GUÍA DEL ALUMNO DE
ÁLGEBRA NIVEL MEDIO SUPERIOR PRIMER SEMESTRE VERSIÓN 1.0 ABRIL 2009
1
FICHA DE IDENTIFICACIÓN
NOMBRE DEL ALUMNO: CARRERA: TURNO: GRUPO:
DIRECCIÓN PARTICULAR: TELÉFONO: CELULAR: E-MAIL: RFC: CURP: TIPO DE SANGRE: ALERGIAS:
EN CASO DE ACCIDENTE FAVOR DE AVISAR A: NOMBRE: DOMICILIO: TELÉFONO: CELULAR:
2
GUÍA DE APRENDIZAJE DEL ALUMNO DE LA ASIGNATURA DE “ÁLGEBRA”
PROFESOR QUE ELABORÓ LA GUÍA DIDÁCTICA DEL ALUMNO PARA COMPONENTE DE FORMACIÓN BÁSICA DE LA ASIGNATURA DE ÁLGEBRA:
NOMBRE:
LUIS FERNANDO ARRIETA VELAZCO
CARRERA:
LICENCIADO EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
ESTADO:
DE MÉXICO
PLANTEL:
CHIMALHUACAN II - CECYTEM
3
EL
UN MENSAJE PARA TI Hola amiguito (a): Yo
soy
tu
Guía
a
partir
de
ahora
y
te
ayudaré
a
desarrollar
habilidades y destrezas, fomentar valores y actitudes para cumplir con los objetivos, ya que estoy desarrollada con una estructura metodológica en la que te planteo ejemplos para introducirte a cada uno
de
los
conceptos
fundamentales
y
conceptos
subsidiarios,
ejercicios para que refuerces cada uno de ellos y aplicación para que
adquieras
la
capacidad
de
manipular
lo
que
has
aprendido;
además, de prácticas para realimentar y corregir tus deficiencias.
Estoy 100% apegada al Programa de Estudios Vigente de los Colegios de
Estudios
Científicos
y
Tecnológicos
del
Estado
de
México
(CECyTEM) que te permitirá desarrollar la habilidad para razonar y resolver
problemas
en
las
diferentes
situaciones
que
pudieran
presentarse como en tu vida personal, escolar y laboral.
También, cuento con instrumentos de evaluación como es la guía de observación y lista de cotejo, que me permitirá ir evaluando tu desempeño y productos, además de detectar tus deficiencias para poder corregirlas sobre la marcha.
4
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: 1.
+ =
2.
− =
3.
∗ =
4.
÷ =
5.
6. √64 = 7. √125 = 8. 4 = 9. 3 =
10. Encuentra el valor de
en la siguiente ecuación: 10 = 5
11. Hallar la suma de los siguientes polinomios:
+ , 3 +6 , 7
12. Realiza la siguiente multiplicación: ( + ) (5) =
5
ÍNDICE PÁGINA Un mensaje para ti Evaluación diagnostica Mapa curricular Criterios de evaluación
4 5 7 8
CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y SUBSIDIARIOS 1. Lenguaje algebraico Expresión algebraica a. Notación y clasificación b. Representación algebraica de expresiones en lenguaje común c. Interpretación de expresiones algebraicas Aplicación d. Evaluación numérica de expresiones algebraicas Práctica integradora 1 Instrumentos de evaluación Realimentación
10 16 18 20 23 28 32 35
Operaciones fundamentales e. f. g. h.
Leyes de los exponentes y radicales Operaciones fundamentales Productos notables Factorización Práctica integradora 2 Instrumentos de evaluación Realimentación
37 42 72 90 98 104 107
2. Ecuaciones Ecuaciones lineales i. Con una incógnita Resolución y evaluación de ecuaciones Aplicación j. Con dos y tres incógnitas Sistemas de ecuaciones Métodos de solución Práctica integradora 3 Instrumentos de evaluación Realimentación
110 116 121 122 148 152 154
Ecuaciones cuadráticas k. Clasificación l. Métodos de solución Práctica integradora 4 Instrumentos de evaluación Realimentación
156 157 167 169 171
Graficación Plano cartesiano Gráficas de algunas ecuaciones lineales o de primer grado Gráficas de algunas ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Instrumentos de evaluación Realimentación
Glosario Fuentes de información
6
173 174 175 181 182 183 184
MAPA CURRICULAR PROPÓSITO: Desarrollar la capacidad del razonamiento matemático haciendo uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, en un clima de colaboración y respeto.
ÁLGEBRA LENGUAJE ALGEBRAICO
ECUACIONES
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
ECUACIONES LINEALES
- Con una incognita.
- Notación y clasificación. - Representación algebraica de expresiones en lenguaje común.
- Resolución y evaluación de ecuaciones.
- Interpretación de expresiones algebraicas. - Evaluación numérica de expresiones algebraicas.
- Con dos y tres incógnitas.
- Sistemas de ecuaciones.
OPERACIONES FUNDAMENTALES
- Operaciones fundamentales.
- Métodos de solución.
ECUACIONES CUADRÁTICAS
- Leyes de los exponentes y radicales. - Productos notables.
- Clasificación.
- Factorización.
- Métodos de solución. Graficación.
APLICACIONES
Representación algebraica de situaciones reales Identificar, interpretar y utilizar modelos algebraicos 7
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
CRITERIO
VALOR
1. DESEMPEÑO (TRABAJO EN CLASE)
2. PRODUCTO (PRÁCTICAS)
3. CONOCIMIENTO (EXAMEN ESCRITO)
4. ACTITUD
8
OBJETIVO: “EXPRESIÓN ALGEBRAICA”
Al cursar el concepto subsidiario de “Expresión algebraica”, serás capaz de: Describir los conceptos básicos del álgebra, clasificar las expresiones algebraicas, resolviendo problemas aplicando los signos
del
algebra,
generalizando problemas
o
para
modelos
construir
aritméticos,
situaciones la
capacidad
para
partir
un
problema
en
de
plantear
lenguaje
lenguaje
mediante
relacionados
adquiriendo
el
con
la
algebraico
solución
problemas
modelos común;
verbales,
matemáticos
esto
es
desarrollarás en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
Monomios:−2xy, −5ab, ,4 ,3 La suma de dos números = a + b x = El cubo de un número Si por $x compro n kilos de arroz. ¿Cuánto importa 1 kilo? Hallar el valor numérico de x − 2xy + 3y ; para x = 2, y = 3
9
de
lo
a
que
CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIÓN ALGEBRAICA
DESARROLLO a. NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN PROPÓSITO: Clasificar y describir a las expresiones algebraicas y aplicar estos conocimientos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN
¿Qué es el álgebra y para qué me sirve?
NOTACIÓN ALGEBRAICA: Los números y las letras son los símbolos usados en álgebra para representar a las cantidades.
Números: Se utilizan para representar a las cantidades conocidas. Letras: Se utilizan para representar a toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Cantidades conocidas: Se expresan por las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d,…q).
Cantidades desconocidas: Se representan por las últimas letras del alfabeto (r, s, t, u, v, w, x, y, z).
10
Constante:
Es una cantidad cuyo valor no cambia (números). Se representan mediante una literal que pueden ser letras del abecedario o letras del alfabeto griego. Ejemplo: , , .
Variable:
Es una literal que puede representar a las cantidades desconocidas en un problema expresado en lenguaje común. Estas literales pueden tener diferentes valores de acuerdo a las condiciones del problema y también se denominan incógnitas. Las variables se representan por medio de letras del abecedario o letras griegas. Ejemplo: , , , ∝, , .
Fórmula
algebraica:
Es la representación algebraica letras de una regla o principio general. Ejemplo: = ℎ.
por
medio
de
EJERCICIO 1: En el siguiente cuestionario subraya la respuesta. 1. En esta rama de las matemáticas las cantidades se representan por números y estos representan valores determinados. Geometría Aritmética
Álgebra
2. En
esta rama de las matemáticas, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Álgebra Geometría Aritmética
3. Son los símbolos que se utilizan para representar a las cantidades conocidas. Números
Variables
Letras
4. Son los símbolos que se usan para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Letras Números
Variables
5. Se expresan por las primeras letras del alfabeto. Cantidades conocidas
Cantidades desconocidas
Fórmulas algebraicas
6. Es una cantidad cuyo valor no cambia (números), algunas se representan mediante una literal que pueden ser letras del alfabeto griego. Fórmula algebraica Constante Variable
7. Es una literal que puede representar cantidades desconocidas en un problema expresado en lenguaje común. Las literales pueden tomar diferentes valores de acuerdo con las condiciones del problema, también se les denomina incógnitas y se representan por medio del abecedario o letras griegas. Variable Fórmula algebraica Constante
8. Es la representación por medio de letras de una regla o principio general. Fórmula algebraica
Letras
11
Cantidades desconocidas
Coeficiente: En la expresión algebraica 9 , 9, , ,
se les llama factores. A las literales de un producto como , , se les llama factores literales. El factor numérico 9 se le llama coeficiente de los otros factores, cualquier factor o factores puede considerarse como el coeficiente de los factores restantes. Así, en 9 , 9 es el coeficiente de y 9 es el coeficiente de .
Ejemplos: En la expresión algebraica 2 , 2 es el coeficiente numérico y coeficiente literal. En la expresión algebraica , 1 es el coeficiente numérico y coeficiente literal.
es el es el
EJERCICIO 2: Completa la siguiente tabla, escribiendo cuál es el coeficiente numérico y cuál es el coeficiente literal de las expresiones algebraicas. Expresión algebraica
Coeficiente numérico
Coeficiente literal
7 6 8 9( + ) 4 8 2( − ) 4 −3 −
Exponente: Si consideremos el caso de la multiplicación, en el cual todos los factores que se van a multiplicar son iguales, y si multiplicamos el número por sí mismo, obtenemos y se escribe . En donde el producto de factores, cada uno de los factores es igual a , y se escribe:
,
…
=
,
:
= Exponente (el exponente indica el número de veces que la base se va a tomar como factor o se va a multiplicar por sí misma). = Base
12
Ejemplos: En la expresión algebraica 6 , el exponente de 1 y la base es . En la expresión algebraica −5 , el exponente de 2 y la base es . En la expresión algebraica (7 ) , el exponente de 7 es 3 y la base es 7 .
EJERCICIO 3: Completa la siguiente tabla, escribiendo cuál es el exponente y cuál es la base de las expresiones algebraicas. Expresión algebraica
Exponente
Base
2 (
)
3 ( + )
−8 – 2( + ) –
Nomenclatura algebraica Expresión algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.
Ejemplos:
, −3 , √2
, ( + ) ,
(
)
.
Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo más (+) o por el signo menos (-).
Ejemplos:
, −3 , −4
,
, 2 , 5 .
13
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos: −2
, −5
,
, 4 , 3 .
Binomio: Es un expresión algebraica que consta de dos términos. + ,
Ejemplos:
− ,
−
,
− ,.
Trinomio: Es un expresión algebraica que consta de tres términos. +
Ejemplos:
+ ,
−2 + ,
−6
+
,
−
− .
Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término. Ejemplos: − , + + , + 2 + + 7, − , + + − 4. EJERCICIO
4: Escribe cuál es el nombre algebraicas de acuerdo a su clasificación. Expresión algebraica
− 15 + 10
3
+
+
−2
las
siguientes
Nombre de la expresión algebraica
+
+2
de
−7
+
+3
3( + ) 5 √4
14
expresiones
EJERCICIO
4: Escribe cuál es el nombre algebraicas de acuerdo a su clasificación. 3 +
+ − 3 +
( − )+3 +
15
de
las
siguientes
expresiones
b. REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA LENGUAJE COMÚN.
DE
EXPRESIONES
EN
PROPÓSITO: Transformar el lenguaje común en expresiones algebraicas y aplicar estos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes.
LENGUAJE ALGEBRAICO: Se le llama lenguaje algebraico a la representación del lenguaje común mediante símbolos, es decir, es una expresión algebraica que es igual al lenguaje común, solo que están expresados en diferentes lenguajes.
Lenguaje común
Expresiones algebraicas
Ejemplos: + , + ,
La suma de dos números El triple unidades
de
un
número
disminuido
en
dos
+ ,
.
3 − 2, 3 − 2, 3 − 2, 3 − 2,
La raíz cuadrada de un número
√ , √ ,√
,
.
La tercera parte de un número
, , , 3 3 3
El cuádruple de un número
4 ,4 ,4 ,4 ,
.
.
.
EJERCICIO 5: Completa la siguiente tabla transformando el lenguaje común a su expresión algebraica o lenguaje algebraico. Expresión algebraica
Lenguaje común Un número cualquiera La suma de tres números El producto de tres números aumentado en cuatro unidades La suma de dos números dividida entre su diferencia El triple del cubo de un número La quinta parte del cubo de un número La raíz cuadrada del producto de tres números El triple de la suma de dos números El triple de la diferencia de dos números El producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos
16
EJERCICIO 5: Completa la siguiente tabla transformando el lenguaje común a su expresión algebraica o lenguaje algebraico. Expresión algebraica
Lenguaje común El cubo de la diferencia de dos números El cuadrado de la mitad de un número El doble de la diferencia de dos números El cuádruple de la suma de dos números La quinta parte de la raíz cuadrada de un número El triple del cuadrado de un número El cuadrado de la suma de tres números La raíz cuadrada de la suma de dos números El producto de dos números disminuido en tres unidades La raíz cúbica del producto de dos números El cuádruple del cuadrado de un número menos su doble El reciproco del producto de dos números El cubo de un número menos el cuadrado de la suma de dos números La diferencia de dos números El cuadrado de la suma de dos números La diferencia de los cuadrados de dos números La diferencia de los cubos de dos números La suma de los cuadrados de dos números La mitad de la raíz cuadrada de un número La suma de los cubos de tres números El producto de tres números La raíz enésima del doble de un número La raíz cuarta de un número disminuido en cuatro unidades El producto de la suma de dos números por su diferencia disminuido en tres unidades El cociente de la suma de tres números entre otro número
17
c. INTERPRETACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. PROPÓSITO: Transformar las expresiones algebraicas en lenguaje común y aplicar estos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes.
LENGUAJE COMÚN: Se le llama lenguaje común a la forma en cómo aparece enunciado un problema, es decir, es un enunciado que es igual que una expresión algebraica, solo que están representados en diferentes lenguajes.
Expresiones algebraicas
Lenguaje común
Ejemplos: +
+
,
+
3 ,3 ,3 ,3 ,
.
El triple de un número
√ , √ ,√
.
La raíz cuadrada de un número
,
, , , 2 2 2 4
,4
+
,
.
. ,4
La suma de los cuadrados de tres números
La mitad de un número
,4
,
.
No hay que confundir a algebraicas, por ejemplo:
El cuádruple del cuadrado de un número
las
expresiones
numéricas
con
las
expresiones
1. 4 → No representa el cuadrado de un número cualquiera, sino el cuadrado del número cuatro. 2. 10 − 6 → No indica la diferencia de dos números cualquiera, sino la diferencia entre los números 10 y 6. 3. → Representa el cubo de un número cualquiera.
EJERCICIO
6: Completa la siguiente tabla transformando algebraicas o lenguaje algebraico en lenguaje común. Expresiones algebraicas
Lenguaje común
+ 2( − ) 2 − √5 18
las
expresiones
EJERCICIO
6: Completa la siguiente tabla transformando algebraicas o lenguaje algebraico en lenguaje común. Expresiones algebraicas
Lenguaje común
2 2(
)
−
3( − ) √ 3 3 −
√ 4 1 √ − −(
+ )
√ +√ − √2 4
−3 1
2 2
19
las
expresiones
APLICACIÓN NOTACIÓN ALGEBRAICA: Consiste en representar algebraicamente la ecuación del lenguaje común o del enunciado, mediante su expresión algebraica o lenguaje algebraico.
Ejemplos: Lenguaje común Escribe la suma del cubo de con el cuadrado de . Pedro tenía $ ; después recibió $4 y después pagó una deuda de $ . ¿Cuánto le queda a Pedro? Compré 3 libros a $ cada uno; 6 cuadernos a $ cada uno y trajes a $ cada uno. ¿Cuánto he gastado? Juan compró libros costado cada libro?
iguales
por
$ .
¿Cuánto
le
Lenguaje algebraico + $ + $4 − $ $3 + $6 + $ $
ha
$1000 − $
Tenía $1000 y gasté $ . ¿Cuánto me queda?
EJERCICIO 7: Transforma el lenguaje común al lenguaje algebraico. Lenguaje algebraico
Lenguaje común Si han transcurrido por transcurrir?
días de un año. ¿Cuántos días faltan
Si un carro a recorrido por hora? Escribe la suma de
en
ℎ
. ¿Cuál es su velocidad
, .
Pedro recibió $ y después $ . Si gastó $ , ¿cuánto le queda a Pedro?
dinero
Siendo un número entero consecutivo par, escribe los dos números pares consecutivos ha . Juan debía $
y pagó $600. ¿Cuánto dinero debe Juan ahora?
Manuel tiene que recorrer . El lunes recorrió , el martes . ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer a Manuel? Candelaria tenía $ , cobró $ tiene Candelaria ahora?
y le dieron $ . ¿Cuánto dinero
Cuál será la superficie (área) de una sala circular, si su diámetro es de 3 .
20
EJERCICIO 7: Transforma el lenguaje común al lenguaje algebraico. Lenguaje algebraico
Lenguaje común Escribe la diferencia de
y
.
Nelson tiene ℎ á , Jacqueline tiene la de lo de Nelson; Edgar la de lo de Nelson. La suma de lo que tienen los tres es menor que 100 ℎ á . ¿Cuánto les hace falta para ser igual a 100 ℎ á ? Si un celular cuesta $ . ¿Cuánto importan 3 , 10 y ? Si por $
compro
de arroz. ¿Cuánto importa 1
Si se compran ( − 1) celular?
?
por $3000 . ¿Cuánto importa cada
Si han transcurrido de un año. ¿Cuántos meses faltan por transcurrir? Si la superficie (área) de un campo rectangular de futbol es y el largo mide 14 . ¿Cuál será su ancho del campo de futbol? Escribe la suma de la mitad de , del duplo de y del triple de . Escribe la superficie (área) de un cuadrado de
de lado.
Compro por $ . ¿A cómo habría salido cada hubiera comprado 2 por el mismo precio?
si
Siendo un número entero, escribe los tres números enteros consecutivos posteriores ha . Pablo tiene que recorrer , de los cuales ya ha recorrido . ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer a Pablo? Siendo un número entero, escribe los tres números enteros consecutivos anteriores ha . Al vender un coche en $ ganó $10,000. ¿Cuánto me costó el coche? En el piso bajo de una casa hay ℎ , en el segundo piso hay el triple número de habitaciones que en el primero y en el tercero la mitad de los que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene la casa? Si
bolígrafos cuestan $90. ¿Cuánto cuesta un bolígrafo?
Si compro ( − 2) compra?
a $(
Vendo ( + 3) venta?
a $4,800 cada una. ¿Cuánto importa la
+ 2) cada uno. ¿Cuánto importa la
Tenía $ y cobré $ . Si el dinero que tengo lo utilizo todo en comprar . ¿A cómo sale cada ? 21
EJERCICIO 7: Transforma el lenguaje común al lenguaje algebraico. Lenguaje algebraico
Lenguaje común Si han transcurrido por transcurrir?
ℎ
de un día. ¿Cuántas horas faltan
Escribe la suma del cubo de potencia de .
, el cuadrado de
y la cuarta
¿Cuál será la superficie (área) de la sala rectangular de una casa que mide de largo y de ancho? Si un celular cuesta $ 3 y 5 ?, ¿
y una gorra $ . ¿Cuánto importarán y ?
Si de una jornada de trabajo de 10 ℎ ¿Cuántas horas me faltan por trabajar? Al vender una casa en $ casa? Si por $
compró
he trabajado
ℎ
.
pierdo $35,000. ¿Cuánto me costó la
. ¿Cuánto importa un kilo?
22
d. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
PROPÓSITO:
Evaluar las expresiones algebraicas mediante un procedimiento lógico y aplicar estos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes.
VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Es el resultado que se obtiene al sustituir las literales por su valor numérico y realizar las operaciones indicadas. “Las operaciones dentro de un símbolo de agrupación deben efectuarse antes que ninguna otra”.
Ejemplos: −2
1. Obtener el valor numérico de
−2
+3
+3
; para
= 2,
= (2) − 2(2)(3) + 3(3) = 4 − 12 + 3(27) = 4 − 12 + 81 = 73
73 Es el valor numérico de la expresión algebraica
2. Obtener el valor numérico de
1
− +
−
1
; para
= −2,
1 1 5 5 − − − − 5 2 3 6 = = = 6=− (−2) + (3) 4 + 9 11 66
Es el valor numérico de la expresión algebraica
23
= 3.
= 3.
EJERCICIO
8:
algebraicas para
1. ( − ) −
Hallar
el
valor
= 1, = 2, = 3,
=
2. ( − )( − ) + 4ℎ =
numérico
= 4, = 2 3 ,
de
las
=1
siguientes
=3
2,
expresiones
4 , ℎ = 0.
3. (2 + 8 )(
+
)(2 − ) =
4. (4 + 8 )(
+
)(3 − ) =
24
EJERCICIO
8:
Hallar
=
6.
(
)
÷
valor
= 1, = 2, = 3,
algebraicas para
5.
el
numérico
de
= 4, = 2 3 ,
las
=1
2,
siguientes
=3
expresiones
4 , ℎ = 0.
7.
( + )−
( + )+
8.
( + )+
( − )+ℎ ( + ) =
=
25
( + )=
EJERCICIO
8:
Hallar
10.
√
÷
×
valor
= 1, = 2, = 3,
algebraicas para
9.
el
√
=
=
numérico
= 4, = 2 3 ,
de
las
=1
11. ( + )√
12.
26
+
2,
siguientes
=3
+8 −
=
expresiones
4 , ℎ = 0. =
EJERCICIO
8:
algebraicas para
÷
13.
14.
−
Hallar
valor
= 1, = 2, = 3, + −
÷
el
+
+
numérico
=
15.
(
)
de
= 4, = 2 3 ,
=
16.
27
las
=1
+
2,
+
siguientes
=3
+
+ 2( − )
expresiones
4 , ℎ = 0.
−
=
− 2( + ) =
PRÁCTICA INTEGRADORA 1 CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIÓN ALGEBRAICA Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
a. NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN. Escribe sobre la línea la respuesta: ¿Qué es el álgebra y para qué me sirve?
NOTACIÓN ALGEBRAICA. Escribe sobre la línea una V si la respuesta es verdadera y una F si es falsa, a los siguientes cuestionamientos: Los números se emplean para representar cantidades conocidas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades desconocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto. Las cantidades conocidas se expresan por las últimas letras del alfabeto. Una fórmula algebraica es la representación por medio de letras de una regla o principio general. Una variable es una cantidad cuyo valor no cambia. Una constante, también se le denomina incógnita y puede tomar diferentes valores de acuerdo a las condiciones el problema.
COEFICIENTE. Completa la siguiente tabla escribiendo cuál es el coeficiente numérico y cuál es el coeficiente literal de las expresiones algebraicas: Expresión
Coeficiente numérico
Coeficiente literal
8( + ) 3 EXPONENTE. Completa la siguiente tabla escribiendo cuál es el exponente y cuál es la base de las expresiones algebraicas: Expresión
Exponente
Base
8 3( + )
28
NOMENCLATURA ALGEBRAICA. Escribe sobre la línea la respuesta: ¿Qué es una expresión algebraica? ¿Qué es un término?
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Completa la siguiente escribiendo el nombre de las expresiones algebraicas de acuerdo clasificación: Expresión
tabla a su
Nombre de la expresión
3 +8 +5 + −9 5
+7 +3 3
b. REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA DE EXPRESIONES EN LENGUAJE COMÚN. ¿Qué es el lenguaje algebraico?
Completa la siguiente tabla transformando algebraico o en su expresión algebraica:
el
lenguaje
común
al
lenguaje
Lenguaje algebraico
Lenguaje común El cociente de la suma de dos números entre otro número La tercera parte del cubo de la suma de dos números El producto de un número por la diferencia de otros dos
c. INTERPRETACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ¿Qué es el lenguaje común?
29
Completa la siguiente tabla transformando el lenguaje algebraico o expresión algebraica al lenguaje común o su enunciado:
Lenguaje algebraico
Lenguaje común
3( − ) − 5 3 2 3 4( − )
APLICACIÓN ¿Qué es la notación algebraica?
Completa la siguiente tabla representando algebraicamente la ecuación lenguaje común o del enunciado mediante símbolos o lenguaje algebraico. Lenguaje algebraico
Lenguaje común Si por $ en la compra de artículos de primera necesidad me cobraron un impuesto del %, ¿cuánto dinero pagué nada más del impuesto? Al vender un coche en $ perdí $25,000. ¿Cuánto me costó el coche? Una extensión rectangular de 50 Expresar la superficie (área).
de largo mide
Si en la compra de un celular que cuesta $ , descuento del %. ¿Cuánto pagué por el celular? Si
á
cuestan $100. ¿Cuánto cuesta 1 á
de ancho. tiene
un
?
En el piso bajo de una escuela hay , en el segundo piso hay el ú que en el primero, en el tercero de los que hay en el primero. ¿Cuántas tiene la escuela? Si en la compra de artículos de primera necesidad pagué $ y me cobraron un impuesto del %. ¿Cuánto pagué en total, con todo y el impuesto?
30
del
d. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ¿Qué es el valor numérico de una expresión algebraica?
Hallar
el
valor
numérico
( ) + (− ) − ℎ, para
de
= 1,
la
expresión
= 2, = 3,
31
algebraica
= 4, = 2 3 ,
+
= 1 2,
−
−
+
= 3 4 , ℎ = 0.
+
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN “GUÍA DE OBSERVACIÓN” CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIÓN ALGEBRAICA Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La guía de observación debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno adquirió los conocimientos de manera significativa y en el caso de no adquirió los conocimientos en cada indicador colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna de valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna de total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
a. NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN 1. Definió qué es el álgebra y para qué le sirve. 2. Definió qué son los números, letras, cantidades conocidas, cantidades desconocidas, fórmula, variable y constante. 3. Clasificó el coeficiente numérico y coeficiente literal en las diferentes expresiones algebraicas. 4. Clasificó el exponente y la base en las diferentes expresiones algebraicas. 5. Definió expresión algebraica y término. 6. Clasificó a las expresiones algebraicas como: Monomio, polinomio, binomio y trinomio. b. REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA DE EXPRESIONES EN LENGUAJE COMÚN 7. Describió el lenguaje algebraico. 8. Transformó el lenguaje común al lenguaje algebraico. c. INTERPRETACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 9. Describió el lenguaje común. 10. Transformó el lenguaje algebraico al lenguaje común. 11. Resolvió los ejercicios sobre notación algebraica aplicando el razonamiento en cada caso.
32
Total
Motivo del por qué no cumplió
d. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 12. Describió qué es el valor numérico de una expresión algebraica. 13. Encontró el valor numérico de las diferentes expresiones algebraicas, realizando en procedimiento para cada caso y encerró las respuestas. 14. Disposición y responsabilidad al trabajo en equipo. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
33
“LISTA DE COTEJO” CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIÓN ALGEBRAICA Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La lista de cotejo debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno realizó la práctica de acuerdo a los indicadores y en el caso de no cumplió deberá colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
PRÁCTICA INTEGRADORA 1. La práctica contiene las operaciones para cada caso. 2. La práctica se realizó aplicando razonamiento lógico para cada caso.
un
3. Los resultados en la práctica para cada caso fueron resaltados. 4. La práctica se realizó con orden. 5. La práctica se realizó con limpieza. 6. La práctica se entregó en tiempo y forma. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
34
Total
Motivo del por qué no cumplió
REALIMENTACIÓN CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIÓN ALGEBRAICA De los contenidos que se te presentan a continuación es muy importante que reconozcas cuáles fueron tus errores para tratar de corregirlos. Llena la siguiente tabla para que tengas una idea más clara de lo que te falta reafirmar. Busca ayuda con alguno de tus compañeros para que te resuelva las dudas que aún te queden y si después de esto sigues teniendo dudas pide ayuda a tu profesor. Porcentaje de lo que aprendí
CONTENIDOS a. Notación y clasificación Notación algebraica Coeficiente Exponente Nomenclatura algebraica Clasificación de las expresiones algebraicas b. Representación algebraica de expresiones en lenguaje común c. Interpretación de expresiones algebraicas Aplicación d. Evaluación numérica de las expresiones algebraicas
35
Motivo del por qué no lo logró (esta columna debe ser llenada por el profesor)
OBJETIVO: “OPERACIONES FUNDAMENTALES”
Al cursar el concepto subsidiario de “Operaciones fundamentales”, serás
capaz
de:
Resolver
distintas
situaciones
o
problemas,
a
través de la aplicación de sumas y restas de polinomios, exponentes y radicales, multiplicación y división de polinomios, productos notables y factorización, mediante la aplicación de las leyes de los signos, leyes de los exponentes y radicales, así como también, la
simplificación
de
fracciones
algebraicas.
Esto
es
desarrollarás en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
=
=
√ ×√ =√ × Dividir − 1 − 2 entre 1 + (3 +5 ) =9 + 30 + 25 ( + )( − ) = − ( −4 ) = − 12 + 48 − 64 + 6 + 9 = ( + 3)
36
lo
que
CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES
DESARROLLO
e. LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES
PROPÓSITO: Aplicar las leyes de los exponentes y de los radicales a las expresiones algebraicas, además de adquirir los conocimientos fundamentales y emplear estos conocimientos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes.
LEYES DE LOS EXPONENTES 2. (
=
1.
×
) =
Ejemplos:
Ejemplos: a)
=
=
a) (
b)
=
=
b)
×
) = =
×
c) 2 × 2 = 2
c) 2 2 = 2 = 32
= =
×
= 2 = 16
Exponente positivo 3. (
) =
a) (
;
>
≠0
Ejemplos:
) =
b) (2 × 5) = 2 × 5 c) (
=
4.
Ejemplos:
a)
=
=
=
b)
=
=
c)
=4
= 4 = 16
) =
37
LEYES DE LOS EXPONENTES Exponente negativo
=
5.
, =
6.
=
;
<
≠0
Ejemplos:
Ejemplos: a)
=1
b) c)
=
a)
=
=
=2
b)
=
=
=3
c)
=3
=3
Radical en potencia fraccionaria
=
7.
,
=
= , =
8. √ Ejemplos:
=
a) b) 3
Ejemplos:
=
a) √
=
c)
=
=
b) √ = c) √2 = 2 = 2 = 4
Potencia fraccionaria en radical
=√
9.
Exponente cero 10.
, =
=
=√
b)
=√
≠
Ejemplos:
Ejemplos:
a)
= ,
a) 9 = 1 b)
=1
c) (−5) = 1
c) 4 = √4
38
EJERCICIO
9: Completa la siguiente tabla exponentes a las expresiones algebraicas. Expresiones algebraicas
) =
(
) = = = = √ = 7 = 1
=
3×3 = (4 ) = 2 3 (
las
leyes
Aplícales las leyes de los exponentes
= (
aplicándole
= ) =
8 = 64 = (−1) = √5 =
39
de
los
LEYES DE LOS RADICALES
×√ =√
1. √
×
2.
√
=
Ejemplos: Ejemplos:
a) √
×√ =√ × a)
b) √3 × √4 = √3 × 4 = √12 c) √5 × 8 = √5 × √8
b)
d) √45 = √9 × 5 = √9 × √5 = 3 × √5 =√ ×√
e) √
3.
×
√ =
√
Ejemplos:
a) √ =
×
b) √ =
×
c) d)
√ =√
√ =√
√2500 = =
×
√2500 = √2500
=
=
=
40
√ √ √ √
= =
c)
=
√
d)
=
√
√
√
EJERCICIO 10: Completa la siguiente tabla aplicándole las leyes de los radicales a las expresiones algebraicas.
Expresiones algebraicas
Aplícales las leyes de los radicales
√7 × √6 = = √32 = √
=
√ × √3 √2
= =
√ = = × = √7 × 6 = √2 × √8 = 9 = 4 √
×
=
√45 = = √9 × 3 =
41
f. OPERACIONES FUNDAMENTALES
PROPÓSITO:
Resolver problemas con polinomios aplicando las operaciones básicas, atendiendo a las leyes de los signos, leyes de los exponentes, leyes de los radicales y emplear estos conocimientos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
SUMA DE POLINOMIOS Regla: Colocamos los polinomios unos debajo de los otros de tal manera que los términos semejantes queden en columna. Se hace la reducción de los términos semejantes separándolos unos de otros con sus propios signos. Ejemplos:
1. Sumar 2
+5
+3
+2 +7 −4
+5 −4 −3
+3 +6 −2
+5
+5
−2
+7
+5
, −4
+7
+6
: 5
−2
2. Sumar
+
+ −
+
+
1 2
+
23 10
− 3, −
−2 +
+
−
+
+
29 24
+4
+1
−2
+
−3
, −2
−3
−4
+7
+5
,
−
+
+ 4.
+
−
=
=+
+
−
=
=+
−2
+
+
= −2
+1
:
1 2
+
+ 5.
23 10 42
+
29 24
+
+1
+
=−
EJERCICIO 11: Hallar la suma de los siguientes polinomios, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta.
1. 3
−2
; −2
+5
; −3
2. 3
+2
; −2
+8
−3
3. 2
−2
+3
;4
−3
;2
+2
−3
−3
;6
; −7
+
− 1.
; −3
−7
43
−2
−2
;4
+2
+9
.
−4
.
4. −4
+3
5. 5
−2
6. 3
+2
−2
−3
+
; 5
;2
;2
+4
−3
+6
+ 8; 6
+4
−
+
; −2
;2
+2
−2
− 8; −2
44
−2
−6
+
;7
;5
−2
+2
+6
− 6 + 4.
− 3.
.
7. 2
−3
; −4
+5
−6
; −7
8. 2
−3
+
; −4
+3
+2
9. 3
−4
;8
+2
;6
+5
+8
;2
;3
45
−9
−3
; −10
+5
− 10
;−
.
+ 11
−3
− 12
+4
.
.
10. 2
−4
+
;−
−5
+6
;−
.
11.
+
;
12. 2
+
;−
+
.
+
;−
−
.
46
+
−
;3
−2
+
13. 4
+
;−
+2
;−
14.
−
;−
+
;
15.
+
−
;
−
+
+
+
.
.
;−
+
47
−
.
16.
−
17. 2
−
18. 3
−2
+
+2
+ 4;
; −2
;
−6
+8
;
−
−
;
−
+
−
−
−
− 4; −
48
+
−
.
.
.
19.
−
20. 2
+
+
+
;
;−
+
+
−
−
;
− ; −2
+ 3.
−
;−
−
49
+
.
RESTA DE POLINOMIOS Regla: Hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo y al sustraendo le cambiamos el signo a todos sus términos.
Ejemplos: 1. De 7 − 5 + 6 +7
−5
−5
−5
+2
− 10
restar 5 + 5 − 8.
+6
Minuendo
+8 +6
Sustraendo (le cambiamos el signo a todos sus términos)
+8 : 2
2. Restar −10 +7
+7
+ 20 − 7
+8
+9
+10
+7
+ 18
+ 15
−
de 7
−
−
+6
+8
+8
+9
− 15
Minuendo
+
− 20
Sustraendo
+
− 35 : 7
3. Restar −
− 10
+
− 10
+ 18
+ 15
− 3 de −
+
−
+
+
−
+
+3
−
+2
−
−
−7
−
+
: 2
−
+
−
+
+
− 10.
=+
= =− −
= +2
=−
=
50
− 35
=
−
17 10
− 15.
4 3
−7
=−
EJERCICIO 12: Hallar la resta de los siguientes polinomios, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta.
1. De 2
2. De 2
3. De 10
− 10
−3
+6
+ 11
+4
−7
−3
−5
restar 4
restar 3
restar 13
− 18
51
− 12
+9
+2
− 21
+
.
− 24.
+3
+
.
4. De 4
5. De −5
−7
+2
6. Restar 11
+9
− 3 restar −31
−9
− 15
+ 13
+ 2 restar −4
− 17
de −15
−5
+3
− 20
52
− 20 .
−6
+ 36
−5
.
.
7. Restar 3
−4
8. Restar 3
+4
9. Restar 10
+5
−9
− 15
+6
de −3
− 4 − 9 de 2
− 20
de 5
−2
+3
− 10
53
+5
−
.
− 10.
− 15.
10. Restar −
11. De
12. De
+
+
−
−
−4
− 9 restar −
restar
+
−
de −
+
− .
54
.
+5
− 7
−
+
.
13. De
14. De
15. De
+
−
−
− 2 restar −
restar
restar
+
+
− .
− .
+
− .
55
16. Restar
17. Restar
18. Restar
+
−
de
−
.
+ 1 de 2 + 3 − 1.
+
− 9 de
+
− 3.
56
19. Restar
−
20. Restar
+
+
−
de 3
de
+
+4 −2 .
+ ℎ.
57
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Regla: Hay que multiplicar los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador atendiendo a las leyes de los signos y reducimos los términos semejantes.
Ejemplos: 1. Multiplicar 3 − 5
por 2 + 4 .
3 −5
Multiplicando
2 +4
Multiplicador
6
− 10 +12 + 2
6
− 20 − 20 :6
2. Multiplicar 2 2
+4
2
+2
4
+8 +4 + 12
4
−3
+4
−6 +8 +2
3. Multiplicar
− −
−
− 20
por 2
+2 .
+ 12
+2
−3
−6 −6 : 4
+
+2
−
−
por − −
−
−
×+ ×+
−
−6
.
=−
=−
−
=−
−
×− × −
+ −
+
+
+
−
=
: −
=+
1 2
+ 58
1 3
+
5 8
=+
=+ =+
EJERCICIO
13: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta. 1. Multiplicar 2
2. Multiplicar −2
3. Multiplicar 2
+3
−3
−3
+5
+4
+3
por 4 − 2 .
por 3
−2
−4
+3
59
−4
.
por 2
−3
+2
.
4. Multiplicar
−2 +3
5. Multiplicar
+
6. Multiplicar
−
+
por 2
−
+
−
+
− 3 + 1.
−
por
por
+ 1.
60
+ + .
7. Multiplicar 3
+5
8. Multiplicar 2
−3
9. Multiplicar 5
+
−3
−4
−2
por
+2
por 3
61
+
+ .
por 2
−2
.
− 3 − 1.
−
10. Multiplicar
− .
por
11. Multiplicar
−
por
+2 .
12. Multiplicar
−
por
+
.
62
13. Multiplicar 2
14. Multiplicar
15. Multiplicar
−
−
−
−
−
por
−
por −3 +
por
+
+
63
.
.
−
.
16. Multiplicar
−
−
17. Multiplicar
−
por
18. Multiplicar 2
+
−
por
+
+
.
.
−
por
64
−3
.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS Regla: 1) Hay que ordenar dividendo y divisor de acuerdo a una literal de mayor a menor grado o viceversa. 2) Si no hay algún grado se dejan los espacios correspondientes. 3) Eliminamos el primer término del dividendo atendiendo a las leyes de los signos. 4) Reducimos los términos semejantes. 5) Se vuelve a repetir el paso 3 y 4 hasta terminar la división.
Ejemplos: −1−2
1. Dividir
entre 1 + . Cociente
− + 1⁄ −
−1 −2 −1
− − +
−2 + − −1 + +1 0
Dividendo
Residuo
Divisor
:
2. Dividir 28
− 30
+ 11
−
−1
entre 4 + 5 .
7 −6 4 + 5 ⁄ 28
+ 11
−28
− 35
− 30
−24
− 30
+24
+ 30 0 : 7 −6
65
3. Dividir 2
2
− 11 −3 −7 + −6 +6
− + 3⁄2 −2
−7 +2 + 10 −3 +7 −3 +4 −4
+ 10
+6
− 11
entre − + 2
+3 .
+6
− 11 +9 −2 +2
+6 −6 0
:
4. Dividir
1 1 + 2 3
1 4 1 − 4
+
1 2 + 2 3 1 + 2 1 + 6 1 + 3 2 − 6
+
+
entre
−3
+
+2
.
2 9
2 9 2 − 9 0 +
:
1 2 + 2 3
NOTA: Cuando la división es exacta, puede verificarse multiplicando el divisor por el cociente, dándonos el dividendo si las operaciones están correctas.
66
EJERCICIO 14: Dividir los siguientes polinomios, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta.
1. Dividir
− 3 + 2 entre
2. Dividir −10
3. Dividir 3
+ 33
+6
− 27
−5
−4
− 2.
entre −3 + 2 .
entre
67
− .
4. Dividir −15
5. Dividir 4
6. Dividir 5
−4
−6
−7
+ 13 + 6 entre −3 − 5 .
−2
−8
+6
entre 2
− 22
−4
68
+ .
entre
−
+ 2.
7. Dividir 3
−
8. Dividir
−4
9. Dividir
−
+
+
entre
−
−2
+4
+ 10
+ 1.
69
entre
− 12
+
entre
.
− 3 + 2.
10. Dividir −
+3
11. Dividir
+
12. Dividir
+
−
+
−
entre
entre 2 +
+
−
−2
70
− .
.
entre
−
.
13. Dividir −
+
+
− .
entre
14. Dividir
+
−
−
entre
15. Dividir
−
−4
−2
+
71
+
−
.
entre
+
.
g. PRODUCTOS NOTABLES PROPÓSITO: Resolver problemas con productos notables aplicando el razonamiento mediante el seguimiento de reglas fijas; además, de las operaciones básicas, atendiendo a las leyes de los signos, leyes de los exponentes, leyes de los radicales y emplear estos conocimientos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
PRODUCTOS NOTABLES Se le llama productos notables a productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin necesidad de hacer la multiplicación.
BINOMIO CUADRADO: “CUADRADO DE LA SUMA DE UN BINOMIO”. Si elevamos al cuadrado + equivale tendremos ( + ) = ( + )( + ).
a
multiplicarlo
por
sí
mismo
y
Efectuando este producto tenemos:
+ + + +
+
+2
+
Por los tanto, el cuadrado de un binomio es un trinomio, y sus términos se obtienen aplicando la siguiente regla:
En lenguaje común: 1. El cuadrado del primer término 2. Más el doble producto del primer término por el segundo término 3. Más el cuadrado del segundo término En lenguaje algebraico: (
+ ) =
+2
72
+
Ejemplos: A. Desarrollar ( + 3) Aplicando la regla: 1. ( ) = 2. + 2 ( )(3) = +6 3. +(3) = + 9 Entonces, ( + 3) =
+6 +9
B. Desarrollar (5 + 4
)
Aplicando la regla: 1. (5 ) = 25 2. + 2 (5 )(4 ) = +40 3. +(4 ) = + 16 Entonces, (5 + 4
) = 25
C. Desarrollar (4
+ 40
+ 16
)
+3
Aplicando la regla: 1. (4 ) = 16 2. + 2 (4 )(3 ) = +24 3. +(3 ) = + 9 Entonces, (4
) = 16
+3
D. Efectuar (3 (3
+5
+5
) (3
+5
+ 24
) (3 ) = (3
+9
+5 +5
) )
Aplicando la regla: 1. (3 ) =9 )(5 2. + 2 (3
3. +(5
) = 30
) = + 25
Entonces, (3
+5
) =9
+ 30
+ 25
73
EJERCICIO
15: Desarrollar los cuadrados de la suma binomios, escribiendo el resultado por simple inspección. 1. ( + 4) =
2. 2 +
=
11. (5
+3
12. (3
+2
de
+2
)(3
) =
4. (10 + 4 ) = 14. ((2 ) + 3 ) = 5. (3 + 12) = 15. (7 6. (
) =
+
) =
+
16. (2 7. (2
8. (3
9. (7
10. (
+8
) =
+2
) = 17. √5
+ √5
=
18. (6
+4
) =
+ 11 ) =
+2
+
) = 19.
+
=
20.
+3
=
) =
74
siguientes
) =
3. (8 + ) = 13. (5
los
+2
)=
BINOMIO CUADRADO: “CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO”. Si elevamos al cuadrado − equivale ( ) tendremos ( − ) = − ( − ).
a
multiplicarlo
por
sí
mismo
y
Efectuando este producto tenemos:
− − − −
+
−2
+
Por los tanto, el cuadrado de un binomio es un trinomio, y sus términos se obtienen aplicando la siguiente regla: En lenguaje común: 1. El cuadrado del primer término 2. Menos el doble producto del primer término por el segundo término 3. Más el cuadrado del segundo término En lenguaje algebraico: (
− ) =
−2
+
Ejemplos: A. Desarrollar (2
−3 )
Aplicando la regla: 1. (2 ) =4 )(3 ) = −12 2. − 2 (2 3. +(3 ) = + 9 Entonces, (2
−3 ) =4
B. Desarrollar (6
− 12
+ 9
)
−7
Aplicando la regla: 1. (6 ) = 36 )(7 ) = −84 2. − 2 (6 3. +(7 ) = + 49 Entonces, (6
−7
) = 36
− 84 75
+ 49
EJERCICIO 16: Desarrollar los cuadrados de la diferencia de los siguientes binomios, escribiendo el resultado por simple inspección.
1. (
) =
−4
11. (
12. (4 2. (2
4. (5
)(4
−3
) =
−5
3. (3 −
) =
−7
13. (5
−2
) =
14. ((
) −4
) = ) =
) =
−9
15. (3
) =
−
5. (3 − 12) = 16. (4 6. (2
7. (2
) =
−8
8. (2
− 10
9. (3
−5
10. (5
−3
) =
17. √6
− √6
=
18. (6
−4
) =
) =
−3
−4
) =
) =
19.
−
=
20.
−
=
) =
76
−3
)=
BINOMIO CONJUGADO: “PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS BINOMIOS”. Sea el producto
(
+ )(
− )=
−
.
Efectuando este producto tenemos:
+ − + −
− −
Por lo tanto, un binomio conjugado se resuelve aplicando la siguiente regla: En lenguaje común: 1. El cuadrado del primer término 2. Menos el cuadrado del segundo término En lenguaje algebraico: (
+ )(
− )=
−
Ejemplos: A. Desarrollar ( + )( − )
B. Desarrollar (4
Aplicando la regla:
Aplicando la regla:
1. 2. −
1. (4 2 ) = 16 2. −(6 )2 = −36
Entonces, ( + )( − ) =
C. Desarrollar (6
−
+5
)(5
)(5
−6
Entonces, (4
) = (5
−6
− 6 )(4
+6
Aplicando la regla:
) = 25 1. (5 ) = − 36 2. −(6 Entonces, (5
+6
) = 36
77
− 6 )(4
− 25
+6 )
+ 6 ) = 16
)(5
−6
− 36
)
EJERCICIO 17: Desarrollar los siguientes binomios conjugados, escribiendo el resultado por simple inspección.
1. ( + )( − ) =
11. (3
2. ( −
12. (2
+6
13. (5
− 2 )(5
)( +
)=
3. ( − )( + ) =
4. (
+
)(
)=
−
14. ( + 5
5. (7 − 4)(4 + 7 ) =
6. (6
7. (5 − 8
−7
)(6
)(8
+7
)(3
−7
)(2
−
16. 2
+3
3
)=
+
=
)= 2
−3
=
+ 5) = 17. √5
+ √7
18. (
−
19.
+
20.
+
√5
− √7
=
8. (8 + 9)(8 − 9) =
9. (5
10. (2
−4
+7
)=
−6
+2 ) =
)( − 5
15. 3
)=
+7
)(5
)(2
+4
−7
)(
+
)=
−
=
)=
)=
78
−
=
CUADRADO DE UN POLINOMIO Si elevamos decir; ( +
( + + ) al cuadrado equivale a multiplicarlo por sí mismo, es + ) = ( + + )( + + )
Resolviendo el producto tendremos:
+ +
+ + + +
+2
+ + + +2
+ + +2
+
+ +
Reacomodando el resultado tenemos:
+
+
+2
+2
+2
Por lo tanto, el cuadrado de un polinomio se resuelve aplicando la siguiente regla: En lenguaje común: 1. La suma de los cuadrados de cada término por separado 2. Más el doble producto de todos sus términos tomados de dos en dos En lenguaje algebraico: ( +
+ ) =
+
+
+2
+2
+2
Nota: esta regla se aplica para cualquier polinomio, ya sea cuadrado de la suma o cuadrado de la diferencia de un polinomio o el cuadrado de un polinomio con signos alternados como se muestra en los ejemplos.
Ejemplos: A. Desarrollar ( +
− 3)
Aplicando la regla:
+ + (−3) = + +9 2. +2 + 2( )(−3) + 2( )(−3) = +2 1.
Entonces, ( +
− 3) =
B. Desarrollar (2
+3
+
+9+2
−6 −6 −6 −6
− 1)
Aplicando la regla:
1. (2 ) + (3 ) + (−1) = 4 +9 +1 ( )( ) ( )( ) 2. +2 2 3 +2 2 −1 + 2(3 )(−1) = 12 Entonces, (2
+3
− 1) = 4
+9
+ 1 + 12 79
−4 −4
−6
−6
EJERCICIO
18: Desarrollar los cuadrados de escribiendo el resultado por simple inspección. 1. ( −
+ ) =
2. ( − −
3. (
−
11. (3
−7
12. (2
+6
+
+
+
+
) =
+2 −3 ) =
+ ) = +
) =
− 1) = 15. (
6. (
+ ) =
) =
14. ( + 5. (
siguientes
) =
13. ( 4. (
los
−2
− 1) =
+ 2 + 1) = 16. ( + 3 − ) =
7. ( +
8. (2 +
9. ( +
− 3) = 17. (
+ +
18. (
−
+ ) = +
) =
+1
=
− 3) = 19.
10. ( +
) =
+
+ + ) = 20. ( + 2 − 3 ) =
80
polinomios,
CUBO DE UN BINOMIO: “ CUBO DE LA SUMA DE UN BINOMIO”. Si elevamos ( + ) al cubo, equivale a multiplicarlo tres veces por sí mismo, es decir; ( + ) = ( + )( + )( + ). Resolviendo el producto tendremos:
+ + + +
+
+2
+
+ +2
+
+
+2
+
+3
+ 3
+
Por lo tanto, el cubo siguiente regla:
de la
suma de
un binomio se resuelve
aplicando la
En lenguaje común: 1. 2. 3. 4.
El cubo del primer término Más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término Más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término Más el cubo del segundo término
En lenguaje algebraico: (
Ejemplos: A. Desarrollar (3
+ ) =
+2
+3
+3
)
Aplicando la regla:
1. 2. 3. 4.
(3 ) +3(3 +3(3 +(2
= 27 ) (2 ) = +54 )(2 ) = +36 ) = +8
Entonces, (3
+2
) = 27
+ 54
+ 36 81
+8
+
B. Desarrollar (2 + 2) Aplicando la regla:
1. (2 ) = 8 2. +3(2 ) (2) = +24 3. +3(2 )(2) = +24 4. +(2) = +8 Entonces, (2 + 2) = 8
C. Desarrollar (2
+ 24
+
+ 24 + 8
)
Aplicando la regla:
1. (2
) =8
2. +3(2
) (
3. +3(2
)(
4. +(
) = +12 ) = +6
) =+
Entonces, (2
+
) =8
+ 12
+6
82
+
EJERCICIO 19: Desarrollar los cubos de la suma de los siguientes binomios, escribiendo el resultado por simple inspección.
1. (
+ ) =
2. ( +
11. (
) = 12. (2
3. (
+
+3
+2 ) =
) = 14. (4 +
5. (3
) =
+ 1) = 15. (
6. (
) =
+3
) = 13. (
4. (2
) =
+3
+2 ) =
+2 ) = 16. ( + 3 ) =
7. (2
+2
) = 17. (
+ ) =
18. (
+
8. (2 + ) = ) =
9. ( + 3 ) = 19. 10. (4
+
+ ) = 20. (
83
+4 ) =
=
CUBO DE UN BINOMIO: “ CUBO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO”. Si elevamos ( − ) al cubo equivale a multiplicarlo tres veces por sí mismo, es decir; ( − ) = ( − )( − )( − ). Resolviendo el producto tendremos:
− − − −
+
−2
+
− −2
+
−
+2
−3
+ 3
− −
Por lo tanto, el cubo de la diferencia de un binomio se resuelve aplicando la siguiente regla: En lenguaje común: 1. El cubo del primer término 2. Menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término 3. Más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término 4. Menos el cubo del segundo término En lenguaje algebraico: (
Ejemplos: A. Desarrollar (
−4
− ) =
−3
+3
)
Aplicando la regla:
1. 2. 3. 4.
( ) −3( +3( −(4
= ) (4 ) = −12 )(4 ) = +48 ) = −64
Entonces, (
−4
) =
− 12
+ 48
− 64
84
−
B. Desarrollar (
−2 )
Aplicando la regla:
1. (
) =
2. −3(
) (2 ) = −6
3. +3(
)(2 ) = +12
4. −(2 ) = −8 Entonces, (
−2 ) =
C. Desarrollar (5
−6
−
+ 12
−8
)
Aplicando la regla:
1. (5
) = 125
2. −3(5
) (
) = −75
3. +3(5
)(
) = +15
4. −(
) =−
Entonces, (5
−
) = 125
− 75
85
+ 15
−
EJERCICIO 20: Desarrollar los cubos de la diferencia de los siguientes binomios, escribiendo el resultado por simple inspección.
1. (
−2 ) =
11. (2
) =
−3
2. (3 − 4 ) = 12. ( − 5) = 3. (3
−3
) = 13. (3
4. (4
−2
− 4) =
) = 14. (4 −
5. (3
) =
− 3) = 15. ( − ) =
6. (2
−3
) = 16. (1 − 4 ) =
7. (2 −
) = 17. (2
− ) =
8. ( − 4 ) =
9. (3 − 4
10. (
18. (
− 4) =
19.
−
) = =
−4 ) = 20.
86
−
=
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS: “ DE LA FORMA ( ± )( ± )”. Sea ( ± )( ± ) = ( )( ) ± (
±
) ± ( )( ).
Resolviendo el producto tendremos:
± ± ± ±
±
±(
±
)±
Por lo tanto, el producto de dos binomios de esta forma se resuelve aplicando la siguiente regla: En lenguaje común: 1. El primer término del primer binomio por el primer término del segundo binomio 2. Se suman o se restan los segundos términos de los binomios y le agregamos la variable o la literal indicada en los binomios 3. Se multiplica el segundo término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio, aplicándoles las leyes de los signos. En lenguaje algebraico: ( ± )( ± ) =
±(
Ejemplos: A. Desarrollar ( + 1)( + 3) Aplicando la regla:
1. ( )( ) = 2. +1 + 3 = +4 3. (+1)(+3) = +3 Entonces, ( + 1)( + 3) =
+4 +3
87
±
)±
B. Desarrollar ( − 2)( − 6) Aplicando la regla:
1. ( )( ) = 2. −2 − 6 = −8 3. (−2)(−6) = +12 Entonces, ( − 2)( − 6) =
C. Desarrollar (
− 2)(
− 8 + 12
+ 4)
Aplicando la regla:
1. ( )( ) = 2. −2 + 4 = +2 3. (−2)(+4) = −8 Entonces, (
− 2)(
+ 4) =
+2
−8
D. Desarrollar ( + 5)( − 2) Aplicando la regla:
1. 2. 3.
( )( ) = +5 − 2 = +3 (+5)(−2) = −10
Entonces, ( + 5)( − 2) =
+ 3 − 10
88
EJERCICIO 21: Desarrollar los siguientes productos de dos binomios de la forma ( ± )( ± ), escribiendo el resultado por simple inspección. 1. ( + 2)( + 4) =
11. ( − 2)( − 5) =
2. ( − 3)( + 5) =
12. ( + 6)( − 1) =
3. ( − 6)( − 9) =
13. ( + 2)( + 2) =
4. (
14. ( − 7)( + 4) =
+ 1)(
− 10) =
5. ( + 4)( + 7) =
15.
−
16.
+
6. ( − 7)( + 6) =
−
=
−
=
7. ( − 8)( − 5) = 17. ( + 3)( + 8) = 8. ( + 9)( − 8) = 18.
−
( + 2) =
19.
−
−
9. ( + 4)( + 1) = =
10. ( − 4)( + 7) = 20. ( + 3)
89
−
=
h. FACTORIZACIÓN PROPÓSITO: Descomponer polinomio en factores y expresarlos de una manera más sencilla, que nos permita resolver diferentes problemas aplicando el razonamiento mediante el seguimiento de reglas fijas; además, de las operaciones básicas, atendiendo a las leyes de los signos y emplear estos conocimientos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
FACTORIZACIÓN DE CUADRADOS PERFECTOS DE BINOMIOS Si (
+ ) = +2 + +2 + = ( + )
, al invertir el proceso obtenemos la factorización
Por lo tanto, la factorización de cuadrados perfectos de binomios se obtiene aplicando la siguiente regla: En 1. 2. 3. 4.
lenguaje común: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término Obtenemos la raíz cuadrada del tercer término Multiplicamos por 2 las raíces obtenidas debiendo darnos el segundo término Separamos estas raíces cuadradas con el mismo signo del segundo término y el binomio formado se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado
Ejemplos: A. Factorizar
+6 +9
Aplicando la regla:
1. 2. 3. 4.
√ = √9 = 3 2( )(3) = 6 ( + 3)( + 3) = ( + 3)
Entonces,
+ 6 + 9 = ( + 3) −4
B. Factorizar
→
ó .
+4
Aplicando la regla:
1. 2. 3. 4.
√ = √4 = 2 2( )(2 ) = 4 ( − 2 )( − 2 ) = ( − 2 )
Entonces,
−4
+4
=( −2 )
→
ó .
90
EJERCICIO 22: Factorizar los siguientes cuadrados perfectos de binomios, escribiendo el resultado por simple inspección.
1.
+6
+9
2.
− 10
+ 25 =
3.
−6
+9
=
=
11.
− 10
12.
+
+ 16
+ 16
=
14.
5. 4
−4
+
=
15. 36
6. 49
+ 126 + 81 =
7. 4
8.
9.
10. 36
− 20
=
=
=
+
+ 81
=
+
=
− 12
+ 24
+ 16
17.
+
+
=
18.
−6
+9
=
=
19.
− 12
+ 36
=
+ 12 + 1 =
20.
+2
+
=
+
−
+ 18
16. 9
+ 25
+
−2
13.
4. 4
+ 25
+
+
=
91
=
=
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS Si (
+ )( − ) = − − = ( + )( − )
, al invertir el proceso obtenemos la factorización
Por lo tanto, la factorización de la diferencia de dos cuadrados se obtiene aplicando la siguiente regla: En lenguaje común: 1. Obtenemos la raíz cuadrada del primer término 2. Obtenemos la raíz cuadrada del tercer término 3. Multiplicamos la suma de las raíces cuadradas obtenidas por su diferencia o viceversa
Ejemplos: 81
A. Factorizar
− 25
Aplicando la regla:
1. √81
=9
2. √25
=5
3. (9 + 5 )(9 − 5 )
Entonces, 81
− 25
= (9 + 5 )(9 − 5 ) →
49
B. Factorizar
ó .
− 36
Aplicando la regla:
1. √49
=7
36
=6
2.
3. (7
−6
Entonces, 49
)(7
− 36
+6
)
= (7
−6
)(7
92
+6
) →
ó .
EJERCICIO 23: Factorizar la diferencia de dos cuadrados, escribiendo el resultado por simple inspección.
1.
− 81
=
2.
− 36 =
12.
3.
−4
13.
=
4. 4
− 16
5. 4
−
6. 49
−1=
7.
− 25
8.
9.
10. 36
11.
=
14.
=
15. 16
− 100
−
=
−
−9
=
=
−9
16. 9
=
=
=
− 16
17.
−
=
18.
−9
=
−
=
−
=
19.
−9
−1=
20.
−
93
=
=
=
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS EN QUE UNO O AMBOS CUADRADOS SON EXPRESIONES COMPUESTAS Para la factorización de la diferencia de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas se obtienen aplicando la siguiente regla: En lenguaje común: 1. Obtenemos la raíz cuadrada del primer término o binomio 2. Obtenemos la raíz cuadrada del segundo término o binomio 3. Multiplicamos la suma de las raíces cuadradas obtenidas por su diferencia o viceversa
Ejemplos: A. Factorizar
(2 − 3 ) − 4
Aplicando la regla:
1.
(2 − 3 ) = (2 − 3 )
2. √4
=2
3. [(2 − 3 ) + 2 ][(2 − 3 ) − 2 ] Entonces, (2 − 3 ) − 4
B. Factorizar
= [(2 − 3 ) + 2 ][(2 − 3 ) − 2 ] →
(2 + ) − (2 − 5)
Aplicando la regla:
1.
(2 + ) = (2 + )
2.
(2 − 5) = (2 − 5)
3. [(2 + ) + (2 − 5)][(2 + ) − (2 − 5)] Entonces, (2 + ) − (2 − 5) = [(2 + ) + (2 − 5)][(2 + ) − (2 − 5)]
94
ó .
EJERCICIO 24: Factorizar la diferencia de dos cuadrados en que uno o ambos cuadrados son inspección.
1.
2. 4
expresiones
− ( + 3) =
=
4. (5
+ 4) − 16
5. (4
−
6. (
7. (
−
8.
−
9. (
10. 4
−
=
) − 81
+ 3) − 49
escribiendo
11. (
− (3 − 2 ) =
3. ( + ) − 9
compuestas,
=
) −9
=
−4
) − (5 ) =
−( + ) =
=
resultado
12. (2
−
13. (
+
) − ( + 1) =
) − (1 − ) =
14. (
−
15. (
− 4) − ( − 3) =
) −(
−4
+
17.
+ 2) =
) −( + ) =
−( + ) =
18. (
−
) −( + ) =
19. (
−
) −( − ) =
20. (
−
) −( − ) =
95
por
) −( + ) =
−
16. (
=
el
simple
FACTORIZACIÓN DEL CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Sea ( + ) = factorización
+3 +3
+3 +3
+ . Si invertimos el proceso obtenemos la + =( + ) .
Sea ( − ) = factorización
−3 −3
+3 +3
− . Si invertimos el proceso obtenemos la − =( − ) .
La factorización siguiente regla:
del
cubo
perfecto
de
binomios,
se
obtienen
aplicando
la
En lenguaje común: 1. Raíz cúbica del primer término 2. Raíz cúbica del último término. 3. El segundo término es + o – y es el triple producto del cuadrado de la raíz cúbica obtenida del primer término por la raíz cúbica obtenida del último término, debiendo darnos el segundo término. 4. El tercer término es + y es el triple producto de la raíz cúbica obtenida del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica obtenida del último término, debiendo darnos el tercer término. 5. Las raíces obtenidas del primer término y del último término, se separan con el signo del segundo término y el binomio formado así, se eleva al cubo.
Ejemplos: +3
A. Factorizar
+3
+1
Aplicando la regla:
1. 2. 3. 4. 5.
√ = √1 = 1 3( ) (1) = 3 3( )(1) = 3 ( + 1)
Entonces,
+3
+3
B. Factorizar
+1=(
−3
+3
+3
−
+ 1)
→
ó .
−
Aplicando la regla:
1. 2. 3. 4. 5.
= = 3( ) ( ) = 3 3( )( ) = 3 ( − ) √
Entonces,
−3
=( − )
→ 96
ó .
EJERCICIO 25: Factorizar los cubos perfectos de binomios, escribiendo el resultado por simple inspección.
1. 27 − 27 + 9
2.
+3
3.
−6
4.
−6
5. 8
6. 64
−
=
+3 +1 =
+ 12
+ 36
−8
+ 12
−8
+ 54
+ 96
=
11.
+6
+ 12
12.
−
+
13.
+
− 60
+ 27
+ 48
+ 150
+
14.
−
+3
15.
+6
10.
+3
−9
− 125
+
− 27
=
= − 12
+6
−1 =
= +9
+
=
=
+3
+ 27
−
+ 12 + 8 =
18. 1 − 6 + 12 9.
=
=
+8
+3
=
+
+
17. 27 + 27 8.
−
=
16. 8 7. 8
+8=
+
−8
=
= 19. 1 +
+
20. 8
− 12
+
=
=
97
+6
−
=
PRÁCTICA INTEGRADORA 2 CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES
Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
e. LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES LEYES DE LOS EXPONENTES. Completa la siguiente tabla aplicándole las leyes de los exponentes a las expresiones algebraicas:
Expresiones algebraicas Aplícales las leyes de los exponentes = ) = ) =
( (
= ℎ
= = =
9 = 1 = 4×4 = (2 ) = 3 4 (
= ) =
3 = 81 = (−6) = 6 =
98
LEYES DE LOS RADICALES. Completa la siguiente tabla aplicándole las leyes de los radicales a las siguientes expresiones algebraicas:
Expresiones algebraicas Aplícales las leyes de los radicales √5 × √7 = = √45 = √
√
=
×√ = √23 √50
=
√ = √ = ×
=
√5 × 8 = √3 × √12 = 3 = 2 √ × = √60 = = √81 × 2 =
99
f. OPERACIONES FUNDAMENTALES SUMA DE POLINOMIOS. Sumar los siguientes polinomios:
−2
1. 2
+
+
;−
−5
+
; −5
+3
−
;
−
.
RESTA DE POLINOMIOS. Restar los siguientes polinomios:
1. Restar − 2
+7
−
−
de −
.
100
+7
−
−
+
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. Multiplicar los siguientes polinomios:
−
1. Multiplicar
−
+
por
−
− 1.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Dividir los siguientes polinomios:
1. Dividir 7
− 12
+6
+3
−8
101
+4
entre
− 2 + 1.
g. PRODUCTOS NOTABLES BINOMIO CUADRADO: “CUADRADO DE LA SUMA DE UN BINOMIO”. Desarrollar el cuadrado de la suma del siguiente binomio:
1. (2
) =
+4
BINOMIO CUADRADO: “CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO”. Desarrollar el cuadrado de la diferencia del siguiente binomio:
1. 3
−
=
BINOMIO CONJUGADO: “PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS BINOMIOS”. Desarrollar el siguiente binomio conjugado:
−
1.
+
=
CUADRADO DE UN POLINOMIO. Desarrollar el cuadrado del siguiente polinomio:
1.
+
+2
=
CUBO DE UN BINOMIO: “ CUBO DE LA SUMA DE UN BINOMIO”. Desarrollar el cubo de la suma del siguiente binomio:
+
1.
=
CUBO DE UN BINOMIO: “ CUBO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO”. Desarrollar el cubo de la diferencia del siguiente binomio:
1.
−
=
102
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS: “ DE LA FORMA ( ± )( ± )”. Desarrollar el siguiente producto de dos binomios:
1.
+
−
=
h. FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN DE CUADRADOS PERFECTOS cuadrados perfectos de binomios:
+
1.
2. 4
−
+
+
DE
BINOMIOS. Factorizar
los
siguientes
=
=
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS. Factorizar la diferencia de dos cuadrados:
−
1.
=
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS EN QUE UNO O AMBOS CUADRADOS SON EXPRESIONES COMPUESTAS. Factorizar la diferencia de dos cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas:
1. ( 2.
− 2) − 4
=
− (1 − ) =
+
FACTORIZACIÓN DEL CUBO PERFECTO DE BINOMIOS. Factorizar los cubos perfectos de binomios:
1.
+3
2.
−
+3
+ +
= −
=
103
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN “GUÍA DE OBSERVACIÓN” CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La guía de observación debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno adquirió los conocimientos de manera significativa y en el caso de no adquirió los conocimientos en cada indicador colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna de valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna de total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
e. LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES 1. Resolvió los ejercicios sobre leyes de los exponentes, aplicando el razonamiento para cada caso. 2. Resolvió los ejercicios sobre leyes de los radicales, aplicando el razonamiento para cada caso. f. OPERACIONES FUNDAMENTALES 3. Resolvió el ejercicio sobre suma de polinomios, realizando las operaciones para cada caso y encerró las respuestas. 4. Resolvió el ejercicio sobre resta de polinomios, realizando las operaciones para cada caso y encerró las respuestas. 5. Resolvió el ejercicio sobre multiplicación de polinomios, realizando las operaciones para cada caso y encerró las respuestas. 6. Resolvió el ejercicio sobre división de polinomios, realizando las operaciones para cada caso y encerró las respuestas. g. PRODUCTOS NOTABLES 7. Resolvió el ejercicio de binomio cuadrado “cuadrado de la suma de un binomio”, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas.
104
Cumplió
Total
Motivo del por qué no cumplió
INDICADORES
Valor
Cumplió
8. Resolvió el ejercicio de binomio cuadrado “cuadrado de la diferencia de un binomio”, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 9. Resolvió el ejercicio de binomio conjugado “producto de la suma por la diferencia de dos binomios”, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 10. Resolvió el ejercicio de cuadrado de un polinomio, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 11. Resolvió el ejercicio del cubo de un binomio “cubo de la suma de un binomio”, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 12. Resolvió el ejercicio del cubo de un binomio “cubo de la diferencia de un binomio”, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 13. Resolvió el ejercicio de producto de dos ( ± )( ± )”, binomios “de la forma aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. h. FACTORIZACIÓN 14. Resolvió los ejercicios de factorización de cuadrados perfectos de binomios, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 15. Resolvió el ejercicio de factorización de la diferencia de dos cuadrados, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 16. Resolvió los ejercicios de factorización de la diferencia de dos cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 17. Resolvió los ejercicios del cubo perfecto de binomios, aplicando la regla en cada caso y encerró las respuestas. 18. Disposición y responsabilidad al trabajo en equipo. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
105
Total
Motivo del por qué no cumplió
“LISTA DE COTEJO” CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La lista de cotejo debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno realizó la práctica de acuerdo a los indicadores y en el caso de no cumplió deberá colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
PRÁCTICA INTEGRADORA 1. La práctica contiene las operaciones para cada caso. 2. La práctica se realizó aplicando razonamiento lógico para cada caso.
un
3. Los resultados en la práctica para cada caso fueron resaltados. 4. La práctica se realizó con orden. 5. La práctica se realizó con limpieza. 6. La práctica se entregó en tiempo y forma. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
106
Total
Motivo del por qué no cumplió
REALIMENTACIÓN CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES De los contenidos que se te presentan a continuación es muy importante que reconozcas cuáles fueron tus errores para tratar de corregirlos. Llena la siguiente tabla para que tengas una idea más clara de lo que te falta reafirmar. Busca ayuda con alguno de tus compañeros para que te resuelva las dudas que aún te queden y si después de esto sigues teniendo dudas pide ayuda a tu profesor.
Porcentaje de lo que aprendí
CONTENIDOS
e. Leyes de los exponentes y radicales Leyes de los exponentes Leyes de los radicales f. Operaciones fundamentales Suma de polinomios Resta de polinomios Multiplicación de polinomios División de polinomios g. Productos notables Cuadrado de la suma de un binomio Cuadrado de la diferencia de un binomio Productos de la suma por la diferencia de dos binomios Cuadrado de un polinomio Cubo de la suma de un binomio Cubo de la diferencia de un binomio Producto de dos binomios de la forma ( ± )( ± ) h. Factorización Factorización de cuadrados perfectos de binomios Factorización de la diferencia de dos cuadrados Factorización de la diferencia de cuadrados en que uno o ambos binomios son expresiones compuestas Factorización del cubo perfecto de binomios
107
Motivo del por qué no lo logró (esta columna debe ser llenada por el profesor)
OBJETIVO: “ECUACIONES”
Al cursar el concepto subsidiario de “Ecuaciones lineales”, serás capaz de: Resolver distintas situaciones o problemas, a través de la aplicación de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, con
dos
También,
o
tres
serás
incógnitas, capaz
de
aplicando
interpretar,
las
operaciones
validar
y
básicas.
graficar
las
ecuaciones; esto es lo que desarrollarás en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
4 + 2 = 10 2( − 4) − (6 − 2 ) = 8 + 2( + 2) = √4 − 3 = 3 √4 − 3 = 2 + 3 La edad de A y B es 94 años, y B tiene 10 años menos que A. Hallar ambas edades. −2 = 9 + =3 + + =1 − + =2 + − =3
108
CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES LINEALES
DESARROLLO
i. CON UNA INCÓGNITA PROPÓSITO: Aplicar las ecuaciones con una incógnita, además de adquirir los conocimientos fundamentales y emplear estos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes.
¿Qué es una ecuación? Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas en una ecuación alfabeto u, v, w, x, y, z.
se
representan
por
las
últimas
letras
del
Las partes de una ecuación son: Ecuación
Segundo miembro
Primer miembro
4 + 2 = 10 Incógnita
Igualdad
Cuando un conjunto de números se sustituye en lugar de las incógnitas e igualan los dos miembros, se dice que satisface la ecuación. Al conjunto de números se le llama solución o raíces de la ecuación.
109
Ejemplo de una ecuación: Es una ecuación, porque es una igualdad en la a. 4 + 2 = 10
que hay una incógnita, la , y esta igualdad sólo se verifica o es verdadera, para el valor
=
(la solución o raíz de la ecuación es
En efecto, si sustituimos la ( )+
=
,
:
=
por 2, tenemos:
.
Si damos a un valor distinto de 2, igualdad no se verifica o no es verdadera.
El grado de incógnita.
una
ecuación
lo
determina
el
).
exponente
de
mayor
grado
la
de
la
Ejemplos: a. 2 + 4 = 14, es de primer grado ya que tiene una sola solución. b. 2 + 5 = 6, es de segundo grado por que tiene dos soluciones. c. 4 − 2 + + 3 − 2 − 1 = 0, es de quinto grado por que tiene cinco soluciones. El grado de la ecuación determina el número de soluciones por encontrar.
RESOLUCIÓN Y EVALUACIÓN DE ECUACIONES A. Ecuaciones con signos de agrupación y productos indicados ( − )−( −
)=
+ ( + )
1. Efectuamos las operaciones indicadas 2 − 8 − 6 + 2
=8+2 +4
2. Reducimos términos semejantes en ambos miembros 4 − 14 = 12 + 2 3. Justamos los términos semejantes sin olvidar aplicar las propiedades de la igualdad y los reducimos
4 − 2 = 12 + 14 2 = 26 4. Despejamos a la incógnita dividiendo toda la ecuación entre su coeficiente y obtenemos la solución
=
Entonces,
=
es la solución de la ecuación.
110
B. Ecuaciones que incluyen fracciones −
−
=
1. Se multiplica cruzado, el numerador del primer miembro por el denominador del segundo miembro y el denominador del primer miembro por el numerador del segundo miembro.
2(2 − 4) = 6(6 − ) 4 − 8 = 36 − 6 2. Justamos los términos semejantes sin olvidar aplicar las propiedades de la igualdad y los reducimos
4 + 6 = 36 + 8 10 = 44 3. Despejamos a la incógnita dividiendo toda la ecuación entre su coeficiente y obtenemos la solución
10 44 = 10 10 Entonces,
=
=
es la solución de la ecuación.
C. Ecuaciones con radicales √
−
=
1. Elevamos al cuadrado ambos miembros y efectuamos las operaciones indicadas
√4 − 3 = (3) 4 −3 =9 2. Juntamos los términos semejantes sin olvidar aplicar las propiedades de la igualdad y los reducimos
4 =9+3 4 = 12 3. Despejamos a la incógnita dividiendo toda la ecuación entre su coeficiente y obtenemos la solución
=
Entonces,
=
es la solución de la ecuación.
111
−
√
=
+
1. Elevamos al cuadrado ambos miembros y efectuamos las operaciones indicadas
4 4
+ 10 − 3
= (2 + 3)
+ 10 − 3 = 4
+ 12 + 9
2. Juntamos los términos semejantes sin olvidar aplicar las propiedades de la igualdad y los reducimos
4 − 4 + 10 − 12 = 9 + 3 −2 = 12 3. Despejamos a la incógnita dividiendo toda la ecuación entre su coeficiente y obtenemos la solución
−2 12 = −2 −2 Entonces,
=−
es la solución de la ecuación.
112
EJERCICIO 26: Resuelve las siguientes ecuaciones lineales con una incógnita, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta.
1. 2( − 1) + 3 = 3( + 4) + ( − 1)
4. 4( − 18) − 12 = 6(16 − 8)
2. (2 − 1) − 5 = 4(3 − 2) − 4
5. ( − 3) − 2(3 − ) = 3(2 + 1) + 4( − 2)
3.
+
= (2 + ) − 6
6.
113
=
7. 9 =
10.
=
8. 2 =
11.
−
12.
=
9.
=
114
=0
13. √ − 3 = 3
17. √
+3 −1−3 =
14. 1 − √2 + 2 = 0
18. √
+
15. √
−
+3 =
−2
16. √
+
+2−2 =
+2−2 =
19. √ + 2 = −1
−2
20. √5 − 1 = −3
115
+1
−2
APLICACIÓN En álgebra traducir las proposiciones verbales a proposiciones algebraicas es muy importante y es necesario saber que las operaciones vienen expresadas por palabras clave tales como: Suma (adición). Que también significa ganar, aumentar, más, incrementar, crecer, más que, entre otras. Resta (sustracción). Que también significa decrecer, perder, bajar, disminuir, menos, diferencia, entre otras. Multiplicación (producto). Que también significa cuádruple, triple, duplo, doble, dos veces, entre otras. División (razón). Que también significa entre, mitad, cociente, dividido por, entre otras. La palabra “es”, dentro de un problema algebraico significa “igual a” y se representa por el signo igual.
Ejemplos: 1. Hallar un número que sumado a 4 es 30 Solución: La ecuación formada es + 4 = 30 Resolviendo la ecuación = 30 − 4 = 26 Por lo tanto, el número que sumado a 4 es 30, es el número 26.
2. La edad de A y B es 94 años, y B tiene 10 años menos que A. Hallar ambas edades. Solución: = − 10 = Entonces tenemos que la ecuación es:
+
116
= 94
Sustituyendo el valor de A y B: + − 10 = 94 Resolviendo la ecuación: 2 − 10 = 94 2 = 94 + 10 2 = 104 104 = 2 =
,
,
=
ñ
Sustituyendo el valor de x, en la ecuación para hallar B, obtenemos: −
=B
Resolviendo la ecuación: 52 − 10 = B 42 = B =
ñ
EJERCICIO
27: Resuelve los siguientes problemas de aplicación sobre ecuaciones lineales con una incógnita, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas. 1. Yo tengo el doble de CD de música que tú y entre ambos tenemos 15. ¿Cuántos CD tiene cada uno?
117
2. Hallar dos números sabiendo que su suma es igual a 39 y que uno de ellos es igual al doble del otro.
3. Karla, Gerardo y Martín ganan entre los tres $ 12,000 quincenales. Gerardo gana $ 2,000 menos que Karla y Martín gana el doble que Gerardo. Hallar lo que gana cada uno de ellos quincenalmente.
4. La suma de dos números es 34. Hallar los dos números, si un número es 3 veces el otro número más dos.
118
5. La edad de C es el triple de la de D, y ambas edades suman 52 años. Hallar ambas edades.
6. Repartir $180,000 entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de C. Hallar cuánto dinero le toca a cada uno.
7. Una herencia de $360,000 se ha repartido entre tres personas, la segunda recibe la mitad de lo que recibe la primera y la tercera el triple de lo que recibe la segunda. ¿Cuánto dinero recibe cada persona?
119
8. Un hombre viajó 9000 km por barco, tren y avión. Por tren recorrió la quinta parte de lo que recorrió en barco y en avión el triple de lo que recorrió en tren. ¿Cuánto km recorrió en cada medio de transporte?
9. La suma de la mitad y la cuarta parte de un número equivale al doble del número disminuido en 10. ¿Cuál es el número?
10. Después de gastar la mitad de lo que tenía y $30,000 más, me quedan $60,000. ¿Cuánto tenía al principio?
120
j. CON DOS Y TRES INCÓGNITAS PROPÓSITO: Aplicar las ecuaciones con dos y tres incógnita, además de adquirir los conocimientos fundamentales y emplear estos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes.
SISTEMAS DE ECUACIONES Se les llama sistema de ecuaciones o ecuaciones simultáneas con dos y tres incógnitas o más, cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas y se resuelven simultáneamente las dos ecuaciones con dos incógnitas y las tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejemplo: Sistema de ecuaciones de 2 x 2.
Sistemas de ecuaciones de 3 x 3.
−2 =9 + =3
MÉTODOS DE INCÓGNITAS
SOLUCIÓN
+ − +
PARA
SISTEMAS
DE
DOS
+ + −
=1 =2 =3
ECUACIONES
CON
DOS
Los métodos de solución más conocidos para resolver los sistemas de ecuaciones de 2 x 2 son: 1. 2. 3. 4.
Método Método Método Método
por por por por
igualación sustitución o comparación reducción o suma y resta determinantes
121
MÉTODO POR IGUALACIÓN Ejemplo:
+ +
= =
ó ó
Solución: 1. Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, en este caso vamos a despejar a “y”. Despejamos a “y” en la ecuación 1:
=
Despejamos a “y” en la ecuación 2:
=2−3
2. Igualamos los valores de = y = 2 − 3 que se obtuvieron con los despejes de ambas ecuaciones y realizamos las operaciones indicadas. 4−5 = 2−3 2 4 − 5 = 2(2 − 3 ) 4−5 = 4−6 6 −5 = 4−4 =0 3. Sustituimos el valor de = 0 en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso lo sustituimos en la ecuación 2, para hallar el valor de la otra incógnita. 3 + =2 3(0) + = 2 =2
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:
=
,
= .
Para validar las ecuaciones, se sustituyen los resultados en ambas ecuaciones debiendo darnos el mismo resultado en ambos miembros de la ecuación.
122
EJERCICIO 28: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas o de 2 x 2, por el método de igualación. operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
1.
2 − 3 = −4 5 + 4 = 13
3.
2.
3 + 5 = 12 5 +2 =1
4.
123
7 − 8 = 22 4 +2 =6
6 + 4 = 34 − 7 = −25
Realizar
las
5.
3 − 5 = 10 7 + = 36
6.
8 − 3 = −2 3 + = −5
7.
4 + 2 = 14 −5 + 3 = −1
8.
6 + = 21 − 7 = 25
124
9.
+ 3 = −1 6 − 4 = 38
10.
125
7 − 2 = −8 2 − = −1
MÉTODO POR SUSTITUCIÓN O COMPARACIÓN Ejemplo:
+ +
= =
ó ó
Solución: 1. Despejamos una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso vamos a despejar a “y” en la ecuación 2. Despejamos a “y” en la ecuación 2:
=2−3
2. Sustituimos el valor de = 2 − 3 que se obtuvo con el despeje de la ecuación 2 en la ecuación 1 y realizamos las operaciones indicadas. 5 +2 = 4 5 5 − − −
+ 2(2 − 3 ) = 4 +4−6 = 4 +4 = 4 = 4+4 =0 =0
3. Sustituimos el valor de = 0, en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso lo sustituimos en la ecuación 2, para hallar el valor de la otra incógnita. 3 + =2 3(0) + = 2 =2
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:
126
=
,
= .
EJERCICIO 29: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas o de 2 x 2, por el método de sustitución. operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
1.
6 −3 =0 4 + 5 = −14
3.
2.
4 − 6 = 12 3 + 4 = −8
4.
127
5 +3 =9 − 7 = 17
5 +2 =4 3 + =2
Realizar
las
5.
+ =2 2 − =1
3 − 2 = −2 6. 2 − = −4
7.
8.
128
7 +4 =5 12 + 10 = −4
+3 =6 3 +4 =8
9.
− 5 = 10 4 +5 =5
10.
129
3 +6 =9 −2 =6
MÉTODO POR REDUCCIÓN O DE SUMA Y RESTA + +
Ejemplo:
= =
ó ó
Solución: 1. Eliminamos una de las incógnitas, la misma en ambas ecuaciones, en este caso vamos a eliminar a . Multiplicamos a la ecuación 1 por el coeficiente de en la ecuación 2, en este caso el coeficiente es 1. Multiplicamos a la ecuación 2 por el coeficiente de en la ecuación 1, en este caso el coeficiente es 2 y atendemos a los signos para que una nos quede positiva y otra negativa para que se pueda eliminar la incógnita. + +
= =
(− ) ( )
−5 − 2 = −4 6 +2 = 4 2. Reducimos los términos semejantes y despejamos a la incógnita. −5 − 2 = −4 6 +2 = 4 = 0 =0 3. Sustituimos el valor de = 0 en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso lo sustituimos en la ecuación 2, para hallar el valor de la otra incógnita. 3 + 3(0) + =2
=2 =2
=2
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:
130
=
,
= .
EJERCICIO 30: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas o de 2 x 2, por el método de reducción o de suma y resta. Realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
1.
+3 = 9 3 − =7
3.
2 +6 =4 − 3 = −2
2.
7 −2 =1 5 −2 =5
4.
+2 =6 + =1
131
5.
6 −3 =9 2 − 2 = −1
6 − 5 = 10 6. 3 −2 =3
7.
− +3 =4 2 + = −1
8.
−2 =9 + =3
132
9.
5 +7 =2 3 +4 =7
10.
133
6 + 5 = 12 3 +2 =4
MÉTODO POR DETERMINANTES Para resolver un sistema de ecuaciones de 2 x 2, aplicamos la regla de Kramer que nos dice que el valor de cada incógnita es una fracción y cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de las incógnitas.
− +
Ejemplo:
=− =
ó ó
Solución: Sea el sistema de ecuaciones:
+ +
= =
1. Calculamos el determinante del sistema de ecuaciones, aplicando la siguiente regla: = =
=
−
5 −3 = (5)(6) − (4)(−3) = 30 + 12 = 42 4 6
2. Calculamos el valor de
=
=
=
, aplicando la siguiente regla:
−
−11 −3 6 = (−11)(6) − (8)(−3) = −66 + 24 = −42 = −1 = 8 42 42 42 42 =−
3. Calculamos el valor de
= 5 = 4
=
, aplicando la siguiente regla:
−
−11 8 = (5)(8) − (4)(−11) = 40 + 44 = 84 = 2 42 42 42 42
= Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:
134
=− ,
= .
EJERCICIO 31: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas o de 2 x 2, por el método de determinantes. Realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
1.
+ =4 +2 = 2
3.
5 − 3 = −14 − + 6 = −8
2.
2 − 3 = −8 − = −1
4.
6 + =8 5 −2 =1
135
5.
2 + = 10 − 2 = −5
7.
6.
2 − =5 − − 2 = −10
8.
136
− 6 = −2 2 −3 =5
6 7
− 2 = 12 − 6 = 25
9.
9 − 7 = −5 8 − 6 = −4
10.
137
5 − 2 = −4 7 + = −17
MÉTODOS DE INCÓGNITAS
SOLUCIÓN
PARA
SISTEMAS
DE
TRES
ECUACIONES
CON
TRES
En algunos casos no hay reglas fijas y depende de las habilidades del alumno para hallar la forma más rápida de resolver el sistema de ecuaciones. Para resolver un sistema de ecuaciones de 3 x 3, se puede proceder de la siguiente manera:
Ejemplo:
+ 2 + 3 = −1 3 +3 + =7 2 + − 3 = 10
ó 1 ó 2 ó 3 3 + 8 = −10 −3 − 9 = 12
Solución: 1. Combinamos la ecuación 1 y 2 y eliminamos a la incógnita . Multiplicamos por -3 a la ecuación 1 y reducimos los términos semejantes. + 2 + 3 = −1 (−3) 3 +3 + = 7 -3 − 6 − 9 = 3 3 +3 + = 7 −3 − 8 = 10
ó
: −
−
=
2. Combinamos la ecuación 1 y 3 y eliminamos la misma incógnita. La ecuación 3 puede ser combinada con cualquiera de las ecuaciones. Multiplicamos por -2 a la ecuación 1 y reducimos los términos semejantes.
− =2
4. Sustituimos el valor de = −2 en la ecuación 4 o 5, para encontrar otra de las incógnitas en este caso y lo sustituimos en la ecuación 4. −3 − 8 = 10 −3 − 8(−2) = 10 −3 + 16 = 10 −3 = 10 − 16 −3 = −6
=
: −
−
=
3. Combinamos la ecuación 4 y 5 y eliminamos a . Multiplicamos por -1 a la ecuación 1, reducimos los términos semejantes y despejamos a la incógnita. −3 − 8 = 10 −3 − 9 = 12
=
+ 2 + 3 = −1 + 2(2) + 3(−2) = −1 + 4 − 6 = −1 − 2 = −1 =2−1 =
-2 − 4 − 6 = 2 2 + − 3 = 10 ó
=2
5. Sustituimos el valor de = −2 y = 2 en la ecuación 1 o 2 o 3, para encontrar la incógnita faltante, en este caso los sustituimos en la ecuación 1.
+ 2 + 3 = −1 (−2) 2 + − 3 = 10
−3 − 9 = 12
=−
Por lo tanto, la solución al sistema es = , = , =− . Para validar las ecuaciones, se sustituyen los resultados en ambas ecuaciones debiendo darnos el mismo resultado en ambos miembros de la ecuación.
138
EJERCICIO 32: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas o de 3 x 3, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
2 + 3 + = 11 + + =6 1. 3 − 2 − = −4
+2 +3 =8 2. 3 − − 2 = −8 5 +2 − =0
139
+ + =0 3. 2 − 3 + 4 = −11 − 2 + 2 = −6
4.
140
5 + 2 − = −6 4 −3 + = 8 3 + − 2 = −6
5.
2 + 3 + 4 = −11 3 + 2 − = −7 6 − 3 + 2 = −11
6.
141
3 + 6 + = 22 6 −4 − =9 2 − 5 + 3 = −1
MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS INCÓGNITAS POR DETERMINANTES
DE
TRES
ECUACIONES
CON
TRES
Para resolver un sistema de ecuaciones de 3 x 3, aplicamos la regla de Kramer que nos dice que el valor de cada incógnita es una fracción y cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de las incógnitas.
+ 2 + 3 = −1 3 +3 + =7 2 + − 3 = 10
Ejemplo:
ó 1 ó 2 ó 3
Solución: Sea el sistema de ecuaciones:
+ + +
+ + +
= = =
1. Calculamos su determinante del sistema de ecuaciones, aplicando la siguiente regla:
=
Repetimos las dos primeras filas
Sustituimos los valores en la tabla, multiplicamos los valores en diagonal de izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicación de derecha a izquierda se les cambia el signo.
1
2
3
3
3
1
2
1
-3
1
2
3
3
3
1
= −9 + 9 + 4 − 18 − 1 + 18
=
142
2. Calculamos el valor de
, aplicando la siguiente regla:
=
Repetimos las dos primeras filas y lo dividimos al final entre su determinante.
Sustituimos los valores en la tabla, multiplicamos los valores en diagonal de izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicación de derecha a izquierda se les cambia el signo.
-1
2
3 =
7
3
1
10
1
-3
1
2
3
7
3
1
3. Calculamos el valor de
9 + 21 + 20 − 90 + 1 + 42
=
=
, aplicando la siguiente regla:
=
Repetimos las dos primeras filas y lo dividimos al final entre su determinante.
Sustituimos los valores en la tabla, multiplicamos los valores en diagonal de izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicación de derecha a izquierda se les cambia el signo.
143
1
-1
3
3
7
1
2
=
−21 + 90 − 2 − 42 − 10 − 9
10 -3
1
-1
3
3
7
1
4. Calculamos el valor de
=
=
, aplicando la siguiente regla:
=
Repetimos las dos primeras filas y lo dividimos al final entre su determinante.
Sustituimos los valores en la tabla, multiplicamos los valores en diagonal de izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicación de derecha a izquierda se les cambia el signo.
1
2
-1
3
3
7 =
2
1
10
1
2
-1
3
3
7
30 − 3 + 28 + 6 − 7 − 60
=
−
=−
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:
144
=
,
= ,
= .
EJERCICIO 33: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas o de 3 x 3 por el método de determinantes. Realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
2 +3 + =4 +2 +3 =7 1. 3 − 2 + 5 = 13
+ 2. 3 − 2 +
145
+ =6 −5 =2 −3 =5
2 − + =6 3. 5 + − 2 = 5 7 +2 −3 =7
−2 + + = −3 4. 3 − 2 + 3 = 12 +2 − =8
146
− + = −2 + − =0 5. 3 − 2 + 3 = −8
3 + 2 − 3 = −4 6. 5 − 6 + = −4 + + =3
147
PRÁCTICA INTEGRADORA 3 CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES LINEALES
Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
i. CON UNA INCÓGNITA ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales, desarrolla cada uno de los procedimientos y encierra las respuestas: ECUACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Y PRODUCTOS INDICADOS
( − )+
ECUACIONES QUE INCLUYEN FRACCIONES
−
= ( − )− ( + )
−
+
=
ECUACIONES CON RADICALES
√
+
−
=
−
148
+
−
=
+
APLICACIÓN. Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación de las ecuaciones lineales con una incógnita, desarrollando cada uno de los procedimientos y encierra las respuestas: 1. María, Pedro y Ricardo ganan entre los tres $ 15,000 quincenales. Pedro gana $ 3,000 menos que María y Ricardo gana el triple que Gerardo. Hallar lo que gana cada uno de ellos quincenalmente.
2. Repartir $260,000 entre A, B y C de modo que la parte de A sea la tercera parte de la de B y la cuarta parte de la de C. Hallar cuánto dinero le toca a cada uno.
3. Un hombre viajó 32,000 km por autobús, tren y avión. Por tren recorrió el triple de lo que recorrió en autobús y en avión el cuádruple de lo que recorrió en tren. ¿Cuánto km recorrió en cada medio de transporte?
149
j. CON DOS Y TRES INCÓGNITAS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS O DE 2 X 2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por los métodos que se indican, desarrolla cada uno de los procedimientos y encierra las respuestas:
7 − 5 = −3 − 6 = −11 MÉTODO POR IGUALACIÓN
MÉTODO POR SUSTITUCIÓN O COMPARACIÓN
MÉTODO POR REDUCCIÓN O DE SUMA Y RESTA
MÉTODO POR DETERMINANTES
150
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS O DE 3 X 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por los métodos que se indican, desarrolla cada uno de los procedimientos y encierra las respuestas:
4 +3 −2 =8 7 − 2 − 2 = −5 − 2 − = −2 MÉTODO ABIERTO
MÉTODO POR DETERMINANTES
151
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN “GUÍA DE OBSERVACIÓN” CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES LINEALES Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La guía de observación debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno adquirió los conocimientos de manera significativa y en el caso de no adquirió los conocimientos en cada indicador colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna de valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna de total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
i. CON UNA INCÓGNITA 1. Resolvió los ejercicios sobre ecuaciones lineales con una incógnita, desarrollando el procedimiento en cada caso y encerró las respuestas. 2. Resolvió los ejercicios sobre aplicación de las ecuaciones lineales, aplicando el razonamiento para cada caso y encerró las respuestas. j. ECUACIONES CON DOS Y TRES INCÓGNITAS 3. Resolvió el ejercicio sobre sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas o de 2 x 2, por cada uno de los métodos de solución, desarrollando los procedimientos en cada caso y encerró las respuestas. 4. Resolvió el ejercicio sobre sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas o de 3 x 3, por cada uno de los métodos de solución, desarrollando los procedimientos en cada caso y encerró las respuestas. 5. Disposición y responsabilidad al trabajo en equipo. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
152
Total
Motivo del por qué no cumplió
“LISTA DE COTEJO” CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES LINEALES Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La lista de cotejo debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno realizó la práctica de acuerdo a los indicadores y en el caso de no cumplió deberá colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
PRÁCTICA INTEGRADORA 1. La práctica contiene las indicadas para cada caso.
operaciones
2. La práctica se realizó aplicando razonamiento lógico para cada caso.
un
3. Los resultados en la práctica para cada caso fueron resaltados. 4. La práctica se realizó con orden. 5. La práctica se realizó con limpieza. 6. La práctica se entregó en tiempo y forma. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
153
Total
Motivo del por qué no cumplió
REALIMENTACIÓN CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES LINEALES De los contenidos que se te presentan a continuación es muy importante que reconozcas cuáles fueron tus errores para tratar de corregirlos. Llena la siguiente tabla para que tengas una idea más clara de lo que te falta reafirmar. Busca ayuda con alguno de tus compañeros para que te resuelva las dudas que aún te queden y si después de esto sigues teniendo dudas pide ayuda a tu profesor.
Porcentaje de lo que aprendí
CONTENIDOS
i. Con una incógnita Ecuaciones lineales con una incógnita Ecuaciones con signos de agrupación y productos indicados Ecuaciones que incluyen fracciones Ecuaciones con radicales Aplicaciones de las ecuaciones lineales j. Con dos y tres incógnitas Con dos incógnitas Método por igualación Método por sustitución o comparación Método por reducción o de suma y resta Método por determinantes Con tres incógnitas Método abierto Método por determinantes
154
Motivo del por qué no lo logró (esta columna debe ser llenada por el profesor)
OBJETIVO: “ECUACIONES CUADRÁTICAS”
Al
cursar
serás
el
capaz
concepto de:
subsidiario
Resolver
distintas
de
“Ecuaciones
situaciones
o
cuadráticas”, problemas,
a
través de la aplicación de las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, aplicando las operaciones básicas. También, serás capaz de interpretar y validar las ecuaciones; esto es lo que desarrollarás en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
2
−3 =0
3
−9 =0
2
−3 +1=0
5
+2 +3=0
=
±√
155
k. CLASIFICACIÓN PROPÓSITO: Adquirir los conocimientos fundamentales de la clasificación de las ecuaciones cuadráticas y emplear estos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes. Una ecuación con una incógnita es de segundo grado, si el mayor exponente de la incógnita es dos. La forma general de la ecuación de segundo grado o cuadrática es en donde , , , representan cualquier número real.
+
+ = 0,
→ Es el término de segundo grado con respecto a . → Es el término de primer grado o lineal con respecto a . → Es el término independiente. Como el mayor exponente de esta ecuación es 2, su solución o raíces, también son dos. En todas las ecuaciones de segundo grado debe estar necesariamente el término de segundo grado con respecto a , pero puede faltar el término de primer grado o el término independiente. Entonces las ecuaciones se clasifican en ecuaciones completas e incompletas.
ECUACIONES INCOMPLETAS 1.
+
=0
Ejemplo: 2
2.
−3 =0
ECUACIONES COMPLETAS 1.
+ =0
Ejemplos:
+ =0
Ejemplo: 3
+
−9=0
156
2
−3 +1=0
5
+2 +3=0
l. MÉTODOS DE SOLUCIÓN PROPÓSITO: Aplicar las ecuaciones cuadráticas y emplear estos conocimientos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes.
ECUACIONES INCOMPLETAS ECUACIONES DE LA FORMA
+
=
Las ecuaciones de esta forma, se resuelven descomponiendo en factores su primer miembro.
Ejemplo: Resolver la ecuación 3
−
= 0.
1. Descomponemos en factores a los términos de la ecuación de acuerdo a su factor común, en este caso su factor común es . (3 − 1) = 0 2. Igualamos a cero el primer factor
=0
3. Igualamos a cero el segundo factor y despejamos a la incógnita 3 −1 = 0 3 =1 1 = 3
Entonces, la solución o raíces de la ecuación son:
= ,
=
En todas las ecuaciones de segundo grado de esta forma, tiene dos soluciones. La cual una de ellas siempre es cero.
Para validar las ecuaciones sustituye las debiendo darnos lo mismo en ambos miembros.
157
raíces
en
la
ecuación
original,
EJERCICIO 34: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de 2 la forma + = 0. Realizar encerrar las respuestas.
las
operaciones
1.
−6 =0
6. 3
2.
+7 =0
7.
3. 5
−5 =0
8. 5
4. 8
−
=0
9.
5. 2
+
=0
10. 7
158
indicadas
+3 =0
−5 =0
+5 =0
−3 =0
+
=0
en
cada
caso
y
ECUACIONES DE LA FORMA
+
=
Las ecuaciones de esta forma, se resuelven despejando a la incógnita.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación 1. Despejamos a − 36 = 0 = 36 √ = ±√36 = ±6
− 36 = 0.
.
Sacamos la raíz cuadrada a ambos miembros para eliminar la potencia 2
Entonces, la solución o raíces de la ecuación son:
Ejemplo 2: Resolver la ecuación 9 1. Despejamos a 9 9
+ 16 = 0 = −16 16 =− 9
√
=± −
=+ ,
=−
+ 16 = 0.
.
Sacamos la raíz cuadrada a ambos miembros para eliminar la potencia
Como el subradical es negativo, se trata de un número complejo o imaginario que se representa por la letra .
=±
Entonces, la solución o raíces de la ecuación son:
=+
,
=−
En todas las ecuaciones de segundo grado de esta forma, tiene dos soluciones que corresponde a números simétricos.
159
EJERCICIO 35: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de 2 la forma + = 0. Realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
1.
−4 =0
6. 25
+ 16 = 0
2. 9
+4 =0
7. 4
= −9
3. 4
= 16
8. 4
− 64 = 0
4.
5. 9
= 25
= −81
9. 36
10.
160
− 49 = 0
=−
ECUACIONES COMPLETAS ECUACIONES DE LA FORMA
+
+
=
POR DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES
Ejemplo: Resolver la ecuación
+ 5 − 24 = 0.
1. Abrimos dos paréntesis (
)(
)
2. Buscamos dos factores que multiplicamos me den el primer término (
)(
.
)
3. Buscamos dos factores que multiplicados me den el tercer término −24 y que sumados o restados me den el segundo término +5 . ( + 8 )( − 3 )
4. Igualamos a cero ambos binomios y despejamos a las incógnitas para hallar la solución o raíces de la ecuación cuadrática. ( +8 ) =0 =− ( −3) =0 =
Entonces, la solución o raíces de la ecuación son:
161
=− ,
=
EJERCICIO 36: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la 2 forma + + = 0, por el método de descomposición de factores. Realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
1.
+
−6 =0
4. 4
2.
+ 3 − 10 = 0
5.
− 11 + 28 = 0
3.
+ 9 + 20 = 0
6.
+
162
− 8 − 32 = 0
− 72 = 0
7.
− 13 + 30 = 0
9.
− 21 + 108 = 0
8.
+ 5 − 14 = 0
10.
+ 9 − 52 = 0
163
+
ECUACIONES DE LA FORMA
+
=
APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas o de segundo grado es:
=
− ±√ −4 2
Donde:
→ Es el coeficiente del término cuadrático → Es el coeficiente del término lineal o de primer grado → Es el término independiente Ejemplo: Resolver la ecuación
Fórmula:
=
+ 5 − 24 = 0.
±√
Donde: =1 =5 = −24 Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula y realizamos las operaciones indicadas. −(5) ± (5) − 4(1)(−24) 2(1) −5 ± √25 + 96 = 2 −5 ± √121 = 2 =
=
−5 ± 11 2
Tomando al signo positivo:
=
= =3
Tomando al signo negativo:
=
=
=8
=
=
Entonces, la solución o raíces de la ecuación son:
164
= ,
=
EJERCICIO 37: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la 2 forma + + = 0, aplicando la fórmula general. Realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas.
1. 2
−5 +2=0
4. 9
− 15 + 6 = 0
2. 3
+5 −2=0
5. 16
+4 −6 =0
3. 6
− 13 − 28 = 0
6.
165
− 9 + 20 = 0
7.
8. 4
+8 −9= 0
+ 12 + 8 = 0
9.
− 10 + 16 = 0
10.
− 2 − 48 = 0
166
PRÁCTICA INTEGRADORA 4 CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES CUADRÁTICAS
Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
k. CLASIFICACIÓN ¿Cuál es la clasificación de las ecuaciones cuadráticas?
l. MÉTODOS DE SOLUCIÓN Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método que se indica: DE LA FORMA 1. 10
2. 5
− 10 = 0
+
=0
+
=
DE LA FORMA 1. 16
− 16 = 0
2. 25
+4=0
167
+ =
DE LA FORMA
+
+ =
DE LA FORMA
1.
− 16 + 63 = 0
1. 9
2.
+ 3 − 18 = 0
2.
168
− 3 − 20 = 0
− 18 + 65 = 0
+
+ =
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN “GUÍA DE OBSERVACIÓN” CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES CUADRÁTICAS Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La guía de observación debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno adquirió los conocimientos de manera significativa y en el caso de no adquirió los conocimientos en cada indicador colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna de valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna de total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
k. CLASIFICACIÓN 1. Clasifica a las ecuaciones cuadráticas. l. MÉTODOS DE SOLUCIÓN 2. Resolvió el ejercicio sobre ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma 2 + = 0, desarrollando los procedimientos en cada caso y encerró las respuestas. 3. Resolvió el ejercicio sobre ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma 2 + = 0, desarrollando los procedimientos en cada caso y encerró las respuestas. 4. Resolvió el ejercicio sobre ecuaciones 2 cuadráticas completas de la forma + + = 0, por descomposición de factores, desarrollando los procedimientos en cada caso y encerró las respuestas. 5. Resolvió el ejercicio sobre ecuaciones 2 cuadráticas completas de la forma + + = 0, aplicando la fórmula general, desarrollando los procedimientos en cada caso y encerró las respuestas. 6. Disposición y responsabilidad al trabajo en equipo. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
169
Total
Motivo del por qué no cumplió
“LISTA DE COTEJO” CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES CUADRÁTICAS Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La lista de cotejo debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno realizó la práctica de acuerdo a los indicadores y en el caso de no cumplió deberá colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
PRÁCTICA INTEGRADORA 1. La práctica contiene las indicadas para cada caso.
operaciones
2. La práctica se realizó aplicando razonamiento lógico para cada caso.
un
3. Los resultados en la práctica para cada caso fueron resaltados. 4. La práctica se realizó con orden. 5. La práctica se realizó con limpieza. 6. La práctica se entregó en tiempo y forma. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
170
Total
Motivo del por qué no cumplió
REALIMENTACIÓN CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES CUADRÁTICAS De los contenidos que se te presentan a continuación es muy importante que reconozcas cuáles fueron tus errores para tratar de corregirlos. Llena la siguiente tabla para que tengas una idea más clara de lo que te falta reafirmar. Busca ayuda con alguno de tus compañeros para que te resuelva las dudas que aún te queden y si después de esto sigues teniendo dudas pide ayuda a tu profesor.
CONTENIDOS
Porcentaje de lo que aprendí
k. Clasificación Ecuaciones cuadráticas completas Ecuaciones cuadráticas incompletas l. Métodos de solución Ecuaciones cuadráticas incompletas 2 De la forma + =0 2 De la forma + =0 Ecuaciones cuadráticas completas De la forma + + = 0, por descomposición de factores. De la forma + + = 0, aplicando la fórmula general.
171
Motivo del por qué no lo logró (esta columna debe ser llenada por el profesor)
OBJETIVO: “GRAFICACIÓN”
Al cursar el concepto subsidiario de “Graficación”, serás capaz de: Resolver
distintas
representación cúbicas,
en
situaciones
gráfica el
de
plano
las
o
problemas,
ecuaciones
cartesiano.
a
través
lineales,
También,
de
la
cuadráticas,
serás
capaz
de
interpretar y validar las ecuaciones; esto es lo que desarrollarás en un ambiente de respeto y trabajo en equipo.
y+ (-2,5)
5 4 (-1,3) 3 2
Gráfica de la ecuación 2x + y = 1
1 (0,1)
x+ -3
-2
-1 -1
1 2 (1,-1)
-2 -3
172
(2,-3)
3
4
5
PLANO CARTESIANO Es un sistema de referencia formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que son perpendiculares entre sí, y se cortan o interceptan en un punto “O” llamado origen. A la horizontal se le llama “eje x” o eje de las abscisas y a la vertical se le llama “eje y” o eje o eje de las ordenadas. Dichos ejes dividen al plano en 4 regiones llamados cuadrantes. y+
Ejemplo:
6 5 4 3
II CUADRANTE
I CUADRANTE
2 1
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
x+ 1
-1
2
3
4
5
6
-2 III CUADRANTE
IV CUADRANTE
-3 -4
Eje x: eje de las abscisas -5 Eje y: eje de las ordenadas -6 y -
Ejemplo: Graficar
(2,3),
(−1,5),
(−3, −6),
(4, −5).
y+ P2 (-1,5)
6 5 4
P1 (2,3)
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
x+ 1
-1
2
3
4
-2 -3 -4
P3 (-3,-6)
P4 (4,-5)
-5 -6
173
5
6
EJERCICIO 38: Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano. (6,4) (−2,5) (−9, −1) (2, −4) (−1,4) (−2, −3)
y+
8 7 6 5 4 3 2 1 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
(1, −8) (2,7) (−2, −2) (6,2)
x+ 1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2
3
4
5
6
7
8
GRÁFICAS DE ALGUNAS ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Ejemplo 1: Graficar la ecuación 2 + 1. Despejamos a la incógnita
= 1.
de la ecuación:
= 1−2
2. Utilizamos un intervalo de -2 a 2, o puede ser un intervalo diferente, para calcular los puntos a graficar en el plano cartesiano, como se muestra en la siguiente tabla:
y+ (-2,5)
5 4
-2 -1
5
(-1,3) 3 2
3
Gráfica de la ecuación 2x + y = 1
1 (0,1)
0
x+
1 -3
1
-1
-2
-1 -1
1 2 (1,-1)
-2
2
-3
-3
174
(2,-3)
3
4
5
Ejemplo 2: Graficar la ecuación −3 + 1. Despejamos a la incógnita
= 0.
de la ecuación:
=3
2. Utilizamos un intervalo de -2 a 2, o puede ser un intervalo diferente, para calcular los puntos a graficar en el plano cartesiano, como se muestra en la siguiente tabla.
y+ 6
(2,6)
5 4
-2 -6
3 2
-1 -3 0 1
0
Gráfica de la ecuación -3x + y = 0
1 -3
-2
-1
x+
(0,0)
1
-1
2
3
-2
3 (-1,-3)
2
(1,3)
5
6
Siempre, la gráfica de una ecuación lineal nos va a dar una línea recta.
-3 -4
6
4
-5 (-2,-6)
-6
GRÁFICAS DE ALGUNAS ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO =
Ejemplo 1: Graficar la ecuación
− 2.
1. Utilizamos un intervalo de -3 a 3, o puede ser un intervalo diferente, para calcular los puntos a graficar en el plano cartesiano, como se muestra en la siguiente tabla:
7 6 5 4 3 2 1
(-3,7) -3 7 -2 2 -1 -1 0 -2 1 -1 2 2 3 7
(-2,2)
-3
-2
y+
-1
(3,7) Gráfica de la ecuación y = x2 -2 La gráfica se llama PARÁBOLA
1 -1 (-1,-1) (1,-1) -2 (0,-2) -3 175
(2,2)
x+ 2
3
4
5
6
7
+
Ejemplo 2: Graficar la ecuación 1. Despejamos a la incógnita
= 25.
de la ecuación:
= 25 − Eliminamos el cuadrado de la incógnita, elevando al cuadrado ambos miembros. = ±√25 − En este tipo de ecuaciones, a cada valor de positivo y el otro negativo.
corresponden dos valores de
, uno
2. Utilizamos un intervalo de -5 a 5, o puede ser un intervalo diferente, para calcular los puntos a graficar en el plano cartesiano, como se muestra en la siguiente tabla:
y+ 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 ±3 ±4 ±4.6 ±4.9 ±5 ±4.9 ±4.6 ±4 ±3 0
(-2,4.6)
(-1,4.9) (0,5) (1,4.9) 5
(-3,4)
(2,4.6) (3,4)
4
(-4,3)
(4,3)
3 2 1
(-5,0) -5
x+
(5,0) -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2
(-4,-3) (-3,-4) (-2,-4.6)
-4
(-1,-4.9) (0,-5) (1,-4.9) -5
Gráfica de la ecuación
(4,-3)
-3
+
=
La gráfica es un CÍRCULO
176
(3,-4) (2,-4.6)
5
6
EJERCICIO 39: Grafica las siguientes ecuaciones lineales y cuadráticas en el plano cartesiano, utilizando procedimientos en cada caso.
1. −2 +
un
intervalo
adecuado
+1 =0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
2. 3 +
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
= −2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
-8
-7
-6
-5
177
-4
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
desarrollando
los
y+
x+ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y+
x+ 1
3. − +
=1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
4.
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y+
x+ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
+2 =4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
-8
-7
-6
-5
178
-4
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y+
x+ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. −2
+
= −10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
6. −
+
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y+
x+ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
= −5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
179
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y+
x+ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7.
+
= 64 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
8.
+
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y+
x+ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
= 16 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
180
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y+
x+ 1
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN “GUÍA DE OBSERVACIÓN” CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: GRAFICACIÓN Nombre del alumno (a):
Grupo:
Fecha:
Indicaciones: La guía de observación debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deberá colocar 1 en cumplió si el alumno adquirió los conocimientos de manera significativa y en el caso de no adquirió los conocimientos en cada indicador colocar un 0. Para obtener la calificación final deberá multiplicar la columna de valor por la columna de cumplió colocando el resultado de la multiplicación en la columna de total y finalmente sume la columna de total para obtener la calificación definitiva.
INDICADORES
Valor
Cumplió
Plano cartesiano Grafica las parejas de puntos en el plano cartesiano. Gráficas de ecuaciones lineales Representa gráficamente a las ecuaciones lineales y desarrolla cada uno de los procedimientos correspondiente. Gráficas de ecuaciones cuadráticas Representa gráficamente a las ecuaciones cuadráticas y desarrolla cada uno de los procedimientos correspondiente. Disposición y responsabilidad al trabajo en equipo. CALIFICACIÓN:
Nombre y firma del evaluador
181
Total
Motivo del por qué no cumplió
REALIMENTACIÓN CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: GRAFICACIÓN De los contenidos que se te presentan a continuación es muy importante que reconozcas cuáles fueron tus errores para tratar de corregirlos. Llena la siguiente tabla para que tengas una idea más clara de lo que te falta reafirmar. Busca ayuda con alguno de tus compañeros para que te resuelva las dudas que aún te queden y si después de esto sigues teniendo dudas pide ayuda a tu profesor.
CONTENIDOS
Porcentaje de lo que aprendí
Motivo del por qué no lo logró (esta columna debe ser llenada por el profesor)
Plano cartesiano Graficas de ecuaciones lineales Graficas de ecuaciones cuadráticas
182
GLOSARIO
Guía de observación Es un instrumento de medición, que me permitirá ir evaluando tu desempeño, durante todo el semestre, de acuerdo a los conceptos fundamentales
y
subsidiarios
y
a
ciertas
características
que
deberás cubrir, durante el desarrollo de los ejercicios, en el proceso de enseñanza aprendizaje.
Lista de cotejo Es un instrumento de medición, que me permitirá ir evaluando tus productos o prácticas, de acuerdo a los conceptos fundamentales y subsidiarios,
así
como
también,
a
ciertas
características
criterios que deberán contener las prácticas o productos, el proceso de enseñanza aprendizaje.
183
o
durante
FUENTES DE INFORMACIÓN
BÁSICA:
1. Fuenlabrada de la Vega Trucios, Samuel. Aritmética y Álgebra. Segunda Edición, Mc Graw Hill, agosto 2000.
2. Baldor, Aurelio. Álgebra. Publicaciones Cultural, Décima Sexta Reimpresión, 1998.
COMPLEMENTARIA:
3. Ibáñez Carrasco, Patricia. García Torres, Gerardo. Aritmética y Álgebra. Matemáticas I. 2ª. Edición, Thomson, 2006.
4. H. Lehmann, Charles. Álgebra. Limusa Noriega, 1999.
184
GUÍA DEL ALUMNO DE ÁLGEBRA NIVEL MEDIO SUPERIOR PRIMER SEMESTRE
LUIS FERNANDO ARRIETA VELAZCO LICENCIADO EN FÍSICA Y MATEMÁTICA
[email protected]
185
