Structures de g´ enie civil Ann´ee Universitaire 2013-14
Master DSME : Dimensionnement des Structures M´ecaniques dans leur Environnement
Paolo Vannucci
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Avant-propos Ce document est un texte de support au cours de Structures de G´enie Civil de la deuxi`eme ann´ee du Master DSME - Dimensionnement des Structures M´ecaniques dans leur Environnement, de l’UVSQ - Universit´e de Versailles et Saint-Quentinen-Yvelines. En particulier, ce document est divis´e en cinq parties principales : – la premi`ere partie est une introduction aux structures de g´enie civil, en particulier, aux bˆatiments ; la mani`ere dont les bˆatiments sont couramment organis´es d’un point de vue structurale, les diff´erents composants structuraux, leurs fonctions structurales et la mani`ere dont ils doivent ˆetre distribu´es sont analys´es ; – la deuxi`eme partie est une introduction a` la th´eorie classique du b´eton arm´e ; l’objectif de cette partie, concernant une th´eorie de calcul aujourd’hui abandonn´ee, est de fournir aux ´etudiants un mod`ele de calcul simple, coh´erent, essentiellement bas´e sur l’´equilibre, qui les introduise de mani`ere classique aux structures de b´eton arm´e ; l’id´ee est, en somme, d’op´erer une transition logique entre leurs acquis de m´ecanique des milieux continus, de statique et de r´esistance des mat´eriaux et la m´ecanique des structures de b´eton arm´e, cette derni`ere vue comme une application, `a un cas particulier, des fondements et des r´esultats de la m´ecanique des structures classique ; de cette mani`ere, il sera plus facile de comprendre la m´ethode moderne, plus ´elabor´ee et ´eloign´ee des mod`eles classiques de la r´esistance des mat´eriaux ; – la troisi`eme partie porte sur le calcul des sections en b´eton arm´e par rapport aux ´etats limites ultimes, selon la norme europ´eenne (Eurocode 2, dor´enavant indiqu´e par le sigle EC2) ; on introduit donc ici la m´ethode courante de calcul des structures en b´eton arm´e, en utilisant les donn´ees et les prescriptions de la norme europ´eenne, pour les cas de la flexion, simple ou compos´ee, de l’effort tranchant et du poin¸connement ; – la quatri`eme partie porte sur le calcul des structures par rapport aux ´etats limites de service, toujours selon la norme europ´eenne. – la cinqui`eme partie porte sur les dispositions constructives prescrites par l’EC2. i
On est bien conscients que ce qui est pr´esent´e ici est loin d’ˆetre exhaustif ; ce document n’est qu’un abr´eg´e de calcul des bˆatiments en b´eton arm´e pens´e pour le master DSME, et pour cause de temps a` disposition des ´etudiants, des choix s’imposent. En particulier, plutˆot que mettre l’accent sur les aspects normatifs, on a privil´egi´e toujours la mise en valeur du mod`ele m´ecanique, des ´equations, conscients que les lois de la Nature sont immuables et aident a` la compr´ehension, ce qui est rarement le cas des lois que les hommes peuvent se donner. Finalement, l’unique ambition de ce document est de transmettre aux ´etudiants des fondements simples et solides de m´ecanique des bˆatiments et des structures en b´eton arm´e. Si ce but sera atteint, comme on l’esp`ere, alors les ´etudiants pourront facilement progresser dans le m´etier et leur progression sera d’autant plus sˆ ure et certaine s’ils n’oublieront pas les peu de notions contenues dans ce document. Versailles, octobre 2013
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Table des mati` eres Avant-propos
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1 Organisation structurale d’un bˆ atiment 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Composantes structurales d’un bˆatiment . . . . . 1.3 Typologies courantes des fondations . . . . . . . . 1.3.1 Fondations superficielles . . . . . . . . . . 1.3.2 Fondations profondes . . . . . . . . . . . . 1.4 Types de structures horizontales et de couverture 1.4.1 Structures en acier . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Structures en b´eton arm´e . . . . . . . . . . 1.4.3 Structures en bois . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Types de structures verticales . . . . . . . . . . . 1.5.1 Structures en acier . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Structures en b´eton arm´e . . . . . . . . . . 1.6 Structures de contreventement . . . . . . . . . . . 1.6.1 Structures en acier . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Structures en b´eton arm´e . . . . . . . . . . 1.6.3 Distribution spatiale des contreventements 1.6.4 Contreventement des tours . . . . . . . . . 2 Th´ eorie classique du b´ eton arm´ e 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mod`ele de calcul . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Mat´eriaux . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Le coefficient d’homog´en´eisation 2.3 Compression simple . . . . . . . . . . . 2.3.1 Probl`eme de v´erification . . . . 2.3.2 Probl`eme de conception . . . . 2.4 Traction simple . . . . . . . . . . . . . 2.5 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . iii
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1 1 1 4 4 10 17 17 24 29 29 29 37 37 37 42 43 46
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53 53 54 55 56 57 57 58 60 61
2.5.1 Mod`ele de calcul : la poutre d’Euler-Bernoulli . . . . 2.5.2 Probl`eme de v´erification . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Probl`eme de conception . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Flexion compos´ee d’une section rectangulaire . . . . . . . . . 2.6.1 Probl`eme de v´erification . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Probl`eme de conception . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Calcul des contraintes tangentielles . . . . . . . . . . 2.7.2 Mod`ele de calcul des armatures : le treillis de M¨orsch 2.8 Le diagramme du moment r´esistant . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Le diagramme de l’effort tranchant r´esistant . . . . . . . . . 2.10 Contrˆole de l’adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites ultimes 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hypoth`eses du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mat´eriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 B´eton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Acier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Le stress block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Champs de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Probl`eme de v´erification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Probl`eme de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Flexion compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Probl`eme de v´erification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Probl`eme de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Flexion compos´ee pour une section de forme quelconque . . . . . 3.11 Dimensions des poutres pour l’analyse structurale . . . . . . . . . 3.11.1 Largeur participante de la table de compression . . . . . . 3.11.2 Port´ee utile des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.1 El´ements pour lesquels aucune d’armature d’effort tranchant n’est requise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.2 Calcul de l’armature pour l’effort tranchant . . . . . . . . 3.12.3 Cisaillement entre la nervure et la table de compression des sections en T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 Poin¸connement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1 Calcul de la r´esistance au poin¸connement . . . . . . . . . . iv
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61 62 69 70 70 73 74 74 76 80 82 82
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85 85 87 88 88 91 93 94 95 98 99 99 102 103 103 105 106 109 109 110 111
. 113 . 114 . 117 . 119 . 120
3.13.2 R´esistance au poin¸connement sans armatures . . . . . . . . 121 3.13.3 R´esistance au poin¸connement avec armatures . . . . . . . . 122 4 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites de service 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 ELS de limitation des contraintes . . . . . . . . . . 4.3 ELS de fissuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Sections minimales d’armature . . . . . . . . 4.3.2 Maˆıtrise de la fissuration sans calcul direct . 4.3.3 Calcul de l’ouverture des fissures . . . . . . 4.4 ELS de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Limitation du rapport port´ee/hauteur . . . 4.4.2 V´erification des fl`eches par le calcul . . . . . 5 Dispositions constructives 5.1 Enrobage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Armatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Espacement des barres . . . . . . . . . . . 5.2.2 Cintrage des barres . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Ancrage des barres longitudinales . . . . . 5.2.4 Ancrage des armatures d’effort tranchant . 5.2.5 Recouvrements . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Sections min et max d’armature . . . . . . 5.3.2 Autres dispositions constructives . . . . . 5.3.3 Epure d’arrˆet des armatures longitudinales 5.3.4 Ancrage des armatures inf´erieures . . . . . 5.3.5 Armatures d’effort tranchant . . . . . . . . 5.4 Poteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Armatures longitudinales . . . . . . . . . . 5.4.2 Armatures transversales . . . . . . . . . .
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Chapitre 1 Organisation structurale d’un bˆ atiment 1.1
Introduction
Dans cette partie, on analyse la mani`ere dont un bˆatiment est constitu´e. On ne s’int´eresse ici qu’`a sa fonction de structure r´esistant aux actions, donc `a quelles sont les parties fondamentales qui le composent en tant que structure apte `a assurer l’´equilibre pour toute distribution d’actions possibles et a` comment ces parties s’organisent, travaillent et doivent ˆetre distribu´ees dans le corps du bˆatiment. L’objet fondamental de cette partie du cours est constitu´ee par les bˆatiment a` structure en ossature portante. On ne s’int´eressera pas, donc, aux structures constitu´ees de murs portants, comme les bˆatiments en briques et plus en g´en´erale en ma¸connerie ; toutefois, on introduira rapidement les bˆatiments en b´eton arm´e a` structure a` tunnel, correspondant moderne des structures en ma¸connerie. Une distinction fondamentale est faite, pour chaque partie, entre structures en b´eton arm´e et structures en acier ; quelques notions de base seront donn´ees aussi sur les charpentes en bois les plus communes pour ce qui concerne les structures horizontales et de couverture.
1.2
Composantes structurales d’un bˆ atiment
La structure d’un bˆatiment, voir Fig. 1.1, est form´e par quatre parties fondamentales, indispensables pour une correcte organisation structurale de l’´edifice : – fondations – structures horizontales et de couverture – structures verticales – contreventements 1
Figure 1.1: Sch´emas des parties structurales fondamentales d’un bˆatiment.
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Les structures horizontales servent a` r´ealiser des surfaces qui accueillent les diverses fonctions d’utilisation du bˆatiment. Elles se composent de poutres et planchers, ces derniers s’appuyant sur les poutres. Du point de vue structural, leur fonction est celle de recueillir les actions verticales dues aux charges appliqu´ees (poids propres, port´es et d’utilisation) et les ramener aux structures verticales. Dans la plupart des cas, les planchers sont des structures en b´eton arm´e ou en b´eton arm´e pr´econtraint, mais, essentiellement pour les charpentes m´etalliques, il est possible aussi de r´ealiser des planchers avec structure en acier (tˆole ondul´ee) ou mixte (acier + b´eton arm´e), voir Sec. 1.4 Les structures de couverture servent aussi `a couvrir le bˆatiment pour le prot´eger des intemp´eries (pluie et neige) ; normalement elles sont des structures semblables aux structures horizontales, mais elles peuvent ˆetre inclin´ees. Dans les cas des structures en acier ou en bois, des structure sp´eciales de couverture, les fermes, peuvent ˆetre employ´ees. Les structures verticales servent a` recueillir les charges verticales transmises par les poutres des structures horizontales. Elles se composent de piliers (structures en b´eton arm´e), colonnes (structures en acier) ou murs porteurs (structures en b´eton arm´e par murs porteurs ou en ma¸connerie), voir Sec. 1.5. L’op´eration de calcul qui consiste a` calculer les forces qui, en provenance des structures horizontales, sollicitent les structures verticales, ´etage par ´etage, s’appelle la descente des charges. Cette op´eration peut se faire de mani`ere approxim´ee, en utilisant des crit`eres bas´ees sur la distribution et orientation des planchers et poutres, ou bien par un calcul global, a` travers un mod`ele num´erique global du bˆatiment (m´ethode des ´el´ements finis). Les fondations sont les structures aptes a` transmettre au sol les charges qui arrivent, par descente des charges, en bas des piliers, colonnes ou murs. Les fondations sont toujours des structures en b´eton arm´e et elles sont n´ecessaires parce que la r´esistance m´ecanique des sols est toujours nettement inf´erieure `a celle du mat´eriau qui compose la structure, b´eton, acier ou ma¸connerie. Donc, pour ´eviter le rupture du sol, il est n´ecessaire d’augmenter la surface de contact entre structure verticale et sol : c’est le rˆole des fondations, qui op`erent donc toujours une transition entre la surface de la section de la structure verticale, par exemple un pilier, et la surface de contact avec le sol, qui est nettement plus grande. Pour fixer un ordre de grandeur, si l’on consid`ere que le b´eton arm´e a une compression admissible de l’ordre de 100 daN/cm2 , et qu’un sol moyen a une r´esistance admissible a` la compression de 1 daN/cm2 , on peut consid´erer que, en moyenne, la surface de contact avec le sol doit ˆetre 100 fois plus grande de la section d’un poteau. Les fondations peuvent ˆetre de diff´erentes typologies, cela d´epend en grande partie des caract´eristiques du sol, de la g´eom´etrie de la charpente, de n´ecessit´es architecturales particuli`eres. Tout ¸ca est consid´er´e dans la Sec. 1.3. 3
Les contreventements sont des structures n´ecessaires d’un cˆot´e, `a faire face aux actions horizontales (principalement le vent, d’o` u leur nom, ou en zone sismique les actions horizontale d’un s´eisme), de l’autre cˆot´e a` assurer la stabilit´e globale, au sens m´ecanique, de la structure. Les contreventements sont donc les structures qui assurent la rigidit´e du bˆatiment aux d´eplacements horizontaux. Ils peuvent ˆetre r´ealis´es de diff´erentes mani`eres, cela d´epend beaucoup de la typologie de la structure (si elle est en b´eton arm´e ou en acier ou en ma¸connerie) et de l’architecture de l’´edifice, voir Sec. 1.6. N´eanmoins, leur pr´esence est indispensable et elle doit ˆetre particuli`erement soign´ee lors de la conception globale de l’´edifice : leur dimensionnement et surtout leur nombre et disposition g´eom´etrique dans le plan horizontal sont d’une extrˆeme importance pour le bon fonctionnement structural du bˆatiment, bref, pour sa s´ecurit´e, voir Sec. 1.6.3 Nous ne nous occuperons pas ici du calcul de ces structures, ce qui est fait apr`es dans ce document par certaines d’entre elles, ailleurs dans ce module pour d’autres, mais seulement de leur typologie, conformation, distribution spatiale et usage correct.
1.3
Typologies courantes des fondations
Le transfert des charges, essentiellement celles verticales, de la structure au sol peut se faire de diff´erentes mani`eres, qui correspondent a` deux grandes cat´egories des structures de fondation, qui a` leur tour se composent de diff´erentes typologies de fondation : – fondations superficielles – isol´ees : semelles – lin´eaires : poutres – surfaciques : radiers – fondations profondes – pieux for´es – pieux battus – micropieux – puits
1.3.1
Fondations superficielles
Une fondation superficielle transmet la charge au sol essentiellement par contrainte normale a` la surface de contact fondation–sol. Les fondations superficielles ont la caract´eristique d’ˆetre plac´ees a` une profondeur relativement faible, qui d´epend essentiellement de l’architecture du bˆatiment (par exemple de la pr´esence ou non d’´etages souterrains) et de la constitution du sol. En fait, la partie la plus 4
superficielles du sol, de caract´eristiques m´ecaniques normalement tr`es m´ediocres, est enlev´ee, pour atteindre un niveau o` u les couches de terrain ont une r´esistance m´ecanique suffisante. Les fondations isol´ees, souvent appel´ees semelles, sont utilis´ees pour transmettre la charge d’un poteau au sol, lorsque la charge n’est pas excessive et lorsque la distance entre poteaux est relativement grande (sup´erieure a` environ 6-7 m). En cas contraire, il vaut mieux faire appel a` des fondations lin´eaires. Des formes typiques de semelles isol´ees sont repr´esent´ees en Fig. 1.2, avec un sch´ema commun d’armature. La semelle doit ˆetre v´erifi´ee non seulement par rapport a` la r´esistance des sections arm´ees, et normalement cela se fait a` l’aide de mod`eles de calcul a` la rupture, ou a` un ´etat limite ´equivalent, mais aussi a` l’´equilibre rigide, en particulier au renversement et au glissement. La r´esistance au glissement, en particulier, est confi´ee au seul frottement entre la semelle et le sol.
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Figure 1.2: Formes et armature typiques d’une semelle isol´ee
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Un autre type de v´erification est n´ecessaire, celle-ci ne concernant pas la structure, mais le sol. En fait, il y a deux ph´enom`enes m´ecaniques qui doivent toujours ˆetre contrˆol´es dans une fondation : la d´eformation (enfoncement de la fondation) et la rupture du sol. La d´eformation du sol est le ph´enom`ene classique qui affecte tout solide soumis a` des actions ; en particulier, le sol est soumis a` des actions de contact, en pr´evalence normales a` la surface de contact. Ces actions, provoquent une d´eformation ´elastique et, plus importante, une d´eformation retard´ee, de nature visqueuse (le sol peut ˆetre mod´elis´e comme un solide visco-´elasto-plastique). L’´evolution des d´eformations dans le temps, donc, doit ˆetre v´erifi´ee surtout pour les ouvrages importants. Cette ´evolution d´epend essentiellement de l’histoire de chargement et surtout de la composition stratigraphique du sol (rarement le sol est un milieu homog`ene ; par sa nature mˆeme, normalement il est h´et´erog`ene et stratifi´e, par couches s´edimentaires successives). Les d´eformations visqueuses sont particuli`erement insidieuses, parce qu’elles se produisent lentement, elles interviennent mˆeme apr`es le compl`etement de l’ouvrage, pendant sa vie et son utilisation, et surtout les tassements du sol peuvent se r´ev´eler critiques d’un point de vue statique lorsque ces tassements sont, comme c’est normalement le cas pour les fondations isol´ees, diff´erentiels, `a savoir diff´erents de semelle a` semelle. Ceci peut provoquer, pour les structures isostatiques, comme c’est souvent les cas pour les hangars industriels construit avec des sch´emas statiques simples, souvent utilis´es pour les technologies pr´efabriqu´ees, des importants probl`emes d’utilisation de la structure a` cause des d´eformations et d´eplacements qui se produisent, tandis que pour les structures hyperstatiques, ces tassements diff´erentiels provoquent surtout la naissance d’´etats de contraintes auto-´equilibr´ees dans la structure, qui peuvent ˆetre consid´erables et mˆeme amener a` la ruine, totale ou partielle, de la structure. De son cˆot´e, la rupture d’une fondation est un ph´enom`ene totalement diff´erent : elle correspond `a la rupture m´ecanique du sol sous la fondation, ce qui engendre un caract´eristique m´ecanisme de ruine qui se r´ealise par une rotation, souvent assez rapide (quelques heures), de la structure plus une partie du sol, sur une surface courbe qui en th´eorie est un arc de spirale logarithmique, Fig. 1.3. Ce ph´enom`ene est toujours caus´e par un exc`es de charge verticale, mais ce qui est important est aussi la rapidit´e de chargement : une trop grande rapidit´e de chargement ne permet pas `a l’eau pr´esente dans le sol de s’´evacuer sous le poids appliqu´e et ceci favorise le ph´enom`ene de la rupture. De ce fait, certaines structures sont particuli`erement sensibles a` ce ph´enom`ene (typiquement, les r´eservoirs et les silos, Fig. 1.4). Dans certains cas, il y a interaction entre un ph´enom`ene de rupture et un ph´enom`ene de tassement ; ceci se produit surtout lorsque le temps de construction, et donc d’application des charges sur le sol, est long, ce qui donne le temps au sol 6
Figure 1.3: M´ecanisme de rupture d’une fondation selon Terzaghi.
Figure 1.4: Le desastre du silo de Transcona, Canada.
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d’´evacuer l’eau, mais pas d’arrˆeter le mouvement. En Fig. 1.5 un cas tr`es c´el`ebre de ce type de ph´enom`ene.
Figure 1.5: La Tour de Pise : l’exemple le plus c´el`ebre d’un probl`eme de fondations.
Les fondations lin´eaires sont la g´en´eralisation de la semelle isol´ee (elles sont parfois appel´ees aussi semelles filantes). On r´ealise, entre les poteaux, une poutre avec semelle pour le contact avec le sol. Cette poutre, normalement calcul´ee comme poutre sur sol ´elastique (connue aussi sous le nom de poutre sur sol `a la Winkler), transmets au sol, tout au long de sa longueur, les forces verticales en provenance des poteaux. La pression de contact d´epend de la distribution des charges entre les poteaux, de la g´eom´etrie de la poutre, du coefficient de Winkler (caract´eristique ´elastique du sol), et surtout de la rigidit´e de la poutre. Cette pression de contact change donc le long de la poutre, normalement elle est plus forte sous les poteaux et plus faible `a mi-parcours entre deux poteaux cons´ecutifs, `a cause de la d´eformation de la poutre. L’armature de la poutre est de deux types : d’abord, l’armature principale de la poutre, `a la flexion longitudinale et `a l’effort tranchant. Du moment que la charge repartie provient du bas, par le contact avec le sol, celles-ci ont une disposition typique, invers´ee par rapport aux poutres ordinaires. Ensuite, il faut disposer aussi l’armature de la semelle, en direction transversale a` l’axe de la poutre, pour r´esister `a la flexion de la semelle. En Fig. 1.6 on peut voir une typique g´eom´etrie et armature d’une poutre de fondation. 8
Les semelles filantes sont utilis´ees aussi comme fondation pour les murs ; dans ce cas, les armatures longitudinales a` la flexion et a` l’effort tranchant ne sont pas n´ecessaires, ´evidemment, mˆeme si un minimum d’acier est quand mˆeme mis en place le long de l’axe, dans la partie inf´erieure de la poutre, rien que pour des raisons technologiques (constitution de la cage d’armature).
FONDAZIONI SUPERFICIALI -- Trave rovescia
FONDAZIONI SUPERFICIALI -- Trave rovescia
Figure 1.6: Fondations lin´eaires : g´eom´etrie et armature d’une poutre de fondation.
Le dernier type de fondations superficielles est le radier ; il s’agit d’une dalle arm´ee qui r´ealise un contact surfacique tr`es ´etendu, normalement couvrant l’enti`ere 9
surface horizontale, du bˆatiment. Sa r´ealisation est tr`es li´ee `a l’architecture du bˆatiment : en fait, en cas de bˆatiments avec ´etages en sous-sol, la mani`ere la plus naturelle de construire les fondations est le radier, qui va ainsi constituer aussi le plan de l’´etage en sous-sol le plus bas. Evidemment, d’un point de vue m´ecanique l’avantage d’un radier est le fait que, grˆace a` la grande surface de contact, les contraintes dans le sol sont normalement assez petites, et donc cette solution peut aussi ˆetre utilis´ee en cas de sols de faible consistance m´ecanique. Un autre avantage de cette solution, en cas d’´etages en sous-sol, est que la pression de contact sur le sol souvent est inf´erieur a` celle due au poids du terrain enlev´e pour r´ealiser les ´etages souterrains. De ce fait, tout tassement du terrain ou rupture de la fondation est impossible. Par contre, en phase de construction on peut avoir, pour des grandes profondeurs, le ph´enom`ene de la rupture inverse du terrain (le terrain au niveau du sol de pose de la fondation se casse par exc`es de chargement du au terrain lat´eral), ou, ph´enom`ene encore plus fr´equent et extrˆemement dangereux, on peut avoir, en cas de remont´ee de la nappe phr´eatique suite `a des pluies intenses et rapides, la flottaison de la structure, caus´ee par la pouss´ee d’Archim`ede. En phase de construction, il faut donc prendre le soin de lester le radier pour ´eviter ce genre de ph´enom`enes. En Fig. 1.7 on peut voir des typiques fondations sur radier ; l’utilisation d’un radier nervur´e est int´eressante en cas de fortes charges verticales, pour limiter les d´eformations. Toutefois, cette solution, `a cause de la complication de construction et donc de son coˆ ut, est a` ´eviter si possible, et c’est ´eventuellement pr´ef´erable d’augmenter l’´epaisseur du radier. Le mod`ele de calcul statique du radier est celui d’une plaque sur sol a` la Winkler, sollicit´ee en correspondance des poteaux.
1.3.2
Fondations profondes
Les fondations profondes sont n´ecessaires a` chaque fois que les caract´eristiques m´ecaniques du sol sont insuffisantes a` faire face aux charges verticales transmises par les poteaux. C’est toujours les cas des piles des ponts, des tours, des gratteciels mais aussi des bˆatiments de moyennes-grandes dimensions lorsque le sol a des caract´eristiques m´ecaniques m´ediocres. Les fondations profondes les plus couramment utilis´ees sont les pieux. Ceuxci appartiennent a` deux grandes cat´egories : les pieux for´es et les pieux battus. Les pieux battus sont ceux normalement utilis´es dans les bˆatiments courants, car moins chers et parce-qu’ils ont l’avantage de consolider le sol. Les pieux for´es, de dimensions sup´erieures `a 40 cm de diam`etre, sont utilis´es pour des constructions de grande envergure : ponts, tours etc. Les pieux peuvent avoir deux types tr`es diff´erents de fonctionnement, Fig. 1.8 : – la charge est transmise au sol essentiellement par frottement lat´eral ; c’est pratiquement toujours le cas pour les pieux battus, qui ont normalement un bon coefficient de frottement et qui, par tassement lat´eral du sol, peuvent en10
Figure 1.7: Radiers de fondation : sch´emas et armature.
Figure 1.8: Mod`eles de fonctionnement des pieux.
11
gendrer des forces de frottement importantes ; la longueur des pieux n’exc`ede jamais les 12 m, pour des raisons de transport (ces pieux sont pr´efabriqu´es) ; leur nombre est calcul´e en fonction de la charge a` transmettre ; – la charge est transmise par la pointe du pieux a` une couche rocheuse souterraine ; c’est presque toujours le cas des pieux for´es, qui sont assimilables a` des colonnes souterraines ; ´evidemment, la profondeur du pieux d´epend de la profondeur de la couche rocheuse souterraine (on peut arriver a` plus de 50 m de profondeur dans le forage des pieux). En Fig. 1.9 on montre diff´erents types de pieux battus ; ´evidemment, leur usage est li´e aussi a` la possibilit´e de battre le pieu, et ceci d´epend essentiellement de deux choses : le type de sol (dans les sols rocheux et dans certains sables on ne peut pas battre un pieu) et la pr´esence de bˆatiments existants pr`es du chantier. En fait, battre les pieux peux provoquer des d´egˆats aux ´edifices avoisinants le chantier, et ceci doit ˆetre pris en consid´eration et parfois peut guider le choix vers les pieux for´es, plus chers mais qui provoquent moins de vibrations et de probl`emes lors de leur mise en oeuvre.
Figure 1.9: Types de pieux battus.
12
En Fig. 1.10 on peu voir certains types de pieux for´es ; il existe diff´erentes technologies pour forer un pieu, et cela affecte la capacit´e portante du pieu, surtout pour la partie confi´ee au frottement lat´eral. Dans tous les cas, le pieu est arm´e avec des barres en acier. Les diam`etres courants vont de 40 a` 120 cm.
Figure 1.10: Types de pieux for´es.
La Fig. 1.11 montre des sch´emas de disposition de pieux utilis´es avec des semelles ou des poutres de fondation. Les micropieux, Fig. 1.12 sont des pieux for´es de petites dimensions (entre 80 et 250 mm), avec une armature constitu´ee le plus souvent d’un tube en acier. Ils sont utilis´es pour renforcer des fondations existantes qui montrent des signes 13
Figure 1.11: Types de disposition des pieux.
de faiblesse ou lorsqu’il faut renforcer les fondations d’un bˆatiment sur lequel les charges vont augmenter `a la suite d’interventions de restructuration (par exemple par ajout d’autres ´etages). Leur utilisation est tr`es fr´equente dans des circonstances de ce genre, mais ils peuvent ˆetre utilis´es aussi dans une construction nouvelle. Leur avantage est la souplesse de mise en oeuvre (ils peuvent ˆetre plac´es dans une direction quelconque, non seulement verticale, et la machine de perforation du sol est de dimensions relativement petites, ce qui permet son usage dans des structures d´ej`a existantes) et leur coˆ ut, plus faible par rapport `a celui des autres pieux for´es.
Finalement, les puits de fondation, Fig. 1.13, sont des structures de grandes dimensions, toujours creus´ees, utilis´ees pour faire face `a des charge tr`es importantes, comme c’est le cas dans les ponts, certaines tours etc. Normalement, les puits de fondations sont utilis´es pour atteindre une couche rocheuse de bonnes propri´et´es m´ecaniques, sur laquelle le puits va s’appuyer et transf´erer la charge verticale. 14
Figure 1.12: Technologie des micropieux.
15
Per morenici; la complessità delle problematiche dell’opera, il dimensionamenreti di spritz-beton dello spessore di 20 cm armato con doppia rete depositi to delle fondazioni è stato preceduto da un’estesa campagna di indaelettrosaldata. Per il corpo spalla, impiantato in sommità del fusto caaccumuli di frana stabilizzati; gini e dall’installazione di un sistema di monitoraggio. vo, si è prevista una configurazione semi-scatolare cava, con setti ir! coltri detritiche; rigidenti, in modo da minimizzare l’entità delle masse “sospese” e del! alti livelli di falda, prossimi al piano campagna nella parte mediaIl viadotto Casaglia, spalle lato Bologna, sull’Autostrada A1 le relative forze di inerzia indotte dalle azioni sismiche. na e al piede del versante; Milano-Napoli: l’adeguamento del tratto appenninico tra Il carico imposto dal rilevato induce dei cedimenti in grado di inne! entità deiSasso carichiMarconi (riferiti allo SLE: carico verticale = 68.000 kN; tae Barberino di Mugello scare fenomeni di attrito negativo. In sostanza, dove il cedimento del glio = 3.600 momento = 152.000 kNm); spalle lato Bologna, innestate nel poderoso rilevato artificiale (H Per lekN; terreno è maggiore del cedimento della fondazione, si ha l’inversione m) coltre realizzato tra il viadotto l’imbocco della galleria di delle forze di attrito, che possono determinare carichi assiali addizio! presenza>di30 una di terreno dello Casaglia spessoree di 10-15 m in conè stata instabilità; prevista una complessa configurazione del tutto originale nali per il pozzo. Per limitare tale fenomeno si è scelto di tenere la strutdizioni diBase, potenziale che prevede una fondazione profonda a pozzo sulla quale è realizzato tura del fusto completamente isolata dal circostante rilevato per mez! scelta progettuale di incrementare i coefficienti di sicurezza del verun plinto in c.a. da cui si diparte il fusto cilindrico cavo dell’elevazione. zo di una cuffia cilindrica in c.a., concentrica al fusto stesso e comsante attraverso interventi di drenaggio profondo; pletamente esterna ad esso alla relativa fondazione. ! difficoltà a creare piste e aree di lavoro per la realizzazione delle Si è inoltre esclusa qualunque interazione tra il corpo spalla e il retrofondazioni. stante rilevato autostradale in terra armata, costruito in sommità del In relazione a tali problematiche le fondazioni del viadotto sono state rilevato di Poggiolino. Questo prevedendo di rendere auto-stabile il previste a pozzo; la particolarità risiede nel fatto che i pozzi hanno sia fronte di quest’ultimo prospiciente al corpo spalla, il quale a sua volta si affaccia verso il rilevato con un fronte aperto e privo di rinterro. La la funzione di trasferire i carichi ai terreni di fondazione stabili sia di percorribilità stradale all’interfaccia tra rilevato e spalla è garantita da consentire la realizzazione al loro interno di tre-quattro ordini di dreni una soletta flottante di transizione in c.a.. suborizzontali da 4”, della lunghezza media di 50 m. Il pozzo di masIn relazione agli elevati carichi in gioco (a testa pozzo N = 107.510 kN, sima lunghezza raggiunge la profondità di 41 m. La parte sommitale M = 85.646 kNm, T = 756 kN (SLU) N = 86.295 kN, M = 519.045 kNm, del pozzo, sino alla profondità di 12 m da testa pozzo, è costituita da T = 19.764 kN (Sisma)) e all’entità dei cedimenti attesi e dei possibiuna coronella del diametro 13,20 m, realizzata con micropali (diameli spostamenti orizzontali, particolare attenzione è stata rivolta alla sceltro di perforazione di 220,00 mm, diametro di armatura di 168,30 mm, ta delle apparecchiature di appoggio (tipo multidirezionale con piastra spessore di 12,50 mm, interasse di 400,00 mm); nella parte inferiore di scorrimento dimensionata in modo da permettere ampi spostamenti è stata realizzata una doppia coronella in jet-grouting sino alla masorizzontali in tutte le direzioni dell’ordine di 50÷60 cm) e all’individuazione di accorgimenti costruttivi tali da consentire alla struttura di sima profondità del pozzo. Sono state realizzate colonne del diametro assorbire cedimenti decimetrici, per esempio, gli appoggi sono stati di 1.200 mm, con la tecnica bi-fluido. Le colonne sono armate con ardotati di spessori a strati di lamiera, collegati mediante bullonatura, in matura tubolare. modo tale da poter intervenire per modificare l’altezza degli stessi in Nella configurazione di esercizio finale i pozzi, nei primi 20 m sono cafunzione dell’entità dei cedimenti. vi con diametro interno di 3,00 m al fine di consentire l’ispezionabilità dei dreni, che scaricano a gravità attraverso perforazioni dal pozzo verLa proposta del viadotto sull’Adda: il collegamento Figura 5 - La sezione verticale del pozzo progetto del viadotto Verrand so i sistemi di raccolta posizionati sul versante. autostradale di connessione tra le dicittà di Brescia e Milano ! !
Figura 7 - La sezione longitudinale della spalla Bologna del viadotto Casaglia
Al fine di poter realizzare all’asciutto gli scavi sotto falda per l’esecuzione dei plinti di fondazione di pile in terreni sabbiosi fini mediamente addensati (NSPT = 30-40 colpi/piede) è prevista la realizzazione di una coronella esterna mediante pannelli realizzati con la tecnologia “cutter soil mixing”. La tecnologia consiste nel miscelare terreno in sito e cemento attraverso due set di ruote fresanti che girano su un’asse orizzontale per produrre pannelli rettangolari. Nel caso specifico, è prevista l’adozione di pannelli con sezione 2,20x0,80 m della lunghezza di 10 m, da quota intradosso plinto, e un trattamento dei terreni all’interno della coronella mediante iniezioni con cementi microfini eseguite da tubi in VTR o PVC valvolati. Questo trattamento, oltre alla funzione impermeabilizzante, unitamente all’esecuzione di alcuni pannelli di CSM a raggiera interni ha anche la funzione di aumentare il modulo di deformazione medio al fine del controllo dei cedimenti della fondazione. La configurazione della pila tipo e della fondazione della singola via di corsa sono riportate nelle Figure 8 e 9. La lunghezza dei trattamenti è stata definita in modo tale da interessare il solo primo strato di terreno caratterizzato da ridotti moduli di deformabilità rispetto alle sottostanti formazioni riscontrabili oltre la profondità di circa 10 m da quota intradosso fondazione. Figure 6A e 6B - Il varo dell’impalcato e lo scavo
del pozzo del viadotto Verrand 134
STRADE & AUTOSTRADE 4-2008
STRADE & AUTOSTRADE 4-2008
Figure 1.13: Puits de fondation. 16
133
1.4 1.4.1
Types de structures horizontales et de couverture Structures en acier
Les structures en acier sont compos´ees de poutres profil´ees ou compos´ees. Les premi`eres, sont des poutres produites et mises dans le commerce suivant des dimensions standardis´ees et connues. Les deuxi`emes, con¸cues pour un emploi sp´ecifique, sont form´ees par des sections commerciales dispos´ees selon un sch´ema statique visant a` r´ealiser une poutre ou une colonne. Des exemples typiques de sections m´etalliques commerciales ou compos´ees sont donn´ees en Fig. 1.14. Les constructions en acier permettent d’obtenir des solutions tr`es l´eg`eres, mais n´ecessitent d’une attention particuli`ere dans la conception et mise en oeuvre. Un probl`eme typique de ces structures est celui des unions. Les trois types fondamentaux sont les unions rivet´ees, boulonn´ees et soud´ees. Si les unions rivet´ees sont pratiquement abandonn´ees aujourd’hui, les unions soud´ees sont toujours a` privil´egier, car elles sont tr`es fiables et permettent d’´epargner du mat´eriau. Toutefois, l’ex´ecution de soudure en chantier est souvent source de probl`emes et surtout le contrˆole de qualit´e du soudage pose probl`eme. C’est pourquoi, dans le constructions en acier on pr´ef`ere organiser les pi`eces de sorte a` ex´ecuter en atelier le maximum de soudures possibles, de mani`ere compatible avec le transport et la mise en oeuvre, et on r´eserve aux unions boulonn´ees le reste, celles qui doivent ˆetre faites en chantier pour assembler la structure. Tout ¸ca affecte consid´erablement aussi le sch´ema statique de la structure. En fait, si une union soud´ee est, de par sa mˆeme nature, un encastrement parfait entre les deux parties, r´ealiser un encastrement boulonn´e est compliqu´e, de mise en oeuvre difficile et ch`ere. C’est pourquoi, de pr´ef´erence on r´ealise des joints boulonn´es qui sont des rotules (mˆeme si imparfaites, elles sont mod´elis´ees comme des rotules), tandis que les unions soud´ees sont de pr´ef´erence des encastrements parfaits. En Fig. 1.15 on montre des exemples typiques d’unions soud´ees et boulonn´ees entre colonne et poutre ou entre poutre principale et secondaire. En Fig. 1.16 on voit des unions entre profil´es pour la r´ealisation de treillis. En Fig. 1.17 on montre des typiques solutions pour la liaison entre une colonne et sa fondation. Ls planchers en acier sont normalement r´ealis´es en appuyant, avec des points des soudure pour la fixation, de la tˆole ondul´ee sur les poutres en acier. De telle mani`ere, on r´ealise un plancher tr`es l´eger, qui peut avoir, moyennant une hauteur de la tˆole suffisamment grande, de port´ees consid´erables (mˆeme sup´erieures `a 10 m). La solution la plus utilis´ee, toutefois, est celle d’un plancher `a structure mixte 17
Figure 1.14: Sections simples et compos´ees pour poutres et planchers en acier. 18
Figure 1.15: Types d’unions entre poutre et colonne et entre poutre principale et poutre secondaire.
Figure 1.16: Types d’unions entre profil´es pour la r´ealisation de treillis.
19
Figure 1.17: Types d’unions entre colonne et fondation.
acier-b´eton arm´e, Fig. 1.18 : au dessus de la tˆole ondul´ee on coule une dalle en b´eton, souvent du b´eton l´eger, arm´ee par une ou deux couches de treillis d’acier. De cette mani`ere, on solidarise parfaitement la tˆole, les poutres et le b´eton, on obtient une structure mixte de forte capacit´e portante et on a le plan horizontal du plancher sans besoin d’ajouter d’autres ´el´ements secondaires. Des solutions, aujourd’hui abandonn´ees, de plancher mixte, utilisant une structure en acier et des ´el´ements en terre-cuite (briques ou blocs sp´ecifiques), sont repr´esent´ees en Fig. 1.19. Ces solutions permettaient de r´ealiser de planchers de forte capacit´e portante (la premi`ere solution en haut a` gauche est celle qui a ´et´e utilis´ee, entre autres, pour couvrir une grande partie des tunnels et stations du m´etro parisien). En ce qui concerne les structures de couverture en acier, des solutions classiques, a` l’origine propres aux structures en bois, sont les fermes, voir Fig. 1.20. Un exemple en cours de construction est en fig. 1.21. La couverture de hangars et halls en acier se fait souvent par des treillis avec courants sup´erieurs inclin´es, Fig. 1.22. L’acier est un mat´eriau qui permet des solutions tr`es hardies, innovantes, ´el´egantes ; en Fig. 1.23 un exemple ancien et c´el`ebre. 20
Figure 1.18: Planchers en structure mixte acier–b´eton arm´e.
Figure 1.19: Planchers mixtes acier-briques-b´eton.
21
Figure 1.20: Types classiques de fermes en acier.
22
Figure 1.21: Exemple de couvertures par fermes.
Figure 1.22: Exemple de couvertures par treillis avec courants sup´erieurs inclin´es.
23
Figure 1.23: Une couverture en acier ´el´egante et c´el`ebre : le Grand Palais.
1.4.2
Structures en b´ eton arm´ e
Les structures en b´eton arm´e (b.a.) ont la caract´eristique d’ˆetre monolithe. En fait, la r´ealisation d’un ´etage en b.a. se fait normalement par coulage du b´eton dans des coffres de l’entier ´etage, poutres, dalles, planchers, Fig. 1.24. A la fin, le r´esultat est un ensemble monolithe ; une cons´equence de ¸ca, d’un point de vue statique, est le fait que les structures en b.a. ont normalement un fort degr´e d’hyperstatisme, ou, mieux, que la liaison typique et naturelle dans ces structures est l’encastrement : r´ealiser des liaisons par rotules, dans le b.a., est difficile et cher. Le rapport entre poids et r´esistance ou poids et rigidit´e est moins favorable pour le b.a. que pour l’acier, ce qui a comme cons´equence des structures plus lourdes que celles en acier. De ce fait, une grande attention a ´et´e mise dans la recherche de solutions l´eg`eres et ´economiques pour les planchers en b.a. L’id´ee est celle de ne pas couler des dalles massives, mais plutˆot d’ins´erer dans ces dalles des ´el´ements l´egers et a` bas prix. Le mat´eriaux que tout naturellement r´epond `a ces requis est la terre cuite. Il existe donc toute une s´erie d’´el´ements en terre cuite, polystyr`ene, b´eton de gravillons ou bois agglom´er´e, Fig. 1.25, les entrevous ou hourdis, qui donnent de la l´eg`eret´e a` la structure et qui s’´epousent parfaitement, par leur forme, avec le reste de la structure, compos´ee de poutrelles pr´efabriqu´ees, en b.a. ou en b.a. pr´econtraint, ou de pr´edalles, Fig. 1.25. Le coulage du b´eton de compression, compl`ete la structure et la rend monolithe, Fig. 1.26. Les poutrelles ou les pr´edalles, qui constituent la structure portante du plancher en phase de construction, forment aussi la structure horizontale secondaire ; elles s’appuient sur les poutres principales, port´ees par les piliers, Fig. 1.27. Les charges verticales sont donc directement support´ees par le plancher, qui ensuite les transmets aux poutres principales. La section de calcul d’un plancher et d’une poutre est d´etermin´ee par sa g´eom´etrie, Fig. 1.28. En Fig. 1.29 on montre un cas typique de poutre a` section 24
Figure 1.24: Construction d’un plancher pr´efabriqu´e en b.a. avec coulage monolithe de poutres et parties pr´efabriqu´ees.
25
Il progetto esecutivo degli edifici in c.a. CAPITOLO 2 – ASPETTI TECNICI DI PROGETTO
e cap 2 - 28 f
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Rispetto alla soluzione precedente, in questo caso la soluzione non ha caratteristiche di autoportanza. L’impiego di una simile tipologia è particolarmente indicata se vi è necessità di un elevato isolamento termo-acustico tra due piani e resistenza al fuoco. Anche questa tipologia è caratterizzata da una positiva leggerezza strutturale.
2.7.2.3 Elementi di alleggerimento in EPS Altra tipologia presente sul mercato è la pignatta monoblocco in Polistirene Espanso Sinterizzato (EPS) a celle chiuse di dimensione 30x40 cm ed altezza 16-20 cm. Può essere impiegata in alternativa al laterizio per solaio con travetti a traliccio o precompressi.
Esempio di solaio Bovèda ®
Le caratteristiche sono un alto potere coibente, peso molto contenuto (circa 2,00 kg/mq), buona resistenza a compressione dell’elemento, elementi autoestinguenti. Nell’elemento sono presenti dei fori per il passaggio di cavi e tubazioni.
2.7.2.4 Solaio a lastre in cemento armato alleggerite ad armatura lenta Nota: immagini tratte dalle pubblicazioni ASSOBETON - Sezione Solai e Doppia Lastra.
Plancher armé con soletta collaborante inferiore e superiore) viene generalmente La tipologia con sezioneenadbéton ! (nervatura utilizzata:
!
per motivi statici, qualora sia necessaria la resistenza a Momento negativo (es.: lunghi sbalzi); Portfolio per motivi di protezione dell’intradosso, qualora siano da temersi fenomeni di sfondellamento degli alleggerimenti (solai soggetti a forti e cicliche differenze termiche tra intradosso ed estradosso) o per garantire una protezione al fuoco. Se non confezionata tradizionalmente col getto della lastra inferiore, successiva posa degli alleggerimenti e getto di completamento, essa trova applicazione in diversi prodotti della prefabbricazione, principalmente lastre tralicciate con alleggerimenti in genere di polistirolo.
!
Documents joints Documentation générale (PDF - 3 Mo) Poutrelles treillis sans étais (PDF - 118.8 ko) Hourdis isolants (PDF - 248.8 ko) Système coffrant (PDF - 393 ko) Certificat AFNOR - NF (PDF - 177 ko) Avis technique (PDF - 1.1 Mo) Certificat CSTBat (PDF - 308.6 ko)
Travetti con sezione a “!” (lastre “predalles”)
Figure 1.25: Entrevous, poutrelles et pr´edalles et leur disposition mutuelle. Copyright : droit d'auteur Contact. Site réalisé avec SPIP.
e cap 2 -28 f
26
Il progetto esecutivo degli edifici in c.a. CAPITOLO 2 – ASPETTI TECNICI DI PROGETTO sommario | vista precedente |
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e cap
sommario | vista precedente | e cap 2 - 31 f
Sono da evitare interruzioni del getto. Nel caso siano assolutamente necessarie, dovran 2.7.2.5 Solai a lastre alveolari precompresseeffettuate su disposizione del Direttore dei lavori soltanto nelle zone in cui sono previst Altre tipologie possibili di solai monodirezionali in c.a.sollecitazioni. sono costituite da elementi alveolari estrusi
con aitravetti precompressi, da completare con una soletta gettata in opera, simili come aspetto Solaio e funzionalità solai a tralicciati e blocchi interposti (tipo A) La soletta in calcestruzzo, quando richiesta, dovrà poi essere protetta dall'irraggiamento sola lastre ma di maggiori prestazioni statiche.
comunque dovrà essere bagnata a sufficienza per i primi giorni dopo il getto in modo da conte finale del ritiro. Le fasce piene
In prossimità degli appoggi dei solai le sollecitazioni (generalmente il Taglio) sono elevate e un’analisi accurata. Qui infatti vi è la brusca variazione della sezione resistente del solaio (da se o “I” a sezione rettangolare) e, nel caso che la sezione della nervatura risulti insufficiente, sarà aumentarla. Si possono adottare diverse modalità: !
arretramento degli alleggerimenti
Solaio con travetti tralicciati e blocchi interposti portanti (tipo B) Elementi alveolari accoppiati con travi metalliche a fondello pre-gettato
I solai alveolari costituiscono una tipologia prefabbricata di impalcati in solo calcestruzzo con vuoti (alveoli) di alleggerimento e sono generalmente ad armatura precompressa. Vengono pertanto impiegati per esigenze di grandi luci o elevati sovraccarichi consentendo spessori di solaio molto inferiori alle strutture ad armatura lenta. Il pannello è armato con sistema di pre-tensione “a fili aderenti”; la sezione precompressa è costituita dalle nervature con le solettine di intradosso e di estradosso. L'acciaio armonico di precompressione costituisce l'unica armatura della lastra alveolare che risulta pertanto priva di armatura a taglio. La resistenza al taglio La della struttura viene pertanto affidatanell'arretrare al procedura più usata consiste gli elementi di alleggerimento realizzando calcestruzzo Figure 1.26: Miseall'appoggio, en oeuvreuna d’un plancher efabriqu´e. fascia piena di pr´ calcestruzzo.
Il calcestruzzo impiegato per la costruzione delle lastre (basso rapporto acqua/cemento, Rck 55 MPa) ed i E' opportuno che lache dimensione della fascia piena non sia eccessiva ovvero compara copriferri controllati in stabilimento, la precompressione integrale della sezione impedisce la Travetti precompressi e interposte in laterizio spessore delfanno solaio. valori superiori è necessario rivedere lo spessore del solaio o la fessurazione e rallenta la velocità di carbonatazione del calcestruzzo, dellePer lastre elementi particolarmente protetti agli agenti aggressivi esterni ed al fuoco.delle nervature o il tipo di vincolo.
I banchi di getto in acciaio garantiscono, all'intradosso, una superficie perfettamente lisciaessere con bordi laterali La fascia piena deve adeguatamente armata: superiormente ed inferiormente, nel ben rifiniti, adatta ad essere lasciata a vista o direttamente verniciata.
normale alla tessitura delle nervature, dovranno essere disposte 2.7.1.5 Particolarità di progetto ed esecuzione deiquindi solai
delle armatu
Le lastre possono essere impiegate in associazione con tutti i tipi di strutture 2+2ø10) conportanti staffetradizionali chiuse ogettate a "C" indi diametro minimo ø6 e passo 25 cm, i cui bracci pe opera, prefabbricate ed in acciaio. Nel presente capitolo all'interno vengono della trave. trattate le particolarità di cui è opportuno tenere conto Le lastre hanno in testata apposite delle scanalature in numero adeguata che garantiscono il di esecuzione quanto in fase arretramento die lunghezza Direzione Lavori e alleggerimenti quindi adei pettine degli collegamento con le strutture di contorno in calcestruzzo!gettato, consentono l’assorbimento dei momenti negativi agli appoggi e degli sforzi di taglio-flessione.
della struttura.
Il solaio non deve iniziare con blocchi appoggiati direttamente sul muro parallelo nervature: si deve invece partire con un travetto o con una nervatura.
Prima del getto del calcestruzzo di completamento è necessario verificare la presenza 27 necessari per evitare successivi adattamenti. Bisognerà quindi, ad esempio, individuare le forature per il passaggio delle tubazioni, le asole di aerazione, le eventuali armature gli ancoraggi per i manufatti da inserire successivamente; prevedere smussi, scuretti, go
Scanalaturedel nella getto lastre Prima di calcestruzzo i blocchi devono essere accuratamente e abbonda affinché non assorbano l'acqua di impasto del calcestruzzo. Il getto andrà eseguito qua superficiale sarà stato assorbito e il laterizio si presenterà nella condizione di "sat e cap 2 -31 f asciutta".
Figure 1.27: Organisation d’un plancher en b.a.
28
rectangulaire. L’autre forme g´eom´etrique souvent utilis´ee est celle de la poutre en T, forme qui souvent naˆıt spontan´ement dans la structure par la collaboration `a la r´esistance de la dalle de compression.
Figure 1.28: G´eom´etries typiques des sections de poutre en b.a.
1.4.3
Structures en bois
Les structures de bois se limitent g´en´eralement aux structures de couverture et parfois aux planchers, Fig. 1.30. Les structures de couverture normalement sont les fermes, dont diff´erents types existent, Fig. 1.31, 1.32, 1.33. Anciennement, les constructions avaient souvent une enti`ere structure en bois, Fig. 1.34 ; toutefois, aujourd’hui ce type de constructions en pans de bois est abandonn´e, tandis qu’une technologie moderne, qui permet des r´ealisations hardies et de couvrir de grandes port´ees, est celle du bois lamell´e-coll´e, Fig. 1.35. Dans ce type de technologie, les poutres en bois sont assembl´ees selon une g´eom´etrie donn´ees par collage sous pression de lamelles en bois, normalement c’est du bois du sapin. Ceci permet d’obtenir un assemblage tr`es r´esistant, car les d´efauts intrins`eques au bois tendent a` ˆetre ´elimin´es. La technologie de la construction en bois a ´et´e maitris´ee depuis tr`es longtemps, avec des r´ealisations admirables et hardies, dont quelques unes ont dur´e jusqu’`a nos jours ; en Fig. 1.36 on peut voir la charpente en bois de la toiture de la Cath´edrale Notre Dame de Paris. Mise en oeuvre en 1220, cette charpente a n´ecessit´e l’utilisation de 1300 chˆenes, pour un total de 21 hectares de forˆet !
1.5 1.5.1
Types de structures verticales Structures en acier
Les structures verticales des ossatures en acier peuvent ˆetre form´ees par des colonnes en profil´e simple ou par des colonnes compos´ees, Fig. 1.37. Le dimen29
Figure 1.29: Exemple typique d’une poutre en b.a. 30
Figure 1.30: Planchers en bois.
Figure 1.31: Exemples de fermes en bois.
31
Figure 1.32: Toit a` la Mansart.
Figure 1.33: Ferme a` la Palladio.
32
Ossature et structure de l’immeuble
Figure 1.34: Structure Pan de boisen pans de bois.
Pan de bois, pan d Une structure en pan ge de pièces de bois poteaux de bois sont horizontales : les sabl hautes, reposent les de l’étage suivant est poutres. Le bâtiment aussi partie de la stru bois des ouvrages ver suivant les régions et Pour préserver le boi rejaillissement, les bâ des soubassements d Les bâtiments en pan cipe que ceux en pan poutres métalliques.
REGARDER 33
Des modifications du bâtiment ou de sol, construction d’un immeuble mitoy que des fissurations, des déformations constate ces désordres, il est recomm un professionnel. De même, avant to nécessaire de bien connaître l’état du
Figure 1.35: Exemples de structures en bois lamell´e-coll´e. 34
Figure 1.36: Charpente en bois de la Cath´edrale Notre Dame de Paris, mise en oeuvre en 1220.
35
sionnement des colonnes doit toujours ˆetre fait par rapport a` la charge critique. En fait, en consid´eration du fait que les sections en acier sont tr`es ´elanc´ees, c’est pratiquement toujours le flambage le ph´enom`ene qui dimensionne les colonnes. Les sections compos´ees peuvent ˆetre boulonn´ees ou, plus fr´equemment aujourd’hui, soud´ees. Le calcul au flambage des colonnes compos´ees se fait a` l’aide de formule semi-empiriques, contenues dans les normatives, qui prennent en compte le sch´ema du motif g´eom´etrique de la colonne. Une solution int´eressante, est celle des colonnes en structure mixte acier-b´eton, Fig. 1.38. Dans ce cas, la section transversale est grandement augment´ee par la pr´esence du b´eton, ce qui a comme r´esultat une forte augmentation de la capacit´e portante a` la compression et aussi au flambage.
Figure 1.37: Colonnes compos´ees en acier.
Figure 1.38: Colonnes a` structure mixte acier–b´eton.
36
1.5.2
Structures en b´ eton arm´ e
Les piliers des structures de b´eton arm´e sont normalement calcul´es a` la compression. En fait, pour les dimensions normales des bˆatiments courants, rarement le flambage devient dimensionnant pour ces ´el´ements, car les sections sont suffisamment grandes, d’habitude, pour ´eliminer le probl`eme du flambage. Les poteaux en b.a. ont normalement une section rectangulaire ou circulaire. Il est n´ecessaire de pr´evoir au moins 1 barre par chaque coin de la section et il faut disposer des cadres pour ´eviter le flambage localis´e des barres d’armature. En Fig. 1.39 on montre une situation typique d’un poteaux en b.a. Il existe une autre mani`ere de r´ealiser les structures verticales dans les bˆatiments en b.a. Il s’agit de remplacer l’ossature par une structure distribu´ee. Dans ce cas, les poteaux sont remplac´es par des murs, qui on l’avantage de r´ealiser aussi les parois du sch´ema architectural. Cette technologie, souvent connue sous le nom de structure `a tunnel, Fig. 1.40, a un int´erˆet surtout en relation au processus de construction : c’est une technologie tr`es standardis´ee, qui devient rentable lorsque l’organisation du chantier est tr`es industrialis´ee, ce qui est souvent le cas en France. Une telle technologie implique une forte int´egration entre la conception structurale, le processus constructif, l’installation des syst`emes techniques. Dans cette typologie, le plus souvent les planchers sont des dalles pleines en b.a. et il n’y a pas de poutres proprement dites. L’armature des murs et des planchers est essentiellement constitu´ee par des treillis de barres soud´ees.
1.6 1.6.1
Structures de contreventement Structures en acier
La conception et la distribution des contreventements dans les ossatures en acier est une phase essentielle du calcul de la structure. Une mauvaise conception des contreventements conduit in´evitablement `a la ruine de la structure, souvent par un ph´enom`ene d’´ecroulement rapide. L’objectif des contreventements est de reprendre les actions horizontales et de les transf´erer aux fondations. Pour cela, il faut des contreventements horizontaux et verticaux. On parlera plus en d´etail de la distribution des contreventements au paragraphe 1.6.3 ; ici, nous allons consid´erer les diff´erents sch´emas pour r´ealiser des contreventements avec les ossatures en acier. Ces actions horizontales sont essentiellement le vent ou, le cas ´ech´eant, le s´eisme ; toutefois, surtout dans les bˆatiments type halls ou hangars, c’est, pour les structures en acier, presque toujours le vent qui est l’action horizontale dimensionnante. Dans les charpentes en acier, les contreventements sont toujours r´ealis´es par des sch´emas statiques diff´erents, mais l’id´ee de base est toujours la mˆeme : r´ealiser une 37
Figure 1.39: Sch´ema typique d’un poteau en b.a.
38
Figure 1.40: Sch´ema de construction d’une structure a` tunnel.
structure qui est rigide par rapport aux actions horizontales. Il faut donc un sch´ema statique qui assure le plus possible la rigidit´e sous les actions horizontales. Il vaut mieux pr´eciser qu’il ne s’agit pas seulement de mettre en place une structure, qu’elle soit isostatique ou hyperstatique, qui assure l’´equilibre aux actions horizontales, mais il faut quelque chose de plus, il faut de la rigidit´e, a` savoir, la propri´et´e de se d´eformer le moins possible suite a` l’application d’actions horizontales. La rigidit´e a` l’effort normal ´etant, avec les dimensions couramment utilis´ees, nettement plus grande de celle a` la flexion, il faut privil´egier les sch´emas statiques qui font travailler les poutres et colonnes en compression ou traction plutˆot qu’en flexion : il vaut mieux utiliser des sch´emas de type treillis plutˆot que de type portique. Pour mieux comprendre, consid´erons les sch´emas de Fig. 1.41. Sur la premi`ere ligne on a des sch´emas de portiques, tandis que le sch´ema e, connu sous le nom de croix de Saint Andr´e, est un sch´ema de teillis, comme le sch´ema h ; les sch´emas f et g sont des sch´emas mixtes, dans lequel l’essentiel du fonctionnement est confi`e a` un m´ecanisme de type treillis, mais la poutre est quand mˆeme soumise a` de la flexion. Pour simplifier, consid´erons la poutre de rigidit´e infinie ; cette approximation est souvent faite, en raison de la plus grande rigidit´e a` la flexion que normalement les poutres ont par rapport aux poteaux. Alors, le sch´ema a est ipo-statique : il ne peut pas garantir l’´equilibre sous l’action de la force F , sa rigidit´e est nulle. Augmenter la rigidit´e d’un tel sch´ema est une simple question de changement de 39
Figure 1.41: Sch´emas possibles de structures de contreventement en acier.
liaisons ; voyons quelques cas typiques. Le cas c est un syst`eme qu’on peut assimiler a` deux poutres consoles travaillant en parall`ele, chacune prenant sur soi la force F/2. Le d´eplacement δ dans ce cas est δ=
F h3 , 2 3EJ
(1.1)
6EJ . h3
(1.2)
et donc la rigidit´e de la structure est K1 =
Le cas b est ´evidemment identique. Dans le cas d, il suffit un coup d’oeil a` la d´eform´ee pour comprendre que la rigidit´e est 4 fois plus grande que dans les deux autres cas, 24EJ , (1.3) h3 parce que, par les liaisons d’encastrement aux deux extr´emit´es des colonnes, cellesci ont un point de flexion nulle exactement a` mi hauteur. Consid´erons maintenant le sch´ema e ; il est seulement en apparence hyperstatique ; en fait, un des diagonaux travaille en compression et l’autre en traction. Mais, en utilisant des profil´es minces, le diagonal en compression flambe presque imm´ediatement, et sa contribution `a la rigidit´e pratiquement disparaˆıt. Finalement, il ne faut consid´erer que le diagonal en traction dans le calcul, Fig. 1.42. K2 =
40
Figure 1.42: Sch´emas de fonctionnement statique d’une croix de Saint Andr´e.
Le d´eplacement horizontal δ est alors (Ap est l’aire de la section droite du poteau et Ad celle du diagonal) √ " # h3 F (h2 + l2 ) h2 + l2 + , (1.4) δ= 2 El Ad Ap et donc la rigidit´e de la structure est K3 =
Ad Ap El2 √ . Ap (h2 + l2 ) h2 + l2 + Ad h3
(1.5)
Selon les dimensions en jeu, on peut avoir K2 > K3 ou le contraire. A titre d’exemple, consid´erons un portique avec h = 4.5 m, l = 7 m, un diagonal avec une tige de section ronde de 20 mm de diam`etre et des poteaux en section tubulaire commerciale de diam`etre ext´erieur 324 mm et ´epaisseur 6 mm. Dans ces cas on a Ad = 3.14 cm2 , Ap = 59 cm2 et J = 7453 cm4 . Par cons´equent, on obtient (E = 2.1 × 106 daN/cm2 ) K1 = 1.030 × 103 daN/cm, K2 = 4.122 × 103 daN/cm et K3 = 5.560 × 103 daN/cm. On a donc que K3 ' 1.35K2 et K3 ' 5.4K1 . Par contre, si par exemple on change d’hauteur et on pose h = 3 m, alors on trouve K1 = 3.478×103 daN/cm, K2 = 1.391×104 daN/cm et K3 = 7.291×103 daN/cm. Dans ce cas il est donc K3 ' 0.52K2 et K3 ' 2.10K1 . On voit bien, donc, que le choix est fonction aussi des dimensions en jeu. Toutefois, il y a aussi d’autres consid´erations `a faire. Par exemple, les unions du syst`eme `a croix de Saint Andr´e sont plus simples a` r´ealiser que celles du syst`eme portique, car elles sont des rotules, facilement r´ealisables avec des joints boulonn´es. Par contre, les forces en fondation sont nettement diff´erentes dans les deux cas : pour le syst`eme a` portique, les r´eactions se traduisent essentiellement par des couples, tandis que pour la croix de Saint Andr´e par des forces ´egales et contraires : 41
une de compression, l’autre de traction. Alors, dans certains cas, surtout pour les halls et hangars, la traction peut ˆetre si forte qu’elle peut soulever la fondation. Il faut alors s’assurer que la fondation soit capable d’un cˆot´e de transmettre au sol la force de compression, et de l’autre qu’elle soit suffisamment lourde pour r´esister a` la traction qui tend a` la soulever, et ´eventuellement il faut la lester. Les rigidit´es des sch´emas f , g et h sont plus difficiles a` calculer, mais dans ces cas aussi on trouverait une rigidit´e plus importante que K2 . La Torre Pirelli fù il primo edificio altro in cemento armato in Europa ed il primo ad utilizzare il criterio per il miglioramento dell’efficienza dei pilastri in cemento armato per gli edifici alti: convogliando le
1.6.2 endi b´ eton arm´ e forze verso pochi Structures elementi verticali dimensioni rilevanti si fa in modo che essi risultino sempre compressi, indipendentemente dall’entità delle azioni orizzontali. Ciò ha inoltre il vantaggio di Dans les structures en b.a., la r´ealisation des contreventements est assez simple elemininare i pilastri :inelle pianta e disoit consentire spazi et naturelle se fait par desampi syst` emesliberi. portiques, comme ceux de Fig. 1.41d, sont la situation Forma qui e distribuzione dellecourante pareti dans les ossatures en b.a., soit par des parois, souvent utilis´ees, par exemple pour r´ealiser les tours escaliers ou ascenseur, Fig. 1.43, 1.44, Le pareti di taglio possono avere sezione rettangolare ma anche ad L, a T, a U, per seguire meglio 1.45. la distribuzione in pianta ed aumentare la rigidezza flessionale.
In pianta le pareti possono collocazione simmetrica o menoenrispetto Figureavere 1.43:una Contreventements d’une structure b.a. alla direzione di applicazione della forza orizzontale. Nel primo caso la forza esterna induce solo traslazione nel piano orizzontale mentre nel secondo induce anche rotazione intorno al “centro di rigidezza”e quindi lo spostamento totale deriva dalla 42 combinazione della traslazione e della rotazione. Il centro di rigidezza è il centro delle rigidezza flessionali (EI) delle pareti
Figure 1.44: Sch´emas de fonctionnement statique des contreventements d’un bˆatiment en b.a. : tour ascenseur, paroi, portiques rigides.
1.6.3
Distribution spatiale des contreventements
La distribution spatiale des contreventements est un aspect fondamental de la conception d’un bˆatiment. L’objectif est d’assurer que toutes les possibles distributions d’actions horizontales soient convenablement transf´er´ees en fondation. Il faut d’abord faire une distinction entre contreventements horizontaux et verticaux. Les actions horizontales, par exemple le vent qui souffle sur une fa¸cade, sont d’abord reprises par les contreventements horizontaux. Dans les structures en b.a. et aussi celle en acier avec ´etages en structure mixte acier–b.a., chaque ´etage est, dans son plan, comme une poutre infiniment rigide. De ce fait, elle est parfaitement apte a` transf´erer les actions horizontales aux structures verticales de contreventement. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’on arme la dalle de compression des planchers avec un treillis en barre d’acier soud´ees : cette armature distribu´ee est en fait l’armature du contreventement horizontal. Dans les structures en acier sans ´etages en structure mixte, comme par exemple les hangars et les halls industriels, dans lesquels on a normalement seulement la couverture, qui elle n’est jamais r´ealis´ee en structure mixte, il faut former un contreventement horizontal. La solution presque toujours adopt´ee est celle de former un treillis, comme par exemple en Fig. 1.46. Les actions reprises par les contreventements horizontaux sont ensuite transmises aux contreventements verticaux, et d’ici en fondation. Il est alors fondamental, pour le bon fonctionnement du corps structural, que chaque action soit convenablement ´equilibr´ee par le syst`eme. Dans ce but, une mod´elisation souvent 43
ed in genere sono collocate in corrispondenza dei vani scala oppure costituiscono le pareti di
namento continue fino alla fondazione dell’edificio.
difici fino a 35 piani sono efficienti sia per la resistenza alle azioni orizzontali che verticali ed
nere la loro collocazione in pianta viene effettuata in modo tale che possano attrarre
quota dei carichi verticali tale da annullare la trazione indotta dal momento prodotto dalle
orizzontali.
sto modo si riduce la quantità di armatura necessaria ad assorbire gli sforzi di trazione.
i di edifici con pareti di taglio sono la Torre Pirelli a Milano, la Metropolitan Tower di New
le Petronas Tower, il Taipei 101.
!
"
"
!
olitan Tower, New York, 68Figure piani, 1987 1.45:
Torre Pirelli, Milano, piani, 1961, Ponti, Nervi Un exemple classique de31contreventement d’un bˆatiment en b.a. : la Tour Pirelli (Milan) et ses 8 noyaux rigides.
18
44
$%&'(&)' $'&' $& #.#)#' #$%#'#%' 0"#$%& Figure 1.46: Contreventements d’une structure en acier.
45
2$%+/$3&%+#'(#',#0%$
utilis´ee, est celle d’´etages rigides sur des appuis ´elastiques (les contreventements). Il faut alors s’assurer que chaque ´etage ne soit pas ipo-statique. En Fig. 1.47 on montre des situations correctes de distribution des contreventements, tandis que la situation de Fig. 1.48 est erron´ee : seules les actions passantes par le coin en bas a` gauche peuvent ˆetre ´equilibr´ees, pour toutes les autres il n’y a pas de possibilit´e d’´equilibrer le couple autour de ce point.
Figure 1.47: Dispositions correctes de contreventements.
1.6.4
Contreventement des tours
Les actions horizontales, notamment celles du vent, prennent une importance de tout premier plan dans la conception des bˆatiments hauts, tours et gratte-ciels. En fait, l’´enorme surface verticale, qui monte a` grande hauteur, induit des forces dues au vent de grande envergure, et surtout de tr`es grands moments fl´echissants en fondation. 46
Figure 1.48: Disposition erron´ee de contreventements.
Les solutions peuvent ˆetre diff´erentes ; en Fig. 1.49 on montre une s´erie de solutions typiques pour les tours. La solution a fait usage de contreventements de type croix de Saint Andr´e ou similaires ; elle a ´et´e utilis´ee pour la r´ealisation de l’Empire State Building (1931), 381 m, 443.2 avec l’antenne, qui a ´et´e pendant longtemps le plus haut bˆatiment du monde, Fig. 1.50. Une solution qui am´eliore celle-ci, parce qu’elle permet d’utiliser, pour le contreventement, aussi les colonnes qui ne font pas partie du contreventement, est celle de Fig. 1.49b : les grandes poutres console font travailler en compression ou en traction aussi les autres poteaux de la structure, outre ceux du contreventement. On peut voir en Fig. 1.51 le sch´ema de fonctionnement d’une telle solution, et en fig. 1.52 une des premi`eres r´ealisations de ce type, il First Wisconsin Center de Milwaukee (1973), 183 m. Une solution souvent adopt´ee est celle dite du tube − in − tube, Fig. 1.49c : on r´ealise un noyau rigide central et au mˆeme temps les parois sont form´ees par une charpente rigide, qui forme comme un tube ext´erieur. Cette solution a ´et´e adopt´ee aussi pour les Tours Jumelles du World Trade Center de New York (1973–2001), 417 m, 526.8 avec l’antenne, Fig. 1.53. La solution de Fig. 1.49d est un mixte entre les deux pr´ec´edentes ; finalement, la solution de Fig. 1.49e est celle d’un tube − in − tube avec le tube ext´erieur form´e par un ´enorme contreventement en treillis. La fig. 1.54 montre le John Hancock 47
Figure 1.49: Solutions possibles pour le contreventement des tours.
Center de Chicago (1969), 344 m, 457 avec l’antenne, o` u la structure en treillis est bien visible sur les fa¸cades de la tour. Une autre solution, tr`es int´eressante, est celle des bˆatiments suspendus, Fig. 1.55. Un noyau rigide central, normalement en b.a., porte une poutre tr`es rigide en haut, a` laquelle on attache de tirants qui portent les ´etages. Toute la charge verticale arrive donc en fondation a` travers le noyau central, avec l’avantage d’avoir a` la base une forte compression pour le moment fl´echissant produit par le vent, ce qui est b´en´efique pour l’´equilibre d’ensemble. Il est aussi possible de placer diff´erentes poutres rigides, a` plusieurs hauteurs, et de ne leur suspendre qu’une partie des ´etages, voir toujours Fig. 1.55.
48
Figure 1.50: L’Empire State Building, New York.
49
Figure 1.51: Contreventement avec noyau rigide, poutres console et colonnes. Marina City Twin Towers, 1962, Goldberg
Place Victoria Office Tower, Moretti
Wisconsin Center, Milwaukee, 1973, Fazlur Kahn FigureFirst 1.52: First Wisconsin Center, Milwaukee. (SOM)
50
11 settembre - OSSERVAZIONI DI UN INGEGNERE SUL CROLLO DEL WTC.
Mistero.
Il crollo dei grattacieli del World Trade Center.
Premessa: Per svolgere riflessioni che siano in linea di principio accettabili da tutti, partiamo dalle analisi svolte dal NIST (ente pubblico statunitens e la tecnologia), dalle sue omissioni e, per il pubblico italiano, dalle notizie che ha elargito sull'argomento il sito internet di Attivissimo (g recensito e sbugiardato qui, qui e qui). Debbo anzi alla solerzia di questo autore se mi sono imbattuto in un aspetto che credo sia stato trascurato dai tanti che hanno criticato
World Trade Center, NY, 110 piani,
Inoltre l’uniformità di questo sistema consente l’utilizzo di tecniche di prefabbricazione che Vista di una torre del WTC in costruzione. riducono notevolmente i tempi ed i costi di costruzione. Per strutture in acciaio questo si realizza
1.53: NY, Les Tours Jumelles dueWorld Trade Center,die come New York. L'immagine chiarisce come la struttura fosse largamente dimensionata la parte più resistente fosse posta al centro. In tal modo World Figure Trade Center, 110 piani, mediante l’assemblaggio in officina successiva installazione intere porzioni di facciata. Per che l'impatto di un aereo danneggiasse gravemente le strutture portanti principali. struttureIl in cemento armato la ripetitività consente il riutilizzo delle casseforme ai diversi piani particolare di cui parleremo è quello della prima fase del crollo della Torre Sud.
A differenza della Torre Nord, che crollò in modo perfettamente verticale sin dalla prima fase, mostrando stranamente il cedimento iniz dell’edificio. nucleo di pilastri centrali, quelli con maggior resistenza, la Torre Sud invece iniziò il crollo con una vistosa inclinazione del blocco supe quelli sopra gli 8 piani incendiati direttamente dall'aereo (figura 7), ricordando che i piani delle due torri erano 110. trave alta di trasferimento
Inoltre l’uniformità di questo sistema consente l’utilizzo di tecniche di prefabbricazi
riducono notevolmente i tempi ed i costi di costruzione. Per strutture in acciaio questo si
mediante l’assemblaggio in officina successiva porzioni di facc La presenza di colonne ravvicinate ine facciata può creareinstallazione problemi al piano di terraintere dove spesso vi
sono negozi oarmato ampi spazila aperti al pubblico. Questo problema essere risolto mediante travi di strutture in cemento ripetitività consente il può riutilizzo delle casseforme ai dive
51 trasmesso dai pilastri ravvicinati e lo trasferiscono ad un trasferimento che raccolgono il carico
dell’edificio.numero più modesto di pilastri maggiormente spaziati. In alternativa si possono utilizzare pilastri inclinati per convogliare il carico verticale verso un numero limitato di pilastri al piano terra. La Torre Sud complessivamente ha impiegato circa 10 secondi per le fasi del crollo.
Il tubo intelaiato diventa inefficiente superiori ai 60la piani perché inizia richiede dimensioni Nella prima fase, al momento in cui è per stataaltezze scattata questa fotografia, parte superiore a crollare con una vistosa rotazione attor A di figura 3). Per raggiungere questo assetto si può valutare trave altail tempo impiegato in circa un secondo. eccessive di travi e pilastri per ridurre lo shear-lag.
di trasferimento
37
In questo caso le pareti del tubo sono realizzate mediante travature reticolari. Questo tipo di struttura presenta una maggiore rigidezza delle pareti a telaio a parità delle dimensioni degli elementi strutturali. La travatura reticolare si può realizzare sostituendo o affiancando le colonne esterne mediante aste diagonali in entrambe le direzioni. Il primo edificio per il quale si è realizzata questo tipo di struttura è il John Hancock Center di Chicago progettato da Fazlur Khan per SOM.
Onterie Center, 1985 Figure Skimore, Owings, Merril (SOM Architects)
John Hancock Center, Chicago
1.54: Le John Center, Chicago. Skimore,Hancock Owings, Merril (SOM Architects)
L’Onterie Center di Chicago progettato anch’esso da Khan (SOM) nel 1985 utilizza una struttura in cemento armato a tubo intelaiato analoga a utilizzata per il John Hancok Center con la differenza che, mentre per la struttura in acciaio di quest’ultimo era stato possibile realizzare delle diagonali continue in acciaio, nel caso della struttura in cemento armato dell’Onterie Center le diagonali sono create riempiendo le aperture con un getto di calcestruzzo. Per capire il funzionamento ed i vantaggi di queste diagonali su più piani consideriamo separatamente l’effetto delle forze verticali ed orizzontali. 38
Figure 1.55: Sch´emas de bˆatiments suspendus.
52
Chapitre 2 Th´ eorie classique du b´ eton arm´ e 2.1
Introduction
La raison pour laquelle on pr´esente ici la th´eorie classique du b.a. est que cette th´eorie constitue un mod`ele m´ecanique simple, coh´erent, bas´e directement sur les notions ´el´ementaires de la r´esistance des mat´eriaux et de la m´ecanique des milieux continus. Dans cette th´eorie, tout est bas´e sur l’´equilibre et la grandeur directement contrˆol´ee est la contrainte. La connaissance de ce mod`ele aide a` avoir une vision d’ensemble, synth´etique, efficace, du comportement statique des membrures en b.a., ce qui est quelque peu perdu dans la m´ethode moderne aux ´etats limites, essentiellement bas´ee sur le contrˆole des d´eformations. Voici la liste des symboles utilis´es dans la suite : – σb : contrainte normale dans le b´eton – σa : contrainte normale de traction dans l’acier – σa0 : contrainte normale de compression dans l’acier – εb : d´eformation normale dans le b´eton – εa : d´eformation normale dans l’acier – σb0 : contrainte admissible dans le b´eton – σa0 : contrainte admissible dans l’acier – τb : contrainte tangentielle dans le b´eton – τb0 : contrainte tangentielle admissible dans le b´eton – n : coefficient d’homog´en´eisation – Ab : aire de la section de b´eton – Aa : aire de la section des barres d’acier en traction – A0a : aire de la section des barres d’acier en compression – Aid : aire de la section id´eale homog´en´eis´ee – Jid : moment d’inertie de la section id´eale homog´en´eis´ee – Eb : module d’Young du b´eton 53
– – – – – – – – – – – – –
2.2
Ea : module d’Young de l’acier N : effort normal T : effort tranchant M : moment fl´echissant b : largeur d’une section rectangulaire ou en T h : hauteur totale d’une section rectangulaire ou en T c : hauteur de l’enrobage en traction c0 : hauteur de l’enrobage en compression t : hauteur effective d’une section rectangulaire ou en T l : largeur de la dalle de compression dans une section en T s : ´epaisseur de la dalle de compression dans une section en T x : hauteur de la zone comprim´ee Rck : r´esistance cubique caract´eristique du b´eton
Mod` ele de calcul
La th´eorie classique du b´eton arm´e est bas´ee sur les hypoth`eses classique de la r´esistance des mat´eriaux et de la m´ecanique des milieux continus, adapt´ees au contexte du b.a. Ces hypoth`eses sont : 1. hypoth`ese des petites perturbations (h.p.p.) ; 2. comportement ´elastique lin´eaire des deux mat´eriaux ; 3. mod`ele de poutre `a la Euler-Bernoulli ; 4. adh´erence parfaite entre acier et b´eton ; 5. b´eton ne r´esistant pas `a la traction. La premi`ere hypoth`ese nous place, avec la seconde, dans le contexte de la th´eorie lin´eaire de l’´elasticit´e. La troisi`eme hypoth`ese nous permet d’´etablir, comme nous verrons, un mod`ele de variation des d´eformations sur la section droite d’une poutre et, avec la deuxi`eme hypoth`ese, un lien avec les contraintes. La quatri`eme et la cinqui`eme hypoth`ese sont celles qui permettent de sp´ecialiser la th´eorie classique des poutres ´elastiques au cas du b.a. En fait, une poutre en b.a. est compos´ee par l’acier et le b´eton, ce qui donne d´ej`a une particularit´e par rapport aux cas classiques : l’h´et´erog´en´eit´e. Il faut alors sp´ecifier comment ces deux phases interagissent, et ceci est sp´ecifi´e par l’hypoth`ese 4. Ensuite, il faut introduire la caract´eristique fondamentale du b´eton, du point de vue de la r´esistance. E fait, le b´eton est un mat´eriau qui a une tr`es faible r´esistance a` la traction, et de surcroˆıt, cette r´esistance peut ˆetre tr`es al´eatoire, mˆeme a` l’int´erieur d’une mˆeme membrure. Alors, le choix est fait de n´egliger compl`etement cette faible r´esistance, ce qui est a` avantage de la s´ecurit´e. C’est d’ailleurs celle-ci la raison qui a conduit a` l’invention du b.a. : si le b´eton est un 54
mat´eriau qui ne r´esiste pas bien `a la traction, l’id´ee est celle de mettre de l’acier, mat´eriau, lui, tr`es bien r´esistant a` la traction dans les zones o` u le b´eton est en traction. Alors, les contraintes de traction que le b´eton n’est pas en mesure de supporter, sont transf´er´ees a` l’acier, par le m´ecanisme de l’adh´erence. La structure se pr´esente donc comme un ensemble h´et´erog`ene, avec les deux phases qui sont charg´ees l’une, le b´eton, de faire face aux contraintes de compression, l’autre, l’acier, de prendre en charge les contraintes de traction. La th´eorie classique du b.a. est une construction th´eorique coh´erent avec ces hypoth`eses, et donc elle n’est que l’adaptation de la th´eorie classique des poutres au cas o` u la poutre soit compos´ee par deux mat´eriaux, parfaitement adh´erents, avec l’un d’eux qui n’est pas capable de r´esister a` la traction.
2.2.1
Mat´ eriaux
Il faut souligner que, par l’hypoth`ese 2, les deux mat´eriaux ne sont pas cens´es avoir une phase post-´elastique quelconque, par exemple, on exclue la possibilit´e que l’acier aie une phase plastique. En fait, dans cette th´eorie, il est implicitement admis que les deux mat´eriaux soient sollicit´es de telle mani`ere que la contrainte ne d´epasse jamais leur limite ´elastique. Ceci, ´evidemment, est contrˆol´ee en phase de calcul par les limites impos´ees sur les contraintes admissibles des mat´eriaux. Les normes sp´ecifiaient les caract´eristiques des deux mat´eriaux ; en particulier, l’acier pour les armatures doit appartenir a` une des cat´egories autoris´ees par la loi et mises dans le commerce. Au del`a de ces cat´egories, qui peuvent varier dans le temps et d’un pays a` l’autre, comme ordre de grandeur les barres d’acier, toutes d´esormais a` haute adh´erence, ont une contrainte admissible σa0 ∼ 2500 daN/cm2 .
(2.1)
En ce qui concerne le module d’Young, il ne change pas d’un acier a` l’autre et sa valeur reste Ea = 2100000 daN/cm2 . (2.2) Pour le b´eton, il faut comprendre que le b´eton est un mat´eriau a` concevoir selon les besoins, et ses caract´eristiques physiques peuvent varier consid´erablement. Du point de vue m´ecanique, ce qui nous int´eresse sont sa r´esistance admissible et son module d’Young. Ces deux grandeurs peuvent ˆetre mises en relation avec ce qu’on appelle la r´esistance cubique caract´eristique, que nous indiquerons ici par Rck , `a savoir la r´esistance a` la compression mesur´ee, selon une proc´edure standardis´ee, sur des ´echantillons de forme cubique. Le Rck varie, pour les applications courantes, entre 200 et 500 daN/cm2 , une valeur de 300 daN/cm2 ´etant normale pour la plupart des cas. Pour avoir un ordre de grandeur, pour un tel b´eton la contrainte admissible `a la compression est de l’ordre de 55
σb0 ∼ 100 daN/cm2 ,
(2.3)
et le module d’Young pour des actions rapides (de dur´ee d’application courte) Eb ∼ 300000 daN/cm2 .
(2.4)
Celles-ci sont, grosso modo, les valeurs des contraintes admissibles et du module d’Young de l’acier et du b´eton ; de ces valeurs on a imm´ediatement l’id´ee que l’acier a des caract´eristiques nettement meilleures que le b´eton, ce qui influencera beaucoup la g´eom´etrie des sections de b.a., en particulier la quantit´e d’acier, qui sera toujours nettement inf´erieure `a celle du b´eton. Ceci aussi explique le succ`es du b.a. : l’acier, un mat´eriau cher, est employ´e en quantit´e nettement moindre que le b´eton, un mat´eriau beaucoup plus bon march´e et de mise en oeuvre relativement facile.
2.2.2
Le coefficient d’homog´ en´ eisation
La condition d’adh´erence parfaite entre acier et b´eton a une cons´equence importante. En fait, si l’on consid`ere un point de l’interface acier-b´eton, l’adh´erence compl`ete implique que la d´eformation dans le b´eton et dans l’acier doit ˆetre la mˆeme : σa σb = εb = εa = , (2.5) Eb Ea ce qui implique σa = n σ b (2.6) avec
Ea . (2.7) Eb Le coefficient n s’appelle coefficient d’homog´en´eisation, et il repr´esente le rapport entre les modules d’Young de l’acier et du b´eton mais aussi, comme cons´equence de l’adh´erence parfaite, le rapport entre les contraintes normales pour deux particules adjacentes dans l’acier et dans le b´eton. Il permet donc de calculer la contrainte normale dans l’acier une fois connue celle dans le b´eton. Avec les valeurs des modules d’Young vues au paragraphe pr´ec´edent, n ∼ 7. N´eanmoins, les anciennes normes prenaient en compte une valeur l´egale de n = 15, et ceci pour prendre indirectement en compte le fait que le b´eton a en r´ealit´e un comportement visqueux. Etant donn´e que le module d’Young de l’acier est bien connu et fixe, prendre une valeur de n = 15 implique prendre une valeur du module d’Young pour le b´eton Eb = 140000 daN/cm2 , donc un mat´eriaux environ deux fois moins rigide que la r´ealit´e. De cette mani`ere, on peut calculer les d´eformations finales du b´eton, une fois la phase visqueuse termin´ee, de mani`ere simple et plus ou moins correcte. n=
56
2.3 2.3.1
Compression simple Probl` eme de v´ erification
Consid´erons `a pr´esent le cas d’une poutre soumise a` effort normal simple de compression (c’est le cas des poteaux, par exemple). L’´equilibre impose que l’effort normal N , appliqu´e a` la section droite de la poutre, soit ´equilibr´e par l’effort normal r´esistant interne, ´egal a` l’int´egral surfacique des contraintes normales de compression sur la section enti`ere, donc sur la section en b´eton, Ab , plus celle en acier, Aa . Ces deux quantit´es sont connues dans un probl`eme de v´erification. Comme, par hypoth`ese d’effort normal simple, la distribution des contraintes sur la section est uniforme, l’´equilibre impose donc que N = σb Ab + σa Aa ,
(2.8)
N = σb Aid ,
(2.9)
Aid = Ab + n Aa ,
(2.10)
et par la (2.6) on a alors avec appel´ee aire de la section id´eale, au sens de section homog´en´eis´ee. On voit dans la (2.10) que la section d’acier compte, dans le calcul, comme n fois celle de b´eton, comme cons´equence de l’hypoth`ese de l’adh´erence parfaite. De la (2.9) on tire la valeur de la contrainte normale dans le b´eton σb =
N Aid
(2.11)
et ensuite, en utilisant la (2.6), celle dans l’acier : σa = n σ b = n
N . Aid
(2.12)
L’aire id´eale est l’aire d’une section homog´en´eis´ee, au b´eton, statiquement ´equivalente a` l’aire de la section h´et´erog`ene efficace. Pour que la section soit v´erifi´ee, il faut ´evidemment contrˆoler que σb ≤ σb0 ,
(2.13)
tandis que le contrˆole sur la contrainte de l’acier est inutile ; en fait, par la (2.6), on a que la contrainte dans l’acier est n fois, donc 15 fois, celle dans le b´eton. Or, avec les valeurs vues pour les contraintes admissibles dans le b´eton et dans l’acier, on voit bien que c’est pratiquement impossible d’obtenir la contrainte admissible dans l’acier, car la limitation sur la contrainte dans le b´eton est plus forte. Dit dans d’autres termes, c’est toujours le b´eton qui dimensionne a` la compression. 57
2.3.2
Probl` eme de conception
Dans ce cas, il faut d´eterminer Ab et Aa . Une possible approche, est de fixer le rapport Aa , (2.14) α= Ab qui varie, pour des situations normales, entre 0.005 et 0.05 (ce qui veut dire qu’en conditions courantes, dans une section en compression il n’y a que le 5% au maximum de la section g´eom´etrique qui est section d’acier, le reste est constitu´e de b´eton ; on voit donc que la quantit´e d’acier dans les poteaux est, d’habitude, tr`es faible). Alors Aid = Ab (1 + n α) . (2.15) D’ailleurs, pour un ´evident crit`ere d’´economie, en phase de conception on calcule la section pour travailler `a son taux maximum de contrainte, c’est `a dire qu’on pr´evoit de faire monter la contrainte jusqu’`a la contrainte admissible : Aid =
N , σb0
(2.16)
et donc de la (2.15) et (2.16) on tire Ab =
σb0
N , (1 + n α)
(2.17)
σb0
αN . (1 + n α)
(2.18)
et par la (2.14) Aa =
Les formules ci-dessus ne donnent que les valeurs des aires Ab et Aa , mais ne disent rien sur leur g´eom´etrie ni sur leur disposition mutuelle. Les normes sp´ecifient en tout cas des valeurs inf´erieures des Aa , pour ´eviter des sections trop faiblement arm´ees, ce qui pourrait arriver en cas de faibles sollicitations. Certaines r`egles de bonne r´ealisation doivent aussi ˆetre suivies, les normes les sp´ecifient. Sans entrer dans le d´etail des normes, voyons ici quelques r`egles pratiques `a suivre. D’abord, les barres doivent ˆetre noy´ees a` l’int´erieur de la section de b´eton, pour deux raisons fondamentales : d’abord, parce que l’hypoth`ese fondamentale de fonctionnement m´ecanique d’une section en b.a. est l’adh´erence entre l’acier et le b´eton. Donc, cette adh´erence doit pouvoir se r´ealiser, exister. Pour cela, c’est n´ecessaire que chaque barre d’acier soit compl`etement enrob´ee de b´etons. Ceci impose d’abord une ´epaisseur d’enrobage, a` savoir une distance minimale entre la surface ext´erieure de la membrure et la surface de chaque barre. De mani`ere g´en´erale, et comme ordre de grandeur, il faut que l’enrobage soit d’au moins 2 cm, pouvant descendre a` 1 cm dans des cas particuliers, comme les dalles. 58
L’autre raison pour laquelle l’enrobage est absolument indispensable, est la protection des barres d’acier contre l’oxydation. Cette protection est justement assur´ee par le b´eton d’enrobage : si l’eau entre dans la section, v´ehicul´ee par des micro-fissures qui sont souvent pr´esentes dans le b´eton pour diff´erentes raisons, et arrive a` contact avec les barres d’armature, l’oxydation de celles-ci commence et a comme effet une augmentation tr`es importante du volume de l’acier oxyd´e. Ceci porte, par effet m´ecanique, `a la rupture progressive de l’enrobage, avec donc cr´eation de voies d’eau plus importantes, qui ne font qu’augmenter le processus d’oxydation de l’acier. Bref, c’est tout un ph´enom`ene d’oxydation de plus en plus rapide qui se met en place, avec comme effet final la progressive et importante disparition de la section r´esistante d’acier, ce qui est ´evidemment intol´erable pour la s´ecurit´e de la structure. La seule solution est d’assurer un bon enrobage aux barres ; en milieux tr`es oxydant, par exemple en bord de mer, il est conseill´e d’augmenter l’´epaisseur de l’enrobage. Ensuite, la disposition des barres d’armature doit suivre d’autres r`egles : d’abord, pour chaque coin de la section il faut disposer au moins une barre longitudinale ; ensuite, si plusieurs barres sont plac´ees adjacentes, il faut toujours assurer, dans ce cas aussi, l’adh´erence acier–b´eton. C’est pour ¸ca que les barres longitudinales ne sont jamais plac´ees a` contact direct, mais espac´ees d’une certaine quantit´e, normalement de l’ordre du diam`etre de la barre, mais en tout cas d’une quantit´e sup´erieure a` la dimension maximale pr´evue pour l’agr´egat (gravier) utilis´e pour faire le b´eton, de sorte a` pouvoir couler le b´eton partout autour de la cage d’armature. Les barres longitudinales ne peuvent pas ˆetre dispos´ees seules dans la membrure. Il faut toujours r´ealiser une cage d’armature, en liant les barres avec des cadres, dispos´es en sens transversale `a la poutre, dans le plan de la section. La cage d’armature peut donc ainsi ˆetre pr´epar´ee a` pied d’oeuvre et ensuite ˆetre soulev´ee et mise en place dans les coffrages. Elle sert aussi a` tenir en place les barres durant l’op´eration de coulage du b´eton. Finalement, les cadres, dans le cas des poteaux comprim´es, ont aussi une autre fonction, de type m´ecanique : ils doivent empˆecher le flambage des barres longitudinales. En fait, celles-ci sont des tiges tr`es ´elanc´ees sollicit´ees a` la compression, donc soumises au ph´enom`ene du flambage. Si celui-ci ne peut pas se produire vers l’int´erieur du poteau, par la pr´esence du b´eton, elle peut quand mˆeme se produire vers l’ext´erieur, par expulsion explosive du b´eton d’enrobage. Le flambement des barres longitudinales est un ph´enom`ene tr`es dangereux, capable de produire la ruine instantan´ee de la structure. Pour l’´eviter, il faut r´eduire la longueur libre d’inflexion des barres d’armature. Les cadres assurent cette fonction : ils r´eduisent la longueur de flambage des barres a` tel point que le flambage de celles-ci ne peut plus se produire. Dans la disposition des cadres il faut suivre au moins trois crit`eres : 59
1. chaque cadre doit retenir les barres longitudinales par traction sur le mˆeme cadre : il faut donc disposer les barres longitudinales dans les angles des cadres, ou sinon ajouter un crochet transversal suppl´ementaire, Fig. 2.1 ; 2. l’espacement des cadres doit ˆetre inf´erieur a` une valeur maximale, impos´ee par les normes en fonction du diam`etre des barres longitudinales et de la g´eom´etrie de la section ; pour avoir un ordre de grandeur, l’espacement ne doit pas d´epasser 40 cm ou 15 fois le diam`etre minimum des barres longitudinales, Fig. 2.1 ; 3. l’ancrage des cadres doit ˆetre efficace, par exemple en pliant vers l’int´erieur les extr´emit´es des cadres, Fig. 1.39 et 2.1.
Figure 2.1: Dispositions possibles des cadres et crochets dans un poteau.
2.4
Traction simple
Dans le cas d’un poutre en traction pure, selon l’hypoth`ese fondamentale de b´eton non r´esistant `a la traction, la seule section efficace est celles de l’acier,e t donc a` Aa est confi´e tout l’effort de traction N . Par cons´equent, il faudra v´erifier que ce soit N (2.19) σa = ≤ σa0 , Aa 60
tandis qu’en phase de projet on calculera l’aire minimale des barres d’acier comme Aamin =
2.5 2.5.1
N . σa0
(2.20)
Flexion simple Mod` ele de calcul : la poutre d’Euler-Bernoulli
Le mod`ele cin´ematique de poutre en flexion adopt´e dans la th´eorie classique du b.a. est celui de poutre `a la Euler-Bernoulli. L’hypoth`ese fondamentale de ce mod`ele est que chaque section droite de la poutre reste, dans la d´eformation de la poutre, droite et orthogonale `a la ligne d’axe d´eform´ee de la poutre. La cons´equence fondamentale d’une telle hypoth`ese est que la distribution des d´eformations normales εzz a` la section droite est lin´eaire, Fig. 2.2.
Figure 2.2: Poutre `a la Euler-Bernoulli : distribution des d´eformations et contraintes normales.
Alors, par l’hypoth`ese de comportement ´elastique lin´eaire du mat´eriau, mˆeme la distribution des contraintes normales σzz est lin´eaire. Ceci a comme cons´equence l’existence d’une corde par le barycentre de la section, l’axe neutre, qui divise la section en deux parties, une en compression et l’autre en traction, et le fait que les contraintes maximales sont atteintes aux extr´emit´es sup´erieure et inf´erieure de la section (et elles sont ´egales en valeur absolue si la section est sym´etrique par rapport a` l’axe neutre). Celle-ci est la situation caract´eristique des poutres m´etalliques, qui ont la caract´eristique d’avoir une ´egale rigidit´e et r´esistance `a la traction et a` la compression. Voyons par contre comment cette situation doit ˆetre modifi´ee dans le cas des poutres en b.a. 61
2.5.2
Probl` eme de v´ erification
Section rectangulaire Consid´erons d’abord le cas d’une section rectangulaire, plus simple et tr`es important dans les constructions en b.a. Comme d´ej`a dit, le b´eton n’est pas capable de faire face a` des contraintes de traction, qui sont donc absorb´ees par les barres d’acier. Par contre, celles-ci ne sont pas uniform´ement distribu´ees sur la section, mais concentr´ees normalement ers l’extr´emit´e de la section, l`a o` u nous savons avoir lieu les contraintes de valeur extrˆeme, et elles une influence n fois sup´erieure a` celle du b´eton. Les barres d’acier sont donc plac´ees dans la partie en traction de la section (et son emplacement d´epend essentiellement de la distribution du moment fl´echissant), et elles vont absorber l’entier effort de traction engendr´e dans la section par le moment fl´echissant. Suite a` l’hypoth`ese que le b´eton ne r´esiste pas a` la traction, la section est divis´ee en deux parties : une form´ee par le b´eton en compression, l’autre, qui ne peut pas ˆetre form´ee par le b´eton en traction, et form´ee simplement par les barres d’acier, soumise `a la traction. Le concept m´ecanique essentiel pour l’´equilibre de la section est que la r´esultante Fc des toutes les contraintes de compression agissantes sur la b´eton comprim´e doit ˆetre ´egale et contraire `a la r´esultante Ft des tractions dans les barres d’acier, de sorte a` former ainsi un couple interne qui ´equilibre le couple externe qui sollicite la section. La situation est donc celle de Fig. 2.3, o` u l’on a symboliquement indiqu´e aussi les deux r´esultantes Fc et Ft .
b
σb
x
h t c
x
Fc
Ft
Αa
σa/n
y
Figure 2.3: Section rectangulaire en b.a. soumise a` la flexion : sch´ema de calcul. Dans un probl`eme de v´erification, la g´eom´etrie de la section est connue ; donc les quantit´es b, h, c, t = h − c et Aa en Fig. 2.3 sont connues, outre au moment fl´echissant M . Il faut calculer la contrainte maximale dans le b´eton, σb , et dans les 62
barres, σa . Pour cela, il faut d’abord connaˆıtre la g´eom´etrie de la section efficace, donc il faut calculer la position de l’axe neutre, a` savoir l’hauteur x de la zone comprim´ee : les inconnues du probl`eme sont donc trois. On peut les trouver de deux mani`eres diff´erentes et ´equivalentes. Nous voyons ici une premi`ere m´ethode, tandis que l’autre, plus g´en´erale, est pr´esent´ee au paragraphe suivant, pour une section de forme quelconque. D’abord, la lin´earit´e du diagramme de la contrainte normale σzz nous permet d’exprimer σa en fonction de σb : σa = n σ b
t−x x
(2.21)
Pour d´eterminer alors les deux inconnues qui restent, x et σb , il nous faut deux ´equations : l’´equilibre de la section `a la translation selon l’axe de la poutre et l’´equilibre a` la rotation de la section. Voyons la premi`ere ´equation : ´etant donn´e que l’effort normal N appliqu´e a` la section est nul, car nous sommes en cas de flexion simple, la r´esultante des contraintes normales sur la section doit ˆetre nulle (voire, il faut que Fc = Ft ) : σb x b − σa Aa = 0. 2
(2.22)
L’´equilibre a` la rotation autour de Aa impose que le moment r´esultant interne doit ˆetre ´egal au moment externe, le moment fl´echissant M appliqu´e a` la section : x σb x b t− = M. 2 3
(2.23)
Si l’on remplace la (2.21) dans la (2.22) on obtient l’´equation qui permet de calculer la position de l’axe neutre x : b x2 + 2n Aa x − 2n t Aa = 0.
(2.24)
On remarque que x ne d´epend ni de σb , ni de M , mais seulement des caract´eristiques g´eom´etriques de la section homog´en´eis´ee ; nous verrons pourquoi au prochain paragraphe. Finalement, x est la seule solution positive d’une ´equation de deuxi`eme degr´e : s 2bt Aa −1 + 1 + . (2.25) x=n b nAa L’´equation d’´equilibre `a la rotation, la (2.23), permet ensuite de calculer σb : σb =
6M , bx (3t − x) 63
(2.26)
et finalement, par la (2.21), on calcule σa : σa = n σ b
t−x t−x = 6nM 2 . x bx (3t − x)
(2.27)
La v´erification consiste, ´evidemment, a` contrˆoler que σa ≤ σa0 , σb ≤ σb0 .
(2.28)
Il faut dire que normalement, si une section est bien calcul´ee, c’est toujours la v´erification cˆot´e acier qui est la plus critique, contrairement `a ce qui se passe pour les poteaux en compression. En fait, l’objectif est toujours celui d’employer le moins d’acier possible, pour des raisons ´economiques. C’est donc l’acier qui normalement se trouve a` ˆetre le plus sollicit´e. Dans d’autres termes, dans une poutre en b.a. sollicit´ee en flexion, la crise se produit cˆot´e acier.
b
σb
Α'a h
c’
σ’a/n
x
t c
x
Αa
σa/n
y
Figure 2.4: Section rectangulaire en b.a. a` armature double soumise `a la flexion : sch´ema de calcul.
Souvent, pour diff´erentes raisons, la section est arm´ee par des barres en compression aussi, dont l’aire est A0a , Fig.2.4. Dans ce cas la seule chose qui change aux ´equations ci-dessus est la pr´esence de l’armature en compression. A l’´equation (2.21) il faut ajouter aussi celle qui exprime σa0 , la contrainte dans les barres en compression, en fonction de σb : σa0 = n σb
x − c0 , x
(2.29)
tandis que les (2.22) et (2.23) deviennent respectivement σb x b + σa0 A0a − σa Aa = 0 2 64
(2.30)
et σa0 A0a (t − c0 ) +
σb x x b t− = M, 2 3
(2.31)
ce qui donne x=
−n (Aa +
σb =
A0a )
+
6n (x −
q
n2 (Aa + A0a )2 + 2nb (Aa t + A0a c0 ) , b
c0 ) (t
6M x , − c0 ) A0a + bx2 (3t − x)
(2.32)
(2.33)
et par les (2.21) et (2.29) on r´ecupre la valeur de σa et σa0 respectivement. La v´erification consiste encore `a contrˆoler que σa ≤ σa0 , σa0 ≤ σa0 , σb ≤ σb0 .
(2.34)
Section de forme quelconque Une autre m´ethode pour arriver au mˆeme r´esultat, que nous allons voir ici pour une section de forme quelconque, est celle qui se base sur le fait que l’axe neutre passe par le barycentre de la section efficace, compos´ee par le b´eton en compression et par les barres d’acier homog´en´eis´ee au b´eton. En fait, nous avons vu plus haut que la section d’acier peut ˆetre remplac´ee par une section ´equivalente de b´eton, obtenue en la multipliant par n. A ce point, la section est homog`ene, et de b´eton. Un r´esultat g´en´eral, valable pour toute section homog`ene, soumise a` la flexion dans les hypoth`eses classiques du paragraphe 2.2, est que l’axe neutre passe par le barycentre de la section. D’ailleurs, nous pouvons facilement d´emontrer ce r´esultat directement sur une section de forme quelconque en b.a., Fig. 2.5. L’´equation d’´equilibre a` la translation selon l’axe longitudinale z stipule que la r´esultante des contraintes normales σzz est nulle : Z Z σb (y)dA + σa (y)dA = 0. (2.35) Ab
Aa
D’ailleurs, par la lin´earit´e des contraintes, si σb1 est la contrainte dans le b´eton a` une distance unitaire de l’axe neutre, alors la contrainte dans le b´eton et dans l’acier `a la distance y de l’axe neutre sont respectivement σb (y) = σb1 y
(2.36)
σa (y) = nσb1 y.
(2.37)
et
65
σb x t x
Αa σa/n y
Figure 2.5: Section de forme quelconque en b.a. soumise a` la flexion : sch´ema de calcul.
En rempla¸cant ces deux derni`eres conditions dans la (2.35) et par le fait que σb1 6= 0, on obtient la condition Z
y dA + n
Z
y dA = 0,
(2.38)
Aa
Ab
et cette ´equation d´etermine la position de l’axe neutre, car le premier membre repr´esente le moment statique de la section efficace, et le moment statique est nul seulement lorsqu’il est calcul´e par rapport `a une droite qui passe par le barycentre. Souvent, en consid´erant que les barres ont une dimension transversale petite par rapport a` celle de la poutre, on utilise l’´equation approxim´ee Z Ab
y dA + n
m X
yk Ak = 0,
(2.39)
k=1
o` u yk et Ak sont respectivement la position et l’aire du niveau k des barres, m le nombre total de niveaux de barres. Il est simple de v´erifier que cette ´equation appliqu´ee a` une section rectangulaire en armature simple donne la (2.24), tandis qu’en armature double am`ene `a la (2.32). Le calcul d’une section quelconque se poursuit ensuite de la mˆeme mani`ere : on utilise l’´equation d’´equilibre `a la rotation autour de l’axe neutre, avec la lin´earit´e des contraintes, pour calculer σb : " # m X σb Z x 2 2 y b(y) dy + n yk Ak = M. x 0 k=1
66
(2.40)
Le terme entre crochets dans la (2.40) repr´esente le moment d’inertie id´eal Jid , a` savoir le moment d’inertie autour de l’axe neutre de la section efficace, homog´en´eis´ee au b´eton ; b(y) est la largeur de la corde de la section a` la distance y de l’axe neutre. Donc, on peut finalement ´ecrire que σb =
M x , Jid
(2.41)
qui est la bien connue formule de Navier pour le calcul des contraintes normales engendr´ee par la flexion. Ce r´esultat ´etait a` pr´evoir, car le mod`ele classique du b.a. prends les mˆemes hypoth`eses de la th´eorie classique de la flexion des poutres. La contrainte dans les barres peut ˆetre calcul´ee encore en utilisant la (2.21). La (2.40) donne aussi une m´ethode de calcul num´erique du moment d’inertie id´eal Jid : la section peut ˆetre d´ecoup´ee en un grand nombre de petites bandelettes parall`eles, ce qui permet de calculer num´eriquement Jid . Section en T Dans la technologie du b.a., la section en forme de T est tr`es employ´ee ; en fait, elle s’obtient tout naturellement dans la mise en oeuvre des planchers pr´efabriqu´es et des poutres, Fig. 1.28. Cette forme de la section est particuli`erement avantageuse, du point de vue m´ecanique, parce qu’elle permet d’un cˆot´e de disposer d’une vaste section en compression et de l’autre cˆot´e d’augmenter le bras de levier interne, ce qui augmente le moment r´esistant. Les normes sp´ecifient la mani`ere dont il faut calculer la largeur de la dalle (table de compression) qui collabore avec la nervure, largeur que nous allons appeler l, tandis que son ´epaisseur sera indiqu´e par s, Fig. 2.6. Deux cas sont possibles : 1. l’axe neutre coupe la dalle de compression, `a savoir x ≤ s ; la section efficace est alors une section rectangulaire de largeur l ; 2. l’axe neutre coupe la nervure, x > s ; la section efficace est une vraie section en T. D’ailleurs, il n’est pas possible de savoir, sans passer par le calcul, si l’on est dans le premier ou deuxi`eme cas. Il faut donc faire une tentative en calculant x pour le premier cas, donc en utilisant la (2.25) si l’on est en armature simple, la (2.32) si on a une double armature. Si le r´esultat confirme que x ≤ s, on poursuit le calcul avec la section rectangulaire de largeur l, autrement on passe au calcul de la vraie section en T. Pour ce calcul, il vaut mieux utiliser l’approche g´en´erale indiqu´ee au paragraphe pr´ec´edent ; le moment statique nul donne l’´equation s bx2 + s (l − b) x − − nAa (t − x) = 0, 2 2
67
(2.42)
l s
σb
x t x
Αa
σa/n
b y
Figure 2.6: Section en forme de T en b.a. soumise `a la flexion : sch´ema de calcul.
d’o` u la valeur de x :
x=
− [(l − b) s + nAa ] +
q
[(l − b) s + nAa ]2 + 4b [(l − b) s2 + 2nAa t] . b
(2.43)
Ensuite, on peut calculer la contrainte σb en utilisant la formule de Navier (2.41), avec bx3 (l − b) s3 s 2 Jid = + + ls x − + nAa (t − x)2 , (2.44) 3 12 2 et la σa par la (2.21). Dans tous les cas, les contrˆoles a` effectuer sont toujours les (2.28). Il est ensuite facile de modifier les formules ci-dessus aux cas o` u l’armature de la section se dispose a` plusieurs niveaux, et donc aussi en compression. Deux remarques finales : la premi`ere, est que la d´emarche vue est valable non seulement pour les sections en T, mais aussi pour celles en Γ. La deuxi`eme, est que la forme en T, ou en Γ, est r´eellement telle si la dalle de compression est en compression. Mais si une poutre a une section en T et elle est encastr´ee aux extr´emit´es, comme c’est presque toujours le cas dans la technologie du b.a., alors pr`es des encastrements, o` u le moment fl´echissant est invers´e et prends les valeurs les plus fortes, la partie comprim´ee de la section est celle en bas. Dans ce cas, la section efficace est une section rectangulaire de largeur b, non pas l. Donc, l`a o` u le moment fl´echissant est le plus important et il faudrait une section en T, la section n’est pas en T, mais rectangulaire : c’est un in´evitable inconv´enient des poutres en T ! 68
2.5.3
Probl` eme de conception
Consid´erons le cas d’une section rectangulaire en armature simple. Dans un probl`eme de conception, M , σb0 et σa0 sont connus et il faut calculer Aa , b et t. Les ´equations sont toujours les (2.21), (2.22) et (2.23), dans lesquelles il faut remplacer σb par σb0 et σa par σa0 . Comme x est encore une inconnue, il nous manque une ´equation, et il faut donc fixer une des inconnues. Normalement, on fixe la largeur b de la section. De la (2.21) on tire alors la valeur de x en fonction de t : x=
n σb0 t ; σa0 + nσb0
(2.45)
en injectant ce r´esultat dans la (2.23) on a alors la valeur de t : σ 0 + nσb0 t= a n σb0
s
6nM , b (3σa0 + 2nσb0 )
(2.46)
et finalement, en utilisant ces deux derniers r´esultats dans la (2.22) on obtient σ0 Aa = b0 2σa
s
6nM b . + 2nσb0
3σa0
(2.47)
Toutefois, on peut faire des consid´erations suppl´ementaires : si l’on calcule le bras de levier d du couple interne on a, par les (2.45) et (2.46), d=t−
3σ 0 + 2nσb0 x t. = a0 3 3σa + 3nσb0
(2.48)
Or, avec les valeurs communes de σb0 et σa0 , on trouve d ∼ 0.9 t;
(2.49)
si, comme souvent c’est le cas, h, et donc t, est d´ej`a connu comme b, il ne reste qu’`a d´eterminer Aa ; alors, en imposant l’´equilibre a` la rotation, on a simplement M = σa0 Aa d ' 0.9 σa0 Aa t,
(2.50)
ce qui donne M . (2.51) 0.9 σa0 t Cette d´emarche donne presque toujours de bonnes valeurs de Aa , et elle peut ˆetre utilis´ee, avec une bonne approximation, aussi pour des sections d’autre forme, comme les sections en T par exemple ; il faut ensuite v´erifier que ce soit aussi σb ≤ σb0 . Aa =
69
2.6
Flexion compos´ ee d’une section rectangulaire
Dans les charpentes en b.a., les poteaux sont pratiquement toujours soumis a` une sollicitation compos´ee de flexion et compression. Nous allons consid´erer ce cas de flexion compos´ee, en cas de section rectangulaire, qui est la section de plus grand emploi dans les constructions. Les principes de calcul peuvent ˆetre appliqu´es facilement aussi `a d’autres sections, notamment a` la circulaire.
2.6.1
Probl` eme de v´ erification
Les donn´ees du probl`eme sont M , le moment fl´echissant, N , l’effort normal de compression, et les dimensions g´eom´etriques de la section, que nous consid´erons ici dans le cas d’armature double, Fig. 2.7.
_.='---' r{î L,-,.
6x
.È
n-r( + \ 7
*h, lrtz
- âr-
-
À
Figure 2.7: Section rectangulaire soumise `a flexion compos´ee : sch´ema de calcul. En consid´erant la section homog´en´eis´ee au b´eton, il faut distinguer deux cas possibles : 1. toute la section id´eale est soumise a` des contraintes de compression ; 2. une partie de la section id´eale est soumise `a des contraintes de traction. La section id´eale, d’aire
-ÂJ
Aid = bh + n (Aa + A0a ) , (2.52) Aq, est ici toute la section g´eom´etrique, avec- l’acier homog´en´eis´e au b´eton. Alors, le premier cas se produit si l’excentricit´e e=
t
M N
70
(2.53)
est telle que − w1 ≤ e ≤ w2 ,
(2.54)
o` u w1 et w2 sont les dimensions du noyau central d’inertie de la section id´eale, Fig. 2.7 : ρ2 wi = id , (2.55) yi avec ρid le rayon d’inertie de la section id´eale : s
ρid =
Jid . Aid
(2.56)
Le barycentre Cid de la section id´eale a une ordonn´ee yid donn´ee encore par la _.='---' .È condition de moment statique nul autour d’une droite passante par Cid : *h, r{î ! ! L,-,. h h b h yid − nA0a − yid − c0 + nAa + yid − c = 0; (2.57) 2 6x \2
n-r( + 7
lrtz
finalement, le moment d’inertie de eale autour d’une droite horizontale âr-la section id´ par Cid est À 3
bh h 2 Jid = + b h yid − yid − c0 + nA0a 12 2
!2
+ nAa
h + yid − c 2
!2
.
(2.58)
-ÂJ
-
Aq,
Figure 2.8: Section rectangulaire soumise a` flexion compos´ee avec centre de pression interne au noyau central d’inertie.
t
Si la (2.54) est satisfaite, le centre de pression tombe `a l’int´erieur du noyau central d’inertie de la section id´eale, qui est alors enti`erement en compression, Fig. 71
_.='---' r{î L,-,.
6x
.È
*h,
n-r( + \ 7
-
lrtz
- âr-
À de la mani` 2.8. Les contraintes se calculent alors ere connue pour toute section homog`ene : ! M h N + − yid , (2.59) σb = Aid Jid 2
"
σa0
N M =n + Aid Jid "
N M σa = n − Aid Jid
-ÂJ
!#
h − yid − c0 2
,
(2.60)
.
(2.61)
!#
h + yid − c 2
Dans le deuxi`eme cas, la (2.54) n’est pas v´erifi´ee, et la section efficace n’est pas l’enti`ere section g´eom´etrique, car il y a des contraintes de traction qui apparaissent. Consid´erons le sch´ema de calcul de Fig. 2.9, o` u Cp est le centre de pression, distant p de l’extrados de la section (p < 0 si Cp est interne `a la section) : - Aq, h ! − yc . (2.62) p=e− 2
t
Figure 2.9: Section rectangulaire soumise a` flexion compos´ee avec centre de pression externe au noyau central d’inertie. En ´ecrivant l’´equilibre a` la rotation autour de Cp , de sorte `a faire disparaˆıtre N du calcul, on obtient σb bx x p+ + A0a σa0 (p + c0 ) − Aa σa (p + t) = 0; 2 3
72
(2.63)
d’ailleurs, par la lin´earit´e des contraintes sur la section, on a encore les (2.21) et (2.29), qui ins´er´ees dans la (2.63), permettent d’aboutir a` une ´equation cubique en x : bx3 + 3bpx2 + 6nx [A0a (p + c0 ) + Aa (p + t)] − 6n [A0a c0 (p + c0 ) + Aa t (p + t)] = 0 (2.64) Cette ´equation a une seule variation de signe et donc une seule racine r´eelle positive, que normalement on trouve num´eriquement, par exemple a` l’aide d’une m´ethode de dichotomie. Une fois x connue, on calcule σb en imposant encore l’´equilibre `a la rotation, mais cette fois par rapport a` un autre point. Le meilleur choix, est celui de prendre le point de A0a ou Aa , de sorte a` ´eliminer du calcul σa0 ou σa ; par exemple, en choisissant Aa , on obtient l’´equation x σb bx t− + A0a σa0 (t − c0 ) = N (t + p) , 2 3
(2.65)
par laquelle, une fois qu’on y a inject´e la (2.29), on obtient σb =
N (p + t) bx 2
t−
x 3
0
(t − c0 ) + nA0a x−c x
.
(2.66)
Finalement, une fois x et σb connues, on calcule σa et σa0 par le biais des (2.21) et (2.29) et on v´erifie encore les conditions (2.34).
2.6.2
Probl` eme de conception
Les param`etres a` d´eterminer sont quatre : b, t, Aa et A0a ; en plus, mˆeme x est inconnu. Les ´equations dont on dispose sont trois, les mˆemes que dans le cas de la flexion : ´equilibre a` la translation, a` la rotation et lin´earit´e des contraintes, (2.21). Il faut donc fixer deux variables et d´eterminer les deux autres. Les cas possibles sont plusieurs, mais le plus important est celui o` u il faut concevoir Aa et A0a , tandis que b et t sont connues. Pour d´eterminer Aa , on ´ecrit l’´equilibre `a la rotation autour de A0a ; tout calcul fait, en utilisant le sch´ema de la Fig. 2.9, on obtient Aa =
6N (p + c0 ) + σb0 b x(x − 3c0 ) ; 6σa0 (t − c0 )
(2.67)
pour d´eterminer A0a , on fait la mˆeme chose, mais autour de Aa : A0a =
6N (p + t) − σb0 b x(3t − x) . 6σa0 (t − c0 ) 73
(2.68)
Dans les (2.67) et (2.68), la valeur de x est celle donn´ee, en fonction de t, par la (2.21). Si A0a < 0, cela signifie que les valeurs de b et t ne sont pas compatibles avec les valeurs de M et N , a` savoir que la section est sous-dimensionn´ee. Pour les autres cas, on proc`ede de mani`ere analogue.
2.7
Effort tranchant
L’effort tranchant T produit des contraintes tangentielles dans le b´eton τb = σyz . Au niveau de l’axe neutre, les contraintes normales dans le b´eton sont nulles, donc la mati`ere est soumise seulement au cisaillement pur τb , qui fait naˆıtre des contraintes principales de compression et de traction inclin´ees a` 45◦ sur l’axe z, voir le cercle de Mohr en Fig. 2.10. C’est justement la pr´esence de ces contraintes principales de traction qui rend n´ecessaire une armature `a l’effort tranchant, car encore une fois le b´eton ne peut pas r´esister a` la traction.
τ
τb
σΙΙ
45°
0
σΙ
σ
Figure 2.10: Le cercle de Mohr pour un ´etat de cisaillement pur.
2.7.1
Calcul des contraintes tangentielles
Cherchons d’abord une formule pour calculer la contrainte tangentielle maximale dans le b´eton, τb . Dans les hypoth`eses prises, voir paragraphe 2.2, le r´esultat classique est qu’on peut calculer, pour une section rectangulaire homog`ene, la 74
contrainte tangentielle par la formule de Jourawski, qui appliqu´ee donc a` la section efficace id´eale, `a savoir homog´en´eis´ee au b´eton, de Fig. 2.11, donne
Figure 2.11: Sch´ema de calcul des contraintes tangentielles pour une section rectangulaire en armature simple.
τb =
T Sid , b Jid
(2.69)
avec Sid le moment statique de la partie de b´eton comprim´e et Jid le moment d’inertie de la section efficace, calcul´es par rapport a` l’axe neutre. Pour la section rectangulaire en armature simple on a bx2 , 2
(2.70)
bx3 + nAa (t − x)2 . 3
(2.71)
Sid =
Jid =
D’ailleurs, la position x de l’axe neutre est donn´ee par la (2.39), qui ´ecrite pour la section de Fig. 2.11 donne bx2 bx2 − nAa (t − x) = 0 → (t − x) − nAa (t − x)2 = 0, 2 2
(2.72)
et en injectant ce r´esultat dans la (2.71) on obtient bx3 bx2 bx2 x + (t − x) = t− , 3 2 2 3
Jid =
75
(2.73)
ce qui donne finalement, voir la (2.49), T T ' τb = . x 0.9 b t b t− 3
(2.74)
La variation de la contrainte τb sur la section de b.a. est repr´esent´ee en Fig. 2.12. En fait, dans la partie de b´eton comprim´e, la contrainte augmente, de mani`ere parabolique pour une section rectangulaire, jusqu’`a l’axe neutre. En bas de celuici, elle ne peut plus augmenter, car le moment statique Sid ne peut pas changer, car le b´eton en traction ne fait pas partie de la section efficace id´eale. Le moment statique, par contre, s’annule soudainement en correspondance des barres d’acier, car elles ram`enent Sid a` z´ero. On voit donc que dans ce mod`ele, il y a toute une zone de b´eton, comprise entre l’axe neutre et les barres d’armature, soumise `a la contrainte de cisaillement maximale, τb , mais pas a` des contraintes normales, car celles-ci, ´etant de traction, ne peuvent pas ˆetre prises en charge par le b´eton. La situation des contraintes de la Fig. 2.10 est donc celle de tous les points entre l’axe neutre et les barres d’acier. La contrainte τb ainsi calcul´ee est normalement compar´ee avec deux valeurs limites, une inf´erieure, τbinf , et une sup´erieure, τbsup , qui d´ependent du type de b´eton, a` savoir de Rck ; si τ ≤ τbinf alors la contrainte tangentielle dans le b´eton, et les contraintes normales principales qui en d´ecoulent, sont si petites que le b´eton est capable de les supporter sans besoin d’armature transversale ; toutefois, les normes sp´ecifient un minimum d’armature a` mettre mˆeme dans ce cas (p. ex. 3 cadres/m). Si τbinf < τ ≤ τbsup , il est n´ecessaire de proc´eder au calcul de l’armature transversale, si finalement τ > τbsup , la section est trop sollicit´e `a l’effort tranchant et il faut la dimensionner a` nouveau, en particulier il faut augmenter b et/ou t. Comme ordre de grandeur, pour un Rck = 300 daN/cm2 , on a τbinf ' 6 daN/cm2 et τbsup ' 10 daN/cm2 .
2.7.2
Mod` ele de calcul des armatures : le treillis de M¨ orsch
Le calcul de l’armature transversale, pour l’effort tranchant, se fait sur un mod`ele de comportement a` la rupture, le treillis de M¨orsch. D’abord, l’armature transversale peut ˆetre de deux types : cadres verticaux, obligatoires en toute circonstance, et barres pli´ees, facultatives. Le mod`ele du treillis de M¨orsch, consid`ere que, a` la suite des contraintes principales de traction provoqu´ees par l’effort tranchant, le b´eton se fissure le long des lignes isostatiques de compression, orthogonales `a celles de traction. Nous avons vu que ces lignes isostatiques, parall`eles aux contraintes principales, sont inclin´ees a` 45◦ sur l’axe horizontal z. Par cons´equent, `a la suite de l’apparition des fissures dues a` l’effort tranchant, le b´eton se trouve comprim´e selon les isostatiques de compression, qui forment 76
comme des faisceaux, des bielles de mati`ere comprim´ee. L’´equilibre peut ˆetre trouv´e si l’on forme un treillis, o` u les barres tendus sont les barres d’armature. Ces barres d’armature, donc, doivent suivre les directions des isostatiques de traction, `a savoir elles doivent ˆetre inclin´ees a` 45◦ sur l’axe z et orthogonales aux isostatiques de compression. Le sch´ema du treillis est compl´et´e en haut par la partie de la section de b´eton en compression, qui repr´esente la membrure sup´erieure en compression du treillis, et en bas par les barres tendues d’acier, qui repr´esentent la membrure inf´erieure, en traction, du treillis, Fig. 2.12. Les barres pli´ees a` 45◦ sont souvent de facile utilisation dans les poutres en b.a. : elles sont les barres utilis´ees a` la flexion a` mi-port´ee de la poutre, qui ne sont plus n´ecessaires vers les appuis, o` u le moment fl´echissant diminue ou change de signe si la poutre est encastr´ee. Alors on les plie a` 45◦ et on les remonte vers les appuis, o` u, en cas de poutre encastr´ee aux extr´emit´es, vont ˆetre utilis´ees pour la flexion aux encastrements, Fig. 2.12.
Figure 2.12: Treillis de M¨orsch pour le cas d’une poutre encastr´ee : sch´ema de calcul des barres pli´ees.
De cette mani`ere, la mˆeme barre est utilis´ee trois fois, de mani`eres diff´erentes, dans la mˆeme poutre, avec l’avantage d’avoir un ancrage optimal. Les barres pli´ees qui se trouvent entre les sections z1 et z2 doivent absorber un effort total ´egal a` S=
Z z2 z1
b τb dz.
(2.75)
D’ailleurs, par la (2.48) et la (2.69) on a aussi 1 Z z2 S= T dz, d z1 et comme, par l’hypoth`ese de poutre `a la Euler-Bernoulli, il est 77
(2.76)
dM → T dz = dM, dz
(2.77)
M (z2 ) − M (z1 ) 1 Z z2 dM = . d z1 d
(2.78)
T = on a finalement S=
Figure 2.13: Treillis de M¨orsch pour le cas d’une poutre encastr´ee : sch´ema de calcul des cadres. Dans le sch´ema du treillis de M¨orsch cet effort, horizontal, est ´equilibr´e par les barres pli´ees, tendues, et par les bielles de b´eton, comprim´ees, Fig. 2.12. Par cons´equent, l’effort total Sp dans les barres pli´ees entre z1 et z2 est M (z2 ) − M (z1 ) S √ ; Sp = √ = 2 d 2
(2.79)
l’aire de la section des barres d’acier n´ecessaire a` r´ealiser les barres pli´ees est donc Ap =
Sp M (z2 ) − M (z1 ) M (z2 ) − M (z1 ) √ √ = ' . 0 0 σa σa d 2 0.9 2 σa0 t
(2.80)
Pour le calcul des cadres, le sch´ema est similaire, voir la Fig. 2.13 ; on obtient alors, pour l’effort Sc dans les cadres, Sc = S =
M (z2 ) − M (z1 ) ; d
(2.81)
on voit donc que les cadres verticaux sont moins efficaces que les barres pli´ees `a 45◦ . L’aire Ac de la section des cadres n´ecessaire `a r´ealiser les cadres a` placer entre 78
les sections z1 et z2 sera donc Ac =
M (z2 ) − M (z1 ) M (z2 ) − M (z1 ) Sc = ' . 0 0 σa σa d 0.9 σa0 t
(2.82)
Les aires d’acier des barres pli´ees et des cadres doivent ensuite ˆetre convenablement distribu´ees entre z1 et z2 . Pour faire ¸ca, d’abord on divise S en deux parties compl´ementaires M (z2 ) − M (z1 ) S= = Sp + Sc . (2.83) d Donc, on calcule Ap et Ac pour Sp et Sc respectivement, et non pas pour l’entier S. Toutefois, si l’on peut choisir Sp = 0, a` savoir de ne pas utiliser des barres pli´ees, il n’est pas possible de poser Sc = 0 : une valeur, soit-elle minimale, de S doit ˆetre confi´ee aux cadres, qui sont obligatoires. Grosso modo, comme valeur de r´ef´erence et de bonne conduite, il est bien d’attribuer au moins la moiti´e de S aux cadres, a` savoir Scmin ' 0.5 S. (2.84) Une fois ´etabli le diam`etre φc des cadres a` mettre entre z1 et z2 , leur nombre nc sera donn´e par 4 Ac , (2.85) nc = ν π φ2c o` u ν est le nombre de bras d’un cadre (le plus souvent ν = 2). Ensuite, on dispose les cadre `a intervalles r´eguliers. Dans ce faire, il vaut mieux observer des r`egles pratiques de bonne r´ealisation : par exemple, la distance mutuelle ne doit pas ˆetre inf´erieure a` 5 cm et sup´erieure a` t/2. Pour ce qui concerne les barres pli´ees, normalement leur diam`etre φp est celui des barres de flexion ; le nombre np de barres a` plier sera donc np =
4 Ap . π φ2p
(2.86)
Si np est sup´erieur au nombre de barres en flexion qu’on peut plier, il vaut mieux, plutˆot qu’ajouter d’autres barres pli´ees, r´eduire la valeur de Ap , `a savoir il vaut mieux utiliser plus de cadres. La distribution des barres pli´ees utilis´ees en flexion doit d’abord satisfaire le diagramme des moments r´esistants, voir paragraphe 2.8, car il est imp´eratif de ne pas soustraire de l’armature a` la flexion l`a o` u elle est n´ecessaire. Ensuite, une bonne r`egle est de faire en sorte que chaque barre pli´ee commence sur la verticale de la pr´ec´edente, pour faire en sorte que si une fissure se forme, on soit sˆ urs qu’elle soit cousue par au moins une barre pli´ee, Fig. 2.14. D’autres r`egles pour l’espacement des barres pli´ees sont celles de subdiviser l’aire du diagramme de T en parties ´equivalentes et de placer chaque barre pli´ee de 79
Figure 2.14: Bonnes r`egles de distribution des barres pli´ees.
sorte `a ce que son centre co¨ıncide avec le barycentre d’une de ces aires. N´eanmoins, la r`egle fondamentale est que le diagramme de T soit compl`etement recouvert par le diagramme de T r´esistant, donn´e par l’apport des cadres et des barres pli´ees, ce qui est montr´e au paragraphe 2.9.
2.8
Le diagramme du moment r´ esistant
Le diagramme des moments r´esistants est une m´ethode graphique pour v´erifier si une poutre en b.a. est bien dimensionn´ee partout par rapport a` la flexion. Le moment r´esistant est le moment limite qu’une section peut supporter ; si l’on assume que c’est l’acier qui entre en crise le premier, a` savoir si l’on est dans le cas de section en acier faible, ce qui est presque toujours le cas, le moment r´esistant MR est tr`es facile `a ˆetre calcul´e : MR = σa0 Aa d ' 0.9 σa0 Aa t.
(2.87)
Pour une poutre `a section constante, ce moment ne peut varier que avec Aa ; si le nombre de barres est constant, MR ne varie donc pas. La v´erification consiste donc `a superposer le diagramme du moment externe, M , et celui de MR : s’il est partout M ≤ MR , alors la poutre est v´erifi´ee, Fig. 2.15. Autrement, il faut changer la disposition des barres l`a o` u M > MR . Un avantage de cette m´ethode, est qu’elle peut prendre en compte automatiquement plusieurs conditions de chargement : il suffit d’utiliser dans la comparaison l’enveloppe de tous les moments fl´echissants correspondants aux diff´erentes conditions de chargement. 80
Figure 2.15: Diagrammes de MR et de TR : un cas typique.
81
2.9
Le diagramme de l’effort tranchant r´ esistant
Le concept du diagramme de l’effort tranchant r´esistant, TR , est le mˆeme : il s’agit de superposer les diagrammes de T et de TR et de contrˆoler que ce soit T ≤ TR partout. Dans le cas de pr´esence de barres pli´ees et cadres, on a TR = TRp + TRc , avec TRp
=
σa0
√ d 2 Ap z2 − z1
(2.88)
(2.89)
l’effort tranchant r´esistant entre z1 et z2 dˆ u aux barres pli´ees, et TRc = σa0 Ac
d z2 − z1
(2.90)
celui dˆ u aux cadres. Le diagramme de TRc est ´evidemment constant o` u l’espacement p des cadres est constant ; la mˆeme chose pour TR , Fig. 2.15.
2.10
Contrˆ ole de l’adh´ erence
L’adh´erence barre–b´eton est un pr´esuppos´e fondamental pour le fonctionnement du b.a. ; il faut donc ˆetre sˆ urs que cette adh´erence puisse se r´ealiser et en particulier que la contrainte tangentielle a` la surface des barres ne soit pas trop ´elev´ee. Entre les sections z et z + dz le moment fl´echissant passe de M a` M + dM et l’effort dans les barres de M F = , (2.91) d a` M + dM F + dF = ; (2.92) d la diff´erence est donc dM T dF = = dz. (2.93) d d Cette force de traction dans les barres existe seulement si T 6= 0, et elle doit ˆetre ´equilibr´ee par la contrainte tangentielle d’adh´erence τad entre l’acier et le b´eton. Si v est le p´erim`etre de toutes les barres, la force d’adh´erence dFad d´evelopp´ee sur la distance dz sera dFad = τad v dz. (2.94) 82
Par l’´equilibre, dF = dFad , on obtient donc la valeur de la contrainte d’adh´erence : τad =
T T ' . vd 0.9 v t
(2.95)
La force de traction dans une barre de diam`etre φ augmente avec φ2 , tandis que v augmente avec φ ; ceci implique que avec les barres de grand diam`etre on a plus de probl`emes d’adh´erence qu’avec les barres de petit diam`etre. Il faut contrˆoler la 0 ; comme ordre contrainte τad avec une valeur, donn´ee par la norme, admissible, τad inf 0 de grandeur, on peut estimer τad ∼ τb . Lorsqu’on arrˆete une barre en flexion, on peut ainsi calculer la longueur lanc de l’ancrage par adh´erence : 2 M πφ4 lanc = 0 . (2.96) τad v d Aa Il est bonne r`egle d’utiliser une longueur d’ancrage au moins ´egale `a 20φ ; par cons´equent, la jonction de deux barres par simple superposition se fait sur une longueur d’au moins 40φ.
83
84
Chapitre 3 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites ultimes 3.1
Introduction
Dans cette m´ethode, l’id´ee est celle de continuer `a contrˆoler l’´equilibre de la structure, mais pas directement, plutˆot `a travers le contrˆole des d´eformations : les ´equations que nous consid´ererons seront toujours des ´equations d’´equilibre, mais nous d´eterminerons des situations critiques, pour une raison ou pour une autre, que nous qualifierons d’´etats limites ultimes (ELU), caract´eris´ees par des valeurs dites limites de la d´eformations des mat´eriaux : le b´eton, l’acier ou les deux ensemble. Chacune de ces situations doit ˆetre regard´ee comme une situation mettant la structure dans un danger intol´erable pour la s´ecurit´e, une situation qui, de mani`ere conventionnelle, est qualifi´ee d’ultime, d’o` u le nom de la m´ethode. La connaissance des d´eformations sur la section permet, par le biais de la loi de comportement, de calculer la distribution des contraintes et a` partir de l`a, par int´egration sur la section, on remonte aux actions internes qui correspondent a` l’´etat limite ultime consid´er´e : on parle alors, par exemple, de moment fl´echissant ultime que la section peut supporter. La v´erification de la section se fait alors en contrˆolant que la valeur de l’action externe, appliqu´ee `a la section, soit inf´erieure a` celle de l’action ultime supportable par la section. Dans d’autres termes, la v´erification se fait dans l’espace des actions internes, et non pas dans celui des contraintes, comme c’est le cas pour la m´ethode classique des contraintes admissibles. Par rapport a` la m´ethode classique, les symboles changent, et comme nous sommes bien oblig´es de prendre les valeurs techniques prescrites dans l’EC2, il va de soit qu’on doit aussi changer de symboles. Voici donc une liste des principaux symboles utilis´es dans la suite : 85
– σc : contrainte normale dans le b´eton – σcp : contrainte de compression dans le b´eton due `a un effort normal – σcu : contrainte de compression dans le b´eton correspondant `a la d´eformation ultime en compression εcu – σs : contrainte normale dans l’acier – εc : d´eformation en compression du b´eton – εc1 : d´eformation en compression du b´eton au pic de contrainte fc – εc : d´eformation ultime en compression du b´eton – εu : d´eformation de l’acier sous charge maximale – εuk : valeur caract´eristique de la d´eformation de l’acier sous charge maximale – τc : contrainte tangentielle dans le b´eton – fc : r´esistance en compression du b´eton – fcd : valeur de calcul de la r´esistance en compression du b´eton – fck : r´esistance caract´eristique en compression du b´eton, m´esur´ee sur cylindre a` 28 jours – fcm : valeur moyenne de la r´esistance en compression du b´eton, mesur´ee sur cylindre – fctk : r´esistance caract´eristique en traction directe du b´eton – fctm : valeur moyenne de la r´esistance en traction directe du b´eton – f0,2k : valeur caract´eristique de la limite d’´elasticit´e conventionnelle a` 0,2 % de l’acier – ft : r´esistance en traction de l’acier – ftk : r´esistance caract´eristique en traction de l’acier – fy : limite d’´elasticit´e de l’acier – fyd : limite d’´elasticit´e de calcul de l’acier – fyk : limite caract´eristique d’´elasticit´e de l’acier – fywd : limite d’´elasticit´e de calcul de l’acier des armatures d’effort tranchant – Ac : aire de la section de b´eton – As : aire de la section des barres d’acier en traction – As,min : aire de la section minimale des barres d’acier en traction – A0s : aire de la section des barres d’acier en compression – I : moment d’inertie de la section de b´eton – Ec : module d’Young tangent a` l’origine du b´eton – Ec,ef f : module d’Young effectif du b´eton – Ecd : valeur de calcul du module d’Young du b´eton – Es : valeur de calcul du module d’Young de l’acier – Nd : valeur de calcul de l’effort normal – Vd : valeur de calcul de l’effort tranchant – Md : valeur de calcul du moment fl´echissant – b : largeur d’une section rectangulaire ou de la table de compression d’une
86
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
3.2
poutre en T bw : largeur de l’ˆame d’une poutre en T h : hauteur totale d’une section rectangulaire ou en T c : hauteur de l’enrobage en traction c0 : hauteur de l’enrobage en compression d : hauteur utile d’une section rectangulaire ou en T s : ´epaisseur de la table de compression dans une section en T x : hauteur de la zone comprim´ee e : excentricit´e A : action accidentelle F : action Fd : valeur de calcul d’une action Fk : valeur caract´eristique d’une action Gk : valeur caract´eristique d’une action permanente Qk : valeur caract´eristique d’une action variable φ : diam`etre d’une barre d’acier γA : coefficient partiel relatif aux actions accidentelles A γF : coefficient partiel relatif aux actions F γG : coefficient partiel relatif aux actions permanentes G γQ : coefficient partiel relatif aux actions variables Q γC : coefficient partiel relatif au b´eton γS : coefficient partiel relatif a` l’acier ψ : coefficients d´efinissant les valeurs repr´esentatives des actions variables : – ψ0 : pour les valeurs de combinaison – ψ1 : pour les valeurs fr´equentes – ψ2 : pour les valeurs quasi-permanentes
Hypoth` eses du mod` ele
Les principales hypoth`eses du mod`ele de calcul sont : – – – –
hypoth`ese des petites perturbations (h.p.p.) ; mod`ele de poutre d’Euler-Bernoulli : conservation des sections planes ; adh´erence parfaite entre b´eton et acier, jusqu’`a l’ELU ; r´esistance `a la traction nulle pour le b´eton ;
Contrairement a` la m´ethode classique, la loi de comportement du b´eton n’est pas lin´eaire, afin de mieux repr´esenter le comportement r´eel du mat´eriau, voir infra. 87
3.3 3.3.1
Mat´ eriaux B´ eton
Les caract´eristiques m´ecaniques du b´eton sont donn´ees dans le Tableau 3.1 de l’EC2, voir Fig. 3.1, en fonction de fck , qui est donc le param`etre mat´eriau fondamental pour identifier un b´eton du point de vue du calcul de la structure. La r´esistance de calcul en compression est d´efinie comme fcd = αcc
fck , γC
(3.1)
o` u: – αcc = 1 est un coefficient tenant compte des effets a` long terme sur la r´esistance en compression et des effets d´efavorables r´esultant de la mani`ere dont la charge est appliqu´ee – γC = 1,5 pour les actions transitoires ou durables ; 1,2 pour les actions accidentelles Donc, par exemple, pour un b´eton fck = 30, fcd = 20 MPa pour les actions durables ou transitoires et fcd = 25 MPa pour les accidentelles. La r´esistance de calcul en traction est d´efinie comme fctd = αct
fctk,0,05 , γC
(3.2)
o` u αct = 1 est un coefficient tenant compte des effets `a long terme sur la r´esistance en traction et des effets d´efavorables r´esultant de la mani`ere dont la charge est appliqu´ee. Donc, par exemple, pour un b´eton fck = 30, fctd = 1, 33 MPa pour les actions durables ou transitoires et fctd = 1, 66 MPa pour les accidentelles. La loi de comportement a` utiliser pour le calcul des sections est (les d´eformations de compression sont a` prendre comme positives) : h
σc = fcd 1 − 1 − σc = fcd ,
εc εc2
n i
,
si 0 ≤ εc < εc2 , (3.3)
si εc2 ≤ εc ≤ εcu2 .
Ici il est : – n : exposant ; – εc2 : d´eformation atteinte pour la contrainte maximale ; – εcu2 : d´eformation ultime ; toutes ces quantit´es sont donn´ees en par le Tableau 3.1 de l’EC2. La loi (3.3) est repr´esent´ee en Fig. 3.2. Normalement, n = 2, ce qui donne une loi parabolerectangle. 88
Figure 3.1: Caract´eristiques m´ecaniques du b´eton : Tableau 3.1 de l’EC2. 89
Figure 3.2: Loi de comportement du b´eton pour le calcul des sections ; figure 3.3 de l’EC2.
En ce qui concerne la r´esistance moyenne a` la traction en flexion, elle d´epend de la r´esistance moyenne en traction directe et de la hauteur de la section droite. On peut appliquer la formule suivante : (
fctm,f l = max
!
)
h fctm ; fctm , 1, 6 − 1000
(3.4)
avec h l’hauteur de la section, en mm, et fctm est donn´e par le Tableau 3.1 de l’EC2. Finalement, l’EC2 prend en consid´eration le cas du b´eton confin´e, par exemple par cerclage. Le confinement du b´eton entraˆıne une modification de la loi de comportement : la r´esistance et la d´eformation ultime sont toutes deux sup´erieures. En particulier, on peut consid´erer la loi d´ecrite en Fig. 3.3, avec
pour σ2 ≤ 0, 05fck ,
pour σ2 > 0, 05fck ,
fck,c = fck 1, 000 + 5, 0 fσck2 fck,c = fck 1, 125 + 2, 5 fσck2 εc2,c = εc2
fck,c 2 fck
(3.5)
εcu2,c = εcu2 + 0, 2 fσck2 , avec σ2 la contrainte effective de compression lat´erale a` l’ELU due au confinement. 90
Figure 3.3: Loi de comportement du b´eton confin´e ; figure 3.6 de l’EC2.
3.3.2
Acier
L’acier doit avoir une ductilit´e ad´equate, d´efinie par le rapport k de la r´esistance en traction a` la limite d’´elasticit´e, k = (ft /fy )k ,
(3.6)
et par l’allongement sous charge maximale εuk . Diagrammes typiques de la loi de comportement de l’acier pour b´eton arm´e sont montr´es en Fig. 3.4.
Figure 3.4: Lois de comportement typiques pour l’acier ; figure 3.7 de l’EC2. Les calculs sont fait en d´eduisant les valeurs de calcul de celles caract´eristiques donn´ees dans le Tableau C2.N, Annexe C de l’EC2, Fig. 3.5. 91
Annexe C (normative) Propriétés des armatures compatibles avec l'utilisation du présent Eurocode C.1 Généralités (1) Le Tableau C.1 donne les propriétés des armatures compatibles avec l'utilisation du présent Eurocode. Les propriétés sont valables pour des températures des armatures dans la structure terminée comprises entre - 40 °C et 100 °C. En outre, il convient de restreindre tout pl iage et tout soudage des armatures effectués sur le chantier aux champs de température tels qu'autorisés dans l' EN 13670 .
Tableau C.1 Propriétés des armatures Figure 3.5: Propri´ et´ es des armatures ; Tableau C2.N, Annexe C de l’EC2.
NOTE Les valeurs d'étendue de contrainte en fatigue avec leur limite supérieure de ! f yk , et la surface projetée des verrous, à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale . Les valeurs recommandées sont données dans le Tableau C.2N . La valeur de ! à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est ! = 0,6.
En ce qui concerne la valeur de εud , l’EC2 prescrit que εud = 0, 9εuk ,
(3.7)
tandis que fyd =
fyk . γs
(3.8)
εyd =
fyd . Es
(3.9)
On pose aussi
Normalement, on peut choisir parmi les deux lois de comportement suivantes, 17/05/2013 12:18 Fig. 3.5 : – branche sup´erieure inclin´ee, avec une limite de d´eformation ´egale a` εud et une contrainte maximale k fyk /γs pour εuk ; l’´equation de la loi de comportement est alors 193 sur 213
σs = Es εs , h
pour 0 ≤ ε ≤ εyd ; E ε−f
i
σs = fyd 1 + (k − 1) Es εsuk −fydyd , 92
pour εyd < ε ≤ εud ;
(3.10)
– branche sup´erieure horizontale ; dans ce cas l’´equation de la loi de comportement est σs = Es εs , pour 0 ≤ ε ≤ εyd ; (3.11) σs = fyd , pour εyd < ε ≤ εud ;
Figure 3.6: Lois de comportement pour l’acier ; figure 3.8 de l’EC2. Le poids de l’acier est 7850 daN/m3 , et le module d’Young Es = 200 GPa. Le coefficient partiel γs vaut 1,15 pour les actions durables ou transitoires, et 1 pour les accidentelles. Si par exemple on prends un acier fyk = 400 MPa, alors fyd = 347, 8 MPa et la d´eformation de calcul `a la limite d’´elasticit´e est fyd /Es = 0, 0017. Etant donn´e que εcu2 = 0, 0035, on peut avoir de l’armature plastifi´e aussi en compression.
3.4
Le stress block
Les sections restant planes, le diagramme des d´eformations est lin´eaire, mais celui des contraintes non, parce que la loi de comportement ne l’est pas. Toutefois, l’EC2 permet une simplification : les contraintes peuvent ˆetre consid´er´ees constantes sur une hauteur inf´erieure a` celle de l’axe neutre x, voir Fig. 3.7. En particulier : η = 1 si fck ≤ 50MPa, η =1−
fck −50 200
si 50 < fck ≤ 90MPa; (3.12)
λ = 0, 8 si fck ≤ 50MPa, λ = 0, 8 −
fck −50 400
si 50 < fck ≤ 90MPa. 93
NOTE Si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la fibre extrême la plus comprimée, il de réduire "f cd de 10 %.
Figure 3.7:rectangulaire Le stress-block Figure 3.5 Diagramme
3.5
; figure 3.5 de l’EC2.
3.1.8 Résistance à la traction en flexion (1) La résistance moyenne à la traction en flexion des éléments en béton armé dépend de leur résistance m traction directe et de la hauteur de leur section droite. On peut appliquer la formule suivante :
Adimensionnement
Normalement, on d´eveloppe les calculs a` l’aide des quantit´es adimensionnelles suivantes, qui se rapportent au cas d’une section rectangulaire en double armature, 3.8 (tous les d´eveloppements qui suivent sont relatifs `a ce cas) : 29 Fig. sur 213 – ξ = xd : position axe neutre (depuis l’extrados) – δ1 = dd1 : position barres inf´erieures (depuis l’intrados) – δ2 = dd2 : position barres sup´erieures (depuis l’extrados) – ρ1 = Abds1 : aire barres inf´erieures – ρ2 = Abds2 : aire barres sup´erieures As1 fyd – ω1 = bdf : rapport m´ecanique des barres inf´erieures cd – – – –
A f
s2 yd ω2 = bdf : rapport m´ecanique des barres sup´erieures cd ω2 χ = ω1 : rapport m´ecanique des deux armatures s1 : rapport des contraintes pour les barres inf´erieures α1 = σfyd σs2 α2 = fyd : rapport des contraintes pour les barres sup´erieures
Nd – νd = bdf : rapport d’effort normal de calcul cd Md – µd = bd2 fcd : rapport de moment de flexion de calcul Nu – νu = bdf : rapport d’effort normal ultime cd – µu = bdM2 fucd : rapport de moment de flexion ultime A remarquer que, par la compatibilit´e des d´eformations, a` savoir par leur lin´earit´e sur la section, il est
x εcmax
=
d−x εs1
→ξ=
x 1 = . d 1 + εcεs1 max
94
(3.13)
b d2
Αs2 h d
x
Αs1
d1
Figure 3.8: Section rectangulaire en armature double.
Ici et dans la suite, on a consid´er´e comme positives les d´eformations εs si de traction, et εc si de compression ; en outre, εs1 indique la d´eformation dans les barres tendues (les barres inf´erieures dans les figures qui suivront) et εs2 celle dans les barres comprim´ees (sup´erieures).
3.6
Champs de rupture
La m´ethode de calcul aux ELU des sections de b´eton arm´e, par rapport aux contraintes normales, provoqu´ees par la flexion simple ou la flexion compos´ee, se base sur un contrˆole des d´eformations normales, dans le b´eton et dans l’acier. En fonction de la valeur de ces d´eformations, on peut d´efinir des conditions limites diff´erentes, chacune d´efinissant ce qu’on appelle un champ de rupture. En particulier, il y a 6 champs de rupture possibles, voir Tableau 3.1. Les champs de rupture sont repr´esent´es en Fig. 3.9. Trois points, les pivots, sont indiqu´es en figure : A, B et C. Un ELU de la section correspond a` une droite, repr´esentant la d´eformation normale sur la section, qui passe par un de ces trois points. Les pivots correspondent : le pivot A, `a la d´eformation limite dans l’acier, le pivot B `a celle dans le b´eton, et C encore `a celle dans le b´eton mais en cas de compression simple (la norme consid`ere, avec pr´ecaution, qu’en cas de compression simple la d´eformation limite admissible dans le b´eton doit ˆetre inf´erieure, parce que, contrairement a` ce qui se passe en flexion simple ou compos´ee, o` u la d´eformation maximale n’est atteinte qu’`a l’extr´emit´e de la section, en cas de compression simple la d´eformation est uniforme sur la section toute enti`ere). Donc, un ELU correspond 95
Table 3.1: Champs de rupture Champ
ξ
εs
εc
Sollicitation
D´ef. lim. εud
Crise cˆot´e Acier
1
−∞ < ξ ≤ 0
εud
−
2
0 < ξ ≤ ξb
”
0 ≤ εc ≤ εcu2
3
ξb < ξ ≤ ξc
εyd < εs1 ≤ εud
εcu2
Tract. simple ou e petite Flex. simple ou comp. ”
”
”
”
εud et ou εcu εcu
Acier et ou b´eton B´eton
4
ξc < ξ ≤ 1
0 < εs1 ≤ εyd
”
5
1 < ξ ≤ 1 + δ1
<0
”
Flex. comp.
”
”
6
1 + δ1 < ξ
<0
εc2 ≤ εc ≤ εcu2
”
”
”
a` un cas o` u on a la d´eformation limite ultime dans l’un des deux mat´eriaux, ou dans tous les deux. Voici la situation dans les diff´erents champs de rupture (soit Md ≥ 0, pour fixer les id´ees) : – Champ 1 : traction simple ou flexion et traction, mais en tout cas avec la section toute en traction ; l’ELU est atteint par traction limite dans l’acier, εs1 = εud , `a savoir lorsque la droite de d´eformation passe par le pivot A ; – Champ 2 : flexion simple ou compos´ee ; l’ELU est atteint par d´eformation limite dans l’acier, εs1 = εud , pivot A, ou par d´eformation limite aussi dans le b´eton, εc = εcu2 , cas limite de la droite b, par les pivots A et B ; le champ 2 peut ˆetre divis´e en deux parties : – Champ 2’ : acier As2 en phase ´elastique, |εs2 | ≤ εyd ; – Champ 2” : acier As2 en phase plastique, |εs2 | > εyd ; – Champ 3 : flexion simple ou compos´ee ; l’ELU est atteint par d´eformation limite dans le b´eton, εc = εcu2 , pivot B, tandis que l’acier est encore en phase plastique mais pas a` la d´eformation limite, εyd ≤ εs1 < εud ; – Champ 4 : flexion simple ou compos´ee ; c’est comme le champ 4, mais cette fois l’acier est en phase ´elastique, εs1 < εyd ; – Champ 5 : l’acier As1 devient comprim´e, et ξ ≥ 1 : c’est forcement un cas de flexion compos´ee ; l’ELU est encore atteint par d´eformation limite dans le b´eton, εc = εcu2 , pivot B ; – Champ 6 : l’axe neutre sort de la section du cˆot´e inf´erieur, ξ ≥ 1 + δ1 : il s’agit de flexion compos´ee avec centre de pression interne au noyau central 96
!
%$
B
!"&$ ! '! !!
1
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2’ 3
!"#$ "(!
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b’
2’’
b
c
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d
C
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Figure 3.9: Champs de rupture, droites limites et pivots.
d’inertie de la section, qui est donc compl`etement comprim´ee ; dans ce cas, l’EC2 ´etabli que l’ELU correspond au cas de section toute comprim´ee avec εc = εc2 au niveau du pivot C ; tous les couples (νu , µu ) r´esultant d’´etats de d´eformation du champ 6 s’obtiennent a` partir de droites qui pivotent autour de C, et non pas autour de B ; le champ 6 `a son tour peut ˆetre divis´e en deux parties : – Champ 6’ : acier As1 en phase ´elastique, |εs1 | ≤ εyd ; – Champ 6” : acier As1 en phase plastique, |εs1 | > εyd . Finalement, les champs de plus grand int´erˆet sont le 2, 3 et 4, o` u on peut avoir de la flexion simple ou compos´ee ; la droite de travail id´eale est la droite b, qui passe par les deux pivots A et B, et qui correspond donc a` un ´etat o` u l’on exploite au maximum les deux mat´eriaux. Toutefois, c’est aussi la droite `a laquelle correspond la plus grande rotation de la section, donc la plus grande d´eflexion de la poutre. On peut calculer la valeur de ξ correspondant a` chacune des droites de fronti`ere entre un champ de rupture et l’autre. Ces valeurs de ξ ne d´ependent que des propri´et´es g´eom´etriques et m´ecaniques de la section. – Droite verticale par A : traction simple ξ = −∞
(3.14)
ξ=0
(3.15)
– Droite a
97
"#!
– Droite b0
– Droite b
– Droite c
εud εyd εud δ2 + εyd = → ξb0 = d−x x − d2 εud + εyd
(3.16)
εud εcu2 εcu2 = → ξb = x d−x εud + εcu2
(3.17)
εcu2 εyd εcu2 = → ξc = x d−x εyd + εcu2
(3.18)
ξd = 1
(3.19)
ξe = 1 + δ1
(3.20)
εc2 h; hc = 1 − εcu2
(3.21)
– Droite d – Droite e – Droite e0 : l’EC2 d´efinit
avec les valeurs recommand´ees pour εc2 (= 0, 002) et pour εcu2 (= 0, 0035), on a hc = 73 h et en g´en´eral
c2 εc2 − εyd 1 − εεcu2 (1 + δ1 ) x−d x − hc = → ξe0 = εyd εc2 εc2 − εyd
(3.22)
– Droite f : droite verticale par C, compression simple ξe = ∞
3.7
(3.23)
Equations
Nous allons dans la suite utiliser le stress block et la loi de comportement (3.11) pour l’acier dans l’´ecriture des ´equations pour une section rectangulaire en armature double, Fig. 3.8. Les ´equations dont on dispose sont : – ´equation de compatibilit´e des d´eformations (lin´earit´e des d´eformations) : x εcmax
=
d−x ; εs1
(3.24)
– ´equation d’´equilibre a` l’effort normal : ληfcd bx − As1 σs1 − As2 σs2 = N ; 98
(3.25)
– ´equation d’´equilibre a` la flexion (´ecrite ci de suite autour du centre de la section) : !
!
h h 1 ληfcd bx(h − λx) + As1 σs1 − d1 − As2 σs2 − d2 = M. 2 2 2
(3.26)
En utilisant les relations introduites au paragraphe 3.5, on peut facilement ´ecrire les ´equations en forme adimensionnelle, qui seront, dans l’ordre : εcmax ; (3.27) ξ= εcmax + εs1 ληξ − α1 ω1 − α2 ω2 = ν;
(3.28)
1 [ληξ(1 + δ1 − λξ) + α1 ω1 (1 − δ1 ) − α2 ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] = µ. 2
3.8 3.8.1
(3.29)
Flexion simple Probl` eme de v´ erification
Dans un tel probl`eme toutes les donn´ees concernant la section sont connues (g´eom´etrie, dimensions, mat´eriaux), et aussi Nd = νd = 0. Il faut calculer le moment ultime que la section peut porter, Mu et le comparer avec le moment de calcul, Md ; la section est v´erifi´ee si Md ≤ Mu ,
(3.30)
µd ≤ µu .
(3.31)
ou, en forme non dimensionn´ee, si
La v´erification se fait donc dans l’espace des sollicitations, non pas dans ce lui des contraintes, ni dans celui des d´eformations. Le premier pas du processus de calcul consiste a` d´eterminer dans quel champ de rupture se positionne le diagramme de la d´eformation ε. Pour ce faire, on compare la valeur de ω1 avec celle des droites limite b0 , b et c (on rappelle que la flexion simple ne peut se situer que dans les champs 2, 3 et 4). Si l’on introduit dans l’´equation d’´equilibre a` l’effort normal en forme adimensionn´ee le rapport m´ecanique des deux armatures χ, quantit´e connue, alors de celle-ci on peut calculer ω1 : ληξ − ω1 (α1 + χα2 ) = 0 → ω1 =
ληξ . α1 + χα2
En outre, en correspondance des droites b0 , b et c : 99
(3.32)
– pour toutes les droites de pivot A, l’acier As1 est plastifi´e, et donc α1 = 1 ; – pour toutes les droites entre la b0 et la c, mˆeme l’acier As2 est plastifi´e, mais en compression, donc α2 = −1. Alors, par la (3.32), on a : ω1 (b0 ) =
ληξb0 , 1−χ
(3.33)
ω1 (b) =
ληξb , 1−χ
(3.34)
ω1 (c) =
ληξc . 1−χ
(3.35)
En ce qui concerne la section a` v´erifier, la valeur de ω1 est d´etermin´ee par la g´eom´etrie, et c’est donc une valeur connue : As1 fyd ; bdfcd
ω1 =
(3.36)
on peut donc savoir dans quel champ de rupture se situe la droite des d´eformations ; quatre cas sont possibles : i. Champ de rupture 2’ : ω1 < ω1 (b0 ) Les droites limites passent par le pivot A. Les inconnues sont µ, ξ et α2 . On va introduire alors une ´equation de compatibilit´e de ε dans laquelle α2 apparaˆıt : εs2 εud =− , d−x x − d2
(3.37)
ce qui donne x − d2 d−x = −εs2 , d d est encore en phase ´elastique, on a εud
et comme en 2’ As2
εud
x − d2 σs2 fyd d − x =− ; d Es fyd d
comme α2 = on obtient α2 = −
σs2 , fyd
εud ξ − δ2 . εyd 1 − ξ
100
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
On injecte ce dernier r´esultat dans l’´equation d’´equilibre `a l’effort normal (3.28), et on obtient εud ξ − δ2 ληξ − α1 ω1 + = 0; (3.42) εyd 1 − ξ dans cette ´equation, α1 = 1 ; la (3.42) est une ´equation de second degr´e en ξ ; une fois r´esolue, on injecte la valeur de ξ ∈ [0, ξb0 ] dans la (3.41) ; la valeur de α2 ainsi obtenue est ensuite inject´ee dans l’´equation d’´equilibre a` la flexion (3.29), pour finalement obtenir la valeur de µu , et effectuer la v´erification (3.31). ii. Champ de rupture 2” : ω1 (b0 ) ≤ ω1 ω1 (b) Les droites limites passent encore par le pivot A. Les inconnues sont µu , ξ et εcmax . Dans ce champ, α1 = 1 et α2 = −1 ; l’´equation d’´equilibre `a l’effort normal (3.28) donne alors ω1 − ω2 . (3.43) ξ= λη On injecte donc cette valeur dans l’´equation d’´equilibre a` la flexion (3.29), pour obtenir µu ; par l’´equation de compatibilit´e (3.27) on obtient aussi εcmax , en y injectant la valeur (3.43) de ξ et εs1 = εud : εcmax = εud
ξ . 1−ξ
(3.44)
iii. Champ de rupture 3 : ω1 (b) < ω1 ≤ ω1 (c) Les droites limite passent par le pivot B. Les inconnues sont µu , ξ et εs1 ; il est encore α1 = 1 et α2 = −1 et la (3.43) est encore valable. De mˆeme, par la (3.29) on a encore µu et comme maintenant εcmax = εcu2 la (3.27) donne εs1 = εcu2
1−ξ . ξ
(3.45)
iv. Champ de rupture 4 : ω1 (c) < ω1 Les droites limite passent par le pivot B. Les inconnues sont µu , ξ et α1 ; on va alors introduire une ´equation de compatibilit´e de ε dans laquelle α1 apparaˆıt : εs1 εcu2 σs1 fyd d−x = → = εs1 = εcu2 , d−x x Es fyd x
(3.46)
ce qui donne α1 =
εcu2 1 − ξ . εyd ξ 101
(3.47)
On injecte cette valeur dans l’´equation d’´equilibre a` l’effort normal (3.28) et en consid´erant que dans le champ α2 = −1, devient !
εcu2 εcu2 ξ− = 0, ληξ + ω2 + εyd εyd 2
(3.48)
d’o` u on tire la valeur de ξ, ξc ≤ ξ < 1, et on le remplace dans la (3.47) pour avoir α1 ; les deux valeurs ainsi obtenues sont inject´ees dans l’´equation d’´equilibre `a la flexion (3.29) pour calculer µu .
3.8.2
Probl` eme de dimensionnement
Dimensionner par rapport `a un ´etat limite ultime implique la connaissance de Md , le moment de dimensionnement, et des caract´eristiques des mat´eriaux, `a savoir de fcd et fyd ; les inconnues sont b, d, As1 et As2 . L’avantage par rapport a` la m´ethode classique, est que avec l’approche a` l’ELU il est possible, et mˆeme n´ecessaire, de choisir la ductilit´e de la section. Dans d’autres termes, il faut choisir le diagramme limite de ε pour lequel dimensionner la structure. La cons´equence de ¸ca, est qu’on perd une ´equation, celle de compatibilit´e de la d´eformation. On reste donc avec 2 ´equations et 4 inconnues ; on en fixe donc 2, g´en´eralement la largeur de la section, b, et le rapport m´ecanique des armatures, χ. Le meilleur choix (celui qui maximise la ductilit´e et l’utilisation des deux mat´eriaux), correspond a` la droite b, de s´eparation entre les champs 2 et 3. Une fois ξ fix´e, l’´equation d’´equilibre a` l’effort normal (3.28) donne (le choix de ξ fixe aussi les valeurs de α1 et α2 ) : ω1 =
ληξ , α1 + α2 ξ
(3.49)
et donc, ayant fix´e χ, ω2 = χω1 ;
(3.50)
de ces deux valeurs on calcul ais´ement les sections d’acier As1 et As2 . Finalement, l’´equation d’´equilibre `a la flexion (3.29) permet de calculer µd (δ1 et δ2 doivent ˆetre fix´es), et de cette valeur on d´eduit s
d=
Md . µd b fcd
102
(3.51)
µ P5 P6
P4
P7
µd
P3 P2
P8
P1
νd
ν
Figure 3.10: Courbe d’interaction ultime
3.9 3.9.1
Flexion compos´ ee Probl` eme de v´ erification
La v´erification en cas de flexion compos´ee se fait en contrˆolant que le point (νd , µd ) soit interne au domaine d´elimit´e par la courbe (µu , νu ), la courbe d’interaction ultime : celle-ci est la courbe form´ee par tous les points qui repr´esentent des combinaisons de νu et µu donnant lieu a` un ´etat limite ultime. Cette courbe se trace par points, et elle est du type en Fig. (3.10). Les points P1 a` P8 indiqu´es en Fig. (3.10) sont ceux qui correspondent aux droites limites des champs de rupture (on ne consid´erera que le cas de µd ≥ 0, le cas µd < 0 est analogue). Evidemment, pour am´eliorer la qualit´e de la courbe, d’autres points peuvent ˆetre trac´es. Les ´equations sont toujours les (3.27), (3.28) et (3.29). Voyons donc comment on peut d´eterminer les 8 points P1 a` P8 . P1 : c’est le point o` u la courbe coupe l’axe horizontal du cˆot´e n´egatif, donc µu (1) = 0 ; c’est le cas de traction pure. De l’´equation d’´equilibre a` la flexion (3.29), o` u on ne prend en compte que l’acier car le b´eton, tendu, ne peut pas ˆetre pris en 103
compte, on tire la relation α1 = α2
ω2 1 + δ1 − 2δ2 , ω1 1 − δ1
(3.52)
qui donne α1 en fonction de α2 . L’´equation d’´equilibre a` l’effort normal (3.28) donne alors 1 − δ2 . (3.53) νu (1) = −2α2 ω2 1 − δ1 En traction simple, a` l’´etat limite il est α2 = 1, tandis que α1 ≤ 1 ; par exemple, si δ1 = δ2 , alors α1 = ω2 /ω1 . P2 : c’est le point o` u on a la traction la plus grande possible sur la section, qui est encore totalement en traction : P2 ∈ champ 1, le centre de traction est interne aux armatures. La plus grande traction s’obtient lorsque les deux armatures sont en phase plastique : α1 = α2 = 1, ce qui donne, par la (3.28), νu (2) = −(ω1 + ω2 ).
(3.54)
A noter que si ω1 = ω2 , νu (2) = νu (1) : le point de plus forte traction se trouve sur la droite µu = 0, a` savoir en traction pure (ce qui est ´evident, pour des raisons de sym´etrie). La (3.29) donne le moment correspondant µu (2) =
1 [ω1 (1 − δ1 ) − ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] . 2
(3.55)
P3 : c’est le point o` u ξ = 0, s´eparation entre les champs 1 et 2. On consid`ere P3 ∈ champ 1 ; de la (3.41) on obtient α2 = δ2
εud , εyd
(3.56)
qui, inject´e avec la valeur α1 = 1 dans la (3.28) et dans la (3.29), donne νu (3) = −ω1 − δ2 ω2 "
εud , εyd
(3.57) #
εud 1 µu (3) = ω1 (1 − δ1 ) − δ2 ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . 2 εyd
(3.58)
P4 : c’est le point de fronti`ere entre les champs 2 et 3 ; ici, α1 = 1 et α2 = −1, tandis que ξ = ξb , (3.17). En injectant ces valeurs dans la (3.28) et dans la (3.29) on obtient εcu2 νu (4) = λη − ω1 + ω2 , (3.59) εud + εcu2 104
1 εcu2 εcu2 µu (4) = λη (1 + δ1 − λ ) + ω1 (1 − δ1 ) + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . 2 εud + εcu2 εud + εcu2 (3.60) P5 : c’est le point de fronti`ere entre les champs 3 et 4. Encore, α1 = 1 et α2 = −1, tandis que ξ = ξc , (3.18). Donc, en proc´edant de la mani`ere usuelle, on obtient εcu2 − ω1 + ω2 , (3.61) νu (5) = λη εyd + εcu2
"
#
εcu2 εcu2 1 λη (1 + δ1 − λ ) + ω1 (1 − δ1 ) + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . µu (5) = 2 εyd + εcu2 εyd + εcu2 (3.62) P6 : c’est le point de fronti`ere entre les champs 4 et 5. Maintenant, ξ = 1, α1 = 0 et α2 = −1. On a donc νu (6) = λη + ω2 ,
(3.63)
1 [λη(1 + δ1 − λ) + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] . (3.64) 2 P7 : c’est le point de fronti`ere entre les champs 5 et 6. Maintenant, ξ = 1 + δ1 , α2 = −1 tandis que α1 est donn´e par l’´equation de compatibilit´e : µu (6) =
εs1 = −εcu2
δ1 εs1 Es εcu2 δ1 → α1 = =− , 1 + δ1 fyd εyd 1 + δ1
(3.65)
d’o` u, par les ´equations d’´equilibre (3.28) et (3.29), νu (7) = λη(1 + δ1 ) + ω1
εcu2 δ1 + ω2 ; εyd 1 + δ1
"
(3.66) #
1 εcu2 δ1 (1 − δ1 ) µu (7) = λη(1 − λ)(1 + δ1 )2 − ω1 + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . (3.67) 2 εyd 1 + δ1 P8 : c’est le point de compression pure : µu (8) = 0 et ξ → ∞ ; il vaut mieux donc passer par l’´equation d’´equilibre a` la compression (3.25) dans laquelle on ins`ere x = h = d + d1 . Acier et b´eton sont plastifi´es, α1 = α2 = −1, et donc on obtient νu (8) = 1 + δ1 + ω1 + ω2 . (3.68)
3.9.2
Probl` eme de dimensionnement
On se borne a` consid´erer le cas de projet des armatures : b, d, d1 et d2 sont fix´es `a priori, comme le choix des mat´eriaux. Les courbes d’interaction sont les mˆemes pour toutes les sections ayant les mˆemes caract´eristiques g´eom´etriques, et 105
on les trouve d´ej`a trac´ees (p. ex. pour le cas de section sym´etrique, Fig. 3.11). De la (3.28) on peut calculer la valeur de ξ : ξ=
νd + α1 ω1 + α2 ω2 ; λη
(3.69)
en rempla¸cant cette valeur dans la (3.29) on obtient : 1 [(νd + α1 ω1 + α2 ω2 )(1 + δ1 − λξ) + α1 ω1 (1 − δ1 ) − α2 ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] . 2 (3.70) Cette derni`ere ´equation montre que, pour une valeur choisie de ξ, µd est une fonction lin´eaire de νd ; par cons´equent, les droites du plan (ν, µ) repr´esentent des diagrammes de ε pour une valeur choisie de ξ, `a savoir de la position de l’axe neutre, Fig. 3.11. Les courbes d’interaction sont parametr´ees en fonction de ω1 , pour une valeur de χ donn´ee ; donc, une fois fix´e ξ (encore une fois on choisit la ductilit´e de la section), pour le point (νd , µd ) donn´e, on trouve sur les graphiques, ´eventuellement par interpolation, ω1 , et donc ω2 . Finalement, µd =
Asi = bdωi
3.10
fcd , fyd
i = 1, 2.
(3.71)
Flexion compos´ ee pour une section de forme quelconque
Consid´erons a` pr´esent le cas le plus g´en´eral possible : le calcul de v´erification d’une section de forme quelconque, soumise a` de la flexion compos´ee droite, avec plusieurs niveaux (lits) d’armature possibles ; nous consid´erons aussi le diagramme parabole rectangle pour le b´eton et le diagramme avec ´ecrouissage pour l’acier. Dans ce cas, n’ayant pas a` disposition des grandeurs significatives bien d´etermin´ees, on ne peut pas introduire des grandeurs adimensionnelles. D’une mani`ere g´en´erale, le principe de calcul ne change pas : la courbe d’interaction ultime s’obtient par points, chacun correspondant a` la crise produite par un des m´ecanismes de crise, `a savoir par une droite de la d´eformation qui passe par un des trois pivots, A, B ou C. Il est n´ecessaire d’organiser le calcul de mani`ere num´erique : la section doit ˆetre divis´ee en n bandelettes horizontales, d’´egale hauteur (petite) ∆y ; pour chaque bandelette i, grˆace `a la g´eom´etrie de la section, on calcule sa position yi , sa largeur bi et donc l’aire de sa surface, bi ∆y ; ensuite, chacun des m lits d’armature est caract´eris´e par son aire Aj et sa position sur la verticale, yj . 106
Figure 3.11: Abaques de calcul pour une section rectangulaire en armature sym´etrique
Ensuite, chaque point de la courbe d’interaction correspond `a une valeur choisie de la position de l’axe neutre x. On fait donc progresser x de −∞ a` +∞, avec une scansion ∆x choisie. Dans ce faire, on commence par les droites de d´eformation qui passent par le pivot A et on progresse jusqu’`a atteindre l’inclinaison de la droite qui passe par le pivot B. Ici, on continue `a faire ´evoluer x mais en pivotant autour de B, jusqu’`a arriver a` la droite qui passe par le pivot C. A ce point, on continue a` incr´ementer x, mais en faisant tourner la droite des d´eformations autour de C. En se rapportant a` la Fig. 3.12, les ´equations sont donc : – compatibilit´e (lin´earit´e) de la d´eformation : x εcmax
=
ym − x ; εsm
(3.72)
– ´equilibre `a l’effort normal N=
Z x 0
σc (y)b(y)dy +
m X j=1
107
σsj Aj ;
(3.73)
try
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Figure 3.12: Sch´ema de calcul d’une section de forme quelconque
– ´equilibre `a la flexion M=
Z x 0
σc (y)b(y)(yC − y)dy +
m X
σsj Aj (yC − yj ).
(3.74)
j=1
La s´equence de calcul est donc la suivante 1. on fixe un pivot, ce qui ´equivaut a` fixer un point du diagramme de ε ; p. ex. pour le pivot A, εsm = εud , pour B, εcmax = εcu2 , pour C, εc (y = C) = εc2 ; 2. on fixe x ; 3. on calcule la valeur de εci ∀i = 1, ..., n, `a travers la (3.72) ; 4. on calcule la valeur de εsj ∀j = 1, ..., m, `a travers la (3.72) ; 5. on calcule la valeur de σci ∀i = 1, ..., n, a` travers la loi parabole rectangle, (3.3) ; 6. on calcule la valeur de σsj ∀j = 1, ..., m, a` travers la loi de comportement de l’acier, Fig. 3.6 ; on a la possibilit´e de choisir entre le diagramme simplifi´e (3.11), comportement ´elastique-parfaitement plastique, et le diagramme ´elastique-plastique avec ´ecrouissage (3.10) ; 108
7. on calcule N par la (3.73), qui peut ˆetre r´e´ecrite, apr`es discr´etisation, comme N = ∆y
n X
σci bi +
i=1
m X
σsj Aj ;
(3.75)
j=1
8. on calcule M par la (3.74), qui peut ˆetre r´e´ecrite, apr`es discr´etisation, comme M = ∆y
n X
σci bi (yC − yi ) +
i=1
m X
σsj Aj (yC − yj ).
(3.76)
j=1
On obtient donc un couple (N, M ) correspondant `a un diagramme de ε qui passe par un des pivots, donc un diagramme ultime de la d´eformation parmi les infinis possibles. Le couple (N, M ) est donc un couple ultime, (Nu , Mu ), bref il est un point de la courbe d’interaction ultime. En r´ep´etant la d´emarche pour toutes les valeurs de x discr´etis´ees, on obtient la courbe. La v´erification de la section se fait encore en contrˆolant que le point de calcul (Nd , Md ) soit interne au domaine d´elimit´e par la courbe d’interaction.
3.11
Dimensions des poutres pour l’analyse structurale
L’EC2 sp´ecifie quelles sont les dimensions a` prendre en compte pour l’analyse structurale, dans le cas des poutres.
3.11.1
Largeur participante de la table de compression
La largeur participante de la table de compression, dans laquelle on peut admettre des conditions de contraintes uniformes, d´epend des dimensions de l’ˆame et de la table, du type de chargement consid´er´e, de la port´ee, des conditions d’appui et des armatures transversales. Il convient d’´etablir la largeur participante de la table de compression en fonction de la distance l0 entre points de moment nul, voir Fig. 3.13 Pour la longueur l3 de la poutre console, il convient de ne pas d´epasser la moiti´e de la longueur de la trav´ee adjacente, et il convient de limiter le rapport des deux port´ees adjacentes entre 2/3 et 1/2. La largeur participante de la table de compression est alors bef f =
X
bef f,i + bw ≤ b,
(3.77)
avec bef f,i = 0, 2 bi + 0, 1 l0 ≤ 0, 2 l0 , bef f,i ≤ bi , 109
(3.78)
5.3.2.1 Largeur participante des tables de compression (pour tous les états-limites) (1)P Dans le cas des poutres en T, la largeur participante de la table de compression - sur laquelle on peut adm des conditions de contraintes uniformes - dépend des dimensions de l'âme et de la table, du type de charg considéré, de la portée, des conditions d'appui et des armatures transversales. (2) Il convient d'établir la largeur participante de la table de compression en fonction de la distance l 0 entre poin moment nul, telle qu'indiquée par la Figure 5.2 .
Reef4 - CSTB3.13: Figure
D´efinition de l0 pour le calcul de la largeurhttp://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents participante de la table Figure 5.2 Définition pour le calcul de la largeur de compression : Fig.de 5.2l 0de l’EC2. participante de la table de compression
NOTE Pour la longueur l 3 de la console, il convient de ne pas dépasser la moitié de la portée de la travée adjacent et il convient par ailleurs de limiter le rapport de deux portées adjacentes à des valeurs comprises entre 2/3 1,5. (3) La largeur participante b eff d'une poutre en T ou d'une poutre en L peut être prise égale à :
Figure 3.14: Param`etres d´eterminant la largeur participante de la table de compression :Figure Fig. 5.3 de l’EC2. déterminant la largeur participante 5.3 Paramètres
(4) Pour l'analyse structurale, dans les cas où une grande précision n'est pas requise, on peut admettre (pour les notations, Figures 5.2 ci-dessus et 5.3 ci-après).alors d'adopter la valeur applicable en travée. constante sur voir toute la longueur de la travée. Il convient
voir Fig. 3.13Portée et 3.14 les notations. 5.3.2.2 utilepour des poutres et dalles dans les bâtiments Dans l’analyse structurale, on peut prendre la valeur ainsi calcul´ee de la largeur NOTE participante constante sursont touteessentiellement la longueur de la poutre. Les comme dispositions ci-après prévues pour l'analyse des éléments. Certain simplifications indiquées peuvent être utilisées le cas échéant pour l'analyse de systèmes d'éléments.
3.11.2
Port´ ee utile des poutres
(1) Il convient de calculer la portée utile l
eff d'un
élément de la manière suivante :
La port´ee utile d’une poutre est donn´ee par lef f = ln + a1 + a2 , o` u: – –
51 sur 213
où :
(3.79)
1 ln : distance libre entre ; ; l n est la distance libre nus entredes nus appuis des appuis ales a2 a` de chaque mit´e deextrémité la trav´edee la peuvent ˆetre d´eêtre termin´ es a` partir de des valeurs app 1 et valeurs a 1 et extr´ a 2 àechaque travée peuvent déterminées à partir ladeFig. 3.15.5.4 , où t est la profondeur d'appui, comme indiqué. la Figure Pour une poutre encastr´ee, le moment de calcul a` l’appui est celui calcul´e au nu de l’appui, avec valeur minimale le 65% du moment d’encastrement.
110
Reef4 - CSTB
http://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents/print.jsp?code4x=LGO
Reef4 - CSTB
http://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents/print.jsp?code4x=LGO
Figure 5.4 (à suivre)
Figure 5.4 (à suivre)
Figure 3.15: Port´ee utile Figure lef f 5.4pour diff´ rente conditions Portée utile ( leeff ) pour différentes conditionsd’appui : Fig. 5.4 de d'appui l’EC2. (2) Les dalles et poutres continues peuvent généralement être analysées en considérant que les appuis ne créent pas de gêne à la rotation. Figure 5.4 Portée utile ( l eff ) pour différentes conditions (3) Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme d'appui
moment déterminant de calcul le moment au nu de l'appui. Pour le moment et la réaction de calcul transmis à l'appui (2) Les dalles et poutres continues peuvent êtrede analysées considérant que les appuis ne créent pasvaleurs redistribuées. (poteau, voile,généralement etc.), il convient retenir laen plus grande des valeurs élastiques ou des de gêne à la rotation. NOTE (3) Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme Il convient que le moment au nu de l'appui ne soit pas inférieur à 0,65 fois le moment d'encastrement. moment déterminant de calcul le moment au nu de l'appui. Pour le moment et la réaction de calcul transmis à l'appui (poteau, voile, etc.), il convient de retenir la plus grande des valeurs élastiques ou des valeurs redistribuées. (4) Quelle que soit la méthode d'analyse employée, lorsqu'une poutre ou une dalle est continue au droit d'un appui NOTE Edcréer de Ed,sup supposé ne pas gêne à la rotation (au droit d'un voile, par exemple), le moment de calcul sur appuis, Il convient que le moment audéterminé nu de l'appui soitportée pas inférieur 0,65 foisdes le moment d'encastrement. pourne une égale à àl'entr'axe appuis, peut être minoré d'une valeur ! M Ed :
Pour une poutre continue, le moment de calcul sur appui, calcul´e pour une port´ee ´egale a` l’entraxe des appuis, peut ˆetre minor´e de la quantit´e ∆M
=F
t/8,
(3.80)
o` u FEd,sup est la valeur de calcul de la r´eaction d’appui et t la profondeur de l’appui, (4) Quelle que soit la méthode d'analyse employée, lorsqu'une poutre ou une dalle est continue au droit d'un appui Fig. 3.15. supposé ne pas créer de gêne à la rotation (au droit d'un voile, par exemple), le moment de calcul sur appuis, 53 sur égale 213 à l'entr'axe des appuis, peut être minoré d'une valeur ! M déterminé pour une portée
3.12 Effort tranchant 53 sur 213
17/05/2013 12:18
Ed :
17/05/2013 12:18
En vue de la v´erification a` l’effort tranchant (abr´eg´e dans la suite par ET), l’EC2 introduit les grandeurs suivantes : 111
Dans les éléments de hauteur variable, on définit également ( voi V ccd est la valeur de calcul de la composante d'effort tran membrure comprimée inclinée V td est la valeur de calcul de la composante d'effort tranc d'une membrure tendue inclinée.
Figure 3.16: Composantes d’ET dans le cas d’une section d’hauteur variable : Fig. 6.2 de l’EC2 Figure 6.2 Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable
(2)effectif, La résistance l'effort tranchant d'un comportant des – VEd : effort tranchant agissant àdans la section consid´ er´eeélément ; – VRd,c : effort tranchant r´esistant de calcul de l’´el´ement en l’absence d’armatures d’effort tranchant ; – VRd,s : effort tranchant de calcul pouvant ˆetre repris par les armatures d’effort tranchant travaillant `a la limite d’´elasticit´e ; – VRd,max : valeur de calcul de l’effort tranchant maximal pouvant ˆetre repris par l’´el´ement, avant(3) ´ecrasement bielles compression Dans lesdes zones dedel'élément où ;V Ed ! V Rd,c , aucune armat – Vccd : valeur de calcul la composante d’effort tranchant la force de est de l'effort tranchant agissant de calculde dans la section considéré compression, dans lelacas d’une membrure comprim´ e e inclin´ e e (Fig. 3.16) ; précontrainte (armatures adhérentes ou non). – Vtd : valeur de calcul de la composante d’effort tranchant de la force dans (4) Même lorsque aucune armature d'effort tranchant n'est req l’armature tendue, dans le cas d’une membrure tendue inclin´ee (Fig. 3.16). minimal comme indiqué en 9.2.2 . Ce ferraillage minimal peut êtr La r´esistance a` l’ET pour un ´el´ement avec armature a` l’ET est alors calcul´ee nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale d comme : également être+ omis VRd = VRd,s Vccd +dans Vtd . les éléments secondaires (3.81) (linteaux de
manière significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble d
Dans les zones o` u VEd ≤ VRd,c , aucune armature d’effort tranchant n’est requise (5) Dans les régions où V Ed > V Rd,c ( V Rd,c étant donné par l' E par le calcul ; un ferraillage minimal `a l’ET est en tout cas a` pr´evoir, voir le Chapitre d'effort tranchant en quantité suffisante de telle sorte que V Ed ! V 5. convient qu'en point de a`l'élément, la somme de l'effort Dans les zones o` u VEd (6) > VIl , il faut pr´ evoir tout une armature l’ET de telle sorte Rd,c que VEd ≤ VRd . membrures, V Ed - V ccd - V td , soit inférieure ou égale à la valeur Il faut que partout dans ce soit (7)une Il poutre convient que les armatures longitudinales tendues s
supplémentaire par. l'effort tranchant (voir 6.2.3 (7)). VEd − Vccd − Vtdgénéré ≤ VRd,max (3.82) (8) Dans le cas des éléments soumis principalement à des charg Pour les ´el´ements soumis a` des charges uniform´ ement r´eparties, il n’y a pas de vérification à l'effort tranchant à une distance au nu de l'appui lieu d’effectuer de v´erification a` l’ET `a une distance au nu de l’appui inf´erieure a` d'effort tranchant requises jusqu'au droit de l'appui. Il convient n'excède pas V Rd,max (voir également 6.2.2 (6) et 6.2.3 (8)). 112 (9) Lorsqu'une charge est appliquée en partie inférieure de l'élé pour reprendre l'effort tranchant, de prévoir des armatures vertic supérieure.
6.2.2 Eléments pour lesquels aucune armature d'effort tranc (1) L'effort tranchant résistant de calcul V Rd,c est donné par :
. La valeur recommandée pour C Rd,c est 0,18/# c , la valeur recommandée pour v Expression (6.3N) et la valeur recommandée pour k 1 est 0,15.
min
est donnée par l'
Figure 3.17: D´efinition des Asl : Fig. 6.3 de l’EC2
Figure 6.3 Définition de A sl dans l'Expression (6.2)
(2) Dans les éléments précontraints à une seule travée ne comportant pas d'armatures d'effort tranchant, l'effort tranchant résistant des régions fissurées en flexion peut être calculé à l'aide de l' Expression (6.2a) . Dans les régions d, il faut armatures d’ET requises droit l’appui. nonmais fissurées en maintenir flexion (où lales contrainte de traction en flexion jusqu’au est inférieure à f de /# c ), Il il convient de limiter la ctk,0,05 résistance l'effort parsur la résistance en etraction béton. .Dans ces régions, l'effort tranchant résistant est faut aussiàv´ erifiertranchant que l’ET appui n’exc` de pasduVRd,max donné par :
3.12.1
El´ ements pour lesquels aucune armature d’effort tranchant n’est requise
L’effort tranchant r´esistant de calcul VRd,c est donn´e par (en N) h
i
VRd,c = CRd,c k(100ρl fck )1/3 + k1 σcp bw d,
(3.83)
76 sur 213
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avec une valeur minimale VRd,c = (vmin + k1 σcp )bw d,
(3.84)
avec : q ≤ 2, d en mm ; – k = 1 + 200 d Asl – ρl = bw d ≤ 0, 02 – Asl : aire de la section des armatures tendues, prolong´ees sur une longueur non inf´erieure a` (lbd + d) au-del`a de la section consid´er´ee, Fig. 3.17 ; – bw : largeur minimale de la section en zone tendue ; < 0, 2 fcd , en MPa ; – σcp = NAEd c – NEd : effort normal de calcul, positif si de compression, en N ; – Ac : aire de la section droite de b´eton, en mm2 ; – CRd,c : 0, 18/γc ; 1/2 – vmin = (0, 053/γc )k 3/2 fck pour les poutres ; – k1 = 0, 15. Pour le calcul des armatures a` la flexion, il convient de d´ecaler la courbe enveloppe des moments de al = d dans la direction d´efavorable, voir aussi le paragraphe 5.3.3. 113
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Figure Figure 3.18:6.4Charges appliqu´ees au voisinage des appuis : Fig. 6.4 de l’EC2 Charges appliquées au voisinage des appuis 6.2.3 Eléments pour lesquels des armatures d'effort tranchant sont requises (1) Le calcul des éléments comportant des armatures d'effort tranchant est basé sur un modèle de treillis ( Figure 6.5 ). Les valeurs limites de l'angle ! des bielles inclinées de l'âme sont données en 6.2.3 (2). Les symboles apparaissant sur la Figure 6.5 sont les suivants : " est l'angle entre les armatures d'effort tranchant et la fibre moyenne de l'élément (mesuré positivement comme v indiqué sur la figure) v ! est l'angle entre la bielle de compression et la fibre moyenne de l'élément F td est la valeur de calcul de l'effort de traction dans les armatures longitudinales F cd est la valeur de calcul de l'effort vde compression dans le béton dans la direction de l'axe longitudinal de l'élément Rd,c b w est la plus petite largeur de la section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée v correspondant au moment z est le bras de levier des forces internes, pour un élément de hauteur constante, fléchissant dans l'élément considéré. Pour les calculs à l'effort tranchant d'une section de béton armé sans effort v normal, on peut normalement adopter la valeur approchée z = 0,9 d Dans les éléments comportant des armatures de précontrainte inclinées, il convient de prévoir des armatures Ed longitudinales dans la membrure tendue pour reprendre l'effort de traction longitudinal dû à l'effort tranchant, tel que défini par l' Expression (7) .
Lorsque des charges sont appliqu´ees sur la face sup´erieure de l’´el´ement, `a une distance a du nu de l’appui telle que 0, 5d ≤ a < 2d (ou du centre de l’appareil d’appui s’il est souple), la contribution de cette charge `a l’effort tranchant agissant VEd peut ˆetre multipli´ee par β = a /2d. Cette r´eduction peut ˆetre appliqu´ee pour la v´erification de V dans la (3.83). Ceci n’est valable que si les armatures longitudinales sont totalement ancr´ees au droit de l’appui. Pour a ≤ 0, 5d , il convient de prendre la valeur a = 0, 5d. Pour la valeur de V calcul´ee sans appliquer le facteur de r´eduction β, il convient de satisfaire la condition : VEd ≤ 0, 5 bw d ν fcd ,
(3.85)
avec ν facteur de r´eduction de la r´esistance du b´eton fissur´e `a l’ET : !
fck , ν = 0, 6 1 − 250
(3.86)
fck en MPa.
3.12.2
Calcul de l’armature pour l’effort tranchant
Le mod`ele de calcule est encore celui du treillis de M¨orsch, voir Fig. 3.19, avec la limite 1 ≤ cot θ ≤ 2, 5 → 21, 8◦ ≤ θ ≤ 45◦ . (3.87) 78 sur 213
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Concernant la Fig. 3.19, il est – α : angle entre les armatures d’effort tranchant et la fibre moyenne de l’´el´ement (mesur´e positivement comme indiqu´e sur la figure) ; 114
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Figure 3.19: Mod`ele de treillis pour le calcul de l’armature a` l’ET : Fig. 6.5 de Figure 6.5 Modèle de treillis et notations dans le cas l’EC2 d'éléments comportant des armatures d'effort tranchant (2) Il convient de limiter l'angle ! . NOTE Les– valeurs limitesentre de cot! utiliser de danscompression un pays donné et peuvent être fournies par son Annexe Nationale . Les θ : angle laàbielle la fibre moyenne de l’´ el´ement ; limites recommandées sont données par l' Expression (6.7N) .
– Ftd : valeur de calcul de l’effort de traction dans les armatures longitudinales ; – Fcd : valeur de calcul de l’effort de compression dans le b´eton dans la direction de l’axe longitudinal de l’´el´ement ; – bw : plus petite largeur de la section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprim´ee ; (3) Dans le cas des éléments comportant des armatures d'effort tranchant verticales, la résistance à l'effort tranchant – z : bras de levier des forces internes ; on peut prendre z = 0, 9 d. V Rd est la plus petite des valeurs ci-dessous : Si l’´el´ement comporte des armatures verticales `a l’ET, la r´esistance a` l’ET VRd est la plus petite entre les valeurs VRd,s =
Asw z fywd cot θ, s
(3.88)
NOTE
etSi on utilise une Expression (6.10) , il convient de réduire la valeur de f ywd à 0,8 f ywk dans l' Expression (6.8) . fcd VRd,max = αcw bw z ν1 , (3.89) cot θ + tan θ et avec – Asw : aire de la section des armatures d’ET ; 115 où : A sw est l'aire de la section des armatures d'effort tranchant s est l'espacement des cadres ou étriers f ywd est la limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant
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– s : espacement des cadres ; – fywd : limite d’´elasticit´e de calcul des armatures d’ET ; – ν1 : coefficient de r´eduction de la r´esistance du b´eton fissur´e a` l’ET ; on peut prendre ν1 = ν ; si la contrainte de calcul des armatures d’ET est < 0, 8 fyk , on peut prendre ν1 = 0, 6 pour fck ≤ 60 MPa, ν1 = 0, 9 − fck /200 > 0, 5 pour fck > 60 MPa. – αcw : coefficient tenant compte de l’´etat de contrainte dans la membrure comprim´ee ; pour les structures non pr´econtraintes, αcw = 1. L’aire effective maximale de la section des armatures pour l’ET Asw,max , pour θ = 45◦ , est donn´ee par 1 Asw,max fywd ≤ αcw ν1 fcd . bw s 2
(3.90)
Pour les ´el´ements comportant des armatures a` l’ET inclin´ees, l’ET r´esistant est le plus petit entre VRd,s =
Asw z fywd (cot θ + cot α) sin α, s
(3.91)
et
cot θ + cot α , (3.92) 1 + cot2 θ L’aire effective maximale de la section des armatures pour l’ET Asw,max , pour θ = 45◦ , est donn´ee par Asw,max fywd αcw ν1 fcd ≤ . (3.93) bw s 2 sin α VRd,max = αcw bw z ν1 fcd
Dans les r´egions o` u il n’y a pas de discontinuit´e de VEd , la d´etermination des armatures d’effort tranchant sur une longueur ´el´ementaire l = z(cot θ +cot α) peut ˆetre effectu´ee en utilisant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur. L’effort de traction suppl´ementaire ∆Ftd dans les armatures longitudinales, dˆ u a` l’effort tranchant VEd du fait du mod`ele de calcul en treillis, est donn´e par ∆Ftd = 0, 5 VEd (cot θ − cot α);
(3.94)
il faut contrˆoler que ce soit MEd,max MEd + ∆Ftd ≤ , z z
(3.95)
o` u MEd,max est le moment fl´echissant maximal le long de la poutre. Lorsque des charges sont appliqu´ees sur la face sup´erieure de l’´el´ement, `a une distance av du nu de l’appui telle que 0, 5d ≤ av ≤ 2, 0d , la contribution de cette 116
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Figure 3.20: Armatures d’effort tranchant dans des trav´ees courtes, avec bielle Figure 6.6 Armatures d'effort tranchant dans des travées de transmission directe : Fig. 6.6 de l’EC2 courtes, avec bielle de transmission directe Pour a v < 0,5 d , il convient d'adopter a v = 0,5 d . En outre, pour la valeur de V Ed calculée sans appliquer le facteur de réduction !, il convient toujours d'être inférieur à V rd,max , l'tranchant Expression (6.9) . l’effort agissant V peut ˆetre minor´ee par β = a /2d. Pour la
charge a` Ed v valeur de 6.2.4 l’ETCisaillement VEd ainsientre calcul´ e, iletconvient de satisfaire la en condition l'âme les membrures des sections T
(1) La résistance au cisaillement de la membrure peut être calculée en considérant la membrure comme un système VEd ≤ Aàsw fywd sincorrespondant α, (3.96) de bielles de compression, associées des tirants aux armatures tendues. (2) Il convient de prévoir un ferraillage minimal, comme spécifié en 9.3.1 . o` u Asw fywd est la r´esistance des armatures qui traversent les fissures d’effort tran(3) La contrainte de cisaillement longitudinale v Ed , développée à la jonction entre un côté de la membrure et l'âme est chant dans la zoneparcharg´ ee, Fig. 3.20. Il (longitudinal) convient dans de ne tenirdecompte arma-: déterminée la variation d'effort normal la partie membruredes considérée
tures d’effort tranchant que dans la partie centrale, sur une longueur de 0, 75av . Il convient d’appliquer la r´eduction par β pour le seul calcul des armatures d’effort tranchant. Cette r´eduction est uniquement valable lorsque les armatures longitudinales sont compl`etement ancr´ees au droit de l’appui. Pour av < 0, 5d , il convient d’adopteroùa:v = 0, 5d. En outre, pour la valeur de VEd calcul´ee sans appliquer le h f est l'épaisseur de la membrure à la jonction facteur de r´eduction β, il convient toujours d’ˆetre inf´erieur a` Vrd,max donn´e par la " x est la longueur considérée, voir Figure 6.7 (3.89). " F d est la variation de l'effort normal dans la membrure sur la longueur " x.
3.12.3
Cisaillement entre la nervure et la table de compression des sections en T
La r´esistance au cisaillement de la table de compression peut ˆetre calcul´ee en la consid´erant comme un syst`eme de bielles de compression, associ´ees `a des tirants correspondant aux armatures tendues. La contrainte de cisaillement longitudinale vEd , d´evelopp´ee `a la jonction entre un cˆot´e de la table de compression et la nervure est d´etermin´ee par la variation d’effort normal dans la partie de membrure consid´er´ee : vEd =
∆Fd , hf ∆x
(3.97)
o` u, Fig. 3.21, 117
82 sur 213
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où : h f est l'épaisseur de la membrure à la jonction " x est la longueur considérée, voir Figure 6.7 " F d est la variation de l'effort normal dans la membrure sur la longueur " x.
Figure 3.21: Notations pour la jonction entre aˆme et membrures : Fig. 6.7 de l’EC2 82 sur 213
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– hf : ´epaisseur de la table de compression a` la jonction avec la nervure ; – ∆x : longueur consid´er´ee ; – ∆Fd : variation de l’effort normal dans la table de compression sur la longueur ∆x. La valeur maximale que l’on peut admettre pour ∆x est la moiti´e de la distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal. S’il y a des charges ponctuelles, ∆x est au maximum la distance entre les charges. L’aire de la section des armatures transversales par unit´e de longueur, Asf /sf , est donn´ee par Asf fyd vEd hf ≥ . (3.98) sf cot θf Pour limiter la contrainte de compression dans les bielles comprim´ees, il faut contrˆoler que vEd ≤ νfcd sin θf cos θf . (3.99) En outre, pour les membrures comprim´ees, ¸ca doit ˆetre 1 ≤ cot θf ≤ 2 → 26, 5◦ ≤ θf ≤ 45◦ , tandis que pour les membrures tendues 1 ≤ cot θf ≤ 1, 25 → 38, 6◦ ≤ θf ≤ 45◦ . 118
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Figure 3.22: Mod`ele de v´erification `a l’ELU de poin¸connement : Fig. 6.12 de Figure 6.12 Modèle pour la vérification au poinçonnement à l’EC2 l'état-limite ultime (4) Il convient de vérifier la résistance au poinçonnement au nu du poteau et sur le contour de contrôle de référence u 1 . Si des armatures de poinçonnement sont nécessaires, il convient de trouver un autre contour u out,ef à partir duquel plus aucune armature de poinçonnement n'est nécessaire. (5) Les règles définies en 6.4 sont formulées en principe pour le cas de charges uniformément réparties. Dans Si le cas cisaillement entrelestable delacompression combin´ e a`àla flexion certains particuliers, comme semelles, charge à l'intérieuretdunervure contour deest contrôle contribue la résistance du système structural et peut être pour pour la détermination de la de calcul la contrainte résistante au transversale, il convient dedéduite prendre l’aire de lavaleur section desdearmatures la valeur poinçonnement.
donn´ee par la (3.98) ou la moiti´e de celle-ci plus l’aire requise pour la flexion trans6.4.2 Répartition desainsi charges et contourest de contrôle de référence versale, si l’aire obtenue sup´erieure. Si vEd ≤ 0, 4fctd , aucune armature (1) On peut normalement admettre que le contour de contrôle de référence u 1 est situé à une distance 2,0 d de l'aire suppl´ e mentaire n’est n´ e cessaire, en plus de celle la flexion. chargée ; il convient de le tracer de manière à minimiser sa longueur (pour voir Figure 6.13 ). La hauteur utile de la dalle est considérée comme constante et peut normalement être prise égale à :
3.13
Poin¸connement
Le poin¸connement r´esulte d’une charge concentr´ee sur une aire relativement fondation. Le mod`ele de calcul pour la v´erification au poin¸connement a` l’ELU est esquiss´e en Fig. 3.22. Il faut v´erifier le poin¸connement au nu du poteau et sur le contour de contrˆole où d y etl’aire d z sontcharg´ les hauteurs armatures dansou deuxd’une directions orthogonales. petite, ee Autiles , d’une dalle semelle de loaddes
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(6) La section de contrôle est la section dont la trace coïncide avec le contour de contrôle et qui s'étend sur la hauteur utile d . Pour des dalles d'épaisseur la section contrôle :est perpendiculaire plan moyen de la dalle. Figure 3.23: Contours deconstante, contrˆole de r´ede f´erence Fig. 6.13 de au l’EC2 Figure 6.13 Contours de contrôle de référence types autour
Pour des dalles ou des semelles d'épaisseur variable, mais pas à redans, la hauteur utile peut être prise égale à d'aires chargées l'épaisseur le long du contour de l'aire chargée, comme indiqué sur la Figure 6.16 . (2) Il convient de considérer des contours de contrôle à une distance inférieure à 2 d lorsque la force concentrée est équilibrée par une pression élevée (pression des terres sur une fondation, par exemple), ou par les effets d'une charge ou d'une réaction à une distance inférieure ou égale à 2 d du contour de l'aire chargée. (3) Dans le cas d'aires chargées situées au voisinage de trémies, si la plus faible distance entre le contour de l'aire chargée et le bord de la trémie est inférieure ou égale à 6 d , la partie du contour de contrôle comprise entre deux tangentes à la trémie issues du centre de l'aire chargée est considérée comme non participante ( voir Figure 6.14 ).
Figure 3.24: Hauteur de la section de contrˆole pour une semelle d’´epaisseur vaFigure 6.16 Hauteur de la section de contrôle dans le cas riable : Fig. 6.16 de d'épaisseur l’EC2 variable d'une semelle (7) Il convient de donner aux autres contours u i , à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface de contrôle, la même forme que celle du contour de la surface de contrôle de référence. (8) Dans le cas des dalles avec chapiteaux circulaires, pour lesquels l H < 2 h H ( voir Figure 6.17 ), une vérification des contraintes poinçonnement selon 6.4.3 exigée` pour une section de contrôlede située à l'extérieur du r´ef´erence u1 ;depour les semelles, la n'est charge a que l’int´ erieur du contour contrˆ ole chapiteau. La distance de cette section à la ligne moyenne du poteau, r cont , peut être prise égale à :
de contribue a` la r´esistance du syst`eme et peut ˆetre d´eduite. Figure 6.14 Contour de contrôle au voisinage d'une trémie Le contour de contrˆole de r´ef´erence u1 est situ´e a` une distance 2d de l’aire (4) Dans le cas d'une aire chargée située au voisinage d'un bord ou d'un angle, il convient de choisir un contour de à ceux indiqués sur de la Figure 6.15 dans charg´ee,contrôle Fig. semblable 3.23 ; l’hauteur utile la dalle est la mesure où le périmètre qui en résulte (bords libres déduits) est inférieur à ceux obtenus selon (1) et (2) ci-dessus. où :
dy + dz , def f = l H est la distance du nu du poteau au bord du chapiteau 2 c est le diamètre du poteau circulaire.
(3.100)
o` u dy et dz sont les hauteurs utiles des armatures dans deux directions orthogonales. La section de contrˆole est la surface cylindrique de trace le contour de contrˆole et qui s’´etend sur la hauteur utile d ; en cas de semelles a` ´epaisseur variable, on peut prendre d comme en Fig. 3.24.
3.13.1
Calcul de la r´ esistance au poin¸connement
Les v´erifications doivent ˆetre faites au nu du poteau et sur le contour de contrˆole de r´e6.15 f´erence u1de. contrôle Si desdearmatures connement sont n´ecessaires, il Figure Contours référence pour de des poin¸ airestrouver chargées au bord ou d'un angle a convient de unvoisinage autred'un contour uout,ef ` partir duquel plus aucune armature (5) Dans le cas d'aires chargées situées à proximité d'un bord ou d'un angle, c'est-à-dire à une distance inférieure à d Figure 6.17 Dalle sur chapiteau, l H < 2,0 h H de poin¸ connement n’est n´ecessaire. , il convient dans tous les cas de prévoir des armatures de rive particulières, voir 9.3.1.4 .
Dans le cas d'un poteau rectangulaire avec un chapiteau rectangulaire et l H < 2,0 d ( voir Figure 6.17 ), de dimensions l 1 et l 2 ( l 1 = c 1 + 2 l H1 , l 2 = c 2 + 2 l H2 , l 1 ! l 2 ), la valeur de r cont peut être prise égale à la plus petite des valeurs 120 suivantes : 89 sur 213 17/05/2013 12:18
(9) Dans le cas de dalles avec chapiteaux tels que l H > 2 h H ( voir Figure 6.18 ), il convient de vérifier les sections de contrôle à la fois dans le chapiteau et dans la dalle. (10) Les dispositions de 6.4.2 et 6.4.3 s'appliquent également aux vérifications effectuées dans le chapiteau, avec d pris égal à d H conformément à la Figure 6.18 .
Les valeurs de calcul des r´esistances au poin¸connement le long des sections de contrˆole sont d´efinies comme : – vRd,c : valeur de calcul de la r´esistance au poin¸connement d’une dalle sans armatures de poin¸connement le long de la section de contrˆole consid´er´ee ; – vRd,cs : valeur de calcul de la r´esistance au poin¸connement d’une dalle avec armatures de poin¸connement le long de la section de contrˆole consid´er´ee ; – vRd,max : valeur maximale de calcul de la r´esistance au poin¸connement le long de la section de contrˆole consid´er´ee. Il faut proc´eder aux v´erifications suivantes : – le long du contour du poteau ou du contour de l’aire charg´ee vEd ≤ vRd,max ; – aucune armature de poin¸connement n’est n´ecessaire si vEd ≤ vRd,c ; – si vEd > vRd,c pour la section de contrˆole consid´er´ee, il faut utiliser des armatures de poin¸connement, voir paragraphe 3.13.3. L’EC2 sp´ecifie aussi la mani`ere dont on modifie la valeur de vEd en cas de r´eaction d’appui excentr´ee pour diff´erents cas de figure, cfr. § 6.4.3 de l’EC2.
3.13.2
R´ esistance au poin¸connement sans armatures
Il faut distinguer entre dalles et semelles de fondation. Dalles La r´esistance au poin¸connement doit ˆetre ´evalu´ee pour la section de contrˆole de r´ef´erence et elle vaut vRd,c = CRd,c k(100ρl fck )1/3 + k1 σcp ≥ vmin + k1 σcp , o` u: – – – –
– – – – – – –
(3.101)
fck en MPa q ; ≤ 2, d en mm ; k = 1 + 200 d √ ρl = ρly ρlz ≤ 0, 02 ; ρly et ρlz : relatives aux armatures tendues dans les directions y et z, calcul´ees comme une valeur moyenne sur une largeur de dalle ´egale a` la largeur du poteau plus 3d de part et d’autre ; cz σcp = σcy +σ ; 2 NEd,y N σcy = Acy , σcz = AEd,z ; cz NEd,y , NEd,z : efforts normaux agissant sur les largeurs de dalle participante ; Ac : aire de la section de b´eton qui correspond a` l’effort NEd pris en compte ; 1/2 vmin = (0, 053/γc )k 3/2 fck ; k1 = 0, 1 ; CRd,c = 0,18 . γc 121
Semelles Pour les semelles, on peut prendre un contour de contrˆole a` une distance a < 2d du nu du poteau ; dans ce cas la longueur du contour est indiqu´ee par u. Dans le cas d’une charge centr´ee, la valeur nette de l’effort vaut VEd,red = VEd − ∆VEd ,
(3.102)
avec : – VEd : effort tranchant appliqu´e a` la semelle ; – ∆VEd : valeur nette de la force de r´eaction verticale a` l’int´erieur du contour de contrˆole consid´er´e, `a savoir la r´eaction du sol moins le poids propre de la fondation. Il faut contrˆoler que ce soit vEd =
VEd,red ≤ vRd , ud
(3.103)
avec
2d 2d ≥ vmin . (3.104) a a La norme pr´evoit aussi le cas d’un chargement excentr´e, voir EC2, § 6.4.4 (2). vRd = CRd,c k(100ρl fck )1/3
3.13.3
R´ esistance au poin¸connement avec armatures
Si des armatures de poin¸connement sont n´ecessaire, il convient de les calculer a` l’aide de l’expression vRd,cs = 0, 75 vRd,c + 1, 5
d sin α , Asw fywd,ef sr u1 d
(3.105)
o` u: – Asw : aire d’un cours d’armatures de poin¸connement sur un p´erim`etre autour du poteau, en mm2 ; – sr : espacement radial des cours d’armatures au poin¸connement, en mm ; – fywd,ef : limite d’´elasticit´e de calcul efficace des armatures de poin¸connement, avec fywd,ef = 250 + 0, 25d ≤ fywd , en MPa ; – d : moyenne des hauteurs utiles dans les directions orthogonales, en mm ; – α : angle des armatures de poin¸connement avec le plan de la dalle. S’il y a une seule file de barres pli´ees vers le bas, alors d/sr = 0, 67. Au voisinage du poteau, la r´esistance est limit´ee a` : vEd =
βVEd ≤ vRd,max , u0 d
o` u: 122
(3.106)
– – – – –
pour un poteau int´erieur, u0 = p´erim`etre circonscrit minimal ; pour un poteau de rive, u0 = c2 + 3d ≤ c2 + 2c1 ; pour un poteau d’angle, u0 = 3d ≤ c1 + c2 ; c1 , c2 : dimensions du poteau, c1 ≥ c2 ; β : coefficient qui d´epend de l’excentricit´e de la charge, de la forme du poteau et de sa position, voir EC2, § 6.4.3 (3), (4) et (5). En ce qui concerne vRd,max , il est vRd,max = 0, 4 ν fcd ,
(3.107)
avec ν donn´e par la (3.86). Il convient de d´eterminer le contour de contrˆole uout pour lequel aucune armature de poin¸connement n’est n´ecessaire : uout =
βVEd . vRd,c d
(3.108)
Il faut placer la file p´eriph´erique ext´erieure des armatures de poin¸connement a` une distance ≤ 1, 5d a` l’int´erieur de uout . La disposition de l’armature de poin¸connement est donn´ee en Fig. 3.25. L’armature minimale de poin¸connement est donn´ee par √ 1, 5 sin α + cos α fck ≥ 0, 08 , (3.109) Asw,min sr st fyk o` u: – α : angle entre les armatures de poin¸connement et les armatures principales ; – sr : espacement des cadres ou ´etriers dans la direction radiale ; – st : espacement des cadres ou ´etriers dans la direction tangentielle. Il convient de limiter a` d/2 la distance entre le nu d’un appui et les armatures de poin¸connement les plus proches prises en compte dans le calcul.
123
# voir 6.4.3 (3), (4) et (5) . NOTE La valeur de v Rd,max à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est v Rd,max = 0,4 ! f cd , où $ est donné par l' Expression (6.6N) . (4) Il convient de déterminer le contour de contrôle u out (ou u out,ef voir Figure 6.22 ) pour lequel aucune armature de poinçonnement n'est requise au moyen de l' Expression (6.54) :
Il convient de placer la file périphérique extérieure des armatures de poinçonnement à une distance inférieure ou égale à kd à l'intérieur de u out (ou u out,ef voir Figure 6.22 ). NOTE La valeur de k à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est k = 1,5.
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Figure 6.22 Contours de contrôle pour les poteaux intérieurs
(5) Lorsque des Produits de Marque déposée sont utilisés comme armatures de poinçonnement, il convient de déterminer v Rd,cs par des essais conformes à l'Agrément Technique Européen correspondant. Voir également 9.4.3 .
6.5 Dimensionnement à l'aide de modèles bielles-tirants
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Figure 3.25: Armature de poin¸connement : Fig. 6.22 et 9.10 de l’EC2
Figure 9.10 Armatures de poinçonnement
NOTE La valeur de k est donnée en 6.4.5 (4). (2) Lorsque des armatures de poinçonnement sont exigées, l'aire de l'armature (étrier ou épingle), A donnée par l' Expression (9.11) :
sw,min
, est
où : ! est l'angle entre les armatures de poinçonnement et les armatures principales (c.-à-d. pour des cadres verticaux, ! = 90° et sin ! = 1) 124 s r est l'espacement des cadres ou étriers de poinçonnement dans la direction radiale s t est l'espacement des cadres ou étriers de poinçonnement dans la direction tangentielle f ck est en MPa. Seule la composante verticale des armatures de précontrainte existant à moins de 0,5 d du poteau peut être incluse dans le calcul de l'effort tranchant. (3) Les barres relevées traversant l'aire chargée ou se trouvant à une distance de cette aire inférieure à 0,25 d peuvent être utilisées comme armatures de poinçonnement ( voir Figure 9.10 b) , en haut). (4) Il convient de limiter à d /2 la distance entre le nu d'un appui, ou la circonférence d'une aire chargée, et les armatures de poinçonnement les plus proches prises en compte dans le calcul. Il convient de mesurer cette distance au niveau des armatures tendues. Lorsqu'une seule file de barres relevées est prévue, leur angle de pliage peut être réduit à 30°.
Chapitre 4 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites de service 4.1
Introduction
Les ´etats limites de service (ELS) sont des situations de calculs dans lesquelles ce n’est pas la r´esistance ultime de la section qui est prises en compte, mais une condition accessoire qui concerne la durabilit´e ou la d´eformation de la structure. Ce n’est donc pas la crise structurale l’objet de ces contrˆoles, mais plutˆot la possibilit´e que se v´erifie une situation capable de compromettre l’utilisation correcte de la structure ou sa durabilit´e. L’EC2 pr´evoit trois types d’ELS : 1. ELS de limitation des contraintes ; 2. ELS de fissuration ; 3. ELS de d´eformation. D’autres EL sont envisageables (p. ex. sur les vibrations). Les combinaisons des actions changent pour les ELS par rapport aux ELU ; en particulier, les coefficients partiels sont diff´erents et en ce qui concerne les mat´eriaux, il est γc = γs = 1. Voyons ci de suite les diff´erents cas.
4.2
ELS de limitation des contraintes
Pour ´eviter la formation de fissures longitudinales ou une excessive d´eformation visqueuse (fluage), l’EC2 impose de limiter la contrainte normale `a une valeur σcmax ≤ 0, 6fck 125
(4.1)
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Figure 4.1: Classes d’exposition en fonction des conditions d’environnement : Tableau 4.1 de l’EC2.
Tableau 4.1 Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement, conformément à l'EN 206-1
126
(3) En plus des conditions du Tableau 4.1 , il convient de considérer certaines formes particulières d'actions agressives ou d'actions indirectes : attaque chimique due par exemple à : utilisation du bâtiment ou de l'ouvrage (stockage de liquides, etc.)
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pour les structures dans un environnement de type XD, XF ou XS, voir Tableau 4.1 de l’EC2, Fig. 4.1, qui liste les conditions d’exposition des structures. Afin d’´eviter des d´eformations in´elastiques, une fissuration ou des fl`eches inacceptables, il faut que la contrainte dans les armatures soit limit´ee `a σs ≤ 0, 8fyk
(4.2)
sous la combinaison d’actions caract´eristiques, Gk + Qk1 + M i=2 ψ0i Qki . Pour l’´etude des d´eformations de fluage l’EC2 prescrit que sous la combinaison P erer le fluage lin´eaire si quasi permanente, Gk + M i=1 ψ2i Qki , on peut consid´ P
σcmax ≤ 0, 45fck ,
(4.3)
en cas contraire il faut utiliser la th´eorie du fluage non lin´eaire.
4.3
ELS de fissuration
La norme pr´evoit un contrˆole de la fissuration, possible, d’une structure, car celle-ci ne doit pas porter pr´ejudice `a la durabilit´e de la construction. Dans ce but, l’EC2 impose de v´erifier de v´erifier que ce soit wk ≤ wmax ,
(4.4)
o` u wk est l’ouverture calcul´ee des fissures, voir paragraphe 4.3.3, alors que wmax est une valeur limite, pr´ecis´ee dans l’Annexe National, Tableau 7.1 NF, en fonction de la classe d’exposition, Fig. 4.2. Le contrˆole (4.4) doit ˆetre fait pour la combinaison quasi permanente des P ee, qui permet de ne pas proc´eder charges, Gk + M i=1 ψ2i Qki . Une option simplifi´ au calcul de wk , consiste a` limiter le diam`etre ou l’espacement des barres, voir paragraphe 4.3.2.
4.3.1
Sections minimales d’armature
Lorsque la maˆıtrise de la fissuration est requise, l’EC2 prescrit de disposer une quantit´e minimale d’armature pour maˆıtriser la fissuration dans les zones o` u l’on pr´evoit l’existence de contraintes de traction : As,min σs = kc k fct,ef f Act , avec : – As,min : aire de la section minimale d’armature dans la zone tendue – Act : aire de la section droite de b´eton tendu 127
(4.5)
Clause 6.8.6 (3) NOTE La valeur de k 3 à utiliser est celle recommandée. Clause 6.8.7 (1) NOTES La valeur de N * à utiliser est celle recommandée. La valeur de k 1 à utiliser est celle recommandée. Clause 7.2 (2) NOTE La valeur de k 1 à utiliser est celle recommandée. Clause 7.2 (3) NOTE La valeur de k 2 à utiliser est celle recommandée. Clause 7.2 (5) NOTE Les valeurs de k 3 et k 4 à utiliser sont celles recommandées et la valeur de k 5 à utiliser est 0,8. Clause 7.3.1 (5) NOTE À défaut d'exigences plus détaillées, les valeurs de w max à utiliser sont données dans le Tableau 7.1NF.
Figure 4.2: Valeurs recommand´e(1) es de wmax : Tableau 7.1NF de l’Annexe National. Tableau 7.1NF Valeurs recommandées de wmax
(mm)
En l'absence d'exigences spécifiques (étanchéité à l'eau par exemple), on peut admettre que la limitation des ouvertures calculées des fissures aux valeurs wmax du Tableau 7.1NF sera généralement satisfaisante du point de vue de l'aspect et de la durabilité. Pour les dalles et voiles de plus de 0,8 m d'épaisseur et pour les poutres en béton armé de plus de 2 m de hauteur, la maîtrise de la fissuration est définie par la norme NF EN 1992-2 ou la norme NF EN 1992-3 et le cas échéant par des documents spécifiques ou les documents particuliers du marché. Les éléments de fondations profondes et les écrans de soutènement pourront faire l'objet de dispositions
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128
– σs : contrainte maximale admise dans l’armature imm´ediatement apr`es la formation de la fissure ; l’Annexe National fixe σs = fyk – fct,ef f : valeur moyenne de la r´esistance en traction du b´eton au moment de la formation des fissures ; l’EC2 prescrit fct,ef f = fctm , si la fissuration ne se produit pas avant 28 jours, sinon il faut prendre une valeur inf´erieure – k : coefficient qui tient compte de l’effet des contraintes non uniformes auto ´equilibr´ees, conduisant `a une r´eduction des efforts dus aux d´eformations gˆen´ees ; l’EC2 prescrit de prendre k = 1 pour les ˆames telles que h ≤ 30 cm ou les membrures d’une largeur inf´erieure a` 30 cm, sinon k = 0, 65 pour les ˆames avec h ≥ 80 cm ou les membrures d’une rageur sup´erieure a` 80 cm ; pour les cas interm´ediaires, on admet une interpolation lin´eaire – kc : coefficient qui tient compte de la r´epartition des contraintes dans la section avant la fissuration, ainsi que de la modification du bras de levier. L’EC2 prescrit que, en traction pure, kc = 1, tandis qu’en flexion simple ou compos´ee # " σc ≤ 1, (4.6) kc = 0, 4 1 − k1 (h/h∗ )fct,ef f pour les sections rectangulaires et les aˆmes des poutres en caisson ou en T, sinon Fcr kc = 0, 9 ≥ 0, 5, (4.7) Act fct,ef f pour les membrures des caissons et des sections en T. Dans les (4.6) et (4.7), il est – σc : contrainte moyenne dans le b´eton r´egnant dans la partie de la section consid´er´ee : Ned σc = , (4.8) bh avec Ned effort normal agissant a` l’ELS dans la partie de la section consid´er´ee (positif si de compression) – h∗ = h si h < 1 m – h∗ = 1 m si h ≥ 1 m – k1 : coefficient qui prend en compte les effets de l’effort normal sur la r´epartition des contraintes : k1 = 1, 5 si Ned > 0, k1 = 2h∗ /3h si Ne d < 0 – Fcr : valeur absolue de l’effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration, du fait du moment de fissuration calcul´e avec fct,ef f .
4.3.2
Maˆıtrise de la fissuration sans calcul direct
Pour les dalles sollicit´ees `a la flexion, sans traction axiale significative, aucune disposition particuli`ere n’est n´ecessaire, si l’´epaisseur est inf´erieur a` 20 cm. 129
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En g´en´eral, les r`egles pr´esent´ees au paragraphe suivant peuvent ˆetre pr´esent´ees Reef4 - CSTB http://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents/print.jsp?code4x sous la forme de tableaux limitant le diam`etre a` la valeur φ∗s , Fig. 4.3, ou l’espacement des barres, Fig. 4.4.
Tableau 7.2N Diamètre maximal ! * s des barres pour la maîtrise de la fissuration ¹
NOTE 1 valeurs du tableau sont basées les hypothèses suivantes : ıtrise de la fissuration : Figure 4.3:Les Diam` etre maximal des sur barres φ∗s pour la maˆ * Tableau 7.2N Diamètre maximal ! des s c = 25mm ; f ct,eff = 2,9 MPa ; h cr = 0,5 ; ( h - d barres ) = 0,1pour h ; kla1 = 0,8 ; k 2 = 0,5 ; k c = 0,4 ; k 4 = 1,0 ; k t = 0,4 et Tableau 7.2Nk' =de1,0l’EC2. maîtrise de la fissuration ¹ NOTE NOTE 2 1 du tableau sont basées sur les hypothèses suivantes : SousLes les valeurs combinaisons d'actions appropriées. c = 25mm ; f ct,eff = 2,9 MPa ; h cr = 0,5 ; ( h - d ) = 0,1 h ; k 1 = 0,8 ; k 2 = 0,5 ; k c = 0,4 ; k 4 = 1,0 ; k t = 0,4 et k' = 1,0 NOTE 2 Sous les combinaisons d'actions appropriées.
Figure 4.4: Espacement maximal des barres pour la maˆıtrise de la fissuration : Tableau 7.3N Espacement maximal des barres pour la maîtrise de la fissuration ¹ Tableau 7.3N de l’EC2. Pour les notes voir le Tableau 7.2N. Tableau 7.3N Espacement maximal des barres pour la
NOTE maîtrise fissuration ¹ le diam` L’EC2 permet aussi dedela modifier etre des barres : Le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit : Pour les notes voir le Tableau 7.2N. – pour la flexion flexion (une partie de la section au moins est comprimée) fct,ef f kc hcr , φs = φ∗s NOTE 2, 9 2(h − d) Le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit : flexion (une partie de la section au moins est comprimée) – pour la traction hcr ∗ fct,ef f traction (traction axiale) φs = φs , 2, 9 8(h − d)
traction (traction axiale)
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(4.9)
(4.10)
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o` u – – – –
φs : diam`etre maximal modifi´e de la barre ; h : hauteur totale de la section ; hcr : hauteur de la zone tendue avant fissuration ; d : hauteur utile au barycentre du lit ext´erieur d’armatures.
4.3.3
Calcul de l’ouverture des fissures
L’ouverture des fissures wk est donn´ee par wk = sr,max (εsm − εcm ),
(4.11)
o` u – sr,max : espacement maximal des fissures – εsm : d´eformation moyenne de l’armature ; on en consid`ere que l’allongement relatif au-del`a de l’´etat correspondant a` l’absence de d´eformation du b´eton au mˆeme niveau ; – εcm : d´eformation moyenne du b´eton entre les fissures. En outre, f f (1 + αe ρp,ef f ) σs − kt ρct,ef σs p,ef f ≥ 0, 6 , (4.12) εsm − εcm = Es Es o` u – σs : contrainte dans les armatures tendus, en consid´erant la section fissur´ee ; s – αe = EEcm ; As ; – ρp,ef f = Ac,ef f – Ac,ef f : aire de la section effective de b´eton autour des armatures tendues, a` savoir l’aire de la section de b´eton autour des armatures de traction, de hauteur hc,ef = min{2, 5(h − d); (h − x)/3; h/2, voir Fig. 4.5 ; – kt = 0, 6 pour une charge de courte dur´ee ; – kt = 0, 4 pour une charge de longue dur´ee. Si les armatures sont dispos´ees dans la zone tendue avec un entraxe inf´erieur `a 5(c + φ/2), l’espacement final maximal des fissures peut ˆetre calcul´e comme, voir aussi Fig. 4.6, φ sr,max = k3 c + k1 k2 k4 , (4.13) ρp,ef f o` u – φ : diam`etre des barres ; si plusieurs diam`etres sont utilis´es, on utilise un diam`etre ´equivalent φeq ; si l’on a n1 barre de diam`etre φ1 et n2 barres de diam`etre φ2 alors n1 φ21 + n2 φ22 φeq = ; (4.14) n1 φ1 + n2 φ2 131
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Figure 4.5: Sections effectives de b´eton autour des armatures tendues : Fig. 7.1 Figure 7.1 Sections effectives de béton autour des de l’EC2. armatures tendues (cas types)
7.3.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct (1) Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées à la flexion sans tractio axiale significative, aucune disposition particulière n'est nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque l'épaisse totale de la dalle n'excède pas 200 mm et que les spécifications de 9.3 sont respectées. (2) Comme simplification, les règles données en 7.3.4 peuvent être présentées sous la forme de tableaux limitant diamètre ou l'espacement des armatures. NOTE Lorsque les éléments comportent le ferraillage minimal donné en 7.3.2 , on peut estimer que les ouvertures des 132 fissures ne seront pas excessives : si pour des fissures principalement dues aux déformations gênées, les diamètres des barres ne dépassent pas les valeurs données dans le Tableau 7.2N , la contrainte de l'acier étant égale à la valeur obtenue juste après la fissuration (c.-à-d. ! s dans l' Expression (7.1) ) si pour des fissures principalement dues aux charges, les dispositions du Tableau 7.2N ou bien celles du Tableau 7.3N sont satisfaites. Il convient de calculer la contrainte de l'acier sur la base d'une section fissurée sous la combinaison d'actions considérée. Dans le cas du béton précontraint par pré-tension, lorsque la maîtrise de la fissuration est essentiellement assurée par les armatures de précontrainte adhérentes, les Tableaux 7.2N et 7.3N peuvent être utilisés en prenant la contrainte totale dans ces armatures diminuée de la pré-tension. Dans le cas du béton précontraint
A c,eff est l'aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, c'est-à-dire l'aire de la section de béton autour des armatures de traction, de hauteur h c,ef , où h c,ef est la plus petite des trois valeurs ci-après : 2,5( h - d ), ( h - x )/3 ou h /2 ( voir Figure 7.1 ) – cqu'indiqué : enrobage armatures $ 1 tel par l'des Expression (7.5) longitudinales ; – k = 0, 8 pour barre ` a haute adh´ rence ; k t est un laecharge 1 facteur dépendant de la durée de – kkt1== 6 pour barres lisses ; 0,61,dans le cas d'un chargement de courte durée – kkt2== 5 pour la d'un flexion ; 0,40,dans le cas chargement de longue durée. – k = 1 pour la traction pure ; (3) Lorsque 2les armatures adhérentes sont disposées dans la zone tendue avec un entraxe suffisamment faible (espacement – k3 %=5(3,c4 +; ! /2)), l'espacement final maximal des fissures peut être calculé au moyen de l' Expression 2/3 (7.11) ( voir 7.2 ) : – kFigure , c en mm. 4 = 0, 425 si c ≤ 25 mm, autrement k4 = 3, 4(25/c)
Figure 4.6: Ouverture des fissures w a` al surface du b´eton en fonction de la distance aux armatures : Fig. de l’EC2. Figure 7.2 Ouverture des fissures w à7.2 la surface du béton en fonction de la distance aux armatures
Si l’espacement des armatures exc`ede 5(c + φ/2), on peut poser sr,max = 1, 3(h − x).
(4.15)
Dans le cas d’´el´ements arm´es dans deux directions orthogonales, si l’angle entre où : les directions des contraintes principales et les directions des armatures est > 15◦ , ! est le diamètre des barres. Lorsque plusieurs diamètres de barres sont utilisés dans une même section, il alors 1 le cas d'une section comportant n 1 barres de diamètre ! 1 convient de retenir un diamètre équivalent . Dans sr,max = ! eq (4.16) cos θ sin θ , et n 2 barres de diamètre ! 2 , il convient d'adopter : + sr,max,y sr,max,z o` u – θ : angle entre les armatures dans la direction y et la direction de la contrainte principale de traction ; – sr,max,y , sr,max,z : espacement des fissures dans les directions y et z. 117 sur 213
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4.4
ELS de d´ eformation
La fl`eche d’une poutre de port´ee l doit ˆetre inf´erieure a` l/250, sous les combinaison des charges quasi-permanentes. Il est possible de donner une contre-fl`eche, mais non sup´erieure `a l/250. La d´eformation apr`es construction doit ˆetre limit´ee a` l/500, si cette d´eformation est susceptible d’endommager les ´el´ements de structure avoisinants la poutre en consid´eration, toujours pour les charges quasi-permanentes. L’EC2 permet une dispense du calcul de la d´eformation, si le rapport port´ee/hauteur est limit´e, soit de calculer la d´eformation et de la comparer avec les limites ci-dessus.
4.4.1
Limitation du rapport port´ ee/hauteur
Si le rapport port´ee/hauteur l/d ne d´epasse pas la valeur
!3/2
q q ρ0 ρ0 l = K 11 + 1, 5 fck + 3, 2 fck −1 d ρ ρ
s
"
q l ρ0 1q ρ0 = K 11 + 1, 5 fck + f ck d ρ − ρ0 12 ρ
si ρ ≤ ρ0 ,
(4.17)
si ρ > ρ0 ,
(4.18)
#
alors deux – – –
il n’est pas n´ecessaire de calculer explicitement les d´eformations. Dans ces relations, il est : K : coefficient √ donn´e en Fig. 4.7 ; −3 fck : pourcentage d’armature de r´ef´erence ; ρ0 = 10 ρ : pourcentage d’armatures en traction n´ecessaire `a mi-port´ee (ou a` l’encastrement pour les poutres consoles) ; – ρ0 : pourcentage d’armature de compression n´ecessaire `a mi-port´ee (ou `a l’encastrement pour les poutres consoles) ; – fck en MPa. Les (4.17) et (4.18) ont ´et´e ´etablies pour une contrainte dans l’acier de 310 MPa, correspondant `a peu pr`es `a fyk = 500 MPa. Si l’on admet d’autres niveaux de contrainte, il convient de multiplier les valeurs obtenues par 310/σs . Pour les sections en T, ayant un rapport largeur table de compression/largeur nervure sup´erieur a` 3, les valeurs obtenues par les (4.17) et (4.18) doivent ˆetre multipli´ees par 0,8.
4.4.2
V´ erification des fl` eches par le calcul
Dans le calcul de la fl`eche, il convient de faire un calcul en section non fissur´ee si la charge appliqu´ee ne peut pas provoquer, dans une section quelconque, une 134
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Figure 4.7: Coefficient K et rapport limite l/d : Tab. 7.4NF de l’Annexe National Tableau 7.4NF Valeurs de base du rapport portée/hauteur de l’EC2. utile pour les éléments en béton armé, en l'absence d'effort normal de compression
Clause 7.4.3 (2)P NOTE Pour les bâtiments cette méthode s'appelle la « méthode de calcul des flèches nuisibles » et elle tient compte du processus de chargement, conformément au 7.4.1 (3), ainsi que des propriétés données ci après dans le présent document. Clause 8.2 (2) NOTE
5
Les valeurs de k 1 et k 2 à utiliser sont celles recommandées sauf dispositions contraires dans les normes spécifiques à certains types d'ouvrages de fondations profondes (par exemple la norme NF EN 1536 pour les pieux forés, la norme NF P 94-262 5 pour les fondations profondes, la norme NF P 94-282 5 pour les écrans de soutènement). 5)
En préparation.
135
Clause 8.3 (2) NOTE Les valeurs de !m,min à utiliser sont celles données dans le Tableau 8.1N recommandé. Clause 8.5 La clause 8.3 (3) ne s'applique pas aux cadres, étriers et épingles. Clause 8.6 (2) NOTE L'ancrage additionnel à utiliser pour un acier de treillis soudé du fait de ses aciers transversaux soudés, soit F btd , est donné par l'expression (8.8N) recommandée.
traction sup´erieure `a la r´esistance a` la traction du b´eton. Si au contraire des fissures peuvent apparaˆıtre alors on peut estimer que la relation suivante estime de mani`ere appropri´ee leur comportement : α = ζ αII + (1 − ζ)αI ,
(4.19)
o` u: – α : param`etre de d´eformation consid´er´e (p. ex. une d´eformation unitaire, une courbure, une rotation, une fl`eche) ; – αI : valeur du param`etre dans l’´etat non fissur´e ; – αII : valeur du param`etre dans l’´etat enti`erement fissur´e ; – ζ = 1 − β(σsr /σs )2 : coefficient de distribution (il tient compte de la participation du b´eton tendu dans la section) ; ζ = 0 pour les sections non fissur´ees ; – β : coefficient qui prend en compte la dur´ee du chargement ou sa r´ep´etition : β = 1 pour un chargement unique de courte dur´ee, β = 0, 5 pour un chargement de longue dur´ee ou pour un chargement cyclique ; – σs : contrainte dans les armatures, calcul´ee en supposant la section fissur´ee ; – σsr : contrainte dans les armatures tendues, calcul´ee en supposant la section fissur´ee sous les conditions de chargement provoquant la premi`ere fissure. Pour les conditions de chargement de longue dur´ee, susceptibles de provoquer une d´eformation de fluage, la d´eformation totale, inclus le fluage, peut se calculer en utilisant le module d’Young effectif du b´eton calcul´e comme Ec,ef f =
Ecm , 1 + ϕ(∞, t0 )
(4.20)
o` u ϕ(∞, t0 ) est le coefficient de fluage pour la charge et l’intervalle de temps consid´er´es. Les courbures dues au retrait peuvent s’´evaluer par la relation 1 S = εcs αe , rcs I
(4.21)
o` u: – 1/rcs : courbure due au retrait ; – εcs : d´eformation libre de retrait ; – S : moment statique de la section d’armature par rapport `a l’axe barycentrique ; – I : moment d’inertie de la section ; – αe = Es /Ec,ef f : coefficient d’´equivalence effectif. Il convient de calculer S et I pour l’´etat non fissur´e et pour celui enti`erement fissur´e, l’estimation de la courbure finale ´etant effectu´ee au moyen de la (4.19). 136
Chapitre 5 Dispositions constructives L’EC2 pr´evoit un certain nombre de r`egles concernant les dispositions constructives des structures en b´eton arm´e. Ci de suite on ne rappelle que les principales concernant les poutres et les poteaux.
5.1
Enrobage
L’enrobage nominal, sp´ecif´e dans les plans, est cnom = cmin + ∆cdev ,
(5.1)
o` u ∆cdev est une marge de tol´erance tandis que cmin est la valeur minimale donn´ee par cmin = max {cmin,b ; cmin,dur + ∆cdur,γ − ∆cdur,st − ∆cdur,add ; 10mm} ,
(5.2)
o` u: – cmin,b : enrobage minimal vis-`a-vis des exigences d’adh´erence, voir Fig. 5.1 ; – cmin,dur : enrobage minimal vis-`a-vis des exigences de durabilit´e, voir Fig. 5.2 et Fig. 5.3 ; – ∆cdur,γ : marge de s´ecurit´e ; en France ∆cdur,γ = 0 ; – ∆cdur,st : r´eduction de l’enrobage minimal en cas d’acier inoxidable ; en France ∆cdur,st = 0 ; – ∆cdur,add : r´eduction de l’enrobage minimal dans le cas de protection suppl´ementaire ; en France ∆cdur,add = 0. Pour ce qui concerne les tol´erances de fabrication il faut prendre ∆cdev = 10 mm ; dans des situations particuli`eres, notamment en cas de mise en place d’un syst`eme de contrˆole de la qualit´e, on peut diminuer la valeur de ∆cdev , selon les sp´ecifications de l’Annexe National. 137
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Figure 5.1: Enrobage pour l’adh´ erence ; Tab. 4.2 de l’EC2. Tableau 4.2 Enrobageminimal minimal c min,b requis vis-à-vis de l'adhérence
5.2
Armatures
5.2.1
Espacement des barres
Les barres
o` u: – – – –
NOTE En ce qui concerne l'enrobage des armatures de précontrainte pré-tendues et l'enrobage des gaines de précontrainte de section circulaire ou plates, pour armatures adhérentes, les valeurs de c min,b à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale . Les valeurs recommandées pour les gaines de précontrainte par post-tension sont les suivantes : gaines de section circulaire : diamètre gaines plates : la plus petite dimension ou la moitié de la plus grande dimension, si celle-ci est supérieure Il n'y a pas d'exigence supérieure à 80 mm pour les gaines de section circulaires ou les gaines plates. doivent ˆetre espac´ees d’une distance libre donn´ee par Les valeurs recommandées pour les armatures de précontrainte pré-tendues sont les suivantes : 1,5 × diamètre du toron ou du fil lisse 2,5 × diamètre du fil max {kcranté. (5.3) 1 φ; dg + k2 ; 20mm} ,
(4) Il convient de retenir un enrobage minimal de l'ancrage des armatures de précontrainte conforme à l'Agrément Technique Européen concerné. (5) L'enrobage minimal des armatures de béton armé et des armatures de précontrainte dans un béton de masse diam` etre de la barre ; volumique normale, qui tient compte des classes d'exposition et des classes structurales, est donné par c min,dur .
φ: k1 = 1 ; NOTE dg : dimension du plus grand granulat, mm ; dans un pays donné peuvent être fournies par son Les classes structurales et les valeurs de cen à utiliser min,dur Annexe Nationale . La Classe Structurale recommandée (durée d'utilisation de projet de 50 ans) est la classe k2 = 5 mm. S4, pour les résistances indicatives du béton données à l' Annexe E ; le Tableau 4.3N donne les modifications
5.2.2
de Classe Structurale recommandées. La Classe Structurale minimale recommandée est la classe S1. Les valeurs recommandées de c min,dur sont données dans le Tableau 4.4N (armatures de béton armé) et dans le Tableau 4.5N (armatures de précontrainte).
Cintrage des barres
Il convient de limiter le diam`etre des mandrins de cintrage des barres pli´ees, afin d’´eviter d’un cˆot´e la formation de fissures dans les barres, de l’autre cˆot´e la rupture du b´eton situ´e dans la partie courbe de la barre. Pour ´eviter d’endommager la barre, le diam`etre du mandrin de cintrage doit ˆetre non inf´erieur a` φm,min , sp´ecifi´e dans le tableau en Fig. 5.4. Il n’est pas n´ecessaire de v´erifier le diam`etre du mandrin vis-`a-vis de la rupture du b´etons si : – le diam`etre du mandrin est > φm,min ; – soit l’ancrage n´ecessaire de la barre ne d´epasse pas 5φ au-del`a de l’extr´emit´e de la partie courbe, soit la barre n’est pas dispos´ee pr`es de la surface et il existe une barre transversale de diam`etre ≥ φ a` l’int´erieur de la partie courbe. 138 43 sur 213
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Figure Tableau 5.2: Classification structurale recommand´ee ; Tab. 4.3NN de l’Annexe Na4.3NF Modulations de la classe structurale recommandée, en vue de la détermination enrobages tional. minimaux cmin,dur dans les Tableaux 4.4N etdes4.5NF
En cas contraire, il faut augmenter le diam`etre du mandrin : 1
φm ≥ Fbt ab
+ fcd
1 2φ
,
(5.4)
o` u: – Fbt : effort de traction dˆ u aux charges ultimes dans une barre a` l’origine de la partie courbe ; 10 sur 27 17/05/2013 13:25 – ab : moiti´e de l’entraxe entre les barres, perpendiculairement au plan de courbure ; si la barre est proche du parement de l’´el´ement, il convient de prendre pour ab l’enrobage major´e de φ/2. 139
Tableau 4.3N Classification structurale recommandée
Figure 5.3:Valeurs Valeurs de l’enrobage minimal cmin,dur ; Tab. 4.4N de l’EC2. Tableau 4.4N de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conformes à l'EN 10080
5.2.3
Ancrage des barres longitudinales
L’ancrage des barres doit assurer une bonne transmission des forces d’adh´erence au b´eton, en ´evitant toute fissuration longitudinale ainsi que tout ´eclatement du b´eton ; l’EC2 pr´evoit diff´erents modes d’ancrage autres que le scellement droit, illustr´es en Fig. 5.5. Contrainte ultime d’adh´ erence La contrainte ultime d’adh´erence fbd doit ˆetre suffisante pour ´eviter la rupture d’adh´erence ; pour les barres HA 44 sur 213
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fbd = 2, 25η1 η2 fctd ,
(5.5)
o` u: – fctd : r´esistance de calcul en traction du b´eton ; – η1 : coefficient li´e aux conditions d’adh´erence et a` la position de la barre, voir Fig. 5.6 ; en particulier, η1 = 1 pour des conditions d’adh´erence ”bonnes”, eta1 = 0, 7 dans les autres cas ; – η2 = 1 pour φ ≤ 32 mm ; pour φ > 32 mm. – η2 = 132−φ 100 Longueur d’ancrage de r´ ef´ erence Pour une contrainte d’adh´erence constante et ´egale a` fbd , la longueur d’ancrage de r´ef´erence lb,rqd n´ecessaire pour ancrer l’effort As σsd qui r`egne dans une barre droite vaut φ σsd lb,rqd = , (5.6) 4 fbd 140
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Figure 5.4: Diam`etre de cintrage φm,min ; Tab. 8.1N de l’EC2.
Tableau 8.1N Diamètre minimal du mandrin afin d'éviter les dommages aux armatures
Il n'est pas nécessaire de justifier le diamètre du mandrin vis-à-vis de la rupture du béton si les conditions ci-après sont remplies : nécessaire de la barre 5 ! au-delà de l'extrémité de la de partie courbe, soit o` u σsd est soit la l'ancrage contrainte de calcul deneladépasse barrepas dans la section a` partir laquelle onla barre n'est pas disposée près de la surface (plan de flexion proche du parement) et il existe une barre transversale de mesure l’ancrage. diamètre " ! à l'intérieur de la partie courbe ; le diamètre du mandrin est supérieur ou égal aux valeurs recommandées du Tableau 8.1N . Dans le cas contraire, il convient d'augmenter le diamètre du mandrin ! m comme indiqué par l' Expression (8.1) :
Longueur d’ancrage de calcul La longueur d’ancrage de calcul lbd vaut où :
o` u
lbddû=auxαcharges ≥ barre lb,min , (5.7) 1 α2 α3 α 4 α5 ldans b,rqdune F bt est l'effort de traction ultimes ou un groupe de barres en contact à l'origine de la partie courbe a b pour uneαbarre donnée (ou groupe de barres contact), est la moitié l'entraxe les coefficients es en dans le tableau endeFig. 5.8entre et :les barres (ou i , i = 1, ..., 5 sont donn´ groupes de barres) perpendiculairement au plan de la courbure. Pour une barre ou un groupe de barres proches – α1 tient compte de l’effet de de la prendre formepour desa bbarres, du parement de l'élément, il convient l'enrobageFig. majoré5.5 de !; /2. Il convient de limiter f à la valeur de résistance correspondant à la classe de béton C55/67. – α2 tient comptecdde l’effet de l’enrobage minimal, Fig. 5.7 et Fig. 5.8 ; – α8.4 compte de l’effet de confinement des armatures transversales ; 3 tient Ancrage des armatures longitudinales – α4 tient compte de l’influence d’une ou plusieurs barres transversales (φt > 0,8.4.1 6φ)Généralités soud´ees le long de lbd ; (1)P Les barres, fils ou treillis soudés doivent être ancrés de manière à assurer une bonne transmission des forces – αd'adhérence tient compte l’effettoute defissuration la pression orthogonale plan dedu fendage le au béton, de en évitant longitudinale ainsi que toutau éclatement béton. Un ferraillage 5 transversal est à prévoir si nécessaire. long de lbd (2) Différents modes d'ancrage sont illustrés par la Figure 8.1 (voir aussi 8.8 (3)). – il faut que ce soit α2 α3 α5 ≥ 0, 7 ; – lb,min : longueur d’ancrage minimale : – pour les barres tendues, lb,min > max {0, 3 lb,rqd ; 10φ; 100mm} ; – pour les barres tendues lb,min > max {0, 6 lb,rqd ; 10φ; 100mm}.
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Figure 5.5: M´ethodes d’ancrage : Fig. 8.1 de l’EC2.
Figure 8.1 Méthodes d'ancrage autres que le scellement droit
(3) Les coudes et les crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées. (4) Il convient d'éviter la rupture du béton à l'intérieur des coudes en respectant 8.3 (3). (5)Une Lorsque des dispositifs mécaniques sont` il convient que les exigences d'essai soient conformes à la selon Norme simplification consiste autilisés, consid´ erer que l’ancrage des barres tendues de Produit concernée ou à un Agrément Technique Européen. les(6)formes de la Fig. est e si l’on longueur d’ancrage ´equivalent Pour la transmission des5.5 forces de assur´ précontrainte, on seprend reporteraune à 8.10 .
lb,eq , d´efinie sur la mˆeme figure, et telle que : 8.4.2 Contrainte ultime d'adhérence – Lalb,eq = α1ultime lb,rqdd'adhérence pour lesdoitancrages depour type b)laa`rupture d) ; d'adhérence. (1)P contrainte être suffisante éviter (2)–Pour les = armatures à haute la valeur de la contrainte ultime d'adhérence f bd peut être prise lb,eq α4 lb,rqd pouradhérence, les ancrages decalcul typede e). égale à :
Une autre possibilit´e pour l’ancrage des barres, est de souder une barre transversale en tˆete de la barre `a ancrer ; pour cela on renvoie a` l’EC2, paragraphe 8.6. où : f
ctd
est la résistance de calcul en traction du béton, telle qu'indiquée en 3.1.6 (2)P. Compte tenu de la fragilité
5.2.4croissante Ancrage des armatures tranchant des bétons avec la résistance, il convient ded’effort limiter ici f ctk,0,05 à la valeur correspondant à la classe C60/75, à moins que l'on puisse vérifier que la capacité d'adhérence moyenne augmente au-delà de cette limite lié aux conditions et à lad’ET, position de la barre au cours bétonnage (voir Figure Il !faut r´ecoefficient aliser l’ancrage desd'adhérence armatures ainsi que des du autres armatures 1 est un 8.2 ) : transversales, au moyen de coudes et de crochets, ou a` l’aide d’armatures trans! 1 = 1,0 lorsque les conditions d'adhérence sont " bonnes " et versales !soud´ ees, en pr´evoyant une barre a` l’int´erieur du crochet ou du coude. 1 = 0,7 dans tous les autres cas et pour les barres dans les éléments structuraux réalisés au moyen de à moins que` L’ancragecoffrages doit ˆeglissants, tre conforme al'on la puisse Fig. démontrer 5.10. que les conditions d'adhérence sont " bonnes " ! 2 est lié au diamètre de la barre : ! 2 = 1,0 pour ! " 32 mm
5.2.5
Recouvrements
! 2 = (132 - ! )/100 pour ! > 32 mm
Consid´erons ici la transmission de l’effort d’une barre a` une autre par simple recouvrement des barres, avec ou sans coudes ou crochets. La disposition des barres doit ˆetre conforme `a la Fig. 3.11. 142 125 sur 213
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Figure 5.6: Conditions d’adh´erence : Fig. 8.2 de l’EC2. Figure 8.2 Illustration des conditions d'adhérence
8.4.3 Longueur d'ancrage de référence (1)P Le calcul de la longueur d'ancrage requise doit tenir compte du type d'acier et des propriétés d'adhérence des Les recouvrements doivent ˆetre d´ecal´es, dispos´es hors des zones tr`es sollicit´ees barres. et mani`ereunesym´ etrique sur la constante section.égale La àdistance libred'ancrage entre les barres l d’un (2) de En admettant contrainte d'adhérence f bd , la longueur de référence b,rqd nécessaire pour ancrer l'effort A s ! sd qui règne dans une barre droite vaut :
recouvrement doit ˆetre limit´ee a` 4φ ou 50 mm ; il faut espacer longitudinalement les recouvrements voisins d’au moins 0,3 fois la longueur du recouvrement l0 . Dans le cas de recouvrements voisins, il faut respecter une distance libre minimale de 2φ ou 20 mm entre les barres adjacentes. où ! sd est la contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle on mesure l'ancrage. La longueur de recouvrement de calcul vaut Des valeurs de f bd sont données en 8.4.2 . (3) Dans le cas des barres pliées, il convient de mesurer la longueur d'ancrage de référence l b,rqd et la longueur de =α (5.8) 1 α2 α 3 α4).α5 α6 lb,rqd ≥ l0,min , calcul l bd le long de l'axe de la barrel0( voir Figure 8.1a) (4) Lorsque les treillis soudés sont constitués de fils ou barres doubles, il convient de remplacer le diamètre ! de l' avec Expression (8.3) par le diamètre équivalent ! n = ! "2 .
l calcul > max {0, 3α6 lb,rqd ; 15φ; 200mm} . 8.4.4 Longueur d'ancrage de 0,min (1) Lacoefficients longueur d'ancrage : bd vaut Les αi ,dei calcul = 1,l ..., 5 sont ceux donn´es par le tableau
(5.9) de Fig. 5.8. Pour le
calcul de α3 il faut prendre As σsd , fyd où # 1 , # 2 , # 3 , # 4 et # 5 sont des coefficients donnés dans le Tableau 8.2 : X
Ast,min = 1, 0
(5.10)
# 1 tient compte de l'effet de la forme des barres, l'enrobage étant supposé correct ( voir Figure 8.1 )
o` u A#s2 tient est compte l’airededel'effet la de section d’une comportant le recouvrement. En ce qui l'enrobage minimalbarre ( voir Figure 8.3 ) concerne le coefficient α6 , il est √ ρ1 α6 = , 1 ≤ α6 ≤ 1, 5, (5.11) 5 126 sur 213
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Figure 5.7: Valeurs de cd pour les poutres et les dalles : Fig. 8.3 de l’EC2. Figure 8.3 Valeurs de c d pour les poutres et les dalles
! 3 tient compte de l'effet de confinement des armatures transversales ! 4 tient compte de l'influence d'une ou plusieurs barres transversales (! t > 0,6! ) soudées le long de l bd d'ancrage de calcul) ; voir également avec(longueur ρ1 proportion des barres avec8.6 recouvrement dont l’axe se situe `a moins de ! 5 tient compte de l'effet de la pression orthogonale au plan de fendage le long de l bd (longueur d'ancrage de 0, 65l er´e, voir Fig. 5.12. 0 de l’axe de recouvrement consid´ calcul). Si φvérifie < 20 mm ou si la proportion des barres avec recouvrement est < 25%, Le produit :
il n’est pas n´ecessaire de disposer des armatures transversales au recouvrement. Autrement, il faut disposer des barres transversales, dont la section totale doit ˆetre ´egale au moins a` celle d’une des barres de recouvrement, Fig. 5.13. Si plus de 50% des armatures sont ancr´ ees par recouvrement dans une section, et si la distance a l b,rqd est donné par l' Expression (8.3) lentre la longueur d'ancrageadjacents minimale en l'absence de toute autre limitation b,min estrecouvrements dans une section est ≤: 10φ, voir Fig. 5.13, alors les ancrages de barres tendues : armatures transversales doivent ˆetre des cadres, ´etriers ou ´epingles.
5.3
Poutres
ancrages de barres comprimées :
5.3.1
Sections min et max d’armature
Il faut que la section d’armature longitudinale tendue As soit telle que (2) Une simplification à 8.4.4 (1) consiste à considérer que l'ancrage de barres tendues selon les formes de la Figure As,mind'une ≤A (5.12) 8.1 peut être assuré moyennant la prise en compte longueur d'ancrage s ≤ A s,max , équivalente l b,eq (définie sur cette même figure), qui peut être prise égale à : avec! 1 l b,rqd pour les formes des Figures 8.1b) à 8.1d) (voir Tableau 8.2 pour les valeurs de ! 1 ) ctm ! 4 l b,rqd pour les formes de la Figure 8.1e) f les valeurs de ! 4 ) bt d, 8.2Apour (5.13) As,min = 0, 26 (voir Tableau s,min ≥ 0, 0013bt d, où : fyk ! 1 et ! 4 sont définis en (1) et dans le Tableau 8.2 o` u bl tb,rqdest la largeur moyenne de la zone tendue (pour une poutre en T, c’est la est calculé au moyen de l' Expression (8.3).
largeur de la nervure), et
As,max = 0, 04 Ac .
5.3.2
(5.14)
Autres dispositions constructives
En cas de poutre sur appuis, mˆeme si le moment aux appuis est th´eoriquement nul, il faut pr´evoir un moment Mappui = 0, 15 Mmax , 127 sur 213
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Figure 5.8: Coefficients α , i = 1, ..., 5 : Tab. 8.2 de l’EC2.
Tableau 8.2 Valeurs des coefficients !1 , !2 , !3 , !4 et i!5
o` u Mmax est le moment maximum en trav´ee. sur les appuis interm´ediaires des poutres continues, il faut repartir l’armature sup´erieure, en traction, sur la largeur participante de la membrure sup´erieure, dans le cas d’une poutre en T, voir Fig. 5.14. Figure 8.4 Valeurs de K pour les poutres et les dalles Les armatures comprim´ees prises en compte dans le calcul, de diam`etre φ, doivent ˆetre retenues par une armature transversale espac´etransversales es de 15φ au plus. 8.5 Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures (1) Il convient normalement de réaliser l'ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales au moyen de coudes et de crochets, ou à l'aide d'armatures transversales soudées, en prévoyant une barre à l'intérieur du crochet ou du coude. (2) Il convient que l'ancrage soit conforme à la Figure 8.5 . Par ailleurs, il convient de réaliser le soudage conformément à l' EN ISO 17660 , les soudures présentant une résistance conforme à 8.6 (2).
5.3.3
Epure d’arrˆ et des armatures longitudinales tendues
Pour des ´el´ements avec des armatures d’ET, il faut calculer l’effort de traction 128suppl´ sur 213 ementaire dans les armatures ∆Ftd , voir (3.94). 17/05/2013 12:18 145
Tableau 8.2 Valeurs des coefficients !1 , !2 , !3 , !4 et !5
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NOTE Pour la définition des angles de courbure voir Figure 8.1 .
Figure 5.9: Valeurs de k pour les poutres et les dalles : Fig. 8.4 de l’EC2. Figure 8.4 Valeurs de K pour les poutres et les dalles
8.5 Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales
(1) Il convient normalement de réaliser l'ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transv moyen de coudes et de crochets, ou à l'aide d'armatures transversales soudées, en prévoyant une barre à du crochet ou du coude. (2) Il convient que l'ancrage soit conforme à la Figure 8.5 . Par ailleurs, il convient de réaliser le conformément à l' EN ISO 17660 , les soudures présentant une résistance conforme à 8.6 (2).
128 sur 213
Figure 5.10: Ancrage des armatures transversales : Fig. 8.5 de l’EC2.
Figure 8.5 Ancrage des armatures transversales
8.6 Ancrage au moyen de barres soudées (1) Outre les ancrages indiqués en 8.4 et 8.5 , on peut réaliser un ancrage au moyen de barres transversales soudées Pour ´el´ements armature ` de l’ET, ∆Ftdque peut ˆetre des estim´ e en d´ecalant ( voir Figure 8.6 des ) s'appuyant sur sans le béton. Il convienta démontrer la qualité assemblages soudés est la courbe enveloppe des moments d’une distance al = d. Pour les ´el´ements avec correcte.
armature `a l’ET, al = z
cot θ − cot α , 2
(5.16)
les angles ´etant d´efinis en Fig. 3.19. L’effort de traction suppl´ementaire est montr´e en Fig. 5.15. La longueur d’ancrage d’une barre relev´ee pour l’ET soit ≥ 1, 3lbd dans la zone tendue et ≥ 0, 7lbd dans la zone comprim´ee. Cette longueur est mesur´ee a` partir du point d’intersection de l’axe de la barre relev´ee et de celui des armatures longitudinales. Figure 8.6 Barre transversale soudée servant à l'ancrage (2) La résistance à l'entraînement d'une barre transversale (de diamètre compris entre 14 mm et 32 mm) soudée du côté intérieur de la barre principale, vaut F btd . Dans l' Expression (8.3) , ! sd peut alors être réduit par l'intermédiaire du facteur F btd / A s , A s représentant l'aire de la section de la barre.
5.3.4
Ancrage des armatures inf´ erieures
NOTE En de correspondance desunappuis des poutres es ou encastr´ es, La valeur F btd à utiliser dans pays donné peut être appuy´ fournie epar son faiblement Annexe Nationale . La evaleur recommandée : ˆ l’armatureestdoit etre au moins le 25% de celle en trav´ee.
L’effort de traction `a ancrer peut ˆetre d´etermin´e selon la (3.94), en incluant 146 où : F wd est la valeur de calcul de la résistance au cisaillement de la soudure (donnée comme A s f yd multiplié par un coefficient - par exemple 0,5 A s f yd , où A s est l'aire de la section de la barre ancrée et f yd sa limite d'élasticité de calcul) l td est la longueur de calcul de la barre transversale : l td = 1,16 ! t ( f yd /! td ) 0,5 " l t l t est la longueur de la barre transversale, limitée à l'espacement des barres à ancrer ! t est le diamètre de la barre transversale ! td est la contrainte dans le béton ; ! td = ( f ctd + ! cm )/ y " 3 f cd ! est la contrainte de compression dans le béton perpendiculairement aux deux barres (valeur
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Figure 5.11: Recouvrement : Fig. 8.7 de l’EC2.
Figure 8.7 Recouvrements voisins
8.7.3 Longueur de recouvrement (1) La longueur de recouvrement de calcul vaut :
où : l
b,rqd est
calculé au moyen de l' Expression (8.3)
Les valeurs de ! 1 , ! 2 , ! 3 , ! 4 et ! 5 peuvent être prises dans le Tableau 8.2 ; il convient toutefois, pour le calcul de ! 3 , de prendre " A st,min = 1,0 A s (# sd / f yd ), avec A s = aire de la section d'une des barres comportant un recouvrement. 0,5
! 6 = ($ 1 /25) , limité à l'intervalle défini par les valeurs 1 et 1,5, avec $ 1 , proportion de barres avec recouvrement Figure 5.12: Proportions de recouvrement a` prendre en compte : Fig. 8.8 de dont l'axe se situe à moins de 0,65 l 0 de l'axe du recouvrement considéré ( voir Figure 8.8 ). Le Tableau 8.3 donne Figure 8.8 Proportion de recouvrements à prendre en l’EC2. desune valeurs de !de6 .recouvrement donnée compte dans section 8.7.4 Armatures transversales dans une zone de recouvrement 8.7.4.1 dans casappliquant de barres tendues l’effortArmatures normal,transversales s’il existe, ouleen la r`egle de d´ecalage suivante : (1) Des armatures transversales sont nécessaires au droit des recouvrements pour s'opposer aux efforts transversaux al de traction. FE = |VEd | + NEd , (5.17) z (2) Lorsque le diamètre ! des barres ancrées par recouvrement est inférieur à 20 mm, ou lorsque, dans une section quelconque, la proportion des barres avec recouvrement est inférieure à 25 %, alors on peut, sans plus de avec NEd considérer l’effort normal agissant, a` ajouter ou soustraire de l’effort de traction. justification, que les armatures transversales nécessaires par ailleurs suffisent pour équilibrer les efforts La longueur d’ancrage (5.7), est ee `a partir de la ligne de contact transversaux de traction. bd ,coefficient Tableau 8.3 Valeurs ldu ! 6 mesur´ (3) Lorsque le diamètre ! des barres ancrées par recouvrement supérieur ou égal 20 mm, il pour convient que la entre la poutre et l’appui ; la pression transversale est peut ˆetre prise enà compte section totale !A st des armatures transversales (somme de tous les brins parallèles au lit des barres de la jonction) un appui direct, Fig. 5.16. soit supérieure ou égale à la section A s d'une des barres du recouvrement ( "A st " 1,0 A s ). Il convient de disposer les barres transversales perpendiculairement à la direction du recouvrement. Si plus de 50 % des armatures sont ancrées par recouvrement dans une section donnée, et si la distance a entre recouvrements adjacents dans une section est # 10 ! (voir Figure 8.7 ), il convient d'utiliser comme armatures transversales des cadres,d’ET étrierspeuvent ou épinglesˆ ancrés la esection. Les armatures etre desdans barr´ es relev´ees, des cadres, des ´epingles (4) Il convient de disposer les armatures transversales prévues selon (3) ci-dessus aux extrémités du recouvrement, ou des ´etriers. Au moins le 50% des armatures n´ecessaires a` l’ET soit sous forme comme indiqué sur la Figure 8.9 a) .
5.3.5
Armatures d’effort tranchant
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Figure 5.13: Armatures transversales de couture pour les recouvrements : Fig. 8.9 Armatures transversales de couture pour les 8.9 de l’EC2.Figure jonctions par recouvrement
de
8.7.4.2 Armatures transversales dans le cas de barres toujours comprimées (1) En complément aux règles applicables aux barres tendues, il convient de disposer une barre transversale de cadres, et´etriers ´epingles. Leà une taux d’armature d’ET est d'autre ou du recouvrement, distance inférieure à 4! desρw extrémités ( Figure 8.9 b) ).
Asw 8.7.5 Recouvrements des treillis soudés constitués de fils à haute adhérence ρw =
,
(5.18)
s principales bw sin α 8.7.5.1 Recouvrements des armatures (1) Les jonctions peuvent être obtenues par recouvrement des panneaux dans un même plan ou dans des différents ( Figure 8.10 ).
o` u: – Asw : aire de la section des armatures d’ET, mesur´e le long de l’axe longitudinal de la poutre ; – bw : largeur de l’ˆame de la poutre ; – α : angle entre les armatures d’ET et l’axe longitudinal. Il faut que ce soit √ 0, 08 fck . (5.19) ρw ≥ ρw,min = fyk L’espacement longitudinal maximum entre les cours d’armature d’ET ne doit pas exc´eder sl,max = 0, 75 d(1 + cot α). (5.20)
L’espacement longitudinal maximum entre les barres relev´ees ne doit pas exc´eder sb,max = 0, 6 d(1 + cot α).
(5.21)
148 Figure 8.10 Recouvrement des treillis soudés
(2) Il convient d'opter pour un recouvrement des panneaux dans un même plan lorsqu'ils peuvent être soumis à
133 sur 213
1
NOTE 2 La section minimale d'armatures longitudinales définie en 9.2.1.1 (1) s'applique. (2) Aux appuis intermédiaires des poutres continues, il convient de répartir la section totale des armatures tendues A s d'une section transversale en T sur la largeur participante de la membrure supérieure (voir 5.3.2 ). Une partie de ces armatures peut être concentrée au droit de l'âme ( voir Figure 9.1 ).
Figure 5.14: Agencement des armatures tendues dans une poutre en T : Fig. 9.1 Figure 9.1 Agencement des armatures tendues dans une de l’EC2. section en T
(3) Il convient de maintenir toute armature longitudinale comprimée (de diamètre ! ) prise en compte dans le calcul de résistance au moyen d'armatures transversales espacées au plus de 15 ! .
L’espacement desarmatures brins verticaux des cadres, ´etriers ou ´epingles ne 9.2.1.3transversal Epure d'arrêt des longitudinales tendues doit pas exc´e(1) derIl convient, dans toutes les sections, de prévoir un ferraillage suffisant pour résister à traction agissant, comprenant inclinées dans les âmes et les membrures. st,max =l'effet 0, 75des d fissures ≥ 600mm. (5.22)
l'enveloppe de l'effort de
(2) Pour des éléments avec des armatures d'effort tranchant, il convient de calculer l'effort de traction supplémentaire tranchant, ! F td peut être estimé en décalant la courbe enveloppe des moments d'une distance a l = d , conformément à 6.2.2 (5) . Cette " règle de décalage " peut également être employée pour des éléments comportant un ferraillage d'effort tranchant, où :
!Fa 6.2.3 (7)mm, . Pouralors des éléments sans armatures Si la poutre une hauteurà ≤ 250 sl,max = st,max = 0, 9d'effort d. td conformément
5.4
Poteaux
Les dispositions suivantes s’appliquent au cas des poteaux pour lesquels la plus grande dimension h n’exc`ede pas 4 fois la dimension la plus petite b. L'effort de traction supplémentaire est illustré sur la Figure 9.2 . (3) La résistance des barres sur leur longueur d'ancrage peut être prise en compte en supposant une variation linéaire de l'effort, voir la Figure 9.2 . Par sécurité, la contribution de cette longueur d'ancrage peut être négligée. (4) Il convient que la longueur d'ancrage d'une barre relevée contribuant à la résistance à l'effort tranchant ne soit pas à 1,3 l bddoit dans ˆ zone tendue et à 0,7 zone comprimée. Cette longueur est mesurée à partir du Le diam`einférieure tre des barres elatre sup´ erieure a` φlmin = 8la mm. La quantit´ e totale bd dans point d'intersection de l'axe de la barre relevée et de celui des armatures longitudinales. d’armatures longitudinales doit ˆetre sup´erieure a`
5.4.1
Armatures longitudinales
)
(
As,min
0, 10 NEd = max ; 0, 002 Ac , fy d
(5.23)
o` u NEd est la valeur de calcul de l’effort de compression, et inf´erieure `a As,max = 0, 04 Ac .
(5.24)
En correspondance des recouvrements on peut doubler cette derni`ere limite. 149 143 sur 213
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Figure 5.15: Epure d’arrˆet des armatures longitudinales : Fig. 9.2 de l’EC2. Figure 9.2 Illustration de l'épure d'arrêt des armatures longitudinales, tenant compte de l'effet des fissures inclinées et de la résistance des armatures dans leur longueur d'ancrage
Pour les poteaux polygonaux, il faut au moins une barre dans chaque angle, et 9.2.1.4 Ancrage des armatures inférieures au niveau des4appuis d'extrémité pour les poteaux circulaires, il faut au moins barres. (1) Il convient, au niveau des appuis, considérés dans le calcul comme faiblement ou pas encastrés que l'aire des armatures inférieures soit au moins ! 2 fois l'aire des armatures présente en travée.
5.4.2NOTEArmatures transversales La valeur de ! 2 à utiliser pour les poutres, dans un pays donné, peut être fournie par son Annexe Nationale . La
Le valeur diam` etre des armature transversales (cadres, boucles, h´elices) doit ˆetre non recommandée est ! 2 = 0,25. inf´erieur a` 6 mm ou au quart du diam`etre de la plus grande barre longitudinale. (2) L'effort de traction à ancrer peut déterminé transversales conformément à ne 6.2.3 (7) pas (éléments L’espacement longitudinal desêtre armatures doit exc´eavec der armatures
d'effort
tranchant), en incluant l'effet de l'effort normal s'il existe, ou en appliquant la règle de décalage :
scl,tmax = min {20 φmin ; b; 400mm} ,
(5.25)
o` u φmin est le diam`etre minimal des barres longitudinales. Cet espacement doit ˆetre r´eduit où : – dans toutes sections situ´ es `a une distancedeaul'effort plusde´etraction gale `a ;la plus grande N Ed est l'effortles normal agissant, àe ajouter ou à soustraire dimension de(2) la .section transversale du poteau au-dessus ou au-dessous d’une a l voir 9.2.1.3 ou d'ancrage d’une dalle (3) poutre La longueur est l ;bd conformément à 8.4.4 , mesurée à partir de la ligne de contact entre la poutre et l'appui. pression transversale peut être prise d’armatures, en compte pour unsiappui direct. eVoir Figure 9.3. des – dansLa les zones de recouvrement le diam` tre lamaximal barres longitudinales est sup´erieur a` 14 mm. Un minimum de 3 barres transversales r´eguli`erement dispos´ees dans la longueur de recouvrement, est n´ecessaire. 150
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Figure 5.16: Ancrage des armatures inf´erieures : Fig. 9.3 de l’EC2.
Figure 9.3 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis d'extrémité
9.2.1.5 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis intermédiaires (1) L'aire de la section des armatures indiquée en 9.2.1.4 (1) s'applique. (2) Il convient que la longueur d'ancrage ne soit pas inférieure à 10! dans le cas des barres droites, au diamètre du mandrin dans le cas des crochets et des coudes avec des diamètres de barre au moins égaux à 16 mm, ou à deux fois le diamètre du mandrin dans les autres cas (voir Figure 9.4 a) ). Ces valeurs minimales sont normalement valables mais une analyse plus fine peut être effectuée, conformément à 6.6 . (3) Il convient de spécifier, dans des documents du contrat, les armatures exigées pour résister à des moments positifs éventuels (par exemple : tassement de l'appui, explosion, etc.). Il convient que ces armatures soient continues, ce qui peut être réalisé au moyen de recouvrements (voir Figure 9.4 b) ou c) ).
Figure 5.17: Armatures d’ET : Fig. 9.5 de l’EC2.
Figure 9.5 Exemples d'armatures d'effort tranchant
(3) Il convient que les cadres, étriers et épingles soient efficacement ancrés. Un recouvrement sur le brin vertical situé près de la surface de l'âme est autorisé sous réserve que le cadre ne participe pas à la résistance à la torsion. (4) Il convient qu'au moins ! 3 des armatures d'effort tranchant nécessaires soient sous forme de cadres, étriers ou épingles. NOTE ———————————– La valeur de ! 3 à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est ! 3 = 0,5.
D’autres dispositions concernent les voiles, Figure 9.4 Ancrage au niveau des constructives appuis intermédiaires (5) Le taux d'armatures d'effort tranchant est donné par l' Expression (9.4) :
les dalles pleines, les barres soud´ees etc. Le lecteur est adress´e a` la lecture de l’EC2 pour tous ces sujets.
9.2.2 Armatures d'effort tranchant (1) Il convient que les armatures d'effort tranchant forment un angle a compris entre 45° et 90° avec l'axe longitudinal de l'élément structural. (2) Les armatures d'effort tranchant peuvent être composées d'une combinaison de : où : cadres,"étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales tendues et la zone comprimée ( voir Figure 9.5 w est le taux d'armatures d'effort tranchant ); " w ne devrait pas être inférieur à " w,min barres relevées ; A sw est l'aire de la section des armatures d'effort tranchant régnant sur la longueur s cadres souverts, échelles,des épingles, etc., façonnés sans entourer lesdearmatures longitudinales mais correctement est l'espacement armatures d'effort tranchant, mesuré le long l'axe longitudinal de l'élément ancrés dans les zones comprimées et tendues. b w est la largeur de l'âme de l'élément # est l'angle entre les armatures d'effort tranchant et l'axe longitudinal ( voir 9.2.2 (1) ).
151 NOTE La valeur de " w,min à utiliser pour des poutres, dans un pays donné, peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est donnée par l' Expression (9.5N) :
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17/05/2013 12:18 (6) Il convient que l'espacement longitudinal maximal entre les cours d'armatures d'effort tranchant ne soit pas supérieur à s l,max .