Gestión de Stocks (2007)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

Elementos de GESTIÓN DE LAS EXISTENCIAS (STOCKS)

Ing. Rogelio A. A. Morán

2007

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA GESTIÓN DE LAS EXISTENCIAS 1.1 LAS EXISTENCIAS EN LA CADENA LOGÍSTICA Los sistemas de aprovisionamiento tienen por finalidad poner a disposición de los clientes externos (consumidores) y/o internos (distintas áreas de la empresa) los elementos materiales necesarios para satisfacer sus requerimientos, en un horizonte de tiempo especificado. Generalmente incluyen algún tipo de almacenamiento donde se mantiene un determinado nivel de existencias1 de los materiales para garantizar un funcionamiento continuo de las actividades productivas y comerciales. Las existencias forman parte del activo de las empresas. Un excesivo nivel de existencias reduce la rentabilidad de las empresas, puesto que: a) La utilidad neta se reduce por los costos asociados al mantenimiento de las existencias y, b) El activo total se incrementa, lo que reduce la rotación de los activos con respecto a las ventas (ventas/total activos), lo cual reduce a su vez el retorno sobre activos y el retorno sobre el patrimonio neto. Desde este punto de vista –y también desde el de la excelencia en manufactura, como veremos más adelante– lo ideal sería operar sin existencias. Sin embargo hay numerosas e importantes causas que hacen necesario mantener existencias de materiales de todo tipo a lo largo de todo el ciclo abastecimientos–producción–distribución. Las razones por las que se mantienen existencias se pueden agrupar en las siguientes tres grandes clases. 1) Como protección contra la incertidumbre Dentro de esta clase algunas de las principales causas son: • Para prestar un buen servicio al cliente cuando la demanda es aleatoria (stock de productos elaborados). • Para asegurar un buen abastecimiento cuando hay aleatoriedad en la provisión (stock de materias primas). • Para evitar paradas de producción por falta de alguna pieza crítica ante la posibilidad de la rotura de los equipos (stock de repuestos). • Para evitar paradas en el proceso de producción por falta de materiales a causa de la eventual rotura de algún equipo en operaciones previas (stock de materiales en proceso). • Para prevenir faltantes en abastecimientos ante posibles problemas en los proveedores (fallas de producción, huelgas, etc.). • Por compras especulativas ante posibles subas de precios. 2) Como amortiguador (buffer) Los stocks como amortiguadores surgen naturalmente toda vez que se tienen sistemas desbalanceados. Por ejemplo: • Para balancear provisión y demanda manteniendo un nivel de producción uniforme. Por ejemplo, las demandas estacionales generan picos que pueden superar la capacidad de producción en algunos períodos y por lo tanto se debe producir y almacenar en los períodos de baja demanda (stock de producto elaborado); los 1

Ver la Nota 1 al final del Capítulo.

Gestión de las existencias.  2007 R. Morán.

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• •

abastecimientos estacionales de materiales que se requieren todo el año (stock de materias primas). Para absorber las diferentes tasas de producción de los equipos dentro del proceso de producción (stock de materiales en proceso). Para absorber las diferencias en las tasas de abastecimiento y consumo en las interfaces de los distintos sistemas, tales como: 1. Proveedor–Abastecimientos 2. Abastecimientos–Producción 3. Producción–Ventas 4. Ventas–Distribución 5. Distribución–Minorista 6. Minorista–Consumidor

3) Por razones de economías de escala El aprovechamiento de economías de escala en general conduce al almacenamiento de cantidades mayores que las estrictamente necesarias. Algunos casos típicos son los siguientes: • Para aprovechar descuentos en los precios unitarios por compras en grandes cantidades. • Para aprovechar reducciones de costos unitarios de transporte por cantidades que completan cargas (barcos, vagones, camiones). • Para reducir los costos unitarios de producción, fabricando lotes más grandes (absorción de los costos fijos de puesta a punto). • Para reducir los tiempos totales de puesta a punto, fabricando menos lotes de mayor tamaño durante el año (si la planta opera cercana a su capacidad máxima, numerosas puestas a punto para realizar lotes chicos reducen la capacidad neta disponible para producir). • Por razones de especialización (plantas o líneas dedicadas). Se logran economías al hacer largas corridas de producción. Por estas razones las existencias están presentes a lo largo de toda la cadena logística. Por ejemplo, en una empresa manufacturera se mantienen existencias de materias primas, de materiales en curso de elaboración, de productos terminados en fábrica, de productos terminados en centros de distribución. Además los proveedores y distribuidores mayoristas y minoristas mantienen sus propias existencias. Dada la importancia que las existencias tienen en el funcionamiento de la cadena logística y puesto que en general implican grandes inmovilizaciones de capital, es natural que se pretenda realizar una gestión eficiente de las mismas con el objetivo de tener las cantidades necesarias de los materiales requeridos, en el lugar apropiado, en el momento oportuno y al más bajo costo. La gestión de las existencias consiste, entonces, en un conjunto de reglas de decisión para controlar las existencias, determinar los niveles que se deben mantener y decidir los momentos en los que se las debe reaprovisionar y las cantidades que se deben ingresar (es decir, el tamaño de los lotes), con algún criterio de óptimo. Es decir, la gestión consiste esencialmente en determinar: • Qué ordenar • Cuánto ordenar • Cuándo ordenar

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1.1.1 La función existencias Como consecuencia de la interacción entre la demanda y las decisiones de la política de gestión, el nivel de las existencias de cada artículo varía en el tiempo. Indicaremos con q(t) a la función existencias, que describe la evolución de éstas en el tiempo para un artículo dado. Esta función puede adoptar diversas formas dependiendo del comportamiento de la demanda, de los ingresos, de la política de gestión adoptada y otras restricciones. La Figura 1-1 a representa uno de los casos probablemente más frecuentes de demanda aleatoria con ingreso instantáneo de los lotes de reaprovisionamiento. El ejemplo muestra un ciclo de reaprovisionamiento en el que hay una existencia remanente en el momento del ingreso, y otro ciclo en el que las existencias se agotan antes del ingreso y se produce un faltante. El término faltante alude al agotamiento de las existencias independientemente del q(t)

q(t)

L

L a

L

t

L

t

b

q(t) q(t)

L

L c

t

L

T d

t

Figura 1-1 número de unidades que no son entregadas. Se deben distinguir dos casos: a) las unidades faltantes se entregan posteriormente, con lo cual el faltante es en realidad un atraso en las entregas, b) se pierde completamente el suministro. Si la demanda es suficientemente alta puede ser considerada continua (Figura 1-1 b). Esta aproximación facilita el tratamiento analítico de la función en los modelos, sin introducir un considerable error. Una aproximación adicional que puede ser útil en la práctica es considerar el valor esperado de la demanda (Figura 1-1 c), lo que es equivalente a suponer la demanda constante. Sin embargo, cuando la demanda es de bajo volumen o errática, la aproximación continua no es válida y se requiere un cuidadoso análisis de la función demanda. Un caso particular importante es el de los reaprovisionamientos periódicos, con un cierto período T (Figura 1-1 d). Los ejemplos anteriores corresponden a ingresos instantáneos, lo que implica suponer que los lotes ingresan de una sola vez y que el tiempo que insume cada ingreso es tan corto que se puede despreciar la demanda durante el mismo. Cuando este supuesto no se cumple los ingresos son no instantáneos y se debe determinar la función con la que se realizan. Una aproximación habitual es considerar una ley lineal, es decir una tasa de ingreso constante.


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Cada ingreso (instantáneo o no) es la respuesta a algún tipo de pedido previo (orden de compra, orden de producción, etc.) emitido por el sistema de control al detectar la necesidad de reaprovisionamiento (por ejemplo, que las existencias hayan alcanzado un determinado nivel, o se haya cumplido un plazo estipulado). El tiempo que transcurre desde que se detecta una necesidad de reaprovisionamiento hasta el instante en el que comienza el ingreso, es el plazo de entrega, L, también llamado plazo de provisión o demora en las entregas.2 Este plazo puede ser fijo, perfectamente establecido, o aleatorio, dependiendo de las características del sistema proveedor. Como veremos al tratar los modelos de gestión estocásticos, el plazo de entrega juega un rol esencial en la determinación de los stocks de seguridad. El stock de seguridad es una cantidad que se mantiene en existencia para prevenir faltantes cuando hay aleatoriedad en la demanda y/o en el plazo de entrega.

1.2 COSTOS EN LA GESTIÓN DE LAS EXISTENCIAS En general los modelos de optimización son modelos de costos, es decir el criterio de óptimo es la minimización del costo total de la gestión. El costo total de la gestión, para cada artículo, es un costo para la toma de decisiones que está compuesto por la suma de los cuatro costos siguientes: • • • •

Costo variable unitario de compra o producción puesto en el almacenamiento. Costo fijo de la orden de compra o producción. Costo de mantenimiento de las existencias. Costo de faltante.

El costo total de la gestión es entonces el costo en el momento de la utilización del producto. A continuación analizaremos cada uno de estos componentes. 1.2.1 Costo variable unitario de compra o producción puesto en el almacenamiento Es el precio unitario de compra de cada ítem si es obtenido de una fuente externa, o el costo variable unitario de producción si es de fabricación propia. Debe incluir todos los gastos variables hasta el ingreso en el almacenamiento. En el caso de compras, si el precio es FOB3 proveedor, para obtener el costo a considerar debe agregársele los gastos de fletes, seguros, descarga, inspección (si es proporcional a la cantidad comprada). Si el precio es CIF,4 probablemente haya que agregarle los gastos de descarga e inspección. El precio unitario de compra puede variar con la cantidad comprada cuando el proveedor ofrece descuentos por cantidad. En el caso de producción propia se debe tomar el costo variable de producción más gastos variables de transportes y manipuleos hasta el ingreso del ítem en el almacenamiento. 1.2.2 Costo fijo de la orden de compra o producción Es el costo originado en el trámite de la orden de compra (pedidos de cotización, emisión de la orden de compra, seguimiento de la orden, recepción del material, etc.), o de la orden de producción (emisión de la orden, puesta a punto de todos los equipos que intervienen en la fabricación del ítem, programación de las operaciones, controles, etc.). Este costo se supone fijo por cada orden, independientemente del tamaño del lote comprado o fabricado, y puede 2

También es muy utilizada la expresión inglesa lead time para indicar el plazo de entrega. FOB: Free On Board. Precio puesto sobre el transporte en el lugar de origen. 4 CIF: Cost, Insurance and Freight. Precio puesto en el lugar de destino, incluidos seguros y fletes. 3

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ser desde muy bajo, como en las compras repetitivas en las que todas las condiciones ya han sido establecidas con anterioridad y el trámite se limita a un simple pedido, hasta muy alto como en el caso de ciertas producciones que requieren costosas preparaciones. En el caso de importaciones los gastos que genera el trámite pueden ser particularmente importantes, pero debe tenerse en cuenta que muchos de estos gastos no son fijos sino función del monto importado y por lo tanto deben agregarse al costo unitario de compra. Debe destacarse que el cálculo de este costo, conceptualmente sencillo, puede ser muy complejo, especialmente en el caso de fabricación propia. La determinación del costo de preparación de los equipos requiere un cuidadoso análisis para identificar todos los ítems que deben ser considerados y que dependen de la particular situación de la empresa. Por ejemplo, lo que se deja de producir durante el tiempo de preparación puede ser directamente pérdida de ventas si la planta está trabajando a pleno, pérdida que debe ser tenida en cuenta para calcular el costo de preparación. Si la planta tiene capacidad ociosa tal pérdida no existe. 1.2.3 Costo de mantenimiento de las existencias El costo de mantenimiento de las existencias incluye todos los costos que varían con el nivel de las existencias almacenadas, es decir con la cantidad almacenada. Los costos que dependen de la cantidad de unidades que pasan por el almacenamiento, pero no del nivel de las existencias en los depósitos, no son costos de mantenimiento y deben considerarse por separado (costos de transporte, distribución, procesamiento de pedidos, etc.). Es en la optimización de la cadena logística integrada donde se deben tener en cuenta todos estos otros costos. El costo total anual de mantenimiento se expresa como un porcentaje del valor total invertido en el stock, es decir como una tasa de costo de mantenimiento. Como total invertido se debe tomar la valorización de las existencias a costo variable de producción (incluidos transportes y manipuleos) si es de propia producción; o a costo de reposición (incluidos fletes, carga y descarga si no son parte del precio) si es de reventa. Los componentes del costo de mantenimiento a considerar son los siguientes: 1) Financieros El mantenimiento de existencias inmoviliza capital y por lo tanto compite con otras inversiones por el capital. Se debe entonces considerar el costo de oportunidad del capital (¿qué retorno se obtendría con el capital inmovilizado en existencias si se lo dispusiera para otras actividades?). El costo financiero anual a considerar es la tasa de interés 5 de oportunidad del capital multiplicada por el monto invertido en stock. 2) Almacenes Son los gastos de funcionamiento de depósitos, centros de distribución, almacenes fiscales, etc., por ejemplo alquiler de espacio. Se deben considerar sólo los gastos variables con el nivel de las existencias. Si un depósito es propio y se podría alquilar o vender si no existiera el stock, se debe considerar el costo de oportunidad. Si no es propio los gastos de alquiler o leasing pueden no depender del nivel de las existencias sino de la cantidad de unidades que pasan por él, o bien ser fijos.

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Es importante destacar que, si hay inflación, la tasa de interés financiero debe ser la llamada tasa real, resultante de tener en cuenta el efecto de aquélla. Ver la Nota 2 al final del Capítulo.


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3) Personal Se deben considerar únicamente los gastos de personal (movimientos de materiales, ordenamiento, limpieza, etc.) que dependan del volumen almacenado. 4) Movimientos de materiales Costo de los equipos de movimientos que dependan del nivel de las existencias. Por ejemplo, si se traslada mercadería para evitar obsolescencia (tener que bajar el precio del producto para liquidarlo en el lugar en que está cuando se lo puede vender mejor en otro lugar), el costo depende del nivel almacenado. En cambio si el movimiento es para cubrir faltantes en otro lugar, no depende del nivel y no es costo de mantenimiento. 5) Depreciación (Mermas) Este costo en general depende del nivel de existencias. 6) Deterioro / Roturas Se debe tomar sólo lo que es variable con el nivel. En general el costo por deterioro y roturas depende más de la cantidad que pasa por los depósitos que del nivel. 7) Obsolescencia El costo de la obsolescencia es el valor inicial del ítem menos el valor de recupero cuando se lo liquida. Depende del nivel y de la variedad de artículos. 8) Pérdidas / Hurto Varía fundamentalmente con la cantidad de depósitos, más que con las cantidades que circulan y el nivel. 9) Conservación Pueden ser costos muy altos en el caso de productos que requieren acondicionamiento especial, por ejemplo refrigeración o congelación. Se deben considerar sólo los gastos que son variables con el nivel. 10) Seguros Costos de las primas de seguros sobre la mercadería almacenada. En general dependen del volumen máximo de las existencias. 11) Impuestos Impuestos a los activos (si existen). Dependen directamente del nivel de las existencias. 12) Contables Son los costos originados por los inventarios anuales: recuentos, valorizaciones, búsqueda de diferencias, etc. y auditorías. Los recuentos dependen fundamentalmente del nivel y las valorizaciones son prácticamente independientes; las búsquedas de diferencias y las auditorías dependen parcialmente del nivel. Para determinar qué parte de un costo es variable con el nivel de existencias se puede usar el análisis de regresión. Por ejemplo, si se ha evaluado el costo de deterioro o rotura para distintos niveles de existencias, se pueden tomar los valores de estos niveles como variable independiente y los valores del costo por deterioro como variable dependiente. Si hay alta correlación, la pendiente de la recta de regresión se puede utilizar para estimar qué porcentaje del nivel de existencias representa el costo por deterioro. Si la pendiente no es significativamente distinta de cero y positiva, no hay relación entre el costo analizado y el nivel de existencias. Cabe acotar que algunos de estos componentes de costos son muy difíciles de determinar, fundamentalmente por falta de información apropiada. En muchos casos sólo se pueden

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obtener estimaciones globales muy poco confiables. Por esta razón es importante que se registren, en el sistema de gestión de las existencias, los datos necesarios para la determinación correcta del costo de mantenimiento. Componente del costo de mantenimiento 1) Financieros 2) Almacenes 3) Personal 4) Movimiento de materiales 5) Depreciación (Mermas) 6) Deterioro / Roturas 7) Obsolescencia 8) Pérdidas / Hurto 9) Conservación 10) Seguros 11) Impuestos 12) Contables Costo total anual de mantenimiento [$/año]

Costo anual [$/año]

Por otra parte es claro que no siempre son pertinentes todos estos costos, hay situaciones en los que algunos no son aplicables. Una vez evaluado el monto total anual de cada uno de los rubros componentes del costo de mantenimiento, se obtiene el costo total anual de mantenimiento (Tabla 1-1). La tasa de costo de mantenimiento es el cociente entre el costo total anual de mantenimiento y el total de las existencias valorizadas a costo variable de producción o de reposición, según corresponda. K

i=

∑ Costo anual rubro k [$ /año] k =1

(1-1)

Total existencias valorizadas [$]

Tabla 1-1

donde K es la cantidad de rubros de costos considerados. Las unidades son las mismas que las de una tasa de interés financiero, es decir [$/$.año]. Usualmente la tasa se expresa en forma porcentual, es decir i × 100%. Cabe observar que esta definición de la tasa implica aceptar que cada ítem del costo de mantenimiento es proporcional al nivel de las existencias. Además la tasa es promedio para todos los productos que se mantienen en el almacenamiento, puesto que está calculada con valores globales, y por lo tanto supone que todos los artículos están en igualdad de condiciones en cuanto al costo de mantenimiento. Si algunos artículos requiriesen condiciones especiales de almacenamiento que a su vez originasen costos de mantenimiento diferentes, debería calcularse para ellos la tasa de costo de mantenimiento por separado. Se tendrían así tasas por familias de artículos. La tasa de costo de mantenimiento de las existencias tiene gran variabilidad de una organización a otra aún dentro del mismo tipo de actividad. Además, en igualdad de otras condiciones, el sólo hecho de valorizar las existencias de diferente manera entre una empresa y otra hace que la tasa resultante sea considerablemente distinta. Por estas razones la tasa se debe calcular para cada empresa, no se puede pretender utilizar promedios de la industria. Dado que se considera que cada ítem del costo de mantenimiento es proporcional al nivel de las existencias, la tasa de mantenimiento se debe mantener constante si varía dicho nivel, en igualdad de las demás condiciones. Por lo tanto, si por efecto de la aplicación de modelos de optimización, las existencias medias disminuyeran con respecto a la situación inicial la tasa a considerar debería ser la misma. Sin embargo también cabe esperar que una mejor gestión, y especialmente la aplicación de un plan de mejora continua, reduzca la incidencia de algunos rubros que componen el costo de mantenimiento, de manera que la tasa de mantenimiento debería recalcularse cada vez que se introduzcan mejoras. Para la toma de decisiones en la gestión logística, especialmente para facilitar la comparación con otros costos, es útil expresar el costo anual de mantenimiento por unidad de


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producto. Así el costo unitario anual de mantenimiento de las existencias, para un determinado artículo, está dado por (1-2) H = C ×i donde: C = Costo unitario de compra o producción del artículo (en el momento del ingreso al almacenamiento) [$/u]. i = Tasa anual de costo de mantenimiento (aplicable al artículo) [$/$.año]. Si indicamos con Q a la existencia media anual del artículo, en unidades, el costo total anual de mantenimiento de las existencias para ese artículo estará dado por (1-3)

M = H ×Q = C ×i×Q

El valor de Q depende de la evolución de las existencias del producto en el tiempo, es decir de la función existencias q(t). Dado q(t) que esta función es siempre no negativa, acotada y seccionalmente continua (Figura 1-2 a), su valor medio en un Q horizonte de tiempo TH (por ejemplo, un año) está dado por

q(t)

a

TH

Q

T

t

Q=

∫

TH

0

q (t ) dt

(1-4)

En el caso particular de una función q(t) periódica, de período T, (Figura 1-2 b) es evidente que el valor medio se puede calcular considerando un solo período, a partir de un instante t cualquiera, es decir

b

Figura 1-2

1 TH

Q=

1 T

∫

t +T

t

q (t ) dt

(1-5)

Gráficamente es siempre el cociente entre el área encerrada por la función en el intervalo considerado y la amplitud del intervalo. En los modelos de optimización queda definida la función existencias a utilizar a partir de las hipótesis que caracterizan a cada modelo. Luego, conocida la función q(t), se calcula fácilmente el valor medio de las existencias. Observación. Para la toma de decisiones el costo unitario en el momento del ingreso en el almacenamiento que debería considerarse es, en rigor, el costo variable unitario incrementado en la parte proporcional del costo fijo de la orden. Es decir, si para un artículo cualquiera C es el costo variable unitario, S el costo fijo de la orden y Q el tamaño del lote que ingresa, el costo unitario en el momento del ingreso sería C + S / Q. No obstante, en lo que respecta al cálculo del costo de mantenimiento, se considera solamente el costo C. Esto simplifica los modelos de gestión sin introducir un error importante en la mayoría de los casos.

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Efecto de la rotación en el costo de mantenimiento de las existencias La reducción de los niveles de existencias aumenta su rotación disminuyendo el costo total anual de mantenimiento. En efecto, supongamos por ejemplo que se ha determinado la tasa anual de costo de ROTACIÓN EXISTENCIAS COSTO ANUAL AHORRO mantenimiento de las existencias PROMEDIO [$] DE MANT. (30%) ANUAL resultando i = 0,30 (30%) y que la 1 1.000.000 300.000 ------misma se mantiene constante al 2 500.000 150.000 150.000 variar el nivel las existencias. 3 333.333 100.000 50.000 Supongamos además que inicial4 250.000 75.000 25.000 mente las existencias promedio son 5 200.000 60.000 15.000 de $ 1.000.000 con una rotación 6 166.667 50.000 10.000 igual a 1; luego el costo anual de 7 142.857 42.857 7.143 mantenimiento es de $ 300.000. Si ... ... ... ... se duplica la rotación, es decir la empresa vende lo mismo con Tabla 1-2 existencias de $ 500.000, el costo anual de mantenimiento baja a $ 150.000, con un ahorro de $ 150.000. La Tabla 1-2 muestra los ahorros que se obtendrían con sucesivos aumentos de la rotación. La disminución de las existencias reduce el costo de mantenimiento y por lo tanto aumenta la rentabilidad. Sin embargo, a medida que se aumenta la rotación se obtienen ahorros decrecientes y por lo tanto, si no se modifica el sistema logístico, puede llegarse a una situación en que los incrementos en otros costos (transporte, procesamiento y preparación de pedidos, etc.) superen el ahorro obtenido por el aumento de la rotación. 1.2.4 Costo de faltante El costo de faltante es la consecuencia económica de no tener existencias suficientes para satisfacer los pedidos en un momento dado. Cuando el faltante es con respecto a clientes externos el costo se manifiesta como pérdida de ganancias por pérdida de ventas (el cliente desiste de la compra), aumento de costos de despacho (el cliente acepta la entrega con atraso pero se toman medidas para acelerar la entrega), deterioro de la imagen de la empresa (puede originar pérdidas de ventas futuras), etc. Cuando es con respecto a clientes internos el costo resulta de la pérdida de producción (paradas de equipos por falta de material), incrementos de costos por abastecimientos de urgencia, etc. La magnitud de estos costos varía grandemente de un producto a otro, dependiendo de la respuesta del cliente y de las políticas internas. Pueden ser muy altos como cuando se detiene toda una línea de producción por falta de material o se pierde definitivamente al cliente. En la consideración de los costos de faltantes se deben distinguir claramente dos situaciones: el faltante en el momento del pedido pero entregado en fecha posterior porque es esperado por el cliente, es decir es una entrega con atraso; y el faltante que no puede ser entregado posteriormente, es decir con pérdida del suministro. A su vez dentro de cada una de estas situaciones el costo de faltante puede ser función de la cantidad faltante (por ejemplo proporcional a la cantidad faltante), o bien un costo fijo por cada faltante, es decir independiente de la cantidad faltante. La cuantificación de los costos de faltante es siempre muy difícil y en muchos casos prácticamente imposible, como cuando afecta a clientes externos cuya reacción es impredecible. Por esta razón en muchas empresas se prefiere fijar niveles de servicio al cliente, como decisión de política de empresa, en lugar de tratar de estimar estos costos.


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1.3 MODELOS PARA LA GESTIÓN DE LAS EXISTENCIAS Los costos en la gestión de las existencias son en parte antagónicos. Por ejemplo si se disminuyen los tamaños de los lotes en cada aprovisionamiento se disminuye el nivel medio de las existencias y por lo tanto el costo de mantenimiento, pero se deben suministrar más lotes en el año con lo cual aumenta el costo fijo de las órdenes o de las puestas a punto. Análogamente, reducir el costo de faltante implica aumentar los niveles de existencias y por lo tanto el costo de mantenimiento. Es natural entonces preguntarse por la gestión que minimice el costo total, objetivo (aunque no único) de los modelos de optimización. 1.3.1 Objetivos de la gestión de las existencias Teniendo en cuenta las características de los costos involucrados en la gestión de las existencias y dado que éstas en general implican importantes inmovilizaciones de capital, los objetivos de la gestión se pueden sintetizar en: • Incrementar la rentabilidad reduciendo el costo de mantenimiento de las existencias. • Minimizar el costo total de las actividades de aprovisionamiento, satisfaciendo un dado nivel de servicio al cliente. • Predecir el impacto de las políticas de la empresa en los niveles de existencias. 1.3.2 Modelos de optimización Los modelos de optimización para la gestión de las existencias tratan de determinar la política de reaprovisionamiento que minimice el costo total de la gestión, o bien que permita alcanzar un determinado nivel de servicio. Debido a la diversidad de situaciones que se pueden presentar es imposible pretender un modelo único, de manera que se dispone de una variedad de modelos y es función del analista determinar en cada caso cuál es el que mejor se adapta a sus necesidades. Un elemento determinante en la selección de los modelos más apropiados es el tipo de demanda para la cual se mantienen las existencias. La demanda de un artículo puede ser independiente, cuando no depende de la demanda de ningún otro producto, o puede ser dependiente, cuando depende de la demanda de otro producto. Por ejemplo, en la fabricación de bicicletas la demanda de cada uno de los modelos de productos terminados es independiente, mientras que la demanda de los elementos componentes es dependiente pues se puede calcular una vez estimada la de los productos finales. Así, si la demanda de un determinado modelo de bicicleta es de 100 unidades por mes, la demanda de neumáticos para ese modelo será de 200 unidades por mes (si el neumático es común a varios modelos de bicicletas su demanda será la suma de los requerimientos para cada modelo). La demanda independiente es generalmente aleatoria, mientras que la dependiente es determinística. Se puede decir entonces que la demanda independiente es la que se pronostica, la demanda dependiente es la que se calcula. Cabe destacar, no obstante, que hay artículos cuyas demandas dependen de la producción pero con relaciones en general extremadamente complejas, con fuerte contenido aleatorio. En estos casos se debe pronosticar la demanda, y el artículo es tratado como de demanda independiente. Un ejemplo típico es el de los productos de almacenes de mantenimiento de plantas. No hay dudas que insumos tales como repuestos, herramientas y accesorios de todo tipo tienen demandas que dependen de la producción, pero de una forma no determinística. Además, otra característica de este tipo de artículos es que su demanda es generalmente de bajo volumen y, en muchos casos, esporádica, razón por la cual la gestión de sus existencias requiere un tratamiento diferente del de los artículos con alta demanda. Otro tipo de artículos

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que requieren tratamiento especial es el de los críticos. Su demanda puede ser muy baja y esporádica, pero su faltante puede ocasionar graves consecuencias como la paralización de la producción. Desde el punto de vista de la aleatoriedad en la demanda y en los plazos de provisión, los modelos de optimización pueden clasificarse en dos grandes grupos: modelos determinísticos, en los que la demanda y la demora en las entregas son constantes, y modelos estocásticos,6 en los que se considera la aleatoriedad en la demanda y/o en los plazos de entrega. En los modelos para demanda independiente aleatoria juega un rol esencial el sistema de pronósticos. La gestión de las existencias se hace para proveer la demanda futura en un cierto horizonte, por lo tanto la demanda a considerar en los modelos debe ser la demanda pronosticada en ese horizonte. La precisión de un pronóstico se mide por la desviación estándar del error de pronóstico,7 y ésta es un componente fundamental para la determinación racional de los stocks de seguridad. Cuanto mejor sea la precisión del pronóstico menor será el nivel de existencias a mantener en el stock de seguridad para un mismo servicio al cliente, en igualdad de las demás condiciones. Por otra parte, desde el punto de vista de la forma de operación del sistema de gestión de las existencias, independientemente de si son determinísticos o estocásticos, los modelos se pueden clasificar también en dos grandes grupos: los modelos de tamaño de lote fijo y modelos de período de revisión fijo. Los modelos de tamaño de lote fijo son también llamados de revisión continua o perpetua, porque requieren la observación permanente de los niveles de existencias para determinar el momento en que se debe realizar el pedido de reaprovisionamiento, pero el tamaño del lote es fijo. El proceso de pedido de un nuevo lote es desencadenado por un evento: “el nivel de las existencias llegó a un determinado valor (el punto de pedido)”. En los modelos de período de revisión fijo, en cambio, la observación de los niveles de existencias se hace en intervalos regulares de tiempo y en ese momento se determina la cantidad necesaria a pedir, la que resulta entonces variable. El proceso de pedido de un nuevo lote es desencadenado por el tiempo: “llegó el momento de realizar el pedido”. Es evidente que la diferencia entre ambos tipos de modelos sólo existe –y es muy importante– en el caso de demanda y/o plazo de provisión aleatorios. En efecto, en ambiente totalmente determinístico (demanda constante, plazo de provisión constante) fijado un tamaño de lote queda determinado un período de revisión fijo y viceversa. Los modelos de cantidad fija son más adecuados para los productos más importantes porque se hace un monitoreo permanente de las existencias y se puede actuar más rápidamente ante la posibilidad de faltante, y también para los más costosos ya que mantienen un nivel medio de existencias menor que los de período fijo, dado que éstos deben cubrir las posibilidades de faltante durante todo el período de revisión. Requieren el registro de entradas y salidas en tiempo real para poder monitorear las existencias permanentemente. Dado que generan pedidos en cualquier momento (cuando el nivel de las existencias llega al punto de pedido), en general no son modelos apropiados para la gestión de un gran número de artículos o de familias de artículos de un mismo proveedor. Los modelos de revisión periódica tienen la evidente ventaja de poder gestionar ordenadamente muchos artículos juntos (con el mismo período), lo que facilita la gestión de Compras y simplifica los aspectos administrativos. 6

Se entiende que el término estocástico se refiere a la consideración de la aleatoriedad en las variables de entrada (demanda y demora en la provisión), y no a los modelos en sí mismos que deben estar perfectamente definidos. 7 Un buen pronóstico es una estimación estadística de un valor futuro, dada por un valor medio y un intervalo de confianza.


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Desde el punto de vista de la evolución en el tiempo los modelos se pueden clasificar en estáticos y dinámicos. En los modelos estáticos se considera que el patrón de comportamiento de la demanda no cambia en el tiempo, es decir la demanda por unidad de tiempo es constante en el caso determinístico, o tiene la misma distribución de probabilidades si es aleatoria. En los modelos dinámicos la demanda por unidad de tiempo, o bien la distribución de probabilidades, cambian de un período a otro. En las clasificaciones anteriores está implícito que la demanda, sea constante o aleatoria, es permanente y por lo tanto la gestión es repetitiva. Sin embargo hay situaciones en las que se deben tomar decisiones sobre las existencias para una única oportunidad que no se repetirá, al menos en las mismas condiciones (por ejemplo el aprovisionamiento para una promoción especial). En estos casos son de interés los modelos para período único. Finalmente debemos remarcar que los modelos de optimización son en general modelos de costos, basados en la minimización del costo total, que aplicados al sistema de gestión de las existencias proporcionan el óptimo de éste, es decir un óptimo local. Sin embargo las restricciones operativas y económicas de la organización pueden hacer que este óptimo local no sea factible. En efecto, el sistema de gestión de las existencias es sólo un subsistema de la organización, y la optimización local de los subsistemas no necesariamente conduce al óptimo global de la organización. En consecuencia la optimización de este sistema debe estar subordinada a la optimización global de la organización, es decir debe tener en cuenta las restricciones que impone esta última. En los capítulos siguientes analizaremos los principales modelos de aplicación a la gestión óptima de las existencias.

1.4 CONTROL SELECTIVO DE LAS EXISTENCIAS. ANÁLISIS ABC La gestión de las existencias puede incluir cientos o miles de artículos diferentes pero, muy frecuentemente, sólo un pequeño porcentaje de ellos merece un control riguroso por su importancia. En efecto, es bien conocido el hecho que en las existencias en general, y especialmente cuando se opera con numerosos artículos, se cumple el principio de Pareto.8 Por ejemplo, si se considera el costo de los productos vendidos en el año, se comprueba que la mayor parte del mismo (digamos el 80%) está originado en un reducido número de artículos (del orden del 20%). En consecuencia, para que la gestión sea realmente eficiente, se deben identificar los ítems más importantes para la empresa –que por lo tanto requieren un control riguroso– y separarlos de los que son menos importantes y pueden ser manejados en forma menos precisa. Usualmente es antieconómico aplicar las técnicas de gestión más elaboradas, necesarias para los artículos más importantes, a todos por igual. El principio de Pareto llevado a la gestión de las existencias se conoce como análisis ABC. Consiste en estratificar los productos por su importancia en tres clases: la clase A, de 8

Vilfredo Pareto, economista italiano (1848–1923). Estudiando la distribución de la riqueza en Milán, a fines del siglo XIX, encontró que un pequeño porcentaje de las personas poseía la mayor parte de la riqueza (en Milán el 85% de la riqueza era propiedad de únicamente el 15% de las personas). En su Teoría de la Estadística (1896) escribió: “En toda serie de elementos a ser controlados, una selecta pequeña fracción, en términos del número de elementos, siempre es la razón de una gran fracción, en términos de efectos”. Como frecuentemente se cumple que alrededor del 80% de los efectos son originados por aproximadamente el 20% de los elementos o causas, este principio es llamado también “ley 80/20”.

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los artículos más importantes, la clase B de los de importancia intermedia y la clase C de los artículos menos importantes. En esta clasificación el criterio más utilizado para medir la importancia de cada artículo es el de la demanda valorizada al costo de ingreso en el almacenamiento, es decir el valor de C × D, donde C es el costo unitario puesto en el almacenamiento y D es la demanda anual. Se considera la demanda anual para evitar distorsiones por variaciones estacionales. Para la clasificación se procede como sigue: a) b) c) d)

Calcular el producto C × D para todos los artículos. Ordenar todos los artículos en forma decreciente por su valor C × D. Calcular el porcentaje que representa cada uno sobre el total y el porcentaje acumulado. Separar los artículos en clases según los porcentajes acumulados deseados para cada una.

Es habitual considerar como clase A a los artículos que acumulan alrededor del 80% del valor total, como clase B a los que acumulan aproximadamente el siguiente 15% y clase C a los restantes, del orden del 5%. Las clases A, B y C son en realidad estratos arbitrarios que la experiencia ha demostrado que en general son útiles. Cada empresa debe analizar su situación y determinar si le conviene hacer menos o más clases o tomar otros valores para los límites entre ellas, pero la forma de clasificación es siempre la misma. Por ejemplo, podrían hacerse sólo dos clases, A y B, siguiendo la ley 80/20. Ejemplo 1-1 La Tabla 1-3 muestra el consumo anual, el costo unitario y el costo de venta de un conjunto de artículos, que supondremos son todos los del inventario. En la Tabla 1-4 los artículos están ordenados en forma decreciente por el costo total anual, y se ha calculado el porcentaje que cada uno representa sobre el valor total, el porcentaje acumulado y el porcentaje acumulado del número de ítems. CÓDIGO DEMANDA ARTÍCULO ANUAL [D]

A-200 A-256 A-300 B-130 B-200 C-150 D-400 H-100 H-300 J-120 J-186 J-250 K-300 M-150 T-050

250 350 25 2500 160 1750 60 975 5300 1000 735 1500 80 180 30

COSTO UNIT. [C]

0,45 350,00 180,00 1,20 110,00 5,00 70,00 4,00 13,00 150,00 50,00 0,30 10,00 20,00 90,00 Total

COSTO TOTAL [C×D]

CÓDIGO ARTÍCULO

COSTO TOTAL

% DEL TOTAL

% ACUM.

% ART.

112,50 122500,00 4500,00 3000,00 17600,00 8750,00 4200,00 3900,00 68900,00 150000,00 36750,00 450,00 800,00 3600,00 2700,00 427762,50

J-120 A-256 H-300 J-186 B-200 C-150 A-300 D-400 H-100 M-150 B-130 T-050 K-300 J-250 A-200 Totales

150000,00 122500,00 68900,00 36750,00 17600,00 8750,00 4500,00 4200,00 3900,00 3600,00 3000,00 2700,00 800,00 450,00 112,50 427762,50

35,07 28,64 16,11 8,59 4,11 2,05 1,05 0,98 0,91 0,84 0,70 0,63 0,19 0,11 0,03 100,00

35,07 63,70 79,81 88,40 92,52 94,56 95,61 96,60 97,51 98,35 99,05 99,68 99,87 99,97 100,00

6,67 13,33 20,00 26,67 33,33 40,00 46,67 53,33 60,00 66,67 73,33 80,00 86,67 93,33 100,00

Tabla 1-3


Tabla 1-4

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Así, en este ejemplo el 20% de los artículos acumulan aproximadamente el 80% del costo total, el 20% siguiente acumula un 15% y el 60% restante acumula sólo un 5%. Las clases quedan conformadas entonces de la siguiente manera:

% DEL VALOR

CLASIFICACION ABC 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Clase A Clase B 0 0 20 40

Clase C 60

% DE ARTICULOS

Figura 1-3

80

100

Clase A: J-120, A-256 y H-300 Clase B: J-186, B-200 y C-150 Clase C: A-300, D-400, H-100, M-150, B-130, T-050, K-300, J-250 y A-200 El gráfico de la Figura 1-3 muestra la curva de los porcentajes acumulados en función del porcentaje de artículos. Es la curva típica del principio de Pareto. ■

Como criterio de clasificación también se podría pensar en utilizar la inmovilización de capital (valor de las existencias a costo de ingreso). Pero se debe destacar que este criterio puede conducir a una clasificación totalmente diferente que el de la demanda valorizada. Por ejemplo, si un artículo es clase C por la demanda y se tiene una existencia muy alta (debido a un control deficiente), desde el punto de vista de la inmovilización de capital podría aparecer en la clase A. Además, como el nivel de las existencias varía en el tiempo, se debería tomar la existencia media anual de cada artículo. Para que este criterio sea comparable al de la demanda se debe suponer que antes se han optimizado las existencias. En este caso, de cada artículo se tendrá una existencia media anual Q (resultante de la aplicación de algún modelo de optimización) y la inmovilización media será C × Q . Es fácil ver que, en esta situación, la clasificación que se obtendría utilizando los valores C × Q sería esencialmente la misma que resulta con la demanda valorizada.9 Lo único que cambiaría sería el porcentaje de artículos que acumulan un determinado porcentaje del valor total, es decir los límites entre las clases. Dado que la valorización de la demanda es más simple y da la misma clasificación, es el criterio más utilizado en la práctica. Finalmente, de esta comparación cabe destacar lo siguiente: si las existencias se han optimizado, los artículos clase A son también los que acumulan la mayor parte de la inmovilización de capital y por lo tanto en ellos se deben concentrar los esfuerzos de mejora para su reducción. Por ejemplo, si se reducen los lotes óptimos de los artículos clase A se logra una significativa reducción de la inmovilización de capital. El principal objetivo del análisis ABC es concentrar la atención en los artículos que representan el mayor valor. La clasificación permite establecer diferentes niveles de control. Clase A. Son los artículos que necesitan el control más riguroso, con información de entradas y salidas en tiempo real y monitoreo permanente del nivel de las existencias. Normalmente se justifica la aplicación de los modelos más elaborados, en particular los de tamaño de lote fijo (revisión continua) que dan lotes más pequeños y por lo tanto menores existencias medias. Si por razones prácticas se trabaja con período de revisión fijo (revisión 9


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periódica), como por ejemplo cuando una familia completa de artículos es suministrada por un mismo proveedor y se acuerda un determinado período, éste debe ser lo más corto posible y con supervisión permanente de las existencias para prevenir faltantes. Los parámetros de los modelos deben ser revisados cada vez que se genera un pedido o al menos mensualmente. Clase B. Estos artículos requieren un control moderado. En general conviene aplicar modelos de revisión periódica, con período común por familias de artículos. Es necesario el monitoreo de las existencias para prevenir faltantes; en la mayoría de los casos es suficiente un control por excepción (existencias que llegan a un determinado valor), lo que es fácil de implementar si las transacciones de entradas y salidas son realizadas mediante un adecuado sistema de información. La revisión de los parámetros de los modelos puede ser semestral. Clase C. El control requerido es mínimo. Lo más práctico suele ser aplicar un modelo de revisión periódica, con período común a todos los artículos. Igual que en la clase B se puede disponer fácilmente de un control por excepción. Es suficiente una revisión anual de los parámetros del modelo. El análisis ABC es aplicable en cualquier sistema de gestión de las existencias para la demanda independiente, pero no tiene sentido para la demanda dependiente donde todos los artículos tienen igual importancia desde el punto vista de un plan de producción: el faltante de un artículo de muy bajo costo puede ocasionar la interrupción de toda la producción. Análisis ABC multicriterio Normalmente el análisis ABC se basa en un solo criterio de clasificación: la demanda valorizada (o algún otro equivalente). Sin embargo, en muchos casos se deben evaluar otros factores que pueden cambiar drásticamente la clasificación de un artículo y por lo tanto su control. Por ejemplo, un repuesto para el mantenimiento de un equipo puede tener un valor muy bajo, pero ser crítico en cuanto a que su faltante tendría graves consecuencias en el sistema de producción. Algunos de los factores a tener en cuenta para clasificar a un determinado artículo, además de la demanda valorizada, son: • Criticidad operacional del artículo. Puede ser evaluada desde distintos puntos de vista: cómo afecta a la producción, a la seguridad, a la calidad del producto, al medio ambiente, etc. • Dificultades de abastecimiento. Plazos de entrega largos y erráticos; indisponibilidad del producto e imposibilidad de reemplazarlo por otro. • Dificultades de pronósticos. Grandes cambios en la demanda o demanda errática. • Alta probabilidad de deterioro, obsolescencia o hurto. • Grandes requerimientos de espacio de almacenamiento. El análisis ABC multicriterio es la consideración conjunta de varios factores como criterios para la clasificación. En algunos casos simples se puede aplicar el siguiente procedimiento.10 Supongamos, por ejemplo, que queremos utilizar dos criterios. El criterio 1, que será la demanda valorizada, con el cual obtendremos una clasificación en la forma habitual, que ahora indicaremos A1B1C1 para destacar el criterio al que corresponde. El criterio 2, que estará definido de la siguiente manera: la clase A2 es la de los artículos cuyo faltante detendría la producción y son 10

Cfr. Thomas E. Vollmann; W. L. Berry y D. C. Whybark, Sistemas de Planificación y Control de la Fabricación, 3ª ed., Madrid: Irwin/Addison-Wesley Iberoamericana S.A., 1994. pp. 748-751.


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irreemplazables porque no tienen proveedor alternativo; la clase B2 de los artículos cuyo faltante detendría la producción pero son fácilmente reemplazables; y la clase C2 de los que no tienen casi ningún impacto en la producción y son fáciles de conseguir. Al aplicar este criterio a todos los artículos, en forma independiente del anterior, se obtiene una nueva clasificación A2B2C2. Los artículos quedan así agrupados en nueve clases: la de los que pertenecen simultáneamente a las clases A1 y A2, que A2 B2 C2 A1 llamaremos clase A1-A2 y que son evidentemente los más importantes, los B1 de la clase A1-B2,…, los de la clase C1-C2, que son los menos importantes. C1 Esta clasificación se puede representar en forma de tabla (Tabla 1-5) donde cada cuadro contiene los artículos que pertenecen a las clases indicadas por Tabla 1-5 la fila y la columna correspondientes. Si bien es posible trabajar directamente con las nueve clases, muchas veces interesa reducir el número final de las mismas a una cantidad más manejable. Para esto se puede definir un reagrupamiento de clases, por ejemplo: Clase A: formada por las clases A1-A2, A1-B2 y B1-A2. Clase B: constituida por A1-C2, B1-B2 y C1-A2. Clase C: compuesta por B1-C2, C1-B2 y C1-C2. En todos los casos la clasificación resultante debe ser revisada por los expertos para hacer los ajustes finales. Luego se debe definir la política de control para cada clase. En casos como el de este ejemplo es relativamente fácil considerar un criterio adicional al de la demanda valorizada. Sin embargo, cuando se deben utilizar varios criterios y además éstos no tienen la misma jerarquía, la situación es mucho más compleja y aparecen dificultades para elegir entre distintas opciones. Por ejemplo, un artículo puede calificar muy bien con respecto al criterio 1 pero ser deficiente con relación a otros cuatro; otro artículo puede calificar bien según los criterios 2 y 4 pero mal con respecto a los otros tres; etc. ¿Cómo se los clasifica?. Se debe recurrir entonces a enfoques más sistemáticos, como los métodos para la toma de decisiones multicriterio. No los trataremos aquí pero daremos una rápida idea de ellos. Por ejemplo, en el método de análisis jerárquico (AHP: Analytic Hierarchy Process)11, se establece para cada criterio una jerarquía a través de un peso wk (i = 1, 2,…, K), donde K es el numero de criterios. Luego se determina cómo califica cada artículo respecto de cada uno de los criterios; sea entonces vjk la calificación del artículo j respecto del criterio k. Para asegurar la consistencia de las ponderaciones y de las calificaciones, es decir que no contengan contradicciones, el método establece un procedimiento para su determinación. Finalmente se calcula la calificación general para cada artículo como K

V j = ∑ wk v jk

j = 1, 2, L , n

(1-6)

k =1

donde n es el número de artículos a clasificar. Con estos valores se establece la clasificación general de todos lo artículos.12

11

Cfr., por ejemplo, Thomas L. Saaty, Decision Making for Leaders, 3ª ed., Pittsburgh, PA: RWS Publications, 1999. 12 Una aplicación del método puede verse, por ejemplo, en Luiz F. Autran Monteiro Gomes, “O método da classificaçao ABC multicritério”, VII CLAIO, Santiago, Chile, 1994.

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1.5 LAS EXISTENCIAS Y LA EXCELENCIA EN MANUFACTURA Usualmente se considera que la Logística participa en dos de las actividades económicas que agregan valor a un producto o servicio: el transporte, valor agregado por disponer del producto o servicio en el lugar adecuado; y el mantenimiento de existencias apropiadas estratégicamente ubicadas, valor agregado a los bienes y servicios por tenerlos en los puntos de demanda en el momento requerido. Por otra parte, en Excelencia en Manufactura (EEM) se considera desperdicio a todo lo que supere las cantidades mínimas de recursos (equipamiento, materiales, espacio, mano de obra, etc.) absolutamente esenciales para agregar valor al producto o servicio.13 Todo exceso de existencias es por lo tanto desperdicio. ¿Cuál es entonces la cantidad mínima de existencias apropiadas, estratégicaPIEZAS PUESTAS FALTA DE mente ubicadas, para agregar valor?. FALLAS DEFECTUOSAS A PUNTO MATERIAL DE EQUIPOS PRÁCTICAS LARGAS Desde el punto de vista de la EEM las RETRASOS ANACRÓNICAS existencias en sí mismas son desperdicio porque ocultan los demás desperdicios. Figura 1-4 Para graficar este efecto es útil la comparación de las existencias con el nivel del agua que cubre las rocas (Figura 1-4). Un alto nivel hace posible “navegar” –es decir operar– a pesar de las rocas, pero también las oculta. La reducción del nivel del agua permite ver las rocas y obliga a eliminarlas para poder seguir navegando; es decir, la reducción de las existencias hace visibles los problemas ocultos y fuerza a resolverlos para continuar operando. Dado que los problemas no se pueden resolver todos al mismo tiempo ni completamente de una sola vez, se debe bajar el nivel progresivamente hasta detectar el problema más importante (la roca más alta), resolverlo o al menos reducirlo para poder continuar operando, bajar nuevamente el nivel para detectar otro problema, y así sucesivamente. La reducción de las existencias pone en evidencia los problemas y permite actuar para resolverlos. En realidad hay stocks porque hay problemas. Las razones por las que se mantienen existencias, enumeradas en el punto 1.1, son esencialmente problemas. Por ejemplo, la aleatoriedad de la demanda obliga a producir para almacenar; los defectos en la producción conducen a producir de más en prevención; grandes tiempos de puesta a punto implican lotes grandes para que no resulten antieconómicos; las fallas de las máquinas hacen necesario tener existencias en proceso para evitar la interrupción de la producción; etc. En consecuencia para avanzar hacia la excelencia en manufactura el objetivo ideal debe ser la eliminación de las existencias, porque esto exige resolver todos los demás problemas. Si bien este objetivo no puede ser alcanzado literalmente, es una guía para constantes 13

Definimos la “Excelencia en Manufactura” (EEM) como la eliminación de todo desperdicio, entendiendo por desperdicio todo aquello que no agrega valor al producto o servicio. La EEM es un enfoque global, una estrategia de operaciones, que se basa en la continua e incansable reducción de los desperdicios y la incertidumbre. El concepto de EEM es totalmente equivalente a “Estrategia de producción Justo a Tiempo”, pero preferimos esa denominación para evitar la posible confusión con las técnicas de “Fabricación Justo a Tiempo” que son sólo una parte de la estrategia.


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perfeccionamientos que elimina muchas barreras en el pensamiento y conduce a nuevas técnicas de producción. La reducción progresiva de las existencias se realiza a través de: • La reducción de tamaño de los lotes. • La reducción de los plazos de provisión (lead times), ya sea en la producción o en los abastecimientos. y esto requiere un proceso de mejoramiento continuo para lograr: • La progresiva reducción de la aleatoriedad en la demanda, a través de la participación de los clientes. • La progresiva reducción de la aleatoriedad en los abastecimientos, a través de la participación de los proveedores. • La progresiva reducción de los tiempos de puesta a punto, a través de técnicas del tipo SMED (Single Minute Exchange Die) y OTED (One Touch Minute Exchange Die). • La progresiva reducción de los tiempos de paradas no programadas de los equipos, a través del Mantenimiento Productivo Total. • La progresiva reducción de los porcentajes de productos defectuosos, a través de las herramientas del Aseguramiento de la Calidad. • El progresivo incremento de la versatilidad del personal, a través de la capacitación. • El progresivo incremento de la participación del personal, a través de sistemas de participación (sistemas de sugerencias, círculos de excelencia, etc.). En síntesis, los objetivos ideales de la EEM se pueden resumir en: Cero existencias Cero defectos Cero tiempos de puesta a punto Cero paradas no programadas de equipos Cero esperas / demoras / movimientos Participación / capacitación total de las personas Cada paso en el proceso de mejoramiento continuo debe ser, desde luego, eficiente desde el punto de vista de los costos. Es decir los ahorros generados por las mejoras deben al menos compensar los costos de las mismas. En este sentido ya hemos visto, por ejemplo, que la disminución de las existencias reduce el costo de mantenimiento pero que las sucesivas mejoras producen ahorros decrecientes, con lo que podría llegarse a una situación en la que el costo de una mejora propuesta superase el ahorro que se obtendría con ella en un momento dado. Sin embargo esto no significa que no se pueda seguir avanzando hacia el objetivo de existencias cero porque, en otro momento, una nueva propuesta de mejora podría resultar conveniente. Esta es otra razón por la que la reducción de las existencias se realiza gradualmente. Se debe trabajar constantemente para reducir los niveles de las existencias pero, mientras se avanza en esa dirección, en cada circunstancia habrá una cantidad mínima de existencias apropiadas, estratégicamente ubicadas, que agrega valor. Se requiere entonces, en cada situación, determinar los niveles óptimos a mantener y la política de reaprovisionamiento correspondiente. Resulta así que los modelos de optimización de la gestión de las existencias no sólo no se contradicen con el objetivo ideal de existencias cero, sino que –bien utilizados– son una excelente herramienta para avanzar hacia él.

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1.6 NOTAS 1. Las existencias también se denominan stocks o inventarios. La palabra inglesa stock (como sustantivo y como verbo) es de amplio uso en este tema con el significado de: 1) provisión de algo para uso posterior. 2) bienes almacenados para la venta. 3) mantener existencias de algo. La expresión gestión de stocks es equivalente a gestión de las existencias. Los términos stocks y existencias serán utilizados como sinónimos. El sustantivo inventario en castellano significa: 1) asiento de los bienes de una persona o comunidad. 2) documento en que constan dichos bienes. Por lo tanto no es sinónimo de existencias. Sin embargo su uso se ha difundido por traducción literal de inventory, término utilizado en la bibliografía de origen estadounidense que, si bien en inglés significa –igual que en castellano– “lista de todos los bienes en un lugar”, en inglés americano tiene las siguientes acepciones: 1) todos los bienes en un lugar. 2) stock. 2. Si hay inflación la tasa de interés financiero nominal será más alta, pero también aumentará el precio (costo) de los productos. La tasa de interés financiero real tiene en cuenta que, por efecto de la inflación, el capital nominal inmovilizado aumenta y el interés real del capital disminuye. Recordemos su definición: La tasa real ir (en tanto por uno) es el cociente entre el interés real del capital y el capital actualizado por inflación, es decir ir =

Interés real del capital Capital actualizado por inflación

(1-7)

Para calcular el interés real y el capital actualizado, supongamos que almacenamos hoy una cantidad Q de un producto a un costo unitario C0, de manera que el capital inmovilizado es K0 = C0 × Q, y sean: in = tasa de interés financiero nominal (por ejemplo la tasa bancaria activa) en un cierto período T, en tanto por uno. ii = tasa de inflación en el mismo período T, en tanto por uno.

Supondremos que in > ii . Al cabo del período T el costo del producto, actualizado por inflación, será: C1 = C0 + ii × C0 = (1 + ii ) × C0

(1-8)

y en consecuencia el capital actualizado por inflación: K1 = C1 × Q = (1 + ii ) × C0 × Q

(1-9)

En el mismo período el interés real que se obtendrá del capital es in × K 0 − ii × K 0 = (in − ii ) × K 0 = (in − ii ) × C0 × Q

(1-10)

Luego, reemplazando en la definición, la tasa de interés financiero real resulta ir =

in − ii 1 − ii

(1-11)

El efecto de la inflación es que ir < in y, por lo tanto, en igualdad de las demás condiciones la tasa de costo de mantenimiento de las existencias será menor. Esto a su vez origina lotes de reposición más grandes y existencias medias más altas. En efecto, si consideramos el modelo básico (EOQ) como aproximación del tamaño óptimo del lote del artículo (ver el capítulo 2)


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es fácil ver que el mismo aumenta al disminuir i. Esto concuerda con la noción intuitiva de que cuando hay inflación conviene aumentar las existencias como medio de protección. Si ii → in , entonces ir → 0 y la tasa i estará formada sólo por los componentes no financieros; los lotes óptimos tenderán a ser muy grandes. En el caso extremo en que ii > in , todo lo que se puede decir es que sin dudas convendrá tener existencias muy altas. Si ii es la tasa de inflación observada entonces ir se suele llamar en Economía tasa real expost; si en cambio ii es la tasa de inflación prevista o esperada, ir es la tasa real ex-ante. Esta última, para el producto analizado, es la que se debe utilizar para los cálculos. 3. En efecto, suponiendo válido el modelo básico (EOQ) para aproximar los tamaños óptimos de los lotes para todos los artículos (ver el capítulo 2), y que el costo fijo de la orden y la tasa de costo de mantenimiento de las existencias son iguales para todos los productos en consideración, la inmovilización media para un artículo cualquiera está dada por

C ×Q = C ×

Q* 1 2× D × S S =C× = × C×D = k× C×D 2 2 C ×i 2×i

(1-12)

donde k es la misma para todos los artículos. Es decir la inmovilización media es proporcional a la raíz cuadrada de la demanda valorizada. Dado que la raíz cuadrada es una función monótona creciente del radicando, la clasificación que se obtendría con este criterio es la misma que la que resultaría utilizando directamente la demanda valorizada.

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CAPÍTULO 2 MODELOS DETERMINÍSTICOS 2.1 CONSIDERACIONES GENERALES Las dos cuestiones fundamentales que deben responder los sistemas de gestión de las existencias son, para un producto dado, cuánto ordenar y cuándo ordenar. Es decir, determinar la cantidad a comprar o fabricar, cada vez que se debe reabastecer el producto, y el momento en que se debe hacer cada pedido. La respuesta depende de las características de la demanda, de las condiciones de reaprovisionamiento y de los parámetros del sistema. En los modelos determinísticos todos los parámetros y variables se suponen conocidos. La tasa de demanda (demanda por unidad de tiempo) se supone constante, lo mismo que el plazo de entrega, y ambos son independientes. Dado que las situaciones reales en general no responden a estas condiciones sino que incluyen elementos aleatorios, cabe preguntarse por la pertinencia de los modelos determinísticos. La respuesta es que estos modelos son en muchos casos excelentes aproximaciones a los procesos reales y, además, son muy simples. Por otra parte, proporcionan una importante base para el análisis de otros modelos más elaborados. En este capítulo trataremos un conjunto de modelos aplicables a artículos con demanda independiente constante, comprados o de propia producción, que determinan los tamaños óptimos de los lotes.

2.2 EL MODELO BÁSICO Definiremos como modelo básico al que cumple con las siguientes hipótesis: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

La tasa de demanda (demanda por unidad de tiempo) es conocida y constante. El plazo de entrega es conocido y constante. El ingreso del lote de reaprovisionamiento es instantáneo. El tamaño del lote es constante. El costo variable unitario de compra o producción es conocido y constante. El costo de preparación de la orden de pedido o producción es fijo. El costo de mantenimiento de las existencias es proporcional a la inmovilización de capital. 8. No se producen faltantes y no hay stock de seguridad. 9. No hay restricciones de espacio de almacenamiento, ni de capacidad de producción, ni financieras. 10. La gestión es para un solo producto (no hay órdenes de compra o producción conjuntas con otros artículos). Bajo estas hipótesis es evidente que las salidas del almacenamiento se realizarán según una función lineal (tasa de demanda constante). Además, dado que se conoce con precisión el plazo de entrega, se puede realizar el pedido con la anticipación necesaria para que el ingreso se produzca en el momento en que las existencias llegan a cero y por lo tanto no haya faltantes ni se requiera ningún stock de seguridad. La función existencias resulta periódica como la indicada en la Figura 2-1.


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Es claro que este modelo es tanto de tamaño de lote fijo como de período de revisión fijo, puesto que fijado un tamaño de lote Q q(t) queda determinado un período de revisión T Q y recíprocamente. Luego, determinar el tamaño del lote óptimo es equivalente a determinar el período óptimo.

T

t

Figura 2-1

La operación de este modelo consiste en lo siguiente: En fechas fijadas con período T pedir un lote de tamaño Q. El ingreso se registrará en un tiempo L posterior al pedido (Figura 2-2).

Equivalentemente, si llamamos R al punto de pedido, definido como el nivel de existencias necesario para cubrir la demanda durante el tiempo L que tarda en llegar el pedido, la operación se puede expresar de la siguiente forma: Cuando las existencias desciendan al valor R se debe pedir un lote de tamaño Q q(t) (Figura 2-2). Q

Dado que esta segunda forma implica revisión permanente para verificar si se ha llegado al punto de pedido, lo que es más R engorroso que trabajar con revisión periódica solamente, preferiremos considerar a L L t este modelo –y en general a todos los T determinísticos– como periódicos, con período de revisión fijo. Si es necesario, el Figura 2-2 cálculo del punto de pedido es inmediato conociendo la tasa de demanda y el plazo de entrega. El concepto de punto de pedido será retomado en los modelos estocásticos. 2.2.1 Determinación del tamaño de lote óptimo El tamaño de lote óptimo o, simplemente el lote óptimo, es el que minimiza el costo total anual medio de la gestión. De acuerdo a las hipótesis del modelo se suponen conocidos los siguientes datos (como unidad de tiempo se toma el año): d = Tasa de demanda [u/año] C = Costo variable unitario de compra o producción [$/u] S = Costo de preparación de la orden de pedido o producción (incluye puesta a punto de los equipos) [$] L = Plazo de entrega [año] i = Tasa anual de costo de mantenimiento de las existencias [$/$.año] El costo unitario anual de mantenimiento de las existencias (en $/u.año) resulta: H= C×i Dado que hemos tomado como unidad de tiempo el año, la tasa de demanda es directamente la demanda total anual. Indicando con D a la demanda anual se tiene: D= d

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Sean además: Q = Lote de reaprovisionamiento [u] T = Período de reaprovisionamiento [año] Podemos ahora plantear el cálculo del costo total anual medio de la gestión en función del tamaño del lote Q. Este costo es la suma de tres componentes (no hay costo de faltante): 1. El costo anual de compra o producción (puesto en el depósito), dado por C × D. 2. El costo anual de preparación de las órdenes, dado por S × D / Q, puesto que en el año hay D/Q pedidos y el costo fijo de preparación de cada uno es S. 3. El costo anual de mantenimiento de las existencias, dado por H × Q = C × i × Q . El stock medio en este caso es (Figura 2-1) Q=

1 T

∫

t +T

t

q (t )dt =

1 T

∫

T

0

q (t )dt =

1 T ×Q Q × = T 2 2

(2-1)

donde t es un instante cualquiera. Entonces el costo total anual medio en función del tamaño del lote está dado por CT (Q ) = C × D + S

D Q D Q + H = C×D+ S +Ci Q 2 Q 2

(2-2)

Dividiendo esta expresión por la demanda total anual de obtiene el costo total unitario promedio de la gestión CTU (Q ) = C +

S Q S Q +H = C + +Ci Q 2D Q 2D

(2-3)

Es el costo medio que un artículo acumula hasta el momento de su utilización. Tanto la (2-2) como la (2-3) son sumas de tres funciones: una constante, una hipérbola equilátera y una función lineal que pasa por el origen. La Figura 2-3 representa la Costos (2-2); la gráfica de la (2-3) es idéntica. Dado que la hipérbola es estrictamente convexa para Q > 0, es evidente que ambas sumas son también funciones estrictamente convexas. Por lo tanto tienen un único mínimo en el punto que anula sus derivadas primeras con respecto a Q. Obviamente el punto que anula las derivadas de ambas funciones es el mismo.

CT(Q)

CD

S D/Q

Q*

Figura 2-3

H Q/2

Q

Derivando entonces la (2-2) con respecto a Q e igualando a cero se obtiene la siguiente ecuación:

d D H D Ci CT (Q) = − S 2 + = − S 2 + =0 dQ Q 2 Q 2


(2-4)

23

de donde

Q* =

2DS 2DS = H Ci

(2-5)

La fórmula (2-5) se conoce con el nombre de fórmula del lote económico (EOQ: Economic Order Quantity) y también como fórmula de Harris. El número óptimo de pedidos en el año y el período óptimo resultan, respectivamente

N* =

D Q*

T* =

1 Q* = N* D

(2-6)

El punto de pedido se obtiene por R = D× L

(2-7)

Ejemplo 2-1 Se utilizan 300 unidades mensuales de una pieza que cuesta 50 $/u. El costo de la orden de compra es de $ 100 y la tasa de mantenimiento del stock es del 25% anual. El proveedor satisface cada pedido en una sola entrega y tarda 5 días hábiles. Hay 250 días hábiles en el año. a) b) c) d) e) f) g)

Se desea determinar: El lote óptimo de compra. El período óptimo entre dos órdenes de compra. El punto de pedido. El costo unitario promedio de la gestión. El incremento de costo unitario si se elige un período de revisión con criterio práctico. Si el producto se suministra en cajas de 100 unidades, ¿cuántas cajas conviene comprar? Si el costo fijo de la orden se incrementa en el 20%, ¿cuál es el óptimo?. Solución.

a) Q* = b) T * =

2DS 2DS 2 × 300 [u/mes] × 12 [mes/año] × 100 [$] = = = 240 u H Ci 50 [$/u] × 0,25 [$/$.año] Q* 240 = = 0,067 año ⇒ T * = 0,8 mes D 300 × 12

c) R = D × L = 3600 [u/año] ×

5 [días] = 72 u 250 [días/año]

S Q +Ci = Q 2D 100 [$] 240 [u ] = 50 [$/u ] + + 50 [$/u ] × 0,25 [$/$.año] × = 50,833 $/u 240 [u ] 2 × 3600 [u/año]

d) CTU (Q ) = C +

e) Supongamos que se adopta un período práctico Tp = 1 mes. El lote a comprar es 1 [mes] Q p = Tp × D = × 3600 [u/año] = 300 u . El costo unitario total resulta 12 [mes/año]

24


CTU (300) = 50 [$/u ] +

100 [$] 300 [u ] + 50 [$/u ] × 0,25 [$/$.año] × = 50,854 $/u 300 [u ] 2 × 3600 [u/año]

Notar que el incremento de un 20% en el período afectó al costo solamente en 0,041%. f) Se debe decidir entre 2 cajas (Q1 = 200) y 3 cajas (Q2 = 300). Calculando los costos unitarios totales resulta: CTU(Q1) = 50,847 $/u y CTU(Q2) = 50,854 $/u. Una variación del tamaño del lote de –17% y +25% produce un incremento del costo de 0,028% y de 0,041% respectivamente. g) Q* =

2DS 2DS 2 × 300 [u/mes] × 12 [mes/año] × 120 [$] = = = 263 u H Ci 50 [$/u ] × 0,25 [$/$.año]

El costo unitario resulta CTU(263) = 50,913 $/u, y se observa que un incremento del 20% en el costo fijo produce un incremento del 0,157% en el costo unitario total. Este ejemplo muestra que el costo total de la gestión es muy poco sensible a importantes variaciones en los parámetros del modelo, en este caso el tamaño del lote, el período y el costo fijo de la orden. Como veremos a continuación es una característica general del modelo. ■ 2.2.2 Análisis de sensibilidad El análisis de sensibilidad es el estudio del efecto en el costo total que producen variaciones en los parámetros y variables del modelo. Una aplicación fundamental de este análisis es la evaluación del efecto de los errores en las estimaciones de los parámetros y variables sobre el costo total. Un modelo que es muy poco sensible a esos errores se dice que es robusto. En lo que sigue consideraremos que el costo unitario C es conocido y constante, y analizaremos el efecto de variaciones en los otros parámetros. En estas condiciones, para el análisis posterior es suficiente considerar la parte variable del costo total unitario de la gestión, que es la que define el tamaño del lote óptimo. De la (2-3) el costo variable total unitario es CVU (Q ) =

S H + Q Q 2D

(2-8)

que para el lote óptimo, considerando la (2-5), resulta    S  H S H Q * = H Q * CVU (Q * ) = * + Q* =  + 2D D Q  2 DS 2 D     H 

(2-9)

Analicemos el efecto de variaciones en Q. Supongamos una variación relativa α en el tamaño del lote óptimo, es decir Q − Q* =α Q*

⇒ Q = (α + 1)Q *

(2-10)

Reemplazando (2-10) en (2-8), se obtiene


25

    S H S H *  Q * = CVU (Q ) = + ( + 1 ) Q = + ( + 1 ) α α 2 DS (α + 1)Q * 2 D 2 D  (α + 1)    H   2  1  H * α + 2α + 2 H * = + (α + 1)  Q = Q α + 1 2D  α +1  2D

(2-11)

y la variación relativa del costo variable total resulta CVU (Q ) − CVU (Q * ) = CVU (Q * )

α 2 + 2α + 2 H * H * Q − Q (α + 1) 2 D D H * Q D

=

α2 2(α + 1)

(2-12)

Por ejemplo, si se toma un lote 20% superior al óptimo (α = 0,20), el aumento en el costo variable total es 0,0167 (1,67%), y si el lote es un 20% menor (α = –0,20), el incremento del costo variable es 0,025 (2,5%), manteniendo todos los demás parámetros constantes. Es decir la curva de costo total CTU(Q) es muy aplanada en un amplio entorno de Q*. Esto permite redondear el valor que se obtiene con la fórmula del lote óptimo a valores prácticos con un efecto en general despreciable sobre el costo. De manera similar se analiza el efecto de variaciones en los otros parámetros S, D o i, sobre el costo. El análisis de variaciones en C es más complicado porque se debe considerar la expresión del costo total y no sólo la parte variable. Las hipótesis de los modelos determinísticos, que suponen un conocimiento exacto de los valores de los parámetros y variables, son tan restrictivas que pueden hacer dudar de la validez de los mismos en las aplicaciones, dado que en general sólo se dispone de estimaciones de dichos valores. Afortunadamente la robustez de estos modelos ante errores en las estimaciones hace que sean de gran utilidad en una amplia gama de aplicaciones. El lote óptimo y la Excelencia en Manufactura El lote óptimo minimiza el costo total de la gestión para una estructura de costos dada. En consecuencia las existencias medias que resultan son función de esa estructura. Por otra parte la Excelencia en Manufactura persigue el objetivo de la permanente reducción de todas las existencias, lo que implica reducir el tamaño de los lotes. Reducir los lotes sin modificar la estructura de costos los aparta del óptimo y el costo total de la gestión crece. Si bien hemos visto que el efecto sobre el costo variable de la gestión es relativamente pequeño, una reducción de los lotes de todos los artículos sin modificar la estructura de costos puede ser desastrosa, especialmente en el caso de fabricación propia. La reducción de los lotes debe ser hecha tratando de que sigan siendo óptimos, es decir se debe reducir el lote óptimo. De la (2-5) se ve inmediatamente que el lote óptimo disminuye si se reduce el costo fijo S. En el caso de fabricación este costo incluye todos los costos relacionados con la preparación de equipos. Por lo tanto si se quiere reducir las existencias se debe trabajar para disminuir el costo de puesta a punto. Supongamos que, para un artículo dado, hemos determinado el lote óptimo Q* con la estructura de costos actual, aceptando que el modelo básico sea una aproximación válida aún

26


en el caso de fabricación.14 Supongamos también que se quiere reducir la existencia media en un factor α < 1, es decir el nuevo lote debe ser Q = α Q*. ¿Cuál debería ser el nuevo costo fijo de puesta a punto? De (2-5) se obtiene inmediatamente que S′ =

H 2 H 2 *2 Q = α Q = α 2S 2D 2D

(2-13)

Por ejemplo, supongamos que se pretende reducir las existencias en un 30% (α = 0,70). Resulta α2 = 0,49, es decir se necesita disminuir el costo de puesta a punto actual en un 51%. Esto explica por qué en Excelencia en Manufactura se pone tanto énfasis en el objetivo de reducción de los tiempos de puesta a punto. Es esencial para reducir las existencias.

2.3 MODELO CON DEMANDA DURANTE EL INGRESO En los casos en que el ingreso al almacenamiento no se puede suponer instantáneo se debe tener en cuenta la demanda que se registra simultáneamente con el ingreso. El ejemplo típico es el producto de propia producción que ingresa gradualmente a medida que se q(t) fabrica; si el tiempo de ingreso es Q importante no se puede ignorar la qM demanda durante el ingreso. Suponiendo una tasa de ingreso constante resulta la situación de la Figura 2-4, donde h es el tiempo que tarda en ingresar todo el lote. h

L

T

t

Figura 2-4 q(t) Q qM

Otro caso similar se presenta cuando el lote se entrega fraccionado y cada sublote ingresa en forma instantánea (Figura 2-5). Entre una entrega y la siguiente hay consumo. En este caso se puede aproximar la función ingresos por una ley lineal y suponer también tasa de ingreso constante.

El efecto de considerar la demanda simultánea con el ingreso es que el h máximo de la función existencias no es Q Figura 2-5 sino un valor qM < Q, y por lo tanto cambia el valor de la existencia media. Esto es lo único que se modifica en la función costo total con respecto al modelo básico. L

T

t

Las hipótesis del modelo son entonces las mismas del modelo básico, salvo la tercera que se reemplaza por la siguiente: El lote ingresa con tasa de ingreso constante y conocida. Para plantear la función costo total de la gestión definamos: v = Tasa de ingreso [u/año] Debe ser, obviamente, v > d, donde d es la tasa de demanda expresada en u/año. 14

Si el lote es tal que el tiempo de producción no puede despreciarse y por lo tanto no se puede suponer ingreso instantáneo, se debería considerar el modelo siguiente con idéntico razonamiento.


27

El valor de qM se calcula fácilmente teniendo en cuenta que es el tamaño del lote menos la Q demanda durante el tiempo de ingreso h. El tiempo de ingreso (en años) es h = , y la v d demanda durante el tiempo de ingreso está dada por h × d = Q × . Por lo tanto resulta v

qM = Q − Q

d  d = Q 1 −  v  v

(2-14)

y el valor medio de las existencias es Q=

1 T

∫

t +T

t

q (t ) dt =

1 T

∫

T

0

q (t )dt =

1 T × qM Q  d  × = 1 −  T 2 2  v

(2-15)

Cabe observar que, dado que en esta expresión interviene el cociente entre la tasa de demanda y la de ingreso, la unidad de tiempo en la que se expresan ambas tasas puede ser cualquiera con tal que sea la misma. El costo total anual de la gestión es

CT (Q) = C × D + S

D Q d  D Q d  + H 1 −  = C × D + S + C 1 −  i Q 2 v Q 2 v

(2-16)

que es una función estrictamente convexa por idénticas razones que en el modelo básico. Luego, derivando con respecto a Q, igualando a cero y resolviendo en Q se obtiene Q* =

2DS 2DS =  d  d H 1 −  C i 1 −   v  v

(2-17)

Observemos que si v decrece (siempre con v > d) el tamaño del lote óptimo crece y por lo tanto crece la existencia media. Por otra parte, si v = d no se acumula ninguna existencia y el artículo debe ser fabricado continuamente. Este modelo se conoce también con el nombre de lote óptimo de producción (EPQ: Economic Production Quantity). Es evidente que el modelo básico puede ser considerado un caso particular de este modelo. En efecto, el ingreso instantáneo es equivalente ingreso con tasa infinita, y tomando límite para v → ∞ en (2-17) resulta precisamente la (2-5).

Ejemplo 2-2 La demanda de un producto es de 10.000 u/año. La tasa de producción es de 200 u/día, el plazo de entrega de 4 días (desde la emisión de la orden hasta el comienzo del ingreso), y el costo variable de producción de 50 $/u. El costo de puesta a punto es de $ 800 por cada lote. Se trabajan 250 días al año y la tasa de mantenimiento de las existencias se estima en el 20% anual. Se desea determinar: a) El lote óptimo de fabricación. b) El período óptimo entre dos órdenes de producción. c) El punto de pedido.

28


d) El costo unitario medio de la gestión. e) El tamaño del lote y el costo unitario si se supone ingreso instantáneo. f) El artículo puede ser comprado a 55 $/u con un costo fijo por pedido de $50. ¿Conviene fabricarlo? Solución. a) La tasa diaria de demanda es d =

Q* =

b) T * =

D 10000 [u/año] = = 40 u/día . Luego el lote resulta 250 250 [días/año]

2DS 2DS 2 × 10000 [u/año] × 800 [$] = = = 1414 u  d  d  40 [u/día]  H 1 −  C i 1 −   50 [$/u ] × 0,20 [$/$.año] × 1 − v v    200 [u/día]  Q * 1414 = = 0,14 año ⇒ T * = 1,7 mes D 10000

c) R = D × L = 10000 [u/año] ×

4 [días] = 160 u 250 [días/año]

S Q  d +Ci 1 −  = Q 2D  v 800 [$] = 50 [$/u ] + + 50 [$/u ] × 0,20 [$/$.año] × 1414 [u ]

d) CTU (Q ) = C +

×

 1414 [u ] 40 [u/día ]  1 −  = 51,13 $/u 2 × 10000 [u/año]  200 [u/día ] 

e) El lote con ingreso instantáneo es Q * =

2DS = Ci

2 × 10000 [u/año] × 800 [$] = 1265 u 50 [$/u ] × 0,20 [$/$.año]

El costo total unitario resulta: S Q +Ci = Q 2D 800 [$] 1265 [u ] = 50 [$/u ] + + 50 [$/u ] × 0,20 [$/$.año] × = 51,26 $/u 1265 [u ] 2 × 10000 [u/año]

CTU (Q ) = C +

f) Q * =

2DS = Ci

2 × 10000 [u/año] × 50 [$] = 302 u 55 [$/u] × 0,20 [$/$.año]

S Q +Ci = Q 2D 50 [$] 302 [u ] = 55 [$/u ] + + 55 [$/u ] × 0,20 [$/$.año] × = 55,33 $/u 302 [u ] 2 × 10000 [u/año]

CTU (Q ) = C +

Conviene fabricarlo. ■


29

2.4 MODELOS CON DESCUENTOS POR CANTIDAD Es muy frecuente, especialmente en el caso de compras, que el precio unitario del artículo sea función de la cantidad comprada. Se deben diferenciar dos casos: la política de descuentos por cantidad es permanente, es decir se mantiene igual para todos los reaprovisionamientos; el descuento constituye una oferta especial por única vez. En lo que sigue consideraremos solamente el primer caso, dejando el segundo para más adelante. Las hipótesis son las del modelo básico, salvo la quinta que se reemplaza por la siguiente: El costo variable unitario es función del tamaño del lote. Se pueden presentar distintos casos según sea la función que da el costo unitario. Algunos casos típicos son los siguientes. 2.4.1 Descuento sobre el total de las unidades compradas Supongamos el caso muy frecuente en el que se ofrece un precio unitario C1 si la cantidad comprada es menor que a unidades, y un precio C2 si la cantidad comprada es igual o mayor que a. Es decir

 = C si Q < a C (Q) =  1 = C2 si Q ≥ a

donde C2 < C1

El costo total anual está dado por (Figura 2-6): Q D   CT1(Q) = C1 D + S Q + C1 2 i CT (Q) =  D Q CT2 (Q) = C2 D + S + C2 i  Q 2

si Q < a (2-18) si Q ≥ a

Para analizar esta situación supongamos que ambas funciones CT1(Q) y CT2(Q) estuviesen definidas para todo valor Q > 0. Es fácil ver que resulta CT1(Q) > CT2(Q) ∀Q, y además sus respectivos mínimos Costos

Q1 =

Q2 =

2 DS C2i

(2-19)

resultan Q1 < Q2.

CT(Q)

Es evidente entonces que si la función CT2(Q) está definida en Q = Q2, es decir Q2 ≥ a, el óptimo está en Q* = Q2 (Figura 2-7).

CD

S D/Q

H Q/2

a

Figura 2-6

2 DS C1i

Caso contrario, si Q2 < a, se pueden presentar las dos situaciones siguientes (Figura 2-8): Q

CT1(Q1) ≤ CT2(a) y entonces el óptimo es Q* = Q1, o bien CT1(Q1) > CT2(a) y el óptimo es Q* = a.

30


Q2 < a CT1 (Q1 ) > CT2 (a )

Q2 ≥ a

CT(Q)

CT1 (Q1 ) ≤ CT2 (a )

CT(Q)

CT(Q)

CT1(Q)

CT1(Q)

CT1(Q)

CT2(Q)

CT2(Q)

a

Q* = Q2

Q

CT2(Q)

Q* = a

Figura 2-7

Q

Q* = Q1

a

Q

Figura 2-8

El razonamiento anterior se puede resumir en el siguiente procedimiento, que establece la regla de decisión: Calcular Q2 si Q2 ≥ a entonces Q* = Q2 si no calcular (Q1, CT1(Q1) y CT2(a) si CT1(Q1) ≤ CT2(a) entonces Q* = Q1 si no Q* = a fin si fin si Ejemplo 2-3 Un artículo cuesta 10 $/u si cada compra no supera 500 unidades, y 9 $/u si se compran 500 o más unidades. La demanda anual es de 10000 unidades, el costo de la orden de compra es de $ 30 y la tasa de mantenimiento del stock es del 20% anual. a) Calcular el lote óptimo de compra. b) Calcular el costo unitario promedio en el momento de la utilización. c) Si el descuento fuera a partir de 1000 unidades, ¿cuál sería la cantidad a comprar? Solución. 2DS = a) Q2 = C2 i

2 × 10000 [u/año] × 30 [$] = 577 u 9 [$/u ] × 0,20 [$/$.año]

Dado que Q2 > a, el óptimo es Q* = 577 u. S Q* + C i = 2D Q* 30 [$] 577 [u ] = 9 [$/u ] + + 9 [$/u ] × 0,20 [$/$.año] × = 9,10 $/u 577 [u ] 2 × 10000 [u/año]

b) CTU (Q * ) = C +

c) Q1 =

2 DS = C1i

2 × 10000 × 30 = 548 u 10 × 0,20


31

CTU 1 (Q1 ) = 10 [$/u ] + CTU 2 ( a ) = 9 [$/u ] +

30 [$] 548 [u ] + 10 [$/u ] × 0,20 [$/$.año] × = 10,11 $/u 548 [u ] 2 × 10000 [u/año]

30 [$] 1000 [u ] + 9 [$/u ] × 0,20 [$/$.año] × = 9,12 $/u 1000 [u ] 2 × 10000 [u/año]

El óptimo es Q* = a = 1000 u. ■ Descuentos escalonados El caso anterior se puede generalizar a descuentos escalonados para distintas cantidades. Por ejemplo, para dos descuentos sería:

= C1 si Q < a  C (Q) = = C2 si a ≤ Q < b = C si Q ≥ b  3

donde C3 < C2 < C1 , a < b

El planteo de la función costo total anual es totalmente similar al caso anterior, pero la deducción de una regla de decisión es más compleja. 2.4.2 Descuentos incrementales Es el caso en el que, por ejemplo, las primeras a unidades tienen un precio C1 y toda cantidad que supere a a tiene un precio menor C2, pero sólo para ella, es decir:

= C si Q ≤ a C (Q) =  1 = C1 para a unidades y C2 para el excedente, si Q > a, con C2 < C1 que se puede expresar como = C1 si Q ≤ a  C (Q) =  C1a + C2 (Q − a ) (C1 − C2 )a = + C2 = Q Q 

si Q > a

(2-20)

Con esta expresión del costo unitario se puede plantear la función costo total anual y, a partir de su análisis, determinar la regla de decisión correspondiente. Este caso también se puede generalizar a descuentos escalonados. Por ejemplo para dos descuentos sería

= C1 si Q ≤ a = C para a unidades y C para el excedente, si a < Q ≤ b, con C < C  1 2 2 1 C (Q) =  = C1 para a unidades, C 2 para b unidades y C 3 para el excedente, si Q > b,  con C 3 < C 2 < C1 Dejamos como ejercicio el planteo y análisis de la función costo total anual de todos estos casos. Desde el punto de vista práctico se sugiere calcular y graficar la función costo total (por ejemplo en una planilla de cálculo) con incrementos sucesivos del valor de Q, para determinar rápidamente los intervalos donde se encuentran los mínimos relativos, y luego afinar el cálculo analíticamente utilizando la función correspondiente a cada intervalo.

32


2.5 MODELO DE REVISIÓN CONJUNTA DE ARTÍCULOS. PERÍODO COMÚN En compras es muy frecuente que un mismo proveedor suministre muchos artículos y por lo tanto es más económico emitir una única orden de compra para todos los artículos que sean necesarios. Cuando todos los productos de un mismo proveedor se gestionan en forma conjunta se facilita el control de las existencias y se reducen costos logísticos como los de gestión y de transporte. La gestión conjunta de un cierto número de artículos implica que todas ellos se piden con un período común (Figura 2-9).

q(t) Q

El problema se plantea entonces como encontrar el período común que minimice el costo total del conjunto de artículos.

t

T q(t)

Las hipótesis del modelo son las del modelo básico, salvo la décima que se modifica de la siguiente forma:

Q t

T

La orden de compra o producción es para todos los artículos que se gestionan en conjunto.

q(t) Q

T

Supongamos que se gestionan en forma conjunta n artículos, de los cuales se conocen las demandas anuales Dj (j = 1, 2,…, n). Sean Qj los tamaños de los respectivos lotes, y sea T el período común a todos los artículos. Dado que el período es común se debe verificar que

t

Figura 2-9 T=

Qj Q1 Q2 Q = =L= =L= n D1 D2 Dj Dn

(2-21)

El problema queda planteado entonces de la siguiente manera: Determinar el período óptimo T* que minimice el costo medio total anual de la gestión. Una vez hallado T*, los lotes óptimos se calculan por

Q*j = T * × D j

,

j = 1, 2, L , n

(2-22)

Hay una única orden para todos los artículos. Sea entonces: S = Costo fijo de la orden para los n artículos [$].

A los efectos de plantear la función costo medio total anual, pensemos por un momento que conocemos un costo fijo de la orden Sj para cada artículo, de manera que el costo fijo para n

el conjunto queda S = ∑ S j . j =1

Partiendo entonces de la función costo del modelo básico (2-2), y reemplazando Qj = T × Dj, se obtiene el costo total anual para un artículo genérico en función del período CT (Q j ) = CT (T × D j ) = CT j (T ) = C j D j + S j


Dj Qj

+Hj

Qj 2

= C jDj +

Sj T

+Hj

T × Dj

(2-23)

2

33

Luego el costo total para los n artículos es

CT (T ) =

n

n

j =1

j =1

∑ CT j (T ) = ∑ C j D j +

1 n T n S + H jDj ∑ j 2∑ T j =1 j =1

(2-24)

Llamando n

n

C = ∑C j Dj

, S = ∑Sj

j =1

j =1

n

, H = ∑ H j Dj

(2-25)

j =1

se obtiene CT (T ) = C +

S H + T T 2

(2-26)

Los costos fijos por artículo, Sj, se supusieron conocidos al sólo efecto de esta deducción, pero no es necesario estimarlos puesto que en la (2-26) interviene sólo el costo fijo total de la gestión conjunta, S. La (2-26) tiene la misma estructura que la del modelo básico y por lo tanto es estrictamente convexa y su mínimo de encuentra en el punto donde se anula la derivada. Derivando con respecto a T, igualando a cero y resolviendo la ecuación se obtiene el período óptimo y con él los lotes óptimos para cada artículo:

T* =

2S H

Q*j = T * × D j

,

j = 1, 2, L , n

,

(2-27)

En el análisis anterior se supuso que todos los artículos tienen ingreso instantáneo. Si para algún ítem se debe considerar el consumo durante el ingreso, teniendo en cuenta para él el costo de mantenimiento de las existencias dado por (2-16), la (2-23) resultaría

CT j (T ) = C j D j + S j

Dj Qj

+Hj

Qj 2

(1 − d j v j ) = C j D j +

Sj T

+Hj

T × Dj 2

(1 − d j v j )

(2-28)

y se modificaría sólo el cálculo de H en (2-25), manteniéndose todo lo demás. Se puede entonces incluir fácilmente el caso de ingreso no instantáneo definiendo la variable

= 1

si el ítem j tiene ingreso instantáneo

ρj =  = (1 − d j v j ) si el ítem j tiene ingreso no instantáneo

(2-29)

donde dj y vj son, respectivamente, la tasa de demanda y la tasa de ingreso, y expresando H como n

H = ∑ ρ jH j Dj j =1

(2-30)

que reemplaza la de (2-25).

Ejemplo 2-4 Para los artículos indicados en la tabla siguiente se desea hacer una gestión conjunta con período común. El costo de la orden de compra para el conjunto es de $100. La tasa de

34


mantenimiento del stock es la misma para todos los artículos y es del 24 % anual. Se trabaja 250 días al año. ARTICULO 1 2 3 4 5

C-150 A-300 D-400 H-100 A-200

CONSUMO COSTO ANUAL UNITARIO 1500 5,00 400 4,00 650 1,20 1300 0,30 500 0,45

Solución. La tabla siguiente muestra los cálculos de C y H, y los lotes que de compra que obtienen una vez calculado y redondeado el período óptimo.

1 2 3 4 5

COSTO ARTICULO CONSUMO UNITARIO ANUAL Cj Dj C-150 1500 5,00 A-300 400 4,00 D-400 650 1,20 H-100 1300 0,30 A-200 500 0,45

COSTO TOTAL Cj Dj 7500,00 1600,00 780,00 390,00 225,00 10495,00

COSTO MANT. Hj Dj 1800,00 384,00 187,20 93,60 54,00 2518,80

LOTES COMPRA Qj = T Dj 375 100 163 325 125

El período óptimo es 2S 2 × 100 T* = = = 0,282 año ⇒ T * = 3,38 mes H 2518,80 Adoptando un período práctico de 3 meses (0,25 año) se obtienen los lotes indicados en la última columna. El costo total anual de la gestión resulta S H CT (T ) = C + + T = T 2 100 [$] 2518,80 [$/año 2 ] = 10495 [$/año] + + × 0,25 [año] = 10922,35 [$/año] 0,25 [año] 2 ■

2.6 MODELOS CON RESTRICCIONES El modelo básico es aplicable a cada artículo individualmente. Si no hay restricciones de ningún tipo, como se supuso en él, la optimización de cada uno de los artículos conduce a la optimización de la gestión total de las existencias. Sin embargo, dado que el sistema de gestión de las existencias es un subsistema de la organización, su optimización debe estar subordinada a la optimización global de ésta. Por lo tanto, si existen restricciones originadas en la organización se las debe tomar en cuenta para la optimización del sistema de gestión de las existencias. Su óptimo debe satisfacer las restricciones que impone el conjunto de la organización. Las restricciones, en general, están originadas en los recursos escasos con que cuenta la empresa, tales como capital de trabajo, espacio de almacenamiento, capacidad de producción, etc.


35

La consideración de las restricciones conduce a un óptimo distinto del que se obtendría sin ellas. Por ejemplo, si hay restricciones financieras que obligan a reducir la inmovilización de capital en existencias, el efecto de la restricción será el de disminuir el tamaño de los lotes de manera de reducir las existencias medias, con lo que el costo unitario de la gestión se incrementará con respecto al óptimo sin restricciones. Otras restricciones, como la de capacidad de producción, pueden conducir a lotes más grandes y también se incrementa el costo unitario de la gestión con respecto al óptimo sin restricciones. Así el costo total de la gestión, satisfaciendo las restricciones, es mayor que el que se obtendría sin restricciones. Debemos entonces plantear modelos que tengan en cuenta distintos tipos de restricciones. Las hipótesis sobre las que se basarán estos modelos son las del modelo básico, salvo la novena que será reemplazada por la que surja de las restricciones a considerar en cada caso. En la optimización con restricciones se tomará en cuenta la totalidad de los artículos que se mantienen en existencias pero, una vez determinados los lotes óptimos, la gestión de cada uno será independiente de los demás, es decir se mantiene la décima hipótesis. 2.6.1 Restricción de capital de trabajo Sea n el número de artículos a considerar en la optimización. La restricción en este caso consiste en que la inmovilización media total de capital en existencias de los n artículos no supere un determinado valor I0. Suponiendo que el modelo básico sea una buena aproximación para la gestión de todos los artículos, las existencias medias estarán dadas por Qj / 2 (j = 1, 2,…, n) y la restricción se puede expresar como n

Qj

j =1

2

I = ∑Cj

≤ I0

(2-31)

donde I es la inmovilización total de capital. El primer paso es calcular los lotes óptimos sin restricciones y verificar la restricción. Si la restricción se satisface, no es activa y el problema está terminado. Si la restricción es activa se deben determinar los lotes que minimicen el costo total anual de la gestión satisfaciendo la restricción. El costo total anual para los n artículos es n  Dj Qj  CT (Q1 , L , Qn ) = ∑  C j D j + S j + Cj i  Qj 2  j =1 

(2-32)

El problema queda planteado entonces así: minimizar la función (2-32) sujeta a la restricción (2-31). Cada una de las funciones en la sumatoria de (2-32) es estrictamente convexa y por lo tanto la suma también lo es. Luego el problema consiste en la minimización de una función estrictamente convexa sujeta a una restricción que es una inecuación lineal. Sabemos que el problema tiene solución óptima única y que la misma satisface las condiciones necesarias y suficientes de Kuhn-Tucker, por lo que se podría encarar como un problema de optimización convexa. Sin embargo, en este caso particular, se puede hacer el siguiente razonamiento que conduce a un método más sencillo. Sabemos que el efecto de la restricción es disminuir los tamaños de los lotes incrementando el costo total de la gestión con respecto al óptimo sin restricciones. Es evidente entonces que la reducción de los lotes debe ser la estrictamente necesaria para satisfacer la

36


restricción, ya que toda reducción adicional incrementaría el costo innecesariamente. Por lo tanto la restricción, si es activa, debe ser una ecuación. En consecuencia el problema queda planteado ahora como minimizar la función (2-32) sujeta a la restricción Qj

n

∑C j =1

j

2

− I0 = 0

(2-33)

En estas condiciones el problema se puede resolver aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange. El método establece que una condición necesaria para que (Q1* , L , Qn* ) sea solución óptima del problema es que (Q1* , L , Qn* , λ ) anule las n +1 derivadas parciales primeras, con respecto a las variables Qj y λ, de la función de Lagrange n  Dj Qj  Qj  n  F (Q1 , L , Qn , λ ) = ∑  C j D j + S j +Cj i  + λ  ∑ C j − I 0   Qj 2  2 j =1   j =1 

(2-34)

donde el parámetro λ es el multiplicador de Lagrange. En este caso, dado que la función a minimizar es estrictamente convexa, la condición es también suficiente. Por lo tanto, derivando e igualando a cero la (2-34) se obtiene un sistema de n +1 ecuaciones con n +1 incógnitas

Dj Cj  ∂F = − S j 2 + (i + λ ) =0 ,  2 Qj  ∂Q j  n  ∂F = C Q j − I = 0 j 0  ∂λ ∑ 2 j =1

j = 1, 2,L , n (2-35)

cuya solución resuelve el problema. La última ecuación reproduce la restricción. Dado que (2-35) es un sistema de ecuaciones no lineales su resolución se encara por aproximaciones sucesivas.15 De las primeras n ecuaciones de (2-35) se obtiene Qj =

2D j S j C j (i + λ )

,

j = 1, 2, L , n

(2-36)

Evidentemente debe ser λ > 0 porque los lotes deben ser menores que los que se obtendrían sin restricción. Podemos entonces dar distintos valores a λ en las (2-36) hasta lograr que los Qj satisfagan la restricción, es decir la última ecuación de (2-35). Desde el punto vista práctico conviene comenzar con λ = 0, calcular los Qj (son los lotes óptimos sin restricción) y verificar la restricción. Si no se satisface se incrementa λ, se recalculan los lotes y se verifica nuevamente la restricción, y así sucesivamente hasta que se satisfaga la restricción. El significado económico del multiplicador de Lagrange es evidente como costo marginal del dinero. En efecto, la tasa i de mantenimiento de las existencias está formada por la tasa de interés del capital invertido, que indicaremos por i1, y el resto que indicaremos por i2, es decir i = i1 + i2. Reemplazando en (2-36) se puede escribir 15

Ver la Nota al final.


37

Qj =

2D j S j C j (i1 + i2 + λ )

=

2D j S j C j (i1 + λ ) + C j i2

,

j = 1, 2, L , n

(2-37)

El valor de λ es entonces un incremento de la tasa de interés financiera, precisamente por no tener suficiente capital de trabajo a la tasa i1. Es decir, es el costo marginal del dinero. Luego (i1 + λ) es la tasa por debajo de la cual convendría aceptar dinero para invertir en stocks. Como todo costo marginal, λ disminuye a medida que se dispone de más recurso (capital en este caso) hasta llegar a cero cuando el recurso disponible es igual a los requerimientos y desaparece la restricción.

Observación. El valor de λ permite evaluar alternativas de financiación. Sin embargo, de acuerdo con los objetivos de la Excelencia en Manufactura, es preferible aplicar una política de mejora de los procesos de la empresa que permita disminuir los costos fijos Sj. De esta forma se reducen los tamaños de los lotes óptimos y por lo tanto la inmovilización de capital. Se podría llegar a satisfacer la restricción sin capital adicional. Ejemplo 2-5 Para los siguientes artículos se quiere que la inmovilización media de capital no supere $5.000. El costo de la orden de compra es de $30, igual para todos los artículos. La tasa de costo de mantenimiento de las existencias es del 25% anual. Determinar los lotes óptimos y el incremento de costo debido a la restricción de capital. CÓDIGO CONSUMO COSTO ARTICULO ANUAL UNITARIO A 15000 5,00 B 4000 4,00 C 6500 12,00 D 13000 3,00 E 5000 4,50

Solución. La siguiente tabla muestra la disposición del cálculo para probar distintos valores de λ. La restricción se satisface con λ = 0,383. COD. A B C D E

Dj 15000 4000 6500 13000 5000

Cj 5,00 4,00 12,00 3,00 4,50

Sj 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00

Qj Cj Qj /2 849 2121 490 980 361 2163 1020 1530 516 1162 7956

CTU(Qj) 5,07 4,12 12,17 3,06 4,62 29,03

Qj* 533 308 227 641 325

Cj Qj*/2 CTU(Qj*) 1333 5,08 616 4,14 1360 12,18 961 3,07 730 4,63 5000 29,09

Lambda = 0,383

■ 2.6.2 Restricción de espacio de almacenamiento Supongamos que se almacenan n artículos. Sea vj el espacio que ocupa una unidad del artículo j en el almacenamiento (supondremos en lo que sigue que el espacio es un volumen medido en m3, pero de igual forma se podrían considerar áreas). Supongamos, para

38


simplificar, que cada artículo tiene asignado un espacio de almacenamiento suficiente para su máxima existencia Qj, y que no es utilizado por otro cuando su existencia es menor.16 Supongamos además que el espacio total neto disponible para almacenamiento es A0. En estas condiciones, y por idéntica razón que en el caso anterior, la restricción está dada por la siguiente ecuación n

∑Q v j =1

j

j

− A0 = 0

(2-38)

El costo total anual de la gestión de los n artículos está dado por la (2-32). Luego con el mismo razonamiento que en el caso anterior el problema se resuelve por el método de los multiplicadores de Lagrange considerando la función n  Dj Qj   n  F (Q1 , L , Qn , λ ) = ∑  C j D j + S j +Cj i  + λ  ∑ Q j v j − A0   Qj 2  j =1   j =1 

(2-39)

Por lo tanto, derivando e igualando a cero la (2-39) se obtiene un sistema de n +1 ecuaciones con n +1 incógnitas Dj C j  ∂F  ∂Q = − S j Q 2 + 2 i + λ v j = 0 ,  j j  n  ∂F = ∑ Q j v j − A0 = 0  ∂λ j =1

j = 1, 2, L , n (2-40)

cuya solución resuelve el problema. La última ecuación reproduce la restricción. De las primeras n ecuaciones de (2-40) se obtiene Qj =

2D j S j C j i + 2λ v j

,

j = 1, 2, L , n

(2-41)

Evidentemente debe ser λ > 0 porque los lotes deben ser menores que los que se obtendrían sin restricción. Podemos entonces dar distintos valores a λ en las (2-41) hasta lograr que los Qj satisfagan la restricción, es decir la última ecuación de (2-40). Comenzando con λ = 0, se calculan los Qj (son los lotes óptimos sin restricción) y se verifica la restricción. Si no se satisface se incrementa λ, se recalculan los lotes y se verifica nuevamente la restricción, y así sucesivamente hasta que se satisfaga la restricción. El significado económico del multiplicador de Lagrange es evidente como costo marginal del espacio de almacenamiento. Observemos que las unidades de λ son [$/m3.año]. Es decir λ es el costo de no disponer de una unidad de almacenamiento adicional. Cabe una observación similar a la del caso anterior en cuanto a los objetivos de la Excelencia en Manufactura. Se debe trabajar para disminuir los costos fijos Sj. Reduciendo los lotes óptimos se puede lograr que desaparezca la restricción.

16

En la actualidad hay sistemas de almacenamiento “inteligentes” que optimizan el aprovechamiento del espacio. Estos sistemas no serán tratados aquí.


39

2.6.3 Restricción de tiempo de puestas a punto En el caso de fabricación, los lotes óptimos sin restricciones pueden requerir una cantidad tal de puestas a punto en el año que el tiempo necesario para realizarlas sea inaceptable. En efecto, el tiempo de preparación de máquinas reduce el tiempo neto disponible para la producción, y puede suceder que éste sea insuficiente para programar la producción que la demanda requiere. Una salida habitual a esta situación es la realización de horas o turnos extras con el consiguiente aumento en los costos. Surge así la necesidad de considerar una restricción en el tiempo total anual destinado a puestas a punto. Consideremos entonces n artículos, que se producen con los mismos equipos, y supongamos que el tiempo total anual de puesta a punto, para todos los artículos, no deba superar W0 horas. Sea Wj el tiempo total de preparación de máquinas, en horas, para hacer un lote del producto j. Teniendo en cuenta que se hacen Dj / Qj lotes por año del producto j, la restricción de tiempo de puesta a punto está dada por (es una ecuación por las mismas consideraciones que en los casos anteriores) Dj

n

∑W j =1

j

Qj

− W0 = 0

(2-42)

El costo de puesta a punto está formado por el costo de mano de obra más un eventual costo fijo (por ejemplo por materiales utilizados). Sea entonces m el costo por unidad de tiempo de mano de obra [$/h] y sea pj el costo fijo de preparación [$]. Luego el costo de puesta a punto para el artículo j está dado por S j = p j + m W j y el costo total anual resulta

 Dj Qj  CT (Q1 , L ,Qn ) = ∑  C j D j + ( p j + m W j ) +Cj i  Qj 2  j =1  n

(2-43)

El problema se resuelve por el método de los multiplicadores de Lagrange considerando la función n   n  Dj Qj  Dj F (Q1 , L ,Qn , λ ) = ∑  C j D j + ( p j + m W j ) i  + λ  ∑W j +Cj − W0    j =1  Qj 2  Qj j =1   

(2-44)

Por lo tanto, derivando e igualando a cero la (2-44) se obtiene un sistema de n +1 ecuaciones con n +1 incógnitas

Dj C j  ∂F  ∂Q = −[ p j + (m + λ )W j ] Q 2 + 2 i = 0 ,  j j  n D  ∂F = ∑ W j j − W0  ∂λ j =1 Qj

j = 1, 2,L , n (2-45)

cuya solución resuelve el problema. La última ecuación reproduce la restricción. De las primeras n ecuaciones de (2-45) se obtiene Qj =

40

2 D j [ p j + (m + λ )W j ] Cj i

,

j = 1, 2, L , n

(2-46)


Evidentemente debe ser λ > 0 porque los lotes deben ser mayores que los que se obtendrían sin restricción. Podemos entonces dar distintos valores a λ en las (2-46) hasta lograr que los Qj satisfagan la restricción, comenzando con λ = 0. En la deducción anterior hemos considerado ingreso instantáneo de los lotes. En el caso de ingreso no instantáneo se obtendría Qj =

2 D j [ p j + (m + λ )W j ]  d C j i 1 − j  v j 

   

,

j = 1, 2, L , n

(2-47)

El significado económico del multiplicador de Lagrange es evidente como costo marginal del tiempo de puesta a punto. Las unidades de λ son [$/h]; es decir λ es el costo de no disponer de una hora de puesta a punto adicional. Observemos que la restricción conduce a lotes más grandes y por lo tanto a un aumento de las existencias medias, mientras que el objetivo fundamental de la Excelencia en Manufactura es la reducción de los stocks. La única forma de compatibilizar ambos objetivos es a través de una drástica reducción de los tiempos de puesta a punto. Ejemplo 2-6 En el proceso de producción de tres artículos, A, B y C, se utiliza un centro de trabajo para el cual se dispone como máximo de 350 horas anuales para preparación. Se desea calcular los lotes óptimos de cada uno de los artículos, tomando en cuenta la información de la tabla siguiente. Se trabajan 250 días hábiles en el año, el costo de mano de obra de puesta a punto es de 10 $/hora, y la tasa de mantenimiento de los stocks es del 30% anual. A 15000 300 10 50 4

Demanda [u/año] Tasa de ingreso [u/día] Costo fijo P. a P. [$/lote] Costo unitario [$/u] Tiempo de P. a P. [h/lote]

B 15000 300 10 30 2

C 25000 500 10 80 5

Solución. La siguiente tabla muestra la disposición del cálculo para probar distintos valores de λ. La restricción se satisface con λ = 20,83. Artículo Dj A 15000 B 15000 C 25000

dj 60 60 100

vj 300 300 500

Cj 50 30 80

pj 10 10 10

Wj 4 2 5

Qj 577 546 654

W 103,93 54,90 191,19 350,02

Lambda = 20,83

■


41

2.7 CASO DE ESTUDIO Una empresa consume 2.500 unidades de una pieza de fundición, de manera uniforme a lo largo de los 250 días hábiles del año, y trabaja 5 días por semana. El proveedor, ubicado en la misma ciudad, entregaba el producto a un precio de 200 $/u CIF planta (sobre camión) y podía hacer una entrega por semana. Luego de operar seis meses en estas condiciones el proveedor, tratando de reducir sus costos de transporte, propone hacer descuentos por cantidad de la siguiente forma: Unidades pedidas 100 primeras 100 siguientes Toda unidad por encima de 200

Precio unitario [$/u] 200 195 185

Otra información relacionada con estas compras es la siguiente: Costo de mantenimiento de las existencias Peso unitario de la pieza Costo de descarga Costo del pedido Costo de recepción

25 25 20 10 15

% anual Kg. $/Ton. $ $

La capacidad del almacén es de 250 unidades. La empresa puede alquilar espacio adicional, por años completos, con un costo fijo de $ 1000 por año más 30 $/u.año. Ahora Compras informa que recibió una oferta de un proveedor de otra ciudad con los siguientes precios FOB fábrica: Unidades pedidas 100 primeras 100 siguientes Toda unidad por encima de 200

Precio unitario [$/u] 195 190 180

En este caso el costo del transporte y seguros es de $ 120 por tonelada si la carga completa un contenedor de 10 Ton., y de $ 200 por tonelada si la carga es inferior a la capacidad del mismo. El plazo de provisión es de una semana. Ingeniería informa que el producto satisface las especificaciones de diseño y calidad. ¿Cuál debió ser la política de compra de la empresa en la situación inicial? ¿Cuál fue la decisión cuando el proveedor local ofreció los descuentos? ¿Cuál es la decisión frente a la oferta del nuevo proveedor?

2.8 NOTA En este caso particular las ecuaciones se pueden resolver, obteniéndose los valores óptimos 2

Q*j =

2D j S j C j (i + λ ) *

,

 n   ∑ C j Dj S j    j =1 *   −i λ = 2 2 I0

(2-48)

Sin embargo consideraremos el método de aproximaciones sucesivas por ser el único aplicable en los otros casos.

42


CAPÍTULO 3 MODELOS ESTOCÁSTICOS CON NIVEL DE SERVICIO 3.1 CONSIDERACIONES GENERALES Los modelos determinísticos suponen que todos lo parámetros y variables son conocidos con absoluta certeza. Bajo estas hipótesis el sistema de gestión de las existencias puede operar sin que se produzcan faltantes. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones reales hay componentes aleatorios que introducen incertidumbre en el sistema. Las dos principales fuentes de incertidumbre son la aleatoriedad en la demanda y en los plazos de provisión. Para desarrollar modelos en estas condiciones es necesario determinar el comportamiento probabilístico de las variables aleatorias que intervienen. Establecidas las distribuciones de probabilidad, el problema de decisiones se transforma, de uno bajo incertidumbre, en otro bajo condiciones de riesgo. La demanda y el plazo de entrega se suponen entonces variables aleatorias independientes con distribuciones conocidas. En realidad estas distribuciones se estiman a partir datos históricos, es decir de observaciones de las variables a lo largo del tiempo, y por lo tanto no se puede asegurar que las distribuciones obtenidas sean las verdaderas. En este sentido siempre quedará algo de incertidumbre. La distribución de frecuencias de los datos del pasado puede ser tomada como estimación de la distribución de probabilidades de las variables en el futuro, si se pueden aceptar las dos hipótesis siguientes: a) El comportamiento de las variables (demanda o plazo de entrega) en el futuro será similar al comportamiento en el pasado. b) Los datos de las observaciones de las variables en el pasado constituyen una muestra que representa con precisión el comportamiento de dichas variables en el pasado. La primera hipótesis se cumple, en general, en el corto plazo, que es en el que se realiza la gestión de las existencias. En el mediano y largo plazo no se puede hacer esta suposición y debe recurrirse a otras formas de estimación. 3.1.1 El pronóstico de la demanda La gestión de las existencias se hace para satisfacer demandas futuras. Cuando se pide un lote es para satisfacer la demanda que se prevé para cuando esté disponible, es decir a partir de su ingreso. Por lo tanto para determinar la cantidad a pedir de un determinado artículo se debe tomar en cuenta el pronóstico de la demanda para el o los períodos en que será utilizado. La demanda se registra normalmente en intervalos regulares del tiempo (días, semanas, meses, trimestres, años, etc.). Así hablamos de demanda diaria, demanda semanal, etc. Por ejemplo, y1, y2,…, yn,…, pueden representar la demanda de un producto al finalizar las semanas 1, 2,…, n,… Supondremos que el valor observado yt, de la demanda en el instante t, es una extracción al azar de una variable aleatoria Yt, la variable demanda en el instante t, es decir la demanda en un cierto período que finaliza en t. Una colección de datos obtenidos observando una variable aleatoria en intervalos regulares de tiempo, tal como la demanda de un artículo, es una serie temporal o serie de tiempo. La variable observada es la variable de la serie temporal.


43

Las variables aleatorias demanda constituyen un proceso estocástico {Yt}, donde t indica un instante en el tiempo. En consecuencia, una serie de n datos observados es una muestra de n variables aleatorias del proceso, llamada una realización o una trayectoria del proceso. Por ejemplo, la serie de la demanda de un producto en los últimos 24 meses es una realización del proceso. En lo que sigue supondremos que la demanda es un proceso estocástico estacionario en covarianza, lo que significa que las variables Yt tienen valor esperado y varianza constantes en el tiempo, esto es: E(Yt) = µt = µY = cte. y V(Yt) = σt2 = σY2 = cte., y las autocovarianzas son independientes del tiempo, es decir: γ t ,t +k = E[(Yt − µ t )(Yt +k − µ t +k )] = γ k , ∀t , donde k = 0, ± 1, ± 2,… es el retardo. Además supondremos que las variables Yt tienen idéntica distribución y ésta es conocida. Bajo estas hipótesis, los modelos que desarrollaremos en este capítulo son estáticos. El pronóstico de la demanda también se hace para períodos regulares de tiempo, tales como días, semanas, meses, etc. Un buen pronóstico es una estimación del valor esperado y de la varianza de la demanda para un período futuro. Habitualmente el término pronóstico se utiliza para indicar solamente la estimación del valor esperado, y con ese significado lo emplearemos en lo sucesivo, pero debe quedar claro que también la estimación de la varianza es parte del pronóstico. Indicando con Ft el pronóstico (del valor esperado) para un período futuro t se tiene que:

Ft = E (Yt ) = µt = µY

∀t

(3-1)

Resulta que para demanda estacionaria el pronóstico es constante, y lo indicaremos Ft = F ,∀t. El error de pronóstico para un período futuro t está dado por

ε t = Yt − Ft

(3-2)

y es una variable aleatoria con parámetros:

µε = E (ε t ) = E (Yt − Ft ) = E (Yt ) − E ( Ft ) = 0 ∀t σ ε2 = V (ε t ) = V (Yt − Ft ) = V (Yt ) = σ Y2 = cte. ∀t

(3-3)

La varianza del error es entonces la varianza de la demanda. Si se establece la hipótesis de normalidad de las Yt, el error tiene distribución N(0, σY2). A partir de datos históricos se puede estimar la distribución de los errores y la varianza de los mismos, S e2 ≈ σ ε2 , y por lo tanto la de la demanda. Un valor observado del error es

et = yt − Ft . Luego, si se dispone de datos de los errores de N períodos pasados, resulta: e=

1 N ∑ et ≈ 0 N t =1

,

Se2 =

1 N 1 N 2 2 ( e − e ) ≈ ∑ t ∑ et N − 1 t =1 N − 1 t =1

(3-4)

La desviación estándar de los errores, Se, también se suele llamar “desviación estándar del pronóstico” y se indica SF, o directamente desviación estándar de la demanda SY. 17 El pronóstico (de la media) y la desviación estándar de la demanda se calculan sobre la base de un determinado tipo de período (día, semana, mes,…), llamado período de 17


44


pronóstico. El período de pronóstico es la unidad de tiempo en la que se deberán expresar las variables aleatorias demanda y plazo de provisión. En lo que sigue supondremos que se dispone del pronóstico y de la estimación de la desviación estándar de la demanda con base en un cierto período de pronóstico. 3.1.2 Stocks de seguridad Cuando la demanda o el plazo de entrega, o ambos, son aleatorios, no es posible asegurar que no se producirán faltantes. Los modelos deben considerar entonces el riesgo de que ocurran. Para reducir el riesgo de faltante se establecen stocks de seguridad. El stock de seguridad es una protección (hasta cierto punto) contra dos cosas: una tasa de demanda mayor que la pronosticada y un plazo de entrega mayor que el previsto. El stock de seguridad se puede determinar de dos formas:18 • •

Sobre la base del costo de faltante. A partir de un nivel de servicio al cliente, especificado como una decisión de política de empresa.

La estimación de los costos de los faltantes es sin duda la más difícil de realizar en la gestión de las existencias. Aunque en algunos casos se puede estimar razonablemente bien por la pérdida de utilidad al no entregar un artículo, por los gastos adicionales originados en el atraso en las entregas, por la pérdida de producción al no disponer de un insumo en el momento apropiado, etc.; en muchos otros la diversidad de factores que intervienen y la incertidumbre sobre sus efectos tornan ilusoria la pretensión de estimar estos costos. En efecto, ¿cómo se estima, por ejemplo, el costo de la insatisfacción o de la mala disposición de un cliente?. Evidentemente no es sólo la pérdida de utilidad del producto que no se entrega. El faltante de un artículo puede ocasionar la pérdida de ventas de otros complementarios que el cliente ni siquiera llega a pedir al no conseguir el primero, y hasta puede llegar a la pérdida del cliente. Es más, la difusión de una mala imagen de la empresa por parte de un cliente descontento puede originar la pérdida de otros clientes, actuales o potenciales. En estas circunstancias son de utilidad los modelos en los que se determina el stock de seguridad en función de objetivos de nivel de servicio al cliente. El stock de seguridad “óptimo” es entonces una decisión de compromiso entre el nivel de servicio pretendido y la inmovilización de capital; entre Comercialización, Finanzas y Operaciones. Fijado el objetivo de nivel de servicio se puede calcular el stock de seguridad necesario para alcanzarlo. También se puede calcular el costo de faltante equivalente que resulta de fijar un nivel de servicio, a fin de evaluar la política. En este capítulo trataremos modelos para demanda y plazo de entrega aleatorios con nivel de servicio al cliente. Estos modelos no son exactamente de optimización en el sentido de minimizar el costo total de la gestión por cuanto incluyen elementos fijados por política de empresa, como el nivel de servicio, o aproximaciones tomadas de los modelos determinísticos, como el período o el tamaño del lote.

18

No tomaremos en cuenta los criterios empíricos que se suelen utilizar en la práctica empresarial para determinar los stocks de seguridad.


45

3.2 MODELO DE REVISIÓN CONTINUA (MODELO DE PUNTO DE PEDIDO) Es un modelo basado en la fijación de un tamaño de lote Q y un punto de pedido R. Las existencias se controlan permanentemente, cuando su nivel llega al punto de pedido se pide un lote. La Figura 3-1 representa ciclos de reabastecimiento con demanda y plazo de entrega aleatorios. En el ciclo con faltante se supone que se trata de entregas con atraso. La Figura 3-2 representa una situación ideal que se tendría si el sistema operara con los valores esperados de las variables. q(t)

q(t) Q Q

Q

R

R Q L

L

Figura 3-1

t

L

L

t

Figura 3-2

Como las existencias se revisan permanentemente, en el momento de hacer el pedido hay siempre un determinado nivel (el punto de pedido) y por lo tanto si se produce faltante éste sólo puede ocurrir durante el plazo de provisión. En consecuencia la demanda durante el plazo de provisión, juega un rol esencial en la determinación del stock de seguridad y del punto de pedido. El punto de pedido se define como el nivel de existencias que determina el momento de generar el pedido de reaprovisionamiento. Es la existencia disponible para satisfacer la demanda durante el plazo de provisión. El riesgo de faltante es la probabilidad de que la demanda durante el plazo de provisión supere el punto de pedido. El modelo se basa en las siguientes hipótesis, que reemplazan a la primera, segunda y octava del modelo básico; manteniéndose las demás. 1. El tamaño Q del lote se fija con algún criterio (ver el punto 3.2.2). 2. La demanda durante el plazo de provisión es una variable aleatoria X con distribución conocida y parámetros µ X , σ X2 . 3. El plazo de provisión L es una variable aleatoria con media y varianza conocidas. 4. Sólo se pueden producir faltantes durante el plazo de provisión. 5. El riesgo de faltante se fija como objetivo de servicio al cliente. Notación X = f(x) = µX = σX = X = SX = L =

46

Demanda durante el plazo de provisión [u]. Función de densidad de probabilidad de X. Valor esperado de X. Desviación estándar de X. Valor medio muestral de X. Desviación estándar muestral de X. Plazo de provisión, en períodos de pronóstico.


µL = Valor esperado de L. σL = Desviación estándar de L. L SL Y F

= = = = σF = SF = D = C = i = S = Q = z = R = B = RF =

Plazo de provisión medio muestral, en períodos de pronóstico. Desviación estándar muestral del plazo de provisión, en períodos de pronóstico. Demanda por periodo de pronóstico [u]. µY = Demanda media pronosticada [unidades por período de pronósticos]. σY = Desviación estándar de la demanda [unidades por período de pronósticos]. Desviación estándar muestral de la demanda. Demanda media anual [u/año]. Costo variable unitario de compra o producción [$/u]. Tasa anual de costo de mantenimiento de las existencias [$/$.año] Costo fijo de la orden de pedido o producción (incluye preparación de los equipos)[$]. Tamaño del lote. Cantidad a pedir en cada reaprovisionamiento [u]. Factor de seguridad. Punto de pedido [u]. Stock de seguridad [u]. Riesgo de faltante.

Observación. Se debe destacar la diferencia en las unidades para el plazo L con respecto a los modelos determinísticos. En aquellos fue expresado en años, mientras que ahora lo expresaremos en períodos de pronósticos. No haremos ninguna diferencia en la notación. 3.2.1 Cálculo del stock de seguridad y del punto de pedido

f(x)

Consideremos la Figura 3-3 que representa un ciclo de reaprovisionamiento genérico. Supongamos por el momento que el plazo de entrega L es constante, luego veremos el caso variable. Supongamos que fijamos el punto de pedido igual al valor esperado de la demanda durante el plazo de entrega. En la figura se han representado tres casos de q(t) demandas que llegan al punto de pedido en el mismo momento, y en los que la demanda durante el plazo de provisión es menor, igual y mayor que el valor esperado. También se muestra R = µX la gráfica, superpuesta, de la función de densidad de probabilidad de X. Es evidente que si la demanda durante el plazo de provisión es igual al valor t esperado, es decir R = µX, las L existencias llegarán a cero en el preciso momento del ingreso del lote, mientras que si la demanda es mayor que µX, se produce faltante. Esta situación puede ocurrir con una probabilidad muy Figura 3-3 grande (0,5 suponiendo f(x) simétrica), lo que constituye evidentemente un riesgo de faltante que es inaceptable. Por lo tanto se debe establecer un stock de seguridad B y fijar el punto de pedido R = µX + B, como indica la Figura 3-4. El riesgo de faltante es, por definición: µX

x

P ( X > R ) = P ( X > µ X + B ) = RF


(3-5)

47

q(t)

f(x)

R = µX + B

Entonces, fijado el riesgo de faltante RF y conocida la distribución de X y sus parámetros, se puede determinar el valor del punto de pedido que satisfaga la (3-5), es decir (Figura 3-5):

R = µX + B

(3-6)

f(x)

µX

B

RF

L

RF

t

x

µX

R = µX + B

x

Figura 3-5

Figura 3-4 El stock de seguridad B se obtiene después como

B = R − µX

(3-7)

Caso en el que la variable X tiene distribución Normal En algunos casos, como veremos más adelante, la distribución de X se puede aproximar por la distribución Normal. En este caso, pasando a la ϕ(ζ) variable estandarizada resulta (Figura 3-6):

 X − µX B P( X > µ X + B) = P > σX  σX = P(Z > z ) = RF

RF

0

z = B /σX

ζ

  = 

(3-8)

donde z = B σ X .

Figura 3-6

Luego, fijado RF, se determina z con la distribución estandarizada19 y se obtiene

B = zσ X

(3-9)

donde z es el factor de seguridad. Finalmente el punto de pedido está dado por

R = µ X + zσ X

(3-10)

En todas las expresiones anteriores hemos supuesto conocidos los parámetros poblacionales de X. Si se dispone de datos muestrales de la variable X los parámetros se pueden aproximar

µX ≈ X

,

σ X ≈ SX

(3-11)

Luego veremos la estimación de la distribución de X y sus parámetros. 19

Un extracto de la tabla de la distribución Normal, preparada para calcular P(Z > z), se encuentra en la “Tabla de probabilidades de faltantes y unidades faltantes” en el Anexo.

48


3.2.2 Determinación del lote a pedir El valor esperado de la existencia media para este modelo está dado evidentemente por (Figura 3-7): q(t)

E [Q ] = Q

R B L

L

t

Figura 3-7

Q +B 2

(3-12)

Cabe observar que el stock de seguridad B no depende de Q, sino del riesgo de faltante RF y del valor esperado de X (ecuaciones (3-5), (3-6) y (3-7)). Por lo tanto, conocido µX y fijado el valor de RF, el stock de seguridad es una constante. El valor esperado del costo total de la gestión resulta entonces D Q  E[CT (Q )] = C × D + S + C i  + B  (3-13) Q 2 

Derivando la (3-13) con respecto a Q, igualando a cero y resolviendo se obtiene Q* =

2D S Ci

(3-14)

Es decir que el lote óptimo del modelo básico es el que minimiza el valor esperado del costo total, y por lo tanto es el que conviene adoptar para este modelo. El tamaño del lote no depende del stock de seguridad sino sólo de la demanda media. El valor esperado del costo total unitario es

E[CTU (Q )] = C +

S C Q  + i + B Q D 2 

(3-15)

Cabe destacar que el costo dado por (3-13) y (3-15) está condicionado a un riesgo de faltante prefijado.

Operación En resumen el modelo opera de la siguiente forma: 1. Determinar la distribución de X y sus parámetros. 2. Fijar RF y determinar el punto de pedido R y el stock de seguridad B con la distribución de X. 3. Las existencias se revisan permanentemente. Si en el momento de la revisión las existencias son inferiores a R se pide Q*.

Observación. Si en el momento de la revisión hay pedidos pendientes, qp, cuyo ingreso se producirá durante el plazo de provisión, se los debe tomar en cuenta como existencias. La regla de decisión es entonces:

Si q(t ) + q p < R pedir Q*

(3-16)

3.2.3 Determinación de la demanda durante el plazo de provisión Si se dispone de registros de la demanda durante el plazo de provisión, la distribución de X se puede estimar a partir de la distribución de frecuencias de la misma. Sin embargo en la


49

práctica es raro contar con esta información. La demanda se registra en un determinado tipo de período, lo mismo que el pronóstico, y éstos en general no coinciden con el plazo de entrega. Por ejemplo, la empresa puede mantener registros de la demanda diaria o semanal y realizar pronósticos semanales, mientras que el proveedor del producto puede tener un plazo de 10 días corridos para las entregas. Por lo tanto la demanda durante el plazo de provisión se debe estimar a partir del pronóstico de la demanda. Se pueden presentar tres casos, que analizaremos a continuación: a) demanda variable y plazo de entrega constante; b) plazo variable y demanda constante; c) ambos variables. a) Demanda variable y plazo de provisión constante Este caso es el que se consideró en la Figura 3-3. Supondremos que el período de pronósticos es menor o igual que el plazo de provisión. Entonces X es la suma de L demandas Yi, supuestas todas con igual distribución y parámetros µY y σY2 conocidos. Si además se puede admitir que son independientes resulta

µ X = L µY

,

σ X2 = Lσ Y2

(3-17)

(la hipótesis de independencia es sólo necesaria para la segunda relación).20 Si las demandas Yi son independientes y L es suficientemente grande, la suma X tiene distribución aproximadamente Normal, por el Teorema Central del Límite (TCL). Si bien la hipótesis de independencia en general no se cumple, en muchos casos la distribución Normal es una buena aproximación de la distribución de X cuando L es grande. Si L es pequeño esta aproximación no es válida pero, todavía suponiendo la independencia de las Y, se podría obtener la fdp de X por el método llamado de convolución.21 En el caso discreto y finito también se podrían calcular las probabilidades para cada uno de los valores posibles de X obteniendo su distribución (un ejemplo de este cálculo se verá al tratar el caso de demanda y plazo de provisión variables). En general, cuando Y tiene una distribución cualquiera, estos cálculos son muy engorrosos. Sin embargo, cuando se analiza la demanda por período de pronósticos es probable que se pueda ajustar alguna distribución teórica conocida. En efecto, la experiencia demuestra que las distribuciones de probabilidad más frecuentemente encontradas en la práctica son la Normal, en sistemas de producción; la Exponencial, en distribución mayorista y venta minorista; y Poisson, en ventas minoristas, almacenes de repuestos, artículos de muy baja demanda o demanda errática, etc. La distribución a utilizar se debe inferir a partir de datos muestrales y verificar mediante los tests de bondad de ajuste correspondientes. En estos casos, si se puede aceptar la hipótesis de independencia de las demandas por período, es posible aplicar las propiedades reproductivas de las distribuciones. En efecto, sabemos que: 1) La suma de L variables Yi, independientes y con idéntica distribución (iid) N ( µY ,σ Y2 ) , es una variable X con distribución N ( µ X ,σ X2 ) , donde los parámetros están dados por (3-17). 2) Si las variables Yi son iid Exponencial con parámetro α, la variable suma X tiene 1 distribución Erlang con parámetros α y L. El parámetro α está dado por α = y resulta

µY

20

Ver la Nota 2 al final del Capítulo. Cfr., por ejemplo, Paul L. Meyer, Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas, USA: Fondo Educativo Interamericano, 1973, pp. 265-266. 21

50


µX =

L

α

= LµY

σ X2 =

,

L

α

2

= LµY2 = Lσ Y2

(3-18)

puesto que para la Exponencial: σ Y2 = µY2 . 3) Si las variables Yi son iid Poisson con parámetro λ, la variable suma X tiene distribución Poisson con parámetro Lλ. El parámetro λ está dado por λ = µY y resulta

µ X = Lλ = LµY

σ X2 = Lλ = LµY = Lσ Y2

,

(3-19)

puesto que para Poisson: σ Y2 = µY . La distribución de las Yi será estimada con la distribución de frecuencias de una muestra de la demanda histórica, y los parámetros estimados por:

µY ≈ Y = F

,

σ Y2 ≈ SY2 = S F2

(3-20)

σ X2 ≈ LSY2 = LSF2

(3-21)

resultando en todos los casos

µ X ≈ X = LF

,

Ejemplo 3-1 Con los registros de la demanda diaria de una pieza durante los últimos tres meses se determinó la distribución de frecuencias de la tabla siguiente. El costo unitario es 50 $/u, el costo de la orden de compra es de $ 100 y la tasa de mantenimiento del stock es del 25% anual. El proveedor satisface cada pedido en una sola entrega y tarda 5 días hábiles. Se quiere gestionar las compras con un riesgo de faltante del 3%. Se trabaja 25 días hábiles por mes. Demanda / día hábil [u] 0 a 100 101 a 200 201 a 300 301 a 400 401 a 500 Más de 500

Frecuencia 13 40 15 5 2 0

Frec. Relativa 0,17 0,53 0,20 0,07 0,03 0,00

Se desea determinar: a) El stock de seguridad. b) El punto de pedido. c) El lote de compra. d) El valor esperado del costo unitario de la gestión. Solución. Los parámetros de la demanda diaria son los siguientes:

His togram a 0 ,6 0

yj 50 150 250 350 450

fj 0,173 0,533 0,200 0,067 0,027

f j yj 8,667 80,000 50,000 23,333 12,000 174,000

n fj yj2 32500 900000 937500 612500 405000 2887500

0 ,50

Frecuencia

Clase Frecuencia 0 - 100 13 101 - 200 40 201 - 300 15 301 - 400 5 401 - 500 2 n= 75

0 ,4 0 0 ,3 0 0 ,2 0 0 ,10 0 ,0 0 50

150

2 50

3 50

4 50

De m anda diaria


51

K

Y = ∑ f j y j = 174

 1  K  ∑ n f j y 2j − nY 2  = 91,30   n − 1  j =1 

SY =

,

j =1

Se comprueba que si se ajusta una distribución Normal con los parámetros muestrales y se realiza el test de bondad de ajuste de Chi-cuadrado, no se puede rechazar la hipótesis de normalidad con un nivel de significación del 1%. (Ejercicio). Entonces, aceptando que la demanda diaria tiene distribución Normal y suponiendo que esas demandas sean independientes, la demanda durante el plazo de provisión tendrá distribución Normal con parámetros estimados por: X = L × Y = 5 × 174 = 870

S X = L × SY = 5 × 91,30 = 204,15

,

a) Para un riesgo de faltante del 3% resulta el factor de seguridad z = 1,88. Luego el stock de seguridad es: B = z × SX = 1,88 × 204,15 = 384 u. b) El punto de pedido es: R = X + B = 870 + 384 = 1254 u. c) La demanda media anual es D = 25 × 12 × 174 = 52.200 u. 2DS 2 × 52200 [u/año] × 100 [$] El lote resulta: Q* = = = 914 u Ci 50 [$/u ] × 0,25 [$/$.año] Observar que, en promedio, resulta más de un pedido por semana. S C Q 100 50   914  d) CTU (Q ) = C + + i  + B  = 50 + + × 0,25 ×  + 384  = 50,31 $/u Q D 2 914 52200   2 

■ b) Plazo de provisión variable y demanda constante q(t)

f(x)

R = µX + B

µX

B

t RF x

L1 Lm L2

Este caso es el más simple (Figura 3-8). En efecto, supongamos que conocemos la distribución de L y que la demanda por período de pronósticos es una constante Y = d. Si l es un valor de L, entonces el correspondiente valor de X es x = d × l, con probabilidad px = P(X = x) = P(L = l). Luego, conocida la distribución de L queda determinada la distribución de X. Los parámetros de X están dados entonces por:

µ X = d µL ≈ X = d L Figura 3-8

σ X2 = d 2σ L2 ≈ S X2 = d 2 S L2

(3-22)

Desde luego que son aplicables a la variable L todas las aproximaciones por distribuciones teóricas comentadas en el caso anterior.

52


c) Demanda y plazo de provisión variables Probablemente la mayoría de los reaprovisionamientos tengan estas características. En este caso para obtener la distribución de X se debe determinar la distribución de probabilidades conjunta de la demanda Y y del plazo de entrega L. Supondremos aquí que Y y L son independientes. La determinación de la distribución conjunta es un cálculo muy engorroso, y por lo tanto de muy difícil aplicación práctica. Veamos un ejemplo muy simple para comprobarlo. Ejemplo 3-2 Supongamos que, a través de datos históricos, se han determinado las distribuciones de frecuencias del plazo de provisión (en días hábiles) y de la demanda diaria que se muestran en las tablas siguientes, y que ambas son independientes. l 1 2 3 4 5 ≥6

PLAZO Frecuencia 0,00 0,20 0,50 0,25 0,05 0,00

y 0 1 2 ≥3

DEMANDA Frecuencia 0,15 0,60 0,25 0,00

La variable X, demanda durante el plazo de provisión, tiene evidentemente rango [0, 10]. Para determinar su distribución debemos calcular las probabilidades para cada uno de sus valores. Comenzando con el valor 10 tenemos: X = 10 se puede dar de una sola manera: con demanda de 2 u. durante un plazo de 5 días. Luego: P(X = 10) = (0,25)5 × 0,05 = 0,00004883. X = 9 puede ocurrir sólo en un plazo de 5 días, con 4 días con demanda de 2 u. y un día con demanda de 1 u. Pero esta situación se puede presentar de 5 maneras distintas: (22221), (22212), (22122), (21222) y (12222). Son las permutaciones con repetición de 5 elementos en grupos de 4 y de 1 elementos, es decir 5! / (4! × 1!). Luego: P(X = 9) = [(0,25)4 × 0,60 × 0,05] × 5 = 0,00058594. X = 8 puede suceder en un plazo de 5 días, con 4 días de demanda 2 y 1 día de demanda 0, lo que puede ocurrir de 5! /(4! × 1!) = 5 maneras distintas; o bien con 3 días de demanda 2 y 2 días de demanda 1, lo que se puede presentar de 5! / (3! × 2!) = 10 formas diferentes; o bien en un plazo de 4 días, con 4 días de demanda 2, lo que puede presentarse de una única forma. Luego: P(X = 8) = [(0,25)4 × 0,15 × 0,05] × 5 + [(0,25)3 × (0,60)2 × 0,05] × 10 + (0,25)4 × 0,25 = 0,00393555. Análogamente se calculan las demás, obteniéndose: x 0 1 2 3 4 5

P(X = x) 0,00631786 0,05835094 0,19007039 0,28096125 0,24457484 0,14037863

P(X ≥ x) 1,00000000 0,99368214 0,93533120 0,74526081 0,46429956 0,21972472


x 6 7 8 9 10

P(X = x) 0,05724453 0,01753125 0,00393555 0,00058594 0,00004883

P(X ≥ x) 0,07934609 0,02210156 0,00457031 0,00063477 0,00004883

53

Por ejemplo, fijado un RF se entra en la tabla con el valor P(X ≥ x) más próximo (por defecto) y se obtiene el valor de x = R. Para RF = 3% obtendríamos R = 7. Observemos, finalmente, que resulta X = 3,465 , SX = 1,410. ■ Ante la dificultad práctica para determinar la distribución de X se recurre generalmente a aproximarla por alguna distribución teórica conocida. Por ejemplo, del análisis de datos muestrales de la demanda por período de pronósticos y de los plazos de entrega, y teniendo en cuenta las distribuciones que aparecen más frecuentemente en los casos reales y sus propiedades reproductivas o el TCL, es muy probable que se pueda llegar a suponer una distribución razonable para X. Si este es el caso, se deben estimar los parámetros. Bajo ciertas hipótesis la estimación de los parámetros es relativamente sencilla. En efecto, si se puede considerar que las demandas por período de pronósticos Yi son variables aleatorias independientes y con idéntica distribución, con parámetros µY y σY2 conocidos, y el plazo de provisión L es una variable aleatoria discreta con parámetros µL y σL2 también conocidos, entonces los parámetros de X están dados por 22

µ X = µ L µY ≈ X = L F

,

σ X2 = µ Lσ Y2 + µY2σ L2 ≈ S X2 = L S F2 + F 2 S L2

(3-23)

Evidentemente las (3-19) y (3-21) son los casos particulares de éstas para L constante. Entonces si, por ejemplo, se puede aceptar que X se distribuye aproximadamente normal el problema está resuelto. Si se cumple que SX ≈ X y es razonable pensar que la distribución pueda ser exponencial, se la puede utilizar como distribución de X. Si se encuentra que S x2 ≈ X , la distribución de Poisson puede ser útil para aproximar la distribución de X. Ejemplo 3-3 Retomemos el Ejemplo 3-2. De las distribuciones de frecuencias de la demanda y del plazo de provisión se obtiene inmediatamente: L = 3,15; SL = 0,792; Y = F = 1,10 y SF = 0,624, resultando: X = 3,465 y SX = 1,410. ¿Qué distribución podría aproximarse? (Ejercicio). ■ Finalmente cabe agregar que una forma alternativa para estimar directamente el punto de pedido, que puede ser muy útil en la práctica, es la aplicación de la simulación de eventos discretos utilizando las distribuciones de frecuencias de las variables.23

3.3 MODELO DE REVISIÓN PERIÓDICA No hay dudas de las ventajas de la revisión permanente en cuanto al control sobre las existencias. En ese sentido el modelo anterior es excelente. Pero también conocemos las desventajas: en la revisión permanente se generan órdenes continuamente y esto no es práctico cuando, por ejemplo, familias completas de artículos son suministradas por un mismo proveedor. Cuando todos los productos de un mismo proveedor se gestionan en conjunto en 22 23

Ver la Nota 3 al final del Capítulo. Los métodos de simulación no serán tratados aquí.

54


forma periódica se reducen costos logísticos como los de gestión y de transporte y se facilita el control de las existencias. El modelo de revisión periódica se basa en la fijación de un período T. Al término de cada período se controlan las exisQ Q tencias y se pide un lote cuyo tamaño es Q variable y que va a B ingresar con un plazo de entrega L. La Figura 3-9 representa t T T T T períodos de reabasteL L L L cimiento con deT+L manda y plazo de entrega aleatorios. El Figura 3-9 período de revisión es fijado a priori como una decisión de política de gestión. Una primera aproximación para la fijación del período puede ser la que se obtiene con el modelo determinístico para la gestión conjunta de artículos, utilizando los valores medios de la demanda anual para cada artículo. q(t)

La Figura 3-10 representa la situación ideal que se obtendría con los valores esperados de las variables. Como las existencias se revisan al término de cada período, es posible que en el momento de hacer el pedido se encuentren agotadas. Sin embargo esta situación es muy poco probable puesto que siempre se ejerce algún tipo de control precisamente para evitarla. Caso contrario se estaría en presencia de una mala gestión. Por lo q(t) tanto, aunque la revisión continua no es parte de este modelo, es necesario un control permanente para detectar posibles faltantes antes del momento de la revisión y poder tomar las decisiones correctivas Qm apropiadas. qL Vamos a suponer entonces que en el momento de la revisión siempre hay existencias qL > 0. La L L existencia que hay en el momento de la revisión, más t T el lote que se pide en ese momento y que va ingresar en el plazo L, debe cubrir la demanda hasta el ingreso Figura 3-10 siguiente, es decir la demanda en un período T + L (Figura 3-10). Resulta así que si hay faltante, éste sólo puede ocurrir durante el tiempo T + L. En consecuencia la demanda durante el período de revisión más el plazo de provisión (T + L), juega un rol esencial en la determinación del stock de seguridad. B

El modelo se basa entonces en las siguientes hipótesis, que reemplazan a la primera, segunda, cuarta y octava del modelo básico; manteniéndose las demás. 1. El período de revisión T se fija con algún criterio.


55

2. La demanda durante el período T + L es una variable aleatoria W con distribución conocida y parámetros µW , σ W2 . 3. El plazo de provisión L es una variable aleatoria con media y varianza conocidas. 4. Sólo se pueden producir faltantes durante el período T + L. 5. El riesgo de faltante se fija como objetivo de servicio al cliente. Notación A la notación definida en el punto anterior se agrega ahora: T = W = f(w) = µW = σW = W = SW = qL =

Período de revisión, en períodos de pronóstico. Demanda durante el tiempo T + L (período + plazo de provisión). Función de densidad de probabilidad de W. Valor esperado de W. Desviación estándar W. Valor medio muestral de W. Desviación estándar muestral de W. Existencia en el momento de la revisión.

Observación. Se debe destacar aquí también que el período T se expresa en períodos de pronósticos (días, semanas, etc.) y no en años como en los modelos determinísticos. 3.3.1 Cálculo del stock de seguridad y del lote a pedir Consideremos la Figura 3-10. Supongamos por el momento que el plazo de entrega L es constante, luego veremos el caso variable. De acuerdo a lo establecido antes, se producirá faltante si W > Q + qL, luego por definición de riesgo de faltante se tiene que

P(W > Q + qL ) = RF

(3-24)

Supongamos que fijamos Q + qL = µW. Obviamente el riesgo de faltante resultaría inaceptable (0,5 suponiendo f(w) simétrica). Por lo tanto se debe establecer un stock de seguridad y fijar Q + qL = µW + B, tal que

P(W > µW + B) = RF

(3-25)

De aquí, fijado un riesgo de faltante RF y conocida la distribución de W, se calcula el valor wr = µW + B (3-26) de donde se obtiene el stock de seguridad como

B = wr − µW

(3-27)

Q = µW + B − qL

(3-28)

El lote a pedir resulta finalmente

Caso en el que la variable W tiene distribución Normal En algunos casos, como veremos más adelante, la distribución de W se puede aproximar por la distribución Normal. En este caso, pasando en (3-25) a la variable estandarizada resulta (Figura 3-11):

56


 W − µW B P(W > µW + B) = P > σW  σW

  = P( Z > z ) = RF 

(3-29)

donde z = B σ W . Luego, fijado RF, se determina z con la distribución estandarizada y se obtiene ϕ(ζ)

B = zσ W

(3-30)

donde z es el factor de seguridad.

RF

Finalmente el lote a pedir está dado por 0

z = B /σW

ζ

Q = µW + B − qL = µW + zσ W − qL

(3-31)

En todas las expresiones anteriores hemos supuesto conocidos los parámetros poblacionales de W. Si se dispone de datos muestrales de la variable W los parámetros se pueden aproximar por Figura 3-11

µW ≈ W

,

σ W ≈ SW

(3-32)

Luego veremos la estimación de la distribución de W y sus parámetros. Operación En resumen el modelo opera de la siguiente forma: 1. Determinar la distribución de W y sus parámetros. 2. Fijar RF y determinar el stock de seguridad B con la distribución de W. 3. Las existencias se revisan cada período T. Si en el momento de la revisión hay qL unidades en existencia, se pide un lote de tamaño Q = µW + B – qL. Observación. Si en el momento de la revisión hay pedidos pendientes, qp, cuyo ingreso se producirá antes de la próxima revisión, se los debe tomar en cuenta como existencias y la cantidad a pedir es:

Q = µW + B − qL − q p ≈ W + B − qL − q p

(3-33)

Control Ya hemos advertido que este modelo requiere un monitoreo continuo de las existencias para evitar sorpresas desagradables. En este sentido se puede utilizar el concepto de punto de pedido –que no forma parte del modelo– como elemento de control. En efecto, en promedio en el momento de la revisión las existencias deberían tener un valor próximo al punto de pedido. Por lo tanto, si en el momento de la revisión las existencias están reiteradamente por encima o por debajo del punto de pedido, significa que la demanda se ha modificado y deben revisarse los parámetros del modelo. Para calcular el punto de pedido para control con (3-6) se debe estimar µX, la media de X, demanda durante el plazo de provisión L, y utilizar el stock de seguridad calculado con el modelo periódico.


57

3.3.2 Valor esperado del costo de la gestión Es interesante calcular el valor esperado del costo de gestión como elemento de comparación con otros modelos. El valor esperado de las existencias que resultan de aplicar el modelo periódico está dado por (Figura 3-10)

Q=

Qm +B 2

(3-34)

donde Qm es el valor esperado del lote a pedir. El lote medio es la cantidad necesaria para cubrir el valor esperado de la demanda en un período de revisión, es decir: Qm = T × F. Luego resulta

T×F +B 2

(3-35)

D D = Qm T × F

(3-36)

Q= El número de pedidos en el año es

N=

y el valor esperado del costo total anual, en función del período, resulta E[CT (T )] = C × D +

D T ×F  S +Ci + B T ×F  2 

(3-37)

El valor esperado del costo total unitario es E[CTU (T )] = C +

S C T × F  + i + B T×F D  2 

(3-38)

Cabe acotar aquí también que este costo está condicionado a los valores fijados para el período T y el riesgo de faltante RF.

Observación. Si el período se expresa en años, el lote medio estaría dado por: Qm = T × D. 3.3.3 Determinación de la demanda durante el período T + L Todas las consideraciones hechas con respecto a la variable X son aplicables a la variable W. En los distintos casos que se pueden presentar se debe tener en cuenta que T es constante y el único que puede variar es L. También supondremos que T + L es mayor que el período de pronósticos.

a) Demanda variable y plazo de provisión constante La demanda W es la suma de T + L demandas por período. Dado que en este caso el período T + L es en general bastante grande, si la autocorrelación de la demanda Y no es muy importante como para que se pueda aceptar la independencia de las variables, por el Teorema Central del Límite se puede suponer para W la distribución Normal con parámetros

µW = (T + L) µY

58

,

σ W2 = (T + L)σ Y2

(3-39)


Si T + L no es suficientemente grande como para aplicar este teorema, todavía es probable que se pueda ajustar alguna distribución teórica conocida a la demanda por período de pronósticos (como la Normal, la Exponencial, o Poisson) y entonces, si se puede aceptar la hipótesis de independencia de estas demandas, son aplicables las propiedades reproductivas mencionadas en 3.2.3 a), con parámetros

µW ≈ W = (T + L) F

σ W2 ≈ (T + L) SY2 = (T + L) S F2

,

(3-40)

En todos los casos la distribución de Y será estimada con la distribución de frecuencias de una muestra de la demanda histórica, y los parámetros estimados por

µY ≈ Y = F

,

σ Y2 ≈ SY2 = S F2

(3-41)

Ejemplo 3-4 Consideremos los mismos datos del Ejemplo 3-1 y supongamos que se quiere realizar una gestión periódica con revisión mensual. Se desea determinar: a) El stock de seguridad. b) El lote de compra, suponiendo que en el momento de la revisión hay 2.000 unidades en existencia. c) El valor esperado del costo unitario de la gestión. Solución. Distribución de la demanda diaria: Clase 100 200 300 400 500 Más de 500

Frecuencia 13 40 15 5 2 0 n= 75

yj 50 150 250 350 450 500

fj 0,17 0,53 0,20 0,07 0,03 0,00

Y=

f j . yj 8,67 80,00 50,00 23,33 12,00 0,00 174,00

El período de revisión es T = 25 días y el plazo de provisión L = 5 días. En el Ejemplo 3-1 vimos que la distribución de la demanda diaria se puede aproximar por una Normal con Y = 174 y SY = 91,30. Por lo tanto, aceptando que la posible falta de independencia entre estas variables no invalida la aproximación Normal, se puede aceptar que la distribución de W, demanda durante T + L = 25 + 5 = 30 días, es Normal con: W = 30 × 174 = 5220 y SW = 30 × 91,30 = 500,07

a) De la tabla de la distribución Normal, para RF = 3% se obtiene z = 1,88. El stock de seguridad resulta: B = z SW = 1,88 × 500,07 = 940 u. Cabe destacar que, dado que se realiza un pedido mensual, un riesgo de faltante del 3% significa que se tendría, en promedio, aproximadamente un faltante cada 3 años. b) La cantidad a pedir es: Q = W + B – qL = 5220 + 940 – 2000 = 4160 u. Para control, el punto de pedido a tener en cuenta en este caso es: Rc = X + B = L × F + B = 5 × 174 + 940 = 1810 u.


59

dado que se debe considerar el stock de seguridad del modelo periódico. T×F 25 [día] × 174 [u/día] +B= + 940 [u] = 3115 [u] 2 2 y por lo tanto el valor esperado del costo unitario es:

c) El stock medio resulta: Q =

S C T × F  + i + B = T×F D  2  100 50  25 × 174  = 50 + + × 0,25 ×  + 940  = 50,77 $/u 25 × 174 52200 2  

E[CTU (T )] = C +

■ b) Plazo de provisión variable y demanda constante El período T + L varía con L. Supongamos que conocemos la distribución de L y que la demanda por período de pronósticos es una constante Y = d. Si l es un valor de L, entonces el correspondiente valor de W es w = d × (T + l), con probabilidad pw = P(W = w) = P(L = l). Conocida la distribución de L queda determinada la distribución de W. Los parámetros están dados entonces por

µW = d (T + µL ) ≈ d (T + L )

,

σ W2 = d 2σ L2 ≈ d 2 S L2

(3-42)

Son aplicables todas las aproximaciones por distribuciones teóricas comentadas en el caso anterior.

c) Demanda y plazo de provisión variables Para obtener la distribución de W se debería determinar la distribución de probabilidades conjunta de la demanda Y y del período T + L, que varía sólo con L. Como ya hemos visto, este cálculo es muy complejo y por lo tanto de muy difícil aplicación práctica. Se recurre entonces a aproximar la distribución de W por alguna distribución teórica conocida. Si se puede suponer una distribución razonable para W, y son aceptables las mismas hipótesis sobre las demandas por período de pronósticos Yi y sobre el plazo de provisión L que en el modelo anterior, entonces los parámetros se pueden estimar también de la misma forma. En efecto, dado que σ T2+ L = σ L2 , las expresiones (3-23) para este caso se transforman en:

µW = (T + µ L ) µY ≈ W = (T + L ) F σ W2 = (T + µ L )σ Y2 + µY2σ L2 ≈ SW2 = (T + L ) S F2 + F 2 S L2

(3-43)

Finalmente digamos que también se pueden estimar los parámetros del modelo mediante simulación. Esta es una forma alternativa que puede ser muy útil en la práctica.

3.4 MEDIDAS DEL NIVEL DE SERVICIO En los modelos de revisión continua (punto de pedido) y de revisión periódica surgió naturalmente la probabilidad de faltante por ciclo de reaprovisionamiento, que llamamos riesgo de faltante, como objetivo del nivel de servicio. Cuanto menor sea RF mayor es el stock de seguridad y mejor el servicio al cliente.

60


Es natural entonces pensar en utilizar el riesgo de faltante como medida o indicador del nivel de servicio al cliente. También se utiliza como indicador el complemento del riesgo de faltante, es decir la probabilidad de que no haya faltante, llamado nivel de servicio en el plazo de provisión. 3.4.1 Nivel de servicio en el plazo de provisión. (LSL: Lead time Service Level) Es la probabilidad de que no haya faltante en un ciclo de reabastecimientos. Por lo tanto: LSL =1 − RF

(3-44)

Como veremos a continuación, hay otros indicadores que son superiores al nivel de servicio en el plazo de provisión y por lo tanto al riesgo de faltante. Sin embargo se debe destacar que, fijados estos otros indicadores, para el cálculo de los stocks de seguridad siempre deberemos determinar el riesgo de faltante equivalente. Mantendremos en lo que sigue la notación definida en los puntos anteriores, pero el plazo de provisión L y el período de revisión T deberán expresarse en la unidad de tiempo que corresponda en cada caso.

3.4.2 Número medio de faltantes por año. (ASL: Annual Service Level). Este indicador se refiere al valor esperado de la cantidad anual de reabastecimientos con faltante. Para el modelo de revisión continua, dado que D/Q es el número esperado de ciclos de reaprovisionamiento por año, resulta ASL =

D D (1 − LSL) = RF Q Q

(3-45)

En el modelo de revisión periódica, expresando el período en años, el número de ciclos en el año es 1/T y resulta

ASL =

(1 − LSL) RF = T T

(3-46)

Si T está dado en períodos de pronósticos se lo debe transformar a años. Fijado un valor de ASL se puede determinar el LSL equivalente: LSL = 1 − ASL

Q o bien LSL = 1 − ASL × T D

(3-47)

Ejemplo 3-5 Supongamos el modelo de revisión continua. Si D = 5000 y Q = 100, es decir en promedio se reabastece 50 veces en el año, y se fija como objetivo un ASL = 1, lo que significa que en promedio habrá un ciclo de reabastecimiento con faltante por año. Resulta LSL = 0,98 (98%) y el riesgo de faltante es RF = 0,02 (2%). El ejemplo anterior significa que en promedio habrá un período de reabastecimiento con faltante por año, lo que ocurrirá con una probabilidad del 2%. Sin embargo el número real de períodos con faltante por año podrá ser 0, 1, 2, 3,… Entonces, si N es el número de períodos con faltante en el año, usando probabilidades binomiales y teniendo en cuenta que hay 50 reabastecimientos por año, resulta:


61

P(N = 0) = 0,364 P(N = 1) = 0,372 P(N = 2) = 0,186 P(N = 3) = 0,061 P(N = 4) = 0,015 … Así, por ejemplo, la probabilidad de tener 2 o más períodos con faltantes en el año es: 1 – (0,364 + 0,372) = 0,264. ■ La desventaja del ASL es que aún para un mismo LSL puede variar grandemente con el número de reabastecimientos por año: mientras más veces se pida un ítem en el año más grande resulta ASL. Esto es lógico teniendo en cuenta que cuanto más reaprovisionamientos haya en el año, más expuesto a faltante estará el ítem (faltante puede haber solamente en cada ciclo de reposición). Tanto ASL como LSL miden el número esperado de ciclos con faltantes, no la cantidad de unidades faltantes. Ambos son buenos si todos los ítems tienen la misma cantidad de reaprovisionamientos por año y se puede suponer que el costo de faltante (desconocido) es independiente de la cantidad de unidades faltantes. Sin embargo, las consecuencias de los faltantes están relacionadas usualmente con la cantidad de unidades faltantes más que con las veces que hay faltantes. Por esta razón LSL y ASL son indicadores no muy buenos. 3.4.3 Proporción de entrega por ítem. (IPF: Item Percent Fill rate). Este indicador mide la proporción de la cantidad pedida de un ítem que es entregada directamente desde las existencias: IPF =

Cantidad entregada directamente desde las existencias Demanda total anual

(3-48)

Por ejemplo, si un ítem tuvo una demanda anual D = 10000, y se entregaron 9800 unidades directamente desde el stock, resulta un IPF = 0,98 (98%). Este indicador es superior a los anteriores porque es menos abstracto. Permite calcular, como veremos, el stock de seguridad para asegurar una determinada proporción de entrega directa.

3.5 CÁLCULO DEL STOCK DE SEGURIDAD USANDO NIVELES DE SERVICIO 3.5.1 Cálculo del stock de seguridad usando LSL y ASL Fijados LSL y ASL se determina RF y, con la distribución de X o de W, se calcula B en la forma ya vista en los modelos. Ejemplo 3-6 Supongamos el modelo de revisión continua con los siguientes datos: L = 12 días hábiles (constante).

62


SF = 100 u/semana (entonces el período de pronóstico es la semana, 5 días hábiles). Se puede suponer que la distribución de la demanda semanal es normal e independiente. a) Se quiere trabajar con un LSL = 95% (es decir RF = 5%), calcular el stock de seguridad. b) Se fija como objetivo un ASL = 1 y se ha establecido que el ítem se repone en promedio 24 veces en el año. Calcular el stock de seguridad. Solución. a) De la tabla de la distribución Normal, con RF = 0,05 obtenemos: z = 1,65. Luego 12 B = z L S F = 1,65 × × 100 = 256 u. 5 Q 1 = 1− = 0,9583 , es decir RF = 0,0417, con el que D 24 se obtiene de la tabla de la distribución Normal z = 1,73. Luego el stock de seguridad resulta 12 B = z L S F = 1,73 × ×100 = 268 u. 5 ■

b) El LSL resultante es LSL = 1 − ASL

Evidentemente, para un mismo ASL, cuantas más veces se reponga un ítem en el año, más grande resulta el LSL y por lo tanto también resultan más grandes z y el stock de seguridad. En efecto, si n es la cantidad de veces que se reaprovisiona un ítem en el año, para un LSL dado de (3-47) resulta ASL LSL = 1 − (3-49) n que tiende a 1 cuando n → ∞. Esto es consistente con el hecho que si un ítem se repone muchas veces, está expuesto a faltante también muchas veces y su stock de seguridad debe ser mayor. En general es mejor usar el ASL para determinar el LSL correspondiente, que fijar el mismo RF para todos los ítems. Sin embargo, cabe recordar que tanto el LSL como el ASL son medidas inferiores al IPF.

3.5.2 Cálculo del stock de seguridad usando el IPF a) Modelo de revisión continua Si R es el punto de pedido, se tendrá faltante cuando X > R. Sea entonces U la variable aleatoria cantidad de unidades faltantes en un ciclo de reaprovisionamiento, es decir

= X − R si U = G( X ) =  si = 0

X >R X ≤R

(3-50)

que es una función de X. Luego, el número esperado de unidades faltantes (NEUF) en un ciclo, E(U) = µU, estará dado por ∞

∞

∞

∞

R

R

R

R

µU = ∫ ( x − R ) f ( x)dx = ∫ xf ( x)dx − R ∫ f ( x)dx = ∫ xf ( x)dx − R P( X > R)


(3-51)

63

Conociendo la distribución de X se pueden tabular los valores de µU en función de R. Entonces, si hay D/Q reaprovisionamientos en el año, el número esperado de unidades faltantes en el año es

µU

D Q

(3-52)

y la proporción de unidades faltantes con respecto a la demanda anual es

µU

(3-53)

Q Finalmente, la proporción de unidades entregadas en el año es IPF = 1 −

µU

(3-54)

Q

de donde

µU = (1 − IPF ) Q

(3-55)

Fijado un valor de IPF y el valor de Q (que es independiente del nivel de servicio) se calcula µU y con él se encuentra R en la tabla. El stock de seguridad se calcula con (3-7). Caso en que X tiene distribución Normal Si X tiene distribución N ( µ X , σ X2 ) entonces, por definición, su fdp es f ( x) =

1 2π σ X

e

1  x −µ X   −  2  σ X 

2

(3-56)

Sea Z = ( X − µ X ) σ X la demanda estandarizada durante el plazo de provisión, y sea ζ un valor genérico de Z, entonces: ς = ( x − µ X ) σ X ⇔ x = µ X + ς σ X . La fdp de Z está dada por 24

1 − ς2 ϕ (ς ) = e 2π

2

(3-57)

Sea ahora z el valor de Z cuando X = R, esto es z = ( R − µ X ) σ X Entonces, haciendo el cambio de variables en (3-51) se obtiene

24

⇔

R = µ X + zσ X .


64


∞

∞

R

z

µU = ∫ ( x − R) f ( x)dx = ∫ [ µ X + ς σ X − ( µ X − zσ X )] σ = X 2π

∫

∞

z

(ς − z )e

 1 =σX   2π

∫

∞

z

ςe

−

−

ς2 2

ς2 2

 1 dς = σ X   2π

∫

∞

z

ςe

−

ς2 2

1 2π σ X

z dς − 2π

∫

∞

z

e

e −

1  µ +ς σ X − µ X  −  X  σX 2 

ς2 2

2

σ X dς =

 dς  = 

(3-58)

 dς − z P ( Z > z )  

La integral del último miembro resulta, teniendo en cuenta (3-57), 1 2π

∫

∞

z

ςe

−

ς2 2

1 dς = − 2π

∫

∞

z

d (e

−

ς2 2

ς2

1 −2 )=− e 2π

∞

z

z2

1 −2 = e = ϕ ( z) 2π

(3-59)

y reemplazando en (3-58)

µU = σ X [ϕ ( z ) − zP( Z > z )] = σ X E ( z )

(3-60)

E ( z ) = ϕ ( z ) − zP ( Z > z )

(3-61)

donde

es el número esperado de unidades faltantes en un ciclo de reaprovisionamiento cuando la demanda durante el plazo de entrega tiene distribución Normal estándar (σX = 1). La función E(z) se conoce con el nombre de función integral de pérdida de la distribución Normal estandarizada,25 su gráfica es de la forma indicada en la Figura 3-12 y está tabulada. Ver la “Tabla de probabilidades de faltantes y de unidades faltantes” en el Anexo. Reemplazando (3-60) en (3-55) se obtiene E(z)

E ( z ) = (1 − IPF ) 0,3989

0

z

Figura 3-12

Q

σX

(3-62)

Fijado un valor de IPF como objetivo, y el valor de Q (que es independiente del nivel de servicio) se calcula E(z) y con él se encuentra z en la tabla. Con el valor de z se determina el stock de seguridad y el punto de pedido utilizando (3-9) y (3-10):

B = zσ X ≈ z S X

,

R = µ X + zσ X ≈ X + z S X

(3-63)

Resumen Cuando X tiene distribución Normal los pasos a seguir son los siguientes. 1. Fijado el IPF requerido se calcula el valor de E(z) con (3-62). 2. Con E(z) se encuentra el correspondiente valor de z (factor de seguridad) en la tabla. 3. El stock de seguridad y el punto de pedido se calculan con (3-63).

25

Cfr. con Robert Schlaifer, Probability and Statistics for Business Decisions, New York: McGraw-Hill, 1959, pp. 706-707.


65

Observación. Para valores de z no negativos la función E(z) toma el valor máximo de 0,3989. Para valores negativos toma valores mayores que 0,3989 y es casi lineal (Figura 3-12). Es decir que si en el cálculo resultara E(z) > 0,3989 se obtendría un valor de z negativo y el stock de seguridad debería restarse; el punto de pedido sería menor que µX. Esto es correcto por cuanto significa que µX de por sí proporciona un nivel de servicio mayor que el especificado. Esta situación se da cuando el valor de Q es muy grande con respecto a σX. Ejemplo 3-7 Supongamos que un producto se reabastece en lotes de 850 unidades y que además: L = 12 días hábiles. SF = 100 unidades/semana (período de pronóstico: 5 días hábiles). Entonces resulta:

SX =

12 ×100 = 155 u. 5

Si se fija como objetivo un IPF = 99% el valor de E(z) se obtiene: Q 850 E ( z ) = (1 − IPF ) = (1 − 0,99) × = 0,0548 SX 155 y de la tabla se obtiene: z = 1,30 (en lugar de interpolar se toma el valor de z inmediato superior, para E(z) = 0,04553). Luego

B = zS X = 1,30 ×155 = 202 u. Así cabe esperar que el 99% de las unidades estén en existencia cuando se las demande.

■ b) Modelo de revisión periódica En este caso se tendrá faltante si W > wr, donde wr se determina con la distribución de W, fijado el valor de RF [ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-27)]. Indicando nuevamente con 26

= W − wr U = G (W ) =  = 0

si W > wr si W ≤ wr

(3-64)

la cantidad de unidades faltantes en un ciclo, el número esperado de éstas será

µU =

∫

∞

wr

∞

∞

∞

wr

wr

wr

( w − wr ) f ( w)dw = ∫ wf ( w)dw − wr ∫ f ( w)dw = ∫ wf ( w)dw − wr P (W > wr )

(3-65)

Esta función se puede tabular para diferentes valores de wr. Entrando en la tabla con el valor de µU se obtiene el valor de wr y con él se puede calcular el stock de seguridad. El valor de µU se calcula como sigue. Si T se expresa en años, hay 1/T ciclos de reaprovisionamientos en el año y el número esperado de unidades faltantes en el año es

26

Para simplificar la notación usaremos aquí el mismo nombre U que en el punto anterior, pero obviamente no es la misma variable.

66


µU T . La proporción de unidades faltantes con respecto a la demanda es µU ( D × T ) , y por lo tanto la proporción de unidades entregadas en el año resulta IPF = 1 − de donde

µU

(3-66)

D ×T

µU = (1 − IPF ) × D × T

(3-67)

Fijado un IPF y el valor de T, se calcula µU y con él se encuentra wr en la tabla. Con el valor de wr se determina el stock de seguridad.

Observación. Dado que [D] = [u/año] y [T] = [año], el producto D × T está en unidades. Luego la unidad de tiempo para D y T puede ser cualquiera con tal que sea la misma. Caso en que W tiene distribución Normal Sea Z =

W − µW

σW

la demanda estandarizada durante el plazo T + L, y sea ς =

w − µW

σW

un

valor cualquiera de Z. La fdp de Z está dada por (3-57). Indicando con z =

wr − µW

σW

y haciendo los reemplazos en la (3-65) se obtiene ∞

µU = σ W  ∫ ς ϕ (ς )dς − z P( Z > z ) 



z

La integral de (3-68) es, igual que antes,

∫

∞

z

(3-68)

ς ϕ (ς )dς = ϕ ( z ) con lo que resulta

µU = σ W [ϕ ( z ) − zP( Z > z )] = σ W E ( z )

(3-69)

donde E(z) es la función integral de pérdida de la distribución Normal estandarizada. Reemplazando en (3-67) se obtiene E ( z ) = (1 − IPF )

D×T

σW

(3-70)

Fijado un valor de IPF como objetivo y el valor de T (que es independiente del nivel de servicio), se calcula E(z) y con él se encuentra z en la tabla. Con el valor de z se determina el stock de seguridad utilizando (3-30), es decir B = zσ W ≈ z SW

(3-71)

Resumen Los pasos a seguir son los siguientes (suponiendo que W tiene distribución Normal). 1. Fijado el IPF requerido se calcula el valor de E(z) con (3-70). 2. Con E(z) se encuentra el correspondiente valor de z (factor de seguridad) en la tabla. 3. El stock de seguridad se calcula con (3-71). 4. El lote a pedir se calcula con (3-31).


67

Cabe la misma observación que antes con respecto a posibles valores negativos de z. 3.5.3 Observaciones 27 a) Sobre los indicadores Si se usa un mismo LSL para un conjunto de artículos, los valores de ASL y de IPF diferirán grandemente de un artículo a otro cuando difieran la cantidad de reabastecimientos por año y los SX. Cuando se usa un mismo ASL para un grupo de artículos todos los ítems tienen el mismo número esperado de faltantes por año. Esto es mejor que fijar un LSL común. Sin embargo en ambos casos se ignora el IPF resultante, que será diferente en todos los casos, de manera que de algunos ítems habrá proporcionalmente demasiada cantidad y de otros demasiado poca. Lo mejor es fijar un IPF como objetivo de servicio y determinar el stock de seguridad correspondiente. No todos los ítems necesitan tener el mismo IPF, de manera que se puede fijar el servicio al cliente que se desee, por artículo, familias de artículos y hasta por clase de clientes. En la práctica el IPF resultante puede ser mayor o menor que el teórico debido a que los errores de los pronósticos no son normales e independientes, y también a que los modelos de pronósticos pueden mejorar o empeorar su estimación de la media en el tiempo. En consecuencia, por seguridad, conviene tomar para los cálculos un IPF mayor que el real pretendido; por ejemplo, si se quiere un 98% tomar 99%. b) Efecto de la precisión de los pronósticos Supongamos que por efecto de un buen sistema de pronósticos se logró reducir la desviación estándar de la demanda, SF, en un 50% (recordar que la desviación estándar de la demanda es la desviación estándar de los errores de pronóstico). Luego, en igualdad de otras condiciones, la desviación estándar de la demanda durante el plazo de provisión, SX, disminuye también el 50% (para el caso de plazo de entrega constante), y por lo tanto el stock de seguridad se reduce a la mitad, puesto que B = z S X = z L SF

(3-72)

c) Efecto de los procesos de mejora continua Los procesos de mejora continua conducen a menores plazos de provisión, lo que reduce la desviación estándar SX y esto a su vez origina stocks de seguridad menores, en igualdad de otras condiciones. El efecto combinado es una reducción del stock medio. Ejemplo 3-8 Consideremos los mismos datos de los ejemplos anteriores (modelo de revisión continua), con IPF = 99%. El stock medio es: Q 850 Q = +B= + 202 = 627 u. 2 2 Supongamos ahora que el plazo de entrega se reduce de 12 a 8 días hábiles (33%). Resulta:

27

Estas observaciones se basan en el modelo de revisión continua. No obstante se extienden fácilmente al modelo periódico.

68


8 × 100 = 126 u. 5 Q 850 E ( z ) = (1 − IPF ) = (1 − 0,99) × = 0,0675 SX 126 y de la tabla se obtiene z = 1,20. Luego SX =

B = zS X = 1,20 ×126 = 151u. 850 Q Q = +B= + 151 = 576 u. 2 2 que significa una reducción del 8,1%. ■ Más importante que reducir el valor medio del plazo de entrega es reducir su variabilidad hasta lograr que sea constante. En efecto, de (3-23) se ve que si σ L2 = 0 se reduce σ X2 . La consecuencia es importante dado que la varianza está multiplicada por µY2 que puede ser un valor muy grande. Cabe destacar, por otra parte, que la mejora continua también reduce los tamaños de los lotes (con reaprovisionamientos más seguidos), lo que significa una reducción adicional de los stocks medios. Sin embargo esto también incrementa los stocks de seguridad. En efecto, de la expresión E ( z ) = (1 − IPF )

Q SX

(3-73)

es fácil ver que para un IPF pretendido y con el SX calculado, si disminuye Q disminuye E(z), y por lo tanto crece z y resulta un stock de seguridad algo más grande que el calculado antes.

3.6 CÁLCULO DEL TAMAÑO DEL LOTE EN EL MODELO DE REVISIÓN CONTINUA FIJANDO UN OBJETIVO DE NIVEL DE SERVICIO En este modelo el tamaño del lote a utilizar entra como dato. Usualmente se adopta el valor del lote del modelo básico determinístico (EOQ). En el punto 3.2.2 hemos visto que este tamaño de lote es el que minimiza el valor esperado del costo total anual, cuando el objetivo de nivel de servicio es un valor del riesgo de faltante o, lo que es lo mismo, un valor del LSL. Veremos ahora cómo se puede determinar el tamaño del lote cuando se utilizan los otros indicadores de nivel de servicio. Nos referiremos sólo al caso en que la variable X tiene distribución Normal.

a) Cálculo del tamaño del lote fijando un valor de ASL Si se fija ASL, para determinar z se necesita calcular el LSL equivalente con LSL = 1 − ASL

Q D

(3-74)

que también depende de Q, es decir que z resulta función de Q.


69

Se puede entonces hacer un proceso iterativo para encontrar el valor de Q que minimiza el valor esperado del costo: 1. Fijar un valor de Q inicial (más bien pequeño). Q 2. Calcular LSL = 1 − ASL . D 3. Determinar z con la distribución de X. D Q  4. Calcular CT (Q) = C D + S + C i  + z S X  . Q 2  5. Almacenar los valores Q y CT(Q). 6. Incrementar Q en ∆Q 7. Repetir desde el punto 2 hasta que el costo CT(Q) comience a crecer. 8. Buscar el menor valor de todos los CT(Q) calculados y determinar el correspondiente valor de Q. Este valor se adopta como el lote económico. Si se quiere refinar el cálculo, una vez obtenido el menor CT(Q), se busca el valor inmediato anterior y se repite el procedimiento a partir de allí con un valor ∆Q′ más pequeño.

b) Cálculo del tamaño del lote fijando un valor de IPF Para determinar z se requiere calcular E(z) con E ( z ) = (1 − IPF )

Q SX

(3-75)

resultando que E(z) también depende de Q, y por lo tanto z resulta función de Q. Se puede entonces hacer un proceso iterativo para encontrar el valor de Q que minimiza el valor esperado del costo: 1. Fijar un valor de Q inicial (más bien pequeño). Q 2. Calcular E ( z ) = (1 − IPF ) . SX 3. Con E(z) determinar z en la tabla de la “Función de integral de pérdida de la distribución Normal estandarizada”. D Q  4. Calcular CT (Q) = C × D + S + C i  + z S X  . Q 2  5. Almacenar los valores Q y CT(Q). 6. Incrementar Q en ∆Q. 7. Repetir desde el punto 2 hasta que el costo CT(Q) comience a crecer. 8. Buscar el menor valor de todos los CT(Q) calculados y determinar el correspondiente valor de Q. Este valor se adopta como el lote económico. Si se quiere refinar el cálculo, una vez obtenido el menor CT(Q), se busca el valor inmediato anterior y se repite el procedimiento a partir de allí con un valor ∆Q′ más pequeño. En ambos casos se debe tener presente que el lote obtenido está condicionado al nivel de servicio fijado.

70


3.7 OTRAS MEDIDAS DE SERVICIO AL CLIENTE Otros indicadores de servicio al cliente, que pueden ser de utilidad para evaluar la calidad de la gestión de las existencias, son los siguientes. Proporción de entrega directa por renglón. (LPF: Line item Percent Fill rate). Proporción de un renglón de pedido que es entregado directamente desde el stock, a través de todos los pedidos. Si cada pedido de los clientes es por varios ítems puede haber faltante total o parcial para un ítem y no para los otros. Por ejemplo, si se recibieron 1000 pedidos en el mes y en promedio cada pedido tiene 10 renglones (10 ítems diferentes), y si en 300 renglones hubo faltantes, entonces LPF = 0,97 (97%). El cliente espera recibir el pedido completo. Puede ser más grave el faltante de un ítem entre 10 de un pedido que el de uno independiente, porque puede necesitarlos juntos, como en el caso de las compras para un proyecto. Es un indicador importante tanto para empresas fabricantes como distribuidoras. Se puede controlar el LPF con el IPF. Proporción de entrega directa de pedidos. (OPF: Order Percent Fill rate). Proporción de pedidos completos (cada uno con varios renglones de ítems), entregados directamente desde el stock. Es similar al anterior para toda la orden de compra. Si toda la orden no es satisfecha completamente ya hay faltante; basta que un solo ítem tenga faltante total o parcial. Es importante cuando los artículos se usan todos juntos (caso de proyectos). Será cada vez más importante en mercados altamente competitivos. Este indicador también se puede controlar con el IPF. Los tres últimos indicadores se refieren a las unidades faltantes y no son excluyentes sino que se complementan. Es recomendable mantener estadísticas de los tres. Proporción de ítems, renglones de ítems o pedidos completos con atrasos. (BOP: Backorder Percent rate). Es un concepto que puede ser aplicado a cualquiera de los tres indicadores anteriores. Estas proporciones (o porcentajes) pueden ser calculadas directamente a partir de IPF, LPF y OPF. Tiempo medio de atraso. (BRT: Backorder Recovery Time). Tiempo medio requerido para satisfacer un pedido con atraso. Ejemplo: Si el ítem A causó un retraso medio de 15 días hábiles en 7 pedidos, tiene un BRT = 15 días. Si el ítem B retrasó 5 pedidos un promedio de 20 días hábiles, tiene un BRT = 20 días. El BRT medio para los dos ítems es: BRT = (7 x 15 + 5 x 20)/12 = 17,1 días hábiles. El BRT es una medida importante porque el tiempo que el cliente espera es importante. Su disconformidad usualmente crece con el tiempo de espera. Los dos últimos indicadores se refieren a la cantidad de ítems con atraso y al tiempo de atraso.


71

3.7.1 Caso de fabricación por pedido En este caso lo importante es entregar los productos en la fecha prometida. Los indicadores anteriores, adaptados a este caso, se refieren a si el producto se entregó en fecha y en la cantidad correcta. Nivel de servicio en el reaprovisionamiento. (LSL: Lead time Service Level). Probabilidad de entregar un pedido en la fecha correcta. Número medio de faltantes por año. (ASL: Annual Service Level). Cantidad media de entregas no a tiempo en el año. Proporción de entrega directa por ítem. (IPF: Item Percent Fill rate). Proporción de la cantidad pedida de un ítem entregada a tiempo cuando el pedido es por múltiples cantidades del mismo ítem. Proporción de primera entrega por renglón. (LPF: Line item Percent Fill rate). Proporción de renglones de pedidos entregados completos y a tiempo. Proporción de primera entrega de pedidos. (OPF: Order Percent Fill rate). Proporción de pedidos (cada uno con varios renglones de ítems), entregados completos y a tiempo. Proporción de ítems, renglones de ítems o pedidos completos con atrasos. (BOP: Backorder Percent rate). Tiempo medio de atraso. (BRT: Backorder Recovery Time). Tiempo medio requerido para satisfacer un pedido con atraso. Todas estas medidas están relacionadas con el cumplimiento de las fechas de entrega. Requieren el registro de las fechas prometidas, originales y revisadas. Los cambios que pudiera realizar el cliente deben ser registrados por separado de las revisiones hechas por el proveedor para asegurar una buena medición del servicio al cliente.

3.8

ARTÍCULOS DE BAJA DEMANDA O DEMANDA IRREGULAR APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Cuando la demanda por período de pronósticos es muy baja (en general menos de 10 unidades) es muy probable que el error de pronóstico no pueda ser aproximado por la distribución Normal y por lo tanto la demanda tampoco. Si además el plazo de provisión es muy corto, aún suponiendo independencia de las demandas, la demanda durante el plazo de entrega no puede ser aproximada por la distribución Normal. Recordemos que la desviación estándar del error estima la desviación estándar de la demanda por período de pronóstico, y ésta es la base para el cálculo del stock de seguridad. A veces la demanda además de ser baja en promedio es muy irregular. En general se considera que una demanda es irregular si el coeficiente de variación es mayor que uno.

72


En estos casos se deben analizar cuidadosamente los datos de la demanda histórica para determinar el modelo más apropiado para describir el comportamiento de la misma. La distribución de Poisson puede ser un modelo apropiado para pronosticar baja y/o irregular demanda cuando la probabilidad de pedir una sola unidad es muy pequeña e independiente de los pedidos previos. Un indicador de que puede ser la distribución apropiada es que la varianza de la demanda sea aproximadamente igual a la media, porque sabemos que en esta distribución se cumple

µY = σ Y2 = λ

(3-76)

En la práctica se acepta que esta condición se satisface si σY no difiere de

µY en más del

10%, es decir si 0,90 µY ≤ σ Y ≤ 1,10 µY . Si esta condición no se verifica se deberá utilizar otra distribución (Exponencial, Gamma, etc.). Desde luego que se debe realizar el test de bondad de ajuste correspondiente. En lo que sigue veremos la aplicación de la distribución de Poisson. Para otras distribuciones el problema se encara de manera análoga. Si la distribución de Poisson es el modelo apropiado para describir la demanda por período de pronósticos, y si la demanda media por período es λ, entonces la probabilidad de que la demanda sea de k unidades es: P(Y = k ) =

e − λ λk k!

, k = 0, 1, 2, L

(3-77)

3.8.1 Modelo de revisión periódica En los artículos de baja demanda es muy frecuente utilizar sistemas de revisión periódica para la reposición. Supongamos entonces que la demanda W durante el período T + L tiene distribución de Poisson con parámetro λ. Fijado un riesgo de faltante RF, la cantidad Q a pedir en cada revisión deberá ser tal que

P(W > Q + qL ) = 1 −

Q + qL

∑ k =0

e − λ λk = RF k!

(3-78)

donde qL es la existencia en el momento de la revisión. Con la distribución de Poisson acumulada se determina

wr = Q + qL

(3-79)

wr = µW + B ≈ W + B

(3-80)

Como debe ser

el stock de seguridad se obtiene como B = Q + q L − µW ≈ Q + q L − W

(3-81)

El lote a pedir finalmente se calcula como Q = µW + B − q L ≈ W + B − q L


(3-82)

73

Ejemplo 3-9 Supongamos una herramienta cuya demanda en almacén es muy baja. A continuación se indica la demanda de los últimos 48 meses y el análisis estadístico de la misma.

DEMANDA

UNIDADES

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 PERÍODOS (MESES)

Clase Frec. Frec. Rel. 0 2 0,042 1 7 0,146 2 11 0,229 3 11 0,229 4 8 0,167 5 5 0,104 6 2 0,042 7 1 0,021 8 1 0,021 y mayor... 0 0,000 48 1,000

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS

Frecuencias

MES DEMANDA Yt t 1 1 2 6 3 2 4 3 5 1 6 4 7 2 8 1 9 3 10 4 11 2 12 7 13 4 14 1 15 3 16 0 17 4 18 3 19 2 20 4 21 2 22 5 23 4 24 6 25 2 26 3 27 5 28 2 29 3 30 1 31 2 32 8 33 3 34 4 35 0 36 3 37 1 38 3 39 2 40 4 41 1 42 3 43 5 44 2 45 5 46 3 47 2 48 5

12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3 4 5 Unidades

6

7

8

Estadísticas de la muestra Media 3,042 Error típico 0,253 Mediana 3 Moda 2 Desviación estándar 1,750 Varianza de la muestra 3,062 Curtosis 0,380 Coeficiente de asimetría 0,630 Rango 8 Mínimo 0 Máximo 8 Suma 146 Cuenta 48

Dado que no hay un patrón definido de tendencia ni estacionalidad para la demanda se la pronostica con el promedio de λ = Y = 3 u/mes y se deberá mantener un stock de seguridad.

74


Como la media es aproximadamente igual a la varianza se puede pensar en aplicar Poisson. (Ejercicio: realizar el test de bondad de ajuste). Supongamos entonces que se pueda aceptar que la demanda mensual sigue una ley de Poisson. Supongamos que la gestión de las existencias de este ítem se realiza mediante revisión periódica mensual con stock de seguridad, y que el plazo de provisión L es despreciable frente al período T, de manera que la demanda W durante el período T + L es directamente la demanda mensual Y. Para λ = 3, fijando un RF = 1% (lo que significa que, en promedio, se tendrá un faltante Q + qL e −3 3k cada 8 años) debe ser P(W > Q + qL ) = 1 − ∑ = 0,01 y de la tabla de Poisson k! k =0 acumulada se obtiene wr = Q + qL = 8. El stock de seguridad resulta B = Q + q L − Y = 8 − 3 = 5 La cantidad a pedir es Q = W + B − q L = 3 + 5 − q L = 8 − q L . Si hubiésemos trabajado con la distribución Normal, para un RF = 1% hubiera resultado z = 2,33 y tomando SY = 3,062 = 1,75 habríamos obtenido B = 2,33 × 1,75 = 4,08 ≈ 4 ■ Observación. La diferencia de una unidad puede no parecer importante pero daría un servicio al cliente mucho más pobre. Esta diferencia se hace cada vez más grande a medida que disminuye la media de la demanda; y hay muchos artículos importantes (repuestos, herramientas, etc.) que tienen una demanda durante el plazo de provisión fraccionaria (menor que una unidad). Cuando los artículos son importantes, un faltante puede ser muy costoso. La mejora en el manejo de los stocks, lograda a través de un mejor pronóstico puede ser la diferencia entre una gestión eficaz y una ineficaz. Determinar los errores de pronóstico e investigar su distribución es una parte necesaria de una buena gestión de las existencias, especialmente si esa distribución está muy alejada de la Normal.

Determinación del stock de seguridad utilizando el IPF Si se quisiera determinar el stock de seguridad a partir de un servicio al cliente fijado utilizando el indicador IPF, la tabla de E(z) no es válida porque está basada en la distribución Normal. Definamos entonces la cantidad de unidades faltantes en un período de revisión

W − wr U = G (W ) =  0

si W > wr si W ≤ wr

(3-83)

donde W toma los valores 0, 1, 2,… y wr = Q + qL es entero. El número esperado de unidades faltantes (NEUF) en función de wr = Q + qL está dado por


75

E (U ) = µU = =

∑ (k − w ) p(k ) = ∑ k p(k ) − w ∑ p (k ) = r

k > wr

∑ k p(k ) − w

r

k > wr

r

k > wr

k > wr

(3-84)

P(W > wr )

donde p(k) es la función de probabilidad de W. Conocida p(k) se puede tabular E(U) = µU en función de wr. Ahora bien, para revisión periódica el IPF es, por definición, IPF =

D − µU T µ = 1− U D D ×T

(3-85)

donde D es la demanda media anual y T el período de revisión. Luego

µU = (1 − IPF ) × D × T

(3-86)

Fijado un valor para el IPF se calcula µU, en la tabla se encuentra wr y con este valor se calcula el stock de seguridad. Para el modelo periódico, donde wr = Q + qL , resulta B = Q + q L − µW ≈ Q + q L − W

(3-87)

Si W tiene distribución de Poisson de parámetro λ, es decir e − λ λk p (W = k ) = p (k ) = k!

, k = 0, 1, 2, L

(3-88)

resulta

E (U ) = µU =

∞

∑

k

k = wr +1

wr ∞  wr e − λ λk  e − λ λk e − λ λk e − λ λk − wr ∑ = λ −∑k − wr 1 − ∑ = k! k! k! k = wr +1 k =0  k = 0 k! 

wr e −λ λk e −λ λk = λ − wr − ∑ k + wr ∑ k! k! k =0 k =0 wr

(3-89)

Ejemplo 3-10 Para los datos del Ejemplo 3-9, tabulando E(U) = µU en función de wr para λ = 3, se obtiene: TABLA DE LA FUNCIÓN E(U) PARA λ = 3 wr

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

E(U) = µU 3,0000 2,0498 1,2489 0,6721 0,3194 0,1346 0,0507 0,0172 0,0053 0,0015 0,0004

Fijando, por ejemplo, un IPF = 99,9% y dado que la demanda media anual es D = 36 y T = 1/12, resulta µU = (1 − IPF) × D × T = (1 − 0,999) × 36 / 12 = 0,003. De la tabla obtenemos wr = Q + qL = 9 con lo cual resulta B = (Q + qL ) − Y = 9 − 3 = 6 Finalmente es fácil calcular que el riesgo de faltante RF = 1% fijado antes, para el que resultó wr = 8, equivale a un IPF = 99,82% aproximadamente. Se debe observar que para cada valor de λ se tendría una tabla distinta.

■

76


3.8.2 Modelo de revisión continua Para el modelo de punto de pedido bastará considerar wr = R y la variable X, demanda durante el plazo de provisión L, en lugar de W. En efecto, se obtiene R

P( X > R) = 1 − ∑ k =0

e − λ λk = RF k!

(3-90)

Con la distribución de Poisson acumulada se determina R y el stock de seguridad resulta B = R − µX ≈ R − X

(3-91)

El lote a pedir en este modelo está prefijado. Determinación del stock de seguridad utilizando IPF Definiendo la cantidad de unidades faltantes en un ciclo de reaprovisionamiento como  X − R si U = G( X ) =  si 0

X >R X ≤R

(3-92)

el número esperado de unidades faltantes en función R está dado por E (U ) = µU = ∑ (k − R) p (k ) = ∑ k p (k ) − R ∑ p (k ) = ∑ k p (k ) − R P( X > R) k >R

k >R

k >R

k >R

(3-93)

donde p(k) es la función de probabilidad de X, que toma los valores 0, 1, 2,… Conocida p(k) se puede tabular E(U) = µU en función de R. Para revisión continua el IPF es, por definición, IPF = 1 −

µU

(3-94)

Q

donde Q es el lote prefijado. Luego

µU = (1 − IPF ) Q

(3-95)

Fijado un valor para el IPF se calcula µU, en la tabla se encuentra R y con este valor se calcula el stock de seguridad: B = R − µX ≈ R − X

(3-96)

Si X tiene distribución de Poisson de parámetro λ, es decir e − λ λk p ( X = k ) = p (k ) = k!

, k = 0, 1, 2, L

(3-97)

resulta ∞ R R  e − λ λk e − λ λk e − λ λk e − λ λk  λ − R = − k − R 1 − ∑ k! ∑ k! ∑  ∑ k!  = k! k = R +1 k = R +1 k =0  k =0  −λ k −λ k R R e λ e λ = λ − R −∑k + R∑ k! k! k =0 k =0

E (U ) = µU =

∞

k

(3-98)

que permite tabular la función.


77

3.9 CASO DE ESTUDIO Una empresa importa regularmente un producto que distribuye en el mercado interno. La demanda anual es de aproximadamente 1.800 unidades. El costo unitario del artículo, puesto en el almacenamiento, es de $ 230 y la tasa de costo de mantenimiento de las existencias se ha estimado en el 18% anual. La empresa opera 50 semanas al año, de seis días hábiles cada una. La política de Compras, acordada con el proveedor, prevé un pedido mensual para todos los productos que se le compran. El pronóstico y la demanda para los últimos dieciocho meses, así como las demoras en las últimas quince entregas, se muestran en las tablas siguientes. El pronóstico para el próximo mes es de 134 unidades. MES DEMANDA PRONÓSTICO [u] [u] 1 160 155 2 154 152 126 148 3 4 137 134 5 129 130 6 146 124 108 127 7 174 115 8 9 121 133 10 140 125 185 127 11 12 100 147 154 128 13 14 161 136 15 116 144 16 107 132 17 156 121 18 135 132

FECHA FECHA DÍAS DÍAS PEDIDO ENTREGA CALENDARIO HÁBILES 27/07 10/11 103 86 30/08 20/12 110 92 02/10 23/01 111 93 30/10 26/02 116 97 27/11 24/03 117 98 29/12 15/05 136 113 02/03 21/06 109 91 05/04 11/08 126 105 29/04 10/09 131 109 08/06 01/11 143 119 06/07 16/11 130 108 06/08 15/01 159 133 08/09 20/01 132 110 08/10 08/03 150 125 06/11 20/03 134 112

El gerente de Comercialización no quiere tener faltantes, dada la importancia del producto y el liderazgo que desea mantener en el mercado, y lo expresa diciendo: “un faltante en cuatro años sería lo máximo admisible”. El gerente general, preocupado por la inmovilización de capital, señala que, internacionalmente, para este tipo de producto se considera un excelente servicio al cliente si se entrega sin demoras al menos el 97% de las unidades pedidas en el año. Por lo tanto considera que un nivel de entregas inmediatas del 98% de la demanda sería suficiente, pero que todas maneras le gustaría analizar distintas alternativas. ¿Cuáles son las alternativas a analizar? ¿Qué política de servicio conviene adoptar?

78


3.10 NOTAS 1. En lo que sigue supondremos que el pronóstico (valor esperado y varianza) de la demanda es conocido, a través de un buen sistema de pronósticos. Como veremos, la estimación de la desviación estándar de la demanda es de fundamental importancia para la determinación de los stocks de seguridad. Sin embargo cabe señalar que hay sistemas de pronósticos que no suministran este parámetro directamente, sino algunos otros como la desviación absoluta media, el error cuadrático medio y el error absoluto porcentual medio. Si se dispone de la desviación absoluta media (MAD: Mean Absolute Deviation):

MAD =

1 N

N

1

N

∑| e | = N ∑| y t =1

t

t =1

t

− Ft |

(3-99)

y se puede suponer que los errores se distribuyen normalmente, entonces es posible estimar la desviación estándar a través de la conocida relación:

Se =

π 2

MAD ≈ 1,25 MAD

(3-100)

De paso digamos que en los sistemas de pronósticos, para actualizar el valor de MAD en cada muevo período, puede ser muy útil utilizar suavización exponencial simple:

MADt = α | et | +(1 − α ) MADt −1

(3-101)

comenzando con MADt = 0 y usando un valor de α bajo (por ejemplo α = 0,10), en lugar del cálculo directo. Tiene la ventaja de que sólo es necesario almacenar el valor del período inmediato anterior. 2. Las expresiones (3-17) son evidentemente válidas en el caso en que L sea menor que el período de pronósticos. Por ejemplo, consideremos pronósticos mensuales con plazo de entrega semanal, es decir L = 1/4 (en períodos de pronósticos). Suponiendo que las demandas semanales –es decir durante el plazo de entrega– sean variables independientes y con idéntica distribución (iid), con parámetros µX y σX2; para la demanda Y por período de pronósticos resulta: 1 µY = 4 µ X ⇒ µ X = µY = LµY 4 (3-102) 1 2 2 2 2 2 σ Y = 4σ X ⇒ σ X = σ Y = Lσ Y 4 Sin embargo, desde el punto de vista de un control más riguroso de las existencias, es conveniente que el período de pronósticos no sea mayor que el plazo de provisión. Esta es la razón de la suposición que hemos hecho. 3. Se trata de calcular los parámetros de la suma aleatoria L

X = ∑ Yi

(3-103)

i =1


79

donde las Yi son iid con parámetros E(Yi) = µY y V(Yi) = σY2 conocidos; y L es una variable aleatoria discreta con valores l = 1, 2,…, y fpp pL(l) = P(L = l) conocida. Para calcular µX = E(X) y σX2 = V(X) utilizaremos los conceptos de esperanza y varianza condicionales. El valor esperado de X condicionado a un valor L = l es l  l  l E ( X | L = l ) = E  ∑ Yi  = ∑ E (Yi ) =∑ µY = l µY i =1  i =1  i =1

(3-104)

E(X | L = l) es una función de l, y por lo tanto es un valor de una variable aleatoria. Es decir E(X | L = l) es el valor de la variable aleatoria E(X | L) cuando L = l. El valor esperado de E(X | L) es entonces

E[ E ( X | L)] = ∑ E ( X | L = l ) p L (l ) = ∑ lµY pL (l ) = µY ∑ l pL (l ) = µY µ L l

l

(3-105)

l

Ahora bien, por el teorema de la esperanza condicional28 sabemos que E[E(X | L)] = E(X), que aplicado (3-105) da

E ( X ) = µ X = µ L µY

(3-106)

que es la primera de (3-23). Para calcular la varianza emplearemos la conocida expresión

V ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2

(3-107)

y para obtener E(X 2) utilizaremos la fórmula de la varianza condicional29

V ( X | L) = E ( X 2 | L) − [ E ( X | L)]2

(3-108)

de donde, para L = l se obtiene

E ( X 2 | L = l ) = V ( X | L = l ) + [ E ( X | L = l )]2

(3-109)

El último término es el cuadrado de (3-104). Calculemos el primer término: l  l  l V ( X | L = l ) = V  ∑ Yi  = ∑V (Yi ) =∑ σ Y2 = l σ Y2 i =1  i=1  i =1

(3-110)

Reemplazando entonces (3-104) y (3-110) en (3-109) resulta

E ( X 2 | L = l ) = l σ Y2 + l 2 µY2

(3-111)

E(X 2 | L = l) es el valor de la variable aleatoria E(X 2 | L) cuando L = l. El valor esperado es

E[ E ( X 2 | L)] =

∑ E( X

2

| L = l ) pL (l ) = ∑ (l σ Y2 + l 2 µY2 ) p L (l ) =

l

=σ

l 2 Y

∑l p l

L

(l ) + µ

2 Y

∑l

2

pL (l ) = µ Lσ Y2 + µY2 E ( L2 )

(3-112)

l

y por el teorema de la esperanza condicional resulta 28

Cfr., por ejemplo, Paul L. Meyer, op. cit., pp. 152-153. La varianza condicional se define: V(X | L = l) = E[[X – E(X | L = l)]2 | L = l]. Desarrollándola y utilizando el teorema de la esperanza condicional se obtiene la (3-108). 29

80


E ( X 2 ) = E[ E ( X 2 | L)] = µ Lσ Y2 + µY2 E ( L2 )

(3-113)

Finalmente, reemplazando (3-113) y (3-106) en (3-107) se obtiene

V ( X ) = µ Lσ Y2 + µY2 E ( L2 ) − ( µY µ L ) 2 = µ Lσ Y2 + µY2 [ E ( L2 ) − µ L2 ] = µ Lσ Y2 + µY2σ L2 14243

(3-114)

σ L2

que es la segunda expresión de (3-23). Es importante destacar que esta demostración no implica ninguna hipótesis sobre la forma de la distribución de las Yi ni de L. 4. La fdp de Z está dada por

ϕ (ς ) = σ X f ( x)

⇔

f ( x) = ϕ (ς ) σ X

(3-115)

En efecto, sabemos que si la variable aleatoria Z = H(X) es una función estrictamente monótona (creciente o decreciente) de la variable aleatoria X, la fdp de Z en función de la fdp de X está dada por 30

ϕ (ς ) = f ( x)

dx dς

(3-116)

Aplicada a la variable estandarizada (que es una función estrictamente creciente de X), dx teniendo en cuenta que dx = d ( µ X + ςσ X ) = σ X dς y por lo tanto = σ X , se obtiene dς 1  µ X +ς σ X − µ X   σX 

1 − 2  ϕ (ς ) = σ X f ( x) = e 2π

30

2

1 − ς2 = e 2π

2

(3-117)

Cfr., por ejemplo, Paul L. Meyer, op. cit., pp. 90-91.


81

82


CAPÍTULO 4 MODELOS ESTOCÁSTICOS CON COSTO DE FALTANTE 4.1 CONSIDERACIONES GENERALES En el capítulo anterior hemos visto modelos para demanda y plazo de entrega aleatorios que no son exactamente de optimización en el sentido de minimizar el costo total de la gestión, debido a que se supuso que no se podía estimar el costo de faltante. En su lugar se incluyeron objetivos de nivel de servicio. Sin embargo hay situaciones en las que se puede estimar el costo de faltante y por lo tanto establecer modelos de optimización, tanto de revisión continua cuanto de revisión periódica. Al considerar el costo de faltante es importante distinguir dos casos: 1. El faltante en un ciclo de reaprovisionamiento queda pendiente para entrega en el ciclo siguiente, es decir es una entrega con atraso. En este caso el costo de faltante está originado en los gastos adicionales causados por el atraso, tales como trámites para acelerar el suministro, embalajes y transportes adicionales, penalizaciones establecidas por el cliente, etc. Este costo puede variar con la cantidad pendiente de distintas maneras, pero consideraremos sólo dos casos: 1) Costo proporcional a la cantidad pendiente. Si una vez producido el atraso la entrega de la cantidad pendiente no puede acelerarse sino que será suministrada en la forma habitual, el costo ocasionado por el faltante probablemente pueda ser considerado proporcional a la cantidad pendiente. 2) Costo fijo, independiente de la cantidad faltante. Si al producirse el atraso es posible tomar medidas para lograr el suministro de urgencia de todo el pedido, es probable que el gasto adicional para lograrlo sea independiente de la cantidad. 2. El faltante en un ciclo no puede ser entregado posteriormente, es decir es una pérdida del suministro. El costo de faltante está originado en los gastos causados por los materiales no entregados, tales como pérdida de utilidad por la venta no realizada, pérdida de producción al no disponer de un insumo en el momento apropiado, etc. Este costo también puede variar con la cantidad no entregada de distintas maneras, pero consideraremos sólo las dos situaciones anteriores: a) Costo proporcional a la cantidad no entregada, b) Costo fijo, independiente de la cantidad no entregada. En este capítulo veremos dos modelos de optimización para ambiente aleatorio con costo de faltante. Uno de revisión continua que optimiza en forma conjunta el tamaño del lote y el punto de pedido, y otro de revisión periódica que optimiza el nivel máximo de las existencias y el período. Cada uno de estos modelos es en realidad una familia de modelos que difieren entre sí en la forma de considerar el costo de faltante.


83

4.2 MODELOS DE REVISIÓN CONTINUA – MODELOS (Q*, R*) Son modelos basados en la determinación de un tamaño de lote Q* y un punto de pedido R* que minimizan el valor esperado del costo total anual de la gestión, incluyendo el costo de faltante. La diferencia entre estos modelos reside en la forma de considerar los costos de faltantes. Las existencias se controlan permanentemente, cuando su nivel llega al punto de pedido R* se pide un lote de tamaño Q*. La Figura 4-1 representa ciclos de reabastecimiento con demanda y plazo de entrega aleatorios. En el ciclo con faltante se supone que se trata de entregas con atraso. La Figura 4-2 representa la situación ideal que se tendría si el sistema operara con los valores esperados de las variables. q(t)

q(t)

Q Q

Q R

R Q qr L

E(Qr)

qr L

qr

L

t

Figura 4-1

L

t

Figura 4-2

Por las mismas razones que en el modelo con nivel de servicio, sólo se puede producir faltante durante el plazo de provisión. Los modelos se basan en las siguientes hipótesis, que reemplazan a la primera, segunda y octava del modelo determinístico básico; manteniéndose las demás. 1. La demanda durante el plazo de provisión es una variable aleatoria X con distribución conocida y parámetros µ X , σ X2 . 2. El plazo de provisión L es una variable aleatoria con media y varianza conocidas. 3. Sólo se pueden producir faltantes durante el plazo de provisión. 4. Se conoce el costo de faltante, por atraso en las entregas o por pérdida del suministro, según corresponda. Notación X = Demanda durante el plazo de provisión [u]. f(x) = Función de densidad de probabilidad de X. µX = Valor esperado de X. σX = Desviación estándar de X. X = Valor medio muestral de X. SX = Desviación estándar muestral de X. L = Plazo de provisión, en períodos de pronóstico. µL = Valor esperado de L. σL = Desviación estándar de L. L = Plazo de provisión medio muestral, en períodos de pronóstico.

84


SL Y F

= = = = = = = = = = = = = = = = = =

Desviación estándar muestral del plazo de provisión, en períodos de pronóstico. Demanda por periodo de pronóstico [u]. µY = Demanda media pronosticada [unidades por período de pronósticos]. σF Desviación estándar de la demanda [unidades por período de pronósticos]. SF Desviación estándar muestral de la demanda. D Demanda media anual [u/año]. C Costo variable unitario de compra o producción [$/u]. i Tasa anual de costo de mantenimiento de las existencias [$/$.año] S Costo fijo de la orden de pedido o producción (incluye preparación de los equipos)[$]. Q Tamaño del lote. Cantidad a pedir en cada reaprovisionamiento [u]. z Factor de seguridad. R Punto de pedido [u]. Qr Variable aleatoria existencia remanente [u]. B Stock de seguridad [u]. U Cantidad de unidades faltantes en un ciclo de reaprovisionamiento [u]. µU Valor esperado de U. γ Costo unitario por atraso o por pérdida del suministro (según corresponda) [$/u]. ν Costo por atraso o por pérdida del suministro (independiente de las unidades atrasadas, según corresponda) [$]. RF = Riesgo de faltante. Cálculo del valor medio de las existencias Por el momento supondremos que el plazo de entrega L es constante, luego veremos el caso variable. Supongamos que conocemos R. Entonces en el momento del ingreso del lote hay una existencia Qr, que denominaremos existencia remanente, dada por (Figura 4-1): Qr = R − X

(4-1)

Esta variable aleatoria puede tomar valores negativos si hay faltantes que se entregan en el ciclo siguiente, es decir si hay atrasos en las entregas. Si los faltantes implican la pérdida del suministro, los valores no podrán ser negativos. Consideremos un ciclo de la Figura 4-2 que representa el comportamiento medio de las existencias. El valor esperado de las existencias es, evidentemente: Q=

Q + E (Qr ) 2

(4-2)

donde E(Qr) es el valor esperado de Qr. El cálculo efectivo de E(Qr) depende del tipo de faltante considerado.

Observación. Cabe notar que esta expresión para las existencias medias es en rigor aproximada. En efecto, en el ciclo típico considerado las existencias son positivas durante todo el ciclo, y por lo tanto la (4-2) implica que no se consideran los ciclos en los que puede ocurrir faltante y tendrían entonces existencias nulas durante un cierto tiempo. En consecuencia el valor exacto de las existencias medias es algo menor. Sin embargo, dado que los sistemas de gestión de stocks se construyen de manera que la probabilidad de faltante sea muy baja y, por lo tanto, los posibles lapsos sin existencias sean


85

relativamente pequeños, en la práctica la expresión (4-2) es una muy buena aproximación. El cálculo del valor exacto es más complejo y no se justifica. Cálculo del número esperado de unidades faltantes Para calcular el costo de faltante necesitamos calcular el valor esperado de la cantidad faltante por año. Hay faltante en un ciclo sólo si X > R, luego la cantidad faltante por ciclo está dada por = X − R si U = si = 0

X >R X ≤R

(4-3)

donde U es una variable aleatoria función de X, que indicaremos U = G(X). Llamando u = G(x) a los valores de U, el número esperado de unidades faltantes (NEUF) por ciclo está dado por ∞

∞

∞

0

R

R

E (U ) = µU = ∫ G ( x ) f ( x)dx = ∫ ( x − R ) f ( x )dx = ∫ xf ( x )dx − R P ( X > R )

(4-4)

y, dado que el número esperado de ciclos por año es D/Q, donde D es la demanda media anual, el valor esperado de la cantidad faltante por año resulta

µU

D Q

(4-5)

Determinación de la demanda durante el plazo de provisión Son aplicables aquí todas las consideraciones realizadas en el capítulo anterior con respecto a la determinación de la distribución de X. Caso en el que X tiene distribución Normal Si X tiene distribución N ( µ X , σ X2 ) , el número esperado de unidades faltantes está dado por 31

µU = σ X [ϕ ( z ) − z P( Z > z )] = σ X E ( z )

(4-6)

donde E(z) es la función integral de pérdida de la distribución Normal estandarizada que está tabulada en la “Tabla de probabilidades de faltantes y de unidades faltantes” del Anexo. 4.2.1 Modelos con costo por atraso en las entregas Valor medio de las existencias En este caso Qr puede tomar valores negativos. Luego su valor esperado es ∞

∞

∞

E (Qr ) = ∫ ( R − x) f ( x)dx = R ∫ f ( x)dx − ∫ xf ( x)dx = R − µ X 0 0 0 1 424 3 1 4243 =1

(4-7)

=µ X

La existencia media resulta entonces, reemplazando en (4-2)

31

Ver el Capítulo 3.

86


Q=

Q + R − µX 2

(4-8)

De la Figura 4-2 es fácil ver que E(Qr) representa el stock de seguridad, es decir: B = E (Qr ) = R − µ X

(4-9)

Tomaremos entonces el valor de E(Qr) como definición del stock de seguridad. Cabe observar que es la misma expresión que la del modelo de revisión continua con nivel de servicio. Ahora podemos calcular el valor esperado del costo total anual para cada caso de costo de faltante por atraso.

a) Costo proporcional a la cantidad faltante El valor esperado del costo total anual es la suma de los valores esperados del costo de compra o producción anual, del costo de las órdenes en el año, del costo de mantenimiento de las existencias y del costo de faltantes, es decir

CT (Q, R) = C × D + S

D D Q  + C i  + R − µ X  + γ µU Q Q 2 

(4-10)

El valor esperado del costo total unitario resulta

CTU (Q, R) = C +

S Ci  Q  γ +  + R − µ X  + µU Q D 2  Q

(4-11)

El mínimo costo esperado se obtiene para:

S Ci γ ∂  ∂ Q CTU (Q, R) = − Q 2 + 2 D − Q 2 µU = 0    ∂ CTU (Q, R) = Ci + γ ∂ µ = 0 U  ∂ R D Q∂R

(4-12)

Esta condición es necesaria y se verifica que también es suficiente. (Ejercicio). La derivada de µU resulta, derivando bajo el signo de integral,32

∂ d  ∞  = − ∞ f ( x)dx = −Φ ( R) µU = ( x − R ) f ( x ) dx ∫R  dR  ∫R ∂R donde hemos indicado:

(4-13)

Φ( R) = 1 − F ( R) = P( X > R)

(4-14)

S Ci γ  ∂  ∂ Q CTU (Q, R ) = − Q 2 + 2 D − Q 2 µU = 0    ∂ CTU (Q, R) = Ci − γ Φ( R) = 0  ∂ R D Q

(4-15)

Luego

32

Ver la Nota al final del Capítulo.


87

Para resolver este sistema procederemos por aproximaciones sucesivas (se verifica la convergencia). De la primera ecuación se obtiene 2 D ( S + γ µU ) Ci

Q=

(4-16)

y de la segunda

Φ( R) =

CiQ γD

(4-17)

Luego el procedimiento es el siguiente: 1. Calcular Q con µU = 0 usando la (4-16). 2. Con Q calcular Φ(R) con la (4-17) y determinar R con la distribución de X. 3. Con R calcular µU con la (4-4) (o con (4-6) si la distribución es Normal) y determinar un nuevo valor de Q con (4-16). 4. Con Q calcular Φ(R) con la (4-17) y determinar un nuevo valor de R con la distribución de X. 5. Repetir los pasos 3 y 4 hasta que dos valores sucesivos de Q y R sean suficientemente próximos entre sí. 6. Los últimos valores obtenidos se toman como Q* y R*. Finalmente el stock de seguridad se calcula como B = R* − µ X

(4-18)

Probabilidad de faltante (atrasos) Determinados Q* y R* se puede calcular el riesgo de faltante, es decir la probabilidad de tener atrasos que, teniendo en cuenta la (4-17), resulta ∞

P( X > R* ) = ∫ * f ( x)dx = Φ( R* ) = R

C i Q* γD

(4-19)

Observación. La expresión

Φ( R* ) =

C i Q* γD

(4-20)

describe la relación entre el punto de pedido y los parámetros de costos del modelo. Si γ crece con respecto a C i, Φ( R* ) decrece y por lo tanto R* crece, la probabilidad de faltante decrece y el stock de seguridad crece; es decir es mejor tener stock que correr el riesgo de faltante. Por el contrario, si γ decrece con respecto a C i, Φ( R* ) crece, lo que significa que R* decrece y el stock de seguridad también decrece. Por otra parte, de la (4-16) resulta que si µU → 0 el lote óptimo tiende al del modelo determinístico básico.

88


Como veremos luego estas relaciones son útiles para comparar con el modelo de nivel de servicio, por ejemplo para determinar el costo de faltante equivalente de un cierto nivel de servicio fijado. Ejemplo 4-1 Un artículo que tiene una demanda media anual de 800 unidades se compra a un precio unitario de $ 25. El costo de hacer un pedido es de $ 10. El costo de mantenimiento de las existencias es de $ 2 por unidad y por año. El costo unitario por atraso en las entregas es de $ 5. Se ha determinado que la demanda durante el plazo de provisión tiene distribución uniforme en el intervalo 0 a 200. Encontrar el tamaño del lote y el punto de pedido óptimos, el stock de seguridad y la probabilidad de faltante. Solución. ∞

R2 1 dx = − R + 100 R 200 400 2 × 800 × (10 + 5 × µU ) = 8000 + 4000 × µU 2 ∞

µU = ∫ ( x − R ) f ( x)dx = ∫ ( x − R ) R

Q=

2 D ( S + γ µU ) = Ci

CiQ 2 Q = Q= γ D 5 × 800 2000 ∞ 200 dx R Φ ( R ) = ∫ f ( x )dx = ∫ = 1− R R 200 200 Q R Q Por lo tanto = 1− ⇒ R = 200 − 2000 200 10 Φ( R) =

Para µU = 0 resulta Q0 = 8000 = 89 y entonces R0 = 200 −

Q0 89 = 200 − = 191,1 10 10

Primera iteración: R02 (191,1) 2 µU ,1 = − R0 + 100 = − 191,1 + 100 = 0,198 400 400 Q1 = 8000 + 4000 × µU ,1 = 8000 + 4000 × 0,198 = 93,76 ≈ 94 94 Q1 = 200 − = 190,6 10 10 Segunda iteración: R2 (190,6) 2 µU , 2 = 1 − R1 + 100 = − 190,6 + 100 = 0,2209 400 400 Q2 = 8000 + 4000 × µU , 2 = 8000 + 4000 × 0,2209 = 94,25 ≈ 94 R1 = 200 −

94 Q2 = 200 − = 190,6 ≈ 191 10 10 Por lo tanto adoptamos: Q* = 94 u. R* = 191 u. El stock de seguridad resulta: B = R * − µ X ≈ R * − X = 191 − 100 = 91 u. R2 = 200 −

C i Q * 2 × 94 La probabilidad de faltante es: P ( X > R ) = Φ ( R ) = = = 0,047 γD 5 × 800 *

*

■


89

Ejemplo 4-2 La demanda semanal de un artículo tiene distribución Normal con media 20 unidades y desviación estándar 4 unidades. El costo unitario de mantenimiento de las existencias es de $ 5 por año. El costo unitario por atraso es de $ 10. El plazo de provisión es de 1 semana y el costo de cada pedido $ 20. Calcular el lote y el punto de pedido óptimos, el stock de seguridad y la probabilidad de faltante. Solución. Supongamos que se trabaja 50 semanas en el año. 2 D ( S + γ µU ) 2 × 20 × 50 × ( 20 + 10 × µU ) Q = = = 8000 + 4000 × µU Ci 5 Q0 = 8000 = 89 C i Q0 5 × 89 Φ ( R0 ) = = = 0,0445 γ D 10 × 20 × 50 De la tabla de la distribución Normal se obtiene z0 = 1,70. Luego R0 = X + z0 S X = 20 + 1,70 × 4 = 26,8 ≈ 27

Para la distribución Normal es µU = σ X E ( z ) . Para z0 = 1,70 de la tabla de E(z) se obtiene E(z0) = 0,01829 con lo que resulta: µU ,0 = σ X E ( z0 ) ≈ S X E ( z0 ) = 4 × 0,01829 = 0,07316

Primera iteración: Q1 = 8000 + 4000 × µU , 0 = 8000 + 4000 × 0,07316 = 91 C i Q1 5 × 91 = = 0,0455 γ D 5 × 20 × 50 De la tabla de la distribución Normal se obtiene z1 = 1,69. Luego R1 = X + z1S X = 20 + 1,69 × 4 = 26,76 ≈ 27 Por lo tanto adoptamos: Q* = 91 u. R* = 27 u. El stock de seguridad resulta: B = R * − µ X ≈ R * − X = 27 − 20 = 7 u. Φ ( R1 ) =

C i Q* 5 × 91 La probabilidad de faltante es: P ( X > R ) = Φ ( R ) = = = 0,0455 γ D 10 × 20 × 50 *

*

■ b) Costo fijo por atraso Indicando con ν al costo fijo por faltante, en este caso el valor esperado del costo de faltante en un ciclo está dado por ∞

ν P ( X > R ) = ν ∫ f ( x ) dx = ν Φ ( R ) R

(4-21)

y el valor esperado del costo anual de faltante es

ν

D Φ (R ) Q

(4-22)

El valor esperado del costo total anual es

90


CT (Q, R) = C × D + S

D D Q  + Ci  + R − µ X  +ν Φ( R) Q Q 2 

(4-23)

y el valor esperado del costo total unitario

CTU (Q, R) = C +

S Ci  Q  ν +  + R − µ X  + Φ( R) Q D 2  Q

(4-24)

Derivando, igualando a cero y resolviendo se obtiene

Q=

2 D [S + ν Φ ( R)] Ci

,

f ( R) =

CiQ νD

(4-25)

puesto que ∂ Φ( R) = − f ( R) ∂R

(4-26)

Para la resolución se procede por aproximaciones sucesivas: 1. Calcular Q con Φ(R) = 0. 2. Con Q calcular f (R ) y determinar R con la distribución de X. 3. Con R calcular Φ(R) y determinar un nuevo valor de Q. 4. Con Q calcular f (R ) y determinar un nuevo valor de R. 5. Repetir los pasos 3 y 4 hasta que dos valores sucesivos de Q y R sean suficientemente próximos entre sí. 6. Los últimos valores obtenidos se toman como Q* y R*. El stock de seguridad se calcula igual que antes por la (4-18).

Ejemplo 4-3 Consideremos los mismos datos del Ejemplo 4-2 pero con un costo fijo por atraso de $ 100. Calcular el lote y el punto de pedido óptimos, el stock de seguridad y la probabilidad de faltante. Se trabaja 50 semanas en el año. Solución. 2 D[ S + ν Φ ( R )] 2 × 20 × 50 × [ 20 + 100 × Φ ( R )] Q = = = 8000 + 40000 × Φ ( R ) Ci 5 Q0 = 8000 = 89 C i Q0 5 × 89 f ( R0 ) = = = 0,00445 ν D 100 × 20 × 50 Como para la fdp de la distribución estándar resulta ϕ(z) = σX f(x), para x = R0 se tiene ϕ(z0) = σX f(R0) = 4 × 0,00445 = 0,01780. De la tabla de la función ϕ(z) se obtiene z0 = 2,49 y entonces resulta R0 = µX + z0σX = 20 + 2,49 × 4 = 29,975. Luego, con la distribución Normal de probabilidades se encuentra: Φ(R0) = 0,00632. Primera iteración:


91

Q1 = 8000 + 40000 × Φ ( R0 ) = 8000 + 4000 × 0,00632 = 90,84 ≈ 91 C i Q1 5 × 91 = = 0,00455 ν D 100 × 20 × 50 De manera análoga a la anterior se obtiene R1 = 29,94 y resulta Φ(R1) = 0,00648 Segunda iteración: Q2 = 8000 + 40000 × Φ ( R1 ) = 8000 + 4000 × 0,00648 = 90,88 ≈ 91 C i Q1 5 × 91 f ( R2 ) = = = 0,00455 ν D 100 × 20 × 50 Por lo tanto adoptamos: Q* = 91 u. R* = 30 u. El stock de seguridad resulta: B = R * − µ X ≈ R * − X = 30 − 20 = 10 u. f ( R1 ) =

La probabilidad de faltante es: P( X > R* ) = Φ ( R * ) =

C i Q* 5 × 91 = = 0,00455 ν D 100 × 20 × 50 ■

4.2.2 Modelos con costo por pérdida del suministro Si se produce faltante se pierde la venta o abastecimiento de la cantidad faltante. Valor medio de las existencias En este caso Qr no puede tomar valores negativos. Luego su valor esperado es E (Qr ) =

∫

R

0

∞

∞

( R − x) f ( x)dx = ∫ ( R − x) f ( x)dx − ∫ ( R − x) f ( x)dx = 0

∞

∞

R

∞

= R ∫ f ( x)dx − ∫ x f ( x)dx + ∫ ( x − R) f ( x)dx = 0 0 R 442443 1 424 3 1 4243 1 =µ X

=1

(4-27)

= µU

= R − µ X + µU Análogamente al caso anterior tomaremos como definición del stock de seguridad el valor de E(Qr), es decir B = R − µ X + µU (4-28) La existencia media resulta entonces: Q=

Q + R − µ X + µU 2

(4-29)

Vale aquí la misma observación del caso anterior con respecto a que esta expresión es una muy buena aproximación, pero no es el valor exacto, de las existencias medias por cuanto no se toman en cuenta los lapsos con existencias nulas cuando ocurren los faltantes.

a) Costo proporcional a la cantidad faltante El valor esperado del costo total anual es ahora

CT (Q, R) = C × D + S

D D Q  + C i  + R − µ X + µU  + γ µU Q Q 2 

(4-30)


92


CTU (Q, R) = C +

S C i Q  γ + + R − µ X + µU  + µ X  Q D 2  Q

(4-31)

Derivando, igualando a cero y resolviendo se obtiene: Q=

2 D ( S + γ µU ) Ci

,

Φ( R) =

CiQ C iQ +γ D

(4-32)

Para obtener los valores óptimos se procede por aproximaciones sucesivas como en el caso anterior. El stock de seguridad está dado por (4-28). La probabilidad de faltante está dada por ∞

P( X > R * ) = ∫ * f ( x)dx = Φ( R * ) = R

C i Q* C i Q* + γ D

(4-33)

Observación. En el cálculo del costo total anual se supuso que el número esperado de ciclos de reaprovisionamiento en el año es D/Q, lo cual en este caso es en rigor una aproximación. En efecto, debido a la pérdida de suministro de algunas unidades en algunos ciclos, el número esperado de ciclos en el año es algo menor y su valor exacto está dado por: D Q + µU

(4-34)

En efecto, sea N el número esperado de abastecimientos por año. Como el número esperado de unidades faltantes por ciclo es µU, el número esperado de unidades faltantes en el año es N × µU. La demanda anual satisfecha es entonces D – N × µU, que debe ser igual al valor esperado de la reposición anual N × Q, es decir D – N × µU = N × Q, de donde resulta la (4-34). Sin embargo, dado que usualmente µU es muy pequeño comparado con Q, en la práctica el valor D/Q es una muy buena aproximación.

b) Costo fijo por pérdida del suministro Producido el faltante se incurre en un costo independiente de la cantidad no entregada. El costo anual esperado de faltante está dado por la (4-22). Por lo tanto el valor esperado del costo total anual es

CT (Q, R ) = C × D + S

D D Q  + C i  + R − µ X + µU  +ν Φ ( R ) Q Q 2 

(4-35)

Cabe en este caso la misma observación anterior con respecto a la aproximación D/Q. De manera similar a los casos anteriores, se obtiene (Ejercicio) Q=

2 D [ S + ν Φ ( R )] Ci

,

f ( R) CiQ = 1 − P( X > R) ν D

(4-36)

que permiten proceder por aproximaciones sucesivas. Observar que en esta expresión es P(X > R) = Φ(R) = RF.


93

Se deben tabular los valores del cociente P(X>R) f ( R) (Figura 4-3) para distintos valores de R. f(R) 1 − P( X > R) CiQ R µX x Luego, calculado para un valor de Q, se encuentra νD Figura 4-3 en la tabla el valor de R más próximo, y entonces se puede calcular Φ(R) para determinar un nuevo valor de Q. Y así sucesivamente. f(x)

4.3 PLAZO DE PROVISIÓN VARIABLE En los modelos vistos se supuso que el plazo de provisión era constante. No obstante, dado que L interviene en ellos a través de la variable X, demanda durante el plazo de provisión, los modelos siguen siendo válidos en el caso de L variable si se conoce la distribución de X. Sabemos que para determinar la distribución de X se debe considerar la distribución de probabilidades conjuntas de la demanda Y y del plazo de provisión L, ambos expresados en períodos de pronósticos, y que en general es muy difícil de calcular. Sin embargo, también hemos visto que si es posible suponer una distribución razonable para X entonces, bajo ciertas hipótesis, los parámetros se pueden estimar en forma relativamente sencilla por las expresiones 33

µ X = µ L µY

,

σ X2 = µ Lσ Y2 + µY2σ L2

(4-37)

que se pueden aproximar respectivamente por

X =L F

,

S X2 = L S F2 + F 2 S L2

(4-38)

Cabe destacar que es necesario conocer la ley de la distribución de X, por lo que estas relaciones por sí solas no son suficientes. Recordemos también que la aplicación de técnicas de simulación para determinar el punto de pedido, el tamaño del lote y el stock de seguridad puede ser un enfoque alternativo.

4.4 EL COSTO DE FALTANTE Y EL NIVEL DE SERVICIO Sabemos que en la práctica la estimación del costo de faltante puede ser muy difícil y hasta imposible por los imponderables que incluye. Por ejemplo, en algunos casos debería incluir el costo de oportunidad resultante de la pérdida de ventas futuras debidas a la mala disposición de un cliente descontento. Por lo tanto, en muchos casos se prefiere fijar un objetivo de servicio al usuario y luego calcular el costo de faltante equivalente. Si este costo es inaceptable se revisa el objetivo de servicio. Si se decide mantener un alto nivel de servicio, es decir un riesgo de faltante RF muy bajo, entonces µU es pequeño. Es fácil ver de la (4-16) que si µU → 0 (y consecuentemente Φ( R) → 0 ), el lote óptimo resulta 33

Ver la Nota 3 al final del Capítulo 3.

94


Q* =

2DS Ci

(4-39)

que es el lote ya utilizado en el modelo básico de punto de pedido. Por lo tanto el modelo de punto de pedido es una muy buena aproximación para los modelos (Q*, R*) cuando el riesgo de faltante es muy bajo, es decir cuando se está dispuesto a brindar un elevado nivel de servicio. Además tiene la ventaja de no necesitar la estimación del costo de faltante. Se concluye entonces que en la práctica puede ser más conveniente utilizar el modelo de punto de pedido asociado a un objetivo de servicio. Finalmente cabe observar que, determinado Q* y fijado un RF, se puede estimar el costo de faltante equivalente utilizando la relación (4-19):

RF = P( X > R* ) = Φ ( R) =

C i Q* γD

(4-40)

El valor del costo equivalente puede ser un indicador para decidir sobre el nivel de servicio fijado y viceversa.

Ejemplo 4-4 Retomemos los datos del Ejemplo 4-2. El riesgo de faltante resultó RF = 0,0455. Supongamos que hubiésemos utilizado el modelo con nivel de servicio con este riesgo de faltante. El lote sería el ya calculado como Q0, es decir Q = 89 u., y con ese riesgo de faltante en la Tabla de E(z) se encuentra E(z) = 0,01829 (valor más próximo). El valor del IPF equivalente resulta: σ 4 IPF = 1 − X E ( z ) = 1 − × 0,01829 = 0,9992 Q 89 que es un nivel de servicio altísimo. Supongamos ahora que no se hubiera podido estimar un costo de faltante. Se habría utilizado el modelo con nivel de servicio fijando un IPF. Supongamos que se hubiera fijado IPF = 0,98 que es un nivel de servicio muy bueno. El costo de faltante equivalente se calcula como sigue. Q 89 E ( z ) = (1 − IPF ) = (1 − 0,98) × = 0,445 σX 4 y de la Tabla se obtiene RF = 0,5398. Luego el costo de faltante equivalente es C i Q* 5 × 89 $ γ= = = 0,82 D RF 1000 × 0,5398 u

Se debe observar que en este último caso resulta z = – 0,10, con lo que el stock de seguridad saldría negativo, indicando que con un punto de pedido igual al valor medio de la demanda ya se lograría un nivel de servicio superior al pretendido. En promedio se tendría faltante en la mitad de los abastecimientos pero aún así se alcanzaría la proporción de entrega directa deseada. ■


95

4.5 MODELOS DE REVISIÓN PERIÓDICA – MODELOS (T*, E*) Una forma muy común de modelo periódico es el modelo conocido como “pedir hasta E”. Las existencias se revisan con período T y se ordena la cantidad necesaria para llevarlas a un nivel máximo E. La cantidad a pedir en cada revisión es la diferencia entre un valor predeterminado E y la existencia en el momento de la revisión (incluidos los pedidos pendientes de ingreso). Resulta entonces que en cada período T ingresará un lote, cuyo tamaño será variable. La Figura 4-4 representa un caso en el que L > T y por lo tanto en el momento de hacer un pedido hay un pedido anterior pendiente. Cabe observar que las existencias pueden alcanzar efectivamente el valor máximo E. Por ejemplo, si L = 0 en el momento de la revisión se produce el ingreso del lote y las existencias llegan a E. Sería el caso, por ejemplo, de reaprovisionamiento periódico de un tanque desde otros tanques en una planta. El valor óptimo de E es la capacidad mínima que debería tener el tanque y por lo tanto el modelo sería útil para dimensionarlo. También se llegaría a E si, para L > 0, la demanda durante ese tiempo fuera nula. q(t) E

Q1

Q2

Q5

Q4 Q3 Q0

T

Q4

T

T L

Q3

Q2

Q1

t

T L

L

L

Figura 4-4 El problema consiste entonces en determinar los valores T* y E* que minimicen el costo total anual de la gestión. Consideraremos dos casos. a) Optimización del nivel máximo de existencias con período fijado. b) Optimización conjunta del nivel máximo de existencias y del período. El plazo de provisión L será considerado constante en todos los casos. Los modelos se basan entonces en las siguientes hipótesis, que reemplazan a la primera, cuarta y octava del modelo básico; manteniéndose las demás.

96


1. La demanda durante el período T + L es una variable aleatoria W con distribución conocida y parámetros µW , σ W2 . 2. El plazo de provisión L es conocido y constante. 3. Sólo se pueden producir faltantes durante el período T + L. 4. Se conoce el costo de faltante (por atraso en las entregas o por pérdida del suministro, según corresponda). Para el caso a) se agrega: 5. El período de revisión T se fija con algún criterio. Notación A la notación definida en los modelos anteriores agregamos la siguiente: T L W f(w)

µW σW

W SW qL

= = = = = = = = =

Período de revisión, en años. Plazo de provisión (constante), en años. Demanda durante el período T + L, con parámetros µW , σ W2 . Función de densidad de probabilidad de W. Valor esperado de W. Desviación estándar W. Valor medio muestral de W. Desviación estándar muestral de W. Existencia en el momento de la revisión, incluidos pendientes.

Observemos que ahora T y L se expresan en años. Cálculo del valor medio de las existencias La Figura 4-5 representa ciclos de reabastecimiento con demanda aleatoria y plazo de entrega constante. La Figura 4-6 representa la situación ideal que se tendría si el sistema operara con los valores esperados de las variables. q(t)

q(t)

E

E

Qm Q qL qL B

qr

B

qL

E(Qr) qr

T L

Figura 4-5


L

t

t

T L

L

Figura 4-6

97

En el momento del ingreso del lote hay una existencia remanente Qr, cuyos valores indicaremos con qr. La existencia media es, evidentemente Q=

Qm + E (Qr ) 2

(4-41)

donde Qm es el valor esperado del tamaño del lote dado por Qm = T × D, y D es la demanda media anual. Entonces resulta Q=

T ×D + E (Qr ) 2

(4-42)

que es, como sabemos, una muy buena aproximación. El valor de E(Qr) depende del tipo de faltante.

Cálculo del número esperado de unidades faltantes Para calcular el costo de faltante necesitamos calcular el valor esperado de la cantidad faltante por año. Hay faltante en un ciclo sólo si W > E, luego la cantidad faltante por ciclo está dada por

= W − E si W > E U = si W ≤ E = 0

(4-43)

donde U es una variable aleatoria función de W, que indicaremos U = G(W). Llamando u = G(w) a los valores de U, el número esperado de unidades faltantes (NEUF) por ciclo está dado por34 ∞

∞

∞

0

E

E

E (U ) = µU = ∫ G ( w) f ( w)dw = ∫ ( w − E ) f ( w)dw = ∫ wf ( w)dw − E P (W > E )

(4-44)

y, dado que el número de ciclos por año es 1/T, el valor esperado de la cantidad faltante por año resulta E (U ) µU = T T

(4-45)

Determinación de la demanda durante el período T + L Son aplicables aquí todas las consideraciones realizadas en el capítulo anterior con respecto a la determinación de la distribución de la variable W. Cabe destacar que en este caso, dado que T y L son constantes, resulta µW = (T+ L) D.

Caso en el que W tiene distribución Normal Si W tiene distribución N ( µW , σ W2 ) , indicando con Z =

W − µW

σW

la demanda estandarizada

34

Para simplificar la notación usaremos aquí los mismos nombres, U y G(w), que en el modelo anterior, pero obviamente no son las mismas variables.

98


durante el plazo T + L, y con ς =

w − µW

σW

a un valor cualquiera de Z, la fdp de Z está dada por

ϕ (ς ) = σ w f ( w) por la misma propiedad vista en el Capítulo 3. Llamando con z =

E − µW

σW

al particular valor de Z para W = E, y haciendo los conocidos

reemplazos en la (4-44) se obtiene

µU = σ W [ϕ ( z ) − z P( Z > z )] = σ W E ( z )

(4-46)

donde E(z) es como siempre la función integral de pérdida de la distribución Normal estandarizada (ver Tabla en el Anexo). 4.5.1 Optimización del nivel máximo de existencias con período fijado En este modelo el período T se fija a priori con algún criterio práctico. En muchos casos puede estar definido por la frecuencia del transporte, por condiciones del proveedor, u otras razones. Cuando se lo puede elegir, una forma de fijarlo es aproximarlo por el período óptimo que resultaría de aplicar el modelo determinístico, es decir T* =

Q* = D

2S DC i

(4-47)

y redondearlo luego a un valor práctico. Supongamos entonces que está fijado T. Debemos ahora determinar el nivel máximo óptimo de las existencias E*, para lo que se deben considerar los distintos casos de faltantes y sus costos. Una vez determinado el valor de E*, la cantidad a pedir es:

Q = E * − qL

(4-48)

donde qL es la existencia disponible, más ingresos pendientes, en el momento de la revisión.

a) Costo por atraso proporcional a la cantidad faltante En este caso Qr puede tomar valores negativos y está dada por

Qr = E − W

(4-49)

En efecto, si en el momento de la revisión hay una existencia qL, se pide un lote de tamaño Q y la demanda es W, resulta (Figura 4-5): Qr = qL + Q – W. Como Q = E – qL resulta (4-49). Luego el valor esperado es ∞

∞

∞

E (Qr ) = ∫ ( E − w) f ( w)dw = E ∫ f ( w)dw − ∫ wf ( w)dw = E − µW 0 0 0 1 4243 1 4243 =1

(4-50)

= µW

donde, puesto que en este caso T y L son constantes, µW está dado por

µW = (T + L) D

(4-51)

Igual que en el caso anterior tomaremos el valor de E(Qr) como definición del stock de seguridad, es decir:


99

B = E (Qr ) = E − µW = E − (T + L ) D

(4-52)

La existencia media resulta entonces, reemplazando en (4-42) Q=

T ×D T ×D + E − µW = E − − L× D 2 2

(4-53)

Ahora podemos calcular el valor esperado del costo total anual, que resulta

CT ( E ) = C × D +

µ S T ×D   + C i E − − L × D + γ U T 2 T  

(4-54)


CTU ( E ) = C +

µ S C  T ×D  + i E − − L × D + γ U T ×D D  2 T ×D 

(4-55)

Derivando con respecto a E, teniendo en cuenta que la derivada de µU resulta35

donde

∞ d  ∞ ∂ µU = ( w − E ) f ( w)dw = − ∫ f ( w)dw = −Φ( E ) ∫   E E  dE  ∂E

(4-56)

Φ( E ) = 1 − F ( E ) = P (W > E )

(4-57)

e igualando a cero y resolviendo, se obtiene:

P(W > E * ) = Φ( E * ) =

C iT

(4-58)

γ

Luego, fijado el valor de T y conocida la distribución de W, con esta ecuación se determina el valor de E*. La relación (4-58) da la probabilidad de faltante. El stock de seguridad se calcula aplicando (4-52), es decir (4-59) B = E * − µW

Observación. La expresión (4-58) describe la relación entre el nivel máximo de las existencias y los parámetros de costos del modelo, para un período T dado. Por ejemplo, si γ crece con respecto a C i, Φ( E * ) decrece y por lo tanto E* crece, la probabilidad de faltante decrece y el stock de seguridad crece; es decir es mejor tener stock que correr el riesgo de faltante. Esta relación es útil para comparar con el modelo de nivel de servicio, por ejemplo para determinar el costo de faltante equivalente de un cierto nivel de servicio fijado.

b) Costo fijo por atraso independiente de la cantidad faltante Indicando con ν al costo fijo por faltante, el valor esperado del costo de faltante en un ciclo está dado por ∞

ν P (W > E ) = ν ∫ f ( w)dw = ν Φ ( E ) E

35

(4-60)

Ve la Nota al final del Capítulo.

100


y el valor esperado del costo anual de faltante es

ν

Φ ( E) T

(4-61)

El valor esperado del costo total anual es entonces

CT ( E ) = C × D +

S T ×D Φ( E )   + Ci  E − − L × D  +ν T 2 T  

(4-62)

y el del costo total unitario resulta

CTU ( E ) = C +

S C  T ×D Φ( E )  + i E − − L × D  +ν T ×D D  2 T ×D 

(4-63)

Derivando, igualando a cero y resolviendo se obtiene

f (E* ) =

C iT

ν

(4-64)

puesto que ∂ Φ( E ) = − f ( E ) ∂E

(4-65)

donde f(w) es la fdp de W. Luego, fijado T y conocida la distribución de W se obtiene E*.

c) Costo por pérdida del suministro proporcional a la cantidad faltante Teniendo en cuenta que ahora Qr no puede ser negativa, de manera análoga a lo hecho en los casos anteriores se obtiene (Ejercicio)

P (W > E * ) =

C iT γ + C iT

(4-66)

que permite calcular E*.

d) Costo fijo por pérdida del suministro independiente de la cantidad faltante En forma similar se encuentra que el nivel óptimo de existencias E* es el que satisface

f (E* ) C iT = * ν 1 − P(W > E )

(4-67)

que se puede resolver por aproximaciones sucesivas, con las mismas observaciones ya realizadas para la (4-36).

Ejemplo 4-5 Un tanque destinado a distribución minorista se reabastece semanalmente desde los depósitos de la planta productora. Por lo tanto el plazo de provisión es cero. El costo semanal de mantenimiento de las existencias es de 20 $/m3 y el costo por atraso en las entregas de 500 $/m3. La demanda semanal (en miles de m3) tiene media igual a 2, desviación estándar igual a


101

1,4 y se estima que la distribución se puede aproximar por una Gamma. Determinar la capacidad mínima del depósito. Solución. La capacidad mínima del depósito se puede estimar por el nivel máximo óptimo E*. El valor de E* es el que satisface: C i T 20 $ / u.semana × 1 semana P (W > E * ) = = = 0,04 γ 500 $ / u Recordemos que la distribución Gamma, para una variable X genérica, está dada por: β  α α ( β x)α −1e − β x , x > 0 = f ( x) =  Γ(α ) con E( X ) = , V (X ) = 2 β β  = 0 , x≤0 donde, para α >1, vale la relación de recurrencia Γ(α) = (α – 1) Γ(α – 1), con Γ(1) = 1. Si β = 1 se tiene la distribución Gamma estándar  xα −1e − x = , x>0 con E( X ) = V ( X ) = α . f ( x) =  Γ(α )  = 0 , x≤0 Si α = k es un entero positivo resulta la distribución Erlang y Γ(k) = (k – 1)! En nuestro caso, dado que SW2 ≈ W = 2 se puede suponer que la distribución es Gamma

estándar con α = W = 2 , resultando la fdp: f(w) = w e – w. ∞

Entonces debe ser: P(W > E * ) = ∫ * we − w dw = e − E = 0,04 , de donde se obtiene E* = 3,22. *

E

La capacidad mínima requerida es 3.220 m3.

■ 4.5.2 Optimización conjunta del período y del nivel máximo de existencias Veamos el caso en que el faltante es una pérdida del suministro. El caso de atraso en las entregas se plantea de forma similar (Ejercicio).

Cálculo del valor medio de las existencias En este caso Qr no puede tomar valores negativos, es decir

= E − W Qr =  = 0

si W ≤ E

(4-68)

si W > E

Sobre la base de lo estudiado hasta aquí, es fácil ver que su valor esperado está dado por

E (Qr ) =

∫

E

0

∞

∞

( E − w) f ( w)dw = ∫ ( E − w) f ( w)dw − ∫ ( E − w) f ( w)dw = 0

∞

∞

E

∞

= E ∫ f ( w)dw − ∫ w f ( w)dw + ∫ ( w − E ) f ( w)dw = 0 0 E 44 42444 3 1 4243 1 42 4 43 4 1 =1

= µW

(4-69)

= µU

= E − (T + L) D + µU El stock de seguridad se define como el valor de E(Qr), es decir

102


B = E − µW + µU = E − (T + L) D + µU

(4-70)

La existencia media resulta entonces: Q=

T ×D T ×D + E − µW + µU = E − − L × D + µU 2 2

(4-71)

a) Costo por pérdida del suministro proporcional a la cantidad faltante El valor esperado del costo total anual es ahora

CT (T , E ) = C × D +

µ S T ×D   + C i E − − L × D + µU  + γ U T 2 T  

(4-72)


CTU (T , E ) = C +

µ S C  T ×D  + i E − − L × D + µU  + γ U = T ×D D  2 T ×D 

γ  S C  T ×D  C =C+ + i E − − L × D +  i + µU T ×D D  2   D T × D 

(4-73)

Para hallar los valores óptimos de E y T se deben resolver las ecuaciones que resultan de igualar a cero las derivadas parciales de (4-73). Sin embargo la derivada con respecto a T no puede ser obtenida en forma explícita porque µU es función de la distribución de W y ésta es función de T. El problema se resuelve con un procedimiento de búsqueda del mínimo. De igualar a cero la derivada con respecto a E de (4-73) se obtiene la siguiente ecuación que deben satisfacer los valores óptimos de E y T

C iT * P(W > E ) = γ + C iT* *

(4-74)

Entonces se procede como sigue: 1. Se le da un valor inicial a T, se determina la distribución de W para ese valor de T y se encuentra el correspondiente valor de E que satisfaga la ecuación (4-74). 2. Con la distribución de W se calcula µU con (4-44) (o con (4-46) si es Normal). 3. Con los valores de E, T y µU se calcula el costo total anual esperado con (4-73), y se registran los valores de T, E y CTU(T, E). 4. Se incrementa T en ∆T (o en –∆T) y se vuelve al paso 1. 5. Se repiten los pasos 1 a 4 hasta cubrir un intervalo de posibles valores de T. 6. Se busca el mínimo de los valores de CTU(T, E) obtenidos en el paso 3 y se obtienen los correspondientes valores de T* y E*.

b) Costo fijo por pérdida del suministro independiente de la cantidad faltante El problema se plantea de forma completamente similar a los casos anteriores (Ejercicio).


103

4.6 EL COSTO DE FALTANTE Y EL NIVEL DE SERVICIO Con las expresiones (4-58), (4-66) y (4-74) se puede calcular el riesgo de faltante asociado a un costo de faltante. Análogamente, si se trabaja con el modelo de revisión periódica con nivel de servicio y se ha fijado un riesgo de faltante y un valor para T, estas expresiones permiten estimar el costo de faltante equivalente. Si W tiene distribución N ( µW , σ W2 ) resulta lo siguiente. Sabemos del capítulo anterior que

µU = (1 − IPF ) × D × T = σ W E ( z )

(4-75)

de donde

IPF = 1 −

σW E( z) D ×T

⇔ E ( z ) = (1 − IPF )

D ×T

σW

(4-76)

Luego, si se han determinado E* y T* se puede calcular el riesgo de faltante RF = P(W > E*), con él encontrar E(z) en la tabla y con la (4-76) calcular el IPF equivalente. Análogamente, si se emplea el modelo de revisión periódica con nivel de servicio y se ha fijado un IPF y un valor para T, con (4-76) se calcula E(z) y en la tabla se encuentra el riesgo de faltante RF = P(W > E*). Luego, con (4-58), (4-66) y (4-74) se puede estimar el costo de faltante equivalente. El valor del costo equivalente puede ser un indicador para decidir sobre el nivel de servicio fijado y viceversa.

4.7 CASO DE ESTUDIO Una empresa importa un artículo que distribuye en todo el país. El pronóstico de la demanda anual tiene una media de 10.000 unidades y una varianza de 8.000. El costo de hacer la revisión de las existencias y colocar una orden de compra es de $ 35 y el costo unitario del artículo de $ 20. La empresa ha estimado que la tasa de mantenimiento de las existencias es del 20% anual y que cada unidad que no se entrega es una venta perdida que implica un costo de $ 10 por unidad. Debido a restricciones impuestas por el sistema de planificación del proveedor, a la frecuencia de los embarques y al tiempo de transporte, el plazo de entrega es de 4 meses. También por razones de planificación el proveedor exige que los pedidos se envíen en forma periódica, con un período fijo. El transporte permite realizar un embarque por quincena. El gerente de Compras considera razonable hacer un pedido mensual. En este sentido el análisis de los datos de la demanda pasada le permite estimar que la demanda durante el período de revisión más el plazo de entrega tiene distribución Normal. Sin embargo tiene varias dudas. ¿Es ése el mejor período de revisión?. Si no lo es, ¿cuál debería ser?. ¿Qué servicio en las entregas se estaría prestando al cliente?. ¿Qué significa realmente el costo de faltante estimado?

104


4.8 NOTA Recordemos la expresión general de la derivación bajo el signo de integral. La función integral

ψ ( y) = ∫

b( y )

a( y)

f ( x, y )dx

(4-77)

admite la derivada dada por b( y ) d b( y ) f ( x, y )dx = ∫ f y ( x, y )dx + f (b( y ), y )b′( y ) − f (a( y ), y )a′( y ) ∫ a( y) dy a ( y )

ψ ′( y) =

(4-78)

si se satisfacen ciertas hipótesis generales sobre continuidad de las funciones y existencia de ∂ f ( x, y ) . las derivadas,36 y donde f y ( x, y ) = ∂y En el caso en que los extremos de integración sean constantes a y b, resulta a′(y) = b′(y) = 0 y la (4-78) queda b d b f ( x, y )dx = ∫ f y ( x, y )dx ∫ a a dy

(4-79)

Para las integrales impropias del tipo

∫

+∞

a( y)

f ( x, y )dx = lim ∫

u

u →∞ a ( y )

f ( x, y )dx

(4-80)

la (4-78) queda +∞ d +∞ f ( x, y )dx = ∫ f y ( x, y )dx − f (a( y ), y )a′( y ) ∫ a( y) dy a ( y )

(4-81)

puesto que u es independiente de y. Se ha supuesto aquí que, además de cumplirse las condiciones de continuidad y existencia de las derivadas mencionadas antes, la integral del segundo miembro de (4-81) es uniformemente convergente.37 Dado que para las funciones que nos interesan en este tema se satisfacen las mencionadas hipótesis, la (4-81) se puede aplicar a la (4-13) resultando ∞ ∂ d  ∞ d  ∞ ( x − R) f ( x)dx  = x f ( x)dx − R ∫ f ( x)dx = µU = ∫ ∫  d R  R  R d R  R ∂R

=

∫

 ∞ d R  d R ∞ d R   ∂   = [x f ( x3)]dx − R f ( R) −  ∫R f ( x)dx + R ∫R 1 ∂R [ f ( x )]dx − f ( R ) 1424 424 3 dR dR d R   =0 =0   

∞

∂ R ∂R

∞ ∞ R = − R f ( R) − ∫ f ( x)dx + R f ( R) = − ∫ f ( x)dx = − 1 − ∫ f ( x)dx = −[1 − F ( R)] = −Φ( R)   R R −∞

Análogamente para la (4-56).

36

Cfr., por ejemplo, J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo, Análisis Matemático, Vol. II, Bs. As.: Kapelusz, 1957, pp. 456-458. 37 Cfr., por ejemplo, J. Rey Pastor et al., op. cit., pp. 460-464.


105

106


CAPÍTULO 5 MODELOS ESTOCÁSTICOS PARA PERÍODO ÚNICO 5.1 CONSIDERACIONES GENERALES En muchos casos se presenta la situación de tener que pedir o fabricar un lote de un producto para cubrir la demanda (aleatoria) de un único período. No hay posibilidades de hacer un nuevo pedido ni es económicamente conveniente almacenar el artículo para demandas futuras. Si al final del período la demanda resulta menor que la cantidad pedida quedarán unidades sin vender o usar (que deben liquidarse o devolverse) con el consiguiente costo. Por otra parte si la demanda resulta mayor se pierde la utilidad de las unidades que se podrían haber vendido de haberlas tenido, e inclusive se pueden perder clientes. El problema es entonces determinar la cantidad a pedir que maximice el beneficio esperado o minimice el costo esperado en el período. Dado que hay una única oportunidad de aprovisionamiento para un único período de demanda, es obvio que no son aplicables a este problema los modelos que suponen múltiples ciclos de abastecimiento y consumo. El problema de aprovisionamiento de período único se presenta cuando la demanda responde a alguna de estas características: a) Demanda incierta en un corto intervalo de tiempo de infrecuente repetición. Por ejemplo, promociones especiales. b) Demanda incierta en un corto intervalo de tiempo de frecuente repetición, de productos que no se pueden almacenar. Por ejemplo, artículos altamente perecederos (flores, pescado fresco, etc.), o de rápida obsolescencia (diarios, almanaques, árboles de navidad, etc.). Por asociación con el segundo caso el problema de período único se conoce con el nombre de problema del vendedor de diarios38 o problema del árbol de navidad.

5.2 MODELOS BASADOS EN BENEFICIOS La demanda es aleatoria pero se supone conocida su distribución de probabilidades. La cantidad más conveniente a comprar o fabricar será la que maximice el beneficio esperado al final del período. Si la demanda es discreta el problema se puede encarar como uno de toma de decisiones bajo condiciones de riesgo. Sin embargo si las alternativas de decisión son muchas, el método del análisis de decisiones puede ser muy engorroso. Un método más simple para obtener modelos para período único, que además permite trabajar con distribuciones continuas, es la aplicación del análisis marginal.39 5.2.1 Modelo sin costo de puesta a punto y sin existencia inicial El objetivo es determinar la cantidad Q, a comprar o fabricar al comienzo del período, que maximice el valor esperado del beneficio al final del período. Supondremos que el plazo de provisión es conocido, de manera que se puede liberar la orden con la anticipación necesaria como para asegurar el ingreso del lote al comienzo del período considerado. 38 39

Cabe destacar que en nuestro país los diarios que no se venden son devueltos, sin costo para el vendedor. Ver el Apéndice al final.


107

Nomenclatura X f(x)

= = µX = σX = X = SX = Q = C = P = V = γ = G(Q) = R(Q) = C(Q) =

Demanda en el período [u]. Función de densidad de probabilidad de X. Valor esperado de X. Desviación estándar de X. Valor medio muestral de X. Desviación estándar muestral de X. Cantidad a comprar o fabricar [u]. Costo variable unitario de compra o fabricación [$/u]. Precio unitario de venta [$/u]. Valor unitario de recupero por liquidación o devolución [$/u]. Costo unitario de faltante. Costo debido al descontento o pérdida del cliente [$/u]. Beneficio al final del período si se compra o fabrica una cantidad Q [$]. Ingreso total al final del período si se compra o fabrica una cantidad Q [$]. Costo total al final del período si se compra o fabrica una cantidad Q [$].

Además definiremos: Cm = P – C = contribución marginal de una unidad vendida. Pm = C – V = pérdida marginal por tener que liquidar una unidad no vendida al final del período. El valor esperado del beneficio en el período es la diferencia entre el valor esperado del ingreso y el valor esperado del costo: E[G (Q )] = E[ R (Q )] − E[C (Q )]

(5-1)

Cabe recordar que, para la toma de decisiones, los costos a considerar deben ser incrementales o marginales, es decir no deben incluir ninguna asignación de otros costos fijos o gastos generales. El valor esperado del ingreso es el valor esperado del ingreso por ventas de las unidades realmente vendidas o usadas, más el valor esperado del ingreso por recupero, por liquidación o devolución, de las unidades no vendidas. Teniendo en cuenta que X es la demanda y no la venta real la cantidad realmente vendida se puede expresar como sigue: la cantidad no vendida es Q – X, para X ≤ Q, y la cantidad realmente vendida es la cantidad disponible Q menos la cantidad no vendida, es decir Q – (Q – X) para X ≤ Q. Luego el valor esperado del ingreso es: Q Q E[ R(Q)] = P Q − ∫ (Q − x) f ( x)dx  + V ∫ (Q − x) f ( x)dx =   0 0

(5-2)

Q

= PQ − ( P − V ) ∫ (Q − x) f ( x)dx 0

El valor esperado del costo es el costo de compra o fabricación, más el valor esperado del costo por faltante, que es el costo debido al descontento del cliente, y que existe si X > Q. Cabe aclarar que el costo por las unidades faltantes, es decir las que se pierden de vender o usar, ya está incluido como pérdida de ingreso. Además no se considera costo de mantenimiento de las existencias porque en general el período es corto. Se tiene entonces: ∞

E[C (Q)] = CQ + γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx Q

108

(5-3)


Luego ∞

Q

E[G (Q)] = PQ − ( P − V ) ∫ (Q − x) f ( x)dx − CQ − γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx = 0

Q

Q

∞

0

Q

= ( P − C )Q − ( P − V ) ∫ (Q − x) f ( x)dx − γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx

(5-4)

que se puede escribir ∞ ∞ ∞ E[G (Q)] = ( P − C )Q − ( P − V )  ∫ (Q − x) f ( x) dx − ∫ (Q − x) f ( x) dx  − γ ∫ ( x − Q) f ( x) dx =  0  Q Q ∞

∞

0

0

= ( P − C )Q − ( P − V )Q ∫ f ( x) dx + ( P − V ) ∫ xf ( x)dx + ∞

∞

Q

Q

(5-5)

+( P − V ) ∫ (Q − x) f ( x) dx − γ ∫ ( x − Q ) f ( x)dx = ∞

∞

= ( P − C )Q − ( P − V )Q + ( P − V ) µ X + ( P − V ) ∫ (Q − x) f ( x)dx − γ ∫ ( x − Q) f ( x) dx = Q

Q

∞

∞

Q

Q

= (V − C )Q + ( P − V ) µ X − ( P − V ) ∫ ( x − Q) f ( x )dx − γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx

Es decir, finalmente ∞

E[G (Q)] = ( P − V ) µ X − (C − V )Q − [( P − V ) + γ ]∫ ( x − Q) f ( x)dx Q

(5-6)

El análisis marginal nos dice que el máximo se obtiene para el valor de Q que anule la derivada del valor esperado de la contribución marginal, es decir que anule la derivada de E[G(Q)] con respecto a Q, esto es:

∂E[G (Q)] ∂  ∞ = −(C − V ) − [( P − V ) + γ ] ( x − Q) f ( x)dx  = 0  ∂Q ∂Q  ∫Q

(5-7)

La derivada de la última integral es

∂  ∞ ( x − Q) f ( x)dx  =  ∂Q  ∫Q

∂ dQ [ ( x − Q) f ( x)]dx − (Q − Q) f (Q) = Q ∂Q dQ

∫

∞

∞

(5-8)

= − ∫ f ( x)dx = − P( X > Q) = −Φ (Q) Q

donde Φ(Q) = 1 – F(Q), y F(x) es la fda de X. Luego

∂E[G (Q)] = −(C − V ) + [( P − V ) + γ ]Φ (Q) = 0 ∂Q

(5-9)

de donde, teniendo en cuenta que P – V = P – C + C – V = Cm + Pm, resulta

Φ(Q* ) = P ( X > Q * ) =

C −V Pm = P − V + γ Cm + Pm + γ

(5-10)

expresión que permite obtener el valor de Q* con la distribución de X. Para verificar que efectivamente se trata de un máximo absoluto calculemos la derivada segunda:


109

∂ 2 E[G (Q)] ∂  ∞ = [( P − V ) + γ ] f ( x)dx  = 2  ∂Q ∂Q  ∫Q  ∞ ∂ dQ  f ( x)dx − f (Q) = = [( P − V ) + γ ] ∫ dQ   Q ∂Q = −[(1 P2 −3 V ) + γ ] f (Q) ≤ 0 123 >0

(5-11)

≥0

Puesto que siempre P > V, la función E[G(Q)] es estrictamente cóncava para todo valor de Q que no anule la función de densidad de probabilidad f(x). Luego el máximo se produce en Q*. Frecuentemente en los problemas de período único no hay costo de faltante y por lo tanto

γ = 0, quedando

P( X > Q* ) =

Pm Cm + Pm

(5-12)

Si X es discreta, en general no se encontrará un valor Q que verifique la igualdad. En ese caso se toma P( X > Q* ) ≤

Pm Cm + Pm

(5-13)

El procedimiento es entonces: a) Determinar los valores de Cm y Pm y calcular Pm / (Cm + Pm). b) Con la distribución de X hallar el valor de Q* tal que P(X > Q*) sea el valor igual o inmediato inferior a Pm / (Cm + Pm). La probabilidad P(X > Q*) es el riesgo de faltante.

Observaciones 1. Cabe destacar que este modelo y el siguiente, a diferencia de todos los demás estudiados, son de maximización del beneficio en lugar de minimización del costo. 2. Conocidas las características de concavidad de la función beneficio este resultado puede ser rápidamente obtenido con el siguiente razonamiento. Dado un determinado nivel de existencias Q, de acuerdo al análisis marginal se agregaría una unidad adicional sólo si su beneficio marginal esperado es igual que la pérdida marginal esperada. Sea P(X > Q) la probabilidad de que la demanda sea mayor que un dado nivel de existencias Q. Es la probabilidad de vender al menos una unidad más. Entonces 1 – P(X > Q) es la probabilidad de que la demanda sea menor o igual que la existencia. El beneficio marginal por vender una unidad más es Cm y la pérdida marginal por no venderla Pm. Entonces conviene agregar una unidad adicional si P ( X > Q)Cm = [1 − P ( X > Q)]Pm = Pm − P ( X > Q) Pm

(5-14)

de donde

110


P ( X > Q)(Cm + Pm ) = Pm

⇒ P( X > Q) =

Pm Cm + Pm

(5-15)

que es el resultado ya obtenido. Vale la misma consideración anterior si X es discreta.

Ejemplo 5-1 Un artículo se vende únicamente para las fiestas de fin de año. Se comercializa en cajas de 10 unidades. El costo de compra es de 2 $/u y el precio de venta es de 5 $/u. El costo fijo del pedido es despreciable. Todo artículo no vendido al final del período puede ser liquidado a 1 $/u. Se estima que las ventas serán similares a las de años anteriores, de cuyos registros se ha determinado la distribución de frecuencias que se indica a continuación. Demanda X 10 20 30 40 50 60

Frecuencia 0,05 0,10 0,20 0,35 0,20 0,10

1 – Frec. Acum. 0,95 0,85 0,65 0,30 0,10 0,00

Resulta: Cm = 5 – 2 = 3 $/u Pm = 2 – 1 = 1 $/u Pm 1 P( X > Q* ) ≤ = = 0,25 Cm + Pm 3 + 1 Entrando en la tabla de frecuencias acumuladas, se encuentra Q* = 50 u.

■ 5.2.2 Modelo sin costo de puesta a punto y con existencia inicial En este caso el valor Q será la cantidad disponible al comienzo del período. La cantidad a comprar o fabricar será entonces Q – q0, donde q0 es la existencia inicial al comienzo del período. La función E[G(Q)] se debe modificar teniendo en cuenta que el valor esperado del costo es ahora40 ∞

E[C (Q)] = C (Q − q0 ) + γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx

(5-16)

Q

resultando Q

∞

0

Q

E[G (Q)] = PQ − ( P − V ) ∫ (Q − x) f ( x)dx − C (Q − q0 ) − γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx

(5-17)

La determinación de Q* se realiza de manera totalmente análoga al caso anterior. La regla de decisión que resulta es “pedir hasta Q* ”, es decir: Si Q* > q0 pedir Q* – q0. Si Q* ≤ q0 no pedir nada.

40

Seguiremos usando los nombres E[C(Q)] y E[G(Q)] si bien las funciones no son las mismas.


111

5.2.3 Modelo con costo de puesta a punto y existencia inicial Supongamos ahora que, para comprar o fabricar el lote necesario, hay un costo fijo de pedido o de puesta a punto S. Sea E[G(Q)] el valor esperado del beneficio sin incluir el costo de puesta punto. Luego el valor esperado del beneficio total será en este caso: E[ H (Q )] = E[G (Q )] − S

(5-18)

Puesto que S es una constante, las condiciones de concavidad de la función E[H(Q)] son las mismas que las de E[G(Q)] y el valor Q* que da el máximo también resulta el mismo. Sin embargo el beneficio total esperado es ahora menor, y si S es muy grande puede llegar a no ser conveniente la producción del lote. Para analizar el problema definamos el valor q* tal que (Figura 5-1): E[G(Q)]

E[G (q * )] = E[G (Q * )] − S = E[ H (Q * )]

(5-19)

Es evidente que si la existencia inicial tiene un valor tal que q* < q0 < Q*, resulta

E[G (q0 )] > E[G (Q * )] − S = E[ H (Q * )]

q*

(5-20)

y no conviene producir o pedir ningún lote: las existencias iniciales generan un beneficio esperado mayor. Si en cambio q0 < q* resulta Q*

E[G (q0 )] < E[G (Q * )] − S = E[ H (Q * )]

Figura 5-1

(5-21)

y conviene fabricar o pedir Q* – q0.

La regla de decisión es entonces “pedir hasta Q* ”, es decir: Si q0 < q* pedir Q* – q0. Si q0 ≥ q* no pedir nada.

5.3 MODELOS BASADOS EN COSTOS Hay casos, como cuando el producto está destinado a uso interno, en los que no se puede calcular un beneficio y por lo tanto la determinación del valor óptimo de Q se debe hacer sobre la base del valor esperado del costo.

5.3.1 Modelo sin costo de puesta punto y sin existencia inicial El valor esperado del costo en el período es el costo de compra o fabricación, más el valor esperado del costo de faltante (insatisfacción del cliente), menos el valor esperado de recupero por la liquidación o devolución de las unidades no usadas al final del período. Es decir: ∞

Q

Q

0

E[CT (Q)] = CQ + γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx − V ∫ (Q − x) f ( x)dx

(5-22)

En forma completamente similar a lo realizado en el modelo de beneficio, se puede demostrar que esta función es estrictamente convexa para todo valor de Q que no anule la función f(x). Luego, igualando a cero la derivada con respecto a Q se obtiene

112


P( X > Q* ) =

C −V γ −V

(5-23)

que permite hallar, con la distribución de X, el valor Q* que minimiza el costo esperado. Cabe observar que si C ≥ γ entonces necesariamente P(X > Q*) = 1 y resulta Q* = 0. Si X es discreta, en general no se encontrará un valor Q que verifique la igualdad. En ese caso se toma P( X > Q* ) ≤

C −V γ −V

(5-24)

El procedimiento es entonces (si γ > C): a) Calcular (C – V ) / (γ – V ). b) Con la distribución de X hallar el mínimo valor de Q* tal que P(X > Q*) sea el valor igual o inmediato inferior a (C – V) / (γ – V). La probabilidad P(X > Q*) es el riesgo de faltante. Ejemplo 5-2 Se está por decidir la compra de una nueva máquina. El fabricante asegura que la probabilidad de falla de un cierto elemento de la máquina, durante la vida útil de la misma, es la que se indica en la tabla siguiente. Si se compran unidades de repuesto del elemento junto con la máquina, cada una cuesta $ 80. Si en cambio se debe comprar el repuesto cuando el elemento falla, cuesta $ 500. El costo de almacenamiento es despreciable, igual que el valor de recupero. ¿Cuántas unidades de repuesto convienen comprar? Nº de fallas X 0 1 2 3

Probabilidad 0,30 0,50 0,15 0,05

1 – Prob. Acum. 0,70 0,20 0,05 0,00

En este caso es: C = 80 $/u. γ = 500 $/u. V = 0 Luego, dado que cada falla implica la utilización de una unidad de repuesto, debe ser C −V 80 P( X > Q* ) ≤ = = 0,16 γ − V 500 Entrando en la tabla con este valor se obtiene Q* = 2. ■ 5.3.2 Modelo sin costo de puesta a punto y con existencia inicial En este caso el valor Q será la cantidad disponible al comienzo del período. La cantidad a comprar o fabricar será entonces Q – q0, donde q0 es la existencia inicial al comienzo del


113

período. La función valor esperado del costo se debe modificar para incorporar esta situación:41 ∞

Q

Q

0

E[CT (Q)] = C (Q − q0 ) + γ ∫ ( x − Q) f ( x)dx − V ∫ (Q − x) f ( x)dx

(5-25)

La determinación de Q* se hace de manera análoga al caso anterior. La regla de decisión que resulta es “pedir hasta Q* ”, es decir: Si Q* > q0 pedir Q* – q0. Si Q* ≤ q0 no pedir nada.

5.3.3 Modelo con costo de puesta a punto y existencia inicial Supongamos que hay un costo fijo de pedido o de puesta a punto, S, para comprar o fabricar el lote necesario. Sea E[CT(Q)] el valor esperado del costo sin incluir el costo de puesta punto. Luego el valor esperado del costo total será: E[ K (Q )] = E[CT (Q )] + S

(5-26)

Puesto que S es una constante, las condiciones de convexidad de la función E[K(Q)] son las mismas que las de E[CT(Q)] y el valor Q* que da el mínimo también resulta el mismo. Sin embargo el costo total esperado es ahora mayor, y si S es muy grande puede llegar a no ser conveniente la producción del lote. Como en el caso anterior, para analizar el problema definamos el valor E[CT(Q)] q* tal que (Figura 5-2): E[CT (q * )] = E[CT (Q * )] + S = E[ K (Q * )]

(5-27)

Si la existencia inicial es q* < q0 < Q* es evidente que

E[CT (q0 )] < E[CT (Q * )] + S = E[ K (Q * )]

q*

Q*

Figura 5-2

Q

(5-28)

y no conviene producir o pedir ningún lote: el costo esperado sería mayor que el de las existencias iniciales. Si en cambio q0 < q* resulta

E[CT (q0 )] > E[CT (Q * )] + S = E[ K (Q * )]

(5-29)

y conviene fabricar o pedir Q* – q0. La regla de decisión es entonces “pedir hasta Q* ”, es decir: Si q0 < q* pedir Q* – q0. Si q0 ≥ q* no pedir nada.

41

Aquí también seguiremos usando el nombre E[CT(Q)] aunque la función no es la misma.

114


5.4 APÉNDICE – ELEMENTOS DE ANÁLISIS MARGINAL Supongamos un producto del que se venden x unidades mensuales a un determinado precio unitario. Sea R(x) el retorno total por ventas, y sea C(x) el costo total de producción o de compra. Usualmente el costo total está compuesto por un costo fijo Cf , independiente de la cantidad, y un costo variable Cv(x), es decir C ( x ) = C f + Cv ( x )

(5-30)

El beneficio por la venta total es entonces G ( x) = R ( x) − [C f + Cv ( x)]

(5-31)

En todo lo que sigue supondremos que las funciones son derivables con respecto a x en un intervalo abierto conveniente. Se define el ingreso marginal como la variación de R(x) con x, es decir: R(x)

d R( x) dx

R(x) Ingreso marginal

∆R = Ingreso extra por una unidad más

∆x = 1

x

x

x+1

(5-32)

que es aproximadamente el ingreso extra al vender una unidad más. Es decir (ver Figura 5-3) d R ( x) ∆ R ( x ) ≈ = R ( x + 1) − R( x) dx ∆x

(5-33)

Análogamente, el costo marginal de producción o compra se define como d C ( x ) d Cv ( x ) = dx dx

Figura 5-3

(5-34)

que es aproximadamente el costo extra por fabricar o comprar una unidad más. El beneficio marginal o contribución marginal es la variación de G(x) con x, es decir, derivando la (5-31)

d G ( x ) d R ( x ) d Cv ( x ) = − dx dx dx

(5-35)

Los valores marginales se utilizan para aproximar los ingresos, costos y contribuciones por vender una unidad adicional. Si las funciones son lineales los valores marginales coinciden con los respectivos incrementos por vender una unidad más. Si el precio unitario P y el costo variable unitario C son constantes independientes de la cantidad, es decir R ( x) = P x y Cv ( x) = C x , resulta para la contribución marginal la conocida expresión d G ( x) = P −C dx

(5-36)

Si G(x) es estrictamente cóncava, la ganancia máxima se obtiene cuando


115

d G ( x ) d R ( x ) d Cv ( x ) = − =0 dx dx dx

⇒

d R ( x ) d Cv ( x ) = dx dx

(5-37)

es decir cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. Este importante resultado es la base del análisis marginal.

116


ANEXO TABLA DE PROBABILIDADES DE FALTANTES Y DE UNIDADES FALTANTES (DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA) FACTOR DE SEGURIDAD z 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 1,100 1,200 1,282 1,300 1,400 1,500 1,600 1,645 1,700 1,800 1,881 1,900 2,000 2,054 2,100 2,200 2,300 2,327 2,400 2,500 2,600 2,700 2,800 2,900 3,000 3,100 3,200 3,300 3,400 3,500 3,600 3,700 3,800 3,900 4,000 4,100 4,200 4,300 4,400 4,500 4,600 4,700 4,800 4,900 5,000

PROBABILIDAD DE FALTANTE P(Z > z) 0,50000 0,46017 0,42074 0,38209 0,34458 0,30854 0,27425 0,24196 0,21186 0,18406 0,15866 0,13567 0,11507 0,10000 0,09680 0,08076 0,06681 0,05480 0,05000 0,04457 0,03593 0,03000 0,02872 0,02275 0,02000 0,01786 0,01390 0,01072 0,01000 0,00820 0,00621 0,00466 0,00347 0,00256 0,00187 0,00135 0,00097 0,00069 0,00048 0,00034 0,00023 0,00016 0,00011 0,00007 0,00005 0,00003 0,00002 0,00001 0,00001 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

FUNCIÓN INT. DE PÉRDIDA E(z) 0,39894 0,35094 0,30689 0,26676 0,23044 0,19780 0,16867 0,14288 0,12021 0,10043 0,08332 0,06862 0,05610 0,04734 0,04553 0,03667 0,02931 0,02324 0,02089 0,01829 0,01428 0,01162 0,01105 0,00849 0,00735 0,00647 0,00489 0,00366 0,00339 0,00272 0,00200 0,00146 0,00106 0,00076 0,00054 0,00038 0,00027 0,00019 0,00013 0,00009 0,00006 0,00004 0,00003 0,00002 0,00001 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

FACTOR DE SEGURIDAD z -5,000 -4,900 -4,800 -4,700 -4,600 -4,500 -4,400 -4,300 -4,200 -4,100 -4,000 -3,900 -3,800 -3,700 -3,600 -3,500 -3,400 -3,300 -3,200 -3,100 -3,000 -2,900 -2,800 -2,700 -2,600 -2,500 -2,400 -2,327 -2,300 -2,200 -2,100 -2,054 -2,000 -1,900 -1,881 -1,800 -1,700 -1,645 -1,600 -1,500 -1,400 -1,300 -1,282 -1,200 -1,100 -1,000 -0,900 -0,800 -0,700 -0,600 -0,500 -0,400 -0,300 -0,200 -0,100 0,000

PROBABILIDAD DE FALTANTE P(Z > z) 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 0,99999 0,99999 0,99999 0,99998 0,99997 0,99995 0,99993 0,99989 0,99984 0,99977 0,99966 0,99952 0,99931 0,99903 0,99865 0,99813 0,99744 0,99653 0,99534 0,99379 0,99180 0,99000 0,98928 0,98610 0,98214 0,98000 0,97725 0,97128 0,97000 0,96407 0,95543 0,95000 0,94520 0,93319 0,91924 0,90320 0,90000 0,88493 0,86433 0,84134 0,81594 0,78814 0,75804 0,72575 0,69146 0,65542 0,61791 0,57926 0,53983 0,50000

FUNCIÓN INT. DE PÉRDIDA E(z) 5,00000 4,90000 4,80000 4,70000 4,60000 4,50000 4,40000 4,30000 4,20000 4,10000 4,00001 3,90001 3,80002 3,70003 3,60004 3,50006 3,40009 3,30013 3,20019 3,10027 3,00038 2,90054 2,80076 2,70106 2,60146 2,50200 2,40272 2,32989 2,30366 2,20489 2,10647 2,06100 2,00849 1,91105 1,89242 1,81428 1,71829 1,66579 1,62324 1,52931 1,43667 1,34553 1,32889 1,25610 1,16862 1,08332 1,00043 0,92021 0,84288 0,76867 0,69780 0,63044 0,56676 0,50689 0,45094 0,39894

Fuente: Cálculos propios con MS Excel.

z = Factor de seguridad. Número de desviaciones estándar de la demanda durante el plazo de provisión. P(Z > z) = Riesgo de faltante. Probabilidad de que la demanda estandarizada durante el plazo de provisión supere a z. E(z) = Función integral de pérdida de la distribución Normal estandarizada.


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Gestión de Stocks (2007)

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