UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA PRIVADA DE SANTA CRUZ FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
GUÍA
MATEMATICA BASICA Agosto 2014
I.-
IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA Sigla Nombre de la Asignatura Horas académicas Pre requisito Carreras
II.-
:: : : : : :
MIN-110 Matemática Básica 80 Ninguno Administración General, Marketing y Publicidad, Auditoria Financiera, Administración Administración del Turismo, Administración Administración Financiera, Financiera, Relaciones Relaciones corporativas, corporativas, Ingeniería Comercial, Comercio Internacional.
OBJETIVO GENERAL
Al finalizar finalizar la materia el el estudiante estudiante estará en condiciones condiciones de: de: Aplicar los conocimientos conocimientos teórico-prácticos teórico-prácticos sobre las reglas y leyes de las operaciones operaciones fundamentales de la aritmética y el algebra, adquiridos durante la formación secundaria y reforzados en la materia.
III.- PLAN TEMATICO Para lograr el objetivo general de la materia, el contenido está estructurado en unidades y temas, que son los siguientes: Unidad 1
2
Temas CONJUNTOS: Conjuntos CONJUNTOS: Conjuntos numéricos, determinación de conjuntos, operaciones entre conjuntos, ejercicios y aplicaciones. OPERACIÓN CON NÚMEROS REALES: Operaciones con números enteros y con fracciones, Potenciación. Radicación. Logaritmos. Aplicaciones. Aplicaciones.
3
ÁLGEBRA: ÁLGEBRA: Operaciones con polinomios. Productos notables. Factorización. Ecuaciones de 1º y 2º. Sistemas de Ecuaciones. Inecuaciones. Aplicaciones. Aplicaciones.
4
GEOMETRÍA ANALÍTICA: ANALÍTICA: La La recta.
Horas Horas # de Teóricas Prácticas Clases 6
15
3
5
10
5
10
11
7
2
4
2
1
I.-
IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA Sigla Nombre de la Asignatura Horas académicas Pre requisito Carreras
II.-
:: : : : : :
MIN-110 Matemática Básica 80 Ninguno Administración General, Marketing y Publicidad, Auditoria Financiera, Administración Administración del Turismo, Administración Administración Financiera, Financiera, Relaciones Relaciones corporativas, corporativas, Ingeniería Comercial, Comercio Internacional.
OBJETIVO GENERAL
Al finalizar finalizar la materia el el estudiante estudiante estará en condiciones condiciones de: de: Aplicar los conocimientos conocimientos teórico-prácticos teórico-prácticos sobre las reglas y leyes de las operaciones operaciones fundamentales de la aritmética y el algebra, adquiridos durante la formación secundaria y reforzados en la materia.
III.- PLAN TEMATICO Para lograr el objetivo general de la materia, el contenido está estructurado en unidades y temas, que son los siguientes: Unidad 1
2
Temas CONJUNTOS: Conjuntos CONJUNTOS: Conjuntos numéricos, determinación de conjuntos, operaciones entre conjuntos, ejercicios y aplicaciones. OPERACIÓN CON NÚMEROS REALES: Operaciones con números enteros y con fracciones, Potenciación. Radicación. Logaritmos. Aplicaciones. Aplicaciones.
3
ÁLGEBRA: ÁLGEBRA: Operaciones con polinomios. Productos notables. Factorización. Ecuaciones de 1º y 2º. Sistemas de Ecuaciones. Inecuaciones. Aplicaciones. Aplicaciones.
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GEOMETRÍA ANALÍTICA: ANALÍTICA: La La recta.
Horas Horas # de Teóricas Prácticas Clases 6
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5
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2
1
IV.- ORIENTACIONES PARA LA ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO DE APRENDIZAJE DURANTE EL DESARROLLO DESARROLLO DE LA MATERIA MATERIA A continuación continuación se presentan presentan algunas normas básicas de comportamiento comportamiento y recomendaciones, recomendaciones, a tomar en cuenta: a) El proceso de aprendizaje durante toda la materia es “integral”. La misión de la UTEPSA es “lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia académica de calidad, excelencia, con valores, responsabilidad social, innovación, competitividad, y habilidades emprendedoras”. Por esto no te sorprendas si además de ser evaluado en contenidos propios de la materia, el docente evalúa también aspectos como puntualidad, pro actividad, ortografía, etc. Nunca pierdas de vista que lo que se te exige es por tu propio beneficio. b) Asistencia y puntualidad. Asistir a clases y hacerlo de manera puntual, puntual, es una manera de demostrar demostrar que somos responsables: Tu asistencia es importante en TODAS las clases. Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por módulo (Art. 13 Inc. B y C del Reglamento Estudiantil UPTESA) . Si sobrepasas esta cantidad de faltas PERDERAS EL DERECHO A TOMAR LA EVALUACIÓN FINAL de la materia. Se considera “asistencia” estar al inicio, durante y al final de la clase. Esfuérzate por estar en la clase a la hora de inicio. Se dará un margen de 10 minutos de tolerancia. después de estos, podrás entrar tan pronto como el docente considere que tu ingreso no será una distracción para la clase o después de la hora de descanso, de esta manera no perjudicaremos el avance de la clase distrayendo a los compañeros. Si te retiras de la clase antes de que esta termine, tampoco registraras asistencia completa. Ten especial cuidado con la asistencia y la puntualidad los días de evaluación. Normalmente la fecha de pruebas, es comunicada con varios días de antelación, esto te permite programarlos como ocasiones a las que tienes que darles una espacial atención. Si confirmas la materia el 2do o 3er día de clases, ya tienes acumuladas automáticamente las faltas de los días que no has asistido. Favor tómalo en cuenta. c) Comportamiento en clases.Los estudiantes y los docentes, evitamos beber y comer en el aula. De ninguna manera podemos fumar dentro de esta. A fin de evitar interrupciones, interrupciones, los celulares celulares se apagarán apagarán al entrar al aula o se se pondrán en modo silencioso para atender llamadas o mensajes SOLO en caso de emergencia. Cualquier falta de respeto a los compañeros, al docente, al personal de apoyo o al personal administrativo, será severamente sancionada de acuerdo al reglamento de la Universidad. En todo caso confiamos en que todos respetaremos las normas de conducta adecuadas.
2
V.- OBJETIVOS Y ACTIVIDADES DE CADA UNIDAD
UNIDAD 1
CONJUNTOS
A. Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Aplicar la teoría básica de conjuntos. Aplicar la teoría sobre operaciones entre conjuntos, determinando por extensión y en diagramas de Venn cada operación. Aplicar operaciones entre conjuntos para resolver problemas.
B. Actividades de aprendizaje: A continuación se detallan los trabajos prácticos extra clase que deben presentar los estudiantes para los exámenes parciales.
PRACTICO # 1 Determinar a qué conjuntos numéricos pertenecen los números de la primera columna. * Natural Entero Racional Irracional Real Imaginario Complejo – 5 0 – 10.3 – 2i
– 5 + 3i e
3
1. Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa a) Todo número entero es número racional. b) Todo número natural es número entero. c) Todo número racional es número entero.
d) Todo número real es número irracional. e) Todo número natural es número real. f) Todo número real es número racional.
2. Diga si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
3. Escriba en notación de conjuntos a) A es elemento de M b) M contiene a Q c) A tiene los mismo elementos de C d) b no es elemento de R
e) E es subconjunto de F f) E no es elemento de B
4. Determinar por extensión y/ó comprensión los conjuntos dados, según sea el caso: a) c) e) f) g) h) i) j)
A
x
Z/ 1
4
x
b) B = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1 d) D x Z/ x Conjuntos de los números enteros positivos que sean divisores de 18. Conjunto de las estaciones del año El conjunto de los números impares cuyos cuadrados sean pares Conjunto de los números primos mayores que 0 y menores que 21. Conjunto de los múltiplos de 4 comprendidos entre 7 y 24 Conjuntos de las letras de la palabra DIVISIÓN C
x
Z/x
2
5. Indicar para cada inciso a qué clase de conjunto obedece: a) M = {x/x es día de la semana}
d)
b) P = {x/x es una vocal de la palabra vals}
e) T = {x/x es presidente del Océano Pacífico}
S = {x
N / x < 15}
c) R = {1, 3, 5, 7, 9,.....}
PRACTICO # 2 Dados los conjuntos: U
1, 2, 3, 4, 5, ..............15
A = {x/x es múltiplo de 3}
B = {x/x es múltiplo de 4}
Hallar: a) A
B
b) B – A
c
c) A
d) B
A
e) (A
B)
c
4
1. Dados los conjuntos: U
Z/
x
4
18
x
A
N / x es número primo
x
B
x
U / es divisor de 40
Hallar. a) A
b) B A
B
c) B A
BC
d) A
e) B
A
2. Dados los conjuntos: U
A
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
B
4, 6, 8, 10
U/ es múltiplo de 3
x
Hallar: a) B
b) AC
AC
d) BC e) A
c) A B
B
BC
3. Dados los conjuntos: U
A
4,
x
2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
U / x es número divisible entre 5
B
x
U / es múltiplo de 3
Hallar: a) A
B
C
b)
A
B
C
c) A B
C
d)
A
B
C
e)
B
A
C
PROBLEMAS ABP Resolver de manera independiente los siguientes problemas ABP: 1. De un grupo de alumnos de la Universidad se reúnen los siguientes datos: 10 estudian Auditoria (A); 12 estudian Bioquímica (B); 4 estudian A y B. Calcular: a) el número total de alumnos. b) El número de aquellos que estudian sólo una de las carreras indicadas. 2. De 25 personas, que para enterarse de noticias acuden a los periódicos ( P) y radios (R), se observa que: 14 leen periódicos; 5 leen periódicos y escuchan radio. Hallar: a) el Nº de los que escuchan Radios. b) el Nº de los que sólo escuchan Radio. 3. En una encuesta a 350 estudiantes sobre sus materias de preferencias: 80 preferían Matemáticas y Química; 100 preferían Matemática pero no Química; 20 no tenían preferencia por ninguna de las materias. ¿Cuántos estudiantes preferían las dos materias solamente? 4. En un grupo de actividades extraescolares del colegio hay inscritos 75 alumnos en música y 35 en teatro. Si las actividades se realizan en días diferentes y se sabe que 15 alumnos están inscritos en ambas, halle el número de alumnos que se dedican a la música o al teatro. 5. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no estudian Sociología y 53 no estudian Filosofía. Si 27 estudiantes no estudian Filosofía ni Sociología, ¿Cuántos estudiantes estudian exactamente uno de los cursos mencionados?
5
6. De 180 docentes de una Universidad, 135 tienen doctorados y 114 son investigadores a tiempo completo. Indica cuáles de estos docentes: a) Tienen su doctorado o se dedican a investigar a tiempo completo. b) No tienen doctorado ni se dedican a investigar a tiempo completo. 7. Efectuando una consulta política a 100 personas, se sabe que 50 apoyan al candidato A, 60 al B y 20 apoyan a ambos. Calcular: a) Cuántos apoyan sólo a A; b) Cuántos a A o B; c) Cuántos a ninguno; d) Cuántos no apoyan a B; e) Cuántos apoyan a un sólo candidato. 8. Al consultar la preferencia de los televidentes sobre los canales A y B, se obtuvo que: 120 observan el canal A; 110 el canal B; 200 observan A o B. Calcular: a) Cuántos observan A y B; b) Cuántos sólo A; c) Cuántos no observan A. 9. De un total de 24 fanáticos de la música, 12 gustan del artista A; 14 del artista B; 3 de ninguno de ellos. Calcular: a) Cuántos gustan de A y B; b) Cuántos de sólo B; c) Cuántos no gustan de B; d) Cuántos gustan de un sólo artista. 10. De un grupo de 85 jóvenes a 30 les gusta bailar; a 10 bailar y cantar; a 40 solamente cantar. Calcular: a) A cuántos les gusta cantar; b) A cuántos les gusta sólo bailar; c) A cuántos no les gusta ni bailar ni cantar.
6
FACULTAD: FCE
MÓDULO:
MATERIA: Matemática Básica
Laboratorio de Investigación
TEMA: Diagrama de Venn – Euler
Matemática
DOCENTE:
Fecha:
GUIA LIMAT INTRODUCCIÓN En base a la teoría dada en clases, verificar su forma visual la compresión de los conceptos fundamentales de la teoría de los conjuntos y sus operaciones: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. OBJETIVO Dibujar un Diagrama de Venn – Euler a partir de los datos aportados por un estudio realizado, el mismo que favorecerá el desarrollo de habilidades del pensamiento lógico y del manejo de cálculos matemáticos para resolver los problemas plantados. MATERIAL A UTILIZAR 1. Cartulina. 2. Madera. 3. Regla, escuadra. 4. Plastofor. 5. Vidrio. 6. figuras (que representen los elementos). PRESENTACIÓN DEL INFORME DEL TRABAJO. Este trabajo debe ser presentado en un informe que contenga los siguientes elementos: Carátula: Nombre del trabajo, Materia, Integrantes, Docente, Módulo y semestre. Introducción. Objetivos. Fundamentos teóricos. Cálculos y Resultados. Conclusiones. FECHA DE PRESENTACIÓN Y DEFENSA:
7
UNIDAD 2 OPERACIÓN CON NÚMEROS REALES A. Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Aplicar las propiedades fundamentales de los números reales, realizar las operaciones propuestas. Aplicar propiedades de potencias, simplificar y evaluar las expresiones propuestas. Aplicar propiedades de radicales, resolver los ejercicios. Aplicar propiedades de potencias, radicales y logaritmos resolver las expresiones propuestas. Aplicar propiedades de los números reales, resolver los problemas de porcentaje y regla de tres simple.
B.Actividades de aprendizaje: A continuación se detallan los trabajos prácticos extra clase que deben presentar los estudiantes para los exámenes parciales.
PRACTICO # 1 1) Hallar el M.C.D. de: a) 80, 144, 48
b) 900, 1 890, 2 295
c) 13, 59
d) 342, 520, 48, 748
e) 20, 80, 54
f) 33, 77, 121
g) 54, 76, 114
h) 18, 72, 40, 72
Resp: a)16;
b) 45;
c) 1;
d) 2;
e) 2
f) 2;
g) 2;
h) 2
2) Hallar el m.c.m. de: a) 75, 100, 130
b) 100, 32, 15, 8
c) 33, 50
e) 3, 15, 75, 375
f) 7, 14, 21, 35, 70
g) 10, 20, 40, 80
Resp: a)3900;
b) 2400;
c) 1650;
d) 150;
d) 25, 30, 75
e) 375
f) 210;
g) 80
3) Hallar el valor numérico, e indicar si la fracción resultante es propia o impropia: a)
2
5
1
3
7
3
2
4
5
b)
8
7
R. - 23/42
c)
3 2
R. 17/4 d)
2
3
1
2
5
4
10
5
5
1
1
2
1
3
6
2
3
5
3
5
2
3
7
3
3
8
R. – 9/8
R. 429/10 8
1
3
2
1
10
3
2
e) f)
4
2
5
1
4
8 1
3
2
3
4
3
4
8
h) 1 12 5
j) 2
1
2
3 4
7
5
R.
3
5
4
8
1
1
7 4
3
3
R.
2
7
2 5
3
6
R.
k)
1 2
2 2
l)
1
1 1 5
1 4
1
3 5
1 2 1 2
3
2 3 4 9
1
3
5
4
43 24 14 9 7
1 4 1 6 3 2
2
n)
1 10
o)
2
2
5
p)
3
4
1 3
R. 32
3
1
4
8
1
1
1
2
4
8
1 3 q) 1 1 2 2
2 5
1 2
3
1 10
1
1 4
5
1 2 2
1
2
7 24
1 2 2
2
18
5
1 1
R.
3
8
R. -2
1
2 1
5
1
R. - 6
2
1
1
m) 4 2 8
3 5
g) 7
i)
1
3
1 10
1 2
1 2
21 20
R.
96 5
1 2 5 5
3 4 3 1 4 1 4 2 2 10 3
R. 17
R.
49 36
R. 80
PROBLEMAS ABP: Trabajo Cooperativo a) En un depósito bancario hay $ 9 550, se extrae sucesivamente $ 1 750, $ 950, $ 450 y finalmente $ 1 450 ¿Cuánto dinero queda todavía en el depósito? Resp. $ 6450.b) La mitad de los alumnos de una clase de Matemática Básica está leyendo y 2/5 partes están escribiendo. Los demás están charlando amenamente. ¿Qué fracción de los alumnos del curso están charlando? c) En el cumpleaños de Ronald, Beto se comió media torta, Richard se comió solo 1/8 de torta. ¿cuánta torta queda para el resto de los invitados? d) Dos ciudades se encuentran a 240 km de distancia. Un caminante recorre un día 1/6 de esa distancia, otro día ¼ y el tercer día 1/8 de la misma. ¿A qué distancia se encuentra del punto de llegada después del tercer día?. Resp. 110 km. e) Una hamburguesa vale $24. Si la carne vale las tres quintas partes del precio, y el queso adicionado vale una sexta parte de la misma, ¿cuánto vale el pan? f) Un vendedor gana un salario fijo de $ 600 por mes y una comisión del 10%. Descubre qie en promedio le toma una hora y media realizar ventas por un valor de $ 100 ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $ 2 000? Resp. 210 hrs
9
g) En un estudio, se obtiene la siguiente información, 1/3 de la población mira Unitel, 1/5 de la población miran Giga visión. ¿Cuánta población mira red Noctovisión? Si la población total de televidentes es de 800 000 usuarios. Resp. 37333 televidentes.
PRACTICO # 2 Resuelve aplicando propiedades: 1)
2 4
1
2
2
Resp.
10)
1 3
1
3 1
1 2
2
2
Resp. - 1/27
3
4
5
2)
3 33 3
2
16 3
3
3)
1
1
5
3
3
1
72 7
3
1
74 7
3
2
1
1
4
3
6
2
7 7
5)
7
1
1
1 2
3
3
5 3
1
7)
2
9
3
1
4
2
4 10
3
1
4
1
1
5
3
1 1
3
Resp.64/27
8)
1
2
2
4
12)
1
Resp.
1
2
1
2
3
15/8
3 5
13)
Resp. –3/28
2
1 6
16
1
10
3
2
5 4
1 1
2
Resp.2
2 3
Resp. -1/75
40 4 2
14)
Resp. ½ 1
1
2
Resp. 1/36
15)
1
Resp.
2
1
2 2
2 1
1
2
1
2
1
1
1
1
5
Resp. –2/3
16
2
1
2
2
1 1
3
9
1
3 1 4
2
3
1
2 5
9)
Resp.
2
1
1
3
2
12
3
1
5 2
1
2
Resp. 0
2
1
1
3
1
2
3
6)
2
6
2
1 2
3
1
2
3
7 7 7
2
3
27 11)
1
4)
Resp.
2 3
Resp. –1/4
10
PRACTICO # 3 1) Encontrar el valor numérico de: 1.
20
45 4
2. 4 75 3 3. 4. 5. 6.
4
4
32 4
49
3
3
2
2
8
49
9
1
4
2
3
3
2 3
2
4
2
Resp. 7 5
Resp. – 1
2
3
2
3
2
1
3
81
3
27
3
11.
1
20 3
Resp. 15
3
10.
13.
Resp.
1
1
5
6
9.
12.
Resp. 4 4 2
2
45 5
7. 8.
4
25
14
2 80
Resp. 3 5
2 5
2 48
5
162
5
3
80
2
1
3
216
16
4
16
1 5 33 4 1 1 2 2
1
3 6
3 3 8 2
5 1 3
3 2
10 2
2 3
Resp. -3
3
Resp. 64/27
11
2 3 3
1
1 10
14.
2
3 2
3
1
7 8
1
5 6
1
3 5
1 5
1 100 1
2
1 2
1
Resp. -5/3
2) Racionalizar: 3a
a)
a
2
d) 2
5 4
2
7
h)
2
c)
3
e)
5
g)
2
b)
f)
5
b
b
3
a
2
b
2 3
5
3
i)
1
b
ab 3 a
3
3
PRACTICO # 4 1. Hallar el valor de “X” aplicando la definición de logaritmos: a ) log 2 64 e)
x
log2 8
b ) log 5 125
x
c ) log 6 216
x
log4 4
f )
x
g )
log2
2
Resp: a)x=6; b) x=3; c) x=3; d) x=2; e) x=
2. Resolver, utilizando a ) log 3
c)
e)
f )
9 27
{3 [(5log3 81 ( 3) 1) 1
7
b)
2
f)x=
2
13 2
b)
log
a) log2
5
2
64 3
4
d )
log2
; c)
18] ( 3)
32
3
2
11 12
; d)
1
29 6
; e) -
2
512
1 2
121 2
f)
b)
log3
27 81
729 3
27
813 2
log 3 3 9
; g) x=
4 2 8
2
3. Desarrollar y resolver usando propiedades de logaritmos 6
h)
log10010]}
log3[27( 3)2 ][( 3)2
Resp: a)
x
propiedades de logaritmos:
log8 2 4 8
2
2
3
d ) log11 121
x
4
2 3
x
x
; h) 6
c) log5
25
Resp: a)
3
4
625
d)
125
b) 1;
c) 0;
log7
49
3
343
2 401
d) 1
4. Problemas ABP – Trabajo cooperativo: a) Un inversionista quiere depositar un monto de dinero de $us 1500 en una institución financiera, que ofrece el interés al 15 % anual. ¿Cuánto dinero recibirá en 6 años? De acuerdo a la formula Vf
Vp
1
i
n
de interés compuesto, hallar V f.
Resp. $us 3469,59 .-
b) Los esposos Pereyra han decidido crear un fondo especial para garantizar los estudios de su hijo que recién ha nacido y tienen en el banco la suma de $us 1 000, en una cuenta capitalizable cada año. Cuantos años necesitaran para que su capital sea de $us 5 000, necesarios para garantizar los estudios de su hijo? La tasa de interés del mercado es del 10% anual. Utilizar a formula Vf compuesto. Resp. 17 años.
Vp 1
i
n
de interés
PRACTICO # 5 PORCENTAJE ( % ) 1. En un colegio hay 2 equipos de fútbol con 18 jugadores cada uno; y dos equipos de baloncesto con 10 jugadores cada uno. El número de alumnos del colegio es 458. ¿Qué tanto por ciento de alumnos juega al fútbol? ¿Qué tanto por ciento de alumnos juega al baloncesto? 2. En un polideportivo hay 10 instalaciones deportivas que ocupan 2 000 metros cuadrados. El resto, la zona verde y los vestuarios, ocupan 1 500 metros cuadrados. ¿Qué tanto por ciento del total ocupan las instalaciones deportivas? 3. En un colegio hay 2 equipos de fútbol con 18 jugadores cada uno; y dos equipos de baloncesto con 10 jugadores cada uno. El número de alumnos del colegio es 458. ¿Qué tanto por ciento de alumnos juega al fútbol? ¿Qué tanto por ciento de alumnos juega al baloncesto? 4. UTEPSA tiene en el 2 008 un total de 7 782 estudiantes inscritos en todas sus carreras. a) Halle el % que representan los 433 estudiantes de Redes y Telecomunicaciones con relación a toda la universidad. b) Calcule el % de aumento en el 2 008 de estudiantes en UTEPSA con relación al año 2 002 si se sabe que en ese año en la universidad habían sólo 2 642 estudiantes en todas las carreras. c) Halle la cantidad de estudiantes que deberían haber en UTEPSA dentro de 6 años si se mantiene el mismo % de crecimiento que en los 6 años transcurridos desde 2 002 hasta el 2 008. 5. En el año 2 008 la cantidad de estudiantes universitarios en Bolivia era de 382 500 en todas las universidades.
a) Determine la cantidad de estudiantes en universidades privadas en el 2 008 si se sabe que el 73,33 % de los 382 500 alumnos estudiaban en universidades públicas. b) Calcule la cantidad de estudiantes universitarios que tenía Santa Cruz en el 2 008 si se conoce que en este departamento se concentró el 38 % de los estudiantes universitarios de Bolivia. c) Halle cuántos alumnos tendrán las universidades de Bolivia para el 2 011. En ese momento se espera que la cantidad de alumnos sea un 15 % más que la de 2 008. d) Calcule el % de estudiantes universitarios con relación al total de población de Bolivia en ese año que fue estimada en 10 035 000 habitantes. 6. En Un pueblo de 2 750 habitantes el 54 % recibió las dos primeras dosis de vacuna antipolio y de los vacunados sólo el 10 % no recibieron la tercera dosis. a) ¿Cuántas personas recibieron las 3 dosis? b) ¿Cuántas personas deberían recibir las 3 dosis para alcanzar un 85 % de vacunados? 7. Un hombre al morir dispone que sus ahorros consistentes en $us 20 000 se reparta en 35 % a su hermano mayor, el 40 % a su hermano menor y el restante a su ahijado. a) ¿Cuál será el monto que recibirá el ahijado? b) ¿Si al hermano menor le hubiese tocado el 45 % de toda la herencia determine cuánto dinero le corresponde recibir? 8. De los 80 libros que tenia un librero vendió el 45% a $us 1.25 c/u; el 75% del resto a $us 1,20 c/u, y el resto a $us 1,00 c/u. ¿cuál es el importe total de la venta? REGLA DE TRES SIMPLE 1. Calcular: a) Para asfaltar un tramo de carretera en 36 días, un contratista ha calculado que necesita 51 hombres. ¿Cuántos precisará si se ve obligado a realizar el mismo trabajo en 27 días? b) Un ganadero dispone de forraje para alimentar a 50 vacas durante 10 semanas. Calcula para cuántas semanas dispondrá de forraje en cada uno de los casos: Vende 35 vacas. Compra 10 nuevas vacas. c) Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m. de ancho. ¿Cuántos rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m.? d) Con 15 kg. de hierro se han hecho 420 tuercas de 4 pulgadas. ¿Cuántas tuercas semejantes a las anteriores, pero de 3 pulgadas, se pueden hacer con la misma cantidad de hierro? e) Con 15 kg. de algodón se teje una tela de 120 m de largo y 95 cm. ¿Qué largo tendrá una tela de igual calidad que la anterior de 90 cm. de ancho tejida con la misma cantidad de algodón? f) Un grifo vierte 15 litros de agua por minuto, y tarda 24 minutos en llenar un depósito.¿Cuánto tardará otro grifo que da 40 litros por minuto? g) Con el agua de un depósito se llenan 60 botellas de 5 litros cada uno. ¿Cuántas botellas de 0,75 litros se podrán llenar con el agua del mismo depósito?
h) Una cuadrilla de obreros emplea 14 días trabajando 8 horas diarias en realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día. ¿En cuántos días se habría terminado la obra? 2. Para construir una cancha de fulbito es necesario que en un curso de 30 alumnos cada uno aporte con Bs 30. ¿Cuánto tendría que aportar cada alumno si se decidiera que aporten todos alumnos del colegio, que son 750, para hacer el mismo trabajo? 3. Doce exploradores se pierden, llevando una cantidad de alimentos para 6 días. Pero el primer día se encuentran con otros 6 exploradores perdidos, sin alimentos, y tienen que compartir los alimentos. ¿Para cuantos días les alcanzará a los 18 exploradores? 4. 6 hombres trabajando durante 9 días, a razón de 8 horas diarias han hecho los 3/8 de una obra. Si se refuerzan con 4 hombres, y los obreros trabajan ahora 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminaran la obra?
FACULTAD: FCE MATERIA: Matemática Básica Tema: Fracciones DOCENTE:
MÓDULO:
Fecha:
Laboratorio de Investigación Matemática
GUIA LIMAT INTRODUCCIÓN. La división exacta de números no siempre resulta posible, por lo que se introducen las fracciones o quebrados. Toda fracción representa el cociente de una división, en la cual el numerador representa el dividendo y el denominador representa el divisor. El denominador representa las partes en que se divide la unidad y el numerador las partes que se toman de esa unidad. OBJETIVO. Aplicar el concepto de fracción a través del tangram para el ejercicio del cálculo mental y el desarrollo de la lógica matemática. Utilizar las piezas del tangram para realizar operaciones de fracciones y calcular su el porcentaje de la misma. Motivar al alumno a que desarrolle su creatividad, aplicando sus propias ideas y desarrollando su propia estrategia. Demostrar la gran utilidad de las fracciones en la representación y resolución de problemas en nuestro entorno. Mostrar el presente trabajo no sólo como un medio de resolución de problemas de fracciones, sino de reflexión para un mejor entendimiento y aprendizaje de la materia. MATERIAL A UTILIZAR: a) Madera.
b) Regla.
c) Lápiz, borrador, papel.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD PASOS: 1. Los alumnos deben presentar un cuadrado hecho en madera y con sus respectivas figuras planas que va a utilizar. 2. Agrupar las piezas del tangram para formar un cuadrado. Realizando cálculos mentales del cuadrado y de distintos grupos de piezas, aplicando el concepto de fracciones.
3. Colocar las figuras del tangram dentro del cuadro de la madera. Escribir el nombre de cada figura del tangram. Dentro de cada figura escribir el área (en fracciones) de cada figura con respecto al cuadro GRANDE. 4. Calcular el porcentaje (%), de cada figura con respecto al cuadro GRANDE. OBSERVACIONES PRESENTACIÓN DEL INFORME DEL TRABAJO. Este trabajo debe ser presentado en un informe que contenga los siguientes elementos: Carátula: Nombre del trabajo, Materia, Integrantes, Docente y Módulo. Introducción. Objetivos. Fundamentos teóricos. Cálculos y Resultados. Conclusiones. Bibliografía.
UNIDAD 3
ÁLGEBRA
A. Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Aplicar la teoría teoría básica básica del algebra. algebra. Realizar las operaciones de suma y resta de expresiones algebraicas. Aplicar la regla regla de desarrollo desarrollo adecuada adecuada para para resolver resolver los productos productos notables. notables. Aplicando Aplicando los procedimientos procedimientos adecuado adecuadoss en la factorización factorización de de los polinomios polinomios dados. dados. Resolver las ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver por el método de su elección los sistemas de ecuaciones lineales. Resolver las aplicaciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Resolver las inecuaciones de primer y segundo grado propuestas
B.Actividades de aprendizaje: A continuación se detallan los trabajos prácticos extra clase que deben presentar los estudiantes para los exámenes parciales.
PRACTICO # 1 Resuelve: 2 3
a) a b
2
b)
3 1
c)
3
3ab
2
1
xy
2 3
2
x y
2
2
2a b
5
2
6
2
x
4ab
7
x
5
3
4
x
3
xy
2
8 3 2
2
2
x y
6a b
2
4x
x
2 3
5ab
ab
2
8x
3
7
3x
3
1) Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas: x
a)
c)
e)
a 2 5
x
2 3
b 3
2
2
xy
x
2x
2a
3b
1
7
5
2
2
3y
y
x
b)
1
d)
4
3 xy
f )
3
4 x yz 2 3
3x
m
4
5a 2
5 xyz 1 3
n
3
2
12 x
3
3xy z
x
3
1
4 5a 1
m
2n
2
3x
5a
3y
3
m n
1 3
x
2a 4
2x
2a 3
2) Dividir las siguientes expresiones algebraicas: 3 a)
a
5x
a
3
a
2
2
b)
a
x
5
2
4
3
1 3
d)
8x
6
16 x
5
6x
4
24x
2
18x
2 3
20 y x
x y
36
c) x
4x
3y
5
5y
2
5 x
2n 3
12 y
2
15
y
2n 1
8x
2
2
3
e)
3x
4 x
4x
7x n 1
2
2x x
2n
1
2x
3) Operaciones con Polinomios: A)
1
Si se tiene :
f ( x)
a ) 2 f ( x)
g ( x)
B) Si :
p ( x)
10 x
2
4x
2
3
11x
3x
2
2
9x
2
g ( x)
3
3
3 2 3
q( x)
x 1
f ( x)
5x
2
x
3
3x
2
Determinar :
1
g ( x)
3
q( x)
5x
Determinar :
3
b)
Deter Deter min ar p ( x) C ) si : f ( x )
x
3
2 f ( x)
1
g (x)
g ( x)
3
x
3
2x
3x
2
5
h (x )
5x
3
2x
6x
2
1
3 h( x )
PRACTICO # 2 Aplicado productos notables notables resuelve: 3
2
a)
3a
e)
2a 1 1 2a
h)
x
a
8b
4
1
2b
x
b)
1
xm
yn
f) 2b
x 1
a
2
ax
c)
1 8xy 8xy
x 1
1
i) 4n
g) 2
3
bx 1 6x 2
2
d) x
m2 x 6x2
3
a 1
m2 x 4
j) 2x
3 y3
3
PRACTICO # 3 1) Descomposición Factorial Factor común: 1) 4ab18
8ab16
3) 16 x3 y 2 4)
3 14
16ab10
8x 2 y
24x 4 y 2
m2 n4
6 7
m3n3
2ab 6
24ab 4
40x 2 y 3 9 21
m 4 n2
8ab 2
2)
4 2 k 5
2 3 k 5
6 k 5
y
x
2
2
Factor común por agrupación de términos: 1) ax
bx
ay
2) 3m2
by
6mn
4m
3) 3 x 2
8n
7m2 y
7 xm2
3xy
Trinomio cuadrado perfecto: 1) y 4
2 y2
4) 1
14 x2 y
2) 9 x2
1
3) j 2
25 y 2
30 xy
10 j
25
49 x4 y 2
Diferencia de cuadrados: 1) z 2
2) 64 x 2
y8
3) 36m6
81 y 6
256n10
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción: 1) a 4
a2
2) 49m8
1
76m4 n2
Trinomio de la forma:
x2
1) m2
2) n2
4n
6) a 2
42a
13m
5) x 2 y 4
30
8 xy 2 z 3
12 z 6
T r i n o m i o d e l a f o r m a : 1) 2b 4)
2
3b
18 x2
bx
ax 2
2 17 xy
15 y 2
25n4
3) 4 x4
3x2
9
c
bx
3 432
3) g 4
15 g 2
7) m2
8m
4) x2 y 4
56
9) a 2
1008
17 xy 2
2axy
72
440x2 y 2
c
2)
6m2 n2
5)
7 x2
15x2
13mnx 23x
6
3) 21n2
11n
9 x 2
3x
20
2 x2
9
6)
2
Suma o diferencia de cubos : 1) b3
2) 8 x3
27
27 y 3
3) 32 x3
1000 y 3
Suma o diferencia con potencia n – e s i m a : 1) m5
2) m7
n5
n7
3) x5
1
Factorizar por Ruffini: 1) x3
5 x2
2x
3) x3
x2
8x
2) x3
24
4) x3
12
4x 2
9x
4 x2
27 x
36 90
2) Simplificar las siguientes fracciones algebraicas (usar factorización): a)
d )
30 x3 y 3 5 x2 4n 2 2n
2
b)
23x
12
4n
3 n2
7n
3 4n
2
7n 12 n
30 9
a2 4a 2
2a
1
x
c)
4
e)
x
a5 a
5
2a
4
2
2
x
3 x2
2x a3 3
6a
a2
8a
6
x
1 2
5a
6
f )
h)
a2 2a
2
10a
a2 a
a
81
a
8a
2
2
36
a2
7
11a
2a 2a
11
a
30
36
a2
1
2
2
a3 5a 2 2a 22
12 18
a
a 4a
2 15 x
g )
42
i)
5
a2 b
25 x
3
b
6x
2
x
a2
5a
2
7x
25 x
6a b
2
2
55
13 x
2
10 x ax
ab
1
6
2
1 3a
2 11b
PRACTICO # 4 Resuelve las siguientes ecuaciones: 1)
2 x 3
2)
3 x
3) 4)
3 x
2 x
2
2
7
2
x 2
5
x
3x 1
5 2x
3x
1 x
9) 10)
x 1
2x 3
8
16
3
1
3 x 4
x 4
x 2
x 3
x 1
2 x 3
1
1
3
4
8
3x
2 x 1
2x 2
x 1 x
2x 1
15) x 2
12
2
Resp. x
2 3
2
28
3 x
1
x 13
6
1
7 x 7 x
4 4; x 6 5 1; x 2
3;
Resp. x 1= 1; x 2= -4 x 5
2
2
x
Resp. x 1; x
3
16) 7 x 2 21x 28 0
18)
Resp. x=5/3
Resp. x
0
6
17) x2 14 x 26
Resp. x 1
12
2
Resp. x
x 1 x
3 x
4x 2
Resp. x 1; x 4
2
2
5x 1
0
Resp. x=-1
5x 1 0
12) x 4
Resp. x
1 x
3
2
Resp. x 2
1
0
4 x2
3
2
1
14)
4x 2
4
Resp. x=7
1
13)
3x
x 5 x 3
1
11) 4 x 2
Resp. x
3
x2
1
x 2
x 1
2
2
2 x 3 3x 1 4 5 6) x 3 x 2 x 2 3x 4 x 4 7) 2 5 2
8) 6
2
4 x2
xx 1
2
5)
Resp. x 2
4x 1
3
1
19) 1 20) 21)
x 1
x 1
2 x 1 14 x
2
2
Resp. x 1= 1; x 2= -1
x
1
1
2x 1 4 x
4 7
1
3 x
x 3
3 x
9
3 1 2 x 1 x x x 30 13 23) 2 2 x 1 x x 1
Resp. x 1= 4; x 2= -5
2
22)
7 18 x x3 1
Resp. x 1= 9; x 2= -4
PRACTICO # 5 Resuelve:
x
2 x 3y
30
y
x
8
y
3 2
x
x
4 x
y 1 2
y
16
y
2
2y 1
5 y
x
3
3x 1
x
11
y
7
3 x
(9 x
y)
5y
(2 x
4 x
(3 y
7)
5y
47
( x
y ) (6x
8 y)
9 y)
6)
y
2 3
5)
y
3 x 3)
2)
1)
4)
12
3
5
8 5
2x
6 3
0
6
5
x(y 2)
y(x 3)
14
y( x
x( y
54
7)
(10x
5y
8)
3 x
3)
6) 4y
9)
2(2 x 7)
0
9) ( x
y)
(9 y
11x)
2y
2x
5( x 1)
(2 y
1)
0
PROBLEMAS ABP- Trabajo cooperativo: 1. Un estanciero compro 4 torillos y 7 vacas por 514 $us y después compro al mismo precio 8 torillos y 9 vacas por 818 $us. Hallar el costo de un torillo y una vaca. 2. Un carpintero compro ½ Kilo de clavos y un serrucho por 30 $us, mas tarde compro 2 kilo de clavos y dos serruchos por 75 $us. Hallar el costo de los clavos y del serrucho. 3. Tres televisores y una radio grabadora costaron 400 $. Luego la empresa nos ofrece una venta de 4 televisores y dos radio grabadora por 700 $. Hallar el precio del televisor y la radio grabado.
4. 5 trajes y 3 sombreros cuestan 4 180 bolivianos y 8 trajes y 9 sombreros 6 940. Hallar el R: Traje 80 Bs. y Sombrero. 60 Bs precio de un traje y de un sombrero. 5. Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor la suma es 316 y si a 9 veces el menor se resta el cuádruple del mayor la diferencia es 83. Hallar los números. R: 31 y 23
6. Un inversionista ha colocado un cierto capital al 4% una parte y al 5% la otra recibiendo, anualmente, un interés de Bs 1 100. Si las hubiera invertido al revés (los porcentajes), recibiría al año Bs 50 más en concepto de interés. Hallar la cantidad de dinero que ha invertido. R: x = Bs 15 000 ; y = Bs 10 000
TOTAL: BS 25 000
7. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto? R: 200; 190; 185.
8. En un congreso de turismo hay 300 personas participando, en el cual hay 20 mujeres más que los hombres. ¿Cuántos varones hay en el congreso ? R: 140 hombres y 160 mujeres. 9. En un corral hay gallinas y conejos, contándose en total 57 cabezas y 160 patas. ¿Cuántos R: 23 conejos y 34 gallinas. ejemplares hay de cada especie? 10. María es 21 años mayor que Laura. En seis años, María tendrá el doble de la edad de R: María tiene 36 años y Laura 15 Laura. ¿Qué edad tienen actualmente? 11. La entrada a un parque de diversiones es de 2 $us para niños y de 4 $us para los adultos. Un cierto día acudieron al parque 2 200 personas y lo que se reunió por las tarifas de la entrada fue de 5 050 $us. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron? R: 325 adultos y 1 875 niños.
PRACTICO # 7 Objetivo: Resolver las inecuaciones de primer y segundo grado propuestas 1) Intervalos: Representar en la recta real los siguientes intervalos y después escribir en notación de conjuntos. 1) R
1, 2
2) S
2, 2
T
0, 1
Representar en la recta real las siguientes expresiones de conjuntos. 1) A
x
/x
3
2) B
x
/x
1
3) C
x
/x
12
4) D
x
/x
8
W
1, 3
2) Inecuaciones: a)
2x
3
d ) 3x
x
g ) 5a 2
j)
10
4x
x
3
3x
2x
3a2
3
4a
1 1
1 2
5
x3
h)
3 2
2x 3
x 2 10 x
8
q)
r) 15x2 + x – 6 ≥ 0
s)
t) 4x2 + 7x – 15
u)
UNIDAD 4
< 0
5
(2 y
5
x
2
x
6
8( x2
1 5
1)(y 2)
2x 1
1
2
7x
ñ ) 20 x
0
4
x
l ) x2
4x 5
x 2
y2
b)
e) 7 x
5
x
n) 3 x
p )
a
2
3x
10
7
6)
3 x
f )
0
7x 6 3
6
1
x
3 11
2 x2
i)
2 x 5
m)
x2
o) x3
0
10x
8 x
5( x
x2
c) 15 x (11x 5)
3 10
1
2
6
5
6
3
5
5
3x
6
3 5
0
3x
28
4x2
27 x
x2
90
3
x
0
8x2
)
3
GEOMETRÍA ANALÍTICA
A. Objetivos: Al concluir el tema debe ser capaz de: Hallar los elementos de una recta, de acuerdo a los datos dados. Hallar y graficar el punto de intersección de las rectas.
B.Actividades de aprendizaje: A continuación se detallan los trabajos prácticos extra clase que deben presentar los estudiantes para los exámenes parciales.
PRACTICO # 1 Halla los elementos de una recta: I) Los puntos A(1, -2), B(4, -2) y C(4, 2) son los vértices de un triángulo. Determinar las
longitudes de sus lados y después calcular el área del triángulo aplicando la expresión:
Area
base altura
2
II) Determinar y graficar la ecuación de la recta que pasa por un punto y pendiente m conocida: 1) P 1, 2 , m
4) P 3, 5 , m
2) P
5
1,
2 ,m
2
3) P 1,
1
3 , m
3
1
III) Determinar y graficar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos: 1) P1 3) P1
1, 6 2
3 ; P 2 4, 5
, 0 ; P 2
4,
2) P1 10, 20 ; P 2 30, 50
3
4) P1 2, 0 ; P 2
2
3 2
,
11 6
IV) Determinar la pendiente y graficar la ecuación de la recta : 1) y
5 2
x
3
2) x 2 y
1 x 3 y 2 3) 3
5
0
PROBLEMAS ABP – TRABAJO COOPERTATIVO: 1) Un carpintero vende en el mercado 10 sillas por 50 Bs. Al subir de precio a 70 Bs. solo
vende 5 sillas. Hallar la ecuación lineal ¿Es curva de demanda o de oferta?
2) El cine Bellavista, estrenará la película Harry Potter IV. Un estudio de mercado indica que la
curva de la demanda será de
p
3 2
100 el
q
día de la presentación. Cuántas personas
irán a ver la película al pagar un precio de: a) 100 Bs
b) 80 Bs
c) 50 Bs
d ) 20 Bs
3) Un panadero vende 10 tortas por 150 Bs. Por la calidad de sus tortas su clientela llego a
comprar 25 tortas por 600 Bs. Hallar la ecuación lineal ¿Es curva de demanda o de oferta? 4) Un comerciante vende 50 Unidades/día de un producto a un precio de bs. 2, a causa de la inflación aumento el precio a bs. 2.5 y sus ventas disminuyeron a 30 unidades/día. ¿calcular la ecuación de la recta, graficar e identificar a que recta se refiere oferta o demanda? 5) En pruebas de dieta experimental para gallinas, se determino que el peso promedio “w” (en gramos) de una gallina fue, según las estadísticas, una función lineal del número de días “D” después de que se inició la dieta, donde 0 d 50 Suponer que el peso promedio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 días después fue de 675 ramos. Determinar w como una función lineal de d . Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $ 12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $ 18 cada una. Encontrar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando 30 unidades son requeridas 6) Del siguiente gráfico hallar la ecuación lineal y
3
4
x
PRACTICO # 2 Hallar y graficar el punto de intersección de las siguientes rectas: . x
y
4
x
y
6
1)
2 y 3 x
y
0
3)
2) x
y
y
5
2
x 6
1 2
x
10
4)
3
x
x
4
y
5 4
y
7 8
PROBLEMA ABP Trabajo Cooperativo: –
CURVAS DE OFERTAS Y DEMANDA: 1) Un estudio de mercado determino que los productos “dulce de leche” de la empres a “Fridolín” tiene una demanda de p 10 q 1 000 , y también determino que la curva de oferta es de p q 10 . Hallar el punto de equilibrio de mercado (graficar).
VII.- SISTEMA DE EVALUACION PRESENCIAL PRIMER y SEGUNDO PARCIAL 30 PUNTOS Primer Parcial:
PORTAFOLIO 20 PUNTOS 15 ptos.
Clase Nro. 9 o 10 (Unidad 1: Conjuntos Unidad 2:Operaciones con números reales) Preguntas practicas y problemas ABP
Segundo Parcial: Clase Nro. 14 o 15 (Unidad 3: Algebra ) 15 ptos. Preguntas practicas y problemas ABP
Utilizar FACEBOOK
EXAMEN FINAL 50 PUNTOS Ultima clase 19 o 20
Investigaciones (LIMAT) Control de Lectura, videos. Todo lo avanzado Ambos presentar el forma digital mediante un comentario en la página y Preguntas practicas un mapa conceptual por escrito. problemas ABP
Prácticos EXTRA CLASE (Subidos a la red o de la Guía MAAP Trabajos diarios en CLASES NOTA: Se debe formar un portafolio con los prácticos diarios en clases, los prácticos extra clases, las investigaciones y control de lectura.
EVALUACION FORMATIVA
EVALUACION CONTINUA
EVALUACION FORMATIVA
y
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Swokiwski, E.W. y Cole, J.A. (2009). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica . México: Cengage Learning. BudnicK. F. S. (2007). Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. México: McGraw-Hill/Interamericana.
Haeussler, Ernest F. Cálculo para Administradores y Auditores. Arya J.C.Lardner R.W. (2002). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. México. Pearson Educación.
Larson R. y otros(2008). Cálculo. México. McGraw-Hill/Interamericana. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Lazo Q., S. (2010). Álgebra con Trigonometría y Geometría Analítica , Bolivia. Ediciones Populares. Mendoza. D. (1997). Introducción a las Matemáticas. Bolivia . Universidad NUR. Gutierrez. F., P(1990). Álgebra I , Bolivia, LA HOGUERA, Baldor. A. (1985). Aritmética, España, CODICE, Zill. D.(2004). Algebra y Trigonometría. México. McGraw-Hill/Interamericana.
MATERIAL COMPLEMENTARIO O DE APOYO
- El siguiente material de apoyo es el resultado de una compilación de textos de los principales autores sobre el tema publicados en libros o en fuentes confiables de internet. En muchos casos, algunas porciones del texto, han sido adaptadas al contexto local con el único fin de que resulten más beneficiosas para el proceso de aprendizaje de los estudiantes. El único objetivo de este compilado, es entregar a los estudiantes un documento con información seleccionada.
UNIDAD I 1.1
CONJUNTOS
INTRODUCCIÓN
La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que nos permite agrupar elementos que presenten características similares para realizar diferentes operaciones entre ellos, con el objetivo de utilizarse en estudios estadísticos y otras disciplinas.
1.2
TEORÍA DE CONJUNTOS
Conjunto: Colección, agrupamiento o reunión de objetos llamados elementos, generalmente se representan con letras mayúsculas del alfabeto. Elemento: es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto, se representan con letras minúsculas o números. Pertenencia ( ): El símbolo nos permite relacionar cada uno de los elementos con el conjunto que los contiene. Si un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo Inclusión ( ): El símbolo
nos permite relacionar un conjunto con otro conjunto que lo
contiene. Si un conjunto no está contenido en otro conjunto se utiliza el símbolo Ejemplo: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} A = {1, 2, 3,4, 5} M = {x/ x es mes del año}
martes D – 3 A Agosto M
1.3. CONJUNTOS NÚMERICOS Los números son todas las expresiones que representan valores determinados. Por ej.: el número 5, expresa un solo valor, cinco. Hay muchas clases de números y se clasifican en: Números Naturales ( ).-
Estos números nos permiten contar y ordenar.
0, 1, 2,..,
Números Enteros ( ).,...,
Con estos números podemos sumar y restar siempre.
2, 1, 0, 1, 2,..,
Números Racionales (Q).- Es el cociente de dos números enteros, que también se denomina fracción.
Q
... 3,
1 2
, 0,
1 3
,
5 2
, ...
Números Irracionales Q .- Son números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas, no se pueden expresar en forma de fracción. i
Qi
...
5 , 0,
2 , log 3,
Números Reales R
...
.- Están formados por los racionales (Q) e irracionales (Q i )
1 , 0, 2
3,
, ...
2 , log 3,
Números Imaginarios
,...
.- Son aquellos números generados por radicales donde el 1
índice de la raíz es par y el radicando es negativo: i Números Complejos C .-
Son aquellos números que están formados por una a
parte real y otra imaginaria. Se representa de la forma:
bi . Ej.
3 +
2
i
Gráficamente los números están relacionados de la siguiente manera: Racionales
Enteros
Naturales
Z
N
Q
Reales R
Complejos
Irracionales
C
QI
Imaginarios i
1.4. CLASES DE CONJUNTOS Conjunto Finito.-
elementos Ejemplo:
Son aquellos conjuntos que tiene un número definido de
A={x N/ 2
x
5 }
W = { 3, 6, 9, 12, 15, 18,21, 24, 27}
Conjunto Infinito.- Son aquellos conjuntos que tienen un número infinito de elementos
Ejemplo:
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
Co nj un to Vacío.-
C = {x / x es un número par}
Es un conjunto que carece de elementos. También se le llama
conjunto nulo, y se le denota por el símbolo Ø ó { }. Ejemplo: A = { x / x es una persona que vuela } B = { x / x es un número racional e irracional} C = { x / x es una solución real de }
A={ } B={ } C={ }
ó ó ó
Conjunto Unitario.- Es todo conjunto que está formado por sólo un elemento.
Ejemplo: A = {6} B = { x / x es la solución de
}
C = {x / x es un número par y 2 < x < 6}
B = { – 1} C = {4}
A= Ø B= Ø C= Ø
Conjunto Universo.- Es el conjunto que
U
contiene a todos los elementos que son motivo de estudio. Se le denota por la letra U. Ejemplo:
A b h
B a
c d f g j k
e
l m
i o
U = { x/ x es una letra del alfabeto } A = { x/ x es una consonante} B = { x/ x es una vocal }
n p q r s
t
v w
z
u x
y
1.5. DETERMINACION DE UN CONJUNTO Por Extensión.- Cuando se enumeran todos los elementos del conjunto. Por Comprensión.- Cuando los elementos se expresan por medio de una propiedad que los caracteriza. POR EXTENSIÓN A = { a, e, i, o, u } B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = {1, 3, 5, 7, 9 }
POR COMPRENSIÓN A = { x / x es una vocal} B = { x N / x ≤ 5 } C = { x / x es un número impar menor que 10 }
1.6. DIAGRAMAS DE VENN-EULER Los conjuntos se representan gráficamente por una curva simple cerrada. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva. Ningún elemento puede representarse sobre la curva.
1.7.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos determinan a su vez otros conjuntos, de acuerdo a sus respectivas definiciones. Construc ción De Conjuntos .- A partir del conjunto universo podemos construir diversos conjuntos y crear especificaciones concretas de resultados. Complemento Unión Intersección Diferencia Diferencia simétrica
Ac
1.7.1. Unión.- Dados dos conjuntos A y B, la unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos a la vez. Se denota: A B y se define como:
B = { x/x
A
A
B}
x
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 5, 6, 8 }
A
C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
b)
B
B = { 0, 2, 4 } C = { 5, 6, 8 }
C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 0, 2, 4 }
A
B = { , 1, , 3, , 5 }
1.7.2. Intersección.- Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección del conjunto A con el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A
B, se lee: A intersección B, y se define:
A
B = {x/ x
A
x
B}
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}, efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 2, 4 }
A
C = { 2, 4 }
b) B = { 3, 5, 7 } C = { 2, 4 }
B
C={}
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 3, 5, 7 }
A
B = { 3, 5 }
1.7.3. Diferencia.Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre el conjunto A y el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A que no pertenecen al conjunto B. Se denota por: A – B, se lee: A diferencia B ó A menos B y se define como:
A - B = {x/x
A
x
B}
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar las operaciones y construir los diagramas respectivos: a)
A = {a, b, c, d, e} C = {d, f, g}
b) B = {a, e} C = {d, f, g}
A – C = {a, b, c, e}
c)
B – C = {a, e}
A = {a, b, c, d, e} B = {a, e}
A – B = {b, c, d}
1.7.4. Diferencia Simétrica.Se llama diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no a ambos. Se denota por: A B, se lee: A diferencia simétrica B y se define como:
A
B = {x/x
A
x
B
x (A
B)}
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar y construir los diagramas respectivos: a)
A
A = { a, b, c, d, e } C = { d, f, g }
C = { a, b, c, e , f, g }
b) B = { a, e } C = { d, f, g }
B
C = { a, d, e , f , g }
c)
A = { a, b, c, d, e } B = { a, e }
A
B = { b, c, d }
1.7.5. Complemento.- Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, se llama complemento de A con respecto a U C al conjunto A formado por todos los elementos de U pero no de A. Simbólicamente se expresa: C
A = { x / x
U
x
A
Ejemplo: Sean U = {m, a, r, t, e}
y
Complemento de A es AC = {m, a, r}
A = {t, e}
Ejemplo: Sea el conjunto Hallar: 1) A
U
B
x
N /1
x
2) B A
9
y los conjuntos 3) AC
A
1, 2, 3, 4
4) BC
,
B
5) A B
3, 4, 5, 6 C
6) A B
C
Solución:
1) A
B = { 3, 4 }
4) BC = { 1, 2, 7, 8, 9 }
2) B
5) (A
A = { 5, 6}
B)C = { 7, 8, 9 }
3) AC = { 5, 6, 7, 8, 9 }
6) (A
B)C = { 3, 4, 7, 8, 9 }
UNIDAD II
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
2.1. INTRODUCCION Medir y contar fueron probablemente las primeras actividades de tipo matemático que realizó el hombre. Tuvieron que pasar muchos siglos para que él obtuviera un concepto abstracto de número y realizara operaciones matemáticas. 2.2. OPERACIONES BASICAS DE LA ARITMÉTICA
Suma o Adic ión ( + ).-
Resta o Sustracción ( – ).- Es la operación inversa a la adición, que consiste en hallar la
La suma es una operación binaria, en la que a partir de dos números cualesquiera a, b se encuentra un tercer número c . a b c Para todo a, b, c R , se cumplen las siguientes propiedades: i. Conmutativa : a b b a ii. Asociativa : a (b c) ( a b) c iii. Elemento neutro : a 0 a iv. Inverso aditivo : a ( a) 0 diferencia entre dos cantidades a b
c donde a, b, c
La resta no tiene propiedades.
Multiplicación o Producto ( , ).- Operación que consiste en sumar repetidamente una cantidad a si misma. Es decir que el producto de a b es una suma de a veces b . a b
b b b .... b a veces
i) Conmutativa ii) Asociativa iii) Neutro multiplicativo
:
a
Para todo propiedades: :
a
b
c
b
: a
b
a, b, c R se
cumplen
las
c
a
: a 1
iv) Inverso multiplicativo de a
b
c
a
1
1
a
v) Distributiva respecto a la suma: a b c
R.
a b a c
).- La división es la operación inversa de la multiplicación, en la División o cociente (÷ , / que dados dos números a, b se encuentra un tercero c . Se distinguen 2 casos de división: exacta e inexacta. División exacta:
División inexacta:
a b
c
a
c
b
r b
a b c
r
2.2.1. Signos de agrupamiento y jerarquía de operaciones Existen tres tipos fundamentales de signos de agrupamiento: ( ), , { }, indican que primero se debe realizar cualquier operación matemática o algebraica dentro de ellos.
Para resolver una expresión aritmética se deben seguir las siguientes reglas: Primero se resuelven las expresiones que se encuentran entre paréntesis. Se procede aplicando la jerarquía de operadores: 1. Potenciación y radicación. 2. División y multiplicación. 3. Suma y Resta. Al evaluar una expresión, si hay dos operadores con la misma jerarquía, se procede a evaluar de izquierda a derecha.
Ejemplo a)
3
(5 2) 1
b)
2
2.3.
(3
3
10
5)
13
3
5
1
2
4
2
( 2)
6
1
5
2
2
6
3
6
27
5
2
5
10
Z y
.
2
7 10
FRACCIONES
Una fracción o número racional (Q) tiene la forma
a b
, donde a y b
El número b o denominador indica el número de partes en que se ha dividido la unidad, y el número a o numerador indica la cantidad que se ha tomado de esas partes. Ejemplo 1) Dividimos la unidad en 6 partes, cada una de ellas 1 6
Representa
2) Interpretación gráfica de fracciones: (tomamos la parte sombreada como el numerador)
a)
2
b)
5
2
c)
5
7 3
d)
5 2
e)
7 5
Clasificación De Las Fracciones a) Fracción Propia: Es aquel cuyo numerador es menor que el denominador. Ejemplos:
2 7
,
4 5
,
15 27
. En la gráfica anterior corresponde a los incisos a) y b)
b) Fracción Impropia: Es aquel cuyo numerador es mayor que el denominador. Ejemplos:
5 3
,
9 5
36 21
,
. En la gráfica anterior corresponde a los incisos c), d) y e)
Simplificación de fracciones
Se dividen sus dos términos sucesivamente por los factores comunes que tengan, hasta convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean menores. 2.3.1 M.C.D. y M.C.M. a) Máximo Común Divisor (M.C.D.).- El máximo común divisor de de dos o más números Naturales es el número natural más grande que divide a todos estos en forma exacta. Hay dos métodos para el cálculo del máximo común divisor: Método I.- Por Descomposición En Factores Primos Descomponer los números en factores primos. El M.C.D. es el producto de los factores primos comunes de menor exponente. Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de 2 100, 2 772, 1 820 2 100 1 050 525 175 35 7 1 2 100
2
2
2 772 1 386 693 231 77 11 1 2
3 5
2 772
M.C.D.( 2 100, 2 772, 1 820 )
22 7
2
2
1 820 910 455 91 13 1 2
3
4 7
7
1 820
2
2
5 7
28
Método II.- Por descomposición simultanea Se colocan los números en forma horizontal y a la derecha se traza una recta en la cual se colocan los factores primos comunes, cuando se agoten los factores primos comunes se detiene el proceso y la multiplicación de factores que están en la recta nos dará el M.C.D. Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de 2 100, 2 772, 1 820 2 100 1 050 525 75
2 772 1 386 693 99 M.C.D.( 2 100, 2 772, 1 820 )
182 0 910 455 65 22 7
4 7
28
b) Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) El m.c.m. de dos o más números naturales, es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos estos números al mismo tiempo. Hay dos métodos para su cálculo: Método I.- Por descomposición en factores primos Descomponer los números en factores primos. El m.c.m. es el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados con su mayor exponente.
Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 2100, 2772, 1820 2 100 1 050 525 175 35 7 1 2 100
2
2
2 2 3 5 5 7 2
3 5
2 772 1 386 693 231 77 11 1
7
2 772
M.C.M.( 2 100, 2 772, 1 820 )
2
2
2
3
2
2
2
3
5
2
2 2 3 3 7 11
1 820 2 910 2 455 5 91 7 13 13 1
7 11
1 820
7 11 13
900 900
2
2
5 7 13
Método II.- Por descomposición simultanea Se colocan los números en forma horizontal y a la derecha se traza una recta en la cual se colocan los factores primos comunes hasta su agotamiento. El m ínim o co m ún m últip lo es el producto de estos factores. Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 2 100, 2 772, 1 820 2 100 1 050 525 175 175 35 7 1
2 772 1 386 693 231 77 77 77 11 1
1 820 2 910 2 455 3 455 3 455 5 91 5 91 7 13 11 13 13 1 M.C.M.( 2 100, 2 772, 1 820 ) 2
2
3
2
5
2
7 11 13
900 900
2.3.2 OPERACIONES CON FRACCIONES a) Suma y resta Fracciones homogéneas.- Se suman o restan los numeradores y esta suma se parte por el denominador común. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay. Fracciones heterogéneas.- Se simplifican las fracciones dadas si es posible. Después se reducen al mínimo común denominador y se procede como en el caso anterior. Ejemplo: 4
a) c)
7 2 7
3 2
1 2
7 3 1 2
5 2
3
1
7
3
1
4
3
1
4
3
1 2 2
b)
7 (12) 3 (3) 1 (4) 12
1
5
14
1 5 14
8
4
6
6
6
6
6
3
84 9 4 12
3
71 12
5
1
1 3
11 12
b) Multiplicación.- Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí. El resultado se simplifica y se hallan los enteros si los hay. El signo del producto de una fracción está dado por la ley de signos. Antes de realizar la operación si es posible se simplifican numeradores y denominadores que tienen un factor común.
Ejemplo: a)
1 2
1
4
5
1
7
1 7
7
3
2
10
2
3 2
6
1
1
2
1
1
b)
6
1 3
3
9
15
14
1 3 ( 7)
21
10
3
6
1 1 2
2
2 1
7
1
2
10
1 2
c) División.- Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el divisor invertido. También puede usarse la regla de extremos con extremos y medios con medios. El signo de la fracción resultante está dado por la ley de signos. Ejemplo: 2
a)
1
3
1
4
4
2
2
4
2
3
6
3
3
;
144 144
12
35
7
35 12
12
b) 1
( 144 ) ( 7 )
12
35 12
5
1
5
7
Fracciones complejas Una fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominador, o ambos, son fracciones. Para reducirla se efectúa la división del numerador entre el denominador hasta convertirla en una sola fracción (simple). Ejemplo: 1
3 4
1 1 5
2.4
1 5
1 3
1 1 2
3 4
3 4
5 1 1 5 3 1 1 2 5 2
4 5
1
1 5
1 3
3 5
1 3 1 10
1 2
9
5 15 1 10
14 15 1 10
2
14 ( 10)
28
15
3
3
POTENCIACIÓN
2.4.1 Definición.- Es una multiplicación de varios factores iguales, se denota por:
an
P
donde a es un número entero (base) , n es un número natural (exponente) y P es el resultado a
n
a a a ... a
P (potencia).
n veces
Ejemplo: 3 a) 2
2 2 2 3 veces2
8
4 b) 3
3 3 3 3 4 veces 3
81
3 c) ( 5)
( 5) ( 5) ( 5) 3 veces
5
125
9
1 3
2.4.2 Propiedades PROPIEDAD
EJEMPLO
Producto de potencia de bases iguales
a
Se mantiene la misma base y se suman los exponentes.
n
a
m
a
n
m
a
Se mantiene la misma base y se restan los exponentes.
am
Producto de Potencias de bases n a distintas y exponentes iguales
an
35
b)
Se multiplican las bases y se anota el exponente.
a
n
a
Se dividen las bases y se anota el exponente
bn
b
Potencias de potencia
n m
(a )
Se anota la base y se multiplican los exponentes
a
2
b)
53
3
82
Cualquier base elevada a una potencia de cero, el resultado siempre será la unidad, donde a 0
a
Exponente negativo n 0 y a 0
0
2
2
3 2 3
1 an
n
2
2
b) 3
3
3
2
3
36 2 3
2
3
6
26
64
6
3
729
3
1
b) 21 32 a)
8
2
3
2
3
a) 50
1
a
3
a) 32
1
3
2
8 9
92
1
3
5
32
b)
Exponente cero
27 2
3
2
2 3
22
1 024
32
5 8
23 33
b)
m
8
a)
n
n
3
2
a)
Cociente de potencias de bases distintas y exponentes iguales
5 3
3
3 25
m
(a
45
4
b)
bn
3 2
43 42
a)
n
25
2
b)
Cociente de potencia de bases iguales
2 3
a) 22 23
0
1
1 1 4
22
1
1
3
27
3
2.4.3 Operaciones con potencia.- ara realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con potenciación se aplican las propiedades vistas en el anterior inciso. a) b)
2
2
3
1
1
1
2 2
1
3
1
2
3
4
1
1
4
4 2
1
2
4
2
2
3
3
1 6
2
1
4
4
1
1
4
1
2
2
1
c) 4
1 8
3
9 2
2
2
2
1 2
3
1 9 2
2
1 2
2
2
3
1 3 2
17
4 7
4
4
4
1
1
1
4
2
7 4
9
1
63
1 252
253
16
4
16
16
9
3
3
16
2
2
1
2 3
2
2
1
1 2 3
2
1
1
1
9
2 9
11
2
4
2
4
4
4
9
Problema de aplicación: n
Vp 1 i La fórmula del interés compuesto es Vf Donde V f Valor futuro ; Vp Valor presente ; i interés anual ; n tiempo (años ) 1) Un inversionista quiere depositar un monto de dinero de 1 000 $Us en una institución financiera, que ofrece el interés al 10% anual. ¿Cuánto dinero recibirá a tres años?
Solución: De acuerdo a la formula Vf Vf Vf
1 000
1 0,1
3
1 i
Vp 1 000
Vf
1,1
3
n
debemos remplazar los valores y hallar Vf Vf
1 000 1, 331
Es el monto de dinero que recibirá al cabo de 5 años.
1331 $us
2.5 RADICACION La operación inversa de la potenciación se denomina radicación. Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a y se define como: Donde: a , b R ; n es el índice del radical; n n a es el subradical o radicando n N n 2 ; a b a b se llama signo radical
y el símbolo
2.5.1. PROPIEDADES Todas las propiedades de potenciación se cumplen con los exponentes fraccionarios. PROPIEDAD n
n
n
a b
a
n
b
n
m n
a
EJEMPLOS n
a
,
b
m n
a
b
0
b
a
3
3
125 8
3
3
125
5 2
27
3
125
5
3
27
3
125 3 4
8
3 4
7
m n
n k
a
m k
n
a
m
a n
an
n
am ,
k 0
a
2
3
5
7 3
5
12
7 5
6
5
7
2 3
2 3
6
10
7
5
2
5
2.5.2. Operaciones con radicales Radicales semejantes y operaciones Debemos explicar primeramente que las operaciones básicas con radicales tienen sus propiedades.
a) Suma y resta de radicales.- Cuando se suman radicales solo se juntan los radicales semejantes, siguiendo estos pasos: Expresar en su forma más simple cada uno de los radicales. Reducir radicales semejantes. Ejemplo 4
53 3
3
4 7
3
3
3
3
4
3
5
3
3
28
3
3
3
3
24
3
8
3
3
b) Multiplicación y división de raíces.- Se utilizan las propiedades de la teoría de exponentes Del mismo índice. Para multiplicar dos o más radicales del mismo índice, multiplicamos coeficientes y radicandos entre sí colocando este último producto bajo el signo radical común.
Ejemplo:
2
2
2
1 2
2
1 2
21
2 ;
3
2
2
3
6
2 3
6
6
De distinto índice. Reducimos cada uno de los radicales a índice común y aplicamos la regla anterior. Ejemplo: 1 2 1 2
a) 3 3 4 334
b)
3 3
primero convertimos a radicales de índice común.
2
3 6 2 3 4 2 2
2
3 6 128 2
3 3 5 43
5 43
3 3 5 3
36 2
1 2
3 3
1 4
1 2
1 4
5
3 3 5
1 4
3 5
4
3
2.5.4. Racionalización.- Racionalizar el denominador de una fracción significa eliminar todos los radicales o potencias de exponentes fraccionarios que existen en el denominador de la misma, sin alterar su valor. Ejemplos.-Racionalizar 2
a)
2
3
b) c)
2.6
3
3
2
3
3
7
7
3
7
2
7 3 49
33 7
33 7
3
7
2
33 7
2 2
2 1
2
1
3
2
1
2
1
2
2
3 3
7
3
3
3
49
3 7
2
2 2
2
1 2
1
49 3
2
2 2
2 1
2
2
2
LOGARITMOS
Los logaritmos nacen como una necesidad de resolver, facilitar y simplificar el cálculo de x b ecuaciones algebraicas de la forma a , logrando obtener resultados más simples de expresiones exponenciales que expresan situaciones reales, como ser el cálculo de la intensidad del sonido, las vibraciones sonoras, la magnitud de los terremotos, el interés compuesto, el crecimiento poblacional y otros.
2.6.1. Definición.-
log a x
ab
b
x ;
Donde
a
a
1
0
Se lee : "el logaritmo en base a del número x es b " , o también : "el número b es el logaritmo del número x respecto de la base a " . Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que el exponente de una potencia cuya base es a , hecho que no debemos olvidar cuando se trabaja con logaritmos. Ejemplo: Aplicar definición 1) log 3 9
2
porque
32
9
2) log5 125
3
porque
53
125
porque
10
porque
10
1.698 porque
50
3)
log10 100
2
4)
log10 0.01
5) log10 50
2
NOTA: Si a
0
a
2
100 2
0.01 101.698
1
, entonces:
Log a a
1 porquea1
a
Cualquier número elevado a uno es el mismo número
Log a 1
0 porquea 0
1
Cualquier número elevado a cero es uno
SISTEMAS DE LOGARITMOS Existen infinitos sistemas de logaritmo, los cuales están definidos en función a su base; siendo los más utilizados los sistemas de: a) Logaritmos Decimales: Conocidos también como logaritmos en base 10 o logaritmos vulgares y se denotan:
Log
10
x o Log x
b) Logaritmos Neperianos: Conocidos también como logaritmos naturales, cuya base es el número irracional e 2.71828... , denotándose:
Log e x
o
Ln x
Logaritmos con diferentes bases: 1) log 3 27
3
33
27
2) log 5 25
2
25
52
2.6.2 Propiedades PROPIEDAD logb A B
logb
A
EJEMPLO
logb A log b B
log 3 3 5
B
logb An
3 2
log 2
log b A logb B n log b A
Caso especial:
n
log a m An
. log a A
m
g)
log
log 2 2
log4 4
2 log4 4
3
log 22 23
625 5
log 2 3 2
log4 16
f) log 4 8
log 3 3 log 3 5
2
log 1 54 52
4 1 2
4 1 1 2
8
Ejercicio: log 3 x
log x
1 3
1 3
,
log x
log3 3
1
,
log5 1
0
Ejercicios Resueltos 1) log3 2) log
1 9 2
3
x
3 x
2
1 x 22
4 x
22
x
2
1 x 2
2
; x
4
Cambio De Base.Surgen en la necesidad de cambiar a una base conocida como Decimal, Natural, u otra compatible. La relación que permite el cambio de la base b a la nueva base a esta dada por: loga n logb n loga b Ejemplo 1)
log8 32
log 2 32 log 2 8
log2 25
5
3
3
log 2 2
;
2) log 2 3
log10 3 log10 2
0.477 0.301
Ejercicios propu estos
2)
Dado el log 25 = 1,397940, calcular ln 25. Calcular log 1/6 216, sabiendo que log 6 216 = 3.
3)
log10 x
1)
log10 24 log 10 8
5) log a x log a 6
2 log a 8 3
4) 2 log10 x 4 log10 2 3 log 10 3 1 log a 9 2
1.58
PROBLEMA DE APLICACIÓN:
Vf
La fórmula del interés compuesto es:
Vp
1 i
n
Donde Vf Valor futuro ; Vp Valor presente ; i interes anual ; n tiempo años n = 1) Un inversionista quiere depositar un monto de dinero de 1 000 $us en una institución financiera, que ofrece el interés al 10% anual. ¿En cuánto tiempo podrá el inversionista recuperar $us 1 500? Solución.- De acuerdo a la formula Usamos logaritmos a
Vf
Vf
1 i
Vp
n
log
Despejando incógnita n
n
debemos despejar la incógnita de n
log
Vf
log 1 i
Vp
n
log
Vf Vp
n
log 1 i
Vf Vp
log 1 i log
Reemplazando valores en:
n
1 i
Vp
n
1 500 1 000
log 1 0.1
n
log1.58 log 1.1
n
0.1986 0.04139
n
4.798
Por tanto el inversionista obtendrá su capital de $us 1 500 a los cuatro años y nueve meses. 2.7 REGLA DE TRES 2.7.1 PORCENTAJE (%) Es el resultado de tomar un tanto por ciento especificado de una cantidad. El número del cual se calcula un tanto por ciento dados se llama base. Es la cantidad que se divide en 100 partes iguales. El símbolo utilizado para representarlo es % y se le llama tanto por ciento o porcentaje. 58 Ej.: 58 % 0.58 100
Ejemplo: Hallar el 15 % de 32. 2.7.2 Regla de tres simple.- Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres. Esta puede ser directa o inversa. En una regla de tres el supuesto está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce y la pregunta por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita. Ejemplo: si 4 libros cuestan Bs. 8, ¿cuánto costarán 15 libros?, el supuesto está constituido por 4 libros y Bs. 8 y la pregunta por 15 libros y x Bs. Regla de tres simple directa: Ejemplo. Si 4 libros cuestan Bs 8, ¿Cuánto costarán 15 libros? Supuesto ................. 4 libros .............. Bs 8 Pregunta ................. 15 libros .............. Bs x
Entonces decimos: a más libros, más pesos, estas cantidades son directamente proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando las razones directas: 4 15
8 x
x
8 15 4
Bs 30
Regla de tres simple inversa: Ejemplo. 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la obra 7 hombres? Supuesto ................. 4 hombres .............. 12 días Pregunta ................. 7 hombres .............. x días Como a más hombres, menos días, estas cantidades son inversamente proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando la razón directa de las dos primeras con la razón inversa de las dos últimas o viceversa: 7 4
12%)
12 x
x
4 12 7
48 7
6
6 días 7
Ejemplo. Un artículo se compra a Bs. 826 000. ¿Cuánto cuesta sin IVA? (IVA = En este problema se debe considerar que la cantidad dada ya está con el IVA incorporado, o sea lo hacemos equivalente al 112% y establecemos la proporción siguiente:
112 % .............. Bs 826 000 12 %
..............
x
x
826 000 112
12
88 500
En conclusión, el artículo cuesta Bs 826 000 – Bs 88 500 = Bs 737 500
UNIDAD III
ALGEBRA
3.1 INTRODUCCIÓN El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que en Aritmética las cantidades se representan mediante números, en cambio en Álgebra las cantidades se representan por números y letras, siendo que las letras representan cualquier valor que se le asigne. Álgebra.- Es el estudio de las op eraciones com binadas entre números y letras. Para ello, es necesario util izar todas l as pro pied ades apr endid as en aritm é tica.
3.2 CONCEPTOS GENERALES Té r m in o .- Es la parte más pequeña del álgebra, que consta de los siguientes elementos:
Exponente
– 3 x5
Parte literal
Signo
Coeficiente
Expresión algebraica.- Es la combinación de varios términos. Ejemplo: 5 x 2 yz 3 xy 2 z 2 M o n o m i o .Es aquella expresión que consta de un solo término Ejemplo: 3 x, Polinomio.-
2
4 x 2 y 3 z ,
3
x 2 y
Es la expresión que consta de dos o más términos
Ejemplo: 3 x 5 y
4 x 2
,
3 y 3
5 z 2
Dos o más términos son semejantes, si tienen iguales partes literales (variables) con iguales exponentes Té rm in os sem ejan tes .-
Ejemplo:
4 x 2 y 3 z
y
7 x 2 y 3 z
son términos semejantes
3.3 OPERACIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA.1) Suma.- Es la operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (Sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Ejemplo: Sumar las siguientes expresiones algebraicas. 3 x 3
2 xy,
5 x 3 xy , 6
3 x 3
2 xy,
5 x 3 xy
6
2 x 3
3 xy
6
2) Resta.- Es la operación que tiene por objeto disminuir a una primera expresión algebraica (minuendo) una segunda expresión algebraica (sustraendo),de tal manera que el resultado (Resta o diferencia) sumado a la segunda expresión dé la primera expresión. Ejemplo: De: a b c d Restar a b c d Tenemos que: a b c d es el minuendo y a b c d es el sustraendo, a b c d a b c d Luego:
Le cambiamos el signo a los términos del sustraendo y reducimos términos semejantes: d 2a
a b c d a b c
2b
y la resta o diferencia es : 2a 2b
2 a + 2 b.
3) Multiplicación.- Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. Ejemplo: Multiplicar a) x
1 x por x 2 x 1
2
x 2 x 1 Multiplicando
x 2 x 1 Multiplicador x 4 x 3 x 2 x3 x 2 x x 2 x 1 x 4 x 2 2 x 1 Producto
b) También podemos expresar la multiplicación: Sea P x x 3 , Q x 2 x 2 x 2 P x Q x
3
x
2 x 2 x
2
2 x 3 x 2
2 x
6 x 2
3 x
6
Reduciendo términos semejantes: = 2 x3 7 x 2 x 6 Operaciones Combinadas: Sea P P x
2 x2
x
Q x
x 3
,
2 x2
x 3
5x
Q x
x 2
2 x3
2
x2
,
R x
2 x 6 x2
x
3x
2
2x 1
6
b) P x 2Q x R x 2Q x , Encontrar: a) P x 4) División.- Es una operación que tiene por objeto encontrar el cociente de dos cantidades dadas (el dividendo y el divisor) de tal manera que el divisor multiplicado por el cociente reproduzca el dividendo.
Ejemplo: Dividir 5n2 11mn 6m2 entre m n Dividendo 6m 6m
2
2
Divisor
11mn
5n
6mn 5mn
5n
5mn
5n
0
0
2
2
m
n
6m
5n
cociente
2
3.4. PRODUCTOS NOTABLES Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser asumido por simple Inspección:
Cuadrado de la suma de dos cantidades a b
2
a
b
Ejemplo:
a b
3
m
2
a m2
2
b
2 3
a2
2ab b 2
32
m
m2
6m
9
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a
b
2
a
Ejemplo:
b
a
3
a
2
b
a
a2
2 3
b
2
a2
32
a
b2
2ab a2
6a
9
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades a b
a2
a b
Ejemplo:
2a
b2
3b
2 a 3b
2a
2
3b
2
4a 2
9b 2
3.5 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Es convertir una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores.
Factor Común Ejemplo: 1) 25m3n2 10m2 n3 2) x a b 3) 3m2
20m4 n5 15m4 n3
a b
5m 2n 4m2 n3
3m2 n
x 1
a b
6mn 4m 8n
5m2 n2
3m2
6mn
3m m 2n
4m 8n 4 m 2n
m 2n 3m 4
Trinomio Cuadrado Perfecto m
2
2m 1
m 1
2 m 1 "2m "
Ejemplo:
2
es el segundo término
4 x 2 12 xy 9 y 2
2x 3 y
4 x 2 12 xy 9 y 2
2x 3 y
2 2 x 3 y
"12 xy "
2
2
es el 2
Diferencia De Dos Cuadrados perfectos a2
b2
a b
Ejemplo : 1) x2 9 y 2
a b
x 3 y x 3y
,
2) m 4 100n 6
m 2 10n 3
m 2 10n 3
Trinomio Cuadrado Perfecto Por Adición Y Sustracción
Ejemplo: Resolver 4a 2 10ab 9b 2 4a 2
4a 2
10ab 9b 2 2ab
2ab
12ab 9b 2
2ab
2a 3b
2
2 ab
2a 3b
Aplicamos tercer caso de factorización 2a b
2a 3b
2a b
Es la respuesta final
término
Trinomio de la forma x 2 1)
x 2
5x
6
x ....
S
x ....
S
S P suma : 2 3
5 ;
bx x 2
P
x 3
Se busca dos números cuyo producto sea “6”, y su suma 5
producto :
P
c
2
3
6
Si los signos son diferentes se dice restado. Resolver: m2 + 13m – 30 para encontrar los números se procede a descomponer el término independiente Entonces (m +.....)(m - .....) Entonces m 2 13 m 30
m 15 m
Trinomio d e la forma ax 2 1) 5 x
2
13xy 6 y
2
5 x2 13xy 6
30 2 15 3 5 5
2
bx
c
5 y2
2
5x
13xy 30 y 2
5
5x 15y
5
5 x 3 y 5 x
– 2 5x3= 15 + 13
2y
x 3 y
5
5x
2y
5 5x
2y
Cubo de la sum a o diferencia de dos cantidades a
3
b
1 Ejemplo: 1 12a 48a2 64a3 Potencias De Igual Exponente a
n
b
n
n (a b )(a
1
a
n 2
a
n
b
n
(a b )(a n
1
a
n 2
1) a3 8
a 2 a2
2) 27 a3
3a
3)
3
b6
b2
m5
4) x5 32
n5
4a
3a 2b
n 3 2
n ........b 1 )
b a
n 3 2
...... .b n 1 )
b
b
22
2 a 3a
2
a 2 a2 3a
b
3ab 2
b3
3
a
b
3a b 2
a3
2
b
2
Sólo
si
para
n n
es par
impar o
impar
2a 4
2
3a b 2
9a 2
3ab 2
b
4
3
m
m
m4
x 2
x4
2 x3
m3 n
m2 n2
22 x2
mn3
23 x 24
n4 x
2 x4
2x 3
4x 2
8x 16
Regla de Ruffini Son de la forma:
ax
3
bx
2
cx
d
x
x
x
La regla de Ruffini resume el método de obtener los coeficientes del coeficiente y el resto al dividir un polinomio por el binomio x – a Ejemplo: Resolver x3 2 x 2 x 2 Trabajamos con los coeficientes 1, 2, – 1, – 2. El objetivo es eliminar el último término ( – 2) 1° Paso 1
Ponemos un valor de 1 1 x 1= 1
+2
– 1
– 2
1
1
Ubicamos aquí resultado
3
Suma 2 + 1 2° Paso
1
1
+2 1
Ahora multiplicamos 1 por el valor de 3 1 x 3 = 3
3
– 1
– 2
3 2
Suma – 1+ 3 3° Paso
1 1
Ahora multiplicamos por el valor de 1 1 x 2 = 2
+2
– 1
– 2
1
3
2
3
2
0
Suma – 2 + 2
Cumplimos con el objetivo de eliminar el último término. Ahora continuamos 4° Paso 1 + 2 – 1 – 2 1
1 1
Ahora multiplicamos por el valor de – 1 – 1 x 1 = – 1
3
3 2
– 1 – 1 2
5° Paso
1
1
– 1
+2 1
1
Ahora multiplicamos por el valor de – 1 – 1 x 2 = – 2
2
Suma 3 – 1 – 1
– 2
3
2
3
2
– 1
– 2
2
0
Suma 2 – 2
Se elimino el último término. 6° Paso
1 1 1
– 1
Ahora multiplicamos por el valor de – 2 – 2 x 1= – 2
1
– 2
+2 1
– 1
– 2
3
2
3
– 1
2 – 2
2
0
– 2
Suma 2 – 2
0
Se elimino el último término. Si nos fijamos en la columna tenemos lo siguiente
1 – 1 – 2
Por tanto la respuesta Por tanto la
3.6
x3
2x2
1 – 1 – 2 x
2
es x 1 x 1 x
(x – 1) (x + 1) (x + 2) 2
multiplicación de tres binomios
ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
Se llama ecuación a toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, que reciben el nombre de incógnitas, y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. En este caso trabajamos con una sola cantidad desconocida. Es la expresión donde se encuentran dos miembros separados por un signo igual, de la siguiente manera 6 5 x Miembro derecho Miembro izquierdo 3 x 2 Teoremas Y Aplicaciones Imp ortantes Para La Resoluc ión De Ecuaciones
Principales propiedades (derivadas de teoremas) En una ecuación se puede trasponer un término de un miembro a otro, a condición de cambiar el signo que le precede. Se puede cambiar los signos de todos los términos de una ecuación. En toda ecuación se puede reducir el segundo miembro a cero. Se pueden suprimir los denominadores de una ecuación. Se puede simplificar una ecuación dividiendo todos sus términos por un mismo número diferente de cero. 3.6.1 Ecuación lineal.- Toda ecuación completa de primer grado con una incógnita, después de reducirla, toma la forma general: ax + b = 0 Resolviendo se llega: x
1º) 2º)
b a
Discusión de la ecuación es hacer un estudio detallado de la misma, viendo los valores que toma la raíz, según los valores de los coeficientes a y b Puede darse los siguientes casos: Si a y b son números no nulos y de signos contrario, nos da una respuesta positiva Si a y b son números de mismo signo, nos da una respuesta negativa
3º) Si a = 0 b ≠ 0 , la ecuación daría : también
0 x b 0
b 0
x
pero la división por cero es imposible, o
no hay ningún número x que, multiplicado por cero dé un número – b
Por Tanto en este caso La ecuación es imposible
4º) Si a = 0 y b = 0, la ecuación se convierte:
0 x 0
0
, cualquier número x verifica entonces la
ecuación, es indeterminada, tiene infinitas soluciones Ejemplo:
3 x 2
2x 4
luego,
3 x
2x
4
por lo tanto,
2
2
x
En este caso solo hay una variable, que es la x 3.6.2 Ecuaciones Cuadráticas Tienen la forma general de ax 2 bx c 0 Donde: a ≠ 0; ax2 es el término cuadrático, bx es el término lineal y c es el término independiente. Las siguientes son ecuaciones de segundo grado o cuadráticas: 2 x 2 5 x 1 0 ; 3 x 2 x 0 ; x 2 4 0 Toda ecuación cuadrática o de segundo grado tiene dos soluciones, que también reciben el nombre de raíces. Se tienen dos métodos que son los más utilizados para obtener la solución de una ecuación de cuadrática: a) Por descomposición en factores (cualquier criterio de factorización) m 2 13m Ejemplo: Factorizando se tiene que
30
0
x 15 x 2
b) Por la fórmula general: x
b
0,
de donde x1
b2 2a
4ac
15
y
x2
b2
donde
2
4 ac conocido también
como discriminante. Del análisis del discrimínate se tienen tres posibilidades:
1º) Si
0 entonces se tienen raíces iguales
Ejemplo: x 2 4 x 4 0 . Evaluando Factorizando se tiene que x 2 x 2
2º) Si
= 42 4 1 4 0 , de donde x1
0. 2 y x2
2
> 0 entonces se tienen raíces reales
Ejemplo: x2 4 x 3 0 . Evaluando = 4 2 4 1 3 4 , luego > 0. Factorizando se tiene que x 3 x 1 0 , de donde x1 3 y x2 1
3º) Si
< 0 entonces se tienen raíces imaginarias
Ejemplo: x 2 4 x 5 0 . Evaluando = Aplicando la fórmula general, se tiene que:
4
2
4 1 5
4,
luego
< 0.
4
x
2
4
4 1 5
4 2i
2 1
2
2 i , de donde las raíces
x1
2 i
y
x2
2 i
las
soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos. 3.7 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Cuando varias ecuaciones deben quedar satisfechas para un mismo sistema de valores de las incógnitas, se dice que forman un sistema. Un sistema de dos ecuaciones son equivalentes cuando las ecuaciones de cada uno de ellos son verificadas por un mismo sistema de valores de las incógnitas. Para establecer la equivalencia entre el sistema de dos ecuaciones hay que demostrar que toda solución de la primera ecuación es solución del segundo y así recíprocamente. Métodos de resolución.- Existen cinco métodos para resolver este sistema de ecuaciones: Reducción, Sustitución, Igualación, Determinantes y Gráfico. Ejemplo: Resolver el sistema de ecuación de primer grado con dos incógnitas. Reducción
1)
x
2 y
4
1
y
5
2
2 x
Eliminando ”x”
Eliminando “y”
Multiplicando por 2 la ecuación (1) Multiplicando por (-1) la ecuación (2) x
2 y
4
y
5
2 x
x
2
4 y
2 x
8
y 3 y
3 5 3
2y
4 x 2 y 3 x
Despejando “y” tenemos:
4
y
5
1 2
Sumando las ecuaciones (3) y (4) x
4
2 y
2 x
1
Sumando las ecuaciones (3) y (4) 2 x
Multiplicando por 1 la ecuación (1) Multiplicando por (-2) la ecuación (2)
4
3
10
4 6
y 1
Despejando “ x” tenemos:
x
2
2) Sustitución x 2 x
2y
4
1
y
5
2
Eliminando ”x”
Despejando “x” de la ecuación (1) x
4
2y
3
Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (2) 2 4 2 y
y
5
Eliminando “y”
Reemplazando la ecuación (4) en la ecuación (1) x 2 1
Por lo tanto tenemos:
4 x
2
Realizando operaciones: 4 y
8
y
3 y
5
3 3 3
y
Por lo tanto tenemos:
1
y
4
3) Por Igualación x
2y
4
1
y
5
2
2 x
Eliminando ”x”
Eliminando “y”
Despejando “x” de la ecuaciones (1) y (2) x
4
2y
5
x
Despejando “y” de la ecuaciones (1) y (2)
3
y
(4 )
2
Igualando “x” de las ecuaciones (3) y (4) 4
2 y
y
4 x 2
3
y
5 2x
4
Igualando “y” de las ecuaciones (3) y (4) 4 x 2
5 y
5 2 x
2
Realizando operaciones: 4 x
Realizando operaciones: 8
4 y 3 y
Por lo tanto tenemos:
5
y
3 x
10 6
Por lo tanto tenemos:
3
y
1
a1
b1
a2
b2
4) Por Determinantes a1 x
b1 y
c1
a2 x
b2 y
c2
Diagonal secundaria
a1b2
a 2 b1
Diagonal principal
Ejemplo.- Resolver si siguiente sistema de ecuación con dos incógnitas x 2 x
2y
y
4 5
4x
x
2
4 2 5 1 1 2
x
Columna x
4 1
2 5
1 1
2 2
4 10 1 4
6 3
2
2 1
x
2 y
4
2 x
y
5
Valores Independientes 1 y
4
2 5 1 2
1 5
2 4
1 1
2 2
5 8 1 4
3 3
x
1
2,
y 1
2 1
Columna y
5) Por Método Grafico.- Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas. Ejemplo.- Resolver si siguiente sistema de ecuación con dos incógnitas
En la ecuación primera: x
La intersección es el punto Gráficamente:
2, 1
4
2 x
5
y
4 tenemos: Para
2y
En la ecuación segunda: 2 x
x 2 y
y
5 tenemos
x
0
;
y
2
y
0
;
x
4
Para
x
0
;
y
y
0
;
x
luego la solución del sistema es x
2 ,
5
y=(4-x)/2
x
0 -10
-5
0
-5
5
y=5-2x
10
5
y
y
-15
5
15
2 1
Problemas de aplicación Un estanciero compro 4 torillos y 7 vacas por 514 $us y después compro al mismo precio 8 torillos y 9 vacas por 818 $us. Hallar el costo de un torillo y una vaca. El torillo lo denominamos como x , y las vacas la denominamos como y, por tanto la ecuación queda de la siguiente manera: 4 x
7 y
514
8 x 9 y
818
Hallamos los valores de x y de y , resolviendo por el método de determinantes 514
7
818
9
x
4
7
8
9
4
514
8
818
y
4
7
8
9
514
9
818
4
9
8
7
8
514
8
7
4
818 4
9
7
4 626 36
3 272 36
5 726
1 100
56
55
20
4 112
840
56
42
20
De acuerdo a los resultados, llegamos a la siguiente conclusión, para el estanciero cada torillo le cuesta individualmente $ 55 y cada vaca le cuesta $ 42 3.8 INECUACIONES Una inecuación o desigualdad condicional es aquella que es válida solo para ciertos valores de las variables que están definidas. Al conjunto de dichos valores que la conforman se denomina Conjunto solución. 3.8.1 INTÉRVALOS Es un subconjunto de los números reales. Gráficamente se representan sombreando una parte del “eje” que es una recta horizontal en cuyo centro está el número “0”, donde los números positivos están a la derecha y los números negativos están a la izquierda -
….
– 4
– 3
– 2
– 1
0
1
1. Clases de intérvalos.- Existen tres clases: Sean a y b dos elementos de R, tal que a < b. a, b 1) Intérvalo abierto:
abierto, cerrado e infinito ;
x/a
x
b
a
–
Ejemplo:
….. +
2
+
b
] – 5, 4 [ = { x / – 5 < x < 4} – 5
–
Semiabierto a izquierda:
a, b
–
; a
0
x/a
x
+
4
b b
+
Ejemplo:
] – 5, 4] = {x /– 5 < x 4} – 5
–
Semiabierto a derecha:
a, b
-
Ejemplo:
;
x/a
b
+
b
[ – 5, 4[ = {x / – 5 x < 4} – 5
2) Intérvalo cerrado:
0
a, b
;
– 5
–
– [ = { x / x > – 5}
0
,b
;
+
4
x/x
b
+
b
a,
;
x/x
+
a
+
a
+ ,b
;
x/x
b
b
– ] – , 4 ] = { x / x 4} –
+
4
– – 5 Intérvalo cerrado infinito a la izquierda:
Ejemplo:
b
– ] – , 4 [ = { x / x < 4}
– Intérvalo abierto infinito a la derecha:
] – 5, +
x
b
Intérvalo abierto infinito a la izquierda:
Ejemplo:
x/a
+
4
a
– [ – 5, 4 ] = {x / – 5 x 4}
3) Intérvalos infinitos
Ejemplo:
x
+
4
a
–
Ejemplo:
0
4
+
+
Intérvalo cerrado infinito a la derecha:
;
x/x
a
+
a
– [ – 5, +
Ejemplo:
a,
[ = { x / x ≥ – 5} +
– 5
–
Operaciones con intérvalos: Idénticas operaciones que con conjuntos: Sean los intérvalos I1 = – 4, 3 y I2 = 1, 6 [Hallar: I1 I2, I1 I2 I1 = – 4, 3
–
– 4
0
3
–
– 4
0 1
3
–
– 4
0
1
2
0
1
2
+
I2 = 1, 6 [ 6
+
6
+
6
+
I2 = Cs: ] – 4; 6 [
I1
I2 = Cs: 1; 3]
I1
–
3
4
5
3.8.2 INECUACIONES LINEALES Son aquellas desigualdades que pueden expresarse como: ax
0
b
;
ax
b
0
La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. x 2 Por ejemplo x < 2 su conjunto solución es x Z / Gráficamente el Cs es – 1
Ejemplo: 5 x
4
Cs =
2x 6
x
R /
5x 2x 2 3
6 4
3x
2
x
0
1
2
3
3
2 3
Gráficamente el C.s. es: – 1
0
1
2
bx c
0
ó
ax 2
+
3.8.3 INECUACIONES CUADRÁTICAS Son inecuaciones de la forma:
ax 2
bx
NOTA.- Cuando el signo es > entonces la solución son los positivos + Cuando el signo es < entonces la solución son los negativos --
c
0
Ejemplo: Resolver la inecuación x2 5 x 6 0 1° Paso: Factorizar: x 3 x 2 0 2° Paso: Hallar Punto Crítico: x 3 0 x
2
x x
0
3 2
3° Paso: Graficar para encontrar el conjunto solución de la inecuación x+3
----
++++
++++
x+2
----
-------
++++
+
– 3
–
– 2
+
Como indicamos anteriormente el signo de desigualdad es son las soluciones. Graficando en la recta real quedaría
– 4
– 3
– 2
Entonces el Conjunto solución es
– 1
Cs =
0
,
2
3
3
2,
por tanto los campos con signos +
UNIDAD IV 4.1
GEOMETRÍA ANALÍTICA
INTRODUCCIÓN
El estudio de la geometría analítica nos permite relacionar las operaciones algebraicas con la geometría plana, siendo su campo de aplicación muy amplio, como ser la administración, economía, ingenierías en sus diversas especialidades y otras. 4.2
CONCEPTOS GENERALES
La geometría analítica plana es la parte de las matemáticas que estudia las diferentes relaciones que existen entre dos variables., generalmente identificadas por ·”X, Y” Sistemas de coordenada rectangulares.- Es un sistema formado por dos ejes perpendiculares entre si, que dividen el plano en cuatro cuadrantes. Eje Y
Cuadrante II
Cuadrante I
x
0
x
0
y
0
y
0
x
0
x
0
y
0
y
0
Eje X
Cuadrante III
Cuadrante IV
Par ordenado.- Son puntos formados por dos elementos dados en cierto orden y se lo representa por (a, b) donde a representa al valor en el eje x, y b representa el valor en el eje y. Estos pares ordenados se pueden representar en el sistema de coordenadas rectangulares. Ejemplo: los puntos A (2, 3), B ( – 2, – 1) y C (5, 0) se representan
Distancia Entre Dos Puntos.- Aplicando el Teorema de Pitágoras entre dos puntos de una recta se determina la siguiente expresión: D
x2
x1
2
y2
y1
2
62
Ejemplo:
Determine la distancia entre los puntos P 1
Reemplazando se tiene:
5 1
D
2
2
5 2
1, 2
42
y P 2
32
5, 5
25
D
5
Pendiente De Una Recta: Es la inclinación que presenta una recta, la cuál se representa generalmente por la letra m y se determina como: m
elevacion recorrido
A B
m m
y2
y1
x2
x1
si Ax
Si se tiene dos puntos
By
tan
tan
Si se tiene la ecuación general
C 0 1
Angulo de inclinación de una recta
m
Ejemplos: Determinar la pendiente m y el ángulo de inclinación Ø según sea el caso, con los siguientes datos: 1)
P 1
2, 3
y P 2
4,
2)
5
4 x
3y
2
3)
0
m
1
4.3 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA LA LÍNEA RECTA Es el lugar geométrico formado por los pares (x, y) representados por una ecuación de primer grado en dos variables (ecuación lineal), que tiene la forma general: Ax + By + C = 0 donde A, B, C R ; A, B no pueden ser cero simultáneamente
A x B y
Y
C 0
y 2 y2 y1
y1
y 2
y1
x2 x1 X
x1 Ejemplos:
3 x
5y
1
0
;
x 2 5 y
2
0
;
x
4
4.3.1 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos y
y1
y2
y1
x
x1
x2
x1
Dos puntos conocidos P1
x1 , y1
y P2
x2 , y2
63
Ejemplo: 1)
Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos P 1 1, Graficar, e indicar sus características (ordenadas en el origen, pendiente).
1
y
P 2 5, 4
Solución: Reemplazando se tiene: y
y
1 2
1 1 x 2
x
1
y
1 2
1
y
1 x 2
1 2
1 x 2
1 3 2
y
1 x 2
3 2
Resultado final
2) Determinar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P 1 5, 2 y P 2 3, 5 3) Una agencia inmobiliaria maneja 50 departamentos. Cuando el alquiler es de $us 280 mensuales, todos los departamentos están ocupados; pero si es de $us 325 mensuales el promedio de ocupados baja a 47 departamentos. Con esta información suponga que la relación entre la renta mensual y la demanda es lineal. Usted como administrador de la inmobiliaria debe determinar la ecuación de la demanda (ecuación lineal) de departamentos en función de la renta mensual. (Graficar e indicar sus características) Solución: Primeramente definimos las variables x = números de departamentos y = alquiler mensual de los departamentos [$us.] Identificamos los datos: Reemplazando se tiene:
P 1
y x
x1
50 Dptos.
y1
280 $us .
280 50
325 47
y 280 x 50
280
y
P 2
x2
47 Dptos.
y2
325 $us.
280 50
y x
280 50
45 3
15
15 ( x
280
50)
15 x
y
750
15 x
1 030
Ecuación d e demanda
4.3.2 Ecuación de la recta punto- pendiente y
y1
m x
x1
Para un punto y pendiente conocidos
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 4 .(Graficar , e indicar sus características). m
P 7, 1
3
y tiene como pendiente
64
Solución: y
( 3)
Reemplazando los datos se tiene: 4 x
7
y 3
4x
28
4x
y
25
Ecuación de la recta: 2) Para una recta cuya pendiente es 3 5 que pasa por el punto P 1 ecuación. (Graficar e indicar sus características). 4.4.3
5, 2
; determine usted su
Pendiente –ordenada en el origen
y
mx
Para Pendiente y ordenada al origen conocido.
b
Ejemplo:
1) Determinar la ecuación de la recta que tiene como ordenada al origen – 8 y su pendiente es 3. (Graficar e indicar sus características).
Solución:
Reemplazando y
1)
3x
(
8)
b
8
y
m y
3 en
la ecuación, se tiene:
3x 8
Si diariamente el precio de dólar ($us) con respecto al boliviano (Bs) aumenta en Bs. 0.25 y hoy se cotiza a Bs. 7.96. Determine usted: a) La ecuación que relaciona el precio del dólar con respecto al tiempo, suponiendo que este cambio es lineal. b) ¿Cuál será el precio del dólar en 10 días? ¿CÓMO GRAFICAR UNA ECUACIÓN LINEAL?
Para graficar la siguiente ecuación lineal y x 1 , Asignamos valores a “ x ” que es variable, entonces se obtiene valores en y . ¿Que pasa cuando x = 0? Obviamente y = 1; si continuamos ¿Qué pasa cuando x = 1? y = 1 + 1 por tanto y = 2 Y
y
x 1
X Otra forma de graficar es: elaborando una tabla de pares ordenados (x , y) donde asignamos mas de dos valores a la variable x.
65
1) Graficar la siguiente ecuación y x 2 que representa una recta
y x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
x
2
y – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1
2) Para el caso de la ecuación
y
3 x 4
3.
Si tabulamos veremos que los valores de x
darán un resultado de y respectivo, formando gráficamente esta línea. x
y
-2 -1 0 1 2
9/2 15/4 3 9/4 3/2
3
3/4
4
0
EJERCICIOS: 4.4
3 4
y
1 x 8 2
Graficar , determinar "m ", "b ": a ) y
3
1 x 300
b) y
8
PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS
El punto de intersección se determina, resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se genera. Ejemplo: 1) Si calculamos el punto de intersección entre las rectas L1 : 3x debemos resolver el sistema de ecuaciones: 3 x 2 y 7
0
1
0
x
y
5 x 5
0
Reemplazando x
2
3 x 2 y 7
0
2 x 2 y 2
0
5 x 5 1 en L2 tenemos:
x
2y 7
0
y
L2 : x
y 1
0,
1
1 y 1
0
y
2
66
x
y
x
y
– 2
5 – 2
0
– 1
9/2 – 1
1/2
0
4
0
Por lo tanto el punto de intersección es: P(1, 2) 2) Graficar las rectas L1 y L2 , luego hallar el punto de intersección. L1 :
1
1
3/2
1
3/2
2
3
2
2
4
2
4
3
1 x 2
y
4
;
Ordenando L1 se tiene
y
L2 : y
1 x 1 2
1 x 4, 2
luego en ambas ecuaciones
reemplazamos valores en x obteniendo las tablas siguientes: Ecuación L 1
Ecuación L 2
Representación gráfica
y
1 x 1 2
y
1 x 4 2
x
Ahora buscamos el punto de intersección entre las rectas L 1 y L 2 , aplicando el método de igualación, tenemos que y 1
y 2 , entonces se obtiene que
1 x 4 2
1 x 1. 2
Multiplicando
por 2 toda la igualdad podemos eliminar los denominadores, luego se tiene x 8 x 2 , transponiendo términos , reduciendo términos semejantes 2 x 6 ; multiplicando por (-1) la última expresión obtenemos Reemplazando x
2 x
6,
despejando x se tiene x
3 en L2 tenemos:
Por lo tanto el punto de intersección es:
y
1 3 2
1
6 2
; entonces y
3 2
1
x
3 y
5 2
P 3, 5 2
4.4 CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA Las leyes de la oferta y la demanda en economía son dos relaciones fundamentales para el análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo que será adquirido por los consumidores depende del precio en que el artículo esté disponible; a esta situación se denomina ley de la demanda, que se interpreta gráficamente como sigue:
67
Precio A mayor precio Menor cantidad demandada
A menor precio Mayor cantidad demandada Cantidad demandada Curva de demanda lineal
La cantidad x de cualquier artículo que los proveedores están dispuestos a ofrecer depende del precio al cual pueden venderlo. Una relación que representa la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina ley de la oferta. Precio
A menor precio Menor cantidad a ofrecer
A mayor precio Mayor cantidad a ofrecer
Cantidad Curva de oferta lineal
4.5 EQUILIBRIO DE MERCADO Existe equilibrio del mercado en el punto en que la cantidad de un artículo demandado es igual a la cantidad en oferta. La cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio corresponden a las coordenadas ( x , y ) del punto de intersección de las curvas de oferta y demanda, que se determina resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de oferta y demanda. Para que el punto de equilibrio tenga sentido, los valores de “x ” y de “y ” deben ser positivos o cero; es decir que las curvas de oferta y demanda solo deben interceptarse en el primer cuadrante. Precio
Cur va de oferta
Punto de equilibrio Curva de demanda
Cantidad
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