GENERACIÓN DE ÁNGULOS. Después del estudio presidente de la funciones trigonométricas de un ángulo agudo, procedamos a estudiar las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera. La notación de un ángulo, cómo se presenta usualmente en geometría elemental, no es suficiente para los usos de la trigonometría, en la que tendremos que tratar con ángulos positivos y negativos de cualquier magnitud. Concepto de un ángulo puede formarse como sigue: Un ángulo puede considerarse como engendrado por una recta que coincide primero con uno de los lados del ángulo gira después en torno al vértice y finalmente consigue con el otro lado.
Esta recta se llama recta generatriz del ángulo en su primera posición se dice que coincide con el lado inicial del ángulo en su posición final con el lado terminal del lado final del ángulo.
ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS. En la figura 9 los ángulos fueron engendrados por la rotación de la recta generatriz en sentido contrario al de las manecillas de un reloj ; los matemáticos han acordado llamar a tales ángulos positivos en la siguiente figura (fig.10) aparecen tres ángulos que tienen el mismo lado inicial y finalmente que los anteriores, pero lo ángulos son diferentes ya que han sido engendrado por la rotación de la recta generatriz en el sentido de las manecillas de un reloj ; se dice que tal es ángulos negativos.
Los arcos que llevan a fecha se dibujarán con línea continua cuando indicó un ángulo positivo con línea punteada cuando indica un ángulo negativo.
ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD. Aun cuando dos ángulos tengan los mismos lados inicial y final y hayan sido engendrados por una rotación en el mismo sentido, pueden ser diferentes en magnitud. Así, para obtener un ángulo recto la recta generatriz gira hasta la posición OB, como aparece en la figura 11. Si, en cambio, la recta generatriz se detiene en la posición OB después de dar una revolución completa a partir de OB como se indica en la figura 12 entonces hemos engendrado un ángulo cuya magnitud es de 5 ángulos rectos o si fueron dos las revolucione hechas antes de detenerse cómo se presenta en la figura 13 entonces hemos engendrado un ángulo de magnitud igual a 9 ángulos rectos y así sucesivamente.
LOS CUATRO CUADRANTES. Tomando como origen el vértice del ángulo que se considere, se acostumbra a dividir en el plano en 4 partes llamadas cuadrantes, mediante dos rectas perpendiculares. Así, sí O es el vértice, los diferentes cuadrantes se nombran como están indicados en la figura 14, considerándose cómo lado inicial la parte de la recta horizontal situada a la derecha del vértice. se dice que un ángulo está en (o pertenece a) un cierto cuadrante cuando su lado final están en ese cuadrante.
COORDENADAS RECTANGULARES DE UN PUNTO EN UN PLANO. Para definir las funciones de ángulos no agudos, es conveniente introducir la notación de coordenadas. Sea (fig.15) X’X una recta horizontal e Y’Y una recta perpendicular a ella en el punto O. Cualquier punto del plano de estas rectas (como P) está determinado por dos números que miden en magnitud y signo su distancia a cada una de las perpendiculares X’X e Y’Y. Si su distancia Y’Y (como NP=a) se llama abscisa del punto, y su distancia de X’X (como MP=b) se llama ordenada del punto.
La figura 16 indica los signos de coordenadas en los diferentes cuadrantes.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO. En el artículo 4 se definieron las 6 funciones trigonométricas para ángulos agudos. Ahora, en cambio, vamos a dar una definición qué se puede aplicar a cualquier ángulo, y que concuerdan con las definiciones dadas para los ángulos agudos. Tomemos el origen de coordenadas con el vértice del ángulo y el lado iniciar como eje X. Dibujamos un ángulo XOB en cada cuadrante.
Sea P un punto cualquiera de lado final OB del ángulo y sea (x,y) sus coordenadas. En todas las figuras, se verifica. OQ=x, QP=y, OP=r Y
OP^2=OQ^2+QP^2
La longitud OP la llamaremos radio. Sustituyendo y extrayendo raíz cuadrada, obtenemos. r= +√ 2 + 2
Designando el angulo en cada figura por XOB, las definiciones de las funciones son :
SIGNOS ALGEBRAICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Teniendo en cuenta la regla dada para los signos algebraicos de las abscisas y ordenadas de los puntos dadas en el Articulo 12, y recordando que la distancia OP(=r) es siempre positivo, vemos de inmediato, de las definiciones de las funciones trigonométricas dadas en el último artículo.