1
400
0
S2
0
0
7
0
1
-5
200
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
0
0
0
0
800
80.000
C j - Z j
0
600
700
0
0
-800
Aún quedan valores mayores estrictos que cero, por lo que la tabla aún no es óptima, así que necesitamos una variable que entre a la solución, es decir el mayor valor de C j – Z j, en este caso entra la variable X 3.
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
-3
1
0
-1
400
0
S2
0
0
7
0
1
-5
200
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
0
0
0
0
800
80.000
C j - Z j
0
600
700
0
0
-800
Habiendo escogido la columna entrante debemos escoger la fila que saldrá, para eso debemos ocupar la fórmula correspondiente. Aquí vemos todos los casos posibles para lo fórmula, que el denominador sea un número positivo, un número negativo o que sea cero, pero tal como escogemos la columna entrante, aquí solo trabajamos con números mayores estrictos a cero, por lo que la única fila que puede salir es la correspondiente a S 2, y la intersección de la columna entrante con la fila que sale será nuestro elemento pivote para la tabla número 3. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
-3
1
0
-1
400
0
S2
0
0
7
0
1
-5
200
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
0
0
0
0
800
80.000
C j - Z j
0
600
700
0
0
-800
Ahora armamos la tercera tabla simplex.
CB
VB
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
S1 X3 X1 Z j C j - Z j
Procedemos ahora a poner los valores acompañantes en la función objetivo de cada variable de la columna VB en la columna CB.
CB
VB
0
S1
700
X3
800
X1 Z j C j - Z j
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
Ahora necesitamos calcular la NEP a través de la fórmula correspondiente. EPA 0 0 7 0 1 -5 200
EP NEP 7 0 7 0 7 1 7 0 7 1/7 7 -5/7 7 200/7
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
Calculada la NEP, traspasamos los valores a la tabla simplex.
CB
VB
0
S1
700
X3
800
X1
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
Z j C j - Z j
Luego calculamos la NE para la fila correspondiente a S 1. ECE -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3
NEP 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7
ECE*NEP EA 0 0 0 5 -3 -3 0 1 -3/7 0 15/7 -1 -600/7 400
NE 0 5 0 1 3/7 -22/7 -3.400/7
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
Luego de determinada la NE para S 1 traspasamos los datos a la tabla simplex. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
0
1
3/7
-22/7
3.400/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1 Z j C j - Z j
Ahora calculamos la NE correspondiente a X 1
.
ECE 0 0 0 0 0 0 0
NEP ECE*NEP 0 0 0 0 1 0 0 0 1/7 0 -5/7 0 200/7 0
EA 1 0 0 0 0 1 100
NE 1 0 0 0 0 1 100
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
Aquí vemos un caso especial, donde el ECE es cero, eso quiere decir que NE = EA. Luego de determinada la NE para X 1 traspasamos los datos a la tabla. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
0
1
3/7
-22/7
3.400/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora determinamos los valores de Z j con la fórmula correspondiente, y luego de eso calculamos la el valor de C j – Z j. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
0
1
3/7
-22/7
3.400/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
0
700
0
100
300
100.000
C j - Z j
0
600
0
0
-100
-300
Aún quedan valores mayores estrictos que cero, por lo que la tabla aún no es óptima, así que necesitamos una variable que entre a la solución, es decir el mayor valor de C j – Z j, en este caso entra la variable X 2. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
0
5
0
1
3/7
-22/7
3.400/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
0
700
0
100
300
100.000
C j - Z j
0
600
0
0
-100
-300
Habiendo escogido la columna entrante debemos escoger la fila que saldrá, para eso debemos ocupar la fórmula correspondiente. Aquí solo trabajamos con números mayores estrictos a cero, por lo que la única fila que puede salir es la correspondiente a S 1, y la intersección de la columna entrante con la fila que sale será nuestro elemento pivote para la tabla número 4. Ahora armamos la cuarta tabla simplex.
CB
VB
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
X2 X3 X1 Z j C j - Z j
Procedemos ahora a poner los valores acompañantes en la función objetivo de cada variable de la columna VB en la columna CB.
CB
VB
600
X2
700
X3
800
X1
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Z j C j - Z j
Ahora necesitamos calcular la NEP a través de la fórmula correspondiente. EPA 0 5 0 1 3/7 -22/7 -3.400/7
EP 5 5 5 5 5 5 5
NEP 0 1 0 1/5 3/35 -22/35 680/7
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
Calculada la NEP, traspasamos los valores a la tabla simplex.
RHS
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
600
X2
0
1
0
1/5
3/35
-22/35
680/7
700
X3
800
X1 Z j C j - Z j
Para los casos de X 3 y X1 tenemos que el ECE es 0, es decir, NE = EA. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
600
X2
0
1
0
1/5
3/35
-22/35
680/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora determinamos los valores de Z j con la fórmula correspondiente, y luego de eso calculamos la el valor de C j – Z j. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
600
X2
0
1
0
1/5
3/35
-22/35
680/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
600
700
120
1.060/7
-540/7
1.108.000/7
C j - Z j
0
0
0
-120
-1.060/7
540/7
Aún quedan valores mayores estrictos que cero, por lo que la tabla aún no es óptima, así que necesitamos una variable que entre a la solución, es decir el mayor valor de C j – Z j, en este caso entra la variable S 3. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
600
X2
0
1
0
1/5
3/35
-22/35
680/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
600
700
120
1.060/7
-540/7
1.108.000/7
C j - Z j
0
0
0
-120
-1.060/7
540/7
Habiendo escogido la columna entrante debemos escoger la fila que saldrá, para eso debemos ocupar la fórmula correspondiente. Aquí solo trabajamos con números mayores estrictos a cero, por
lo que la única fila que puede salir es la correspondiente a X 1, y la intersección de la columna entrante con la fila que sale será nuestro elemento pivote para la tabla número 5. Ahora armamos la quinta tabla simplex.
CB
VB
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
X2 X3 S3 Z j C j - Z j
Procedemos ahora a poner los valores acompañantes en la función objetivo de cada variable de la columna VB en la columna CB.
CB
VB
600
X2
700
X3
800
S3
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Z j C j - Z j
Ahora necesitamos calcular la NEP a través de la fórmula correspondiente. EPA 1 0 0 0 0 1 100
EP 1 1 1 1 1 1 1
NEP 1 0 0 0 0 1 100
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
Calculada la NEP, traspasamos los valores a la tabla simplex.
RHS
CB
VB
600
X2
700
X3
800
S3
800
600
700
0
0
0
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora calculamos la NE correspondiente a X 2 ECE -22/35 -22/35 -22/35 -22/35 -22/35 -22/35 -22/35
NEP 1 0 0 0 0 1 100
.
ECE*NEP -22/35 0 0 0 0 -22/35 -2200/35
EA 0 1 0 1/5 3/35 -22/35 680/7
NE 22/35 1 0 1/5 3/35 0 160
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
X1
22/35
1
0
1/5
3/35
0
160
700
X3
800
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora calculamos la NE correspondiente a X 2 ECE -5/7 -5/7 -5/7 -5/7 -5/7 -5/7 -5/7
NEP 1 0 0 0 0 1 100
ECE*NEP -5/7 0 0 0 0 -5/7 -500/7
.
EA 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7
NE 5/7 0 1 0 1/7 0 100
Variable X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
X1
22/35
1
0
1/5
3/35
0
160
700
X3
5/7
0
1
0
1/7
0
100
800
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j C j - Z j
Ahora determinamos los valores de Z j con la fórmula correspondiente, y luego de eso calculamos la el valor de C j – Z j. 800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
X1
22/35
1
0
1/5
3/35
0
160
700
X3
5/7
0
1
0
1/7
0
100
800
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j
6.140/7
600
700
120
1.060/7
0
166.000
C j - Z j
-6.140/7
0
0
-120
-1.060/7
0
Ya no nos quedan valores de C j – Z j mayores estrictos a cero, es decir, encontramos la solución óptima. La tabla completa queda de la siguiente forma.
800
600
700
0
0
0
CB
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
RHS
0
S1
1
5
-3
1
0
0
500
0
S2
5
0
7
0
1
0
700
0
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j - Z j
800
600
700
0
0
0
----
0
S1
0
5
-3
1
0
-1
400
0
S2
0
0
7
0
1
-5
200
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
0
0
0
0
800
80.000
C j - Z j
0
600
700
0
0
-800
----
0
S1
0
5
0
1
3/7
-22/7
3.400/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
0
700
0
100
300
100.000
C j - Z j
0
600
0
0
-100
-300
----
600
X2
0
1
0
1/5
3/35
-22/35
680/7
700
X3
0
0
1
0
1/7
-5/7
200/7
800
X1
1
0
0
0
0
1
100
Z j
800
600
700
120
1.060/7
-540/7
1.108.000/7
C j - Z j
0
0
0
-120
-1.060/7
540/7
600
X2
22/35
1
0
1/5
3/35
0
160
700
X3
5/7
0
1
0
1/7
0
100
0
S3
1
0
0
0
0
1
100
Z j
6.140/7
600
700
120
1.060/7
0
166.000
C j - Z j
-6.140/7
0
0
-120
-1.060/7
0
El problema de programación lineal tiene como solución X 1 = 0, X 2 = 160 y X 3 = 100, para obtener un máximo de 166.000.
IV.
Problemas de Transporte
21. Una empresa energética chilena dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en tres ciudades, Santiago, Rancagua y Talca. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 30, 60 y 70 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Santiago, Rancagua y Talca son de 40, 70 y 50 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
Santiago 3 4 5
Planta 1 Planta 2 Planta 3
Rancagua 4 6 1
Talca 2 1 6
Realizar el planteamiento del problema, señalando función objetivo, variables, restricciones y la tabla inicial de planteamiento. Encontrar además una solución básica factible a través del método de la Casilla Nor-Oeste y de Costo Mínimo. R:
Variables de decisión: los problemas de transporte se caracterizan por intentar minimizar los costos de transporte desde un origen i a un destino j, es por eso que las variables son de tipo Xij.
= í 1,2,3 , ,
Función objetivo: este tipo de problemas de transporte se utiliza para minimizar costos.
= 3
11
+4
12
+2
13
+4
21
+
+6
22
23
+
+5
31
32
+6
33
Restricciones: cada empresa tiene ofertas de energía, y cada ciudad tiene demandas de energía, por lo que estas serán las restricciones, en el caso de la oferta siempre se utilizará el signo , ya que no pueden ofrecer más de lo que tienen, y en el caso de la demanda se utilizará el signo , ya que necesitan como mínimo cubrir sus necesidades básicas de energía, no se consideran ofertas o demandas negativas, por lo que se aplica la restricción de no negatividad.
≤
≥
+ + ≤ 30 + + ≤ 60 + + ≤ 70 + + ≥ 40 + + ≥ 70 + + ≥ 50 ≥ 0 11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
21
31
12
22
32
13
23
33
Ya planteado el problema debemos plantear la tabla inicial de transporte, pero primero debemos ver si el sistema está equilibrado, es decir, si la oferta es igual a la demanda, en este caso:
=
30 + 60 + 70 = 40 + 70 + 50 160 = 160 El sistema está equilibrado, por lo que podemos seguir trabajando de forma normal, la tabla se dibuja de la siguiente forma.
En la sección roja va el nombre de la oferta, que se puede representar como O i. En la sección verde va el nombre de la demanda, que se puede representar como D j. En la sección naranja van los costos correspondientes a cada O i y D j. En la sección amarilla van las demandas totales de cada destino. En la sección azul van las ofertas totales de cada empresa. En la sección negra van la suma de las ofertas y de las demandas.
Entonces el planteamiento de la tabla inicial, según el problema, quedaría de la siguiente forma. D1
D2
O1
3
4
2
30
O2
4
6
1
60
O3
5
1
6
70
40
D3
70
50
160\160
Casilla Nor-Oeste D1
D2
D3
O1
3
4
2
30
O2
4
6
1
60
O3
5
1
6
70
40
70
50
160\160
Ubicarse en la casilla Noroeste y asignar lo máximo posible en esa casilla. D1 O1
30
D2 3
4
2
30
O2
4
6
1
60
O3
5
1
6
70
40
D3
70
50
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. En caso que ambos remanentes de oferta y demanda simultáneamente sean cero cancelar las casillas de una sola línea. Avanzar a la casilla siguiente que corresponde a la línea que quedó con un remanente positivo y asignar lo máximo posible. D1
D2
O1
30
3
O2
10
4 5
O3 10
X
D3 2
0
6
1
60
1
6
70
4
70
X
50
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. En caso que ambos remanentes de oferta y demanda simultáneamente sean cero cancelar las casillas de una sola línea. Avanzar a la casilla siguiente que corresponde a la línea que quedó con un remanente positivo y asignar lo máximo posible. D1
D3
O1
30
3
X
4
O2
10
4
60
O3
X
5
0
D2
70
X
2
0
6
1
60
1
6
70
50
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. En caso que ambos remanentes de oferta y demanda simultáneamente sean cero cancelar las casillas de una sola línea. Avanzar a la casilla siguiente que corresponde a la línea que quedó con un remanente positivo y asignar lo máximo posible.
D1
D2
O1
30
3
X
4
X
2
0
O2
10
4
60
6
X
1
50
O3
X
5
6
70
0
D3
1
10
50
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. En caso que ambos remanentes de oferta y demanda simultáneamente sean cero cancelar las casillas de una sola línea. Avanzar a la casilla siguiente que corresponde a la línea que quedó con un remanente positivo y asignar lo máximo posible. D1
D2
O1
30
3
X
4
X
2
0
O2
10
4
50
6
X
1
0
O3
X
5
20
1
6
70
0
D3
20
50
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. En caso que ambos remanentes de oferta y demanda simultáneamente sean cero cancelar las casillas de una sola línea. Avanzar a la casilla siguiente que corresponde a la línea que quedó con un remanente positivo y asignar lo máximo posible. D1
D2
O1
30
3
X
4
X
2
0
O2
10
4
50
6
X
1
0
O3
X
5
20
1
50
6
50
0
D3
0
50
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. En caso que ambos remanentes de oferta y demanda simultáneamente sean cero cancelar las casillas de una sola línea. Quedando m + n -1 asignaciones, el sistema quedó completo. D1
D2
D3
O1
30
3
X
4
X
2
0
O2
10
4
50
6
X
1
0
O3
X
5
20
1
50
6
0
0
0
0
160\160
11
= 30;
21
22
= 50;
32
= 20;
33
= 50;
= 750
Costo mínimo D1
D2
D3
O1
3
4
2
30
O2
4
6
1
60
O3
5
1
6
70
40
= 10;
70
50
160\160
Ubicar la casilla con menor costo entre todas las casillas no tarjadas, en caso de empate, elegir arbitrariamente. Asignar lo máximo posible en la casilla determinada. D1
D2
O1
3
4
O2
4
6
O3
5
1
40
D3
70
50
2
30
1
60
6
70
50
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. Ubicar la casilla con menor costo entre todas las casillas no tarjadas, en caso de empate, elegir arbitrariamente. Asignar lo máximo posible en la casilla determinada. D1
D2
O1
3
4
X
2
30
O2
4
6
50
1
10
O3
5
1
X
6
70
40
D3
70 70
0
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. Ubicar la casilla con menor costo entre todas las casillas no tarjadas, en caso de empate, elegir arbitrariamente. Asignar lo máximo posible en la casilla determinada. D1 O1
30
D2
D3
3
X
4
X
2
30
O2
4
X
6
50
1
10
O3
5
70
1
X
6
0
40
0
0
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. Ubicar la casilla con menor costo entre todas las casillas no tarjadas, en caso de empate, elegir arbitrariamente. Asignar lo máximo posible en la casilla determinada. D1
D2
O1
30
3
X
4
X
2
0
O2
10
4
X
6
50
1
10
5
70
1
X
6
0
O3 10
D3
0
0
160\160
Ajustar la oferta y la demanda después de la asignación y tarjar las casillas que quedan con un remanente cero. Quedando m + n -1 asig naciones, el sistema quedó completo. D1
D2
D3
O1
30
3
X
4
X
2
0
O2
10
4
X
6
50
1
0
O3
0
5
70
1
X
6
0
0
11
= 30;
0
21
= 10;
0
23
= 50;
31
= 0;
160\160
32
= 70;
= 250
22. A continuación se utilizará el mismo problema anterior pero con un pequeño cambio. Una empresa energética chilena dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en tres ciudades, Santiago, Rancagua y Talca. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 40, 60 y 70 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Santiago, Rancagua y Talca son de 40, 70 y 50 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla. Santiago
Rancagua
Talca
Planta 1
3
4
2
Planta 2
4
6
1
Planta 3
5
1
6
Realizar el planteamiento del problema, señalando función objetivo, variables, restricciones y la tabla inicial de planteamiento. Encontrar además una solución básica factible a través del método de la Casilla Nor-Oeste y del Costo Mínimo.
R:
Variables de decisión: los problemas de transporte se caracterizan por intentar minimizar los costos de transporte desde un origen i a un destino j, es por eso que las variables son de tipo Xij.
= í 1,2,3 , ,
Función objetivo: este tipo de problemas de transporte se utiliza para minimizar costos.
= 3
11
+4
12
+2
13
+4
21
+
+6
22
23
+
+5
31
32
+6
33
Restricciones: cada empresa tiene ofertas de energía, y cada ciudad tiene demandas de energía, por lo que estas serán las restricciones, en el caso de la oferta siempre se utilizará el signo , ya que no pueden ofrecer más de lo que tienen, y en el caso de la demanda se utilizará el signo , ya que necesitan como mínimo cubrir sus necesidades básicas de energía, no se consideran ofertas o demandas negativas, por lo que se aplica la restricción de no negatividad.
≤
≥
+ + ≤ 40 + + ≤ 60 + + ≤ 70 + + ≥ 40 + + ≥ 70 + + ≥ 50 ≥ 0 11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
21
31
12
22
32
13
23
33
Ya planteado el problema debemos plantear la tabla inicial de transporte, pero primero debemos ver si el sistema está equilibrado, es decir, si la oferta es igual a la demanda, en este caso:
=
40 + 60 + 70 = 40 + 70 + 50 170 = 160 El sistema no está equilibrado, y para equilibrarlo debemos agregar una oferta o demanda ficticia (dependiendo de qué lado haya un déficit), en este caso, hay más oferta que demanda, por lo tanto debemos agregar una columna de demanda con la diferencia que hace que tanto la oferta con la demanda sean iguales, considerando costos de cero. D1
D2
D3
D4 (Ficticia)
O1
3
4
2
0
40
O2
4
6
1
0
60
O3
5
1
6
0
70
40
70
50
10
170\170
Así queda planteada la nueva tabla de problemas de transporte cuando la oferta y la demanda no están equilibradas en un principio.
Casilla Nor-Oeste D1
D2
D3
D4 (Ficticia)
O1
40
3
0
4
X
2
X
0
0
O2
X
4
60
6
X
1
X
0
0
O3
X
5
10
1
50
6
10
0
0
0
0
11
= 40;
12
= 0;
0
22
= 60;
0
32
= 10;
33
= 50;
170\170
= 790
Costo Mínimo D1
D2
D3
D4 (Ficticia)
O1
30
3
X
4
X
2
10
0
0
O2
10
4
X
6
50
1
X
0
0
O3
0
5
70
1
X
6
X
0
0
0
0
11
= 30;
21
= 10;
0
23
= 50;
0
31
= 0;
32
= 70;
170\170
= 250
23. Fernwood Lumbre produce hojas de triplay. El costo de producir 1000 “board feet”
(144 pulgadas cúbicas) de triplay varía de mes a mes debido a la variación de los costos de manejo, energía consumida y precio de materias primas. Los costos de producción por millar de board feet durante los últimos 4 meses se muestran a co ntinuación: Mes Costo de Producción (dólares)
1 950
2 1000
3 1200
4 1100
La demanda, en millares, por este producto para los próximos 4 meses es como sigue: Mes Demanda
1 50
2 80
3 100
4 90
Total 320
Fernwood puede producir hasta 80000 board feet por mes. También tiene la opción de mantener inventarios de un mes a otro a un costo de $25 por millar de board feet mensuales. Por ejemplo, un millar de borrad feet producidos en mes 1 para ser consumidos
durante mes 2 ocasiona un costo de inventario de US$25. También existe la opción de mantener faltantes a un costo de 35US$ por mes. Por ejemplo, un millar que no pudo producirse en el mes 1 y que se cubre en el mes 2 genera un costo de de 35US$. A Fernwood le gustaría saber cuánto debe producir cada mes y cuanto mantener en inventario, ya sea sobrante o faltante, para satisfacer la demanda a bajo costo. D1
D2
D3
D4
O1
950
975
1000
1025
80
O2
1035
1000
1025
1050
80
O3
1270
1235
1200
1225
80
O4
1205
1170
1135
1100
80
50
80
100
90
D2
D3
D4
320\320
Casilla Nor-Oeste
D1 O1
50
950
30
975
X
1000
X
1025
0
O2
X
1035
50
1000
30
1025
X
1050
0
O3
X
1270
X
1235
70
1200
10
1225
0
O4
X
1205
X
1170
X
1135
80
1100
0
0
11
= 50;
12
0
= 30;
22
= 50;
0
23
= 30;
33
0
= 70;
34
= 10;
320\320
44
= 80;
= 341.750
Costo Mínimo
D1
D2
D3
D4
O1
50
950
30
975
X
1000
X
1025
0
O2
X
1035
50
1000
30
1025
X
1050
0
O3
X
1270
X
1235
70
1200
10
1225
0
O4
X
1205
X
1170
X
1135
80
1100
0
0
11
= 50;
12
0
= 30;
22
= 50;
0
23
= 30;
33
90
= 70;
34
= 10;
320\320
44
= 80;
= 341.750
24. La Johnson Electric produce motores eléctricos pequeños para cuatro fabricantes de instrumentos, en cada una de sus tres plantas. Los costos de producción por unidad varían según las ubicaciones debido a diferencias en el equipo de producción y el rendimiento de los obreros. Los costos de producción por unidad y la capacidad mensual de pr oducción son:
Planta
Costo Prod. por unidad $17 $20 $24
A B C
Capacidad mensual de Producción 700 700 700
Los costos de abastecimiento varían de una planta a otra. Los costos de transporte por unidad y las demandas de clientes son: Hacia 1 2 $3 $2 $6 $4 $9 $1
Desde A B C
3 $5 $8 $5
Cliente 1 2 3 4
4 $7 $3 $4
Demanda 300 300 600 600
La compañía debe decidir cuantas unidades se debe producir en cada planta y que porción de la demanda de cada cliente se surtirá desde cada una de ellas. Se desea minimizar el costo total de producir y transportar. Resolver este problema mediante el algoritmo de transporte considerando que solo se produce la cantidad de motores necesaria para satisfacer la demanda. La demanda total es 1800 y la capacidad mensual producción es 2100. Se debe crear un nodo demanda ficticio de 300. D1
D2
D3
D5 (Ficticia)
D4
O1
20
19
22
24
0
700
O2
26
24
28
23
0
700
O3
33
25
29
28
0
700
300
300
600
600
300
D2
D3
D4
D5 (Ficticia)
2100\2100
Casilla Nor-Oeste D1
O1
300
20
300
19
100
22
X
24
X
0
0
O2
X
26
X
24
500
28
200
23
X
0
0
O3
X
33
X
25
X
29
400
28
300
0
0
0
11
= 300;
0
12
= 300;
0
13
= 100;
0
0
23
= 500;
24
= 200;
34
= 400;
2100\2100
= 43.700
