GEOMETRÍA ANALITICA

Plan 2009

Matemácas III Geometría y Trigonometría

José Alfredo Juárez Duarte Arturo Ylé Martínez Armando Flórez Arco

UAS/DGEP

Matemáticas III

Geometría y trigonometría Plan �� José Aledo Juárez Duarte Arturo Ylé Martínez Armando Flórez Arco

Primera edición, mayo de �� Segundad edición, agosto de �� Diseño de portada e interior: José Alfredo Juárez Duarte y Leticia Sánchez Lara Editorial: Servicios Once íos Editores ío Usumacinta �� Colonia Industrial Bravo Culiacán, Sin. Tel-fax: ��-�� Edición con fines académicos, no lucrativa. Tiraje �� ejemplares Impreso en México Printed in Mexico

A mi querido nieto de seis años, José Aledo Juárez Valdespino, a quien para poder vivir, el destino le ha impuesto desde el �� de mayo del presente, pruebas muy diíciles que debe superar cada día, lo que hace estóicamente, convirtiéndose a su corta edad, en un ejemplo de vida para todos.

Contenido U�� ELACIONES ENTE ÁNGULOS. CONSTUCCIONES DE FIGURS GEOMÉTICAS BÁSICAS �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.�

Conceptos preliminares  � Estudio de segmentos  �� Medición de ángulos  �� Tipos de ángulos  �� La demostración en geometría. Axioma, postulado y teorema  �� Descubrimiento y prueba en ángulos (�)  �� Descubrimiento y prueba en ángulos (�): ángulos entre paralelas  �� Construcciones geométricas  �� U�� TIÁNGULOS: POPIEDADES Y CITEIOS DE CONGUENCIA

�.� �.� �.� �.�

Clasificación y construcción de triángulos  �� Propiedades de los triángulos (�): ángulos interiores  �� Propiedades de los triángulos (�): triángulos isósceles  �� Propiedades de los triángulos (�): tercer ángulo, ángulos exteriores y desigualdad triangular  �� .� Triángulos congruentes: definición  �� .� Postulados o criterios de congruencia  �� .� Aplicaciones de los criterios de congruencia: partes correspondientes de triángulos congruentes  �� U�� SEMEJANZA DE TIÁNGULOS Y TEOEMA DE PITÁGORS �.� �.� �.� �.� �.� �.�

azones y proporciones  �� Definición de triángulos semejantes  �� Postulados o criterios de semejanza  �� Medición indirecta con triángulos semejantes  �� Teorema de Tales  �� Triángulos rectángulos: medias proporcionales y teorema de Pitágoras  ��

VIII

matemáticas iii

geometría y trigonometría

•

U�� POLÍGONOS Y CICUNFEENCIA �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.�� .��

Polígonos  �� Cuadriláteros especiales  �� Propiedades de los polígonos: ángulos interiores y exteriores  �� Propiedades de los paralelogramos  �� Propiedades de los paralelogramos especiales  �� Propiedades de los trapecios  �� Circunferencia y círculo. Ángulos asociados a una circunferencia  �� Propiedades de ángulos en una circunferencia  �� Propiedades de rectas y segmentos en una circunferencia  �� Área de paralelogramos, triángulos y trapecios  �� Área y perímetro: polígonos regulares, circunferencia y círculo  �� U�� TIGONOMETÍA: APLICACIONES DE TIÁNGULOS ECTÁNGULOS

�.� �.� �.� �.�

azones trigonométricas  �� azones trigonométricas de triángulos especiales  �� Determinación de razones trigonométricas y ángulos mediante calculadora  �� elaciones entre las razones trigonométricas: ángulos complementarios y razones recíprocas  �� .� esolución de triángulos rectángulos  �� .� Aplicaciones de la trigonometría  �� U�� FUNCIONES TIGONOMÉTICAS: APLICACIONES DE TIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.� �.�

Ángulos de rotación  �� adianes  �� Definición general de las funciones trigonométricas  �� Funciones trigonométricas de ángulos mayores que ��° y negativos. educción de ángulos  �� Ecuaciones trigonométricas sencillas  �� Gráficas de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente  �� Identidades trigonométricas fundamentales  �� Identidades trigonométricas de suma de dos ángulos  �� Ley de senos y Ley de cosenos  ��

BIBLIOGRFÍA  ��

IX

IX

Presentación Estimado (a) profesor (a), Estimado (a) estudiante:

L

es presentamos la segunda edición del libro Matemáticas III , destinado a estudiantes del tercer semestre de Bachillerato de la Universidad Autónoma de Sinaloa. Matemáticas III, es la asignatura en la que se estudia la geometría y la trigonometría. Con este estudio, se promueve que el estudiante analice las características y propiedades de las figuras geométricas planas, que le permitan plantear y resolver problemas que tienen que ver con la cuantificación de magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Además, debido a su naturaleza, la geometría es un magnífico recurso para el desarrollo de la creatividad, el pensamiento lógico inductivo y deductivo, el razonamiento crítico y la capacidad de comunicar, argumentar y estructurar mejor ideas. Asimismo, la geometría como modelo de disciplina organizada lógicamente, ofrece la oportunidad de explorar en la medida de lo posible, la estructura formal de las matemáticas. Por lo anterior, Matemáticas III favorece específicamente el desarrollo de las siguientes competencias disciplinares básicas: •

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•

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Competencia 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Competencia 2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Competencia 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información. Competencia 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Competencia 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

En cuanto a las competencias genéricas, Matemáticas III promueve principalmente, el desarrollo de aquellas competencias relacionadas con las categorías “ se expresa X

matemáticas iii


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y comunica (competencia �)” y “ piensa crítica y reflexivamente (competencias � y �)”, las cuales permiten expresar ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas, así como resolver problemas de una manera crítica y reflexiva. Además, la gran rele vancia que tiene el usar estrategias basadas en el trabajo colaborativo, permite incidir en el desarrollo de la competencia que a la letra dice: “ participa y colabora de manera eectiva en equipos diversos (competencia �) ”. Para el logro de estos objetivos, esta nueva edición, al igual que la primera, enfatiza en la participación activa del estudiante, para que descubra los conceptos y propiedades de los objetos geométricos, observando, midiendo, imaginando, haciendo conjeturas, generalizando, deduciendo y justificando la validez de propiedades, procedimentos y resultados. Para tal fin, se presentan actividades que estimulan la experimentación, el planteamiento de conjeturas y la búsqueda de explicaciones. De esta manera, se busca cambiar una enseñanza focalizada en transmisión pasiva de información a través de clases meramente expositivas y práctica memorística, hacia una enseñanza que ocupe más a los estudiantes a través de discusiones, aprendizaje cooperativo y actividades prácticas. Concientes de que para lograr cabalmente estos objetivos, resulta de mucha ayuda el uso de tecnología, un cambio importante en esta edición consiste en la incorporación de instrucciones para empezar a utilizar el sofware libre denominado Geogebra. Al igual que en la primera edición, en el acercamiento que proponemos al razonamiento deductivo, se toman en cuenta las dificultades que encuentran los estudiantes cuando se enfrentan a demostraciones, también los problemas y desafíos a los que se enfrentan los profesores cuando quieren situar las demostraciones como una cuestión central en las clases de geometría. Es verdaderamente complicado lograr que los estudiantes sientan la necesidad de hacer una demostración. Ésto, básicamente se debe a que se necesita una cultura de la argumentación que permee durante todos los ciclos escolares, y que no se limite a la clase de geometría. Para avanzar en esta cuestión, la apuesta de este libro, es involucrar al estudiante (previo a toda demostración deductiva), en el proceso de razonamiento inductivo mediante el ciclo investigativo de experimentar, observar, analizar y plantear hipótesis o conjeturas. Todo esto, con la ayuda de tecnología, específicamente con el sofware Geogebra. Debemos evitar al máximo, empezar enunciando la propiedad a estudiar, para dar la oportunidad de que el estudiante la descubra inductivamente, y hacerlo conciente, de que en matemáticas, esta prueba no basta, puesto que las matemáticas sostienen su poder y autoridad en el razonamiento deductivo como único método válido para explicar y obtener conclusiones. Atendiendo sugerencias de algunos profesores, en esta edición se reescribió el tratamiento dado a las demostraciones, destacando cada una de las partes de ellas, y presentándolas a dos columnas y para evitar dar la idea de que basta aprender de memoria este proceso de escribir las demostraciones, recomendamos que previo a esta presentación, se describa lo más ampliamente posible, la red de conexiones entre conceptos y propiedades implicados. XI

XI

XII

juárez │ ylé │ flórez

presentación

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Otro cambio importante se presenta en la unidad de “Polígonos y circunferencia”, consistente en usar la tecnología para explorar las propiedades de tales figuras. Esta es una unidad de aprendizaje clave para consolidar el razonamiento geométrico tanto inductivo como deductivo. Las facilidades que proporciona el sofware Geogebra, para explorar objetos geométricos, nos permite promover el desarrollo del razonamiento inductivo, mientras que la formalización de las conjeturas obtenidas, permite integrar muchas definiciones, postulados y teoremas ya vistos en las unidades anteriores. En este escenario, mención especial merece la aplicación de los postulados de congruencia de triángulos, los cuales podrán consolidarse al aplicarlos en esta unidad. En trigonometría, al asumir que cada estudiante cuenta con una calculadora científica, se ha omitido el uso de fórmulas de reducción para funciones trigonométricas de ángulos mayores que ��° o negativos. Sin embargo, siguen siendo motivo de aprendizaje los conceptos subyacentes a estas cuestiones. Básicamente, esto es relevante, en aquellos casos en donde la calculadora sólo presenta un valor como solución, o lo que sucede con los valores negativos del seno y tangente, cuya solución requiere de una interpretación. Por ejemplo, si tan x = - �, la calculadora proporciona como solución x = - ��°. En el caso de las identidades trigonométricas de suma de ángulos, se siguen valorando como conocimiento indispensable para cursos más avanzados, de tal forma que sólo interesa que el alumno conozca cómo se obtienen, y la única aplicación que se exige, es la que se refiere a la obtención de identidades para ángulos dobles y ángulos mitad. Con respecto a la evaluación, y ante la necesidad de que cada unidad de aprendizaje que acrediten los alumnos, ha de tener como complemento las respectivas anotaciones de los avances que el estudiante ha tenido en el desarrollo de las denominadas competencias genéricas, al final de cada unidad, se han incluido algunos instrumentos de evaluación. Éstos se presentan como autoevaluación, pero cada profesor puede asumirlos como instrumentos tanto para la evaluación que el debe realizar, como para que promueva la coevaluación. Cabe aclarar, que el orden en que aparecen estos instrumentos podría variar (a excepción de lo que corresponde a competencias disciplinares). Debemos destacar, que en esta era de reforma, el aprendizaje de contenidos de ninguna manera es un asunto secundario, por lo que, para atender el principio clave del aprendizaje de que los estudiantes deben saber cuál es el objetivo de aprendizaje que deben aprender, hemos incluido al inicio de cada unidad de aprendizaje, indicadores de desempeño, con el objetivo adicional, de orientar al docente en su trabajo, así como a los alumnos en su autoevaluación. Todas estas ideas deben verse como un primer aporte en aras de ir avanzado en la complejidad que implica el concretar un plan de evaluación según los nuevos estándares planteados en la reforma actual. Esperamos que sirvan para que cada profesor innove y comparta en este sentido. En relación al uso del libro en el salón de clase, reiteramos que un libro de texto, es un instrumento de enseñanza para el profesor y un instrumento de aprendizaje para el alumno. El libro de texto debe estar diseñado de tal manera que fomente el trabajo XII

matemáticas iii

geometría y trigonometría XIII

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independiente de los estudiantes. Este fue un principio que orientó el presente tra bajo. Holmes plantea que “la peor manera de enseñar es hablar, y la mejor manera de aprender es hacer ”. En esta idea, debemos tener muy en cuenta que: “en el proceso docente-educativo el proesor debe enseñar lo esencial, lo undamental. Explicar aquellos aspectos básicos de los cuales se pueden deducir todo un conjunto de elementos derivados, secundarios que no deben, por lo general ser explicados, para que los alumnos, los desarrollen de manera independiente. A la exposición inicial se le debe dedicar el mínimo imprescindible del tiem po y a la independencia escolar el máximo. Todo el contenido no debe ser expuesto por el docente, sólo lo esencial, lo que posibilite que el alumno trabaje y orme la habilidad ”. Bajo esta concepción, el libro está basado en el desarrollo de actividades de aprendizaje con una estructura de andamiaje para que el alumno las realice de manera independiente, con ayuda esporádica del docente. Esta metodología, aporta al logro de una competencia muy valorada en la reforma, que tiene que ver con la categoría “aprende de orma autónoma”, y que tiene el siguiente enunciado: “ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida (competencia �)”. En esta era de la información, todo libro nuevo es producto de muchos otros. Cada uno de los libros o materiales citados en la bibliografía, aportaron algo al presente trabajo, desde una idea vaga, hasta una propuesta que sólo requirió un ajuste. Queremos agradecer a todos los profesores que durante algún ciclo de estos últimos cinco años utilizaron la primera edición de este libro. Mención especial merecen por sus comentarios, sugerencias y revisión crítica, nuestros compañeros profesores Héctor Benjamín Jacobo Cabanillas, Carlos Jorge Cossío, Sandra Luz Navarrete Sarabia, Guillermo Ávila García, amón Chávez Valenzuela, odolfo omero López, Francisco Milán Carrillo y Armando Niebla. Finalmente, les deseamos a todos los estudiantes y profesores muchos éxitos en el estudio y esperamos que este libro les apoye en este propósito común. Asimismo, agradecemos de antemano, los comentarios, sugerencias y críticas que tengan a bien hacernos llegar a la dirección: [email protected]. ATENTAMENTE Culiacán Rosales, Sinaloa, julio de ��. ��

XIII

Relaciones entre ángulos. Construcción de figuras geométricas básicas a

- a ° 1 8 0

α

o 3 1

Competencia de unidad

Analiza las características y propiedades de segmentos y ángulos, iniciándose en la argumentación geométrica, y aplica dicho conocimiento en la construcción de figuras geométricas básicas y en la solución de problemas.

Competencias disciplinares a desarrollar

Indicadores de desempeño •

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•

•

•

•

�. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o ormales. �. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la inormación y el conocimiento. �. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean. �. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

R ealiza construcciones geométricas básicas. Aplica la propiedad aditiva de segmentos y ángulos dibu jando diagramas como técnica para resolver problemas. Realiza conversiones en el sistema sexagesimal (de grados a minutos y segundos y viceversa). Realiza demostraciones deductivas de manera inormal, relativas a los ángulos opuestos por el vértice, y a ángulos ormados por dos rectas paralelas y una transversal. Aplica las propiedades de los ángulos adyacentes, opuestos por el vértice y los ormados por rectas paralelas y una transversal, para determinar las medidas de ángulos. Resuelve problemas de su entorno utlizando las propiedades de ángulos.

Acvidad preliminar Acvidad preliminar ¿Porqué es importante estudiar esta unidad” ¿Por qué es importante estudiar esta unidad? a) El siguiente enunciado que describe al planeta Tierra, aparece en un libro de Geograía de Primaria (la inormación relativa a segmentos, ue un agregado nuestro). Léelo con atención. La Tierra iene orma aproximada de una esera. Los punos polares son punos de inersección de una reca que pasa por el cenro de la esera con la esera misma. Dicha reca se llama eje de la Tierra. El segmeno que une los punos polares es un diámero de la Tierra y iene una longiud de �� km. El puno medio del diámero, es el cenro de la Tierra. La Tierra realiza el movimieno de roación que dura �� horas y se da cuando el planea gira sobre su propio eje, en dirección oese a ese. El eje erresre no es perpendicular a la órbia erresre, iene un ángulo de inclinación de ��°��’ con respeco a la perpendicular del plano orbial. 2

o 3 1

I

G

Competencias genéricas a desarrollar

�.� Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representación simbólica. �.� Maneja las tecnologías de la inormación y la comunicación para obtener inormación y expresar ideas, de manera responsable y respetuosa. E �.� Utiliza las tecnologías de la inormación y comunicación para procesar e interpretar A inormación. �.� Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. �.� Elabora conclusiones y ormula nuevas interrogantes, a partir de retomar evidencias D teóricas y empíricas. �.� Evalua argumentos y opiniones e identifica prejuicios y alacias. �.� Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. �.� Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. �.� Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

C B H

F

1

unidad

En el texto anterior, se han utilizado términos geométricos para describir una situación del mundo real. En palabras de Galileo: « El mundo esá escrio en lengua maemáica; sus caraceres son riángulos, círculos y oras figuras geoméricas; sin esos caraceres (o signos) es humanamene imposible enender una palabra... El mundo, ¡un libro! ; sus leras, ¡números! ; sus signos, ¡ figuras geoméricas! En la primera unidad de este curso, recordarás los conceptos geométricos básicos, muchos de los cuales ya estudiaste en cursos anteriores. Con tus conocimientos previos resuelve la actividad �.

Acvidad  En equipo realiza lo siguiente: a) Muestra la inormación sobre nuestro planeta proporcionada arriba mediante un dibujo.

b) Investiga en libros de matemáticas de primaria, y secundaria, el significado de al menos die z conceptos geométricos. Deberás reportar figuras y ejemplos.

c) Investiga la importancia que tiene la geometría en la arquitectura y en el arte en general.

3

relaciones entre ángulos. construcción de figuras...

4

unidad i

•

¿Qué tanto recuerdas de lo que estudiarás en esta unidad? Utiliza tus conocimientos previos para resolver el siguiente crucigrama, de ser necesario consulta el material de esta unidad y revisa tus respuestas. � � �

�

�

� �

�

� ��

��

Horizontales

Vercales

�. Rectas que por más que se prolongan nunca se cruzan. �. Par de ángulos cuya suma de medidas es ��°. �. Puntos que se encuentran sobre la misma recta. ��. Ángulo que mide menos de ��°. ��. Ángulo que mide ��°. ��. Ángulo que mide ��°. ��. Razonamiento que consiste en observar datos, reconocer patrones y hacer generalizaciones basadas en esos patrones. ��. Rectas que al cruzarse orman ángulos iguales. ��. Par de ángulos que tienen un lado común que los separa y los otros dos lados en una misma recta.

�. Par de ángulos internos no adyacentes colocados en distintos lados de una transversal. �. Recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él. �. Punto que divide a un segmento en dos segmentos iguales. �. Ángulos que mide más de ��° y menos de ��°. �. Rayo que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. �. Dados dos puntos, sólo pasa una. �. Ángulos que tienen la misma medida. ��. Razonamiento que consiste en mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados lógicos de hechos aceptados.

matemáticas iii

.


•

5

Conceptos preliminares

En esta lección recordarás algunos conceptos geométricos que constituyen las bases para la construcción de todos el lenguaje geométrico. Punto. El concepto de punto es diícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la marca más pequeña que se puede dibujar.

Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un círculo pequeño, una cruz o por una raya como se muestra en las siguientes figuras. A B Punto A

Punto B

C Punto C

El punto, como objeto o figura geométrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa para indicar una posición en el espacio. Aceptando la idea anterior de punto, se plantea la siguiente definición:

Figura geométrica, es un conjunto de puntos

Acvidad  Observa a tu alrededor e identifica seis figuras geométricas. Dibuja éstas figuras y al trazar los dibujos, imagínalas ormadas por conjuntos de puntos. A continuación recordaremos los significados de algunas figuras geométricas básicas. Línea. La línea está constituida por una sucesión continua de puntos. Nos la podemos imaginar como el trazo más delgado que se puede dibujar. Recta. Por dos puntos pasan cualquier número de líneas, pero únicamente una línea recta pasa por ellos. En la siguiente figura, por A y B pasan las líneas q , r y s. La línea q es una línea recta. En lo sucesivo, para reerirnos a una línea recta, simplemente le llamaremos recta. Una recta es unidimensional.

B

r A q

s


6

unidad i

•

Otras experiencias que sugieren la idea de recta pueden ser un hilo tirante, el borde de una regla, etcétera. Para simbolizar a una recta, se utiliza una letra minúscula (como la letra q), o bien, dos puntos de ella como se muestra a continuación: En palabras En símbolos m AB Recta AB B Recta BA BA Recta m m A Debes tener presente las siguientes propiedades de las rectas: •

•

Se considera que las recas son ilimiadas por ambos exremos, y que no ienen espesor. La caracerísica de ser ilimiada por ambos exremos se puede indicar marcando flechas en cada exremo. Se considera que dos punos deerminan una y sólo una reca que coniene a dichos punos.

Plano. Un plano, es una figura llana, lisa, sin grosor. Un plano, suele ser evocado por una hoja de papel apoyada sobre una mesa, la propia superficie de una mesa, el pizarrón, etcétera. Un plano es bidimensional. Espacio. Se considera el espacio como el con junto de todos los puntos. Cualquier subconjunto de puntos del espacio se considera como una figura geométrica.

alura

Sólido. Un sólido es un espacio limitado cualquiera. Tiene tres dimensiones: longitud, ancho y altura. Un sólido es tridimensional.

ancho longiud

Un segmento de recta AB , es una parte de recta determinada por los puntos A y B y el conjunto de todos los puntos entre A y B. Los puntos A y B se llaman extremos del segmento. Para simbolizar a un segmento, se utilizan sus dos puntos extremos y una raya en la parte superior. B A

En palabras Segmento AB Segmento BA

En símbolos AB BA

Puede observarse que AB y BA representan el mismo segmento de recta.

matemáticas iii


•

Observación. Si A , B y C son puntos de la recta ℓ, como se muestra en la figura siguiente, se dice que el punto B está entre los puntos A y C. Asimismo, el punto D no está entre los puntos A y C.

7

D

A B

C l

Una semirrecta o rayo , es una parte de una recta que comienza en un punto y se extiende infinitamente en una dirección.

Una semirrecta se designa con dos letras y una flecha en la parte superior. La primera letra es el extremo y la segunda letra es cualquier otro punto sobre la semirrecta. Así que la semirrecta AB , abreviada AB , es la parte de la recta AB que contiene el punto A y todos los puntos sobre AB que estén del mismo lado del punto B. B

En palabras Rayo o semirrecta AB

A

En símbolos AB

Ángulo es una figura ormada por dos rayos o semirrectas con un origen común. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo. El origen común se llama vértice del ángulo. En la figura, el punto B es el vértice del ángulo; los lados son BA y BC.

A

B

C

Una orma de simbolizar un ángulo, consiste en utilizar tres letras mayúsculas, de las cuales la del vértice va enmedio de las otras dos, que se colocan sobre los lados del ángulo. Así, el ángulo de la figura anterior, se puede nom brar ángulo ABC. En símbolos ∠ ABC o ∠ CBA.

En palabras Ángulo ABC Ángulo CBA

En símbolos ∠ ABC ∠ CBA

Otras ormas de denotar ángulos, serán estudiadas más adelante. Para ayudarte a entender la siguiente definición, observa cada una de las siguientes figuras y la inormación que se presenta. C C

C

B A A , B y C son puntos colineales.

B A A , B y C no son puntos colineales.

A

B

A , B y C son puntos colineales, según la recta imaginaria de trazos discontinuos.


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unidad i

•

Puntos colineales son puntos que están en la misma recta.

Ahora, observa las siguientes figuras y la inormación que se presenta.

C B

A A

B

D

A B

C A , B y C son puntos coplanares. A , B , C y D son no coplanares.

D

G E

A y B son puntos coplanares según el plano imaginario de trazos discontínuos.

H F

A , B , E y F son puntos coplanares A , B y H son puntos coplanares.

Puntos coplanares son puntos que están en el mismo plano.

Acvidad  Dibuja cuatro rectas, de tal manera que sólo se crucen en un punto.

Dibuja cuatro rectas, de tal manera que no se crucen en ningún punto.

Dibuja cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o más de ellas sólo aparezcan tres puntos de cruce.

Dibuja las cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o más de ellas sólo aparezcan cuatro puntos de cruce.

Dibuja las cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o más de ellas sólo aparezcan cinco puntos de cruce.

Dibuja las cuatro rectas, de tal manera que al cruzarse dos o más de ellas sólo aparezcan seis puntos de cruce.

Trata de relacionar la actividad realizada, con las siguientes definiciones. Tres o más rectas en el mismo plano son concurrentes si tienen un punto en común (pasan por el mismo punto). Dos rectas son intersecantes si tienen un punto en común. Dos o más rectas en el mismo plano son paralelas , si nunca se intersectan.

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.


•

9

EJERCICIOS

�. Construye una lista de definiciones (un diccionario) en tu cuaderno. Cada vez que encuentres una nueva definición geométrica, añádala a tu lista. Ilustra cada definición con un dibujo. También usa I símbolos cuando así se requiera. G C �. Observa la figura de la derecha y completa el cuadro. Puntos A , E B Rectas A H Segmentos AD, D Rayos F Ángulos ∠ CDA , �. De acuerdo a la figura de la derecha, escribe: a) Conjuntos de tres puntos colineales. b) Conjuntos de tres puntos no colineales. c) Conjuntos de cuatro puntos entre los cuales no haya tres que sean colineales.

F D A

E B r

s

�. De acuerdo a la figura de la derecha, escribe: a) Tres pares de rectas intersecantes. b) Tres rectas concurrentes. c) Todos los pares de rectas paralelas.

D

E

F

t p

C B

A

q

B

�. En la figura de la derecha { B , C , H , E} es un conjunto de cuatro puntos coplanares. Nom bra otros dos conjuntos de cuatro puntos coplanares. ¿Cuántos conjuntos de cuatro puntos coplanares hay?

A

C D

F E

S

R

G H

M

�. Nombra el ángulo señalado en la figura. ¿Cuál es su vértice? ¿Cuáles son sus lados? �. En la figura anterior, localiza el ángulo SMR y remarca sus lados.

C

N

0


.

unidad i

•

Estudio de segmentos

Consideremos el segmento AB representado en el siguiente cuadro: A

B

A dierencia de la recta que se extiende indefinidamente, el segmento es una porción limitada por dos puntos. Por tanto, a cada segmento le podemos asignar una medida llamada longitud del segmento , que es la distancia existente entre sus puntos extremos. Recuerda que para reerirnos al segmento AB , escribimos AB. Para reerirnos a la medida o longitud de AB , escribimos AB (sin la barra superior). A

Por ejemplo, si AB mide tres unidades, escribimos AB = �

B

Si en el segmento AB , localizamos el punto C entre A y B , podemos establecer la propiedad aditiva del segmento que consiste en sumar las longitudes tal como se indica a continuación. A

C

La propiedads aditivia establece que: AB = AC + CB

B

Propiedad aditiva de segmentos. Si C está entre A y B , entonces AB = AC + CB. Se dice que dos segmentos son congruentes cuando sus longitudes son iguales. El signo para la congruencia es ≅. Es importante recordar que el signo de igualdad es =, se usa entre números o medidas iguales, mientras que el signo de congruencia, se usa entre figuras congruentes. Sin embargo, es muy recuente llamar segmentos iguales a los segmentos congruentes. En los dibujos geométricos, las partes congruentes se señalan con marcas idénticos. En la figura siguiente AB es congruente con DC. Puedes indicar que estos segmentos tienen las mismas longitudes en cualesquiera de las siguientes ormas: AB ≅ DC, AB = DC. B

C El segmento AB es congruente con el segmento DC (en símbolos: AB ≅ DC,)

A

D

El punto medio de un segmento es un punto que divide el segmento en dos segmentos congruentes. El punto medio o cualquier recta que pase por él, se dice que biseca o bisecta al segmento.

matemáticas iii


•



Las marcas iguales indican que los segmentos AC y CB , son congruentes.

A

C

B

Si C es punto medio de AB, entonces AC = CB.

Punto medio Utilizaremos la definición de punto medio, para recordar el significado de una proposición si-enonces. Una proposición lógica, es una oración que afirma o niega algo de alguna cosa; en consecuencia puede ser calificada de alsa o verdadera. Para demostrar que una proposición es alsa, puede citarse un contraejemplo. Un contraejemplo, es un ejemplo que no cumple con lo indicado. Si una proposición es verdadera, nunca se encontrará un contraejemplo. Por ejemplo la siguiente proposición no admite contraejemplos: «Si dos recas se inersecan, enonces esas dos recas no son paralelas». En cambio, la proposición : «Si res recas son concurrenes, enonces las recas son paralelas» , se puede demostrar que es alsa presentando tres rectas concurrentes y que por lo tanto no son paralelas. Contraejemplo: La figura muestra tres rectas que son concurrentes y no son paraleas.

Una proposición si-entonces es una proposición de la orma « si p, enonces q», donde p y q son proposiciones simples. A p se le llama hipótesis , y q es la conclusión. El símbolo p → q (léase « p implica q»), se usa para representar una proposición si-enonces. Muchas definiciones geométricas describen proposiciones si-enonces.

Lee con atención:

Cuando se invierten las partes «si» y «enonces» de una proposición «Si - enonces» , se obtiene el inverso de la proposición. Ejemplo

A

C

B

proposición si - enonces: Si C es punto medio de AB , entonces AC = CB. inverso de la proposición si - enonces: Si AC = CB , entonces C es punto medio de AB




unidad i

•

Acvidad  a) Haz un dibujo para indicar el siguiente hecho: « El puno M, es puno medio del segmeno PQ». B

b) Con la inormación del inciso anterior completa la siguiente proposición: Si M es puno medio de PQ, enonces_______________. C

c) En la figura, si C es punto medio del segmento AB , AC = �a + � y CB = ��a –�, encuentra el valor de AB. A

.

EJERCICIOS

�. Agrega a tu diccionario los términos de esta lección, que consideres más relevantes. Para los ejercicios �-�, completa cada oración. Considera que PS = � cm. �. El punto medio de PQ es _______________. P

�. NQ =________.

Q

N

S

�. Otro nombre para NS es __________. �. S es el __________________de SQ . �. P es punto medio de _______________. N

�. NS ≅ ________.

� cm K

�. Otro nombre para NS es _______. �. Con base en la figura de la derecha, nombra todos los pares de segmentos congruentes. Usa el símbolo de congruencia para escribir tus respuestas.

O

M � cm

L

��. Utiliza la figura de la derecha y los datos de cada inciso parea calcular x y la medida de TU. a) TU = �x , UB = �x + 1, TB = 21 L U B b) TU = 4x –1, UB = 2x –1, TB = 5x ��. En el siguiente segmento, M es punto medio de DB y DB = BC. Encuentra la longitud de DC si MB es igual a �. D

M

B

��. Si P es punto medio del AB , hallar el valor de x si AB = �� y PB = �x + ��.

C

matemáticas iii

.


•



Medición de ángulos

Como hemos señalado, el ángulo es la figura geométrica que resulta de la unión de dos rayos con un extremo común. Los rayos se denominan lados , y el extremo común, vérice. En la siguiente figura, los lados del ángulo son BA y BC , y el vértice es el punto B. A B

C

Recordemos que este ángulo lo denotamos como ∠ ABC o ∠CBA. Sin embargo, en algunas ocasiones será conveniente denotar ángulos de cualesquiera de las dos maneras siguientes: �) Con la letra del vértice si hay un sólo ángulo que tenga este vértice. Así, el ángulo de la figura anterior, se nombraría ángulo B. (En símbolos: ∠ B). �) Mediante una letra minúscula o un número que se escribe entre los lados del ángulo en las proximidades del vértice. Así, el ángulo de la figura de la derecha se denominaría ángulo � . (En símbolos ∠�).

�

Para nombrar ángulos, con recuencia se usan las letras del alabeto griego. Recordemos algunas de estas letras: α: ala β: beta γ: gamma δ: delta θ: theta ε: épsilon α La medida de un ángulo depende de la extensión del plano que debe barrer uno de los lados del ángulo, cuando se le hace girar alrededor del vértice hasta alcanzar la posición del otro lado. El tamaño de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. Como unidad de medida habitual se usa el grado (º). Un ángulo de una vuelta contiene ��°. (Ver la figura de la derecha). Por tanto, un grado es un ángulo que es � �� del ángulo de una vuelta. Este grado, se llama grado sexa gesimal.

360°

1°

Para representar ángulos menores que �º se utilizan unidades más pequeñas como son el minuto ( ʹ ) y el segundo ( ʹ ʹ ) �º = �� minutos = �� ʹ �ʹ = �� segundos = �� ʹ ʹ �° = �� ʹ ʹ




unidad i

•

Generalmente, cualquier ángulo se representa por aº bʹ cʹ ʹ, de tal manera que el número de minutos y segundos no sobrepase a ��, para tener una lectura única de cada ángulo. La notación �º �� ʹ ��ʹ ʹ significa � grados , �� minuos , �� segundos. Conversión de grados a minutos y segundos. ( ° ) × �� grados

mints. × �� (ʹ)

segs. (ʹʹ)

× �� Para convertir en sentido inverso, se divide. mints. ÷ �� (ʹ)

(°) grados

segs. (ʹʹ)

mints. (ʹ)

÷ ��

Ejemplo 1

a. Expresa ��.�° en grados y minutos. b. Expresa ��° ��ʹ únicamente en grados. c. Expresa ��° �� ʹ�� ʹ ʹ únicamente en grados.

olución

a) ��.�º = ��º + �.�º b) ��º��ʹ = ��º + ��ʹ = ��º + (�.� × ��) ʹ = ��º + (�� ÷ ��)º = ��º + ��ʹ = ��º + �.��º = ��º ��ʹ = ��.��º

c) ��º �� ʹ40ʹ ʹ = �� º + �� ʹ + 40ʹ ʹ = ��º + �� ʹ + (�� ÷ ��) ʹ = ��º + �� ʹ +0.67ʹ = ��º + 20.67 ʹ = ��º + (20.67 ÷ 60)º = 15º + 0.34º = 15.34º

Para realizar la medición de ángulos se utiliza un ransporador. En este caso, debemos tener presente que la unidad de medida es el grado sexagesimal (º). C En la figura de la derecha, el transportador nos D B indica que el ∠ AOD mide ��°. A continuación se 120 90 60 muestran las dierentes maneras de describir la me150 dida del ángulo AOD de dicha figura. 30 �) ∠ AOD = ��º �) m∠ AOD = ��º �) ∠ AOD = ��º

180

E

O

0

A

Estrictamente, una cosa es el ángulo AOD cuyo sómbolo es ∠ AOD , y otra la medida del ángulo, para la cual previamente debe elegirse la unidad de medida. Por tanto, para indicar que la medida del ángulo AOB es ��°, debería usarse la notación m∠ AOD = ��º o ∠ AOD = ��º. Sin embargo, con recuencia también se escribe ∠ AOD = ��º

matemáticas iii




•

La siguiente figura nos muestra cómo medir los ángulos de un triángulo. Utiliza tu transportador y calcula la medida de ∠ A , ∠ B , ∠C. 1 8 0

1 5 0

C 120 90 150 180

0

60

3 0

30

A

06

9 0

1 2 0 1 2 0

1 5 0

9 0

1 8 0

6 0

0 3 0

B 0

Acvidad  Con base en la figura de la derecha, contesta correctamente:

∠ AOD = _____ ∠ DOC = _____ ∠ AOC = _____

B

∠ AOD = _____ ∠ DOB = _____ ∠ AOB = _____

C

D

120 90

60

150

30

180

0

O

E

¿Qué relación existe entre ∠ AOD, ∠ DOC y ∠ AOC ? ____________________ ¿Qué relación existe entre ∠ AOD, ∠ DOB y ∠ AOB ? ____________________ Debes encontrar que: ∠ AOC = ∠ AOD + ∠ DOC, y ∠ AOB = ∠ AOD + ∠ DOB

Este hecho, se llama propiedad aditiva del ángulo.

D C

Propiedad aditiva del ángulo. Si tres semirrectas AD, AC y AB tienen el vértice A en común, y el rayo AC está dentro del ángulo DAB, entonces el ángulo DAB es la suma de los ángulos DAC y CAB.

A

B ∠ DAB = ∠ DAC + ∠CAB

A




unidad i

•

Una vez discutido la medida de ángulos, podemos establecer el significado de congruencia de ángulos. Si la semirrecta AC, de la figura anterior pudiera moverse, en un momento dado dividiría al ángulo DAB, en dos ángulos congruentes. Se dice que dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma medida.

B

∠ A es congruente con ∠ B. En símbolos: ∠ A ≅ ∠ B.

36°

36° A

Observación: Estrictamente debemos hablar de ángulos congruentes y de medidas de ángulos iguales. Sin embargo, al igual que con los segmentos, usaremos como sinónimos ángulos iguales y ángulos congruentes. Por lo que, en la figura anterior, también se escribe: ∠ A = ∠ B.

Un rayo o semirrecta es la bisectriz de un ángulo si contiene el vértice y divide el ángulo en dos ángulos congruentes. También se dice, que la bisectriz biseca o biseca al ángulo. En la figura de la derecha, AC biseca al ∠ DAB , por lo que ∠ DAC ≅ ∠CAB . Se utilizan marcas idénticas para mostrar que dos ángulos son congruentes.

D C A

∠ DAC ≅ ∠CAB

B

Acvidad  a. Haz un dibujo y completa: Si PS es bisectriz de ∠QPR entonces _________________. b. Utiliza las siguientes figuras para contestar lo siguiente.

L

R

Q

M

S

60° 70° O

N

U

T

Busca las bisectrices de los ángulos y los ángulos congruentes en el diagrama de abajo. Identifica y nombra todas las bisectrices que aparecen. Para cada bisectriz, nombra el ángulo que biseca. Nombra todos las parejas de ángulos congruentes que aparecen. •

•

•

matemáticas iii


•



A partir de la definición de ángulos iguales o congruentes, definiremos rectas perpendiculares.

Acvidad  En el cuadro de la derecha, se han trazado dos rectas que al cruzarse orman dos ángulos que miden ��º y ��º. Ahora, en el cuadro deberás trazar dos rectas que al cruzarse orman dos ángulos que midan lo mismo.

��º

��º

¿Cuánto miden esos ángulos?______________________

Las rectas trazadas de esta manera, se llaman rectas perpendiculares. m

ℓ

Para indicar que la recta l es perpendicular a la recta m , escribimos: ℓ ⊥ m

Dos rectas son perpendiculares si al intersectarse orman ángulos iguales o congruentes.

Acvidad 8 a) Escribe la definición anterior como una proposición si-enonces.

b) Escribe la inversa de la proposición establecida en en el inciso anterior.

8


. �. �. �. �.

unidad i

•

EJERCICIOS

Ahora, repasa la lección �.� y asegúrate de anotar las nuevas definiciones en tu diccionario. Transorma �° a minutos. B � C ¿A cuántos grados y minutos equivalen ��.�°? Convierte a minutos y segundos �° . � A

Con la inormación de la figura de la derecha contesta los ejercicios de la � a la �. �. A es________________de ∠ BAE. �. AD es______________ de ∠ BAE. �. AD es ______________ de ∠ DAE. �. Si ∠ BAC = ��º, entonces ∠CAE = ____ �. ∠ DAB ≅ _____

D E

O

Para los ejercicios ��- ��, usa tu transportador para encontrar la medida de cada ángulo. Para una mejor lectura, puedes prolongar los lados de los ángulos. P ��. m∠ PRO ��. m∠ORT ��. m∠O ��. m∠ RTO ��. m∠ ATO

T

R

A

Para los ejercicios �� -��, usa tu transportador para dibujar y marcar cada ángulo con la medida dada. ��. m∠ MNO = ��º A ��. m∠ RIG = ��º C �x ��. m∠z = ��º x- �º ��. En la figura Si ∠ AOB = ��º, O calcular x. B ��. En la figura, BE es bisectriz del ∠ ABD. Si ∠ ABE = �x + �º y ∠ DBE = �x –��º, encuentra ∠ ABE.

E

D

A B

A E C

��. En la figura, BF biseca a ∠ EBG , ∠ ABC = ��º, ∠ ABE = ��º ∠GBC = ��º. B ¿Cuánto mide ∠ ABF ?

F G C

matemáticas iii

.


•

9

Tipos de ángulos

Acvidad 9 Mide cada uno de los siguientes ángulos y agrúpalos como tú consideres apropiado, indicando el criterio usado. Trata de recordar el nombre que recibe cada grupo de ángulos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

El cuadro siguiente, resume la clasificación de ángulos según su medida.

Ángulo recto a) b) c) d)

Ángulo agudo

Ángulo obtuso

Ángulo llano

Un ángulo de ��º se llama ángulo recto Un ángulo menor que ��º se llama ángulo agudo Un ángulo mayor que ��º y menor que ��º se llama ángulo obtuso. Un ángulo de ��º se llama ángulo llano.

Usando la definición de ángulo recto, se puede escribir otra definición para rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares si al intersectarse orman ángulos rectos.

0


unidad i

•

Clasificación de ángulos según su posición Lee con atención: Cuando dos rectas se cruzan en un plano (cuando son intersecantes) orman cuatro ángulos de interés. � Estos ángulos, considerados en parejas, reciben � el nombre de adyacentes o de opuestos por el � vértice. � Los ángulos adyacentes son aquellos que tienen un lado común que los separa y los otros dos lados en una misma recta. � ∠� y ∠� ∠� y ∠� � son adyacentes. son adyacentes. � � Dos ángulos son opuestos por el vértice , cuando los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. � �

∠� y ∠� son opuestos por el vértice. ∠� y ∠� son opuestos por el vértice.

� �

Observa la figura de la derecha. ¿Son ∠a y ∠c opuestos por el vértice? _____ ¿Por qué? _____________ _________________________

b

c

a d

Clasificación de ángulos según la suma de sus medidas. Lee con atención:

Dos ángulos son complementarios , si la suma de sus medidas es ��°. Cuando dos ángulos son complementarios, se dice que el uno es complemento del otro.

∠ A y ∠ B son complementarios. ∠CDF y ∠FDE son complementarios.

C

��º A

F

��º B

��º D

��º E

matemáticas iii




•

Dos ángulos son suplementarios , si la suma de sus medidas es ��°. Siempre que dos ángulos sean suplementarios se dice que el uno es suplemento del otro. T ��º

P

��º Q

R

��º S

��º U

∠ P y ∠Q son suplementarios. ∠ RST y ∠TSU son suplementarios (además son adyacentes). Completa correctamente: En la figura de la derecha, el complemento del ∠ AOB es el _________; el suplemento del ∠ AOB es el _____

B D

�. Encontrar el suplemento de un ángulo de ��º ��º + x = ��º x = ��º � ��º x = ��º

O

C

A

�. Encontrar el complemento de ��º ��º + x = ��º x = ��º � ��º x = ��º

Completa. •

•

Si ∠� y ∠� son complementarios, entonces ________________ Si ∠� y ∠� son suplementarios, entonces ________________

Acvidad 0 a) Escribe en la orma si-eonces , la siguiente definición: Dos ángulos son suplementarios , si la suma de sus medidas es ��°. b) Escribe la inversa de la propocisión que estableciste en a). c) Plantear y resolver una ecuación para encontrar: � El complemento de un ángulo de ��° � � El suplemento de un ángulo de ��° � � El suplemento de un ángulo de ��° � � El suplemento de un ángulo de ��° �

El complemento de un ángulo de ��° El suplemento de un ángulo de ��° El suplemento de un ángulo de ��° El suplemento de un ángulo de ��°

d) Si ∠ A = x , ¿cuál es la medidad del complemento de ∠ A? e) Si ∠ B= x, ¿cuál es la medidad del suplemento de ∠ A?


22

unidad i

•

Clasificación de ángulos según su posición en dos rectas cruzadas por una transversal Lee con atención:

Dos rectas ℓ y m cortadas por una transversal  orman ocho ángulos. Cuatro llamados internos: ∠�, ∠�, ∠� y ∠�, y cuatro llamados externos: ∠�, ∠�, ∠� y ∠�. ℓ



�

� � �

m

� � � �

Parejas de ángulos correspondientes: Son dos ángulos no ad yacentes situados del mismo lado de la transversal, uno interno y el otro externo. Hay cuatro parejas de ángulos correspondientes: ∠� con ∠�, ∠� con ∠�, ∠� con ∠� y ∠� con ∠�. Parejas de ángulos alternos internos: Son ángulos internos no adyacentes colocados en distintos lados de la transversal. Hay dos parejas de ángulos alternos internos: ∠� y ∠�, ∠� y ∠�. Parejas de ángulos alternos externos: Son ángulos externos no adyacentes colocados en distintos lados de la transversal. Hay dos parejas de ángulos alternos externos: ∠� y ∠�, ∠� y ∠�. Parejas de ángulos colaterales internos: Son ángulos internos no adyacentes colocados en el mismo lado de la transversal. Hay dos parejas de ángulos colaterales internos: ∠� y ∠�, ∠� y ∠�.

Acvidad  En la figura de la derecha, localiza todos los pares de ángulos: �. Opuestos por el vértice �. Correspondientes

m

ℓ

a c

�. Alternos internos

b

�. Alternos externos g

�. Colaterales internos.

f

e h

d

t

matemáticas iii

.


•

23

EJERCICIOS

�. Ahora, repasa la lección �.� y asegúrate de anotar las nuevas definiciones en tu diccionario. En los ejercicios �-��, asocia el término implícito en cada figura con una de las preguntas mostradas abajo. l 1

a)

?

b)

?

c)

d) m∠ P = ��º m∠Y = ��º

90º l 2

e)

 )

g)

h)

?

?

?

i)

j)

m∠ A = ��º m∠ X = ��º m∠Y = ��º

k )

l)

Q

l 3 l 4

P R

m)

�. ____ �. ____ �. ____ �. ____ ��. ____ ��. ____ ��. ____

Par de ángulos opuestos por el vértice Ángulo recto Par de ángulos congruentes Par de ángulos adyacentes Ángulo bisecado Segmentos congruentes Par de ángulos correspondientes

n)

�. ____ �. ____ �. ____ �. ____ ��. ____ ��. ____ ��. ____

Par de ángulos suplementarios Ángulo obtuso Par de ángulos complementarios Ángulos agudos Líneas paralelas Líneas perpendiculares. Par de ángulos alternos internos

24


.

unidad i

•

La demostración en geometría: axioma, postulado y teorema

Uno de los principales propósitos que debes lograr en este curso de geometría es el de mejorar tu capacidad de razonamientro lógico. En este curso se estudiarán dos tipos básicos de razonamiento: inductivo y deductivo. El razonamiento inductivo es el proceso de observar datos, reconocer patrones, y hacer generalizaciones basándose en esos patrones. Una generalización basada en el razonamiento inductivo, se denomina conjetura.

En la siguiente actividad utilizarás el razonamiento inductivo.

Acvidad  a) El siguiente cuadro, muestra el número de ángulos que orman �, �, �, � y � rayos con un vértice común. Encuentra el patrón seguido entre el número de rayos y el número de ángulos ormados y determina cuántos ángulos se orman con diez rayos con un extremo común.

Número de rayos Núm. de ángulos

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

b) En cada caso, mide el ángulo pedido: Los rayos BD y BF son bisectrices de los ángulos adyacentes ABE y CBE respectivamente. Mide el ángulo DBF cuyos lados son las bisectrices señaladas.

J

E

D

F A

B

Los rayos OI y OK son bisectrices de los ángulos adyacentes GOJ y HOK respectivamente. Mide el ángulo IOK cuyos lados son las bisectrices señaladas.

C

K

I

G

O

H

Establece una conjetura acerca del ángulo ormado por las bisectrices de dos ángulos adyacentes.

matemáticas iii


•

25

c) Observa las siguientes ilustraciones. Usa un transportador y mide los ángulos interiores de las figuras A, B y C. �

�

�

�

Fig. B Fig. A

Fig. C

� �

d) Mide los ángulos interiores �, � y � de las figuras A, B y C. Registra tus resultados en la siguiente tabla.

Figura Angulo Figura A Figura B Figura C

∠�

�

∠�

∠�

Suma

¿Cuál es tu conjetura respecto a la suma de los ángulos interiores de todo triángulo?

Lee con atención.

En la actividad anterior, buscaste similaridades, patrones, propiedades comunes y a partir de ellas esta bleciste conjeturas. En este razonamiento se procede pues de lo particular a lo general. Desaortunadamente, tal razonamiento no siempre nos conduce a resultados válidos, pues esta conclusión inductiva o conjetura, es sólo una proposición tentativa de lo que parece ser cierto en lo general. Así pues, las conclusiones a las que se llega mediante el razonamiento inductivo son sólo probables y pueden ser reutadas por un contra-ejemplo. Para ilustrar ésto, realiza la siguiente actividad.

Acvidad  a) Primeramente, debes recordar lo que es un número primo. Enlista los primeros �� números primos. _____________________________________________________________ b) Se asegura que la expresión n� – n + 41 produce numeros primos cuando se reemplaza n por 1, 2, 3, 4, ... Tu reto consiste en aceptar que esta airmación es válida para todo número natural o en su deecto encontrar un contraejemplo. Escribe tu conclusión: _________________________ ________________________________________________________________ La matemática se ha desarrollado, gracias a infinidad de personas que han experimentado con muchas conjeturas que racasaron y algunas otras que se verificaron. Una conjetura se ha verificado desde el punto de vista ormal si se demuestra que es válida en todos los casos, si se dan las mismas condiciones. La verificación ormal de una conjetura se logra mediante el denominado razonamiento deductivo.

26


unidad i

•

El razonamiento deductivo es el proceso de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados lógicos de hechos aceptados. ¿Qué distingue a un razonamiento inductivo de uno deductivo? En un primer momento, es suficiente comprender que en el razonamiento inductivo tratamos con situaciones particulares y en el deductivo manejamos situaciones generales (algebraicas).

Sin embargo, el proceso de razonamiento deductivo requiere la aceptación de unas cuantas conjeturas básicas sin comprobarlas. Estas conjeturas aceptadas sin comprobación, se llaman axiomas. Un axioma es una proposición que, siendo evidente, no requiere demostración. Por ejemplo, aceptamos sin demostración que en los números reales se cumple que a + b = b + a . A los axiomas también los denominaremos propiedades. Además de reerirnos a axiomas y propiedades, hablaremos de postulados. Un postulado es un axioma de naturaleza geométrica. Se eligen como axiomas y postulados, aquellas propiedades que sean más obvias y aceptables. A continuación se muestran algunos axiomas de uso recuente en geometría. Axiomas de los números reales de uso recuente en geometría Propiedad conmuaiva Para cualesquiera números reales a y b , a + b = b + a, y ab = ba Para cualesquiera números reales a, b y c , a(b + c) = ab + ac. Propiedad disribuiva Propiedad del inverso Para todo número real a ≠ �, a(�/a) = �. muliplicaivo Propiedades de la igualdadad de uso recuente en geometría Para cualesquiera número real a, a = a Para cualesquiera números reales a y b, si a = b , entonces b = a Para cualesquiera números reales a, b y c, si a = b y b = c , entonces a = c (Dos canidades iguales a una ercera son iguales enre sí). Propiedad de la adición y Para cualesquiera números reales a, b y c, si a = b, la susracción entonces a + c = b + c, y a − c = b − c. Propiedad de la mulipli- Para cualesquiera números reales a, b y c,si a = b, entonces ac = bc, y cación y la división si c ≠ 0 , a/c = b/c. Propiedad de susiución Toda cantidad puede sustiruirse por su igual. Por ejemplo, si x + a = b y a = c, entonces x + c = b. Propiedad reflexiva Propiedad simérica Propiedad ransiiva

matemáticas iii


•

27

Ejemplos de postulados

Por dos puntos sólo pasa una recta. Dados un punto y una recta en un plano, hay exatamente una recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada.

A

B Caso imposible

Caso imposible

El todo es igual a la suma de sus partes. D A

C

B

AB = AC + CB

C

A B ∠ BAD = ∠ BAC + ∠CAD

Todas las demás conjeturas que pueden demostrarse como verderas con la ayuda de definiciones, axiomas, postulados y la lógica del razonamiento deductivo, se llaman teoremas. La verificación formal de una conjetura mediante el razonamiento deductivo, se denomina demostración matemática.

En el diagrama de la derecha, se distinguen los aspectos de la demostración de un teorema. La hipótesis es la parte que se supone cierta, la tesis es la parte que se pretende demostrar mediante una secuencia de afirmaciones y razones. La demostración de un teorema es un encadenamiento de proposiciones la verdad de las cuales se admite, sea como hispótesis, definición, axioma, postulado o sea por haberse demostrado previamente.

Teorema Hipótesis

Tesis

Demostración Afirmaciones justificadas

A continuación aplicaremos lo antes expuesto, para establecer un teorema sencillo que conecta los conceptos: ángulos adyacenes y ángulos suplemenarios. Para empezar, realiza la siguiente actividad para que puedas llegar a una conjetura.

Acvidad  a) Dibuja dos parejas de ángulos adyacentes tales que los ángulos agudos midan lo mismo.

b) ¿Cuánto miden los ángulos suplementarios de cada pareja? __________________________ c) Si en la siguiente figura ∠� = ∠�, ¿qué podrá asegurarse acerca de los ángulos � y �? Establece una conjetura ________________________________________________ ________________________________________________________________

28


�

�

unidad i

•

�

�

Vamos a demostrar que tu conjetura es un teorema el cual se enuncia y demuestra a continuación: Teorema: Los ángulos suplementarios de ángulos iguales, son iguales. Hipótesis: ∠� y ∠�, son suplementarios ∠� y ∠�, son suplementarios

�

�

�

�

Tesis: ∠� = ∠�

Demostración

Afirmaciones �. ∠� y ∠�, son suplementarios ∠� y ∠�, son suplementarios �. ∠� + ∠� = ��º �. ∠� + ∠� = ��º �. ∠� + ∠� = ∠� + ∠� �. ∠� + ∠� = ∠� + ∠� ∠� = ∠� Lo que se quería demostrar.

.

Razones o justificaciones �. Por hipótesis. �. �. �. �.

Deinición de ángulos suplementarios. Deinición de ángulos suplementarios. Propiedad transitiva o sustitución. Propiedad de la sustracción.

EJERCICIOS

�. Agrega a tu diccionario los términos de esta lección, que consideres más relevantes. �. Resuelve el siguiente crucigrama Si a = b , entonces b = a Si a + c = b + c , entonces b = a

�

a(b + c) = ab + ac

Si a + b = c entonces b + a = c

�

�

Si a = b , c� � entonces a = b c c �

�

matemáticas iii


•

29

�. En cada caso, escribe el nombre de la propiedad usada. a) b) c) d) e)

Proposición Si a + c = b + c , entonces a = b m=m Si r = s y r = q , entonces s =q Si �, entonces x = �� Si �x = �, entonces x = � �

Propiedad a) b) c) d) e)

�. En el inciso b) de la actividad ��, exploraste y se te pidió establecer una conjetura la cual debe ser parecida a la siguiente: E

D

F

A

B

“Si los rayos BD y BF son bisectrices de los ángulos adyacentes ABE y CBE respectivamente, entonces BD ⊥ BF ”.

C

Ahora, deberás utilizar el razonamiento deductivo para demostrar ormalmente esta conjetura. Completa la siguiente demostración: Afirmaciones E

D

a A

a B

F

b b

C

�. BD es bisectriz de ∠ ABE �. BF es bisectriz de ∠CBE �. ∠ ABD = a , ∠ DBE = a, �. ∠ EBF = b , ∠FBC = b, �. ∠ DBF = a + b �. a + a + b + b =_____ �. �a +�b =_____ �. �(a + b) =_____ �. a + b = ��° = ��° � ��. ∠ DBF = a + b = ��° ��. BD ⊥ BF Queda demostrado

Razones �. Por hipótesis. �. Por hipótesis. �. Por hipótesis. �. Por hipótesis. �. Por la propiedad aditiva del ángulo. �. Por _______________ �. Por _______________ �. Por _______________ �. Por _______________ ��. Por la propiedad de sustitución. ��. Por _______________

___________________

0


.

unidad i

•

Descubrimiento y prueba de ángulos ()

Observa los dos diagramas siguientes. En cada uno de ellos, se han marcado parejas de ángulos adyacentes. ¿Cuánto vale la suma de cada par de ángulos adyacentes?________ 2

3

∠� + ∠� = ____

1

∠� + ∠� = ____

4 Trata de establecer una conjetura para los ángulos adyacentes. La suma de las medidas de los ángulos adyacentes es igual a__________ En otras palabras, los ángulos adyacentes orman un ángulo_______

b

a

Esta conjetura la aceptaremos como verdadera, por lo que podemos establecer la siguiente propiedad. Propiedad de los ángulos adyacentes. Si dos ángulos son adyacentes, entonces la medida de los ángulos suman ��°

Con base en la figura completa las siguientes proposiciones. b

∠a + ∠b = ____ ∠a + ∠d = ____

a

c

∠c + ∠d = ____ ∠c + ∠b = ____

d

En la siguiente actividad explorarás a los ángulos opuestos por el vértice.

Acvidad  a) Considera los siguientes pares de rectas intersecantes:

D

A C B

N I

F H

E G

K J

L M

O

matemáticas iii


•



b) En cada figura, mide cuidadosamente cada uno de los ángulos. c) Identifica la pareja de ángulos opuestos por el vértice con sus respectivas medidas. El ∠ DCE es opuesto por el vértice al ∠ ACB , ambos miden _____ El ∠ ACD es opuesto por el vértice al ∠ BCE , ambos miden _____ El ∠FHI es opuesto por el vértice al ∠GHJ , ambos miden _____ El ∠ KLN es opuesto por el vértice al ∠ MLO , ambos miden _____ Vamos a demostrar que tu conjetura es un teorema el cual se enuncia y demuestra a continuación: Teorema: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Hipótesis: ∠a y ∠b , son opuestos por el vértice.

b

a

Tesis: ∠a = ∠b

Demostración a

El ∠m es un elemento auxiliar Afirmaciones �. �. �. �. �.

b m

Razones o justificaciones

∠a y ∠b , son opuestos por el vérticce ∠a + ∠m = ��º ∠b + ∠m = ��º ∠a + ∠m = ∠b + ∠m ∠a + ∠m = ∠b + ∠m = ��º ∠a = ∠b

�. �. �. �. �.

Por hipótesis. Forman un ángulo llano. Forman un ángulo llano. Propiedad transitiva o sustitución. Propiedad de la sustracción.

Lo que se quería demostrar.

Acvidad  Utilizando la figura de la derecha, demuestra que ∠x = ∠ y x

y

32


.

unidad i

•

EJERCICIOS

�. Agrega a tu diccionario los términos de esta lección, que consideres más relevantes. En los ejercicios � - �, encuentra cada ángulo marcado con una letra sin usar transportador.

2.

3. 110°

4.

a b c

40°

5.

6.

132°

e

70° b c

7.

d

66° a b 42°

b

b

a

c

c

a

d

a

a 43°

20°

70°

d

138°

9.

8. c

110° a

100°

b

a

b

25°

En los ejercicios ��-��, indicar si cada oración es verdadera siempre (S), algunas veces (A), o nunca (N) ��. _____ La suma de las medidas de dos ángulos agudos es igual a la medida de un ángulo obtuso. ��. _____ Si ∠ XAY y ∠ PAQ son opuestos por el vértice, entonces ya sea X, A, y P o X, A , y Q son colineales. ��. _____ La suma de las medidas de dos ángulos obtusos es igual a la medida de un ángulo obtuso. ��. _____ La dierencia entre la medida del suplemento y el complemento de un ángulo es ��°. ��. _____ Si dos ángulos son adyacentes, entonces son suplementarios. ��. _____ Si una oración es verdadera, entonces la inversa es verdadera. l�. Calcular la medida de los ángulos que se indican: s

∠m = ____ ∠c = ____ ∠b = ____

m 87º

c b

∠s = ____ ∠ y = ____

65º y 33º

matemáticas iii

.


•

33

Descubrimiento y prueba en ángulos (): Ángulos sobre rectas paralelas

Lee con atención los siguientes términos inormales que te ayudarán a identificar y comprender las propiedades de los ángulos entre paralelas. Una sierra es una figura ormada por dos segmentos paralelos entre sí, conectados en uno de sus extramos por otro segmento.

Una escalera es una estructura ormada por una recta y una amilia de segmentos con origen en la recta, situados todos al mismo lado de la recta, paralelos entre sí.

Para ayudarte a identificar las propiedades que cumplen los ángulos asociados con sierras y escaleras, realiza la siguiente actividad.

Acvidad  a) ¿Cómo se llaman los ángulos ormados por una sierra? ________; los ángulos � y θ se llaman _______

� θ

b) ¿Cómo se llaman los ángulos ormados por una escalera? ________; los ángulos µ y α se llaman _______ c) En cualquier cartón dibuja un ángulo parecido al ángulo β que se muestra: •

•

Recorta el ángulo a través de sus lados. Con la plantilla del ángulo que recortaste, dibuja varios ángulos congruentes apoyados sobre una recta. ℓ1

β β

ℓ2 β

ℓ3

ℓ1 ℓ2

ℓ3

β

β

β

µ

α

β

d) Ahora, prolonga tanto como puedas cada recta ℓ�, ℓ� y ℓ� ¿Qué observas? _______________ De manera inductiva podemos concluir que las rectas señaladas son paralelas.

34


unidad i

•

De otra manera, si ormamos una escalera con un mismo ángulo, se orma una sistema de rectas paralelas cruzadas por una transversal. Además, en este sistema, se obser va que los ángulos correspondientes son iguales. e) Coloca la misma plantilla de tal manera que se ormen las siguientes figuras. β

β

β

β

β

β

β β

β

β Podemos concluir que: si ormamos una sierra con un mismo ángulo, se orma un sistema de rectas paralelas cruzadas por una transversal. Además, en este sistema, se observa que los ángulos alternos internos son iguales. También, los ángulos alternos externos son iguales. ) Usa tus hallazgos para completar las siguientes conjeturas: Si dos rectas paralelas son cortadas por una trasversal, entonces: �) Los ángulos correspondientes son __________________________. �) Los ángulos anternos internos son __________________________. �) Los ángulos alternos externos son __________________________.

A continuación argumentaremos de manera deductiva las conjeturas que se acaban de establecer. Para ello, debemos aceptar como válida una, cualquiera de las tres conjeturas sobre rectas paralelas. En este curso, aceptaremos como válido que los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales. Seguiremos los pasos ya conocidos. Postulado. Dos rectas paralelas cortadas por una transversal orman con ella ángulos correspondientes iguales.

Una vez establecido este postulado, se pueden demostrar las conjeturas restantes. Vamos a demostrar la conjetura de los ángulos alternos internos.

matemáticas iii


•

35

Teorema: Dos rectas paralelas cortadas por una transversal orman con ella ángulos alternos internos iguales.  Hipótesis: la recta ℓ es paralela a la recta m. ∠b y ∠c , son alternos internos.

ℓ

b c

Demostración

Los ∠a y ∠d son elementos auxiliares. d

Afirmaciones �. Las rectas ℓ y m son paralelas. �. ∠a = ∠b �. ∠a = ∠c �. ∠b = ∠c Queda demostrado.

�. �. �. �.

m

 a

b

Tesis: ∠b = ∠c

c

ℓ m

Razones o justificaciones Por hipótesis. Por ser opuestos por el vértice. Por ser correspondientes entre paralelas. Propietarios transitiva o sustitución.

Ahora, para que consolides tus conocimientos, realiza la siguiente actividad.

Acvidad 8 a) Demuestra el siguiente teorema. Teorema. Dos rectas paralelas cortadas por una transversal orman con ella ángulos alternos externos iguales.

b) Completa la siguiente propiedad: Inverso de la propiedad de las paralelas: Si dos rectas son cortadas por una transversal para ormar un par de ángulos correspondientes iguales, ángulos alternos internos iguales o ángulos alternos externos iguales, las rectas son: ______________________

36


.

unidad i

•

EJERCICIOS

�. Agrega a tu diccionario los términos de esta lección, que consideres más relevantes. En los ejercicios �-�, usa la figura de la derecha para encontrar un ejemplo de cada término. �. �. �. �. �.

Ángulos correspondientes. Ángulos alternos internos. Ángulos alternos externos. Ángulos opuestos por el vértice. Par de ángulos adyacentes.

1 2 5 6

3 4 7 8

En los ejercicios �-��, usa la figura anterior para indicar si cada oración es siempre (S), algunas veces (A), o nunca (N) verdadera. �. ______ ∠� ≅ ∠� �. ______ ∠� ≅ ∠� �. ______ ∠� y ∠� son suplementarios. ��. ______ ∠� y ∠� son suplementarios. ��. ______ m ∠� ≠ m ∠� ��. ______ m ∠� = m ∠� En los ejercicios ��-��, usa las propiedades de líneas paralelas para encontrar la medida de cada ángulo. Observación: marcas iguales tipo flechas sobre rectas que aparentan ser paralelas, nos indican que sí lo son. 15. 14. 13. 54º

a

a

65º

b

a

b

54º b

d c

c

En los ejercicios �� - ��, usa las propiedades de líneas paralelas para determinar si o no ℓ �  ℓ� 17. 16. 118º 62º

ℓ1

l 2

85º 25º

ℓ1 ℓ2

matemáticas iii

.8


•

37

Construcciones geométricas

En geometría, construir una figura consiste en trazarla usando un compás y una regla no graduada. Es decir, cuando te pidan construir una figura, no debes usar herramientas de medición. Sigue las siguientes instrucciones que explican cómo trazar un segmento igual a otro. Repite el proceso en tu cuaderno. B

Procedimieno:

�. Dibujamos una semirrecta más larga que AB. A �. Con centro A , trazamos un arco y lo trasladamos al rayo dibujado. Si C es el extremo inicial del nue- C vo segmento, y D el punto de cruce en el arco y la semirrecta, tenemos que AB = CD.

D AB = CD

Ahora, trata de comprender el proceso de trazar un ángulo igual a otro usando una regla no graduada y compás. Repite el proceso en tu cuaderno. � Procedimieno: � �. Dibujamos una semirrecta más larga que AB. A B �. Con centro A , trazamos el arco � y lo trasladamos al rayo dibujado. Si C es el extremo inicial � del nuevo rayo, y D el punto de cruce del arco y la � semirrecta, tenemos que AB = CD. �. Con centro en B , trazamos el arco � y lo trasladaC D mos al lado dibujado. A continuación aprenderás a construir la bisectriz de un ángulo. Repite todo el proceso. Procedimieno:

�. Con centro en el vértice A del ángulo, se traza el arco l. �. Con centro en B y C, y con la misma abertura del compás, se trazan los arcos � y �.

�

C �

�

A

B

Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es una recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al segmento.

La recta m es la mediatriz de AB. Si m es mediatriz de AB , entonces m es perpendicular a AB y C es punto medio de AB.

m

A

C

B

38


unidad i

•

Para trazar la mediatriz de un segmento, sigue el siguiente procedimiento. �

�. Con una abertura del compás mayor que la mitad del segmento y con centro en A, se trazan los arcos � y �. �. Con la misma abertura del compás y con centro en B , se trazan los arcos � y �. �. Al trazar la mediatriz, se obtiene el punto medio M del segmento.

A

M �

Realiza la siguiente actividad para que descubras una propiedad importante.

Acvidad 9 Rotula los extremos del segmento con las letras A y B. Coloca tres puntos ( P, Q y R) sobre la mediatriz y usa tu compás para comparar las distancias PA y PB, QA y QB, AR y RB. En cada caso, debes encontrar que las distancias son iguales. Establece una conjetura.

�

B �

P Q A R

B

Tu conjetura debe ser parecida a la siguiente. Conjetura de la mediatriz. Si un punto está sobre la mediatriz de un segmento, entonces es equidistante con respecto a los extremos.

Enseguida, se explica cómo construir la perpendicular a una recta desde un punto que no está sobre la recta. Procedimieno: �. Dibuja una recta y un punto P , que no esté sobre la recta. Con la punta del compás apoyada en el punto P , traza dos arcos sobre la recta. Rotula los puntos de intersección con A y B.

A

B

matemáticas iii


39

•

P

Observa que PA = PB , así que el punto P está sobre la mediatriz de AB. Usa la construcción que aprendiste en la actividad � para construir la mediatriz de AB. Rotula el punto de intersección como M . De esta manera, se ha construido una perpendicular a una recta desde un punto que no está sobre la recta.

M B

A

Utilizando el concepto de perpendicularidad, estableceremos dos propiedades importantes. Realiza la siguiente actividad. P

Acvidad 0 Elige cualesquiera tres puntos sobre AB y rotúlalos como Q, R, y S. Mide PQ, PS y PR . ¿Qué distancia es la más corta?

M Q

A R

B S

Tus observaciones deben conducir a la siguiente conjetura. Conjetura de la distancia más corta. La distancia más corta de un punto a una recta, se mide a lo largo del segmento perpendicular, desde el punto a la recta.

Asimismo, se plantea la siguiente definición. La distancia de un punto a una recta, es la longitud del segmento perpendicular que va del punto a la recta. Así, en la figura anterior, la distancia del punto P a la recta l es PM.

Por último, aprenderás a trazar una paralela a una recta. Procedimiento: �. Por el punto P se traza la recta PA que corte a la recta dada en B. �. Se traza en P el ∠� igual al PAB. Por el criterio del paralelismo las rectas son paralelas.

1 P A B

0


.8

unidad i

•

EJERCICIOS

�. Agrega a tu diccionario los términos de esta lección, que consideres más relevantes. En los ejercicios � - �, considera el segmento PQ .

Q

P

�. Construye un segmento congruente con PQ . �. Al semento trazado en �, trázale su mediatriz. En los ejercicios � - �, usa el ángulo A de la derecha. �. Con regla y compás, construye un ángulo congruente con ∠ A. �. Traza la bisectriz del ∠ A. En los ejercicios �-�, considera la recta ℓ y el punto P. �. Con regla y compás, traza una perpendicular a la recta ℓ que pase por P. �. Con regla y compás, traza una paralela a la recta ℓ que pase por P.

A P

ℓ

¡Indagando con ayuda de la tecnología! Uliza GeoGebra

La exploración, el planteamiento de conjeturas y la búsqueda de explicaciones, son actividades que se acilitan con el uso de tecnología. Geogebra, es el nombre de un sof ware libre, que te será de mucha ayuda en tu trabajo con objetos geométricos. Tu primera actividad con tecnología, consistirá en lo siguiente:

�. Descarga el soware geogebra; puedes hacerlo desde la dirección: htp://www.geogebra.org/cms/es/download/ �. Explora todos los menús del soware. Haz clic en ayuda, luego en tutoriales y, por último, clic en guía rápida. De esta última, sólo revisa por el momento, las tres primeras páginas. �. Ahora, entra a la siguiente dirección electrónica, que corresponde a un video sobre el geogebra. htps://www.youube.com/wach?v=uAvGn�Toh�g �. Demuestra lo que aprendiste trazando segmentos , rectas, semirrectas, ángulos. Determina el punto de intersección entre objetos, determina longitud de segmentos y medida de ángulos.

matemáticas iii


•



Construir con Geogebra, un segmento congruente a uno dado.

�. Usa la opción segmento y traza un segmento. �. Usa la opción semirrecta y traza una semirrecta. �. Usa la opción compás, da clic de manera sucesiva en cada uno de los extremos del segmento. Sin soltar el ratón, arrastra el círculo (hace las veces de compás) y coloca su centro en el extremo inicial de la semirrecta y da clic. �. Usa la opción intersección, da clic en el círculo y en la semirrecta. Aparecerá el segundo extremo del nuevo segmento que es una copia del segmento dado. �. Verifica que los segmentos son iguales usando la opción distancia. Construir con geogebra, un ángulo congruente a uno dado.

�. Usa la opción semirrecta y construye un ángulo cualquiera (sólo etiqueta los puntos A y B). A �. Usa la opción semirrecta y traza una tercer semirrecta que inicie en C. �. Usa la opción circunerencia, clic en A y en B. D �. Usa la opción intersección para encontrar el punto D. �. Usa la opción compás, da clic en A y en B A B y trasládolo a la semirrecta dando clic en C. �. Usa la opción intersección para encontrar el punto E.

B C

C

�. Usa la opción compás, clic en B y D y trasládalo dando clic en E.

E

F

D

F A

B

C

E C

�. Encuentra la intersección F , y traza una semirrecta por C y F . �. Oculta los objetos de tal manera que sólo quede el ángulo igual al ángulo dado.

E

42


unidad i

•

AUTOEVALUACIÓN  Es momento de que te autoevalúes. Esta autoevaluación consta de tres partes: en la primera y segunda parte, deberás valorar algunos indicios de logro de tu competencia matemática, y en la tercera, deberás aportar algunos indicios sobre tu logro en competencias genéricas. Parte I. Logro de competencias disciplinares. Competencia �. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Instrucciones: Con el objetivo de que demuestres tus avances en el logro de la competencia �, contesta correcamente las cuestiones � a �. A E �. Con base en la figura de la derecha identifica: a) Un punto medio: _________ D b) Dos segmentos:_________ F c) Una mediatriz:_________ C d) Dos semirrectas:_________ B E D e) Una recta:_________ C ) Tres ángulos:_________ g) Bisectriz:_________ � � O B A �. Con base en la figura adjunta, identifica: a) Un suplemento de ∠� b) Un suplemento de ∠COB c) Un complemento de ∠2 d) Dos rectas perpendiculares. e) Dos ángulos obtusos ) Dos ángulos agudos g) Un ángulo llano 3 4 1 2 �. Con base en la figura cítense: 7 8 5 6 a) Un par de ángulos alternos internos que incluyan al ∠2 b) Un par de ángulos opuestos por el vértice c) Todos los pares de ángulos correspondientes. Compeencia �. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando dierentes enoques. Compeencia �. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean.

Instrucciones: A continuación, para que demuestres tus avances en el logro de las competencias � y �, resuelve el siguiente problema.

Dos ciudades necesitan un servicio adicional de agua. Se decidió construir una planta purificadora de agua junto a un río cercano y canalizar el agua desde la planta hasta cada ciudad. Cada ciudad pagará la instalación de las tu berías que irán de la planta a ella. La planta debe ubicarse a la misma distancia de las dos ciudades. ¿Qué conceptos geométricos nos permite resolver este problema? Mediante una construcción geométrica determínese el punto en que debe colocarse la planta para satisacer estos objetivos.

Ciudad A Ciudad B río

matemáticas iii


•

43

Parte II. Saber conocer y saber hacer: ��: Para que valores tus logros según los indicadores de desempeño, coloca una √ en en la celda de la derecha en cada indicador y calcula el total.

Desempeño Bueno (�)

Regular ( �)

Malo (�)

Realizo construcciones geométricas básicas. Aplico la propiedad aditiva de segmentos y ángulos, con dibujos de diagramas como técnica para resolver problemas. Realizo conversiones en el sistema sexagesimal (de grados a minutos y segundos y viceversa). Realizo demostraciones deductivas de manera inormal, relativas a los ángulos opuestos por el vértice, y a ángulos ormados por dos rectas paralelas y una trans versal. Aplico las propiedades de los ángulos adyacentes, opuestos por el vértice y los ormados por rectas paralelas y una transversal, para determinar las medidas de ángulos. Resuelvo problemas de su entorno utlizando las propiedades de ángulos y segmentos.

Parte III. Saber ser: Puntualidad y actitud:

��: A continuación valora tu desempeño colocando una √ en la puntuación que refle ja tu desempeño según los siguientes indicadores que apuntan al logro de competencias genéricas: Desempeño Siempre Algunas veces (�) ( �) Llegué puntualmente a las clases. Mostré un comportamiento aceptable en el grupo. Mostré capacidad de trabajo independiente. Realicé las actividades establecidas. Mantuve una actitud de respeto y tolerancia hacia el trabajo en equipo Aporté puntos de vista con apertura y consideré los de mis compañeros de manera reflexiva. Entregué cada uno de los trabajos encomendados en echas acordadas.

Nunca (�)

ℓ �

C

G

ℓ �

H C J

B ℓ �

Triángulos: Propiedades y criterios de congruencia C

E

A F


O

Analiza las características y propiedades de los triángulos, incluyendo las relaciones de congruencia, para desarrollar y presentar argumentos inductivos y deductivos sobre estas ideas y relaciones geométricas, y, las aplica en diversos contextos teóricos o prácticos de una manera crítica y reflexiva.


•

•

•

•

•

•

Define y clasifica triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos. Identifica y enuncia los criterios de congruencia de triángulos, LAL, ALA , AAL y LLL. Utiliza las tecnologías de la inormación, para construir triángulos, así como las rectas y puntos notables. Utiliza las tecnologías de la inormación, para explorar las propiedades de los triángulos y los criterios de congruencia. Justifica las propiedades de los triángulos. Aplica los criterios LAL , ALA , AAL y LLL para verificar congruencia entre triángulos y entre partes correspondientes de triángulos congruentes. Aplica las propiedades de los triángulos en la resolución de problemas geométricos.

B A

D


�. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o ormales. �. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando dierentes enoques. �. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la inormación y el conocimiento. �. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean. �. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Acvidad preliminar ¿Por qué es importante estudiar esta unidad? El siguiente problema muestra la utilización de varios conceptos geométricos, algunos ya estudiados y otros que estudiarás en esta unidad. Contesta lo que se indica. Problema. A parir de la figura, demuesra que, en un espejo plano, la imagen se ubica a la misma disancia del objeo al espejo, pero derás de ése; eso es, la disancia del objeo S o es igual a la disancia de la imagen Si. 44


�.� Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representación simbólica. C �.� Maneja las tecnologías de la inormación y la comunicación paraá obtener u n g u inormación á n g lo e x l o i nt e y expresar ideas, de manera responsable y respetuosa. te r i o r io r r �.� Utiliza las tecnologías de la inormación y comunicación para procesar e interpretar A inormación. �.� Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. �.� Elabora conclusiones y ormula nuevas interrogantes, a partir de retomar evidencias B á n g u teóricas y empíricas. l o e x �.� Evalua argumentos y opiniones e identifica prejuicios y alacias. te r i o r �.� Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. �.� Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. �.� Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

2

unidad

S

V Q

θi θr

P

A

R

Acvidad 

S�

Si

Con tus conocimientos previos, completa la siguiente demostración. Las razones que corresponden a las afirmaciones �, �, � y � las estudiarás en esta unidad. azones o justificaciones:

Afirmaciones:

�. �. �. �. �. �. �. �. �.

SP// AQ ∠ RAS=θi + θr ∠RAS=∠ VSA + ∠ VPA θi + θr = ∠VSA + ∠VPA ∠VSA = θi θi + θr = θi + ∠VPA θi + θr = θi + ∠VPA θr = ∠VPA ∆VAS = ∆VAP S� = S i 45

�. ____ _____________________ �. ____ _____________________ �. ____ _____________________ �. ____ _____________________ �. ____ _____________________ �. ____ _____________________ �. ____ _____________________ �. ____ _____________________ �. ____ _____________________

46

triángulos: propiedades y criterios de congruencia

unidad ii

•

¿Qué tanto recuerdas de lo que estudiarás en esta unidad? Utiliza tus conocimientos previos para resolver el siguiente crucigrama, de ser necesario consulta el material de esta unidad y revisa tus respuestas. �

��

��

��

��

�

�

Horizontales �. Triángulos cuyos ángulos respectivos son iguales, y sus lados homólogos proporcionales. �. Punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. �. Punto de concurrencia de las tres mediatrices de un triángulo. �. Triángulos que tienen sus ángulos y lados correspondientes iguales. �. Triángulo que no tiene lados iguales. �. Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. �. Triángulo que tiene sus tres lados agudos. �. Triángulo que tiene sus tres lados iguales. �. Segmento que conecta un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. ��. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.

��

��

� � � ��

� ��

Vercales ��. Segmento perpendicular que va de un vértice de un triángulo a la recta que contiene el lado opuesto. ��. Triángulo que tiene un ángulo recto. ��. Punto de concurrencia de las tres bisectrices de un triángulo. ��. Triángulo que tiene al menos dos lados iguales. ��. Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. ��. Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. ��. Punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo. ��. Es la igualdad entre dos razones.

matemáticas iii

.


•

47

Clasicación y construcción de triángulos Clasifcación, rectas y puntos notables de triángulos.

Lee con atención:

Por un punto A pasan una infinidad de rectas. Dados dos puntos A y B, determinan una recta y dados tres puntos A, B y C , éstos determinan una o tres rectas: Recordemos que si los tres puntos están sobre una recta los llamamos puntos colineales. Si los tres puntos no son colineales, orman un triángulo con las tres rectas que éstos determinan.

Tres puntos, una recta

Tres puntos, tres rectas Los segmentos de recta determinados por los puntos de intersección se llaman lados del triángulo y los vértices de los ángulos ormados por estos segmentos son los vértices del triángulo. Si estos vértices se denominan ∠ A , ∠ B y ∠C , el triángulo se simboliza como ∆ ABC. C

Lados AB AC BC

Ángulos ∠ A ∠ B ∠C

Vértices ∠ A ∠ B ∠C

B

A

C

ángulo exterior

ángulo interior B

A

ángulo exterior Los ángulos A, B y C son ángulos interiores. Los ángulos suplementarios a éstos, se llaman ángulos exteriores. Un ángulo exterior es aquel ormado por un lado del triángulo y la prolongación de otro lado.

Acvidad  a) En el triángulo de la derecha localiza los vértices y los lados.

b) En el triángulo anterior, marca los ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Utiliza un mismo color para cada tipo de ángulo.

48


unidad ii

•

Clásifcación de triángulos

En tus estudios de primaria y secundaria, seguramente aprendiste a clasificar triángulos. A continuación de ángulos según su posición recordarásClasificación estos aspectos. en dos rectas cruzadas una transversal Los triángulos se clasifican por suspor ángulos en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. •

•

•

Los triángulos acutángulos son los que tienen sus tres ángulos agudos. Los triángulos rectángulos son los que tienen un ángulo recto. Los triángulos obtusángulos son los que tienen un ángulo obtuso.

Acvidad  Atendiendo a sus ángulos, ponle nombre a los siguientes triángulos. Justifica tu respuesta:

Con respecto a la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. •

•

•

Los triángulos equiláteros son los que tienen sus tres lados iguales entre sí. Los triángulos isósceles son los que tienen al menos dos lados iguales entre sí. Los triángulos escalenos son los que no tienen lados iguales entre sí.

Acvidad  a) Atendiendo a las medidas de sus lados, ponle nombre a los siguientes triángulos. Justifica tu respuesta:

b) Observa detenidamente los siguientes triángulos y asígnales dos nombres: uno atendiendo sus ángulos y el otro atendiendo sus lados.

matemáticas iii


•

49

Ejemplo: Equilátero / Acutángulo

Completa el cuadro siguiente escribiendo «SÍ» cuando los triángulos cumplen simultáneamente las propiedades indicadas y «NO» en caso contrario; utiliza las siguientes preguntas para orientarte en el llenado del cuadro. •

•

•

¿Los triángulos equiláteros pueden ser acutángulos? ¿Y rectángulos? ¿Y obtusángulos? ¿Los triángulos isósceles pueden ser acutángulos? ¿Y rectángulos? ¿Y obtusángulos? ¿Los triángulos escalenos pueden ser acutángulos? ¿Y rectángulos? ¿Y obtusángulos? Ángulos Lados Equilátero Isósceles Escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

0


unidad ii

•

Rectas y puntos notables de triángulos En la sección �.�, se definió la bisectriz de un ángulo, y en la �.� mediatriz de un segmento. Para cada triángulo, pueden trazarse las bisectrices de cada uno de sus ángulos; asimismo, para cada segmento se pueden construir sus mediatrices. Además de estas rectas, en un triángulo se pueden trazar las denominadas alturas y las medianas. En tus estudios de primaria y secundaria, sabes de la importancia de la altura de un triángulo para calcular su área, pero además, todos estos elementos de los triángulos, son de interés por las propiedades que tienen sus puntos de intersección. En esta lección estudiarás estas cuestiones. C

En la figura de la derecha, AE, BF y CD son las bisectrices de ∠ A , ∠ B y ∠C respectivamente. Propiedad de las bisectrices: El punto donde concurren las bisectrices de los ángulos de un triángulo se llama incentro, y es el centro del círculo inscrito en el triángulo. En la figura anterior, el punto I es el incentro del triángulo ABC.

I

F

A

E

B

D

ℓ�

En la siguiente figura a la derecha, ℓ � , ℓ� y ℓ� , son las mediatrices de AB, BC y AC respectivamente. Propiedad de las mediatrices: El punto donde concurren las mediatrices de los lados de un triángulo se llama circuncentro, y es el centro del círculo circunscrito al triángulo. En esta figura, el punto C es el circuncentro del triángulo ABC.

ℓ�

C

H

G C

Tradicionalmente, todos estos trazos se hacían con regla y compás. Sin embargo, hacerlo con tecnología específicamente con Geogebra, representa una gran ventaja. Para que compruebes ésto, realiza la actividad �.

Acvidad 

A

J

B

ℓ�

Uliza GeoGebra

a) Abre Geogebra. Esta aplicación permite trazar de manera directa bisectrices y mediatrices. Explora los iconos de Geogebra y localiza los botones con los que puedes trazar bisectrices y mediatrices. b) Construye varios triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos; determina en cada uno de ellos el punto de concurrencia de sus bisectrices y de sus mediatrices, y traza los círculos inscritos y circunscritos respectivos. c) ¿Qué puedes comentar acerca de la posición del incentro y circuncentro en triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos?

matemáticas iii


•

A continuación, se definirán dos términos más: medianas y alturas de un triángulo.



C

Mediana de un triángulo es un segmento que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto de dicho vértice.

K

En el triángulo de la derecha, AM, BK y CL son las medianas del ∆ ABC.

M

G

A

L

B

Propiedad de las medianas: El punto donde concurren las medianas baricentro o centroide. Este punto es el centro de gravedad del triángulo. Altura de un triángulo es un segmento que va desde uno de sus vértices, perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto a dicho vértice.

Las siguientes ilustraciones muestran el significado natural de altura: Alura

Alura

Alura

Sin embargo, por definición de altura, a cada vértice le corresponde una altura, tal y como se observa en la siguiente figura:

C F

En la figura, cada uno de los segmentos AE, BF y CD, salen de un vértice y son perpendiculares al lado opuesto a dicho vértice. Por tanto los tres segmentos son alturas. Las alturas de un triángulo se intersecan en un punto O llamado ortocentro.

Acvidad 

E O

A

D

B

Uliza GeoGebra

a) Abre Geogebra. Usa la opción punto medio de un segmento para trazar las medianas. Para las alturas deberás usar la opción trazar perpendiculares. Explora estas opciones. b) Construye varios triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos; determina en cada uno de ellos el punto de concurrencia de sus medianas y de sus alturas. c) Para el caso de las medianas, comprueba que la distancia de cada vértice del triángulo al centroide es �/� de la mediana respectiva.

52


.

unidad ii

•

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. Completa el siguiente diagrama que nos muestra que un triángulo puede estar en más de una categoría. Utiliza tus resultados de la actividad �. Triángulos Según sus ángulos pueden ser

Acutángulos Pueden ser

Pueden ser

Escalenos

Pueden ser

Pueden ser

Pueden ser

Pueden ser

Isósceles Pueden ser

Equiláteros �. El diagrama anterior establece que un triángulo isósceles puede ser equilátero. ¿Por qué es cierto ésto? ______________________________________________________________ �. Un carpintero, ha construido una mesa circular. Para colocar la base de apoyo, necesita localizar el centro de la mesa. ¿Cómo proceder? �. Completa cada oración escribiendo según corresponda: incentro, circuncentro, ortocentro, o centroide. a. Es la intersección de las alturas de un triángulo _________________ b. Es la intersección de las medianas de un triángulo _______________ c. Es la intersección de las bisectrices de un triángulo ______________ d. Es la intersección de las mediatrices de un triángulo _____________ �. Identifica las partes del ∆ ABC: a. Mediana _______ b. Altura _________ c. Bisectriz _______

A F

D

C

E

B

matemáticas iii

.


•

53

Propiedades de los triángulos (): ángulos interiores Ángulos interiores de un triángulo

Empezarás esta sección realizando la siguiente actividad:

Acvidad  a) Analiza la siguiente malla triangular. Observa que está ormada por sistemas de paralelas. En esta malla, pueden ormarse muchas sierras y escaleras.

� �

�

b) Guiándote por las sierras y escaleras, colorea todos los ángulos de modo que tengan el mismo color aquellos que tengan la misma medida (Es decir, debes buscar ángulos que sean correspondientes y alternos internos, o bien, opuestos por el vértice). En cualquier triángulo de la malla, tus ángulos coloreados deben seguir un patrón parecido al siguiente: � � � �

� �

�

�

c) Observa el vértice superior del triángulo. Puede verse que las medidas de los tres ángulos interiores del triángulo, coinciden con ángulos que quedan colocados en una recta. Es decir, orman un ángulo llano. 2 1 3 1 3

2 La suma de estos tres ángulos es igual a __________________ d) Completa la siguiente conjetura: La suma de las medidas de los ángulos ineriores de un riángulo es _____


54

unidad ii

•

Ahora, estudia la justificación deductiva de esta conjetura. Observa, que hemos agregado una recta auxiliar (Una recta auxiliar, es una recta que se agrega a un diagrama que ayuda en una demostración. Estas rectas se muestran en líneas interrumpidas). Teorema. La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo es ��°

B b

Hipótesis: ∠a , ∠b y ∠c, son ángulos

Tesis: ∠a + ∠b + ∠c = ��°

interiores del ∆ ABC.

A

a

c

La recta ℓ// AC, y los ángulos ∠�

�

y ∠� son elementos auxiliares.

A

C

B � b

a

l

c

C

Demostración

�. �. �.

4. �. �.

Afirmaciones: ∠a , ∠b y ∠c, son ángulos interiores de un triángulo. ℓ // AC ∠� + ∠b + ∠� = 180° ∠� = ∠a ∠� = ∠c ∠a + ∠b + ∠c = 180° Queda demosrado

Razones o justificaciones: �. Por hipótesis. �. �. �. �. �.

Por trazo auxiliar. Propiedad aditiva del ángulo. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas. Aplicando la propiedad de sustitución.

Para que consolides tu comprensión sobre este teorema, realiza la siguiente actividad:

Acvidad 8

Z

ℓ

z

a) Usando la siguiente figura, demuestra que ∠x +∠ y + ∠z = ��° x X

y

ℓ //XZ

Y

b) Si conoces la medida de dos de los ángulos de un triángulo, puedes hallar la medida del tercer ángulo. Explica por qué es cierto ésto y cómo se procedería para calcular el ángulo desconocido. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

matemáticas iii


•

Estudia el siguiente ejemplo:

55

D

Ejemplo

Encuentra la medida del ángulo D

43º

72º A

Solución

V

Explora. Se presenta una situación que involucra ángulos interiores de un triángulo. Conocemos dos ángulos. Se nos pide ∠D. Planifica. Si se aplica la propiedad de la suma de los ángulos interiores, se puede establecer una ecuación. Luego se resuelve la ecuación para la medida del ángulo desconocido. Resuelve, ∠ A + ∠V + ∠ D = ��°.

Por la propiedad de sustitución: ��° + ��° + ∠D = ��° Reducción de términos semejantes: ��° + ∠D = ��° ∠D = ��° - ��° = ��° Propiedad de sustracción:

.

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. En los ejercicios �-�, determina las medidas de los ángulos. �. p = _____ , q = _____ p

��º

q

��º ��º

�. x = _____ , y = _____

�. a = _____ , b = _____

��º ��º x y

��º

��º ��º

a

��º b

56


�. r = _____ , s = _____  = _____

unidad ii

•

�. x = _____ , y = _____

�. y = _____

85º x



s

�� –x

��º

y

�� + �x

�x y

40º

r

�. s = _____ s

��º

��. Explica por qué ∠ A y ∠ B son complementarios

�. m = ____

A

��º m B

C

11.

Encuentra la medida de ∠QPT

P

T

Q

S

R

��. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? A partir de este dato calcula la medida de los ángulos a , b , c , d y e , de la siguiente figura. Debes mostrar todo el procedimiento seguido.

a

b

e 125°

c

35° 132°

d 37°

81°

matemáticas iii


•

57

de los triángulos (): . Propiedades Triángulos isósceles. Triángulos isósceles Recuerda que un triángulo isósceles, es un triángulo que tiene al menos dos lados iguales. El ángulo que está entre los lados iguales se denomina ángulo del vértice. El lado opuesto al ángulo del vértice se llama la base. Los dos ángulos ormados por la base y uno de los lados iguales se llaman ángulos de la base.

Ángulo del vérice Ángulo de la base

Ángulo de la base Base

Realiza la siguiente actividad de exploración acerca de los ángulos de los triángulos isósceles:

Acvidad 9 a) Lee con atención las instrucciones para construir un triángulo isósceles (Repite los pasos): �. Dibuja en un papel, un ángulo agudo con vértice C.

C

�. Marca longitudes iguales sobre los lados del ∠C. Si es necesario, debes prolongar estos lados. Nombra los puntos A y B. Dibuja AB. Entonces, el ∆ ABC es isósceles, de base AB. �. Dobla el papel por C de tal manera que A coincida con el punto B. ¿Qué notas en ∠ A y ∠ B?

C

B

�. Con un transportador mide ∠ A y ∠ B.

A

�. Ahora, dibuja otros dos triángulos isósceles; uno con un ángulo del vértice obtuso y otro con un ángulo del vértice recto. Compara los ángulos de la base de cada triángulo. ¿Sucede lo mismo que en el caso del triángulo agudo isósceles?

C B

A

b) Completa la siguiente conjetura acerca de los triágulos isósceles: Si un riángulo es isósceles, enonces sus ángulos de la base son___________

Esta conjetura la aceptaremos como válida, por lo que estableceremos la siguiente propiedad: Propiedad del triángulo isósceles. Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales.

El inverso de esta propiedad también es válido. Inverso de la propiedad del triángulo isósceles. Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos a esos ángulos, son iguales.

58


unidad ii

•

Acvidad 0 a) Contesta correctamente: Los triángulos equiláteros también son isósceles, porque al menos dos de sus lados son iguales. ¿Cómo crees que se aplica la propiedad de los triángulos isósceles a los triángulos equiláteros? ¿Qué se puede decir acerca de los ángulos de un triángulo equilátero? _______________________________________________________________ __________________ _________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ________________ _______ __________________________________ ________________ ___________________________________ _____________________________ ____________ Tu respuesta debe establecer que los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales. Utiliza la siguiente figura para encontrar el valor de cada ángulo de un triángulo equilátero. equilátero. x x

∠x =

x

El resultado obtenido en esta actividad, nos permite establecer la siguiente propiedad. tr iángulo equilátero mide ��°. Propiedad del triángulo equilátero. Cada ángulo de un triángulo Ejemplo 1.

A partir de la figura, calcula las medidas de los ángulos: ángulos: ∠ A , ∠ D y la longitud de EC. A 7 cm

B

��º C � cm

E

��º

� cm D

Solución

Explora. Se presenta una situación que involucra ángulos interiores de dos triángulos, uno de ellos isósceles. Planifica y resuelve. Si se aplica la propiedad de la suma de los ángulos interiores en el ∠ ABC , se puede establecer establecer la ecuación: ecuación: ∠ A + ∠ B + ��° = ��°.

Además, en esta ecuación debemos considerar considerar que ∠ A = ∠ B. Entonces: ∠ A + ∠ B + ��° = ��° �∠ A + ��° = ��°. ��°.

matemáticas matemá ticas iii


•

59

Aplicando la propiedad de sustracción sustracción y de la la división:

∠A = 180° – 42° = 69° 2 Si se aplica la propiedad de la suma de los ángulos interiores en el ∆CDE , puede establecer establecer la ecuación: ∠ ECD + ∠ D + ��° = ��° ��° Pero, ∠ ACB y ∠ ECD son opuestos por el vértice, entonces son iguales. Por tanto ∠ ECD = ��°. Entonces, según la propiedad de sustitución tenemos: ��° + ∠ D + ��° = ��° Resolviendo obtenemos: ∠ D = ��°. Como ∠ ECD = ∠ D, ∆CDE es isósceles según el inverso de la propiedad del triángulo isósceles. Entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes, así que EC = ED = �cm.

Ejemplo 2.

Obtén en cada inciso los ángulos que se indican. a) El ángulo interior a.

b) El ángulo exterior b.

Solución

��°

82°

��° ��°

c) Los ángulo a y b.

a

b

c

36°

a b

Explora. En el inciso a), se presenta una situación que involucra a un ángulo interior de un triángulo, en el b) se pide un ángulo exterior y en el c) se buscan dos ángulos de la base de un triángulo isósceles, los cuales son iguales.

a) a + ��° + ��° = ��° a + ��°= ��° a = ��° – ��° a = ��°

b)) c + ��° + ��° = ��° b c) Puesto que a + b + ��° = ��° y a = b , podemos escribir, c = ��° – ��° – ��° c = ��° – ��° c = ��° b + b + ��° = ��° b + ��° = ��° b + c = ��° �b = ��° – ��° b + ��° = ��° �b = ��° b = ��° – ��° b = ��°/� b = ��° b = ��°

0


.

unidad ii

•

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades propiedades de esta esta lección. �. ∠T = ___

�. ∠G = _____

�. ∠x = _____

A

T

110º

R

38º

S

x

G

N

�. En la figura de la derecha, AB es paralelo a DC. a) Nombra el ángulo o los ángulos congruentes congruentes con ∠ A. b)) Nombra el segmento o los segmentos congruentes con BC. b

B

A

C

D

�. En la figura: a) Nombra el ángulo o los ángulos congruentes congruentes con ∠ DAB. b)) Nombra el ángulo o los ángulos congruentes con ∠ ADB. b

�. Demuestra que el ∆ PQR es es isósceles. Q T 70º R

B

D A

55º

P

C

S

�. En la figura, calcula el valor de x y el de y:

4y

2 x+ y

79 - x



•



de los triángulos (): . Propiedades Tercer ángulo, ángulos exterior y desigualdad triangular. Realiza la siguiente actividad que te permitirá explorar una propiedad importante de los ángulos de los triángulos.

Acvidad  a) Trata de contestar la siguiente pregunta: Si dos triángulos tienen tienen dos ángulos iguales, ¿cómo son entre si los dos ángulos restantes?__________________ y ��º x ��º

��º

��º

En los triángulos siguientes, calcula el valor de x y el de y. b) Establece tu conjetura: __________________ b) ____________________________________ _____________________________ ___________ ________________________________________________________________ c) Completa la siguiente demostración de esta conjetura: Teorema: Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, triángulo, entonces el tercer ángulo de uno de los triángulos es igual al tercer ángulo del otro. F

Hipótesis: ∠Α = ∠D y

E

C

∠Β = ∠Ε

Tesis: ∠C = ∠F

B A

D

Demostración �.

2. 3. 4. 5.

Afirmaciones ∠Α = ∠ D y ∠Β = ∠Ε ∠Α + ∠ B + ∠C = 180° ∠ D + ∠ E + ∠F = 180° ∠Α + ∠ B + ∠C = ∠ D + ∠ E + ∠F ∠ D + ∠ E + ∠C = ∠ D + ∠ E + ∠F

6. ∠ D + ∠ E + ∠C = ∠ D + ∠ E + ∠F ∠C = ∠ F Queda demostrado.

�. �. �. �. �.

Razones o jusificaciones Por hipótesi hipótesis.s. Teorema de los ángulos interiores interiores de los triángulos. Teorema de los ángulos interiores interiores de los triángulos. Propiedad transitiva. Propiedad de sustitución.

�. Propiedad de sustracción.

62


unidad ii

•

Ahora explorarás otra propiedad de los triángulos.

Acvidad 

Ángulo interior adyacente

Ángulo exterior

a) Lee con atención: Recuerda que para construir un ángulo exterior, se prolonga un lado más allá del vértice. Cada ángulo exterior de un triángulo, tiene un ángulo interior adyacente y un par de ángulos interiores no adyacente.

Ángulos interiores no adyacentes

Recordemos la malla triangular de la actividad � de esta lección. Los ángulos coloreados también siguen el siguiente patrón: Tomando en cuenta las marcas sobre los ángulos, observa que :

2 1

α

∠α =∠1 + ∠2 ∠� es adyacente a ∠α ∠� y ∠� son no adyacentes a ∠α

3

b) Establece una conjetura acerca del ángulo exterior ______________________________ _______________________________________________________________ c) Completa la siguiente demostración de esta conjetura: Teorema: La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. Hipótesis: ∠α es un ángulo exterior de un triángulo.

� �

�

Tesis: ________

α

Demostración Afirmaciones �. ∠α es un ángulo exterior. �. ∠� + ∠� + ∠� = ��°

�. ∠α + ∠� = ��° �. ∠α + ∠� = ∠� + ∠� + ∠� �. ∠α + ∠3 = ∠1 + ∠2 + ∠3 ∠α = ∠� + ∠�

Razones o jusificaciones

�. �. �. �.

Por hipótesis. _____________________ Forman un ángulo llano. ______________________

�. _____________________

matemáticas iii


•

63

Realiza la siguiente actividad para que descubras otra propiedad de los triángulos relacionada con sus lados:

Acvidad 

A

B C

Considera el primer conjunto de segmentos. Trata de construir un triángulo ABC.

A B

C

Procedimiento: a) Primero copia AB b) Para construir los otros dos lados del triángulo, tiende un arco de longitud CA, centrado en el punto A, y un arco de longitud CB centrado en el punto B.

A

B

A

B C

C

Para que los segmentos ormen un triángulo, el punto C tendría que estar en ambos arcos. Sin embargo, los dos arcos no se intersecan, así que es imposible construir un triángulo con las longitudes de lados AB, CA, y CB. G

Ahora intenta usar el segundo conjunto de segmentos para construir un triángulo GNH. ¿Puedes hacerlo? ¿Por qué sí o por qué no?

H

N N

G H

Aceptaremos la siguiente propiedad: Propiedad de la desigualdad del triángulo . La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. Estudia el siguiente ejemplo y completa: Ejemplo

Los siguientes conjuntos de números, representan las medidas de segmentos. Verifica la desigualdad triangular para cada caso. a) ��, ��, �� Solución

b) ��, ��, ��

c) ��, ��, ��.

Bosquejo

Prueba de la desigualdad

a) Es ¿�� + �� > ��? Sí Es ¿�� + �� > ��? No Es ¿�� + �� > ��? ___

��

b) Es ¿�� + �� > ��? Sí Es ¿�� + �� > ��? ___ Es ¿�� + �� > ��? ___

��

c) Es ¿�� + �� >��? ___ Es ¿�� + �� > ��? ___ Es ¿�� + �� > ��? ___

��

¿Triángulo?

��

No

��

Sí

��

_____

64


.

unidad ii

•

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. Presenta un argumento de por qué ∠α = ∠β.

β

α

�. En las siguientes figuras calcula el valor de x. a) ∠x =_____

b) ∠x = ____

x

66º

x

142º 158º

�. ¿Qué está mal en este dibujo?

160º 120º �. Explica por qué ∆ PQS es isósceles.

P

Q

2x

x

R S En los ejercicios � - �, determina si es posible dibujar un triángulo con lados de medida dadas. Si es posible, escribe si. Si no es posible, escribe no y da un argumento de por qué no es posible.

�. �� cm, �� cm, �� cm �. �� m, �� m, �� m

�. � km, �� km, �� km �. ��.� cm, ��.� cm, ��.� cm.

En los ejercicios �� y ��, usa un compás y una regla para construir un triángulo con los lados dados. Si no es posble, explica por qué no. ��. A B A

��.

B C C

P Q P

Q R R

matemáticas iii

.


•

65

Triángulos congruentes: denición.

Para explorar otro concepto importante, realiza la siguiente actividad:

Acvidad  b

a) Lee con atención:

a

c

En la malla triangular adjunta existen muchos triángulos, pero, ¿cuántos triángulos «dierentes» hay? ¿Hay triángulos con ángulos y lados «dierentes»? Analiza los cuatro triángulos remarcados. En uno de ellos suponemos conocidos los ángulos a, b y c , y los lados con marcas. A partir de estos datos y aplicando lo que sabes de sierras y escaleras, determina los ángulos y los lados de los otros dos triángulos remarcados. b) Completa: Todos los triángulos de la malla tienen sus ángulos respecc a tivos _____________ y sus lados ___________. Es decir, la malla b b puede ormarse con traslaciones y rotaciones de un sólo triángulo. O a c con traslaciones de los siguientes dos triángulos: Se dice que estos triángulos son congruentes o iguales. c) Trata de completar la definición de triángulos congruentes. Dos triángulos son congruentes si__________________________________________ ________________________________________________________________ d) Ahora, lee atentamente la definición de triángulos congruentes: Dos triángulos son congruentes o iguales si y solamente si, tiene exactamente el mismo tamaño y la misma orma. Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos y lados correspondientes son congruentes o iguales. C Simbólicamente:

Si ∆ ABC ≅ ∆ ABC entonces, ∠ A ≅ ∠ E , ∠ B ≅ ∠F , ∠C ≅ ∠G, AB ≅ EF , BC ≅ FG y CA ≅ GE

F A

El inverso de la definición también es vádida. Es decir, Si ∠ A ≅ ∠ E , ∠ B ≅ ∠F , ∠C ≅ ∠G, AB ≅ EF , BC ≅ FG y CA ≅ GE, entonces ∆ ABC ≅ ∆ EFG

B G

Si mediante traslaciones y rotaciones, uno de los triángulos se superpone encima del otro, todos los puntos de uno coincidirán con los puntos respectivos del otro. Esto significa que, Partes Correspondientes de Triángulos Congruentes son Congruentes o coinciden ( PCTCC ).

E

66


unidad ii

•

Lee con atención: cuando escribas una proposición de congruencia, siempre escribe las letras de los vértices correspondientes en un orden de manera que muestre la correspondencia. Por ejemplo, con reerencia a los triángulos anteriores, las afirmaciones ∆ ABC ≅ ∆ EFG y ∆CAB ≅ ∆GEF son correctas, pero ∆ ABC ≅ ∆FEG es incorrecta. Ejemplo

Encuentra los valores de x y de y de tal manera que ∆ MNO sea congruente a ∆ RST. O T N

15

58º 47 - 8x

R M

3 y - 20° S Solución

.

Puesto que ∆ MNO ≅ ∆ RST entonces ∠ N ≅ ∠S y MO ≅ RT La congruencia de ángulos y segmentos, significa medidas iguales. Por lo tanto: m∠ N = m∠S

MO = RT

�� = � y – �� = � y �� = y

�� – �x = �� – �x = –�� x = �.

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. Para los ejercicios �-�, usa los triángulos de la derecha en los que ∆ PQR ≅ ∆UST �. m∠ P = _ ___ U R �. m∠Q = ____ �. m∠ R = ____ �. TU = _ ___ �. SU = _ ___ 100º 5.0 cm �. RQ = _ ___ S 30º Q 4.0 cm

3.5 cm

T x + 7

P

�. En la siguiente figura encuentra el valor de x de tal manera que los triángulos sean congruentes.

3 x - 5

5 x - 1 1

matemáticas iii

.


67

•

Postulados o criterios de congruencia

Lee con atención: La definición de congruencia de triángulos, establece que, si se dibuja un segundo triángulo con los tres lados y los tres ángulos congruentes con aquellos de un primer triángulo, el segundo triángulo será congruente con el primero. Esencialmente será el mismo triángulo. Pero, ¿Se requieren estos seis elementos para garantizar la congruencia? ¿Son congruentes dos triángulos si sus tres ángulos son iguales? ¿ Los triángulos son iguales si conocemos dos lados y un ángulo? ¿Y si conocemos tres lados? En esta lección encotrarás las respuestas a estas preguntas.

Empezaremos estudiando los siguientes conceptos previos: a) Antecedentes para comprender la terminología implicada en los criterios de congruencia: C

Dos lados comprenden un ángulo si el vértice de éste es un extremo de ambos lados.

b

C a

b

a

B A B A c c Los lados b y c com- Los lados a y c no comprenden al ángulo A. prenden al ángulo A. C

Dos ángulos comprenden un lado si los extremos del lado son vértices de los dos ángulos.

b

C a

b

a

B A B c c Los ángulos A y B com- Los ángulos A y B no prenden al lado c. comprenden al lado a.

A

b) Antecedentes para comprender la existencia de elementos mínimos que determinan un triángulo: •

Un segmento queda determinado por dos puntos : A

B

Significa que si tenemos dos puntos, sólo es posible dibujar un segmento, en el sentido de que si más de un segmento pasa por esos puntos, todos coincidirán, o si dibujamos en otro lado esos dos puntos, en posiciones idénticas, los segmentos que tracemos sobre ellos serán congruentes todos entre sí y con el original. En contraparte, un punto no determina un segmento; es decir, dado un punto (por ejemplo el punto A), por el pasan infinidad de segmentos. A

68

•


unidad ii

•

Un triángulo queda determinado por tres puntos no colineales: Significa que si tenemos tres puntos ( A , B y C), sólo es posible dibujar un triángulo, en el sentido de que si trazamos más de un triángulo por esos puntos, todos coincidirán, o si dibujamos en otro lugar esos tres puntos, en posiciones idénticas, los triángulos que tracemos sobre ellos serán congruentes todos entre sí y con el original.

C

A

B

En contraparte, dos puntos no determinan un triángulo; es decir, dados dos puntos (por ejemplo A y B), por ellos pasan infinidad de triángulos. A

•

Una circunerencia queda determinada por tres puntos, no colineales:

B

A B

Significa que si tenemos tres puntos ( A , B y C), sólo es posible di bujar una circunerencia sobre la dibujada, o si dibujamos en otro lugar esos tres puntos, en posiciones idénticas, las circunerencias que tracemos sobre ellos serán congruentes todas entre sí y con la original. En contraparte, dos puntos no determinan una circunerencia; es decir, dados dos puntos (por ejemplo A y B), por ellos pasan infinidad de circunerencias.

C

A B

Intenta dibujar dos circunerencias dierentes a la que pasa por A y B. Ahora, utilizaremos las ideas anteriores para estudiar los criterios o postulados de congruencia de triángulos. Estos criterios de congruencia, son las condiciones que determinan el trazado de triángulos. ¿Cuál es la importancia de estos criterios? La importancia estriba en que, conocidos ciertos elementos de los triángulos, automáticamente los restantes son iguales. Ésto ue aplicado por Tales de Mileto (�� a. C.) para resolver el siguiente problema:

¿A qué disancia del puero se encuenra un barco?

Puerto

matemáticas iii


69

•

Para resolver este problema, tales utilizó el siguiente postulado: « dos riángulos son iguales si ienen dos ángulos y un lado respecivamene iguales». ¿Qué ángulos del ∆ BOE son iguales a los del ∆ DPE? ______________ ¿Por qué?___________ Se trata de calcular la distancia OB. Tales planteó el siguiente procedimiento: Una persona observa el punto B y camina perpendicularmente a OB , hasta el punto E , que marca con una estaca, y sigue caminado una distancia EP igual OE. Finalmente camina, perpendicularmente a OP , hasta D, punto desde el que se ven en línea recta los puntos B , E y D. Puesto que: ∠O = ∠ P , OE = EP y ∠OEB= ∠ PED , los triángulos son iguales. Por tanto, la distancia buscada OB , es igual a PD que se puede medir.

B Barco

Mar Puerto

O

E

P

D

La siguiente actividad (realizada con ayuda de tecnología), tiene por objetivo el que explores las condiciones que determinan a un triángulo. En otras palabras, vas a descubrir cuáles son los criterios de congruencia en triángulos.

Acvidad  Para explorar los denominados criterios de congruencia en triángulos, utilizarás una aplicación que aparece en la siguiente dirección:

Uliza GeoGebra

htp://illuminaions.ncm.org/AciviyDeail.aspx?ID=�.

�. Ingresa a ésta dirección, revisa cada una de las partes que aparecen, construye varios triángulos eligiendo tres de sus elementos. � Elige un lado, un ángulo y un lado ( LAL ) en ese orden, y orma un triángulo. Sin cambiar medidas orma varios triángulos y contesta la siguiente pregunta: Preguna �. Si para construir triángulos usas un lado, un ángulo y un lado ( LAL ) varias veces sin cambiar medidas, ¿puedes encontrar algún triángulo que no sea igual a los demás?

�. Ahora elige un ángulo, un lado y un ángulo ( ALA ) en ese orden y orma un triángulo. Sin cambiar medidas orma varios triángulos y contesta la pregunta dos. Preguna �. Si para construir triángulos usas un ángulo, un lado y un lado ( ALA ) varias veces sin cambiar medidas, ¿puedes encontrar algún triángulo que no sea igual a los demás?

�. Elige tres lados ( LLL) y orma un triángulo. Sin cambiar medidas orma varios triángulos y contesta la pregunta tres.. Preguna �. Si usas tres lados ( LLL) varias veces sin cambiar medidas, ¿puedes encontrar algún triángulo que no sea igual a los demás?

0


unidad ii

•

�. Elige un lado, otro lado y un ángulo ( LLA ) y orma un triángulo. Sin cambiar medidas orma varios triángulos y contesta la pregunta �. Preguna �. Si usas dos lados y un ángulo ( LLA ) varias veces sin cambiar medidas, ¿puedes encontrar algún triángulo que no sea igual a los demás?

�. Finalmente elige tres ángulos ( AAA) y orma un triángulo. Sin cambiar medidas orma varios triángulos y contesta la pregunta �. Preguna �. Si usas tres ángulos ( AAA) varias veces sin cambiar medidas, ¿puedes encontrar algún triángulo que no sea igual a los demás?

�. Haz un resumen de tus hallazgos.

Ahora, ya podemos establecer los denominados postulados o criterios de congruencia: Criterio de congruencia Lado-Ángulo-Lado (LAL). Si dos lados y el un ángulo comprendido de un triángulo son congruentes a dos lados y al ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. F

B

Δ BAC ≅ ΔFDE por LAL

A

C

D

E

Interpretación: Si AB ≅ DF, ∠ A ≅ ∠ D y AC ≅ DE , automáticamente se cumple que: BC ≅ FE, ∠ B ≅ ∠F y ∠C ≅ ∠ E. Criterio de congruencia Ángulo-Lado-Ángulo (ALA ). Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. B

F Δ BAC ≅ ΔFBD por ALA

A

C

D

E

Interpretación: Si ∠ A ≅ ∠ D , AC ≅ DE y ∠C ≅ ∠ E, automáticamente se cumple que: AB ≅ DF ∠ B ≅ ∠F y BC ≅ FE.

matemáticas iii


•



Aplicando la propiedad del tercer ángulo, y el criterio ALA , se puede establecer que AAL es criterio de congruencia. Medita esta cuestión. A continuación establecemos el criterio de criterio de congruencia AAL (o LAA). Criterio de congruencia Ángulo-Ángulo -Lado (AAL o LAA). Si dos ángulos y un lado no comprendido de un triángulo son congruentes con los ángulos correspondientes y el lado de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. B

F

A

∆ BAC ≅ ∆FDE , por AAL o LAA.

E

D

C

Criterio de congruencia Lado-Lado-Lado (LLL). Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. B

F

A

∆ BAC ≅ ∆FDE , por LLL

E

D

C

Interpretación: Si AC ≅ DE , AB ≅ DF y BC ≅ FE , automáticamente se cumple que: ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠F y ∠C ≅ ∠ E. Ejemplo

Usando solamente la inormación dada, determina cuáles de los siguientes triángulos son congruentes. B

C

Y

P

�

�

W A Q

� S

T

72


unidad ii

•

Usando solamente la inormación dada, determina cuáles de los siguientes triángulos son congruentes.

Solución

Comparando � y �: Como AB ≅ WQ, ∠ B ≅ ∠Q y BC ≅ QS, Δ ABC ≅ ΔWQS Según LAL : Comparando � y �: Se afirma que PT ≅ CB, PY ≅ AC y ∠ B ≅ ∠T . Es decir aparece LLA , pero ésto no es un criterio de congruencia. Comparando � y �: Sólo se sabe que ∠Q ≅ ∠T y QS ≅ PT . Ésto no es suficiente inormación para concluir que los triángulos son congruentes. Ejemplo

Completa cada proposición y especifica qué criterio se usa para determinar que los triángulos son congruentes. D W a) ΔADB ≅ Δ ____ b) ΔSTU ≅ Δ ____ S A

C

U V

T B Solución

a) Como ∠ A ≅ ∠C , ∠ ADB ≅ ∠CDB , y BD ≅ BD , Δ ADB ≅ ΔCDB , según LAA. b) Hay dos ormas en las que podríamos razonar este problema. Como ST y WV son paralelos, ∠S ≅ ∠V y ∠T ≅ ∠W . Se afirma que TU ≅ WU. Por lo tanto ∆STU ≅ ∆VWU , según LAA. ∠SUT ≅ ∠VUW porque son ángulos opuestos por el vértice. ∠T ≅ ∠W porque ST y WV son paralelas. Se afirma que TU ≅ WU . Por lo tanto ∆STU ≅ ∆VWU , según ALA . •

•

.

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. ¿Por cuál de los tres postulados de congruencia ( LAL , ALA , LLL ) son congruentes los siguientes pares de triángulos? a)

b)

c)

matemáticas iii


•

73

En los ejercicios �-�, usa la inormación dada para hacer marcas sobre los triángulos y verificar que los triángulos indicados son congruentes. En cada caso, escribe el criterio. �. M es punto medio de AB y de PQ , AP = PB; ∆ APM ≅ ∆ BQM. Por el criterio____

�. KI = TI y TE = KE. ∆ KIE ≅ ∆TIE. Por el criterio____

M

Por el criterio____

T

Q

A

�. PO // IT, IP = TO ∆ PIT ≅ ∆TOP

P

I

P

E

B

Por el criterio______ A

I

K

�. AB // VU, AC // ZU, BZ = CV, ∆ ABC ≅ ∆UVZ.

O

�. QS ⊥ QU , TU ⊥ TS, R es punto medio de ST, ∆QSR ≅ ∆TUR Por el criterio______

�. NO // MP, NO = MP ∆ MNP ≅ ∆OPN. Por el criterio______

V

T

Q

C

N

R

O S

Z B

U

M

P

T U

Q

�. PS ⊥ QR, PS es biscectriz de ∠ PQS. ∆ PQS ≅ ∆ PRS. Por el criterio______

P

S R

.

Aplicaciones de los criterios de congruencia: partes correspondientes de triángulos congruentes

Lee con atención: Una vez que hayas establecido que dos triángulos son congruentes, sabes que sus partes correspondientes son congruentes. La proposición pares correspondienes de riángulos congruenes son congruenes se abrevia PCTCC.

Estudia con atención el siguiente ejemplo. Observa que el argumento explica primero por qué los triángulos involucrados son congruentes. B C Ejemplo 1

En la siguiente figura, se sabe que O es punto medio de AB y de CD. Da un argumento lógico para explicar por qué AC = BD.

O A

D


74

Solución

unidad ii

•

Razonamiento:

Puesto que AC y BD son parte de los Δ AC O y Δ BDO , primero debemos justiicar que Δ ACO ≅ Δ BDO y después usaremos PCTC para concluir que AC = BD. De los datos tenemos que AO = OB porque O es punto medio de AB. Tam bién, CO = OD por la misma razón. Además, de la igura ∠ AOC = ∠ BOD por ser opuestos por el vértice. Por lo tanto se cumple el criterio LAL; de aquí concluimos que Δ ACO ≅ Δ BDO y entonces AC = BD. B C O A

D

Ejemplo 2

A

��

Da un argumento lógico para explicar por qué BE = DE. Se sabe que AE es bisectriz de ∠ BAD. Solución

A

�

�

B

B

Razonamiento:

D C

E

Puesto que BE y DE son parte de los Δ ABE y Δ ADE , primero debemos justificar que Δ ABE ≅ Δ ADE y después usaremos PCTCC. para concluir que BE = DE. De los datos tenemos que AB = AD y ∠� = ∠� porque AE es bisectriz del ∠ BAD. También, AE = AE por ser un lado común a los triángulos de D interés y por la propiedad reflexiva. Por lo tanto se cumple el criterio LAL ; de aquí concluimos que Δ ABE ≅ Δ ADE y por lo tanto BE = DE. C E A

Ejemplo 3

A

Da un argumento lógico para explicar por qué ∠B = ∠C , si se sabe que AB=AC y D es punto medio de BC. B Solución

D

C

B

D

C

Razonamiento: ∠ B y ∠C son parte de los Δ BAD y ΔCAD respectivamente. Probando que ΔBAD ≅ ΔCAD podemos concluir que ∠ B = ∠C. De los datos tenemos que AB=AC ; además, BD=DC porque D es punto medio de BC. También, AD=AD por ser un lado común a los triángulos de interés y por la propiedad reflexiva.

Por lo tanto se cumple el criterio LLL; de aquí concluimos que Δ BAD ≅ Δ CAD y por lo tanto ∠ B = ∠C.

matemáticas iii

.


•

75

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. En los ejercicios � y � usa las figuras de la derecha para explicar por qué cada igualdad es verdadera. C R Q B �. ∠ A = ∠ P �. BC = QR A

P Para los ejercicios � - �, repite las figuras y márcalas con la inormación dada. Para justificar que los segmentos o los ángulos son iguales, justifica que los dos triángulos son congruentes.

�. Datos: ∠� = ∠� y AB es bisectriz de ∠CBD. ¿ BC = BD? ¿Por qué?

C

�. Datos: FD = DB y AF // BC ¿FE = BC ? ¿Por qué? F m

1 A 2

a

E

B

D

C b n

D

B

A

�. Datos: AD // BC y AB // DC ¿ AB = DC? ¿Por qué? D C a c d A

�. Datos: M es el punto medio de WX y YZ ¿Es YW = ZX ? ¿Por qué? Y X M

b

Z

W

B

C

�. Datos: XO es mediatriz de MP ¿ XM = XP? ¿Por qué?

M

�. Δ ABC es isósceles y CD es bisectriz del ángulo del vértice ¿Es AD = BD? ¿Por qué? ________

X

� � O

P

A

D

B

76


unidad i

•

AUTOEVALUACIÓN  Sigue cada una de las siguientes instrucciones para que te autoevalúes. Parte I. Logro de competencias disciplinares. Competencia �. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las TICS. ��: A continuación, para que demuestres tus avances en el logro de la competencia �, resuelve el siguiente problema. La trisección del ángulo

Dado un círculo con centro O y radio r, y una cuerda AB; se toma el punto C sobre la recta AB de tal manera que BC = r, se traza la recta CF que pasa por el centro de la circunerencia. A

Demuestra que: ∠ BOC = 1 ∠ BOF 3

r F

r

B

r

C

O

Parte II. Saber conocer y saber hacer:

��: Para que valores tus logros según los indicadores de desempeño, coloca una √ en en la celda de la derecha en cada indicador y calcula el total. Desempeño Bueno (�) Defino y clasifico triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos. Identifico y enuncio los criterios de congruencia de triángulos, LAL, ALA , AAL y LLL. Utilizo las tecnologías de la inormación, para construir triángulos, así como las rectas y puntos notables. Utilizo las tecnologías de la inormación, para explorar las propiedades de los triángulos y los criterios de congruencia. Justifico las propiedades de los triángulos. Aplico los criterios LAL , ALA , AAL y LLL para verificar congruencia entre triángulos y entre partes correspondientes de triángulos congruentes. Aplico las propiedades de los triángulos en la resolución de problemas geométricos.

Regular ( �)

Malo (�)

matemáticas iii


•

77

Parte III. Saber ser: A) Evaluación de competencias genéricas. Competencia �. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Competencia �. participa y colabora de manera eectiva en equipos diversos ��: Reflexiona sobre tu trabajo individual y en equipo, y en los rasgos correspondientes, determina si cumpliste o no marcando con una  en el espacio correspondiente.

Seguí instrucciones y procedimientos de manera reflexiva. Sí No

Comprendí cada uno de los pasos y etapas del proceso. Sí No

Contribuí al alcance del objetivo propuesto. Sí No

Aporté puntos de vista con apertura. Sí

No

Consideré los puntos de vista de otras personas de manera reflexiva. Sí No

B) Emociones.

�. Escribe las dos cosas más importantes de matemáticas que hayas aprendido durante el mes pasado. �. Escribe un problema particular que te haya parecido diícil. �. ¿En qué te gustaría tener más ayuda? �. En este momento, ¿cómo te sientes en tu clase de matemáticas? (Señala las palabras que se apliquen). a. Interesado b. Relajado c. Preocupado [ ] [ ] [ ] d. Exitoso e. Conundido . Inteligente [ ] [ ] [ ] g. Feliz h. Aburrido i. Apremiado [ ] [ ] [ ] j. Escribe tu propio estado de ánimo. ____________________________ �. En este momento, ¿cuál es la mayor preocupación que aecta tu trabajo de matemáticas? �. ¿Cómo podríamos mejorar las clases de matemáticas?

B

m � � �

A

E � � m

D C


Semejanza de m triángulos y teorema � � � a l a . u g s i t e t o s e s a a g o r t e n u s l o s c a á de Pitágoras t i o e e P h i p s d a d e l a r a d o � m o r e r a d o d s c u a d a � + b e T a d l o � =

e u E l c u m a d l a s

c

•

•

•

•

•

•

•

b

E

Reconoce y usa razones y proporciones en contextos diversos. Identifica triángulos semejantes y la proporcionalidad entre sus lados homólogos. Define triángulos semejantes. Identifica y enuncia los criterios de semejanza AA , LAL y LLL. Utiliza las tecnologías de la inormación, para explorar triángulos semejantes y criterios de semejanza. Aplica los criterios de semejanza ( AA , LAL , LLL) para verificar la semejanza de triángulos. Aplica triángulos semejantes en la determinación indirecta de distancias. Aplica la media proporcional (o geométrica) para resol ver problemas. Aplica el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras y su recíproco, en la resolución de problemas.


Acvidad preliminar ¿Por qué es importante estudiar esta unidad? Son muchas las aplicaciones de la semejanza de triángulos que tienen que ver con medición indirecta de distancias. Por ejemplo, en óptica en el estudio de los espejos, es necesario establecer órmulas que relacionan el tamaño de la imagen, y el del objeto, con las distancias que recorren los rayos de luz. Estos rayos de luz, orman triángulos semejantes, y la teoría de estos triángulos, permite establecer órmulas usadas para describir tales enómenos. Por ejemplo, las siguientes figuras se utilizan para establecer la órmula de espejos cóncavos para imágenes reales: 78

A

n c e s AC e n t o BC = A B = F D E S i D F E

D


Indicadores de desempeño

•

F

a

Analiza las relaciones de semejanza de triángulos y relación pitagórica, y las aplica en la modelación y resolución d e pro blemas de su entorno, de una manera crítica y reflexiva .

•

c

B

C � Competencias genéricas a desarrollar

C E

∆ D F BC ~

A

E �.� Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representación � + � x simbólica. A �.� Maneja las tecnologías de la inormación y la comunicación para obtener inormación y expresar ideas, de manera responsable y respetuosa. � �.� Utiliza las tecnologías de la inormación y comunicación para procesar e B interpretar inormación. �.� Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. �.� Elabora conclusiones y ormula nuevas interrogantes, a partir de retomar evidencias teóricas y empíricas. �.� Evalua argumentos y opiniones e identifica prejuicios y alacias. �.� Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. �.� Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. �.� Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

O

d I

� x

3

Uliza GeoGebra

unidad

O

d´−  d´

I

D

– �

 F d΄

Para obtener la órmula, se hace uso de la comparación de los triángulos semejantes. En las figuras se han trazado rayos que han dado lugar a los triángulos semejantes que se van a comparar. En la figura de la izquierda se cumple que: I = d´ O d En la figura de la derecha se cumple que: I = d´ –  O  ¿Por qué estos triángulos son semejantes? ¿Qué implica que sean semejantes? En el estudio de esta unidad obtendrás las respuestas a estas preguntas. Por el momento, puedes resolver la primera actividad.

Acvidad  Utiliza tus conocimientos previos para demostrar, a partir de las expresiones anteriores, la siguiente órmula de los espejos cóncavos para imágenes reales. �=�+ � d  d´ 79

80

semejanza de triángulos y teorema de pitágoras

.

unidad iii

•

Razones y proporciones

Lee con atención y contesta correctamente. Los lados de la Bandera Nacional están en proporción cuatro a siete. No importa de que tamaño se haga, deben mantenerse dichas proporciones. Dibuja en tu cuaderno una Bandera Nacional. A continuación, recordarás el significado de razón y proporción. Una razón es una expresión de la orma a , b ≠ �, b donde a y b son números reales que están expresados en las mismas unidades. En otras palabras, una razón es la comparación de dos cantidades por cociente. Algunas veces esta razón se escribe a:b y se lee: «a es a b». Por ejemplo, el rectángulo de la derecha tiene � cm de largo por � cm de ancho; por lo tanto, la razón de la longitud a la anchura es: � o � : � y se lee «� es a �». � Ésto significa que la longitud mide el doble que el ancho.

m c �

� cm

Una proporción es una igualdad entre dos razones son iguales. Por ejemplo, considérense los siguientes rectángulos: � cm

� cm � cm

�� cm

Si se establecen las razones entre los lados de estos rectángulos, se observa que son iguales: �� = � �

Esta igualdad se denomina proporción, porque se compone de dos razones iguales y se dice que los rectángulos tienen lados proporcionales.

Se dice que las razones a y c son proporcionales o están en proporción si a = c , b ≠ �, d ≠ �. b d b d Esto, también se escribe a:b = c:d y se lee «a es a b como c es a d». En la situación problema inicial, se indica que toda Bandera Nacional debe estar en proporción � por �. Esto significa que toda bandera con dimensiones a de ancho y b de largo, debe cumplir la siguiente proporción:

a b

a � = b �

matemáticas iii


•

8

¿Cómo se mantiene esta proporción? Multiplicando o dividiendo tanto el numerador como el denominador por la misma cantidad. Así, una bandera puede ser de � por �.� o de � por ��. Lo anterior significa que si dibujamos dos o más banderas, sus lados son respectivamente proporcionales. Lee con atención el significado de segmentos proporcionales. Dos segmentos son proporcionales a otros dos cuando las razones de sus medidas son iguales. Por ejemplo, dibujemos dos banderas:

H

G

D

C

8

4 A

7

B

E

14

F

Si dividimos cada lado de la bandera de la izquierda con el lado respectivo de la bandera de la derecha obtenemos: � � AB Por lo tanto: = = EF �� BD � � = = DH � � AB BD (Esta expresión significa que los lados = involucrados son proporcionales) EF FH Contesta correctamente �, �, �, � ¿son proporcionales a �, �, � y ��? ¿Por qué? Lee con atención.

En la proporción a = c , b d las cantidades a y d se llaman extremos de la proporción y c y b se llaman medios de la proporción. a : b = c : d

Medios Extremos Estudia a continuación, las propiedades de las proporciones. Propiedad fundamental. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Si a = c , entonces ad = bc b d

82


unidad iii

•

La propiedad undamental, puede utilizarse para verificar si dos razones orman una proporción: Ejemplo

Comprueba si las siguientes razones orman una proporción a)

Solución

� �� = � ��

b)

� � = � �

Si los productos cruzados son iguales, las dos razones orman una proporción a) �(��) = �(��) �� = �� Correcto. � �� es proporción. = � ��

b) �(�) = �(�) � = �� = � �

Incorrecto. no es proporción.

Intercambio de medios o de extremos. En toda proporción, si se intercambian los medios o los extremos, la proporción se mantiene.

Si a = c , entonces a = b . b d c d

O bien: b = c . d a

Invertir razones. En toda proporción, pueden invertirse las razones.

Si a = c , entonces b = d a c b d

Para el despeje de incógnitas, el producto cruzado es el que más se usa. Ejemplo

Hallar x en cada una de las siguientes proporciones: a) Solución

� �� = � x

b)

�� x = � x

Si los productos cruzados son iguales, las dos razones orman una proporción b) �� = x a) � = �� x � x �� × � = (x)(x) �(x) = � × �� x� = �� × �� x = √�� x = � × �� x = � x = ��

matemáticas iii

.


•

83

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. Completa correctamente. a) Se da el nombre de proporción a la igualdad que se establece entre___________________ b) En toda proporción la igualdad que se establece entre el producto de los medios y el producto de los extremos se conoce como _________________________________________ c) En la proporción: AB = MN , intercambia los medios __________________________ CD PO d) En la proporción: AB = MN , intercambia los extremos _________________________ CD PO e) En la proporción: AB = MN , invierte las razones. _____________________________ CD PO �. Expresa en orma de cociente las siguientes razones. a) �� es a � b) �� es a �� c) � es a �.��

d) � es a �.�

�. Forma una proporción con los números ��, ��, �� y ��. �. Identifica los medios y los extremos en la proporción: �� = �� . Comprueba si orman una proporción: a) � = ? b) ? = � c) �� = �.� � �� .� � �� ?

d) �.�� = �.� � ��

�. Encuentra el término desconocido en las proporciones siguientes. a) � = �� b) � = �.� c) � = �.� � �� . Despejar x en las siguientes proporciones. a) x –� = � b) –� = x –� � � x x

c) �x = � = � � �

�. En la figura de la derecha AB = AD utiliza proporciones para completar la tabla. Hacer una figura los datos de cada renglón. CD PO AB �

BC � ��

AD

��

DE ��

��

AC

��

AE

��

A

D E B C

84


.

unidad iii

•

Denición de triángulos semejantes

Lee con atención

Si se dispone de un mapa a escala, entonces la figura del mapa es semejante a la figura que representa. E Por ejemplo, imaginemos que el dibujo de la derecha, es realmente un lugar de la Tierra que estamos observando y que trazamos el triángulo DFE para determinar la distancia DE.

D

Ahora, supongamos que el siguiente di bujo es una otograía tomada del lugar. ¿Cuánto mide DE?

�� mm

A

�� mm

�� m

F

B C

Una figura a escala, tiene la misma orma que la original pero dierente tamaño. Sin embargo, las medidas esán en proporción. Entonces, la razón entre cualesquier segmento del dibujo realizado, entre el segmento homólogo del dibujo original, permite calcular distancias de interés. Por convención, la escala es una racción en la que el numerador representa una magnitud en el dibujo, y el denominador, la magnitud real del objeto representado. Las dos magnitudes deben expresarse en la misma unidad de medida. Escala: Magniud de un segmeno en el dibujo = �� mm = �� mm = � �� m �� mm �� Magniud real del objeo represenado

Cualquier cociente entre segmentos homólogos debe ormar una proporción con la escala. Entonces: AB = � DE �� Sustituyendo el valor de AB: �� mm = � . �� DE Ahora, despeja DE: _______________________________ _______________________________ Lee con atención la definición de lados homólogos: Lados homólogos (o correspondientes) son lados que se oponen a ángulos iguales, o lados comprendidos entre ángulos iguales.

matemáticas iii

B

F

A

85

El homólogo de AB es DF El homólogo de AC es DE El homólogo de BC es FE

D

C


•

E

Acvidad  a) Determina las parejas de lados homólogos en la siguiente figura (primero debes poner marcas iguales a los ángulos iguales). M El homólogo de MN es ______ El homólogo de MO es ______ El homólogo de NO es ______ P N O F

Q

b) Observa los siguientes triángulos. C

A

B

D

E

c) Compara los ángulos de uno con los del otro. Puedes calcar uno de los triángulos en un pedazo de hoja suelta y superponerlo en el otro triángulo o medir cada ángulo con un transportador. ∠ A = ∠ ____ ∠B = ∠ ____ Conclusión: Los triángulos tienen tres ángulos respectivamente___ C = ____ ∠ ∠ d) Ahora, mide con precisión milimétrica cada uno de los lados y completa las siguientes razones: DE FE = = AB BC DF = AC Los triángulos tienen lados homólogos________________ los lados del segundo triángulo miden el ______ que sus lados homólogos del primero. En resumen, los dos triángulos de la actividad cumplen con dos condiciones: �. Tienen sus tres ángulos respectivamente__________ �. Sus lados homólogos son _____________________

86


unidad iii

•

Lee con atención: Diremos entonces, que dos triángulos son semejantes, si sus ángulos respectivos son iguales, y sus lados homólogos son proporcionales. La semejanza se representa por el símbolo ∼ . B

Si ∠ A = ∠ D , ∠ B = ∠F , ∠C = ∠ E y AB AC BC = = = k, DF DE FE entonces ∆ ABC ∼ ∆ DFE A

C F

D

(Se lee: el triángulo ABC es semejante al triángulo DFE) E

El símbolo k es la razón de semejanza, es decir, el cociente entre dos lados homólogos cualesquiera.

Debemos observar que los triángulos congruentes o iguales tienen igual orma e igual tamaño, pero los trtiángulos semejantes tienen igual orma pero no necesariamente igual tamaño. Las propiedades de las proporciones se pueden utilizar para resolver problemas que tengan que ver con triángulos semejantes. Estudia el siguiente ejemplo. Ejemplo

Si el triángulo MRS es semejante al triángulo QTL. Determina los valores de x y y. S x

M Solución

��

y + � R

L �

� Q

�

T

Ya que los triángulos son semejantes, los lados homólogos son proporcionales. De este modo, podemos escribir proporciones para encontrar los valores de x y y. Escribe una proporción tal que invoEscribe una proporción tal que involucre números y la variable x. lucre números y la variable y. a) MR = MS QT QL x �� = � �

�� = �x ��.� = x

b) MR = RS QT TL �� y + � �= � �� = � y + � �� = � y x = y

matemáticas iii

.


•

87

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. En la siguiente figura decide si ∆ ABC ~ ∆ ADE. Justifica tu respuesta. A

�

�

D

E

4

� B

� C

8

En cada una de las siguientes figuras, calcula la longitud de los segmentos indicados. Todas las medidas están en centímetros. M C �. ∆TAR ~ ∆ MAC � MC = ______ A � T R � �. ∆ XYZ ~ ∆QRS QR = ____ QS = _____

Y

X

�. ∆ ABC ~ ∆ EDC CD = ____ AB = _____

�.� Q

Z

��.�

B

A

R

��.�

��.�

E

� ��.� C

��.�

�.� D T

�. ∆TRS ~ ∆TQP TS = ____ QP = _____

R

�� Q

� ��

S

�� P

S

88


.

unidad iii

•

Postulados o criterios de semejanza

Lee con atención:

La definición de semejanza exige dos cosas: �) Los ángulos respectivos deben ser iguales, y �) Los lados homólogos deben ser proporcionales. Pero, de manera análoga al concepto de congruencia existen criterios para determinar la semejanza de triángulos, los cuales explorarás a continuación.

Acvidad  a) Dibuja dos triángulos que tengan dos ángulos iguales ( AA). Puedes usar el Geogebra. Triángulo ∆ DEF con ∠ D = �� º y ∠F = ��º Triángulo ∆ RST con ∠T = �� º y ∠S = ��º

Uliza GeoGebra

b) Mide con precisión milimétrica DF, ED, EF, TS, RT y RS. c) Calcula las razones: DF , ED y EF TS RT RS d) Completa los cuadros siguientes: Ángulos del ∆ DEF ∠ D = ∠F = ∠ E = ∠T = ∠S = ∠ R = Ángulos del ∆ RST Los tres ángulos del ∆ DEF son ___________ a los tres ángulos del ∆ RST respectivamente.

DF = ED = EF = TS RT RS Los lados homólogos son ________

e) Dibuja otra pareja de triángulos con dos ángulos iguales y lados dierentes. Repite un cuadro parecido al anterior. ¿Será que todas las parejas de triángulos con dos ángulos iguales tienen lados homólogos proporcionales? La actividad de exploración sugiere el siguiente postulado: Postulado de semejanza AA (ángulo-ángulo) Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. Si ∠ A = ∠ D y ∠ B = ∠ E , entonces ∆ ABC ~ ∆ DEF C F

A

B

D

E

matemáticas iii


•

89

Una conclusión importante de ésto, es que, automáticamente los lados son proporcionales. Es decir, podemos asegurar que: AB = AC = BC DE DF EF Ejemplo

Dado: AB //CD, AB = �, AE = �x + � , CD = � y ED = �x – �

Determina AE y DE.

C A

�x + �

E

�

� �x – �

B

D Solución

Puesto que AB //CD, se cumple que ∠ A = ∠ D y ∠ B = ∠C por ser ángulos alternos internos entre paralelas; por lo tanto, ∆ ABC ~ ∆ DCE por el criterio AA. Entonces podemos plantear la proporcionalidad entre lados homólogos: AB = AE = BE CD DE CE � �x + � = x � � – � �(�x – �) = �(� x + �) ��x – � = �� x + � �x = � x = � AE = (�x + �) = �(�) + � = �

Por sustitución Productos cruzados Propidad distributiva Sustrae 12x y suma 3 a cada lado. Divide cada lado por 3. ED = �x – �) = �(�) – � = ��

Existen dos postulados más de semejanza Postulado de semejanza LLL (lado-lado-lado) Si las medidas de los lados homólogos de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Si AB = BC = AC entonces ∆ ABC ~∆ DFE DF EF DE

B F D

E A

C

Una conclusión importante de ésto, es que, automáticamente los ángulos son iguales. Es decir, podemos asegurar que: ∠ A =∠ D, ∠ B = ∠F y ∠C = ∠ E.

90


unidad iii

•

Postulado de semejanza LAL (lado-ángulo-lado)

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo y los ángulos comprendidos entre estos lados son iguales, entonces los triángulos son semejantes. F C Si AC = AB y ∠ A = ∠ D, DF DE entonces ∆ ABC ~∆ DEF D E A B En orma automáticamente se cumple que: ∠ E =∠ B, ∠F = ∠C y EF = AC. ¿Cuál postulado utilizar? Ésto, dependerá de los datos que tengamos. Estudia los siguientes ejemplos Ejemplo 1

¿Son semejantes los siguientes triángulos? �� A ��

B

��

D

��

E

��

��

C F Solución

¿Cuál postulado investigar? Observando que no conocemos ningún ángulo debemos investigar el postulado LLL. �� =? �� =? �� Simplificando obtenemos: � = � = � � � � Por tanto, los triángulos sí son semejantes por el criterio LLL C

Ejemplo 2

¿Son semejantes los siguientes triángulos ∆ ABO y ∆CDO? B

O

D

A Solución

¿Cuál postulado investigar? Aquí no conocemos ningún lado. Debemos entonces investigar el postulado AA.

∠ B = ∠ D porque ambos son rectos; ∆ BOA = ∆ DOC por ser opuestos por el vértice. Por tanto: ∆ ABO ~ ∆CDO por el postulado AA.

matemáticas iii

.


•

9

�. Explica por qué cada par de triángulos son semejantes R

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección.

I

�. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? ¿Por qué? Haz un dibujo. �. ¿Son semejantes todos los triángulos rectángulos? ¿Por qué? Haz un dibujo. �. ¿Son semejantes dos triángulos isósceles que tienen sus ángulos del vértice iguales? ¿Por qué? Para los ejercicios � y �, utiliza la siguiente figura:

A

G

a) ∆ IRH y ∆ IGR b) ∆ IRH y ∆ RGH c) ∆ IRG y ∆ RHG

H

O

��. Dado NQ //OP Pruébese que: ∆ POM ~∆QNM

N

�� D

M

G

��

Q T �� . Explica por qué ∆CAT y ∆ DAG son semejantes.

P

C

�. Calcula CA.

��. Dado AB// DC, AC// DE, Pruébese que: D ∆ ABC ~∆ DCE A

�. Explica por qué ∆ ABC y ∆ EDC son semejantes. Establece la proporcionalidad entre lados homólogos. B B C

A

E

D �. Explica por qué ∆ LMK y ∆ONK son semejantes. Establece la proporcionalidad entre lados homólogos. M N L

O

�

��. Pruébese que: ST = RT TV TU

�

C

�

�

E

S

R

V

T

U

��. En la siguiente figura XT ⊥ ZU, ZU ⊥TU, ∠ XTY = ∠ZTU, YT = � m, TU = � y XY = �.� m. Calcular TB: Z X

K

Y

T

U

92


.

unidad iii

•

Medición indirecta con triángulos semejantes

A

�m B

Estudia con atención los siguientes ejemplos:

Marcas en la pista

� cm

C

�� m

Ejemplo 1

P

Cuando un jugador de boliche alla una marca de la pista por � cm, ¿por cuánto alla el bolo?

x

A

A Solución

Considérense los triángulos ∆ ABC y ∆ APD. Estos triángulos se construyeron rectángulos. Además de los ángulos rectos, los triángulos ∆ ABC y ∆ APD tienen el ángulo A común. Entoces, por el criterio AA se concluye que ∆ ABC ~ ∆ APD. Entonces: DP = AP BC AB Sustituyendo: x = �� m � cm � m (� cm)(�� m) = �.� cm x= �m

D

� cm B

� cm

C

�� m

P

x

D

Ejemplo 2

Un edificio proyecta una sombra de �.�� m de largo. Al mismo tiempo, un niño de �.�� m de alto proyecta una sombra de �.�� m de largo. ¿Qué altura tiene el edificio?

x

�.�� m �.�� m

Solución

�.�� m

En el dibujo, las líneas discontínuas muestran los rayos paralelos del sol. Los triángulos ormados son semejantes por el criterio AA. Entonces, x se puede determinar estableciendo y resolviendo una proporción. Longiud de la sombra del niño Alura del niño = Longiud de la sombra del edificio Alura del edificio �.�� .�� = �.�� x (�.��)(�.��) = (�.��)( x) �.�� = �.�� x �.�� =x �.�� .�� = x El edificio tiene �.�� m de altura.

matemáticas iii

.


•

93

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. A cierta hora del día, una persona de �� cm de alto, proyecta una sombra de �� cm. En el mismo instante, un árbol proyecta una sombra de �� cm. ¿Qué altura tiene el árbol? �. Ana está ubicada a �� cm de un poste vertical de �� cm de alto. Cuando levanta la vista, puede ver la parte más alta de un edificio. Ella sabe que el edificio se encuentra a �� cm del poste. Sus ojos están a �� cm del terreno. ¿Cuál es la altura del edificio?

�� cm

�� cm

�� cm

�� cm

�. Si un hombre de �.�� m de alto observa que en un momento dado su sombra mide �.�� m y que la de un edificio situado a su lado mide �.�� m, ¿qué altura tendrá el edificio? �. ¿Cuál es la altura de una torre del campanario de una iglesia si dicha torre proyecta una sombra de �.� m y si al mismo tiempo una persona de �.� m proyecta una sombra de �.�m? �. Calcular la altura del poste menor con los datos del siguiente esquema.

�m h

�m

�m

�. A � m �� cm de un proyector se coloca un objeto de �� cm. ¿De qué tamaño proyectará su sombra sobre una pantalla que se encuentra a �� m del proyector? �. En el siguiente esquema, AB// DE. Calcula la distancia AB.

A

B

�� m D

E �� m C

�� m

94


unidad iii

•

. Teorema de Tales Realiza la siguiente actividad:

Acvidad  En los triángulos siguientes, se trazó un segmento paralelo a un lado del triángulo. MN // BC

�

A

N

XY // DE

�

F

C

�

Y

� � M

SR //GH

��

�� E

X

�

S

�

�� B

G

D

Obsérvese que: AM = �, AN = �, MB NC

FX = � , FY = � � XD � YE

IS = � , IR = � SG � RH �

Completa: AM = MB

FX = XD

IS = SG

O bien: AM = MB MB NC

FX = XD XD YE

IS = SG IR RH

Estas observaciones se resumen en el teorema siguiente: Teorema: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. C

M D

Si MN es paralelo a DE , entonces CM = CN MD NE

N E

I

� R � H



•

95

Este teorema es consecuencia de otro más general, cuyo nombre se debe a su creador Tales de Mileto: Teorema de Tales: Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales. Si AD// BE//CF A D Entonces: AB = DE o bien AB = BC BC EF DE EF B E C

F

Estudia los siguientes ejemplos.

C

Ejemplo 1 // DE En esta figura, MN // DE. Encuéntrese NE.

�

� M

N

�

x

D Solución

E

CM = CN Por el teorema de Tales. MD NE Por tanto � = � � x �x = �� x = ��

Ejemplo 2 // KJ. Encuéntrese FJ en en esta figura si GF //

G

� Solución

GK = FJ Por Tales. KH JH � = x � � – x �x = �� – �x �x = �� x = ��

K

� F

x

J

�

H


96

.

unidad iii

•

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades propiedades de esta esta lección. BC. Indíquese si lo siguiente es also o verdader �. Supóngase que DE// BC verdadero. o. A D

E

B

C

a) AD = AE DB EC

b) AB = AC AD AE

c) AB = AC DB AE

d) AD = EC AE BD

e) AD = AB AE EC

)

AB = AE AB – AD AC – EC

�. En los ejercicios siguientes, despéjese x. a)

�

��

b)

c)

x

�.

�

x

�.

�

�

� d)

x.

�.

e)

)

�

�

x

6

�� x

�� x

��

�

� �

g)

AB// DE

h)

// BE//CD AF //

C x + � D

F

�

E

��

D

x + ��.�

C

�� E

A

x-� A

��

x + � B B


.


•

97

Triángulos rectángulos: medias proporcionales y teorema de Pitágoras

Estudia la siguiente definición: Un número x es una media proporcional para dos números a y b si a = x , x ≠ �, b ≠ 0 x b

Por ejemplo, la media proporcional para � y �� es �, dado que � = � � �� Recuerda las partes de un triángulo rectángulo.

En el triángulo rectángulo los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos , y el lado lado opuesto al ángulo recto recto se llama hipotenusa.

Hipoenusa Caeo Caeo

Lee con atención:

La semejanza de triángulos permite establecer algunas propiedades importantes de los triángulos rectángulos. A continuación estableceremos estableceremos dos propiedades relacionadas relacionadas con la altura de un triángulo rectángulo y la media proporcional. La altura interior de un triángulo rectángulo (segmento (segmento CD) divide a éste en dos triángulos seme jantes a él y semejantes semejantes entre entre sí. C b A

a

h

y D

x

B

c

Estudia a continuación la justificación j ustificación de este hecho. Separemos los triángulos ormados: C

C b A

a

I c

b B

A

y

II

C h

D

a

h

III D

x

B

98


unidad iii

•

Consideremos estos triángulos en parejas: C

C

∆ I y ∆ II b

a

I

A

b

A

B

c

II

h

D

y

∠ ACB = ∠ ADC porque son ángulos rectos ∠CAB = ∠CAD porque son ángulos comunes a ambos triángulos. Por lo tanto, ∆ I ∼ ∆ II por el criterio AA AA.. Automáticamente, Automáticame nte, por la propiedad propiedad del tercer tercer ángulo, ángulo, el par de ángulos ángulos restantes restantes son iguales: C

Entonces: AB = AC = CB AC AD DC Sustituyendo: c = b = a b y h

b A

C a

I

b B

c

A

y

II h D

C

Si consideramos consideramos la proporción, proporción, c = b b y resulta lo siguiente: b� = cy

b A

a

h y

x D

B

c

Por lo tanto, el cateto b es media proporciona proporcionall para y y c. C

C

∆ I y ∆ III

a b

A

h

I c

B

D

∠ ACB = ∠CDB porque son ángulos rectos. ∠ ABC = ∠ DBC porque son ángulos comunes a ambos triángulos. Por lo tanto, ∆ I ∼ ∆ III por el criterio AA .

a

III x

B

matemáticas iii


•

99

Automáticamente, el par de ángulos restantes son iguales: C

C a

b

a

h

I

A

B

c

Entonces: AC = AB = CB CD CB DB Sustituyendo: b = c = a h a x

III x

D

B

C

Si consideramos la proporción, c = a a x resulta lo siguiente: a� = cx

b A

a

h x

y D

B

c

Entonces, el cateto a es media proporcional para x y c.

∆ II y ∆ III: Para el análisis de estos triángulos, utilizaremos los pares de ángulos iguales resultantes de los análisis anteriores. En la siguiente figura se presentan con marcas iguales los ángulos iguales. C C b A

II

y

h D

a

h

III

D

B

x

Por lo tanto, ∆ II ∼ ∆ III Entonces: AC = AD = CD CB CD BD Sustituyendo: b = y = h a h x

C b A

Si consideramos la proporción, y = h h x resulta lo siguiente: h� = xy Entonces, la altura h es media proporcional para x e y.

a

h

y

x D

c

B

00


unidad iii

•

De los análisis anteriores, se infieren las siguientes propiedades: Medias proporcionales

�. La altura interior es media proporcional para los segmentos en que queda dividida la hipotenusa. h� = xy

�. Cada cateto es media proporcional para la hipotenusa y su proyección sobre ésta. b� = yc y a� = xc

C

C a

b y

A

b

h x D

B

h y

A

c

a x

D

B

c

Estudia los siguientes ejemplos. Ejemplo

Calcular el valor de cada incógnita b)

a)

b

� �

� ��

a) Con la propiedad � obtenemos �� = � x �� = �x x = �� = � �

b) Con la propiedad � obtenemos b� = �(��) b� = �� b = √ �� = ��

x Solución

Ahora, para que practiques, realiza la siguiente actividad:

Acvidad  Obtén las medidas de los segmentos marcados con literales: a)

b)

y

x

h

�

c) �

��

��

� ��

matemáticas iii


•

0

C

Lee con atención:

Ahora, usando los resultados relativos a medias proporcionales de un triángulo rectángulo, justificaremos una de las propiedades más importantes de los triángulos rectángulos: el teorema de Pi- A tágoras.

a

b

B

c C

Consideremos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa y catetos midan c , a y b respectivamente.

b

Si trazamos la altura correspondiente al vértice C, la hipotenusa queda dividida como se indica: A

a

x

D

c

B

c-x

Aplicando la propiedad � de medias proporcionales obtenemos: b� = xc a� = (c -x)c = c� – xc

(�) (�)

Sumando ambos lados de ( 1 ) y ( 2 ): b� + a� = xc + c� – xc Por lo tanto: a� + b� = c� Hemos justificado el teorema de Pitágoras que se enuncia de la siguiente manera: Teorema de Pitágoras El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c� = a� + b�

c

b

a

Estudia los siguientes ejemplos: Ejemplo

Obtén en cada caso el lado desconocido. a)

b) x

�� Solución

�

��

c) y

��

a) Por el Teorema de Pitá- b) Por el Teorema de Pitágoras: goras: x� = �� + �� y� = �� + �� x� = �� + �� y� = �� + �� x = √�� = �� y = √�� = �

��

��

x

c) Por el Teorema de Pitágoras: x� = �� + �� x� = �� + �� x = √�� = �

0


.

unidad iii

•

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. En los ejercicios siguientes obtén la medida del lado desconocido en cada triángulo. a)

b)

c) �

��

x

��

��

��

��

��

e)

��

x

�

x

d)

x

��

)

��

y

�

x

g)

�

h) x

x

�

x

i)

�

��

��

j)

k) x

� �

� x

� �. ¿A qué altura llega una escalera de � m de longitud en un muro vertical, si su pies está a � m del muro?

�m �m

��

matemáticas iii


•

0

AUTOEVALUACIÓN  Sigue cada una de las siguientes instrucciones para que te autoevalúes. Parte I. Logro de competencias disciplinares. Competencia �. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las TICS. ��: A continuación, para que demuestres tus avances en el logro de la competencia �, resuelve el siguiente problema.

Un problema de cálculo dierencial, es encontrar la altura h del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una esera de radio R . Sea r el radio del cono. Lo más complicado del problema, es expresar r � en unción de h y de R , pero, si aplicas lo que aprendiste sobre triángulos semejantes, esto se vuelve sencillo. A Demuestra que: r 2 = AO × OC = h(2 R − h) (2 R − h) h R

B

r

Parte II. Saber conocer y saber hacer:

O C

��: Para que valores tus logros según los indicadores de desempeño, coloca una √ en en la celda de la derecha en cada indicador y calcula el total. Desempeño Bueno (�) Reconozco y uso razones y proporciones en contextos diversos. Identifico triángulos semejantes y la proporcionalidad entre sus lados h omólogos. Identifico y enuncio los criterios de semejanza AA , LAL y LLL. Utilizo las tecnologías de la inormación, para explorar triángulos seme jantes y criterios de semejanza. Aplico los criterios de semejanza ( AA , LAL , LLL) para verificar la seme janza de triángulos. Aplico triángulos semejantes en la determinación indirecta de distancias. Aplico la media proporcional (o geométrica) para resolver problemas. Aplico el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras y su recíproco, en la resolución de problemas.

Regular ( �)

Malo (�)

C

D M �

B A

E

Polígonos y Circunferencia

Uliza GeoGebra

B c b Competencia de unidad

A

a

f

D � � ° C

A w B

F

s

e

d D

r

Analiza las características y propiedades de los polígonos y circunerencia, para desarrollar y presentar argumentos inductivos y deductivos, sobre relaciones geométricas, y, las aplica en diversos contextos teóricos o prácticos de una manera crítica y reflexiva.



•

•

•

•

•

•

q

Reconoce y define los distintos tipos de cuadriláteros especiales: trapecios, no trapecios y paralelogramos.

Reconoce y define los distintos tipos de paralelogramos: rombos, rectángulos y cuadrados. Identifica los elementos de una circunerencia: cuerda, diámetro, radio, tangente, secante, arco, semicircunerencia, arco menor y arco mayor, ángulo central, ángulo inscrito, ángulo semiinscrito. Utiliza las tecnologías de la inormación, para explorar las propiedades de los polígonos y de la circunerencia. Determina medidas de ángulos interiores y exteriores de polígonos. Aplica las propiedades de los paralelogramos, rombos, rectángulos, cuadrados y trapecios para resolver pro blemas. Aplica el cálculo de áreas y perímetros en la solución de problemas.

�.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o ormales. �. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando dierentes enoques. �. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la inormación y el conocimiento. �. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean. �. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Acvidad preliminar ¿Por qué es importante estudiar esta unidad? El siguiente enunciado describe una situación práctica que requiere de algunos conocimientos que estudiarás en esta unidad. Problema. Necesias consruir un marco para una venana orogonal parecida a la mosrada. Para hacer el marco, corarás piezas en orma de rapecios idénicos. ¿Cuál son las medidas de los ángulos de los ra pecios? Explica cómo enconrase esas medidas. 0

m

��°

e r o t á l s e r r i d e a d c u p u e


��° p

�.� Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representación simbólica. �.� Maneja las tecnologías de la inormación y la comunicación para obtener inormación m o a r g y expresar ideas, de manera responsable y respetuosa. s e r e l o l e a d r e procesar e interpretar p a �.� Utiliza las tecnologías de la inormación y comunicación p u para inormación. s e r �.� Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. e d p u e c i o evidencias �.� Elabora conclusiones y ormula nuevas interrogantes, a partir de p e retomar o g u l t r a n teóricas y empíricas. á e r e c t s r e �.� Evalua argumentos y opiniones e identifica prejuicios y alacias. u e d �.� Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. p s e r �.� Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, e d u e b o p definiendo un curso de acción con pasos específicos. m r o �.� Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

s e r e d p u e

4

unidad a d o r d a c u

La actividad � consiste en que analices la solución planteada a continuación, y, con tus conocimientos previos, debes contestar lo que se te indica. Una vez que termines el estudio de la unidad vuelve a analizar esta actividad.

Acvidad  Solución

El polígono definido por la ventana es un octágono. Por lo tanto, la suma de sus ángulos interiores es ��°(� - �) =��° . Puesto que el octágono es regular , todos sus ángulos interiores tiene la misma medida. Por lo tanto, la medida del ángulo m es ��° = ��° � ¿Cuánto vale x?_________________

��º x

x

Las piezas de la ventana tienen la orma de un trapecio isósceles , y puesto que los ángulos de la base de estos trapecios son iguales, podemos considerar un trapecio con los ángulos indicados a continuación: ��.�º

��.�º

y

y

Ahora, aplicamos la propiedad de los cuadriláteros que establece que la suma de sus ángulos interiores vale ��º: �(��.�°) + � y = ��° Resuelve la ecuación anterior. Las medidas de los ángulos de los trapecios son: ____________ 0

0

polígonos y circunferencia

unidad iv

•

¿Qué tanto recuerdas de lo que estudiarás en esta unidad? a) Utiliza tus conocimientos previos para resolver el siguiente crucigrama, de ser necesario consulta el material de esta unidad y revisa tus respuestas. � � �

�

� � ��

�

�

� ��

��

Horizontales

Vercales

�. Recta que toca a la circunerencia en un punto. �. Recta que corta a la circunerencia en dos puntos. �. Polígono que no presenta diagonales uera de él. ��. Ángulo que tiene su vértice en la circunerencia y uno de sus lados es secante y el otro es tangente. ��. Segmento que conecta dos vértices no consecutivos de un polígono. ��. Paralelogramo con sus cuatro ángulos iguales. ��. Cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos. ��. Polígono cuya suma de medidas de sus ángulos interiores vale ��º.

�. Completa la oración: un segmento medio de un triángulo es paralelo al... �. Ángulo que tiene su vértice en la circunerencia y sus lados son secantes de la circunerencia. �. Las diagonales de un rombo son: �. Polígono que presenta diagonales uera de él. �. Polígono que tiene sus lados y ángulos iguales. �. Paralelogramo con cuatro lados iguales. �. Polígono cuya suma de medidas de sus ángulos interiores vale ��º. ��. Las diagonales de un rectángulo son: ��. Cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos. ��. Paralelogramo con sus cuatro lados y sus cuatro ángulos iguales.

matemáticas iii


•

0

. Polígonos Estudia con atención los siguientes conceptos relativos a polígonos

Los polígonos son figuras ormadas por segmentos de recta, de tal manera que: �) Los segmentos se juntan sólo en sus extremos, �) como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto, y �) cada segmento toca exactamente a otros dos. Ejemplo

¿Cuál de las siguientes figuras es un polígono y cuál no? a)

A

C

b)

H

C

G

D F

Solución

B

E

A E B

D

a) Es un polígono porque, cada segmento está unido a otros dos por sus extremos; no hay más de dos segmentos que se encuentren en un punto, y cada segmento toca exactamente a otros dos. b) No es un polígono. Como figura de cuatro lados, AB, BC, CD y DA, no cumple la tercer condición, pues BC toca a tres segmentos: AB, CD y AD. Como unión de seis segmentos, AB, BE, EC, DE y EA, tampoco es un polígono porque en el punto E se encuentran más de dos segmentos. lado

Los segmentos que orman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son sus vértices.

Vértice

Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos. Diagonal

Diagonal

Un polígono es convexo si no hay diagonal uera del polígono. Un polígono es cóncavo si hay una diagonal uera del polígono.

08


unidad iv

•

Q

G F H J

P

R

I

S

Cada diagonal de este polígono, como FH , está en el interior del polígono FGHIJ . Por lo tanto, es un polígono convexo.

Por lo menos una de las diagonales de este polígono no está en su interior. PQRS es un polígono cóncavo.

Determina si cada uno de los siguientes polígonos es cóncavo o convexo.

Un polígono equilátero es un polígono en el que todos sus lados son iguales. Un polígono equiángulo es un polígono en el que todos sus ángulos son iguales. Un polígono regular es tanto equilátero como equiángulo, es decir, tiene sus lados y ángulo iguales.

Polígono equilátero

Polígono equiángulo

Polígono regular

Los polígonos se clasifican por el número de lados de la siguiente manera:

Triángulos � lados

Cuadriláteros � lados

Pentágonos � lados

Hexágonos � lados

n - gonos n lados

matemáticas iii

.


•

09

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. En los ejercicios � a �, selecciónese la figura que no es un polígono. Explíquese por qué no lo es. �.

�.

a.

b.

c.

�.

a.

b.

c.

a.

b.

c.

�.

a.

b.

c.

�. ¿Cuáles de las figuras anteriores son polígonos convexos? Por ejemplo, el inciso c, del ejercicio �, es un polígono convexo. �. ¿Cuáles de los siguientes son polígonos regulares?

a.

b.

c.

d.

�. Trácense tantas diagonales como sea posible para cada uno de los polígonos anteriores. En los ejercicios �-��, completa la tabla. Nombre del polígono �. Triángulo ��. ��. ��. Hexágono ��. Heptágono ��. Octágono ��. ��.

Número de lados

Número de diagonales �

�

� ��

0


unidad iv

•

. Cuadriláteros especiales Recuerda que un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Las figuras siguientes ilustran algunos aspectos importantes de los cuadriláteros. Lee con atención. B C Los lados BC y AD no tienen vértices comunes. Son un par de lados opuestos. Los lados AB y DC también son opuestos. D A B C Los lados AB y AD tienen un vértice común. Son un par de lados adyacentes. Otros pares de lados adyacentes son AB y BC , BC y CD , y AD y DC. D A B C Los ángulos B y D no tienen lados comunes. Son un par de ángulos opuestos. Los ángulos A y C también son opuestos. D A B

A

C D

Los ángulos A y B tienen el lado común AB. Son un par de ángulos consecutivos o sucesivos. Otros pares de ángulos consecutivos o sucesivos son ∠ B y ∠C , ∠C y ∠ D , y ∠ D y ∠ A.

Realiza la siguiente actividad que te permitirá explorar las características de algunos cuadriláteros:

Acvidad  a) Observa en el siguiente cuadro, los cuadriláteros que son trapecios y los cuadriláteros que no son trapecios. Trapecios

No trapecios

¿Qué tienen en común los trapecios? ¿Qué características tienen los cuadriláteros que son trapecios de los otros cuadriláteros que no lo son?_______________________________________ __________________________________________________________________

matemáticas iii


•



b) Ahora, observa en el siguiente cuadro, los cuadriláteros que son paralelogramos y los cuadriláteros que no son paralelogramos. Paralelogramos

No paralelogramos

¿Qué tienen en común los paralelogramos? ¿Qué características tienen los cuadriláteros que son paralelogramos de los otros cuadriláteros que no lo son?______________________________ __________________________________________________________________ Compara las características que observas con las siguientes definiciones: Un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos. Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos. c) Finalemente, observa los siguientes tres conjuntos de ejemplos de rombos, rectángulos y cuadrados; trata de establecer características para cada uno de ellos. Rombos

Rectángulos

Cuadrados

Existen varias definiciones correctas para cada uno de estos términos. Una vez que definas un término, puedes usarlo en la definición de otro término. La primera observación que puedes hacer es que todas las figuras del cuadro son paralelogramos. De manera que tus definiciones podrían ormularse de esta orma: Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales.




unidad iv

•

Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. Un cuadrado es un paralelogramo con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. Sin embargo, un cuadrado es un tipo especial de rombo y un tipo especial de rectángulo, así que el cudrado admite otras definiciones. Por ejemplo: Un cuadrado es un rombo con cuatro ángulos rectos. Un cuadrado es un rectángulo con cuatro lados iguales.

•

•

Ésta otra definición también es posible: •

Un cuadrado es un rombo que también es un rectángulo.

.

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. Para los ejercicios � a �, véase el cuadrilátero de la derecha. B �. �. �. �.

¿Cuál es el lado opuesto de AB? ¿Cuáles son los ángulos consecutivos ∠C? ¿Cuáles son los lados adyacentes a BC? ¿Cuál es el ángulo opuesto a ∠ D?

A C D

Determínese si lo siguiente es also o verdadero. Haz dibujos. Puedes auxiliarte del esquema adjunto. �. Un cuadrado es un rectángulo. �. Un rectángulo es un paralelogramo. �. Un paralelogramo es un rombo. �. Un trapecio es un paralelogramo. ��. Algunos rombos son rectángulos. ��. Un paralelogramo es un trapecio. ��. Todo cuadrado es un rombo. ��. Todo cuadrado es un rectángulo. ��. El rombo, el cuadrado y el rectángulo son paralelogramos. ��. Los cuadriláteros son trapecios o son paralelogramos. ��. El cuadrado es el único cuadrilátero regular. ��. Todos los rombos son cuadrados.

cuadrilátero

puede ser trapecio

puede ser

puede ser paralelogramo

puede ser rectángulo

rombo

puede ser

puede ser cuadrado

matemáticas iii


•



de los polígonos: ángulos . Propiedades interiores y exteriores Para explorar las medidas de los ángulos interiores y exteriores de los polígonos, te recomendamos usar el Geogebra en el desarrollo de la siguiente actividad. Observación: Todas las propiedades estudiadas en este libro, corresponden a polígonos convexos.

Acvidad  Para esta actividad deberán ormar 5 equipos. Cada equipo deberá dibujar tres versiones del mismo polígono. Es decir, si un equipo escoje a los cuadriláteros, deberá dibujar tres cuadriláteros dierentes. Por ejemplo: Uliza GeoGebra

a) Abre Geogebra y usa la opción «polígono», para dibujar tus polígonos. b) Con la opción «ángulo», mide cada uno de los ángulos interiores de cada polígono y calcula la suma de sus medidas. Ángulo exterior c) En cada polígono orma un sistema de ángulos exteriores. Para crear un conjunto de ángulos exteriores, prolonga cada lado del polígono para ormar un ángulo exterior en cada vértice. Ángulo exterior d) Mide cada uno de estos ángulos y calcula la suma de sus medidas. e) Usa tus resultados y los de tus compañeros para llenar el Ángulo exterior siguiente cuadro: Número de lados � Suma de las medidas de los ángulos ��º interiores Suma de las medidas de los ángulos exteriores

�

�

�

�

�

...

n

) Completa. La suma de las medidas de un conjunto de ángulos exteriores de cualquier polígono es ________ La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier polígono es ________________ Con toda seguridad, te resultó ácil establecer una conclusión para los ángulos exteriores. Sin embargo, para los ángulos interiores, la conclusión no es tan directa. El desarrollo de la siguiente actividad, te ayudará en tal objetivo.




unidad iv

•

Acvidad  a) Busca un patrón en la tabla. Halla una órmula general para la suma de las medidas de los ángulos de un polígono, en términos del número de lados, n. Completa la columna de equivalencias. Número de lados � � � � � � Suma de las medidas de los ángulos ��º ��º ��º ��º ��º ��º interiores

...

n

+��° +��° +��° +��° +��° n

� � � � � � . . . n

Suma

Equivalencia ��º × � = ��º � (� –�) ��º + ��º = �� º × � = ��º � (� – �) ��º + ��º + ��º = ��º × � = ��º � (�–�) ? ? ? . . . ?

��° ��° ��° ��° ��° ��°

b) Compara tu órmula con la indicada a continuación: Propiedad de la suma de los ángulos de un polígono: La suma de las medidas de los n ángulos interiores de un polígono de n-lados es ��° × (n – �) c) Analiza y completa la siguiente justificación deductiva para el caso de un cuadrilátero. �. Analiza y completa la siguiente justificación deductiva para el caso de un cuadrilátero: Hipótesis: ☐ ABFC es un cuadrilátero. Tesis: ∠ A + ∠ B + ∠F + ∠ D = (n – �)(��°)

= (� – �)(��°) = ��° B b c

Afirmaciones 

A a d e D

F

�. a + b + d = ��° �. c + f + e = ��° �. a + b + d + c + f + e = ��° �. a + b + c + f + e + d = ��° �. ∠ A + ∠B + ∠F + ∠D = ��°

�. �. �. �. �.

Razones _______________________ _______________________ Sumando ambos lados de (�) y (�) Propiedad ________________ Propiedad aditiva del ángulo.

La propiedad de la suma de los ángulos de un polígono puede utilizarse para hallar el valor de cada ángulo interior de un polígono regular. Basta dividir tal suma entre el número de lados.

matemáticas iii


•



Ángulo interior de un polígono regular. Cada ángulo de un polígono regular de n lados mide: ��° × (n – 2) n Estudia los siguientes ejemplos en los que se utilizan estas propiedades de los polígonos. Ejemplo 1

Encuentra la medida de los ángulos indicados con letras. a.

b.

x

��° ��°

m Solución

��°

a) El polígono tiene siete lados. Por lo tanto la suma de sus ángulos interiores es ��° × (� – �) = ��° × � = ��°. Como todos los ángulos tienen la misma medida, la medida del ángulo m es: ��° = ��.�° � x

b) Primeramente, puede observarse que el suplemento del ángulo de ��° es un ángulo interior del polígono. El polígono tiene cinco lados. Por lo tanto la suma de sus ángulos interiores es ��° × (� – �) = ��°×� = ��°.

��° ��° ��° ��°

Entonces, ��° + ��° + ��° + ��° + x = ��°. Resolviendo para x, se obtiene x = ��°. Ejemplo 2

a) Halla la suma de los ángulos interiores de un decágono regular. b) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un decágono regular? c) ¿En cuál polígono la suma de sus ángulos interiores es igual a �,��°? Solución

a. ��°×(n – �) = ��°×(�� – �) = ��°×� = �,��°. b. ��° × (n – 2) = �,��° = ��° n ��

c. ��°×(n – �) = �,��° ��°n – ��° = �,��° ��°n = �,��° + ��° n = ��°= �� °

Ejemplo 3

Encuentra las medidas de los ángulos señalados con letras. Solución

Según la propiedad de los ángulos adyacentes, p + 50° = 180°; por lo tanto, p = 130°. También q + 140° = 180°; entonces, q = 40°. Así que r = 40°. Usando la propiedad de la suma de los ángulos exteriores: 130° + 40° + 40° + 90° + s = 360°. La solución de esta ecuación da s = 60°.

s r q

��°

��° p




.

unidad iv

•

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. En los ejercicios �-�, usa la propiedad de la suma de ángulos en polígonos para calcular la medida de cada ángulo marcado con letras. �.

�.

�.

��° ��°

��°

a

e

��°

b



��° ��°

a = ? _____

b = ? _____

�.

�. d

��°

�.

h

e

��° ��°

c

��°

e = ?_____  = ?_____

��°

��°

��°

c = ? _____ d = ? _____

h = ?_____ g = ?_____

g

d ��°

a

��°

b

a = ?_____ b = ?_____ c = ?_____

c d = ?_____ e = ?_____

En los ejercicios �-�, encontrar la medida de los ángulos indicados con letras. �. a = ______, b = _____ ��°

�. a = ______, b = _____, c = _______

a

x

�x b

a

b

134°

c

��°

��°

�x

72°

��. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si cada ángulo exterior mide ��°? ��. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es igual a la suma de las medidas de sus ángulos exteriores, ¿cuántos lados tiene el polígono? ��. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es el doble de la suma de sus ángulos exteriores, ¿cuántos lados tiene el polígono?

matemáticas iii




•

. Propiedades de los paralelogramos Recuerda que, un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. En la siguiente actividad, explorarás algunas propiedades de los paralelogramos.

Acvidad 

Uliza GeoGebra

a) Construye un paralelogramo con Geogebra, puedes seguir los siguientes pasos: �. Traza un segmento AB. �. Traza una recta paralela al segmento AB; etiqueta a dicha recta con la letra ℓ. �. Ubica sobre la recta ℓ un punto C un poco a la derecha del punto A. �. Traza el segmento AC. �. Traza una recta paralela al segmento AC que pase por B; etiqueta a dicha recta con la letra m. �. Encuentra el punto de intersección entre ℓ y m; etiquétalo con D. �. Construye los segmentos BD y CD; oculta las rectas ℓ y m y los puntos que no sean vértices del cuadrilátero ormado. De esta manera, has construido un paralelogramo que debe ser parecido al mostrado: b) Ahora, mide los cuatro ángulos. Compara cada par de ángulos C opuestos. Comparte los resultados con tus compañeros. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: Propiedad de los ángulos opuestos de un paralelogramo: Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

D

A

B

c) Recuerda que, en un polígono dos ángulos son consecutivos si comparten un lado común. En el paralelogramo anterior, ∠CAB y ∠ ABD son un par de ángulos consecutivos. Para descu brir cómo están relacionados los ángulos consecutivos, encuentra la suma de las medidas de cada par de ángulos consecutivos del paralelogramo que dibujaste. Comparte tus observaciones con el grupo. Debes llegar a la siguiente propiedad: Propiedad de los ángulos consecutivos de un paralelogramo: Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

d) A continuación, mide y compara las longitudes de los lados opuestos del paralelogramo. Comparte tus resultados con el grupo. Los resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: Propiedad de los lados opuestos de un paralelogramo: Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

e) Finalmente, construye las diagonales AC y DB , como se muestra en el dibujo. Marca el punto donde las diagonales se intersectan con la letra M . Mide AM y CM . ¿Qué puedes concluir acerca del punto M ?_________. Mide DM y BM. ¿También se cumple la conclusión que obtuviste anteriormente. _______________________________ A

D

C M B

8


unidad iv

•

Comparte tus resultados con el grupo. Los resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: Propiedad de las diagonales de un paralelogramo: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

En la siguiente actividad, se presentan justificaciones deductivas para cada una de las propiedades descubiertas inductivamente. Completa las cuestiones que se presentan en blanco.

Acvidad  �. Completa la demostración de que los ángulos opuesos de un paralelogramo son iguales. D

C

β

α A

Hipótesis: ☐ ABDC es paralelogramo. α y β son ángulos opuestos del paralelogramo.

b

Tesis:

B

∠α = ∠β Razones

Afirmaciones �. AD // BC y DC // AB . �. ∠ α = ∠b �. ∠ b = ∠β

4. ∠ α = ∠β

�. Por definición de paralelogramo. �. Por ser _________________ �. Por ser _________________ �. Propiedad transitiva.

Queda demostrado �. Completa la demostración de que los ángulos consecuivos de un paralelogramo son suplemenarios. D

α A

β

C

δ b B

Hipótesis: ☐ ABDC es paralelogramo. α y δ son ángulos consecuti vos del paralelogramo. Tesis:

∠ α y ∠δ son suplementarios.

Afirmaciones �. AD // BC y DC // AB. �. ∠ α = ∠b �. ∠ b + ∠δ = 180°

4. ∠ α + ∠δ = 180° 5. Entonces ∠ α y ∠δ son suplementarios.

Razones �. �. �. �. �.

Por definición de paralelogramo. Por ser ____________________ Por ser ángulos adyacentes. Propiedad de _______________ Deinición de ángulos suplementarios.

matemáticas iii


•

9

�. Completa la demostración de que los lados opuesos de un paralelogramo son iguales. D

�

C

�

�

�

A

Hipótesis: ☐ ABDC es paralelogramo. Tesis: AD = BC y DC = AB Plan: Trazar la diagonal AC y comprobar que ∆ ADC ≅ ∆CBA

B

Afirmaciones �. AD // BC y DC // AB. �. ∠ 1= ∠� �. ∠ 2 = ∠ �

4. AC ≅ AC 5. ∆ ADC ≅ ∆CBA �. AD = CB �. DC = BA

Razones �. Por definición de paralelogramo. �. �. �. �. �. �.

Por ser ____________________ Por ser __________________ Propiedad relexiva. Por el criterio ______________ PCTCC PCTCC

�. Completa la demostración de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan muuamene. D

C

�

�

M

� A

�

B

Hipótesis: ☐ ABDC es paralelogramo. Tesis: AC y DB se bisecan mutuamente. Plan: Trazar las diagonales AC y DB. Comprobar que ∆ AMD ≅ ∆CMB.

Afirmaciones �. AD // BC y DC // AB. �. ∠ 1= ∠� �. ∠ 2 = ∠ �

4. ∠ AMD = ∠CMB 5. AD = CB �. ∆ AMD ≅ ∆CMB �. AM = CM �. DM = BM �. M es punto medio tanto de AC como de DB.

Razones �. �. �. �. �. �. �. �. �.

Por definición de paralelogramo. Por ser ____________________ Por ser __________________ Por ser ángulos opuestos por _____ Por ser lados opuestos de un ______ Por el criterio____________ _______________ _______________ Deinición de punto medio.

0


unidad iv

•

�. Completa la demostración de que si las diagonales de un cuadriláero se bisecan, enonces el cuadriláero es un paralelogramo. D C Hipótesis: AC y BD se bisecan. � � Tesis: ☐ ABDC es paralelogramo. � � � Plan: Trazar las diagonales AC y BD , comprobar � que ∆ AMD ≅ ∆CMB y que ∆ DMC ≅ ∆ BMA. M � � Aplicando propiedades de ángulos entre paralelas, A B deduzca que AD // BC y DC // AB, de donde ☐ ABDC es paralelogramo.

Afirmaciones

Razones

�. AC y BD se bisecan.

�. �. �. �. �.

AM = MC, DM = MB . ∠� = ∠�. ∆ AMD ≅ ∆CMB ∠� = ∠� AD // BC �. ∠ � = ∠� �. ∆ DMC ≅ ∆ BMA

9. ∠ 8 = ∠� 10. ☐ ABDC es paralelogramo.

�. Por hipótesis. �. Deinición de bisección y de punto medio. �. Por ser __________________ �. Por el criterio______ �. PCTCC �. Propiedad de las paralelas. �. Por ser ____________ �. Por el criterio______ �. _________ ��. Deinición de paralelogramo.

�. Completa la demostración de que si dos lados opuesos de un cuadriláero son iguales y paralelos, enonces el cuadriláero es un paralelogramo. D

C

� � A

� M

� B

Hipótesis: AD = BC, AD // BC. Tesis: ☐ ABDC es paralelogramo. Plan: Trazar las diagonales AC y BD , comprobar que ∆ AMD ≅ ∆CMB, de donde DM = MB y AM = MC; es decir las diagonales se bisecan y por lo tanto ☐ ABDC es paralelogramo.

Afirmaciones �. AD = BC , AD // BC . �. ∠ 1= ∠� �. ∠ 2 = ∠�

4. ∆ AMD ≅ ∆CMB �. �. �. �.

AM = CM DM = BM M es punto medio tanto de AC como de DB. ☐ ABDC es paralelogramo.

Razones �. �. �. �. �. �. �. �.

Por hipótesis. Por ser ____________________ Por ser __________________ Por el criterio _____ ___________ ____________ Deinición de punto medio. Porque sus diagonales se bisecan.

matemáticas iii


•



Ahora, utilizaremos algunas propiedades de los paralelogramos para estudiar el denominado segmento medio. Lee con atención la definición de segmento medio de un triángulo. segmento medio

El segmento medio de un triángulo, es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados del triángulo. El lado que no interseca al segmento medio se llama tercer lado.

tercer lado

Explora con Geogebra la relación que hay entre el segmento medio y el tercer lado. Debes descubrir que: El segmento medio de un triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

Uliza GeoGebra

Analiza el planteamiento de la demostración de que el segmeno medio de un riángulo, es paralelo al ercer lado e igual a su miad. Hipótesis: AD = BC, AD // BC . C Tesis: ☐ ABDC es paralelogramo. Plan: Trazar las diagonales AC y BD , comprobar D M que ∆ AMD ≅ ∆CMB, de donde DM = MB y AM = MC; E es decir las diagonales se bisecan y por lo tanto � ☐ ABDC es paralelogramo. A B

Acvidad  Con ayuda de tu proesor(a), analicen en equipos el plan de demostración del segmento medio y traten de escribir una demostración en dos columnas.

.

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. En los ejercicios �-�, cada figura es un paralelogramo. Usa las nuevas propiedades para encontrar los valores indicados. �. c = ____ d = ____

�. g = ____ h = ____

�. ∠a = ____ ∠b = ___

A

�� cm

b g

d

�� cm

��° c

a

B

D h M �� cm �� cm C




�. Si VF = �� cm, EF = �� cm EI = �� cm. ¿Cuál es el perímetro del ∆ NVI ? E

unidad iv

•

�. ¿Cuántos segmentos medios tiene un triángulo? �. ¿Cuál es el perímetro de ∆TOP? T

V N

O

P

F

I

�m

�� m

R

�. ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo?

A

�� m

��. ∠x = ____ ∠ y =____

x + �

x y

x – �

�� °

��°

��. ∠z =____

�. ∠c = _____ ∠  = _____

��° 

c

��°

z

��°

��°

��. ¿Cuál es el perímetro de ∆TEN ? B

� N

T

� P

�

E

A

matemáticas iii


•



. Propiedades de los paralelogramos especiales Lee con atención: Rombos, recángulos y cuadrados todos son paralelogramos. Por lo tanto, todas las propiedades de los paralelogramos que se descubrieron en la lección anterior también se aplican a esas otras ormas. Pero, debido a que estos paralelogramos especiales tienen características particulares, tam bién cumplen con propiedades particulares. En esta lección descubrirás estas nuevas propiedades. Recuerda que un rombo es un paralelogramo con cuatro lados congruentes o iguales. En otras palabras un rombo es un paralelogramo equiláero. En la siguiente actividad, explorarás algunas propiedades de los rombos.

Acvidad 8 Uliza GeoGebra a) Construye un rombo con Geogebra, puedes seguir los siguientes pasos: �. Traza un segmento AB. �. Traza por A una recta; etiquétala con m. �. Traza una paralela a la recta m que pase por B. Etiquétala con n. �. Usa la opción compás, da clic en A , clic en B y otra vez clic en A. �. Encuentra el punto de intersección entre el círculo que aparece y la recta m; etiquétalo con C. �. Traza una paralela a AB , que pase por C. �. Encuentra el punto de intersección entre esta última paralela y la recta n; llámalo D. �. Traza los segmentos AC, CD y BD. Oculta círculos y rectas que sólo ueron auxiliares.

De esta manera, has construido un rombo que debe ser parecido al mostrado: C

b) Ahora, explorarás algunas propiedades de los rombos:

A

D

B

�. Puesto que los rombos son paralelogramos y las diagonales de un paralelogramo se bisecan una a otra, las diagonales de los rombos también se bisecan una a otra. Comprueba esta propiedad en el rombo construido. �. Mide los ángulos ormados por las dos diagonales. ¿Qué concluyes? Comparte tus resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: Propiedad de las diagonales de un rombo: las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí; además, se bisecan entre sí. �. Ahora, mide los ángulos ormados por las diagonales y los lados del rombo. ¿Qué concluyes? Comparte tus resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:




unidad iv

•

Propiedad de los ángulos de un rombo: las diagonales de los rombos son bisectrices de los ángulos del rombo. En la siguiente actividad, se presentan justificaciones deductivas para cada una de las propiedades descubiertas inductivamente. Completa las cuestiones que se presentan en blanco.

Acvidad 9 1. Completa la demostración de que las diagonales de un rombo son perpendiculares enre sí. C

�

D

� M A

B

Hipótesis: ☐ ABDC es un rombo. Tesis: AD ⊥ BC . Plan: Trazar las diagonales AC y DB y comprobar que Δ AMC ≅ ΔDMC.

Afirmaciones �. ☐ ABDC es un rombo.

�. �. �. �. �. �.

AC = CD ∠� = ∠�. AM = MD Δ AMC ≅ Δ DMC ∠ AMC = ∠ DMC AD ⊥ BC.

Razones �. �. �. �. �. �. �.

Por hipótesis. Deinición de rombo. Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles. Por la propiedad de las diagonales de un paralelogramo. Por ___________________ __________ Por deinición de rectas perpendiculares.

�. Completa la demostración de que las diagonales de los rombos son bisecrices de los ángulos del rombo. C D

A

� �

B

Hipótesis: ☐ ABDC es un rombo. Tesis: AD es bisectriz de ∠CAB. Plan: Trazar la diagonal AD y comprobar que Δ ACD ≅ Δ ABD.

Afirmaciones �. �. �. �. �. �.

☐ ABDC es un rombo. AC = CD y AB = BD AD = AD Δ ACD ≅ Δ ABD. ∠� = ∠� AD es bisectriz de ∠CAB.

Razones �. �. �. �. �. �.

Por ____________________ Por ____________________ Propiedad relexiva. Por ____________________ Por ____________________ Por deinición de bisectriz.

matemáticas iii


•



Recuerda que un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos congruentes o iguales. En otras palabras un rectángulo es un paralelogramo equiángulo.

Puesto que un rectángulo es un paralelogramo, sus diagonales se bisecan. Pero además, un rectángulo tiene una propiedad adicional: Propiedad de las diagonales de un rectángulo: las diagonales de un rectángulo son iguales. En la siguiente actividad, se presentan justificaciones deductivas para esta propiedad. Completa las cuestiones que se presentan en blanco.

Acvidad 0 �. Completa la demostración de que las diagonales de un rombo son perpendiculares enre sí. D

C

A

B

D

C

Hipótesis: ☐ ABDC es un rectángulo. Tesis: AC = DB. Plan: Trazar las diagonales AC y DB y comprobar que Δ ADC ≅ ΔDAB. D

A

A

Afirmaciones �. ☐ ABDC es un rectángulo. �. ∠ ADC = ∠BAD �. DC = AB �. AD = AD. �. Δ ADC ≅ ∆DAB �. AC = DB.

B

Razones �. �. �. �. �. �.

Por ____________________ Por deinición de rectángulo. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. Por ____________________ Por ____________________ Por ____________________




.

unidad iv

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EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. En los ejercicios �-��, indica si cada oración es siempre verdadera, algunas veces, o nunca verdadera. Usa dibujos o explicaciones de apoyo. �. �. �. �. �. �. �. �. ��. ��.

Las diagonales de un paralelogramo son iguales. Los ángulos consecutivos de un rectángulo son iguales y suplementarios. Las diagonales de un rectángulo se bisecan una a otra. Las diagonales de un rectángulo bisectan los ángulos. Las diagonales de un cuadrado son bisectores perpendiculares una a otra. Un rombo es un cuadrado. Un cuadrado es un rectángulo. Una diagonal divide a un cuadrado en dos triángulos rectángulos isósceles. Ángulos opuestos en un paralelogramo son congruentes. Ángulos consecutivos de un paraleogramo son congruentes.

En los ejercicios ��-��, calcula en cada caso, los valores pedidos. ��. Si ☐ ABCD es un rectángulo y EB = ��, AC = ______ D

C E

A

��. Si ☐ BCDA es un paralelogramo, ∠ y = ____ A

D

��. Si ☐CUAD es un cuadrado, ∠x = ____ ∠ y = ____ C

U y

�� B

B

��°

y

��° C

D

x

A

��. Si ☐ ABCD es un paralelogramo, AF y BE son bisectrices del ∠ BAD y ∠ ABC respectivamente y ∠C = ��°, ¿cuánto mide el ∠�? A E D � � � � � B F C

matemáticas iii


•

. Propiedades de trapecios



Ángulos de la base

Bases

Recuerda que un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases. Un par de ángulos que comparten una base como lado común se llaman ángulos de la base.

Ángulos de la base

Lee con atención la definición de trapecio isósceles:

Un trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados no paralelos son de la misma longitud. En la siguiente actividad, explorarás algunas propiedades de los trapecios.

Acvidad 

Uliza GeoGebra

a) Construye dos trapecios con geogebra: uno no isósceles y otro isósceles. Puedes seguir los siguientes pasos: �. Traza un segmento AB. �. Traza un segmento AB. �. Localiza un punto C arriba de AB y �. Localiza un punto C arriba de AB y un poco un poco adelante de A. adelante de A. �. Traza el segmento AC. �. Traza el segmento AC. �. Traza una recta m paralela a AB que �. Traza una recta m paralela a AB que pase por C. pase por C. �. Usa la opción compás; haz clic en A , clic en C y �. Localiza sobre la recta m un punto D clic en B. cualquiera. �. Encuentra el punto de intersección entre la �. Traza los segmentos BD y CD. Oculrecta m y el círculo que aparece; llámalo D. ta la recta m. Así, has ormado el tra�. Traza los segmentos BD y CD. Oculta el pecio ABCD. círculo y la recta m. Así, has ormado un trapecio isósceles. C D D C

A

B

B

A

b) Ahora, explorarás algunas propiedades de los trapecios: �. En cada trapecio, mide cada par de ángulos consecutivos y suma sus medidas. ¿Qué concluyes? Comparte tus resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: Propiedad de los ángulos consecutivos de un trapecio: los ángulos consecutivos que están entre las bases de un trapecio son suplementarios.

¿Cuánto vale la suma?

8


unidad iv

•

�. En el trapecio isósceles, mide cada par de ángulos de cada base. ¿Qué observas acerca de los pares de ángulos en cada base? Comparte tus resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:

Mide y compara esos dos ángulos

Propiedad del trapecio isósceles: los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales.

.

Mide y compara esos dos ángulos

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. Usa las propiedades de los trapecios para calcular las medidas pedidas. �. ∠x = ____

�. Si perímero = �� cm,

∠ y = ____

�. Si perímero = �� cm,

∠x =____

x = _____

y =____

�� cm

��°

y + �� cm x

x

y

y

�� cm

x

y – �� cm ��°

�. ∠x = ____ ∠ y = ____

�. Si perímero de �. Si ABCD es un trapecio, halla los valores de a y b. PQRS = �� cm, PS = ____ x

S

�x + �

y

�x -�

��° P

A �b

�c

�(a – �°)

�(a – �.�°)

D

T � Q

�. Si ABCD es un trapecio, isósceles, determina los valores de a, b y c.

D

A

R

��b

�a

B

��a +�b

C

�. Si PQRS es un trapecio, isósceles, halla los valores de x y z P

B

C

��°

S

�z + ��°

�x

Q

�x

R

matemáticas iii


•

9

y círculo. . Circunferencia Ángulos asociados a una circunferencia Lee con atención la siguiente inormación relativa a la circunerencia y al círculo.

Es común que se utilicen circunerencia y círculo como sinónimos, sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente. La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama centro de la circunerencia. El círculo es la superficie del plano limitado por una circunerencia. La circunerencia es una línea y el círculo una región. Para reerirse a una circunerencia o a un círculo, se usa el signo O , que se lee circunerencia (o círculo) con centro O. Para distinguir si se trata de un circunerencia o un círculo con centro O , debemos atender el contexto de uso.

Circunerencia

Círculo

O O significa circunerencia con centro O.

Los siguientes segmentos, rectas, arcos y ángulos se asocian a una circunerencia. Segmentos a C ue rd e t r o m á i D

R a d i o

Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunerencia. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunerencia. Radio es el segmento que une el centro de la circunerencia con un punto cualquiera de la misma.

Rectas n t e e g n T a

Tangente es la recta que toca a la circunerencia en un punto. Este punto se llama punto de tangencia. Secante es la recta que corta a la circunerencia en dos puntos.

n t e S e c a

Arco es una parte de la circunerencia. Un arco se representa con el símbolo que se lee «arco». Semicircunferencia es un arco de longitud igual a la mitad de la circunerencia. Arco menor es aquel que mide menos que una semicircunerencia. Arco mayor es aquel que mide más que una semicircunerencia. �

0


unidad iv

•

Los arcos mayores y la semicircunerncia se denotan con tres puntos que son: sus dos extremos y un punto entre ellos. Para denotar arcos menores, es suficiente usar las dos letras de sus puntos extremos. Arcos B A

O

C

AC Arco AC. Arco menor de extremos A y C. BC Arco BC. Arco menor de extremos B y C. ACB Arco ACB. Semicircunerencia de extremos A y B y que pasa por el punto C. CAB Arco CAB . Arco mayor de extremos C y B y que pasa por el punto A.

Ángulos

Ángulo central

Ángulo inscrito

Ángulo semiinscrito

Ángulo central es aquel que está ormado por dos radios. Los ángulos centrales tienen su vértice en el centro de la circunerencia. Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunerencia y sus lados son secantes de la circunerencia. Ángulo semiinscrito es aquel que tiene su vértice en la circunerencia y uno de sus lados es secante y el otro es tangente. Ejemplo

En la figura mostrada: a) Nombra la circunerencia mostrada b) Identifica dos cuerdas que no sean diámetros c) Identifica un diámetro y un radio d) Nombra un arco, un ángulo central, uno inscrito, y uno semiinscrito, cuyos lados intercepten el mismo arco.

Solución

a) b) c) d)

D; se lee: circunerencia de centro D. AB y BC. Diámetro AC. Radio DC. Arco BC; Ángulo central ADC; inscrito ABC y semiinscrito EAC.

B

A

E

C

D

F

matemáticas iii


•



Lee con atención la siguiente inormación relativa a arcos y ángulos. Todos los ángulos asociados a una circunerencia interceptan o determinan algún arco sobre ésta. L M El ángulo central LOM intercepta el arco LM. El ángulo central MOK intercepta el arco MLK. El ángulo central LOK intercepta el arco LK. El ángulo semiinscrito MKD intercepta el arco MPK O P K D

Dos arcos son iguales si determinan ángulos centrales iguales y recíprocamente. A O 48°

B

AB = PQ ya que los ángulos centrales ∠ AOB y ∠ POQ (que determinan a estos arcos), son iguales.

��° P Q

.

A

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. En el siguiente dibujo, identifica y nombra: a) Un ángulo central c) Un radio

O

C

E D

b) Un diámetro d) Una cuerda

�. Identifica los siguientes ángulos en cada figura: a) Ángulo central M L b) Ángulo inscrito c) Ángulo semiinscrito

B

F

A

P

C D O

D

O

B D �. ¿Es posible que existan ángulos inscritos que cumplan las siguientes condiciones? Ilustra cada caso con un dibujo a) Con el centro de la circunerencia en el interior del ángulo. b) Con el centro de la circunerencia en uno de sus lados. c) Con el centro de la circunerencia en el exterior del ángulo d) Con un de sus lados tangente a la circunerencia. K

L




.8

unidad iv

•

Propiedades de ángulos en una circunferencia

Los ángulos centrales, los ángulos inscritos y los semiinscritos están relacionados. En la siguiente actividad, explorarás algunas propiedades acerca de los ángulos de una circunerencia.

Acvidad  a) Vas a construir con Geogebra, una circunerencia con un ángulo inscrito y uno central que subtiendan el mismo arco, tal y como se muestra en la figura. Puedes seguir el siguiente procedimiento: �. Usa la opción circunerencia y traza una. �. Localiza tres puntos A, C y R sobre la circunerencia. �. Traza el ángulo central COR y el inscrito CAR , tal que CR. �. Usa la opción «ángulo» para medir el ángulo central ∠COR y el inscrito ∠CAR. �. ¿Qué observas?¿Qué relación hay entre la medida del ángulo inscrito y la medida del ángulo central? Compara tus resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:

Uliza GeoGebra

C

O A

A

La medida de un ángulo inscrito en una circunerencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco. b) Ahora construye una circunerencia tal que los ángulos inscritos ∠ APB y ∠ AQB subtienden el mismo arco AB. ¿Qué relación hay entre la medida de los dos ángulos inscritos? Compara tus resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:

P

Los ángulos inscritos que cortan el mismo arco son iguales. c) Construye una circunerencia y dibuja un diámetro BC. Localiza un punto A sobre la circunerencia y únelo a cada extremo del diámetro. De esta manera, has dibujado un ángulo inscrito ∠CAB que subtiende una semicircunerencia. ¿Cuánto mide este ángulo? Compara tu resultado con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:

A

Los ángulos inscritos en una semicircunerencia miden ��°. d) Enseguida, vas a construir una circunerencia con un ángulo central ∠COB y uno semiinscrito ∠ DCB que subtiendan el mismo arco, tal y como se muestra en la figura. Mide estos ángulos. ¿Qué observas? ¿Qué relación hay entre la medida del ángulo semiinscrito y la medida del ángulo central?

R

O B

Q

C O B

C D O B

matemáticas iii


•



Compara tu resultado con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: La medida de un ángulo semiinscrito en una circunerencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco. C

e) Finalmente, construye una circunerencia y dibuja un diámetro. Traza una semirrecta tangente en un extremo del diámetro. De esta manera, has dibujado un ángulo semiinscrito ∠ BCD que subtiende una semicircunerencia. Mide este ángulo. ¿Qué observas? Compara tu resultado con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:

D O

B

Los ángulos semiinscritos que tienen un lado que contiene a un diámetro miden ��°. Ejemplo 1

Obtén la medida de los ángulos indicados en cada figura. a.

b.

B A

c.

Q

Q

α O ��°

β

α

��°

P

α

O

��°

P

S

S

O

C

D

a) α = ��° � = ��° , porque un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que subtiende la misma cuerda. ��° β = � = ��° , por la misma razón anterior. b) α = � × 38° = 76°, pues α es un ángulo central con igual arco que el ángulo inscrito ∠ PQR. c) α = ��° , ya que ambos subtienden un arco igual al de un ángulo central de ��°.

Solución

Ejemplo 2

Identifica los arcos iguales en cada figura. a.

B

b.

A

A

B

��°

O

A

��°

C D Solución

c.

B

C

��°

��°

D

F C

D

a) AB = DC Corresponden a ángulos centrales iguales por ser opuestos por el vértice. Por la misma razón AD = BC.




unidad iv

•

b)) AB = CD. Al trazar radios a partir de los puntos C y B, y apli b cando la propiedad del triángulo isósceles y de los ángulos interiores de un triángulo, se observa que ambos arcos determinan ángulos centrales iguales a ��°. c) AB = BC. AB se opone a un ángulo central de ��° y BC también se opone a un ángulo de ��° ( = ��° - ��°).

.8

A

B

��° ��° ��° ��° ��° ��°

C

D

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario diccionario los principales conceptos conceptos y propiedades de esta lección. �. Obtén la medida de los ángulos indicados indicados en cada figura. figura.

a.

b.

B A

α O

84°

c.

C

��° α O

A

D

��°

C

β

α O

D

En los ejercicios 3 a 10 determina la medida de los ángulos indicados.

�.

�.

�.

�.

α

β

120°

��° O α

β

α

E

O

O

Q

�.

�.

β O

�. 130°

α 10°

O

O A

��.. ��

B

B

α

A

β C

10° 60°

α

O β

C



•



de rectas y segmentos .9 Propiedades en una circunf circunferencia erencia Realiza la siguiente actividad para que explores ex plores algunas propiedades propiedades de rectas y segmentos de la circunferencia.

Acvidad  Uliza GeoGebra

a) Primero descubrirás descubrirás la relación relación entre las cuerdas cuerdas y sus ángulos centrales. Para ello, realiza lo siguiente: Vas a construir con Geogebra, una circunerencia que contenga dos cuerdas iguales tal y como se muestra en la figura. Puedes seguir el siguiente procedimiento: �. Usa la opción circunerencia circunerencia y traza traza una. �. Localiza dos puntos A y B , en la parte superior de la circunerencia y traza la cuerda AB. �. Localiza un punto punto C sobre la la circunerencia circunerencia en la parte parte inerior. �. Usa la opción compás. compás. Da clic en A , clic en B y clic en en C. Aparecerá otra circunerecnia. �. Encuentra el punto punto de intersección entre las dos circunerencias. Llámalo D. Traza la cuerda CD y oculta las dos circunerencias. �. Traza los radios OA, OB, OC y OD. OD. �. Mide los ángulos ∠ BOA y ∠COD. �. ¿Qué observas? Compara Compara tus resultados resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: Si dos cuerdas de una circunerencia son iguales, entonces determinan dos ángulos centrales iguales. b)) A continuación, descubrirás dos propiedades b propiedades relativas relativas a las cuerdas y el centro del círculo. Puedes seguir el siguiente procedimiento: �. Construye la cuerda AB (repit (repitee los pasos � y � de la construcción anterior anterior.. �. Traza una perpe perpendicular ndicular a la cuerda que pase por el centro de la circunerencia. Marca con M el el punto de intersección entre la cuerda y la perpendicular perpendicular.. �. Compara las longitudes AM y MB obser vas? Compara MB. ¿Qué observas? tus resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad: La perpendicular que va del centro de una circunerencia a una cuerda, pasa por el punto medio de ésta; es decir, es la mediatriz de la cuerda.

B

A Cuerdas iguales

O

C

D

CR

B

A

O C

D

B

A O

A

B M O




unidad iv

•

�. Repite los pasos necesarios para construir dos cuerdas cuerdas iguales y traza a cada una la perpendicular que pase por el centro. �. Mide y compara compara las las distancias (me (medidas didas a lo largo de las perpendiculares) desde el centro hasta las cuerdas. ¿Qué relación hay entre estas distancia? Compara tus resultados con el resto del grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:

d�

O d�

Dos cuerdas iguales de una circunerencia son equidistantes desde el centro de la circunerencia. Es decir, las distancias entre las cuerdas y el centro son iguales. c) A continuación, descubrirás dos propiedades relativas a las tangentes. Recuerda que la tangent tangentee a una circunerencia es una recta en el plano de la circunerencia que intersecta a la circunerencia exactamente en un punto. El punto en el que la tangente toca a la circunerencia se llama punto de tangencia. Paraa explorar con Geogebra las propiedades de estas tangent Par tangentes, es, puedes seguir el siguiente sig uiente procedimiento: �. Construye una circunerencia circunerencia y localiza sobre ella el punto de tangencia T. �. Usa la opción «tangente», a continuación continuación da clic en el punto T y y clic sobre la circunerencia (aparecerá la tangente). �. Traza el radio OT y y localiza el punto R sobre sobre la tangente. �. Mide el ángulo ∠ RT RTO O , ormado por el radio y la recta tangente. tangent e. ¿Qué observas? Compara tus resultados resultados con el grupo. Estos resultados deben coincidir con la siguiente propiedad:

Uliza GeoGebra

T

m

O

T R O

La tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado del centro hasta el punto de tangencia. �. Repite los pasos necesarios necesarios para para construir construir ahora, una circunerencia pero con dos rectas tangentes. tangentes. �. Encuentra el punto punto de intersección entre las dos rectas tangentes. �. Mide y compara compara las las longitudes de los segT � mentos tangentes T � I y y T � I . ¿Qué relación hay entre estas longitudes? Compara tus resultados con el resto del grupo. Estos reO sultados deben coincidir con la siguiente propiedad: Propiedad de los segmentos tangentes. Los segmentos tangentes tangentes a una circunerencia desde un punto uera de la circunerencia, son iguales.

Recta tangente

I

T �


.9




•

EJERCICIOS

M

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta esta lección. �. En la figura adjunta, MN y MP MP son tangentes a la circunerencia. Determina: ∠x =____ y = ____

� cm x y N ��° P O D A w B

�. En la figura adjunta, AD es tangente tanto a la circunerencia de centro B como a la circunerencia de centro C. Calcula: ∠w =____

��°

C

B

�. En la figura adjunta, AB y AC son tangentes a la circunerencia. Calcula: ∠w =____

A

��°

w C

.0

Área de paralelogramos, triángulos y trapecios

Lee atentamente la siguiente información relacionada con el área. Resuelve R esuelve lo solicitado.

El área de una figura plana es el número de unidades cuadradas que pueden acomodarse de manera que llenen l lenen la figura completamente. Determina las unidades cuadradas de las siguientes figuras:

Área = ______

Área = ______

¿Cambiará el área si rotamos las figuras? _____ ¿Por qué?_____________

�

� unidad cuadrada

�

8


unidad iv

•

A continuación recordaremos la órmula para calcular el área de un rectángulo. Considera las seis unidades cuadradas indicadas. Aquí hay seis unidades cuadradas

Aquí hay �×� = � unidades cuadradas

�

�

� × � = �

�

�

Área de un rectángulo. El área de un rectángulo de base b y altura h está dada por la órmula bh.

h b

Lee con atención la siguiente inormación relativa a los paralelogramos.

En un rectángulo, cualquier lado puede llamarse base.

Alura

Base Base

Alura

En el caso de un paralelogramo, también cualquier lado puede ser la base. Sin embargo, la altura de un paralelogramo no es necesariamente un lado. Más bien, la altura es la longitud de cualquier segmento con extremo en el lado opuesto a la base y perpendicular a dicha base.

Sigue los pasos para para formar un rectángulo a partir de un paralelogramo. Paso �. Traza la altura en el punto indicado Paso �. Recorta el triángulo ormado y colócalo en el otro extremo. De esta manera se orma un rectángulo. ¿Cómo son las áreas del paralelogramo y del rectángulo? Debes observar que la base y la altura del rectángulo son iguales que la base y la altura del paralelogramo original.

Alura Base

Alura Base PASO � Alura Base

PASO �

matemáticas iii


•

9

Como las áreas del rectángulo y del paralelogramo son iguales, el área del paralelogramo es base × alura. Esto puede resumirse como sigue: Área de un paralelogramo. El área de un paralelogramo se expresa por la órmula A = bh , donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del paralelogramo. A continuación sigue los pasos siguientes para descubrir la fórmula del área de un triángulo. Paso �. Dibuja un rectángulo y un paralelogramo. Traza en ambas figuras una diagonal. De esta orma cada figura queda dividida en dos triángulos congruentes y por consiguiente triángulos de igual área.

Paso �. Traza la altura en cada figura. Observa que, tanto la base como la altura del rectángulo y del paralelogramo coinciden con las de los triángulos en los que se han dividido. Con las observaciones hechas, y considerando que tanto el área del rectángulo como del paralelogramo es base × alura , escribe una expresión para el área de uno de los triángulos. ______________ h

h b

h

b

Tus conclusiones deben coincidir con lo siguiente: Área de un triángulo. El área de un triángulo se expresa por la órmula A = bh donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del triángulo. � Ahora, dibuja dos trapecios iguales, recórtalos y colócalos de tal manera que formen un paralelogramo. b� b� b�

b� b�

b�

b�

b�

¿Cuál es la longitud de la base del paralelogramo?____________ ¿Cuál es la altura?_____ Usa tus respuestas para escribir una expresión para el área del paralelogramo. Después, usa la expresión del área del paralelogramo para escribir una expresión para el área de un trapecio.__________

0


unidad iv

•

(b + b )h Área de un trapecio. El área de un trapecio se expresa por la órmula A = � � � donde A es el área, b� y b� son las longitudes de las dos bases, y h es la altura del trapecio. Estudia el siguiente ejemplo: Ejemplo

Calcular el área sombreada de las siguientes figuras. a)

b) �� cm ��

�

�

Solución

��

�

�.� cm

� cm

�� cm

�

a) Dos maneras de resolver: Primera. Como área del trapecio: A = (� + �)(��) = �� Segunda. Sumando áreas de los tres triángulos: (� × �) (�� × ��) �× = �� + �� = �� + �

b) Dos maneras de resolver Primera. Restando áreas de rectángulos: (�.� × ��) – (� × ��) = �� – �� = �� cm �

Segunda. Sumando áreas de los cuatro trapecios: (�� + ��) (�.� + �) �× (�.�) + � × (�) = ��.� + ��.� = �� cm � � �

matemáticas iii

.0


•



EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario los principales conceptos y propiedades de esta lección. �. En los ejercicios a) a d) calcula el área de cada figura. Hazlo de dos ormas distintas en las figuras que tienen líneas interiores.

�. Encontrar el área de la región sombreada. a) �� cm � cm

� cm a)

�.� cm

�� cm

� cm

� b)

� cm

�� cm b)

�� cm

√�

� cm

√� c)

c)

�� cm � cm

� �� cm �

� d)

d)

�

�

�

�

�

�

�

�

6 C d�

�. A partir de las propiedades básicas, deducir la órmula para el área de un rombo. (Sugerencia: Área del rombo = Área del ∆ ABC + Área del ∆ AEB )

A

B d d� E D




.

unidad iv

•

Área y perímetro: polígonos regulares, circunferencia circunf erencia y círculo ℓ

Lee atentamente la siguiente información relacionada con perímetros y áreas. El perímetro de un polígono regular es la suma de sus n lados. P = ℓ + ℓ + ... + ℓ = n veces ℓ = nℓ

ℓ ℓ

ℓ

Ejemplo

ℓ

Para un pentágono: P = �ℓ El centro de un polígono regular es el centro de su circunerencia circunscrita. Apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es la mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono regular son iguales.

En la figura de la derecha, el centro del polígono es O. es la apotema. OF es

D E

C

O F B

A

Puedes dividir un polígono regular en triángulos isósceles iguales, di bujando segmentos segmentos desde el centro centro del polígono a cada cada vértice. Sigue los pasos siguientes para descubrir la órmula del área de un polígono regular. Completa. Área de cada triángulo: ℓa � Área del polígono: � ( ℓa ) = �ℓa � � pero, �ℓ es el _______ del polígono Área de un polígono regular regular.. El área de un polígono regular es igual a perímero por apoema apoema sobre dos.

En órmula se expresa como A = Pa , donde A es el área, y P es el perímetro. �

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

a

ℓ

Ahora, analicemos la longitud de la circunferencia. Es común usar la palabra circunerencia para reerirnos en realidad a su longitud. La circunerencia se mide en unidades lineales, tales como centímetros, metros, etc. No obstante, una circunerencia no es recta; cambia constantemente constantemente su dirección. di rección. ¿Cómo podríamos medirla con una regla? Podemos colocar un pedazo de cordón cuidadosamente, de manera que coincida con la circunerencia; cortarlo y después ponerlo sobre una regla. Sin embargo, este método, nos daría solamente un valor aproximado. Necesitamos una órmula para encontrar la longitud de la circunerencia, en términos de longitudes que puedan medirse ácilmente, tales como el radio y el diámetro.. La respuesta a esta cuestión, se encuentra con la definición del número phi (π). diámetro



•

El número π , surge surge a partir del siguiente hecho: hecho: Si dividimos la longitud de dos o más circunerencias entre sus respectivos diámetros, obtendremos siempre el mismo resultado y es a este resultado constante al que se le llama π. C� = C� = C� = constante = π D� D� D� El número π , es un número irracional por lo que su parte decimal es infinita y no periódica. Debido a que este número con sus primeros cinco decimales es 3.14159..., se acostumbra usar el siguiente valor para π: �.�� π = �.�� Entonces, ya podemos calcular la longitud de una circunerencia C cualquiera, con diámetro D: C r D

C = π D



C� D� C� D� C� D�

por lo tanto: C = π D = π(�r ) = �πr

Para establecer una órmula para el área de un círculo, se considera que la longitud de la circunerencia y el área del círculo son respectivament respectivamentee los límites de los perímetros y áreas de polígonos regulares inscritos. Si n → ∞ a → r P → 2πr Así, el área área de un un círculo puede obtenerse obtenerse reemplazando reemplazando,, en la la expresión Pa, los valores 2 πr en lugar de � en lugar de a. Ésto conduce a: (�πr )r = πr � P , y r r en � Entonces: El área de un círculo se expresa por la órmula A = (�πr )r = πr � , donde A y r son son el área y el radio � del círculo respectivament respectivamente. e. Estudia el siguiente ejemplo: Ejemplo

Calcular el área sombreada de las siguientes figuras. a.

��

b.

�� cm �� .� .� cm




Solución

unidad iv

•

5

a) r = = √�� + �� = √�� + �� = √169 = � ��

r

Área del círculo círculo menos área del del hexágono: ��)) (�) = 530.9 360 = ��.� (�.�� ×��) − (� × ��

12

b)) Primero b Primero,, encuentra el área área de todo el octágono octágono.. ( Pa) � × ��.� × �� = ��.� Área del octágono = � = � Si dividimos el octágono en ocho triángulos isósceles ( los cuales son iguales), ig uales), entonces entonces la parte sombreada constituye � del octágono octágono.. � Así pues, el área sombreada sombreada es: � (1328 cm2) = 996 cm2 �

.

EJERCICIOS

�. Anota en tu diccionario diccionario los principales conceptos conceptos y propiedades de esta lección. �. En los ejercicios siguientes siguientes determinar determinar el área de cada región sombreada. sombreada. a)

b)) b � cm

c) �

�

� cm

c m � �

�

d)

e)

�.� �

� �� x

�. Calcular el área área de un cuadrado si el radio radio de la circunerencia circunscrita a él es de �� cm. �. Si el área de un cuadrado es ��, calcular calcular:: a) Su lado. b)) Su perímetro b c) El radio de la la circunerencia inscrita. d) El radio radio de la circunerencia circunerencia circunscrita.

10 cm



•



AUTOEVALUACIÓN  Sigue cada una de las siguientes instrucciones para que te autoevalúes. Parte I. Logro de competencias disciplinares. matemáticamente áticamente las magnituCompetencia �. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matem des del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean. ��: �� : Lee el siguiente enunciado:

Mónica y Ana se encuentran sentadas rente a su ca baña. Están orgullosas de su habilidad para estimar distancias y juegan a estimar la distancia entre objetos de los alrededores. Hay dos grandes árboles visi bles desde donde están sentadas, uno a la izquierda y el otro a la derecha de la cabaña. Ana afirma que los dos árboles están separados una distancia de �� pies, y Mónica dice que la distancia de separación es de �� pies. El problema es que no pueden medir la distancia entre los árboles para ver cuál estimación está más cerca del valor real, pues pasa un arroyo entre ellos. De pronto, Ana recuerda que puede aplicar la conjetura del segmento medio del triángulo. Explica qué debe dibujarse y qué medidas deben tomarse y en qué consiste aplicar aplicar esta conjetura. conjetura. Parte II. Saber conocer y saber hacer: ��: �� : Para que valores tus logros según los indicadores de desempeño, coloca una √ en en la celda de la derecha en cada indicador y calcula el total. Desempeño Bueno (�)

Regular ( �)

Malo (�)

Reconozco y defino los distintos tipos de cuadriláteros especiales: trapecios, no trapecios y paralelogramos. Reconozco y defino los distintos tipos de paralelogramos: rombos, rectángulos y cuadrados. Identifico los elementos de una circunerencia. Utilizo las tecnologías de la inormación, para explorar las propiedades geométricas de los polígonos y de la circunerencia. Determino medidas de ángulos interiores y exteriores de polígonos. Aplico las propiedades de los paralelogramos, rombos, rectángulos, cuadrados y trapecios para resolver problemas. Aplico el cálculo de áreas y perímetros en la solución de problemas.

Parte III. Evaluación de competencias genéricas: ��: �� : Para que autoevalúes tus logros en competencias genéricas de esta unidad �, utiliza el mismo cuadro de la parte III de la autoevaluación �.




B

� ° � � ° �

Trigonometría: aplicaciones de triángulos rectángulos

x

x � � ° � � °

A

D x �

unidad iv

•

C

d

h

x � � � °

Analiza las relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos y las aplica en la resolución de problemas de su entorno.

•

•

•

•

•

o = ca t e t

� � °

x �


Indicadores de desempeño

•

o ca t e t

x


•

o = ca t e t

x � – � x

Define las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Establece las identidades trigonométricas básicas: recíprocas, por cociente y pitagóricas. Utiliza los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos especiales para evaluar expresiones. Obtiene los valores de las razones trigonométricas y valores de ángulos, empleando la calculadora para ángulos entre �° y ��°. Utiliza las identidades trigonométricas recíprocas para determinar los valores de las razones trigonométricas de ángulos entre �° y ��°. Resuelve triángulos rectángulos. Aplica la trigonometría a la solución de ejercicios y pro blemas.


Acvidad preliminar ¿Por qué es importante estudiar esta unidad? El siguiente problema muestra la utilización de algunos conceptos geométricos y tr igonométricos, algunos ya estudiados y otros que estudiarás en esta unidad. Problema. Un paciene recibe un raamieno con radioerapia para un umor siuado derás de un órgano vial. �.� cm Piel Para eviar daño en el órgano, el radiólogo debe dirigir los Órgano rayos con un ciero ángulo hacia el umor. Si el umor esá �.� cm debajo de la piel y los rayos peneran en el cuerpo �.� cm a la derecha del umor, halla el ángulo con el que los Tumor rayos deben penerar al cuerpo para aacar el pulmón.

�

x � = x � – �

matemáticas iii Competencias genéricas a desarrollar


•

�.� Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representación sim bólica. �.� Maneja las tecnologías de la inormación y la comunicación para obtener inormación y expresar ideas, de manera responsable y respetuosa. �.� Utiliza las tecnologías de la inormación y comunicación para procesar e interpretar inormación. � �.� Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. � x � x – �.� Elabora conclusiones y ormula nuevas interrogantes, a partir de retomar evi � dencias teóricas y empíricas. �.� Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en � √ x equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. = � �.� Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.



H o r iz o n ta l Á n g ul o d e d e p re s i ón Á n g ul o d e e le va c i ón H o r i zo n ta l

5

unidad La actividad � consiste en que analices la solución planteada a continuación. Una vez que termines el estudio de la unidad vuelve a analizar esta actividad.

Acvidad  Solución

La situación planteada, puede modelarse mediante un triángulo rectángulo como el mostrado en la parte derecha. Los datos corresponden a los catetos del triángulo, y la incógnita es uno de los ángulos agudos del triángulo.

�.� cm �.� cm

α

¿Cuánto vale α? _________________

El problema se resuelve planteando una razón trigonométrica que relacione la incógnita y los datos. Esta razón, es la tangente del ángulo:

Por lo tanto:

Solución

tan α = caeo opueso a α caeo adyacene a α �.� = �.� = �.�� α = an-1 (0.6429) α = 32° 42"

Los rayos deben entrar al cuerpo con un ángulo de 32° 42".

8

trigonometría: aplicaciones de triángulos rectángulos

unidad v

•

¿Qué tanto recuerdas de lo que estudiarás en esta unidad? I. Utiliza tus conocimientos previos para resolver el siguiente crucigrama. A continuación, consulta el material de esta unidad y revisa tus respuestas. � � �

� �

� �

Horizontales

Vercales

�. Nombre que reciben los triángulos que no son rectángulos. �. Razón trigonométrica definida como la hipotenusa entre el cateto opuesto. �. Razón trigonométrica definida como el cateto adyacente entre el cateto opuesto. �. Razón trigonométrica definida como el cateto adyacente entre la hipotenusa.

�. Razón trigonométrica definida como el cateto opuesto entre el cateto adyacente. �. Razón trigonométrica definida como la hipotenusa entre el cateto adyacente. �. Razón trigonométrica definida como el cateto opuesto entre la hipotenusa.

II. Ahora, trata de contestar las siguientes cuestiones, y revísalas una vez que hallas estudiado el material de esta unidad. En reerencia a la figura de la derecha: a) Nombra el cateto adyacente a ∠ P. b) Nombra el cateto opuesto a ∠Q c) Nombra la hipotenusa d) Nombra el cateto opuesto a ∠ P. e) Nombra el cateto adyacente a ∠Q . ) ¿Qué es sen P? g) ¿Qué es cos P? h) ¿Qué es an Q ? i) ¿Qué es cos Q ? j) ¿Qué es sen Q ?

R

Q

P

matemáticas iii

.


•

9

Razones trigonométricas

Lee atentamente la siguiente información acerca del triángulo rectángulo:

En todo triángulo rectángulo se tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. La hipotenusa es el mayor de los tres lados del triángulo. En el triángulo rectángulo:

B

∠C es ángulo recto.

C

c es la hipotenusa a y b son catetos.

c

a

A

b

Cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene por lados la hipotenusa y uno de los catetos. Para un cierto ángulo agudo α , los catetos reci ben el nombre de opueso o de adyacene.

s a u n Cateto opuesto o t e p i H aα α Cateto adyacente a α

En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son siempre complementarios, es decir la suma de sus medidas es 90°. Los catetos adyacente y opuesto se intercambian en estos ángulos. α + β = ��°

s a u n o t e p i H

Cateto opuesto

α Cateto adyacente

s a u n o t e p i H

Cateto opuesto

Acvidad  Contesta correctamente: B

a

c

C

b

a) El cateto puesto a ∠A es____ b) El cateto adyacente a ∠A es____ c) El cateto opuesto a ∠B es____ d) El cateto adyacente a ∠B es____ e) La hipotenusa es_____ A

β

Cateto adyacente

0


unidad v

•

B

Recordemos que en los triángulos rectángulos se cumple el teorema de Pitágoras que relaciona los tres lados del triángulo.

c

a

Teorema de Pitágoras c� = a� + b�

C

b

A

Ahora, buscaremos las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo rectángulo. Para ello, estudiaremos la rama de las matemáticas llamada trigonometría. Analiza la siguiente definición de trigonometría. La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de los triángulos, así como, su aplicación en la resolución de problemas. Recuerda la definción de razón entre dos cantidades: Una razón entre dos cantidades expresadas en las mismas unidades, es el cociente o cociente indicado que se obtiene al dividir la primera de las cantidades entre la segunda.

A partir del siguiente triángulo rectángulo, escribe todas las razones que se pueden establecer con las longitudes de los lados. _____________ _____________ _____________

B c A

a b

C

¿Cuántas razones se pueden establecer con los lados de un triángulo? ____________ La siguiente figura muestra una rampa utilizada para subir material en un obra en construcción. L a rampa mide �� m y la altura que alcanza es de �� m. El punto de apoyo de la base de la rampa sobre el piso se encuentra a una distancia de �� m de la base de la construcción.

�� m �� m

�� m

matemáticas iii


•



A continuación, se muestran distintas distancias recorridas sobre la rampa, así como, las alturas respectivas alcanzadas. �� m C �� m F

�m D �m E �m

A

�� m �m G

�� m

B �� m

Consideremos la altura h que se alcanza en un punto de la rampa y la distancia d que se recorre sobre ella hasta dicho punto: �� m C �� m

F

�� m

d h A

�m D �m E �m

�m G

�� m

B �� m

Contesta las siguientes preguntas: �. En el punto D de las figura de la derecha ¿cuál es la razón h ? ________ d �. En el punto F de las figura de la derecha ¿cuál es la razón h ? ________ d �. En el punto C de las figura de la derecha ¿cuál es la razón h ? ________ d �. ¿Qué observas en las razones anteriores obtenidas? ______________ �. Al recorrer la mitad de la rampa, ¿qué altura se alcanzará? __________ �. ¿Cuál es la razón h entre la altura alcanzada al recorrer la mitad de la rampa y la distancia d que d se recorre sobre ella? ______




unidad v

•

Lee con atención:

En el inciso anterior, debiste encontrar que la razón entre la altura alcanzada y la distancia recorrida sobre la rampa es la misma para todos los triángulos ormados.

d h

h = consane. d

�� m C

En el ∆ ADE: h = � d �

�� m F

En el ∆ AFG: h = � = �×� = � d �� ×� � En el ∠ ACB: h = �� = �×2×� = � d �� ×2×� �

�� m

�m

�m

D �m

E �m

A

G �� m

B �� m

Si consideramos el ángulo A , observamos que en cada uno de los triángulos, h es el cateto opuesto y d es la hipotenusa. De esta orma, hemos encontrado que para un mismo ángulo, la razón: Caeo opueso , resulta siempre la misma sin importar las medidas del triángulo. Hipoenusa

A esta razón se le llama seno del ángulo A. El seno del ángulo A es la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Se expresa con Sen A.

B c A

a b

C

Caeo opueso a ∠ A Hipoenusa sen A = a c

sen A =

Las otras cinco razones establecidas entre cada par de lados de un triángulo rectángulo, se definen como sigue: B Caeo adyacene a ∠ A cos A = c El coseno del ángulo A es la razón entre a Hipoenusa su cateto adyacente y la hipotenusa. Se A cos A = b expresa con Cos A. b C c B

La tangente del ángulo A es la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente. Se expresa con Tan A o Tg A

c A

a b

C

Caeo opueso a ∠ A Caeo adyacene a ∠ A an A = a b an A =

matemáticas iii

B

La cotangente del ángulo A es la razón entre su cateto adyacente y su cateto opuesto. Se expresa con Cot A o Ctg A

c A

b

a C B

La secante del ángulo A es la razón entre la hipotenusa y su cateto adyacente. Se expresa con SecA.

La cosecante del ángulo A es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Se expresa con Csc A.


•

c A

a b

C B

c A

Caeo adyacene a ∠ A Caeo opueso a ∠ A co A = ba co A =

Hipoenusa Caeo adyacene a ∠ A sec A = c b sec A =

Hipoenusa Caeo opueso a ∠ A csc A = ac csc A =

a b



C

Acvidad  Encuentra el valor de las razones trigonométricas de los ángulos indicados: B F N � � 10 �� √�� L C A M �� D � E √�� sen A = cos A = an A = co A = sec A = csc A =

sen B = cos B = an B = co B = sec B = csc B =

sen E = cos E = an E = co E = sec E = csc E =

sen F = cos F = an F = co F = sec F = csc F =

sen L = cos L = an L = co L = sec L = csc L =

sen M = cos M = an M = co M = sec M = csc M =

Estudia atentamente la siguiente situación problema: Una escalera de �� metros de largo, se recarga sobre una barda y su extremo inerior orma un ángulo de ��º con el piso, ¿cuál es la altura de la barda? Primeramente debemos representar la situación planteada en un dibujo:

Largo de la escalera = 10 m

Altura de la barda

20º

Datos: Identifiquemos las palabras asociadas con los triángulos rectángulos: Ángulo = ��º Hipoenusa = �� m Incógnia: Cateto opuesto a ��º

10 20º




Sabemos que:

unidad v

•

Caeo opueso a 20° Hipoenusa sen ��° = Alura de la barda �� Sen ��° × 10 = alura de la barda alura de la barda = Sen ��° × 10 sen ��° =

��º ��º ��º ��º ��º

Lee con atención:

Observamos que si conociéramos el valor del seno de ��º , el problema estaría resuelto. El seno de ��º o cualesquier otra razón trigonométrica pueden encontrarse para varios ángulos haciendo mediciones muy precisas en una figura parecida a la siguiente:

��º ��º

��º ��º ��º ��º ��º ��º ��º ��º ��º �º �º

Por ejemplo, si queremos los valores de las razones trigonométricas de ��º, tomamos el triángulo rectangulo que corresponde a este ángulo y después de medir cuidadosamente con una regla, calculamos cada uno de los cocientes.

�.�

�.�

��º

Del triángulo y aplicando la definición del seno: sen ��° = �.� �.� = �.��

Entonces: alura de la barda = sen ��° × �� = (�.��)(��) = �.� m

De esta manera, pueden obtenerse tablas para los valores de las razones trigonométricas. Sin embargo, la precisión de estos valores estaría en unción de muchos actores, por lo que existen otros procedimientos para obtener estas tablas con mayor precisión.

matemáticas iii


•

Ángulo

sen

cos

tan

Ángulo

0º 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º 36º 37º 38º 39º 40º 41º 42º 43º 44º 45º

0.0000 0.0175 0.0349 0.0523 0.0698 0.0872 0.1045 0.1219 0.1392 0.1564 0.1736 0.1908 0.2079 0.2250 0.2419 0.2588 0.2756 0.2924 0.3090 0.3256 0.3420 0.3584 0.3746 0.3907 0.4067 0.4226 0.4384 0.4540 0.4695 0.4848 0.5000 0.5150 0.5299 0.5446 0.5592 0.5736 0.5878 0.6018 0.6157 0.6293 0.6428 0.6561 0.6691 0.6820 0.6947 0.7071

1.0000 0.9998 0.9994 0.9986 0.9976 0.9962 0.9945 0.9925 0.9903 0.9877 0.9848 0.9816 0.9781 0.9744 0.9703 0.9659 0.9613 0.9563 0.9511 0.9455 0.9397 0.9336 0.9272 0.9205 0.9135 0.9063 0.8988 0.8910 0.8829 0.8746 0.8660 0.8572 0.8480 0.8387 0.8290 0.8192 0.8090 0.7986 0.7880 0.7771 0.7660 0.7547 0.7431 0.7314 0.7193 0.7071

0.0000 0.0175 0.0349 0.0524 0.0699 0.0875 0.1051 0.1228 0.1405 0.1584 0.1763 0.1944 0.2126 0.2309 0.2493 0.2679 0.2867 0.3057 0.3249 0.3443 0.3640 0.3839 0.4040 0.4245 0.4452 0.4663 0.4877 0.5095 0.5317 0.5543 0.5774 0.6009 0.6249 0.6494 0.6745 0.7002 0.7265 0.7536 0.7813 0.8098 0.8391 0.8693 0.9004 0.9325 0.9657 1.0000

45º 46º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º 56º 57º 58º 59º 60º 61º 62º 63º 64º 65º 66º 67º 68º 69º 70º 71º 72º 73º 74º 75º 76º 77º 78º 79º 80º 81º 82º 83º 84º 85º 86º 87º 88º 89º 90º

sen 0.7071 0.7193 0.7314 0.7431 0.7547 0.7660 0.7771 0.7880 0.7986 0.8090 0.8192 0.8290 0.8387 0.8480 0.8572 0.8660 0.8746 0.8829 0.8910 0.8988 0.9063 0.9135 0.9205 0.9272 0.9336 0.9397 0.9455 0.9511 0.9563 0.9613 0.9659 0.9703 0.9794 0.9781 0.9816 0.9848 0.9877 0.9903 0.9925 0.9945 0.9962 0.9976 0.9986 0.9994 0.9998 1.0000



cos

tan

0.7071 0.6947 0.6820 0.6691 0.6561 0.6428 0.6293 0.6157 0.6018 0.5878 0.5736 0.5592 0.5446 0.5299 0.5150 0.5000 0.4848 0.4695 0.4540 0.4384 0.4226 0.4067 0.3907 0.3746 0.3584 0.3420 0.3256 0.3090 0.2924 0.2756 0.2588 0.2419 0.2250 0.2079 0.1908 0.1736 0.1564 0.1392 0.1219 0.1045 0.0872 0.0698 0.0523 0.0349 0.0175 0.0000

1.0000 1.0355 1.0724 1.1106 1.1504 1.1918 1.2349 1.2799 1.3270 1.3764 1.4281 1.4826 1.5399 1.6003 1.6643 1.7321 1.8040 1.8807 1.9626 2.0503 2.1445 2.2460 2.3559 2.4751 2.6051 2.7475 2.9042 3.0777 3.2709 3.4874 3.7321 4.0108 4.3315 4.7046 5.1446 5.6713 6.3138 7.1154 8.1443 9.5144 11.4301 14.3007 19.0811 28.6363 57.2900 ∞




unidad v

•

Variación de las razones trigonométricas: valores para �º y ��º. Observa la tabla de las razones trigonométricas de la página anterior. Contesta correctamente las siguientes preguntas: �. Si el ángulo varía de �º a ��º: - ¿Cómo varía la razón seno? _______________________________________ - ¿Cómo varía la razón coseno? _____________________________________ - ¿Cómo varía la razón tangente? ____________________________________ �. ¿Cuánto valen las razones trigonométricas para �º y ��º?

Variación del seno: Tu respuesta debe ser parecida a la siguiente: sen �° < sen �° < sen �° < sen ��° < sen ��° < sen ��° < sen ��° < sen ��° < sen � �° �.�� < �.�� < �.�� < �.�� < �.�� < �.�� < �.�� < �.�� < �.�� Si el ángulo varía de �º a ��º, el seno aumenta de � hasta �. ��° ��.�°

Lee con atención:

��.�°

Para presentar un argumento lógico de esta variación, nos apoyaremos en la figura de la derecha. En ésta, se observa un cuarto de círculo parecido al que analizamos en la construcción de tablas trigonométricas.

��

��

Este tipo de figura, orece la ventaja de que la hipotenusa es la misma para todos los ángulos. El valor de ��, es totalmente arbitrario.

��.�° �� .�° �.�° �.�°

�� En la figura, observamos que, en los triángulos rectángulos al variar el ángulo de �° a ��°, el cateto opuesto al ángulo va aumentando, mientras que la hipotenusa siempre es ��: Cateto opuesto

Cateto opuesto

��

�� °

��°

��

Cateto �� opuesto

Cateto opuesto

��° ��°

Por lo tanto, al aumentar el ángulo, mientras la hipotenusa puede mantenerse constante, el cateto opuesto aumenta, por lo que el valor del seno dado por: Caeo opueso valor que aumena = Hipoenusa valor consane aumenta hasta un valor máximo de �.�

matemáticas iii


•



Variación del coseno: cos �° < cos �° < cos �° < cos ��°
�� Cateto adyacente

��°

�� Cateto adyacente

��° Cateto adyacente

�� ° Cateto adyacente

Por lo tanto, al aumentar el ángulo, mientras la hipotenusa puede mantenerse constante, el cateto adyacente aumenta, por lo que el valor del coseno dado por: Caeo adyacene = valor que disminuye Hipoenusa valor consane disminuye hasta cero. Variación de la tangente:

tan �° < tan �° < tan �° < tan ��°
El cateto adyacente desaparece

Para 90º: el cateto opuesto vale ��. el cateto adyacente vale �. la hipotenusa vale ��.

Entonces: sen ��° = ��/�� = �.� cos ��° = �/�� = �.� an ��° = ��/� = valor no definido.

8


unidad v

•

Analicemos el resultado de an ��°. La división por cero no está permitida. Lo que podemos hacer, es considerar en lugar de cero, un valor muy cercano a cero.

Sea 0 ≈ 0.000001 Entonces: an ��° ≈ an ��.��° ≈

�� = �� .�� Por tanto, la tangente para ángulos muy cercanos a ��º, se eleva considerablemente. Sin embargo, la tangente de exactamente ��º, no está definida.

Acvidad  Haz un resumen en la tabla siguiente de los valores obtenidos para �° y � �°.

Ángulo �º

Seno

Coseno

Tangente

��º

.

El valor máximo del seno es ____________ El valor máximo del coseno es ___________ La tangente puede tomar cualquier valor ma yor que __________

EJERCICIOS

�. En cada afirmación escribe cierto o also según corresponda. a) Si el ángulo aumenta de �° a ��°, el seno del ángulo aumenta. _________________ b) Si el ángulo aumenta de �° a ��°, el coseno del ángulo aumenta. _______________ c) Si el ángulo aumenta de �° a ��°, la tangente del ángulo aumenta. ______________ �. ¿Puede ser sen x = �.�?__________ ¿Por qué? �. ¿Puede ser cos x = �.�? __________ ¿Por qué? �. ¿Puede ser an x = �.�? __________ ¿Por qué? �. Si la medida de un ángulo va cambiando desde �º hasta ��º, el seno de ese ángulo va cambiando desde � hasta_________ �. Si la medida de un ángulo va cambiando desde �º hasta ��º , el coseno de ese ángulo va cambiando desde ______ hasta_________ �. Si la medida de un ángulo va cambiando desde �º hasta ��º, la tangente de ese ángulo va cambiando desde ______ hasta_________ �. ¿Verdadero o also? a) Si ∠ A > ∠B, entonces sen A > sen B. b) Si ∠ A > ∠B, entonces cos A > cos B. �. ¿Puede ser sen A > �.�? Explica. ��. ¿Puede ser cos A > �.�? Explica. ��. ¿Puede ser an A > �.�? Explica.

matemáticas iii

.


•

9

Razones trigonométricas de triángulos especiales

Lee atentamente:

En muchos problemas prácticos, es útil conocer los triángulos ��º-��º-��º y ��º-��º-��º. B A D ��º

C

��º��º ��º

B

A

��º

��º C

D Un triángulo ��º - ��º - ��º está ormado por una altura de un triángulo equilátero.

Un triángulo ��º-��º-��º está ormado por dos lados de un cuadrado y una diagonal

Los argumentos para estas aseveraciones se analizan a continuación. Triángulo ��º-��º-��º Por la propiedad para triángulos isósceles, podemos asegurar que en todo triángulo rectángulo isósceles los ángulos agudos son iguales. En el cuadrado mostrado arriba, al trazar la diagonal, se ormaron dos triángulos rectángulos isósceles.

��º

√� x

x

��º x

Los lados iguales pueden tener cualquier valor x. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: hipoenusa = √x� + x� = √�x� = √�x

Puesto que las razones trigonométricas no dependen del valor de los lados, haremos x = �.

�

��º

√� ��º �

Acvidad  Con base en las medidas del triángulo ��°-��°-��°, completa correctamente. sen ��º = ________ cos ��º = ________ tan ��º = ________ cot ��° = ________ sec ��° = ________ csc ��° = ________

��º

√�

�

��º �

0


unidad v

•

Estudia ahora, los argumentos relacionados con el triángulo ��º-��º-��º

B

Como una consecuencia de la propiedad de los triángulos isósceles, y de la suma de ángulos interiores de los triángulos, sabemos que todos los ángulos interiores de un triángulo equilátero miden ��º.

��° ��°

��°

A

Si BD es una altura, ¿cuánto miden los ∠ ABD y ∠CBD? Puesto que ∆ ABD y ∆CBD son rectángulos con un ángulo agudo igual a ��º, entonces ∠ ABD = ∠CBD = ��°.

C B

��° ��°

Ahora bien, al trazar la altura se ormaron dos triángulos que son congruentes. (Se cumplen tanto el criterio LAL como el ALA ). Por lo tanto, si llamamos x a la longitud de cada lado, se cumple que: AD = DC = x �

A

x

x

��°

��° D

x � Separando uno de los triángulos ormados y aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

��°

x

caeo

caeo =

x x� – �

caeo =

x� x� – � =

��°

x �

C

�

�x� – x� �

= √� x �

x �

Por lo tanto, el triángulo ��º-��º-��º es: ��°

x

√� x �

En este triángulo, el valor para x que más conviene usar es el de �. (Este valor evita el trabajar con un cateto raccionario).

�

��°

√�

��° �

��° x �

Acvidad  a) Con base en las medidas del triángulo ��°-��°-��°, completa correctamente. sen ��° = ______

co ��° = ______

sen ��° = ______

co ��° = ______

cos ��° = ______

sec ��° = ______

cos ��° = ______

sec ��° = ______

an ��° = ______

csc ��° = ______

an ��° = ______

csc ��° = ______

matemáticas iii


•



b) Completa la tabla Ángulo ��° ��° ��°

sen

cos

an

co

sec

csc

Ejemplo

Haciendo uso de la tabla se puede calcular el valor numérico ex acto de expresiones como las siguientes: �. co ��° + sen ��° = � + � = � + � = � = �.� � � � �. an ��° sen ��° – co ��° cos ��° = � � – � � = � � � � √ ( �) sec ��° cos ��° co ��° � √� �. sen ��° an ��° csc ��° = =� � � √� (√�)

.

EJERCICIOS

�. Hallar el valor numérico exacto de: a) � sen ��°cos ��° cot ��° b) sen ��° cot ��°tan ��° c) sen ��° cos ��° + cos ��° tan ��° d) cot ��° tan ��° + sec � ��° e) tan� ��° + � tan � ��° ) � cot ��° + sec ��° g) � tan ��° - �sen ��° h)

tan ��° + cot��° csc ��°

i) sen ��° - cos��° sec ��° cos ��° sec ��° j) csc ��°




.

unidad v

•

Determinación de razones trigonométricas y ángulos mediante calculadora

Estudia atentamente el procedimiento a seguir para determinar los valores de las razones trigonométricas mediante calculadora. Ejemplo

�. Calcular sen ��°. Primeramente, para asegurarse de que la calculadora reconocerá al �� como grado sexagesimal, de bes cersiorarte que en la pantalla aparezca DEG; si no es así, presiona MODE y localiza el número correspondiente a DEG. A continuación oprime sin , y finalmente el valor ��°. La pantalla debe mostrar �.��. OBSERVACIÓN �. En algunas calculadoras, primeramente se teclea la medida del ángulo y a continuación la razón trigonométrica. En este caso, primero deben presionarse � y �, y a continuación sin . Investiga cómo funciona tu calculadora. OBSERVACIÓN �. Otra manera de verificar que tu calculadora está en DEG, es determinando a modo de prueba, el valor de tan ��° que ya sabemos es �. Si tu calculadora no te dá �, no está en modo DEG. �. Calcular cos ��° ��´ ��´´. Para calcular cos ��° ��´ ��´´, se convierten previamente los segundos a minutos y los minutos a grados. Algunas calculadoras cuentan con la tecla ° ´ ´´ O bien: DMS que convierte directamente los minutos y segundos al sistema decimal. En tal caso, el cálculo se simplifica y la secuencia se reduce a:

cos �� °΄΄΄ �� °΄΄΄ �� °΄΄΄ = En algunas calculadoras la secuencia de pasos es:

��

°΄΄΄ �� °΄΄΄ �� °΄΄΄ cos =

Acvidad  Usando la calculadora determina el valor de las razones trigonométricas de los ángulos indicados. Aproxima hasta � ciras decimales. ¿Cómo determinarías Cot, sec y csc? Razón Ángulo ��° ��° ��΄ ��° ��° ��΄ ��° ��΄ ��° ��΄ ��΄΄

seno

coseno

angene

coangene

secane

cosecane

matemáticas iii


•



Estudia el siguiente ejemplo que muestra cómo determinar el valor de un ángulo conocida la razón trigonométrica. Dado el valor de una razón, determinar el ángulo. Ejemplo 1 Si tan A = �.��, encontrar el ángulo A usando calculadora. Solución En este caso, conocemos el valor de la razón trigonométrica, pero no conocemos el ángu-

lo. Es un problema inverso a los ya estudiados.

B

Si an A = �.��, entonces podemos dibujar el siguiente triángulo

�.�� A

C

�

Nos interesa el valor del ángulo A. an A = �.�� Determinar el ángulo A, cuya tangente vale �.�� Esto se ecribe: A = an -� (�.�� ).

Ésto, representa a un ángulo A , cuya tangente es �.�� Para este cálculo, debemos activar la tecla Shif El procedimiento se muestra a continuación.

,

��

o

�nda

Pasos a seguir para calcular el ángulo A: Primero. Asegurarse de que la pantalla muestre DEG. Segundo. Realizar lo siguiente: Shif tan �.��

=

Por lo tanto, el ángulo cuya tangente vale �.�� es ��.�°.

Acvidad  Usando calculadora, encuentra, los ángulos que correspondan a las siguientes razones trigonométricas. (Rotula un triángulo con la inormación): �) cos A = �.��

�) sen B = �.�

A = cos-� (�.��) = ________

B = sen-� (�.�) = ___________

Ésto representa a un________, cuyo _______ es �.��

Ésto representa a un________, cuyo _______ es �.�




.

unidad v

•

EJERCICIOS

�. Encuentra el valor de cada razón hasta la diezmilésima más cercana. a) sen ��° __________ cos ��° __________ sen �° __________ cos ��° __________

sen ��º = ____________ cos ��º ��´ ��´´ = ______ an ��º = ____________ sen ��º ��´ ��´´ = ______

cos 34º _____________ cos 56.45º __________ an 76.8º _____________ sen 24º 30’ __________

�. Halla la medida de cada ángulo hasta el décimo de grado más cercano. a) an A = �.�� A = _______

b) cos B = �.�� B = _______

c) sen A = �.�� A = _______

d) cos B = �.�� B= _______

e) an C = �.�� C = _______

) sen A = �.�� A = _______

g) cos A = �.�� A = _______

h) an A = ��.�� A = _______

i) sen A = �.�� A = _______

entre las razones trigonométricas: . Relaciones ángulos complementarios y razones recíprocas Lee atentamente y completa lo que se pide:

B

En un triángulo rectángulo, uno de los tres ángulos es ángulo recto, ¿cuántos grados suman los ángulos A y B juntos?_____________ Si dos ángulos suman ��° se les llama___________. En cualquier triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios.

C

Si se conoce la medida de un ángulo agudo, se puede encontrar la medida de su complemento. B Para simplificar con recuencia ∠ A + ∠ B = ��° escribiremos: ��° + ∠ B = ��° ∠ B = ��° – ��° A + B = ��° ��° + B = ��° ��° B = ��° –��° A C En general, si ∠ A y ∠ B son complementarios, se cumple que: ∠ A = ��° – ∠ B, o bien, ∠ B = ��° – ∠ A (También escribiremos: A = ��° – B o B = ��° – A).

A

matemáticas iii


•



Estableceremos ahora, una relación entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios. Para ello, determinemos las razones trigonométricas tanto del ∠ A como del ∠ B con base en el siguiente triángulo:

B c A

a b

C

sen A = a c

sen B = b c

cos A = b c

cos B = a c

an A = a b

an B = b a

co A = b a sec A = c b

co B = a b sec B = c a

csc A = c a

csc B = c b

sen A = cos B cos A = sen B an A = co B co A = an B sec A = csc B csc A = sec B

El valor de la razón trigonométrica de un ángulo, es igual a la co-razón del ángulo complementario.

Lee con atención: Así como el seno, tangente y secante se relacionan con sus correspondientes co-razones del ángulo complementario, el seno, coseno y tangente, están relacionadas respectivamente con la cosecante, secante y cotangente del mismo ángulo. Para entender ésto, recuerda que un número a es recíproco o inverso de otro número b si ab = �. � Si ab = �, entonces a = b

� o b= a

Las primeras tres razones trigonométricas definidas, tienen todas ellas su recíproco o inverso. Ésto, podrá apreciarse en el siguiente desarrollo: sen A = a c

sen A�csc A =

a c

c = ac = � ca a

a

cos A = b c

cos A�csc A =

b c

c = bc = � b cb

C

an A = a b

an A�co A =

a b

b = ab = � a ba

B c A

b

co A = b a sec A = c b csc A = c a




Tenemos pues, las siguientes identidades trigonométricas recíprocas o inversas: sen A�csc A = � cosA�sec A

= �

an A.co A = �

De estas expresiones podemos despejar cualesquiera de las razones involucradas. por ejemplo: csc A = � sen A sec A = � cos A co A = � an A

Estudia las siguientes aplicaciones de las relaciones recíprocas: Ejemplo 1: Determinar el valor de: cot ��°. Solución: Puesto que (an ��°)(co ��°) = �, entonces, co ��° = Ejemplo 2: Si sen A = � , ¿cuál es el valor de csc A?

� Solución: Puesto que (sen A)(csc A) = �, entonces, csc A = Ejemplo 3: Si co B = �, ¿cuál es el valor de an B? Solución: Puesto que (an B)(co B) = �, entonces an B =

.

unidad v

•

� = � = �.�� an ��° �.��

� = � = � � sen A � � � = � � co B

EJERCICIOS

�. Completa la tabla que empezaste en la sección �.�. Razón Ángulo

seno

coseno

angene

coangene

secane

cosecane

��° ��° ��΄ ��° ��° ��΄ ��° ��΄ ��° ��΄ ��΄΄ �. Escribe verdadero o also según corresponda. En caso de ser also, escribir la ex presión correcta. Usa el triángulo de la derecha o las relaciones ya establecidas. � co A � b) sen A = sec A c) cos A = � sen A a) an A =

B

d) cos A = cos ( ��°- A ) c

e) cos B = sen ( ��°- A) A

b

a C

matemáticas iii

.


•



Resolución de triángulos rectángulos Q

B

Lee con atención:

En la solución de triángulos, es conveniente nombrar los ángulos con letras mayúsculas y los lados opuestos a dichos A ángulos con la respectiva letra minúscula.

c

a C

b

P

r

p

q

R

Estudia atentamente los siguientes ejemplos: Ejemplo 1 Si ∠ A = ��° y c = ��, encontrar a. Solución

Bosquejar la figura: c = �� A

Plantear las primeras tres razones trigonométricas y elegir aquella que conenga a los daos y a la incógnia:

B a

sen ��° = a ��

��° b

C

La igualdad que contiene la incógnita y los datos necesarios, es la primera

cos ��° = b ��

an ��° = a b

sen ��° = a ��

Usar la calculadora o una tabla para hallar el sen 65°: �.�� = a �� Recuerda que si a = c , entonces ad = bc b d

�.�� = a ��

(�.��)(��) = a(�) ��.�� = a

Redondeando al décimo más próximo, a = 13.6 Ejemplo . Si ∠ B = ��° y a = ��, encuentra c. Solución

B

Bosquejar la figura: ��° c A

a = �� b

C

Elegimos la segunda: cos ��° = �� c �.�� = �� c �.�� c = 10

¿Cuál de las tres razones trigonométricas es la adecuada? Enciérrala en un círculo. sen ��° = b cos ��° = �� an ��° = b c c ��

Dividiendo cada lado por �.��: c=

10 = ��.� 0.6293

Así, c es 15.9 al décimo más cercano.

8


unidad v

•

Ejemplo 3. Si ∠ A = ��° y a = ��, encuentra b. Solución

Bosquejar la figura: c

B

¿Cuál de las tres razones trigonométricas es la adecuada? Enciérrala en un círculo.

a = ��

��° A

b

sen ��° = �� c

cos ��° = b c

an ��° = �� b

C

Elegimos la tercera: an ��° = �� b �.�� = �� b �.�� b = 18

Dividiendo cada lado por �.��: b=

10 = ��.� 0.5095

Así, b es 35.3 al décimo más cercano.

Ejemplo 4. Si a = �� y b = ��, encuentra ∠ A. Solución

Bosquejar la figura:

B

c A

a = ��

¿Cuál de las tres razones trigonométricas es la adecuada? Enciérrala en un círculo. sen A = �� c

cos A = �� c

an A = ��

C

b = ��

Elegimos la tercera: an A = �� = �.� �� Buscamos un ángulo cuya tangente es 1.6 Recuerda que matemáticamente esto se escribe: A = an -� (�.�) La tecla

Shif

tan-� se activa con la tecla Shif

tan �.� =

La respuesta es A = ��°.

Ejemplo 5. Si a = �� y c = ��, encuentra ∠ B. Solución

¿Cuál de las tres razones trigonométricas es la adecuada?

Bosquejar la figura: B

Enciérrala en un círculo .

c = �� a = �� A

b

C

sen B = b ��

cos B = ��

an B = b ��

matemáticas iii


•

9

Elegimos la segunda: cos B = �� = �.�� Buscamos un ángulo cuya coseno es 0.6667 Recuerda que matemáticamente esto se escribe: B = cos -� (�.��) Shif cos �.�� = La respuesta es B = 48º, al grado más cercano.

.

EJERCICIOS

�. Encontrar la medida indicada. B a) b) ��

a=?

��°

C

a=?

A

d)

B

� A

��°

�� A

� C

∠ B = _____

c)

B

A b=? C

C

e)

) C

C

�

��

B

A

��

��°

A

��°

B

c=?

B

∠ A = _____

�. Resolver un triángulo, consiste en determinar todas las medidas altantes (lados o ángulos). Resolver los siguientes triángulos. B M a) b) R c) L ��° A

��°

��

C

��

P

d) �

Q

��

e) C

C

��° N

) A

B

�

�

��° �� A

B

g)

A

A

C

h) B

i) B

� C

C

B

��

��°

B ��°

�

��

A

C

��°

A

0


.

unidad v

•

Aplicaciones de la trigonometría

Ejemplo 1

Unos biólogos están interesados en medir la altura del árbol, para ello miden el ángulo y la distancia mostradas. ¿Cuál es la altura del árbol?

x

��° �� m Solución

Sea x la altura del árbol en metros. ¿Cuál de las tres igualdades conviene usar? �� x sen ��° = cos ��° = an ��° = x hipoenusa hipoenusa �� Elegimos la tercera igualdad puesto que nos relaciona la incógnita con los datos. (�.��)(��) = x ��.� = x

an ��° = x �� .�� = x ��

Así, el árbol tiene 22.5 m de altura al décimo más próximo. Ejemplo 2

Un agrimensor es una persona que se dedica a la medición de tierras. Supongamos que un agrimensor quiere determinar cuánto mide el ancho de un lago. Observa la figura. Él no puede medir MN directamente, pero sí puede medir ML y el ángulo M. Con las medidas indicadas, encontrar la distancia a través del lago de N a M, aproximada al decímetro más cercano. Solución

Sea x =MN , en metros

N

¿Cuál de las tres razones trigonométricas es la adecuada? Enciérrala en un círculo. sen ��° = NL x

cos ��° = �� x

Elegimos la segunda igualdad puesto que nos relaciona la incógnita con los datos. cos ��° = �� x �.�� = �� x

x

an ��° = NL ��

�.�� x = �� x = �� .�� x = ��.�

M

��° �� m

L

matemáticas iii


•



Así, la distancia a través del lago es 96.1 m al decímetro más cercano. Horizonal Estudia con atención las siguientes definiciones. Un ángulo de elevación es el ángulo ormado por una recta horizontal (real o imaginaria) y la línea de visión mirando hacia arriba.

Ángulo de depresión

Un ángulo de depresión es el ángulo ormado por una recta horizontal (real o imaginaria) y la línea de visión mirando hacia abajo.

Ángulo de elevación Horizonal

Ejemplo 3

Una torre de líneas de alta tensión proyecta �� m de sombra cuando el ángulo de elevación del sol mide ��°. ¿Qué altura tiene la torre? Solución

Sea x la altura de la torre en metros. ¿Cuál de las tres igualdades conviene usar? x �� sen ��° = cos ��° = an ��° = x hipoenusa �� hipoenusa La tangente nos relaciona la incógnita con los datos: an ��° = x �� (�.��)(��) = x la torre tiene una altura ��.� = x aproximada de 58.2

x

x

��° �� m

Ejemplo 4

Un aro tiene �� m de altura. El ángulo de depresión desde la cima del aro hasta el barco en el mar es de ��°. ¿Qué tan lejos de la base del aro está el barco? Solución ��º �� m

Considerando que el ángulo de elevación es igual al ángulo de depresión, y llamando x a la distancia pedida, el triángulo que nos interesa resolver es el mostrado abajo: �.��x = �� ° an ��° = �� x �� = x �� m �.�� .�� = �� x ��° x = ��.� x La tangente relaciona la incógnita con los datos. El barco se encuentra ��.� m del aro aproximadamente.




.

unidad v

•

EJERCICIOS

�. Un avión está a � km por encima del nivel del mar, cuando comienza a elevarse en un ángulo constante de �º, durante los siguientes �� km, medidos sobre la superficie ¿Qué tan lejos estará el avión del nivel del mar al llegar al punto de los �� km? �° � km

�� km

nivel del mar

�. Encuentra x al décimo más próximo: a)

b)

c) x

x

�� km ��° �� m

��° �� m

d)

x

��°

e) �� m ��° x

Furgón

x

�m ��°

3. El ángulo de elevación de un barco a la punta de un aro de �� m de alto situado en la costa es �� º. ¿Qué tan lejos de la costa se encuentra el barco? 4. Un papalote está volando atado al extremo de una cuerda (en línea recta) de �� m. La cuerda hace un ángulo de �� º respecto al suelo. ¿Qué tan alto por encima del suelo se encuentra el papalote? 5. Un árbol proyecta una sombra de � m cuando el ángulo de elevación del sol mide ��°. ¿Qué tan alto es el árbol? 6. Cada peldaño de una escalera se eleva �� cm por cada pisada de un ancho de �� cm. ¿Qué ángulo mantiene la escalera con relación al piso?

��

��

��

matemáticas iii


•



AUTOEVALUACIÓN  Sigue cada una de las siguientes instrucciones para que te autoevalúes. Parte I. Logro de competencias disciplinares. Competencia �. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando dierentes enoques. Competencia �. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemática D mente las magnitudes del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean. ��: A continuación, para que demuestres tus avances en el logro de las competencias � y �, resuelve el siguiente problema. Suponiendo que se desea encontrar la altura ( DC) de una torre, pero no es posible medir directamente las distancias AC. Si ∠ A = ��°, ∠ DBC = ��° y AB = �� m, calcula DC. ��° ��° A �� m B C Parte II. Saber conocer y saber hacer: ��: Para que valores tus logros según los indicadores de desempeño, coloca una √ en cada indicador y calcula el total.

Desempeño Bueno (�)

Regular ( �)

Malo (�)

Defino las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Utilizo los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos especiales para evaluar expresiones. Obtengo los valores de las razones trigonométricas y valores de ángulos, empleando la calculadora para ángulos entre �° y ��°. Utilizo las identidades trigonométricas recíprocas para determinar los valores de las razones trigonométricas de ángulos entre �° y ��°.jantes y criterios de seme janza. Resuelvo triángulos rectángulos. Aplico la trigonometría a la solución de ejercicios y problemas.

Parte III. Evaluación de competencias genéricas: Competencia �. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Competencia �. participa y colabora de manera eectiva en equipos diversos. ��: Reflexiona sobre tu trabajo individual y en equipo, y en los rasgos correspondientes, determina si cumpliste o no marcando con una en el espacio correspondiente.

Seguí instrucciones y procedimientos de manera reflexiva. Sí No

Comprendí cada uno de los pasos y etapas del proceso. Sí No

Contribuí al alcance del objetivo propuesto. Sí No

Aporté puntos de vista con apertura. Sí

No

Consideré los puntos de vista de otras personas de manera reflexiva. Sí No

Y

a l i n i c i o d a L

X

α fi n a l L a d o

Funciones trigonométricas: aplicaciones de triángulos Y y ) oblicuángulos P ( x,

) P ( x, y


� + � = b a

�r

o s A c c b c � - �

α�

y )

r

P ( x,

Analiza las unciones trigonométricas y las aplica en la resolución de problemas de su entorno.



•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

, y ) x ( P

Define las unciones trigonométricas en el plano coordenado cartesiano. Identifica el signo de las unciones trigonométricas en los dierentes cuadrantes. Reconoce y define ángulo de reerencia. Determina el ángulo coterminal que corresponde a un ángulo igual o mayor a una revolución, o negativo. Realiza conversiones angulares del sistema sexagesimal al circular y viceversa. Dado el valor de una razón trigonométrica, determina el cuadrante en el que puede estar el lado final del ángulo correspondiente. Utiliza los valores exactos de las razones trigonométricas de ��°, ��° y ��°, para determinar los valores exactos de las unciones trigonométricas de ángulos múltiplos de dichos ángulos especiales. Determina el valor de unciones trigonométricas de ángulos cualesquiera expresados tanto en grados como en radianes. Representa gráficamente las unciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Utiliza las tecnologías de la inormación, para explorar las unciones trigonométricas: y = csen θ , y = sen θ + c, y = ccos θ , y = cos θ + c , y = canθ , y = anθ + c, y = sen( θ + c), y = cos (θ + c) y y = an(θ + c). Aplica las dierentes identidades trigonométricas para expresar una razón en unción de otra. Aplica las identidades de suma de ángulos para deducir las identidades de ángulos dobles, ángulos mitad y dierencia de ángulos. Resuelve ecuaciones trigonométricas sencillas del tipo asen x + b = c, acos x + b = c y aan x + b = c Resuelve triángulos cualesquiera aplicando leyes de senos y cosenos. Aplica la ley de senos y cosenos en la solución de problemas.



�. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o ormales. �. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando dierentes enoques. �. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento �. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades ísicas de los objetos que lo rodean. �. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

P (

b =

�

A


X , y )

3 0 °

a =

� �.� Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representación sim bólica. h = �.� Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva en la búsqueda y ad� .� qusición de nuevos conocimientos. �.� Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. �.� Elabora conclusiones y ormula nuevas interrogantes, a partir de retomar evidencias teóricas y empíricas. s A o c c �.� Utiliza las tecnologías de la inormación y comunicación para procesar e inter b � - � c pretar inormación. � + � = b �.� Evalua argumentos y opiniones e identifica prejuicios y alacias. a �.� Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. �.� Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. �.� Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

a =

�

B

6

unidad

Acvidad preliminar ¿Por qué es importante estudiar esta unidad? El siguiente problema muestra la utilización de algunos conceptos geométricos y trigonométricos, algunos ya estudiados y otros que estudiarás en esta unidad. Problema. El radio operador de un avión sabe, que al despe gar del aeropuero, el rumbo de una esación de radio, disane �� Km, es de ��°. Después de volar durane � minuos en la dirección ��°, el rumbo de la esación es de ��°. Deerminar la velocidad del avión respeco a la Tierra y su disancia a la esación de radio en el momeno de la observación.

A

P

��° ��°

l ó n d e b r e l a i c c e D i r l a n o s o a e r o p a T i e r r

��°

�� Km

O La actividad � consiste en que analices la solución planteada a continuación, y, con tus conocimientos previos, debes contestar lo que se te indica. Una vez que termines el estudio de la unidad vuelve a analizar esta actividad.

Acvidad  P ��° Comprueba que: ∠ APO = ��°, ∠ PAO = ��° y ∠ AOP = ��°. o Aplicando la ley de los senos: sen ��° sen ��° A ��° ��° a = �� a �� Km ��° �� × ��° sen Comprueba que: a = = ��.�� Km sen ��° O ��.�� Km d La velocidad del avión respecto a la Tierra es: v =  = = ��.�� Km �/�� h Para determinar la distancia del avión a la estación de radio en el momento de la observación, aplicamos la ley de los senos: sen ��° sen ��° Comprueba que: a = �� × sen ��° = ��.� Km = a sen ��° �� 



funciones trigonométricas: aplicaciones de triángulos oblicuángulos

unidad vi

•

. Ángulos de rotación Estudia con atención la siguiente inormación: Plano coordenado cartesiano

En matemáticas se emplean dos rectas perpendiculares numeradas para elaborar un método de localización de puntos. La recta horizontal se llama eje X o eje de las abscisas ; la recta vertical se llama eje Y o eje de las ordenadas. El punto de intersección de las dos rectas se llama origen. Un par de números llamados coordenadas indican la ubicación de cada punto.

Y

El punto A localizado en la figura, está « � unidades a la derecha» y «� arriba» del origen. Se dice que A tiene coordenadas (�, �). El primer número es la coordenada x y el segundo la coordenada y. En general un punto se representa con las coordenadas ( x, y). Se empleará la notación P(x , y) para representar al punto P con las coordenadas (x, y). La primera coordenada «x» recibe el nombre de abscisa y la segunda coordenada «y» se denomina ordenada. Tal como ha sido construído, el plano cartesiano se di vide en cuatro cuadrantes numerados en sentido antihorario. Los signos de cada coordenada para cualquier punto depender del cuadrante en donde se encuentre.

� � � � �

X -5 -4 -3 -2 -1-� 0 1 2 3 4 5 -� -� Coordenadas del punto A: -� � a la derecha y -� � arriba: A ( �, �)

Y

Cuadrante II

Cuadrante I X

Cuadrante III

Cuadrante IV

A

Cuadrante I II III IV

Signo x (abscisa) y (ordenador) + + – – – – + –

Acvidad  a) Localiza en el plano coordenado los siguientes puntos. A (�, �) B (�, �) C (-�, �) D (-�, -�) E (�, -�) F (�, -�) G (-�, �) H (�, -�) I (�, �) J (�, �) K (-�, -�) L (�, -�). b) Contesta correctamente: ¿En qué cuadrante tanto la abscisa como la ordenada son positivas?_________ ¿En qué cuadrante tanto la abscisa como la ordenada son negativas?_________ ¿En qué cuadrante la abscisa es negativa y la ordenada positiva?____________ ¿En qué cuadrante la abscisa es positiva y la ordenada negativa?____________

Y

X

matemáticas iii


•



Estudia con atención la siguiente inormación relativa a ángulos de rotación: Cuando un rayo AB gira alrededor de su origen A , hasta AC , genera el ángulo de rotación α. Si el rayo se mueve en dirección conraria a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo, si se mueve en el mismo sentido de las manecillas, es negativo. Lado inicial

C

A

Lado final

α

α A

B

Lado final Lado inicial B ángulo positivo

C ángulo negativo

Ángulo en posición normal y ángulos coterminales

Un ángulo está en posición normal si su vértice es el origen y su lado inicial está sobre la parte positiva del eje X . Puesto que el lado inicial de un ángulo en posición normal está sobre el eje X positivo, entonces el lado final estará en un rayo que une el origen con un punto P (x , y). Y Y l a fi n d o a L

P(x, y)

Lado inicial

α

X

α Lado inicial

X

Lado final P ( x, y)

Ángulo en posición normal positivo.

Ángulo en posición normal negativo.

Un ángulo entre �º y ��º, en posición normal tiene su lado final en el primer cuadrante. Un ángulo comprendido entre �º y ��º tiene su lado final en el segundo cuadrante. Un ángulo comprendido entre �º y -��º tiene su lado final en el cuarto cuadrante y así sucesivamente.

Y

��° ��°

��° X

8


unidad vi

•

Una revolución completa tiene una medida de ��º. Cuando la medida de un ángulo es mayor que ��º, el lado en rotación ha completado al menos una revolución. Por ejemplo, un águlo de ��º completa una revolución, quedando finalmente su lado terminal coincidiendo con el de ��º.

Los ángulos que están en posición normal y que coinciden sus lados finales se llaman ángulos coterminales. así, ��º y ��º son coterminales. También ��º y -��º; -��º y ��º son ángulos coterminales.

��º ��º ��º equivale a ��º + ��º

.

EJERCICIOS

�. Tomando en cuenta el siguiente plano coordenado contesta la siguientes preguntas. a) ¿Qué puntos se localizan sobre el eje X ? Y b) ¿Qué puntos aparecen en el tercer cuadrante? D B K C c) ¿Cuáles puntos tienen abscisa -�? E d) ¿Cuáles puntos tienen abscisa �? A F X e) ¿Cuáles puntos tienen ordenada �? ) Cuáles puntos tienen ordenada -�? G H I J

�. Verifica que ��º y -��º; y -��º y ��º son ángulos coterminales. �. ¿En qué cuadrante se encuentra el lado final de cada uno de los siguientes ángulos dibujados en posición normal? Compruébalo haciendo el dibujo. Indica también en cada caso, un ángulo coterminal con el ángulo dado. a) ��º_______

b) ��º________

c) -��º_______

d) -��º______

e) ��º_____

) ��º______

g) -��º_______

h) ��º_____

i) ��º _____

j) ��º____

k) ��º _____

l) -�º______

matemáticas iii

Observación: la notación P(x , y), se usa para representar un punto genérico que puede estar en cualesquiera de los cuadrantes: �er. cuadrante: x = +, y = + �do. cuadrante: x = -, y = + �er. cuadrante: x = -, y = �to. cuadrante: x = +, y = -


•

9

Y P(x , y)

P(x , y)

X P(x , y)

P(x , y)

. Radianes Lee con atención:

En este curso, consideraremos dos ormas de medir un ángulo de rotación: Medida en grados: es la orma que hemos manejado hasta el momento. Recuerda que la circunerencia de un círculo se divide en �� partes; por lo tanto, un ángulo de una vuelta mide ��°. Un ángulo de � vuelta mide ��°, de � de vuelta mide ��°, y así sucesivamente. � � Un grado es � del ángulo de una vuelta. �� grado es = � pare de la circunerencia ��

La circunerencia C es cubiera por un ángulo con vérice en el cenro de un círculo y con una medida de ��°. Medida en radianes: un radián es un ángulo que intercepta un arco de igual longitud que el radio del círculo. r O

r

� Radián

r

� pare de la circunerencia ��

Para relacionar al radián con el grado, debemos recordar que la longitud de la circunferencia es igual a �πr . C r D

C =π D

Por lo tanto: C = π D = π(�r ) = �πr

Surge ahora la pregunta: ¿Cuántos radios caben en una circunerencia? Anota aquí tu estimación __________________.

80


unidad vi

•

Analiza el siguiente desarrollo: ¿Cuántos radianes miden α� , α� , α� , α� , α� y α�? Debemos averiguar cuántos radios caben en la longitud del arco subtendido por cada uno de estos ángulos.

�r

α�

r

α� =

longiud de arco �r radián = r = � radio

α� =

�r longiud de arco radianes = r = � radio

α� =

longiud de arco �r = � radianes = r radio

α� =

�r longiud de arco = � radianes = r radio

α� =

�r longiud de arco radianes = r = � radio

α� =

longiud de arco �r = � radianes = r radio

�r

α�

r

�r

α3

r

�r

α4

r

�r

α5 r

α6 r

�π r

Finalmente, ¿Cuántos radianes mide αn ?

αn r

α� =

longiud de arco �πr = �π radianes = r radio

matemáticas iii


•

Así pues, la medida de un ángulo de una vuelta completa de la circunerencia es igual � π radianes.

r r

En una circunerencia hay � π radianes. Esto es: �(�.��) = �.�� radianes.

8

r

r r

�.��r

r r

r r

Pero, como una vuelta completa en una circunerencia es también de 360°, entonces podemos establecer las siguientes igualdades: 2π radianes = 360°

��° = 2π radianes.

2π radianes ��° = 2π 2π

��° 2π radianes = �� 2π

B r O

= ��.�° � radián = ��° π

��.� ° r

r A

�° = π radianes ��° � radián ≈ ��.� °

Para convertir los grados sexagesimales en radianes, es suficiente multiplicar por π ��

Para convertir los radianes en grados, es suficiente multiplicar por ��° π

Estudia los siguientes ejemplos de conversión de un ángulo expresado en grados a un ángulo ex presado en radianes. Ejemplo 1

Convertir en radianes: a) ��°, b) ��° y c) ��°.

8


Solución

a. ��° = ��×�° π = �� radianes = ��π radianes �� = ��π radianes ��×� = π radianes �

b. ��° = ��×�° π = �� radianes = ��π radianes �� = π radianes

unidad vi

•

c. ��° = ��×�° π = �� radianes = ��π radianes �� = �×�×�×�×� π �×�×�×� = �π radianes �

Un procedimiento alternativo consiste en aplicar una proporción: por ejemplo para convertir ��º a radianes, establecemos la proporción: «��º es a x , como ��º es a �π radianes»: 90° ��° = 2π radianes x Entonces: ��° x = (��°)(� π radianes) x = (��°)(2π radianes) = ��° π radianes) = π radianes 360° 2(180°) 2

Acvidad  Plantea proporciones para convertir 180º, 270º y 360º a radianes.

Ejemplo 2

Expresar en radianes ��° ��’. Solución

Primeramente convertimos los minutos a racción de grado: ��° ��´ = ��° + ��´ = ��° + (�� ÷ 60)° = ��° + �.�° = ��.�° Ahora, convertimos 35.5° a radianes. ��.�° = ��.� × �° = ��.� π radianes �� = 35.5π radianes �� = 0.1972 π radianes

matemáticas iii


•

8

Estudia los siguientes ejemplos de conversión de un ángulo expresado en radianes a un ángulo expresado en grados (Aclaración: cuando un ángulo se expresa en unción de π, por lo general se omite la palabra radián). Ejemplo 1

Convertir en grados: a) π � Solución

b) 3 radianes

a) π radianes = π ×1 radián � � = π × 180° = 180° = 36° � π � Otra forma:

Estableciendo la proporción: " π radianes es a x como 2π radianes es a 360°" � π radianes 2π radianes � π radianes) = (� )( ) = (��°)( radianes x π x 360° � 360° π radianes (�π radianes)(x) = 5 (�π radianes)(x) = (��°)(π radianes) x=

72° π radianes 2π radianes = ��°

b) � radianes = �×� radián = 3 180° = 540° = 171.89° π �π Otra forma:

Estableciendo la proporción: "3 radianes es a x, como 2π radianes es a 360°" 3 radianes 3π radianes 90° = x 360° π (3 radianes)(360°) ��° x= = π 2π radianes = ��.��° El diagrama de la derecha, muestra una circunerencia marcando tanto en radianes como en grados algunos ángulos importantes. Recuerda que cuando un ángulo es expresado en unción de π, se entiende que está en radianes.

2 ��° π

�° �π ��° �π � 270°

8


unidad vi

•

Lee con atención. Para calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo expresado en radianes, el procedimiento es idéntico al visto para ángulos expresados en grados sexagesimales. Lo único que debemos cuidar es que la calculadora muestre el modo RD en vez de DEG.

Por ejemplo, para determinar sen π , primero verificamos que la calculadora muestre RD y procede� mos como se indica:

sen (

.

π

/

�

= �.��

)

EJERCICIOS

�. Convierte cada ángulo en radianes. a) ��º b) ��º e) ��º ) ��º i) ��º j) ��º

c) ��º g) ��º k) ��º

�. Convierte cada ángulo en radianes. a. ��° ��´ b. ��° ��´

c. ��° ��´

�. Convierte en grados. a) π b) 3π 6 5

c) π 3

d) π 4

g) 1 radián

h) 10 radianes.

e) 2 radianes

) 2.5 radianes

�. Dibuja un ángulo aproximado a: a) � radián b) � radianes e) �.� radianes ) �.�� radianes

d) ��º h) ��º l) ��º

c) � radianes g) �.� radianes

d) � radianes h) �.� radianes

�. Encuentra el valor de cada razón hasta la diez milésima más cercana. No olvides verificar que la calculadora muestre RD. a) sen

π

e) cos

π

i) an

π

�

�

�

b) sen

π

) cos

π

j) an

π

�

�

�

c) sen

π

g) cos

π

c) an

π

d) sen (�.� radianes)

� h) cos (�.� radianes )

�

�

d) an (�.� radianes )

matemáticas iii

.


•

8

Denición general de las funciones trigonométricas

Lee con atención:

Las razones trigonométricas son unciones que describen relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos y sus ángulos internos. Las razones trigonométricas se manejan como sinónimos de las unciones trigonométricas. Sin embargo, existen dierencias sutiles entre ambos conceptos. En primer lugar, la razón rigonomérica, al como ha sido definida, esá asociada a un riángulo recángulo, y por consiguiente, el ángulo que la genera está dentro del rango �-��º, cosa que no ocurre cuando se maneja el concepto de unción. Por otra parte, una razón trigonométrica específica puede interpretarse como un caso de relación entre los lados de un triángulo, en cambio, la función trigonométrica conceptualmente hace un mayor énasis en la relación de dependencia de las variables, misma que puede ser expresada a través de alguna igualdad relacionada con las razones trigonométricas; integrando así, los dos conceptos básicos: razón trigonométrica y unción en uno sólo. A continuación, los conceptos seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante se vuelven a redefinir, ahora como unciones trigonométricas. Consideremos el ángulo α con el punto P (x , y) en lado terminal de α: Y

P (x , y) r

O

α x

y A

Puesto que el valor de las unciones trigonométricas, no depende de la longitud del rayo OP , nos podemos limitar al triángulo ∆OAP. Y P (x, y) r

X O

α x

y A

X

En el triángulo rectángulo OAP se cumple que: x� + y� = r � Las unciones trigonométricas para el ángulo α en posición normal, se definen de la siguiente manera: sen α =

Caeo opueso a α Hipoenusa

= AP OP

co α =

Caeo adyacene a α Caeo opueso a α

cos α =

Caeo adyacene a α = OA Hipoenusa OP

sec α =

Hipoenusa OP = Caeo adyacene a α OA

an α =

Caeo opueso a α AP = Caeo adyacene a α OA

csc α =

Hipoenusa Caeo opueso a α

= OA AP

= OP AP

8


unidad vi

•

Y

Pero, OA = x, la abscisa del punto P, AP = y, la ordenada del punto P, y OP = r, la disancia de P al origen.

P(x , y) r

r=

y

√ x� + y� O

X

x A

Entonces, las nuevas definiciones para las unciones trigonométricas en unción de las coordenadas de un puno P (x, y) son: Ordenada de P sen α = disancia de P al origen =

y r

co α =

Abscisa de P disancia de P al origen =

x r y x

cos α =

Ordenada de P Abscisa de P

an α =

=

Abscisa de P Ordenada de P

=

x y

sec α =

Disancia de P al origen = Abscisa de P

r x

csc α =

Disancia de P al origen = Ordenada de P

r y

Acvidad  En cada inciso, P(x, y) es un punto en el lado final del ángulo β. Determina los valores de las uncio nes trigonométricas con cuatro décimas. a) P(�, �)

b) P(- �, �)

P (�,�) r β �

�

c) P(– �, – �)

P (-�,�) r

�

β - 3

β

- �

- �

r

P (-�, - �)

d) P(�, – �)

β

� - �

r P (�, - �)

El valor de r es____




sen β = ______

sen β = ______

sen β = ______

sen β = ______

cos β = ______

cos β = ______

cos β = ______

cos β = ______

an β = ______

an β = ______

an β = ______

an β = ______

co β = ______

co β = ______

co β = ______

co β = ______

sec β = ______

sec β = ______

sec β = ______

sec β = ______

csc β = ______

csc β = ______

csc β = ______

csc β = ______

matemáticas iii


•

8

Lee con atención: Signo de los valores de las funciones trigonométricas

En la actividad anterior, pudiste observar, que los valores de las unciones trigonométricas tienen signo positivo o negativo, el cual depende del cuadrante en donde quede el lado final del ángulo α. (No hay que olvidar que en estas nuevas definiciones, el lado inicial siempre será el semieje X positivo). Determinaremos a continuación el signo de las unciones trigonométricas para un ángulo en posición normal en cada uno de los cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesianas. �er cuadrante Función

�do cuadrante P(- x2, y2)

P( x1, y1) r O

�er cuadrante

y2

y1

x1

– x3 r

– y3

– x2 O

r

O

P(– x3, – y3)

�to cuadrante O

x4 r – y4 P( x4, – y4)

Seno

+y1 r = +

+y2 r = +

-y3 r = –

-y4 r = –

Coseno

+x1 r = +

-x2 r = –

-x3 r = –

+x4 r = +

Tangene

+y1 +x1= +

+y2 -x2 = –

-y3 -x3 = +

-y4 +x4= –

Coangene

+x1 =+ +y1

-x2 =– +y2

-x3 =+ -y3

+x4 =– -y4

Secane

r =+ +x1

Cosecane

r -x2

r

r

=–

-x3

r

+y1 = +

=–

r

+y2 = +

-y3 = –

r =+ +x4 r

-y4 = –

Conclusión:

Signos de las unciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes: Cuadrante Función

I

II

III

IV

Senos Coseno

+ +

+ –

– –

– +

Tangente

+

–

+

–

Cotangente

+

–

+

–

Secante

+

–

–

+

Cosecante

+

+

–

–

Las funciones recíprocas seno y cosecane , coseno y secane, angene y coangene, tienen el mismo signo. Con esta inormación, sólo necesitamos tener presente que, en cada cuadrante las unciones positivas son las indicadas: Seno (+)

Todas (+)

Tangene (+) Coseno (+)

88


.

unidad vi

•

EJERCICIOS

�. R (�, �) es un punto del lado final de un ángulo α y S(�, �) es un punto del lado final de un ángulo β; ¿qué ángulo es mayor? �. Las coordenadas de un punto P del lado final de un ángulo α son (�, �). Detremina las unciones trigonométricas y la medida de α. �. La abscisa de un punto P del lado final de un ángulo β del primer cuadrante es �, y su distancia al origen es ��. Determina las unciones trigonométricas y la medida de β. �. La ordenada de un punto P del lado final de un ángulo β del primer cuadrante es �, y su distancia al origen es �. Determina las unciones trigonométricas y la medida de β. �. Un punto P del lado final de un ángulo δ se encuentra a �� unidades del origen. Si δ = ��°, halla las coordenadas de P. �. Un punto P del lado final de un ángulo de ��° ��’ tiene abscisa �, halla la ordenada de P y su distancia al origen. �. Si sen α = – �.�, ¿en qué cuadrantes puede estar el lado final de α? Haz un dibujo. �. Si cos α = – �.�, ¿en qué cuadrantes puede estar el lado final de α? Haz un dibujo. �. Si an α = – �, ¿en qué cuadrantes puede estar el lado final de α? Haz un dibujo. 1 ��. Si sen α = 5 ¿en qué cuadrantes puede estar el lado final de α? Haz un dibujo. ��. Si an α = 7 ¿en qué cuadrantes puede estar el lado final de α? Haz un dibujo. 2 3 ��. Si cos α = ¿en qué cuadrantes puede estar el lado final de α? Haz un dibujo. 10

matemáticas iii

.


•

89

Funciones trigonométricas de ángulos mayores que 90° y negavos: Reducción de ángulos

Lee con atención:

El ángulo de referencia o ángulo reducido , es el ángulo agudo que orma el lado terminal de un ángulo en posición normal con el eje X de un sistema de coordenadas. Lado final

Ángulo de reerencia

Y βr

α

β


φ

X

αr

X

X

φr

Lado final

Completa: βr = 180° –_____


Y

Y

Lado final

Completa: αr = α –_____

Completa: φr = 360° –_____

Ejemplos

Encuentra el ángulo de reerencia de cada ángulo: a) ��° b) ��° Solución

a)

c) ��

Y

Y

��°

��° X

Ángulo de reerencia = ��° – ��° = ��°

Y

X Ángulo de reerencia = ��° – ��° = ��°

��° X Ángulo de reerencia = ��° – ��° = ��°

Acvidad  Encuentra el ángulo de reerencia correspondiente a cada uno de los siguientes ángulos: a) ��° b) ��° c) ��°

90


unidad vi

•

A continuación, estableceremos cómo se combinan los ángulos de reerencia y los signos de las unciones trigonométricas en cada cuadrante. Ésto, nos permitirá hacer dos cálculos: �. Calcular valores de razones trigonométrticas (sin necesidad de una calculadora científica) para cualquier ángulo mayor que ��°, y ángulos negativos. �. Resolver ecuaciones trgonométricas. El primer caso se desarrollará a continuación y el segundo en la próxima sección. Cálculo de valores de funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Se trata de calcular los valores de las unciones trigonométricas de cualquier ángulo a partir de su ángulo de reerencia (que es un ángulo agudo). Ángulos con lado final en el �do cuadrante

��°

��°

Ángulo con lado final en el �do cuadrante: ��°. Ángulo de reerencia: ��°

¿Qué relación hay entre el valor de una unción trigonométrica de un ángulo con lado final en el �do cuadrante, y el valor de la unción trigonométrica de su ángulo de reerencia? ________________________ _____________________________ _____________________________

Signo de la unción Resultados con la calculadora �do cuadr. sen ��° = �.� sen ��° = �.� + cos ��° = - �.�� cos ��° = �.�� – an ��° = - �.�� an ��° = �.�� –

Ángulos con lado final en el �er cuadrante

��° ��°

β

Ángulo con lado final en el �er cuadrante: ��° Ángulo de reerencia: ��°

Signo de la unción Resultados con la calculadora �er cuadr. – sen ��° = - �.� sen ��° = �.� – cos ��° = - �.�� cos ��° = �.�� + an ��° = �.�� an ��° = �.��

¿Qué relación hay entre el valor de una unción trigonométrica de un ángulo con lado final en el �er cuadrante, y el valor de la unción trigonométrica de su ángulo de reerencia? ________________________ _____________________________ _____________________________

matemáticas iii


•

9

Ángulos con lado final en el �to cuadrante Y

��° ��°

X

Ángulo con lado final en el �to cuadrante: ��° Ángulo de reerencia: ��°

¿Qué relación hay entre el valor de una unción trigonométrica de un ángulo con lado final en el �to cuadrante, y el valor de la unción trigonométrica de su ángulo de reerencia? ________________________ _____________________________ _____________________________

Signo de la unción Resultados con la calculadora �to cuadr. – sen 330° = – 0.5 sen 30° = 0.5 + cos 330° = 0.866 cos 30° = 0.866 – tan 330° = – 0.577 tan 30° = 0.577

El análisis realizado para tres ángulos particulares (��°, ��° y ��°) lo usaremos de argumento para establecer la siguiente regla: (Valor de la unción del ángulo en posición normal)

signo de la unción en el cuadrane

=

valor de la unción del ángulo de reerencia

Esta regla sólo es de utilidad si no se cuenta con una calculadora científica y necesitamos determinar valores de unciones trigonométricas de ángulos mayores que ��° con la simple ayuda de una tabla para ángulos agudos, o bien, cuando necesitamos valores exactos de valores de ángulos especiales mayores que ��°. Ésto, se ejemplificará a continuación.

Ejemplo 1

A través de un ángulo agudo, y con ayuda de la tabla adjunta, determina el seno, coseno y la tangente de ��°. Solución

Procedimieno Primero encontramos el ángulo de reerencia: Y

��° X Ángulo de reerencia = ��° – ��° = ��°

Medida de ángulos sen A cos A an A en grados � �.�� .�� .��

�.��

�.��

�.��

��

�.��

�.�� .��

��

�.�� .�� .��

��

�.�� .�� .��

��

�.��

�.��

�.��

��

�.��

�.��

�.��

��

�.�� .��

�.��

9


unidad vi

•

A continuación obtenemos de la tabla, los valores de las unciones trigonométricas del ángulo de reerencia:

sen ��° = �.�� cos ��° = �.�� an��° = �.��

Por último, igualamos los valores de las unciones trigonométricas del ángulo en cuestión (��°) con los valores correspondientes del ángulo de reerencia (��°), pero con el signo adecuado.

sen ��° = + sen ��° = + �.�� cos ��° = – cos ��° = – �.�� an ��° = – an ��° = – �.�� (�do cuadrante: sen = +, cos = –, an = –)

Ejemplo 2

A través de un ángulo agudo, y con ayuda de la tabla anterior, determina el seno, coseno y la tangente de ��°. Y Solución Procedimieno β Primero encontramos el ángulo de reerencia: ��° X ��° Ángulo de reerencia = ��° – ��° = ��°

Valores de las unciones trigonométricas del ángulo de reerencia:

sen ��° = �.�� cos ��° = �.�� an ��° = �.��

Igualando los valores de las unciones trigonométricas de ��°con los valores correspondientes del ángulo de reerencia (��°), pero con el signo adecuado.

sen ��° = – sen ��° = – �.�� cos ��° = – cos ��° = – �.�� an ��° = + an ��° = + �.�� (�er. cuadrante: sen = –, cos = –, an = +)

Ejemplo 3

A través de un ángulo agudo, y con ayuda de la tabla anterior, determina el seno, coseno y la tangente de ��°. Y Solución

Procedimieno Primero encontramos el ángulo de reerencia.


��° ��°

X Ángulo de reerencia = ��° – ��° = ��°

sen ��° = �.�� cos ��° = �.�� an ��° = �.��

matemáticas iii



•

9

sen ��° = – sen ��° = – �.�� cos ��° = + cos ��° = + �.�� an ��° = – an ��° = – �.�� (�to. cuadrante: sen = –, cos = +, an = –)

Ejemplo 4

A través de un ángulo agudo, encuentra el seno, coseno y la tangente de – ��°. Solución

Y

Procedimieno Primero encontramos el ángulo de reerencia: Ángulo de reerencia = ��° – ��° = ��°

X

��°


sen ��° = �.�� cos ��° = �.�� an �� = �.��


sen (-��°) = + ��° = + �.�� cos (-��°) = – cos ��° = – �.�� an (-��°) = – an ��° = – �.�� (�do. cuadrante: sen = +, cos = –, an = –)

Ángulos con lado final sobre un eje coordenado

Si el lado final de ángulo se encuentra sobre uno de los ejes, las definiciones de las unciones siguen siendo válidas, aunque en algunos casos éstas no estarán definidas debido a que el denominador será cero.

Acvidad  Imagina que un punto P (x, y), recorre la circunerencia conorme el ángulo α cambia su medida. Observa las coordenadas de los puntos correspondientes a ángulos de �°, ��°, ��° y ��° y completa: Y x = __ x = __ ��° Si α = �° Si α = ��° P(x , y) y = __ y = __ r α y x = __ x = __ Si α = ��° Si α = ��° X �° ��° x y = __ y = __ ��°

9


unidad vi

•

Ahora, a partir de las definiciones de las unciones trigonométricas, determinaremos los valores de éstas para �°, ��°, ��° y ��°: �°

��° P(�, r )

Función P(r , �) 0° r x = r y = �

90°

��° P(-r , �)

r x = � x = -r y = r y = �

��° ��° r

x=� y = -r

��° r P(�, -r )

Seno

y � = r r = �

y r = r r = �

y � = r r = �

y -r r = r = -�

Coseno

x r = r r = �

x � r = r = �

x -r r = r = -�

x � r = r = �

Tangene

y � = x r = �

� y = x -r = �

Coangene

x r = � y = indefinido r r x = r = �

y r = x � = indefinido x � y = r = �

y -r x = � = indefinido x � y = -r = �

Secane Cosecane

r r y = � = indefinido

r r x = � =� = indefinido r r y = r = �

x -r y = � = � = indefinido r r x = -r = -� r r y = � = indefinido

r r x = � = indefinido r r y = -r = -�

Los valores correspondientes a 360° coinciden con los de 0°.

Acvidad  a) Completa la tabla: seno

coseno

angene

coangene

secane

�° ��° ��° ��° ��° b) Utiliza tu calculadora para encontrar en cada caso el valor del ángulo x. �. sen x = � �. sen x = � �. sen x = -� �. cos x = � �. cos x = � �. cos x = -� �. an x = �

cosecane

matemáticas iii

.


•

9

EJERCICIOS

�. Utiliza la siguiente tabla de valores exactos para ángulos notables, para hallar los valores de la unción trigonométrica de los ángulos que se indican. Ángulo

seno

coseno

angene

��°

� � √� � √� �

√�

√�

� √� � � �

√�

seno

coseno

angene

��° ��°

Ángulo ��° ��° ��° ��° ��° ��° ��° ��° ��° -��° ��°

coangene

secane

cosecane

�

√�

2 √�

�

�

�

√�

√�

√�

�

2 √�

secane

cosecane

� coangene

�

�

9


unidad vi

•

. Ecuaciones trigonométricas sencillas La interpretación de los signos de las unciones trigonométricas, es la clave para resolver ecuaciones trigonométricas. Por tanto, la discusión sobre este tema, consistirá básicamente en ayudarte en esa interpretación. Función seno: positivo en el �er y � do cuadrante; negativo en �ro y �to. Ejemplo 1

¿Cuánto vale α si sen α = +�.��? Solución

Si sen α es postivo, el ángulo α toma dos valores entre �° y ��°: uno con lado final en el primer cuadrante y el otro con lado final en el segundo cuadrante. Procedimieno

Paso �. Localiza los lados finales. A partir del signo de la unción dada, localiza en qué cuadrantes están los lados finales de los ángulos solución.

Dato: sen α = +�.�� El seno es posiivo en el �er y �do cuadranes

α�

α�

Paso �. Utiliza la calculadora. Ya sabes que la calculadora proporciona un valor mediante la siguiente instrucción: La respuesta es α = ��º. Shi sin �.�� =

Pero, ahora sabemos que esta no es la única solución. ¿Cómo encontrar los dos ángulos (entre �° y ��°) cuyo seno es �.��? Puedes continuar con los pasos siguientes: Paso �. Asigna correctamente el valor obtenido con la calculadora. Dependiendo de la unción, hay dos opciones para el valor proporcionado por la calculadora: se asigna de manera direca a uno de los ángulos buscados, y al ángulo de reerencia del oro, o bien, será ángulo de reerencia para ambas soluciones (para decidir ésto, deberás observar las figuras del paso � y aplicar tu criterio).

En este ejemplo, observamos que ��°, coincide con α� y es ángulo de reerencia para α�. Entonces: α1 = ��° α � α1 = 35° α2 = ��° – ��° = ��° 35° Paso �. Comprueba que si sen α = + �.��, entonces α� = ��° y α� = ��°. sen ��° = ______ sen ��° = ______

matemáticas iii


•

9

Ejemplo 2

¿Cuánto vale α si sen α = – �.��? Solución

Si sen α es negativo, el ángulo α toma dos valores entre �° y ��°: uno con lado final en el tercer cuadrante y el otro con lado final en el cuarto cuadrante . Procedimieno

Paso �. Localiza los lados finales. A partir del signo de la unción dada, localiza en qué cuadrantes están los lados finales de los ángulos solución.

Dato: sen α = -�.�� El seno es negativo en el �er y �to cuadrantes

α�

α�

Paso �. Utiliza la calculadora. Shi

sin

-�.��

=

La respuesta es α = –��º.

Paso �. Asigna correctamente el valor obtenido con la calculadora. (Ignora el signo negativo).

En este caso, se proporciona un ángulo negativo, pero para el procedimiento que estamos siguiendo, ésto es irrelevante por lo que debemos ignorar el signo menos. Observamos que tanto para α� como para α� , ��° es un ángulo de reerencia.

α�

α�

35º

Entonces: α� = ��° + ��° = ��° α� = ��° – ��° = ��° Paso �. Comprueba que si sen α = -�.��, entonces α� = ��° y α� = ��°. sen ��° = ______ sen ��° = ______

35º

98


unidad vi

•

Función coseno: positivo en el �er y �to cuadrante; negativo en el �do y �ro. Ejemplo 3

¿Cuánto vale α si cos α = �.�? Solución

Si cos α es positivo, el ángulo α toma dos valores entre �° y ��°: uno con lado final en el primer cuadrante y el otro con lado final en el cuarto cuadrante. Procedimieno

Paso �. Localiza los lados finales. El signo nos indica que uno de los ángulos tiene su lado final en el �er cuadrante y el otro en el �to: Dato: cos α = + �.� El coseno es posiivo en el �er y �o cuadranes

α�

α�


cos

�.�

=

La respuesta es α = ��º.

Paso �. Asigna correctamente el valor obtenido con la calculadora.

En este ejemplo, observamos que ��°, coincide con α� y es ángulo de reerencia para α�.

α� = ��°

α� ��°

Entonces : α� = ��° α� = ��° – ��° = ��° Paso �. Comprueba que si cos α = + �.�, entonces α� = ��° y α� = ��°. cos ��° = ______ cos ��° = ______

Ejemplo 4

¿Cuánto vale α si cos α = – �.�? Solución

Si cos α es negativo, el ángulo α toma dos valores entre �° y ��°: uno con lado final en el segundo cuadrante y el otro con lado final en el tercer cuadrante . Procedimieno

Paso �. Localiza los lados finales. El signo nos indica que uno de los ángulos tiene su lado final en el �do cuadrante y el otro en el �ro:

matemáticas iii


•

99

Dato: cos α = - �.� El coseno es negaivo en el �do y �er cuadranes

α�

Paso �. Utiliza la calculadora. Shi cos

-�.�

α�


=

Paso �. Asigna correctamente el valor obtenido con la calculadora.

En este ejemplo, observamos que ��°, coincide con α� y es un caso especial de ángulo de reerencia para α�.

α�

α� 60º

Entonces : α� = ��° α� = ��° +��° = ��°

120º

Atención: el ángulo obtenido con la calculadora, tiene que colocarse en ambas gráficas. En este caso, dicho ángulo, no es un ángulo de reerencia directo para α�.

Paso �. Comprueba que si cos α = - �.�, entonces α� = ��° y α� = ��°. cos ��° = ______ cos ��° = ______

Función tangente: positivo en el �er y �er cuadrante; negativo en el �do y �to. Ejemplo 5

¿Cuánto vale α si an α = �.�? Solución

Si an α es positivo, el ángulo α toma dos valores entre �° y ��°: uno con lado final en el primer cuadrante y el otro con lado final en el tercer cuadrante. Procedimieno

Paso �. Localiza los lados finales. El signo nos indica que uno de los ángulos tiene su lado final en el �er cuadrante y el otro en el �er: Dato: an α = + � La angene es posiiva en el �er y �er cuadranes

α�

α�


an

�

=


00


unidad vi

•

Paso �. Asigna correctamente el valor obtenido con la calculadora , en la gráfica de α� y en la de α�.

En este ejemplo, observamos que ��°, coincide con α� y genera un ángulo de reerencia para α�.

α�

α� = ��°

45º

Entonces: α� = ��° α� = ��° +��° =��° Paso �. Comprueba que si an α = �, entonces α� = ��° y α� = ��°. an ��° = ______ an ��° = ______ Ejemplo 6

¿Cuánto vale α si an α = - �? Solución

Si an α es negativo, el ángulo α toma dos valores entre �° y ��°: uno con lado final en el segundo cuadrante y el otro con lado final en el cuarto cuadrante. Procedimieno

Paso �. Localiza los lados finales. El signo nos indica que uno de los ángulos tiene su lado final en el �do cuadrante y el otro en el �to:

Dato: an α = -� La angene es negaiva en el �do y �o cuadranes

α� Paso �. Utiliza la calculadora. -� Shi an

α�

La respuesta es α = -��º.

=

Paso �. A signa correctamente el valor obtenido con la calculadora en la gráfica de α� y en la de α�. (Ignora el signo negativo de ��°).

En este ejemplo, observamos que ��°, es ángulo de reerencia tanto para α� como para α� . Entonces: α1 = ��° - ��° = ��° α2 = ��° - ��° ��°

��°

α�

α� ��°

matemáticas iii


•

0

Ejemplo 7

Resolver la ecuación trigonométrica: 4 sen x − 2 = 0 Solución

En la solución de las ecuaciones trigonométricas se aplican los mismos métodos estudiados en álgebra; estos métodos, nos permiten transormar la ecuación dada, en una de las expresiones que ya aprendiste a resolver en los ejemplos � y � previos inmediatos. Estudia el siguiente procedimiento: Procedimieno

Paso �. Aplicamos el álgebra para simplificar la expresión dada: � sen x -� = � � sen x = � � � sen x = = � � Paso �. Ahora, debemos aplicar nuestro conocimientro trigonométrico para encontra los valores que toma el ángulo x , tal que sen x = �.�.

Dado: sen x = + �.�. El seno es positivo en el �er y �do cuadrantes. y x�

x� x

Resultado proporcionado por la calculadora: sen x = + �.�. x = sen-�(�.�) = ��° Inerpreación del resultado anterior: ��° corresponde a x� y es ángulo de reerencia para x�. y x� x� = ��° ��° x

Entonces: x� = ��° x� = ��° -��° = ��° Comprueba estas soluciones en la ecuación original.

.

EJERCICIOS

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos de la incógnita, menores que ��º. �. �. �. �. �.

cos α = �.�� sen α = �.�� cos α = �.�� an α = �.�� sen α = �.��

�. �. �. �.

an α = �.��

� sen α - � = � � sen α - √� = � � cos α + √� = �

��. ��. ��. ��.

� an α - √� = � � an α + √� = � � sen α - √� = � � cos α - √� = �

0


unidad vi

•

de las funciones trigonométricas . Grácas seno, coseno y tangente Lee con atención el desarrollo que te permitirá graficar la función seno.

Graficar la unción seno , significa trazar la gráfica correspondiente a la ecuación y = sen x. Recuerda que en ecuaciones como ésta, al sustituir valores de x , se calculan valores correspondientes de y. Es decir, exise una dependencia entre los valores de y y los de x. Es, esencialmente por esta dependencia, que se llama unción seno. Cada pareja de valores orman un par ordenado ( x, y). Estas parejas ordenadas, se colocan en un plano coordenado caresiano donde la x será la abscisa y, y la ordenada; posteriormente unimos estos puntos, con lo cual obtenemos la gráfica de la ecuación, en este caso de y = sen x. La notación y = sen x, generalmente indica que x está expresada en radianes. Por ello, primeramente de bes recordar que todo ángulo expresado en grados puede convertirse en radianes y viceversa. También, debes recordar, cómo usar la calculadora para determinar los valores de las unciones trigonométricas. Completa la siguiente tabla haciendo las conversiones requeridas y determina los valores de la unción trigonométrica seno. Grados Radianes (x) y = sen x

�°

��°

π

�

��° ?

� �.� �.��

�

��° ��° ��° ��° ��° ��° ��° ��° ��° ��° ? ?

2π � ?

4π

?

?

?

?

?

-�.�

� ?

?

?

?

?

?

-�.��

?

?

Ahora, localizamos en el eje horizontal las medidas angulares (preerentemente las expresadas en radianes) y en el vertical su valor correspondiente para y. Trata de comprender cada elemento de la siguiente gráfica y une los puntos consecutivos con un trazo suave y continuo. De esta manera, obtendrás la gráfica del seno en el intervalo de � a �π radianes. Y

� �π � �

π

� -�

π

3

π

�

�π �

�π �

π

��π � �π �

�π �

�π �

X

�π

matemáticas iii

0


•

Lee con atención el significado de periodo:

Una característica relevante de las unciones trigonométricas, es que sus gráficas consisten de una misma porción o ciclo que se repie periódicamene. Se llama periodo al tramo del eje x en donde se halla un ciclo de la gráfica. El periodo del seno es �π, por lo que decimos que la unción seno es periódica con periodo �π. Esto significa que la gráfica entre � y �π ya realizada, se repite siguiendo el mismo modelo a la derecha y a la izquierda de dicho trazo, como se observa a continuación: Y

� - �π - �π

-�π

-

7π

-

2

5π 2

�π

- π

-

3π

-

2

�

π

� �

π

2

�π �

π

�π �

X �π

�π

7π

2

-�

Teniendo en cuenta las mismas consideraciones anteriores, se puede trazar la gráfica de la función coseno. Ahora los pares ordenados cumplirán con la ecuación y = cos x . En la siguiente tabla, determina los valores faltantes de la unción trigonométrica coseno. Grados Radianes (x) y = sen x

�°

��°

� �

��° ��° ��° ��° ��°

π

π

π

2π

5π

� �.��

� ?

� ?

� ?

� ?

π ?

��°

��° ��° ��° ��° ��°

7π

4π

3π

5π

11π

� -�.��

� ?

� ?

� ?

� ?

4π ?

Ahora, trata de comprender cada elemento de la siguiente gráfica y une los puntos con un trazo suave y continuo. De esta manera, obtendrás la gráfica del coseno en el intervalo de � a �π radianes. Y

� �π � �

π

� -�

π

3

π

�

�π �

�π �

π

�π � �π �π � �

��π �π �

X

0


unidad vi

•

Al igual que para el seno, el periodo del coseno es �π; así pues, la gráfica entre � y �π ya realizada, se repite siguiendo el mismo modelo a la derecha y a la izquierda de dicho trazo, como se observa a continuación:

y � -�π -�π - �π �

-�π

- �π �

�π - �π �

� π π -

-π

� -�

π

�

�π �

�π

�π �

x

�π �π �

A continuación, trazaremos la gráfica de la función tangente. Los pares ordenados cumplirán con la ecuación y = tan x. En la siguiente tabla, se presentan los valores de la unción trigonométrica angene. Compruébalos usando tu calculadora. Grados �° ��° ��° Radianes π π � (x) � � y = an x � �.�� .�� Y

�.�

��°

��° ��° ��° ��° ��°

π

2π

5π

� � � no de. -�.�� -�.��

π �

7π

4π

� � �.�� .��

��°

��° ��° ��°

3π � no de.

5π

11π

� � -�.�� -�.��

�π �

�

�.� �.� �π �

�.�

-�.�

0 π �

��π � X

π

�

π

2

�π �

-�.� -�.�

�

π 7π

6

�π �π � �

�π �

�π

matemáticas iii


•

0

¿Cómo trazar la curva?

Observa que a dierencia del seno y coseno, aquí no se aprecia de manera directa un patrón definido. ¿Podemos unir los puntos � y �? Debemos tener muy presente que la unción tangente, no está definida para π� .

Por lo tanto, no existe ningún punto arriba de π� por lo que, no pueden conectarse los puntos � y �. Lo mismo puede decirse para 3�π y sus puntos vecinos. Vamos a revisar qué sucede con valores cercanos a π� = ��°. Comprueba los siguientes valores: an ��° = �.� an ��° = �.� an ��° = ��.� an ��° = ��.� an ��° = ��.� an ��.�° = �� an ��.��° = ��.� an ��.��° = �� ¿Qué valor crees que tiene an ��.��?_____________ Observando lo anterior, notamos que el valor de y = an x crece sin límite cuando los valores de x se acercan cada vez más a π� ; es decir, crecen indefinidamente. Para valores mayores que π� pero muy cercanos a él (por ejemplo ��.��°), puede comprobarse que se presenta un decrecimiento también sin límite. Este comportamiento también se presenta para 3�π y en general en todo punto en donde la tangente no esté definida. Uniendo los puntos cuyas coordenadas se dan en la tabla, y que ya ueron localizados en el plano, y considerando el comportamiento de la unción para valores cercanos π a 3π , se obtiene la siguiente gráfica � � para y = an x en el intervalo de � a �π: Y

�.� �.� �.� �.� -�.� -�.� -�.� -�.�

�

π

�

π

�π �

�π X

0


unidad vi

•

Recordemos que una característica de las unciones trigonométricas es que sus gráficas consisten de una misma porción o ciclo que se repite periódicamente. Ya vimos que en el caso del seno y del coseno , el tramo que se repite es el definido de � a �π, por lo que su periodo es �π. Para la angene el tramo que se repite va de � a π. Entonces el periodo de la tangente es π. La siguiente gráfica muestra este hecho. Y

- �π �

.

-�π - �π �

π

-π - �

� π �

π �π �

�π

�π �

X

EJERCICIOS Uliza GeoGebra

�. Abre Geogebra; observa que en la parte inerior aparece una barra etiquetada como «entrada». �. Da clic en la barra y escribe: y = sen (x) y enter; automáticamente aparecerá la gráfica de la unción y = sen (x). Debes tener en cuenta que los valores que aparecen en el eje horizontal (valores del ángulo representado por x), están en radianes. �. Ahora, escribe en la barra «entrada» las unciones y = �sen(x), y = �sen(x) y y = �sen(x). ¿Qué observas? ¿Qué puede decirse de las gráficas de y = asen(x)? Compara estas gráficas con la gráfica de y = sen (x). Escribe tus conclusiones. �. A continuación, escribe en la barra «entrada» las unciones y = sen(x) +� , y = sen(x) + � , y = sen (x) + � , y = sen(x) -� , y = sen(x) - � e y = sen(x) -�. ¿Qué observas? ¿Qué puede decirse de las gráficas de y = sen(x) + a? Compara estas gráficas con la gráfica de y = sen(x). Escribe tus conclusiones. �. Repite los pasos � a �, para la unción y = cos(x). �. Repite los pasos � a �, para la unción y = an(x).

Entrada:

y=sen(x)

matemáticas iii

.


•

0

Idendades trigonométricas fundamentales

Estudia con atención y trata de comprender el significado de identidad.

En muchas ocasiones, cierto problema se transorma en uno más sencillo si hacemos una sustitución adecuada de ormulaciones trigonométricas equivalentes. Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para todos los valores posibles del argumento (en nuestro caso, para todos los valores posibles que puede tomar el ángulo). Entendemos por valores posibles aquellos para los cuales sí están definidas las razones trigonométricas. Ejemplo sec x = � es una identidad trigonométrica válida para todos los valores de x exceptuando algunos cos x valores, por ejemplo x no puede valer ��°, porque cos ��° = �, y la división por cero no está permitida .

Algunas identidades undamentales, se analizan a continuación: Ubica la lección, ya estudiada, en la que se desarrollaron las identidades recíprocas.

Relación entre el seno y la cosecane Relación entre el coseno y la secane Relación entre la angene y la coangene

sen A�csc A = � cos A�sec A = � an A�co A = �

Éstas son unas de las identidades undamentales denominadas recíprocas. Realiza la siguiente actividad que te permitirá explorar las identidades denominadas Identidades por cociente.

Acvidad 8 a) Compárese sen ��° con an ��° cos ��° b) Compárese sen71° con tan ��° cos ��° c) Compárese sen ��° con an ��° cos ��° d) Compárese sen ��° con an ��° cos ��° e) ¿Qué puede decirse sobre sen x y an x? ________ cos x

08


unidad vi

•

Usando los valores exactos del triángulo ��º -��º -��º, compárese sen ��° con an ��°. cos ��° � sen ��° = � = � × � = � cos ��° √� � × √� √� �

��º �

√�

Son iguales

an ��° = � √�

��º

sen ��° an ��° = cos ��°

�

sen α ¿Será cierto que para todo ángulo agudo α se cumpla que an α = sen α ?

Para contestar esta pregunta, recordemos las definiciones de las unciones trigonométricas: P (x, y) r

α

y sen α = r x cos α = r y an α = x

Dividamos sen α entre cos α: y sen α = r = y r = y x cos α x x r r y Pero, an α = x

Son iguales. Por lo sen α tanto, se cumple que: an α = cos α

x co α = y r sec α = x r esc α = y

Ahora, dividamos cos α entre sen α: x cos α = r = x r = x sen α y y r y r x Pero, co α = y

Son iguales. Por lo cos α tanto, se cumple que: co α = sen α

matemáticas iii

Entonces, las identidades por cociente son:


•

09

sen α an α = , cos α ≠ 0 cos α cos α co α = , sen α ≠ 0 sen α

Estas igualdades ueron halladas con valores generales, por lo que son válidas para cualesquier valor del ángulo, siempre y cuando los denominadores sean dierentes de �. Realiza la siguiente actividad que te permitirá explorar las identifdades denominadas Identidades pitagóricas.

Acvidad 9 Empléese una calculadora para determinar lo siguiente: a) (sen ��°)� + (cos ��°)� = _____ c) (sen �°)� + (cos �°)� = _____ b) (sen ��°)� + (cos ��°)� = _____ d) (sen ��°)� + (cos ��°)� = _____ e) ¿Qué puede decirse sobre ( sen x)2 + (cos x)2 para todo valor de x? ) Los valores que obtuviste, ¿se podrán aproximar a �?_________________ Usemos nuevamente los valores exactos del triángulo 30º-60º-90º: �

√� + 1 (sen ��°)� + (cos ��°)� = � �

��º

�

� √ = � � + (1) �

�

√� ��º �

�

� � = �

(�) 1 + � =�

Usando valores exactos, esta suma de cuadrados da 1.

Si siguiéramos haciendo ejemplos como los anteriores, nos daríamos cuenta de que el valor que obtenemos siempre es muy cercano a 1. De hecho el valor exacto es 1. De ahora en adelante, vamos a convenir, para simplificar las cosas, en que: Observación: (sen α)2 = sen2 α , (an α)2 = an2 α , (sec α)2 = sec2 α (cos α)2 = cos2 α , ( co α) 2 = co 2 α , (csc α)2 = csc2 α

0


unidad vi

•

Es importante darse cuenta, de que no es lo mismo sen α� que sen�α; en el primer caso estamos elevando el ángulo α al cuadrado y en el segundo estamos elevando al cuadrado al seno del ángulo α. Ahora vamos a demostrar que: sen�α+ cos�α = � para cualquier ángulo agudo α. Aplicaremos las definiciones de las unciones trigonométricas. Y P (x , y) r

α X

Planteando el teorema de Pitágoras tenemos que: (�) x� + y� = � Dividiendo la expresión anterior entre r 2 tenemos: x� + y� r � y� = r � � � � x y r Esto equivale a: � + � = � r r r � � � r x y Pero, � = 1, entonces � + � = 1 r r r � � x y Y ésto es lo mismo que: r + r = 1

(�)

Pero, sabemos que: sen α = y y cos α = x r r Sustituyendo estos dos resultados en la expresión (�) obtenemos: (sen α)� + (cos α)� = � O bien:

sen� α + cos� α = �

Si la igualdad pitagórica (1) se divide entre x2 obtenemos: x� + y� r � x� = x� y � r � Simplificando: � + x = x y r Pero, x = an α y x = sec α

Entonces, � + (an α)� = (sec α)� O bien:

an� + � = sec � α

(3)

matemáticas iii


•



Acvidad 0 �. Divide la igualdad (�) entre y� y sigue un desarrollo parecido al mostrado. Debes obtener la identidad undamental: co � α + � = csc� α �. Completa: las identidades pitagóricas son:

sen� α + cos� α = _____ an� α + � = _____ co � α + � = _____

�. Escribe verdadero o also según corresponda. En caso de ser also, escribir la expresión correcta. Estudia el ejemplo. Ejemplo

� ? an A Es alsa. La expresión correcta an A =

¿Es correcta la expresión an A = Solución

a. b. c. d. e.

α an α = cos sen α sen� α + cos� α = � (an A)2 -1 = (sec A)� co � B + � = csc� B sen β = cos α sec β

. g. h. i. j.

� co A

sen� A + � = cos� α sen� α = � - cos� α cos A = sec� A an� A = 1 - cos2 A sen A = √1 - cos� A

Expresar una unción en términos de otra. Lee con atención.

Para el trabajo con identidades, debemos dominar de memoria las ocho identidades básicas que se concentran en la siguiente tabla. Por eecto de clasificación, hemos reenumerado cada una de ellas. Identidades recíprocas I. sen α csc α = 1 II. cos α sec α = 1 III. an α co α = 1 •

•

•

Identidades de cociente

α IV. an α = sen cos α α V. co α = cos sen α

Identidades que se deducen del teorema de Pitágoras VI. sen� α + cos� α = � VII. an� α + � = sec� α VIII. co � α + � = csc� α




unidad vi

•

Estudia los siguientes ejemplos que muestran cómo expresar una unción en términos de otra. E jemplo

1

Expresar sen θ en términos del cos θ. Solución

Debemos identificar una identidad que involucre tanto al seno como al coseno. Esta identidad es la VI: sen� θ + cos� θ = � sen� θ = 1 - cos� θ Despejando sen θ: sen θ = √1 - cos� θ

E jemplo

2

Expresar cos θ en términos del sen θ. Solución

De la identidad VI despejamos cos θ: sen� θ + cos� θ = � cos� θ = 1 - sen� θ cos θ = √1 - sen� θ

E jemplo

3 Expresar la an α en términos del cos α. Solución

α De la identidad IV tenemos que: an α = sen cos α Puesto que queremos dejar la tangente en términos del coseno, debemos convertir el numerador también en términos del coseno. Ésto se logra usando la expresión sen θ = √1 - cos� θ - cos� θ Entonces, an α = √ 1cos α

Acvidad  Realiza lo indicado.

�. �. �. �. �. �.

Expresar cos α en términos de sen α Expresar an α en términos de sen α Expresar sec α en términos de cos α Expresar sec α en términos de sen α Expresar csc α en términos de sen α Expresar co α en términos de sen α

matemáticas iii


•



Demostración de identidades Estudia con atención y trata de comprender lo que significa demostrar una identidad.

Los métodos para demostración o verificación de identidades consiste en trabajar el lado izquierdo de la identidad hasta que finalmente quede reducido al de la derecha, o al revés, según sea conveniente. Veamos primeramente un ejemplo algebraico. Demostrar que: x(x + �)� = x� + �x� + �x Desarrollando el lado izquierdo: x(x + �)� = x(x� + �x + �) Regla del binomio al cuadrado = x� + �x� - �x Propiedad distributiva Hemos demostrado que el lado izquierdo es igual al lado derecho. Estudia y reflexiona el desarrollo de los siguientes ejemplos. E jemplo

1

Demostrar que: sen x(sen2 x + cos2 x) = sen x Solución

E jemplo

Desarrollando el lado izquierdo: sen x(sen� x + cos� x) = sen x (�) = sen x Queda demostrado. Usando la identidad VI 2

Demostrar que: sen2 x cos x + cos3 x = cos x •

Solución

Desarrollando el lado izquierdo: sen2 x cos x + cos3 x = cos x(sen2 x + cos2 x) Usando la identidad VI = cos x (1) Queda demostrado. •

E jemplo

3

Demostrar que: sen α co α = cos α •

Usando la identidad VI

Solución

cos α Desarrollando el lado izquierdo: sen α co α = sen α sen α •

= sen α 1 = cos α

cos α sen α




E jemplo

4

Demostrar que: (1 + an2 β)cos2 β = 1 Solución

Desarrollando el lado izquierdo: (� + an� β)cos� β = � + =

E jemplo

sen� β cos� β � cos β

cos� β + sen� β � 2 β = cos cos2 β = � � � cos β cos β

5

Demostrar que: cos2 � – sen2 � = 2cos2 � – 1 Solución

E jemplo

Desarrollando el lado izquierdo: cos� � – sen� � = cos� � – (�– cos� �) = cos� � – �+ cos� �) = �cos� � – � 6

Demostrar que: sen θ + cos θ = cos θ + sen θ � - an θ � - co θ Solución

En este caso conviene desarrollar el lado derecho: cos θ sen θ cos θ sen θ + = + � – an θ � – co θ � – sen θ � – cos θ cos θ sen θ cos θ sen θ = + cos θ – sen θ sen θ – cos θ cos θ sen θ

=

cos� θ sen� θ – cos θ – sen θ cos θ – sen θ

=

(cos θ + sen θ)(cos θ – sen θ) (cos θ – sen θ)

= cos θ + sen θ = sen θ + cos θ

unidad vi

•

matemáticas iii

.


•

EJERCICIOS

Demostrar cada una de las siguientes identidades: � – �sen�x = �cos � x – �

�. �. an α+ co α = sec α csc α �. (� – cos� �)(� – co � �) = 1 sec x•csc x �. an x + co x = � �. an α + co α = sec α csc α �. (sec β)-� + (csc β)-2 = 1 � – an� x 7. � + an� x = cos� x – sen� x �. csc α = co α + � sen α + cos α �. sen α + � + cos α = �csc α � + cos α sen α

2 ��. (an� δ – sen2 δ) co 2 δ = � sen δ ��. (� – cos α)(� + sec α)co α = sen α ��. an� α•csc� •co � α•sen� α = � � ��. � – cos x α = sen α � + sen α sen x ��. co x + � + cos x = csc x ��. (� – sen� A)(� + an� A) = 1 sen x + an x 16. co x + csc x = sen x•an x ��. sen α + cos α = 1 csc α sec α

trigonométricas .8 Idendades de suma de dos ángulos Estudia con atención la siguiente secuencia que demuestra una equivalencia para sen (α + β) �. Los ángulos α y β son dos ángulos tales que la suma de ellos es menor a ��°. β

E α

�. Al trazar de E a A un segmento perpendicular al segmento horizontal, se determina el triángulo rectángulo ∆ EAO. β

O

α

A






unidad vi

•

E

�. Al trazar de E a D, de D a C , y de D a B segmentos perpendiculares OD , EA y OB a se obtiene la siguiente figura:

α C

D

A

B

β O

α

�. En la figura que resulta después de realizar los pasos anteriores, se cumple lo siguiente: sen ( α + β) = AE = AC + CE = AC + CE OE OE OE OE Como AC = BD, entonces: sen ( α + β) = AE = AC + CE = BD + CE OE OE OE OE Si multiplicamos la razón BD por OD y la razón CE por ED se obtiene: OE OD OE ED sen (α + β) = BD × OD + CE × ED = BD × OD + CE × ED OE OD OE ED OD OE ED OE En el triángulo rectángulo OBD: sen α = BD OE En el triángulo rectángulo ODE: cos β) = OD OE

En el triángulo rectángulo ECD: sen α = CE ED En el triángulo rectángulo ODE: cos β) = ED OE

Por lo tanto, al sustituir los cocientes por las razones trigonométricas correspondientes se obtiene : sen( α + β) = sen αcos β + cos αsen β O bien:

sen( α + β) = sen αcos β + sen β cos α

Nota: Si la suma de los ángulos α y β es mayor que 90°, la identidad anterior sigue siendo válida.

matemáticas iii


•

Estudia con atención la siguiente secuencia que demuestra una equivalencia para cos (α + β). E

En la misma figura utilizada para sen( α + β) , se cumple lo siguiente:

α C

D

A

B

β

�. cos ( α + β) = OA OE �. cos ( α + β) = OA = OB – AB = OB – AB OE OE OE OE

O

α

Puesto que AB = CD, entonces: cos ( α + β) = OB – AB = OB – CD OE OE OE OE Si multiplicamos la razón OB por OD y la razón CD por ED se obtiene: OE OD OE ED cos (α + β) = OB × OD – CD × ED = BD × OD – CE × ED OE OD OE ED OD OE ED OE En el triángulo rectángulo OBD: cos α = OB OD En el triángulo rectángulo ODE: cos β) = OD OE

En el triángulo rectángulo ECD: sen α = CD ED En el triángulo rectángulo ODE: sen β) = ED OE

Por lo tanto, al sustituir los cocientes por las razones trigonométricas correspondientes se obtiene: cos(α + β) = cos αcos β – sen α β sen β

Estudia con atención el siguiente desarrollo que demuestra una equivalencia para an(α + β):

�. Sabemos que: an α = sen α cos α sen (α + β) = sen αcos β + sen β cos α cos (α+ β) = cos αcos β – sen α β sen β



8


�. Entonces: sen α cos β + sen β cos α an(α + β) = cos α cos β – sen α sen β sen α cos β sen β cos α + cos α cos β cos α cos β = cos α cos β sen α cos β – cos α cos β cos α cos β

unidad vi

•

sen α cos β + sen β cos α cos α cos β = cos α cos β – sen α sen β cos α cos β sen α sen β + cos α cos β an α + an β = � – an α an β = sen α sen β 1– α × cos β cos

Por lo tanto: an α + an β an(α + β) = � – sen α sen β

Es importante precisar que todas las identidades desarrolladas en esta lección, son válidas para cualesquiera valores de α y β, sean positivos o negativos.

.8

EJERCICIOS

�. En la identidad sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α , sustituye β por α para obtener sen(α + α) y comprueba que: sen �α = � sen α cos α �. En la identidad sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α , sustituye β por – β para obtener sen(α – β) y comprueba que: sen(α – β) = sen α cos β - sen β cos α , �. En la identidad cos(α + β) = cos α cos β – sen α β sen β sustituye β por α para obtener cos(α + α) y comprueba que: cos�α = cos�α – sen�α �. Comprueba que: cos�α = �cos�α – � y cos�α = � – �sen�α �. En la identidad cos�α = � – �sen�α sustituye

�. En la identidad cos�α = �cos�α – �, sustituye 2α = β y α = β2 y comprueba que: β = ± � + cosβ � � �. En la identidad cos (α + β) = cos α cos β – sen α β sen β sustituye β por – β para obtener cos( α – β ) y comprueba que: cos (α – β) = cosαcos β + senα β cosβ �. En la identidad anα +  αnβ an( α + β ) = � – anα  αnβ sustituye β por – β para obtener an(α – β) y comprueba que: anα –  αnβ an( α – β ) = � + anα  αnβ cos

matemáticas iii

.9


•

9

Ley de los senos y Ley de los cosenos

Lee con atención:

En lecciones anteriores se usó la trigonometría para resolver triángulos rectángulos. Cuando un triángulo no es rectángulo se dice que es oblicuángulo. En esta lección se estudiarán dos propiedades que nos permitirán resolver cualquier tipo de triángulos. Estas propiedades se llaman Ley de los senos y Ley de los cosenos. C Considera el siguiente triángulo:

b A

a

c

B

Para que aprecies de donde surge la ley de los senos, analiza los pasos indicados. Paso �. Al triángulo ∆ ABC le trazamos el segmento CD indicado. Este segmento se llama altura. Paso �. En el triángulo ∆ ABC se cumple que: sen A = hb de donde: h = bsen A sen B = h de donde: h = asen B a

Paso �. Ahora, al triángulo ∆ ABC le trazamos la altura correspondiente al vértice y repetimos los pasos anteriores: sen B = hc de donde: h = csen B sen C = h de donde: h = bsen C b

Combinando este resultado con el obtenido en el paso � podemos establecer que

sen A = sen B = senC a b c

b A

Paso �. Aplicando la propiedad transitiva: asen B = bsenA Paso �. Dividendo ambos lados entre ab y simplificando: csen B = bsen A sen B = sen A bc ab b a

Entonces: csen B = bsenC Dividendo ambos lados entre bc y simplificando: csen B = bsen C bc bc

C

h

a B

D c

C D

b

a

h A

sen B = senC b c

c

B

0


unidad vi

•

Completa: Ley de los senos. Dado un triángulo con ángulos A, B, y C y lados de longitudes a, b, y c (a opuesto a A , b opuesto a B , y c opuesto a C), se cumple que: sen A = = a Lee con atención: Para resolver un triángulo oblicuángulo es indispensable conocer tres de sus elementos. Uno de estos elementos debe ser, orzosamente, un lado. La ley de los senos posibilita resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen: a) Un lado y dos ángulos b) Dos lados y el ángulo opuesto a cualquiera de ellos. C

Estudia atentamente el siguiente ejemplo.

b

Ejemplo 1

Obtener el ángulo y los lados restantes del triángulo mostrado en la figura. Solución

A

��°

��

��°

B

c

Los elementos a determinar son: los lados b y c, y el ángulo B. Cálculo del ángulo B. Puesto que conocemos dos ángulos interiores, se aplica la propiedad de los ángulos interiores de los triángulos: B = ��° - ��° - ��° = ��° Cálculo de los lados desconocidos. Se plantea la ley de los senos: C sen A = sen B = senC a b c b ��° Sustituyendo los elementos conocidos: sen ��° = sen ��° = sen ��° ��° A �� b c c Cálculo b. Para hallar b empleamos la razón conocida y la razón que contenga a b:

�� °

B

sen ��° = sen ��° �� b Recuerda que esta expresión es una proporción, y para despejar cualquier término se usa la regla de los productos cruzados: bsen��° = ��sen��° b = ��sen��° = ��× �.�� = ��.�� sen��° �.��

matemáticas iii


•



Cálculo c. Para hallar c empleamos la razón conocida y la razón que contenga a c: sen ��° = sen ��° �� c c = ��sen��° = �� × �.�� = ��.�� .�� sen��°

Comprueba que:

Estudia atentamente la siguiente observación relativa a casos ambiguos. Cuando en un triángulo oblicuángulo se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de el los, pueden presentarse los siguientes casos: •

Si a < b y a < h , no hay solución: Ejemplo

C b = � A

•

h = �×sen ��° = �.�

a = � h = �.�

30°

B

c

Si a < b y a > h , hay dos soluciones: Ejemplo

C b = � A

•

30°

C a = �

b = �

h = �.� B

c

A

30°

a = � B

h = �.�

Si a > b o a= b , hay una solución: C b = �

A

a = �

C a = �

30° c

b = � B

A

a = �

30° c

B

El caso ambiguo de dos soluciones, se justifica analíticamente a partir del siguiente hecho: si sen x = d (d es un número positivo menor o igual a �), existen dos soluciones para x: un ángulo tal que x� = sen-� (d), y su suplemento x� = sen-� (d). Para simplificar nuestro estudio, en este curso sólo consideraremos una solución. Es decir, asumiremos un sólo valor para x, tal que sen x = d .

222


unidad vi

•

Estudia atentamente el siguiente ejemplo. Debes recordar que resolver un triángulo consiste en obtener sus elementos desconocidos. C Ejemplo 2

��

Resolver el triángulo mostrado en la figura:

23°

A Solución

25

B

c

Los elementos a determinar son: los ángulos B y C , y el lado c. Cálculo del ángulo B. Se plantea la ley de los senos: sen A = sen B = senC a b c Sustituyendo los elementos conocidos: sen ��° = sen B = senC �� c Observa que de esta expresión, sólo podemos conocer B mediante la proporción: sen ��° = sen B �� Producto cruzado: �� sen ��° = �� sen B Despejando sen B: sen B = �� × sen��° = �� × �.�� = ��.�� .�� Entonces, B es el ángulo cuyo seno vale 0.2188. Recuerda que esto se abrevia: B = sen-�(�.��) = ��.�° Obtención del ángulo C. Puesto que conocemos dos ángulos interiores, se aplica la propiedad de los ángulos interiores de los triángulos: C = ��° - ��° - ��.�° = ��.�° C

��

��

��.�°

��.�°

��°

A

c

B

Obtención de c. Para hallar c se plantea la ley de los senos: sen��° = sen ��.�° �� c c = �� × sen ��.�° = �� × �.�� = ��.� �.�� sen ��° C

�� A

��.�°

��° c = ��.�

�� B

matemáticas iii

geometría y trigonometría 223

•

Acvidad  Aplicando la ley de los senos, intenta resolver los siguientes triángulos: B

�

B

�

a

a

40° A

C

�

A

C

�

En estos casos en los que se conocen las longitudes de dos lados y la medida del ángulo comprendido, o las longitudes de los tres lados, no es suficiente aplicar la ley de los senos. Debemos aplicar la llamada Ley de los cosenos. Sigue los siguientes pasos para justificar la Ley de los cosenos. C

Para justificar la ley de cosenos considera el siguiente triángulo:

b A

C

a

c

b

B

Paso �. Al triángulo ∆ ABC le trazamos el segmento CD indicado. Este segmento se llama altura. Paso �. En el triángulo ∆ ABC se cumple que: cos A = xb ; de donde: x = bcos A

A

Paso 3. En el triángulo ∆ ACD aplicamos el teorema de Pitágoras: h� = b� - x� Paso �. En el triángulo ∆ BCD aplicamos el teorema de Pitágoras: h� = a� - (c -x)� Paso �. Aplicando la propiedad transitiva en (�) y (�): b� - x� = a� - c� +�cx - x � b� = a� - c� +�cx Paso �. Sustituyendo en (�) el valor de x obtenido en (�): b� = a� - c� +�cbcosA

Reordenando:

a� = b� + c� - �bccosA

Esta última expresión es la llamada Ley de los cosenos: Ley de los cosenos. En todo triángulo ∆ ABC con lados a , b , c , se cumple que: a� = b� + c� - �bccosA

x

h

D c

(�) (�) (�)

a

c-x

B


224

unidad vi

•

Esta relación es válida para los tres lados del triángulo, independientemente de cuál lado se escoja como lado a. Para comprender esto, observa que en la expresión a� = b � + c � – �bccosA, A es el ángulo comprendido entre los lados b y c. •

La variable a la izquierda, es la longitud del lado que no orma parte del ángulo considerado. Entonces, también se puede plantear: C b

C a

A

B c a� = b� + c� – �bccosA

b

C a

b

A

B c b� = a� + c� – �accosB

A

B c c� = a� + b� – �abcosC

Estudia los siguientes ejemplos:

C

Ejemplo 1 ¿Cuánto mide a en el triángulo mostrado en la figura? Solución

a

a

��

Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

B

��°

�

A

Aplicando la ley de los cosenos:

Sustituyendo los elementos conocidos: a� = �� + �� – �(��)(�)cos��° a� = �� + �� – �(��)(�)(– .��) a� = �� + �� – ��(– .��) a� = ��.� a = ��.�

C

�.� cm

�.� cm Ejemplo 2

¿Cuánto mide el ángulo B en el triángulo mostrado? Solución

Se conocen tres lados.

A

�.� cm

B

Aplicando la ley de los cosenos y tomando en cuenta que nos interesa el ángulo B, planteamos: b� =a� + c� – �accosB Sustituyendo los elementos conocidos: (�.�)� = (�.�)� + (�.�)� – �(�.�)(�.�) cosB ��.�� = �.�� + ��.� – ��.�� cosB ��.�� = ��.�� – ��.�� c osB – ��.�� = cosB – ��.��

�.�� = cos B B = cos-� (�.��) = ��.�°

matemáticas iii

.9

geometría y trigonometría 225

•

EJERCICIOS

�. Resolver cada triángulo. a)

b)

C

c)

B

B

�.� �

�.�

�

A

B

d)

C

��º

��º

C

��

A

��º

��

A

e)

C

A

��° A

��

37 135º

B

��

19

B

)

B

� A

g)

�

B

��º ��

� C

C

��

A

C

�. ¿Cuánto mide la diagonal del paralelogramo? �� º �� . Dos personas de rente y a �� m una de otra en el mismo nivel horizontal, observan un avión con ángulos de elevación de ��º ��’ y ��º ��’. Hallar la altura del avión. �. Después de viajar �� km en línea recta hacia el este, un caza-bombardero recibe instrucciones para desviarse ��º hacia el sur y viajar �� km en dicha dirección. ¿Qué tan lejos estará del punto de salida una vez que llegue a su objetivo?


226

unidad vi

•

AUTOEVALUACIÓN  Parte I. Saber conocer y saber hacer: ��: Para que valores tus logros según los indicadores de desempeño, coloca una √ en cada indicador y calcula el total. Desempeño Bueno (�)

Regular ( �)

Malo (�)

Realizo conversiones angulares del sistema sexagesimal al circular y vice versa. Utilizo los valores exactos de las razones trigonométricas de ��°, ��° y ��°, para determinar los valores exactos de las unciones trigonométricas de ángulos múltiplos de dichos ángulos especiales. Determino el valor de unciones trigonométricas de ángulos cualesquiera expresados tanto en grados como en radianes. Represento gráficamente las unciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Utilizo las tecnologías de la inormación, para explorar las unciones trigonométricas: y = csen θ , y = sen θ + c, y = ccos θ , y = cos θ + c , y = canθ , y = anθ + c, y = sen( θ + c), y = cos ( θ + c) y y = an( θ + c). Aplico las dierentes identidades trigonométricas para expresar una razón en unción de otra. Aplico las identidades de suma de ángulos para deducir las identidades de ángulos dobles, ángulos mitad y dierencia de ángulos. Resuelvo ecuaciones trigonométricas sencillas del tipo asen x + b = c, acos x + b = c y aan x + b = c. Resuelvo triángulos cualesquiera aplicando leyes de senos y cosenos.

Parte II. Evaluación de competencias genéricas: Competencia �. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. ��: Reflexiona sobre tu trabajo en equipo, y en cada uno de los cinco rasgos determina tu valoración correspondiente, marcando con una √ la casilla correspondiente, con base en la siguiente escala: S = Sí lo realicé N = No lo realicé SE = No tengo elementos para valorar

Expresé mis ideas mediante representaciones lingüísticas Sí

No

SE

Expresé mis ideas mediante representaciones matemáticas o gráficas. Sí

No

Apliqué estrategias comunicati vas de acuerdo a mis interlocutores y el contexto. SE Sí No SE

Apliqué estrate- Identifiqué las gias comunicati- ideas clave del vas de acuerdo a discurso oral. los objetivos que buscaba. Sí No SE Sí No SE

Bibliografía

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227

MATEMÁTICAS III Geometría y trigonometría José Alfedo Juárez Duare, Aruro Ylé Marínez, Armando Flórez Arco Se terminó de imprimir en el mes de julio de �� en los talleres gráficos de Servicios Editoriales Once Ríos, S.A. de C.V., Río Usumacinta No. �� Col. Industrial Bravo Tel. ��-�� Culiacán, Sin. La edición consta de �� ejemplare

GEOMETRÍA ANALITICA

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