Solución gráfica EJERCICIO No.1 Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $2400 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $120 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $200, llegará a unas 7000 personas. El alcalde desea llegar a tantas personas como sea posible; y estipuló que se deben utilizar por lo menos 5 anuncios de radio y por lo menos 4 anuncios de televisión. Además el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. Se pide lo siguiente: a) Definir las variables de decisión. b) Plantear el modelo matemático correspondiente. c) Resolver el modelo empleando el método gráfico.(f.o.:75000) d) Llenar el siguiente informe administrativo: Número de anuncios de radio a utilizar: Número de anuncios de televisión a utilizar: Cantidad de personas que los anuncios captarán: Pago total por anuncios de radio: Pago total por anuncios de televisión: e) ¿El modelo posee solución óptima degenerada? Sustente su respuesta. f) Responda, sustentando su respuesta: ¿Cuánto debería costar cada anuncio por radio para que el modelo lineal anteriormente planteado posea óptimos alternativos? La respuesta debe determinar valores positivos. EJERCICIO No.2 Una universidad debe planificar la oferta de cursos para el siguiente semestre. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de licenciatura y 12 cursos de postgrado en el semestre. Por políticas de la universidad, la cantidad de cursos cursos de postgrado debe ser no mayor mayor al doble de la cantidad de cursos de licenciatura. Como cada curso de licenciatura tiene capacidad para 30 alumnos y cada curso de postgrado tiene capacidad para 20 alumnos, la universidad desea que la cantidad de alumnos que se puedan matricular en total sea por lo menos 600. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad $2500 y cada curso de postgrado cuesta $3000, por concepto de pago de sueldos a los profesores. La universidad desea que el pago total por sueldos sea lo menos posible. Se pide lo siguiente: a) Definir las variables de decisión. b) Plantear el modelo matemático correspondiente. c) Resolver el modelo empleando el método gráfico.(f.o.:66000) d) Llenar el siguiente informe administrativo: Número de cursos de licenciatura a ofertar: Número de cursos de postgrado a ofertar: Pago total por sueldos en cursos de licenciatura: Pago total por sueldos en cursos de postgrado: Total de alumnos que podrán matricularse: e) ¿El modelo planteado posee solución óptima degenerada? Sustente su respuesta.
f) Responda, sustentando su respuesta. ¿Cuánto debería costar cada curso de postgrado para que el modelo lineal anteriormente planteado posea óptimos alternativos? La respuesta debe determinar valores positivos. EJERCICIO No. 3 El Sr. Juan Pérez tiene 200 hectáreas de terreno disponible para cultivo. Se pueden pueden sembrar dos tipos de cultivo: cultivo 1 y cultivo 2. Debido a una condición técnica que le han recomendado al Sr. Pérez, el área asignada al cultivo 2 no debe exceder al área asignada al cultivo 1. Existe una demanda máxima del cultivo 2 equivalente a 60 hectáreas; la utilidad por cada hectárea sembrada del cultivo 1 es de $30, y la utilidad por cada hectárea sembrada de cultivo 2 es de $40. a) Formule un modelo de programación lineal que permita determinar las hectáreas a sembrarse de cada cultivo o
Resolver por el método gráfico, señalando claramente cada una de las restricciones, la función objetivo, la región factible y el punto óptimo (f.o.:6600)
o
Considera usted recomendable que el Sr. Pérez contrate un especialista para que evalúe la posibilidad eliminar la condición de que el área asignada asignada al cultivo 2 no deba exceder al área asignada al cultivo 1. Justifique su respuesta.
o
Considera usted que sería favorable favorable invertir en una estrategia que permita incrementar la demanda máxima del cultivo 2. Justifique su respuesta.
b) A partir del modelo original, si la utilidad por cada hectárea del cultivo 2 ahora es la misma que la del cultivo 1, indicar gráficamente si la región factible cambia. Señale la solución óptima, el valor de la función objetivo y a qué caso especial corresponde. c) A partir del modelo original, suponga que la demanda del cultivo cultivo 2 es exactamente 60 hectáreas. Indicar gráficamente si la región factible cambia. cambia. Señale la solución óptima y el valor óptimo de la función objetivo. EJERCICIO No.4 Un fabricante de productos electrónicos tiene distribuidores que le han hecho pedidos por radios transistores y calculadoras. Mientras que un radio genera $10 de utilidades, una calculadora genera $15. Cada radio requiere 4 diodos y 4 resistores; y cada calculadora requiere 10 diodos y 2 resistores. Cada radio toma 12 minutos de la máquina de prueba electrónica y cada calculadora toma 9.6 minutos. El jefe de producción estima que podrá disponer de 160 horas libres de la máquina de prueba. La firma tiene 8000 diodos y 3000 resistores disponibles en su almacén. ¿Qué combinación de producción debe elegirse para maximizar las utilidades? (f.o.: $ 12941.17) EJERCICIO No.5 Una fábrica textil ha recibido una orden de compra por un lote de tela que contenga al menos 45 kg de lana y 25 kg de nylon. El lote puede ser fabricado mediante cualquier mezcla de dos materiales textiles A y B. Cada kilogramo de material A cuesta $2 y cada kilogramo de material B cuesta $3. El costo total de material A utilizado debe ser a lo más la mitad del costo total del material B utilizado. La proporción de lana, nylon y algodón que dichos materiales contienen es la siguiente: Material A B
Lana (%) 60 30
Nylon (%) 10 50
Algodón (%) 30 20
¿Qué cantidades de A y B (en kilogramos) deben usarse para minimizar el costo de la orden? (f.o.: $ 270.00)
f) Responda, sustentando su respuesta. ¿Cuánto debería costar cada curso de postgrado para que el modelo lineal anteriormente planteado posea óptimos alternativos? La respuesta debe determinar valores positivos. EJERCICIO No. 3 El Sr. Juan Pérez tiene 200 hectáreas de terreno disponible para cultivo. Se pueden pueden sembrar dos tipos de cultivo: cultivo 1 y cultivo 2. Debido a una condición técnica que le han recomendado al Sr. Pérez, el área asignada al cultivo 2 no debe exceder al área asignada al cultivo 1. Existe una demanda máxima del cultivo 2 equivalente a 60 hectáreas; la utilidad por cada hectárea sembrada del cultivo 1 es de $30, y la utilidad por cada hectárea sembrada de cultivo 2 es de $40. a) Formule un modelo de programación lineal que permita determinar las hectáreas a sembrarse de cada cultivo o
Resolver por el método gráfico, señalando claramente cada una de las restricciones, la función objetivo, la región factible y el punto óptimo (f.o.:6600)
o
Considera usted recomendable que el Sr. Pérez contrate un especialista para que evalúe la posibilidad eliminar la condición de que el área asignada asignada al cultivo 2 no deba exceder al área asignada al cultivo 1. Justifique su respuesta.
o
Considera usted que sería favorable favorable invertir en una estrategia que permita incrementar la demanda máxima del cultivo 2. Justifique su respuesta.
b) A partir del modelo original, si la utilidad por cada hectárea del cultivo 2 ahora es la misma que la del cultivo 1, indicar gráficamente si la región factible cambia. Señale la solución óptima, el valor de la función objetivo y a qué caso especial corresponde. c) A partir del modelo original, suponga que la demanda del cultivo cultivo 2 es exactamente 60 hectáreas. Indicar gráficamente si la región factible cambia. cambia. Señale la solución óptima y el valor óptimo de la función objetivo. EJERCICIO No.4 Un fabricante de productos electrónicos tiene distribuidores que le han hecho pedidos por radios transistores y calculadoras. Mientras que un radio genera $10 de utilidades, una calculadora genera $15. Cada radio requiere 4 diodos y 4 resistores; y cada calculadora requiere 10 diodos y 2 resistores. Cada radio toma 12 minutos de la máquina de prueba electrónica y cada calculadora toma 9.6 minutos. El jefe de producción estima que podrá disponer de 160 horas libres de la máquina de prueba. La firma tiene 8000 diodos y 3000 resistores disponibles en su almacén. ¿Qué combinación de producción debe elegirse para maximizar las utilidades? (f.o.: $ 12941.17) EJERCICIO No.5 Una fábrica textil ha recibido una orden de compra por un lote de tela que contenga al menos 45 kg de lana y 25 kg de nylon. El lote puede ser fabricado mediante cualquier mezcla de dos materiales textiles A y B. Cada kilogramo de material A cuesta $2 y cada kilogramo de material B cuesta $3. El costo total de material A utilizado debe ser a lo más la mitad del costo total del material B utilizado. La proporción de lana, nylon y algodón que dichos materiales contienen es la siguiente: Material A B
Lana (%) 60 30
Nylon (%) 10 50
Algodón (%) 30 20
¿Qué cantidades de A y B (en kilogramos) deben usarse para minimizar el costo de la orden? (f.o.: $ 270.00)
EJERCICIO No.6 Un alumno acude al doctor y éste le informa que su bajo rendimiento académico se debe a un déficit de tiamina y niacina, prescribiéndole un mínimo de 1 mg y 10 mg diarios de cada una respectivamente. El doctor le sugiere que obtenga la dosis completa mediante un desayuno a base de cereales. El alumno que no cuenta con demasiados recursos económicos trata de hacer mínimo el costo de las vitaminas y toma información de los dos únicos cereales que le gustan, A y B. Los contenidos y precios de los dos cereales son los siguientes: sigui entes: Cereal A B
Tiamina (mg / onza) 0.10 0.10
Niacina (mg / onza) 0.50 2.00
Precio $ / onza 1.00 2.00
El alumno quiere encontrar la mezcla que debe hacer todas las mañanas para que asegure la dosis prescrita al mínimo costo posible.(f.o.: $ 13.30) EJERCICIO No.7 Automovile Alliance, una gran compañía manufacturera de automóviles, posee una planta fuera de Detroit que ensambla dos modelos. El primero de ellos, el Thrillseeker , es un sedán 4 puertas con asientos de vinil, interiores de plástico, características estándar y un excelente rendimiento. Se comercializa como una buena compra para familias de clase media con presupuestos reducidos y cada Thrillseeker vendido genera una ganancia modesta de $3600 para la compañía. El segundo modelo, el Classy Cruiser , es un sedán de lujo con 2 puertas con asientos de piel, interiores de madera, características personalizadas y con un equipo de Sistema de Posicionamiento Global (GPS). Se vende como privilegio de opulencia para familias de clase alta y el que se vende genera una buena ganancia de $5400. Rachel Rosencrantz, gerente de la planta de ensamble, debe decidir el programa de producción para el próximo mes. En especial, debe determinar cuántos Thrillseekers y cuántos Classy Cruisers ensamblar en la planta para maximizar la ganancia de la compañía. Sabe que la planta tiene una capacidad de 48000 horas – hombre de mano de obra al mes. También sabe que ensamblar un Thrillseeker lleva 6 horas – hombre y un Classy Cruiser 10.5 horas – hombre. Como la planta es sólo de ensamble, las partes requeridas para los dos modelos llegan desde otras plantas (por ejemplo: llantas, volantes, ventanas, asientos y puertas). Para el próximo mes, Rachel sabe que podrá obtener sólo 20000 puertas (10000 izquierdas y 10000 derechas) del proveedor de puertas (debido a una huelga de trabajadores reciente que forzó el cierre de la planta del proveedor por varios días). Los dos modelos de autos usan el mismo mis mo modelo de puerta. Además, un pronóstico reciente de la compañía sobre la demanda del mes para los diferentes modelos sugiere que las ventas del Classy Cruiser están limitadas a 3500 autos. No existe un límite en la demanda del Thrillseeker dentro de los límites de capacidad de la planta de ensamble. (f.o.: $26 640 000) EJERCICIO No.8 Una empresa fabrica a partir de una fruta dos tipos de producto: extracto para beber y extracto concentrado. Los requerimientos para elaborar un hectolitro de cada producto se muestran en la siguiente tabla: Producto Para beber Concentrado
Fruta (kg/hectolitro) 300 400
Tiempo de Preservante trabajo (gramos/hectolitro) (horas/hectolitro) 1 300 3 200
Costo de producción ($/hectolitro) 100 200
A los extractos se añade un preservante del cual se tienen 48 kg. disponibles. Se cuenta con 60 toneladas de fruta y se debe trabajar por lo menos 210 horas.
Se sabe que la producción producción de extracto concentrado debe ser a lo más el doble de la producción de extracto para beber. a) Identifique las variables de decisión. b) Formule el modelo de programación lineal respectivo. c) Utilizando el método gráfico, encuentre la región factible y la solución óptima. Señáleles y proporcione además el valor valor óptimo de las variables variables de decisión y de la función objetivo. d) Explique qué restricciones convendría revisar con la empresa a fin de mejorar el valor óptimo hallado para la función objetivo. e) Identifique las restricciones activas y las restricciones inactivas del modelo. f) Cuánto debería ser el costo de producción del extracto para beber de tal manera que hubiesen planes de producción alternativos a la solución óptima que anteriormente halló en la parte c) g) Ahora, suponga que los precios de venta del extracto para beber y del concentrado son 250 $/hectolitro y 350 $/hectolitro respectivamente. El jefe de producción afirma que el plan óptimo de producción no sufrirá variación alguna, ¿es eso cierto? Justifique utilizando su gráfico.
Modelación PRODUCCIÓN (UN PERIODO MÚLTIPLES PRODUCTOS) EJERCICIO No.1 La compañía ZINGERLE se dedica a la producción de módulos (bancos y mesas) especialmente destinadas para bares, restaurantes, clubes campestres, etc. El Gerente de Producción se encuentra actualmente planificando la producción de los siguientes tipos módulos: MA6, MA8, MB8 y MB10. Los mencionados tipos de módulos requieren para su producción de ángulos de acero y tablas de madera; la información mencionada, así como los requerimientos de mano de obra (horas – hombre: HH) necesarias para la producción de los diferentes tipos de módulos y la disponibilidad semanal de los recursos se presentan en la siguiente tabla: Requerimientos productivos Tipo de módulo Ángulos Madera Mano de obra 2 (m./módulo) (m /módulo) (HH/módulo) MA6 14 5.4 0.70 MA8 18 7.2 0.80 MB8 16 6.2 0.75 MB10 20 8.0 0.90 Disponibilidad 30000 m. 11500 m 2 1440 HH El limitante de la producción es la capacidad productiva semanal; la programación de la producción además debe tomar en cuenta la demanda mínima semanal de los diferentes tipos de módulo. La información sobre la capacidad productiva y la demanda mínima semanal, así como el precio de venta por cada tipo de módulo se presentan en la siguiente tabla:
a)
Tipo de módulo
Demanda mínima (módulos)
MA6 MA8 MB8 MB10
500 320 400 200
Capacidad producción (módulos) 750 450 550 300
Precio venta ($ / módulo) 60 75 70 85
Formule el modelo de programación lineal que permita determinar cuántos módulos de cada tipo debe producir ZINGERLE semanalmente. (f.o.: 125945)
EJERCICIO No.2 Una de las plantas de producción de la Industria Metalmecánica Girón dispone de una superficie de 200000 pies 2, dicha planta va a ser reorganizada debido a que una de sus líneas de venta ha sido descontinuada. De los 5 tipos de piezas mecánicas que producía, ahora solamente deberá producir 4 de ellas, dichas piezas son las siguientes: Cam –ST, Cam –XL, C –punch y CL –punch. Las piezas mencionadas son de gran tamaño y para su adecuada producción se debe destinar una determinada cantidad de superficie por cada pieza producida diariamente. La información concerniente a la superficie requerida, así como las horas – hombre (HH) necesarias para la producción de las piezas se presentan en la siguiente tabla: Recursos Tipo de pieza Cam –ST Cam –XL C –punch CL –punch
Requerimiento de recursos por unidad Superficie (pies2) Horas hombre (HH) 500 32 1200 30 1500 28 5000 150 –
Para que sea rentable la producción de las piezas se ha establecido un nivel de producción mínima; además existe un limitante de la distribución de la p roducción que es la demanda máxima diaria de las piezas. La información sobre la producción mínima y la demanda máxima, así como la contribución a las utilidades por cada tipo de pieza se presentan en la siguiente tabla: Tipo de pieza Cam –ST Cam –XL C –punch CL –punch
Producción mínima (piezas) 60 24 20 11
Demanda máxima (piezas) 125 40 35 30
Utilidades ($ / pieza) 6 9 12 36
El tiempo disponible diariamente es de 7400 horas – hombre: a) Formule el modelo de programación lineal que permita determinar cuántas piezas de cada tipo debe producir IMG diariamente. (f.o. 1791) EJERCICIO No.3 Un comerciante de cierto producto tiene 10 proveedores a los que puede comprarles el producto que él comercializa. Vende en tres zonas del país (norte, centro y sur) y sus proveedores se ubican también en estas tres zonas de forma que ha decidido que para las ventas de cada zona se abastecerá solo de los proveedores de la misma zona . La información disponible de cada proveedor se muestra en a tabla siguiente: Tabla 1 Proveedor Zona de Cantidad Costo unitario Ubicación Disponible ($/unid.) (unidades) A Norte 1000 10 B Norte 800 12 C Norte 600 9 D Centro 2000 10 E Centro 800 11 F Centro 800 12 G Sur 1000 10 H Sur 500 10 I Sur 300 12 J Sur 500 10 El comerciante cuenta con un pronóstico de la demanda de su producto en cada zona, tal como se muestra en la tabla siguiente: Tabla 2 Zona Demanda (unidades) Norte 1500 Centro 1200 Sur 1600 Se busca el plan de compras que resulte más adecuado para cada zona. Responda cada pregunta independientemente de las anteriores: a)
El pronóstico de demanda puede considerarse como la cantidad máxima o mínima que puede vender en cada zona; cada uno de estos casos, explique qué podría suceder con la solución óptima . Decida cómo utilizar el pronóstico de la demanda y formule el modelo lineal adecuado presentándolo en la forma extendida. Incluya la definición de las variables de decisión.
b)
Considere el pronóstico de demanda como la máxima cantidad que puede vender. Ahora se le proporciona el precio de venta por unidad que es de $15, $12 y $14 en cada zona respectivamente. Se le informa que dispone de un presupuesto para compras de $10000 en total pero si se necesita hacer un gasto mayor, el dinero adicional que se requiera debe pedirse en préstamo a un banco que cobra un interés de 70% Formule los cambios en su modelo y preséntelos en la forma extendida.
TRANSPORTE EJERCICIO No.1 Un contratista puede suministrar arena a tres construcciones ubicadas en Surco, La Molina y San Borja. La arena se puede obtener de dos canteras ubicadas en Cieneguilla y Lurín. La cantidad máxima que puede comprar en Cieneguilla es 18 toneladas y en Lurín 14 toneladas. Los costos de transporte y obtención de la arena se muestran en el cuadro siguiente:
Construcción Cantera Cieneguilla Lurín
Cuadro de Costos Costo de transporte (soles /tonelada) Surco La Molina San Borja 30 60
60 30
Costo de arena (soles/tonelada)
50 40
100 120
La cantidad de arena que podría entregar a cada construcción es la siguiente: Surco 10 toneladas
La Molina 5 toneladas
San Borja 10 toneladas
Teniendo en cuenta los datos anteriores, elaborar un modelo que permita al contratista determinar la cantidad de arena que debe transportar desde las canteras a las construcciones. a. b. c. d.
Identifique y defina las variables de decisión Presente el modelo de programación lineal en forma matemática-compacta. Resolver con Lingo Complete el siguiente reporte administrativo.
Reporte Cantidad transportada Cantidad transportada Cantera/Construcción Surco La Molina San Borja Cieneguilla Lurín –
¿Cuál es el costo total obtenido? (f.o.: 3570) e) Suponga que se le indica que el precio de venta por tonelada de arena en Surco, La Molina y San Borja es de S/. 170, S/. 250 y S/. 200 respectivamente. Indique los cambios que debe efectuar al modelo en su forma matemática estructurada. EJERCICIO No.2 Una compañía tiene tres plantas que fabrican coches para bebé que deben enviarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10 cargas al mes. La distancia desde cada planta a los respectivos centros de distribución es la siguiente:
DISTANCIA CENTRO DE DISTRIBUCIÓN 1
2
3
4
Planta 1
800 millas
1300 millas
400 millas
700 millas
Planta 2
1100 millas
1400 millas
600 millas
1000 millas
Planta 3
600 millas
1200 millas
800 millas
900 millas
El costo del flete por embarque es $0.50/milla – producto. ¿Cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada centro de distribución para minimizar el costo total del transporte? Formule este problema. (f.o. 16200) EJERCICIO No.3 Un fabricante de pequeñas lanchas tiene un contrato para exportar 400 lanchas de modelo A y 500 del modelo B. La lancha modelo A ocupa un volumen de 12 metros cúbicos y el modelo B ocupa un volumen de 15 metros cúbicos. Se dispone de tres barcos para transportar las lanchas hacia su destino final. Estos barcos llegarían al destino final a principios de enero, mediados de febrero y fines de marzo, respectivamente. El primer barco sólo transporta lanchas modelo A un costo de $450 por lancha. El segundo y tercer barco transportan ambos modelos, el primer de ellos a un costo de $35 por metro cúbico (para cualquier modelo) y el otro barco a $40 por metro cúbico (para cualquier modelo). El primer barco sólo puede acomodar 200 lanchas y el segundo y tercer barco tienen disponibles volúmenes de 4500 y 6000 metros cúbicos. El fabricante se ha comprometido a entregar al menos 250 del modelo A y 200 del modelo B para mediados de febrero, y el resto para fines de marzo. Formule el problema como un modelo lineal. (f.o.: 463500) a) Defina claramente las variables de decisión b) Formule el modelo de programación lineal correspondiente señalando claramente la función objetivo y las restricciones. c) Resuelva el modelo utilizando Lingo e indique la cantidad óptima de lanchas que deberán llegar a puerto destino en cada periodo. d) Indique el valor óptimo de la función objetivo e) Indique si en algún barco quedaría capacidad disponible, de acuerdo al plan óptimo de carga que halló en la pregunta (c). Justifique su respuesta. EJERCICIO No.4 La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se mandan a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son los mismos en las dos plantas y los costos de transporte por unidad de todas las combinaciones de planta y centro de distribución son las siguientes: CENTRO DE DISTRIBUCIÓN 1
2
3
Planta A
$800
$700
$400
Planta B
$600
$800
$500
Se debe producir y enviar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede producir y enviar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana, de manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entre las dos plantas y reducir los costos de transporte. El objetivo de la administración es determinar cuánto se debe producir en cada planta y, después, cuál debe ser el patrón de embarque de manera que se minimice el costo total del transporte. Formule este problema. (f.o. 25000) EJERCICIO No.5 Una compañía., que fabrica un solo producto, tiene tres plantas y cuatro clientes. Las plantas respectivas podrán producir 60, 80 y 90 unidades, durante el siguiente período. La empresa se ha comprometido a vender 40 unidades al cliente 1; 60 unidades al cliente 2, y por lo menos 20 unidades al cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 desean comprar tantas unidades como sea posible de las restantes. La ganancia neta asociada con el envío de una unidad de la planta i al cliente j está dada en la tabla: CLIENTE 1
2
3
4
Planta 1
$800
$700
$500
$200
Planta 2
$500
$200
$100
$300
Planta 3
$600
$400
$300
$500
La administración desea saber cuántas unidades debe vender a los clientes 3 y 4, y cuántas unidades conviene enviar de cada planta a cada cliente, para maximizar la ganancia. Formule este problema. (f.o. 115000) TRASBORDO EJERCICIO No.1 La empresa Ryan Electronics tiene un problema de trasbordo. La producción de sus artículos electrónicos los realiza en las plantas que están ubicadas en Denver y Atlanta, con una capacidad de 600 y 700 unidades respectivamente. La producción de cada planta es enviada a dos almacenes ubicadas en Kansas City y Louisville, que tienen una capacidad de almacén de 600 unidades cada una, de los almacenes son enviados a 4 clientes que están ubicados en las ciudades de: Detroit, Miami, Dallas y New Orleáns, que tiene una demanda mínima de: 200, 200, 400 y 300 unidades respectivamente. Los costos (en dólares por unidad) de transporte son: (fo: 5600) Almacenes Plantas Kansas City Louisville Denver 2 3 Atlanta 3 1 Clientes Detroit Miami Dallas New Orleáns Kansas City 2 6 3 6 Louisville 4 4 6 5
Almacenes
EJERCICIO No. 2. FIBRATOLIMA tiene dos plantas en Ibagué, con una capacidad de producción de 500 toneladas de tela en cada planta. Para poder cumplir con los pedidos de exportación de sus clientes han construido
tres depósitos, en el puerto de Santa Marta, en el puerto de Cartagena y en el puerto de Barranquilla. Los costos de transporte de cada planta a cada bodega son: ($ por tonelada) Planta Bodega Santa Marta Cartagena Barranquilla 1 1200 1500 1400 2 1300 1400 1200 Capacidad de las bodegas (tons) 400 400 400 La demanda, en toneladas de tela, de cada cliente y los costos de envío por mar se dan en la siguiente tabla en dólares por tonelada: Bodega
Cliente Panamá Honduras Venezuela Santa Marta 25000 25000 20000 Cartagena 25000 20000 20000 Barranquilla 20000 15000 15000 Demanda de los clientes (tons) 200 300 250 Precio ($ por ton) 120000 110000 100000 (fo: 6.71E07) EJERCICIO No.3 Una empresa tiene dos plantas de fabricación ubicadas en distintas localidades y en ambas plantas puede operar en turno normal y si lo requiere en turno extra. Puede vender sus productos en tres mercados diferentes ubicados en lugares distintos. La distribución de su producción puede efectuarla de dos formas: Directamente, desde ambas plantas hacia los mercados o Indirectamente, desde ambas plantas hacia dos almacenes y desde éstos hacia los mercados. Los datos de capacidad de producción normal y extra en cada planta así como el costo de transporte hacia los almacenes se dan en la siguiente tabla, además se señala el dato de capacidad en cada almacén: Costo de transporte hacia el almacén 1 ($/unid) 5 7
Costos de transporte hacia el almacén 2 ($/unid) 6 5
Capacidad de producción normal en cada planta (unidades) 3500 3500
Capacidad de producción extra en cada planta (unidades)
Desde planta 1 2000 Desde planta 2 2000 Capacidad almacenes(unidades) 2000 3000 Costos de transporte unitarios desde almacenes hacia mercados ($/unid) Hacia el mercado Hacia el mercado Hacia el mercado 1 2 3 Desde almacén 1 3 2 3 Desde almacén 2 4 4 3 Demanda máxima en cada mercado (unidades) 3000 2500 2000
Costos de transporte unitarios directo desde plantas hacia mercados Hacia el mercado 1 Hacia el mercado 2 Hacia el mercado 3 Desde planta 1 8 9 8 Desde planta 2 10 12 9 En cada planta el costo de producción de una unidad de producto es de $22 en turno normal y $28 en turno extra. El precio de venta en cada mercado es de $45 y $48 y $50 por producto respectivamente. Formule un modelo de programación lineal en la forma matemática compacta que permita a la empresa planear sus operaciones. (f.o.: 127000)
MEZCLAS EJERCICIO No.11 Chandler Oil Company dispone de 5000 barriles de crudo 1 y de 10000 barriles de crudo 2. La compañía produce y vende dos productos: gasolina y aceite combustible. Ambos productos se elaboran combinando el crudo 1 y el crudo2. La calidad del crudo 1 es 10 y la calidad del crudo 2 es 5. La gasolina debe tener una calidad promedio de por lo menos 6. La demanda de cada producto debe ser creada por la publicidad. Cada dólar gastado en anunciar a la gasolina crea una demanda de 5 barriles de gasolina; cada dólar gastado en anunciar al aceite combustible origina una demanda de 10 barriles del aceite. La gasolina se vende a 25 dólares por barril y el aceite combustible se vende a 20 dólares por barril. Formule un modelo PL para ayudar a Chandler a maximizar sus utilidades. (f.o.: 372000) EJERCICIO No.22 Eli Daisy utiliza los productos químicos 1 y 2 para elaborar dos fármacos. El fármaco 1 debe tener por lo menos 70% del producto químico 1, y el fármaco 2 debe tener por lo menos 60% del producto químico 2. Se pueden vender hasta 40 onzas del fármaco 1 a 6 dólares la onza; se pueden vender hasta 30 onzas del fármaco 2 a 5 dólares la onza. Es posible comprar hasta 45 onzas del producto químico 1 a 6 dólares la onza, y hasta 40 onzas del producto químico 2 a 4 dólares la onza. Formule un modelo PL que maximice las utilidades de Eli Daisy. (f.o.:52) EJERCICIO No.3 3 Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando tres tipos de petróleo crudo (1, 2 y 3). En La tabla a. siguiente se muestran los precios de venta por barril de las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petróleo crudo. Sunco puede comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de petróleo crudo diariamente. Tabla a. Precios de venta por barril Precio de compra por barril Gasolina Crudo ($) ($) Gasolina 1 70 Crudo 1 45 Gasolina 2 60 Crudo 2 35 Gasolina 3 50 Crudo 3 25
1
Winston, Wayne. Investigación de Operaciones. 2da. edición, Editorial Iberoamérica, México, 1991, p. 101 2 3
Ibíd, p.101
Winston, Wayne. Investigación de Operaciones. 2da. Edición. Editorial Iberoamérica, México, 1991, p.106
Los tres tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo más 1 % de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo más 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre. El índice de octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petróleo se dan en la Tabla que sigue a continuación. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 4 dólares, y la refinería se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina. Tabla b. Crudo
Índice de octano
Crudo 1 Crudo 2 Crudo 3
12 6 8
Contenido de azufre 0.5% 2.0% 3.0%
Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compañía se siente comprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dólar invertido diariamente en el publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina en 10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente 20 dólares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule un modelo de Programación Lineal que permita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingreso – costos). (f.o: 287.75) EJERCICIO No.4 La dietista de una escuela rural debe preparar los desayunos a ofrecer a los alumnos de lunes a viernes. Diariamente cuenta con un presupuesto de $500 para comprar los ingredientes que son: leche, avena, pan y queso. De acuerdo a la edad promedio la dietista ha calculado la cantidad mínima de calorías, calcio y vitaminas que diariamente debe contener la combinación total de los ingredientes de la dieta que es de 400, 500 y 600 unidades respectivamente y la cantidad máxima de grasa es de 600 unidades. Las cantidades de calorías, calcio, vitaminas, proteínas y grasa que contiene cada unidad de cada ingrediente, se muestran en la siguiente tabla: Calorías Calcio Vitaminas Proteínas Grasa Peso por unidad (kg./unid)
Leche 10 15 18 18 20
Avena 15 12 10 15 8
Pan 8 10 8 12 5
3
1
0.5
Queso 18 25 12 20 18 5
Por otro lado, se le ha informado que en el mercado local solo puede disponerse de cantidades limitadas de los ingredientes, tales cantidades varían cada día de la semana, según se indica en el siguiente cuadro conjuntamente con los costos unitarios que varían también en cada día de la semana:
12
Costos unitarios ($/unidad)
Disponibilidad (unidades)
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Leche
Avena
Pan
20 18 20 20 25
20 15 15 18 20
30 35 35 30 30
Queso
Leche
Avena
Pan
Queso
15 18 18 15 12
20 22 20 18 18
10 12 12 10 12
3 3 3.5 3.5 3
35 33 33 35 40
Antes de preparar los desayunos, la misma dietista se hace cargo de las compras cada día. Cuenta con una refrigeradora de 20 pie 3 de capacidad para poder guardar la leche y el queso que sobren al final de cualquier día, de forma que puede utilizarlos cualquier día posterior. Cada unidad de leche y queso que se compre ocupan 1 y 1.5 pie3 respectivamente. Finalmente, teniendo en cuenta la cantidad de alumnos que asisten a la escuela la dietista ha calculado que el peso total del desayuno que se ofrece cada día debe ser de 100 kilos. Cada día la combinación total de productos será repartida equitativamente entre todos los alumnos de la escuela y la preocupación principal de la dietista es que los alumnos consuman la mayor cantidad de proteínas a lo largo de los 5 días de la semana en total. a) Defina las variables de decisión para este modelo. Tenga en cuenta que la cantidad de cada alimento que se puede comprar cada día es diferente a la cantidad de cada alimento que se puede usar cada día. b) Formule el modelo de programación lineal correspondiente en la forma matemática compacta (Explique los símbolos o abreviaturas que utilice en su modelo) Escenario Presente los cambios que debe hacer a su modelo si se le indica que cada día la combinación total de productos que será repartida entre los alumnos debe tener un peso total que puede variar entre 100 y 120 kilogramos.
EJERCICIO No.5 La compañía FORTES se dedica a la producción y comercialización de ladrillos. Para la presente semana, el gerente de producción se encuentra elaborando el plan de producción de tres tipos de ladrillos: Ikaro caravista, King Kong y Tabique. Se sabe el precio de venta y la demanda mínima para esta semana, en millares de ladrillos de cada tipo. Estos datos se muestran en la siguiente tabla: Tipo de ladrillo
Demanda mínima Precio de venta (millares de ladrillos) ($/millar de ladrillo) Ikaro caravista 280 280 King kong 330 200 Tabique 290 220 Para la producción de estos ladrillos se requiere de tres tipos de arcillas (A, B y C) en cantidades que difieren para cada tipo de ladrillo producido. La siguiente tabla muestra el porcentaje mínimo de cada tipo de arcilla que debe tener cada tipo de ladrillo así como el requerimiento de arcilla (en total) por millar de ladrillo: 13
Tipo de arcilla
Porcentaje mínimo para Ikaro caravista 0.15 0.3 0.4
A B C Requerimiento de arcilla (m3/millar de ladrillos) 5
Porcentaje mínimo para King Kong 0.3 0.2 0.35
Porcentaje mínimo para Tabique 0.35 0.25 0.25
3.2
4
De la tabla anterior puede leerse por ejemplo que, por cada millar de ladrillo Ikaro caravista que se planee producir, debe utilizarse 5 m3 de arcilla. Además, la arcilla tipo A que se utilice para el ladrillo Ikaro caravista debe ser como mínimo el 15% del total de la arcilla que se emplee para este tipo de ladrillo. La compañía extrae la arcilla que utiliza en la producción y al respecto se cuenta con la siguiente información: Tipo de arcilla Costo de extracción Cantidad máxima ($ por m3) de extracción posible (m3) A 22 1600 B 20 1900 C 24 1750 Se ha establecido que por lo menos debe extraer 1750 m3 de arcilla tipo B durante esta semana. Con la información disponible formule un modelo de programación lineal que permita determinar la cantidad total óptima de cada tipo de arcilla que debe ser extraída y destinada a la producción de cada tipo de ladrillo. a) Presente sus variables de decisión y defina lo que ellas representan. b) Presente el modelo lineal que permita resolver el problema de FORTES, en la forma matemática compacta (estructurada) (f.o.: 192012.5)
EJERCICIO No.6 Mina Real es una empresa minera que opera extrayendo carbón en tres minas, para enviarlo luego a cuatro importantes clientes. Los costos de transporte desde cada mina hacia cada cliente así como las cantidades demandadas por los clientes se muestran en la tabla siguiente:
Mina 1 Mina 2 Mina 3 Demanda(toneladas)
Costos unitarios de transporte ( $/ tonelada) Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 4 6 8 9 6 7 8 12 3 800 900 500
Cliente 4 12 11 5 800
Cada mina tiene una disponibilidad de carbón y un costo unitario de producción diferente. Así mismo, el carbón procedente de cada mina tiene un contenido diferente de ceniza, sulfuro y de una cierta sustancia Alfa. El contenido de ceniza, sulfuro y Alfa por tonelada de carbón, la disponibilidad y el costo unitario de producción se señalan en la tabla siguiente: Ceniza (toneladas/tonelada de carbón) Mina 1 0.08 Mina 2 0.06 Mina 3 0.04
Sulfuro (toneladas/tonelada de carbón) 0.05 0.04 0.03
Alfa (toneladas/tonelada de carbón) 0.07 0.05 0.032
Disponibilidad Costo de (toneladas) producción ($/tonelada) 1200 50 1000 55 1400 62
14
Se requiere que el carbón que cada cliente reciba contenga a lo más 5.5% de cenizas, a lo más 4.2% de sulfuro, a lo más 5.2% de Alfa y no menos de 4% de Alfa. Mina Real desea minimizar el costo de satisfacer a sus cuatro cli entes. a) Defina las variables de decisión b) Defina la función objetivo y su correspondiente expresión matemática compacta o estructurada. c) Formule la(s) familia(s) de restricciones en forma estructurada o compacta, indicando el significado de la notación que haya utilizado para denotar los parámetros del modelo. d) Indique por lo menos una ventaja que encuentre en la formulación estructurada o compacta de un modelo de programación lineal. (f.o.: 192450) Escenario: Suponga que la capacidad de producción de cada mina puede ampliarse hasta un 20% más que la actual, incrementándose el costo unitario de producción en un 10% para las toneladas adicionales. Formule los cambios que deberá realizarse sobre el modelo original. PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCIÓN E INVENTARIOS EJERCICIO No.1 4 Manufactura Acme recibió un contrato para entregar ventanas de vivienda durante los 6 meses siguientes. Las demandas sucesivas para los seis periodos son 100, 250, 190, 140, 220 y 110. respectivamente. El costo de producción por ventana varía de un mes a otro, dependiendo de los costos de mano de obra, materiales y servicios. Acme estima que el costo de producción por ventana, durante los 6 meses siguientes, será $50, $45, $55, $48, $52 y $50, respectivamente. Para aprovechar las fluctuaciones en el costo de manufactura. Acme podría optar por producir más de lo necesario en determinado mes, y guardar las unidades excedentes para entregar en meses posteriores. Sin embargo, eso le ocasionara un costo de almacenamiento de $8 por ventana y por mes, evaluado con el inventario levantado en el fin de mes. Desarrolle una programación lineal para determinar un programa óptimo de producción para Acme. (f.o.: 49980) EJERCICIO No. 2 5 James Beerd hornea pasteles de queso y pasteles de Selva Negra. Durante cualquier mes puede hornear cuando mucho 65 pasteles. Los costos por pastel y la demanda de pasteles, la cual se debe cumplir a tiempo, se proporcionan en la siguiente tabla. Cuesta 50 centavos conservar un pastel de queso y 40 centavos conservar un pastel de la selva negra en inventario por un mes. Plantee un modelo de programación lineal par minimizar el costo total por cumplir la demanda de los tres meses siguientes: Producto Pastel de queso Selva Negra (f.o.: 464.5)
Mes 1 Mes 2 Mes 3 Demanda Costo/pastel Demanda Costo/pastel Demanda Costo/paste (dólares) (dólares) l (dólares) 40 3.00 30 3.40 20 3.80 20 2.50 30 2.80 10 3.40
EJERCICIO No. 3 6 Una compañía manufacturera produce 2 tipos de productos, A y B. La demanda (en unidades) se muestra a continuación:
4
Taha, Hamdy. Investigación de Operaciones. 7ma. Edición. Ed. Pearson , México, 2004, p. 62 Winston, Wayne. Investigaión de Operaciones. 2da. Edición. Ed. Iberoamérica, México, 1991, p.112 6 Ibíd p.112 5
15
Marzo Abril
A 500 800
B 200 400
La compañía posee 2 líneas de ensamble (cualquier producto puede ensamblarse en cualquier línea). La capacidad de cada línea y las tasas de producción se muestran en las siguientes tablas:
Marzo Abril Producto A B
Capacidad (horas) Línea 1 Línea 2 8000 2000 4000 1200
Tasa de producción (horas / unidad) Línea 1 Línea 2 0.15 0.16 0.12 0.14
El costo de producción es de 5 $ / hora (se paga sólo por las horas trabajadas). Se puede almacenar productos a un costo mensual de 0.20 $ / unidad. Actualmente, el almacén cuenta con 500 unidades de A y 750 unidades de B. Se desea que el inventario al final del mes de Abril sea por lo menos 1000 unidades de cada producto. Plantee un MPL para determinar el plan de producción e inventarios que minimice el costo total y cumpla con la demanda. (f.o.: 2170)
EJERCICIO No.4 Una empresa importa dos modelos de autos, A y B, tanto desde Japón como desde Brasil. Los estimados de ventas en unidades para los próximos tres meses son los siguientes: Modelo Mes 1 Mes 2 Mes 3 A 200 501 600 B 301 600 501 Los costos de importación de cada modelo procedente de cada país son los siguientes: Modelo A B
Japón Brasil ($ por auto) ($ por auto) 105 98 116 101
Se cuenta con un inventario inicial de 6 y 5 autos de cada modelo respectivamente y el costo mensual de guardar un auto en almacén (costo de mantenimiento de inventarios) es de $5. Al final de cada mes se desea tener como mínimo 5 autos de cada modelo y como máximo 10 autos de cada uno de ellos. Cuando los autos llegan al país, deben pasar por una revisión técnica que requiere de 3 horas por auto y la disponibilidad de horas para dichas revisiones técnicas en cada mes es de 1500, 3400,3288 horas respectivamente. Además por disposición del gobierno en cada mes la cantidad de autos importados desde Brasil tiene que ser menor o igual a los importados desde el Japón. Se desea determinar el programa de importación para esta empresa para los próximos tres meses. a) Formular el modelo de programación lineal utilizando el Lingo estructurado. (f.o.: 279418.0) b) Completar el siguiente cuadro con el programa óptimo de producción hallado para el primer mes .
16
Modelo A B
Japón
Brasil
c) Observando su reporte de solución indique si debe tenerse inventario de vehículos al iniciar el tercer mes. d) Observando su reporte de solución indique cuántas horas de revisión técnica se utilizan en el segundo mes. EJERCICIO No.5 En una planta industrial se fabrican tres productos. En cada uno de los tres periodos siguientes se tiene las demandas señaladas en la tabla adjunta, esta demanda se atenderá solo si es conveniente para la empresa. El precio de los productos se espera que no varíen en los próximos periodos: Demanda periodo Demanda periodo 2 Demanda periodo 3 1 (unidades) (unidades) (unidades) Producto 1 Producto 2 Producto 3
500 400 200
300 200 300
300 500 400
Precio de venta ($/unid) 50 55 48
unitario
Existe la posibilidad de almacenar un máximo de 200 unidades de productos en total, cada periodo. El costo de almacenamiento por unidad de producto de cualquier tipo, por mes es de $1. En la fabricación de estos productos se utiliza un insumo. Los requerimientos de cada producto se muestran en la tabla siguiente:
Producto 1 Producto 2 Producto 3
Requerimiento de insumo (kg/unidad) 3 2 3
La disponibilidad y el costo por kilogramo varían tal como se señala en la siguiente tabla: Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Disponibilidad (kg) 500 1000 700 Costo ($/kg) 25 30 32 El insumo se recibirá del proveedor al inicio del periodo y se utilizará en la producción de ese periodo. No es posible utilizar insumo de periodos anteriores en la producción y lo que no se llegue a utilizar no se paga y será devuelto al proveedor. Formule modelo de programación lineal que permita a la empresa programar sus operaciones. (f.o.:1250.000) EJERCICIO No.6 (inventario de productos e inventario de insumo) Una fábrica debe entregar una cierta cantidad de cada uno de cinco productos que produce en cada una de las próximas tres semanas. Dado que los costos pueden variar es posible producir para almacenar. Hay un único almacén para los inventarios de productos terminados de todos los productos y tiene capacidad para 120 unidades en total. Para cualquier producto, el costo de almacenamiento es de $0.5 por unidad por semana.
17
Para fabricar los cinco productos se utiliza un único insumo en las cantidades que se señalan en el cuadro y esta utilización no cambia de una semana a otra. El costo por tonelada del insumo en cada semana es $180, $175 y 190 respectivamente. Se tiene en almacén de materia prima 584 toneladas de este insumo en este momento. Es posible efectuar compras en cualquiera de las semanas y almacenar el insumo en su propio almacén sin restricción de capacidad a un costo de $ 20 por tonelada.
Entregas pactadas primera semana (unidades) 120 150 180 120 200
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Producto 5
Entregas pactadas segunda semana (unidades) 150 180 220 150 200
Entregas pactadas tercera semana (unidades) 120 180 150 200 200
Requerimiento del insumo (toneladas /unidad) 1.2 0.8 1 2.2 1.8
(f.o.: 470580.0) EJERCICIO No.7 Una empresa comercializadora compra un producto y lo envasa para venderlo en packs de dos unidades. Para hacer el pack, requiere de un envase, que puede comprar a un proveedor local. Los datos correspondientes a los próximos cuatro periodos de operación se dan en la siguiente tabla: Periodo
1 2 3 4
Oferta del proveedor de productos (unidades) 1000 1500 1000 1200
Oferta del proveedor de envases (unidades) 800 400 500 400
Costo unitario Costo unit. de producto de envase ($/unidad) ($/unidad) $20 $22 $24 $25
$2.5 $2.7 $2.0 $2.5
Actualmente tiene en stock 500 unidades de productos y 300 envases, pero puede comparar, si lo necesita. Las compras en cada periodo están limitadas por las cantidades que ofrecen tanto el proveedor de productos como el de envases. Dado que los costos tanto de producto como de envase son variables, es posible almacenar las cantidades que se considere conveniente de ambos, sin exceder la capacidad del almacén respectivo que es de 500 unidades de producto y 300 unidades de envase respectivamente, en cualquier periodo. El costo de almacenamiento es de $1 por unidad por mes para cualquiera de los dos almacenes. No se tiene restricción por capacidad de envasado. No es posible guardar en almacén los packs de productos. La empresa ha pronosticado las siguientes demandas máximas y los siguientes precios para cada uno de los periodos. Periodo 1 2 3 4
Demanda máxima (packs) 400 700 700 800
Precio de venta ($/pack) $65 $75 $70 $78 18
Formule el modelo de programación lineal , en su forma matemática compacta, para permitir a esta empresa planear sus operaciones para lo próximos cuatro periodos, definiendo las variables de decisión correspondientes. (f.o.:62020)
EJERCICIO No.8 La empresa “Antonino” es reconocida por la elaboración de una variedad de tortas. “Antonino” acepta
pedidos hasta con una semana de anticipación lo que permite planificar la producción semanal de tortas. Los pedidos para la próxima semana figuran en la siguiente tabla: Pedidos de cada tipo de torta para cada día (cantidad de tortas) Tipo de Torta T1 T2 T3 T4 T5
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
20 16 22 15 16
20 20 23 16 18
24 18 30 18 19
26 24 32 22 20
20 30 36 25 24
28 36 40 28 45
30 30 36 24 22
Para la elaboración de las tortas “Antonino” emplea los mismos 4 insumos en cantidades distintas para
cada torta. Las cantidades de insumo utilizadas en cada tipo de torta se indican en la siguiente tabla, en kilogramos de insumo por unidad de torta: Cantidad de los insumos utilizados por unidad de torta ( kg/unidad) Insumo I1 I2 I3 I4
T1 0.5 0.3 0.1 0.3
T2 0.6 0.3 0.2 0.4
T3 0.7 0.4 0.3 0.2
T4 0.6 0.5 0.2 0.3
T5 0.8 0.4 0.2 0.2
Es posible comprar insumos cada día y las cantidades de dichos insumos no utilizadas en el día, pueden almacenarse para ser utilizadas en los días posteriores, por otro lado, las tortas son despachadas el mismo día en que son elaboradas ya que no pueden ser guardadas. El almacén para los insumos tiene capacidad diaria para 40 kilos en total y no se cuenta con inventario inicial de ninguno de los insumos. Los costos de los insumos en dólares por kilogramo, para cada día se muestran en la siguiente tabla: Costos de los insumos ( $/kg) Insumo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo I1 I2 I3 I4
2.5 3.0 5.1 3.5
2.5 3.1 5.2 3.5
2.7 3.1 5.3 3.7
2.6 3.1 5.4 3.8
2.8 3.3 5.4 4.0
2.9 3.3 5.5 4.0
3.0 3.5 5.5 4.0
Costo de almacenamiento ( $/kg por día) 0.1 0.2 0.15 0.12
“Antonino” desea minimizar el costo total de satisfacer los pedidos de la próxima semana.
a) Identifique la(s) variable(s) de decisión. c) Formule la función objetivo en la forma matemática compacta, señalando el significado de la notación que decida utilizar para nombrar los datos en su modelo. 19
d) Formule las familias de restricciones en su forma matemática estructurada, señalando el significado de la notación que decida utilizar para nombrar los datos en su modelo. (f.o.: 4487.89) e) Indique qué datos necesitaría y qué cambios haría en las condiciones del modelo para que éste fuera de maximización. MODELOS DE PROGRAMACIÓN DE HORARIOS EJERCICIO No.1 7 Durante cada 4 horas la policía de Pueblo Chico necesita la siguiente cantidad de oficiales de policía en servicio: de las 12 de la noche a las 4 a.m., 8; de 4 a 8 a.m., 7; de 8 a.m. a 12 del día 6; de 12 a 4 p.m., 6; de 4 a 8 p.m., 5; de 8 p.m. a medianoche 4. Cada oficial de policía trabaja 2 turnos consecutivos de 4 horas. Plantee un PL que sea útil para minimizar el número de policías necesarios para cumplir con las demandas diarias de Pueblo Chico. (f.o.: 19). EJERCICIO No.28 El Banco Nacional de Gothan City abre de lunes a viernes de 9 a.m. a 5 p.m. El banco sabe por pasada experiencias, que necesita la cantidad de cajeros que se señala en la tabla adjunta. El banco contrata a dos tipos de cajeros. Los cajeros en tiempo completo trabajan de 9 a 5, cinco días a la semana, excepto por una hora libre para tomar alimentos. (El banco determina cuando un empleado de tiempo completo debe tomar su hora para los alimentos, pero cada cajero debe salir entre medio día y 1 p.m. o bien entre 1 p.m. y 2 p.m.) Los empleados de tiempo completo ganan (incluyendo prestaciones salariales) 8 dólares la hora (esto incluye el pago por la hora de tomar alimentos). El banco podría también contratar cajeros de medio tiempo. Cada cajero de medio tiempo debe trabajar exactamente 3 horas consecutivas todos los días. Un cajero de medio tiempo gana 5 dólares por hora (y no recibe prestaciones salariales). Para mantener la calidad adecuada del servicio, el banco decidió que se pueden contratar cuando mucho 6 cajeros de medio tiempo. Plantee un PL que cumpla con los requisitos de los cajeros al mínimo costo semanal. (f.o.: 2050) Periodo
Cajeros Necesarios 9-10 4 10-11 3 11-Mediodía 4 Mediodía-1 6 1-2 5 2-3 6 3-4 8 4-5 8
MODELOS DE PLANEACIÓN FINANCIERA EJERCICIO No.1 Una pequeña tienda de juguetes, Toyco, proyecta los flujos de efectivo mensuales (en miles de dólares) durante el año 2003 en la siguiente tabla: 7 8
Ibíd. p. 75 Ibíd p. 121 20
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Flujo de efectivo -12 -10 -8 -10 -4 5
Mes Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
Flujo de efectivo -7 -2 15 12 -7 45
Un flujo de efectivo negativo significa que la salida de efectivo sobrepasa la entrada de efectivo al negocio. Para pagar sus cuentas, Toyco necesitará pedir un préstamo de dinero a principios de año. Hay dos maneras para pedir el préstamo: a) Tomar un préstamo de largo plazo a un año; los intereses de 1% se cargan cada mes y el préstamo se debe pagar a fines de diciembre. b) Al inicio de cada mes se pide un préstamo de corto plazo a una línea de crédito bancaria, se carga una tasa de interés de 1.5% y todos los préstamos a corto plazo (incluidos los intereses) se debe liquidar a finales de Diciembre. Al finalizar cada mes, el efectivo excedente gana 0.4% de interés. Formule un MPL cuya solución ayude a Toyco a maximizar su estado de caja al empezar Enero del 2004. (f.o. con interés compuesto: 11.67115 miles de dólares. Con interés simple: 11.98089 miles de dólares) EJERCICIO No.2 9 Usted es analista financiero. Madonna acudió a usted porque necesita que la ayuden a liquidar sus cuentas de tarjeta de crédito. Ella debe a sus tarjetas de crédito las cantidades que se indican a continuación: Tarjeta Deuda (dólares) Tasa de interés mensual 1 20000 0.5% 2 50000 1% 3 40000 1.5% Madonna debe asignar hasta $5000 por mes para liquidar estas tarjetas de crédito. Todas las tarjetas de crédito se deben liquidar en 36 meses. El objetivo de Madonna es minimizar el total de todos sus pagos. Para resolver este problema, usted debe entender cómo influyen los intereses sobre un préstamo. Para ilustrarlo, suponga que Madonna paga $5000 en la tarjeta 1 al final del mes 1. Entonces su saldo es de: (20000 + 20000(0.005) – 5000). Ayúdele a Madonna a resolver su problema.(f.o.: $123307.1)
EJERCICIO No. 3 La Corporación Financiera Andina (CFA) está diseñando un plan de inversiones para los próximos dos años. Actualmente, el monto disponible es de tres millones de dólares. Meses atrás CFA ejecutó inversiones de las cuales recibirá un flujo de ingresos dentro de 6, 12, 18 y 24 meses, tal como aparece en la siguiente tabla. Ingresos de inversiones previas ($) 6 meses 12 meses 18 meses 24 meses Ingreso 600000 500000 450000 420000 CFA se ha interesado en dos proyectos, un proyecto turístico de la provincia de Huari (Proyecto A) y un proyecto de construcción de un centro comercial en la ciudad de Huancayo (Proyecto B). En la siguiente tabla se muestra el flujo de caja que se tendría si la CFA participara en un 100% en cada proyecto. Los montos que CFA debe invertir se señalan en negativo, mientras que los montos positivos son ingresos que CFA recibirá:
9
Ibíd. p. 109
21
Proyectos Proyecto A Proyecto B
Inicial -1500000 -1200000
6 meses -1000000 -800000
Flujo de caja ($) 12 meses 18 meses 2500000 1000000 700000 -500000
24 meses 900000 2800000
La CFA puede participar en el proyecto A o B en un nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos se reducirán en forma proporcional. Al comienzo de cada semestre, los fondos no invertidos en ningún proyecto se depositan en el banco y generan un interés de 7.5% semestral. El gerente de la CFA desea saber cómo invertir en cada proyecto y cuánto depositar en el banco. Su meta consiste en maximizar los fondos disponibles al final de los 24 meses. Formule el modelo de programación lineal que permita obtener el plan óptimo de inversiones. (f.o.: 8127500)
EJERCICIO No.4 Una persona dispone en estos momentos $ 630 000 para invertir; está evaluando 7 tipos de acciones y para cada tipo de acción 3 tipos de plazos. Por lo tanto él debe decidir cuanto invertir en cada tipo de acción y en qué tipo de plazo. Para tomar esta decisión ha recolectado la siguiente información: Costo unitario por cada acción ($ / unid.) Ganancia por tipo de acción de acuerdo al tipo de plazo (%) Inversión mínima sugerida por tipo de acción según el plazo para acciones tipo C y F (% del dinero disponible) Inversión máxima por tipo de acción en total. (% del dinero disponible) Costo por tipo de acción ($ / unid.) Tipo A B C D E F G Costo 90 120 75 110 80 105 95 Ganancia* (%) Tipo de plazo (años) Tipo de acción 1 2 3 A 12 25 39 B 15 32 48 C 10 24 36 D 14 30 45 E 11 25 40 F 13 29 45 G 12 28 44 * Nota: A modo de ejemplo, si se adquiere una acción tipo A para el plazo de un año, se tendrá una rentabilidad del 12 %; lo cual significa que luego de un año se habrá ganado $10.8 (0.12*90) Inversión mínima (% del total) Tipo de plazo Tipo de acción 1 2 3 C 5 6 4 F 8 6 5 Inversión máxima (% del total) Tipo A B C D E F G Inversión máxima (%) 20 25 30 25 20 40 30 Formule el modelo de Programación Lineal que permita obtener el plan óptimo de inversiones. (f.o.:244818)
22
MODELOS PARA FORMULAR CON MÁS DE DOS ÍNDICES EJERCICIO No.1 Una firma minera extrae cuatro tipos de mineral de cuatro yacimientos diferentes ubicados en la misma zona, es decir, en cada yacimiento es posible extraer cada uno de los cuatro minerales. Para las operaciones de extracción cuenta con 6 equipos cuyo rendimiento y costos de operación son diferentes en cada yacimiento, tal como e indica a continuación: Rendimiento (toneladas por día) Equipo 1 2 3 4 5 6
Yacimiento 1 Yacimiento 2 Yacimiento 3 100 80 88 75 90 75 70 80 90 100 90 80 95 100 78 80 90 60 Costos diarios de Operación ($ por día)
Yacimiento 4 80 70 90 65 95 105
Equipo Yacimiento 1 Yacimiento 2 Yacimiento 3 Yacimiento 4 1 20 40 45 40 2 25 35 65 70 3 30 20 40 35 4 25 45 50 40 5 20 35 45 45 6 35 20 35 25 La firma enfrenta una demanda y conoce el precio estimado por tonelada para el próximo mes para cada tipo de mineral, lo que se señala en el cuadro siguiente: Mineral 1 2 3 4
Demanda Mensual ( ton.) 2500 2700 2800 2500
Precio de venta ($/ton.) 150 120 100 125
Mensualmente los equipos tiene que recibir mantenimiento por lo que no está n operativos todos los días del mes, el equipo 1 requiere 3 días, el 2 requiere 5, el tres requiere 3, el 4 requiere 5, el 5 requiere 5 y el 6 también 5 días. El equipo 6 es un equipo contratado, no es un equipo propio y debe ser utilizado por lo menos 15 días al mes. Puede considerar un mes de 30 días. a) b) c)
Formule y presente el modelo de programación lineal estructurada. Resuelva en el LINGO. (f.o.: 1962765) Responda las siguientes preguntas: Cómo se asignan los equipos a los yacimientos Cuántos días trabaja cada equipo Cuánto de cada mineral se produce. Cuál es la utilidad máxima obtenida.
EJERCICIO N.2 Una empresa dedicada a la fabricación de productos lácteos produce yogurt y leche saborizada a partir de dos tecnologías A y B. Para cada uno de los productos se puede emplear dos calidades de leche. Los requerimientos por litro de producto de cada insumo bajo cada tecnología se señalan en el siguiente cuadro
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Para la tecnología A Yogurt
Para la tecnología B
Leche Saborizada
Yogurt
Leche tipo 1
1.5lts.
1.8lts.
Leche tipo 2
1.9 lts.
1.6 lts. 1.45lts. 1.70lts.
Leche Saborizada
1.60lts. 1.5 lts
Se cuenta con 5000 litros de la leche tipo 1 y 3000 litros de la leche tipo 2. Se debe producir por lo menos 200 litros de yogurt y 500 litros de leche saborizada. Cada litro de leche tipo 1 cuesta $0.45 y del tipo 2 cuesta $0.25. Los precios de venta de cada litro de yogurt y leche saborizada son $1.05 y $0.95 respectivamente. Formule el modelo de programación lineal estructurada que permita planear la producción del próximo periodo para el cual es válida la información dada. (F.o.: 2622.414)
24
EJERCICIOS PARA ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD EJERCICIO No.1 : suministro de arena Usted es un contratista puede suministrar arena a tres construcciones ubicadas en Surco, La Molina y San Borja. La arena se puede obtener de dos canteras ubicadas en Cieneguilla y Lurín. La cantidad máxima que puede comprar en Cieneguilla es 18 toneladas y en Lurín 14 toneladas. Los costos de transporte y obtención de la arena se muestran en el cuadro siguiente: Cuadro No. 1 - Cuadro de Costos Costo de transporte (soles / tonelada) Construcción Cantera Cieneguilla Lurín
Surco
La Molina
San Borja
30 60
60 30
50 40
Costo de arena (soles/tonelada) 100 120
La cantidad de arena que podría entregar a cada construcción es la siguiente: Surco 10 toneladas
La Molina 5 toneladas
San Borja 10 toneladas
Teniendo en cuenta los datos anteriores, elaborar un modelo que permita al contratista determinar la cantidad de arena que debe transportar desde las canteras a las construcciones. a. Identifique y defina las variables de decisión b. Presente el modelo de programación lineal. Model: Sets: cant/1..2/:disp,costo; const/1..3/:req; CC(cant,const):costo_t,x; endsets data: req=10,5,10; disp=18,14; costo=100,120; costo_t=30,60,50,60,30,40; enddata Min=@sum(cc(i,j):x(i,j)*costo_t(i,j)+x(i,j)*costo(i)); @for(cant(i):[disponibilidad] @sum(const(j):x(i,j))<=disp(i)); @for(const(j):[requerimiento] @sum(cant(i):x(i,j))>=req(j));
c. Complete el siguiente cuadro con la solución de su modelo: Cantidad a transportar Construcción
Surco
La Molina
San Borja
Cantidad a comprar
Cantera Cieneguilla Lurín
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d. Si tuviera que establecer el precio por tonelada a cobrar a cada una de las construcciones por el material que les entrega, ¿qué resultados emplearía como base para fijar dichos precios? e. Usted ha escuchado que es posible que la cantera de Cieneguilla eleve el costo por tonelada de arena. ¿Hasta qué precio estaría usted dispuesto a pagar por tonelada en dicha cantera para mantener su plan actual? f. Se ha enterado que un competidor ha acudido antes que usted a la cantera de Cieneguilla y ha comprado material dejándole a usted una disponibilidad menor. Usted desea evaluar cuál será el efecto en sus costos totales y cuál sería la máxima disminución de dicha disponibilidad que le permitiera mantener las mismas rutas de transporte a utilizar en su plan actual.
EJERCICIO No.2: DIGITAL IMPORT DIGITAL IMPORT es una empresa que se dedica principalmente a la venta de los siguientes artículos: Televisores de pantalla plana, equipos DVD, y equipos de sonido de alta fidelidad, los mismos que importa de una reconocida marca de equipos digitales. Los precios de venta, los costos de adquisición de cada uno de los artículos, el espacio de almacenamiento requerido, y las horas-hombre (HH) necesarias para su comercialización se presentan en la siguiente tabla: Artículo TV. pantalla plana Equipo DVD Equipo de sonido
Precio de venta Costo adquisición ($/unidad) ($/unidad) 250 100 150
180 65 100
Espacio requerido (m3 / unidad) 0.20 0.08 0.40
T. comercialización (HH / unidad) 4 2 1
Digital importa recibe sus lotes de pedidos cada 2 semanas (14 días), motivo por el cual desea planificar su plan de compras para cada período de aprovisionamiento. El almacén tiene una capacidad útil de almacenamiento de 180 m 3, cada día la fuerza de ventas disponible es de 10 trabajadores que laboran 8 horas diarias, se ha destinado $ 60700 para la adquisición de mercadería. a)
Formule el modelo de Programación Lineal (LINGO estructurado) que resuelva el problema de DIGITAL IMPORT
Model: sets: modelo/1..3/:precio,costo,espacio,tiempo,x; endsets data: costo=180 65 100; precio=250 100 150; tiempo=4 2 1; espacio=0.2 0.08 0.4; enddata Max=@sum(modelo(i):(precio-costo)*x); [disp_espacio]@sum(modelo(i):x*espacio)<=180; [disp_tiempo]@sum(modelo(i):x*tiempo)<=8*10*14; [disp_presupuesto]@sum(modelo(i):x*costo)<=60700;
b)
Elabore un reporte administrativo, indicando cuantos artículos de cada tipo adquirir, y el valor de la función objetivo.
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Artículo Cantidad a adquirir TV. pantalla plana Equipo DVD Equipo de sonido Función Objetivo = c) d) e)
¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo, si se decidiera adquirir 15 TV. pantalla plana? Si el precio de venta de los equipos DVD ya no fuera $ 100, si no que ahora fuera de $ 98. ¿La base óptima se modificaría? El administrador de DIGITAL IMPORT tiene dos posibilidades: Alquilar 22 m3 de almacenamiento extra o aumentar de 8 a 9 las horas que se laboran cada día. Independientemente del costo que representa cada alternativa ¿Cuál de las dos opciones es más conveniente?
EJERCICIO No.3: Obras Públicas El presidente de una región del interior del país ha visto disminuir su popularidad durante los últimos meses; la población le reclama que haga más obras públicas. Ordenó a sus asesores que realicen un estudio sobre las obras públicas que se pueden realizar con una duración no mayor de 20 días. Los asesores fueron recogiendo las opiniones de los pobladores de las diferentes provincias de la región, luego de lo cual determinaron los 4 tipos de obras públicas más solicitadas, que se pueden realizar en ese período de tiempo. Los requerimientos y el número de familias beneficiadas en promedio por cada tipo de obra pública se presentan en la siguiente tabla: Tipo de obra pública Losa deportiva Asfaltado pistas y veredas Parques y jardines Locales comunales
Ingenieros civiles 2 3 1 2
Obreros 10 12 8 9
Maquinaria Tipo 1 2 2 1 1
Maquinaria Tipo 2 1 2 2 1
Familias beneficiadas 190 250 180 150
Durante el período de tiempo señalado se dispone del siguiente número de ingenieros, obreros y maquinarias tipo 1 y tipo 2. Disponibilidad Ingenieros civiles 84 Obreros 360 Maquinaria Tipo 1 51 Maquinaria Tipo 2 60
a)
Formule el modelo de programación lineal que permita determinar el plan óptimo de ejecución de obras públicas.
Model: Sets: obra/1..4/:beneficio,x; recurso/1..4/:disp; OR(obra,recurso):uso; endsets data: beneficio=190 250 180 150; disp=84 360 51 60; uso=2 10 2 1 3 12 2 2 1 8 1 2 2 9 1 1; enddata Max=@sum(obra(i):x*beneficio); @for(recurso(j):[disponibilidad] @sum(obra(i):x(i)*uso(i,j))<=disp(j));
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b) c) d) e) f)
¿Cuál sería el plan de ejecución de obras públicas? ¿Qué sería más conveniente, aumentar la disponibilidad de Maquinarias Tipo 1 o Tipo 2? ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo, si se decidiera construir 4 losas deportivas? ¿Hasta que valores puede disminuir o aumentar el número de familias beneficiadas por la construcción de locales comunales, de tal forma que la solución hallada inicialmente siga siendo la óptima? El Alcalde de una Región vecina ofrece enviar a 40 obreros calificados. Se desea que la base solución óptima hallada siga siendo la misma. ¿Se deberían aceptar a la totalidad de los obreros? ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo que se lograría con los obreros que sean aceptados?
EJERCICIO No.4: NATURA-FARMA La empresa NATURA-FARMA se dedica a la extracción de compuestos medicinales de los árboles de la Amazonía. Para la extracción del compuesto X puede emplear la corteza de cualquiera de 2 árboles: Copaiba y Ojé. Para extraer el compuesto se puede usar cualquiera de 2 procesos distintos: P1 y P2. La información sobre la cantidad de compuesto medicinal que se extrae de la corteza de los diferentes árboles según el proceso elegido, los costos por Kg. de corteza, disponibilidad semanal de corteza, costo de procesamiento por Kg. de corteza y la capacidad semanal de cada proceso extractivo se presentan en la siguiente tabla: Compuesto extraído (%) Copaiba Ojé Costo procesamiento (S/./ Kg.) Capacidad de proceso (Kg.)
P1
P2
1.5 2
1.7 1.85
1 40000
0.75 50000
Información sobre insumos Costo (S/.x Kg.) Disponibilidad (Kg.) 0.35 0.50
38000 50000
NATURA-FARMA necesita producir semanalmente por lo menos 1600 Kg. del compuesto medicinal. a)
Formule el modelo de programación lineal en forma algebraica que le permita a NATURA-FARMA resolver su problema de producción. Defina adecuadamente su variable de decisión.
Model: sets: Corteza/1..2/:costo_i,disp; Proceso/1..2/:costo_p,cap; CP(corteza,proceso):porcentaje,x; endsets data: costo_i=0.35 0.5; costo_p=1 0.7; disp=38000 50000; cap=40000 50000; porcentaje=0.015 0.017 0.02 0.0185; enddata Min=@sum(CP(i,j):(costo_i(i)+costo_p(j))*x(i,j)); @for(corteza(i):[disponibilidad] @sum(proceso(j):x(i,j))<=disp(i)); @for(proceso(j):[capacidad] @sum(corteza(i):x(i,j))<=cap(j)); [compuesto_req]@sum(CP(i,j):x(i,j)*porcentaje(i,j))>=1600;
28
b) c) d)
e)
¿Qué sucedería con el valor de la función objetivo si se decidiera destinar 2000 Kg. de corteza de Copaiba al Proceso 1? Si en lugar de tener la necesidad de producir por lo menos 1600 Kg. de compuesto medicinal; ahora solo se debe producir por lo menos 1580 Kg. ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo?. Sustente su respuesta sin correr el modelo. Un proveedor le ofrece al administrador de NATURA-FARMA, suministrarle corteza adicional de cualquiera de los tipos de árbol. Si, usted como administrador se decidiera por la compra de alguna de los tipos de corteza. ¿Por cuál se decidiría? ¿Cuántos Kg. podría adquirir sin que la base óptima se modifique?. Sustente su respuesta sin correr el modelo. ¿Cuál de los procesos trabaja a toda su capacidad? ¿Cuál puede ser la máxima capacidad de dicho proceso a fin de que la base actual no cambie?.
EJERCICIO No.5: producción de zapatillas. YURIKZO es una compañía que se dedica a la producción y comercialización de calzado deportivo. El gerente de producción de la planta se encuentra planificando la producción de 3 modelos de zapatillas para correr: Falcon, Gazella y Lynx. Los diferentes modelos requieren pasar por 3 áreas de trabajo para ser fabricados: preparación de materiales, ensamblado y acabados y empaque. Las horas – hombre (HH) requeridas en cada área de trabajo para la producción de un lote de zapatillas para correr, las HH disponibles semanalmente, así como el costo de mano de obra (costo por hora – hombre) en cada una de las áreas de trabajo, se presentan en la siguiente tabla: Modelo de zapatilla
Tiempo requerido en cada área de trabajo (HH / lote) Preparación Ensamblado Acabados
Falcon Gazelle Lynx Disponibilidad de HH Costo mano de obra (S/./HH)
4.20 4.50 4.00 560 6
2.50 2.40 2.60 320 8
1.25 1.10 1.20 124 5
Los costos de materiales y los precios de venta de cada lote de zapatillas para correr se presentan en la siguiente tabla: Costo materiales (S/. / lote) 4250 5100 4600
Modelo de zapatilla Falcon Gazelle Lynx
Precio de venta (S/. / lote) 4900 5700 5250
Se ha determinado que a lo más se deben producir 85 lotes de cada modelo de zapatillas. A continuación se define la variable de decisión y se presenta el modelo de programación lineal, que permite resolver el problema de producción de la empresa YURIKZO. Variable de decisión: Xi: Lotes de zapatillas para correr tipo i que se deben producir semanalmente.
Modelo LINGO estructurado Model: sets: zapatilla/1..3/:costo_mat,p_venta,X; area/1..3/:hh_disp,costo_mo; matriz(zapatilla,area):hh_req; endsets
i = 1..3
!i; !j; !ij; 29
data: costo_mat = 4250 5100 4600; p_venta = 4900 5700 5250; hh_disp = 560 320 124; costo_mo = 6 8 5; hh_req = 4.20 2.50 1.25 4.50 2.40 1.10 4.00 2.60 1.20; enddata Max = @sum(zapatilla(i): (p_venta(i)-costo_mat(i))*X(i)) @sum(matriz(i,j): hh_req(i,j)*costo_mo(j)*X(i)); @for(area(j):[AREAS] @sum(zapatilla(i): hh_req(i,j)*X(i)) <= hh_disp(j)); @for(zapatilla(i):[MODELO] X(i) <= 85); a)
Completar el siguiente reporte administrativo de acuerdo a los resultados obtenidos luego de realizar las modificaciones indicadas en el presente escenario. Modelo de Producción (lotes) zapatilla Falcon Gazelle Lynx Z = S/. _ _ _ _ _ _ _
b)
Señale que sucedería con el valor de la función objetivo por cada lote que se decidiera producir de las zapatillas para correr modelo Falcon. ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo si se decidieran producir 11 lotes?
c)
Indique en cuál área de trabajo sería recomendable el aumento de horas – hombre (HH) disponibles semanalmente. Además indique como variaría el valor de la función objetivo por cada HH que se aumente a la disponibilidad semanal.
d)
Indique si sería posible incrementar 22 HH en el área de trabajo identificada en el ítem anterior, sin que se modifique la base solución (conjunto de variables básicas) hallada originalmente; de ser posible, señale cuál sería el nuevo valor de la función objetivo.
e)
La restricción relacionada a una producción máxima de 85 lotes de zapatillas se debe a que esa es la demanda máxima de cada modelo de zapatillas. Si se propone realizar una mini campaña de promoción adicional únicamente dirigida a elevar la demanda máxima del modelo de zapatilla Lynx, a un costo de S/. 20 de tal forma que la demanda máxima para dicho modelo de zapatilla se eleve de 85 a 96 lotes. Indique si resultaría o no conveniente, para la compañía Yurikzo, realizar la mini campaña de promoción adicional.
EJERCICIO No.6: Kioda KIODA es una empresa dedicada a la fabricación de cámaras fotográficas digitales; actualmente comercializa 4 modelos de cámaras (A, B, C y D) que se diferencian por el zoom digital, zoom óptico y la tarjeta de memoria que utilizan, lo cual se puede apreciar en la siguiente tabla de configuraciones:
30
Zoom óptico Zoom digital Tarjeta de memoria
A 2x 3x 8G
B 2x 3x 16G
C 3x 3x 16G
D 3x 4x 16G
Los costos de los componentes mencionados en la anterior tabla conforman la mayor parte del costo total de las cámaras fotográficas. Los costos de cada uno de estos componentes, en dólares, se presentan en la siguiente tabla: Zoom 2x 3x 4x Zoom óptico 30 55 --Zoom digital --60 90 Tarjeta de memoria
8G 90
16G 140
Los 4 modelos de cámaras fotográficas digitales poseen la misma demanda máxima semanal de 2800 cámaras. La planta donde se producen las cámaras fotográficas tiene una capacidad de producción semanal de 7500 unidades en total, no importando el modelo que se produzca. Los precios de venta de cada una de las cámaras digitales son de $ 250, $ 300, $ 350 y $ 400 para los modelos A, B, C y D respectivamente. a)
Formule el modelo de programación lineal que le permita a KIODA obtener el plan óptimo de producción de cámaras fotográficas digitales, así como el plan de adquisición de cada uno de los componentes.
Model: Sets: modelo/1..4/:precio,x; parte/1..6/:costo,compra;! las partes son: zoom óptico 2x, zoom óptico 3x, zoom digital 3x, zoom digital 4x, tarjeta 8G, tarjeta 16G; PxM(parte,modelo):uso; endsets data: precio=250,300,350,400; costo=30,35,60,90,90,140; uso=1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1; enddata Max=@sum(modelo(j):x*precio)- @sum(PxM(i,j):x(j)*uso(i,j)*costo(i)); @for(modelo(j):[demanda] x(j)<=2800); @sum(modelo(j):x(j))<=7500; @for(parte(i):[cant_comprar] @sum(modelo(j):x(j)*uso(i,j))=compra(i));
b)
¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo, si se decidiera producir 20 cámaras digitales tipo A?
c)
¿Hasta que valores puede disminuir o aumentar el precio de venta de de la cámara tipo C, de tal forma que la solución hallada siga siendo la óptima? 31
d)
¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por cada unidad que se logre aumentar a la capacidad de producción?
e)
De la pregunta anterior ¿En cuánto recomendaría aumentar la capacidad, de tal forma que la base óptima hallada inicialmente no varíe?
f)
Si debido a un desperfecto en las líneas de producción la capacidad de la planta se ve reducida en un 30%. ¿La base hallada inicialmente sigue siendo óptima?.
EJERCICIO No.7: planta multiproducto El jefe de planta de una empresa debe programar la producción de cuatro productos. Tiene la posibilidad de utilizar dos máquinas para producir, pero debe cumplir ciertas condiciones. Cada unidad de producto que fabrique sin importar la máquinas que se utilice, necesita de una cierta cantidad del recurso materia prima y del recurso mano de obra. Los datos necesarios se señalan enseguida:
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Disponibilidad
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
Producción máxima en la Máquina 1 para cada producto 1000 1000 1000 1000
Máquina 1 Máquina 2
Requerimiento de Materia Prima (Kg/ unidad) 4 6 5 7 30000
Requerimiento de Mano de Obra (H-H/unidad) 10 12 11 13 63000
Producción máxima en la Máquina 2 para cada producto 1000 1000 1000 1000
Utilidad de cada producto producido en la máquina 1 18 22 30 35
Producción total máxima posible 2500 5000
Utilidad de cada producto producido en la máquina 2 16 24 34 33
Producción total mínima 1000 2000
a) Defina las variables de decisión b) Formule en forma matemática compacta la función objetivo y cada una de las familias de restricciones. c) Resuelva utilizando el lenguaje Lingo estructurado y señale el valor de las variables básicas que determinan el valor de la función objetivo. Model: sets: p/1..4/:util; r/1..2/:disp; m/1..2/:maxt,mint; pr(p,r):req; pm(p,m):x;
32
endsets data: util=16 24 34 33; req=4 10 6 12 5 11 7 13; disp=30000,63000; maxt=2500 5000; mint=1000 2000; enddata Max=@sum(pm(i,j):x(i,j)*util(i)); @for(r(j): @sum(pm(i,k):x(i,k)*req(i,j))<=disp(j)); @for(pm(i,k):x(i,k)<=1000); @for(m(j): @sum(p(i):x(i,j))<=maxt(j)); @for(m(j): @sum(p(i):x(i,j))>=mint(j));
d) ¿Qué recurso recomendaría aumentar su disponibilidad?, indique el costo unitario máximo que podría aceptar para este recurso. Justifique su respuesta. e) ¿Cuál debe ser la utilidad mínima que debe tener el producto 2 para que resulte óptimo producirlo en la máquina 1? f) Si tuviera que modificar los límites de producción total en las máquinas, indique qué límites modificaría. Justifique su respuesta. g) ¿Considera usted que es conveniente incrementar el máximo nivel de producción posible para algún producto en alguna de las máquinas? Justifique su respuesta. EJERCICIO No.8: operador logístico CSI Operador Logístico es una empresa que se dedica a la prestación se servicios logísticos empresariales. Una empresa de venta de productos por catálogos le ha solicitado al Gerente de CSI que le distribuya su mercancía, la cual se encuentra en los almacenes de la empresa ubicados en 4 zonas de Lima Metropolitana. La empresa CSI posee 3 tipos de camionetas: A, B y C. La disponibilidad de cada tipo de camioneta y la capacidad de carga (m 3), de cada tipo de camioneta se presenta a continuación: Capacidad de Tipo de Disponibilidad carga camioneta (camionetas) 3 (m /camioneta) Tipo A 12 24 Tipo B 6 30 Tipo C 10 18 Los costos de operación de cada tipo de camioneta dependerán de la zona donde se le asigne. Los costos de operación y la carga mínima que debe recogerse desde cada una las zonas se presentan en la siguiente tabla: Costo de operación (S/.) Tipo de camioneta Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Tipo A 185 200 190 215 Tipo B 320 350 340 365 Tipo C 180 180 175 170 Carga mínima 150 162 144 162 (m3) 33
Se desea determinar cuántas camionetas de cada tipo se deben destinar a cada una de las zonas. A continuación se presenta la variable de decisión y el modelo de programación lineal que permitirá resolver el problema de la empresa CSI: Variable de decisión: Xij: Cantidad de camionetas tipo i que se deben destinar a la Zona j. Modelo LINGO estructurado Model: sets: camioneta/1..3/:disp,cap_carga; !i; zona/1..4/:carga_min; !j; matriz_ij(camioneta,zona): costo_ope,X; endsets data: disp = 12 6 10; cap_carga = 24 30 18; costo_ope = 185 200 190 215 320 350 340 365 180 180 175 170; carga_min = 150 162 144 162; enddata Min = @sum(matriz_ij(i,j): costo_ope(i,j)*X(i,j)); @for(camioneta(i): [DISPO] @sum(zona(j): X(i,j)) <= disp(i)); @for(zona(j): [CARGA] @sum(camioneta(i): cap_carga(i)*X(i,j)) >= carga_min(j)); a) Completar el siguiente reporte administrativo de acuerdo a los resultados obtenidos. Cantidad de camionetas de cada tipo destinadas a cada una de las Zonas Ubicación de los almacenes Tipo de camioneta Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Tipo A Tipo B Tipo C Z = S/. _ _ _ _ _ _ _ _ b) c) d)
Obtenga el nuevo valor de la función objetivo si se decidiera destinar 3 camionetas tipo A a la Zona 4. Señale hasta que valor podría aumentar el costo operativo máximo de la camioneta tipo A que se destine a la Zona 2, para que se pueda seguir utilizando la asignación óptima de camionetas a las zonas. Si la carga mínima de la Zona 2 aumenta en 30 m 3. Indique si este aumento modificará la base óptima hallada inicialmente. Si no se modifica la base óptima, obtenga el nuevo valor de la función objetivo.
EJERCICIO No.9 Pernos y tuercas Industrias del Acero fabrica pernos, espárragos y tuercas de acero comercial para uso naval. La empresa posee dos plantas desde donde envía sus productos a dos almacenes centrales, que atienden directamente la demanda de 4 clientes. Las plantas tienen capacidades de procesamiento de 2 y 3 toneladas de acero respectivamente. Los pernos, espárragos y tuercas son despachados desde las plantas hacia los almacenes. Una vez en los almacenes las tuercas se unen con sus respectivos pernos y espárragos, siendo necesarias 1 tuerca por perno y 2 tuercas por espárrago pues los pernos y espárragos llevan tuercas acopladas. 34
Los pesos unitarios de cada uno de los productos producidos y sus precios de venta se indican en la siguiente tabla: Producto Perno Espárrago Tuerca
Peso (kg /unidad) 0.25 0.40 0.10
Cantidad de tuercas entregadas 1 2 1
Precio de venta (S/./unidad) 3.5 6 1.5
El costo de producción unitario varía de acuerdo a la planta en que se produzcan los productos. El costo de transporte unitario hacia cualquiera de los almacenes depende solo de la planta de origen de los productos. Estos costos se señalan en la siguiente t abla: Pernos (S/./ unid.) 1.00 0.75
Planta 1 2
Espárrago (S/. /unid) 1.75 1.50
Tuerca (S/. /unid.) 0.60 0.75
Costo Transporte a Almacenes (S/. / unid) 0.10 0.08
Los almacenes 1 y 2 tienen una capacidad de recepción de 1800 y 2500 kg. El costo de transporte de almacén a cliente es el que se señala en la siguiente tabla, sin importar el tipo de producto: Almacén 1 2
Costo unitario de transporte hacia el cliente ( S/. / unid) Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 0.10 0.05 0.15 0.12 0.32 0.25 0.20 0.15
La demanda máxima de los clientes para cada producto se señala en la tabla, pero debe tenerse en cuenta que además de las tuercas solicitadas por los clientes debe enviarse las tuercas que los pernos y los espárragos requieran. Producto Perno Espárrago Tuerca
Demanda de los clientes (unidades) Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 2000 5000 0 1000 500 2500 2500 1000 1000
Cliente 4 800 800 1200
Se ha formulado el siguiente modelo de programación lineal para planear la producción y ventas de la empresa. SETS: Planta /1..2/:Capacidad,CTAlm; !i; Almacen /1..2/:CapAlm; !j; Cliente /1..4/; !k; Producto /1..3/:Precio,Peso,Tuercas; !l; A(Planta,Almacen,Producto):X; B(Almacen,Cliente,Producto):Y; C(Cliente,Producto):Demanda; D(Planta,Producto):Costo; E(Almacen,Cliente):CTCliente; END SETS
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DATA: Capacidad=2000 3000; Precio=3.5 6 1.5; Tuercas=1 2 1; Peso=0.25 0.40 0.10; Demanda=2000 5000 0 800 1000 500 2500 800 2500 1000 1000 1200; CapAlm=1800 2500; CTAlm=1 0.8; CTCliente=0.10 0.05 0.15 0.12 0.32 0.25 0.20 0.15; Costo=1.00 1.75 0.60 0.75 1.50 0.50; END DATA MAX=@SUM(B(J,K,L):(PRECIO(L)-CTCliente(J,K))*Y(J,K,L)) - @SUM(A(I,J,L):(COSTO(I,L)+CTAlm(I))*X(I,J,L)); @FOR (CLIENTE(K):@FOR (PRODUCTO(L): [DEM]@SUM(ALMACEN(J):Y(J,K,L))<=DEMANDA(K,L))); @FOR (PLANTA(I): [CAPPRO]@SUM(PRODUCTO(L):@SUM(ALMACEN(J):PESO(L)*X(I,J,L)))<=CAPACIDAD(I)); @FOR (PRODUCTO(L)|L#LE#2: @FOR (ALMACEN(J): @SUM(PLANTA(I):X(I,J,L))=@SUM(CLIENTE(K):Y(J,K,L)))); @FOR (PRODUCTO(L)|L#EQ#3: @FOR (ALMACEN(J): @SUM(PLANTA(I):X(I,J,L))=@SUM(C(K,M):TUERCAS(M)*Y(J,K,M)))); @FOR (ALMACEN(J): [CALM]@SUM(D(I,L):PESO(L)*X(I,J,L))<=CAPAlm(J)); Responda: a) Identifique que representan las familias de variables de decisión X e Y. b) Ejecute el modelo y basado en su reporte complete el cuadro con el plan de producción. Planta Pernos
Producto Espárragos
Tuercas
1 2 c) Explique qué representa la siguiente familia de restricciones del modelo @FOR (PRODUCTO(L)|L#LE#2: @FOR (ALMACEN(J): @SUM(PLANTA(I):X(I,J,L))=@SUM(CLIENTE(K):Y(J,K,L)))); d) La empresa está en problemas económicos y se ha planteado dos opciones para mejorara su situación:
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Producir lo recomendado por la solución óptima y obtener ingresos adicionales vendiendo su capacidad de producción no utilizada a S/.0.50 el kg, para la planta 1 y S/.1 el kg. para la planta 2 No producir nada y alquilar toda su capacidad de producción a S/.0.75 el kg y la de sus almacenes a S/.0.25 el kg. ¿Cuál de las dos opciones le convendrá a Industrias del acero? Justifique su respuesta y utilice los datos del reporte de solución. e) Si los pernos y espárragos se vendieran sin tuercas, explique las modificaciones que debería sufrir el modelo f) Si Ud. tuviese que reconstruir la solución básica óptima del simplex, explique si: i. Las variables X(1,1,1), Y(1,1,1) serían básicas o no básicas. ii. La variable de holgura de la primera restricción sería básica o no básica . EJERCICIO No.10 Resinas Daniel se dedica a la fabricación de resinas industriales especiales para la industria del plástico. Las resinas se venden por litros en las siguientes presentaciones: fuerte, regular y dura. La empresa cuenta con 3 reactores para la producción , cada uno con una capacidad de producción de 500 litros de resina. Los costos de producción por reactor se muestran en el cuadro siguiente: Presentación
Costos de producción ($/ litro de producto) Reactor A Reactor B Reactor C
Fuerte
4
5
6
Regular
7
9
11
Dura
5
4
3
Una vez elaborada la resina requiere tratamiento en tres departamentos: estabilización, enfriamiento y envasado. La tabla siguiente muestra los tiempos de fabricación en minutos de cada uno de los productos: Presentación Fuerte
Tiempo de tratamiento (minutos/ litro de producto) Estabilización Enfriamiento Envasado 15 15 3
Regular
10
15
4
Dura
8
4
2
18000 min.
11500 min.
9000 min.
Disponibilidad de tiempo
El precio de venta por litro en cada una de las presentaciones es de 30, 45 y 40 soles respectivamente. El modelo de programación lineal para esta empresa se muestra a continuación, considerando que se debe producir por lo menos 250 litros y no más de 1000 litros de cada resina para mantener la presencia en el mercado.
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Sets: Producto/Fuerte, Regular, Dura/:PVenta; Departamento/Estab, Enf, Env/:disponibilidad; Reactor/A, B,C/:; PxD(Producto, Departamento):Requerimiento; PxR (Producto, Reactor): cantidad, CostoElaboracion; End Sets Data: PVenta= 30 45 40; disponibilidad=18000,11500,9000; Requerimiento=! Estabilizado !Fuerte; 15 !Regular; 10 !Dura; 8 CostoElaboracion= !A !Fuerte;4 5 !Regular; 7 !Dura; 5 End Data
Enfriamiento 15 15 4 !B 6 9 4
Envasado 3 4 2; C; 11 3;
!Función objetivo; Max=@sum(PxR:cantidad*Pventa - cantidad*CostoElaboracion); !Restricciones; @for(Reactor(k):[capacidad_reactor] @sum(producto(i):cantidad(i,k))<=500); @for(Departamento(j):[disponibilidad_dpto] @sum(Producto(i):@sum(Reactor(k):cantidad(i,k)*Requerimiento(i,j)))<=disponibilidad(j)); @for(Producto(i):[prod_minima] @sum(Reactor(k):cantidad(i,k))>=250); @for(Producto(i):[prod_maxima] @sum(Reactor(k):cantidad(i,k))<=1000); Observando los reportes respectivos y justificando cada una de sus respuestas: a) Complete el siguiente cuadro: Presentación
Producción (litros)
Fuerte Regular Dura Utilidad _______________________________________ b) ¿Puede demostrar que el problema tiene una solución óptima alternativa?. Justifique su respuesta. c) Si la utilidad de la resina fuerte en el reactor A aumenta en $ 2. ¿Se modificaría la base óptima actual? ¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo? Justifique su respuesta.
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d) ¿Es correcto afirmar que el costo de elaboración de la resina regular en el reactor A se puede reducir en $2 sin modificar la base óptima actual. Justifique su respuesta. e) ¿Cuántos minutos de trabajo programaría usted en cada uno de los departamentos (estabilización, enfriamiento, envasado)? Justifique su respuesta. f) Si tuviera que aumentar el tiempo disponible en uno de los departamentos. ¿Cuál departamento es el adecuado y porqué? Justifique su respuesta. g) ¿Cuál es el rango de sensibilidad para el tiempo de envasado? ¿Qué significa estar en el rango? h) Si se determina que la producción mínima de resina regular debe ser 240 litros. Indique cuál es el efecto en la solución óptima. Justifique su respuesta. EJERCICIO No.11: cultivo de uvas Una compañía vinícola ha adquirido 3 zonas de cultivo: Zona 1, Zona 2 y Zona 3, que serán destinadas al cultivo de viñedos. El ingeniero agrónomo encargado de las plantaciones desea cultivar los siguientes tipos de uvas: Carbernet, Chardonnay, Merlot y Moscatel. Para llevar a cabo dicho cultivo se debe considerar el costo de comprar cada planta de uva y el costo que implica la siembra de cada una de ellas en cada una de las zonas; los mencionados costos se presentan en la siguiente tabla, conjuntamente con la disponibilidad de plantas de cada tipo: Costo de siembra (S/. / planta) Tipo de uva
Disponibilidad de plantas
Cabernet Chardonnay Merlot Moscatel
80000 85000 68000 84000
Costo de la planta (S/. / planta ) 23 24 21 25
Zona 1
Zona 2
Zona 3
1.8 1.8 1.6 2.2
1.7 2.0 1.8 1.6
1.6 1.9 2.0 2.1
Debido a las diferencias existentes entre los diferentes tipos de uva y entre los terrenos de cada una de las zonas, se ha determinado la densidad (cantidad de plantas por hectárea) de las plantaciones de cada tipo de uva en cada una de las zonas, de acuerdo a la siguiente tabla. Tipo de uva Cabernet Chardonnay Merlot Moscatel
Densidad de plantación (plantas / hectárea) Zona 1 Zona 2 Zona 3 3400 2600 3000 3400 3000 2600 3200 2400 2800 3600 2800 3200
La cantidad de hectáreas disponibles en cada una de las zonas se presentan en la siguiente tabla: Zonas Zona 1 Zona 2 Zona 3
Hectáreas disponibles 40 46 24
El rendimiento en kilogramos de uva de cada planta y el ingreso por venta de las uvas producidas se muestran en la siguiente tabla: Tipo de uva Rendimiento Ingreso (kg. / planta) (S/. / kg.) Cabernet 8.2 3.2 39
Chardonnay Merlot Moscatel
8.0 8.5 7.8
3.5 2.8 3.7
En forma total, en las 3 zonas, se deben plantar a lo más 25 hectáreas de uva tipo Cabernet y por lo menos 25 hectáreas de uva de tipo Merlot. El ingeniero agrónomo ha definido las siguientes variables de decisión: X(t,z): número de hectáreas de la zona “z” que deben cultivarse con el tipo de uva “t”
Sets: Tipo/1..4/:costoplanta,disponibilidad,rendimiento,ingreso; Zona/1..3/:terreno; TZ(tipo,zona):costosiembra,densidad,x; Endsets Data: costoplanta= 23 24 21 25; disponibilidad=80000 85000 68000 84000; rendimiento= 8.2 8.0 8.5 7.8; ingreso= 3.2 3.5 2.8 3.7; terreno= 40 46 24; costosiembra= 1.8 1.7 1.6 1.8 2.0 1.9 1.6 1.8 2.0 2.2 1.6 2.1; densidad= 3400 2600 3000 3400 3000 2600 3200 2400 2800 3600 2800 3200; enddata ! maximizar utilidades=ingresos-egresos; max=@sum(TZ(t,z):x(t,z)*densidad(t,z)*rendimiento(t)*ingreso(t))@sum(TZ(t,z):x(t,z)*densidad(t,z)*(costoplanta(t)+costosiembra(t,z))); !restricción de disponibilidad de la uva; @for(tipo(t):[disp] @sum(zona(z):x(t,z)*densidad(t,z))<=disponibilidad(t)); !restricción de disponibilidad de zona; @for(zona(z):[disp_zona] @sum(tipo(t):x(t,z))<=terreno(z)); !restricción de la uva de tipo cabernet; [disp_caber]@sum(TZ(t,z)|t#eq#1:x(t,z))<=25; !restricción de la uva de tipo merlot; [disp_merlot]@sum(TZ(t,z)|t#eq#3:x(t,z))>=25; Responder: a) Indique cuales son las unidades de medida en la que se expresan cada una de las 2 primeras familias de restricciones del modelo presentado
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b) Ejecute el modelo que se encuentra en el disco G y basado en el reporte de solución complete el siguiente cuadro: Número de hectáreas que se deben cultivar Zona 1 Zona 2 Zona 3
Tipo de uva Cabernet Chardonnay Merlot Moscatel Hectáreas no utilizadas
Utilidad Óptima = S/. ___________ c) Si un proveedor le ofrece plantas adicionales de los 4 tipos. ¿Cual elegiría usted? Determinar el máximo valor que podría tomar la función objetivo sin que varíe su base óptima. Justifique su respuesta con los datos del reporte de solución y rangos de sensibilidad. d) Suponga que se propone modificar la condición que señala que no debe plantarse menos de 25 hectáreas de uva Merlot en total. Cree usted que una reducción en dicha cantidad de hectáreas es conveniente para la empresa? Justifique su respuesta con los datos del reporte de solución y rangos de sensibilidad. e) Cuanto podría aumentar o disminuir el costo de siembra de la uva del tipo Cabernet en la zona 1 para que la base actual siga siendo la misma. Justifique su respuesta con los datos del reporte de solución y rangos de sensibilidad. f) Formular la función objetivo del modelo dual asociado al modelo de programación lineal presentado. EJERCICIO No. 12: juguetes Una empresa productora de juguetes, debido a la cercanía de la campaña navideña, está analizando la necesidad de incrementar la producción de su principal línea de juguetes: Robots transformables. Este juguete está compuesto por partes que se ensamblan, y que se muestran en el siguiente cuadro, junto con la utilidad unitaria de cada uno de ellos.
Partes Cuerpo Extremidades Ruedas Accesorios Utilidad ($ /unidad)
101A 1 2 2 1 3.00
Modelo de juguete 203A 311C 1 1 4 8 ----1 --2.50 3.25
412D 1 --4 2 2.75
Todas las partes tienen suministro limitado, debido a la capacidad de los proveedores. Partes Cuerpo Extremidades Ruedas Accesorios
Suministro máximo 1000 4000 1500 500
Para satisfacer la demanda del mercado se desea producir no menos de 100 unidades por día en cada modelo: 101A y 203A, que son los más pedidos. Por la misma razón han decidido que la 41
producción de cada uno de los modelos 311C y 412D no será más del 30 % del total de unidades producidas. Como la competencia está lanzando empaques de dos modelos, combinando el 101A con el 311C y el 203A con el 412D, se puede producir adicionalmente duplas similares para atender el mercado. Sin embargo la utilidad de estas duplas es 5% menos que si se vendiera individualmente cada juguete. Los robots 101A y 203A producidos para vender en dupla deben ser por lo menos el 25 % de los producidos para vender en forma individual. Para planear la producción, se propone el modelo que encontrará en el disco G:\, para el cual se han definido las siguientes variables de decisión: Xj: Cantidad de robots tipo j a producir para vender individualmente. Yj: Cantidad de robots tipo j a producir para vender en dupla. Model: sets: partes/1..4/: dispmax; modelo/1..4/: utilidad,X,Y; matriz_ij(partes,modelo): req; endsets data: dispmax = 1000 4000 1500 500; utilidad = 3.00 2.50 3.25 2.75; req = 1 1 1 1 2 4 8 0 2 0 0 4 1 1 0 2; enddata
!i; !j; !ij;
Max = @sum(modelo(j): utilidad(j)*X(j) + 0.95*utilidad(j)*Y(j)); @for(partes(i):[disp_partes] @sum(modelo(j): req(i,j)*(X(j)+Y(j))) <= dispmax(i)); ¡el primer y segundo componente de las duplas deben producirse en cantidades iguales pues don duplas; @for(modelo(j)|j#le#2: [duplas] Y(j) = Y(j+2));
@for(modelo(j)|j#le#2: [minim] X(j) >= 100);
[totalindivivual]@sum(modelo(j): x(j))=total;
@for(modelo(j)|j#gt#2: [porc_max] X(j) <= 0.30*total);
a) Observando el reporte de solución del modelo dado, indique la cantidad total de cada uno de los modelos a fabricar. b) Si se debe decidir para cuál de las partes buscar un nuevo proveedor con mayor prioridad. ¿Para cuál de las partes usted recomendaría buscar nuevo proveedor primero? c) Si únicamente se debe comprar un tipo de parte. ¿Cuál sería su recomendación, teniendo como objetivo el mayor incremento total en la utilidad?. Indique el número máximo de unidades a comprarse teniendo en cuenta que la base no debe cambiar.
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d) Dado que las utilidades han sido calculadas en forma aproximada, se desea conocer cuanto podría cambiar la utilidad del juguete 203A sin que la base se cambie. e) Un lote de 200 extremidades ha llegado fallado a los almacenes. Se desea saber si esto afectará la solución actual. f) Uno de los proveedores informa que puede proveer de 50 unidades adicionales de accesorios. Determine el nuevo valor de la función objetivo, si es que es posible. g) Si la utilidad del juguete 101A cambia a $ 2.5. Determine el nuevo valor de la función objetivo, si es que es posible. h) Si se disminuye la exigencia para el juguete 203A de 100 a 75 unidades mínimo. Indique en que forma cambiaría la solución actual.
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APLICACIÓN DEL MÉTODO SÍMPLEX EJERCICIO No. 1 Una empresa metalmecánica debe planificar la producción de 3 tipos de piezas A, B y C por lotes. Cada lote se produce mediante la siguiente secuencia: Máquina 1 – Máquina 2 y Máquina 3. Los tiempos de maquinado y la disponibilidad de horas por máquina se presentan a continuación: Tiempo de maquinado (horas/lote) Pieza A B C Disponibilidad ( horas)
Máquina 1 4 6 5 232
Máquina 2 6 5 8 300
Máquina 3 12 8 9 720
Para el objetivo de la empresa que es maximizar la producción total, el modelo lineal respectivo es el siguiente: Max a+b+c s.a. 4a+6b+5c≤ 232 6a+5b+8c≤ 300 12a+8b+9c≤ 720
a, b, c positivos
Aplicando el algoritmo símplex para hallar la solución óptima, en una cierta iteración, el modelo se presenta de la siguiente manera: Max -2/6 c + 1/6 b - 1/6 s2 + 50 -2/6 c +16/6 b – 4/6 S2 + S1 = 32 8/6 c + 5/6 b + 1/6 S2 + a = 50 -7c -
2 b - 2 S2 + S3 =120
Se pide responder las siguientes preguntas: a) Identifique las variables básicas y no básicas de la solución que corresponde a la iteración mostrada, sus valores y el valor de la función objetivo b) En la solución que se muestra, explique la interpretación del coeficiente de la variable “c” en la
función objetivo.
c) La solución que se muestra no es óptima. Explique claramente por qué no lo es y señale las variables básica saliente y no básica entrante. d) Formule el modelo dual respectivo indicando en qué unidades están expresadas las variables duales. EJERCICIO No.2 En una línea de producción se pueden producir tres tipos de productos, A, B y C. Si la línea procesa solo productos A podrían producirse 200 productos; si sólo procesa productos B, podría producir 300 44
unidades y si sólo fueran de tipo C podrían producirse 150 unidades. Se cuenta además con 800 kg. de la materia prima más importante, de la cual el producto A utiliza 3 kg. por unidad, el producto B utiliza 4 kg. por unidad y el producto C 5 kg. por unidad. Dado el margen de contribución de $20, $25 y $32 por unidad de producto A, B y C respectivamente, se ha planteado el siguiente modelo con la finalidad de planear la producción. Max= 20 Xa + 25 Xb + 32 Xc 3 Xa + 2 Xb + 4 Xc <=600 ( capacidad de la línea) 3 Xa + 4 Xb + 5 Xc <=800 ( disponibilidad de materia prima) Xi >=0 a) Explique cómo se ha formulado la primera restricción b) Presente el modelo en la forma estándar Dado que el modelo es bastante sencillo, se está aplicando el método símplex para hallar la solución. Habiendo avanzado ya en la búsqueda de la solución, se le presenta a usted lo siguiente: Función Objetivo (Z) = - 4 Xa + 9 Xb – 8 S1 + 4800 ¾ Xa + ½ Xb + ¼ S1 + Xc =150 -¾ Xa + 3/2 Xb – 5/4 S1 + S2 =50 c) Encuentre la solución básica factible que presenta el modelo dado. d) La solución básica factible dad no es óptima indique por qué. e) Señale qué cambios mejorarían la solución dada. f) Explique detalladamente qué significa el coeficiente de Xb en la función objetivo de la iteración dada. g) Explique detalladamente qué significa el coeficiente de S1 en la función objetivo de la iteración dada. h) Suponga que se desea que la variable Xa ingrese a la base en la siguiente iteración. ¿ Qué recomendaría usted para que sea posible esta elección? Justifique su respuesta. i) Suponga que estando usted en esta etapa de la búsqueda de la solución óptima se le informa que se ha reducido la disponibilidad de la materia prima principal en 40 kg. ¿Tendría usted que rehacer las iteraciones ya realizadas? Justifique su respuesta. j) Efectúe la siguiente iteración y demuestre si es óptima o no. k) En la iteración óptima la función objetivo ha quedado tal como se muestra: Función Objetivo (Z) = 15500/3 – 5/6 S1 – 35/6 S 2 -1/2 Xc Responda las siguientes preguntas: i) El producto C es un producto emblemático de la empresa y el dueño no desea dejar de ofrecerlo al mercado, ¿qué recomendaría usted para que el plan de producción satisfaga el deseo del dueño? ii) Suponga que le ofrecen unidades adicionales de la materia prima principal a $7 por kilogramo ¿le interesaría? Justifique su respuesta.
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