Geometría Analítica

For m ular io de Cien ci as

Geom etr í a A nalí tic a

Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas Está formado por dos rectas que se cortan en forma perpendicular (una horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que contiene infinitos puntos. Al plano formado formado por dichos dichos ejes ejes se llama P l a n o C a r t e s i a n o . Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados c u a d r a n t e s .

Para su estudio, cuando menos por ahora, utilizaremos el Sistema Cartesiano de Ejes Rectangulares. Dentro de éste convendremos en que siempre que se hable de un punto conocido o de posición fija, designaremos sus coordenadas por las letras x e y con índices, mientras que siempre que se trate de un punto móvil o de posición desconocida sus coordenadas serán simplemente “x” y “y” sin índices. Y

M x , y

Y II C

IC

C  x1 , y1 

X'

X

X Y'

III C

IV C

X: Eje de abscisas Y: Eje de ordenadas Coordenadas Cartesianas de un Punto Se ha visto que al poner en movimiento a un punto nos engendra una línea, la cual al ponerse en movimiento engendra una superficie, y ésta a su vez, al ponerse también en movimiento engendra un volumen, se puede concluir que todas las figuras geométricas tienen como base de formación el punto.

Por ejemplo en la figura anterior, si tenemos una circunferencia de radio conocido, referida a un sistema de ejes, su centro es un punto conocido, de manera que al referirnos a él podemos decir, el punto C  x1, y1  , en tanto que si suponemos que esta circunferencia es descrita por el extremo libre del compás, dicho extremo es un punto cuyas coordenadas cambian para cada posición, de tal manera que al mencionarlo podemos decir, el punto M(x, y). 1. Coordenadas de un Punto El conjunto de todos los pares x, y  se llama plano ordenados  x,y 2 numérico y se denota con R , así:

185

For m ular io d e Cien cias

R

2



 x, y  / x



Geom etr í a An alí tic a

R, y  R

xm

Y

x1  x 2 2

y  y2 ; ym= 1 2

4. Coordenadas de dos puntos de trisección Y P2  x 2 , y 2 

P  x1.y1  y1 X'



X

x1

N  x n, y n 

Y'

X'

x1 : es la absc abscis isa a del del punt punto o P. P.

M  x m, y m 

X

O

y1 : es la la ord orden enad ada a del del pun punto to p. p.

P1 x1, y1 

2. Distancia entre dos puntos Y

Y'

P2  x 2 , y 2 

d X'

xm



xn



3

X

O P1 x1, y1 

2x1  x 2

2x 2  x1 3

; y m=

; y n=

2y1  y 2 3

2y 2  y1 3

Y'

d

 x1  x 2 

2



 y1  y 2 

2

3. Coordenadas del punto medio Sean P  xm, ym  las coordenadas del punto medio. Y

5. Coordenadas del del Baricentro de un Triángulo Si: G(x, y) , es la posición del baricentro de un triángulo ABC, tal que: A (x 1; y1) ; B ( x 2; y 2 ) ; C ( x 3; y 3 ) Entonces: Y

P2  x 2 , y 2 

B  x 2; y 2 

M  x m, y m 

X'

O

X

G C  x3; y3 

P1 x1, y1  A  x1; y1 

Y' xm :

ym :

Semisuma de las abscisas Semisuma de las ordenadas

O

186

X



9. Pendiente de una recta:

Se cumple que: x

x1

y

y1

x2

x3

Es la inclinación que tiene dicha recta con respecto al eje positivo de las abscisas.

3 y2

Y

y3

P2  x 2 , y 2 

3

La Recta θ

X'

Es la representación geométrica de los números reales

P1 x1, y1 

Números positivos  + 

0



X

O Y'

y  y2 m  1 x1  x 2





tanθ

Números negativos   

6. Sistema Coordenado Lineal: A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales se denomina sistema coordenado lineal. O

A

B

0

1

2

Si “m” es positiva, el ángulo es agudo y, cuando es negativa, dicho ángulo es obtuso (mide más de 90º), pero sin llegar a 180º ni sobrepasar este valor. 10. Ángulo entre dos rectas

P x

Y

L2

De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los números 0, 1, 2 y “x” respectivamente. X'

7. Distancia entre dos puntos de la recta:

X

O

L1

PQ

P

Q

x1

PQ

x2

x2

x1

x1

x2

: Valor absoluto

x1

M x

de L1 m2 : pendiente de L 2

Observe que el lado final del ángulo “ ” es L 2 y el lado inicial es L1 .

8. Punto medio P

m1 : pendiente

Y'

tan

Q x2

187

m2

m1

1 m1 m2



11. División de un segmento en una razón dada. Si: P1(x1; y1) y P2 (x 2; y 2 ) son los extremos de P1P2 , las coordenadas del punto P(x; y) que divide a este

b) Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes resulta ser –1. Y L1

segmento en una razón “r”. P1 P

r

PP2

; son: X'

Y P2

y2

L2

Y'

P

y

L1 P1

y1

X'

x1

x

X

x2

x1 r x 2 r

L2

m1 m2

1

Ecuación de la Recta 1er. CASO:

Y' x

X

O

y

1

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce la p endiente “m” y un punto P0 (x 0, y 0 ) que pertenece a la Y recta.

y1 r y 2 r

1

Posiciones Relativas de las Rectas: a) Rectas Paralelas

L

P0 x 0 , y 0

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales. Y



X'

O

X

L1 Y'

L2 X'

y

y0

m x

x0

X

O

2do CASO: Y'

L1 // L 2

m1

m2

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce dos puntos de la recta P1(x1, y1) , P2 (x 2, y2 ) . 188



Y

Y

P2 x 2 ,y 2

L

L

(0, b) X' X'

X

X P1 x1, y1

Y'

y

mx b

Y'

y

y1

y2

y1

x2

x1

x

Ecuación General de la Recta

x1

Ax By

3er. CASO:

Despejando “y”: y

La ecuación de una recta se determina cuando se conoce los puntos de intersección con los ejes del plano cartesiano (a, 0) , (0, b) .

Observaciones:

Y

C

0

A x B A La pendiente es: m= B

C B

a) Si m 0

L

Y

y

mx b

(0, b) X'

X

(a, 0)

θ

X'

O

X

Y'

x a

y b

Y'

1

b) Si m 0

A esta ecuación se le denomina ecuación simétrica de la recta. Donde a 0 y b 0 4to CASO: La ecuación de una recta se determina cuando se conoce el punto de intersección con el eje “Y” (0, b) y la pendiente “m”.

y

X'

c) Si L // x

189

Y

mx b

θ

O

Y'

m

0

X



Distancia de un punto a una recta

Y

y

b X'

Y

L

b

P(x 0, y 0 )

d X

O

X'

d) Si L // y

m no está definida

Y'

Y

x

Ecuación de L: Ax By C 0 Punto P(x 0, y 0 ) Distancia del punto P a L

a

a

X'

X

O

Y'

O

Ax 0

d

X

By 0

A

B

2

Distancia entre dos rectas paralelas dadas las rectas

Y'

Forma Normal de la ecuación de una Recta Y

L

2

C

L1 : Ax By C1

L 2 : Ax By C2

0

0

Y

L1 L2 d

p

X'

X

O

X'

X

O

Y'

x . Cos

y . Sen

p

0

Y'

Donde: 

 

d

P: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo) OP1 L donde OP1 es la normal 0º

360º

C1 C2 A

2

B

2

Área de un Triángulo Si se conoce tres puntos no colineales: A (x1, y1) ; B (x 2, y 2 ) ; C (x3, y3 ) Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:

190



x1 y1 1 1 x2 y2 1 2 x 3 y3 1

S

Y

x1

y1

y1x 2 y 2x3

x2 x3

y2 y3

x1y 2 x 2 y3

y 3 x1

x1

y1

x 3 y1

M

B  x 2; y2 

N

Área de un Polígono Sea A1.A2, A 3,......An , un polígono cuyos vértices, nombrados en sentido antihorario tienen coordenadas: A1 x1; y1 , A 2 x 2; y 2 , A 3 x 3; y 3 ,

S C  x3; y3  A  x1; y1 

O

X

Método Práctico para determinar el área de una región triangular

… , A n x n; y n Y A 2

Y

A 3

B  x 2; y 2 

A 1 A n

S A 4

S C  x3; y3 

O

X'

A  x1; y1 

X

A 5

O

Y'

X

El área del polígono estará dado por el siguiente determinante:

Si se conoce tres puntos no colineales A (x1, y1) ; B (x 2, y 2 ) ; C (x 3, y 3 ) Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de: Área: S

A n1

1 N M 2

En esta fórmula los valores de N y M son productos combinados de las coordenadas de los puntos que forman la región triangular, tal como sigue: Sabiendo que:

x1

y1

y1x 2

x2

y2

x1y2

y 2x 3

x3

y3

x 2 y3

. . . .

y 3 x1

x1

M

1 N M 2

.

x 3 y1 N

S

191

y1

. . . .



Secciones Cónicas Definición: A continuación estudiaremos 4 curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de la ciencia, es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadr ática en “x” o “y”, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente: Ax

2

Bxy

Cy

2

Dx Ey F

0

En donde los coeficientes A, C, D, E, y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, tendremos la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola. En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío.

Por lo cual tenemos los casos siguientes: Si: D B2 4AC 0 , se trata de una Elipse Si: D B2 4AC 0 , se trata de una Parábola Si: D B2 4AC 0 , se trata de una Hipérbola Es decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente.

Circunferencia Es el lugar geométrico de un punto P(x, y) del plano, que se mueve a una distancia constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro). Si tenemos: Y

Se llama CÓNICA al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos, estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN

E

2

Bxy

Cy

2

Dx Ey F

podemos saber de qué cónica se trata recurriendo al binomio B2 4AC , llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de donde: D B2 4AC



C

B

LT

F O

0

r

A

A partir de la ecuación general: Ax

LN

Donde: C : r : AB : EF : LN : LT :

192

X

Centro de la circunferencia radio Diámetro = 2r Cuerda Recta Normal Recta Tangente



Formas de la Circunferencia

x

1. Forma Ordinaria Cuando el centro de la circunferencia es un punto cualquiera (h, k).

2

h

2

y k

k

2

4. Circunferencia tangente al eje “Y” Se da cuando: r h Y

Y P x, y

h

r k

C

(y k)

2

h

r

(x h)

2

2. Forma Canónica La forma canónica seda cuando el circunferencia es coordenadas h 0 y

O

C

h,k

X

X

h

(x h)



h,k

O 2

k

de una ecuación centro de la el origen de k 0.

Y

X

O

(y k)

2

h

2

5. Ecuación General Circunferencia x

2

y

2

de

Ax By C

la

0

Completando Cuadrados A x 2

r

2

x

B 2

A

2

2

B 4

4C

De aquí se tiene tres casos: 1er Caso: Si: A 2 B2 4C 0 A B además: ; 2 2

Entonces: C x

2

y

2

r

2

3. Circunferencia tangente al eje “x” Se da cuando: r

r

1 2

A

2

B

2

4C

k

2do. Caso: Si: A 2 B2 4C 0

Y

Entonces: C

k k



O

h

C

h,k

X

A B ; (Representa 2 2

un solo punto) 3er Caso: Si: A 2 B2 4C 0 Entonces: (La ecuación representa a una circunferencia imaginaria)

193



Ecuación de una Circunferencia que pasa por tres puntos

Y

x

2

y

2 1 2 x 2 2 x 3

2

2 1 2 y 2 2 y 3

x

y

x

y

x1

y1

1

x2

y2

1

x3

y3

1

2

y

2

Ax By C

F P  x, y  G

V

A

C

X

0

Directriz

L1

L

Elementos que se relacionan entre si en una parábola cualesquiera. Donde:

0

F V L1

Intersección de dos circunferencias secantes Dadas las ecuaciones de dos circunferencias secantes, es posible calcular sus puntos de intersección hallando radical”

B

1

El cual permite determinar las incógnitas A, B, C de la ecuación. x

Eje focal

D

La ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos conocidos P1 x1, y1 , P2 x 2 ,y 2 y P3 x 3 ,y 3 , estará dada por la siguiente determinante:

CD AB

previamente la recta “eje cuya ecuación está

representada por la expresión que resulta de anular mediante cancelación los términos cuadráticos de las ecuaciones de las circunferencias.

La Parábola

: : :

Foco (Punto fijo) Vértice (Punto fijo) Eje focal ( a L )

: :

Cuerda focal Lado recto (

VF

P :

VF

VG

Distancia focal

FORMAS DE LA PARÁBOLA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “X”

Cuya ecuación es: y

Se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.

a L1 )

2

4px

a) Primer caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la derecha

Es el lugar geométrico de un punto P(x, y) del plano, que se mueve a una distancia que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (Foco) que no pertenece a la recta fija. 194

Y L

F  p,0  

V

d

d

X



b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la izquierda y la recta

Y

directriz es perpendicular al eje “X” Y A

L

L

V(0, 0) P(x, y)

F  p,0 

V d

A

X

F(0, p)

X

B

d

B

Donde: AB 4p x p

Donde:

Lado recto Ecuación de la directriz

AB 4p x p

PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “Y”

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “X”

La recta directriz es siempre paralela al eje “X” y el eje focal es el eje “Y”

Cuya ecuación es: x

2

lado recto Ecuación de la directriz

4py

a) Primer caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia arriba. Y

La recta directriz es siempre paralela al eje “Y” y el eje focal es paralelo al eje “X”. La ecuación es: y

k

2

4p x h

a) Primer caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la derecha Y

L : x  h p

F  0,p 

V(h, k)

P  x, y 

F  h  p, k 



X

V  0,0 

P(x, y)

L

X

b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia abajo. 195



Ec. General de la Parábola

b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola se abre hacia la izquierda. Y L : x  h p

Ax

P(x, y)

2

2

Cx Dy E

0

a) Si el eje es paralelo o coincide con el eje “x” A 0, B 0, C 0 luego la ecuación será:

V(h, k) F  h  p, k  X

y

2

ay bx c

0

b) Si el eje es paralelos o coincide con el eje “y” A 0, B=0, D 0 luego la ecuación será:

Donde: AB 4p x h p

By


x

Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “Y” Y

2

ax by c

0

Ecuación de la Tangente y la Normal a la parábola a) Para la parábola: y 2 4px

F  h, k  p 

LT

Y

LN

P1(x1, y1)

P  x, y 

P(x, y)

LS

V  h, k 

X

L

y

X

Cuya ecuación es: x

h

2

m

4p y k

En forma análoga a los casos anteriores: a) Si p 0 , la parábola se abre hacia arriba b) Si p 0 , la parábola se abre hacia abajo Donde: AB 4p x k p

m m

4p LS

y2

LT

2p y1 y1

LN

LT: y LN: y


196

y1

2p

y1 y1

2p x y1 y1 2p

x

x1 x1

2

4px



b) Para la parábola y LT: y LN: y

y1 y1

k

2

Teoremas 1. La recta tangente a la parábola 2 y 4px en cualquier punto P1 x1, y1 de la curva tiene por ecuación:

4p x h

2p y1 k y1 k 2p

x x

x1

L T : y 1. y

x1

c) Para la parábola: x 2

4py

LT : y

4py

X

m m

x2 LS

Es el lugar geométrico de un punto P x, y que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 de ese plano, es una constante. Una elipse es en realidad un círculo deformado que además de poseer centro tiene dos focos. D

x1

Y

4p x1

LT LN

2p 2p x1

LT: y

y1

m

LN

LS

LN: y

y1

T

R

B1

D'

V2

P

M V1

C

F2 U

F1

O

I

x x1 2p 2p x x1 x1

X

Donde:

h

2

D'

C : Centro V1 y V2 : Vértices F1 y F2 : Focos F1F2

2C

L : Eje focal Eje mayor : V1V2

4p y k

L1 : Eje normal Eje menor : B1B 2 DD y D'D': Directrices

LT: y LN: y

y1 y1

D

E

x1

d) Para la parábola x

0

Elipse

P(x, y)

LT

p ; donde m m

mx

P1(x1, y1)

2

x1

2. La recta tangente de pendiente “m” a la parábola y 2 4px tiene por ecuación:

Y

x

2p x

x1 h

x

2p 2p x x1 h

TU : Lado recto

x1

MI: Cuerda focal RE : Diámetro

x1

PF1 y PF2 : Lado recto F1F2 : Segmento focal

197

2a 2b



Relaciones Fundamentales

*

B1

2b V1

O

F1

2

Elipse de Centro el Origen y Eje Focal

V2

F2

2b Lado recto: a

el Eje “Y”

Y V2

B2 2c 2a

F2

P a V1

F1 c

a

2

a

b O 2

b

c

c

F1

P x, y

V1

2

Y

Cuya ecuación es:

B1

P x, y

x b

V1

F2

F1

V2

X

*

Cuya ecuación es: a

2 2

* y b

2 2

1

*

Donde: * V1 a,0 y V2 a,0 , son los vértices de la elipse. * B1 0,b y B2 0, b son los extremos del eje menor. * F1 c,0 y F2 c,0 : Son los focos *

x

*

e: excentricidad: e

y

2

a

2 2

1

y V2 0,a : Son los vértices de la elipse. B1 0,b y B2 b,0 : Son los extremos del eje menor. F1 0, c y F2 0,c : Son los focos V1 0, a

2

a c

*

y

*

e: excentricidad: e

*

2b Lado recto: a

2

a c

2

Donde:

B2

x

X

V2

F2

Elipse de Centro el Origen y Eje focal el Eje “X”

B1

B2

; Ecuación de la directriz c a

198

: Ecuación de la directriz

2

c a



Elipse de centro el punto C h,k

y

Eje Focal paralelo al Eje “x”.

La ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralela al eje “Y” esta dado por la

ecuación.

x h

V1

b

B1

P x, y

C

F1

B2

Cuya ecuación es: x h a

*

2

y k

2

b

*

h

a c

2

*

x

k

a c

; Ecuación de la directriz

Propiedades de la Elipse L2 Y

B1

D'

y

y  P  x, V1

V2

b

F2

d i r e c t r i z

F2

F1

d i r e c t r i z

V2

a

Eje Focal paralelo al Eje “Y”

c



ae

B2

X

O L1

B2

Donde:

B1

C

d P,F1 d P,L1

P x, y

los

focos

; Ecuación de la directriz

Elipse de Centro el Punto C h,k Y

son

c : Son los

F1 h,k c y F2 h,k

2

x

a

1

2

extremos del eje menor

1

Donde: * V1 h a,k y V 2 h a,k : Son los vértices de la elipse. * B1 h,k b y B2 h,k b son los extremos del eje menor * F1 h c,k y F2 h c,k : Son los focos *

2

2

B1 h b,k y B2 h b,k

2

2

y k

Cuyos elementos se encuentra relacionados entre si, entre sus elementos se tiene: * V1 h,k a y V 2 h,k a : Son los vértices de la elipse.

V2

F2

2

e

d P,F 2 d P,L 2

F1

e: excentricidad de la elipse V1

X

199



Propiedades: * d B1,F1 d B1,F2 d B 2,F1

*

d C,L 1

*

c

*

a

*

2do. Caso: Ecuación de la recta tangente de

a

d B2,F2

pendiente “m” a la elipse.

a

x

a e

d C,L 2

a

ae 2

b

0

LT : y

2

e

c

1

2

a m

2

2b a

By

2

Cx Dy E

2

C x 2A BT

x a

0

D y 2B AT

2 2

y

2

b

2

BC

2

AD

2

P x, y un punto del lugar geométrico y P1 x1, y1 , P2 x 2 ,y 2 los extremos de

2

la cuerda dado que “p” biseca P1P2 . 2

1

b x

L : y

2

a m

4ABE

2do Caso: Si la elipse es:

2 2

4A B

Recta tangente a una elipse 1er Caso: Ecuación de la recta tangente a la elipse: x a

2 2

y b

2

x b

2 2

y a

2

La ecuación del diámetro es: 2

a x

L : y

2

b m

En cualquier punto P x1, y1 Y

LT

3er Caso: Si la elipse es:

P1 x1, y 1

m O

V1

1

2

1

2

1

2

Donde:

V2

x h a

X

2

y k

2

b

2

1

2

La ecuación del diámetro es: L : y 2

b

1er Caso: Si la elipse es:

Reduciendo a la forma ordinaria:

T

1

2

mx

Ecuación General de la Elipse Ax

b

2

Ecuación del Diámetro de una Elipse

c e= <1 a

ó

Lado recto 2

2

y

2

2

*

2

2

L T : a yy1 b xx1

k=

b

2

x 2

a m

2 2

a b

200

h



4to Caso: Si la elipse es: x h b

2

y k

2

a

Cuerda de contacto Observemos un ejemplo al tener la elipse de ecuación:

2

1

2

x a

La ecuación del diámetro es: L : y

a

k=

2

x

2 2

y b

2

1

2

P1 x1, y 1

Y L

h

m

2

b m

Diámetros Conjugados Si tenemos la elipse x a

2 2

y b

2

1

2

La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es: 2

b x

L : y

2

a m

Ecuación de su diámetro conjugado L1 : y

mx

a

2 2

y b

2

Es el lugar geométrico de un punto P x, y que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es siempre igual a una

2

constante positiva “2a”.

2

1

2

Entonces: b

m m1

a

La cuerda de contacto en una elipse se genera si cuando desde un puno fijo exterior P1 x1, y1 de la elipse se trazan dos tangentes a dicha elipse, la ecuación de la recta que pasa por los puntos de tangencia esta dado por: 2 2 2 2 L : a yy1 b xx1 a b

Hipérbola

Propiedades: 1ro. Si la elipse es de la forma x

X

O

“m” y " m1 " pendientes de los diámetros

M

Y

conjugados. B1

2do. Si la elipse es de la forma: x h b

2

2

y k a

2

m m1

V2

2

P

1

F1

Entonces: a

2

b

2

F2

B V1

C

T B2

“m” y " m1 " pendientes de los diámetros

conjugados. 201

A

X



Hipérbola de Centro el Origen y Eje

Elementos:

Focal el eje “X”

C : Centro y punto medio de F1F2 V1 y V2 : Vértices F1 y F2 : Focos F1F2 Eje transversol



2c

V1V 2

Eje conjugado B 1B 2

P  x, y 

2a



2b





V1

F1

V2





F2

AB : Lado recto MT : Cuerda focal PF1 y PF2 : Radio vector

Cuya ecuación es:

Excentricidad “e” de la Elipse: d P,F1

e

d P,L1

x

d P,F2

a

d P,L 2

Donde: * V1 a,0

Propiedades: 2b a

Lado recto 2

2

a c

*

d C,L1

*

e

*

si entonces la hipérbola es equilátera: e 2 Distancia entre las rectas directrices

*

c

b

2

1

2

y V2 a,0

2

2

* *

b ae

2

y

* F1 c,0 y V2 c,0 Ecuación de sus Directrices

2

*

2

a c

x

Hipérbola de Centro el Origen y Eje

a e

d C,L 2

Y

Focal el Eje “Y”.

c 1 a a b,

F2 P(x,y) V2

C

2

L1L2

2a c

V1

Relaciones Fundamentales

F1

B1 

2b

F1 



V1



V2



F2

Cuya ecuación es: y



a 

B2 2a 2C

2 2

x b

Donde: V1 0, a

y V2 0,a

F1 0, c

y F2 0,c

202

2 2

1

X



Hipérbola de Centro el Punto C(h, k)

Ecuación de sus Directrices

y Eje Focal paralelo al Eje “Y”.

2

a c

y

Y

Y´

Hipérbola de centro el punto C h,k y Eje Focal Paralelo el Eje “X” Y

F2 P(x,y)

Y´

V2

P(x,y)

C

F1

V1

C V2

F2

X´

V1

X´

F1

X

Cuya ecuación es: x h a

X

2

y k

2

b

2

Cuya ecuación es:

1

2

y k

Dónde: * C h,k : centro y' y h * x' x h * V1 h a,k y V2 h a,k *

F1 h c,k

*

2b Lado recto: a

a

2

Excentricidad: e

*

Asíntotas: y k

b

1

*

2b Lado recto: a

b x h a

*

Excentricidad: e

*

Asíntotas: y k

* *

Eje Focal: x h Eje conjugado: y k

c a

2

1

2

F1 h,k

2

h

2

*

* Eje Focal: y k * Eje conjugado: x h Ecuación de sus Directrices x

x h

Donde: * C h,k : centro y' y h * x' x h * V1 h,k a y V2 h,k a

y F2 h c,k

*

2

a c

Las coordenadas del punto P, pueden

c

y F2 h,k

c

2

c a

1

a x h b

Ecuación de sus Directrices

tomarse con referencia a los ejes X’Y’

para facilidad de cálculo.

203

2

y

k

a c



Asíntotas de una Hipérbola Se denominan asíntotas a las rectas que limitan a la curva y no la intersecan, son las que le dan el carácter de simétrica a la hipérbola. x a

2 2

y b

2

P= a,b

1

2

L2

R

a,b

Hipérbola Horizontal a

B1

V1

V2

2

2

a

y

2

bx a

L2 : y

a

2 2

x b

2 2

P= a,b

1 Y

R

2 2

b x

a,b

L2

ax b

2 2

B1

L2 : y

2 2

a y

a b

bx ay

bx ay

0

0 ó

bx ay

0

c) Las asíntotas de una hipérbola sirven como líneas de guía en el gráfico

X

V1

L1 : y

2

Luego:

V2

B2

0

2

ax b

y

bx ay

L1 R

2

b) Las asíntotas de las hipérbolas en su forma canónica son conjugadas. Es decir, si la ecuación de la hipérbola es:

2do. Hipérbola Vertical: y

b

2 2

a x b

bx a

2

x

Despejando:

B2

L1 : y

bx a

Hipérbola Vertical



X

0

2

y

y 

b

2

2 2

b x

2

*

R

2

y

Despejando: y

L1

2

x

a

Y R

*

ax b

Observaciones: a) Las asíntotas de cualquier hipérbola horizontal o vertical pueden obtenerse igualando a cero el segundo miembro de la ecuación correspondiente y despejando y F x .

Hipérbola Rectangular o Equilátera Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas son perpendiculares a b Las cuatro formas son: 1. x 2 y 2 a 2 2. y 2 x 2 3. x h

2

4. y k

2

204

a

2

y k x h

2 2

a

2

a

2



Observaciones: a) La excentricidad de una hipérbola equilátera es constante e igual a 2 . c a

e

a

2

a

2

a

2

2a a

Lado recto

*

Si: t 0 , la ecuación representa una hipérbola con eje real

Tangentes a una Hipérbola 1er. Caso: Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2 b x a y a b , en un punto cualquiera P1 x1, y1 de la curva es: 2

y d2

2

x1

2 x1

y1

d1 d2

2

2

a 2

El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a sus asíntotas, es constante. Ecuación General de la Hipérbola 2

By

2

Cx Dy E

0

Reduciendo a la forma ordinaria C x 2A t A

2

D y 2B t B

2 2

a b

2do Caso:

2 2 y1

2

L T : b xx1 a yy1

Dónde:

Ax

Si: t 0 , la ecuación representa dos rectas concurrentes

coincidente o paralelo al eje “y”.

Entonces: y1

2

*

2b

de la hipérbola: x 2 y 2 a 2 y d1 , d2 son las distancias del punto P1 a las asíntotas: L1 : x y=0 y L 2 : x+y=0 x1

B y

D 2B

coincidente o paralelo al eje “X”.

2

c) Si P1 x1, y1 es un punto cualquiera

d1

A x

2

Observación: * Si t 0 , la ecuación representa una hipérbola con eje real o transverso

2a

También: 2b b

t

C 2A

2

b) La longitud de cada lado recto de una hipérbola equilátera es igual a la longitud del eje transverso o conjugado. Lado recto

Donde:

Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2 b y a x a b ; en un punto cualquier P1 x1, y1 de la curva es: 2

2

L T : b yy1 a xx1

2 2

a b

3er Caso: Las ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:

2

2 2

1

b x

son: 205

2 2

a y

2 2

a b , de pendiente “m”


LT : y

mx

a

2


2

b m

Luego:

2

2

L : y

a b

m

b x 2

a m

Donde “m” pendiente de las cuerdas

Cuerda de Contacto

paralelas

L1

Y

2do caso: M

Consideremos la Hipérbola: 2 2

H: b y



O

F2

P1

2 2

2 2

a x

a b

X

La ecuación de un diámetro será: 2

N

a x

Luego: L : y

2

b m

L2

Si la hipérbola es de ecuación: 2 2

H: b x

2 2

a y

Diámetros Conjugados en la Hipérbola

2 2

a b

La ecuación de la cuerda de contacto MN es: 2

2

L : b xx1 a yy1

Si se tiene la hipérbola de ecuación: 2 2

H : b x

2 2

2 2

a y

a b

La ecuación del diámetro que biseca a

2 2

a b

las cuerdas de pendiente “m” es: 2

Ecuación del Diámetro de una Hipérbola

b x

L T : y

2

a m

La ecuación de su conjugada es:

1er. Caso

y

Consideremos la Hipérbola: 2 2

H: b x

2 2

a y

mx

2 2

a b

Pendiente de L T :

“P” biseca a P1P2 Y

m1

P1 

2

2

a m

m m1

b a

Para que los diámetros conjugados se debe cumplir:



O

b

X

m1 m

L P2

206

a b

2 2

2 2

sean



Coordenadas Polares La ubicación de un punto A en el plano, con respecto a un punto fi jo “O” se puede hallar también midiendo una distancia orientada bajo un ángulo. A esta forma de ubicar puntos se

P(r, θ)

P(x,y)

r

denomina “coordenada polar de un punto”.

X

O

Cambio de Sistema de Coordenadas cartesianas a Polares y Viceversa

A(dis tancia,ángulo) r

Aplicando relaciones trigonométricas obtenemos: O

eje polar

X

y r x r

sen cos

Coordenadas Polares de un Punto Consideremos sobre un plano, un rayo (OX) con origen en el punto O. denominado eje polar; el punto O se denomina polo. Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares de un Punto

rsen

… (I)

x

r cos

… (II)

Que son las ecuaciones de transformación de un sistema a otro. Elevando al cuadrado las expresiones (I) y (II), luego sumando: x x

Para transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje positivo de las abscisas o de las x, como se ve en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P, cualquiera. Las coordenadas en ambos sistemas del punto P son: P (x, y) y P (r, )

y

2 2

y y

2 2

2

2

2

2

r cos

r (cos

Pero: cos2 Por lo cual: r

2

x

2

y

2

sen r

2

r sen sen 2

2

2

)

1 x

2

y

2

… (III)

Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa.

207



Ejemplo 1: Dada la ecuación de la circunferencia: x

2

y

2

16

Hallar su ecuación en coordenadas polares. Solución: Reemplazando por sus equivalentes 2

2

2

2

r cos

r (cos r

2

2

r sen sen

2

2

)

r

16

16 16 4

Ejemplo 2: Hallar la ecuación en coordenadas polares de la relación: 2 2

x y

x

4

2

4x y

Solución: Reemplazando por sus equivalentes 2

r cos 4

2

r cos

2

2

r sen

(sen

r( cos 2 )

2

4

r cos

2

cos

2

4

)

2

4r cos 2

4r cos

2

2

rsen

rsen

4sen

r cos2

4sen

0

208

Geometría Analítica

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