GAZE-ITA MATEMATICA SERIA B
PuBr,rc,ffitt r,uNnnA PENTRUTINERET FondatX in anul 1-895 ianuarie 2OL4
Anul CXIX nr. 1
PATRU SOLUTII ALE UNEI PROBLEME DE LA ,,ROMANTAN MASTER OF MATHEMATTCS 2013'6 IoNul
r
Olllqonl)
Abstract. In this article we present four solutions to problem 3 of the IMO-type contest ,,Romania.nMaster of Mathematics 2013" Keywords: f6ng6al silslsg M S C: b1M 0 4
Problema 3 de la concursul internalional a fost urmdtoarea. Master of Mathematics"
de matematicd
,,Romania,n
Fie ABCD un patru'later tnscris tntr-un cerc a; d,repteleAB gi CD se intersecteazd,tn punctul P, d,reptele AD Ei BC se intersecteazd,tn punctul Q; iar diagonaleleAC gi BD se intersecteazd,tn punctul R; M este mijlocul segmentului PQ, iar K estepunctul tn care segmentul MR intersecteazd cercul u., Atunci cercul circumscri,s triunghi,ului KPQ este tangent cercului u. S5,observ5,mmai intdi c5,triunghid PQR este autopola^r fa!5 de cercul c.;,rdeoarecedreapta PQ este polara punctului R qi analoagele. In particula,r, dand"O este centrul cercului c.r,atunci
'
oPLeR, oeLPR qi )RLPQ,
adicd R este ortocentrul triunghiului OPQ. , Solulia L (ofici,ald,).Elimin5m mai int6i cazul in carc MRLPQ; infiadevdr,in acestcaz dreapta M R: MO estemediatoareasegmentuluiPQ qi, deci, triunghlil KPQ esteisoscel(de vd.rfK). Da,ratunci, datoritd,simetriei fa!d,de dreapta OM, concluziadevine evidentX,. I)Profesor, Colegiul Nalional ,,Tbdor Vianu", Bucureqti
bLI r I
F i
f I
Anrtcor,e SI NorE MATEMATToE
In general (cdnd dreptele MR gi PQ w sunt perpendicula.re),fie U piciornl perpendiculareidin o pe dreapta M R qi ,S punctul de interseclie a dreptelor ou gi PQ. Atunci,s este polul dreptei MR fald de cercul c..r (intrucdt ^9se gdsegtepe polara lui R gi osLMR) qi, deci, dreapta K,s este ta,ngentd, cercului o. in pa.rticular,in triunghiul dreptunghic oKS oblinem S K 2: SU. S O . Pe de alt5,parte, dan6'v estesimetricul punctului R fald de M, atunci V este punctul dia^rnetralopus lui O in cercul circumscris triunghiului OPQ (intrucdt R este ortocentrul acestui triunghi) qi, deci, Lr se gdsegtegi el pe cercul OPQ (intrac6,t+OUV : g0o). Dar atunci SU .SO : Sp.Sq, a" unde rezultd SK2 : SP.SQ, adicd dreapta KS estetangentd,qi cercului KPQ. Concluziaeste acum imediatd. solufiia 2. Fie ME gi MF tangenteledusedin punctur M la cercul r^r(cu F a t^,')gi ,5 punctul in ca^redreapta.EF intersecteaaddreapta pe. Atunci !, ,s este polul dreptei MR fali de cercul c.r(intrucdt Pe estepola.ralui R, iar EF estepola.ralui M); in particular, dreapta K,g este tangentd cercului ar. Apoi, dacd Mt estemijlocul coardei EF, iar O,, p,, e, sunt picioarele indltimilor triunghiului oPQ, esteclar cd puncteleP, Q, R, M, sunt inversele punctelor Q', P', O', M prin inversiuneafa{d,de cerculu.rqi, cum celedin urmX,
I. Ouqon, Pernu soLUTrrALE uNEreRoBLEME DE LA ,,R.M.M. 2018"
sunt conciclicepe cercul Euler al triunghiului OPQ, rezult5 cd,qi punctele p, Q, ft qi M'sunt conciclice.Prin urmare,oblinem SP . SQ: ,SR. SM, ,
Pe de altd parte, dand"U: MR n OS, atunci UK L OS (inftuc6,t RM estepolara lui S) qi, deci, S R.S Mt : S (J.S O: S K 2 (cu prima egalitate din conciclicitateapunctelor O, U, n, M,). Rezultd S K 2 : S P .S Q gi concluziaurmeaz6imediat. Solulia 3. Fie, ca qi mai inainte, ME gi MF tangenteledin M Ia cercul ar qi .S : EF n PQ; atunci ,S este polul dreptei MR (fatd,de cercul a;), iar dreapta K.9 estetangent5 cercului a.r. Pe de altd,parte, ME : MF : MP : MQ @f. lemei 1 de mai jos), deci punctele E, F, P, Q sunt concicliceqi, deci, S K 2:S E -S F:S P .S Q , de unde concluziaurmeaz5imediat.
ARtIcor,n
qI NorE MATEMATTCE
Lema L. Fie ABCD un patr"ulatertnscristntr-un cercu; fie {p} : : AB nCD, {8} : AD n BC qi.M rni,jlocul pe. Atunci M segmentului
este central radical al cercului,w gi punctelor P gi Q. Demonstrafiie.Fie O centrul cerculuiu),R: AC n BD, J : Op n e.B qi tr/ mijlocul segmentului"IP.Atunci, cum dreapta Q.Bestepolara punctdui F (fagdde cerculcu)- qi, deci,oPrQRaxaradical6 a cerculuia; qi punctului P esteparalel5,crtQR; in plus, trecegi prin mijlocul segmentului "Ip(intruc6t trece prin mijloacele tangentelor duse din P la cercul c.r). Rezultd cd,axa radicald,a cercului ar qi punctului P este dreapta MN.
I. OurqoR,PnrRu soLUTrrALE uNErPRoBLEME Dn LA ,,R.M.M. 2013"
Analog, M se gdseqte qi pe axa radicald a cercului c,; qi punctului Q, i.e., M este centrul radical al cercului c,,rgi punctelor P qi Q. Corolar. Fie ABCD (PQ) un patr"ulater (complet) inscripti,bi,l. Atunci, cercul de diametru PQ este ortogonal cu cercul ABCD. Soluli,a 4. Fie XY paralela prin .R la dreapta PQ @t X, Y € u). Atunci, cu lema 2 de mai jos, punctele L : PX n QY qi Kt : PY n QX se B{sescpe cercul cl, iar dreapta LKt treceprin.R; in plus, cum ORIPQ ll XY, .R este mijlocul coardei XY gi, deci, punctele -L, R, M sunt coliniare. Prin urmare, punctele K qi Kt coincid, unde K : PY a QX. Apoi, dac6 01 este punctul in ca,re dreapta OK intersecteazl" mediatoarea segmentului PQ, atunci triunghiurile ORK gi O1M K sunt asemenea (intrucA,t OR ll O1M qi, deci, OK : OtK : RK : MK. Cum qi triunghilirile KXY qi KQP sunt, evident, asemenea,avem qi XK : QK : RK : MK (ultimele dou5 segmente fiind mediane in triunghiurile respective), de unde oblinem cE"OK : O1K : XK : QK, i.e., triunghiurile OXK qi OIQK sunt gi ele asemenea. Dar atunci, intruc6t OX : OK, avem cd"O1Q : O1K; 6rta1^, analog, avem qi O1P : O1K, gdsim cd"Ol este centrul cercului KPQ. Concluzia rezult5 acum imediat din faptul cd, punctul K se gdsegte pe dreapta centrelor, OO1.
, Obserua[ie.Solulia 4 sepoate incheia,de fapt, imediat ce avemK' : K, intruc6,t omotetia ce duce triunghiul KXY in triunghid KQP transformd.qi cercul a.rin cercul KPQ, iar acesteadevin, astfel, ta.ngentein punctul I(.
Anrtcole
Sr NorE MATEMATTcE
Lema 2. Fie ABCD un patr-ulater tnscris tntr-un oerc u; fi,e p : : AB nCD, Q : AD n BC QiR: AC n BD; fie Xy o coarddcare trece prin R gi L- PxnQY, K: PYnQx. Atuncipunctele L gi K se gdsesc pe cerculw, iar coardaLK trcte prin punttul R.
Demonstralie. Fie T : BX n DY gi Kt : py n c..r.Atunci este clar cd ? se gdseqtepe pola"ralui R fa!6 de cercul u, i.e., T e pe. Pe de altd parte, din teoremalui Pascalpentru hexagomrlABXK,yD, pnnctele P, ? qi Q' : XKt n AD sunt colinia,re,de unde rezultd c6, : et Q gi, deci, K' : K, i.e., K € c.r.Analog avem qi .L e cu. In plus, interseclia dreptelor LK gi xll este polul dreptei pe (fafd de cerculc..r), i.e., R e LK. obsentalie. concluzia problemei rd,rndnevalabild qi in cazul in care K este celHlaltpunct de interseclieal dreptei MR u cercul o.r.
G.-F. $nnr,lr, Aellcelu
LA TEoREMAr,ur FnoesNrus DESeREMATRTcE
PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICATII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE Gponcp-FLoRIN $BnseNl) in aceastd,leclie vom prezenta rezolvarea unor exercilii, in ca,revom folosi nolinnea de polinom minimal al unei matrice qi teoremalur hobenhrc. Pentru inceput vom aminti c6,tevafapte teoretice. Dacd, nu se specificd altcena, A e M^(K) unde n este numdr natrual nenul qi .[( poate fi Q, IRsau C. Teorem5 (Hamilton-Cayley).
Dacd,defi,nirn
pAf^) : det(xln - A) : xn + arxn-L + ... + an-rx * an (polinomul caracteristical matricei A), atunci p A@): A n * atA n-t + ... + an -t A * a n ln : O n . Definigie. Fie A e Mn(K) unde K poatef, Q, IR sou C,. Polinomul monic (i.e. aa6,nd, coeficientuld,ominantegalcu l) d,egrad,minim din KlXl enre ad,mitepe A en rddd,cind,se numegtepolinomul minimal aI lui A gi se notenzd, me(X). Dacd p(A) : Oz pentru un polinom oa,reca,re p € KIXI, atunci p este divizibil cu polinomul minimal al matricei A. Astfel, polinomul minimal divide polinomul ca,racteristic;in particular, gradul polinomului minimal este mai mic sau egal decdt gradul polinomului caracteristic. Aceste fapte sunt completate de urmdtoarea teoremd,. Teorema lui Frobenius. PolinoamelernA gi pa adtnit aceiagidiuizori irrl,uctibili pesteK. De exemplu,dacd,n:2, atunci o dacd Srad(lrr,n): 1, atunci existd a € K astfel inc6,t rrla :X - a gi p A: ( X - a ) 2 ; o dacd$ad(me): 2 atunci rnA: pA. De asemenea,dacd,n :3, atunci o dacH,Srad(me) : L atunci exist5 a e K astfel inc6t rna : X - a qi p A: ( X - o ) 3 ; o dacd Srad(tna) : 2 atunci existS,a,b e 1( (nu neapd,ratdistincte) astfelinc6,tlrl4 - (X - a)(X - b) qi pA: (X - a)2(X - U); o dacd Srad(ml) : 3 atunci rnA: pA. In continua"revoi prezentaaplicalii ale acestorproprietd{i. 1)Profesor, Liceul Pedagogic,,D.P.Perpessiciw", Brdila
PnNtRu CERcURJLEDE ELEvI
r. (olimpiada de matematicd,, faza nalionotti lggg) Fie A € M2(lR) cu tr(,4) > 2. Sd se a,ratecd, oricarean fi n € N*, A" * Iz.' Soluli,e. Presupunemprin absurd cd,An : .I2, d.eciAn - Iz: Oz qi
m a l (X" -r).
Dacd,grad,(ma): 1, atunci trl1: X *.L, deci A * 12 : Oz, A: Ifz, . .. tr(A) : *2, fals. Dacd gad(n'LA) 2, atunci rrr,4:pA € R[X]. Cum X' _ 1 are rdddci 2lerr 2kr nile simple ,,k : cos -
reari, reiese c6pe"#o:Ti*". ;:;*l; ;;,1J:'# ::::":ffilil conJugate: pe(x):(x - ("o,'+.t,.41))(r - (*'# - isin'#)), decipn - rmA: X2 - 2X
n "o2kn
* 1. Cum p,a: x2 -ztu(A)x *det(A),
ar rezultatr(A) : 2"ou2kn ( 2, fals. in concluzi e An + f, ori"u.a.r fi n € N*. faza nalionald,lgg0)Fie A e ,t4,"(lR.) . Z. (Oli,mpiadad,ematematicd,, cu Ak: aA,undea e IR\{-1,1} qi k e X.. SXsearatecd matriceaB: A*In este inversabild. Solufiie.Ak - aA - On implicd *e I p: Xh - aX. Clm p(-1) : : (-l)k * a # 0, rez'ltd, me(-LJ 10, decirmAilra,re r5ddcinu_t.'i, *"rt caa, conform teoremeihli Frobenius,nici p.e,nu a.rerdddcina -1. Deoarece pA -'=_(-L)"det(A - XIn), deducem0 # pe(-L): (-1)"det(A *.I,"), adic6 det(B) 10. 3. (concursul Interjud,e[eand,eMatematicd,,,GheorgheLazd,r" 200g) ' Sb se arate c5, dacdA e ,,14"(lR)qi AB : A* 1r,,atunci aella; > O. tB -r-I a,rederivata . Solufip. F\rnclia"f ' IR -+ lR dat5 de f(x): f'(r) : 3r2 - L, cu rXddcinilez1 : -#r, *, :' Aplic5,rnqir'l lui RoIIe: h. /( _- ) < 0, "f(zr) <0, f(rz) < 0, > 0 . ' De c i,f u n c { ia a re o s in g u rd " f (* ) rdddcin5 reali"a, situatX in intervalul (I,2). Rezultd,
* e l ( x t _ x _ 1 ) : ( x _ d ( x2*b x a s) , clr a c: 1gi o ) 0, decic ) 0. A s t f e lme - (X -a )" (X 2 + b X * c ), q i, conform teoremei lui hobenius, pA: (X -.a)"(X2 +bX +c) : (_t)ndet(,A_ XIn), cu u + 2u : n. Deducempe@) : (-a)". (")" : (-l)"det(A), deci det(,A): (-I1n+uout : (-L12"+2"ouy : auy > O.
G.-F. $ennerv, Aeltc.nlII
LA TEoREMA LUI FRoBENIUS DESPREMATRIcE
4. (Concursul,,Ni,colaeCoculescu"2005)Fie matriceaAe M'(lR) cu : As AIn - 3A. Sd se arate cd,det(A * I".) :2". (X - 1 )(X 2+ X + 4 ) X 3 +3 X -4 A3 -4Inl3A :Onqi Sotufi i e. implicd lrl1: (X - 1)"(X' + X + 4)'. Aplicdm teoremahti Frobenius: pA: ( X - L)"(X 2 +X + 4)" : (-1)"d e t (A - X I n ), u l2 u : n . DeducempAeL) : (-2)u4a : (-1)'det(,A * .I2),deci det(A + I,"): (-L)n*"2"4" : (-l)2"*2u2ut2u- 2n. 5. (Concursul,,NicolaeCoculescu"2009)Considerd,m A e M'(lR) cu det(A2+ A+ I"). A3:3A-2In.Sd secalculeze On, *el (X 3 -3 X + 2 ), X 3 - 3 X ] -2 : So lu lie .A3 -3A +2In: : (X - 1)2(X *2), deci TTL1: (X - 1)"()f +2)t. ApIicS,mteoremalui pA: (X - 1)"(X +2)u : (-1)" d e t (A - X I n ), u * u : n . f u ob e n iu s: Avem det(A2+A+In) : det(A-eln) det(A-e2ln), undee esterdddcind Ob lin e ms u c c e s iv c u b icda u n itd,lii,€3:1qi e2+e*1:0. pAG): (e - 1)"(e* 2)a : el)n det(A - eI") pAG2): (e2- t)"(t' + 2)" : (-1)" det(A - 62In) pe ( e ) p e @2):(r- 1)"(e*2)"(e2 -r)"( r2 + 2 )" : d e t (A 2+ A + 1 . ) det(A2+ A+ I,"): (rt - r - e2+ 1)"(r3*2e *2e2 +4) :3'3' :3'. 6. (prvlucmre GMB) Vom spunecHo matrice A e &12(R) are proprietatea (Pr) dacd existd n € N, n ) 3, pentru care An + An-L I An-2 : - Oz. Ar5,ta!i c5, dac5,A e Mz(lR) are proprietatea (Pzoro)qi se noteazd B : A2 + A + 12, atunci matricea Iz - AB este inversabild,. Solulie.{n-z1nz + A + Iz): Oz, decimal Xn-2(X2 + X + 1). Dacd,grad(m4,): L, mA: X qi PA: X2, deciA: Oz, 3 : Iz, Iz - AB: /z este inversabilX,. Dacd,grad(mt):2, sunt posibilecazurile . pA : rrl4: X2 +X*1, deciA2+ A+Iz : 02, B : Oz, 12- AB : 12 este inversabild; . pA: r r la: X 2,deciA 2 : Oz,B : A * I z , I z -A B : I z -A (A * 1 2 ): - Iz - A, de unde det(12- AB) : det(/z - A) : pAG) : 1, adicd matricea Iz - AB este inversabild. 7. (Concursul interjudelean ,,Dan Barbilian" 2011) Fie 7zun mrmd,r natural impar qi A € Il"(R). a) Dacd A2 : On, sX,se arate cd det(2011A+ 21.) > 0 > det(2011A- 2I^). b) Dacd,A2 : In s5,se demonstrezecd det(A - 1') < 0.
G.-F. $nnnlu,
Aer,rcall
LA TEoREMA LUr FRoBENIUs DEspRE MATRJcE
ll
Solutie. Vom a,rdtacd aceastd,proprietate a,reloc pentru e e Uz(R). Din Aa - Iz: 02 reiese*el (X - lXX + 1)(X2+ 1). Dac5,grad(mA) : L, atunci rrt4 - X - L, A : Iz, sa:qn'rA : X * 1, A: -lil in a^rnbele caauri,A2 : Iz. :2, atunci rn,4 : X2 - I : pAt deci A2 : /2, sau grad(me) DacE : rn,a: Xz + | pAt deciA2 - -12. 1L. Sd se a,ratecd,,dacd exist5 matrice A e M"(Q) inversabileastfel ca A-r : A2 *.r4.,atunci rz estedivizibil cu 3. Solugie.Din A-1 : A2 + A rezult5, prin inmullire cu A, A3 * A2 - In: : On, deci m4 | (X3 + X2 - D. Deoa,rece X3 + X2 - t este ireductibit in : mA X3 X2 1. teoremei lrtr fuobenius,p4 are aceiagi Conform + Q[X], factori ireductibili ca rmA) decipa: (X3 + X2 - 1)u, unde }Lt,: n, adicd rz este divizibil cu 3. L2. (Concursulinterjudelean,,Cezarlud,nescu"2006)Fie a e "&ts(R') pentru care existd,,\ e (0,'72) astfet incdt ,43 : \A * /s. Demonstrali c5, matricea A este inversabild,qi det(A) > 0. - Is : 03, deci *e | (X3 - lX - 1). Fie funclia Sotulie. As r IR + IR datd de^A/(c) : 13 -,\r - L. Derivataf'(r) :3r2 - ) a,re "f
rdducinire *r: -r/\r, t2:fi
o.,,,"r" f (*i :'4/,"<
0 deoarece
2 ^ \ / X< g / 5 ,4 )3 < 2 T g i 4 \3<4 .4 <27,iar f( r z) :- ' ^{ ;' { t .0. 3/3 Deci/(-m) < 0, I@i < 0, I@z) < 0, .f(m) ) 0, ceeace aratdc[ ecuatia t3 - \n - 1 - 0 are o singurdsolulie realX,pozitivd a € ("2,-). Astfel, - 1 - (x - a)(x2 +bx + c), b2- 4c 1 0. x3 Dacd ^x glad(mA):1, atunci rrLA: X - a, A: alt qi det(A): a3 > 0. Caaul Srad(rna) : 2 este imposibil, deoarecein aceastdsituatie rmAdr fi ireductibil de grad 2, iar pa a,rfi o putere alui m4. Dacd grad(m.e.): 3, TnA: pA. Obtrinem A3 -
- Is - Os : A3 - ft(A)A2 f tr(A-)A - det(A)/3,
^A de unde tr(A) : 0 (altfel polinomul minimal al lui A ax avea grad cel mult 2), apoi tr(A*) : -) (acelaqia,rgument)qi, in final, det(A) : 1. L3. (Concursulinterjudelean,,Unirea" 2006)Fie o matriceB € Iaz(R) pentru care exist6 /c e N* astfel incdt Bk : Oz. Ardtali cd,,dac5,A e Mz(R) este astfel inc6t AB - BA, atunci det (,4 + B) : det.A. Sotulie. Bk : Oz, decims I Xk. Dacdgrad(ma) : L, mB: X, B : Oz gi det (4 + B) : detA. DacSgrad(*n) :2, rnB : X2 : pg, deci82 : Oz. Fie P(x):
det(A + xB) : x2 det(B)+ ax + det(,A): ax + det(A).
PnNrnu cERCURILE DE ELEvI
t2
p(-t): At u n ciP( 1 ) : det(A+ B ) : a*det !' det(A + A)'+ det(A - B) :2det A, de unde (det A)2 :
d e t (A- B ) : -a * d e t A '
d e t(A +B )+d e t'(A -B
> det(A + B) det(A - B) : det(A2- B'): (detA)2. unde a, : 0, adicd are loc pentru det (A + B) : det(A - B), de
Egalitatea d e r( A+ B) :
detA .
'L'4.(Concursulinterjud'e[ean,,Tfa'ianLalescu"2013)Ard'taticS''daci
+ Iion) * Ozonpentruoricen € N' A e Mzori(lR),atunci 1Az" : prin absurdc5,existSr, € N at (A21 ,Izors)l soluli,e.presupunem (x2 + 1)" qi PA: : ozots.Atunci;;-1"(i; i1)', decirrLA: 6'f cd aratd ce ceea : fals : 2u 20L3 1)'. Aceastau, i*fli"u'g*d(po) pr"rrrprrn"rea f5,cutd este fals6' Fie A e M"(lR)' 16. (Concursul i'nterjudg!^99",,Marian fari'nd"'2013) : demonstrati cd .I,,, A* B i 43itt+ -' On. Dac6" n ) 2, astfel inc6t ;;iii In matricea LLL@uLLwq 'rle- AB este inversabild' x"(X+l)t, ozorrle+In) : on, deci.mal xr::t\x!.L), yA: : n' pyr": X"(X^+.f )u : (-1)'det(A - XI')' u' * u 1}. RezuItS,c:d" f € {0, ,Apoi In-AB-In-A-Azqi der(A2+ A - In) : det(/," - A - A') :(-1)" : (-1)'det(A unde 11 gi 12 sunt soluliile ecualiei 12 +r-
- ri'l,")det(A - rzln), 1 - 0' deci rt*rz:
-I:
frlrz'
Obtrinem
det(I,,_A_A,)=:;s:l:ti";,):l\,:.T,y;:;
Deci, matricea In - AB este inversabilS' in incheiere'propunem ca temd urm5'toareleexercitii: t l. (Concursul,,NicolaeCoculescu"2009)Fie A e Mz(lR)' 1 -0^Y'-" € N*' oricarearfin c6"A *rnlz ' numdrrealfixatqiit(a) > 2r' S5searate 2"( o ti m piaitad'ematernaticd,,faz a lo c a ld ' , B rd , i' 1 a 2 0 1 . 0 )Co n s id e rd m : On' unde k € N impar qi A € "Al,(R), n 2z L,f"r incdt Afr - rt*' 1 4k+2 ';-:'i:':-l'+ inversabile' Aa.- ird,tali c5,matricele In - AB si /", - BA sunt c5 o 3' (Olimpi'ad,ad,ematematicd',faza locald"Bragou'2010) Spunem : Oz' iac5' existd n' € N astfel ince't Xn matrice X e /Vrz.C) ".t" "itpotuntd sx se demonstrezec6 Fi; ;, g e ur|rej) dou5,*utri"" nenule, nilpotente. AB qi BA sunt matricele dacd. ,rilpot"ntd dac5,qi numai matricea A+ B "ri" nilpotente.
CoNcuRsul,,,AReuuenr", BAIA MARE, 20L3
13
4. (Concursul interjudelean ,,Cristi,an Calude" 2005) Ardtali c6, dacX, A e ;V,(lR), A2 : In gi n este impar, atunci det(A 1 I") 2 det(A - In), 5. (Otimpiad,ade matemati'cd',faza nalionald,, 1993) Exist5, matrice A, B e Mz(A) at (AB - BA)ress: It, ? 6. (C'oncursul,,NicolaeCoculescu",2004)Sd se rezolveecualia X3 + X + 2Iz: 02 , X e ,Mz(R). BBLIocRerre pentra o teorernd a lui FYobenius, Gazeta, [1] Ion D. Ion, O ilemorwtralie elementard, Matematicd - Seria B, m Il-L2/1987.
EXAMENE $I CONCURSURI CONCURSUL INTERJUDETEAN DE MATEMATICA a ,,ARGUMENT.' Editia a V-a, Baia Mare, 9 Noiembrie 2013 prezentare de VesIln Popl) qi NIcot,l'e Muqunon2) in perioada &9 noiembrie 2013 s-a desf5,gurat la Baia Mare cea de'a cincea edilie a Concursului Interjudelean de MatematicH, ,,Argument". Organizatorii acestuia au fost membrii catedrei de matematicd, a Colegiului Nalional ,,Gheorghe $incai" din localitate, in parteneriat cu Inspectoratul $colar Judelean Maramureq. Cu aceastd,ocazie a fost lansat cel de-al cincisprezeceleanumdr al revistei ,,Argument", editat de catedra de matematicd a liceului gazd6.. Preqedintele concursului a fost qi de aceastd datd,, domnul conferenliar vasile Pop, de Ia universitatea TehnicS, din cluj Napoca. La concurs au participat loturile colegiilor nationale: ,,Andrei Mureqa,nu" - Dei, - Tdrgu Mureq, ,,Mihai Eminescu" - Satu Ma,re, ,,Alexandru Papiu Ilarian" ,,Silva,nia" 'Zal6"ur,,Liviu Rebreanu" - Bistrila, ,,Dragoq Vodd" - Sighetu Marmaliei, ,,Vasile Lucaciu" - Baia Ma,re, ,,Gheorghe $incai" - Baia Mare, precum qi elevi de gimnaaiu de la qcolile reprezentative din judet. Prezent|,m in continuare emrnlurile problemelor de Ia liceu, o selectie din cele de Ia gimnaziu qi lista premia^ntilor. Clasa a IX-a 1. Se considerd,in plan punctele Ar,Az,...,An qi punctul M. Se noteaad cu 81 simetricul hti M fa!6 de centrul de greutate al sistemului de puncte {Az,As,...,A,']'.Analog se definescpunctele 82,,83,...,8n. a) Ard,tali cX dreptele ArBr, AzBz,. . . , AnBn sunt concurente intr-un punct .I. l)Coof. univ. dr., Universitatea Tehnicd Cluj Napoca 2)Profeso., Colegiul Nalional ,,Gheorghe $incai", Baia Mare
gr Colcunsunr Ex^e,runNp
74
b) Ardtali cE punctele M,I qi G sunt coliniare (unde G estecentrul de greutateal sistemuluide puncte {A1,A2,...,A"}). (Centrul de greutateal unui sistem.de puncte {X\ Xz,. . . , Xn} este punctul Y definit prin relalia
dt+dz+...d':
o').
2. Ar6,ta!i c6, pentru orice numereintregi a, b, c, ecualia 3o.n2 i3b . r * 3 " : 0 , nu a,rerddScini ralionale. girurilede numerenaturaleA : I,3,3,3,5,5,5,5,5, . . . 3. Se considerd, (aparefiecarenum5r impar de a$6,tea ori c6,testenumdr"l). B : L,2,2,3,3,3, 4,4,4,4,... (aparefieca^re mrm5[ natural de at6teaori cdt estenumdrul). Sd se a,ratecd al n-lea numS^rdin qirul A estean:2ttn1* L iar al n-lea
numdrdin qirulB esteU*: l"1zn* +l L
'J Clasa a X-a
1-. Fie (a"")n>t o progresie aritmeticd de numere naturale. a) Sd,se arate cd,dacd,unul din termenii progresiei este un pdtrat perfect atnnci existd o progresie aritmetic5 de numere naturale (b,-)n>t astfel ca b| sd fie termen aI progresiei (a")rrrr, pentru orice n € N*. b) Se se a,rate cd dac5,unul din termenii progresiei (an)n>t este un cub perfect atunci progresia conline o infinitate de cuburi perfecte. 2. Fie M o multime finitd, qi P (M) mullimea pSrtilor sale. Sd, se determine funcliile f : P (M) -+ P (M) cu proprietatea:
f (x )nf (Y ):X oY , Y X , Y e P ( M ) , X + Y . 3. Fie f,9,h trei functii de gradul al doilea cu coeficienti reali. Sd,se arate cd ecuatiaI @(h(t))) :0 nu poate aveaopt r5ddcini reale,distincte in progresie aritmeticd,. Clasa a XI'a 1. Se considerdgirurile de numere reale (arr)rr>o,(bn)n-o definite prin
relaliilede recurenldan+t: rP
$i b",+r: ry,
vn € N, unde
ao :l Sib o:4. a) Sd,se a.ratec5,girurile sunt monotoneqi m5,rginite. b) Sd se arate cd exist6 a,0 e IR.*,astfel ca qirul (".).>o definit prin cq,: d.an* 1bn s5,fie o progresiegeometric5. gi,l{Lb,. c) Sd se determine sgo" (R) astfel ca det (XY +YX) < 0 qi 2. a) Ardtati cd existdX,Y e ,,V12 det (x2 + v2) > o. (lR) qi det (AB + BA) < 0 atunci avem b) Ardtali cd,dacd,A,B e ,,1r1z
det(,a2+ r.2)> o.
15
CoNcuRsur,,,ARcuMENTt',BAIA MARE' 2013
3. Fiep, g numerenaturale prime intre ele,ruun numSrnatural nenul qi N : npQ. se.noteazdot s (n,p,q) numS,rulpermutS,riloro : {1, Z, ...,N} 1 _ } { 1 ,i ,- ...,N}ca,reauproprietX !i|e:o(7 )< o (2 p )< o (3 p )< . . . < qi a(q) < o(zq) < o(3q) a) Sb se determineS (1,2,3l' b) Sd se determineS (n,P,fl. Clasa a XII-a 1_.a) sd,se arate c5,nu existd funclii / : IR+ IR.cu primitiva F : IR+ R astfelca F(0) : 0 9i f'(-")' f (n) :r5, Vz € IR' b) s6 se determine funcliile ,f : IR -r IR cu primitiva F : IR.+ IR astfel ca F(0) : 0 Si F (-")' f ("): 17, Vc € IR' 2. Pe mullimea numerelornaturale impare M : {1,3,5,'' '} se defineqtelegeade compozilie: r o A - 2lroez'l(A - 1) * c. Sd se precizezed2a;6' legeaa,reproprietdlile: a) existS,elementneutrul b) este comutativ5; c) este asociativd,. 3. Fi eA:
d ez,\. d)') ((o - .)2+ (a d)z)la,b,c, { (t, * ")2 $+
a) S5,se calculeze valoarea determinantului
A :
abcd dab cdab bcda
c
b) Sd se a,ratec6,nrullimea A esteparte stabilS,in raport cu inmultirea numerelorintregi. c) Sd se determineelementeleinversabiledin (A'')' La claselede gimnaziu subiectul a constat din opt probleme tip gdld, qi doud probleme cu rezolvd,ri complete. Prezentfun numai problemele la care s-au cerut rezolv5,ricomPlete: Clasa a V-a 1. Se considerSnumerele naturale a qi b. NotSrn cu p(4, b) suma puterilor numd.rului 2 careau exponentul intre a qi b, inclusiv a qi b. a) Calculali p (0, 5). natural z, gtiind cd p(1, 7) : n2 - 2 ' b) D"t"r*irr"tri ""*e""I D"*o*tra!i cX,numdrul p(0, 2012)se imparte exact la 7' "j 2. La o masd,rotundd sunt a"geza{i10 copii, cdrora li se impart intr-o ordine oareca,re10 cartonaqenumerotatede la 1 Ia 10' a) Dali dou6 exemple diferite de impdrlire a cartonagelor, astfel inc6t diferenla pozitivd, dintre numerele de pe cartonaqeleoricdror doi vecini sd fie mai ma,resau egal6 cu 3.
16
Ex.ll,reNn qt Cor.lcuRsuRI
\
b) Demonstrali c5,nu se poate ca, pentru fiecare copil, suma numerelor de pe ca,rtona,qulsd,uqi de pe cele ale vecinilor sdi s5,fie divizibild cu 3. Dana Heuberger Clasa a VI-a 1. Un numdr se numeqte numd,r complet dac6 este format cu cifre : distincte nenule qi se divide cu fiecare dintre cifrele sale. a) Sd se determine toate numerele complete de doud, cifre; b) Sd se demonstreze c6"dac5,un numd,r complet contine cifra 5 atunpi el are doar cifre impare. c) S5,se demonstreze cd orice numXr complet are cel mult 7 cifre. 2. Se considerd unghiul alungit AOB. Fie n cel mai mare numd,r natural pentru caxeexistd,semidrepteleIOA1,lOAz,...,lOAn, toate situate in acelaqi semiplan determinat de dreapta AB astfel inc6.t m (4AOAL) - 1:, : no gi oricare doud,dintre unghiun(
1. a) S5,se rezolve ecualia r-&
r-c
t-b
b+c +d+ o* na+
r-d
i
o*6aa+;76*":4'
undea, b,c.d e Qi;
11.
1
b) Fie p un num6r prim. SHsedetermine(2, il e ZxZ, dacd,'+' : -. p ry 2. Se considerdun punct oa,reca,re O, in interiorul triunghiului ascutitunghic ABC. Fie M,N, P simetricelepunctului O fatd de mijloaceleA',Bt respectiv Ct ale segmentelorlBCl, lCAl respectiv [.4,B]. a) Sd se arate c5,drepteleAM, BN qi CP sunt concurenteintr-un punct
o';
b) Sd se a,ratec5, dac5,pentru punctul Ot, determinat anterior, avem OtAt : OtBt : O'Ct, atunci O este centrul cercului circumscristriunghiului ABC; c) Sd se arate c5, dan6"O este ortocentrul triunghiului ABC, atunci O' este ortocentrul triunghiului At BtCt. Clasa a VIII-a
r L. a) Rezolvali in IR ecualia (ar2 + b) (a + br2) : cz2, pentru o : \, b :2, c:9.
\ ColtcuRsul
,,ARGuMENT", BAIA Mnne, 2013
t7
b) Ddmonstrali c5,ecualia (at2 + b) (a + b7,z): cr2, a'b € IR*, c € IR', pozitiv5,dac5.gi numai dac6 (a + b)" : c' are o singurd rddX,cinS, 2. Pemuchiile(OA), (OB), (OC) aletetraedruluioABC se considerS, puncteleA', B', respectivC', astfel inc6"tBC ll B'.C'.qi fie G qi G'centrele ie greutate ale triunghiurilor ABC, respectiv A'BtC'' a) Demonstrali c5 centrul de greutate al triunghiulti AB',c' nu se a^fl5 pe - OG; b) Demonstralic5 dac5puncteleo,G' ,G sunt coliniare,atunci (ABC) ll (AtBtc'). Prezentd.rnin continuarelista premiantilor Ia acestconcurs. Premiul Iz Herzal Radu, clasaa V-a, C'N' ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; Mold,ouanNicolae,clasaa vl-a, $coala Gimnaziald ,,GeorgeCoqbuc", Baia Mare; Zelina Paul, clasaa vII-a, c.N. ,,vasile Lucaciu", Baia Mare; Lucaciu sergiu, clasaa vIII-a, C.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; BunaMd,rgineanAler, clasaaIX-a, C.N. ,,AlexandruPapiu Ilarian", Tfirsu Mureq; Zeliia Mihai,, clasa a IX-a, C.N. ,,VasileLucaciu", Baia Mare; Cotan PauI, clasa a X-a, C.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; $erban $tefana, clasa a xl-a, L.T. ,,Petru Maior,,, Reghin; MoldouanBogdan,clasa a XI-a, L.T. xII-a, C. N. ,,onisifor Ghibu,,, cluj Napoca; Mihaly wad Mi,hai, clasa a ,,MirceaEliade" Sighiqoara. Premiul al ll-lea:: Manim Sonia, clasa a V-a , C'N' ,,Gheorghe Baia $incai,,, Baia Mare; TfurdaRaul, clasaa v-a, c.N. ,,Gheorghe$incai", Teglag Mare; Baia Mr""; Birig Erik, clasa a v-a, c.N. ,,Gheorghe$incai", ' a v-a, c.N. ,,Gheorghe Bogd,an,clasa $incai", Baia Mare; Robu Wad,clasaa VI]a, $coala GimnazialS,,NicolaeIorga", Baia Mare; Boroica Ad'ri'an,clasa u VIlu, C.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Ma,re; Andreicu[ Teofil, clasa a VIa, C.N.,,Gheoighe$incai,,,Baia Mare; Cot1,rlanCodrin,clasaa VII-a, C.N. g' ,,brugoq VodX,;, Sighetu Marmaliei; Stepan Dacian, clasa a VII-a, $c' a VII-a, ,,C*ig" Coqbuc*, Sighetu Marmaliei; D'iaconescuMd,lina, clasa C'N' a VIII-a, clasa Wad, Pop Mare; ,,Gheorghe b.N. ,y*it" Lucaciu",Baia Tud,or,clasaa IX-a, C.N. ,,Gheorghe $incai",' $incai,,,Baia Ma,re;Sfi,ntejuitean i"ir M*"; Sabd,uWad, clasaa X-a, C.N. ,,AlexandruPapiu Ilarian", TArgu Mureq; Butnar Ad,rian,clasa a X-a, C'N. ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; PetragAnd,rei,clasaa xl-a, c.N. ,,vasileLucaciu", Baia Mare; couaci,Rareg, clasaa XII-a, C.N. ,,AlexandruPapiu Ilarian", TArgu Mureq' Premiul al III-lea: clasaa V-a, clasaa V-a, Pop Wad,clasaa VIII-a, C.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; C.N. ,,Gheorghe$incai", Baia Ma"re; Rigtea Teod,oia,clasa a V-a, C.N, ,,Gheorghe$incai", Baia Mare; Sd,sd,ran Tinia, clasaa V-a, C.N. ,,VasileLucaciu", Baia Ma,re;MihagcaRareE,c[asa a v-a, $coalaGimnazial[ ,,Lucia,nBlaga", Talpogcari,na,clasaa v-a, $coala gimnaziald ,,Nicolae Iorga", Baia Mare ; Becsi Paul, c1asaa VI-a, C.N. lcheorghe $incai,, Baia Mare; Pop Cd,lin,clasa a VI-a, $coala Gimnaziald,
18
PROBLEME REZOLVATE
,,Nicolae lorga", Baia Ma.re; Cornegtean Jasmina, clasa a VI-a, C.N. ,,Dragoq Vodd", Sighetu Marmaliei; Ili'eg lulia, clasa a VI-a, C.N. ,,Gheorghe $incai" Baia Mare; Mercea loana, clasa a VII-a, C'N. ,,Gheorghe $incai", Baia Mare; Miron Mihnea, clasa a VII-a, C.N. ,,Mihai Eminescu", Satu Marel Petz Ali'n, clasa a VII-a, C.N. ,,Vasile Lucaciu", Baia Mare; Matei Bled,eaAletandru, clasa a VII-a, C.N. ,,Gheorghe $incai", Baia Marel Muregan loan, clasa a VII-a, C.N. ,,Gheorghe $incai", Baia Ma,re; Hagd,u lulian, clasa a VIII-a, $coala gimnazial5 ,,Nicolae Iorga", Baia Mare; Md'rieg Maria, clasa a VIII-a, C.N. ,,Gheorghe $incai" Baia Mare; Td,m6'ian Andrei, clasa a VIII-a, $coala Gimnaaialfi ,,George Coqbuc", Baia Mare; Cudrici Carina, clasa a VIII-a, C.N. ,,DragoqVod6", Sighetu Ma,rmatiei; Ni'cuEorAnd,rei,clasa a IX-a, C.N. ,,Alexandru Papiu Ila,ria,n", Tdrgu Mureq; Danci Bi,anca Dori,na, clasa a X-a, C.N. ,,Dragoq Vod6", Sighetu Marmaliei; Onul Ingrid Fara, clasa a X-a, C.N. ,,Petru ILareq", Beclean; Florea Cd,lin, clasa a X-a, C.N. ,,Alexandru Papiu Ilaria,n", T6rSu Mureq; Bud Cristiaz, clasa a XI-a, C.N. ,,Gheorghe $incai", Baia Mare; Buboi Andrei, clasa a XII-a, C.N. ,,Silvania", Zal5u. Marele premiu ,,Dumitru Anghelutd ", pentru cel mai mare punctaj oblinut in concurs dintre elevii de liceu, instituit in memoria marelui profe' sor de matematicH al Colegiului Nalional ,,Gheorghe $incai" Baia Mare, a fost cdqtigat de elevul Mihaly Wad Mihai de Ia C. N. ,,Mircea Eliade" din Sighiqoara.
PROBLEME REZOLVAREA
PROBLEMELOR DIN GAZETA MATEMATICA Nr. 6-7-E/20L3 - partea I PROBLEME
A
PENTRU
GIMNAZIU
Clasa a V-a E:14506. Pentr-u ori,cen nuntd,r natural, aflali restul trnpd,rlirii,numd,rv,lui 5n+4.3n+1a b'l+l . Bu+3+ 3 . 151"la 2013. Eugen Bld,jufi,Bacdu
Putemscrie.A : 15' .54.3 + 15'' 5' 33+ 15'' 3 : 15'(54'3 + 5' 33+3) : Sotufiie. : 15' . 2013,ceeace aratd cb la impdrlirea numX,ruluiA la 201,3obtinem restul 0. +ffi + ccc) este E:14506. Ard,tali cd,numd,ru,I114: (abc+ bca+A)@"" pd'tmt perfect' Elena Rtmniceanu,Drobeta T\rrnu-severin avemM: 111(o+b+c)'111(a*b*c): zecimald, scrierea Solulie.Folosind : lILz(a * b * c)2 : [111(o+ b + c)]2, adicd" M estepdtrat perfect. E:1450?. Determinali toate numerelenaturale nenule caretmpd'rtiteIa9 d,au c6,tulp gi restul r, iar trnpdrtite la 17 d,auc6,tulr gi restul q. Marin Simion. Rm. Sd"rat
REzoLvAREA PRoBLEMELoRDIN G.M.-B
un. 6-7-8/2013 - PARTEAI
19
sotuli,e. Dwd, n este un astfel de num5,ratunci, din teorema impdrlirii cu rest' l7r * g, de undeQ:2r' r < 9 qi n: l7r * 4, q <17.De aici 9q*r: n:9q*r, 133, 152' 1L4, 95, Cum r ( 9; mrmerelec[utate sunt 19, 38, 57, 76, +A} ' A: {ffi1 aaaa:M mulfiimii, elementele E:14b08. Determinafii $tefan M ari,ca,Drobeta T\rrnu-Severin : sotufiie.Folosindscriereazecimall avem1111o: ].101a*10Ib*20c, sau 104 : : A: gi 2c. obtrinem a b 0 : l0Lb*20c. De aici deducemcd, {20I,402,603,804}. Clasa a VI-a E:L4513. Determinali numerclenatumle n gi y astfel tncdl' t2n2 + 74n* I23 : (2n * f)(y - t). Cristina Vijdeluc gi Mihai' Vi'ideluc, Baia Mare e l2r2 +7 4n* L23, 2a* 5 Sotufiie.Di\ t2n2+7 4n+ 123: (2x+5) (a- 1), deoa,rec I2r2 * 74t+ 123, (1). Dar qi y - 1 sunt numere naturale deducem c6,2x * 5 | (am inmullit cu 6o). Din (1) (3) 2r"+ 5 | 2r * 5, (2) qi atunci 2r I5 | t2r2 * 30r, 110,(5) (a,m 2t+!lMr* qi (3) rezultd"2,x*5144r*L23, (4). Din (2) oblinem 13, de undec:4. 2n*5: inmultit u22). Din ( ) qi (5) rezult[ 2n*5 | L3,adic6 inlocuind acum in relalia initiald gdsim g:43. 8.145L4. Ard,tafiicd,numdral a - 63n+2a 632*I * 1 se d,iuiilecu 43, pentnt orice n nwndr natural' Mihai viid,eruc,Baia Ma,re a1 : 63''62+63*'6+1 : 216n'36*216"'6+1. Solugie.AvemA - 634+2a63n+1 . Da,r 216' : (5 43 + 1)' : M43 + 1 qi atunci A : (M43+ 1) . 36 + (M43+ 1)' 6 * | : M43+ 36 + 6 + | : M43. E:L4B1b. Surna a patrtt numere naturale este 6005. Determi,nali nurnerele gtiirut cd unul ilintre ele estepri,rn, ,i,arcelelaltetrei sunt nunl,ereimpare consecutiueMarin Simion, Rm. Sd.rat soluli,e.Fie p nurnlrul prim qi 2k * l, 2k +3, 2k + 5 numereleimpa,recon*5:6005 sau 6k*p:5996. Cum 6lc secutive.An"* p +2k+L+2k+3+2k p qi 5gg6 sunt numere pa,re,deducemcd este num5r par. Cum p este numdr prim, rezult6 p :2 gi atunci 6k :5994, de unde k : 999. Numerelec5,utatesunt 2, 1999' 200L,2003. E:14516. Ardtali cd, ilacd,nurnerelenaturale nenulea, b' c uerificd'relafii'a Sa-b _ \b-c - Sc-a . 2c*5a' 2b*5c 2a*5b atuncio,: b: c.
t" ffi:m:m:'ffi ,:? sotu[ie.
3a-b ffi:
2. imnticx7(3a-b) :2(2a* 5b)sau2ra-7b: f
Ion Neafid,Slatina
Acum 4a* 10b'de undeo : b'
20
PRoar.eMp REZoLVATE
Analog rezultd b : c, aqada,r o,: b: c. Clasele a VII-a gi a VIII-a Ezr462r. Ard,tari,cd d,acd,md,surileunghiurilor unui patrarater conaexsunt direct proporNionalecu patru numenenatumle consecutiue, atunci patralateral este trapezsau esteinscriptibil. Retu Ciupeq Oltenitra solulie. Dacd,pat.rlaterur esteABCD, notdm a, b, c, d mdsurile unghiurilor patrulaterului. Ele pot fi propor{ionale cu patru numere consecutivein ordinea (l) a, b,'c, dsau (2) a, b, d,, c. iicazul (1) avem a b c d a * b * c td ,
n n+I Putemscrie
n+2
1900
n+g -
4n*6
2n*3'
(*)
o,d a+d -:-: (**) n n+3 2n*3 Din (x) qi (**) deducemcEa*d,: 1g0o.Aqada,r, avemdouil'nghiuri al'turate . suplementareqi rezurtH, c D estetrapez.Analtg, i" -4,8 qi prin urma,reavem doux unghiuri opusesuplemuitrr", "*J ra ,ltinem o*c : 1g09 a" r*a" J"aucem cd ABCD este un patrulater inscriptibil. in paratelogramut AB
c D, M_ estemijrocul raturi,iDC, . - -Fzr^4522. : {ir}, CNn AB : Bu n AC:'{T}. D"*;;i;;;;;;,"" V) :: a) patrulatercleBDNC
B M n AD :
gi BDCp sini pamtetogram"; b) puncteleD, T, p suit coliniare. petre Sirnion gi Nicolae
Victor, Bucuregti Solulie.a) AMDN = AMCB pentru_cd[MD]=lMe(ipotezX), 4DMN: =
foto"itl."*a reciprocd.ro*r"*", luitut"ralrin triunghiul ANB. .nvem%Ir* : (D estemijlocullui [,4N]deoa.rece = 1 l5. [AD] [Be = [Dnf]);!! : ?
: H: j,ii,""i eur"- aNrA$t #:I # I 'jfi,;j'?r='i"| 'Ni : I qi, conformreciproceiteoremeihi Menelaos,punctele AD' Bp
'' I'r: DrT, P sunt coliniare.
REzoLvAREA PRoBLEMELoRDIN G.M.-B
Nn' 6-7-8/2013 - PARTEAI
21
E:L4623, Deter"rninafiinumerelenaturale nenuler gi y care uerificd,rcIalia 12+y2:fi*y+frA. Giurgiu, Bucureqti qi Neculai Stanciu, Buzdu D. M. B d,tinefiuSotulie. inmuftind relalia cu 2 gi trecdnd toli-termenii in membrul stAng, oblinem 2r2 + 2y2- 2r - 2y - 2ry : 0 sau (* - l)' + (y - I)2 + (r - u)2 : 2' Din (c - ilz < 2 qi n,y mrmerenaturale deducemc^.? - A : 0 sau lr - Ul : L. deunde r : 2. Dacd Dac5.o- i : 9,atunci r : U girelalia devine2(r - I)2 : 1)2 1qi de aici oblinem (r-D'+@devine atuncirelaliadatd l"-yl:1, -^2, g:2rg :1Sa Ufr:trA: 2. 8214524. Determinali numerelenaturale n pentra care nurrudrwl16" +4" +3 se poate scri'eu' o sumd'de d'oud'nunlereprxrne' cristina vijderuc,Baia Mare sotufiie. Fie 16' + 4n + 3 : p * q, unde p qi q sunt numere prime. Deoarece membrul sdng este numdr impar deducem cd p * g este impar qi cgm p qi q sunt prime rezultdcd,unul dintre ele este2' Alegemq:2qi atunci t6" +4" af,:pl2 sau 16' + 4" + L - p. Acum 16n+ 4n ] | : (4n - 2n + 1) (4'?+ 2" I l), ia,rpentru sd fie 1. Numai 4n - 2n * 1 : 1 este a fi numfir prim trebuie ca una dintre pa,rarrteze posibil, iar relalia esteadevXratdpentru n:0. Ezt4625' Rezolualitn muftimea nurnerelorreale ecualia (-2r2 + 5r -r 2)2 + 6# (-2*
* 5r * 2) * 8ra : 0. Vasile Chiriac, Bacdu
y relaliadevine3r2*6n2y*8xa :0. Putem Not6nd-2r2 *5r*2: Sotufiie. scriey2+6r2y +8ra - yz +6r2y*9r4 - 14 : (u * 3r')' - * : (a * +x2) (u * 2r2). (-Z*' +50+ 2+2r2) :O Acnm, relaliadin enun! se scrie(-Zr2 +5r*2+4r2) : sau (2r2 * 5c * z) (sr + 2) o. : @ + 2)(2r + r) cum 2r2 + 5x * 2 : 2r2 + 4r + r * 2 : 2n(r * 2) (" [ tq oblinem(r+2)(2x + 1)(5r +2):0, cu soluliile-2, -r, - 5' E:14526. in cubul ABCDA.B.C'D' d,e laturd a se considerdpunctul S e ICC'1. Notdm {O} : BD n AC Qi {M}: ,SOn .NrC'' Dacd planele(A'BD) qi stabilili poziliapunctului un unghi cu md,suraa gi cosa : (MBD) formeazd, fr, s pe cc'' Mi,haetaBerind,eanu,Bucureqti Solufiie.Punem in eviden!6 unghiul dintre pla,neleA'BD qi MBD' Bo' LA'BD esteisoscel(A'D qi A'B sunt diaAvem (A'BD)n(MBD): gi gonaleale felelor cubului) atunci A'O L BD, (L). LMBD esteisoscel(LMA'B:- LMA'D) qi de aici MO L BD, (2)' Din (1) qi (2) rezultd c[ unghiul dintre pla^neleA'BD qi MBD este4A'OM.
22
PRoeLeMn REzoLvATE
Dand,ME L (ABC)' atunci ME ll A'A gi prin nrma^reME c (A\AM), adicd E e AC- in acestfel problema sereducela dreptunghiul At AEM in carei A: a:2b, AC :2b{2 qi not[rn OE : xDin LA'AO avemA'O : bJ6, din A,MEO in Plus AtM : r + bt/z' avemMO : ,/77?F. AplicAnd teoremacosinusuluiin LATOM avem
M
+ 12+ +tz-zuJo@@ @+b{2)2: 6b2 D
de nndeoblinemab- rt/2:
A
h,
,l@
Ultima relalie este adevdratH,numai dan' r < 2brt qi prin ri4ica,relapdtrat
+ I7ob2: 0 cu soluliilery ajnngemIa ecualia2".2- 86bnt/2 .5b\/, . convine numai ?,
aqadax EO :
cs:I .CC'. ffi :#,u",-a"
ry
si ff'
N"
Acum,2'ocs- a,oEMimplicd
PROBLEME PENTRU LICEU Clasele a IX-a gi a X-a ( acosc. Sd se amte 26776. Fie it gi'l r nurnere rvnle cu propri,etatea cd, sinr
cd sinn - o3cosr s
;'nT6'
(Enunl corectat') George Stoica, Ca,nada
ar) (t * ao) : 1+ @6,de Sotulie. Avem (sin 3r I a3cos3r)2 S (sin23tj:ot' Conform ipotezei,avem unde 3sinr - 4sin3nl as (4cos3r -3cosr) S tnT& trebuia ardtat. ce < ceea sin3r S o3cos3c,deci 3 (sinc - oscosr) r/L+&, 26776. Fie r, U, 2, M nurnenerualepozitiue ostlel tnc6't x,y,z 1 M' Sd se arcte cd,rU + yz a zu * M' > (* * A * z)M GeorgeStoie,a,Canada Sotulie. Inegalitatea cerutH,se scrie echivalent
n (y*z-M)+(u -i l @- z) > o
(1)
s&u
(2) vz*(M-Y-z)(M-t)>o' c:un M -r, M -y, M - z, r qiyz sunt pozitive, inegalitatea(1) esteadevilratd drcd,y * z - M ) 0, iar'inegalitatea (2) este adevX'ratd'dac6"y * z - M < 0' 26f77. Rezolaalitn nurnercreale ecuafiia
(Enunfi corectat.)
Cristin eI M ort'i'ci, TArgoviqte
REzoLVAREAeRoBLEMELoRDIN G.M.-B
I xn. 6-7-8/2013 - prc'RTPA.
Soluite.Notd,ma : 12r 2r *7. T[ebuieca \/y *'Z = \/iTZ . ,/, *f,, a"
26778. Fie a, b, c, d, numere reale cu ac*bd:0.
5d se arate cd
Radu Pop, Baia Mare Solu[ie. Este suficient ca
*' - *d\-'2 / a*b*c
,o 2 + b 2 + &+ d 2 . * 2-at2 <2(a2 +b2 +&+a2). | = #<+(o*b*c*d)' /Drn ac*bil,: 0 avem(a+b+c+d)2 : o2+b2 +3 +d,2+2ab+2bc+2cd,+2d,a. Inegalitatearevine la 0 < (o - b)2+ (b- c)2+ (c- d)2+ (d,- a)2, ceeace esteadev5rat.
I \
-
= 2
26779. Fie a, b, c, d,numererealestrict pozitiueastfeltnc6'ta2+b2+c2+d2: L. Sd se arate cd' 42 c2 6z a2 L * r\abd" c2+ de+ 4z', o6)_ F* 6"+ Fl "n+ Florin Stdnescu,G5eqti Solulie. Folosind inegalitatea Cauchy-Schwar4 avem
on _ .;. r: - 9":5- aa- b23_: _ )- ,r'"1,u > - jkA +bc - k @ * bQ z k @, * b c ) 2* ? , " @+'b " ) '
exrc r
-
Clum /-t\ )
/
o
12
: la' * bcl t
czfc
: a4 *b4 + c 4 + d 4 + b 2 c 2 + c 2 d 2+ d 2 a 2+ a 2b2+ z(a2bc+ b2cd+ c2dat d2ab): :
(a2 + b2 + c2 + d')' + (ab - ac)2+ (bc - bd')2+ (cd' - *)2 + (d,a+ ilh)2 < L,
rezult[ cd
(a2+b2 +c2 +d2)2
21 ci
D @'*b c)2
(:r- ,L; >a2+bc'' 1+r ' + bc k\a2
u'"'o):, +> - ' , !:=> (e2+ b d 2 # " 1 a 2+ b c )l )
I I
24
PnosleMe
REZoLVATE
l I
I
> 1+1V @,+ b.)\b,+
a4b4c 4d4
"q\e
\r,
+ d,)\d, + "bf
> t+7
4abd
lI
> L*r6abcd'
1"r;ff
czrc 4
26780. arate cd,
Fie (an)n , o progresie geometri,cd ile nurnere stri,ct pozitiae. Sd, se
ol.2)"o1t17
ot?r)": \[@r"*r).* . Flori,n Rotaru,,Focqani
Solulie. Fie g ratia progresiei.Atunci o{"2)'o@i) :
off)' : o(c|)" @fl)(c:)'. ... .(orq')(c:)2 -
+ (c + ...+ {c21, i)" +z(ci), +...+n(ci )" _ olc|)" :)' o@
: a?t*qECt^:
(o'rqn)ct^
(opn+t)ci^
267E1. Fie r €R cu proprietateacd,nwnerelex3 + r gi 15 + r sunt mfiionale. Sd,se arate cd,x estenumd,rralional M d.dd,Iina,4l6u, Babadag Solulie. A se vedeaarticolul lui Marcel lena; ,,Asupraproblemei 2678L" din G.M.-B nr. 9/2013. 26782. Fie ABC un tri,unghigi puncteleD, E, F pe laturile BC, CA, req)ectiu AB, astlel tnc6,tAF : EF gi BF : DF. Sd,se arate cd,ortocentrul triunghiului ABC aparline cercului circumscri,stri,unghiuluiCDE. Marcin Kuczna, Polonia Solulia 1. Fie P CiQ punctele dia.rnetralopuselui C in cercurile ABC,rc* pectiv CDE. Observ6mc6 F este egal depdrtat de dreptele AP qi EQ, precum qi de dreptele BP qi DQ, deci F este mijlocul seqmentuluiPQ. Fie O centrul cercului ABC. Deoareceortocentrul I/ al triunghiului ABC este simetricul lui P fa!5,de mijlocul M al segmentuluiAB, deducemcXtriunghiul CHQ esteimagineatriunghiulti OM F prin omotetia de centru P qi ralie 2. in consecinld, dreptele CH gi ffQ sunt perpendiculare,deci -lll apa,rtinecercului de dia"rnetruCQ. Concluziaestedemonstratd. Solu[ia o 2-a. Fixdm originea planului complex in centrul O al triunghiului ABC qi lud.rnaxa reald,in lungul dreptei OF. Convenim ca a^fixelepunctelor notate cu majusculesd fie desemnatede literele mici corespunzH,toa"re. Presupunemlol : lbl : lcl : 1. Fie M qi N proiectiile punctului F pe dreptele b+c+J -bcf qi n AC, respectivBD. Cum.f € IR,avem*:til# . ClllonM qi N sunt mijloacele segmentelorAE gi BD, folosind Si : a fb - abf , "f deducemc6.e: c+f -acf - a|b*c-(ab+ac)f qi d: c+f -bcf : :a*b*c-(ab+bc)f. Fie I/ ortocentrul triunghiului ABC, deci h : a * b + c. Tlanslalia cu Iqi simetria fatd de O aratd cd este suficient sd,a.rdtd^rn c6"(ab* ac)f , (ab*bc)f ,
otN G.M.-B nn. 6-7-812013- peRtnn I Rnzor,v,tnpl pRoBLEMELon
abf , rceastarevine la acf , bcf , f qi -obl o * b qi originea sunt conciclice.ScHaAnd conciclice. Cum lal : lbl : lcl : 1, cele patru numere au acelagimodul, de unde rezult5,cerinta. Clasele a XI-a qi a XII-a 2679L. Fie A e Me(iR) cu det(A) : 1. Sd,se arate cd,unndtoarcledoud afi,nnalii sunt echiualente: (i) det (A' - A* 13):9' (ii) det (A + 13): 6 qi det (A - lt; : g' Lucian petrescu,T\rrcea Solulie. Fie )1, )2, )3 valorileproprii ale lui ,4 gi P : det (.4 - XIz) polinomul sdu caracteristic. Cum P e R[X] putem presupunec5,\r € IR qi .\s : )r. i) + ii) Fie e G C\lR cu e3 : -1. Cum : det (,4 - Ii @ -eli : det (A - ers)det (.4 - E/r), rezultXcX {)2,)s} : {e,d}. Deoarece1 : det(A) : )rlz)a : )ree : trrlel2qi lel : 1, rezultdcX .\1 : 1, deci det (A - Is) : 0. Mai mult, P: -(X - 1)(X-€)(X-d) : -(X - 1) (X'-X + 1), de unde oblinem det (,4 +,f3) : P(-f ; : 6. FieP: (X-1) (-X'+aX +b). ii) +i) Cumdet(A- I):0rezultd)r:1. Cum 1 : )zle rezultdcX b : -1. Cum 6 : det (A + h) : P(-1) : -2(-a - 2), Az:e qi)3:E. Atunci obfinema:1. Atunci P:-(X-l)(X"-X+1),deci det (A2 - A+ It) : P(e)P(a) : o. 0 : det (e' - l+.r3)
a) Sd,se arate cd,nu eristdA e M*(Q) astfel tnc6,tA4 + (In * A)a : ry. elemented,eforma b) Sd se dea un exemplud,ematri,ceA d,eordin n au6,nd, -!^*tinel (I^ of a + bi (t/2 t), a,b e IR, astfeltncd,tA4 + * Mortici, T6,rgoviqte X4+(X +1)4: 2(X2 +X +l)2 -!qioblinem Folosimidentitatea Solufiie. (I : Aa + (A+ In)n : 2(A2 + A+ t*)2 - r,, echivalentcu 2(Az + A+ I*)2 : :U*In. a) FieA e yll,(Q)careverific6relaliadinenun!qid: det (A2 + A+ I,) e Q. Atnnci aet (Z (e2 + ,n * 1,)') : det (U I In) de unde2nd2:2'-1,
deci ldl:
h, contradictie. b) Fie,\ e C o soluliea ecualieiza + (z+ 1)4 : 0, z €C qi A : A(1"-U). Cnm U& : (J, (In - U)r : In - U,k € N* si (I' - U)' U : O,, obtinem A4 + (A+ I)a : ^4
(In-u)n + [()+ 1) (1.-U) +U]4 :
: \a (rn- U) +()+ r)4e^ - U)*(J : [.r4+ (.r+ l)n](r" -U) *rJ : (J,
26
PRoar,pl\ln REZoLVATE
deci.,4verificdrelalia din enun!. Deoarece (t.
: -1 rezultd,cX
i)n
. . ( 2k*r \r t, r _ [^ ^^ e n t\r *. isin ' * ) . t"o.--it,* Alegem ) e C cu t *
i
:
: "o.f; *isin T *,
- _] o;ti.
*i), deci
t : 5l +@ : -'ffiffi : -;- i @-')' 26793. Se cons'iderd,gi,ratde termen general _
r": I QI)' - ctrcT+(cil' + 1f{4)' _ c|,c|+ Qf,)r+ - |r
t2 - r| ./r n\u^zl V
-
^^.1L.-(fi ui i Ln , L\2 \_n)
sd se calculeze lim log' (1 + r,) ,l_+@
VA
Florin Rotara, Focqani sotufiie'Deoarece (a*b)z ) a2 - ab+b2 a+b q S{a2-ab+b2(a*b,deci
(#)',
"u
-
o,b > 0, rezult5,cd
n
a2o - apap",1 -f o?+, <
D (o* * ar"+r),
&:1
decilor
<
K=T
n
|
ft:l
a 2 o -a p a p rrl * o ? + , < 2Dob, k:r
n
zitive
a 1 r a 2 t,
. .te n te n *lt
cu o 7 1 1 1
:
ar.
< 2 (2" - 1), oricarear fi n € N*. O bt in e m 2 n < I* rn Rezultd ,. Um . -
, I
n
"6
--!-
/-2 n + 1 , d e ci n l l ogr(l + rr) n I
Lw62\r-run) q logr(1+r,,) --# << =
Vin-
r _ ;<\-rn1r,tc z ^ Rezultd cE"2n _ -r:)_U ft:r
t/n-
< n+ L
qi cum_lip + : e Qi ;;W- + +Vn=. nlA Vnt.
+ r,) 0 , o b q i n e *,l glog, '%#(1@ :
i s *u . : logrn: Cum oo, rezultdcd Jlm* A1
oricare ar fi numerelereale po-
".
Fieyn - tosr ( !+r - ) .togn2.
va
:0, deci lim g,, :6. 2--+OO -liiiog,2 26794. Fie A gi'B doud rnatrice d,eord,inB cu eremente tntregi astfettnc6t q.i
= BA
calculeze det(.
det(A)- aetla; : 1. gtiindcd,det i ia + Bti : ;," ;d;; 6; - B).
Thaian Td,m6ian, Caxei solufiie' Fie p-:
det(A +
€ R[x]
qi e o rdddcind primitivd de or-
dinul 3 a unitd{ii. Cum 0 : det48) (,+i+lA+'rir1
:;"(A-:-rbi
(;_"rr1)":
Rpzor,vnRel pRoBLEMELoR un G.M.-B Nn. 6-7-812013- pARTEA|
27
: det(A €B).det (A - r'B) : p(-e)p (-r,) ci p : bx3 * qx2 * 0x + a ct o: det(, ), b: det(B), obtinem
: o) ':':T. ::::;,'::,:lf:",::^ -::;*
: (r - pe + o,e2)(r+ae - pr') : : [1- o - (o + Oe][L+ P + (a + ile) : (1- o)(1+ il - @ + g),r- (a * g)rr, : : (1- o)(1+ p) + (a+ g), : o, + 0, * a0 - a * B j r :
:
1_
. il@ + P)'+ (o- r)' + @+ r)21
Deoarecea, 0 € IR, oblinem a : 1 qi 9 : -1, deci P : bXs + X2 - X + a. Atunci det(A - B) : P(-L) : a. b * 2 : 3. Condilia de apartenen!6a matricelor la Ms(Z) este inutil5, estesuficient ca ,4 gi B sd,aibd,elementereale. ginil (xn)n2, d,efinitprin e,1: 1 fi 26795. Se considerd, T pentnt ori,enn) | natuml.
sdsecatculeze ]yyff
: I + Jrn,
fi,tg + Florin Rotaru, Focqani
Solufiie. Vom a,rd,tac[ (n, - L)' I *n ( n2, oricare a,r fi n € N*. Proprietatea este adevd,ratd,pentru n: I. Presupunem cX proprietatea este adevdratd, pentru un n € N'. Atunci rn*L :n (t + \/"") S n(I + n) < (z* 1)2 qi a,..,,1)
> n(t+n-L) : n2. Atunci+
Vnl
li^ @
n+@
li-
Anl
.2
lim sicumn-*f;vt: Unl '
<"8
e oblrnem
:".
Vnl
1* rF; rL 1*@:t. C,r-
rD-)@
< - f
:
tn*r -;r-
-: rt $t
< ?+ = f4)', n z -\ n
)
rn . N*, rezultil cd
n
26796. Fie (A,*,.) un inel gi a,b e A, astfeltnc6,t(a*b)2 : a2 +b2 Qi (a+b)3 :a3 *b3. Sd se amte cd (a*b)n: an *bni oricarear fin) 4 natural. (Enunfi modificat.) GeorgeStoica,Canaha Solulie. Din (a + b)2 : a2 + b2 rezultd c6"ab : -bo, deci ab2: abb: -bab: b2a. Cum as +b3: (o*b)3:
(a+b)(a +b)2: (o+b) (a2+b2): a3* ab2+baz +b3,
rezult[ c6,ab2 : -ba2. Ardtdm prin induclie cd anb: adevHrat[pentru n,: I qi n:2. Avem
-bna. Proprietatea este
on*r6 - a"(ab) : -anba: bna2- 6n-r6o2- -6n-Lo62- -*-Lb2a:
-f*La.
28
PRosr.plrn PRoPUSE
Ardt5,rn prin induclie cd (a+b)' : an *V ' Proprietatea este adev[ratd pentru n e {1,2,3}. Presupunem proprietatea adev5.rat5,pentru n,. Atunci (a + b)'+1 : (a * b)"(a + b) : (a^ + b") (a+ b) : : q n * L + a n b + b n A +bn+ l
: A n+ l * bt* l ,
ceea ce trebuia demonstrat.
PROBLEME PROBLEME
PROPUSE
PENTRU EXAMENE
NATIONALEI)
Clasa a VII-a 1. Catculali0,5+ 0,(3)+ 0,5.0,(3). 2. Ca,reeste probabilitatea ca aleg6,ndlL numere naturale sd,gdsim doud,a cdror diferen!5,sd se dividd cu 10?
3. Calculalil4\n - 5Al + F,,fz- 8l - 17- 4\/31. 4. Un trapez dreptunghic axe latura perpendicula.rd,pe baze egalS cu 5 qi cm linia mijlocie egal5 cu 3 cm. Aflati aria trapezului. 5. Aflali aria unui triunghi echilateral cu ind,llimea de 6 cm. 6. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza egal[" cu 25 cm. Afla$i lungimile catetelor, qtiind cd sunt direct proportionale cu 3 gi 4. Clasa a VIII-a
7. Ardtali cd a: 1f etn - 7)2+ r/28 estenum5rintreg. 8. Calculati media geometricd a numerelor 6 qi 0,1(6). 9. Descompuneli in factori na - g. 10. Ce lungime a,re inX,llimea unei piramide regulate in care muchia lateralX, are lungimea de 12 cm qi formeaz6 cu planul bazei un unghi cu mdsura de 60"? 11. Segmentul AB are lungimea de 12 cm qi se a"fl6 intr-un plan a. Punctul M nt aparline pla.nului a gi se a^fldla aceeaqi distantd de capetele segmentului AB,, egal6 cu 10 cm. Aflali distanla de la M la AB. 12. in paralelipipedul dreptunghic ABCDA' BtC' D' avem AB : 6 crn, BC :8 cm qi unghiul format de diagonala BD' cu planul (ABC) de 45o. Aflati lungimea diagonalei paralelipipedului.
r) La problemeledin aceasti rubricd nu se primesc solulii. (N.R.)
PRoslpl'{n
29
PRoPUSE
Clasa a IX-a 13. Fie (ar,), qirul definit astfel: @t: I $ian+r :ani-
F#,
n)
L.
Calculati a2oL4. I
14. Fie (arr)rrrl o progresie aritmeticd de numere naturale nenule. Ardta{i cH qirul (bn)n>t cu br, - aan, fl } 1, este progresie geometricd,. 15. Determina{i valorile reale ale lui rn pentru care ecualia n2-mr*1:0 are ambele rdddcini numere intregi.
16. Ardtalicd,tunc{ia "f ' rRr R, ft") : {1, ( "' lERf ,
este
periodicx,.
17. ArS,tatic5,graficulfuncliei / : IR-+ R, /(r) : n3*5, are centru de simetrie. 18. Fie functia / : IR-+ R. Ardtali cd funclia g : IR-+ IR, g(x):f(*),-f(-n ) t01.4 este functie impa.r5. Clasa a X-a 19. CAte numerenaturale ?zau proprietatea cX [lgn] : 10 ? 20. SXse arate cd. log2(n* 1) * log2(n + 2) + . .. * log2(n * r) < n tlog22 * log23+ . . . *log2 n, o r i car ea tfin ) 2. 21. Sd se rezolveecualia log"(z + 6) : L * 2log,*6n. 22. SSsearatecS,functia/: C-+ C, f(z): z*2Zeste injectivd.. 23. Sd se rezolvein C ecualiaz3 + 22 :0. 24. Fie a, b, c numerecomplexede modul 1. $tiind c[ la + b - 2cl * lb+ c - 2al + lc * a - 2bl> 9, sd se aratecd a2+b2 + c2 : ab+bc* ca.
30
PROSI.PTT,TPPROPUSE
Clasa a XI-a 25. se considerd numerele reale nenure a) b) c, distincte doud,c6te doud, qi matricea
( ; j" 't)
A_
a) Sd se calculezedet(,A). b) Sd se arate ci matricea ,4 esteinversabild,in ,iV3(R). c) Sd se calculezesuma elementelormatricei .4-1. 26. Fie functia (0,oo) -i R, /(") : \ET +i + I - lnr. "f a) Sd se calculeze'f,(*), r e (0, oo). b) Sd se arate cd funclia / nu este monotond,. c) SH,se arate cd,graficul funcliei / are o singurd asimptotd,. Clasa a XII-a 27. Seconsiderdinelul (Zn,l,.). a) Calculali suma pdtratelor elementelorinelului. b) Rezotva{iecuagiarb :i, r e Zp. c) Fie a un numdr intreg nedivizibil cu 6. Ardta{i cd funclia f : Zn ) Zn, / (A) : ff esteun automorfismal grupului (Ztz,*). 28. Pentru fiecaren € N* se considerd,funclia
l"(r) : NotXm ctrfn:
rn
r2n + L'
L f
I f"(n)dn.
J 0
a) Calculali [. b) Ardtati cd, girul (In)n>r este monoton. 2
c ) C a l cu l a l i fi m " l *o " . I
"f , [0,m)
_+ IR,
PRoeLpMn pRopusE
31
' PROBLEME PENTRU CICLUL PRIMARI) P:648. De ziua mamei, T\rdor mergeIa flordrie. Dacd,a"rcumpd,raun buchet compus din 5 trandafiri qi 6 garoafe a.r pl6ti 87 de lei, ia^rdac6 ar cumpd,raun buchet alc6tuit din 4 trandafiri qi 3 garoafea,r pldti 26 de lei. se hotdrS,qtesd cumpere un buchet compus din o trandafiri, b garoafeqi B crini. C6trilei va costa buchetul sd,u,qtiind cd,prelul unui crin reprezintdtrei cincimi din pretul a 2 trandafiri? Iuliana Drd,g an,Bucurqti P:649. catul imp5r{irii a douH,numereeste7, iar restul2. suma dintre deimpdrtit, impd,rtitor, c6,tqi rest este 323. Care sunt celedoud numere? Iuliana Drd,gan, Bucuregti P:650. Dac5,ar exista monedede 3 lei qi de 5 lei am putea pldti suma de 100 de lei cu exact 28 de monede? Dar cu 2g de monede? Justificali rEspurmul. r r **
P:651-. Doi prieteni, Florin qi Luca, Iocuiescin localitdli diferite qi stabilescsXse int6,lneascd.Florin porneqtela ora 9 cu bicicleta spre prietenul sdu,pedaldndcu viteza medie de24kmlh. La ora 10, Luca pornegtepe jos in intdmpinarealui Florin, mergdndcu viteza mediede 4 km/h. Ei se intAlnesc Ia ora 12. Pe marginea drumului dintre caselecelor doi copii s-au plantat plopi la distanta de 2 hm unul fald de celdlalt. C6,!i plopi s-au plantat? Iuliana Drd,gan, Bucureqti P:652. Maria a parcurs I at" drumul p6,ndla qcoald,qi mai are de paxcurs123 m. ce lungime *" &o*ul de la casaMariei p6nd,la gcoal6? *** P:653. Patru qeptimi din triplul prelului unei cravateesteegal cu doud, treimi din dublul prelului unei cdmd,qi.Aflali prelul unei cd,mdqiqi prelul unei cravate qtiind c5, dacd s-ar cumpdra trei cravate qi doud,cd,mdqi,s-ar plSti 156lei. IulianaDrd,g an,Bucuregti P:654. Dac6r2;dintr-un numdr inseamnd8, atunci cAt insea,mnd, -- I e L2 din acel num5r? *** P:655. care este cel mai mare numdr natural de patru cifre diferite, unde cifra sutelor reprezintx c6,tuldintre cifra unitd,lilor gi cifra zecilor? Iuliana Drd,gan,Bucureqti l) Se primesc solulii p6,nd,la 31 mai 2014 (data pogtei). (N.R.)
F
32
PRogr,plvtp PRoPUSE
P:656. Folosili de nou5,ori cifra 2 qi doud,dintre operatiile aritmetice cunoscutepentru a obline rezultatul 1000. Iuliana Drdg an, Bucureqti
P:657. La un ma,ratonpa,rticipdcu 5 bHieli mai multi decA,tfete. Dacd ar mai fi venit 17 bdieli qi ar fi aba,ndonatcurca tot atdtea fete, numdrul bdielilor a.rfi fost dublul numd,ruluifetelor. C6!i bS,ietiqi c6,tefete participd Ia competitie? Iuliana Drdg an, Bucureqti
PRoBLEME
PENTRU PREGATITOaRE OLIMPIADE PROBLEME
PENTRU
CONCUTI.SURI
GIMNAZII
$r
II)
Clasa a V-a E:14589" Un motociclist qi un biciclist au plecat in acela,qitimp unul spre celSlalt, din localitd,lile A, respectiv B. Cei doi s-au intd,lnit dup6 o ord, qi jum6tate, ia,r, in acel moment, motociclistul parcursese cu 30 km mai mult dec6,t biciclistul. $tiind c5,,dupd momentul intA,lnirii, motociclistul mai avea
.3 de parcurs din drum pdnd,in localitateaB, determinati: fr a) dista.nladintre cele doud ora,ge; b) viteza biciclistului.
Ad,rian Wad,a,Cilieni, Olt
E:14590. Victor, Ionel qi Dragoq disputd impreun5, un joc cu bile. in prima partid6, Victor pierde la Ionel qi Dragog, astfel incdt aceqtia iqi dubleazd numS,rul de bile pe caxe le-au avut la inceputul jocului. In partida a doua Ionel pierde la Victor qi Dragoq; aceqtia iqi tripleaz6 numHrul de bile pe care Ie"au avut dup6 prima partid5,. In partida a treia Dragoq pierde la Victor qi la Ionel; aceqtia iqi mdresc de patru ori num5rul de bile pe caxe le-au avut dup5 partida a doua. in partida a patra Victor caqtig6, la Ionel qi Dragoq; aceqtia iqi injumdtSlesc num[rul de bile pe care Ie aveau dup5, partida a treia. $tiind cX, dupd, partida a treia cei trei copii aveau, fiecare, c6'te 144 de bile, a,flali cA,tebile a avut fieca,recopil la inceputul jocului, respectiv la sfA,rqituljocului. Artur Bdld,ucd,Botoqani E:14591. Determinali toate tripletele de numere naturale prime (r,y, r), r 1 A, care verific5,relatia: fr +Y'Ue : z. D. M. Bd,tine[u-Giwgiu, Bucureqti qi Neculai Stanciu, BuzXu E:I4592. Se considerd, A: {("- m)(n+m) ln,rn € N*,n, > rn} qi B : {2r +22 + ...+2k | /c e N.}. Determinali mullimea A1B. GheorgheRotari,u,Dorohoi, Botoqa.ni 1) Se primesc solulii pdnd la 31 mai 2014 (data poqtei). (N.R.)
E:L4593. Determinali numerelenaturale a, b, a < b qi c e N astfel a 2+ a b2+b o :"+L' * ca^,t-n -* "ig
z
Gheorghe I acob, p aycaxi
:5: /5\ t 3 . t -
\o/ : 633.
--
1. r'
D arnian M ari,nescu, Tdrgovigte E:14595. Determinali numerele prime a, b gi c ca,re verificd, relalia 53a2* 159b- LB4c:2014. Eugen Pred,oiugi Marin Neagd,,Cdl5ra,qi E:14596. Not6"m mullimea numerelor de cinci cifre distincte formate -4 cu elementelemultrimii {1,2, g, Z, g}. a) Dacd, p este un element oa,recaxeal mulgimii A, a,rdtali cd numerele 5p,3p,2p gi 7p nu sunt elemente ale multrimii .4. b) Ard,tati cd,existd m € A astfel inc6t 4m e A. GheorgheRotariu, Dorohoi, Botoqani Clasa a VII-a E:14597. Determinali numerele naturale ab care verificd relalia l----
_
\,lo+{rt :a. Gheorghe laco6, pa,gca,ni
E:14598. Se considerdtriunghiul ABC in ca^rem({/) : 18b". per_ pendicularain A pe dreapta AB intersecteazillatura [Beinpunctul D, ia"r bisectoareaunghiului B intersecteaad,latura [ACl in pnn"lnl .8. a) S5,se determinem(
E:14599. Fie ABC un triunghi oareca,reiar M qi D mijloacele segme-ntelor{.48] respectivIBC]. Dac6"E e (AD) astfelinc6t AD:4.8D)i; {N} : ME n BC, sd se demonstrezecd,:
a) IME] = [.Elv]; b) [DN] = [ivc].
Eugeniu Bld,jul, Bacdu
34
PRosLpN,tp PRoPUSE
E:14600. Sd,se determine numerele naturale scrise inbaza 10 cu proprietatea cX fiecare este de 47 de ori mai mare decdt suma cifrelor sale. Felician Preda,Craiova Clasa a VIII-a E:14601. relatia
Determinali perechile (r,y) de numere intregi care verific5, 12+y2-4r*29-8:0. Eugen'iuBldjul, Bac5u
E:14602. Rezolvali ecuatia 11111
* +2n
- .!- - - - L- - r _-
12 + 6rf 8 ' 12 + 1 0 2 * 2 4 ' 1 2 * r4 r + 4 8
5'
GeorgeSto,ica,Canada E:14603. in paralelipipedul dreptunghic ABCDAtBtCtDt ctt AB : : I2\/3 cm, BC:-12 cm qi AAt :1-8 cm, se considerdpe muchialAtBtl punctul .l/, astfel incdt ,4/l/ :3. BtN gi P € (AA'). Determina{i lungimea segmentului [AP] astfel incAt, pentru orice punct M de pe muchia [BC], triunghiul MNP s5,fie dreptunghic in N. D arn'ianM arin escu, TArgovigte E:I46O4. Ard,tali c6, dacd a,b,c) a2_c2 b*c
b2_a2
+_*
c*a
0, atunci c2_b2 a-l b
. )0.
Necula'i Stanciu, Buzdu gi Titu Zuonaru, Com6negti
PROBLEME PENTRU LICEUI) Clasa a IX-a 26859. Fie a un num5r irational. SX se arate cb existd b,c e IR\ Q astfelincA,ta +b,ac € Q qi ab,a+ c e R.\ Q. GeorgeStoica,Canada 26860. Se dau numerele naturale a qi m1,Trl2t... )mn ct7| 1 mt 1 l rnz astfelincdt a divide b qi a*rnp divide b+mp, oricarear fi k € {1,2, ...,n}. L uc'ian Tulescu, Craiova 26861. Fie ABCD un patrulater inscris intr-un cerc de razH R. S5,se arate c5,: AB . BC .CD . DA < 4R4. Constant'in.Rusz,Rm. Sdrat 1) Se primesc solulii p6,nd,la 31 mai 2014(data poqtei). (N.R.)
Pnonr,pue pRopusE
35
26862. un trapez ABCD (ABllcD, AB > cD) esteinscrisin cercul Cr (Ot) qi circumscriscercului Cz (Oil. SXse arate cH, O1O2: Ion Safta, Piteqti Clasa a X-a 26863. Numerele reale r qi g verificd relalia z - ./iTZ : ,/g qS _ y. SH,se determine min(r + g/) qi max(n,g). D.M. Bd,tinelu-Giurgi,u,Bucureqti qi Neculai Stanciu, Buzdu 26864. Sd,se rezolve ecualia ,/i + il" - ,V?TJIf,fl u € IR. Lucian Tulescu,Craiova qi lon Nedelcz,ploieqti 26865. SX se a,ratec5,
\/A -;i+F
+ \/rz - rz +7 + G - * + > \6@TTFTA , ",
oricare arfir,g/,z€lR. Marian cucoaneg,MdrH,qeqti gi Leonard Giugiuc,Drobeta T\rrnu severin 26866. Sd,se determine funcliile / : IR -+ R cu /(1) € Z ce verificd
n f (y)+a f @): f2 (t +y) _ f ( "r ) _ f ( ar ), orica.rear fi n,g € IR. Florin Std,nes cu, GHeqti Clasa a XI-a 26867. Se considerd,qirurile (o,-)n oqi (b",)",>odefinite prin ae : b0 : 1 $i a"r+r : an*br, bn+t: (n'+n+Ljon+ brr,oricarear fi n ) 1. SH se calculeze lim n. r t?,-+€
bftz'...'bn' D.M. Bd,ti,nelu-G,iurgiu, Bucureqtigi NeculaiStanciu.Buz6u
26868. Fie b un numdr real strict pozitiv. sd se arate cd pentru orice numd,r natural nenul n ecualia r,n+L - brn *r*b are o unici solu$ie in internalul (b,-). Not6m cr) fin aceast5 solulie. Sd se calculeze frn. .-lim Ioan Bd,etu,Botoqa^ni 26869. Fie,4, B, dou5,matrice de ordin 2 cu elemente reale astfel inc6t AB :^B,4. Sd se a,rateci Axzdet (rA2 + yAB * ,Br)
> (+rz - ar) @det(,a) - zdet(B))2 , orica^rear fi numerele reale r, A, z. Ioan Bd,etu,Botogani
36
Dm vnle socrer.Llrr
Clasa a XII-a I f
26870. Fie / : [0,1] -+ IR o funclie continud cu proprietatea cd,
l rf(r ):s .
J 0
Sd se arate cE exist6c e (0,1) astfelincd,t
f(") : Florin Std,nes cu, Gd€qti 26871.
Fie (G,.) un grup ctt 2n.p elemente, und.e n € N* qi p > B este un numdr prim. Presupunem cE G are un element de ordin 2n. SX,se determine numdrul tuturor elementelor de ordin 2'. Mari,an Andronache,Bucuregti
26872. Fie / e R[X], f : Xa *aX\ +bX2 _2@+b)X *Ba_ _ 9. a'and
2'
r5ddcinile ftr,r2,r1,fr4 € C*. Sd, se determine a qi b qtiind cd polinomul derivat f' *" rSddcina tripld -r1. Benedict G. Niculescu.Bucuregti
DIN VIATA SOCIETATTT Programul activitdtilor Filialelor S.S.M.R. qi Inspectoratelor $colare Judelene in perioada ianuarie - iunie 2014 (activit5ti
comunicate
pAnX la data public5rii
revistei)
Ianuarie 2014 11 ianuarie Mureg 15 ianuarie
- Concursul Simion Petra - C.N. (Jnirea T6rsu Mureq, iud.
- Cercul profesoral Gazeta Maternaticd,, Anul XI - $.g. nr. 6 Iacob Muregianu Brqov, jud. Braqov 18 ianuarie - Concursul .4,Sal elevilor din Centrul de Excelenld al Colegiilor Tehnice - C. Tehnic A. Saligny Baia Mare, jud. Maramureq 25 ianuarie - Concursd Viitorii matematicieni $.g. Mih;i Eminescu Alba Iulia, jud. Alba 25 ianuarie - Concursul interjudetean Prin Labirintul Matematicii, ed. a IX-a - C.N. y. Lucaciu Baia Mare, jud. Ma,ramureq 25 ianuarie - Concursul internalional TMMATE - L. C.D. Loga qi Univ. de Vest din Timiqoara, jud. Timig 25-26 ianuarie - Concursul interjudelean al $cotii b6 - $.C. nr. b6 Bucureqti
PRocRc,Mur,ncrrvrrXqrr,oR iN sprrlnsrRut | - 2014
37
31 ianuqris - Dezbaterea Problema pi,esei de i tei, gi ... etperimentul Gh. fileica (in cadrul proiectului educalional Matematicd, tn content european) - C.Tehn. Dirnitrie Dima, Piteqti, jud.Argeq Februarie
2014
concursul cdlin Burdugel - c.N. Iend,child, vd,cdrescu,TA,rgo1 februarisviqte, jud. D6,rnbovita 1 februaris - Concursul interjudelea^n de matematic6 - informati cd"Grigore Moisil - C.N. Grigore Moisi,l Urziceni, jud. Ialomila Concursul gi simpozionul interjudelean TTeptetn matemati,cd, 1 februarisgi fi,zicd,- L. Tehnologic de Ttuism C5limdneqti, jud. V6,lcea 2-8 februalis - Tab5,ra interjudeteanS, de matematicd (organizatd, de fiIiala Bistrila-Ndsd.ud in parteneriat cu filialele: suceva, Botogani, Iaqi qi Neam!) - Vatra Dornei, jud. Suceava 4 februaris- Concurs.olAmerican Mathemati,csCompeti,ti,on10 / 12 _ C.N. v. Lucaciu Baia Mare, jud. Maramureq, c.N. Thaian Drobeta T\rrnu severin. jud. Mehedinti 1-g februapis - Tabd,rajudetea^ndde matematic5 - $.S. G. Cogbuc,C.N. Gh. $incai Baia Ma,re, jud. Maramureq 15 februarie - Concursul national de matematicd aplicatH Adolf Hai,moui,ci,, etapa locald - unit6,ti qcolare, jud. Suceava Cercul profesoral Gazeta Matemati,cd,,Anul XI - $.g. n . 6 1g februalisIacob Muregianu Braqov, jud. Bra,qov 19 februarie- Concursrl American Mathematics competition 10/1p - c.N. Tbaian Drobeta T\rrnu Severin, jud. Mehedinli 21 februaris - Concuu:snlJZrinyi llona pentru clasele cu predare in limba maghiard,, faza jude{eand - centre de concurs din jud. Mureq 22 februaris - sesiunea de comunicdri qtiinlifice qi concursul judelean cezar Iud,nescu- C.N. C. Cambelta,Tdrgovigie,5ua. Ddmbovitra 22 febrrrarie - concursul de matematicS, qi fizicd Henri coandd, - c.N. G.Ibrd,ileanz Ia,qi,jud. Ia^5i ?2 februarie - concursul national Euclid - c.N. Gh. fi,leica Drobeta Tb. Serverin, jud. Mehedinli 22 februarie - olimpiada satelor muresene conf. dr. Adrian petrescu, faza zonalS - Centre de concurs din jud. Mureq 22 februalis - concursul na$ional rehnici, matematice - C.N. Mi,rcea cel Bdtr6,n R6,mnicu Vdlcea, jud. Vdlcea 22 februarie - Concursul interjudelean Nicolae Pd,un - c.N. Alexandru Lahoaari, Rd,mnicu V6,lcea,jud. Vd,lcea 22 februarie - Concursul interjudelean rnatematica - modus aiuend,i - In memoriarn, Ni,colae Pauelescu - c.N. Mircea cel Bd,tr6,n R6,mnicu v6lcea. jud. Vdlcea
38
Dnt vre1.l scmriln
28 februarie - Dezbaterea Calculul diferunlial gi integml tn uiziuna lui Gottfied withem Leibni,tz (in cadrul proiectului educalional Motenoti.cd, in context european)- $. S. I.L. Caragiale Piteqti, jud.Argeq 28 februarie-2 martie - Concursul gimnaziilor maghiare din Rom6ni a, faza national5 - L.T. Bolyai, Farkas Tg.Mureq, jud. Mureg Activit5{i
ale cxror date de desfHgurare urmeazx a fi stabilite
- Concursul Vdlyi Gyula - L.T. Bolyai-Farkas T6rgu Mureq, jud. Mureq Martie
2014
8 martie - Concursul nalional de matematicH, aplicat5 Adolf Haimouici, etapa judeteand - Univ. Tehnic6, GheorgheAsachi Ia,qi,jud. Ia,qi,C.ec. Di,mitri,e Cantemir Suceava,jud. Suceava,Gr.qc. Gh. Mari,nescuTg. Mureg, jud. Mureq 12 rnartie - Cercul profesoral Gazeta Matemati,cd, Anul XI - $.S. m. 6 Iacob Muregi,anu Bra4ov, jud. Bra,qov 13 martie - Concursul AIME - U.T. Cluj-Napoca, jud. Cluj, Univ Nord Baia Mare, jud. Ma.ramureq 14 martie - concursul interdisciplinar Logicon - $.s. Mi,hait sadoueanu BrHila, jud. BrS,ila 15 martie - Concurs regional Mate+Lb.Romdnd, - $coli din jud. Argeq 15 martie - Concursul qi simpozionul 2ZMETS - Mathemat'ics English Testing System - $.g. Mi,rcea Eliade Craiova, Jud. Dolj 15 nrartie - Concursul interjudelean E. Ionescu - $. gimn. E. Ionescu Slatina, jud. Olt 1"7 martie - Concursul pluridisciplinar Realigti fd,rd egal - $coala Centrald Bucureqti 20 martie - Concursul Dauid Geller - $.S. Alerandru, CeugeanuReghin, jud. Mureg 2l-23 martie - Concursul nalional Grigore Moisil (in parteneriat cu filiala Bistrita-N5s5,ud) - Oradea, jud. Bihor 2I-23 martie - Concursul interjudetean GheorgheLazd,r - C.N. Gheorghe Lazd,r Sibiu, jud. Sibiu 21'-23 nrartie - concursul international rhe clocle-Tower school - $.g. Take Ionescu R6,mnicu Vdlcea, jud. Vdlcea 22 rnartie - Concursul interjudelean Grigore Moi,sil - c.N. E. Gojdu oradea, jud. Bihor 22 rnartie - Concursul qi simpozionttl Sfera - L. T. Mihai, Viteazul Bdileqti, jud Dolj 22 martie - concursul national Gheorghe Mihoc - c.N. Mihai, viteazul Slobozia, jud. Ialomita 22 martie - Sesiunea de comunicdri qtiintifice Matematica, componentd, esenliald,a culturii - C.N. GheorgheLazd,r Sibiu, jud. Sibiu
PRocRerr,Iur,ecrrvrrXlrr,oR iN splr,rnsrRutI - 2014
39
22 martie - concurs interjude{ean Tlaian Lalescu - univ. vest gi Lic. Gr. Moisi,I Timiqoara, jud. Timiq 22 martie - Simpozionul nalional La $coala cu Ceas - i,nterd,isciplinaritate gi perfomnantrd,- E. g. Talcelonescu R6mnicu V6,lcea,jud. V6,lcea 23 martie - concursul judelean Tomis - $coli din jud. constanga 24 martie - sesiunea de comunicd,ri Matematica gi calculator.ul $coala Centrald, Bucureqti 28 martie - simpozionil Dan Barbi,lian Ei,fundamentarea aniomaticd a geometriei, (in cadrul proiectului educa{ional Matematicd, tn content european) - L.T. Ion Barbu Pitegti, jud. Argeg 29 martie - concursul 10 pentru /0 - $.s. Mihu Dmgomir Br6ila, jud. Br5,ila 29 martie - Concursul lon Ci,olac- C.N. Carol I Craiova, iud. Dolj 29 martie - Concursul interjudelean interdisciplinar - Matemati,cd,- Fizicd - Chimie - Bi,ologi,e- Serui,ci,i,- C. Tehnic Balq, jud. Olt 29 martie - Concursul Nicanor Morogan pentru qcolile din mediul rural, ed. a IX-a - L.Tehn. Ni,canor MoroEan pirteqtii de Jos, jud. Suceava Activitxti ale cxror date de desfHgurare urmeazd a fi stabilite - concursul interjudelean Auram lancu _ L. Auram lancu cluj-Napoca, jud. Cluj - concursul j udelean chindia - Universit atea varahia, T6,rgoviqte,jud. Dembovita Aprilie 2014 1-10 aprilie concursul internalional Purple comet Math Meet - c.N. Thaian, $.S. 5 Drobeta T\rrnu- Severin,jud. Mehedinli 2 aprilie - cercul profesoral Gazeta Matemati,cd,,Anul XI - $.s. nr. 6 lacob Muregianu Bra,qov,jud. Braqov 4 aprilie - concursul interjudelean Memorialul Nicolae wdd,escu$.s. 5 RAmnicu Vdlcea, jud. V6,lcea 5 aprilie - concursul Pi,tagora - $.g. vasi,le Gotd,igAlba Iulia, jud. Alba 5 aprilie - Sesiunea internalionald, de comunicd,ri qtiinlifice Matematica d,e ieri qi de azi, - C. Tehnic Tlaian Bucureqti 5 aprilie - Concursul Euclid - L.T. Vasile Alecsandri Ia,qi,iud. Ia,qi 7-11 aprilie - concursul zonal Matematica-pld,cereamea - Jibou, jud. sdlaj 10 aprilie - concursul interdisciprinar Labirintut -.$.g. Al. I. cuza Brdila. jud. BrS,ila 1o aprilie - concursur Piramida, ed..a II-a - $.g. ciocd,neqti,jud. suceava 1L aprilie - concursul stere Aurel - $.g, salcia Tfud,orBrdila, jud. BrHila 1L aprilie - olimpiada satelor muregene conl. dr. Adrian petrescu. faza judeleand, - Sighiqoara, jud. Mureq 12 aprilie - concursul de matematicd,apl'icatd,tn economie - c.ec. George Barili,u Sibiu, jud. Sibiu
Drwvreqe socrerilrr l1J irgrrilicr - concursul judelean olirnpiad,a satelor vasluiene _ L. $t. pro_ copi,u Yas\ti, jud. Vaslui I ?- I4, agrriri* - concursul nalional de matemati,cd, apli,catd,Ad,olf Hairnouici, etapa nationald,- Univ. Tehnicd,Gh. Asachi laqi,lui. Ia{i i,l ;,rtri.ili+:- concursur ziua numd,ralui,pI - c.T: At. papiu llarian zalfi"', jud. SXlaj i{i"'i# ;rg:r"ii!r'- concursul zrinyi, Ilonapentru clasele cu predare in limba maghiar5, etapa finald - Kecskemet, Ungaria tt'{t 2T ar;riri* interjudelean speranle, ed. a X-a (in parteneriat 9gig"rd
cu filiala Bistrila-Ndsd,ud) - $.e. ,. Rebreaiucr-xr"qti,lud.
Bacd,u
puterea de ot ""lfia1u'ili*: - Dezbaterea Geometrie - Analizd, matematicd,(in < ticd, tn contert european)- C.N. ,41. , ?$ ay*'itrie - Concursul interjudelean Sd,rat,jud. Buzd,u ?{i ;rSrrili*r - concursur interjude!ean Frorica cd,mpan $. g. B.p.Hagd,eu Iaqi, jud. Iagi }ti riilir-llir: - concursul interjudelean Danub,ius, ed.. a vIII-a - c.N. At. I. Cuza gi $.S. y. Mazilescu Corabia, jud. Olt ?f i ;rprii!+ - concursur interjude!ean octaui,an Gogajunior _ c.N. octaai,an Goga Sibiu, jud. Sibiu lrl{i ,ir1*nilir,- Concursul interjudelean Spint Haret, ed,. a V_a _ C.Tehnic Mihai Bdcescu Fdlticeni, jud. Suceava l+i ;'1irijir, - concursul interjudelean Filofteia preda, ed,. a XIV_a _ c.N. Gi,b. Mihd,escz Drdgd,qani,jud. V6lcea ,'l*-'i;r;x-ilii, - concursul Istelii d,eIa Arbore, ed. a vl-a - $.g. Luca Arbore Arbore, jud. Suceava .Jfi *x*"iii*, - concursul qi simpozionul interjudelean x-oL, ed. a xIII_a _ L.ec. Justini,an Marino Bd.ile Oldneqti, Vatcea Sua. At't,it'it;r t i
, , r lqrr : is l. Eii' r . { ; r i. + r- lc - ( iu t F ; {i r , r r r i.o. ;, i , . }r t - {n {r . i t z i i ; l
fi $t:ibilii.sr
- concursul interdisciprinar Recrealia Mare - $.s. sf. And,rei Brdila, jud. Br5ila - concursulinterjude!eanDumitra fi,gd,netea-c.N. A. MurepantrDei, jud. Cluj - concursul interjudelean de matematicd. aplicatd,in economieECIMAT, ed. a III-a - C.ec. GheorgheDmgogSatu Mare, jud. Satu Ma"re - cercul pedagogicar profesoritorJe matematicdzardt,jud. s'laj - concursulinterjude[eanvii,torii olimpi,ci,ed. a vII-a -'s.s.r suceava,iud. Suceava &.l i 1i :j t!;.i
i$ iir;* - concursuljudelean lon onurd,- L.Tehn. Danubiuscbld,ra,qi, jud. CXl5ra^5i
FRocneuur,ncrrvrrXllr,oR iw seunsrRuLI - 2014
41,
3 mai - concursul judelean Ion chegcd,pentru elevii din mediul rural L.Tehn. Danubius Cdl5raqi,jud. C5ldra.gi 9 mai - Sesiuneade comunicdride ziua C.N. Tlraian- C.N. Tbai,anDr. Tb. Severin,jud. Mehedinti 9-10 mai - concursul qi simpozionul interjudelean Pitagora - Memorial Corwtontin Samolu - $.S. I.G. Duca R6,mnicuVdlcea,jud. V6lcea 9-11 mai - Conferintanalionali" Didactica Matematicie- $.S. 2 Remeli, jud. Bihor (organizat de FiIiaIa Cluj) 10 mai - Sesiuneade comunicdria profesorilorde matematicd- L.T. Nichita StdnescuBucureqti 10 mai - concursul interjudetean zona 0 - $. grmn. c-ti.n Gerotd calaf.at, jud. Dolj 10 mai - DezbatereaReformd,gi eficienld,tn tnud,fid,m6,nul - $.gimn. rom6,ne.sc C-tin Gerotd,Calafat,jud. Dolj 1o mai - concursul qi simpoziontil Dorin Popouici - c.N. st. velouan Craiova,jud. Dolj 10 mai - Simpoziom,s.l Did,acticaMatematici,i- C.N. Ioni.ld,,4sonSlatina, jud. Olt 10 mai - Sesiuneainterjudeteanx de comunicdri qtiinlifice qi metodice a profesorilor de matematicd din judelele Maramureq, Satu Ma,re qi Sdlaj L.TehnologicDr. Florian Ameanu Ulmeni, jud. Maramureq L2 mai - sesiuneade comunicdri qtiinlifice Matemati,cienii sibieni,- c.ec. Gh. Bari[iu Sibiu,jud. Sibiu 14 mai - Cercul profesoral GazetaMatemati,cd,, Anul XI - $.g. nr. 6 Iacob Muregianu Bra,qov,jud. Braqov Lb-LT mai - concursul Laurenliu Duican Editia a XVIII-a - c.N. Andrei $aguna Braqov,jud. Braqov 17 mai - Concursulde matematicdpentru inginerieelectricS,- Universitatea Politehnica Bucureqti 17 mai - concursul In memoriam,ed..a X-a - L. TehnologicMihai,Eminescu Dumbrdveni,jud. Suceava L7 mai - ConcursulinterjudeteanStroeS. Belloesca- $.g.11B6,rlad,jud. Vaslui 24 mai - conferinta metodicoqtiinlificd, Idei, matematice,F,ditia a vII-a Universitatea Tbansiluaniadin Bra,qov,jud. Bra,qov 24 rnai- ConcursulSd,ne tntrecemcu miculul Gauss- $.g. IzasileAlecsandri Brdila, jud. BrS,ila 24 rnai - Concursul interjudeteaninterdisciplinar Magia numerelor - $. g. Aurel Waicu Fetegti,jud. Ialomila 24 rnai - Concursul de matematicd aplicatd, Centenar-um, ed' a X-a, pentru qcolile din mediul rural- $.g. Bosa,nci,jud. Suceava 24 rnai - Concursul Centrelor de Excelenld, din Moldova, ed. a XII-a - C.N. $tefan cel Mare Suceava,jud. Suceava
42
Dru vrnln socrnrAlrr
24-25 mai - Olimpiada satelor mureqene conf.dr.Adrian Petrescu, faza interjudeteand - Cluj Napoca, jud. CIuj 29 rnai - Simpozioml Thales - unul din cei, qapte in[elepli d,i.nantichitate gi geometria pland, (in cadrul proiectului educalional Matematicd, tn contert european)- $.S. I.L.Caragi,ale Piteqti, jud.Argeq 30-31 mai - Sesiunea de comunicdri qtiinlifice a studenlilor qi cadrelor didactice - Universitatea din Oradea, jud. Bihor 30-31 mai - Concursul nalional N.N.Mihdileanu - C.N. Mi,rcea cel Bd,trdn Constanta, jud. Constanta 31 mai - Concursul municipal al claselor a IV-a qi a VIII-a, ed. a XIa, pentru disciplinele matematic5 qi limba romdnX - C.N. $tefan cel Mare Suceava,jud. Suceava il1 mai-l iunie - Concursul interjudetean GheorgheLazd,r junior - C.N. GheorgheLazd,r Sibiu, jud. Sibiu ActivitX{i
ale cdror date de desfXqurare urmeazX a fi stabilite
- Cercul pedagogic - C.Tehn. CA,mpulung Muscel, jud. Argeq - Cercul pedagogic - $.g. Dragoslavele, jud. Argeq - Cercul pedagogic - $.S. Albeqti de Muscel, jud. Argeq - Memoriahil Jean Popescu - $.g. Stoeneqti, jud. Argeq - Concursul interjudetean Paul Tanco - Nds6ud, jud. Bistrita-N5sd,ud - Concursul Gaaril Tkilai - Ndsdud, jud. Bistrita-Ndsdud - Concursul interjudetean Di,mitrie Pompeiu (in parteneriat cu filiala BistrilaNHsXud) - Botoqani, Jud Botoqani - Concursul Victor Vi,lcouici - C.N. Nicolae Bd,lcescuBr5ila, jud. Brdila - Simpozionul interjudelean Acuratele tn Geogebra - $.S. Mihu Dragomir Brdila, jud. Br5ila - Sesiune de comunicdri - $coala Centrald, Bucureqti - Concursul Acad. N.Teodorescz- $.g 79 Bucuregti - Simpozionul interna{ional Orizonturi Cd,ld,rd,gene - Col. agr. Sandu Aldea jud. CdlS.raqi, Cdl6ra6i - Concursul interjudelean de matematicd qi informatic1, Marian larind, C.N. Mihai Viteazul T\rrda, jud. Cluj - Concursul interjudetean Dan Hulubei - C.ec. Virgi,l Madgearz Galafi, jud. Gala!i - Concursul interjudetean Sigma, Ed. a XIX-a - C.N. Dragog Todd Sighetu Ma,rmaliei, jud. Maramureq - Sesiuneade comunicdri gtiintifice a profesorilor de matematicd - Zal5u, jud. Sdlaj - Concursul Memorial Moldouan Lajos - Zald;u,jud. S5laj - SesiuneaanualS,de comunic6ri qtiinlifice pentru elevi - Universitatea Lucian Blaga Sibiu, jud. Sibiu
PRocRl,r,rut ncrlvrrXqn oR iN spunsrnuL I - 2OL4
43
-_concursulinterjudeleanqi sesiuneade comunicdri Gheorghepopescuc.N. Coriolan BrediceanuLugoj, jud. Timiq - concursul judelean conteriu Btnd,ariu- L. Teoretic Buzia,q, iud. Timiq - concursul judelean Podut inalt $.sirrn. $t.procopi,uMuntenii de ios, jud. Va.slui - concursul judelean Meridi,anMaternatic vasluian - c.N. cuza vodd,Hugi, jud. Vaslui
i
Iurrie 2014 6 iunie - Premierea elevilor cu rezultate deosebitela Concursurile de matematic5,- C.N. Tlaian Dr. Tr. Severin,jud. Mehedinli 9 iunie - concursul interjudelean Acolad,a,ed.. a IX-a, ientru gcolile din mediul rural - $.g. Bogdd.neqti, jud. Suceava 10 iunie - DezbatereaEualud,rira matematicd,gi,transd,isciplinare tn aria curriculard,matematicd,- $coala Centrald,Bucuregti 20 iunie - DezbatereaProblemede bacalaureatci grait rid,icatd,e difi,cultate (in cadrul proiectului educalionalMatemati,catn contenteuropean)L.Tehn. Mihai ViteazulPiteqti, jud. Argeq Activitxti ale cd.ror date de desfrqurare a fi stabilite 'rmeazH - ConcursulMate 97 - g.G.gTBucureqti - sesiuneade comunicdri a studenlilor Facultdlii de Matematicd qi Infor_ maticd - Univ. Babeg-Botyai Cluj-Napoca,jud. Cluj - sesiune de comunicxri gtiinlifice a elevilor qi profesorilor c.N. Mihai EminescuSatu Mare, jud. Satu Mare - sesiuneade referateqi comunicd,riqtiinlifice a elevilor - zal6"u,jud. sd,laj Activit5gi permanente SSptxmAnal (ianuarie - mai) - programul de pregdtire a elevilor performanla tn matemat'icade gi,mnaziugi,liceu - univ. Ttansilvania din Bra,qov, jud. Braqov SdptdmAnal - Programul de pregdtirea elevilor in cadrul grupelor centrului de ExcelenlH,in matematic[ - C.N. Spi,raHaret Bucureqti sdptxmanal - cercul profesorilorde matematicx al Facultilii de Matema_ ticd qi InformaticS,- universitatea ouiili,us din constanla, jud. constanla sdptxnrdnal - workshopul De ra matematicagcolard,-la matematicasupe_ rioard' - Facultateade Matematicd qi Informaticd, universitat ea ouid,ius din Constanla,jud. Constanla S5pt5mAnal - Activitate de performanldla matematic5in cadrul Centrului Teritorial pentru Tinerii capabili de performanld - c.N. Srelan cel Mare Suceava,jud. Suceava sxptxmAnal - cercul de matematicd,din cadrul proiectului susmathed,u Univ. de Vest din Timiqoara,jud. Timiq Bilunar - Cercul de rezolvarede problemepentru studenli qi tineri profesori - Univ. de Vest din Timiqoara,jud. Timiq
44
DrNvrela socrerXlrr
Lunar - organizarea seminarului metodic al profesorilor de matematicd _ jud. Bistrita-Ndsdud Lunar - ciclul de conferinte Matemati,ca tn actualitate - c.N. spiru Haret Bucureqti Lunar - Laborator de editare electronicx a textelor matematice - c.N. spint Haret Bucuregti metodico-qtiinlific al profesorilor de matematicd - sibiu, *"X1;teminarul JUO. JlDlu
Lunar
- Programul de formare - curs teoretic gi practi,c d,eforrnare a profesorilor de matematicd, - unitdli qcolare din jud. Srr""u.r. Tbimestrial-club Mate - comunicdri qtiin!ffice qi rezolvdri de probreme C.N. Mi,hai Eminescu Satu Mare, jud. Satu Mare Tlimestrial - Atelierul (Itri,zareatlhnotogiilor mod,emepentra conx_ petenlelor matematice ale eleui,lor- c.N. Mihai Emi,niscu formarea saiu Mare, c.ec Gheorghe Dragog Satu Mare, jud. Satu Mare Calendarul Olimpiadei de Matemati cd, 2Ot4 Clasele V - VI r al municipiului Bucuregti ipiului Bucureqti a, jud. Cluj) Clasele VII
- XII
r al municipiului Bucureqti ipiului Bucureqti Napoca, jud. Cluj) pe Town, Republica Africa de Sud)
ERATA - in G.M.-B nr- 6-7-812013, pag. 338,in rezolvareaproblemei26TL4,solu!iile sistemului s-auscriseronatsub formas: {(-r,-1,-1, t,t,t)lje a.}. : Corect ^9 {(^, ), t, r, r) | € (-m, O;,t e C;y. -este - I" G,Y.-B nr.^ rLl20r},^pag. ^, ^ Ia problemaz6ti3-6,numitorii fracliilor 531, sttntk2b2l2ka2 +c2, k2c, fznoz +a2, respectivk2a2 iii,"riar.:--'---^ - In G.M.-B nr. 12/2073,IaproblemaE:14b88, a treia fraclie urt" in 1!, 7 loc de
-. 202 - in G.M.-B nr. I2/20L3,Ia problema E:L4884, toate semnele ,,_,, se vor citi ,,*". - In G.M.-B nr. I2/20I3,Ia problema E:14bE8, in loc de lb _ al se va citi
lb- " 1.
RusRrcn REZoLVIToRILoR DE pRoBLEME
45
t1 G.tU.-n-nr. L2/20L3,la problema26845,ecualia estem3-Jm*nB : 10, in lo c d e m s-3m*n:0. RUBRICA REZOLVITORILOR DE PROBLEME Au trimis solutii la problemelepropuse urmdtorii elevi: g.g. ,,Ouid,iu Hutea*cl.VII DanAndrada(80),Nemeg Maria(20). +lU.D_(|1e41 ARAD (ARAD) Lic. ,,AdamMtilter Guttenbrannl,cl.V'Gergely VogelIzabelia (150+140), cl.vl GergelyvocelRobert (140),cl.vll costeaeolaan (16o),Dagdu Andrei (100)DaragiuRobert(100),gerpa,rAriana (r20); c.i. ,,Miise'Nicoid,, cl.vr BerreRdavan(lr});_fdrd,menliuned,egcoaldgi clasd'popescuvalentin (20). BArA DE ARrE$ (AIBA) Lic. ,,Dr. Lazd,rchirird* cr.iX BuneaArexandra Amatia(100). BArA MARE (MARAMURES) g.g. ,,LucianBlaga" fdrd menriunede crasd,: std,nescu" fd,rdmenliuned,eclasi: DuruqMihai lioca,n Florin (100);,5.g.,,Nich'i;ta (100);$'9. ,,simionBdmuliu" fd,rdmenliuned.eclasd,:GrosAndreea eo6); Lrc. Teorcticsanitar cl.X Dobrica.n TereziaAndreea(110),somkerekiMelindu'(rto;; c.N. ,,Gheorghe Maria Ioana(g0); c.N. ,vas,ileLuiaciu,l, $incai" cl.vll Buqecan lrina (70), Sima Alexandra (100), cl.VI pop RXzvan(OO). :l Y_{"lql (oLT) colegiutrehniccl.v ciocanMihaela (50),pdun 1so),tr,tatei'sorin Pll,s Nicoleta (60), Rddoi Petru (b0), (40). T[a,qcd Andreea lipl BARLAD (vAsLUr) g'g. ,Iorga Rad.u" cr.v golcxAndreeaRaluca(60); c.,nr.
,,Gh. RogcaCod,wanu"cl.VII Apostu AlexandruMihai (1 0). (BrHoR) cotegiutrehnic ,,Ion ciord.ag"cl.vli Tau AndreeaDiana (100). 9PluS BRAsov (BRAsov) s.g. 2 cl.v Duca Daniela (100),cl.vl e6,rtdtr4arairooj, cl.vll Radu gtefan (100); f,.g. 5 cl.rV pomponiu Iulius bugen (120), cl.v Andriia Alexandru(120),DugiiaquLuca (120),FlueraqLarisa (120),GherghinaIoana (190j, Ion Antonia (120), Suciu Mara (200),.cl.vl Boeriu Bianca Mari,a (ao), vasiles# Ioana (50); 5's. 13 cl.vll va^rvaraRaluca(100); c.N. ,,Andreigaguna,,cl.v Gardan Maril Alexandra(100),Mandoi Dan cdtxlin (90), Negu! to.nu lroo+520), vizante Ana (50), cl.X strArnbu Alexa.ndru(r20); c.N. ,,Gr. Moisil,,cl.v Andone Alexandru (150), $ierb Ra^req Andrei (150); c.N. ,,Dr. Ioan MeEotd*cl.vll Manea cosmin (180),cl.IX Borq Andrei (80). BRATLA (BRArtA) s.g. ,,constantin sand,uArd,ea,,cr.V stamate Gabriela (210), cl.vl Flueraru M-ihai reodor (90), cl.vll cernamori! Raluca (50), Scarlet Ana Maria (80); c.1v. ,,GheorgheMunteanu Murgoci* cl.vll jianu AndreeaAlexandra (170), Munteanu Alexandra Gabriela (100), popescuTeodoraMaria (2go), ozturk sahara (190); c.N. ,,NicolaeBd,lenscu" cl.vl Giurcd (g0), IliescuIVIaria(g0), ParaschivTeodora(22o),.RaduGqbriel (80), Taflan Maria (boj, t.cu gteran (iroj, cl.vll Baniti Elena Teodora(100), Baaa,nAlexandru (100+b0),Belciu vlad'(70i; p_oeruBriana (80), cd,ineanuAndrei gtefan (40), curc[ Rdava,n(20), Filip Ana Maria (150), Lipa.n Lll|"il Alexandra (60), NeculaeMircea (20), Neguler"r, Lrrigi (90), Pred_a lo1ina (120), Priceputu cristina (100), R5dulescuiori.ra (80), $tef; Andreea (70), vicol reodora (100), vizirea.nu gtefan (20), cl.vIII Buhuq'Tetdora (90), fd'rd menl'iunede clasd,:constantinescuRoxana (zoi; fd,rd,mentriuned" Q;;ld gi clasd,;EnacheRadu (60).
46
RugRIce REzoLVrroRrLoR DE pRoBLEME
SUCEAVA)
fd.rd,menl,iuned,egaatd, gi
| $.g. ,,Nanu Muscel* cl.VI Broscoleanu .oII', cl.y panX Samuel(190+160),cl.VI cl.V Dragu Laurenliu (100), Nico_ ryt.esc1t,, 0), ScrieciuAdrian (100). n fencu,,,cl.VI SicobeanAlexandra (g0); ra (140).
cr{lov+ (DorJ)g.e.2.,,rbaian,,"r:yr"iY,};H:#t*:,,us g.e.24 (180); ,,sf'Gheorghe" fdrd,menliuned,ecrasd,Mois5, Radu (110);c..nr.,,carorI,,cr.IX stoian AndreeeaMaria (90); c.l,r. ,,Frarii Bu)egti" cl.V'p6un A"d;;; (40); cr.IX Buge
RusRrce REzoLvrroRJLoR DE pRoBLEME
47
Dragomir Teodor (370+190),cl.X ciulicx cristian (230), Lulan Ruxandra (110), NemeqMaria (70). DEVA (HUNEDOARA) c.N. ,,Decebal"cl. x patea octavia.nNicolae(50). DROBETA TURNU SEVERIN (MEHEDINTI) s.s. 11 cI.V ChisXlitrdlas. mina (160),stanciu Andra (100),stanciu Amanda (100);S.g. ,,petresergesci,,ydrd menliune de clasd.:Andritb Ana Ma.ria (100); c./v. pedagogic,,gtefan obreja* cl.y s6.rbu sebastian (80); c.N. ,,Gheorghelifieica" cl.vll Bolocan Monica Alexandra (160), Florea Andrei Bogdan (ls0), ofileru cristian Felix (160), pdunescuFlavius (50), StretcuMihai Cdt[tin (1a0). FETE$TI (rALoMrTA) ,5.s. T ,,Aurel wa,icu" cl.v Andreescuclaudia (20), N5noiu Cristian (70), Pdslaru Andreea (60), cl.VI Sima Cosmin (60). cArE$Tr (DAMBOVTTA) c..rr. ,,wadirnir strdinu" cl.V stoian Iulia (g0), T\rdor $tefan (140). HARLAU (rA$r) c.N. ,,gtefan cel Mare" cl.vll M6riu{a Denisa Ioana (b0), Mora.ruEduard (50), Musta!5 Robert (60), Vicol gtefan (50). rA$r (rA$r) $.g. ,,8. P. Hagdeu"cl.IV GrddinaruT\rdor (200),cl.v cioatd Ioa^na Larisa (80+90), Melinte Antonia (100), cl.VI Apetrii Radu (150), DolhdscuAlexandru (150), cl.vll Jacu cristian $tefan (100); Li,c. ,,vasile Alecsand,ri,,cl.vNica Maria (160);C.1V.,,ErnilRacouild,,, cl.VI Radu Iulia (100);C.N. ,,G. Ibrdileanu,,cl.y Rddearrusebastian (60), cl.vll Acujboaei cezar (100); c.N. ,,costacheNegnrzzi,, cl.V Arminii Elena (200),cl.vll Bl6ju! Cristian Maria.n(80), Bldju{ Mariana Al"**dra (130), PopescuTheodora (100); c.1v. ,,Mihai Eminescu" cr-vi $erba,nEma.nuel (310), $erban Irineu (1.40);colegiul Nalional cl.v chiorescu Alexandru (lB0), constantinescuMdlina (80), Ibera Andrei (70), Racoveanuoctavian (70), cl.vll Maciuc Ana Maria (90). LUGOJ (TIMI$) g.s. 4cl.YI CiamaRobert(60). MOrNE$TI (BACAU) $.9. ,,GeorgeEnescr,f cl.vll Butaru T\rdor (120), Iftimie Adelin (150),NistoreanuAlice (140),cl.vIII AlexandrescuAida emiiia liao;, Botezatu Ema Gabriela (130), CazanDragoq(L40),LazaroviciAndreea (t4o), Milea Andra (140),PdstoacdElena(130),sandu cristina (130),utx Ana Maria 1tio1,pra mengiuned,eclasd,:Curelaru Ioana (140). NAVODART (coNsrANlA) cl.v costinescuMaria 9.9. ,,GeorgeEnesc,u," (170),Damian Flavius (170). oDoBEgrI (VRANCF.A) Lic. ,,Duiliu zamfirescu"cl.v Manole Florin (1g0), onofrei Adelina Gabriela (240), cl.VI Boboc Andrei (130), pepene Victor CXtdlin (130), savanopolAndreea (r30), vulcan Ana Maria (110), cl.vll Albine! Gabriel Alexandru (60), Palade Alina (80), cl.vIII IonescuGeorgevalentin (120). ORADEA (BrHoR) g.g. ,,NicolaeBdlcescu"cl.v Bagdi Aron pairik (g20). OTELU RO$U (CARAS SEVERIN) Lic. Bd,ndleanct.Xl gtefdnescuAndrei (70). PITESTI (ARGEg) 9.9. 4 cl.vIII simion Teodora (90); $.s. L4 ,,Aleaand,ru Dauila" fdrd menliune d,eclasd,:NicrrlescuRicardo (110), Rizoiu Bianca (L20); g.s. ,,Ion Pillat" cl.vl Rirlulescu Crina (100), T\rrcu Ioan (100*20), cl.vll pa,raschiv Alexandru (100), cl.vIII PopescuDiana (400); c.1v. ,,zinca Golescu,,cl.VII BucurescuBianca (90), Ilie Diana Andreea (20).
48
RusRrcn REZoLvIToRILoR DE PRoBLEME
PLOIE$TI (PRAHOVA) S.S. ,Sf. Vasile" cl.VIII Vornea Cristian (90+80); C.N. ,,Ion Luca Caragiale" cl.IY Alexandru Daria (200), Andronache MS.dd,lina (200),Andronic Arthur Mihai (200),Barac Ma,riaIulia (200),Barbu Alessia(190), Bxdoiu Robert $tefan (200), Botea Marian (200), Cadar Elena Manuela (200), c6,rnici David (200), Dilu cezar (200), Doroftei Andra va.nessa(200), Dragomir Mihai (200), Gavril Alessia(200), GhiculescuAndrei Flavius (200),IonescuPetra Alexandra (200), MihalceaMaria Alexandra (200), Miroiu Andrei Claudiu (200)' MirilX Ioana Raluca (200), NicolescuAlexandru Constantin (200), NicolescuIan Teodor (200), onu! Andrei (240), Petcu Edua.rdGabriel (200), PetrescuMihnea (200), Popa Ana Maria (200), Popa Andrei (200), Preda Gabriel Rd,zvan(1,20), Radu $tefan Alexandru (180), SaveloviciTeodora (200), Stanciu Diana Cdtdlina (200),$uvailx Andreea(200),Timofte cristian (200),vintild, Diana Andreea(200), vldscea,nuAndrei (200),cl.vl Mihai Radu (60), T\rdor Dan (130),cl.vll Niculescu Teodora(250). (BUZAU) $.s. 2 ct.Y:JIToeaValentin (60); S.g. ,,Vasile RAr{NICU'SARAT Cristoforeanr"r"cl.V Ghiliftoiu Oana Maria (70), cl.V[I VasilacheVioleta (100); cIlI Tdlan Miruna Maria (160). C.N. ,,Alerand,ru-Wahuld" RAMNICU VALCEA (VALCEA) g.g. ,,Takelonescu"cl.V Hodoroag6Andrei (80), cl.VII DumitrescuDan (1a0). REGHIN (MURE$) $.g. ,,Alerandr-uCeuqinara"c1YI Iuona,qIulia (110); $.9. ,,AugustinMaior" cl.V Strdu! Briana (50), cl.VI OpreaFlorin Octavian (110)' ROMAN (NEAMT) $.g. ,,Mihai Erninescu"cl.V[I Nour Lavinia Ioana (100), Todiricx Oana Andreea(f f O); C.N. ,,RornanVodd,"cl VI Ignat Miruna (280). SALVA (BISTR.ITA NASAUD) $.g. ,,TiberiuMorariu" cl.V FoqluiOana (60), Marica Ionela(60), PaveleaFlorina (60), PaveleaMaria Ioana (70), SasDenisa(60), cl.V[I Moldovan Vasilica Andreea (80). SEINI (MARAMURES) Pop Ricardo (110),SzilagyiEdward (80), ^f.9. 1 cl.VII cl.VI[ CotriqcduMara (100). SIBIU (SIBIU) S.S. a DiaconuMihai (190);S.g.18 cl.VI Muntean Flavia (100), fd,rd,menliune d,eclasd,:Muntean Codrin (50); C.1V.,,Samueluon Bntkenthal" cl.X OpreaCamelia(110). Daria (200),IordacheIoa.na SLATINA (OtT) $.g. ,,EugenIonescu"cl.V CA,rstea (110), Andreea (200), Sebeqtea,n (100), MarinescuCbtdlina (110), Nicolae Radu (120)'cl.VIII (100), Lupu Laura T\rdosieMaria (320),cl.VII EremencuElenaDiana (260). Bia,nca Rogojina,ru Ba.rbusimina Andreea (100),fd,rd,menliune de clasd: STRASBOURG (FRANTA) Lic. Internati,onaldesPontonnierscl.VIII Enescu Mihnea (70+70). $IMLEU SILVANIEI (SALAJ) g.g. ,,Horea"cl.V $andor Alexia. TARGU JIU (GORJ) s.g. ,,Aleranitru,$tefulescu"cl.Y FoaneneDavid (90). TARGU MURES (MURES) g.g. ,,Berdd,iGyiirgy" cl.vIII z6.hanMara (80); $.g. ,,Liuiu Rebreanu"cl. VIII Dumitru Flavia (60). TEIU$ (ALBA) Lic. cl.YllCuptor Ilie Larisa(80),Moldova,n Gabriel(90),Oltean (80)' (80), Polhac Rdzvan Florean TIMI$OARA (TIMIS) S.S. t3 cl.V BA,rsa,n Patricia Diana (110+100). TULCEA (TULCEA) Cot"glutDobrogean,Spiru. Haret" cl.VI Pisicd,Andrei (110).
Rueruca REzoLVIToRILoR DE pRoBLEME
49
URZICENI (IALOMITA) $.S. I ,,A1. Od,obescu" cl.VIII Alexandru Gabriela (150)' GrigoreLuciana (120),'stoianAnca Teodora(r20); s.s. 2 ,,1.H.Rdd,ulescu,, cl.VII Barbu Gabriela(110),BusteaCristina (110),Cdlin DanielaFlorentina(100), cristache Daniel Florin (120), Marcu Andreea (110), pascu Maria cu.ru irooj, $erb'lescu Ana corina (120),GheorgheAlina (100),sd,npetruMaria uurru"tu itaoj, 1fhifuCristina (100); C.N. ,,Grigore Mois,il,,cl.V petrache Elena (70). VIDELE (TELEORMAN) $.9. I fd,rd menl'iunede clasd,:Erimia Clara (g0). Elevii care au trimis solulii la problemele propuse, au fost coordonali la clasd de urmdtorii profesori: AIUD (ALBA) $.9. ,,OuidiuHulea" Nilu Angela. 4RAD_(ARAD) Lic.,,AdamMiiller Guttenbrann"FlanczAdalbert, StoicaMircea Mario; C.N. ,,MoiseNicoard,,,Negrild Liliana, Toader Maria. BAIA DE ARIES (ALBA) L'ic. ,,Dr. Lazd,rChirild" BuneaBXnicH, Aurel. q+{+ N{ARE (I\4ARAMURE$) S.9. ,,Luc'ianBlasa" Nasy Ana Maria; 9.9. ,,Nichitastd,nescu"$tiru Aurica; g.j. ,,srmtonBdlnu[iu,,Belbe camelia; Lic. feoretic sanitar Pop Radu; c.N. ,,Gheorghe $,incai"MuquroiaNicolae; c.N. ,,vasile Lucac'iu" Sabdu$tefan. B+f,S (OtT) Colegiul Tehnic Stroie Manuela. BARLAD (VASLfJI) C.N. ,,Ghe. RogcaCodreanu"MihalacheDumitru. PR+F9y (B_RASOV) $.-t. Z Bocu Dorina, Ciocd.rlanIoana;9.9. 5 Minea Delia; s.g. 13 Dima Pa,raschiva;c.N. ,,Andre,i$aguna" canu Marinela, crupald Gabrielj c.N- ,,Gri,goreMoisil" olteanu Mariana; c.N. ,,Dr. Ioan Megotd,,satala ciprian Ioan. BFAITA_(BR;.fIA) $.g. ,,ConstantinSaniluAldea,,pasci Rudi; C.N. ,,Nicolae Bdlcescu" Botea ca.rrnen, Botea viorel, DanielescuIurian; c.N. ,,Gh. Munteanu Murgoci" Giurc5,Mihaela Florina. BUCI{RESTI$.9. 12 ,,Herd.strd,u" FdiniqDorela;S.S.30 ,,GrigoreGhicaVo1euod;, Pdun Elena ; s.s. 56 Radu Dana; $.s. gr MoldoveanLauren[iu; $.9. r1B petrescu Elefterie; ^f.g. ll4 ,,PrincipesaMargareto" creoqtea,nuMariana; $.9. 150 Dima Alina; ^$.9.190 Moldovan Georgeta;$.9. 19b Militaru Doina, petrescu Maria; Lic. ,,$tefan od,obleja"Dumitru camelia; c.N. ,,GheorgheLazd,r" simion petre, victor Ioan Nicolael C.N. ,,Mihai Eminescu',SdvulescuDumitru; C. N. ,Tud,or V,ianu,, Chiteq Costel. BUZAU (BUZAU) $.s. 15 ,,G.E. Palad,e"stanciu Neculai. CAMPULUNG MUSCEL (ARGES) $.g. ,,NanuMuscel"DobrescuArgentina. cAr,AnnSI (CALARA5I) S.9. ,,CiioI.I" F\rrtundSorin. CILIENI (OtT) Lic.Tehnolog'ic Mihaela. ,,Ion Popescu,,G6sculescu CLUJ NAPOCA (Cl,Vl1 tlc. ,,Aure,mfancu" Diaconu llie; Lic. ,,N,icolae Bdlcescu"PeteanAna. CONSTANTA^(CONSTANTA) S.9. SO,,CheorgheI'ifieica,,Anghel Emilia; g.g. ,,5pectrurn"carnaf,uMioara; Lic. ArventievDorin, Gurgui Adriana, ,,ou,id'ius" Mdciuc[ Monica,Mihai Bogdan;Lic. ,,Tla,ian"DermengiuAlina; c.Nl ,,Mir"ea Bdtrdn" contanu Mihai, FlecuqViorica, GacheFlorian, z6,rnd,cxtxtin. "e.I CORABIA (OtT) $.9. ,,Mihai Eminescu"Bivol Nicolae. SjRAIO_VA (D9LJ) 6.s. 24 ,,5f. Gheorghe"PdttailcuMariana; C.N. ,,Carol1,, oiurcea Raluca; c.N. ,,Ftutii Buzegt'i"Dand camelia, popa Marin, TtrlescuLucian.
50
RusRrcn REzoLvIToRILoR DE PRoBLEME
DEVA (HTINEDOARA) C.N. ,,Decebal"Lint, Maranda. DR.OBETA TURNU SEVERIN (MEHEDINTI)S.g. 11 SdceanuVictor; .f.9. ,,PetreSergescu"Md,lineanuGabriela; C.N. ,,Gheorghelileica" Stretcu Daniel; C.N. Peilagogicu$tefan Obreja" Bondoc Gabriela. FETE$TI (IALOMIT A) S.g. 7 ,,Aurel Waicu" CostacheConstantin,Nicolescu Ion. C.N. ,,WadirnirStrdinu" T\rrcu Iuliana. G;.IE$TI (DAMBOVITA) HARLAU (IA$I) C.N. ,,$tefancel Mare" Neicu Aurel. IA$I (IA$I) $.5. uB. P. Hagdeu"Boboc Romela,Chirild,Laura, NechiforIonel; Lic. ,,VasileAlecsandri" Nistor Alina; C.N. ,,CostacheNegrazzi"C[pra,ru Irina, Ionisei Silviana, Nechita Remus,ZanoschiAdrian; C.N' ,,Ernil Racouild,"Pitu Leon; C.N. ,,G. Ibrd,ileanu"ChirilX Constarrtin,Maciuc Dominica; C.N. ,,Mihai Eminescu" BlendeaGheorghe,Ilie Vasilica, Panaite Bronia; ColegiulNalional Benta Valerica, Culac Tama,ra. LUGOJ (TIMI$) $.g. 4 CddariuLiviu Ioan, Gheorghi!5,Sebastian' MOINE$TI (BACAU) $.g. ,,GeorgeEnescu"Brahnd Necula. NAVODARI (CONSTANTA) $.g. ,,GeorgeEnescu"ConstantinGabriela. ODOBE$TI (VR.ANCIF.A) Lic. ,,Duiliu Zamfirescu"Tarciniu Vasile. ORADEA (BIHOR) $.g. ,,NicolaeBd,lcescu"SzatmariDorina. Dragomir Lucia,n. OTELU ROSU (CARA$ SEVERIN) Lic. Bd'nd'{eon 74 Md,gurel; 4 Simion (ARGE$) PITE$TI S.S. ,,AletandraDaaila" Vdcaru $.9. Da^niel;$.g. ,,Ion Pillat" Haller Daniela, Peligrad Sorin; C'N. ,,Zinca Golescu" PopescuAnca. Vasile"Pand,Tatiana; C.N- ,,Ion Luca CaraPLOIE$TI (PRAHOVA) S.S. "Sf. giale" Crdniun Gheorghe,NdchilH,Petre, Negrild Anton, Nild Eugen. RAMNTCU sARan (BUZAU)S.9. 2 CristeaMirela; $.g. ,Vasile Cri,stoforeonu" Cristea Mirela, Marin Simion; C.N. ,,Alexandru'Wahufd" Neagu Constantin Mihai, Tdtan Ovidiu. RAMNICU VALCEA (VALCEA\ $.g. ,,Takelonesc1t"PopescuConstantin, Sm5rdndoiu$tefan. REGHIN (MURE$) ^9.g' ,AL Ceuginant" Simion Gheorghe; ^f.g. ,,Augustin M aior " Bozdog Consta,ntin. ROMAN (NEAMT) $.s. ,,MihaiEminescu" Ababei Constantin; C.N. ,,Rorruan Vodd" Husa,ruNechita Petronela. SALVA (BISTRITA NASAUD) ,S.S.,,TiberiuMorariu" MoldovanFlorea. SEINI (MARAMURE$) $.9' l Tivadar Ioan. Rodica; $.S. 18 ArdeleanLiviu; C.N. ,,Samuel a Brodetchi (SIBIU) SIBIU 5.5. uon Bru,kenthal"Bottesch Ma.rtin. SLATINA (Otl') $.g. ,,Eugenlonescu" Popa Graliela. MiS'f,RASBOURG (FRANTA) Lic. Intentational desPontonniersStoenescu hai. $IMLEU SILVANIEI (SAIAJ) $.g. ,,Horea"CriqanAdriana. TARGU JIU (GORJ) $.g. ,,Alerandru$tefulescu"ButulescuAngela. TARGU MUR.EE (MURE$) $.g. ,,Liuiu Rebreanu"Gentd Florica. TEIU$ (ALBA) -Dic.Bdrbuletiu Mihai $tefan. TULCEA (TULCEA) ColegiulDobrogean,Spiru' Haret" PetrescuLucian,
Rusnrcl
RszoLVrroRrLoR DE pRoBLEME
51
URZICENI (IALOMITA) paraschiv Nicolae; S.g. l,,Alexand,ru Od,obescu,, $.g. 2 ,,1.H. Rddulescu" Licu Stana, Drdghici Constantin; C.N. ,,Grigore Moisil" PdunescuConstantin. VIDELE (TELEORMAN) 9.9. 1 Constantinescu Floric5,. In perioada 13 decembrie 20rB - 09 ianuarie 2oL4, au trimis solu(ii la probleme pentru concursul Gazeta Matematicx qi viitoriolimpici.ro urmdtorii elevi: (ALBA) $. g. ,,Arente Seuer" cl.VII Ilea TeodoraIoana; +IUD $. g. ,,Ouid,iu Hulen" cl.VII C5lin Lorena Laura. (TELEORMAN) $. s. ,,M,ihaiviteazul,,cl.vll calilescu Mi_AIEIANDRTA hai, cl.vflI Andreica Radu-Adrian; S. s. ,,$tefan cel Mare,, cl.vl Ionescucitilio, Iorda.nOana. (ARAD) Lic.Teoret'ic,,AdamMtitter Guttenbru.nn"cl.v Buda paul; c.1v. ++AD ,,MoiseNicoard,"cl.VII Criqan loana. BACAU (BACAU) c.N. ,,Gh. vr6.nceanu"cl.v AmHriulei Mara Miruna, Andronic Smaranda,Dolineanu Miruna. g. g. ,,Luc'ianBraga" cl.v Ardeleanpaula; 9ArA MARE (MARAMURE$) C.N. ,,Gh.Sincai" cl.YII MerceaIoana, cl.X Cotan paul. BEIU$ (BIHOR) Colegi.ulTehni,c,,Ioan C,iord,oE,,cl.VII Tau Andreea. c.N. ,,L. Rebreanu,,cl.y Hognogicristina, _BrsrRrTA (BrsrRrTA-NAsAuD) SomeqanPaul. _BOGDANE$Tr (sucEAvA) $. s.1 cl.V Airinei Andrei cristian, cl.vl Alexiu Lucia^n. B-OTOSANI (BOTOSANI) C.N. ,,M,i,ha'i Eminescu,,cl.V Bdlbd,T\rdor, cl.VI Ababei MddS,lina,cl.IX Pricope Tidor Vlad. Bozovrcr (CARA$-SEVERTN) zzc. Teoretic,,EftirnieMurgu,, cl.vll pascariu Anda. BRA$ov (BRAsov) 8. s. 2 cl.y Duca Daniel, popa Diana, simescuDiana, cl.vl Bdrld Mara, ciurea Maria Eliana, Gargu Bogdan, Muscalu Diana, $aramei Andrei, cl.vll BSnicd Dragog, corboq Raluca, Ion Robert Gabriel, Nedelcu vlad, sdplScan Amanda; $. g. 5 cl.IV pomponiu Iurius Eugen, cl.v Gherghe Ana Ilinca, secdreaDiana Maria, JeczaAlexandra, cl.vl Boeriu Bianca Maria; $. s.rl cl.vl Iova olga, suciu Bogdan; $. g. tb cl.vl Bratu oana; 30 cl.v cotfas 9. Miruna; Lic.Teoret'ic,,JohannesHonterus" cr.vl ciupalx Ana^g. Iulia; c.N. ,,And,rei $aguna" cl.v cardan Maria Alexandra, Mandai Dan cdt6lin, cl.vl chichernea Diana, Gilea Vicenliu, Kis lulia, cl.IX Manea Dragog,cl.X strimbu Alexandru; d.N. d,eInfonnaticd, ,,Grigore Moisil,, cl.VI popescuDragoqSeptimiu. BRATLA (BRATLA) s.9. ,,Ion creangd'fcl.vr Bulgaru Maria Diana; $. s. ,,.Fd'nugNeagu" cl.vl Arsene Teodora, chirild Ioana, Dima loa,nAndrei, orugrrJu, Andreea,sa,uroild, Rareg,TdnaseRaluca, cl.vll orlea Alexandra, pan{uru Eleni,; $. g. ,,Miha'iEminescu"cl.vIII MoiseGabriel;c.N. ,,NicolaeBd,lcescu,, cl.vl cristache Ionut Gabriel, Done Mihnea, Lupa,qcuIrina Erena, Munteanu Irina Mihaela. Negriqan Argaluis, Petcu Alexia octavia, petrache Tiberiu, popescu vlad cristian, PopescuMa,ria,PotecdRareq$tefan, sasuElenaAndreea,uzunea.nuGabriela,cl.vli Antoche Andreea,B6lan Mircea Alexandru, Boeru Briana, ciineanu Andrei $t"f"11,
--'
52
Ruerucn
REZoLVIToRILoR DE pRoBLEME
Decu T\rdor vlad, Ignat Marius, Lupqa Sabina Florina, Mihxilescu cristian, preda corina Andreea, SusanuIoana sabina, vasilescuGabriel, vlad Ioana cezara. ISRtIZOI (VALCEA ) Lic.Teoreticcl.Y St5,nculescu Gabriel. BUCLTRE$Tr s'g.10 ,,Maria Rosetti" cl.v[I comdnici reodor Andrei; S.s. 56 cl.IV Tinica George Marian, cl.vl Ciocan Maria, Mihai Andrei cristian, vintild Maria Theodora,cl.vll Ni!5 Ionu!, cl.vIII ciocan Antonie; $.s.6Tcl.VI Matei Mihaela;S.9. 79 cl.IV GhinceaMatei, cl.vlfl c6praru Richard;S.s. g1 cl.IV Alexandra Popescu,Andreescuovidiu, Bran Mihai, cociobd, octavian George,Flonescu Martin, Matei $tefan, Vija Andreea Amalia, cl.VI Panaitescu-LiessNicholasMatei, Picu George,cl.vll R5rlulescuAlessandraMaria; $.g. 84,,NicolaeBdlcescz,,cl.IV sfia Anca Mihaela; S.s. 97 cl.v Badea Bianca Maria, Sandu Theodor pavel, Stoian Matei, cl.VII BadeaAlexandru Ioan; $.9. 128 cl.vll Dragu Ana-Maria; $.g. LJg cl.vl Chiper Alexandra Diana, Chiper Ioana Cristirra; S.s. ,,MirceaS6,nt'imbreanu" 195cl.IV BurgheleaRareg,scarlat Mdd[lina; $.g. 280,,Mihail sebastian,'cl.vll Tender Laural $.9.307cl.IV Ghergu! David; Li,c. Internalional d,eInformaticd, cl.yrl HendoreanuAna Daria, cl.IX Lia Ioanal Lic. Teoretic,,DanteAli,ghieri"cl.v Ciocaru cristina; Lic.Teoret'ic,,Ion Barbu" cl. v Mustx{oiu sebastian;Lic. ,,Marin Preda" cl.IV T\rdorache$tefan cristian; c.N. ,,GheorgheLazdr,, cl.vl Nicorescu Patricia Irina Andreea; c.N. ,,Gheorghe $incai" cl.X panaitescu-LiesMichael Andrei;c.tr/. ,,sf. saua" cl.IX Butaru oana, cl. X GheorgheTeodoracristina; c.N. ,,Tudor v'ianu" cl.v Ichim Alexia Ioana, cl.vl Manole patricia Teodora,Nacu Irina Ma^ria,cl.VII ConstantinescuAdriana Mirela, IorgulescuMatei, cl.IX Dicilea Alex Valentin, cl.XI Niculae Arthur. Bl-TzALr (BUzA.u) g.g. ,,GeorgeEmi,lpalad,e"cl.IV IordacheRrzvan Gabriel. CAR.ANSERE$ (CAIIA$-SEVERIN) .Lic. Ped.,,C.D.Loga,, ct.XI Dinulic[ Augustin, Dinulicd Septimiu. {-j+LARA$t (C'At,A,ItA,$I) S. s. ,,Carol1,, ct.y NedelcuAIex. CA]\{PULUNG lr,ttrscEr, (AffGE$} S. s. ,,oprealorgurescu"cl.IV Jipa Darius Andrei, cl.vIII $erboiFloreaDan; ,5. g. J ,,NanuMuscel,'cl.vl Lilzd"roiuLucas, cl.VII NeculaNarcis; C.N. ,,Din'icuGolescu,,cl.VI Contor Andrei. ?tu.l NAPOCA (CttJ.I) C.N. ,,Ernil Racoaild,,cl.VR6,peanuGeorgeAlexan_ dru, cl.VII PetrideanAndrei. {I0NSTANTA (coNSl'ANTA) s. g. 29 ,,Miha'i v'iteazul"cr.IV Dorneanu cezar, cl.vIII Milcu Ana-Maria; S. g. ,,spectrum"cl.v Girban Alexandru,puqcaqu Rd,zvan;L'ic. Intemal'ional d,eInfonnaticd, cl.rx piunescu Adrian; Lic.Teoreiic ,,Ou'idius"cl.V Teac5Maria; Lic.Teoretic,,Thaian,,cl.VI Memiq Edis; C.N. peda_ gog'ic ,,constant'in Brd,tescu"cl.v Balagiu Daria^n;c.N. ,,Mircea cel Bdtran,, cl.v Hristu Stelian, cl.VII Orac Alexandru. {":R."AIOVA (DOL.I) $.g. 2 ,,Tbaian,,cl.VI Banu TeodoraGeorgiana; $.g.24,,5f. Gheorghe"cl.vl Balaci Andrei Lucian; $.g.82,,Alexandru, Maced,onski,, Lr.vr o4x Alin Gabriel; c.N. ,,carol 1" cl.vl Popa Erminia petra, cl.XI ungureanu Marta; c.N. ,,Frali,i Buzegti" cl.IX costache octavia Gabriela, Ruqinaru Ana-smaranda, cl.X Atakan Ayline, T\rrcu Andrei George;palatul Copi,ilorcl.IV ciurescu R5zvan. (-:tiGTR (ALBA) $.9. 3 cl.VI Bel Luana, cl.VII EnescuAna-Maria. I)f,lvA (HTINEDOARA) c.N. ,,Decebal"cl.Y Procopieurban Anda, cl.vl std,nescuAlexia carla, cl.vIII Jop Alexandru vasile, cl.X pitea octavian.
Ruenrce
REzoLVrroRILoR DE pRoBLEME
DOROIIOI (BOTO$ANI) ^9.g.8 ,,Mihail Kogdlniceanu" cl.VIII Hri{cu Andrei Alexandru.
DRAcASANT(vArcEA),S.s.,,Tud,or Wadimirescu" cl.VI ia,n.
Anghelina Ion Ma"r-
DROBETA TURNU sEvERrN (MEHEDTNTT)^t. 9. 3 cl.IV puiu Gabriela Ma.ra,Puiu Mihaela Maria; $. g. ,,Alice voinescu" cl.vl pirvuceanu Alexa,ndru Daniel; c.N. ,,Tfaian" cl.v LunguleasaEugen,RdcianuMarian Gabriel, RisteaRadu $tefan, cl.vll Fulga Fabian, $eitan Radu cdtilin, Tabacu-feculescuAndra. _f'ACi.nAS (BRASOV) C.irf. ,,RaduNeg,u,,cl.V SerenusDragog,cl.VI Vellan Victor. FETESTT (rALoMrTA) 8. s. 7 ,,Aurel waicu" cl.vl sima cosmin Alexandru. rocsANr (VRANCEA) s. s. ,,Anghelsaligny" cl.vl constantin Georgiana, SeleaI\rdor; S. S. ,,$tefan cel Mare,, cl.VII Grigore Diana Nicoleta. GALATI (GAIATI) C.N. ,,Al.LCuza,,cl.Iy ThugAlexia; C.N. ,,Costache Negri,, cl.X BouroqIoa^na. cAngtr (DAMBOVTTA) C.N. ,,Wadim,irstreinu" cl.IX Anghel petriqor,cl.X Anghel Victor Valentin. GIURGIU (GIURGIU) I. g.7 cl.VI BeianuBogdan. GUGE$Tr (vRANcEA) S. s. d,eA,te gi Meserii ,,A1. wahufid,"cl.IV cucoaneq Andrei. rASr (rA$r) S- s. ,,Mihail Kogd,ln'iceanu" cl.IV ciocoiu Alexa,ndruBoris; L,ic.Teoretic ,,Dimitri,e cantemir" cl.vl Mocanu Bianca; Lic. d,eInformaticd, ,,Grigore Moisil" cl.VIII Aluchieneseivictor; Colegi,utNali,onalcl.v BalabanAndra, Ch"rgt "t $tefan, cl.vl chiorescu Alexandru, Joldescu cezara Maria, Lehd,cea^nu sharon $tefa'na, cl.vll Jitariu $tefan, obadd George Teodor, petrescu Bianca, popa Ioana Maria, Prioteasa Ioa.naCristina, vacniuc Teodora Cristina, cl.v[I ouaax $tefan Alexa.ndru,cl.IX Pinteal5 Eliza; colegi,ut,,costache Negntzzi,,cl.vl stoica vlad; c-N. ,,Emil Racoui'|d,"cl.v Luchian Denisa Alexandra, cojocaru Antonia, Ghimpu Ioana Ingrid, Smoc George Ma.rian, cl.vl Andrei Alin Ionu!, Biqcd reona Elena, CorduneanuAlexandra, PopescuT\rdor George,Tamaciuc Ioana, cl.XII stdngaciu Ra,rnonaDaniela, Vizitiu Monica. MELTNESTT (DOLJ) Gr.gc. ,,Alerandru,Maced,onski"cl.vl spdtaru patricia Teodora,cl.IX SpXtaruAndrei Raul. MOTRU (GORJ) $. g. 2 cl.VI TomescuMihai Liviu. NASAUD (BTSTRITA-N;.SAUD) ,F.g.,,M. Em,inescLt,, cr. vII Tirliqan paul. (CONSTANTA) g.e.BclJtl AtexandruBianca;$.g. ,7. Arshezi,, ry{,_V_ODARI cl.VI PdqcdlduRobert Gabriel. ORADEA (BrHoR) Lic.TeologicBapti,st ,,Ernanrrer"cl.vll Tiutin Andrada Georgia. PA€CANI (IA$I) Lic.Teoretic,,Miron Costin,,cl.VIII Ion Nela; C.N. ,,Mihai.I Sad,oueanu" cl.VIII Buzatu Andreea. PIATRA NEAMT (NEAMT) c.N. ,,petra Rareg"cl.IX spiridon cdlin Daniel. PTTESTI (ARGES) S. s. a cl.v cioc Amelia Gisele,cr.vl cioc Alex Andrei; g. g- ll ,,Mihai Eminescu"cl.v[ Miu Alexandraclaudia, cl.v[ Iancu George;c.N. ,,zinca Golescu" cl.v Awam Alexandru, Florea Andrei, Ma^rinGeorgeAlexandru,
54
RueRJcl
REzoLVrroRILoR DE pRoBLEME
Marmandiu Vlad Mihai, SmeuAndrei, cl.VII $erban Alexandru George,cl.VII Dumitrescu Raluca. PLOIE$TI (PRAHOVA) 8. S. ,Sf. Vasile" cl.V SufleaAndra; C.N. ,,At. I. Cuza" cl.V PetculescuMihnea, cl.VII DobogEmanuelVl6du{, cl.IX ZecheruDaniela Cristina; C.N. ,J. L. Caragiale"cl.VI DeaconuT\rdor Andrei, Fora,nsbergher Tanya, Milicu Alberta, Popa Mihai Cristian, Sdvulescu$tefan, $erban Florin Alexandru, cl.IX Tfrdor Costin Rizvan, cl.X NedelcuTamaral C.N. ,,Mi,haiViteazul,,cl.VI Sz
RugRrcn REZoLVIToRILoR DE pRoBLEME
oo
Elevii care au trimis solulii la probleme pentru concursul Gazeta Matematicd qi viitoriolimpici.ro au fost coordona(i de urmdtorii profesori:
AIID (ALBA) 8.g. ,,A. Seuer,,BAlc Gianny; $.g. ,,Oui,di,u Hulea,,Nilu Angela. ALEXANDRTA (TELEORMAN) $. s. ,,Miha'i v,iteazul,,cristeaT\rdor; .j. 9. ,,$tefan cel Mare" IonescuFloriana Violeta. ARAD (ARAD) Lic.Teoret'ic,,AdamMtiIIer Guttenbnrnn,stoica Mircea Mario: C.N. ,,Mo'iseNicoard,"Negrild Liliana. BACAU (BACAU) C.N. ,,Gh. Vr6nceanu,, Lazdr Lucian. BArA MARE (MARAMURES) s. g. ,,Luc,ianBraga" Keller otto; c..r[. ,,Gh.$incai" HeubergerDana, Muquroia Nicolae. BEIU$ (BIHOR) CotegiulTehnic,,Ioan Ciord,og,,Bercovici Crina. BrsrRrTA (BrsrRITA-NAsAuD) c.rr.,, L,iu,iuRebreanu,, sanda Nicolae. BOGDANESTI (SUCEAVA) $. s.t SotcanuVasite. BorogANI (Boro$ANr) c.N. ,,Mihai Em,inescu"oniciuc Gheorghe,Tfiqcd, Teodor. Bozovrcr (CARA$-SEVERTN) Lic. Teoretic,,Eftimie Murgu,,Rincu pavel. BRA$OV (BRA$OV) S. g. 2 Bocu Dorina, Ciocirlan Ioana; ,f. 9. 5 Minea Delia; $. 9' 11 Ghiqe Lucica; $. s. 15 cocalea Rodica; s. s. B0 ciocan Elena; Lic.Teoretic,rJohannesHonteras,,Lepildatu Maria; C.N. ,,Andrei $aguna* Canu popescu Ciupald Gabriel; C.N. de Informaticd, Moisil,, ,,Grigore Radu. YTiggl", BRAILA (BRAIIA) g.g. ,Ion Creangd,,, BuzeaVictor; g. g. ,,Fd,nugNeagu,, Tilincx Da^niela;$. g. ,,Mihai Eminescu" Flincu Nicolae; c.N. ,,Nicolae Bdlcescu,, Botea Carmen, Botea Viorel. BREZOI (VALCEA ) Lic. TeoreticBurlan-Mitu Olivia-Simona. BUCURE$TI ,S.9.10,,Maria Rosetti,,Radu Da,na; $.5. b6 ,,JoseMartf Iancu Da,niela,Niculescu cornelia, Radu Dana; S.s.6T pilici Aurelia; $.s. 79 Burlan camelia, simut Marioa^ra;$.g. 81 Donciu Mihaela, Ichim cristina, Ivan Florina cdtilina, Pa'naitescu-Liess Georgia^na;S.g. 84 ,,N,icolaeBdlcescu,,sfia Andreea; 5.s.97 olteanucristian; $.g. 128$andruMariana;$.9.1J9,,M,irceas6,ntirnbreanu,l, $erba.nstela; $.9. 195 Aida Fbujind, Ivan Florentina Daniela; $.g. 2go ,,Mihail sebastian" Milea Maria; Lic. Internalional de Informah,cdGeorgescuFlavia,n,Nicolae Elena; Lic.Teoretic ,,Dante Alighieri" Aursuleseicornelia; Lic.Teoreti,c ,,Ion Barbu" SecdreanuAna-Maria; L,ic. ,,Marin pred,a,,Baciu Florina; C.N. ,,Gheorghe Lazdr" Petre simion; c.N. ,,Gheorghe $i,ncai"Dilimo! Nilx vasile; c.w. ,,,sy.saia,, Dinu, Jena Marcel; c.N. ,Tud,or vianu" chiteq costel, Manlra cris$erbd,nescu tian, Popa Marin, Zamfir Ricd. BUZAU (BUZAU) g. g. ,,GeorgeErnil palad,e,, OanceaElena. CARANSEBE$ (CARA$-SEVERTN) rzc. ped,agogic D. Loga,, Buzucu ,c. Antoanela. c4lAnagr (CAI,ARA$r) g.,,CaroII,, F\utunXSorin. ^t. CAMPULUNG MUSCET (ARGE$) g. g. ,oprea lorgurescu,,Bivolloana, Jenlu Isabela;S. s. 3 ,,Nan, Muscel" DobrescuArgentina, parqeIon; c.N. ,,Dinicu Golescu"Lieca Adina. CLUJ NAPocA (CLUJ) c.N. ,,Em'ilRacouild"vasilescuvarentina.
56
RusRrcR REzoLVIToRILoR DE pRoBLEME
C.ONS'IANTA (C0l\S'fAhIT,4") S. S. 29 ,,Mihai Viteazul,,Cojocaru Gratziela, Toma Mihaela; $. s. ,,Spectrum,, Carna,ri Mrgara; t l". t"i"r.rl,ional d,eWortnaticd, us,, Gurgui Adriana Daniela; Li,c. Teoretic qi,c,,Constantin Brd,tescu,, Cavachi Niculae; u Gabriela, Gache Florian. pometescu Valerica; S. S. 2a ,,5f. Gheor_ rlra Macedonski,, Mdrgineanu George ; C. N. l{. _,,Fba[,iiBuzegti,, Dicu Mihai, Ninu Ion, /aleriu. 1a. ial,,Golgo{iu Flavia, Lin! Dorin, Lin! Ma_
papon_iu Dana.
fihai,l K ogdlniceenLt,,V]ddescu Valerian. t,or Wad,imire.scu,, Vieru Gheorghe. [H]{-EDIF$$I) 3 Vasite Florica; S. s. ; C'N' ,,Tha'ian" Antonie Mihaela Rodica, Vegra,,DutX Adriana, postolache Camelia.
:THtr#;,,\::HiI,i:I. ;a,,Damian Oana; C.l{. ,,CostacheNegri" GAn*stt Iuliana.
('A^.IBOVITA)
C.lf. ,,Wad,,imir Stre,inu,,Ionescu Georgeta, T\rrcu labriela Camelia. zz,, Sirbu Lenula; Lic.Teoretic ,,Dirnitrie r,fornaticd, ,,Grigore Mo,isil,, Mirqanu Ga_ ilac Tamara., Lazb.r Cristia.n, pa,gaNarcisa, Colegiul ,,Costache Negntzzi" Ionesei Sil_ ihaela, Budeanu Ciltilin, pilu Leon. ,nt Macedons,ki,, Micu Constantin. rl.
J;,i:#i!!'.f #T;:;'":il1:,";ffi: ORADEA ( RIHOR) Lic. Teologi.c B aptist,,Ernanrel,, Cicorta,gMarius: P'4$cANl (rA$I) L'ic.Teorogici,ulron cosiln,,crxciun Alina; c.N. ,,Mihai,rsad,oueanlt" Pricop Vasile. DetntRareg* Sandovici Adrian. ica; $.g. ll ,,Mihai,Eminescu,,,Haiducu ca. z,sile,,pan6,Tatiana; C.N. ,,A1. I. Cuza,, og Carmen;C.N.,,LL. Caragiole,,Ndchild, StegdroiuMdlina.
nAMNrcu VALCEA lvAlcna) $. s.,Takelonescu,,Deliu numitru,popescu constantin,smxrdndoiu L,ic. Basarab" Dobre Dumitru; $tefan; ,,Matei c.N. ae
Informaticd ,,Matei Basarab"RascuValeric5,V5rzaru Gabriela. R.EGHTN (MUR.E$) Gimn. de stat ,,August'inMaior" Bozdogconstantin, Gimnaziul de Stat ,,A1. Ceus'ianz " NiculescuCarrnen. RESITA (CARAS SEVERIN) $ s.2 Dr5ghiciNlariana. ROMAN (NEAN{T) c.N. ,,Roman vodd," Husaru-Nechitapetronela, suman Daniela. RoSroRIr DE VEDE (TELEORMAN) c.lr. ,,Anastasescr-i,,Enache paul. SATU MARE (SATU MARtr) s. g. ,,constantin Brdncoaeanu"M5rginean Gydngyv6r;$. g.,,Luci,anBlaga',Culic Camelia. SIGHETU MARMATIEI (MARAMURES) ,,Dragog Vodd," Bedeoan Loredana. SIBIU (SIBIU) 6. S. a BroderschiRodica; ,,Gh. Lazdr" $erb Delia; ,,5.a.Brukenthal" Bottesch l\fartin. SLATINA (OtT) $. g. ,,Eugen lonescu,, Ndsui Mariana; ,,Ion M'inulescu" Nicolae Gabriela; C.N. ,,Radu Greceanu,'popa Dorin. ST,OB OZIA (IALOMITA) C.I'/.,, M'iha'i V.iteazul,'Nldrgdrit Marian. TARGOVTSTE (DAIVIBOVTTA) C.N. ,,Iend,chr,gd, vd,cd,rescu,,catan|Daniela. TARGU JIU (GORJ) $.5. 8 ,,C-tin Sauo,iu,,stoichiloiul\4ircea. TARGU MURE$ (NIURE$) G'imnaz'iul,,Liu,iu Rebreanu" Ginla Floric a; Gi,mnaziul,,Tudor Wad'im,irescu,,Belean Carmen. TECUCI (GALATI) C.N. ,,Spiru Hareto,Grecu Ion, Nliron Adrian. TrMI$OARA (TrMrs) $. s. 2t costea Emilia; Lic. ,,Grigore Mo,isil,' B5txran Florin, GeorgescuGeorge, volungan Rodica; Lic. ped,agogi,c. ,,carmen s,ilua,,Laitin
Nicolae. VIDELE (TELEORMAN) 8. S. 2 Rababoc Elena. CHISINAU (REPUBLICA MOLDOVA) Iic. Romdno-spaniol ,,M.d,e Cer_ ?)antes"Postu Rodica.
27o pettrn
Societatea
de $tiinle
Matematice
din Rorn6nia!
Ctt 2o/one pute{i sprijini sd contimrdm o tradi{ie de peste 100 de ani in promovareaqi cultivarea educa{iei matematice de calitate, lSrgirea orizontului matematic al profesorilor gi dezvoltarea abilitdlilor de gAndire logicd la elevi. Grigore Moisil spunea ,,tot ce e g6.ndirecorectd este matematicd,,. Detalii legate de instrucliunile de completare a declara{iilor 230 gi 200, le gisiti Ia linkul: http://ssmr.ro/donatie2
c ulegere qi tehnoredactare compu terizatd,:Mih aela zbar cea tel. 074 ll 47 02g
SOCIETATEADE $TIINTE MATEMATICE DIN ROMANIA
SUPLIMENTCU EXERCITII
ry
&
ianuarie 2Ol4
s:P14'1' La un numdr ,4 se adaugd,triplul sdu gi incd 13, apoi la acest rezultat adS,ugdmpdtrimea numdrului 6g qi ob{inem n-umd,rulffi,il;; este cel mai mic num[r par. Aflali numdrul ,4. RarnonaCarqote,Brdila s:P14.2. Mihai are 7 caiete,unerecu 4g de file, celelalte cu 100 de fire. $tiind cd filele sunt in total4g2, afla{i c6.tecaiete sunt cu 100 de file. RamonaCargote,Brdila S:P14.3. care este cel mai mic numdr naturar care, prin impdr{irea la 13 dd la rest gi la cAt acelasi numdr ? RamonaCarEote,Brdila s:PL4.4. in cartierul ,,Minerva' din oraqul Brdila este un bloc cu apartamente care au ca,te2 respectiv 3 camere, in total 44 de apartamente qi 99 camere. Afla{i cate apartamente sunt cu 2 camere gi cate sunt cu J camere in acel bloc. RamonaCarEote,Brdila s:P14.5. Un ogar urmd,reqteo vulpe care are 60 de sdrituri inaintea lui. $tiind cd, pe ca,ndogarur face 6 sd,rituri, vurpea face 9, iar 3 sdrituri ale ogarului fac c6,t 7 sdrituri ale vulpii, afla{i peste cate sdrituri ogarul va ajunge vulpea. *** s:P14.6. Pentru a merge la teatru, 6 prieteni se int6,lnesc qi se sarutd intre ei. CAte strAngeri de mA,ndse realizeazd"? RamonaCargote,Br5ila s:P14'7. Pentru a face compot, doamna Matei taie 4g de mere in dou5, dupd care jumd,tate din numd,rul buci{ilor le mai taie o datd in doud, iar apoi, iumdtate din numdrul total de bucd{ele le taie iar in doud. cate bucS{i de mere are doamna Matei pentru compot ? Ramona Carqote, Braila
s:P14.8. care estedescd,zutul dacd,suma dintre descdzutul,scdzxtorul gi diferenta unei scdderi este 9868 ? RamonaCarEote,Brdila s:P14.9. Pentru a premia participanlii la un concurs se cumpd,rdcdrli, caiete qi pixuri, in total 330 obiecte. Dacd la fiecare 3 cdr{i sunt 7 caiete qi, la fiecare 2 caiete sunt 5 pixuri, ca,teobiecte s-au cumpdrat de fiecare fel ? RamonaCarqote,Brdila s:P14.10. suma a doud numere este g5. suma dintre primul numd,r micqorat de 5 ori qi dublul celui de-al doilea numdr este 100. Care sunt numerele ? RamonaCarEote,Brdila S:P14.11. Cd{i termeni are suma I+2+3+4+5+..., ei este un numdr format din doud cifre identice ?
dacd,valoarea
Ioana Popescz,Brdila s:P14"12. Andrei pleacd,cu bicicleta din cartierul in care locuiegte pand in centrul oraqului. El a parcurs deja 5 km cand se afld la 2 km de jumdtatea drumului. La ce distanld de centru locuieqte Andrei ? Ioana Popescu,Brdlla s:P14.13. Suma cifrelor unui numdr scris cu cinci cifre este 45. care este suma cifrelor succesoruluinum5rului ? Ioana Popescz,Brdila S:P14.L4. Vivi gi Matei joacd,un;oc. vivi: Pionul meu s-a aflat in cdsu{a 29. Am aruncat cele doud, za,...ni qi am inaintat pAna la cdsu{a 40. - Matei: Pionul meu s-a aflat in cdsula 39. Am aruncat cele doux zan:oi ql am inaintat pAnd la cd,su{a42. Pute{i preciza ce au arS,tatzarurile pentru vivi qi apoi, pentru Matei ? Ioana Popescu,Brdila s:P14.15- c6,nd la Bucuregti este ora 13, la Tokio este ora 21. ce ord. este la Bucureqti, c6,nd Ia Tokio este ora 6 ? Ioana Popescu, BrdIIa
s:P14.16. intr-un sdcule{sunt 9 bile numerotatecu 10,20,30, . . . , g0. Care estenumdrul minim de bile ce trebuie extrasedin sdcule!pentru a fi siguri cd sumalor depdqeqte 110 ? Ioana Popescz, Brdila
s:P14.17. intr-un magazin intrd grdbit sorin qi cumpxrd un tort de 70 de lei, plSteqtecu o bancnotd de 100 lei. primeqte rest 30 lei. A doua zi, vdnzdtoareaconstatS,cd bancnota de 100 lei este falsb. Care este paguba v6,nzdtoareide la maeazin ? Ioana Popescu,Brdila s:P14.18. se pot aqeza14mere in 5 coquri, astfel incAt sd nu avem dou5,coquri cu acelaqinumdr de mere? Justificali. *** s:P14.19. Ionel gi Maria au impreund,27 de lei. Dacd Ionel ii dd Mariei 3 lei, atunci Maria va avea de doud,ori mai mulli bani decdt ii rdm6,n lui Ionel. Ce sumd de bani a avut fiecare la inceout? *** s:P14.20. Pentru 7 kg de mere se pldtesc42 clelei. cate kilograme de mere, de acelaqifel, se pot cumpdra cu 618 lei?
Clasa a V-a S:E14.1. Determina{i numerele de forma abc dac6" 5 + 10 + 15 + . . . I abc : abc00. Daniela Couac'i,Br5ila s:E14.2. se scriu in ordine crescdtoaretoate numererenaturale de patru cifre care au produsul cifrelor egal cu zero. Al c6,teleanumdr este 2013? Cristina lchim, Bucureqti S:E14.3. Numdrul obc impdrlit la b dd c6,tul da gi restul a. Dacd d,: b I 1, s5,se arate cd abc mt este pdtrat perfect. Narcis Gabriel Turcu,Brdila S:E14.4. S5,se determine ultima cifrd, a numdrului: N : 20II"+2011 + 2912n+2012 I 2g13n+2or3. Gean'inaDumitragcu, Brdila S:E14.5. Se considerS, girul de numerenaturale Z,L0,IT,24,Jl,... a) Aflati al 2013-leatermen al sirului.
b) Stabilili dacS numS,rul2013 este termen al girului. c) Calculati suma primilor 100 de termeni ai qirului. Ionu[ MazAlu,Brdila S:E14.6. Determina{i toate numerele naturale de forma ab qtiind cd suma cifrelor numXrului ob este egal5,cu suma cifrelor numSruld 5 .ab. DanielaStd,nicd, qi NicolaeStdnicd,,Brdila S:E14.7. Sd se determine numerele de forma abc care verificd relatia abc:2'ab -l3.bc * 4. ca. Rud'i Pas'ic'i,Brdila S:E14.8. S5,se determine numerele de forma abc tn care ab, bc si ce sunt numere prime. Rud'iPasici, BrSila S:E14.9. Suma a trei numere consecutiveeste 32015.Demonstrali c[ produsul celor trei numere este divizibil cu 10. NazelyBoicescu,Brbila S:E14.10. Determinali numereleabc qtiind cd,
5 o,+c
b -t c 2a
2a+c 7 D an'iela Cerchez, Brdila
Clasa a VI-a
S:E14.11. Fie
b) (o + b + c) : r si 1ad+2) i 7. N'icolaeStd,nicd,, BrSila S:E14.13, Se considerdnumerelear : 4, az : 3at I 4, as : 3az I 42, . .', a2or|: 3a2oL2 a 42012. a) Calcula{i azorz. ,22 1 b) Ardtali c5,(o1 * az + .. . -r azon) : :--'' CarmenBotea gi Viorel Botea,Brdila
S:E14.14. Determinati numerele naturale de forma abc qtiind c5, /-\ ( ab + bc -t cal : abc. \,/
Aa:
gi NicolaeStd,n'icd,, DanielaStd,ni.cd, Brdila : : : S:E14.15. Fie multimile ,41 {1}, A2 {1,3}, As {1,3,6}, : ,45 . .. {7,3,6,10}, {1,3,6,10,15}, a) Calculati Azo \ Arg. b) Verificati dacd existd n numdr natural astfel incd,t 20L3 € A^. c) Aflali numdrul elementelor divizibile cu 7 din AzoB. Dan'ielaCouaci,Brdila
S:E14.16. Aflali valoarea maximd a numS,ruluinatural n qtiind c5,42 divide produsul p : 504. 505 . 506' . ... 2012. 2013. Artur B d,ld,ucd, Botoqani S:E14.17. ArS,tati cd, r. 22 + l' 2. 32 + 7. 2. 3. 42 + ... + r. 2. J. .... gg2: r. 2. 3. ... . 100- 2. N azelyB o'icescu, Br5ila S:E14.18. Determinati numerelenaturale nenule a, b, c, d, e, n qtiind cd 2"*3. 3b. 5c+1. 7d . rr' : r. 2. J. .... n. Mihaela Baltd, Brdila S:E14.19. Demonstra{i c5,numerele33'ott* 1 qi 332015 * 10 sunt prime intre ele. NazelyBoicescu,Brdila S:E14.20. Sd,se determine valoareade adevdr a propozitiei: 12013 + 22013 + 32013 + ... +20042013: 6. Dan'ielaCouaci.BrSila Clasa a VII-a S:E14.21. Se dX triunghiul dreptunghic ABC, n(
{iI
. i',...-.....-.
S:8L4.22. In rombul ABCD fie (CS bisectoareaunghiului ACB, S e (AB).Demonstrali c5,m({C,SD) :45o dacd qi numai dacd (D^9 este bisectoarea unghiului ADB. DanielaStd,nicdgi NtcolaeStd,nicd, Brdila S:E14.23. in paralelogramulABCD fie AC1BD: {O}. Demonstrali c5,,dac5,punctul M estemijlocul segmentului[DOlqi CM)AB: {?}, atunci AT:2.48. DanielaStd,nicdqi NicolaeStd,nicd,, Brdila SzEL4.24. Demonstra{i cd dacd a:2012.2013,
atunci
a 1...+Ja<2013. NazelyBoicescu,Brdila S:E14.25. Aflali toate numerele de forma ab, care verificd rela{ia (b + a)ba+ (o - b)ab:25 (b2- o2). George-Florin $ erban,Brdila S:E14.26. Fie paralelogramul ABCD cu m5sura unghiului A mai micd, dec5,t90o, M, Q picioarele perpendicularelor duse din A pe BC, respectiv C D iar N , P picioarele perpendicularelor duse din C pe AB, respectiv pe AD. a) Ardta{i cd"M N PQ este dreptunghi. b) Arita{i cd dreptele MP, QN qi AC sunt concurente. Daniela Tili,ncd,gi Adriana Mihdild,,Brdila S:EL4.27. S5,se determine numerele reale r, U, z astfel incdt
- 4r z+ 10+12,- y- 131 :3. NarcisGabriel Turcu,Brdila S:E14.28. Ar5,ta{ic5,num5rul A:\p +2p +...+20I4p estedivizibil cu 5, unde p este un numd,r natural care nu este divizibil cu 4. George-Florin $ erban,Brdila S:E14.29. $tiind cd,ad*bc: ca
bd, unde a,b,c,d e N* sd se demonstreze
+#. #:i:.ffi+
acc -+ bd d,
nu depinde de a, b, c, d. Ligia Isi,m, BrS,ila
S:E14.30. Determina{i n € N* qtiind c5 numdrul A:
. 481 5n + 52or4- 52010
este pdtrat perfect. Mihaela Giurcd^Brdila Clasa a VIII-a s:E14.31. Ar5,ta!i cd nu existd doud,numere prime astfel incat suma cuburilor lor sd fie egal5,cu cubul mediei lor aritmetice. Ionut Mazd,la,Brdila S:E14.32. Dacd"r,gr ) 0 ard,tali ci : oo /r1t
1
. tro +'Ut t- > qi -v:Y <'-' 2 'r+A -2' i l' :- - - ' rA
, r , 2- l a2
"l
w
, ,/ra,5
-**ozr'
Dan Negulescu,Brdila
S:E14.33. Ar5ta{i cd nu existd a,b,c € Z astfel inc5,t (" - b)3+ (b - c)3 + (c- o)3 : 2013. NazelyBoicescu,Brdila s:E14.34- Fie ABCDA'Btc'Dt un cub cu muchiile de lungime 6 qi M, P e (BC') astfel incAt BM : MP : pCt. a) Determina{i valoarea cosinusului unghiurui dintre dreptele Atp ai DM. b) Dacd AtP n (DCC') : {S} qi DM n (ABB.): {?}, atunci deter_ mina{i lungimea segmentului ,S?. Dan'ielaNarcisa Std,nicd,Brdila S:E14.35. a) Demonstra{i cd
t/o'+ 12+ 1/uzarz > M, oricare ar fi rrA,arb ) 0, numere reale Dacd a, b,c> 0 qi a * b+ c: a,bc,demonstra{icX
. ;,:';l t '11:1t""'
qi gS,siti valorile lui a, b, c pentru care se realizeazd"egalitatea. NazelyBoicescu,Brdila
12 : A(A+ t)(y +Z)(A+ 3) + 4. S:E14.36.Rezolvaliin Z x Z ecrtatia Dan'ielaTilincd,9i Adriana Mihdild, Brdila S:E14.37. Fie ABCDAT BtC'Dt un cub, T mijlocul segmentuluiCCI iar M mijlocul segmentului BC. a) Ard,ta{i cX dreptele AM qi D'? sunt coplanare. b) Ardtali c5"DTTMA este un patrulater inscriptibil. c) Calcula{i raportul dintre aria patrulaterului DtTM A qi aria triunghiuhi DtAC. Daniela Tilincd,gi Ad,ri,ana Mihdild, Brdila S:E14.38. Se considerdtriunghiul ABC, AC: BC, m(
S :E 1 4 .4 0 .A r5 ,ta !i c5 ,num5,r ul' lr yesteir a!ional,or icar ear fi numdrul intreg o. Dan Negulescu, Br5ila
:iSWi,
Clasa a IX-a S:L14.1. Demonstrati cX pentru doud,numere reale o, b avem a I b dac5,qi numai dac5,oricare ar fi c real cu c ) b avem c> a. S:L14.2" Fie m gi n numere naturale mai mari ca 2. Pe un cerc sunt asezaten puncte. Un greiere pleacd,dintr-unul din puncte qi sare trecd,ndprin urmfltoarele m- 1 puncte in sensu]acelor de ceasornicoprindu-se in al m-Iea pe care il coloreazd,cu roqu. ContinuS,apoi Ia fel. in ce condilii vor deveni toate cele n puncte roqii? rProblemele
sunt propuse sau alese de G. Rene, Bucuregti. Problemele sunt ordonate crescd,tor dupd, gradul de dificultate ,,-1.:..-:.'1-,
f,.10,,
S:L14.3. C6,tesolulii numereintregi are ecua{iall .. . l"-tl -11 . .. | :1, dacd la st6,ngasunt n ) 1 bare verticale? S:LL4.4. Se dau trei discuri in plan de raze respectiv 11, 12, 13 da centre or, oz, 03. in ce condi{ii existd un triunghi echilateral cu fiecare v6,rf in c6,teun disc? S:L14.5. Pentru ce valori naturalen numdrul n(n-l1)(rz + 2)(n+B) + +2074 este pdtrat perfect? S:L14.6. Doud pdtrate de arie 1 au laturile paralele qi se intersecteaz6" dupd un dreptunghi de arie cel pu{in l. R",rni,rnea lor formezd,un octogon neconvex. Care este perimetrul maxim posibil al acestuia? S:LL4.7. Dou5,orageA gi B sunt situate de aceeaqiparte a unei linii de inaltS, tensiune, presupusd dreapt5,, la distan{e r respectiv g de aceasta. urmezx sd fie construitd o linie electricS,de la -4 la puncul C de pe linia de inaltd tensiune qi o linie electricd de la C la B. $tiind cd unitatea de lungime a liniei de Ia A la C costd a unit5{i qi cea de la c la B costd b unitdti, determinati pozi{ia punctului C pentru un cost minim. S:L14.8. Determina{i cel mai mic num5,rnatural m ) 3 pentru care exist5, un num5,r natural n astfel inc6,t l"t/^)
:2074.
S:L14.9. Un patrulater ortodiagonalABCD (diagonaleleperpendiculare) are AB :2, BC: 3 iar unghiurile {ABC, 4BCA au md,surilede 60. respectiv 45'. Afla{i celelalte laturi qi diagonalele. s:L74.Lo. Fie n un numdr natural dat. Determinali numerelenaturale 11 A uJ suma minim5 pentru care 3t + 12 : y2. Clasa a X-a S:L14.11. Determina{i numerelereale z ) 1 pentru care : r-log2r*2':5. s:Ll4-r2- Aflati multimile de numerereale care sunt solulie a ecualiei flog2rl * llognr) :3. S:LI4.LS. Ardta{i cd dac[ numerelecomplexe21, 22 stJrrtde modul 1 - zz atunci numd,rul ?t este real. ), z1z2
s:L14.14. Fie z un numd,rcomplex de modul 1. Determina{i numerele complexe tr astfel incAt l1 -l zutl: 1. Interpretali geometric. s:L14.1b. Ard,tali cd dacd,z1-tz2t 23 sunt rbddcinile de ordin trei ale unitd{ii qi z € C un numd,r complex diferit de acestea, atunci
1
1 1 :3"' + + z-zJ. Z-22 z-ZB z3-L' Deduce{i de aici cd dacd M esteun punct pe cercul circumscris unui triunghi echilateral ABC qi r, a, Z sunt respectiv distan{ele de la tr21la v6,rfufile A, B, C, atunci
11 1 3
;* r+;>r' s:L14.16. Existd un poligon cu proprietatea cd, existd doud puncte in plan astfel incat orice diagonald a sa sd,treacd printr-unul din cele doud puncte? s:L14.12. pentru un triunghi cu vA,rfurile in puncte de coordonate intregi ale planului cartezian, poate exista o indl{ime de lungime ralionald? Dar numdr natural? s:L14.18- cate perechide solu{ii (x,y) A este o mul{ime cu n > 1 elemente iar X,y doud submul{imi nevide diferite ale u
are ecua{iax uy: A dacd C A? Se aleg la inta,mplare
probabilitatea ca reuniunea lor sd fie i; Alegem la intA,mplaredoud muj 3" - 7 tatea ca X UY: A este (2n-1)(2n-2)' s:L14.19. Gd,si{iun exempru de num5rare in doud moduri pentru a demonstra formula
Cl + zcl+ ... + Cfr: 712n-t . S:L14.20. Determinali n pentru care
c l + c f;,r Cf;,:n G. Clasa a XI-a r? +2 S:L14.21. Se qtie cd qirul (*n)n>t definit prin 11 : l. In+l: E convergecrescdtor la t/2. care este cel mai mic n pentru carern are primele 4 zecimale aceleaqi cu ale limitei J2?
Fl
c ! I
k
s:L14.22- cate solulii reale are ecualiatgr : r in intervalul [0,2014]? S:L14.23. Ar5,ta{i cd dacd un qir de numere ra{ionale pozitive (numdrdtori gi numitori pozitivi) converge la un numdr ira{ional atunci at6,t qirul numdrdtorilor cdt qi al numitorilor au limitS, infinit5. Este adevdrat rezultatul, dacd limita girului este un numdr ralional? 3*74.24. Are func{ia / : IR.-+ IR definitd prin /(r) : tr2 - 2 pentru r ./-\lp : ira{ional si / ( ;q pentru r :'- q ralional, fraclie ireductibild cu q e N*, : ) \q/ puncte de continuitate? 12 - I
S:LL4.28. Fie I : iR -+ IR definir
infervarurui /(t-5.41)(imaginea [-5, ;,T;'f;,; ^,
"rl:',:-'""tt
- rel-4.-2,51"' "*,
S:LL4"26. Fie (rr,),.,>1un gir de numere pozitive pentru care 1i^rni|:l€1R..
n--+@
trn
Ar5,ta{i cx orice subgir convergent al qirului (yr"1"at mult l.
are rimita cel
s:LL4.27. Folosind doar no{iunea de limitd de func{ii ard,tali cd func{ia : (r) sin r nu poate fi ra{ioanld. (o func(ie se numeqte ralionald dacd este f cAtul a doud func{ii polinomiale.) S:L14.28. Aflati minimul expresiei12 -2r+y interpretAnd problema grafic in planul zOg.
dacd,r,y > 0 qi rly
I 2
S;L14.29. Este adevS,rat cd dacd.pentru o funclie / : IR -+ lR, lim /(z) z--+m existd atunci existd si
(2r)+ '..+ f (n r ) , ,r^ I@ )+ f
2-+oo
n
s:L14"30. Fie / : [0, 1] -+ [0, 1] continud, strict crescdtoareqi surjectivd. Fie OABC pd,tratul cu varfurile de coordonaterespectiv (0.0), (1,0), (1, 1), (0, 1). Ardta{i cd nu existd dreptunghiwi M N pe aflate strict in interiorul pdtratu]ui oABC astfel inc6,t M, P sd fie pe graficul lui iar diagonala / l/Q s5,fie pe AC.
...., :"'
j
Clasa a XII-a s:L14.31. Poate fi scrisd funclia Dirichlet (ce ia valoarea I pe numere ra{ionale gi 0 pe numere irationale) ca diferenld,de func{ii monotone? (Folositi faptul cd o functie monotonS,este integrabild.) S:L14.32. Fie / : [0,1] -+ lR derivabild. Calcula{i
lim 1
Gir(,)d,-/(o))
r--+0 fr
S:L14.33. Fie o, b e Z astfel incAt polinomul P(t) : t2 + at + b nu are rSddcini reale. Ardtali cx produsul a doux numere intregi de forma n2 + anm I m2 ctt m,n € Z estede aceeaqiformd. S:L14.34. Fie / : [0,
-+ ]R cu proprietateu .d -)
f @) : l. Fie "ljl
n € N*. Ar5.ta!icd,func{ias i I},nkl -+ R, g(z) : / (jf *r" integrabild, D pentruoricek € N*. Calculati nk f
t t r y t"
l* l) d " . .ri m lf (\JnL/ k- + 6 J 0
s:L14.35. considerSmo funclie f ,10,1]-+ IRpozitivd,strict descresc5,toareqi fie 0 : tro l rt l rz [0,1].Arxtati ca I
,,
\-r, \/ \ - t ", ) I\rn)\rk - rk_L) < | I\r)dr. k:I 6 Deducetide aici cd pentru numerepozitive a1-,a2, . . . an cttatlazl. avem
Caz particular:
oo $ ? _ t*o ? - . 4 ' constanta din dreapta fiind cea mai bund posibild.
I
. .la,
- I
s:L14.36. Fie a, b elemente ale unui grup astfel incdt a are ordinur n > I (i.e. a" : e),Sian-rb : abn-r. Ard,tali cd,a qi b comutd. S:L14.37. in orice grup G, pentru a,b e G, ordinul elementului ab este egal cu ordinul elementului ba ? S:L14.38. C6,te elemente are grupul multiplicativ Mz(Z) al matricelor de ordin 2 cu elementein claselede resturi modulo 3? Dar subgrupul matricelor ce au determinantul 1 modulo 3? S:L14.39. Fie A un inel fdrd divizori ai lui zero. Dacd a,b e A sttnt astfel inc6,t a20r4- 6zo1aqi a3 : b3 atunci a : b. SzL14.4O. Fie / : [0, 1] -+ IR derivabild cu derivata continud,qi /(0) : g 7
astfelincAt | (f'(") + (f')2@Ddr : f2(r). Ardta{i cd / : g. (Indicalie: t'" 0 I I
evalua{i | (t@ - f' (r))2dr.) I 0
Probleme qi teoreme celebre Conice O conicd este o curbd care se obtine prin intersectarea unui plan cu un con de rotatie (conul se considerd a avea doud pAnze). Primul tratat despre conice dateazd din antichitate gi a fost scris de Apollonius din Perga, in jurul anului 200 i.e.n. El a introdus denumirile de elipsd' hiperbold,pi,parabold,,folosite gi in prezent.
1 cerc 2 elipsd 3 pai:abol[ 4 hiperbolS
1. Cerc. Planul este perpendicular pe axa de rotatie. 2. Elipsd,. Planul face cu axa de rotatie un unghi mai mare dec6,t unghiul pe care il face generatoarea. 3. Parabold. Planul este paralel cu o generatoarea conului. .1. Hiperboid. Planul face cu axa de rotaqie un unghi nai uric decAt urigliiul pe care il face generatoarea.
