Germano 1

APPUNTI DI AEROGASDINAMICA B CAPITOLO 1 DERIVAZIONE DELLE EQUAZIONI DI BILANCIO M. Germano Dip. di Ing. Aeronautica e Spaziale Politecnico di Torino

1

Contents 1 Cenni di meccanica statistica 1.1 Funzione di distribuzione molecolare . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bilancio di massa e di quantit` a di moto 2.1 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . 2.2 Equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . 2.3 Interpretazione cinetica degli sforzi viscosi 2.4 Viscosit` a di un gas e di una miscela . . .

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3 3 5 6 9 10 14 16

3 Bilancio dell’energia 18 3.1 Interpretazione cinetica dei flussi di calore . . . . . . . . . . . 21 4 APPENDICE al capitolo 1 23 4.1 Atto di moto elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Streamlines, pathlines, streaklines. . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Riepilogo equazioni di bilancio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

1

Cenni di meccanica statistica

Il significato fisico delle grandezze termodinamiche e di campo utilizzate nella descrizione fenomenologica di un flusso va ricercato nella descrizione e nella interpretazione statistica del comportamento di un gas1 . Le propriet` a fenomenologiche, di larga scala, dei gas sono direttamente legate alla struttura delle molecole che li compongono e alle loro interazioni. Notiamo che alla pressione di 1.013bar e alla temperatura di 273.15K una Mole di gas occupa 22.4m3 e contiene 6.02 · 1026 molecole, (numero di Avogadro), il che avvisa che una descrizione dettagliata del moto delle singole molecole è praticamente impossibile ed impone una descrizione statistica.

1.1

Funzione di distribuzione molecolare

La descrizione statistica è basata su funzioni di distribuzione molecolare. Definiamo come dN = f (x, y, z, u, v, w, t) dudvdw (1) il numero dN di molecole per unit` a di volume aventi velocità compresa nell’intervallo u ÷ u + du, v ÷ v + dv, w ÷ w + dw, dove si intende che il riferimento geometrico utilizzato è quello Cartesiano. Dalla definizione discende che la densità di molecole N (x, y, z, t), numero di molecole per unit` a di volume, è data dall’integrale su tutte le possibili velocità N (x, y, z, t) =

Z

dN =

Z

∞

du

Z

∞

dv

−∞

−∞

Z

∞

f (x, y, z, u, v, w, t) dw

(2)

−∞

mentre la densità di massa ̺ è data da ̺ (x, y, z, t) = mN (x, y, z, t)

(3)

essendo m la massa molecolare delle singole molecole. Attraverso sempre la funzione di distribuzione f (x, y, z, u, v, w, t) possiamo inoltre calcolare le componenti u ¯, v¯, w ¯ della velocità media o d’insieme delle molecole, quelle effettivamente misurate a livello macroscopico, date dagli integrali 1 u ¯ (x, y, z, t) = N 1

Z

1 udN = N

Z

uf dudvdw

Gas:voce foggiata (1600) dal chimico J. B. Van Helmont col significato di vapore sottile dal latino chaos, greco χαos, massa informe, che gi` a Paracelso aveva usato in senso simile. (dal Dizionario Enciclopedico Treccani)

3

1 1 vdN = vf dudvdw N N Z Z 1 1 w ¯ (x, y, z, t) = wdN = wf dudvdw N N dove si è introdotta la simbologia compatta Z

v¯ (x, y, z, t) =

Z

dudvdw =

Z

Z

∞

du

Z

∞

dv

−∞

−∞

Z

∞

dw

−∞

Adottando il punto di vista statistico possiamo quindi pensare che la velocità di ogni molecola, espressa in componenti cartesiane dai valori u, v, w, sia la somma di due contributi, uno statistico, di campo, che corrisponde punto per punto alla velocit` a media globale di un gran numero di molecole e che abbiamo indicato come u ¯, v¯, w ¯ ed uno fluttuante, a valor medio nullo, e che corrisponde alla cosiddetta agitazione termica, dato dalle componenti ′ ′ ′ u ,v ,w ′ ′ ′ u=u ¯ + u v = v¯ + v w = w ¯+w (4) E’ chiaro per quanto detto che ′

u =0

′

v =0

′

w =0

(5)

mentre l’energia complessiva traslazionale media per molecola pu` o essere scomposta nelle due parti

′

′

′

′

′

m u u +v v +w w m (uu + vv + ww) m (¯ uu ¯ + v¯v¯ + w ¯ w) ¯ = + 2 2 2

′

(6)

La prima rappresenta chiaramente la parte baricentrale di larga scala, mentre la seconda ′ ′ ′ ′ ′ ′ m u u +v v +w w εt = (7) 2 definisce l’energia interna traslazionale media per molecola εt . Si pu` o infine definire una velocit` a equivalente di agitazione termica vat data da vat =

4

2εt m

1 2

(8)

1.2

Equilibrio termodinamico

In condizioni di equilibrio termodinamico assoluto2 la funzione di distribuzione molecolare feq (u, v, w) acquista un valore ben preciso, universale, che dipende unicamente dalla temperatura assoluta T del gas in esame. La sua forma esplicita è data dalla meccanica statistica e corrisponde al prodotto di tre gaussiane, una per ogni componente della velocità, centrate intorno ai rispettivi valori medi u ¯, v¯, w. ¯ Si ha kB T m ′ ′ ′ ′ ′ ′ uv =vw =wu =0 u′ u′ = v ′ v ′ = w′ w′ =

(9)

dove kB è la costante di Boltzmann kB = 1.38 · 10−23 joule/Kelvin/molecola

(10)

e l’energia media traslazionale per molecola è data da m (¯ uu ¯ + v¯v¯ + w ¯ w) ¯ 3kB T m (uu + vv + ww) = + 2 2 2

(11)

Si ha quindi che l’energia interna traslazionale media per molecola, εt , è data da 3 εt = kB T (12) 2 mentre quella per mole è data da 3 Et = NA εt = RT 2

(13)

dove R è la costante universale dei gas R = 8.314 · 103 joule/Kelvin/M ole

(14)

e Et l’energia interna traslazionale molare, cioè quella posseduta da un numero di molecole pari al numero di Avogadro NA NA = 6.02 · 1026 molecole/M ole 2

(15)

Uguale pressione p, temperatura T , composizione chimica e velocit` a media u ¯, v¯, w ¯ dappertutto. La funzione di distribuzione molecolare d’equilibrio feq diventa quindi indipendente sia dallo spazio che dal tempo.

5

Figure 1: Volume di controllo Si deduce di conseguenza che kB =

R NA

(16)

e in base alla (12) ricaviamo la velocità di agitazione termica vat vat =

2εt m

1 2

=

3kB T m

1

2

=

3RT M

1

2

(17)

dove M è la massa molare del gas M = mNA . E’ interessante confrontare vat con la velocit` a di propagazione del suono c c=

γRT M

1 2

(18)

dove γ è il rapporto dei calori specifici.

2

Bilancio di massa e di quantit` a di moto

Notiamo subito che la struttura di una equazione di bilancio è del tutto generale e pu` o essere ricondotta, vedi figura (1), ad un semplice pareggio tra variazioni temporali, flussi e produzioni delle varie grandezze. Se infatti indichiamo con G una generica grandezza per unit` a di volume, la massa delle molecole per unit` a di volume, la quantità di moto delle molecole per unit` a di volume, l’energia delle molecole per unit` a di volume,

6

allora la quantit` a relativa contenuta nel cubetto di controllo dxdydz è data da Gdxdydz, e la sua variazione nel tempo è data da ∂ (Gdxdydz) ∂t

∂Φx = Φx dydz − Φx + dx dydz ∂x ∂Φy dy dxdz + Φy dxdz − Φy + ∂y ∂Φz + Φx dydz − Φz + dz dxdy + P dxdydz ∂z

(19)

dove Φx , Φy , Φz indica il flusso della stessa attraverso le superfici di contorno e P la eventuale produzione per unit` a di tempo e di volume. Si ottiene ∂Φz ∂G ∂Φx ∂Φy + + + =P ∂t ∂x ∂y ∂z

(20)

Consideriamo ora il bilancio 1 della massa delle molecole, e notiamo che nei termini della funzione f la massa di molecole per unit` a di volume G e i flussi Φx , Φy , Φz relativi alle varie direzioni x, y, z sono dati da G = m Φx = m Φy = m Φz = m

Z

Z

Z

Z

dN = mN = ̺ udN = ̺

1 N

Z

ud = ̺¯ u

vdN = ̺¯ v wdN = ̺w ¯

(21)

mentre la produzione P è ovviamente nulla, per cui si ottiene u ∂̺¯ v ∂̺w ¯ ∂̺ ∂̺¯ + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

(22)

Se ora indichiamo con Gx la quantità di moto per unit` a di volume delle molecole lungo la direzione x, con Φxx , Φxy , Φxz i relativi flussi attraverso le 1

Ricordiamo il significato della simbologia compatta

Z

dudvdw =

Z

∞

du

−∞

7

Z

∞

−∞

dv

Z

∞

−∞

dw

superfici di contorno, con Px la produzione di quantità di moto per unit` a di volume e di tempo, abbiamo, in assenza di forze esterne Gx = m Φxx = m Φxy = m Φxz = m Px = 0

Z

Z

Z

Z

udN = ̺¯ u uudN = ̺

1 N

Z

′

′

uu ¯ + ̺u u uudN = ̺uu = ̺¯

uvdN = ̺uv = ̺¯ uv¯ + ̺u′ v ′ uw ¯ + ̺u′ w′ uwdN = ̺uw = ̺¯ (23)

per cui si ottiene ∂̺¯ u ∂̺¯ uu ¯ ∂̺¯ uv¯ ∂̺¯ uw ¯ ∂̺u′ u′ ∂̺u′ v ′ ∂̺u′ w′ + + + =− − − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

(24)

Analogamente avremo per i bilanci di quantità di moto lungo le direzioni y e z per cui si ottiene vu ¯ ∂̺¯ v v¯ ∂̺¯ vw ¯ ∂̺v ′ u′ ∂̺v ′ v ′ ∂̺v ′ w′ ∂̺¯ v ∂̺¯ + + + =− − − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ′

′

′

′

′

∂̺w ¯ ∂̺w¯ ¯ u ∂̺w¯ ¯ v ∂̺w ¯w ¯ ∂̺w u ∂̺w v ∂̺w w + + + =− − − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

(25) ′

(26)

Notiamo che nelle equazioni di bilancio della quantità di moto del moto medio i termini fx , fy , fz fx = −

∂̺u′ u′ ∂̺u′ v ′ ∂̺u′ w′ − − ∂x ∂y ∂z

fy = −

∂̺v ′ v ′ ∂̺v ′ w′ ∂̺v ′ u′ − − ∂x ∂y ∂z

fz = −

∂̺w′ v ′ ∂̺w′ w′ ∂̺w′ u′ − − ∂x ∂y ∂z

appaiono ora come forze esterne per unit` a di volume, avendosi uu ¯ ∂̺¯ uv¯ ∂̺¯ uw ¯ ∂̺¯ u ∂̺¯ + + + = fx ∂t ∂x ∂y ∂z 8

(27)

vu ¯ ∂̺¯ v v¯ ∂̺¯ vw ¯ ∂̺¯ v ∂̺¯ + + + = fy ∂t ∂x ∂y ∂z ∂̺w ¯ ∂̺w¯ ¯ u ∂̺w¯ ¯ v ∂̺w ¯w ¯ + + + = fz ∂t ∂x ∂y ∂z (28)

2.1

Equazioni di Eulero

Nelle equazioni sopra scritte compaiono oltre alle grandezze ̺, u ¯, v¯, w, ¯ anche le sei grandezze ̺u′ u′

̺v ′ v ′

̺w′ w′

̺u′ v ′

̺u′ w′

̺v ′ w′

che hanno le dimensioni di sforzi, forze per unit` a di superficie, e che vanno calcolate. Nel caso di equilibrio termodinamico assoluto, (equilibrio chimico, meccanico, termico, e quindi assenza di qualsiasi anisotropia o disomogeneità nelle grandezze che descrivono lo stato del gas compreso il campo di velocità del moto medio u ¯, v¯, w), ¯ abbiamo visto che u′ v ′ = 0

u′ w′ = 0

v ′ w′ = 0

(29)

kB T m

(30)

u′ u′ = v ′ v ′ = w′ w′ = Dalla legge dei gas perfetti si ha N kB T = ̺

R p T = M ̺

(31)

con p pressione del gas, e quindi si ottiene ̺u′ v ′ = 0

̺u′ w′ = 0

̺v ′ w′ = 0

̺u′ u′ = ̺v ′ v ′ = ̺w′ w′ = p

(32) (33)

Le equazioni di bilancio ottenute sotto questa ipotesi sono le cosiddette equazioni di Eulero e sono esplicitamente date dalle espressioni uu ¯ ∂̺¯ uv¯ ∂̺¯ uw ¯ ∂p ∂̺¯ u ∂̺¯ + + + =− ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x vu ¯ ∂̺¯ v v¯ ∂̺¯ vw ¯ ∂p ∂̺¯ v ∂̺¯ + + + =− ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ¯ u ∂̺w¯ ¯ v ∂̺w ¯w ¯ ∂p ∂̺w ¯ ∂̺w¯ + + + =− ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z (34) 9

In esse si fa sentire l’effetto dell’agitazione termica unicamente sotto forma di forze di pressione. Lo sforzo esercitato su di una parete è normale ad essa e non dipende dall’orientamento della superficie nello spazio, (legge di Pascal).

2.2

Equazioni di Navier-Stokes

In realt` a l’agitazione termica non soltanto contribuisce alla energia interna del gas con la parte traslazionale Et Et =

M u′ u′ + v ′ v ′ + w′ w′ 2

(35)

e alla dinamica del moto medio con le forze di pressione p p = ̺u′ u′ = ̺v ′ v ′ = ̺w′ w′ =

2 N εt 3

(36)

ma contribuisce anche al trasporto caotico da punto a punto di massa, quantit` a di moto ed energia del moto medio, dando luogo come vedremo agli effetti diffusivi, viscosi e conduttori di calore. Questi effetti si manifestano in presenza di gradienti di velocità del moto medio, di temperatura e di concentrazione.In questi casi l’equilibrio termodinamico per la funzione f non è pi` u assicurato ed essa non ha pi` u una forma universale ma va calcolata caso per caso seguendo l’evoluzione delle molecole nello spazio-tempo e l’effetto degli urti su di esse. Essendo f = f (x, y, z, u, v, w, t), la sua variazione totale nel tempo è data da ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f +u +v +w + ax + ay + az =J ∂t ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w

(37)

dove le componenti cartesiane dell’accelerazione ax , ay , az sono legate alla forza esercitata dall’esterno sulle molecole, Fx , Fy , Fz ax =

Fx m

ay =

Fy m

az =

Fz m

(38)

e dove il termine J è il cosiddetto termine collisionale, che descrive l’effetto degli urti sulla f . L’equazione (37) è detta equazione di Boltzmann e le sue proprietà e la forma esplicita del termine J possono essere esaminate sui libri di teoria cinetica dei gas ad essa dedicati, vedi per esempio [1].La sua risoluzione è in generale molto complessa e in questa sede ci limiteremo ad 10

alcune considerazioni di scala utili ad interpretare soluzioni perturbative che vanno sotto il nome di soluzioni di Chapman e Enskog. Notiamo innanzitutto che una grandezza fondamentale per quel che riguarda la evoluzione spazio-temporale di f è il libero cammino medio molecolare l, definito come la distanza mediamente percorsa tra due urti successivi da una molecola. Al fine di determinare questa lunghezza calcoliamo innanzitutto il numero medio di collisioni che una molecola subisce nell’unità di tempo.Se indichiamo questa grandezza con ϑ, essa sar` a data dal numero di molecole spazzate mediamente da una molecola lungo il suo cammino per unit` a di tempo.Se notiamo che il volume spazzato durante l’unit` a di tempo è dato da vat σ, dove σ è la sezione d’urto della molecola, il suo ingombro frontale, allora si ha evidentemente ϑ = N vat σ (39) essendo N il numero di molecole per unit` a di volume. Notiamo che la sezione d’urto molecolare relativa ad incontri a due a due è data dall’espressione σ = πd2

(40)

dove d è il diametro ottico, non il raggio, delle molecole che si urtano.In tabella sono riportati alcuni valori relativi alle molecole che compongono l’aria Molecola Diametro ottico in Angstrom

O2 3.4

N2 3.7

O 3.1

N 3.0

NO 3.5

Notiamo ora che il tempo collisionale medio τ è dato dalla espressione τ=

1 ϑ

(41)

e dato che la molecola durante questo tempo viaggia mediamente con la velocit` a di agitazione termica vat , otteniamo l = vat τ =

1 Nσ

(42)

Il libero cammino medio è di importanza fondamentale in quanto il suo rapporto con una lunghezza caratteristica L del corpo investito dalla corrente, rapporto detto numero di Knudsen, Kn Kn = 11

l L

(43)

ci dice se la cinetica del mezzo è dominata dalle collisioni tra le molecole o dalle collisioni con il corpo.In quest’ultimo caso, Kn > 1, il mezzo non pu` o pi` u essere considerato come un mezzo continuo, e va trattato come gas rarefatto.Notiamo che il libero cammino medio scala inversamente con la densità m l = vat τ = (44) ̺σ e che il suo valore in aria standard è di 660 Angstrom, il che comporta che alla quota di 80 km, dove la densità si è ridotta nel rapporto di 10−5 , il libero cammino medio è di circa 1 cm. Il numero di Knudsen relativo per esempio alle dimensioni tipiche di un satellite pu` o quindi diventare ad alta quota dell’ordine dell’unità, e in tal caso siamo in condizioni di gas rarefatto. Cade quindi non solo l’ipotesi di equilibrio termodinamico ma anche la stessa ipotesi del continuo che giustifica l’adozione di una funzione f e occorre studiare il problema con le metodologie proprie del moto delle molecole libere. Se invece, all’estremo opposto, siamo in presenza di numeri di Knudsen molto piccoli, allora non solo è giustificato l’approccio del continuo utilizzato finora ma anche l’ipotesi di equilibrio termodinamico è corroborata. Sulla base di tali considerazioni Chapman e Enskog hanno sviluppato delle soluzioni perturbative della (37) con espansioni nel numero di Knudsen e in presenza di moto medio con gradienti di velocità. Naturalmente il primo termine della serie, f0 , ottenuto nel limite Kn = 0, è quello relativo all’equilibrio,f0 = feq , mentre il primo termine introduce una correzione perturbativa f1 , che d` a il seguente risultato ′

′

̺u v = −τxy ′

′

′

′

̺u w = −τxz ̺v w = −τyz

v ∂u ¯ ∂¯ + = −µ ∂y ∂x

(45)

∂u ¯ ∂w ¯ = −µ + ∂z ∂x

(46)

∂¯ v ∂w ¯ = −µ + ∂z ∂y

(47)

∂u ¯ 2 + µ∆ ∂x 3 ∂¯ v 2 = p − 2µ + µ∆ ∂y 3

̺u′ u′ = p − τxx = p − 2µ

(48)

̺v ′ v ′ = p − τyy

(49)

̺w′ w′ = p − τzz = p − 2µ

12

∂w ¯ 2 + µ∆ ∂z 3

(50)

dove ∆, divergenza del campo di velocità, è data da ∆=

∂u ¯ ∂¯ v ∂w ¯ + + ∂x ∂y ∂z

(51)

e dove µ è il coefficiente di viscosità del gas. Una osservazione va fatta per quel che riguarda la scelta dei segni che convenzionalmente sono presi in modo da rendere gli sforzi τij interpretabili come sforzi fatti dal mondo esterno sul volumetto di controllo. Le equazioni di bilancio cos`ı ottenute sono le cosiddette equazioni di Navier-Stokes ed una ulteriore giustificazione della relazione costitutiva tra sforzi e gradienti di velocit` a pu` o essere data su basi cinematiche considerando l’atto di moto elementare in un mezzo fluido, vedi Appendice. Come è noto esso pu` o essere scomposto in una roto-traslazione rigida pi` u tre dilatazioni ortogonali tra loro a volume costante pi` u una dilatazione isotropa volumica. Notiamo che i termini sxx

∂u ¯ 1 − ∆ = ∂x 3

sxy =

syx =

1 2

∂¯ v ∂u ¯ + ∂x ∂y

szx =

1 2

¯ ∂w ¯ ∂u + ∂x ∂z

1 2

syy = szy =

1 2

∂u ¯ ∂¯ v + ∂y ∂x

∂¯ v 1 − ∆ ∂y 3

v ∂w ¯ ∂¯ + ∂y ∂z

sxz =

1 2

∂u ¯ ∂w ¯ + ∂z ∂x

syz =

1 2

∂¯ v ∂w ¯ + ∂z ∂y

szz =

∂w ¯ 1 − ∆ ∂z 3

corrispondono alla parte dilatatoria senza variazione di volume del tensore dei gradienti di velocit` a.Abbiamo cioè τxy = τyx = 2µsxy τxz = τzx = 2µsxz τyz = τzy = 2µsyz τxx = 2µsxx

τyy = 2µsyy

τzz = 2µszz

Gli sforzi non dipendono quindi dalla parte roto-traslatoria dello stesso nè dalla dilatazione isotropa volumica in quanto la cosiddetta viscosità di volume, (bulk viscosity), che in questo caso manifesterebbe la sua esistenza è generalmente trascurabile. Notiamo infine che l’energia interna traslazionale per unit` a di volume conserva lo stesso valore sia in equilibrio che in disequilibrio ̺u′ u′ + ̺v ′ v ′ + ̺w′ w′ 3 = p (52) 2 2 essendo τxx + τyy + τzz = 0 (53) 13

e ci` o è diretta conseguenza dell’aver posto la bulk viscosity uguale a zero. La presenza di una viscosit` a di volume ζ comporterebbe infatti che τxy = τyx = 2µsxy τxz = τzx = 2µsxz τyz = τzy = 2µsyz τxx = 2µsxx − ζ∆ τyy = 2µsyy − ζ∆ τzz = 2µszz − ζ∆ il che ha delle conseguenze a livello della termodinamica del mezzo, in quanto si avrebbe ′ ′ ′ ′ ′ ′ ̺u u + ̺v v + ̺w w 3 = (p + ζ∆) (54) 2 2 Notiamo infine che le τij , i 6= j si manifestano in flussi di taglio, contrariamente alle τij , i = j che si manifestano tipicamente nei flussi di punta, e sono quindi generalmente oscurate dalle forze di pressione.

2.3

Interpretazione cinetica degli sforzi viscosi

Vediamo ora di interpretare fisicamente, sempre a livello di teoria cinetica dei gas, le espressioni precedenti che danno i valori delle correlazioni ′

̺u u

′

′

̺u v

′

′

̺u w

′

′

̺v v

′

′

̺v w

′

′

̺w w

′

(55)

Notiamo che in esse compaiono ora non solo i termini di pressione ma anche dei nuovi termini che dipendono dal gradiente di velocità. Esse inoltre dipendono in disequilibrio termodinamico da un nuovo termine, il coefficiente di viscosit` a µ che va interpretato dal punto di vista fisico e calcolato in termini numerici. Ricordiamo che i termini (55) hanno il significato di sforzi esercitati sulle pareti del volumetto di controllo, sono cioè dimensionalmente delle forze per unit` a di superficie. Consideriamo per esempio il termine ̺u′ v ′ . Esso fisicamente rappresenta il flusso di quantità di moto trasportato dalla agitazione termica e diretto nella direzione x attraverso la superficie normale alla direzione y.Un flusso di quantità di moto è una variazione di quantità di moto per unit` a di tempo e di superficie, quindi una forza per unit` a di superficie, quindi uno sforzo:nel caso di ̺u′ v ′ lo sforzo esercitato nella direzione x su di una superficie normale alla direzione y. In assenza di gradienti di velocit` a del moto medio questi sforzi cinetici sono tutti normali alle superfici considerate e pari alla pressione p;nel caso di disomogeneità spaziali del moto medio si ha un disequilibrio della funzione f e la conseguente nascita di sforzi viscosi. Al fine di interpretare fisicamente tali sforzi è opportuno considerare un caso semplice di campo di moto medio disomogeneo, quello di puro moto di taglio in cui si ha una sola componente non nulla del moto 14

Figure 2: Sforzo di taglio.Interpretazione a livello di teoria cinetica dei gas medio, per esempio la u ¯, che dipende spazialmente dalla sola y, u ¯ (y), vedi figura (2). In tal caso abbiamo ̺u′ v ′ = −τxy = −µ

∂u ¯ ∂y

̺u′ w′ = 0

̺v ′ w′ = 0

̺u′ u′ = ̺v ′ v ′ = ̺w′ w′ = p

(56) (57)

Notiamo che l’unit` a di misura del coefficiente di viscosità µ è nel sistema SI kg/m/sec.Si ricava che la grandezza µ ̺

ν=

(58)

detta viscosit` a cinematica, ha le dimensioni di una velocità per una lunghezza, e la sua unit` a di misura è, sempre nel sistema SI, data in m2 /sec.Dal punto di vista dimensionale ν non pu` o dipendere altro che dalla velocità di agitazione termica vat e dal libero cammino medio molecolare l, uniche grandezze fisiche di scala che siano state introdotte finora. Si ha quindi per pure considerazioni di analisi dimensionale che ν ≃ vat l

µ ≃ ̺vat l

(59)

Questa relazione pu` o essere anche spiegata in termini pi` u fisici nel seguente modo.Sempre da figura (2) notiamo che il flusso ̺u′ v ′ dovuto al trasporto caotico di quantit` a di moto attraverso la superficie normale alla direzione y di quantit` a di moto diretta lungo la direzione x è dato fisicamente da ̺u′ v ′ ≃ −m (¯ u + d¯ u) N vat + m¯ uN vat 15

(60)

Se ora scriviamo d¯ u=

d¯ u dy dy

(61)

e considerando che la scala di dy è data dal libero cammino medio molecolare l, cioè che fisicamente il trasporto caotico di quantità di moto avviene su di una distanza dell’ordine di l, si ottiene ̺u′ v ′ ≃ −mN vat l

d¯ u dy

(62)

Nel caso di puro flusso di taglio considerato si ha quindi τxy = µ

d¯ u dy

(63)

e per confronto otteniamo ν ≃ vat l

µ ≃ ̺vat l

(64)

essendo ̺ = N m. Notiamo che dalla figura (2) si ha anche un ulteriore chiarimento sulla regola dei segni di cui si è parlato in precedenza; il flusso ′ ′ ̺u v è in questo caso negativo, ma la τxy è positiva in quanto il volumetto di controllo è tirato dagli strati superiori esterni del fluido nella direzione delle x positive.

2.4

Viscosit` a di un gas e di una miscela

Abbiamo visto che il coefficiente di viscosità µ dipende dal libero cammino medio l.Dalla teoria cinetica dei gas si ha l≃

1 Nσ

(65)

dove σ è la sezione d’urto collisionale tra le molecole in esame.Notiamo che il tempo medio collisionale τ , cioè il tempo che intercorre tra un urto e l’altro, è dato da l τ≃ (66) vat Sostituendo nella (64) si ottiene µ≃

mvat σ

16

(67)

con m massa molecolare.Si vede da questa espressione che nel caso di un gas ideale composto da molecole a ”palle di biliardo”, tali cioè che l’interazione reciproca sia nulla ad un distanza tra i centri maggiore del diametro, e infinita se minore, allora la viscosità è data da 1

1

m2 T 2 µ ≃ (3kB ) σ0 1 2

(68)

dove a vat è sostituita la sua espressione esplicita nei termini della temperatura assoluta e σ0 è la sezione d’urto geometrica. Notiamo che µ dipende dalla radice quadrata della temperatura assoluta T , è tanto pi` u piccola quanto pi` u piccola è la massa molecolare m e tanto pi` u grande quanto pi` u grande è la sezione d’urto σ0 .In realt` a il campo di forze che si stabilisce tra due molecole durante un urto non è del tutto assimilabile a quello che si ha tra due palle da biliardo, il che porta ad avere come distanza media d’interazione durante un urto non il diametro delle molecole ma una distanza che aumenta al diminuire della energia di collisione.Ciò porta ad una variazione della sezione d’urto σ con T , data da σ = σ0

χ 1+ T

(69)

e detta approssimazione di Sutherland.Naturalmente χ ha le dimensioni di una temperatura, e per T → ∞ si ha σ → σ0 .Se sostituiamo questa espressione per la sezione d’urto σ nella espressione della viscosità µ data dalla (67) otteniamo la cosiddetta espressione di Sutherland 3

T2 µ=S T +χ

(70)

Nella tabella che segue sono dati i valori delle costanti χ ed S per vari gas, con µ misurata nel sistema SI, e cioè in kg/m/sec. S · 106 O2 1.65 N2 1.39 H2 0.65 He 1.52 CO2 1.56 CO 1.40 N H3 1.54 Aria 1.46 17

χ 110 102 71 98 233 109 472 110

Notiamo che in tabella compare anche una miscela di gas, l’aria, per la quale i valori di S e χ dati hanno pi` u un valore di correlazione empirica che altro.Il problema di determinare la viscosità di una miscela date le viscosità dei suoi componenti è tutt’altro che semplice [2], ed una formulazione semi- empirica è quella data dal Wilke [3] che porta al seguente risultato µ=

X i

dove



−1

xk Gik  µi  1 + xi k6=i 1+

Gik =

X

2

3 2

µi µk

1 2

mk mi

mi 1+ mk

1 !2

(71)

4

1

(72)

2

e dove µi , xi e mi sono rispettivamente le viscosità, le frazioni molari e le masse molecolari dei singoli componenti.Terminiamo questa parte segnalando infine delle espressioni approssimate che presentano una certa utilit` a nei calcoli essendo monomiali come forma.Per l’aria e nell’intorno della temperatura ambiente si ha con buona approssimazione µ = µ288

T 288

ω

(73)

con ω = 0.75 e µ288 = 1.78 · 10−5 kg/m/sec viscosità dell’aria standard.

3

Bilancio dell’energia

Abbiamo finora eseguito il bilancio della massa e quello della quantità di moto ed abbiamo ottenuto le equazioni di Eulero nel caso di una funzione f d’equilibrio, le equazioni di Navier-Stokes nel caso di una funzione f deformata dai gradienti di velocità del moto medio.Vediamo ora di eseguire il bilancio della energia.In questo caso abbiamo come energia per unit` a di volume uu + vv + ww )dN 2 uu + vv + ww = ̺ e¯i + 2

G = m

Z

(ei +

18

(74)

e come flussi uu + vv + ww )udN 2 uuu + uvv + uww = ̺ ei u + 2

Φx = m

Z

(ei +

(75)

uu + vv + ww )vdN 2 vuu + vvv + vww = ̺ ei v + 2

Φy = m

Z

(ei +

(76)

uu + vv + ww )wdN 2 wuu + wvv + www = ̺ ei w + 2

Φz = m

Z

(ei +

(77)

′

con ei = e¯i + ei energia interna roto-vibro-elettronica e di legame per unit` a di massa, e dove ora il vettore Φx , Φy , Φz rappresenta il flusso d’energia attraverso le superfici di contorno. Anche in questo caso P , produzione di energia, è ovviamente nulla e inoltre possiamo scrivere uu = u ¯u ¯ + u′ u′ ′

′

ei u = e¯i u ¯ + ei u

vv = v¯v¯ + v ′ v ′ ′

ww = w ¯w ¯ + w′ w′

ei v = e¯i v¯ + ei v

uuu + uvv + uww =u ¯ 2 u′ u′ + v ′ v ′ + w′ w′ u ¯ 2

!

′

′

ei w = e¯i w ¯ + ei w u ¯2 + v¯2 + w ¯2 2

′

′

19

′

(79)

+

+u ¯u′ u′ + v¯u′ v ′ +

u′ u′ + v ′ v ′ + w′ w′ wu ¯ w +u 2 vuu + vvv + vww = .......... 2 wuu + wvv + www = .......... 2 ′

!

(78)

!

(80)

per cui ponendo qx = ̺u

u′ u′ + v ′ v ′ + w′ w′ ei + 2 ′

′

!

qy = ....... qz = .......

(81)

si ha formalmente ¯) ∂ ((̺E + p) v¯) ∂ ((̺E + p) w) ¯ ∂ (̺E) ∂ ((̺E + p) u + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ (τxx u ¯ + τxy v¯ + τxz w ¯ − qx ) ∂x ∂ (τyx u ¯ + τyy v¯ + τyz w ¯ − qy ) ∂y ∂ (τzx u ¯ + τzy v¯ + τzz w ¯ − qz ) ∂z

= + + (82)

dove u ¯2 + v¯2 + w ¯2 u u +v v +w w + E = e¯i + 2 2 2 2 2 u ¯ + v¯ + w ¯ = e¯ + 2 ′

′

′

′

′

′

(83)

Notiamo che nei termini dell’entalpia d’arresto o totale H H =h+

u ¯2 + v¯2 + w ¯2 p u ¯2 + v¯2 + w ¯2 = e¯ + + 2 ̺ 2

(84)

si ha ∂ (̺E) ∂ (̺H u ¯) ∂ (̺H v¯) ∂ (̺H w) ¯ + + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ (τxx u ¯ + τxy v¯ + τxz w ¯ − qx ) ∂x ∂ (τyx u ¯ + τyy v¯ + τyz w ¯ − qy ) ∂y ∂ (τzx u ¯ + τzy v¯ + τzz w ¯ − qz ) ∂z

20

= + + (85)

3.1

Interpretazione cinetica dei flussi di calore

Il termine vettoriale ′

qx = ̺u

′

′

′

′

′

u u +v v +w w ei + 2 ′

′

!

= ̺u′ e′

(86)

che compare nella equazione di bilancio dell’energia corrisponde al trasporto caotico di energia caotica dovuto al moto di agitazione termica.Anche in questo caso la teoria cinetica dei gas ha sviluppato teorie che permettono di calcolare la funzione f nel caso in cui siano presenti nel flusso non solo gradienti di velocit` a ma anche gradienti di temperatura T . Sulla loro base abbiamo ∂T ∂T ∂T qy = −λ qz = −λ (87) qx = −λ ∂x ∂y ∂z dove λ è il coefficiente di conducibilità termica. La giustificazione di questa espressione che lega in maniera elementare flussi di calore a gradienti di temperatura pu` o essere data in maniera molto semplice sulla base degli stessi ragionamenti fisici utilizzati per determinare il coefficiente di viscosità. Dalla figura (2) notiamo che il flusso qy dovuto al trasporto caotico di energia interna attraverso la superficie normale alla direzione y è dato fisicamente da qy ≃ −m (¯ e + d¯ e) N vat + m¯ eN vat (88) R

dove e¯ = cv T è l’energia interna media per unit` a di massa e dove cv è il calore specifico per unit` a di massa a volume costante. Se ora scriviamo d¯ e=

d¯ e dy dy

(89)

e considerando che come nel caso del trasporto di quantità di moto la scala di dy è data dal libero cammino medio molecolare l, cioè che fisicamente anche il trasporto caotico di energia avviene su di una distanza dell’ordine di l, si ottiene d¯ e (90) qy ≃ −N vat l dy cioè dT (91) qy ≃ −mcv N vat l dy e, per confronto con la (87), λ ≃ vat lN mcv ≃ µcv 21

(92)

Notiamo che la scelta del segno nella determinazione del flusso qx , qy , qz è tale da rendere le espressioni trovate coerenti con le leggi fenomenologiche, (Legge di Fourier), in cui λ è una costante essenzialmente positiva e i flussi di calore sono positivi se vanno da luoghi a temperatura pi` u alta verso luoghi a temperatura pi` u bassa.Notiamo anche da quanto detto che il numero di Prandtl definito come µcp Pr = (93) λ con cp = γcv calore specifico per unit` a di massa a pressione costante, è per i gas dell’ordine dell’unità. Sempre dalla teoria cinetica dei gas e nel caso di un gas dotato di di sola energia interna traslazionale, (gas monoatomico con variazioni di energia interna elettronica trascurabili nell’intervallo di temperature considerato), si ha pi` u precisamente 5 λ = µcv 2

Pr =

2 3

(94)

essendo in tal caso γ = 53 . Nel caso in cui il gas è dotato di energia interna non solo traslazionale ma anche roto-vibro-elettronica allora conviene scindere cv nelle due parti cv = con cvt = e si pu` o scrivere

1 R = cvt + cvi γ −1M

3 R 2M

cvi =

5 − 3γ R 2 (γ − 1) M

5 λ = µcvt + αµcvi 2

(95)

(96)

(97)

dove α è il fattore correttivo di Eucken.Il fatto che α non sia uguale a 52 significa che l’energia interna traslazionale e quella roto-vibro-elettronica non sono trasferite esattamente allo stesso modo dalla agitazione termica. Eucken propose per α il valore 1.In tal caso il numero di Prandtl è dato dalla espressione 4γ (98) Pr = 9γ − 5 Una buona approssimazione per il numero di Prandtl dell’aria, valida su di un intervallo abbastanza ampio di temperature è P r = 0.71. Ulteriori dettagli sul calcolo di λ per l’aria ad alta temperatura e nel caso di miscele si pu` o trovare sul Dorrance [4]. Notiamo infine che una grandezza ricavata 22

dalla conducibilità termica e analoga alla viscosità cinematica è la diffusività termica κ λ κ= (99) ̺cp avente le stesse dimensioni di ν, m2 /s.

4 4.1

APPENDICE al capitolo 1 Atto di moto elementare

Indichiamo con U, V, W le tre componenti della velocità in un riferimento cartesiano x, y, z.Nell’intorno di un punto P qualsiasi, che supporremo situato nell’origine degli assi di riferimento, scriviamo l’espansione in serie di Taylor limitata al primo ordine U

= u+

∂u ∂u ∂u x+ y+ z ∂x ∂y ∂z

V

= v+

∂v ∂v ∂v x+ y+ z ∂x ∂y ∂z

W

= w+

∂w ∂w ∂w x+ y+ z ∂x ∂y ∂z

dove u, v, w indicano i valori calcolati nell’origine. Notiamo che si pu` o scrivere in maniera equivalente ∆ x+ 3 ∂u ∆ 1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂w − + + x+ y+ z ∂x 3 2 ∂y ∂x 2 ∂z ∂x

U

= u + Ωy z − Ωz y +

V

= v + Ωz x − Ωx z +

W

= w + Ωx y − Ωy x +

∆ y+ 3 ∂u 1 ∂v ∂v ∆ 1 ∂v ∂w + − + x+ y+ z 2 ∂x ∂y ∂y 3 2 ∂z ∂y

∆ z+ 3 1 ∂w ∂u ∂w ∆ 1 ∂w ∂v + + − x+ y+ z 2 ∂x ∂z 2 ∂y ∂z ∂z 3 23

dove ∆ è la divergenza del campo di velocità, data da ∆=

∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z

(100)

~ ≡ (Ωx , Ωy , Ωz ) rappresenta cinematicamente la velocità istantanea di e Ω rotazione di un elemento fluido, grandezza equivalente alla vorticita del flusso ω ~ ≡ ∇ × ~u divisa per due ~ ≡ ~ω (101) Ω 2 con ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u ω ~ ≡ ∇ × ~u ≡ − − − (102) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Notiamo che le componenti u + Ωy z − Ωz y v + Ωz x − Ωx z w + Ωx y − Ωy x rappresentano una roto-traslazione rigida locale del punto generico P intorno all’origine O ~ × (P − O) ~u = ~uO + Ω i termini

∆ ∆ ∆ x y z (103) 3 3 3 una dilatazione isotropa, mentre la restante matrice, simmetrica e a traccia nulla, pu` o essere trasformata con una rotazione di coordinate in una matrice diagonale sempre a traccia nulla. Il suo significato fisico è quindi quello di rappresentare tre dilatazioni su tre assi ortogonali a volume costante.Esse quindi trasformano una sfera in un ellissoide mantenendo costante il volume.

4.2

Streamlines, pathlines, streaklines.

Dato un campo di velocit` a u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t) è spesso molto importante determinare quali sono le linee le cui tangenti sono ad esso parallele ad un certo istante, dette linee di corrente o streamlines, le linee che sono descritte nel loro moto dalle particelle fluide, dette traiettorie o pathlines, le linee che vengono ad essere tracciate da un ipotetico colorante iniettato in punti prefissati, dette streaklines. Per un campo di moto stazionario e per un punto prefissato queste tre linee coincidono, mentre per un campo di 24

moto non stazionario esse sono diverse tra loro tranne casi patologici. Se il campo di moto non è stazionario è inoltre pi` u corretto parlare di linee di corrente istantanee, o istantaneous streamlines, essendo quest’ultime variabili da tempo a tempo. Un esempio serve a meglio chiarire quanto definito. Consideriamo un campo di moto le cui componenti cartesiane della velocità sono date rispettivamente da u = axt v = cy w = 0

(104)

Notiamo che il moto è piano ma non stazionario, e calcoliamo le streamlines che si hanno al tempo t = 0. Notiamo che non essendo il moto stazionario le streamlines variano da tempo a tempo, e quelle che calcoliamo vengono appunto dette istantaneous streamlines, mentre se il moto fosse stazionario esse sarebbero le stesse per ogni tempo. Essendo u=

dx dt

v=

dy dt

w=

dz dt

(105)

possiamo anche scrivere che al generico tempo t0 le streamlines istantanee sono descritte dalle equazioni dx dσ dy dσ dz dσ

= axt0 = cy = 0

(106)

con σ coordinata corrente lungo le stesse, (in generale non corrispondente con l’arco s). Integrando abbiamo x = x0 exp (at0 (σ − σ0 )) y = y0 exp (b(σ − σ0 )) z = z0

(107)

dove σ0 indica il valore arbitrario che la coordinata corrente σ assume nel punto x0 , y0 , z0 al tempo t0 . Notiamo che la linea di corrente istantanea è una retta. Calcoliamo ora la traiettoria della particella che al tempo t = t0 25

si trova nel punto x0 , y0 , z0 . Dobbiamo ora integrare le equazioni del moto nel tempo t dx dt dy dt dz dt

= axt = cy = 0

(108)

e si ottiene x = x0 exp

a

t2 − t20

2 y = y0 exp (b(t − t0 ))

z = z0

4.3

(109)

Riepilogo equazioni di bilancio.

Riassumiamo in questa appendice le equazioni di bilancio ottenute a partire dalla teoria cinetica dei gas.Sottolineiamo che sia in questa appendice e sia in quelle che seguono, e in generale in tutti gli appunti che seguiranno, la soprallineatura che indica l’operazione di media sulle fluttuazioni molecolari verr` a abolita, ed è sottinteso che ogni grandezza è una grandezza media.In questa scrittura di riepilogo utilizzeremo inoltre una scrittura pi` u compatta a carattere tensoriale.Abbiamo allora l’equazione di conservazione della massa ∂̺ ∂ (̺uj ) + =0 ∂t ∂xj

(110)

l’equazione di bilancio della quantità di moto ∂ (̺ui ) ∂ (̺ui uj ) ∂p ∂τij + =− + ∂t ∂xj ∂xi ∂xj

(111)

l’equazione di bilancio dell’energia ∂ (̺E) ∂ (̺Huj ) ∂ (τij ui − qj ) + = ∂t ∂xj ∂xj dove H =e+

p ui ui + ̺ 2

26

(112)

(113)

∂ui ∂uj 2 ∂uk τij = µ + − δij ∂xj ∂xi 3 ∂xk qi = −λ

!

∂T ∂xi

(114) (115)

Notiamo infine che le equazioni di bilancio della quantità di moto possono essere anche scritte nelle forma Lagrangiana o convettiva ̺

∂ui ∂ui ∂p ∂τij + ̺uj =− + ∂t ∂xj ∂xi ∂xj

(116)

mentre la forma di scrittura precedente è detta forma conservativa.

References [1] W.G.Vincenti, C.H.Kruger; ”Introduction to Physical Gas Dynamics” John Wiley and Sons, New York (1965) [2] J.O.Hirschfelder, C.F.Curtiss, R.Byron Bird; ”The Mathematical Theory of Nonuniform Gases” Cambridge University Press, New York (1958) [3] C.R.Wilke; J.Chem.Phys. Vol.18, pp 517-522, (1950) [4] W.H.Dorrance; ”Viscous Hypersonic Flow” McGraw-Hill, New York (1962) [5] H.W.Liepmann, A.Roshko; ”Elements of Gasdynamics” John Wiley and Sons, London (1957)

27

Germano 1

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