Gravitação Universal - Prof. Alexandre Ortiz Calvão

GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

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ÇÃO

Prof. Alexandre O Calvão

EXERCÍCIOS

1

1) (VUNESP) A Terra descreve uma elipse em torno do sol, cuja área é a=6,98x1022m2. INTRODUÇÃO a) Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao sol 1) “MATÉRIA [ ATRAI ATRAI]] MATÉRIA” 2) “GRAVITAÇÃO, [ DISTORÇÃO ] DO ESPAÇO-TEMPO” entre 0,0h do dia primeiro de abril até 24h do dia 30 de maio do mesmo ano? (A. Einstein). Relatividade Geral Qual foi foi o prin princíp cípio io ou lei lei que que você você usou usou para 3) Os cometas foram considerados, no passado, como b) Qual efetuar o cálculo acima? portadores de [ maus ] presságios! presságios! R: a) 1,16x1022m2 b) Lei das áreas A origem e composição dos cometas continua sendo 2) (Cesgranrio) Um satélite de massa m gira, em órbita um mistério ainda hoje (março de 2000)! 4) Inicialmente considerava-se que a Terra ocupava o circular, em torno de um corpo central de massa M(M>>m). Aplicando Aplic ando convenientemente convenien temente as Leis de centro do Universo, esse sistema chamava-se [ Newton a esse sistema, determine o valor da razão Geocêntrico ] . Criado por Ptolomeu no século II. T2/r3 entre o quadrado do período (T) e o cubo do raio 5) Nicolau Copérnico (século XVI) e Galileu Galilei (século XVII) desenvolveram o Sistema[Heliocêntrico Sistema[Heliocêntrico ] da órbita (r), em função das demais grandezas físicas envolvidas no problema. problema. 6) Todo o par de objetos que tem massa, dos átomos 2 3 2 às estrelas, se atrai com uma força que depende de R: T /r = 4 /GM ambas as massas e da distância que os separa. É esta 3) (U.F.MG) Tendo em vista as leis de Kepler sobre os a síntese da lei da gravitação gravitação universal. Com essa lei, movimentos movimentos dos planetas, pode-se afirmar que: é possível explicar não apenas os movimentos dos a) A velo veloci cida dade de de um plan planet eta, a, em sua sua órbi órbita ta,, planetas em torno do Sol, mas também os dos satélites aumen aumenta ta a medida medida que que ele se afasta afasta do sol. sol. b) O lançados ao espaço pelo homem e dos astros em geral períod período o da revol revoluçã ução o de um planeta planeta é tanto tanto ma maior ior como: asteróides, cometas, estrelas, nebulosas, quanto maior maior for sua distância do sol. sol. c) O período da quasares, quasares, pulsares etc. revolução de um planeta é tanto menor quanto maior for sua massa. massa. d) O período de rotação rotação de um planeta, planeta, AS LEIS DE KEPLER(Cinemática dos corpos celestes) em torno do seu eixo, é tanto maior quanto maior for o 7) 1a Lei (LEI DAS ÓRBITAS) . Os planetas descrevem seu período de revolução. revolução. e) O sol se encontra encontra situado trajetórias ..............., onde o Sol ocupa um dos focos exatamente no centro da órbita elíptica descrita por da elipse. um dado planeta. R: b Lei das Órbitas 4) (U.F.RS) Dois satélite artificiais da Terra, X e Y, de V mesma massa, giram ram em órbita itas circulares concêntricas de raios r e 2r , respectivamente. Qual a Planeta relação entre o período do satélite Y(Ty ) e do X(Tx)? F1 a) Ty = Tx/4 b) Ty= Tx / 2 c) Ty= 2T F2 ¹/2 d) Ty=2 (2)¹/2 Tx e) Ty= 4Tx R: d Sol 5) (CESGR (CESGRANRIO ANRIO3) 3) Uma nave Mariner Mariner perman permanece ece Trajetó Trajetória elí elíptica alguns meses em órbita circular em torno de Marte. Durante essa fase, as forças que agem sobre a nave são, em um referencial inercial ligado ao centro do 8) 2a Lei (LEI DAS ÁREAS) As áreas varridas pelo raio planeta: vetor vetor de um plane planeta ta são prop propor orcio cionai naiss ao .......... ............. ... a) a b) b c) c d) d e) e gasto para varrê-las. a Matematicamente: 27?01/07

Lei das Áreas V

C

Planeta Área 1

a a a

b

c

d

e

B

Resp. c 6) (U.F (U.F.L .Lon ondr drin inaa-PR PR)) Um menin enino o pesa pesa 400N 400N na super su perfíci fície e da T erra, err a, onde ond e se adota ado ta g=10 g= 10m/ m/s s2. Se o Área 2 A menino fosse transportado até uma altura igual ao raio D da Terra, sua massa e seu peso seriam, respectivamente: b) 40kg e 200N c) 40kg e 400N 9) 3a Lei (LEI DOS PERÍODOS) Os .............. dos raios a) 40kg e 100N e) 10kg e 100N médios dos planetas em torno do Sol são proporcionais d) 20kg e 200N Resp. a aos .................... dos períodos de revoluções. 7) (UFPA) Dois satélites, 1 e 2, de um mesmo planeta têm Matematicamente: períodos que satisfazem à relação T 2=2T1. Então, a razão R1/R2 entre os raios das órbitas desses satélites seria:

8) Quanto mais afastado um planeta estiver do Sol a) ½ b) (1/4)1/3 c) 1/(2 2) 2) d) 2 2 e) 4 R: b (maior o raio médio R) maior será seu ..................... de Sol: ( T 2 3 2 3 T1 = k R1 )/(4 T1 = k R2 )=> 1/4= (R1/R2)3 translação .

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EXERCÍCIOS

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1) LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL - dadas dadas duas duas massas massas M e m separadas por uma distância d ocorrerá, sem emp pre entr entre e elas elas,, atra atraçã ção o grav gravit itac acio iona nal, l, cuja cuja intensidade é dada pela fórmula:

Fig.

2) A força gravitacional é uma força central, isto é, a direção em que a força atua é sempre da reta que ........... as duas massas. 3) PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO SUPERPOSIÇÃO - A força gravitacional gerad rada por dist distin inttas mass assas sim simplesm lesme ente se superpõem, superpõem, sem que haja interferência entre elas. 4) A força F1 sobre a partícula 1 é a soma vetorial de todas todas as forças forças que que as dema demais is partícu partículas las exer exercem cem sobre a partícula separadamente, ou seja:

5) CAMPO GRAVITACIONAL GRAVITACIONAL - Todos os corpos têm um campo campo gravita gravitacion cional al ao redo redorr deles deles,, que que pode pode ser ser repre eprese sent ntad ado o por por uma uma cole coleçã ção o de .... ...... .... .... .... .... que que repres representa enta a ........................ ........................ da gravidad gravidade e em cada ponto.

1) (VUNESP) Costumamos dizer que a aceleração da grav gravid idad ade e é con constan stante te sobr sobre e um dado dado pon ponto da superfície da Terra. Essa afirmação constitui uma boa aproxi aproximaçã mação o para pequenas pequenas altitudes, pois no caso geral aquela aceleração é dada por g= G(Mt/r2), onde G é uma constante universal, Mt é a massa da Terra e r é a distância do ponto considerado ao centro do planeta, r ou rt(r=raio da Terra). Chamando de gt a gravidade sobre a superfície, a que altitude h devemos subir para que g decresça 2% em relação a g t? Despreze termos de ordem de (h/rt)2. Considere rt= 6.300km. (Gaspar. 25) R: 63 km 2) (FUVES (FUVEST) T) Um anel anel de Saturn Saturno o é constit constituíd uído o por partíc partícula ulass girand girando o em torno torno do planet planeta a em órbita órbitass circulares. a) Em função da massa M do planeta, da constante univ univer ersa sall da grav gravit itaç ação ão G e do raio raio r, calc calcul ule e a velocidade orbital de uma partícula do anel. b) Sejam r1 o raio interno e r2 o raio externo do anel. Qual a razão entre entre as as velocidades velocidades angulares angulares w1 e w2 de duas partículas, uma na borda interna e outra na borda externa do anel? R: a) (GM/r)1/2 b) (Re/Ri)3/2 3) (FATEC) Pretende-se colocar um satélite em órbita circular ao redor da Terra , a uma altura de 270km acima acima da superf superfície ície terre terrestr stre. e. Sendo Sendo conhec conhecido idoss a -11 2 consta constante nte gravit gravitacio acional nal,, G= 6,67.1 6,67.10 0 Nm /kg2; a 24 massa da Terra, M= 6,0.10 m, determine: a) a velocidade que o satélite manterá na órbita; b) o período da revolução do satélite;

6) Satélites em órbitas circulares circulares – Aplicando-se a lei 4) (U.F.Uberlândia-MG) Um satélite artificial de massa da gravitação ao movimento circular uniforme têm-se m enco encont ntra ra-s -se e em órbi órbita ta circ circul ular ar dist distan antte h da a seguinte expressão: superfície da Terra. Sendo M e R, respectivamente., a mass ma ssa a e o raio raio da Terra erra e repr repres esen enta tand ndo o por por G a constante da gravitação universal, determine: determine: 7) Qual é o valor da força centrípeta de um satélite a) a expressão expressão da força resultante sobre o satélite; que gira em uma órbita circular. b) a velocidade linear v, em relação à Terra, do satélite da órbita; c) o período de seu movimento de translação em torno 8) Sendo m a massa de um corpo situado num ponto p da Terra. a uma altura h da superfície de um planeta de raio R e R: a) Fr=Fc=(GMm)/(R+h) 2 b) v=(GM/(R+h))1/2 massa M. A aceleração da gravidade neste neste ponto será será c) T=2 [(R+h)3/GM]1/2 dada por: 5) (CICE-RJ) Júpiter, o maior planeta do sistema solar, Obs. Obs. Repar epare e que que a acele acelera raçã ção o da grav gravid idad ade e não não tem diâmetro 11 vezes maior do que a Terra e massa depende da massa do corpo! 320 320 veze vezess maior aior que que a terr terres estr tre. e. Qual Qual será será na superfície de Júpiter o peso de um astronauta e seu 9) Velocidade de escape – É a ................ .............. velocidade velocidade equipamento, cujo peso total na Terra é de 1.200 N? (v) com que se deve lançar um objeto da superfície de R: 3,2.103 N um planeta de massa M para que o mesmo “vença” a força gravitacional do planeta. 6) (FUVEST) Um satélite artificial se move em órbita circular ao redor da Terra, ficando permanentemente 10) Planetas e satélites elocidade




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universal de gravitação igual a 6,7.1011 N.m2 /kg2 e que um 4 DS_Gravitacao.odt dia tem 8,6.10 s, determine: a) a velocidade tangencial da Lua. NÍ VEL VEL 1 * 1) * Qual é a força com que duas massas de 1 kg cada, b) a massa da Terra. R: a) 1,1.103 m/s b) 7,2.1024 kg separadas pela distância de 1 m se atrairão? R: 6,67.1011 N Solução a) v=2Pi.r/T v=2Pi.r/T=6,24.4.10 =6,24.4.108 / (27. (27.8,6.1 8,6.10 04)=0,107.104= 2) * Qual é o peso de um astronauta de massa 60 kg situado 1,1.103 m/s b) F=GMm/r2 ; Fcp=m =mV V 2 /r ; F=Fcp a 20.000 km do centro da Terra? 2 8 R. 60 N (praticamente 1/10 do peso na superf í íccie ie da Terra) M=rV /G=4,0.10 .(1,1.103)2 /6,7.1011=7,2.1024 kg Gravitação DS

3) * (FUVEST) Podemos admitir, numa primeira aproximação, que a Terra descreve um movimento circular em torno torno do Sol. a) Fa Faça uma figura da trajetória da Terra em torno do Sol, mostrando, num determinado ponto da trajetória, os vetores velocidade e aceleração da Terra. b) Indicando por FG o módulo da força gravitacional que o Sol Sol exer exerce ce sobr sobre e a Terra erra e por por Fc o módulo dulo da for força centrí peta peta que atua sobre a Terra, quanto vale FG /FC? R: a) velocidade tangente e aceleração dirigida dirigida para o Sol b) 1 4) * (UFMG) A partir da 2a Lei de Newton e da Lei da Gravitação Un Univ iver ersa sal, l, obte obtenh nha a um uma a f órmul rmula a que que torne torne poss í vel vel calcu calcula larr o valor valor da acele acelera ração da gravidade na superf í c ie de um planeta, sendo conhecidos: seu raio, R, sua ície massa, M, e a constante gravitacional, G. R: g=(G.M)/R 2

NÍ VEL VEL 2 ** 1) ** A massa de um próton vale aproximadamente 1,67.10 27 kg e a de um elétron, vale 9,1.1031 kg. No átomo de hidrogênio, a distância média do elétron e do próton é de aproximadamente aproximadamente 5.1010 m. Qual é a força de atração entre eles, causada pela interação gravitacional? R: F=4,05.1049 N 2) ** (FUVEST) (FUVEST) A acelera aceleração da gravidade gravidade na superf í cie cie da 2 Lua Lua é gL= 2m/s . a) Na lua, de que altura uma pessoa deve cair para atingir o solo com a mesma velocidade com que ela chegaria no chão, na Terra, se caí sse sse de 1m de altura? b) A razão entre os raios da Lua(R L) e da Terra(R T) é R L /R /R T =1/4. =1/4. Calcul Calcule e a razão entre as massas da Lua(ML) e da Terra(MT). R: a) 5m b) 1/80 3) ** (UFV/MG) O peso de um corpo na superf í c ie da Terra ície corpo pesa 8 N no interior de uma é de 40 N. Esse mesmo corpo nave espacial, que se move sob ação da gravidade em torno da Terra. Terra. Calcule a distância da nave ao centro da Terra no momento da pesagem, considerando o raio da Terra (R). R: R   5

2) *** (UNICAMP) Um mí ssil ssil é lan lançado horizontalmente horizontalmente em órbita circular rasante à superf í c ie da Terra. Terra. Adote o raio raio ície da Terra R=6400 km e, para simplificar, tome 3 como valor aproximado de Pi. a) Qual é a velocidade de lançamento? b) Qual é o perí odo odo da órbita? R: a) 8.000 m/s b) 80 minutos 3) *** *** (MACK (MACK/SP /SP)) Qu Qual al é o valo valorr da acel acele eração da gravidade do Sol se o seu raio é 110 vezes maior do que o da Terra e sua densidade média é ¼ da densidade média da Terra? A aceleração da gravidade na superf í c ie da Terra é de ície 2 9,8 m/s . Densidad Densidade e = massa / volume; volume; volume volume de uma esfera V =(4  R 3)/3. R: 275 m/s2

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