3 456 a
M
78
9
0
2
1
Tutorial MT-b14
Matemática 2006
Tutorial Nivel Básico Geometría de proporción
Tutorial Tutorial
Geometría de proporción
1. Teorema de Thales:
Thales de Mileto, (624-547 a.C.) fue el primer y auténtico filósofo del mundo a Mileto, sobre la costa de Asia Menor hacia el año 600 a.C. Estudió el firmamen marinos a navegar guiándose por las estrellas; predijo un eclipse; enseño a los la altura de las pirámides utilizando la sombra que proporcionaban las misma hora del día. Se distinguió también como geómetra y formuló el teorema que El cuál detallamos a continuación:
“Cuando dos o más rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determina proporcionales”. De la forma: A B
L3 L1
B
L2
C A
E
D
L4
L1 ∧ L2 son paralelas AB BC
=
AD DE
C
AB AD
=
E
L3
∧
D
L4 son paralelas
AC AE
2. Sección Áurea o divina Dado un segmento AB de longitud x se dice que un punto M lo divide en media razón si se verifica la siguiente relación: AB AM
2
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
=
AM MB
observar que:
A
AM
>
M
MB
B
Al Trazo AM se lo denomina Sección Áurea del segmento dado. Al calcular el cuociente los trazos de un segmento dividido en sección Áurea este es aproximadamente i 1 + √5 ≅ 1,618 valor que es conocido como número de oro o Ø (letra griega 2 Este importante número posee aplicaciones matemáticas, artísticas y arquitectóni otras. Por ejemplo, muchas construcciones griegas y muchas obras del genio Leona están construidas en base al número de oro.
3. Teorema de las bisectrices (o teorema de Apol Si en un triángulo
ABC
consideramos el punto de intersección
= BC ángulo C con el lado opuesto se cumple: B
AP
P
de la bisectriz i
AC
BP
P
PC A
Bisectriz de ángulo BCA
C
4.Semejanza(~): son figuras que tienen igual forma.
Llamamos homólogos, los vértices de ángulos iguales y diremos que lados ho aquellos que tienen por extremo un par de vértices homólogos.
Dos triángulos que tienen sus ángulos iguales, tienen sus lados homólogos prop
4.1 Criterios de semejanzas de triángulos.
• Primer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos inte • Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y
conforman, proporcionales. • Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 3
Tutorial Tutorial
5. Congruencia( ):
de congruencia.
≅
Como un caso particular de semejanza de figuras tenemos el caso
Dos figuras son congruentes cuando son exactamente iguales.
Cuando hablamos de congruencia de triángulos, entendemos que sus lados s iguales y también lo son sus ángulos.
5.1 Criterios para la congruencia de triángulos.
• Primer criterio: Dos triángulos son congruentes cuando sus lados homól • Segundo criterio:Dos triángulos son congruentes cuando tienen un ángulo
entre lados homólogos respectivamente iguales. • Tercer criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen un lado igu homólogos adyacentes a él, respectivamente iguales.
6. Equivalencia: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área Ejercicios: 1. Dos triángulos son equivalentes si A) B) C) D) E)
tienen sus tres ángulos internos iguales tienen dos de sus ángulos iguales poseen dos lados homólogos poseen igual perímetro poseen la misma superficie
2. Las siguientes figuras son entre sí: I. Congruentes II. Semejantes III. Equivalentes A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de las anteriores 4
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
h=4
4
h=2
8
3. Si los triángulos ABC y DEF son semejantes. ¿Cuál es el valor de x? A) B) C) D) E)
3,3 5 7,5 15 30
A
100º
4. ¿Cuánto mide
x
20
B
E
60º 10
35 80º D 40º
12
C
L2 son paralelas, ¿Cuánto mide DE ? A
16 32 40 48 69
7 L1 L2
AB
= 3,
CD
= 5,
BO
C
16 E
D
= 4, entonces
L1
21
B
CO
A
= B
59º
O
C) 4 D) 20
100º
B
12 35 42 84 A Se requiere información adicional
6. En la figura A) 3 20 B) 20 3
10
F
CD?
5. En el dibujo L1 y A) B) C) D) E)
20º
60º 15
5
C
A) B) C) D) E)
D
L2
C
59º
D
E) Se requiere información adicional CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 5
Tutorial Tutorial 7. Si A) B) C) D) E)
BC y DE son
paralelos, entonces
130 114 105 76 36
B
60º 20
A
8. Si A) B) C) D) E)
D
DE=
ABCD es rectángulo de área
40 80º D 40º
18
C
9
E
80 cm2 y BEGC también es un rectángulo,
FG
F
1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm
D
A
20 cm
C
G
B
5 cmE
9. Encontrar la sección áurea de un trazo de 144 cm (considere Phi) = 1 + √5 ≅ 1,618 2 A) 1 + √5 cm B) 88,99 cm C) 95
cm
D) 99,88 cm E) 144
6
cm
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
10. Calcular el área de la figura, sabiendo que AEF, BEF, BDF y CDF son triángulos congrue entre sí, en donde AE = 5cm y FC = 13 cm A) B) C) D) E)
A
12 cm2 30 cm2 60 cm2 120 cm2 240 cm2
5 cm α
E
F
13 cm α
α
B
11. Si la razón de los trazos AB y √5 (considere Phi = 1≅+1,618 ) 2 A) 1,618 cm B) 3,1415
cm
AC
C
D
está en sección áurea y 8 > X, entonces X mide: A
X
C) 4 (√5 - 1) cm D) -4 (1 + √5) cm E) (1 + √5) cm 16
12. ¿Cuánto mide A) B) C) D) E)
AD ?
8 cm
B
C
C
5 cm
10 cm D 57º 8 cm x 5 cm 57º 1 cm A 3x Se requiere información adicional
E
B
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 7
Tutorial Tutorial 13. ¿En cuál(es) de las siguiente(s) figura(s) puede(n) encontrarse el valor de I. 3
II.
5 x
4
8
M A
MN
A) B) C) D) E)
III.
C
6
x
12
N
5
B
x
es mediana del triángulo ABC
Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III
14. Cuanto mide la diagonal de un cuadrado equivalente a la suma de dos c radio 3 cm cada una (considere π = 3) A) B) C) D) E)
27 cm 54 cm 108 cm 6 √3 cm 54 √2 cm
15. El triángulo el trazo EG? A) B) C) D) E)
8
4,5 6 6,5 8 9
ABC
es congruente con el triángulo DEF y semejante con EFG, ¿ C
F α
6 cm
10 cm α
A
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
B
D
α
E
G
Respuestas Preg.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Alternativa
E C E C E B B A B D C A B D A
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 9
Solucionario Solucionario
Solucionario 1. Alternativa correcta letra E) Dos triángulos son equivalentes si:
A) Falso, en este caso son semejantes, pero pueden tener distinta área B) Falso, no se menciona si son ángulos internos o externos, además si f ese caso serian semejantes, pero pueden tener distinta área C) Falso, por lo señalado en A y B D) Falso, dos triángulos pueden tener exactamente el mismo perímetro áreas E) Verdadera, dos triángulos son equivalentes si poseen la misma superficie o área
2. Alternativa correcta letra C)
Faltan elementos para determinar semejanza o congruencia sin embargo el posee área 8 cm2 y el segundo triángulo también posee área 8 cm2, por lo tan equivalentes, sin embargo no poseen exactamente la misma forma, con lo c que sean semejantes o congruentes. Por lo tanto sólo el ítem III es verda
3. Alternativa correcta letra E) Desarrollando los ángulos internos de los triángulos A
D
100º
C
60º
5
15
20º
60º
20
x
B
F
20º
10
100º
E
Además como dos triángulos que tienen sus ángulos iguales, tienen su proporcionales. Podemos concluir que: AB AC
=
15 = x 5 10 x
10
DE FE
(Reemplazado los valores) (Despejando x)
= 30
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
4. Alternativa correcta letra C) Al desarrollar los ángulos internos: B
60º 10 40º40º
A
12
35 80º D 100º 40º
C
Con lo cuál el trazo AD es bisectriz y podemos utilizar teorema de Apolonio, co AB BD
=
AC CD
10 = 12 35 CD
(Reemplazando) (Despejando)
Trazo CD = 42
5. Alternativa correcta letra E)
Dado que L1 y L2 son paralelas, podemos utilizar teorema de Thales, de donde se que: AB BC
=
AD DE
7 = 23 21 DE
(Reemplazando) (Despejando)
Trazo DE = 69
6. Alternativa correcta letra B)
Ya que los ángulos sobre las rectas poseen la misma medida, por corresponden que L1 y L2 son paralelas, con lo cuál podemos utilizar teorema de Thales, dado AB BO
=
CD DO
(Reemplazando)
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 11
Solucionario Solucionario 3 = 5 4 DO
(Despejando)
Trazo DO =
20 3
7. Alternativa correcta letra B) Completando los ángulos internos D
B
60º 20 40º A
40º
18
40 80º D 100º 40º
C
9
E
Con lo cuál el trazo AD es bisectriz y podemos utilizar teorema de Apolon AB BD
=
AC CD
20 = 18 40 CD
(Reemplazando) (Despejando)
Trazo CD = 36 Luego el trazo BC es igual a BD + CD = 40 + 36 = 76, además como paralelos podemos utilizar teorema de Thales de donde:
18 = 27 76 DE
BC
y
(Despejando)
trazo DE = 114
8. Alternativa correcta letra A)
Si ABCD es rectángulo de área 80 cm2 entonces su ancho es 4 cm ya que 80, además como ABCD y BEGC son rectángulos, los trazos AE y DG son paralelas
12
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
correspondencia los ángulos BAC y GCF son iguales con lo cual los triángulos ABC son semejantes, gráficamente tenemos que: F
20 cm
D
4 cm A
5 cmG
C
4 cm 20 cm
B
5 cmE
Como los triángulos ABC y GCF son semejantes, tenemos que: AB BC
=
CG FG
20 = 5 4 FG
(Reemplazando) (Despejando)
Trazo FG = 1 cm
9. Alternativa correcta letra B) El valor de (1 + √5 es) equivalente al número de oro, o sea, a 1.618 aproximadame 2 ) + √5 Utilizando la ecuación X = a ,(1en donde: 2 X = Segmento Entero a = Segmento Áureo (1 + √5) =1,618 2 Con X = 144 144 = a ⋅ (1 + √5) 2 144 = a (1 + √5) 2 144 = a 1,618
(Despejando a)
√5) 1,618) (Reemplazando (1 + por 2 (Dividiendo)
88,99 = a CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 13
Solucionario Solucionario 10. Alternativa correcta letra D)
Ya que AEF es congruente con CDF los trazos AF y FC miden lo mismo, con lo cu Pitágoras, nos percatamos que el triángulo AEF corresponde al trío pitagóri área corresponde entonces a 30 cm2, luego como los 4 triángulos son congr de la figura corresponde a 4 ⋅ 30 = 120 cm2
11. Alternativa correcta letra C)
8 Phi Ø lo y dado Dado que 8 > X entonces 8 es el segmento Áureo y = por tantoque x ) donde despejando obtenemos ) =8 (1 + √5 (Ø) equivale a (1 +, √5 entonces , de x 2 2
16 (1 + √5)
X
=
X
= 4( √5 - 1)
(Finalmente racionalizando)
12. Alternativa correcta letra A)
Ya que los ángulos sobre los trazos DE y AB poseen la misma medida, por cor deducimos que L1 y L2 son paralelas, con lo cuál podemos utilizar teorema d lo cual:
5 + AD 2
5=
x
(Multiplicando cruzado)
15x = 5x + xAD 10x = xAD trazo AD = 10
(Despejando) (Dividiendo por x, ambos lados de la ecuación
13. Alternativa correcta letra B)
¿En cuál(es) de las siguiente(s) figura(s) puede(n) encontrarse el valor d I. 3
II.
5 x
4
8
M A
MN
14
III.
C
6 x
B
es mediana del triángulo ABC
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
x
12
N
5
En I no tenemos información para asegurar que las rectas sean o no paralelas podemos utilizar Thales y no podemos encontrar el valor de x.
En II como toda mediana es paralela a su lado opuesto, podemos utilizar teore y por lo tanto descubrir el valor de x.
En III podría pensarse que se trata del trío pitagórico 5, 12, 13 ,pero el triángulo no es rectángulo, y para utilizar trigonometría necesitamos poseer por los meno por lo tanto no podemos conocer el valor de x. Dado esto solo podemos conocer el valor de x en II.
14. Alternativa correcta letra D)
Cuanto mide la diagonal de un cuadrado equivalente a la suma de dos circu radio 3 cm cada una (considere π = 3)
Ya que dos figuras son equivalentes cuando sus respectivas áreas son iguales y d área de una circunferencia es el radio al cuadrado por π (3 en este caso), tenemo área de una circunferencia de radio 3 es igual a: 32 ⋅ 3 = 27 cm2 , por lo tanto el á circunferencias de radio 3 será de 2 ⋅ 27 = 54 cm2 ,luego estamos buscando la un cuadrado de superficie 54 cm2. Para esto debemos sacar la raíz cuadrada al á encontrar su lado, siendo el lado del cuadrado = √54 cm, finalmente calculamo del cuadrado, multiplicando el lado por raíz cuadrada de 2. Diagonal = √54 ∙ √2 = √108 (Descomponiendo)
√36 · 3 = 6 √3 cm 15. Alternativa correcta letra A)
Si desarrollamos Pitágoras, descubrimos que ABC corresponde al trío pitagórico además Si ABC es congruente con el triángulo DEF, entonces DEF también corresp al trío pitagórico 6, 8, 10 F
10 D
α
8
α
6 E
G
Además como el triángulo ABC es semejante con EFG, se asume que DEF es también semejante con EFG ,entonces sus lados son proporcionales y podemos decir qu
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 15
Solucionario DE EF
=
EF EG
(Reemplazando los trazos conocidos)
8 = 6 6 EG
(Despejando
Trazo EG = 36 8
(Dividiendo)
Trazo EG = 45 ,
16
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