COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA
Módulo de aprendizaje
Geometría Analítica Hermosillo, Sonora, agosto del 2010
2
COLEGIO DE ESTUDIOS ESTUDIOS CIENT FICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA Dirección Académica Subdirección de Desarrollo Académico Departamento de Desarrollo Curricular Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe, Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249 Geometría Analítica Módulo de aprendizaje Tercer semestre Elaboradores Jorge Luis Figueroa Arce Gilberto Perea Mendoza Francisco Javier Cruz Barra Supervisión académica María Asunción Santana Rojas Jesús Enrique Córdova Bustamante Rocío Abigail Toledo Valenzuela Edición y diseño Elisa Sofía Valdez Alcorn Coordinación técnica Sandra Elivia Becerril López Coordinación general José Carlos Aguirre Rosas Copyright ©, 2010 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora Todos los derechos reservados Primera edición 2010. Impreso en México Registro ISBN:
[Escribir texto]
2
Directorio MTRO. Martín Alejandro López García
Director General
M.C. José Carlos Aguirre Rosas
Director Académico
ING. José Francisco Arriaga Moreno
Director Administrativo
L.A.E. Martín Francisco Quintanar Luján
Director de Finanzas
LIC. Alfredo Ortega López
Director de Planeación
LIC. Gerardo Gaytán Fox
Director de Vinculación
L.A. Mario Alberto Corona Urquijo
Director del Órgano de Control
3
Ubicación Curricular
Componente: Formación Básica
Campo de Conocimiento: Matemáticas
Asignatura Antecedente:
Asignatura Consecuente:
Geometría y Trigonometría
Cálculo
Créditos: 8
Horas: 4 HSM
Datos del alumno
Nombre _____________________________________________ Plantel _______________________________________________ Grupo ______ Turno _________ Teléfono __________________ Correo Electrónico _____________________________________ Domicilio _____________________________________________
4
ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Sistemas Coordenados
Rectangulares
Lugares Geométricos
Polares
Recta
Puntos en el plano
Elementos
Propiedades
Distancia puntos
Transformaciones
Ecuaciones
entre
Cónicas
Circunferencia y
Elipse
transformaciones
División de un segmento en una razón dada
Intersección
de
rectas
Punto medio Relación entre rectas
Perímetros y áreas
Rectas notables en el triángulo
5
Parábola
Hipérbola
6
INDICE Presentación……………………………………………………………………………………….
11
Recomendaciones para el alumno …………………………………………………………….....
12
Competencias……………………………………………………………………………………….
14
UNIDAD I: SISTEMAS COORDENADOS
17
Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………….
1.1 Sistema Rectangular
19 21
1.1.1. Puntos en el plano y distancia entre dos puntos ………………………………….…
21
1.1.2. División de un segmento en una razón dada y punto medio….……………..……
33
1.1.3. Perímetros y áreas …………………………………………………..……………..
40
1.2 Sistema Polar
45
1.2.1. Elementos……………....….……………………………………………………………
45
1.2.2. Transformaciones……………………….………………………………………………
49
Autoevaluación………………………..…………………….………………………………….
55
Instrumentos de Evaluación……………………………….………………………………….
59
UNIDAD II: LUGARES GEOMÉTRICOS
61
2.1 Recta
63
2.1.1 Propiedades……………………..……………………… ……….……………………..
63
2.1.2 Ecuaciones y transformaciones……………………………………………………….
70
2.1.3 Intersección de Rectas…………….…………………………………………………….
85
2.1.4 Relaciones entre rectas…...………….…………………………………………………….
95
2.1.5 Rectas notables en el triángulo…….…………………………………………………….
106
2.2 Circunferencia
120
2.2.1. Propiedades y ecua ciones.…………………………………………………………..
120
2.2.2. Condiciones geométricas y analíticas………………………………………………
125
9
Autoevaluación………………………………………….………………………………………
136
Instrumentos de Evaluación……………………………………………………………………
139
UNIDAD III: C NICAS
141
Evaluación diagnóstica………………………………………………………………………….
3.1 Parábola
143 145
3.1.2 Propiedades y ecuaciones……………………………………………………………..
145
3.1.2. Condiciones geométricas y analíticas…………………………….…………………
151
3.2 Elipse
168
3.2.1. Propiedades y ecuac iones…………….………………………………………………
168
3.2.2. Condiciones geométricas y analíticas………………………………………………..
176
3.3 Hipérbola
194
3.3.1. Propiedades y ecuaciones…………….………………………………………………
194
3.3.2. Condiciones geométricas y analíticas……………………………………………….
201
Autoevaluación…………………..……………………….……………………………………..
224
Instrumentos de Evaluación…………………………….……………………………………..
228
Criterios de evaluación... ………….……………………….…………………………………..
230
Respuestas a las autoevaluaciones………………………………………………………….
230
Glosario…………………………………..……………………… ……….……………………..
231
Bibliografía……………………………………………………………………………………….
233
10
PRESENTACIÓN
El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Geometría Analítica, que cursarás durante este tu tercer semestre. La asignatura de Geometría Analítica, tiene como propósito desarrollar las capacidades del razonamiento matemático y la orientación espacial, mediante la resolución de problemas que implican modelos matemáticos representados en el plano cartesiano, en un ambiente propicio para el aprendizaje colaborativo. Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuación: UNIDAD I. Sistemas coordenados.
UNIDAD II. Lugares geométricos.
UNIDAD III. Cónicas.
En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para los alumnos que cursan esta asignatura. Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases necesarias, para tu éxito académico.
11
RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO
El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los contenidos que se abordarán en la asignatura de Geometría Analítica. Los contenidos de Geometría Analítica, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios, evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras, colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu profesor. Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás: Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser enriquecido consultando otras fuentes de información. Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas conocimientos previos de lo que se estudiará. Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje, propuestos. Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes significativos. Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura. Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:
12
Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad o temas para saber su grado de conocimiento. Ejercicio que se elaborará en equipo.
Ejercicio que se elaborará de manera individual.
Ejemplo del tema tratado en clase. Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.
Tarea de investigación. Material recortable que se utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa. Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.
Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.
Aprendizajes a lograr al inicio de cada subtema.
Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje, y así mismo despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te deseamos el mayor de los éxitos.
13
COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA
Desarrollar las capacidades del razonamiento matemático y la orientación espacial, mediante la resolución de problemas que implican modelos matemáticos representados en el plano cartesiano, en un ambiente propicio para el aprendizaje colaborativo.
14
COMPETENCIAS
Genéricas: Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos .
Disciplinarias: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales. Argumenta la solución obtenida con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Utiliza reglas modelos algebraicos para resolver problemas geométricos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos. Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
15
16
Unidad I SISTEMAS COORDENADOS
17
COMPETENCIAS Al término de esta unidad, el estudiante: Aplica los sistemas de coordenadas en la orientación espacial y el cálculo de distancia entre puntos, para resolver situaciones reales relacionadas con su entorno.
TEMARIO
1.1.
Sistema Rectangular
1.1.1. Puntos en el plano y distancia entre dos puntos 1.1.2. División de un segmento en una razón dada y punto medio 1.1.3. Perímetros y áreas 1.2.
Sistema Polar
1.2.1. Elementos 1.2.2. Transformaciones
18
Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas de geometría analítica que profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.
1. ¿Cómo se representan las parejas ordenadas?
2. Escribe los nombres de los elementos que forman un par ordenado.
3. Hallar los valores de x, y que hacen que las parejas ordenadas sean iguales: 1. (2, 8) = (x, 8) 2. (2x, y) = (x-8, 3y+2)
4. Dibuja un plano cartesiano, identifica los cuadrantes, el nombre de sus ejes y sus signos.
5. Encuentra la distancia entre cada par de puntos. a) A(2,1) y (B(7,2) b) C(-4,4) y D(4,4)
6. ¿Qué es una razón?
7. ¿Qué es un lugar geométrico?
19
8. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A(3,-1) y B(-7,2) 9. ¿Cuáles son los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento A (3,4) y B (-3,-4)?
10. Representa en un sistema de coordenadas los polígonos con los siguientes vértices: a) A (3,4), B(-2,1), C(-5,1) b) A (-9,-3), B (-5,1), C(4,0)
11. Gráfica cada uno de los siguientes lugares geométricos: a) x – 4 b) x + 2y – 8 = 0 .
20
1.1 SISTEMA RECTANGULAR 1.1.1. Puntos en el plano y distancia entre dos puntos.
Sesión 1
Aprendizajes a lograr
Identificar parejas ordenadas en el plano cartesiano. Localizar puntos en el plano cartesiano. Diferenciar los ejes de coordenadas. Determinar la posición de un punto mediante sus coordenadas. Determinar las coordenadas de un punto a partir de su posición.
Esta actividad la realizarán en conjunto con el profesor. Supón que estás en un aula. En el piso puedes dibujar perfectamente un Sistema Coordenado Cartesiano, de la siguiente manera coloca unos mesabancos en diferentes lugares, lo puedes hacer físicamente poniendo alrededor del aula a la mayoría de estudiantes y colocando a algunos en el espacio restante del centro para medir distancias entre ellos). Entonces tienes una situación física que puedes convertir a una situación matemática dibujando un Sistema Coordenado Cartesiano como en la figura de al lado.
Ahora calcula la distancia que hay entre los dos mesa-bancos indicados con color amarillo. Considera que cada cuadro del piso tiene lados de 1 Metro.
21
Las siguientes actividades te ayudarán a comprender mejor el tema de sistemas de coordenadas, el profesor te guiará y explicará para que puedas resolverlas.
Al introducir un sistema rectangular de coordenadas en el plano euclidiano se obtiene el plano cartesiano, al que se nombró en honor del matemático René Descartes (15961650), a quién se considera el inventor de la geometría analítica. En este plano, un punto se identifica como una pareja ordenada de números que indica su posición con respecto a dos rectas llamadas ejes del sistema. Al representarlos de esta manera se realiza una conexión que permite interrelacionar la geometría euclidiana y el álgebra. Definición: Un sistema Coordenado Unidimensional: es el que se forma por dos rectas numéricas perpendiculares donde el punto en que se cruzan se le llama origen, formando cuatro partes en el plano llamadas cuadrantes.
El eje horizontal (eje equis) recibe el nombre de eje de las abscisas. El eje vertical (eje ye) recibe el nombre de eje de las ordenadas. Para ubicar un punto en el plano cartesiano se utiliza la notación P(x,y). Ubicar los puntos en el plano cartesiano. a) P1 (2,4)
EJEMPLO.
b) P2 (-1,1) c) P3 (3,4) d) P4 (0,2) 22
Solución: Al localizarlos en el plano quedan representados de la siguiente manera:
Sesión 2
En esta parte, se presenta la longitud de un segmento que lleva al concepto de distancia entre dos puntos utilizando el teorema de Pitágoras, se obtiene la fórmula de la distancia. Dados dos puntos P(x 1,y1) y Q(x2,y2), se obtiene que la distancia que los separa está dada por: PQ
( x2
x1 ) 2
( y 2
y1 ) 2
distancia entre dos puntos
EJEMPLO
Un conejo se encuentra en el punto P (-5,6) mientras un coyote lo observa desde el punto Q (2,3). ¿Cuál es la distancia entre el conejo y el coyote, si las unidades de distancia corresponden en metros? Solución: Construimos un triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa el segmento que une los puntos P (-5,6) y Q (2,3), como se muestra a continuación:
23
Las longitudes de los catetos del triángulo son: 2 ( 5) cuenta el Teorema de Pitágoras.
7 y 3 6
3 , y tomando en
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Por lo que: PQ 32 7 2 = 9 49 = 58 = 7.6 Entonces el coyote y el conejo se encuentran a una distancia de 7.6 metros. Otra forma de resolver el problema es utilizando la fórmula que se presentó anteriormente para la distancia entre dos puntos la cual se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras de manera más general. Fórmula de la distancia:
PQ
x1 ) 2
( x2
( y 2
y1 ) 2
Si los puntos son P (-5.6) y Q (2,3), al sustituir estos valores en la fórmula de la distancia se tiene: PQ
(3 6) 2
PQ
(3)
PQ
9
PQ
58
PQ
7.6
2
49
(7)
(2 2
( 5)) 2
Simplificar, sumando y restando. Elevar al cuadrado. Resolver la suma. Encontrar el valor de la raíz cuadrada.
Lo que indica que el conejo y el coyote están a 7.6 metros de distancia.
24
Ejercicio no. 1
Individual De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y compara tus resultados al final con un compañero:
En el plano de coordenadas cartesianas que se presenta a continuación, localiza los siguientes puntos: a) P1(2,5)
b) P2(-3,1)
d) P4 (0.5, -3)
e) P5 (0,-6)
Ejercicio no. 2
c) P3(-7,0) f) P6 (0,-2)
Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes analizar la forma de cómo encontrar la distancia entre dos puntos mostrado en el ejemplo anterior y, resolver el siguiente ejercicio.
25
Localiza los siguientes puntos en el plano coordenado, unir con un segmento de recta los pares de puntos y en cada caso encontrar la distancia que existe entre los puntos. a) P(7,1) y Q(2,3) b) P(-2,6) y Q(2,1) c) P(4,0) y Q(3,4) d) P(0,0) y Q(1,6)
26
Espacio destinado para realizar las operaciones al encontrar la distancia entre los puntos: a) P(7,1) y Q(2,3) Distancia =
b) P(-2,6) y Q(2,1) Distancia =
c) P(4,0) y Q(3,4) Distancia =
d) P(0,0) y Q(1,6) Distancia =
27
28
Desarrolla las siguientes actividades para evaluar los aprendizajes logrados durante el desarrollo de la secuencia anterior, deberás entregarlas a tu profesor para su evaluación.
Tarea no.1 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
Trazar un plano cartesiano y en localiza los siguientes puntos: a) A(1,-2) b) B(10.0) c) C(3,8) d) D(-5,8) e) E(-11,-4) f) F(0.4,-2.5)
29
30
Tarea no.2 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
Localiza los siguientes puntos en un plano coordenado, unir con un segmento de recta los pares de puntos y en cada caso encontrar la distancia que existe entre los puntos. a) P(0,1) y Q(1,2) b) P(-1,6) y Q(3,5) c) P(-2,1) y Q(5,3) d) P(0,5) y Q(1,0)
31
32
1.1.2. División de un segmento en una razón dada y punto medio.
Sesión 3
Aprendizajes a lograr
Identifica segmentos que unen dos puntos dados. Determina las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, cuando conoce las coordenadas de los extremos y su razón.
Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos personas, dos autos) salen de su residencia (en este caso un agujero) y se disponen a tomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como se muestra en la figura. Una tercera hormiguita no quiere alejarse mucho de su “casa” y se acomoda exactamente en el punto medio de la recta que se forma con las otras dos. ¿Puedes determinar las coordenadas del lugar (Punto medio) en donde se colocó la última hormiguita?
Evidentemente la “casa” de la hormiguita es el punto de referencia, por lo tanto ahí colocaremos nuestro punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano.
Proyectando los catetos del triángulo rectángulo que se forma hacia sus respectivos ejes simplemente calculamos el Punto Medio para cada caso.
TEOREMA. Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de un segmento P 1 P2, las coordenadas (x, y) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada r = P2 P: P P1 son:
33
Hallar las coordenadas de un punto P(x,y), que divida al segmento determinado por P 1 (5,-2) y P 2 (2.5), si la r azón es r = 2.
EJEMPLO
Solución: Utilizando las fórmulas presentadas anteriormente y haciendo la sustitución correspondiente, se tiene lo siguiente: Como r = 2, indica que el segmento PP 1 es el doble del segmento PP2.
x
x1 rx2
x
5 2( 2) 1 2
y
y
1 r 5 4 3
2 2( 5) 1 2
9 3
2 10 3
y1 ry2 1 r
3 8 3
Luego las coordenadas que se piden en el problema 8
son P (3, 3 ) El punto medio de un segmento es un caso particular del problema de encontrar un punto P(x,y) que divida a un segmento en una razón dada. En este caso indicado ahora r = 1, teniendo entonces las expresiones para encontrar las coordenadas de este punto medio como:
x
x1 (1) x2 1 1
x
x1 x2 2
y
y
y1 (1) y2 1 1
, al simplificar los denominadores se obtiene:
y1 y2 2
Donde para encontrar la coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), solo basta con encontrar las semisumas de las coordenadas “x” y “y” de los extremos.
EJEMPLO
Trazar el segmento cuyos extremos son A (4,2) y B (2,-1) y calcula las coordenadas del punto medio de dicho segmento.
34
Solución: La solución se encontrará solo sustituyendo los valores de las coordenadas en las fórmulas siguientes:
x
x1 x2 2
x
4 ( 2) 2
x
2 2
x 1
y1 y2 2
y
y
,
donde al simplificar se obtiene la solución:
1 2
y
y
2 ( 1) 2
1 2
Coordenadas del punto medio PM (1,1/2) Gráficamente se tiene:
35
Realiza los siguientes ejercicios, con los cuales comprenderás mejor el tema, sigue las instrucciones dadas al respecto. Sesión 4
Ejercicio no. 3
Individual De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y utilizando una regla, traza la gráfica correspondiente en el plano cartesiano.
1. Hallar las coordenadas del punto P(x,y), que divide al segmento determinado por los puntos P1(-2,-1) y P2(3,3), si la razón es r = 3.
2. Encontrar las coordenadas de un punto P(x,y) que divide con una razón de r = 4 al segmento que une los puntos A (3,2) y B (0,8).
3. Determina las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento que une los puntos Q (-2,-5) y U (3,-4) en una razón de r = 6.
4. Trazar un plano cartesiano y determina las coordenadas del punto P(x,y), que divida al segmento determinado por los puntos P 1(7,5) y P2(-4,-4) en relación
r
P 2 P PP 1
1 3
36
Ejercicio no. 4
Individual De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y traza la gráfica correspondiente en un plano cartesiano utilizando una regla para trazar el plano.
1. Determinar las coordenadas del punto medio de el segmento con extremos están dados por los puntos A (2,-4), B (-2,2).
2. Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento que inicia en el punto P (2,7) y termina en Q (10,1).
3. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A(0,4) y B(-3,-7)
4. Encuentra el centro del segmento que une los puntos D(0.5,8) y E(-2,-3)
37
Realiza las siguientes actividades, para que logres reafirmar los conocimientos adquiridos, tu profesor las revisará de acuerdo a los instrumentos de evaluación que se encuentran en este módulos de aprendizaje.
Tarea no.3 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________ De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y utilizando una regla, traza la gráfica correspondiente en el plano cartesiano. 1. Hallar las coordenadas del punto P(x,y), que divide al segmento determinado por los puntos P1(0,0) y P2(9,6), si la razón es r = 3.
2. Encontrar las coordenadas de un punto P(x,y) que divide con una razón de r = 3 al segmento que une los puntos A (2,2) y B (6,8).
3. Determina las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento que une los puntos Q (-1,4) y U (2,-4) en una razón de r = 2.
38
Tarea no.4 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
A continuación se te presentan una serie de ejercicios. Utilizando los temas vistos anteriormente encuentra lo que se te indique. Traza la gráfica en el plano cartesiano correspondiente a cada ejercicio. 1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que une a los puntos A (9,3) y B (-2,0).
2. Dados los puntos B (-1,4) y C (5,2), obtener las coordenadas del punto equidistante entre B y C que está sobre el segmento que los une.
3. Dados dos puntos M (2,2) y N (5,-2), hallar el punto medio.
4. Los extremos de una varilla homogénea (igual en todas partes) son A (3,-5) y B (-1,1). Determina las coordenadas de su centro de gravedad.
39
Sesión 5
1.1.3. Perímetros y áreas Aprendizajes a lograr
Localiza los vértices de triángulos en el plano cartesiano cuando conoce sus coordenadas. Traza triángulos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus vértices. Determina el perímetro de triángulos a partir de las coordenadas de sus vértices. Determina el área de triángulos a partir de las coordenadas de sus vértices.
Ubica los puntos P(0,0); Q(8,0); R(4,5) en un sistema coordenado cartesiano, únelos por medio de rectas y calcula al área del triángulo que se forma y su perímetro. Determinar Determinemos la longitud de sus tres lados, calculando la distancia entre dos puntos, por lo tanto: 1. Distancia entre los puntos P(0, 0); Q(8, 0), queda:
D=√((8-0)2+(0-0)2) =8; que es la base del triángulo. 2. Distancia entre los puntos P(0, 0); R(4,5). Sustituyendo coordenadas queda: D=√((4-0)2+(5-0)2) = 6.43 Distancia entre los puntos Q(8, 0); R(4,5). Sustituyendo coordenadas queda: D=√((4 -8)2+(5-0)2)= 6.43 Al analizar los tres resultados puedes observar que se trata de un triángulo isósceles. De la fórmula: A=b*h/2 A es el área, b es la base y h es la altura. Para calcular la altura (h), simplemente determina las coordenadas del punto medio de la base del triángulo y luego calcula la distancia desde el punto medio hasta el vértice superior. Los puntos que conforman el segmento del cual ha de determinarse el Punto Medio son P(0, 0); Q(8, 0).
Para encontrar el perímetro de cualquier triángulo en el plano cartesiano cuando conocemos las coordenadas de sus vértices, se necesita tener la medida de sus lados (a, b y c) para utilizar la fórmula:
P
a
b
40
c
Pueden utilizarse diferentes formas de encontrar el área de un triángulo, cuando se conocen sus vértices en el plano cartesiano, en este caso para utilizar lo antes visto de distancia entre dos puntos, utilizaremos la fórmula de Herón para hallar el área de un triángulo conociendo sus lados:
p( p a)( p b)( p c)
A
En donde a, b y c corresponden a la longitud de los lados del triángulo y P al semiperímetro del triángulo que es igual a la mitad de la suma de sus lados:
p
a
b
c
2
Calcule el perímetro y el área del triángulo ABC, donde los vértices son A (1,3); B (5,5) y C (1,1) como se muestra en la figura:
EJEMPLO
Solución: El perímetro del triángulo ABC es: AB + BC + AC, en donde para calcular las longitudes de los segmentos utilizamos la fórmula de la distancia: AB =
(5 1)2
(5 3)2
(4)2
(2)2
16 4
41
20
2 5
BC =
(5 1)2
(5 1)2
(4)2
(4)2
16 16
AC =
(1 1)2
(3 1)2
(0)2
(2)2
0 4
32
4
4 2
2
Entonces el perímetro es: AB + BC + AC = 2 5 4 2 2
Y su semi-perímetro es: p =
2 5 4 2 2 2
15.13
Utilizando la fórmula de área de Herón con el semi-perímetro obtenido, además de los datos ya obtenidos: P = 15.13, AB = 2 5 ; BC = 4 2 y AC = 2 A
15.13(15.13 2 5 )(15.13 4 2 )(15.13 2)
A
15.13(10.67)(9.47)(2)
A
3057 .61
A = 55.29 Por lo tanto el perímetro del triángulo es P = 2 5 Y su área es A = 55.29
42
4 2
2
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a áreas y perímetros.. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no. 5
Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes analizar detenidamente la forma que se presentó anteriormente de encontrar el perímetro y el área de un triángulo, para después resolver los siguientes ejercicios para los vértices de los triángulos indicados. Dibujar los triángulos en el plano cartesiano.
1. Tiene vértices en los puntos A (0,0); B (6,0) y C (3,6).
2. Sus vértices son los puntos P(-2,4); Q(3,-2) y R(6,8)
43
Desarrolla las siguientes actividades para evaluar los aprendizajes logrados durante el desarrollo de la secuencia anterior. Sesión 6
Ejercicio no. 6
Individual De manera individual, traza los triángulos en un plano cartesiano, que tienen como vértices los puntos indicados y encuentra el perímetro y su área correspondiente.
1. El triángulo tiene como vértices los puntos A (8;0); B (-8,0) y C (0, 8).
2. Los vértices del triángulo son F(0,1); L(3,-1) y U(-4,-5)
44
Sesión 7
1.2. SISTEMA POLAR 1.2.1. Elementos Aprendizajes a lograr
Describe lo que es un sistema polar. Traza planos polares. Identifica los elementos básicos del sistema polar. Localiza puntos a partir de coordenadas polares.
En clase con tus compañeros contesta expresa tu opinión acerca de las siguientes preguntas: ¿Qué es un sistema?, describe un sistema de coordenadas polares, ¿Conoces algunas gráficas de sistemas de coordenadas polares, si es así puedes dibujarla?
Comentarios __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
Un sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas de dos dimensiones, en donde cada punto en ese plano está determinado por un ángulo llamado ángulo polar, formado desde un eje (llamado eje polar, equivalente al eje x del sistema coordenado) y una distancia de un punto al origen llamado polo. Esto indica que los puntos representados en este sistema polar corresponden a un par de coordenadas ( r , θ)
EJEMPLO
Representa en un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos y los puntos (3,60º) y (4,210º).
45
El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.
El siguiente ejercicio retoma el tema visto, por lo cual, es importante lo realices correctamente a partir de las instrucciones previstas para ello.
Ejercicio no. 7
Individual De acuerdo a la forma de localizar puntos en el plano de un sistema polar, resolver el siguiente ejercicio.
1. Traza un plano de coordenadas polares en cada caso y localizar los puntos cuyas coordenadas se indican: a) A(4,45º)
b) B(3,
3 2
)
46
c) C(2,
7 4
)
d) D( 5, 170º) Sesión 8
El siguiente ejercicio, deberás realizarlo en conjunto con un equipo de trabajo.
Ejercicio no. 8
CIERR
Grupo
Reunidos en equipos de tres integrantes resolver las siguientes actividades utilizando un transportador para medir los ángulos indicados.
Considerando que si r es negativa y θ positiva, el radio vector se traza en sentido contrario a lo que se hace cuando r es positiva. A continuación te mostramos un dibujo donde se representa lo escrito para localizar el punto M cuando r es negativa.
47
Utilizando esta información, resolver los ejercicios siguientes. 1. En la siguiente figura se han trazado circunferencias de radio 1, 2, 3 y 4, y el plano polar, en ella localiza los siguientes puntos A (1,90°), B (1,135°), C (1,-120°), D (1,-135°) y E (-1,225°). En caso de tener dudas pregúntale a tu profesor, para que te ayude.
2. En una figura como la anterior localiza además los siguientes puntos F(2,90°), G(3,135°), H(2,-120°), K(-3,-135°) y M (-4,225°).
48
Sesión 9
1.2.2. Transformaciones Aprendizajes a lograr
Localiza los vértices de triángulos en el plano polar. Cuando se conocen sus coordenadas. Realiza transformaciones de las coordenadas polares a coordenadas rectangulares. Realiza transformaciones de las coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
Existe una relación entre las coordenadas cartesianas y las polares. Esta relación nos permite transformar las coordenadas rectangulares en coordenadas polares y puntos dados de coordenadas polares a coordenadas cartesianas.
EJEMPLO
Representa como coordenadas cartesianas el punto (3,60º) del plano polar.
Solución: Primero se traza un dibujo del punto en el plano.
Utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno se puede encontrar la abscisa y la ordenada del punto en el plano cartesiano. Sen60º =
ccattetoop uesto hipotenusa
y 3
2.598
y Sen60º = 3
y = 3Sen30º
49
catetoadya cente
Cos60º =
hipotenuza
x 3
x Cos60º = 3
x = 3Cos60º
Entonces el punto (3,60º) del plano polar trasformado es: (x, y) = (3Cos60º, 3Sen60º) (x, y) = (1.5, 2.59)
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a los sistemas polares. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no. 9
Individual De acuerdo a la forma de localizar puntos en el plano de un sistema polar resolver el siguiente ejercicio.
Transforma de coordenadas polares a coordenadas cartesianas y determina la representación gráfica en el plano cartesiano a los siguientes puntos: a) A (3,45°)
b) B (1,30°)
e) E (2,-30°)
f) F (-1,-225°)
c) C (-2,30°) g) G (-2,60°)
50
d) D (2,135°) h) A (1,45°)
Para determinar la representación de un punto en coordenadas polares, si se conocen las coordenadas cartesianas (x, y), primero se utiliza el teorema de Pitágoras:
x 2
Donde r
y 2
y considerando el triángulo rectángulo que se forma en el plano y tan 1 ( x ) , debido a que tan
se determina que
Catetopopu esto ccatetoady acente
y x
Entonces se puede determinar que el punto (x, y) en el plano cartesiano, se transforma en 2 el punto ( x
y 2 , tan
1 y x
( ))
Representar el punto (4,5) del plano cartesiano a la forma de punto en el plano polar .
EJEMPLO
Solución: r
Como
4
2
5
tan
2
16
25
41
Catetopopu esto ccatetoady acente
6.4
5 4
se tiene que
tan 1 ( 54 )
51.34º
Entonces se puede indicar que el punto (4,5) se transforma en 6.5,51.34º
51
Ejercicio no. 10
Individual De acuerdo a la forma de localizar puntos en el plano de un sistema polar, resolver el siguiente ejercicio.
Transforma de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y determina la representación gráfica en el plano polar a los siguientes puntos:
a) A (3,4)
b) B (1,1)
c) C (-2,3)
e) E (2,-1)
f) F (-1,-1)
g) G (-2,-3)
52
d) D (2,-3) h) A (4,-4)
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida Nombre: ________________________________________________ Grupo: ________________________ Turno: __________________ Fecha: _________________________________________________ Instrumento de Evaluación: __________________ Página: _______ 1. ¿A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que lo sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º? Para resolver el problema, traslada el dibujo a un plano cartesiano, y dar las coordenadas del lugar que ocupa el papalote en el plano cartesiano. A
60 m
?
53º C
B
2. Cuánto vale la pendiente de del ángulo de inclinación que forma el cable que sostiene a una torre.
53
3. Imaginemos que las dimensiones de una mesa de billar son 2m de ancho por 3 m de largo y que la carambola que se desea realizar es como se muestra:
Si colocamos la mesa sobre un sistema de referencia (plano cartesiano) asignando coordenadas a la ubicación de las bolas y si no hubiera banda inferior, la bola seguiría hasta el punto B’ simétrico al punto B.
a) ¿Cuál es la distancia que tendrá que recorrer la bola en A para llegar hasta el punto B? b) Encontrar la pendiente del segmento que une los puntos A con el punto B ’. c) Encontrar el ángulo de inclinación que tiene la trayectoria de la bola negra cuando choca con la banda inferior. d) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los lugares A y B ’. e) Escribe esta ecuación de la recta en la forma general.
54
Autoevaluación Nombre _________________________________________________ Grupo _________________________ Turno __________________ Fecha __________________________________________________
Instrucciones: Utilizando la información presentada en esta unidad de acuerdo a la información que se utilizó para resolver los ejercicios, responder lo que se indica en cada actividad. 1. Encuentra la distancia que separa los puntos A(20.6) y B(-7,4) a) 2.87
b) 1.78
c) 28.7
d) 18.7
e) 20.17
2. Calcular la distancia que existe entre los puntos P(0,5) y Q(-3,-2) a) 2.7
b) 7.8
c) 8.7
d) 1.7
e) 7.6
3. Hallar las coordenadas del punto que divide al segmento que une a los puntos M (1,1) y N (8,10) en una razón de 1/5. a) (1.95,5.22)
b) (1.95,2.25)
c) (7,9)
d) (4.5,5.5)
e) (8.1,6.5)
4. Calcula las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A (0,0) y B (-3,9), en una razón de 2/3. a) (-1.8,-5.4)
b) (3.2,3.9)
c) (2,3)
d) (-3.9,-9.3)
e) (3.1,-2.5)
5. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos R (-4,-3) y H (3,6). a) (-8.1,-1.4)
b) (3.5,3.7)
c) (-1.5,1.5)
d) (-3.2,-5.3)
e) (5.1,-1.5)
6. Encuentra el punto medio del segmento si los extremos del segmento son los puntos A (10,2) y B (-2,-4). a) (-1,-4)
b) (2,2.5)
c) (2,-3)
d) (-3,-3)
e) (4,-1)
7. Encuentra el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos A (10,1), B (1,7) y C (5,-2). a) 2.4
b) 7.28
c) 12.4 55
d) 26.4
e) 18.5
8. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A (0,0), B (-3,8) y C (3,5). a) 19.7
b) 16.5
c) 10.2
d) 5.32
f) 10.5
9. Determina el perímetro del triángulo con vértices en V (-3,-5), G (1.7) y V (4,2). a) 17.21
b) 12.8
c) 15.12
d) 28.36
e) 12.21
10. Encuentra el área del triángulo con vértices en los puntos R (2,-2), D (4,-6) y (8,-4). a) 19.72
b) 38.56
c) 10.21
d) 12.32
K
f) 10.51
11. Cambiar las coordenadas del punto (3,4) a coordenadas polares. a) (5,53.130) b) (2,13.15 0) c) (4.3.250)
d) (4,3.40)
e) (3,35.43 0)
12. Cambiar las coordenadas del punto (5, 60 0) a coordenadas cartesianas. a) (5.2,3.4)
b) (2.25,4.32)
c) (2.5,4.33) d) (3.42, 3.34)
e) (5.27,4.12)
13. Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (3,5) y Q (6,8). a) 1
b) 2
c) -5
d) -1
e) 3
14. Encuentra la pendiente de la recta que forma un ángulo de 120 0 con el eje “x”. a) -1.18
b) 2.61
c) -1.73
d) -1.18
e) 3.5
15. Escribe la forma de la ecuación de la recta de la forma puno-pendiente si pasa por el punto A (3,4) y que tiene pendiente 8. a) y – 4 = 8(x – 3) b) y – 4 = 3(x – 8) c) y – 3 = 8(x – 4) d) y – 8 = 4(x – 3) e) y – 4 = 8(x – 3) 16. Escribe la forma de la ecuación punto-punto de la recta que pasa por A (8,2) y por B (-3,-8). a) y
8
3 2 8 8
( x
2)
56
b) y
3
8 2 8 3
( x
8)
c) y
2
2 8 3 8
( x
8)
d) y
2
8 2 8 3
( x
3)
e) y
3
8 2 3 8
( x
3)
17. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por le punto (3,4) y que forma un ángulo de inclinación con el eje “x” de 45 0. a) X + y – 1 = 0 b) –x + y + 1 = 0 c)
X+y+1=0
d) x – y + 1 = 0 e) X – y – 1 = 0 18. Hallar la ecuación general de la recta con m = 10 y que pasa por el punto (7,6). a) 10X +6y – 7 = 0 b) –6x + 10y + 63 = 0 c) -10X +7y + 63 = 0 d) 7x – 10y + 36 = 0 e) 10x – y – 63 = 0 19. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los punto (2,8) y (-4, 2). a) x – y + 6 = 0 b) -x – y + 6 = 0 c) x – y - 6 = 0 d) x + y + 6 = 0 e) -2x + y + 6 = 0 57
20. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por (2,8) y con una inclinación de 720. a) 3x – y + 14 = 0 b) -3.07x – y + 14.14 = 0 c) -3x + y – 6.14 = 0 d) 3.07x - y 14.14 = 0 e) -2x + y + 6 = 0
58
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Evaluación del desempeño (ejercicios)
No.
Indicador
En equipo Cumplió Ejecución Sí No Ponderación Calif.
1
Se integró al equipo.
0.6
2
Mostró interés por el tema. Mostró conocer los conceptos que utilizó Mostró habilidad para responder a los ejercicios Aplicó correctamente el procedimiento
0.7
3 4 5
Observaciones
0.6 0.8 0.8
Calificación de esta evaluación
3.5 Individual
No.
Indicador
Cumplió Ejecución Sí
No
Ponderación
1
Mostró interés por el tema.
0.8
2
Mostró conocer los conceptos que utilizó Mostró habilidad para responder a los ejercicios Aplicó correctamente el procedimiento
0.8
3 4
Observaciones Calif.
0.9 1.0
Calificación de esta evaluación
3.5
Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
59
Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No.
Indicador
Cumplió Ejecución Sí
No
1
Resolvió el total de los ejercicios 2 Resolvió correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. 4 Realizó correctamente las operaciones. Calificación de esta evaluación
Ponderación
Observaciones Calif.
0.75 0.75 0.75 0.75 3
Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de Productos (investigaciones): No.
Indicador
Cumplió Ejecución Sí
1 2
No
Entregó en tiempo y forma La información fue clara y acorde al tema Presentación del trabajo
Ponderación
Observaciones Calif.
0 0
3 Calificación de esta evaluación
0 0
Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
60
Unidad II LUGARES GEOMÉTRICOS
61
COMPETENCIAS Al término de esta unidad el alumno:
Utiliza las representaciones geométricas y analíticas en la solución de problemas involucrados en diferentes representaciones de la recta y la circunferencia. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
TEMARIO 2.1. Recta 2.1.1. Propiedades 2.1.2. Ecuaciones y transformaciones 2.1.3. Intersección de rectas 2.1.4. Relación entre rectas 2.1.5. Rectas notables en el triángulo 2.2. Circunferencia 2.2.1. Propiedades y ecuaciones 2.2.2. Condiciones geométricas y analíticas
62
2.1. RECTA 2.1.1 Propiedades
Sesión 11
Aprendizajes a lograr
Conocer e identificar a la recta, así como el ángulo de inclinación y su pendiente. Determina la pendiente de una recta cuando conoce las coordenadas de dos puntos por donde pasa. Determina el valor de la pendiente a partir de su ángulo de inclinación y viceversa. Relaciona la posición de la recta en el plano con el valor de la pendiente.
Una característica importante de las rectas, es su inclinación que pueden tener con el eje x que puede ser medida de diferentes formas. La pendiente de una recta, es una medida de la inclinación de una recta con respecto al eje x. La pendiente de una recta es el cociente de dos incrementos o cambios: el de las ordenadas de dos puntos distintos sobre la recta, entre el de las abscisas de éstos. Si las coordenadas de los puntos extremos son A( x ,y ) y B( x ,y ), lo 1 1 2 2 que hemos dicho se puede expresar como sigue:
m AB
incremento eny incremento enx
y2 y1 x2 x1
EJEMPLO
Supongamos los extremos de un segmento son: A (4,2) B (5,3), por lo que su pendiente se calcula como: y2 y1 x2 x1
m AB
3 2 5 4
m AB m AB
1 1
1
63
Gráfica correspondiente:
Sesión 12
Toda recta tiene o no un ángulo de inclinación en el plano cartesiano con el eje “ x”, el cual es medido en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj hasta la recta.
Si trasladamos una recta horizontal y una vertical, es decir paralelas a los ejes “ x ” e “ y ” formamos un triángulo rectángulo y el ángulo de inclinación “ α” puede expresarse como:
Tan 64
y 2
y1
x 2
x1
Y este cociente, como se estableció anteriormente es el valor de la pendiente de la recta. Por lo que: Tanα=m
Para determinar el ángulo “ α” de inclinación:
Solución: y2 y1 x2 x1
Tan
11 3 6 2
Tan
8 8
m
Determinar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A (2,3) y B (-6,11).
EJEMPLO
Tan
-1 α−=tan
1
1
Tan 1 ( 1)
45o
65
El siguiente ejercicio deberás realizarlo en equipo y corresponde al tema visto hasta el momento.
Ejercicio no. 1
Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma de encontrar la pendiente de una recta cuando se tienen dos puntos de ella, resolver el siguiente ejercicio:
Trazar la recta que pasa por cada par de puntos en el plano cartesiano y encontrar la pendiente de la recta. a) A (3,4) y B (5,-3) b) B (1,1) y V (8,1) c) C (-2,3) y F (-2,-3)
d) D (2,-3) y E (0,0)
e) E (2,-1)
y H (-2,-1)
g) G (-2,-3) y S (10,1)
h) A (4,-4)
y U (-2,0)
Ejercicio no. 2
f) F (-1,-1) y G (6,6)
Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma de encontrar el ángulo de inclinación de una recta cuando se tienen dos puntos de ella, resolver el siguiente ejercicio.
1. Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación que forman con el eje “x”, las rectas que pasan por cada par de puntos siguientes: a). A (1,3), B (5,9) b). A (1,1), B (-4,-4) 66
c). A (2,6), B (-6,7)
2. ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de las rectas horizontales?
3. ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de los segmentos verticales?
4. Determinar la pendiente de la recta que forma un ángulo de inclinación de 60º con el eje “x”.
5. Determina la pendiente de la recta que forma un ángulo de inclinación de 120º con el eje “x”.
67
Realiza las siguientes actividades correctamente.
Tarea no. 1 Nombre: ________________________________________________ Grupo: ____________________ Turno: ______________________ Fecha: _______________________________________________ A continuación se te presentan una serie de ejercicios. Utilizando la fórmula de la pendiente y con ayuda del plano cartesiano, trazar la recta correspondiente a cada par de puntos y encontrar su pendiente: 1. Los puntos A (9,3) y B (-2,0).
2. Dados los puntos B (-1,4) y C (5,2)
3. Los puntos A (-6,-4) y B (-5,3)
4. Los puntos A (1,4); B(7,3) y C (-2,-2)
5. La recta que pasa por los puntos A (-4,7) y B (6,3)
68
Tarea no.2 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
De manera individual, responde lo que se indica a continuación: 1) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por el origen y que tiene un ángulo de inclinación de 60 0 ? 2) Si la pendiente de la recta es 3/2, ¿Cuál es el ángulo de inclinación? 3) Dado los puntos A 2,5 y B 1,1 . Determina la pendiente de la recta que pasa por estos. 4) Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento definido por los puntos A 5,3 y B 2, 5 5) Determina la pendiente para cada uno de los siguientes incisos: a) A 5, 9 y B 2,3 b) A 6,7 y B 4, 4 c) A 7, 8 y B 7,3
6) Hallar el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación para cada uno de los siguientes casos: a) 3,3 y 1,2 b) 2,4 y 2,7 c) 2,5 y 4, 1 d) 1,5 y 4,7
e)
1,8 y 4,8
69
f)
5,2 y 6,2
Sesión 13
2.1.2 Ecuaciones y transformaciones Aprendizajes a lograr
Determina las ecuaciones de la recta (punto-pendiente, puntopunto, pendiente-ordenada al origen, forma general). Realiza transformaciones de una ecuación a otra.
Una recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una misma dirección. Uno de los postulados de la geometría Euclidiana dice "para determinar una recta solo es necesario dos puntos del plano ”.
La expresión algebraica que determina a una recta recibe el nombre de Ecuación de la Recta. La ecuación de la recta puede expresarse de diferentes maneras. Como: a) Punto-Pendiente. b) Punto-punto. c) Pendiente-ordenada. d) Forma general. Si P1(x1, y 1) es un punto conocido de la recta de pendiente m, y sea (x, y) un punto que representa a cualquiera de la recta, se tiene que la pendiente se muestra como:
m De donde se puede obtener la expresión:
y
y1
x
x1
y – y1 = m (x – x1)
70
Que se conoce como ecuación punto pendiente.
EJEMPLO.
Si se tiene el punto (1,1) de una recta con m = 1.5 escribe la forma de la ecuación punto pendiente de la recta.
Solución: Se tiene que la forma de la ecuación punto pendiente es y – y 1 = m (x – x1), solo basta con sustituir el punto (x 1,y1) = (1,1) y m = 1.5 en la forma de la ecuación, obteniendo entonces: y – 1= 1.5 (x – 1) Se llama ecuación principal o ecuación pendiente-ordenada de una recta a una expresión de la forma: y = mx + b En donde “m” representa la pendiente de la recta y “b” es el coeficiente de posición y es el número en que la recta corta al eje de las ordenadas.
EJEMPLO
Encontrar la ecuación pendiente-ordenada de la recta, que tiene pendiente m = 5 e intercepta al eje “y” en b = 6.
Solución:Se tiene que encontrar la ecuación de la recta de la forma y = m x + b. Utilizando la información que te da: m = 5 y b = 6 solo se sustituye en la ecuación, obteniendo entonces:
y = 5x + 6. La ecuación pendiente-ordenada que te pide el ejemplo es y = 5x + 6. 71
De acuerdo a las instrucciones proporcionadas, realizar los siguientes ejercicios.
Ejercicio no. 3
Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma de encontrar la ecuación de la recta punto-pendiente, encontrar esta ecuación encada caso para el siguiente ejercicio:
a) La recta pasa por el punto A (2,3) y tiene pendiente 10.
b) La recta pasa por el punto B (-3,-1) y tiene pendiente -2.
c) La recta pasa por el origen y tiene pendiente 2.
d) La recta pasa por el punto D (4,0,) y tiene pendiente 4. 4.
72
Otra de las formas, es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Sesión 14
Si conocemos dos puntos de la recta, P 1(x1,y1) y P2(x2,y2), la pendiente es:
m
y 2
y1
x2
x1
Sustituyendo esta forma de la pendiente en la ecuación punto-pendiente de la recta, y – y1 = m (x – x1) se obtiene: y y1
y 2
y1
x 2 x1
x
x1
Conocida como la ecuación punto-punto de la recta, que es la forma más habitual de expresar la Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
EJEMPLO.
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,3) y (0,1)
Solución: Se obtiene con solo sustituir los puntos en la ecuación punto-punto, para obtener la forma de la ecuación: Se puede considerar (x 1,y1) = (0,1) y (x2,y2) = (3,3)
y 1
3 1 3 0
( x 0)
Otra opción sería que se escribiera considerado (x considerado (x1,y1) = (3,3) y (x2,y2) = (0,1) 73
y 3
1 3 0 3
( x 3)
Las cuales son ecuaciones equivalentes a la recta que pasa por los puntos indicados.
Ejercicio no. 4
Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma de encontrar la ecuación de la recta punto-punto, resolver el siguiente ejercicio:
1. Encontrar la ecuación punto-punto de la recta que pasa por los puntos A (2,5) y B (6,4). Grafica la recta.
2. Hallar la ecuación de la recta punto-punto que pasa por P (-3,6) y Q (1.10). Traza la gráfica de la recta.
a) Escribir la forma de la ecuación de la recta punto –punto que pasa por el origen y el punto H (3,6). Graficar la recta.
74
Ejercicio no. 5
Individual Utilizando lo que se explica en el ejemplo anterior, encontrar la ecuación pendiente-ordenada de las rectas que cumplen con la información que se indica.
1. Tiene pendiente 4 intercepta al eje “y” en b = 4.
2. Su pendiente es - 8 y atraviesa al eje “y” en y = -3.
3. Intercepta al eje “y” en y = 3 y su pendiente es -10.
75
Otra forma de expresar la ecuación de una recta es en la forma general, la cual para obtenerla, basta con pasar todos los términos al primer miembro, quitando denominadores si es necesario. ax + by + c = 0
donde m = -a/b
Sesión 15
A esta ecuación se le denomina ecuación general de la recta.
Dada la ecuación de la recta y = 2x + 4, encontrar la ecuación general de la recta.
EJEMPLO.
Solución: Basta con pasar todos los términos 2x y 4 al primer miembro de la ecuación con el signo diferente, quedando de la siguiente manera:
y = 2x + 4 -2x + y -4 = 0
Ejercicio no. 6
Individual De acuerdo a la forma de encontrar la ecuación general de la recta a partir de la forma pendiente ordenada, encontrar la ecuación general para cada ecuación indicada.
1. Y = 2x -11
2. y = -8x
3. y = x -7
4. y = 3x + 9
76
A continuación se muestran otras formas de transformaciones de ecuaciones de rectas.
EJEMPLO
Encontrar la ecuación general de la recta y – 4 = 3(x – 2).
Solución: y – 4 = 3(x – 2) y – 4 = 3x – 6 -3x + y – 4 + 6 = 0 -3x + y + 2 = 0
resolver la multiplicación. pasar los términos 3x y 6 al primer miembro con signo diferente. simplificar términos semejantes. respuesta
Si es conveniente se multiplica por (-1) ambos miembros, cambiando el signo, entonces la solución también podría ser: 3x - y - 2 = 0 Hallar la ecuación de general de la recta:
EJEMPLO.
y 3
1 3 0 3
( x 3)
Solución:
y 3
1 3 0 3
y 3
2 3
( x 3)
( x 3)
3(y – 3) = 2(x – 3) 3y – 9 = 2x - 6 -2x + 3y – 9 + 6 = 0 -2x + 3y – 3 = 0
Simplificar el valor de la pendiente. Eliminar el cociente del segundo miembro pasando hacia el primer miembro mediante una multiplicación. Resolver las multiplicaciones. Pasar los miembros 2x y - 6 al primer miembro de la ecuación. Simplificar términos semejantes.
La solución es -2x + 3y – 3 = 0, o bien es 2x – 3y + 3 = 0
77
Ejercicio no. 7
Grupo Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma de encontrar la ecuación general de la recta, resolver el siguiente ejercicio:
Para cada recta expresada por las formas siguientes, encontrar la ecuación general de las rectas. 1. y – 1 = 2(x – 2)
2. y = -1(x – 1)
3. y – 10 = 5(x + 3)
1 4 0 3
4. y
1
( x 1)
5. y
4
0 2 0 2
( x 7)
6. y
3
5 4 2 7
( x 9) 78
Realiza la siguiente tarea, que te permitirá llevar a la práctica los aprendizajes logrados en el tema abordado en clase.
Tarea no. 3 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
De manera individual, encontrar la ecuación de la recta que se indica en cada caso. 1. Encontrar la ecuación de la recta punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (9,2) y con m = 4.
2. Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta con pendiente 2 y que pasa por el origen.
3. Hallar la ecuación de la recta punto-pendiente con pendiente 6 y que pasa por le punto (4,-2).
4. Determina la ecuación punto-punto de la recta que pasa por los puntos A(3,6) y B(2,7)
5. Encuentra la ecuación punto-punto de la recta que pasa por el origen y el punto 3,4)
6. Hallar la ecuación punto-punto de la recta que pasa por los puntos P (3,-4) Q (-5, 6) 79
y
(-
80
Tarea no. 4 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
Encontrar la ecuación general de las rectas que cumplen con la información que se indica.
a) Tiene pendiente 3 intercepta al eje “y” en b = -2.
b) Su pendiente es 2 y atraviesa al eje “y” en y = 8.
c) Intercepta al eje “y” en (0,5) y su pendiente es -10.
81
82
Tarea no. 5 Nombre: ________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,2) y B (-2,5). Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,3) y B (-2,1). Determine la intersección de la recta con el eje Y.
Determinar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P 1 (-1, -4) y P2 (5, 1)
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P ( 0,1) y Q(-1,4).
Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1)
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto
b = 10.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, - 4) y que tiene una pendiente de - 1/3.
83
84
2.1.3 Intersección de rectas
Sesión 16
Aprendizajes a lograr
Determina las coordenadas del punto de intersección entre dos rectas. Identifica rectas paralelas y perpendiculares a partir de sus pendientes. Determina si dos rectas son paralelas o perpendiculares a partir de sus ecuaciones. Determinar el ángulo formado por dos rectas a partir de sus pendientes. Determina la distancia entre dos rectas a partir de sus
Dos rectas se pueden intersecar, a lo más, en un punto en común entre ambas rectas. En la siguiente gráfica observamos dos rectas que se intersecan en un punto. Las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer a dichas ecuaciones. Gran cantidad de problemas se pueden resolver a partir de su planteamiento como un sistema de dos ecuaciones simultáneas ya vistos anteriormente en la asignatura de álgebra.
x +y =2
x-y=4
Las rectas graficadas son: x+y=2
y
x-y=4
La solución de ambas rectas es el punto de intersección que tiene por coordenadas (3, 1), lo que podemos comprobar al sustituir las coordenadas en cada ecuación: x + y = 2
x – y = 4
3 + (-1) = 2
3 - (-1)= 4
3 - 1 =2
3+ 1 =4
2 =2
4 =4 85
Existen rectas en la cual no existe intersección entre ellas llamadas paralelas, las cuales no existe solución. En este caso no es posible aplicar el sistema de ecuaciones por no existir intersección entre ellas. y
x
EJEMPLO
Cuando se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas, se puede construir la gráfica de cada una de ellas. Con eso, podemos establecer un método para resolver el sistema. Método gráfico o método analítico. Método gráfico: Sean las ecuaciones:
2x + y = 10 (1)
x – y = 2
y
(2)
Encontramos las intersecciones con los ejes coordenados de ambas rectas, haciendo x=0 y y=0 Ecuación (1)
Ecuación (2)
x=0, y=10; punto (0,10)
x=0, y= -2; punto (0, -2)
y=0,
y=0,
x= 5; punto ( 5, 0)
86
x= 2; punto ( 2, 0)
Y
X
x-y=2
2x+y=10
El punto de intersección tiene por coordenadas x=4 ;
y=2
(4,2)
Estos valores son la solución del sistema de ecuaciones. Método analítico: Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método que más convenga. En este caso lo resolveremos por sustitución: 2x + y = 10 x – y = 2
(1) (2)
Paso no 1.- Despejamos una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones 2x + y = 10 Despejamos
y = 10 - 2x
(3)
Sustituimos la incógnita despejada “ y “en la ecuación (2) x – y = 2 x – (10 -2x) = 2 Eliminando paréntesis x -10 + 2x = 2 Uniendo términos semejantes 3x=12 x=4 87
Una vez calculada una de las incógnitas en este caso “x” se sustituye en la ecuació n (3)
y= 10-2x y= 10-2(4) y=10-8 y=2 Llegamos a las mismas coordenadas (4, 2 ) Sesión 17
Ejercicio no. 8
Grupo Aquí se describen las indicaciones para el ejercicio Después de la exposición del profesor, en equipos de cuatro integrantes resolver los siguientes sistemas de ecuaciones encontrando su intersección. Verificando su respuesta graficando ambas rectas.
Y + 3 = Método gráfico
0
,
2x
y
x
88
+
y + 3 =0 método analítico
4x + y = Método gráfico
12
,
x
+ y = 7 método analítico
y
x
2x + 3y = 8 , 2 x – y = 3
método analítico
y
x
89
90
Realiza la siguiente tarea según se indica.
Tarea no. 6 Nombre: _________________________________________________ Grupo: ____________________
Turno: ______________________
Fecha: __________________________________________________
Obtén las coordenadas del punto de intersección de las rectas resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas. Verifica tu respuesta graficando ambas rectas. X – 3y + 9 =0
,
método analítico
5x + 8y -1 = 0
y
x
X + 6y = 0 ,
2x + 7y -5 =0
método analítico
y
x
91
92
X + y-1=0 ,
x + 3y – 3=0
método analítico
y
x
93
94
Sesión 18
2.1.4 Relación entre rectas Aprendizajes a lograr
Identifica rectas paralelas y perpendiculares a partir de sus pendientes. Determina si dos rectas son paralelas o perpendiculares a partir de sus ecuaciones. Determinar el ángulo formado por dos rectas a partir de sus pendientes. Determina la distancia entre dos rectas a partir de sus ecuaciones.
¿Has visto las vías del Ferrocarril? ¿Qué representan, pueden ser rectas?, comenta con tus compañeros de grupo.
Un ejemplo de rectas paralelas son las vías del ferrocarril, observa la siguiente imagen:
.
Dos rectas son paralelas o perpendiculares entre sí, si cumplen con las condiciones de perpendicularidad y paralelismo. 1.- Dos rectas L 1 y L 2 son paralelas si y solo si, si sus pendientes son iguales m1 = m2 95
Y
L1 m1
L2 m2
θ θ 1
θ 2
1=θ2
x
2.- Dos rectas L 1 y L 2 son perpendiculares entre sí, y solo si, sus pendientes son recíprocas y con signo distinto, o sea que el producto de sus pendientes es igual a -1. m1 m2 = - 1 m1 = -1/m2 Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos rectos.
Recuerda qué para comprobar que un triangulo es rectángulo las pendientes de sus lados deben ser recíprocas.
Recordando la ecuación general de la recta es de la forma ax + by + c = 0 , de donde la pendiente es igual a: 96
Es momento de revisar un ejemplo y realizar ejercicios que te permitan llevar a la práctica lo aprendido.
EJEMPLO
Calcula la pendiente de la siguiente ecuación: 4x+3y-12= 0 a=4,
Ejercicio no. 9
b=3 sustituyendo
Grupo Después de abordar el tema del día, en equipos de dos integrantes completar la siguiente tabla según se indica.
Clasifica cada pareja de las siguientes ecuaciones como paralelas, perpendiculares u oblicuas según sea al caso: 6x + 5y + 6 = 0
Procedimiento:
5x + 8y +7 = 0
Pendiente de la ec. 6x + 5y + 6 = 0 es: m = -6/5 Pendiente de la ec. 5x + 8y +7 = 0 m = -5/8 Las rectas son oblicuas porque no cumplen con las condiciones de perpendicularidad y paralelismo.
97
-10x + 2y -6 = 0 5x – y +7 = 0
X + 3y – 6 = 0 3x – y – 5 = 0
Y = -2/3 x + 5 Y= 3/2x – 3/2
4x + 2y + 3 = 0 X + 4y 6 = 0
98
A continuación se presenta una actividad, en la cual deberás realizar una tarea de investigación.
Tarea de investigación no. 1 Realiza de manera individual una investigación bibliográfica.
Completa la siguiente tabla investigando las características e interpretaciones de la columna izquierda. Forma General:
Su pendiente es m = ____ , B≠0
Ax + By + C = 0
Su abscisa en el origen es a=_____ , A≠0 Su ordenada en el origen es b = -C/B, B=_____
Ax + C = 0
ó X=-C/A
Recta paralela al eje ________, que pasa por el punto (-C/A, 0) B=0
By + C =0
ó y=-C/B
Recta paralela al eje_________, que pasa por el punto ( 0 , -C/B) A=0
Ax + By = 0
Recta que pasa _____________
Forma pendiente ordenada en Donde m es la _______________ el origen
b es la ordenada al origen ( intersección con el eje ___)
Y= mx + b
99
Sesión 19
Ángulo formado por dos rectas
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas y está asociado a la inclinación de cada una de ellas. Si m y m son las pendientes de dichas rectas. Se pueden obtener a partir de la siguiente expresión.
EJEMPLO
Calcula el ángulo formado por las siguientes rectas: x+3y-2= 0 y 2x-3y+5= 0
El primer paso es calcular las pendientes de dichas rectas. m1=
m2=
Aplicando la fórmula:
α = 52⁰ 8‘
100
=
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a los ángulos formados por una recta. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no. 10
Grupo Haciendo uso de las pendientes encuentra el ángulo agudo de las siguientes pares de rectas.
l 1→ X – 3y +4 = 0 l 2→ X + 2y + 4 = 0
X+ 3y = 0 X – 2y = 0
3x + 4y = 12 3x – 8y = 12
101
Distancia entre un punto y una recta Una de las aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta, es el cálculo de la distancia de un punto a una recta, observa el dibujo: Sesión 20
Fórmula para calcular la distancia entre un punto a una recta:
Grupo
Ejercicio no. 11
Aplicando la fórmula anterior, resuelve los siguientes ejercicios en equipos conformados por 2 integrantes.
Encuentra la distancia en cada caso de un punto a una recta. (-3,5) ,
3x-2y-8=0
(6,-2) ,
5x-6y-1=0
102
Encuentra el valor del radio de una circunferencia, cuyo centro es el punto C (-2, 4) y es tangente a la recta x – 4y +6 = 0 (-3 , 2) , x+y-2=0
Realiza el siguiente ejercicio de manera individual. De tal manera puedas retroalimentar tus aprendizajes.
Ejercicio no. 12
Individual De manera individual, resuelve el siguiente ejercicio según corresponda.
Aplicando la fórmula de distancia de un punto a una recta, determina la distancia entre la recta 5x+3y+4=0 y el punto (2,5)
103
Sesión 21
Distancia entre rectas paralelas Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas: R: 2x – y + 1 = 0 y S: - 4x +2y – 3 = 0. Relacionando ambas rectas con la fórmula general
R: Ax + By + C = 0 y S: Ax + By + C ’ = 0 , los coeficientes de “x ” y de “y ” son iguales, si las rectas son paralelas y sus coeficientes no son iguales esto se puede conseguir que el coeficiente de la x y de y sea el mismo, siendo únicamente el término que varía es el independiente C y C’. La fórmula es: d(R, S) = | C – C ’ | / √ ( A 2 + B 2 )
Por lo tanto, nuestras rectas R y S son paralelas y los coeficientes no coinciden; lo que tenemos que hacer es hacer coincidir los coeficientes tanto de x como de y . Dividimos la primera ecuación entre el coeficiente de x R :
=0
R:
=0
Dividimos la segunda ecuación entre el coeficiente de x S:
S: x – ½ y + ¾ = 0
Entonces ya tenemos la forma deseada, los coeficientes de x y de y coinciden y los términos independientes son diferentes. Eso es lo que ocurre cuando las rectas son paralelas. Entonces calculamos la distancia de R a S: d(R,S) =
d(R,S) =
d(R,S) =
d(R,S) =
d(R,S) =
104
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la distancia entre rectas. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso
Grupo
Ejercicio no.13
Reúnete en pareja y encuentra la distancia entre los siguientes pares de rectas paralelas que a continuación se enlistan.
a ) x + 2 y + 3 = 0
x + 2 y -1 3 = 0 b) x - 3 y + 5 =0
x – 3 y – 2 = 0 c) -10 x + 2 y - 6 = 0.
5 x – y + 7 = 0 d) -6 x -2 y + 19 = 0 - 3 x – y + 7 = 0
Realizar el siguiente ejercicio, considerando cada una de las actividades que se proporcionan en el mismo.
Ejercicio no.14
Individual De forma individual resuelve el siguiente ejercicio, de acuerdo a lo que se te indica.
Encuentra la distancia entre las siguientes rectas: 5x-y-22=0 5x-y+20=0 105
Sesión 22
2.1.5 Rectas notables en el triángulo Aprendizajes a lograr
Identifique las rectas notables en el triangulo. Determine la pendiente de la mediatriz, altura y mediana a partir de los vértices del triángulo.
Es muy importante que logres identificar las rectas notables en el triángulo, las cuales son las siguientes: Mediatriz
Altura
Mediana
Bisectriz
Mediatrices: La mediatriz de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio. Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue: La mediatriz del lado a perpendicular al lado BC, se denota por Ma La mediatriz del lado b perpendicular al lado AC, se denota por Mb La mediatriz del lado c perpendicular al lado AB, se denota por Mc Ver las sig uientes figuras:
"Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicho lado".
106
Ahora, es momento de responder las siguientes preguntas.
En relación a la primer gráfica Ma ¿Qué ángulo forman la recta Ma, y el segmento BC?. ¿Cómo es la recta Ma, respecto al segmentoBC?____________________________________________________________ ________________________________________________________________________ El punto de intersección de Ma con BC, ¿a qué distancia se encuentra de los extremos de BC? ¿Qué nombre recibe este punto con respecto al segmento? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ A partir de los datos obtenidos, define “ mediatriz de un segmento ”. ________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
Alturas: La altura de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto. Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue: La altura respecto del lado 'a' es perpendicular al lado BC, se denota por ha La altura respecto del lado 'b' es perpendicular al lado AC, se denota por hb La altura respecto del lado 'c' es perpendicular al lado AB, se denota por hc
107
Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo): Si el triángulo es RECTÁNGULO: "La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con _____________________________________ del triángulo". Si el triángulo es ACUTÁNGULO: "Las tres alturas son_____________________________ al triángulo". Si el triángulo es OBTUSÁNGULO: "La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo". "En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado _______________ divide el triángulo en _____________________________ iguales".
Medianas: La mediana de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos como sigue: Mediana correspondiente al vértice A, se denota por mA Mediana correspondiente al vértice B, se denota por mB Mediana correspondiente al vértice C, se denota por mC
"Las tres medianas de un triángulo ______________________________, independientemente del tipo de triángulo que sea". "Cada mediana de un triángulo divide a éste en ____________________ de igual área". 108
Sesión 23
Bisectrices: La bisectriz de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales. Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos como sigue: Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC
"Los puntos de la bisectriz equidistan _________________ del ángulo" Es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se forman son de la misma _______________________.
109
Ejercicio no. 15
Individual En forma individual identifica cada una de las siguientes gráficas.
________________ _________________
_________________
___________________
Determina la pendiente de la ecuación de la mediatriz del segmento AB de extremos A (2,5) y B (4, -7). Calculando la pendiente del segmento AB tenemos:
m
(A-B)
=
=
= -6
Haciendo uso de las condiciones de perpendicularidad, la mediatriz es perpendicular a dicho segmento, entonces su pendiente es recíproca y con signo distinto. La pendiente de la mediatriz es m ( AB) =
110
Ejercicio no. 16
Individual En forma individual realiza el siguiente ejercicio, según corresponda.
Calcula la pendiente de la ecuación de la mediatriz del segmento AB que tiene por extremos (-2,0) y (3,10).
Alturas: Para calcular las alturas de un triángulo identificamos primero la altura del lado que se quiere calcular.
EJEMPLO
Calcular la altura del lado AB del siguiente triángulo de vértices: A (-5, 6), B (-1,-4) y C (3,2). Lo primero que haremos será graficar el triángulo.
A -5,6
y
C (3, 2)
x
B (-1,-4)
Ya que tenemos el triángulo, para sacar la altura primero es determinar su pendiente al lado opuesto de su vértice C. Su vértice es C (3,2). Entonces se van a tomar los puntos A y B. La fórmula para sacar la pendiente es :
Que sustituida quedaría : m(A-B) =
111
=
=
La altura es perpendicular al segmento AB opuesto al vértice, entonces la pendiente es recíproca y con signo distinto:
m=
Ejercicio no.17
Individual De manera individual, calcula la altura del siguiente triángulo.
y
x
Sesión 24
Mediana:
Para calcular la pendiente de la ecuación de la recta notable mediana hay que tomar en cuenta su definición que es la recta que une el punto medio de un segmento al vértice opuesto. Lo primero que se hace es calcular el punto medio del segmento después aplicar la fórmula de la pendiente .
EJEMPLO
112
Calcula la pendiente de la mediana del siguiente triángulo: A -5,6
y
C 3, 2 x
Pm 1, -1 B (-1,-4)
Calculamos el punto medio del segmento BC aplicando la fórmula del punto medio: Xm = (X1 + X2 )/2
Xm = (-1 + 3)/2
Xm = ( 2 )/2
Xm = 1
Ym = (Y1 + Y2 )/2
Ym = ( -4 + 2 )/2
Ym = ( -2 )/2
Ym = -1
Las coordenadas del punto medio son: (1, -1) Procedemos a calcular la pendiente tomando en cuenta el punto medio y el vértice opuesto. Pm (1, -1) y vértice (-1, -4)
M=
=
113
114
A continuación se presenta una tarea a realizar a partir de las instrucciones dadas, de tal manera puedas retroalimentar tus aprendizajes en relación a las rectas notables del triángulo.
Tarea no. 7 Nombre _________________________________________________ Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha __________________________________________________
1. Señala la figura que representa la mediatriz
2. Señala la figura que representa la mediana
115
116
3. Señala la figura que representa la bisectriz
117
118
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno __________________ Fecha _________________________________________________
Ecuaciones en Nuestra Vida Muchas situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. A modo de ejemplo vamos a crear la ecuación de la recta de “La cantidad que se compra de pan en mi casa, según la cantidad de personas que se encuentran en esta”.
“En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre compra tres panes extra para que la bolsa del pan nunca quede vacía ”. Es decir, vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan a comprar, y “n” la cantidad de personas que se encuentran en la casa. Con una persona en la casa la cantidad de pan a comprar sería: P (1) = De la misma forma si fueran 2, 3, o 4 personas P (2) =
P (3) =
P (4) =
Por lo tanto podemos deducir que P(n) = ___________________ representa la cantidad a comprar cuando en mi casa se encuentran “n” Personas. De esta forma __________________ representa la ecuación de la recta, la cual nos muestra la cantidad de pan que debe comprarse en mi casa. Calcula la pendiente_________________________ En qué eje debes representar cada una de las variables p (número de personas) y c (cantidad de panes): y
x
119
De la misma forma, en la casa de Andrés el promedio de panes por persona es de 3, pero su madre compra solo un pan extra, es decir: P (1) = 3(1) + 1 = 4
P (2) =
P (3) =
Por lo tanto: P(n) = 3( ) + 1 Finalmente la ecuación de la recta que representa la cantidad de pan en la casa de Andrés es: Y = 3x + 1 y
Gráficamente:
x
Preguntas: Calcula su pendiente____________________________ ¿Existe alguna cantidad de personas con la cual en ambas casas deba comprarse la misma cantidad de pan? Auxíliate del sistema de ecuaciones simultáneas. Que significa el valor encontrado______________________________________________ Gráficamente : y
x
120
2.2 CIRCUNFERENCIA
Sesión 25
2.2.1 Propiedades y ecuaciones Aprendizajes a lograr
Conoce e identifica la ecuación de la circunferencia, así como su radio y centro.
Es importante retomar información acerca del tema y a su vez, realizar una serie de actividades que te permitan adquirir aprendizajes significativos. Ya en la antigua Grecia, se creía que la Tierra era una esfera perfecta, pero solo por cuestiones filosóficas. Platón y Pitágoras no podían concebir la figura de la misma, que albergaba el pensamiento humano, como algo no perfecto. Y por supuesto, establecieron dicha idea de una esfera perfecta, aunque sin fundamentos. Y es Aristóteles quien aporta evidencias de los dichos de su maestro Platón, al observar que en los eclipses lunares, la sombra proyectada sobre la luna, tenía en forma circular. Pero las preguntas continuaban, y llegó el turno del tamaño. ¿Cuán grande era la Tierra? Eratóstenes, filósofo, astrónomo, matemático, geógrafo, fue uno de los grandes pensadores de la antigüedad, sus contemporáneos lo apodaron Beta, porque afirmaban que era en todo el segundo mejor del mundo. Pero fue el primero en determinar la circunferencia de la Tierra, y debido a que vivió en el siglo III a.c., sus herramientas sólo fueron palos, ojos, pies y su cerebro. Siendo director de la biblioteca de Alejandría, leyó en un papiro que en Siena, actualmente Asuán, Egipto, en el mediodía del 21 de Junio un palo vertical no proyectaba sombra. Pero en Alejandría no sucedía esto, un palo vertical sí proyectaba sombra. Y se preguntó por qué. La primera conclusión que determinó fue que definitivamente la Tierra no podía ser plana, porque si así lo fuera, el Sol produciría sombras de igual longitud para ambos palos, sin importar de la distancia que los separaran (el Sol esta tan lejos que sus rayos son paralelos cuando llegan a la Tierra). Comprendió entonces que la única respuesta posible era que la superficie de la Tierra estaba curvada, y cuanto mayor sea la curvatura, mayor iba a ser la diferencia entre las longitudes de la sombra. Y quiso determinar la circunferencia de la Tierra. Sabía que la distancia entre Siena y Alejandría era de aproximadamente unos siete grados a lo largo de la superficie de la Tierra, por la diferencia entre las longitudes de las sombras de los palos; si imaginamos los palos prolongados hasta llegar al centro de la Tierra, formaran un ángulo de siete grados. Este resultado es aproximadamente una cincuentava parte de los trescientos sesenta grados que contiene la circunferencia entera 121
de la Tierra. Pero le faltaba un dato, la distancia entre Siena y Alejandría, por lo que contrató a un hombre para que lo midiera a pasos. El resultado era aproximadamente 5040 estadios egipcios, siendo un estadio egipcio 157,2 metros. Una distancia de 792,29 kilómetros. Entonces, esta distancia entre Siena y Alejandría siendo igual a la cincuentava parte de la circunferencia (como había determinado por las sombras de los palos) da como resultado, multiplicando ambos, 39614,4 kilómetros. Esta debía ser la circunferencia de la Tierra. Solo un error de aproximadamente 1%, ya que la verdadera circunferencia es 40008 kilómetros. Impresionante.
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a los tipos de respiración y en general, a la anatomía y fisiología de sistema respiratorio. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Elementos de la circunferencia y del círculo Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio. Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hulahula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc. Perímetro de la circunferencia:
2
r
ó
Elementos de la circunferencia 122
·d
Rectas en la circunferencia Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos. La medida del radio es constante.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de mayor medida. El diámetro se nombra con la letra “d”. El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .
Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.
Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
123
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de lo que aun debes reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicio no.18
Individual A continuación se presenta un ejercicio en el cual deberás calcular la altura del siguiente triángulo.
y
F
D
A
G O
B
E C
Relaciona ambas columnas. Radio
(
)
Tangente
(
)
Cuerda
(
)
Diámetro
(
)
Secante
(
)
124
x
2.2.2 Condiciones geométricas y analíticas
Sesión 26
Aprendizajes a lograr
Determina ecuaciones de la circunferencia con centro en el origen y fuera del origen (Ordinaria y general)
Ecuación en coordenadas cartesianas En realidad solo existe una ecuación ordinaria de la circunferencia con 2 representaciones: para la circunferencia con centro en el origen y para la de centro fuera del origen. Cuan do el c entr o est áen el orig en suele llamarse c anónica.
Si se ha definido a la circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes de otro punto llamado centro, todos en el mismo plano; para decir exactamente dónde está esa circunferencia habrá que especificar 2 cosas: las coordenadas del centro y la longitud de su radio. Circunferencia con centro en el origen. Como su nombre lo dice su centro es el origen de coordenadas (0,0), lo que faltaría por conocer es su radio. Usando un punto arbitrario de coordenadas P(x,y) sobre la circunferencia y aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que el radio r es la hipotenusa. Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a:
Ambas variables están elevadas a l cuadrado y sus coeficientes son siempre la unidad, si esto no se presenta, al dividir ambos miembros de la igualdad por tal coeficiente deberá de llevar la ecuación a la forma conocida. En el segundo miembro de la igualdad aparece el radio con signo positivo. Si el radio fuera cero, entonces no sería una circunferencia, solo indicaría el origen. 125
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a circunferencia. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso. Es momento de realizar el siguiente ejercicio, según se indica.
Ejercicio no.19
Individual Relaciona cada una de las siguientes ecuaciones con su figura representativa correspondiente.
2
y
2
X + y = 4
(
)
(
)
x
2
2
7x + 7y = 9
(A)
2
2
(
)
2
2
(
)
X + y – 9 =0
y
X + y = 1 x
2
2
(
)
2
2
(
)
9X + 9y =25 (B) y
4X + 4y = 25
x
(C)
126
y
x
(D) y
x
(E) y
x
(F)
127
Realiza el siguiente ejercicio según se indica, de tal manera que logres retroalimentar lo visto en clase.
Ejercicio no. 20
Individual Identifica cuál de las siguientes ecuaciones representa a la circunferencia en el origen.
1. (x-h)2 + (y-k)2 =0 2. (x-3)2 + (y-2)2 =9 3. Y2= 12x 4. Y2= 12x+4
128
Responde de manera concreta a cada uno de los cuestionamientos que se te presentan sobre los tipos de respiración, así como la anatomía y fisiología del sistema respiratorio. Cuando termines se verificaran tus respuestas con una lluvia de ideas organizada por el profesor. Las preguntas Sesión 27
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y , la circunferencia con centro en el punto ( h, k ) y radio r consta de todos los puntos ( x , y ) que satisfacen la ecuación.
Ecuación Ordinaria de la circunferencia o forma canónica con centro fuera del origen.
De la ecuación ordinaria de una circunferencia, desarrollamos los binomios: 2
2
2
2
x – 2xh + h + y -2ky + k = r O bien,
2
2
2
2
2
2
x – 2xh + h + y -2ky + k - r = 0 2
2
2
2
2
Ordenando, x + y – 2xh -2ky + (h + k - r ) = 0 Y si,
D= -2h,
E=-2k
y
2
2
2
F= h + k - r
La ecuación anterior se transforma en:
Ecuación General de la circunferencia.
EJEMPLO
129
Encontrar la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C (4,-5) y de radio =3 Procedimiento: Sustituimos los valores correspondientes en la ecuación tendremos lo siguiente:
Como h =4 y k=-5 ( x – 4 )2 + ( y – (-5))2 = 32 ( x – 4 )2 + ( y + 5 ) 2 = 9 Ahora calcularemos la ecuación general de la circunferencia desarrollando los binomios de la ordinaria: ( x – 4 )2 + ( y + 5 ) 2 = 9 X 2 – 8x + 16 + y 2 +10y + 25 -9 = 0 X 2 + y 2 – 8x + 10y+ 32 = 0 Ecuación general de la circunferencia
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la circunferencia. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso .
Ejercicio no. 21
Grupo Reúnete en equipos de dos integrantes para completar la siguiente tabla.
Centro
Radio
C(h,k) C(0,0) C(0,0)
Radio
r
Ecuación de la Centro circunferencia C(h,k)
9
X 2 + y 2 = 81
C(0,0)
3
C(0,0)
6
130
r
Ecuación de la circunferencia
C(0,0)
X 2 + y 2 = 625
12 X 2 + y 2 = 4
C(2,4)
5
(x-2) 2 +(y-4)2 =25
C(0,3)
7
(x-4)2 +(y-2)2 =64
C(2,4)
4
(x-3)2 +(y-4)2 =10
C(2,1)
3
(x+2)2 +(y3)2 =39 (x-1)2 +(y-4)2 =25
(x7)2 +(y+10)2 =100 (x+2)2 +(y+1)2 = 5 C(0,0)
7
(x-9)2 +(y-3)2 =32
1
C(0,0)
Sesión 28
Ejercicio no. 22
Grupo Después de la exposición del profesor, en equipos de dos integrantes completa la siguiente tabla.
Transformaciones de la ecuación ordinaria a la forma general y viceversa. Forma ordinaria
Procedimiento : (x-4)2 +(y+5)2 = 9
(x-4)2 +(y+5)2 = 9
Desarrollando los binomios: x 2 - 8x + 16 + y 2 + 10y + 2 5 – 9 = 0
Forma general
Reduciendo términos semejantes x 2 + y 2 -8x + 10y+32 =0
X 2 + y 2 -8x+10y+32=0
Forma ordinaria (x+1)2 +(y-5)2 = 16 Forma general
131
Forma ordinaria (x-7)2 +(y-6)2 = 89 Forma general
Forma ordinaria (x+3)2 +(y+5)2 = 49 Forma general
Forma ordinaria (x-2)2 +(y-1)2 = 1 Forma general
Forma ordinaria (x+2)2 +(y-3)2 = 20 Forma general
Forma ordinaria (x-7)2 +(y)2 = 45 Forma general
Forma ordinaria (x-4)2 +(y+1)2 = 25 Forma general
132
Sesión 29
Ejercicio no. 23
Grupo Reunidos en equipos de dos integrantes, completar la siguiente tabla con la información correspondiente.
Forma general
Procedimiento x 2 + y 2 - 4x - 2y - 5 = 0
x 2 + y 2 - 4x - 2y - 5 = 0
Completando cuadrados x 2 - 4x+___+ y 2 - 2y+___=5
Forma ordinaria
x 2 - 4x+ (4) + y 2 - 2y+ 1 =5+4+1
(x-2) 2 +( y-1)2 =10
(x-2) 2 +( y-1)2 =10
Forma general x 2 + y2 - 12x - 16y = 0 Forma ordinaria Forma general x 2 + y2 + 5x + 6y - 9 = 0 Forma ordinaria Forma general x 2 + y2 + 6x - 14y - 64 = 0 Forma ordinaria Forma general x 2 + y2 + 4x - 8y = 0 Forma ordinaria
133
Forma general x 2 + y2 - 10y = 0 Forma ordinaria
Sesión 30
Ejercicio no. 24
Individual Calcular el radio de una circunferencia si se quiere construir un arco en la entrada principal de una residencia, si se sabe que el arco tiene una longitud de 3m.
134
En los siguientes párrafos, se abordará el tema de la circunferencia de manera práctica a través de un ejemplo muy cotidiano.
Es casi seguro que cuando eras niño, alguna vez te subiste a la Rueda de la Fortuna, como la que se muestra en la imagen. Observa que la estructura metálica que sostiene a cada uno de los asientos es una circunferencia, y los brazos metálicos son radios de la misma. ¿Puedes calcular el valor del radio si se sabe que la longitud de la rueda es de 50m? Suponiendo que el centro de la rueda de la fortuna es el origen de coordenadas ¿se puede calcular la ecuación de la circunferencia?
135
Autoevaluación Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno ___________________ Fecha _________________________________________________
Instrucciones: A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la unidad. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. Encuentra el ángulo de intersección entre las rectas 5x-y-1 =0 y 2x+3y-2 =0 A) 67.62° B) 77.72° C) 65° D) 64.35° 2. Encuentra el punto de intersección entre las siguientes rectas: 2x-7y+18=0 4x-y-16=0 A) B) C) D)
(5,4) (5,-4) (-5,-4) (-5,4)
3. Señala la frase verdadera: a) Todas las medianas van desde un vértice al punto medio del lado opuesto. b) Todas las mediatrices van desde un vértice al punto medio del lado opuesto. c) Todas las mediatrices van desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto. d) Todas las medianas son perpendiculares en el punto medio de cada lado. 4. Señala la frase verdadera: a) Todas alturas van desde un vértice al punto medio del lado opuesto. b) Todas las alturas son perpendiculares a los lados. c) Todas las bisectrices dividen al ángulo en dos partes iguales. d) Las bisectrices no siempre pasan por los vértices. 5. Señala la frase verdadera: a) Las medianas dividen al triángulo en dos partes iguales. b) Las bisectrices van desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto. c) Las alturas van desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto. d) Las mediatrices dividen a los ángulos en dos ángulos iguales.
136
6. Señala la frase verdadera: a) Las mediatrices son perpendiculares en el punto medio de un segmento. b) Las medianas todas pasan por los vértices. c) Las bisectrices pasan por los vértices algunas veces. d) Las alturas son perpendiculares en los puntos medios de los lados. 7. Señala la frase verdadera: a) Todas alturas siempre pasan por los vértices. b) En un triángulo hay cuatro alturas. c) Una de las alturas de un triángulo rectángulo coincide con la hipotenusa. d) La hipotenusa de los triángulos rectángulos son el radio de la circunferencia circunscrita.
8. Señala la frase verdadera: a) El punto donde se encuentran las b) El punto donde se encuentran las c) El punto donde se encuentran las d) El punto donde se encuentran las
medianas se llama ortocentro. alturas se llama baricentro. mediatrices se llama circuncentro. bisectrices se llama bisector.
9. ¿Cuál es la forma ordinaria o canónica de la circunferencia con centro en el punto (-2,3) y que pasa por el punto (5,7)? a) (x-2)2 + (y-7)2 = 65 b) (x+2)2 + (y-3)2 = 65 c) (x-5)2 + (y-7)2 = 65 d) (x-2)2 + (y-3)2 = 65 10. La ecuación de la circunferencia representada en la gráfica es: A) (x+2)2 + (y-1)2 =4 B) (x-2)2 + (y-1)2 =16 2
y
2
C) (x+2) + (y-1) =4 2 2 D) (x+2) + (y-1) =4
x
11. Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (1,1) y B (7,5); entonces su centro y su radio, son: A) C(3,4), r=13 C) C(3,4), r=√13 B) C(4,3), r=√13 D) C(4,3), r=13
137
12. El valor del radio de una circunferencia es r=5 y las coordenadas de su centro son C (3,2). Identifique la ecuación que la representa. A) (x+3)2 + (y-2)2 = 25 B) (x+3)2 + (y-2)2 = 5 C) (x-2)2 + (y+3)2 = 25 D) (x-2)2 + (y+3)2 = 5 13. Una circunferencia tiene su centro en (-2,-2) y pasa por el punto (1,-2) ¿cuál es su ecuación? A) (x-2)2 + (y-2)2 = 3 B) (x-1)2 + (y+2)2 = 3 C) (x+1)2 + (y-2)2 = 9 D) (x+2)2 + (y+2)2 = 9 14. Determina la ecuación general de la circunferencia de centro en C (4,-5) y radio 3. A) X2 + y2 – 8x + 10y + 32 = 0 B) X2 + y2 – 8x - 10y + 32 = 0 C) X2 + y2 + 8x + 10y + 32 = 0 D) X2 + y2 – 8x + 10y - 32 = 0 15. Transformar la ecuación general X 2 + y2 – 8x + 10y - 32 = 0, a la forma ordinaria de la circunferencia. A) (x+5)2 + (y-4)2 = 25 C) (x+5) 2 + (y- 4)2 = 73 2 2 B) (x- 4) + (y+5) = 73 D) (x-4)2 + (y+5)2 = 20
138
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Evaluación del desempeño (ejercicios): En equipo No. Indicador Cumplió Ejecución Sí 1
No
Ponderación
Observaciones Calif.
0.2
Se integró al equipo.
2
Mostró interés por el tema. 3 Mostró conocer los conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación
0.2 0.3 0.5 0.5 1.7
Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación del desempeño (ejercicios): Individual No. 1
Indicador
Cumplió
Ejecución
Sí
Ponderación
No
Mostró interés por el tema.
0.3
Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación
0.4
2
Observaciones Calif.
0.5 0.5 1.7
Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
139
Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No.
Indicador
Cumplió Ejecución Sí
No
Resolvió el total de los ejercicios 2 Resolvió correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. Calificación de esta evaluación
Ponderación
1
Observaciones Calif.
0.5 1.5 0.5 2.5
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de Productos (investigaciones): No.
Indicador
Cumplió Sí No
Entregó en tiempo y forma 2 La información fue clara y acorde al tema 3 Presentación del trabajo Calificación de esta evaluación
Ejecución Ponderación
1
Observaciones Calif.
0.8 0.8 0.9 2.5
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
140
Unidad III CÓNICAS
.
141
Competencias de la Unidad: COMPETENCIAS Al término de esta unidad el estudiante será capaz de:
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales relacionada con las curvas cónicas. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
TEMARIO
3.1 Parábola 3.1.1. Propiedades y ecuaciones 3.1.2. Condiciones geométricas y analíticas 3.2. Elipse 3.2.1. Propiedades y ecuaciones 3.2.2. Condiciones geométricas y analíticas 3.3. Hipérbola 3.3.1. Propiedades y ecuaciones 3.3.2. Condiciones geométricas y analíticas
142
Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la unidad III, mismos que profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.
1. La siguiente figura corresponde a una: a) Elipse b) Circunferencia c) Parábola d) Recta e) hipérbola Y
2. La siguiente figura corresponde a una: a) Elipse b) Circunferencia c) Parábola d) Recta e) hipérbola
X
3. La siguiente figura corresponde a una: a) Elipse b) Circunferencia c) Parábola d) Recta e) hipérbola 4. ¿Cuál es el valor de la expresión
; si a=2 y b= 3?
a) 4 b) 2 c) 2 d)6 e) 9 5. Si desarrollamos la ecuación (x-2) 2 = 3(y+2) se obtiene: a) x2 + 4x -3y -2 =0 b) x2 + 4x - 3y -2 =0 c) x2 + 4x -3y -2 =0 d) x2 +4x -3y -2 =0 e) x2 +4x -3y -2 =0 143
6. Si desarrollamos la ecuación 3(x +3) 2 + 2(x-4)2 = 6, se obtiene: a) 3x2+2y2 +18x-16y +53 = 0 b) 3x2+2y2 +18x+16y +53 = 0 c) 3x2+2y2 + 9x-16y +53 = 0 d) 3x2+2y2 +18x-16y +33 = 0 e) 3x2+2y2 +18x-16y +43 = 0 7. Si desarrollamos la ecuación 2(x -1)2 – 4(y +2)2 = 8 se obtiene: a) 2x2 -4y2 -4x -16y -12 = 0 b) 2x2 -4y2 +4x -16y -22 = 0 c) 2x2 -4y2 -4x -16y -22 = 0 d) 2x2 -4y2 -4x -16y +22 = 0 e) 2x2 -4y2 -4x +16y -22 = 0
144
3.1 PARÁBOLA
Sesión 31
3.1.1 Propiedades y ecuaciones Aprendizajes a lograr
Conoce e identifica los elementos de la parábola. Identifica y relaciona la posición de la parábola con sus ecuaciones. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
La parábola Definición: Es el conjunto de puntos del plano que está a la misma distancia de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz.
Esta curva llamada cónica, se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Como se muestra en la siguiente figura:
Elementos de la parábola: vértice, foco, directriz, parámetro y el lado recto. Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación:
145
Vé r t ic e (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.
Eje focal: Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice. Foco (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice. Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola. Parámetro (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz. Cuerda focal: Segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco. Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, se ejemplifica con la siguiente gráfica de una parábola.
EJEMPLO
La parábola tiene vértice en el origen y su foco es el punto (0,2), determinar su ecuación y representarla gráficamente en el plano identificando sus elementos.
146
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la parábola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.1
Individual Con ayuda de la información anterior, contesta correctamente las siguientes preguntas.
1. ¿Qué nombre recibe el punto donde la parábola corta al eje X? 2. Nombre que recibe el segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco. ______________________ 3. La parábola es una curva que se forma al intersectarse un ___________ plano.
con un
4. Es el nombre que se le da a la recta que es perpendicular al eje focal y cuya distancia a la parábola es la misma que la de la parábola al foco. 5. La parábola es el lugar geométrico de todos aquellos puntos que están a la ___________distancia de una _____________que de un punto fijo llamado_____________. 6. Es el nombre que recibe la distancia del vértice a la directriz como al foco: ________________ 7. Es la medida del lado recto ____________ 147
Tarea de investigación no.1 Investiga las distintas ecuaciones que adopta la parábola cuando su vértice está en el origen y fuera del origen. Con esta información contesta el ejercicio no. 1 de grupo. Sesión 32
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de lo que aun debes reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicio no.2
Grupo Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y a partir de la información obtenida en tu investigación, contesta cada una de las siguientes preguntas.
1. ¿Cuáles son las ecuaciones que representa a las parábolas de la figura?
148
2. ¿Cuáles son las ecuaciones que representa a las parábolas de la figura?
3. ¿Cuáles son las ecuaciones que representa a las parábolas de la figura?
4. ¿Cuáles son las ecuaciones que representa a las parábolas de la figura?
149
5. ¿En cuales de los casos el parámetro “p” se considera positivo y en cuales negativo? Explica.
6. ¿En cuales de los casos podemos utilizar la ecuación de la forma y 2 =4px?
7. ¿En cuales de los casos podemos utilizar la ecuación (x-h) 2 = 4p (y-k)?
8. Si el vértice está en el origen y su foco está en el punto (-2, 0), ¿cuál es la ecuación que más nos conviene utilizar?
9. Si el vértice está en el origen y su foco está en el punto (0, 1), ¿cuál es la ecuación que más nos conviene utilizar?
10. Si el vértice está fuera del origen y su eje focal es paralelo al eje X, ¿cuál es la ecuación que representa a estas parábolas?
150
Sesión 33
3.1.2 Condiciones Geométricas y Analíticas Aprendizajes a lograr
Determina la ecuación ordinaria y la gráfica de la parábola a partir de elementos conocidos. A partir de la ecuación identifique algunos de sus elementos. A partir de la ecuación identifica la forma y posición gráfica. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
La parábola tiene vértice en el origen y su foco es el punto (0,2), determinar su ecuación y representarla gráficamente en el plano identificando sus elementos.
Si representamos el vértice y su foco en el plano; como lo muestra la figura (1), podemos determinar que la parábola se abre hacia arriba (figura 2) y que el valor del parámetro “p” es positivo p = 2.
Y
Y
F LR = 8 p =2 X
X
V
Directriz y = -2 Figura 1
Figura 2
151
La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre el eje Y tiene la forma x2 = 4py; en este caso p = 2; la ecuación de la parábola está representada por: x2 = 4(2)y = 8y
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la parábola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.3
Grupo Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y contesten las siguientes actividades.
1. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y el foco en el punto: a) (0,-3)
Ecuación:
b) (2,0)
Ecuación:
c) (- 1,0)
Ecuación:
2. Determine la longitud del lado recto en los casos anteriores: a) LR = _________ b) LR = ________ c) LR = ________ 3. Determine la ecuación de la directriz en los tres casos de la actividad no.1 a) Directriz b) Directriz c) Directriz 4. Asocia las ecuaciones obtenidas en la actividad no. 1 con las gráficas de cada una de las siguientes parábolas: 152
y
Directriz
x= -2 Ecuación:
x
Y
Directriz y= 3 X
Ecuación:
Y
Ecuación: X
Directriz x= 1
Sesión 34
EJEMPLO
El vértice de una parábola esté en el punto (2, 3) y su foco es el punto (3, 3). Determina la 153 ecuación ordinaria de la parábola, la gráfica y sus elementos.
Primero que nada localicemos el vértice y el foco en el plano cartesiano figura (#3). Como puedes observar, el eje focal pasa por estos dos puntos y es paralelo al eje X. En este caso la ecuación ordinaria de la parábola está determinada por la ecuación: ( y – k)2 = 4p (x-h) Las coordenadas del vértice son V (2, 3) en este caso V ( h, k ), tenemos que h =2 y k = 3 De acuerdo a la posición del vértice y el foco, el parámetro p = 1 por ser la distancia entre estos dos puntos. Sustituyendo estos valores en la ecuación ordinaria:
Y
Eje focal V
2
(y - 3) =4 (x - 2)
F
La gráfica correspondiente a esta ecuación se muestra en la figura #4. Figura # 3 Y
Directriz x
LR
V
F
Figura # 4 154
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de lo que aun debes reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicio no.4
Grupo Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y realicen las siguientes actividades.
1. Si el vértice y el foco de tres parábolas son los puntos:
V(0, 2) y F( -3 , 2) V( 3, -2) y F(3 ,0) V( 0, 4) y F(0 , 2)
a) Localiza los puntos en el plano cartesiano y determina la posición de cada eje focal ; es decir si es paralelo al eje X o al eje Y. b) Determina el valor del parámetro “p” en cada caso; tomando como referencia la posición del vértice y el foco. c) Determina el valor del “lado recto” en cada cado . d) Obtener la ecuación ordinaria respectiva; sustituyendo en la ecuación ordinaria los valores correspondientes (x –h)2 = 4p (y-k)
ó
(y –k)2 = 4p(x-h)
; según sea el caso.
155
156
Tarea no. 1 Nombre _________________________________________________ Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha __________________________________________________
Realiza la gráfica de cada una de las parábolas anteriores, identificando cada uno de sus elementos. Y
Y
X
X
Y
X
157
Sesión 35 158Ax2 +Cy2 + D x +E y +F =
Ecuación de la forma Toda ecuación de representa una parábola.
segundo
grado
de
la 2
forma
2
Ax +Cy + D x +E y +F = 0
Si A = 0, C 0 y D 0, la ecuación representa un parábola con eje paralelo (o coincide con) el eje X. Si A 0, C = 0 y E coincide con) el eje Y.
EJEMPL
, la ecuación representa una parábola con eje paralelo(o
Determinar la ecuación general de la parábola cuya ecuación ordinaria es (x +2) 2 = 4(y – 3)
Desarrollando el binomio del lado izquierdo (x +2)2 = x2 +4x +4; el producto del lado derecho queda como: 4 (y -3) = 4y -12. Al igualar los dos miembros, la ecuación anterior se transforma en: x2 +4x +4 = 4y -12; haciendo la transposición de términos al lado izquierdo se obtiene: x2 +4x +4 -4y +12 = 0; por último reduciendo los términos semejantes (4 + 12); la ecuación general de la parábola queda determinada por: x2 +4x - 4y +16 = 0 Otro caso similar es la ecuación ordinaria (y – 3)2 = - 8(x + 1); desarrollando el binomio y el producto de la ecuación. La ecuación se transforma en: y2 -6y +9 = -8x – 8; realizando la transposición de términos hacia la izquierda tenemos la ecuación y2 -6y +9 +8x + 8 = 0, reduciendo los términos semejante (-6+8) y reagrupando los términos, la ecuación general de la parábola queda determinada por: y2 +8x -6y +17 =0
Ejercicio no.5
Grupo
159
Reunirse en quipos según lo indique el profesor y determinar la ecuación general de la parábola a partir de su ecuación ordinaria.
1. ( x -3)2 = 2( y + 8)
2. x2 = 3( y -6)
3. (y +1)2 = 5x
4. ( y – 3)2 =4 ( x- 2)
5. ( y + 5)2 = -4 (x +2)
160
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar para lograr tus aprendizajes.
Tarea no. 2 Nombre _________________________________________________ Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha __________________________________________________
Determina la ecuación general de la parábola, teniendo en cuenta cada una de las siguientes situaciones. 1. El vértice de la parábola está en el origen y el foco es (0, -3)
2. El eje focal es paralelo al eje X, el vértice es el punto (2, 1) y “p = -1”
3. El vértice es el punto (3, -1), la parábola se abre hacia arriba y la longitud del lado recto LR = 6
Y
4. La parábola tiene por gráfica:
X
161
162
Sesión 36
Al analizar la ecuación x 2 = 12y; podemos verificar que concuerda con la ecuación de la forma x2 = 4py que corresponde a una parábola con vértice en el origen y que se abre hacia arriba; 4p = 12, por lo que el parámetro p =3; lo cual indica que el foco está localizado en el punto (0, 3), longitud del lado recto es 12; la directriz directri z es la recta horizontal y = -3 como se muestra en la figura. y
EJEMPLO
Lado Recto = 12
x
Directriz
= -3
Por otro lado, la ecuación (y +1)2 = 2(x -1) representa la ecuación ordinaria de una parábola de la forma (y –k)2 = 4p(x –h). La parábola tiene su vértice fuera del origen, en el punto V (h, k), por la forma de la k) son h = 1, k = -1. Por lo tanto el vértice es el punto (1, -1). ecuación, los valores de (h, k) son El lado recto es 4p = 2, despejando el parámetro “p”; p = 2/4 = ½ La parábola se abre hacia hacia el lado derecho y la ecuación de la directriz directri z es x = ½ como se muestra en la figura. Y
X
163
Otro caso es cuando tendemos la ecuación general de la parábola, como el ejemplo siguiente: La ecuación general de una parábola es x 2 -4x - 4y – 8 = 0 .Podemos identificar que la ecuación se deriva de la ecuación ordinaria (x –h)2 = 4p (y –k), porque la variable con exponente cuadrado es “x”. Reagrupando los términos de la ecuación como sigue: x2 - 4x = 4y +8 Sumando 4 en ambos miembros de la ecuación para completar el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro. x2 -4x +4 = 4y +8+4 La ecuación es equivalente a: (x -2) 2 = 4y+12; factorizando “4” en el segundo miembro: (x -2)2 = 4(y+3) la cual corresponde a la ecuación ordinaria de la parábola con eje focal paralelo al eje Y, vértice en el punto (2, -3), lado recto LR = 4 como lo muestra la figura Y
X
164
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la parábola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.6
Grupo Organizados en pareja, determinar los elementos que se te piden en cada uno de los siguientes casos.
1. Determina las coordenadas del vértice, foco y la longitud del lado recto si la ecuación de la parábola es: es : y2 = 2x
2. Determina las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz; si la ecuación de la parábola es x2 = 16y
3. Determina las coordenadas del vértice y el foco si la ecuación de la parábola es (X -3)2 = -4(y -2)
4. Determina la ecuación de la directriz de la parábola que tiene por ecuación ordinaria (y -1)2 = -8(x +4)
5. Determina las coordenadas del vértice si la parábola tiene por ecuación general x2 +6x -2y + 5 = 0
A continuación continuación se presenta un ejercicio que te permitirá aplicar lo aprendido en situaciones cotidianas, por lo cual, deberás leer y contestar con mucha atención lo que se presenta. 165
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno __________________ Fecha _________________________________________________ Instrumento de Evaluación __________________ Página ________
Se tiene un puente colgante como lo muestra la figura, el cable central que soporta las dos torres del puente tiene forma de parábola y este está ligado a la estructura del puente por medio de cables tensores cada uno de ellos está separado una distancia de 2 metros. Las torres tienen una altura de 30 metros a partir del tablero del puente y el cable colgante está a una altura de 5 metros del puente.
Si construimos un plano de coordenadas como el que se muestra a continuación sobre la parte central del puente, ¿cuál será la ecuación que mejor represente a la parábola formada? Y P
X
a) ¿Cuál es la distancia de las torres al eje Y? ______________ b) ¿Qué altura sobresale de la torre del eje eje X ?______________ 166
c) ¿Cuáles serían las coordenadas del punto P en la figura anterior? _______ d) De acuerdo a la posición de la parábola, la ecuación que representa la situación, es: Como las el punto P de la gráfica está sobre la parábola de nuestro problema, entonces las coordenadas del mismo satisfacen a la ecuación de la parábola. En este caso si (x 0, y0) son las coordenadas del punto P que están identificadas en el inciso(c), el valor del parámetro p está determinado por:
¿Cuál es el valor de p? _______________ ¿Cuál es la ecuación de la parábola que representa al cable colgante del puente? ____________________
167
3.2 ELIPSE
Sesión 37
3.2.1 Propiedades y Ecuaciones Aprendizajes a lograr
Conoce e identifica los elementos de la Elipse. Identifica y relaciona la posición de la elipse con sus ecuaciones. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
La elipse es otra de las curvas que se obtiene al cortar una figura cónica con un plano (figura A) de ahí el nombre de cónica. En el plano de coordenadas, la elipse se define como “ el lugar geométrico de los puntos, tales que las suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre constante” .
168
Elementos de la Elipse: De acuerdo a su definición, la elipse consta de los siguientes elementos: V1 y V2 son llamados vértices. F1 y F2 son llamados focos (Constante) = Eje menor = eje mayor = Eje Focal
Figura A De acuerdo a la figura siguiente (figura B)
B
= Eje menor = 2b = eje mayor = 2a
b
F1
V1
= Eje Focal = 2c
F2
c
V2
a
Figura B
B´
Cuando el punto “P” está en uno de los extremos del eje menor, como se muestra en la figura (figura C) P Se puede demostrar que: a2 = b2 + c2
F1
V1
a
b
F2
c
Figura C 169
V2
Un segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse, recibe el nombre de cuerda ( ); un elemento importante de la elipse es el lado recto (LR), el cual consiste en un caso especial de cuerda que pasa por uno de los focos y es perpendicular al eje mayor o focal (figura D). A
La
longitud del lado recto es ; otra característica de la
F
LR
elipse, es su excentricidad ( e) la cual se determina por la expresión: como en este caso (c < a) la excentricidad siempre es menor de la unidad ( e < 1).
B
Figura D
EJEMPLO
Desde la antigüedad, el hombre se ha preocupado por el estudio de formas elípticas y las ha utilizado en sin fin de situaciones, tal y como lo ilustran las siguientes figuras.
Los arcos elípticos son usados desde la antigüedad hasta las épocas modernas a través de sofisticadas estructuras.
170
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la parábola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.7
Individual A partir de la información revisada anteriormente, contesta las siguientes preguntas.
1. En la elipse, ¿qué nombre recibe el punto donde se intersectan los ejes mayor y menor? 2. ¿Qué nombre recibe el segmento que une los dos vértices longitud tiene?
3. Nombre que se le da a cualquier segmento que une dos puntos de la elipse: 4. ¿Cuál es la distancia entre los focos de la elipse y que nombre recibe el segmento que los une? 5. ¿Qué longitud tiene el eje menor? 6. ¿Cuál es la relación entre a, b y c? 7. Esta característica de la elipse se puede definir como la razón entre el semi-eje mayor y el semi eje focal. 8. Es la longitud del lado recto: 9. En la elipse son dos puntos fijos interiores a ella y cuya suma de las distancias a cualquier punto de la misma es siempre constante: 10. ¿Con qué nombre particular es conocida la elipse?
171
Sesión 38
Ecuación de la elipse de centro en el origen:
Consideremos a la elipse en el plano coordenado con su centro en el origen , el eje mayor sobre el eje X y el eje menor sobre el eje Y. Y B(0, b)
V1(-a ,0)
F1(-c,0)
F2(c,0)
V2(a ,0)
X
C (0,0)
B´(0, - b)
La elipse de la figura anterior se representa analíticamente por la ecuación:
Cuando la elipse tiene su centro en el origen , el eje mayor sobre el eje Y; y el eje menor sobre el eje X, como se muestra en la figur a.
172
Y
La elipse de la figura tiene por ecuación:
V1(0,a)
F1(0,c)
B´(0, - b)
B (0, b)
X C (0,0)
F2(0,-c)
V2(a ,0)
Ecuación de la elipse de centro fuera del origen: Cuando la elipse tiene centro fuera del origen C (h, k) , y los eje mayor está sobre el eje X o es paralelo a él, y el eje menor está sobre él eje Y o es paralelo al mismo, como se muestra en la figura; la elipse tiene por ecuación :
Y B
Esta ecuación también es llamada ecuación ordinaria.
V
F
F
V
C
B Origen
173
X
De manera similar, si el eje mayor está sobre o es paralelo al eje Y y el eje menor está sobre el eje o es paralelo al eje X . B
Y
F1
La ecuación ordinaria de la elipse es: .
V1
V2
C (h,k)
F2
B´
Origen (0,0)
EJEMPLO
Si una elipse tiene centro en el origen, su eje mayor está sobre el eje X. ¿cuáles serían las coordenadas de sus vértices y su ecuación?
Este ejemplo se refiere al primer caso de la elipse; sus vértices estarían representados por las coordenadas (-a ,0) y (a, 0). La ecuación que representa a esta familia de elipses, es
174
X
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicio no.8
Individual Contesta cada una de las siguientes proposiciones, relacionadas con las ecuaciones de la elipse.
1. Si la ecuación de la elipse es
, ¿cuáles son las coordenadas del centro?
2. Si el eje mayor de la elipse está sobre el eje Y, ¿cuál ecuación es la que la representa?
3. Si la elipse por ecuación
¿cuáles son las coordenadas del
centro?
4. ¿Qué ecuación representa a la elipse de la figura A?
5. ¿Qué ecuación representa a la elipse de la figura B? Y
Y
X
Figura A
X
Figura B
175
3.2.2 Condiciones geométricas y analíticas
Sesión 39
Aprendizajes a lograr
Determina la ecuación ordinaria y la gráfica de la elipse a partir de elementos conocidos. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Si una elipse tiene centro en el origen, uno de sus vértices es el punto (5, 0) y la longitud del eje menor 6, ¿cuál sería su ecuación y su gráfica? La posición del centro y el vértice se ilustra en la (figura A), de acuerdo a los datos el eje mayor está sobre el eje X, por lo tanto la ecuación de la elipse está determinada por :
La distancia del vértic e al centro está determinada por el parámetro “a” en este caso a = 5. Como el eje menor es 6 podemos concluir que 2b = 6 por ser la longitud del eje menor. En consecuencia
.
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, la ecuación de la elipse queda determinado por :
La relación entre a, b y c, está dada por la expresión Pitagórica a 2 = b2 +c2. En este caso es necesario obtener el valor de “c” por representar la distancia entre el foco y el centro.
Despejando “c” se obtiene
; sustituyendo los valores de a y b :
176
Por lo tanto las coordenadas de los focos son: F 1 (4,0) y F2 (-4,0). Otro elemento importante para la obtención de la gráfica, es la longitud del lado recto .
, tal como se muestran en la figura B:
Y
Eje menor V1
V1
X
Figura A
Figura B Y
1.8 F
V
1.8
177
X
De forma similar se grafica el lado recto en el foco (-4, 0) y se traza la grafica de la figura: Y
X
La excentricidad de la elipse es:
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la parábola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.9
Grupo Reunidos en equipos, contestar las siguientes preguntas según consideren correcto.
1. Una elipse tiene centro en el origen, uno de los vértices es el punto (0, -3) a) ¿Cuáles son las coordenadas del otro vértice? b) ¿Cuál es valor del parámetro a? c) ¿Cuál es la longitud del eje mayor?
178
d) Si uno de los focos de la elipse es el punto (0, 2), ¿cuáles son las coordenadas del otro foco? e) ¿Cuál es el valor del parám etro “c”? f) ¿Cuál es la longitud del eje focal? g) ¿Cuál es el valor de b 2 ? i) ¿Cuál es la ecuación de la elipse? k) ¿Cuál es la longitud del lado recto? l) Representar gráficamente la elipse . Y
X
179
180
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar para lograr tus aprendizajes.
Tarea no.2 Nombre _________________________________________________ Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha __________________________________________________
1. Determina la ecuación de la elipse en cada uno de los siguientes casos: a) Centro en el origen, eje focal sobre el eje Y, eje mayor 4 y eje menor 3. b) Centro en el origen, foco en el punto (-3, 0) y excentricidad e =3/4
2. Determina la longitud del lado recto de la elipse si tiene centro en el origen, vértice en (0, 2) y excentricidad e = ½.
3. Determina la ecuación de cada una de las siguientes gráficas. a) ___________________ b) ___________________ Y
Y
X
X
Figura A
Figura B 181
182
Sesión 40
Ecuación de la elipse de la forma Si una elipse tiene centro en el punto (2, 3), uno de sus vértices es el punto (2,6) y la longitud del eje menor 4, ¿cuál sería su ecuación y su gráfica? Al representar estos elementos en el plano cartesiano, como se muestra en la figura A, podemos verificar que el eje mayor es paralelo al eje Y, el vértice está fuera del origen, entonces la ecuación ordinaria de la elipse que se utilizará, es: Por la posición del centro y uno de los vértices, podemos determinar que el otro vértice es el punto (2,0) y el valor de parámetro a = 3; recordando que es la distancia del vértice al centro.
y
vértice
La longitud del eje menor es 4 lo que implica que b = 4/2 =2
Eje mayor
centro
Por las coordenadas del centro (2 ,3), podemos deducir que los valores de h = 2 y k =3. Al sustituir estos valores en la ecuación ordinaria anterior . La
ecuación
de
esta
elipse
es :
Eje menor
x
vértice
Figura A de “c” Para obtener la grafica, es necesario determinar el valor 2 recordemos que la relación pitagórica nuevamente: a = b2 + c2. Despejando el valor de c; y sustituir los valores de “a” y “b”, se obtiene la expresión :
Las coordenadas de los focos son: F 1 (2, 5.23) y F2(2, 0.77); la longitud del lado recto y la excentricidad es
183
.
Trazando los focos en el plano y los lados rectos, la gráfica de la elipse se representa en la siguiente figura B. y
x
Figura B
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la elipse. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.10
Grupo Reúnete en equipo y contesta correctamente las siguientes preguntas.
1. Determina la ecuación ordinaria de la elipse, en cada uno de los siguientes casos: a) Centro en (-1,2), eje mayor igual a 8 y uno de los extremos del eje menor es el punto (-1, 4) b) Centro en (2,0), eje mayor paralelo al eje X y excentricidad e = ¾
184
2. Determina la ecuación ordinaria de las siguientes elipses: a) b) Y
X
Figura A
Figura B
Al desarrollar cualquier ecuación ordinaria de la elipse de la forma:
Sesión 41
; Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el producto a 2b2, se obtiene:
Cancelando los denominadores de los términos del primer miembro: , desarrollando los binomios al cuadrado: ; realizando los productos indicados: ; reagrupando términos:
185
Redefiniendo las constantes: A = b2, C = a2, D = -2b2h, E = -2a2k y F= transforma en: Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F = 0
; la ecuación se
Las constantes A y C son valores diferentes de cero y de igual signo. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación general de la elipse .
EJEMPLO
Obtener la ecuación general de la elipse, si tiene por ecuación ordinaria:
Solución:
Multiplicando ambos miembros por “36”, la ecuación se transforma en:
Simplificando los coeficientes para eliminar denominadores, la ecuación se transforma en:
9(x-3)2 + 4(y-1)2 = 36; desarrollando los binomios; se obtiene la ecuación: 9(x2-6x+9) + 4(y2-2y+1) =36, desarrollando los productos indicados obtenemos: 9x2-54x+91+4y2-8y+4=36, reorganizado los términos e igualando a cero: 9x2 +4y2-54x-8y +91+4-36 =0 Por último reduciendo los términos constantes obtenemos la ecuación general de la elipse:
9x2 +4y2-54x-8y +59 =0
186
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de lo que aun debes reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicio no.11 Grupo En parejas, determinar la ecuación general de la elipse, a partir de su ecuación ordinaria.
1.
2.
3.
4.
187
Sesión 42
En este punto estamos en posibilidad de identificar algunos elementos de la elipse que nos permitan determinar su forma y posición . Determinar los elementos de la elipse, si su ecuación es :
EJEMPLO
Solución: Por los denominadores, podemos identificar como a 2 = 9 y b 2 = 5, recordemos que “a” es el parámetro mayor pues corresponde al semi eje mayor, mientras que “b” es l a medida del semi eje menor. En consecuencia podemos determinar que la ecuación es de la forma:
Es una elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje Y. en este caso el valor del vértice lo determina el parámetro “a”. Los vértices son los puntos (0,3) y (0,-3).
El valor de “b” nos da las coordenadas de los extremos del eje menor, en este caso B ( ,0) y B´(- ,0). La longitud del lado recto corresponde a:
Para obtener las coordenadas de los focos, es nece sario determinar el valor de “c” .
Recordemos que:
; sustituyendo los valores ya conocidos en esta
expresión, tendremos que:
Las coordenadas de los focos son los puntos (0, 2) y (0,-2) y la excentricidad es :
188
Por lo tanto la grafica correspondiente es: Y
X
Otro caso lo encontramos en la ecuación ordinaria de la elipse:
El valor de a 2 = 25 despejando
, el valor de b 2 = 16, despejando el valor de
b, tenemos que: La medida del lado recto corresponde a : La ecuación es de la forma :
Esta corresponde a una elipse con centro fuera del origen C (h, k) y y eje mayor paralelo al eje X. La coordenadas del centro corresponden a C (1, -2); y los vértices son los puntos (-4, -2) y (6,-2) y los extremos del eje menor son los puntos (1, 2) y (1,-6)
Para determinar el valor del parámetro “c”, utilizaremos nuevamente la expresión : y sustituiremos lo valores de a y b.
; en este caso el podemos determinar el valor de la excentricidad: excentricid ad:
y las coordenadas de los focos:
(4,-2) y (-2,-2).
189
La gráfica de la elipse es la siguiente: Y
X
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la elipse. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.12
Grupo En equipo, determina los elementos de la elipse y construye su gráfica; considerando para ello las siguientes ecuaciones.
1.
2.
190
.
Tarea no.3 Nombre _______________________________________________ Grupo ____________________ Turno ______________________ Fecha _________________________________________________
En la siguiente tarea, se te presentan gráficas de diferentes elipses y una serie de ecuaciones. Relaciona cada una de las ecuaciones con las gráficas
(
)
(
)
(
)
(
)
Y
Figura 1
Y
Figura 2
X
X
Y
Y
Figura 3
Figura 4
X
X
191
192
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno __________________ Fecha _________________________________________________ Instrumento de Evaluación __________________ Página ________ Una de las características más significativas de la elipse, es que tienen la propiedad de reflexión. Particularmente esta propiedad se utiliza desde la antigüedad al construir cúpulas elípticas; ya que si una persona se sitúa en uno de los focos, la persona que se sitúe en el otro foco la escuchará con mayor claridad aunque la primera hable en voz baja .
Si una cúpula de forma elíptica tiene una longitud de 90 metro y una altura de 30 metros. Aplicando la propiedad de reflexión de las elipses, ¿A qué distancia del centro de la cúpula deben situar dos personas para que al hablar se escuchen perfectamente?
193
3.3 HIPÉRBOLA
Sesión 43
3.3.1 Propiedades y Ecuaciones Aprendizajes a lograr
Conoce e identifica los elementos de la hipérbola. Identifica y relaciona la posición de la hipérbola con sus ecuaciones. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
La hipérbola es considerada una más de las curvas cónicas, formada por la intersección entre dos conos y un plano.
La hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos, cuyo valor absoluto de la diferencias de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es siempre constante (figura adjunta). Dentro de los primeros elementos de la hipérbola, consideraremos los que se muestran en la siguiente figura: EL valor absoluto de la diferencia de las distancias es siempre constante: | d2 – d1 | = K Los puntos F 1 y F2 son llamados focos de la hipérbola y los puntos V 1 y V2 los vértices.
194
Elementos de la hipérbola: Los elementos principales de la hipérbola se muestran en la figura El punto C se llama centro; las rectas m y n se llaman asíntotas de la hipérbola. Los segmentos: ; se llama eje transverso. ; se llama eje Focal. ; se llama eje conjugado. ; se llama lado recto. ; se llama excentricidad.
A diferencia de la elipse, la excentricidad en este caso es mayor que 1 (e 1) porque la distancia “c” de los focos al ce ntro es mayor que la distancia “a”del vértice al centro. En el caso de los parámetros, a, b y c; el parámetro “c” es el mayor por estar más alejados los focos del centro que los vértices. La relación pitagóricas entre estos elementos es: c2 = a2+ b2
EJEMPLO
En el caso de construcción, existen diversas estructuras hiperbólicas en todo el mundo como las que se muestran a continuación.
La primera estructura hiperboloide del mundo, construida en Nizhny Nóvgorod, Rusia, en 1896.
195
La Catedral de Brasilia -situada en Brasil- es una grandiosa obra definida como una estructura hiperboloide de revolución con secciones asimétricas; construida en hormigón y con un espectacular techo de vidrio.
Vista nocturna de la torre hiperboloide de Kōbe, Japón.
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a la hipérbola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.13
Individual De acuerdo a la lectura anterior, contesta acertadamente los siguientes cuestionamientos.
1. Es el nombre que recibe el punto de intersección del eje conjugado y transverso:
2. Es el nombre que recibe el segmento que une los vértices de la hipérbola:
3. Nombre que recibe el punto donde la hipérbola corta al eje transverso: 196
4. Nombre que recibe el segmento que pasa por el centro y es perpendicular al eje transverso, además su longitud es 2b:
5. La diferencia de las distancias a los focos de cualquier punto en la hipérbola es siempre igual a:
6. Son dos rectas de la hipérbola que actúan como límite de la curva, no permitiéndole cruzarlas:
7. En la hipérbola a diferencia de la elipse, el valor de la excentricidad es:
8. Es el valor de la longitud del eje conjugado:
9. Es el valor del lado recto:
10. Es el nombre que recibe el punto por donde pasa el lado recto :
197
Sesión 44
De acuerdo a la forma y posición de la hipérbola en el plano de coordenadas, esta tiene diferentes representaciones analíticas a las que llamamos ecuaciones de la hipérbola. El primer caso corresponde a la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre uno de los ejes.
Si el eje focal está sobre el eje X, la ecuación de la hipérbola está representada por la expresión:
Las ecuaciones de las asíntotas son: y= b/a x y= - b/a x
Si el eje focal está sobre el eje Y, la ecuación de la hipérbola está representada por:
Estas ecuaciones reciben el nombre de primera ecuación ordinaria de la hipérbola
198
Cuando la hipérbola tiene su centro en un punto de coordenadas C (h, k) y el eje focal es paralelo al eje X, la ecuación ordinaria de la hipérbola está determinada por la expresión : Y
k C(h,k)
X
h
Cuando la hipérbola tiene su centro en un punto de coordenadas C (h, k) y el eje focal es paralelo al eje X, la ecuación ordinaria de la hipérbola está determinada por la expresión : Y
C(h,k) k
X
h
199
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicio no.14
Individual De acuerdo a la lectura anterior, contesta acertadamente las siguientes preguntas.
1. Si una parábola tiene su centro en origen y el eje focal sobre el eje Y. ¿Cuál es la ecuación que la representa?
2. ¿Qué ecuación utilizarías en la hipérbola de la figura? Y
C
X
3. Si una hipérbola tiene centro fuera del origen y su eje transverso es paralelo al eje Y. ¿Cuál es la ecuación que la representa?
4. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que tiene centro en el origen y foco sobre el eje Y?
5. ¿Cuál es la ecuación de las asíntotas que limitan a una hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre el eje Y? 200
3.3.2 Condiciones geométricas y analíticas
Sesión 45
Aprendizajes a lograr
Determina la ecuación ordinaria y la gráfica de la hipérbola a partir de elementos conocidos. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Determina la ecuación ordinaria de la hipérbola, obtén su representación geométrica si tiene centro en el origen, vértice en (1,0) y foco en (2,0).
Al representar los puntos en el plano coordenado, podemos identificar el valor de los parámetros a y c; en este caso a = 1 y c = 2; mientras que el vértice y el foco restante son (-1, 0) y (-2, 0). y
F2
V1
V2
F1 x
Falta determinar el valor del parámetro “b” . Este lo obtenemos de la relación Pitagórica c 2 = a2 –b2. Despejando b 2 = c2 –a2 = (2)2 – (1)2 = 4 -1 = 3. En este caso b 2 = 3, sacando raíz cuadrada en ambos miembros, obtenemos el valor de .
201
La longitud del lado recto es
. y
B1
Para obtener la grafica de la hipérbola, localizaremos los extremos del eje conjugado y tracemos los lados rectos en cada foco.
F2
V1
V2
1.7
Dibujemos un rectángulo que pase por los puntos V 1, V 2, B1 . y B2 y tracemos las asíntotas por los vértices del rectángulo.
F1
x
1.5
y
x
202
Por último tracemos la hipérbola, partiendo del vértice y haciéndola pasar por los extremos de cada lado recto. y
x
Por la posición del eje focal, la ecuación ordinaria de la hipérbola que utilizaremos es :
Al sustituir los valores de a2 = 1 y b 2 =3 obtenemos la ecuación:
Las ecuaciones de las asíntotas son:
El valor de la excentricidad es:
203
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de lo que aun debes reforzar para lograr tus aprendizajes.
Ejercicio no.15
Grupo Reúnete en equipos de tres integrantes y determina la ecuación de la hipérbola y obtén su gráfica.
El centro de la hipérbola está en el origen, uno de los vértices es el punto (0, 2) y la longitud de su eje conjugado es 4. 1. ¿Cuál es la coordenada del otro vértice? 2. ¿Cuál es el valor de los parámetros a y b? 3. ¿Cuál es el valor del parámetro c? 4. ¿Cuál es la longitud del lado recto? 5. ¿Cuál es el valor de su excentricidad? 6. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola? 7. ¿Cuáles son las ecuaciones de sus asíntotas?
204
8. Localiza los elementos de la hipérbola en el plano y obtén su gráfica.
Y
X
205
Tarea no.4 Nombre _______________________________________________ Grupo ____________________ Turno ______________________ Fecha _________________________________________________
En la siguiente tarea, deberás obtener la ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en el origen y las siguientes opciones. 1. El eje transverso está sobre el eje X y su excentricidad es e = 3 / 2
2. El eje focal mide 8 y uno de los vértices es el punto (0,-2)
3. Uno de los vértices es el punto (-3,0) y la ecuación de una de las asíntotas es y = 2/3 x .
206
Sesión 46
Determina la ecuación ordinaria de la hipérbola, con centro en el punto (2, 3), uno de los vértices es el punto (5, 3) y la longitud del eje con u ado es es 4
Por las coordenadas del centro, podemos determinar los valores de h = 2 y k =3. EL eje focal es paralelo al eje X por lo tanto la ecuación que describirá a nuestra hipérbola es la ecuación:
Recordemos que la distancia del vértice al centro la representa el pa rámetro “a” en este caso a = 3. La longitud del eje conjugado es 2b = 4, por consiguiente b = 4/2 = 2. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, esta queda determinada por:
Para obtener la gráfica de la hipérbola, iniciaremos con la determinación del parámetro “c”;
207
Representemos primeramente el centro de la hipérbola, los vértices, focos y extremos de eje conjugado como se muestra en la gráfica . Y
B1
F1
V1
C
V2
F2
B2
X
Recordemos que el lado recto es el segmento perpendicular a cada uno de los focos y que su longitud está determindad por :
Realicemos los trazos de cada uno de los lados rectos, y dibujemos un rectángulo que pase por los extremos del eje conjugado y por los vértices . Y
X
208
Por último tracemos las asíntotas y la hipérbola. Y
X
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación a el tema visto. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.16
Individual Determina la ecuación ordinaria con centro fuera del origen de la hipérbola, en cada uno de los siguientes casos.
209
1. El centro es el punto (1, 2), uno de los vértices es el punto (-1,2) y la longitud del eje conjugado es 4.
2. El centro es el punto (3, 1) uno de los vértices es el punto (3, 2) y uno de los focos es el punto (3, 3).
3. Los vértices de la hipérbola son los puntos (1, 0) y (5,0); su eje conjugado mide 6 unidades.
210
Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema, realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tus conocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar para lograr tus aprendizajes.
Tarea no.5 Nombre _______________________________________________ Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha _________________________________________________
1. Obtén la gráfica de la hipérbola si el centro es el punto (-1, 1), uno de los vértices es el punto (-1, -1) y uno de los focos es el puntos es (-1, -2). Y
X
211
2. El centro de la hipérbola es el punto (2,2), uno de los extremos del eje conjugado es el punto (2, 3) y la longitud del eje transverso es 4. Determine la longitud del lado recto.
3. El centro de una hipérbola es el punto (3, 0), uno de los vértices es el punto (3,2) y uno de los focos es el punto (3,5).
212
Sesión 47
Al partir de la ecuación ordinaria de la hipérbola de la forma :
*Desarrollemos las operaciones indicadas, primeramente multiplicando la ecuación por a 2b2
*Simplificando los cocientes y desarrollando los binomios indicados, la ecuación se transforma en: b2(x2-2xh+h2) – a2 (y2-2ky+k2) = a2b2 *Realizando los productos indicados. b2x2 - 2b2xh+b2h2-a2y2+2a2ky+a2k2 = a2b2 *Igualando a cero y ordenando términos. b2x2 - a2y2- 2b2hx+2a2ky+b2h2+a2k2- a2b2 = 0 *Redefiniendo literales: A = b2, C =- a2, C =- 2b2h, D=2a2k y E = b2h2+a2k2- a2b2. La ecuación se transforma en:
Ax +By + Cx +Dy+ E = 0
EJEMPLO
Recibe el nombre de ecuación general de la hipérbola.
Determinar la ecuación general de la hipérbola con centro en el origen:
Multiplicando ambos miembros por 45, obtenemos: Simplificando los cocientes se obtiene: 5x 2 -9y2 = 45. Igualando a cero: 5x2 -9y2 -45 = 0 es la ecuación general de la hipérbola.
213
Para el caso de la ecuación ordinaria: Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 12 Simplificando los cocientes obtenemos: 3(x-3) 2 - 4(y+1)2 = 12 Desarrollando los binomios la ecuación se convierte en: 3(x2 -6x+9) – 4(y2 +2y+1) =12 Realizando los productos indicados: 3x2-18x+27 - 4y2- 8y- 4 = 12 Ordenando los términos e igualando a cero. 3x2 -4y2 -18x -8y +27- 4-12 = 0 Reduciendo los términos semejantes: 3x2 -4y2 -18x -8y +11 = 0 representa la ecuación general.
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación al tema. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.17
Grupo Reúnete en equipos de tres integrantes y determina la ecuación general de la hipérbola a partir de la ecuación que se presenta.
1.
214
2.
3.
4.
215
216
Basándote en lo aprendido en clase, realiza correctamente cada uno de los siguientes ejercicios
Tarea no.5 Nombre _______________________________________________ Grupo ____________________
Turno ______________________
Fecha _________________________________________________
1. Una hipérbola tiene centro en el origen uno de sus vértices es el punto (2,0) y el eje conjugado mide 6. Determine su ecuación general.
2. EL centro de una hipérbola es el punto (-2 ,1), uno de sus vértices es el punto (0 ,1) y la longitud del eje conjugado es 2. Determine su ecuación general.
3. Los focos de una hipérbola son los puntos (2,-2) y (2, 4). La longitud del eje conjugado es 4, determine la ecuación general.
217
218
Sesión 48
Determinar los elementos de la hipérbola y su gráfica si tiene por ecuación:
Por la forma de la ecuación, podemos determinar que es de la forma: La cual representa una hipérbola con eje focal paralelo al eje X, las coordenadas de su centro están en (-2,-4). El valor de .
y el valor de
Las coordenadas de los vértices son (-0.27,-4) y (-3.73, -4); las coordenadas de los extremos del eje conjugado son (-2, -2.59) y (-2, - 5.41).
Para obtener las coordenadas de los focos es necesario determinar el valor de “c” . Las coordenadas de los focos son: (0.23,-4) y (-4.23.-4) La longitud del lado recto es:
219
Representando estos valores en el plano de coordenadas, la gráfica de la hipérbola queda determinada por la figura siguiente . Y X
220
Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos en relación al tema. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se te indique en cada caso.
Ejercicio no.18
Grupo Con ayuda de tu profesor, reúnete en equipos y resuelvan cada una de las siguientes situaciones.
1. La ecuación ordinaria de la hipérbola es:
Determinen los elementos de la hipérbola y representen su gráfica en el plano de coordenadas. Y
X
221
2. Determine las coordenadas del centro de la hipérbola si esta tiene por ecuación:
3. Determine la longitud del lado recto de la hipérbola si tiene por ecuación ordinaria:
4. Determine el valor de la excentricidad de la hipérbola si esta tiene por ecuación:
222
La realización de los siguientes ejercicios, te permitirá llevar a la práctica tus aprendizajes adquiridos.
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno __________________ Fecha _________________________________________________ Instrumento de Evaluación __________________ Página ________
Uno de los comportamientos de algunos cuerpos celestes del espacio, es que siguen trayectorias hiperbólicas con relación a un punto determinado. Supongamos que un grupo de meteoros siguen una trayectoria hiperbólica como se muestra en la figura. La tierra en este caso representa el centro de la hipérbola y está a una distancia 6.5x10 6 km de distancia del vértice que representa el punto de retorno más cercano por donde pasa el meteoro y el sol representa uno de los focos de la hipérbola cuya distancia a la tierra es de 150x10 6 km. ¿Cuál sería una ecuación que nos describiera la trayectoria de los meteoros si tomamos un plano de coordenadas con centro en la tierra?
223
Autoevaluación Nombre ________________________________________________ Grupo ________________________ Turno ___________________ Fecha _________________________________________________
Instrucciones: A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la Unidad. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1. Es el lugar geométrico de todos aquellos puntos que equidistan tanto de un punto fijo llamado foco, como de una recta fija llamada directriz. a) Recta b) Elipse c) Parábola d) Hipérbola e) Circunferencia 2. Todas ellas corresponden a las cónicas, excepto: a) Circunferencia b) Recta c) Elipse d) Hipérbola e) Parábola 3. Es el lugar geométrico de todos aquellos puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre constante: a) Circunferencia b) Recta c) Elipse d) Hipérbola e) Parábola 4. La ecuación x2 = 4py es la representación analítica de la: a) Recta b) Elipse c) Parábola d) Hipérbola e) Circunferencia 224
5. La ecuación
es la representación analítica de una:
a) Recta b) Elipse c) Parábola d) Hipérbola e) Circunferencia 6. La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (-2, 0) corresponde a: a) x2 = 8y b) x2 = -8y c) y2 = 8x d) y2 = -8x e) y2 = -4x 7. Una elipse tiene centro en el origen; uno de sus vértices es el punto (-2, 0) y la longitud del eje conjugado es 4. Su ecuación ordinaria corresponde a: a) b) c) d) e)
8. La ecuación general de la elipse que tiene por ecuación a) 2x2 +4y2 = 8 b) 4x2 + 2y2 = 0 c) 4x2 + 2y2 + 8 = 0 d) 4x2 + 2y2 -8 = 0 e) 2x2 + 4y2 -8 = 0
225
corresponde a:
9. El centro de una elipse es el punto (-3, 2), uno de sus vértices es el punto (2, 2) y la longitud del eje conjugado es 6. ¿Cuál es su ecuación ordinaria? a) b) c) d) e)
10. El vértice de una parábola es el punto (0, 2), si el foco está en el origen, ¿cuál es su ecuación ordinaria? a) x2 = 8y b) x2 = -8 c) y2 = 8x d) y2 = -8x e) y2 = -4x 11. Si una cúpula de forma elíptica tiene una longitud de 90 metro y una altura de 30 metros. Aplicando la propiedad de reflexión de las elipses, ¿A qué distancia del centro de la cúpula se deben situar dos personas para que al hablar se escuchen perfectamente? a) 33.5m b) 40 m c) 25.3 m d) 34.4m e) 28.9 m
12. La excentricidad de una elipse es ¾ mientras que la longitud del eje mayo es 8. ¿Cuál es la longitud del eje menor? a) 4.32 b) 5.29 c) 2.2 d) 1.56 e) 6.31 226
13. Es el lugar geométrico de todos los puntos cuyo valor absoluto de la diferencia de las diferencias de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre constante. a) Recta b) Hipérbola c) Elipse d) Circunferencia e) Parábola 14. Determine el valor de la excentricidad de la hipérbola si esta tiene por ecuación:
a) 2.23 b) 3.21 c) 1.29 d) 1.45 e) 6.78 15. La ecuación ordinaria de la hipérbola es general. a) x2 + y2 -18x .16y - 53 = 0 b) x2 + y2 -18x .16y - 42 = 0 c) x2 + y2 -18x .16y - 24 = 0 d) x2 + y2 -18x .16y+ 43 = 0 e) x2 + y2 -18x .16y - 43 = 0
227
determine su ecuación
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Evaluación del desempeño (ejercicios):
No.
En equipo Cumplió Ejecución
Indicador
Sí 1
No
Ponderación
Observaciones Calif.
0.4
Se integró al equipo.
2
Mostró interés por el tema. 3 Mostró conocer los conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación
0.4 0.4 0.4 0.4 2
Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación Evaluación del desempeño (ejercicios): Individual No. 1
Indicador
Cumplió
Ejecución
Sí
Ponderación
No
Mostró interés por el tema.
0.4
Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación
0.4
2
Observaciones Calif.
0.4 0.3 1.5
Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
228
Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana): No.
Indicador
Cumplió Ejecución Sí
Ponderación
No
1
Resolvió el total de los ejercicios 2 Resolvió correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. Calificación de esta evaluación
Observaciones Calif.
0.3 0.5 0.4 1.2
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de productos (investigaciones): No.
Indicador
Cumplió Sí No
Entregó en tiempo y forma 2 La información fue clara y acorde al tema 3 Presentación del trabajo Calificación de esta evaluación
Ejecución Ponderación
1
Observaciones Calif.
0.1 0.1 0.1 0.3
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
229
CRITERIOS DE EVALUACIÓN CRITERIO: PORCENTAJE: Producto 15% Desempeño 35% Conocimiento 50% Total: 100% RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN UNIDAD I REACTIVO:
OPCI N CORRECTA:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C E B A C E D A D B A C A C A C D E A D
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 2 REACTIVO:
OPCI N CORRECTA:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A A A C C A A C B B B A D A B
230
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3 REACTIVO:
OPCI N CORRECTA:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C B C C D D B E E B A A B C E
GLOSARIO Abscisa: Nombre que se le da a la coordenada en x de un punto en el plano coordenado. Altura: La altura de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto . Ángulo de inclinación: Ángulo formado por una recta y el eje X y que se mide a partir del eje X en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Área: Medida de la superficie de una figura plana. Baricentro: Es el punto en el que se encuentran las medianas. En un cuerpo real de forma triangular, el baricentro es el centro de masa (de ahí su nombre, gr. baros = "gravedad"), es decir, el punto desde el cual se puede tomar el cuerpo sin que manifieste tendencia a girar. El baricentro es siempre interior al triángulo. Bisectriz: La bisectriz de un triángulo se define como la recta que pasa por uno de sus vértices, dividiendo al ángulo en dos partes iguales. Centro: Nombre que se le da al punto de intersección de los ejes coordenados. Circuncentro: Es el punto en el que se encuentran las mediatrices. Este punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior; en el caso de los triángulos rectángulos, pertenece a la hipotenusa.) Circunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro es siempre constante. Coordenadas: Valores específicos para localizar un punto determinado. Distancia: Espacio o separación entre dos puntos. Ecuación: Expresión algebraica que representa analíticamente a una figura geométrica y que es válida para determinados valores de las variables. Eje Conjugado: Segmento perpendicular en el punto medio del eje focal y transverso de la hipérbola. Eje mayor: Nombre que se le da al segmento que los vértices de la elipse. Eje Transverso: Segmento que une los vértices de la hipérbola y que pasa pos su centro. Elipse: Lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos punto fijos llamados focos es siempre constante. Equidistante: La misma distancia. Focos: Puntos particulares de la parábola, elipse e hipérbola. 231
Grado: Unidad de medida de los ángulos. Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos cuyo valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es siempre constante. Incentro: Es el punto en el que se encuentran las bisectrices. El incentro es siempre interior al triángulo, de ahí su nombre. Mediana: La mediana correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Mediatriz: La mediatriz de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio. Ortocentro: Es el punto de encuentro de las alturas. Este punto no siempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior. En el caso de los triángulos rectángulos, coincide con el vértice del ángulo recto). Pendiente: Se define como la tangente del ángulo de una recta, mide el grado de inclinación de la misma con respecto a su ángulo de inclinación. Radio vector: Segmento de recta con una flecha en un extremo indicando una dirección. Razón: Es la comparación entre dos cantidades mediante una división o una diferencia. Recta: Conjunto de puntos que pertenecen al mismo lugar geométrico y que tiene la misma pendiente. Rectas paralelas: Nombre que reciben dos rectas que no se intersectan por más que se prolongan y que tienen la misma pendiente. Rectas perpendiculares: Nombre que reciben las rectas que al intersectarse forman ángulos de 90 ° y cuyo producto de sus pendientes es igual a -1. Recta de Euler: (Pronúnciese óiler ) es la recta que contiene al ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Regla: Instrumento utilizado para trazar rectas. Segmento de recta: Parte proporcional de una recta. Semisuma: Es la mitad de una suma. Transportador: Instrumento utilizado para medir en grados el tamaño de un ángulo. Triángulo: Polígono de tres lados.
232
